Culegere Alg 8(cd)

To my grandchildren, Maria, Anna, Thomas and Sarah Copeland

Prefaţă Cunoştinţele matematice se descoperă, se înţeleg şi se aprofundează prin activitatea de rezolvare de exerciţii şi probleme. Cartea de faţă este destinată cunoştinţelor matematice propuse de noul curriculum la matematică şi în particular de cartea „Matematică. Manual pentru clasa a VIII-a“, Editura Prut Internaţional, 2003. Conţinutul urmăreşte conţinutul manualului amintit: I. Recapitulare şi completări, II. Puteri şi radicali, III. Calcul algebric, IV. Ecuaţia de gradul II, V. Funcţii, VI. Şiruri numerice. Fiecare capitol are un preambul de informaţii teoretice. Pe lângă cunoştinţelor prevăzute de curriculum, aici se află şi informaţii matematice suplimentare, destinate elevilor pasionaţi de matematică. Uneori aici se află şi date din istoria matematicii. Capitolele II−VI sunt împărţite în paragrafe. Exerciţiile şi problemele (939) sunt distribuite pe trei niveluri: un nivel de bază sau de fixare (nivelul I); două niveluri de dezvoltare (II şi III). Fiecare paragraf se termină cu unul sau două teste. Majoritatea exerciţiilor şi problemelor importante au 4–6 variante clonate. Pentru prima variantă se oferă indicaţii sau răspunsul. Acolo unde am considerat necesar, am oferit modele de rezolvare în partea teoretică sau în cadrul enunţului exerciţiului. Pentru individualizarea învăţării, numărul variantelor clonate ce trebuie rezolvate de către un elev depinde de performanţele atinse de acesta. Cei pasionaţi de matematică pot afla: − ce sunt numerele algebrice şi numerele transcendente; − despre reprezentarea numerelor reale în fracţii continue; − care este numărul de aur şi câteva proprietăţi ale lui; − şirul lui Fibonacci şi câteva proprietăţi ale lui. Şi acesta poate fi numai începutul! Victor Raischi 11 noiembrie 2003

3

Cuprins Prefaţă .......................................................................................................................................... 3 Capitolul I. Recapitulare şi completări .................................................................................... 4 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 17 Evaluare formativă ......................................................................................................... 18 Capitolul II. Puteri şi radicali ................................................................................................. 19 1. Puteri cu exponent întreg ................................................................................................. 20 Evaluare formativă ......................................................................................................... 23 2. Radicali ............................................................................................................................ 24 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 29 Evaluare formativă ......................................................................................................... 30 Capitolul III. Calcul algebric .................................................................................................. 31 1. Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere ............................................................. 32 Evaluare formativă ......................................................................................................... 37 2. Formule de calcul ............................................................................................................ 37 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 43 Evaluare formativă ......................................................................................................... 44 3. Descompuneri în factori ................................................................................................... 44 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 50 Evaluare formativă ......................................................................................................... 51 Capitolul IV. Ecuaţia de gradul II .......................................................................................... 52 1. Ecuaţii. Rezolvarea ecuaţiei de gradul II ..........................................................................55 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 64 Evaluare formativă ......................................................................................................... 64 2. Relaţii între rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II ....................................... 65 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 76 Evaluare formativă ......................................................................................................... 77 Capitolul V. Funcţii ................................................................................................................. 78 1. Noţiunea de funcţie. Proprietăţi ale funcţiilor ...................................................................79 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 84 Evaluare formativă ......................................................................................................... 84 2. Funcţii numerice particulare ............................................................................................ 85 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................... 92 Evaluare formativă ......................................................................................................... 93 Capitolul VI. Şiruri numerice ................................................................................................. 94 1. Definirea unui şir ..............................................................................................................96 Evaluare formativă ......................................................................................................... 99 2. Progresii aritmetice .........................................................................................................100 Evaluare formativă ....................................................................................................... 103 3. Progresii geometrice .......................................................................................................104 Testarea cunoştinţelor teoretice .................................................................................. 108 Evaluare formativă ....................................................................................................... 109 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri ........................................................................................... 110 Cap. I. .................................................................................................................................110 Cap. II.1. ............................................................................................................................ 113 2. .................................................................................................................................. 113 Cap. III.1. ............................................................................................................................115 2. .................................................................................................................................. 115 3. .................................................................................................................................. 117 Cap. IV.1. ............................................................................................................................119 2. .................................................................................................................................. 125 Cap. V.1. .............................................................................................................................126 2. .................................................................................................................................. 127 Cap. VI.1. ........................................................................................................................... 129 2. .................................................................................................................................. 129 3. .................................................................................................................................. 130

132

Matematica este o activitate creatoare, confruntată cu rezolvarea unor probleme. De la aceste probleme trebuie pornit, iar pentru rezolvarea lor trebuie puse în joc facultăţi dintre cele mai variate: iniţiativă, invenţie, intuiţie, analogii îndrăzneţe. Solomon Marcus

Capitolul I. Recapitulare şi completări Mulţimi. Operaţii cu mulţimi: 1) reuniunea mulţimilor A şi B este A ∪ B = {x | x ∈ A sau x ∈ B}; 2) intersecţia mulţimilor A şi B este A ∩ B = {x | x ∈ A şi x ∈ B}; 3) diferenţa mulţimilor A şi B este A \ B = {x | x ∈ A şi x ∉ B}; 4) produsul cartezian al mulţimilor A şi B este A × B = {(x, y) | x ∈ A şi x ∈ B}. Relaţii între mulţimi: incluziunea (A ⊂ B dacă orice element al mulţimii A aparţine mulţimii B); egalitatea (A = B dacă A ⊂ B şi B ⊂ A). Mulţimile A şi B se numesc disjuncte, dacă nu au elemente comune, adică au intersecţia egală cu ∅. Cardinalul unei mulţimi finite este numărul elementelor acelei mulţimi. Mulţimi de numere. Mulţimea numerelor naturale este N = {0, 1, 2, …}. Mulţimea numerelor naturale nenule este N*. Mulţimea numerelor întregi este Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}. Mulţimea numerelor întregi nenule este Z*. Dacă a şi b a sunt numere întregi şi b ≠ 0, atunci este o fracţie. Mulţimea numerelor raţionale b este Q = {x | x este un număr ce poate fi scris sub formă de fracţie}. Mulţimea numerelor iraţionale este {x | x este un număr ce nu poate fi scris sub formă de fracţie}. Mulţimea numerelor reale este R = {x | x este un număr raţional sau x este un număr iraţional}. Mulţimea numerelor iraţionale se notează I sau R \ Q. Numerele raţionale pot fi scrise ca numere zecimale cu număr finit de zecimale, sau ca numere zecimale periodice (simple sau compuse), iar numerele iraţionale pot fi scrise ca număr zecimal neperiodic cu un număr infinit de zecimale. Teorema împărţirii întregi (fără rest). Fie numerele întregi a şi b. Atunci există numai numerele întregi c şi r, astfel încât a = bc + r, r ≥ 0, r < | c |. Formule de calcul prescurtat. 1) Formula pătratului sumei cu doi termeni: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . 2) Formula diferenţei pătratului: (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 .

3) Formula produsului sumei cu diferenţa: (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . Intervale de numere reale. Fie numerele reale a şi b, astfel încât a < b. Intervalul închis cu capetele (extremităţile) a şi b este [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}. Intervalul deschis cu capetele a şi b este (a, b) = {x ∈ R | a < x < b}. Intervalul deschis la stânga şi închis la dreapta cu capetele a şi b este (a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}. Intervalul închis la stânga şi deschis la dreapta cu capetele a şi b este [a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}. Intervale nemărginite: (− ∞, a] = {x ∈ R | x ≤ a}, (− ∞, a) = {x ∈ R | x < a}, [a, ∞) = {x ∈ R | x ≥ a}, (a, ∞) = {x ∈ R | x > a}. Aproximarea numerelor reale. Dacă a ∈ (b, b + ε), atunci b este o aproximare prin lipsă cu ε a numărului a, iar b + ε este aproximarea prin adaos cu ε a numărului a. Dacă b este o aproximare prin lipsă cu ε a lui a, atunci b este o ε-aproximare prin 4

Cap. I. Recapitulare şi completări

lipsă a lui a; dacă c este o aproximare prin adaos cu ε a lui a, atunci c este o ε-aproximare prin adaos a lui a. Trunchiere. Aproximarea prin lipsă cu 0,1 a numărului n sau 0,1-aproximarea prin lipsă se mai numeşte trunchiere la zecimi sau valoarea cu o zecimală exactă a numărului n. Aproximarea prin lipsă cu 0,01 a numărului n sau 0,01-aproximarea prin lipsă se numeşte trunchiere la sutimi sau valoarea cu două zecimale exacte a numărului n. De exemplu, 1,41 este valoarea lui 2 cu două zecimale exacte. În general, la executarea calculelor erorile se cumulează. Reprezentarea intervalelor de numere reale. În desen sunt prezentate mai multe variante de ilustrare a intervalelor [a, b] şi (a, b) şi ele pot fi extinse la celelalte tipuri de intervale. Pentru a rezolva grafic intersecţia a două sau mai multe intervale sunt mai sugestive variantele I şi III (considerate de sus în jos), iar pentru intersecţie variantele II şi III.

⎧− x, dacă x < 0 Prox2 = ⎨ ⎩ x, dacă x ≥ 0. prietăţi ale modulului numerelor reale: 1) | x | = 0 ⇔ x = 0; 2) | x | > 0 pentru orice x ∈ R*; 3) | x | = | −x |; 4) x 2 = | x | 2 ; 5) dacă a > 0, atunci | x | ≤ a ⇔ x ∈ [−a, a]; 6) dacă a > 0, atunci | x | < a ⇔ x ∈ (−a, a); 7) dacă a > 0, atunci | x | ≥ a ⇔ x ∈ (−∞, a] ∪ [a, ∞); 8) dacă a > 0, atunci | x | > a ⇔ x ∈ (−∞, a) ∪ (a, ∞); 9) | x | − | y | ≤ | x + y | ≤ | x | + | y |. Modulul unui număr real. | x | = max {− x, x} =

Suplimentar. Mulţimea părţilor sau submulţimilor unei mulţimi cu n elemente are 2 elemente. O partiţie a unei mulţimi A este formată din două sau mai multe submulţimi nevide ale mulţimii A, disjuncte oricare două, a căror reuniune este A. Mulţimile 2Z = {2k | k ∈ Z} şi 2Z + 1 = {2k + 1 | k ∈ Z} formează o partiţie a mulţimii Z. Mulţimile 3Z, 3Z + 1 şi 3Z + 2, definite în mod analog, formează, de asemenea o partiţie a mulţimii Z. Numere naturale mari: 10 9 bilion (miliard), trilion, quadrilion, quintilion, sextilion, septilion, octilion, nonilion, decilion, undecilion, tredecilion, quatuordecilion etc. Numere naturale foarte mari: 10100 un googol; 10 googol un googolplex. Restul împărţirii la 10 a unui puteri naturale a unui număr natural (ultima cifră) este egal cu restul împărţirii la 10 a puterii cu acelaşi exponent a numărului format de ultima cifră a acelui număr. Pentru aceasta este suficient să se afle ultima cifră a primelor 5 sau 6 puteri naturale consecutive ale numărului format de ultima cifră. Restul împărţirii la 100 a unui puteri naturale a unui număr natural (ultimele două cifre) este egal cu restul împărţirii la 100 a puterii cu acelaşi exponent a restului n

Cap. I. Recapitulare şi completări

5

împărţirii la 100, r, a acelui număr. Exemple: 1) Restul împărţirii la 10 (sau ultima cifră) a numărului n = 523457 + 827 2 871 este u(n) = u (3457 ) + u (7 2 871 ). Fie a MOD b (se citeşte „a modulo b“) restul împărţirii numărului întreg a la numărul întreg b. Atunci 457 MOD 4 = 3, iar 2 871 MOD 4 = 3. Se ţine cont că u (34 ) = 1 şi u (7 4 ) = 1, de unde rezultă că u(n) = u (33 ) + u (73 ) = u(7 + 3) = 0. 2) Restul împărţirii la 100 a numărului n = 413196 este z(n) = z (13196 ). Aflăm cea mai mică putere a lui 13 care are ultima cifră 1 şi obţinem z(n) = z (134 ⋅ 49 ) = z ( 28 56149 ) = z (6149 ). Înregistrăm resturile împărţirii la 100 ale puterilor naturale nenule ale lui 61 şi constatăm că ele sunt în ordine: 61, 21, 81, 41, 1, după care se repetă din cinci în cinci. Deoarece 49 MOD 5 = 4, rezultă că z (6149 ) = z (615 ⋅ 9 + 4 ) = z (19 ⋅ 61 4 ) = z (61 4 ) = 41. Prin urmare z(n) = 41. 3) Restul împărţirii la 1 000 a numărului n = 5 237817 este s(n) = s (237817 ). Aflăm cea mai mică putere a lui 237 care are ultima cifră 1. Evident, este vorba despre puterea a 4-a. Deoarece 817 = 4⋅204 + 1, obţinem s(n) = s (237 4 ⋅ 204 +1 ) = s ( 561204 ⋅ 237). Înregistrăm resturile împărţirii la 1 000 ale puterilor naturale nenule ale lui 561, care sunt în ordine: 561, 721, 481, 841, 801 etc. Deoarece restul împărţirii la 100 a oricărei puteri naturale a lui 801 este 1, rezultă că s ( 561204 ) = s ( 5615 ⋅ 40 + 4 ) = s ( (5615 ) 40 ⋅ 5614 ) = s (80140 ⋅ 841). Constatăm că resturile împărţirii la 1 000 ale puterilor naturale nenule ale lui 801 sunt în ordine: 801, 601, 401, 201, 1, după care se repetă din cinci în cinci. Prin urmare, s ( 561204 ) = s(1⋅841) = 841. Rezultă că s(n) = s ( 561204 ⋅ 237) = s(841⋅237) = 317. Sume concentrate. 1) 11 +4 14 +2 1 +4 ...4 + 31 [ n

n

∑a

n

= a

i =1

i =1

= n implică a1+4a4 +2 a +4...4+3a = n

n

∑ 1 = na. 2) 1 + 2 + 3 + ... + n [ ∑ i i =1

i =1

n

+ 2n =

n

∑1

n

∑ 2i

= 2

i =1

∑i i =1

= 2⋅

=

n(n + 1) implică: 2 + 4 + 6 + ... 2

n(n + 1) = n(n + 1); 1 + 3 + 5 + ... + (2n + 1) = 2

n

n

n

n

n +1

i=0

i=0

i =0

i =1

i =1

∑ (2i + 1) = ∑ 2i + ∑ 1 = ∑ 2i + ∑ 1 = n(n + 1) + (n + 1) = (n + 1) , ceea ce 2

se constată practic adunând primele 2 numere naturale impare, primele 3 numere naturale impare etc. Divizibilitatea numerelor naturale. Numărul prim este numărul cu exact doi divizori, adică este un număr diferit de 1 care nu are divizori proprii. Numerele prime între ele sau relativ prime nu au divizori proprii comuni. Dacă n este un număr natural, atunci ϕ(n), funcţia sau indicatorul lui Euler, este egal cu numărul numerelor naturale inferioare lui n, relativ prime cu n. Teoremă (Euclid). Există o infinitate de numere prime. Conjectura lui Goldbach (1690−1764). Orice număr natural superior lui 2 poate

6

Cap. I. Recapitulare şi completări

fi scris ca sumă de numere prime. (I se spune conjectură pentru că este o presupunere ce se constată a fi adevărată în multe cazuri particulare, dar nu a putut fi demonstrată.) Teoremă (Euler). Numărul descompunerilor unui număr natural în sumă de numere diferite este egal cu numărul descompunerilor în sumă de numere impare. Teoremă (Euler). Dacă descompunerea în factori primi a lui n este a k b p , atunci

ϕ(n) = a k −1b p −1 (a − 1)(b − 1). Proprietăţi ale indicatorului lui Euler. 1) Indicatorul unui număr natural mai mare decât 2 este un număr par. 2) Dacă n > 1, atunci ϕ(n) ≤ n − 1. 3) Dacă n − 1 se divide cu ϕ(n), atunci n este prim. 4) Suma indicatorilor tuturor divizorilor unui număr natural dat este egal cu acel număr natural. 5) Suma numerelor naturale prime cu n ∈ N şi mai mici decât el este 0,5nϕ(n). Teoremă (Fermat). Dacă p este un număr prim şi a ∈ Z*, atunci p divide a p −1 − 1. Teoremă (Euler). Dacă n este un număr natural prim cu numărul întreg a, atunci n divide aϕ ( n ) −1 − 1. Teoremă (Wilson). Fie numărul natural n mai mare decât 1. Atunci n este un număr prim dacă şi numai dacă (n − 1)! + 1 se divide cu n. Numerele prime gemene sunt cele care au diferenţa egală cu 2. Un număr perfect are suma divizorilor inferiori lui, egală cu acel număr. Primele două numere perfecte sunt 6 şi 28; numerele perfecte cunoscute sunt pare şi se termină în 6 sau în 28. Nu se cunosc numere perfecte impare şi nu se ştie dacă numărul lor este infinit. În 1995 se cunoşteau 33 de numere perfecte, iar în 1999 numărul

lor a ajuns la 38. Teoremă. Dacă 2 n − 1 şi n sunt numere prime, atunci 2 n −1 (2 n − 1) este număr perfect. Două numere naturale sunt prietene, dacă adunând 1 tuturor divizorilor proprii ai unuia dintre ele obţinem celălalt număr. Cele mai mici numere prietene sunt 220 şi 284. Alte perechi de numere prietene: 1 184 şi 1 210, 2 620 şi 2 924 etc. Euler a pus la punct o metodă de descoperire a numerelor prietene şi a găsit aproape 60 de perechi de numere prietene. Numerele 12 496, 14 288, 15 472, 14 536, 14 264 se numesc numere sociabile, deoarece formează un lanţ de numere cu proprietatea că adunând 1 cu toţi divizorii proprii ai unui număr din lanţ obţinem următorul număr, iar adunând 1 cu toţi divizorii proprii ai ultimului număr din lanţ obţinem primul număr din lanţ. Numărul 14 316 este primul dintr-un lanţ de 28 de numere sociabile. 7 1 1 =3+ Fracţii continue. Fie numărul 3,7. Atunci 3,7 = 3 + =3+ =3 10 3 10 1+ 7 7 1 1 1 =3+ =3+ + . Spunem că am scris 3,7 sub formă de fracţie 1 1 1 1+ 1+ 1+ 1 7 7 2+ 3 3 3 continuă. Se notează 3,7 = [3; 1, 2, 3]. Procedând la fel cu 2 , obţinem 2 = Cap. I. Recapitulare şi completări

7

1 1 1 = 1 + = 1 + = 1 + 1 1 1+ 2 1+1+ 2+ 1 1+ 2 1+1+ 1+ 2 1 1 =1+ = [1; 2, 2, 2, ...] = [1; (2)]. Deoarece 2 se 1 1 2+ 2+ 1 1 2+ 2+ 1 1+ 2 2+ 1 2+ ... repetă de un număr nelimitat de ori, apare între paranteze ca la scrierea perioadei numerelor zecimale periodice. Procedând la fel se găseşte că 3 = [1; (1, 2)]. În 1767 Lambert a demonstrat că numărul π este un număr iraţional, iar în 1882 Lindemann a demonstrat că π este un număr transcendent, adică un număr ce nu poate fi rădăcină a unui polinom cu coeficienţi raţionali. Un alt număr transcendent este numărul e = 2,7182818..., a cărui scriere ca fracţie continuă este [2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, ...]. Constatăm astfel că scrierea lui ca fracţie continuă (şi această observaţie este valabilă pentru orice număr transcendent) diferă de scrierea numerelor algebrice (raţionale sau iraţionale) sub formă de fracţie continuă. Prin urmare, scrierea sub formă de fracţie continuă permite separarea numerelor transcendente de numerele algebrice. Partea întreagă a numărului real a este numărul întreg n dacă a ∈ [n, n + 1) şi se notează [a], partea neîntreagă sau zecimală a numărului n este a − [a]. 1 + ( 2 − 1)

= 1 +

−

I−

1. Aflaţi A ∪ B, A ∩ B şi A \ B, dacă: a) {−2, 1, 3, 8} şi {−3, 1, 3, 7}; b) {−7, −3, 4, 9} şi {−7, 5, 9, 11}; c) {−9, −2, 4, 12} şi {−9, 1, 4, 5}; d) {−14, −5, 7, 13} şi {−5, 13, 16, 19}. 2. Aflaţi A × B, dacă: a) {−8, −2, 5} şi {−1, 1}; b) {−9, −7, 12} şi {− 4, 15}; c) {−9, 15, 18} şi {−17, 5}; d) {−26, −3, 13} şi {−36, 42}. 3. Aflaţi numerele x şi y astfel încât: b) {−1,7; 3,9} = {x, y}; c) {−8,7; 9,4} = {x, y}. a) {−3,2; 2,4} = {x, y}; 4. Fie mulţimea D = {−5, −2, 1, 3, 7}. Aflaţi submulţimea mulţimii D ale cărui elemente sunt: a) numere mai mari decât 1; b) numere mai mici decât 3; c) numere cuprinse între −7 şi 2; d) numere pare negative; e) numere impare pozitive. 5. Examinaţi diagramele! Reprezentaţi sintetic mulţimea: a) A, B şi C; b) A ∩ B, B ∩ C, A ∩ C;

8

Cap. I. Recapitulare şi completări

c) A \ B, B \ C, A \ C; d) A ∪ B, A ∪ C, B ∪ C; e) A ∪ B ∪ C şi A ∩ B ∩ C. 6. Aflaţi 3 elemente ale mulţimii: b) {5n − 1 | n ∈ N}; c) {7n − 5 | n ∈ N}; a) {3n − 4 | n ∈ N}; d) {8n − 3 | n ∈ N}; e) {9n − 4 | n ∈ N}; f) {6n − 7 | n ∈ N}. 7. Aflaţi A ∪ B şi A ∩ B, dacă: a) A = {3n + 1 | n ∈ Z} şi B = {3n + 1 | n ∈ N}; b) A = {4n + 3 | n ∈ N} şi B = {4n + 3 | n ∈ Z}; c) A = {7n + 3 | n ∈ Z} şi B = {7n + 3 | n ∈ N}; d) A = {5n + 3 | n ∈ N} şi B = {5n + 3 | n ∈ Z}. 8. Reprezentaţi sintetic (prin enumerarea elementelor) mulţimea resturilor împărţirii întregi la: a) −19; b) −32; c) −29; d) −51; e) −101. 9. Stabiliţi o relaţie între mulţimile A şi B, dacă: a) A = {3n + 2 | n ∈ Z} şi B = {3n − 1 | n ∈ Z}; b) A = {7n + 1 | n ∈ Z} şi B = {7n − 6 | n ∈ Z}; c) A = {8n + 3 | n ∈ Z} şi B = {8n − 5 | n ∈ Z}; d) A = {10n + 3 | n ∈ Z} şi B = {10n − 3 | n ∈ Z}; e) A = {11n + 2 | n ∈ Z} şi B = {11n − 9 | n ∈ Z}. 10. Reprezentaţi sintetic şi analitic mulţimea: a) {3n | n ∈ Z} ∩ {−2n | n ∈ Z}; b) {3n | n ∈ Z} ∩ {−5n | n ∈ Z}; d) {4n | n ∈ Z} ∩ {−7n | n ∈ Z}; c) {6n | n ∈ Z} ∩ {−5n | n ∈ Z}; f) {−9n | n ∈ Z} ∩ {4n | n ∈ Z}. e) {8n | n ∈ Z} ∩ {−3n | n ∈ Z}; 11. Reprezentaţi sintetic şi analitic mulţimea: a) {2n | n ∈ Z} ∩ {−5n | n ∈ Z} ∩ {−6n | n ∈ Z}; b) {3n | n ∈ Z} ∩ {−7n | n ∈ Z} ∩ {−9n | n ∈ Z}; c) {4n | n ∈ Z} ∩ {−3n | n ∈ Z} ∩ {−10n | n ∈ Z}; d) {5n | n ∈ Z} ∩ {−15n | n ∈ Z} ∩ {−6n | n ∈ Z}. 12. Convertiţi în număr zecimal: 2 3 5 4 3 a) − 3 ; b) − 9 ; c) − 8 ; d) − 7 ; e) − 11 . 15 11 12 45 20 13. Examinaţi lista şi selectaţi numerele zecimale ce pot fi convertite în fracţii: 2,15, −3,7142135..., −1,(3), −9,(18656), −11,34(91), 3 4 , − 15 , −0,135... 14. Convertiţi în fracţie numărul: a) −3,183; b) −32,017; c) 24,00107; d) −12,5627. 15. Convertiţi în fracţie numărul: a) −9,(18); b) −21,(217); c) −39,(2197); d) −19,(29876). 16. Convertiţi în fracţie numărul: a) −2,12(071); b) −5,13(8); c) −16,301(2); d) −27,023(71). 17. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: b) {x ∈ R | 10,5 ≤ x ≤ 51,16}; a) {x ∈ R | 94 ≤ x ≤ 97,8}; d) {x ∈ R | 3,3 ≤ x ≤ 5,19}; c) {x ∈ R | −8,5 ≤ x ≤ 32,7}; e) {x ∈ R | 2,(8) ≤ x ≤ 13,(12)}; f) {x ∈ R | −12 ≤ x ≤ 7,2(19)}. Cap. I. Recapitulare şi completări

9

18. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | 3,9 < x ≤ 5,7}; b) {x ∈ R | 6,9 < x ≤ 11,8}; d) {x ∈ R | 7,4 ≤ x < 8,7}; c) {x ∈ R | −7,1 < x ≤ 9,1}; e) {x ∈ R | 3,(2) ≤ x < 9,(17)}; f) {x ∈ R | −3,1≤ x < 9,5(43)}. 19. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | 2,7 < x < 3,6}; b) {x ∈ R | 4,1 < x < 5,19}; d) {x ∈ R | 0,4 < x < 9,5}; c) {x ∈ R | −3,01 < x < 7,2}; e) {x ∈ R | 8,3 < x < 9,04}; f) {x ∈ R | −53,8 < x < −1,7}. 20. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | x ≤ −7,5}; b) {x ∈ R | x ≤ −1,39}; d) {x ∈ R | x ≤ −32,14}. c) {x ∈ R | x ≤ −28,2}; 21. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: b) {x ∈ R | x < 23,04}; a) {x ∈ R | x < −1,6}; c) {x ∈ R | x < 17,18}; d) {x ∈ R | x < −85,(4)}. 22. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: b) {x ∈ R | x ≥ −5,18}; a) {x ∈ R | x ≥ 14,8}; c) {x ∈ R | x ≥ −55,9}; d) {x ∈ R | x ≥ −205,(14}. 23. Scrieţi ca interval de numere reale mulţimea: a) {x ∈ R | x > 1,06}; b) {x ∈ R | x > −8,03}; d) {x ∈ R | x > −502,4(1}. c) {x ∈ R | x > 33,4(2}; 24. Scrieţi analitic intervalul: a) [−3,1; 4,7]; b) [−7,9; −3,5]; c) [−8,4; 1,35]. 25. Scrieţi analitic intervalul: a) (−5,3; 9,4]; b) (−4,1; 11,2]; c) (−2,(3); 13,6]. 26. Scrieţi analitic intervalul: a) [5,2; 12,3); b) [−2,7; −1,16); c) [−17,13; 4,25). 27. Scrieţi analitic intervalul: a) (2,6; 9,1); b) (−1,9; −1,04); c) (−9,06; 3,11). 28. Scrieţi analitic intervalul: a) (−∞, 4,7]; b) (−∞, −1,3]; c) (−∞, 2,(14)]. 29. Scrieţi analitic intervalul: a) (−∞, 8,1); b) (−∞, −1,04); c) (−∞, −12,6). 30. Scrieţi analitic intervalul: a) [2,14, ∞); b) [−3,05, ∞); c) [−5,71, ∞). 31. Scrieţi analitic intervalul: a) (−8,08, ∞); b) (−1,93, ∞); c) (−3,48, ∞). 32. Reprezentaţi pe axă: a) [−1,4; 2,3]; b) [−2,5; 12,3]; c) [−1,8; 2,9]. 33. Reprezentaţi pe axă: a) (−2,5; 11,7]; b) (−3,01; 6,7]; c) (−8,(4); 11,4]. 34. Reprezentaţi pe axă: a) [2,8; 15,3); b) [−4,1; −2,01); c) [−14,09; 2,63). 35. Reprezentaţi pe axă: a) (26,9; 28,5); b) (−7,4; −5,29); c) (−3,06; 2,7). 36. Reprezentaţi pe axă: a) (−∞, −1,6]; b) (−∞, −2,8]; c) (−∞, 3,(51)]. 37. Reprezentaţi pe axă: a) (−∞, 3,7); b) (−∞, −4,12); c) (−∞, 10,3). 38. Reprezentaţi pe axă: a) [5,14, ∞); b) [−2,38, ∞); c) [−4,72, ∞). 39. Reprezentaţi pe axă: a) (−33,1, ∞); b) (−14,2, ∞); c) (−5,19, ∞). 40. Recunoaşteţi intervalele reprezentate pe axă.

10

Cap. I. Recapitulare şi completări

41. Recunoaşteţi intervalele reprezentate pe axă. 42. Recunoaşteţi intervalele reprezentate pe axă. 43. Recunoaşteţi intervalele reprezentate pe axă. 44. Recunoaşteţi intervalele reprezentate pe axă. 45. Recunoaşteţi intervalele reprezentate pe axă. 46. Recunoaşteţi intervalele reprezentate pe axă. 47. Scrieţi ca interval mulţimea: a) {x ∈ R | | x | ≤ 1,6}; b) {x ∈ R | | x | ≤ 0,01}; c) {x ∈ R | | x | ≤ 0,003}; d) {x ∈ R | | x | ≤ 4,82}; e) {x ∈ R | | x | ≤ 3,71}. 48. Rotunjiţi la întregi: a) 3,4 şi −3,4; b) 7,1 şi −7,1; c) 12,4 şi −12,4. 49. Rotunjiţi la întregi: a) 14,5 şi −14,5; b) 19,5 şi −19,5; c) 37,5 şi −37,5. 50. Rotunjiţi la întregi: a) 17,6 şi −17,6; b) 26,7 şi −26,7; c) 82,8 şi −82,8. 51. Aproximaţi prin adaos cu 0,1 (0,1-aproximarea prin adaos) numărul: a) 37,526; b) 48,723; c) 1,874; d) 5,352; e) 17,284; f) 12,639. 52. Aproximaţi prin adaos cu 0,01 (0,01-aproximarea prin adaos) numărul: a) −11,534; b) −21,593; c) −3,945; d) −7,225; e) −8,743; f) −19,458. 53. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01 (0,01-aproximarea prin lipsă) numărul: a) 24,184; b) 27,274; c) 38,462; d) 82,571; e) 91,504; f) 13,842. 54. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01 (0,01-aproximarea prin lipsă) numărul: a) −17,164; b) −38,528; c) −41,363; d) −9,484; e) −15,737; f) −24,636. 55. Calculaţi cu două zecimale exacte (0,01-aproximarea prin lipsă) numărul: a) 10 ; b) 13; c) 15 ; d) 19 ; e) 21; f) 26 ; g) 31. 56. Dacă se poate, scrieţi mai simplu A ∪ B pentru: b) A = [−3,1; 2,4] şi B = [−2,7; 5,8]; a) A = [2; 7,3] şi B = [−1,2; 4,1]; c) A = [−5; 4,6] şi B = [−3,2; 9,2]; d) A = [2; 7,3] şi B = [−1,2; 4,1]; e) A = [−1,4; 8,3] şi B = [2,5; 10,3]; f) A = [−7,6; 2,5] şi B = [−3,9; 6,4]. 57. Dacă se poate, scrieţi mai simplu A ∩ B pentru: b) A = [−3, 27] şi B = [7, 33]; a) A = [−5, 11] şi B = [−1, 15]; d) A = [−9, 29] şi B = [−11, 17]; c) A = [−18, 16] şi B = [−6, 23]; e) A = [−13, 14] şi B = [−4, 22]; f) A = [−24, 8] şi B = [−13, 12]. 58. Dacă se poate, scrieţi mai simplu A \ B pentru: b) A = [−11, 38] şi B = [3, 19]; a) A = [−33, 2] şi B = [−35, −5]; c) A = [3, 18] şi B = [−5, 11]; d) A = [−13, 16] şi B = [7, 21]; f) A = [−42, 32] şi B = [−3, 56]. e) A = [19, 54] şi B = [−17, 25]; Cap. I. Recapitulare şi completări

11

59. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) [−23, 5]; b) [−16, 8]; c) [−11, 29]. 60. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) [−3,6; 7); b) [−6,2; 7); c) [−32,1; 15); d) [−8,18; 23); e) [−24,5; 17). 61. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) (−15,4; 18); b) (−19; 8,3); c) (−32; 14,2); d) (−19,6; 3,17); e) (−38; 25,2). 62. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) (−∞, 7,5]; b) (−∞, −15,8]; c) (−∞, 9,1]; d) (−∞, 18,4]; e) (−∞, 37,6]. 63. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) (−∞, 16,7); b) (−∞, −23,6); c) (−∞, 11,8); d) (−∞, 29,1); e) (−∞, 33,9). 64. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) [−32,1, ∞); b) [−42,3, ∞); c) [−19,4, ∞); d) [−5,16, ∞); e) [−2,732, ∞). 65. Enumeraţi numerele întregi din intervalul: a) (−56, ∞); b) (−109, ∞); c) (−75, ∞); d) (−28, ∞); e) (−7, ∞). 66. Enumeraţi numerele reale care au modulul: a) 3,8; b) 7,3; c) 11,8; d) 18,9. 67. Scrieţi opusul numărului: a) − 2 7 ; b) 16 10 ; c) −34,2; d) 13,2(19); e) −7,4(12). 68. Scrieţi opusul numărului: a) 4 11 − 3 13 ; b) 3 5 − 2 6 ; c) 7 2 − 6 5 ; d) 7 3 − 8 2 ; e) 8 5 − 7 6 . 69. Scrieţi ca fracţie inversul numărului: a) −3,2(19); b) −19,4(38); c) −15,5(43); d) −2,17(302); e) −1,163(24). 70. Executaţi: a) 4x(2a + 3); b) 2a(3z + 4); c) 7x(3c + 2); d) 5y(4a + 7); e) 8b(7x + 4). 71. Executaţi: a) 2x(9a − 11); b) 3a(8z − 5); c) 9x(7c − 9); d) 13y(2a − 9); e) 15b(7x − 4). 72. Executaţi: b) (4x + 5)(2a + 3); c) (8z + 7)(5b + 3); a) (2a + 3)(3b + 5); d) (6y + 7)(2c + 3); e) (9x + 4)(7y + 6); f) (11z + 4)(2d + 9). 73. Executaţi: b) (7x − 3)(4a + 5); c) (10z − 3)(4b + 9); a) (6a − 5)(2b + 3); d) (7y − 4)(4c + 5); e) (8x − 5)(2y + 9); f) (12z − 5)(5d + 2). 74. Executaţi: b) (8x − 3)(3a − 2); c) (12z − 5)(3b − 2); a) (3a − 5)(2b − 7); d) (8y − 3)(9c − 4); e) (9x − 4)(5y − 7); f) (15z − 4)(4d + 3). 75. Executaţi cu ajutorul unei formule: b) (8x + 3)(8x − 3); c) (12b + 5)(12b − 5); a) (2a + 5)(2a − 5); d) (5c + 7)(5c − 7); e) (6d + 5)(6d − 5); f) (10a + 7)(10a − 7). 76. Aplicând formula pătratului sumei, executaţi: a) (3a + 2)2 ; b) (4b + 3)2 ; c) (5c + 2)2 ; d) (6a + 5)2 ; e) (7a + 3)2. 77. Aplicând formula pătratului diferenţei, executaţi: a) (9a − 4)2 ; b) (3b − 2)2 ; c) (6c − 5)2 ; d) (7a − 2)2 ; e) (8a − 3)2. 78. Fie numărul real a. [a] = n dacă şi numai dacă a ∈ [n, n + 1). Aflaţi [a], dacă: a) a = 13,712; b) a = 28,17; c) a = 12 251; d) a = 3,1(28) ; e) a = 9,5(16). 79. Aflaţi [a], dacă: a) a = −7; b) a = 57; c) a = −11; d) a = 9; e) a = −12.

12

Cap. I. Recapitulare şi completări

80. Aflaţi [a], dacă: a) a = −8,3; b) a = −7,2; c) a = −11,5; d) a = −9,8; e) a = −0,4. 81. Aflaţi a − [a], dacă: a) a = 5,12; b) a = 42,51; c) a = 76,31; d) a = 29,43; e) a = 19,371. 82. Aflaţi a − [a], dacă: a) a = −2,37; b) a = −5,17; c) a = −1,62; d) a = −34,134; e) a = −0,642. 83. Aproximaţi prin adaos cu 0,1: a) 17 − 5; b) 19 − 5; c) 33 − 6; d) 47 − 7; e) 61 − 8. 84. Aproximaţi prin lipsă cu 0,01: a) 23 − 5; b) 26 − 6; c) 35 − 6; d) 41 − 7; e) 63 − 8. 85. Aproximaţi prin adaos cu 0,01: a) 15 − 17 ; b) 21 − 22 ; c) 35 − 37 ; d) 41 − 43 ; e) 63 − 65 . −

II −

86. Aflaţi mulţimile X cu card X = 3, astfel încât X ⊂ {− 2 , 3 , 5 , 7}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 87. Aflaţi numerele x şi y astfel încât {−5, −3, 12, 19, x} = {−5, y, −3, 4, 12}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 88. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale mulţimea A × B, dacă A = {−3, −1, 4} şi B = {−2, 3}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 89. Fie mulţimile A şi B. Aflaţi card A ∪ B şi card ((A ∪ B) × (A ∩ B)) dacă card A = 5, card B = 13 şi card A ∩ B = 3. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 90. Fie mulţimile A şi B. Aflaţi card A ∩ B şi card ((A ∪ B) × (A ∩ B)), dacă card A = 15, card B = 42 şi card A ∪ B = 50. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 91. Reprezentaţi sintetic mulţimile X şi Y care verifică relaţiile: X ∪ Y = {1, 2, 3, 5, 7, 8, 10, 15}, X ∩ Y = {5, 7}, X \ Y = {1, 2, 3}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 92. Aflaţi mulţimea tuturor submulţimilor mulţimii M = {−3, −2, 11}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 93. Aflaţi zecimala de rang 200 a numărului: a) −1,(2984235); b) −7,832(2157326). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 94. Decideţi fără să calculaţi în ce tip număr zecimal (cu număr finit de zecimale, număr zecimal periodic simplu, număr zecimal periodic mixt) se converteşte numărul: 1 1 1 1 ; b) − ; c) − ; d) − . a) − 125 512 156 41 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 95. Aflaţi numerele raţionale a şi b pentru care numărul a 3 − 2 − 7 3 + b 5 este număr raţional. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. Cap. I. Recapitulare şi completări

13

97. Explicitaţi modulul numărului: a) 3 7 − 4 5 ; b) 2 11 − 3 10 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 98. Rezolvaţi în R inecuaţia: a) 3x + 7 < 3(x − 1) + 5; b) 3x + 7 < 3(x − 1) + 5; c) 8x + 12 < 5(x − 2) + 15. 99. Rezolvaţi în R inecuaţia: b) 9(x + 4) − 21 < 5(x − 8) + 31. a) 2(x + 8) − 14 < 4(x − 3) + 19; 100. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii: ⎧3 x − 5 > 5 x + 12 ⎧8 x − 17 > 2 x − 9 a) ⎨ b) ⎨ ⎩12 x + 5 < 8 x − 15; ⎩15 x + 7 < 11x − 18. 101. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii: ⎧2( x − 2) − 13 ≤ 5(3 − x) + 21 ⎧5( x − 7) − 2 ≤ 7( 2 − x) + 8 a) ⎨ b) ⎨ ⎩3( x − 4) − 22 < 4(5 − x) − 7; ⎩9( x − 2) − 35 < 9(6 − x) − 16. 102. Rezolvaţi în R sistemul de inecuaţii: ⎧2 x − 9 > 4 x + 15 ⎧3 x − 18 > 8 x + 3 ⎪ ⎪ a) ⎨8 x − 15 ≤ 11x + 17 b) ⎨11x − 17 ≤ 4 x + 5 ⎪5 x + 24 < 9 x − 35; ⎪13 x + 9 < 6 x − 29. ⎩ ⎩ 103. Calculaţi media aritmetică a numerelor: a) 8,3 şi 12,7; b) a şi b. 104. Calculaţi media ponderată a numerelor: a) 12 cu ponderea 1,2 şi 15 cu ponderea 2; b) a cu ponderea 0,8 şi b cu ponderea 0,6. 105. Calculaţi media geometrică a numerelor: a) 2,4 şi 4,8; b) a şi b. 106. Calculaţi media armonică a numerelor: a) 8,2 şi 12,6; b) a şi b. 107. Reprezentaţi sintetic mulţimea numerelor întregi care împărţite la −58 dau câtul 39 şi împărţite la 56 dau câtul −41. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 108. Aflaţi câte numere naturale mai mici decât 2 000 se divid cu cel puţin unul dintre numerele: 3, 5, 7. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 109. Scrieţi ca interval mulţimea: b) {x ∈ R | | x − 13 | ≤ 38}. a) {x ∈ R | | x + 0,7 | ≤ 5}; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 110. Scrieţi ca interval mulţimea: b) {x ∈ R | | 3x − 7 | ≤ 23}. a) {x ∈ R | | 2x + 9 | ≤ 19}; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 111. Scrieţi cu ajutorul intervalelor mulţimea: b) {x ∈ R | | 3x | ≥ 17}. a) {x ∈ R | | x | ≥ 5}; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 112. Scrieţi cu ajutorul intervalelor mulţimea: b) {x ∈ R | | x − 11 | ≥ 45}. a) {x ∈ R | | x + 18 | ≥ 32}; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 112. Scrieţi cu ajutorul intervalelor mulţimea: b) {x ∈ R | | 7x − 6 | ≥ 19}; a) {x ∈ R | | 5x + 3 | ≥ 11};

14

Cap. I. Recapitulare şi completări

b) {x ∈ R | | 9x − 14 | > 34}. c) {x ∈ R | | 5x + 4 | > 18}; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. −

III −

113. Fie card A = 41, card B = 25, card C = 32, card A ∩ B = 10, card A ∩ C = 9, card B ∩ C = 7 şi card A ∩ B ∩ C = 5. Calculaţi card A ∪ B ∪ C. 114. Aflaţi x pentru care {2x + 3, 5x − 8, 4x + 3} = {6x − 7, 3x − 2, 3x + 2}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 115. Reprezentaţi sintetic mulţimea { 352 n MOD 10 | n ∈ N}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 116. O culegere de probleme are 256 de pagini. Câte cifre s-au folosit la numerotarea paginilor cărţii, dacă numerotarea începe cu 3. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 117. Pentru numerotarea paginilor unui dicţionar s-au folosit 3 431 de cifre. Câte pagini are cartea, dacă numerotarea începe cu pagina a 3-a? Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 118. Aflaţi zecimala de rang 3 650 a numărului: a) −7,12345...; b) −2,5455565758... Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 119. Fie numărul a = −8,71711173117... Descoperiţi succesiunea zecimalelor şi apoi decideţi dacă numărul a este raţional. 120. Aflaţi exponentul lui 7 din descompunerea în factori primi a numărului 2 500! Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 1 1 1 121. În ce număr zecimal se poate converti numărul + + , n ∈ N? n n +1 n + 2 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 122. Ordonaţi crescător numerele: a) m, n şi media aritmetică a numerelor m şi n; b) m, n şi media geometrică a numerelor m şi n; c) m, n şi media ponderată a numerelor m şi n cu ponderile 2 şi respectiv 3; c) m, n şi media armonică a numerelor m şi n. 7 213 123. Demonstraţi că: a) − 3,(7) = − 3 ; b) −5,2(15) = − 5 . 9 990 124. Fie intervalul (a, b), t ∈ (0, 1) şi x = at + (1 − t)b. Ordonaţi crescător numerele a, b, x. t −1 1 125. Fie intervalul (a, b), t ∈ (0, 1) şi x = ⋅ a + ⋅ b. Ordonaţi crescător numet t rele a, b, x. 1 t 126. Fie intervalul (a, b), t ∈ (0, 1) şi x = − ⋅a + ⋅ b. Ordonaţi crescător nu1− t 1− t merele a, b, x. 127. Cercetaţi dacă ecuaţia 5 x 2 − 6 y 2 = 4 are soluţii întregi. 128. Cercetaţi dacă există pătrate perfecte de forma 111...1. 129. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale mulţimea [−2, 3] × (−1, 4). Cap. I. Recapitulare şi completări

15

⎡9 x − 2 < 7(8 x − 3) ⎡3x − 7 < 2(3x − 5) 130. Rezolvaţi în R: a) ⎢ b) ⎢⎢8(2 x − 9) ≥ 3(6 x − 5) ⎣5(4 x − 1) ≥ 7(4 x − 13); ⎢⎣8(5 x − 9) < 2(16 x + 7). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. (−1) n 1 1 1 1 131. Cercetaţi dacă − + − + ... + , n ∈ N, este 2 3 4 5 n număr întreg. 132. Aflaţi următorii doi termeni ai şirului: 4, −3, −5, 0, 14. 133. Examinaţi desenul! Pătratele reţelei au laturile de 1. Aflaţi lungimile segmentelor reprezentate. 134. Calculaţi cât mai simplu: 1 1 1 1 1 + ...; b) 1 + + + + ... a) 1 + + 10 100 2 4 8 1 1 1 135. Cercetaţi dacă există numărul m astfel încât 1 + + + + ... < m. 2 3 4 136. Calculaţi suma tuturor „cifrelor “ primelor 10 000 de numere naturale. 137. Într-un tabel de 100 × 100 fiecare număr este media armonică a numerelor cu care se învecinează. Unul dintre numere este 5 11. Aflaţi celelalte numere din tabel. 138. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale mulţimea {(x, y) ∈ Z × Z | | x + 4 | + | y − 6 | = 5}. 139. Cercetaţi dacă există numere întregi x şi y pentru care (3x − 11) 2 784 + (7 y − 3)5 628 = 34 5787 8233. 140. Fie numărul întreg n. Notăm ordinul (numărul cifrelor) numărului n cu o(n). Aflaţi o((57 3 000 )).

Exerciţii suplimentare 141. Aflaţi restul împărţirii la 100 a numărului: a) 2 2 357 ; b) 5321 345. 142. Aflaţi restul împărţirii la 100 a numărului: a) 7 2 451; b) 2571 873. 143. Aflaţi restul împărţirii la 1 000 a numărului: a) 21 357 ; b) 1021 341. 144. Aflaţi restul împărţirii la 1 000 a numărului 114567. 145. Cu ajutorul simbolului sumei concentrate, scrieţi cât mai simplu: 1 1 1 1 1 1 1 b) + + + ... + n . a) 1 + + + ... + ; 2 3 n 2 4 8 2 146. Calculaţi cât mai simplu: n n 1 (3n + 2); b) . a) i =1 i = 1 n( n + 1)

∑

∑

147. Aflaţi câte numere mai mici decât 3 000 nu se divid cu nici unul dintre numerele 3, 5, 7.

16

Cap. I. Recapitulare şi completări

148. Aflaţi numărul numerelor naturale inferioare lui 24 şi relativ prime cu 24, ϕ(24). Comparaţi rezultatul cu numărul fracţiilor ireductibile subunitare, cu numitorul 24. 149. Aflaţi ϕ(720) şi comparaţi rezultatul cu numărul tuturor numerelor mai mici decât 720 care nu se divid cu nici unul dintre divizorii lui 720. 150. Cu ajutorul rezultatelor anterioare, verificaţi teorema lui Euler: n = a k b p ⇒ ⎛ 1 ⎞⎛ 1 ⎞ ϕ(n) = a k −1b p −1 (a − 1)(b − 1) = n ⎜1 − ⎟ ⎜1 − ⎟ . ⎝ a ⎠⎝ b ⎠ n −1 151. Fie a = 2 − 1. Controlaţi pentru care dintre valorile lui n: 3, 4, 5, 6, 7, este adevărată propoziţia: n divide a. 152. (Wilson) Fie a = (n − 1)! + 1. Controlaţi pentru care dintre valorile lui n: 3, 4, 5, 6, 7, este adevărată propoziţia: n divide a dacă şi numai dacă n este număr prim. 153. Fie a = 2 n − 2 (2 n − 1). Cercetaţi pentru care dintre valorile lui n: 2, 3, 4, 5, numărul a este perfect. 154. Scrieţi sub formă de fracţie continuă numerele raţionale: a) 5,27; b) 3,(7); c) 6,2(5). 155. Scrieţi sub formă de fracţie continuă numerele iraţionale: a) 5 ; b) 7 ; c) 10 ; d) 11. 1+ 5 156. Scrieţi sub formă de fracţie continuă numărul de aur, ϕ = . 2 157. Scrieţi cât mai simplu: 1 1 b) 2 + a) 3 + ; . 1 1 5+ 6+ 1 1 2+ 6+ 1 6 + ... 4+ 8 158. Dezvoltaţi scrierea: a) [3; 1, 7, 8]; b) [11; (4)]; c) [9; (2, 3)]. 159. Fie [2; 1, 9, 8], [5; 4, 3, 1, 7, ...], [14; (5)], [10; 4, 7, 2], [9; (3, 8)]. Identificaţi din listă numerele: a) raţionale; b) numerele iraţionale; c) numerele transcendente. 160. Controlaţi conjectura lui Goldbach pentru numerele naturale 21, 22, ..., 30. 161. (Euclid) Demonstraţi că există o infinitate de numere prime. 162. Demonstraţi că numărul 15 nu este raţional. 163. (Fermat) Fie p = 3. Controlaţi dacă pentru a număr natural par, 3 < a < 9, p divide a p −1 − 1.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Un număr care … se numeşte număr raţional. 2. Un număr raţional poate fi convertit în număr zecimal … 3. Un număr care … se numeşte număr iraţional. 4. Un număr zecimal … este un număr iraţional. 5. a) [c, d] = …; b) [m, n) = ... 6. (m − n)(m + n) = ... Cap. I. Recapitulare şi completări

17

7. a) (c + d ) 2 = ...; b) (m − c) 2 = ... 8. {x ∈ R | | x | ≤ a, a > 0} = ... 9. {x ∈ R | | x | ≥ b, a > 0} = ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 15 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Convertiţi în fracţie numărul: 1. Convertiţi în fracţie numărul: a) −3,(37); b) −5,3(42). a) −8,(23); b) −9,1(72). 2. Aproximaţi cu 0,01: a) prin lipsă 2. Aproximaţi cu 0,01: a) prin lipsă 4,3762; b) prin adaos 2,5193. 6,328; b) prin adaos 4,1732. 3. Enumeraţi numerele raţionale din 3. Enumeraţi numerele raţionale din lista: −1,00452452245222..., −7,2(178), lista: −3,00123112311123..., −8,3(253), − 16 , − 4,9 , 3,891, −13,69(2). − 2,5 , − 81, 6,518, −14,26(7). 4. Scrieţi ca interval mulţimea 4. Scrieţi ca interval mulţimea {x ∈ R | | x | ≤ 3,(2)}. {x ∈ R | | x | ≤ 4,(5)}. 5. Scrieţi cât mai simplu mulţimea A 5. Scrieţi cât mai simplu mulţimea A ∩ B pentru: ∩ B pentru: a) A = [−7, 12] şi B = [−3, 18]; a) A = [−9, 15] şi B = [−8, 24]; b) A = [−5, 26) şi B = [−1, 45). b) A = [−7, 38) şi B = [−2, 68). 6. Aproximaţi cu 0,01: 6. Aproximaţi cu 0,01: a) prin lipsă 37 − 6; a) prin lipsă 63 − 8; b) prin adaos 79 − 9. b) prin adaos 82 − 9. 7. Aflaţi zecimala de rang 250 a nu7. Aflaţi zecimala de rang 250 a numărului: mărului: a) −12,(19738); b) −32,12(8234). a) −23,(31429); b) −19,46(7315). 8. Scrieţi cu ajutorul intervalelor: 8. Scrieţi cu ajutorul intervalelor: a) {x ∈ R | | 2x + 5 | ≤ 14}; a) {x ∈ R | | 3x + 2 | ≤ 27}; ⎧13 x − 22 > 3x − 4 ⎧25 x − 11 > 4 x − 9 b) ⎨ b) ⎨ ⎩16 x + 9 < 15 x − 31. ⎩33 x + 7 < 24 x − 26. 9. Scrieţi cu ajutorul intervalelor: 9. Scrieţi cu ajutorul intervalelor: a) {x ∈ R | | 6x − 5 | ≥ 9}; a) {x ∈ R | | 9x − 2 | ≥ 4}; ⎡17 x − 45 > 2 x − 9 ⎡13 x − 28 > 4 x − 11 b) ⎢ b) ⎢ ⎣34 x + 11 < 3x − 24. ⎣35 x + 12 < 5 x − 13. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 40 minute.

Un leneş mergea şi se plângea că nu îi ajung banii. La capătul unui pod îi sare în faţă cu dracul. „Vrei să faci rost de nişte bani?“ „Da!“ „Uite cum facem, de câte ori treci podul suma de bani pe care o ai se dublează şi îmi dai mie 56 lei.“ „De acord!“ Leneşul trece de trei ori podul şi rămâne fără bani. Ce sumă de bani a avut leneşul iniţial? 18

Cap. I. Recapitulare şi completări

Capitolul II. Puteri şi radicali Operaţii cu numere reale. Adunarea şi înmulţirea numerelor reale au proprietăţile adunării şi înmulţirii numerelor întregi. Adunarea: 1) este asociativă; 2) are 0 element neutru; 3) pentru fiecare număr real a există opusul său −a, astfel încât a + (−a) = 0; 4) este comutativă. Înmulţirea: 1) este asociativă; 2) are 1 element neutru; 3) ori1 ce număr real nenul a are un invers = a −1 , astfel încât a 1 a⋅ = 1; 4) este comutativă; 5) este distributivă faţă de a adunare. Reprezentarea radicalilor. Aplicând teorema lui Pitagora, se pot reprezenta segmente de lungimi 2 , 3 etc. când se dă un segment de lungime 1 (v. reprezentarea geometrică). Puteri întregi ale numerelor reale. 1) 1m = 1 pentru orice număr întreg m. 2) 0 m ⎧− 1, dacă m este număr impar = 0 pentru orice număr întreg nenul m. 3) (−1) m = ⎨ ⎩ 1, dacă m este număr par. 4) Dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k⋅a m = a k + m. 5) Dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k : a m = a k – m. În particular, a 0 = 1. 6) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci (ab) m = a mb m . 7) Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci (a : b) m = a m : b m .

⎧− 1, dacă x < 0 1 ⎪ −n 8) n = a pentru orice număr întreg n. Sgn x = ⎨ 0, dacă x = 0 a ⎪ 1, dacă x > 0. ⎩ 0 Atenţie! 0 nu are sens. Radicali. Fie numărul nenegativ a. Rădăcina pătrată a numărului a sau radicalul de ordinul 2 din a este numărul nenegativ b al cărui pătrat este a. Se scrie b = a . Pentru orice a ≥ 0, ( a ) 2 = a. Rădăcina pătrată a unui număr nenegativ se află prin extragerea rădăcinii pătrate. Prin extragerea rădăcinii pătrate cu o zecimală exactă se aproximează rădăcina pătrată prin lipsă cu 0,1, iar prin extragerea rădăcinii pătrate cu două zecimale exacte se aproximează rădăcina pătrată prin lipsă cu 0,01. Formule de calcul cu radicali. Dacă a ≥ 0, b ≥ 0, atunci: 1) ab = a ⋅ b ; a a 2) pentru b ≠ 0, = ; 3) a 2b = a b . În general, dacă b ≥ 0, atunci: b b

a 2b = | a | b ; a b = sgn a⋅ a 2b . Formulele radicalilor compuşi.

a− b =

a+ b =

a + a2 − b a − a2 − b , iar + 2 2

a + a2 − b a − a2 − b . Ele se aplică dacă a 2 − b = c 2 . − 2 2

Cap. II. Puteri şi radicali

19

Raţionalizarea numitorilor unor rapoarte. Dacă numitorul unui raport este de forma: a − b , atunci după amplificarea lui cu a + b se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b; a + b , atunci după amplificarea lui cu a − b se obţine un raport egal cu el, al cărui numitor este a − b. Suplimentar. Rădăcinile polinoamelor cu coeficienţi raţionali sunt numere algebrice. Numerele reale care nu sunt algebrice se numesc transcendente. În 1844 Joseph Liouville (1809−1882) a demonstrat că există numere transcendente. Numerele tranA A A A scendente ale lui Liouville sunt de forma + 2 + 6 + ... + n! + ..., unde A 10 10 10 10 este un număr real nenul. În 1882 C.L.F. Lindemann (1852−1939) a demonstrat că π este un număr transcendent. AC AB . Valoarea rapoartelor este egală cu numărul = Fie C ∈ [AB] astfel încât BC AC 1+ 5 de aur ϕ = = 1,6180339... 2

1. Puteri cu exponent întreg −

I−

1. Enumeraţi baza şi exponentul puterii: a) (−2,5)5; b) (−7,(3))4; c) (−12,8(12))6; d) (−34,11)7. 2. Enumeraţi baza şi exponentul puterii: a) (−23,17(15))−3; b) (−234,3)−2; c) (456,8(29))−5; d) (276,11)−8. 3. Enumeraţi baza şi exponentul puterii: 11

19

18

56

⎛ 3⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 5 ⎞ ⎛ 29 ⎞ a) ⎜ − ⎟ ; b) ⎜ − ⎟ ; c) ⎜ − ⎟ ; d) ⎜ − ⎟ . 17 23 29 ⎠ ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎝ 31 ⎠ 4. Calculaţi: a) (−1)157; b) (−1)279; c) (−1)589; d) (−1)381; e) (−1)693; f) (−1)865. 5. Calculaţi: a) (−1)236; b) (−1)328; c) (−1)884; d) (−1)772; e) (−1)196; f) (−1)994. 6. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, calculaţi: a) (−1) 235 ⋅ ( −1)346 ; b) (−1)826 ⋅ (−1)117 ; c) (−1) 339 ⋅ (−1) 442 ; d) (−1) 763 ⋅ (−1) 688 . 7. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, calculaţi: a) (−1)123 ⋅ (−1)543 ; b) (−1) 619 ⋅ (−1)871; c) (−1)533 ⋅ (−1)117 ; d) (−1)961 ⋅ (−1)995 . 8. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) 782,1; b) 381,5; c) 991,6; d) 183,51; e) 945,12; f) 624,17. 9. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) −26,(197); b) −18,3(14); c) −73,9(26); d) −154,(56); e) −284,(41). 10. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) (−1,32)73; b) (−71,(49))591; c) (−58,(148))81; d) (−91,816)701. 11. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) (−8,94)86; b) (−52,(65))96; c) (−63,(204))36; d) (−108,751)916. 20

Cap. II. Puteri şi radicali

12. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) (−5) 673 ⋅ (−7)834 ; b) (−3)381 ⋅ (−5) 236 ; c) (−9)344 ⋅ (−8)873 ; d) (−10)346 ⋅ (−6)899 . 13. Aflaţi sgn x, dacă x este: a) (−2) 281 ⋅ (−5)911; b) (−7)541 ⋅ (−9) 653 ; c) (−9)344 ⋅ (−8)873 ; d) (−15) 775 ⋅ (−13) 331. 14. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere: b) 3,717 ⋅ 3,7 23 ⋅ 3,7 46 ; c) 5,918 ⋅ 5,9 23 ⋅ 5,9 47 ; a) 2,4 4 ⋅ 2,417 ⋅ 2,431 ;

d) 8,216 ⋅ 8,232 ⋅ 8,287 ; e) 7,338 ⋅ 7,345 ⋅ 7,363 ; f) 4,688 ⋅ 4,631 ⋅ 4,668. 15. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, aduceţi la forma cea mai simplă: b) (−1,9) 25 ⋅ (−1,9) 43 ⋅ (−1,9) 67 ; a) (−3,6)13 ⋅ (−3,6)56 ⋅ (−3,6)32 ; c) (−2,4) 78 ⋅ (−2,4) 48 ⋅ (−2,4)81; d) (−4,5)103 ⋅ (−4,5) 481 ⋅ ( −4,5) 235 . 16. Aplicând împărţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere: b) 3,4105 : 3,426 : 3,438 ; c) 2,8206 : 2,872 : 2,848 ; a) 1,592 : 1,534 : 1,513 ; d) 4,7108 : 4,7 65 : 4,716 ; e) 6,9307 : 6,9124 : 6,9131; f) 5,3452 : 5,3136 : 5,3152. 17. Aplicând împărţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere: a) 8,1299 : (−8,1)113 : 8,129 ; b) 7,4341 : (−7,4) 253 : 7,454 ; c) 9,3537 : ( −9,3)383 : 9,3106 ; d) 6,2845 : ( −6,2) 427 : 6,2 231. 18. Scrieţi ca raport: a) 3,(41) : (−23,12); b) 12,(34) : (−51,35); c) 75,(46) : (−68,13). 19. Scrieţi rezultatul simplificării raportului ca putere: 13,559 7,1898 6,17 74 5,28102 3,16127 4,24137 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . a) 13,532 7,1842 6,17 41 5,2881 3,16 45 4,24112 20. Scrieţi rezultatul simplificării raportului ca putere: 9,13121 42,1215 7,27183 8,95642 2,53452 34,6 246 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . 9,13185 42,1283 7,27 245 8,95741 2,53526 34,6318 21. Scrieţi ca putere întreagă: 1 1 1 1 1 1 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . 723 472 382 154 523 4,18 2,35 8,27 52,9528 96,3 7,12 22. Scrieţi ca putere inversul numărului: a) (−3,92)37; b) (−41,(38))81; c) (−54,(183))77; d) (−309,751)831. 23. Scrieţi ca putere inversul numărului: 1 1 1 1 1 1 a) ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . 384 882 217 335 456 31,8 46,4 85,3 15,1 24,6 60,4671 24. Scrieţi inversul numărului: 3,4 24 6,7 65 8,671 2,739 1,2538 9,46331 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . a) 4,1532 5,2378 69,154 15,1335 34,4153 7,32 226 25. Scrieţi inversul numărului: a) 47,3−345 ; b) 7,18 −197 ; c) 5,19 −276 ; d) 68,2 −921 ; e) 9,34 −710 ; f) 10,4 −375. 26. Efectuaţi: a) 2a 3 x15 ⋅ 3a11 x19 ; b) 6a17 x 21 ⋅ 2a18 x 34 ; Cap. II. Puteri şi radicali

21

d) 8a 5 x 73 ⋅ 5a 6 x 92 . c) 7 a 22 x81 ⋅ 4a 26 x 52 ; 27. Efectuaţi: a) 8 X 15 ⋅ (−7 X 75 ); b) − 9 X 85 ⋅ (−5 X 38 ); c) 6 X 92 ⋅ ( −9 X 86 ); d) 4 X 61 ⋅ (−11X 95 ). 28. Efectuaţi: b) y15 ⋅ y 38 ⋅ y −52 ⋅ y 8 ; c) a14 ⋅ a 29 ⋅ a −52 ⋅ a 23 . a) x 3 ⋅ x 25 ⋅ x −33 ⋅ x 7 ; 29. Efectuaţi: a) ( x 4 y12 ) 25 ⋅ ( x 8 y −13 )16 ; b) ( x16 y 21 )18 ⋅ ( x11 y −8 )17 ; c) ( x 24 y −18 ) 22 ⋅ ( x 35 y19 ) −27 . 30. Aduceţi la forma cea mai simplă: 48 x14 y 45 96 x 47 y 31 65 x 85 y 52 104 x 63 y126 b) c) d) a) ; ; ; . 32 x19 y 37 45 x 52 y 44 13 x 64 y 45 78 x 75 y115 31. Utilizând puterile cu exponent negativ, aduceţi la forma cea mai simplă: 12 x 3 y19 24 x 8 y 64 56 x 28 y 54 72 x 45 y 96 b) c) d) a) ; ; ; . 4 x 5 y15 12 x 6 y 76 14 x 21 y 73 24 x 56 y 61 32. Scrieţi ca putere întreagă: b) a lui 5 numărul 12518 ⋅ 0,00163 ; a) a lui 2 numărul 825 ⋅ 0,06252 ; d) a lui 6 numărul 1 29616 ⋅ 0,004(629)9 . c) a lui 3 numărul 8124 ⋅ 0,0(370) 7 ; 33. Calculaţi: a) (−1) 6 n −1 , n ∈ N; b) (−1) 4 n − 3 , n ∈ N; c) (−1)8 n − 5 , n ∈ N; d) (−1) 6 n −1 , n ∈ N; e) (−1) 2 n − 7 , n ∈ N; f) (−1)10 n − 7 , n ∈ N. 34. Scrieţi folosind numai puteri cu exponenţi numere naturale: b) 9 −9 a −7 b 9 c −3 ; c) 8−5 a −2b 6 c −7 ; d) 13−14 a14b −76c −13 . a) 7 −3 a −3b5c −8 ; 35. Aflaţi numărul x pentru care: b) 729 −3 = 3 x ; c) 512 −4 = 2 x ; a) 256 −2 = 2 x ; d) 625−3 = 5 x ;

e) 216 −4 = 6 x ; −

f) 343−5 = 7 x.

II −

36. Folosind numai puteri cu exponenţi numere naturale, aduceţi la forma cea mai simplă: a) (a 3b −5c 8 ) −5 : (a −19b 29c12 ) −5 ; b) [(a 23b −29c 46 ) −11 ]5 : [(a −35b56c89 ) −15 ]7 . 37. Calculaţi: −3

2

⎛3⎞ ⎛4⎞ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ −1 −3 7 0 3 ⋅3 − 7 7⎠ 4⎠ ⎛ 1 ⎞ −4 −7 −3 −9 ⎝ ⎝ a) ; b) ; c) [(6 5 ) ] : [(6 5 ) ] − ⎜ ⎟ . 0,4 −1 0,5−4 ⎝6 5⎠ −7

3

⎛2⎞ ⎛ 9⎞ 52 − ⎜ ⎟ : ⎜ − ⎟ ⎝ 3 ⎠ ⎝ 8 ⎠ , m ∈ N. 38. Calculaţi −2 ⎛ 1⎞ 4m − 7 ⎜ − ⎟ − (−1) 6 ⎠ ⎝ 22

Cap. II. Puteri şi radicali

39. Aflaţi numărul raţional x pentru care: a) 216 −7 = 36 x ; b) 125−8 = 6254 x. 40. Aflaţi mulţimea numerelor reale x pentru care: b) | x − 7 | = 7 − x. a) | x − 5 | = x − 5 ; 41. Aflaţi numerele reale x, y, z pentru care | x − 3 11 | + | 2 y − 6 | + | 3z − 5 | = 0. −

III −

42. Calculaţi (−1) n ( n −1) − (−1) 7 m ( m −1) + (−1)3n − 2 ⋅ 2, n ∈ N, m ∈ N. 43. a) Calculaţi cât mai simplu 2 + 2 2 + 23 + ... + 2 2 003. b) Aflaţi într-un mod asemănător 3 + 32 + 33 + ... + 32 003. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Procedând ca la rezolvarea exerciţiului 43 b), calculaţi n + n 2 + n 3 + ... + n 2 003 . 45. Calculaţi cât mai simplu: 1 1 1 1 1 1 1 1 a) + 2 + 3 + ... + 2 004 ; b) + 2 + 3 + ... + 2 004 . 5 5 2 2 5 5 2 2 −300 −200 −201 −101 46. Comparaţi numerele: a) 2 şi 3 ; b) 100 şi 200 . 47. Calculaţi: 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + + + ... + + + . 2 002 2 003 2 004 1 + 2 −1 3 1 + 2 003−1 1 + 2 002 −1 1 + 2 001−1 48. Aflaţi ecuaţia de grad minim care are coeficienţi raţionali şi are o soluţie 3 + 2. 1+ 5 49. Fie numărul de aur ϕ = . 2 a) Aflaţi ecuaţia de grad minim care are ca soluţie numărul de aur. b) Ce relaţie există între ϕ 2 şi ϕ + 1?

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, aduceţi la forma cea mai simplă (−1,5) 41 ⋅ ( −1,5) 74 ⋅ (−1,5)109 . 2. Aplicând împărţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere 2,378 : 2,342 : 2,325. 1 3. Scrieţi ca putere întreagă . 38,2638 4. Scrieţi ca putere inversul număru1 lui: a) (−5,24)64; b) . 45,2 426 5. Efectuaţi: a) 5a 9 x 74 ⋅ 12a 31 x 65 ; Cap. II. Puteri şi radicali

1. Aplicând înmulţirea puterilor cu aceeaşi bază, aduceţi la forma cea mai simplă (−7,1) 37 ⋅ (−7,1)94 ⋅ ( −7,1) 56 . 2. Aplicând împărţirea puterilor cu aceeaşi bază, scrieţi ca putere 6,4148 : 6,472 : 6,451. 1 3. Scrieţi ca putere întreagă . 76,2552 4. Scrieţi ca putere inversul număru1 lui: a) (−9,38)137; b) . 6,37 518 5. Efectuaţi: a) 6a11 x82 ⋅13a 49 x 56 ;

23

b) c 25 ⋅ c 53 ⋅ c −73 ⋅ c −58 . b) b12 ⋅ b 28 ⋅ b −51 ⋅ b −26 . 6. Aflaţi opusul inversului număru6. Aflaţi opusul inversului numărului: 1 1 lui: a) (−91,2)39; b) a) (−87,4)57; b) . . 518 28,4 7,38725 7. Folosind numai puteri cu expo7. Folosind numai puteri cu exponenţi nenţi numere naturale, aduceţi la forma numere naturale, aduceţi la forma cea cea mai simplă mai simplă (a 8b −9c 5 ) −7 : (a −34b 41c16 ) −3 . (a13b −7 c 4 ) −6 : (a −26b53c 21 ) −4 . 8. Aflaţi numărul raţional x pentru 8. Aflaţi numărul raţional x pentru −9 x −5 7x care: a) 512 = 16 ; b) 243 = 81 . care: a) 256 −12 = 64 x ; b) 729 −4 = 2435 x. 9. Calculaţi cât mai simplu 9. Calculaţi cât mai simplu 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + ... + 2 002 . + + + ... + 2 001 . 7 7 2 73 6 6 2 63 7 6 Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

2. Radicali −

I−

c) 146 2 ;

d)

1. Eliminaţi radicalul:

a) 1352 ; b) 1312 ; 2. Eliminaţi radicalul: a) 34,7 6 ; b) 6,354 ; 3. Eliminaţi radicalul:

c)

4,268 ;

a) (−2,15) 2 ; b) (−7,23) 2 ; c) 4. Eliminaţi radicalul: a) (−34,1) 4 ; b) (−42,3) 4 ; c) 5. Eliminaţi radicalul: a) (−11,6) 6 ; b) (−21,7)10 ; c) 6. Scrieţi cât mai simplu: 9 24 57 a) 1 ; b) 1 ; c) 1 ; 16 25 64 7. Aplicând algoritmul de extragere a calculaţi cu o zecimală exactă: a) 71; b) 57 ; c) 85 ; d) 8. Aplicând algoritmul de extragere a calculaţi cu o zecimală exactă : a) 34,1; b) 46,7 ; c) 93,2 ; 9. Aplicând algoritmul de extragere a 24

459 2 ; d)

e)

59,712 ;

6112 ;

f) 422 2 .

e) 1,4510 ;

f) 2,928 .

(−81,5) 2 ; d)

(−94,1) 2 ; e)

(−59,3) 2 .

(−56,7) 4 ; d)

(−5,62)8 ; e)

(−88,1)32 .

(−33,2)14 ; d)

(−56,6)18 ; e)

(−78,4) 26 .

19 25 27 ; e) 1 ; f) 1 . 81 144 169 rădăcinii pătrate (radicalului de ordinul doi), d) 1

95 ; e) 102 ; f) 123. rădăcinii pătrate (radicalului de ordinul doi), d) 71,3; e) 68,1; f) 49,4 . rădăcinii pătrate (radicalului de ordinul doi), Cap. II. Puteri şi radicali

calculaţi cu două zecimale exactă : a) 35 ; b) 45 ; c) 79 ; d) 91; e) 105 ; f) 114 . 10. Aplicând algoritmul de extragere a rădăcinii pătrate (radicalului de ordinul doi), calculaţi cu două zecimale exactă : a) 13,4 ; b) 17,8 ; c) 47,2 ; d) 89,9 ; e) 94,6 ; f) 195,8 . 11. Aflaţi numerele reale x pentru care există: a) x − 7,9 ; b) x − 3,8 ; c) x + 9,4 ; d) x + 13,7 ; e) x − 39,4 . 12. Aflaţi numerele reale x pentru care există: a) 3x + 5 ; b) 4 x − 15 ; c) 6 x − 17 ; d) 8 x + 52,8 ; e) 5 x − 38,6 . 13. Aflaţi numerele reale x pentru care există: a) (5 x + 2,7) 6 ; b) (7 x + 5,8)10 ; c) (9 x + 6,2)14 ; 14. Aflaţi numerele reale x pentru care există:

d)

(2,7 x + 16)18 .

a) (3x − 2,3)11 ; b) 15. Eliminaţi radicalul: a) (1,4 x − 9) 2 ; b) 16. Eliminaţi radicalul: a) (6 x + 7,9)8 ; b) 17. Eliminaţi radicalul:

(9 x + 4,6)13 ;

c)

(6 x − 8,7)17 ;

d)

(5 x + 24,1)39 .

(5,2 x − 7) 2 ;

c)

(7,6 x − 8) 2 ;

d)

(3,9 x − 15) 2 .

(7 x − 2,3) 4 ;

c)

(5 x − 5,6)16 ;

d)

(8 x − 23,7) 20 .

c)

(4,9 x − 23) 22 ; d)

(5,9 x − 44) 26 .

a) (4,7 x + 14)10 ; b) (3,1x − 15) 6 ; 18. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 3,8 17 − 13 17 + 13,5 17 ; c) 15,9 23 − 28 23 + 8,3 23 ; 19. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 8 5 − 6 7 + 11 5 + 11 7 ; c) 18 2 − 9 14 + 29 2 − 35 14 ; 20. Scoateţi factori de sub radical: a) 156 ; b) 448 ; c) 656 ; d) 21. Scoateţi factori de sub radical: a) 5a 2 ; b) 6 x 2 ; c) 11c 2 ; 22. Scoateţi factori de sub radical: a) 2 x 4 ; b) 3 y 8 ; c) 15d 20 ; 23. Scoateţi factori de sub radical:

b) 4 15 − 24,2 15 + 17,4 15 ; d) 32,4 41 − 51 41 + 15,2 41. b) 15 3 − 28 11 − 27 3 + 59 11; d) 71 13 − 16 14 − 95 31 + 43 14 . 728 ;

d)

2 x 26 , x > 0;

b)

7 y2 ;

d)

5a 2 , a > 0;

e) 7b 38 , b > 0; d) 2 z 6 , z > 0; 25. Scoateţi factori de sub radical: Cap. II. Puteri şi radicali

864 ;

f)

e) 13d 2 ;

d) 14c 24 ;

a) 12 x 6 ; b) 18 y10 ; c) 20d 22 ; 24. Scoateţi factori de sub radical: a)

e)

8c10 ;

968 . f) 17 z 2 .

e) 19 z16 ;

f) 19 z12 .

e)

50 z 30 ;

c)

3 y18 , y > 0;

f)

28 z14 .

f) 13c10 , c > 0.

25

a)

32 x10 , x < 0;

b)

72a 42 , a < 0;

e) 45b 70 , b < 0; d) 75 z14 , z < 0; 26. Introduceţi factori sub radical: a) 14 5 ; b) 15 6 ; c) 16 7 ; d) 18 3; e) 19 27. Introduceţi factori sub radical: a) − 22 7 ; b) − 23 5 ; c) − 25 6 ; d) − 24 10 ; 28. Introduceţi factori sub radical: a) 2a 2 11; b) 3b 6 13 ; c) 4c 8 7 ; d) 5 x10 2 ; 29. Introduceţi factori sub radical: a) x 3 15 , x < 0; b) a 19 , a < 0;

c)

98 y 6 , y < 0;

f)

80c 74 , c < 0.

2;

f) 21 11.

e) − 26 11; f) − 27 14 . e) 6 y12 5 ; f) 7 z14 6 . c) y 7 23 , y < 0;

e) b13 21, b < 0; f) c15 26 , c < 0. d) z11 26 , z < 0; 30. Aflaţi n ∈ N astfel încât: a) n < 231 < n + 1; b) n < 137 < n + 1; c) n < 213 < n + 1; d) n < 437 < n + 1; e) n < 527 < n + 1; f) n < 638 < n + 1. 31. Comparaţi numerele: a) 5 7 şi 8 3; b) 7 11 şi 8 6 ; c) 6 14 şi 4 15 ; d) 11 3 şi 8 5 ; e) 16 2 şi 12 3 ; f) 17 5 şi 22 3. 32. Ordonaţi crescător numerele: a) 3 11, 4 2 şi 5 3; b) 4 13 , 8 3 şi 6 5 ; d) 15 6 , 11 13 şi 17 5 . c) 9 6 , 13 2 şi 11 3; 33. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 72 − 180 ; b) 45 − 320 ; c) 98 − 162 ; e) 160 − 810 ; f) 176 − 275 . d) 63 − 448 ; 34. Executaţi: a) 3 ( 11 + 7 ); b) 5 ( 6 + 13 ); c) 7 ( 5 + 11); d) 13 ( 3 + 10 ); 35. Executaţi: a) 3 ( 33 − 17 );

e) 11( 13 + 7 ); b)

5 ( 65 − 14 );

f) 17 ( 51 − 15 ). c)

7 ( 35 − 39 );

d) 11( 55 − 10 ); 36. Executaţi: a) 2 3 (3 7 + 5 11);

e) 13 ( 39 − 11);

f) 14 ( 11 − 5 ).

b) 5 7 (2 11 + 4 3 );

c) 8 2 (4 3 + 9 13 );

d) 4 11(2 6 + 7 5 ); 37. Executaţi: a) ( 15 − 2 6 ) : 3;

e) 9 5 (7 3 + 4 11);

f) 3 6 (8 5 + 3 7 ).

b) (3 15 − 10 ) : 5 ;

c) (6 14 − 21) : 7 ;

e) (2 33 − 55 ) : 11; f) (8 39 − 65 ) : 13. d) (8 30 − 35 ) : 5 ; 38. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) ( 15 + 19 )( 15 − 19 ); b) ( 17 + 15 )( 17 − 15 ); 26

Cap. II. Puteri şi radicali

c) ( 17 + 19 )( 17 − 19 );

d) ( 21 + 19 )( 21 − 19 );

f) ( 23 + 26 )( 23 − 26 ). e) ( 22 + 19 )( 22 − 19 ); 39. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) (7 5 + 21)(7 5 − 21); b) (8 6 + 23 )(8 6 − 23 ); c) (9 7 + 26 )(9 7 − 26 );

d) 11 5 + 29 )(11 5 − 29 );

f) (9 13 + 34 )(9 13 − 34 ). e) (8 11 + 31)(8 711 − 31); 40. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) ( 5 + 11) 2 ; b) ( 3 + 13 ) 2 ; c) ( 6 + 11) 2 ; d) ( 7 + 11) 2 ; e) ( 11 + 13 ) 2 ; f) ( 15 + 11) 2 ; g) ( 17 + 15 ) 2 ; h) ( 19 + 10 ) 2 . 41. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: a) ( 13 − 11) 2 ; b) ( 11 − 10 ) 2 ; c) ( 13 − 10 ) 2 ; d) ( 15 − 11) 2 ; e) ( 17 − 13 ) 2 ; f) ( 19 − 11) 2 ; g) ( 23 − 15 ) 2 ; h) ( 26 − 17 ) 2 . 42. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: b) (7 2 + 9 5 ) 2 ; c) (11 3 + 6 5 ) 2 ; a) (4 3 + 2 11) 2 ; d) (13 7 + 2 5 ) 2 ; e) (6 7 + 5 3 ) 2 ; 43. Efectuaţi aplicând o formulă de calcul: b) (6 5 − 7 2 ) 2 ; a) (5 3 − 2 7 ) 2 ;

f) (14 5 + 3 2 ) 2 . c) (8 3 − 5 7 ) 2 ;

d) (11 2 − 3 5 ) 2 ; e) (13 2 − 7 3 ) 2 ; f) (15 3 − 11 7 ) 2 . 44. Raţionalizaţi numitorul raportului: 4 3 7 6 5 11 8 13 19 7 18 13 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . a) 7 5 17 23 10 19 45. Raţionalizaţi numitorul raportului: 11 2 7 3 4 7 12 15 8 17 9 13 ; b) ; c) ; d) ; e) ; f) . a) 5 11 8 13 2 6 11 17 7 19 2 14 −

II −

46. Eliminaţi radicalul: a) (3 5 − 2 11) 2 ; b) Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

(3 7 − 4 5 ) 2 .

47. Scoateţi factori de sub radical: a) 8(5 3 − 2 13 ) 6 ; b) Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 48. Aflaţi numerele reale x pentru care:

27(7 2 − 6 3 )10 .

a) 13(5 x − 3 11)14 = (5 x − 3 11) 7 13. b) 2(2 x − 7 5 ) 22 = (7 5 − 2 x)11 2 . 49. Scoateţi factori de sub radical: a) 56(3 x − 1) 6 , dacă x ≥ 0,(3); b) 156(5 x − 3) 6 , dacă x ≤ 0,6. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. Cap. II. Puteri şi radicali

27

50. Scoateţi factori de sub radical: a) 3,68(3x − 1) 3 ; b) Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

48(2 x − 5) 7 .

3

5

⎛ x− 5 ⎞ ⎛ 3x − 2 7 ⎞ ⎟⎟ ; b) ⎜⎜ ⎟⎟ . 51. Scoateţi factori de sub radical: a) ⎜⎜ ⎝ x+2 3⎠ ⎝ 5x + 6 2 ⎠ Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 52. Aduceţi la forma cea mai simplă 3 2 − 2 3 ⋅ 3 2 + 2 3 ⋅ 6 3 −7 2 ⋅ 6 3 + 7 2. 53. Scrieţi cât mai simplu inversul numărului: a) 5 ; b) 7 3; c) 1− 11; d) 3 − 2 7 ; e) 3 2 − 5 3. 54. Aflaţi un număr x pentru care: b) 5x 8 ∈ Q; c) (8 + 5 ) x ∈ Q; a) x 17 ∈ Q;

d) (2 13 + 5 ) x ∈ Q; e) (6 5 − 3 7 ) x ∈ Q. 55. Raţionalizaţi numitorul raportului: 2 5 4 2 15 + 2 a) ; b) ; c) ; d) . 1− 7 3+ 2 6 3 11 − 5 2 3 −7 2 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 56. Reproduceţi şi completaţi: a) 7 + 2 10 = ( ... + ... ) 2 ; b) 10 − 2 21 = ( ... − ... ) 2 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 57. Ordonaţi crescător numerele 27, 15 şi mediile lor: aritmetică, geometrică şi armonică. −

III −

58. Aflaţi numerele reale x pentru care (3x − 17) 2 + (3x − 15) 2 = 32. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 59. Aflaţi numerele reale x pentru care ( x − 15 ) 2 + ( x − 3 3 ) 2 = 3 3 − 15 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 60. Aflaţi numerele reale x pentru care ( x + 15) 2 − ( x − 11) 2 = 4. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 61. Aflaţi numerele reale x pentru care

( x − 3 ) 2 + (2 x + 5 3 ) 2 + (3x − 2 3 ) 2 = 6 3. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 62. Demonstraţi formula: a)

a+ b =

a + a2 − b a − a2 − b + ; 2 2

a + a2 − b a − a2 − b − . 2 2 63. Reproduceţi şi completaţi 8 + 55 = ( ... + ... ) 2 . b)

28

a− b =

Cap. II. Puteri şi radicali

64. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 7 − 2 10 + 13 − 2 40 + ... + 181 − 2 8 188 + 187 − 2 8 740 ;

b) c)

1 1 1 1 + + ... + + ; 3 +1 5 + 13 2 001 + 1 999 2 003 + 2 005

1 4+2 3

+

1 8 + 2 15

65. Rezolvaţi în R inecuaţia

+ ... +

1 60 + 2 899

+

1 64 + 2 1 023

.

(2 x − 11)56 + (7 y + 3 15 )88 ≤ 0.

66. Rezolvaţi în R inecuaţia 1 − (2,5 x − 17) 290 + 4 − (1,3 y + 29) 304 ≥ 3.

3

896

+

8

≤ 5. 1 − (19,5 − 3x) 16 − ( 23,4 − 15 y ) 728 68. Pentru a, b, c numere nenegative, stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei: a) a + b + c ≥ ab + bc + ac ; b) 3a + 2b + 5c ≥ 6ab + 10bc + 15ac . 67. Rezolvaţi în R inecuaţia

2 003

⎛ ⎞ 1 002 ⎟ 69. Aflaţi rădăcina pătrată a numărului ⎜⎜ 2 004 − : 2 003. 1 + 3 + 5 + ... + 2 003 ⎟⎠ ⎝ 1 9 17 1 993 2 001 1 70. Stabiliţi valoarea de adevăr a propoziţiei: ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ ⋅ < . 5 13 21 1 997 2 005 2 009 71. Fie numărul ϕ ′ =

1− 5 . Aflaţi ecuaţia de grad minim, cu coeficienţi raţionali, 2

care este verificată de ϕ ′. 72. a) Demonstraţi că 15 nu este număr raţional. b) Scrieţi 15 ca fracţie continuă.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE ⎧... 1. (−1) n = ⎨ ⎩... 2. Inversul numărului real nenul a este … 3. 1m = ... pentru orice număr întreg m; 0 m = ... pentru orice număr întreg nenul m. 4. Dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k⋅a m = ...; dacă a ∈ R*, k ∈ Z şi m ∈ Z, atunci a k : a m = ... În particular, a 0 = ... 5. Dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci (ab) m = ...; dacă a ∈ R*, b ∈ R* şi m ∈ Z, atunci (a : b) m = ... 1 6. n = ... a 7. Rădăcina pătrată a numărului a sau ... din a este numărul nenegativ b ... Cap. II. Puteri şi radicali

29

8. Dacă a ≥ 0, b ≥ 0, atunci: 1)

ab = ...; 2) pentru b ≠ 0,

a = ...; 3) b

a 2b = ...

9. Dacă b ≥ 0, atunci: a 2b = ...; a b = ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Calculaţi cu o zecimală exactă: 1. Calculaţi cu o zecimală exactă: 84,3. a) 753 ; b) 37,8. a) 643 ; b) 2. Aflaţi numerele reale x pentru care 2. Aflaţi numerele reale x pentru care există: există: a) − 11x ; b) 5 − 7 x . a) − 5x ; b) 2 − 3 x . 3. Eliminaţi radicalul: 3. Eliminaţi radicalul: a) (8 x − 1,5) 2 ; b) (6 x − 5,5)8 . a) (5 x − 2,3) 2 ; b) (3x − 7,4) 4 . 4. Aduceţi la forma cea mai simplă: 4. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 5,8 13 − 7,5 13 ; a) 3,7 11 − 4,9 11; b) 7 1,9 − 11 2,3 − 15 1,9 + 5 2,3. b) 3 1,5 − 5 1,3 − 12 1,5 + 8 1,3. 5. Scoateţi factori de sub radical: 5. Scoateţi factori de sub radical:

a) 11a 4 x 2 ; b) ( x − 3)6 , x < 3. 6. Introduceţi factori sub radical: a) − 3 7 ; b) ab 2 3a 2 . 7. a) Ordonaţi crescător 5 17 , 3 19 ,

a) 13b8 y 2 ; b) ( y − 7) 6 , y < 7. 6. Introduceţi factori sub radical: a) − 5 7 ; b) xb 4 5 x 2 . 7. a) Ordonaţi crescător 6 15 , 4 19 , 8 6.

6 11.

b) Aduceţi la forma cea mai b) Aduceţi la forma cea mai simplă: 343 − 448 ; 3 6 (4 5 − 7 ). simplă: 216 − 486 ; 5 7 (3 6 − 5 ). 8. a) Scoateţi factor de sub radical: 8. a) Scoateţi factor de sub radical:

5 x 2 (4 x − 3)14 , 0 < x < 0,75. 7 x 2 (5 x − 4)14 , 0 < x < 0,8. b) Raţionalizaţi numitorul şi adub) Raţionalizaţi numitorul şi aduceţi la forma cea mai simplă ceţi la forma cea mai simplă 21 + 15 26 + 14 . . 3 7 −2 5 2 13 − 3 7 9. Aduceţi la forma cea mai simplă: 9. Aduceţi la forma cea mai simplă: 11− 2 24 +

21− 2 104 + ... +

211− 2 11 124 .

9 − 2 14 + 19 − 2 84 + ... + 209 − 2 10 914 .

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

30

Cap. II. Puteri şi radicali

Capitolul III. Calcul algebric Operaţii cu expresii algebrice. Adunarea expresiilor algebrice se execută aplicând proprietăţile adunării numerelor întregi. Monoamele asemenea sunt monoamele cu aceeaşi parte literală. Reducerea monoamelor asemenea constă în înlocuirea a două sau mai multe monoame asemenea cu un monom asemenea cu ele, având coeficientul egal cu suma algebrică a coeficienţilor monoamelor asemenea date. Termenii asemenea sunt expresii algebrice construite ca şi monoamele asemenea. În particular, monoamele asemenea sunt termeni asemenea. Reducerea termenilor se execută ca şi reducerea monoamelor asemenea. Exemple de monoame asemenea: 2X, −5X, −1,4X. Exemple de termeni asemenea: 4 x 3t , − 7 x 3t , 7, (4) x 3t ; − 4 3 , 3,8 3 , − 4 3 , 2 3; 2(3a − 5), −3,2(19)(3a − 5). Înmulţirea expresiilor algebrice. Înmulţirea expresiilor algebrice se execută aplicând proprietăţile înmulţirii numerelor întregi şi regulile de calcul cu puteri. Înmulţirea a două polinoame. Forma canonică a unui polinom de gradul n are cel mult n + 1 termeni. Gradul produsului a două polinoame este egal cu suma gradelor celor două polinoame. Formule de calcul. Formulele de calcul se obţin aplicând regulile anterioare şi distributivitatea înmulţirii faţă de adunare şi scădere: 1) a(b + c) = ab + ac; 2) a(b − c) = ab − ac. Ambele formule se demonstrează geometric aplicând proprietăţile ariei dreptunghiului (v. desenul). La fel se demonstrează că a(b + c + d) = ab + ac + ad. Formule de calcul prescurtat. 1) Formula pătratului sumei cu doi termeni: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 . 1′) ( a + b ) 2 = a + 2 ab + b. 2) Formula diferenţei pă-

tratului: (a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 . 2′) ( a − b ) 2 = a − 2 ab + b. 3) Formula produsului sumei cu diferenţa: (a + b)(a − b) = a 2 − b 2 . 3′) ( a + b )( a − b ) = a − b. 4) Pătratul sumei de trei termeni: (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac. 5) Cubul sumei cu doi termeni: (a + b)3 = a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 . 6) Cubul diferenţei: (a − b)3 = a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b3 . 7) (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = a 3 + b 3 . 8) (a − b) (a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + b 3 . 9) (Facultativ) Cubul sumei de trei termeni (a + b + c)3 = a 3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) = a 3 + b3 + c 3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 3abc. 10) (Facultativ) (a − b)(a n + a n−1b + a n−2b 2 + a n−3b 3 + ... + ab n−1 + b n ) = a n +1 − b n +1. 11) (Facultativ) (a + b)(a 2 n − a 2 n−1b + a 2 n−2b 2 + a 2 n−3b 3 + ... − ab 2 n−1 + b 2 n ) = a 2 n +1 + b 2 n +1. 12) Inegalitatea mediilor: marm ≤ mg ≤ marit. Descompunerea în factori. Descompunerea în factori primi a unui polinom constă în scrierea polinomului ca produs de polinoame prime. În cazurile studiate în acest moment polinoamele prime sunt, în afară de polinomele de gradul I, polinoamele de

Cap. III. Calcul algebric

31

forma X 2 + a 2 , unde a ∈ R. În cazul expresiilor algebrice ce conţine rapoarte algebrice, descompunerea în factori se foloseşte cu precădere la aducerea lor la forma cea mai simplă. Pentru alte situaţii de descompunere în factori a unei expresii algebrice oarecare enunţul exerciţiului trebuie să conţină precizări suplimentare, deoarece în acest caz nu are sens noţiunea de factori primi. Metode de descompunere în factori. 1) Metoda factorului comun constă în aplicarea formulei ab + ac = a(b + c). 2) Metoda grupării termenilor constă în gruparea convenabilă a termenilor expresiei date astfel încât să se poată aplica în continuare metoda factorului comun. 3) Aplicarea formulelor de calcul: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 sau a 2 − 2ab + b 2 = (a − b) 2 (restrângerea pătratului unei sume cu doi termeni sau a pătratului diferenţei); a 2 − b 2 = (a + b)(a − b) (diferenţa pătratelor); a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c) 2 (restrângerea sumei de trei termeni); a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 = (a + b)3 sau a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 = (a − b)3 (restrângerea cubului sumei de trei termeni sau cubului diferenţei); a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) (suma cuburilor); a 3 − b3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) (diferenţa cuburilor) etc. 4) Metodele combinate se aplică în situaţii nestandard.

1. Operaţii cu numere reale reprezentate prin litere −

I−

1. Înlocuiţi numărul care se repetă în expresia: b) 8⋅3,5 − 11⋅3,5 + 17⋅3,5 cu b; a) 3⋅12 − 5⋅12 + 4⋅12 cu a; c) 9⋅2,4 − 23⋅2,4 + 21⋅2,4 cu x; d) 1,4⋅5,8 − 1,9⋅5,8 + 16,9⋅5,8 cu y. 2. Înlocuiţi numărul care se repetă în expresia: a) 4⋅2,5 − 1,9⋅5,7 + 7⋅2,5 − 8⋅5,7 cu a sau b; b) 2,9⋅4 − 17,3⋅8 + 12,2⋅4 − 19,4⋅8 cu x sau y; c) 6,2⋅17 − 3,8⋅35 + 13,7⋅17 − 91⋅35 cu a sau b; d) 8,8⋅9 − 53,11⋅14,6 + 29,4⋅9 − 9,58⋅14,6 cu x sau y. 3. Înlocuiţi numărul care se repetă în expresia: a) 3 15 − 3,7 13 + 1,6 15 − 2,8 13 cu a sau b;

b) 9 2,7 − 15,2 4,1 + 4,1 2,7 − 29,5 4,1 cu x sau y; c) 7,3 11,5 − 11,4 4,6 + 2,3 11,5 − 5,13 4,6 cu a sau b; d) 38,2 3,12 − 91 4,19 + 61,4 3,12 − 30,1 4,19 cu x sau y. 4. Înlocuiţi numărul care se repetă în expresia: 2 5 57 2 5 57 − 7,3 ⋅ + 5,23 ⋅ cu a sau b; − 9,13 ⋅ a) 1,2 ⋅ 1+ 3 8− 7 1+ 3 8− 7 3 4 3 3 4 3 − 13,2 ⋅ − 32,1 ⋅ + 9,43 ⋅ cu x sau y; b) 8,4 ⋅ 7 − 11 5− 2 7 − 11 5− 2 32

Cap. III. Calcul algebric

c) 3,15 ⋅

19 19 3,6 2 3,6 2 + 6,4 ⋅ − 4,22 ⋅ − 18,3 ⋅ cu a sau b; 3 − 4,3 3 − 4,3 13 − 22 13 − 22

13 105 14 105 14 13 − 0,2 ⋅ − 2,5 ⋅ cu x sau y. + 9⋅ 1,3 − 3,7 3,5 − 5,4 3,5 − 5,4 1,3 − 3,7 5. Scrieţi perimetrul unui triunghi cu laturile de lungimi: a) a, b şi c; b) x, y şi z; c) a, c şi m; d) m, n şi p; e) c, d şi k. 6. Scrieţi perimetrul unui patrulater cu laturile de lungimi: a) a, b, c şi d; b) m, n, p şi q; c) a, c, m şi n; d) b, k, m şi p. 7. Scrieţi perimetrul unui pentagon cu laturile de lungimi: a) a, b, c, d şi e; b) m, n, p, q şi r; c) d, k, m, d şi s; d) c, p, m, r şi t. 8. Aflaţi perimetrul triunghiului cu laturile de: a) 2x, 5x şi 4x; b) 1,6x, 3,7x şi 2,5x; c) 6,2x, 3,8x şi 5,1x; d) 8x, 4,6x şi 9,7x; e) 15x, 14x şi 19x; f) 45x, 63x şi 31x. 9. Aflaţi perimetrul pătratului cu laturile de: a) 1,4x; b) 3,8a; c) 7,12x; d) 17,4x; e) 8,13x. 10. Aflaţi perimetrul rombului cu laturile de: a) 1,8x; b) 4,9a; c) 3,28x; d) 41,8x; e) 6,76x. 11. Aflaţi perimetrul paralelogramului cu laturile de: a) 4x şi 5y; b) 7a şi 8b; c) 11m şi 24n; d) 17p şi 51q. 12. Aflaţi perimetrul dreptunghiului cu laturile de: a) 2x şi 9y; b) 3a şi 5b; c) 89m şi 53n; d) 27p şi 43q. 13. Aflaţi perimetrul triunghiului isoscel cu laturile de: a) 2,4x, 2,4x şi 7,1a; b) 3,7x, 3,7x şi 8,3b; c) 5,2x, 5,2x şi 6,2c. 14. Aflaţi perimetrul trapezului isoscel cu: a) bazele de 3x, 1,3x şi laturile neparalele de 3,6m; b) bazele de 6x, 2,7x şi laturile neparalele de 4,2m; c) bazele de 8,5x, 3,05x şi laturile neparalele de 5,1m; d) bazele de 9,4x, 5,8x şi laturile neparalele de 10,4m; e) bazele de 11,5x, 9,4x şi laturile neparalele de 6,6m. 15. O sumă algebrică este formată din trei termeni asemenea. Adăugaţi încă doi termeni, dacă unul dintre ei este: a) − 3,1x 3 y 2 ; b) − 4,25a 5b 3 ; c) − 6,38m11n 4 ; d) − 7,3a 8 p 2 ; e) − 8,6b 6 y 5 . 16. O sumă algebrică este formată din trei radicali asemenea. Adăugaţi încă doi termeni, dacă unul dintre ei este: a) − 4,8 1,38 ; b) − 9,1 4,17 ; c) − 3,2 7,53 ; d) − 8,5 6,11; e) − 58 215 . 17. Adăugaţi încă două monoame asemenea cu: a) − 3 X 5Y 4 ; b) − 6 X 9Y 2 ; c) − 11X 13Y 3 ; d) − 2 X 12Y 6 ; e) − 7 X 7Y 8 . 18. Reduceţi termenii asemenea: b) 12x + 3,8x − 7,7x + 8,1x − 12,1x; a) 3x + 1,5x − 1,4x + 2,6x − 2,9x; c) 15x + 2,1x − 11x + 4,7x − 8,3x; d) 6,5x + 18x − 31,3x + 4,1x − 8,2x. 19. Reduceţi termenii asemenea: b) 5,1y3 − 27y − 2,1y3 + 31,6y; a) 2,6x5 − 4,1x3 − 14x5 + 52x3; 7 2 7 2 c) 5,9z − 3,2z − 6,1 z + 8,7 z ; d) 10,4a13 − 4,1a10 − 30,1 a13 + 75,2 a10. d) 6,2 ⋅

Cap. III. Calcul algebric

33

20. Aduceţi la forma cea mai simplă expresia: a) 5a − 7b + 12c − (13a − 4b + 7c); b) 12a − 15b + 32c − (44a − 29b + 53c); c) 41a − 62b + 4c − (31a − 9b + 2c); d) 53a − 24b + 9c − (57a − 29b + 71c). 21. Scrieţi în forma canonică: a) − 2 X 5 + 5 X 4 − (12 X 5 − 2 X 4 ); b) − 75Y 12 + 29Y 10 − (−83Y 12 − 14Y 10 );

d) − 93Y 15 + 35Y 11 − (−25Y 15 − 72Y 11 ). c) − 7 Z 8 + 6 Z 6 − (53Z 8 − 21Z 6 ); 22. Aduceţi la forma cea mai simplă (reduceţi radicalii asemenea): a) − 8 3,1 + 7 5,8 − (13 3,1 − 5,8 ); b) − 5 4,6 + 9 3,5 − (13 4,6 − 18 3,5 ); c) − 9 17 + 3 19 − (7 17 − 4 19 ); d) − 11 82 + 5 53 − (13 82 − 16 53 ). 23. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 7a − 4,2b − 5(11a − 3b); b) 13a − 5,6b − 4(13a − 7b); d) 52a − 10,5b − 8(5a − 12b). c) 15a − 8,4b − 6(13a − 9b); 24. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 2(3x − 15y) − 4(7x − 18y); b) 9(5x − 29y) − 8(3x − 31y); d) 12(10x − 5y) − 35(8x − 17y); c) 5(4x − 29y) − 7(9x − 25y); e) 6(14x − 11y) − 3(21x − 32y); f) 16(2x − 40y) − 18(50x − 11y). 25. Aflaţi aria dreptunghiului cu laturile de: a) 3x şi 1,5y; b) 7a şi 1,1b; c) 32m şi 4,5n; d) 85p şi 2,4q. 26. Aflaţi aria dreptunghiului cu laturile de: a) 4x şi 3 + 2y; b) 5a şi 6 + 7b; c) 12m şi 4 + 3,9n; d) 19p şi 6,8 + 3q. 27. Aflaţi aria pătratului cu laturile de: a) 1,2x; b) 2,5a; c) 3,2m; d) 1,9p; e) 4,6b; f) 3,5n. 28. Aflaţi aria dreptunghiului cu laturile de: a) 7x şi 3x + 5y; b) 8a şi 4a + 9b; c) 5m şi 7m + 6n; d) 4p şi 9p + 2q. 29. Aflaţi aria dreptunghiului cu laturile de: a) 7x + 8y şi 7x − 8y; b) 3a + 11b şi 3a − 11b; c) 11m + 9n şi 11x − 9y; d) 13x + 2y şi 13x − 2y; d) 16c + 5d şi 16c − 5d; e) 17p + 4r şi 17p − 4r. 30. Aflaţi volumul cubului cu muchiile de: a) 6a; b) 8b; c) 5m; d) 7p; e) 11b; f) 9n. 31. Aflaţi paralelipipedului dreptunghic cu muchiile de: a) 2a, 3b şi 5c; b) 3x, 7y şi 8z; c) 8m, 9n şi 11p; d) 10d, 11e şi 12f. 32. Aflaţi paralelipipedului dreptunghic cu muchiile de: a) 11a, 4a şi 7a; b) 2x, 13x şi 9x; c) 4b, 12b şi 11b; d) 10d, 13d şi 15d. 33. Efectuaţi: a) 5 ( 20 − 10 + 15 ); b) 6 ( 15 − 10 + 21); c) 7 ( 14 − 21 + 35 ); d) 11( 55 − 33 + 77 ). 34. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 3a(3a + 4b); b) 5x(7x + 2y); c) 6c(2c + 5d); d) 9z(5z + 4b). 35. Efectuaţi: a) 9a(7a − 3b); b) 8x(3x − 5y); c) 7c(9c − 8d); d) 6z(11z − 4b). 36. Aduceţi la forma cea mai simplă: 34

Cap. III. Calcul algebric

a) (x + 5)(x + 4); b) (a + 7)(a + 3); c) (b + 8)(b + 6); d) (y + 9)(y + 5). 37. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (x − 3)(x + 9); b) (a − 5)(a + 9); c) (b − 4)(b + 7); d) (y − 8)(y + 6). 38. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (x − 7)(x − 8); b) (a − 9)(a − 5); c) (b − 8)(b − 4); d) (y − 5)(y − 11). 39. Efectuaţi: a) ( 15 − 13 )( 65 − 6 + 26 ); b) ( 21 − 26 )( 91 − 6 + 39 ); c) ( 22 − 15 )( 55 − 10 + 6 ); 40. Efectuaţi: a) − 3 X 5 (5 X 12 − 3 X 5 + 13 X 4 − 4);

d) ( 35 − 42 )( 30 − 10 + 14 ). b) − 11Y 10 (9Y 23 − 7Y 8 + 8Y 7 − 17);

c) − 17 Z 11 (4 Z 31 − 5Z 14 + 11Z 13 − 3); d) − 23 X 56 (11X 36 − 3 X 15 + 5 X 12 − 6). 41. Efectuaţi: a) ( X − 2)( X 4 + 2 X 3 + 4 X 2 + 8 X + 16); b) (2 X − 1)(16 X 4 + 8 X 3 + 4 X 2 + 2 X + 1); c) ( X − 3)( X 5 + 3 X 4 + 9 X 3 + 27 X 2 + 81X + 243); d) (3 X − 1)(243 X 5 + 81X 4 + 27 X 3 + 9 X 2 + 3 X + 1); e) ( X − 5)( X 6 + 5 X 5 + 25 X 4 + 125 X 3 + 625 X 2 + 3 125 X + 15 625); f) (5 X − 1)(15 625 X 6 + 3 125 X 5 + 625 X 4 + 125 X 3 + 25 X 2 + 5 X + 1). 42. Efectuaţi: a) ( X + 2)( X 4 − 2 X 3 + 4 X 2 − 8 X + 16); b) (2 X + 1)(16 X 4 − 8 X 3 + 4 X 2 − 2 X + 1); c) ( X + 5)( X 6 − 5 X 5 + 25 X 4 − 125 X 3 + 625 X 2 − 3 125 X + 15 625); f) (5 X + 1)(15 625 X 6 − 3 125 X 5 + 625 X 4 − 125 X 3 + 25 X 2 − 5 X + 1). 43. Efectuaţi: a) (5 x19 − 4 x18 + 15 x17 − 3 x16 ) : (−2 x10 ); b) (14 x 32 − 16 x 31 + 13 x 30 − 8 x 29 ) : (−5 x 29 ); c) (18 x 40 − 23 x 39 + 25 x 38 − 10 x 37 ) : (−4 x 37 ); d) (35 x 60 − 49 x 59 + 28 x 58 − 16 x 57 ) : (−8 x 57 ). 44. Efectuaţi: a) (− x 5 y 7 ) 6 : (− x 6 y 2 )3 ; b) (− x12 y 9 )5 : ( − x 4 y 5 ) 7 ; c) (− x 35 y 26 )3 : (− x 4 y 7 ) 6 ; d) (− x 42 y 28 )3 : (− x8 y10 )3 . 45. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul folosind numai puteri naturale: a) (− x 8 y10 ) 7 : (− x 3 y 4 )10 ; b) (− x14 y 21 )8 : (− x 41 y 9 )3 ; c) (− x 24 y 9 )5 : (− x 6 y 32 ) 4 ; d) (− x8 y 32 )10 : (− x11 y 5 )9 . 46. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: a) a15 (5 x + 3 y )15 ; b) x 23 (4a + 5b) 23 ; c) y 31 (2 x + 7 z )31 ; d) b 43 (7c + 9d ) 43 . Cap. III. Calcul algebric

35

47. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: a) a 45 (7 a − 2 y ) 45 ; b) x 34 (5 x − 3a )34 ; c) y 52 (6 y − 5b)52 ; d) z 67 (9 z − 4c) 67 . 48. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: a) ( x + 4)17 ( x + 11)17 ; b) (a + 3)19 ( a + 8)19 ; c) (b + 8) 23 (b + 9) 23 ;

e) (d + 8) 71 (d + 12) 71; d) (c + 7)54 (c + 13)54 ; 49. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: a) ( x − 7)33 ( x − 12)33 ; b) (a − 4) 39 (a − 15) 39 ;

f) ( y + 6)85 ( y + 16)85 .

e) (d − 5) 44 ( d − 19) 44 ; d) (c − 9) 67 (c − 16) 67 ; 50. Efectuaţi şi scrieţi rezultatul ca putere: a) ( x − 4)56 : ( x + 15) −56 ; b) ( x − 7) 48 : ( x + 18) −48 ;

f) ( y − 13) 28 ( y − 8) 28 .

d) (c − 17)51 : (c + 6) −51;

e) (d − 8)36 : ( d + 21) −36 ; −

c) (b − 11)58 (b − 5)58 ;

c) (b − 9) 68 : (b + 14) −68 ; f) ( y − 5) 73 : ( y + 24) −73 .

II −

51. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) x + 2x + 3x + 4x + ... + 100x; b) 2x + 4x + 6x + 8x + ... + 1 000x. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 52. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) x + x 2 + x 3 + ... + x100 ; b) x − x 2 + x 3 − ... − x100 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 53. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) x ⋅ x 2 ⋅ x 3 ⋅ ... ⋅ x 500 ; b) x −1 ⋅ x 2 ⋅ x −3 ⋅ ... ⋅ x −799 ⋅ x −800 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. −

III −

54. Aduceţi la forma cea mai simplă: b) x − 2 x 2 + 3x 3 − ... − 100 x100 ; a) x + 2 x 2 + 3 x 3 + ... + 100 x100 ; 2 3 4 200 3 4 5 202 d) − 2 + 3 − ... − 200 . c) + 2 + 3 + ... + 199 ; x x x x x x x x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. ⎧⎪ ⎫⎪ n 2 − 3n 55. Reprezentaţi sintetic mulţimea ⎨n ∈ Z ∈ Z⎬ . n+5 ⎪⎩ ⎪⎭ Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 3n + 1 este ireductibilă pentru orice n ∈ N. 56. Stabiliţi dacă fracţia 7n + 3 57. Scrieţi cât mai simplu: 1 1 1 1 1 1 + 2 + 3 + ...; b) + 2 + 3 + ..., x > 1. a) 12 12 12 x x x 58. Produsul polinoamelor P(X) şi Q(X) are gradul 51. Ce grade pot avea cele două polinoame?

36

Cap. III. Calcul algebric

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Reduceţi termenii asemenea: a) 4x − 13x + 9x − 19x; b) 3,7x − 8,2x + 6,4x − 5,6x. 2. Reduceţi termenii asemenea: a) 7a − 23b + 16a − 8b;

1. Reduceţi termenii asemenea: a) 22x − 17x + 16x − 45x; b) 6,2x − 5,9x + 7,8x − 4,5x. 2. Reduceţi termenii asemenea: a) 3a − 48b + 21a − 19b;

b) 13 x 2 − 21x − 18 x 2 + 12 x. 3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 11a − 5d − 2(8a − 9d); b) 9(11x − 7z) − 5(12x − 13d). 4. Efectuaţi: a) 6x(15a − 13b); b) 35x(12x − 7y). 5. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (a + 18)(a + 4); b) (x − 13)(x − 14). 6. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ( x − 4)( x 3 + 4 x 2 + 16 x + 64);

b) 25 x 2 − 14 x − 16 x 2 + 33 x. 3. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 18a − 9d − 3(9a − 7d); b) 8(13x − 6z) − 6(11x − 14d). 4. Efectuaţi: a) 9a(13b − 11c); b) 28y(14y − 8y). 5. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (z + 17)(z + 5); b) (b − 15)(b − 12). 6. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) ( y − 3)( y 3 + 3 y 2 + 9 y + 27);

b) (3x − 1)(9 x 2 + 3x + 1). 7. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (b + 5)(b 2 − 5b + 25); b) (6b + 1)⋅ (1 296b 4 − 216b 3 + 36b 2 − 6b + 1). 8. Scrieţi cât mai simplu: 15 + 152 + 153 + ... + 15120. 9. Reprezentaţi sintetic mulţimea

b) (6 x − 1)(36 x 2 + 6 x + 1). 7. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) (a + 7)(a 2 − 7 a + 49); b) (5a + 1)⋅ (625a 4 − 125a 3 + 25a 2 − 5a + 1). 8. Scrieţi cât mai simplu: 17 + 17 2 + 173 + ... + 17130. 9. Reprezentaţi sintetic mulţimea

⎧⎪ ⎧⎪ 2n 2 − 7 n 4 n 2 − 9n ⎪⎫ ⎪⎫ ∈ Z⎬ . ∈ Z⎬ . ⎨n ∈ Z ⎨n ∈ Z n+4 n+7 ⎪⎭ ⎪⎭ ⎪⎩ ⎪⎩ Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 40 minute.

2. Formule de calcul −

I−

1. Efectuaţi: a) (a + 5)(a − 5); b) (x + 7)(x − 7); c) (y + 11) (y − 11); d) (b + 9)(b − 9); e) (c + 8)(c − 8); f) (d + 13) (d − 13). 2. Efectuaţi: a) (3a + 2b)(3a − 2b); b) (7x + 3a)(7x − 3a); c) (9y + 5b)(9y − 5b); Cap. III. Calcul algebric

37

d) (6a + 5b)(6a − 5b); e) (8x + 7a)(8x − 7a); f) (11y + 8b)(11y − 8b). 3. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) (11a + 9b)(11a − 9b); b) (12x + 7a)(12x − 7a); c) (13y + 8b)(13y − 8b); c) (17x + 4y)(17x − 4y); e) (19b + 8c)(19b − 8c); f) (21c + 11d)(21c − 11d). 4. Calculaţi rapid: a) 1 035⋅965; b) 2 027⋅1 973; c) 3 056⋅2 944; e) 6 046⋅5 954; f) 7 024⋅6 976. d) 5 082⋅4 916; 5. Calculaţi: a) ( 7 + 5 )( 7 − 5 ); b) ( 2 + 3 )( 3 − 2 ); c) ( 3 + 5 )( 5 − 3 ); d) ( 3 + 10 )( 10 − 3 ); e) ( 7 + 13 )( 13 − 7 ); f) ( 2 + 15 )( 15 − 2 ). 6. Calculaţi: a) (3 11 + 2 7 )(3 11 − 2 7 ); b) (7 10 + 8 5 )(7 10 − 8 5 ); c) (3 13 + 4 10 )(4 10 − 3 13 );

d) (8 14 + 2 15 )(8 14 − 2 15 );

e) (11 6 + 10 5 )(11 6 − 10 5 ); f) (13 5 + 12 3 )(13 5 − 12 3 ). 7. Efectuaţi: a) (a + 13) 2 ; b) ( x + 14) 2 ; c) (b + 15) 2 ; d) ( y + 17) 2 ; e) ( z + 19) 2 . 8. Efectuaţi: a) (a − 23) 2 ; b) ( x − 24) 2 ; c) (b − 25) 2 ; d) ( y − 27) 2 ; e) ( z − 29) 2 . 9. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) (2 x + 3) 2 ; b) (3a + 4) 2 ; c) (5 y + 6) 2 ; d) (7b + 5) 2 ; e) (8 z + 3) 2 . 10. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) (5 x − 9) 2 ; b) (7a − 3) 2 ; c) (8 y − 5) 2 ; d) (4b − 11) 2 ; e) (3 z − 11) 2 . 11. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu: a) 2 0152 ; b) 3 024 2 ; c) 4 0412 ; d) 5 017 2 ; e) 6 0452. 12. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu: b) 3 9252 ; c) 4 9452 ; d) 6 9652 ; e) 7 9352. a) 2 9852 ; 13. Reproduceţi şi completaţi: a) (a − 3)(a 2 + 3a + 9) = a (a 2 + 3a + 9) − 3(a 2 + 3a + 9) = ...; b) (b − 4)(b 2 + 4b + 16) = b(b 2 + 4b + 16) − 4(b 2 + 4b + 16) = ...; c) (c − 5)(c 2 + 5c + 25) = c(c 2 + 5c + 25) − 5(c 2 + 5c + 25) = ...; d) (m − 6)(m 2 + 6m + 36) = m(m 2 + 6m + 36) − 6(m 2 + 6m + 36) = ... 14. Reproduceţi şi completaţi: a) (2 x − 3a )(4 x 2 + 6ax + 9a 2 ) = (...)3 − (...)3 = ...; b) (4a − 5b)(16a 2 + 20ab + 25b 2 ) = (...)3 − (...)3 = ...; c) (3c − 4d )(9c 2 + 12cd + 16d 2 ) = (...)3 − (...)3 = ...; d) (4a − 5b)(16a 2 + 20ab + 25b 2 ) = (...)3 − (...)3 = ...; e) (5 x − 6 y )(25 x 2 + 30 xy + 36 y 2 ) = (...)3 − (...)3 = ... 38

Cap. III. Calcul algebric

15. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) (7 x − 2 y )(49 x 2 + 14 xy + 4 y 2 ); b) (3a − 5b)(9a 2 + 15ab + 25b 2 ); c) (5c − 8d )(25c 2 + 40cd + 64d 2 );

d) (8m − 7 n)(64m 2 + 56mn + 49n 2 );

e) (7 a − 9 y )(49a 2 + 63ay + 81 y 2 ); f) (6 p − 11z )(36 p 2 + 66 pz + 121z 2 ). 16. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu: a) 2 0043 − 43 ; b) 3 0053 − 53 ; c) 4 0063 − 63 ; d) 5 0073 − 73 ; e) 6 0083 − 83 ; f) 1 0093 − 93 ; g) 7 0023 − 23 ; h) 9 0013 − 13. 17. Reproduceţi şi completaţi: a) (2a + 1)(4a 2 − 2a + 1) = 2a(4a 2 − 2a + 1) + (4a 2 − 2a + 1) = ...; b) (3b + 1)(9b 2 − 3b + 1) = 3b(9b 2 − 3b + 1) + (9b 2 − 3b + 1) = ...; c) (7c + 1)(49c 2 − 7c + 1) = 7c(49c 2 − 7c + 1) + (49c 2 − 7c + 1) = ...; d) (8m + 1)(64m 2 − 8m + 1) = 8m(64m 2 − 8m + 1) + (64m 2 − 8m + 1) = ... 18. Reproduceţi şi completaţi: a) (9 x + 8 y )(81x 2 − 72 xy + 64 y 2 ) = (...)3 + (...)3 = ...; b) (7 a + 9b)(49a 2 − 63ab + 81b 2 ) = (...)3 + (...)3 = ...; c) (5m + 8n)(25m 2 − 40mn + 64n 2 ) = (...)3 + (...)3 = ...; d) (7 p + 5q )(49 p 2 − 35 pq + 25q 2 ) = (...)3 + (...)3 = ...; e) (9 s + 11t )(81s 2 − 99 st + 121t 2 ) = (...)3 + (...)3 = ... 19. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: a) (7 x + 5 y )(49 x 2 − 35 xy + 20 y 2 ); b) (9a + 4b)(81a 2 − 36ab + 16b 2 ); c) (5c + 8d )(25c 2 − 40cd + 64d 2 );

d) (8m + 3n)(64m 2 − 24mn + 9n 2 );

e) (7 p + 6q )(49 p 2 − 42 pq + 36q 2 ); f) (6e + 13 f )(36e 2 − 78ef + 169 f 2 ). 20. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu: b) 3 9953 + 53 ; c) 4 9913 + 93 ; d) 5 9893 + 113 ; a) 2 9983 + 23 ; e) 6 997 3 + 33 ; f) 1 9963 + 43 ; g) 7 9923 + 83 ; h) 9 9943 + 63. 21. Reproduceţi şi completaţi: a) (5a + 1)3 = (5a + 1)(5a + 1) 2 = (...) (25a 2 + ... + ...) = ...; b) (7 m + 1)3 = (7 m + 1)(7 m + 1) 2 = (...) (49m 2 + ... + ...) = ...; c) (8 x + 1)3 = (8 x + 1)(8 x + 1) 2 = (...) (64 x 2 + ... + ...) = ...; d) (9 p + 1)3 = (9 p + 1)(9 p + 1) 2 = (...) (81 p 2 + ... + ...) = ...; e) (6b + 1)3 = (6b + 1)(6b + 1) 2 = (...) (36b 2 + ... + ...) = ...; f) (4n + 1)3 = (4n + 1)(4n + 1) 2 = (...) (16n 2 + ... + ...) = ... 22. Reproduceţi şi completaţi: a) (3x + 7 y ) 3 = (...)3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...; Cap. III. Calcul algebric

39

b) (5a + 2b)3 = (...)3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...; c) (4 y + 3 z ) 3 = (...)3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...; d) (6b + 5c)3 = (...)3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...; e) (7 d + 6e)3 = (...)3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ...; f) (8 z + 3t )3 = (...)3 + 3(...)2(...) + 3(...)(...)2 + (...)3 = ... 23. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi rapid: a) (5 x + 2a) 3 ; b) (4 y + 3b)3 ; c) (7 z + 4c)3 ; d) (6b + 5d )3 ; e) (9c + 4d )3 . 24. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi cât mai simplu: a) 2 0053 ; b) 3 0013 ; c) 4 0023 ; d) 5 0033 ; e) 1 0053 ; f) 6 0013. 25. Reproduceţi şi completaţi: a) (3a − 1)3 = (3a − 1)(3a − 1) 2 = (...) (9a 2 − ... + ...) = ...; b) (7 x − 1)3 = (7 x − 1)(7 x − 1) 2 = (...) (49 x 2 − ... + ...) = ...; c) (6m − 1)3 = (6m − 1)(6m − 1) 2 = (...) (36m 2 − ... + ...) = ...; d) (5d − 1)3 = (5d − 1)(5d − 1) 2 = (...) (25d 2 − ... + ...) = ...; e) (9n − 1)3 = (9n − 1)(9n − 1) 2 = (...) (81n 2 − ... + ...) = ...; f) (8 p − 1)3 = (8 p − 1)(8 p − 1) 2 = (...) (64 p 2 − ... + ...) = ... 26. Reproduceţi şi completaţi: a) (3a − 2)3 = (3a − 2)(3a − 2) 2 = (...) (9a 2 − ... + ...) = ...; b) (7 x − 3)3 = (7 x − 3)(7 x − 3) 2 = (...) (49 x 2 − ... + ...) = ...; c) (6m − 5)3 = (6m − 5)(6m − 5) 2 = (...) (36m 2 − ... + ...) = ...; d) (5d − 3)3 = (5d − 3)(5d − 3) 2 = (...) (25d 2 − ... + ...) = ...; e) (9n − 2)3 = (9n − 2)(9n − 2) 2 = (...) (81n 2 − ... + ...) = ...; f) (8 p − 3)3 = (8 p − 3)(8 p − 3) 2 = (...) (64 p 2 − ... + ...) = ... 27. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi rapid: a) (5 x − 3 y )3 ; b) (4a − 3b)3 ; c) (4c − 7 d )3 ; d) (8e − 5 f ) 3 ; e) (9 y − 4 z ) 3 . 28. Efectuaţi: 2

1 ⎞ ⎛ b) ⎜ 2 x + ⎟ ; 2x ⎠ ⎝

2

1 ⎞ ⎛ e) ⎜ 7 d + ⎟ ; 7d ⎠ ⎝

2

1 ⎞ ⎛ b) ⎜ 5a − ⎟ ; 5a ⎠ ⎝

1 ⎞ ⎛ a) ⎜ 3a + ⎟ ; 3a ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ d) ⎜ 6 z + ⎟ ; 6z ⎠ ⎝ 29. Efectuaţi: 1 ⎞ ⎛ a) ⎜ 9 x − ⎟ ; 9x ⎠ ⎝

40

2

1 ⎞ ⎛ c) ⎜ 5b + ⎟ ; 5b ⎠ ⎝

2

⎛ 1 ⎞ f) ⎜⎜ 8 y + ⎟⎟ . 8y ⎠ ⎝

2

2

2

2

1 ⎞ ⎛ c) ⎜ 4b − ⎟ ; 4b ⎠ ⎝

Cap. III. Calcul algebric

2

1⎞ ⎛ d) ⎜ 3c − ⎟ ; 3c ⎠ ⎝ 30. Efectuaţi:

2

1 ⎞ ⎛ e) ⎜ 6d − ⎟ ; 6d ⎠ ⎝

3

1 ⎞ ⎛ b) ⎜ 3 x + ⎟ ; 3x ⎠ ⎝

1 ⎞ ⎛ c) ⎜ 4b + ⎟ ; 4b ⎠ ⎝

3

1 ⎞ ⎛ e) ⎜ 6d + ⎟ ; 6d ⎠ ⎝

3

⎛ 1 ⎞ ⎟. f) ⎜⎜ 7 y + 7 y ⎟⎠ ⎝

3

1 ⎞ ⎛ b) ⎜ 4a − ⎟ ; a⎠ 4 ⎝

3

1 ⎞ ⎛ c) ⎜ 7c − ⎟ ; c⎠ 7 ⎝

3

1 ⎞ ⎛ e) ⎜ 9d − ⎟ ; 9d ⎠ ⎝

3

⎛ 1 ⎞ ⎟. f) ⎜⎜11 y − 11 y ⎟⎠ ⎝

1 ⎞ ⎛ a) ⎜ 2a + ⎟ ; 2a ⎠ ⎝ 1 ⎞ ⎛ d) ⎜ 5 z + ⎟ ; 5z ⎠ ⎝ 31. Efectuaţi: 1 ⎞ ⎛ a) ⎜ 6 x − ⎟ ; x⎠ 6 ⎝ 1 ⎞ ⎛ d) ⎜ 8 z − ⎟ ; 8z ⎠ ⎝

3

2

1 ⎞ ⎛ f) ⎜ 7 m − ⎟ . 7m ⎠ ⎝

−

3

3

3

3

II −

32. Aplicând o formulă de calcul, efectuaţi: 11 + 7 ⋅ 11 − 7 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Aflaţi numerele întregi a şi b pentru care 18 + a b ⋅ 18 − a b ∈ N. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Aflaţi cifra zecilor numărului: a) 456 827 2 ; b) 362 3293. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 35. Raţionalizaţi numitorul raportului: 1 1 1 a) ; b) ; c) . 7− 5 13 + 6 3 13 + 3 7 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Aduceţi la forma cea mai simplă: b) (11x + 3 y ) 2 − (11x − 3 y ) 2 . a) (7a + 5b) 2 + (7 a − 5b) 2 ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Aduceţi la forma cea mai simplă: b) (8 x + 5 y )3 − (8 x − 5 y ) 3 . a) (5c + 2d )3 + (5c − 2d )3 ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Ordonaţi crescător numerele 3a2, 2b2 şi mediile lor: aritmetică, geometrică şi armonică. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 6⋅8⋅50⋅2 402; b) ( x − y )( x + y )( x + y )( x 2 + y 2 )...( x 32 + y 32 ). 40. Completaţi până la un pătrat: a) sumă 4a 4 + 9b 4 ; b) diferenţă 5 x8 + 2 y 6 . 41. Aduceţi la forma cea mai simplă: Cap. III. Calcul algebric

7 + 2 ⋅ 3+ 2+ 2 ⋅ 3− 2+ 2 .

41

42. Justificaţi printr-un desen dezvoltarea pătratului: b) diferenţă (4 x − y ) 2 . a) sumă (3 x + 2 y ) 2 ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Justificaţi printr-un desen rezultatul produsului (5x + 3y)(5x − 3y). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Reproduceţi desenul şi descoperiţi cu ajutorul lui dezvoltarea pătratului sumei de trei termeni ( x + y + z ) 2 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 45. Controlaţi rezultatul anterior reproducând şi completând: ( x + y + z ) 2 = [ x + ( y + z )]2 = ... Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 46. Aplicaţi formula de mai sus pentru a dezvolta: b) (6a − 2b + 3c) 2 . a) (3a + 2b + 5c) 2 ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 47. Comparaţi: 9a 2 16b 2 a) 4a 2 + 9b 2 şi 12ab; b) şi 2. + 16b 2 9a 2 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. −

48. Aduceţi la forma cea mai simplă

III − 1 1 1 + + ... + . 2+ 5 5+ 8 99 + 102

49. Calculaţi abc , dacă a = 2 + 2 , b = 3 + 7 + 2 , c = 3 − 7 + 2 . 50. Aduceţi la forma cea mai simplă 1 1 1 1 + + + ... a) ; 2+ 7 12 + 7 12 + 17 502 + 497 1 1 1 1 b) + + + ... . 6+2 5 14 + 2 45 22 + 2 47 198 + 2 9 797 51. Stabiliţi paritatea cifrei zecilor pătratului unui număr întreg cu ultima cifră: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 52. Stabiliţi paritatea cifrei zecilor cubului unui număr întreg cu ultima cifră: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. 53. Fie numărul a = n 2 + 2n, n ∈ N. Aflaţi penultima cifră a numărului a, dacă ultima sa cifră este: 0, 3, 4, 5, 8, 9. 54. Fie numărul a = n3 + 3n2 + 3n, n ∈ N. Aflaţi penultima cifră a numărului a, dacă ultima sa cifră este: 0, 3, 4. 55. Stabiliţi dacă există pătrate perfecte de forma: a) 3k + 2, k ∈ Z; b) 5k + 4, k ∈ Z. 56. Demonstraţi că orice număr de forma: a) 3n 2 + 1, n ∈ Z, este suma a trei pătrate perfecte; b) 6n 2 + 2, n ∈ Z, este suma a trei pătrate perfecte. 42

Cap. III. Calcul algebric

57. Demonstraţi că nu există pătrate perfecte de forma 4n 2 − 4n + 2, n ∈ Z. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 58. Demonstraţi că nu există cuburi perfecte de forma: a) n3 + 3n 2 + 3n + 2, n ∈ Z; b) n3 + 6n 2 + 12n + 7, n ∈ Z. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 59. Aflaţi numerele n ∈ Z pentru care n 4 + 33n 2 + 240 să fie pătrat perfect. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 60. Arătaţi că orice număr de forma 3n 2 + 3n + 1, n ∈ Z, este diferenţa a două cuburi perfecte. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 61. Arătaţi că numărul n 4 + 2n3 + 5n 2 + 4n + 2 , n ∈ Z, este iraţional. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 62. Reproduceţi desenul şi descoperiţi cu ajutorul lui dezvoltarea cubului sumei de trei termeni (a + b + c)3 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 63. Controlaţi rezultatul anterior reproducând şi completând: ( x + y + z )3 = [ x + ( y + z )]3 = ... Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 64. Aplicaţi formula de mai sus pentru a dezvolta: a) (2 x + 3 y + z ) 3 ; b) (3a − 5b + 4c) 2 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Monoamele asemenea au ... 2. Gradul produsului a două polinoame este egal cu … 3. a) a(b + c) = ...; b) a(b − c) = ... 4. (a + b)(a − b) = ... 5. a) (a + b) 2 = ...; b) (a − b) 2 = ... 6. a) (a + b)3 = ...; b) (a − b)3 = ... 7. (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = ... 8. (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = ... 9. (a + b + c) 2 = ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute. Cap. III. Calcul algebric

43

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Aplicând o formulă, executaţi: a) (4x + 3y)(4x − 3y); b) 325⋅275. 2. Aplicând o formulă, executaţi: a) (7 a + 3b) 2 ; b) (5a − 4b) 2 . 3. Aplicând o formulă, calculaţi: a) 2 0152 ; b) 3 970 2. 4. Aplicând o formulă, executaţi: a) (5c + 2d )3 ; b) (4 y − 3z )3 . 5. Aplicând o formulă, calculaţi: a) 4 0073 ; b) 3 9923. 6. Aplicând o formulă, executaţi: a) (2 x + a)(4 x 2 − 2ax + a 2 );

1. Aplicând o formulă, executaţi: a) (5a + 2b)( 5a − 2b); b) 415⋅385. 2. Aplicând o formulă, executaţi: a) (6 x + 5 y ) 2 ; b) (7 x − 2 y ) 2 . 3. Aplicând o formulă, calculaţi: a) 3 0352 ; b) 2 9752. 4. Aplicând o formulă, executaţi: a) (3a + 5m) 3 ; b) (5b − 4d )3 . 5. Aplicând o formulă, calculaţi: a) 5 0063 ; b) 2 9913. 6. Aplicând o formulă, executaţi: a) (3 y + b)(9 y 2 − 3by + b 2 );

b) (6m − 5n)(36m2 + 30mn + 25n2 ). b) (7k − 4m)(49k 2 + 28km + 16m2 ). 7. Raţionalizaţi numitorul raportului: 7. Raţionalizaţi numitorul raportului: 4 6 5 6 ; b) . ; b) . a) a) 3− 4 7 7 2 −5 3 4−3 6 8 3 −7 2 8. Aduceţi la forma cea mai simplă: 8. Aduceţi la forma cea mai simplă: 1 1 1 1 1 1 + + ... + . + + ... + . 3+ 5 5+ 7 99 + 101 2+ 4 4+ 6 98 + 100 9. Aduceţi la forma cea mai simplă: 9. Aduceţi la forma cea mai simplă: 1 1 1 1 1 1 + + ... + . + + ... + . 3⋅ 5 5⋅ 7 99 ⋅ 101 4⋅ 6 6⋅ 8 100 ⋅ 102 Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

3. Descompuneri în factori −

I−

1. Descompuneţi în factori aplicând metoda factorului comun: b) 8cd + 5ac; c) 17ax + 5ay; a) 3ab + 5bc; 2. Descompuneţi în factori aplicând metoda factorului comun: b) 8cx − 5cy; c) 15ab − 7ac; a) 9ay − 4az; 3. Calculaţi aplicând descompunerea în factori: b) 14 2 ⋅ 28 − 212 ⋅12; a) 152 ⋅12 − 182 ⋅ 21;

d) 13xz + 6xy. d) 17mn − 7mp.

c) 20 2 ⋅15 − 30 2 ⋅12; d) 282 ⋅ 35 − 42 2 ⋅15. 4. Descompuneţi în factori aplicând metoda grupării: b) 5cy + 8cz + 15by + 24bz; a) 7ax + 2ay + 14bx + 4by; 44

Cap. III. Calcul algebric

d) 2mc + 9md + 10nc + 45md; c) 6am + 5an + 24bm + 20bn; e) 9mx + 5nx + 18my + 10ny; f) 7nz + 8nt + 21mz + 24mt. 5. Calculaţi aplicând descompunerea în factori: a) 8⋅17 + 8⋅33 + 9⋅17 + 9⋅33; b) 13⋅37 + 13⋅63 + 17⋅37 + 17⋅63; c) 11⋅41 + 11⋅59 + 19⋅41 + 19⋅59; d) 21⋅23 + 21⋅77 + 29⋅23 + 29⋅77; e) 23⋅19 + 23⋅41 + 27⋅19 + 27⋅41; f) 39⋅43 + 39⋅57 + 61⋅43 + 61⋅57. 6. Descompuneţi în factori aplicând metoda grupării: b) 9az − 11at + 36bz − 44at; a) 9mx − 7my + 27nx − 21ny; c) 11ap − 13bp + 33ac − 39bc; d) 12cx − 13cz + 60dx − 65dz; f) 12cx − 13cz + 60dx − 65dz. e) 13mz − 14mt + 65nz − 70nt; 7. Calculaţi aplicând descompunerea în factori: a) 11⋅23 − 11⋅47 + 19⋅23 − 19⋅47; b) 31⋅13 − 31⋅57 + 59⋅13 − 59⋅57; c) 13⋅33 − 13⋅67 + 87⋅33 − 87⋅67; d) 53⋅59 − 53⋅21 + 27⋅59 − 27⋅21. 8. Descompuneţi în factori aplicând metoda factorului comun: a) 8m(2 x + 5 y ) 2 − 5n(2x + 5y); b) 3s (5a + 2b) 2 − 8p(5a + 2b); c) 11d (4m − 9n) 2 − 13c(4m − 9n); d) 6a(8 p − 3q) 2 − 7b(8p − 3q). 9. Descompuneţi în factori raţionali: a) 4 x 2 − y 2 ; b) 9a 6 − b 2 ; c) m8 − 4n 2 ; d) p 2 − 9q 6 ; e) 16b 2 − d 10 . 10. Descompuneţi în factori raţionali: a) 5m 2 − 3n 4 ; b) 7 x 4 − 6 y 2 ; c) 2 p 6 − 5q 2 ; d) 5m 2 − 3n 4 ; e) 11a 8 − 10b 2 . 11. Descompuneţi în factori primi: a) 7 X 3 − 3 X ; b) 8 X 3 − 4 X ; c) 6 X 5 − 5 X 3 ; d) 2 X 6 − 3 X 4 ; e) 9 X 9 − 4 X 7 . 12. Descompuneţi în factori iraţionali: a) 4 x − 11 y; b) 8a − 9b; c) 16c − 13d ; d) 19m − 17 n; e) 25 p − 23q. 13. Calculaţi prin descompunere în factori: a) 732 − 17 2 ; b) 77 2 − 132 ; c) 812 − 19 2 ; d) 84 2 − 16 2 ; e) 67 2 − 332. 14. Calculaţi prin descompunere în factori: a) 1132 − 132 ; b) 224 2 − 24 2 ; c) 356 2 − 56 2 ; d) 457 2 − 57 2 ; e) 519 2 − 19 2. 15. Reproduceţi şi completaţi până la un pătrat perfect: a) 4x 6 + ... + y 2 ; b) 9a 4 + ... + b8 ; c) 25m10 + ... + 9b 2 ; e) 36c 6 + ... + d 2 ; f) 49q 8 + ... + r 4 . d) 25 p 2 + ... + q 6 ; 16. Reproduceţi şi completaţi până la un pătrat perfect: a) 25 x 4 y 8 − ... + 9; b) 4 a 4b 2 − ... + 36 c) 9m8 n 6 − ... + 49; d) 64 p 2 q10 − ... + 25; e) 16 m8 n 2 − ... + 9; f) 81x 4 y 6 − ... + 16. 17. Restrângeţi pătratul: a) 9 x 6 + 12 x 3 y + 4 y 2 ; b) 49a 4 + 42a 2b + 9b 2 ; c) 36b 4 + 12b 2 y 4 + y 8 ; d) 25m8 a 2 + 20m 4 a + 4; 18. Restrângeţi pătratul: a) 16a10b 4 − 24a 5b 2 + 9; Cap. III. Calcul algebric

e) 64c 2 + 48cd 2 + 9d 4 ;

f) 81a12 + 18a 6 p + p 2 .

b) 100a 2 x12 − 20ax 6 + 1;

c) 121a 6 y 2 − 22a 3 y + 1;

45

d) 25b 4 x 2 − 90b 2 x + 81; e) 81m 2 p10 − 36mp 5 + 4; f) 144b 2c 6 − 120bc 3 + 25. 19. Reproduceţi şi completaţi: a) 125a 3 + ... + ... + b3 = (5a + ...)3 ; b) 64 x 3 + ... + ... + a 6 = (4 x + ...) 3 ; c) 27b 6 + ... + ... + c 9 = (3b 2 + ...) 3 ;

d) 8 y12 + ... + ... + z 6 = (2 y 3 + ...) 3 ;

e) 216d 15 + ... + ... + m 3 = (6d 5 + ...) 3 ; f) 343 z18 + ... + ... + t15 = (7 z 6 + ...) 3 . 20. Restrângeţi cubul: a) 8a 3 + 12a 2b + 6ab 2 + b 3 ; b) x 6 + 9 x 4 y + 27 x 2 y 2 + 27 y 3 ; c) m 9 + 6m 6 n 2 + 12m 3n 4 + 8n 6 ; e) c 3 + 15c 2 d 3 + 75cd 6 + 125d 9 ; 21. Reproduceţi şi completaţi: a) 343a 6 − ... + ... − b 3 = (7 a 2 − ...) 3 ;

d) 27 p12 + 27 p 8 q + 9 p 4 q 2 + q 3 ; f) 64 z 3 + 24 z 2t 5 + 75 zt 10 + 125t 15 . b) 125 x 6 − ... + ... − a 9 = (5 x 2 − ...)3 ;

c) c12 − ... + ... − 64d 9 = (c 4 − ...)3 ;

d) 27 z15 − ... + ... − t12 = (3 z 5 − ...) 3 ;

e) m18 − ... + ... − 216n 3 = (m 6 − ...)3 ; 22. Restrângeţi cubul: a) 216 x12 − 108 x 8 y 6 + 18 x 4 y12 − y18 ;

f) x 21 − ... + ... − 729 y18 = ( x 7 − ...)3 .

c) 343c 3 − 147c 2 d 6 + 21cd 16 − d 24 ;

b) 64a 9 − 36a 6b 4 + 12a 3b8 − b12 ; d) m 9 − 9m 6 n 2 + 27 m 3 n 4 − 27 n 6 ;

e) p 3 − 6 p 2 q 3 + 12 pq 6 − 8q 9 ; f) z15 − 30 z10t 4 + 300 z 5t 8 − 1 000t 12 . 23. Reproduceţi şi completaţi: a) 27 x 3 + 8 y 3 = (3 x + 2 y )(9 x 2 − ... + ...); b) 125a 3 + 27b 6 = (5a + 3b 2 )(25a 2 − ... + ...); c) 64m3 + 729n9 = (4m + 9n 3 )(16m 2 − ... + ...); d) 343c12 + 8d 3 = (7c 4 + 2d )(49c 8 − ... + ...); e) 64 p15 + 27 q 9 = (4 p 5 + 3q 3 )(16 p10 − ... + ...); f) 64 z 24 + 125 y 3 = (4 z 8 + 5 y )(16 z16 − ... + ...). 24. Descompuneţi în factori primi polinomul: a) 1331X 6 + 8; b) 125 X 6 + 1; c) 64 X 3 + 27; d) 27Y 6 + 64; e) 125Z 3 + 8. 25. Descompuneţi în factori raţionali: a) 343a 3 x 6 + 1; b) 27b 3 y 9 + 1; c) 125c 9 m12 + 1; d) 216b 3n15 + 1; e) 64 p 3q18 + 1. 26. Reproduceţi şi completaţi: a) 27 x 3 − 64 y 6 = (3 x − 4 y 2 )(9 x 2 + ... + ...); b) 8m9 − 27 n 6 = (2m 3 − 3n 2 )(4m 6 + ... + ...); c) 125a12 − 8b 3 = (5a 4 − 2b)(25a 8 + ... + ...); d) 343m 24 − n3 = (7 m8 − n)(49m16 + ... + ...); e) 216 p15 − q 3 = (6 p 5 − q )(36 p10 + ... + ...); 46

Cap. III. Calcul algebric

f) 125c 3 − 64d 27 = (5c − 4d 9 )(25c 2 + ... + ...). 27. Descompuneţi în factori primi polinomul: a) 343 X 5 − X 2 ; b) 125Y 4 − Y ; c) 64 X 9 − X 6 ; d) Y 10 − 27Y 7 ; e) Z 11 − 8Z 8 . 28. Descompuneţi în factori raţionali: a) a 3 x 6 − 125; b) b 9 c 3 − 216; c) m 6 y 9 − 343; d) c12 z 3 − 27; e) d 15 p 3 − 729. 29. Aduceţi la forma cea mai simplă: 4mx 2 − 5my 2 5bx 3 − 7by 2 8cx 5 − 3cy 4 2ax − 3ay ; ; ; ; b) c) d) a) (2 x − 3 y ) 2 (4 x 2 − 5 y 2 )3 (5 x 3 − 7 y 2 ) 4 (8 x 5 − 3 y 4 )5 9dx 2 − 4dy 3n 3 x 5 − 2n 3 y 7 4 p8 x8 − 7 p8 y 5 3q 2 x 7 − 5q 2 y 6 ; ; ; . f) g) h) (9 x 2 − 4 y )5 (3 x 5 − 2 y 7 ) 6 (4 x8 − 7 y 5 )6 (3 x 7 − 5 y 5 ) 2 30. Aduceţi la forma cea mai simplă: 2x − 5 y 3a + 4b 6 m − 5n 3c − 5d a) c) d) 2 ; ; ; ; b) 2 2 2 2 2 2 4 x − 25 y 9a − 16b 36m − 25n 9c − 25d 2 4 p − 7q 5r + 4 s 7t − 2u 9v + 3w c) d) ; f) ; ; . e) 2 2 2 2 2 2 16 p − 49q 25r − 16 s 49t − 4u 81v 2 − 9 w2 31. Aduceţi la forma cea mai simplă: x3 + 2 5x 2 + 1 3x + 1 a) ; b) ; c) ; 9x2 + 6x + 1 x6 + 4 x3 + 4 25 x 4 + 10 x 2 + 1 x7 + 8 x 3 + 11 4x4 + 1 d) ; e) ; f) . x14 + 16 x 2 + 64 x 6 + 22 x 3 + 121 16 x 8 + 8 x 4 + 1 32. Aduceţi la forma cea mai simplă: 2x2 − 5 3x3 − 4 3x − 2 ; b) ; c) ; a) 4 x 4 − 20 x 2 + 25 9 x 6 − 24 x 3 + 16 9 x 2 − 12 x + 4 3x 7 − 5 2 x3 − 7 5x 4 − 2 ; e) ; f) . d) 9 x14 − 30 x 2 + 25 4 x 6 − 28 x 3 + 49 25 x 8 − 20 x 4 + 4 33. Aduceţi la forma cea mai simplă: x+3 2x + 1 3x + 1 ; b) ; c) 3 ; a) 3 2 3 2 2 8 x + 12 x + 6 x + 1 27 x + 27 x + 9 x + 1 x + 9 x + 27 x + 27 x+4 x+5 4x +1 ; e) 3 ; f) 3 . d) 3 2 2 2 64 x + 48 x + 12 x + 1 x + 12 x + 48 x + 64 x + 15 x + 75 x + 125 34. Aduceţi la forma cea mai simplă: 3x − 2 2x − 3 4x −1 a) ; b) ; c) ; 3 2 3 2 3 27 x − 54 x + 36 x − 8 8 x − 36 x + 54 x − 27 64 x − 48 x 2 + 12 x − 1 x−5 5x − 1 6x −1 d) ; e) ; f) 3 . 3 2 3 2 2 125 x − 75 x + 15 x − 1 216 x − 108 x + 18 x − 1 x − 15 x + 75 x − 125 35. Aduceţi la forma cea mai simplă: 6x + 5 y 4 a + 7b 3c + 8d 7 m + 5n ; b) ; c) ; d) ; a) 3 3 3 3 3 3 216 x + 125 y 64a + 343b 27c + 512d 343m 3 + 125n3 e)

Cap. III. Calcul algebric

47

9 p + 4q 7r + 4s 8u + 5v ; f) ; g) . 729 p 3 + 64q 3 343r 3 + 64 s 3 512u 3 + 125v 3 36. Aduceţi la forma cea mai simplă: 8x − 9 y 7 a − 8b 9 m − 5n 3c − 8d a) ; b) ; c) ; d) ; 3 3 3 3 3 3 512 x − 729 y 729a − 512b 729m − 125n 27c 3 − 512d 3 4u − 5s 6 p − 5q 2r − 9 s e) g) ; f) 3 ; . 3 3 3 216 p − 125q 8r − 729 s 64u 3 − 125s 3 37. Aduceţi la forma cea mai simplă: 4 x 2 − 6 xy + 9 y 2 16a 2 − 20ab + 25b 2 36m 2 − 30mn + 25n 2 b) ; ; ; c) a) 8 x 3 + 27 y 3 64a 3 + 125b 3 216m 3 + 125n 3 e)

16 p 2 − 12 pq + 9q 2 9r 2 − 21rs + 49 s 2 ; ; e) 64 p 3 + 27 q 3 27 r 3 + 343s 3 38. Aduceţi la forma cea mai simplă: 9 x 2 + 12 xy + 16 y 2 25a 2 + 20ab + 16b 2 ; ; b) a) 27 x 3 − 64 y 3 125a 3 − 64b3 d)

f)

49u 2 − 28uv + 16v 2 . 343u 3 + 64v 3

c)

49 p 2 + 21 pq + 9q 2 ; 343 p 3 − 27 q 3

36 s 2 + 18st + 9t 2 100m 2 + 30mn + 9n 2 49u 2 + 14uv + 4v 2 ; ; . e) f) 216 s 3 − 27t 3 343u 3 − 8v 3 1 000m 3 − 27 n 3 39. Raţionalizaţi numitorul raportului: 6 4 5 2 ; b) ; c) ; d) . a) 19 − 13 23 − 19 26 − 21 31 − 29 d)

−

II −

40. Aduceţi la forma cea mai simplă: a) 12 + 2 35 + 11 − 2 30 ; b) 17 + 2 70 − 13 − 2 42 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Descompuneţi în factori: a) până la radicali compuşi 256a 4 x 4 − y 4 ; b) primi polinomul 81X 4 − 4. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Descompuneţi în factori raţionali: b) 36(6a − 5b) 2 − 9(4a + 9b) 2 . a) (7 x − 4 y ) 2 − (5 x + 3 y ) 2 ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Descompuneţi în factori raţionali: 1 a) 4( 2 x − 9 y ) 2 − 25(4 x + 5 y ) 2 ; b) − 16b 2 . 2 (7 a − 3b) Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Descompuneţi în factori raţionali (4 x 2 + y 2 ) 2 − 16 x 2 y 2 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 48

Cap. III. Calcul algebric

45. Descompuneţi în factori raţionali: a) (2 x − y ) 2 − 2a( 2 x − y ) + a 2 ; b) (4 x + 5 y ) 2 − 2(4 x + 5 y )(3 x − 2 y ) + (3 x − 2 y ) 2 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 46. Descompuneţi în factori raţionali: a) (3x + 10 y ) 2 − 4 x 2 + 20 xy − 25 y 2 ; b) 4 x 2 − 36ax + 81a 2 − 25 y 2 − 20by − 4b 2 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 47. Descompuneţi în factori raţionali: a) (3x − 1) 3 + 3 y (3x − 1) 2 + 3 y 2 (3 x − 1) + y 3 ; b) (7 x − 2 y )3 − 12 x 2 (7 x − 2 y ) + 6 x(7 x − 2 y ) 2 − 8 x 3 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 48. Descompuneţi în factori raţionali: a) (8 x − 3 y ) 3 + 3(8 x − 3 y ) 2 (5 x + 2) + 3(8 x − 3 y )(5 x + 2) 2 + (5 x + 2) 3 ; b) (2 x + 5 y ) 3 − 3(2 x + 5 y )(7 x + 6 y ) 2 + 3(2 x + 5 y )(7 x + 6 y ) 2 − (7 x + 6 y ) 3 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 49. Descompuneţi în factori raţionali: b) (11x + 3 y )3 − 8 y 3 . a) (9 x − 5 y )3 + 27 x 3 ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 50. Descompuneţi în factori raţionali: b) 8(6 x + 5 y )3 − ( y − 4)3 . a) 27(2 x − 3 y )3 + ( x + 1)3 ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 51. Descompuneţi în factori primi: a) X 2 + 12 X + 11; b) X 2 − 10 X + 21; c) X 2 + 4 X − 77; d) X 2 − 5 X − 104. 52. Descompuneţi în factori primi: a) 44 X 2 + 15 X + 1; b) 60 X 2 − 17 X + 1; c) 27 X 2 − 6 X − 1. 53. Aduceţi la forma cea mai simplă şi precizaţi dacă se modifică DVA: (3 x − 5 y ) 2 − ( x − 8 y ) 2 9 x 2 − 25 y 2 ; . a) b) 9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 4x2 − 9 y2 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 54. Aduceţi la forma cea mai simplă şi precizaţi dacă se modifică DVA: (6 x − 5 y − 4) 2 − (3 x − 4) 2 25 x 2 + 60 xy + 36 y 2 − 64 ; b) . a) 81x 2 − 90 xy + 25 y 2 − 64 (7 x − 3 y − 6) 2 − ( 2 x − 9 y + 2) 2 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 55. Aduceţi la forma cea mai simplă şi precizaţi dacă se modifică DVA: (5 x − 2 y )3 + 27 y 3 125 x 3 − 225 x 2 y + 27 xy 2 − 27 y 3 ; . b) a) 125 x 3 + 525 x 2 y + 735 xy 2 + 343 y 3 (8 x − 3 y )3 − 27 x 3 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. Cap. III. Calcul algebric

49

56. Aduceţi la forma cea mai simplă şi precizaţi dacă se modifică DVA: x 2 + 10 x + 21 x 2 + 9 x − 136 117 x 2 + 21x + 1 99 x 2 − 20 x + 1 a) 2 ; b) 2 ; c) ; d) . x + 8 x + 15 x − 6 x − 16 65 x 2 + 18 x + 1 36 x 2 − 13 x + 1 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. −

III −

x2 + x + 1 este număr întreg. x−3 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 1 1 1 58. Se ştie că x + = 28. Calculaţi x 2 + 2 şi x 3 + 3 . x x x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 59. a) Dezvoltaţi cu ajutorul unui desen ( x + y + z + t ) 2 . b) Verificaţi rezultatul anterior prin calcul. 60. Aduceţi la forma cea mai simplă x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 61. Descompuneţi în factori primi polinomul: b) X 4 + 3 X 2 + 1. a) X 4 − 3 X 2 + 1; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 62. Descompuneţi în factori primi polinomul: b) X 4 − X 2 + 1; c) X 8 + X 4 + 1; a) X 4 + X 2 + 1; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 63. Descompuneţi în factori primi polinomul: b) X 8 + 1; c) X 16 − 1. a) X 8 − 1; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 64. Pentru orice x ∈ R comparaţi cu 0: a) x 2 + x + 1; b) x 2 − x + 1. 65. Descompuneţi în factori primi polinomul: b) ( X + Y + Z ) 3 − X 3 − Y 3 − Z 3 + 3 XYZ . a) ( X + Y + Z )3 − X 3 − Y 3 − Z 3 ; 66. Scrieţi ca sumă infinită: 1 1 1 a) b) c) ; ; . 1− x 1+ x 1 + x + x2 57. Aflaţi numerele întregi x pentru care

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. 2. 3. 4. 5. 50

X 2 − Y 2 ... X 2 + 2 XY + Y 2 = … X 2 − 2 XY + Y 2 = … X 3 + 3 X 2Y + 3 XY 2 + Y 3 = … X 3 − 3 X 2Y + 3 XY 2 − Y 3 = … Cap. III. Calcul algebric

6. X 3 + Y 3 = ... 7. X 3 − Y 3 = ... 8. X 2 + Y 2 + Z 2 + 2 XY + 2YZ + 2 XZ = ... 9. (Facultativ) X 3 + Y 3 + Z 3 + 3( X + Y )(Y + Z )( Z + X ) = ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Descompuneţi în factori raţionali: 1. Descompuneţi în factori raţionali: 4 6 2 2 a) a 6 − 3b 4 ; b) 5 X 2 − 9Y 2 . a) x − 2 y ; b) 4 X − 3Y . 2. Aplicând descompunerea în fac2. Aplicând descompunerea în factori, calculaţi: tori, calculaţi: a) 19⋅83 − 19⋅35 + 19⋅52; a) 17⋅74 − 17⋅28 + 17⋅54; 2 2 b) 835 2 − 65 2. b) 773 − 27 . 3. Descompuneţi în factori raţionali: 3. Descompuneţi în factori raţionali: 4 2 a) x 4 + 16 x 2 + 64; a) a + 12a + 36; b) y 2 − 14b + 49. b) b 2 − 18b + 81. 4. Descompuneţi în factori raţionali: 4. Descompuneţi în factori raţionali: 3 3 3 3 a) 27 x + 8a ; b) 64d − m . a) 8b 3 + 27c 3 ; b) a 3 − 64b 3 . 5. Aduceţi la forma cea mai simplă: 5. Aduceţi la forma cea mai simplă: 6 x 2 − 14 xy 35 x 2 − 15 xy . . 27 x 3 − 343 y 3 343 x 3 − 27 y 3 6. Descompuneţi în factori raţionali: 6. Descompuneţi în factori raţionali: 2 2 a) (3x − 2) − 4 x ; a) (5 x − 3) 2 − 9 x 2 ; b) 9 x 2 y 2 − (4 xy − 3) 2 . 7. Descompuneţi în factori raţionali: a) x 3 + 6 x 2 a 2 + 12 xa 4 + 8a 6 ;

b) 4 x 2 y 2 − (9 xy − 2) 2 . 7. Descompuneţi în factori raţionali: a) 27 x 6 + 27 x 4 a + 9 x 2 a + a 3 ;

b) 27 x 6 − 27 x 4b + 9 x 2b 2 − b 3 . b) 8 x 3 − 6 x 2b 4 + 12 xb 2 − b 6 . 8. Aduceţi la forma cea mai simplă 8. Aduceţi la forma cea mai simplă şi şi precizaţi DVA: precizaţi DVA: 36 x 2 − 60 xy + 25 y 2 − 16a 2 25 x 2 − 60 xy + 36 y 2 − 4a 2 . . 2 2 2 36 x − 25 y + 40ay − 16a 25 x 2 − 36 y 2 + 24ay − 4a 2

9. Aflaţi numerele întregi x pentru 9. Aflaţi numerele întregi x pentru 2 x − 10 x + 20 x 2 − 12 x + 29 este număr întreg. este număr întreg. care care x −5 x−6 Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 60 minute.

Cap. III. Calcul algebric

51

Capitolul IV. Ecuaţia de gradul II Ecuaţia de gradul I în R. Fie polinomul de gradul I cu coeficienţi reali aX + b. Evident că a ≠ 0. Atunci ecuaţia ataşată acestui polinom, ax + b = 0, este o ecuaţie de ⎧ b⎫ gradul I. Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei de gradul I ax + b = 0 este S = ⎨− ⎬ . ⎩ a⎭ Rădăcina unui polinom de gradul I este soluţia ecuaţiei ataşate lui. Ecuaţia afină ax + b = 0 are coeficienţii reali a şi b. Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei afine ax + b = ⎧ b⎫ 0 este: S = ⎨− ⎬ , dacă a ≠ 0; S = R, dacă a = b = 0; S = ∅, dacă a = 0 şi b ≠ 0. La ⎩ a⎭ rezolvarea unei ecuaţii afine se aplică proprietăţile egalităţii numerelor reale. Ecuaţia de gradul II în R. Fie polinomul de gradul II cu coeficienţi reali aX 2 + bX + c. Evident că a ≠ 0. Atunci ecuaţia ataşată acestui polinom, ax 2 + bx + c = 0, este o ecuaţie de gradul II. La rezolvarea unei ecuaţii de gradul II se aplică proprietăţile egalităţii numerelor reale şi teorema: un produs de numere reale este egal cu 0 dacă şi numai dacă cel puţin unul dintre factorii produsului este egal cu 0. Ecuaţii de gradul II forme incomplete. 1) Ecuaţia ax 2 = 0 are mulţimea soluţiilor S = {0}. 2) Fie ecuaţia ax 2 + bx = 0. ax 2 + bx = 0 ⇔ x(ax + b) = 0. Ecuaţia are b⎫ ⎧ mulţimea soluţiilor S = ⎨0, − ⎬ . 3) Fie ecuaţia ax 2 + c = 0. Atunci ax 2 + c = 0 ⇔ a⎭ ⎩ ⎧ c c⎫ c c ax 2 = − c ⇔ x 2 = − . a) Dacă < 0, atunci ecuaţia are S = ⎨− − , − ⎬ . a a a a⎭ ⎩

c > 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale sau S = ∅. a Ecuaţia de gradul II forma completă. Fie ecuaţia ax 2 + bx + c = 0 cu a, b, c numere reale nenule. ax 2 + bx + c = 0 ⇔ 4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0 ⇔ 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 − b 2 + 4ac = 0 ⇔ (2ax + b) 2 − (b 2 − 4ac) = 0. Numărul ∆ (se citeşte „delta“) = b) Dacă

b 2 − 4ac este discriminantul (realizantul) ecuaţiei. a) Dacă ∆ > 0, atunci x1 =

⎧− b − ∆ − b + ∆ ⎫ −b− ∆ −b+ ∆ şi x2 = , iar S = ⎨ , ⎬ . În particular, dacă: b = 2a 2a 2a ⎭ ⎩ 2a 2b′, atunci x1 = − b′ − b′2 − ac şi x2 = − b′ + b′ 2 − ac , iar S =

}

{−b′ −

b′2 − ac ,

− b − b 2 − 4c − b + b 2 − 4c şi x2 = , iar S = 2 2 b ⎧ b ⎫ b) Dacă ∆ = 0, atunci x1 = x2 = − , iar S = ⎨− ⎬ . 2a ⎩ 2a ⎭

− b′ − b′ 2 − ac ; a = 1, atunci x1 =

⎧− b − ∆ − b + ∆ ⎫ , ⎨ ⎬. 2a ⎭ ⎩ 2a c) Dacă ∆ < 0, atunci ecuaţia nu are soluţii reale, S = ∅. 52

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

Teoremă. Mulţimea soluţiilor în R ale unei ecuaţii de gradul II: a) are două elemente dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mare decât 0 (∆ > 0); b) un singur element dacă şi numai dacă discriminantul său este egal cu 0 (∆ = 0); c) mulţimea vidă dacă şi numai dacă discriminantul său este mai mic decât 0 (∆ < 0). Rădăcinile reale ale polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = aX 2 + bX + c. Numărul r este rădăcină a polinomului P(X), dacă P(r) = 0. a) Dacă ∆ > 0, −b− ∆ −b+ ∆ atunci polinomul are rădăcinile x1 = şi x2 = . În particular, dacă: b 2a 2a = 2b′, atunci polinomul are rădăcinile x1 = − b′ − b′2 − ac şi x2 = − b′ + b′2 − ac ;

− b − b 2 − 4c − b + b 2 − 4c şi x2 = . b) Dacă ∆ = 0, 2 2 b atunci rădăcinile polinomului sunt x1 = x2 = − . c) Dacă ∆ < 0, atunci polinomul 2a nu are rădăcini reale. Teoremă. Un polinom de gradul II: a) are două rădăcini reale diferite dacă şi numai dacă are discriminantul mai mare decât 0 (∆ > 0); b) două rădăcini reale egale dacă şi numai dacă are discriminantul egal cu 0 (∆ = 0); c) nu are rădăcini reale dacă şi numai dacă are discriminantul mai mic decât 0 (∆ < 0). Descompunerea polinomului de gradul II cu coeficienţi reali P(X) = aX 2 + bX + c. Dacă ∆ > 0, atunci P(X) = a( X − x1 )( X − x2 ), unde rădăcinile x1 şi x2 sunt rădăcinile reale ale polinomului. Teorema lui Viète pentru rădăcinile polinomului de gradul II aX 2 + bX + c. −b− ∆ −b+ ∆ a) Dacă ∆ > 0, atunci polinomul are rădăcinile x1 = şi x2 = . 2a 2a b c Suma rădăcinilor este s = x1 + x2 = − , iar produsul rădăcinilor este p = x1 x2 = . a a b b) Dacă ∆ = 0, atunci rădăcinile polinomului sunt x1 = x2 = − . Suma rădăcinilor 2a b c este s = x1 + x2 = − , iar produsul rădăcinilor este p = x1 x2 = . a a Alte relaţii între coeficienţii şi rădăcinile polinomului de gradul II aX 2 + bX + c. Fie s = x1 + x2 şi p = x1 x2 . 1) Suma pătratelor rădăcinilor este s ( 2) = x12 + x22 = a = 1, atunci el are x1 =

( x1 + x2 ) 2 − 2 x1 x2 = s 2 − 2p. 2) Suma cuburilor rădăcinilor este s (3) = x13 + x23 = b c ( x1 + x2 ) 3 − x1 x2 ( x1 + x2 ) = s 3 − 3sp. 3) ax12 + bx1 + c = 0 ⇒ x12 + x1 + = 0 ⇒ a a x12 − sx1 + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia x22 − sx2 + p = 0, (2). Înmulţind relaţia (1) cu x1n − 2 , obţinem x1n − sx1n−1 + px1n − 2 = 0, (3). Înmulţind relaţia (2) cu x2n − 2 , obţinem x2n − sx2n−1 + px2n − 2 = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), obţinem ( x1n + x2n ) − Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

53

s ( x1n −1 + x2n −1 ) + p ( x1n − 2 + x2n − 2 ) = 0, de unde rezultă s ( n ) − ss ( n −1) + ps ( n − 2) = 0, (5). Polinom de gradul II cu rădăcinile date şi coeficientul dominant 1. Polinomul de gradul II în nedeterminanta X cu coeficientul dominant 1 şi rădăcinile m şi n este X 2 − sX + p, unde s = m + n şi p = mn. Relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II ax 2 + bx + c = 0. Dacă −b− ∆ −b+ ∆ ∆ ≥ 0, atunci ecuaţia are soluţiile x1 = şi x2 = . Suma soluţiilor 2a 2a b c este s = x1 + x2 = − , iar produsul soluţiilor este p = x1 x2 = . a a Alte relaţii între coeficienţii şi soluţiile ecuaţiei de gradul II ax 2 + bx + c = 0. Fie s = x1 + x2 şi p = x1 x2 . 1) Suma pătratelor soluţiilor este s ( 2) = x12 + x22 = s 2 − 2p. 2) Suma cuburilor rădăcinilor este s (3) = x13 + x23 = s 3 − 3sp. 3) ax12 + bx1 + c = 0 ⇒ c b = 0 ⇒ x12 − sx1 + p = 0, (1). Analog se obţine relaţia x22 − sx2 + p = 0, x12 + x1 + a a (2). Înmulţind relaţia (1) cu x1n − 2 , obţinem x1n − sx1n−1 + px1n − 2 = 0, (3). Înmulţind relaţia (2) cu x2n − 2 , obţinem x2n − sx2n−1 + px2n − 2 = 0, (4). Adunând relaţiile (3) şi (4), obţinem ( x1n + x2n ) − s ( x1n −1 + x2n −1 ) + p ( x1n − 2 + x2n − 2 ) = 0, de unde rezultă s ( n ) − ss ( n −1) + ps ( n − 2) = 0, (5). Ecuaţia de gradul II cu soluţiile date. Ecuaţia de gradul II cu soluţiile m şi n este 2 x − sx + p, unde s = m + n şi p = mn. Ecuaţia bipătrată. Ecuaţia de gradul IV de forma ax 4 + bx 2 + c = 0 este o ecuaţie bipătrată. O ecuaţie bipătrată se rezolvă cu ajutorul substituţiei x 2 = y. Soluţiile reale ale ecuaţiei bipătrate se află rezolvând în R ecuaţiile x 2 = y1 şi x 2 = y2 , unde y1 şi y2 sunt soluţiile reale ale ecuaţiei ay 2 + by + c = 0. Numărul de aur. (Suplimentar) Fie punctul C ∈ (AB) astfel încât

AC BC = . BC AB

1 l−x x − 1 = ϕ. După ce se = ϕ sau = x l ϕ rezolvă ecuaţia de gradul II se obţine valoarea rapoartelor proporţiei, care este numă1+ 5 rul de aur ϕ = . Pentru vechii greci, dreptunghiul cu raportul dimensiunilor ϕ 2 încântă privirea. Punctul C de mai sus împarte segmentul AB în „medie şi extremă raţie“. Numărul de aur a fost folosit atât de veche arhitectură greacă cât şi de arta şi arhitectura Renaşterii. În 1650 î.Hr. papirusul Rhind se referă la un „raport sacru “. De exemplu, raportul dintre înălţimea piramidei Gizeh şi lungimea laturii bazei sale este 1,618. Considerăm AB = l şi BC = x şi se obţine

54

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

1. Ecuaţii. Rezolvarea ecuaţiei de gradul II −

I−

1. Recunoaşteţi gradul polinomului: a) − 3 X 2 + 4X + 2; b) 5X + 17; c) − 7 X 3 + 3 X 2 + 2X + 5. 2. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: a) −7X + 2; b) −9X + 26; c) −12X − 13; d) −8X + 19. 3. Scrieţi ecuaţia ataşată polinomului: a) − 8 X 2 + 7X + 9; b) − 5 X 2 + 9X + 12; c) − 2 X 2 + 17X + 31. 4. Enumeraţi coeficienţii ecuaţiei în x, de forma ax + b = 0: a) 4x + 5 = 0; b) −11x + 9 = 0; c) 17x − 18 = 0; d) −19x + 11 = 0. 5. Enumeraţi coeficienţii ecuaţiei în y: a) −5y + 3 = 0; b) −23y + 7 = 0; c) 28y − 15 = 0; d) 16y − 7 = 0. 6. Enumeraţi coeficienţii ecuaţiei în x, de forma ax + b = 0: a) 3mx − 2(1 − 4m) = 0; b) 2(m − 1)x + 5(2 + 3m) = 0; c) 7(m + 1)x − 8(9 − 5m) = 0; d) 13(m − 8)x − 6(5m − 6) = 0. 7. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) 5x − 7 = 5; b) 9x − 11 = 2; c) 10x − 14 = 17; d) 15x − 58 = 21. 8. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) 8x + 15 = 3x + 12; b) 9x + 18 = 3x + 17; c) 91x + 37 = 51x + 43; d) 11x + 3 = 7x + 15; e) 26x + 4 = 7x + 83; f) 58x + 32 = 55x + 72. 9. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) (3x + 5)(3x − 5) = 9 x 2 + 4x; b) (5x + 2)(5x − 2) = 25 x 2 + 11x; c) (4x + 3)(4x − 3) = 16 x 2 + 5x; d) (7x + 2)(7x − 2) = 49 x 2 + 19x. 10. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) (2 x + 3) 2 = (2 x − 4) 2 ; b) (2 x + 1) 2 = (2 x − 3) 2 ;

c) (4 x + 1) 2 = (4 x − 3) 2 ;

d) (5 x + 1) 2 = (5 x − 2) 2 ;

e) (3x + 2) 2 = (3x − 4) 2 ; f) (6 x + 1) 2 = (6 x − 5) 2 . 11. Construiţi ecuaţia în x de forma ax + b = 0, echivalentă cu: a) (4 x + 7) 2 = (4x + 1)(4x − 1); b) (2 x + 1) 2 = (2x + 3)(2x − 3); c) (5 x + 1) 2 = (5x + 1)(5x − 1);

d) (3x + 2) 2 = (3x + 4)(3x − 4);

e) (5 x + 3) 2 = (5x + 2)(5x − 2);

f) (6 x + 1) 2 = (6x + 5)(6x − 5). b 12. Construiţi ecuaţia în x de forma x = − , echivalentă cu: a a) 3x + 5 = 0; b) 9x + 2 = 0; c) 7x + 3 = 0; d) 6x + 7 = 0; e) 5x + 12 = 0. 13. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 5x + 12 = 7; b) 9x + 43 = 29; c) 12x + 17 = 26; d) 18x + 31 = 25. 14. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 2x + 11 = 3x − 4; b) 3x + 15 = 7x − 13; c) 35x + 46 = 37x − 19; d) 7x + 33 = 9x − 14; e) 21x + 42 = 25x − 8; f) 41x + 26 = 45x − 48. Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

55

15. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 3(7x + 2) = 4(3x − 2); c) 4(6x + 5) = 5(2x − 3); e) 8(2x + 3) = 6(2x − 5); 16. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 2x(5x + 1) = (2x − 1)(5x − 1); c) 7x(2x + 3) = (2x − 3)(7x − 2); e) 9x(2x + 5) = (2x − 1)(9x − 1); 17. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (3x + 2)(5x + 1) = 5x(3x − 4); c) (6x + 1)(2x + 1) = 4x(3x − 5); e) (5x + 2)(3x + 1) = 5x(3x − 8); 18. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (2x + 3)(2x − 3) = (2 x + 5) 2 ;

c) (2x + 5)(2x − 5) = (2 x + 3) 2 ;

b) 5(2x + 3) = 2(7x − 5); d) 5(9x + 1) = 7(2x − 3); f) 9(5x + 3) = 8(7x − 2). b) 4x(3x + 2) = (3x − 1)(4x − 1); d) 3x(5x + 7) = (3x − 2)(5x − 2); f) 8x(3x + 1) = (3x − 1)(8x − 1). b) (2x + 1)(3x + 1) = 3x(2x − 1); d) (3x + 5)(7x + 1) = 7x(3x − 5); f) (8x + 1)(3x + 2) = 6x(4x − 7). b) (3x + 4)(3x − 4) = (3x + 4) 2 ; d) (4x + 3)(4x − 3) = (4 x + 3) 2 ;

e) (5x + 2)(5x − 2) = (5 x + 3) 2 ; f) (6x + 1)(6x − 1) = (6 x + 5) 2 . 19. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | x | = 11; b) | x | = 14; c) | x | = 56; d) | x | = 29; e) | x | = 43. 21. Rezolvaţi în R: a) | x − 1 | = 9; b) | x − 2 | = 3; c) | x − 3 | = 5; d) | x − 5 | = 15. 22. Rezolvaţi în R: a) | 2x − 3 | = 2; b) | 3x − 2 | = 5; c) | 4x − 3 | = 7; d) | 5x − 4 | = 8. 23. Rezolvaţi în R: a) x 2 = 2; b) x 2 = 7; c) x 2 = 10; d) x 2 = 26; e) x 2 = 31. 24. Aflaţi lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu lungimile catetelor de: a) 2 cm şi 7 cm; b) 8 cm şi 3 cm; c) 12 cm şi 5 cm; d) 8 cm şi 13 cm. 25. Aflaţi lungimea unei catete a unui triunghi dreptunghic cu lungimea celeilalte catete şi lungimea ipotenuzei respectiv egale cu: a) 3 cm şi 11 cm; b) 4 cm şi 15 cm; c) 5 cm şi 17 cm; d) 8 cm şi 19 cm. 26. Aflaţi lungimea înălţimii corespunzătoare ipotenuzei unui triunghi dreptunghic, dacă lungimea unei catete şi lungimea proiecţiei sale pe ipotenuza triunghiului respectiv egale cu: a) 13 cm şi 12 cm; b) 15 cm şi 11 cm; c) 31 cm şi 4 cm; d) 21 cm şi 5 cm; e) 17 cm şi 6 cm; f) 22 cm şi 7 cm. 27. Aflaţi lungimea unei catete a unui triunghi dreptunghic, dacă lungimea proiecţiei sale pe ipotenuza triunghiului şi înălţimea corespunzătoare ipotenuzei lui sunt respectiv egale cu: a) 14 cm şi 5 cm; b) 5 cm şi 12 cm; c) 8 cm şi 13 cm; d) 15 cm şi 8 cm. 28. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 2 = −9; b) x 2 = −16; c) x 2 = −25; d) x 2 = −81. 29. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) ( x − 4) 2 = 9; b) ( x − 7) 2 = 16; c) ( x − 5) 2 = 81; d) ( x − 8) 2 = 25; 56

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

e) ( x − 9) 2 = 36; f) ( x − 11) 2 = 49; g) ( x − 12) 2 = 64; h) ( x − 13) 2 = 4. 30. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (2 x − 1) 2 = 4; b) (3x − 1) 2 = 16; c) (4 x − 1) 2 = 9; d) (5 x − 1) 2 = 25. 31. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (5 x − 1) 2 = −2; b) (3x − 1) 2 = −5; c) (4 x − 1) 2 = −7; d) (6 x − 1) 2 = −9. 32. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (x + 4)(x + 7) = 0; b) (x + 5)(x + 9) = 0; c) (x + 11)(x + 17) = 0. 33. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 2 − 16 = 0; b) x 2 − 9 = 0; c) x 2 − 25 = 0; d) x 2 − 49 = 0. 34. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 2 − 19 = 0; b) x 2 − 21 = 0; c) x 2 − 35 = 0; d) x 2 − 71 = 0. 35. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) X 2 − 11; b) X 2 − 17; c) X 2 − 26; d) X 2 − 67; e) X 2 − 73. 36. Rezolvaţi în R: a) 3 x 2 − 39 = 0; b) 4 x 2 − 44 = 0; c) 5 x 2 − 30 = 0; d) 7 x 2 − 42 = 0. 37. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) 2 X 2 − 27; b) 3 X 2 − 42; c) 4 X 2 − 52; d) 5 X 2 − 35; e) 6 X 2 − 66. 38. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) − X 2 + 9; b) − X 2 + 4; c) − X 2 + 16; d) − X 2 + 49; e) − X 2 + 81. 39. Aflaţi polinomul ale cărui rădăcini sunt soluţii ale ecuaţiei: a) 9 x 2 − 20 = 0; b) 4 x 2 − 17 = 0; c) 25 x 2 − 14 = 0; d) 25 x 2 − 18 = 0. 40. Aflaţi polinomul ale cărui rădăcini sunt soluţii ale ecuaţiei: a) 4 x 2 = 35; b) 16 x 2 = 5; c) 9 x 2 = 11; d) 25 x 2 = 3; e) 64 x 2 = 17. 41. Aflaţi polinomul ale cărui rădăcini sunt soluţii ale ecuaţiei: a) (7 x − 8) 2 = 19; b) (3x − 4) 2 = 21; c) (4 x − 8) 2 = 15; d) (6 x − 11) 2 = 18. 42. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 2 + 25 = 0; b) x 2 + 64 = 0; c) x 2 + 49 = 0; d) x 2 + 64 = 0. 43. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) X 2 + 28; b) X 2 + 29; c) X 2 + 41; d) X 2 + 59. 44. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 6 x 2 + 961 = 0; b) 5 x 2 + 325 = 0; c) 7 x 2 + 841 = 0; d) 8 x 2 + 562 = 0. 45. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: b) 4 X 2 + 76; c) 5 X 2 + 46; d) 9 X 2 + 48. a) 3 X 2 + 22; 46. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (x + 1)(x + 2,3)(x − 1,7(31)) = 0; b) (x + 5)(x + 4,8)(x − 2,2(42)) = 0; c) (x + 6)(x + 4,7)(x − 9,3(57)) = 0; d) (x + 9)(x + 8,3)(x − 4,6(27)) = 0. 47. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 2 − 3 = 23; b) x 2 − 4 = 36; c) x 2 − 7 = 75; d) x 2 − 12 = 8; e) x 2 − 5 = 92; f) x 2 − 8 = 28; g) x 2 − 9 = 95; d) x 2 − 26 = 34. Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

57

48. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: b) 7 x 2 − 15 = 6; c) 5 x 2 − 38 = 4; a) 9 x 2 − 11 = 2; 49. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 2x(4x + 3) = 0; b) 7x(5x + 2) = 0; c) 9x(3x + 8) = 0; 50. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) 11x(5x − 7) = 0; b) 5x(3x − 7) = 0; c) 4x(8x − 5) = 0; 51. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 3 x 2 − 5x = 0; b) 5 x 2 − 7x = 0; c) 6 x 2 − 7x = 0; 52. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) 13 x 2 − 8x = 0; b) 37 x 2 − 4x = 0; c) 29 x 2 − 9x = 0; 53. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) X 2 + 7X; b) X 2 + 15X; c) X 2 + 29X; 54. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) 6 X 2 − 5X; b) 7 X 2 − 9X; c) 8 X 2 − 15X; 55. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: b) − 5 X 2 − 4X; c) − 2 X 2 − 71X; a) − 4 X 2 − 7X; 56. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) ( x − 1) 2 − 16 = 0; b) ( x − 2) 2 − 81 = 0; c) ( x − 5) 2 2

2

d) 8 x 2 − 95 = 3. d) 6x(8x + 7) = 0. d) 7x(5x − 9) = 0. d) 9 x 2 − 8x = 0. d) 42 x 2 − 5x = 0. d) X 2 + 31X. d) 9 X 2 − 16X. d) − 8 X 2 − 93X. − 121 = 0;

2

d) ( x − 8) − 256 = 0; c) ( x − 6) − 169 = 0; d) ( x − 7) − 196 = 0. 57. Aflaţi polinomul ale cărui rădăcini sunt soluţii ale ecuaţiei: a) (3x − 1) 2 − 124 = 0; b) (5 x − 8) 2 − 192 = 0; c) (4 x − 9) 2 − 951 = 0; d) (7 x − 12) 2 − 156 = 0; e) (2 x − 19) 2 − 16 = 0; 58. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) (5 x − 2) 2 + 7 = 0; b) (4 x − 9) 2 + 6 = 0; 59. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: b) (7 x − 2) 2 + 21 = 0; a) (2 x − 15) 2 + 9 = 0; 60. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) (5 x − 11) 2 = 0; b) (4 x − 13) 2 = 0; 61. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: b) (x + 7)(x + 9) = 0; a) (x + 8)(x + 5) = 0; 62. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) (x − 11)(x + 4) = 0; b) (x − 13)(x + 3) = 0; 63. Aflaţi polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: a) (x − 9)(x − 12) = 0; b) (x − 4)(x − 18) = 0; 64. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) X 2 + 6X + 9; b) X 2 + 8X + 16; 65. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: a) X 2 − 12X + 36; b) X 2 − 14X + 49; 66. Aflaţi rădăcinile reale ale polinomului: b) 9 X 2 − 12X + 4; a) 4 X 2 − 12X + 9 ; 58

f) (6 x − 7) 2 − 351 = 0. c) (8 x − 7) 2 − 261 = 0. c) (4 x − 11) 2 + 258 = 0. c) (6 x − 7) 2 = 0. c) (x + 6)(x + 8) = 0. c) (x − 15)(x + 6) = 0. c) (x − 7)(x − 21) = 0. c) X 2 + 10X + 25. c) X 2 − 18X + 81. c) 16 X 2 − 24X + 9. Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

67. Separaţi pătratul unui binom în polinomul: b) X 2 + 12X + 37; c) X 2 + 14X + 50. a) X 2 + 10X + 26; 68. Separaţi pătratul unui binom în polinomul: b) X 2 + 16X + 80; c) X 2 + 20X + 99. a) X 2 + 8X + 1; 69. Separaţi pătratul unui binom în polinomul: a) X 2 − 10X + 23; b) X 2 − 16X + 67; c) X 2 − 22X + 123. 70. Enumeraţi coeficienţii ecuaţiei de forma ax 2 + bx + c = 0: a) 3 x 2 − 7x + 2 = 0; b) 5 x 2 − 9x + 8 = 0; c) 2 x 2 − 10x + 13 = 0. 71. Construiţi ecuaţia de forma ax 2 + bx + c = 0 având coeficienţii: a) a = 12, b = 9, c = −1; b) a = 5, b = 13, c = −7; c) a = 16, b = 34, c = −9. 72. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: a) x 2 + 3x + 15 = 0; b) x 2 + 9x + 26 = 0; c) x 2 + 12x + 10 = 0. 73. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: b) x 2 − 17x + 70 = 0; c) x 2 − 19x + 90 = 0. a) x 2 − 11x + 24 = 0; 74. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia:

b) x 2 − 19x − 42 = 0; c) x 2 − 23x − 50 = 0. a) x 2 − 13x − 30 = 0; 75. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: a) x 2 + 9x − 20 = 0; b) x 2 + 8x − 105 = 0; c) x 2 + 9x − 191 = 0. 76. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: a) 2 x 2 + 5x − 7 = 0; b) 5 x 2 + 9x − 2 = 0; c) 7 x 2 + 17x − 3 = 0. 77. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: a) x 2 − 3x + 3 = 0; b) x 2 − 5x + 7 = 0; c) x 2 − 8x + 10 = 0. 78. Stabiliţi dacă are soluţii reale ecuaţia: b) 6 x 2 − 10x + 5 = 0; c) 7 x 2 − 12x + 5 = 0. a) 5 x 2 − 8x + 4 = 0; 79. Stabiliţi dacă are rădăcini reale polinomul căruia i se ataşează ecuaţia: b) 7 x 2 − 18x + 15 = 0; c) 9 x 2 − 14x + 17 = 0. a) 5 x 2 − 12x + 6 = 0; 80. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 2 − 7x + 12 = 0; b) x 2 − 9x + 20 = 0; c) x 2 − 11x + 28 = 0; e) x 2 − 12x + 35 = 0; d) x 2 − 9x + 18 = 0; 81. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: b) x 2 + 12x + 20 = 0; a) x 2 + 10x + 24 = 0; e) x 2 + 18x + 45 = 0; d) x 2 + 16x + 39 = 0; 82. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: b) x 2 − 14x − 51 = 0; a) x 2 − 12x − 28 = 0; e) x 2 − 12x − 48 = 0; d) x 2 − 12x − 45 = 0; 83. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: b) 6 x 2 + 7x + 1 = 0; a) 3 x 2 + 4x + 1 = 0; d) 8 x 2 + 9x + 1 = 0; Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

e) 11x 2 + 12x + 1 = 0;

f) x 2 − 14x + 40 = 0. c) x 2 + 14x + 40 = 0; f) x 2 + 20x + 51 = 0. c) x 2 − 10x − 50 = 0; f) x 2 − 12x − 105 = 0. c) 7 x 2 + 8x + 1 = 0; f) 13 x 2 + 14x + 1 = 0. 59

84. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) 6 x 2 − 5x + 1 = 0; b) 6 x 2 − 7x + 1 = 0;

d) 8 x 2 − 9x + 1 = 0; e) 9 x 2 − 10x + 1 = 0; 85. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: b) 8 x 2 − 9x + 2 = 0; a) 6 x 2 − 7x + 3 = 0;

c) 15 x 2 − 8x + 1 = 0; f) 12 x 2 − 7x + 1 = 0. c) 10 x 2 − 11x + 6 = 0;

e) 5 x 2 − 6x + 4 = 0; f) 11x 2 − 12x + 9 = 0. d) 9 x 2 − 8x + 2 = 0; 86. Aflaţi m astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei: a) 6 x 2 − 5x + m = 0 să fie 3; b) 7 x 2 − 4x + m = 0 să fie 1; c) 3 x 2 − 7x + m = 0 să fie 2; d) 6 x 2 − 5x + m = 0 să fie 3. 87. Aflaţi m astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei: b) 4 x 2 − mx + 7 = 0 să fie −1; a) 3 x 2 − mx + 5 = 0 să fie −2; c) 2 x 2 − mx + 8 = 0 să fie −3; d) 5 x 2 − mx + 21 = 0 să fie −4. 88. Aflaţi m astfel încât una dintre soluţiile ecuaţiei: a) mx 2 − 7x + 9 = 0 să fie 6; b) mx 2 − 3x + 10 = 0 să fie 3; c) mx 2 − 9x + 4 = 0 să fie 4; d) mx 2 − 8x + 15 = 0 să fie 5. 89. Aflaţi m astfel încât polinomul: a) mX 2 − 11X + 2 să nu aibă rădăcini reale; b) mX 2 − 111X + 10 să nu aibă rădăcini reale; c) mX 2 − 1 111X + 100 să nu aibă rădăcini reale; d) mX 2 − 11 111X + 1 000 să nu aibă rădăcini reale. 90. Aflaţi m astfel încât polinomul: a) 2 X 2 − 35X + 5m să aibă rădăcini reale diferite; b) 25 X 2 − 335X + 4m să aibă rădăcini reale diferite; c) 50 X 2 − 3 335X + 8m să aibă rădăcini reale diferite; d) 40 X 2 − 33 335X + 5m să aibă rădăcini reale diferite. 91. Aflaţi m astfel încât polinomul: a) 4 X 2 − 67mX + 50 să aibă rădăcini egale; b) 40 X 2 − 667mX + 5 să aibă rădăcini egale; c) 50 X 2 − 6 667mX + 20 să aibă rădăcini egale; d) 200 X 2 − 66 667mX + 50 să aibă rădăcini egale. 92. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) 3 x 2 − 15x + 2m = 0 să aibă două elemente; b) 4 x 2 − 45x + 5m = 0 să aibă două elemente; c) 6 x 2 − 65x + 5m = 0 să aibă două elemente; d) 5 x 2 − 85x + 8m = 0 să aibă două elemente. 93. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) 6 x 2 − 10mx + 5 = 0 să aibă un element; b) 5 x 2 − 100mx + 8 = 0 să aibă un element; 60

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

c) 5 x 2 − 200mx + 40 = 0 să aibă două elemente; d) 8 x 2 − 2 000mx + 5 = 0 să aibă două elemente. 94. Aflaţi m astfel încât mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei: a) 5mx 2 − 12x + 6 = 0 să nu aibă elemente; b) 3mx 2 − 24x + 20 = 0 să nu aibă elemente; c) 7mx 2 − 18x + 40 = 0 să nu aibă elemente; d) 8mx 2 − 20x + 5 = 0 să nu aibă elemente. 95. Examinaţi desenul! Aplicând teoremele triunghiului dreptunghic completaţi tabelul: a b c m n h 70 3 84 5 65 8 105 8 126 5 96. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 4 − 7 x 2 + 12 = 0; b) x 4 − 9 x 2 + 14 = 0; c) x 4 − 11x 2 + 18 = 0; d) x 4 − 13 x 2 + 36 = 0; e) x 4 − 12 x 2 + 27 = 0; f) x 4 − 11x 2 + 24 = 0. 97. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 4 + 11x 2 + 18 = 0; b) x 4 + 12 x 2 + 32 = 0; c) x 4 + 14 x 2 + 45 = 0; d) x 4 + 16 x 2 + 28 = 0; e) x 4 + 18 x 2 + 32 = 0; 98. Aplicând formule, rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 4 − 12 x 2 − 64 = 0; b) x 4 − 14 x 2 − 72 = 0;

f) x 4 + 20 x 2 + 64 = 0. c) x 4 − 10 x 2 − 39 = 0;

d) x 4 − 12 x 2 − 105 = 0; e) x 4 − 12 x 2 − 120 = 0; f) x 4 − 13 x 2 − 48 = 0. −

II −

99. Rezolvaţi pe mulţimea maximă de numere reale ecuaţia

5 = 7. x −3

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător 100. Rezolvaţi pe mulţimea maximă de numere reale ecuaţia

2 4 = . x−3 x+2

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 101. Rezolvaţi pe mulţimea maximă de numere reale ecuaţia

2x − 3 2x − 1 = . 2x −1 2x + 3

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 102. Rezolvaţi pe mulţimea maximă de numere reale ecuaţia

5x + 2 5x − 1 = . 5x − 1 5x + 2

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 103. Construiţi ecuaţia de gradul II echivalentă cu ecuaţia: Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

61

b) | x − 5 | = 2; c) | 2x − 5 | = 7. a) | x | = 39; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 104. Scrieţi ca sumă sau diferenţă de pătrate polinomul: a) X 2 + 6X + 5; b) 9 X 2 + 24X + 19. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 105. Fără să aplicaţi formule stabiliţi dacă are rădăcini reale polinomul: a) X 2 + 12X + 30; b) 4 X 2 + 28X + 54. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 106. Aflaţi pentru ce valori ale lui m polinomul: a) (m − 1) X 2 + 3mX + 2 are rădăcini egale; b) (4m − 1) X 2 + (2m + 3)X + m are rădăcini reale diferite. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. a −b 3 1 005a − 1 000b 107. Aflaţi raportul , dacă se ştie că = . a+b 100a + 7b 5 4 3 2 108. Aflaţi valoarea expresiei 2 x + 12 x + 23 x + 15x + 2, dacă x 2 + 3x – 5 = 0. −

III −

109. Rezolvaţi în R ecuaţia cu necunoscuta x: a) 3mx + 7 = 0; b) (m − 2)x + 2m = 0. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 110. Fără să aplicaţi formule, aflaţi rădăcinile polinomului: a) 4 X 2 + 8X − 9; b) 5 X 2 + 17X + 23. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 6 x 2 + 10 x + 5 este un 111. Aflaţi numerele reale x pentru care valoarea raportului 3x 2 + 5 x + 1 număr întreg. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 112. Pentru ce valori naturale ale lui n numărul n 4 + n 2 + 1 este număr prim? 113. Demonstraţi că a 2 + b 2 > 2, dacă se ştie că a + b > 2. 114. Aflaţi toate numerele de trei cifre, scrise în baza 10, care prin eliminarea cifrei zecilor se obţin numere de 13 ori mai mici. 115. Setilă bea o sticlă cu apă în 6 minute, iar Flămânzilă în 30 minute. Ei încep să bea în acelaşi timp. Peste cât timp trebuie să schimbe sticlele pentru ca să termine de băut în acelaşi timp? 116. Cauciucurile din spate ale unui automobil se uzează complet după ce se parcurg 1 200 km, iar cele din faţă – după ce se parcurg 1 300 km. Ce distanţă maximă poate parcurge automobilul, dacă porneşte cu toate cauciucurile noi şi se permite ca o singură dată roţile din faţă să fie schimbate cu cele din spate? 117. Fie polinomul 3X 2 − (m + 2)X + 1. Aflaţi m astfel încât polinomul: a) să aibă rădăcini reale; b) să nu aibă rădăcini reale.

62

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

EXERCIŢII SUPLIMENTARE 118. Calculaţi:

a)

2 + 2 + 2 + 2 + ... , unde „ ...“ indică repetarea la infinit a radicalilor;

b)

3 + 3 + 3 + 3 + ... , unde „ ...“ indică repetarea la infinit a radicalilor;

c)

6 + 6 + 6 + 6 + ... , unde „ ...“ indică repetarea la infinit a radicalilor.

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător exerciţiului de la punctul c) al cărui rezultat să fie: d) 4,5; e) un număr natural diferit de 2. 119. Rezolvaţi în R ecuaţia x 2 − x − 1 = 0. a) Recunoaşteţi numărul remarcabil ce este una dintre soluţiile ecuaţiei date. b) Aplicând rezultatul anterior, calculaţi

1 + 1 + 1 + 1 + ... , unde „ ...“

indică repetarea la infinit a radicalilor. 120. Aplicând rezultatul de la punctul a) al exerciţiului anterior, scrieţi sub formă de 1+ 5 fracţie continuă numărul de aur, ϕ = . 2 121. Aflaţi valoarea lui n pentru care

n + n + n + n + ... = ϕ (numărul de aur). 1

122. Comparaţi numerele 1 + 1 + 1 + 1 + ... şi 1 +

1+

1 1+

123. Aflaţi valoarea lui n pentru care

.

1 ...

n + n + n + n + ... = 1.

⎧ xy + yz = 32 ⎪ 124. Rezolvaţi sistemul de ecuaţii ⎨ xz + xy = 27 ⎪ yz + xz = 35. ⎩ 125. Aflaţi numerele prime a, b şi c, dacă a + b = 108 şi a – b – c = 32. 126. Aflaţi soluţiile întregi ale ecuaţiei 9 x 2 + 3y = y 2 + 8. 127. Rezolvaţi ecuaţia ( x 2 + x + 1) 2 + 12( x − 1) 2 + 7( x 3 – 1) = 0. 128. Demonstraţi că pentru orice număr n ∈ N* are loc inegalitatea 1 1 1 1 2 < . + + +…+ 15 3⋅ 7 5⋅9 7 ⋅11 (2n + 1)(2n + 5)

x −1 ⎡ x + 1⎤ 129. Rezolvaţi ecuaţia ⎢ = , unde [a] este partea întreagă a numărului a. ⎥ 2 ⎣ 3 ⎦ A 130. Rezolvaţi în Z × Z ecuaţia 2 x = y 2 + 1. 15 x − 7 ⎡ 5 + 3x ⎤ 131. Rezolvaţi ecuaţia ⎢ , unde [a] ⎥ = 5 8 ⎣ ⎦ este partea întreagă a numărului a. B Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

x

E

F D

y

C

63

132. În desen triunghiul ABC este dreptunghic în A. a) Ordonaţi crescător AE, AF, AD. b) Aplicând relaţiile între elementele unui triunghi dreptunghic, interpretaţi algebric relaţiile de la a). a2 b2 c2 a b c 133. Demonstraţi că, dacă + + = 1, atunci + + = 0, b+c a+c a+c b+c a+c a+c unde a, b, c ∈ R.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Polinomului aX + b i se asociază ecuaţia … 2. Polinomului aX 2 + bX + c i se asociază ecuaţia … 3. Coeficienţii ecuaţiei ax + b = 0 sunt … 4. Coeficienţii ecuaţiei ax 2 + bx + c = 0 sunt … 5. Un produs de doi factori este egal cu 0 dacă şi numai dacă … 6. Discriminantul ecuaţiei ax 2 + bx + c = 0 este … 7. Soluţiile ecuaţiei ax 2 + bx + c = 0 sunt… 8. Un polinom de gradul II are două rădăcini reale distincte dacă şi numai dacă … 9. Un polinom de gradul II: a) are două rădăcini egale dacă şi numai dacă …; b) nu are rădăcini reale dacă şi numai dacă … Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 15 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Rezolvaţi în R ecuaţia: 1. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) 3x + 4 = 0; b) 5x − 7 = 2. a) 4x + 3 = 0; b) 4x − 5 = 3. 2. Rezolvaţi în R ecuaţia 2. Rezolvaţi în R ecuaţia (2x + 5)(2x − 5) = (2 x − 3) 2 . (3x + 7)(3x − 7) = (3x − 2) 2 . 3. Rezolvaţi în R ecuaţia 3. Rezolvaţi în R ecuaţia 2 (3x + 2)(3x − 2) = (3x − 4) . (5x + 3)(5x − 3) = (5 x − 4) 2 . 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: 4. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) | x − 2 | = 5; a) | x − 3 | = 4; 2 b) x − 55 = 0. b) x 2 − 53 = 0. 5. Rezolvaţi în R ecuaţia: 5. Rezolvaţi în R ecuaţia: 2 a) x − 17x + 42 = 0; a) x 2 − 19x + 70 = 0; b) x 2 − 16x − 57 = 0. b) x 2 − 15x − 100 = 0. 6. Rezolvaţi în R ecuaţia: 6. Rezolvaţi în R ecuaţia: a) x 2 − 5x − 3 = 0; a) x 2 + 5x − 3 = 0; b) 3x 2 + 4x + 1 = 0. b) 2 x 2 − 3x + 2 = 0. 7. Fie polinomul 3 X 2 − 2mX + 2. 7. Fie polinomul 4 X 2 − 2mX + 1. Aflaţi m astfel încât polinomul să aibă Aflaţi m astfel încât polinomul să aibă

64

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

rădăcini egale. rădăcini egale. 2 8. Fie polinomul 2 X − 2mX + 5. 8. Fie polinomul 2 X 2 − 2mX + 3. Aflaţi m astfel încât polinomul să nu Aflaţi m astfel încât polinomul să nu aibă aibă rădăcini reale. rădăcini reale. 9. Aflaţi numerele reale x pentru 9. Aflaţi numerele reale x pentru care 2 8 x − 12 x + 7 3x 2 − 6 x + 5 valoarea raportului este un care valoarea raportului 2 x 2 − 3x 3x 2 − 2 x este un număr întreg. număr întreg. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 40 minute.

2. Relaţii între rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II −

I−

1. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) X 2 + 54X; b) X 2 + 13X; c) X 2 + 27X; d) X 2 + 194X. 2. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) X 2 − 73X; b) X 2 − 38X; c) X 2 − 53X; d) X 2 − 62X. 3. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) X 2 − 16; b) X 2 − 64; c) X 2 − 81; d) X 2 − 144. 4. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) X 2 + 13X + 30; b) X 2 + 17X + 70; c) X 2 + 29X + 100. 5. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) X 2 − 15X + 50; b) X 2 − 34X + 120; c) X 2 − 39X + 210. 6. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) X 2 + 31X − 66; b) X 2 + 42X − 135; c) X 2 + 48X − 100. 7. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) X 2 − 19X − 42; b) X 2 − 26X − 66; c) X 2 − 34X − 240. 8. Calculaţi rădăcinile reale ale polinomului şi aflaţi suma şi produsul lor: a) 4 X 2 + 5X + 1; b) 10 X 2 + 7X + 1; c) 36 X 2 + 15X + 1. 9. Aflaţi m şi n, dacă: a) X 2 − mX + n = ( X − 5) 2 ; b) X 2 − mX + n = ( X − 9) 2 ;

c) X 2 − mX + n = ( X − 4) 2 ; 10. Aflaţi m şi n, dacă: a) X 2 − mX + n = ( X + 7) 2 ;

d) X 2 − mX + n = ( X − 15) 2 .

c) X 2 − mX + n = ( X + 37) 2 ; 11. Aflaţi m şi n, dacă: a) X 2 − mX + n = X (X + 6); c) X 2 − mX + n = X (X + 23);

d) X 2 − mX + n = ( X + 89) 2 .

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

b) X 2 − mX + n = ( X + 13) 2 ;

b) X 2 − mX + n = X (X + 30); d) X 2 − mX + n = X (X + 51). 65

12. Aflaţi m şi n, dacă: a) X 2 − mX + n = X (X − 15); c) X 2 − mX + n = X (X − 201); 13. Aflaţi m şi n, dacă: a) X 2 − mX + n = (X + 6)(X − 6); c) X 2 − mX + n = (X + 9)(X − 9); 14. Aflaţi m şi n, dacă: a) X 2 − mX + n = (X − 2)(X − 5); c) X 2 − mX + n = (X − 6)(X − 9); 15. Aflaţi m şi n, dacă: a) X 2 − mX + n = (X + 9)(X − 3); c) X 2 − mX + n = (X + 7)(X − 6); 16. Aflaţi m şi n, dacă: a) X 2 − mX + n = (X + 8)(X + 9); c) X 2 − mX + n = (X + 10)(X + 7); 17. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) aX 2 + bX + c = 3( X − 7) 2 ;

c) aX 2 + bX + c = 5( X − 13) 2 ; 18. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) aX 2 + bX + c = 5( X + 4) 2 ;

b) X 2 − mX + n = X (X − 28); d) X 2 − mX + n = X (X − 321). b) X 2 − mX + n = (X + 12)(X − 12); d) X 2 − mX + n = (X + 43)(X − 43). b) X 2 − mX + n = (X − 7)(X − 9); c) X 2 − mX + n = (X − 10)(X − 11). b) X 2 − mX + n = (X + 10)(X − 12); d) X 2 − mX + n = (X + 4)(X − 15). b) X 2 − mX + n = (X + 12)(X + 15); d) X 2 − mX + n = (X + 14)(X + 20). b) aX 2 + bX + c = 4( X − 6) 2 ; d) aX 2 + bX + c = 8( X − 11) 2 . b) aX 2 + bX + c = 3( X + 5) 2 ;

d) aX 2 + bX + c = 4( X + 8) 2 . c) aX 2 + bX + c = 7( X + 3) 2 ; 19. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) aX 2 + bX + c = 3(X + 9)(X − 9); b) aX 2 + bX + c = 5(X + 11)(X − 11); c) aX 2 + bX + c = 7(X + 2)(X − 2); d) aX 2 + bX + c = 4(X + 13)(X − 13). 20. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) aX 2 + bX + c = 3(X − 1)(X − 2); b) aX 2 + bX + c = 5(X − 2)(X − 3); c) aX 2 + bX + c = 6(X − 3)(X − 5); d) aX 2 + bX + c = 7(X − 5)(X − 8). 21. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) aX 2 + bX + c = 4(X − 3)(X + 5); b) aX 2 + bX + c = 2(X − 1)(X + 3); c) aX 2 + bX + c = 3(X − 2)(X + 7); d) aX 2 + bX + c = 5(X − 4)(X + 14). 22. Aflaţi a, b şi c, dacă: a) aX 2 + bX + c = 5(X + 4)(X + 9); b) aX 2 + bX + c = 3(X + 2)(X + 7); c) aX 2 + bX + c = 6(X + 3)(X + 8); d) aX 2 + bX + c = 4(X + 6)(X + 5). 23. Calculaţi rădăcinile polinomului de forma aX 2 + bX + c şi comparaţi suma răb c dăcinilor cu − , iar produsul rădăcinilor cu : a a 2 2 2 a) X + 30X; b) X + 55X; c) X + 40X; d) X 2 + 50X; e) X 2 + 60X. 24. Calculaţi soluţiile ecuaţiei de gradul II de forma ax 2 + bx + c şi comparaţi su66

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

b c ma rădăcinilor cu − , iar produsul rădăcinilor cu : a a a) x 2 + 36x = 0; b) x 2 + 22x = 0; c) x 2 + 47x = 0; d) x 2 + 64x = 0. 25. Calculaţi rădăcinile polinomului de forma aX 2 + bX + c şi comparaţi suma răb c dăcinilor cu − , iar produsul rădăcinilor cu : a a a) X 2 − 74X; b) X 2 − 85X; c) X 2 − 52X; d) X 2 − 63X; e) X 2 − 107X. 26. Calculaţi soluţiile ecuaţiei de gradul II de forma ax 2 + bx + c şi comparaţi b c suma rădăcinilor cu − , iar produsul rădăcinilor cu : a a 2 2 2 a) x − 4,8x = 0; b) x − 4,1x = 0; c) x − 3,2x = 0; d) x 2 − 5,4x = 0. 27. Calculaţi rădăcinile polinomului de forma aX 2 + bX + c şi comparaţi suma răb c dăcinilor cu − , iar produsul rădăcinilor cu : a a 2 2 2 a) X − 126; b) X − 245; c) X − 713; d) X 2 − 438; e) X 2 − 923. 28. Calculaţi soluţiile ecuaţiei de gradul II de forma ax 2 + bx + c şi comparaţi sub c ma rădăcinilor cu − , iar produsul rădăcinilor cu : a a 2 2 2 a) x − 57 = 0; b) x − 43 = 0; c) x − 91 = 0; d) x 2 − 83 = 0. 29. Calculaţi rădăcinile polinomului de forma aX 2 + bX + c şi comparaţi suma răb c dăcinilor cu − , iar produsul rădăcinilor cu : a a a) X 2 + 64; b) X 2 + 81; c) X 2 + 100; d) X 2 + 121; e) X 2 + 169. 30. Calculaţi soluţiile ecuaţiei de gradul II de forma ax 2 + bx + c şi comparaţi b c suma rădăcinilor cu − , iar produsul rădăcinilor cu : a a a) x 2 + 25 = 0; b) x 2 + 9 = 0; c) x 2 + 49 = 0; d) x 2 + 16 = 0. 31. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) X 2 + 15X; b) X 2 + 84X; c) X 2 + 76X; d) X 2 + 83X; e) X 2 + 91X. 32. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) x 2 + 3,6x = 0; b) x 2 + 5,3x = 0; c) x 2 + 8,1x = 0; d) x 2 + 3,7x = 0. 33. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) X 2 − 3,6X; b) X 2 − 7,3X; c) X 2 − 9,3X; d) X 2 − 2,4X. 34. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) x 2 − 3,9x = 0; b) x 2 − 4,8x = 0; c) x 2 − 5,7x = 0; d) x 2 − 7,2x = 0. Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

67

35. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) X 2 − 4,1; b) X 2 − 5,2; c) X 2 − 3,5; d) X 2 − 4,7; e) X 2 − 5,8. 36. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) x 2 − 2,3 = 0; b) x 2 − 4,4 = 0; c) x 2 − 2,9 = 0; d) x 2 − 3,6 = 0. 37. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) X 2 − 5X + 6; b) X 2 − 9X + 18; c) X 2 − 10X + 16; d) X 2 − 12X + 35. 38. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) x 2 − 19x + 84 = 0; b) x 2 − 19x + 60 = 0; c) x 2 − 19x + 34 = 0. 39. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) X 2 + 12X + 32; b) X 2 + 12X + 35; c) X 2 + 12X + 42. 40. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) x 2 + 31x + 58 = 0; b) x 2 + 31x + 108 = 0; c) x 2 + 31x + 130 = 0. 41. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) X 2 + 11X − 60; b) X 2 + 11X − 70; c) X 2 + 11X − 180. 42. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) x 2 + 31x − 140 = 0; b) x 2 + 31x − 58 = 0; c) x 2 + 31x − 140 = 0. 43. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) X 2 − 12X − 160; b) X 2 − 12X − 220; c) X 2 − 12X − 325. 44. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) x 2 − 21x − 100 = 0; b) x 2 − 21x − 46 = 0; c) x 2 − 21x − 78 = 0. 45. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) 2 X 2 − 4X − 3; b) 4 X 2 − 5X − 2; c) 2 X 2 − 6X − 4; d) 3 X 2 − 8X − 5. 46. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) 5 x 2 − 17x − 4 = 0; b) 4 x 2 − 15x − 2 = 0; c) 3 x 2 − 19x − 3 = 0. 47. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) 2 X 2 − 7X + 3; b) 7 X 2 − 12X + 3; c) 6 X 2 − 12X + 5. 48. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) 4 x 2 − 14x + 6 = 0; b) 3 x 2 − 16x + 6 = 0; c) 5 x 2 − 15x + 7 = 0.

68

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

49. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) 5 X 2 + 9X − 2; b) 3 X 2 + 10X − 4; c) 3 X 2 + 18X − 4; d) 4 X 2 + 11X − 3. 50. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) 7 x 2 + 22x − 2 = 0; b) 5 x 2 + 3x − 4 = 0; c) 4 x 2 + 5x − 7 = 0. 51. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul rădăcinilor polinomului: a) 3 X 2 + 10X + 2; b) 5 X 2 + 12X + 3; c) 4 X 2 + 14X + 9; d) 6 X 2 + 15X + 7. 52. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: a) 8 x 2 + 12x + 3 = 0; b) 7 x 2 + 12x + 5 = 0; c) 9 x 2 + 15x + 5 = 0. 53. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) X 2 + mX + n cu rădăcinile egale cu 0,8; b) X 2 + mX + n cu rădăcinile egale cu 0,5; c) X 2 + mX + n cu rădăcinile egale cu 0,4; d) X 2 + mX + n cu rădăcinile egale cu 0,2. 54. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) x 2 + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {1,2}; b) x 2 + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {−2,2}; c) x 2 + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {3,1}; d) x 2 + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {−1,5}. 55. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) 2 X 2 + mX + n cu rădăcinile egale cu 3; b) 3 X 2 + mX + n cu rădăcinile egale cu −2; c) 4 X 2 + mX + n cu rădăcinile egale cu 5; d) 5 X 2 + mX + n cu rădăcinile egale cu −3. 56. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) 3 x 2 + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {0,1}; b) 2 x 2 + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {0,2}; c) 7 x 2 + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {0,8}; d) 4 x 2 + mx + n = 0 cu mulţimea soluţiilor {0,4}. 57. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) X 2 + mX + n cu rădăcinile 3 şi − 3;

b) X 2 + mX + n cu rădăcinile Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

5 şi − 5 ; 69

c) X 2 + mX + n cu rădăcinile − 6 şi

6;

2

d) X + mX + n cu rădăcinile 11 şi − 11. 58. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 7 şi − 7 ; b) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 13 şi − 13 ; c) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile

21 şi − 21;

2

d) x + mx + n = 0 cu soluţiile 15 şi − 15 . 59. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) 6 X 2 + mX + n cu rădăcinile 11 şi − 11; b) 3 X 2 + mX + n cu rădăcinile 17 şi − 17 ; c) 4 X 2 + mX + n cu rădăcinile 19 şi − 19 ; d) 5 X 2 + mX + n cu rădăcinile 23 şi − 23. 60. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) 2 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 15 şi − 15 ; b) 3 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 14 şi − 14 ; c) 4 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile

26 şi − 26 ;

2

d) 5 x + mx + n = 0 cu soluţiile 33 şi − 33. 61. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) X 2 + mX + n cu rădăcinile 8 şi −1,5; b) X 2 + mX + n cu rădăcinile 3 şi −2,1; c) X 2 + mX + n cu rădăcinile 2 şi −1,4; d) X 2 + mX + n cu rădăcinile 4 şi −3,1. 62. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −5 şi 2,4; b) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −3 şi 4,5; c) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −6 şi 5,1; d) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −7 şi 1,1. 63. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) 4 X 2 + mX + n cu rădăcinile 3 şi 4; b) 3 X 2 + mX + n cu rădăcinile 2 şi 7; c) 6 X 2 + mX + n cu rădăcinile 2 şi 11; d) 2 X 2 + mX + n cu rădăcinile 8 şi 5. 64. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: 70

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

a) 5 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 8 şi 10; b) 3 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 3 şi 12; c) 6 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 5 şi 13; d) 4 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 4 şi 15. 65. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) X 2 + mX + n cu suma rădăcinilor 17 şi produsul lor 30; b) X 2 + mX + n cu suma rădăcinilor 21 şi produsul lor 38; c) X 2 + mX + n cu suma rădăcinilor 15 şi produsul lor 39; d) X 2 + mX + n cu suma rădăcinilor 25 şi produsul lor 46. 66. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) x 2 + mx + n = 0 cu suma soluţiilor 17 şi produsul lor 60; b) x 2 + mx + n = 0 cu suma soluţiilor 18 şi produsul lor 72; c) x 2 + mx + n = 0 cu suma soluţiilor 17 şi produsul lor 42; d) x 2 + mx + n = 0 cu suma soluţiilor 17 şi produsul lor 70. 67. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) 3 X 2 + mX + n cu suma rădăcinilor −7 şi produsul lor −78; b) 2 X 2 + mX + n cu suma rădăcinilor −8 şi produsul lor −105; c) 4 X 2 + mX + n cu suma rădăcinilor −9 şi produsul lor −136; d) 5 X 2 + mX + n cu suma rădăcinilor −11 şi produsul lor −126. 68. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) 4 x 2 + mx + n = 0 cu suma soluţiilor −7 şi produsul lor −120; b) 3 x 2 + mx + n = 0 cu suma soluţiilor −20 şi produsul lor −125; c) 6 x 2 + mx + n = 0 cu suma soluţiilor −14 şi produsul lor −120; d) 7 x 2 + mx + n = 0 cu suma soluţiilor −13 şi produsul lor −140. 69. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) în nedeterminata X cu suma rădăcinilor −13 şi produsul lor −168; b) în nedeterminata X cu suma rădăcinilor −14 şi produsul lor −480; c) în nedeterminata X cu suma rădăcinilor −15 şi produsul lor −126; d) în nedeterminata X cu suma rădăcinilor −16 şi produsul lor −420. 70. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) cu necunoscuta x, cu suma soluţiilor −11 şi produsul lor −60; b) cu necunoscuta x, cu suma soluţiilor −12 şi produsul lor −120; c) cu necunoscuta x, cu suma soluţiilor −13 şi produsul lor −140; d) cu necunoscuta x, cu suma soluţiilor −14 şi produsul lor −127. Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

71

71. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) X 2 + mX + n cu rădăcinile −2 şi 18; b) X 2 + mX + n cu rădăcinile −5 şi 12; c) X 2 + mX + n cu rădăcinile −7 şi 13. 72. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) x2 + mx + n = 0 cu soluţiile 3 şi −12; b) x2 + mx + n = 0 cu soluţiile 7 şi −15; c) x2 + mx + n = 0 cu soluţiile 9 şi −8. 73. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) 6 X 2 + mX + n cu rădăcinile 5 şi −3; b) 3 X 2 + mX + n cu rădăcinile 8 şi −5; c) 4 X 2 + mX + n cu rădăcinile 6 şi −2; d) 2 X 2 + mX + n cu rădăcinile 9 şi −4. 74. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) 2 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −2 şi 9; b) 3 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −7 şi 11; c) 4 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −9 şi 12; d) 5 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −6 şi 13. 75. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) X 2 + mX + n cu rădăcinile −5 şi −14; b) X 2 + mX + n cu rădăcinile −7 şi −10; c) X 2 + mX + n cu rădăcinile −9 şi −11; d) X 2 + mX + n cu rădăcinile −8 şi −13. 76. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −12 şi −20; b) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −11 şi −14; c) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −13 şi −15; d) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −16 şi −18. 77. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) 6 X 2 + mX + n cu rădăcinile −24 şi −8; b) 7 X 2 + mX + n cu rădăcinile −11 şi −5; c) 5 X 2 + mX + n cu rădăcinile −12 şi −13; d) 2 X 2 + mX + n cu rădăcinile −24 şi −5. 78. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) 3 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −35 şi −8;

72

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

b) 2 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −11 şi −4; c) 4 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −13 şi −9; d) 5 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile −14 şi −16. 79. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) X 2 + mX + n cu rădăcinile 1− 5 şi 1+ 5 ; b) X 2 + mX + n cu rădăcinile 1− 7 şi 1+ 7 ; c) X 2 + mX + n cu rădăcinile 1− 3 şi 1+ 3; d) X 2 + mX + n cu rădăcinile 1− 6 şi 1+ 6 . 80. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 1− 11 şi 1+ 11; b) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 1− 13 şi 1+ 13; c) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 1− 14 şi 1+ 14 ; d) x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 1− 15 şi 1+ 15 . 81. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) 12 X 2 + mX + n cu rădăcinile 2 − 7 şi 2 + 7 ; b) 15 X 2 + mX + n cu rădăcinile 3 − 5 şi 3 + 5 ; c) 8 X 2 + mX + n cu rădăcinile 4 − 6 şi 4 + 6 ; d) 11X 2 + mX + n cu rădăcinile 5 − 2 şi 5 + 2 . 82. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) 5 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 3 − 11 şi 3 + 11; b) 3 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 5 − 6 şi 5 + 6 ; c) 4 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 4 − 3 şi 4 + 3; d) 6 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 6 − 7 şi 6 + 7 . 83. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), construiţi polinomul: a) − 2 X 2 + mX + n cu rădăcinile 3 − 2 şi 3 + 2 ; b) − 3 X 2 + mX + n cu rădăcinile 7 − 3 şi 7 + 3; c) − 5 X 2 + mX + n cu rădăcinile 5 − 7 şi 5 + 7 ; d) − 7 X 2 + mX + n cu rădăcinile 4 − 11 şi 4 + 11. 84. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), construiţi ecuaţia de gradul II: a) − 7 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 5 − 2 şi 5 + 2 ; b) − 8 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 10 − 7 şi 10 + 7 ; Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

73

c) − 4 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 11− 6 şi 11+ 6 ; d) − 6 x 2 + mx + n = 0 cu soluţiile 12 − 11 şi 12 + 11. 85. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi polinomul: a) X 2 + 7X + 10; b) X 2 + 16X + 48; c) X 2 + 16X + 55. 86. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi polinomul: a) X 2 − 15X + 26; b) X 2 − 19X + 70; c) X 2 − 21X + 68. 87. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi polinomul: a) X 2 − 15X − 126; b) X 2 − 17X − 390; c) X 2 − 17X − 200. 88. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi polinomul: a) X 2 − 17X − 84; b) X 2 − 17X − 60; c) X 2 − 17X − 110. 89. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi polinomul: a) 2 X 2 − 12X − 9; b) 2 X 2 − 14X − 5; c) 2 X 2 − 16X − 3. 90. Descompuneţi cât mai simplu în factori primi în polinomul: a) 2 X 2 − 4X + 3; b) 2 X 2 − 5X + 5; c) 2 X 2 − 6X + 7. 91. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi m, dacă: a) −5 este una dintre rădăcinile polinomului X 2 + mX + 13; b) −8 este una dintre rădăcinile polinomului X 2 + mX + 15; c) −9 este una dintre rădăcinile polinomului X 2 + mX + 18; d) −10 este una dintre rădăcinile polinomului X 2 + mX + 10. 92. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi m, dacă: a) −3 este una dintre soluţiile ecuaţiei x 2 + mx + 18 = 0; b) −5 este una dintre soluţiile ecuaţiei x 2 + mx + 17 = 0; c) −7 este una dintre soluţiile ecuaţiei x 2 + mx + 28 = 0; d) −8 este una dintre soluţiile ecuaţiei x 2 + mx + 45 = 0. 93. Aplicând relaţiile dintre rădăcinile şi coeficienţii polinomului de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi m, dacă: a) 2 + 3 este una dintre rădăcinile polinomului 3 X 2 − 12X − m; b) 3 + c) 4 +

2 este una dintre rădăcinile polinomului 4 X 2 − 8X − m; 5 este una dintre rădăcinile polinomului 5 X 2 − 14X − m;

d) 5 + 6 este una dintre rădăcinile polinomului 6 X 2 − 16X − m. 94. Aplicând relaţiile dintre soluţiile şi coeficienţii ecuaţiei de gradul II (teorema lui Viète), aflaţi m, dacă: a) 3 − 5 este una dintre soluţiile ecuaţiei 2 x 2 − 12x + m = 0; b) 4 −

6 este una dintre soluţiile ecuaţiei 2 x 2 − 14x + m = 0;

c) 5 −

7 este una dintre soluţiile ecuaţiei 3 x 2 − 16x + m = 0;

d) 6 − 11 este una dintre soluţiile ecuaţiei 5 x 2 − 18x + m = 0. 95. Aflaţi două numere reale, dacă suma şi produsul lor sunt respectiv egale cu: 74

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

a) 20 şi 91;

b) 7 şi − 60;

c) −17 şi 66; −

d) −15 şi −184;

e) −8 şi 16.

II −

96. Construiţi polinomul cu rădăcinile soluţii ale ecuaţiei: b) | x − 2 | =1,2; c) | 2x − 7 | = 11. a) | x | = 3,2; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător 97. Aflaţi m, dacă −3 este soluţie a ecuaţiei x 2 + 7x + 3(m − 2) = 0. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 98. Aflaţi m, dacă −5 este o rădăcină a polinomului X 2 + (3m − 1)X +18 = 0. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 99. Aflaţi m astfel încât ecuaţia x 2 + 5x + 2(m − 3) = 0: a) cardinalul mulţimii soluţiilor egal cu 1; b) să nu aibă soluţii reale. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 100. Aflaţi m astfel încât ecuaţia x 2 + 5x + 2(m − 3) = 0: a) să aibă cardinalul mulţimii soluţiilor egal cu 1; b) să nu aibă soluţii reale. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 101. Aflaţi m astfel încât ecuaţia x 2 + (m − 1)x + 2(m − 3) = 0 să aibă soluţii egale. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 102. Aflaţi ecuaţia de grad minim şi coeficienţi raţionali cu o soluţie 2 − 3 5. Ce soluţii mai are ecuaţia obţinută? Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 103. Aduceţi la forma cea mai simplă: x 2 − 15 x + 26 3 X 2 + 15 X − 42 ; b) . a) 2 x − 18 x + 65 2 X 2 − 10 X − 28 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. −

III −

104. Fie ecuaţia x 2 + (m − 2)x + 5m = 0. Construiţi ecuaţia ale cărei soluţii: a) sunt cu 2 mai mari decât soluţiile ecuaţiei date; b) sunt opusele soluţiilor ecuaţiei date; c) sunt inversele soluţiilor ecuaţiei date. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 105. Fie ecuaţia x 2 + (2m − 1)x + 3 = 0. Aflaţi m astfel încât: a) ecuaţia să nu aibă soluţii reale; b) ecuaţia să aibă soluţii reale. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 106. Fie ecuaţia 3 x 2 + 8x − 7 = 0. Fără că calculaţi soluţiile ecuaţiei, calculaţi: a) suma opuselor soluţiilor ecuaţiei date; b) suma inverselor soluţiilor ecuaţiei date; c) suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei date; Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

75

d) suma cuburilor soluţiilor ecuaţiei date. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 107. Fie ecuaţia x 2 + 4mx + m − 1= 0. Aflaţi m astfel încât: a) suma inverselor soluţiilor ecuaţiei date să fie egală cu 7; b) suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei date să fie egală cu 5; c) suma cuburilor soluţiilor ecuaţiei date să fie egală cu 0. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 108. Fie ecuaţia x 2 − 5mx + 2m − 3= 0. Aflaţi: a) suma pătratelor inverselor soluţiilor ecuaţiei date; b) suma inverselor cuburilor soluţiilor ecuaţiei date. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 109. Aflaţi două numere reale, dacă: 7 a) suma lor este 21 şi suma inverselor lor este ; 36 b) suma lor este 8 şi suma pătratelor lor este 274; c) suma lor este −10 şi suma cuburilor lor este −370. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 110. Fie ecuaţia 3 x 2 − 8x − 4= 0. Aflaţi o relaţie de recurenţă (legătură) între mai multe sume de puteri naturale consecutive ale ecuaţiei date. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 111. Fie ecuaţia 5 x 2 − 9x − 3= 0. Aflaţi o relaţie de recurenţă (legătură) între mai multe sume de puteri întregi consecutive ale ecuaţiei date. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 112. Fie ecuaţia x 2 − 3mx + 5m − 2= 0. Aflaţi m astfel încât: a) soluţiile ecuaţiei date să fie direct proporţionale cu 3 şi 5; b) soluţiile ecuaţiei date să fie invers proporţionale cu 2 şi 7. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Suma rădăcinilor reale ale polinomului aX 2 + bX + c este … 2. Produsul rădăcinilor reale ale polinomului aX 2 + bX + c este … 3. Suma soluţiilor reale ale ecuaţiei ax 2 + bx + c = 0 este … 4. Produsul soluţiilor reale ale ecuaţiei ax 2 + bx + c = 0 este … 5. Descompunerea în factori primi a polinomului aX 2 + bX + c cu rădăcinile reale x1 şi x2 este … 6. Pentru a afla două numere reale cu suma s şi produsul p se rezolvă ecuaţia ... 7. O ecuaţie de gradul II are soluţiile numere opuse, dacă … 8. O ecuaţie de gradul II are soluţiile numere inverse, dacă … 9. Dacă s este suma soluţiilor unei ecuaţii de gradul II şi p este produsul acestor soluţii, atunci suma pătratelor soluţiilor este ..., iar suma cuburilor soluţiilor este ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.

76

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Aflaţi suma şi produsul rădăcinilor 1. Aflaţi suma şi produsul rădăcinipolinomului: lor polinomului: a) 4X 2 + 7X; a) 2 X 2 + 5X; b) 5X 2 − 8. b) 3 X 2 − 7. 2. Aflaţi suma şi produsul soluţiilor 2. Aflaţi suma şi produsul soluţiilor ecuaţiei: ecuaţiei: a) x 2 − 9 x − 6 = 0; a) x 2 − 5 x − 8 = 0; b) 5 x 2 − 12 x − 9 = 0. b) 4 x 2 − 9 x − 7 = 0. 3. Construiţi polinomul X 2 + mX + n 3. Construiţi polinomul X 2 + mX + cu rădăcinile egale cu: n cu rădăcinile egale cu: a) 9; b) −5 şi 4. a) 8; b) −3 şi 7. 2 4. Construiţi polinomul 3X 2 + mX + 4. Construiţi polinomul 3X + mX + n cu rădăcinile egale cu: n cu rădăcinile egale cu: a) 10; b) −3 şi 8. a) 9; b) −5 şi 12. 5. Descompuneţi în factori primi: 5. Descompuneţi în factori primi: 2 2 a) X − 29X + 100; a) X − 28X + 75; 2 b) 3X 2 + 5X − 2. b) 2X + 7X − 4. 6. Aflaţi două numere reale, dacă: 6. Aflaţi două numere reale, dacă: a) suma lor este 11 şi produsul lor a) suma lor este 12 şi produsul lor este 30; este 27; b) suma lor este −13 şi produsul b) suma lor este −16 şi produsul lor este −57. lor este −48. 7. Fie ecuaţia 3x 2 + (m − 3)x − 2m + 7. Fie ecuaţia 2x 2 + (m − 2)x − 3m + 1 = 0 cu o soluţie −3. Aflaţi m şi a doua 1 = 0 cu o soluţie −5. Aflaţi m şi a doua soluţie a ecuaţiei. soluţie a ecuaţiei. 2 8. Fie ecuaţia 2x + 5x − 3 = 0. Fără 8. Fie ecuaţia 3x 2 + 5x − 2 = 0. Fără să rezolvaţi ecuaţia, aflaţi: să rezolvaţi ecuaţia, aflaţi: a) suma pătratelor soluţiilor ecuaa) suma pătratelor soluţiilor ecuaţiei; ţiei; b) suma cuburilor soluţiilor ecuab) suma cuburilor soluţiilor ecuaţiei. ţiei. 9. Aflaţi două numere reale, dacă su9. Aflaţi două numere reale, dacă suma lor este −4 şi suma pătratelor lor este ma lor este −5 şi suma pătratelor lor este egală cu 170. egală cu 157. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 40 minute.

Cap. IV. Ecuaţia de gradul II

77

Capitolul V. Funcţii Noţiunea de funcţie. Fie mulţimile nevide A şi B. Se numeşte corespondenţă între mulţimile A şi B o submulţime nevidă a produsului cartezian A × B. O funcţie f definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B este o corespondenţă între cele două mulţimi, care asociază fiecărui element al mulţimii A un singur element al mulţimii B. Funcţia f definită pe A cu valori în B se notează f : A → B. Dacă f asociază lui x ∈ A elementul y ∈ B, atunci f(x) = y şi imaginea lui x prin funcţia f este y; x este variabilă independentă, iar y este variabilă dependentă. Elementele unei funcţii sunt: domeniul de definiţie (funcţia f : A → B are domeniul de definiţie A); domeniul valorilor (funcţia f : A → B are domeniul valorilor B); legea de corespondenţă sau regula de asociere (funcţia f : A → B are legea de corespondenţă f). Mulţimea valorilor funcţiei f este Im f = E(f) = {y ∈ B | y = f(x)}. Graficul funcţiei f este G f = {(x, y) | y = f(x), x ∈ A} sau reprezentarea acestei mulţimi într-un sistem de axe ortogonale. O funcţie numerică are domeniul de definiţie şi domeniul valorilor mulţimi de numere. Moduri de definire a unei funcţii. O funcţie poate fi definită: sintetic (printr-o diagramă, un tabel, un grafic); analitic (o formulă, o regulă etc.). ⎧− x, dacă x < 0 ⎪ Funcţii speciale. 1) Funcţia modul f(x) = | x | = ⎨ 0, dacă x = 0 2) Funcţia semn ⎪ x, dacă x > 0. ⎩ ⎧− 1, dacă x < 0 ⎪ (signum) f(x) = sgn x = ⎨ 0, dacă x = 0 ⎪ 1, dacă x > 0. ⎩ Zeroul unei funcţii. Funcţia f are zeroul m, dacă f(m) = 0. Funcţii monotone. Fie funcţia f : A → B. 1) f este crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică f ( x1 ) ≤ f ( x2 ), pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; 2) f este strict crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică f ( x1 ) < f ( x2 ), pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; 3) f este descrescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică f ( x1 ) ≥ f ( x2 ), pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; 4) f este strict descrescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică f ( x1 ) > f ( x2 ), pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; 5) f este monotonă pe submulţimea C a mulţimii A, dacă este sau crescătoare sau descrescătoarea pe C; 6) f este monotonă dacă C = A. Funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, se numesc funcţii afine. Funcţiile f : R → R, f(x) = b, b număr real, sunt funcţii constante. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax, a număr real nenul, sunt funcţii liniare. O relaţie de forma y = ax defineşte numerele direct proporţionale cu coeficientul a. Funcţiile f : R → R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale, a ≠ 0, se numesc funcţii de gradul I. Funcţia de gradul I. Fie funcţia de gradul I f : R → R, f(x) = ax + b. Atunci: 1) f este strict descrescătoare, dacă a < 0; 2) f este strict crescătoare, dacă a > 0. Semnul 78

Cap. V. Funcţii

funcţiei f este înregistrat în tabelul: a<0 a>0 b b −∞ ∞ −∞ ∞ − − x x a a f(x) + + + f(x) − − − 0 − − − 0 + + + Graficul funcţiei afine. Fie funcţia afină f : A → R, A ⊆ R, f(x) = ax + b, a şi b numere reale. Reprezentarea graficului funcţiei f într-un sistem de axe ortogonale este o mulţime de puncte: 1) conţinută de o dreaptă paralelă cu axa Ox, dacă a = 0; 2) conţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox în origine dacă a ≠ 0 şi b = 0; 3) conţinută de o dreaptă concurentă cu axa Ox într-un punct diferit de origine dacă a ≠ 0 şi b ≠ 0. y = ax + b este ecuaţia dreptei de pantă a. Funcţii f : R* → R, f(x) = k , k ∈ R*. Graficul funcţiei f x este o hiperbolă (vezi desenul din dreapta). 1) Pentru k < 0 funcţia f este strict crescătoare pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). 2) Pentru k > 0 funcţia f este strict descrescătoare pe intervalele (−∞, 0) şi (0, ∞). Relaţia y = k defineşte numerele invers proporţionale cu coefix cientul k. Funcţia f : [0, ∞) → R, f(x) = x . Funcţia f este strict crescătoare. Graficul (vezi desenul din dreapta) funcţiei f este simetric graficului funcţiei g : [0, ∞) → R, g(x) = x 2 .

1. Noţiunea de funcţie. Proprietăţi ale funcţiilor −

I−

1. Reprezentaţi sintetic mulţimea A × B, dacă: a) A = {0, 2, 5} şi B = {−2, 4}; b) A = {−5, 0, 2} şi B = {−5, −3}; c) A = {−1, 1, 2} şi B = {6, 10}; d) A = {−3, −2, 0} şi B = {9, 11}. 2. Reprezentaţi sintetic corespondenţele ilustrate prin diagrame.

Cap. V. Funcţii

79

3. Examinaţi diagramele şi selectaţi corespondenţele ce sunt funcţii. 4. Ilustraţi printr-o diagramă corespondenţa: a) {(−3, 4), (−2, 4), (−1, 4), (0, 3)}; b) {(−3, 1), (−2, 1), (−4, 3), (−2, 2)}; c) {(−7, 4), (−8, 5), (−9, 5), (−8, 4)}; d) {(−3, 2), (−2, 1), (−1, 2), (0, 1)}. 5. Examinaţi corespondenţele din exerciţiul anterior şi identificaţi funcţiile. 6. Reprezentaţi sintetic corespondenţa între mulţimi reprezentată în tabelul: a) 1 2 3 4 x −1 −1 0 1 şi 0 y

b)

x y

−3 1

−1 3

1 2

3 3

c)

x y

−5 2

−2 0 şi 4

0 2

5 4

d)

x y

−7 −5

−2 1

2

7 −5

−2 −1 1 2 x 1 2 3 4 y 7. Examinaţi corespondenţele din exerciţiul anterior şi selectaţi funcţiile. 8. Reprezentaţi prin diagrame corespondenţele din ex. 6. 9. Examinaţi desenul şi precizaţi pentru fiecare situaţie dacă reprezintă sau nu e)

graficul unei funcţii. 10. Reprezentaţi prin diagrame corespondenţele ilustrate la exerciţiul anterior. 11. Reprezentaţi prin tabele corespondenţele ilustrate la ex. 9. 12. Examinaţi graficele şi precizaţi despre fiecare dintre ele dacă reprezintă sau nu graficul unei funcţii.

13. Scrieţi cât mai simplu funcţia f definită: a) pe mulţimea {−3, −1, 0, 5} cu valori în mulţimea R, de forma f(x) = −2x + 3; b) pe mulţimea {−5, −3, −2, 0} cu valori în mulţimea R, de forma f(x) = 7x − 6; c) pe mulţimea {−7, −2, 0, 1} cu valori în mulţimea R, de forma f(x) = −5x − 3; d) pe mulţimea {0, 1, 3, 5, 7} cu valori în mulţimea R, de forma f(x) = 9x − 0,3. 14. Enumeraţi elementele funcţiei:

80

Cap. V. Funcţii

a) f : Z → Z, f(x) = −2x − 8; b) f : Q → Q, f(x) = − 0,5x − 4; d) f : Q → R, f(x) = −9,2x + 5. c) f : N → Z, f(x) = 5x − 11; 15. Fie funcţia cifra unităţilor u : Z → {0, 1, 2, …, 9}, care asociază fiecărui număr întreg restul împărţirii la 10 a acestui număr sau cifra unităţilor lui. Aflaţi: a) u(2); b) u(320); c) u(8 261); d) u(92 958). 16. Fie funcţia cifra zecilor (de ordinul 2) z : Z \ {−9, −8, ..., −1, 0, 1, 2, …, 9} → {0, 1, 2, …, 9}, care asociază fiecărui număr întreg de cel puţin ordinul 2 cifra zecilor acestui număr. Aflaţi: a) z(−85); b) z(−952); c) z(3 207); d) z(−37 746). 17. Fie funcţia modul. Aflaţi: a) | −0,45 |; b) | −9,51 |; c) | 295,03 |; d) | −7 642,519 |. 18. Fie funcţia f definită printr-un tabel. Decideţi dacă funcţia este monotonă (crescătoare sau descrescătoare) sau nu este monotonă: a) 0 1 2 3 x f(x) −1 −1 0 −2 b)

x f(x)

−2 1

−1 3

0 2

1 1

c)

x f(x)

−3 2

−2 0

0 −1

2 −3

d)

x f(x)

−2 −5

−1 1

3 2

5 6

−2 −1 1 2 x f(x) −3 −3 −3 −3 19. Examinaţi desenul şi identificaţi funcţia: constantă, nemonotonă, monoton descrescătoare, strict crescătoare. e)

20. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. −2 4 7 −5 −2 1 x x f(x) 3 5 −3 f(x) −1 −2 4

−7 0 1 −9 −5 9 x x f(x) 4 2 −1 f(x) −2 −1 3 21. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. −∞ 1 6 −∞ 3 −1 x x − ∞ −2 1 − ∞ −8 −12 f(x) f(x) Cap. V. Funcţii

81

−∞ 0 13 −∞ −5 14 x x 2 17 −3 41 f(x) ∞ f(x) −∞ 22. Reproduceţi tabelul de valori şi completaţi-l cu săgeţi care indică faptul că funcţia este strict crescătoare sau strict descrescătoare pe un interval. −11 4 ∞ −15 3 ∞ x x 5 −∞ 2 16 −∞ f(x) −2 f(x) ∞ 1 19 −24 −30 ∞ x x −11 ∞ −3 ∞ f(x) 2 f(x) −22 23. Asociaţi fiecărui tabel de valori de mai jos una dintre funcţiile reprezentate grafic.

x ...

−∞ ∞

1 −1

∞ −1

x ...

−∞ ∞

∞ ∞

2 −1

−∞ 1 ∞ −∞ 1 ∞ x x 4 4 −∞ 6 −∞ ... ... −∞ 24. Stabiliţi domeniul maxim de definiţie în mulţimea R a funcţiei definită de formula: 3x 2,8 x 3,7 x 4,9 x ; b) f(x) = ; c) f(x) = ; d) f(x) = . a) f(x) = 2x − 5 3x − 7 5x − 8 8x − 9 25. Stabiliţi domeniul maxim de definiţie în mulţimea R a funcţiei definită de formula: 2x − 5 4x − 3 5x − 7 ; b) f(x) = 2 ; c) f(x) = 2 . a) f(x) = 2 x − 13 x + 36 x − 13 x + 40 x − 13 x + 42 26. Stabiliţi domeniul maxim de definiţie în mulţimea R a funcţiei definită de formula: a) f(x) = 3x − 8 ; b) f(x) = 2 x − 13; c) f(x) = 8 x − 25 . 27. Fie funcţia f : R → R: ⎧ x + 2, dacă x ∈ (−' , 1] şi calculaţi f(−4), f(−2), f(1), f(2), f(4); a) f ( x) = ⎨ ⎩2 x + 1, dacă x ∈ (1, ' ) ⎧2 x − 1, dacă x ∈ (−' , 2] b) f ( x) = ⎨ şi calculaţi f(−1), f(0), f(2), f(3), f(4); ⎩ x + 3, dacă x ∈ (2, ' )

⎧ x − 4, dacă x ∈ (− ' , − 2] c) f ( x) = ⎨ şi calculaţi f(−3), f(−1), f(−2), f(1), f(2). ⎩3x + 1, dacă x ∈ (−2, ' ) 82

Cap. V. Funcţii

28. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = 5x − 2; b) f(x) = 4x − 3; c) f(x) = 8x − 5; d) f(x) = 4x − 7. 29. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = x 2 − 8x + 15; b) f(x) = x 2 − 9x + 18; c) f(x) = x 2 − 23x + 60. −

II −

30. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = 3x − 2. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 31. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = 5x − 2. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu: x−2 ; b) f(x) = 2 x 2 − 5 x + 4 . a) f(x) = x+5 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = | 4x − 3 |. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula: a) f(x) = sgn (5x − 2); b) f(x) = sgn (3 − 2x). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. −

III −

35. Explicitaţi funcţia f, f(x) = u (2 x ), pentru x ∈ N. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Fie corespondenţa între mulţimile N şi Z, definită de regula f(x) + f(1 − x) = x + 1. Decideţi dacă f este o funcţie. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Fie corespondenţa între mulţimea R şi ea însăşi, definită de regula f(x) + 2f(1 − x) = x + 1. Decideţi dacă f este o funcţie. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = x 2 − 4x + 6. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Aflaţi domeniul maxim de definiţie în R şi mulţimea valorilor funcţiei f cu f(x) = x 2 − 19x + 64. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = max {2x + 3, 5 – 3x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Explicitaţi funcţia f : R → R, f(x) = min {7x − 1, 3 – 2x}. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = | 3x 2 + 5 x + 4 | . Cap. V. Funcţii

83

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = | x 2 − 5 x + 4 | . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = sgn (2 x 2 − 3x + 2). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 45. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula f(x) = sgn (2 x 2 − 5 x + 3). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. O corespondenţă între mulţimile nevide A şi B este o submulţime nevidă a … 2. O funcţie definită pe mulţimea A cu valori în mulţimea B este corespondenţă între A şi B care asociază fiecărui ... 3. Funcţia f definită pe A cu valori în B se notează ... 4. Dacă f : A → B este o funcţie, atunci ... este domeniul de definiţie al funcţiei f, iar B este ... 5. Fie funcţia f : A → B. Valoarea lui f în x ∈ A este ... 6. Mulţimea valorilor funcţiei f : A → B este ... 7. Funcţia f are zeroul a, dacă ... 8. Fie funcţia f : A → B. a) f este crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică ..., pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; b) f este strict crescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică ..., pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C. 9. Fie funcţia f : A → B. a) f este strict descrescătoare pe submulţimea C a mulţimii A, dacă x1 < x2 implică ..., pentru orice elemente x1 şi x2 ale mulţimii C; b) f este ... pe submulţimea C a mulţimii A, dacă este sau crescătoare sau descrescătoarea pe C; c) f este monotonă dacă ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Reprezentaţi sintetic mulţimea valorilor funcţiei f : {−2, −1, 2, 3} → R, f(x) = 3x − 4. 2. Examinaţi graficele şi precizaţi despre fiecare dintre ele dacă reprezintă sau nu graficul unei funcţii.

1. Reprezentaţi sintetic mulţimea valorilor funcţiei f : {−2, −1, 2, 3} → R, f(x) = 2x − 5. 2. Examinaţi graficele şi precizaţi despre fiecare dintre ele dacă reprezintă sau nu graficul unei funcţii.

3. Aflaţi domeniul maxim de defini-

3. Aflaţi domeniul maxim de defini-

84

Cap. V. Funcţii

ţie (în R) a funcţiei definită de: ţie (în R) a funcţiei definită de: 3x 5x a) f(x) = a) f(x) = ; ; 4x + 3 5x + 2 x +1 x+7 . . b) f(x) = b) f(x) = 2 2x +1 3x 2 + 1 4. Examinaţi graficele reprezentate 4. Examinaţi graficele reprezentate şi şi identificaţi funcţia monotonă: identificaţi funcţia monotonă:

5. Examinaţi graficul funcţiei g, reprezentate mai sus, ilustraţi într-un tabel de valori monotonia ei pe intervale. 6. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = −2x + 3; b) f(x) = x 2 + 11x + 28. 7. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula: a) f(x) = sgn (8x − 3); b) f(x) = sgn (2 x 2 − 5 x + 6). 8. Aflaţi domeniul maxim de definiţie a funcţiei definite de formula: a) f(x) = x 2 − 15 ;

5. Examinaţi graficul funcţiei f, reprezentate mai sus, ilustraţi într-un tabel de valori monotonia ei pe intervale. 6. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = −5x + 4; b) f(x) = x 2 + 12x + 27. 7. Explicitaţi funcţia definită pe R de formula: a) f(x) = sgn (10x − 9); b) f(x) = sgn (6 x 2 − 5 x + 2). 8. Aflaţi domeniul maxim de definiţie a funcţiei definite de formula: a) f(x) = x 2 − 17 ;

b) f(x) = x 2 − 13 x + 36 . b) f(x) = x 2 − 13 x + 40 . 9. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei f 9. Aflaţi mulţimea valorilor funcţiei f definite pe domeniul maxim de definiţie definite pe domeniul maxim de definiţie de formula f(x) = 3x 2 − 7x + 6. de formula f(x) = 3x 2 − 9x + 7. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

2. Exemple de funcţii numerice −

I−

1. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 2,7x; b) f(x) = 5,2x; c) f(x) = −7,9x; d) f(x) = −9,3x. 2. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R: a) f(x) = −x + 3,1; b) f(x) = x − 4,2; c) f(x) = −x − 2,5; d) f(x) = −x + 5,8. 3. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 2x + 5; b) f(x) = 3x − 4; c) f(x) = 4x − 5; d) f(x) = 5x − 8. 4. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R: a) f(x) = −2x + 7; b) f(x) = −3x − 8; c) f(x) = −4x + 9; d) f(x) = −5x + 9. Cap. V. Funcţii

85

5. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R şi completaţi semnul într-un tabel, dacă: a) f(x) = 3x + 5; b) f(x) = 4x − 11; c) f(x) = 5x + 12; d) f(x) = 6x − 18. 6. Aflaţi zeroul funcţiei f : R → R şi completaţi semnul într-un tabel, dacă: a) f(x) = −4x + 9; b) f(x) = −3x − 15; c) f(x) = −7x + 14; d) f(x) = −3x − 9. 7. Marcaţi într-un tabel monotonia funcţiei f : R → R, dacă: a) f(x) = 15x + 1; b) f(x) = 12x − 1; c) f(x) = 3,1x + 1; d) f(x) = 4,2x − 1. 8. Marcaţi într-un tabel monotonia funcţiei f : R → R, dacă: a) f(x) = −3x + 1; b) f(x) = −8x − 1; c) f(x) = −3,7x + 1; d) f(x) = −17x − 1. 9. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 3x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 0 1 ∞ x −∞ ∞ f(x) −∞ b) f(x) = 5x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 0 1 ∞ x −∞ ∞ f(x) −∞ c) f(x) = 2x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 0 1 ∞ x −∞ ∞ f(x) −∞ 10. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = −1,5x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 0 2 ∞ x −∞ −∞ f(x) ∞ b) f(x) = −2,5x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 0 2 ∞ x −∞ −∞ f(x) ∞ c) f(x) = −0,5x după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 0 2 ∞ x −∞ −∞ f(x) ∞ 11. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = x + 2 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori −2 0 ∞ x −∞ ∞ f(x) −∞ b) f(x) = x − 3 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 0 3 ∞ x −∞ ∞ f(x) −∞ c) f(x) = x − 2 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 0 2 ∞ x −∞ ∞ f(x) −∞

86

Cap. V. Funcţii

12. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = −x − 3 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori −3 0 ∞ x −∞ ∞ − ∞ f(x) b) f(x) = −x + 2 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 0 2 ∞ x −∞ −∞ f(x) ∞ c) f(x) = −x − 4 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori −4 0 ∞ x −∞ −∞ f(x) ∞ 13. Construiţi graficul funcţiei: a) f : [1, ∞) → R, f(x) = x + 5; b) f : [−1, ∞) → R, f(x) = x − 2; d) f : [−2, ∞) → R, f(x) = x − 4. c) f : [2, ∞) → R, f(x) = x − 3; 14. Construiţi graficul funcţiei: b) f : [−1, 10) → R, f(x) = −x − 3; a) f : [1, 9) → R, f(x) = −x + 5; c) f : [−2, 12) → R, f(x) = −x − 4; d) f : [−3, 7) → R, f(x) = −x − 6. 15. Construiţi graficul funcţiei: b) f : (−∞, 4) → R, f(x) = −3x + 4; a) f : (−∞, 1) → R, f(x) = −2x + 5; d) f : (−∞, 4) → R, f(x) = −2x + 6. c) f : (−∞, 6) → R, f(x) = −x + 5; 16. Aflaţi panta dreptei: a) y = 2x + 3; b) y = 5x − 4; c) y = 8x − 3; d) y = 7x + 3; e) y = 5x − 4. 17. Aflaţi panta dreptei: a) y = −9x + 8; b) y = −8x − 7; c) y = −13x − 4; d) y = −21x + 15. 18. Aflaţi a, dacă dreapta: a) y = ax + 3 conţine punctul (−1, 7); b) y = ax − 7 conţine punctul (−2, 2); c) y = ax − 11 conţine punctul (−3, 1); c) y = ax + 12 conţine punctul (−4, 3). 19. Aflaţi a, dacă dreapta: a) y = −4x + a conţine punctul (−2, 5); b) y = −3x + a conţine punctul (−3, 6); c) y = −5x + a conţine punctul (4, −2); c) y = −7x + a conţine punctul (6, −3). 20. Aflaţi a şi b dacă dreapta: a) y = ax + b conţine punctele (−2, 0) şi (1, 3); b) y = ax + b conţine punctele (0, 3) şi (−2, −4); c) y = ax + b conţine punctele (−5, 1) şi (−3, 0); d) y = ax + b conţine punctele (−7, 0) şi (−1, 4). 21. Aflaţi a şi b dacă funcţia f : R → R, f(x) = ax + b şi graficul funcţiei f conţine punctele: a) (−3, 0) şi (2, 3); b) (−3, 1) şi (0, −2); c) (3, −5) şi (4, 0). 22. Fie funcţia f : R+ → R. Ce puteţi spune despre numerele a, b, c, dacă: a) f(x) = 2,4x şi (a, 2), (b, 5), (c, 7) sunt puncte ale graficului funcţiei f; b) f(x) = 4,3x şi (a, 3), (b, 7), (c, 8) sunt puncte ale graficului funcţiei f; c) f(x) = 6,2x şi (a, 4), (b, 9), (c, 11) sunt puncte ale graficului funcţiei f ? Cap. V. Funcţii

87

23. Fie funcţia f : R+ → R. Aflaţi f(x), dacă f descrie faptul că numerele: a) 3 şi m sunt direct proporţionale cu numerele 5 şi 8; b) 5 şi m sunt direct proporţionale cu numerele 2 şi 25; c) 15 şi m sunt direct proporţionale cu numerele 8 şi 17. 24. Fie funcţia f : R* → R. Ce puteţi spune despre numerele a, b, c, dacă: 12 a) f(x) = şi (a, 2), (b, 3), (c, 7) sunt puncte ale graficului funcţiei f; x 15 b) f(x) = şi (a, 1), (b, 3), (c, 5) sunt puncte ale graficului funcţiei f; x 18 şi (a, 3), (b, 6), (c, 9) sunt puncte ale graficului funcţiei f; c) f(x) = x 20 d) f(x) = şi (a, 2), (b, 4), (c, 10) sunt puncte ale graficului funcţiei f ? x 25. Construiţi graficul funcţiei f : R* → R: 6 a) f(x) = după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 6 x −∞ −∞ || ∞ f(x) 0 8 b) f(x) = după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −8 −4 −2 −1 0 1 2 4 8 x −∞ −∞ || ∞ f(x) 0 10 c) f(x) = după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −10 −5 −2 −1 0 1 2 5 10 x −∞ −∞ || ∞ f(x) 0 12 d) f(x) = după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −12 −6 −2 −1 0 1 2 6 12 x −∞ −∞ || ∞ f(x) 0 26. Construiţi graficul funcţiei f : R* → R: 12 a) f(x) = − după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −12 −6 −4 −2 0 2 4 6 12 x −∞ ∞ || −∞ f(x) 0 14 b) f(x) = − după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −14 −7 −2 −1 0 1 2 7 14 x −∞ ∞ || −∞ f(x) 0

88

∞ 0

∞ 0

∞ 0

∞ 0

∞ 0

∞ 0

Cap. V. Funcţii

16 după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −16 −8 −4 −2 0 2 4 8 16 ∞ x −∞ ∞ || −∞ 0 f(x) 0 18 d) f(x) = − după ce reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x −18 −9 −3 −1 0 1 3 9 18 ∞ x −∞ ∞ || −∞ 0 f(x) 0 27. Construiţi graficul funcţiei f : D → R: a) f(x) = x − 2 , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 6 11 ∞ x ... 3 ∞ f(x) ... b) f(x) = x − 1, după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori ∞ 5 10 x ... 2 ∞ ... f(x) c) f(x) = x − 3 , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori 7 12 ∞ x ... 4 ∞ f(x) ... d) f(x) = x − 4 , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori ∞ 8 13 x ... 5 ∞ f(x) ... 28. Construiţi graficul funcţiei f : D → R: a) f(x) = 2 − x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori c) f(x) = −

−7 −2 1 ... x −∞ ∞ ... f(x) b) f(x) = 1 − x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

c) f(x) =

−8 −3 1 ... x −∞ ... f(x) ∞ 3 − x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

d) f(x) =

−6 −1 2 ... x −∞ ... f(x) ∞ 4 − x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

−5 0 3 ... x −∞ ... f(x) ∞ 29. Construiţi graficul funcţiei f : D → R: a) f(x) = 0,2 x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x f(x) Cap. V. Funcţii

... ...

5

20

∞ ∞

89

b) f(x) =

0,5 x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

c) f(x) =

2 8 18 ∞ x ... ∞ f(x) ... 0,4 x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

2,5 10 ∞ x ... ∞ f(x) ... 30. Construiţi graficul funcţiei f : D → R: a) f(x) = − 0,2 x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

b) f(x) =

−20 −5 ... x −∞ ... f(x) ∞ − 0,5 x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori

c) f(x) =

−8 −2 ... x −∞ ∞ ... f(x) − 0,4 x , după ce aflaţi D, reproduceţi şi completaţi tabelul de valori x f(x)

−∞ ∞

−10 −

−2,5

... ...

II −

31. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 3x − 4; b) f(x) = −5x + 3. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Aflaţi punctele de intersecţie ale graficului funcţiei afine f : R → R al cărui grafic conţine punctele (−3, 2) şi (2, −3) cu axele de coordonate. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Aflaţi ecuaţia dreptei ce conţine punctele (−1, 3) şi (1, −3) şi aflaţi punctele de intersecţiei ale dreptei cu axele de coordonate. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R: ⎧ x + 2, dacă x ∈ (− ' , 1] ⎧− x + 3, dacă x ∈ (− ' , − 1) a) f ( x) = ⎨ b) f ( x) = ⎨ ⎩2 x + 1, dacă x ∈ (1, ' ); ⎩− 3x + 1, dacă x ∈ [−1, ' ). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 35. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R: a) f(x) = | 3x − 6 |; b) f(x) = | −x + 3 |. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Reprezentaţi grafic funcţia f : R → R: ⎧− x + 3, dacă x ∈ (− ' , 2] ⎧2 x − 1, dacă x ∈ (− ' , − 1] a) f ( x) = ⎨ b) f ( x) = ⎨ ⎩ x + 1, dacă x ∈ (2, ' ); ⎩− x + 2, dacă x ∈ (−1, ' ). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Construiţi graficul funcţiei f : D → R cu domeniul maxim de definiţie D şi:

90

Cap. V. Funcţii

6 6 ; b) f(x) = . x −1 2− x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Construiţi graficul funcţiei f : D → R cu domeniul maxim de definiţie D şi: 8 12 a) f(x) = ; b) f(x) = − . | x −3| |4− x| Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Construiţi graficul funcţiei f : D → R cu domeniul maxim de definiţie D şi: a) f(x) = x + 4 ; b) f(x) = 2 − x + 5. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Construiţi graficul funcţiei f : D → R cu domeniul maxim de definiţie D şi: a) f(x) = 2 x + 1; b) f(x) = 2 − 2 x + 1. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Reprezentaţi grafic relaţia dintre distanţa pe care o parcurge o maşină care se deplasează cu 40 km/h în funcţie de timp. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 42. Reprezentaţi grafic relaţia dintre valorile vitezei cu care o maşină parcurge distanţa de 60 km şi valorile intervalelor de timp corespunzătoare. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 43. Explicitaţi funcţia f : R → R: b) f(x) = | 5 − 2x | − | 3x 2 − 7 x + 5 |. a) f(x) = | 3x − 6 | + | x 2 − 5 x + 6,3 | ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 44. Rezolvaţi în R inecuaţia: 2 x 2 − 11x + 15 x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 > 0 ; ≤ 0. b) a) 3 x − 3x 2 + 3x − 1 3x 2 + 5 x + 2,3 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. a) f(x) =

−

III −

45. Aflaţi m astfel încât graficul funcţiei f : R → R: ⎧mx + 3, dacă x ∈ ( −' , − 2] a) f(x) = ⎨ să fie un unghi; ⎩3 x − 1, dacă x ∈ (−2, ' )

⎧ x − 2m, dacă x ∈ (−' , 3] b) f(x) = ⎨ să fie un unghi. ⎩2 x − 3, dacă x ∈ (3, ' ) Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 46. Construiţi graficul funcţiei f : R → R: b) f(x) = | 2x − 6 | − | x + 4 |. a) f(x) = | 2x − 4 | + | x + 3 |; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 47. Rezolvaţi în R inecuaţia: 3x − 5 b) ≥ 0. a) x 2 − 17 x − 60 ≤ 0; 15 − 4 x Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. Cap. V. Funcţii

91

48. Rezolvaţi în R inecuaţia: x 2 − 7 x − 30 2 x2 − 5x + 2 ≤ 0; b) ≥ 0. a) − x 2 + 11x − 18 − 3x 2 − 5 x − 2 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 49. Fie funcţia f : R → R, f(x) = −3,8. Aflaţi f(f(f(x))). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 50. Fie funcţia f : R → R, f(x) = −2x + 3. Aflaţi f(f(f(x))). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 51. Aflaţi f(x) astfel încât graficul funcţiei f : R → R să fie unghiul BAC cu punctele B(−3, 2), A(1, −2) şi C(5, 8). Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 52. La ora 8:00 din localitatea A porneşte spre localitatea C o maşină ce se deplasează cu viteza medie de 60 km/h. În acelaşi moment, din localitatea B aflată între localităţile A şi C la 20 km de A porneşte spre C, o maşină ce se deplasează cu viteza medie de 45 km/h. Reprezentând grafic două funcţii afine, aflaţi distanţa dintre A şi C, dacă cele două maşini se întâlnesc în C. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 53. Fie funcţia f : R → R, f(x) = −3x + 1. Stabiliţi dacă graficul funcţiei f conţine: a) un punct cu coordonatele egale; b) un punct cu abscisa egală cu dublul ordonatei. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 54. Fie funcţia f : R → R, f(5x) = 2x + 1. Aflaţi f(x) şi stabiliţi dacă graficul funcţiei f conţine: a) un punct cu coordonatele egale; b) un punct cu abscisa egală cu triplul ordonatei. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 55. Fie funcţia f : R → R, f(3x − 2) = 2x + 3. Aflaţi f(x) şi stabiliţi dacă graficul funcţiei f conţine: a) un punct cu coordonatele egale; b) un punct cu abscisa egală cu dublul ordonatei. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 56. Construiţi graficul funcţiei f : D → R cu domeniul maxim de definiţie D şi: b) f(x) = 2 | −3x + 2 |. a) f(x) = | 3 x − 2 | ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Funcţia f : R → R, f(x) = … se numeşte funcţie afină. 2. Funcţia f : R → R, f(x) = … se numeşte funcţie de gradul I. 3. Funcţia f : R → R, f(x) = … se numeşte funcţie liniară. 4. Ecuaţia dreptei de pantă a este y = ... 5. O relaţie de forma ... descrie proporţionalitatea directă. 6. O relaţie de forma ... descrie proporţionalitatea inversă. 7. a) Funcţia f ..., f(x) ... are reprezentarea grafică o hiperbolă. b) Funcţia f ..., f(x) ... are reprezentarea grafică o parabolă.

92

Cap. V. Funcţii

8. Fie funcţia f : R → R, f(x) = ax + b. Monotonia funcţiei f. 1) dacă a < 0, atunci funcţia f este ...; 2) dacă a > 0, atunci funcţia f este ... 9. Fie funcţia f : R → R, f(x) = ax + b. Semnul funcţiei f. 1) dacă a < 0, atunci funcţia f este ...; 2) dacă a > 0, atunci funcţia f este ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = 5x − 2;

1. Aflaţi zerourile funcţiei f : R → R: a) f(x) = 7x − 3;

b) f(x) = x 2 − 15 x + 44. 2. Marcaţi într-un tabel monotonia funcţiei f : R → R: a) f(x) = 2x − 7; a) f(x) = −3x + 18. 3. Marcaţi într-un tabel semnul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 11x − 3; b) f(x) = −5x + 12. 4. Construiţi graficul funcţiei (reprezentaţi grafic funcţia) f : R → R: a) f(x) = 2x − 6; b) f(x) = −3x + 9. 5. Construiţi graficul funcţiei (reprezentaţi grafic funcţia): a) f : (−2, ∞) → R, f(x) = x − 8; b) f : (−3, ∞) → R, f(x) = −x + 7. 6. Aflaţi panta dreptei: a) y = 2x − 13; b) y = −3x + 7. 7. Construiţi pe domeniul maxim de definiţie, graficul funcţiei f : D → R: 1 ; b) f(x) = x − 8 . a) f(x) = x−3 8. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = | x − 4 | + | x + 5 |. 9. Rezolvaţi în R inecuaţia

b) f(x) = x 2 − 17 x + 66. 2. Marcaţi într-un tabel monotonia funcţiei f : R → R: a) f(x) = 5x − 2; a) f(x) = −4x + 7. 3. Marcaţi într-un tabel semnul funcţiei f : R → R: a) f(x) = 12x − 4; b) f(x) = −2x + 10. 4. Construiţi graficul funcţiei (reprezentaţi grafic funcţia) f : R → R: a) f(x) = 4x − 12; b) f(x) = −2x + 8. 5. Construiţi graficul funcţiei (reprezentaţi grafic funcţia): a) f : (−3, ∞) → R, f(x) = x − 4; b) f : (−2, ∞) → R, f(x) = −x + 9. 6. Aflaţi panta dreptei: a) y = 3x − 15; b) y = −5x + 10. 7. Construiţi pe domeniul maxim de definiţie, graficul funcţiei f : D → R: 1 a) f(x) = ; b) f(x) = x − 9 . x−4 8. Construiţi graficul funcţiei f : R → R, f(x) = | x − 5 | + | x + 4 |. 9. Rezolvaţi în R inecuaţia

2x − 5 < 1. 3x + 7

5x − 2 < 1. 7x + 3

Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute. Cap. V. Funcţii

93

Capitolul VI. Şiruri Noţiunea de şir şi moduri de definire ale unui şir. Dacă f : N → R este o funcţie, atunci f(1), f(2), f(3), ... este un şir de numere reale. f(n) = an se numeşte termenul general al şirului definit de funcţia f sau termenul de rang n al şirului. Un şir poate fi definit prin formula termenului general sau printr-o relaţie de recurenţă (când se dau k termeni ai şirului şi o relaţie între un termen al şirului şi precedenţii k termeni ai lui). Şirul lui Fibonacci. (Suplimentar) Matematica antică grecească a început cu înfiinţarea de către Thales din Milet (cca. 634−548 î.Hr.), pe când avea 40 ani, a primei şcoli greceşti pe malurile mării Mediterane, vestul Turciei de astăzi. În 387 î.Hr. Platon a înfiinţat Academia din Atena, iar mai târziu Ptolemeu a înfiinţat Şcoala din Alexandria la care a lucrat şi Euclid. Justinian I, împăratului Imperiului Roman de Est, a ordonat în 529 desfiinţarea tuturor şcolilor filozofice păgâne. A urmat o perioadă lungă în care rezultatele şcolilor greceşti de matematică au fost preluate şi continuate de către arabi. Matematica europeană a stagnat până în 1494 când călugărul italian Lucas Pacioli a scris cartea „Summa de Arithmetica“ în care a încercat să prezinte cunoştinţele de matematica acumulate până atunci. În secolul următor, XVI, au urmat Tartaglia, Copernic, Cardano şi alţii. În toată perioada cuprinsă între 529 şi 1494, Leonardo din Pisa zis Fibonnaci (cca 1170−1240) este o figură luminoasă. Scrierea romană răspândită în Europa era foarte anevoioasă pentru calcule. Fiind neguţător, el a circulat în imperiul Bizantin. A vizitat Egiptul, Grecia, Sicilia şi Siria. A învăţat matematica şi metode de calcul. În 1202 a publicat prima dintre cele patru cărţi ale sale „Liber abacci“ în care a folosit sistemul de numărare hindo-arabic. Aici a introdus în Europa numerele indiene 0, 1, 2, ..., 9. În aceeaşi carte Fibonacci a propus problema care l-a făcut celebru: „O pereche de iepuri se maturizează într-o lună şi o pereche de iepuri maturi dă naştere într-o lună unei perechi de iepuri. Aflaţi câte perechi de iepuri poate avea peste 12 luni cineva care are în acest moment o pereche de iepuri tineri.“ Înregistrând numărul perechilor de iepuri după fiecare lună (t − tineri, m − maturi), obţinem: I (1 t, total 1); II (1 m, total 1); III (1 m + 1 t, total 2); IV (2 m + 1 t, total 2 + 1 = 3); V (3 m + 2 t, total 3 + 2 = 5); VI (5 m + 3 t, total 3 + 5 = 8) ş.a.m.d. În felul acesta se construieşte şirul de numere 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, unde fiecare termen, începând cu al treilea, este suma celor doi termeni precedenţi, iar primii doi termeni sunt egali cu 1. Am obţinut şirul lui Fibonacci care se defineşte astfel: Fn + 2 = Fn + Fn +1 , F1 = F2 = 1. F F F F F F Se constată că 2 = 1, 3 = 2, 4 = 1,5, 5 = 1,(6), 6 = 1,6, 7 = 1,625, F1 F3 F4 F5 F6 F2

F8 = 1,61538 etc., rapoartele termenilor consecutivi aproximează din ce în ce mai F7

1+ 5 . Câteva relaţii interesante: F1 + F2 + F3 + ... = 2 Fn + 2 − 1; F2 + F4 + F6 + ... + F2 n = F2 n +1 − 1; = Fn + 2 − 1; F1 + F3 + F5 + ... + F2 n −1 = F2 n ; termenul general al şirului este:

bine numărul de aur ϕ =

94

Cap. VI. Şiruri numerice

n

n

⎛1+ 5 ⎞ ⎛1− 5 ⎞ ⎟ ⎟ −⎜ ⎜⎜ 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 2 ⎟⎠ ⎝ Fn = . 5 Fie şirul 1, 4, 5, 9, 14, 23, ... Ca şi pentru şirul lui Fibonacci, raportul termenilor consecutivi aproximează pentru n din ce în ce mai mare din ce în ce mai bine numărul de aur ϕ. Progresii aritmetice. Un şir se numeşte progresie aritmetică, dacă diferenţa a doi termeni consecutivi ai lui este constantă, adică fiecare termen al şirului este mai mare cu acelaşi număr decât precedentul său. Diferenţa a doi termeni consecutivi ai progresiei aritmetice se numeşte raţie. O progresie aritmetică este definită când se cunoaşte primul său termen, a1 , şi raţia sa, r. Formula termenului general al progresiei aritmetice a1 , a2 , a3 , ..., an se află adunând relaţiile a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, ..., an −1 = an − 2 + r, an = an −1 + r, şi se obţine an = a1 + (n − 1)r. Termenii extremi ai progresiei aritmetice cu n termeni sunt a1 şi an , iar termenii progresiei egal depărtaţi de termenii extremi ai ei sunt: a2 şi an −1 ; a3 şi an − 2 ; ...; ak şi an − k +1. Teorema 1. Suma termenilor egal depărtaţi de termenii extremi ai unei progresii aritmetice este egală cu suma termenilor extremi ai progresiei. Corolar. Dacă a, b, c sunt termenii consecutivi ai unei progresii aritmetice, atunci b este media aritmetică a numerelor a şi c. Teorema 2. Fie progresia aritmetică a1 , a2 , a3 , ..., an cu raţia r. Suma termen(a1 + a2 ) n[2a1 + (n − 1)r ] nilor progresiei este S n = . = 2 2 n(n + 1) Corolar. 1 + 2 + 3 + ... + n = . 2 Progresii geometrice. Şirul definit de relaţiile an = an −1q, a1 ∈ R*, q ∈ R*, se numeşte progresie geometrică. Numărul q se numeşte raţia progresiei geometrice. O progresie geometrică este definită când se cunoaşte primul său termen, a1 , şi raţia sa, q. Formula termenului general al progresiei geometrice a1 , a2 , a3 , ..., an se află înmulţind relaţiile a2 = a1q, a3 = a2 q 2 , ..., an −1 = an − 2 q, an = an −1q, şi se obţine

an = a1q n −1. Termenii extremi ai progresiei geometrice cu n termeni sunt a1 şi an , iar termenii progresiei egal depărtaţi de termenii extremi ai ei sunt: a2 şi an −1 ; a3 şi an − 2 ; ...; ak şi an −k +1. Teorema 1. Produsul termenilor egal depărtaţi de termenii extremi ai unei progresii geometrice este egal cu produsul termenilor extremi ai progresiei. Corolar. Dacă a, b, c sunt termenii consecutivi ai unei progresii geometrice, atunci b este media geometrică a numerelor a şi c. Teorema 2. Fie progresia geometrică a1 , a2 , a3 , ..., an cu raţia q. Suma termenilor progresiei este S n =

Cap. VI. Şiruri numerice

qan − a1 a1 (q n − 1) = . q −1 q −1 95

Corolar. X n − 1 = (X − 1) ( X n −1 + X n − 2 + ... + X + 1). Teorema 3. (Progresii geometrice cu modulul raţiei mai mic decât 1.) Dacă | q | < 1 1, atunci 1 + q + q 2 + q 3 + ... = . 1− q 1 Observaţii. (Suplimentar) 1) q = = 0,1 implică 1 + 0,1 + 0,01 + 0,001 + ... = 10 1 1 1 1 10 1 = = 0,1( 2 ) se obţine 1 + 0,1( 2 ) + 1,(1) = 1 = . 2) q = = = 9 9 2 0,9 10( 2) 1 − 0,1

1 1 2 1 1 = = = = = 2. 3) q = 1 1 2 −1 1 x 1− 2 2 1 x 0,1( x ) implică 1 + 0,1( x ) + 0,01( x ) + 0,001( x ) + ... = 1, (1) ( x ) = 1 + = . 4) Obx −1 x −1 servaţiile anterioare oferă o justificare a formulei din concluzia teoremei 3, aplicând modul în care se converteşte un număr zecimal periodic în fracţie şi extinderea lui pentru numere scrise în alte baze. În acelaşi timp, dacă justificăm formula altfel, atunci o putem aplica la demonstrarea modului în care poate fi convertit un număr zecimal periodic în fracţie. 5) Formula din teoremă poate fi demonstrată aplicând descompunerea în factori: 1 = 1 − x + x − x 2 + x 2 − x 3 + x 3 − x 4 + ... = (1 − x) + 1 x(1 − x) + x 2 (1 − x) + x 3 (1 − x) + ... implică = 1 + x + x 2 + x 3 + ... 1− x

0,01( 2 ) + 0,001( 2 ) + ... = 1, (1) ( 2) = 1 +

1. Definirea unui şir −

I−

1. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 2, 2, 2, ...; b) −1, −1, −1, ...; c) −5, −5, −5, ...; d) 11, 11, 11, ... 2. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 4, 7, ...; b) 3, 8, 13, 18, ...; c) 2, 8, 14, 20, ...; d) 11, 18, 25, 32, ... 3. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 2, 4, 1, 2, 4, ...; b) 3, 9, 7, 1, 3, 9, 7, 1, ...; c) 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, ... 4. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 0, −1, 1, 0, −1, ...; b) −2, 0, 2, −2, 0, 2, ...; c) −3, 0, 3, −3, 0, 3, ... 5. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 3, 32 , 33 , ...; b) 2, 2 2 , 23 , ...; c) 5, 52 , 53 , ...; d) 7, 7 2 , 73 , ... 6. Adăugaţi trei termeni şirului: a) −10, 10 2 , − 103 , ...; b) −8, 82 , − 83 , ...; c) −10, 10 2 , − 103 , ... 7. Adăugaţi trei termeni şirului: 1 3 5 1 5 9 1 7 13 , ...; c) , , , ... a) , , , ...; b) , , 2 4 6 3 7 11 4 10 16 8. Adăugaţi trei termeni şirului:

96

Cap. VI. Şiruri numerice

a) 1, 1 + 2, 1 + 2 + 3, ...; b) 2, 2 + 4, 2 + 4 + 6, ...; c) 3, 3 + 6, 3 + 6 + 9, ... 9. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 121, 12321, 1234321, ...; b) 212, 32123, 4321234, ... 10. Adăugaţi trei termeni şirului: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , ...; c) , − , , ... a) , − , , ...; b) , − , 4 8 3 9 27 4 16 64 2 11. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 1, 2, 3, 5, ...; b) 2, 2, 4, 6, 10, ...; c) 3, 3, 6, 9, ...; d) 5, 5, 10, 15, ... 12. Adăugaţi trei termeni şirului: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 , , , ...; b) , , , ...; c) , , , ... a) 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 1⋅ 3 3 ⋅ 5 5 ⋅ 7 1 ⋅ 4 4 ⋅ 7 7 ⋅11 13. Adăugaţi trei termeni şirului: 1 1 1 1 1 1 , , ...; b) , , ...; c) , , ... a) 1+ 3 3+ 5 1+ 6 6 + 17 1+ 7 7 + 13 14. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: a) an = 3n, n ∈ N; b) an = 4n, n ∈ N; c) an = 5n, n ∈ N. 15. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: a) an = 3n + 2, n ∈ N; b) an = 4n − 3, n ∈ N; c) an = 7n − 5, n ∈ N. 16. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: a) an = 2n 2 − 1, n ∈ N; b) an = 3n 2 − 2, n ∈ N; c) an = 4n 2 − 3, n ∈ N. 17. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: 1 1 1 , n ∈ N; b) an = , n ∈ N; c) an = , n ∈ N. a) an = 2n + 1 3n − 1 4n − 1 18. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: 1 1 1 a) an = 2 , n ∈ N*; b) an = 3 , n ∈ N*; c) an = 4 , n ∈ N*. n n n 19. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: 1 1 a) an = , n ∈ N, n > 1; b) an = , n ∈ N*. n(n − 1) n(n + 1) 20. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: b) an = 2 + 4 + ... + 2n, n ∈ N. a) an = 1 + 2 + ... + n, n ∈ N; 21. Scrieţi primii patru termeni ai şirului cu termenul general: b) an = 13 + 23 + ... + n3 , n ∈ N. a) an = 12 + 2 2 + ... + n 2 , n ∈ N; 22. Scrieţi primii patru termeni ai şirului definit de relaţiile: a) an = an −1 + 3, n > 1, a1 = 5, n ∈ N*; b) an = an −1 + 5, n > 1, a1 = 2, n ∈ N*; c) an = an −1 + 5, n > 1, a1 = 2, n ∈ N*. 23. Scrieţi primii patru termeni ai şirului definit de relaţiile: a) an = 5an −1 , n > 1, a1 = 2, n ∈ N*; b) an = 4an −1 , n > 1, a1 = 3, n ∈ N*; c) an = 2an −1 , n > 1, a1 = 5, n ∈ N*; d) an = 3an −1 , n > 1, a1 = 4, n ∈ N*. Cap. VI. Şiruri numerice

97

24. Scrieţi primii patru termeni ai şirului definit de relaţiile: a) an = an −1 + an − 2 , n > 2, a1 = a2 = 1, n ∈ N*; b) an = an −1 + an − 2 , n > 2, a1 = a2 = 2, n ∈ N*; c) an = an −1 + an − 2 , n > 2, a1 = a2 = 3, n ∈ N*; d) an = an −1 + an − 2 , n > 2, a1 = a2 = 4, n ∈ N*. 25. Scrieţi primii patru termeni ai şirului definit de relaţiile: a) an = 2an −1 − an − 2 , n > 2, a1 = 1, a2 = 3, n ∈ N*; b) an = 3an −1 − an − 2 , n > 2, a1 = 3, a2 = 2, n ∈ N*; c) an = 4an −1 − an − 2 , n > 2, a1 = 5, a2 = 2, n ∈ N*. −

II −

26. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 3 + 5, 7 + 9 + 11, ...; b) 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, ... Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 27. Fie şirul 0, 1, 2, 0, 1, 2, ... Aflaţi formula termenului general al şirului dat. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. −

III −

28. Scrieţi trei termeni ai şirului resturilor împărţirii la 10 a puterilor naturale ale numerelor a7, a = 1, 9. 29. Scrieţi trei termeni ai şirului resturilor împărţirii la 100 a puterilor naturale ale numerelor a76, a = 1, 9. 30. Scrieţi trei termeni ai şirului resturilor împărţirii la 100 a puterilor naturale ale numerelor a36, a = 1, 9. 31. Adăugaţi trei termeni şirului 2, 3, 9, 20, ... Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Cercetaţi dacă şirul 3, 13, 1113, 3113, 2123, ... este periodic. 33. Într-o reţea de pătrate se construiesc pătrate cu laturile de 1, 2, 3, ... şi se notează numărul pătratelor ce se identifică în fiecare desen: 1, 5, 14, ... a) Completaţi şirul ce se obţine cu următorii trei termeni. b) Pentru şirul ce se obţine, aflaţi formula termenului general. b) Aflaţi numărul tuturor pătratelor ce se pot identifica pe o tablă de şah. 34. Într-o reţea de pătrate se construiesc cuburi cu muchiile de 1, 2, 3, ... şi se notează numărul cuburilor ce se identifică în construcţie: 1, 9, 36, ... a) Completaţi şirul ce se obţine cu următorii trei termeni. b) Aflaţi formula termenului general. c) Cu ajutorul rezultatului anterior descoperiţi cum se scrie mai simplu suma cuburilor primelor n numere naturale: 1 + 23 + 33 + ... + n3 . 35. Fie şirul resturilor împărţirii la 10 ale lui 2 n. Aflaţi formula termenului general. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Fie un dreptunghi. Se notează numărul dreptunghiurilor ce se identifică, de fiecare dată, după ce se construieşte un segment paralel cu două laturi opuse. Se obţine un

98

Cap. VI. Şiruri numerice

şir de numere. Aflaţi formula termenului general. 37. Fie ecuaţia 5x 2 − 8x + 2 = 0. Aflaţi relaţia de recurenţă ce defineşte suma puterilor soluţiilor ecuaţiei date. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 38. Fie şirul de numere naturale definit de relaţiile xn = ab şi xn +1 = 3b + a. Aflaţi: a) primii 5 termenii ai şirului, dacă x1 = 19; b) dacă şirul de la punctul anterior este periodic; c) pentru ce valori ale numărului ab şirul este constant. 39. Utilizând ecuaţia de gradul II cu coeficienţi reali pe care o verifică numărul de 1+ 5 aur ϕ = , transformaţi şirul 1, ϕ, ϕ 2 , ϕ 3 , ϕ 4 , ϕ 5 , ... într-un şir ai cărui 2 termeni nu conţin puteri ale lui ϕ. 40. O specie de bacterii naşte o bacterie după 30 minute şi trăieşte o oră. Se consideră o bacterie din această specie la ora 9. Înregistrând numărul de bacterii la ora 9:30, 10:00, 10:30 etc., se obţine un şir de numere. Cum se defineşte acest şir? 41. (Şirul lui Fibonacci) O pereche de iepuri se maturizează într-o lună şi perioada de gestaţie este de o lună. Având o pereche de iepuri, înregistrăm numărul de iepuri după fiecare lună şi obţinem un şir de numere. Cum se defineşte acest şir?

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 3, 5, 9, 3, 5, 9, ...; b) 2, −2, 2, −2, ... 2. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 11, 15, 19, ...; b) 9, 4, −1, −6, ... 3. Scrieţi primii trei termeni ai şirului cu termenul general: a) an = 8n − 3; b) an = −12n + 7. 4. Scrieţi primii trei termeni ai şirului cu termenul general: a) an = 5 ⋅ 3n ; b) an = − 2 ⋅ 5n − 2. 5. Scrieţi primii trei termeni ai şirului cu termenul general: 5n n−4 ; b) an = . a) an = 3n − 1 n+5 6. Scrieţi primii trei termeni ai şirului definit de relaţiile: an = an −1 + 8, n > 1, a1 = 2, n ∈ N*. 7. Scrieţi primii trei termeni ai şirului definit de relaţiile: an = − 7 an −1 , n > 1, a1 = 2, n ∈ N*. Cap. VI. Şiruri numerice

1. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 1, 2, 9, 1, 2, 9, ...; b) −5, 5, −5, 5, ... 2. Adăugaţi trei termeni şirului: a) 12, 18, 24, ...; b) 13, 7, 1, −5, ... 3. Scrieţi primii trei termeni ai şirului cu termenul general: a) an = 9n − 4; b) an = −15n + 6. 4. Scrieţi primii trei termeni ai şirului cu termenul general: a) an = 9 ⋅ 2 n ; b) an = − 3 ⋅ 8n − 2. 5. Scrieţi primii trei termeni ai şirului cu termenul general: 2n n−5 ; b) an = . a) an = 6n − 1 n+4 6. Scrieţi primii trei termeni ai şirului definit de relaţiile: an = an −1 + 7, n > 1, a1 = 6, n ∈ N*. 7. Scrieţi primii trei termeni ai şirului definit de relaţiile:

99

an = − 8an −1 , n > 1, a1 = 3, n ∈ N*. 8. Fie a = 41 764. Aflaţi restul împărţirii numărului a la 100. 8. Fie a = 61 764. Aflaţi restul împăr9. Fie unghiul ascuţit AMB. Se con- ţirii numărului a la 100. struieşte o semidreapta deschisă MC în 9. Fie triunghiul ABC. Se construieşte interiorul unghiului AMB şi se află nu- ceviana AD (D ∈ (BC)) şi se află numămărul de unghiuri ce se identifică; se rul de triunghiuri ce se identifică; se mai mai construieşte semidreapta deschisă construieşte ceviana AE şi se află nuMD şi se află numărul unghiurilor ce se mărul triunghiurilor ce se identifică etc. identifică etc. Definiţi şirul ce se obţine Definiţi şirul ce se obţine în acest mod. în acest mod. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 45 minute.

2. Progresii aritmetice −

I−

1. În vacanţă Mircea s-a decis să rezolve în fiecare zi 5 exerciţii. Aflaţi câte exerciţii rezolvate va avea Mircea după: a) 3 zile; b) 7 zile; c) 9 zile; d) 12 zile. 2. Familia D are 5 200 lei la o bancă şi depune lunar câte 450 lei. Aflaţi suma de bani pe care o va avea: a) o lună; b) două luni; c) cinci luni; d) opt luni. 3. Examinaţi şirurile următoare şi identificaţi progresiile aritmetice: 1, 3, 5, 7, ...; 2, 6, 2, 6, ...; 7, 9, 13, 18, ...; 18, 15, 12, ...; 7, 5, 8, 6, 9, ... 4. Recunoaşteţi o progresie aritmetică după termenul general: 2n an = 5n + 2, bn = 3n + (−1) n , cn = 4n − 11, d n = , en = 5n 2 + 3. n+5 5. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei aritmetice: a) an = 5n + 12; b) an = 7n + 14; c) an = 13n + 8; d) an = 15n + 6. 6. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei aritmetice: a) an = 7n − 25; b) an = 5n − 11; c) an = 3n − 32; d) an = 8n − 35. 7. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei aritmetice: a) an = −3n + 57; b) an = −6n + 49; c) an = −9n + 62; d) an = −21n + 81. 8. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei aritmetice: a) an = −9n − 4; b) an = −7n − 24; c) an = −27n − 11; d) an = −33n − 19. 9. Aflaţi termenul general al unei progresii aritmetice cu: a) primul termen 3 şi raţia 5; b) primul termen 12 şi raţia 7; c) primul termen 2 şi raţia 9; d) primul termen 16 şi raţia 9; e) primul termen 8 şi raţia 3; f) primul termen 34 şi raţia 11. 10. Aflaţi termenul general al unei progresii aritmetice cu: b) a1 = 15 şi r = 0,7; c) a1 = 24 şi r = 0,8; a) a1 = 12 şi r = 0,5; e) a1 = 26 şi r = 2,5; f) a1 = 33 şi r = 1,6. d) a1 = 32 şi r = 1,2;

100

Cap. VI. Şiruri numerice

11. Aflaţi termenul: a) 30 al progresiei aritmetice cu an = 4n − 5; b) 25 al progresiei aritmetice cu an = 3n − 36; c) 36 al progresiei aritmetice cu an = 21n − 26; d) 52 al progresiei aritmetice cu an = 6n − 25. 12. Aflaţi termenul lipsă din progresia: a) 38, ..., 57; b) 27, ..., 59; c) 78, ..., 96; d) 102, ..., 275; e) 292, ..., 305. 13. Aflaţi termenul lipsă din progresia: a) 79, ..., 12; b) 91, ..., 35; c) 82, ..., 73; d) 901, ..., 543; e) 842, ..., 715. 14. Aflaţi primul termen al progresie aritmetice cu: b) r = 12 şi a31 = 192; c) r = 14 şi a35 = 452; a) r = 10 şi a22 = 110; d) r = 23 şi a39 = 789; e) r = 41 şi a42 = 900; f) r = 27 şi a19 = 262. 15. Aflaţi termenul general al unei progresii aritmetice cu: a) termenul al 5-lea 17 şi termenul al 10-lea 28; b) termenul al 9-lea 24 şi termenul al 17-lea 128; c) termenul al 12-lea 38 şi termenul al 22-lea 86; d) termenul al 11-lea 47 şi termenul al 27-lea 111. 16. Fie o progresie aritmetică. Ştiind că: a) cu a1 = 7 şi a23 = 183, aflaţi a2 , a3 ; b) cu a1 = 13 şi a36 = 223, aflaţi a2 , a3 ; c) cu a1 = 24 şi a45 = 420, aflaţi a2 , a3 ; d) cu a1 = 16 şi a53 = 640, aflaţi a2 , a3 . 17. Calculaţi suma primelor: a) 37 de numere naturale nenule; b) 106 numere naturale nenule; c) 78 de numere naturale nenule; d) 157 numere naturale nenule. 18. Comparaţi suma termenilor extremi cu suma termenilor egal depărtaţi de extremi, dacă se dă progresia aritmetică: a) 12, 15, 18, 21, 24, 27; b) 53, 73, 93, 103, 123, 143; c) 39, 50, 61, 72, 83, 94; d) 24, 55, 86, 117, 148, 179. 19. Comparaţi suma termenilor extremi cu suma termenilor egal depărtaţi de extremi, dacă se dă progresia aritmetică: a) 97, 85, 73, 71, 59, 47; b) 248, 226, 204, 182, 160, 138; c) 74, 69, 64, 59, 54, 49; d) 534, 527, 520, 513, 506, 499. 20. Aflaţi suma termenilor unei progresii aritmetice: a) cu a1 = 12 şi ultimul termen a24 = 145; b) cu a1 = 9 şi ultimul termen a28 = 191; c) cu a1 = 24 şi ultimul termen a31 = 204; d) cu a1 = 35 şi ultimul termen a38 = 183. 21. Fie o progresie aritmetică. Aflaţi suma primilor: a) 20 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 7 şi raţia ei este 8; b) 24 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 5 şi raţia ei este 12; Cap. VI. Şiruri numerice

101

c) 32 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 24 şi raţia ei este 5; d) 15 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 9 şi raţia ei este 12; e) 12 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 18 şi raţia ei este 13. 22. Fie o progresie aritmetică. Aflaţi suma primilor: a) 20 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 26 şi raţia ei este −6; b) 34 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 9 şi raţia ei este −5; c) 16 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 15 şi raţia ei este −4; d) 18 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 19 şi raţia ei este −3; e) 25 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 52 şi raţia ei este −11. 23. Calculaţi suma: a) primilor 36 de termeni ai progresiei aritmetice cu an = 5n + 13; b) primilor 36 de termeni ai progresiei aritmetice cu an = 4n + 7; c) primilor 36 de termeni ai progresiei aritmetice cu an = 3n + 8; d) primilor 36 de termeni ai progresiei aritmetice cu an = 6n + 5. 24. Calculaţi suma: a) primilor 81 de termeni ai progresiei aritmetice cu an = −3n + 14; b) primilor 75 de termeni ai progresiei aritmetice cu an = −6n + 11; c) primilor 70 de termeni ai progresiei aritmetice cu an = −5n + 12; d) primilor 56 de termeni ai progresiei aritmetice cu an = −7n + 15. −

II −

25. Arătaţi că şirul cu termenul general: a) an = 7n + 3 este o progresie aritmetică; b) an = −3n + 12 este o progresie aritmetică. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 26. Stabiliţi monotonia şirului: b) an = −5n + 8. a) an = 11n − 7; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 27. Evidenţiaţi raţia şi primul termen al progresiei aritmetice: a) an = 14n − 9; b) an = −7n + 12. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 28. Calculaţi suma primelor: a) 250 de numere naturale nenule pare; b) 375 de numere naturale impare; c) 496 de numere naturale nenule, multipli ai lui 7. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 29. Rezolvaţi în N ecuaţia: a) 1 + 2 + 3 + ... + x = 1 653; b) 3 + 6 + 9 + ... + x = 4 293. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 30. Calculaţi suma primilor 50 de termeni ai progresiei aritmetice cu a3 = 58 şi a12 = 211.

102

Cap. VI. Şiruri numerice

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. −

III −

31. Demonstraţi cum se află, fără să se aplice formula, termenul general al unei progresii aritmetice cu a1 = 8 şi r = 5. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Fie o progresie aritmetică cu n termeni. Demonstraţi că suma termenilor egal depărtaţi de termenii extremi ai progresiei este egală cu suma termenilor extremi ai acelei progresii. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Demonstraţi cum se află, fără să se aplice formula, suma celor 100 de termeni ai unei progresii aritmetice cu a1 = 15 şi r = −7. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Decideţi dacă şirul cu termenul general an = n 2 + 3, n ∈ N*, este o progresie aritmetică. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 35. Construiţi formula termenului general al şirului definit de relaţiile: b) an = an −1 − 7, n ∈ N*, a1 = −15. a) an = an −1 + 5, n ∈ N*, a1 = 12; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Scrieţi cât mai simplu, suma: a) primelor n numere naturale pare; b) primelor n numere naturale impare; c) termenilor şirului 1, 2, 3, ..., (n − 1), n, (n − 1), ..., 3, 2, 1. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Găsiţi numerele palindromice pătrate perfecte, cu proprietatea că suma cifrelor lor este un pătrat perfect. 38. Identificaţi progresiile aritmetice dintre şirurile cu suma primilor n termeni: 2 n + 3n, 3n − 5, n 2 − 7n, n 2 + 10, n ∈ N*. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Lungimile laturilor unui triunghi dreptunghic sunt termenii unei progresii aritmetice. Aflaţi lungimile laturilor triunghiului. 40. Aflaţi x astfel încât numerele a 2 + 1, ab + x, b 2 + x să fie termenii unei progresii aritmetice.

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Scrieţi termenul general al progre1. Scrieţi termenul general al progresiei aritmetice cu: siei aritmetice cu: a) a1 = 16 şi r = 4; a) a1 = 15 şi r = 6; b) a1 = 8 şi r = −5. b) a1 = 9 şi r = −4. 2. Aflaţi primul termen şi raţia pro2. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei aritmetice cu termenul general gresiei aritmetice cu termenul general an = 8n − 3. an = 7n − 8. 3. Aflaţi termenul de rang 30 al pro3. Aflaţi termenul de rang 30 al proCap. VI. Şiruri numerice

103

gresiei cu an = 9n − 15. 4. Calculaţi suma primelor 350 de numere naturale nenule. 5. Aflaţi termenul general al progresiei aritmetice cu: a) a1 = 18 şi a11 = 58; b) a1 = 7 şi a16 = −53. 6. Calculaţi suma termenilor unei progresii aritmetice cu a1 = 15 şi a31 = 135. 7. Calculaţi suma primilor 48 de termeni ai progresiei aritmetice cu a1 = 11 şi r = 6. 8. Demonstraţi că şirul cu termenul general an = 11n − 23 este o progresie aritmetică. 9. Stabiliţi dacă şirul cu suma primilor n termeni n 2 − 7n este o progresie aritmetică.

gresiei cu an = 8n − 17. 4. Calculaţi suma primelor 450 de numere naturale nenule. 5. Aflaţi termenul general al progresiei aritmetice cu: a) a1 = 17 şi a11 = 77; b) a1 = 6 şi a16 = −44. 6. Calculaţi suma termenilor unei progresii aritmetice cu a1 = 14 şi a31 = 136. 7. Calculaţi suma primilor 52 de termeni ai progresiei aritmetice cu a1 = 11 şi r = 7. 8. Demonstraţi că şirul cu termenul general an = 12n − 25 este o progresie aritmetică. 9. Stabiliţi dacă şirul cu suma primilor n termeni n 2 − 9n este o progresie aritmetică. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

3. Progresii geometrice −

I−

1. Într-un tabel de 2 linii şi 3 coloane se scriu în ordine puteri naturale ale unor numere. Aflaţi numărul maxim din tabel, dacă primul număr este: a) 1 şi fiecare este de 2 ori mai mare decât precedentul; b) 1 şi fiecare este de 3 ori mai mare decât precedentul; c) 1 şi fiecare este de 4 ori mai mare decât precedentul; d) 1 şi fiecare este de 5 ori mai mare decât precedentul. 2. Suprafaţa unui lac acoperită cu nuferi creşte în fiecare zi astfel încât după 5 zile suprafaţa lui este complet acoperită cu nuferi. Enumeraţi şirul ai cărui termeni indică a câta parte din suprafaţa lacului în fiecare zi, dacă: a) în fiecare zi suprafaţa lacului acoperită s-a dublat; b) în fiecare zi suprafaţa lacului acoperită s-a triplat; c) în fiecare zi suprafaţa lacului acoperită s-a mărit de 4 ori; d) în fiecare zi suprafaţa lacului acoperită s-a mărit de 5 ori. 3. Examinaţi şirurile următoare şi identificaţi progresiile geometrice: 1, 3, 9, 27, ...; 3, 6, 9, 12, ...; 5, 25, 125, 625, ...; 32, 64, 96, ... 4. Recunoaşteţi o progresie geometrică după termenul general: an = 2 ⋅ 3n −1 + 1, bn = 5n , cn = 7n − 13, d n = 3 ⋅ 4n −1 , en = 2n 2 .

104

Cap. VI. Şiruri numerice

5. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice: a) an = 2 ⋅ 3n −1 ; b) an = 2 ⋅ 5n −1; c) an = 3 ⋅ 4n −1; d) an = 2 ⋅ 3n −1. 6. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice: a) an = 4 ⋅ 3n −1; b) an = 7 ⋅ 6 n −1; c) an = 5 ⋅ 4 n −1; d) an = 11 ⋅ 5n −1. 7. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice: a) an = 4 n ; b) an = 7 n ; c) an = 5n ; d) an = 11n. 8. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice: 2 4 7 5 a) an = n −1 ; b) an = n −1 ; c) an = n −1 ; d) an = n −1 . 3 5 6 4 9. Construiţi termenul general al unei progresii geometrice cu: a) primul termen 3 şi raţia q = 7; b) primul termen 2 şi raţia q = 3; c) primul termen 4 şi raţia q = 9; d) primul termen 5 şi raţia q = 8. 10. Aflaţi termenul general al unei progresii geometrice cu: a) a1 = 11 şi q = 5; b) a1 = 5 şi q = 7; c) a1 = 2 şi q = 9; e) a1 = 8 şi q = 3; f) a1 = 15 şi q = 4. d) a1 = 12 şi q = 11; 11. Aflaţi termenul: a) 12 al progresiei geometrice cu an = 2 ⋅ 4 n −1;

b) 23 al progresiei geometrice cu an = 4 ⋅ 5n −1; c) 31 al progresiei geometrice cu an = 3 ⋅ 7 n −1; d) 17 al progresiei geometrice cu an = 5 ⋅ 3n −1. 12. Aflaţi termenul lipsă din progresia geometrică: a) 15, ..., 375; b) 18, ..., 162; c) 45, ..., 405; d) 12, ..., 192; e) 28, ..., 1 372. 13. Aflaţi termenul lipsă din progresia: 3 3 4 4 7 7 5 5 ; b) , ..., ; c) , ..., ; d) , ..., . a) , ..., 4 64 7 343 25 625 9 81 14. Aflaţi primul termen al progresie geometrice cu: b) q = 4 şi a4 = 300; c) q = 3 şi a8 = 384. a) q = 3 şi a5 = 162; 15. Aflaţi termenul general al unei progresii geometrice cu: a) termenul al 3-lea 48 şi termenul al 6-lea 3 072; b) termenul al 4-lea 54 şi termenul al 7-lea 1 458; c) termenul al 3-lea 50 şi termenul al 5-lea 1 250. 16. Fie o progresie geometrică. Ştiind că: b) cu a1 = 4 şi a6 = 972, aflaţi a10 ; a) cu a1 = 2 şi a5 = 1 250, aflaţi a8 ; d) cu a1 = 3 şi a9 = 768, aflaţi a12 . c) cu a1 = 5 şi a7 = 320, aflaţi a11; 17. Aflaţi raţia unei progresii geometrice cu: b) a1 = 5 şi a9 = 1 280; a) a1 = 3 şi a4 = 1 029; d) a1 = 2 şi a5 = 1 458. c) a1 = 4 şi a5 = 2 500; 18. Comparaţi produsul termenilor extremi cu produsul termenilor egal depărtaţi de extremi, dacă se dă progresia geometrică: b) 2, 6, 18, 54, 162, 486, 1 458; a) 3, 15, 75, 375, 1 875, 9 375; Cap. VI. Şiruri numerice

105

d) 5, 55, 86, 117, 148, 179. c) 4, 20, 100, 500, 2 500, 12 500; 19. Comparaţi produsul termenilor extremi cu suma termenilor egal depărtaţi de extremi, dacă se dă progresia geometrică: b) 15 625, 3 125, 625, 125, 25; a) 6 561, 2 187, 729, 243; d) 13 122, 1 458, 162, 18, 2. c) 16 807, 2 401, 343, 49; 20. Scrieţi cât mai simplu suma termenilor unei progresii geometrice: a) cu a1 = 3 şi ultimul termen a18 = 3 ⋅ 517 ; b) cu a1 = 4 şi ultimul termen a27 = 4 ⋅ 326 ; c) cu a1 = 5 şi ultimul termen a35 = 5 ⋅ 234 ; d) cu a1 = 7 şi ultimul termen a43 = 7 ⋅ 6 42. 21. Fie o progresie geometrică. Scrieţi cât mai simplu suma primilor: a) 20 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 7 şi raţia ei este 8; b) 24 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 5 şi raţia ei este 12; c) 32 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 24 şi raţia ei este 5; d) 15 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 9 şi raţia ei este 12; e) 12 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 18 şi raţia ei este 13. 22. Fie o progresie geometrică. Scrieţi cât mai simplu suma primilor: a) 20 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 5 şi raţia ei este −6; b) 32 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 9 şi raţia ei este −5; c) 16 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 3 şi raţia ei este −4; d) 18 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 2 şi raţia ei este −3; e) 28 de termeni ai unei progresiei, dacă a1 = 7 şi raţia ei este −11. 23. Scrieţi cât mai simplu: a) primilor 36 de termeni ai progresiei geometrice cu an = 7 ⋅11n −1 ; b) primilor 43 de termeni ai progresiei geometrice cu an = 5 ⋅ 3n −1; c) primilor 57 de termeni ai progresiei geometrice cu an = 2 ⋅ 5n −1; d) primilor 49 de termeni ai progresiei geometrice cu an = 3 ⋅ 7 n −1. 24. Scrieţi cât mai simplu: a) primilor 76 de termeni ai progresiei geometrice cu an = 2 ⋅ (−3) n −1; b) primilor 84 de termeni ai progresiei geometrice cu an = 3 ⋅ (−5) n −1 ; c) primilor 52 de termeni ai progresiei geometrice cu an = 5 ⋅ (−7) n −1; d) primilor 96 de termeni ai progresiei geometrice cu an = 7 ⋅ ( −2) n −1. −

II −

25. Arătaţi că şirul cu termenul general: a) an = 8 ⋅ 5n −1 este o progresie geometrică;

b) an = 5 ⋅ (−2) n −1 este o progresie geometrică. 106

Cap. VI. Şiruri numerice

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 26. Stabiliţi monotonia şirului: a) an = 2 ⋅15n −1 ; b) an = 11 ⋅ (−3) n −1. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 27. Evidenţiaţi raţia şi primul termen al progresiei aritmetice: b) an = (−13) n . a) an = 8n ; Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 28. Scrieţi cât mai simplu suma primelor: a) 1 000 de puteri naturale ale lui 2;

b) 1 000 de puteri naturale ale lui

1 . 2

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 29. Scrieţi cât mai simplu suma primilor: 2 ; 3 4 b) 30 de termeni ai progresiei geometrice cu a1 = 7 şi q = − . 5 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 30. Scrieţi cât mai simplu suma primilor 50 de termeni ai progresiei geometrice cu a3 = 50 şi a7 = 31 250. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. a) 20 de termeni ai progresiei geometrice cu a1 = 5 şi q =

−

III −

31. Demonstraţi cum se află, fără să se aplice formula, termenul general al unei progresii geometrice cu a1 = 8 şi q = 5. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 32. Fie o progresie geometrică cu n termeni. Demonstraţi că produsul termenilor egal depărtaţi de termenii extremi ai progresiei este egală cu produsul termenilor extremi ai acelei progresii. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 33. Fie o progresie geometrică cu n termeni. Demonstraţi cum se află, fără să aplice formula, suma termenilor progresiei, dacă a1 = 11 şi q = −7. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 34. Decideţi dacă şirul cu termenul general an = 4 n , n ∈ N*, este o progresie geometrică. Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 35. Construiţi formula termenului general al şirului definit de relaţiile: a b) an = n −1 , n ∈ N*, a1 = 5. a) an = 7an −1 , n ∈ N*, a1 = 3; 8 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 36. Identificaţi progresiile geometrice dintre şirurile cu suma primilor n termeni: 2 n − 7, 9n + 11, 7 n − 1, 6 n + 1, n ∈ N*. Cap. VI. Şiruri numerice

107

Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 37. Descompuneţi în factori: a) X 5 − 1; b) X 7 − 57. 38. Calculaţi suma infinită: 1 1 1 2 4 8 a) + 2 + 3 + ...; b) + + + ... 3 3 3 5 25 125 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 39. Calculaţi suma infinită: 1 1 1 3 9 27 a) − 2 + 3 − ...; b) − + − ... 4 4 7 49 343 4 Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 40. Scrieţi cât mai simplu: a) 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + ... + (n + 1) x n ; b) 3 − 4x + 5x 2 − 6x 3 + ... + (−1) n (n + 3) x n . Formulaţi şi rezolvaţi un exerciţiu asemănător. 41. Scrieţi cât mai simplu: a) 1 + 2 2 + 32 + ... + n 2 ; b) 1 + 23 + 33 + ... + n3 . 42. Stabiliţi dacă 9 divide 1111 ... ... 1 424 31 − 2222 1 424 32. 1 000 cifre

500 cifre

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Fie f : N → R. Atunci f(1), f(2), f(3), ... este … 2. Fie progresia aritmetică a1 , a2 , a3 , ..., an de raţie r. Formula termenului general al progresiei este an = ... 3. Fie progresia aritmetică a1 , a2 , a3 , ..., an . Atunci a1 + an = a2 + ... = a3 + ... = a4 + ... = a5 + ... 4. Suma primelor n numere naturale nenule este ... 5. Fie progresia aritmetică a1 , a2 , a3 , ..., an de raţie r. Atunci suma termenilor progresiei este S n = ... 6. Fie progresia geometrică a1 , a2 , a3 , ..., an de raţie q. Formula termenului general al progresiei este an = ... 7. Fie progresia geometrică a1 , a2 , a3 , ..., an . Atunci a1an = a2 ... = a3 ... = a4 ... = a5 ... 8. Fie progresia aritmetică a1 , a2 , a3 , ..., an . Atunci suma termenilor progresiei este ... 9. a) X n − 1 = (...)(...). b) Dacă | q | < 1, atunci 1 + q + q 2 + ... Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 20 minute.

108

Cap. VI. Şiruri numerice

EVALUARE FORMATIVĂ 1. Scrieţi termenul general al progresiei geometrice cu: a) a1 = 3 şi q = 7; 1 b) a1 = 2 şi q = . 3 2. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice cu termenul general an = 13n. 3. Aflaţi termenul de rang 12 al progresiei cu an = 2 ⋅15n −1. 4. Calculaţi suma primelor 35 de puteri naturale nenule ale lui 2. 5. Aflaţi termenul general al progresiei geometrice cu: a) a1 = 4 şi a11 = 4 ⋅ 510 ;

1. Scrieţi termenul general al progresiei geometrice cu: a) a1 = 4 şi q = 3; 1 b) a1 = 5 şi q = . 4 2. Aflaţi primul termen şi raţia progresiei geometrice cu termenul general an = 31n. 3. Aflaţi termenul de rang 12 al progresiei cu an = 3 ⋅16 n −1. 4. Calculaţi suma primelor 32 de puteri naturale nenule ale lui 2. 5. Aflaţi termenul general al progresiei geometrice cu: a) a1 = 5 şi a11 = 5 ⋅ 710 ;

b) a1 = 7 şi a16 = − 4 ⋅ 715. b) a1 = 6 şi a16 = − 6 ⋅1115. 6. Scrieţi cât mai simplu suma primi6. Scrieţi cât mai simplu suma primilor 22 de termeni ai progresiei geome- lor 22 de termeni ai progresiei geometrice cu a1 = 5 şi q = 6. trice cu a1 = 5 şi q = 6. 7. Scrieţi cât mai simplu suma terme7. Scrieţi cât mai simplu suma termenilor unei progresii aritmetice cu a1 = 3 nilor unei progresii aritmetice cu a1 = 2 şi a19 = 3 ⋅ 418. şi a19 = 2 ⋅ 318. 8. Scrieţi cât mai simplu: 8. Scrieţi cât mai simplu: 1 1 1 1 1 1 + + + ...; a) a) + + + ...; 11 121 1 331 9 81 729 1 1 1 1 1 1 b) − + − ... b) − + − ... 12 144 1 729 13 169 2 197 9. Stabiliţi dacă şirul cu suma primi9. Stabiliţi dacă şirul cu suma primin lor n termeni 37 este o progresie geo- lor n termeni 41n este o progresie geometrică. metrică. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 50 minute.

Cap. VI. Şiruri numerice

109

Capitolul 7. Elemente de teoria probabilităţilor Probabilitatea teoretică. Un proces de observaţie şi de măsurare în urma căruia se obţin rezultate mai mult sau mai puţin previzibile este un experiment sau o experienţă aleatoare. Exemple de experienţe aleatoare: cartea ce se extrage dintr-un pachet de cărţi de joc, numărul ce se obţine după aruncarea unui zar, între ce limite se vor afla temperaturile în ziua următoare etc. Orice repetare a unei experienţe aleatoare se numeşte probă. Rezultatele unei experienţe aleatore sunt numite evenimente. De exemplu, evenimentele aruncării unei monede sunt: apariţia banului (notat B) şi apariţia stemei (notat S). Fiecărei experienţe aleatoare i se asociază o mulţime de evenimente numit spaţiu probabilistic. De exemplu, spaţiul asociat aruncării unei monede este mulţimea {B, S}. Teoretic, se consideră că la aruncarea unei monede B şi S, fiecărui eveniment i se asociază un număr de cazuri favorabile dintr-un număr de cazuri egal posibile. Evenimentul cu un singur caz favorabil se numeşte eveniment elementar. Aruncarea unei monede are evenimentele elementare B şi S, iar numărul cazurilor egal posibile este 2. Un eveniment care se poate realiza întotdeauna se numeşte eveniment sigur. La aruncarea unui zar evenimentul „apariţia unei feţe cu un număr de puncte din intervalul [1, 6]“ este un eveniment sigur. Un eveniment ce nu se poate realiza niciodată se numeşte eveniment imposibil. Probabilitatea unui eveniment este raportul dintre numărul cazurilor favorabile realizării evenimentului şi numărul cazurilor egal posibile. Proprietăţi ale probabilităţii. 1) Probabilitatea unui eveniment este un număr din intervalul [0, 1]. 2) Suma probabilităţilor dintr-un spaţiu probabilistic este egală cu 1. Unei experienţe probabilistice i se pot asocia mai multe spaţii probabilistice. De exemplu, experienţei ce constă în aruncarea unei monede de două ori i se pot asocia spaţiile: {(B, B), (B, S), (S, B), (S, S)}, {(2B), (1B şi 1S), (2S)}. Al doilea dintre spaţiile enumerate nu este format numai din evenimente egal probabile. Probabilitatea empirică. Aruncând o monedă de 100 de ori se constată că banul apare de 46 de ori. În aceste condiţii frecvenţa relativă a evenimentului B = 0,46 şi frecvenţa relativă a evenimentului S = 0,54. Dacă se consideră o experienţă aleatoare şi se fac n probe. Dacă evenimentul A se realizează în n A probe, atunci frecvenţa lui n relativă este f n ( A) = A . n Elemente de statistică matematică. Statistica descriptivă se ocupă cu culegerea şi înregistrarea datelor. Statistica matematică se prelucrează datele, le grupează şi le interpretează. Organizarea datelor statistice parcurge următoarele etape: 1) colectarea datelor; 2) ordonarea lor; 3) frecvenţa de distribuţie. Dacă numărul datelor este mare, atunci ele grupează. O mulţime care face obiectul unei analize statistice este o populaţie statistică. Elementele unei populaţii statistice: mulţimea elevilor unei clase; mulţimea elevilor claselor a 8-a dintr-o şcoală; mulţimea băieţilor dintr-o şcoală etc. Aceste elemente se numesc unităţi statistice sau indivizi. Ceea ce urmăreşte o analiză statistică se numeşte caracteristică (cantitate) sau atribut (calitate). Rezultatele obţinute de elevii unei clase la un test de matematică pot fi supuse unei analize statistice. Indivizii sunt elevii, iar caracteristica este nota sau scorul obţinut de fiecare elev. 4

−

I−

1. Notaţi cercul: a) de centru O şi rază 2 cm; b) de centru P şi rază 3 cm; c) de centru I şi rază 2,6 cm; d) de centru S şi rază 6 cm. 2. Construiţi şi notaţi pe desen: a) interiorul şi exteriorul C(O; 2,8 cm); b) interiorul şi exteriorul C(A; 4,1 cm); c) interiorul şi exteriorul C(B; 3,7 cm); d) interiorul şi exteriorul C(C; 3,6 cm). 3. Construiţi un semicerc cu diametrul: a) AB = 4,2 cm; b) CD = 5,8 cm; c) EF = 7,2 cm; d) GH = 9,4 cm. 4. Construiţi: a) arcul AC de 25°; b) arcul BR de 85°; c) arcul IP de 123°; d) arcul KN de 168°. 5. Construiţi: a) arcul AB de 235°; b) arcul CD de 290°; c) arcul EF de 310°; d) arcul GH de 320°; e) arcul JK de 197°; f) arcul LM de 238°. 6. Aflaţi prin măsurare: a) m LD ; b) m BC ; c) m EG ; d) m FK ; e) m NP . 7. Aflaţi prin măsurare:

)

)

)

)

)

) ) ) ) )

a) m ADC ; b) m BFE ; c) m GIH ; d) m JLK ; e) m MRN . 8. Examinaţi desenul şi recunoaşteţi poziţia punctului: a) C faţă de C(A, R); b) M faţă de C(I, R); c) L faţă de C(S, R). 9. Stabiliţi poziţia punctului: a) P faţă de C(I; 3,2 cm), dacă PI = 3,02; b) A faţă de C(O; 6,2 cm), dacă AO = 6,2006 cm; c) B faţă de C(K; 7,5 cm), dacă BK = 7,5 cm; d) C faţă de C(S; 9,4 cm), dacă CS = 9,40001 cm. 10. Examinaţi desenul şi recunoaşteţi poziţia dreptei: a) a faţă de C(D, R); b) c faţă de C(M, R); c) d faţă de C(P, R). 11. Construiţi: a) dreapta a exterioară, dreapta b tangentă şi dreapta c secantă C(D; 3,6 cm); b) dreapta d exterioară, dreapta e tangentă şi dreapta f secantă C(B; 2,9 cm); c) dreapta g exterioară, dreapta h tangentă şi dreapta i secantă C(A; 4,1 cm) 12. Stabiliţi poziţia dreptei: a) a faţă de C(B; 4,6 cm), dacă d(B, a) = 4,06 cm; b) b faţă de C(A; 2,8 cm), dacă d(A, b) = 2,8 cm; c) c faţă de C(C; 5,3 cm), dacă d(C, c) = 4,06 cm; d) d faţă de C(E; 4,4 cm), dacă d(E, d) = 3,03 cm. 13. Examinaţi desenul şi recunoaşteţi poziţiile relative ale cercurilor reprezentate. 14. Construiţi cercurile: a) exterioare C(A; 2,7 cm) şi C(B; 4,2 cm); b) tangente exterioare C(C; 3,5 cm) şi C(D; 4,8 cm); c) secante C(E; 2,6 cm) şi C(F; 5,2 cm); d) tangente interioare C(G; 4 cm) şi C(H; 5,6 cm); 5

e) interioare C(I; 2 cm) şi C(J; 6,2 cm); f) concentrice C(K; 5 cm) şi C(L; 3,2 cm). 15. Fie C(A, R) şi C(B, R′). Stabiliţi ce poziţie are un cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 3 cm, R′ = 4,6 cm şi AB = 7,61 cm; b) R = 5,1 cm, R′ = 2,4 cm şi AB = 7,505 cm; c) R = 7,2 cm, R′ = 2,3 cm şi AB = 9,5002 cm. 16. Fie C(A, R) şi C(B, R′). Stabiliţi ce poziţie are un cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 2,8 cm, R′ = 5,5 cm şi AB = 8,3 cm; b) R = 3,6 cm, R′ = 3,5 cm şi AB = 7,1 cm; c) R = 5,8 cm, R′ = 4,9 cm şi AB = 10,7 cm. 17. Fie C(C, R) şi C(D, R′). Stabiliţi ce poziţie are un cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 7,4 cm, R′ = 5,8 cm şi CD = 12 cm; b) R = 7,9 cm, R′ = 1,5 cm şi CD = 9 cm; c) R = 2,6 cm, R′ = 9,3 cm şi CD = 10,7 cm. 18. Fie C(E, R) şi C(F, R′). Stabiliţi poziţia unui cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 2,5 cm, R′ = 9,3 cm şi EF = 6,8 cm; b) R = 12,4 cm, R′ = 4,8 cm şi EF = 7,9 cm; c) R = 2,9 cm, R′ = 8,2 cm şi EF = 7,9 cm. 19. Fie C(G, R) şi C(H, R′). Stabiliţi ce poziţie are un cerc faţă de celălalt, dacă: a) R = 1,8 cm, R′ = 13,6 cm şi GH = 11,7 cm; b) R = 3,7 cm, R′ = 12,3 cm şi GH = 8,59 cm; c) R = 5,5 cm, R′ = 15,1 cm şi GH = 9,49 cm. 20. Notaţi: a) proiecţia punctului A pe dreapta d; b) proiecţia punctului B pe dreapta c; c) proiecţia punctului C pe dreapta a. 21. Reproduceţi desenul şi, utilizând procedeul îndoirii hârtiei, construiţi: a) pra M; b) prb P; c) prc F; d) prd G. 22. Utilizând rigla şi compasul, construiţi mediatoarea segmentului: a) AB de 4,7 cm; b) CD de 3,9 cm; c) EF de 5,3 cm; d) GH de 7,1 cm. 23. Utilizând rigla şi compasul, construiţi bisectoarea unghiului: a) MAI de 47°; b) NUC de 53°; c) TEL de 105°; d) ROK de 133°. 24. Utilizând rigla şi compasul, construiţi triunghiul: a) CET cu laturile de 3 cm, 4 cm şi 5 cm; b) GIP cu laturile de 3 cm, 5 cm şi 6 cm; c) HOL cu laturile de 5 cm, 7 cm şi 6 cm. −

II −

25. a) Fie teorema de echivalenţă: Dreapta a este exterioară cercului de centru O şi rază R dacă şi numai dacă d(O, a) > R. Formulaţi teorema directă şi reciproca ei. Procedaţi la fel cu teorema de echivalenţă:

6

b) Dreapta a este tangentă cercului de centru O şi rază R dacă şi numai dacă d(O, a) = R. c) Dreapta a este exterioară cercului de centru O şi rază R dacă şi numai dacă d(O, a) < R. 26. Fie teorema de echivalenţă: C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri exterioare dacă şi numai dacă OO′ > R + R′. Formulaţi teorema directă şi reciproca ei. Procedaţi la fel cu teorema de echivalenţă: b) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri tangente exteriore dacă şi numai dacă OO′ = R + R′ . c) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri secante dacă şi numai dacă OO′ < R + R′. d) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri tangente interioare dacă şi numai dacă OO′ = |R – R′|. e) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri interioare dacă şi numai dacă OO′ < |R – R′|. f) C(O, R) şi C(O′, R′) sunt cercuri concentrice dacă şi numai dacă OO′ < |R – R′|. −

III −

27. Fie cercurile exterioare C(O, R) şi C(O′, R′), {M} = C(O, R) ∩ (OO′) şi {N} = C(O′, R′) ∩ (OO′). a) Comparaţi MO′ cu R′. b) Comparaţi NO cu R. 28. Fie cercurile interioare C(O, R) şi C(O′, R′), {A} = C(O, R) ∩ (OO′ şi {B} = C(O′, R′) ∩ (O′A. a) Comparaţi AO′ cu R′. b) Comparaţi OA cu R. 29. Aplicând sugestia oferită de desen, construiţi mediatoarea segmentului AB de 29 cm.

TESTAREA CUNOŞTINŢELOR TEORETICE 1. Cercul este mulţimea … 2. Se numesc puncte conciclice … 3. Interiorul cercului de centru A şi raza r este … 4. Exteriorul cercului de centru B şi raza r este … 5. Discul circular de centru O şi rază r este … 6. Fie punctele M şi N ale C(O, r). AB este … 7. Fie punctul P şi C(I, r). Punctul P: aparţine cercului, dacă …; este exterior cercului, dacă …; aparţine interiorului cercului, dacă … 8. Fie dreapta d şi C(O, m). Dreapta d este: exterioară cercului, dacă …; tangentă cercului, dacă …; secantă cercului, dacă … 9. C(O, a) şi C(I, b) sunt cercuri: a) exterioare, dacă …; b) tangente exterioare, dacă …;

)

7

c) secante, dacă …; d) tangente interioare, dacă …; e) interioare, dacă …; f) concentrice, dacă … Barem. Start: 1 p. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 15 minute.

TEST FORMATIV 1. Notaţi cercul de centru: a) A şi 1. Notaţi cercul de centru: a) B şi rază rază 2,2 cm; b) B rază d. 6,7 cm; b) C rază r. 2. Notaţi interiorul şi exteriorul cer2. Notaţi interiorul şi exteriorul cercului de centru D şi rază 2,7 cm. cului de centru S şi rază 3,9 cm. 3. Construiţi arcul cu măsura: 3. Construiţi arcul cu măsura: a) 54°; b) 209°. a) 72°; b) 294°. 4. Recunoaşteţi poziţia punctului: 4. Recunoaşteţi poziţia punctului:

a) F faţă de C(A, b); b) G faţă de C(B, b); c) J faţă de C(C, b). 5. Construiţi o dreaptă: a) a exterioară C(D; 2,1 cm); b) b tangentă C(E; 2,3 cm); c) c secantă C(F; 2,4 cm). 6. Notaţi şi construiţi proiecţia punctului N pe dreapta c. 7. Utilizând rigla şi compasul, construiţi: a) mediatoarea segmentului CD de 3,5 cm; b) bisectoarea unghiului IAR de 125°. 8. Construiţi cercurile: a) exterioare C(G, 2 cm) şi C(H; 2,3 cm); b) tangente interioare C(I; 1,5 cm) şi C(J; 2,5 cm).

a) P faţă de C(D, r); b) K faţă de C(E, r); c) L faţă de C(F, r). 5. Construiţi o dreaptă: a) d exterioară C(A; 3,2 cm); b) e tangentă C(B; 3,4 cm); c) f secantă C(C; 3,7 cm). 6. Notaţi şi construiţi proiecţia punctului R pe dreapta a. 7. Utilizând rigla şi compasul, construiţi: a) mediatoarea segmentului AR de 5,7 cm; b) bisectoarea unghiului JAN de 137°. 8. Construiţi cercurile: a) tangente exterioare C(M, 5 cm) şi C(B; 4,1 cm); b) interioare C(I; 3,8 cm) şi C(P; 4,8 cm). 9. Fie C(D, r) şi C(L, r′). Stabiliţi 9. Fie C(S, r) şi C(T, r′). Stabiliţi poziţia unui cerc faţă de celălalt, dacă: poziţia unui cerc faţă de celălalt, dacă: a) r = 3,5 cm, r′ = 4,7 cm şi DL = a) r = 15,6 cm, r′ = 14,7 cm şi ST = 8,2 cm; 30,29 cm; b) r = 5,2 cm, r′ = 3,6 cm şi DL = b) r = 23,5 cm, r′ = 53,1 cm şi ST = 1,57 cm. 29,6 cm. Barem. Start: 1 punct. Pentru fiecare item rezolvat corect se acordă 1 punct. Timp de lucru efectiv: 40 minute.

8

9

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri Cap. I. 1. a) A ∪ B = {−3, −2, 1, 3, 7, 8}, A ∩ B = {1, 3} şi A \ B = {−2, 8}. 2. A × B = {(−8, −1), (−2, 1), (−2, −1), (−2, 1), (5, −1), (5, 1)}. 3. a) {−3,2; 2,4} = {x, y} x = −3,2, y = 2,4 sau x = 2,4, y = −3,2. 4. a) {3, 7}. 5. A = {−9, −5, −3, 1, 2, 3, 8, 12, 17}, B = {−9, 2, 7, 16, 17, 19, 22, 41} şi C = {−8, −5, −3, 1, 2, 4, 7, 17, 19}. 6. a) −4, −1, 2. 7. a) Aflaţi A ∪ B = A şi A ∩ B = B. 8. a) {0, 1, 2, …, 18}. 9. a) 3n − 1 = 3n − 3 + 3 − 1 = 3(n − 1) + 2 ⇒ A = B. 10. a) {3n | n ∈ Z} ∩ {−2n | n ∈ Z} = {3n | n ∈ Z} ∩ {2n | n ∈ Z} = {6n | n ∈ Z}. 11. a) {2n | n ∈ Z} ∩ {5n | n ∈ Z} ∩ {6n | n ∈ Z} = {6n | n ∈ 2 Z}. 12. a) − 3 = −3,1(3). 13. 2,15, −1,(3), −9,(18656), −11,34(91). 14. a) −3,183 = 15 18 12 071 − 12 183 2 = − 9 . 16. a) −2,12(071) = −2 − = . 15. a) −9,(18) = − 9 −3 99 99 900 1 000 11

−2

12 059 . 17. a) {x ∈ R | 94 ≤ x ≤ 97,8} = [94; 97,8]. 18. a) {x ∈ R | 3,9 < x ≤ 5,7} = 99 900

(3,9; 5,7]. 19. a) {x ∈ R | 2,7 < x < 3,6} = (2,7; 3,6). 20. a) {x ∈ R | x ≤ −7,5} = (−∞; −7,5]. 21. a) {x ∈ R | x < −1,6} = (−∞; −1,6). 22. a) {x ∈ R | x ≥ 14,8} = [14,8; ∞). 23. a) {x ∈ R | x > 1,06} = (1,06; ∞). 24. a) [−3,1; 4,7] = {x ∈ R | −3,1 ≤ x ≤ 4,7}. 25. a) (−5,3; 9,4] = {x ∈ R | −5,3 < x ≤ 9,4}. 26. a) [5,2; 12,3) = {x ∈ R | 5,2 ≤ x < 12,3}. 27. a) (2,6; 9,1) = {x ∈ R | 2,6 < x < 9,1}. 28. a) (−∞, 4,7] = {x ∈ R | x ≤ 4,7}. 29. a) (−∞, 8,1) = {x ∈ R | x < 8,1}. 30. a) [2,14, ∞) = {x ∈ R | x ≥ 2,14}. 31. a) (−8,08, ∞) = {x ∈ R | x > −8,08}. 32. a)

33. a)

34. a)

35. a)

36. a)

37. a)

38. a) 39. a) 40. [−2,1; 1,4]. 41. (−9,2; 3,8]. 42. (−0,7; 9,3). 43. (−∞, 5,1]. 44. (−∞, 3,8). 45. [−5,8, ∞). 46. (−2,9, ∞). 47. a) {x ∈ R | | x | ≤ 1,6} = [− 1,6; 1,6]. 48. a) 3 şi −4. 49. a) 15 şi −14. 50. a) 17 şi −16. 51. a) 37,6. 52. a) −11,53. 53. a) 24,18. 54. a) −17,17. 55. a) 3,16. 56. a) [−1,2; 7,3]. 57. a) [−1, 11]. 58. a) [−5, 2]. 59. a) −23, −22, −21, ... 4, 5. 60. a) −4, −3, ..., 5, 6. 61. a) −15, −14, ..., 16, 17. 62. a) ..., 5, 6, 7. 63. a) ..., 14, 15, 16. 64. a) −31, −30, −29, ... 65. a) −55, −54, ... 66. a) −3,8 şi 3,8. 217 219 − 2 . 70. a) 4x(2a + 3) = 8ax 67. a) 2 7 . 68. a) 4 11 − 3 13 . 69. a) 3 + = 3 990 990 + 12x. 71. a) 2x(9a − 11) = 18ax − 22x. 72. a) (2a + 3)(3b + 5) = 2a(3b + 5) + 3(3b + 5) = 6ab + 10a + 6b + 15. 73. a) (6a − 5)(2b + 3) = 6a(2b + 3) − 5(2b + 3) = 12ab + 18a − 10b − 15. 74. a) (3a − 5)(2b − 7) = 3a(2b − 7) − 5(2b − 7) = 6ab − 21a − 10b + 35. 75. a) (2a + 5)(2a − 5) = (2a) 2 − (5) 2 = 4a 2 − 25. 76. a) (3a + 2)2 = (3a) 2 + 110

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

2(3a)(2) + (2)2 = 9a2 + 12a + 4. 77. a) (9a − 4)2 = (9a) 2 − 2(9a)(4) + (4)2 = 81a2 − 72a + 16. 78. a) [a] = 13. 79. a) [a] = −7. 80. a) −9 < a < −8 ⇒ [a] = −9. 81. a) a − [a] = 0,12. 82. a) a − [a] = −2,37 − (− 3) = 0,33. 83. a) 4,1 < 17 < 4,2 ⇒ 4,1 − 5 < 17 − 5 < 4,2 − 5 ⇒ −0,9 < 17 − 5 < −0,8. Răspuns: −0,8. 84. a) 4,79 < 23 < 4,8 ⇒ 4,79 − 5 < 23 − 5 < 4,8 − 5 ⇒ −0,21 < 23 − 5 < −0,2. Răspuns: −0,21. 85. a) 3,872 − 4,123 < 15 − 17 < 3,873 − 4,123 ⇒ −0,251 < 15 − 17 < −0,25. Răspuns: −0,25. 86. Aflaţi mulţimile X cu card X = 3, astfel încât X ⊂ {− 2 , 3 , 5 , 7}. X = {{− 2 , 3 , 5},{− 2 , 3 , 7}, {7, 3 , 5}, {− 2 , 7, 5}}. 87. {−5, −3, 12, 19, x} = {−5, y, −3, 4, 12} ⇔ {19, x} = {y, 4} ⇒ x = 4 şi y = 19. 88. Reprezentaţi într-un sistem de axe ortogonale mulţimea {(−3, −2), (−3, 3), (−1, −2), (−1, 3), (4, −2), (4, 3)}. 89. card A ∪ B = card A + card B − card A ∩ B = 5 + 13 − 3 = 15 ⇒ card ((A ∪ B) × (A ∩ B)) = 15⋅3 = 45. 90. card A ∩ B = card A + card B − card A ∪ B = 15 + 42 − 50 = 7. 91. X = {1, 2, 3, 5, 7}, Y = {5, 7, 8, 10, 15}. 92. Mulţimea submulţimilor are 8 elemente. Se construiesc pe rând: submulţimea fără elemente, submulţimile cu 1 element, submulţimile cu 2 elemente, submulţimea cu 3 elemente. 93. a) Ţineţi cont că zecimalele se repetă ciclic din 7 în 7. 200 MOD 7 = 3. R: 8. 94. Dacă numitorul unei fracţii ireductibile se divide: numai cu 2 sau cu 5, atunci fracţia se converteşte într-un număr zecimal finit; cu numere prime diferite de 2 şi 5, atunci fracţia se converteşte în numere zecimale periodice simple; cu numere prime diferite de 2 şi 5, atunci fracţia se converteşte în numere zecimale periodice mixte. 95. a 3 − 2 − 7 3 + b 5 = (a − 7) 3 + b 5 − 2 este număr raţional ⇔ a − 7 = 0 şi b = 0. 97. a) 3 7 − 4 5 < 0 ⇔ | 3 7 − 4 5 | = 4 5 − 3 7 . 98. a) 3x + 7 < 3(x − 1) + 5 ⇔ 3x + 7 < 3x − 3 + 5 ⇔ 7 < 2 ⇒ S = ∅. 99. a) 2(x + 8) − 14 < 4(x − 3) + 19 ⇔ 2x + 16 − 14 < 4x − 12 ⇔ 14 < 2x ⇔ 2x > 14 ⇔ x > 7 ⇒ S = (7, ∞). ⎧3 x − 5 > 5 x + 12 ⎧− 17 > 2 x ⎧ x < −8,5 100. a) ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ ⇒ S = (−∞; −8,5). ⎩12 x + 5 < 8 x − 15 ⎩4 x < −20 ⎩ x < −5 ⎧2( x − 2) − 13 ≤ 5(3 − x) + 21 ⎧2 x − 4 − 13 ≤ 15 − 5 x + 21 101. a) ⎨ ⇔ ⎨ ⇔ ⎩3( x − 4) − 22 < 4(5 − x) − 7 ⎩3 x − 12 − 22 < 20 − 4 x − 7 ⎧7 x ≤ 32 + 21 ⎧7 x ≤ 53 5⎞ 12 ⋅1,2 + 15 ⋅ 2 ⎛ ⇔ ⎨ ⇒ S = ⎜ − ' , 6 ⎟ . 104. a) . ⎨ 7⎠ 3,2 ⎝ ⎩7 x − 12 − 22 < 20 − 7 ⎩7 x < 47 2 ⋅ 8,2 ⋅12,6 106. a) . 107. −58⋅39 + a = 56⋅(−41) + b, a ∈ {0, 1, 2, …, 57}, b ∈ {0, 1, 8,2 + 12,6

⎡1 999 ⎤ ⎡1 999 ⎤ ⎡1 999 ⎤ ⎡1 999 ⎤ ⎡1 999 ⎤ ⎡1 999 ⎤ + ⎢ + ⎢ − ⎢ − ⎢ − ⎢ 2, …, 55}. 108. ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ + ⎥ ⎣ 5 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 7 ⎦ ⎣ 15 ⎦ ⎣ 21 ⎦ ⎣ 35 ⎦ ⎡1 999 ⎤ ⎢ 105 ⎥ etc. 109. a) | x + 0,7 | ≤ 5 ⇔ −5 ≤ x + 0,7 ≤ 5 ⇔ −5,7 ≤ x ≤ 4,3 ⇒ S = [−5,7; ⎣ ⎦ 4,3]. 110. a) | 2x + 9 | ≤ 19 ⇔ −19 ≤ 2x + 9 ≤ 19 ⇔ −28 ≤ 2x ≤ 10 ⇒ S = [−14, 5]. 111. a) | x | ≥ 5 ⇔ x ≤ −5 sau x ≥ 5 ⇒ S = (−∞, −5) ∪ (5, ∞). 113. Card A ∪ B ∪ C = Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

111

card A + card B + card C − card A ∩ B − card A ∩ C − card B ∩ C + card A ∩ B ∩ C. 114. Se egalează primele elemente şi se controlează rezultatul. Se continuă în acelaşi mod. 116. Pentru numerotarea paginilor: 3−9 s-au folosit 7 cifre; 10−99 s-au folosit 180 de cifre etc. 119. Se studiază şirul zecimalelor numerelor. 120. Se calculează: ⎡ 2 500 ⎤ ⎡ 2 500 ⎤ ⎡ 2 500 ⎤ ⎡ 2 500 ⎤ ⎢ 7 ⎥ + ⎢ 49 ⎥ + ⎢ 343 ⎥ + ⎢ 2 401 ⎥ . 121. [n, n + 1, n + 2] are şi alţi divizori ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ primi în afară de 2 sau 5, deci cel mai mic numitor comun al sumei are şi alţi divizori primi în afară de 2 sau 5. Prin urmare, rezultatul se poate converti în număr zecimal periodic mixt. 122. a) m < n ⇒ m < 0,5(m + m) < 0,5(m + n) < 0,5(n + n) < n ⇒ m < 7 0,5(m + n) < n. 123. a) 0,77... = a ⇒ 10a − 7 = a ⇒ a = . Atunci − 3,(7) = −3 − 0,(7) 9 7 1 t −1 at + (1 − t )b ⋅b = − 3 . 124. a < b ⇒ a < = at + (1 − t)b < b. 125. Din x = ⋅ a + t t t +1− t 9 se găseşte a = tx + (1 − t)b. Exerciţiul anterior implică a < x < b. 127. 5 x 2 − 6 y 2 = 4 ⇔ 5x 2 = 6 y 2 + 4, (1). Dacă x şi y sunt numere întregi, atunci (1) implică x = 2k, k ∈ Z. Atunci 20k 2 = 6 y 2 + 4 ⇔ 10k 2 = 3y 2 + 2, (2). În condiţiile menţionate anterior, y = 2n. Atunci 10k 2 = 12n 2 + 2 ⇔ 10k 2 = 6n 2 + 1, (3). Cercetaţi dacă există numere întregi care verifică ecuaţia (3). Pentru aceasta decideţi dacă membrul stâng al ei este de forma 6p − 1, dacă k ∈ {6m + 1, 6m + 2, 6m + 3, 6m + 4, 6m + 5}. 128. Se cercetează cifra zecilor numerelor naturale (100a + b1) 2 şi se constată că cifra zecilor unui pătrat perfect este un număr par. 129. Se obţine interiorul unui dreptunghi reunit cu două laturi opuse ale dreptunghiului. 130. Se rezolvă fiecare inegalitate a sistemului şi se reunesc mulţimile soluţiilor lor în R. 131. Numărul nu este întreg. 132. Se obţin pe rând mai multe şiruri ale diferenţelor termenilor consecutivi, ultimul fiind un şir constant. R: Termenii următori sunt 39 şi 77. 133. Fiecare segment este o latură a unui pătrat cu vârfurile în vârfuri ale reţelei. Lungimea segmentului se află după ce se calculează aria pătratului. 134. a) 1,(1). b) Se aplică scrierea binară. 1⎞ ⎛1 1 1 1 1 1⎞ ⎛1 1⎞ ⎛1 + ⎜ + ⎟ + ⎜ + ... + ⎟ + ⎜ + ... + ⎟ + ... > 1 + 135. 1 + + + + ... = 1 + 2 2 3 4 16 ⎠ 8⎠ ⎝9 ⎝3 4⎠ ⎝5 1 1 1 1 + + + + ... care depăşeşte orice număr real m. 136. Se grupează convenabil 2 2 2 2 numerele de la 0 până la 9 999 astfel încât suma cifrelor a fiecare două numere să fie 36. 137. Toate numerele sunt egale cu 5 11. 138. Se aplică descompunerea lui 5 în sumă a două numere naturale. 139. Puterea a 4-a a unui număr întreg este un număr natural cu cifra unităţilor: 0, 1, 5 sau 6, iar suma numerelor din membrul stâng al ecuaţiei este un număr natural cu cifra unităţilor: 0, 1, 2, 5, 6 sau 7. Deoarece u (34 5787 8233 ) = 8, nu există numere întregi x şi y care să verifice ecuaţia dată. 140. Se constată imediat că 103 < 572 < 104 şi se ridică la puterea 1 500 etc. 141. a) Se află restul unei puteri a lui 16. 142. a) Se află restul unei puteri a lui 2 401. 143. a) Se află restul unei puteri a lui 4 096. 144. Aflaţi restul împărţirii la 1 000 a numărului 112

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

114567. 146. a)

n

∑

n

∑

(3n + 2) = 3

i =1

i =1

n+2

n

∑ i =1

1 i = 1 n( n + 1) n

1. b)

∑

1 i =1 n n

=

∑

−

n

1

∑ n +1 . i =1

147. Aflaţi mai întâi câte numere mai mici decât 3 000 se divid cu cel puţin unul dintre numerele 3, 5, 7. 155. a) Procedaţi ca la p. 8. 157. a) [3; 5, 2, 4, 8]. Cap. II.1. 1. a) (−2,5)5 are baza −2,5 şi exponentul puterii 5. 2. a) (−23,17(15))−3 are 11 3 ⎛ 3⎞ baza −23,17(15) şi exponentul puterii −3. 3. a) ⎜ − ⎟ are baza − şi exponentul 17 ⎝ 17 ⎠

puterii 11. 4. a) −1. 5. a) 1. 6. a) (−1) 235 ⋅ ( −1)346 ; = (−1)581 = −1. 7. a) (−1)123 ⋅ (−1)543 = (−1)666 = 1. 8. a) 1. a) −1. 10. a) sgn ((−1,32)73) = −1. 11. a) 1. 12. a) −1. 13. a) 1. 14. a) 2,44 ⋅ 2,417 ⋅ 2,431 = 2,452. 15. a) −3,6101. 16. a) 1,545. 17. a) −8,1157. 338 100 338 2 312 ⋅ 18. a) 3,(41) = etc. şi −23,12 = − ⇒ 3,(41) : (−23,12) = 99 100 99 2 312 19. a) 24. a)

13,559 = 13,527. 20. a) 9,13−64. 21. a) 4,18723. 22. a) (−3,92)−37. 23. a) 31,8−384. 13,532 4,1532 . 25. a) 47,3345. 26. a) 6a14x34. 27. a) −56X 90. 28. a) x2. 29. a) x100y300 24 3,4

3 y8 b5 −2 4 75 −4 −71 . 31. a) 3 x y . 32. a) 2 ⋅ 2 = 2 . 33. a) − 1. 34. a) . 343a 3c8 2 x5 b170c100 35. a) (28)−2 = 2x ⇔ x = −16. 36. a) (a−15b25c40) : (a95b−145c−60) = a−110b170c100 = . a110 34 − 1 37 ⋅ 3−3 − 7 0 13 37. a) = . 39. a) 6−21 = 62x ⇒ x = −11,5. S = {−11,5}. = 5. 38. 4 −4 37 0,5 2 40. a) [ 5 , ∞). 41. x = 3 11, y = 0,5 6 , z = 0, (3) 5 . 42. Se obţine a = 1 − 1 + 2(−1)3n, n ∈ N. Dacă n este număr par, a = 2; dacă n este impar, a = −2. 43. a) S + 2 = 1 + 2 + ... + 2 2 003 22 004 etc. 44. S + n(n − 1) = n2 004 etc. 45. etc. 46. Se compară inver2 2 004 2 003 1 etc. 49. a) x2 − x − 1 = 0. b) ϕ 2 = ϕ + 1. = sele numerelor. 47. −1 2 004 1 + 2 003

x48y−208 = x148y92. 30. a)

9 25 = = 9 16 1,(6). 7. a) 8,4. 8. a) 5,8. 9. a) 5,91. 10. a) 3,66. 11. a) [7,9; ∞). 12. a) [−1,(6), ∞). 13. a) R. 14. a) [0,7(6); ∞). 15. a) | 1,4x − 9 |. 16. a) | 1,4x − 9 |4. 17. a) | 4,7x + 14 |4. 18. a) 4,3 17 . 19. a) 19 5 + 5 7 . 20. a) 2 39 . 21. a) | a | 5 . 22. a) x 2 2 . Cap. II.2. 1. a) 135. 2. a) 34,73. 3. a) 2,15. 4. a) 34,12. 5. a) 11,63. 6. a) 1

23. a) | x |3 12 . 24. a) x13 2 . 25. a) − 4 x 5 2 . 26. a) 4

980 . 27. a) − 3 388 .

6

28. a) 44a . 29. a) − 15 x , x < 0. 30. a) 15. 31. a) 5 7 = 175 şi 8 3 = 192 ⇒ 5 7 < 8 3. 32. a) 3 11 = 99 , 4 2 = 32 şi 5 3 = 75 ⇒ 4 2 < 5 3 < Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

113

3 11. 33. a) 72 − 180 = 6 2 − 6 5 . 34. a) 33 + 21. 35. a) 3 11 − 51. 36. a) 6 14 + 10 33. 37. a) 5 − 2 3. 38. a) 15 − 19 = −4. 39. a) 49⋅5 − 21 = 245 − 21 = 234. 40. a) 5 + 2 55 + 11 = 16 + 2 55 . 41. a) 13 − 2 143 + 11 = 16 + 2 143. 42. a) 48 + 16 33 + 44 = 92 + 16 33. 43. a) 75 − 10 21 + 28 = 103 − 10 21. 4 21 11 22 22 44. a) . 45. a) . 46. a) | 3 5 − 2 11 | = 3 5 − 2 11. = 7 55 5 47. a) 2 2 (5 3 − 2 13 )3 . 48. a) 13(5 x − 3 11)14 = (5 x − 3 11)7 13. 5x − 3 11 ≥ 0 ⇔ x ≥ 0,6 11. R: [ 0,6 11, ∞). 49. a) 2 14 (3 x − 1)3 . 50. a) (3x − 1) 3,68(3x − 1) .

x− 5 x− 5 . 52. Aplicaţi formula produsului sumei cu diferenţa. x+2 3 x+2 3 2 2(1 + 7 ) 5 1+ 7 =− 53. a) . 54. a) x = 17 . 55. a) . 56. a) 7 + 2 10 = = 1− 7 5 3 1− 7

51. a)

( 5 + 2 ) 2 . 58. | 3x − 17 | + | 3x − 15 | = 32. 1) x ≤ 5 ⇒ 17 − 3x + 15 −3x = 32 ⇔ 32 − 6x = 32 ⇔ x = 0. 2) 5 < x < 5,(6) ⇒ 17 − 3x + 3x − 15 = 32 Fals. 3) x > 5,(6) ⇒ 3x − 17 + 3x − 15 = 32 ⇔ 6x − 32 = 32 ⇔ 6x = 64 ⇔ x = 10,(6). S = {0; 10,(6)}. 61. S = {0}. 62. a) Se ridică la pătrat egalitatea cu ambii membri pozitivi şi rezultă a + b = a + 2

a2 − a2 + b şi se obţine o propoziţie adevărată. 63. 8 + 4

64. a) Se constată că

obţine

7 − 2 10 =

( 5 − 2 )2 =

55 =

16 + 2 55 etc. 2

5 − 2 . Procedând analog, se

7 − 2 10 + 13 − 2 40 + ... + 181 − 2 8 188 + 187 − 2 8 740 =

5− 2

7 − 5 + ... + 31 − 29 + 33 − 31 etc. b) Raţionalizând numitorul, se obţine 1 3 −1 . Se procedează în acelaşi mod cu toate rapoartele şi se adună = 2 3 +1 rezultatele. 65. Se ţine cont că în membrul stâng fiecare termen este un număr nenega3 ≥ tiv. 66. 1 − (2,5 x − 17) 290 ≤ 1 şi 4 − (1,3 y + 29)304 ≤ 2 etc. 67. 1 − (19,5 − 3 x)896

+

3 şi

8 16 − (23,4 − 15 y )728

a+b+c≥

≥ 4 etc. 68. a) Propoziţia este adevărată, deoarece

ab + bc + ac ⇔ 2a + 2b + 2c ≥ 2 ab + 2 bc + 2 ac ⇔ 2a + 2b +

2c − 2 ab − 2 bc − 2 ac ≥ 0 ⇔ ( a − b ) 2 + ( b − c ) 2 + ( a − c ) 2 ≥ 0. 69. Se ţine cont că suma primelor 1002 numere naturale impare este 1 002 2. 1 9 17 1 993 2 001 5 13 21 1 997 2 005 ⋅ . Atunci a < ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ ⋅ 70. Fie a = ⋅ ⋅ ⋅ ... ⋅ im5 13 21 1 997 2 005 9 17 25 2 001 2 009

plică a 2 <

114

1 etc. 71. x2 − x − 1 = 0. 2 009 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

Cap. III. 1. 1. a) 3a − 5a + 4a. 2. a) 4a − 1,9b + 7a − 8b. 3. a) 3a − 3,7b + 1,6a − 2,8b. 4. a) 1,2a − 9,13b − 7,3a + 5,23b. 5. a) a + b + c. 6. a) a + b + c + d. 7. a) a + b + c + d + e. 8. a) 2x + 5x + 4x = 11x. 9. a) 5,6x. 10. a) 7,2x. 11. a) 8x + 10y. 12. a) 4x + 18y. 13. a) 4,8x + 7,1a. 14. a) 3x + 1,3x + 2⋅3,6m = 4,3x + 7,2m. 15. a) −3,1x3y2 + 5,9 x3y2 − 11,8 x3y2. 16. a) − 4,8 1,38 + 2,9 1,38 − 3,5 1,38 . 17. a) − 3 X 5Y 4 − X 5Y 4 +

2,7 X 5Y 4 . 18. a) 2,8x. 19. a) −11,4x5 + 47,9x3. 20. a) 5a − 7b + 12c − 13a + 4b − 7c = −8a − 3b + 5c. 21. a) − 2 X 5 + 5 X 4 − 12 X 5 + 2 X 4 = −14X 5 + 7X 4. 22. a) − 8 3,1 + 7 5,8 − 13 3,1 + 5,8 = − 21 3,1 + 8 5,8 . 23. a) 7a − 4,2b − 55a + 15b = 62a + 10,8b. 24. a) 6x − 30y − 28x + 32y = −22x + 2y. 25. a) 4,5xy. 26. a) 4x(3 + 2y) = 12x + 8xy. 27. a) 1,44x2. 28. a) 7x(3x + 5y) = 21x2 + 35xy. 29. a) 49x2 − 64y2. 30. a) 216a3. 31. a) 30abc. 32. a) 308a3. 33. a) 10 − 5 2 + 5 3. 34. a) 9a2 + 12ab. 35. a) 63a2 − 27ab. 36. a) (x + 5)(x + 4) = x(x + 4) + 5(x + 4) = x2 + 4x + 5x + 20 = x2 + 9x + 20. 37. a) (x − 3)(x + 9) = x(x + 9) − 3(x + 9) = x2 + 9x − 3x − 27 = x2 + 6x − 27. 38. a) (x − 7)(x − 8) = x(x − 8) − 7(x − 8) = x2 − 8x − 7x + 56 = x2 − 15x + 56. 39. a) 15 ( 65 − 6 + 26 ) − 13 ( 65 − 6 + 26 ) = 5 39 − 3 10 + 390 − 13 5 + 78 − 13 2 . 40. a) −15X 17 + 9X 10 − 39X 9 + 12X 5. 41. a) X(X 4 + 2X 3 + 4X 2 + 8X + 16) − 2(X 4 + 2X 3 + 4X 2 + 8X + 16) = X 5 + 2X 4 + 4X 3 + 8X 2 + 16X − 2X 4 − 4X 3 − 8X 2 − 16X − 32 = X 5 − 32. 42. a) ( X + 2)( X 4 − 2 X 3 + 4 X 2 − 4 X + 16); X(X 4 − 2X 3 + 4X 2 − 8X + 16) + 2(X 4 − 2X 3 + 4X 2 − 8X + 16) = X 5 − 2X 4 + 4X 3 − 8X 2 + 16X + 2X 4 − 4X 3 + 8X 2 − 16X + 32 = X 5 + 32. 43. a) −2,5x9 + 2x8 − 7,5x7 + 1,5x6. 44. a) − x30y42 : (x18y6) = − x12y36. 45. a) (− x 8 y10 ) 7 : (− x 3 y 4 )10 ; − x56y70 : (x30y40) = − x26y30. 46. a) (5ax + 3ay)15. 47. a) (7a 2 − 2ay)45. 48. a) (x2 + 15x + 44)17. 49. a) (x2 − 19x + 84)33. 50. a) (x − 4)56(x + 15)56 = (x2 + 11x − 60)56. 51. a) 5 050x. ( x − 1)( x + x 2 + x 3 + ... + x100 ) x101 − 1 52. a) = . 54. a) S1 = x + 2 x 2 + 3x 3 + ... + 100 x100 , x −1 x −1 n 2 + 5n − 8n − 40 + 40 S = x + x 2 + x 3 + ... + x100 . Se calculează xS1 − S1. 55. =n−8+ n+5 40 . 56. a = 3n + 1, b = 7n + 3. 7a − 3b = 7 − 9 = −2. Pentru orice număr natural n+5 impar fracţia este reductibilă cu 2. 57. Ţineţi cont că 1 = (x − 1)(1 + x + x2 + ...). 58. Ţineţi cont de descompunerea în factori a lui 51. Cap. III.2. 1. a) a(a − 5) + 5(a − 5) = a 2 − 5a + 5a − 25 = a 2 − 25. 2. a) 3a(3a − 2b) + 2b(3a − 2b) = 9a 2 − 6ab + 6ab − 4b2 = 9a 2 − 4b2. 3. a) (11a)2 − (9b)2 = 121a 2 − 81b2. 4. a) 1 035⋅965 = (1 000 + 35)(1 000 − 35) = 1 000 000 − 1 225 = 998 775. 5. a) 7 − 5 = 2. 6. a) 99 − 28 = 71. 7. a) (a + 13) 2 = a(a + 13) + 13(a + 13) = a 2 + 13a + 13a + 169 = a 2 + 26a + 169. 8. a) (a − 23) 2 = a(a − 23) − 23(a − 23) = a 2 − 23a − 23a + 529 = a 2 − 46a + 529. 9. a) (2 x + 3) 2 = (2x)2 + 2(3)(2x) + (3)2 = 4x2 + 12x + 9.

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

115

10. a) (5 x − 9) 2 = (5x)2 − 2(9)(5x) + (9)2 = 25x2 − 90x + 81. 11. a) 2 0152 = (2 000 + 15)2 = 4 000 000 + 60 000 + 225 = 4 060 225. 12. (3 000 − 15)2 = 9 000 000 − 90 000 + 225 = 8 910 225. 13. a) (a − 3)(a 2 + 3a + 9) = a (a 2 + 3a + 9) − 3(a 2 + 3a + 9) = a 3 + 3a 2 + 9a − 3a 2 − 9a − 27 = a 3 − 27. 14. a) (2x)3 − (3a)3 = 8x3 − 27a3. 15. a) (7x)3 − (2y)3 = 343x3 − 8y3. 16. a) 2 004 3 − 4 3 = 2 000(2 0042 + 8 016 + 16) = 8 048 096 000. 17. a) 2a(4a 2 − 2a + 1) + (4a 2 − 2a + 1) = 8a 3 − 4a 2 + 2a + 4a 2 − 2a + 1 = 8a 3 + 1. 18. a) (9x)3 + (8y)3 = 729x3 + 512y3. 19. a) (7x)3 + (5y)3 = 343x3 + 125y3. 20. a) 3 000(2 9982 − 5 996 + 4) = 26 946 036 000. 21. a) (5a + 1) (25a 2 + 10a + 1) = 125a3 + 50a2 + 5a + 25a2 + 10a + 1 = 125a3 + 75a2 + 15a + 1. 22. a) (3x)3 + 3(3x)2(7y) + 3(3x)(7y)2 + (7y)3 = 27x3 + 189x2y + 343y3. 23. a) (5x)3 + 3(5x)2(2a) + 3(5x)(2a)2 + (2a)3 = 125x3 + 150ax2 + 60a2x + 8a3. 24. a) 2 005(2 0002 − 10 000 + 25) = 2 005(2 0002 − 10 000 + 25) = 2 005⋅3 990 025. 25. a) (3a − 1)3 = (3a − 1)(3a − 1) 2 = (3a − 1) (9a 2 − 6a + 1) = 27a3 − 18a2 + 3a − 9a2 + 6a − 1 = 27a3 − 27a2 + 9a − 1. 26. a) (3a − 2) (9a 2 − 12a + 4) = 27a3 − 36a2 + 12a − 18a2 + 24a − 8 = 27a3 − 54a2 + 36a − 8. 27. a) (5x)3 − 3(5x)2(3y) + 3(5x)(3y)2 − (3y)3 = 125x3 − 225x2y + 135xy2 − 27y3. 2 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 28. a) (3a) + 2(3a) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 9a2 + 2 + . 29. a) (9x)2 − 2(9x) ⎜ ⎟ + 2 9a ⎝ 3a ⎠ ⎝ 9x ⎠ ⎝ 3a ⎠ 2

2

3

1 ⎛1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1⎞ 2 . 30. a) (2a)3 + 3(2a)2 ⎜ ⎟ + 3(2a) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 8a3 + ⎜ ⎟ = 81x + 2 + 2 81x ⎝ 2a ⎠ ⎝2a⎠ ⎝ 2a ⎠ ⎝ 9x ⎠ 2

3

3 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ + . 31. a) (6x)3 + 3(6x)2 ⎜ ⎟ + 3(6x) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ = 216x3 + 18x + 6a + 3 2a 8a ⎝ 6x ⎠ ⎝ 6x ⎠ ⎝ 6x ⎠ 1 1 . 32. 114 . 33. 324 − a 2b ∈ N, dacă 324 − a2b ∈ {324, 289, 256, …, 1, + 3 2x 216 x 7+ 5 . 0} etc. 34. a) (100a + 27)2 = 10 000a2 + 200a⋅27 + 289 etc. 35. a) R: 44 36. a) 98a2 + 25b2. 39. a) (7 − 1)(7 + 1)(72 + 1)(74 + 1). 40. a) R: −12a2b2 sau 12a2b2. 41. 7 + 2 ⋅ 3 + 2 + 2 ⋅ 3 − 2 + 2 = 7 + 2 7 − 2 = 47 . 44. Aria pătratului mare este egală cu suma ariilor a trei pătrate şi suma ariilor a trei dreptunghiuri şi se obţine ( x + y + z ) 2 = x2 + y2 + z2 + 2xy +2xz + 2yz. 45. ( x + y + z ) 2 = [ x + ( y + z )]2 = x2 + 2x(y + z) + (y + z)2 etc. 46. a) (3a + 2b + 5c) 2 = (3a)2 + (2b)2 + (5c)2 + 2(3a)(2b) + 2(2b)(5c) + 2(3a)(5c) etc. 47. a) 4a 2 + 9b 2 − 12ab = (2a − 3b)2 ≥ 0 ⇒ 4a 2 + 9b 2 ≥ 12ab. 1 1 1 5− 2 8− 5 102 − 99 + + ... + = 48. = + + ... + 3 3 3 2+ 5 5+ 8 99 + 102 1 ( 102 − 2 ). 50. a) Se procedează ca la ex. 48. b) Numitorul fiecărui termen este 3

116

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

suma a doi radicali. 51. Se cercetează dezvoltarea pătratului (10a + c)2 cu a număr natural nenul şi c o cifră în baza 10, pentru fiecare valoare a lui c. 52. Se cercetează dezvoltarea cubului (10a + c)3 cu a număr natural nenul şi c o cifră în baza 10, pentru fiecare valoare a lui c. 53. Se ţine cont că a + 1 este pătratul unei sume cu doi termeni. 54. Se ţine cont că a + 1 este cubul unei sume cu doi termeni. 55. a) Un număr întreg poate fi de una dintre formele: 3n, 3n + 1, 3n + 2, n ∈ Z. 1) Fie a = 3n. Atunci a 2 = 9n 2 , iar 9n 2 = 3k + 2. Deoarece 3 nu divide 2, ultima propoziţie este falsă. 2) Fie a = 3n + 1. Atunci a 2 = 9n 2 + 6n + 1, iar 9n 2 + 6n + 1 = 3k + 2 ⇔ 9n 2 + 6n = 3k + 1. Ultima propoziţie este falsă. 3) Fie a = 3n + 2. Atunci a 2 = 9n 2 + 12n + 4, iar 9n 2 + 12n + 4 = 3k + 2 ⇔ 9n 2 + 12n = 3k − 2. Ultima propoziţie este falsă. Prin urmare, printre numerele de forma 3k + 2, k ∈ Z, nu se află pătrate perfecte. 56. a) (n + 1) 2 + (n − 1) 2 + n 2 = n 2 + 2n + 1 + n 2 − 2n + 1 + n 2 = 3n 2 + 1. 57. 4n 2 − 4n + 2 = (2n − 1)2 + 1, n ∈ Z, nu este pătrat perfect. 58. a) n3 + 3n 2 + 3n + 2 = (n + 1)3 + 1, n ∈ Z, nu este cub perfect. 59. n 4 + 33n 2 + 240 = (n2 + 16)2 + n − 16 este pătrat perfect dacă şi numai dacă n = 16. 60. Se completează expresia până la cubul sumei a doi termeni. 61. Pentru orice n ∈ Z expresia de sub radical este o sumă cu doi sau trei termeni. 62. Volumul cubului este egal cu suma volumelor a trei cuburi şi a mai multor paralelipipede dreptunghice ce trebuie remarcate. Exerciţiul poate fi executat practic şi se obţine (a + b + c)3 = a 3 + b3 + c 3 + 3(a + b)(b + c)(a + c) = a 3 + b3 + c 3 + 3(a + b + c)(ab + bc + ac) − 3abc. Cap. III.3. 1. a) R: b(3a + 5c). 2. a) R: a(9y − 4z). 3. a) 108(25 − 63) = −108⋅38 etc. 4. a) 7ax + 2ay + 14bx + 4by = a(7x + 2y) + 2b(7x + 2y) = (7x + 2y)(a + 2b). 5. a) 8⋅17 + 8⋅33 + 9⋅17 + 9⋅33 = 8(17 + 33) + 9(17 + 33) = 50⋅17 = 1 850. 6. a) m(9x − 7y) + 3n(9x − 7y) = (9x − 7y)(m + 3n). 7. a) 11(23 − 47) + 19(23 − 47) = (23 − 47)(11 + 19) = −24⋅30 = −720. 8. a) 8m(2 x + 5 y ) 2 − 5n(2x + 5y) = (2x + 5y)[8m(2x + 5y) − 5n] = (2x + 5y)(16mx + 40my − 5n). 9. a) 4 x 2 − y 2 = (2x + y)(2x − y). 10. a) 5m 2 − 3n 4 = ( 5m + 3n 2 )( 5m − 3n 2 ). 11. a) 7 X 3 − 3 X = X(7X 2 − 3) = X ( 7 X + 3 )( 7 X − 3 ). 12. a) 4x − 11y = (2 x + 11 y )(2 x − 11 y ). 13. a) 732 − 172 = (73 + 17)(73 − 17) =

90⋅56 = 5 040. 14. a) 1132 − 132 = (113 + 13)(113 − 13) = 126⋅100 = 12 600. 15. a) 4x 6 + 2x3y + y 2 . 16. a) 25 x 4 y 8 − 2(5x2y4)(3) + 9. R: 30x2y4. 17. a) (3x3 + 2y)2. 18. a) (4a5b2 − 3)2. 19. a) 125a 3 + 75a 2b + 15ab 2 + b3 = (5a + b)3 . 20. a) 8a3 + 12a2b +

6a2b + b3 = (2a + b)3. 21. a) 343a 6 − 137 a 4b + 27 a 2b 2 − b3 = (7a2 − b)3. 22. a) (6x4)3 − 3(6x4)2(y6) + 3(6x4)(y6)2 − (y6)3 = (6x4 − y6)3. 23. a) 27 x 3 + 8 y 3 = (3x + 2y)(9x2 − 6xy + 4y2). 24. a) 1331X 6 + 8 = (11X 2 + 2)(121X 4 − 22X 2 + 4). 25. a) 343a 3 x 6 + 1 = (7ax2 + 1)(49a2x4 − 7ax2 + 1). 26. a) 27 x 3 − 64 y 6 = (3x − 2y)(9x2 + 6xy + 1). 27. a) 343X 5 − X 2

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

117

= X 2(343X 3 − 1) = X 2(7X − 1)(49X 2 + 7X + 1). 28. a) a3x6 − 125 = (ax2 − 5)(a2x4 + a a(2 x − 3 y ) 2ax − 3ay 2x − 5 y = = . 30. a) 5ax2 + 25). 29. a) = 2 2 2x − 3y 4 x 2 − 25 y 2 (2 x − 3 y ) (2 x − 3 y ) 1 1 2x − 5 y 3x + 1 3x + 1 . 31. a) = = . = 2 2 2x + 5 y 3x + 1 (2 x + 5 y )(2 x − 5 y ) (3x + 1) 9x + 6x + 1 1 3x − 2 3x − 2 2x + 1 2x +1 32. a) = = . 33. a) = = 3 2 2 2 3x − 2 8 x + 12 x + 6 x + 1 9 x − 12 x + 4 (3 x − 2) (2 x + 1)3 1 3x − 2 3x − 2 1 6x + 5 y . 34. a) = = . 35. a) 2 3 2 3 2 (2 x + 1) 216x3 +125y3 (3 x − 2) 27 x − 54 x + 36 x − 8 (3 x − 2) 1 6x + 5 y 8x − 9 y = . 36. a) = = 2 2 2 2 512 x 3 − 729 y 3 36 x − 30 xy + 25 y (6 x + 5 y )(36 x − 30 xy + 25 y ) 1 8x − 9 y 4 x 2 + 6 xy + 9 y 2 . 37. a) = = 64 x 2 + 72 xy + 81 y 2 (8 x − 9 y )(64 x 2 + 72 xy + 81 y 2 ) 8 x 3 + 27 y 3 1 4 x 2 + 6 xy + 9 y 2 9 x 2 + 12 xy + 16 y 2 . 38. a) = = 2x + 3y (2 x + 3 y )(4 x 2 − 6 xy + 9 y 2 ) 27 x 3 − 64 y 3 9 x 2 + 12 xy + 16 y 2 1 . 39. a) = 2 2 3x − 4 y (3 x − 4 y )(9 x + 12 xy + 16 y ) + 13. 40. a) 12 + 2 35 =

( 5 + 7 )2 =

6( 19 + 13 ) 6 = = 6 19 − 13

5 + 7 şi 11− 2 30 =

19

6 − 5 etc.

41. a) 256a 4 x 4 − y 4 = (16a2x2 − y2) (16a2x2 + y2) = (4ax − y)(4ax + y)(16a2x2 + y2) =

(2 ax − y )(2 ax + y ) (4ax + y)(16a2x2 + y2). 42. a) (7 x − 4 y ) 2 − (5 x + 3 y ) 2 = (7x − 4y + 5x + 3y)( 7x − 4y − 5x − 3y) etc. 43. a) 4( 2 x − 9 y ) 2 − 25(4 x + 5 y ) 2 = (4x − 18y)2 − (20x + 25y)2 etc. 45. a) R: (2x − y − a)2. 46. a) (3x + 10 y ) 2 − 4 x 2 + 20 xy − 25 y 2 ; (3x + 10y)2 − (2x − 5y)2 etc. 47. a) Aplicaţi cubul sumei cu doi termeni. 49. a) (9 x − 5 y )3 + 27 x 3 = (9x − 5y + 3x)[(9x − 5y)2 − 3x(9x − 5y) + 9x2] etc. 51. a) X 2 + 12 X + 11 = X 2 + 11X + X + 11 = X(X + 11) + (X + 11) = (X + 11)( X + 1). 52. a) 44 X 2 + 15 X + 1 = (3x − 5 y ) 2 − ( x − 8 y ) 2 44X 2 + 11X + 4X + 1 = 11X(4X + 1) + (4X + 1) etc. 53. a) = 4x2 − 9 y 2 (3 x − 5 y + x − 8 y )(3 x − 5 y − x + 8 y ) ( 4 x − 13 y )(2 x − 3 y ) 4 x − 13 y = = pentru x ≠ 1,5y. ( 2 x + 3 y )(2 x − 3 y ) ( 2 x + 3 y )(2 x − 3 y ) 2x + 3y DVA se modifică. (6 x − 5 y − 4) 2 − (3x − 4) 2 (9 x − 5 y − 8)(3x − 5 y ) = = 54. a) 2 2 81x − 90 xy + 25 y − 64 (9 x − 5 y ) 2 − 64 (9 x − 5 y − 8)(3x − 5 y ) 9 x − 3x − 5 y = pentru 9x − 5y ≠ 8. DVA se modifică. (9 x − 5 y + 8)(9 x − 5 y − 8) 9x − 5 y + 8

118

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

x2 + x + 1 x 2 − 3 x + 4 x − 12 + 13 13 1 = =x+4+ etc. 58. x 2 + 2 = 282 − 2 etc. x −3 x−3 x−3 x 59. a) Aria pătratului cu laturile de lungime x + y + z + t este egală cu suma ariilor unor pătrate şi dreptunghiuri. ( x + y + z + t ) 2 = x2 + y2 + z2 + t2 + 2xy + 2xz + 2xt + 2yz 57.

x + 2 x − 1 + x − 2 x − 1 = | x − 1 + 1 | + | x − 1 − 1 | etc.

+ 2yt + 2zt. 60.

61. a) X − 3 X + 1 = (X 2 − 1)2 − X 2 etc. 63. a) X 4 + 1 = X 4 + 2X 2 + 1 − 2X 2 = (X 2 + 1)2 − 2X 2 = ( X 2 + 2 X + 1)( X 2 − 2 X + 1) şi X 4 − 1 = (X − 1)(X + 1)(X 2 + 1) etc. 4

2

64. a) x 2 + x + 1 = (x + 0,5)2 + 0,75 > 0. 65. a) ( X + Y + Z )3 − X 3 − Y 3 − Z 3 = (X + Y + Z − X)[(X + Y + Z)2 + X(X + Y + Z) + X 2] − (Y + Z)(Y 2 − YZ + Z 2) = (Y + Z)(X 2 + Y 2 + Z 2 + 2XY + 2ZY + 2XZ + X 2 + XY + XZ + X 2 − Y 2 + YZ − Z 2) = (Y + Z)(3X 2 + 3XY + 3ZY + 3XZ) etc. 66. a) 1 = 1 + x − x − x2 + x2 + x3 − ... = (1 + x) − x(1 + x) + x2(1 + x) 1 = 1 − x + x2 − ... − ... = (1 + x)(1 − x + x2 − ...) ⇒ 1+ x Cap. IV.1. 1. a) R: Gradul 2. 2. R: a) −7x + 2 = 0. 3. a) −8x2 + 7x + 9 = 0. 4. a) 4 şi 5. 5. a) −5 şi 3. 6. a) 3m şi −2(1 − 4m). 7. a) 5x − 7 = 5 ⇔ 5x − 12 = 0. 8. a) 8x + 15 = 3x + 12 ⇔ 8x − 3x + 15 − 12 = 0 ⇔ 5x + 3 = 0. 9. a) (3x + 5)(3x − 5) = 9 x 2 + 4x ⇔ 9x2 − 25 = 9x2 + 4x ⇔ −4x −25 = 0 ⇔ 4x + 25 = 0. 10. a) (2 x + 3) 2 = (2 x − 4) 2 ⇔ 4x2 + 12x

+ 9 = 4x2 − 16x + 16 ⇔ 28x − 7 = 0. 11. a) (4 x + 7) 2 = (4x + 1)(4x − 1) ⇔ 16x2 + 56x + 49 = 16x2 − 1 ⇔ 56x + 50 = 0. 12. a) 3x + 5 = 0 ⇔ x = −1,(6). 13. a) 5x + 12 = 7 ⇔ 5x + 5 = 0 ⇔ x = −1 ⇒ S = {−1}. 14. a) 2x + 11 = 3x − 4 ⇔ 2x − 3x = −4 − 11 ⇔ −x = −15 ⇒ S = {15}. 15. a) 3(7x + 2) = 4(3x − 2) ⇔ 21x + 6 = 12x − 8 ⇔ 9x + 14 = 0 ⇔ x = −1,(5) ⇒ S = {−1,(5)}. 16. a) 2x(5x + 1) = (2x − 1)(5x − 1) ⇔ 10x2 + 2x = 10x2 − 2x − 5x + 1 ⇔ 9x = 1 ⇔ x = 0,(1) ⇒ S = {0,(1)}. 17. a) (3x + 2)(5x + 1) = 5x(3x − 4) 1 ⇔ 15x2 + 6x + 10x + 2 = 15x2 − 20x ⇔ 36x = −2 ⇔ x = − ⇒ S = {−0,0(5)}. 18 18. a) (2x + 3)(2x − 3) = (2 x + 5) 2 ⇔ 4x2 − 9 = 4x2 + 20x + 25 ⇔ 20x = −34 ⇔ x = −1,7 ⇒ S = {−1,7}. 19. a) | x | = 11 ⇔ x = −11 sau x = 11 ⇒ S = {−11, 11}. 21. a) | x − 1 | = 9 ⇔ x − 1 = −9 sau x − 1 = 9 ⇒ S = {−8, 10}. 22. a) | 2x − 3 | = 2 ⇔ 2x − 3 = −2 sau 2x − 3 = 9 ⇒ S = {0,5; 6}. 23. a) x 2 = 2 ⇔ | x | = 2 ⇔ x = − 2 sau x = 2 ⇒ S = {− 2 , 2 }. 24. a) R: 53 cm. 25. a) 112 − 32 = 8⋅14. R: 4 7 cm. 26. a) R: 5 cm. 27. a) Aflăm lungimea ipotenuzei unui triunghi dreptunghic cu catetele 14 cm şi 5 cm: 142 + 52 = 221. R: 221 cm. 28. a) R: S = ∅. 29. a) ( x − 4) 2 = 9 ⇔ | x − 4 | = 3 ⇔ x − 4 = −3 sau x − 4 = 3 ⇒ S = {1, 7}. 30. a) (2 x − 1) 2 = 4 ⇔ | 2x − 1 | = 2 ⇔ 2x − 1 = −2 sau 2x − 1 = 2 ⇒ S = {−0,5; 1,5}. 31. a) R: S = ∅. 32. a) (x + 4)(x + 7) = 0 ⇔ x + 4 = 0 sau x + 7 = 0 ⇒ S = {−4, −7}. 33. a) x 2 − 16 = 0 (x + 4)(x − 4) = 0 ⇔ x + 4 = 0 sau x − 4 = 0 ⇒ S = {−4, 4}. 34. a) x 2 − 19 = 0 ⇔ (x + 19 ) (x − 19 ) = 0⇔x+

19 = 0 sau x −

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

19 = 0 ⇒ S = {− 19 ,

19}. 35. a) Se rezolvă ecuaţia x2 119

− 11 = 0. Rezultă (x +

11) (x − 2

11) = 0 ⇔ x +

11 = 0 sau x −

11 = 0 ⇒ S =

2

{− 11, 11}. 36. a) 3 x − 39 = 0 ⇔ x − 13 = 0 etc. S = {− 13 , 13}. 37. a) Se rezolvă ecuaţia 2x2 − 27 = 0. Rezultă x2 − 13,5 = 0 etc. 38. a) Se rezolvă ecuaţia −x2 + 9 = 0. Rezultă x2 − 9 = 0 etc. S = {−3, 3}. 39. a) 9 x 2 − 20 = 0 ⇔ x2 − 2,(2) = 0 etc. S = {− 2, (2) , 2, (2) }. 40. a) R: 4X 2 − 35 = 0. 41. a) 49X 2 − 112X + 64. 42. a) x 2 + 25 > 0 ⇒ S = ∅. 43. a) X 2 + 28 ⇒ x2 + 28 = 0. R: Polinomul nu are rădăcini reale. 44. a) 6 x 2 + 961 > 0 ⇒ S = ∅. 45. a) R: Polinomul nu are rădăcini reale. 46. a) (x + 1)(x + 2,3)(x − 1,7(31)) = 0 ⇔ x + 1 = 0 sau x + 2,3 = 0 sau x − 1,7(31) ⇒ S = {−1, −2,3, 1,7(31)}. 47. a) x 2 − 3 = 23 ⇔ x2 = 26 ⇔ | x | = 26 ⇔ x = − 26 sau x = 26 ⇒ S = {− 26 , 26}. 48. a) 9 x 2 − 11 = 2 ⇔ 9x2 − 13 = 0. R: 9X 2 − 13. 49. a) 2x(4x + 3) = 0 ⇔ x = 0 sau 4x + 3 = 0 ⇒ S = {−0,75; 0}. 50. a) 11x(5x − 7) = 0 ⇔ 11x = 0 sau 5x − 7 = 0 ⇒ S = {0; 1,1}. 51. a) 3 x 2 − 5x = 0 ⇔ 3x(x − 5) = 0 ⇔ 3x = 0 sau x − 5 = 0 ⇒ S = {0, 5}. 52. a) R: Polinomul este 13X 2 − 8X. 53. a) Se rezolvă ecuaţia x2 + 7x = 0. Rezultă x2 + 7x = 0 etc. S = {−7, 0}. 54. a) Se rezolvă ecuaţia 6x2 − 5x = 0. Rezultă 6x2 − 5x = 0 etc. S = {0; 0,8(3)}. R: Rădăcinile polinomului sunt soluţiile ecuaţiei. 55. a) Se rezolvă ecuaţia −4x2 − 7x = 0. Rezultă 4x2 + 7x = 0 etc. S = {−1,75; 0}. R: Rădăcinile polinomului sunt soluţiile ecuaţiei. 56. a) ( x − 1) 2 − 16 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 16 ⇔ | x − 1 | = 16 ⇔ x − 1 = −4 sau x − 1 = 4 ⇒ S = {−3, 5}. 57. a) (3x − 1) 2 − 124 = 0 se ataşează polinomului 9X 2 − 6X + 1 − 124 sau 9X 2 − 6X − 123. 58. a) Ecuaţia (5 x − 2) 2 + 7 = 0 nu are soluţii reale. 59. a) (2 x − 15) 2 + 9 = 0 se ataşează polinomului 4X 2 − 60X + 225 + 9 sau 4X 2 − 60X + 334. 60. a) Ecuaţia (5 x − 11) 2 = 0 se ataşează polinomului 25X 2 − 110X + 121. 61. a) (x + 8)(x + 5) = 0 se ataşează polinomului X 2 + 5X + 8X + 40 sau X 2 + 13X + 40. 62. a) (x − 11)(x + 4) = 0 se ataşează polinomului X 2 + 4X − 11X + 44 sau X 2 − 7X + 44. 63. a) (x − 9)(x − 12) = 0 se ataşează polinomului X 2 − 12X − 9X + 108 sau X 2 − 21X + 108. 64. a) Rădăcinile polinomului X 2 + 6X + 9 sunt soluţiile ecuaţiei x2 + 6x + 9 = 0 ⇔ (x + 3)2 = 0 ⇒ S = {−3}. R: Polinomul are două rădăcini egale cu 2. 65. a) Rădăcinile polinomului X 2 − 12X + 36 sunt soluţiile ecuaţiei x2 − 12x + 36 = 0 ⇔ (x − 6)2 = 0 ⇒ S = {6}. R: Polinomul are două rădăcini egale cu 6. 66. a) Rădăcinile polinomului 4X 2 − 12X + 9 sunt soluţiile ecuaţiei 4x2 − 12x + 9 = 0 ⇔ (2x − 3)2 = 0 ⇒ S = {−1,5}. R: Polinomul are două rădăcini egale cu −1,5. 67. a) X 2 + 10X + 26 = X 2 + 10X + 25 + 1 = (X + 5)2 + 1. 68. a) X 2 + 8X + 1 = X 2 + 8X + 16 − 15 = (X + 4)2 − 15. 69. a) X 2 − 10X + 23 = X 2 − 10X + 25 − 2 = (X − 5)2 − 2. 70. a) Ecuaţia 3 x 2 − 7x + 2 = 0 are coeficienţii: a = 3, b = −7, c = 2. 71. a) R: 12x2 + 9x − 1 = 0. 72. a) x 2 + 3x + 15 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 9 − 60 < 0. R: Ecuaţia nu are soluţii reale. 73. a) x 2 − 11x + 24 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 121 − 96 > 0. R: Ecuaţia are soluţii reale. 74. a) x 2 − 13x − 30 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 169 + 120 > 0. R: Ecuaţia are soluţii reale. 75. a) x 2 + 9x − 20 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 81 − 80 > 0. R: Ecuaţia are 120

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

soluţii reale. 76. a) 2 x 2 + 5x − 7 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 25 + 56 > 0. R: Ecuaţia are soluţii reale. 77. a) x 2 − 3x + 3 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 9 − 12 < 0. R: Ecuaţia nu are soluţii reale. 78. a) 5 x 2 − 8x + 4 = 0 are ∆′ = b′2 − ac = 16 − 20 < 0. R: Ecuaţia nu are soluţii reale. 79. a) 5 x 2 − 12x + 6 = 0 are ∆′ = b′2 − ac = 36 − 30 > 0. R: Ecuaţia are −b− ∆ soluţii reale. 80. a) x 2 − 7x + 12 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 49 − 48 = 1. x1 = = 2a −b+ ∆ = 4 ⇒ S = {3, 4}. 81. a) x 2 + 10x + 24 = 0 are ∆′ = b′2 − ac = 25 + 3, x2 = 2a − b′ + ∆′ − b′ − ∆′ = 6 ⇒ S = {4, 6}. 82. a) x 2 − 12x − 28 = 0 24. x1 = = 4, x2 = a a − b′ + ∆′ − b′ − ∆′ = 14 ⇒ S = are ∆′ = b′2 − ac = 36 + 28 = 64. x1 = = −2, x2 = a a − b′ − ∆′ {−2, 14}. 83. a) 3 x 2 + 4x + 1 = 0 are ∆′ = b′2 − ac = 4 − 3 = 1. x1 = = −1, a − b′ + ∆′ = −0,(3) ⇒ S = {−1; −0,(3)}. 84. a) 6 x 2 − 5x + 1 = 0 are ∆ = b2 − x2 = a −b+ ∆ 5 +1 −b− ∆ 5 −1 = = 0,5 ⇒ S = = 0,(3), x2 = 4ac = 25 − 24 = 1. x1 = 2a 12 2a 12 = {0,(3), 0,5}. 85. a) 6 x 2 − 7x + 3 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 49 − 72 < 0 ⇒ S = ∅. 86. a) 54 − 15 + m = 0 ⇔ m = −39. 87. a) 12 + 2m + 5 = 0 ⇔ m = −8,5. 88. a) 36m − 42 + 9 = 11 0⇔m= . 89. a) mX 2 − 11X + 2 nu are rădăcini reale dacă ∆ = b2 − 4ac = 121 − 8m 18 < 0. Rezultă 8m > 121 ⇔ m > 15,125. R: Polinomul mX 2 − 11X + 2 nu are rădăcini reale dacă m ∈ (15,125, ∞). 90. a) 2 X 2 − 35X + 5m are rădăcini reale diferite dacă ∆ = b2 − 4ac = 1 225 − 40m > 0. Rezultă 40m < 1 225 ⇔ m < 30,625. R: Polinomul 2 X 2 − 35X + 5m are rădăcini reale diferite, dacă m ∈ (−∞; 30,625). 91. a) 4 X 2 − 67mX + 50 are rădăcinile egale, dacă ∆ = b2 − 4ac = 4 489m2 − 800 = 0. Rezultă 4 489m2 = 800 ⇔ 20 2 . R: Polinomul 4 X 2 − 67mX + 50 are rădăcini reale egale, dacă m ∈ |m| = 67 ⎧ 20 2 20 2 ⎫ 2 , ⎨− ⎬ . 92. a) 3 x − 15x + 2m = 0 are două soluţii (diferite) dacă şi numai 67 ⎭ ⎩ 67 dacă b2 − 4ac = 225 − 24m > 0. Atunci 24m < 225 ⇔ m < 9,375 sau m ∈ (−∞; 9,375). 93. a) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei 6 x 2 − 10mx + 5 = 0 are un element dacă şi numai dacă ∆′ = b′2 − ac = 25m2 − 30 = 0. Atunci m2 = 1,2 ⇔ | m | = 1,2. R: m ∈ {− 1,2 , 1,2}. 94. a) Mulţimea soluţiilor reale ale ecuaţiei 5mx 2 − 12x + 6 = 0 nu are elemente dacă şi numai dacă ∆′ = b′2 − ac = 36 − 30m < 0. Atunci m > 1,2. R: Ecuaţia nu are soluţii reale dacă m ∈ (1,2; ∞). 95. Fie a = x. Aplicând teorema catetei triunghiului ABC dreptunghic în A, obţinem b2 = an, de unde 70 = x(x − 3). Ecuaţia are Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

121

soluţiile 7 şi 10. Rezultă a = 10, n = 7, h = 21. 96. a) Fie y = x2 > 0. Ecuaţia y2 − 7y + 12 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 49 − 48 = 1 şi soluţiile 3 şi 4. Rezolvând ecuaţiile x2 = 3 şi x2 = 4 se obţin soluţiile reale ale ecuaţiei x 4 − 7 x 2 + 12 = 0. R: S = {−2, − 3 , 3 , 2}. 97. a) Fie y = x2 > 0. Ecuaţia y2 + 11y + 18 = 0 are ∆ = b2 − 4ac = 121 − 72 = 49 şi soluţiile −9 şi −2. Ecuaţia x 4 + 11x 2 + 18 = 0 nu are soluţii reale. R: S = ∅. 98. a) Fie y = x2 > 0. Ecuaţia y2 − 12y − 64 = 0 are ∆′ = b′2 − ac = 36 + 64 = 100 şi soluţiile −4 şi 16. Rezolvând ecuaţia x2 = 16 se obţin soluţiile reale ale ecuaţiei x 4 − 12 x 2 − 64 = 0. R: S = {−4, 4}. 99. Pe DVA = R \ {3} se rezolvă ecuaţia 5 = 7(x − 3). 100. Pe DVA = R \ {2, 3} se rezolvă ecuaţia 2(x + 2) = 4(x − 3). 103. a) | x | = 39 ⇔ x2 − 1 521 = 0. 104. a) X 2 + 6X + 9 − 4 etc. 105. Se scrie polinomul ca sumă sau diferenţă de pătrate. a) X 2 + 12X + 30 = (X + 6)2 − 6 are două rădăcini reale. 106. a) m se a −b 3 află din condiţia ∆ = 0. 107. = ⇒ 5a − 5b = 3a + 3b sau a = 4b. Se a+b 5 înlocuieşte în raport şi se obţine valoarea lui. 108. 2 x 4 + 12 x 3 + 23 x 2 + 15x + 2 = 2 x 2 ( x 2 + 3x) + 6 x( x 2 + 3 x) + 5( x 2 + 3 x) + 2 = 10 x 2 + 30x + 27 = 10( x 2 + 3 x) + 27 = 50 + 27 = 77. 109. a) 3mx + 7 = 0. Dacă m = 0 ecuaţia nu are soluţii (S = ∅). Dacă m ≠ ⎧ 7 ⎫ 2 2 0, S = ⎨− ⎬ . b) (m − 2)x + 2m = 0. 110. a) 4 X + 8X − 9 = (2X + 2) − 17 etc. ⎩ 3m ⎭ 6 x 2 + 10 x + 5 2(3x 2 + 5 x + 1) + 3 111. = etc. 112. n 4 + n 2 + 1 = n 4 + 2n 2 + 1 − n 2 = 2 2 3x + 5 x + 1 3x + 5 x + 1 2 2 2 2 (n + 1) − n = (n − n + 1)(n 2 + n + 1). Deoarece n 4 + n 2 + 1 este număr prim, atunci

n 2 − n + 1 = 1, de unde n = 0 sau n = 1. Dacă n = 0, atunci n 4 + n 2 + 1 = 1, care nu este număr prim. Dacă n = 1, atunci n 4 + n 2 + 1 = 3. Deci numărul n 4 + n 2 + 1 este prim numai pentru n = 1. 113. a + b > 2 ⇒ a 2 + 2ab + b 2 > 4, (1). (a − b) 2 ≥ 0 ⇒ a 2 − 2ab + b 2 ≥ 0, (2). Adunând relaţiile (1) şi (2), obţinem 2a 2 + 2b 2 > 4 ⇔ a + b > 2. 114. Fie numărul căutat xyz. Atunci xyz = 13⋅ xz sau 100x + 10y + z = 130x + 13z, de unde y = 3x + 1,2z şi x, y, z cifre în baza 10. Sunt posibile cazurile: z = 0, z = 5. Dacă z = 0, atunci xyz ∈ {130, 260, 390}. Dacă z = 5, atunci xyz ∈ {195}. 115. Fie x minute intervalul de timp până la schimbarea borcanelor şi y minute interva1 ⎧1 ⎪ 6 x + 30 y = 1 lul de timp până se termină mierea din borcane. Atunci ⎨ ⇔ 1 1 ⎪ x + y =1 6 ⎩ 30 ⎧x = y ⎧x=5 ⎧5 x + y = 30 ⇔ ⎨ ⇔ ⎨ 116. Până la schimbarea roţilor automobilul ⎨ ⎩ x + y = 10 ⎩ y = 5. ⎩ x + 5 y = 30 parcurge x km şi y km parcurge până la uzarea completă a cauciucurilor. Atunci

122

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

1 ⎧ 1 ⎪1200 x + 1300 y = 1 ⎧13 x + 12 y = 15600 ⇔ ⎨ ⇒ 25x + 25y = 31200 ⇒ x + y = 1248. ⎨ 1 1 ⎩12 x + 13 y = 15600 ⎪ x+ y =1 1200 ⎩1300 Automobilul poate parcurge maximum 1 248 km. 117. a) (m + 2)2 − 12 ≥ 0 ⇔ | m + 2 | ≥ 12 etc. 118. a) Fie x =

2 + 2 + 2 + 2 + ... , unde „ ...“ indică repetarea la infinit a

radicalilor. Atunci x2 = 2 +

2 + 2 + 2 + 2 + ... sau x2 − x − 2 = 0 şi se alege numai

1

soluţia 2. 119. a) Numărul de aur. b) Numărul de aur. 120. 1 +

1+

1 1+

122.

1

1 + 1 + 1 + 1 + ... = 1 + 1+

1

. 121. 1.

1 ...

. 123. 0. 124. Adunând ecuaţiile, obţinem

1 ... 2(xy + yz + xz) = 94 ⇔ xy + yz + xz = 47. Ultima ecuaţie şi fiecare dintre ecuaţiile ⎧ xy = 15 ⎪ sistemului implică ⎨ yz = 20 (∗) Înmulţind ecuaţiile, obţinem x 2 y 2 z 2 = 3600 sau ⎪ xz = 12. ⎩ 1+

| xyz | = 60. | x | = 3, | y | = 4, | z | = 5. Deoarece produsele xz, zy şi xy sunt pozitive, ⎧x = 3 ⎧ x = −3 ⎪ ⎪ rezultă că x, y, z au acelaşi semn şi deci soluţiile sistemului sunt ⎨ y = 4 şi ⎨ y = −4 ⎪z = 5 ⎪ z = −5. ⎩ ⎩ 125. a, b numere prime şi a + b = 108 ⇒ a şi b sunt numere impare. Atunci, a – b – c ⎧ a + b = 108 ⎧ a + b = 108 ⎧ 2a = 142 ⎧a = 71 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ = 32 ⇒ c = 2. Prin urmare, ⎨a − b − 2 = 32 ⇔ ⎨ a − b = 3 ⇔ ⎨2b = 74 ⇔ ⎨b = 37 ⎪c = 2 ⎪c = 2 ⎪c = 2 ⎪ c = 2. ⎩ ⎩ ⎩ ⎩ 126. 9x 2 + 3y = y 2 + 8 ⇔ 36x 2 + 12y = 4 y 2 + 32 ⇔ 36x 2 − ( 4 y 2 − 12 y + 9) = 23

⇔ 36x 2 − ( 2 y − 3) 2 = 23 ⇔ (6x + 2y − 3)(6x − 2y + 3) = 23. Ţinem cont că x şi y sunt numere întregi, iar 23 = 1⋅23 = 23⋅1 = (−1)⋅(−23) = (−23)⋅(−1). Soluţiile ecuaţiei se ⎧6 x − 2 y + 3 = 23 ⎧6 x − 2 y + 3 = −23 ⎧6x − 2 y + 3 = 1 obţin rezolvând sistemele: ⎨ ⎨ ⎨ ⎩6 x + 2 y − 3 = 23; ⎩6 x + 2 y + 3 = 1; ⎩6 x + 2 y + 3 = −1; ⎧6 x − 2 y + 3 = −23 S = {(2, 7), (−2, 7), (2, −4), (−2, −4)}. ⎨ ⎩6 x + 2 y + 3 = −1. 127. Deoarece x 3 – 1 = (x − 1) ( x 2 + x + 1), ( x 2 + x + 1) 2 + 12( x − 1) 2 + 7( x 3 – 1) = 0 Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

123

⇔ ( x 2 + x + 1) 2 + 7(x − 1) ( x 2 + x + 1) + 12( x − 1) 2 = 0. Fie x 2 + x + 1 = t. Atunci t 2 + 7(x − 1)t + 12( x − 1) 2 = 0. ∆ = 49( x − 1) 2 − 48( x − 1) 2 = ( x − 1) 2 ⇒ − 7( x − 1) − | x − 1 | − 7( x − 1) + | x − 1 | t= sau t = . Rezultă x 2 + x + 1 = −4(x − 1) sau 2 2 − 5 − 37 x 2 + x + 1 = −3(x − 1). x 2 + x + 1 = −4x + 4 ⇔ x 2 + 5x − 3 = 0 ⇔ x = sau 2 − 5 + 37 x= . x 2 + x + 1 = −3(x − 1) ⇔ x 2 + x + 1 = −3x + 3 ⇔ x 2 + 4x − 2 = 0 ⇔ x 2 ⎧ − 5 − 37 − 5 + 37 ⎫ −4−2 6 −4+2 6 , sau x = . S= ⎨ , − 2 − 6, − 2 + 6 ⎬ . = 2 2 2 2 ⎩ ⎭ 1 1 2n + 5 − 2n − 1 4 1 = = ⇒ = − 2n + 1 2n + 5 (2n + 1)(2n + 5) (2n + 1)(2n + 5) (2n + 1)(2n + 5) 1 1 1 1 1⎛ 1 1 ⎞ 1 + + +…+ + = − ⎜ ⎟. 5⋅9 7 ⋅11 4 ⎝ 2n + 1 2n + 5 ⎠ 3 ⋅ 7 (2n − 1)(2n + 3) (2n + 1)(2n + 5)

128.

1 1 1 1 1 ⎛1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − ⎜ − + − + − + − + ... + 2 n − 5 2 n − 1 2 n − 3 2 n + 1 2n − 1 ⎝ 3 7 5 9 7 11 9 13 ⎞ 1 1 ⎞ 1⎛8 4n + 8 1 1 1 ⎞ 1 ⎛1 1 ⎟ − + − ⎟ = ⎜⎜ − ⎟ = ⎜⎜ + − 4 ⎝ 15 (2n + 3)(2n + 5) ⎟⎠ 2 n + 3 2 n + 1 2n + 5 ⎠ 4 ⎝ 3 5 2n − 3 2n + 5 ⎠ 2 2 x −1 n+2 ⎡ 2t + 2 ⎤ . 129. Fie − = < = t ∈ Z. Obţinem ecuaţia ⎢ ⎥ = t, de 2 15 15 (2n + 3)(2n + 5) ⎣ 3 ⎦ 2t + 2 2−t < 1 ⇔ 0 ≤ 2 − t < 3 ⇔ −1 < t ≤ 2 ⇒ t ∈ {0, 1, 2}. unde 0 ≤ −t<1⇔0≤ 3 3 ⎡x = 1 ⎡x −1 = 0 ⎢ Atunci ⎢ x − 1 = 2 ⇔ ⎢⎢ x = 3 ⎢⎣ x = 5. ⎢⎣ x − 1 = 4 1 4

130. 2 x = y 2 + 1 ≥ 1, de unde x ≥ 0, deci x ∈ N. Dacă x = 0, atunci y 2 + 1 = 20 ⇔ y 2

+ 1 = 1 ⇔ y 2 = 0 ⇔ y = 0. Dacă x = 1, atunci y 2 + 1 = 21 ⇔ y 2 + 1 = 2 ⇔ y 2 = 1 ⇔ y = 1 sau y = −1. Dacă x > 1, atunci 2 x este un număr par, deci şi y 2 + 1 este număr par. Prin urmare y este număr impar. Fie y = 2k + 1. Atunci 2 x = 4(k 2 + k ) + 2, (1). Pentru x ∈ N, x > 1, propoziţia (1) este falsă pentru orice k ∈ Z. Răspuns: S = {(0, 0), (1, −1), (1, 1)}. 15 x − 7 30t + 117 ⎡ 30t + 117 ⎤ 130. Fie = t ∈ Z. Obţinem ecuaţia ⎢ = t, de unde 0 ≤ −t ⎥ 5 120 ⎣ 120 ⎦ 117 − 90t 1 13 < 1 ⇔ 0 ≤ 117 − 90t < 120 ⇔ −
124

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

7 ⎡ ⎢ x = 15 ⎡15 x − 7 = 0 a b c Atunci ⎢ ⇔ ⎢ 132. Înmulţind + + = 1 cu a + b + c, 4 b+c a+c a+c ⎣15 x − 7 = 5 ⎢x = . 5 ⎣

a 2 + a (b + c) b 2 + b(a + c) c 2 + c(a + b) =a+b+c⇔ + + b+c a+c a+c a2 b2 c2 a2 b2 c2 +a+ +b+ +c = a + b + c ⇔ = 0. + + b+c a+c a+c b+c a+c a+c Cap IV.2. 1. a) X 2 + 54X are rădăcinile −54 şi 0. Suma rădăcinilor este −54 şi produsul lor este 0. 2. a) X 2 − 73X are rădăcinile 0 şi 73 etc. 3. a) R: s = 0 şi p = 16. 4. a) R: Rădăcinile sunt −3 şi −10; s = −13, p = 30. 5. a) R: Rădăcinile sunt 5 şi 10; s = 15, p = 50. 6. a) R: Rădăcinile sunt −33 şi 2; s = −31, p = −66. 7. a) R: Rădăcinile sunt −2 şi 21; s = 19, p = −42. 8. a) R: Rădăcinile sunt 0,25 şi 1; s = 1,25, p = 0,25. 9. a) R: Rădăcinile sunt egale cu 5; m = 10, n = 25. 10. a) R: Rădăcinile sunt −7; m = −14, n = 49. 11. a) R: Rădăcinile sunt 0 şi −6; m = 6, n = 0. 12. a) a) R: Rădăcinile sunt 0 şi 15; m = 15, n = 0. 13. a) a) R: Rădăcinile sunt −6 şi 6; m = 0, n = −36. 14. a) R: Rădăcinile sunt 2 şi 5; m = 7, n = 10. 15. a) a) R: Rădăcinile sunt −9 şi 3; m = −6, n = −27. 16. a) R: Rădăcinile sunt −9 şi −8; m = 17, n = 72. 17. a) R: a = 3, b = −42, c = 147. 18. a) R: a = 5, b = 40, c = 80. 19. R: a = 3, b = 0, c = 243. 20. R: a = 3, b = −9, c = 6. b 21. R: a = 4, b = 8, c = −60. 22. R: a = 5, b = 65, c = 180. 23. a) s = −30 = − , p = 0 a c c c b b = . 24. a) R: s = −36 = − , p = 0 = . 25. a) R: s = 74 = − , p = 0 = . 26. a) a a a a a c c b b R: s = 4,8 = − , p = 0 = . 27. a) R: s = 0 = − , p = −126 = . 28. a) R: s = 0 = a a a a c b − , p = −57 = . 29. a) Polinomul nu are rădăcini reale. 30. a) Ecuaţia nu are rădăa a b b c c = 0. 32. a) R: s = − = −3,6, p = = 0. cini reale. 31. a) R: s = − = −15, p = a a a a b b c c 33. a) R: s = − = 3,6, p = = 0. 34. a) R: s = − = 3,9, p = = 0. 35. a) R: s a a a a b b b c c = −41. 36. a) R: s = − = 0, p = = −2,3. 37. a) R: s = − = = − = 0, p = a a a a a b b c c c = 6. 38. a) R: s = − = 19, p = = 84. 39. a) R: s = − = −12, p = 5, p = a a a a a b b c c = 32. 40. a) R: s = − = −31, p = = 58. 41. a) R: s = − = −11, p = = −60. a a a a b b c c = −140. 43. a) R: s = − = 12, p = = 160. 44. 42. a) R: s = − = −31, p = a a a a

obţinem

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

125

b b c c = −100. 45. a) R: s = − = 2, p = = −1,5. 46. a) R: s = 21, p = a a a a b b b c c = 0,8. 47. a) R: s = − = 3,5, p = = 1,5. 48. a) R: s = − = − = 3,4, p = a a a a a b b c c = 3,5, p = = 1,5. 49. a) R: s = − = −1,8, p = = −2. 50. a) R: s = − = a a a a b b c c 1 2 = − . 51. a) R: s = − = −3,(3), p = = 1,5. 52. a) R: s = − = −3 , p = 7 7 a a a a c = 0,375. 53. a) R: m = −1,6, n = 0,64. 54. a) R: m = −2,4, n = 1,44. 55. a) −1,5, p = a R: m = 12, n = 12. 56. a) R: m = −0,8, n = 0,08. 57. a) R: m = 0, n = 5. 58. a) R: m = 0, n = 7. 59. a) R: m = 0, n = 66. 60. a) R: m = 0, n = 30. 61. a) R: m = −6,5, n = −12. 62. a) R: m = 2,6, n = −12. 63. a) R: m = −28, n = 48. 64. a) R: m = −90, n = 400. 65. a) R: m = −17, n = 30. 66. a) R: Se înlocuieşte m = −17 şi n = 60. 67. a) R: Se înlocuieşte m = 21 şi n = 234. 68. a) R: Se înlocuieşte m = 28 şi n = −480. 69. a) R: kX 2 + 13kX − 168k, k ∈ R*. 70. a) R: x2 + 11x − 60= 0. 71. a) R: X 2 − 16X − 36. 72. a) R: x 2 + 11x − 36 = 0. 73. a) R: 6 X 2 − 12X − 90. 74. a) R: 2 x 2 − 14x − 36 = 0. 75. a) R: X 2 + 19X + 70. 76. a) R: x 2 + 32x + 240 = 0. 77. a) R: 6 X 2 + 192X + 1 152. 78. a) R: 3 x 2 + 280x + 840 = 0. 79. a) R: X 2 − 2X − 4. 80. a) R: x 2 − 2x − 10 = 0. 81. a) R: 12 X 2 − 48X − 36. 82. a) R: 5 x 2 − 30x − 10 = 0. 83. a) R: − 2 X 2 + 12X − 14. 84. a) R: − 7 x 2 + 70x − 161 = 0. 85. a) X 2 + 7X + 10 are rădăcinile −5 şi −2. R: (X + 5)(X + 2). 86. a) X 2 − 15X + 26 are rădăcinile 2, 13. R: (X − 2)(X − 13). 87. a) X 2 − 15X − 126 are rădăcinile −6 şi 21. R: (X + 6)(X − 21). 88. a) R: (X + 4)(X − 21). 89. a) Aflaţi rădăcinile şi aplicaţi formula de descompunere. 90. a) R: Polinomul este ireductibil în R. 91. a) A doua rădăcină este 13 : (−5) = −2,6. m = 7,6. 92. a) A doua soluţie este −6 şi m = 9. 93. a) Suma rădăcinilor este 4 şi cealaltă rădăcină este 2 − 3. R: m = −3. 94. a) Suma rădăcinilor este 6 şi cealaltă rădăcină este 3 + 5. R: m = 8. 95. a) Numerele sunt soluţii ale ecuaţiei x2 − 20x + 91 = 0. R: 7 şi 13. 96. a) Toate polinoamele de gradul II cu rădăcinile −3,2 şi 3,2. Cap. V.1. 1. a) A × B = {(0, −2), (2, −2), (5, −2), (0, 4), (2, 4), (5, 4)}. 2. a) {(−1, 5), (−2, 1), (−2, 5), (−3, 1)}. 3. b) şi d). 4. Procedaţi ca la ex. 3. 5. a) şi d). 6. a) {(1, −1), (2, −1), (3, 0), (4, 1), (4, 0)}. 7. b) şi e). 9. R: a) Funcţie. 11. Identificaţi coordonatele punctelor reprezentate. 12. a) Funcţie. 13. a) f : {−3, −1, 0, 5} → R, f(x) = −2x + 3. 14. a) Domeniul de definiţie este Z; domeniul valorilor este Z; regula de asociere f. 15. a) u(2) = 2. 16. a) z(−85) = 8. 17. a) | −0,45 | = 0,45. 18. a) Nu este monotonă. 19. a) f este funcţie strict crescătoare. 20. f este crescătoare pe (−2, 4) şi descrescătoare pe (4, 7). −2 4 7 x f(x) 3 5 −3 a) R: s = −

21. În primul tabel funcţia este strict crescătoare. 22. În primul tabel funcţia este strict crescătoare pe (−11, 4) şi strict descrescătoare pe (4, ∞). 23. Funcţiei f îi corespunde

126

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

tabelul din dreapta sus. 24. a) R \ {2,5}. 25. a) R \ {4, 9}. 26. a) R \ {2,(6)}. 27. a) f(−4) = −2, f(−2) = 0, f(1) = 3, f(2) = 5, f(4) = 9. 28. a) Funcţia are zeroul 0,4. 29. a) Funcţia are zerourile 3 şi 5. 30. Domeniul maxim de definiţie este R şi mulţimea valorilor funcţiei f este R. 31. Domeniul maxim de definiţie este [0,4; ∞) şi mulţimea valox−2 rilor funcţiei f este [0, ∞). 32. a) Domeniul maxim de definiţie este R \ {−5}. y = x+5 5y + 2 ⇒x= . Mulţimea valorilor este R \ {1}. 36. f nu este funcţie. 37. Se substituie x 1− y cu 1 − x şi se obţine un sistem. 38. Pentru a afla mulţimea valorilor lui f se ţine cont că x 2 − 4x + 6 = (x − 2)2 + 2. Cap. V.2. 1. a) Zeroul lui f este 0. 2. a) R: 3,1. 3. a) R: −2,5. 4. a) R: 3,5. 5. a) V. tab. −1,(6) ∞ x −∞ f(x) − 0 + 6. a) V. tabelul semnului lui f. 2,25 ∞ x −∞ f(x) + 0 − 7. a) Monotonia funcţiei este indicată în tabel ştiind că coeficientul lui x > 0. ∞ x −∞ ∞ f(x) −∞ 8. a) Coef. lui x < 0 ⇒ f este strict descrescătoare. ∞ x −∞ −∞ f(x) ∞ 9. a) V. tabelul completat şi graficul lui f. 0 1 ∞ x −∞ 0 3 ∞ f(x) −∞ 10. a) V. tabelul completat şi graficul lui f. 0 2 ∞ x −∞ 0 −3 −∞ f(x) ∞ 11. a) V. tabelul completat şi graficul lui f. −2 0 ∞ x −∞ 0 2 ∞ f(x) −∞ 13. a)V. tabelul completat şi graficul lui f. 1 2 ∞ x 7 ∞ f(x) [6 16. a) R: Panta este 2. 17. a) R: Panta este −9. 18. a) 7 = −a + 3 ⇔ a = −10. 19. a) 5 = 8 + a ⇔ a = −3. 20. a) 0 = −2a + b şi 3 = a + b ⇔ b = 2a şi a + b = 3. R: a = 1, b = 2. 21. a) 0 = −3a + b şi 3 = 2a + b. R: a = 0,6, b = 1,8. 22. a) Numerele a, b, c sunt direct proporţionale cu numerele 2, 5, 7. 23. a) R: f(x) = 0,6x. 24. a) a) Numerele a, b, c sunt invers proporţionale cu Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

127

numerele 2, 3, 7. 25. a) V. tabelul completat. V. graficul de la p. 79 pentru k > 0. −6 −3 −2 −1 0 1 2 3 6 ∞ x −∞ 0 −1 −2 −3 −6 − ∞ || ∞ 6 3 2 1 0 f(x) 26. V. tabelul completat. V. graficul de la p. 79 pentru k < 0. −12 −6 −4 −2 0 2 4 6 12 ∞ x −∞ 0 1 2 3 6 ∞ || − ∞ −6 −3 −2 −1 0 f(x) 27. a) Domeniul de definiţie este [2, ∞). Graficul este deplasat spre dreapta cu 2 unităţi faţă de cel de la p. 79. V. tabelul completat. Funcţia este strict crescătoare. 6 11 ∞ x 2 3 2 3 ∞ f(x) 0 1 28. a) Domeniul de definiţie este (−∞, 2]. Graficul este simetric graficului funcţiei de la ex. 27a). V. tabelul completat. Funcţia este strict descrescătoare. −7 −2 1 2 x −∞ 3 2 1 0 f(x) ∞ 29. a) Domeniul de definiţie este [0, ∞). Graficul este mai turtit decât cel de la p. 79. V. tabelul completat. Funcţia este strict crescătoare. 5 20 ∞ x 0 1 2 ∞ f(x) 0 30. a) Domeniul de definiţie este (−∞, 0]. Graficul este simetric graficului funcţiei de la 29a). Funcţia este strict descrescătoare. −20 −5 0 x −∞ 2 1 0 f(x) ∞ 32. Se înlocuiesc coordonatele în f(x) = ax + b şi se obţine un sistem de două ecuaţii în a şi b. 33. Se înlocuiesc coordonatele în y = ax + b şi se obţine un sistem de două ecuaţii în a şi b. Dreapta conţine originea sistemului de coordonate. 34. a) Graficul funcţiei este un unghi. Tabelul de valori: −1 1 2 ∞ x −∞ 1 3](3 5 ∞ f(x) 0 35. a) Graficul funcţiei este un unghi. 36. a) Graficul funcţiei este reuniunea unei semidrepte închise cu o semidreaptă deschisă. 37. a) D = R \{1}. Graficul funcţiei este o hiperbolă deplasată spre dreapta faţă de cea de la p. 79. 41. Graficul mişcării este semidreapta y = 40x, unde x este timpul. 42. Graficul este ramura din cadranul I a 60 hiperbolei y = , x este timpul. 43. a) Funcţia are numai două ramuri, deoarece 3x2 − x 5x + 6,3 este o sumă de pătrate. 44. a) Numărătorul raportului este o sumă de pătrate, iar numitorul este (x − 1)3. R: S = (1, ∞). 45. a) m se află din condiţia ca −2m + 3 = −7. 46. a) După explicitarea expresiei funcţiei se calculează valorile funcţiei f în: −4, −3, 2, 3. Graficul este o „linie poligonală“ deschisă cu două laturi semidrepte. x −∞ −4 −3 0 2 3 ∞ 2x − 4 − − 0 + x+3 − 0 + + 1 − 3x | 7−x | 3x − 1 128

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

f(x) 13 10 5 8 2 2 2 47. a) x − 17x − 60 ≤ 0 ⇔ 4x − 68x − 240 ≤ 0 ⇔ (2x − 17) − 529 ≤ 0 ⇔ | 2x − 17 | ≤ 23 etc. 48. Aplicaţi sugestia din ex. 47. 49. f(f(f(x))) = f(f(−3,8)) = f(−3,8) = −3,8. 50. Fie funcţia f : R → R, f(x) = −2x + 3. Aflaţi f(f(f(x))) = f(f(−2x + 3)) = f(−2(−2x + 3) ⎧ax + b, dacă x ∈ (− ' , 1] şi a, b, c, d se află din con+ 3) etc. 51. Se consideră f ( x) = ⎨ ⎩cx + d , dacă x ∈ (1, ' ) diţiile date în enunţ. 52. Ecuaţiile de mişcare ale celor două corpuri sunt y = 60(x − 8) şi y = 45(x − 8) + 20. Se reprezintă grafic cele două drepte şi se obţine coordonatele punctului comun: ora de întâlnire şi distanţa AC. 55. Se înlocuieşte 3x − 2 cu x şi x cu 0,(3)(x + 2). 56. Graficul funcţiei f are două ramuri simetrice de dreapta x = 0,(6). Cap. VI.1. 1. a) Toţi termenii şirului sunt egali cu 2. 2. a) 1, 4, 7, 10, 13, 16, ... 3. a) 1, 2, 4, 1, 2, 4, 1, 2, 4, ... 4. a) 1, 0, −1, 1, 0, −1, 1, 0, −1, ... 5. a) 3, 32 , 33 , 34, 35, 36, ... 1 3 5 7 9 10 6. a) −10, 10 2 , − 103 , 104, −105, 106, ... 7. a) , , , , , , ... 8. a) 1, 1 + 2, 2 4 6 8 10 11 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4, 1 + 2 + 3 + 4 + 5, 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6, ... 9. a) 121, 12321, 1 1 1 1 1234321, 123454321, 12345654321, 1234567654321, ... 10. a) , − , , − , 4 8 2 16 1 , ... 11. a) Fiecare termen este suma celor doi termeni ce îl preced. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 32 1 1 1 1 1 1 1 1 13, ... 12. a) , , , , , , ... 13. a) , , 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 5 ⋅ 6 6 ⋅ 7 1+ 3 3+ 5 1 1 1 , , , ... 14. a) 0, 3, 6, 9. 15. a) 2, 5, 8, 11. 16. −1, 1, 7, 17. 5+ 7 7+ 9 9 + 11 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 17. a) 1, , , . 18. a) 1, , , . 19. a) , , , . 20. a) 1, 1 + 3 5 7 4 9 16 1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅ 4 4 ⋅ 5 2, 1 + 2 + 3, 1 + 2 + 3 + 4. 21. a) 1, 1 + 22, 1 + 22 + 32, 1 + 22 + 32 + 42. 22. a) 5, 8, 11, 14. 23. a) 10, 50, 250, 1 250. 24. a) 1, 1, 2, 3, 5. 25. a) 1, 3, 5, 7. 26. a) Şirul dat este 1, 8, 27, ..., adică şirul cuburilor perfecte. 27. an = (n − 1) MOD 3, n ∈ N. 29. Şir constant. 31. Construim succesiv şirurile diferenţelor 2, 3, 9, 20 → 1, 6, 11 → 5, 5, 5. Adăugând doi termeni ultimului şir, se adaugă câte trei termeni şirului al doilea şi, apoi − trei termeni primului şir: 36, 57, 83. 32. Fiecare termen al şirului descrie în cifre precedentul termen. Şirul este periodic. 33. a) Se constată că 5 = 1 + 4 = 1 + 2 2 = 1 + 2 2 + 23 , ... 34. a) Se constată că 9 = 1 + 23 , 36 = 1 + 23 + 33 , ... etc. 31. Adăun(n + 1) . 37. 5s(n) − 8s(n−1) + 2s(n−2) = 0, gaţi trei termeni şirului 2, 3, 9, 20, ... 36. an = 2 s(1) = s = 1,6. 39. Utilizaţi ecuaţia de gradul II cu o soluţie ϕ. 40. 1, 1, 2, 3, ... 41. 1, 1, 2, 3, ... Cap. VI.2. 1. a) 5 + 10 + 15 = 30 de exerciţii. 2. a) 5 650 lei. 3. 1, 3, 5, 7, ... 4. an = 5n + 2 şi cn = 4n − 11. 5. a) a1 = 17 şi raţia r = 5. 6. a) a1 = −18 şi raţia r = 7. 7. a) a1 = 54 şi raţia r = −3. 8. a) a1 = −13 şi raţia r = −9. 9. a) an = 5(n − 1) + 3. 10. a) an = 0,5(n − Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

129

1) + 12. 11. a) a30 = 120 − 5 = 115. 12. Termenul lipsă este media aritmetică a celorlalţi doi termeni. 14. a) a22 = 210 + a1, deci 110 = 210 + a1. 15. a) a10 − a5 = 5r, deci 5r = 11 etc. 16. a) a23 − a1 = 22r. Se află r şi apoi, termenii a2 , a3 . 17. Se aplică formula 1 + 2 + ... + n = 0,5n(n + 1). 18. a) 12 + 27 = 15 + 24 = 18 + 21. 19. a) 97 + 47 = 85 + 59 = 73 = 71. 20. a) 0,5⋅24(12 + 145) etc. 21. Aplicaţi una dintre n(a1 + a2 ) n[2a1 + (n − 1)r ] = formulele S n = . 23. a) a1 = 11 şi a36 = 188. S36 = 0,5⋅36 2 2 (11 + 188) etc. 24. a) a1 = 11, a81 = −226, S36 = 0,5⋅81 (11 − 226) etc. 25. a) Se arată că diferenţa a doi termeni consecutivi este constantă. 26. a) Şirul este strict crescător. 27. a) an = 14(n − 1) − 23. 28. a) 0,5⋅250(1 + 250) etc. 29. a) 0,5x(x + 1) = 1 653 etc. 30. Se află raţia din diferenţa celor doi termeni, primul termen şi termenul de rang 50. 31. a2 = a1 + r, a3 = a2 + r, ..., an−1 = an−2 + r, an = an−1 + r. Adunând egalităţi şi reducând termenii asemenea, se obţine formula termenului general. 32. a2 + an−1 = a1 + r + an − r = a1 + an, a3 + an−2 = a1 + 2r + an − 2r = a1 + an etc. 33. a1 + a2 + a3 + ... + a99 + a100 = a1 + a1 + r + a1 + 2r + ... + a1 + 98r + a1 + 99r = 100a1 + (1 + 2 + ... + 99)r etc. 34. Nu este progresie aritmetică, deoarece diferenţa a doi termeni consecutivi nu este constantă (depinde de n). 35. a) V. ex. 31a). n

36. a)

∑

n

2k = 2

k =1

∑ k etc. 37. 121, 12321, ..., 12345678987654321. 38. Fie n

2

+ 3 n. a1

k =1

= 4, a2 = 10. Se verifică dacă suma a n termeni ai unei progresii aritmetice cu a1 = 4 şi r = 6 este n 2 + 3n. 39. Se aplică teorema lui Pitagora. 40. Termenul al 2-lea trebuie să fie media aritmetică a celorlalţi doi. 1 1 1 1 Cap. VI.3. 1. a) Tabelul conţine 9 numere: 1, 2, 22, ..., 28. 2. a) 4 , 3 , 2 , , 1. 2 2 2 2 n n −1 3. 1, 3, 9, 27, ... şi 5, 25, 125, 625, ... 4. bn = 5 şi d n = 3 ⋅ 4 . 5. a) a1 = 2 şi q = 3. 6. a) a1 = 4 şi q = 3. 7. a) a1 = 4 şi q = 4. 8. a) a1 = 2 şi q = 3−1. 9. a) an = 3 ⋅ 7 n −1. 10. a) an = 11 ⋅ 5n −1. 11. a) a12 = 2 ⋅ 411. 12. Termenul care lipseşte este media geometrică a 3 3 3 celorlalţi doi termeni. a) 15, 75, 375. 13. a) , , . 14. a) q = 3 şi a5 = 34 a1 = 4 16 64 162. a1 = 2 15. a) a1q2 = 48 şi a1q5 = 3 072 implică q3 = 64. q = 4, a1 = 3, an = 3 ⋅ 4 n −1. 16. a) a5 = 2q 4 implică q = 5 sau q = −5. a8 = 2q 7 implică a8 = 2⋅57 sau a8 = −2⋅57. 17. a) a4 = 3q3 ⇒ q = 7. 18. a) 3⋅9 375 = 15⋅1 875 = 75⋅375 = 28 125. 19. a) 6 561⋅ a (q18 − 1) 3(518 − 1) = . 21. a) S20 = 243 = 2 187⋅729 = 1 594 323. 20. a) q = 5, S18 = 1 q −1 4

a1 (q 20 − 1) a (q 20 − 1) 7(820 − 1) 5(1 − 620 ) 5(620 − 1) = . 22. a) S20 = 1 = . 23. a) a1 = = 4 7 q −1 q −1 −7 7, q = 11. S36 =

130

a1 (q 36 − 1) 7(1136 − 1) a (q 76 − 1) = . 24. a) a1 = 2, q = −3. S76 = 1 = q −1 q −1 10

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

2(376 − 1) 1 − 376 = . 25. a) Raportul a doi termeni consecutivi este constant. Şirul este −4 24 o progresie geometrică. 26. a) Şirul este strict crescător. 27. a) an = 8⋅8n − 1. ⎡⎛ 2 ⎞ 20 ⎤ 5⎢⎜ ⎟ − 1⎥ a (q 20 − 1) ⎢⎝ 3 ⎠ ⎥⎦ 28. a) 21 000 − 1. 29. a) S20 = 1 = ⎣ . 30. Se află a1 şi q, apoi se 2 q −1 3 aplică formula de calcul a sumei. 31. Se scriu relaţiile de definiţie pentru a2, a3, a4, ..., an − 1, an şi se înmulţesc. 32. a2an−1 = a1qan : q = a1an etc. 33. Se aduce la forma cea mai simplă qSn − Sn. 34. Raportul termenilor consecutivi este constant. 36. 7 n − 1 şi 6 n + 1 1 1 1 1, n ∈ N*. 37. a) (X − 1)(X 4 + X 3 + X 2 + X + 1). 38. a) + 2 + 3 + ... = 3 etc. 1 3 3 3 1− 3 2 n n 2 3 40. a) S = 1 + x + x + ... + x , S1 = 1 + 2x + 3 x + 4 x + ... + (n + 1) x . Se aduce la forma cea mai simplă S1 − xS1. n

41. a)

∑

(k + 1)3 =

k =1

n

∑

k3 + 3

k =1

n

∑

k2 + 3

k =1

3n(n + 1) + n etc. În final se obţine 2

... + 10 499 ) = 2 ⋅

∑ k =1

n

∑k

2

k =1

999 42. 1111 ... 1 424 31 = 1 + 10 + 100 + ... + 10 = 1 000 cifre

n

=

n

k +

∑

1 ⇒ 1 + (n + 1)3 = 3

k =1

n

∑k

2

+

k =1

n(n + 1)(2n + 1) . 6

101000 − 1 , iar 2222 ... 1 424 32 = 2(1 + 10 + 100 + 9 500 cifre

10500 − 1 . 9

Rezolvări. Indicaţii. Răspunsuri

131