Ejercicios Propuestos Vf.pdf

EJERCICIOS PROPUESTOS UNIVERSIDAD DE TALCA UNIDAD 3 Profesor: Fernanda Fuentes [email protected] 1. Los registros estatales de verificación de emisiones indican que de todos los vehículos verificados durante el año anterior, el 70% pasaron en el primer intento. Una muestra de 200 carros probados en un condado particular durante el año en curso da 124 que pasaron en la prueba inicial. ¿Sugiere esto que la proporción verdadera en este condado durante el año en curso difiere de la proporción a nivel estatal previa? Pruebe las hipótesis apropiadas con nivel de significación de 0.05. Diga cuáles es el parámetro de interés, y concluya en los términos del problema planteado. 2. Los siguientes datos de resistencia a la flexión (lb-pulg- /pulg) de juntas se tomaron del artículo “Bending Strength of Corner Joints Constructed with Injection Molded Splines” (Forest Products J., abril de 1997: 89-92). Tipo

Tamaño de la muestra

Media muestral

Desviación estandar muestral

Sin recubrimiento lateral

10

80.95

9.59

Con recubrimiento lateral

10

63.23

5.96

Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre las resistencias promedio verdaderas de los dos tipos de juntas. Asuma varianzas poblacionales iguales. 3. En un estudio de deficiencia de cobre en ganado, se determinaron los valores de cobre (µg Cu/100 ml de sangre) tanto para ganado apacentado en un área donde se sabe que existen anomalías bien definidas provocadas por molibdeno (valores de contenido del metal que exceden el rango normal de variación regional) y para ganado apacentado en área sin anómala. (“An Investigation into Copper Deficiency in Cattle in the Southern Pennines”, J. Agricultural Soc. Cambridge, 1972: 157-163), con el resultado s1 = 21.5(n1 = 48) en la condición anómala y s2 = 19.45(n2 = 45) para la condición no anómala. Pruebe en cuanto a igualdad contra desigualdad de varianzas de población. Plantee las hipótesis a comparar, diga cuales son los parámetros de interés, y concluya en los términos del problema planteado para un nivel de significación α = 0.05 2

4. Una muestra aleatoria de n=18 especímenes de prueba de fibra de vidrio E de un tipo dio un esfuerzo de cedencia por esfuerzo cortante interfacial medio muestral de 30.2 y una desviación estándar muestral de 3.1 (“On Interfacial Failure in Notched Unidirectional Glass/Epoxy Composites”, J. of Composite Materials, 1985: 276–286). Suponiendo que el esfuerzo de cedencia por esfuerzo cortante interfacial está normalmente distribuido, calcule un intervalo de confianza de 95% para el esfuerzo promedio verdadero (como lo hicieron los autores del artículo citado). 5. El artículo “Measuring and Understanding the Aging of Kraft Insulating Paper in Power Transformers” (IEEE Electrical Insul. Mag., 1996: 28-34) contiene las siguientes observaciones de grado de polimerización de especímenes de papel para los cuales la concentración de tiempos de viscosidad cayeron en un rango medio y alto : Rango medio

418

421

421

422

425

427

431

434

437

439

446

Rango Alto

429

430

430

431

436

437

440

441

445

446

447

447

448

453

454

463

465

Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre el grado promedio verdadero de polimerización del rango medio y del rango alto. Asuma varianzas poblacionales iguales 6. El toxafen es un insecticida que ha sido identificado como contaminante en el ecosistema de los Grandes Lagos. Para investigar el efecto de la exposición al toxafen en animales, a grupos de ratas se les administró toxafen en su dieta. El artículo “Reproduction Study of Toxaphene in the Rat”(J. of Environ. Sci. Health, 1988: 101-126) reporta aumentos de peso (en gramos) de ratas a las que se les administró una dosis baja (4 ppm) y de ratas de control cuya dieta no incluía el insecticida. La desviación estándar de muestra de 23 ratas hembra de control fue de 32 g y de 20 ratas hembra sometidas a dosis bajas fue de 54 g. ¿Sugieren estos datos que existe más variabilidad en los incrementos de peso a dosis bajas que en los incrementos de peso en las ratas de control? Suponiendo normalidad, realice una prueba de hipótesis con un nivel de significación de 0.05. 7. A medida que la población envejece existe una creciente preocupación sobre lesiones relacionadas con accidentes que sufren las personas de edad. El artículo “Age and Gender Differences in Single-Step Recovery from a Forward Fall” (J. of Gerontology, 1999: M44M50) reportó sobre un experimento en el cual el ángulo de inclinación máximo, lo más lejos que un sujeto es capaz de inclinarse y aún enderezarse en un solo paso, se determinó tanto para una muestra de mujeres jóvenes (21-29 años) y una muestra de mujeres mayores (67-81 años). Las siguientes observaciones son consistentes con los datos que aparecen en el artículo: MJ:

29

34

33

27

28

MM:

18

15

23

13

12

3

32

31

34

32

27

¿Sugieren los datos que el ángulo de inclinación máximo promedio de mujeres mayores es más de 10 grados menor que el de mujeres jóvenes? Formule y pruebe las hipótesis pertinentes a nivel de significación de 0.10. Asuma varianzas poblacionales distintas 8. Los desórdenes musculoesqueléticos del cuello y hombro son comunes entre empleados de oficina que realizan tareas repetitivas mediante pantallas de visualización. El artículo “UpperArm Elevation During Office Work” (Ergonomics, 1996: 1221-1230) reportó sobre un studio para determinar si condiciones de trabajo más variadas habrían tenido algún impacto en el movimiento del brazo. Los datos adjuntos se obtuvieron con una muestra de n=16 sujetos. Cada observación es la cantidad de tiempo, expresada como una proporción de tiempo total observado, durante el cual la elevación del brazo fue de menos de 30°. Las dos mediciones de cada sujeto se obtuvieron con una separación de 18 meses. Durante este periodo, las condiciones de trabajo cambiaron y se permitió que los sujetos realizaran una variedad más amplia de tareas. ¿Sugieren estos datos que el tiempo promedio verdadero durante el cual la elevación es de menos de 30° luego del cambio difiere de lo que era antes del mismo? Sujeto

1

2

3

4

5

6

7

8

Antes

81

87

86

82

90

86

96

73

Después

78

91

78

78

84

67

92

70

Diferencia

3

-4

8

4

6

19

4

3

Sujeto

9

10

11

12

13

14

15

16

Antes

74

75

72

80

66

72

56

82

Después

58

62

70

58

66

60

65

73

Diferencia

16

13

2

22

0

12

-9

9

9. Una muestra de 300 residentes adultos urbanos de un estado particular reveló que 63 estaban a favor de incrementar el límite de velocidad en las autopistas de 55 a 65 mph, en tanto que una muestra de 180 residentes rurales arrojó que 75 estaban a favor del incremento. ¿Indican estos datos que el sentimiento en cuanto a incrementar el límite de velocidad es diferente en los dos grupos de residentes? Utilice α=0.10. 10. La ración dietética diaria recomendada de zinc entre varones de más de 50 años es de 15 mg/día. El artículo “Nutrient Intakes and Dietary Patterns of Older Americans: A National Study” reporta los siguientes datos de ingesta con una muestra de varones de 65-74 años, n=115, x¯=11.3 y s=6.43. Utilice α=0.01. (a) ¿Indican estos datos que la ingesta de zinc diaria promedio en la población de todos los varones de 65-74 años queda por debajo de la ración recomendada? 4

(b) Calcule un intervalo de confianza para la varianza poblacional de ingesta de zinc 11. Los datos adjuntos se obtuvieron en un estudio para evaluar el potencial de licuefacción en una planta de energía nuclear (“Cyclic Strenghts Compared for Two Sampling Techniques”, J. Geotechnical Division, Amer. Soc. Civil Engrs. Proceedings, 1981: 563-576). Se recopilaron muestras de suelo mediante un método de jarro y un método de bloque y se obtuvieron los siguientes valores observados de densidad en seco (lb/pie3). Muestreo con jarro 101.1 111.1 107.6 98.1 99.5 98.7 103.3 108.9 109.1 104.1 110.0 98.4 105.1 Muestreo con bloque 107.1 105.0 98.0 97.9 103.3 104.6 100.1 98.2 97.9 103.2 96.9 (a) Calcule un intervalo de confianza al 95% para la razón de varianzas poblacionales. (b) Determine la longitud de un intervalo de confianza al 90% para la diferencia entre el promedio de la densidad en seco mediante el método de jarro y método de bloque. Considere varianzas poblacionales iguales 12. Se cree que la portada en encuestas por correo influyen en la proporción de respuestas. El artículo “The Impact of Cover Design and First Questions on Response Rates for a Mail Survey of Skydivers” puso a prueba esta teoría experimentando con diferentes diseños de portadas. Una era simple, la otra utilizaba la imagen de un paracaidista. Los investigadores especularon que la proporción de respuestas sería más baja con la portada simple. Portada

Número enviado

Número Regresado

Simple

207

104

Paracaidista

213

109

(a) ¿Confirman estos datos la hipótesis de los investigadores? Pruebe la hipótesis pertinente con α=0.10. 13. Una biblioteca de una universidad realiza un inventario general una vez al año. Debido a las nuevas reglas de colocación en los estantes instituidos el año anterior, el jefe bibliotecario cree que puede ser posible ahorrar dinero si pospone el inventario. El bibliotecario decide seleccionar al azar 1000 libros de la colección de la biblioteca y hacer que los localicen de una manera preliminar. Si la evidencia indica fuertemente que la proporción verdadera de libros mal colocados o ilocalizables es menor que 0.02, entonces el inventario se pospondrá. a. Entre los 1000 libros buscados, 15 estaban mal colocados o ilocalizables. Pruebe las hipótesis pertinentes y aconseje al bibliotecario qué hacer (use α= 0.05). 14. El dolor de espalda baja (DEB) es un serio problema de salud en muchos entornos industriales. El artículo “Isodynamic Evaluation of Trunk Muscles and Low-Back Pain Among Workers in a Steel Factory” (Ergnomics, 1995: 2107-2117) reportó los datos adjuntos sobre rango 5

lateral de movimiento (grados) para una muestra de trabajadores sin antecedentes de dolor de espalda baja y otra muestra con antecedentes de esta dolencia. Condicion

Tamaño de la muestra

Media muestral

DE muestral

sin DEB

28

91.5

5.8

con DEB

31

88.3

7.8

(a) Calcule un intervalo de confianza de 90% para la diferencia entre el grado de movimiento lateral medio de la población para las dos condiciones. ¿El intervalo sugiere que el movimiento lateral medio difiere en las dos condiciones? 15. Se requiere información sobre la postura de la mano y las fuerzas generadas por los dedos durante la manipulación de varios objetos cotidianos para diseñar prótesis de alta tecnología para la mano. El artículo “Grip Posture and Forces During Holding Cylindrical Objects with Circular Grips” (Ergonomics, 1996: 1163-1176) reportó que para una muestra de 11 mujeres, la fuerza de opresión media con cuatro dedos (N) fue de 98.1 y la desviación estándar fue de 14.2. Para una muestra de 15 hombres, la media y la desviación estándar fueron de 129.2 y 39.1, respectivamente. (a) Una prueba realizada para ver si las fuerzas promedio verdaderas para los dos géneros eran diferentes dio por resultado t= -2.84. ¿Da el procedimiento de prueba apropiado descrito en este capítulo este valor de t? (b) ¿Existe evidencia sustancial para concluir que la fuerza promedio verdadera para hombres excede la de la fuerza de mujeres por más de 25 N? Formule y pruebe las hipótesis pertinentes. 16. Una empresa dedicada a la entrega de informes para consumidores estudia el precio de un artículo en dos ciudades: A y B, donde se sabe que en cada ciudad el precio del artículo distribuye Normal; seleccionando una muestra de 31 negocios en A y 35 negocios en B, obteniendo: CIUDAD

Precio promedio

DE muestral

N° negocios que cobran más de 25000

A

24000

1000

5

B

21000

2000

13

(a) Se dice que una ciudad es más cara, si en término medio vende más caro. ¿Es A, más cara que B?. Use α=0.10. (b) Se dice que una ciudad es más cara, si el porcentaje de negocios que vende caro (en este caso más de $25000) es mayor. ¿Es B, más cara que A?. Use α=0.10. 17. Para probar el efecto de un nuevo tratamiento médico se toma una prueba a un grupo de 10 individuos y posteriormente se les somete al tratamiento, tomándoseles al final una nueva 6

prueba. Los resultados obtenidos (en escala de 0 - 100) antes y después del entrenamiento son: 1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Nota antes

40

65

30

57

60

70

25

45

38

65

Nota después

50

70

45

65

65

65

40

50

50

65

(a) ¿Es posible afirmar que el tratamiento incrementa los resultados en más de 5 puntos en término medio?. Asuma que los puntajes obtenidos distribuyen Normal, y concluya con un α=5%. Asuman varianzas poblacionales iguales. 18. ¿Se ve afectada la proporción de respuestas a cuestionarios si se incluye un incentivo por responder junto con el cuestionario? en un experimento, de 110 cuestionarios sin incentivo 75 fueron regresados, en tanto que 98 cuestionarios que incluían la oportunidad de ganar un premio de lotería dieron por resultado 66 respuestas (“Charities, No; Lotteries, No; Cash, Yes”, Public Opinion Quarterly, 1996: 542- 562). ¿Sugieren estos datos que la inclusión de un incentivo incrementa la probabilidad de una respuesta? Formule y pruebe las hipótesis pertinentes a un nivel de significación de 0.10. 19. El artículo “Enhancement of Compressive Properties of Failed Concrete Cylinders with Polymer Impregnation” (J. Testing and Evaluation, 1977: 333-337) reporta los siguientes datos sobre módulo de compresión impregnado (lb-/pulg2 $ 106) cuando se utilizaron dos polímeros diferentes para reparar grietas en concreto que falló. EPOXY

1.75

2.12

2.05

1.97

PREPOLIMERO MMA

1.77

1.59

1.70

1.69

(a) Obtenga un IC del 90% para el radio de varianzas para el primer uso del método sugerido en el texto para obtener una fórmula general para el intervalo de confianza. 20. El artículo “Flexure of Concrete Beams Reinforced with Advanced Composite Orthogrids” (J. of Aerospace Engr., 1997: 7-15) dio los datos adjuntos sobre carga última (kN) de dos tipos diferentes de vigas. TIPO

Tamaño de la muestra

Media muestral

DE muestral

Malla de fibra de vidrio

26

33.4

2.2

Malla de carbono comercial

26

42.8

4.3

(a) Suponiendo que las distribuciones subyacentes son normales, calcule un intervalo de confianza de 99% para la diferencia entre carga promedio verdadera para las vigas de fibra de vidrio y la de vigas con fibra de carbono. b. ¿Sugiere fuertemente que la carga promedio verdadera de la vigas de fibra de carbono es más grande que la de las vigas de fibra de vidrio? Explique. 7

21. En un estudio sobre el punto de fusión de un nuevo material, se hicieron 9 determinaciones obteniéndose los siguientes resultados (Puntos de Fusión): 1500 1481 1498 1504 1473 1502 1525 1508 1500 Haciendo los supuestos que estime necesarios, responda: a) Construya un intervalo de confianza del 98% para la estimación media del Punto de Fusión de este material. b) Si se desea estimar el Punto de Fusión con un margen de error igual al obtenido en (a.), pero al 99% de confianza, ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra? 22. La Prensa Asociada (9 de octubre de 2002) reportó que en una encuesta de 4722 jóvenes estadounidenses de 6 a 19 años de edad, 15% sufría de problemas serios de sobrepeso (un índice de masa corporal de por lo menos 30; este índice mide el peso con respecto a la estatura). Calcule e interprete un intervalo de confianza utilizando un nivel de confianza de 99% para la proporción de todos los jóvenes estadounidenses con un problema de sobrepeso serio. 23. 5. Se seleccionó una muestra aleatoria de 487 mujeres no fumadoras de peso normal (índice de masa corporal entre 19.8 y 26.0) que había dado a luz en un gran centro médico metropolitano (“The Effects of Cigarette Smoking and Gestational Weight Change on Birth Outcomes in Obese and Normal Weight Women”, Amer. J. of Public Health, 1997: 591-596). Se determinó que 7.2% de estos nacimientos dieron por resultado niños con bajo peso al nacer (menos de 2500 g). Calcule un límite de confianza superior utilizando un nivel de confianza de 99% para la proporción de todos esos nacimientos que dieron por resultado niños de bajo peso al nacer 24. 6. Un estudio de la capacidad de individuos de caminar en línea recta (“Can We Really Walk Straight?” Amer. J. of Physical Anthro, 1992: 19-27) reportó los datos adjuntos sobre cadencia (pasos por segundo) con una muestra de n=20 hombres saludables seleccionados al azar: 0.95 0.85 0.92 0.95 0.93 0.86 1.00 0.92 0.85 0.81 0.78 0.93 0.93 1.05 0.93 1.06 1.06 0.96 0.81 0.96 Calcule e interprete un intervalo de confianza de 95% para la varianza poblacional. 25. La cirugía menor de caballos en condiciones de campo requiere un anestésico de corta duración confiable que produzca una buena relajación muscular, cambios cardiovasculares y respiratorios mínimos y una rápida y tranquila recuperación con un mínimo de efectos secundarios de modo que los caballos puedan ser dejados sin atención. El artículo “A Field Trial of Ketamine Anestesia in the Horse” (Equine Vet. J., 1984: 176-179) reporta que con una muestra de n=73 caballos a los cuales se les administró ketamina en ciertas condiciones, 8

el tiempo de reclinación lateral (echado) promedio muestral fue de 18.86 min y la desviación estándar de 8.6 min. ¿Sugieren estos datos que el tiempo de reclinación lateral promedio verdadera en estas condiciones es menor que 20 min? Pruebe las hipótesis apropiadas a un nivel de significación de 0.10. 26. Una muestra aleatoria de 150 donaciones recientes en un cierto banco de sangre revela que 82 fueron de sangre tipo A. ¿Sugiere esto que el porcentaje de donaciones tipo A difiere de 40%, el porcentaje de la población que tiene sangre tipo A? Realice una prueba de las hipótesis apropiadas utilizando un nivel de significación de 0.01. 27. Muchos consumidores están recurriendo a los productos genéricos como una forma de reducir el costo de los medicamentos recetados. El artículo “Commercial Information on Drugs: Confusing to the Physician?” (J. of Drug Issues, 1988: 245-257) da los resultados de una encuesta de 102 doctores. Sólo 47 de los encuestados conocían el nombre genérico de la metadona. ¿Proporciona esto una fuerte evidencia para concluir que menos de la mitad de todos los médicos conocen el nombre genérico de la metadona? Realice una prueba de hipótesis utilizando un nivel de significación de 0.01. 28. Los datos adjuntos se obtuvieron en un estudio para evaluar el potencial de licuefacción en una planta de energía nuclear (“Cyclic Strenghts Compared for Two Sampling Techniques”, J. Geotechnical Division, Amer. Soc. Civil Engrs. Proceedings, 1981: 563-576). Se recopilaron muestras de suelo mediante un método de jarro y un método de bloque y se obtuvieron los siguientes valores observados de densidad en seco (lb/pie3). Muestreo con jarro 101.1 111.1 107.6 98.1 99.5 98.7 103.3 108.9 109.1 104.1 110.0 98.4 105.1 Muestreo con bloque 107.1 105.0 98.0 97.9 103.3 104.6 100.1 98.2 97.9 103.2 96.9 a. Calcule un intervalo de confianza al 95% para la razón de varianzas poblacionales. Concluya ¿Según los resultados obtenidos existe posibilidad de que las varianzas poblacionales sean iguales? b. Determine la longitud de un intervalo de confianza al 90% para la diferencia entre el promedio de la densidad en seco mediante el método de jarro y método de bloque. Considere el resultado anterior para hacer suposiciones acerca de las varianzas poblacionales. 29. El artículo “The Effects of Low-Fat, Plan-Based Dietary Intervention on Body Weight, Metabolism, and Insulin Sensitivity in Postmenopausal Women” reportó sobre los resultados de un experimento en el cual la mitad de un grupo de 54 mujeres posmenopáusicas con sobrepeso fueron asignadas al azar a una dieta vegetariana particular y la otra mitad recibió una dieta basada en las recomendaciones del National Cholesterol Education Program. La pérdida de peso media muestral de aquellas que llevaron la dieta vegetariana fue de 5.8 kg y la desviación estándar muestral fue de 3.2, en tanto que para aquellas que llevaron 9

la dieta de control, la pérdida de peso media y la desviación estándar fueron de 3.8 y 2.8, respectivamente. (a) ¿Parece que la pérdida de peso promedio verdadera con la dieta vegetariana excede la de la dieta de control por más de 1 kg? Formule y pruebe las hipótesis pertinentes utilizando el método de la región de rechazo. Considere α=0.01. 30. Cada vez se presta más atención a la radiación ionizante como un método para preservar productos hortícolas. El artículo “The Influence of Gamma-Irradiation on the Storage Life of Red Variety Garlic” (J. of Food Processing and Preservation, 1983: 179-183) reporta que 153 de 180 bulbos de ajo irradiados estaban en condición de ser vendidos 240 días después del tratamiento, en tanto que sólo 119 de 180 bulbos no tratados estaban vendibles después de este lapso de tiempo. ¿Sugieren estos datos que la radiación ionizante es benéfica por lo que se refiere a su condición para ser vendidos? (Utilice α = 0.01) 31. Se piensa que el codo de tenista es molestado por el impacto experimentado cuando se golpea la pelota. El artículo “Forces on the Hand in the Tennis One-Handed Backhand” (Intl. J. of Sport Biomechanics, 1991: 282-292) reportó la fuerza (N) en la mano exactamente después del impacto en un golpe de revés con una mano de seis jugadores avanzados y de ocho intermedios. Tipo de jugador

Tamaño muestra

Media muestral

DE muestral

Avanzado

6

40.3

11.3

Intermedio

8

21.4

8.3

(a) Calcule un intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre fuerza promedio verdadera de jugadores avanzados y fuerza promedio verdadera de jugadores intermedios. (Calcule primero un test de hipotesis de varianza para decidir si estas son iguales o distintas) 32. Se seleccionó una muestra de 12 detectores de radón de un cierto tipo y cada uno se expuso a 100 pCi/l de radón. Las lecturas resultantes fueron las siguientes: 105.6 90.9 91.2 96.9 96.5 91.3

100.1 105.0 99.6 107.7 103.3 92.4

(a) ¿Sugieren estos datos que la lectura media de la población en estas condiciones difieren de 100? Utilice α = 0.05. (b) Calcule un intervalo de confianza al 99% para la desviación estándar poblacional. 33. Un organismo de defensa al consumidor examinó 100 latas de atún envasadas por cierta industria encontrando que nueve de ellas estaban en mal estado. (a) Obtenga un intervalo de confianza del 98% para la proporción de latas en buen estado de la producción total de la industria. 10

(b) Definiendo como precisión de la estimación por intervalos la mitad de su longitud, podría el organismo decir que su muestra es suficientemente grande como para estimar la proporción con un 99% de confianza y una precisión de 0.01. 34. Por razones de almacenamiento y facilidad de manejo, una compañía de mudanzas guarda sus cajas de cartón sin ensamblarlas. Las personas que hacen la mudanza llevan las cajas sin armar al sitio, las ensamblan y las empaquetan. La compañía está interesada en saber qué porcentaje de un tipo especial se malogran, y el tiempo medio de ensamblaje de estas cajas. Para tales efectos, se seleccionaron al azar 32 mudanzas de entre las contratadas por la compañía y en cada mudanza se escogió una de tales cajas. Se obtuvieron los siguientes resultados: El tiempo promedio de ensamblaje fue de 21 seg. y la varianza 4 seg2. Además, de las 32 cajas, 9 se malograron. a. Encuentre un intervalo de confianza del 99% para el tiempo medio de ensamblaje, para armar este tipo de cajas en todas las mudanzas. b. Construya un intervalo de confianza del 95% para la proporción de cajas que se malogran en las mudanzas que realiza la compañía.

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