Drenado De Tanques

ESCUELA DE POSGRADO DE LA FACULTAD DE INGENIERIA QUIMICA

DETERMINACION DEL COEFICIENTE DE DESCARGA (K) EN EL DRENADO DE UN TANQUE PARALELEPÍPEDO

CATEDRA:

MATEMATICA AVANZADA PARA LA INGENIERIA QUIMICA

DESTINATARIO:

MS. USCAMAYTA VERASTEGUI DAVID

ALUMNOS:

BALTAZAR CHACÓN ANINA RAQUEL ESPINOZA RAMOS DIEGO JAVIER SOTO DELGADILLO MISHEL STEFANY

SEMESTRE:

I

FECHA:

09/0917

HUANCAYO 2017

RESUMEN La descarga de tanques, por más simple que parezca, es quizá una de las prácticas más utilizadas en la industria. Todo proceso que se lleva a cabo en un tanque incluye un proceso de vaciado del mismo. Es por ello la gran importancia de esta operación y su estudio. El principal objetivo de este trabajo es determinar de forma experimental el coeficiente de descarga (K) para el drenado de un tanque paralelepípedo, para se realizó la práctica de drenado de líquido en dicho tanque, utilizando un modelo matemático, tomando en cuenta intervalo de tiempos de 15 segundos. Se determinó de forma experimental el tiempo de vaciado del líquido del tanque, para luego compararlos con datos experimentales que verifique el modelo utilizado. Para el desarrollo experimental se utilizó un tanque pequeño paralelepípedo utilizándose aguan con colorante. El líquido empezó a fluir por efecto de la gravedad por un orificio pequeño de área 0.0004 m2 en simultaneo se midió las alturas cada 15 segundos, además se consideró un tiempo final (tiempo de vaciado) cuando el flujo de salida fue discontinuo, considerándose la altura igual a cero.

INTRODUCCION Las múltiples aplicaciones en la industria es de vital importancia conocer con gran exactitud un modelo que determine el tiempo que transcurre para que un tanque o un recipiente descargue su contenido, esto ha sido estudiado ampliamente y se han publicado modelos que representan este fenómeno. Por medio de la aplicación de los principios de conservación de masa se formuló un modelo matemático que describe el vaciado de un tanque al que no se le repone agua, para ser validado experimentalmente Esta práctica tiene como objetivo determinar experimentalmente el coeficiente de descarga (k) para el drenado de un tanque paralelepípedo. Se midió las alturas en intervalos de tiempo de cada 13 segundos, para luego ser comparados con datos experimentales que verifique el modelo utilizado. Los datos obtenidos en la realización de esta práctica a nivel laboratorio son introducidos a un programa de Excel de donde se analizarán los resultados obtenidos, a fin de explicar el fenómeno ocurrido.

OBJETIVO GENERAL: 

Determinar experimentalmente el Coeficiente de descarga (k) para el drenado de un tanque paralelepípedo.

OBJETIVOS ESPECIFICOS: 

Comparar el coeficiente de descarga (k) hallado experimentalmente con el coeficiente teórico.



Comparar los tiempos hallados con el coeficiente de descarga (k) experimental mediante el modelo matemático con los tiempos tomados en el experimento.



Comparar el tiempo de vaciado hallado con el coeficiente de descargar (k) experimental mediante el modelo matemático con el tiempo de vaciado tomado en el experimento

MARCO TEÓRICO En muchas industrias existe en un momento dado la necesidad de vaciar sus tanques sea con fines de limpieza temporaria o simplemente para efectuar algún trabajo de mantenimiento en los mismo. El vaciado de tanques y recipientes, así como la trasferencia de productos entre ellos son operaciones frecuentes en las plantas de procesos (almacenaje de petróleo y combustible, cervecerías, bodegas, lácteos, bebidas en general, etc.) Estas operaciones pueden efectuarse por medio de bombas o bien por convección natural aprovechando la diferencia de niveles entre tanques. Este último caso es importante conocer los tiempos requeridos dado que pueden ser importantes para la operación y la planificación de actividades varias sobre estos equipos, con lo que se demuestra la importancia de sus aplicaciones en la industria.

VACIADO DE TANQUES Y RECIPIENTES El vaciado de tanques y recipientes es un proceso en régimen no estacionario, dado que tenemos una salida de masa del sistema a una velocidad variable que depende del nivel del líquido del mismo. Al no haber ingreso de masas al tanque, esta descarga provocara un cambio en el contenido inicial en el equipo, de modo que podemos plantear el balance general de masas y energía del sistema de la siguiente forma.

TEOREMA DE TORRICELLI

TIEMPO DE DRENAJE A PARTIR DEL TEOREMA DE BERNOULLI Un depósito cilíndrico, de sección S1 tiene un orificio muy pequeño en el fondo de sección S2 mucho más pequeña que S1. Aplicamos el teorema de Bernoulli a los puntos (1) y (2) situados en la superficie libre del fluido y en el centro del orificio inferior.

suponiendo

que

la

velocidad

del

fluido

en

la

sección

mayor S1 es

despreciable v1= 0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la sección menor S2.

Por otra parte, el elemento de fluido delimitado por las secciones S1 y S2 está en contacto con el aire a la misma presión. Luego, p1=p2=p0. La diferencia de alturas es y1-y2=h. Siendo h la altura de la columna de fluido Con estos datos la ecuación de Bernoulli se escribe

VACIADO DE UN TANQUE En la deducción del teorema de Torricelli hemos supuesto que la velocidad del fluido en la sección mayor S1 es despreciable v1

=

0 comparada con la velocidad del fluido v2 en la

sección menor S2. Supondremos ahora, que v1 no es despreciable frente a v2. La ecuación de continuidad se escribe

v1S1=v2S2

y la ecuación de Bernoulli De estas dos ecuaciones obtenemos v1 y v2

Si S1>>S2 obtenemos el resultado de Torricelli El volumen de fluido que sale del depósito en la unidad de tiempo es S2v2, y en el tiempo dt será S2v2dt . Como consecuencia disminuirá la altura h del depósito -S1dh= S2v2dt Si la altura inicial del depósito en el instante t=0 es H. Integrando esta ecuación diferencial, obtenemos la expresión de la altura h en función del tiempo.

Cuando h=0, despejamos el tiempo t que tarda el depósito en vaciarse por completo.

Si S1>>S2, se puede despreciar la unidad

Ejemplo. 

Radio del depósito 10 cm, luego, S1=p (0.1)2 m2



Radio del orificio 0.8 cm, luego, S2=p (0.008)2 m2



Altura inicial 45 cm, H=0.45 m

Sustituyendo estos datos en la fórmula del tiempo obtenemos t=47.34 s, que es el tiempo que tarda en vaciarse completamente el depósito. Si aplicamos la aproximación S1>>S2, obtenemos prácticamente el mismo tiempo t=47.35 s.

PARTE EXPERIMENTAL MATERIALES:  Regla metálica milimetrada.  Agua con colorante. EQUIPOS:  Tanque paralelepípedo, con un orificio para el drenado.  Filmadora.  Cronómetro. PROCEDIMIENTO:  En primer lugar, se debe de llenar el tanque con agua y el colorante hasta llegar a una altura de 10cm.  Colocar al lado del tanque un celular en el cual se pueda registrar el tiempo.  Dejar que el líquido fluya a intervalos de 15 segundos y tomar nota de los resultados

DATOS EXPERIMENTALES Y RESULTADOS Determinación del Modelo Matemático: Teniendo en cuenta la siguiente Ecuación que describe el drenado de un Tanque: 𝑑𝑣 𝑑𝑡

= −𝑘. 𝐴0 . 𝑣

(1)

Además, las siguientes Ecuaciones de Energía Potencial y Cinética: 𝐸𝑃 = 𝑚. 𝑔. ℎ 1 𝐸𝐶 = 𝑚. 𝑣 2 2 Igualando las Energías: 𝐸𝑃 = 𝐸𝐶 1 𝑚. 𝑔. ℎ = 𝑚. 𝑣 2 2 2. 𝑔. ℎ = 𝑣 2 Ley de Torricelli 𝑣 = √2𝑔ℎ

(2)

Además, se considera el Cálculo diferencial del Volumen 𝑑𝑣 𝑑𝑡

𝑑ℎ

= 𝐴 𝑇 . 𝑑𝑡

(3)

Hallando En (1) 𝐴𝑇 .

𝑑ℎ = −𝑘. 𝐴0 . √2𝑔ℎ 𝑑𝑡

𝑑ℎ 𝐴0 = −𝑘. . √2𝑔ℎ 𝑑𝑡 𝐴𝑇 𝑑ℎ 𝑑𝑡

𝐴

= −𝑘. 𝐴0 . √2𝑔 . ℎ 𝑇

1⁄ 2

; 𝐴 𝑇 = 𝑙. 𝑎

𝐴

; −𝑘. 𝐴0 . √2𝑔 = 𝜙 es Constante 𝑇

𝑑ℎ 𝑑𝑡

= 𝜙 .ℎ

𝑑ℎ 1 ℎ ⁄2

1⁄ 2

=𝜙

ℎ 𝑑ℎ

𝑡

−1⁄ 2 . 𝑑ℎ

= 𝜙 ∫ 𝑑𝑡

∫𝐻 √ℎ = ∫0 𝜙 𝑑𝑡 ℎ

∫ ℎ

𝑡

𝐻

0 1

𝑡 ℎ−2+1 ℎ ∫ =𝜙 .𝑡 ∫ 1 0 − +1 𝐻 2

ℎ

1⁄ 2

1 2

ℎ

∫ =𝜙 .𝑡 𝐻 ℎ

2√ℎ ∫ = 𝜙 . 𝑡 𝐻 ℎ

√ℎ ∫ = 𝐻

𝜙 .𝑡 2

√ℎ − √𝐻 =

𝜙 .𝑡 2

Elevamos al cuadrado a ambos lados: ℎ = (√𝐻 +

𝜙 .𝑡 2 ) 2

Finalmente reemplazamos el valor de 𝜙 que es la constante para obtener el Modelo Matematico que describe el drenado de un Tanque:

𝒉 = (√𝑯 +

−𝑲. 𝑨𝟎 . √𝟐𝒈 . 𝒕)𝟐 𝟐. 𝒍. 𝒂

Del anterior se despeja la constante “k”:

𝑘=

2. 𝑙. 𝑎 𝐴0 . √2𝑔 . 𝑡

(√𝐻 − √ℎ)

Del Drenado del tanque se obtiene a los siguientes datos experimentales; “t” y “h”. del cual mediante el Modelo Matemático se puede hallar k, y kpromedio que será utilizado posteriormente.

TABLA 1 DETERMINACIÓN EXPERIMENTAL DE LOS RESULTADOS t(s) t0 t1 t2 t3 t4 t5 t6 t7 t8 t9

h(m) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135

h0 h1 h2 h3 h4 h5 h6 h7 h8 h9

k(exp) 0.1 0.079 0.061 0.045 0.031 0.02 0.012 0.006 0.002 0

0.62490 0.61538 0.61672 0.62279 0.62139 0.61226 0.60626 0.60321 0.62451 0.61638

k(teorico) 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6

t(real) 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135

t(teorico) 0 15.62 30.77 46.25 62.28 77.67 91.84 106.10 120.64 140.51

TIEMPO TEORICO DE VACIADO DEL TANQUE: 140.51 SEGUNDOS TIEMPO REAL DE VACIADO DEL TANQUE: 135 SEGUNDOS PROMEDIO DEL COEFICIENTE DE DESCARGA: 0.6

h(real) 0.1 0.079 0.061 0.045 0.031 0.02 0.012 0.006 0.002 0

GRAFICO 1 TIEMPO VS ALTURA

TIEMPO VS ALTURA 160 140

TIEMPO

120 100 80 60 40 20 0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

ALTURA

En la gráfica vemos una caída constante de la altura con respecto al tiempo, lo que indica que se obtuvo un resultado óptimo de la ecuación general y del coeficiente de descarga (k).

GRAFICO 2 TIEMPO VS CONSTANTE

TIEMPO VS CONSTANTE 6.40000E-01

6.36000E-01 6.32000E-01

CONSTANTE

6.28000E-01 6.24000E-01 6.20000E-01

6.16000E-01 6.12000E-01 6.08000E-01 6.04000E-01 6.00000E-01

0

20

40

60

80

100

120

140

160

TIEMPO

En la gráfica vemos la variación del coeficiente de descarga (k),

BIBLIOGRAFIA

- http://www.ingenieriaquimica.org/system/files/modelo-descargatanque.pdf - https://es.slideshare.net/paopedroza/aplicaciones-de-lasecuaciones-diferenciales-a-problemas-vaciado-de-tanques - http://fjartnmusic.com/Personal/6o_Semestre_files/DT.pdf - https://es.slideshare.net/alternativaborba/tiempo-descargarecipientes - https://www.researchgate.net/publication/262672964_Modelamie nto_Matematico_en_Ingenieria_Vaciado_de_Tanques

ANEXOS

TIEMPO DE VACIADO DE DIFERENTES TIPOS DE RECIPIENTES