Curso Metal 3d

NIVEL USUARIO METAL 3D Y NUEVO METAL 3D

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Introducción al cálculo T1 estructural

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T1

Introducción al cálculo estructural

ÍNDICE DE CONTENIDOS

Tema 1: Introducción al cálculo estructural Parte 1

Introducción

Paso 1 Introducción Paso 2 Unidades

Parte 2 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5 Paso 6

Parte 3 Paso 1 Paso 2 Paso 3 Paso 4 Paso 5

Parte 4

Propiedades físicas de las secciones planas Centro de gravedad de una sección compuesta Momento estático Momento de Inercia Radio de giro Teorema de Steinner Módulo resistente y núcleo central

Esfuerzos Definición y tipos Esfuerzo axil Esfuerzo cortante Momento Flector Diagramas de Efuerzos

Tensiones

Paso 1 Definición Paso 2 Tipos de tensiones

Parte 5

Deformaciones

Paso 1 Deformaciones Paso 2 Relación Deformación-Tensión

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Tema 1 Introducción al cálculo estructural Parte 1 Introducción Nº PASO TÍTULO 1

Introducción

El cálculo estructural ha evolucionado tremendamente en los últimos años. La incorporación de las nuevas tecnologías, así como métodos y normativas de cálculo más completas y complejas (métodos matriciales, cálculo modal, cálculo de segundo orden, etc,) ha representado un avance en el rendimiento aunque ha sacrificado ciertos aspectos más teóricos.

Figura 1.1.1 Golden Gate

Como ejemplo, CYPECAD ha sido concebido para realizar el cálculo y dimensionado de estructuras de hormigón armado y metálicas diseñadas con forjados de viguetas (genéricos, armados, pretensados, in situ, metálicos de alma llena y de celosía), placas aligeradas, losas mixtas, reticulares y losas macizas para edificios sometidos a acciones verticales y horizontales. Las vigas de los forjados pueden ser de hormigón, metálicas y mixtas (acero y hormigón). Los soportes pueden ser pilares de hormigón armado, metálicos, pantallas de hormigón armado, muros de hormigón armado con o sin empujes horizontales y muros de © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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fábrica. La cimentación puede ser fija (por zapatas o encepados) o flotante (mediante vigas y losas de cimentación). Puede calcularse únicamente la cimentación si se introducen sólo arranques de pilares. El análisis de las solicitaciones se realiza mediante un cálculo espacial en 3D, por métodos matriciales de rigidez, formando todos los elementos que definen la estructura: pilares, pantallas H.A., muros, vigas y forjados.

Figura 1.1.2 Esquema de solicitaciones

Es por ello, y dado que en el ejercicio de nuestra profesión, podemos encontrarnos con situaciones límite que exijan de nuestras dotes de cálculo manual. Para entender bien las ecuaciones y comprobaciones manuales, así como para poder interpretar y dar por buenos resultados de cálculo, es necesario tener claros ciertos conceptos. Estos conceptos se explicarán de forma sucinta y esquemática a lo largo de este Tema 0, donde recordaremos temas que ya conocemos pero que por desuso puede ser que no tengamos presentes. Os invito a participar de este tema y a comprender mejor la realidad de las estructuras más allá de los resultados y listados de un programa.

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Nº PASO TÍTULO 2

Unidades

1 N es la unidad de fuerza en el sistema internacional, y equivale a la fuerza con que la tierra atrae a una masa de 100 gr. (la famosa manzana de Newton). En edificación de emplea el kN (1.000 N). La unidad de presión es el Pascal (1 Pa = 1 N/m2, aunque por ser demasiado pequeño se emplea el MPa (1 MPa = 1N/mm2).

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Parte 2 Propiedades fisicas de las secciones planas Nº PASO TÍTULO 1

Centro De gravedad de una sección compuesta

El centro de gravedad de un objeto es el punto en donde podría colocarse un soporte para balancear el objeto. La resultante del peso del objeto pasa por el centro de gravedad. El centro de gravedad de un área compuesta se calcula dividiendo la sección en "n" partes, siendo las coordenadas: Xg= Σxi.Ai / ΣAi

Yg=ΣYi.Ai / ΣAi

donde: Xi, Yi son las coordenadas del centro de gravedad de cada una de las "n" partes y Ai el área de cada parte. Al emplear esta formulación hay que tener la precaución de aplicar el mismo sistema de referencia para todas las áreas en las que dividimos la sección.

Aplicación: Rara vez se emplean secciones simples, por lo que resulta muy útil esta formulación. Por ejemplo, para el cálculo del c.d.g. de secciones compuestas, vigas mixtas, vigas armadas, etc. En conjunción con el Teorema de Steinner es muy útil además de su aplicación en el diseño de uniones y apoyos, pues es fundamental que la aplicación de las cargas se realice alineadas con el c.d.g. para evitar efectos no deseados de torsión o alabeo.

Ejemplo

Determinar el centro de gravedad de la siguiente figura.

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Figura 2.1.1 Figura plana

Figura 2.1.2 Distancias respecto Cdg

Solución: Región 1 a1= b·h= 2a·a= 2a2

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xc1= 0.5·a

yc1= a

Región 2 a2= 1/2· 2a·a= a2 xc2= a + 1/3·(a) = 4/3·a

yc2= 1/3 (2a)= 2/3 a

Centro de gravedad xc = (a1·xc1+a2·xc2)/(a1+a2) xc = (2a2·0.5a + a2·4/3·a)/(2a2 + a2) = 7/9·a

yc= (a1·yc1+a2·yc2)/(a1+a2) yc= (2a2· a + a2· 2/3a)/(2a2 + a2) = 8/9·a

Ejemplo 2

Calcular el cdg de la siguiente sección.

Figura 2.1.3 Sección en T

Solución 2: Dividimos la sección en dos áreas simples; el ala del perfil metálico de dimensiones 20x5

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cm (1) y el alma de 5x20 cm (2).

Figura 2.1.4 Sección en T

Centro de gravedad xc = 0 (ya que en el caso de secciones simétricas el cdg se encuentra en el eje de simetría). yc= (a1·yc1+a2·yc2)/(a1+a2) yc= (20 · 5 · 22,5 + 5 · 20 · 10)/(2 · 20 · 5) = 16,25 cm

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Nº PASO TÍTULO

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Momento estático

El momento estático respecto a los ejes x e y es igual a: Qx= ∫ ydA Qy= ∫ xdA Donde dA es un elemento diferencial del área con coordenadas x e y. Los momentos estáticos pueden ser ( +) o (-) y tienen unidades de longitud elevada al cubo: mm3, cm3,... *Sección con un eje de simetría => el momento estático respecto a ese eje es nulo. *Sección con dos ejes de simetría => ambos momentos estáticos son nulos.

Aplicación: en el cálculo de tensiones tangenciales τ en una sección solicitada a esfuerzo cortante V; τ = V · Q / (I ·b) donde Q es el momento estático del área de sección situada por encima del plano de corte, I es el momento de inercia y b es el espesor del elemento en la sección donde queremos calcular la tensión tangencial. Nota: la distribución de tensiones, tanto normales como tangenciales en una sección se comentará ampliamente en los temas de estructura metálica.

Figura 2.2.1

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Nº PASO TÍTULO

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Momento de inercia

Los momentos de inercia respecto a los ejes X e Y están definidos según: Ix= ∫ y2dA

Iy=∫ x2dA

Se llaman momentos de inercia centroidales a aquellos tomados respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad de la sección (Ixc, Iyc). Los momentos de inercia de una sección compuesta con respecto a cualquier eje es la suma de los momentos de inercia de sus partes respecto al mismo eje.

Aplicación: En el predimensionado, en el análisis de la distribución de tensiones normales y tangenciales en una sección, para el calculo del radio de giro, para flechas (aunque el parámetro que realmente se emplea es la “rigidez a flexión“ que es el producto del módulo de Young por la Inercia , E · I), curvatura local de una viga, etc. La rigidez influye también en la deformación, vibración,... consecuencias menos importantes que la resistencia pero que son más aparentes.

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Momentos de inercia de algunas secciones:

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Tabla 2.3.1 Inercias de secciones simples

Nº PASO TÍTULO

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Radio de giro

Dimensión transversal de una sección donde podría concentrarse y dar el mismo valor del momento de inercia. El radio de giro es la raíz cuadrada del momento de inercia dividido entre el área. Tiene unidades de longitud: m, cm,... rx = √(Ix / A)

ry = √(Iy / A)

El radio de giro es el parámetro más relevante para determinar la eficacia de la forma de una sección. Para la misma altura y sección no se comporta igual una sección circular maciza que un anillo circular hueco. A igualdad de área la resistencia aumenta en el segundo caso.

Figura 2.4.1

Para medir la adecuación de la forma se emplea un factor llamado esbeltez mecánica: λ = L/ i.La esbeltez es una propiedad muy importante en el cálculo a pandeo, por el que se limitan piezas de mucha esbeltez, además es una propiedad que sirve para medir las cualidades de una sección a compresión. © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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Este factor es importante a tener en cuenta en el pandeo ya que depende de la esbeltez mecánica, cociente entre la longitud de pandeo y el radio de giro mínimo de la sección. Cuando una pieza sometida a compresión pandea, lo hace dentro del plano perpendicular al eje de inercia “debil” en el plano en que la vemos más esbelta, es decir, que para el pandeo lo que interesa es determinar el radio de giro mínimo de la sección.

Figura 2.4.2 Pandeo

En el caso de una sección en I y una rectangular, la sección en I tiene mayor radio de giro y por tanto mayor inercia y módulo resistente.

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Nº PASO TÍTULO

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Teorema de Steiner

Este teorema que se le conoce también como el de los ejes paralelos, proporciona, conocido el momento de inercia centroidal, el momento de inercia de la sección respecto a cualquier eje paralelo. Ix = Ixc + A d12

Iy = Iyc + A d22

Siendo, Ixc y Iyc los momentos de inercia respecto al eje xc e yc (ejes centroidales), A área y d1 Y d2 las coordenadas del centro de gravedad respecto a los ejes x e y. Sección compuesta: No aparece en los prontuarios, es el caso por ejemplo de una viga mixta o armada, la inercia se calcula como la suma de cada una de los perfiles independientes, que sí vienen recogidos en prontuario.

Figura 2.5.1 Viga armada

Por ejemplo en este caso, buscaríamos la inercia de 2 respecto al eje X en prontuarios y aplicando Steinner de 1 respecto al eje X. El momento de inercia de la seccion completa es : Ix1 + Ix2

Aplicación: En ocasiones es necesario saber el momento de inercia de un área respecto a un eje paralelo al centroidal. También se aplica para vigas compuestas, cuya inercia no aparece en

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los prontuarios. Y últimamente, por al auge del refuerzo estructural, para el recálculo del m. d. i de la sección reforzada.

Ejercicios Determinar el momento de inercia respecto a los ejes que pasan por el centro de gravedad Ixc , Iyc de la siguiente sección de hormigón prefabricado. [Nota: el área circular es un hueco para el paso de instalaciones].

Figura 2.5.2 Viga de hormigón prefabricado

Solución: Dividimos la sección en regiones, de 1 a 5 según la figura siguiente.

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Figura 2.5.3 División de la viga

Región 1: a1 = 30·3= 90 cm2

xc1= 0

yc1 = 17+1,5 = 18,5 cm.

Momento de inercia respecto al eje X (ver figura, es el eje que pasa por la base de la sección completa). Según el Tª de Steinner:

Ix1= Ixc1+a1·d2; Ix1 = (bh3/12)+ a1·y1c2

Ix1= (30·33/12)+90·18,52 = 30870 cm4. Momento de inercia respecto al eje Y (ver figura, eje de simetría):

Iy1 = (b3h/12); Iy1 = (303·3) /12 = 6750 cm4.

Región 2: a2 = ½ ·3·17= 25,5 cm2

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xc2= 2+1/3·3 = 3 cm

yc2 = 2/3·17= 11,33 cm.

Región 3: a3 = 17·4= 68 cm2.

xc3= 0

yc3 = 8,5 cm.

Momento de inercia respecto al eje X:

Ix3= Ixc3 + a3·d2; Ix3 = (bh3/12)+ a3·y3c2 Momento de inercia respecto al eje Y:

Iy3 = (b3h/12); Iy3 = (43·17) /12 = 90,66 cm4.

Región 4: a4 = 25,5 cm2.

xc4 = - 3 cm

y4 = 11,33 cm.

Momento de inercia respecto al eje X:

Ix4= Ix2 (por simetría); Ix4= 3682,82 cm4. Momento de inercia respecto al eje Y:

Iy4= Iy2(por simetría); Iy4= 242,25 cm4.

Región 5: a5 = ∏·r2= 4∏ cm2

xc5= 0

yc5 = 14 cm

Momento de inercia respecto al eje X:

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Ix5= Ixc5 + a5· d2; Ix5 = (∏·r4)/4 +a5· y5c2

Ix5 = 4∏ +4∏· 142 = 2475,58 cm4 Momento de inercia respecto al eje Y (por simetría):

Iy5 = Ix5 = 4∏ cm4.

Área total A= a1 + a2 + a3 + a4 - a5.

A= 90 + 25,50·2+ 68 - 4∏ = 196,44 cm2.

Centro de gravedad Xc= 0 (ya que hemos situado el eje de coordenadas en el eje de simetria).

Yc= (a1·y1 + a2·y2 + a3·y3 + a4·y4 - a5·y5) / A (según vimos para el cdg de una sección compuesta).

Yc= (90·18,5+ 25,50·11,33+ 68·8,5+ 25,52·11,33–4∏)/196,44.

Yc= 13,46 cm.

Momento de inercia total, Ixc, Iyc Según teorema de Steinner, Ix= Ixc+ A·d2, sustituyendo: Ixc = Ix - A·d2

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Ixc = ( Ix1+Ix2+Ix3+Ix4-Ix5 ) - A·(yc)2

Ixc = (30870+3682,82·2+6550,67–2475,58)–196,44·(13,46)2

Ixc = 6721.35 cm4. Al coincidir el eje “yc” con el eje de simetría “y” en la sección completa, queda: Iyc = Iy ; Iyc = ( Iy1 + Iy2 + Iy3 + Iy4 – Iy5 )

Iyc = 6750+242,25·2+90,66- 4∏ = 7312,60 cm4

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Módulo resistente y núcleo central

Módulo resistente El módulo resistente de la sección se define por: Wx = Ix / Ymax Tiene dimensiones de longitud al cubo y es siempre positivo. Este parámetro es de gran utilidad para el diseño de vigas a flexión. En el caso de una sección rectangular de dimensiones b x h: Ix= bh3 / 12, ymax= h/2 Por lo tanto: Wx= bh2 / 6 Para una sección circular de diámetro d:

Ix= Πd4 / 64, ymax= d/2 ---> Wx= Ix/ymax = Π d3 /32

Hipótesis de Navier Permite establecer una relación directa entre solicitaciones y tensiones en una pieza sometida a flexión pura.

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Figura 2.6.1 Esquema de tensiones

Consecuencias: -La fibra más alejada de la línea neutra es la que más se deformará, y por lo tanto esta sometida a tensiones mayores luego interesa concentrar la masa de la sección en los extremos (justificación del perfiles tipo I para flexión ). - Todos los puntos situados en una paralela al eje X tienen la misma tensión normal σ. Según la hipótesis de Navier el módulo resistente se puede expresar en función de la solicitación y la tensión máxima. M = W ·σmax ---> W = M / σmax Esta formula se puede aplicar con dos propositos: -Desde el proyecto, dado un material (resistencia f) calcular el módulo resistente necesario para soportar un momento flector y en consecuencia la sección necesaria: f, M ---> W ---> sección, W ≥ M / f

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-En evaluación estructural: dada una sección (W) permite comprobar las tensiones máximas y que no superen la admisible del material: σmax = M/W ≤ f - Este parámetro es de gran utilidad para el diseño de vigas a flexión.(Para el diseño de una viga a flexión, hay que satisfacer las condiciones de resistencia con la menor sección posible para disminuir el peso. Luego si tenemos dos secciones con el mismo módulo resistente W, la sección más económica es la de menor área). - Justifica la elección de secciones en “I” frente a las rectangulares, ya que para igualdad de área y canto, el módulo resistente es casi el doble.

Núcleo central Zona de la sección alrededor del centro de gravedad en la que la actuación de una compresión no ocasiona tracciones en hipótesis de reparto lineal. Para secciones rectangulares alargadas (muros) es el tercio central, para zapatas rectangulares es un rombo de diagonales iguales a un tercio de los lados de la sección (ver figura). También en el caso de arcos de fábrica es necesario comprobar que la resultante de las cargas pasa por el núcleo central de cada una de las secciones.

Aplicación: Es fundamental cuando se emplean materiales que no pueden resistir esfuerzos de tracción como hormigón en masa fábrica de ladrillo ... y por lo tanto, la resultante de fuerzas debe de estar aplicada dentro del núcleo central evitándose así que aparezcan tensiones de tracción en la sección.

Figura 2.6.2 Núcleo central en sección circular, rectangular y en I (del libro de M. Vázquez “Resistencia de Materiales”).

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Parte 2 Esfuerzos Nº PASO TÍTULO

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Definición y tipos

Se entiende por esfuerzos a las fuerzas y momentos internos de una estructura. Es condición necesaria y suficiente que para cada una de las secciones analizadas se establezca el equilibrio.

Figura 3.1.1 Esquema de esfuerzos

Se definen tres esfuerzos que afectan a todo elemento en su directriz: Esfuerzo Axil (N) Esfuerzo Cortante (V) Momento Flector (M)

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Esfuerzo axil

Es el esfuerzo debido a dos fuerzas de sentido contrario que actúan a lo largo de la directriz de la barra en cuestión. Estos esfuerzos pueden ser de tracción o de compresión, según en sentido de las fuerzas. Así pues:

Figura 3.2.1 Esfuerzos axiles

El criterio de signos para este tipo de esfuerzo es: Tracción positivo (+) y Compresión negativo(-).

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3

Esfuerzo cortante

Es el esfuerzo debido a dos fuerzas de sentido contrario que actúan perpendicularmente a la directriz de la barra en cuestión. Estos esfuerzos pueden ser positivos o negativos, dependiendo si actúan en el sentido de las agujas del reloj o contra las agujas del reloj.

Figura 3.3.1 Cortantes en secciones

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Nº PASO TÍTULO

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Momento flector

Es el momento debido a dos fuerzas de sentido contrario que actúan perpendicularmente a la directriz de la barra en cuestión. Estos momentos flectores pueden ser positivos o negativos, dependiendo si la fibra traccionada es la superior o inferior respecto la directriz de la barra.

Figura 3.4.1 Momento Flector

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Diagramas de esfuerzos

Los diagramas de esfuerzos y momentos representan los esfuerzos a los que se somete cada sección de la barra a lo largo de su directriz. La relación entre los diferentes diagramas se define con las siguientes ecuaciones diferenciales: P = dV / dx V = dM / dx M = dδ / dx Donde: P: Cargas aplicadas sobre la directriz. V: Esfuerzo cortante. M: Momento flector. δ: Deformada de la directriz.

Figura 3.5.1 Diagrama de esfuerzos

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Ejemplo A partir de siguiente estado de cargas, determinar los diagramas de esfuerzos, momentos y deformada, así como sus signos:

Figura 3.5.2 Ejemplo

Reacciones: Estableceremos las reacciones de equilibrio.

Figura 3.5.3 Reacciones de equilibrio

Aplicando las ecuaciones de la estática obtenemos:

De (3) obtenemos RCV = 2.5Tn Una vez obtenemos RCV y de (2), obtenemos RAV = -0.5Tn Con las reacciones ya determinadas, podemos empezar a dibujar los diferentes diagramas:

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Diagrama de esfuerzos axiles:

Figura 3.5.4 Axiles

Diagrama de esfuerzos cortantes:

Figura 3.5.5 Cortantes

Nótese la coincidencia de los valores de cargas y reacciones con los valores de los esfuerzos cortantes.

Diagrama de Momentos flectores:

Figura 3.5.6 Flectores

Se puede observar cómo la relación entre cortante y momento flector se cumple: Las pendientes indican el signo del cortante (nótese que cuando el cortante es nulo (tramo © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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CD) el diagrama de momentos es constante. Así pues, y aplicando lo que ya sabemos sobre la significación del signo de los momentos flectores, se puede ver que la barra AD tiene traccionada la cara superior mayoritariamente y que en el punto F existirá un punto de inflexión de la deformada. De la misma forma, se aprecia que la barra EB tiene un comportamiento de ménsula con un momento en el extremo de 2Tnm (positivo o negativo dependiendo de si se mira la barra BE o EB).

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Parte 4 Conceptos previos Nº PASO TÍTULO

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Definición

Una vez definidos los esfuerzos que actúan sobre la estructura globalmente, definimos tensión la relación entre estos esfuerzos en un punto y la superficie sobre la que actúan suponiendo un corte en dicho punto: δ = limS->0 dF/dS A rasgos generales, las conclusiones son: Las tensiones tienen unidades de Fuerza dividido por superficie. La tensión depende de cada punto. La tensión no es necesariamente normal al plano de corte considerado.

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Nº PASO TÍTULO

2

Tipos de tensiones

Tensión normal: Es aquella tensión que se produce normal a la superficie de la sección estudiada

Figura 4.2.1 Tensiones Normales

σ= N/A

Tensión tangencial: Es aquella que se encuentra contenida en la superficie considerada. © ZIGURAT Consultoría de Formación Técnica S.L. 10/11/2009 (Ed.) – 10/11/2009 (Rev.0)

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Introducción al cálculo estructural

Figura 4.2.2 Tensión tangencial

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Parte 5 Deformaciones Nº PASO TÍTULO

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Definiciones

Para poder analizar el estado de deformación de un elemento es preciso, antes de nada, definir los tres conceptos básicos que trataremos:

Deformación: Deformación es el cambio de forma de un elemento debido a las cargas que actúan sobre él.

Desplazamiento: Desplazamiento es el cambio de posición de un nudo desde su posición inicial de reposo hasta su posición final después del estado de cargas (figura 5.1.1).

Flecha: Flecha es la deformación de un punto respecto a la directriz de la barra de la que forma parte (figura 5.1.1).

Figura 5.1.1 Desplazamiento vs. flecha

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Relación deformación-tensión

Experimentalmente, se puede apreciar que cuando se somete un elemento a una fuerza, éste se deforma proporcionalmente a dicha fuerza. Este comportamiento lleva a definir la ley de Hooke: ∆L = P x L / A x E Dónde: E: Módulo de proporcionalidad. ∆L: Alargamiento o acortamiento de la barra. L: Longitud inicial de la barra. P: Fuerza de tracción o compresión aplicada en la barra. A: Área de la barra. Teniendo en cuenta que P / A = σ y que el módulo de alargamiento unitario ε = ∆L / L, llegamos a la expresión más conocida de dicha ley: E = σ/ε Donde E es el denominado Módulo de Young.En el cuadro siguiente podemos ver determinados valores de E para diversos materiales:

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