Curso Metal 3d (t2)

NIVEL USUARIO METAL 3D Y NUEVO METAL 3D

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Cálculo de Estructuras T2 Metálicas con CYPE Metal

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T2

Cálculo de Estructuras Metálicas con CYPE Metal

ÍNDICE DE CONTENIDOS

Tema 2: Cálculo de Estructuras Metálicas con CYPE Metal Parte 1 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4

Parte 2

Método matricial Conceptos básicos Práctica 1. Pórtico plano Práctica 2. Viga doblemente empotrada Práctica 3. Viga continua

Conceptos Básicos en secciones de acero

Paso 1 Clasificación de las secciones Paso 2 Pandeo Paso 3 Pandeo Lateral

Parte 3

Conceptos básicos en secciones mixtas (EC-4)

Paso 1 Tipos de secciones mixtas Paso 2 Normativa y cálculo

Parte 4

Sistemas Estructurales

Paso 1 Elementos de la Estática. Cargas, vínculos y reacciones Paso 2 Sistemas isostáticos e hiperestáticos Paso 3 Estructuras Trasnacionales e intraslacionales

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Tema 2 Cálculo de Estructuras Metálicas con CYPE Metal Parte 1 Método matricial Nº PASO TÍTULO 1

Conceptos básicos

Los métodos clásicos de análisis de estructuras desarrollados a finales del siglo XlX tenían la desventaja de conducir a cálculos laboriosos cuando se aplicaban a estructuras medianamente complejas, en cuanto a la cantidad de elementos que formaban la estructura se refiere. Muchos de estos métodos, conducían a sistemas con un gran número de ecuaciones lineales que en aquellos tiempos resultaban casi imposibles de resolver, sin la ayuda de los ordenadores de los que se dispone actualmente. Hoy en día, dichos inconvenientes no son un problema y es por eso que actualmente métodos como el de la rigidez, que conduce a grandes sistemas de ecuaciones lineales es usado en muchos software utilizados para el cálculo de estructuras de barras.

Conceptos básicos Debido a la forma de trabajo de los métodos de cálculo, es conveniente mencionar y aclarar algunos conceptos que ayuden a entender los métodos en si.

Barra Término estructural con el que se designan y discretizan, elementos tales como vigas o pilares dentro del método de las fuerzas o los desplazamientos. La barra queda identificada por sus extremos, su inercia, área y módulo de elasticidad.

Figura 1.1.1 Elemento barra

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Nudo Los nudos son los extremos de las barras. Constituyen parte fundamental en el análisis de estructuras utilizando el método de la rigidez. Según los grados de libertad que pueda restringir un nudo, se clasifican como:

Nudo rígido Es aquel en el que todas las barras que confluyen a él giran ángulos iguales. La rigidez del nudo, se opone a la deformación angular de las barras con un determinado momento, el cual a su vez, es repartido entre las barras según la rigidez de cada una de ellas. La figura 1.1.2 ilustra.

Figura 1.1.2 Diagrama de momentos y deformada de la estructura con un Nudo rígido en la unión de todas sus barras.

Nudo semirigido Es aquel en el que todas las barras que confluyen a él, pueden girar ángulos diferentes. La rigidez del nudo se opone a la deformación angular de las barras en menor medida que la del nudo rígido. Obsérvese en la figura 1.1.3 como el momento en el nudo es menor que el del nudo rígido de la figura 1.1.2.

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Figura 1.1.3 Diagrama de momentos y deformada de la estructura con un Nudo semirígido en la unión de todas sus barras.

Nudo articulado La resistencia que opone un nudo articulado al giro angular de cualquiera de las barras que llegan a él es nula, ya que su rigidez angular es cero. Lo anterior ocasiona que las barras que llegan al nudo giren sin que exista alguna relación o dependencia entre el giro de una u otra barra. Obsérvese en la figura 1.1.4 como el momento en el nudo articulado es cero.

Figura 1.1.4 Diagrama de momentos y deformada de la estructura con un Nudo articulado en la unión de todas sus barras.

Modelo de cálculo Un modelo de cálculo, consiste en la idealización de la estructura real, utilizando un modelo matemático que se aproxime lo máximo posible al comportamiento real de la estructura. © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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El Modelo de cálculo utilizado por el método de la rigidez, consiste en barras unidas en sus extremos unas con otras por medio de sus nudos. La siguiente figura muestra en líneas punteadas el modelo utilizado para modelizar el pórtico. Se puede observar como la unión entre vigas y vigas o pilares se lleva a cabo utilizando los nudos.

Figura 1.1.5 Modelo de cálculo

Grados de libertad Se definen como grados de libertad de una estructura, los desplazamientos o giros que determinan el cambio de geometría de la misma después de ser cargada. Los grados de libertad de un nudo o extremo de una barra en el plano son tres, y definen los posibles desplazamientos o giros que puede tener dicho nudo en el plano. Dichos desplazamientos son: ∆: Desplazamiento horizontal del nudo δ: Desplazamiento vertical del nudo Θ: Giro del nudo

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Figura 1.1.6 Barra deformada por aplicación de los grados de libertad

El concepto de grados de libertad, es aplicable a todos y cada uno de los nudos que conforma la estructura, lo que quiere decir, que si conocemos el valor de los desplazamientos o giros en los extremos de las barras que conforman la estructura conoceremos su deformada, tal como se muestra en la figura 1.1.7.

Figura 1.1.7. Deformada de un pórtico plano

Coeficientes de rigidez de una barra La rigidez de un cuerpo, K, es la fuerza que es necesario aplicar sobre dicho cuerpo, para provocarle una determinada deformación. En este caso, se aplicará un giro o un desplazamiento unitario, en un determinado grado de libertad del nudo, obteniéndose las fuerzas que se producen en los extremos de la barra, como consecuencia, del movimiento provocador. Las fuerzas en los extremos de las barras que se oponen a los desplazamientos unitarios de sus nudos, se conocen como coeficientes de rigidez. © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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Es común, utilizar la siguiente nomenclatura para los coeficientes de rigidez: Kij ; siendo Kij, la fuerza en el grado de libertad i, debida a un desplazamiento o giro unitario del grado de libertad J. Las siguientes figuras ilustran el concepto de rigidez de una barra en el plano y la nomenclatura utilizada. La primera de ellas ilustra la barra en su estado no deformado y los grados de libertad.

Figura 1.1.8 Barra sin deformación alguna

Si se aplica un desplazamiento unitario ∆4, en la dirección horizontal, que en este caso, se ha asociado al número 4, en el extremo derecho de la barra de la figura 1.1.8, mientras que los demás movimientos o grados de libertad de la barra permanecen fijos, se producen las fuerzas K14, K24, K34, K44, K54 y K64.

Figura 1.1.9 Barra sometida a deformación axial en su extremo derecho

Si ahora, en vez de provocar un desplazamiento unitario, se provoca un giro unitario en el extremo derecho de la barra, permaneciendo al igual que en el caso anterior, todos los demás grados de libertad de los dos nudos de la barra fijos. Esto provoca que se produzcan los coeficientes de rigidez o fuerzas K16, K26, K36, K46, K56 y K66.

Figura 1.1.10 Barra sometida a deformación angular en su extremo derecho

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Valor de los coeficientes de rigidez Por estar fuera del alcance de este curso la demostración de la obtención de los valores de los coeficientes de rigidez, dichos valores se dan a continuación de manera directa:

Figura 1.1.11 Rigideces o fuerzas producidas por un desplazamiento axial unitario

Figura 1.1.12 Rigideces o fuerzas producidas por un desplazamiento angular unitario

Figura 1.1.13 Rigideces o fuerzas producidas por un desplazamiento

El convenio de signos utilizado para las fuerzas en los extremos de la barra es el siguiente:

Figura 1.1.14 Convención de signos utilizado por el método de la rigidez

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Descripción del método de la rigidez El método de la rigidez se aplica a estructuras de barras se encuentren unidas mediante nudos rígidos o articulados. El método consiste en aplicar desplazamientos según el grado de libertad que se esté analizando, manteniendo el resto de grados de libertad de la estructura inmóviles, obteniendo de esta manera los esfuerzos generados en los extremos de las barras. Posteriormente, se plantea el equilibrio de cada nudo obteniéndose un sistema lineal de ecuaciones que puede expresarse de forma matricial de la siguiente manera:

Donde: es el vector de cargas aplicadas en los nudos es la matriz de rigidez de la estructura que almacena todas las rigideces de los elementos de la estructura y que relaciona las fuerzas en los nudos con los desplazamientos de los mismos. es el vector de desplazamientos producidos en los nudos de las barras. Las condiciones para aplicar el método son: - Material elástico y lineal - Los desplazamientos de la estructura deben ser pequeños.

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Nº PASO TÍTULO

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Práctica 1. Pórtico plano

Dado el siguiente pórtico, se pide a partir de imponer desplazamientos unitarios en sus nudos, el sistema de ecuaciones lineales que relaciona las deformaciones y las fuerzas en sus nudos.

Figura 1.2.1 Estructura real y modelo de cálculo

Determinación de los grados de libertad Nudo 1 Este nudo representa un empotramiento,es decir, tiene restringidos los grados de libertad que le permiten desplazarse o girar. Como consecuencia de esto, se dice que el valor de los grados de libertad de dicho nudo son nulos.

Nudo 2 Este nudo es rigido y al no estar coaccionados ninguno de sus grados de libertad puede girar y desplazarse vertical y horizontalmente, es decir, posee tres grados de libertad: ∆2, δ2, Θ2 los cuales tendran valores diferentes de cero.

Nudo 3 Igual que el nudo 2. Los grados de libertad del nudo son: ∆3, δ3, Θ3.

Nudo 4 Igual que el nudo 1. © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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En este caso puede decirse que el desplazamiento horizontal, ∆, de los nudos 2 y 3 es igual y que el acortamiento de los pilares, δ, es tan pequeño que puede despreciarse con lo que δ2 y δ3 son cero. Es decir, los 12 grados de libertad iniciales de la estructura se han reducido a tres que son: el desplazamiento horizontal y los giros de los nudos dos y tres.

Aplicación de movimientos unitarios según los grados de libertad del pórtico Giro unitario en nudo 2 Al permitirse que el nudo 2 del pórtico gire las barras se deformarán y aparecerán las fuerzas que se muestran en la figura 1.2.2.

Figura 1.2.2 Rigideces o fuerzas debidas al giro del nodo 2

No Giro unitario en nudo 3 Al permitirse que el nudo 3 del pórtico gire, las barras se deformarán y aparecerán las fuerzas que se muestran en la figura 1.2.3.

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Figura 1.2.3 Rigideces o fuerzas debidas al giro del nodo 3

Desplazamiento horizontal unitario Al permitirse que el pórtico se desplace, los pilares del pórticos se deformarán induciendo las fuerzas que aparecen en la figura 1.2.4.

Figura 1.2.4 Rigideces o fuerzas debidas al desplazamiento horizontal

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Ecuaciones de equilibrio de los nudos

Si se supone que todas las barras del pórtico tienen la misma longitud y sección, y además están construidas con el mismo material, el anterior sistema de ecuaciones lineales escrito de forma matricial queda:

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Nº PASO TÍTULO

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Práctica 2. Viga doblemente empotrada

Dada la siguiente viga, se pide calcular el valor del desplazamiento del nudo donde es aplicada la fuerza F y las reacciones de la viga en sus extremos.

Figura 1.3.1 Viga biempotrada con carga axial

Discretización de la viga Se discretiza la viga en nudos y barras de la siguiente manera:

Figura 1.3.2 Discretización y fuerzas de la viga

Identificación de los grados de libertad Los nudos 1 y 3 de la viga son empotramientos con lo cual todos sus grados de libertad son cero. El nudo 2 de la viga, puede desplazarse comprimiendo la parte derecha y traccionando la izquierda.

Aplicación de los desplazamientos unitarios Se aplicará un desplazamiento unitario en el sentido del grado de libertad horizontal en el nudo 2, obteniéndose de esta manera las fuerzas que aparecen en los extremos de las barras A y B.

Desplazamiento del nudo 2 en la barra A

Figura 1.3.3 Rigideces o fuerzas debida al desplazamiento unitario del nudo 2 en la barra A © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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Como se ha visto, este desplazamiento produce dos fuerzas de sentido contrario de valor:

Desplazamiento del nudo 2 en la barra B

Figura 1.3.4 Rigideces o fuerzas debida al desplazamiento unitario del nudo 2 en la barra B

Al igual que para la barra A las dos fuerzas que se producen en el extremo de la barra B son:

Equilibrio en los nudos Para que la estructura esté en equilibrio, también lo deben estar cada uno de sus nudos, es por esto que se establece a continuación el equilibrio de cada uno de los nudos de la viga, utilizando para ello la figura 1.3.2.

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Expresando el anterior sistema de ecuaciones lineales de forma matricial, se tiene:

Condiciones de compatibilidad de deformaciones Debe tenerse en cuenta que ∆2a = ∆2b, por lo tanto la ecuación 2 queda:

Despejando ∆2A se tiene:

Reemplazando ahora, este valor en las ecuaciones 1 y 2 se obtienen el valor de las reacciones en los empotramientos de la viga:

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Nº PASO TÍTULO

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Práctica 3. Viga contínua

Dada la siguiente viga, se pide calcular el valor de los giros de los nudos y las reacciones de los apoyos.

Figura 1.4.1 Viga continua

Discretización de la viga La viga se discretiza en nudos y barras de la siguiente manera:

Figura 1.4.2 Discretización de la viga

Identificación de los grados de libertad La siguiente figura ilustra como en el nudo 1 todos los movimientos son cero, por tratarse de un empotramiento. Los nudos dos y tres, son articulaciones las cuales pueden girar manteniéndose fijos sus otros dos movimientos.

Figura 1.4.3 Grados de libertad de la viga

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Aplicación de los desplazamientos unitarios Se aplicará un movimiento unitario en los nudos dos y tres, en el sentido de los grados de libertad no restringidos, obteniéndose de esta manera, los momentos que aparecen en los extremos de las barras A y B. En este caso, dichos movimientos consisten en giros unitarios.

Figura 1.4.4 Giro del nudo 2 en la barra A

Figura 1.4.5 Giro del nudo 2 en la barra B

Figura 1.4.6 Giro del nudo 3 en la barra B

Equilibrio en los nudos La estructura estará en equilibrio si también lo están cada uno de sus nudos. Para llevar a cabo el análisis de fuerzas en los nudos, se debe tener en cuenta las cargas aplicadas en los mismos y las reacciones si éstos son apoyos.

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Figura 1.4.7 Fuerzas y momentos externos en los nudos de la viga

Lo anterior escrito de forma matricial queda:

Esta seria la matriz, que el programa de cálculo que se utilizara para calcular la viga, tendría que resolver internamente para encontrar las reacciones de la viga. Sin embargo, en esta unidad por tratarse sólo de tres ecuaciones se hará de forma manual.

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Despejando θ3 de la ecuación número 3 se tiene:

Reemplazando el valor de θ3 en la ecuación 2 se tiene:

La ecuación anterior permite obtener el valor del ángulo θ2 en función de momento aplicado en el nudo 2. Conocido ya el valor de θ2, se reemplaza en la ecuación 1 para obtenerse el valor del momento del empotramiento en el nudo 1. Con el interés de dar una aplicación a las expresiones vistas anteriormente, se darán valores numéricos a las propiedades de la viga del ejemplo anterior para resolverse utilizando las expresiones desarrolladas, al mismo tiempo que el resultado se compara con el obtenido por el programa Metal 3D.

Figura 1.4.8 Viga continua resuelta manualmente

Se determina el valor de θ2:

El valor de θ3 se obtiene reemplazando en la siguiente ecuación:

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Reemplazando θ2 en la ecuación 4, obtenemos el valor del momento reacción en el apoyo:

Utilizando el Metal 3D se obtienen los siguientes resultados:

Figura 1.4.9 Momentos y desplazamientos calculados por Metal 3D.

Resultados que coinciden con los cálculos manuales.

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Nº PARTE

Nº PASO

2

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TÍTULO DEL PASO

RECURSO

Clasificación De las secciones

08

El Eurocódigo de estructuras de acero y el CTE DB-SE-A clasifican las secciones según el tipo de fenómeno de inestabilidad local (abolladura) que puede presentarse en sus zonas de chapa comprimida y que puede afectar, tanto a su resistencia como a su capacidad de rotación. Esta clasificación permite determinar el tipo de análisis global de esfuerzos a utilizar en el cálculo de la estructura y fijar los criterios para obtener su resistencia frente a solicitaciones de flexión y compresión. Las cuatro clases de secciones son: Clase 1 (plásticas), clase 2 (compactas); clase 3 (semicompactas) y clase 4 (esbeltas). CLASE 1 – PLÁSTICAS Las secciones de clase 1 son aquellas en las que se pueden formar rótulas plásticas permitiendo la redistribución de esfuerzos sin que se vean afectadas por fenómenos de abolladura sus zonas comprimidas. Son todas aquellas secciones robustas. CLASE 2 – COMPACTAS Son aquellas en las que la capacidad de giro está limitada por fenómenos de inestabilidad local, por lo tanto, únicamente se admite un análisis de esfuerzos obtenidos en régimen elástico. Son secciones menos robustas que pueden llegar a la plastificación completa pero sin permitir el giro de la sección ya que se abollan. CLASE 3 – SEMICOMPACTAS En estas secciones la fibra extrema puede alcanzar el límite elástico, pero debido a la inestabilidad de zonas comprimidas, no es posible alcanzar la redistribución de tensiones. CLASE 4 – ESBELTAS Las secciones de clase 4 son las formadas por elementos esbeltos, en las cuales, la fibra extrema no alcanza ni siquiera el límite elástico del acero debido a fenómenos de inestabilidad local. Elegir una u otra clase de sección depende del proyectista y condiciona el tipo de análisis de la estructura, elástico o plástico. © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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La siguiente figura recoge los diagramas tensióndeformación característico de cada uno de las cuatro tipologías de secciones que contempla el CTE.

Figura 2.1.1 Diagramas tensión deformación para las Tipologías La siguiente tabla muestra el método de cálculo a utilizar tanto para el análisis global de la estructura como para la determinación de la resistencia de la sección.

Tabla 2.1.1 Métodos de cálculo según la clase de sección La asignación de una clase a una sección determinada depende de: © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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La esbeltez geométrica [dimensión/ espesor] de los elementos comprimidos. La posición de la fibra neutra plástica para clases 1 y 2 y elástica para la clase 3. El límite elástico del acero Las condiciones de unión del perfil (laminado o soldado). El CTE proporciona las tablas 5.3 para determinar la clase de elementos apoyados en dos bordes (almas) y la 5.4 para elementos apoyados en un borde (alas).

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Figura 2.1.2. Limites de esbeltez para almas según el CTE.

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Figura 2.1.3. Limites de esbeltez para alas según el CTE Como cada elemento comprimido de una sección (ala o alma) puede pertenecer a clases diferentes, se asignará a la sección la clase menos favorable. Se consideran de Clase 4 los elementos que sobrepasan los límites para la Clase 3. Ejemplo Dada la siguiente sección de una viga simplemente apoyada sometida a flexión simple comprobar que clase es la sección. © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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Figura 2.1.4 Perfil doble T simétrico Clasificación del ala superior Factor de reducción, ε. Para determinar dicho factor, primero se debe averiguar que tensión para el límite elástico le corresponde al acero de acuerdo con el espesor del ala en este caso. Esta tensión se determina utilizando la tabla 2.1.2.

Tabla 2.1.2 Tensiones para límites elásticos según el espesor de la pieza

Ley de tensiones en el ala superior. Al estar sometida la pieza sólo a momento flector alrededor de su eje principal, la distribución de tensiones que se tiene en el ala corresponde a un estado de compresión uniforme que corresponde al primer caso de la tabla 2.1.3.

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Reemplazando el valor del coeficiente de reducción, ε, se encuentran cada uno de los límites Valor límite de clase 1 = 9.18 Valor límite de clase 2 = 10.20 Valor límite de clase 3 = 14.28 Esbeltez del ala superior C= 400mm/2-10mm/2= 195mm t= 20mm C/t = 195/20 = 9.75 Con este valor de esbeltez el ala superior se clasifica como clase 2. Clasificación del alma Factor de reducción, ε. Al ser el espesor del alma menor a 16mm (10mm), el valor de la tensión para el límite elástico es 235N/mm2.

Ley de tensiones del alma La distribución de tensiones en el alma del perfil puede obedecer a algunos de los siguientes dos casos:

Reemplazando el valor del coeficiente de reducción, ε, se encuentran cada uno de los límites: Valor límite de clase 1 = 72,00 Valor límite de clase 2 = 83,00 Valor límite de clase 3 = 124,00 Esbeltez del alma © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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C= 1000mm-2*20mm= 960mm t= 10mm C/t = 960/10 = 96 Con este valor de esbeltez el ala se clasifica como clase 3. La sección consta de un ala clase 2 y un alma clase 3, por lo tanto la sección es clase 3 al estar sometida a flexión simple.

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Nº PARTE

Nº PASO

2

2

TÍTULO DEL PASO

RECURSO

Pandeo

08

El pandeo es el fenómeno de inestabilidad por el cual un elemento lineal sometido a compresión según su eje se curva desplazándose de su directriz. Un soporte comprimido presenta cierta flexibilidad que hace que una pequeña diferencia de la dirección de la carga respecto al eje, o imperfecciones de la pieza produzcan momentos flectores (producto de la carga por la excentricidad). Aunque estos momentos sean pequeños, se pueden producir grandes tensiones y consecuentemente deformaciones adicionales importantes que originen un aumento de los momentos. El fenómeno del pandeo, es un aspecto importante a tener en cuenta en elementos de estructuras de acero sometidas a compresión. Una posible solución para dicho problema de inestabilidad consiste en aumentar la sección transversal de la pieza aunque en la mayoría de los casos conviene mas arriostrar la pieza para disminuir su longitud de pandeo y de esta manera aumentar su resistencia a dicho fenómeno. A continuación, se presenta el análisis de pandeo según el CTE DB-SE-A. Los datos de partida para el cálculo a pandeo son: - Carga Axial a soportar - Longitud L del pilar - Tipo de vínculos en los extremos La resistencia de la barra a compresión, NC,Rd no debe superar la resistencia plástica de la sección bruta Npl,Rd y también debe ser menor que la resistencia última a pandeo de la barra,Nb,Rd. Resistencia plástica Queda definida por la siguiente expresión: Npl,Rd= A.fyd Donde: A es el área de la sección bruta para secciones clase 1,2 y 3. © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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A es el área eficaz para secciones clase 4. Resistencia a pandeo La resistencia última a pandeo, se define como la resistencia plástica de la barra multiplicada por un factor reductor denominado coeficiente de reducción por pandeo, , que depende de la esbeltez reducida de la pieza y de las curvas de pandeo.

- fyd es la resistencia de cálculo, - γM1 es el coeficiente parcial de seguridad del material. Esbeltez Reducida La esbeltez reducida , es la relación entre la resistencia plástica de la sección de cálculo y la compresión crítica por pandeo. Para barras rectas de sección y axil constante dicha esbeltez es:

Siendo Ncr:

E es el módulo de elasticidad I es el momento de inercia del área de la sección para flexión en el plano considerado. Lk longitud de pandeo de la pieza. Obtenida la esbeltez reducida de la barra, el valor del coeficiente de pandeo puede obtenerse por medio de tres caminos diferentes: 1. Utilizando la formulación: Para valores de la esbeltez reducida, λk ≥ 0,2,el valor del coeficiente de pandeo, es:

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es el coeficiente de imperfección que depende del tipo de perfil, por esto existen cinco curvas diferentes de pandeo. A cada curva le corresponde un valor de

Tabla 2.1.1. Factor de imperfección según curva de pandeo Para encontrar la curva de pandeo correspondiente a cada perfil debe utilizarse la tabla 2.1.2.

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Figura 2.2.1. Selección de las curvas de pandeo, CTE 2. Utilizando la figura 6.3 de DB-SE –A Para utilizar esta opción deben tenerse los datos de entrada a la figura 2.2.2 que son: el valor de la esbeltez reducida y la curva de pandeo © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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correspondiente, el proceso de calculo de cada una de estas variables se ha explicado anteriormente.

Figura 2.2.2. Curvas de pandeo según el CTE. 3. Utilizando la tabla 6.3 del de DB-SE –A El CTE tabula los valores dados por la figura 2.2.2 en la siguiente tabla

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Figura 2.2.3. Valores del coeficiente de pandeo según el CTE Estos valores también se encuentran tabulados para las diferentes curvas de pandeo en función de la esbeltez relativa , el coeficiente de imperfección. La figura 2.2.3 Ejemplo Determine la resistencia a pandeo del siguiente pilar. El eje débil del pilar se encuentra arriostrado en tres puntos, mientras que su eje fuerte no posee ningún punto de arriostramiento intermedio en toda su longitud. La carga axial de diseño del pilar, Nsd, es de 100KN y las distancias de arriostramientos son:

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Figura 2.2.4 Sección y alzado del pilar 1. Determinación de la longitud de pandeo Alrededor del eje y-y, Lk,y Al estar la columna articulada en sus extremos el coeficiente para la longitud de pandeo vale 1, por lo tanto:

Alrededor del eje z-z, Lcr,z Al estar la columna articulada en sus apoyos intermedios el coeficiente para la longitud de pandeo vale 1, por lo tanto:

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2. Resistencia última de pandeo del pilar Limite de elástico El espesor máximo de la sección es de 32mm, por lo tanto la tensión para el límite elástico es de 225N/mm2 Compresión critica por pandeo, Ncr Para determinar la resistencia de cálculo de pandeo Nb,Rd del pilar, debe definirse el factor de reducción . Este factor se determina calculando la esbeltez reducida en base a la fuerza crítica elástica y la resistencia de la sección transversal a las fuerzas normales.

Esbeltez reducida, La esbeltez reducida para cada eje se obtiene por medio de la siguiente expresión:

Coeficientes reductores por pandeo, Este coeficiente deberá analizarse para ambos ejes. Pandeo alrededor del eje y-y: Datos para entrar a la tabla: © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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Obtenido el coeficiente de imperfección se determina el factor de reducción, y

Reemplazando los valores se tiene:

Pandeo alrededor del eje z-z: Datos para entrar a la tabla:

Obtenido el coeficiente de imperfección se determina el factor de reducción, para cada eje:

Reemplazando los valores se tiene:

El valor del coeficiente reductor por pandeo que debe tomarse es el menor del obtenido en cada eje, en este caso 0. 80. © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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Resistencia a pandeo del pilar

Ahora se realizará la comprobación para verificar que la carga de diseño del pilar, Nsd, no sobrepase el valor de la resistencia última a pandeo de la barra, Nb,Rd:

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Parte 2 Conceptos Básicos en secciones de acero Nº PASO TÍTULO

1

Pandeo lateral

Una sección transversal sometida a flexión se encuentra expuesta a la distribución lineal tensiones mostrada en la figura 2.3.1. En dicha sección, la parte comprimida o traccionada de la sección varía según la deformación del perfil, por ejemplo, en los centros de vano de una viga continua su parte superior estará comprimida mientras que la inferior estará traccionada. En los apoyos la situación anterior se invierte.

Figura 2.3.1 Distribución de tensiones en un perfil Isometido a flexión simple

Como se vio en la unidad anterior una sección sometida a esfuerzos de compresión puede presentar inestabilidades. Esto significa, que al encontrarse la parte comprimida de la viga sometida a un cierto momento, puede desviarse de su eje longitudinal, perdiendo su forma original de máxima resistencia como se ilustra en la figura 2.3.2.

Figura 2.3.2 Pandeo lateral del ala comprimida de un perfil

El momento limite o máximo que puede soportar la viga sin pandear lateralmente depende de su estado de carga, sus características mecánicas y geométricas y la distancia entre apoyos se denomina Momento critico de pandeo lateral.

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Al igual que en el caso de pandeo de pilares la distancia entre puntos de arriostramiento del perfil juega un papel importante ya que a mayor separación entre dichos arriostramientos menor será la resistencia a pandeo lateral de la viga. Puede decirse entonces, que el pandeo lateral se produce en elementos sometidos a flexión cuya ala comprimida no posee arriostramientos transversales a distancias adecuadas, o éstos no son lo suficientemente rígidos como para impedir su desplazamiento. El efecto del pandeo lateral puede llegar a producir el vuelco de la viga pudiendo verse comprometida la estabilidad de la estructura. El momento crítico, Mcr, que provoca el pandeo lateral en una viga depende de: Las características mecánicas de la viga El tipo de carga que soporta la viga (distribuida, uniforme etc.). Las condiciones de soporte de la viga. La comprobación a pandeo lateral no es necesaria si: El ala comprimida de la viga se encuentra totalmente conectada a un elemento indeformable como puede llegar a serlo un forjado de hormigón el ala comprimida de la viga se encentra arriostrada por un tornapuntas como se ilustra en las figuras 2.3.3 y 2.3.4.

Figura 2.3.3 Ala inferior de la viga sujeta por un tornapuntas

Figura 2.3.4 Arriostrado del ala inferior de una viga

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La figura 2.3.4 se muestra el denominado tornapuntas. A efectos de cálculo existe una distancia de arriostramiento del ala superior y otra distancia de arriostramiento del ala inferior. En este caso cualquier correa de cubierta arriostra el ala superior, con lo que la distancia de arriostramiento a pandeo de ala es la distancia entre correas. En el ala inferior se colocan tornapuntas que mediante unas lengüetas se unen a la correa de cubierta un tramo de perfil tipo L simplemente atornillado. Esta barra arriostra el ala inferior. En el ala inferior suele colocarse tornapunta cada dos correas. El ala comprimida esta inmovilizada a una distancia “d” no superior a 40 veces el radio de giro de la viga y el elemento rigidizador puede soportar el 1% del axil de compresión de la viga. Para familiarizarse un poco más con este fenómeno y con la formulación que se utilizará para analizarlo más adelante se muestran los siguientes casos:

Perfil en voladizo Si se aumenta la carga en el extremo de una viga en voladizo tal como se ilustra en la figura 2.3.5, hasta que dicha carga provoque el momento critico de pandeo lateral, Mcr, el ala inferior de la viga sometida en este caso a compresión, se volverá inestable y flectará lateralmente hasta un nuevo equilibrio estable.

Figura 2.3.5 Pandeo lateral de una viga en voladizo

Viga biapoyada con momentos extremos En este caso el ala superior de la viga se encuentra comprimida. Cuando el momento critico de pandeo, Mcr, alcance el valor mostrado en la fórmula, el ala no podrá absorber más momento y se liberará lateralmente, tal como se ilustra en la figura 2.3.6.

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Figura 2.3.6 Pandeo lateral de una viga sometida flexión pura

Viga simplemente apoyada con una carga puntual en el centro Este caso cuando la fibra superior, que trabaja a compresión, no pueda absorber más momento se liberará lateralmente produciéndose el pandeo lateral de la viga como lo muestra la figura 2.3.7.

Figura 2.3.7 Pandeo lateral de una viga simplemente apoyada sometida a flexión

El valor del momento crítico para este caso vale:

Se Observa que para los dos últimos casos mostrados las fórmulas son casi idénticas, variando únicamente su denominador. Es decir, puede establecerse entonces, una expresión general que dependa de una variable que represente la variación de las condiciones de carga y de apoyo de la viga para cada posible caso. Dicha variable se denomina C1.

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Los valores de C1 se establecen en función del diagrama de momentos según la figura 2.3.8:

Figura 2.3.8 Tabla de valores

Si las condiciones de arriostramiento de una viga permiten la posibilidad de que se puede presentar el fenómeno del pandeo lateral, debe comprobarse que MEd ≤ Mb,Rd Donde: MEd es el valor de cálculo del momento flector Mb,Rd el valor de cálculo de la resistencia frente al pandeo lateral El valor de Mb,Rd se determina de acuerdo con la relación:

Donde: Wy es el módulo resistente de la sección, acorde con el tipo de ésta, es decir: Wy: Wpl,y para secciones de clases 1 y 2 © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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Wy: Wel,y para secciones de clase 3 Wy: Wef,ypara secciones de clase 4 χLT factor de reducción para el pandeo lateral, el cual puede determinarse usando la siguiente expresión:

Donde:

Siendo: λLT esbeltez relativa frente al pandeo lateral LT factor de imperfección, obtenido de la siguiente tabla:

Tabla 2.3.9 Factor de imperfección LT

La esbeltez relativa frente al pandeo lateral se determina según la siguiente expresión:

Donde: Mcr es el momento crítico elástico de pandeo lateral calculado utilizando la siguiente expresión:

MLTv es la componente del momento crítico de pandeo lateral, que representa la resistencia por torsión uniforme de la barra y se determina por medio de la siguiente expresión:

Donde: © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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C1 es un fa C actor que depende de las condiciiones de ap poyo y de la a ley de mo omentos f flectores qu ue soliciten la viga. L es la lon Lc ngitud de pandeo p lateral (distanc cia entre ap poyos latera ales que im mpidan el p pandeo late eral). G módulo de d elasticida ad transverssal E módulo de elasticida ad I constante de torsión IT n uniforme I momento IZ o de inercia a de la sección respecto al eje z P Para las vig gas con seccciones esbeltas se debe adoptar MLTv=0. M MLTw es la a compone ente del mo omento crítiico de pand deo lateral,, que repre esenta la r resistencia por torsión n no uniform me de la ba arra, se dettermina utilizando la siguiente s e expresión:

Donde: Wel,y mód W dulo resiste ente elásticco de la se ección, seg gún el eje de fuerte inercia, c correspond iente a la fibra más comprimida. i if,z radio de giro, con n respecto al eje de menor m inerccia de la se ección, del soporte f formado po or el ala comprimida a de la se ección, y la l tercera parte de la zona c comprimida a del alma, adyacente a a ala comp al primida.

Ejemp plo Determinar si la sig guiente viga a es estable e lateralmen nte. Calculando la viga a utilizando el Metal 3D D se tiene el e siguiente momento ssin mayorarr en el centro de d la viga:

Figura 2.3.10 2 Mome ento de la viiga

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Calculando la viga a utilizando Metal 3d se s tiene el siguiente momento m sin mayorar en el centro de d la viga

MEd = 27.36mTn · 1.5 = 41.04 4mTn

1. Calculo del momento critico o elástico o de pan ndeo MLTv C1=1.13 3 E=2100 000 N/mm2 G=8100 00 N/mm2 Lc=9000 mm Rempla azando en la a formula lo os correspondientes va alores:

MLTw

Primero o se calcula ará radio de e giro, if,z, con c respectto al eje de menor inerrcia de la se ección (z), form mado por el ala de la sección, y la tercera parte p de la zona comp primida del alma, adyacen nte al ala co omprimida. Dichas zon nas se mues stran en la figura 2.3.3 3.

Figura 2.3.11 2 Área para p determ minar if,z, © ZIGUR RAT Consulttoría de Form mación Técniica S.L. 10/11/20 009 (Ed.) – 10/11/2009 (R Rev.0)

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Mome ento critic co de pan ndeo

Es nece esario arriosstrar la viga a para aume entar el mom mento críticco de pande eo de la viga a.

2. Calculo del factor de d reducc ción Χlt Esbelttez relativ va frente al pandeo lateral, λLT

ΦLT

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Factorr χLT

3. Calculo del Momentto de pan ndeo late eral

La viga pandea lateralmente, es necesarrio introducir restricciiones latera ales para au umentar su resitencia.

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Parte 3 conceptos básicos en secciones mixtas Nº PASO TÍTULO

1

Tipos de secciones mixtas

Se entiende por sección mixta aquel elemento estructural compuesto por dos materiales; madera – acero, hormigón - madera, ladrillo – hormigón, ladrillo – acero, etc., por lo que el cálculo requiere unas consideraciones especiales. Nos referimos en este apartado a los formados por hormigón y acero unidos entre sí mediante “conectadores” para limitar el deslizamiento relativo entre ellos En el caso de vigas mixtas combinan un perfil inferior de acero y una losa superior de hormigón (ver figura 1), y en un soporte mixto un núcleo central de acero revestido de hormigón o un perfil tubular relleno de hormigón y cuya parte hueca puede contener un perfil metálico. Los forjados mixtos están formados por una chapa grecada solidarizada con una capa de hormigón, esta chapa se emplea también como encofrado

Figura 3.1.1. Elementos Mixtos

Para secciones mixtas en las que el acero se encuentre recubierto de hormigón hay que disponer un recubrimiento mínimo de hormigón para: a) asegurar una correcta adherencia entre los dos materiales, b) proteger al acero frente a la corrosión y, c) proporcionar una adecuada resistencia al fuego

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Nº PASO TÍTULO

2

Normativa y cálculo

Normativa Respecto a la normativa de este tipo de elementos se emplea para el cálculo el Eurocódigo 4, “Proyecto de estructuras mixtas de hormigón y acero” y el CTE (en la actualidad pendiente de aprobación), por lo que pasará a ser la normativa de obligado cumplimiento de estas estructuras

Cálculo Para poder aplicar las leyes de resistencia de materiales en las piezas heterogéneas se sustituye la sección mixta por su equivalente en acero dando lugar a la sección homogeneizada, ver Figura 3.2.1. Para obtenerla se divide el ancho de la superficie de hormigón por el coeficiente “n” de equivalencia, n = Ea / Ec´. Ea es el módulo de elasticidad del acero estructural y Ec´el módulo “eficaz” del hormigón. Es decir, se estudia la sección como si estuviera compuesta únicamente por acero

Figura 3.2.1. Sección homogeneizada

Resistencia de la sección. El cálculo de una sección mixta a flexión se determina considerando como límite de la tensión máxima en cada material, el valor admisible correspondiente; para el hormigón comprimido 0,85·fck/Υc; para el acero que conforma el perfil fy/Υa; y para las armaduras embebidas en el hormigón fsk/Υs. El momento máximo que puede admitir la sección lo determina el que se alcance primero Para determinar la fibra neutra se puede suponer, como aproximación, que coincide con el centro de gravedad de la sección homogeneizada de coordenada zg

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Para un momento flector positivo (+M), ver Figura 3.2.2, las tensiones máximas que se producen en la fibra superior, no deben superar el valor admisible correspondiente, por lo que queda:

σc = (M/Ieq)·zg·(1/n) ≤ (0,85·fck/Υc) Y en la fibra inferior:

σa = (M/Ieq)· zinf = (M/Ieq)· (ha+hc-zg ) ≤ (fy/Υa) (Ieq es el momento de inercia de la sección homogeneizada y n el coeficiente de equivalencia)

Figura 3.2.2. Momento flector positivo

En el caso de momento flector negativo (- M) se aplican las mismas fórmulas para el cálculo de tensiones, pero hay que comprobar las tensiones en las armaduras embebidas en la losa de hormigón y la inercia equivalente Ieq es la inercia de la sección sin contar con el hormigón.

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Parte 4 Sistemas estructurales Nº PASO TÍTULO

1

Elementos de la estática. Cargas vínculos y reacciones

Cargas Fuerzas que actúan sobre la estructura; pueden ser puntuales, lineales o superficiales.

Figura 4.1.1 Cargas puntuales equivalentes

Vínculos Una estructura plana tiene tres grados de libertad (dos de traslación y uno de rotación). Estos grados de libertad pueden ser restringidos para evitar los desplazamientos y giros. Esta restricción viene dada por los vínculos.

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Tipos de vínculos (n = nº de grados de libertad)

Figura 4.1.2 Grabados de libertad en Apoyo simple, articulación y empotramiento

Reacciones Fuerzas que resultan de la limitación del movimiento permitiendo el equilibrio. Cada vínculo tiene un nº de incógnitas (I= 1, 2 ó 3).

Figura 4.1.3 Incógnitas en Apoyo simple, articulación y empotramiento

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Nº PASO TÍTULO

2

Sistemas isostáticos e hiperestáticos

Consideremos un sistema plano formado por una viga biapoyada en el que A es un apoyo simple que permite el desplazamiento horizontal y B una articulación (figura 4.2.1).

Figura 4.2.1

Con las 3 ecuaciones de la estática (ΣM=0, ΣFx= 0, ΣFy= 0) podemos calcular las reacciones (Rya, Ryb, Rxb) para cualquier conjunto de cargas exteriores. Por lo tanto puede decirse que esta estructura es isostática ya que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones de la estática y se pueden obtener reacciones y esfuerzos y a partir de ellos las tensiones y deformaciones en cualquier sección.

Figura 4.2.2

En el caso de la otra figura (figura 4.2.3) en el que la viga está empotrada en A y articulada en B, existen 5 incógnitas (Rxa, Rya, Ma, Rxb, Ryb) y tan sólo 3 ecuaciones de la estática, por lo tanto puede decirse que el sistema es hiperestático o estáticamente indeterminado (figura 4.2.3). Este tipo de estructuras no se pueden solucionar aplicando las ecuaciones de equilibrio y es necesario obtener ecuaciones adicionales relacionadas con la deformabilidad de la estructura (entre los posibles métodos destacan las ecuaciones de la elástica o el método de superposición). El grado de libertad es la diferencia entre el número total de incógnitas y el número de ecuaciones independientes que pueden plantearse; G = I – E.

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Figura 4.2.3 Ejemplo de vigas hiperestáticas

Observación. Podemos realizar esta misma clasificación en sistemas de barras articuladas, si nos referimos a grados de libertad internos. Siendo n el número de nudos y b el número de barras; para sistemas planos si 2n = 3 + b la estructura es isostática internamente y si 2n < 3 + b es hiperestática. En este tipo de estructuras si existen un gran número de nudos (2n> 3 + b) se denomina mecanismo.

Figura 4.2.4

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Nº PASO TÍTULO

3

Estructuras tralacionales e intraslacionales

Una estructura es intraslacional si sus nudos, bajo solicitaciones de cálculo, presentan desplazamientos en el plano del pórtico cuyo efecto puede ser despreciado desde el punto de vista de la estabilidad del conjunto. Según varios autores este criterio es muy riguroso en la práctica. Es el proyectista el que debe evaluar la rigidez de la misma según la importancia de las acciones horizontales y de los elementos que arriostran. A mayor esbeltez aumenta la traslacionalidad. En el caso contrario se considera una estructura traslacional.

Figura 4.3.1 Pórticos traslacionales/ intraslacionales, comentarios EHE98

En los comentarios de la Instrucción Española EHE98 se dice que esta clasificación no es rígida...

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Figura 4.3.2 Pórticos traslacionales/ intraslacionales, comentarios EHE98

El concepto de traslacionalidad/ intraslacionalidad es muy importante ya que influye en el cálculo de la longitud de pandeo de soportes de pórticos. La longitud de pandeo en el plano considerado (Lº) depende de la relación de las rigideces relativas de los soportes y las vigas en cada uno de los extremos y si el pórtico es traslacional o intraslacional. De estas tablas se obtiene α para el cálculo de la longitud de pandeo; Lº = α· l. Siendo Ψ la relación entre los soportes (p) y las vigas (v) y teniendo en cuenta que su valor para apoyos articulados y libres es infinito y para apoyos empotrados es de cero:

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Figura 4.3.4 Pórticos traslacionales/ intraslacionales, comentarios EHE98

En estas gráficas se puede apreciar las líneas punteadas que representan los casos más comunes que nos podemos encontrar en la vida diaria: 1- Viga biempotrada (intraslacional) 2- Viga biarticulada (intraslacional) 3- Viga empotrada-articulada (intraslacional) 4- Viga en voladizo(traslacional) 5- Viga biempotrada (traslacional)

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