Ejercicios Repaso Pef

Ejercicios repaso PEF 1. Un fabricante de neumáticos ha recabado, de los diferentes concesionarios, información sobre la cantidad de miles de kilómetros recorridos por un modelo concreto de esos neumáticos hasta que se ha producido un pinchazo o un reventón del neumático. Los concesionarios la han proporcionado los siguientes datos: 52,452

50,432

37,748

51,831

73,808

61,065

35,807

57,277

48,698

65,854

75,85

36,949

75,548

69,01

61,477

65,585

44,411

41,886

34,754

59,888

59,449

67,632

89,116

69,483

63,692

70,003

65,996

55,989

49,677

46,502

67,467

64,398

84,588

40,709

50,238

61,39

85,72

45,313

46,724

61,752

55,643

55,912

46,681

66,519

59,168

66,313

35,884

28,625

47,012

71,360

78,635

41,715

72,635

41,463

48,996

48,172

79,426

67,662

53,324

49,011

29,48

41,128

30,252

33,412

48,24

57,884

55,257

84,656

48,662

10,504

60,951

38,42

74,239

60,727

56,155

86,07

90,565

53,751

76,58

68,029

51,179

74,582

58,708

48,035

67,124

41,83

61,03

58,267

61,979

4,3068

41,539

62,215

51,269

82,919

34,182

37,654

80,502

35,342

44,719

37,402

(a) Construir una taba de frecuencias para esos datos tomando como número de intervalos el que proporciona la fórmula de Sturges. (b) Calcular las principales medidas de tendencia central e interpretarlas. (c) Obtener las medidas de dispersión más importantes e interpretarlas. (d) Analizar la asimetría y el apuntamiento de la distribución de frecuencias resultante. (e) Si el fabricante quiere proponer un kilometraje para realizar el cambio de neumáticos, ¾qué valor propondría para que solo 3 de cada 10 coches hayan tenido un pinchazo o reventón antes de ese kilometraje? 2. En el estudio de puntuaciones de un examen de sensibilidad en adolescentes, una variable importante es el tiempo en segundos de reacción negativa (llanto, enojo, etc) del adolescente ante ciertas imágenes. Las siguientes observaciones se obtuvieron en un estudio de 24 chicos y 30 chicas (tiempo de reacción).

Chicos

'

16.0

14.9

14.1

14.8

14.4

14.0

15.2

14.7

13.6

14.6

16.1

13.2

14.9

14.1

15.4

15.3

14.4

14.8

13.5

15.1

13.5

15.0

14.6

15.4

Chicas 12.2

13.7

13.3

12.3

12.5

12.9

13.4

12.4

12.6

13.5

12.5

13.4

13.7

12.1

14.1

11.8

12.8

12.9

13.1

13.3

13.5

14.7

12.3

11.6

12.7

12.7

12.0

11.4

13.5

12.4

(a) Construir las dos tablas de frecuencia, estableciendo 5 categorías para cada una. (b) Determinar media, moda, mediana , varianza, desviación estándar y coeciente de variación para chicos y chicas. Interprete posibles diferencias.

1

3. Diez pacientes con la presion sanguínea alta participaron en un estudio para evaluar la efectividad del medicamento Timolol para reducir su presion sanguínea.

En la siguiente

tabla se encuentran las medidas de la presión sanguínea sistólica tomadas antes y después de dos semanas de tratamiento con el medicamento.

Presión Sanguínea Paciente Antes Después 1

172

159

2

186

157

3

170

163

4

205

207

5

174

164

6

184

141

7

178

182

8

156

171

9

190

177

10

168

138

(a) Calcular la desviación estándar y el coeciente de variación de la presión sanguínea antes y después del tratamiento. ¾En qué instante se presenta mayor dispersión de las medidas? Justicar. (b) Construir los boxplots para las mediciones de la presión antes y después de consumir el medicamento. Comparar y analizar lo que se obtiene. (c) Si se desea analizar la relación existente entre la presión antes y después de ser tratado con Timolol, resultará adecuado calcular el coeciente de correlación de Pearson para saber si la relación es de tipo lineal? Justicar. 4. Para determinar la relación entre la edad de cierta especie de ave con su peso, se tomaron los siguientes datos: Edad(Meses) Peso (Gramos)

1

2

2

3

4

4

4

5

6

3200

3530

3460

3628

3890

3790

3560

4200

4300

(a) Realizar un diagrama de dispersión. (b) Calcular las medidas de tendencia central y la desviación estándar para la edad. (c) Calcular las medidas de tendencia central y la desviación estándar para el peso. (d) Calcular la covarianza y el coeciente de correlación.¾Se verican los resultados del diagrama de dispersión? Justicar. 5. La evaluación para un curso de capacitación laboral organizado por el área de recursos humanos de una gran empresa se basa en el resultado de la prueba nal realizada por cada participante y en la valoración de su actividad a lo largo de la actividad formativa.

Los

resultados obtenidos en esas dos componentes por el grupo de 10 trabajadores que han seguido dicho curso es la siguiente: Nota prueba

5.1

6.2

7.4

7.8

9.3

4.1

7.2

3.1

9.0

8.5

Actividad

3.4

7.1

6.9

7.6

8.7

3.1

8.0

4.0

9.2

7.9

(a) Represente grácamente los datos. (b) Obtenga el coeciente de correlación lineal simple.

2

6. En la siguiente tabulación cruzada se muestra el ingreso familiar anual (en milones de pesos) de acuerdo con el nivel de estudios del jefe de familia:

Nivel de estudios

Ingreso anual por familia Menos de 15

15-25

26-30

Mas de 30

No terminó secundaria

9285

4093

1589

390

Terminó secundaria

10975

9460

5813

1110

Universitario

6300

7660

3918

2057

Posgrado

1450

1497

1750

2653

(a) Determine las tablas de frecuencia marginales. (b) Calcule las distribuciones condicionales del ingreso cuando el jefe de familia terminó secundaria y la del nivel de estudos cuando el ingreso es menor a 15 millones. (c) ¾Qué porcentaje de las familias en que el jefe de familia terminó secundaria gana 26 millones o más? ¾Qué porcentaje de las familias en que el jefe de familia tienen un título universitario gana 26 millones o más? 7. En cierto departamento universitario de estadística hay dos vacantes.

Cinco personas las

solicitan; dos de ellas tienen experiencia con modelos lineales y una tiene experiencia con probabilidad aplicada. Al comité de selección se le indicó elegir a los 2 aspirantes aleatoriamente. (a) ¾Cuál es la probabilidad de que los 2 elegidos sean los que tienen experiencia con modelos lineales? (b) ¾Cuál es la probabilidad de que, de los 2 elegidos, uno tenga experiencia con modelos lineales y el otro con probabilidad aplicada? 8. Una persona tiene un libro de cada uno de los autores siguientes:

Mario Vargas Llosa,

Alberto Ruy Sánchez, Gabriel García Márquez, Günther Grass, Patrick Süskind, Heinrich Böll, Arturo Pérez-Reverte y Camilo José Cela. Como aún no los ha leído, quiere ponerlos en una repisa cerca de su cama. De acuerdo con esto, determinar: (a) ¾De cuántas formas puede acomodar los libros sobre la repisa? (b) ¾De cuántas maneras puede ordenarlos si quiere que los libros de autores latinoamericanos estén juntos? (c) ¾De cuántas formas puede acomodarlos, si los autores latinoamericanos deben estar juntos, así como los autores alemanes y los españoles también? 9. En un determinado grupo de riesgo, los individuos son evaluados para cierta enfermedad S. Una persona que tiene la enfermedad obtiene diagnóstico correcto con probabilidad de 0,99, mientras que una persona que no la tiene tiene diagnóstico correcto con probabilidad de 0.95. Además, se sabe que el 6% de los individuos del grupo obtienen el diagnóstico sufre de S. Determine: (a) la proporción de individuos en el grupo que sufren de S. (b) la probabilidad de que una persona que obtiene el diagnóstico "sufre de S", en realidad lleva la enfermedad. 10. Un productor de semillas conoce por experiencia que el 15% de un gran lote de semillas NO germina. El productor vende sus semillas en paquetes de 30 semillas garantizando que por lo menos 28 de ellas germinarán. ¾Cuál es el porcentaje de paquetes que no cumplirán la garantía? 11. Una fuerza de tareas gubernamental sospecha que algunas fábricas infringen los reglamentos departamentales contra la contaminación ambiental en lo que se reere a la descarga de cierto tipo de producto. Veinte empresas están bajo sospecha pero no todas se pueden inspeccionar. Suponga que 3 de las empresas infringen los reglamentos.

3

(a) ¾Cuál es la probabilidad de que si se inspeccionan 5 empresas no se encuentre ninguna infracción? (b) ¾Cuál es la probabilidad de que la inspección de 5 empresas descubra a 2 que infringen el reglamento? 12. La funcion de probabilidad f de una variable aleatoria X es nula salvo en los puntos En estos puntos, toma los valores

f (0) = 4c2 ,f (1) = 4c − 10c2 , f (2) = 4c − 1

t = 0, 1, 2.

para un cierto

valor de c. (a) Hallar el valor de c. (b) Calcular

P (X < 1),P (X < 2),P (0 < X < 3).

2 (c) E(X), σX . 13. El número de imperfecciones que hay en cada 10 metros de una tela sintética, en rollos continuos de ancho uniforme es:

x f (x)

0

1

2

3

0.41

0.37

0.16

0.06

(a) Calcule el número promedio de imperfecciones que hay en cada 10 metros de esta tela. (b) Calcule la varianza de las imperfecciones. 14. Unos registros muestran que 30% de todos los pacientes ingresados en una clínica médica no pagan sus cuentas y que, en última instancia, esas cuentas son olvidadas. Suponga que n=4 nuevos pacientes representan una selección aleatoria de entre un gran conjunto de prospectos de pacientes atendidos por la clínica. Encuentre estas probabilidades:

•

Las cuentas de todos los pacientes tendrán nalmente que olvidarse.

•

Una tendrá que olvidarse.

•

Ninguna tendrá que olvidarse.

15. El mayor número de pequeños aviones de vuelos cortos en aeropuertos importantes ha aumentado la preocupación por la seguridad en el aire. Un aeropuerto de la región este ha registrado un promedio mensual de cinco accidentes que casi ocurren en aterrizajes y despegues en los últimos 5 años.

•

Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado no haya accidentes que casi ocurren en aterrizajes y despegues en el aeropuerto.

•

Encuentre la probabilidad de que durante un mes determinado haya cinco accidentes que casi ocurren.

•

Encuentre la probabilidad de que haya al menos cinco accidentes que casi ocurren durante un mes particular.

16. Los padres preocupados porque sus hijos son propensos a accidentes pueden estar tranquilos, de acuerdo a un estudio realizado por el Departamento de Pediatría de la Universidad de California, San Francisco. Los niños que se lesionan dos o más veces tienden a sufrir estas lesiones durante un tiempo relativamente limitado, por lo general un año o menos.

Si el

número promedio de lesiones por año para niños en edad escolar es de dos, ¾cuáles son las probabilidades de estos eventos?

•

Un niño sufrirá dos lesiones durante el año.

•

Un niño sufrirá dos o más lesiones durante el año.

•

Un niño sufrirá a lo sumo una lesión durante el año.

17. En un bosque hay 30 osos de anteojos de los cuales 6 son capturados, marcados y dejados nuevamente en libertad. Unas semanas más tarde, 5 de los 30 osos son capturados. ¾Cuál es la probabilidad de que a lo más dos de los osos capturados estén marcados?

4

18. Es frecuente que las semillas sean tratadas con un fungicida para protegerlas de ambientes mal drenados, húmedos.

En un intento a pequeña escala antes de un experimento a gran

escala para determinar qué dilución del fungicida aplicar, cinco semillas tratadas y cinco no tratadas se plantaron en suelo arcilloso y se registró el número de plantas que emergieron de las semillas tratadas y de las no tratadas. Suponga que la dilución no fue e caz y sólo emergieron cuatro plantas. Represente con x el número de plantas que emergieron de semillas tratadas.

•

Encuentre la probabilidad de que X = 4.

•

Encuentre P(X = 3).

•

Encuentre

P (2 ≤ X ≤ 3).

19. El tiempo en minutos que una persona espera un autobús es una variable aleatoria con función de densidad dada por:

 f (t) =

1/2 1/6

para para

0≤t<1 1≤t<4

Calcular : (a) Probabilidad de que el tiempo de espera sea mayor a 1 minuto. (b) Probabilidad de que el tiempo de espera sea menor a dos minutos. (c) Probabilidad de que el tiempo de espera sea más de tres minutos. 20. Con base en pruebas extensas, el fabricante de una lavadora determinó que el tiempo Y (en años) para que el electrodoméstico requiera una reparación mayor se obtiene mediante la siguiente función de densidad de probabilidad:

  1 e−y/4 , f (y) = 4 0,

si

y > 0,

en cualquier otro caso

(a) Los críticos considerarían que la lavadora es una ganga si no hay probabilidades de que requiera una reparación mayor antes del sexto año. Comente sobre esto determinando

P (Y > 6). (b) ¾Cuál es la probabilidad de que la lavadora requiera una reparación mayor durante el primer año? 21. Suponga que el tiempo promedio que le toma a una persona cualquiera terminar un cierto examen de inglés es de 25 minutos, con una desviación estándar de 4 minutos. Suponiendo una distribución aproximada normal con estos parámetros, ¾cuál es el tiempo que debe asignarse al examen para que el 90% de las personas puedan terminar el examen? 22. Un editor ha descubierto que los números de palabras contenidos en un nuevo manuscrito están normalmente distribuidos, con una media igual a 20 mil palabras más de las especi cadas en el contrato del autor y una desviación estándar de 10 mil palabras. Si el editor desea estar casi seguro (digamos con una probabilidad de 0.95) que el manuscrito tenga menos de 100 mil palabras, ¾qué número de palabras debe especi car el editor en el contrato? 23. Los resultados de una encuesta del Newsweek respecto a puntos de vista sobre el aborto mostró que de n = 1002 adultos, 39% favorecieron la postura del derecho a la vida, en tanto que 53% estuvieron a favor de la elección libre. La encuesta reportó un margen de error de más o menos 3%.

•

Construya un intervalo de conanza de 90% para la proporción de adultos que están a favor de la postura del derecho a la vida.

•

Construya un intervalo de conanza de 90% para la proporción de adultos que están a favor de la elección libre.

5

24. Debido a una variación en técnicas de laboratorio, impurezas en materiales y otros factores desconocidos, los resultados de un experimento en un laboratorio de química no siempre darán la misma respuesta numérica.

En un experimento de electrólisis, un grupo de estudiantes

midió la cantidad de cobre precipitado de una solución saturada de sulfato de cobre en un periodo de 30 minutos. Los n = 30 estudiantes calcularon una media muestral y desviación estándar igual a 0.145 y 0.0051 moles, respectivamente.

Encuentre un intervalo de con

anza de 90% para la cantidad media de cobre precipitado de la solución en un periodo de 30 minutos. 25. El departamento de carnes de una cadena local de supermercados empaca carne molida usando charolas de dos tamaños: una diseñada para contener alrededor de 1 libra de carne y otra que contiene aproximadamente 3 libras. Una muestra aleatoria de 35 paquetes en las charolas más pequeñas para carne produjo mediciones de peso con un promedio de 1.01 libras y una desviación estándar de 0.18 libras.

•

Construya un intervalo de conanza de 99% para el peso promedio de todos los paquetes vendidos por esta cadena de supermercados en las charolas de carne más pequeñas.

•

¾Qué signica la frase 99% de conanza?

•

Suponga que el departamento de control de calidad de esta cadena de supermercados tiene la intención de que la cantidad de carne molida en las charolas más pequeñas debe ser 1 libra en promedio. ¾El intervalo de conanza del inciso a debe ser del interés del departamento de control de calidad? Explique.

26. Una tienda de donas se interesa en estimar su volumen de ventas diarias.

Supongaque el

valor de la desviaición estándar es de 50. Si el volumen de las ventas es aproximadopor una distribución normal, ¾cuál debe ser el tamaño de la muestra para que con unaprobabilidad de 0.95 la media muestral se encuentre a no más de 20 del verdadero volumen de ventas promedio? 27. Los productores de tubo de plástico de polivinilo desean tener un suministro de tubos suciente para satisfacer las necesidades del mercado. Desean encuestar mayoristas que compren tubos de polivinilo para estimar la proporción que planea aumentar sus compras el año próximo. ¾Qué tamaño muestral se requiere si desean que su estimación se encuentre a no más de 0.04 de la proporción real con probabilidad igual a 0.90? 28. Para un estudio de mercadeo de un producto, se espera tomar dos muestras.

Una en un

barrio estrato alto y otra en un barrio estrato bajo. Un antecedente de este estudio arma que es mejor tener en cuenta un nivel de conanza mínimo de 8% y que el error maximo permitido es de

4/7.

Si para la primera muestra

σ1 = 4

y para la segunda muestra

σ2 = 5.

Hallar los tamaños de muestra necesarios en cada estrato. 29. La calibración de una báscula tiene que ser vericada pesando 25 veces un espécimen de prueba de 10 kg. Suponga que los resultados de diferentes pesadas son independientes entre sí, la media de las 25 pesadas fué 10.95 kg y que el peso de cada ensayo está normalmente distribuído con desviación estándar 0.2 kg. Sea

µ

la lectura de peso promedio en la báscula.

¾Se puede armar, con un tamaño de prueba de 5% que la báscula está bien calibrada? 30. Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar cierta campaña publicitaria, se toma una muestra de 300 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de signicación del 1% ¾que se puede armar de las siguientes hipótesis? (a) El 3% de la población no conoce el nuevo producto. (b) Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto. (Es prueba unilateral acá, denir bien

H0 ).

31. Encuentre la recta de mínimos cuadrados para los datos:

x y

1

2

3

4

5

6

5.6

4.6

4.5

3.7

3.2

2.7

6

•

Encuentre la recta de mínimos cuadrados para los datos.

•

Graque los seis puntos y la recta encontrada. ¾La recta parece ser un buen ajuste para los puntos?

•

Use la recta de mínimos cuadrados para predecir el valor de y cuando x=3.5.

32. En los 11 años anteriores a la aprobación de la Ley Federal de Salud y Seguridad de las Minas de Carbón de 1969, las tasas de mortalidad de los mineros subterráneos variaban poco. Luego de implementar esta ley las tasas decrecieron de manera constante hasta 1979, lo cual se puede observar en la tabla siguiente.

Año calendario

Año

Tasa de mortalidad por cada 1000 empleados

1970

1

2.419

1971

2

1.732

1972

3

1.361

1973

4

1.108

1974

5

0.996

1975

6

0.952

1976

7

0.904

1977

8

0.792

1978

9

0.701

1979

10

0.890

1980

11

0.799

1981

12

1.084

(a) Construya un gráco de dispersión de la tasa de mortalidad contra tiempo. ¾Qué sugiere este gráco respecto a la relación de estas dos variables? (b) Para modelar la tendencia de las tasas de mortalidad, ajuste la regresión

yˆ = βˆ0 + βˆ1 x donde x representa el año. Usando el coeciente

R2

y un gráco de residuales contra

ajustados, realice comentarios respecto al ajuste del modelo.

7