Transformada Z Inversa

Problema de MATEMÁTICA AVANZADA del profesor Eduardo Huaccha Resolver la siguiente ecuación en diferencias

𝒙 𝒌 + 𝟐 + 𝟑𝒙 𝒌 + 𝟏 + 𝟐𝒙 𝒌 = 𝟎;

Donde:

𝒙 𝟎 =𝟎 𝒙 𝟏 =𝟏

RESOLUCIÓN Recordar que una ecuación en diferencias es una coordinación de las secuencias 𝒙(𝒌 − 𝒏) y/o 𝒙(𝒌 + 𝒏), junto con escalares. • Para el ejercicio solicitado resolver: 𝒙 𝒌 + 𝟐 + 𝟑𝒙 𝒌 + 𝟏 + 𝟐𝒙 𝒌 = 𝟎; Donde: 𝒙 𝟎 =𝟎 ; 𝒙 𝟏 =𝟏

El objetivo es hallar 𝒙 𝒌 ; usando tanto la transformada Z, como la transformada Z inversa. • Aplicamos la transformada de Z

𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟐) + 𝟑𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟏) + 𝟐𝒁 𝒙(𝒌) = 𝟎 … (∝)

Resolviendo para cada uno de ellas Recordar que la ecuación es de orden 𝒏 = 𝟐 − 𝟎 = 𝟐 Para 𝒏 = 𝟐 se tiene 3 factores 𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟐) = 𝒁𝟐 𝒙 𝒛 − 𝒁𝟐 𝒙 𝟎 − 𝒁𝒙 𝟏 𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟐) = 𝒁𝟐 𝒙 𝒛 − 𝒁𝟐 𝟎 − 𝒁 𝟏

𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟐) = 𝒁𝟐 𝒙 𝒛 − 𝟎 − 𝒁 𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟐) = 𝒁𝟐 𝒙 𝒛 − 𝐙

Resolviendo para cada una de ellas Para 𝒏 = 𝟏 se tiene 2 factores 𝟑𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟏) = 𝟑𝒁𝒙 𝒛 − 𝟑𝒁𝒙 𝟎

𝟑𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟏) = 𝟑𝒁𝒙 𝒛 − 𝟑𝒁 𝟎 𝟑𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟏) = 𝟑𝒁𝒙 𝒛 − 𝟎

𝟑𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟏) = 𝟑𝒁𝒙(𝒛) Para 𝒏 = 𝟎 se tiene 1 factor

𝟐𝒁 𝒙(𝒌) = 𝟐𝒙 𝒛

Reemplazamos los valores en 𝜶 𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟐) + 𝟑𝒁 𝒙(𝒌 + 𝟏) + 𝟐𝒁 𝒙(𝒌) = 𝟎 𝒁𝟐 𝒙 𝒛 − 𝐙 + 𝟑𝒁𝒙 𝒛 + 𝟐𝒙 𝒛 = 𝟎 Resolvemos la ecuación de segundo grado 𝒁𝟐 𝒙 𝒛 + 𝟑𝒁𝒙 𝒛 + 𝟐𝒙 𝒛 = 𝒁 𝒙 𝒛 𝒁𝟐 + 𝟑𝒁 + 𝟐 = 𝒁 𝒙 𝒛

𝒁+𝟐 𝒁+𝟏

=𝒁

𝒁 𝒙 𝒛 = (𝒁 + 𝟐)(𝒁 + 𝟏)

1.-Buscar fracciones parciales 𝒙 𝒛 =

𝒁 (𝒁+𝟐)(𝒁+𝟏)

para lo cual la descomponemos en 2 fracciones

𝒁 𝒁 𝒙 𝒛 = − 𝒁+𝟏 𝒁+𝟐 𝒙 𝒌 = 𝒁−𝟏 𝒙(𝒛)

𝒙 𝒌 = 𝒁−𝟏 𝒙(𝒛) 𝒁 −𝟏 𝒙 𝒌 = 𝒁 = (−𝟏)𝒌 𝒁+𝟏 𝒙 𝒌 = 𝒁−𝟏 𝒙(𝒛) 𝒁 −𝟏 𝒙 𝒌 = 𝒁 = (−𝟐)𝒌 𝒁+𝟐

∴ 𝒙 𝒌 = (−𝟏)𝒌 −(−𝟐)𝒌 ; 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 …

2.-Usando el método de inversión •𝒇 𝒛 =

𝒁𝒌−𝟏 . 𝒙

•𝒇 𝒛 =

𝒁𝒌 (𝒁+𝟏)(𝒁+𝟐)

𝒛 =

𝒁𝒌−𝟏 .

𝒁 (𝒁+𝟐)(𝒁+𝟏)

; 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 …

-1 polo simple -2 polo simple

• 𝑹𝒆𝒔 𝒇; −𝟏 = 𝒍𝒊𝒎𝒛→−𝟏 𝒁 + 𝟏

𝒁𝒌 𝒁+𝟏 𝒁+𝟐

= (−𝟏)𝒌

• 𝑹𝒆𝒔 𝒇; −𝟐 = 𝒍𝒊𝒎𝒛→−𝟐 𝒁 + 𝟐

𝒁𝒌 𝒁+𝟏 𝒁+𝟐

= (−𝟐)𝒌

∴ 𝒙 𝒌 = (−𝟏)𝒌 −(−𝟐)𝒌 ; 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐 …