Ejercicios Resuelstos Transformada Inversa

Ejemplos de Transformada de Laplace

J. Benavides S.

Ejercicios de Transformada inversa de Laplace Encontrar la Transformada inversa de Laplace de las siguientes funciones: s+2 E-1. F ( s ) = , s( s 2 − 1) s+2 , el denominador B(s) posee 3 raíces distintas a) 1ª forma: Observamos que: F ( s ) = s( s + 1)( s − 1) que son: s1 = 0, s2 = −1 y s3 = 1. Por lo tanto, la descomposición en fracciones parciales (DFP) será: ⎡ K3 K K2 A( s) ⎤ , y en nuestro caso bn = 1: F (s) = 1 + + , Recordando que: K i = bn ⎢( s − si ) B( s) ⎥⎦ s = s s ( s + 1) ( s − 1) ⎣ i

K1 =

s ( s + 2) s ( s + 1)( s − 1) s =0

* por lo tanto: F ( s ) =

= − 2 ; K2 =

( s + 1) ( s + 2 ) s ( s + 1) ( s − 1) s =−1

3 1 −2 2 + 2 + s ( s + 1) ( s − 1)

=

( s − 1) ( s + 2 ) 1 ; K3 = 2 s( s + 1) ( s − 1)

=

3 , 2

s=1

1 3 ⎞ ⎛ f ( t ) = ⎜ −2 + e − t + e t ⎟ ⋅ u ( t ) 2 2 ⎠ ⎝

⇒

b) 2 ª forma: Como: F (s) =

K3 K K2 s+2 = 1+ + 2 s( s − 1) s ( s + 1) ( s − 1)

× s( s + 1)( s − 1)

s + 2 = ( s 2 − 1) K1 + s( s − 1) K 2 + s( s + 1) K 3 s + 2 = ( K1 + K 2 + K 3 ) s 2 + ( K 3 − K 2 ) s − K1

Igualando coeficientes de s de igual potencia de ambos miembros de esta última igualdad: s 2 ⇒ 0 = K1 + K 2 + K 3 s1 ⇒ 1 = K 3 − K 2

⇒

K1 = −2

⇒

s 0 ⇒ 2 = − K1

2 = K 2 + K3 1 = K3 − K 2

K2 =

1 2

K3 =

3 2

⇒

(A continuación sigue igual que *) ⎧ s ⋅ e −2 s ⎫ s s ⎧ ⎫ E-2. ℒ −1 ⎨ 2 , tal que ℒ −1{ F1 ( s )} =ℒ −1 ⎨ 2 ⎬ = f1 (t ) , ⎬ ; Se elige: F1 ( s ) = 2 s + 2s + 5 ⎩ s + 2s + 5 ⎭ ⎩ s + 2s + 5 ⎭ y luego (por teorema de traslación temporal), será: f (t ) =ℒ −1{e−2 s F1 ( s )} = f1 (t − 2) .

El denominador de F1(s), (que es el mismo de F(s) ) tiene las siguientes raíces: ⎧ s = −1 + j 2 B( s) = s 2 + 2s + 5 = 0 ⇒ ⎨ 1 ⎩ s2 = −1 − j 2

F1 ( s ) =

K1 K2 s = + s + 2s + 5 ( s + 1 − j 2) ( s + 1 + j 2) 2

s = K1 ( s + 1 + j 2) + K 2 ( s + 1 − j 2)

s = ( K1 + K 2 ) s + K1 (1 + j 2 ) + K 2 (1 − j 2 )

, luego, la DFP de F1(s) será: ×

(s

2

+ 2s + 5)

1

Ejemplos de Transformada de Laplace

J. Benavides S.

Igualando coeficientes de s de igual potencia en la última identidad: s1 ⇒ 1 = K1 + K 2 s 0 ⇒ 0 = K1 (1 + j 2 ) + K 2 (1 − j 2 )

de (2): ⇒ 0 = ( K1 + K 2 ) + j 2 ( K1 − K 2 ) (1) ⎧ ⇒ ⎨ 1 (2) ⎩ con (1): ⇒ 0 = 1 + j 2 ( K1 − K 2 ) ⇒ K1 − K 2 = j 2

Por lo tanto:

1 ⎧ ⎪ 2 K1 = 1 + j 2 ⎪ (1`) + (2`) ⇒ ⎨ ; ⎪ K = 1 ( 2 + j1) ⎪⎩ 1 4

K1 + K 2 = 1

(1`) 1 (2`) K1 − K 2 = j 2

1 ⎧ ⎪ 2K2 = 1 − j 2 ⎪ (1`) − (2`) ⇒ ⎨ ⎪ K = 1 ( 2 − j1) ⎪⎩ 2 4

Luego: F1 ( s ) =

1 ⎡ 2 + j1 2 − j1 ⎤ + ⎢ 4 ⎣ ( s + 1 − j 2) ( s + 1 + j 2) ⎥⎦

f1 (t ) =ℒ −1{ F1 ( s )} =

1 ⎡⎣( 2 + j1) e( −1+ j 2) t + ( 2 − j1) e( −1− j 2)t ⎤⎦ ⋅ u (t ) 4

1 f1 (t ) = e − t ⎡⎣ 2 ( e j 2t + e − j 2t ) + j ( e j 2t − e− j 2t ) ⎤⎦ ⋅ u (t ) 4 1 −t ⎡ f1 (t ) = e 2 cos 2t + jsen2t + cos 2t − jsen2t + j cos 2t + jsen2t − cos 2t + jsen2t ⎤ ⋅ u (t ) ⎦ 4 ⎣ 1 f1 (t ) = e − t ( 2 cos 2t − sen2t ) ⋅ u (t ) 2 1 f (t ) = e − t ⎡⎣ 2 cos 2 ( t − 2 ) − sen2 ( t − 2 ) ⎤⎦ ⋅ u ( t − 2 ) Luego: 2

(

) (

)

b) 2 ª forma: Se puede hacer más corto si se completa el cuadrado del binomio en el denominador:

F1 ( s) = F1 ( s) =

s s s s = 2 = = 2 s + 2s + 5 ( s + 2 s + 1) + 4 ( s + 1) + 4 ( s + 1)2 + 22 2

s +1

( s + 1)

2

+2

2

−

1 2 2 ( s + 1)2 + 22

De aquí, directo de las tablas, con la aplicación de la traslación compleja, se obtienen: 1 1 ⎛ ⎞ f1 (t ) =ℒ −1{ F1 ( s )} = ⎜ e − t cos 2t − e− t sen2t ⎟ ⋅ u (t ) ⇒ f1 (t ) = e− t ( 2 cos 2t − sen2t ) ⋅ u (t ) 2 2 ⎝ ⎠ Luego, por la propiedad traslación real, se obtiene, f (t ) = f1 (t − 2) , igual que primera forma. Casos de raíces repetidas. ⎧⎪ ⎫⎪ s+2 E-3. ℒ −1 ⎨ ⎬ , hay dos raíces simples s = 0 ; s = −3 y una raíz repetida (doble) s = −1 2 s s 1 s 3 + + ( ) ( ) ⎩⎪ ⎭⎪ K3 s+2 K K 22 K 21 = 1+ + + La DFP es: F (s) = 2 2 s ( s + 1) ( s + 3) s ( s + 1) ( s + 1) ( s + 3)

2

Ejemplos de Transformada de Laplace

J. Benavides S.

Donde: K1 = s

A( s ) s+2 2 = = 2 B ( s ) s =0 ( s + 1) ( s + 3) 3 s =0

K 22 = ( s + 1) K 21 =

De aquí:

A( s ) s+2 1 = = − B( s ) s =−1 s ( s + 3) s =−1 2

d ⎛ s+2 ⎞ ⎜ ⎟ ds ⎜⎝ s ( s + 3) ⎟⎠

K 3 = ( s + 3)

Luego:

2

=

s ( s + 3) − ( s + 2 )( 2s + 3) s ( s + 3) 2

s =−1

A( s ) s+2 = B( s ) s =−3 s ( s + 1)2

F (s) =

2

3 −

s

= s =−3

= −

2 s =−1

3 4

1 12

3

1

1 2 − 4 + 12 2 ( s + 1) ( s + 1) ( s + 3)

⎡2 1 ⎛ 3 ⎞ ⎤ 3 1 1 ⎡2 1 ⎤ f (t ) = ⎢ − t ⋅ e− t − e− t + e −3t ⎥ ⋅ u(t ) , ó: f (t ) = ⎢ − ⎜ t + ⎟ e− t + e−3t ⎥ ⋅ u(t ) 12 4 12 ⎣3 2 ⎦ ⎣3 2 ⎝ 2 ⎠ ⎦

⎧⎪ ⎫⎪ 1 E-4. ℒ −1 ⎨ 2 2 ⎬ , Hay 4 raíces: una doble s = 0, más dos imaginarias conjugadas s = j2, s = −j2 3 s s 4 + ( ) ⎩⎪ ⎭⎪ El DFP en este caso es: K3 ⎤ K K2 1 1 ⎡K = ⎢ 12 + 11 + + 2 2 2 s s − j 2 s + j 2 ⎥⎦ 3s ( s + 4 ) 3 ⎣ s

K2 y K3 son complejos conjugados. Conviene juntar los dos últimos términos: K ( s + j 2 ) + K3 ( s − j 2 ) ( K 2 + K3 ) s + j 2 ( K 2 − K3 ) K3 K2 + = 2 = s − j2 s + j2 ( s2 + 4) ( s2 + 4)

( K 2 + K3 )  C1

(real);

j 2 ( K 2 − K 3 )  C2 (real)

1 1 ⎡ K12 K11 C1s + C2 ⎤ ⎢ 2 + ⎥ = + 2 s 3s 2 ( s 2 + 4 ) 3 ⎢⎣ s ( s + 4 ) ⎥⎦

×3 ( s 2 + 4 )

1 = K12 ( s 2 + 4 ) + K11s ( s 2 + 4 ) + ( C1s + C2 ) s 2 1 = ( K11 + C1 ) s 3 + ( K12 + C2 ) s 2 + 4 K11s + 4 K12 s0 ⇒

4 K12 = 1

⇒

K12 = 1

⇒

4 K11 = 0

⇒

K11 = 0

s2 ⇒

K12 + C2 = 0

⇒

C2 = − K12 = − 1

s3 ⇒

K11 + C1 = 0

⇒

C1 = − K11 = 0

1

s

4

4

3

Ejemplos de Transformada de Laplace

J. Benavides S.

1 1 ⎤ 1 ⎡1 1 ⎤ 1⎡ 4 2 4 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⇒ F (s) = − = − 2 3 ⎢ s2 s 2 + 4 ) ⎥ 12 ⎢⎣ s 2 ( s 2 + 22 ) ⎥⎦ ( ⎣ ⎦ 3e

E-5. F ( s ) =

−

f (t ) =

1⎛ 1 ⎞ sen2t ⎟ ⋅ u (t ) ⎜t − 2 12 ⎝ ⎠

s 3

s2 ( s2 + 2)

2

Este ejemplo muestra la aplicación de linealidad y desplazamiento en el tiempo, para el caso de 6 raíces: una raíz repetida real y dos raíces repetidas imaginarias conjugadas, es decir: raíz real: raíz imaginaria

s1 = 0 repetida 2 veces s2 = − j 2 repetida 2 veces

s3 = j 2 repetida 2 veces raíz imaginaria 1 Analizaremos: F1 ( s ) = ⇒ f1 (t ) y luego: f (t ) = 3 f1 (t − 1 ) 2 3 2 2 s ( s + 2)

F1 ( s ) =

1

s2 ( s2 + 2)

=

2

K12 K11 K 22 + + 2 s s s+ j 2

(

K 21

+

+

K 32

+

K 31

(*)

) (s + j 2 ) (s − j 2 ) (s − j 2 ) 2

2

a) Primera forma: (forma convencional) para cada raíz “i”, (en nuestro caso i = 1, 2, 3) de multiplicidad “p” (en nuestro caso p = 2), aplicando el método clásico para obtener los coeficientes correspondientes a raíces repetidas: K ij =

K12 =

K 22 =

s2

s2 ( s2 + 2)

(

s2 s − j 2

s =0

)

=

2 s =− j 2

K 21 =

)

− 4s + j 2 2

(

)

⎡s s − j 2 ⎤ ⎣ ⎦

=

3 s =− j 2

(

1

−2 −2 j 2

⎡ ⎤ d ⎢ 1 ⎥ K 21 = 2⎥ ⎢ 2 ds s s − j 2 ⎢⎣ ⎥⎦ s =− j

(

⎧ p A( s ) ⎫ ⎤ , j = p , ( p − 1) , ( p − 2 ) ," ,1 ⎨( s − si ) ⎬⎥ B( s ) ⎭ ⎦ s = s ⎩ i

⎡ ⎤ −2 ( s 2 + 2 ) 2 s d ⎢ s2 ⎥ = K11 = 4 2 ds ⎢ s 2 ( s 2 + 2 )2 ⎥ s 2 + ( ) ⎣ ⎦ s =0

1 = , 4

2

1

bn ⎡ d ( p − j ) ⎢ ( p − j )! ⎣ ds ( p − j )

)

2

=

1 16

(

2

)

(

)

2 ⎡ ⎤ − ⎢2 s s − j 2 + s 2 2 s − j 2 ⎥ ⎦ = ⎣ 43 s43 s − j 2

(

j4 2 + j2 2

(

)

⎡ − j 2 −2 j 2 ⎤ ⎣ ⎦

3

)

=

j6 2 3 2 = −j 3 −4 32

s =− j 2

= 0 s =0

4

Ejemplos de Transformada de Laplace K 32 =

1

(

s2 s + j 2

)

=

2 s= j 2

(

−2 j 2 2

⎡ ⎤ d ⎢ 1 ⎥ K 31 = ds ⎢ s 2 s + j 2 2 ⎥ ⎢⎣ ⎥⎦ s = j

(

K 31 =

)

− 4s − j 2 2

(

)

⎡s s + j 2 ⎤ ⎣ ⎦ Por lo tanto:

=

3

1

s= j 2

)

J. Benavides S.

1 16

=

2

(

2

)

(

)

2 ⎡ ⎤ − ⎢2 s s + j 2 + s 2 2 s + j 2 ⎥ ⎦ = ⎣ 43 s43 s + j 2

(

− j4 2 − j2 2

(

)

⎡ j 2 j2 2 ⎤ ⎣ ⎦

1 16 F1 ( s ) = 24 + s s+ j 2

=

s= j 2

− j6 2 3 2 = j 3 4 32

j3 2

1

(

3

)

1 32 + 16 − s+ j 2 s− j 2

) ( 2

) (

j3 2

+

) ( 2

32 s− j 2

)

⎡ ⎤ j3 2 j3 2 ⎥ 1 ⎢8 2 2 F1 ( s ) = + + − + 2 2 32 ⎢ s 2 s+ j 2 s− j 2 ⎥ s + j s − j 2 2 ⎢⎣ ⎥⎦ Tomando la ℒ-1 de cada término se obtiene: 1 f1 (t ) = ⎡8t + 2te− j 2t + 2te j 2t − j 3 2e − j 2t + j 3 2e j 2t ⎤ ⋅ u (t ) ⎦ 32 ⎣ Recordando las expresiones para seno y coseno derivadas de la relación de Euler, se obtiene: 1 f1 (t ) = ⎡⎣8t + 4t cos 2 t − 6 2 sen 2 t ⎤⎦ ⋅ u (t ) 32 Como la función original es: f (t ) = 3 f1 (t − 1 ) , ordenando, finalmente se llega a: 3 3 f (t ) = ⎡ 4 t − 1 + 2 t − 1 cos 2 t − 1 − 3 2 sen 2 t − 1 ⎤ ⋅ u t − 1 3 3 3 3 ⎦ 3 16 ⎣

(

(

) (

) (

)

(

) (

)

) (

(

) (

)

)

b) Segunda forma. También se puede hacer de la siguiente manera (similar que en el ejercicio E-4):

F1 ( s) =

K12 K11 C3 s + C4 C5 s + C6 + + + s2 s ( s 2 + 2 )2 ( s 2 + 2 )

(**),

(Nota: Esto corresponde a juntar dos términos correspondientes a raices conjugadas en (*), por ejemplo, el último término de (**) viene de juntar: K 21

+

K 31

(s + j 2 ) (s − j 2 )

=

(

)

(

K 21 s − j 2 + K 31 s + j 2

⎛ ⎞ 0s + j 2 ⎜ j3 2 ⎟ 3 16 ⎝ ⎠ = =− 2 8 2 s 2 + ( ) ( s + 2)

(s

2

+ 2)

⇒

C5 = 0,

) = (K

0

21

+ K 31 ) s + ( K 31 − K 21 ) j 2

C6 =

(s

3 ) 8

2

+ 2)

=

5

Ejemplos de Transformada de Laplace

J. Benavides S.

6

Para resolver (encontrar los coeficientes de **), se hace lo siguiente: 2 K12 K11 C3 s + C4 C5 s + C6 1 2 2 F1 ( s ) = = + + + × s s + 2 ( ) 2 s2 s ( s 2 + 2 )2 ( s 2 + 2 ) s2 ( s2 + 2) 1 = K12 ( s 2 + 2 ) + K11s ( s 2 + 2 ) + ( C3 s + C4 ) s 2 + ( C5 s + C6 ) s 2 ( s 2 + 2 ) 2

2

Luego se ordena el segundo miembro como un polinomio con potencias decrecientes de s y se igualan los coeficientes de las mismas potencias del primer y segundo miembro (como se hizo en ejemplos anteriores). A partir del conjunto de ecuaciones así obtenidas, se resuelve para encontrar los coeficientes de la DFP (ec. **). Finalmente, se aplica las ℒ-1 a cada término del desarrollo.Tarea: hacerlo de esta manera. Lo interesante de esta forma de resolver es que evita tener que trabajar con complejos y puede resultar mucho más corto. Ejemplos simples de aplicación a sistemas. E-6. Al sistema masa-amortiguador de la figura inicialmente en reposo, se le aplica una fuerza f(t) constituída por un pulso de amplitud A [New] y duración T [seg], Determine la expresión analítica de la velocidad v(t). Dibuje aproximadamente a escala el grafico de v(t) resultante si M = 0,5 [Kg], B = 1 [New-seg/m], T = 1 [seg] y A = 10 [New]. f(t)

B

f(t) v(t)

M

A

0

Como: M

dv + Bv = f (t ) , y f (t ) = A [u (t ) − u (t − T ) ] dt

V ( s ) ( Ms + B ) =

A A ⎡ 1 − e −Ts ⎤ ⎡⎣1 − e −Ts ⎤⎦ ⇒ V ( s) = ⎢ ⎥ s s ⎣ Ms + B ⎦

Por conveniencia, definamos la función: G ( s ) =

V ( s) =

(

1

s s+B

t

⎡1 1 ⎤ F ( s ) = A ⎢ − e −Ts ⎥ , tendremos: ⎣s s ⎦

⇒

⇒

M)

T

V ( s) =

A 1 ⎡ 1 − e−Ts ⎤ ⎢ ⎥ (1) M s ⎢s + B ⎥ M⎦ ⎣

, de modo que (1) puede escribirse como:

A G ( s ) ⎡⎣1 − e −Ts ⎤⎦ M

(2)

Aplicando la DFP a G(s) en la forma habitual:

G ( s) =

Luego:

(

1

s s+B

M

)

=

K1 K2 + s s+B

⇒ M

⎧ M ⎪ K1 = 1 ⇒ K1 = ⎪⎪ B s+B M s =0 ⎨ ⎪ M 1 ⇒ K2 = − ⎪ K2 = s s =− B B ⎪⎩ M

M B ⎧⎪ M ⎫⎪ M ⎛ − t ⎞ B B M g (t ) =ℒ ⎨ − ⎬ = ⎜1 − e ⎟ u (t ) s+B ⎪ B ⎝ ⎠ ⎪⎩ s M⎭ −1

(3)

Ejemplos de Transformada de Laplace

J. Benavides S.

De (2) y (3), aplicando las propiedades lineal y traslación temporal: v(t ) =

A [ g (t ) − g (t − T )] M

⇒ v(t ) =

B B ⎤ − t ⎞ − ( t −T ) ⎞ ⎛ A ⎡⎛ ⎢⎜1 − e M ⎟ u (t ) − ⎜ 1 − e M ⎟ u (t − T ) ⎥ B ⎣⎢⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥

Reemplazando los valores numéricos M = 0,5 [Kg], B = 1 [New-seg/m], T = 1 [seg] y A = 10 [New]: 1 1 ⎤ − t ⎞ − ( t −1) ⎞ ⎛ 10 ⎡⎛ 0,5 0,5 v(t ) = ⎢⎜1 − e u (t ) − ⎜1 − e u (t − 1) ⎥ ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ 1 ⎣⎢⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥

O lo que es igual:

(

−2 t ⇒ v(t ) = 10 ⎡(1 − e ) u (t ) − 1 − e ⎣

v(t ) = 10 (1 − e−2t ) , para 0 ≤ t ≤ 1seg

Simplificando (b):

) u(t − 1)⎤⎦

(a)

v(t ) = 10 ( −e−2t + e−2(t −1) ) , para t ≥ 1seg

y:

−2( t −1)

(b)

v(t ) = 10 ( −e−2 + 1) e −2(t −1) ≅ 8, 647e −2(t −1) , para t ≥ 1seg

(b`)

Ambas expresiones (a) y (b) tienen el mismo valor en t = 1 seg, que es: v(t =1 seg) = 8,647 [m/seg] El gráfico de v(t) dado por (a) y (b`) resulta aproximadamente: v(t) 8,647 0

T=1 seg

t E-7. Encuentre la expresión analítica de la velocidad v(t) en el intervalo 0 < t < T/2 del sistema masaamortiguador sometido a una fuerza periódica f(t) con forma de onda rectangular que se muestra, considerando que el sistema se encuentra en régimen permanente en t = 0. f(t) A

B M

0 -A

dv En general: M + Bv = f (t ) , en particular para 0 < t < T/2 : dt dv + Bv = A , tomando la ℒ : dt A M [ sV ( s ) − v(0) ] + BV ( s ) = , de donde: s

M

······

f(t) v(t) T/2

T

t

7

Ejemplos de Transformada de Laplace

V ( s ) ( Ms + B ) = V ( s) =

(

A + Mv(0) s

A

Ms s + B

J. Benavides S.

+

M

) (

v(0) s+B

M

)

⇒

v(t ) =

B B − t ⎞ − t A⎛ M M e v e 1 − + (0) ⎜ ⎟ B⎝ ⎠

;0 ≤ t ≤ T

2

Por estar en régimen permanente, se debe cumplir: v( T ) = −v(0) , reemplazando esta condición en la 2

expresión de v(t) anterior, se obtiene: BT BT − − ⎞ A⎛ M 2 M 2 −v(0) = ⎜ 1 − e ⎟ + v(0)e B⎝ ⎠

⇒

BT − ⎡ M 2 A 1− e v(0) = ⎢ BT − B⎢ ⎢⎣1 + e M 2

BT − ⎡ A⎢ 2e 2 M v(t ) = 1− BT − B⎢ 2M ⎣⎢ 1 + e El gráfico de v(t) es de la forma:

⎤ B ⎥ e− M t ⎥ ⎦⎥

⎤ ⎥ , reemplazando en v(t): ⎥ ⎥⎦ ;0 ≤ t ≤ T

2

v(t) -v(0)

······

0

T/2

t

T

v(0)

E-8. Encuentre la expresión del voltaje ec(t) en el condensador del circuito R-C de la figura, cuando se aplica una tensión ei(t) constituída por un pulso rectangular que se inicia en t0 y que tiene una amplitud A [Volts] y duración T [seg], el condensador está inicialmente descargado. ei(t) R + ei(t)

_

A C ec(t)

i(t) 0

t0

t0+T

t

La ℒ de la tensión aplicada ei(t) es: 1 − s t +T ⎤ ⎡1 Ei ( s ) =ℒ{ei (t )} = A ⎡ℒ{u (t − t0 } −ℒ u ( t − [t0 + T ]) ⎤ = A ⎢ e− st0 − e ( 0 ) ⎥ ⎣ ⎦ s ⎣s ⎦ A Ei ( s ) = e − st0 ⎡⎣1 − e − sT ⎤⎦ s 1 La ecuación de equilibrio del sistema es: Ri (t ) + ∫ i (t )dt = ei (t ) , C d ec (t ) 1 y pero como: i (t ) = C i (t )dt = ec (t ) , la ec. (2) quedará: dt C∫

{

}

(1) (2)

8

Ejemplos de Transformada de Laplace

J. Benavides S.

RC

d ec (t ) + ec (t ) = ei (t ) dt

(3)

Aplicando ℒ a la ec. (3) y con (1): A RC ⎡ s Ec ( s ) − ec (0+ ) ⎤ + Ec ( s ) = e − st0 ⎡⎣1 − e − sT ⎤⎦ , de donde: ⎣ ⎦ s

⎡ Ae − st0 ⎡⎣1 − e − sT ⎤⎦ A ⎢ e − st0 e− s ( t0 +T ) = − Ec ( s ) = s ( RCs + 1) RC ⎢ s s + 1 s s+ 1 RC RC ⎣ -1 Aplicando ℒ , se llega a:

(

) (

)

⎤ ⎥, ⎥ ⎦

t −( t0 +T ) t −t ⎡⎛ ⎤ ⎛ ⎞ − 0 ⎞ − RC ec (t ) = A ⎢⎜1 − e ⎟ u ( t − t0 ) − ⎜⎜1 − e RC ⎟⎟ u ( t − [t0 + T ]) ⎥ ⎢⎣⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎦⎥

ec(t)

0

t0

t0+T

t

(Observación: se puede resolver para un pulso que se inicia en el orígen con duración T y luego desplazar la solución en t0. Comparar el resultado obtenido con el del ejemplo E-6)

9