Ejercicio 1_calculo Multivariado_alexis Pedroza Corregido
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Ejercicio 1_calculo Multivariado_alexis Pedroza Corregido as PDF for free.
More details
- Words: 1,226
- Pages: 11
Loading documents preview...
Ejercicio 1, Calculo Multivariado.
π°π = β¬(ππ )π(π, π)π π¨ πΉ
π°π = β¬(ππ )π(π, π)π π¨ πΉ
Graficamos las ecuaciones, con el fin de conocer sus lΓmites: MatemΓ‘ticamente evaluando: cuando y = 0 y = βπ 2 β π₯ 2 y 2 = π2 β π₯ 2 0 = π2 β π₯ 2 π₯ 2 = π2 + π₯= π β ππ (βπ, π) ππ (π, π)
Cuando x = 6 y = βπ 2 β π₯ 2 y = βπ2 β 62
y = βπ2 β 36
π¨π (π , βππ β ππ) π¨π (π , βππ β ππ) Para la Base: Determinamos la distancia de la recta comprendida entre los puntos ππ (βπ, π) ππ (π, π) Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = β(π₯2 β π₯1 )2 + (π¦2 β π¦1 )2 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = β(βπ β π)2 + (0 β 0)2 2 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅ 1 π΅2 = β(β2π) + 0
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = β(β2π)2 2 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅ 1 π΅2 = β4π Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = 2π
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = 2π; πππ π πππ ππππ‘ππππ’ππ π΅ = 2π
Determinamos la distancia de la recta comprendida entre los puntos
π΄1 (π , βππ β ππ) ππ (βπ, π) Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = β(π₯2 β π₯1 )2 + (π¦2 β π¦1 )2 Μ Μ Μ Μ Μ 1 = β(6 β (βπ))2 + (βππ β ππ β 0) π΄π΅ Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = β(6 + π)2 + (βππ β ππ)
2
2
Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = βπ2 + 12π + 36 + ππ β ππ Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = β2π2 + 12π + 36 + βππ Μ Μ Μ Μ Μ 1 = β2π2 + 12π π΄π΅ Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = β2π2 + 12π ; πππ‘π’ππ πππ ππππ‘ππππ’ππ π΄ = β2π2 + 12π ; πππ‘π’ππ πππ ππππ‘ππππ’ππ
Analizando las integrales: π°π = β¬(ππ )π(π, π)π π¨ πΉ
π°π = β¬(ππ )π(π, π)π π¨ πΉ
Para π = π€π± ππ πππππ. π°π = β¬(ππ )ππ π π¨ πΉ
π°π = β¬(ππ )ππ π π¨ πΉ
ππ΄ ππ ππ’πππππ ππ πΌπ¦ ππ΄ = βππ₯; πππππ β ππ ππ πππ‘π’ππ (π΄ β π¦). ππ΄ ππ ππ’πππππ ππ πΌπ₯ ππ΄ = πππ¦ ; πππππ π ππ ππ πππ π (π΅ β π₯).
π°π = ππ β¬(ππ ) π π¨ πΉ
π°π = ππ β¬(ππ ) bdy πΉ
π°π = ππ β¬(ππ )(B β x) β x β dy πΉ
Para y se tiene:
x = βπ2 β π¦ 2 π΅ = 2π π°π = ππ β¬(ππ )(2a β βπ2 β π¦2 )dy πΉ
π°π = ππ β¬(ππ ) β βπ2 β π¦2 β (2a β βπ2 β π¦2 )dy πΉ
π°π = π β¬(ππ β π)π π¨ πΉ
π°π = π β¬(ππ )hdx πΉ
π°π = π β¬(ππ )(A β y)dx πΉ
Para y se tiene:
y = βπ 2 β π₯ 2 π΄ = β2π2 + 12π
π°π = π β¬(ππ )(A β βπ2 β π₯2 )dx πΉ
π°π = π β¬(ππ )(β2π2 + 12π β βπ2 β π₯2 )dx πΉ
π°π = π β« (ππ )(β2π2 + 12π β βπ2 β π₯2 )dx πΉ
Definiendo lΓmites: π΄ = β2π2 + 12π π΅ = 2π
π°π = ππ β¬(ππ ) (2a β βπ2 β π¦2 ) dy πΉ π¨
π°π = ππ β« (ππ ) (2a β βπ2 β π¦2 ) dy π π΄
π΄
πΌπ₯ = 2π β π₯π β« (π¦ 2 ) dy β xk β« ππ β βπ2 β π¦2 ) dy 0
0
π°π = π β« (ππ )(β2π2 + 12π β βπ2 β π₯2 )dx π π¨
π°π = π β« (ππ )(β2π2 + 12π β βπ2 β π₯2 )dx πΉ π¨
π΄
π°π = β2π2 + 12π β π β« (ππ )π π β β« ππ β βπ2 β π₯2 dx π
0
Evaluando las integrales tenemos: π΄
π΄
πΌπ₯ = 2π β π₯π β« (π¦ 2 ) β dy β xk β« (π¦ 2 )βπ2 β π¦2 ) dy 0
0
https://www.youtube.com/watch?v=jjqvOjQFnhI π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦ 0
a y
βπ2 β π¦ 2 )
ππ¨π¬ π½ =
βπ2 β π¦2 π
π¬π’π§ π½ =
π β ππ¨π¬ π½ = βπ2 β π¦2
π π
π β π¬π’π§ π½ = π
dx = a β cos ΞΈ dΞΈ
dx = 2 β cos ΞΈ β dΞΈ
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦
= a β cos ΞΈ β a β cos ΞΈ β dΞΈ
0 π΄
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦ 0
= β« a2 β cos2 ΞΈ β dΞΈ 0
cos2 ΞΈ =
1 + cos 2π 2
π΄ 1 + cos 2π = β« a2 β ( ) β dΞΈ 2 0 π΄ 1 + cos 2π = β« a2 β ( ) β dΞΈ 2 0 π΄ 1 + cos 2π = a2 β« ( ) β dΞΈ 2 0
π΄
= a2 β« 0
β« cos 2π β ππ =
π΄ dΞΈ cos 2π +β« β dΞΈ = 2 2 0
sin 2π sinΞΈ β cos π + πΆ = π2 β ( 2 2
β« cos 2π β ππ = π΄
= π2 β« 0
π΄ dΞΈ cos 2π +β« β dΞΈ = 2 2 0
(π2 β
)+πΆ
sin 2π 2 ΞΈ sinΞΈ β cos π + π2 β )+C 2 2
En funciΓ³n de X a y
βπ2 β π¦ 2 )
π π
π¬π’π§ π½ = πππ§ π½ =
π βπ2 β π¦2 )
β« cos 2π β ππ =
π π ( ) = ππππππ ( ) π π π π½ = πππ§βπ ( ) βπ2 β π¦2 )
π½ = π¬π’π§βπ
sin 2π sinΞΈ β cos π +πΆ = ( 2 2
π¬π’π§ ππ½ = 2 β sin π cos π =
ππ¨π¬ π½ =
βπ2 β π¦2 π
)+πΆ =
sinΞΈ β cos π +πΆ 2
π β πππ§ π½ π + πππ§π½π
π β ππ¨π¬ π½ = βπ2 β π¦2
π΄
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦ 0
=
π΄
π΄ dΞΈ cos 2π + π2 β« β dΞΈ = 2 0 2 0 π πππ§βπ ( ) 2 2) sinΞΈ β cos π β π β π¦ a2 β ( + π 2
= a2 β«
)+C
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦ 0
=
π΄ dΞΈ sinΞΈ β cos π + π2 β« β dΞΈ = 2 0 2 0 π πππ§βπ ( ) π βπ2 β π¦2 2 β π¦2 ) (π) β β π π a2 β ( + )+C π 2
= a2 β«
π΄
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦
π΄ dΞΈ sinΞΈ β cos π + π2 β« β dΞΈ = 2 0 2 0 π π βπ2 β π¦2 πππ§βπ ( ) β a2 ( )β 2 βπ β π¦2 ) ππ + π 2
= a2 β«
0
= (
) πππ§βπ (
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦
+C
= (
π βπ2
) β a2
β π¦2 )
π
0
+
π¦ β βπ2 β π¦2 )+C 2
RESULTADOS. π¨
π΄
π°π = β2π2 + 12π β π β« (ππ )π π β β« ππ β βπ2 β π₯2 dx π
π°π = β2π2 + 12π β π
π΄
0 π΄ ππ β β« ππ β βπ2 β π₯2 dx π 0
π΄
πΌπ₯ = 2π β π₯π β« (π¦ 2 ) β dy β xk β« (π¦ 2 )βπ2 β π¦2 ) dy 0
πΌπ₯ = 2π β π₯π
0
π΄ π¦3 β xk β« (π¦ 2 )βπ2 β π¦2 ) dy 3 0
π°π = β¬(ππ )π(π, π)π π¨ πΉ
π°π = β¬(ππ )π(π, π)π π¨ πΉ
Graficamos las ecuaciones, con el fin de conocer sus lΓmites: MatemΓ‘ticamente evaluando: cuando y = 0 y = βπ 2 β π₯ 2 y 2 = π2 β π₯ 2 0 = π2 β π₯ 2 π₯ 2 = π2 + π₯= π β ππ (βπ, π) ππ (π, π)
Cuando x = 6 y = βπ 2 β π₯ 2 y = βπ2 β 62
y = βπ2 β 36
π¨π (π , βππ β ππ) π¨π (π , βππ β ππ) Para la Base: Determinamos la distancia de la recta comprendida entre los puntos ππ (βπ, π) ππ (π, π) Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = β(π₯2 β π₯1 )2 + (π¦2 β π¦1 )2 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = β(βπ β π)2 + (0 β 0)2 2 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅ 1 π΅2 = β(β2π) + 0
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = β(β2π)2 2 Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅ 1 π΅2 = β4π Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = 2π
Μ Μ Μ Μ Μ Μ Μ π΅1 π΅2 = 2π; πππ π πππ ππππ‘ππππ’ππ π΅ = 2π
Determinamos la distancia de la recta comprendida entre los puntos
π΄1 (π , βππ β ππ) ππ (βπ, π) Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = β(π₯2 β π₯1 )2 + (π¦2 β π¦1 )2 Μ Μ Μ Μ Μ 1 = β(6 β (βπ))2 + (βππ β ππ β 0) π΄π΅ Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = β(6 + π)2 + (βππ β ππ)
2
2
Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = βπ2 + 12π + 36 + ππ β ππ Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = β2π2 + 12π + 36 + βππ Μ Μ Μ Μ Μ 1 = β2π2 + 12π π΄π΅ Μ Μ Μ Μ Μ π΄π΅1 = β2π2 + 12π ; πππ‘π’ππ πππ ππππ‘ππππ’ππ π΄ = β2π2 + 12π ; πππ‘π’ππ πππ ππππ‘ππππ’ππ
Analizando las integrales: π°π = β¬(ππ )π(π, π)π π¨ πΉ
π°π = β¬(ππ )π(π, π)π π¨ πΉ
Para π = π€π± ππ πππππ. π°π = β¬(ππ )ππ π π¨ πΉ
π°π = β¬(ππ )ππ π π¨ πΉ
ππ΄ ππ ππ’πππππ ππ πΌπ¦ ππ΄ = βππ₯; πππππ β ππ ππ πππ‘π’ππ (π΄ β π¦). ππ΄ ππ ππ’πππππ ππ πΌπ₯ ππ΄ = πππ¦ ; πππππ π ππ ππ πππ π (π΅ β π₯).
π°π = ππ β¬(ππ ) π π¨ πΉ
π°π = ππ β¬(ππ ) bdy πΉ
π°π = ππ β¬(ππ )(B β x) β x β dy πΉ
Para y se tiene:
x = βπ2 β π¦ 2 π΅ = 2π π°π = ππ β¬(ππ )(2a β βπ2 β π¦2 )dy πΉ
π°π = ππ β¬(ππ ) β βπ2 β π¦2 β (2a β βπ2 β π¦2 )dy πΉ
π°π = π β¬(ππ β π)π π¨ πΉ
π°π = π β¬(ππ )hdx πΉ
π°π = π β¬(ππ )(A β y)dx πΉ
Para y se tiene:
y = βπ 2 β π₯ 2 π΄ = β2π2 + 12π
π°π = π β¬(ππ )(A β βπ2 β π₯2 )dx πΉ
π°π = π β¬(ππ )(β2π2 + 12π β βπ2 β π₯2 )dx πΉ
π°π = π β« (ππ )(β2π2 + 12π β βπ2 β π₯2 )dx πΉ
Definiendo lΓmites: π΄ = β2π2 + 12π π΅ = 2π
π°π = ππ β¬(ππ ) (2a β βπ2 β π¦2 ) dy πΉ π¨
π°π = ππ β« (ππ ) (2a β βπ2 β π¦2 ) dy π π΄
π΄
πΌπ₯ = 2π β π₯π β« (π¦ 2 ) dy β xk β« ππ β βπ2 β π¦2 ) dy 0
0
π°π = π β« (ππ )(β2π2 + 12π β βπ2 β π₯2 )dx π π¨
π°π = π β« (ππ )(β2π2 + 12π β βπ2 β π₯2 )dx πΉ π¨
π΄
π°π = β2π2 + 12π β π β« (ππ )π π β β« ππ β βπ2 β π₯2 dx π
0
Evaluando las integrales tenemos: π΄
π΄
πΌπ₯ = 2π β π₯π β« (π¦ 2 ) β dy β xk β« (π¦ 2 )βπ2 β π¦2 ) dy 0
0
https://www.youtube.com/watch?v=jjqvOjQFnhI π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦ 0
a y
βπ2 β π¦ 2 )
ππ¨π¬ π½ =
βπ2 β π¦2 π
π¬π’π§ π½ =
π β ππ¨π¬ π½ = βπ2 β π¦2
π π
π β π¬π’π§ π½ = π
dx = a β cos ΞΈ dΞΈ
dx = 2 β cos ΞΈ β dΞΈ
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦
= a β cos ΞΈ β a β cos ΞΈ β dΞΈ
0 π΄
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦ 0
= β« a2 β cos2 ΞΈ β dΞΈ 0
cos2 ΞΈ =
1 + cos 2π 2
π΄ 1 + cos 2π = β« a2 β ( ) β dΞΈ 2 0 π΄ 1 + cos 2π = β« a2 β ( ) β dΞΈ 2 0 π΄ 1 + cos 2π = a2 β« ( ) β dΞΈ 2 0
π΄
= a2 β« 0
β« cos 2π β ππ =
π΄ dΞΈ cos 2π +β« β dΞΈ = 2 2 0
sin 2π sinΞΈ β cos π + πΆ = π2 β ( 2 2
β« cos 2π β ππ = π΄
= π2 β« 0
π΄ dΞΈ cos 2π +β« β dΞΈ = 2 2 0
(π2 β
)+πΆ
sin 2π 2 ΞΈ sinΞΈ β cos π + π2 β )+C 2 2
En funciΓ³n de X a y
βπ2 β π¦ 2 )
π π
π¬π’π§ π½ = πππ§ π½ =
π βπ2 β π¦2 )
β« cos 2π β ππ =
π π ( ) = ππππππ ( ) π π π π½ = πππ§βπ ( ) βπ2 β π¦2 )
π½ = π¬π’π§βπ
sin 2π sinΞΈ β cos π +πΆ = ( 2 2
π¬π’π§ ππ½ = 2 β sin π cos π =
ππ¨π¬ π½ =
βπ2 β π¦2 π
)+πΆ =
sinΞΈ β cos π +πΆ 2
π β πππ§ π½ π + πππ§π½π
π β ππ¨π¬ π½ = βπ2 β π¦2
π΄
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦ 0
=
π΄
π΄ dΞΈ cos 2π + π2 β« β dΞΈ = 2 0 2 0 π πππ§βπ ( ) 2 2) sinΞΈ β cos π β π β π¦ a2 β ( + π 2
= a2 β«
)+C
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦ 0
=
π΄ dΞΈ sinΞΈ β cos π + π2 β« β dΞΈ = 2 0 2 0 π πππ§βπ ( ) π βπ2 β π¦2 2 β π¦2 ) (π) β β π π a2 β ( + )+C π 2
= a2 β«
π΄
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦
π΄ dΞΈ sinΞΈ β cos π + π2 β« β dΞΈ = 2 0 2 0 π π βπ2 β π¦2 πππ§βπ ( ) β a2 ( )β 2 βπ β π¦2 ) ππ + π 2
= a2 β«
0
= (
) πππ§βπ (
π΄
β« βπ2 β π¦2 ) ππ¦
+C
= (
π βπ2
) β a2
β π¦2 )
π
0
+
π¦ β βπ2 β π¦2 )+C 2
RESULTADOS. π¨
π΄
π°π = β2π2 + 12π β π β« (ππ )π π β β« ππ β βπ2 β π₯2 dx π
π°π = β2π2 + 12π β π
π΄
0 π΄ ππ β β« ππ β βπ2 β π₯2 dx π 0
π΄
πΌπ₯ = 2π β π₯π β« (π¦ 2 ) β dy β xk β« (π¦ 2 )βπ2 β π¦2 ) dy 0
πΌπ₯ = 2π β π₯π
0
π΄ π¦3 β xk β« (π¦ 2 )βπ2 β π¦2 ) dy 3 0
Related Documents
Ejercicio 1_calculo Multivariado_alexis Pedroza Corregido
January 2021 1
Ejercicio 13.36 Corregido
February 2021 1
Plomo Corregido
February 2021 1
Balance Corregido
January 2021 1
Horarios Corregido
March 2021 0
Ejercicio
February 2021 1More Documents from "LuCho Siguenza"
El Hombre Un Ser Multidimensional
February 2021 1
Ejercicio 1_calculo Multivariado_alexis Pedroza Corregido
January 2021 1
