Eletromagnetismo Para Engenheiros

'

r =
Z X

A

(2.37) e do mesmo modo que para todos os vetores uni""

tários, f · f =

o.

= ZXZ = '

r X r =
A

A dependência que tem R 1 de c/> 1 está implícita através da dependência quer tem de ., z,), é necessário especificar que r está em
Em coordenadas cilíndricas, u1n vetor é expresso como A

A = âiAI =

rA, +
onde A,., A,b e A. são as componentes de A ao longo

das direções, r, 4>, e z. O módulo de A é obtido

dl,. = dr,

dl,p = r d
z

diz = d z . (2.41)

Observe que o con1prin1ento diferencial ao longo de , não apenas de/>. O co1nprilnento diterencial dl e1n coordenadas cilíndricas é dado por A

'

aplicando-se a Eq. (2-20), que resulta etn IAI =

:1 A· A =

i

A;+ A~

+ A~ . (2.39)

dl =

rdl, +4> dltf>+zdlz = rdr+4>r drp+zdz. (2.42)

Como foi dito anteriormente para o siste1na de coordenadas cartesianas, o produto de qualquer par de comprimentos diferenciais é igual ao rnódulo de

,

CAPÍTULO 2

ALGE BRA V ETORIAL

49

z ds, =zr dr dtf> A

ds,t, =t/> dr dz A

' ' d• '~ '

,, •

ds, 1 1

' '

'

,.'

'l..

,

t

'

X

/\

1 1

'--'--<- - - -- Y

0,,1,,,-,- - h .,.;,,.. .... .... 1 "' 'Y

=r r d d:

1

1

'l. ..... 1

' X

Figura 2-10 Volurne e área diferenciais en1 coordenadas cilindricas.

urn vetor área de superfície diferencial corn uma superfície normal que aponta ao longo da direção da terceira coordenada. Portanto, ds,

Figura 2-11

Geornetria do Exernplo 2-3.

e ,

a- -

(supe1f.ície cilíndrica -z)

(2.43a)

~

'

zdl, dl,t, =

zr dr d
dst/> = dl, d lz = dr dz (plano r- z)

(2.43b)

O volun1e diferencial é o produto desses três cornprimentos diferenciais, dv

= dl,. dlq, diz = r dr d
Vetor Distância em Coordenadas Cilíndricas

Determine uma expressão para o vetor unitário do vetor A rnostrado na Fig. 2-11 en1 coordenadas cilíndricas. Solução: No triângulo O P,P, , OP2 =

J,g + 17.2

Nota,nos que a expressão para A é independente de 4) 0. Ou seja, todos os vetores que partem do ponto P 1 para qualquer ponto do círculo definido por r = , 0 no plano x- y são iguais no sistema de coordenadas cilíndricas. A arnbigüidade pode ser eliminada especificando que A passa por u,n ponto ern que 4> =<J>0 . •

Exemplo 2-4

' Area de uma Superfície Cilíndrica

Determine a área de uma superfície cilíndrica descrita por r = 5, 30º S

1

60'

,j>: 300

0Pi + A.

rro íh --;:===

(2.44)

As propriedades precedentes do siste1na de coordenadas cilíndricas estão resun1idas na Tabela 2-1 .

Exemplo 2-3

-

- IAI -

= r dlq, dl, = rr d
ds, =

A

d
f

3

•"'º

dz = 5
11/3 1t / 6

57!' z = - . O 2 3

Observe que tern que ser convertido para radianos antes de avaliar os lünites de integração. •

Portanto, A = O P2 - O P1 =

rro -

zh ,

50

ELET ROMAGNETISMO PARA ENGENMEIROS

,,'

-

\

"

\

\

- - -~ )'

fJ = lJ, Supe rfície cônica

'....-X

Superfície cilíndrica do Exern-

Figura 2-12

plo 2-4. X

Figura 2-13

e"
Ponto P(Ri,

1)

en1 coordena-

das esféricas. EXERCÍCIO 2.4 Um cilindro circular de raio r = 5 CLn é concêntrico com o eixo z e se estende entre z =- 3 cm e z = 3 cn1. Use a Eq. (2.44) para determinar o volume do cilindro.

47 l,2 c1n3

Resp.

(veja ,~ )

A = âlAI = RAR

A

A

A ,

A

A

+ A02 + A"'2 .

A

(2.47)

O vetor posição do ponto P(Ri, 9 1, q, 1) é sirnplesmente (2.48)

enquanto ternos e111 111ente que Rdepende in1plicitamente de e, e 1• Confonne mostra a Fig. 2- 14, os compritnentos diferenciais ao longo de R, O e t/> são ,

dlR = dR ,

A

(2.45) Um vetor corn cornponentes AR, A 0 e A 4, é escrito . como a seguir

'

dl,p = Rsen(}dq,.

Portanto, as expressões para o vetor co1nprirnento diferencial dl, o vetor superfície diferencial ds e o volunie diferencial dv são

A

Rx8 = t/> , 8xtf> = R, t/>XR = 8.

dlo= RdB,

A

(2.49)

d l = R dlR A

(2.46)

e seu módulo é dado por

A

A

A

+ 8 Ae + t/>A <1>,

ef

Nun1 sisten1a de coordenadas esféricas, a localização de um ponto no espaço é exclusivamente especificada pelas variáveis R, e e conforme 111ostra a Fig. 2-13. A coordenada R, algurnas vezes é chan1ada de coordenada de alcance, descreve un1a esfera de raio R centrada na orige1n. O ângulo zênite eé medido a partir do eixo z positivo e descreve urna superfície cônica coin seu ápice na orige1n, e o ângulo de azimute é o mesmo que no sistema de coordenadas cilíndricas. As faixas de R, ee são O< R < oo, O< () < 71' e O< obedecem às seguintes relações seqüenciais obtidas pela regra da 1não direita: A

A

2 IAI =:j A · A = . AR

2-2.3 Coordenadas Esféricas

A

A

A

= R dR '

A

A

+ 8 dlo + t/> dl,p A

A

+ (} R d(}+ t/>R sen (} d
2

dsR = R dlo dl"' = RR sen (} d(} d
(superfície esférica (}-4>) (2.50b)

CAPÍTULO 2

, A LGE BRA V ETORIAL

51

z R sen IJ d
/

I

1 1 1 1

~-----'---•Y ... :, ,..,,e ,1 {lJ

1

I

' '-1

\

/ /

' X

-----

/ ~

X

Figura 2-14 Volun1e diferencial en1 coordenadas esféricas.

A

Figura 2-15 Seção esférica do Exe1nplo 2-5.

Exemplo 2-6

A

dso = 8 dlR dlq, = 8 R senB d R d<J,

(superfície cônica R-<J, ), (2.50c) A

A

dsif> = tJ, dlR d/0 = tJ, R d R de

(plano R-fJ ),

Uma esfera de raio 2 cm contém uma densidade volumétrica de carga elétrica p,. dada por

(2.50d) dv = d/R dl0 dlif> = R 2 sene dR c/8 d
Carga Elétrica em uma Esfera

Pv = 4cos2 8

Determine a carga total Q contida na esfera.

(2.50e) Essas relações foram resunudas na 1àbela 2- L.

Exemplo 2-5

Superfície em Coordenadas Esféricas

A seção esférica mostrada na Fig. 2- 15 é uma

seção de uma esfera de raio 3 cm. Determine a área dessa seção. Solução: Ao usar a Eq . (2.50b) para a área de urna área esférica elernentar co1n raio constante R, obtemos 2

S= R

i

60º

12" d<J, sen e de

0= 30°

= 9(-cosB)

Solução

{2n {" { 2x 10- 2 - }q,=0Ío=O1R= O (4 cos2 8) R2 sen 8 d R d8 d<J, =

4

12,r 11l ( ~3) :X IQ-l

sen e cos2 e de d<J,

= 32 x 10_6 3

= 64

4>= 0

X

9 128n

12"

60° <J, 30° O

2

= 18:,r(cos 30º - cos 60º) = 20, 7 cm

10- 6

2

{ " ( -

lo

cos

•

9

3

e) "o

d<J,

r 2n d<j,

lo

- - x 10- 6 = 44,68 .

3

(µ,C) .

52

E LETROMAGNETISMO PARA E NGENMEIROS

Observe que os li,nites de R foram convertidos em metros antes do cálculo da integral em R. •

2-3 Transformações entre Sistemas de Coordenadas

e as relações inversas são x = rcosrj> ,

2-3.1

Transformações de Coordenadas Cartesianas para Cilíndricas

O ponto P n1ostrado na Fig. 2-16 tem coordenadas cartesianas (x, y, z) e coordenadas cilíndricas (r, cp, z). Esses dois sistemas têm em comum a coordenada z e as relações entre os outros dois pares de coordenadas podem ser obtidas a partir da geometria vista na Fig. 2- 16. Essas relações são r = ::/x2

+ y2,

rj> = tg

-•()') X

,

(2.5 ])

(2.52)

Ern seguida, con1 o auxílio da Fig. 2-17, que mos• tra as direções dos vetores unitários y, e
x, r

r ·x= cos ,
A posição de urn dado ponto no espaço é inva-

riante en1 relação ao sistema de coordenadas escolhido. Ou seja, sua localização é a n1es1na independentemente do sistema de coordenadas usado para representá-lo. O 1nesmo é válido no caso ele vetores. Nesta seção, estabelecere1nos as relações entre as vari,1veis (x, y , z) do sisten1a cartesiano (r, q,, z), do sisten1a cilíndrico e (R, 8, ) do siste1na esférico. Essas relações serão usadas para transforn1ar vetores expressos em qualquer um dos três sistemas em vetores expressos e1n qualquer u1n dos outros dois.

y = rsenrj>.

r ·y=

A

A

sen , (2.53a)

A


r

x

Para expressar em tennos de e y, van1os escrever r co1no sendo A

xa + yb,

r=

(2.54)

onde a e b são os coeficientes desconhecidos da transfonnação. O produto escalar resulta em

r ·x

r · x = x · xa + y · x"b = A

A

A

A

A

a.

(2.55)

Comparando a Eq. (2.55) com a Eq. (2.53a), concluímos que a = cos . De forma similar, com a aplicação do produto escalar r · yna Eq. (2.54), obtemos b = sen cp. Portanto,

r = xcos

(2.56a) A

Repetindo o procedimento para, obten1os ~=

- xsen r/> + ycos <J,.

O terceiro vetor de base

(2.56b)

z é o mesmo para os

dois s istemas de coordenadas. Resolvendo as

z .... .... '

P(x, y, z)

1

IZ l

ft:::::::-:7 ,x=--~ y rcos 1 , /

y = r sen X

Figura 2-16 Inter-relação entre coordenadas cartesianas (x, y, z) e coordenadas cilíndricas (r, ,j,, z).

X

Figura 2-17 Inter-relações entre os vetores de base ( x , y) e (r , ~ ).

,

CAPÍTULO 2

Eqs. (2.56a) e (2.56b) simultaneamente para i e y, obte1nos as seguintes relações inversas: A

x = fcos -4> sen ,

(2.57a)

A

y = f seu + cos .

A LGE BRA V ETORIAL

53

z

permanece inalterado. Portanto, P 1 = P 1(5, 306,9º, 3) e111 coordenadas cilíndricas. Paraovetor A = rA,. + Aq, + zAzemcoordenadas cilíndrica5, suas co1nponentes podem ser determinadas aplicando-se as Eqs. (2.58a) e (2.58b):

e

A

(2.57b) A,. = Ax cos + A y sen

As relações dadas pelas Eqs. (2.56a) e (2.57b) não são apenas úteis para a transfonnação dos vetores de base ( x, y) e,n (f , 4>) e vice-versa, elas també,n podem ser usadas para transforn1ar as componentes de u1n vetor expresso e1n u,n dos dois sisten1as de coordenadas en1 suas componentes correspondentes no outro sistema. Por exe1nplo, u,n vetor A = xAx + yA y + zAi e1n coordenadas cartesianas pode ser transfonnado e1n A = fA, + t/> Aip + zA z em coordenadas cilíndricas aplicando-se as Eqs. (2.56a) e (2.56b). Ou seja,

= 2cos - 3 sen , A,p = - Ax sen + A.r cos = - 2sen - 3cos, A. =4.

A

A

A,.= Ax cos + Aysen, Aq, = - Ax sen

+ A y cos ,

(2.58a) (2.58b)

Portanto, A

A = i-(2 cos - 3 sen ) - ip(2 sen + 3 cos ) + z4.

No ponto P, <jJ = 306,9°, que resulta ern A

A = f3,60 - t/>0,20

2-3.2

+ z4.

•

Transformações de Coordenadas Cartesianas para Esféricas

A partir da Fig. 2-18, obternos as seguintes relações entre as coordenadas cartesianas (x, y, z) e as coordenadas esféricas (R, 4>):

e, reciprocamente,

e,

Ax = A,. cos - Aip sen ,

(2.59a)

+ A,p cos .

(2.59b)

Ay = A,. sen

v1x2 + y2 + z2 '

R=

(2.60a) (2.60b)

As relações de transfonnação dadas aqui e nas próximas duas seções estão resun1idas na Tabela 2-2.

(2.60c)

Exemplo 2-7

Transformações de Coordenadas Cartesianas para Cilíndricas

Dado o ponto P 1(3, -4, 3) e o vetor A = x2- y3+z4, definido em coordenadas cartesianas, expresse P 1 e A en1 coordenadas cilíndricas e calcule A em P1• Solução: Para o ponto P" x =3, y Usando a Eq. (2.51), obtemos

=-4 e z = 3.

e as relações de conversão são = R sen e cos

(2.61a)

y = R sene sen,

(2.6 1b)

z = Rcose.

(2.6 lc)

X

A

O vetor unitário R está no plano r-z. Portanto, pode ser expresso co1no uma combinação linear de r e z, como a seguir: A

::/x2

r =

+ y2 = 5,

= tg- 1 ! = - 53, 1° = 306,9º , X

R=

ra + zb, A

A

(2.62)

onde a e b são os coeficientes da transforn1ação. Como r e i são mutuan1ente perpendiculares,

54

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMEIROS

z

A

x=

R sen 8 cos 4>

/\

A

R

(rc/2 - B)

A

A

f\

r

sen
A

As equações de (2.64a) a (2.65c) ta1nbé1n pode,n ser usadas para transforn1ar (A,, Ay, Az) do vetor A e,n suas componentes esféricas (AR, A0, A",) e vice-versa, substituindo (x,y,z, R,8,ef,) por (Ax, A.v, A:, A,. A 11 , A,,,), respectivamente.

z = R cos () x=rcos<J> y = r sen 4>

Exemplo 2-8

Transformação de Coordenadas Cartesianas para Esféricas

X

Figura 2-18 (R, O,).

A

(2.65a) y = R sen 8 sen

cos

I\

7.

+ e cos 8 cos

Inter-relações entre (x, y, z) e

+

Expresse o vetor A = x(x + y) en1 coordenadas esféricas.

zz

+ y(y -

x)

Solução: Usando a relação de transformação para AR dada na Tabela 2-2, obte,nos A

A

R · r = a,

(2.63a)

R · z = b.

(2.63b)

A

"

A partir da Fig. 2- l 8, o ângulo entre R e r é o " e z" é O. Portanto, a complen1.ento de O< e entre R = R · r = sen Oe b = R · z = cos O. Substituindo essas expressões para a e b na Eq. (2.62) e substituindo r na Eq. (2.56a), obtemos

e

AR= Ax sen 8 cos

+ ()' -

A

A

A

A

R=

A

A

X sen

A

ecos + y sen esen + z cos e. A

A

(2.64a) Um procedimento sin1ilar pode ser adotado para obter a seguinte expressão para fJ" :

e

fJ" = x cos cos

+ y cos Osen q'> -

zsen e, (2.64b)

e a expressão para q,' é dada pela Eq. (2.56b), co,no A



= -x sen + ycos<J>.

X)

sen 8 sen q> + Z COS 8.

Usando as expressões para x, y e z dadas pela Eq. (2.61 c), obte,nos

+

e

AR= (R sen ecos

) sen Ocos + (R sen 8 sen R sen 8 cos q'>) sen 8 seu + R cos2 8 = R sen2 0 (cos2 ef> + sen2
= Rsen 2 B + R cos2 B = R.

De forn1a sin1ilar, A 11 = (x

+ y) cose cos +

(y - X) COS 8 Sen

= -(x + y)sen + (y - x)cos,

e seguindo os procedin1entos usados com AR, obten1os os resultados a seguir: Ao = 0, A4> = -R sen8.

(2.64c) Po11anto,

As equações de (2.64a) a (2.64c) podem ser resolvidas siinultaneau1.ente, gerando as seguintes expressões para (x, y, z) em tern1os de (R, ê, ef, ):

A = RAR +êAo A

A

+ ~A

= RR -
•

:, "° e. o > ~o·~~V> (DV>~~ dvi_..,.., Q) - ~ -G O -v o :, l>) l>) V) M

'

";-J w • w

-•

n-, _.,

_ ..... ...oV>~

Tabela 2-2 Transformação

Relações de transforrnação de coordenadas

Variáveis do sistema de coordenadas

,. = -::/x2 + y2 4> = tg- 1(y/x) z =z De cilíndrica x = r cose/> para cartesiana y = r sen 4>

De cartesiana para cilíndrica

z=z De cartesiana para esférica

R = -::/x2 + y2 + z2 (J

= tg- 1[ 1 x2 + y2 / z]

= tg- 1(y/x)

De esférica x = R sen Ocos q, para cartesiana y = R sen O sen

Vetores unitários

A

A

A

x = r cos 4> - 4> sen 4> y = r sen 4> + ef, cos 4> Z=Z R = xsen fJcos c/> + ysen 8 sen 4> + icos O iJ = x cos e cos 4> + y cose sen 4> - sen 11 4> = - xsenq,+ycosq, A

A

A

A

z

A

A

x = R sen (;I cos 4> +ecos ecose/> - 4> sen q> y = R sen esen if> + ecose seu 4> + ef, cosq, = R cose - 9 sen8 A

A

A

A

z = Rcos 8

z

R = tj,-2 + z2 /) = tg- 1(r/z)

R = r sen e + cose (} = r cos(;/ - isen(J

= r = R sen (J 4> = 4> z = RcosB

De esférica para cilíndrica

A

z

A

A

A



A

A

4> ="' r = R sen (;) + 8 cos fJ A

A

A

A

4> = "' = R cosB - 9 senB

z

A

A

V}

1

e

AR= A, sen 8 + Ai; cosO Ao = A, cos (;) - A. sen (} At/> = A,p

o

q "' "' l» 0 0

o

V,

til

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V,

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a._ -. o -·

""'\~""'\:,

A, = Ax cose/>+ Ay sen q', A,p = - A... sen cf> + AyCOSc/> Az = A z Ax = A,. cos 4> - A,p sen 4> Ay = A,. sen 4> + A,p cos if> A z = Ai: AR = Ax sen fJ cos q', + Ay sen 8 sen 4> + A. cose Ao = Ax cos (J cos 4> + Ay cos/Jsenif> - A. sene Af/> = - Ax sen q> + A1, cose/> Ax = ARsen Bcosq, + Ao cos Ocos - A A>' = AR sen sen + Ao cose sen ef, + A,p cos ef, Az = AR cose - Ao sen 9

::.; õl - , :::S

NOc..o ..vi o 3 ~o, o

Con1ponentes dos vetores

r = x cosc/> + ysenif> if> = - x sen if> + y cos 4> •Z=Z

A

De cilíndrica para esférica

~N õ' ~ º' ~ Q O o :, ~ ~ E,;

0-

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Q. p.,

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56

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMELROS

A. Constelação de satélites nominal do sistema GPS 4 satélites em cada plano 20.200 k1n de altitude, 55 graus de inclinação

Sistema de Posicionamento Global O Sistem a de Posicio n amento Global (GPS Global Positioning System), inicialmente desenvolvido na década de 1980 pelo Departamento de Defesa dos Estados Unidos como uma ferramenta de navegação para uso m ilitar, tem sido envolvido em um sistema com diversas aplicações civis, incluindo rastreamento de veículos, navegação de aeronaves, uso de mapas em automóveis e mapeamento topográfico. O sistema GPS compreende três segmentos. O segm ento esp acial consiste em 24 satélites (A), cada um circundando a Terra a cada 12 horas numa órbita com altitude aproximada de 12.000 milhas (19.200 km) e transmitindo contínuamente sinais de tempo codificados. O segmento d e u suários consiste em receptores portáteis ou montados em veículos que determinam as localizações destes pela recepção e processamento de sinais provenientes de múltiplos satélites. O terceiro segmento é uma rede de cinco est ações t errest res, distribuídas em torno da Terra, que monitoram os satélites e fornecem a eles informações atualizadas da precisão de suas órbitas. O sistema GPS

fornece uma localização com uma imprecisão de aproximadamente 30 m, tanto na horizontal quanto na vertical, porém isso pode ser melhorado para uma imprecisão de até 1 m através do GPS diferencial. (Veja o final da seção.)

Princípio de Operação A técnica de triangula ção permite a determinação da localização (x0 , y0 , z0 ) de qualquer objeto num espaço 3-D (tridimensional) a partir das distâncias d 1, d2 e d3 entre o objeto e três outros pontos independentes no espaço com localizações de (x 1, y 1, z,) a (x3, y 3, z3) conhecidas. No sistema GPS, as dist âncias são estabelecidas medindo os tempos que os sinais levam para se deslocar dos satélites até os receptores GPS, e então multiplicando esses tempos pela veloci8 dade da luz (e= 3 x 10 m/s). A sincronização é conseguida usando-se relógios atômicos. Os sat élites usam relógios muito precisos, 3 nanossegundos (3 x 1 9 s) de precisão, porém os receptores usam uma precisão menor, mais barata,

o-

, CAPÍTULO 2

SAT3~ (x3, Y'.3· Z3) \ d3

SAT2 :A)#' (x2, Y2, z2) d2

SAT4 Ç'-'4.J4. 4)

!::A)( d4

A LGEBRA V ETORJAL

SAT 1 (ri, Yl · Zl)

I~ l d1

I

I

Atraso de 1'empo

11J1J 1,u-

CuJli!,!o lo n"l·t·ptor

( 'údig< do ..,atélilc

1 -· - .

com relógios de quartzo. Para corrigir o erro de tempo de um receptor GPS, é necessário o sinal de um quarto satélite. O receptor GPS do automóvel em (B) está a uma distância de d 1 a d 4 a partir dos satélites GPS. Cada satélite envia uma mensagem de identificação das coordenadas de sua órbita (x., Yi, z1) para o satélite 1 e assim por diante para os outros satélites, juntamente com uma seqüência codificada em binário comum a todos os satélites. O receptor GPS gera a mesma seqüência binária e, por comparação de seu código com o sinal recebido a partir do satélite 1, determina o tempo t, que corresponde ao tempo de deslocamento ao longo da distância d, . Um processo similar se aplica aos satélites de 2 a 4, gerando quatro equações:

df = (xi -

xo)2 + (y, - Yo)2 + (z, - zo)2 = e [(11 + 10)]2

= (x2 - xo>2 + (Y2 - Yo)2 + (z2 - zo>2 = e [(t2 + to)J2 dj = (x3 - xo)2 + (YJ - Yo)2 + (ZJ - zo)2 = e [(13 + 10))2

d]

dJ= (x4 -

xo>2

+ (y4 - Yof + (z4 -

zo>2 = e [(14 + lo)J2 .

Os quatro satélites informam suas coordenadas (x" Yr z,) a (x4 , y 4 , z4)para o receptor GPS, sendo que os atrasos de tempo de i 1 a i 4 são medidos diretamente por ele. As informações desconhe-

B. Receptor GPS para auton1óveis na localização (xo, Yo, zo)

cidas (x0 , y0 , <11) são as coordenadas do receptor GPS, e o desvio de tempo t0 do relógio dele. A solução simultânea das quatro equações resulta na informação da localização desejada.

GPS Diferencial A imprecisão de 30 m na posição dada pelo sistema GPS é atribuída a diversos fatores, incluindo erros de atraso de tempo (devido a diferenças entre a velocidade da luz e a velocidade real na troposfera), que dependem da localização do receptor na Terra, atrasos devido a reflexões em prédios altos e erros de informação da localização de satélites. O GPS Diferencial. ou DGPS, usa um receptor de referência estacionário em uma localização com coordenadas conhecidas. Calculando a diferença entre sua localização com base na estimativa dada pelo sistema GPS e sua localização verdadeira, o receptor de referência estabelece os fatores de correção das coordenadas e os transmite para todos os receptores DGPS na área. A aplicação da informação de correção geralmente reduz a imprecisão na localização para cerca de 1 m.

57

58

ELETROl'vlAGNETISMO PARA ENGENI-IEIROS

Usando a Eq. (2.52) para converter as coordenadas cartesianas ele P, e P2 em suas coordenadas cilíndricas equivalentes, obtemos d = [ (r2 cos 2 - r, cos 1 )2

Resp.

112 +(z2-z1)2] (coordenadas cilíndricas). (2.67) U,na transformação simj lar usando as Eqs. (2.61 ac) conduz a urna expressão para d e1n termos das coordenadas esféricas ele P, e P 2:

d= {Ri+ R: -

2R, R2[costl2 cose,

+ sen 91sen B2 cos(2 - 1 )] }

112

(coordenadas esféricas). (2.68)

-

A= x(x + y)

+ y(y -

rr -
+ (r2 sen 2 - r, sen 1) 2 + (z2 - z,) 2] 112 [r}+rf - 2r1r2cos(2 - 1)

=

' EXERCICIO 2.6 Efetue a transfo,mação de coordenadas cartesianas para cilíndricas do vetor

A=

x)

+ zz

(veja ~ )

TÓPICOS IMPORTANTES DO CAPÍTULO • A álgebra vetorial rege as leis da adição, subtração e n1ultiplicação de vetores, sendo que o cálculo vetorial co1npreende as leis da diferenciação e da integração de vetores. • Em um siste1na de coordenadas ortogonais destro, os três vetores de base são n1utuan1ente perpendiculares uns aos outros em qualquer ponto do espaço e as relações seqüenciais regen, os produtos vetoriais dos vetores de base que obedecen1 à regra da mão direita. • O produto escalar de dois vetores produz u1n escalar, ao passo que o produto vetorial de dois vetores produz u1.n outro vetor.

-

QUESTOES PARA REVISAO Q2.7 Por que usa1nos n1ais de u1n sistema de coordenadas? Q2.8 Por que os vetores de base (x, y, z) são independentes da localização de um ponto, porérn r e
• Um vetor expresso en, um dado siste1na de coo1·clenadas pode ser expresso em outro sistema ele coordenadas por n1eio do uso de relações de transformação que relacionam os dois sistemas de coordenadas.

~

Q2.9 Quais são as relações seqüenciais para os vetores de base em (a) coordenadas cartesianas, (b) coordenadas cilíndricas e (c) coordenadas esféricas? Q2.10 Con,o é o vetor posição de um ponto e,n coordenadas cilíndricas e1n relação ao vetor posição desse ponto em coordenadas esféricas?

EXERCÍCIO 2.5 O ponto P(2../3, n/3, -2) é dado em coordenadas cilíndricas. Expresse P em coordenadas esféricas. Resp.

P(4, 27T/3, 7T/3)

(veja ~)

PROBLEMAS ' Seção 2-1: Algebra Vetorial

O vetor A co1neça no ponto (1, - 1, - 2) e tennina no ponto (2, -1 , O). Deterrnine un, vetor unitário na direção ele A.

2.1*

z,

Dados os vetores A = x2 - S,3 + B = x:2 y+ z3 e C = x:4 + S,2 - z2, rnostre que C é perpendicular tanto a A quanto a B.

2.2

E1n coordenadas cartesianas, os três vértices de urn triângulo são P ,(O, 2, 2), P2 (2, -2, 2) e P.,( 1, 1, -2). Deter111ine a área do triângulo. 2.3*

2.4 Dado A= x2 -

Y3+ zl eB = iBX+ Y2 + zB_,:

, CAPÍTULO 2

(a) Determine Bx e B, se A for paralelo a B. (b) Determine uma relação entre Bx e B, se A for perpendicular a B.

x

2.5* Dados os vetores A = + y2 _ z3, B = X3 - y4 e C = y3 - z4, detennine: (a) A e â

(b) A componente de B ao longo de C

(e)

ÜAC

(d) A

X

C

X

Use a álgebra vetorial para deternlinar o 1nenor ângulo entre as linhas no ponto de interseção entre elas. 2.13*

(a) O vetor C definido con10 a co1nponente vetorial de B na direção de A é dado por

(B X C)

X

Uma determinada linha é descrita por X+ 2y = 4

Um vetor A começa na origen1 e tennina em um ponto P sobre a linha tal que A seja ortogonal à linha. Deterrnine a expressão para A.

_ ~(B. a~) -_ e -a

(g) xxB

{h) (A

59

2.14 Mostre que, dados dois vetores A e B,

(e) A·(BxC)

(f) A

ALGEBRA V ETORIAL

y) · z

2.6 Dados os vetores A = x2 - y + z3 e B = x3 - z2, determine u1n vetor e cujo 1nódulo é 6 e cuja direção é perpendicular tanto a A quanto a B.

A(B · A)

IAl2

,

onde â é o vetor unitário de A. (b) O vetor D definido co1no uma con1ponente vetorial de B perpendicular a A é dado por

Dado A = x(2x + 3y) - y(2y +3z) + z(3x - y), determine urn vetor unitário paralelo a A no ponto P(l , - 1, 2).

2.7*

D= B _ A(B · A )

IAl2

2.8 Por 1neio de expansão em coordenadas cartesianas, prove:

2.15*

(a) A relação para o produto escalar triplo dada pela Eq. (2.29).

Determine o vetor unitário normal à superfície direcionado para fora da origen1.

{b) A relação para o produto vetorial triplo dada pela Eq. (2.33).

2.16 Dado B = x(2z - 3y) + y(2x - 3z) - z(x + y), determine um vetor unitário paralelo a B no ponto P(l, O, - 1).

,,,,... 2.9* Determine urna expressão para o vetor u1ütário direcionado para a orige1n e que inicia num ponto arbitrário sobre a linha descrita por x = I e z = 2. 2.10 Detennine un1a expressão para uo1 vetor unitário direcionado para o ponto P localizado no eixo z a uma altura h acima do plano x-y a partir de um ponto arbitrário Q(x, y, 2) no plano z = 2. 2.11'~ Deternüne un1 vetor unitário paralelo à direção da linha dada por 2x - z =4

2.12 Duas linhas no plano x-y são descritas pelas expressões: Linha 1 Linha 2

+ 2y = -6 3x +4y = 8 X

U1n certo plano é descrito por 2x + 3y + 4z = 16

2.17 No esboço ou detnonstração da variação de um campo vetorial, freqüentemente usa1nos setas, como na Fig. (2.19), e1n que o co1nprünento da seta é proporcional à intensidade do crunpo e a direção é a mes1na que a do ca1npo. O esboço mostrado na Fig. 2-19, que representa o ca1npo vetorial E = rr, consiste em setas que apontam radialrnente para fora da origen1 e cujos comprin1entos aun1enta111 linearmente na proporção da distância a partir da 01igem. Usando essa representação com setas, esboce cada um dos seguintes campos vetoriais: '-' (a) E 1 =

-xy

" Resposta(s) disponívcl(is) no Apêndice D. Solução disponível no CD-ROíVf.

60

ELETROtvlAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Esboce também cada superfície.

(b) E2 = S,x

xx yy

Determine os volumes descritos de acordo co111 os seguintes dados:

(e) E5 =

4,r

(a) 25r55; rr/25
(f) E6 =

r sen
(b) O < R < 5; O <

(e) E 3 = + (d) E4 = XX +S,2y

2.23*

2.18 Use setas para esboçar cada um dos seguintes campos vetoriais: (a) E 1 = xx

-yy

e < n /3;

O<


< 2rr

Esboce també1n cada volu,ne. U1na seção de unia esfera é descrita por O< R < 2, O< e< 90° e 30" < < 90°. Determine: 2.24

(b) E2 =

-4>

(a) A área da supert1cie da seção esférica

(e) E3 =

y (1/x)

(b) O volume envolvido

Esboce ta,nbéni o volu,ne da seção.

(d) E4 = r cos<jJ

Uni ca,npo vetorial é dado em coordenadas cilíndricas por 2.25*

Seções 2-2 e 2-3: Sistemas de Coordenadas

2.19* Converta as coordenadas dos seguintes pontos de coordenadas cartesianas para cilíndricas e esféricas: 9

(a) P, (1 , 2, 0)

E=

A Â. A. A? rr cos
O ponto P(4, 'TT, 2) está localizado na superfície do cilindro descrito por r 4. Detennine, para o pon-

=

to P:

(b) P2 (0, O, 3) (e) P3(l , 1, 2)

(d) ?4(-3, 3, -3)

Converta as coordenadas dos seguintes pontos de coordenadas cilíndricas para cartesianas:

2.20

(a) A componente vetorial de E perpendicular ao cilindro. (b) A componente vetorial de E tangencial ao cilindro.

(a) P1(2, rr /4, -3)

(b) P2(3, O, O) (e) ?3(4, rr, 2)

)'

2.21 * Converta as coordenadas dos seguintes pontos de coordenadas esféricas para cilíndricas:

E

E

''

(a) P1 (5, O, O) 4'- (b) P2(5, O, n)

(e) P3(3, rr/2, rr)

2.22 Use a expressão apropriada para a área de superfície diferencial ds para detenninar a área de cada u1na das seguintes superficies: '~ (a) r ,,§,

= 3;

O5


5 n/3; - 2 5 z 5 2

(b ) 2 5 r 5 5; n /2 5

(e) 2 < r < 5;


/ /

'' /

/

/

/ E

= rr /4; -2 < z < 2

(d) R = 2; O < () < n/3; O <


< rr

(e) O 5 R 5 5; () = rr/3; O 5


5 2rr

,,,

'

/ X

" "'

"'

E

Figura 2-19 Representação com setas para o campo E = r r vetonal (Proble,na 2.17). A

•

CAPÍTULO 2

2.26 Para um dado ponto no espaço, os vetores A e B são dados e111 coordenadas esféricas por A

A

A = R4 +92 A

,

61

ALGE BRA V ETORIAL

(a) P1 ( l , 1, 2) e P2 (0, 2, 2) (b) P3 (2, rr/3, 1) e P4 (4, rr/2, 0)

A

4>

(e) ? 5 (3, rc, rr/2) e P6 (4, rr/2, rr)

A

B = - R2 + 4>3 Determine: (a) A componente escalar, ou projeção, de B na

direção de A. (b) A componente vetorial de B na direção de A. (e) A con1ponente vetorial de B perpendicular a A. 2.27* Dados os vetores A = r(cos
Detennine (a) 8,,s para (2, rr/2, 0) (b) U,n vetor unitário perpendicular tanto a A quanto a B em (2, 7r/3, l)

2.28 Determ_ine a distância entre os seguintes pares de pontos: (a) P 1( 1, 2, 4) e ? 2(- 2, - 3, 2) em coordenadas cartesianas (b) P 3(1, 7r/4, 2) e P 4 (3, 7r/4, 4) em coordenadas cilíndricas (e) P5(2, ,r/2, 2) e P6(3, 7r, O) em coordenadas esféricas 2.29* Detennine a distância entre os seguintes pares de pontos:

2.30 Transfor111e os vetores a seguir para coordenadas cilíndricas e em seguida calcule os vetores para os pontos: (a) A = x(x+y) para P1( 1,2,3)

(b ) B = i (y - x)

+ y (x

- y) para P2 (1, O, 2)

(e) e = xy2/(x2 + y2) - yx2/(x2 + y2) + z4 para P3 (1, - 1, 2) (d) D =

Rsen e+ê cose+ ~ cos2 ef> para

?4(2, rr /2, 1t /4) (e) E= .R cos
+ 8 sen + ~ sen2 8 para Ps

2.31* Transfonne os vetores a seguir para coordenadas esféricas e e,n seguida calcule os vetores para os pontos: (a) A = xy 2 + yxz +z4 para P1(l,- l,2)

(b) B = y(x2 + y 2 + z2)

- z(x 2 + y 2 )

para

P2(- I , O, 2)

• (e) C = r cos
=

+ z4 para

iy2/(x2

+

zcos
y2) _ yx2 /(x2

+

y2)

?4(l , -1 , 2)

2.32-2.35 Mais problemas resolvidos - soluções cotnpletas no "" .

ar 1

t

-.

' CA P1

ULO

Cálculo Vetorial

d 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

Considerações Gerais

3-1

Gradiente de um Campo Escalar

3-2

Divergente de um Campo Vetorial

3-3

Rotacional de um Campo Vetorial

3-4

Operador Laplaciano

Considerações Gerais O capítulo anterior proporcionou uma revisão das regras de adição, subtração e multiplicação de vetores. 1àmbé1n foran1 abordadas as ferramentas para a representação de vetores nos três siste1nas ortogonais n1ais comu,nente usados - os siste1nas cartesiano, cilíndrico e esférico - e para a transfor1nação de vetores entre esses sistemas. En1 eletromagnetismo, fazemos uso extensivo de u1n conjunto especial de operadores vetoriais: gradiente, divergente, rotacional e laplaciano. O estudo desses operadores maternáticos, que oferece u1na abordage1n eficiente para a representação e ,nanipulação de grandezas vetoriais, é o objetivo deste capítulo.

3-1

Gradiente de um Campo Escalar

Quando trabalhamos con1 uma grandeza física escalar cujo 1nódulo depende de uma única variável, tal como a te1nperatura T con10 uma função da altura z, a taxa de variação de T co1n a altura pode ser descrita pela derivada dT/dz. Entretanto, se T também for u1na função de x e y ern urn siste1na de coordenadas cartesianas, sua taxa de variação espacial torna-se 1nais difícil de descrever porque agora estamos lidando não apenas com três variáveis etn separado, n1as, també1n, co1n uni arranjo unificado. O operador gradiente fornece um método de fazer exatarnent.e isso. Suponha que T1(x, y, z) seja a ternperatura no ponto P1(x, y, z) e1n algu1na região do espaço e T2(x + dx, y + dy, z + dz) seja a te,nperatura nas proxi1nidades do ponto, confonne ,nostra a Fig. 3- l. As

z

P2(x+dx, y+dy, z+dz)

d

dx

X

Figura 3-1 Vetor distância diferencial entre os pontos P, e P2 .

distâncias diferenciais dx, dy e dz são as co1nponentes do vetor distância diferencial dl. Ou seja, dl =

xdx + y dy + zdz.

(3. 1)

A partir do cálculo diferencial, a ten1peratura diferencial dT = T2 - T1 é dada por

ar

dT = -;;- dx ax

ar

ar dz,

+ -;;dy + ay az

(3.2)

e co1no pela definição dx = x·dl, dy = y · dl e dz = d l, a Eq. (3.2) pode ser reescrita como

z·

.aT · d1+ y.aT .aT dT = x- · c/1+ z- · c/1 ax ay az =

.ar y .ar- +z.ar] ·dl. X-+ [

ax

ôy

az

(3.3)

O vetor dentro dos colchetes na Eq. (3.3) define a variação na te,nperatura dT que corresponde a uma variação do vetor na posição dl. Esse vetor é

64

ELETROMAGN ETISMO PARA ENGENMEIROS

denominado gradiente de T ou, na forn1a reduzida, grad T, e costu1na ser escrito sin1bolicamente como "vT. Ou seja, VT = grad T

Solução: A derivada direcional dT/dl é dada pela Eq. (3.7). Pri1neiro, detenninamos o gradiente de T:

ar • ar .ar = x- + y - + z - , ax ay az A

VT

•

O símbolo "v é denominado dei ou operador gradiente e é defi nido con10

ây

âz

1= x2 + y3

(3,5)

dT = VT · dl.

ax

+ zy2 .

Indicamos I co1no a direção determinada,

e a Eq. (3.3) pode ser expressa na forma

a •a •a V = x- + y- + z-

• a + y• a + z• a) (x 2 + y 2z) ( âx ay az X-

= x2x + y2yz

(3.4 )

A •

=

•

1

-111 = -~,:;;2;;:;;2::::;:+::::;:3;;;; 2 ::::;:+::::;:2;;: 2

d[

= V T · â1.

dT • dl = VT · a, = (x2x

4x

•

?

v'l7 + 6yz - 2y2

-lfi Para (1,-1, 2), c!T dl

3-1.1

(3.8)

Derivada Direcional

Determine a derivada direcional de T =x2 + y2 z ao longo da direção x2 + y3 - z2 e a calcule para ( 1, - 1, 2).

(

A

+ y2yz + zy·) · x2 + y3 -z2)

4 -1 2 - 2 ( l. - 1.2)

,.j'fj

(3.7)

Se "vT é uma fu nção conhecida co1n variáveis de u1n determinado siste111a de coordenadas, podemos determinar a diferença (T2 - T1) , onde T1 e T2 são os valores de T para os pontos P I e P2, respectiva1nente, integrando os dois lados da Eq. (3.5). Portanto,

ExemJ:>lo 3-1

v'l7

Aplicando a Eq. (3.7), obtemos

(3.6)

Notamos que, embora o operador gradiente não tenha u,n significado físico próprio, ele adquire uni significado físico u,na vez que opera co,n u,na grandeza física escala,; e o resultado da operação é urn vetor cujo ,nódulo é igual à rnáxin1a taxa de variação da grandeza física por unidade de distância e cuja direçéío está ao longo do au,nento 111áxitno. Co1n dl = âfll, onde â1 é o vetor unitário de c/1, a derivada direcional de Tao longo da direção â1, é dada por

-

x2 +y3 -z2

x2 + y3 - z2

A

dT

z2.

O seu vetor unitário é

a' = (coordenadas cartesianas).

-

Operador Gradiente em Coordenadas Cilíndricas e Esféricas

Embora a Eq. (3 .5) tenha sido deduzida usando coordenadas cartesianas, ela deve ser iguahnente válida en1 qualquer siste1na de coordenadas ortogonais. Para aplicar o operador gradiente ein urna grandeza escalar expressa e111 coordenadas cilíndricas ou esféricas, precisa,nos de expressões para "v nesses sisten1as de coordenadas. Para converter a Eq. (3.4) em coordenadas cilíndricas (r, cp, z), começan1os redeclarando as relações das coordenadas

r=Jx2+y2,

tg

y X

(3.9)

C ,\PÍTUL O 3

A partir do cálculo diferencial, ~ = âTâr +~â

âx

âr âx

3-1.2

+

â âx

Ôr - =

X

Jx2 + y2

ôx

â

= cos ,

ax

Para quaisquer duas funções escalares U e V, as relações a seguir se aplican1: (1)

V(U +V) = VU

(2)

v'(UV)

(3)

(3. 11 b)

r

-

ax

sen <j)aT = cos - - . ar r 8 aT

(3.1 2)

Essa expressão pode ser usada para substituir o coeficiente de na Eq. (3.4), sendo que um procedin1ento sin1ilar pode ser seguido para obter urna expressão para dTldy em tennos de r e - sen e y = r sen
x

x r

A

v'T =

,r-;ar +
r v'I'

Al

i)

VV" = nV"- 1 VV, paraqualquern.

O gradiente de um vetor não tem sentido sob as regras do cálculo vetorial.

vZ

Cálculo do Gradiente

Determine o gradiente de cada u,na das seguintes fu nções escalares e então calcule cada un1a para o ponto dado. (a) V1 = 24 V0 cos (·rry/3) sen (21rz/3) para (3, 2, l)

en1 coordenadas cartesianas. 2

(b) V2 = V0 e· r sen 3 para (1 , 'TT/2, 3) em coordenadas cilíndricas. (e) V3 = V0(a!R) cos 29 para (2a, O, 1r) etn coordenadas esféricas.

(3.13)

a v, i) v, i) v, VV, =x- +y-+z A

A

iJy

,

= - y8nVosen

i)z

ny

3

,

Ai)

zJ 6n Vo cos

ô i)z (coordenadas cilíndricas). (3. 14) r

A

=8n:V0 -ysen [

Aia V = R i) R + OR â9

A 1 a + t/> R sen ea
(3.15)

rry

3 rry

3

3

cos sen

3

+

2rrz

3 2rrz

3

+

3

Para (3, 2, l)

v' V1 = 8n: V0 -y sen227t + z2 cos22n: J A

[

(coordenadas esféricas).

sen

2nz

, n:y 2nz ] . z2 cos cos

Um procedirnento similar nos leva à seguinte expressão para o gradiente em coordenadas esféricas:

. a

A

i)x

v' =r- +
(3.16b)

Solução: (a) En1 coordenadas cartesianas,

e, portanto, o operador gradiente e,n coordenadas cilíndricas pode ser definido como ,i)

(3.16a)

= U VV + V v'U ,

Exemplo 3-2

Portanto, aT

+ VV,

(3.16c)

1 = - - sen .

-

(3.ll a)

65

Propriedades do Operador Gradiente

âTâz. (3 .l O) âz âx

Corno z é ortogonal a x, o último termo é igual a zero porque dz/dx = O. Usando as relações das coordenadas dadas pela Eq. (3.9), é fácil mostrar que

CALCULO Y ETORIA.L

A

3

3

= nVo [-y6+ z4).

(b) A :função V2 está expressa em tern1os de variáveis cilíndricas. Portanto, precisa,nos usar a Eq. (3.14) para V:

66

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMELROS

VV2 =

-ª _, ·ª) + t/>+ ( ôr r ôt/> ôz Ô

r-

z-

V0 e-2r sen 34>

3-2

Divergente de um Campo Vetorial

= -r2Voe_2,. sen 34> + ~(3 Voe- 21· cos 34>)/ r =

- r2 sen 3 + t/J 3 cos ,. 34>] Voe- 2' . A

[

'

Para ( 1, 7T/2, 3), r = 1 e= 1r/2. Portanto, VV2 =

•r2sen 3n + tJ,3cos 3n] Voe- 2 [

2

2

= r2Voe- 2 = r0,27Vo.

(e) Con10 V3 está expressa en1 coordenadas esféri-

cas, apl ica1nos a Eq. (3. 15) para V3 :

8 1 8 R-+e ....:..-+4> A

VV3= (

A

8R

.1 -8 )

A

R 88

R sen e8

, Voa - 2Voa = -R R2 cos28 -8 R2 sen28 , Voa =-[R cos28+82sen28] R2

.

Para (2a, O, 1r), R = 2a e fJ = O, o que resulta em

• v0

VV3 = - R- . 4a

A partir da breve introdução à lei de Coulo1nb feita no Capítulo l, sabe1nos que uina carga pontual q positiva e isolada induz uni campo eléu·ico E no espaço em volta dela, sendo a direção de E para fora da carga. Além disso, a intensidade (1nódulo) de E é proporcional a q e diminui com a distância R a partir da carga segundo I /R2 . Na forma gráfica, urn carnpo vetorial é geralmente representado por linhas de ca,npo, conforn1e n1ostra a Fig. 3-2. As setas indica1n a direção do ca1npo no ponto onde a linha de campo é desenhada e o co1nprilnento da linha fornece uma ilustração quantitativa da intensidade do ca1npo. En1bora o vetor campo elétrico não se n1ova reahnente, consideramos sua presença corno um fluxo que flui através do espaço e nos referimos a suas linhas co1no linhas de fluxo. Na fronteira de uma superfície, a densidade de fluxo é definida coino a quantidade de fluxo que atravessa a unidade de superfície ds: Densidade de fluxo de E=

E-ds

ldsl

=

E ·n ds

ds

•

(3.17)

onde ô é normal à superfície de ds e é voltado para fora. O fluxo total que atravessa u1na superfície techada S, tal como unia superfície fechada de u1na esfera iinaginária esboçada na Fig. 3-2, é

•

M3. l-3.2

EXERCÍCIO 3.1 Dado V= x2y + xy2 + xz2, (a) determine o gradiente de V e (b) calcule-o para ( 1,

•

+

/\

- 1, 2).

li

(a) VV = x(2xy + y2 +z 2 )+y(x 2 + 2xy) +z2xz, (b) V Vlct,-t. 2) = x3 - y + z4. (veja ,ti) Resp.

'

EXERCICIO 3.2 Deterrnine a derivada direcional de V = rz2 cos 2
z

Resp. (dV /dl) l(l,rr/ 2.2) = -4/.Js. D3. l-3.9

- - Su1>erfície esférica imaginária

(veja ~ ) Figura 3-2 Linhas de fluxo do campo elétrico E em função de uma carga positiva q.

CAPÍTULO 3

Fluxo total

=

i

E· ds.

(3 .1 8)

Vamos considerar agora o caso de um paralelepípedo retangular diferencial, co1no utn cubo, cujas arestas estão alinhadas com os eixos de um sistema de coordenadas cartesianas conforme n1ostra a Fig. 3-3. Os comprimentos das arestas são tu ao longo de x, Ay ao longo de y e Az ao longo de z. Um can1po vetorial E (x, y, z) existe na região do espaço que contém o paralelepípedo e quere111os detern1inar o fluxo de E através de toda a superfície S. Como S inclui seis faces, precisamos somar os fluxos de todas elas e, pela definição, o fluxo através de qualquer face é direcionado para/ora a partir do volu1ne A v através daquela face. Digamos que E seja definido con10 E= xEx + yEy + zE, .

(3. 19)

A área da face I na Fig. 3-3 é Ay Az e seu vetor unitário é ô 1 = -x. Portanto, o fluxo F 1 que sai através da face 1 é

F1 =

{

E ·n,ds

} Face 1

= {

(xE.,

+ yEy + zE,) · (-x) dy dz

} Face 1

= - Ex(l) Ay Az,

(3.20)

67

CALCULO Y ETORIA.L

onde Ex(l) é o valor de E, no centro da face l. AproxiJnando o valor ao longo de toda face 1 do seu valor central, (E) se justifica ad1nitindo que o volume diferencial, considerado é muito pequeno. De fonna similar, o fluxo que sai da face 2 (co1n Íl2 = x) é (3.21)

onde E_.(2) é o valor de Ex no centro da face 2. Ao longo de uma extensão diferencial, Ax, E..(2) está relacionado a E.(l) por /:) Ex

Ex (2) = Ex(l) + /:)x ÂX,

(3.22)

onde ignoramos os tennos de mais alta ordem que envolve,n (Ax)2 e as potências maiores porque suas contribuições são n1ínitnas quando tu é muito pequeno. Substituindo a Eq. (3.22) na Eq. (3.21), obtemos

+ l:)E, /:),~

F2 = [ Ex(I)

Ax

]

Ay Az. (3 .23)

A soma dos fluxos que saem das faces I e 2 é obtida pela adição das Eqs. (3.20) e (3.23), /:) E, . Ax Ay Az.

+ F2 =

Fi

i:)x

(3.24a)

Repetindo o 1nes1no procediinento para cada u1n dos outros pares de faces, obtemos E

F3 E

F5

A

Face 1 ,A

1\1----~J

1

/\

-!7"Cf-~ 112 - - - (x+6x, y, z)

ôEy

+ F4 = /:) y + F6 =

A x A y Az,

(3.24b)

- Ax A y A z .

(3.24c)

iJE, i:) z

A soma dos tluxos F, até F6 nos dá o fluxo total através da superfície S do paralelepípedo:

J. ( fs E·ds=

âEx ax

+

8E,. l:)y,

+

âE, ) é)z

Ax t.y Az

= (div E) t.v,

z

Figura 3-3 Linhas de fluxo de campo elétrico E passando através de um paralelepípedo retangular diferencial de volurne Av = tu Ay Az.

(3.25)

onde Av = Ax lly Az e div E é a função diferencial denominada divergente de E e é definida e1n coordenadas cartesianas co1no . E âEx dIV = /:)x

+

âEy /:)y

aE,.

+-âz

(3.26)

68

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMELROS

Fazendo o volume óv tender para zero, defini1nos o divergente de E em u1n ponto co1no o íluxo líquido para fora por unidade de volume ao longo de unia superfície incremental fechada. Portanto, a partir da Eq. (3.25), ten1os

div E

i

AV-> 0

i

E·ds

V . E dv =

i

E . ds

(3.30)

(teorema da divergência).

liln _s __ ,

6

integral de volume de V · E de ao longo de um volutne v qualquer para o fluxo de E através da superfície fechada S que limita v. Ou seja,

(3.27)

ÂV

ondeS envolve o volu1ne ele1nentar óv. Em vez de indicar o divergente de E por div E, é comu1n indicá-lo con10 V · E. Ou seja,

Essa relação, conhecida como teore,na tia divergência, é usada extensivan1ente en1 eletroinagnetismo. 03.10-3.15

V· E =6 div E =

<JE, <JEr <JEz · + + -

ax

ay

az

(3.28) para um vetor E em coordenadas cartesianas. A partir da definição do divergente de E dada pela Eq. (3.27), o can1po E tem uma divergência positiva se o fluxo líquido que sai da superfície S for positivo, o qual pode ser observado se o volume óv contiver a fonte de fluxo. Se o divergente for negativo, óv pode ser visto como u1n volu1ne de absorçcio porque o fluxo líquido est,'í dentro do volume óv. Para um can1po E unifo1me, a 1nesn1a quantidade de fluxo que entra no volurne sai dele: portanto, sua divergência é zero e o can1po é dito não-divergente. O divergente é um operador diferencial que opera apenas co1n vetores sendo o resultado dessa operação um escalar. Isso contrasta com o operador gradiente, que pode operar apenas co1n escalares, tendo con10 resultado u1n vetor. Expressões para o divergente de u1n vetor e1n coordenadas cilíndricas e esféricas são apresentadas no final do livro. O operador divergente admite a propriedade distributiva. Ou seja, para qualquer par de vetores E 1 e E 2,

Exemplo 3-3

Cálculo do Divergente

Determine o divergente de cada um dos seguintes campos vetoriais e, em seguida, calcule-os para o ponto indicado: (a) E = x3x 2 +

zx z para (2, -2, O);

y2z +

2

(b) E = R (ci3 cose I R2)

-

ê (a

3

senO I R2 ) para

(a/2, O, r.)

Solução: (ª) 'v ·E= =

ôE,. ôE,. ôE·+ -+ ,. ôx ôy ôz

a a a -(3x-) + -(2z) + -(x2 z) ax ay 2 az 2 ?

= 6x +O+ x = x + 6x.

Para (2, -2, 0), V·

EI

(2, -2.0)

= 16.

(b) Usando a expressão dada no final do livro para o divergente de um vetor e1n coordenadas esféricas, temos V· E=

1

a

?-

R2 aR (R-ER) +

a .

1

R sene ~(Eo senB)

ô E,t,

1

+ ----Se V ·E= O, o carnpo vetorial E é deno1ninado solenoidal.

3-2.1

Teorema da Divergência

O resultado dado pela Eq. (3.25) para u1n volu1ne diferencial óv pode ser estendido para relacionar a

R senB ô
1 ô

3

1

ô

= R2 &R(a· cose)+ Rsene&e ( - ª3

;;2e)

2a3 cose 2a3 cose =0 R3 = R3

CAPÍTULO 3

Para R =a / 2 e O=O, V · E

((1/2,0.rt)

=- 16 •

69

campo estão esboçadas na Fig. 3-4(a). Para o contorno retangular abcd mostrado na fi gura, temos Circulação

M3.3-3.7

CALCULO Y ETORIA.L

=

lb

xBo · x dx +

1cxBo ·y

dy

+ { dxBo · x dx + {" xBo · y dy EXERCÍCIO 3.3 Dado A = e- 2.r(x sen 2x+y cos 2x), determine V· A.

Resp.

V· A = O (veja I?)

' EXERCICIO 3.4

' cos +r ' sen Dado A = rr

+z3z, detennine V · A para (2, O, 3).

~

~

= Bo ó.x - Bo ó.x = O,

(3.32)

onde ó.x = b - a = e - d e, devido a x·y = O, a segunda e a quarta integrais são zero. De acordo co1n a Eq. (3.32), a circulação de uni ca,npo unifonne é zero.

V · A = 6 (veja 1)1)

Resp.

' EXERCÍCIO 3.5 Se E = RA R em coordenadas esféricas, calcule o tluxo de E através da superfície esférica de raio a, com centro na origen1.

i

Resp.

E· ds = 4rr Aa3 .

(veja

---1-f-+--+--+-+- - - -Y

ª...+-...d

)

EXERCICIO 3.6 Verifique o teorema da divergência calculando a integral do volurue do divergente do campo E do Exercício 3.5 ao longo do volu1ne limitado pela superfície de raio a.

e

b

'

B X

(a) Can1po unifonne

3-3

z

Rotacional de um Campo Vetorial

Corrente I

Definimos e discutimos até aqui dois dos três operadores funda1nentais usados e1n análise vetorial, o gradiente de um escalar e o divergente de um vetor. Agora apresentare1nos o operador rotacional. O rotacional de um campo vetorial B descreve a propriedade rotacional, ou a circulação, de B. Para uni contorno fechado C, a circulação de B é defini da como unia integral de linha de B em torno do percurso C. Ou seja, Circulação =

t

B · dl.

(3.31)

Para se ter uma compreensão física dessa definição, consideren1os dois exemplos. O prin1eiro é para um can1po unifom1e B = xBo , cujas linhas de

(b) Ca111po azin1utal

Figura 3-4 A circulação é zero para o campo unifonne ern (a), porén1 diferente de zero para o carnpo azimutal ern (b).

70

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMEIROS

Fonte de raios X Feixe em leque de raios X Arranjo de detectores

A. Scanner de tomografia computadorizada

Tomografia Computadorizada com Raios X Tomografia é uma palavra de origem grega proveniente de tome (seção ou fatia) e graphia (escrita). A tomografia computadorizada, também conhecida como CT scan ou CAT scan (para tomografia axial computadorizada), se refere a uma técnica capaz de gerar imagens 3-D (três dimensões) a partir das propriedades de atenuação (absorção) de raios X dos objetos. Ela contrasta com a técnica tradicional de raios X que produz apenas perfis 2-D de objetos. A tomografia foi inventada em 1972 pelo engenheiro eletricista britânico Godfrey Hounsfeld e, independentemente, por Allan Cormack, um físico sul-africano naturalizado americano. Os dois inventores dividiram o prêmio Nobel de Fisiologia ou Medicina d e 1979. Dentre as técnicas de diagnóstico por imagens, a tomografia tem uma vantagem decisiva em função da sensibilidade para geração de imagens de partes do corpo que apresentam uma ampla faixa de densidades, desde tecidos macios até vasos sangüíneos e ossos.

Computador e monitor

Princípio de Funcionamento Um scanner de tomografia computadorizada usa uma fonte de raios X com uma estreita fenda que gera um fei xe em leque, amplo o suficiente para conter toda a extensão de um corpo, porém com uma espessura de poucos mm (A). Em vez da gravação do feixe de ra ios X em um f ilme, ele é capturado por um arranjo de cerca de 700 detectores. A fonte de raios X e o arranjo de detectores são montados em uma armação circular que gira em passos de uma fração de grau ao longo de 360º em torno do paciente, gravando a cada instante o perfil de atenuação dos raios X a partir de diferentes perspectivas angulares. Cerca de 1.000 perfis são gravados tipicamente a cada camada da anatomia do corpo. Com a tecnologia atual, esse processo é realizado em menos de 1 segundo. Para gerar uma imagem de partes internas do corpo, como o tórax e a cabeça, o processo é repetido ao longo de múltiplas camadas (fatias), levando cerca de 1 O segundos para estar completo.

CAPÍTULO 3

CALCULO V ETORIAL

Fonte de raios X

B. O detector mede a atenuação integrada ao longo do percurso anatorruco ~

Reconstrução de Imagem Para cada camada anatômica, o scanner do equipamento de tomografia gera cerca de 7 x 105 medidas (1.000 orientações angulares x 700 canais detectores). Cada medida representa a atenuação do percurso integrado para um feixe estreito entre a fonte de raios X e o detector (B), sendo que cada elemento de volume (voxel)

.

contribui para 1.000 medições. Os equipamentos de tomografia comerciais usam uma técnica denominada projeção posterior filtrada para "reconstruir" uma imagem da taxa de atenuação de cada voxel na camada anatômica e, por extensão, para cada voxel em cada órgão do corpo inteiro. Isso é realizado através da aplicação de um sofisticado processo de inversão matricial. Um exemplo de imagem tomográfica de um cérebro é mostrado na f igura (C).

C. Imagem por tomografia computadorizada de um cérebro normal

71

72

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMELROS

Ern seguida, consideremos o campo magnético B induzido por um fio infinito que transporta un1a corrente contínua I. Se o fio estiver no espaço livre e orientado ao longo da direção z, então, a partir da Eq. ( 1.13), B = 4> µoi • 27C,. .

(3.33)

onde /,lo é a pern1eabilidade do espaço livre e ré a distância radial a partir da corrente no plano x-y. A direção de B é ao longo da direção azimutal . As linhas de ca1npo de B são cú·culos concêntricos em torno da corrente, con10 rnostra a Fig. 3-4(b). Para uni contorno c.ircular de, raio r, o vetor comprimento diferencial dl = r dr/) e a circulação de B ao longo do caminho C é A

i = 1

Circulação =

B · dl

2)T

o

A



µoi

2nr

B=

xBx + yBy + zBz,

'il x

B=x(aBz _ aB,) ay az iJz

A

· r dr/) = µoi. (3.34)

.

(3.36)

pode-se ,nostrar que, através ele u1n processo bastante longo e envolvendo derivação, a definição dada pela Eq. (3.35) resulta e1n

+ Y(ªBx

Neste caso, a circulação não é zero, mas se o contorno C fosse en1 qualquer plano perpendicular ao plano x-y, dl não teria a co1nponente ,P e a integral teria uma circulação líquida nula. Em outras palavras, o 1nódulo da circulação de B depende da escolha cio contorno. Além disso, a direção do contorno determina se a circulação é positiva ou negativa. Se tentássernos descrever a circulação de um tornado, por exemplo, gostaríamos de escolher un1 contorno tal que a circulação do ca1npo do vento fosse máxirna e tivesse tanto módulo quanto direção, sendo a direção voltada para o vórtice do tornado. O operador rotacional foi definido para acomodar essas propriedades. O rotacional de u1n campo vetorial B, indicado por rotacional de B ou V x B, é definido corno V x

normal de b.s, definida de acordo corri a regra da n1ão direita: com os quatro dedos da 1não direita seguindo o contorno dl na direção e o polegar apontando ao longo de ft (Fig. 3-5). O rotacional de um vetor é definido para uni ponto; isso sucede a partir da definição dada pela Eq. (3.35), na qual a circulação é normalizada para a área b.s, sendo b.s próxilno de zero. Para um vetor Bdado en1 coordenadas cartesianas co1no

_ fJBz) ax

as.,)

+ z. (ªB).' - -ax

A

A

y

X

8y

A

z

a a a

A

fJx

f)y

fJz

B.,

B.r

B.'

(3.37)

Expressões para V x B são apresentadas no final do livro para os n·ês sistenu1s de coordenadas ortogonais abordados neste capítulo.

/\

ds = n ds /\

n

B = rotacional de B 6

lirn -

1

As~O D.S

[n lcJ B · dl]

.

s

máx

(3.35)

Portanto, o rotacional ele B é a circulação de B por unidade de área b.s, com a área do contorno C sendo orientada de forn1a que a circulação seja máxima. A direção do rotacional de B é ft , a unidade

e Figura 3-5 A direção do vetor unitá1io ft está ao longo do dedo polegar, enquanto os outros quatro dedos da n1ão direita indican1 cn.

C ,\PÍTUL O 3

3-3.1

Identidades Vetoriais Envolvendo o Rotacional

Para quaisquer dois vetores A e B, (1)

são para V x B e,n coordenadas cilíndricas consultando o linal do livro. Assirn,

·(1asz as"') r az

Vx B =r -

(2) V ·(V x A) = O para qualquer vetor A,

i

(Teorema de Stokes),

(3.39)

e seu desenvolvin,ento parte da definição de V x B dada pela Eq. (3.35). O processo de conversão representado pela Eq. (3.39) é usado extensivamente na solução de proble1nas de eletromagnetis,no. Se V x B = O, dize1nos que o carnpo B é conservativo ou não-rotacional porque sua circulação, representada pelo lado direito da Eq. (3 .39), é zero.

Exemplo 3-4

-(rBq,) - -

r

a integral de V x B sobre unia detenninacla superfície Sé

Is (V x B) ·

1 1 3

=

11

ds 2

1

(

1

3 lrr/2

o

rr /3

-

,sen + .,, ;. cosi/>) ·rr , d d z -r .? ,.? /

c=O =rr /3

=

B · dl

ar

r ô r é>r , sen , cos = - r r 2 +4> r 2

Teorema de Stokes

=

_ôBz)

(ª as,) r ar a<1> =r~;- (COSI/>)-~;. (COSI/>) ~1 + z-

As identidades (2) e (3) são propriedades iinportantes que usaremos em capítulos posteriores.

Is (V x B) · ds

ô

í)z

(3) V x (VV) = O para qualquer função escalar em V. (3.38c)

O teore,na de Stokes converte a integral de superfície do rotacional ele um vetor sobre uma superfície S en1 unia integral de linha do vetor ao longo do contorno C que envolve a superfície S. A geometria é mostrada na Fig. 3-5. Matematicamente, o teore111a de Stokes é dado por

---

+~ (aB,

(3.38b)

3-3.2

sen

3 3 ---- 2r 4 '

•

•

d dz

r

onde usamos o fato de quer= 2.

z

Verificação do Teorema de Stokes /\

/\

n=r

z

Um campo vetorial é dado por B = cos / r. Verifique o teorema de Stokes para o seg1nento de uma superfície cilíndrica definida por r= 2, 7T / 3 $

7r/3

a

Solução: O teore1na de Stokes diz que

Is (V x B) ·

ds =

i

X

B · dl.

73

Lado esquerdo da equação: Com B tendo apenas uma componente (B, = cos I r), use a expres-

(3.38a)

V x (A + B) = V x A+ V x B,

CALCULO Y ETORIA.L

Figura 3-6 Geornetria para o Exe1nplo 3-4.

74

ELETROMAGN ETISMO PARA ENGENMEIROS

Lt1do direito da equação: A superfície Sé envolvida pelo contorno C = abcd na Fig. 3-6. A direção de C é escolhida de forn1a que seja co,npatível con1 a su-

r pela regra da mão direita. Portanto,

perfície normal

J B ·dl = k

1b

B0 1, · d l +

a

1d

+

B ct1 · dl

[" B1,., · dl

Jb

+ {ª B da · d l,

e

Jd

onde B11,,, B,,,., B cd e B,111 são as expressões para o ca,npo B calculadas para os segn1entos ab, bc, cd e da, respectivamente. Sobre o seg,nento f!b, o produto escalar de B,,,, = z (cos 4>) /2 e dl = é zero e o mesmo vale para o segmento cd. Sobre o segn1ento bc, = 'TT/2; portanto, B1"' = z(cos 'TT/2) /2 = O.Para o último segmento, B da = z(cos 7r/3) /2 = /4 e dl = dz. Portanto,

z

z

i

B · dl =

3

(Í ~ 7 -

4

-

Em capítulos posteriores, vamos lidar algumas vezes co,n problemas que envolven1 múltiplas co,nbinações de operações com escalares e vetores. U,na co1nbinação freqü entemente encontrada é o divergente do gradiente de um escalar. Para u,na função escalar V definida e,n coordenadas cartesianas, seu gradiente é

,av ,av ,av

VV=x-+y-+ z-

ax

ay az = xAx + yA y + zA z = A,

VVé

= ax1

3 ,

(3.40)

onde definimos um vetor A con1 componentes A.r = é)Vfôx, A_,.= é)V/é)y e A,. = é)Vfô.z. O divergente de

ax a2 v

dz

-

Operador Laplaciano

V ·(VV) = V. A = 8Ax

1ª (z~) ·z

-1º !

3-4

+

8A y + 8A z

ây a2 v

+ éJy2 +

4

az

a2 v í)z2

(3,41)

que é o 1nes1no resultado obtido calculando o lado esquerdo ela equação de Stokes. •

EXERCÍCIO 3. 7 Detennine V x A para (2, O, 3) em coordenadas cilíndricas para o can1po vetorial

Por conveniência, V · (VV) é denon1inado lapla2 2 cia110 de V e indicado por V V (o sín1bolo V é pronunciado "dei ao quadrado"). Ou s~ja,

a2v a2v a2v v2v ~ V,(VV) = ax2 + ay2 + az2 (3.42)

A=

Resp.

rl0e_2 ,. cos

+ zlOsen.

(v~ja .._. ) A

V x A= (r

Iocos r

+

z---senJ lOe- 2,. \ r

,

= r5. (2. 0.3)

EXERCÍCIO 3.8 Determine V x A para (3, 7T/6, O) e1n C_?ordenadas esféricas para o ca,npo vetorial A= 8 12 sen 8

Resp.

Como podemos ver a partir da Eq. (3.42), o laplaciano de uma função escalar é un1 escalar. Expressões para v'2 V em coordenadas cilíndricas e esféricas são apresentadas no final do livro. O laplaciano de un1 escalar pode ser usado para definir o laplaciano de um vetor. Para um vetor E dado en1 coordenadas cartesianas por E = xEx + YEy + zEz, O laplaciano de E é definido como

(3.43)

(veja ""' ) VxA =

~



12sen

R

e

A

= (3.,r / 6. O)

2. Portanto, e,n coordenadas cartesianas o Japlaciano de um vetor é um vetor cujas componentes são

C ,\PÍTULO 3

iguais aos laplacianos das componentes do vetor. Por meio de substituições diretas, pode-se ,nostrar que

v2 E =

V (V. E) -

vx

( V x E).

(3.45) Essa identidade se 1nostrará útil em capítulos posteriores.

CALCULO V ETORIAL

75

• O divergente de um campo vetorial é uma ,nedida do fl uxo líquido para fora por unidade e volu1ne através ele u1na superfície fechada envolvida por um volume unitário. • O teorenia da divergência transforma a integral cio volu1ne cio divergente ele um ca1npo vetorial e1n uma integral de superfície do fl uxo do ca,npo através de unia superfície fechada que envolve o volurne. • O rotacional de um campo vetorial é uma ,nedi-

QUESTOES PARA REVISAO Q3.l O que representani o ,nódulo e a direção do gradiente de uma grandeza escalar? Q3.2 Demonstre a validade da Eq. (3.1 6c) em coordenadas cartesianas. Q3.3 Qual é o significado físico do divergente de uni ca,npo vetorial? Q3.4 Se um ca1npo vetorial é solenoidal para um dado ponto no espaço, deduzimos necessaria,nente que o ca,npo vetorial é zero no ponto niencionado? Explique. Q3.S Qual é o significado da transformação propiciada pelo teore1na da divergência?

da da circulação de um canipo vetorial por unidade ele área, sendo a orientação de tls escolhida de fonna que a circulação seja n1áxima. • O teoren1a de Stokes transforma a integral de

superfície do rotacional de um campo vetorial em urna integral de linha do ca111po sobre u111 contorno que limita a superfície. • O laplaciano de u,na função escalar é definido como o divergente do gradiente dessa função.

PROBLEMAS 3.1 Detennine o gradiente das seguintes funções escalares:

Q3.6 Qual é o rotacional de um campo vetorial num ponto relacionado à circulação do campo vetorial?

(a) T = 2/(x 2

Q3.7 Qual é o significado da transformação propiciada pelo teore1na de Stokes?

(e) U = zcos<j>/(1 +r 2 ) ;::, (d) \V = e-R sen e

Q3.8 Quando u,n campo vetorial é "conservativo"?

+ z2 )

(b) V = xy2 z3

(e) S = x 2 e- z + y2 (f) N = r 2 cosq>

(g) M = R cose sen<J> '

,

TOPICOS IMPORTANTES DO CAPITULO • As funções diferenciais funda,nentais no cálculo vetorial são o gradiente, o divergente e o rotacional. • O gradiente de uma função escalar é uni vetor cujo niódulo é igual à taxa 1náxi1na da variação crescente de unia função escalar por unidade de distância, sendo sua direção ao longo da direção do crescimento rnáxin10.

3.2* O gradiente de uma função escalar T é dado por

Se T = 10 para z = O, deternüne T(z). 3.3 Siga u,n procedimento sinlilar ao que conduziu à Eq. (3.14) para deduzir a expressão dada pela Eq. (3.15) para V e,n coordenadas esféricas.

3.4* Para a função escalar V = xy - z2, determine sua derivada direcional ao longo da direção do vetor A= (i - yz) e então a calcule paraP(l, - 1, 2).

76

ELETROMAGN ETISMO PARA ENGENMEIROS

3.5 Para a função escalar T = e-,,s cos , detennine sua derivada direcional ao longo da direção radial r e então calcule-a para P(2, 1r/4, 3).

3.6* Para a função escalar U = ~ sen

2

e, deter-

mine sua derivada direcional ao longo da direção radial R e então calcule-a para P(4, 1r/4, 'TT/2).

3.12* Para o campo vetorial E = ixy - y(x 2 + 2y2 ) calcule o seguinte: (a)

i

E· d l e1n volta do contorno t1iangular n1os-

trado na Fig. 3-7(a).

A

O ca1npo vetorial E é caracterizado pelas se• guintes propriedades: (a) E aponta ao longo de R;

(b)

3.7

(b) o módulo de E é uma função da distância a partir da origem apenas; (c) E desaparece na origem; e (d) V· E= 6 em todos os pontos. Detern1ine u,na expressão para E que satisfaça essas propriedades. . 1 E = xxz-yyz- 3 .8 ·* p ara o campo vetona • zxy, verifique o teorema da divergência calculando: A

A

u,n cubo centrada na origen1 e con1 cada face igual a 2 unidades e em paralelo com os eixos cartesianos. (b) A integral de V· E sobre o volume de um cubo. 3.9 Para o ca,npo vetorial E = rlOe- r - i3z, verifique o teorema da divergência para a região cilíndrica lin1itada por r = 2, z = Oe z =4.

3.10* Um ca,npo vetorial D = rr 3 existe na região entre duas superfícies cilíndricas concêntricas definidas por r =1 e r =2, com os dois cilindros se estendendo entre z = Oe z = 5. Verifique o teoren1a da divergência calculando o seguinte:

(b)

t fv

3.13 Repita o Problema 3.12 para o contorno n1ostrado na Fig. 3-7(b). ~

3.14* Verifique o teorema de Stokes para o ca1npo vetorial B = (rr cos +

)

'

(a) O fluxo total que sai através da superfície de

(a)

1s (V x E)· ds sobre a área do triângulo.

fazendo os seguintes cálculos: (a)

t

B · d l sobre o contorno semicircular 1nos-

trado na Fig. 3-8(a). (b) [ (V x B) · ds sobre a superfície do semicír-

1s

culo.

3.15 Repita o Problema 3.14 para o contorno n1ostrado na Fig. 3-8(b).

y

1

D ·ds

o V-Ddv

3.11 Para o campo vetorial D = R.3R 2, calcule os dois lados da equação do teorema da divergência para a região lin1itada entre as conchas esféricas definidas por R = I e R = 2.

1 (a)

y

1 (b) ,. Resposta(s) disponívcl(is) no Apêndice O. ,9: Solução disponível no CD,ROIVI.

2

Figura 3-7 Conton1os para (a) Problen1a 3.12 e (b) Problen1a 3.13.

CAPÍTULO 3

CÁLCULO V ETORIAL

77

y

Detennine se cada um dos seguintes campos vetoriais é senoidal, conservativo ou a1nbos:

2

(a) A = x2xy - yy2

3.17*

(b) B = ..._....,.,__._....,.,__.____X

-2

O (a)

2

(e) C

xx 2 -

= r(sen(cos
(d) D = (e)

y

yy 2 + z2z

R/R

E=r(3- 1~,.)+zz

= (xy + yx)/(x 2 + y2) G = x(x2 + z2) + y(y2 + x2) + z(y2 + z2)

(f) F (g)

A

(h) H = R (Re-R) (b)

Figura 3-8 Percursos de contorno para (a) Problerna 3.14 e (b) Proble1na 3. 15.

Determine o laplaciano das seguintes f11nções escalares: 3.18

(a) V = xy 2 z 3

(b) V= xy

+ yz + zx

(e) V = l/(x 2 + y2 )

(d ) V = 5e- r cos
Verifique o teorema de Stokes para o can1po vetorial A = R cose + tf, sen e calculando-o para o hemisfério de raio unitário.

3.16

A

A

(e) V = LOe- R senB

Mais proble1nas resolvidos - soluções completas no ~ . 3.19-3.21

7

CA P1

ULO

Eletrostática

4-1

Equações de Maxwell

4-2

Distribuições de Cargas e Correntes

4-3

Lei de Coulomb

4.4

L ei de Gauss

4-5

Potencial E létrico E scalar

4-6

Propriedades E létricas dos Materiais

4-7

Condutores

4-8

D ielétricos

4.9

Condições de Contorno para o Ca1npo Elétrico

4-10

Capacitância

4-11

E nergia Potencial Eletrostática

4-12

Método das Imagens

4-1

Equações de Maxwell

O eletromagnetisn10 moderno é baseado em um conjunto de quatro relações fundatnentais conhecidas como equações de Maxwell: (4.la)

V · D= Pv,

an VxE=--, ar

(4. lb) (4.lc)

V· B = O,

ao Vx H = J + - , ât

(4. ld)

onde E e D são grandezas de crunpo elétrico interrelacionadas por D =eE, sendo e a permissividade elétrica do .1naterial; B e H são grandezas do campo magnético inter-relacionadas por B = µ.H, sendoµ. a penneabilidade rnagnética do material; Pv é a densidade de carga elétrica por unidade de volurne; e J é a densidade de corrente por unidade de área. As grandezas de campo E, B, D e H fora1n introduzidas na Seção 1-3, e Pv e J serão definidas na Seção 4-2. Essas equações se aplicam a qualquer material, incluindo o espaço livre (vácuo), e ern qualquer localização no espaço (x, ) 1, z). Ern geral, todas as grandezas nas equações de Maxwell poden1 ser uma função do ten1po t. Pela formu lação dessas equações, publicadas num tratado chissico em 1873, James Clerk Max'"'ell estabeleceu a primeira teoria unificada da eletricidade e do 1nagnetismo. Suas equações, deduzidas a partir de observações experünentais descritas por Gauss, Ampere e Faraday, entre outros, não apenas englobara,n as relações entre carnpo elétrico e carga elétrica e entre carnpo magnético e corrente elétrica, como também definiran1 a relação bi lateral entre as grandezas de campos elétricos e magnéticos. Juntamente com

algumas relações auxiliares, as equações de Maxwell forn1an1 o princípio fundarnental da teoria do eletromagnetis1no. No caso da estática, nenhu1na das grandezas que aparecern nas equações de Maxwell é urna função do tempo (ou seja, dldt = 0). Isso acontece quando todas as cargas estão pern1anente1nente fixas no espaço, ou, caso se mova,n, oJazen1 nu,na taxa constante, de forma que Pv e J são constantes no ternpo. Sob tais circunstâncias, as derivadas de B e D em relação ao tempo, nas Eqs. (4.lb) e (4.ld), são zero, sendo que as equações de Maxwell se reduzern a

Eletrostática V · D= Pv,

V x E =O.

(4.2a) (4.2b)

Magnetostática

V

V · B = O,

(4.3a)

H=J.

(4.3b)

X

As quatro equações de Maxwell estão separadas ern dois pares independentes, sendo que o primeiro par envolve apenas as grandezas de campo elétrico E e D e o segundo par envolve apenas as grandezas de campo magnético B e H. Os ca,npos elétrico e ,nagnético não são rnais inter-relacionados no caso da estática. Isso nos perrnite estudar a eletricidade e o magnetismo como dois fenôrnenos distintos e separados, enquanto as distribuições espaciais de cargas e os íluxos de correntes pern1anece.111 constantes no ten1po. Referimo-nos ao estudo dos fenôn1enos elétricos e

80

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMELROS

magnéticos sob condições estáticas como eletrostática e 111ag11etostática, respectivau1ente. O estudo da eletrostática é o objetivo deste capítulo e, no Capítulo 5, estudare,nos a n1agnetostática. As experiências assin1iladas a partir de situações relativa1nente si1nples etn eletrostática e 1nagnetostática se 111ostrarão valiosas no estudo dos conteúdos cios capítulos subseqüentes, os quais tratau1 de ca1.npos, densidades de cargas e correntes variantes no tempo. Estudare1nos a eletrostática não apenas co,no u,na introdução ao estudo de campos variantes no ten1po, mas ta,nbém porque é u,na área i1nportante. Muitos dispositivos e sistemas eletrônicos são baseados nos princípios ela eletrostática, co1no equipan1entos de raios X, osciloscópios, impressoras eletrostáticas de jato ele tinta, displays de cristal líquido (LCDs), máquinas copiadoras, teclados capacitivos e muitos dispositivos de estado sólido usados para controle. Os conhec.imentos de eletrostática tambén1 são usados no projeto de sensores de diagnóstico médico, tais co1no o eletrocardiogran1a (usado para registro cio diagrama ele bombeamento cio coração) e o eletroencefalogra1na (usado para registro da atividade cerebral), bem como em inú1neras aplicações industriais.

4-2

Distribuições de Cargas e Correntes

Em eletromagnetis1no, encontra1nos várias fonnas de distribuições de cargas eléu·icas e, se as cargas estivere1n e1n movi1nento, passa1n a ser distribuições de correntes. As cargas pode1n ser distribuídas ao longo de um volume, de uma superfície ou de un1a linha.

4-2.1

Densidades de Cargas

Na escala atômica, a distribuição de cargas em um 1naterial é discreta, significando que cargas existem apenas onde os elétrons e núcleos estão e em nenhu1n outro lugar mais. E111 eletromagnetisn10, geralmente nos interessamos pelo estudo dos fe-

nômenos em u1na escala bem maior, tipica1nente três ou mais vezes a orde111 de magnitude do espaça1nento entre os áto1nos adjacentes. Em u111a escala macroscópica, pode1nos desprezar a natureza descontínua da distribuição de carga e considerar a carga líquida contida e1n um volurne elementar t:.v co.mo se estivesse unifonnen1ente distribuída nesse volu1ne. Conseqüente1nente, definilnos a densidade volu111étrica de carga P. como Pv = lim t:.q

dq

llV-+ 0!:.V

dV

(C/m3),

(4.4)

onde t:.q é a carga contida em 611. Em geral, Pv é definida para u111 detenninado ponto no espaço, especificado por (x, y, z) no sistema de coordenadas cartesianas e em um detenninado te1npo t. Portanto, Pv =Pv(x, y, Z, t). Fisica111ente, Pv representa a carga rnédia por unidade de volume para um volume t:.v con1 centro eu1 (x, y, z), sendo t:.v grande o suficiente para conter um grande número de áton1os e, ainda, pequeno o suficiente para ser considerado co1no u1n ponto na escala 1nacroscópica considerada. A variação de Pv com a localização no espaço é denominada distribuição espacial, ou si111ples111ente distribuição. A carga total contida en1 um determinado volu1ne v é dada por (C).

(4.5)

E111 alguns casos, particularmente quando lidan1os com condutores, as cargas elétricas podem ser distribuídas pela superfície do 1naterial, sendo que neste caso a grandeza relevante é a densidade superficial de cargas Ps, definida co1110 Ps = lim t:.q =
t:.s

ds

(C/m2 ),

(4.6)

onde t:.q é a carga prese nte e1n uma área ele1nentar de superfície t:.s. De fonna sirnilar, se a carga for distribuída ao longo de uma linha, que não precisa ser reta, caracterizamos a distribuição em termos de densidade linear de cargas p1, definida como .

t:.q Pt = ltm Al-+ 0 t:.l

dq d[

(C/m).

(4.7)

CAPfTULO 4

Distribuição Linear de Cargas

ExemRlo 4-1

Calcule a carga Q Lotai contida em u111 tubo cilíndrico de cargas orientadas ao longo do eixo z. conforn1e mostra a Fig. 4-1 (a). A densidade linear de cargas é p1 =2z, onde z é a distância em 1netros a partir da parte inferior do tubo. O comprimento do tubo é 1Octn. Solução: A carga Q total é

[º·' Q = lo P1 dz = lo 2z dz 2 1 2 = z 1~· = 10- e. • [º· 1

Exemplo 4-2

ELETROSTÁTICA

81

menta linearmente co,n r a partir de zero no centro até 6 C/m 2 para r =3 c,n. Detenn ine a carga total presente na superfície do disco. Solução: Como Ps é siinétrico e1n relação ao ângulo de azi,nute , a sua fonna funcional depende apenas de r e é dada por p,=

6r 3

X

?=2xl02 r }O--

onde r está em metros. Em coordenadas polares u,n elen1ento de área é ds = r dr d, e para o disco mostrado na Fig. 4-1 (b) os limites de integração são de O a 21r(rd) para e de O a 3 x 10· 2 m para r. Portanto,

Distribuição Superficial de Cargas

O disco circular de cargas elétricas rnostrado na Fig. 4- 1(b) é caracterizado por uma densidade superficial de carga de si,netria azi,nut:al que au-

= 2rr

X

= 11,31

2

X

102

,. 3 3x 10-

2

3 o

(mC). •

z JO cn1

!l:1------Y

EXERCÍCIO 4.1 Uma placa quadrada no plano x- y está situada no espaço definido por-3 1n <x < 3 m c -3 m :,; y < 3 m. Determine a carga total na placa se a densidade superficial de carga é dada ' '. por Ps = 4y·(µ,Ctm·)

X

(a) Distribuição linear de cargas

Ps ~ - - - - 1 ----<~ Y

p

X

Resp.

Q =0,432 (1nC).

(veja >$ )

EXERCÍCIO 4.2 Uma concha esférica centrada na origem se estende entre R =2 e R =3 c1n. Se a densidade volumétrica de carga é dada por p, = 3 R x 10-4(Chn3), determine a carga total contida na concha.

Resp.

Q =0,61 (nC). (veja '~ )

4-2.2

Densidade de Corrente

(b) Distribuição superficial de cargas Figura 4-1 Distribuições de cargas para os Exen1plos 4- 1 e 4-2.

Considere urn tubo de cargas com uma densidade volun1étrica de carga Pv, confor111e 1nostra a Fig. 4-2(a). As cargas se movimentam com uma velo-

82

ELETROtvlAG NETISMO PARA ENGENMEIROS

lls'

I= \

\

'

''

'

-u

'' I-Ll/-1 (a)

=ÍIBS A

f>v

ÂS

\

'

1

'

-u

=f\ U •ÂSÂI =f>vll ÂSÂ/ COS (/

"""1'"- Âq

(b)

Figura 4-2 Cargas se ,novendo co1n velocidade u aLravés de un,a seção reta 11s' en, (a) e 11s e1n (b).

cidade média u ao longo do eixo do tubo. Durante um período At, as cargas se 1nove1n por u1na distância fl.l = u fl.t. A quantidade de cargas que atravessam u1na seção reta As' num. te1npo At é, portanto, D>.q' = Pv ó.V =

Pv

ôl As'= PvU As' At. (4.8)

Agora considere o caso 1nais geral e1n que as cargas se desloca1n através de uma superfície&· cuja nonnal à superfíc ie ô não é necessariamente paralela a u, confonne n,ostra a Fig. 4-2(b). Nesse caso, a quantidade de carga fl.q que se desloca através de fl.s é Aq

= PvU • D>.st:..t,

(4.9)

e a corrente correspondente é t:..J

t:..q

= -t:..t = Pv U · t:..s = J · t:..s ,

(4. 10)

onde J=

Pv U

(A/m2 )

(4. 11 )

é definido con,o densidade de corrente e1n a1npere por metro quadrado. Para uma superfície arbitrária S, a con·ente total que atravessa essa superfície é então dada por

f J · ds

(A).

Ís

(4.12)

Quando a corrente é gerada pelo movirnento real da matéria carregada eletricarnente, ela é chamada de corrente de convecção, e J é denominado densidade de corrente de convecção. U1na nuve,n carregada movida pelo vento, por exemplo, origina u1na corrente de convecção. Em alguns casos, a matéria carregada que constitui a corrente de convecção consiste so1nente en, partículas carregadas, tal corno os elétrons de u1n feixe de elétrons e1n um tubo de raios catódicos (o tubo de i1nagem de televisões e n,onitores de co1nputador). Isso difere de t11na corrente de condução, em que os átomos do meio condutor não se movem. E1n um fio rnetálico, por exe1nplo, existe1n quantidades iguais de cargas positivas (nos núcleos atômicos) e cargas negativas (na eletrosfera do átomo). Nenhu1na das cargas positivas e a 111aioria das cargas negativas se movem; apenas os elétrons da ca1nada n1ais externa dos átornos poden1 ser facilmente "empurrados" de um áton,o para o próxirno se unia tensão for aplicada nas extrernidades do fio. Esse movimento de elétrons de um átomo para outro origina a corrente de condução. Os elétrons que e1nerge1n do fio não são necessariamente os mesrnos que entran1 na outra extremidade do fio. Devido aos dois tipos de corrente seren1 gerados por diferentes 1necanisn1os físicos, a corrente de condução obedece à lei de Ohm, enquanto que no caso da corrente de convecção não se aplica essa lei. A corrente de convecção é discutida com 1nais detalhes na Seção 4-7.

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q4.l O que acontece com as equações de Maxwell sob condições estáticas? Por que isso é significativo? Q4.2 Como a densidade de con·ente J está relacionada à densidade volun,étrica de carga p,.? Q4.3 Qual é a diferença entre corrente de convecção e corrente de condução?

CAPfT ULO 4

4-3

ELETROSTÁTICA

83

Lei de Coulomb p

Um dos principais objetivos deste capítulo é desenvolver expressões relacionadas à intensidade de campo elétrico E e à densidade de fluxo elétrico D associadas a qualquer dislribuição de carga especificada. Entretanto, nossa discussão se lin1itará aos campos eletrostáticos induzidos por distribuições de cargas estáticas. Começamos reescrevendo como o campo elétrico foi introduzido e definido na Seção 1-3.2 com base nos resultados experin1entais de Coulomb en1 relação à força eléu·ica entre corpos c.u·regados. A lei de Coulo111b, a qual foi apresentada pri1neiro para cargas elétricas no ar e posteriorn1ente generalizada para o meio 1naterial, diz que

onde

(1) u1na carga q isolada induz u1n campo elétrico

eo = 8,85 x 10-t 2 '.::::'. (l/36rr) x 10-9

E e1n todos os pontos do espaço, sendo que, para u1n ponto específico P, E é dado por (V/m),

(4.13)

onde R é um vetor unitário que aponta de q para P (Fig. 4-3), Ré a distância entre eles e e é a permissividade elétrica do meio que contén1 o ponto de observação P; e

(2) na presença de 11111 campo elétrico E e1n u1n determinado ponto no espaço, que pode ser devido a u1na única carga ou a u1na distribuição de diversas cargas, a força que atua na carga de teste q', quando a carga é colocada no ponto dado, é indicada por

F=q'E

(N).

(4.1 4)

Com F 1nedida em newtons (N) e q' en1 coulombs (C), a unidade de E é (N/C), a qual é apresentada 1nais adiante na Seção 4-5 con10 sendo o mesmo que volt por metro (V /rn). Para un1 material co1n pennissividade elétrica e, as grandezas D e E do ca1npo elétrico estão relacionadas por D =eE

/

/

/

' "' l

E

'

• Figura 4-3 Linhas de can1po elétrico devido a tuna carga q.

(F/m)

é a permissividade elétrica do espaço livre, e e, = ele0 é a deno1ninada per111issividade relativa (ou constante dielétrica) do material. Para a maior parte dos n1ateriais e sob a n1aioria das condições, o valor e dos materiais é constante e independente do 1nódulo e da direção de E. Se e é independente do ,nódulo de E, então diz-se que o ,naterial é linear porque D e E estã.o relacionados de jor,na linea,; e se ele for independente da direção de E, diz-se que o 1naterial é isotrópico. Materiais que não são usuais apresentan1 con1portamento com pennissividade não-linear, exceto quando a amplitude de E for n1uito alla (em níveis que se aproxin1a1n das condições de ruptura do dielétrico discutidas na Seção 4-8), e a anisotropia é peculiar apenas a certos materiais co,n estruturas cristalinas particulares. Portanto, exceto pelos 1nateriais sob essas circunstâncias 1nuito especiais, as grandezas D e E são efetiva,nente redundantes; para u1n 111.aterial com s conhecido, o conhecimento de D ou E é sufic iente para especificar a outra grandeza.

4-3.1

Campo Elétrico Devido a Múltiplas Cargas Pontuais

(4.15)

com (4.16)

A expressão dada pela Eq. (4.13) para o ca1npo E devido a uma única carga pode ser estendida para determinação do ca1npo devido a 111últiplas

84

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMEIROS

cargas pontuais. Começa,nos considerando duas cargas pontuais, q I e q2 , localizadas segundo os vetores posição R , e R 2 a partir da orige1n do sistema de coordenadas dado, conforme a Fig. 4-4. O campo elétrico E é calculado para o ponto P com o vetor posição R . Ent P, o ca1npo elétrico E, devido a q I sozinha é dado pela Eq. (4.13), sendo R a distância entre q, e P, substituído por IR- R, I e o vetor unitário R substituído por (RR,)/IR - R,I. Portanto,

zadas nos pontos com vetores posição R " RN, é dado por

Ri,... ,

N

E _

1 "\""' q;(R - R;)

(V/m).

3 IR - R·l l

- 4rrê L.

t= 1

(4.1 9)

Campo Elétrico Devido a Duas Cargas Pontuais

Exem~lo 4-3

(V/m). (4 .17b)

Duas cargas pontuais com q 1 = 2 x 10· 5 C e q2 =-4 X J0"5 C são colocadas 11 () espaço livre en1 ( 1, 3, - 1) e (- 3, l, - 2), respectiva1nente, em un1 sistema de coordenadas cartesianas. Determine (a) o campo elétrico E em. (3, 1, - 2) e (b) a força en1 uma carga de 8 x 1o-~C localizada no referido ponto. Todas as distâncias estão en, 111etros.

O ca,npo elétrico obedece ao princípio da super-

Solução: (a) A partir da Eq. (4.18), o carnpo elétrico E con, Ê = t o (espaço livre) é dado por

E, = q, (R- R,) 4rrêlR - R, 13

(V/tn). (4.17a)

De fonna similar, o can1po elétrico devido a apenas q2 é

E,= q2(R - R2) - 4rrêlR-R21 3

posição linear. Conseqüente,nente, o campo elétrico total E e1n qualquer ponto do espaço é igual ao vetor son,a dos ca,npos elétricos induzidos por todas as cargas individuais. No caso e1n questão, E = E,

+ E2

[q - 4rrê IR - Ri1 _

1

1(R

E

(R - R 1) = 4rrêo q, IR - Ri1 3 1

[

(R - R2) ] + q IR - R21 3 2

(Vhn).

Os vetores RL, Ri e R são dados por

- R ,) 3

+

q2(R - R2) ]

IR - R2 13

A A3 R1= X + y - Z,

(4.lS)

Generalizando o resultado anterior para o caso de N cargas pontuais, o campo elétrico E no vetor posição R provocado pelas cargas q" q2,... , qN locali-

z

~

z2, R= x3 + y - z2.

R2 = -x3 + y -

Portanto, _ 1 [2(x2 - y2 - z) _ 4(x6) ] x _5 E-4rrêo 27 2 16 lO

x-

yA4 -

z2

----X

1087!' êo

10-5

(V/m).

(b) A A4 - z'2 x-y 5 F = q3E = 8 x 10- x x 10- 5 · l08rrêo x2 -y'8 - z4 = X 10-I 0 (N). • 27rrêo X

Figura 4-4 O campo elétrico E em P devido a duas cargas é igual à soma dos vetores E, e E2.

M4. l-4.7

CAPfTULO 4

EXERCÍCIO 4.3 Quatro cargas de 10 µ,C cada u1na são colocadas no espaço Uvre e1n (- 3, O, 0), (3, O, O), (O, - 3, O) e (O, 3, O) em u,n siste,na de coordenadas cartesianas. Determine a força sobre unia carga 20 µ,C colocada e1n (O, O, 4). 'fodas as distâncias estão em metros.

Resp.

F = z0,23 (N).

(veja

ELET ROSTÁT ICA

85

dE

............., •1

·-~· •

•

••

'

Pv dJI

í'i')

'li'

' EXERCICIO 4.4 Duas cargas idênticas são colocadas no eixo x e1n x = 3 ex= 7. Em qual ponto do espaço o campo elétrico resultante é zero?

Resp. No ponto (5, O, 0).

Figura 4-5 Ca1npo elétrico devido a tuna distribuição voluméuica de cargas.

(veja t!;)

EXERCÍCIO 4.5 No áto1no de hidrogênio o elétron e o próton estão separados por uma distância média de 5,3 x 1o-11n1. Detennine o ,nódulo da força elétrica Fc entre as duas partículas e co,npare-o con1 a força gravitacional F.o entre essas partículas.

Resp.

-~

-47

F0 =8,2x 10 NeFg=3,6x 10 (veja r'3> )

(4.21a)

É importante notar que, em geral, tanto R' quanto A/

Agora estendere1nos os resultados obtidos para o campo gerado por cargas pontuais discretas para o caso de u1na distribuição contínua de cargas. Considere o voluine v' mostrado na Fig. 4-5. Ele contém u1na distribuição de cargas elétricas caracterizada por uma densidade volu1nétrica de carga Pv, cujo ,nódulo pode variar com a posição no espaço dentro de v'. O campo elétrico diferencial no ponto P devido a u1na quantidade diferencial de carga dq = Pv dv' contida e1n un1 volu111e diferencial dv' é dq A'Pvdv' = R -4n e R12 4n ê R'2

Jv,

1 { ft' Pv dv' 4ns Jv, R12

(distribuição volumétrica).

Campo Elétrico Devido a uma Distribuição de Cargas

A' dE = R

E = { dE =

N

D4. l-4.5

4-3.2

obtido pela integração dos campos gerados por todas as cargas que co1npõe1n a distribuição de cargas. Portanto,

'

(4.20)

onde R ' é o vetor a partir do volume diferencial dv' até o ponto P. Aplicando o princípio da superposição linear, o campo elétrico total E pode ser

R variam como unia função da posição ao longo do volume de jntegração v'. Se a carga for distribuída por u111a superfície S' co1n u1na densidade superficial de carga p,, então dq = p, ds', e caso a carga seja distribuída ao longo de unia linha l ' co111 u1na densidade linear de carga p1, então dq = p1 dl'. Conseqüentemente, E=

1 { ft' Ps ds' 4ne Js, R' 2

(distribuição superficial) , E=

1 4n e

1

ft' PI dl'

1,

R12

(distribuição linear).

Exemplo 4-4

(4.21 b)

(4.21c)

Campo Elétrico de um Anel de Cargas

Un1 anel de cargas de raio b é caracterizado por uma densidade linear de carga uniforme de polaridade positiva p1• Estando o anel no espaço livre

86

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMEIROS

e posicionado no plano x-y conforme a Fig. 4-6, detennine a intensidade do campo elétrico E no ponto P(O, O, h) ao longo do eixo do anel para uma distância h a partir do centro do anel. Solução: Co1neça1nos cons.iderando o campo elétrico gerado pelo segmento diferencial do anel, tal como o segrnento I situado em (b, cp, O) na Fig. 46(a). O seg1nento tem co1nprin1ento dl = bd e contém a carga dq = p1 d/= pp d
dE1., ,--..P(O, O, h)

R;

= -rb + ih ,

a partir do qual te1nos R;

= IR'1I = J b2 + h 2 ,

.,

R;

-rb+zh R, = IR; 1= -v'b2 + h2

.

O ca,npo elétrico para P(O, O, h) devido às cargas

no seomento lé o

O campo dE, tem a co,nponente d E, , ao longo de e a componente d E1, ao longo de A partir de considerações de sirnetria, o campo dE2 gerado pelo seg,nento 2 na Fig. 4-6(b ), que está em posição diarnetraltnente oposta à do segmento l, é idêntico a d.E" exceto que a componente r de d.E2 é oposta à de dE 1• Portanto, as co1nponentes r se cancelam e as contribuições se so1nam. A soma dessas duas contribuições é

-r

z.

z

X

(a)

, g'E = dE1 + dE2 dE1 ' '• d~ dE' 1,.

d E = dE, +dE2 • P1bh dcp = z ? 3/? 2n êO ( b-? + h-) -

(4.22)

Visto que para qualquer seg1nento do anel no semicírculo definido para a faixa O<< 7T (do lado esquerdo do anel circular) existe urn segmento correspondente en1 posição diametraltnente oposta situado em (<(, + 7T), pode1nos obter o campo resultante gerado pelo anel através da integração da Eq. (4.22) ao longo de um semicírculo conforme a seguir: p bh

E=

{ ;e

z2n&o(b~ + 1z2)3/2 l o

d
~

X

(b)

Figura 4-6 Anel de cargas co111 uma densidade linear Pr (a) O carnpo dE 1 devido a u1n segmento infinitesimal I e (b) os campos dE1 e dE 2 devido a segmentos em localizações diarnetrahnente opostas (Exe1nplo 4-4).

P1bh =Z ., ?3/ ? 2&0 (b- + h-)· -

• h = z 4n &o(b2 + 1z2)3/2 Q'

(4.23)

onde Q= 27Tbp1é a carga total contida no anel.

•

CAPfTULO 4

ExemRIO 4-5

Campo Elétrico de um Disco Circular de Cargas

Detennine o campo elétrico no ponto P(O, O, h) situado no espaço livre a uma altura h no eixo z devido a tun disco circular de carga no plano x- y com densidade de carga uniforme p,, co1no 1nostra a Fig. 4-7, e então calcule E para o caso de uma folha infinita fazendo a~ oo. Solução: Desenvolvendo a partir da expressão obtida no Exemplo 4-4 para o campo elétrico sobre o eixo devido a un1 anel circular de cargas, podemos detenninar o ca1npo devido a um disco circular considerando o disco co1no u1n conjunto de anéis concêntricos. Un1 anel de raio r e largura dr tem uma área ds = 2,rr dr e contém u1na carga dq = Ps ds = 2,rps1· dr. Usando essa expressão na Eq. (4.23) e ta1nbém substituindo b por r, obte1nos a seguinte expressão para o ca,npo devido ao anel: ~

dE = z

}1

4rreo(r2

+

2 312 h)

ELETROSTÁTICA

87

O campo total em P é obtido pela integração da expressão ao longo dos limites der= Oaté r = a: ~P~h

[ª

= z 2eo

Jo

E

rdr (r2

+ h2)3/2

-- ±z~ [1 lhl J 2so .Jaz+ 1i2 '

(4.24)

sendo que o sinal positivo ocorre quando h > Oe o sinal negativo quando h < O(abaixo do disco). Para uma folha infinita de cargas con1 a= oo,

E=

~

Ps

Z-

2so

(folha infinita de cargas). (4.25)

Notainos que para u1na folha infinita de cargas E te1n o mes1no valor e,n qualquer ponto acin1a do plano x-y. Para os pontos situados abaixo do plano x-y, o vetor unitário na Eq. (4.25) deve ser substituído por

-z. •

(2;rp5 r dr).

-

-

QUESTOES PARA REVISAO

E P(0,0,h)

"

Q4.4 Quando dizemos que uma carga elétrica induz um campo elétrico e111 todos os pontos do espaço, isso significa que a carga "radia" o campo elétrico? Explique. Q4.5 Se o can1po elétrico for zero en1 um determinado ponto do espaço, isso i1nplica a ausência de cargas elétricas? Q4.6 Descreva o princípio da superposição linear aplicada ao ca,npo elétrico devido a u1na distribuição de carga elétrica.

X

Figura 4-7 Disco circular de cargas com uma densidade superficial de cargas p,. O ca,npo elétrico no ponto P(O, O, h) aponta ao longo da direção z (Exemplo 4-5). D4.6-4.10

EXERCÍCIO 4.6 U1na folha infinita carregada uniforn1e1nente con1 u1na densidade superficial de cargas p, está situada em z = O (plano x-y) e uma outra folha infinita co1n densidade -p, está situada em z = 2 m, estando ambas no espaço livre. Determine E em todas as regiões.

z

Resp. E= O para z < O; E= p/e0 para O< z < 2 ,n; e E = O para z > 2 ,n. (veja ,s;. )

88

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMELROS

4-4

Lei de Gauss

Carga total ern 'li

Retornaremos agora à Eq. (4.la): 1

v'·D=Pv

(lei de Gauss),

(4.26)

que é denominada de forma diferencial da lei de Gauss. O adjetivo "diferencial" se refere ao fato de que a operação de divergência envolve derivadas espaciais. Confonne vere,nos em breve, a Eq. (4.26) pode ser convertida e expressa na fonna integral. Quando resolvemos problemas de eletromagnetismo, freqüentemente convertemos equações da fonna diferencial para a integral e viceversa, dependendo de qual formato é mais aplicável ou conveniente de ser usado e1n cada passo da solução. Para converter a Eq. (4.26) para a fonna integral, multiplica1nos os dois lados da equação por dv e integra1nos para um volume abstrato v. Portanto, (4.27) onde Q é a carga total envolvida pelo volume v. O teorema da divergência, dado pela Eq. (3.30), diz que a integral volun1étrica do divergente de qualquer vetor ao longo de un1 volun1e v é igual ao fl uxo total direcionado para fora do vetor através da superfície S que envolve v. Portanto, para o vetor D,

i

V · D dv =

t

D · ds.

Q

r.::,.~,...D ·ds

A superfície gaussiana S envolve o volu rne 'li

A lei de Gauss diz que o fluxo D que sai através de uma superfície é proporcional à carga Q envolvida por ela. Figura 4-8

Quando as din1ensões de u1n volun1e muito pequeno ~v que conté1n unia carga total q foren1 1nuito menores que a distância de óv ao ponto no qual a densidade de fluxo D é calculada, então q pode ser considerada u,na carga pontual. A lei ele Gauss na fo1111a integral pode ser apl icada para detenninar D devido a uma única carga q isolada construindo un1a superfície fechada, esférica, gaussiana S co1n un1 raio arbitrário R centrado em q, conforme a Fig. 4-9. A partir de considerações de simetria, admitindo que q é positiva, a direção de D te1n que ser raclialmente voltada para fora ao longo do vetor unitário R, e DR, o ,nódulo de D, te1n que ser o mes,no e1n todos os pontos da superA

(4.28)

Co1nparando a Eq. (4.27) co1n a Eq. (4.28), concluímos que /

I

j D·dS = Q

fs

(lei de Gauss).

(4.29)

A forn1a integral da lei de Gauss está ilustrada na forma de diagrama na Fig. 4-8; para cada elen1ento de superfície diferencial ds, D · ds é o flu xo do ca1npo elétrico que sai através de ds e o fluxo total através da superfície Sé igual à carga Q envolvida. A superficie Sé denominada superfície gaussiana.

/

Superfície gaussiana Figura 4-9 pontual q.

Campo elétrico D devido à carga

CAPITULO 4

fície gaussiana S. Portanto, em qualquer ponto da superfície, definida pelo vetor posição R,

ELETROSTÁTICA

89

por exe,nplo, te1n seis subsuperfícies). Esses aspectos estão ilustrados no Exemplo 4-6.

A

D (R) = RDR ,

(4.30)

Exemplo 4-6

Campo Elétrico de uma Linha Infinita de Cargas

A

e ds = R ds. Aplicando a lei de Gauss, te1nos

Use a lei de Gauss para obter uma expressão para E no espaço livre devido a uma linha de cargas infinita1nente longa co,n u1na densidade uniforn,e de carga p1 ao longo do eixo z.

1 D . ds = 1 R.DR • Rds

rs

rs

=

i

2

DR ds = DR(4nR

)

=

q. (4.31)

Resolvendo para DR e então substituindo o resultado na Eq. (4.30), te1nos a seguinte expressão para o ca,npo elétrico E induzido por uma carga pontual num 1neio de pern1issiviclade e: E(R) = D(R) =

s

R q

4neR2

(V/in).

(4 .32)

Essa equação é idêntica à Eq. (4. 13) obtida a partir da lei de Coulo1nb. Para esse caso silnples de u1na carga pontual isolada, não i1nporta muito se é usada a lei de Coulo1nb ou a de Gauss para obter a expressão para E. Entretanto, importa qual abordagen1 seguin,os quando lidamos co1n 1núltiplas cargas pontuais ou distribuições contínuas de cargas. Enibora a lei de Coulomb possa ser usada para determinar E para qualquer distribuição de carga especificada, a aplicação da lei de Gauss é mais fáci l do que a da lei de Coulornb, porém a sua aplicabilidade é limitada a distribuições simétricas de cargas. A lei de Gauss, confonne dada pela Eq. (4.29), proporciona un, 111étodo conveniente para a determinação da densidade de fluxo eletrostático D quando a distribuição de cargas possui propriedades de simetria que nos permit.em tornar válidas considerações a respeito das variações no módulo e na direção de D corno u1na função da localização espacial. Co1no e1n cada ponto da superfície a direção de ds é para fora e normal à superfície, apenas a co1nponente da normal de D na superfície contribui para a integral na Eq. (4.29). Para a aplicação da lei de Gauss ter sucesso, a superfície S deve ser escolhida de forn,a que, a partir de considerações de sin,etria, o módulo de D seja constante e sua direção seja normal ou tangencial em cada ponto de cada subsuperfície de S (a superfície ele um cubo,

Solução: Como a linha de cargas é de extensão infinita e está ao longo do eixo z, as considerações de siinetría determinam que D te1n que estar na direção de r e não pode depender de ou z. Portanto, D = r D,. Na Fig. 4-1 O, construímos u1na superfície gaussiana cilíndrica de raio r, concêntrica em torno da linha de cargas. A carga total contida dentro do cil indro é Q =p,fi, onde h é a altura do cilindro. Como D está ao longo de r, as superfícies superior e inferior do cilindro não con1ribue111 para a integral ele superfície no lado esquerdo ela Eq. (4.29), sendo que apenas a superfície lateral contribui para a integral. Portanto,

,1 12" rD, ·rr

d dz = Pth

-=º if,=0

ou 2nhD,r = Pth,

z --- Linha uniforine .-- 11-~ ...de cargas p1

l I1

r r r---::- 1

"

j j

li

1

~

"

"

t

::

1

"

"

t , ... ,, - -

ç___~·

-

1r,=~d~s .., D Su perfície gaussiana

Figura 4-10 Superfície gaussiana em torno de uma linha infinita de cargas (Exen1plo 4-6).

90

ELETROtvlAGNETISMO PARA ENGENMEIROS

que resulta em E= D = so

4-5

r Dr so

=

r

PI 2rrsor

(linha infinita de cargas). (4.33) Observe que a Eq. (4.33) é aplicável para qualquer linha infinita de cargas, indiferenternente de sua localização e direção, enquanto definido adequadamente como o vetor distância radial a partir da linha de carga para o ponto de observação (ou seja, r é perpendicular à li nha de cargas). •

ré

-

-

QUESTOES PARA REVISAO

Potencial Elétrico Escalar

Em circuitos elétricos, trabalhamos com tensões e correntes. A tensão V entre dois pontos de u,n circuito representa a quantidade de trabalho, ou energia potencial, necessária para rnover uma unidade de carga entre dois pontos. Na realidade, o termo "tensão" é uma versão reduzida de "tensão potencial" e é o mesrno que potencial elétrico. Mesmo quando resolve1nos um proble1na de circuito, não considerarnos nonnalmente os campos elétricos presentes no circuito; na verdade, é a existência de um campo elétrico enu·e dois pontos que origina a diferença de potencial entre eles, assim como entre os terrninais de urn resistor ou capacitor. Arelação entre o campo elétrico E e o potencial elétrico V é o assunto desta seção.

Q4.7 Explique a lei de Gauss. Sob quais circunstâncias ela é útil? Q4.8 Co1no se deve fazer a escolha da superfície gaussiana? Q4.9 En1 que situação é razoável considerar u,na distribuição de cargas como urna carga pontual?

EXERCÍCIO 4.7 Duas linhas infi nitas de cargas, cada urna com uma densidade de carga p 1, estão em paralelo con1 o eixo z e situadas e1n x = 1 ex= - 1. Deterrnine E em um ponto arbitrário no espaço livre ao longo do eixo y . Resp.

E= YP1YI [rrso(y2

+ l)].

(veja '-))

EXERCÍCIO 4.8 Unia fina concha esférica de raio a tem un1a densidade superficial de carga Ps· Use a lei de Gauss para detenninar E. Resp. E = O para R < a; E = Rpsa 2 /(sR 2 ) para R > a.

(v~ja * )

EXERCÍCIO 4.9 Um volurne esférico de raio a contém uma densidade volun1étrica de carga Pv· Use a lei de Gauss para detenninar D para (a) R < ae (b) R >a. Resp.

(a) D = R' pvR/3, ? (b) D = R' pva 3 /(3R-).

(veja ~ )

4-5.1

Potencial Elétrico como uma Função do Campo Elétrico

Começamos considerando o caso simples de unia carga positiva q e,n uni can1po elétrico uniforme E = - yE, ern paralelo con1 a direção -y, con10 mostra a Fig. 4-11. A presença do carnpo E exerce uma força Fc= qE na carga na direção negativa de y. Se tentarmos rnover a carga ao longo da direção positiva de y (contra a força F) , precisarernos fornecer u,na força externa Fc" para se contrapor a Fc, o que requer L11n gasto de energia. Para mover q se,n qualquer aceleração (a urna velocidade constante), é necessário que a força resultante que

y

! ! dy~

~~~-+~~~~~~~~~~_.. x

Figura 4-11 O trabalho realizado para movin1entar um carga q por urna distância dy contra o sentido do ca,npo elétrico E é diV = q E dy.

CAPITULO 4

atua na carga seja zero, o que significa que F 0 .. + F0 =O, ou

ELETROSTÁTICA

ou

(4.34)

Fext = - Fe = - qE.

91

(4.39)

O trabalho realizado, ou a energia gasta, para mo-

vimentar qualquer objeto por urn vetor distância diferencial dl sob a influência de u1na força FCXl é dW = Fext·dl = -qE·dl (J).

(4.35)

O trabalho, ou energia, é medido em joules (J).

Neste caso, se a carga for n1ovi.da por unia distância dy ao longo de y, então dW=-q(- yE) · ydy=qEdy. (4.36) A energia potencial elétrica diferencial dW por unidade de carga é denominada potencial elétrico diferencial (ou tensão diferencial) dV. Ou seja,

dV=

dW q

=-E·dl

(J/C ou V)

(4.37)

A unidade de V é o volt (V), sendo que I V A l J/C e con10 V é 1nedido en1 volts, o ca1npo elétrico é expresso em volts por metros (V/m). A diferença de potencial entre quaisquer dois pontos P2 e P 1 (Fig. 4-12) é obtida pela integração da Eq. (4.37) ao longo de qualquer percurso entre eles. Ou seja, r Pz dV = -

JPi

E

2

f p E•dl ,

(4.38)

JP1

E

onde V, e V2 são os potenciais elén·icos nos pontos P, e P2 , respectiva1nente. O resultado da integral de linha no lado direito da Eq. (4.39) deve ser independente do percurso específico de integração escolhido entre os pontos P 1 e P2 • Esse requisito é detenninado pela lei da conservação da energia. Para ilustrar co1n u1n exemplo, vamos considerar tuna partícula no campo gravitacional da Terra. Se a partícula for movida de uma altura h. 1 acima da superfície da Terra para u1na altura h2 , ela ganha energia potencial cujo valor é proporcional a (h2 - h1) . Se, em vez disso, elevássemos primeiro a partícula da altura h1 para a altura h3 maior que h2 , conferindo assün à partícula uma energia potencial proporcional a (h3 - h 1) , e em seguida reduzísse1nos sua altura para h2 , gastando u,na quantidade de energia proporcional a (h 3 - h2) , o ganho final de energia potencial da partícula seria proporcional a (h2 - h 1). O mesmo princípio se aplica à energia potencial elétrica We à diferença de potencial (V2 - V 1). A diferença de tensão entre dois nós em u111 circuito elétrico ten1 o mesmo valor, independentemente do percurso seguido entre os nós. Além disso, a lei de Kirchhojf para tensão diz que a queda de tensão resultante ern torno de um loop fechado é zero. Se percorrern1os de P 1 a P2 pelo percurso 1 na Fig. 4- 12, e então retornannos de P2 para P 1 pelo percurso 2, o lado direito da Eq. (4.39) se torna um percurso fechado, e o lado esquerdo se torna zero. De fato, a integral de linha de um carnpo eletrostático E em torno de qualquer contorno fechado C é zero.

i percurso 3

Figura 4-12 E1n eletrostática, a diferença de potencial entre P2 e P1 é a mesrna, independenternente do percurso usado para o cálculo da integral de linha do campo elétrico entre esses pontos.

E·dl = O

(eletrostática).

(4.40)

Um ca1npo vetorial cuja integral de linha ao longo de qualquer percurso fechado é zero é denominado campo conservativo ou não-rotacional. Portanto, o campo eletrostático E é conservativo. Conforn1e veren1os posterionnente no Capítulo 6, se E for uma função variante no tempo, ele não será mais conservativo, sendo que sua integral de li-

92

ELETROtvlAGNETISMO PARA ENGENMEIROS

nha ao longo de um percurso fechado não será necessaria1nente igual a zero. A propriedade da conservação do campo eletrostático també1n pode ser deduzida a partir da segunda equação de Maxwell, a Eq. (4.1 b). Se Ôldt = O, então

V X E= O.

(4.41)

E=R

q

(4.44)

(Vim).

4:n:t:R 2

Conforme dissemos anteriorrnente, a escolha do percurso de integração entre dois pontos na Eq. (4.43) é arbitrária. Portanto, escolhemos convenientemente o per• curso para que seja ao longo da direção radial R, no qual d l = R d R e A

Se to1nannos a integral de superfície de V x E ao longo de un1a superfície aberta Se então aplicarmos o teorema de Stokes, dado pela Eq. (3.39), para converter a integral de superfície e1n u1na integral de linha, te1nos

fscvxE)·ds=iE·dl=O,

(4.42)

onde C é um percurso fechado e1n torno de S. Portanto, a Eq. (4.41) é a fonna diferencial equivalente da Eq. (4 .40). Agora definünos o que queren1os d.izer co1n potencial elétrico V em um ponto do espaço. Entretanto, antes de prosseguir, vamos rever nosso circuito elétrico análogo. Un1a tensão absoluta em um ponto de um circuito não tem significado definido, nem o potencial elétrico absoluto e1n u1n ponto do espaço. Quando fala1nos da tensão V e1n um ponto de um dete1minado circuito, o faze1nos e1n referência à tensão de algum ponto escolhido convenientemente e para o qual designamos u1na tensão de referência zero, que deno1njna1nos terra (GND - g round). O n1es1no princípio se aplica ao potencial elétrico. Geralinente, o ponto do potencial de referência é escolhido no infinito. Ou seja, na Eq. (4.39) consideramos que V1 = O quando P 1 está no infinito e, portanto, o potencial elétrico V em qualquer ponto Pé dado por

(V).

4-5.2

(4.43)

Pot encial Elétrico Devido a Cargas Pontuais

Para uma carga pontual q situada na origem de um sisten1a de coordenadas esféricas, o campo elétrico a uma distância Ré dado pela Eq. (4.32) como

V =-

fR(â } 00

q 4:n: t: R

q 2)· RdR 4:n:sR (4.45)

(V).

Se a carga q estiver situada fora da origen1, especificada por u1n vetor posição da fonte R i, então V no vetor posição de observação R se torna V(R) =

q 4nslR - Ri!

(V),

(4.46)

onde IR - R 11é a distância entre o ponto de observação e a localização da carga q. O princípio da superposição que aplicamos anteriormente ao campo eléu·ico E tatnbém se aplica ao potencial elétrico V. Portanto, para N cargas pontuais discretas qi, q2, ... qN tendo os vetores pos.ição R 1, R2, ... , R,v, o potencial elétrico é dado por N

I V (R) = ""' 4;re L, . 1

•=

4-5.3

q·

IR - ' R·, I

(V).

(4.47)

Potencia l Elétrico Devido a uma Distribuição Contínua de Cargas

Para u,na distribuição contínua de cargas especificada ao longo de um determinado volume v', ou superfície S', ou ainda uma linha/', (1) substituín1os q; na Eq. (4.47) por, respectivan1ente, Pvdv', Ps ds' e p1 dl'; (2) converte1nos o somatório em integração; e (3) definimos R' =IR- R,I co1no a distância entre o ponto de integração e o ponto ele observação. Esses passos conduze111 às seguintes expressões:

CAPfTULO 4

V(R) =

l { !:!_ 4rre R'

Jv'

(distribuição volumétrica), (4.48a) V(R) =

J

f

Ps ds'

4rr e S' R'

(distribuição superficial), (4.48b) V (R) = l

1

p, dl'

R' (distribuição linear).

4rr e

4-5.4

1,

(4.48c)

93

Campo Elétrico de um Dipolo Elétrico

Exem~lo 4-7

dv'

E LETROSTÁT ICA

U1n dipolo elétrico consiste e1n duas cargas pontuais de mesrno ,nódulo e polaridades opostas, separadas por uma pequena distância, conforme rnostra a Fig. 4-l 3(a). Determine V e E para qualquer ponto P no espaço livre, sendo que P esteja a uma distância R >> d, onde d é a distância entre as duas cargas. Solução: O potencial elétrico devido a uma única carga pontual é dado pela Eq. (4.45). Para as duas cargas n1ostradas na Fig. 4-l 3(a), a aplicação da Eq. (4.47) res ulta em

Campo Elétrico como uma Função do Potencial Elétrico

Na Seção 4-5.1, expressa1nos V e1n tern1os de uma integral de linha ao longo do ca1npo E . Agora explorarernos a relação inversa examinando a forma diferencial de V dada pela Eq. (4.37): dV = - E·dl.

Con10 d << R , as linhas denominadas R, e R 2 na Fig. 4- l 3(a) são aproximada1nente paralelas entre si, sendo que nesse caso se aplicarn as seguintes aproximações:

(4.49)

Para uma função escalar V, a Eq. (3.5) resulta e1n dV = v'V · dl,

P(R, f:J, e/))

(4.50)

onde VV é o gradiente de V. Con1parando a Eq. (4.49) com a Eq. (4.50), obternos 1

E= - v'V.

(4.51)

Essa relação entre V e E na forma diferencial nos penn.ite detenninar E para qualquer distribuição de cargas calculando primeiro V usando as expressões dadas nas Seções de 4-5.1 a 4-5.3 e, em seguida, to1nando o gradiente de V para detenninar E. A expressão para V, dada pelas Eqs. (4.47) a (4.48c), envolve son1as e integrais escalares e, co1no tal, elas são geralmente mais fáceis de calcular que a so1na de vetores e integrais nas expressões para E deduzidas na Seção 4-3 que são baseadas na lei de Coulomb. Portanto, ainda que a abordagem do potencial elétrico para a detenninação de E seja u1n processo de dois passos, é co1nputacionaln1ente 1nais simples que o método direto baseado na lei de Coulo1nb.

X

(a) Dipolo elétrico

--

__ e __

---

===-11~

(b) Diagra111a do ca111po e létrico

Figura 4-13 Dipolo elétrico com mon1ento de dipolo p = qd (Exemplo 4-7).

94

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENMEIROS

4-5.5 Equação de Poisson Portanto,

Con1 D = eE, a forma diferencial da lei de Gauss dada pela Eq. (4.26) pode ser escrita coino

qdcose V= 4ns R-' . 0

(4.52) v'·E = ~ .

O nurnerador da Eg. (4.52) pode ser escrito como o produto escalar de qd , onde d é o vetor distância a partir da carga - q até a carga +q, sendo que o vetor

Substituindo a Eq. (4.51) na Eq. (4.57), temos Pv

A

unitário R aponta do centro do dipolo ern direção ao ponto de observação P; A

A

qd cos O = qd · R = p · R,

(4.53)

onde p = qd é denominado rno,nento do dipolo do dipolo elétrico. Substituindo a Eq. (4.53) na Eq. (4.52), temos

(4.57)

6

(4.58)

v'·(v'V) = - - . t::

Ern fu nção da definição do laplaciano de urna função escalar V dada pela Eq. (3.42) corno

v 2 v = v. (VV)

a2 v a2 v a2 v ax2

+

&y2

+

&z2 ,

(4.59)

A

V = _ P_·R _ 4nsoR 2

(dipolo elétrico).

(4.54)

A Eq. (4.58) pode ser expressa na forma abreviada

(equação de Poisson). (4.60)

En1 coordenadas esféricas, a Eg. (4.51) é dada por E =-v'V

. av + e. 1 av . 1 -av) , (4.55) = - (R- + 4> 8R R 80 R sen () 8 onde usamos a expressão para v'V dada no fina l deste livro. Tomando a derivada da expressão para V dada pela Eq. (4.52) em relação a R e e, para então substituir os resultados na Eq. (4.55), temos E =

qd (AR 2cos e+ eAsen e~ (Vim). (4.56) 47tsoR3

Devemos notar que as expressões para V e E, dadas pelas Eqs. (4.54) e (4.56), são aplicáveis apenas quando R >> d. Para calcular V e E nos pontos que estão nas vizinhanças das duas cargas que constituem o dipolo, é necessário realizar os cálculos sen, recorTer a aproxi1nações para grandes distâncias que conduziran1 à Eq. (4.52). Urn cálculo exato para E co1no esse resulta no diagra1na tnostrado na Fig. 4.13(b). •

Essa expressão é conhecida co1no equllção de Poisson. Para urn volume v' que contém uma distribuição de cargas com un1a densidade volurnétrica de carga Pv, a solução para V deduzida anteriom1ente e expressa pela Eq. (4.48a) como V=

1

I p" dv' 41re v ' R'

(4.61)

satisfaz a Eq. (4.60). Se o meio considerado não contém cargas livres, a Eq. (4.60) se reduz a (equação de Laplace), que é conhecida como equação de IAplace. As equações de Poisson e Laplace são úteis na deterrninação do potencial eletrostático V nas regiões e1n cujas fronteiras V é conhecido, assi111 corno na região entre as placas de uni capacitor com uma diferença de tensão especificada entre as placas.

CAPfTULO 4

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q4.IO O que é um campo conservativo? Q4.ll Por que o potencial elétrico em um ponto do espaço sen1pre é definido en1 relação ao potencial de um ponto de referência?

Q4.12 Explique por que a Eq. (4.40) é uma sentença mate1nática da lei ele Kirchhoff para tensões. Q4.13 Por que geralmente é 1nais fácil calcular V, para uma determinada distribuição de cargas, para em seguida detenninar E a partir de E = - V V do que calcular E diretamente aplicando a lei de Coulon1b?

Q4.14 O que é un1 dipolo elétrico? ,

EXERCICIO 4.1 O Deterrnine, para o espaço livre, o potencial elétrico na origem devido a quatro cargas de 20 µ,C cada uma situadas nos vértices de un1 quadrado no plano x-y e cujo centro está na origem. Os lados do quadrado são de 2 111 cada um.

Resp.

V = Jíxl0-5 /(rrêo)

(V). (veja ,,..,. )

EXERCÍCIO 4.11 Urna concha esférica de raio R tem unia densidade superficial de cargas uniforn1e p,. Determine o potencial elétrico no centro da concha.

Resp. V= PsR/ê

4-6

(V).

(veja ~ )

Propriedades Elétricas dos Materiais

Os parâ1T1etros constitutivos eletrornagnéticos de um meio material são a sua permissividade elétiica e, a pern1eabilidade magnéticaµ, e a condutividade u. Diz-se que um mate1ial é ho111ogê11eo se seus pa1-ãmetros constitutivos não variam de um ponto para outro, e isotr6pico se seus parâmetros constitutivos são independentes da direção. A n1aioria dos rnateriais apresenta propriedades isotrópicas, exceto alguns cristais. Ao longo deste livro, todos os materiais citados são considerados hon1ogêneos e isotró-

ELETROSTÁTICA

95

picos. Neste capítulo, estamos interessados apenas ern e e cr. Discussões relativa~ à penneabilidade n1agnética µ, serão consideradas no Capítulo 5. A condutividade ele um rnaterial é urna rneclicla da facil idade com que os elétrons podem se mover através dele sob a influência de un1 ca,npo elétrico externo. Os materiais são classificados con10 condutores (metais) ou dielétricos (isolantes) de acordo com os módulos de suas condutividades. Um condutor te1n u1n grande nú1nero de elétrons livres nas can1adas externas dos átornos. Na ausência de um carnpo elétrico externo, esses elétrons livres se rnovern en1 direções aleatórias e corn velocidades que variam. O rnovimento aleatório deles produz urna corrente média nula através do condutor. Entretanto, quando se aplica u1n campo elétrico externo, os elétrons migra1n de un1 átomo para o próximo ao longo da direção oposta à do carnpo externo. O movimento dos elétrons, que é caracterizado por uma velocidade média denominada velocidade de arrasta1ne11to (drift) de elétrons (u"), origina u1na corrente de condução. Em urn dielétrico, os elétrons estão forternente presos aos átomos, de forma que é 1nuito difícil desprendê-los, mesmo sob a inlluência de um ca1npo elétrico. Conseqüente1nente, nenhuma corrente circula através do 1naterial. Um dielétrico perfeito é urn rnaterial com u = O; por outro lado, um condutor perfeito é um material corn a= oo. A condutividade u da maioria dos rnetais está na faixa de 106 a 107 S/rn , ern co1nparação co1n 10 10- a 10- 17 S/rn para os bons isolantes (Tabela 4-1). Os n1ateriais cujas condutividades estão entre as dos condutores e isolantes são deno1ninados semicondutores . A condutividade do germânio puro, por exen1plo, é de 2,2 S/rn. O Apêndice B apresenta tuna tabela com valores ele u para alguns rnateriais con1uns à temperatura an1biente (20º C), sendo que alguns deles são apresentados na Tabela 4-1. A condutividade de um rnaterial depende de vários fatores, incluindo a temperatura e a presença de impurezas. E111 geral, a condutividade a dos metais aumenta con1 a dilninuição da t.e1nperatura, sendo que ern temperaturas muito baixas, próxin1as do zero absoluto, alguns condutores se tornam supercondutores porque sua condutividade se torna praticamente infinita.

96

ELET ROl'vlAGNETISMO PARA ENGENI-IEIROS

Tabela 4-1 Condutividade de alguns materiais comuns a 20°C l\1aterial

Condutividade, <J (S/01)

Condutores 107 X 107 4.1 X 107 3,5 X J07 107 106 3 X 104

Prata Cobre Ouro Alunúnio Ferro Mercúrio Carbono

6.2 5,8

X

Se111icondutores

Gennânio puro Silício puro

2,2 4,4 X 10- 4

Isolantes 10-12 10- 15 10-15 10- 11

Vidro Parafina Mica Quartzo fundido

(1n/s),

(4.62b)

onde µ, 11 é a mobilidade de lacunas. A mobilidade explica a relação entre a massa efetiva de uma partícula carregada e a distância rnédia ao longo da qual o can1po e.tétrico aplicado pode acelerá-la antes que pare em urna colisão com un1 átomo e tenha de iniciar a aceleração nova1nente. A partir da Eq. (4.11 ), a densidade de corrente e1n u1n meio que contém uma densidade volu1nétrica de cargas p,. que se n1ovin1enta1n co1n uma velocidade u é J = p,u. Nesse caso, a densidade de corrente consiste em uma componente Jcdevido aos elétrons e e1n u1na co1nponente Jhdevido às lacunas. Portanto, a densidade de corrente de condução total é (Nm2 ). (4.63) Con1 o uso das Eqs. (4.62a) e (4.62b), obteoios

-

J = (-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q4.15 Quais são os parâmetros constitutivos ele-

tromagnéticos de ut11 meio material? Q4.16 O que classifica um 1naterial con10 condu-

tor, semicondutor ou dielétrico? O que é uni supercondutor? Q4.17 Qual é a condutividade de uni isolante per-

feito?

Pve/J,e

+ Pvh/J,h) E,

onde Pvc = -N.e e P,,1, = Nhe, sendo N~e Ni, o nú111ero de elétrons livres e o nú,nero de lacunas por unidade de volume, e e = 1,6 x 10- 19 C é a carga absoluta de uni único elétron ou lacuna. A grandeza dentro dos parênteses na Eq. (4.64) é definida co1no a condutividade do n1aterial, c,. Portanto, C1

+ P vh/J,h (Ne/J,e + Nh/"-h)e

= - Pve/1,e =

(S!tn)

(semicondutor),

4-7

Condutores

A velocidade ele arrastamento uc ele elétrons em

(4.62a)

onde µ,0 é a propriedade do niaterial deno1ninada 111obilidade de elétrons, sendo que sua unidade é (m 2/V ·s). E,n um se1nicondutor, a corrente existente é devida ao 1novin1ento de elétrons e lacunas, e co1no as lacunas são portadoras de carga positiva, a velocidade de arrastan1e11to de lacunas u11 está na mes1na direção de E,

(4.65)

e sua unidade é sie,nens por n1etro (Sim). Para um bon1 condutor, Nhµ,h << Ncµ,c, e a Eq. (4.65) se reduz a

um n1aterial percorrido por u1na corrente está relacionada ao campo elétrico E aplicado externarnente pela equação (1n/s),

(4.64)

(S/m) (condutor).

(4.66)

Nos dois casos, a Eq. (4.64) passa a ser

J

= C1E

(Nm2 )

(lei de Ohm), (4.67)

sendo denominada lei de Olun nafor,na pontual. Note que, eni dielétricas pe,feitos co,n cr =O, J = Oindepe11dente1nente de E, e e,n u,n condutorper-

CAPITULO

feito corn a = oo, E = Jla = O independenternente de J. Ou s~ja,

(e) l = JA nd

Dielétrico perfeito: Condutor perfeito:

J= O

=l ( 4

2

)

(d)

= l, 16x l0 (Jí .

lle

Corrente de Condução em um Fio de Cobre

Uni fio de cobre de 2 rnm de diâmetro co,n condutividade de 5,8 x 107 S/in e u1na n1obilidade de elétrons de 0,0032 (m 2/V·s) está sujeito a um can,po elétrico de 20 (111V/n1). Detenni ne (a) a densidade volumétrica de carga dos elétrons livres, (b) a densidade de corrente, (c) a corrente que percorre o fio, (d) a velocidade de arrasta1nento de elétrons e (e) a densidade volun1étrica de elétrons livres. Solução: (a)

Pve

=-

a µe

=-

5,8xl07 0,0032

= -1 , 81 x 10 10 (C/rn3).

(b)

J = a E = 5,8 X 107 X 20 X 10-3 = l ,16x 106 (A/m2).

6

X

4

X

JQ-

6

97

)

4

= - µ eE = -0,0032x20x 10- 3 = - 6,4x 10- 5 ,n/s.

6

Exemplo 4-8

ELETROSTÁTICA

= 3,64 A.

E= O

E1n fu nção de a ser da orde1n de 10 Sim para a n1aioria dos metais, como prata, cobre, ouro e alun1ínio (Tabela 4- l), é u,na prática con1um considerar E= Opara os condutores ,netálicos. Utn condutor perfeito é u1n rneio equipotencial, o que significa que o potencial elétrico é o 1nes1no e1n todos os pontos do condutor. Essa propriedade provém de V2 ., a diferença de tensão entre dois pontos do condutor, ser por definição igual à integral de linha de E entre os dois pontos, conforme está indicado na Eq. (4.39), e visto que E= Oem qualquer ponto de u1n condutor pe,feito, adiferença de tensão V21 = O. Entretanto, o fato de o condutor ser uni n1eio equipotencial não in1plica necessariamente que a diferença de potencial entre urn condutor e qualquer outro condutor seja zero. Cada condutor é uni rneio equipotencial, poré1n a presença de diferentes distribuições de cargas em suas superfícies pode gerar unia diferença de potencial entre eles.

4

O sinal negativo indica que uc está na direção oposta a E. 10

(e)

Ne = _ Pve = L,81 X L0 e 1,6x L0- 19

= 1, 13 x J029 elétrons/1113 •

•

EXERCÍCIO 4.12 Determine a densidade de elétrons livres no alumínio, dado que a condutividade dele é 3,5 x 107 (S/rn) e a n1obilidade de elétrons é 0,0015 (m 2/V · s). R esp .

N0

=1,46 x 10

29

elétrons/rn3•

(v~ja .._.)

EXERCÍCIO 4.13 A corrente que percorre urn fio condutor corn 100 111 de comprimento e de seção reta uniforrne apresenta densidade de 3 x 105 (A/m 2). Determine a queda de tensão ao longo do comprimento do fio que apresenta uma condutividade de 2 x J 07 (S/111). Resp.

V = 1,5 (V).

4-7 .1

Resistência

(v~ja ,~ )

Con10 demonstração do uso da lei de Ohrn na fonna pontual, a utilizaremos para desenvolver uma expressão para a resistência R de um condutor de co1npri1nento l e seção reta A unifor1ne, confonne mostra a Fig. 4- 14. O eixo do condutor está orientado ao longo do eixo x e se estende entre os pontos x 1 e x 2, sendo l =x 2 - x 1• A tensão V aplicada nos tenninais do condutor estabelece u1n can1po elétrico E = xE_,.; a direção de E é a partir do ponto de n1aior potencial (ponto l na Fig. 4- 14) para o de n1enor potencial (ponto 2). A relação entre V e E, é obtida aplicando-se a Eq. (4.39). Portanto,

98

ELETROtvlAGNETISMO PARA ENGENMEIROS

)'

Lx

'•

•

Exemplo 4-9

A

Condutância de um Cabo Coaxial

+ -

V Figura 4-14 Resistor linear de seção retangular A e cornpri 111ento l conectado a uma fonte de tensão contínua V.

V = V,-V2 x1

= -

1

E -dl

.r2

x1

= -

1

X.Ex ·X.d[ = Exl

(V). (4.68)

Os raios dos condutores interno e externo de um cabo coaxial de comprimento l são a e b, respectiva1nente (Fig. 4-15). O 1naterial isolante tem uma condutividade cr. Obtenha uma expressão para G', a condutância por unjdade de con1prin1ento da camada de isolação. Solução: Considerando J a con·ente total que passa do condutor interno para o externo através do material isolante, para qualquer distância radial r a partir do eixo do condutor central a área na qual a corrente passa é A =27Trl. Portanto, AI A

x2

i

J · ds =

i

(4.69)

A partir ele R =V/!, a razão entre as Eqs. (4.68) e

(4.69) resulta em

R= -

l

.

1

1 s

dl

J · ds

JE · ---'-'--

1

1 s

{ª E . d l =

},,

-

{ª

I

Jb 21tCJl

(4.71)

•

~\;1·•==' =•===-==

~ ' , ,, L ~ '~Jr -·fi- ~

r (4.75)

----------------, r ,. -, -

,'~, ~ ..,~•.......LI......... ........ .!..1... ..

• 1

r . r dr

2:al ln(!).

1 •

dl

a E · ds

= -

=

,,

-JE ·

(4.74)

Em um resistor, a corrente vai do maior para o menor potencial elétrico. Portanto, se J estiver na direção de r, o condutor central tem de estar ern urn potencial 1naior que o condutor externo. Conseqüenten1ente, a diferença de tensão entre os condutores é

Va1,

Agora generaliza,nos nosso resultado de R para qualquer resistor de fonnaco arbitrário, notando que a tensão V no resistor é igual à integral de linha de E ao longo do percurso l entre os dois pontos especificados e a corrente I é igual ao fluxo de J através da superfície S do resisto1-. Portanto,

V R= - = 1

I

(4.70)

(Q).

CJA

(4.73)

E = r-2na ri

a E . ds (A).

I , 21trl

e a partir de J =
= CJ Ex A

-·

A

J= r- = r

Usando a Eq. (4.67), a corrente que atravessa a seção reta A e1n x2 é I =

(4.72)

(S).

2 I

., E

.. J

1

l aA G- R l

x2

/ I 1

O inverso de Ré denominado condutância G, e a unidade de G é (Q- 1), ou sien1ens (S). Para o resistor linear,

1 1

' '•

•

... -----

Figura 4-15 Cabo coaxial do Exemplo 4-9.

CAPfTULO 4

A condutância por unidade de compriment.o é então ,

1

G

G =-=----l RI Va1,l

P =

i

<J' IEl2 dv

Lei de Joule

Considere1nos agora a potência dissipada e111 um 1neio condutor na presença de un1 can1po eletrostático E. () meio contém elétrons livres e lacunas con1 densidades volu1nétricas de cargas p,.c e Pvh• respectiva1nente. As cargas relativas a elétrons e lacunas contidas em u,n volu1ne elementar Ãv é q0 = p,,c Ãv e qh = p,,11 ÁV, respectiva,nente. As forças elétricas que atua111 em qc e qhsão Fe = qcE = p_,,E Ãv e Fh = qhE = PvhE Ãv. O trabalho (energia) gasto pelo ca1npo elétrico ao movi1nentar qc por u1na distância diferencial Ã( e para 1nover qh por u1na distância Ãlh é

A potência P, medida em ,.vatts (W), é definida como a taxa de tempo de variação da energia. A variação na potência que corresponde a à W é então b. P =

(4.80)

A Eq. (4.79) é uma declaração na forma matemática da lei de Joule. Para o exe1nplo do resistor considerado anterionnente, IEI = Ex e seu volu1ne é v = IA. A separação da integral de volume na Eq. (4.80) e111 u111 produto de un1a integral de superfície em A por uma integral de linha e1n l resulta en1 P=

=

i i

<J' IE1 2 dv O'

Ex ds

1

Ex dl

= (O' ExA)(Exl) = 1 V

b.lc

b.111

(W).

-

(4.82)

-

QUESTOES PARA REVISAO Q4.18 Qual é a diferença fundamental entre un1 isolante, um se,nicondutor e um condutor? Q4.19 Mostre que a potência dissipada pelo cabo coaxial ilustrado na Fig. 4-15 é P = ! 2 1n(bla)/(21T
= F e· + F11 · b.t b.t b.t = Fe · U e + F11 · U h = (PveE · Ue

(W), (4.81)

onde usamos a Eq. (4.68) para o cálculo da tensão Ve a Eq. (4.69) para o cálculo da corrente I. Sendo V = 1 R, obtemos a expressão já familiar

(4.77)

D. W

(W).

Jn(b/a) (S/m). • (4.76)

4-7 .2

99

e em função da relação dada pela Eq. (4.67),

2n<J'

1

ELETROSTÁTICA

+ PvhE · U1,) D. V (4.78)

= E· J b.v,

onde u. = Mc/Ã t é a velocidade de arrastamento de elétrons e u11 =Ãl / Ã t é a velocidade de arrastamento de lacunas. A Eq. (4.63) foi usada no último passo do desenvolvimento, resultando na Eq. (4.78). Para urn volu1ne v, a potência total dissipada é

EXERCÍCIO 4.14 Un1 fio de cobre de 50 m de cotnpritnento tetn uma seção reta ciJcular de raio r = 2 cm. Sendo a condutividade do cobre de 5,8 x 107 (Sltn), deter1nine (a) a resistência R do fio e (b) a potência dissipada pelo fio se a tensão ao longo de seu comprimento for de 1,5 (m V). Resp. (a) R = 6,9 x 10- 4 Q, (b) P = 3,3 (mW). (v~ja 1i- )

P = [ E ·J dv

Jv

(W)

(lei de Joule), (4.79)

EXERCÍCIO 4.15 Repita a parte (b) do Exercício 4-14 apjjcando a Eq. (4.80). (veja ~)

100

ELETROMAGNETISM.0 PARA ENGENHEIROS

R

Tração

•Q•

F

F

F •

~

C,

• F

Compressão

~~~~~~~..a..~~~~~~~ Força

F=O A. A piezoresistência varia com a força mecânica aplicada

Sensores Resistivos

Piezoresistividade

Um sensor elét rico é um dispositivo capaz de responder a um estímulo aplicado gerando um sinal elétrico cuja tensão, corrente ou outro atributo está relacionado com a intensidade do estímulo. A família dos possíveis estímulos envolve um extenso arranjo de grandezas físicas, químicas e biológicas, incluindo temperatura, pressão, posição, distância, movimento, velocidade, aceleração, concentração (de um gás ou líquido), fluxo sangüíneo, etc. O processo de sensoriamento se baseia na medição de resistência, capacitância, indutância, força eletromotriz induzida (fem), freqüência de oscilação ou atraso de tempo, dentre outros. Esta sinopse de aplicações tecnológicas aborda sensores resistivos. Os sensores capacitivos, indutivos e de fem são abordados separadamente (neste e nos próximos capítulos).

De acordo com a Eq. (4.70), a resistência de um resistor cilíndrico de fio condutor é dada por R = LI <J A, onde l é o comprimento do cilindro, A é a área da seção transversal e <J é a condutividade do material do cilindro. A tração do fio por meio de uma força externa aplicada faz com que I aumente e A diminua. Conseqüentemente, R aumenta (A). Por outro lado, uma compressão no fio provoca uma diminuição de R. A palavra de origem grega piezein significa pressão, da qual o termo piezoresistividade é derivado. Isso não deve ser confundido com piezoeletricidade, que é um efeito de fem. (Veja Sensores FEM.) Um sensor resistivo elástico é adequado para medição de deformação z em uma superfície (B), a qual pode estar relacionada com a pressão

z

D

Plano

F=O

LJ

1

-;J;

.,

':------r-----= Tracionado

B. Filmes piezoresistivos

CA.PITULO 4

E LETROSTÁTICA

101

. . . . ___ Contatos ôhmicos

Fio metálico Piezoresistor de silício C. Piezoresistores de metal e silício

aplicada na superfície; e se z for uma função do tempo, é possível deduzir a velocidade e a aceleração do movimento da superfície. Para se conseguir uma sensitividade piezoresistiva longitudinal alta (a razão entre a variação de resistência normalizada, AR IR, e a correspondente variação no comprimento, lll/ l, provocada pela força aplicada), o fio é projetado para ter um formato de serpentina (C), embutido em um substrato plástico flexível e colado na superficie cuja deformação será monitorada. Ligas de cobre e níquel são nor-

malmente usadas para criar sensores desse tipo, embora o silício seja usado em algumas aplicações, por ter uma sensitividade piezoresistiva muito alta. Conectando-se um piezoresistor a um circuito em ponte de Wheatstone (D) no qual os outros três resistores são de valores idênticos e iguais à resistência do piezoresistor quando nenhuma força externa é aplicada, a tensão de saída é diretamente proporcional à variação de resistência normalizada: AR IR.

+

(M) 2 R

V.saída= V,,

D. Circuito em ponte de Wheatstone com piezoresistor

102

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

4-8

Dielétricas

Confonne discuti_n1os anterionnente, a diferença fundamental entre um condutor e um dielétrico é que un1 condutor tem elétrons (livres) fracamente presos aos átomos, os quais podem migrar de un1 áto,no para outro através da estrutura cristalina do material, ao passo que os elétrons das últi1nas carnadas dos átornos de u1n dielétrico estão forternente presos aos átomos. Na ausência de u1n ca,npo elétrico, os elétrons em qualquer material forrnam uma nuvem simétrica em torno dos núcleos, sendo que o centro ela nuvem coincide com o centro do núcleo, confonne n1ostra a Fig. 4-16(a). O campo elétrico gerado pelo núcleo carregado positivamente atrai forte1nente a nuve1n de elétrons ern torno dele e a repulsão Inútua das nuvens de elétrons de átomos adjacentes dá à substância a forma dela. Quando u1n condutor est,í sujeito a um can1po elétrico aplicado externan1ente, a nulioria dos elétrons livres de cada átomo pode faciln1ente saltar de uni áto1no para o próxin10, estabelecendo assin1 unia cotTente. Entretanto, um campo elétrico aplicado externamente E0 ~, em um dielétrico não apresenta o efeito de un1a n1igração em massa de cargas visto que elas não são capazes de se 1nover livre,nente, porém o campo pode polarizar os átornos ou as moléculas no material, distorcendo o centro da nuvem de elétrons e a localização dos núcleos. O processo de polarização está ilustrado na Fig. 4- I 6(b ). O átomo ou molécula polarizado

pode ser representado por um dipolo elétrico que consiste em uma carga +q no centro do núcleo e uma carga - q no centro da nuvem ele elétTons [Fig. 4- l 6(c)]. Cada dipolo desse estabelece um pequeno campo elétrico que aponta da carga positiva no núcleo para o centro da carga, ele mesrno módulo, porém negativa, ela nuven1 de elétrons. Este ca,npo elétrico induzido, clenonúnado ca1npo de polarização, é ,nais fraco que o oposto na direção de Ecxi· Conseqüentemente, o campo elétrico resultante presente no 1naterial dielétrico é ,nenor que Ecxi· No nível microscópico, cada dipolo exibe uni 1nomento de dipolo sirnilar ao descrito no Exemplo 4-7. No interior do material dielétrico, os dipolos se alinham etn um arranjo linear, con10 1nostra a Fig. 4- 17. Ao longo das bordas superior e inferior do tnaterial, o arranjo ele dipolos exibe u1na densidade superficial de carga positiva na superfície superior e urna densidade negativa na superfície inferior. Os desenhos relativamente simples descritos nas Figs. 4-16 e 4- 17 são relativos a ,nateriais não-polllrizados, nos quais as rnoléculas não apresentam 1non1entos de dipolos pern1anentes. Moléculas não-polarizadas se tornarn polarizadas apenas quando un1 ca,npo elétrico externo for aplicado, e quando o ca1npo for re1novíclo, as 1noléculas retorna,n ao seu estado de despolariz.ação original. Em alguns n1ateriais, corno a água, a estrutura 1nolecular é tal que as moléculas possuern momentos de dipolo pem1anentes que são orientados aleatoria1nente na ausência de u,n campo elétrico aplica-

Núcleo

Elétron

Núcleo E ext

- +

,

A torno

(a)

Centro da nu ve1n de elétrons Eexi = O

(b) Eext-:/; O

(e) Dipolo elétrico

Figura 4-16 Na ausência de urn carnpo elétrico externo E0,., o centro da nuvem de elétrons coincide con1 o centro do núcleo, porérn, quando um can1po é aplicado, os dois centros são separados por urna distância d.

CAPITULO 4

Carga superficial positiva\

E,xi

l\1olécula polarizada

:;@®ÉJ@@@ +©®@@®i

Et'M

~~+êê§+§§§+§ê

e=@©@@!!@@®~©® Carga superficial negativa

ELETROSTÁTICA

outras direções. E1n dielétricos a11isotrópicos, E e D pode1n ter direções diferentes. Diz-se que un1 meio é lzo111ogêneo se seus parâ1netros constitutivos (8, µ. e a) foren1 constantes ao longo do meio. Nossa atenção no n1ornento se lirnitará a meios que são lineares, isotrópicos e homogêneos. Para tais meios, o campo de polarização é diretarnente proporcional a E e é expresso pela relação P = soxcE,

D= soE + soxeE

= so(l + Xc)E = sE,

D= t:oE + P,

(4.83)

onde P, denominado campo de polarização elitrico, justifica as propriedades de polarização do n1aterial. O campo de polarização é produzido por um campo elétrico E e depende das propriedades do material. Diz-se que um 1neio dielétrico é linear se o módulo do ca,npo de polarização induzido for direta1nente proporcional ao módulo de E, e este meio é dito isotrópico se o campo de polarização e E estiveren1 na rnes1na direção. Ern alguns cristais, a estrutura periódica do material pennite que se estabeleça urna 1naior pola1ização em certas direções, tal como nos eixos dos cristais, do que em

(4.84)

onde Xc é deno1ninado suscetibilidade elétrica do n1aterial. Substituindo a Eq. (4.84) na Eq. (4.83), temos

Figura 4-17 Un1 meio dielétrico polarizado por un1 ca1npo elétrico externo E""',·

do. Materiais compostos de momentos de dipolos pennanentes são denon1inados n1ateriais polares. Devido às orientações aleatórias, os dipolos de materiais polares não produzen1 1nacroscopica1nente nenhu1n 1nomento de dipolo resultante (na escala n1acroscópica, cada ponto no material representa 1nilhares de n1oléculas). Sob a influência de urn campo aplicado, os dipolos pennanentes tendem a se alinhar sozinhos ao longo da direção do carnpo elétrico, em um arranjo um pouco sirnilar ao ,nostrado na Fig. 4-17 para n1ateriais nãopolares. Considerando que D e E estão relacionados por 8 0 no espaço livre, a presença desses dipolos microscópicos em um 1naterial dielétrico altera essa relação no material para

103

(4.85)

a qual define a pennissividade 8 do 1naterial corno

e= so( I + Xc).

(4.86)

Conforme rnencionamos anteriormente, costuma ser conveniente caracterizar a pern1issividade de um mac.erial em relação à do espaço livre, 8 0; isso é a pern1issividade rei.ativa 8, =8 / 8 0. A Tabela 4-2 apresenta valores de s, para alguns 1nateriais comuns, sendo que uma lista rnaior é apresentada no Apêndice B. No espaço livre 8r = 1 e, para a rnaioria dos condutores, e,~ 1. A constante dielétrica do ar é aproxünadarnente 1,0006 ao nível do mar, sendo que esse valor diminui em direção à unidade corn o aumento da altitude. Exceto para algu1nas circunstâncias especiais, con10 quando se calcula a refração (curvatura) de ondas eletromagnéticas em longas distâncias na atmosfera, o ar é tratado da mes,na rnaneira que o espa-

ço livre. O n1odelo de polarização de dielétrico apresentado até aqui não colocou nenhuma restrição quanto ao valor 1náxi1no da intensidade do campo elétrico E aplicado. Na realidade, se E exceder a urn certo valor crítico, conhecido co1no rigidez dielétrica do material, fará com que elétrons das n1oléculas se tornem completarnente livres e sejam acelerados através do n1aterial, formando urna corTente de condução. Quando isso acontece, podem ocorrer faíscas e o 1naterial dielétrico pode ser danificado pennanenten1ente devido às colisões de elétrons corn a estrutura molecular. Essa

104

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Tabela 4-2 Pern1issividade relativa (constante dielétrica) e rigidez dielétrica de n1ateriais con1uns Permissividade r elativa, e, Ar (ao nível do 1nar) 1,0006 Petróleo (óleo) 2, 1 Poli.estireno 2,6 Vidros 4,5-10 Quartzo 3,8-5

Material

Baquelite Mica

Rigidez d ielétrica,

5,4-6

200

e = ereo e so = 8,854 x 10- 12

QUESTÕES PARA REVISÃO Q4.20 O que é um rnaterial polar? E o que é um 111aterial não-polar? Q 4.21 Os vetores D e E sernpre apontam para a mesma direção? Em caso negativo, quando é que eles não apontam para a mes,na direção? Q 4.22 O que acontece com o 1naterial quando ocorre a ruptura do dielétrico?

(MV/111)

3 12 20 25-40 30 20

5

mudança abrupta de co1.nportamento é denorninada ruptura dielétrica. A rigidez dielétrica Ed:; é o maior módulo de E que o material pode suportar se,n atingir a ruptura. A ruptura do dielétrico pode ocorrer em dielétricas de gás, líquido e sólido. A intensidade de campo associada depende da composição do rnaterial, bem co1no de outros fatores, como te1nperatura e u1nidade. A rigidez dielétrica para o ar é 3 (MY/111); para o vidro, ela está entre 25 e 40 (MV/m); e para a 111.ica, 200 (MV/rn) [veja a Tabela 4-2]. Unia nuvem carregada co,n um potencial elétrico V, em relação ao solo, induz um ca,npo elétrico E= V/ d no 1neio (ar) entre a nuvem e o solo, onde d é a altura da base da nuven1 em relação ao solo. Se V for suficiente1nente grande, de forma que E exceda a rigidez dielétrica do ar, ocorrerá a ionização do ar seguida de urna descarga (relân1pago). A tensão de ruptura Vh, de u1n capacitor de placas paralelas é discutida no Exe1nplo 4-1 l .

Et1s

4-9

F/rn

Condições de Contorno para o Campo Elétrico

Um campo elétrico é chatnado de espaciallnente contínuo quando não exibe rnudanças abruptas tanto en1 seu módulo quanto em sua direção co,no uma função da posição no espaço. Ainda que o campo eléu·ico possa ser contínuo e,n cada u,n dos dois meios diferentes, ele pode ser descontínuo na fronte ira deles se existir uma carga superficial ao longo dessa fronteira. As condições de contorno especificam corno as componentes tangencial e nonnal do campo en1 um. n1eio são relacionadas às componentes do carnpo através da fronteira no outro n1eio. Deduziremos urn conjunto geral de condições de contorno, aplicáveis na interface entre quc1isquer dois 1neios diferentes, sejan1 eles dois dielétricos diferentes ou um condutor e uni dielétrico. Além disso, qualquer un1 dos dielétricos pode ser o espaço livre. Ainda que essas condições de fronteira s~jam deduzidas para condições eletrostáticas, elas serão igualmente válidas para ca111pos elétricos variantes no te111po. A Fig. 4-18 mostra uma interface entre o 111eio 1, com permissividade 6 1, e o meio 2, com permissividade 6 2. No caso geral, a fronteira pode ter unia densidade superficial de carga p,. Para deduzir as condições de fronteira para as componentes tangenciais de E e D, corneçamos construindo uni loop retangular fechado abcda con10 1nostrado na Fig. 4-18, e então aplicamos a propriedade da conservação do campo elétrico dada pela Eq. (4.40), a qual diz que a integral de linha do campo eletrostático e1n torno de uni per-

CAPITULO 4

105

ELETROSTÁT ICA

Meio l

e,

E10

d

E1

IJ.s

e

0Et1 }~ ~fi ~--~::;~--t===]J}~-\- ~h- -~á.._ijh7f-__ __.,_-Ps -----~b

Ein

2

a"'.

- - -IJ.l- -

Figura 4-18 Interface entre dois n1eios dielétricos.

curso fechado é sempre igual a zero. Fazendo Afl ~ O, as contribuições da integral de linha pelos seg,nentos bc e da são zero. Portanto,

J._ E· dl =

Yc

{b E2 · dl + {d E,· dl = O, (4.87)

1(1

lc

onde E, e E2 são os campos elétricos nos n1eios 1 e 2, respectiva1nente. Em tennos das direções tangencial e norrnal n1ostradas na Fig. 4-18, (4.88a)

(4.88b)

Ao longo do seg,nento ab, E2, e dl têm a mes1na direção, porém, ao longo do segmento cd, E,, e dl estão e,n direções opostas. Conseqüentemente, a Eq. (4.87) resulta em

Em seguida aplicamos a lei de Gauss, conforme expressa pela Eq. (4.29), para deternünar as condições de contorno das componentes normais de E e D. De acordo com a lei de Gauss, o fluxo total ele saída de D através elas três faces cio pequeno cilindro mostrado na Fig. 4- 18 tem de ser igual à carga total envolvida pelo cilindro. Fazendo co,n que a altura do cilindro Afl ~ O, a contribuição para o fl uxo total pela superfície lateral tende a zero. Além disso, mesmo que cada u1n dos dois meios tenha densidade volutnétrica de carga livre ou confinada, a única carga que pennanece no cilindro colapsado (com altura h nula) é aquela distribuída na fronteira. Po11anto, Q =P., ru, e

J. D· ds =

rs

1

D1 •

superior

n2ds +

1. .

mfenor

D2 •

n1 ds

= Ps l:!.s ,

(4.89)

(4.92)

ou (V/m).

(4.90)

Conseqüentemente, a co1npo11e11te tangencial do carnpo elétrico é contínua através da fronteira entre os dois 111eios. Coino D11 = e, E11 e D2, = e2E21, a condição de contorno para a co1nponente tangencial da densidade de fluxo elétrico é

•

(4.91)

onde 11 1 e 112 são os vetores unitários nonnais para fora nas, superfícies superior e inferior, respectivamente. E i1nportante lernbrar que o vetor unitário da nonnal à supe1fície de qualquer rneio é sernpre definido co,no sendo na direção para/ora do ,neio. Como 11 1 = -Ô 2, a Eq. (4.92) é simpli ficada para (C/m2).

(4.93)

Sendo D 10 e D211 definidos co,no as componentes normais de D I e D2 ao longo ele 112, temos

106

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

D1n - D 2n

= Ps

(Clrn2) .

z

(4.94)

Portanto, a cornponente de D na direção nor111al varia abruptarnen.te na fronteira carregada entre os dois ,neios distintos e a quantidade de carga é igual à densidade supe,ficial de carga. A condição de contorno co1Tespondente para E é

êJ

: - - - r - - - ~1'"'----.:..1' - - - plano x-y E 11

&i,

----- ----------- ~-----Em resu1no, ( 1) a propriedade de campo conservativo de E , VxE= O

i

< >

E· dl = 0, (4.96)

que conduz ao resultado em que E tem uma componente tangencial através de u1na fronteira, e (2) a propriedade da divergência de D, V·D =Pv

•:

:,

iD · ds=Q,(4.97)

que conduz ao resultado ern que a componente na direção no1111al de D varia de Ps através da ti·onteira. Um resumo das condições de contorno entre diferentes tipos de meios é dado pela Tabela 4-3.

Exemplo 4-1 O

Figura 4-19 Aplicação de condições de contorno na interface entre dojs 1neios diel.étricos (Exe,nplo 4-10).

Aplicação das Condições de Contorno

Solução: (a) Considere Ri = x. E2x + yE2.r + zE2z. Nossa tarefa é determinar as componentes de E2 e,n termos das componentes dadas para E 1• A nonnal à superfície é z. Portanto, as componentes x e y dos campos são tangenciais à fronteira e as componentes em z são normais e1n relação à fronteira. Ern unia interface livre de cargas, as componentes tangenciais de E e as con1ponentes normais de D são contínuas. Conseqüentemente,

e

O plano x- y é uma fronteira livre de cargas que

separa dois rneios dielétricos co1n penniss.ivjdade e I e e 2, conforme mostra a Fig. 4-19. Se o campo elétrico no u1eio I é E 1 = x.E 1x + yE 1y + iE1.: , detennine (a) o ca1npo elétrico E 2 no 1neio 2 e (b) os ângulos OI e 8i-

ou Portanto, (4.98)

Tabela 4-3 Condições de contorno para os ca,npos eléuicos Con1ponente do CUIIIDO

Tangencial a E Tangencial a D

Qualquer tnu dos dois 111cios E11

= E21

E 11

D1t/ S1 = D2i/E:2

Normal a E

n· (s1 E1 -

Normal a D

Õ· (D1 -

e2E 2)

i\lleio 1 dielétrico s 1

= Ps

D2) = Ps

l'\llcio 2 dielétrico s2

J\·I eio 1 dielétrico e 1

= E21

= E21 = O D11 = D 21 = O E 11

D1i/E:1 = D21/E:2

s, E1n - s2E2n D1n - D2n

= Ps

= Ps

J\>l eio 2 condutor

E ln = Ps/s1 D 10

= Ps

E2n

=O

D2n = O

Nota: (1) p, é a densidade de carga superlicial na fronteira; (2) as componentes na direção da normal de E,, D,, E2 e D2 estão ao longo de ô 2• o vetor unitário normal para fora cio meio 2.

CAPITULO 4

(b) As co1nponentes tangenciais de E 1 e E2 são

E1t =

j E?x + Ef>' e E

2,

4-9.1

los 01 e 02 são então dados por

Considere o caso e,n que o meio 1, na Fig. 4-1 8, é um dielétrico e o ,neio 2, u1n condutor perfeito. Em um condutor perfeito, E = D = Oe111 qualquer ponto do condutor. Portanto, E2 = D2 = O, a qual requer que as componentes tangencial e normal ele E2 e D2 s~ja,n zero. Conseqüente1nente, a partir da Eq. (4.90) e ela Eq. (4.94), os ca,npos no meio dielétrico, na fronteira con1 o condutor, são dados por

E11 Ef, + Efr tg 8 1= - = -'------ ' Ei z E iz

Ei, + Ei,,

jefx + Efr

e,,.

107

Fronteira entre Dielétrico e Condutor

Eix + Eir. Os ângu-

=

ELETROSTÁT ICA

(81/82)E1z '

-e os dois ângulos são relacionados por

Eu = Du = O, D1n = 81 E1n = P~·

(4.99)

(4.100a) (4.100b)

Essas duas condições de contorno pode1n ser combinadas en1

EXERCÍCIO 4.1 6 Co1n referência à Fig. 4-19, detennine E 1 se Ei = x2 - y3 + z3 (V/Jn), 81 = 280 e 82 = 880. Considere que a fronteira seja livre de cargas. Resp.

E1 = x2 - y3 + zl 2 (V/Jn), (veja 1".Z' )

EXERCÍCIO 4.17 Repita o Exercício 4.16 para unia fronteira com u1na densidade superficial de carga P,.. = 3,54 X 10· 11 (C/m 2) . Resp.

E 1 = x2 - y3 + zl4 (V/Jn)

+

Ban-a co ndutora

+

...

)

1

1

Eo 1 1

1

\

1

-

-

-

+

+

(na superfície do condutor) , (4.101) onde íi é um vetor unitário normal direcionado para fora da superficie condutora. Isso significa que as linhas de carnpo elétrico aponta,n na direção para fora da supe,fície condutora quando p, é positiva, e para dentro da supe,j'ície condutora quando é negativa.

+

...

1 1

·~

Eo

1 1

't

-

-

-

= 81E1 = íips

A Fig. 4-20 mostra uma barra condutora infinitan1ente longa colocada en1 un1 campo elétrico uniforme E0 . O meio acima e abaixo da barra te,n u1na permjssividade e 1• Como E0 aponta para fora

(veja ~ )

1

D1

-

1 1 1 1 1 1

+

+

+

...

1 1

1

Eo

: Ei 1

-t-

't

1 1

-

e,

-

,

1 1

1

: Ei

1 1

1

-t1

-

+ 1

't

-

-

Figura 4-20 Quando uma barra condutora é colocada sob um campo elétrico externo E0, as cargas que se acu,nulam na superfície do condutor induzen1 u,n campo elétrico interno E; = -E0• Conseqüentemente, o campo total dentro do condutor é zero.

108

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

da superfície superior, ele induz uma densidade de carga positiva Ps =e 1 IE01 na superfície superior da barra. Na superfície inferior, E0 aponta na direção da superfície e, portanto, a densidade ele carga induzida é -p•. A presença dessas cargas superficiais induz urn can1po elétrico E; no condutor, resultando en1 un1 campo total E= E0 + E;. Para satisfazer a condição em que E tem de ser zero em qualquer ponto cio condutor, E; tem ele ser igual a -E0. Se colocannos un1a esfera rnetálica ern u,n campo eletrostático, como mostra a Fig. 4-21, cargas negativas se acun1ularão no hen1isfério inferior. A presença da esfera faz con1 que as linhas de can1po se encurvem para satisfazer a condição dada pela Eq. (4.101); ou seja, E é se,npre normal à supe,fície nafront.eira do conduto,:

4-9.2

Fronteira entre Dois Condutores

Agora analisaremos o caso geral que trata da fronte ira entre dois meios que não são dielétricos perfeitos nem condutores perfeitos. Confonne ilustrado na Fig. 4-22, o 1neio l tem pernússividade s 1 e condutividade u " o rneio 2 tem permissividade e2 e condutividade c,2, e a .interface entre eles tern urna densidade superficial de cargas Ps· Para os ca1npos elétricos, as Eqs. (4.90) e (4.95) resu ltarn en1

Eo

tL;, v?J'

Meio I € 1, 0'1

Meio2 li2, 0'2

I\

n

t

l2n

Figura 4-22 Fronteira entre dois meios condutores.

Co1no estan1os lidando co1n n1eios condutores, os ca,npos elétricos originam densidades de corrente J I e J 2, sendo .J 1 proporcional a E 1 e J 2 proporcional a E2 . A partir de J =crE, temos -=As cornponentes tangenciais 1 1, e 12 , representam

as correntes que percorrem os dois n1eios em direções paralelas à fronteira e, portanto, nenhun1a transferência de carga é envolvida entre elas. Esse não é o caso para as componentes normais. Se J 1• :;: 12., então u1na quantidade diferente de carga chega à fronteira err1 relação à que sai dela. Portanto, p, não pode permanecer constante. Conseqüenternente, a co1npone11te 110,-,nal de J te,n que ser contínua através da fronteira entre os dois di.ferentes meios sob condições eletrostáticas. Fazendo J1" =12" na Eq. (4.1 03), lemos l1n

S1 S2) = p~ (eletrostática). ( -

ª' .

esfera rnetálica

J

l rn

-

-

(4.104)

0'2

.

QUESTOES PARA REVISAO Q4.23 Quais são as condições de conlorno para o

campo elétrico na fronteira entre condutor e dielétrico? Figura 4-21 Esfera rnetálica colocada e1n uni ca1.n.po elétrico externo E0.

Q4.24 Sob condições eletrostáticas, é necessário que l ,n =1 211 na fronteira entre dois condutores. Por quê?

CAPIT ULO 4

E LETROSTÁT ICA

4-1O Capacitância

Superfície S

+

Quando separados por uni meio isolante (dielétrico), dois corpos condutores quaisquer, independenten1ente do forniato e do tamanho que tenha,n, fonna1n um capacitor. Se u,na fonte ele tensão contínua for conectada aos condutores, co1no niostra a Fig. 4-23 para dois condutores quaisquer, cargas iguais e ele polaridades opostas são transferidas para as superfícies dos mes,nos. A superfície cio condutor conectado ao lado positivo da fonte acumula u1na carga +Q, sendo que uma carga -Q se acuo1ula na superfície cio outro condutor. A partir de nossa discussão na Seção 4-7, quando um. condutor re,n excesso de cargas, elas se distribue,n na supe,fície de fornza a manter urn ca,npo elétrico zero e,n qualquer ponto dentro do condutor. Isso assegura que um condutor seja u1n corpo

equipotencial, significando que o potencial elétrico é o 1J1esn10 para cada ponto dele. A capacitância ele un1 capacitor formado por dois condutores é definida co,no (C/V ou F),

n· E = -Ps (na superfície cio condutor) A

6

(4. 106)

onde Ps é a densidade superficial ele carga no ponto considerado, n é o vetor unitário normal para fora no mesmo ponto e e é a per,nissividacle do nieio dielétrico de separação dos condutores. A carga Q é igual à integral de p, ao longo da superfície S [Fig. 4-23]:

+

r----::::=(

+

Condutor l

+ +

+

Q

+

+

+ +

E

\I -=-

Unia fonte de tensão contínua d-c conectada a uni capacitor coniposto de dois corpos condutores. Figura 4-23

Q=

fsPsds = fs sn-Eds = Is sE-ds, (4.107)

onde fize1nos uso da Eq. (4.106). A tensão V é relacionada a E pela Eq. (4.39): P1

(4. )05)

onde V é a diferença de potencial (tensão) entre o condutor com carga +Q e o condutor com carga -Q. A capacitância é 1nedida eni farads (F), que equivalen1 a coulombs por volt (C/V). A presença ele cargas livres nas superfícies dos condutores origina-se cio ca,npo elétrico E, como 111ostra a Fig. 4-23; as linhas ele can1po se originam nas cargas positivas e tenninain nas cargas negativas, e co1no a cornponente tangencial de E é sempre igual a zero na superfície do condutor, E é senipre perpendicular às superfícies ele condução. A componente normal de E em qualquer ponto da superfície de qualquer condutor é dada por En =

109

V = V12 = -

1

E · dl,

(4.108)

P2

onde os pontos P, e P 2 são dois pontos quaisquer nos condutores I e 2, respectivaniente. Substituindo as Eqs. (4.107) e (4.108) na Eq. (4.105) temos

e-

Is sE · ds

--f

.;;_"'-s-,-_ _

(F),

(4.109)

E-dl

onde t é o percurso ele integração do condutor 2 para o condutor 1. Para evitar erros ele sinal ao aplicar a Eq. (4.109), é itnportante letnbrar que a superfície Sé a superfície +Q e P, está contido em S. Co1no E aparece tanto no nu1nerador quanto no denominador da Eq. (4.109), o valor de C obtido para qualquer configuraçc7o de capacitor é se,npre independente de E . De fato, C depende apenas ela geometria cio capacitor (cio tarnanho, ela forrna e da posição relativa dos dois condutores) e da permissividade do material isolante. Se o n1aterial entre os condutores não for uni dielétrico perfeito (ou seja, se apresenta unia pe-

110

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

quena condutividade u), então a corrente pode percorrer o 1naterial entre os condutores, sendo que o 111aterial exibirá u111a resistência R. A expressão geral em função de R para urn resistor de fonnato qualquer é dada pela Eq. (4.7 1):

-1

E·d l

A

R = - -'- -

1

(Q).

(4.110)

O'E·ds

Para um meio com u e s uniformes, o produto das Eqs. (4.109) e (4.110) resulta en1

s

RC = - . O'

Solução: Na Fig. 4-24, colocamos a placa inferior do capacitor no plano x- y e a placa superior no plano z =d.Devido à diferença de tensão aplicada V, a carga +Q se acumula uniformemente na placa superior e - Q se acun1.ula uniformen1ente na placa inferior. No meio dielétrico entre as placas, as cargas induze1n un1 can1po elétrico uniforrne na direção -z (da carga positiva para a negativa). Além disso, algumas linhas de callipo de bordas existirão próxirnas aos linlites das placas, porén1 seus efeitos poden1 ser ignorados se as dirnensões das placas foren1 ,n uito n1aiores que a separação d entre elas, porque nesse caso as linhas de campo que se sobressaem estão no meio entre as placas. A densidade de carga na placa superior é Ps = Q/A . Portanto,

(4.11 1)

Essa relação simples nos perrnite detenn inar R se C for conhecido, ou vice-versa.

Exemplo 4-11

Capacitância e Tensão de Ruptura de um Capacitor de Placas Paralelas

Obtenha unia expressão para detern1inar a capacitância C de um capacitor de placas paralelas composto de duas placas paralelas, sendo que cada u1na te1n u1na superfície de área A separadas por uma distância d . O capacitor é preenchjdo co,n u1n material dielétrico que tem pennissividade s . Além disso, determine a tensão de ruptura se d= l crn e o material do dielétrico for o quartzo.

E = - zE ,

e, a partir da Eg. (4.106), o módulo de E na fronteira entre condutor e dielétrico é E= Ps/ê = Q/s A. A partir da Eq. (4.108), a diferença de tensão é

{"

V =- )

{"

E·dl =- Jo (- zE)· zdz=Ed ,

0

(4. l 12) e a capacitãncia é C=

Q

Q

sA

V= Ed = d ,

(4.113)

onde fi ze1nos uso da relação E= Q / eA.

Placa condutora

z Área A

' , Linhas de \ ,' carnpo de _ , / bordas

+Q + V -=-

z = d l=:::::::==:t:::::::::::::::::;:==::t: + + ++++++++++ ds

z=O

- - - -

EEE

n

'E~ -

- - - - - " " Placa condutora

Figura 4-24 Unia fonte de tensão contínua conectada a urn capacitor de placas paralelas (Exernplo 4-11 ).

CAPIT ULO 4

A partir de V = Ed, confonne dado pela Eq. (4. 112), V= Vb, quando E= Eds' a rigidez dielétrica do ,naterial. De acordo con1 a Tabela 4-2, E ds = 30 (MV/m) para o quartzo. Portanto, a tensão de ruptura é Vbr

= Eusd = 30

x

106

x

10-2 = 3

x

105 V.

V = -

1 1>

ELETROSTATICA

1b (-r

E· dl = -

a

Q ) 2rr erl

111

· (r dr)

(b) ·

- Q ln - 2rrel a

(4. 1.15)

• A capacitâncía C é então dada por

Exemplo 4-12

Capacitância de uma Linha Coaxial

C

=

Q V

Obtenha uma expressão para a capacitância da linha coaxial ilustrada na Fig. 4.25.

Solução: Para uma detenninada tensão V nas placas do capacitor (Fig. 4-25), cargas +Q e -Q se acu1nula1n nas superfícies dos condutores externo e interno, respectivamente. Admiti1nos que essas cargas se distribuem uniformemente ao longo do comprimento dos condutores co1n uma densidade linear de carga p 1 = Q / l no condutor externo e - p1 no condutor interno. Ignorando os ca1npos nas bordas da linha coaxial, podemos construir u1na superfície gaussiana cilíndrica no dielétrico, em torno do condutor interno, com raio r tal que a< r < b. O condutor interno é uma linha de carga similar à apresentada no Exen1plo 4-6, exceto que a linha de carga no condutor interno é negativa. Co1n um sinal negativo acrescentado à expressão para E dado pela Eq. (4.33), temos E=

-r

PI = 2rr er

-r

2

rrel .

ln(b/a)

(4.116)

A capacitância por unidade de compri1nento da li-

nha coaxial é C'=~= 2rrs l in(b/a)

(F/Jn). • (4.117)

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q4.25 Co1no a capacitãncia de uma estrutura de dois condutores está relacionada con1 a resistência do 1naterial isolante entre os condutores? Q4.26 O que são ca1npos de bordas e quando eles pode1n ser ignorados?

4-11

Energia Potencial Eletrostática

Q

2rr erl

(4.114)

A diferença de potencial V enu·e os condutores interno e externo é

V

=

Quando un1a fonte é conectada a um capacitor, ela gasta energia no processo de carga do capacitor. Se as placas do capacitor foren1 de bons condutores

+ ~-1-~~~~~~~~~~~~-..--,.,

Condutor interno

1 : ~·,..... t

I

-t- -t- - f- -t- -t- -t- (" -..-- l'vlaterial dielétrico +f+++!+++! +~e Condutor externo

Figura 4-25 Capacit.or coaxial preenchido com mate1ial isolante de permissividade e (Exemplo 4- 12).

112

E LETROMAGNETISl\10 PARA ENGENHE IROS

Sensores Capacitivos Sentir é responder a um estímulo. (Veja Sensores Resistivos.) Um capacitor pode funcionar como um sensor se o estímulo alterar sua geometria - geralmente o espaçamento entre os elementos condutores - ou as propriedades do dielétrico do material situado entre os condutores. Sensores capacitivos são usados em várias aplicações. Veja alguns exemplos a seguir.

uma altura H1 e a altura do espaço vazio acima for (H - H1), então a capacitância total é equivalente a dois capacitores em paralelo, ou

C2 = C.r + Ca (wH1-) = SJ d

onde 1v é a largura da placa do eletrodo, d é o espaçamento entre os eletrodos e el e eª são as permissividades do fluido e do ar, respectivamente. Rearranjando a expressão como uma equação linear, temos

Medição de Fluido

C2 = kH1 + Co,

Os dois eletrodos de metal ilustrados em (A), geralmente na forma de hastes ou placas, formam um capacitor cuja capacitância é diretamente proporcional à permissividade do material entre eles. Se a seção do fluido estiver em

Para o circuito em ponte capacitivo

Ar

+

(H - H1) Sa d ,

onde a constante k = (e1 - e0 )w Ide C0 é a capacitância do tanque quando totalmente vazio. Usando a equação linear, a altura do fluido pode ser determinada pela medida de C2, que pode ser realizada usando um circuito em ponte (B). A tensão de saída V'"'M• é proporcional ao desvio entre e, e C2. Fazendo e, = C0 (um capacitor fixo) e conectando os eletrodos do tanque (que formam C2) a um circuito em ponte, Vsaída se torna proporcional à altura do fluido.

---

Fluido -

-;--

ly Tanque - -•

l A. Tanque de fluido

+ Vg

+ VSáída

B. Circuito eo1 ponte com uma fonte ca de 150 k.Hz

C APITULO 4

Substrato de silício

Eletrodos

Sensor de Pressão

C. Capacitor de eletrodos entrelaçados

Sensor de Umidade Eletrodos de metal de filme f ino disposto em um f o rmato entrelaçado (para aumentar a razão Alá) são fabricados em substrato de silício (C). O espaçamento entre os eletrodos é geralmente da ordem de 0,2 µm. A permissividade do material de separação deles varia com a umi-

Um diafragma metálico flexível separa uma câmara preenchida com óleo, com uma pressão de referência P0, de uma outra câmara exposta a um gás ou fluido cuja pressão P será medida pelo sensor (01). A membrana que está entre as duas superfícies condutoras em paralelo é eletricamente isolada, formando dois capacitores em série (02). Quando P > P0 , a membrana encurva na direção da placa inferior (D3) . Conseqüentemente, d 1 aumenta e d 2 diminui e, por sua vez, e, diminui e C2 aumenta. O inverso acontece quando P < P0 • Com o uso de um circuito em ponte capacitivo, tal como o que é most rado em (B), o sensor pode ser calibrado para medir a pressão P com uma boa precisão.

·p1aca

Fluido Placa condutora

p

d1

j_

e,

2 2I c 2 3 T 3 e, =Ci

d2

Placa 1

1 1

d,

Membrana

-r

P=Po D2.

e, 2

Óleo

C2

Placa 3

Placa condutora

1 1

Membrana '--

ip_., 2

d, ã2

Placa

P>Po 01. Sensor de pressão

113

dade relativa do ambiente em volta. Portanto, o capacitor se torna um sensor de umidade.

..... "' ...........-i.....-~

Membrana metálica flexível

ELETROSTÁTICA

D3.

j_

2IC1

3 3T C2 C1 < C2

114

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

com resistência etetivan1ente nula e o dielétrico de separação entre os dois condutores tiver uma condutividade desprezível, então nenhuma corrente pode se deslocar através do dielétrico, não existindo perdas ôhmicas no capacitor. Então, para onde vai a energia gasta no processo de carga? A energia é arn1azenada no meio dielétrico na fonna de energia potencial eletrostática. A quantidade de energia a.rn1azenada ~v. é relacionada a Q, C e V. Sob a influência do campo elétrico no 1neio dielétrico entre os dois condutores, uma carga q se acu,nula e,n um dos condutores e urna carga igual e de polaridade oposta se acun1ula no outro condutor. De fato, uma carga q foi transferida de um dos condutores para o outro. A tensão nos tennjnais do capacitor está relacionada a q por V=

q C.

(4.1 J8)

1 eA 2 1 2 1 2 \.Ye=:;-(Ed) =-1 eE (Ad)=-1 eE v,(4.122)

- d

onde v =Ad é o volu,ne do capacitor. A densidade de energia eletrostática We é definida como a energia potencial eletrostática W0 por unidade de volume: We

We = -

dWe = vdq = -dq .

e

(4.119)

Se começannos con1 um capacitor descarregado e o carregannos de zero até a carga Q final ser alcançada, então a quantidade total do trabalho realizado é

lo e

=

~Çj:_ 2

2

(Jhn 3).

( 4.123)

11

Wc = -

2

? eE-dv

(J). (4.124)

V

QUESTÃO PARA REVISÃO

q

[ Qi. dq

1

zEE

E,nbora essa expressão seja deduzida para u,n capacitor de placas paralelas, ela é igualmente válida para qualquer ,neio em um campo elétrico E. Alén1 disso, para qualquer volu1ne v contendo u1n dielétrico s , a energia potencial eletrostática total a,mazenada en1 v é

A partir da delinição básica de potencial elétrico V, a quantidade de trabalho d~V0 necessária para t1·ansferir u1na quantidade incremental de carga adicional dq é

Wc =

V

=

e

(J) . (4.J20)

Usando C =Q I V, onde V é a tensão fi nal, W0 tan1bém pode ser escrito como (J).

(4.12 1)

Para o capacitor de placas paralelas discutido no Exernplo 4-11, a capacitância dele é dada pela Eq. (4.113) como C = e A I d , onde A é a área da superfície de cada u1na das placas e d é a separação entre elas. Alén1 disso, a tensão V nos terminais do capacitor está relacionada ao módulo do can1po elétrico (E) no dielétrico por V= Ed. Usando essas duas expressões na Eq. (4.121 ), te1nos

Q4.27 Para trazer un1a cal'ga q do infinito até u,n determinado ponto do espaço, n,na certa quantidade de trabalho W é gasta. Para onde vai a energia correspondente a W'!

EXERCÍCIO 4.18 Os raios dos condutores interno e externo de u1n cabo coaxial são 2 crn e 5 c1n, respectivamente, e o material entre eles tem uma pennissividade relativa de 4. A densidade de carga no condutor externo é µ1 = 10-4 (C/Jn). Use a expressão para E deduzida no Exemplo 4-12 para calcular a energia total armazenada ern um cabo de 20 cm de comprimento. Resp. W0 = 4, l J (veja

4-12

)

Método das Imagens

Considere u1na carga pontual Q a u1na distância d sobre um plano perfeitamente condutor, confo,me mostra a seção do lado esquerdo na Fig. 4-26. Queremos determinar V, E e D para qualquer ponto do

CAPITULO 4

z

f-,..,~',',

-:-

115

L inhas de can1po Q .....- - - - - - elétrico - - - - - -

s V= ~º11•••'•111'111111

....1... 1

ELETROSTÁT ICA

•'•••Ili! O'=

• •

00

Q 1'i~ ' ,'\

8

, , -~ -~ , ,--.!'-/ ---- ~' ' ' '

\'d! '

V= O

s

-Q

Carga Q acin1a do plano aterrado

Configuração equivalente

Figura 4-26 Pela teo1ia das irnagens, u1na carga Q acima de uni plano condutor perfeitaniente aterrado é equivalente à carga Q e sua i1nagern -Q com o plano de terra re1novido.

espaço acin1a do condutor aterrado, assin1 como a distribuição de carga superficial na placa condutora. Três diferentes 1nétodos foram introduzidos neste capítulo para se determinar E. No prirneiro, baseado na lei de Coulomb, é necessário conhecer os módulos e a local ização de todas as cargas que contribuem para E e,n um determinado ponto cio espaço. No caso em questão, a carga Q induz u1na distribuição de carga desconhecida e não-urufon11e na superfície do condutor. Portanto, não pode1nos utilizar o método de Coulomb. O segundo 1nétodo é baseado na aplicação da lei de Gauss, sendo que o grau de dificuldade de aplicação é o 1nes1no porque não fica evidente con10 se deve construir a superfície gaussiana de forma que E seja totalmente tangencial ou totalmente normal em todos os pontos da super.ãcie. No terceiro método, o catnpo elétrico é determinado a partir de E = - v'Vapós resolver a equação de Laplace ou de Poisson para V, algo a ser avaliado nas condições de contorno; ou seja, V= Oe1n qualquer ponto da superfície condutora aterrada e no infinito. Ernbora tal abordagen1 seja possível en1 princípio, a solução n1atemática é um pouco complicada. Alternativamente, o problema e1n mãos pode ser resolvido corri grande facilidade usando a teoria das in1age11s, a qual diz que qualquer configuração de carga dada acin1a de uni JJlano condutor pe,feito e infinito é eletricarnente equivalente à co,nbinaçcio da configuração de carga corn sua irnagern, re,novendo o plano condutor. O equivalente, pelo rnétodo das imagens, de urna carga Q acirna de um plano condutor é n1ostrado no lado direito da Fig. 4.26. Essa ilustração consis-

te en1 un1a carga Q e uma imagem -Q a urna distância 2d de Q, não existindo n1ais nada entre elas. Agora o campo elétrico devido às duas cargas isoladas pode ser facilmente determinado e111 qualquer ponto (x, y, z) aplicando o método de Coulomb, conforme dernonstrado pelo Exernplo 4-13. A combinação das duas cargas sempre produzirá um potencial V= Oe,n todos os pontos da superfície condutora. Se as cargas estiveren1 na presença de mais de u1n plano aterrado, é necessário estabelecer imagens delas em relação a cada plano e, em seguida, estabelecer as imagens de cada u1na das irnagens, estabelecidas anteriormente, em relação aos planos restantes. Esse processo continua até que a condição V= O seja satisfeita para todos os pontos dos planos ate1Tados. O 1nétodo das i,nagens se aplica não apenas a cargas pontuais, n1as tarnbém a qualquer distribuição de cargas, tal como distribuições volu1nétricas e lineares confonue a ilustração na Fig. 4-27.

Exemplo 4-13

Método das Imagens para Cargas acima de um Plano Condutor

Use a teoria das in1agens para detern1inar V e E e1n un1 ponto qualquer P(x, y, z) na região z > O devido à carga Q situada no espaço livre a uma distância d aciJna de um plano condutor aterrado. Solução: Na Fig. 4-28, urna carga Q está em (O, O, e[) e sua irnagem -Q está e1n (O, O, -d) em coordenadas cartesianas.

116

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

V=O -.

a=

oo

Distribuições de cargas acin1a do plano de terra

Distribuições equivalentes

Figura 4-27 Distribuições de cargas acima de um plano condutor e as correspondentes equivalências pelo rnétodo das imagens.

z

..

P(x, y, z)

1

Q(O, O, d)

1

-

Q4.28 Qual é a premissa fundamental do 111étodo das in1agens?

1

- - - - - - - - Pla.no z = O

- - - - - - - - - -•- -Q(O, O, - d)

-

QUESTOES PARA REVISAO

I

-

Q4.29 Dada unia certa distribuição de cargas, quais são as diversas abordagens descritas neste capítulo para o cálculo do campo elétrico E en1 um determinado ponto no espaço?

Figura 4-28 Aplicação do n1étodo das imagens para detern1inar E no ponto P (Exemplo 4-13). ' ' TOPICOS IMPORTANTES DO CAPITULO

A partir da Eq. (4.19), o can1po elétrico no ponto P(x, y, z) devido a duas cargas é dado por

1 (QR, + -QR 2)

E-

- 4.ir t:o

Rf

R~

Q [ xx+yy+z(z - d) - 4.irt:o

[x2

+ y2 + (z _ d)2]3/2

xx + yy + i (z + d) J [x2

+ y2 + (z + d)2J3/2

para z > O. •

EXERCÍCIO 4.1 9 Use o resultado do Exernplo 413 para detenninar a densidade superficial de carga p, na superfície de um plano condutor.

Resp. Ps = -Qd/[2rr(x2 (veja ~ ) D4.l l-4.13

+ y 2 + d 2) 312].

• As equações de Maxwell são os princípios fundarnentais da teoria do eletromagnetisrno. • Sob condições estáticas, as equações de Maxwell podem ser separadas em dois pares desacoplados, sendo que urn dos pares pertence à eletrostática e o outro à magnetostática. • A lei de Coulomb é representada por uma expressão explícita para o ca1npo elétrico devido a uma distribuição de carga especificada. • A lei de Gauss diz que o campo elétrico resultante que atravessa uma superfície fechada é igual à carga líquida envolvida pela superfície. • O campo eletrostático E em um ponto está relacionado co1n o potencial elétrico V no ponto por E = - VV , sendo que Vé referenciado ao

potencial zero DO infinito. • Devido à maioria dos 1netais ter condutividades da ordem de 106 (Sim), na prática eles são tratados corno condutores perfeitos. Pelo rnesmo ra-

CAPITULO 4

ciocínio, os isolantes com condutividades ,nenores que 10- 10 (Shn) são tratados como dielétricos perfeitos. • As condições de contorno na interface entre dois materiais especifican1 as relações entre as co1nponentes normal e tangencial de D, E e J de un1 dos n1ateriais em correspondência às componentes do outro material. • A capacitância de dois corpos condutores e a resistência do meio entre eles podem ser calculadas conhecendo-se o ca,npo elétrico no meio. • A densidade de energia eletrostática annazenada e1n u1n 1neio dielétrico é we = E 2 (J/m3 ) .

117

~ (e) Ps = Psoe_,. (C/m2 )

(d) Ps = Psoe_,. sen2 efJ (C/m2 ) onde p,0 é un1a constante.

4.6 Se J = y2xz (Ahn2), determine a corrente 1 que percorre uni quadrado com vértices em (0, O, 0), (2, O, 0), (2, O, 2) e (O, O, 2). 4.7* Se J = R25/ R (Nm2 ) , detern1ine a corrente 1 através da superfície R 5 m.

=

4.8 Um feixe de elétrons na forma de un1 cilindro circular de raio 10 transporta un1a densidade de carga dada por

!e

• Quando existe uma configuração de carga acin1a de u1n plano condutor perfeito e infinito, o campo E induzido é o 1nesmo que o campo devido à configuração propriamente e à sua imagem com o plano condutor re,novido.

ELETROSTATICA

PI' = ( l -+Po,.2 )

(C/m3)

onde p 0 é u1na constante positiva e o eixo do feixe coincide con1 o eixo z. (a) Detennine a carga total contida e,n um comprimento L do feixe.

(b) Se os elét.rons se 1nove1n na direção positiva de z com u1na velocidade unifonne u, detennine o mó-

PROBLEMAS

dulo e a direção da corrente que atravessa o plano z.

Seção 4-2: Distribuições de Carga e Corrente 4.1 * Um cubo de 2 1n de aresta está posicionado no prin1eiro octante de u1n sisteina de coordenadas cartesianas, sendo que um de seus vértices está na origen1. Determine a carga total contida no cubo se a densidade de carga for dada por Pv = xy2 e- 2z (1nClm3). 4.2 Determine a carga total contida em um volume cilíndrico definido por r < 2 111 e O< z < 3 se Pv 3 = lOrz (mC/m ).

4.3* Detennine a carga total contida em um cone definido por R < 2 m e O < () < '1T / 4, dado que 1 2 3 p,. = 20R cos () (111Chn ).

4.4 Se a densidade linear de cargas é dada por p1 = 12)?(1nC/m), determine a carga total distribuída no eixo y de y = - 5 a y = 5. 4.5* Determine a carga total em u1n disco circular definido por r < a e z =Ose:

Seção 4-3: Lei de Coulomb 4.9* U1n quadrado de lado 2 m tem uma carga de 20 µ.C e1n cada um de seus quatro vértices. Detennine o can1po elétrico no ponto 5 m acin1a do centro do quadrado. ~

4.10 Três cargas pontuais, cada uma com q = 3 nC, são posicionadas nos vértices de u1n triângulo no plano x-y, sendo que o primeiro vértice está na orige1n, o segundo e1n (2 cm, O, O) e o terceiro em (O, 2 cm, O). Determine a força que atua na carga localizada na origen1.

4.11* U1na carga q 1 =4 µ.C está localizada e1n (1 cm, 1 cm, O), e uma carga q2 está localizada em (0, O, 4 cm). Qual deve ser a carga q2 de for1na que E em (O, 2 cm, O) não tenha componente em y? 4.12 Uma carga linear com densidade uniforme p1 4 (µ.C/Jn) está situada no ar ao longo do eixo zentre z = O e z = 5 cm. Determine E em (O, 1Ocm, O).

=

(a) Ps = Pso sen efJ (Clln2 ) 2

2

(b) Ps = Psosen efJ (C/m

)

'' Resposta(s) disponível(is) no Apêndice D. · Solução disponível no CD-ROtvl.

118

E LETROMAGNETISMO PA RA ENGENHEIROS

Sensores sem Contato Placas condutivas

A realização de posicionamentos com precisão é um aspecto crítico na fabricação de dispositivos semicondutores, assim como a operação e o controle de diversos sistemas mecânicos. Sensores capacitivos sem contato são usados na identificação da posição de wafers* de silício durante os processos de deposição, ataque químico e corte, sem entrar em contato direto com os wafers. Esses sensores também são usados para sensoriar e controlar braços de robôs em equipamentos de fabricação e também no posicionamento de acionadores de disco rígido, de cilindros de fotocop iadoras, de mecanismos de impressoras e de outros sistemas similares.

Linhas de ca,npo eléuico

•

e

Isolante

1

•

Al . Capacitor de placas concêntricas

Objeto externo

Princípio Básico

:~ O capacitor de placas concêntricas (A1) consiste em duas placas metálicas, situadas no mesmo plano, porém eletricamente isoladas uma da outra por um material isolante. Quando conectado a uma fonte de tensão, cargas de polaridades opostas aparecem nas duas placas resultando na criação de linhas de campo elétrico entre elas. O mesmo princípio se aplica ao capacitor de placas adjacentes em (A2). Nesses dois casos, a capacitância é determinada pelas formas e tamanhos dos elementos condutores e pela permissividade do meio d ielétrico que contém o campo elétrico entre elas. Freqüentemente, a superfície do capacitor é coberta com uma fina camada de material não-condutivo, com o propósito de manter as superfícies das placas limpas e livres de poeira. A introdução de um objeto externo na proximidade do capacitor (A3) perturbará as li-

*N. de T.: Nome dado a uma fina fatia de material semicondutor na forma de um disco na qual são construídos os circuitos por processos de difusão e disposição de diversos materiais.

•

e

1

1

•

A2. Capacitor de placas adjacentes

e•

•

A3. Campo con1

perturbação

nhas de campo elétrico, modificando a distribuição de cargas nas placas e o valor da capacitância medida por um capacímetro ou circuito em ponte. Portanto, esse capacitor passa a ser um sensor de proximidade, sendo que sua sensibilidade depende, em parte, da diferença de permissividade dos objetos em relação à permissividade do meio sem objetos próximos, e se o objeto é, ou não, feito de material condutivo.

C APÍT ULO 4

ELETROSTÁTICA

119

Bl. Arranjo de sc1L~ores capacitivos 2-D

B2. Representação de uma impressão digital

Geração de Imagens de Impressões Digitais* Uma extensão interessante dos sensores sem contato é o desenvolvimento de um gerador de imagens de impressões digit ais que consiste em dois arranjos bidimensionais de células sensoras capacitivas, construidas para gravar uma representação elétrica de uma impressão digital (B1 e B2). Cada célula sensora é composta de um capacitor de placas adjacentes conectadas a um circuito de medição de capacitância (B3) . Toda a superfície do gerador de imagens é coberta por uma fina camada de óxido não-condutivo. Quando o dedo é colocado na superfície do óxido, ele perturba as linhas de campo das células sensoras individuais em graus variados, dependendo da distância entre os altos e baixos no "relevo" da superfície do dedo e as células sen-

*Cortesia do Dr. M. Tartagni, da Universidade de Bologna, Itália.

Óxido de Sí

célula sensora 2 placas met~licas

B3. Célul as sensoras individuais

soras. Dado que as dimensões de um sensor individual são da ordem de 65 µm de lado, o aparelho de geração de imagens é capaz de gravar uma imagem de impressão digital em uma resolução correspondente a 400 pontos por polegada, ou até melhor.

120

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

4.13* U1na carga elétrica é distribuída ao longo de u,n arco situado no plano x- y e definida por r = 2 cm e O< e/>< 7T 14. Se p1 = 5 (µ,C/1J1), determine E em (O, O, z) e então o calcule para:

y

(a) a orige,n (b) (c)

z= 5 cm z= - 5 cn1

4.14 Uma carga linear com densidade uniforme está situada entre z - U2 e z U2 ao longo do eixo z. Use a lei de Coulotnb para obter u1na expressão p,u·a o ca,npo elétrico no ponto P(r, , O) no plano x-y. Mostre que sua resposta se reduz à expressão dada pela Eq. (4.33) confonne o comprimento L se estende até o infinito.

=

=

4.15* Repita o Exe1nplo 4-5 para u,n disco circular de carga com raio a, porém considere a densidade superficial de carga variando e,n relação ar como a seguir:

Ps = Psor

2

onde p,0 é tuna constante. 4.16 Diz-se que cargas múltiplas em posições diferentes estão en1 equilíbrio se a força que atua e,n qualquer u,na delas for idêntica em intensidade e direção à força que atua en1qualquer das outras. Suponha que te1nos duas cargas negativas, uma localizada na orige,n com um valor de - 9e, e a outra localizada no eixo x a uma distância d da primeira com u,n valor de - 36e. Determine a localização, a polaridade e o rnódulo de tuna terceira carga cuja posição colocaria todo o sistema em equilíbrio. "" 4.17* Três linbas infinitas de cargas, todas e1n paralelo ao eixo z, estão localizadas e1n três dos vértices de urna figura en1 forma de pipa (papagaio), conforme mostra a Fig. 4-29. Se os dois triângulos fore1n exatamente simétricos e os lados correspondentes iguais, 1nostre que o campo elétrico é zero na origem. 4.18 Três linhas infinitas de cargas, p11 = 5, p12 = -5 (nC/n1) e p13 = 5 (nC/111), estão posicionadas em paralelo ao eixo z. Se elas passarn respectivamente pelos pontos (O, -b), (O, O) e (O, b) no plano x- y, determine o ca1npo elétrico para (a, O, 0). Avalie seu resultado para a= 2 cm e b 1 cm.

=

---------'11'-------+- x

Figura 4-29 Arranjo em forma de pipa (papagaio) de uma linha de cargas para o Problema 4.17.

4.19 Uma tira horizontal no plano x-y te1n u1na largura d na direção y e é infinitamente longa na direção x. Considerando que essa tira esteja no ar e tenha uma distribuição de carga uniforme p,, use a lei de Coulo1nb para obter urna expressão explícita para o campo elétrico no ponto P localizado a uma distância h acima da linha central da tira. Estenda seu resultado para o caso especial ern que d seja infinito e cornpare-o com a Eq. (4.25).

Seção 4-4: Lei de Gauss 4.20

Dada a densidade de fl uxo elétrico a seguir

D = x2(x + y) + S,(3x - 2 y) determine (a) Pv aplicando a Eq. (4.26). (b) A carga Q total envolvida por un1 cubo de 2 111 de aresta, localizado no pritneiro octante co1n três de seus lados coincidindo corn os eixos x, y e z, estando u1n de seus vértices na origern. (e) A carga Q total no interior do cubo, obtida apticando-se a Eq. (4.29). 4.21* Repita o Proble1na 4.20 para D = xxy2 z3 (C/m2) . 4.22 A carga Q, é distribuída uniformemente ao longo de un1.a fina concha esférica de raio a, e a

CAPITULO 4

ELETROSTÁTICA

121

carga Q2 é distribuída uniformemente ao longo de u1na segunda concha esférica de raio b, sendo b > a. Aplique a lei de Gauss para determinar E nas regiões R < a, a< R < b e R > b.

Um anel circular de carga de raio a está situado no plano x- y con1 centro na orige1n. Considere tan1bém que o anel esteja no ar e tenha unia densidade de carga uniforme p1•

A densidade de fluxo elétrico dentro de uma esfera dielétrica de raio a con1 centro na origem é dada por

(a) Mostre que o potencial elétrico em (O, O, z) é dado por V = p1a/[2so(a2 + z2) 1121.

onde p0 é unia constante. Detennine a carga total dentro da esfera.

Mostre que a diferença de potencial elétrico V, 2 entre dois pontos no ar en1 distâncias radiais r 1 e r2 a partir de uma linha infinita de cargas com densidade p 1 ao longo do eixo z é V12 = (P1 /21r so) ln(r2/ r1 ).

4.23*

4.29*

(b) Determine o campo elétrico E co1Tespondente.

4.30

E1n uma determinada região do espaço, a densidade de carga é dada, en1 coordenadas cilíndricas, pela função a seguir: 4.24

Aplique a lei de Gauss para dete1111inar D. U1na concha cilíndrica infinitamente longa que se estende na região entre r = 1 me r = 3 m conté1n tuna densidade de carga p,0 . Aplique a lei de Gauss para detenninar D en1 todas as regiões. 4.25*

Se a densidade de carga aun1enta linearmente com a distância a partir da origen1, tal que 3 p, = O na orige1n e Pv = 10 C/m para R = 2 m, detennine a correspondente variação de D. 4.26

Seção 4-5: Potencial Elétrico Um quadrado no plano x-y no espaço livre tem uma carga pontual +Q no vértice (a/2,a/2), uma segunda carga igual no vértice (a/2, - a/2) e unia carga pontual -Q e1n cada un1 dos outros dois vértices.

Determ.ine o potencial elétrico V em um local a unia distância b da origen1 no plano x-y devido a unia linha de carga co,n densidade de carga p1 e co1nprimento l. A linha de carga coincide con1 o eixo z e se estende de z = - l/2 a z = l/2. ...- 4.31*

4.32 Para o dipolo elétrico 1nostrado na Fig. 413, d = 1 cn1e lEl = 2(mV/Jn)paraR= J n1eO = Oº. Detennine E para R = 2 1n e fJ = 90º.

Para cada uma das distribuições de potencial elétrico V mostradas na Fig. 4-30, esboce a distribuição de E correspondente (e1n todos os casos o eixo vertical. é dado en1 volts e o eixo horizontal, e1n n1ctros). 4.33

4.34

Dado o campo elétrico

4.27

(a) Detern1ine o potencial elétrico em qualquer

ponto P ao longo do eixo x. (b) Calcule V para x = a/2.

4.28 O disco circular de raio a n1ostrado na Fig. 4-7 ten1 uma densidade de carga uniforme. p~ ao longo de sua superfície. (a) Obtenha unia expressão para o potencial elétrico V no ponto P(O, O, z) no eixo z. (b) Use esse resultado para detenninar E e, então, calcular seu valor para z = h. Con1pare sua expres-

são final con1 a Eq. (4.24), a qual foi obtida com base na lei de Coulomb.

J2 E=RA

R2

(V/111)

determine o potencial elétrico no ponto A em relação ao ponto B, sendo que A está e1n +2 111 e B em -4 rn, an1bos no eixo z. Unia linha infinita de cargas com densidade uniforme p1 = 6 (nC/111) está situada no plano x- y paralelo ao eixo y e1n x = 2 m. Determine o potencial V,,u no ponto A(3 n1, O, 4 m) em coordenadas cartes.ianas e1u relação ao ponto B(O, O, 0) aplicando o resultado do Problema 4.30. 4.35*

O plano x-y conté1n uma folha de cargas distribuídas unifonncn1ente co,n p .1 = 0,2 (nC/ni2). Uma segunda folha, com Ps, = - 0,2 (nC/in2), ocupa o plano em z = 6 n1. Deterniine V,18 , V8ç e V,1ç para A(O, O, 6 m), B(O, O, O) e C(O, - 2 m, 2 m). 4.36

122

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

(a)

de 2 V entre suas extre1nidades. Se a densidade da corrente for 7 x L05 (A/m 2), identifique o material do condutor.

V

30

-30

V (b)

4 -

3

6

9

15

12

--+-+-+-t--+-,-,.-+-~r-+--+--f-i,-+--t-- -x

4.40 Um resistor coaxial de con1primento l consiste e1n dois cilindros concêntricos. O cilindro interno te1n un1 raio a e é fe.ito de um 1naterial com condutividade a 1, e o cilindro externo se estende entre r = a e r = b, e é feito de um ,naterial com condutividade u 2 • Se as duas extre1nidades do resistor são terminadas com placas condutoras, mostre que a resistência entre as duas exn·enúdades é

R = l/[7!'(<11C1 2 + <12(b 2 - a 2))].

4.41* Aplique o resultado do Problema 4.40 para detenninar a resistência de u1n cilindro oco de 10 cm de comprimento (Fig. 4-31) feito de carbo4 no corn
-4

V (e)

4.42 Uma folha quadrada de espessura 2 x 10· 3 1nm feita de alumínio tem faces de IOcm x l Oc1n. Detennine:

4

3

15

(a) A resistência entre as bordas opostas.

(b) A resistência entre as duas faces. (Veja o -4

Figura 4-30 Distribuições de potencial elétrico para o Problema 4.33.

Seção 4-7: Condutores 4.37* Uma barra cilíndrica de silício tem um raio de 2 1n1n e u,n co1npritnento de 5 cm. Se uma tensão de 5 V for aplicada entre as extremidades da 2 2 barra, sendo µ 0 =O, L3 (!n /V ·s), µh =0,05 (m /V ·S), 16 Nc = 1,5 x l 0 elétrons/m:; e Nh = Nc, determine:

Apêndice B para obter as constantes elétricas dos n1ateriais.)

Seção 4-9: Condições de Contorno 4.43* Com referência à Fig. 4- 19, deternúne E 1 se E2 = x3 - y2 + z4 (V/rn), e, = 2eo, e2 = 18eo, e a Ji·onteira te1n uma densidade superficial de carga Ps = 7,08 x 10- 11 (Clln2 ). Qual é o ângulo que E2 faz com o eixo z? 4.44 Um dielétrico cilíndrico infinita1nente longo com E 1r = 4 e descrito por r < 10 cm é envolto por u1n 1naterial com E2r = 8.. Se E 1 = rr 2 sen
(a) a condutividade do silício, (b) a corrente l na barra, (e) as velocidades de arrasto u 0 e u1,, (d) a resistência da barra, (e) a potência dissipada pela barra. 4.38 Repita o Problen1a 4.37 para uma barra de 2 2 gennânio co1n µ,, = 0,4 (m /V·s), /J,1, = 0,2 (1n /V·s) 19 e 1V0 =Nh =2,4 x 10 elétrons ou lacunas/n1:1. 4.39 Un1 condutor de comprin1ento 100 111 e seção transversal unifonne tem uma queda de tensão

Carbono

Figura 4-31 Seção reta do cilindro oco do Proble1na 4.41.

CAPITULO 4

líndrica, determine E 2 e D2 na região em volta. Considere que não existe carga livre ao longo da fronteira do cilindro. 4.45* Uma esfera dielétrica de 2 cm com s 1, = 3 está inserida en1 u1n n1eio co1n E2r = 9. Se E2 = R3 cos e-93 sen e (V/in) na região e,n volta, determine E 1 e D 1 na esfera. ' 4.46 Se E = R50 (V/in) na superfície de u,na esfera condutora de 5 cm co1n centro na orige,n, qual a carga Q total na superfície da esfera?

4.47* A Fig. 4-32 1nostra três barras dielétricas planares de igual espessura, porém com constantes dielétricas diferentes. Se E0 no ar faz u1n ângulo de 45º com o eixo z, deter1nine o ângulo de E para cada uma das outras ca,naclas.

123

adjacente a uma placa carregada negativamente na região entre as placas de u,n capacitor de placas paralelas, cujo dielétrico é o ar, con1 separação de 1 cm e placas retangulares de IOcm 2 de área (Fig. 4-33). Se a tensão no capacitor for de I OV, determine o seguinte: (a) A força que atua no elétron. (b) A aceleração do elétron.

(e) O t:empo que o elétron gasta para alcançar a

placa carregada positivamente, admitindo que ele parte do repouso. 4.51* E1n um meio dielétrico com e, = 4, o cainpo elétrico é dado por E = x(x 2 + 2z)

+ yx 2 -

z(y

+ z)

(V/m)

Calcule a energia eletrostática annazenada na região -1 111 < x < I 111, O< y < 2 me O< z < 3 111.

Seções 4-1 Oe 4-11: Capacitância e Energia Elétrica

4.48 Detenn_ine a força ele atração em u1n capacitor de placas paralelas com A = 1Ocm2, d= l cm e e, = 4 se a tensão no capacit.or for de 50 V. 4.49* A ruptura do dielétrico ocorre e1n um material sempre que o campo E exceder a rigidez dielétrica en1 qualquer ponto do 1naterial. Considerando o capacitor coaxial do Exe1nplo 4-12, (a) para qual valor de r lEI, é n1áxin10?

(b) qual a tensão de ruptura se a= 1 cm, b = 2 cm e o ,naterial dielétrico for a mica con1 e,= 6?

4.50 U,n elétron con, carga Qc =-1 ,6 X 10· C e 1nassa n ic = 9,1 x 10· 31 kg é injetado e1n um ponto 19

YEo

ELETROSTATICA

5

eo (air) e,= 3eo

4.52 A Fig. 4-34(a) ilustra u1n capaciror que consiste em duas placas condutoras paralelas separadas por uma distância d. O espaço entre as placas contém dois dielétricos adjacentes, un1 com pennissividade e 1 e área de superfície A 1, e o outro com e2 e A2• O objetivo deste problema é mostrar que a capacitância C da configuração n1ostrada na Fig. 4-34(a) é equivalente a duas capacitâncias em paralelo, conforme ilustra a Fig. 4-34(b), com (4.125) onde (4.126)

•---1c1n- - -•

-

- - --1 Qc

e2 = 5eo e3 = 1eo

L------~.1, ~+_______.

eo (air)

Vo= IOV

Figura 4-32 Barras dielétricas para o Problerna 4 .47.

Figura 4-33 Um elétron entre placas carregadas (Problen1a 4.50).

124

ELET ROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

à combinação em série elas capacitâncias elas can1adas individuais, C, e C2, isto é

+

-=- V

T d e, e2 1 t:::=====I=~....________,

(4.128) onde

(a)

(a) Digamos que V, e V1 sejan1 os potenciais elétri-

e2 --

cos nos dielétricos superior e inferior, respectivamente; quais são os ca,npos elétricos correspondentes E, e E2? Aplicando as condições de contorno apropriadas na interface entre os dois dielétricas, obtenha as

+

-- V

(b)

(a) Capacitor com seção dielétrica n1ista em paralelo e (b) circuito equivalente.

Figura 4-34

3 cn1 --1>o-1(

(a)

T l

2

(4. 127)

Clll

e,=4

Para isso, faça o seguinte: (a) Determine os cainpos elétricos E, e E2 nas

duas ca,nadas dielétricas. (b) Calcule a energia arn1azenada en1 cada seção e use o resultado para calcular C, e C2• (e) Use a energia total armazenada no capacitor para obter unia expressão para C. Mostre que a Eg. (4. 125) apresenta realtnente u,n resultado válido. Use o resultado do Problema 4.52 para detenninar a capacitância para cada unia das confi gurações a seguir:

r 1 = 2 111111

r2

(b)

= 4 111111 r 3 = 8 111111

4.53*

~

2 c,n

(a) As placas condutoras estão nas faces supe-

rior e inferior da estrutura retangular vista na .Fig. 4-35(a). (b) As placas condutoras estão nas faces anterior

e posterior ela estrutura vista na Fig. 4-35(a). (e) As placas condutoras estão nas faces superior e inferior ela estrutura cilíndrica vista na Fig. 4-35(b). O capacitor n1ostraclo na Fig. 4-36 consiste em duas camadas dielétricas e,n paralelo. Use considerações de energia para 1nostrar que a capacítância equivalente cio capacitor completo é igual

# -

,- -

..

.. .,J

... .... . . . .

) ) ""-- , .........

( !'

... ......... ... ... ____

4.54

Figura 4-35 Seções dielétricas para os Proble-

1nas 4.53 e 4.55.

CAPITULO 4

ELETROSTATICA

125

(a)

A

• P(O, y, z)

+

-=- V d

• - - - • Q(O. d, d)

'

_

'' . . ._ _........,..... y 1

d (b)

Figura 4-36 (a) Capacitar con1 ca111adas dielétricas e111 paralelo e (b) circuito equivalente (Problema 4.54).

expressões explícitas para E1 e E1 em tennos de E 1, E2, V e as dimensões indicadas do capacitor. (b) Calcule a energia armazenada em cada cama-

da dielétrica e use a soma para obter uma expressão para e.

-1

Figura 4-37 Carga Q próxima a dois semiplanos condutores aterrados e perpendiculares.

tidos mostrados na Fig. 4-38. Sabendo que o sentido de t1111a co,,-ente é definido en1 função do 111ovin1ento das cargas positivas, quais são os sentidos das correntes imagens correspondentes a 11 e /2 ? 4.58 Use o método das iinagens para determinar a capacitância por unidade de co1npri1nento de u1n condutor cilíndrico infinitamente longo de raio a situado a uma distância d de un1 plano condutor paralelo, co1no n1ostrado na Fig. 4-39. 4.59-4.64 Mais Problemas Resolvidos - soluções co111pletas no ~ -

(e) Mostre que C é dado pela Eq. (4.128). 4.55 Use as expressões dadas no Problema 4.54 para determinar a capacitância para as configurações dadas na Fig. 4-35(a) quando as placas condutoras são colocadas nas faces direita e esquerda da estrutura.

D

'·

Seção 4-12: Método das Imagens 4.56 Com referência à Fig. 4.37, a carga Q é colocada a uma distância d acima do se111iplano aterrado situado no plano x-y a un1a distância d do outro semiplano aterrado situado no plano x-z. Use o método das imagens para: (a) Estabelecer os 111ódulos, as polaridades e as posições das imagens da carga Q cm relação a cada un1 dos planos aterrados (con10 se cada un1 tosse infinito). (b) Detern1inar o potencial elétrico e o campo eléu·ico em um ponto arbitrário P(O, y, z). ~

4.57 Fios condutores aci111a de um plano condutor são percorridos por correntes / 1 e / 2 nos sen-

D

1

1

(a)

(b)

Figura 4-38 Co1Tentes acima de um plano condutor (Proble111a 4.57).

• -

1

\I =0

Figura 4-39 Cilindro condutor acilna de un1 plano condutor (Problema 4.58).

(

H

,

CAPl if ULO

Magnetostática

Considerações Gerais 5-1

Forças Magnéticas e Torques

5-2

Lei de Biot-Savart

5-3

Força Magnética entre Dois Condutores e1n Paralelo

5-4

Equações de Maxwell para a Magnetostática

5-5

Vetor Potencial Magnético

5-6

Propriedades Magnéticas dos Materiais

5-7

Condições de Contorno para Campos Magnéticos

5-8

Indutância

5-9

Energia Magnética

Considerações Gerais Este capítulo que trata da magnetostática se assernell1a ao capítulo anterior sobre eletrostática. Cargas estacionárias produzem campos elétricos estáticos, e con·entes contínuas (que não variam no te1npo) produzeni ca1npos niagnéticos. Para 8/ât = O, os catnpos rnagnéticos em um meio com perrneabilidade niagnética µ, são regidos pelo segundo par das equações de Maxwell, aquele dado pelas Eqs.

versos tipos de distribuições de correntes e ele meios, e ainda apresentar grandezas relacionadas, tais co,no o vetor potencial ,nagnético A, a densidade de energia magnética wm e a indutância de um condutor, L. O paralelismo entre essas grandezas ,nagnet.ostáticas e as equivalentes da eletrostática está apresentado na Tabela 5.1.

(4.3a e b):

5-1 V

V · B= O,

(5.la)

H = J,

(5.l b)

X

onde J é a densidade de corrente. A densidade de fl uxo magnético B e a intensidade de campo magnético H são relacionadas por B

= µ,H.

(5.2)

Quando anal.isamos os caD1pos elétricos e,n um meio dielétrico no Capítulo 4, notamos que a relação D = eE é válida apenas quando o meio é linear e isotrópico. Essas propriedades, que são válidas para a maioria dos materiais, nos permitem tratar a perniissividade e co,no urna grandeza escalar constante, independente do rnódulo e da direção de E. Uma declaração similar se aplica à relação dada pela Eq. (5.2). Com a exceção dos materiais ferroniagnéticos, para os quais a relação entre B e H não é linear, a maioria dos 1nateriais é caracterizada por permeabilidades 1nagnéticas constantes. Alé111 disso, µ, = µ,0 para a ,naioria dos dielétricos e rnetais (exceto os ,nateriais ferro,nagnéticos). Nosso objetivo neste capítulo é desenvolver Lnna co1npreensão das relações entre as co1Tentes constantes e os campos magnéticos B e H para os di-

Forças Magnéticas e Torques

O carnpo elétrico E ern urn ponto cio espaço foi definido co1no a força elétrica Fc por unidade de carga atuando em unia carga de prova quando colocada naquele ponto. Agora definimos a densidade de fluxo 11iagnético B nu1n ponto do espaço etn termos da f orça 1nag11ética F111 que seria exercida ern uma partícula que se inove corn u1na velocidade u ao passar pelo ponto considerado. Con1 base eni experi1nentos realizados coni o intuito de detern1inar o movimento de partículas carregadas que se 1nove1n e,n campos 1nagnéticos, foi estabelecido que a força magnética Fm que atua etn unia partícula de carga q pode ser expressa na forma Fm = q u

X

B

(N).

(5.3)

Conseqüente1nente, a intensidade de B é medida em newtons/(C·m/s), que ta111bé111 é chamado de tesla (T) no Siste1na Internacional (SI) de unidades. Para urna partícula carregada positivamente, a direção de F 01 é a direção do produto vetorial u X B, que é peq)endicular ao plano que conténi u e B, e é obtida pela regra da mão direita. Se q for negativa, a direção de F 01 é contrária, conforme ilustra a Fig. 5-1. O módulo de Fm é dado por

128

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Tabela 5-1 Atributos da eletrostática eda n1agnetostática Atributo Fontes

Cargas estacionárias

Can1pos

Ee D

Parâmetro(s) constitutivo(s)

e eC!

Equações regentes • Forma diferencial • Forma integral

Potencial Densidade de energia

H eB

'v· B= O

'í/ x E = O

'í/ xH=J

i

E · dl = 0

Escalar V, sendo E= -'vV We

1 E2 = 28

Fe =qE

Elemento(s) de circuito(s)

CeR

(5.4)

onde (:) é o ângulo entre u e B. Note que Fm é máximo quando u é perpendicular a B (8 =90°) e é zero quando u é paralelo a B ((:)=O ou 180°). Se urna panícula carregada estiver imersa tanto em um carnpo elétrico E quanto em urn campo magnético B, a força ektro111agnética total que atua nela é

3.

A força expressa pela Eq. (5.5) é conhecida co1no força de Lorentz. As forças elétrica e magnética apresentan1 diferenças i1nportantes: Ao passo que a força elétrica está sempre na direção cio ca,npo elétrico, a força 1nagnética é sempre perpendicular ao canipo ,nagnético. Ao passo que a força elétrica atua na partícula carregada estando ela em movin1ento ou não, a força 1nagnética atua na partícula apenas quando ela estiver e1n movimento.

B ·ds=O H · dl = l

Vetor A, sendo B ='v X A Wm

1 H2 = 7.J,I,

Fm = qu x B L

Ao passo que a força elétrica gasta energia no deslocamento de uma partícula carregada, a força magnética não realiza trabalho quando u1na partícula é deslocada.

Nossa última afinnação requer un1a explicação a mais. Devido à força 1nagnética F m ser sen1pre perpendicular a u, Fm• u = O. Po11anto, o trabalho realizado quando uma partícula é deslocada por uma distância diferencial dl =u dt é

F = Fe + F 111 = qE + q u x B = q(E + u x B). (5.5)

2.

i i

D· ds= Q

Força sobre uma carga q

Fm=quBsene,

Correntes contínuas

'v · D= Pv

i

1.

J\,lagnetost.ítica

Eletrosb'ítica

dW

= Fm · dl = (F

01 •

u) dt

= O.

(5.6)

Co1no nenhum trabalho foi reaJjzado, u1n campo n1agnético não pode alterar a energia cinética de uma partícula carregada; o ca,npo ,nagnético pode alterar a direção do rnovünento de unia partícula, poré,n não pode ,nudar a velocidade dela. ,

EXERCICIO 5.1 Um elétron que se movi1J1enta na direção positiva do eixo x que é perpendicular a um can1po magnético sofre u1na deflexão na direção negativa do eixo z.. Qual é a direção do campo magnético?

CAPITULO 5

5-1.1

Fm = quB sen (~

(a)

B

MAGNETOSTÁTICA

129

Força Magnética sobre um Condutor Percorrido por uma Corrente

Uma corrente que percorre um fio condutor consiste e1n pa11ículas carregadas que se ,novinientarn através do 111aterial do fio. Conseqüente111ente, quando um fio percorrido por uma corrente é colocado em uni campo magnético, ele sofre uma força igual à soma das forças n1agnéticas que atuam nas partículas ca1Tcgadas que se move111 no interior dele. Considere, por exe1nplo, o arranjo 1nostrado na Fig. 5-2, no qual um fio vertical orientado ao longo da direção z é colocado e1n u1n campo 111agnético B (produzido por um ímã) orientado ao longo da direção - x (para dentro ela página). Sern corrente percorrendo o fio, F111 = Oe o fio se mantén1 e111 sua orientação ve11ical , confonne 1nostra a Fig. 5-2(a), porém, quando se aplica uma corrente ao fio, ele deflete para a esquerda (na direção -y) se a direção da co1,-ente for para cima (na direção + z), e deflete para a direita (na direção +y) se a direção da corrente for para baixo (na direção -z). As direções dessas cleflexões estão de acordo co111 o produto vetorial dado pela Eq. (5.3). Para quantificar a relação entre F m e a corrente no fio /, considere111os um pequeno segmento do fio con1 área de seção transversal A e comprimento diferencial dl, sendo que a direção de dl indica a direção da corrente. Se1n perda de generalidade, considere que os portadores de corrente I que constin1em a corrente sejam exclusivamente elétrons, que é uma consideração válida para um bom condutor. Se o fio conté1n uma densidade de carga de elétrons livres P ve = -Nee, onde Nc é o número de elétrons em movimento por unidade de volu,ne, a quantidade total de cargas e,n n1ovimento contidas em um volume elementar do fio é A

(b)

Figura 5-1 A direção da força magnética exercida sobre uma partícula carregada em 111ovimento num campo rnagnético é (a) perpendicular tanto a B quanto a u e (b) depende da polaridade da carga (positiva ou negativa).

Resp.

Na direção positiva do eixo y. (veja ~ )

EXERCÍCIO 5.2 Um próton que se inove com uma velocidade de 2 x 106 m/s através de um campo magnético com uu1a densidade de fluxo de 2,5 T sofre uma força magnética de 1116dulo 4 x 10· 13 N. Qual o ângulo entre o campo 111agnético e avelocidade do próton?

Resp.

e= 30º ou L50º

(veja ,ir. )

EXERCÍCIO 5.3 Uma partícula ca1Tegada se move com velocidade u em un, rneio que contén, os campos unifonnes E = xE e B = yB. Qual deve ser a velocidade u de forma que a força resultante sobre a partícula seja nula?

Resp. u = zE / B [ u tambén, pode ter unia componente en1 y arbitrária (uy)]. (veja 1-:i )

dQ = PveA dl = - NeeA dl,

(5.7)

e a força magnética cotTespondente que atua em dQ na presença de uni can1po 1nagnético B é dFm

= dQ Ue X

B

= -NeeA dl Ue X

B, (5.8a)

onde u., é a velocidade de arrasto dos elétrons. Co1110 a direção de u1na corrente é definida pelo 1110vimento elas cargas positivas, a velocidade de ar-

130

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

F111 = I B © ©

© ©

© ©

© ©

© ©

© ©

© ©

© ©

B

©

© ©

© ©

© ©

® ©

© ©

• ©

© © I

Circuito Fechado e,n um Ca,npo B Unifor111e Considere uni fio que fonna u1n loop fechado percorrido por un1a corrente I e sendo col()cado em u1n campo n1agnético B externo uniforme, confonne mostra a Fig. 5-3(a). Como B é constante, ele pode sair da integral na Eq. (5.10), e nesse caso temos

z X --0 ,::......-y

(5.11)

I (e)

Figura 5-2 Quando um fio vertical ligeiramente flexível é colocado en1 un1 can1po 1nagnético direcionado para dentro da página (conforme indicado pelos pequenos ''x"), ele (a) não é defletido quando a corrente nele for nula, (b) é defletido para a esquerda quando a corrente I for para cima, e (c) é defletido para a direita quando a corrente I for para baixo.

rasto de elétrons u. é paralela a dl, poré1n ern direção oposta. Portanto, dl ue = -dl ue e a Eq. (5.8a) se torna dFm = NceAue dl

X

B.

(5.8b)

A partir das Eqs. (4.11 ) e (4.12), a corrente I que

atravessa u1na seção transversal de área A devido aos elétrons coin densidade p,~ =- N0 e, se n1ovendo com velocidade - uc, é I = p,"' = (- uJA = (-N0 e)(- u0 )A =N0 eAu0 • Portanto, a Eq. (5.8b) pode ser escrita na forma compacta a seguir: dF 111 = I dl x B

(5.1 O)

© ©

©

(b)

• ©

(N).

Agora exa1ninaremos a aplicação da Eq. (5. 10) em duas situações especiais.

© ©

(a)

B

dl x B

© ©

l=O

© ©

i

(N).

(5.9)

Para um circuito fechado de contorno C percorrido por urna corrente, a força 1nagnética total é

Esse resultado, que é un1a conseqüência do fato de que a so1na dos vetores de deslocamento dl ao longo de u1n percurso fechado é igual a zero, diz que a força ,nagnética total e,n qualquer loop fechado de corrente en'I, un1 can1po ,nagnético u11if orn1e é zero. Fio Não-Retilíneo ern um Ca,npo B Unifor,ne Se esta1nos .interessados na força 1nagnética exercida ern u1n seg1nento do fio, tal como o que é mostrado na Fig. 5-3(b), quando colocado e1n um ca1npo B unifonne, então a Eq. (5.'10) se torna F 111 =

I(1bdl) x B = ll x B,

(5.1 2)

onde e é o vetor direcionado de a para b, conforme 1nostra a Fig. 5-3(b). A integral de dl de a até b tem o mesmo valor independentemente do caminho to1nado entre a e b. Para uni loop fechado, os pontos a e b se torna1n o n1es1no ponto, em que e = Oe F"' = O.

Exemplo 5-1

Força sobre um Condutor Semicircular

O condutor semicircular 1nostrado na Fig. 5-4 está situado no plano x-y e é percorrido por un1a corrente/. O circuito fechado é colocado em um carnpo 1nagnético uniforme B = yB0 . Determine

CAPITULO 5

e

M.AGNETOSTÁTICA

131

y

B

i-- - --f--s

(a)

Figura S-4 Condutor semicircular em urn campo uni fonne (Exen1plo 5- 1).

(b) Vamos considerar um seg,nento de compri-

mento diferencial na parte curva do círculo. Adireção de dl é escolhida de forma a coincidir com a direção da corrente. Como dl e B estão no plano x- y, o produto vetorial dl X B deles aponta na diJeção negativa dez, e o ,nódulo de dl X B é proporcional ao sen , onde é o ângulo entre dl e B. Alé111 disso, o n16dulo de dl é d!= r d. Portanto,

I

F2 = l { rr dl x B

1~=0

(b)

Figura 5-3 Em um campo magnético uniforme, (a) a força resultante em um /oop de corrente fechado é zero porque a integral do vetor dl de deslocamento ao longo de um conto,110 fechado é zero e (b) a força en1 um segmento de linha é proporcional ao vetor entre o ponto extre,no (F.. = 1

= - zl

{lC r Bo sen d

1~=0

= -z2/rBo

(N).

Notamos que F2 = - FP e conseqüentemente a força resultante no loop fechado é zero. •

e XB).

(a) a força n1agnética F 1 em L1111a seção retilínea do fio e (b) a força F 2 em un1a seção curva. Solução: (a) A seção retilínea do circuito é de comprin1ento 2r e a corrente que passa através dela est{i ao longo da direção positiva de x. Aplicando a Eq. (5. 12) con1 e= x2,; obtemos F1 = x.(2/r) x yBo = z 21rBo

(N).

EXERCÍCIO 5.4 Um fio horizontal com uma massa por unidade de compri1nento de 0,2 kg/m é percorrido por urna corrente de 4 A na direção positiva de x. Se o fio for colocado em uma densidade de flux o 111agnético B unifo1111e, qual deve ser a direção e o módulo mínimo de B para que o fio seja n1agnetica111.ente elevado na vertical? (Dica: A aceleração devido à gravidade é g = -z9,8 m!sl. ) Resp.

B = y0,49 T.

(v~ja ~ )

132

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

-

-

QUESTOES PARA REVISAO QS.l Quais são as principais diferenças entre o comportan1ento da força elétrica Fc e o co1nportamento da força magnética F"'? QS.2 As extre1nidades de uni fi o de con1pri1nento I Oc1n percorrido por u1na corrente constante I estão posicionadas em dois pontos do eixo x, x = Oex= 6 c1n . Se o fio está no plano x-y e dentro de um campo Inagnético B = yBo, qual dos arran1· os a seouir produz uma ::>orande forç·a maonélio ca no fio: (a) fio em fonna de V co1n os vértices em (O, O), (3, 4) e (6, O), (b) fio que se assemelha a u1n retângulo aberto con1 vértices em (0, O), (0, 2), (6, 2) e (6, O). ..

5-1.2

/;>

Torque Magnético sobre um Loop Percorrido por uma Corrente

Quando uLna força é aplicada e1n u,n corpo rígido que tein um eixo de rotação fixo, o corpo reagirá rotacionando em torno desse eixo. A intensidade da reação depende do produto vetorial entre a força aplicada F e o vetor distância d, medido a partir de utn ponto do eixo de rotação (de forn1a que d seja perpendicular ao eixo) até o ponto de aplicação de F (Fig. 5-5). O con1pri1nento de d é denominado braço do mo,nento, e o produto vetorial é deno1ninado torque: T=dxF

(N-1n).

(5.13)

A unidade ele T é a mes1na que para trabalho e energia. A força F aplicada no disco mostrado na Fig. 5-5 está situada no plano x-y e faz u1n ângulo ecom d . Portanto, T=

zr F set1 8,

(5. 14)

onde ldl = r, o raio do disco, e F = IFI. A partir da Eq. (5.14), ve1nos que u1n torque ao longo da direção positiva de z corresponde a unia tendência para o cil indro girar no sentido anti-horário e, reciprocamente, um torque negativo corresponde a uma rotação no sentido horário. Esses sentidos são regidos pela seguinte regra da tnão direita: quando o polegar da n1ão direita estiver apontando ao longo da direção do torque, os quatro dedos indican1. a direção e,n que o Iorque está tentando girar o corpo. Agora considerare1nos o forque magnético exercido sobre um loop condutor sob a influência de forças 1nagnéticas. Co1neça1nos co1n o caso simples em que o campo magnético B está no plano do loop, e então estenden1os a análise para o caso mais geral e1n que B faz um ângulo Ocon1 a superfície normal ao loop. Campo Magnético no Plano do Loop

O loop condutor retangular mostrado na Fig. 56(a) é feito de fio rígido percorrido por u1na corrente /. O loop está situado no plano x-y e gira e1n torno do eixo mostrado. Sob a influência de um cainpo n1agnético unifonne gerado externamente B = x80 , os braços I e 3 do loop estão sujeitos às forças F 1 e F3, respectivan1ente, sendo F 1 = / (-yb) x (xBo) = zlbBo, (5.15a)

y À. 1 1

e F3 = l(yb) x (xBo) = - zlbBo. (5.1 5b)

F

Figura 5-5 A força F atuando em um disco circular que gira en1 torno do eixo z gerando uni torque T = d X F que làz co1n que o disco gire.

Esses resultados são baseados na aplicação da Eq. (5. 12). Nenhu1na força rnagnética é exercida nos braços 2 ou 4 porque B é paralelo à direção da corrente que percorre esses ra1nos. A última vista do loop, ilustrada na Fig. 5-6(b), n1ostra que as forças F I e F3 produzem u111 torque e1n torno da origein O, tàzendo com que o loop gire no sentido horário. O braço do momento é a/2 para as

CAPITULO

• ••

Q)

··-

1

•

•

º':" ----. G)

·b· - -

X

1 1

• 1

B

©

1 .....- - -a--...,•~I

. •'-

1

Eixo de rotação/• (a)

z z

l- at2--J V

X -

X

-z

Para a situação representada pela Fig. 5-7, onde B = 0 , o ca,npo ainda é perpendicular ao eixo de rotação do loop, porém sua direção pode ser para qualquer ângulo Oe1n relação à superfície normal do loop n; podemos, agora, ter força diferente de zero em todos os braços do loop retangular. Entretanto, as forças F2 e F4 são iguais e,n ,nódulo e opostas em direção e estão ao longo do eixo de rotação; portanto, o torque resultante de sua con1binação é zero. As direções das con·entes nos braços 1 e 3 são sempre perpendiculares a B, independentemente do módulo de O. Portanto, F, e F3 têm as mes1nas expressões dadas anteriormente pelas Eqs. (5.15a e b), e o braço do mornento delas é (a / 2) sen O, confonne ilustrado na Fig. 5-7(b). Conseqüentemente, o módulo do torque resultante exercido pelo ca1npo 111agnético e1n torno do eixo de rotação é o mesmo dado pela Eq. (5 .1 6), porém n1odificado pelo sen O:

T

(b)

Figura 5-6 Loop retangular que gira ern torno do eixo y: (a) vista frontal e (b) vista da parte inferior. A combinação das forças F, e F3 no loop gera urn torque que tende a girá-lo no sentido horário, como mostrado em (b).

=

l A Bo sen 8.

(5.17)

De acordo com a Eq. (5.17), o torque é 1n,1xin10 quando o carnpo rnagnético está ein paralelo con1 o plano do loop (O =90º) e é zero quando o campo é perpendicular ao plano do loop (0 = 0). Se o loop consiste em N espiras, cada u1na contribui para o Iorque dado pela Eq. (5. 17); assim, o Iorque total é

T = N IA Bosen (}. duas forças, poré1n d 1 e d 3 estão e1n sentidos opostos, resultando ern u1n torque rnagnético total de

T =d1 X F1 + d3 X F3 =

133

xB

B

1 1

ri)

MAGNETOSTATICA

Campo Magnético Perpendicular ao Eixo de u,n Loop Retangular

)'

I

5

(-x;) x (ilbBo) + (x;) x (- iibBo)

= ylabBo = yl ABo, (5.16)

onde A = ab é a área do loop. A regra da n1ão direita nos diz que o sentido de rotação é o horário. O resultado dado pela Eq. (5.16) é válido apenas quando o carnpo n1agnético B é paralelo ao plano do loop. Assim que o loop começa a girar, o torque T co1neça a diJ11inuir, e ao final de un1 quarto de urna rotação co1npleta, o torque se torna zero, conforrne discutido a seguir.

(5.18)

A grandeza N l A é denominada 1no111ento 111ag11ético ,n do loop, e ela pode ser considerada u,n vetor m corn direção 11 , onde 11 é a superfície normal ao loop e é regida pela seguinte regra da ,não direita: quando os quatro dedos da ,não direita avança,n na direção da corrente, a direção do polegar especifica a direção de íi. Ou seja,

1

m

6

11N l A

(A,n12 ) ,

(5.19)

e ern tennos de m, o vetor torque T pode ser escrito co1no

T = m xB

(N ·m).

(5.20)

134

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

QS.4 Se um dentre dois fios de mesmo comprin1ento é rnoldado na fonna de un1 loop quadrado fec hado e o outro fio é moldado na fonna de um loop circular fechado, e se an1bos são percorridos por correntes iguais, sendo os planos dos loops pa-

Eixo ele rotação y

ralelos a um carnpo magnético uniforme, qual dos dois loops sofrerá u1n torque ,naior? ,

EXERCICIO 5.5 Urna bobina quadrada de 100 esp.iras e cotn aresta de 0,5 rn está ein u,na região com uma densidade de fluxo rnagnético unifonne de 0,2 T. Se o torque ,nagnético n1áxi1no exercido na bobina for de 4 x 10· 2 (N·n1), qual o valor da corrente que percorre a bobina? X

Resp.

I

=8 1nA.

(veja Jill )

(a)

F,

A

/m

n

•

,e

'- -----°""~ --t~ B )(

(b)

Figura 5-7 Loop retangular e,n un1 campo n1agnético uniforme com densidade de fluxo B cuja

direção é perpendicular ao eixo de rotação do /oop, porén1 faz un1 ângulo O com a superfície normal do loop ô.

Ainda que a dedução que conduziu à Eq. (5.20) tenha sido obtida para B perpendicular ao eixo de rotação do Loop retangular, a expressão é vál ida para qualquer orientação de B e para un1 loop de qualquer formato.

QUESTOES PARA REVISAO QS.3 Qual é a direção do 1non1ento n1agnético de urn loop definido?

5-2

Lei de Biot-Savart

Na seção anterior, escolhen1os usar a densidade de Jluxo magnético B para indicar a presença de um campo magnético em uma deternünada região do espaço. Agora vamos trabalhar com a intensidade de campo magnético H. Fazetnos isso en1 parte para le1nbrar o leitor de que B e H apresentam urna relação linear para a maioria dos materiais ern que B = µ.H e, portanto, conhecendo-se un1, pode-se determinar o outro (desde queµ., s~ja conhecido). Hans Oersted, através de seus experimentos relativos à detlexão da agulha de uma bússola por um fio percorrido por un1a con·ente, estabeleceu que correntes induzem ca1npos ,nagnéticos que fonna,n loops fechados ern torno do fio [veja a Seção 1-3.3). Trabalhando com os resultados ele Oersted, Jean Biot e Felix Savart chegararn a urna expressão que relaciona o campo magnético H ern qualquer ponto cio espaço à corrente 1 que gera H. A lei de Biot-Savart diz que o campo magnético diferencial dH gerado por uma corrente 1 contínua que percorre utn comprimenr.o diferencial dl é dado por ' dl X R dH = - - ~ 41r R2

l

(A/m),

(5.21)

' onde R = RR é o vetor distância entre dl e o ponto de observação P mostrado na Fig. 5-8. No sis-

CAPITULO

(dH saindo da página) p ,0 dH

,

5-2.1

5

MAGNETOSTAT ICA

135

Campo Magnético Devido a Distribu ições de Corrente Superficial e Volumétrica

,,'R

d) p®
(dH entrando da página) Figura 5-8 Campo magnético dH gerado por um elemento de con·ente I cn. A direção do campo induzido no ponto P é contrária à induzida no ponto P'.

A lei de Biot-Savart ta1nbé1n pode ser expressa e1n termos de fontes de correntes distribuídas (Fig. 59), assin1 como a densidade volu111étrica de corrente J, medida em (Afrn2), ou a densidade superficial de corrente Js, n1edida em (A/m). A densidade superficial de corrente J .s se aplica a correntes que percorrem a superfície do condutor na forma de folhas cotn espessuras efetiva1nente nulas. Quando as fontes de co1Tente são especificadas em tennos de J5 ao longo da superfície S ou e1n termos de J ao longo do volun1e v, pode1nos usar a equivalência dada por I dl =

2 te1na SI, a unidade de H é ampere·m/m = (A/Jn). , E importante le,nbrar que a direção do ca,npo magnético dl é definida de forma que esteja ao longo da direção da corrente I e o vetor unitário R aponta do elemento de corrente para o ponto de observação. De acordo co1n a Eq . (5.21 ), dH varia com R-2 , que é sin1ilar à dependência da distância do campo elétrico induzido por un,a carga elétrica. Entretanto, diferentemente do vetor campo elétrico E, cuja direção está ao longo do vetor distância R, unindo a carga ao ponto de observação, o campo magnético H é ortogonal ao plano que conté1n a direção do elemento de corrente dl e o vetor distância R. No ponto P na Fig. 5-8, a direção de dH é sai ndo da página, ao passo que no ponto P' a direção de dH é entrando na página. Para detenninar o ca1npo 1nagnético total H devido a t11n condutor de compri1nento finito, precisa1nos son1ar as contribuições de todos os elementos de corrente do condutor. Portanto, a lei de Biot-Savart se torna

Js ds = J dv

(5.23)

A

H=

.!...fd' R 4JT R2 X

I

(Af1n),

(5.22)

onde l é a linha ao longo da qual I existe.

(a) Densidade volu1nétrica de corrente J e,n (Nm2)

(b) Densidade superficial de corrente J5 e,n (A/Jn)

Figura 5-9 (a) A corrente total que atravessa a seção reta S do cilindro é I = fsJ · ds. (b) A corrente total que passa através da superffcie do condutor é I = f,1, dl.

136

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

para expressar a lei de Biot-Savart como a seguir: H = -l

1

z

A

Js X R GS i

1

4rr s R 2 (para uma corrente superficial), (5.24a)

I

r

H= ~ f Jx2R dv

R

4rr v R (para uma corrente volu1nétrica) .(5.24b)

Exemplo 5-2

dlt

A

dH entrando

na página

z

Um condutor linear de con1primento l percorrido por uma corrente I é colocado ao longo doeixo z, como mostra a Fig. 5-1 O. Determine a densidade de fluxo rnagnético B no ponto P situado a uma distância r no plano x-y no espaço livre. A

R

(a)

Campo Magnético sobre um Condutor Linear

Solução: A partir da Fig. 5-1 O, o elen1ento de corrente dl = z dz, e dl x R = dz (z x R) =
A

dl

1 l

r

p

A

A

[ z=l/2dl X R

I

H- - 4rr z=- 1/2 =

1'1 2

I

A

R2

senB ?

4rr _112 R-

dz.

(5.26a) (5 .26b)

I H=t/>-

1

4rr

=4> A

= tf>

112

111

M5.3- M5.4

onde 8 1 e 02 são os ângulos-lin1ite para z = -l / 2 e z = l / 2, respectiva1nente. A partir do triângulo retângulo na Fig. 5-1O(b),

(5.26c)

Substituindo as Eqs. (5.26a) e (5.26c) na Eq. (5.25), temos A

Figura 5-10 Condutor linear de comprimento l percorrido por uma corrente /. (a) O campo dH no ponto P devido a um elemento de corrente incre, mental dl. (b) Aogulos-limite 01 e 02, sendo cada un1 rnediclo entre o vetor 1 dl e o vetor que conecta a extren1iclade cio condutor ao ponto P (Exemplo 5-2).

(5.25)

Por conveniência, convertere1nos a variável de integração dez a O usando as transforn1ações R = r cossec e, z = - rcotgB, dz = r cossec 28 de.

(b)

sen e r cossec 2 e de r 2 cossec 2 e

cose,=

l/2 , 2 + (l/2) 2

(5.28a)

-1/2 J,-2 + (l/2)2

(5.28b)

Jr

cosB2 = - cose,= Portanto,

2

I

fº sene de

B = µ 0H

4rrr ] 01

I 4rrr

(cos 81 - cos 82),

<5·27)

= 4>

J.lol l 2Trr.J4r 2

+/

(T).

(5.29)

2

Para u1n fio de comprin1ento infinito, tal que L>> r, a Eq. (5.29) se reduz a

CAPÍTULO 5

(fio de compri,nento infinito) •

Exemplo 5-3

(5.30)

Campo Magnético de um loop em Forma de Torta

Detern1ine o ca1npo 111agnético no ponto O do loop e1n fonna de torta 1nostrado na Fig. 5-1 J. Ignore as contribuições dos campos devido à corrente nos pequenos arcos próxi111os de O. Solução: Para os seg1nentos retilíneos OA e OC, o campo magnético em O é identicamente zero. lsso acontece porque, para todos os pontos ao longo desses segmentos, dl está em paralelo, ou eni antiparalelo, com R e, portanto, dl x R = O. Para o segmento AC, dl é perpendicular a R e dl x R = i dl = ia d. Conseqüentemente, a Eq. (5.22) resulta em A

A

A

fia d = z,

I H= 4:ir

a2

onde
Exemplo 5-4

l , 4:ir a

•

MAGNETOSTÁTICA

137

Solução: Va1nos colocar o loop no plano x-y, conforme niostrado na Fig. 5- 12. Nossa tarefa é obter unia expressão para H no ponto P(O, O, z). Co1neçamos observando que qualquer ele1nento dl no loop circular é perpendicular ao vetor distância R, e que todos os elementos em torno do loop estão a unHt niesnia distância R de P, sendo R = Ja 2 + z2 . A partir da Eq. (5.21), o módulo de dH devido ao elemento dl é dado por I

,

d/-[ = 4:ir R 2 ldl X RI

l d[ - 47í(a2 + z2) ,

(5.31)

e a direção de dR é perpendicular ao plano que contém R e c/1. Confoniie mostrado na Fig. 5- 12, dH está no plano r-z e, portanto, te1n co1no con1ponentes dH,. e dH,. Se considerannos o elemento dl ', situado e1n posição dia1netralmente oposta a dl, observamos que as componentes em z dos campos 1nagnéticos devidos a dl e dl' se so1ua1n porque estão na mesma direção, porém as componentes e1n r se cancela111, pois estão e111 direções opostas. Portanto, o ca1npo 1nagnético resultante existe apenas ao longo dez. Ou seja,

Campo Magnético de um loop Circular

Uni loop circular de raio a é percorrido por uma corrente contínua I. Determine o canipo magnético H eni un1 ponto sobre o eixo do loop.

z dH '

;'i,- _q\J I-~:-1

'

1 1

d /-f

.

'

'

-... _

:}

''

-

11

.. ...

'1

- -' P(O, O, z),~'....... ,.._ I

dl

e

I

A

dl'

~

.___ _ _ ______ X

o Figura 5-11 Loop eni fonna de torta de raio a percorrido por uma corrente l (Exemplo 5-3).

I

''

'

-

-

.....

''

y

l

dH.

'' '

--

d}l

d/1,.

'' '

-----

I

X

Figura 5-12 Loop circular perco1Tido por uma con·ente l (Exe1nplo 5-4).

138

ELETROMAGN ETISMO PARA ENG ENHEIROS

dH = zdHz = zdH cose I cose

A

= z

( '> 2) dl. (5.32) 4rr a-+ z

Para un1 ponto fixo P(O, O, z) no eixo do loop, todas as grandezas na Eq. (5.32) são constantes, exceto para dl. Portanto, integrando a Eq. (5.32) ao longo de u1n círculo de raio a, temos H= z

I cose

A

4rr(a 2 + z2 ) I

A

= z

cose

4rr(a 2 + z2)

f

e,li

( 2 na

)

.

(5.33)

Usando a relação cose= a/(a 2 +z2 ) 112 , obte1nos a expressão fi nal:

das esféricas P' (R', 8', '), onde R' é a distância entre o centro do loop e o ponto P', obteríamos a expressão

nz H= (R2cos8' + 8 sen8') 1 4rr R'· A

A

(5.38)

para R' >> a. Um loop de corrente com dimensões n1uito n1enores que a distância entre o loop e o ponto de observação é denominado dipolo n1ag11ético. Isso porque seu diah1fa1na do can1po magnético é similar ao de urn ín1ã pe1manente, como també1n é sin1ilar ao diagra1na de ca1npo elétrico de um dipolo elétrico [ veja Exe1nplo 4-7). A semelhança é evidente a partir do diagraina n1ostrado na Fig. 5-13.

')

H=

Ja-

z2(a-') + z-)· ') 31')-

(Afrn).

(5.34)

No centro do loop (z = 0), a Eq. (5.34) se reduz a A

l 2a

H = z-

(para z = 0),

(5.35)

e nos pontos muito distantes do loop, corno a.2, a Eq. (5.34) pode ser aproximada para

H=z

5-2.2

I 2

a

21zl 3

(para lzl >> a). •

z2 >>

(5.36)

En1 função da definição dada pela Eq. (5.19) para o rne,nento 1nagnético m de urn loop de corrente, un1 loop co1n unia única espira situado no plano x- y, tal como o que é mostrado na Fig. 5-12, tem um n101nento magnético m = con1 ,n = I rra 2. Conseqüentemente, a Eq. (5.36) pode ser expressa na forrna

z,n

ni

H = z- 2rr lzl 3

QS.5 Dois fios paralelos infinitamente longos são percorridos por correntes de n1es1no u1ódulo. Qual é o campo magnético resultante devido aos dois fios nu1n ponto central entre eles, em con1paração ao can1po 1nagnét.ico devido apenas a un1 dos fi os nos casos de as correntes serem (a) na mesma direção e (b) en1 direções opostas? QS.6 Invente uma regra co1n a 1não direita para detenninar a direção do campo 1nagnético devido a un1 condutor linear percon·ido por uma corrente.

' EXERCICIO 5.6 U1n condutor linear semi-infinito t:e1n un1a extensão desde z = Oaté z = oo ao longo do eixo z. Se a corrente 1 percorre o condutor na direção positiva de z, detern1ine H en1 u1n ponto no plano x-y a uma distância radial r a partir do condutor.

Resp. (para lzl

>> a).

-

QS.7 O que é um dipolo 1nagnético? Descreva a distribuição do campo 1nagnético dele.

Campo Magnético de um Dipolo Magnético

A

-

QUESTOES PARA REVISAO

(5.37)

Essa expressão se aplica a un1 ponto P 1nuito distante do loop, poré1n no eixo dele. Tendo sido resolvido o problema para determinar H para qualquer ponto distante e1n u1n sisterna de coordena-

~

H = 4>

I

4rrr

(Nm).

(veja ,.. )

EXERCÍCIO 5.7 Um fio percorrido por u1na corrente de 4 A te1n a forn1a de um loop circular. Se o ca1npo magnético no centro do loop for de 20 Nm, qual o raio do /oop se este tiver (a) apenas urna espira e (b) 10 espiras?

CAPÍTULO 5

MAGNETOSTÁTICA

139

H

(a) Dipolo elétrico

(b) Dipolo magnético

(c) Imã na forma de barra

Diagramas de (a) campo elétrico de um dipolo elétrico, (b) campo 1nagnético de u1n dipolo magnético e (e) can1po magnético de un1 ín1ã en1barra. Para pontos distantes das fontes, os diagramas de ca1npo são sem.elhantes nos três casos.

Figura 5-13

Resp.

(a) a= 10 cm, (b) a= l m.

(veja ~ )

EXERCÍCIO 5.8 Um fio na forma de um loop quadrado é colocado no plano x- y com seu centro na origem e cada u1n dos lados e1n paralelo aos eixos x ou y. Cada lado tem 40 cm de comprin1ento e o fio é percorrido por uma corrente de 5 A, cujo sentido é o horário quando o l oop é visto de cin1a. Calcule o ca1npo 1nagnético no centro do loop . Resp.

4/ H = -z' .J2

21'll

(veja

5-3

~

11 e 12 no mesmo sentido, conforme mostra a Fig.

5-14. A corrente / 1 está localizada ern y =-d/2 e /2, em y = d/2, ambas apontando na direção z. Identificamos como B, o campo rnaguético devido à corrente l i, definido na posição do fio percorrido pela corrente /2, e, reciprocamente, identifica1nos por B2 o can1po devido a /2 na localização do fio perco1Tido por 11• A partir da Eq. (5.30), co,n 1 = I ., r = de ' =-x na localização de /2, o campo B 1 é

' 1,25 A/ m = -zl

)

z

Força Magnética entre Dois Condutores em Paralelo

Na Seção 5- l. l analisamos a força 111agnética F"' que atua em u1n condutor percorrido por u1na corrente quando colocado e,n um campo n1agnético externo. Entretanto, a corrente no condutor também gera seu próprio campo ,nagnético. Portanto, se dois condutores percorridos por correntes forem colocados na vizinhança um do outro, cada um exerce un1a força n1agnética no outro. Va1nos considerar dois fios retilíneos e bastante longos (digamos inlinitamente longos) no espaço livre separados por uma distância d e sendo perco1Tidos pelas co1Tentes

l

,, , ,

.. ....

---- --y

X

Forças magnéticas sobre condutores em paralelo percorridos por correntes.

Figura 5-14

140

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

(5.39)

A força F 2 exercida sobre un1 comprin1ento l do fio / 2 devido à presença do campo BI pode ser obtida aplicando a Eq. (5.12): A A ( A)µo / 1 F2 = J2lz x 8 1 = I2lz x - x rrd 2 A

µol1 l2l

= - y 2nd

'

(5.40)

e a força correspondente por unidade de con1primento é (5.4 l)

Uma análise similar realizada para a força por unidade de co,nprilnento exercida sobre u1n fio percorrido por uma corrente / 1 resulta e,n f

F,

A

=y

µol1l 2 2nd

(5.42)

Assi111, F' 1 = - F '2, significando que dois fios se atraem com forças iguais. Se as correntes estiveren1 em sentidos opostos, os fios se repelen1 com forças iguais.

~ MS.1-5.2

5-4 Equações de Maxwell para a Magnetostática

5-4.1

Lei de Gauss para o Magnetismo

No Capítulo 4 aprendemos que o fluxo líquido de saída da densidade de tluxo D através de un1a superfície fechada que envolve uma carga Q é igual a Q. Referin10-nos a essa propriedade co1no lei de Gauss (para eletricidade) e expressamos essa lei n1aten1atican1ente nas foi:n1as diferencial e integra] como a seguir: 'v1-D=Pv-<

>

,.[D·ds=Q. (5.43) fs

A conversão da forma diferenc ial para a integral

foi realizada aplicando o teore1na da divergência para um volume v envolvido por uma superfíc ie S e contendo uma carga Q = fv Pv dv [Seção 4-4). O análogo n1agnético de u1na carga pontual é un1 pólo ,nagnético, poré,n, ao passo que as cargas elétricas poden1 ex.istir isoladan1ente, o n1esn10 não acontece co1n os pólos 1nagnéticos. Os pólos magnéticos sempre ocorrem aos pares; não importando e1n quantas partes u1n Ílnã per1nanente é dividido, cada nova parte sempre terá um pólo norte e u1n pólo sul, rnesmo se esse processo de divisão continuar até o nível atôrnico. Portanto, não existe equivalência magnética com uma carga Q ou u1na densidade de carga p,., não sendo portanto u1na surpresa que a lei de Gauss para o magnetisnzo seja dada por 'v1 . B = O

<

:>

t

B · ds = O. (5.44)

Até aqui , definin1os o que queren1os dizer co,n densidade de tluxo rnagnético B e o campo magnético H associado, introduzimos a form ulação da lei de Biot-Savart para deter1ninar os carnpos B e H devido a qualquer distribuição especificada de correntes elétricas e analisamos co1no os ca,npos magnéticos pode1n exercer forças magnéticas em partículas carregadas e em condutores percorridos por correntes. Agora exanünare1nos duas propriedades adicionais importantes dos campos magnetostáticos, descritos n1ate1natica1nente pelas Eqs. (5 .laeb).

A forrna diferencial é uma elas quatro equações de Maxwell, e a forma integral é obtida con1 o auxílio do teore1na da divergência. Fonnahnente, o no1ne "lei de Gauss" se refere ao caso elétrico, n1esmo quando nenhu1na referência específica à eletricidade é feira. A propriedade descrita pela Eq. (5.44) é denorninada "lei da não-existência de pólos isolados", "lei da conservação do fluxo rnagnético " e "lei de Gauss para o magnetis,no", dentre outras. Preferin1os a últin1a das três denominações porque nos lembra do paralelis1no, co,no també111 das diferenças, entre as propriedades elétricas e magnéticas da natureza.

A diferença entre a lei de Gauss para a eletricidade e a equivalente para o magnetisn10 pode ser vista en1 termos de linhas de can1po. As linhas de campo elétrico se origina,n na carga elétrica positiva e tern1ina1n na carga elétrica negativa. Portanto, para as linhas de campo elétrico do dipolo mostrado na Fig. 5- L5(a), o fluxo elétrico através de u1na supert'ície fechada que envolve u1na das cargas não é zero. Em contrapartida, as linhas de ca,npo ,nagnético se,npre fonna,n loops fechados contínuos. Confonne vimos na Seção 5-2, as linhas de campo magnético devido a correntes não inician1 nen1 tenninan1 e,n qualquer ponto; isso é verdade para o condutor linear visto na Fig. 5- 1Oe para o loop circular visto na Fig. 5-12, como ta1nbém para quaisquer distribuições de correntes. Isso também é verdade para um ímã, conforme ilustrado na Fig. 5- l 5(b) para un1 ímã na forma de barra. Devido às linhas de ca,npo ,nagnético for1nare1n loops fechados, o fluxo rnagnético líquido através de uma superfície fechada en1 torno do pólo sul do ímã (ou através de qualquer outra supert'ície fechada) é sernpre zero, independentemente da forma da superfície.

5-4.2

Lei de Ampere

Exa1ninare1nos agora a propriedade representada pela Eq. (5. lb):

E

(a) Dipolo elétrico

(b) Ín1ã na fonna de barra

Figura 5-15 (a) O fluxo elétrico resultante através de urna superfície fechada ern ton10 de uma carga não é zero, ao passo que (b) o fluxo rnagnético líquido através de uma superfície fechada en1 torno de un1 dos pólos de urn Ílnã é zero.

CAPÍTULO

5

'í1

X

141

MAGNETOSTÁT ICA

H

= J,

(5.45)

que é o segundo par de equações de Maxwell que caracterizam os ca,npos 1nagnéticos B e H. A for1na integral da Eq. (5 .45) é denominada lei circuitai de A1npere (ou sin1plesn1ente lei de A1npere) sob condições magnetosráticas (correntes contínuas). Ela é obtida integrando os dois lados da Eq. (5.45) ao longo de urna superfície aberra S,

is

(V X H ) . ds =

is

J . ds,

(5.46)

e então aplicando o teoren1a de Stokes dado pela Eq. (3.39) para obter o resultado

i

H · dl = I

(lei de A1npere),

(5.47)

onde C é o percurso fechado que lirnita a superfície Se / = J J · ds é a co1Tente total que atravessa a superfície S. A convenção de sinal para adireção de C é.feita de forma que/ e H satisfaça,n a regra da 111.ão direita definida anterionnente en1 conexão com a lei de Biot-Savart. Ou seja, se adireção de l estiver alinhada con1 a direção do polegar da mão direita, então a dü·eção do contorno C deve ser escolhida para que est~ja ao longo da direção dos outros quatro dedos. Ern outras palavras, a lei circuitai de A,npere diz que a integral de linha de H e,n torno de u,n percurso fechado é igual à corrente transversal à supe,fície lünitada pelo percurso. Confonne a ilustração, para ambas as configurações 1nostradas nas Figs. 5-16(a) e (b ), a integral de linha de H é igual à corrente /, mes1no que os percursos tenham fonnas bem diferentes e o módulo de H não seja uniforme ao longo do percurso de configuração (b). Pela rnesma análise, co1no o percurso (c) na Fig. 5-16 não envolve a corrente /, sua integral de linha de H é identican1ente zero, ainda que H não seja zero ao longo do percurso. Quando exam_inan1os a lei de Gauss na Seção 4-4, descobrimos que na prática sua utilidade para o cálculo da densidade de fluxo elétrico D é I imitada a distribuições de cargas que possuern urn certo grau de simetria e que o procedimento de cálculo está sujeito à própria escolha da superfície gaussiana que envolve as cargas. Uma afirmação

142

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

H

0/

0/

e

H

J H1· d l1 =11, lc,

H

e H (b)

(a)

H

onde / 1 é a ti·ação da corrente/ total através de C1• A partir da sin1etria do siste1na, H 1 te1n de ser constante em módulo e paralelo ao contorno em qualquer ponto ao longo do percurso. A léD1 disso, para satisfazer à regra da ,não direita, e posto que/ está ao longo da direção z, H, ten1 de estar ao longo da direção positiva de cp no sisterna de coordenadas cilíndricas. Portanto, H 1 = /11• Com d l1 = r, d
H

~

(c)

Figura 5-16 A lei de Ampere diz_ que a integral de linha de H ern torno de um conton10 fechado C é igual à corrente transversal à superfície limitada pelo conton10. Isso é válido para os contornos (a) e (b), ,nas a integral de linha ele H é zero para o contorno (c) porque a corrente I (indicada pelo sín1bolo 0 ) não é envolvida pelo contorno C.

;

C2 1 ,

'

, ,,,.

,, ,'-....

', I

V z ',

,, ....

," , \

\

....... ,1

,

','e,,, ~

1

' ,,"(

'

,, , I

....

__ /

, ' • •• '.,,

.. __ .,

;:,

,

, ,

(a) Fio cilíndrico

similar se aplica à lei de An1pere: sua utilidade é limitada a distribuições de correntes sirnétricas que pern1item a escolha de un1 contorno allzperia110 conveniente en1 torno delas, conforme ilustrado pelos Exemplos 5-5 a 5-7.

)'

'

'

\

\

1 1 \

Exemplo 5-5

Campo Magnético de um Fio Longo

Um fio retilíneo longo (infinito em termos práticos) de raio a é percorrido por un1a corrente contínua 1 que é uniformemente distribuída ao longo de sua seção reta. Determine o ca111po 1nagnético H a u1na distância r do eixo do tio tanto (a) para um ponto no interior do fio (r < a) quanto (b) para u111 ponto externo ao fio (r:::: a).

Solução: (a) Escolhemos/ de forma que esteja na direção positiva de z, conforn1e rnostra a Fig. 5. l7(a). Para deternlinar H , a un1a distância r 1 :;; a, escolhetnos o contorno a111periano C, para ser um percurso circular de raio r 1, confonne n1ostra a Fig. 5-l 7(b ). Neste caso, a lei de Ampere toma a seguinte forma

I

\

I

\

I

' ' ...

,, -(b) Seção rela do fio

...

H(r)

H(a)

l = 2,ra

{l

(e)

Figura 5-17 Uni fio de comprirnento infinito e raio a é percorrido por lllna corrente 1 ao longo da direção +z: (a) configuração geral n1ostrando os contornos e, e C2 ; (b) vista da seção reta transversal; (c) u1n gráfico de H versus r (Exemplo 5-5).

CAPITULO 5

A corrente / 1 que atravessa a área delin1itada por C1 é igual à corrente total I multiplicada pelo quadrado do quociente entre o raio da área dcli,nitada por C, e o raio da seção reta total do fio: /1

=

,.2) (,. )? na~ I = ~ - /. 7(

(

Igualando os dois lados da lei deAnipere e e1n seguida resolvendo a equação para H ,, obtemos ,..

,..

H 1 = tj,H1 = tJ,

ri ?

27ta-

I (para r 1 < a).(5.48)

(b) Para r2 > a, escolhe1nos o percurso C2, que en-

volve toda a co1Tente /. Portanto,

e " H2 = H2 = " I (para r 2 > a). (5 .49) 2nr2

Se ignorarn1os o subscrito 2, observaremos que a Eq. (5.49) proporciona a mesma expressão para B = µ.oH corno na Eq. (5.30), a qual deduzi1nos anteriormente co1n base na lei de Biot-Savart. A variação no ,nódulo de H como L11na função der está mostrada na Fig. 5- 17(c) na fornia de gráfico; H au1nenta linearmente entre r = O e r = a (dentro do condutor) e então diminui segundo 1/r na região fora do condutor. •

MAGNETOSTÁTICA

143

portamento supercondutivo cessa quando a densidade de fluxo magnético ern sua superfície excede a O, 12 T. Detennine a corrente máxiina que pode percorrer u,n fio de nióbio de O, 1 m1n de diâmetro e mantê-lo supercondutivo. Resp.

I = 30 A.

Exem~lo 5-6

(veja 1;)

Campo Magnético dentro de uma Bobina Toroidal

U1na bobina toroidal (tarnbém denominada toróide) é u,na estrutura na fornia de rosquinha (denominada núcleo) com espiras de fio enroladas próximas unias das outras em torno desse núcleo, conforme mostra a Fig. 5-18. Para tàcilitar a compreensão, 1nostramos na figura as espiras separadas urnas das outras, porém na prática elas estão éUTanjadas uma próxima da outra formando aproximadamente urn loop circular. Um toróide é usado para acopla1nento magnético entre múltiplos circuitos e para medir as propriedades ,nagnéticas de rnateriais, como ilustrado adiante na Fig. 5-30. Para um toróide com N espiras percorrido por u,na corrente I, determine o campo magnético H em cada uma das seguintes regiões: r < a, a< r < b e r > b, sendo todas no plano aziniutal do toróide.

I ' EXERCICIO 5.9 Urna corrente I percorre o condutor interno de u1n cabo coaxial longo e retorna pelo condutor externo. Qual o canipo 1nagnético na região externa ao cabo coaxial e qual o porquê?

Resp. H = Oexterna1nente ao cabo coaxial porque a corrente resultante envolvida pelo contorno amperiano é zero. (veja 'l>" ) EXERCÍCIO 5.1 O O ,neta! nióbio se torna um supercondutor co,n resistência elétrica zero quando sua ternperatura dinlinui a 9 K, porém seu com-

' Figura 5-18 Unia bobina toroidal coni raio interno a e raio externo b. Os loops de fios são geralmente niuito niais próximos uns dos outros do que corno está apresentado na figura (Exemplo 5-6).

144

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Solução: A partir da sinietria, é evidente que H te,n propriedades uniformes no plano azi1nutal. Se estabelecennos u,n contorno an1periano circular com centro na origem e raio r < a, não haverá corrente através da superfície delimitada pelo contorno, e portanto H = Opara r < a. De forma sin1ilar, para un1 contorno arnperiano con1 raio r > b, a corrente resultante através dessa superfície é zero porque um nú1nero igual de bobinas de corrente cruza a superfície nas duas direções. Portanto, H = Ona região externa à bobina toroidal. Para a região interna ao núcleo, estabelecen1os un1 percurso de raio r, conforn1e rnostra a Fig. 5-18. Para cada loop, sabemos do Exemplo 5-4 que o campo H no centro do loop aponta ao longo do eixo do loop, que nesse caso é a direção , e a partir do sentido da corrente 1nostrado na Fig. 5-18, a regra da mão direita nos diz que H tem que estar na direção -
z 1-1----

·1

i----+(

- - - - , -"""T"

• 1--t---Y • • • • t,- • ,,_~~--1"""--. w 1

J...

L - - - - - _,,__ _ _, _ _

- - -~n J~(saindo ela página) Figura 5-19 Uma fina folha no plano x- y percorrida por unia corrente de densidade Js = xJs (saindo da página) (Exemplo 5-7).

para z > O, para z < O.

A

Para calcular a integral ele linha na lei de Ampere, escolhernos t11n percurso a1nperiano retangular en1torno ela folha, con1 eli1nensões l e w, confonne 1nostra a Fig. 5-19. Lembrando que .Is representa a corrente por unidade de co1npri1nento ao longo da direção y, a corTente total que atravessa a superfície do loop retangular é l = JJ. Po1ianto, aplicando a lei de Ampere ao longo do loop, enquanto observamos que H é zero ao longo do percurso de comprimento w, temos

t

{ 2n

,Í

k H · d l = Jo

(-4,fl) · 4,r d

= - 2nrH = - Nl.

H · d l = 2Hl

a partir da qual obte1nos o resultado

Portanto, H = N J I (27Tr) e A

Nl

H = - t/>H = -
2nr (para a < r < b). •

Exemplo 5-7

Js

- y2, A

A

= Jsl,

para z > O,

H=

(5.51 )

para z < O.

(5.50)

Campo Magnético de uma Folha Infinita Percorrida por uma Corrente

O plano x- y visto na Fig. 5-1 9 contém u1na folha infi nita percorrida por urna corrente com urna densidade superficial de corrente J, = xJ5 • Determine o campo magnético H. Solução: A partir das considerações de si,netJia e da regra da mão direita, H tem que estar na direção mostrada na fi gura. Ou seja,

Notarnos que o ca,npo rnagnético é uniforrne e paralelo etn qualquer ponto da folha de corrente. •

-

-

QUESTOES PARA REVISAO QS.8 Qual é a diferença funda1nental entre linhas de campo elétrico e linhas de campo magnético? QS.9 Se a integral de l.inha de H ao longo de um contorno fechado é zero, deduzin1os que H =Opara qualquer ponto do contorno? Em caso negativo, o que isso Ílnplica?

CAPÍTULO 5

QS.10 Co1npare o uso da lei de Biot-Savart em relação ao uso da lei de A1npere no cálculo do ca1npo 1nagnét:ico devido a condutores percorridos por correntes. QS.11 O que é u1n toróide? Qual é o ca1npo magnético em un1 ponto externo ao toróide?

5-5

MAGNETOSTÁT ICA

v' X B = µ,J,

145 (5.54)

onde J é a densidade de corrente devido às três cargas en1 n1ovi1nento. Se substituirmos a Eq. (5.53) na Eq. (5.54), temos "íl X ("í/ X A) = µ,J.

(5.55)

Para qualquer vetor A, o lap'laciano de A obedece ao vetor identidade dado pela Eq. (3.45), ou seja,

Vetor Potencial Magnético

"í/2 A = "í/("í/ · A) - "íl x ("í/ x A), (5.56)

Em nosso estudo sobre campos eletrostáticos no Capítulo 4, apresenta1nos o potencial eletrostático V e o definimos en1 tern1os da integral de linha do campo elétrico E. Na fom1a diferencial, vünos que V e E estão relacionados por E = - v' V. Essa relação se revelou útil não apenas por vincular adistribuição do ca1npo elétrico nos ele1nentos do circuito (como resistores e capacitores) com a diferença de tensão sobre eles, ,nas també1n por den1onstrar que en1 certos casos é 1nais conveniente determinar primeiro o potencial V devido a u1na detenuinada distribuição de cargas para então aplicar a relação E = -v'V detenninar E em vez de usar a lei de Coulomb diretamente. Agora va1nos desenvolver u1na abordage111 si1nilar e1n conexão com a densidade de fluxo magnético B. De acordo con1 a Eq. (5 .44),"íl · B = O. Queremos definir B em termos do potencial magnético, co1n a reserva de que tal definição garanta que o divergente de B é sen1pre igual a zero. Isso pode ser feito a partir da vantagen1 do vetor identidade dado pela Eq. (3.38b), que diz que, para qualquer vetor A, v' ·("í/ x A)=

0.

(5.52)

Portanto, pela definição de que o vetor pote11cú1l ,nagnético A é tal que

onde, pela definição, v' 2A e1n coordenadas cartesianas é dado por ?

v'- A =

B ="íl xA

(Wb/in 2),

a2+ a2 +a2 ) &x2 &y2 &z2

A

• ? = x• nv ?A + y·• v-? A Y + zV-A X

Z•

(5.57)

Con1binando a Eq. (5 .55) con1 a Eq. (5.56), obtemos v'("í/ · A) - V 2 A = 1;,J. (5.58) Quando introduzin1os a equação de definição para o vetor potencial magnético A, dada pela Eq. (5 .53), a única restrição que colocamos para A é que sua definição satisfaça a condição v' · B =O.A Eq. (5.58) contém u1n termo que envolve v' · A. Ele provém do cálculo vetorial em que temos u1na certa liberdade na especificação de un1 valor ou uma forma funcional para v' · A, sen1 contlitar com os requisitos representados pela Eq. (5.52). A n1ais simples dentre as especificações pern1itidas é "íl · A =

0.

(5.59)

Usar essa escolha na Eq. (5.58) resulta no vetor equação de Poisson dado por 1

1

(

2

v' A =-µ,J.

(5.60)

(5.53) 1

esta1nos garantido que "íl · B = O.. A unidade no sistema SI para B é o tesla (T). U1na unidade equivalente usada na literatura é o weber por 1netro quadrado (Wb/m 2). Conseqüenten1ente, a unidade do sistema SI para A é (WB/m). Co1n B = µ,H , a fonna diferencial da lei de Ampere dada pela Eq. (5.45) pode ser escrita como

Usando a definição para v' 2 A dada pela Eq. (5.57), o vetor equação de Poisson pode ser des1nen1brado em três equações de Poisson escalares: ?

V-Ax = -µ,lx,

(5.61a)

v' 2A y = - µ,ly,

(5.61b)

"í/2 Az = - µ,Jz.

(5.61c)

146

ELETROMAGNETISMO PARA ENG ENHEIROS

E1n eletrostática, a equação de Poisson para o potencial V escalar é dada pela Eq. (4.60) como (5.62)

e sua solução para urna distribuição volumétrica de carga ocupando un1 volume v ' foi dada pela Eq.

tre esses dois, este últirno é ti·eqüentemente 1na is fácil de aplicar porque é mais fácil realizar a integração dada pela Eq. (5.65) do que a integração dada pela Eq. (5.22). O }luxo 111agnético que enlaça uma superfície Sé definido co,no a densidade de fluxo magnético que passa através da superfície S, ou

(4.61) COJUO

V =

1



Pv d v'. 4ns v ' R' l

(5.63)

As equações de Poisson para A.., A, e A, são matematica1nente idênticas na for,na da Eq. (5.62). Portanto, para uma densidade de corrente J com a componente JxdistJibuída ao longo de um volu1ne v', a solução para a Eq. (5.61 a) é A = ..!!::.... x 4 1C

f !!.. V'

R'

dv '

(Wb/Jn), (5.64)

e soluções similares pode1n ser escrita para A.v em termos de J_" e A, en1 termos de J,. As três soluções podem ser combinadas em u1na equação vetorial da forn1a A = ..!!::....

f ..:!_

4n v' R'

dv '

(Wb/m).

(5.65)

Por causa da Eq. (5 .23), se a distribuição de corrente é dada na for1na de densidade superficial de con·ente Js ao longo de unia superfície S', então J dv' seria substituída por Jsds' e v ' seria substituído por S'; e, de forma siniilar, para uma distribuição linear, J c/'v' seria substituída por I dl' e a integração seria calculada ao longo do percurso associado l'. Além das leis de Biot-Savart e Ampere, o vetor potencial 1nagnético provê uma terceira forma de calcular o campo magnético devido a condutores percorridos por correntes. Para u,na distribuição de corrente especificada, a Eq. (5.65) pode ser usada para detern1inar A, e então a Eq. (5.53) pode ser usada para determinar B. Exceto para distribuições de corrente si1nples com geometrias si ,nétricas que se prestan1 à aplicação da lei de Ampere, a escolha geraln1ente está entre as abordagens proporcionadas pela lei de Biot-Savart e o vetor potencial magnético, e den-

= { B · ds

Ís

(Wb).

(5.66)

Se substituirrnos a Eq. (5.53) na Eq. (5.66) e então aplicam1os o teorema de Stokes, teremos =

1

('v

X

A) · ds =

t

A · dl

(5.67)

onde C é o contorno que limita a superfície S. Portanto, <1> pode ser detern1.inado tanto pela Eq. (5.66) quanto pela Eq. (5.67), conforme s~ja mais fácil a integração para o proble1na considerado.

5-6

Propriedades Magnéticas dos Materiais

De acordo com nossas discussões anteriores, devido ao diagrama de campo magnético de u1n loop de corrente ser similar ao apresentado por um í1nã pern1anente, o loop é considerado como um dipolo magnético com u,n pólo norte e um pólo sul (veja a Seção 5-2.2 e a Fig. 5- 13). O momento n1agnético m de uni loop de área A te1n u,n 1nóclulo ele m. = I A, e a direção de m é normal ao plano do loop de acordo con1 a regra da n1ão direita. A magnetização de um ,naterial está associada aos loops de co1Tenle atômicos gerados por dois 1necanismos principais: ( 1) n1ovi1nento orbital dos elétrons em torno dos núcleos e movimentos similares dos prótons e1n torno u1n do outro no núcleo, e (2) rotação do elétron. O momento magnético de um elétron é devido à co,nbinação de seu 1novimento orbital e seu movimento de rotação sobre o próprio eixo. Como vere1nos mais adiante, o 1nomento n1agnético do núcleo é n1uito n1enor que o de um elétron e, portanto, o momento magnético total de u1n áto1no é detenninado preponderantemente pela soma dos 1no1nentos magnéticos de seus elétrons. O con1portan1.ento n1agnético de um

CAPÍTULO

material é detenninado pela interação dos momentos dos dipolos magnéticos de seus átomos com u,n ca,npo magnético externo. Esse co,nportamento, o qual depende da estrutura cristalina do material, é usado con10 base para a classificação de mat.eriais como dia,nagnéticos, paramagnéticos ouferro1nag11éticos. Os átomos de u,n material dia1nagnét.ico não tê1n n1on1entos de dipolo magnético pennanentes. Por outro lado, tanto os 1nateriais parao1agnéticos quanto os ferro,nagnéticos tê,n áto,nos co,n 1non1entos de dipolo ,nagnéticos pennanentes, porém, confonne explicare,nos mais adiante, os áton1os de n1ateriais que pertencen1 a essas duas classes têm estruturas organizacionais diferentes.

5-6.1

Momentos Magnéticos Orbital e de Rotação

Para fazer com que a apresentação a seguir seja simples, começaremos nossa discussão con, um ,nodelo clássico do átomo, no qual considera,nos que o movimento dos elétrons e,n torno do núcleo é circular e então estendere1nos os resultados incorporando as predições mais corretas fornecidas pelo 1nodelo da n1ecânica quântica para a matéria. Um elétron co,n carga - e se movendo com u,na velocidade constante u e1n unia órbita circular de raio r [Fig. 5-20(a)] completa uma revolução no tempo T = 2nr/u. Esse rnovin1ento circular do elétron constitui uni n1inúsculo loop de corrente com uma corrente Idada por e

eu

I = - T = __ 2_ 11:_r

=

MAGNETOSTÁT ICA

147

de li = h/2n, onde h é a constante de Planck. Ou seja, Le = O, li, 2/i, ... Conseqüente1nente, o 1nenor 1nódulo não-nulo do momento n1agnético orbital de um elétron é 1110

eli = . 2nte

(5.70)

Apesar do fato de que todas as substâncias contêrn elétrons e estes apresentarn momentos de dipolo n1agnéticos, a maioria das substâncias é efetivamente não-magnética. Isso porque, na ausência de um campo ,nagnécico externo, os átomos da 1naioria dos n1ateriais são orientados aleatoria,nente, tendo o momento n1agnético resultante nulo ou muito pequeno. Alé,n do momento rnagnético produzido por seu n1ovi1nento orbital, uni elétron gera uni 1110111ento 111agnético de rotação ID5 , devido ao 1novimento de rotação em torno do próprio eixo [Fig. 5-20(b)). O n1ódulo de ms previsto pela teoria quântica é 111s

= -

eli , 2nie

(5.71 )

que é igual ao 1no1nento magnético orbital 1nínin10 1110 • Os elétrons de um áto,no con1 um nún1ero par de elétrons gerahnente formam pares, tendo os elen1entos de um par direções de rotação opostas, cancelando assitn o mo1nento de rotação u111 cio outro. Se o nún1ero ele elétrons for Ílnpar, o átomo terá u1n 1nomento magnético de rotação diferente de zero devido a isso.

(5.68)

O módulo do 1110,nento ,nagnético orbital associado a m0 é 111 0

5

(

r

? =IA= ( - eu ) (11:r-) 2nr

eur -2 =

-

( e ) 2nie

Le,

(5.69)

onde L0 = 111.,ur é o n101nento angular do elétron e 111 é a sua 1nassa. De acordo com a física quântica, o ~omento angular orbital é quantiz.ado; especificarnente, L0 é sempre um nú1nero inteiro múltiplo

(a) Elétron ern órbita

(b) Roração do elétron

Figura 5-20 Um elétron gera (a) um momento magnético orbital m0 conforme gira em torno do núcleo e (b) um n1omento magnético de rotação rn conforn1e oira em torno de seu próprio eixo. s

"'

148

E LETROMAGNETISM.0 PARA ENGENHEIROS

Bateria

Al. Solenóid e eletromagn ético

Eletroímãs e Relés Magnéticos William Stu rg eon desenvolveu o primeiro eletroím ã prático na década de 1820. Hoje em dia, o princípio do eletroímã é aplicado em motores, relés e cabeças de leitura/gravação de discos rígidos de computador e de acionadores de fitas, auto-falantes, levitação magnética e muitas outras aplicações.

co é proporcional à corrente, ao número de espiras e à permeabilidade magnética do material do núcleo . Usando um núcleo f erro m agnético, a int ensidade do campo pode ser aumentada várias vezes, dependendo da pureza do material de ferro. Quando sujeito a um campo magnético, os materiais ferromagnéticos, como ferro ou níquel, adquirem magnetismo e funcionam eles mesmos como ímãs.

Relés Magnéticos Princípio Básico Eletroímãs podem ser construídos em diversos formatos, incluindo o solenóide linear descrito na Seção 5-8.1. Quando uma corrente elétrica gerada por uma fonte, tal como uma bateria, percorre um fio enrolado em torno de um núcleo, induz um campo magnético com linhas de campo que se assemelham àquelas geradas por um ímã (A1 ). A intensidade do campo magnéti-

Um relé magnético é uma chave ou interruptor que pode ser ativado magneticamente para as posições "LIGADO" ou "DESLIGADO". Um exemplo é o relé de palhetas usado em equipament os de telefonia, que consiste em duas lâminas de ferro-níquel separadas por uma pequena distância (B). As lâminas são posicionadas de tal forma que, na ausência de uma força externa, permanecem afastadas uma da outra (posição DESL.). O contato elétrico entre as lâminas (po-

CAPÍTULO

5

MAGNETOSTÁT ICA

149

Campo 1nagnético ' A2. Imã em forma de ferradura

sição LIG.) é realizado aplicando-se um campo magnético ao longo do comprimento delas. O campo, induzido por uma corrente que percorre um fio enrolado em torno de um invólucro de

_ _+

Invólucro de vidro

vidro, faz com que as lâminas assumam polaridades magnéticas opostas, forçando assim a atração entre elas e eliminando o espaçamento entre ambas.

...---A---,

s

N

Circuito eletrônico

B. Relé de micropalhetas (imagem ampliada para fins ilustrativos)

150

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

De acordo com a Eq. (5.71), o momento magnético de rotação de un1 elétron é inversa1nente proporcional à 1nassa do elétron 1ne. O núcleo de um átorno também apresenta um n1ovimento de rotação, porén1, devido à sua 111assa ser rnuito 111aior que a de um elétron, seu rnomento magnético é da orden1 de 1.0-3 etn relação ao de utn elétron.

5-6.2

uma constante para tuna detenninada temperatura, resultando e,n urna relação linear entre Me H. Esse não é o caso para substâncias ferromagnéticas; a relação entre M e H não é apenas não-linear, ,nas tan1bé1n depende da "história" do material, conforme explicado na próxi1na seção. Tendo isso en1 111ente, van1os combinar as Eqs. (5.72) e (5.73) para obter B

Permeabilidade Magnética

= µo(H + XmH) = /.to(I + Xm)H ,(5.74)

ou O vetor de 111ag11etização M de un1 ,naterial é definido como o vetor sorna dos rnornentos de dipolo 1nagnético dos áto1nos contido e,n un1 volu1ne unitário do rnaterial. A densidade de fluxo magnético que co1Tesponde a M é Bm = µoM . Na presença de u1n ca1npo tnagnético H externo, a densidade de fluxo 111agnético total no material é B = µoH + µoM = µ.o(H

+ M) ,

(5.72)

onde o pri1neiro tenno representa a contribuição do campo externo e o segundo, a contribuição da magnetização do material. Em geral, um material se torna magnetizado en, resposta a urn ca,npo H externo. Portanto, M pode ser expresso como a . seguir: M = XmH ,

(5 .73)

onde Xm é uma grandeza adimensional denominada suscetibilidatle magnética do 1naterial. Para materiais dia1nagnéticos e paramagnéticos, X,,, é

(5.75)

B = /.tH ,

onde µ, a per111eabilidade ,nagnética do material, é dada em termos de x.111 por 1

µ = µo(l

+ Xm)

(H/111).

(5.76)

Freqüentemente é conveniente definir as propriedades magnéticas de urn 1naterial e1n termos da per,neabilidade relativa µ ,: µ µr = - = 1 + Xm , µo

(5.77)

onde µ 0 é a penneabilidade do espaço livre. Um material é geralmente classificado como diamagnético, para1nagnético ou ferro1nagnético corn base em seu valor de Xm, conforme n1ostrado na Tabela 5-2. Os materiais diamagnéticos têm susceti-

Tabela 5-2 Propriedades dos materiais magnéticos Dian1agnetisn10

Para magnetisn10

Ferron1agnetismo

l\'lomento d e dipolo magnético perma nen te

Não

Si1n, porém fraco

Sirn, e forte

l\'lecanismo d e n1agneti1.ação p rin1á rio

Mo,nento magnético orbital do elé1ron

Momento magnético de rotação do elétron

Domínios n1agnctizados

A mes,na

Histerese [veja a Fig. 5-22]

Bis1nuto. cobre, dian1ante, ouro, chumbo, n1ercúrio, prata e si ücjo

Alurnínio, cálcio, cro,no, magnésio, nióbio, platina, tungstênio

Ferro, níquel, cobalto

""' - 10- 5

""' 10- 5

""' 1

""' 1

Direção d o campo magnético induzido (relativo ao campo externo) Su bstâ ncias comuns

Valor típico d e Xm Valor típico d e /.Lr

Oposta

lxml >> 1 e histerese lµ·rl >> 1 e hislerese

CAPÍTULO 5

bitidades negativas e os paramagnéticos tê1n suscetibilidades positivas. Enu·etanto, o ,nódulo de Xm é da orden1 de 10-5 para a,nbas as classes de 1nateriais, o que nos permite ignorar quando comparado con1 1 na Eq. (5.77). /sso resulta en1. µ, ::::: 1 ou µ ::::: µ 0 para substâncias diamagnéticas e para1nagnéticas, as quais incluen1 rnateríais dielétricos e a maioria dos metais. Por outro lado, lµ,.I >> 1 para nzateriais ferronzagnéticos; lµ.rl para o ferro purificado, por e.xe1nplo, está 11a orde,n de 2 x 5 1ü • Os 1nateriais ferro1nagnéticos serão discutidos . a seguir.

EXERCÍCIO 5. 11 O vetor magnético M é o vetor soma dos momentos de todos os átomos contidos e1n u1n volume unitário (1 m3). Se u,n certo tipo de ferro con1 8,5 x 1028 átomos/m 3 contribui com 1 elétron por átomo para alinhar seu ,nomento 1nagnético de rotação ao longo da direção do campo aplicado, detern1ine (a) o momento magnético de rotação de un1 único elétron, dado que 31 34 1110 = 9, 1 x 10- (kg)e fi = 1,06x 10- (J·s), e(b) o módulo de M.

,n.

MAGNETOSTAT ICA

151

tros. Esse alinhamento permanente é atribuído a fortes forças de acopla1nento entre os n101nentos de dipolo magnéticos que conslitue1n u1n domínio individual. Na ausência de um campo magnético externo, os doJnínios apresentan1 orientações aleatórias relativas uns aos outros, confonne rnostraclo na Fig. 5-2l(a), resultando e111 unia 1nagnetização final nula. As paredes dos do,nínios fonnam as fronteiras enLTe domínios adjacentes que consisten1 em regiões tênues de transição. Quando u1na amostra não-1nagnetizada de um 1naterial ferro1nagnético é colocada e1n um campo ,nagnético externo, os do1nínios se alinharn parciahnente com o campo externo, conforme ilustrado na Fig. 5-21(b). U1na co1npreensão quantitativa de con10 esses clom.ínios se formam e de corno eles se comportam sob a int1uência de un1 ca1npo n1agnético externo requer um estudo ,nais profundo da mecânica quântica, o que está além do escopo deste livro. Portanto, van1os restringir nossa discussão a uma descrição qualitativa dos processos de magnetização e suas implicações.

24

Resp. (a) = 9,3 x 10- (A·m2 ), (b) M = 7,9 x 105 (A/m) (veja ~ )

5-6.3

Histerese Magnética de Materiais Ferromagnéticos

Os 1nateriais ferromagnéticos , dentre os quais se incluen1 o ferro, o níquel e o cobalto, apresentam fortes propriedades magnéticas devido ao fato de que seus momentos 1nagnéticos tendem a se alinhar prontamente ao longo da direção de um campo n1agnético externo. Alétn disso, tais 111ateriais permanecem parcialmente rnagnet.izados 1nesmo após a remoção do can1po externo. Por causa dessa propriedade, os materiais ferron1agnéticos são usados na fabricação de ímãs permanentes. Uma característica descrita por do,nínios ,nagnetizados é co1num a todos os n1ateriais ferromagnéticos. U,n domínio 1nagnetizado de um material é a região microscópica (da ordem de 10- 10 m3) para a qual os momentos magnéticos de todos os seus áto1nos (tipica1nente da ordetn de 10 19 átomos) são alinhados e,n paralelo uns con1 os ou-

(a) Domínios não-magnetizados

----

----

----

----

----

B

(b) Donúnios n1agnetizaclos Figura 5-21 Comparação de domínios (a) nãornagnetizados e (b) magnetizados en1u1n matelial ferromagnético.

152

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

O comportamento da n1agnetização de um material ferromagnético é descrito e1n tennos de sua curva de n1ag11etização B-H, onde H é a amplitude do campo magnético (H ) aplicado externamente e B é a a1nplitude da densidade de fluxo rnagnético (B) dentro do rnaterial. De acordo corn a Eq . (5.72), o fluxo B consiste en1 unia contribuição µ.0H devida ao ca,npo externo e u1na contribuição µ.0J\il devida ao campo de 1nagnetização induzido no 1naterial. Supon ha que iniciemos com uma ainostra de ferro desinagnetizada e van1os adn1itir que temos uni sistenia experi1nental capaz de niedir B e H. O estado desniagnetizado ' é indicado pelo ponto O na Fig. 5-22. A medida que au1nenta1nos H continuamente, B au1nenta também e a curva de resposta segue de O até o ponto A P onde quase todos os domínios estão alinhados co1n H . O ponto A1 representa uma condição de saturação. Se co1neçarmos a di1ninuir H a partir do valor que ten1 eni A I até zero, a curva de magnetização segue o caminho de AI até A2 • No ponto A2 o canipo H externo é zero, porém a densidade de t1uxo B no material não é zero. Esse valor de B é denominado densidade de fluxo residual B,. O material de ferro agora está 1nagnetizado e pode servir ele ímã pennanente devido ao fato de u1na grande fração de seus doniínios de magnetização ter per111anecido alinhada. Invertendo a direção de H e aunientado sua intensidade tàz co1n que B diniinua de B, no ponto A2 até zero

lJ

no ponto A3, e se a intensidade de H for aumentada ainda 1nais (1nantendo a direção negativa), a curva de magnetização segue para o ponto de saturação em A4 • Por fi 1n, à medida que H retorna para zero e passa a ser aumentado na direção positiva, a curva segue de A4 para A,. Esse processo é denon1inado histerese 11,ag11ética. O tern10 histerese significa "ficar para trás". O loop de histerese mostra que o processo de magnetização e,n urn n1aterial ferro1nagnético não depende apenas do campo 1nagnético H externo, mas ta1nbén1 da história magnética do material. A forma específica e a extensão do loop de histerese depende1n das propriedades do material ferromagnético e da faixa de pico a pico ao longo da qual varia,nos H. Materiais caracterizados por extensos loops de histerese são denon1inados 11,ateriais ferro111agnéticos fortes [Fig. 5-23(a)]. Esses 111ateriais não podem ser faci lmente desrnagnetizados por um campo niagnético externo porque tê1n uma grande 1nagnetização residual B,.. Materiais ferromagnéticos fortes são usados na fabricação de íniãs permanentes para motores e geradores. Materiais j'erro,n,,gnéticos fracos apresentani loops de histerese estreitos [Fig. 5-23(b)] e, portanto, pode1n ser niais facilniente 1nagnetizados e desmagnetizados. Para desmagnetizar qualquer material ferromagnético, o material é sub1netido a diversos ciclos de histerese à n1edida que diniinui gradualmente a faixa de pico a pico do campo aplicado.

B

(a) Material

ferromagné1ico forte

Figura 5-22 Curva de histerese típica para um material ferron1agnético.

B

(b) f\1atedal

ferromagnético fraco

Figura 5-23 Coniparação de curvas de histerese para (a) uni niaterial ferromagnético forte e (b) un1 material ferron1agnético fraco.

CAPÍTULO 5

QS.12 Quais são os três tipos de materiais mag-

néticos e os valores típicos de suas pem1eabilidades relativas?

J B ·dS =

O

rs

QS.13 O que causa a histerese rnagnética e,n n1a-

(5.79)

Esse resultado diz que a co,n.ponente norn1al de B é contínua na fronteira entre os dois ,neios adjacentes. Por causa das relações B 1 = µ, 1H 1 e B2 = µ,, H, para um meio linear e isotrópico, a condição de fronteira para H que corresponde à Eq. (5 .79) é

teriais ferrornagnéticos? QS.14 O que descreve a curva de magnetização?

Qual a diferença entre as curvas de n1agnetização de ,nateriais ferro111agnéticos fortes e fracos?

Condições de Contorno para Campos Magnéticos Un1a comparação das Eqs. (5.78) e (5.79) nos diz que, e111bora a co,nponente norn1al de B seja contínua através dafronteira, a cornponente nor1nal de D pode não ser (a ,nenos que Ps = O). U1na co1nparação siu1jlar se aplica às con1ponentes tangenciais cios campos E e H: e,nbora a cornponente tangencial de E seja contínua através da fronteira, a con1ponente ta11ge11cia.l de H pode ntio ser (a ,nenos que a densidade supe,ficial de corrente Js= 0). Para obter as condições de contorno para a componente tangencial de H , seguin1os o n1esn10 procedimento básico que usarnos anterionnente na Seção 4-9 para estabelecer as condições de contorno para a componente tangencial ele E. Com referência à Fig. 5-24, se aplicarmos a lei de A111pere [Eq. (5.47)] em u1n percurso retangular fechado con1 lados D.l e D.h, e então fazendo !ih ~ O, chegamos ao resultado:

Na Seção 4-9 deduzin1os u,n conjunto de condições de contorno que descrevem, na fronteira entre dois meios contíguos e diferentes, como as grandezas de campo elétrico D e E no prirneiro meio estão relacionadas às 1nesmas no segundo meio. Agora deduziren1os u,n conjunto si111ilar ele condições de fronteira para as grandezas ele campo magnético B e H. Aplicando a lei ele Gauss a u111.a caixa retangular que se estende ao longo da fronteira, determinamos que a diferença entre as componentes normais da densidade de fluxo elétrico nos dois meios é igual à densidade superficial de carga Ps· Ou seja,

J D·dS =

rs

153

Por analogia, a aplicação da lei de Gauss para o n1agnetis1110, conforme expresso pela Eq. (5.44), nos levaria à conclusão de que

QUESTÕES PARA REVISÃO

5-7

MAGNETOSTÁT ICA

Q

=::>:>

1 D1n - D2n = Ps·

(5.78)

H1n0

H1

0 H 2n

H1t

vu"· H2

e

d

0

0

0

0 a

til

}&2 (.) }~ b

Meio l µ,

A

n2

0

Figura 5-24 Fronteira entre o n1eio I com µ, 1 e o meio 2 com µ.2 •

(.)

0 .Ts

Meio2 µ2

154

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

J.. H · d l = k

{ bH 2 · d l + {ti H, Ía Íc

· d l = I , (5.81 )

onde H 1 e 8 2 são os campos rnagnéticos nos ,neios I e 2, respectivamente. De acordo com a lei de A1npere, l é a corrente resultante que atravessa a supe1fície do Loop na diJ"eção especificada pela regra da mão direita (/ está na direção do polegar, enquanto os outros dedos da n1ão direita se estendem na diJ"eção do loop C). Para as direções de H 1 e H 2 e a direção do percurso de integração Cindi.cados na Fig. 5-24, a con1ponente de H 2 tangencial à fronteira, H 2,, é paralela a dl e está na mesnia direção ao longo do segniento ab, porérn a componente tangencial de H 1 está em antiparalelo a dl ao longo do seg,nento cd. Aléni disso, à medida que fazemos o do loop !J.h se aproximar de zero, a superfície !J.h do loop se aproxin1a de urna tênue linha de con1prilnento !J.l. Portanto, a corrente total através dessa linha tênue é I =1. = 6/, onde 1. é o niódulo da componente norn1al da densidade superficial de corrente que atravessa o Loop. Eni função dessas considerações, a Eq. (5.81) passa a ser (5 .82)

EXERCÍCIO 5.12 Co,n referência à Fig. 5-24, deterniine o ângulo entre H 1 e ô 2 = i se H2 = (x3

+ i2) (A/m), µ,r1 = 2 e µ,,2 = 8 e J, = O.

Resp.

5-8

O = 20,6º

(veja ~ )

Indutância

Uni indutor é o análogo niagnético de u,n capacitor elétrico. Assim como un1 capacitor que pode arn1azenar energia elétrica no carnpo elétrico presente no rneio entre as superfícies condutoras, u,n indutor pode armazenar energia magnética no volurne que cornpreende o indutor. Uni exernplo típico de um indutor é uma bobina que consiste em múltiplas espiras de fio enrolada geometrican1ente na for1na de hélice e1n torno ele u1n núcleo cilíndrico, confonne n1ostra a Fig. 5-25(a). Tal estrutura é denon1inada solen6ide. O núcleo pode ser de ar ou pode conter um ,naterial ,nagnético com pernieabilidade µ.. Se o fio l for percorrido por unia corrente I e as espiras estiverem próxi1nas u,nas das outras, o solen6ide pode produzir um campo magnético relativa1nente unifor1ne em sua região interior,

ou (A/m).

(5 .83)

Esse resultado pode ser generalizado para a fonna vetorial que incorpora a relação direcional definida pela regra da ,não direita. Ô2 x (H r - H2) = J s,

(5.84)

onde Ô2 é o vetor unitário nonnal que aponta para fora do meio 2 (Fig. 5.24). Pode,n existir con·entes superficiais apenas nas superfícies dos condutores e supercondutores. Portanto, na interface entre 1neios co,n condutividade finita, J, = Oe (a) Solenóide con1

H11 = H2r-

(5.85)

espiras espaçadas

(b) Solenóide com

espiras juntas

Figura 5-25 Linhas de campo n1agnético de (a) urn solenóide co1n espiras espaçadas e de (b) u,n solenóide co,n espiJ"as juntas.

CAPÍTULO 5

sendo que o diagrama de campo magnético se assemelha ao de um ímã permanente, conforme ilustrado pelas linhas de campo na Fig. 5-25(b).

nóide como u,n loop equivalente de ndz espiras percorridas por un1a corrente I' = l n. d z, então o campo induzido no ponto Pé µnl a 2

A

5-8.1

dB = µ dH = z

Campo Magnético em um Solenóide

Continuamos nossa discussão sobre indutância deduzindo uma expressão para a densidade de tluxo magnético B na região interior de u1n solenóide com II espiras juntas por unidade de con1prin1ento. Ainda que as espiras est~jam ligeira,nente na forn1a de u,n helicóide, as considerare1nos loops circulares, conforn1e 1nostra a Fig. 5-26. O solenóide é de con1primento l e raio a e é percorrido por uma corrente I. Va1nos co1neçar considerando a densidade de fluxo magnético B no ponto P, localizado no eixo do solenóide. No Exe1nplo 5-4, deduzi.tnos as seguintes expressões para o ca,npo magnético H a u1na distância z ao longo do eixo de um loop circular con1 raio a: H=

l'a

2

z2(a-,, + z-?)·31-,

?

2(a-

z = a tg e, 02

z

•I

•

,

• • •

, , ,

lC lC lC

•

lC

•

• • •

• • • •

•

lC lC

lC lC

p

lC

''

(5.88a)

dz=asec-ede. '

(5.88b)

Substituindo as duas últimas expressões na Eq. (5.87) e integrando de e+a e_, ten1os 2

µnl a B = z- - A

2

!oº a sec ede 2

2

li1

a 3 sec3 e

Aµ nl = z (senB2 - senB 1). 2

(5.89)

Se o comprimento Ldo solenóide for muito maior que o raio a, então e, : : : - 90º e B2 ::::: 90º; nesse caso, a Eq. (5.89) se reduz a zµ,N l

(solenóide longo com !/a

•

(5.87)

+ 2 2 = 0 2 + 0 2 tg2 () = ª2 sec2 () ,

B ::::: zµnl =

•

,

O campo total B ein Pé obtido integrando as contribuições de todo o con1priinento do solenóide. Isso é faci litado expressando a variável z e,n tern1os do ângulo O. Ou seja,

,

I

+ z-) 31-, dz .

(5.86)

,

onde!' é a corrente que percorre o Loop. Se considerannos u111 comprimento incre1nental dz do sole-

a

155

MAGNETOSTÁTICA

fz z

X

" " '' '' " ' " ' " " lC

\

Figura 5-26 Seção reta de u1n solenóide mostrando a geometria para o cálculo de H no ponto P no eixo do solenóide.

1

>> 1),

(5.90)

onde N = n.l é o número total de espiras ao longo do compriinento l. Ainda que a expressão dada pela Eq. (5.90) tenha sido deduzida para B no centro do solenóide, ela é aproxi,nadamente válida para todos os pontos no interior dele, exceto próxin10 às extremidades. Agora retornaremos à discussão da indutância, a qual inclui a auto-indutância, representando o fluxo 1nagnético enlaçado de urna bobina ou circuito co1n ele n1es1no, e a indutância 11uítua, a qual envolve o fluxo magnético enlaçado ern um circuito devido ao campo magnético gerado por uma corrente en1 u111 outro circuito. Gerahnente, quando o termo indutância é usado, esta1nos nos referindo à auto-indutância.

156

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Gravação Magnética Valdemar Poulsen, um engenheiro dinamarquês, inventou a gravação magnética demonstrando em 1900 que a voz poderia ser gravada em um fino fio de aço com um simples eletroímã. Fitas magnéticas foram desenvolvidas como um meio alternativo ao uso de fios na década de 1940 e se tornaram bastante populares na gravação e reprodução de músicas na década de 1960. Os videoteipes foram introduzidos no final da década de 1950 para gravação de imagens em movimento para posteriormente serem reproduzidas em televisores. Em função de os sinais de vídeo ocuparem uma ampla largura de banda, a velocidade da fita para gravação de vídeo (passando sob a cabeça magnética) tem de ter uma taxa da ordem de 5 m/s, comparada com a velocidade de apenas 0,3 m/s das fitas de áudio. Desde então, outros tipos de meios de gravação magnética foram desenvolvidos, incluindo os discos de plástico flexíveis

- .~\ ~

denominados disquetes, os discos rígidos feitos com estrutura de vidro ou alumínio, o tambor magnético e as memórias de bolhas magnéticas. Todos esses dispositivos tiram proveito do mesmo princípio fundamental de serem capazes de armazenar informação elétrica através da magnetização seletiva de um material magnético, bem como de poderem recuperá-la (playback) quando desejado.

Processos de Leitura/Gravação A gravação de som em fitas magnéticas está ilustrada esquematicamente em (A). As ondas sonoras incidem no microfone e (1) fazem vibrar o diafragma, gerando uma corrente elétrica (2) com as variações de amplitude e tempo correspondentes conforme o padrão do som original. A conversão de elétrico para acústico é realizada por um cristal piezoelétrico, um capacitor eletrostático, uma bobina em um

-

•

•

~

•

~

!.

CAPÍTULO

5 MAGNETOSTÁT ICA

Amplificador

157

:L

Eletroímã 4

_

_...,

Carretel

A. Processo de gravação de uma fita ,nagnética

li

1 111 1

Fita magnética

Carretel

Alio-fala nte Amplificador

,

-

:..L

Campo magnético induzido pela fita - - - -

Eletroímã

11 11 1 B. Processo de reprodução de uma fita magnética

campo magnético ou outros tipos de transdu tores. Após a amplificação (3), o sinal de corrente aciona uma cabeça de g ravação (4) que consiste em um eletroímã que magnetiza a fi ta à medida que ela passa pela cabeça de gravação. A fita (5) é feita de um material plástico coberto com pó de óxido de ferro colado sobre a superfície da fita. Quando exposta a um campo magnético, as moléculas do pó ferromagnético que anteriormente estavam orientadas de maneira aleatória se tornam orienta-

das de modo permanente ao longo de uma direção específica, estabelecendo assim uma impressão magnética na fita do sinal do som original. A reprodução do som é realizada através de um processo inverso (B). A fita magnetizada, ao passar pela cabeça de reprodução, induz uma corrente que tem uma vibração proporcional ao sinal gravado na fita, a qual é amplificada e convertida de volta para o estado de ondas sonoras através de um altofalante.

158

ELETROMAGNETISMO PARA ENG ENHEIROS

'

EXERCICIO 5.13 Use a Eq. (5.89) para obter u1na expressão para B em un1 ponto situado na extre1nidade sobre o eixo de um solenóide bastante longo. Qual a relação entre o valor de B na extremidade do solenóide e o valor de B em uni ponto central?

Resp.

B = z(1),N I /2/) na extremidade, gue é a

1netade do valor de Bem u1n ponto central. ja ,;;;- )

5-8.2

(ve-

Auto-Indutância

A partir da Eq. (5.66), o fluxo 1nagnético
=

Is B · ds

(Wb).

(5.91)

Em u1n solenóide con1 um can1po magnético aproximadamente unifonne, dado pela Eq. (5.90), o fluxo que enlaça um único loop é

pode ser ignorado considerando que as correntes passam apenas na superfície destes, caso no qual os campos n1agnéticos no interior dos condutores são nulos. Essa consideração é justificada pelo fato de nosso interesse no cálculo de A ser com a finalidade de deterrninar a indutância de u1na dada estrutura, e a indutância é de principal interesse e1n caso de ca (ou seja, correntes, tensões e campos que varia1n no te1npo). Co1no veremos mais adiante na Seção 7-6, a corrente que percorre urn condutor sob condições ca se concentra ern urna fina carnada na superfície do condutor. No caso de u1na linha de transn1issão con1 fios ern paralelo, as correntes se deslocam nas superfícies dos fios, e no caso de uma linha coaxial, a corrente percorre a superfície externa do condutor interno e a superfície interna do condutor externo (as correntes que percorren1 as superfícies são adjacentes aos ca1npos elétrico e magnético presentes na região entre os condutores). A auto-indutância de qualquer estrutura é definida como a razão entre o !luxo magnético de enlace e a corTente l através da estrutura: A L=-

1

(5.92) onde S é a área da seção reta do loop. O fluxo ,nagnético enlaçado A é definido con10 o fluxo 1nagnético total que enlaça um determinado circuito ou estrutura condutora. Se a estrutura consiste en1 u1n único condutor co1n múltiplos loops, como no caso de um solenóide, é igual ao fluxo que enlaça todos os loops da estrutura. Para um solenóide com 1V espiras, N2 A= N = /}, -

l

/S

(Wb).

(5.94)

A unidade no sis1ema SI para indutância é o henry (H), que equivale a webers por an1pere (Wb/A). Para o solenóide, o uso da Eq. (5.93) resulta ern

N2

L=µ, -

l

(solenóide),

S

(5.95)

e para a configuração co1n dois condutores similar à da Fig. 5-27,

(5.93)

L= Se, por outro lado, a estrutura consiste e1n dois condutores separados, con10 no caso dos tios paralelos e das linhas de transmissão coaxiais mostrados na Fig. 5-27, o fluxo de enlace A associado a um co1nprimento Ide qualquer unia das linhas se refere ao fluxo <1> através de uma superfície fechada entre os dois condutores, confonne destacado pelas áreas so1nbreadas na Fig. 5-27. Na realidade, também existe um !luxo magnético que passa através dos próprios condutores, 1nas

(H).



A

T

=

Exemplo 5-8

T

1

=

f

I lsB. ds.

(5.96)

Indutância de uma Linha de Transmissão Coaxial

Desenvolva uma expressão para o cálculo da indutância por unidade de cornprimento de uma linha de transrnissão coaxial. Os condutores têrn raios a e h, conforme mostra a Fig. 5-28, e o n1aterial isolante te1n uma penneabilidade linear de µ.

CAPÍTULO

y

5

159

MAGNETOSTÁTICA

z

I

I

•

J

J s

Raio a l

l 1 1 L l

Condutor externo (a) Linha de transmissão con1 fios en1 paralelo

'l

1 ~~-_:--:-_-===r=s;:::;:-_l;:-:_--=-=-_:=1:::;-t

f_ -_-µ_i

t-++-.r--11-_-_-_-f_ ~f_-_

0_ - 0__.__ Jl

i

Condutor / interno

Condutor externo

I

Figura 5-28 Vista em corte de unia linha de transmissão coaxial (Exemplo 5-8).

- --- ---- -- -(b) Linha de transn1issão coaxial

Figura 5-27 Para calcular a indutância por uni-

dade de con1pri1nento de unia linha de trans1nissão de dois condutores, precisarnos deternünar o fluxo magnético através da área S entre os condutores.

Usando a Eq. (5.96), a indutância por unidade de con1prin1ento da linha de transmissão coaxial é dada por L' =

!:_ = _! = J:. ln ( ~) . • l

li

211:

a

(5.99)

D5. l-5.2

5-8.3 Solução: Devido à corrente I no condutor interno, o campo magnético gerado na região com pern1eabi l idadeµ, entre os dois condutores é dado pela Eq. (5.30), como a seguir A

B =

11,I

2nr

,

(5.97)

-onde r é a distância radial a partir do eixo da linha coaxial. Va1nos escolher u1n segn1ento da linha de transmissão de compriinento l co,no mostra a Fig. 5-28. Ao longo da superfície planar S entre os condutores, B é perpendicular en1 qualquer ponto da superfície. Portanto, o fluxo através de Sé = l

1, 1 a

B dr = l

11,

µ,I

a

211:r

dr

= µ,l l ln (~) . 211:

a

(5.98)

Indutância Mútua

O acoplamento magnético entre duas estruturas

condutoras diferentes é descrito em terrnos da indutância 1nútua entre elas. Por questão de siinplicidade, vamos admitir que temos dois loops fechados con1 superfícies S1 e S 2 e uma co1Tente 11 através do primeiro loop, como mostra a Fig. 5-29. O campo 1nagnético 8 1 gerado por / 1 resulta e1n u1n fluxo ct> 12 atJavés do loop 2, dado por <1>12

={

lsi

B1 · ds,

(5.100)

e se o loop 2 consiste N2 espiras, em todas acopladas por B 1 exatamente no 1nesmo caminho, então o fluxo 1nagnético total de enlace através do loop 2 devido a B 1 é

160

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Enrolan1ento primário Movin1ento da barra ~

.. --Enrolm11ento secur dário - Vsaído +

Al. Circuito LVDT

Sensores Indutivos O acoplamento magnético entre bobinas diferentes constitui a base para os diferentes tipos de sensores indutivos. As aplicações incluem a medição de posição e deslocamento (com resolução menor que um milímetro) em processos de fabricação de dispositivos e a detecção de proximidade de objetos condutores, dentre outras aplicações relacionadas.

Transformador Diferencial Variável Linear (LVDT - linear Variable Differential Transforme,) Um LVDT compreende um enrolamento primário conectado a uma fonte ca (tipicamente uma onda senoidal numa faixa de freqüência de 1 a 1O kHz) e um par de enrolamentos secundários, todos compartilhando um mesmo núcleo ferromagnético (A1). O núcleo magnético serve para acoplar o fluxo magnético gerado pelo enrolamento primário nos dois enrolamentos secundários, induzindo assim uma tensão de saída em cada um deles. Os enrolamentos secundários são conectados em oposição, de forma que, quando o núcleo está posicionado no centro magnético do LVDT, os sinais nas saídas individuais dos secundários se cancelam, gerando uma tensão de

saída nula. O núcleo está conectado ao mundo externo através de uma barra não-magnética. Quando a barra move o núcleo para fora do centro magnético, os fluxos magnéticos induzidos nos enrolamentos secundários não são mais iguais, resultando em uma tensão de saída diferente de zero. O LVDT é chamado de transformador "linear" porque a tensão de saída é uma função linear do deslocamento ao longo de uma ampla faixa de operação. Uma vista em corte de um modelo de LVDT em (A2) ilustra uma configuração na qual os três enrolamentos (com o primário entre os secundários) estão enrolados em torno de um tubo de vidro contendo o núcleo magnético conectado à barra. Algumas aplicações estão ilustradas em (A3).

Sensor de Proximidade por Corrente Parasita O princípio de funcionamento do transformador pode ser aplicado na construção de um sensor de proximidade no qual a tensão de saída do enrolamento secundário se torna um indicador sensível à presença de um objeto condutivo nas vizinhanças (B). Quando um objeto é colocado em frente ao enrolamento secundário, o campo magnético do enrolamento induz correntes parasitas (circulares) no objeto, o qual

CAPITULO 5

MAGNETOSTÁTICA

161

I nvólucro de aço inox.idável

Enro.lan1ento pr.imário .___ Enrolao1eoto secundário

Módulo eletrônico

A2. Vista en1 corte de wn L VDT

'

LVDT

LVDT

1

Flutuador

1

A3. Uso de L VDT para medição de deflexão de viga e de nível de fluido

Correntes

parasitas

Enrolamento prio1ário

Enrolamento secundár.io

Objero condut.ivo

B. Sensor de proximidade por corrente parasita

gera campos magnéticos com uma d ireção que se opõe ao campo magnético do enrolamento secundário. A redução no fluxo magnético provoca uma queda na tensão de saída, sendo que

o módulo dessa variação depende das propriedades de condutividade do objeto e de sua distância a partir do sensor.

162

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

-

-

QUESTOES PARA REVISAO QS.15 Con10 é o can1po magnético no interior de

um solenóide longo? QS.16 Qual é a diferença entre auto-indutância e /1

indutância n1útua? N2 espiras

QS.17 Como a indutância de u1n solenóide está

relacionada corn seu núrnero de espiras?

5-9 Figura 5-29 Linhas de campo 1nagnético geradas pela corrente / 1 no loop I enlaçando a superfície S2 do loop 2.

A indutância 111útua associada a esse acoplamento 111agnético é dada por (H). (5.102)

A indutância mútua é in1portante na análise de transformadores en1 que os enrolamentos de dois ou mais circuitos co1npartilham um núcleo comun1, conforrne ilustrado pelo arranjo toroidal 1nostrado na Fig. 5-30.

Energia Magnética

Quando inician1os o estudo da energia eletrostática na Seção 4-11, começamos examinando o que acontece com a energia gasta na operação de carga de urn capacitor desde a tensão zero até a tensão final V. Agora usarernos uma analogia similar considerando un1 indutor com indutância L conectado a urna fonte de corrente. Suponha que fossemos aurnentando a corrente que perco1Te o indutor, desde zero até o valor final /. A partir da teoria de circuitos, saben1os que a tensão v no indutor é dada por v =L di / dt. A potência pé igual ao produto de v por i, e a integral no tempo da potência é o trabalho (ou a energia). Portanto, a energia total em joules (J) gasta para que a corrente percorra o indutor é Wm =

f

p dt =

f

iv dt = L

fo' i di

= !LJ2

(J).

(5.103)

R

,,

-

Figura 5-30 Bobina toroidal com dois enrolamentos usada como transfonnador.

Por razões que brevemente se tornarão aparentes, cha1na1nos essa energia de energia 111ag11ética ar1nazenada no indutor. Vamos considerar o indutor solenóide. A indutância dele é dada pela Eq. (5 .95) co1no L = µ.,N 2 S / I, e o 1nódulo da densidade de fluxo n1agnético en1 seu interior é dado, a partir da Eq. (5.90), por B = µ.,N I / l. Equivalenternente, I = Bl/(µ.,N). Se usannos essas expressões para l e I na Eq. (5.103), obtemos

CAPITULO

5

MAGNETOSTAT ICA

163

to l, raio r e espessura dr ao longo da direção radial. Assi,n, dv =21r rl dr e µ,12

Wm =g

rr

1llm

2

V

- 21Trldr 2 ª r

= µ, / ! ln ( ~) 4rr a

(J) . •

' ' TOPICOS IMPORTANTES DO CAPITULO

(Jlln 3) .

(5. 105) • A força magnética que atua en1 unia partícula

Embora essa expressão tenha sido deduzida para u1n indutor solenóide, ela é igualrnente válida para qualquer meio com campo magnético H. Além disso. para qualquer volume v contendo um n1aterial com pern1eabilidade µ, (incluindo o espaço livre com permeabilidade µ, 0 ) , a energia magnética total arn1azenada no rneio devido à presença do campo magnético H é Wm = -1 2

1

2

onde v =l Sé o voluLne no interior do solenóide e H = B / µ,. A densidade de energia 111ag11ética Wm é definida como a energia magnética por unidade de volu111e \.Y111 1 ,, = = -µ, J-J-

2

lb

1

carregada q n1ovendo-se con1 u1na velocidade u em uma região com uma densidade de fluxo 1nagnético B é Fm = qu x B . • A força eletromagnética total, conhecida co1no

força Lorcntz, que atua em uma carga e1n movimento na presença dos ca1npos elétrico e magnético é F = q(E + u x B). • As forças 1nagnéticas que atuan1 em loops de

corrente pode1n gerar torques rnagnéticos.

J),H-? dv

(J). (5 .106)

• A intensidade do ca1npo 1nagnético induzido

Energia Magnética em um Cabo Coaxial

• A lei de Gauss para o magnetis1no diz que o

Desenvolva unia expressão para o cálculo da energia magnética armazenada em urn cabo coaxial de comprin1ento l e com raio interno a e externo b. O material isolante tem permeabilidadeµ,.

• A lei de Ampere diz que a integral de linha de

Exemplo 5-9

V

Solução: A partir da Eq. (5.97), o módulo do campo 1nagnético no 111aterial isolante é dado por 8

I

H = -µ, = 27T r ' onde r é a distância radial a partir do centro do condutor interno, co1no u1ostra a Fig. 5-28. A energia magnética armazenada no cabo coaxial é dada por Wrn = -1

2

1. V

µ,H 2 dv = µ,/22 11 dv. 2 8:n- V r

Co1no H é uma função apenas de r, escolhemos dv. para ser uma concha ci líndrica de compri1nen-

por urna corrente é definida pela lei de Biot-Savart. fluxo magnético líquido que sai de qualquer superfície fechada é zero. H ao lonoo à o de uni percurso fechado é ioual o corrente resultante que atJ·avessa a superfíc ie limitada pelo percurso. • O vetor potencial 1nagnético A está relacionado a B por B = V x A.

• Os n1a1eriais são classificados como dia1nagnéticos, paran1agnéticos ou ferro,nagnéticos, dependendo da estrutura cristalina e do comportamento que apresentam sob a influência de um ca1npo magnético externo. • Os 1nateriais diamagnéticos e paran1agnéticos apresentan1 um con1porta1nento linear entre B e H, sendo J.l :::: µo para a1nbos. •

,nateriais ferro1nagnéticos apresenta1n u1n comporta,nento de histerese não-linear entre B

()s

164

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

e H e, para alguns, o parâmetro µ, pode ser tão grande quanto 105µ.,0.

•

•

Na fronteira entre dois meios diferentes, a componente norn1a] de B é contínua e as componentes tangenciais de H estão relacionadas por H21 - H11 = 1.,, onde Js é a densidade superfieia! de corrente en1 uma direção ortogonal a H1, e H21· A indutância de um circuito é definida como a razão entre o tluxo 1nagnético de enlace do circuito e a corrente através dele.

• A densidade de energia n1agnética é dada por _ 1 H2 Wm - 2 µ, .

®

®

®u ®

®

®

®

Fm@

@B

Fm

®

Fm q +

®

®

+ q

®

®

®

®

Figura 5-31 Partícula de carga q projetada con1 velocidade u em um ,neio con1 um campo B uniforn1e perpendicular a u (Proble,na 5.2).

PROBLEMAS Seção 5-1: Forças e Torques 5.1 * U1n elétron co1n unia velocidade de 4 x l 0

6

m/s projetado ao longo da direção positiva do eixo .x en1 un1 1neio contendo uma densidade de fluxo magnético B = (x2 - z3) T. Dado que e= 1,6 x 10· '9 C e a n1assa de um elétron é rnc = 9, 1 x 10-3 ' kg, determine o vetor aceleração inicial do elétron (no 1no1nento e,n que ele é projetado no meio). 5.2 Quando uma partícula com carga q e massa ,n é introduzida en1 uni n1eio co1n u1n campo B

uniforme tal que sua velocidade inicial u seja perpendicular a B, con10 1nostra a Fig. 5-3 l, a força magnética exercida na partícula faz com que ela se mova e111 u1n cú·culo de raio a. Sendo F"' a força centrípeta da partícula, detennine a em tennos de q, m,, u e B. O circuito ,nostrado na Fig. 5-32 usa duas 1nolas idênticas para sustentar u111 fio horizontal de 1Ocn1 de comprin1ento e 5 g de massa. Na ausência de u1n campo 1nagnético, o peso do fio faz com que as molas se estenda111 0,2 cn1 cada un1a. Quando u1n can1po magnético uniforme é estabelecido na região que conté1n o fio horizontal, observa-se que as rnolas apresentam u1na extensão adicional de 0,5 cn1. Qual a intensidade da densidade do fluxo magnético B?

4~2

12V + -

@D

I@ 0 @ I l-10cm-l Figura 5-32 Configuração do sistema 111encionado no Problen1a 5-3.

5.3*

5.4 O loop retangular mostrado na Fig. 5-33 consiste em 20 espiras enroladas be111 próxiinas umas das outras ao longo do eixo z. O plano do loop faz um ângulo de 30° com o eixo y e a corrente no enrolamento é de 0,5 A. Qual o ,nódulo do Iorque exercido no loop na presença do ca,npo unifonne B = y 1,2 T? Quando visto por cima, o sentido de rotação esperado é o horário ou o anti-horário?

CAPITULO 5

165

z

;;

t

;

/

f'

,, ' 0,4 m

M.AGNETOSTÁTICA

20 espiras

1

--- -

- - - ---

Bobina com , 20 espiras

'\

--- -/

l

j

/1 1

I

- - - --- - -' ,, ,,

y

1

1

/

1

1

I

\

' X

Figura 5-33 Loop retangular articulado para o Problen1a 5-4.

" - -----r/>

11

y

/ ;

/

X

Figura 5-34 Loop retangular para o Problerna 5-6. ,

• 5.5* Em um sistema de coordenadas cilíndricas, um tio retilíneo de 2 1n de co,nprimento que conduz u,na corrente de 5 A na direção positiva do eixo z está localizado em r = 4 cm, c:p = r./2 e -1 m < z :S: l m. (a) Se B = r 0,2 cos 4> (T), qual a força magnética que atua no fio? (b) Quanto de n·abalho é necessário para girar o fio u1na vez sobre o eixo z na direção negativa de cf> (enquanto se mantém r = 4 cm)? (e) Para qual ângulo a força é máxi1na? 5.6 U,na bobina retangular de 20 espiras com lados l = 15 cm e ~v = 5 cm é colocada no plano y-z confonne mostra a Fig. 5-34. (a) Se a bobina, a qual conduz uma corrente I = 1O A, estiver na presença de uma densidade de fluxo magnético dada por B = 2 x 10- 2 (x + y2)

(T)

(b) Para qual ângulo c:p o torque é zero? (e) Para qual ângulo cf> o torque é máximo? Determine o valor desse ângulo.

* Resposia(s) disponível(is) no Apêndice D. ~, Solução disponível no CD-ROIVf.

Seção 5-2: Lei de Biot-Savart 5.7* Um loop retangular de 8 cm x 12 cm feito de fio está situado no plano x-y com seu centro na origem e o lado maior em paralelo com o eixo x. O loop te1n uma corrente de 25 A no sentido horário (visto de ci1na). Determine o ca,npo magnético no centro do loop. 5.8 Use a abordage1n apresentada no Exemplo 5-2 para desenvolver un1a expressão para o campo magnético H em um ponto P qualquer devido a um condutor linear definido geo1neu·ica1nente conforme a Fig. 5-35. Se o condutor se estende de z, = 3 m a z2 = 7 m e conduz urna con·ente I = 5 A, deterrnine H para P(2, , O). 5.9* O loop n1ostrado na Fig. 5-36 consiste e1u linhas radiais e segmentos de circunferências cujos centros estão no ponto P. Determine o campo magnético H no ponto P ern termos de a, b, ee/. 5.10 Uma fina folha condutora infinita1nente longa definida no espaço co1no O< x < "'' e -oo < y :S: oo conduz uma corrente com unia densidade de corrente unifonne Js = y5 (A/m). Obtenha uma expressão para o campo 1nagnético no ponto P(O, O, z) em coordenadas cartesianas.

166

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

z lm

''

d=21n

'

I

''

''

''

" fJ1

P1(z1) ~

J- _

-------X '

''

'

- - ___' ' ..,., ___________

--

,.

Loop circular próximo a uma corrente linear (Problema 5-11).

Figura 5-37

P(r , , z)

Figura 5-35 Ilustração ele urn condutor linear

percorrido por uma corrente para o Problema 5-8.

, . 11 = 6 A

. .,__.

p

0,5 1n

----2111---Figura 5-38

Arranjo para o Proble1na 5-12.

Figura 5-36 Configuração para o Problema 5-9.

Um fio infinito que conduz uma corrente de 50 A no sentido positivo do eixo x é colocado ao longo deste na vizinhança de um loop circular de I Oespiras colocado no plano x- y, cou10 1nostra a Fig. 5-37. Se o can1po magnético no centro do loop for zero, qual o sentido e o módulo da corrente no loop?

5.11 *

Dois fios paralelos e infinitos conduzem correntes de 6 A e1n sentidos opostos. Detern1ine a densidade de fluxo magnético no ponto P visto na Fig. 5-38.

5.12

Um longo cabo de energia situado na direção leste-oeste que conduz uma corrente I desconhecida está a uma altura de 8 m aci111a do solo. Se a densidade de fluxo n1agnético indicada por um rnedidor de campo rnagnético colocado na super-

fície é de 12 µ,T quando a corrente percorre o cabo e de 20 µ,T quando a corrente é zero, qual é o 111ódulo ele/? Dois loops circulares em paralelo, que conduze1n u1na corrente de 20 A cada u1n, estão arranjados conforme 1nostra a Fig. 5.39. O primeiro loop está situado no plano x-y con1 centro na origem e o centro cio segundo loop está em z = 2 111. Se os dois loops têm o mesmo raio a =3 m, deter. , . 1111ne o carnpo 111agne11co para: 5.14

(a)

z= O

(b) z= ln1 (e) z =2 111

5.13*

Seção 5-3: Forças entre Correntes 5.15* U111 longo condutor retilíneo, mostrado na Fig. 5-40, está situado no plano cio loop retangular

CAPITULO

5

167

MAG NETOSTÁT ICA

z

z

fJ = 10

I

X

y

Figura 5-41 Condutores em paralelo suportados por cordões (Problema 5- 16).

I X

Figura 5-39 loops circulares ern paralelo para o Problema 5-14.

~--- --~--

b = 0 ,5 m

1

d = O, I rn'

1

a= 0,2

rn

de 8 cm de comprimento, as quais tê1n uma rnassa por unidade de comprimento de 0,3 g/cn1. Devido às forças de repulsão que atua,n nos condutores, o ângulo e entre as cordas de sustentação é de 10°. Deterrnine o n1ódulo de 1 e os sentidos das correntes nos dois condutores. U1na folha condutora infinita de largura 111 ao longo da direção x e situada no plano x-y conduz uma corrente I no sentido negativo cio eixo y. Detern,ine o seguinte:

5.17 *

(a) O carnpo magnético no ponto P no 1neio da folha a uma altura h acima dela (Fig. 5-42). (b) A força por unidade de comprimento exercida sobre um fio de comprimento infinito que passa no ponto P em paralelo à folha se a corrente que percorre o fio for igual em n1ódulo porén1 de sentido oposto à da folha.

1

Figura 5-40 Loop de corrente próximo a um fio perco1Tido por uma corrente (Proble1na 5- 15). I

a uma distância d= O, l n1. O loop ten1 dimensões a= 0 ,2 111 e b = 0,5 m, sendo as correntes / 1 = 10 A e /2 = 15 A. Determine a força magnética resultante que age no loop. No arranjo 1nostrado na Fig. 5-41 , cada u,n dos dois longos condutores en1 paralelo que conduz em urna corrente I está sustentado por cordas

5.16

T

êP

h

11· 1'

• • • • • • \V

/../ .!J '1

Figura 5-42 Uma fonte de corrente linear acima de uma folha percorrida por uma corrente (Problema 5-17).

168

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

5.18 Três fios longos em paralelo estão arranjados confonne mosLra a Fig. 5-43. Detennine a força por unidade de con1pri1nento que atua no fio que conduz a corrente /3•

z

~

5.19* Um loop quadrado colocado conforme mostra a Fig. 5-44 tem 2 m de lado e conduz uma corrente / 1 = 5 A. Se um condutor retilíneo longo conduzindo uma corrente / 2 = LO A for introduzido e posicionado exatamente acin1a do ponto central entre dois lados do loop, determine a força resultante que atua no loop. X

Seção 5-4: Leis de Gauss e de Ampere para o Magnetismo 5.20 U1na corrente 1 ao longo da direção positiva do eixo z percorre o condutor interno de um longo cabo coaxial e retorna através do condutor externo. O condutor interno te1n u1n raio a e os raios interno e externo do condutor externo são b e e, respectiva1nente. (a) Determine o campo n1agnético em cada u111a das seguintes regiões: O< r ~ a, a< r ~ b, b < r < e e r~ e.

Figura 5-44 Um longo fio conduzindo uma corrente, exatamente acima de un1 loop quadrado que conduz uma con·ente / 1 (Problema 5- 19).

(b) Faça un1 gráfi co do n1ódulo de H con10 uni.1 função de r ao longo da faixa desde r = Oaté r = IOcm, dado que 1 = IOA, a= 2 c111, b =4 c1n e e=

5 Clll. 5.21* Um longo condutor cilíndrico cujo eixo coincide corn o eixo z tetn um raio a e conduz uma corrente caracterizada pela densidade de corrente J = zJo/ r, onde J0 é un1a constante e ré a distância radial a partir do eixo do cilindro. Obtenha u1na expressão para o campo magnético H en1

T 2m

(a) O< r < a

(b) r> a

5.22 Repita o Problenu1 5.21 para un1a densidade de corrente J = zJoe-r. 5.23* E111 unu1 certa região condutora, o campo 1nagnético é dado em coordenadas cilíndricas por 2m

10

~4

,.

H = ef,-[ I - ( )

? + 2r)e--']

Determine a densidade de corrente J. Figura 5-43 Sistema corn três fios en1 paralelo para o Problema 5-18.

Seção 5-5: Potencial Magnético 5.24

Co1n referência à Fig. 5-1 O:

CAPÍTULO 5

(a) Desenvolva u,na expressão para o vetor potencial magnético A no ponto P localizado a un1a distância r a partir do fio no plano x-y. (b) Desenvolva B a partir de A. Mostre que seu resultado é idêntico ao da expressão dada pela Eq. (5.29), a qual foi deduzida aplicando-se a lei de Biot-Savart. ~ 5.25*

E1n un1a dada região do espaço, o vetor potencial 1nagnético é dado por A = x5 COS7TY + z(2 + sen.irx)(Wb/m). (a) Determine 8.

(b) Use a Eq. (5.66) para calcular o fluxo magnético que passa através de um loop quadrado com 0,25 m de lado se o loop estiver no plano x-y, o

centro dele estiver na origem e os lados forem paralelos aos eixos x e y . (e) Calcule novan1ente usando a Eq. (5.67). 5.26 por

Unia densidade de corrente uniforme dada

J = zJo origina o vetor potencial magnético A =

-zAµolo(X 2+ y 2) 4

(Wb/m)

No modelo do áto1no de hidrogênio proposto por Bohr em 1913, os elétrons se movem em torno do núcleo a uma velocidade de 2 x 106 111/s ern u1na órbita circular de raio 5 x 10- 11 1n . Qual o ,nódulo do momento magnético gerado pelo movi n1ento do elétron?

5.28

O ferro conté1n 8,5 x 1028 átomos!tn 3. Na saturação, o alinhamento dos rnomentos magnéticos de rotação dos elétrons no ferro pode contribuir com 1,5 T à densidade de fluxo magnético total B. Se o 1J1ornento n1agnético de rotação de 2 2 urn único elétron for 9,27 x 10- " (A · 111 ), quantos elétrons por átomo contribuem para o ca,npo saturado? 5.29*

Seção 5-7: Condições de Contorno para Campos Magnéticos 5.30 O plano x- y separa dois ,neios magnéticos cor11 permeabilidades 111agnéticas µ, 1 e µ 2, conforme mostra a Fig. 5-45. Se não houver co1Tente superficial na interface e o campo magnético no 1neio 1 for

determine:

(b) Use a expressão referente a A para detenninar

(a) H 2

H. (e) Use a expressão para J en1 conjunto con1 a lei de Ampere para determinar H. Cornpare seu resultado con1 o obtido no ite1n (b ).

(b) 0 1 e 02

Um tênue elemento de corrente que se estende entre z = - L/2 e z = L/2 conduz uma corrente I ao longo de +z através de unia seção reta circular de raio a.

(a) Determine A para o ponto P localizado bem

distante da orige,n (considere que R seja muito n1aior que L para que se considere que o ponto P estt:ia aproximadamente à mesrna distância a partir de qualquer ponto ao longo do eletnento de corrente). (b) Determine o H co1Tespondente.

169

Seção 5-6: Propriedades Magnéticas dos Materiais

(a) Aplique o vetor equação de Poisson para confirn1ar a atirn1ação aci1na.

5.27*

MAGNETOSTÁTICA

z

•

trHt 1

__....___________ ., Planox-y

Figura 5-45 Meios 111agnéticos adjacentes (Proble111a 5-30).

170

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

(e) Calcule 8 2 , e, e 82 para H,, = 3 (A/m), H, y = O, H,,. =4 (Nm), µ.. 1 =µ.. 0 e µ.. 2 =4µ.. 0 5.31* Dado que u1na folha de corrente con1 u1na densidade superficial de corrente J5 = 4 (Nm) está situada en1 y =O, a intertàce entre dois m.eios magnéticos e 8 1 = 8 (Nrn) no n1eio 1 (y > 0), determine H2 no n1eio 2 (y < O).

x

z

5.32 Na Fig. 5-46, o plano definido por x - y = l separa o ,neio I de permeabilidade µ, 1 do meio 2 de per111eabilidade µ,2 . Se não existir corrente superficial na fronteira e B 1 = x2 + y3

(T)

determine B2 e e,n seguida avalie seu resultado para µ, 1 = 5µ, ,. Sugestão: Co,nece deduzindo a equação para o vetor unitário normal para o plano dado. ~ 5.33 O plano na fronteira definido por z = O separa o ar de um bloco de fe1To. Se B 1 = x4 - y6 + z8 no ar (z > 0), detennine B2 no ferro (z < O), dado que J.L =5000µ..0 para o ferro.

5.34 Mostre que, se não existe nenhuma densidade de corrente superficial em interfaces paralelas n1ostradas na Fig. 5-47, a relação entre 84 e O1 é independente de µ,2• Seções 5-8 e 5-9: Indutância e Energia Magnética

5.35* Obtenha u,na expressão para a auto-indutância por unidade de comprirnento para a linha de trans,nissão com fios en1 paralelo ,nostrada na Fig. 5-27(a) ern tennos de a, d eµ.., onde a é o raio dos fios, d é a distância de eixo a e.ixo entre os fi os e µ.. é a penneabilidade do meio onde estão. 5.36 Urn solenóide com cornprirnento de 20 crn e raio de 5 cn1 consiste en1 400 espiras e conduz urna corrente de 12 A. Se z = Orepresenta o ponto central do solenóide, faça um gráfico para JH(z)I como u,na função de z ao longo do eixo do solenóide para a faixa - 20 cm < z < 20 cm e,n passos de I cm. 5.37* Em tennos da corrente cc J, quanto de energia ,nagnética é armazenada no meio isolante de uina seção de linha de transmjssão coaxial de 2

y

----+---+-------, x (1, O) Meio 1 µ,,

M.eio2 /tz

(0, - 1)

Figura 5-46 Meios magnéticos separados pelo plano x - y = I (Problen1a 5-32).

Figura 5-47 Três meios magnéticos com interfaces e1n paralelo (Problen1a 5-34).

CAPITULO

m de comprimento e dielétrico de ar, dado que o raio do condutor interno 5 cn1 e o raio interno do condutor externo é 10 crn?

5

MAGNETOSTÁTICA

171

z

5.38 O loop retangular mostrado na Fig. 5-48 é co-planar corn o comprirnento de un1 fio retilíneo longo percorrido por uma corrente I = 20 A. Determine o lluxo magnético através do loop.

30cm

20A

5.39-5.41 Mais problernas resolvidos - soluções con1plet.as no 1~ .

5cm

•- - -20cm- l

A--------------~Y X

Figura 5-48 Arranjo constituído de un1 loop e un1 fio para o Problen1a 5.38.

Aun1ento de B (r)

I +

-

CA P1

Lr

V1em

2

ULO

s

ttt o em u1n campo B variante

Equações de Maxwell para Campos Variantes no Tempo

f

Campos Dinâmicos 6-1

Lei de Faraday

6-2

Loop Estacionário em un1 Campo Magnético Variante 110 Tempo

Variante

6-3

O Transformador Ideal

6-4

Movimento de um Condutor em um Campo Magnético Estático

6-5

O Gerador Eletromagnético

6-6

Movimento de u1n Condutor em um Campo Magnético Variante no T empo

6-7

Corrente de Deslocamento

6-8

Condições de Contorno em Eletromagnetismo

6-9

Relação de Continuidade Carga-Corrente

6-10

Potenciais Eletromagné ticos

Campos Dinâmicos Cargas elétricas induze1n ca1npos eléLricos e correntes elétricas induze1n campos 1nagnéticos. Esses são os temas das lições aprendidas nos dois capítulos anteriores. Enquanto as distribuições de carga e corrente permanece111 constantes no te111po, o mesmo ocorre com os carnpos que elas induzen1. Entretanto, se as fontes de carga e corrente variarem com o te1npo t, não apenas os campos também variarão co1n o tempo, pois 1nuito mais acontece. Os campos elétrico e magnético se tornam interconectados, e o acoplamento entre eles produz ondas eletro1nagnéticas capazes de se deslocare1n através do espaço livre e ern meios materiais. As ondas eletro1nagnéticas, dentre as quais se incluem as ondas de luz, os raios X, as ondas de infravern1elho, os raios ga1na e as ondas de rádio [veja a Fig. 1-9), são partes importantes do nosso mundo físico e suas aplicações podem ser notadas em diversos ca1npos da ciência e da tecnologia. . Para estudar os fenô1nenos eletromagnéticos variantes no tempo, precisa1nos usar as equações de Maxwell con10 uma unidade integrada. Essas equações, as quais foram apresentadas na seção de abertura do Capítulo 4, podem ser vistas na Tabela 6-1 em suas forn1as diferencial (ê)/c)t =O) e integral, considerando que no caso estático usa1nos o primeiro par das equações de Maxwell para estudar os fenô1nenos elétricos no Capítulo 4 e o. segundo par para estudar os fenôn1enos 1naonéo t1cos no Capítulo 5. No caso dinâmico, te1nos ele lidar con1 o acoplamento que existe entre os campos elétrico e magnético, confonne expressa111 a segunda e a quarta equações da Tabela 6-1. A pritneira equação representa a lei de Gauss, que é igualmente válida para os campos estático e dinã-

mico. O mes1110 vale para a terceira equação, V · B =O, que basica1nente diz que não existen1 coisas con10 cargas n1agnéticas. Entretanto, a segunda e a quarta equações apresentam significados diferentes para os can1pos estático e dinâ1nico. No caso dos campos dinâmicos, um ca1npo maonéti. . o co variante no ten1po origina um ca1npo elétrico (lei de Faraday) e, reciprocamente, um campo elétrico variante no ten1po origina un1 ca1npo magnético (lei de Ampere). Alguns dos resultados que iren1os obter neste capítulo e nos posteriores pode111 contradizer afirmações feitas e conclusões alcançadas nos Capítulos 4 e 5. Isso oco1re porque o assunto anterior pertence ao caso especial de correntes contínuas e cargas estáticas. Quando cJlôt é igualado a zero, os resultados e as expressões para os ca1npos sob condições dinã1n icas se reduzem àqueles aplicáveis sob condições estáticas. Começaretnos este capítulo examinando as leis de Faraday e Ampere e algumas ele suas aplicações práticas. Então combinaremos as equações de Maxwell para obter as relações entre as fontes de carga e de corrente, p, e J, os potenciais escalar e vetorial, V e A, e os campos eletroa1agnéticos E, D, H e B para o caso geral e111 que varia111 no te111po e para o caso particular em que varia1n de for1na senoidal no tempo.

6-1

Lei de Faraday

A .estreita relação entre eletricidade e 1naonetisn10 . o foi estabelecida por Oersted, que den1onstrou que urn fio conduzindo u1na corrente elétrica exerce

174

ELETROMAGNETISMO PARA ENG ENHEIROS

Equações de Maxwell

Tabela 6-1 Referência

Forma diferencial

Forma integral

v' ·D =Pv

Lei de Gauss

Lei de Faraday

'\7 X

i

ôB E= - -

e

ÔI

v'·B =O

Não existen1 cargas magnéticas

is

E · dl =

i

(6.1)

D· ds = Q

-1ot s

(6.2)*

~B · ds

(6.3)

B·ds = O

(lei de Gauss para o magnetismo) Lei de Ampere

.

oD i H · dl = 1(.1 + ~D) ·ds

v'xH= J+')
C

S

(6.4)

ÔI

*Para unia superfície S estacionáJia.

u,na força sobre a agulha de uma bússola e que a agulha sempre gira de fonna a apontar na direção 4> quando a co1-rente está ao longo da direção A força que atua na agulha da bússola é decorrente do campo ,nagnético produzido pela corrente no fio. Pesquisando essa descoberta, Michael Faraday desenvolveu as seguintes hipóteses: se u,na corrente pode produzir um campo n1agnético, então o inverso ta1nbé1n pode ser verdadeiro: u1n campo 1nagnético deve produzir uma co1-rente nurn fio. Para provar sua lúpótese, ele conduziu vários experünentos em seu laboratório em Londres durante cerca de IO anos, tentando fazer com que can1pos ,nagnéticos induzissem correntes em fios. Un1 trabalho semelhante estava sendo conduzido por Joseph Henry em Albany, Nova York. Fios eram colocados próximos a ímãs permanentes de tamanhos va1iados, porém nenhu,na co,-rente foi detectada neles. Tambéin forarn usados fios percorridos por correntes em paralelo con1 outros fios, com a expectativa de que o ca,npo magnético gerado pelo fio que conduzia a corrente induzisse urna corrente nos outros, porén1 o resultado foi nova,nente negativo. Por firn, esses tipos de experi1nentos conduzira,n à resposta verdadeira, que Faraday e Henry descobriram de forn1a independente quase ao mesmo ternpo ( 1831 ). Eles descobriram que realmente ca,npos 1nagnéticos pode1n produzir corrente elétrica eni u,n Loop fechado, porén1 apenas se o fl1Lto magnético enlaçado na supe,fície do loop for variante no ternpo. O in1portante no processo de indução é a A

z.

variação. Para explicar como o processo de indução funciona, vamos considerar o arranjo mostrado na Fig. 6-1 . Uni loop condutor quadrado conectado a um galvanô1netro, que era uin instruoJento sensível usado no século 19 para detectar corrente en1 u1n circuito, é colocado próxi,no a un1a bobina condutora conectada a unia bateria. A corrente na bobina produz um campo magnético B cujas linhas passarn através do loop, como 1nostra a Fig. 6- l. Na Seção 5-5, definimos o fluxo que passa através de uni loop, con10 a integral da componente normal da densidade de fluxo magnético <1> ao longo da superfície S do loop, ou

/

Bobina

l3

I

I

+ Gal vanôn1etro

F igura 6-1

Bateria

O gal vanôn1etro ,nostra uma defle-

xão sempre que o fluxo magnético que passa através do loop quadrado varia com o tempo.

CAPÍTULO

=

{ B · ds

ls

6

(Wb).

EQUAÇÕES DE MAX\VELL PARA CAMPOS VARIANTES NO 1'EMPO

(6.5)

Sob condições estacionárias, a corrente cc nabobina produz um campo magnético B constante, o qual, por sua vez, produz um fluxo constante através do loop. Quando o fluxo é constante, nenhu1na corrente é detectada pelo galvanômetro. Entretanto, quando a bateria é desconectada, interrompendo assi1n o fluxo de corrente na bobina, o can,po n1agnético se reduz a zero e essa ,conseqüente variação no fluxo magnético provo·Ca uma deflexão n,omentânea na agulha do galvanô1netro. Quando a bateria é reconectada, o galvanô1netro apresenta novamente uma deflexão 111011,entânea, porém no sentido oposto. Portanto, urna corrente é induzida no loop quando o fluxo 1nagnético varia e o sentido da corrente depende se o fluxo está au1nentando (co1no quando a bateria está sendo conectada) ou diminuindo (co1no quando a bateria está sendo desconectada). Des·Cobriu-se 1nais tarde que uma corrente também pode ser estabelecida no loop enquanto a bateria ,está conectada à bobina, se girarmos o loop ao :redor rapidamente ou enquanto realiza1nos movi1nentos de aproxi1nação e afastan,ento e1n rela·ção à bobina. O movirnento físico do loop faz variar a quantidade de f luxo enlaçado na sua superfície S, mesmo que o campo B devido à bobina não varie. O galvanôtnetro é o predecessor do voltín1etro e do a1nperímetro. Quando u,n galvanô1netro detecta uma corrente num circuito, significa que uma tensão foi induzida nos tenninais do galvanôn,etro. Essa tensão é denominada força eletro,notriz (fe1n), l'rcm• e o processo é denon1inado indução eletromagnética. A tem induzida em um loop condutor fechado de N espiras é dada por d d Vrern = -N = -N B ·ds (Y)-(6.6) dt dt s

1

Embora os resultados que levem à Eq. (6.6) tenhau, sido tan1bén1 descobertos independentemente por Henry, a Eq. (6.6) é atribuída a Faraday .e é conhecida como lei de Faraday. O significado
175

Notamos que a derivada na Eq. (6.6) é u,na derivada total que opera no campo magnético B, bem co1no na superfície diferencial ds. Conseqiienten,ente, unia fen, pode ser gerada nun, loop condutor fechado sob quaisquer das três condições a seguir: 1.

Un1. ca,npo magnético variante no ternpo enlaçado nu,n loop estacionário; a tem induzida é então deno1ninada jellz de tra11sfor111a- V'T çao, fem ·

2.

U,n Loop ern ,novim.ento co,n un·za área variante 110 te,npo (e,n relação à coniponente

nor,n.al de B) e,n. urn campo B estático; a tern induzida é então denon,inadaje,n. de 11zovi11zento, v;;~r3.

U111. loop e,n. n1.ovilne11to ern urn cc11npo B variante no ternpo.

A tem total é dada por

sendo v;;;11• = O se o loop for estacionário (caso (l), e V/:m = O se B for estático (caso (2)). Para o caso (3), nenhun1 termo é zero. Cada un, dos três casos será analisado separadamente nas seções a seguir.

6-2

loop Estacionário em um Campo Magnético Variante no Tempo

Um loop circular condutor de espira única com contorno C e superfície S rnostrado na Fig. 6-2(a) está em un, can1po magnético B(t) variante no te1npo. Conforn,e dito anteriormente, a te1n induzida quando Sé estacionária e o campo é variante no tempo é denon1inadaje,n de tra11sjor1nação e é indicada por Vf~·111 • Coo10 o loop é estacionário, d/dt na Eg. (6.6) agora opera apenas sobre B(t). Portanto,

tr Vfem= -N

18B s a, -

· ds,

(6.8)

176

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Aumento ele B (1)

circuito equivalente 1nosu·ado na Fig. 6-2(b), onde a corrente que percorre o circuito é dada por

l

l =

1 +

I(

v:rr fem

R + R;

(6.9)

Vfcm

2

s

ttt (a) Loop en1 uni cainpo B variante 1

R·1

R

2 (b) Circuito equivalente

Para bons condutores, a R; gerahnente é ,nuito pequena, podendo ser ignorada em co1nparação com valores práticos de R, exceto quando R =O (loop co,n as extre,n idades en1 curto-circuito). A polaridade de V/f111 , e portanto a direção de /, é regida pela lei de Lenz, a qual diz que a corrente no loop é sernpre n111na direçâo tal que se opõe à variação do .fluxo n1agn.ético inct· A direção de B ind é deter,ninada pela regra da mão direita; se estiver no sentido horário, então B, <1 aponta para baixo através de Se, reciproca1nente, se estiver no sentido anti-horário, então B inct aponta para cima através de S. Se o campo B(t) original for aumentado, o que significa que d O, então, de acordo con1 a lei de Lenz, I te1n de estar na direção mostrada na Fig. 6-2(a) para que B ind esteja e,n oposição a B(t). Conseqüentemente, o tenninal 2 estaria e1n un1 potencial maior que o tenninal l e V/fm teria un1 valor negativo. Entretanto, se B(t) fosse n1antido na mes,na direção mas diminuísse de rnódulo, então dcf>!dt seria negativo, a corrente teria de ser na direção contrária e seu campo induzido B ;n<1 seria na mesma direção que B(t) para se opor à variação (di1ninuição) de B(t). Neste caso, V/f111 seria positiva. É in1portante le1nbrar que B ind serve para se opor à variação em B(t) e não necessaria,nente a B(t) propriamente. Apesar da presença de u1na pequena abertura entre os tenninais I e 2 do loop na Fig. 6-2(a), devemos considerar o loop co1no um percurso fechado con1 contorno C. Faze1nos isso para estabelecer a conexão entre B e o can1po elétrico E associado à fem induzida, Vf~m· Alé1n disso, em qualquer ponto ao longo do loop, o ca,npo E está relacionado à corrente I no loop. Para o contorno C, V1~111 está relacionada a E por 11

Figura 6-2 (a) Loop circular estacionário em um catnpo magnético B(t) variante e (b) seu circuito equivalente

onde a derivada total d/dt foi n1ovida para dentro da integral e transformada na derivada parcial d!dt, significando que a operação é apenas sobre 8 . A fem de lransfonnação é a diferença de tensão que apareceria na pequena abertura entre os terminais l e 2, mesmo com a ausência de um resistor R. Ou seja, v,~111 = V12, onde V12 é a tensão de circuito aberto através das extremidades abertas do loop. Sob condições cc, V/f111 = O. Para o loop 1nostrado na Fig. 6-2(a) e a definição associada para v/;111 dada pela Eq. (6.8), a direção de els, o diferencial da normal à superfície do loop, pode ser escolhida de forma que seja tanto voltada para cima quanto para baixo. As duas escolhas estão associadas às designações opostas da polaridade dos tenninais 1 e 2 na Fig. 6-2(a). A conexão entre a direção de ds e a polaridade de V1~ 111 é detertninada pela seguinte regra da tnão direita: se d. aponta ao longo do polegar da ,não direita, então a direção do contorno C é indicada pelos outros quatro dedos, de forma que sempre passe através da abertura, indo do terminal positivo de V/f111 para o terminal negativo. Se o loop tiver utna resistência interna R;, o circuito na Fig. 6-2(a) pode ser representado pelo

V/.:m=

Íc E· d l.

(6.10)

CAPÍTULO

6

EQUAÇÕ ES DE MAX\VELL PARA CAMPOS VARIANTES NO ,1 -EMPO

Para N = L (un1 loop com. u1na espira), ao igualar as Eqs. (6.8) e (6.1 O), obtemos

J. E· dl =

fc

- [ aB · ds , ls &t

(6.11)

a qual é a forma integral da lei de Faraday dada na Tabela 6- 1. Temos de ter en1 mente que a direção
ls

~ · ds ,

ls at

(6.12)

que as duas integrais sejam iguais, seus integrandos tê1n de ser iguais, o que resulta e1n

177

(d) a corrente induzida no circuito para R = l kQ (considere a resistência do fio co1no insigni ficante1nente pequena) Solução: (a) O fluxo 1nagnético que enlaça cada espira do indutor é = [ B · ds

ls

f

=

s

[Bo(Y 2 + z3) sen wt] · z ds 2

= 3na Bo sen wt.

(b) Para detenninar V1~m• pode1nos aplicar a Eq. (6.8) ou a expressão geral dada pela Eq. (6.6) diretamente. A últin1a abordage111 resulta en1

,e para

8B . 'V x E= - - (lei de Faraday). 8t

(6.13)

Essa forn1a diferencial da lei de Faraday diz que um campo magnético variante no tempo induz um ca1npo elétrico E cujo rotacional é igual .ao negativo da derivada no tempo de B. Ainda que a dedução conduza à lei de Faraday que co1neçou considerando o campo associado a u,n circuito físico, a Eq. (6.1 3) se aplica a qualquer ponto do espaço, existindo ou não um circuito físico no ponto.

Exemplo 6-1

= -Àrd

v.ir

dt

fcm

= _ !!_ (3n N a 2 Bo sen wt) dt = -3n Nwa 2 Bo coswt.

ParaN=10, a = 0, lm, w = 103 rd/s eBo = 0 ,2T, V1~m= - 188,Scos I03 t (e) Para t = O, d<J>/dt > O e Vr~m

(a) o fluxo 1nagnético enlaçado e1n uma única espira do condutor,

(b) a fe1n de u·ansfor1uação, dado que N = 1O, B 0 3 = 0,2 T, a = 1Ocm e w = 10 rd/s, (e) a polaridade de V/[rn para t =Oe

=-

188,5 V. Co1no o fluxo é aun1entado, a corrente Item de estar na direção 1nostrada na Fig. 6-3 para satisfazer a lei de Lenz. Conseqüente1nente, o ponto 2 está um potencial maior que o ponto 1 e

Indutor em um Campo Magnético Variável

Um indutor é constituído por u1n enrolamento de N espiras circulares de raio a fe itas de um fio condutor fino. O loop do indutor está no plano x-y con1 seu centro na origen1 e está conectado a um resistor R, conforrne mostra a Fig. 6-3. Na presença de un1 can1po n1agnético dado por B = B0 (y2+z3) senwt, onde w é a freqüência .angular, detennine

(V).

(V).

z I

-

ir Vfoll)

2

' 11

1

espiras

Fi1,1 ura 6-3 Loop circular con1 N espiras no plano x-y. O can1po n1agnético é B = Bo(Y2 + z3) sen wt (Exemplo 6-1 ).

178

ELETROMAGN ETISMO PARA ENG ENl·IEIROS

(d) A corrente J é dada por I

I = V2 - Vi = 188,5 cosl03r

R

103 = 0,19cos 1031

(A). •

... v, :: -

~····

+

®

EXERCÍCIO 6.1 Para o loop n1ostrado na Fig. 63, qual é o valor de Vr~m se B = yBo cos wt? Explique.

®

®

2

n

-Área= 4 1112

Figura 6-4 Circuito para o Exen1plo 6-2.

Resp. v,~m = Oporque B é ortogonal à superfície nonnal do loop els. ( veja r,;>) EXERCICIO 6.2 Suponha que o loop do Exe111plo 6-1 seja substituído por un1 loop quadrado de 10 espiras com cen1ro na origc,n e 20 c111 de lado ori.entado en1 paralelo aos eixos x e y. Se B = iB0 x 2 cos 103 1 e 8 0 = 100 T, determine a corrente no circuito.

Resp. 1 = - 133 sen 10·J t (mA).

Exem lo 6-2

(veja $ )

e

Lei de Lenz

Determine as tensões V, e V2 nos resistores de 2 Q e 4 Q 111ostrados na Fig. 6-4. O loop está loca' apresenta Jizado no plano x-y, tern área de 4 111-, tuna densidade de tluxo B = -z0,3t (T) e a resistência interna do fio pode ser ignorada. Solução: O t1uxo através do loop é =

Portanto, Item de estar na direção 1nostrada no circuito porque o B i nd correspondente está ao longo da direção +z na região dentro da área do loop. lsso, por sua vez, significa que V1 e V2 são tensões positivas. A tensão total de 1,2 V é distribuída nos dois resistores e1n série. Conseqüenten1ente, <1>.

,

f B . ds = f (-i0,3t) · i els Js ls = -0,3t X 4 = -l ,2t

= 0,2 x 2 = 0,4 V,

V?= l R2 = 0,2 x 4 = 0,8 V. •

QUESTÕES PARA REVISÃO Q6.1 Explique a lei de Faraday e a fu nção da lei de Lenz.

(Wb),

e a fe1n de transfonnação correspondente é tr dcf> 2 Vrem = - - = 1, dt

v, = IR,

(V).

Como o tluxo magnético através do /oop está ao longo da direção -z (para dentro da página) e aumentando e,n módulo co,n o tempo t, a lei de Lenz diz que a corrente induzida deve estar nun1a direção tal que a densidade de fluxo magnético induzida B i nd por I contraria a direção de variação de

Q6.2 Sob quais circunstâncias a tensão resultante e1n torno de u1n loop fechado é zero? Q6.3 Suponha que a densidade de tluxo 1nagnético que enlaça o loop visto na Fig. 6-4 (Exe1nplo 62) é dada por B = 0,3e- 1 (T). Qual seria a direção da corrente, em relação à que é mostrada na Fig. 6-4, para t > O? Expl ique.

-z

M6. l-6.2

CAPÍTULO

6-3

6

E QUAÇÔC:S DE M AX\VELL PARA CAMPOS VARIANTES NO ' rEMPO

179

O Transformador Ideal (6.18)

- = -

O transfor111ador 1nostrado na Fig. 6-S(a) consiste em duas bobinas enroladas e1n torno de um núcleo n1agnético comum. A bobina do circuito prünário tem N 1 espiras e a do circuito secundário te1n N2 espiras. A bobina do pri1nário é conectada a uma fonte de tensão ca V1(t) e a do secundário é conectada a u,n resistor de carga RL. Em um transformador ideal, o núcleo te1n u1na penneabilidade infinita(µ,= 00) e o fluxo magnético fica confinado dentro do núcleo. As direções das correntes que percorre1n as duas bobinas, / 1 e /2, são definidas de fonna que, quando / 1 e /, são positivas o 11uxo oe' "' rado por /2 é oposto ao gerado por / 1. O tra11sfor111ador recebe esse 110111e e1nfu11ção do fato de que é usado para transfonnar correntes, tensões e irnpedâncias entre os circuitos conectados ao prúnário e ao secundário. No lado do prin1ário do transfonnador, a fonte de tensão V, gera u1na corrente / 1na bobina do primário, a qual estabelece u111 fluxo <J) no núcleo ,nagnético. O fluxo e a tensão V 1 estão assi111 relacionados pela lei de Faraday:

(6. 14)

Assirn, ernbora a razão entre as tensões dada pela Eq. (6.16) seja proporcional à razão de espiras correspondente, a razão de correntes é igual ao inverso da razão entre espiras. Se N/N2 = O, 1, V, no circuito secundário seria IO vezes V1 do circ~ito primário, porém /2 seria apenas //10. O transfonnador mostrado na Fig. 6-5(b) é idêntico ao ela Fig. 6-5(a), exceto pela direção do enrolamento da bobina do secundário. Devido a essa alteração, a direção de /2 e a polaridade de V, na Fig. 6-5(b) são contrárias às apresentadas n~ Fig. 6-5(a). A tensão e a corrente no circuito secundário na Fig. 6-5(a) estão relacionadas por V2 = l 2R._. Para o circuito de entrada, o transfonnador pode ser representado por uma resistência de entrada equivalente R""'' conforn1e 1nostra a Fig. 6-6, definida con10

' ,--- -.. ___ , \

e, de forma similar, no lado do secundário, d

V2 = - N2 -

dt

N,

+t

V2(1) Rt

1V2

.

(6.15)

1

' ---

/2

-- -

I

- -

A co,nbinação das Eqs. (6.14) e (6.15) resulta em (a)

-=-

(6. 16)

--~ Em u,n transfonnador ideal sem perdas, toda a potência instantânea fornecida pela fonte conectada à bobina do prunário é entregue à carga no lado do secundário. 1-\ssim, nenhurna potência é perdida no núcleo, e (6.17) Como P 1 = / 1 V1e P2 = 12V2 e devido à Eq. (6.16), te111os

\

/2

N1 1 \

N2

V2(r) Ri.

' -- - q;--- -- I ' (b)

Figura 6-5 Em um transformador, as direções de / 1 e 12 são tais que o fluxo<}) gerado por uma delas é oposto ao gerado pela outra. A direção do enrolan1ento secundário em (b) é oposta à de (a), bem como a direção de /2 e a polaridade de V2•

180

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

1,(1)

+ V1(r) €C)

--

0

0

0

0

0 l 0 Em 0 0

0

T

Ren1

~

0

0

I

Circuito equivalente para o lado prin1ário do transforn1ador.

Figura 6-6

1

zLx

u

0 u

0

Fio em movimento

y

0 0

0

0

0

'Linha de campo niagnético 0 (saindo da página)

Fio condutor se n1ovendo num campo magnético estático.

Figura 6-7

v,

Ren1=- .

(6. J9)

l,

Corno uso das Eqs. (6.16) e (6.18), temos Rent =

~ (!'!.J.) l2 N2

2

=

(!'N2!.J.)

O campo E,,, gerado pelo movimento das partícu-

2

RL,

(6.20)

Quando a carga é uma .irnpedância ZL e V 1 é u1na fonte senoidal , a representação da resistência de entrada pode ser estendida para uma in1pedãncia de entrada equivalente Z""' dada por (6.21)

6-4

Movimento de um Condutor em um Campo Magnético Estático

las carregadas é denominado ca11zpo elétrico de 111ovi11zento, e está na direção perpendicular ao plano que contém u e B. Para o fio mostrado na Fig. 6-7, Emestá ao Iongo de - y. A força tnagnética que atua nos elétrons do fio faz corn que eles se movam na direção -E"'; ou s~ja, na direção da extre1nidade indicada por I na Fig. 6-7. Isso, por sua vez, induz uma diferença de tensão entre I e 2, sendo a extren1.idade 2 a de maior potencial . A tensão induzida é denominada fem de ,novinzento, Vr~!n , e é definida a seguir como a integral de linha de Em entre as extremidades 1 e 2 cio fio, V/;111 = V12 =

1'

Em · dl =

1'

(u x B) · d l. (6.24)

Considere um fio de cornprimento l se movendo através de un1 ca,npo 111agnético estático B = zBo a urna velocidade constante u , conforme mostra a Fig. 6-7. O fio condutor conté1n elétrons livres. A partir da Eq. (5.3), a força rnagnética Fm que atua apenas nas partícula<; carregadas com carga q que se rnovem co,n u1na velocidade u nu1n carnpo magnético B é dada por F 111 = q(u

X

8).

Fm q

=

U X

B.

(6.23)

xu x zB0 = - yuBo (6.25)

Em geral, se qualquer seg1nento de um circuito fechado corn contorno C se move co1n uma velocidade u através de u1n can1po 111agnético B estático, então a fem de 1novi.tnento induzida é dada por

(6.22)

Essa força n1agnética é equivalente à força elétrica que seria exercida sobre urna partícula por u1n campo elétrico E"' dada por Em = -

Para o fio condutor, u x B = e d l = y d l. Portanto,

v;;~ = 1

i

(u x B) · d l.

(6.26)

Apenas aqueles segmentos do circuito que cortarn as linhas de carnpo ,nagnético conrribue,n para vf~n·

6

CAPÍTULO

ExemRlo 6-3

EQUAÇÕES DE MAX\VELL PA.RA CAMPOS VARIANTES NO T EMPO

v;:

Barra Deslizante

O loop retangular mostrado na Fig. 6-8 tem u1na largura constante, porém seu con1pri1nento x 0

aun1en1a com o tempo conforme a barra condutora desliza con1 velocidade unifom1e u e1n u,n ca,npo magnético estático B = zBox. Note que B aumenta lineam1ente con1 x. A ba1Ta inicia o n1ovimento e1n x = Opara t = O. Determine a fe1n de 1novin1ento entre os terminais I e 2 e a corrente I através do resistor R. Considere a resistência do loop R; << R. Solução: Esse proble111a pode ser resolvido usando a expressão para a fem de 1novimento dada pela Eq. (6.26) ou aplicando a fórmula geral da lei de Faraday. Mostraremos que as duas abordagens apresentam o mes1no resultado. A barra corrediça, que é a única parte do circuito que corta as linhas do campo B, é a única parte do contorno 2341 que contribui para V/;:,iPortanto, para x =x 0,

{4

V/~:n = V12 = V43 = }

(u

X

4

zBoxo) · y d!

Í (xu X }3

Con10 B é estático, 111 = O e Vrcm = Vf~~' apenas. Para verificar que o mesmo resultado pode ser obtido pela forma geral da lei de Faraday, con1eçan1os detenninando o fluxo através da superfície do loop. Assim, = { B · ds

ls

=

= Boi

V.

l

l

R

-

• • • • •

-

1

(6.27)

-- 0 •

0•

0

0

0 ~10

0

4

+

0 0

0

0

dt

2

(V), (6.29)

Loop em Movimento

-u

0 .- 0 l....•-----.~·o---•. . I.

0

0

0

0 0

0

d_ _ _ :!_ (Bolu 2 t 2 )

u

0

x=O

2

(6.28)

O loop retangular rnostrado na Fig. 6-9 está situado no plano x- y e se move distanciando-se da orige1n a u1na velocidade u = y5 (m/s) en1 un1 campo magnético dado por

0•

0

o

x dx =

B0Lx2 0

= - Bou2 lt

0•

-

1

dt -

fem -

0•

Vr~/11 0 2

_ _

Exemplo 6-4

O comprimento do loop está relacionado a u por x0 = ut. Portanto,

-

xo

dy

Substituindo x0 = ut na Eq. (6.28) e en1 seguida calculando a derivada negativa e1n relação ao te111po, temos

=-uBoxol.

(V).

Is (zBox) · zdx

que é idêntica à Eq. (6.27). Corno V12 é negativo, a corrente I = Bou2 lt / R perco1Te a direção 1nostrada na Fig. 6-8. •

8) ·d l

3

=

181

3

-

Ca1npo ,nagnético B

Figura 6-8 Barra deslizante em u1n ca1npo magnético que au1nenta lineannente con1 x; ou seja, B = ZBoA: (Exemplo 6-3).

182

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

z

l =

v'.43 -

·

V12

R

=

O 079 ' = 15 8 (mA) . • 5 '

+ ; - - 1 -..4+

--u

I

Exemplo 6-5

Movimentando uma Barra Próximo a um Fio

______ ...._ ___ y \112_ _ __ ....,_ \143 1=2 m_ _,_

y,=2n1

2

X

R

i - 0,5

O fio mostrado na Fig. 6-1 Oestá no espaço livre e

Y2 =2,51n

conduz uma con·ente l = 1OA. Uma ba1Ta de 1.netal com 30 cm de comprimento se move a u,na velocidade constante u = z5 m/s. Deternúne V12•

3 rn-i

Figura 6-9 Loop em movimento (Exemplo 6-4).

B(y)

= z0,2e- 0· 1Y

(T).

Se R = 5 .Q, determine a corrente l num instante en1 que os lados do loop estão en1 y 1 =2 m e y 2 = 2,5 m. A resistência do loop pode ser ignorada.

x,

Solução: Con10 u X B está ao longo de as tensões são induzidas apenas nos lados orientados ao longo de isto é, o lado entre os pontos 1 e 2 e o lado entre os pontos 3 e 4. Sendo B uniforme, as tensões induzidas seriam as 1nesn1as e a tensão resultante no resistor seria zero. Entretanto, nesse caso, B din1inui exponenciahnente co1n y, assurnindo assim um valor diferente no lado 1-2 e1n relação ao lado 3-4. O lado 1-2 está e1n y 1 =2 me o carnpo n1agnético corTespondente é

Solução: A corrente Tinduz um campo n1agnético ~ µo! B = 4> ' 21rr onde ré, a distância radial a partir do fio e a direção de 4> está voltada para dentro ela página no lado do fi o onde está a barra de metal. O n1ovimento da barra na presença do campo B induz uma fem de 1novimento dada por 10cm

V12=

40 cm

x,

B (y1) = z0,2e- 0 • 1Y1 = z0,2e- 0 •2

1 1

(u xB)·dl

=

10 cm (

z5 X q>,µ O/) ·r dr 21rr

40 cm

= - 5µol { IOcm dr 2rr }40 cm r 7

= - 5 x 4rr x 10- x 10 x ln(lº)

2JT

40

= 13,9(µ,V). •

(T).

M6.3-6.4

A tensão induzida V12 é então dada por

V12= =

fi

1

?.

[uxB(y 1)] · dl

1-1/2 (y5

X

80

z0,2e- 0·2 ) · Xdx

=

Barra

l= IOA

//2

-e- 0· 2 /

@B

=

-2e- 0·2

= -1,637

(V).

r

Fio

De forma similar, V43 = -u B(y2) l = -5

X

0,2e- 0 ·25

=-1,558

n1etálica u

1

1 X

2

(V ) .

Conseqüenternente, a con·ente está na direção n1ostracla na figura e seu módulo é

i-tO cn1 • I•

B0

t I

30cm

2 1 •

·1

@B

Figura 6-10 Ba1Ta en11novi111ento (Exen1plo 6-5).

CAPITULO

6

EQUAÇÕES DE M .AX\VELL PARA CAMPOS VARIANTES NO TEMPO

EXERCÍCIO 6.3 Para o loop em movimento da Fig. 6-9, detern1ine I no instante en1 que os lados do loop estão em y 1= 4 1n e y2 =4,5 m. Alé1n disso, inverta a direção do movin1ento de forn1a que u = - y5 (1n/s). Resp.

i= - 13 (mA).

=

.

s

(v~ja ~ )

' EXERCICIO 6.4 Suponha que giremos o loop visto na Fig. 6-9 de fonna que sua superfície fique em paralelo co1n o plano x-z. Qual seria o valor de I nesse caso?

Resp. 1 O.

183

+

V(t "' /_

0 · \ {O

Eixo de rotação (a) Motor ca

(veja ~ )

.

QUESTOES PARA REVISAO

s

Q6.4 Suponha que nenhuma fricção aconteça ao deslizar a barra condutora mostrada na Fig. 6-8 e

que os ra1nos horizontais do circuito sejam 1nuito longos. Portanto, se a barra for inicialn1ente ernpurrada, ela deveria continuar se movendo a u1na velocidade constante e seu moviinento geraria energia elétrica indefinidamente na forma de fern induzida. Esse argumento é vábdo? En1 caso negativo, por quê? Como podemos gerar energia elétrica sem ter de fornecer un1a quantia igual de energia por um outro 1neio? Q6.5 A corrente que percorre a barra vista na Fig. 6-1 Oé u1na corrente contínua? Analise a força so-

bre a carga q nas extrenüdades l e 2 e cornpare-as.

6-5

O Gerador Eletromagnético

O gerador eletromagnético é o inverso do n1otor

eletromagnético. Os princípios de operação deles pode.m ser expbcados co.111 o auxilio da Fig. 6-11. Um ímã permanente é usado para produzir um ca1npo 1nagnético estático B na fenda entre os dois pólos do ímã. Quando un1a corrente percorre o loop condutor, conforme ilustrado na Fig. 6-11 (a), as correntes tên1 sentidos opostos nos segrnentos 1- 2 e 3-4 do loop. As forças magnéticas induzidas

0/ / /

{O

\ Eixo de rotação (b) Gerador ca

Figura 6-11 Princípios do motor ca e do gerador ca. En1 (a) o torque magnético nos fios faz co1n que o loop gire, e e1n (b) a rotação do loop gera un1a fem .

nos segmentos também são opostas, resultando en1 um torque que faz con1 que o loop gire em torno de seu eixo. Assim, nurn motor, a energia elétrica fornecida por u1na fonte de tensão é convertida ern energia mecânjca na forma de rotação do loop, o qual pode ser acoplado a roldanas, engrenagens ou ouu·os mecanis1nos de rnovimento. Se em vez de a con·ente passar através do loop para fazê-lo girar, o loop for girado por u,na força externa, o movirnento do loop nu1n campo magnético produz uma fern de 1novitnento (~.;m), contorn1e 1nostra a Fig. 6-1 ·1(b). Portanto, o motor setornou um gerador, sendo a energia rnecânica convertida em energia elétrica.

184

ELETROMAGN ETISMO PARA ENGENl·IEIROS

Va,nos exam.inar a operação do gerador eletromagnético com mais detalhes usando o siste1na de coordenadas rnostrado na Fig. 6-12. O can1po n1agnético é dado por

B = zBo ,

w

u = nw-

(6.31)

2 '

onde n, a superfície normal ao loop, faz um ângulo o: co1n o eixo z. Portanto, A

A

=

1' f::: [(

(u X 8 ) · dl

+

j-

1

+

ôw ; ) x

(6.30)

e o eixo ele rotação cio loop condutor está ao longo do eixo x. Cada un1 dos seg1nentos 1-2 e 3-4 do loop tem comprimento l e a1nbos cortam as linhas de fluxo à n1edida que o loop giJa. Os outros dois segn1entos têm cada um uma largura w e nenhum deles corta as linhas cio campo B quando o loop gira. Portanto, apenas os seg1nentos 1- 2 e 3-4 contribue1n para a geração ela fe1n de movimento, V/;11• À 1nedida que o loop gira con1 un1a velocidade angular w ern torno de seu próprio eixo, o segrnento 1- 2 se move com un1a velocidade u dada por A

Yr~:n = V14 =

3

112 [

(u x 8 ) · dl

zBo] ·i dx

(-nw ;) x zB

0] • i

dx.

/2

(6.33)

Usando a Eq. (6.32) na Eq. (6.33), obten1os oresultado V/~:n= wlwBo sena = AwBo sena, (6.34)

onde A =wl é a área da superfície cio loop. O ângulo está relacionado a w por a = wt

+ Co ,

(6.35)

onde C0 é uma constante determinada pelas condições iniciais. Por exemplo, se a =Opara t = O, então C0 =O. Em geral, Yr~!n = AwBosen(wr + Co)

(V). (6.36)

A

n x z = x sena.

O seg1nento 3-4 se ,nove com uma velocidade - u. Com a aplicação ela Eq. (6.26), consistente com nossa escolha de ô, ten1os

Esse resultado também pode ser obtido aplicando a fonna geral da lei de Faraday dada pela Eq. (6.6). O tluxo enlaçado na superfície cio loop é

=

Is B · ds = Is zBo · nds = BoAcosa

z

= BoAcos(wt

+ Co) ,

d d Vrem = - = --[BoA cos(wt

+ Co)J

(6.37)

e

B

dt

"o

dr

= AwBosen(wt

1 y

+ Co),

(6.38)

que é idêntico ao resultado dado pela Eq. (6.36).

Normal à superfície do loop

X

Figura 6-12 Um loop girando e1n u1n can1po

n1agnético induz tuna fem.

-

-

QUESTOES PARA REVISAO

Q6.6 Compare a operação de un1 motor ca co1n a de um gerador ca. Q6.7 O loop girante visto na Fig. 6-1 2 tetn un1a única espira. Qual seria a fem gerada por um loop com 10 espiras?

CAPÍTULO

6

EQUAÇÕ ES DE MAX\VELL PARA CAMPOS VARIANTES NO ,1 -EMPO

·Q6.8 O fluxo 111agnético enlaçado no loop n1osu·ado na Fig. 6-12 é máxiino quando a =O (loop no plano x-y), e ainda de acordo co,n a Eq. (6.34), a fen1 induzida é zero quando a =O. Reciproca1nente, quando a= 90°, o fluxo enlaçado no loop é zero, porén1 Vr~m está no máxin10. Isso é consistente com sua expectativa? Por quê?

6-6

Solução: Neste caso, o fluxo é dado pela Eq. (6.37), sendo B 0 substituído por B0 cos wt. Assim, = BoA cos2 wt,

e

a

Vrem= - -

at a 2 = - - (BoA cos wt) at

Movimento de um Condutor em um Campo Magnético Variante no Tempo

Para o caso geral de u111 loop condutor con1 unia única espira se movendo em um campo magnético variante no tempo, a tem induzida é a soma de u,na componente de transformação e uma componente de 1noviJnento. Assi,n, com a soma das Eqs. (6.8) e (6.26), temos Vrem= V1em + =

i

= -

v:m

= 2BoAw cos wt sen wt

= BoAw sen 2wt. 6-7

r ls ai

aB . ds +

1 (u X fc

B ) . dl. (6.39)

Vrem ta1nbé1n é dada pela expressão geral da lei de Faraday:

•

Corrente de Deslocamento

A partir da Tabela 6 -1 , a lei de Ampere na fonna diferencial é dada por VxH = J +

E·dl

185

ao at

(leideAmpere). (6.41)

Se aplicannos a integral de superfície dos dois lados da Eq. (6.41) ao longo de uma superfície aberta S qualquer co,n um contorno C, ten1os { ('il x H) · ds

ls

= { J · ds + { ~ · ds. (6.42)

ls

ls at

A integral de superfície de J é igual à corrente /0

V~ = _d = em dt

_!!:._ { B · ds. dt

Js

(6.40)

De fato, pode-se mostrar 1natematican1ente que o lado direito da Eq. (6.39) é equivalente ao lado direito da Eq.(6.40). Para u1n problema pa11icular, a -escolha entre usar a Eq. (6.39) ou a Eq. (6.40) é feita gerahnente con1 base na facilidade de apl ica·Ção. Se o loop consiste e,n N espiras, os tern1os do lado direito das Eqs. (6.39) e (6.40) devem ser multiplicados por N.

Exemplo 6-6

Gerador Eletromagnético

Determine a tensão induzida quando o loop girante do gerador eletromagnético estudado na Seção 6-5 está em um campo magnético B = zB0 cos wt. Considere que a =Opara t =O.

de condução através da superfície S, e a integral de superfície de V x H pode ser convertida en1 u1na integral de linha de H ao longo do contorno C envolvendo o teorema de Stokes. Portanto,

J H · dl = lc + { ao · ds fc ls at

(lei de Ampere). (6.43)

O segundo termo do lado direito da Eq. (6.43) tem de ter a ,nesma unidade (an1peres) que a corrente / , e por ser proporcional à derivada no tempo da 0 densidade de fluxo elétrico D (ta,nbém charnado ele clesloca1nento elétrico) é deno,ninado corrente de desloca,nento /". Ou seja,

"1

/d =

s

Jd · ds =

1aoar s

-

· ds,

(6.44)

186

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

onde Jd = ôD/ôt representa u1.n a densidade de corrente de deslocamento. Devido à Eq. (6.44),

i

H · d l = lc + /d = I ,

(6.45)

onde I é a corrente total. Em eletrostática, ôD/ôt = O e, portanto, /d = O e 1 = /e. O conceito de corrente de desloca,nento foi apresentado pri,neiro por Ja111es Clerk Maxwell en1 1873 en1 sua tentativa be111-sucedida de estabelecer uma conexão unificada entre can1pos elétricos e magnéticos sob condições de variação destes no tempo. O capacitor de placas paralelas é comurnente usado como um exemplo conveniente para ilustrar o significado físico da corrente de deslocamento /d. O circuito silnples mostrado na Fig. 6-13 consiste en1 urn capacitor e uma fonte ca con1 urna tensão V.(t) dada por V5 (t) = Vo cos wt

(V).

(6.46)

De acordo corn a Eq. (6.45), a corrente total através de qualquer superfície consiste, em geral, en1 urna corrente de condução /ce uma con·ente de deslocan1ento /d. Vamos detenninar /0 e /d atJavés de cada uma das seguintes superfícies imaginárias: (1) a seção reta do fio condutor, S,, e (2) a seção reta do capacitor (superfície S2 na Fig. 6-13). Deve1nos indicar as correntes de condução e deslocamento no fio I,c e / 1d e aquelas através do capacilor f2c e 12d. Ern urn condutor perfeito, D = E= O; portanto, a Eq. (6.44) proporciona / 1<1 =O no fi o. Quanto

a J, c, sabemos da teoria de circuitos que ela está relacionada à tensão no capacitor Vc por dVc dt

d dt

Ire= C - = C - (Vocoswt) = - CVowsenwt, (6.47)

onde usamos o fato de que Vc = Vs(t). Sendo / 1J = O, a corrente total no fio é simplesmente / 1 = / 1c = -CV0w sen wt. Consideraren1os agora as correntes através da superfície S2 na Fig. 6-13, a qual é uma superfície i1naginária, aberta, paralela às placas do capacitor e situada em algum lugar entre elas. O espaço entre as duas placas, cada uma delas com área A, é preenchido com um material dielétrico perfeito de permissividade e. Con10 as caJgas elétricas não podem se mover fisicamente através do meio dielétrico, não ocorre condução entre as placas condutoras do capacitor e, portanto, /2c =O. Para detenninar /2<1, precisa1nos apl icar a Eg. (6.44). A partir do Exe1nplo 4- 11 , o campo elétrico E no dielétrico está relacionado à tensão V, no capacitor por , Vc

~

Vo

E = y - = y - COS(ú(, d d

(6.48)

onde d é o espaçamento entre as placas e yé adireção da placa de maior potencial indo para a de menor potencial. A con·ente de deslocamento 12d na direção 1nostrada na Fig. 6- 13 é obtida aplicando-se a Eq. (6.44) sendo ds = y ds:

f 1 = f 1c

Superfície i,nagin,íria S1

Superfície in1aginária S2 y

Figura 6-13 1-\ corrente de deslocarnento 12d no material isolante do capacitor é igual à corrente / k de condução no fio.

CAPITULO 6

12d

= =

f

EQUAÇÕES DE MAX\VELL PARA CAMPOS VARIANTES NO TEMPO

/ d = JdA

ôD · ds

ls at

i [:t (ye;o

= eA ôE/ôt

coswr)

J·(y ds)

ô (l x lO-lO ) senwt ôt A

= eA-

eA

= ew x 10- 10 cos wt

= - d Vowsencut = -CVowsenwt, (6.49)

= 0,885 x I o -

onde usamos a relação C = e A/d para a capacitância de um capacitor de placas paralelas. A expressão para /2d na região do dielétrico entre as placas condutoras é idêntica à que é dada pela Eq. (6.47) para a corrente de condução no fio I,c· O fato de que essas duas correntes são iguais garante a continuidade da corrente através do circuito. Ainda que a corrente de desloca,nento não conduza. cargas reais, ela se co,nporta corno urna corrente real. No exemplo do capacitor, consideramos os fios co1no condutores perfeitos e supon1os que o espaçamento entre as placas do capacitor seja um dielétrico perfeito. Se o fio tiver uma condutividade fi nita O'w, então D no fio não seria zero e, portanto, a corrente / 1 consistiria e1n un1a corrente /e, de condução assim con10 en1 un1a corrente de deslocamento / 1d; ou seja, / 1 = J,c + / 1d. Pela mesma análise, se o material dielétrico não tem condutividade nula O'd, então as cargas seriam capazes de se deslocar entre as duas placas e / 2c não seria zero. Nesse caso, a corrente total através do capacitor seria /2 = /20 + / 2", e seria igual à corrente total no fio. Ou seja, / 1 = /2 •

Exemplo 6-7

Densidade de Corrente de Deslocamento

A corrente de condução através de um fio com condutividade O'= 2 x 107 Slm e pennissividade relativa e, = 1 é dada por /0 = 2 sen wt (miA). Se w = 109 rd/s, detern1.ine a corrente de deslocau1ento. Solução: A corrente de condução /<= J A = O' E A, sendo A a área da seção reta do fio. Portanto, E

=~ =2 x

3

10- sen wt 2x 107 A

crA

10- IO - - - - senwt l

187

X

A

(V/m).

Aplicando a Eq. (6.44), sendo D= e E, temos

IZ cos wt

(A)

onde usatnos w = l 09 rd/s e e = e0 = s,s5 x l o-''· Fim. Observe que /0 e /d estão em quadratura de fase (90º de deslocatnento de fase entTe elas). Além disso, /dé cerca de nove vezes menor que o ,nódulo de /0 , motivo pelo qual a corrente de deslocamento 1, é geralmente ignorada e1n bons condutores. •

EXERCÍCIO 6.5 Um condutor de baixa condutividade O'= lOO(S/m) tem u,na pertnissividade e = 4e0 . Em qual freqüê ncia angular w a amplitude da densidade de corrente de condução J é igual à amplitude da densidade de corrente de deslocamento J,1? Resp.

6-8

w

= 2,82 x l0 12 (rad/s). (veja

~ 1)

Condições de Contorno em Eletromagnetismo

Nos Capítulos 4 e 5 aplicamos a forma integral das equações de Maxwell sob condições estáticas para obter as condições de contorno que as cornponentes tangencial e normal de E, D, B e H têm de satisfazer na interface entre dois 1neios contíguos. Essas condições são dadas na Seção 4-9 para E e D e na Seção 5-7 para B e H. No caso de siste,nas dinân1icos, as equações de Maxwell [Tabela 6- l] incluem dois novos termos, êJB/êlt na lei de Faraday e êJD/êlt na lei de A1npere. Não obstante, as condições de contorno deduzidas an.terior1nente para a eletrostática e a 1nagn.etostática per111an.ece1n válidas para ca,npos variantes no tenipo tambérn. Isso porque, se aplicássemos os ,n.esmos procedimentos esboçados nas seções pertinentes anteriores, obteríamos que a co,nbinação cios tern1os aci1na mencionados desapareceriam à medida que as áreas dos loops retangulares nas Figs. 4- 18 e 5-24 se aproximasse,n de zero.

188

ELETROMAGNETISM.0 PARA ENGENHEIROS

Sensores de FEM Um sensor de força eletromotriz (fem) é um dispositivo que pode gerar uma tensão induzida em resposta a um estímulo externo. Três tipos de sensores de fem são abordados nesta sinopse de aplicações tecnológicas: o transdutor piezoelétrico, o sensor de fluxo magnético de Faraday e o termopar.

E= O Vrcm = O

A 1. Se.111 força atuando

Transdutores Piezoelétricos A piezoeletricidade se refere à propriedade de certos cristais, como o quartzo, de se tornarem eletricamente polarizados quando o cristal é submetido a uma pressão mecânica, exibindo assim uma tensão através dele. O cristal consiste em domínios polares representados por dipolos equivalentes (A). Na ausência de uma força externa, os domínios polares são orientados aleatoriamente ao longo do material (A1), porém, quando uma tensão mecânica de compressão ou de tração (extensão) é aplicada ao cristal, os domínios polares se alinham ao longo do eixo principal deste, levando o cristal a uma polarização final (carga elétrica) em suas superfícies (A2 e A3). A compressão e a tração geram tensões de polaridade oposta. O efeito piezoelétrico (piezein, do grego, significa pressionar ou apertar) foi descoberto pelos irmãos Curie, Pierre e Paul-Jacques, em 1880 e, um ano depois, Lippmann predisse a propriedade inversa, isto é, se submetido a um campo elétrico, o cristal alteraria sua forma. Assim, o efeito piezoelétrico é um processo eletromecânico reversível (bidirecional). Os cristais piezoelétricos são usados em microfones para converter vibrações mecânicas (na superfície do cristal) provocadas pelas ondas acústicas em um sinal elétrico correspondente, sendo que o processo inverso é usado em alto-falantes para converter sinais elétricos em som (B). Além de ter valores de dureza comparáveis aos do aço, ai-

+

1: 1: 1: r: 1: 1: F

•

Vrcm > O

A2. Cristal sendo con1primido

r: r: r: r: r: r: +

Veem< 0

AJ. Crista.! sendo tracionado

guns materiais piezoelétricos apresentam alta sensibilidade a forças aplicadas neles, com uma excelente linearidade ao longo de uma ampla faixa dinâmica. Eles podem ser usados para medir deformações em superfícies com valores tão pequenos quanto alguns nanômetros (10-9 m), o que os torna particularmente atrativos como sensores de posicionamento em microscópios de varredura por tunela-

CA PÍTULO

6

EQUAÇÕES DE M.AX\VELL PARA C AMPOS V ARI ANTES NO T EtvlPO

189

Sensor de Fluxo Magnético de Faraday

Et'\cal)$Ul
mento Preeo, chimento t m epôxi M aterial

COtlector do cabo <.0.1xiJI Fio COfldutor do sinal

~ suporte

ElêUodos

Fio terra

OemMtO

piezo~11ico

T ransdutor ultra-sônico

De acordo com a lei de Faraday (Eq. 6.6), a tensão induzida por fem nos t erminais de um Joop condutor é diretamente proporcional à taxa de variação no tempo do fluxo magnético que passa através do loop. Para a configuração em (C),

Vrem=

B. Exemplo de pie-loelctricidade ,

Imã

lo<>p condutor

+

x11 - -

C. AcelerÔJnetro de Faraday

....

- uBol

=

onde u c/xldt é a velocidade do Joop (entrando e saindo da cavidade magnética), sendo a direção de u definida como positiva quando o Joop se move para dentro da cavidade, 8 0 é o campo magnético do ímã e l é a largura do /oop . Sendo B 0 e l constant es, a variação de Vreiu(t) com o tempo t se torna um indicador direto da variação temporal de u(t). A derivada no tempo de u(t) resu lt a na aceleração a(t).

Junção fria de referência Junção de medição •• • • • •• • •

Cobre

•

••

• •••••••

Bisn1uto

D. Tern1opar

.•

: I

:-' ••• •• ••

•

T2

.·•

+ • R V,. ••• •

Termopar

•

•

•1:• • • •••

r,

m en to eletrô nico. Como acelerô m etros, eles podem medir desde níveis de aceleração tão baixos quanto 10-4 g, a tão altos quanto 100 g (g aqui é a aceleração da gravidade) . Os cristais piezoelétricos e as cerâmicas são usados em isquei ros e grelhas a gás como geradores de centelhas, em relógios e circuitos eletrônicos como osciladores de precisão, em equipamentos médicos de diagnóstico por ult ra-som como transdutores (B) e em muitas outras aplicações.

Em 1821, Tho m as Seebeck descobriu que quando uma junção feita de dois materiais condutores diferentes, tais como bismuto e cobre, é aquecida, ela gera uma fem induzida termicamente, a qual denominamos agora potencial Seebeck Vs (D) . Quando conectada a um resistor, a corrente que percorre o resistor é dada por l = VsfR. Essa característica foi pesquisada por A. e. Becquerel em 1826 como uma tentativa de medir a temperatura desconhecida T2 de uma junção em relação à temperatura T 1 de uma junção de referência (junção fria). Atualmente, tal gerador de termoeletricidade é denominado term o par. Inicialmente, uma cuba de gelo foi usada para manter T1 em 0°C, porém o projeto dos sensores de temperatura atualmente usa uma junção fria artificial. A junção artificial é um circuito elétrico que gera um potencial igual ao esperado de uma junção de referência à temperatura T 1•

190

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Para facilitar o trabalho, um conjunto combinado de condições de contorno eletromagnéticas é dado na Tabela 6-2.

J Pv

-

-

QUESTOES PARA REVISAO

.J S que envolve 'li

Q6.9 Quando a corrente de condução percorre o .J

material, um certo nún1ero de cargas entra no 01aterial por un1a extre1nidade e um igual nú111ero de cargas o deixa pela outra extremidade. Com qual situação se asse1ne)ha a corrente de desloca,nento através de urn dielétrico perfeito?

Figura 6-14 A corrente total que flui para fora de um volun1e v é igual ao fluxo da densidade de corrente J através da superfície S, a qual, por sua vez, é igual à taxa de decréscimo da carga envolvida no volume v.

Q6.IO Verifique que a forma integral da lei de Ampere dada pela Eq. (6.43) conduz à condição de contorno em que a co,nponente tangencial de H é contínua na fronteira entre dois 111eios dielétricos.

6-9

Relação de Continuidade Carga-Corrente

Sob condições estáticas, a densidade de carga Pv e a densidade de corrente J em un1 detenninado ponto no material são totaln1ente independentes uma da outra. Entretanto, não se pode fazer a n1esn1a afirn1ação no caso de variarem no te1npo. Para n1ostrar a conexão entre p, e J, co111eçaren1os considerando uu1 volu1ne v qualquer Limitado por u1na superfície fechada S, como mostra a Fig. 6-14. A carga positiva líquida contida em v é Q. Visto que, de acordo com a lei da conservação da carga elétrica [Seção 13.2], cargas não pode,n ser criadas ne1n destruídas, a única fonna de poder aun1entar Q é ter uni fluxo resultante de uma carga positiva para dentro do volu1ne v e, pela n1esn1a análise, para din1inuir Q é

preciso um fl uxo de carga para fora do volume v. Os íluxos de cargas que entram e que saem constituen1 correntes através da superfície S para dentro e para fora de v, respectivamente. Definimos I como a corrente resultante que atravessa a supe1fície S para fora do volurne v. Conseqüente1nente, I é igual à taxa negativa da variação de Q: l = - dQ = dt

_!!__ { dt

lv

PvdV,

(6.50)

onde p,. é a densidade volumétrica de carga em v. De acordo com a Eq. (4.12), a corrente I ta1nbém é definida como o fluxo de saída ela densidade de corrente J através da superfície S. Portanto, (6.51 )

Aplicando o teore,na da divergência dado pela Eq. (3.30), podernos converter a integral de superfície

Tabela 6-2 Condições de contorno para os ca1npos elétrico e n1agnético Con1ponentes do campo Tangencial a E Normal aD Tangencial a H Norn1al a B

Meio l dielétrico

Forma geral 112 X (E, - E2) =

o

íi2 ·(D1 - D2) = Ps 112 x (li r - H2) = .Js

112 · (B1 - B2) = O

lvleio 2 dielétrico

E11 = E21 D1n - D2n = Ps Iill = f/21 B1n = 8211

J\lleio 1 dielétrico

Meio2 condutor

E11 = E21 = O D2n =0 D1n = Ps Hu = .Is /121 = 0 8111 = B211 = O

Noias: ( 1) p, é a densidade superficial de carga~ na fromeira; (2) Js é a densidade superficial de COITente na fronteira; (3) as con1ponentes normais de todos os campos estão ao longo de Ô2 • o vetor unitário para fora do meio 2; (4) E,,= E,, implica que as componentes tangenciais são iguais en1 n1ódulo e paralelas na direção; a direção de J 5 é onogonal a (H 1 - H 2).

CAPITULO

6

de .J nurna integral volurnétrica do divergente V · J, da qual obtemos

J J· fs

ds = { V· J dv =

lv

_!!_ { Pvdv. (6.52)

lv

dr

Para um volume estacionário v, a derivada no tempo opera apenas em Pv· Portanto, poden1os movê-lo para dentro da integral e expressá-lo como uma derivada parcial de p,.

1

V · J dv = -

V

1

dPv

V

191

EQUA ÇÕES DE MAX\VELL PARA CAMPOS V ARI ANTES NO T EMPO

dv. Ô(

(6.53)

Para que as integrais volurnétricas dos dois lados da Eq. (6.53) sejan1 iguais para qualquer volume v, seus integrandos têm que ser iguais para todos os pontos dentro de v. Portanto,

associada à superfície fechada de integração dada pela Eq. (6.56). Para cada face, a integração representa a corrente que sai através da face. Assi,n , a Eq. (6.56) pode ser escrita co,no

L l; = O

(lei de Kirchhoff para corrente),

1

(6.57) onde!; é a corrente para fora através da face i-ésima. Para a função da Fig. 6-15, a Eq. (6.57) se traduz em (11 + 12 + 13) =O. Em sua fon11a geral, a Eq. (6.57) é un1a expressão da lei tle Kirclzhoff para corrente, a qual diz que nun1 circuito elétrico a so,na algébrica de todas as correntes para fora de uma junção é zero.

QUESTÃO PARA REVISÃO V

·J = _ dPv

at ·

Q6.11 Explique como a equação de continuidade

(6.54)

da carga leva à lei de Kirchhoff para con·ente.

a qual é conhecida co,no relação de continuidade carga-corrente ou, simplesmente, equação de con.l inuidade da carga.

Se a densidade volumétrica de carga dentro de un1 volume elementar õv (assin1 con10 um cilindro) não for un1a fu nção do ternpo (ou seja, dp/dt = 0), significa que a corrente resultante para fora de õv é zero ou, de forrna equivalente, que a corrente para dentro de õ v é igual à corrente para fora dele. Nesse caso, a Eq. (6.54) se torna V ·J

= O,

(6.55)

e a sua forma integral equivalente [a partir da Eq. (6.51)] é

t

6-1 O Potenciais Eletromagnéticos Pelas nossas discussões sobre as leis de Faraday e Ampere, analisamos dois aspectos da interconexão que existe entre os ca,npos elétrico e 1nagnético quando variam no tempo. Agora analisaremos as implicações dessa interconexão considerando o potencial escalar elétrico V e o vetor potencial magnético A. Para dldt = O, a lei de Faraday se reduz a VxE=O

(eletrostática)

(6.58)

J ·ds = O

(lei de Kirchhoff para correntes).

(6.56)

Vamos exan1inar o significado da Eq. (6.56) considerando uma junção (ou nó) que conecta dois ou mais ramos num circuito elétrico. Não importa o tarnanho, a junção tem um volume v envolvido por uma superfíc ie S. A junção mostrada na Fig. 6- 15 foi desenhada co,no u1n cubo, e suas di1nensões fora,n artificiallnente aurnentadas para facil itar esta discussão. A junção tem seis faces (superfíc ies), as quais coletivamente constituen1 a superfície S

1,~-1~ ~ - - - -

,

, ,

.LJ7

/3

Figura 6-15 A lei de Kirchhoff para corrente diz que a soma algébrica de todas as correntes que saen1 de unia junção é zero.

192

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

a qual diz que o ca1npo eletrostático E é conservativo. De acordo com as regras de cálculo de vetores, se u1n campo vetorial E é conservativo, ele pode ser expresso co1no o gradiente de um escalar. Portanto, no Capítulo 4 definimos E con10 E= -'vV

(eletrostática)

(6.59)

No caso dinâ1nico, a lei de Faraday é dada por ôB E= - - ' ôt

'v X

(6.60)

e devido à relação B = 'v x A, a Eq. (6.60) se torna 'v

ô

E= --('v

X

Ôt

X

A),

(6.61)

a qual pode ser reescrita como Vx

(E +

Tt)

= O (no caso da dinâmica). (6.62)

Para o mo1nenlo, vamos definir que I

E

ôA =E+ôt '

• Nu1n transfor1nador ideal, as relações das tensões, co1Tentes e impedâncias do primário em relação às do secundário são regidas pela relação de espiras. • A corrente de deslocamento explica o desloca1nento "aparente" de cargas através de u,n dielétrico. Na realidade, cargas de polaridade oposta se acumula1n ao longo das duas extremidades de um dielétrico, dando a aparência de que unia corrente percorre o dielétrico. • As condições de contorno para ca1npos eletro1nagnéticos na interface entre dois 1neios diferentes são as mesmas tanto para condições estáticas quanto dinân1icas.

(6.63)

(6.64)

• Em condições dinâ1njcas, o campo elétrico E está relacionado tanto ao potencial elétrico escalar V quanto ao vetor potencial n1agnético A.

Seguindo a mesma lógica que nos levou à Eq. (6.59) a partir da Eq. (6.58), definin1os

E'= -VV.

• A lei de Faraday diz que unia tensão é induzida nos terminais de um loop se o tluxo magnético enlaçado na superfície varia com o te1npo.

• A equação de continuidade da carga é u1na expressão 1nate1nática da lei da conservação da carga elétrica.

caso no qual a Eq. (6.62) se torna V X E'= O.

' ' TOPICOS IMPORTANTES DO CAPITULO

(6.65)

Substituindo a Eq. (6.63) para E' na Eq. (6.65) e calculando em função de E, temos ôA E = - VV - (no caso da dinâ1nica). (6.66) Ôt

A Eq. (6.66) se reduz à Eq. (6.59) no caso estático. Quando o potencial escalar V e o vetor potencial A são conhecidos, E pode ser obtido a partir da Eq. (6.66) e B, a partir de

PROBLEMAS Seções 6-1 a 6-6: Lei de Faraday e suas Aplicações 6.1 * A chave no loop inferior visto na Fig. 6-16 é fechada em t = O e em seguida aberta num instante posterior t 1. Qual o sentido da corrente l no loop superior (sentido horário ou anti-horário) para cada um dos dois instantes? 6.2 O loop na Fig. 6-17 está no plano x- y e B= 0 senwt, sendo 8 0 positivo. Qual o sentido

zB

1 B= V

x A.

(6.67)

E1n seguida, analisa1nos as relações entre os potenciais, V e A, e suas fontes, as distribuições de carga e corrente p,. e J, no caso de variaren1 no tempo.

~

~

de I ( ou -:<J>) para: (a) t = O

(b) wt = 1r/4 (e) wt ='TT/2

CAPÍTULO

6 EQUAÇÕES DE MAX\VELL PARA CAMPOS VARIANTES NO T EMPO

.~1

••• 1

-d.

-1

/

193

MHz e amplitude uniforme. Quando orientado para a direção de resposta máxi,na, o loop desenvolve u1na fen1 com um valor de pico de 20 (111 V). Qual é o módulo do valor de pico de B da onda incidente? 6.6 O loop quadrado 1nostrado na Fig. 6- L8 é coplanar co,n u1n fio retilíneo longo percorrido por uma corrente dada por

.. .

..... Ri

i(t) = 2,5cos2rr x !04 t

Figura 6-16 Loops para o Problema 6. l.

(A)

(a) Detennine a feni induzida na pequena abertura criada no loop.

z

(b) Determine o sentido e o módulo da corrente que percorreria o loop através de uni resistor de 4 Q conectado à pequena abertura. O loop tem uma resistência interna de 1 Q.

) - - --1---- y

~

I

6.7* O loop condutor retangular rnostrado na Fig. 6-19 gira a 6 mil revoluções por rninuto numa densidade de fluxo 1nagnético unifornie dada por

X

Figura 6-17 Loop para o Problenia 6.2.

6.3* Unia bobina teni 100 espiras de fio enrolado em torno de uma moldura quadrada de lado 0,25 1n. A bobina está centrada na origem, sendo que cada u,n de seus lados está em paralelo com os eixos x e y. Deten11ine a fe1n induzida nas extremidades do circuito aberto da bobina se o campo magnético for dado por

B = y50

(mT)

Detennine a corrente induzida no /0011 se sua resistência interna dele for de 0,5 Q.

6.8 U1n loop condutor retangular de 5 c1n x 10 cm com unia pequena abertura preenchida coni ar e1n u1n cios lados está girando a 7.200 revoluções por minuto. Se o campo B é nornial ao eixo do loop e seu 1nódulo é 5 x 1o·6 T, qual a tensão de pico induzida na pequena abertura?

(a) B = i IOe- 2' (T)

z

(b) B = i lOcosx cos 103t (T) (e) B =

z10 cosx sen 2y cos 103t (T)

!-I Ocrn-1

6.4 Uni loop condutor estacionário co1n unia re-

6.5* Uma antena de TV do tipo loop circular com 0,01 1112 de área está na presença de um sinal de 300

,. Resposta(s) disponívcl(is) no Apé:ndicc O. 1'> Solução disponível no CD-ROlVI.

T

l(t)

sistência interna de 0,5 Q é colocado e1n u,n can1po magnético variante no tempo. Quando o loop é fechado, u1na corrente de 2,5 A o percorre. Qual será a corrente se o loop for aberto de forma a criar uma pequena abertura e um resistor de 2 Q for conectado às extre,nidades dessa abertura?

10 crn

5 cn1

l

/ , 1 - -.v X

Figura 6-18 Loop co-planar con1 um fio longo (Problenia 6.6).

194

ELET ROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

z

z l • IO crn

T

,, = LOA

..

..,

3 crn

20 c,n

...

--

•l

--u --u

Yo'

X

Loop e,n rotação nu1n can1po n1ag-

Figura 6-19

nético (Problen1a 6.7).

6.10).

6.9* Urna barra de ,neta! co,n 50 cm de con1pri1nento gira en1 torno do eixo z a 180 revoluções por minuto, corn a extremidade 1 fixa na origem, conforn1e mostra a Fig. 6-20. Detern1ine a fern induzida V12 se B = 3 x 10- 4 T..

z ~

T

6.10 O loop mostrado na Fig. 6-21 se distancia do fio percorrido por urna corrente / 1 = 1O A com u1na velocidade constante de u = y5(rn/s). Se R = 10 Q e o sentido de [2 é o defi nido na figura, deter1nine /2 corno u1na função de y 0, a distância entre o fio e o loop. Ignore a resistência interna do loop. 6.11 * O cilindro condutor n1ostrado na Fig. 6-22 gira em torno do eixo a l. 200 revoluções por 1ninuto en1 um campo radial dado por

(T)

"-

._.!cm

z

B = r6

Loop ern movin1ento (Problema

Figura 6-21

10 Clll

--

-

"'

'' --+"' '.

'' '' ''

-4-.,r ' ' 1 '

--4-"

+

/ V

-- --1'~' '

Contatos des li zantes

Cilindro girando ern uni ca,npo rnagnético (Problema 6.11 ).

Figura 6-22

O cilindro, cujo raio é 5 cm e a altura é IOcm, tem contatos deslizantes na parte superior e inferior conectados a um voltímetro. Detern1ine a tensão induzida.

6.12 O gerador eletro1nagnético 1nostrado na 80, "' I

I 1 \

0 , ...

---0 --,0 ', '

0 \

)'

0

X

Figura 6-20 Barra ,netálica em rotação (Proble-

ma 6.9).

Fig. 6-1 2 está conectado a urna lâmpada elétrica con1 uma resistência de 100 Q. Se a área do loop for de O, 1 m2 e sua rotação for de 3.600 revoluções por minuto nun1a densidade de fl uxo n1agnético B0 =0,2 T, detenui ne a a1nplitude da corrente gerada na lâmpada.

6.13* O disco circular mostrado na Fig. 6-23 e situado no plano x-y gira corn uma velocidade angular w uniforme en1 torno do eixo z;. O disco é de raio a e está presente em uma densidade de tlu@

CAPÍTULO

6

EQUAÇÕES DE MAX\VELL PARA CAMPOS VARIANTES NO T EMPO

195

I V

+

A

+

w

.t

Figura 6-23 Disco circular girante num can1po magnético (Problema 6. 13).

xo niagnético B = zBo unifonne. Obtenha u1na expressão para a fem induzida na borda do disco.

Figu rc1 6-24 Capacitor de placas paralelas contendo un1 1naterial dielétrico que apresenta perdas (Proble1na 6.16).

Seção 6-7: Corrente de Deslocamento As placas paralelas de um capacitor têm áreas de IO c1n2 cada u,na e estão separadas por un1a distância de l cn1. O capacitor é preenchido com um material dielétrico com s = 4s0 e a tensão no capacitor é dada por V(t) =20 cos 2'iT x 106t (V). Determine a co1Tente ele deslocamento. 6.14

6.15* Un1 capacitor coaxial de co1npri1nento l 6 cm usa u1n n1aterial dielétrico co,n Er = 9. Os raios dos condutores cilíndricos mede1n 0,5 cn1 e 1

=

cm. Se a tensão aplicada no capacitor for V(t) = 100sen(l20rrt)

(V)

(d) Calcule os valores cios elementos cio circuito ? para A = 2 cm·, d = 0,5 cn1, Er = 4, <J = 2,5 (S/m) e V(t) = 10 cos (37T X l03t) (V).

Uma onda eletromagnética que se propaga no oceano tem um can1po elétrico variante no te1npo dado por E = zEo cos wt. Se a penrussiviclacle da água é 8 Ie0 e sua condutividade é 4 (Sfln), determine a razão entre os ,nódulos da densidade de corrente de condução e da densidade de corrente de deslocan1ento para cada un1a das seguintes fre.."' . quenc1as: 6.17

(a) 1 kHz

qual será a corrente de deslocamento?

(b) 1 MHz

O capacitor de placas paralelas mostrado na Fig. 6-24 é preenchido co,n u1n 1naterial dielétrico que apresenta perdas de pern1jssiviclade relat.iva Er e condutividade a. A separação entre as placas é d e cada placa tem uma área A. O capacitor está conectado a uma fonte de tensão variante no ternpo V(t).

(e) 1 GHz

6.16

(a) Obtenha u1na expressão para /0, a corrente de

condução entre as placas cio capacitor, em função das grandezas dadas. (b) Obtenha unia expressão para TJ, a corrente de desloca1nento dentro do capacitor. (e) Co1n base nas expressões obtidas nas partes (a) e (b), faça unia representação de um circuito equivalente para o capacitor.

(d) 100 GHz

Seção 6-9: Equação da Continuidade da Carga 6.18* Se uma densidade de co1Tente em uni meio condutor é dada por J (x, y,

z; t) = (xz

- y3y 2 + z2x)coswt

determine a distribuição de carga correspondente Pv(X, y, z; t).

6.19-21 Mais problen1as resolvidos - soluções con1pletas no ~ .

X

1,2n (mV/m) .

·-

'

CAPI J ULO

10 (µA/m) O

y•~

- ==-",..! H

-e.._

H

-E

--

E

Propagação de Ondas Planas

Ondas Eletromagnéticas sem Limitações

E

7-1

Revisão de Ondas e Fasores

7-2

Campos Harn1ônicos no Tempo

7-3

Propagação de Ondas Planas en1 Meios sem Perdas

7-4

Polarização de uma Onda

7-5

Propagação de Ondas Planas em Meios com Perdas

7-6

Condução de Corrente em um Bom Condutor

7-7

Densidade de Potência Eletromagnética

Ondas Eletromagnéticas sem Limitações Vimos no Capítulo 6 que u1n catnpo elétrico variante no te111po E(t) produz um campo magnético també111 variante no ten1po H(t) e, reciprocan1ente, um ca111po 111agnético també111 variante no te111po produz um campo elétrico. Esse padrão cíclico gera ondas eletromagnéticas capazes de se propagar no espaço livre e também em um meio material. Quando a propagação da onda é guiada por tuna estrutura material, como uma Linha de transmissão, diz-se que a onda eletro1nagnética está se deslocando e1n u1n 111eio gui(ulo. A superfície da Terra e a ionosfera constituem limites paralelos de uma estrutura de guia de ondas natural dentro da qual se propagam transrnissões de rádio e1n ondas curtas na faixa HF* (3 a 30 MHz); a ionosfera é un1 bon1 refletor para essas freqüências, pennitindo assiJn u1n ziguezague das ondas dentro das duas estruturas-limite [Fig. 71]. As ondas eletro,nagnéticas ta111bé111 são capazes de se deslocar em 11zeios se,n limitações; as ondas de luz emitidas pelo sol e as transmissões de rádio emitidas pelas antenas são exernplos típicos.

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'

I

Quando u111a fonte emite energia, tal co1no uma antena, essa energia se expande para fora da antena na fortna de 011dílS esjericas, confonne ilustrado na Fig. 7-2(a). Ainda que a antena irradie mais energia ao longo de algumas direções em co111paração con1 outras direções, as ondas esféricas se deslocam na mesma velocidade e111 todas as direções, expandindo-se a uma n1esn1a taxa. Para um observador bem distante da fonte, a frente de onda da onda esférica parece ser quase plana, como se fosse parte de uma onda plana unifor,ne com propriedades unifonnes em todos os pontos do plano tangente à frente de onda [Fig. 7-2(b)]. A propagação de ondas planas pode ser acomodada em um sistema de coordenadas cartesianas, que é 1nais fáci l de trabalhar 1nater11atica111ente do que o sistema de coordenadas esféricas, sendo esse mais adequado para descrever a propagação ele ondas esféricas. Portanto, embora estrita1nente falando não exista uma onda plana, ainda assin1 usare1nos esse conceito neste capítulo para desenvolver urna compreensão física relativa à propagação de ondas en1 n1eios que não apresentarn perdas, bem co,no em meios que apresenta,n perdas, e em seguida, no Capftulo 9, examinarernos corno as ondas são refletidas na fronteira entre meios distintos. O processo de radiação e recepção ele ondas por antenas são trat:aclos no Capítulo 1O.

Superfície terrestre

Figura 7-1 A ca111ada da atmosfera na parte superior, ionosfera, e a superfície da Ten·a na parte inferior fonnan, urna estrutura de guia de ondas para a propagação de ondas de rádio na faixa HF.

"' Veja a Fig. 1- 1O.

7-1

Revisão de Ondas e Fasores

Como um prelúdio à nossa análise das ondas eletron1agnéticas, devemos fazer un1a revisão rápida de três tópicos relacionados ao assunto. O primeiro tópico trata de corno descrevemos tna1e1natica-

198

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

A ntena . dora ra d1a

~,

Í/

- ',/ - ,

" ,," J

J

~

1

·Frente de onda · ., . ·estenca

--.

: -

,.... ', , \

~

!

:

-" ' ' /,,'' 'f'

\

\,

\

'

'

"',.,, ;

I

(a) Onda esférica

do na superfície de u1n lago. Diz-se que um ,neio é sern perdas se a arnplitude da onda que se desloca nele, ou sobre sua superfície, não for atenuada. Vamos considerar por enquanto que as forças de atrito poden1 ser ignoradas, pennitindo assim que a onda gerada na superfície da água se desloque indefinidamente sem perda de energia. Se y indica a altura da superticie da água em relação à altura 1nédia (condição sem distúrbio) ex indica adistância do deslocatnento da onda, a dependência funcional de y em relação ao te1npo e à coordenada x te1n a forma geral a seguir:

Onda plana uniforn1e-oJ 1

./ '

,/

'

,.

\ \

' 1,_

\ 1 1

1

1

1 I

,,

, , I

y(x, r) = Acos ( T

I

I

I

I

1 1

1

' 1 I 1

I

I

J.. +
)

(1n),

Abertura

:i >; Observador

1

-

2nx

(7. 1)

1

I

I

1 1

.-

\

I

1 1

\

27ft

1 1 1

\

\

~:,.,, · '

'

1 1

onde A é a arnplitude da onda, T é o seu período, À é o seu co11zprime11to de onda espacial e c/>0 é a referência de fase. A grandeza y(x, t) pode então ser expressa na fonna y(x, t) = A cos (x , t) ,

(7.2)

I

(b) Onda plana (aprox.hnação)

Figura 7-2 Ondas radiadas por u,na fonte de ondas eletro1nagnéticas, co1no uma lâmpada ou uma antena, sendo as frentes de onda esféricas como ,nostrado e1n (a); para um observador distante, a frente de onda se mostra aproximadamente plana, como mostrado em (b).

mente uma onda senoidal de uma forma geral. O segundo é u1n resumo das regras da álgebra que regem os números complexos, e o últiino é unia revisão sobre fasores quando aplicados para resolver proble111as que envolvem sinais senoidais.

7-1.1

Onda Senoidal em um Meio sem Perdas

Independente do n1ecanisn10 responsável pela geração das ondas, elas poden1 ser descritas maten1atica111ente em tennos comuns. Por meio de um exemplo, vamos considerar uma onda se deslocan-

onde 27ft


-

2rrx

J..

+
)

(rad) (7.3)

O ângulo
y(x, t) = A cos ( T

-

2nx ) À

(m). (7.4)

Os gráficos na Fig. 7-3 1nostran1 a variação de y(x, t) ern relação a x para t = O e e1n relação a t para x =O.A forma da onda se repete para um período espacial ele À ao longo de x e para uni período temporal Tao longo der. Se observannos a superfíci e ela água e,n instantes de tempo, a altura do perfil de y(x) exibe o fon11ato senoidal mostrado na Fig. 7-4. Para cada gráfico, que corresponde a um valor específico

CAPITULO 7

y(x, O)

A

--+--~ --+---1---+--~ --+---F--..x

o

).

),

2

-A

----).---• (a) y(x, t) versus x para 1 =O y(O. t)

A

-A

-----

----T---.i

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

199

de t, o espaço entre dois picos consecutivos é igual a um co1nprimento de onda À, e as forn1as de onda são deslocadas tuna en1 relação à outra porque correspondem a diferentes momentos de observação. Co1no a fonna de onda avança na direção positiva de x para valores der que aumentan1 progressivamente, a altura do perfil se con1porta co,no uma onda que se desloca na direção 111encionada. Se escolhermos qualquer altura, tal como o valor de pico P, e segui-los no tetnpo, podemos 1nedir a velocidade de fase da onda. O pico corresponde ao ponto em que a fase cf>(x, r) da onda é igual a zero ou rnúltiplos de 2'lT radianos. Portanto,

(b) y(,;, 1) versus t para x = O

(x, t) =

2rrt T

-

2rrx )..

= 2nrr, n = O, l , 2, .. .

"x)

(7.5)

co,no u1na função de (a)xparai = Oe (b) t parax=O.

Se escolhermos qualquer outra altura lixa da onda, como y 0 , e n1onitore1nos seu n1ovi 1nento como uma função de t ex, isso será novarnente equivalente a determinar unia fase cp(x, t) constante tal que

2 F 1.gura 7-3 Gra'fi1cos de y (x, t) = A cos ( r2" 1 - T

y(x, O)

9\ 1í p),(}() p

A

211:t

y(x, t) = Yo = A cos ( T

1

-A 1

IP

-A

constante. (7.7)

X

1 1 1 (b) l=T/4 1 1 1 1

1 1 1 \ 1 1 1

t

(yº) =

2rrt - 2nx = cos- 1 T À A

-

A velocidade aparente da altura ftxa é obtida ton1ando-se a derivada e,n relação ao tempo da Eq. (7.7),

1 1 1

A

=O

\

1 1

y(x, 772)

(a) t \

\

-A

Oll

~Up

1 1

y(x. 714)

2

\

\

2nx) ).. , (7.6)

X

3),

À1 1 1

-

2n

2n dx

- - - - = 0, T ).. dt

que resulta na velocidade de fase

uP

(7.8)

como

p

v,

X

3Ã

dx À up --- dt - T

(1n/s).

(7.9)

2

(e)

1

= 772

A velocidade de fase, tan1bé111 deno1ninada velocidade de propagação, é a velocidade da onda

Figura 7-4 Gráficos de y(x, t) = A cos ( 2f'

-

lx )

2

con10 uma função de (a)x para t = O, (b) t = T/4 e (e) t = T/2. Observe que as ondas se 1noven1 na direção positiva de x con1 unia velocidade "r = À/ T.

que se ,nove através da superfície da água. A água se inove principalmente para cin1a e para baixo; quando a onda se move de um ponto para outro, a água não se move fisican1ente ao longo da superfície.

200

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

A direção de propagação da onda é facilmente deten11inada pela inspeção dos sinais dos ter1nos e,11 t e e,n x na expressão para a tàse (x, t) dada pela Eq. (7.3): se u,n dos sinais.for positivo e o outro for negativo, então a onda se desloca na direção positiva de x; se os dois si11.ais.foren1 positivos ou negativos, então a onda se desloca na direção negativa de x. A referência de fase constante não cem influência na velocidade nem na direção de propagação da onda. Afreqiiência da onda senoidal (f) é o inverso do período de tempo T:

Até agora, examinamos o comportamento de u1n.a onda que se desloca na direção positiva de .x. Para descrever uma onda que se desloca na direção negativa de x, invertenios o sinal de x na Eq. (7.12): y(x , t) = A cos(wt

+ f3x).

Agora exa1ni ne1nos o papel da referência de fase cf>0 dado anteriormente na Eq. (7.1 ). Se cf>0 não for zero, então a Eq. (7.12) deve ser reescrita como y(x , t) = A cos(wt - {3x

f

=

!._

(Hz).

T

(7.10)

Ao combinar as duas equações anteriores, obtenios a seguinte relação:

~ M7. l-7.3

(m/s).

1 Up=fÀ

(7.11)

A freqüência (f) da onda, a qual é medida em ciclos por segundo, foi associada à unidade Hz (pronunciada "hertz"), em homenagem ao físico alenião Heinrich Hertz ( 1857- 1894), que foi o pioneiro no desenvolviniento das ondas de rádio. Usando a Eq. (7. 10), a Eq. (7.4) pode ser reescrita de unia fonna 1nais reduzida, conforme a . seguir: 2 y(x , t ) = Acos ( 21rft - ; x) = A cos(wt - {3x),

(7.1 2)

onde w é a velocidade angular da onda e f3 é a sua constante de fase (ou nú1nero de onda), definidas como w= 21rf

/3 = 2rr À

(rad/s),

••Mi

(7.16)

Um gráfico de y(x, t) como urna função dex para un1 valor especificado de t ou como unia função de t para uni valor especificado de x estará deslocado no espaço ou no tempo, respectiva1nente, em relação ao gráfico em que o =O por u,na quantia 0 . Isso é ilustrado pelos gráficos ,nostrados na Fig. 7-5. Observa,nos que quando c/>0 é positivo, y(t) atinge o valor de pico, ou qualquer outro valor especificado, n1ais cedo e1n comparação com a onda 0 = O. Assim, dize,nos que a onda con1 c/>0 = 1r/4 está adiantada en1 relação à onda com c/>0 =O por uni avanço de fase de o= 1r/4; de forma similar, diz-se que a onda com cf>0 = - 1r/4 está atrasada eni relação à onda com 0 =O por un1 atraso de fase de 1r/4. Uma fu nção de onda coni uni 0 negativo gasta mais tempo para alcançar um determinado valor y(t) do que uma função co,n referência de fase zero. Quando 0 é positivo, significa uma fase adiantada no tempo; e quando é negativo, significa u1na fase atrasada.

7-1.2

Onda Senoidal em um Meio com Perdas

Se u,na onda se desloca na direção x en1 un, ,neio co11i perdas, sua a1nplitude dirninuirá segundo expresso por e~x. Esse fator é denominado fator de atenuação e a é denominado constante de atenuação do 1neio, sendo sua unidade o neper por metro (Np/m). Portanto, em geral,

(7.l 3b)

(rad/m).

Up =

+ ef>o).

(7.13a)

E1n termos dessas duas grandezas,

~

(7 . 15)

(/)

j).. = - .

f3

(7.14) y(x, t) = Ae- ax cos(wt -

f3x + o).

(7.17)

CAPITULO 7

Adiantada e,n relação à onda de referência

201

Onda de referência ( 0 = O)

y A

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

/_

Atrasada ern relação à onda de referência

o= -n/4

-A Figura 7-5 Gráfico de y(O, r) = A cos[(27tt I T) + 0] para três valores diferentes da fase de referência 0• M7.7-7.8

A an1pLitude da onda agora é Ae~'·', e não apenas A. A Figura 7-6 mostra um gráfico de y(x, t) co1no unia função de x en1 t = O para A = 1O 1n, À= 2 1n, a= 0,2 Np/tn e <{J0 = O. Observe que a envoltória da onda diminui de acordo com e·ªx. M7.4-7.6eD7.3 A unidade real de a é (1/rn); a parte do neper

(Np) é adin1ensional, que é un1 recurso tradicio-

nalmente usado corno urna forrna de lembrar que a unidade (Np/m) se refere à constante de atenuação do meio a. U1na prática similar é aplicada na constante de fase /3, associando a unidade (rad/m) e1n vez de apenas ( l/111).

QUESTÕES PARA REVISÃO Q7.l Como pode1nos identificar se uma onda se desloca na direção positiva ou negativa de x? Q7.2 Co1no a envoltória da onda varia con1 adis-

Uma onda acústica que se desloca na direção x en1 u1n fl uido (líquido ou gás) é caracterizada por u1na pressão diferencial p(x,t). A unidade de pressão é o newton por metro quadrado (N/m2) . Determine unia expressão para p(x, t) para uma onda sonora senoidal que se desloca na água na direção positiva de x, dado que a freqüência da onda é J kHz, a velocidade do son1 na água é 1,5 k1n/s, a amplitude da onda é 10 N/m 2 e p(x,t) apresenta seu valor máxüno e1n t = Oex= 0,25 m. Considere a água como urn meio que não apresenta perdas.

Solução: De acordo com a forma geral dada pela Eq. (7.1) para urna onda que se desloca na direção positiva de x, 2:,r p(x, t) = A cos ( 2.n: , - Tx 7

uma fase atrasada?

0 sign.i 6ca

+
A amplitude A = 1O N!m2, T = 1~f = 1o· s e, a partir de uP = J),., 3

tância e1n (a) em u1n 1neio que não apresenta perdas e em (b) em u1n n1eio que apresenta perdas? Q7.3 Por que um valor negativo de

' Onda Sonora na Agua

Exemplo 7-1

À --

Up

-

f

--

J,5

X

103

l(}' = l S

' m.

Portanto, p(x, t) = !Ocos (2n

3

x 10

1 -

4 ;

x

+
(N/m2 ).

202

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

y(x) y(x)

10 ,n

- -- -/

5 ,n

- 5 Lll -10 ,n

'

Joe- 0·2 '

---

Figura 7-6 Gráfico de y(x) = (10e~ 2 ' cos 7r x) metros. Observe que a envoltória é li111itada entre a curva dada por JOe~·2 ' e sua imagem relativa ao eixo x.

Visto que em t = O ex = 0,25 m, p(0,25,0) = I O ? Nlm ·, te,uos

(b) up

10 = !Ocos ( -4.7r 0,25 +
.1r

3

3 X 1015 = fJ = = 3 x 108 m/s, 107 W

que é igual a e, a velocidade da luz no espaço livre.

+o) ,

(e) Para x = 200 m, a an1pljtude de E(x, t) é

150e-o.o3 xzoo = 0,37

que resulta em (o - 'Tr/3) =cos· 'c 1) ou o =7r/3. Portanto, , 4.1r x+ Tl ) p(x,t)= I Ocos ( 2TCxlOt-

3

3

(N/m2). •

(V/m).

•

EXERCÍCIO 7.1 O campo elétrico de unia onda eletrornagnética é dado por E(z, t) = IOcos(Tl x 1071 + TlZ/15 + .1r/6) (Vlrn)

Exemplo 7-2

Perda de Potência

Urn feixe laser de luz que se propaga na atmosfera é caracterizado por urna intensidade de campo elétrico dada por E(x, t)

=

150e-o,o3x cos(3 x 10 15 t

-

107 x) (Vim),

onde x é a distância ern metros a partir da fonte. A atenuação se deve à absorção pelos gases da atnlosfera. Deterrnine (a) a direção de deslocan1ento da onda, (b) a velocidade da onda e (c) a amplitude da onda a unia distância de 200 1n. Solução: (a) Como os coeficientes de te x no argumento da função co-seno têtn sinais opostos, a onda tem de se deslocar na direção positiva de x.

Detenn.ine (a) a direção de propagação da onda, (b) a freqüência da onda!, (e) seu compriinento de onda À. e (d) sua velocidade de fase uP. Resp. (a) direção -z, (b) j' = 5 MHz, (c) À. = 30 01, (d) uP =l ,5 x 108 111/s. (veja .;<·) ,

EXERCICIO 7.2 Uma onda eletro,nagnética se propaga na direção z en1 um meio que apresenta perdas com uma constante de atenuação a = 0,5 Np/rn. Se a arnpl itude do ca,npo elétrico da onda é ele l 00 V/m em z = O, qual a distância alcançada pela onda antes que sua an1plitude seja reduzida para (a) 10 V/m, (b) l V/me (e) l µ,V/m? Resp.

(a) 4,6 n1, (b) 9,2 rn, (c) 37 111. (veja ~ )

CAPITULO 7

7-1.3

203

PROPAGAÇÃO DE ÜNDA S PLANAS

Revisão de Números Complexos 5m(z)

Uln 11ú1nero co111plexo zé escrito na forma a seguir: Z=

X+ j y,

x= lzl cose y = lzl sen e

y

lzl = t/x2 + y2

(7.18)

e = tg- 1 (ylx)

onde x e y são as partes real (V'le) e i111agi11ária (Jm) de z, respectivamente, e j = ,R. Ou seja, x

= 91e(z),

y

(7 .1 9)

= J m(z) .

Alternativa1nente, z pode ser escrito nafor111a polar como a seguir:

z = lz lei 9 = lz ld

(7.20)

onde lzl é o módulo de z e e é o ângulo de fase, sendo a fonna .á uma forma reduzida útil usada normalmente na representação de cálculos numéricos. Aplicando a identidade de Euler, temos 1

ei() = cose+jsene,

(7.2 1)

z = lz lei

O inódulo lzl é igual à raiz quadrada positiva do produto de z pelo seu conjugado complexo: l

1

podemos converter z a partir da fonna polar, confonne a Eq. (7.20), para a forma retangular, conforme a Eq. (7. 18), 0

Figura 7-7 Relação entre as representações retangular e polar de u,n nún1ero complexo z = x + ·o j y = lzle' .

= lzl cose+ j lzl sen fJ, (7.22)

y = lzlsenB,

(7 .26)

1

Agora destacare1nos algu1nas das propriedades da álgebra cornplexa que provavelmente encontrare1nos nos próxirnos capítulos. Igualdade: Se dois ntímeros complexos z1 e z2 são dados por .f)

que nos conduz às relações a seguir: x = lzl cose,

1z 1= ~ .

z 1 = x, + j y, = lz tle' 1 , z2 = x2 + j y2 = lz2lei'h,

(7.23)

lzl=1x2 +y2 , e= tg- 1(y/x) . (7.24)

Adição:

bém que, como lzl é tuna quantidade positiva, apenas a raiz quadrada positiva na Eq. (7 .24) é aplicável. Isso é indicado pelo sinal + sobre o sinal de raiz quadrada. O co,nplexo conjugado dez, indicado por urn asterisco sobrescrito, é obtido substituindo j (sempre que ele aparecer) por -j, de fonna que

Multiplicação:

(7.25)

(7.28)

então z, = z2 se e apenas se x1 = x, e y 1 = y2 ou, de forma equivalente, lz,I =lz2I e e1 =e2•

As duas fonnas estão ilustradas grafica,nente na Fig. 7-7. Ao se usar a Eq. (7.24), deve-se garantir que() esteja no quadrante adequado. Observe ta1n-

z* =(x + j y)* = x - j y = lz le- ilf = lz lil.

(7.27)

z, + z2 = (x, + x2) + j (y, + Y2) . (7.29)

z ,z2

= (x, + j y, )(x2 + j y2) = (x1 x2 - Y1 Y2) + j (x1y2 +x2y1)

(7.30a)

ou

z,z2 = lz, leio, · lz2lei9z = lz, llz2 lei<0,+9zl = lz, l lz2 l[cos(B1 + B2) + j sen(B, + fl2) ]

(7.30b)

204

E LETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHE IROS

D ivisão: Para Zi =t: O, ZI

X1

+ jy1

z2

x2

+ jy2

-=

Solução: (a) IVI = .ifVV* = ~=(3~--j4=)~(3~+-j4=) = .t,'9 + 16 = 5, Bv = tg- 1(-4/3) = -53 , lº , V= IV leiOv = 5e- j53,Iº = 5/-53.1º ,

(x 1 + jy1) . (x2 - jy2) (x2 + jy2) (x2 - jy2)

Ili = :;;/22 + 32 =

(x1x2 + Y1Y2) + j(x2.)11 - X1Y2)

Xi+ Yi

(7 .31 a)

ou

z,

-=

e, = 1so

0

lz2 lePh

(7 ..3 lb)

z" = (lz lei//)" = lz l"(cosne + j senn.8) (7.32)

z112 = ±lz l ' f2ei0/2 2

= ±lzl'l [cos(8/2)

= 236,3º,

(b) V [ = 5e- i 53· 1º X 3,6tei236,3º = l8,05ei<236.3º-53.Iº) = 18 , 05eilS3,2º .

Potências: Para qualquer inteiro positivo n,

1111

+ cg- 1 (!)

l = 3,6) /236.3° .

lz2 I lz ri = -[cos(81 - 82) + lz2 I jsen(B1 - ('2)].

11

Co1no 1 = (- 2 - j3) está no terceiro quadrante no plano co,nplexo [Fig. 7-8],

lz1 lep.1,

= l.:!lei<e, - o-i>

= lz l ei

rn = 3,61.

+j

sen(B/2)]

(e) V[* = 5e- j53,Iº X 3,6le- i236,3º = 18,05e- i 289.4º = 18,05ei7º·6º . 5e - j53. Iº (d ) V -=---[ 3, 61 ei236.3• = l, 39e- j289.4º = 1, 39ei70.6º .

(e) .,,fi = -J3,6 1ei236.3º = ±-v'3,6! ei236.3º /2 =

± I, 90ei 118.15º. •

(7.33) ,

EXERCI CIO 7.3 Expresse as seguintes funções con1plexas na forn1a polar:

R elações úteis: - 1 = eirr =

e-jrr

= ) /1800,

j = ein/2 = 1/90º ,

(7.34)

- j = - eirr/2 = e- jrr/2 = 1/- 90º '

r: =

vJ

(ej:r /2) 1/2 = ± eirr/4

= ±(l

(7.35)

+ j)

,./2

FJ-- ± e- in/4 -__±_(_1../2 ~-}_·) . Exemplo 7-3

= (4 - j3)2 , 112 . z2 = (4 - j3) ZI

' (7.36) (7.36)

Trabalhando com Números Complexos

Dados dois números co1nplexos V = 3 - j4,

I = -(2+ j3).

(a) Expresse V e l na for1na polar e detennine (b) VI, (e) VI*, (d) VII e (e) .,,fi.

Figura 7-8 Os números con1plexos Ve I no plano complexo (Exernplo 7-3).

CAPÍTULO 7

Resp. z, = 25/-73,7" ,z2 = ja ~ )

±.Js/ - 18.4º

(ve-

EXERCÍCIO 7.4 Mostre que .J2] = ±(1 + j). (veja ~ )

7-1.4

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

205

R + V5(t)

e

'v

Revisão de Fasores

A análise fasorial é uma ferramenta mate1nática usada na solução de problemas que envolve,n siste1nas lineares nos quais a excitação é un1a função periódica no te1npo. Muitos probletnas de engenharia são expressões na for111a de equações lineares íntegro-diferenciais. Se a excitação, nonnalmente conhecida como função força, varia senoidalmente co1n o ten1po, o uso da notação fasorial para representar un1a variável dependente do tempo nos pernüte converter a equação íntegro-diferencial em uma equação linear se1n funções senoidais, si1nplilicando assim o método de solução. Após cal cular a variável desejada, tal con10 a tensão ou a corrente en1 urn circuito, a conversão do don1ínio fasorial de volta para o don1Jnio do tempo proporciona o resultado des~jado. A técnica do uso do fasor també1n pode ser aplicada à análise de sistemas lineares quando a função força é qualquer função periódica no tempo (não-senoidal), tal con10 u1na onda quadrada ou urna seqüência de pulsos. Expandido a função força na série de Fourier de componentes senoidais, podemos calcular a variável desejada usando a análise fasorial para cada con1ponente de Fourier da função força separadan1ente. De acordo con1 o princípio da superposição, a soma das soluções referentes a todas as con1ponentes de Fourier fornece o 1nes1no resultado que seria obtido caso o proble1na fosse solucionado inteiramente no domínio do tempo se1n a ajuda da representação de Fourier. A vantagem óbvia da abordagem fasor-Fourier é a si1uplicidade. Alé.n1 disso, no caso de funções nãoperiódicas, tais con10 u1n único pulso, as funções podem ser expressas con10 integrais de Fourier e u1na aplicação si,nilar do princípio da superposição também pode ser usada. O circuito RC si1nples n1ostrado na Fig. 7-9 contém uma fonte de tensão senoidal variante no tempo dada por

Figura 7-9 Circuito RC conectado a un1a fonte de tensão.

Vs(t) = Vo sen(wt + o),

(7 .38)

onde V0 é a amplitude, w é a freqüência angular e o é a fase de referência. A aplicação da lei de Kirchhoff para tensão resulta na seguinte equação para a 1nalha: R i(t)

+~

f

i(t) dt = v5 (t)

(do1nínio do te1npo) (7.39) Nosso objetivo é obter u1na expressão para a corrente i(t). Podemos resolver isso resolvendo a Eq. (7.39) no don1 ínio do tempo, o que é um pouco incômodo, porque a fu nção força v.(t) é uma senóide. Alternativamente, poden1os usufrui r da vantagen1 no uso da técnica fasorial co1no mostrado logo a seguir.

Passo 1: Adotar u111a referência co-seno. Isso signifi ca que deve,nos expressar a função força co1no u1n co-seno, caso ainda não esteja nesse forn1ato, e assim todas as funções variantes no tempo, con10 a corrente no circuito e as tensões em R e C, também terão uma referência em co-seno. Portanto, Vs(t) = Vo sen(wr +
-wt-
=Vocos ( wr+o-~) .

(7.40)

onde usamos as propriedades sen x = cos(7T/2 - x) e cos(-x) = cos x.

206

ELET ROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Passo 2: Expressar as variáveis dependentes do .ternpo co11zo fasores.

Qualquer função senoidal variante no te1npo z(t) pode ser expressa na forma (7.41)

-

onde Zé uma função independente do tempo denon1inada/asor da função instantânea z(t). Para distinguir entre quantidades instantâneas e seus fasores, utn.a letra que indica u1n fasor é apresentada com u1n til (-) sobre ela. A tensão v.(t) dada pela Eq. (7.40) pode ser expressa da seguinte forma:

Portanto, a diferenciação de uma função no tempo i(t) é equivalente à 1nulliplicação do seu tasor i por jw, e a integração é equivalente à div isão por jw. Passo 3: Rearranjar a equação diferencial/integral na forrna fasorial

Usando as Eqs. (7.42), (7.44) e (7.46) na Eq. (7 .39), temos

v,(t) = Vlc [ Voej (wr+~-irt2>]

(7.47)

= Vle [ Voej(ef1Q -:rt 2>ei 011 ]

Co1no R e C são grandezas reais e a operação Vle() é distributiva, a Eq. (7.47) é simplificada para

= Vle [V~ei"'1 ],

(7.42)

onde (7.43)

-

O fasor Vs, que corresponde à função no tempo v.(t), conté1n as infonnações de amplitude e fase, porém é independente da variável te1npo (t). A seguir, defini1nos a variável desconhecida i(t) em tennos de un1 fasor 1 con10

I-( R

l ) + jwC

(domínio fasorial)

= V~

(7.48)

O fator tempo ei"" desapareceu porque estava contido e,n todos os três tennos. A Equação (7.48) que está no do1nínio fasorial é equivalente à Eq. (7.39).

(7.44)

e se a equação que estamos tentando resolver contiver derivadas ou integrais, usa1nos as duas propriedades a seguir: di dt

=.:!:_dt [!Re(feiwt)] =Vlc -dt( /e =Vle[jw/eiw [ d

f =f i dt

-

A partir da Eq. (7.48), o fasor da corrente l é dado por

-

Vs l = ----R + 1/(jwC)

- 1.,,,') ] 1

e

Passo 4: Calcular a equação no do111í11io fasorial

],

(7.45)

=me (/ leiw dr) =Vle ( keiw

Antes de aplicar o próximo passo, precisamos converter o lado direito da Eq. (7.49) para a fonna ·o J0t! , sendo 10 u,na quantidade real. Portanto,

i

Vle(/eiwt) dt

(7.49)

= V. ej <
o

[

j wC

1 + jwRC

]

1

1

)

.

= Voei <
(7.46)

VowC

wCejir/2

.V1 + w2 R 2C2 eil/!1

]

i,>

.V1 + w2 R2C2 e

'

(7 .50)

CAPITULO 7

onde temos usado a identidade j = e i"12. O ângulo de fase 4> 1 =tg-'(wRC) e se encontra no primeiro quadrante do plano co1nplexo.

Tabela 7-1 Funções senoidais z(i) no domínio do ten1po e suas respectivas funções equivalentes

z

no domínio fasorial com refçrência em co-seno, onde z(t) = !Jte[ Ze ) ..... J(l}(

Passo 5: Deter111i11ttr o valor instantâneo

i (t) = 9'-lc [ i ei"'

1

J

.t"I

+ (J)2 R 2c2

ei (t/>fi- ,p1) eiwt

J

~

A cos wt A cos(wt + <{)o) A cos(wt + f3x + <{)o)

Ae-<>x cos(wt + /3x

A senwt A sen(wt

VowC

= 9'-le [

-z

z(1)

Para detenninar i(t), sin1ples1nente aplica,nos a Eq. (7.44). Ou s~ja, multiplicamos o fasor l dado pela Eq. (7.50) por ejwt e então to,namos a parte real:

~

A Aei
~

J\ei
+* +*

+ <{)o)

~ L..>,._

+
d - (z1 (t)) t 11

d

dt [A cos(wt + o)] Vo
.t"l + w R C 2

2

2

cos(wt

+
1).

(7 .51)

Enl resu1no, converte1nos todas as grandezas variantes no tempo para o domínio fasorial, calculado para o fasor l da corrente instantânea i(t) desejada, e em seguida convertemos de volta para o domínio do tempo para obter u1na expressão para i(t). A Tabela 7- l fornece uni resumo de algu1nas funções no do1n ínio do tempo e as funções equivalentes no do,nínio fasorial.

Exemplo 7-4

Circuito Rl

f f

Vs(t) = 5 sen(4 x 10 t - 30º)

jwJ\ei4"1 -.JW1 z,

z1(i)dr

A sen(wt

+ <{)o) ,Ir

Ri

+

~Aei <4Jo-:r/2)

jw

di L - = lls(t). dt

(7.53)

Antes da conversão da Eq. (7.53) para o do1nínio fasorial, precisamos expressar a Eq. (7.52) em tern1os de unia referência co-seno: tis(!)= 5sen(4 x 104 t - 30°)

= 5cos(4 x 104 t - 120º) (V). (7.54)

A fonte de tensão do circuito rnostrado na Fig. 7-10 é dada por 4

207

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

(V).

(7.52)

Obtenha uma expressão para a tensão no indutor.

O coeficiente de t especifica a freqüência angular 4 con10 w =4 x 10 (rad/s). O fasor de tensão que corresponde a v5 (f) é

Solução: A equação de malha para a tensão no circuito RL é

(V),

e a equação fasorial correspondente à Eq. (7.53) é

- Calculando o fasor da corrente J , temos

-

RI + jwLI = V,.

1

R=60.

+

(7 .55)

-

Vs l=----

R+jwL

se-j 120º 6 + j4 Figura 7-10 Circuito RL (Exemplo 7-4).

6+ j8

X

104

X

2

X

J0-4

5 e -j l20º = 0 5 - j I Oei53. Iº ' e

173. 1°

(A).

208

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

-

O fasor da tensão no indutor está relacionado a l por

-VL = jwll-

con1 un1a freqüência angular ro, cada uma dessas grandezas pode ser representada por un1 fasor independente do tempo que depende apenas de (x, y, z). Assim, o fasor vetor E(x, y, z) correspondente ao can1po instantâneo E (x, y, z; t) é definido de acordo com

-

= }4 X 104 X 2 X 10- 4 X 0,5e- jl?3 .r• = 4 e j(90º-r73,rº>= 4 e- js3.rº (V),

E(x , y , z; t) = !Jle [E(x, y, z) ejw,], (7.56)

e a tensão instantânea v1.(t.) correspondente é então VL(t) = !Jle [t'Lejw,] =!Jle [ 4e-j83.rº ej4x r0',] = 4cos(4 x 104 t - 83,1º)

-

(V).

•

-

QUESTOES PARA REVISAO

e definições similares se aplicarn aos outros carnpos e para p_. e J. Para um ,neio linear, isotrópico e hornogêneo caracterizado pela pennissividade elétrica s., pela permeabilidade magnética µ., e pela condutividade
Q7.4 Por que a técnica fasorial é útil? E,n que situação ela é usada? Descreva o processo.

"i1'

Resp. (a) i = 150/(R + jwL) = 0,3 / -36.9" (A), (b) í(t) = 0,3 cos(wt - 36,9°) (A). (veja ~ ) ' EXERCICIO 7 .6 Uma tensão fasorial é dada por V = }5 V. Detennine v(t).

-

Resp. v(t) = 5 cos(<üt + 7r/2) = - 5 sen wt (V) (veja ~ )

(7.57a)

E= -jóJµ, H ,

(7.57b)

- = O, "i1 • H - -J + }óJSE,"i1 H "i1

Q7.5 Como a técnica fasorial é usada quando a função força é unia fonna de onda periódica nãosenoidal, tal como um trem de pulsos?

EXERCÍCIO 7.5 Um circuito Ri. em série é conectado a unia fonte de tensão dada por v.(t) = 150 cos wt(Y). Deter,nine (a) a corrente fasorial i e (b) a corrente instantânea i(t) para R = 400 Q , L = 3 1nH e w = 105 rad/s.

-E = Pv/S,

X

X

Campos Harmônicos no Tempo

No caso de grandezas variantes no tempo, os campos elétrico e rnagnético, E, D, B e H e suas fontes, a densidade de carga e a densidade de corrente J são, cada um, em geral, urna função das coordenadas espaciais (x, )~ z) e da variável tempo (t). Se suas va1iações no tempo forem funções senoidais

(7.57d)

=

onde ternos usado as relações D = sE e B = µ.,H. Esse conjunto de equações define o ponto de partida para o assunto tratado neste capítulo.

7-2.1

Permissividade Complexa

E,n um meio com condutividade
- -J + jwsE-

"i1 x H =

= (<1

7-2

(7.57c)

+ jws)E

=JóJ(s -1:)E. Introduzindo a per11iissividade co,nplexa nida como Se A S -

j O' , ó)

(7 .59)

(7.58) Se

defi-

CAPITULO 7

A Eq. (7-58) pode ser reescrita como

209

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

-

A eartir da Eq. (3.45), o rotacional do rotacional de E é dado por (7.60)

A permissividade con1plexa Se dada pela Eq. (759) é freqüente,nente escrita em tennos de u1na parte real s' e de uma parte imaginária e". Assim, Se

.O' l:l.

I

•

li

= s - J - = s - Je ,

'il

v2-E =

(J)

= s,

(7.62a)

a s " =-

(7.62b)

s

I

E) =

'il('il · E)

-

'il2 E, (7.66)

onde 'il 2 E é o laplaciano de E e é dada e,n coordenadas cartesianas por

(7.61)

COIH

x ('il x

a2 + -a2 )-E. + ax2 ôy2 az2

( a2

-

Devido à Eq. (7.63a), que diz que 'il ·E= O, o uso da Eq. (7.66) na Eq.(7.65) resulta em (7 .68)

ú)

Para Lnn 1neio sem perdas co1n
7-2.2

Equações de Onda para um Meio sem Cargas

Diz-se que um meio está sem cargas se ele não contiver excesso de cargas, ou seja, se p,. = O. Substituindo a Eq. (7.57d) na Eq. (7.60) e fazendo p,. = O na Eq. (7.57a), as Equações de Maxwell para un1 ,neio se1n cargas tornam-se

- O, 'il ·E=

- = O, 'il · H - jwscE.'il x H 'il

x E= - jwµH, =

(7.67)

que é denominada equação de onda ho,nogênea para E . Introduzindo a constante de propagação y definida de forma que

-

(7.69)

A Eq. (7.68) pode ser reescrita como

Na dedução da Eq. (7.70), começa1nos determinando o rotacional nos dois lados da Eq. (7.63b) para obter uma equação e1n função apenas de E. Se invertemos o processo, ou seja, se começannos detem1inando o rotacional dos dois lados da Eq. (7.63d) e então usarmos a Eq. (7 .63b), obtemos a equação de onda para H:

-

(7.63a) (7.63b)

-

(7.63c) (7.63d)

(7.71 ) 1

Para descrever a propagação de u,na onda eletron1agnética en1 um ineio sen1 cal]aSJ)recisa,nos deduzir as equações de onda para E e H , calculando-as e1n seguida para obter expressões explícitas para E e H como uma função de variáveis espaciais (x, y, z). Com tal finalidade, começamos detenninando o rotacional nos dois lados da Eq. (7.63b) para obter

- -

-

-

'il x ('il x E) = -jwµ ('il x H).

(7.64)

Substituindo a Eq. (7.63d) na Eq. (7.64), obte,nos ? 'il x ('il x E)= - jw11,(jwscE) = w-µscE ,

(7 .65)

-

-

Como as equações de onda para E e H estão no 1nes1no fonnato, suas soluções tan1bé1n terão o mes1no formato.

7-3

Propagação de Ondas Planas em Meios sem Perdas

As propriedades de propagação de u,na onda eletro,nagnética, tais con10 a velocidade de fase u1, e o comprimento de onda te, são regidas pela freqüência angular w e os três parâ1netros constitutivos do 1neio: s , µ e
210

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

tor (cr = O), a onda não sofre qualquer arenuação em seu desloca1nento alravés do 1neio e, portanto, diz-se que o meio é se11z perdas. A partir da Eq. (7.59), ec = e em um meio que não apresenta perdas, caso no qual a Eq. (7.69) passa a ser Y2 = - w2µ,e.

(7.72)

,-

d·Er __. dz 2

k =

w.J,ie.

(7.73)

•.....,

-

2

2

Devido à Eq. (7. 72), y = - k e a Eq. (7. 70) se torna (7.74)

7-3.1

Ondas Planas Uniformes

-E = xEx- + yEy - + zE,., -

(7.75)

a substituição da Eq. (7.67) na Eq. (7.74) resulta em

+ -a2y-, + -a2z-, ) 8

8

-

-

(xEx + yEy

+ zE,.)

+ k·? (xEx + yEy + zE,.) =

O. (7.76)

Para satisfazer a Eq. (7.76), cada componente vetorial do lado esquerdo da equação ten1 de ser igual a zero. Portanto, a2 ( 8 x-,,

a2

a2

+ -8y-,, + az-,, + k

2) Ex-

Uma onda plana unifor,ne é caracterizada pelos ca1npos elétrico e n1agnético que tên1 propriedades uniformes em todos os pontos ao longo de u1n plano infinito [veja a Fig. 7-2(b)). Se esse plano for o x-y, então E e H não variam con1 x e y. . Portanto, aEx/âx = Oe Ex/ây = O, caso no qual a Eq. (7.77) se reduz a

-

-- -

A

Z

8Hx) a - a =

( 8Hy

y

X

•

A.

ZJWS

•

E-

Z·

(7.79)

-

-

Como &Hy/&x = &H.,/&y = O, segue que E,. = O. Uma análise similar envolvendo a Eq. (7.63b) revela que H,. = O. Isso significa que urna onda plana não teni co1n1>onentes de ca,npo elétrico ne,n ,nagnético ao longo da direção de propagação. Para a grandeza fasorial E.,, a solução geral da equação diferencial dada pela Eq. (7.78) é

-

(7.80) onde E_;0 e Exo são constantes a sere1n detenninadas a parrir elas condições de conrorno. A solução dada pela Eq. (7.80) consiste e1n dois termos exponenciais, um co1n sinal negativo e o outro com sinal positivo. Confonne ficará evidente em breve, o prilneiro tenno na Eq. (7.80), que contém o termo exponencial negativo e-ik•, representa tuna onda com a1npl itude 0 que se desloca na direção positiva dez, e o segundo tenno (co1n e-;kz) representa uma onda com amplitude E_,0 que se desloca na direção negativa de z. Va1nos admi6r por enquanto que E tem apenas um componente ao longo de x (por exe1nplo, E)' =0) e que Ex consiste e1n u1na onda que se desloca apenas na direção positiva dez (por exe1nplo, Ex0 ). Portanto,

E_;

-

-

-

= O, (7.77)

-., e E-.•. e expressões sitnilares se aplicam a E

-

(7.78)

Ex(z) = E;(z)+E.~(z) = E:0e-jkz+ Ex0eikz,

Para um can1po elétrico fasorial dado e1n coordenadas cartesianas por

a2 ( 8x-,,

,-4,

-

-

1

O,

e expressões sin1ilares se aplica1n a E )·' Hx e H 1•• As componentes restantes de E e H são zero; ou s~ja, E, = H, = O. Para mostrar que E, = O, vamos considerar a cornponente z da Eq. (7.63d),

Quando u1n meio não apresenta perdas, é habitual introduzir o nú111ero de onda k definido por 1

,,- = + k·Ex

(7.81)

-

-

Com Ey = Ez = O, aplicamos a Eq. (7.63b) para deternlinar o campo magnético H(z):

-

A

-

v' xE =

A

X

y

z

A

a

a

a

ôx ôy ôz lt o o - + yHy + iH,). = - jwµ, (xHx

- -

(7.82)

CAPITULO 7

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

211

Para un1a onda plana que se desloca na direção z, X

éJE_;(z)/éJx = aE.-:(z)/éJy =

o.

Portanto, a Eq. (7.82) resulta e1n

E

-

/\

H ., = O,

(7.83a)

&E.;(z)

1 Hy = -.-

"z

-

(7.83b)

o

- JW/1,

Hi =

k

y

__1_ aE;;(z) __ . - JW/1, éJy

o.

(7.83c)

O uso da Eq. (7.81) na Eq. (7.83b) resulta e111

Figura 7-11 U,na onda eletro,nagnética transversal (TEM) que se propaga na direção k = z. ' Para todas as onda TEM, k é paralelo a E x H.

- ( ) _ k E+ -ikt _ y+ -ikt H y z - Wf.t .,0 e yoe , (7.84)

Onde H'"Y0 é a amplitude de

Hy(z) e é dada por

. + k + H>.0 = -E,0 . W/.t

(7.85)

.

Para u,na onda que se desloca da fonte e,n direção à carga ern uma linha de transmissão, as a1nplitudes dos fasores de tensão e co1Tente, v0+ e /0+, são relacionadas pela iinpedância característica da linha, ZO' Existe un1a relação si111ilar entre os campos elétrico e ,nagnético de un1a onda eletromagnética. A it11pedância intrínseca de um meio que não apresenta perdas é definida co,no

~

rJ -

wµ, _ -

k

wµ,

wffe

-

l (,. . .)

~· '

ê

transmissão coaxiais (conforme será discutido posterionnente no Capítulo 8) e as ondas esféricas radiadas por antenas . No caso geral, E\fJ pode ser u111a grandeza complexa composta de um módulo IE\ 01 e um ângulo de fase
=xlE.;-0

1

cos(wt - kz

(7.89a) (7.86)

H (z, t)=~e (H(z) ei">1]

, IE;-0 1

=y

onde usamos a expressão para k dada pela Eq. (7.73). Devido à Eq. (7.86), pode,nos resun1ir os resultados da seguinte fonna: E(7) ..., = xE+(7) x " · = xE+ xO e-ik< ,

(7.87a)

-,·k··

(7.87b)

-

-( ) , E;(z) , E;o H z = Y · = y- e 17

rJ

+ cp+) (Y/m),

Os campos elétrico e n1agnético são perpendiculares entre si e perpendiculares à direção de propagação da onda (Fig. 7-1 l ). Essas propriedades direcionais caracteriza111 uma onda eletromagnética .transversal (TEM - transverse electro111ag11etic ). Outros exe1nplos de ondas TEM inclue1n as ondas cilíndricas que se deslocam ao longo de linhas de

·

cos(w1 - kz

+
(N,n)

rJ

(7.89b) Como E(z, t) e H(z, t) apresentam a mes,na dependência funcional e,n z e t, diz-se que estão e,nfase; quando a atnplitude de um deles está no máximo, a amplitude do outro també111 está no máxi1110. A propriedade de estar em fase é característica de ondas que se propagam em ,neios que não apresentan1 perdas. A variação delas no te1npo é definida pela freqüência de oscilação f = w/27T, e a variação espacial é caracterizada pelo compri,nento de onda À. A partir das infonnações dadas na Seção 7-1.1 sobre o movi,nento de ondas, deduzi,nos que a velocidade de fase da onda é dada por

212

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

(J)

1

(J)

u p -- -k. -- lV.Jµê --

(m/s), (7.90)

ffe

O campo E(z, t) é máximo quando o argumento da função co-seno for igual a zero ou múltiplo de 21T. En1 t = Oe z =50 m, essa condição é 50 300

_ 21T

e o co,nprirnento de onda é

X

+

+_ O -

ou

Portanto, E(z, t)=x 1,2ncos 2nxl06t- 2nz A

(

300

=

Se o ,neio for o vácuo , e = e 0 e µ, µ,0 , caso no qual a velocidade de fase uP e a in1pedância intrín-

seca ri dada pela Eq. (7.86) passan1 a ser

up = e = 1J

=

110

6

l

.Jµ oso

§_ =

veo

= 3 x 108

e a partir da Eq. (7.89b), temos

(m/s), (7.92)

- )- E(z , t) H (<-, t - Y - - A

r10

377 (Q)

~ 120n

= ylOcos 2rrx106r- 2rrz + rr) 300 3 (µNrn),

(Q) (7.93)

ünpedâ11cia intrínseca do espaço livre.

A

Onda Eletromagnética Plana no Ar

=

f

e o número de onda correspondente é k = (21T/300)(rad/m). A expressão geral para urn campo elétrico na direção x e que se desloca na direção positiva de z é dada pela Eq. (7.89a) como E(z, t)=ilE.;0 1cos(wt-kz++)

=X l,2JT cos ( 27T x I0

;º~ ++ ?T(7

t -

TC) (rn . V/111),

A

3 X 108 = 1 X 106 = 300 m,

6.

.

E(z, 0) = x 1,2rr cos (2JTZ -

Solução: Para/= l MHz, o con1prilnento de onda no ar é dado por À

(

onde ten1os usado a aproxin1ação 110 := 120r. (Q). En1 t =O,

Este exemplo é análogo ao problerna da "onda sonora na água" descrito no Exemplo 7-1. O carnpo elétrico de urna onda plana de 1 MHz que se desloca na direção positiva dez no ar aponta na direção x. se o valor de pico de E for l ,2n (mV/m) e E for rnáximo em t = Oe z = 50 m, obtenha as expressões para E(z, t) e H(z, t), e então faça o gráfico dessas variações como uma função de z para t = O.

e

3

(mV/n1),

onde e é a velocidade da luz e 170 é denon1inada

Exemplo 7-5

+ Tl)

)

(mV!tn).

300

H(z, 0) = y 10cos A

(2TlZ300

3 1T) (µNrn). 3

Os gráficos de E(z, O) e H(z, O) são ,nostrados na Fig. 7-12 como uma função de z. •

7-3.2 Relação Geral entre E e H Pode-se mostrar que, para qualquer onda plana unifonne que se propaga em uma direção arbitrária indicada pelo vetor unitário k , o fasor do can1po magnético H está inter-relacionado ao fasor do campo elétrico E por ~

--

-

1,,..

,,

H= - k -

X A

E = - 17k

-

E,

X

-

H.

(7.94a) (7.94b)

O produto vetorial pode ser expresso em tern1os da seguinte regra da ,não direita: quando gira,nos os quatro dedos da mão direita a partir da direção de E para a direção de H. o polegar aponta para a

CAPÍTULO 7

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

213

X

1,2rr (nt V/m)

' À

E .y ..

10 (µ A/m) O 1,. . . -- (

' -...:::;

H

E

Figura 7-12 Variações espaciais de E e H e,n, = Opara a onda plana do Exe,nplo 7-5. M7.10-7.l I

A

direção de propagação da onda, k. As relações da-

das pelas Eqs. (7 .94a e b) são válidas não apenas para 1neios que não apresenta1n perdas, mas tan1bém para meios corn perdas. Conforme veremos mais adiante na Seção 7-5, a expressão para TJ ern um meio com perdas é diferente daquela dada pela Eq. (7.86). Enquanto a expressão usada para 17 é apropriada para o n1eio no qual a onda se propaga, as relações dadas pelas Eqs. (7.94a e b) setnpre pern1anecen1. Van1os aplicar a Eq. (7.94a) na onda dada pela Eq. (7.87a). A direção de propagação k = z e E = E,t (z) . Portanto, •

- x-

- = -(1 z X x) E_;(z) H I] A

=-y

T}

-

A

T/

A

,_,

E=

-+ xE_ ; (z) + y E,, (z),

(7.98a)

e o campo 1nagnético associado é - = H

A

que é o 1nesmo resultado dado pela Eq. (7.87b). Para urna onda que se propaga na direção negativa de z com u,n campo elétrico dado por

E = x E,.. ,

(7.97)

-

A

(7.95)

A

I]

""+ (z) xHx+(z) + y H)'

(7.98b)

T/

T/

.....,.

E-

= - y -xOe jkz •

Portanto, nesse caso, H aponta na direção negativa de y. Em geral, uma onda plana uniforme que se propaga na direção positiva de rpode ter componentes e,n x e y, caso no qual é E dado por

l J -+ e-:-(z) H = -k x E = - (z X x) Ex (z) = Y . , A

- - () Z

Ex

.,. 'E J•Z z = X xoe ,

-(

)

a aplicação da Eq. (7.94a) resulta em

(7.96)

Com a aplicação da Eq. (7.94a), temos - = -l H 1)

zX -E =

.

- X

e-;-cz) + y. _.;;..· E;-(z)

(7.99)

1/

TJ

Igualando a Eq. (7.98b) cotn a Eq. (7.99), te1nos

-+<

)-

H, 7~ .

_e; cz) , ií+c ) = E_;(z) >' z T/

T/

(7.100)

214

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Esses resultados estão ilustrados na Fig. 7-13. A onda pode ser considerada a so,na de duas ondas, u1na com as componentes (E'::, fQ e a outra com as componentes !-(.). E1n geral, uma onda TEM pode ter um ca1npo elétrico e1n qualquer direção no plano ortogonal à direção de propagação da onda, sendo que o can1po n1agnético tan1bé1n está no mesmo plano e sua direção é detenninada pela Eq. (7.94a).

(s,

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q7.6 O que é unia onda plana unifonne? Descreva suas propriedades em termos físicos e matemáticos. Sob que condições é apropriado tratar a onda esférica co1no urna onda plana?

- -

Q7.7 Como E e H são detertninados por equações de onda que tê1n o mes,no for1nato [Eq. (7.70) e (7.71)), podemos deduzir que E = H? Explique.

- -

Q7.8 Se uma onda TEM se propaga na direção Y , pode o ca1npo elétrico ter con1ponentes ao longo de y e z? Explique.

x,

EXERCÍCIO 7.7 Uma onda plana unifo1me de 10 MHz se propaga e1n um 1neio não-1nagnético con1 µ, =µ,0 e er =9. Determine (a) a velocidade de fase, (b) o nú,nero de onda, (c) o comprimento de onda no meio e (d) a impedância intrínseca do 1neio.

Resp. (a) uP = 1 x 1O8 mls, (b) k = 0,27T rad/n1, Â= 10 m, (d) IJ = 125,67 Q (v~ja ~) EXERCÍCIO 7.8 O fasor do campo elétrico de unia onda plana unifonne que se propaga e,n u,n meio sem perdas com uma in1pedância intrínseca de 188,5 Q é dado por E= 10e-i 4'TT' (mV/m). Determine (a) o fasor do ca1npo magnético associado e (b) a expressão instantânea para E(y, t) caso o meio seja não-n1agnético (µ, = µ,0).

z

Resp. (a) Ü = x53e-j 4"Y (µ,Nm), (b) E (y, t) = z I Ocos(67T x 108t - 47Ty) (111Vn1). (veja ~ ) ,

EXERCICIO 7.9 Se o fasor do campo 1nagnético de uma onda plana que se propaga en1 um meio com impedância intrínseca 17 = 100 Q é dado por

Ü =(Y10 + z20)e-i4x (mA/m), determine o fasor do ca1npo elétrico associado. E=(-z +y2)e- j 4.r(Vhn).

Resp.

(veja ~ )

,

EXERCICIO 7.1 O Repita o Exercício 7 .9 para u1n campo magnético dado por Ü = y (1Oe-j,x - 20e'"'.\' ) (lnA/n1).

y

E)'+

- - - - - -- - - - - -

E

Resp. E= - z(e- jJx (veja .il})

+ 2ei 3.r) (V/ln).

M7.14

7-4 Polarização de uma Onda A polarização de unia onda plana unifonne desFigura 7-13 A onda (E, H) é equivalente à sorna de duas ondas, uma con1 campos (E;, H') e a outra com campos (E;, ft.), sendo que ambas se propagam na direção positiva dez. M7 .12-7.13

creve a.fonna e o lugar geornétrico da extre,nidade do vetor E (no plano ortogonal à direção de

propagação) para urn dado ponto 110 espaço con10 u,nafunção do tenzpo. No caso n1ais geral, o lugar geon1étrico de E é uma elipse e a onda é deno1ninada polarizada eliplica,nente. Sob certas condições, a elipse pode se degenenu· e1n um círculo ou

CAPITULO 7

u1n segmen10 de linha reta, nos quais o estado de polarização é então denominado circular ou linear, respectiva1nente. Conforme mostrado na Seção 7-3, os componentes eni z dos canipos elétrico e niagnético de u1na onda plana que se propaga em z são ambos zero. Portanto, o fasor do ca1npo elétrico E(z) pode consistir em u1n co1nponente e1n x, E..-(z) , e um co1nponente em y, Ey(z):

-

E(z) = x.E_.(z) + yEy(Z),

-

-

(7.10 1)

COITI

E(z, t) = !){e (E(z) ej"'1 ] = xax cos(wt - kz)

+ yay cos(wt - kz + 8). (7.105) Quando se caracteriza o con1portaniento de unia onda eletro1nagnética, duas propriedades de particular interesse são a intensidade e a direção ele seu campo eléttíco. A intensidade de E(z, t) é dada pelo seu ,nódulo IE(z, t)I, isto é IE(z, t) I = [E_;(z, t)

E() y z = E ,.oe- ,"k··-,

-

-

Exo = a.t ,

(7.103a)

Eyo = aye1"J ,

(7.103b)

onde ª.<= IE,0 1 e a.,.=IE>01 são os 1nódulos de E_,0 e Eyo, respectivamente. Portanto, pela definição, ax e ª.,· podem não assumir valores negativos. Usando as Eqs. (7.103a) e (7.103b) nas Eqs. (7.102a) e (7.102b), o fasor do campo elétrico total é então dado por

+ E;(z, r)] 112

= [a; cos2 (wr - kz) +a;,cos2 (wt-kz+8)] '12 . (7.106)

(7.102b)

onde E_,0 e E)'0 são as amplitudes co1nplexas de . E:,(z) e E,.,.(z). respectivamente. Por questão de silnplicidade, o sinal positivo sobrescrito foi suprimido totalmente; o sinal negativo eni e-ikz é suficiente para nos len1brar de que a onda se propaga na direção positiva dez. As duas a1nplitudes E_,0 e E.,0 são, em geral, grandezas coniplexas, cada unia caracterizada por um 1nódulo e um ângulo de fase. A fase de uma onda é definida em relação a u1na condição de referência, tal como z =Oe t =Oou qualquer outra combinação dez e t. A polarização da onda depende da fase de Eyo em relação a E.o, ,nas não das fases absolutas de E..o e E>0 . Portanto, por conveniência, escolhemos a fase-de E,0 co1no nossa referência (associando assim E,0 a u1n ângulo de tàse zero) e indicaremos a fase de E>º' eni relação a E,0 , co,no 6. Portanto, ô é a diferença de fase entre o cornponente em y de E e sua componente em x. Conseqüentetnente, definilnos E..o e Ero con10

215

e o campo instantâneo correspondente é

(7.102a)

-·

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

O carnpo elétrico E(z, t) te1n co1nponentes ao longo das direções x e y. Para uma posição z específica, a direção de E(z, t) é definida no plano x-y (para o valor dez) pelo ângulo de inclinação 1/1, definido e1n relação à con1ponente de referência de fase zero de E(z, t), que é a con1ponente etn x nesse caso. Portanto,

1/J(z, t)

t,.

t)). Ex(Z , t)

tg-1 ( Ey(Z ,

(7.107)

No caso geral, tanto a intensidade de E(z, t) con10 sua direção são funções dez e t. Em seguida, exaniinare1nos alguns casos especiais.

7-4.1

Polarização Linear

O estado ela polarização de uma onda que se propaga na direção zé detenninado traçando-se a extren1iclade de E(z, t) conio unia função cio te1npo en1 urn plano 01togonal à direção ela propagação da onda. Por conveniência e se1n perda de generalidade, gerahnente esc0Jhe1nos o plano z = O. Diz-se que u,na onda é linearrne11te polarizada se E_.(z, t) e E_,.(z, t) estão e111fase (ou seja, ô= 0) ou/ora defase (6 = n). Isso porque, para um valor especificado dez, diga1nos z = O, a extremidade ele E(O, t) traça uma linha reta no plano x-y. Em z = Oe para ô= O ou 7T, a Eq. (7. 105) é simplificada para E(O, t) = (xax + ya,,) cos wt

(em fase), (7.J08a)

216

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

E(O, t ) = (xax - yay) cos wt

(fora de fase)

7·4.2

Polarização Circular

(7.108b) Van1os analisar o caso fora de fase. E1n wt = O, E(O, O)= xax - Yª>, o que significa que E se estende da 01ige111 na Fig. 7-14 até o ponto (a.,, -aY) no ' quarto quadrante no plano x-y. A medida que taumenta, o módulo de E(O, t) varia confonne cos wt: IE(O, t) 1 = [a;

+ a;,J '12 cos wt, (7 .109a)

e o ângulo de inclinação definido pela Eq. (7 .107) é dado por

1/t = tg- 1

(-ªy ) ax

(fora de fase),

(7.109b)

que é independente dez e t. Assin1, o comprimento do vetor que representa E(O, t) diminui para zero em wt = 1T!2 , invertendo então a direção e aumentando em n1ódulo para [a2x + a2) ,. 1/2 no segundo quadrante do plano x- y e1n wt =·'1T. Como ,j, é independente tanto em z quanto e,n t, E(z, t) mantém uma direção ao longo da linha que faz urn ângulo 1/1 corn o eixo x. Se aY= O, i/1 = Oº ou 180º, a onda se torna polarizada ern x, e se a, = O, 1/1 = 90º ou - 90º, a onda se torna polarizada em y .

Consideraremos agora o caso especial e1n que os módulos das componentes x e y de E(z) são iguais e a diferença de fase 8 = +1T/2. Por razões que ern breve se tornarão evidentes, a polarização da onda é deno1ninada polarização circular à esquerda quando 8 = 1T!2, e polarização circular à direita quando 8 = -7r/2.

-

Polarização Circular à Esquerda Paraª-' = a. = a e 8 = 1T!2, as Eqs. (7.104) e (7.105) se tornan1

E(z) = (xa + yaei"12)e- ikz = a(x + jy)e- ikz, E (z , t)

= !.Rc [E(z) eiwr] =

xa cos(wt - k z) + ya cos

(wt - kz + rc/2) = xa cos(wt - kz) - ya sen(wt - kz). (7.110b)

Os módulos co1Tespondentes e os ângulos de inclinação são dados por IE(z, t)I = =

[E.~(z, t)]+[E;(z, t)] 112 [a2 cos1 (wt - kz) +

a 2 sen 2 (wt - kz)] 112 = a,

y

X

(7.1 10a)

(7.llla)

i/1 (z, t) = tg- ' [ Ey (z , t) ] E,. (Z, t)

= t _1

g

[-a

sen(wt - kz)] a cos(wt - kz)

= -(wt - kz).

/

-
1

WI = 0

Figura 7-14 Onda polarizada lineannente se propagando na direção positiva de z (para fora da página).

(7. ll lb)

Observa1nos que nesse caso o 1nódulo de E é independente dez e t, ao passo que i/1 depende dessas duas variáveis. Essas dependências funcionais são o inverso daquelas que se aplicam ao caso da polarização I inear. Para tnna posição fixa z, digarnos z = O, a Eq. (7.11 Lb) resulta em i/1 = - wt; o sinal negativo significa que o ângulo de inclinação diminui com o tempo. Conforme ilustrado na Fig. 7-15(a), a extrenúdade de E (t) percorre u1n círculo no plano x-y e

CAPITULO 7

ele gira no sentido horário como uma fu nção do tempo (quando se observa a onda se aproxi1nando). Diz-se que tal onda é polariza,la circular111ente à esquerda porque, quando o polegar da mão esquerda aponta ao longo da direção de propagação da onda (nesse caso, a direção z), os outros quatro dedos aponta,n na direção da rotação de E.

Para ax = a>' = a e ô = -'Tf/2, temos

1/t

=a,

= (wt -kz).(7.112)

O traçado ele E cotno uma função de t é 1nostrado na Fig. 7-15(b) para z =O.Para a polarização circular à direita, os dedos ela 1não direita apontan1 na direção da rotação de E quando o polegar estiver ao longo da direção de propagação. A Figura 7-

z

)'

,,

t

-- -

a ... ...

I

I 1

''

\

1

z

1

I

\ \

--

' ... ... ...

, , ,

I

X

"'

Onda com Polarização Circular à Direita

Uma onda plana com polarização circular à dü·eita tendo u1n campo elétrico de 1nódulo 3 (mV/m) se propaga na direção positiva de y em um 1neio dielétrico cotn e= 4e0, µ., = µ. 0 e <7 = O. Se a freqüência da onda for 100 MHz, obtenha a expressão para E(y, t) e H(y, t). Solução: Visto que a onda se propaga na direção positiva de y, seus componentes de campo tê1n que estar ao longo das direções x e z. A rotação de E(y, t) é ilusu·ada na Fig. 7- 17, onde y está saindo da página. Comparando com a onda que tem polarização circular à direita 111ostrada na Fig. 7-1 S(b), associamos à cornponente z de E(y) um ângulo de fase de zero e à co1nponente x uni deslocan1ento de fase ô = -w/2. As duas co1nponentes tên1 um módulo de a= 3 (m V/m). Portanto,

-

P,

\

217

16 ilustra uma onda polarizada circularmente à direita radiada por u1na antena helicoidal. Observe que a polarização é definida enz tennos da rotação de E co,110 u,naj'unção do te111po e,n urn plano fixo ortogonal à direção de propagação, que é oposta à direção de rotação E como uma função da distância para u1n ponto fixo no ten1po.

Exemplo 7-6

Polarização Circular à Direita

IE(z, t)I

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS P LANAS

E(y) =

xl.. + zEr.

- xae- j1r/2e - j ky + w .e - jky = (-xj + z)3e-jky (mV/m),

-

A

A

(a) Polarização circular à esquerda

z

y

,, I

--

t

~

CL ... , (J)

'

E

I 1

'

transmissora

\

1 1

,a

z

1

Antena

X

I

\

I

\

' ... ...

,,

- --

y

I

(b) Polarização circular à esquerda

Figura 7-15 Ondas planas polarizadas circular1nente se propagando na direção positiva de z (para fora da página).

Sentido à esquerda

da hélice no espaço

z

Sentido à dfreita de roração no plano

Figura 7-16 Onda polarizada circularmente à direita radiada por u1na antena heljcoiclal.

218

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

7-4.3

X

,

-- --'

;

/

I 1

''

\

\

1 1

1

z

,,

I

\

''

' '

- --

;

/

Onda coni polarização circular à direita para o Exeniplo 7-6. Figura 7-17

e com a aplicação da Eq. (7.94), temos - (y) = -1 y X E(y) H '17

Polarização Elíptica

No caso mais geral, onde ax # O, ay # O e 8 # O, a extremidade de E percorre uma elipse no plano x-y e diz-se que a onda é polarizada elipticaniente. A forn1a da elipse e seu sentido de rotação (à esquerda ou à direita) são determinados pelos valores da razão (a>/a) e pela diferença de fase de polarização ô. A elipse de polarização niostrada na Fig. 7-18 tem um eixo principal a~ao longo da direção ça~ e u1n eixo secundário aq ao longo da direção 17. O ângulo de rotação 'Y é det'inido como o ângulo entre o eixo principal da elipse e a direção de referência, escolhida aqui como sendo o eixo x, com 'Y variando dentro da faixa -'TT/2 < 'Y < 71'/2. A fonna da elipse e sua direção são caracterizadas pelo ângulo de elipsidade X, definido co1no a seguir:

A , + ZA)3e- 1' k"\' = -1 yA X ( - XJ

tººX --

'17

0 = 3 - ('ZJ + XA) e- 1'k\'"

(1nAfm).

'17

Co1n w = 2nf = 2n x 108 (rad/s), o número de onda k é k = w,,je; = 2n x 1os.J4 = 4 n (rad/m), e 3 x 10s 3

e a impedância intrínseca rJ é dada por ,1 =

T/o ::::: 120n = 60rr

.,;e;

a,,

1

ªt

R

± - -- ±- .

'

(7.113)

sendo que o sinal positivo corresponde à rotação à esquerda e o sinal negativo corresponde à rotação à direita. Os limites para X são - n'/4 <X< 71'/4. A quantidade R = a~/a,1 é denominada razão axial da elipse de polarização e seu valor varia entre l , para unia polarização circular, e oo, para unia polarização linear. Os ângulos de polarização 'Y e X

(Q) .

A

As funções instantâneas E(y, t) e H(y, t) são então dadas por

Ângulo de elipsidade

E(y, t) = fRc [E(y) eiwt] = fRe [ (-xj +z)3e-jkyejwt]

=3[x sen(wt-ky) + zcos(wt-ky)] (mV/ni), H(y , t) = fRe (Ü(y) eiwt ]

• Angulo de rotação

Eixo principal sec undário

=fRe [i(zj+x)e- jkyejwl] =

l 20 n

A

Elipse de polarização

A

[xcos(wt -ky)-zsen(wt - ky)] (rnA/m)

Com w = 271' x 10s (rad/s) e k = 471'/3 (rad/m). •

Figura 7-18 Elipse de polarização no plano x-y, sendo que a onda se propaga na direção z (pa-

ra fora da página).

CAPÍTULO 7

são relacionados aos parâmetros de onda ax, aY e 8 por* tg2y = (tg2i/to)cosó

(-rr/2 S y S rr/2), (7. l14a)

sen 2x = (sen 21/lo) sen ó (- rc/4 < x < rr /4) (7.114b)

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

variar entre zero, para uma polarização linear em x, e oo, para uma polarização linear e1n y. Conseqüente,nente, o ângulo i/1 0 está Ji,nitado à faixa O < i/10 < 90º. A aplicação da Eq. (7.11 4a) conduz a duas soluções possíveis para o valor de ,', sendo que ambas se situan1 dentro da faixa definida de ../ff/2 a rr/2. A escolha correta é regida pela seguinte regra:

onde l/r é uni ângulo auxiliar definido por (O S

i/to S

y > O se cos ó > O,

45°

Polaii zação circular à esquerda

22,5° Polarização elíptica à esquerda

Oº

Polarização lioear

- 22,5° Pola,ização elíptica à direita

- 45º Pola1i1A1ção circular à direita

y < O se cos ó < O.

: ) . (7. 115)

-

A Fig. 7-19 apresenta esboços de elipses de polarização para várias co,nbinações de ângulos (')', x). A elipse se reduz a um círculo para X = ±45º e para o caso de unia linha X = O. Valores positivos de X, que corresponde,n a sen ô> O, estão associados à. rotação à esquerda, e valores negativos de X, que correspondern a sen ô< O, estão associados à rotação à direita . Visto que os módulos ax e a.,. são, por definição, números não-negativos, a razão a>/ax pode

Y-

- 90°

O O

E,n resun10, o sinal do ângulo de rotação ')' é o mesn10 que o sinal do cos ô e o sinal do ângulo de elipsidade X é o mes,no que o sinal de sen 8.

Exemplo 7-7

E(z, t)

= x3 cos(wt -

kz + 30º)

- y4 sen(wt -

-45º

o

Estado de Polarização

Determine o estado de polarização de u1na onda plana co1n carnpo elétrico

o o

kz

o o

+ 45°) (m V/m).

45°

90°

o o

o o

/

1

O

219

o

o

o

o

1

o o

Estados de polarização para várias co1nbinações de ângulos de polarização(,', x) para uma onda que se propaga para fora da página. Figura 7-19

" De M. B0111 e E. Wolf, Principies of Optic:s. Ncw York: Macmillan, 1965. p. 27.

220

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Disp/ay de Cristal Líquido (LCD - Liquid Crystal Display) Os LCDs são usados em relógios digitais, telefones celulares, computadores desktop e notebooks, e ainda televisores e outros sistemas eletrônicos. Eles oferecem vantagens decisivas sobre outras tecnologias de dísplay, tais como os tubos de raios catódicos, em relação aos quais são muito mais brilhantes e mais estreitos e consomem uma potência muito menor para operarem. A tecnologia de LCDs propicia propriedades ópticas e elétricas de uma classe de materiais conhecidos como cristais líquidos, descobertos primeiramente em 1880 pelo botânico Friedrich Reinitzer.

líquido n emático torcido, cujas moléculas têm uma tendência natural para assumir uma estru t ura espiral torcida quando o material é posto entre substratos de vi dro sulcados com orientações ortogonais (A). Observe que as moléculas em contato com a superfície sulcada se alinham em paralelo ao longo dos sulcos (ranhuras). A espiral molecular faz com que o cristal se assemelhe a um polari zad or de o nda; a luz não-polarizada que incide no substrato de entrada segue a orient ação da espira l, emergindo do substrato de saída com sua polarização (direção do campo elétrico) paralela à direção das ranhuras.

Estrutura de um LCD Princípio Físico Os crist ais líquidos não são nem sólidos puros nem líquidos puros, mas um híbrido dos dois. Uma variedade particular de interesse é o cristal

A estrutura de um LCD de p ixel único é mostrada em (B1) e (B2) para os estados OFF e ON, sendo que o estado OFF corresponde ao pixel brilhante e o estado ON, ao pixel escuro. A ca mada de cristal líquido encerrada (com esp es-

Luz polarizada

Filtro de

polarização Substrato

de saída Ranhuras ortogonais

Camadas alinhadas

Orientações

Filtro de

Subsu·ato de entrada

polarização

Luz não-polarizada A. Estrutura de um LCD

C AP{TULO 7

sura da ordem de 5 microns, ou 1/20 da espessura de um fio de cabelo humano) é envolvida por um par de fi ltros ópticos com polarizações ortogonais. Quando não se aplica tensão através da camada de cristal (81), a luz não-polarizada que chega se polariza conforme passa através do polarizador de entrada, girando então 90º conforme segue a espiral molecular, e finalmente emerge do polarizador de saída, dando à superfície excitada uma aparência brilhante. Uma característica útil dos cristais líquido nemáticos é que sua espiral desenrola (82) sob a influência de um campo elétrico (induzido por uma diferença de tensão através da camada do cristal). O grau do desenrolamento depende da intensidade do campo elétrico. Sem uma espiral para rotacionar a polarização da onda como a luz que se propaga através do crist al, a polarização da luz será ortogonal ao polarizador de saída, não permitindo que a luz passe através dele. Portanto, o pixel apresentará uma aparência escura.

P ROPAGAÇÃO DE Ü NDA S PLANAS

H1. Estado ligado (ON) Cristal

líquido

V ~-,

~.-'

Molécula de cristal líquido

-

82. Estado desligado (OFF)

---

Arranjo de pixels bidi1nensional

Arranjo Bidimensional Estendendo o conceito para um arranjo bidimensional de pixeis e inventando um esquema para controlar a tensão através de cada pixel individualmente (geralmente por meio de um filme fino de transistores), uma imagem completa pode ser apresentada como ilustrado em (C). No caso de displays coloridos, cada pixel é constituído de três subpixels com filtros coloridos complementares (vermelho, verde e azul).

Pixel escuro

Polarizador / de entrada

Luz nãopolai:izada C. Arranjo 2-D

221

222

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

Solução: Con1eçamos convertendo o segundo termo e1n uma referência e1n co-seno, E= =

x3 cos(wt -

kz

+ 30º)

- y4 cos(wr -

kz

x3 cos(wt -

+ 30°)

kz

- y4 cos(wt -

+ 45º - 90º)

kz - 45º).

-

O correspondente fasor do campo E (z) é

= x3e-jkzej30"

+ y4e-jk ze-j45° eilSOº

de fase ô. Se a,. e a,' não forem simultanearnente zero, qual seria o valor de ô para que o estado de polarização se reduza à polarização linear? Q7.10 Qual das duas descrições a seguir define uma onda polarizada circularmente à direita: un1a onda que inc ide e1n un1 observador é polarizada circularmente à direita se seu carnpo elétrico se mostra para o observador girando no sentido antihorário (a) con10 uma função do ten1po en1 u1n plano fixo perpendicular à direção de propagação da onda ou (b) co1no u1na função da distância de deslocamento para um te1npo t fixo?

= x3e-jkzej30° +S,4e- jkzej l35º ,

onde substituímos o sinal negativo do segundo termo com d 18<1' para tennos amplitudes positivas cm a1nbos os termos, permitindo-nos assitn usar as definições dadas na Seção 7-4.3. De acordo com a expressão para E (z), o ângulo de fase das cornponentes x e em y são ô., = 30º e ô,. = 135º, dando urna diferença de fase de ô= ô,' -ô<= . 135° - 30º = l 05º. O ângulo auxiliar if;0 é obtido a partir de

-

-1(ªY - ) = tg-1(4) - = 53, l . ax 3

1/Jo = tg

o

EXERCÍCIO 7.11 O campo elétrico de uma onda plana é dado por E (z, t) = x3cos(wt - k z)+ y4cos(wt -kz) (V/m).

Determine (a) o estado de polarização, (b) o 1nódulo de E e (c) o ângulo de inclinação. Resp. (a) Linear, (b) IEI = 5 cos(wt - kz) (V/Jn), (c)1/f0 = 53,1º (veja ~ ) ,

A partir da Eq. (7. l l 4a), tg 2y = (tg 2i/lo)cos8 = tg l06,2ºcos 105º = 0,89,

o que resulta e1n duas soluções para y, isto é, y = 20,8º e y = - 69,2º. Co1no cos ô< O, o valor correto de y é-69,2º. A partir da Eq. (7.114b), sen 2x = (sen 21/to) sen 8

EXERCICIO 7.12 Se o fasor cio campo elétrico ele uma onda TEM é dado por E = (y - zj)e-j"'\ deter1nine o estado de polarização. Polarização circular à direita.

Resp. ~

7-5

= sen 106,2º sen 105º

(veja ,f ,)

D7.4-7.8

Propagação de Ondas Planas em Meios com Perdas

=0,93 ou x=34,0º . A n1agnitude de X indica que a onda é polari-

Para analisar a propagação de ondas planas en1 um meio condutor, rerornarnos à Eq. (7.70),

zada eliplicamenre e sua polaridade positiva especjfica sua rotação como sendo à esquerda. •

(7.116) com

QUESTÕES PARA REVISÃO Q7.9 Uma onda polruizada elípticamente é caracterizada pelas amplitudes a ;< e ª.r e pela diferença

y 2 = -w2 µ,sc =

-w2 µ(e' -js"),(7.117)

onde e' = e e e"= crlw. Como Y é co1nplexo, a expressamos da seguinte forma:

CAPITULO 7

Y

=a+ j/3,

(7.118)

onde a.. é a constante de atenuação de un1 n1eio e {3 é sua constante defase. Substituindo 'Y por (a + j{3) na Eq. (7. 117), temos

+ j/3) 2 =

(et

+ j2etf3 + ;w-µe . . ?

,,

(7. 119)

As regras da álgebra complexa necessitarn que as partes real e in1aginária e1n un1 dos lados da equação sejam respectiva1nente iguais às partes real e i1naginária do outro lado da equação. Portanto, o:2 -

132 = -w2µ,e' ,

(7. 120a)

2af3 = w 2 µe".

(7. 120b)

Calculando essas duas equações para a e {3 , obte1nos ~

a =w

-

'

2

l+

-

2

(s's") + I 2

µ,e'

-

'

I+

-

(7.124) onde

-

~e' ( !!:.

(7.121a) 1/2 (racl/m). (7.121b)

Para u1na onda plana uniforrne co1n um carnpo elétrico E = Ex(z) se propagando na direção positiva de z, a equação da onda dada pela Eq. (7. 11 6) se reduz a

- x2 -

(7.1 22)

A solução dessa equação de onda nos conduz a

E(z) = xEx(z) = xExoe-YZ = xExoe-ª'e-jflz_ (7 .123)

O campo magnético associado H pode ser deter,ninado ( 1) pela aplicação da Eq. (7 .57b): \1 X E = - jwµ,H, (2) pela aplicação da Eq. (7.94a): H , =(k x E )/IJc, onde IJc é a impedância intrínseca do 111eio se11i perdas , ou (3) pela analogia com o caso sem perdas. Qualquer uma dessas abordagens resulta em

-

-

-

-

e'

(7.125)

Nota,nos anteriorn1ente que, e1n u1n 1neio nãocondutor, E (z, t) está em fase com H (z, t), porém por IJc ser uina grandeza con1plexa em u,n 1neio condutor, os campos não mais têm a mesma fase (con10 será ilustrado no Exemplo 7-8). A partir da Eq. (7.123), o módulo ele Ex(z) é dado por

-

-

1

d Ex(Z) _ 2 E ( ) _ O z Y .t Z - . dz

")-1/2 (Q) .

1 - j :_

- -

(Np/Jn),

-

=

IJc =

que diminui exponenciahnente com z a u1na taxa especificada pela constante de atenuação a. Como Hy = Ex/11c, o rnóclulo de Hy tarnbém é atenuado conforn1e e_,.,_ O processo de atenuação converte parte da energia transportada pela onda eletro1nagnética en1 calor con10 u1n resul tado da condução no n1eio. Através ele urna distância z = 8, tal que

1/2

.

~

f3=w

-

(s's") - 1 2

µ,e'

.. --. E.,· (z) = y• E,-o ·e -az e-1-/J z·, H ( z) = y"' H y( z) = y IJc IJc

(et2 - (3 2)

1 ? = - w-µe

223

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

A

8s = -

(m),

(7 .127)

Ct

1

a n1agnitude da onda diminui por um fator e- "' 0,37 comparado com seu valor e1n z = O, confonne ,nostra a Fig. 7.20. Essa distância, denominada profundidade pelicular cio ,neio, caracteriza como urna onda eletrornagnética pode penetrar em um meio condutor. En1 u,n dielétrico perfeito,
224

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

As partes real e i,naginária da Eq . (7.129) resultan1 e,n

IE.,.(z)I/IE.,ill

a ""

w;"/f; = ~ l

(Np/m),

f3 ""w/µii = cvffe (rad/m).

e-'

L_L-..:::=:::::::::===----z Ss

Figura 7-20 Atenuação do módulo de Ex(z) co1n a distância z. A profundidade pelicular 8, é o valor dez no qual lif_,(z)IIIE..ol = e-' ou z = 8, = lia. 07.9-7.11

7-5.1

Dielétrico de Baixa Perda

A partir da Eq. (7 .117) a expressão geral para y é dada por y =

s") (

jw,{µ:2 1 - j;;

112

(7.128)

Para qualquer quantidade lxl << 1, a função ( 1 . d a por 1ne10 . dos d ois . pn. x ) 112 po de ser aprox.1n1a 1neiros termos de sua série binornial; ou seja, (l x) 112 :::::: 1 - x/2. Aplicando tal expressão na Eq. (7.128) para uni dielétrico de baixa perda con1 x = je" / e' e e"/ e' << 1, obtetnos y

( e")

"' jwf"iiii 1 - j - . 2e'

(7.129)

(7.130b)

Nota1nos que a expressão para f3 é a mes1na que para o núrnero de onda k de um n1eio sern perdas. Aplicando a aproximação binomial (1 - x)- 112 :::::: (1 + x/2) na Eq. (7 .125), obtemos

(1 + j~) = {ii (1 + j ve1 2e' ve 2we {ii

l]c""

As expressões dadas pelas Eqs. (7 .121 a), (7.121b) e (7.125) para a, {3 e 7Jc são válidas para qualquer meio linear, isotrópico e hon1ogêneo. Se o 1neio for u1n dielétrico perfeito (> l, é caracterizado como bom condutor. Na prática, o meio pode ser considerado con10 u1n dielétrico de baixa perda se e"ls' < 10· 2, como uni bom condutorses"/e' > 10· 2 e como um qullse condutor se 10· 2 < e"le' < 102•

(7.130a)

a

)

(7.131 a) Na prática, essas expressões aproxi1nadas para ex,~. e 7Jc são usadas sen1pre que e"/ e'=
{ii

,,e= ve, 'V

(7.131 b)

que é o mesmo que a expressão dada pela Eq. (7 .86) para o caso de u1n meio sen1 perdas.

7-5.2

Bom Condutor

Analisaremos agora o caso de uni boni condutor caracterizado por e"/ e' > 100. Sob essas condições, as Eqs. (7.12 la), (7.121 b) e (7 .125) podem ser aproxin1adas corno a seguir: (J

=w -=Jnfµ,a (Np/m), ~ 2w (7.132a)

a:::::w

(rad/m),

f}=a""Jnfµ,a

. . , aµ,

7/c = . J -

e"

(l

= (1

a

+ j)(J

º)Jnfa µ,

+J

(Q).

,

(7. 132b)

=

(7.132c)

Na Eq. (7.132c), usamos a relação dada pela Eq. (7.36): ,JJ = (1 + j )/./2. No caso de um condu-

CAPITULO 7

tor perfeito com CJ' = oo, nessas expressões a = f3 =oo e T/c =O. U1n condutor perfeito é equivalente a UITI curto-ciJcuito. A Tabela 7-2 é un1a referência rápida que resume as expressões para os parâ1netros de propagação en1 diversos tipos de 1neio.

- ( z) = y -Exo e-aze-1·f!z. H h

(7.133b)

Para detern1inar a, f3 e T/c para a água do 1nar, começamos calculando a razão e" / e'. A partir do argun1ento da função co-seno de H(O, t), deduzin1os que ú> = 27T x 103 (rad/s) e, portanto, f = l kHz. Portanto,

Ondas Planas na Agua

e" a a - = - = -e' we we,eo

do Mar

Uma onda plana uniforme se propaga para baixo na direção positiva de z na água do mar, sendo que o plano x- y indica a superfície do mar e z = Oindica uni ponto imediatarnente abaixo da superfície. Os parâ1netros constitutivos da água do n1ar são e,= 80, µ.,, =1 e CJ' =4 Sim. Se o ca1npo 1nagnético em z = O for dado por H(O, t) = y I 00 cos(2r. x 103t + 15º) (1n/Am),

2:rr

X

103 X

4 = 9 X 105 . 80 X (l0- 9/36:rr)

Como e" / e'>> 1, a água do 1nar é um bo,n condutor em l kHz. Jsso nos permite usar as expressões para bons condutores dadas na Tabela 7-2:

a = Jnfµ,a

(a) obtenha as expressões para E (z, t ) e H (z, t) e

=Jn x 103 x4rr x 10 - 1 x 4

(b) determine a profundidade na qual a amplitude de E é 1% de seu valor e1n z O.

= O, 126

=

(Np/m),

(7. 134a)

{3 =<x = 0,126

Solução: (a) Con10 H está ao longo de y e a direção de propagação é z, E te1n de estar ao longo de i . Portanto, as expressões gerais para os campos fasoriais são

(rad/m), (7. 134b)

(X

l]c

= (l

+ j )-

a

= ( Ji. ein/4) 0,126 4 = 0,044eílf/4

(7. 133a)

(Q). (7. 134c)

Tabela 7-2 Expressões para a, {3, T/c, uPe À para diversos tipos de meios Meio sc,n Meio con1 B0111 Qual quer 111eio

C(

=

-

-

µe' w

l+

(e'e'' ) - l

-- --' w l + (6")2 e' +l -' -jf; ( 2

perda (a = O)

baixa perda (e" /e' «: 1)

conductor (e"/e' >> 1)

Unidades

o

ªl

Jrrfµ,a

(Np/n1)

wffe

wffe

Jrrf /.tO

(radhn)

- - 1/2

2

2

8

- - 1/2

f3 =

/.J,8'

2

~

l'/c

=

= ), =

Up

.e") - 1; 2

1 - 1-

e'

w/{3

= ttp/f

l l/ffe

l 1/ffe

a

() + j ) -

(Q)

,J4rrf/ µa

(nlls)

a

(m) Up/f itp/J llp// Nota: e'= e; e"= ulw; no e-spaço livre, e= e0, µ, = µ,0; na prática, urn material é considerado um meio de baixa perda se e" I e'= <.rlwe < 0,0 l e urn m.eio bom condutor é aquele em que e" I e'> 100.

2rr/{3

225

!Jc

,

Exemplo 7-8

PROPAGAÇÃO DE ÜNDA S PLANAS

226

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

Como não foi dada nenhuma informação explícita a respeito da amplitude do can1po eléb·ico E.r0, deve1nos considerá-lo co,nplexo, ou seja, E,t) = IE,oldd,(J. Os campos elétrico e 1nagnético instantâneos da onda são então dados por

(b) A profundidade na qual a amplitude de E di1ninui para I o/o de seu valor inicial em z =Oé obtida a partir de

0,01 =

e-0- 126z

ou

z = ln(0,01) -0,126

E(z, t) = ~e [xlExo lejt/>oe-"•e- jPzejwr] =

xi E.,ole-º· 126z 3

cos(2rr x 10

0, 126z + ef;,o)

t -

(V/Jn),

(7.135a)

[A

cn IExolej
= y22,5 1Exole- 0· 126• cos(2rr x 103t

- O, 126z + efJo - 45º)

(A/m). (7.135b)

Para z =O, H(O, t) = y22,51Exol cos(2rr x 103 t+o-45º) (A/tn).

(7. 136)

Cotnparando a Eq. (7.136) co,n a expressão dada na declaração do proble1na, 3

H(O, t) = y 100cos(2rr x L0 r + 15°) (mA/m) deduziinos que 22,51.é'.,o l = 100

X

10-3

' EXERCICIO 7.1 3 Os parâ,netros constitutivos do cobre são µ, = µ,0 = 41r x 10-7 (H/m), e = e 0 '.'.:::'. 7 (1/361r) x to-9 (Fim) e a= 5,8 x 10 (S/111). Considerando que esses parâmetros são independentes ela freqüência, ao longo ele qual faixa de freqüência do espectro eletron1agnético [veja a Fig. 1-9) o cobre é um bon1 condutor?

Resp. j ' < 1,04 x 10 16 Hz, que inclui o espectro de rádio, o infravermelho e as regiões visíveis e parte da região ultravioleta. (veja ~ ) ' EXERCICIO 7.14 Ao longo de qual faixa de Ji·eqüência pode o solo seco, cou1 e,= 3, µ,, = J e cr = 4 10- (S/in), ser considerado un1 meio dielétrico de baixa perda?

Resp. f> 60 MHz.

ou IExol =

e-3 "' 0,05 ou 5o/o.

(veja -~)

(mV/m),

4,44

7-6

e o - 45º = 15º

(veja ~ )

' EXERCICIO 7.15 Para tuna onda que se propaga ern u1n 1neio corn urna profundidade pelicular ô_,, qual é a an1plitude de E a unia distância de 3ô, comparada com seu valor inicial?

Resp.

ou

o= 60º .

Portanto, as expressões finais para E(z, t) e H (z, t) são E(z. t) = x4,44e- o.126z

cos(2rr x 103 t

-

O, 126z + 60º) (mV/n1),

(7.137a) H (z, t) =

= 36 m. •

y 100e- 0· 126z cos(2rr x I03 t

-

0,126z

+ 15°)

(mA/111).

(7.137b)

Condução de Corrente em um Bom Condutor

Quando unia tensão cc é conectada às extrernidades ele urn fio condutor, a corrente que percon·e o fio tem unia densidade de corrente J un.iforme ao longo da seção transversal do fio. Ou seja, J tem o mes1no valor tanto ao longo do eixo do fio corno ao longo de seu perímetro [Fig. 7-2 l(a)]. O ,nesmo não é válido no caso de corrente alternada (ca). Con10 veren1os e1n breve, a densidade de corrente . . .. , . para um s1sterna vanante no tempo e max1ma ao longo do perímetro do fio e diminui exponencialmente corno u1na função da distância e1n direção ao eixo do fio [Fig. 7-2 l(b)). De fato, e1n freqüên-

CAP(TU LO 7

'.

1

J I

.•..•.. R

1

'

,

-

-(z) = yEo H -e-aze -jpz . A

V

l (z) =

'

1

~J

1

'

.•.

• • R

+

'v

--

-

(b) Caso ca Figura 7-21 f\ densidade de corrente J e1n um fio em condução é (a) unifonne através da seção reta dele no caso de con·ente contínua (cc), porém (b) no caso de con·ente alternada (ca), J é maior ao longo do perímetro do fio.

cias rnuito altas a maior parte da corrente perco1Te u1na fina camada externa do fio, e se o tnaterial deste for um condutor perfeito, a corrente percorre completa1nente a superfície do fio. Antes de lidannos co1n o caso de un1 fio com seção reta circular, va1nos considerar a geo1netria mais simples de um sólido semi-infinito, co1no rnostra a Fig.7-22(a). O sólido e1n condução é infi nito en1 profundidade e tem unia superfície plana coincidente con1 o plano x- y. Se em z = o· (iinediata1nente acüna da superfície) existe~m ca1npo eletromagnético polarizado em x co1n E = xEo e H = yEo/lJ no meio acima do condutor, u1n campo eletromagnético polarizado de forn1a sim_ilar será induzido no meio em condução e se constituirá en1 u1na onda plana que se propagará ao longo da direção positiva dez. Como conseqüência das condições de contorno que determinarn que o componente tangencial de E seja contínuo através da fronteira entre dois meios contíguos quaisquer, em z = o·• (imediatamente abaixo da fronteira) o campo elétrico da onda é E(O) = xE0• Os campos da onda eletroniagnética en1 qualquer profundidade z no condutor são então dados por A

-(z= ) x AEoe -aze - jpz E ,

(7.139)

(7.140)

V(t)

-

x.ft(z),

com

r

...

(7.138b)

A partir de J = uE, a corrente percorre a direção x e sua densidade é

(a) Caso cc

I

227

TJc

1. + 1·-

•

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

(7.138a)

onde 10 = u E0 é o ,nódulo da densidade de corrente na superfície. En1 termos da profundidade pelicular 8, = lia defi nida pela Eq. (7.127) e devido à Eq. (7.132b), que diz que a= {3 para um bo111 condutor, a Eq. (7 .140) pode ser escrita co1no a seguir: (A!tn2 ) . (7. 141)

.ft(z) = J0 e - <•+j)z/,I,

A corrente que percorre uma tira retangular que se estende de zero a oo na clireção z e de largura w na direção y é

7= w foco '.r:(z) dz =

co .. Jow8s w fo Joe-<1+,hft, dz = . (A). o ( 1 + 1) (7. L42)

O numerador da Eq. (7. l 42) é equivalente a uina densidade de corrente uniforme 10 que percorre uma fina seção de supertrcie de largura w e profundidade Ô5 • Co1no .ft(z) di1ninui exponencialmente co111 a profundidade z, um condutor con1 u1na espessura finita d pode ser considerado na prática como infini1a1nente profundo desde que d corresponda a uma extensão equivalente a várias vezes a profu ndidade pelicular. Se d = 38. [em vez de oo na integral da Eq. (7.142)), o erro que incide no resultado no lado direito da Eq. (7.142) é 1nenor que 5%; e se d= Sôs, o erro é 1nenor que lo/o. A tensão ao longo de um co111primento na superfície [Fig. 7-22(b)] é dada por

V=

Eol =

10 1. a

(7.143)

Portanto, a iJnpedância de um placa de largura w, comprünento l e profundidade d= oo ( ou, na prática, d > 58 5 ) é

228

ELET ROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Como a parte reativa de z.é positiva, Z, pode ser definida como

Zs = Rs + jWLs

-~-::: J.,(:)

con1

-

Rs =

(J'

z (a)

Jrrf

.....!_ =

JJ,

ôs

1

Ls =

Decai1nento exponencial de -~r(z)

(7.1 47a)

(Q)

(J'

W<J'ô

(I_ 2'y ~ 1

5

=

(H), (7.147b)

onde usa,nos a relação 8s = 1/ a :::::: 1/.Jrcf µ,a dada pela Eq. (7.132a). Em tern1os da resistência superficial R,, a resistência ca de urna placa de largura w e comprimento l é l l R =R5 - = - -

w

(Q).

O'Os W

(7.148)

A expressão para un1a resistência ca R é equivalenZ

00

(b) .lo equivalente ao longo de u1na profundidade 88

te à resistência cc de u1n plano condutor de co,nprimento l e secão reta A= 8.w. Os resultados obtidos para u,n condutor plano agora serão estendidos para o cabo coaxial rnostrado na Fig. 7-23(a). Se os condutores são feitos de cobre co1n a =5,8 x 107 Slrn, a profundidade pelicular 85 = l/.Jrrf µ,a = 0,066 mm em I MHz, e con10 85 varia de acordo con1 1//l, ele se torna menor em freqüências ,naiores. No caso do condu>

-

Figura 7-22 Decai1nento exponencial da densidade de con:ente l x(z) com z ern urn condutor sólido. A corrente total que percorre (a) urna seção de largura w que se estende entre z = Oe z = oo é equivalente a (b) unia corrente constante de densidade 10 que percorre u1na seção de profundidade Ô8 •

,

/

z

V 1+j l =""" = - [

CTôs

(Q).

W

(7. 144)

,

E comum representar Z corno

Z = Zs - , w

(7.1 45)

(Q).

:: •: • • • -

(a) Cabo coaxial

ic-------."

onde Z,, que é denominada in1pedância de superfície ou interna do condutor, é definida como uma in1pedância Z para um comprimento unitário l = l e unia largura unitária w =1 n1. Portanto,

l+ j a8s

T ~====::;;::::::;::::========iP :=2a l2b V Dielétrico ;; • /~i!::::=================~=·=1·----Dielétrico

Condu1or interno

l

Z.=--

Condutor externo

(7.146)

'iam------

.'\1!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!~2~

Ô,

(b) Condutor interno equivalente

Figura 7-23 O condutor interno do cabo coaxial em (a) é representado en1 (b) por um condutor plano de largura 2r.a e profundidade 8,, cotno se sua superfície fosse cortada ao longo de seu compri,nento na parte inferior e então aberta, fonnando uma figura geon1étrica plana.

CAPÍTULO 7

tor central, enquanto seu raio for maior que 5ôs, ou 0,33 n1u1 em l MHz, sua "profundidade" pode ser considerada como sendo semi-infinita e u,n critério similar se aplica à espessura do condutor externo. A corrente que percorre o condutor interno se concentra na superfície externa dele e é aproximadan1ente equivalente a uma corrente uniforme que percorre uma fina camada de profundidade ô, e circunferência 27ra. Isso é equivalente a uni condutor plano ele largura w = 2'1fa, confonne 1nostra a Fig. 7-23(b). A resistência correspondente por unidade de co1npri1nento é obtida fazendo w = 2'1fa e dividindo por l na Eq. (7.148): R' _ R _ _R_s_ 1 l - 2rra

(Qhn).

(7.149)

De forma similar, para o condutor externo, a corrente está concentrada em u1na fina ca1nada na superfície interna do condutor que é adjacente ao meio isolante entre os dois condutores, que é onde os ca,npos eletromagnéticos se estabelecem. Aresistência por unidade de cornprin1ento para o condutor externo com raio b é

' _ Rs R - 2rr b

(Q/m),

')

(7. 150)

e a resistência ca total por unidade de co,nprirnento é

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

meio que apresenta perdas. O que acontece con1 a energia perdida? Q7.14 Un1 n1eio condutor é um ,neio que apresenta dispersão? Explique. Q7.15 Faça uma comparação entre as co1Tentes ac e cc e1n u,n fio. Compare as resistênc.ias ac e cc cio fio .

7-7

Densidade de Potência Eletromagnética

Esta seção tratará da potência transportada por uma onda eletro1nagnética. Para qualquer onda co1n u,n campo elétrico E e um ca,npo magnético H, o vetor de Poynting Sé definido como a seguir:

S =Ex H

-

(7.152)

A unidade de S é (V/n1) x (A/n1) = (W/1112), e a direção de S está ao longo da direção de propagação da onda, k. Assin1, S representa a potência por unidade de área (densidade de potência) transportada pela onda, e se a onda for incidente em uma abertura de área A, fonnando u,n ângulo corn o vetor unitário de superfície ô, conforme n1ostra a Fig. 7-24, então a potência total que passa através da superfície ou é interceptada pela abertura é h

Rs ( -1 + -l ) (Q/Jn). (7.151) R, = R1, + R2, = _:_ 2.n: a b

Essa expressão será usada no Capítulo 8 na caracterização da resistência por unidade de compri1nento de u,na Jjuha de transmissão coaxial.

229

P=

i

S,ôdA

(W).

(7.153)

Para a propagação de uma onda plana unifonne na direção k que faz um ângulo fJ co,n ô, P = SA cos e, onde s =1s1. ~

-

QUESTOES PARA REVISAO Q7.11 Con1pare o valor de prelativo a u1n meio de baixa perda co1n o mesmo parâmetro relativo a un1 n1eio se,n perdas.

s

Q7.12 Em u,n bo,n condutor, a fase de H está adiantada ou atrasada em relação a E, e qual o seu valor? Q7.13 O tenno atenuação se refere a u,na onda que perde energia à medida que se propaga em um

Fi1:,1\lra 7-24 Potência eletromagnética passando através de uma abertura.

230

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

7•7.1

Onda Plana em um Meio sem Perdas

ú)

-

xE oe- jk z .l'

'

E,-o

H (z) = y -e 1/ A

•

.,.

J•Z

,

Z

= 27l' o

Vamos considerar o caso silnples de uma onda plana se propagando na direção positiva de z em u1n rneio se,n perdas, con, E ao longo da direção .x. As expressões para os campos fasoriais elétrico e magnético de tal onda são dadas pela Eq. (7.87a e b) con10 a seguir E(7) = .....

lo21t/(O IE 12 xO

cos2 (wt - kz) dt

17

2 A1Exo l = Z- -

(7.157) O fator 1/2 é urna conseqüência da integração de cos2(wt - kz) ao longo de um período.

(7.154a)

Abordagem no Domínio Fasorial

(7.154b)

A abordagem n1ais direta no cálculo de S mcd é aplicar a seguinte fórmula:

onde, por questão de si1nplicidade, supri1ni1nos o sinal positivo sobrescrito em E_,0• Nossa ,neta é obter un1a expressão para a densidade de potência 111édia da onda, S01,'
1 -· ) (W/rn2 ), (7.158) S rned=-9'e[ExH 2

-

-~

onde u·. é o complexo conjugado de H . Para den,onstrar que a Eq. (7.158) resulta real.n1ente na mes,na resposta dada pela Eq. (7.157), inseri,nos as Eqs. (7.154a e b) na Eq. (7.1 58):

s

med

= !9'e

2 A

[x

ExO e- jkz X YA e.:Oejkz] 1/

1Exol2

= Z-217

Abordagem no Domínio do Tempo Os campos instantâneos que correspondem às Eqs. (7.J 54a e b) são dados pelas Eqs. (7.89a e b): E(z, t) =

xi Exo l cos(wt -

kz) (V/Jn), (7. l 55a)

H(z, t) = yl Exol cos(wt -kz) (Aftn) (7. 155b)

Deve-se notar que ainda que o procedimento ele de1nonstração tenha sido feito para uni caso si,nples de urna onda plana que se propaga ern u,n meio sem perdas, a Eq. (7.158) é igualmente aplicável a qualquer onda e e,n qualquer n1eio, incluindo 1neios com perdas.

1/

onde, por questão de simplicidade e sem perder a generalidade, retiramos da expressão o ângulo de fase cp +. O vetor de Poynting é dado por S(z, t) = E(z, t) x H (z , t) ?

= zAIE,-ol· cos·, (wt - k'Z) (WIm-') . 17

(7.156) O valor rnédio no te,npo de Sé obtido pela integração ao longo do período T = 1/f = 2nlw. Porla nto, Srncd = -1

forS(z , t) dt

T o

Exemplo 7-9

Potência Solar

Se a iluminação solar é caracterizada por u,na densidade de potência de l kW/n1 2 na superfície da Terra, detennine (a) a potência total radiada pelo sol, (b) a potência total interceptada pela Terra e (e) o ca1npo elétrico da potência incidente na superfície da Terra, considerando que toda a iluminação solar esteja e,n uma única freqüência. O raio da órbita da Terra en, torno do Sol (R) , é de aproxünadamente 1,5 x 108 km, e o raio médio da terra R0 é de 6.380 kln. Solução: (a) Considerando que o Sol radia de forma isotrópica (igualmente em todas as direções), a

CAPITULO 7

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

potência total radiada por ele é igual a Sm00 A,,r, onde A.,.r é a área de uma calota esférica de raio R. [Fig, 7-25(a)]. Portanto, Psol = Smoo(47i Ri) = l x 103 x 47i x (),5 X 10 11 ) 2

= 2,8 X

X

103

(6,38

:rr

X

X

106 )2

X

17

=l,28xl0 W. (e) A densidade de potência S111.x1 está relacionada ao módulo do ca,npo elétrico JE0 J por

, I

,'

I

,

,,"

;

-- --s- --.... .... . .

'

IEol = J2110Smed =

J2 X 377 X 103

= 870

7-7.2

(V/m). •

Onda Plana em um Meio com Perdas

As expressões dadas pelas Egs. (7 .123) e (7 .124) caracteriza1n os ca1npos elétrico e magnético de u1na onda plana que se propaga em um n1eio sen1 perdas na direção z e polarizada en1 x com uma constante de propagação Y = a+ j{J. Estendendo essas expressões para o caso ma,s geral de u1na onda con1 componentes ao longo de x e y, temos

xif.,(z) + yEy(z) = (xExo + yEyo)e-ªZe-j/JZ,(7.159a)

E(z) =

'

s ',

S

2110

,

onde 11o = 377 (Q) para o ar. Portanto,

)0 26 W.

(b) Co1n referência à Fig. 7-25(b), a potência in' é terceptada pela seção reta da Terra A 0 = 7T R-, 2 = 1 Piou = Smcd (,r Re)

Smcd =

1Eol 2

231

\

\

1 1

- (z)=-(-xEyo+ 1 • • E xoe ) - a ·e • - j/Jz, (7 · L59b) H Y

1 \

1/c \

'\

R,' \

, ' ....

s·

-e--" ;

;

,, ,

I I

Área da / ' ' , superfície Terra esférica: Aesr = 41TR~

(a) Potência solar irradiada

onde 11c é a in1pedância intrínseca de u,n ,neio co,n perdas. A aplicação da Eg. (7.158) resulta e,n Smcu(z) = 1 9le [ -E

2

= z(1Exol

2

X

-·] H

+ IEyol

2 )

e-2az 9le (·~). ~~

2

(7.1.60)

Sol Expressando 110 na forn1a polar como

fs ? ~

A, = 17R;;

17c = 117c Iejll~ , A Eq. (7. 160) pode ser reescrita con10

Terra

(b) Potência interceptada pela Terra Radiação solar interceptada por (a) u,na superfície esférica de raio R8 e (b) pela superfície da Terra (Exe,nplo 7-9).

(7. 161)

2

Smed(Z) = z 1Eol e-?a - .., cos 8,1 (W/ m-?) , 2111c l (7.162) A

Figura 7-25

2

2 112

onde JE0J= [JE,ilJ + Jt:10 J] _é o midulo de E (z) e1n z =O.Enquanto os campos E(z) e H(z) decae,n com

232

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

Tabela 7-3 Razões de potências e1n nún1eros naturais e en1 decibéis

z segundo e-"', a densidade de potência S"'"' diminui segundo e-2" ' . Quando uma onda se propaga por uma distânciaz = 8., = lia, os ,nódulos de seus ca,npos eléu·ico e magnético diminue1n para e- 1 ""37% dos valores iniciais, e sua densidade de potência média diminui para e-2 "" 14% do valor inicial.

G [dBJ IOx dB 6dB 3dB OdB -3dB -6d8 -IO dB - 30dB

G 1(}' 4 2 1 0,5 0,25

7-7 .3 Escala Decibel para Relações de Potência

o,1

10- 3

A unidade de potência Pé o watt (W). Eo1 01uitos

proble1nas de Engenharia, a grandeza de interesse é a relação (ou razão) de dois níveis de potência, P 1 e P2, tal con10 as potências incidente e refletida e1n uma li nha de transrnissão, e freqüentemente a razão P/P2 pode variar bastante en1 n1ódulo. A escala decibel (dB) é logarítmica, proporcionando assi1n un1a representação conveniente da relação de potências, particularmente quando os valores numéricos de P/P2 são colocado em um gráfico em relação a uma variável de interesse. Se

onde g = V, I V2 é a razão de tensão. Obse,ve que, para razões de tensões ( ou correntes), o fator de escala é 20 e,n vez de 10, o que resulta e1n C [dB] g [dB]. A taxa de atenuação, que representa a taxa de

=

decréscin10 do rnódulo de s.."1(z) co1no uma função da distância de propagação, é definida con10 A = lOJog [Smcxr(z)J Smoo(O)

= 10 log(e- 2"'• )

P, G = -,

(7 .163)

P2

=

então

-20az log e

= - 8,68az = - a [dB/m) z (dB),

(7. L66)

6

(7. 167)

onde G [dB]

6

IOlogG = IO!og (;:)

(dB)

(7.164)

A Tabela 7-3 fornece uma cornparação entre alguns valores de G e os correspondentes valores de G [dB]. Ainda que os decibéis seja,n definidos para relações de potências, algumas vezes eles podem ser usados para representar outras grandezas. Por exe1nplo, se Pi =V21 / R for a dissipação de potência e1n um resistor R con1 tensão V, no ten1po t 1, e P2 =V22 IR for a potência dissipada no tnesmo resistor no te1npo t 2, então

vf / R)

"' Vf/R

= 201og ( ~: ) = 20 log(g)

6

g [dB],

8,68a [Np/Jn].

Observarnos tarnbém que, como Smcd(z) é diretamente proporcional a IE(z)l2, 2

A = 10100 [ IE(z) l ] = 20 10 [ IE(z) IJ (dB) º IE(0) 12 g IE(O)I (7.168)

Exem~lo 7-10

Potência Recebida pela Antena de um Submarino

Um submarino a uma profundidade de 200 1n usa uma antena de tio para receber 1rans1n issões de sinais e1n I kHz. Deternline a densidade de potência incidente na antena do submarino devido à onda eletro1nagné1ica do Exemplo 7-8.

G[dB)= IOlog ( ~ ) = 1Oloo (

a [dB/Jn]

(7.165)

Solução: A partir do Exemplo 7-8, IEol = IE,t>I = 4,44 (m V /Jn), a = O, 126 (Np/m) e 'YJc = 0,044~ (Q). A aplicação da Eq. (7. 162) resulta em

CAPÍTULO 7

~ 1Eoi

2

- 2az

e COS ,1

Smcd(Z) = z l1Jc l e 2 ~ (4,44 X 10-3)2 - O25245º = Z e ' '' COS 2 X 0,044 = z0,16e- 0 · 252 z (mW/m2 ) .

Em z = 200 m, a densidade da potência incidente é Smed =

z(O, 16

X

Lo-'.l e-0,252x200)

= 2, l x 10- 26

(W/m2 ).

e"/ e'= u / we.

• Diferenteo1ente do caso cc, em que a corrente que percorre un1 fio se distribui unifonnemente através de sua seção transversal, no caso ac a n1aior parte da corrente se concentra ao longo do perímetro externo do fio.

•

• A densidade de potência transportada por u,na

onda eletro,nagnética plana que se propaga em um meio sen1 linlitações é sernelhante à potência transportada por u,na onda de tensão/corrente em uma linha de transmissão.

(a) 3,6 dB, (b) 36 dB, (c) -1 5,2 dB.

(v~ja "-')

PROBLEMAS

EXERCÍCIO 7 .17 Determine a razão de tensão g e,n unidades naturais que corresponden1 aos seguintes valores em decibéis das razões de potência G: (a) 23 dB, (b)-14 dB, (c) - 3,6 dB.

Resp. ,

233

• Os meios são classificados como ,neios sem perdas, co,n baixas perdas, quase condutores ou bons condut.ores, tendo con10 base a razão

EXERCÍCIO 7.16 Converta os seguintes valores de razão de potência G de núrneros naturais para decibéis: (a) 2,3; (b) 4x 103; (c)3 x 10-2 •

Resp.

PROPAGAÇÃO DE ONDAS PLANAS

(a) 14,13; (b) 0,2; (c) 0,66.

(veja S,) ,

TOPICOS IMPORTANTES DO CAPITULO • U1na onda esférica radiada por uma fonte torna-se aproxi1nadan1ente u,na onda plana uniforme a uma grande distância da fonte. • Os campos elétrico e ,nagnético de uma onda eletromagnética transversal (TEM) são ortogonais entre si e perpendiculares à direção de propagação da onda. • Os 111ódulos dos catnpos elétrico e 1nagnético de urna onda TEM estão relacionados com a irnpedância intrínseca do n1eio. • A polarização de Lnna onda descreve a forn1a e o lugar geo,nétrico da extren1idade do vetor E em u,na detenninada posição do espaço co,no uma função do tempo. O estado de polarização, que pode ser Iinear, circular ou elíptico, é determinado pela razão entre módulos e pela diferença de fase entre os dois cornponentes ortogonais do vetor campo elétrico.

Seção 7-1: Ondas e Fasores Observa-se que uma onda sonora de 4 kHz propagando-se na direção x no ar te1n uma pressão diferencial p(x, t) = 5 N/n1 2 e,n x = Oe t = 25 µ,s. Se a referência de fase de p(x, t) for 42'>, determine uma expressão completa para p (x, t). A velocidade do som no ar é de 330 m/s.

7.1*

7.2 Para a onda de pressão descrita no Exemplo 7-1 , faça os seguintes gráficos: (a) p(x, t) versus x em r = O

(b) p(x, t) versus tem x = O

Certifique-se da utilização de escalas apropriadas para x e t de modo que cada gráfico apresente, pelo menos, dois ciclos. Unia onda hannônica se propagando ao longo de u,n cordão é gerada por um oscilador que co,npleta 120 vibrações por minuto. Se observarrnos que u111a deterrninada crista, ou máximo, da onda se desloca 250 c,n ern IOs, qual é o con1pri1nento de onda?

7.3*

~

7.4 Duas ondas, yi(t) e y2(t), tê,n amplitudes idênticas e oscilan1 na 1nes1na freqüência, poré,n

* Respostas disponíveis no Apêndice D. """Solução disponível no CD-RO~f.

234

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHE IROS

y 2(t) esrá adiantada de y 1(t) por u1n ângulo de fase

y 1(x, t) = 3 cos(20t - 30x)

de 60º. Se

Y2(x , t) = -3 cos(20t + 30x)

y, (t) = 4 cos(2n x 103 t)

escreva a expressão apropriada para y 2(t) e faça o gráfico das duas funções con1 u1na faixa de ten1po de O a 2 rns. 7.5*

A altura de uma onda no 1nar é descrita pe-

la seguinte função: y(x, t) = 1,5 sen(0,5t - 0,6x)

(1n)

(c1n) (cm)

onde x está em centímetros. Diz-se que as ondas apresenta1n interferência constJutiva quando a superposição delas IYsl = ly 1 + y2 1 é u,n máximo, e apresenta1n interferência destrutiva quando IYJ é , . um m1n11no. (a) Quais são as direções de propagação das ondas Y1(X, t) e Y2(X, t)? (b) Em t = ('IT/50) s, em qual posição x ocorre a

Detennine a velocidade de fase e o con1pri1nento de onda, para então esboçar o gráfico de y(x, t) e1n t =2s ao longo de uma faixa de x =Oaté x =2À.

interferência construtiva entre as duas ondas? Qual o valor correspondente de lyJ? (e) Em t = (7r/50) s, e1n qual posição x ocorre a in-

7.6 Un1a onda que se propaga ao longo de um cordão na direção positiva de x é dada por

terferência destrutiva entre as duas ondas? Qual o valor correspondente de IY_.I?

Y1(x, t) = A cos(wt - {Jx)

7.8 Detennine as expressões para y(x, t) para uma onda senoidal que se propaga ao longo de um cordão na direção negativa de x, sabendo que Yma., = 20cm, À= 30cm,f= 5 Hze

~

onde x = Oé a extremidade do cordão que está rigidamente fixa na parede, como mostra a Fig. 726. Quando a onda y 1(x, t) chega à parede, a onda refletida y2(x, t) é gerada. Portanto, em qualquer ponto do cordão, o deslocainento vertical y, é aso1na das ondas incidente e refletida: Ys(x , t) = y,(x , t)

+ Y2(x, t)

(a) Escreva un1a expressão para y2(x, t), tendo e1n

mente a sua direção de propagação e o tàto de que a extren1.idade do cordão não pode se n1over. (b) Gere os gráficos de y 1(x, t), y2(x, t) e y.(x, t) versus x ao longo da faixa -2À < x < Oem wt = 7r/4 e en1 wt =7T/2. Duas ondas etn urn cordão são dadas pelas seguintes funções:

7.7*

)'

Onda incidente ; : , , , . . - -~ - - X

(a) y(x, O) = Oem x = O

(b) y(x, O)= Oem x = 7,5 cm 7.9* Um oscilador que gera uma onda senoidal en1 um cordão con1pleta 20 vibrações e1n 30 s. Observa-se que o pico da onda se desloca por uma distância de 2,8 m ao longo do cordão en1 5 s. Qual é o co1npri1nenro de onda? 7.10 O deslocamento vertical de um cordão é dado pela função harmônica: y(x, t) = 5 cos(l 2nt - 20nx)

(m)

onde x é a distância horizontal em 1netros ao longo do cordão. Suponha que uma minúscula partícula foi fixada no cordão e1n x = 5 cm. Obtenha uma expressão para a velocidade vertical da partícula como uma fu nção do tempo. 7.11* Dadas duas ondas caracterizadas pelas seguintes expressões: y, (t) = 6coswt

x=O

Figura 7-26 Onda se propagando en1 un1 cordão fixado cm uma parede em x = O(Problema 7.6).

Y2(t) = 6sen(wt + 30º)

detennine se y2(t) está adiantada ou atrasada e1n relação a y 1(t), e qual é o ângulo de fase?

CAPITULO 7

A tensão de unia onda eletromagnética que se propaga e,n u,na linha de trans,nissão é dada

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

7.12

(e) lzl 2

por

(d) Jm{z} (e) Jm{z*}

v(z, t) =

3e-c,z sen(2rr x l09 z - lOrrz) (V)

onde zé a distância em metros a partir do gerador. (a) Deterini ne a freqüência, o cotnprimento de onda e a velocidade de fase da onda. (b) Em

z = 2 m, a amplitude da onda foi

1nedida

como tendo 1 V. Deter111ine o:. Observa-se que urna detern1inada onda eletromagnética que se propaga na água do 1nar tern uma a1nplitude de 19,025 (Yhn) a u1na profundidade de 10 m e uma amplitude de 12,13 (Y/m) a u1na profundidade de 100 111. Qual a constante de atenuação da água do mar?

7.13*

Calcule cada um dos seguintes números complexos expressando os resultados na forma polar: 7.14

(a) z1 = (b) z2 =

(e)

Z3

3ei11! 4

.,/3 ei311 / 4

(a)

z, =2 + j3 e z2 = 1 - j2

(b) z1 = 2 e Z2 = - j2

(e) z, = 3 L 30• e z2 = 3 L- 30º :IZ\ (d) z, = 3 L30º e Z2 = 3 L- 1so• Os números complexos z, e . sos con10 a seguir:

= 2e -jnf 2

z, = SL-60º z2 = 2L4sº (a) Deternline o produto z,z 2 na forma polar.

(b) Determine o produto z,z2 * na forma polar.

*

(e) Determine a razão z/z 2 na for1na polar.

7.19* 7.20

4

(e) Z5 = j-

7.21*

= (1 - j) 3

Os números complexos pelas seguintes expressões:

Se z = 3 - j4, determine o valor de ln(z). Se z = 3 - j4, determine o valor de ez. Uma fonte de tensão dada por

Vs(l) = l0cos(2rr x 103 , - 30")

(g) Z1 = (1 - j)l/2

7.15*

z, e z2 são dados

z1=3 -j2

z2 = -4 + j2

7.22

Detennine o fasor das seguintes funções no

tempo: (a) v(t) = 3 cos(wt - rr /4) (V)

(b) Determine lz,I aplicando pritneiro a Eq. (7.24) e, e111 seguida, aEq. (7.26).

(b) u(t) = l2sen(wt + rr/4) (V)

(e) Deter1nine o produto z1z2 na forrna polar. (d) Determine a razão z/z2 na forma polar. (e) Detern1ine z~ na forma polar.

(V)

é conectada a uma carga RC em série, conforme a Fig. 7-9. Se R = 1 MQ e C =100 pF, obtenha utna expressão para vc(t), que é a tensão no capacitor.

z, e z2 na fonna polar.

(a) Expresse

z2 são expres-

7.18

(e) Determine ./ZJ na fonna polar.

(d) Z4 = J

Z6

Deter111ine os nú111eros complexos t = z, + z2 e s =z, - z2 , an1bos na fonna polar, para cada u111 dos seguintes pares:

7.17*

(d) Detern1ine a razão z, */z2* na fonna polar.

·3

(f)

235

(e) i(x, t) = 4e-3x sen(wt ~ (d) i(t) = -2cos(cvt

7l' /6)

(A)

+ 3n:/4)

(A)

(e) i(t) = 2sen(wt + rr/3) +

7.16

Se z = - 2 + j3, detennine as seguintes quantidades na forrna polar:

Determine as fu nções senoidais temporais instantâneas que corresponde,n aos seguintes fasores:

(a) 1/z

(a)

(b)

z3

7.23*

(b)

V = - 3ei1r/3 (V) V= j6ei1r/4 (V)

236

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

-= (3 + j4) (A)

7.28 O campo elétrico de u1na onda plana que se propaga em u1n meio material não-magnético é dado por

(e) I

~ (d)

i

= - 3 + j2 (A)

i = j (A) (0 i = 2ei 31rf4 (A) (e)

E=

[y 3 sen(2rr x

101t - 0,41tx)

+ z 4cos(27l' X

Um circuito RLC e,n série é conectado a um gerador co1n u1na tensão v.(t) = V0 cos((i)t + 7r/3) (V).

J07t

(V/n1)

0,4rrx)]

-

7.24

(a) Escreva a equação cio loop ele tensão em termos ela corrente i(t), R, L, C e v,(t). (b) Obtenha a equação no domínio fasorial correspondente. (e) Resolva a equação para obter uma expressão para o fasor corrente.

Seção 7-3: Propagação em Meios com Perdas 7.25* O canipo magnético ele u1na onda que se propaga e1n um certo 1naterial não-1nagnético é dado por H = z50cos(J 09 t

- Sy)

(111Nm)

Determine: (a) O comprilnento de onda. (b) e,. (e) H.

7.29* U1na onda radiada no ar por uma fonte incide na superfície do solo, sendo que u1na parte é transmitida para dentro deste. Se o comprimento dela é 30 cni no ar e 15 c1n no solo, qual a pennissividade relativa do solo? Considere que o solo seja um 1neio de pouquíssinia perda.

7.30 O ca1npo elétrico de unia onda plana que se propaga em um material dielétrico magnético sem perdas co,n 1:\ =2,56 é dado por E= y20cos(8rr x l09 t

Determine o que se pede a seguir: (a) A direção de propagação da onda.

-

kz)

(Vim)

Determine:

(b) A velocidade de fase.

(a) f, ur, À, k e 7J.

(e) O cornpri1nento de onda no rnaterial.

(b) O campo 1nagnético H .

(d) A perniissividade relativa do material. (e) O fasor cio campo elétrico.

7.26 Escreva as expressões gerais para os campos elétrico e Lnagnético de un1a onda plana senoidal ele J GHz que se propaga na direção positiva de y em um meio não-1nagnético sem perdas com perniissividade relativa e,= 9. O campo elétrico está polarizado ao longo da direção x, seu valor de pico é 3 V/ni e a intensidade do campo é 2 V/ni em t = Oe y = 2 cm.

Seção 7-4: Polarização de uma Onda ~

7.31* Unia onda polarizada de fonna circular à direita coni 1nóclulo de 2 (V/Jn) se propaga no espaço livre na direção negativa de z. Escreva a expressão para o vetor campo elétrico da onda, sabendo que o co,nprimento de onda é de 6 cm. 7.32 Para uma onda caracterizada pelo campo eléu·ico E(z, t)

= xa., cos(wt -

kz) + yay cos(wt - kz + ó)

7.27* O fasor carnpo ~létrico de urna onda plana unjfornie é dado por E = y IOei0 ,2z (Vim). Se a velocidade de fase da onda é de 1,5 x 108 n1/s e a permeabilidade relativa do 1neio é /J,r = 2,4, detennine o seguinte:

identifique o estado de polarização, detern1ine os ângulos de polarização (y, X) e esboce o lugar geornétrico de E(O, t) pru·a cada u1n dos seguintes casos:

(a) O comprimento de onda.

(a) ax = 3 V/Jn,a y = 4 V/m e ó = O

(b) A freqüência.{ da onda. (e) A perniissividade relativa do nieio. (d) O campo 1nagnético H(z, t).

(b) ax = 3 V/tn,ar = 4 V/meó = 180 º (e) ax = 3 V/tn,ay = 3 V/meó = 45 ° (d) a,, = 3 V/m,a,. = 4 VIIneó = - 135 °

CAPÍTULO 7

7.33* O campo elétrico de uma onda plana unifonne que se propaga no espaço livre é dado por

E= (x + jy)2oe-j1rzt6

(V/tn)

Especifique o 1nódulo e a direção da intensidade do ca1npo elétrico no plano z = O e1n t = 0,5, e 10 ns. 7.34 Uma onda plana polarizada Linearmente da fonna E= xaxe- ikz pode ser expressa como asoma de uma onda polarizada circulannente à direita com n1ódulo aR e uma onda polarizada circularmente à esquerda com rnódulo ª1.· Prove essa afirmação determinando as expressões para aR e ª" e1n termos de

ªx·

7.35* O ca1npo elétrico ele uma onda plana polarizada eliptican1ente é dado por E(z, t) =

[- x IOsen(wt - kz - 60º) + y20cos(wt - kz)] (V/Jn)

Determine o seguinte: (a) Os ângulos de polarização ( y , X,).

(b) A direção de rotação.

7.36 Compare os estados de polarização de cada un1 dos seguintes pares de ondas:

x2 cos(wr-kz) + Y2 sen(wt-kz). Onda 2: E2 = x2 cos(wt + kz) + y2 sen(wt + kz).

(a) Onda 1: E 1 =

(b) Onda 1: E, = x:2 cos(wt- kz) - y2 sen(wt - kz). Onda 2: E2 = x2 cos(wt + kz)- y2 sen(wt + kz). 7.37 Faça o gráfico do lugar geométrico de E(O, t) para unia onda plana co1n

E(z, t) =

xsen(wt + kz) + y2 cos(wt + kz)

Determine o estado de polarização a partir do gráfico.

PROPAGAÇÃO DE ÜNDAS PLANAS

4

(e) Madeira comµ.,,= l, e,= 3 e CT = 10- Sim em 1 kHz. 7.39 Um solo seco é caracterizado por e,= 2,5, 1 µ,, = l e lf = 10- (Sim). Para cada uma das seguintes freqüências, deternune se un1 solo seco pode ser considerado um born condutor, u1n quase condutor ou um dielétrico de baixa perda, e então calcule a, {3 , À, /J.,p e ric: (a) 60 Hz

(b) 1 kHz (e) l MHz

(d) 1 GHz

7.40 E1n u1n 111eio caracterizado por e,= 9, µ.,, = 1 eu = O, 1 Sim, determine o ângulo de fase pelo qual o campo n1agnético está adiantado em relação ao campo elétrico em 100 MHz. 7.41 Gere un1 gráfico para a profundidade pelicular 8, versus a freqüência para a água do rnar na faixa de I kHz até JOGHz (use escalas log-log). Os parã1netros constitutivos da água do 1nar são µ.,, = 1, e, = 80 e u =4 Sim. 7.42 Ignorando a reflexão na fronteira ar-solo, se a amplitude de unia onda incidente de 2 GHz é de 1O V/n1 na supe1t'ície de un1 solo ún1.ido, en1 qual profundidade ela cai para 1 1nVlm? Um solo úmido é caracterizado porµ.,, = 1, e,= 16 e CT = 5 x LO'"" Sim. 7.43* A profundidade pelicular de certo material não-1nagnético e,n condução é 2µ111 en1 5 GHz. Detennine a velocidade de fase no rnaterial. 7.44 Com base nas medidas de atenuação e ret1exão de onda feitas a 1 MHz, deter1ninou-se que a itnpedãncia intrínseca de certo meio é de 28, i /45º (Q) e a profundidade pelicular é de 5 111. Determine o seguinte:

Seção 7-5: Propagação em um Meio com Perda

(a) A condutividade do n1aterial.

7.38 Para cada uma das seguintes combinações de parãtnetros, detennine se o 1naterial é u1n dielétrico de baixa perda, um quase condutor ou um bom condutor e, em seguida, calcule a, {3, À, u.P e ri,:

(b) O comprin1ento de onda no meio.

12

(a) Vidro com µ.,, = 1, e,= 5 e CT = 10- S/Jn em 10 GHz.

(b) Tecido anin1al con1 µ.,, = 1, e,= 12 e Sim em 100 MHz.

CT

= 0,3

237

(e) A velocidade de fase.

7.45* O can1po elétrico detenninado de unia onda plana que se propaga em u1n n1eio não-1nagnético é dado por

E= z2se- 30-< cos(2n x t09 t

-

40x)(Vlm)

Obtenha a expressão correspondente para H.

238

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Seção 7-6: Condução de Correntes em Condutores

(V/m)

En1 un1 n1eio dielétrico não-n1agnético com perdas, uma onda plana ele 300 MHz é caracterizada pelo fasor can1po n1agnético

7.46

H- = (Ax - J'4A) z e - 2\•.. e -1'9)> ·

(A/m)

onde zé a direção para baixo e z = Oestá na superfície da água. Se a = 4 S/rn, (a) Obtenha uma expressão para a densidade de

potência média. (b) Detennine a taxa de atenuação.

Obtenha as expressões no do1ninio do te,npo para os vetores campo elétrico e 1nagnético.

de potência tem redução de 40 dB.

7.47*

Uni bloco de cobre retangular tem 30 c1n de altura (ao longo dez). Em resposta a urna onda incidente nesse bloco, urna con·ente é induzida no bloco na direção positiva de x. Determine a razão entre a resistência ca a 1 kHz e a resistência cc. As propriedades relevantes do cobre são dadas no Apêndice B.

7.52 As a1nptitudes de unia onda plana polarizada eliptica,nente que se propaga e,n um n1eio nãon1agnético com perdas e con1 e, = 4 são H_,o = 6 (1nA/m) e Hz0 = 8 (mA/m). Deter,nine a potência média através de u1na abertura no plano y-z se a sua área for de 20 1112 .

7.48

Os condutores interno e externo de um cabo coaxial têm raios de 0,5 c1n e I c1n, respectivan1ente. Os condutores são feitos de cobre co1n e, = 1, µ,, = 1 e a-= 5,8 x 107 Sim, sendo que o condutor externo tem O, I cn1 de espessura. E1n IOMHz:

7.53* Un1a onda que se propaga em um meio não-magnético sem perdas tem uma a1nplitude de campo elétrico ele 24,56 V/me uma densidade de potência 1nédia de 4 W/n1 2. Detennine a velocidade de tàse da onda.

(a) As espessuras dos condutores são suficientes

7.54

para serem considerados infinitan1ente espessos quanto à corrente que passa através deles? (b) Determine a resistência superficial R,. (e) Determine a resistência ca por unidade de comprilnento do cabo.

(e) Determine a profundidade na qual a densidade

Em freqüências de rnicroonclas, a densidade de potência considerada segura para exposição do ser hu1nano é 1 (n1W/cn12). U1n radar radia tnna onda com um campo elétrico de amplitude E que decai com a distância segundo E(R) = (3, 000/R) (V/m), onde R é a distância e,n 1netros. Qual é o raio da região insegura?

Seção 7-7: Densidade de Potência Eletromagnética

~

7.49* O ca,npo n1agnético de uma onda plana que se propaga no ar é dado por H = x 25 sen(2'1T x 107t - ky) (n1A/m). Determine a densidade ele potência média transportada pela onda.

(a) Detennine o fluxo líquido ele potência P(t) que entra na caixa devido a unia onda plana no ar dada por

7.55 Considere a caixa retangular imaginária mostrada na Fig. 7-27.

~ 7.50

Urna onda que se propaga em um meio não-n1agnético co1n e, = 9 é caracterizada por u1n catnpo elétrico dado por

ky)

(V/m)

(b) Determine a potência média líquida que entra .

na caixa.

(V/01)

E= Detennine a direção en1 que a onda se propaga e a densidade de potência média transportada por ela. 7.51 * O fasor carnpo elétrico de uma onda plana uniforn1e que se propaga para baixo na água é da-

do por

xE0 cos(wr -

7.56 Repita o Problema 7.55 para uma onda que se propaga ern u1n meio com perda no qual

E = [y3 cos(n x 107 t+kx) -z 2cos(rr x L01 r + kx)]

E=

x IOOe-30>' cos(2n

x I09t - 40y) (V/m)

H = - zAo,64 e- 30r· cos(2:n: x 1091 - 40y - 36,85°) (A/m)

A caixa tem dimensões A = 1 cn1, b =2 c1n e e = 0,5 cm.

CAPÍTULO 7

239

PROPAGAÇÃO DE ONDAS PLANAS

7.57 Dada uma onda com

z

E=

---------~ b

;

a; •

; ; ,,_ - 1 1

e•1

1 1 ;

1

;

;

,& - 1 1

-

- -

;

1

1 1

;

,

;

;

- .. 1 1

1 1 1

,_ - - - - - -·- -; .. , - -..~ y 1 1

;

xE0 cos(wr -

kz)

calcule: (a) A densidade de energia elétrica média no

te1npo. 1 (we)med = T

{T

lo

1 Wedt = 2 T

['t

lo eE

2

d

,

1 #

/ ···········

(b) A densidade de energia 1nagnélica 1nédia no

tempo

X

1 (wm)med= T

Figura 7-27 Caixa retangular imaginária para os Problen1as 7.55 e 7.56.

{T

lo Wm dr =

) {T 2T

lo µ,H

2

d

(e) Mostre que (we)mcd = (wm)med -

7.58-7.65 Mais problemas resolvidos - soluções co,npletas no ~ .

ULO

Linhas de Transmissão ......'

8-1

Considerações Gerais

8-2

Modelo de Elementos Concentrados

8-3

Equações de Linhas de Transmissão

8-4

Propagação de Ondas em uma Linha de Tra.nsmissão

8-5

Linha de Transmissão sem Perdas

8-6

Impedância de Entrada de uma Linha sem Perdas

8-7

Casos Especiais de Linhas sem Perdas

8-8

Transferência de Potência em uma Linha de Transmissão sem Perdas

8-9

A Carta de Smith

8-10

Casamento de Impedância

8-11

Transitórios em Linhas de Transmissão

1 /

)

__

I

/

; - - - - --i---1--1--1--r ,

_-\-----1---

Linhas de Transmissão 8-1

Considerações Gerais

E1nbora a fan1ília das linhas de tra1Zs1nissão possa englobar todas as estruturas e meios que servern para transferir energia ou infonnação entre dois pontos, incluindo as fibras nervosas do corpo humano, ondas acústicas em fluidos e ondas de pressão mecânica e,n sólidos, o foco da abordage,n deste capítulo será nas linhas de transmissão usadas para guiar sinais eletromagnéticos. Tais linhas de transrnissão incluem os fios telefônicos, cabos coaxiais transportando informações de áudio e vídeo para aparelhos de TV ou dados digitais para rnonitores de computador e fibras ópticas transportando ondas de luz para transmissão de dados em taxas muito altas. Fundamentalmente, uma linha de transmissão é um circuito de duas portas, no qual cada porta consiste e1n dois terminais, como ilustra a Fig. 8-1. Un1a das portas é a de entrada e a outra, a de saída. A fonte conectada à porta de entrada pode ser qualquer circuito co1n urna tensão de saída, tal como un1 transmissor de ra-

,-------- - - 1 1 1 1 1 Á11i 1

+l

•••

1 1 1 Vgi '\,) 1 1 1 , __________

.:r

'

1

1 1 1

'

1 J

Circuito do gerador

dar, u1n amplificador ou u1n terminal de co1nputador operando no n1odo de transmissão. A partir da teoria de circuitos, qualquer fonte pode ser representada por um circuito gerador equivalente de Thévenin, que consiste en1 um gerador de tensão V~ em série co111 resistência R., confonne o 111ostra a Fig. 8- l. O gerador de tensão pode consistir e111 pulsos digitais, un1 sinal senoidal variante no te111po ou qualquer outra fonna de onda de sinal. No caso de sinais ca, o circuito gerador é representado por un1 fasor de tensão V s e uma ln1peclância Z". O circuito conectado à saída da linha de transnússão é deno1ninado circuito de carga, ou simplesn1ente carga. Esse circuito pode ser uma antena, no caso de um radar, u1n terminal de computador operando no ,nodo ele recepção, os tenninais de entrada de u1n a1nplificador ou qualquer circuito de saída cujos terminais ele entrada possam ser representados por u1na resistência de carga RL equivalente, ou u1na i1npedância de carga ZL no caso de corrente alternada.

-

~

,------, A

Porta de entrada

B

Linha de trans1nissão

1 1 1

Porta de : saída 1 1

-

A'

B'

1..

1 1 1 1 1 1 1 1 1 _____ J

:

> ~RL

Circuito de carga

Figura 8-1 Uma linha de transn1issão é um circuito de duas portas que interconecta um circuito gerador conectado à entrada a uma carga conectada à saída.

242

8-1.1

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

O Papel do Comprimento de Onda

Nos circuitos elétricos e1n baixas freqüências geralmente usamos fios para conectar os ele,nentos do circuito à configuração desejada. No circuito mostrado na Fig. 8-2, por exeinplo, o geradorestá conectado a u1na simples carga RC via u1n par de fios. Em função de nossa definição apresentada nos parágrafos anteriores sobre no que consiste uma linha de transmissão, coloca1nos a seguinte questão: o par de fios entre os terminais AA • e BB' é uma linha de transmissão? En1 caso afirtnativo, por que essa infonnação é importante? Afinal, geraiinente calculamos a corrente no circuito e a tensão nos componentes sem considerar os fios que conectam os componentes. A resposta a essa questão é sin1; o par de fios realmente constitui a linha de transmissão, porérn o impacto da linha na corrente e nas tensões no circuito depende do comprimento da linha e da freqüência/ dos sinais fornecidos pelo gerador. (Conforme veremos mais adiante, o fator determinante é a relação entre o co1npri1nento da linha l e o con1prin1ento de onda do sinal À que se propaga na linha de transmissão entre AA' e BB'.) Se o gerador de tensão é co-senoidal no tempo, então a tensão nos tenninais de entrada AA' é VAA' = Vg(t) = Vocoswt

(V),

(8. l)

onde w =2,ef é a freqüência angular, e se considerarmos que a corrente através dos fios se estabele8 ce na velocidade da luz, e= 3 x 10 m/s, então a tensão nos tern1inais de saída BB' estará atrasada no tempo em relação à tensão en1 AA · pelo te1npo de atraso de propagação 1/c., Assiln, considerando nenhuina perda ôhmica significativa na linha de transmissão, Vaa (t) = VAA·(t - l/c) 1

= V0 cos[w(t - l/c)]

(V). (8.2)

Vamos comparar V88 . co1n VAA' em t = O para u1n circuito e letrônico operando co1n un1a freqüência f = 1 kHz., que é un1a freqüência muito baixa. Para um fio típico de co1npri1nento l =5 cm, as Eqs. (8.1) e (8.2) nos dizem que VAA' = V0 e V88 . = V0 cos(27T f l I e)= 0 ,999999999998 V0 • Assim, para todos os fins práticos, o co1nprimen-

.

A +

-v. i'v, +

~

~

-

-

8

1

+

t

t

VM' Linha de transnússão Von·

+ -

-+

A'

8'

•>> R •> •

: :

e

1 - - - -1-----+i Figura 8-2 Gerador conectado a u1n circuito RC através de uma linha de trans1nissão de compri1nento /.

to dessa linha de trans1nissão pode ser ignorado e os terminais AA • podeni ser tratados como idênticos a BB'. Por outro lado, considerando u1na linha telefônica con1 un1 cabo de 20 km transportando um sinal de voz de I kHz, ao fazer o mes1110 cálculo te1nos que V88 • =0,91 V0• O fator determinante é o módulo de wl / e. A partir da Eq. (7 .91), a velocidade de propagação uv de u1na onda que se propaga está relacionada à freqüência de oscilação 1· e ao co1nprimento de onda Â. por Up

= f)..

(1n/s).

(8.3)

Nesse caso, "r =e. Portanto, o fator de fase wl 21r f l l - = · = 2JT e e À

radianos.

(8.4)

Quando l I À for 1nuito pequeno, os efeitos da linha de transinissão pode1n ser ignorados, mas quando l /À~ 0,01 , pode ser necessário considerar não apenas o deslocan1ento de fase associado ao atraso de tenipo, mas tainbé1n a presença de sinais refletidos que podem retornar da carga em direção ao gerador. Ta1nbé1n pode ser necessário considerar perda tle potência na linha e efeitos dispersivos . U,na linha de transn1issão dispersiva é aquela na qual a velocidade da onda não é constante co1no tuna função da freqüência[ Isso significa que a fonna de u1n pulso retangular, que a análise de Fourier mostra ser co1npos10 de muitas ondas de diferentes freqüências , é distorcido à medida que se propaga na linha devido aos seus co1nponentes de freqüências diferentes não se propagare1n na 1nesma velocidade (Fig. 8-3). A preservação da fonna do pulso é muito importan-

CAPÍTU LO

8

LtNMAS DE TRANSMISSÃO

243

111agnetic). Um bo1n exemplo é a linha coaxial

JUUL-

-

JULJl

Linha sen1 dispersão o

JUUL-

o

- JVUL

Linha dispersiva curta

JUULLinha dispersiva longa

Figura 8-3 Urna linha sen1 dispersão não distorce os sinais que passarn nela independenten1ente de seu co1nprirnento, ao passo que urna linha dispersiva distorce a fonna do pulso de entrada por causa das componentes de freqüências diferentes que se propagan1 com diferentes velocidades. O grau de distorção é proporcional ao comprimento da linha dispersiva.

te e1n transn1issões de dados e1n altas velocidades, tanto entre os terminais como também em circuitos integrados de alta velocidade nos quais as linhas de trans,nissão projetadas e os processos de fabricação são partes .integrantes do processo de desenvolvimento de Cls. Em 10 GHz, por exemplo, o co1npri1nento de onda Â. = 3 cm no ar está na orde111 de I c111 no 1naterial sen1icondutor. Portanto, até o compri1nento das conexões entre os dispositivos na orde1n de 1nilí111etros se torna significativo e a presença delas foi incorporada ao projeto global do circuito.

8-1 .2 Modos de Propagação A Fig. 8-4 n1ostra alguns exen1plos comuns de tipos de linhas de transmissão. As linhas de trans1nissão podem ser classificadas em dois tipos básicos:

• Linhas de trans111issão TEM: A propagação de ondas ao longo dessas linhas é caracterizada pelos catnpos elétrico e magnético que são co1npletatnente transversais à direção de propagação. Esse modo é denominado eletron1agnético transversal (TEM - tra11sverse electro-

n1ostrada na Fig. 8-5; as linhas de can1po elétrico estão na direção radial entre os condutores interno e externo, e o carnpo magnético é formado por círculos em torno do condutor central; portanto, nenhum dos dois tem qualquer co111ponente ao longo do compri111ento da linha (a direção de propagação da onda). Outras linhas de trans1nissão TEM inclue1n a linha paralela e a linha de placas paralelas, a1nbas mostradas na Fig. 8-4. Embora os campos presentes en1 unia linha núcrostrip não se encaixe111 exata1nente na definição do rnodo TEM, as componentes de campo não-transversais são suficientemente pequenas em comparação com as componentes transversais, podendo ser ignoradas, pennjtindo assim a inclusão das linhas rnicrostrip na classe TEM. Uma característica comum entre as linhas TEM é que elas consiste1n en1 duas superfícies de condução ern paralelo.

• Linhas de transmissão de altll t>rtle111: As ondas que se propagarn ao longo dessas linhas têm pelo 1nenos urna componente de campo significativa na direção de propagação. Nessa classe de linhas estão os guias de onda ocos, as ba1Tas dielétricas e as fibras ópticas. Apenas as linhas de transn1issão no modo TEM serão abordadas neste capítulo. Isso porque é necessário um 1nenor rigor n1aten1ático para tratar essa classe de linhas em co1nparação con1 o estudo das ondas caracterizadas pelos n1odos de alla ordem, alé1n disso, as linhas 1'EM são mais comumente usadas na prática. Começamos nossa abordagem representando a linha de transmissão em tennos de um modelo de circuito co1n elementos concentrados, e então aplicamos as leis de Kirchhoff para tensão e corrente para deduzir um conjunto de duas equações, conhecidas como equações da telegrafia. Con1binando essas equações, obtemos as equações de onda para tensão e corrente em qualquer ponto da linha. A solução dessas equações para o caso de tuna senóide e111 estado estacionário conduz a um conjunto de fórmulas que pode ser usado para resolver a grande maioria dos problen1as práticos. Na últin1a parte deste capítulo, apresentarernos urna técnica gráfica conhecida como Cllrta de S,nith, que facilita

244

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

metal

(a) Linha coaxial

(b) Linha paralela

(e) Linha de placas paralelas

tira condutora de n1etal

n1etal

L plano de terra met.áUco

dielétrico (d) Linha strip

(e) Linha 1nicrostrip

Linhas de transn1issão TEM

--------------------metal ca1nadas

dielétricas concêntricas

lano de terra met.,'ilico

dielétrico (f) Guia de ondas de seção re tangular

(g) Fibra óptica

(h) Guia de ondas coplanar

Linhas de trans1nissão de alta ordem

Figura 8-4 Alguns exe1nplos de linhas TEM (transversal eletron1agnética) e de alta ordern.

a solução de muitos problernas de linha de transrnissão sem a necessidade de cálculos trabalhosos envolvendo números co1nplexos.

8-2

Modelo de Elementos Concentrados

Quando desenhan1os um esque1na de circuito eletrônjco, usamos sín1bolos específicos para representar resistores, capacit.ores, indutores e diodos, entre outros. E1n cada caso, o símbolo representa a funcionalidade do dispositivo, en1 vez de sua forma, tamanho ou outros atributos. Faremos o mesmo em relação às linhas de transn1issão; representare,nos urna linha de transrníssão por u,na confi-

guração de fios e111 paralelo, como 1nostra a Fig. 8-6(a), i11dependenternente daforrna específica da linha considerada. Assi1n, a Fig. 8-6(a) pode representar u1na linba coaxial, un1a linha paralela ou qualquer outra linha TEM. Aproveitando nossa fanliliaridade com circuitos eletrônicos, quando analisamos u,n circuito que contém um transistor, representa,nos a funcionalidade do transistor através de um circuito equivalente cornposto de fontes, resistores e capacitores. Faremos uso da n1esma abordagem para a linha de transmissão orientando a linha ao longo da direção z, subdividindo-a en1 seções diferenciais, sendo cada uma de co1nprimento ó.z, [Fig. 8-6(b)], e então representando cada seção por u111 circuito equivalente, conforrne ilustrado na Fig. 8-6(c). Es-

CAPÍTULO 8

LINHAS DE TRA.NSMISSÃO

245

Linhas de cmnpo magné1ico Linhas de can1po elétrico

R. " +

--------Linha coaxial

Gerador

Carga Seção reta

Figura 8-5 Em um cabo coaxial, as linhas do ca,npo elétrico estão na direção radial e situadas entre os condutores interno e exten10 do cabo e o campo magnélico fonna círculos em torno do condutor interno.

sa representação, que é deno,ninada 1nodelo de circuito conz elen1entos concentrados, consiste em quatro elernentos básicos, os quais daqui ern diante serão denon1inados parâ,netros da linha de transmissão. Esses parâmetros são: R':

A resistência combinada dos dois condutores por unidade de co1nprilnento, dada em Q/in.

L':

A indutância co,nbinada dos dois condutores por unidade de co,nprimento, dada em H/in.

G':

A condutâtlcia do ,neio isolante por unidade de con1primento, dada ern Sim.

C':

A capacitâtlcia de dois condutores por unidade de comprimento, dada e,n F/111.

Considerando que os quatro parâtnetros de linha tên1 expressões diferentes para cada tipo e dimensões diferentes de linhas de transinissão, o modelo equivalente representado pela Fig. 8-6(c) é aplicável igualmente a todas as linhas de trans1nissão caracterizadas pelo ,nodo TEM de propagação de onda. O sobrescrito é usado co,no u,na forn1a de le,nbrar que os parâmetros da linha são grandezas diferenciais cujas unidades são indicadas por unidades de cornprin1.ento. As expressões para os parân1etros de linha R', L', G' e C' são dadas na Tabela 8- J para os três tipos de linha de trans,nissão TEM ilustrados de (a) a (c) na Fig. 8-4. Para cada uma dessas linhas, as expressões são fu nções dos dois conjuntos de parâmetros: (1) parâmetros geon1élricos que definem as din1ensões de seção reta da linha dada, e (2) parâmetros constirutivos eletro1nagnéticos caracte-

rísticos dos materiais co1n os quais os condutores e o isolante entre eles são feitos. Os parâ,netros geométricos pertinentes são os seguintes: L inhll coaxial [Fig. 8-4(a)]

a = raio externo do condutor interno, 1n b

=raio interno do condutor externo, 111

LiIlha paralela [Fig. 8-4(b)} a= raio de cada u,n dos fios , m

d= espaço entre os centros dos fios, m

Linha de placas paralelas [Fig. 8-4(c)]

w =largura de cada placa, 1n d= espessura do isolante entre as placas, 111

Os parân1etros constitutivos se aplicarn a todas as três linhas e consiste111 e,n dois grupos: /J.c eu" são a permeabilidade magnética e a condutividade elétrica dos condutores, e e, µ. e cr são a pernlissividade elétrica, a per1neabilidade ,nagnética e a condutividade elétrica do material isolante que separa os condutores. O Apêndice B contém valores tabulados para esses parâ,netros constitutivos de vários tipos de materiais. Para os objetivos deste capítulo, não precisamos nos preocupar com a dedução das expressões dadas na Tabela 81. A for,nulação necessária para o cálculo de R', l', G' e C' foi disponibilizada em capítulos ante-

246

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

riores para casos gerais de configuração de dois condutores quaisquer. O modelo com elementos concentrados mostrado na Fig. 8-6(c) representa os processos físicos associados às correntes e tensões e1n uma linha de transmissão qualquer. Existem também outros modelos equivalentes, os quais são igualrnente aplicáveis. Entretanto, todos esses 1nodelos levan1 exatamente ao mesmo conjunto de equações da telegrafia, a partir das quais todos os resultados posteriores serão obtidos. Portanto, apenas o modelo descrito na Fig. 8-6(c) será analisado nesta abordage1n. Ele consiste e1n dois ele1nentos em série, R' e L', e dois elementos shunt, C' e C'. Com a finalidade de apresentar uma explicação física para o modelo de ele1nentos concentrados, va1nos considerar uma pequena seção de un1a linha coaxial, conforme mostra a Fig. 8-7. A linha consiste em um condutor interno de raio a separado de um condutor externo cilíndrico de raio b por um 1naterial coin pern1issividade e, permeabilidadeµ, e condutividade
condutores na entrada da linha, esses condutores serão percorridos por co1Tentes, principahnente ao longo da superfície externa do condutor interno e da superfície interna do condutor externo. A resistência da linha (R') explica a resistência combinada por unidade de comprimento dos condutores interno e externo. A expressão para R' foi deduzida no Capítulo 7 e é dada pela Eq. (7.151) como 1 1 ]) R =Rs - ( -+2n a b

(Q/m),

(8.5)

onde R,, que representa a resistência de superfície dos condutores, é denominado resistência i,ztrínseca e é dado pela Eq. (7.147a) co1no

(8.6)

(Q).

A resistência intrínseca não depende apenas das propriedades do material dos condutores (
(a) Representação de fios paralelos

(b) Seções diferenciais a cada comprimento tlz

R'&

L'&

G'&

R'&

C'tlz

L'tlz

G'6z

R'&

C'Az

L'&

G'&

R'&

C'tlz

L'&

G'&

C'Az

(c) Cada seção é represeruada por uni circuito equivalenre

Figura 8-6 Independentemente de sua forma atual, uma linha de transmissão TEM é representada por uma configuração de fios em paralelo, n1ostrados en1 (a). Para analisar as relações de tensão e corrente, a linha é subdividida e,n pequenas seções diferenciais (b), cada uma das quais é então representada por un1 circuito equivalente (c).

CAPÍTULO 8

LINMAS DE T RANSM.ISSÃO

247

Tabela 8-1 Os parâ,netros R', L', G' e C' para três tipos de linhas de transmissão Parân1ctro

Coaxial

Paralela

l l)

Placas paralelas Unidade

2Rs w

Rs

R'

Rs ( -+-2,r a b

L'

µ - In(b/a) 2,r

; ln [(d/2a) + /(d/2a)2 - 1]

2,ra

7T(J

G'

C'

ln(b/a)

,ra

ln [
2rre

ln(b/a)

µd

w aw d

1]

+ J(d/2a)2 -

ew

rre

1]

ln [(d/2a) + J(d/2a)2 -

d

Q/m

W1n S/n1

F/111

Notas: ( 1) Consulte a Fig. 8-4 para a definição das dimensões. (2) µ,, ee use referem ao material isolante en-

=

2

tre os condutores. (3) R, J;rf µ 0 / IYc. (4) µ,, eu, se referem aoscondu1ores. (5) Se (d/2a) + ln /(d/2a)2 -1 ):::: ln(d/a).

Condutores

L'

= -µ,

Figura 8-7 Seção reta de un1a linha coaxial con1 un1 condutor interno de raio a e un1 condutor externo de raio b. Os condutores tên1 pern1eabilidade 1nagnética /J-c, condutividade <J'c e o material de separação entre eles tem pennissividade E, pern1eabilidade µ, e condutividade <J'.

que (f /J-c / <J'c) 1, Rs se aproxima de zero, assiln como R'. Em seguida, vamos analisar a indutância por unidade de comprimento L'. A aplicação da lei de Ampere, dada no Capítulo 5, para a definição de indutância nos leva à seguinte expressão [Eq. (5.99)] para a indutância por unidade de comprimento de u1na linha coaxial:

(b)

ln 2n a

(µe, ac)

Material isolante (S, µ, a)

>> 1, entiío [(d/2a)

(H/in).

(8.7)

A condutância shun.t por unidade de co,nprimento G' explica a corrente entre os condutores interno e externo, , devido à condutividade <J' do material isolante. E justamente por causa da corrente que passa de u111 condutor para outro que G' é um elemento shun.t no modelo de elementos concentrados. Sua expressão é dada pela Eq. (4.76) corno

,

2n a G = ln(b/a)

(Sim).

(8.8)

Se o material que separa os condutores interno e externo for u111 dielétrico perfeito corn <J' = O, então G'= O. O último parâmetro da linha de nossa lista é a capacitância por unidade de co1npri1nento ( C'). Quando cargas iguais e opostas são colocadas ern dois condutores quaisquer separados entre si, u111a diferença de tensão será induzida entre eles. A capacitãncia é definida con10 a razão entre a carga e a diferença de tensão. Para a linha coaxial, C' é dada pela Eq. (4. 117) COlllO

,

2ne

e= -ln(b/a)

(Fltn).

(8.9)

248

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Todas as linhas de transmissão TEM compartilhan1 as seguintes relações úteis:

L'C' = µe ,

(8.10)

e G' a - 1= C e

(8.1 1)

Se o 1neio isolante entre os condutores for o ar, a linha de transrnissão é denorninada linha co111 dielétrico de ar (por exe1nplo, linha coaxial con1 dielétrico de ar ou linha paralela com dielétrico de ar). Para tuna linha con1 dielétrico de ar, s = s 0 = 12 8,854 x 10- Fim,µ = µ, 0 = 41r x 10-7 H/m, u = O e G' = O.

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q8.l O que é urna linha de transrnissão? Quando os efeitos de urna linha de transn1issão devem ser considerados? Q8.2 Qual é a diferença entre linhas de transn1issão dispersivas e não-dispersivas? Qual o significado prático? Q8.3 O que constitui un1a linha de transnlissão TEM? Q8.4 Qual é a finalidade do uso do modelo de circuito com elernentos concentrados? Corno os parârnetros de linha R', L', G' e C' se relacionan1 com as propriedades constitutivas físicas e eletromagnéticas das linhas de transn1issão?

EXERCÍCIO 8.1

Use a Tabela 8-1 para calcular os parân1etros de urna linha paralela con1 dielétrico de ar cujos fios estão separados por uma distância de 2 cr.n, sendo que cada uni tern um raio de 1 mr.n . Os fios podem ser considerados como condutores perfeitos em que o-e= oo. Resp. R' =O, L' = 1,20 (µ,H/rn), e·= O, e·= 9,29 (pF/m) (veja ~ ) '

' EXERCICIO 8.2 Calcule os parâmetros de uma li-

nha de transtnissão constituída de uni cabo coaxial rígido corn dielétrico de ar operando ern I MHz, sendo que o condutor interno tern um diâmetro de 0,6 cn1 e o diârnetro do condutor externo é de 1,2 cm. Os condutores são feitos de cobre [consulte o Apêndice B para obter µ, e o-e do cobre]. Resp. R' = 2,08 x 10· 2 (Q/m), L' = O, 14 (µ,H/rn), G' = O, e·= 80,3 (pF/rn). (veja ~ )

8-3 Equações de Linhas de Transmissão Geralmente, uma linha de transrnissão conecta uma fonte, em urna das extremidades da linha, a urna carga, na outra extren1idade. Entretanto, antes de considerarmos o circuito completo, precisamos desenvolver equações que descrevam a tensão na linha de transn1issão e a corrente transportada pela linha coxno urna função do te1npo te do espaço z. Usando o modelo de elementos concentrados descrito na Fig. 8-6(c), começa,nos considerando um comprin1ento diferencial .ó.z corno rnostrado na Fig. 8-8. As grandezas v (z, t) e i(z, t) indicam tensão e corrente instantâneas na extren1idade esquerda da seção diferencial (nó N) e, de forma sünilar, v (z + .ó.Z, t) e i(z + .ó.z, t) indicarn as n1esnuls grandezas na extren1idade direita (nó 1V + 1). A aplicação da lei de Kirchhoff para tensão explica a queda de tensão na resistência R'.ó.z e a indutância L '.ó,z: v(z , t) - R' Az i(z, r) I

- L Az

ÔÍ(Z,f)

ar

- v(z+Az,t) = O.

(8.12)

Dividindo todos os termos por Az e rearranjandoos, obtemos

_ [ v(z + Az;~ - v(z, t) J -- R' . ( t) . 1 Z,

+ L' a1·eÔfZ, t)

.

(8.13)

No limite ern que .ó.Z ~ O, a Eq. (8. 13) se torna uma equação diferencial:

CAPÍTULO 8

R'liz

(8.16) e utilizando as propriedades dadas pela Eq. (7.45) em que d!Ôt no domínio do tempo se torna equivalente à rnultiplicação por jw no do1nínio fasorial, obtemos o seguinte par de equações:

l '!lz

G'!lz

u(z , 1)

249

LINMAS DE T RANSM.ISSÃO

C'!lz

-

v(z + !!,.z, 1)

l

l

-

dV(z) dz

,

1

•

= (R + jwL) l(z) ,

(8.18a)

_ d l (z) = (G' + jwC') V(z).

(8.18b)

dz

CircuiLo equivalente de un1 con1primento diferencial fu; de uma linha de trans,nissão de dois condutores. Figura 8-8

_ éJu(z, t) _ R' ' (· ) ~

-

l (.,

vZ

t

+ L,éJi(z, t) ~ vt

8-4 (8.14)

.

De forma sirnilar, a aplicação da lei de Kirchhoff para corrente no nó N + I na Fig. 8-8 nos leva a i (z, t) - G' Llz u(z

+ t:,.z, t)

- e uz éJlJ(Z + Íl Z, f) I A

&t

'(

l

z + ,.,.z, t = o. A

Essas são as equações da telegrafia na fonna t'asorial.

)

(8.1 5)

As equações de prirneira ordem dadas pelas Eqs.

(8.18a) e (8.18b) podem ser combinadas para se obtere1n duas equações de onda distintas de se. gunda ordem, uma para V (z) e outra para 1 (z). A equação de onda para V(z) é deduzida diferenciando os dois lados da Eq . (8.18a) em relação a z, resultando e1n

-

Dividindo todos os tennos por 6z e tomando o limite em que t!,.z ~ O, a Eq. (8. 15) fornece u1na segunda equação diferencial: _ &i~z, t) = G' v(z, t)

z

+ C,au~z, t). (8.16) t

As equações diferenciais de prirneira ordem dadas pelas Eqs. (8.14) e (8.16) são as equações de linha de trans111issão no dornínio do tempo, aliás denominadas equações da telegrafia. Exceto pela última seção, nosso interesse principal neste capítulo está nas condições de estado estacionário de sinais senoidais. Para isso, deve1nos fazer uso de fasores corn indicação de referência e,n co-seno confonne apresentado na Seção 7-1.4. Portanto, definimos

Propagação de Ondas em uma Linha de Transmissão

2-

d V (z) = (R' -dz_2_

-

-

+ 1..,, ,.,L') d l (z) dz

'

(8.19)

e substituindo a Eq. (8.18b) na Eq. (8.19) para dl (z)ldz, a Eq. (8.19) se torna 2-

d V~z) - (R' + jwL')(G' + j wC ') V(z) = O, dz (8.20)

ou 2-

d V(z) , d ,, - y· V (z) =

z-

O

,

(8.21)

onde

-

u(z, t) = !Re[V (z) eiwr].

(8. 17a)

i(z, t) = !Re[l(z) ejw' ],

(8.17b)

onde V(z) e l-(z) são grandezas fasoriais, sendo que cada u1na pode ser real ou co,nplexa. Substituindo as Eqs. (8.17a) e (8.17b) nas Eqs. (8. 14) e

y = J(R'

+ jwL' )(G' + jwC').

(8.22)

Aplicando os 1nesmos passos nas Eqs. (8. l8a) e (8.18b), porém na ordem inversa, obtemos

250

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

2 -

d

1

(z) - y 2 i (z) = O.

dz

2

(8.23)

A Eqs. (8.21 ) e (8.23) são denominadas equações de onda para V(z) e i (z), respectivan,ente, e 'Y é

deno1ninado constante de propagação co11iplexa da linha de transmissão. Como tal, 'Y consiste em urna parte real a, denotninada constante de atenuação da linha, cuja unidade é Np/m, e uma parte ünaginária {3 , denonü nada constante de fase da linha, cuja a unidade é rad/n1. Portanto, Y

= a+ j/3

(8.24)

com

rivadas delas, nas Eqs. (8.21) e (8.23). Na fonna atual, as soluções dadas pelas Eqs. (8.26a) e (8.26b) contêm quatro variáveis desconhecidas, as amplitudes da onda ( V0+, !~") que se propaga na direção positiva dez e (V0- , 101 da onda que se propaga na direção negativa dez. Podemos facilrnente relacionar as an,plitudes da onda de co1Tente (/;te / 0), corn as a1nplitudes da onda de tensão (V0+ e v0-), respectivarnente, usando a Eq. (8.26a) na Eq. (8.18a) e, em seguida, calculando a corrente i (z), obtendo

Comparando cada urn dos tennos co1n o termo correspondente na expressão dada pela Eq. (8.26b), chegatnos à conclusão de que

a= 9'\c(y) = 9'\c ( J(R'

+ jwl')(G' + jwC ')) (Np/111), (8.25a)

/3 =

Jm(y)

= J m ( J( R'

+ jwl')(G' + jwC ' )) (rad/m). (8.25b)

Nas Eqs. (8.25a) e (8.25b), escolhernos os valores da raiz quadrada que são positivos para a e {3. Para linhas de transrnissão passivas, a é zero ou positivo. A 1naioria das linhas de trans1nissão, e todas aquelas consideradas neste capítulo, são do tipo passiva. A região ativa de un, laser é urn exemplo de linha de transrnissão ativa con, a negativo. As equações de onda dadas pelas Eqs. (8.21) e (8.23) tên, as soluções das ondas da seguinte for1na: V(z) =

i (z) =

(8.28)

v0+e- yz + v0- eyz

(V) (8.26a)

It e-vz + 10- erz

(A) (8.26b)

onde, analoga1nente ao caso de uma onda plana (Seção 7-3), o tenno e-r, representa urna onda que - posrtrva . . de z, e e'Y < represen ta se propaga na d.rreçao a urna onda que se propaga na direção negativa de z. A ve,ificação de que essas equações são realmente soluções válidas é faciln,ente realizada substituindo as expressões propostas, bem como as segundas de-

onde R' + j wl' R' + jwl' (Q) Zo = y - , G' + j wC , (8.29) é definido corno a ilnpedância característica da linha. Deve-se notar que 20 é igual à razão entre a a,nplitude da tensão e a anzplitude da corrente para cada uma das ondas individualrnente (corn urn sinal negativo adicional no caso de a onda se propagar na direção negativa de z), porérn não à razcio da tensão total V (z) e a corrente total l (z), a ,nenos que un1a das duas não esteja presente. E,n termos de Z0, a Eq. (8.27) pode ser reescrita da seguinte fonna:

-

-

(8.30)

Nas seções posteriores, aplicarernos condições de contorno na carga e na entrada da linha de transmissão para obter expressões para as amplitudes de onda restantes v0+ e v0- . Em geral, cada unia será uma quantidade complexa composta de u1na magnitude e un, ângulo de fase . Portanto, (8.31 a) (8.31b)

CAPfTULO 8

Substituindo essas definições na Eq. (8.26a) e substituindo y na Eq. (8.24), poden1os converter de volta para o do1n.ínio do tempo para obter un1a expressão para v (z, t), que é a tensão instantânea na linha: v(z, t) = !Re(V (z)eÍ"'')

= !Re [ (vo+e-rz + Vo- erz) eiw']

com que G ' = O. Além disso, os condutores são feitos de u,n material corn un1a alta condutividade de fonna que R':::::: O. Para u,na linha desse tipo com impedância característica de 50 .Q e constante de fase de 20 rad/m em 700 MHz, determine a indutância por ,netro e a capacitância por ,netro da linha.

Solução: As grandezas são dadas a seguir:

= !Re[Iv +lei4>+ei''" e-
Zo = 50 n,

0

+

1

vo- lei
f3z +
= 20 rad/m,

= 700 MHz = 7 x l 0 8 Hz. Com R' =G' =O, as Eqs. (8.25b) e (8.29) se reduze1n a

A partir de nossa revisão de propagação de

ondas na Seção 7-1 .2, reconhecernos o primeiro tenno na Eq. (8.32) con10 uma onda que se propaga na direção positiva de z (os coeficientes de tez têm sinais opostos), e o segundo te11no co1no u1na onda que se propaga na direção negativa dez (os coeficientes de te z são positivos), a,nbas se propagando com uma velocidade de fase ur dada pela Eq. (7.14):

f3 = Jm ( .f(jwL')(jwC ')) = Jm (jwJL 1 c 1) = wJL 1 C ' ,

Zo= .

jú rel="nofollow">L' = jwC'

Linha com Dielétrico de Ar

Uma linha co1n dielétrico de ar é uma linha de trans,nissão para a qual o material dielétrico presente entre os dois condutores é o ar, que faz

{u.

VC'

A razão é dada por

.P_ = Zo

(8.33)

O fator e-"z explica a atenuação da onda que se propaga na direção positiva de z, e'" explica a atenuação ela onda que se propaga na direção negativa de z. A presença de duas ondas se propagando na linha em direções opostas produz uma onda estacionária. Para conseguir,nos entender fisicamente o que isso significa, deven1os exan1inar pri1neiro u1n caso relalivarnente si,nples, poré1n importante, de u1na linhase11z perdas (a= O) e então estender os resultados para un1 caso 1nais geral de linhas de trans,nissão co11z perdas (a -:t= O). De fato, dedicare1nos as próxin1as seções ao estudo de linhas de transmissão sem perdas porque na prática n1uitas linhas pode,n ser projetadas para apresentar características de baixas perdas.

Exemplo 8-1

f3

f

= 1v0+1e-ªzcos(wt -

w Up = j).. = - . f3

251

LINM AS D E TRANSMISSÃO

wC'.

.

ou C' =

f3

wZo 20 2rr X 7 X l 08 X 50 = 9,09 x 10- 11 (F/m) = 90,9(pF/m). A partir de

Zo = .JL'/C', L ' = ZõC'

= (50)2 X 90,9

X

10- 12

= 2,27 x 10- 7 (H/m) = 227 (nH/111).

•

EXERCÍCIO 8.3 Verifique se a Eq. (8.26a) é realn1ente u,na solução para a equação de onda dada pela Eq. (8.2 1). (veja "i' ) EXERCÍCIO 8.4 Uma linha paralela co,n dielét:rico de ar tem os seguintes parâmetros: R' = 0,404

252

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

(mQ/m), L' = 2,0 (µH/m), G' = O e C' = 5,56 (pF/n1). Para u1na operação em 5 kHz, detenn ine (a) a constante de atenuação a, (b) a constante de l'ase {3 , (c) a velocidade de fase uP e (d) a impedância característica 2 0. (veja ~ ) Resp. (a) a= 3,37 x I0-7 (Np/m), (b) {3 = I ,05 x 10-4 (rad/1n), (c) ur = 3,0 x 108 (n1s), (d) Z0 = (600 - }2,0) Q = 600 / - 0.1 9º Q.

8-5

= Jw.Juci,

f3 = wJL C' (linha se1n perdas). (8.35) 1

A aplicação das condições ele linha de baixa perda na Eq. (8.29) simplifica o cálculo da impedância característica para Zo =

VC'

Usando a relação dada pela Eq. (8.1 O), que vale para todas as linhas de trans1nissão TEM, as Eqs. (8.35) e (8.38) podem ser reescritas co,no (rad/Jn),

(8.39)

(1n/s),

(8.40)

ondeµ, e e são, respectiva1nente, a penneabilidade 1nagnética e a permissividade elétrica do material isolante que separa os condutores. Os n1.ateriais usados para esse fi1n são gerallnente caracterizados por u1na penneabilidade µ., = µ, 0, onde µ, 0 =41r x 10-1 Hlin é a penneabil idade doespaço livre, e a pennissividade gerahnente é especiJicada en1 tern1os da permissividade relativa e, definida como Sr=

e/eo

(8.41)

onde e0 = 8,854 x 10- 12 F/rn:::::: (l/361t) x 10-9 F/Jn é a pennissividade do espaço livre. Portanto, a Eq. (8.40) se torna l

e

- .ft;

.

(8.42) (linha se1n perdas),

[i7

(8.38)

up -- . - f3 - ,Jflci

.ft;

o que significa que

a=O

1

ú)

l

(8.34)

(8.37)

- f3 - w./[iei '

u p -- ,Jiis

De acordo co1n a seção anterior, unia linha de transrnissão é caracterizada por duas propriedades fundamentais, a constante de propagação 'Y e a in1pedância característica Z0, as quais são especificadas pela freqüência angular e pelos parâ1netros R', L', G' e C' da linha. E1n n1uitas situações práticas, a tinha de transmissão pode ser projetada para 1n inimizar as perdas ôhmicas selecionando condutores co1n condutividades bastante altas e 1nateriais dielétricos (que separam os condutores) com condutividades desprezíveis. Como conseqüência, R' e G' assumem valores muito pequenos, de forma que R' << wL' e G' << wC'. Essas condições de tinha de baixa perda nos permitem fazer R' = G' = Ona Eq. (8.22), o que resulta em

= a + J/3

2n

f3 = w..fiie

Linha de Transmissão sem Perdas

y

2rr

)..-----==

onde e = I/ J J.Lo&o = 3 x 108 m/s é a velocidade da luz no vácuo. Se o material isolante entre os condutores for o ar, então s, = l e ui>= e. En1 função da Eq. (8.41.) e das relações entre e À. e uP dadas pela Eq. (8.33), o comprimento de onda é dado por

(linha sem perdas), (8.36)

que agora é um nú1nero real. Usando a expressão de linha de baixa perda para f3 dada pela Eq. (8.35), obternos as segui ntes relações para o compri,nento de onda À. e a velocidade de fase uP:

onde Ã.0 = c!f é o comprimento de onda no ar que corresponde à freqüência [ Observe que, como ur e À. depende,n de e,, a escolha do tipo de 1naterial isolante usado em tuna linha de transniissão é

CAPfTULO 8

determinada não apenas pelas suas propriedades mecânicas, mas també1n pelas suas propriedades elétricas. Quando a velocidade de fase de um n1eio é independente da freqüência, o 1neio é deno1ninado não-dispersivo , o qual evidente1nente é o caso de uma linha de transmissão sem perdas. Essa é uma característica i1nportante para a transn1issão de dados digitais na forn1a de pulsos. U1n pulso retangular ou uma série de pulsos é composto ele muitas componentes de Fourier co,n diferentes freqüências. Se a velocidade de fase for a n1esn1a para todas as co.1nponentes de freqüências (ou pelo 1nenos para as cornponentes do1ninantes), a forn1a dos pulsos pern1anece a n1es1na à n1ediela que o pulso se propaga na linha. Por outro lado, a forn1a de um pulso que se propaga en1 un1 meio dispersivo sofre distorção progressiva,nente e a largura do pulso aurnenta (estica) corno uma função da distância no meio, irnponelo assirn uma limitação na máxin1a taxa ele dados (a qual está relacionada à extensão dos pulsos individuais e ao espaçamento entre os pulsos adjacentes) que po-

Tabela 8-2

clem ser transn1itidos através cio meio se1n perda na .infonnação. A Tabela 8-2 fornece uma lista ele expressões para y, Z0 e uP para o caso geral de uma linha sem perdas e para vários tipos de linhas com perdas. As expressões para linhas se1n perdas são baseadas nas equações para L' e C' dadas na Tabela 8-1.

EXERCÍCIO 8.5 Para uma linha de trans,nissão sen1 perdas, À= 20,7 c1n em J GHz. Deter1nine e, para o n1aterial isolante.

Resp.

e, = 2, I.

( veja ~ )

EXERCÍCIO 8.6 Unia linha de transmissão sem perdas usa um material dielétrico com s, = 4. Se a capacitância da linha for C' = 10 (pF/rn), detennine (a) a velocidade de fase u1,, (b) a indutância da linha L ' e (c) a in1pedância característica Z0 .

Resp. (a) ur = 1,5 x 108 (m/s), (b) L' = 4,45 (µ.H/111), (c) Z0 = 667, 1 Q . (veja ~)

Parâmetros característicos de linhas de transrnissão

Constante de propagação y = <:t + j/3

= .j(R' + jwl')(G' + jwC')

Velocidade defase

Impedância característica

Up

Zo

-,

(R' + j wL') (G' + jwC ' )

ttp = w/f3

Zo -

a= O, fJ = (t).,/"er/c

Up=c/.,/"er

Zo=./L'/C'

a= O, {J = w..jer/c

ttp = e/ ..jer

Zo = (60/../er) ln(b/a)

a= O, f3 = w..jSr/c

ttp=c/..jer

Zo=(120/..jer)

Caso geral

y

Sen1 perdas (R' = G' = O) Coaxial sem perdas Paralela sem perdas

253

LINM AS D E TRANSMISSÃO

- ln[(d/2a) + ./(d/2a) 2

-

l)

Zo:::: (120/Fr) ln(d/a), sed Placas paralelas se,n perdas

a= O, f3 = (t)..jer/c

ttp

= c/..jer

>> a

Zo = (120rr/.J"er) (d / w)

Notas: ( 1) µ, =µ <J, s =E,E0, e = 1/ ,./iiõlõ e.J,.10/ so '.:::: ( 12(hr) n, onde E, é a permissividade relativa do n1atcrial isolante. (2) Para uma linha coaxial, a e b são os raios dos condutores interno e externo. (3) Para uma linha paralela, a= raio do fio e d= separação entre os centros dos fios. (4) Para uma lin ha com placas paralelas, w =largura da placa e d= separação entre as placas.

254

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

8-5.1

Coeficiente de Reflexão de Tensão

Sendo 'Y =j/3 para un1a linha seu1 perdas, as expressões dadas pelas Eqs. (8.26a) e (8.30) para a tensão e a corrente totais na linha se tornam

-

-

A tensão V1, é igual à tensão total na linha V(z) dada pela Eq. (8.44a), e i L é igual à i (z) dada pela Eq. (8.44b), sendo ambas calculadas en1 z = O: (8.46a) vo+ volL = I (z=O) = - .

Zo

Zo

(8.46b)

Usando essas expressões na Eq . (8.45), obten1os o resultado a seguir: Essas expressões contêm dois termos conhecidos, v0+ e v0- , as a1nplitudes da tensão das ondas incidente e refletida, respectivan1ente. Para determinar v0+ e v0- , precisamos considerar a linha de transmissão sem perdas no contexto do circuito completo, incluindo um circuito gerador e,n seus tenninais de entrada e uma carga em seus terminais ele saída, conforme rnostra a Fig. 8-9. A linha, de con1prirnento l, é tenninada e111 unia i111pedâ11cia de carga ZLa rbitrária. Por conveniência, a referência nas coordenadas espaciais z é escolhida de forma que z = Ocorresponda ao local de posicio11an1en.to da carga. Na entrada da linha, em z = - /, a linha é conectada a uma fonte de tensão senoidal con1 fasor V, e uma i1npedâns eia interna Zs. Na carga, o fasor de tensão (V 1) , e o fasor de corrente,(11), estão relacionados pela impedância de carga .li, co1no a seguir:

(8.47) Calculando para V~, te1nos Vo_ = (ZL - Zo ) Vo+.

ZL+ Zo

(8.48)

A razão entre a c1111plitude da onda de tensão refletida e a arnplitude da onda de tenstio incidente na carga é conhecida co1no coeficiente de reflexão de tensão r . A partir da Eq. (8.48), essa definição resulta em

r-

-

Vo - ZL - Zo v + - Zi, + 2 0 0

ZL/Zo - 1

(adi 1nens ional), ZL/Zo + 1 (8.49a)

(8.45) e, devido à Eq. (8.28), a razão enu·e as a1nplitudes das correntes é

- zg ±

-

!"\,I

--

-

-

. L'1nha d e t ransm1ssao

T1

+t íi;

_!

t+ Zo

VL

7L 21,

!_

Gerador

Carga z= - l

z=O

Figura 8-9 Linha de trans1nissão de con1pri1nento l conectada em u1na extre1nidade a um circu.ito gerador e na outra extrernidade a uma carga ~- A carga está situada en1 z = Oe os tenninais do gerador, en1 z = - l.

Notamos que r é determinado por um único parâ1netro, a i1npedância da carga (Z1.), normalizada e1n relação à impedância característica da linha (20) . Conforn1e indicado pela Eq. (8.36), a impedância característica (20) de uma linha sem perdas é un1 nú1nero real. Entretanto, ZLé geralmente urna quantidade co1nplexa, como, por exe,nplo, no caso de um circuito RL en, série, no qual ZL = R + jwL. Portanto, em geral, r ta111bé111 pode ser complexo:

CAPfTULO 8

r = 1r 1ei0, , onde lf'I é o módulo de Observe que lrl < 1.

r

r

(8.50) e

=

=

v;,

Exemplo 8-2

r

U,na linha de transn1issão de 100 Q está conectada a u1na carga que consiste em u1n resistor de 50 Q em série co,n um capacitor de 10 pF. Determine o coeficiente de reflexão na carga para um sinal de 100 MHz.

Solução: Temos os seguintes dados [Fig. 8-1 O]: CL

Z o = I OOQ ,

f

- ' e = - O 76eÍ 119·' 2, 19e- i 46·7º '

=

Coeficiente de Reflexão de uma Carga RC em Série

_z_1_/z_o_-_ 1 Z1/Zo + l

- 0,5 - jl,59 1,5 - jl ,59 1 6·7 j72,6º

Diz-se que unia carga está casada con, a linha se z,.=Z0 porque não há reflexão de onda pela carga (I' = Oe V<~= O). Por outro lado, quando a

=

= 100 MHz =

A impedância de carga é

0

·

Esse resultado pode ser convertido e,n uma fonna com módulo positivo para r substituindo o sinal negativo por e-ilSO". Portanto,

r

= 0,76eÍll9.3ºe- JISOO

º·

= O, 76e-i6 7º = O,76/-60.1• ,

ou

1r1= O,76, Exemplo 8-3

Br = - 60, 7º. •

lfl para uma Carga Puramente Reativa

= lOpF = 10- 11 F,

108 Hz.

Mostre que lf'I = I para uma carga puramente reativa.

Solução: A itnpedância de carga de uma carga pura,nente reativa é dada por ZL = jXL.

1 50 = - j-2rc_x_l0-8,....x_l_O_ -,, = (50 - jl59) n.

A partir da Eq. (8.49a), o coeficiente de reflexão de tensão é dado por

A partir da Eq. (8.49a), o coeficiente de reflexão é

r = ZL -

Zo ZL+Zo jXL - Zo jXL

+ Zo

-(Zo - jXL) (Zo+jXL) LinJ1a de transn1issão

255

0,5 - jl,59 - l 0,5 - jl,59 + l

e, é o ângulo de fase.

carga é un1 circuito aberto (ZL oo ), r .L e V ~ e quando ela é um curro-circuito (z;, = 0), = - 1 e Võ=-Vo.

LINMAS DE TRANSMISSÃO

A

-

- Jzõ + xt e- io _

jzõ + xt elº

Zo=IOOQ

onde 8 = tg-• X,/20. Portanto,

Figura 8-10 Carga RC (Exe,nplo 8-2).

-

-e- i29 '

256

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHE IROS

EXERCÍCIO 8.7 Uma linha de transmissão sem perdas de 50 Q é tertninada corn un1a impedância de carga ZL = (30 - j200) Q. Calcule o coeficiente de reflexão de tensão na carga.

r =0,93 L-21.s•.

Resp.

(veja ~ )

EXERCÍCIO 8.8 Uma linha sem perdas de 150 Q é terminada corn uni capacitor cuja in1pedância é Z1. = -j30Q. Calcule r .

r =1/

Resp.

-157.4º .

(veja ~ )

8-5.2 Ondas Estacionárias Usar a relação V~= r v;; nas Eqs. (8.44a) e (8.44b) resulta nas expressões:

As variações de IV(z)I e li (z)I como tuna função ele z e a posição na linha em relação à carga em z =Oestão ilustradas na Fig. 8-1 J para u1na linha co,n Iv;;1 = 1 V, 111 = 0,3, fJ, = 30° e 2 0 = 50 Q. A onda senoidal observada é denominada ontla estacionária, que é originária da inte1ferência ele duas ondas. O valor máximo da onda estacionária de lv(z)I corresponde à posição na linha na qual as ondas incidente e refletida estão e111fase [2/3z + (), =- 2n'iT na Eq. (8.52)) e, portanto, se son1a1n construtiva1nente, originando u1n valor igual a (1 + lrl)lv;;I = 1,3 V. O valor 1nínimo de IV(z)I corresponde à interferência destrutiva, que ocorre quando as ondas incidente e refletida estão em oposição defase (2{3z + (), = -(2n + l)1t). Nesse caso, lv(z)I =(1 -1r1)1v;;1=0,7 V. Ao passo que o período ele repetição é À para as ondas incidente e refletida individualmente, o período de repetição da onda estacionária é 'JJ2. A onda estacionária

(8.5 1a)

-

vo+ (e- ,'fJ z - re 1'f3• ),

l (z) = -

(8.5 1b)

Zo

1V(z)I

que agora conté,n apenas uma variável desconhecida (v;;) a ser detenninada. Entretanto, antes de partirmos em direção a essa meta, van1os examinar o significado físico representado por essas expressões. Co,neçamos deduzindo uma expressão para IV(z)I, o módulo de V(z). Substituindo a Eq. (8.50) em (8.5 la) e aplicando a relação lv(z)I=[v(z) v-•(z)J112, onde V·*(z) é o conjugado con1plexo de V(z), ternos

-

-

-

,_,.,.1,4v

1Vlmas 1Vlmin

1,2 1,0 0.8 0,6 0,4

L

......

~~~~~~~~

-À

1

,_ 0

3À

-).

lmin1 - À

/[vo+ce-ifiz

4 2 4 (.a) 1ii(z)I ·1versus z •

+ 1r1eiº•eifiz)]

1

lfl (ei(2/Jz+ll,)

20

............ ,s

1

lllmin •

li(z)I 30mA 25

lllmax •

=1 v0+1[1+ 1r12 +

•

1

. [(vo+)*(ejf)z + 1r1e- i 0re- jf)z )]) ' 12

lma., O

1

1

v(z) I =

0,2

..........__--z

~~

'º

5

112

+ e - i(2/Jz+Or)) J

o--~~~~~--~~---~~-'---z - ).

-À

= 1v0+1 [1 + 1r 12 + 21r1cos(2Pz + er)]

2

112

(8.52) onde usamos a identidade (8.53) para qualquer valor real x. Aplicando os n1esmo passos para a Eq. (8.51 b), uma expressão sünilar pode ser deduzida para li (z)I, o n1ódulo da corrente i (z).

(b) li(z)I

-4

-À

o

\IC!l"SUS Z

Figura 8-1 1 Diagrarna de unia onda estacionária para (a) lv(z)I e (b) li(z)I para urna linha de transn1issão sern perdas de impedância característica 20 = 50 Q, terrninada em unia carga con1 um coeficiente de reflexão r = 0,3e;30'. O módulo da onda incidente Iv;;1= 1V. A razão de onda estacionária é S = lvlm ._/ lvlmin= 1,3/0,7 = 1,86.

CAPÍTULO 8

-

descreve uma variação espacial no módulo de V(z) como uma função de z. Se observannos a variação da tensão instantânea co,uo uma função do te111po em qualquer localização em z, correspondendo a u111 dos pontos de máxi,no da onda estacionária, por exe111plo, essa variação seria como a de um wt e teria uma a1nplitude igual a 1,3 V [isto é, v(t) oscilaria entre-1,3 V e + 1,3 V). De forn1a si1nilar, o tempo de oscilação de v(z, t) e111 qualquer localização z terá uma a111plitude igual a lv(z)I no ponto z considerado. Uma análise 1nais detalhada das ondas estacionárias de tensão e corrente rnostradas na Fig. 811 revela que as duas ondas estão em oposição de fase (quando uma está no máximo, a outra está no mínimo e vice-versa). Isso é u,na conseqiiência do fato de que o segundo termo na Eq. (8.51 a) é precedido por um sinal positivo, ao passo que o segundo termo na Eq. (8.51 b) é precedido por um sinal negativo. As ondas estacionárias mostradas na Fig. 8- 11 - para uma t1p1ca ,. s1·tuaçao - em que ro3 sao = ,-
rias para esses dois casos estão mostradas nas Figs. 8- !2(b) e (c), sendo que em ambas o valor máximo é igual a 21v;;1 e o valor mínimo é igual a zero, porém, as duas ondas estão deslocadas em z, uma em relação à outra, por u,na distância de ')J4. Agora va1nos exa1ninar os valores rnáximo e míni,uo do módulo da tensão. A partir da Eq. (8.52), lv(z)I apresenta un1 valor máximo quando a zero ou o aroumento da função co-seno for ioual o o 1núltiplo de 21t. Observando que a posição na linha sempre corresponde a valores negativos de z (visto que a carga está localizada e,n z = O), se indicarrnos l111.,. =- z con10 a distância a partir da carga na qual IV(z)I tem valor máximo, então

257

LINMAS DE TRANSM.ISSÃO

IV(z)I L inha con, casam.ento de i1npedância

-À

~

~ 2

4

~

IVo+I

o

z

4

(a) Zi, = Zo À

1•

-À

T

- 3),

-À

4

2

•I

-À

4

IV(z)I 21Vo+I

o

z

(b) ZL = O (curto-circuito)

1•

- )~

),

T

•1

~ 4

- ),

-

IV(z)I 21Vo+I

2

-4

-À

o

(e) ZL = oo (circuito aberto)

Ondas estacionárias de tensão para (a) uma carga casada, (b) un1a linha e1n curto- circuito e (e) uma linha con1 circuito aberto. Figura 8-12

+ IV(z)I = IVlmax = IV0 l[l + 1rl], (8.54)

e isso ocorre quando 2{3z + er = -2/3/niax

+ er =

-2nn, (8.55)

sendo n = O ou um inteiro positivo. Resolvendo a Eq. (8.55) para /max' te1nos

11 { 11

seer < o, (8.56) O, 1, 2, . . . se er > O,

= 1, 2,.. . =

onde te,nos usado a relação f3 = 2n/),.,. O ângulo de fase do coeficiente de reflexão de tensão ' (J,, está lirnitado ao intervalo entre -'1r e 1T radianos. Se O, > O, o prilneiro ,náxirno de tensão ocorre en1 1 = O)J41r, que corresponde a n =O, mas se O, < O, o primeiro máximo significativo ocorre em / = 111" '

,. 111

258

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

ce,JJ47r) + ')J2, que COITesponde a n = l. Valores negativos de 1111"" corresponde1n a posições "alé1n" da carga que está na extre,nidade da linha, não tendo, portanto, significado físico. Conforme mencionado anterionnente, as posições na linha que correspondern a tensões rná.xi,nas ta1nbé1n correspondem a correntes rnín.in1as e vice-versa. De fonna similar, os valores mínimos de Jv (z)J ocorre1n a uma distância Lm;n =- z que corresponde à situação e1n que o argu1nento da fu nção co-seno na Eq. (8.52) é igual a - (211 + 1)7r, o que resulta e1n

IVlmin = IVo+l[l - lf l],

quando (Br - 2/Jlm;n) = - (2n

+ l)rr, (8.57)

co111 -7f <e, < 7f. O pri1neiro 1nínimo corresponde a n = O. O espaço entre un1 n1áxi1110 /01 , x e o 1nínirno adjacente l 01 ;n é /J4. Portanto, o primeiro 1ní11i1no ocorre en1 lmax + À./4, se lmax < À./4, lmin = { lmax - À./4, se lmax > )./4. (8.58) A razão entre JVlmox e JVJm;né denon1inada razão de onda estacwnária de tensão S, que, a partir das Eqs. (8.54) e (8.57), é dada por

S=

IVl11x l+ lfl . . ' ª· = - - - (ad1n1enstona)). IVlmin 1 - 1r1 (8.59)

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q8.5 A constante de atenuação representa perdas ôlunicas. Em função do 1nodeio apresentado na Fig. 8-6(c), qual deve ser o valor de R' e de G' para que não existam perdas? Confronte sua expectativa com a expressão para a dada pela Eq. (8.25a). Q8.6 Qual é o co1npriinento de onda À de u1na onda que se propaga ern u,na linha de transmissão em comparação corn o compri111ento de onda no espaço livre À0? Q8.7 E1n que situação uma carga está casada co1n a li nha? Por que essa condição é importante? Q8.8 O que é u1na onda estacionária? Por que seu período é tJ2 e não À? Q8.9 Qual é a distância entre as posições de um n1áxüno de tensão e u1n máxiJno de corrente adjacente en1 uma linha de trans1nissão?

Exemplo 8-4

Razão de Onda Estacionária

Uma linha de trans,nissão de 50 Q é tenninada com u1na carga ZL =(100 + }50) Q. Determine o coeficiente de reflexão de tensão e a razão de onda estacionária de tensão (SWR). Solução: A partir da Eq. (8.49a), r é dado por f = ZL - Zo = (100 + }50) - 50 ZL + Zo (100 + j50) + 50

Esse parâ1netro, que freqüente1nente é non1eado pelo seu acrônirno e111 inglês VSWR (voltage stading1vave ratio) ou pelo acrônimo abreviado SWR, també1n é conhecido e1n português pelo acrónimo ROE (razão de onda estacionária). O SWR, ou ROE, fornece u1na n1edida do casa1nento de impedância enn·e a carga e a linha de transmissão; para uma carga casada corn a linha r =O, obternosS =l, e para u1na linha COl11 Jfl = 1, S = 00.

Convertendo o nun1erador e o denon1inador para a forma polar e sin1plificando em seguida, te1nos

~

Usando a definição para S dada pela Eq. (8.59), te1nos

Ml:li

50 + j50 150 + j50

·45º

- 70,7eJ ·26.6º r - 158, l ei l8.4º - 0,45e-' .

s_ -

1+ 1-

1r1 _ 1r1 -

1 + o,45 _ 26 1 - o,45 - • · •

CAPÍTULO 8

Medição de ZL

ExemRIO 8-5

O uso de um sensor en1 uma linha fendida constitui nu1n instrun1ento de n1edição da i1npedância desconhecida de u1na carga, z... Uma linha fendida coaxial contén1 un1a estreita fenda longitudinal no condutor externo. Uma pequena sonda inserida na fenda pode ser usada para obter un1a a1nostra do módulo do ca1npo elétrico e, portanto, O 1nódulo lvl da tensão na linha (Fig. 8-13). Ao mover a sonda ao longo do compri1nento da linha fendida, pode-se medir lvl.,,,x e lvl.,;,, e a distância a partir da carga na qual ocorren1. O uso da Eq. (8.59) fornece a razão de onda estacionária S. Medições feitas com uma linha fendida de 50 Q conectada a uma carga de impedância desconhecida deterrninara1n que S = 3. A distância enu·e 1níni1nos de tensão sucessivos foi medida como sendo de 30 c,n e o prin1eiro ,n.ínimo de tensão foi localizado a 12 c111 da carga. Determine a impedância da carga (.li,).

S = 3,

259

Em seguida, usamos a condição dada pela Eq., (8.57) para uma dada posição de um míni1no de tensão para calcular fJ,:

e, - 2/Jlmin =

-rr, para n = O(primeiro mínimo),

O que resulta em

8, = 2f3lmin - rr lOrr = 2x x O, l 2 - rr 3 = - 0,2rr (rad) = -36'. Po1tanto,

r

= lf leiO, = 0,5e-i36º = 0,405 - j0,294.

Resolvendo a Eq. (8.49a) para ZL, temos

r] I- r

ZL =Zo [ 1 +

= 50 [ 1 + 0,405 -

Solução: Te1nos os seguintes dados: Zo = 50Q,

LINMAS D E TRANSM I.SSÃO

j0,294] j0,294

L - 0,405 +

lmin = 12cm.

= (85 - j67) Q.

•

Visto que a distância entre n1ínimos de tensão sucessivos é igual a tJ2, À

= 2

X

0,3 = 0,6 Jn,

e a 2rr 2rr I O.n: ,-, = - = - = À

0,6

3

(rad/m).

A partir da Eq. (8.59), calculando 1r1 e1n termos de S, ten1os S -1 3- l 1r1 = s + J - 3 + l = 0,5.

Sensor desli zante Extrcn1idade do sensor Fenda

EXERCÍCIO 8.9 Se r = 0,5 /-60º e ').,, = 24 cm, detennine a localização do 1náxiino e do 1nínilno de tensão mais próximos da carga. Resp.

(veja $1)

' EXERCICIO 8.1 O U,na linha sem perdas de 140 Q tennina e1n u111a impedância de carga Zi. = (280 + jl82) Q. Se Â. =72 cm, detern1ine (a) o coeficiente de reflexão r, (b) a razão de onda estacionária S, (c) a localização do 1náxi1no de tensão e (d) a localização do 1níni1110 de tensão.

Resp. (a) r = 0,5 /29º , (b) S = 3,0, (e) /ma,= 2,9 cm+ ntJ2, (d) 101; 0 = 20,9 cm+ ntJ2, onde n = O, 1, 2, . . . . (veja )

8-6

Figura 8-13 Linha coaxial fendida (Exe1nplo 8-5).

/m:ix = 10cm, lmin = 4c1n

Impedância de Entrada de uma Linha sem Perdas

A onda estacionária indica que para urna linha descasada os rnódulos da tensão e da corrente varia1n con1 a posição na linha e estão e1n oposição

260

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

de fase (uma e,n relação à outra). Portanto, a relação entre tensão e corrente, denominada impedância de entrada (Z,ni), te1n de variar co,n a posição ta,nbém. Usando as Eqs. (8.51 a) e (8.5 1b), Zc111 é dada por

ZcntCZ) = ...,._~ V (z)

I..,1n . 11a e1e t ransnussao

7

zg

~

r+ 1

t+

-- \ _

+-

I'\,)

V;

Zen,~

-

-

i_ Ci,rga

Gerador

I (z,)

z= -1

vo+ [e- jf!z

z =O

~

+ reif!z]

- V + [e- J./J z - feJ./J' ] Zo 0 1 + rej /Jz ] = Zo [ . 1 - f eJ 2/Jz

ZL

VL

Zo

lL

2

(Q). (8.60)

v;;r:i

- \flQ.

+t

+

V·1

l'v) -

--

Observe que Z,,,,,_(z) é a razão da tensão total (tensões das ondas incidente e refletida) e da corrente total em qualquer ponto z da linha, dif'erenternente da i111pedância característica (Z0) da linha, a qual relaciona a tensão e a corrente de cada u,na das duas ondas individualniente (Z0 = =

/;

Zoo

~

Zen1.

_i

Figura 8-14 Na extremidade do gerador, a linha de transmissão terminada pode ser substituída por uma i1npedância de entrada de linha Z<m.·

A in1pedãncia de entrada, na entrada da linha ern z = - l, é de particular interesse em muitos pro-

ble1nas de linha de transmissão, que é dada por Zcnt(- /) = Zo

eif!l + [ ejf!I -

_ [1 +

(8.64)

r e- j{Jl ] r e- j{Jl

re- i

2

fJ' ] .

- Zo I - re-1-.,/J,

(8.61)

entretanto, a partir do ponto de vista da linha de trans1nissão, a tensão na entrada da linha é dada pela Eg. (8.5 l a), sendo z =-/:

\1i =

Substituindo í na Eg. (8.49a) e usando as relações eif!l = cos f3l e - j fJI

+j

sen f3l,

= cos {31 - j sen {31 ,

(8.62a) (8.62b)

Igualando a Eq. (8.64) com a Eg. (8.65), e então resolvendo para '1;, obtemos

A Eq. (8.61) pode ser reescrita e1n tern1os de ZL

como 2

+ Vo =

(-L) = Z ( ZLcos/3/+jZosen/3/) 0 ent. Zo cos {31 + j ZL sen /31

+ j Zo tg f:31 '\. (8.63) Zo + j ZL tg {:31 J

= Zo (ZL

A partir do ponto de vista do circuito gerador, a linha de transnlissão pode ser substituída por u1na i1npedãncia Zcm. conforme mostra a Fig. 8-14. O tàsor de tensão em zen, é dado por

V(- l) = v 0+[ejf!I + r e- jfi']. (8.65)

(+

VgZent. z z g

)( 'fJ' + r -

eot.

1

e1

e

'fJI ) ·

1

(8.66)

Isso completa a solução das equações de onda para linhas de transnussão, dadas pelas Eqs. (8.2 1) e (8.23), para o caso especial de un1a linha de transmissão sem perdas. Começa,nos co,n as soluções gerais dadas pelas Eqs. (8.26a) e (8.26b), que incluem quatro amplitudes desconhecidas: \! ~, V ~, e l ~. En1 seguida, detenninan1os que 20 =V ~I ! ~ = - V ~l l ~, reduzindo assim as variáveis desconhecidas para apenas duas a1npl itudes de ten-

r;

CAPfTULO 8

LINMAS DE TRANSMISSÃO

261

ZL/ Zo + j tg {3l J = Zo [ 1 + j (Z1./Zo) tg /3l

são. Ao aplicarmos as condições de contorno na carga, fomos capazes de relacionar Võ a V ~ através de r, e aplicando finalinente as condições de contorno na entrada da linha, obtive1nos tnna ex- para v+0 . pressao

_ 50 [ (2 + jl) + j tg 126º J 1 + j(2+j l)tgl26º = (2l,9+jl7,4)Q.

M8.2-8.3

Exemplo 8-6

Solução Completa para v(z, t) e i(z, t)

Reescrevendo a expressão para a tensão do gerador usando o co-seno, te1nos vg(t) = 10 sen(wt

= 1Ocos(rr /2 -

Um circuito gerador de 1,05 GHz com u1na i1npedância em série 2 8 = 1OQ e uma fonte de tensão que é dada por u.,(t) = IOsen(wr

"

+ 30º)

(V)

é conectada a urna carga Z.. = ( 100 + j50) Q através de u1na Linha de transn1issão sem perdas de 50 Q e comprünento 67 cn1. A velocidade de fase da linha é 0,7c, onde e é a velocidade da luz no vácuo. Detennine v(z, t) e i(z, t) na linha.

Solução: A partir da relação ur = ÀÍ, determinamos o comprimento de onda: Up

À=

f

O, 7 x 3 x 1ü8 = 1,05 x 109 = 0,2rn,

+ 30º) 30º)

úJt -

= IOcos(úJt - 60º) = 9'le[10e- i 60º eÍ'" '] = 9le[VgeÍ'" 1 ] (V)

-

Portanto, a tensão fasorial V.,o é dada por

V.,= 1oe- i 60º (V) = "

L0/ - 60º

Com a aplicação da Eq. (8.66), temos v;+ = (

o

VgZcm.) (

Zg

+ Zent.

ei/31

1

+r

e-i/31

)

º

6

0

= [ 1oe- i (21,9 + jl7,4)] 10+21,9+jl7,4 . [ei l26º

+ o,45ei26.6º e-il26º ] - 1

= 10,2& 159º (V)= 10,2/159º

e

(V).

(V).

A tensão fasorial na linha é então

tg(/31) = tg ( ~ 1) =tg( ~;

X

V(z) = Vo+ (e- i/Jz + reif3z)

0,67)

= tg 6,7rr = tg 0,7rr = tg 126º,

onde subtraímos os múltiplos de 2'1T. O coeficiente de reflexão de tensão na carga é f = ZL - Zo ZL + Zo = (100 + j50) - 50 = ei , . _ 0 45 26 6 (100 + j50) + 50 '

Em relação à Fig. 8-14, a impedância de entrada da linha, dada pela Eq. (8.63), é Z

- Z [ Zt+jZo tg/Jl] em. O Z + .Z Rf O J L tg ,-,

= I0,2ei 159º (e-if3z + 0,45&26· 6º ei/Jz),

e a tensão instantânea v(z, t) é v(z, t) = 9'le(V (z)eiw']

= 10,2cos(úJt -

+ 159º) + 4,55 cos(wt + f3z + 185,6º) (V). fJz

De fo1ma similar, o uso de ~ na Eq. (8.51b) nos leva a I (z) = 0,20eÍ 1590(e- if3i - 0,45ei 26•6º ei/3• ),

i(z, t) = 0,20cos(wt - fJz

+ 159º)

+ 0,091 cos(wt + fJz + 5,6") (A). •

262

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

8-7

Casos Especiais de Linhas sem Perdas

J

Cun ocircuico

Z:) (a)

Encontramos freqüentemente s.ituações envolvendo linhas de transmissão se1n perdas co,n tenninações particulares ou linhas que en1 função dos comprin,entos apresentan, propriedades particularn1enre úteis. Consideraremos agora alguns desses casos espec,a1s.

Vcuno-circ.(z) 2jVo+

1'ensão'-....

J

z -À

-4

-l

(b)

8-7 .1

Linha em Cu rto-Circuito l cur10-circ.(z)7.o 2Vo+ . -r 1

M8. ID A linha de trans,nissão mostrada na Fig. 8-15(a) termina em um curto-circuito (.li. = O). Conseqüenten1ente, o coeficiente de reflexão de tensão definido pela Eq. (8.49a) é í = - 1, e a razão de onda estacionária de tensão dada pela Eq. (8.59) é S = oo. A partir das Eqs. (8.51a) e (8.5Jb), a tensão e a corrente ern urna linha de transmissão ern curto-circuito são dadas por Vcurto-circ.(z)

= V0+[e- j/lz -

ejliz]

= - 2jV0+ sen f}z,

-2

-À

-1

(C) 1

1

Impedância •

:

/

cuno-circ. Ze.nt.

17.o

1

-4

- 3À

-4

-À

(8.67a) (d)

v0+ "fJ "fJ 2 v0+ l cuno-circ.(z) = Zo [e - 1 z + e1 Z] = Zo cosf}z. (8.67b)

-

A tensão V cuno-circ.(Z) é zero na carga (z = O), COJTIO deveria ser para u,n curto-circuito, e sua runplitude varia de acordo co,n sen {3z, ao passo que a corrente i cuno-circ.(z) é rnáxio1a na carga e varia de acordo com cos {3z. As duas grandezas estão 1nostradas na Fig. 8-15 como uma função dez (negativo). A irnpedância de entrada da linha ein z = -l é dada pela razão de VCUIIO•Cin:.(- /) por I curto-circ.(- /). Indicando zcuno-circ. como a impedância de enu·ada ent. para un1a linha en1 curto-circuito, temos

-

-

-

curto-circ. = Vcuno-circ.(- /) Z cnt. l cuno-circ. (-/)

= j Zo tg {31.

(8.68)

Figura 8-15 Linha de Lransmissão terminada em

um curto-circuito: (a) representação esquemática, (b) tensão normalizada na linha, (c) corrente normalizada e (d) icnpedãncia de entrada normalizada.

Um gráfico de Z~~~o-circ. / jZ0 versus z (negativo) é 1nostrado na Fig. 8-15(d). En1 geral, a in1pedância de entrada Z""'· pode consistir ern u1na parte real, ou resistência de entrada Rcnr.• e uma parte imaginária, ou reatãncia de entrada x cnl.: Zcnt. = Rcnt.

+ j Xcn1.-

(8.69)

No caso de uma linha se1n perdas e1n curto-circuito, a irnpedãncia de entrada é puramente reativa (R, 01• = 0). Se tg {31 > O, a linha se .rnostra indutiva,

CAPITULO 8

agindo co1no u,n indutor equivalente L0 q cuja impedância é igual a Z~~~o-c,rc.. Portanto, jwLcq = j Zo tg f3l ,

se tg f3l > O,

(8.70a)

-ou Zo 1g /31 Leq= - - w

(H).

(8.70b)

·O cornprilnento / 1nínimo da linha que resultaria em uma itn1)edância de entrada zcuno-cil'c. equivaeo1. lente à de um indutor de indutância L0 q é 1

l = - tg

_

1(WLcq)

/3

Zo

(m).

Exemplo 8-7

Elementos Reativos Equivalentes

Solução: Os dados são: Llp

(8.70c)

= Ü,75c = Ü,75 X 3 = 2,25 x 108 m/s,

X

JQ8

Zo = 50Q ,

.f

= 2,25 GHZ = 2,25 x 109 Hz,

Ceq = 4pF = 4x 10- 12 F. A constante de fase é

I

. C

=jZotgf3l ,

setg/Jl
2n x 2.25 x 10 /3 - -2n - 2nf - ___ .__ _9

e(J

-

À -

Llp

·OU

I Ceq = - - - - -

Zow tg f3l

1 ~/3 [n -1g- 1 ( wCeqZo )]

2,25

-

= 62,8 (F).

(8.71 b)

X

108

(rad/Jn).

A partir da Eq. (8.7 la),

Visto que l é un1 nú1nero positivo, o menor comprimento l para o qual {3l < Ocorresponde à faixa n/2 < {3l < '71'. Portanto, o menor con1primento da l.inha l que resultaria e1n un1a impedância de entra·da zcuno-circ. equivalente a um capacitor de capacicm. tância C0 q é l =

263

Determine o cornprimento de urna linha ele 50 .Q se,n perdas em curto-circuito (Fig. 8-16) de forma que sua ünpedância de entrada em 2,25 GHz seja equivalente à reatância de um capacitor com capacitância C,q = 4 pF. A velocidade da onda na linha é 0,75c.

De modo semelhante, se tg {3l ::; O, a impedância de entrada é capacitiva e, nesse caso, a linha atua ,como um capacitor equivalente C,q, tal que

JW

LINHAS DE T 'RANSM!SSÃO

to /3[ o

l =- z0wCeq 1

50 X 27C X 2,25 X 109 X 4 X l 0- 12 = - 0,354.

(m). (8.71c)

Esse resultado significa que, através de uma escolha adequada do co1nprimenlo de uma linha e111 curto-circuito, podemos fazer substituições por ,capacitores e indutores con1 qualquer reatância desejada. Tal prática é reahnente con1um en1 projetos de circuitos de microondas e circuitos integrados de alta velocidade, porque construir fisican1ente u1n capacitor ou indutor quase sempre é mais difícil que construir un1a linha de transn1issão e,n curto-circuito.

•

l

cuno circ.

•

:

Zo

Zo#cnt.-----

-

Curtocircuito

ent.~ J z:;: -_ . ) cuno eia;~

Z

JWC,x1

Figura 8-16 Linha en1 curto-circuito equivalente a um capacitor (Exemplo 8-7).

264

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

7 circ. ( a) L-Cnt.

ab~o

exatamente 'A./2. De fato, qualquer cornprin1ento l =4,46 + ntJ2, onde n é um inteiro positivo, ta1nbé1n é uma solução. •

Zo i?:irc. aberto(z) 2v0+ .--ri

8-7 .2

Linha em Circuito Aberto

~ M8.1E Co1n ZL = oo, confonne ilustrado na Fig. 8-17(a), temos r = 1, S =oo e a tensão, a corrente e a impedância de entrada são dadas por

- i ..

2 -l

feire. aberto(z)Zo 2jVo+ 1

v0+[e-iPz + eiflzJ

vcirc.aber10Cz) =

= 2v0+ cos {Jz ,

(8.72a)

[ -jflz jflz] /-ci,·c. aberto (Z) = vo+ Zo e - e

-4

- ).

-1

=

circ. abcno

-2jV0+

ZCnl.

-ilo

zcirc. aberto Cnl.

Zo

sen {Jz ,

(8.72b)

= Vcirc. abcr10(-l) ~ = - 1·zoco t fJL feire. Hberto(-l) ( . ) 8 73

Os gráficos dessas grandezas são 1nostrados na Fig. 8- 17 como uma função dez (negativo). Linha de trans,nissão tenninada en1 un1 circuito aberto: (a) representação esquen1ática, (b) tensão norn1alizada na linha, (c) corrente nonnalizada e (d) impedância de entrada norn1alizada. Figura 8-17

A função tangente é negativa quando seu argu-

n1ento se encontra no segundo ou quarto quadrantes. A solução para o segundo quadrante é 2 ,8 2,8 /3l 1 = 2,8 rad ou /1 = - f3 = 62,8 = 4.4 6 c1n, .

e a solução para o quarto quadrante é f3l2 = 5,94 rad

ou l2 =

5,94 ,S = 9,46 c1n. 62

Teríamos obtido ta,nbém o valor de l 1aplicando a Eq. (8.71c). O co1npri1nento 12 é maior que 11 em

8-7 .3

Aplicações de Medidas de Curto-Circuito e Circuito Aberto

Um analisador de circuito é um instru1nento de radiofreqüência (RF) capaz de medir a impedância de qualquer carga conectada a seus tenninais de entrada. Quando usado para medir Z~~~-to-circ. , a i1npedância de entrada de unia linha sem perdas tenninada e,n un1 curto-circuito, e en1 seguida aberto, a impedância da linha quando terminada em u1n circuito aberto, a co,nbinação dessas duas medidas pode ser usada para determinar a ünpedância característica (Z0) da linha e sua constante de fase (/3). O produto das Eqs. (8.68) e (8.73) tem o seguinte resultado:

z~;:·

z

O

= + zcurto-cin:. ent.

zcirc. aberto (8.74) ent. '

CAPÍTULO 8

e a razão entre as 1nesmas equações nos leva a

Conseqüentemente, a Eq. (8.63) se reduz a

_ zcuno-circ.

tg R[ = /J

_ent

'

zcn'C. 11be110

.

Medição de Z0 e {3

Solução: A partir das Eqs. (8.74) e (8.75),

para l = nÀ./2, (8.76)

1

que significa que u1na Unha de meio compriinento de onda (ou qualquer inteiro 1núltiplo de À./2) não modifica a impedância da carga. Portanto, u,n gerador conectado a uma carga através de u,na linha se111 perdas de ,neio com.prúnento de onda induziria as n-1es1nas tensão e corrente na carga caso a linha nc7o existisse.

8-7.5

Transformador de 1/4 de Onda

Um outro caso de interesse é quando o compri111ento da linha do co1nprin1ento de onda (ou À./4 + nÀ./2, onde 11 = O ou urn inteiro positivo), que corresponde a {31 = (2r./À.) (Â./4) = 71'/2. A pa11ir da Eq. (8.63), a impedância de entrada se torna

z2 Zcn1. = z~ ,

+ zcuno-circ. zcirc. aberto cnt.

COI.

Zcn1. = ZL,

•

ent.

Det·ermine 20 e {3 de uma linha de trans,nissão sem perdas de 57 cm ele compri,nento cuja impedância de entrada medida foi de z~~ro-circ. = j40,42 Q quando terrninada ern um curto-circuito e z~;:;:· aberto= - j 121,24 Q quando terminada em um circuito aberto. A partir de outras medições, sabemos que a linha tem um comprimento de 3 a 3,25 vezes o comprimento de onda.

Zo =

1

(8 75)

Devido à ambigüidade da fase 1t associada à função tangente, o co,nprimento I deve ser rnenor ou igual a Â./2 para evitar um resultado ambíguo.

Exemplo 8-8

265

LINMAS D E TRANSM I.SSÃO

para l

= Ã./4 + nÃ/2.

(8.77)

= J(J40,42)(- J121,24) = 70Q,

tg f3l =

zcirc. abeno =

3·

ent.

Visto que l está entre 3À. e 3,25À., {31 = (2rt//'}..) está entre 61t radianos e (l 3rt/2) radianos. Isso coloca {3l no pri,neiro quadrante (O a rt/2) no siste1na de coordenada polar. Portanto, a única solução aceitável para a equação acin1a é {3l =rt/6 radianos. Entretanto, esse valor não inclui os múltiplos de 2rt associados ao inteiro À mú.ltiplo de l. Portanto, o verdadeiro valor de {3l é :n: f3l = 6:n: + = 19,4 (rad),

6

caso no qual .8=19,4= 34

0,57

8-7 .4

(rad/m). •

A utilidade de u,n transfonnador de 1/4 de con1primento de onda é ilustrada no problema do Exe,nplo 8-9.

Exemplo 8-9

Transformador de 1/4 de Onda

Uma linha de transnüssão se,n perdas de 50 Q está casada co,n u,na impedância de carga resistiva ZL = 100 Q via uma seção de onda, conforn1e mostra a Fig. 8-18, eli,ninando assim reflexões ao longo da linha alimentada. Dete,mine a impedância característica do transfor1nador de onda.

Solução: Para eli,ninar reflexões nos tenninais AA ', a in1pedância de entrada Zc,u. "olhando" para a linha de 1/4 de onda deve ser igual a Z 0 " a impedância característica da Unha aliinentada. Portanto, Zcnt. = 50 Q. A partir da Eq. (8.77),

Linhas de Comprimento f =ntJ2

Se l =n.Â.12, onde n é u,n inteiro,

tg/31 = tg [(2:n:/À) (nÀ/2)] = tgn:n: = O.

ou Zo2 = Jzcn1. ZL = .J50 X )00 = 70,7 Q.

266

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Fornos de Microondas Percy Spencer, quando trabalhava para a Raytheon na década de 1940 no projeto e construção de magnetrons para radar, observou que

Tela metálica

uma barra de chocolate que havia sido exposta não intencionalmente a microondas derreteu em seu bolso. O processo de aquecimento por microondas foi patenteado em 1946 e na década de 1970 os fornos de microondas se torna ram um utensílio doméstico comum.

n"\.--------,-,--------.------, . dor 1 Agita 1 Chave de intertravamento

1

Válvula de microondas (n1agnetron)

1 1

1

115V

C1\ PfTULO 8

LINM AS DE T RANSMISSÃO

267

Absorção de Microondas

Funcionamento do Forno

Uma microonda é uma onda eletromagnética cuja freqüência está na faixa de 300 MHz a 300 GHz (veja a Fig. 1-9). Quando um material contendo água é exposto a microondas, a molécula de água reage girando de forma a alinhar o próprio dipolo elétrico ao longo da direção do campo elétrico da microonda. O movimento de rotação gera um aquecimento no material, resultando em uma conversão da energia das microondas em energia térmica. A absorção de microondas pela água apresenta um espectro com um valor de pico que ocorre em uma "freqüência de ressonância" cujo valor depende da temperatura da água e da concentração de sais solúveis ou açúcares presentes na água. A freqüência mais comumente usada em fornos de microondas é 2,54 GHz e a fonte padrão para geração de energia nessa freqüência é o magnetron. Ao passo que as microondas são facilmente absorvidas pela água, pelas gorduras e pelos açúcares, elas podem penetrar em cerâmicas, vidros ou plásticos sem perda de energia, não transferindo assim nenhum calor para esses materiais.

Para gerar microondas de alta potência (- 700 W), o forno de microondas usa uma válvula magnetron, que requer a aplicação de uma tensão na ordem de 4 mil volts. A tensão doméstica típica de 127 V (ou 220 V) é aumentada para o nível de tensão desejado através de um transformador de alta tensão. A energia das microondas geradas pelo magnetron é t ransferida para uma câmara de aquecimento projetada para delimitar as microondas dentro dela por meio de superfícies metálicas; assim, as microondas sofrem reflexões no interior da câmara ou são absorvidas pelo alimento, sem escapar para o lado de fora. Se a porta do forno for feita de vidro, uma tela metálica ou malha condutiva é fixada ao vidro para se garantir a blindagem necessária; as microondas não conseguem passar através da tela metálica se a trama da malha tiver dimensões muito menores que o comprimento de onda das microondas (-12 cm em 2,5 GHz). No interior da câmara, a energia das microondas estabelece uma onda estacionária que leva a uma distribuição desigual. Esse efeito é atenuado por um agitador metálico que dispersa a energia das microondas para diferentes locais no interior da câmara.

268

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Linha alimentada

o-----<> A Transforn1ador Â/4

em um curto-circuito, ela será indutiva ou capacitiva quando a linha for tennjnada e1n u1n circuito aberto?

1

20 1

=50 Q

Zen1.___..

o-----<>I A'

1 i , . - - - jJ4

Figura 8-18 Configuração para o Exen1plo 8-9.

E1nbora as reflexões na linha alimentada se jam eliminadas, isso não acontece na linha ')J4. Entretanto, co1no as linhas não tê1n perdas, toda a potência incidente acaba sendo transferida para a carga Zv •

8-7 .6 Linhas de Transmissão Casadas: ZL= 20 Para u1na linha de u·ansmissão sem perdas casada ZL = Zo, ( l ) a i1npedância de entrada zcnt. = Zo para todos os pontos z na linha, (2) r = O e (3) toda a potência incidente é entregue à carga, independent.emente do co1nprirnento da linha l. A Tabela 8-3 apresenta um resumo das propriedades das ondas estacionárias.

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Qual é a diferença entre a impedância característica Z0 e a impedância de entrada Z0 11,.? Em que situação elas são iguais? QS.10

O que é u1n transformador de l/4 de onda? Co1no ele é usado? Q8.11

Urna linha de transmissão sem perdas de compri111ento l é tenninada e111 u111 curto-circuito. Se l < ')J4, a ilnpedância de entrada é indutiva ou capacitiva? QS.12

Qual é a impedância de entrada de uma linha infi nita1nente longa?

Q8.13

Se a iinpedância de entrada de u,na linha sem perdas for indutiva quando tenninada

QS.14

EXERCÍCIO 8.11 U,na linha de trans1n issão sen1 perdas de 50 Q usa um material isolante co1n e, = 2,25. Quando tern1inada em um circuito aberto, qual o comprimento que a linha deve ter para que sua impedância de enu·ada seja equivalente a um capacitor de 10 pF em 50 MHz? Resp.

l = 5,68 cn1

(veja ~ )

' EXERCICIO 8.12 Uma linha ali,nentada de 300 Q é conectada a un1a linha de 3 111 de co1nprimento e 150 Q tenninada com um resistor de 150 Q. As duas linhas não apresenta1n perdas e usa1n o ar como 111aterial isolante, sendo a freqüência de operação 50 MHz. Detennine (a) a impedância de entrada da linha de 3m, (b) a razão de onda estacionária de tensão na linha alimentada e (c) a impedância característica se um transfo1mador de 1/4 de onda fosse usado entre as duas linhas para conseguir S = 1 na linha alimentada. (veja ,~ )

Resp.

(a) Z""'·

=150 Q , (b) S =2, (c) .lii=212, l Q

8-8 Transferência de Potência em uma Linha de Transmissão sem Perdas Nossas discussões até aqui se concentraran1 nos aspectos da tensão e da co1Tente na propagação de ondas e1n uma linha de trans,russão. Agora exa,runaremos a transferência de potência feita pelas ondas incidente e refletida. Con1eçaren1os reintroduzindo as Eqs. (8.51a) e (8.51b), as quais são as expressões gerais dos fasores de tensão e corrente en1 u1na linha de transn1issão sem perdas: (8.78a) ~

vo+

J(z) = -

Zo

'/J

'/J

(e- 1 z - íe' z) .

(8.78b)

Nessas expressões, os prüneiros termos representam a tensão e a corrente da onda incidente e os

CAPÍTULO 8

LINMAS DE TRA NSMISSÃO

269

Tabela 8-3 Propriedades de ondas estacioná,ias em linhas de transmissão sem perdas

Tensão 111ínin1a

- lmax= IV+ l[l · +lrl] 1V 0 IY lmin = 1v0+1Lt - 1r1J

Pontos de tensão máxin1a (corresponden1 1ambém aos pontos de corrente 111ínima)

fJrÀ lmax = 411' +

Tensão 1náxin1a

Prin1eiro ponto de 111áxin10 (corresponde tan1bé111 ao pri111eiro ponto de corrente n1ínin1a) Pontos de tensão n1ínima (corresponden1 també1n aos pontos de corrente náxima) Primeiro ponto de mínin10 (corresponde tan1bén1 ao primeiro ponto de corrente n1áxin1a)

nÀ

2,

11

BrÀ

-411' '

lmax =

BrÀ

4

11'

8rÀ

lmin = 4 11' +

= O, 1, 2, ... se O:5 f/· S

)..

+ :,, se - n< rJr
(211 + l)À , 4

n=

( ZL + j Zo tg /3l ) Zcnt. = Zo Zo + j ZL lg /31

Pontos nos quais Z""· é real

para tensões n1áxin1a e n1ínin1a

Z, 0 ._ para a tensão máxin1a

2 ent. -_ 2 o ( 1+1r1J 1 _ 1r

z,.... para a tensão n1ínin1a

(1 - 1r 1) Zent = Zo 1 + 1r 1

Zc.,,. para uma linha e1n curto-circuito

zcuno-circ. ent. -_ j Zo · ter o /31

z,.... para unia Iinha en1 circui10 aberto z,...para unia linha de con1prin1ento

z~~f' abeno =

Z,.,,_para unia linha decornprimento 1= ')J4 + n}J2 Z,.,_para uma linha casada

o, l, 2 , ...

lmin = 4).. ( 1 + Br) 11'

hnpedância de entrada

/ = 11}J2

11'

Zent = ZL, ?

- j 11

ZenL = Zõf ZL,

Zo cot /31 = O, t, 2, ... 11

=

o, 1, 2, . ..

Zent. = Zo

IVol = arnplitude da onda incidente, r = lf1 '1°" con1 -'1r
tennos que envolve1n r representam a tensão e a corrente da onda refletida. Na carga (z = O), as tensões e as correntes refletidas são

-· V' =

yr --

v0+ ,

rv.+ o,

-· vo+ I' = , (para z = 0) , (8.79) 20

Jr --

- r yo+ Zo , (p·araz -- O) . (8.80)

Por analogia co1n a Eq. (7. 158) para u1na onda plana, a transferência de potência média no tempo ao longo da linha de transmissão é

Pmed = 219'1e [V- · / *] ,

(8.81)

onde i* é o conjugado complexo dei. A aplicação dessa fórmula nas Eqs. (8.79) e (8.80) resulta em

270

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q8.15 Qual é a potência 1nédia fornecida por u1na linha de transrnissão sern perdas para u1na carga reativa? =

-1r1

v.+ ,2

21 0

(8.83)

2Zo

Portanto, o módulo da potência refletida média é igual à potência incidente média, reduzida 2 pelo tàtor multiplicativo 1r1 • A potência média líquida entregue para a carga mostrada na Fig. 8-19 é Pmed

= P ~1ed

+ P ~1ed

EXERCÍCIO 8.1 3 Para ui.na ljnha de transnússão sem perdas de 50 Q que tern1ina con1 uma iinpedância de carga Z1, = ( 100 + )50)Q, determine a fração da potência incidente 1nédia refletida pela carga.

Resp.

20o/o. (veja 9 )

EXERCÍCIO 8.14 Para a linha do Exercício 8. 13, qual é o valor da potência média refletida se l~I = IV?

-

l'v) +

-

--

Zg

L inha d e trans,nissão P ~1cd

2 P ~1cd = líl P,:1cd

Q8.16 Qual fração da potência incidente é entregue para uma carga casada?

8-9 A Carta de Smith Antes da era dos computadores e das calculadoras progra1náveis, diversos tipos de cartas (ábacos) foram desenvolvidos para auxiliar na solução de problemas de linhas de transn1issão. A carta de Srnith, que foi desenvolvida por P. H. Smith em 1939, foi e continua sendo a técnica gráfica mais amplamente usada em análise e projeto de circuitos que usa1n linha'> de trans1nissão. Mesmo que a intenção original de seu inventor fosse fornecer uma ferra1nenta gráfica útil para a realização de cálculos envolvendo impedâncias co1nplexas, a carta de S1nith setornou o principal n1eio de apresentação em softtvares que auxiliam no desenvolvimento de projetos conhecidos como CAD (computer-aided design) para apresentar o desempenho de circuitos de microondas. Confonne o conteúdo desta e da próx.in1a seção de1nonstra1n, o uso da carta de S1nith não apenas evita manipulações cansativas de números complexos co1no tan1bé1n pennite ao engenheiro pr~jetar circuitos de casan1ento de impedância co1n relativa facilidade. A carta de Smith pode ser usada tanto no caso de l.inhas sem perdas quanto no de linhas co1n perdas. Entretanto, neste estudo nos restringire1nos ao caso de linhas sem perdas.

8-9.1 zJ,

Figura 8-19 A potência 1nédia no ternpo retletida por uma carga conectada a uma linha de transn1issão se1n perdas é igual à potência incidente multiplicada por lfl2•

Equações Paramétricas

O coeficiente de reflexão r é, em geral, uma quantidade complexa con1posta de um n1ódulo lrl e un1 ângulo de fase O, ou, de fonna equivalente, u1na parte real r , e uma parte imaginária r ;: (8.85)

onde

(8.86a)

CAPÍTULO 8

r ; = Jr Jsen Br .

LINHAS DE TRANSMISSÃO

271

sário somar ou subtrair 180º para obter o valor correto de 8,. O círculo unitário n1ostrado na Fig. 8-20 corresponde a !ri= 1. Como !ri < 1 para uma linha de transn1issão, apenas essa parte do plano r ,- r i que se encontra dentro do círculo unitário tem significado físico; conseqüenten1ente, os gráficos posteriores serão limitados ao domínio contido dentro do círculo unitário. As iinpedãncias na carta de Smith são representadas por valores normalizados em relação a Z0, que é a irnpedãncia característica da linha, servindo con10 constante de normalização. lmpedâncias normalizadas são indicadas por letras núnúsculas, como e111 z = Z/20 • A impedância de carga norff1alizada é então dada por

(8.86b)

A carta de Sm ith lida com o plano cornplexo de r. Na Fig. 8-20, o ponto A representa u1n coeficiente de reflexão rA = 0,3 + J0,4 ou, de for1na equivalente,

1rAI= [(0,3)2 + (0,4)2 1112 = 0,5 e Br = tg- 1(0,4/0,3) = 53°.

De forma similar, o ponto B representa r 8 =-0,5 J0,2 ou Irei= 0,54 e 8r =202º [ou, de fonna equivalente, O,= (360° - 202°) =-158º]. Observe que, quando r , e r i são números negativos, 8, está no terceiro quadrante no plano r, - ri. Portanto, ao usar O= tg-'(r /r ,) para calcular e,, pode ser neces-

ZL = ZL/Zo (adimensional),

(8.87)

Br= 90º

e. = 180° Carga e111 cur tocircuito

.J'

~

D

e

·, ,

r-;;;;=1~-0 -+í9-+-+-+-+-l--l-+-+:.,;f--f-+-+-if-+-+-+-+-~ .....__._-- rr 1 ~ '4H r-011-'-i -0 ~ s'-:!-0 ;;;;!-34",,,,..'-{)·~,-t·· o I o 3 01s o1 o 9 , 1-1--+--+-t·Q ,. ~- -~~+-j......()4+ ,- -+-+-+-+--t--.......-il--l--+-f

\+ -+"'f'-"'-tll:

l.:.O,Gi'*""' A"-l••J;3+ -+-+-+-+--t--.......-ii--1--t-/ -+-+-i-+--+-i-+-~ ;4+ -+-+-+-+--t--.......-ii--1--flI \. ... ~"'--... ,5 l i \.

'1..- +-+-+-t-t-H}I;6,+--+-+-+-+-1-Hf-7" , ~-t-+-+-i,-+-0,,7+-+-i-+-+-+--t-'.V~

'

''-'",+--+-+--h-0-8· . 1'

-+---<

1

er = Oº

\

Carga cm circui to aberto

Círculo unitád o

__.1 1-0,9·. ,-1

8r = 270° ou -90° ·•n•

Figura 8-20 O plano con1plexo r . O ponto A está em f,1 =0,3 + j0,4 =0,5e' .. , e o ponto B está em r 8 = -0,5 - j0,2 =I0,54ld 202•• O círculo unitário corresponde a líl = 1. No ponto C, r = 1, que corresponde a uma carga de circuito aberto, e no ponto D, r = - 1, que corresponde a curto-circuito.

272

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

e o coeficiente de reflexão r , definido pela Eq. (8.49a), pode ser escrito como

1

= ZL/Zo - 1

ZL -

ZL/Zo + 1

ZL

1

+1

(8.88)

A relação inversa da Eq. (8.88) é ZL =

1+

r

2

(8.89)

1-r

res de r'-' teríamos círculos si,nilares, e dentro do domínio lrl = 1 todos esses círculos passa,n pelo ponto (r,, r;) = ( l , 0). Após algu,nas ,nanipulações algébricas, a Eq. (8.92a) pode ser rean·anjada para resultar na seguinte equação paran1étrica para o círculo no plano r,- r;, que con·esponde ao valor detenninado parar,,:

r, (

rL

)

l + rL

2

+ r .2 =

(

'

J ) l+rL

(8.93)

A in1pedância de carga norn1alizada <\ é, e1n geral, uma quantidade complexa composta de unia resistência de carga normalizada r1, e uma reat.ância de carga nor111alizada xL:

A equação padrão para u1n círculo no plano x-y com centro em (x0 , y0) e raio a. é dada por

(8.90)

A comparação da Eq. (8.93) com a Eq. (8.94) 1nostra que o círculo r 1. te1n centro e1n r '- = r 1. /( 1 + r1) e ri= O, co,n raio 1/(1 + r1). O 1naior círculo mostrado na Fig. 8-21 co1Tesponde a rL = O, que também é o círculo unitário que corresponde a lfl = 1. Isso era esperado, porque quando r1. = O, lfl = 1 independentemente do 1nódulo de xv Uma anáJjse sin1ilar da expressão parax'- dada pela Eq. (8.92b) ta1nbé1n resulta ern urna equação para um círculo dada por

Usando as Eqs. (8.85) e (8.90) na Eq. (8.89), temos l'L

.

+ ]XL

-

c1 + r,) + Jr;

------

(1 - f,) - jf; '

(8.91)

que pode ser resolvida para se obterem expressões explícitas para r1, e Xi. em tern1os der, e Í;. Isso é feito 1nultiplicando o numerador e o denominador do .lado direito da Eq. (8.91) pelo conjugado con1plexo do denominador e, em seguida, separando no resultado as partes real e ilnaginária. Esses passos leva1n a

r _

L-

1-

r r2 - r ,2

c1 - r,)2 + rf ,

(8.92a)

? [' , -

1

XL = (] - f',)2

+ lf .

(8.92b)

Essas expressões dizem que, para urn dado conjunto de valores parar, e f ;, corresponde urn único conjunto de valores pra r 1. e xL. Entretanto, se fixannos o valor de r v digamos e,n 2, muitas co,nbinações possíveis podem ser atTibuídas a r, e ri, cada uma das quais podendo resultar no 1nes1no valor de rv Por exemplo, (r,, r;) = (0,33,0) resulta em r,. = 2, assim corno para a combinação cr,, f ;) = (0,5, 0,29), como acontece também para um núrnero infinito de outras cornbinações. Na realidade, se fosse,nos fazer um gráfico no plano r, r; para todas as co,nbinações possíveis de r , e r i que correspondem a r1. = 2, obtería1nos o círculo indicado por r,. = 2 na Fig. 8.21. Para outros valo-

(x - xo)2

(f'r - 1)2

+ (y -

+ ( r; -

Yo)2 =

l 7' XL

ª2.

(8.94)

)2 ( l )2(8.95) =

-

XL

,

poré1n, o círculo xL no plano r,-f; apresenta u1na característica diferente de 1·1.· Para co,neçar, a reatância X1. nonnalizada pode assurnir valores positivos e negativos, ao passo que a resistência normalizada não pode ser negativa (uma resistência negativa não apresenta significado físico). Portanto, a Eq. (8.95) pode gerar duas fa1nilias de círculos, uma correspondente aos valores positivos de xL e a outra correspondente aos valores negativos. Além disso, conforme 1nostrado na Fig. 8-21, apenas parte de um detenninado círculo está dentro dos li1nites do círculo unitário. As fan1ílias de círculos das duas equações paramétricas dadas pelas Eqs. (8.93) e (8.95) e transformadas em gráficos para os valores selecionados de r1, e xL constituem a carta de Smith n1ostrada na Fig. 8-22. Um detenninado ponto na carta de Sn1ith, tal como o ponto P na fig. 8-22, representa a irnpedância de carga nonnalizada z,, = 2-jl, com o correspondente coeficiente de

CAPÍTU LO 8

LINMAS DE TRANSMISSÃO

273

f'.1

'L=0,5

Figura 8-21

Fa,nílias de círculos relativos arL e X1. dentro do do1nínio lrJ < 1.

reflexão de tensão r =0,45 exp(-j26,6º). O n1ódulo lrl = 0,45 é obtido dividindo o co1nprimento da linha entre o centro da carta de S1nith e o ponto P pelo co1npriment.o da linha entre o centro da carta de Sn1.ith e a borda do círculo unitário (o raio de u,n círculo unitário corresponde a lrJ = 1). O perímetro da carta de Smith contém u·ês escalas concêntricas. A escala 1nais interna é denon1inada ângulo do coeficiente de reflexão e,11 graus. Essa é a escala para O,. Conforme indicado na Fig. 8-22, O,. = - 26,6º para o ponto P . O significado e o uso das outras duas escalas serão discutidos a seguir.

EXERCÍCIO 8. 15 Use a carta de S111jth para det.enninar os valores der que correspondem às seguintes impedâncias de cargas normalizadas: (a)

2 + jO, (b) Z1. = 1 -jl , (c) Z1. = 0,5 - j2, (d) Z1. = -j3 (e) Z1. = O (curto-circuito), (l) Z1. = oo (circuito aberto) (g) z,.. = 1 (carga casada). Z1. =

=

=

Resp. (a) r 0,33, (b) r 0,45 / - 63.4º , (c) f' = 0,83 / -so.9", (d) f'= 1/-36.9", (e) r =-1,(t) r=l ,(g) r =O. (v~ja ~ ,)

8-9.2

Impedância de Entrada

A partir da Eq. (8.61 ), a impedância de entrada "olhando" e1n dixeção à carga, a un1a distância Ida carga, é dada por I

+ re- j2/J1J

Zent = Zo [ I - re- j2Pt

(Q). (8.96)

274

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

Figura 8-22 O ponto P representa uma carga nonnalizada Zt = 2 - jl. O coeficiente de reflexão te1n un1 ,nódulo Ir!= O P / O R =0,45 e um ângulo O, = -26,6°. O ponto R é u,n ponto arbitrátio no círculo r1. =O (que ta1nbé1n corresponde ao círculo lrl = 1).

Para usar a carta de Srnith, sernpre normalizamos as in1pedâncias ern relação à in1pedância característica (Z0 ). Portanto, a ünpedância de entrada nor,nalizada é Zen!. Zent. = - -

Zo

) + re-i 2/J/

- - - - ./J1 - re-J 2 1

(adimensional) (8.97)

O parâ1netro r = lf lei111 é o coeficiente de reflexão de tensão na carga. Varnos definir

r, =

re-j2{JI

=

1r 1ej0,e-j2{JI

=

1

r Iej (0,- 2/J/)

(8.98)

como o coeficiente de reflexão de tensão com/ase deslocada , significando que r , tem o n1esn10 111ódulo de r, porén1 a fase de r, está deslocada de 2{31 en1 relação ar. Em termos der,, a Eq. (8.97) pode ser reescrita como 1 + r, Zent. = 1 - r,

(8.99)

A forma da Eq. (8.99) é idêntica à da Eq. (8.89) para zL: ZL =

l+f 1-r

(8. l 00)

CAPÍTULO 8

A similaridade na forma sugere que, ser for transfor1nado en1 ~, zL é transformada em z., 01.• Na carta de S1nith, a transformação de r e1n r, significa manter lrl constante e di1ninuir a fase e, e1n 2{3l, que corresponde a girar no sentido horário na carta de Smith. Observando que tuna rotação con1pleta em torno da carta de Smith é igual a uma variação de fase de 21t, o co1npritnento l que corresponde a tal variação é obtido a partir de 2n: 2(31 = 2 - l = 2n:, À

(8.101)

ou l = ')J2. A escala mais externa e,n torno do perínieu·o da carta de Snúth (Fig. 8-22), deno1ninada escala de co111prime11tos de onda e,n direção ao ge.rador, foi construída para indicar 1novimentos sobre a linha de transn1issão em direção ao gerador, em unidades de comprimento de onda À. Ou seja, l é medido e1n comprimentos de onda, sendo que urna rotação conipleta corresponde a l = ')J2. Etn alguns problemas de linhas de u·ansmissão, pode ser necessário mover de algu1n ponto na linha de trans1nissão para outro ponto mais próxirno da carga, caso no qual a fase é aumentada, o que corresponde a um giro no sentido anti-horário. Por conveniência, a carta de S1nitJi contérn uma terceira escala eni torno de seu perín1etro (entre a escala O, e a escala de comprimentos de onda em direção ao gerador) para suprir essa necessidade. Ela é cha,nada de escala de co111pri111entos de onda e111 direção à carga. Para ilustnu· como a carta de Smith é usada para detenninar Z,n1.• van1os considerar uma linha de transrnissão se,n perdas de 50 Q que tennina em uma i1npedância de carga 2i_ = ( 100 -j50)Q. Nosso objetivo é determinar Zcn1.• a e1n Lnna distância l =O, 1À a partir da carga. A i1npedância de carga nornializada é Z1, = Z1./Z0 = 2 - jl, indicada pelo ponto A na carta de Smith mostrada na Fig. 8-23. Na escala de co,nprimentos de onda e1n direção ao gerador, a localização do ponto A está en1 0,287Ã.. Usando um compasso, desenhe un1 círculo que passa pelo ponto A con1 centro no centro da carta de Smith. Visto que o centro da carta de S1nith é o ponto de interseção dos eixos í , e r ;, todos os pontos no círculo desenhado têm o mesmo valor de jíj. Esse circulo é denominado círculo de Ir! constante ou, mais comu1nente, círculo ROE (ou círculo SWR). A razão para esse segundo nome é

LINMAS DE TRANS~1JSSÀO

275

que a razão de onda estacionária (ROE) está relacionada a jrj pela Eq. (8.59) co1no (8.102) Assiln, um valor constante de jrj corresponde a um valor específico para S. Conforn1e dito anteriormente, para transformar zL em z,11., precisamos rnanter lrl constante, o que significa se n1anter no círculo ROE e diminuir a fase der e1n 2(31. lsso é equivalente a se 1nover u1na distância l =O, .1Â. e1n direção ao gerador na escala de co,nprirnentos de onda. Visto que a localização do ponto A é 0,287Â., precisamos nos 1110ver 0,287Â. +O, lÃ. = 0,387Ã. na escala de comprimentos de onda em direção ao gerador. Uma linha radial que passa nessa nova posição na escala de comprinientos de onda e1n direção ao gerador intercepta o círculo ROE no ponto B. Esse ponto representa Zcm. e seu valor é Zcm. = 0,6 - j0,66. Por fi1n, desnor1nalizamos Zcm.• multiplicando-a por Z0 = 50 Q para obter Z, 0 1. = (30 - j33) Q. Esse resultado pode ser verificado analitican1ente usando a Eq. (8.96). Os pontos entre os pontos A e B no círculo ROE representam os diferentes pontos na linha de u·ans1nissão.

'

EXERCICIO 8.16 Usando a carta de Smith, deterrnine a inipedância de entrada nonnalizada de unia linha sem perdas de con1primento terminada em unia impedância de carga nonnali zada Z1, para cada uma das seguintes combinações: (a) l = 0,25À, Z1, = l + j0, (b) l =0,5Â., ZL = l +jl, (c) l = 0,3Â., Z1, = l - j 1, (d) l = l ,2Ã., z.. = 0,5 - j0,5, (e) l = O, IÂ., zL = O (curto-circuito), (l) l = 0,4Ã., zL = j3, (g) l = 0,2Ã., zL = oo (circuito aberto). Resp. (a) z,,01 . = 1 +jO, (b) z,.m. = 1 +jl, (c) z,,01• = 0,76 + j0,84, (d) Z.n, = 0,59 + j0,66, (e) Zen,.= O+ j0,73, (f) Z,n1. = O+ j0,72, (g) Zcnt = O- j0,32. (veja ~)

8-9 .3

ROE (Razão de Onda Estacionária Máxima e Mínima)

Considere uma carga co1n Zi,, = 2 + jl. A Fig. 8.24 n1ostra a carta de S1nith co1n u,n cú·culo ROE desenhado através de z1• (ponto A). O círculo ROE intercepta o eixo real (r,) em dois pontos, designados de

276

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

0,3&7 À-

Figura 8-23

O ponto A representa uma carga normalizada Z1. = 2 - j I ern 0,287Â. na escala de con1prin1entos de onda em direção ao gerador. O ponto B representa a entrada da linha em O, 1À a partir da carga. En1 B, Zen< = 0,6 - j0,66.

P015, e Pmrn· Portanto, nos dois pontos r ; = Oe r = r,. E tambétn, no eixo real, a parte imaginária da impedância de carga xt =O.A partir da definição der, ZL- 1

f =

ZL+

1

1r 1= ,

(8.J03)

os pontos Pms.., e P111 r11 correspondetn ao caso especial

r = fr=

l'L l'L

1

+1

Reescrevendo a Eq. (8.102) para lrl ern tennos de S, ternos

S-1

s +1 .

(8.105)

Para os pontos Pmáx e P mrn• lfi = r ,; portanto,

S- 1

r r -- --s+ 1

(8.106)

.

(para ri= 0), (8.104)

sendo que P111 r11 corresponde à condição ern que r1. < 1 e Pmáx corresponde à condição en1 que r 1, > 1.

A sim.ilaridade entre as Eqs. (8.104) e (8.106) sugere que S = r._. Entretanto, visto que pela definição S ;::: 1, apenas o ponto P111 á., (para o qual r1. > 1) satisfaz a condição de similatidacle. Na Fig. 8-24,

CAPÍTULO 8

LINMAS DE TRANSMISSÃO

277

Figura 8-24 O ponto A representa uma carga normalizada con1 Z1. = 2 + j 1. A razão de onda estacionária é S = 2,6 (em Pm;,x), a distância entre a carga e o primeiro 1náximo de tensão é lrná, = (0,25 - 0,2 l 3)Â. = 0,037Â., e a distância entre a carga e o pri,neiro n1ínin10 de tensão é /min = (0,037 + 0,25)Â. = 0,287),.

r,_= 2,6 em P..,,; portanto, S = 2,6. Em outras palavras, Sé nurnericamente igual ao valor de rL em. P,,,,1_,, o ponto no qual o círculo ROE intercepta o eixo real f à direita do centro da ca11a. Os pontos P111í0 e P 01 á, também representam a distância a partir da carga na qual o n1ódulo da tensão na linha (IVI) é u1n mínimo e um 1náximo, respectiva,nente. Essa afinnação é fácil de ser demonstrada considerando a definição de r, dada pela Eq. (8.98). No ponto P..1", a fase total de r ,, ou seja, (<1, 2{31), é igual a zero (se 8, > O) ou 2n (se 8, < O), que é a condição que corresponde a Jvlm:í,,•confonne indicado pela Eq. (8.55). De fo1ma si,nilar, em ? 01 ,,, a fase total der, é igual a 7C, que é a condição para lvlmín"

Portanto, para a linha de transmissão representada pelo círculo ROE n1ostrado na Fig. 8-24, adistância entre a carga e o próximo máximo de tensão é lrn.,, =0,037À., obtida n1ovendo-se no sentido horário a partir da carga no ponto A até o ponto P111á,• e a distância para o próximo n1íni1no de tensão é /111ín = 0,287i, que corresponde a uma rotação no sentido horário ele A até Pmrn· Visto que a localização de IVIm:íx coincide co1n a de Ilimm. e a localização de Jvlmrncoincide com a de Iilmáx• a carta de S,nith fornece uma forma conveniente de deter1ninar as distâncias para todos os máximos e mínimos na linha (a onda estacio1u1ria tem um período de repetição de ').J2).

278

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

8-9.4

Transformações de Impedância para Admitância

Ao resolver certos tipos de problemas de linhas de trans1nissão, muitas vezes é mais conveniente trabalhar com ad1nitâncias do que com impedâncias. Qualquer in1pedância Zé em geral uma grandeza complexa que consiste em uma resistência R e uma reatância X: Z = R + jX

(8. l 07)

A adniitância Y que corresponde a Zé o inverso de Z: Y=_.!_= l = R - j X (S) Z R+j X R2 + x2 .

Y Zo 1 y - Yo - Z - z .

Conseqüentemente, usando a Eq. (8.100), a adn1itância de carga nonnalizada Y1. é dada por 1

)'L = -

ZL

=

-X

R2+x2

(S).

(8.109)

(8. l !Ob)

Uma impedância nonnalizada zé definida co,no a razão entre Z e 2 0 (a impedância característica da linha). O mesmo conceito se aplica à definição de ad111itância nor,rializada y ; ou seja, Y

y= -

·

Yo

G

= -

Yo

B + j - = g + jb (adiJnensional)

Yo

(8.1 11)

onde Y0 = 1/20 é a ad,nitância característica da Linha e

g=

~= !_ Yo

(adimensional). (8.114)

l

+ re- j,r

. 1 - re- J"

1-r -- 1+r --

YL ·

(8.1 15)

Portanto, u,r1a rotação de Ã.!4 na carta de Srn.ith transfor,na Z1. e,n Y,: Na Fig. 8-25, os pontos que representan1 z,. e Y1. são dian1etraln1ente opostos entre si no cú·culo ROE. De fat.o, tal transfonnação na carta de Smith pode ser usada para determ.inar qualquer adn1_itância nonnalizada a partir de sua correspondente impedância norn1alizada, e vice-versa. A carta de S1nith pode ser usada com impedâncias ou admitâncias nonnalizadas. Assi111 como em uma carta de in1pedância, a carta de Smith consiste e1n círculos r1. ex._, que representan1 aresistência e a reatância nonnalizadas de uma impedância de carga normalizada Zv Quando usada como uma carta de admitância, os cúculos rL se r.orna1n círculos gL e os círculos xLse tornan1 cfrculos b'-, onde gL e bL são a condutância e a susceptância nonnalizadas da adrnitância de carga normalizada Y1., respectiva1nente.

G Zo (adimensional), (8.112a)

Exemplo 8-1 O b=

1+f

Zcm.(l = Ã/4) =

+ x2

B= - - -

r

(8.108)

Co1nparando a Eq. (8.109) con1 a Eq. (8.108), obte1nos R (8.1 10a) (S), G = R2

1-

Agora vamos considerar a in1pedância de entrada normalizada Zem.· a uma distância l = À/4 a partir da carga. Usando a Eq. (8.97) co1n 2{31 = 47Tl/'A = 41rÀl4Â. = 7f, te111os

A parte real de Y é denominada condutância G e a parte i1naginária, susceptância B. Ou s~ja, (S).

(8.113)

= B Zo (adi1nensional). (8.1 1.2b)

As quantidades nas letras minúsculas g e b representam a condutância nornzalizada e a suscep.tância nor,11alizada de y, respectivamente. É claro, a adn1itância nonnalizada y é o inverso da in1pedância normalizada z,

Cálculos Usando a Carta de Smith

U1na linha ele transmissão sem perdas ele 50 Q é tenninada com unia impedância de carga 21, = (25 + j50) Q. Use a carta de Smith para detenninar (a) o coeficiente de reflexão de tensão, (b) a razão de onda estacionária de tensão, (c) a distância do primeiro máxirno de tensão e do prin1eiro

CAPÍTULO 8

LINMAS DE TRANSM I.SSÃO

279

Figura 8-25 O ponto A representa uma carga nonnalizada Zi. = 0,6 + j 1,4. Sua achnitância nonnalizada correspondente é Yr. = 0,25 - j0,6 e está no ponto 8.

mínimo de tensão a partir da carga, (d) a in1pedância de entrada da linha, sendo que a li nha tem u,n cornprin1ento de 3,3Â., e (e) a admitância de entrada da linha. Solução: (a) A impedância de carga nonnalizada é ZL

ZL 25 + j50 . = - = = 0,5 + J 1 Zo 50

marcada como o ponto A na carta de S,nith na Fig. 8-26. Usando urna régua, trace urna linha radial a partir do centro da carta no ponto O passando no ponto A, ultrapassando o perímetro externo da ca1ta. A linha cruza a escala denominada "ângulo do coe83°. E,n seficiente de reflexão em graus" en1

e,=

guida, use urna régua para medir o cornprimento dA da linha entre os pontos O e A e o comprimento d 0 . da linha entre os pontos O e O', onde O' é u,n ponto arbitrá1io no círculo r,. = O. O comprimento d0 . é igual ao raio do círculo lfl = 1. O n1ódulo der é então obtido a partir ele lfl = d1/d0 . = 0,62. Portanto,

r = 0,62ei83º = 0,62/83º .

(8.116)

(b) Usando uo1 compasso, o círculo ROE com centro no ponto O é desenhado de forma a passar no ponto A. O círculo cruza o eixo r, nos pontos B e C. O valor ele r L no ponto B é 4,26, que ta1nbém é igual ao valor de S. Portanto, S = 4 ,26.

280

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Figura 8-26 Solução para o Exemplo 8-1 O. O ponto A representa uma carga nonnalizada zL= 0,5 + jl para O, l 35À na escala de comprirnentos de onda em direção ao gerador. Em A, 8, = 83° e lrl = d,/d 0 . = O A I 00' = 0,62. Em 8 , a razão de onda estacionária é S = 4,26. A distância de A para B é lmáx = O, 1 l 5À e de A para C é l"';" = 0,365À. O ponto D representa a impedância de entrada normalizada Zcm. = 0,28 - j 0,40, e o ponto E represcnt.a a admitância de entrada normalizada Ycn1. = I, 15 +j 1,7.

(e) O prirneiro máximo de tensão está no ponto B no círculo ROE. Tal ponto está localizado em 0,25Â. na escala de con1primentos de onda e1n direção ao gerador. A carga, representada pelo ponto A, está em 0,135Â. na escala de co1nprin1entos de onda en1 direção ao gerador. Portanto, a distância entre a carga e o pri1neiro m,1xirno de - e, tensao lmáx = (0,25 - O, 135).À = O, 115.À .

O primeiro minimo de tensão está no ponto C. Movendo-se na escala em comprimentos de onda e1n direção ao gerador entre A e C, obte1nos lmín

= (0,5 -

O, 135).À

= 0,365),,

que está 0,25Â. após 1111.., . (d) A linha te,n u,n con1prin1ento de 3,3Â.; subtraindo 1núltiplos de 0,5Â., resta 0,3À. A partir da carga situada en1 O, l35À na escala de co1npri1nen-

CAPÍTULO 8

tos de onda em direção ao gerador, a entrada da linha está e,n (0,135 + 0,3)À. =0,4351. Essa localização foi no1neada de ponto D no círculo ROE, e a impedância normalizada é lida na carta como Zem.

= 0,28 -

j0,40,

e portanto,

LINMAS DE TRANSM.ISSÃO

281

horário), chegamos ao ponto C, o qual representa a localização da carga. A impedância de carga norn1alizada no ponto C é ZL = 0,6 - jü,8.

Multiplicando por Z0 =50 Q, obte1nos ZL = 50(0,6 - j0,8) = (30 - j40) Q. •

Zeot.= Zen1.Zo = (0,28 - j0,40)50 = (14 - j20) Q .

(e) A admitância de entrada nonnalizada Ycn,. é detenninada tnovendo-se 0,25À. na carta de S1nith para o ponto itnagem de Zen,. cortando o círculo ROB no ponto E. As coordenadas do ponto E resultan1em Yent. = l, 15 + j 1, 7,

e a ad,nitância de entrada correspondente é Yent. 1, 15 + j 1, 7 Yent. = Yenc. Yo = Zo = 50 = (0,023+ j0,034) S. •

Exemplo 8-11

Uso da Carta de Smit h na Determinação de ZL

Este proble1na é sitnilar ao Exernplo 8-5, exceto que agora demonstraren1os a solução usando a carta de Stnitb. Dado que a razão de onda estacionária de tensão é S =3 em u1na linha de 50 Q , que o primeiro 1nínin10 de tensão ocorre a 5 c1n da carga e que a distância entre mínimos sucessivos é de 20 c,n, deterrnine a impedância de carga. Solução: A distância entre n1íni1nos sucessivos é ')J2. Portanto, À.= 40 c111. Em unidades de comprimento de onda, o pri,neiro 1nínimo de tensão é em lmin =

5

40

= O, 125>..

O ponto A na carta de Smith vista na Fig. 8-27 corresponde a rt =S =3. Usando um compasso, o círculo S constante é desenhado passando no ponto A. O ponto B corresponde à localização de um mínimo de tensão. Movendo-se 0,125À. a partir do ponto Bem direção à carga na escala de comprimentos de onda em direção à carga (sentido anti-

-

-

QUESTOES PARA REVISAO QS.17 O perímetro externo da carta ele Smith representa qual valor de lfl? Qual ponto na carta ele Smith representa uma carga casada? Q8.18 O que é o círculo ROE? Qual quantidade é constante en1 todos os pontos do círculo ROE? QS.19 Qual comprimento de linha corresponde a uma rotação completa em torno ela carta ele Smjth? Por quê? QS.20 Quais pontos no círculo ROE co1Tesponden1 às localizações de máxin10 e n1ínin10 de tensão e1n un1a linha? Por quê? QS.21 Dada uma impedância normalizada Zi,, co1110 você usa a carta de Smith para deternlinar a admitância normalizada correspondente Y,. = 1/zi,?

8-1 O Casamento de Impedância U1na Linha ele transmissão geralmente conecta u1n circuito gerados, situado em uma extremidade da linha, a uma carga situada na outra extren1idade. A carga pode ser urna antena ou qualquer circuito com un1a impedância ele entrada equivalente Zr.. Diz-se que a linha de transniissão está casada com a carga quando a in1pedância característica

for igual a ünpedância de carga (Z0 =Z1) , caso no qual não ocorre reflexões na carga situada na extre,nidade da linha. Visto que o principal uso de u111a linha de transn1issão é transferir potência e transmitir sinais codificados (como dados digitais), u1na carga casada garante que a potência fornecida à carga será máxima. A solução 1nais sin1ples para fazer o casan1ento de impedância da carga com a linha de trans1nissão é projetar o circuito de carga de tal forn1a

282

ELET ROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Figura 8-27 Solução para o Exemplo 8- 11. O ponto A indica que S = 3, o ponto B representa a localização do mínj mo de tensão e o ponto C representa a carga em O, l 25À na escala de co,np1i mentos de onda en, direção à carga a partir do ponto B. Em C, Zr. = 0,6-)0,8.

que sua impedância seja igual à da linha (2 1_ = Z0). lnfeliz1nente, isso pode não ser possível na prática porque o circuito ele carga pode ter de satisfazer outros requisitos. U,na solução alternativa é colocar u,n circuito de casa,nento de irnpedância entre a carga e a linha de transmissão, conforme n1ostra a Fig. 8-28. A finalidade do circuito de casamento é eli1ninar reflexões entre a linha de transmissão e o circuito de casamento de impedância (lv/M'). Isso é conseguido projetando um circuito de casamento de in1pedância que apresente u1na ilnpedância igual a Z0 e,n 1'v/M' quando se "olha" para ele a partir da linha de transmissão. Se

M

- z~

l'vl --i:.

A C il'cuito de

zr-0

z"""!:nt.

M'

-

• . • .. . . Linha . de t1...ms1russ.10 Ger.tdo1

l"l)S:11 11 l'nl O

Zi..

de im1x.'
A'

c.,rga '· •

Figura 8-28 A função de un1 circuito de casamento de in1pedância é transfonnar a impedância de carga 21_ de tal forn1a que a impedância Z,m., "olhando" para o circuito de casamento, seja igual à i111pedância da linha de transmissão (20) .

CAP[TULO 8

esse circuito de casan1ento não apresentar perdas, então toda a potência que chegar a ele será transferida para a carga. Os circuitos de casan1ento podem ser constituídos de ele1nentos concentrados (para se evitare1n perdas ôhn1icas, apenas capacitores e indutores são usados) ou de seções ele linhas de transn1.issão com con1primentos e tern1.inações apropriados. Demonstrare1nos essa última abordagem usando um circuito ele casa,nento de i111pedâ11cia co,n u,n único stub (toco). Espera-se que o circuito de casamento case uma in1pedância ZL = RL + jX1. com uma linha de transn1issão sen1 perdas de in1pedância característica Zo- Isso significa que esse circuito de casan1ento tem de transformar a parte real da impedância de carga de Rr., na carga, para Z0 en1 1'11/vl' (Fig. 8-28), e transformar a parte reativa ele XL.• na carga, para zero em 1'11M'. Para conseguir essas duas transfonnações, o circuito de casamento tem de ter pelo 1nenos dois graus ele liberdade; ou seja, pelo n1enos dois parân1etros ajustáveis. O circuito de casamento com um único stub, mostrado na Fig. 8-29, consiste e1n duas seções de linJ1as de trans1nissão: uma ele comprimento d conectando a carga à linha alin1entacla en1 1'v!M', e a outra de comprimento l conectada em paralelo às outras duas linhas e1n MM'. Essa segunda linha é denominada stub, sendo gerahnente tenninada e1n um curto-circuito ou ern um circuito aberto. O stub n1ostrado na Fig. 8-29 ten1 un1a terminação em curto-circuito. Os dois graus de liberdade necessários são providenciados pelo co1nprin1ento l do stub e pela distância d da carga até a localização do stub. Devido ao stub ser colocado em paralelo com a linha em MM' (sendo, portanto, deno111inado stub shunt), é rnais fácil trabalhar corn admitâncias do que corn irnpedâncias. Os procedin1entos para i1nplen1entar o casamento de impedância consiste1n em dois passos básicos. No p1imeiro passo, a distância d é detenninada de fonna a u·ansfonnar a adtnit.ância Yi, = 1/ZL em unia ad1nitância na fonna Y,1 = fc, + jB, quando se olha em direção à carga en1 MM'. Em seguida, no segundo passo, determina-se o comprimento l da linha stub ele forma que a admitância ele entrada Y. ern MM' seja igual à-jB. A resultante ern paralelo das duas admitâncias em MM' é Y0, a aclmitância característica da linha. Esse procedin1ento está ilustrado no Exemplo 8-12.

LINHAS DE TRANSM ISSÃO

Linha ali,nentada Yo

Ycr11.

283

Ml1...---d---<•~I

"'

Carga

Stubem curtocircuito

Linha aJin1entada M

YcnL

..

• yd •

1

•

Y, • 1

M

Figura 8-29 Circuito de casamento de impedância corn urn stub e,n curto-circuito.

Exemplo 8-12

Casamento de Impedância com ' um Unico Stub

Unia linha de transinissão de 50 Q é conectada a urna antena que te111 utna i111pedãncia de carga Z1, = (25 - j50) Q. Deter1nine a posição e o co1nprin1ento de um stub em curto-circuito necessário para fazer o casamento de i1npedância da linha. Solução: A impedância de carga normalizada é ZL 25 - j50 . ZL = -;;-- = SO =Ü,5 - J!,

Zo

que está localizada no ponto A na carta de S1nith vista na Fig. 8-30. Em seguida, desenhamos o círculo da constante S que passa no ponto A. Para realizar a tarefa do casamento de impedância, é mais fáci l trabalhar com admitâncias do que com in1pedâncias. A adrnitância de carga norrnalizada Y,. está no ponto B, obtido girando 0,25À, ou, de forma equivalente, traçando unia linha do ponto A

284

E L ET ROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Figura 8-30 Solução para o ponto C no Exemplo 8-1 2. O ponto A é a carga nonnalizada con1 Zt = 0,5 jl; o ponto B é Yt = 0,4 +j0,8. O ponto C é a interseção do círculo ROE con1 o círculo g1_ = 1. A distância de B para C é d 1 = 0,063Ã. O con1pri1nento do stub e,n curto-circuito (de E para F) é l 1 = 0,09Ã..

passando pelo centro até o ponto ünagen1 no círculo S. O valor de Yi. em B é .YL = 0,4

+ j0,8,

e ela está localizada na posição O, 11511. na escala de comp1i1nentos de onda em direção ao gerador. No domínio da adn1.itância, os círculos r L se transfor1na1n e1n círculos g L e os círculos Xi, se u·ansfonnam em círculos bv Para conseguir o casrunento de impedância, precisamos mover, sobre a carta, a partir da carga en1 direção ao gerador, un1a distância d tal que a ad,nitância de entrada nom1alizada y,1 da linha terminada na carga (Fig. 8-29) tenha urna parte real

igual a 1. Essa condição é satisfeita por dois pontos de casa11ze11to de i111pedância, C e D , na carta de Smith vista nas Figs. 8-30 e 8-31 , respectivamente, correspondendo às interseções do círculo S com o círculo 81. = 1. Os pontos C e D representam as duas soluções possíveis para a distância d na Fig. 8-29. Solução para o Ponto C [Fig. 8-30]: E1n C, Yd = 1

+ j 1,58,

e ela está localizada e,n O, 17811. na escala de co1nprimentos de onda em direção ao gerador. A distância entre os pontos B e C é

CAPÍTULO 8

d 1 = (0,178 - O, 115)À = 0,063>.. .

Olhando do gerador e,n direção à co,nbinação em paralelo da linha conectada na carga e o stub em curto-circuito, a ad1nitância de entrada notmalizada na junção é Yent.= )'s

+ .Vd,

onde Ys é a admitância de entrada normalizada da linha do stu.b. Para casar a impedância da linha com as cornbinações e1n paralelo, precisa,nos ter Ycnt. = I + jO. Portanto, l

+ jO = Ys + 1 + j 1,58,

LINMAS DE TRANSM.ISSÃO

285

são se1n perdas através de um circuito de casan1ento de i1npedância, qual o nú1nero mini1no de graus de liberdade que o circuito de casarnento de i1npedância tem de prover? Q8.23 No caso do casamento de impedância com u1n único stub, quais são os dois graus de liberdade? Q8.24 Quando un,a linha de transmissão está casada corn uma carga através de um circuito de casamento de impedância com um único stub, nenhu1na onda é refletida etu direção ao gerador. O que acontece com as ondas refletidas pela carga e pelo stub e1n curto-circuito quando chegan1 aos terminais A1M' (Fig. 8-29)?

ou Ys = -jl,58.

A adulitância no1malizada de u1n curto-c.ircuito é - joo e está localizada no ponto E na carta de Stnith, cuja posição é 0,25Ã. na escala de con1primentos de onda em direção ao gerador. Uma entrada co1n uma ad,nitância normalizada de -j l ,58 está localizada no ponto F e está na posição 0,34Ã. na escala de comprimentos de onda ern direção ao gerador. Portanto,

t,

= (0,34 - 0,25)À = 0,09À.

Solução para o Ponto D [Fig. 8-31]: No ponto D, y,1 = I - jl ,58,

e a distância entre os pontos B e D é d2 = (0,322 - O, I l5)À = 0,207>...

A admitância de entrada normalizada necessária para o stub é y, =+jl ,58, que está localizada no ponto G situado na posição O, l 611, na escala de compri1nentos de onda em direção ao gerador. O deslocan1ento do ponto E ao ponto G envolve uma rotação de 0,25Ã. além da rotação de O, l 6Ã., ou l2 = (0,25 + O, 16)>. = 0,41À. •

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q8.22 Para fazer o casa1nento de utna impedância de carga arbitrária co,n un1a linha de trans,nis-

8-11 Transitórios em Linhas de Transmissão Até agora, estudamos a propagação de ondas em linhas de transmissão com foco na análise relativa a urna única freqüência, sinais hannônicos no tempo sob condições de estado estacionário. As ferratnentas desenvolvidas - incluindo as técnicas de casamento de i,npedância e o uso da carta de S1nith são úteis para uma a1npla faixa de aplicações, porém não são adequadas para uso com sinais digitais ou de banda larga ern linhas telefônicas ou e1n circuitos de co1nputadores. Para tais sinais, precisamos analisar o con1portamento transitório como uma função do tempo. A respostll transitória ele um pulso de tensão em uma linha de transnússão é um registro de tempo de sua ida e volta entre as extren1iclades de entrada e saída da linha, levando em conta todas as reflexões múltiplas (ecos) nas duas extre1nidades. Van,os con1eçar considerando o caso si1nples de um pulso retangular de amplitude V0 e duração T , conforme 1nostra a Fig. 8-32(a). A amplitude do pulso é zero antes de t = O, V0 ao longo do te1npo O< t < T e, posterionnente, zero mais uma vez. O pulso pode ser descrito maten,aticamente como a son1a das duas funções em degrau . , . un1tano: V(t) = V1(t)

+ V2(t )

= VoU(t) -VoU(t-t"), (8.117)

286

ELETROMAGNETISJ\1 0 PARA ENGENHEIROS

Figura 8-31 Solução para o ponto D do Exemplo 8-12. O ponto D é o segundo ponto da interseção entre o círculo ROE e o círculo Y1. = 1. A distância entre B e D é d1. = 0,207À, e a distância entre E e G é / 2 =0,41 OÀ.

V(t)

V(t)

Vo i - - .....~~~~~~~ /.

~~~+-~~

1 1

.. (a) Pulso de duração 'T

·-----------V2(l) = Vo U{t - , )

(b) \/(t) = Vr(t) + V2(t)

Figura 8-32 Um pulso retangular V(t) de duração T pode ser representado corno a son1a de duas funções degrau de polaridades opostas e deslocadas uma da outra por T.

CAPÍTULO 8

LINMAS DE TRANSM.ISSÃO

onde a função de grau unitário U(x) é definida em termos de seu argumento x como 1

- o

U(x) - {

parax > O, parax < O.

t =0

Resposta Transitória

O circuito ,nostrado na Fig. 8-33(a) consiste em

un, gerador co,nposto de unia fonte de tensão cc Vg e uma resistência em série R. conectada a uma linha de transmissão l sem perd;s de comprimento e i1npedância característica Z0 . A linha termina em urna carga resistiva pura ZLem z = l. Portanto, todas as i1npedâncias no ci.rcuito são reais. A chave entre o circuito gerador e a linha de transn1.issão é fechada ein t =O. No instante e.,n. que a chave é fechada, a linha de transtnissão é "vista" pelo circuito gerador con10 u,na carga con1 i1npedância Z0, a ilnpedância característica da linha. Isso acontece porque, co,n a ausência de urn sinal na linha, a impedância de entJada da linha não é afetada pela impedância de carga Z1 • O circuito que representa a condição inicial é ~ostrado na Fig. 8-33(b). A corrente inicial/; e a correspondente tensão inicial ~ na entrada da linha de trans1nissão são dadas por +

1,

Vg = -Rg--=-+ Zo

'

(8.119a)

..• ZL ~

Zo

~

~

' z z=l

z=' O

(a) Circuito de uma linha de transmissão

Rg

1,+ +

+ Vg ...::.

v,++

•

Zo

-

(b) Circuito equivalente para 1 =

o•

Figura 8-33 Em r = O\ imediatamente após o techa,nento da chave do circuito en1 (a), o circuito pode ser representado pelo circuito equivalente em (b).

VgZo o - Rg + Zo

y+ -1+z '

8-1 1.1

Linha de transmissão

(8. 118)

A pri,neira con1ponente, V1(t) = V0 U(t), representa uma tensão cc de a1nplitude V0 que co1nu1a em t = O e pern1anece dessa forma indefinidan1ente, e a segunda componente, V2(t) = - V0U(t - ;), representa un1a tensão cc de an1plitude - V0 que con1uta em t = Te então permanece dessa forma indefinidamente. Con10 podemos ver a partir da Fig. 8-32(b), a soma das duas co1nponentes é igual a V0 para O :,; r :,; T e igual a zero para t > T. Essa representação de um pulso em termos de duas funções degrau nos pennite analisar o co,nportamento transitório de um pulso en1 u,na linha de transn,issão co,no a superposição de dois sinais cc. Portanto, se pudermos desenvolver ferramentas básicas para descrever o comportamento transitório de uma única função degrau, poden1os aplicar as mesmas ferramentas para cada uma das duas componentes do pulso e, então, somar adequada1nente os resultados.

287

-

t

(8.1 19b)

A co,nbinação de ~ e f. constitui uma onda que co,neça a se propagar ao longo da linha con1 u,na velocidade uP = 1!J;Iê, .imediatamente após o instante en, que a chave é fechada. O sinal positivo sobrescrito indica o fato de que a onda se propaga na direção positiva de z. A resposta transitória da onda é 1nostrada na Fig. 8-34 para cada urn de três instantes no tempo para um circuito com R~ = 4Zo e z,,= 220. A prüneira resposta é para o te1npo 11 = T/2, onde T = 1/uP é o tempo que a onda gasta para se propagar por todo o con1primento da linha. Até o instante t,, a onda terá se deslocado a metade cio cornpri,nento da linha; conseqüentemente, a tensão na prin1eira 1netade da linha é igual a ~ e a tensão na segunda metade ainda é zero [Fig. 834(a)]. En, t =T, a onda chega à carga situada em z = l, e como ZL=I= Z0, o descasamento gera uma onda refletida com au1plitude (8. 120)

onde (8.121)

288

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

V(z, 3T/2)

V(z, 772)

V- .

/

V(z, 5T/2) (Vi ++Vi -)

V-

(V,~

/

\1-

(\/1 ..")

v ,+

v.+

(v,++v, - +V2~

r'

\12+= fg Vi -

Vi+


/

.

o

o

I

1/2

1/2

=

(b) V(z) para t

(a) V(z) para 1 T/2

1,+ 1- .

o

=3T/2

112

I

(e) V(z) para 1 =57Y2

J(z, 3T/2)

/(z, 7Y2)

/

o

I

J(z, 5Tl2)

(/1+)

-

..__ _ _ _ _ _ _ z ~

z

. l

112 (d) /(z) para 1

o

1/2

=rn

.._-----1;-------t-,.. z

o

I

(e) /(z) para 1 = 3T/2

112

I

(f) /(z) par<1 t = ST/2

Figura 8-34 Distribuições de tensão e corrente ern unia linha de transmissão sern perdas ern t = T/2, t = 3T/2 e t =5T/2 ern resposta à tensão degrau unitário aplicada ao circuito con1 Rs =420 e z.. =220 • Os coeficientes de reflexão correspondentes são r .. = 1/3 e f 6 = 3/5.

é o coeficiente de reflexão da carga. Para o caso específico ilustrado na Fig. 8-34, Z1• =2Z0, o que resulta em f 1. = I/3. Após essa primeira reflexão, a tensão na linha consiste na resultante das duas ondas, a onda inicial v;- e onda refletida v7. A tensão na li nha de transmissão ein t 2 = 3T/2 é mostrada na Fig. 8-34(b); V(z, 3T/2) é igual a v;- na primeira + V7) metade da linha (O< z < l/2), e é igual a na segunda n1etade da linha (l/2 < z < /). Em t = 2T, a onda refletida v; chega à entrada da linha. Se R0 ;t Z0, o descasamento na entrada gera uma reflexão em z = na fonna de onda com amplitude de tensão V\ dada por

ten1po passa de t = 2T, a onda V\ se propaga na linha em direção à carga e, corno antes, ela se son1a à condição de tensão anterior na linha. Portanto, para t = ST/2, a tensão total na primeira 1netade da linha é V (z, ST /2) =

(v;-

o

v,+ + v,- + v2+

= (I

onde

(8.1 24a)

e na segunda metade da linha a tensão é V(z, 5T/2)

= v,+ + v,= (1

(8. 122)

+ r L + rLrg)v,+ (O ~ z < l /2),

+ r L)v,+

(l/2 <

z<

l) .

(8.124b) A distribuição de tensão é mostrada na Fig. 8-34(c).

r.,= "

- Zo ~RgRg + Zo

(8.123)

é o coeficiente de reflexão da resistência do gerador (Rt). Para R 8 = 420, reinos = 0,6. Quando o

rg

Até agora, exatnina.mos a resposta transitória de somente uma onda de tensão V(z, t.). A resposta transitória associada da corrente /(z, r.) é 1nostrada nas Figs. 8-34(d) a (t). O processo é similar ao que descreven1os para a tensão V(z, t), exceto por u1na

CAPÍTULO 8

diferença iinportante. Ao passo que em qualquer u,na das extremidades da linha a tensão refletida está relacionada com a tensão incidente pelo coefi ciente de reflexão naquela extremidade, a corrente refletida está relacionada com a co1Tente incidente pelo negativo do coeficiente de reflexão. Essa propriedade da reflexão de ondas é expressa pela Eq. (8.49b). Conseqüentemente, / 1

= - rL/(,

1{ = -rg1,-

=

rgrLI(,

=

+ V3+ + y3- + · · · vt[1 + rL +rLrg+ r lrg+ r lri+ rtr!+· · ·l v1+rc1 +rt)( l +rtrg+rlr~+· · -)] V,+(J+ft)[I +x +x 2 + . . ·], (8.126)

onde x =r,, r .. A série entre colchetes é a série binomial da função ~

1 2 = 1+ x + x + · ·· 1 -x

mente o que esperaríamos a partir de uma análise cc do circuito visto na Fig. 8.33(a) se fôsse,nos tratar a linha de transntissão co1no u1na simples conexão de fios entre o circuito gerador e a carga. A corrente de estado estacionário correspondente é (8.130)

M8.5-8.9

(8.125b)

V00 = Vt + v,- + V2+ + v2-

=

289

(8. 125a)

e assim por diante. O processo de reflexão 1núltipla continua indefinida1nente, sendo que o valor fi nal a que V(z , t) chega conforme rse aproxüna de oo é o mesrno em todas as localizações na linha de trans,nissão e é dado por

=

LINMAS DE TRANSM.ISSÃO

para lx1< 1. (8.127)

Portanto, a Eq. (8. 126) pode ser reescrita na forma con1pacta a seguir: (8.128) Substituindo V\, í 1. e r s nas expressões dadas pelas Eqs. (8. 119b), (8.121) e (8.123), respectivamente, e simplificando a expressão resultante, obtemos

(8.129)

A tensão Voo é denominada tensão de esúulo estacionário na linha, sendo que sua expressão é exata-

8-11.2

Diagramas de Reflexão

Acornpanhar as ondas de tensão e corrente à medida que se deslocam para frente e para trás na linha é um processo bastante tedioso. O diagra111a tle reflexão é uma representação gráfica que nos pennite atingir a n1esn1a n1eta, porém com relativa faci lidade. O eixo horizontal nas Figs. 8-35(a) e (b) representa a posição ao longo da linha de lransmissão, e o eixo vertical indica o tempo. A Fig. 8-35(a) diz respeito a V(z, r) e a parte (b) diz respeito a /(z, t). O diagran1a de reflexão na Fig. 8-35(a) consiste em u,na linha em ziguezague que indica o progresso da onda de tensão na linha. A onda incidente V. co,neça e1n z = t = Oe se propaga na direção positiva dez até alcançar a carga situada e,n z = l no instante t =T. Na parte superior do diagrama de reflexão, os coeficientes de reflexão são indicados por r =r &na extrenu.dade do gerador e pOr [ =r Lna extre1nidade da carga. No final do prirneiro seg1nento reto da linha em ziguezague, uma segunda linha é desenhada para representar a onda de tensão refletida v-, = r LV'" 1• A a1nplitude de cada novo seguimento de linha é igual ao produto da a,nplitude do seguirnento de linha anterior pelo coeficiente de reflexão no final dessa linha. O diagra,na de reflexão para a corrente l(z, t) na Fig. 8-35(b) segue o rnesmo procedimento para o caso da tenna são, exceto pelos sinais invertidos de f1, e parte superior do diagrarna de reflexão. Co1n o uso do diagran1a de reflexão, a tensão total (ou co1Tente) em qualquer ponto z: 1e instante t, pode ser detern1inada traçando un1a linha vertical através do ponto z,e, em seguida, somando as tensões (ou correntes) de todos os segn1entos da linha em ziguezague interceptados pela linha verti-

rg

290

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

//4

//2

.

'

.

v,+

•

1 1

z=l

1 1

114 '

:-r1.1,+. 1 1

1

' r gr L2v1+

4T

-

~

1 1

_.

V(l/4, 4D /

1 1 1 1

3T

r g2rL2 v1+

4T

~

1

1(114,

5T

1

•'

~

/

4D /

1,+

1 1

-

2T

rsr1.v,+

31/4

//2

•

T

,1 r1.v,+. 2T

r =-rs z= o 1 =0

T

~

3T

rsr1.11+ 2 +

Í gÍL /1

rg2rL211+

1

(a) Diagran1a de reflexão da tensão

~

:::,

5T

1

(b) Diagran1a de reflexão da corrente

V(/14, 1) c1+r 1 + r gr 1.+r 8 r 1.2)V1+

c1+r1.+r~r1.>v,+ '

1 1

\ '

1

''

•1

1 1 1

l

1

• '---t-----+-' ---+--+----tl-----+--'---~ !-+-'-'1 - - - - - + - ' - - - - - ~ ,

T

-T4

-7T4

2T

-9T 4

37

-l5T 4

4T 17T

-4

5T

(e) Tensão versus 1empo para z = 114

Figura 8-35 Diagnunas de retlexão para (a) tensão e (b) corrente. Em (c), a variação de tensão con1 o tempo em z=//4 para um circuito com r . = 315 e rL = 1/3 é deduzida a partir da linha tracejada vertical e,n //4 em (a). •

cal entre t =Oe t =t. 1• Para determinar a tensão e,n z =l/4 e T =4T , por exemplo, desenhamos unia linha tracejada vertical na Fig. 8-35(a) passando e,n z = //4 desde t =Oaté t = 4T. A linha tracejada intercepta quatro seg,nentos de linha. A tensão total ern z = //4 e t = 4T é então dada por V(l/4, 4T) =

=

v,+ + rL v,+ + rgrL v,+ + rgr[v,+ v,+<1 + r L + rgrL + r gr[).

A variação de ten1po de V e,n uma localização específica z pode ser obtida fazendo u,n gráfico com os valores de V ao longo da linha vertical tracejada passando através dez. A Figura 8-35(c) 1nosu·a

a variação de V co,no u,na função do te,npo em = 1/4 para Ulll circuito COm r g =3/5 e rL = J/3.

z

08.5-8.9

Exemplo 8-13

Refletômetro no Domínio do Tempo

Um ret1etô1netro no donúnio do ternpo (TDR ti,ne-do,nain rejlectorneter) é u,n insu·umento usado para identificar defeitos em urna linha de transmissão. Considere, por exemplo, um longo cabo subterrâneo ou maríti,no apresentando u1n dano a tuna distância d na entrada da linha. O dano pode alterar as propriedades elétricas ou a fonna física do cabo, fa-

CAPÍTULO 8

zendo com que ele apresente uma impedância característica zt, no local do proble1na, a qual é diferente da i1npedância característica 2 0• U1n TDR envia u,n pulso de tensão na linha e, observando a tensão na entrada como unia função do tempo, é possível determinar a localização do problema e sua gravidade. Se a forma de onda de tensão mostrada na Fig. 8-36(a) for vista através de um osciloscópio conectado 1t entrada de uma linha de trans1nissão casada de 75 Q , detern1ine (a) a tensão do gerador, (b) a localização do proble1na e (c) a resistência shunt do defeito. O material isolante da linha é o Tetlon con1 e,= 2, l. Solução: Como a linha está casada, significa que Rg = Z1, = Z0 . Na Fig. 8-36(b), o problema situado a uma distância d da entrada é representado por uma resistência shunt Rr. Para uma linha casada, a Eq. (8.119b) resulta e1n V

+_

,-

VgZo

V,,Zo

Rg+ Zo

2Zo

.:,

V" = ~ 2

291

LINMAS DE TRANS~11SSÃO

V(O, t)

6V

-----·

3 V··

.

o

1

12 µs

(a) Tensão observada na entrada 1=0 y

..• ...~Rg = Z:'

1

•

v.+--

Zo

~

• •• :_Rr

Zo

•

•

. •

•

: Zt=Zo

o

z= O

z=d

(b) O defeito e1n z = d é representado por uma resistência Rr

Figura 8-36 Rel1etômetro no do1nínio do tempodo Exetnplo 8-13.

De acordo com a Fig. 8-36(a), ~ = 6 V. Portanto, Vg = 2v1+ = 12 V. (b) A velocidade de propagação na linha é

up =

3

C

108

X

= 2,07 x 10 1n/s.

2, 1

Para uma falha a unia distância d, o atraso de ten1po de ida e volta do eco é l:::,.t

rf =

. 8

../Er = .JD êr

onde r 1 é o coeficiente de reflexão devido à impedância Z1,r que aparece em z = d. A partir ela Eq. (8.49a),

2d

= - .

e segue que Zr.r = 25 Q . Essa carga relativa ao defeito é co1nposta de uma resistência shunt Rr e ela iinpedância característica Z0 da lin.ha à direita do local do defeito:

Llp

-

A partir elas Fig. 8-36(a), t:.t = 12 µs. Portanto,

- ôt

d-

-

2

_ 12

X

Up -

(Q- 6

2 2,07

X

X

v,- = rrv,+ = - 3 V, ou

-3

rr = -

6

= -0,5,

l

ZLr

1

1

Rf

Zo

= -+- ,

de forn1a que a resistência shunt é 37 ,5 Q.

•

D8.I0-8.13

){j = ), 242m.

(e) A variação no n.ível de V(O, t) 1nostrada na Fig. 8-36(a) representa V~. Portanto,

Ztr- Zo ' ZLf + Zo

.

.

QUESTOES PARA REVISAO Q8.25 Qual é a finalidade do uso da análise transitória? QS.26 A análise transitória apresentada nesta seção foi para unia tensão em degrau. Como usá-la para analisar a resposta a um pulso?

292

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

QS.27 Qual é a diferença entre o diagrama de rellexão para a tensão e o diagraina de reflexão para a corrente?

,

'

TOPICOS IMPORTANTES DO CAPITULO • U1na linha de transmissão é u1n circuilo de duas portas que conecta um gerador a u1na carga. As ondas eletromagnéticas que se propaga1n na linha podern sofrer perdas ôhmicas de potência, efeitos dispersivos e refl exões nas extremidades conectadas ao gerador e à carga. Esses efeitos na linha de transmissão podem ser ignorados se o co1nprimento da linha for muito menor que /,. • Linhas de transnlissão TEM consisten, en, dois condutores que podem suportar a propagação de ondas eletro1nagnéticas transversais caracterizadas pelos ca1npos elétrico e 1nagnético que são transversais à direção de propagação. As linhas TEM podem ser representadas por um modelo de elementos concentrados que consiste1n en, quatro parâmetros (R', L', G' e C'), cujos valores são especificados pela geo1netria particular da linha, pelos parâ1netros constitutivos dos condutores e do material isolante entre eles e pela freqüência angular w. • A propagação de ondas etn u1na linha de transmissão, que é representada pela tensão fasorial V(z) e pela co1Tente associada I-(z), é determinada pela constante de propagação da linha, y = a +j/3, e pela sua impedância característica, ZcJ· Tanto y quanto 20 são especificadas pela freqüência w e pelos quatro parâmetros da linha.

-

• Se R' = G' = O, a linha se torna sem perdas (ex = O). U1na linha sen1 perdas não apresenta dispersão, significando que a velocidade de fase de uma onda não depende de sua freqüê ncia de osci lação. • E1n geral, u1na linha suporta duas ondas, un,a onda incidente fornecida pelo gerador e u1na onda refletida pela carga. A resultante das duas ondas gera uma onda estacionária com um período de ')J2. A razão de onda estacionária S, que é igual à razão entre os módulos de tensão

máxima e míniina na linha, varia entre I para u1na cru·ga casada (Z1_ =Z0) e oo para u1na linha terminada e 111 um circuito aberto, u1n curto-circuito ou uma carga reativa pura. • A impedância de entrada de uma Linha tenninada en, un1 curto-circuito ou um circuito aberto é puramente reativa. Essa propriedade pode ser usada para projetar indutores e capacitores equivalentes. • A fração da potência incidente entregue à carga através de unia linha sen, perdas é igual a <1 -

lr f).

• A carta de Stnith é u1na técnica gráfica útil na análise de problemas de Iinha ele trans1nissão e no projeto de circuitos para casaniento de impedância. • Circuitos de casa1nento de i1npeclância são colocados entre a carga e a linha de trans1nissão alimentada com a finalidade de eli n,inar reflexões em direção ao gerador. Um circuito de casamento de impedância pode consistir e1n ele1nentos concentrados na fonna de capacitores e indutores; ou, ainda, eles podem consistir em seções de linha de transmissão co.1n compri1nentos e tenninações apropriados. • A análise transitória de pulsos pode ser realizada usando u1na técnica gráfica, o diagra1na de reflexão, que rastreia as reflexões nas extremidades da linha conectadas ao gerador e à carga.

PROBLEMAS Seções de 8-1 a 8-4: Modelo de Linha de Transmissão 8.1* Un1a linha de transmissão de co1nprin1ento l conecta un1a carga a uma fonte de tensão senoidal de freqüência.f Considerando que a velocidade de propagação da onda na linha s~ja e, para qual das seguintes situações é razoável ignorar a presença da linha de transmissão na solução do circuito: * Respostas disponíveis no Apêndice D. ti Solução disponível no CD-ROIVL

CAPÍTULO 8

LINMAS DE TRANSM.ISSÃO

293

(Z0) é puramente real. Algumas vezes não é possí-

(a) l = 20cm,.f= 10 kHz (b) l = 50 cm,/·= 60 Hz (e) l = 20 c,n,f= 300 MHz (d) l= 1 mm,f= 100GHz

vel projetar u,na linha de trans1nissão de modo que R' << wL' e G' << wC ', ,nas é possível determinar as dimensões da linha e as propriedades dos n1ateriais de forma a satisfazer a condição

8.2 Calcule os parâ1netros de linha R', L', G' e C' para unia linha coaxial con1 um condutor interno de diâmetro 0,5 cm e um condutor externo de diâmetro l c,n , preenchida com um material isolante onde µ= µ 0, e,= 2,25 e cr = 10· 3 S/Jn. Os condutores são feitos de cobre co,n /J.c = µ 0 e crc = 5,8 x 107 S/in. A freqüência de operação é l GHz. 8.3* U,na linha de transmissão de placas paralelas l GHz consiste en1 tiras de cobre com 1,5 cm de largura separadas por uma fina camada de poliestireno co,n 0,2 cm de espessura. Do Apêndice B obte1nos /J.c = /J.o = 47T X 10· 1 (H/n1) e
8.4 Mostre que o modelo de linha de transmissão 1nostrado na Fig. 8-37 resulta nas 1nes1nas equações da telegrafia dadas pelas Eqs. (8.14) e (8.16). 8.5* Determine a, {3, ur e 2 0 para a linha coaxial do Proble,na 8.2. Seção 8-5: A linha sem Perdas 8.6 Além de não dissipar potência, uma linha sem perdas te.1n duas características importantes: ( 1) não apresenta dispersão (up é independente da freqüência) e (2) sua iinpedância característica

R'C ' = L'G'

(linha sem distorção)

Tal linha é denotninada linha se111 distorção, porque, apesar do fato de a linha não ser sem perdas, ela todavia possui as características de uma linha sem perdas mencionadas anteriormente. Mostre que, para un1a linha se1n distorção, a= R'

,

= .JR'G'

f3 = Q).fuci

8.7* Para uma linha sem distorção [veja o Problema 8.6] cotn Z0 = 50 n, a = 40 (JnNp/iu) e uP = 2,5 x 108 (111/s), determine os parâ,net.ros da linha e Â. e,n 250 MHz.

8.8 Detennine a e Z0 para u.1n.a linha se1J1 distorção em que R' = 4 Q/m e G' = 4 x 10--i Sim . 8.9* Uma linha de transmissão que opera em 125 MHz ten1 Z0 = 40 n, a = 0,02 (Np/D,) e {3 = 0,75 rad/m. Detennine os parã,netros R', L', G' e C' da l.inha.

l!'t'

8.10 Usando unia linha fendida, identificou-se que a tensão em uma linha de transmissão tem uma an1plitude ,náxiJna de 1,5 V e oúnin1a de 0,8 V. Detennine o n1ódulo do coeficiente de reflexão da carga.

8.11* Un1a linha de 50 n constituída de urn caR'fg i(z, 1) 2

R'!).ç 2

L '!).z 2

+

t

u(z, 1)

L'!).z 2 i(z+6z, 1) +

C'&

G'6z

!

t

u(z+6z. 1)

! /).z

Figura 8-37 Modelo de linha de transmissão para o Problema 8.4.

bo coaxial se,n perdas usa co,no ,naterial isolante o poliestireno com e, = 2,25. O raio do condutor interno é l 1111n. (a) Qual é o raio do condutor externo? (b) Qual é a velocidade de fase na linha?

8.12 Uma linha de trans,nissão sen1 perdas de 50

n é tenninada corn u,na carga de ilnpedância Zi. = (30 - }60) n. O con1primento de onda é 5 c,n. Determine o que é pedido a seguir: (a) O coeficiente de reflexão na carga.

294

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

(b) A razão de onda estacionária na linha. (e) A posição do ,náximo de tensão mais próxiino

da carga. (d) A posição do máximo de corrente mais próximo da carga. Ein u,na linha de trans,n.issão sem perdas de 150 Q , foi observado o seguinte: a distância do primeiro 1nini1no de tensão, a partir da carga, é de 3 c1n; a distância do priineiro n1áximo de tensão, a parlir da carga, é 9 cm; S = 3. Determine Zv

1•

I

=0,35)..

•I

Zo = 100 n

Ze111. -

8.13*

Usando uma linha fendida, os seguintes result:ados foram observados: a distância do primeiro 1nínin10 a partir da carga é 4 cm; a distância do segundo n1ínimo a partir da carga é 14 cm; a razão de onda estacionária de tensão é igual a 2,5. Se a linha não apresenta perdas e Z0 = 50 Q , determine a impedância de carga.

8.14

=

8.15* U1na carga con1 in1pedância Zi. (25 j50) Q é conectada a u1na linha de transmissão se1n perdas con1in1pedância característica Z0, sendo Z0 determinada de tal forma que a razão de on~

da estacionária é a 1nenor possível. Qual deve ser o valor de Z0? U,na linha sem perdas de 50 Q tenninada em uma carga pura1nente resistiva tem uma razão de onda estacionária igual a 4. Deterrnine todos os possíveis valores de ZL.

8.16

Seção 8-6: Impedância de Entrada

Na freqüência de operação de 300 MHz, uma linha de transmissão sen1 perda<; de 50 Q con1 dielétrico de ar e comprimento de 2,5 1n é ternt inada com unia i1npedância ZL = (60 + j20) Q . Determine a i1npedância de entrada.

8.17*

Urna linha de transnüssão sem perdas co1n compri1nento elétrico I = 0,35À é tern1inada com uma impedância de carga conforrne mostra a Fig. 8-38. Detennine r , Se Zcm. 8.18

Mostre que a in1pedância de entrada de uma linha sem perdas de 1/4 de cornprimento de onda tern1inada en1 um curto-circuito se n1ostra con10 sendo u1n circuito aberto.

8.19

Mostre que, para a posição na qual a amplitude da tensão na linha é máxima, a impedância de entrada é pura1nente real.

8.20

Figura 8-38

Circuito para o Problen1a 8.18.

8.21* Um gerador de tensão com vg(t) = 5cos(2rr x 109 t) V

e impedância interna Zs = 50 Q é conectado a u1na linha sem perdas de 50 Q com dielétrico de ar. O comprin1ento da linha é 5 c1n e ela é tertninada com u1na .impedância de carga Z1. = ( 100 - j l 00) Q . Determine o seguinte: (a)

r na carga.

(b)

z.n1.' na entrada ela linha ele transm.issão.

-

(e) A tensão de entrada Vi e a corrente de entra-

da i i. 8.22 Uma seção de 6 m de uma linha de trans1nissão sen1 perdas de 150 Q é alimentada por unia fonteco,n vg(t) = 5 cos(8rr x 107 t - 30º)

(V )

e Zg = 150 Q. Se a linha, que tem tuna permissividade relativa de €,. =2,25, é tern1inada com uma carga Z1. = ( 150 - j50) Q, detennine o seguinte: (a) 'A na linha. (b) O coeficiente de reflexão na carga. (e) A itnpedância de entrada. (d) A tensão de entrada V;. (e) A tensão de entrada no don1ínio do tempo v;(t) .

-

8.23* Duas antenas dipolo de meia onda, cada uma com urna irnpedância ele 75 Q , são conectadas en1 paralelo através ele um par de linhas ele transnlissão e a cornbinação é conectada a uma linha de transmissão alimentada, contorme mostra a Fig. 839. 1'odas as ILnha<; são se1n perdas e de 50 Q. (a) Calcule Z cn1. 1> a iinpedância de entrada da linha terminada com uma antena, na junção e1n paralelo.

CAPÍTULO 8

75!'l (Antena)

1..

Zcn1., - ~ Zen, "'

Z cnt.2,-"'!ol

50 (Antena)

LINMAS DE TRANSM.ISSÃO

295

8.27* U1na carga resistiva de 60 Q é precedida por uma seção de linha sc,n perda de comprimento JJ4 e impedância 50 Q , a qual é precedida por u1na outra seção de linha de co1nprimento /J4 e i1npedância 100 Q. Qual a impedância de entrada? 8.28 Uma estação de radiodifusão FM de 100 MHz usa unia linha de trans,nissão de 300 Q entre o trans1nissor e a antena dipolo de meia onda montada e.1n un1a torre. A in1pedância da antena é 73 Q. Você recebe uma solicitação para projetar um transformador de l/4 de onda para casar a impedância da antena com a linha.

(b) Combine 20 111., e Z, 111 •2 em paralelo para obter Z'v a i1npedância de carga efetiva da linha alimentada.

(a) Determine o comprimento elétrico e a impedância característica da seção de 1/4 de onda. (b) Se a seção de 1/4 de onda é uma linha paralela com d= 2,5 cm e o espaçamento entre os fios é de poliestireno con1 e, = 2,6, deternune o cornprimento fís ico da seção de 1/4 de onda e o raio dos dois condutores.

(e) Calcule Zem. da linha alimentada.

rt' 8.29*

Figura 8-39 Circuito para o Probletna 8-23.

Seção 8-7: Casos Especiais 8.24 Deseja-se usar u1na seção de linha de transmissão sem perdas de 50 Q , operando em uma freqüência de 200 MHz e tenninada em curto-circuito, para que seja equivalente a uma carga com reatância de X= 25 Q . Se a velocidade de fase na linha for 0,75c, qual é o menor co1nprÍlnento possível da linha para que ela apresente a reatância desejada? 8.25* U,na linha de trans,nissão sem perdas é t.enninada em u1n curto-circuito. Qual a extensão (ern compri,nentos de onda) que a linha deve ter para se n1ostrar como u1n circuito aberto nos terminais de entrada? 8.26 A impedância de entrada de uma linha de transn1issão se1n perdas de 31 c1n de comprimento operando e1n l MHz é desconhecida. Com a linha tern1inada em um curto-circuito, o resultado da 1nedição da iinpedância de entrada equivale a um indutor con1 indutância de 0,128 µ.H , e quando a linha é colocada na condição de circuito aberto, o resultado da ,nedição da impedância de entrada equivale a un1 capacitor co1n capacitância de 20 pF. Detennine a in1pedância Z0 da linha, a velocidade de fase e a permissividade relativa do material isolante.

Un1 gerador de 50 MHz e Zs =50 Q é conectado a uma carga Zr. = (50 - j25) Q. A potência n1édia no tempo transferida do gerador para a carga é máxi,na quando Zg= Zi_, onde Zi_ é o conjugado con1plexo de Zv Para alcançar essa condição se1n alterar Zg, a i1npedância de carga efetiva pode ser modificada acrescentando urna linha cm circuito aberto em série con1 z.,, confonne n1ostra a Fig. 8-40. Se a linha tem um Z0 = 100 Q , deter1nine o ,nenor co,nprimento de linha (e,n comprin1ent.os de onda) necessário para satisfazer a condição de máxima transferência de potência.

Zo = 100n

son

T I

i

+

Z L (50-j25) Q

Figura 8-40 Configuração da linha de transn1issão para o Proble1na 8-29.

296

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Uma linha sem perdas de 50 Q de comprimento L=0,375À. é conectada a u1n gerador de 200 MHz, sendo V g = 150 V e Zs = 50 Q para un1a carga z... Determine a corrente no domínio do ten,po através da carga para:

8.30

-

(a) 21. = (50 - j50) Q

~

8.32 Se a configuração das duas antenas 1nostrada na Fig. 8-41 for conectada a un1 gerador co111 Vg =250 V e Zg = 50 Q, qual o valor da po-

-

(b) Z1.=50Q (e)

(e) Calcule a potência média no tempo entregue pelo gerador (P,,), e a potência média no tempo dissipada e1n Zs. A lei da conservação da potência é satisfeita?

tência média entregue para cada uma das antenas?

Zi. =O (curto-circuito)

Para o circuito n1ostrado na Fig. 8-42, calcule a potência incidente média, a potência refletida 1nédia e a potência 1nédia transmitida para tnna linha infinita de 100 Q. A linha de comprimento Â/2 é se,n perdas e a linha infinitan1ente longa apresenta uma pequena perda. (Dica: a impedância de entrada de uma linha infinitrunente longa é igual a sua ilnpedância característica enquanto a,;, 0.) 8.33*

Seção 8-8: Transferência de Potência em Linha sem Perda

-

UmgeradorcomVs = 100VeZi = 50Qé conectado a u1J1a carga ZL =75 Q através de u1na Linha sem perdas de 50 Q e co1nprimento L= O, l 5À..

8.31*

(a) Calcule Zcnv a iJnpedância de entrada da tinha na extremidade do gerador.

-

-

8.34

Uma antena com uma impedância de carga

(b) Calcule l; e V;·

ZL = (75

(e) Calcule a potência 1nédia no tempo entregue à 1

--

linha, Pcm. = 29'\e[V;l(].

- -

(d) Calcule V L' l Le a potência !11édia no ten,po entregue à carga, PL= 491e[VL7;:]. Como é a com-

paração de Pcn1. con1 P L? Explique.

+ j25) Q

está conectada a u1n transnüssor an·avés de u1na linha de transmissão de 50 Q sen1 perdas. Se sob condições de casa,nento de ilnpedâncía (carga de 50 Q) o transmissor pode fornecer I OW para a carga, quanto de potência ele poderá fornecer para a antena? Considere que Zt = 2 0 .

ZL,= 75 Q (Antena 1)

50 Q

~1--- À/2 - - ~ A

Zent. -

Linha 1

B

Gerador ZL,= 75 Q

(Antena 2)

Figura 8-41

Configuração de antenas para o Problema 8-32.

CAPfTULO 8

LINMAS D E TRANSMISSÃO

297

,nenor comprimento de linha para o qual a ünpedância de entrada é puran1ente resistiva. (e) O

?qp

1

1•

).,/2

vv,

+

2v 1~

1

Zo= 50Q

-

1 1 1

1 P,~1(.,'{I.

P,~1éd.

1 1 1 1

-----

Z 1 =100Q-oo

P~,ed.

Figura 8-42 Circuito para o Problen1a 8-33.

(f) A posição do pri,neiro máximo de tensão a

partir da carga. 8.39* Un1a linha de transn1issão sem perdas de 50 Q é terminada e1n u111 curto-circuito. Use a carta de Smith para determinar o seguinte: (a) A impedância de entrada a uma distância de 2,3Ã. a partir da carga. (b) A distância a partir da carga na qual a admitância é y cnl. = - jü,04 S.

Seção 8-9: Carta de Smith 8.35* Use a carta de S,nith para determinar o coefi ciente de reflexão correspondente a un1a impedância de carga de: (a)

Zi, = 320

(b) ZL = (2 - 2j)Z0

(e) ZL = - 2jZ0

(d) ZL =O(curto-circuito) 8.36 Use a carta de S1nith para detenninar a impedância de carga normalizada que corresponde ao coeficiente de reflexão de: (a) ~

r= 0,5 (b) í = 0,5 /60•

(e) í= - l (d) r = o,3 ,,L.30• (e) í = O

(f) í = j

8.37* Em uma linha de transmissão sem perdas terminada em uma carga Z1, = 100 Q , a razão de onda estacionária 1nedida foi de 2,5. Use a carta de S1nith para detenn inar os dois valores possíveis de Z0 • 8.38 U1na Linha de o·ansn1issão sem perdas de 50 Q é terminada e,n uma carga con1 Z1. = (50 + j25) Q . Use a carta de S1nith para determinar o seguinte:

(a) O coeficiente de reflexão í. (b) A razão de onda estacionária. (c) A impedância de entrada a 0,35Ã. da carga. (d) A admitância de entrada a 0,35Ã da carga.

8.40 Use a carta de Smith para detenninar y 1_ se Z1. = 1,5 - j0,7. 8.41* Un1a linha de transmissão sem perdas ele 100 Q e co1nprimento 3Ã,/8 é tenninada e1n u1na i1npedância desconhecida. Se a in1peclância de entrada for zcnt. = - j2,5 Q;

(a) Use a carta de S,nith para determinar Zv (b) Qual o compri1nento de unia linha en1 circuito aberto que poderia ser usada para substituir Zi_? 8.42 Un1a linha se1n perdas de 75 Q tem 0,6Ã de co1nprilnento. Se S = 1,8 e 8, = -<50º, use a carta de Smith para determinar líl, ZL e z.m.· 8.43* Usando-se u,na linha fendida con1 urna linha sen1 perdas de 50 Q e dielétrico de ar, obtiverain-se as ,nedições a seguir: S 1,6 e lvlm{U<' que ocorreu apenas en1 10 c1n e 24 c1n a partir da carga. Use a carta de Smith para determinar Zv

=

8.44 Na ti·eqüência de operação de 5 GHz, Lllna linha coaxial sem perdas de 50 Q tendo um 1naterial isolante de permissividade relativa e,= 2,25 é terminada con1 u111a antena de impedância Z1. = 75 Q. Use a carta ele S1nith para cletenn inar Zc,u.· O co,nprimento da linha é 30 cm.

Seção 8-1 O: Casamento de Impedância 8.45* U,na linha seo1 perdas de 50 Q e co1nprin1ento 0,6Ã. é tenninada en1 un1a carga con1 Z1. = (50 + j25) Q. Em 0,3Â. a partir da carga, um resistor co1n resistência R 30 Q é conectado con10 mostra a Fig. 8-43. Use a carta de Smith para determinar Zcni.-

=

298

TIi. -

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

Zo=50 Q

.. .... >3on .. ..

Zo=SO Q

... , .,___ 0,3À- - -... 1•>-- 0,3À

ZL

0,3),- -

•1

ZL = (50 + J25) n

Zcnt.

~

Figura 8-43 Circuito para o Proble,na 8-45.

8.46 U,na linha sem perdas de 50 Q deve ser casada com uma antena que tem uma impedância ZL = (75 - j20) Q usando urn stub em curto-circuito. Use a carta de Sm.ith para detenninar o comprin1ento do stub e a distância entre a antena e o stub.

Zz = (50-J50) n

Figura 8-44 Circuito para o Problenia 8-48.

Repita o Proble1na 8.46 para urna carga com impedância Za. = ( 100 + j50) Q.

(a) A tensão do gerador.

8.48 Use a carta de Sn1ith para detenninar a Zcm. da linha aliJnentada mostrada na Fig. 8-44. Todas

(e) A impedância de carga.

8.47*

as linhas são sem perdas com Z0 =50 Q.

8.49* Repita o Proble1na 8.48 para o caso onde todas as três linhas de trans1nissão têm co,nprimento de JJ4.

(b) O compriinento da linha.

8.53* En1 resposta a uma tensão degrau, a fonna de onda da tensão mostrada na Fig. 8-46 foi observada na entrada da linha e,n curto-circuito com Z0 = 50 Q e e, = 4. Detennine V-2 , R.g e o co1npri1nento da linha.

8.54 Suponha que a forn1a de onda da tensão Seção 8-11: Transitórios em Linhas de Transmissão 8.50 Gere u1n diagrama de reflexão para a tensão V(z, t) para uma linha sem perda de l m de compriJnento caracterizada por Z0 = 50 Q e uP = 2c/3 (onde e é a velocidade da luz) se a linha for alimentada por u,na tensão degrau aplicada e,n t = O por u,n circuito gerador con1 Vg = 60 V e R. = 100 Q. A linha é terminada em uma carga Zt. = 25 Q. Use o diagrarna de reflexão para fazer u,n grálico de V(t) na n1etade da linha de t = Oa t = 25 ns.

rQ

mostrada na Fig. 8-45 foi observada na entrada de u,na linha de transmissão de 50 Q etn resposta a um degrau de tensão fornecido por uni gerador com Vg = 15 V e u,na resistência em série desconhecida Rg. A linha tem l km de comprimento, ve-

~

8.51

Repita o Problema 8.50 para a corrente I na

V(O, 1)

sv------- - - - 3V

linha. 8.52 Ern resposta a uma tensão degrau, a forma de onda da tensão n1ostrada na Fig. 8-45 foi observada na entrada da linha de transnlissão sem perdas co,n Rs = 50 Q , Z0 = 50 Q e e,= 2,25. Deter1nine o seguinte:

. o

-

1

6 µs

Figura 8-45 Fonna de onda da tensão para os Problen1as 8.52 e 8.54.

CAPÍTULO 8

8.55 Un1 circuito gerador com Vs = 200 V e Ri =25 Q foi usado para excitar u1na linha se1n perdas de 75 Q co,n u,n pulso retangular de duração T = 0,4 µ,s. A linha tem compri1nento de 200 m, 8 uP= 2 x 10 1n/s e é tenn inada com uma carga ZL = 125 n.

V(O, t)

L2V+-- - - - ,

3V - - - - - .1

o

299

LINl·IAS DE T RANSMISSÃO

•

•

7 µ.s

14 /.i,S

0,75 V

•

l

Figura 8-46 Forma de onda de tensão para o Proble1na 8.53.

locidade de propagação de I x 108 m/s e é terminada na carga ZL=100 n. (a) Determine Rs. (b) Explique por que a queda no nível de V(O, t) em t =6 µ,s não pode ser por causa da reflexão a partir da carga. (e) Determine a resistência shunt Rr e a localização do defeito responsável pela forn1a de onda observada.

(a) Sintetize o pulso de tensão que excita a linha con10 a son,a de duas funções degrau, Vg (t) e

vg2(t).

1

(b) Para cada função degrau, gere uni diagrama de reflexão para a tensão na linha. (e) Use o diagrama de reflexão para fazer o gráfico da tensão total na entrada da 'linha. 8.56 Para o circuito do Problen1a 8.55, gere u,n diagrama de reflexão para a corrente e faça o gráfico de histórico temporal na 111etade da linha. 8.57-8.65 Mais problemas resolvidos - soluções completas no ~ .

\

1

o/ O

\

\

\ \

' '' '

'

1

..o

)) j

/'

\\\\

\

\

s- - -s'

\ \ \:, 'I \

\

\

'' ' ' '

','

CA P

U LO

Espelho (a)

Espelho (b)

Reflexão e Transmissão de Ondas

Espelho (a)

Ondas Eletromagnéticas na Fronteira entre Dois Meios 9-1

Reflexão e Transmissão de Ondas com Incidência Normal

9-2

Leis de Snell

9-3

Fibra Óptica

9-4

Reflexão e Transmissão de Ondas com Incidência Oblíqua

9-5

Refletividade e Transmissividade

Ondas Eletromagnéticas na Fronteira entre Dois Meios A Fig. 9.1 ilustra o percurso de propagação de um sinal entre um barco transmissor e um submarino receptor i111erso. Vamos usar esse sistema de co1nunicação para analisar os processos relacionados à onda que acontecem ao longo do percurso do sinal. Con1eçando pelo transmjssor (indicado abreviadamente por Tx na Fig. 9-1 ), o sinal se propaga ao longo da linha de trans1nissão da antena. A relação entre a potência de saída do transmissor (gerador) ' PI' e a potência fornecida pela antena é de. t.enninada pelas equações de linha de trans1nissão dadas no Capítulo 8. Se a linha de trans1nissão não apresentar perdas significativas e estiver casada adequadamente co,n a antena transmissora, então toda a potência P, é entregue à antena. O próxi1no processo relacionado à onda é o da radiação; ou seja, a conversão da onda guiada enviada para a antena pela linha de trans1nissão em u1na onda esférica radiada para o espaço. O processo da radiação é o assunto do Capítulo 10. A partiJ· do ponto 1, que indica a localização da antena do barco, para o ponto 2, que indica o ponto de incidência da onda na superfície da água, o sinal é detenninado pelas equações que caracterizam a propagação da onda e1n un1 n1eio se1n perdas, que abordan1os no Capítulo 7. Conforme a onda encontra a fronteira ar-água, un1a parte dela é refletida pela superfície e outra parte é transmitida* através da fronteira para dentro da ,1gua. A parte transmitida sofre refração, en1 que a direção de propagação da onda se aproxima da vertical (normal). Os processos de reflexão e transn1.issão serão tratados neste capítulo. A onda que se propaga do ponto 3, que representa

Antena transmissora

"'J P,

Tx

Ar

~

* N. de T.: refratada.

A onda transmitida também é chamada de onda

Figura 9-1 Percurso do sinal entre u,n trans1nissor (Tx) no barco e um receptor (Rx) no sub. n1anno.

um ponto i1nediata1nente abaixo da superfície da água, para o ponto 4, que indica a localização da antena do sub1narino, está sujeita às leis da propagação de ondas e,n ,neios com perdas, que ta1nbém foram abordados no Capítulo 7. O último passo envolve a interceptação da onda incidente na antena receptora e a conversão dessa potência em potência de recepção (P,-cJ, para ser entregue, via linha de trans1nissão, ao receptor. As propriedades de recepção de antenas são abordadas no Capítulo 10. En1 resu,no, cada aspecto relacionado à onda no processo de trans1nissão ilustrado na Fig. 9-1 , que começa no transmissor e termina no receptor, é tratado e,n algun1as seções ou capítulos deste livro. Este capítulo começa co,n a análise das propriedades de transmissão e reflexão de ondas planas quando inc.idetn ein superfícjes planas ao lon-

302

E LETROMAGNETISMO PARA E NGENHE IROS

go da direção nonnal no ponto de incidência. Em seguida, as leis da reflexão e da refração são aplicadas ao caso geral de incidência oblíqua de urna onda plana.

9-1

Reflexão e Transmissão de Ondas com Incidência Normal

Saben1os do Capítulo 8 que, quando uma onda guiada se propaga ao longo de unia linha de transmissão e encontra uma descontinuidade de impedância, tal co1no a que é ilustrada na Fig. 9-2(a) na fronteira elas duas linhas co1n impedâncias características diferentes, a onda incidente é parcialmente refletida de volta à fonte e parciahnente transrnitida através da fronteira para a segunda linha. Um processo similar se aplica a uma onda plana unifonne que se propaga nu1n 1neio se,n deli111itação quando encontra uma fronteira com um outro meio. De fato, a situação ilustrada na Fig. 92(b) é exata1nente análoga à configuração de linha de transmissão mostrada na Fig. 9-2(a). As condições de contorno que detern1ina111 as relações en-

Linha de 1ransn1issão 1 Linha de 1ransmissão 2 Onda incidente

Zo,

Onda transmitida

Onda refletida

-

z=O (a) Fronteira entre linhas de transmissão Onda plana incidente

1

tre os campos elétrico e magnético das ondas incidente, refletida e transnútida na Fig. 9-2(b) são si1nilares àquelas desenvolvidas no Capítulo 8 para as tensões e correntes das ondas correspondentes na linha de transmissão. Por conveniência, dividimos nossa análise das ondas refletida e transn1itida através da fronteira plana em duas partes: nesta seção concentraremos nossas discussões no caso de incidência nonnal (perpendicular) ilustrado na Fig. 9-3(a), e nas Seções de 9-2 a 9-4 analisaren1os a situação de incidência oblíqua rnais geral ilustrada na Fig. 9-3(b). Mostraremos a base da analogia entre a linha de transn1issão e as configurações de ondas planas de forma que possamos usar os n1odelos equivalentes para linhas de transmissão para resolver problen1.as de ondas planas. Entretanto, antes de continuarmos com nossa análise, devernos explicar a relação entre raios e frentes de onda, pois ambos são usados para representar a propagação de ondas eletromagnéticas. Um raio é u1na linha desenhada para representar a direção do fluxo de energia eletromagnética transportada pela onda e, portanto, é paralelo ao vetor unitário de propagação k e ortogonal à frente de onda. A representação por raios das ondas incidente, refletida e transn1itida n1.ostrada na Fig. 9-3(b) é equivalente à representação por frente de onda ilustrada na Fig. 9-3(c). As duas representações são complementares; a representação por raios é 1nais fácil de usar e111 ilustJações gráficas, ao passo que a representação por frente de onda provê um significado físico maior quando se analisa o que acontece con1 uma onda quando ela encontra u,na descontinuidade. As duas representações serão usadas nas discussões a seguir. A

Onda plana trans,nitida Onda plana refletida

9-1.1 tvleio 1

Meio2

1/1

1/2

--o ~(b) Fronteira entre ,neios diferentes

Figura 9-2 A descontinuidade entre duas linhas de transmissão diferentes é análoga à que encontran1os entre dois meios distintos.

Fronteira entre Meios sem Perdas

A fronteira plana localizada em z = O na Fig. 94(a) separa dois meios se,n perdas, ho,nogêneos e dielétricos. O ,neio 1, definido para z :s; O, é caracterizado por (e 1, µ, 1), e o n1eio 2, definido para z > O, é caracterizado por (e2 , JJ-i). No n1eio l , u111a onda plana polarizada incidente em x com campos (E', H') se propaga na direção ki = voltada para o •

•

A

z

CAPÍTULO 9

R EFLEXÃO E 'fRANSMISSÃO DE ÜNDAS

303

Onda

Ooda iocident.e

Onda rransmitida

Onda refletida

Meio 1

Meio2

l/ 1

112

Onda transmitida

cidente

'

Meio2 112 (b) Representação de raios con1 incidência oblíqua

,,,

Meio 1

(a) Incidência normal

Meio 1

Meio2

1/1

1/2

(c) Representação de u,na frente de onda con1 incidência oblíqua

Figura 9-3 Representação por raios na reflexão e transmissão de ondas corn (a) incidência normal e (b) incidência oblíqua, e (c) representação por frente de onda co1n incidência oblíqua.

meio 2. A reflexão e a transmissão na fronteira de descontinuidade resulta,n eni unia onda refletida (E', H') com k, = no meio I e uma onda transniitida (E', H') coni k, = no nieio 2. Coni base nas fonnulações desenvolvidas nas Seções 7-3 e 7-4 para a caracterização dos ca,npos de unia onda TEM, as três ondas podeni ser descritas na forma fasorial por

-z

z

Onda incidente -Ei( z) -- x'Ei e-jk,z , 0

(9.1 a)

-· Üi(z) = z x E'(z) = 5, _E_b e-ik, z T/1

(9. I b)

IJI

011dll refletida Er(z) = iEóeik1z,

H'(z) =

(-z) X

(9.2a)

E"(z) = - y .....Q E' eikiz. (9.2b) 17,

1/)

Ondll transnzitida

- ( ) H1 Z =

,

Z X

-

(9.3a) 1

E (z) IJ2

,

Ei

= y- e l'/2

- ;·k,•

•"

(9.3b)

As grandezas E0, É 0 e E O são, respectivamente, as

amplitudes dos ca,npos elétricos das ondas incidente, ret1etida e transniitida, todas especificadas em t = Oe z = O(a fronteira entre os dois meios). O nú1nero de onda e a i1npedância innínseca do meio 1 são k 1 = w ...(iii"iJ e T/, = J µ,,/e, e, de fonna si1nilar, ki = w ,Jii2e2 e TJ2 = .JJJ,2/ 82 para o 111eio 2. A a,nplitude EO está relacionada à responsabilidade da fonte pela geração da onda incidente e, portanto, considera-se que seja unia grandeza conhecida. Nossa n1eta é relacionar e··0 e EO corn E0 • Faze,nos isso aplicando as condições de contorno para E e H em z =O.De acordo com a Tabela 6-2, o componente tangencial de E é sen1pre contínuo aa·avés da fronteira entre os dois tneios contíguos e, na ausência de fontes de corrente na fronteira, o componente tangencial de H tanibém é contínuo através da fronteira. Neste caso, os canipos E e H da onda incidente paralelamente à normal são tangenciais à fronteira. Conseqüenternente, co1no não existem cargas livres ou con·entes na fronteira, os ca1npos das ondas refletida e trans1nitida têm apenas componentes tangenciais. Na Fig. 9-4(a), e correspondentemente nas Eqs. (9.2a) e (9.3a), escolhemos arbitrariamente as direções ele E' e E1 para coincidir corn a direção de E' ao longo da direção positiva de x. As direções reais deles, em relação às direções consideradas, serão deterrninadas pelas polaridades das amplitudes E'0 e E0. Conforme vere1nos e1n breve, os ,nódulos e as po-

- -

-·

304

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

E'

(9.5b)

X

irl k; k,J w

Na fronteira (z = 0), os co1nponentes tangenciais dos campos elétrico e magnético são contínuos. Portanto,

Er

E,(O)=Ei(O)

ou

z=O (a) Fronteira entre rneios diclétricos

_

Eb+Eó=E0, Eb Eó Eo ---=171

1]1

1]2

(9.6a) (9.6b)

Soluções simultâneas para /!0 e E10 e1n tern1os ele E:0 resultam ern

..... 1

ou

~~~~~~---

Zo,

E'= ('72 -111) Ei =

Zo2

o

•--~~~~~~---

E0=

,- o ~-

º'

(9.7a)

Eb = r Eh,

(9.7b)

o

112+111

(

2112 ) 112 + 1]1

rEi

(b) Linha de 1ransrnissão análoga

onde Os dois rneios dielétricos separados pelo plano x-y ern (a) podem ser representados pela linha de transrnissão em (b). Figura 9-4

Eó. - 112 - 111 r - -- - (incidência Eb 112 + TJ1 paralela T

laridades dessas duas amplitudes são determinados pelos valores das i1npedâncias intrínsecas dos dois meios, ri 1e 1)2 . O carnpo elétrico total E 1(z) no n1eio l é igual à soma dos campos eléu·icos das ondas incidente e refletida; fato similar se aplica ao ca1npo magnético H 1(z). Portanto,

-

-

Meio]

E, (z) = Ei (z) + E' (z)

= x(Eoe- jk1 z + Eóejk,z),

(9.4a)

H1(z) =

Üi (z) + H'(z) 1 (E•. -1,, .• z Er J"k' I Z) =y oe - oe . A

111

(9.4b)

Con1 apenas a onda transn1itida no 111eio 2, os can1pos são

à norn1al)

= Eº = 2,,2 E 0 TJ2 + 111

(9.8b)

As quantidades r e T são denominadas coeficiente de reflexão e coeficiente de trans,nissão , respectiva1nente. Para u1n meio dielétrico sen1 perdas, 17 1 e 172 são quantidades reais; conseqüentemente, r e T são reais també111. Con10 vere1nos na Seção 9-1.4, as expressões dadas pelas Eqs. (9.8a) e (9.8b) são igualmente aplicáveis quando os n1eios são condutivos, poré1n, nesse caso, ri, e 1)2 podem ser complexos e, portanto, r e ,. podem ser complexos tan1bé1n. A partir das Eqs. (9.8a) e (9.8b), pode-se 1nostrar facihnente quer e T são inter-relacionados por uma fórmula simples:

r=l+r

(incidência paralela à normal)

Para um meio não-1nagné1ico, 111

=

Meio2

(9.5a)

(9.8a)

T72 =

l]O

à 110

~

•

'

(9.9)

CAPÍT ULO

onde 7/o é a impedância intrínseca do espaço livre, caso no qual a Eq. (9.8a) pode ser reescrita como

A configuração de linha de trans,nissão 1nostrada na Fig. 9-4(b) consiste eni uma linha de transmissão se1n perdas co,n impedância característica Z1)1 , conectada em z = O a tuna linha de transmissão sem perdas infinitamente longa com irnpedância característica Z02 . A i1npedância de entrada de uma linha infinitamente longa é igual à impedância característica. Portanto, e1n z = O, o coeficiente de reflexão de tensão (olhando em direção à frontei ra a partir da posição dominante da primeira linha) é = 202 - 201 , 202

sos são dadas na Tabela 9-1. A comparação entre as duas colunas mostra que existe unia correspondência equação por equação entre os parânietros de linha de transmissão (V , I, {3 , Z0) e os parârnetros de onda plana (E , H , k, 1)) . Essa correspondência nos pennite usar as técnicas desenvolvidas no Capítulo 8, incluindo o 1nétodo da carta de S1nith para o cálculo de transfonnações de irnpedância, para resolver problemas de propagação de ondas planas. A presença si1nultânea de ondas incidente e refletida nu1n meio, tal como o nieio I na Fig. 94(a), faz surgir unia onda estacionária. Por analogia com o caso das linhas de transmissão, a razão de onda estacionária no rneio I é dada por

--

(9.10)

Analogia com Linhas de Transmissão

r

+ 201

cuja fonna é idêntica à Eq. (9.8a). Para 1nostrar a base da analogia entre situações de ondas planas e linhas de trans,nissão, as expressões para dois ca-

1 + 1r1

S = IErlmáx

1-

IEtlmín

1r1

(9.15)

Se os dois meios tê1n impedâncias iguais (77 1 = 1)2) , então r =Oe S = l , e se o meio 2 for um condutor perfeito com 1)2 = O(que é equivalente a tuna linha de transmissão e1n curto-circuito), então r= - 1 e S = oo. As distâncias da fronteira onde o módulo da intensidade do ca,npo elétrico no meio I é niáxi1no, indicado por l máx• são descritas pela mesma expressão dada pela Eq. (8.56) para a tensão niáxima nunia linha de trans111issão:

Tabela 9-1 Analogia entre equações de onda plana para incidência normal e equações de linha de transn1issão, sendo a111bas sob condições sem perdas Linha de transmissão I Fig. 9-4(b) 1

Onda plana [Fig. 9-4(a))

E1 (z) = iEb(e- jk, , + rejk, z) -

Eo' ( -1..c, .,. e z-

H 1( z) = y· -

,, 1

M9. l -9.3 D9.l-9.3

.,.

I' eJ-"•')

(9.11 a) (9.12a)

E2(z) = ir Ebe- jk2z

(9.13a)

E'o -J'k")• H 2(z) = yr - e --

(9.14a)

A

v, (z) =

= ('12 - ,,, ) / ('12 + ,,. )

i:=t+r k1 = wJ11.,1e1 ,

k2 = w.Jµ2 e2

'li= Jµ1/ê1,

'12 = Jµ2/e2

v0+ce- j/J,z + reH11 ' )

-/1(z) = -(e-1 vo+ ·11 ,z - fel./J ,z) Zo1 Vz(z) = rv0+e- j fhz -

vo+ - .,.,_ e J>,,_ Zo2

l2(z) = r -

112

r

305

--

(111eio não111agnético)

9-1.2

9 R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

r

= (Zo2 - Zo1)/(Zo2 + Zo1)

,=l+r Z01 e Z02 dependem dos parãn1etros da linha de transn1issão

(9.llb) (9.12b) (9.13b) (9.14b)

306

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

(9.19a)

_ - l __ Br + 2111r Z-

max -

2

k,

com

= l , 2, ___ , se~- < O, 11 = O, 1, 2, ... , se~::: O, 11

{

(

) 9 .1 6

onde Â.1 = 27r/k 1 e O, é o ângulo de fase der (ou seja, r = lflej/1', e O, é li,nitado à faixa -'1T
se se

lmáx < lm,íx 2::

Àr/4, (9 _!?) Àr/4.

(9.19b) (9.19c) Mesrno quer seja pura,nente real quando os dois rneios são dielétricos sern perdas, escolhemos considerá-lo corno con1plexo, fornecendo assim con1 a Eq. (9. 19c) uma expressão que também é válida quando o meio 2 for uni condutor. A densidade de potência média da onda transn1itida no 1neio 2 é

As expressões para lmáx e l01 ,n são válidas desde que esse meio que contém a onda estacionária não apresente perdas ou tenha urn dielétrico de baixa perda, porém nenhuma restrição é itnposta sobre a natureza do meio de reflexão.

9-1.3

(9.20)

Transferência de Potência em Meios sem Perdas

O meio 1, rnostrado na Fig. 9-4(a), contém L11na onda incidente e uma onda refletida, que juntas e!-oduzen1 os can1pos elétrico e rnagnético E 1(z) e H 1(z) dados pelas Eqs. (9.1 la) e (9.12a) da Tabela 9-1. Usando a Eq. (7.158), a densidade de potência 1nédia líquida que se desloca no ,neio 1 é

-

1

,...,,

Sméd 1(Z) = 2 9le[E1 (z) X

Essa expressão é aplicável quando os dois rneios não apresentam perdas, bem corno quando o meio I for u,n condutor e apenas o meio 2 for sern perdas. Através do uso das Eqs. (9.8a) e (9.8b), podese 1nostrar facihnente que para u,n 1neio se111 perdas (para o qual r e 7 são reais) t

- · H 1 (z)]

2

1)2

=

1-

r2

(meio se1u perdas), (9.21)

7/ 1

= 49le [ x.E~(e- jk1z + reik1 z)

o que nos leva a X

y Eb*(eik1 z _

r •e- ik1z)]

1) 1

. 2

=i IEol (I - lfl2), 27]1

(9.18)

que é análoga à equação (8.84) para o caso de linha de transmissão se,n perda. O primeiro tenno na Eq. (9.'18) representa a densidade de potência média da onda incidente e o segundo termo (proporcional a lr f) representa a densidade de potência ,nédia da onda refletida. Portanto,

Esse resultado era esperado a partir das considerações da conservação de potência.

Exemplo 9-1

Projeto de Radome para Radar

Um radar de aeronave de 10 GHz usa urna antena de varTedura de feixe estreito montada na parte frontal da aeronave atrás de um radome clielétri-

CAPfTULO

co, conforme mostra a Fig. 9-5. Mesmo que o formato do rado1ne não seja plano, ele pode ser considerado aproxi1nadan1en1·e plano ao longo da pequena extensão do feixe estreito do radar. Se o material do radome for u1n dielétrico sen1 perdas com µ, = 1 e e,=9, determine sua espessura d de forma que o radon1e seja transparente ao feixe do radar. Por questões mecânicas, é necessário que d seja maior que 2,3 cm.

9

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

Onda incidente

Meio 1 (ar)

Radome

dielétrico

!Radar! (>, Antena

Meio 3 (ar)

,,,

i10

' z=-d

z=' O (a)

1

Linha L

:Linha 2 1

Zo1 = 1/o z= - d

z=O (b)

Figura 9-6 (a) Seção plana do radon1e mostrado na Fig. 9-5 em uma escala expandida e (b) seu 1110-

delo equivalente de linha de transrnissão (Exemplo 9-1).

3cm

- - = 1cm.

3

Portanto, se fizermos d= 5Ail2 = 2,5 cm, satisfaze1nos os requisitos 111ecânicos e de reflexão (sem reflexão). •

Exemplo 9-2

Feixe da antena

Onda transn1itida

Meio 2

i10

Solução: O problen1a de propagação é mostrado na Fig. 9-6(a) e1n uma escala expandida. A onda incidente é aproximadamente plana e se propaga no 1neio 1 (ar) co1n impedância intrínseca rio, oradome (1neio 2) 1e1n espessura d e impedância intrínseca 'Y/, e o meio 3 é semi-infi nito com impedância intrínseca 'Y/o· A Fig. 9-6(b) é uni modelo de linha de transmissão equivalente com z = Oescollüdo para coincidir co1n a superfície externa do radome e a irnpedãncia de carga 2 1• = 'Y/o representa a iinpedância de entrada do meio se1nj_-infi njto. A necessidade de que o radome seja transparente à onda incidente significa sitnplesrnente que o coeficiente de reflexão tem que ser zero em z = - d, obtendo assim a transmissão total da potência incidente para o meio 3. Co1no Z1. = 'Y/o na Fig. 9-6(b), nenhuma reflexão acontece em z = - d se z cm. = 'Y/o, o que pode ser conseguido fazendo com que d= nÀ2/2 [veja a Seção 8-7 .4], onde À2 é o co1nprimento de onda no n1eio 2 e n é un1 inteiro positivo. Em 1O GHz, o co1nprin1ento de onda no ar é Â.0 = e/f = 3 cm e, no material do radome,

Radome

307

Luz Amarela Incidente em uma Superfície de Vidro

Um feixe de luz amarela localizado no ar co1n comprimento de onda de 0,6 µ111 incide paralelamente à nortnal de u1na superfície de vidro. Se a superfície está situada no plano z = Oe a permissividade relativa do vidro é 2,25, detennine (a) a localização do ponto 1náxüno do campo elétrico no meio 1 (ar), (b) a razão de onda estacionária, e

Figura 9-5 Feixe da antena "0U1ando" através do radome da aeronave de espessura d (Exe1nplo 9-1).

(e) a fração da potência incidente transmjtida para o vidro.

308

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

Solução: (a) Corneçamos determinando o valor de 17,, 172 e r:

[iiJ = fi!i_:::::: 120n (Q),

v~ veo

171 =

172

[iii ~o 1 120.ir = \f-;:: = · : : : = 80.ir (Q) s2 so .Jsr .J2,3

r=

80.ir - 120.ir = 172 + T/ 1 801r + l 201r 112 -

171

= -0,2.

Portanto, lrJ =0,2 e O,= 7T. A partir da Eq. (9.16), a amplitude do ca,npo elétrico é máxima e,n - Br>,, 4n

L

máx -

propagação de interesse são a constante de propagação 'Y =a + j/3 e a impedância intrínseca co,nplexa 11c· As expressões gerais para a, f3 e 17c são dadas pelas Eqs. (7. 121 a), (7.12 1b) e (7.125), respectiva,nente, e as expressões aproxi,nadas são dadas na Tabela 7-2 para os casos especiais de n1eios de baixas perdas e 1neios bons condutores. Se o 1neio 1 for caracterizado por (e.,µ.., <71) e o 111eio 2 por (s2 , µ. 2 ,
+ n~ 2

ÀJ = -ÀJ + 11-

4

Meio ] (11

2

= O, 1, 2, .. .)

com À. 1 = 0,6 µ.m

-E ,(z)

.

= xE/i(e-YtZ

-

A

Eb

H, (z) = y -(e-

y. 1

T/c,

(b) S=

l

+ 1r 1 = 1 + 0,2 = 1r 1

1-

1 - 0,2

1,5.

(e) A fração da potência incidente transmitida para o vidro é igual à razão da densidade de potência trans,n itida, dada pela Eq. (9.20), pela densidade 2 de potência incidente, S;"'~" = IE;0 l /217 1:

"

+ feY• Z), -

fe

y10.

),

(9.22a) (9.22b)

Meio 2 (9.23a)

Ei

X

wL~ Er

Devido à Eq. (9.21 ),

s~e'd 2 =

1-

k,jar

1r1 2

s~éd

2

= l - (0,2) = 0,96, ou 96%. •

•"·->--~ z 'y

11c.

1/c,.

Meio 2 (e2 , /J.-i, uJ

Meio 1 (e 1, µ, 1• u 1)

-

z=O

M9.4-9.5

(a) Fronteira entre 1neios dielétricos 1

9-1.4

Fronteiras entre Meios sem Perdas

1 1

Zo2 = T/C2

-

•t-~~~~~~---

1

Na Seção 9-1. l consideramos uma onda plana e,n u1n n1eio sem perdas incidente paralelamente à norn1al na fronteira plana ele u1n outro 111eio se1n perdas. Agora gencralizaren1os nossas expressões para 1neios co111 perdas. En1 u1n ,neio con1 parâmetros constitutivos (e, µ., u), os parârnetros de

1

z=O (b) Linha de transmissão análoga

Figura 9-7 Incidência paralela à normal em uma fronteira plana entre dois n1eios con1 perdas.

CAPÍTULO

(9.23b)

9

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

Como 1Jci é muito pequeno comparado com T/o = 377 (Q) para o ar, a superfície do cobre funciona, na realidade, corno un1 curto-circuito. Portanto,

r (9.24a)

E1 (z) =

1/cz -

110 '.::::'.

1/c2 + 110

- 1.

Incidência Paralela à Normal em uma Superfície Metálica

xEb(e-jk1z - eiki z)

= - xj2Eb sen k, Z,

Sendo 17c1 e Y/ci , em geral, nú1neros complexos, e r pode1n, ta1nbé1n, ser nú1neros co1nplexos.

Exemplo 9-3

=

Fazendo r =-1 nas Eqs. (9. 11 a) e (9.12a) da Tabela 9- 1, ten1os

(9.24b)

r

309

(9.25a)

(9.25b)

Uma onda TEM polarizada em x de I GHz se propaga no ar na direção positiva dez e incide e1n uma superfície metálica que coincide con1 o plano x-y em z = O. Se a an1plitude do campo elétrico da onda incidente for 12 (mV/m) e a superfície rnetálica for feita de cobre com µ , = 1, e,. = 1 e O" = 5,8 x 107 (S/m), obtenha as expressões para os ca1npos instantâneos elétrico e magnético no ar. Considere a superfície metálica co1n.uma grande profundidade pelicular.

Co1n 1!0 = 12 (rnV/m), os campos instantâneos correspondentes a esses fasores são E,(z, t)

= D'te[E1(z) eiu = x2E0sen k 1z sen wt = x24 sen(20n z/3) 11

]

sen(2,r x 109 t) (mV/m),

-

.

H 1(z , t) = ITTe[H 1(z) e1"'1 ]

E' = y2_Q cosk 1z coswt

Solução: No meio 1 (ar), a= O,

111

fJ = ki =

9

= 2Jt X ]0 3 X J QS

úJ

C

11,

20,r (rad/m), 3 2:rr

= 110 = 377 (Q),

À= -

k,

=

<J

s'

ws,so

5,8 X 107 2n x 109 x (J0- 9/36,r) = 1 X 109 >> J.

O uso da Eq. (7.132c) resulta em 17c2

= (1

=(

+

cos(2,r x I09t)

0,3m.

Em f = J GHz, o cobre é u1n excelente condutor porque s"

= y64cos(20,rz/3)

(µAhn) .

Os gráficos do módulo de E 1(z, t) e H 1(z, t) são rnostrados na Fig. 9-8 como u1na função de z negativo para diversos valores de wt. A onda estacionária ten1 um período de repetição de ')J2, e E e H estão en1 quadratura de fase (deslocamento de fase de 90º) no espaço e no te111po. Esse comporta111ento é idêntico ao de u1na onda estacionária de tensão ou corrente em uma linha de transmissão en1 curto-circuito. •

J)j,r;µ ") [ ,r

}+ J

= 8,25(1 + })

X

9

10 X 4,r X l Q-? J l/ 5,8 X 107 (rnQ).

2

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Q9.1 Quais condições de contorno forarn usadas na dedução das expressões para r e T ?

310

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

E1 (i:, 1) 24 (mV/m)

EXERCÍCIO 9.2 Expresse o coeficiente de ret1exão de uma onda incidente paralela à normal na fronteira entre dois rneios condutores e ,nagnéticos em tern1os de suas permissividades complexas. Resp. Para incidência no meio 1 (6 1, µ,0, bre o meio 2 (62 , µ,0, <72), (veja ~ )

0'1)

so-

r = ·~ - .JfZ;, ~ + .f tZ; 24 (mV/m)

com

1

(

'' '

.,

#

= 7r

..

(.ú/

'

'

e o

n

-i:---1--~ ---+---+-- - + o -À

' .. ' ;

-

''

,'

I '1

-À

2

(

(e 1 - jO'/w) e t:c2 = (62 - jO'/w).

EXERCÍCIO 9.3 Obtenha a expressão para as densidades de potência média nos 1neios 1 e 2 para os ca,npos descritos pelas Eqs. (9.22a) a (9.23b), considerando que o meio 1 apresenta uma pequena perda com 1Jc, aproximadamente real.

t

1\ 1 \

d

u

t:c, =

or

,

Resp.

(veja ~ )

\

2

\ \

'

Smedi -- z IEbl ( e - 2a, z - 1r12 e2a, z) , 2 1Jc, A

--64(µ,Nm)

wt=O

2

:.ne Smed2 -_ z' Ir 121Eb1 e- 2a2z ""

Figura 9-8 Onda estacionária para os can1pos E,(z, t) e /i 1(z, t) do Exen1plo 9-3.

Q9.2 No radon1e do radar projetado no Exemplo 9-1, toda a energia incidente no meio 1 acaba sendo transmitida para o meio 3 e vice-versa. Isso i1nplica que nenhu1na reflexão ocorre no n1eio 2? Explique. Q9.3 Explique com base nas condições de contorno por que é necessário que í = - 1 na fronteira entre u1n dielétrico e un1 condutor perfeito.

EXERCÍCIO 9. 1 Para elirn:inar ondas refletidas, uma placa dielétrica ele espessura d e permissividade relativa Sr1. é inserida entre dois n1eios sen1iinfinitos co1n permissividades relativas Sr1 = l e Er, =16. Use a técnica cio transformador de 1/4 de onda para detenninar d e sr2 para u1na onda de incidência paralela à nonnal de 3 GHz. Resp. e,2 = 4 e d= (1 ,25 + 2,511) (cm), coro n = O, l , 2, . . . . (veja J:.4: )

2

9-2

(..2. .)

.

11i2

Leis de Snell

Nas seções anteriores examinamos as propriedades da reflexão e da transn1issão de ondas planas quando incidem paralelan1ente à normal na superfície entre dois 1neios distintos. Agora vamos considerar o caso ele incidência oblíqua que é ilustrada na Fig. 99. O plano z= Oé a fronte.ira entre dois meios clielétricos caracterizados por (6 1, µ,1) para o 1neio I e (e2, µ,2) para o 1neio 2. As duas linhas com direção k i representam raios desenhados na direção no1mal à frente de onda incidente e, de for1na sirnilar, as d ireções ao longo de k, e kt representarn as ondas refletida e transmitida, respectivan1ente. Definjdos en1 relação à direção norn1al à fronteira (o eixo z), os ângulos de incidência, reflexão e trans111issiio (ou refração) são, respectivan1ente, @;, e, e e,. Esses três ângulos são inter-relacionados pelas leis de Snell, as quais deduzire,nos considerando a propagação das frentes de onda dessas três ondas. A onda incidente intercepta a fronteira en1 O e O'. A constante de fase da frente de onda incidente é A;O e as frentes de onA

•

A

CAPÍTULO 9

X

Onda refletida

" Onda k1 transn1itida (refratada)

- - - - --1-~~~~J:..____ z

311

R EFLEXÃO E 'fRANSMISSÃO DE ÜNDAS

A lei da reflexão de Snell diz que o ângulo de reflexão é igual ao ângulo de incidência, e a lei da refração de Snell provê urna relação entre sen 81 e sen Bi ern termos das relações das velocidades de fase. O índice de refração de un1 rneio (n) é definido como a razão entre a velocidade ele tàse no espaço livre [ou seja, a velocidade da luz (e)] e avelociclacle de fase no 1neio. Portanto,

(9.29) Onda incidente

Meio 1 (c 1, µ 1)

--

Meio 2 (e2• µ 2)

Figura 9-9 Retlexão e refração de urna onda em uma fronteira plana entre meios distintos.

Devido à Eq. (9.29), a Eq. (9.28b) pode ser reescrita con10 sen 81 sen Bi

da refletida e trans,nitida são A,O' e A10', confonne 1nostra a Fig. 9-9. As ondas incidente e refletida se propaga,n no meio I com a mesma velocidade de fase up, =J/Jµ,,e, e a onda transn1itida no ,neio 2 se propaga con1 tuna velocidade uP-1. = 1 / ~ . O tempo que a onda incidente gasta para se propagar de A; para O' é o mesmo tempo gasto pela onda refletida para se propagar de O para A,, e também é o ten1po que a onda 1rans1nitida gasta para se propagar de O para A1• Como o tempo é igual à distância dividida pela velocidade, segue que (9.26) A partir da geometria dos três triângulos retângu-

los vistos na Fig. 9-9, deduz:i1nos que Ai0'= 00'sen8i,

(9.27a)

OAr= OO'senBr,

(9.27b)

O A1= O 0 ' sen B1.

(9.27c)

O uso dessas expressões na Eq. (9.26) conduz a Bi = Br (lei de Sncll para a reflexão)

(9.28a)

senB1 up2 {§ sen ei = up 1 = V--;;;;;;_ (lei de SneU para a refração)

(9.28b)

(9.30)

Para materiais não-1nagnéticos, µ,,, no qual

e. n, ff:'• - =

sen = - = sen&. 112

8r2

=µ,,z = 1, caso

112 (para /-t1 = 1,1,2),

-

1'}1

(9.31)

onde 71 = ~ é a impedância intrínseca de um n1eio dielétrico. Geraln1ente, n1ateriais co1n densidades n1aiores têm permissividades n1aiores. O ar, com µ,,. = e . = 1, tem urn índice de refração de n0 = 1. Visto que para os materiais não-rnagnéticos n. = ,Fr, freqiiente,nente dize,nos que u,n ,naterial é ,nais denso que un1. segundo se o índice de refração do prúneiro for maior que o do segundo. P,u·a tuna incidência p,u·alela à normal (8; = 0), a Eq. (9.31) resulta e,n e, =O, conforme esperado, e na incidência oblíqua 81 < O; quando 112 > n, e 81 > 8; onde n.2 < 11 1• Ou seja, se a onda 110 nieio 1 passa para um ,n.eio n1ais denso, conforn1e ,nostra a Fig. 9-/0(a), a onda transmitida refrata in.terna1nente e,n. direçc7o ao eixo z e o oposto rambén1 é verdadeiro, se a onda passa para urn meio 1nenos denso [Fig. 9-IO(b)]. Un1 caso de particular interesse é quando 81 = 'Tl'/2, conforme mostra a Fig. 910(c); nesse caso, a onda refratada se desloca ao longo ela superfície e nenhu1na energia é transn1iticla para o meio 2. O valor do ângulo ele incidência 8; que corresponde a 81 = 'Tl'/2 é denominado ângulo crítico 8c e é obtido a partir da Eq. (9.30) co1no a seguir:

312

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

ll J

n2 113

(a)

= n1

(b) 111 > 112

111<112

Figura 9-11 O ângulo de saída 03 é igual ao ângulo de incidência O, se a placa dielétrica tiver fronteiras paralelas e os dois lados estivere,n envolvidos por uni n1eio con1 n1esn10 índice de refração (Exemplo 9-4).

---n,

---~·

n, sen82 = - sen8

112

(9.33)

1

n2

Figura 9-10 As leis de Snell dizem que 8, = 8; e sen 81 = (n/n.2) sen 8;, A refração é (a) para dentro se 111 < 112 e (b) para fora se n 1 > n2 ; e (c) o ângulo de refração é 90° se n.1 > 111 e O; é igual ou maior que o ângulo crítico f)<= sen·'(n/n.1) .

e, de forma similar, na superfície inferior da placa,

Substituindo a Eq. (9.33) na Eq. (9.34), obtemos sen 83 =

-=- (n') - sen e, ("?) n,

n2

= sen

e,.

(9.32a) (9.32b)

Se O; excede a 80 , a onda incidente é totalmente refletida e a refratada se torna unia onda de superfície não-uniforme que se propaga ao longo da fronteira entre os dois ,neios. O co,nportamento dessa onda é denominado reflexão interna total.

Exemplo 9-4

Feixe de Luz que Passa Através de uma Placa

U1na placa dielétrica con1 índice de refração n2 é envolvida por um ,neio com índice de refração 11 1, confonne mostra a Fig. 9-11. Se 8; < O c, 1nostre que o feixe que emerge da placa é paralelo ao fei xe incidente. Solução: Na superf1cie superior da placa, a lei de Snell resulta e,n

Portanto, 83 = 81• A placa desloca a posição do feixe, ,nas a direção do feixe permanece inalterada.

EXERCÍCIO 9.4 Na parte visível do espectro eletromagnético, o índice de refração da água é 1,33. Qual o ângulo crítico para ondas lunünosas geradas por uma fonte de luz direcionada para cima dentro d'água? Resp.

f)c = 48,8º.

(veja ~ )

EXERCÍCIO 9.5 Se a fonte de luz do Exercício 9.4 estiver situada a unia profundidade de I m da superfície da água e se o fei xe for isotrópico (radiado em todas as direções), qual o tan1anho do círculo que ela iluminaria quando observada de urn ponto acima da superfície? Resp.

Diâmeu·o do círculo: 2,28m.

(v~ja

1"ii")

CAPfT ULO

9-3

9

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

313

Portanto, a condição necessária pode ser escrita co,no

Fibra Óptica

Por meio de reflexões internas totais, confonne indicado na Fig. 9-12(a), a luz pode ser guiada através de uma fina haste dielétrica feita de vidro ou de plástico transparente, conhecida como fibra óptica. Como a luz se propaga de fonna confinada dentro da haste, a única perda de potência é devida a reflexões nas extre1nidades de entrada e saída da fibra e à absorção pelo material desta (porque não é un1 dielétrico perfeito). A fibra óptica é útiJ para transmissão de sinais de banda larga e para uma ampla faixa de aplicações de ilnage,n. Uma fibra óptica geralmente consiste em um núcleo cilíndrico com um índice de refração 111, envolto por u1n outro ci lindro com índice de refração 1nenor (11c) denominado casca, conforrne n1osh·a a Fig. 9- l 2(b ). A casca serve para isolar opticamente a fibra das fibras adjacentes quando um grande número de fibras são agrupadas muito próxi1nas u1nas das outras, evitando assiin a "fuga" de luz de u1na fibra para a outra. Para satisfazer a condição de reflexão interna total, o ângulo de incidência 03 no núcleo da fibra tern de ser igual ou maior que() ângulo crítico 00 para u1na onda incidente no núcleo (con1 l!r) que vai de encontro à casca (com nc) . A partir da Eq. (9.32a), temos llc

sen8c = -

.

(9.36) Além disso, 82 está relacionado ao ângulo de incidência na face da fibra O; pela lei de Snell:

no

sen B2 = -

sen (;)i,

(9.37)

/1.f

onde n0 é o índice de refração do meio em torno da fibra (n0 = 1 para o ar e n.0 = 1,33 se a fibra estiver na água), ou (9.38) Usando a Eq. (9.38) no lado esquerdo da Eq. (9.36) e então calculando para sen 8;, obtemos 1

?

?

J/?

senBi < - (ni' - n~) -.

(9.39)

no

O ângulo de aceitação 8ª é definido como o valor máximo de 8; para o qual a condição de reflexão interna total pennanece satisfeita: ll sen ua -

-1

no

(nc2 - 11c2) 1/2 .

(9.40)

(9.35)

/lf

Para encontrar o requisito de renexão total e1n que 03 ;?: Oc, é necessário que sen 03 ;?: n.jnt O ângulo 02 é o complemento do ângulo 8:i e cos 82 = sen 8,.

O ângulo 8. é igual à n1etade do ângulo do cone de aceitação da fibra. Qualquer raio de luz incidente na face do núcleo da fibra para urn ângulo de incidência dentro do cone de aceitação pode se propa-

Cone de aceitação

\[ .. •. , •

';,,

•1 1

•

1 t

-

'

"º

-r

ii.

Núcleo da fibra, • asca ,

Vj

•

(a) Fibra óptica

'

'

no ( b) Reílexões internas sucessivas

Ondas podem ser guiadas ao longo de fibras ópticas enquanto os ângulos de reflexão excederem ao ângulo crítico da re!1exão interna total. Figura 9-12

314

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

gar dentro da fibra. Isso significa que pode existir um grande número de percursos para os raios, denominados ,nodos, pelos quais a energia lu1ninosa pode se propagar no núcleo. Quanto maior o ângulo dos raios, mais longo é o percurso en, con1paração com os raios que se propaga,n ao longo doeixo da fibra, conforme ilustrado pe'los três 111odos 1nostrados na Fig. 9-13. Conseqüentemente, modos diferentes têm tempos de deslocamento diferentes entre as duas extre1niclades da fibra. Essa propriedade elas fibras ópticas é cleno1ninada dispersão ,nodal e tem o efeito indesejado de alterar a forn1a de pulsos usados para a transrnissão de dados digitais. Quando urn pulso retangular de luz incide na face da fibra óptica, ele se dispersa e1n diversos modos, os quais não chega1n à outra extre111_idade ao n1esn10 tempo, fazendo com que a fonna do pulso chegue distorcida, tanto na forma quanto na amplitude. No exemplo n1ostrado na Fig. 9. 'J 3, os pulsos retangulares estreitos na entrada da fibra óptica são de largura T ;, separados por uni período T. Após a propagação ao longo do núcleo da fibra, a dispersão modal faz com que os pulsos se pareça,n mais com ondas senoidais estendidas co1n u1n espalha1nento de largura T. Se os pulsos de saída se espalharem bastante, de fonna que T > T, os sinais de saída se mostrarão "borrados", tornando a mensagem transmitida impossível de ser lida. Portanto, para garantir que os pulsos u·ans1nitidos permaneçarn disti ngufveis na saída da fibra, é necessário que T seja 1nenor que T. Co1no 1nargem de segurança, é comu1n na prática estabelecer que T ~ 2T. A largura do espalha1nento T é igual ao atraso de tempo !it entre a chegada do raio 1nais lento e o raio mais rápido. O raio ruais lento é o que se pro-

paga por uma distância maior e corresponde ao raio incidente na face de entrada da fibra com um ângulo de aceitação Oª. A partir da geo,netria ela Fig. 912(b) e da Eq. (9.36), esse raio corresponde a 82 = njn.r. Para un1a fibra óptica ele comprimento l, o cornprimento do percurso percorrido por tal raio é l

lmáx =

cos82

_ nr, 1 nc

(9.41)

e o seu tempo de deslocamento na fibra a uma velocidade uv =clnr é tmáx

=

lmáx

lnf

= -

Llp

Cite

(9.42)

O te1npo míni1no de clesloca1nento é conseguido pelo raio axial e é dado por l

fmín

= -Up =

I

-

l'lf.

(9.43)

C

O atraso de te1npo total é, portanto,

(flf ) e

r = b.t = fmáx - tmío = -ln.r

- 1 (s). (9.44)

-

llc

Conforme dissemos antes, para recuperar a inforn1ação desejada a partir dos sinais trans1nitidos, é aconselhável que T, o período entre pulsos do tre1n de pulsos de entrada, não seja menor que 2T. Isso, por sua vez, significa que a taxa de dados (en1 bits por segundo), ou equivalentemente o nún1ero de pulsos por segundo, que pode ser trans111_itido au·avés da fibra, é linütada a 1

_

Jp -

_ _I _ cnc T - 2.- - 2/nr(nr - nc) (bits/s). (9.45)

_I

1-T-l

!\ I!\ !\ • •I

l'j

r

Modo axial ~'lodo de alra orden1 Modo de baixa orden1

Figura 9-13 Distorção de pulsos retangulares provocados pela dispersão modal em fibras ópticas.

CAPÍT ULO 9

Taxa de Transmissão de ' Dados em Fibras Opticas

ExemRIO 9-5

Uma fibra óptica de I ktn (no ar) é constituída de u1n núcleo com um índice de refração de 1,52 e u,na casca co1n u1n índice de refração de 1,49. Determine (a) o ângulo de aceitação

e.

(b) a n1áxima taxa de dados utilizável que pode

ser transrnitida através ela fibra Solução: (a) A partir ela Eq. (9.40), l

sen ea = -(nJ - n~) 112 no = [(] ,52)2 - (l .49)2 ) 112 = 0,3.

que corresponde a

e"= l7,5º.

(b) A partir da Eq. (9.45), Cllc

I' _

Jp -

2lnr(n, - nc) 2

X

3

X

103

X

= 4,9(Mb/s).

10 8 X 1,49 [ ,52(1 ,52 - 1,49)

•

EXERCÍCIO 9.6 Se o índice de refração do material da casca no Exeinplo 9-5 for au,nentado para 1,50, qual seria a nova taxa de dados máxin1a utilizável? Resp. 7,4 (Mb/s).

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

O. Uma onda con1 qualquer polarização especificada pode ser descrita como a superposição de duas ondas polarizadas ortogonahnente, sendo uma corn seu campo elétrico paralelo ao plano de incidência - polarização paralela - e a outra con1 seu campo elétrico perpendicular ao plano de incidência - polarização perpe11dicula1: O plano tle incidência é de;finido como o plano que conté,n a nornzal à fronteira e a direção de propagaçcio da onda incidente. Essas duas configurações de polarização são mostradas na Fig. 9-14, na qual o plano de incidência coincide com o plano x-z. A polarização com E perpendicular ao plano de incidência também é denominada polarização transversal elétrica (TE - transverse electric) porque E é perpendicular ao plano de incidência, e aquela polarização en1 que E é paralelo ao plano de incidência é chamada de transversal magnética (TM - rransverse m.agneric) porque nesse caso é o campo magnético que é perpendicular ao plano de incidência. Em vez de resolver proble1nas de transrnissão e reflexão para o caso geral de unia onda com polarização arbitrária, é mais conveniente na prática decompor priineiro a onda incidente (E\ Hi) no ~omponente polarizado perpendicularmente (E'.L, H'.L) e no componente pola1izado paralelamente (Ei11, H;11 ), e então, após a deter_ minação das ondas refletidas (E'.L, H '.L) e (E'11, H' 11 ) devido aos dois co1nponentes incidentes, as ondas refletidas poden1 ser somadas juntas para se obter a onda refletida total que corresponde à onda original incidente. U1n processo sinlilar se apl ica à onda transrnitida.

-·

(veja ~ )

9-4.1

9-4

315

Reflexão e Transmissão de Ondas com Incidência Oblíqua

Para un1a incidência paralela à normal, o coeficiente de reflexão r e o coeficiente de trans,nissão T de uma fi·onteira entre dois 111eios diferentes são independentes da polarização da onda incidente, porque os campos elétrico e magnético de uma onda plana incidente paralelan1ente à norn1al são sempre tangentes à fronteira, independente1nente da polarização da onda. Esse não é o caso da onda que incide de forma oblíqua co1n um ângulo 8; '#

Polarização Perpendicula r

Na Fig. 9- 15, mostrarnos u1na onda plana incidente polarizada perpendicular1nente que se propaga ao longo da direção X; no 1neio dielétrico 1. O fasor campo elétrico E ·'.L aponta ao longo da direção y. e o fasor campo ,nagnético associado H'.L está ao longo do eixo Y; · As direções de E '.L e H '.L satisfa,...,, . zern a condição en1 que E 'J. x H '.L aponta ao longo da direção de propagação xi. As expressões para u,na onda plana corno essa são dadas por

-

-·

-·

-·

,-.,,, .

(9.46a)

316

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

= X Sell 8i

Xi

X

Y; =

+ Z COS 8i,

-X cos 8;

(9.47a)

+ zsen 8i.

(9.47b)

Substituindo as Eqs. (9.47a) e (9.47b) nas Eqs. (9.46a) e (9.46b), ten1os: Onda incidente

-; ' Ei e - jk1(x senll;+zcos0;) E .L -y J.O ,

-.

Hl

H~ = ( -

xcos 8; + zsen 8;)

Meio l (e,, µ, ,)

(9.48a)

X

z=O

E'J.O e - jk 1(xsen O;+zcos l);)_ (9.48b) 111

(a) Polarização perpendicular

Com o auxílio das relações direcionais dadas na Fig. 9- 15 para ondas refletidas e transmitidas, os ca1npos são dados por:

X

Onda refletida

1

Eu

E';__ = yE ~oe-jk,x, _ 'Er - y J.Oe

En'

jki(xsen O, - zco~ IJ,)

,

(9.49a)

H~= Yr E~o e - jkrx, 1J '·

=

Meio 2 ( Bi , !J,z)

(x cos 8r + zsen 8r) X

z=O

E~o e - jkr(.r scnO, -z cos O,),

(9.49b)

T/ 1

(b) Po larização paralela

Onda trans,nitida

Figura 9-14 O plano de incidência é o plano que contém a direção de propagação da onda k' e a superfíc ie norn1al à fronteira, que nesse caso é o plano do papel. Urna onda é (a) polarizada perpendiculannente quando E é perpendicular ao plano de incidência e (b) polarizada paralelamente quando E está situado no plano de incidência.

(9.49c) -, _ , Eio H J. -Y1 e

jk2x,

172

= (- xcos 8 + zsen 1

8 1)

Eio e-jk2(xsen O, +z cosO,) (9.49d) X

- ·, . E.1 ' o e - 1<1 .,. -•;, ~ H .1 = Yi

(9.46b)

T/ 1

onde E'J.oé a amplitude do fasor campo elétTico em .xi = O, k, = w Jµ,, e, é o nú111ero de onda e '11, = ~ é a impedância intrínseca, a111bas para o n1eio 1. A partir da fig. 9-15, a distância xi e o vetor unitário Y;pode111 ser expressos em termos do sistema global de coordenadas (x,y,z) como a seguir:

172

'

onde ere e, são os ângulos de reflexão e transmissão (reti·ação) tnostrados na Fig. 9- 15 e k2 e 112 são o nú1nero de onda e a impedância intrínseca do ,neio 2. Nossa meta é caracterizar os campos refletidos e transn1itidos ern tern1os dos parân1etros da onda incidente, os quais !ncluem o ângulo de incidência Oi e a an1plitude E:J.o· As quatro expressões dadas pelas Eqs. (9.49a) a (9.49d) contêm

CAPfTlJLO

9

317

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

X

Vista an1pliada A X Xj

" er" Yr =" X cos + z, sen,ur

,t

Sen 8r -

Z COS tJr

X

-z

= X sen 8i + Z COS 8;

k(z

Vista a111pliada B Xr = X

Xj

X

}J F=:::::::=.=>; Vista an1pl ia da C

x1 =xsen8r+zcos8r

~; = -i cos &; + i sen 9;

-x

, J.1-2) Meio 2 (e2c,,c...c -~~~~~~~~_;

Meio 1 (ei, µ.1)

z=O Figura 9-15

Onda plana polarizada perpendicularn1ente incidente con1 ângulo O; em unia fronteira plana.

quatro grandezas desconhecidas: liJ.o• E J.o• e,e e,. Os ângulos e podem ser relacionados a f)i pelas leis de Snell, Eqs. (9.28a) e (9.28b), porém escolhemos mantê-las como que desconhecidas e1n relação ao ten1po, porque pretendemos mostrar que as leis de Snell ta1nbém podem ser deduzidas aplicando-se as condições de contorno para z = O. O campo elétrico total no 1neio 1 é a sorna dos can1pos elétricos incidente e refletido: E'J. =E ;J. + E '.J.; e o mesmo se aplica ao campo magnético total no n1eio 1: Ü 1.J. =Üi.J. + H'.J. . As condições de contorno dize1n que as componentes tangenciais de E e H tên1 de ser contínuos na fronteira entre os dois 1neios. As con1ponentes de campo tangenciais à fronteira são aquelas ao longo de xe y. Co1no os campos elétricos nos n1eios I e 2 têm apenas componentes Y, a condição de contorno para E é

e, e,

-

- -

-

-;

(E.Ly

+

-r

1

-,

1

E .Ly) z=O = E .Ly z=O.

.LO

e-jk 1xsen9;+Er e-jk 1xsen 0, _El e-jk2 xsen 9,

.LO

-

.lO

(9.52) ou

E~o cose; e-jk,xsen(}, + EJ.o cosere-il:ixsen O.. 1/1

·

(9 .51)

1'/1

= - E~o cose, e - jk2xsene,. 1'/2

(9.53) Para satisfazer as Eqs. (9.51) e (9.53) para todos os valores possíveis de x (todos ao longo da fronteira), segue que todos os três argumentos da exponencial tê1n de ser iguais. Ou seja, k1 sen e; = k1 sen er = k2 sen e,'

(9.50)

Substituindo as Eqs. (9.48a), (9.49a) e (9.49c) na Eq. (9.50) e en1 seguida fazendo z = O, temos Ei

A condição de contorno para a componente tangencial do can1po magnético (componente em x) é

(9.54)

que é conhecida como condição de casa111ento defase. A pri1neira igualdade na Eq. (9.54) nos leva a

fJ, = 8;

(lei de Snell para a reflexão),

(9.55)

318

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

e a segunda igualdade nos leva a

r .1. =

sen 81 k 1 w.,Jifífi n 1 =-= =senei k2 w.Jµ,2E:2 n2 (lei de Snell para a refração)

I J' t E .1.0 + E .1.0 = E.1.0,

(9.57a)

cos Bi (-Ei + Er ) = _cost9r Er l/1 .I.O .I.O 1/2 .J.O·

(9.57b)

Essas duas equações podem ser resolvidas simultaneamente obtendo-se as seguintes expressões para os coeficient.es de reflexão e transmissão no caso da polarização perpendicular: = E~o

Ei.J.0

.1.

~ •.I. --

----'-;:::===== COS(1i + j(ê2/E1) - Sen28;

(para µ, 1 = µ, 2 ). (9.60)

(9.56)

Os resultados expressos pelas Eqs. (9.55) e (9.56) são idênticos àqueles deduzidos anteriormente na Seção 9-2 através das cons.iderações do percurso transversal do raio pelas frentes de onda incidente, refletida e transm.itida. Devido à Eq. (9.54), as condições de conlorno dadas pelas Eqs. (9.51) e (9.53) se reduzem a

r

cosei - J(e2/e1) - sen28;

1]2COS8i - l/1 coser 11 1]2 COS Oj + 1/ t COS ,,Ut • (9.58a)

Co1no (E2/E1) = (n2/n1)2 , essa expressão també1n pode ser escrita em tennos dos índices de refração n 1 e 112.

Exemplo 9-6

Onda que Incide Obliquamente na Superfície do Solo

Usando o sistema de coordenadas mostrado na Fig. 9-15, uma onda plana radiada no ar por u1na antena distante incide em um solo plano em z =O. O campo eléLrico da onda incidente é dado por

E' = ylOO cos(wt - rrx - 1, 73rrz) (V/m), (9.61)

e considerarnos que o solo seja un1 1neio dielétrico sern perdas corn u1na permissividade relativa de 4. (a) Detennine k 1, k1 e o ângulo de incidência B;.

(b) Obtenha as expressões para os carnpos elétri-

cos totais no ar e no solo. (e) Detennine a densidade de potência rnédia

EI

.1.0

.

E~o

112

cos Bi

+ 111 cos t91 • (9.58b)

Esses dois coeficientes, os quais são formalmente conhecidos como coeficientes de reflexão e tra11s1nissão de Fres11el e coeficientes para poltlrização perpendicular, são relacionados por

transportada pela onda que se propaga no solo. Solução: (a) Corneçarnos convertendo a Eq. (9.61 ) para a forma fasorial , semelhante à expressão dada pela Eq. (9.46a):

Ei =

yiooe-j,rx-j1 ,13,,z (V/m),

(9.62)

onde X; é o eixo ao longo do qual a onda se propa1

-r.1.

= 1 + r .1.-

(9.59)

1

Se o n1eio 2 for um condutor perfeito (71 2 = O), as Eqs. (9.58a) e (9.58b) se reduze1n a r J. =- 1 e 7 J. = O, respectivamente, o que significa que a onda inciclente é totalo1ente refletida pelo 1neio condutor. Para dielétricos não-magnéticos com µ, 1= µ, 1 = µ, 0 e com o auxílio ela Eq. (9.56), a expressão para r 1 pode ser escrita co,no

ºª e e, ,

k1xi = rrx

+ l,73nz.

(9.63)

Usando a Eq. (9.47a), ten1os

e

e

k ,x; = k ,x sen i + k'1zcos ;.

Portanto, k1 sen 8; = rr,

k, cosei = l ,73rr,

(9.64)

CAPÍTULO

que juntas resulcan1 e1n

B· = 10'

1

(

º

n

1,73n

El. (x, z, t) = V\e [El. ej&)t]

) = 30º .

=y[100cos(wt-nx - l ,73nz)

- 38cos(wt - nx + 1,73nz)]

O con1priinento de onda no meio 1 (ar) é À.1

=

2n k1

(V/m).

= I m,

No meio 2, usando a Eq. (9.49c) com E1.o = T 1.li 1.o obte1nos

e o con1pri1nento de onda no ,neio 2 (solo) é À1

À.2

E'.J. = yr E ~oe-jki(xscnlí,+zco.sO,)

l

_..;s;; = .J4 =

=

0,5 rn.

= y62e- j(,r.r+'.l.87,rz)

O núrnero de onda correspondente no meio 2 é

e, co1Tespondenten1ente,

E'.i. (x, z, t) = V\e [E'.i. ej

61 ' ]

(radltn). ,_.i

= y62 cos(wt - nx - 3,87nz) (V/n1)

A

Como E está ao longo de y, a onda tem polarização perpendicular (y é perpendicular ao plano de incidência que contém a superfície normal e a direção de propagação i ;).

z

(b) Em correspondência a 8; = 30°, o ângulo de trans,nissão O, é obtido con1 o auxílio da Eq. (9.56):

=

(e) No n1eio 2, t12 = tJo/ _..;s;; ~ 1201t t./4 601r (Q) e a densidade de potência n1édia transportada pela onda é t

Smcd =

k1 2n sene, = -k sen8;= - sen300 = 0,25

9-4.2

ou

Bt = 14,5º. Co1n 8 1=8 0 e 8 2 =8,28 0 =480, os coeficientes de reflexão e transnüssão para a polarização perpendicular são deterrninados con1 o auxílio das Eqs. (9.59) e (9.60),

TJ.

cose; - J<e2/e,) - sen2 8; cose;+ ,/(e2/e 1) - sen2B;

= 1+

f J.

IE~o l2

(62)2 2 2 x 60n - 10,2 (W/m ). •

2712

4:,r

2

r J. =

319

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNOAS

e o campo elétrico instantâneo correspondente no 1neio I é

= Jrr:2 + (J,73rr)2 = 2n (rad/m),

k,

9

=-

0,38,

= 0,62.

Usando as Eqs. (9.48a) e (9.49a) com E1.o =100 V/m e O;= O,, o fasor do carnpo elétrico total no ,neio I é

El. =E~+ E~ = yE~oe-jk1(xsenO;+zcosO;)

+ yfE~oe- jk1(.,scnO; -i: cos0;) = yl00e- j(rrx+l.73rrz) _ y38e-j(rr:,- l.73,rz),

Polarização Paralela

Se trocarmos E e H na situação de polarização perpendicular, tendo em n1ente os requisitos que relaciona1n as direções de E e H con1 a direção de propagação para cada uma das ondas incidente, refletida e trans1nitida, chegamos à geo,netria mostrada na Fig. 9-16 para a polarização paralela. Agora os campos elétricos estão no plano de incidência e os ca1npos magnélicos são perpendiculares ao plano de incidência. E1n relação às referências indicadas na Fig. 9- 16, os carnpos das ondas incidente, refletida e transrnitida são dados por Onda inciden te

Ei1 = Y;Ef1oe- jk1x; = (i cosei -

E,

zsen 8;)

e - jk1(.<~enO;+, co$ II;)

110

,

(9.65a)

320

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

.,,.

- -

x; = x sen 8; + z cos 8, 9; =~ c-0s B; - 2 sen O;

x,= xsen ~ - zcos~ Yr= i cos B, + sen ~ x1 = x sen B1+ z cos B1 9, = ~ cos e, -9. sen e,

Casando os componentes tangenciais de E e H nos dois meios para z = O, conforme fizemos anteriormente no caso da polarização perpendicular, obternos novamente as relações que definem as leis de Snell, bem como as seguintes expressões para os coeficientes de reflexão e tra11s111issão para a polarização paralela:

z

Meio l (81, µ.. 1)

Meio 2 (82, µ..z)

cos B1- 171cosei r 11 = .Eu .E. ,.o. = 1T/2 , (9.66a) 72 cos 81+ IJ I cosei 110 El10

r 11 = - . =

Onda plana com polarização paralela incidente em uma fronteira plana com um ângulo e;. Figura 9-16

A

r71

E' y..J!Q e - jk1 ~n;en/l;+zcosli1), IJ 1

( 9 .6Sb)

Onda refletida YA E'

110

r

e - jk, .,,

= (xcoser + zsen er)

g

e -ik i (xsen O,-z cosO,)

110

Pode-se 1nostrar que as expressões anteriores resultam na relação cose; r 11 = (1 + r 11 ) e cos 1

-.) E1'10 - J,t ·,. {• H 11= y - e ·· =

Erli --

E 110

2172 cos B; . (9.66b) 112 cos B1 + 111cos B;

'

(9.65c)

(9.67)

Notamos anterionnente, na associação com o caso da polarização perpendicular, que, quando o segundo rneio é urn condutor perteito com T/ 2 = O, a onda incidente é totaln1ente refletida pela fronteira. O tnes1no ocorre no caso da polarização paralela: fazendo T/ 2 = Onas Eqs. (9.66a) e (9.66b), obten1os r u= - l e 'Til = o. Para ma1eriais não-n1agnéticos, a Eq. (9.66a) se torna

fu = - y Eíio e -ik,x, 17 1

li

=

E' - y..J!Q e - jk (xsen0,-z cos0..), 1

IJ 1

-(s2/s,)cos ei + /<s2/s,) - sen2 ei

(

9 _6Sd)

fu=~~~~~~;:::=========(s2/e1)cosei + /(s2/S1) - sen28i (para µ.1 = /"-2).

(9.68)

Ond,, trans111itida

E'11 --

YA El t

110

e - jk2x,

= (xcose, - z sen e,) E' e - ik2(x sen lft+zcosli,)

uo

'

(9.65e)

Para ilustrar a variação angular dos módulos de r.l e r 11 , oa Fig. 9-17 mostramos os gráficos para ondas (no ar) incidentes e1n três superfícies dielétricas distintas: solo seco (e,= 3), solo úmido (e,. = 25) e água (e, = 81 ). Para cada unia das superfí-

CAPfT ULO

;

,

Agua

(t,=81

o.s

_,

~- -

-------~

-

-- '

1~~~1 1

~

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

112 cose; = 111 cose,.

321

(9.69)

I

,'

-

o.6 Solo ún1ido ir.li (e,=25) ou lf11I 0.4 Solo seco (e,= 3) _ - - - -

- -

,

9

Após ( 1) extrair a raiz quadrada dos dois lados da Eq. (9.69), (2) usar a Eq. (9.56), (3) resolver para O; e então indicar(); con10 OB.L• ten1os

/j senes.L =

-

•

1 - (J,1,182/J,1,281)

1-

(/.lt / /J,2) 2

(9.70)

_ .. -

Co1no o deno1ninador da Eq. (9.70) se torna zero quando µ, 1 = µ,2, (~u.1 não existe para ,nateriais não-,nagnéticos.

0.2

0-1---.~-.--~-r---.~-.--~'t'---.---,, tr-r-i 10

20

30

4()

50

60 70 /8() 90

(00 solo seco) (0 0 solo ú1nido) (00 água)

Polarização Paralela

Ângulo de incidência Oi (graus)

Figura 9-17 Gráficos para Ir.ti e lft11como tuna função de O; para um solo seco, um solo úmido e uma superfície de água. Para cada superfície, lr 111 = Opara o ângulo de Brewster.

o valor de e;, indicado por ellll• no qual rll = o pode ser determinado fazendo o nu1nerador da Eq. (9.66a) igual a zero. O resultado é idêntico com a Eq. (9.70), n1as con1 µ, e e trocados. Ou seja, sen 8a11 =

cies, ( L) r .L = r 11 para un1a incidência paralela à normal (8; = 0), conforme esperado; (2) if.11 = Jr11 1 = 1 para u1na incidência co,n u111 pequeno ângulo (8; = 90º); e (3) r 11 se torna zero para uni ângulo denominado ângulo de Brewster na Fig. 9-17. Para materiais não-magnéticos, o ângulo de Brewster existe apenas para a polarização paralela e seu valor depende da razão (8218 1) , conforme vere1n.os e1n breve. Para o ângulo de Bre1vste1; o cornponente da polarizaçüo paralela da onda incidente é rotalinente transn'litido para o rneio 2.

9-4.3

•

Angulo de Brewster

O ângulo de Brewster 8n é definido como o ângulo de incidência 8; no qual o coeficiente de reflexão de Fresnel r = O.

Polarização Perpendicular

Para a polarização perpendicular, o ângulo de Bre\vster OrJ.1 pode ser obtido fazendo o numerador da expressão para r .1, dada pela Eq. (9.58a), igual a zero ou, de forma equivalente, quando

1 - (S1J.1,2/S2J.1,1)

1-

(s1/s2) 2

(9.71)

Para materiais não-rnagnéticos,

O ângulo de Brewster também é denominado ângulo de polarização. Isso porque, se uma onda composta de con1ponentes das polarizações perpendicular e paralela incide numa superfície nãon1agnética co1n u1n ângulo de Brewster 81111 , o co1nponente polarizado paralelamente é totahnente transmitido para o segundo meio e apenas o componente polarizado perpendiculannente é refletido pela superfície. A luz natural, incluindo a luz solar e a luz gerada pela maioria das fontes artificiais, é considerada não-polarizada porque a direção do campo elétrico das ondas de luz varia aleatorian1ente o ângulo no plano perpendicular ao da direção de propagação. Portanto, em média, metade da intensidade da luz natural é polarizada perpendicularmente e a outra metade é polarizada parale-

322

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

ENERGIA INCIDENTE OU FÓTON

ÓRBITA DO ESTADO DE REPOUSO

FÓTON

ÓRBITA 00 ESTADO EXCITADO

A. Salto de um elétron para o estado excitado

B. Emissão espontânea

C. Emissão estimulada

Lasers

Princípios Básicos

Os lasers são usados em aparelhos de CD e DVD, leitores de códigos de barras, cirurgia auxiliada por imagens e muitos outros sistemas e aplicações. Um laser - acrónimo de Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation (Amplificação de Luz por Emissão Estimulada de Radiação) - é uma fonte de luz monocromática (um único comprimento de onda), coerente (frente de onda uniforme) de feixe estreito, em contraste com outras fontes de luz (como o sol ou uma lâmpada) que geralmente compreendem ondas de diversos comprimentos de onda com fase aleatória (incoerente). Uma fonte laser que gera microondas é denominada maser. O primeiro maser foi construído em 1953 por Charles Townes, e o primeiro laser foi construído em 1960 por Theodore Maiman.

Apesar de a estrutura da mecânica quântica ser complexa, um átomo pode ser convenientemente modelado como um núcleo (contendo prótons e nêutrons) envolvido por uma nuvem de elétrons. Associado ao átomo ou molécula de um dado material existe um conjunto de estados de energia (órbitas) quantizados (discretos) que os elétrons podem ocupar. O fornecimento de energia (na forma de calor, exposição a luz intensa ou outros mecanismos) por uma fonte externa pode fazer com que um elétron seja movido de um estado de energia menor para um de energia maior (excitado). A excitação de átomos é denominada elevação porque leva a um aumento da população de elétrons em estados mais altos (A). A emissão espontânea de um fóton (energia luminosa) ocorre quando o elé-

CAPÍTULO 9

R EFLEXÃO E "fRANSMISSÀO DE ÜNOAS

323

LUZ LASER ESPELHO D E ~ REFLEXÃO PERFEITA

TUBO DE FLASH

D. Princípio de funcionamento

tron no estado excitado se move para um estado mais baixo (B), e a emissão estimulada (C) ocorre quando um fóton emitido "atrai" um elétron no estado excitado de um outro átomo para se mover para um estado mais baixo, emitindo assim um segundo fóton de energia idêntica [mesmo comprimento de onda e mesma frente de onda (fase)].

neas; os fótons se movem ao longo do eixo do cristal para frente e para trás entre os espelhos, provocando emissões estimuladas adicionais (ou seja, amplificação), sendo que apenas uma fração dos fótons sai através do espelho parcialmente refletor. Como todos os fótons estimulados são idênticos, a onda de luz gerada pelo laser é de apenas um comprimento de onda.

Princípio de Funcionamento

Comprimento de Onda (Cor) da Luz Emitida

Uma emissão estimulada altamente amplificada é denominada lasing (relativo a laser). Um meio lasíng pode ser sólido, líquido ou gasoso. A operação laser é ilustrada em (D) por um cristal de rubi envolto por um tubo flash (similar a uma câmera com flash). Um espelho de reflexão perfeita é colocado na extremidade do cristal e um espelho parcialmente refletor, na outra extremidade. A luz do tubo flash excita os átomos; alguns sofrem emissões espontâneas, gerando fótons que provocam outras emissões espontâ-

O átomo de qualquer material tem estado de energia único. A diferença entre o estado excitado de energia alta e o estado estável de energia mais baixa determina o comprimento de onda dos fótons emitidos (onda eletromagnética). Por meio de uma escolha adequada do material para a construção do laser, ondas monocromáticas podem ser geradas com comprimentos de onda nas faixas ultravioleta, visível, infravermelho ou microondas.

324

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

lamente. Quando uma luz não-polarizada incide em uma superfície COin uin ângulo de Brewster, a onda refletida é estrita111ente polarizada perpendicularmente. Portanto, o processo de reflexão funciona con10 u1n polarizador.

-

-

QUESTOES PARA REVISAO

D9.4-9.6

9-5

Q9.4 A reflexão interna total pode ocorrer para uma onda incidente no n1eio 1 (coin n 1) adjacente ao rneio 2 (com n 2) quando n2 > n. 1? Q9.5 Qual é a diferença enu·e as condições de contorno aplicadas na Seção 9-1.1 para uma onda incidente paralela à normal e aquelas aplicadas na Seção 9-4.1 para o caso de incidência oblíqua com polarização perpendicular? Q9.6 Por que o ângulo de Brewster tan1bém pode ser chamado de ângulo de polarização? Q9.7 Na fronteira, o vetor soma dos COinponentes tangenciais dos campos elétricos das ondas incidente e refletida têm de ser iguais aos componentes tangenciais do can1po elétrico da onda transinitida. Para 8,1 =1 e 8 ,2 = 16, deternüne o ângulo de Brewster e em seguida verifique a validade da afirmação anterior esboçando e1J1 escala os co1nponentes tangenciais dos três campos elétr icos no ângulo de Brewster.

EXERCÍCIO 9. 7 U1na onda que se propaga no ar incide em um solo plano com s, = 4 e µ,, = 1 para O;= 50º. Detern1ine r J., TJ., í 11 e T11 . (v~ja ~ ) Resp. f'J. = - 0,48, TJ. = 0,52, TIi = Ü,58

Resp. Com a ~jucla das Eqs. (9.55) e (9.56), verifica-se que todos os seis ca1npos variam confor· .... ) n1e e-ik1xscnr1; ( veJa "''

r 11

= - 0,16 e

Refletividade e Transmissividade

Os coeficientes de reflexão e Lrans1nissão repre-

sentam as razões entre as arnplitudes cios can1pos elétricos da ondas refletida e trans1nitida e a a1np]j1ude da onda incidente. Agora analisare1nos as relações de potência e começaremos o processo considerando o caso da polarização perpendicular. A Fig. 9-18 mostra um feixe circular de energia eletron1ag1Jética incidente entre dois 1neios contíguos e se1n perdas. A área iluminada pelo feixe é A e os feixes incidente, refletido e transmitido tê1n amplitudes de ca111po elétrico E;J.o, E'J.o e E 'J.o• respectiva1nente. As densidades de potência n1édia transportada pelos fe ixes inc.idente, refletido e trans1nitido são

.'

,' 1 ' 1 _._ - L - -

'.<_

,'<

,

'

'/

' , , .......

i;' A L..,.,

\ 'º•'

\

\ \

EXERCÍCIO 9.8 Detennine o ângulo de Brewster para a fronteira do Exercício 9.7. Meio 2 (e2, µ ,i)

Resp.

Ou= 63,4°. (veja ,.;:. )

EXERCÍCIO 9.9 Mostre que os campos elétrico e magnético das ondas incidente, refletida e trans1niticla dados pelas Eqs. (9.65a) a (9.651) tê1n todos a mes1na função de tàse exponencial ao longo ela direção x.

Figura 9-18 Reflexão e transmissão de tnn feixe circular incidente iluminando urna área A na interface.

CAPÍTULO 9

A trans,nissividade T (ou trans,nitância em

; _ 1Eiol 2 S.L '

(9.73a)

27) 1

sr _ IE~ol 2 .L t _

S.L -

óptica) é definida como a razão entre a potência transmit.ida e a potência incidente:

(9.73b)

211, '

Pl

T.L - -

IE'.i_ol2

- Pl

(9.73c)

'

27)2

onde 77 1 e 77 2 são as impedâncias intrínsecas dos meios l e 2, respectivrunente. As áreas de seção reta dos feixes incidente, refletido e transmitido são (9.74a) (9.74b) (9.74c)

Ai= A cosei, Ar= A cos Br, Ai= A COS81,

e as potências 1nédias co1Tesponclent.es transportadas pelos feixes são .

i

i

P.1 = S.1Ai =

2

IE~ol A cosei, (9.75a) 27) 1

P.Lr = 5·r.L A r =

IE~ol2

A COSur, ô

(9.75b)

21)1

P.J.i =

si.LA, = IE'.i.012 2172

. • c A cos 81 • (975)

PI

Pl

IE'.i_0 12 1)1 A cos8, ---2 - IEi0 1 112 A cose; = lt.1 l2 (171 COS81), 172 cos 8;

(9.79a)

,, ( 111 cos 81) .

(9.79b)

P0

1j1= -----:- = lt11IPO

112 cos e;

As ondas incidente, refletida e transrnitida não

têm que obedecer a qualquer unia dessas leis, com.o conservação do campo elétrico, conservação do campo 1nagnético ou conservação da densidade de potência, porém, têm que obedecer a lei da conservação da potência. De fato, em muitos casos, o campo elétrico transmitido é maior que o campo elétrico incidente. A conservação da potência requer que a potência incidente seja igual à soma elas potências refletida e transrnit.ida. Ou seja, para a polarização perpendicular, por exemplo, (9.80)

A refletividade R (ta1nbé1n deno1ninada refl.etância em óp6ca) é definida co1no a razão entre a potência retletida e a potência incidente. A refletividade para a polarização perpendicular é então R.1 = --,- =

325

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

ou

IE; 12 .LO

2171

2

IE~0 !2 cos8r E~ 0 . 2 = . , IE~0 1 cosei E~ 0

A cos Bi =

.LO

217,

A cos Br

1 2 IE 1 + .1o

(9.76)

onde usamos o fato de que Or = O;, em concordância co1n a lei de Snell para a reflexão. A razão entre as a,nplitudes do campo elétrico refletido e incidente, JE'_u/E;iol, é sin1plesn1ente igual ao ,nódulo do coeficiente de reflexão í .L· Portanto,

IEr 12

21)2

A cos81•

(9.81)

O uso das Eqs. (9.76), (9.79a) e (9.79b) nos leva a R.1 + T.1 = 1,

(9.82a)

R11 +1j1=1,

(9.82b)

OU

e, de forma similar, para a polarização paralela

1r.112 + l-r.112 ( 111 cosei) =

1, (9.83a)

P,Í 2 --r = 1r01 .

1r 12 + Ir 12 (111 cose,) =

1. (9.83b)

R11 =

P11

(9.78)

172 cose;

D

li

172 cos 8;

326

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

A Fig. 9-19 mostra os gráficos de (R11, 7j1) como uma função de Oi para uma intertàce ar-vidro. Observe que a soma de R11 e 7j1 é se,npre igual a l, conforme determinado pela Eq. (9.82b). Observamos também que, para o ângulo de Brewster 813 , R11 =Oe T0= 1. A Tabela 9-2 apresenta um resumo das expressões gerais parar, T, R e Tpara as incidências paralela à normal e oblíqua.

I,=::::=:::=======-.....,......_;;;;;;;::----i

90

Exemplo 9-7

6, (graus)

Feixe de Luz

Figura 9-19 Gráficos angulares para (R0, 7i1) relativo a uma interface ar-vidro.

Um feixe de seção reta circular com 5 W de luz (que se propaga no ar) incide em uma fronteira p.lana de urn meio dielétrico com um índice de refração de 5. Se o ângulo de incidência for 60° e a onda incidente for polarizada paralelamente, detennine o ângulo de transmjssão e as potências contidas nos feixes refletido e transmitido.

n\ln\

Com s 2/s 1 = = (5) =25, o coeficiente de reflexão para a polarização paralela pode ser calculado aplicando a Eq. (9.68), como a seguir:

Solução: A partir da Eq. (9.56),

2

- (e2/e,) cose; + ,/ (e2/e,) - sen2 e; ru = -------;::::=====(s2/e,) cos e;+ Jce2/e,) - sen2 19;

,i, l sen ei = - sen e; = - sen 60° = 0, 17 112 5

ou

=

-25cos60º + J25 - sen2 60° 2

= - 0 ,435.

25 cos 60° + J25 - sen 60°

Tabela 9-2 Expressões para í, T , R e T para incidência de ondas em um meio com impedância intrínseca r, 1 adjacente a um rneio con1 irnpedância intrínseca r,2• Os ângulos ()i e O, são os ângulos de incidência e trans,nissão, respectiva,nente Propriedade Coeficiente de reflexão

r=

Coeficiente de transn1issão

r=

Reflexão der para ; Relletividade

R

Transntissividade Relação de R para T

Polarização perpendicular

Incidência norntal H; =H1 = 0 l'J2 - l'J 1 l'J2 + IJI 2112

r .1 =

l'J2 cos e; - l'Jr cos81 IJ2 cos 8;

+

IJ I cos 81

Polarização paralela

r

li

=

2112 cos 8;

l'J2 cos 81 - l'J, cose; IJ2 cos 81 + IJ I cos 8; 211,- cos 8·1 112 cose, + 111 cos 8;

f.L

=

r=l+r

1'.L

= 1 + r .1

cose; 1'11 = c1 + r u) e

= 1r 12

R.1

= 1r .112

R11

T = lt:1 ( ~ ) 112

T

= 1f.L 12 'li COS8t

T, _ li -

T= I - R

T.1

1')2

+ l)J

2

Nota: (l) sen O, = ../JL1f:1/µ,2e2 sen O,; (2) 'Y/, 'IJ/ 'IJ, = n,!11 2.

.L

l'J2 cos 8;

+ 111 cos 81

112 cos ei

= 1 - R.1

ru =

cos 1

= lru 12 Ir

11,. cose,

11

12 11, cos 8· -

1

r 11 = 1 - R11

. = ../JL 1/t1; (3) 'l'/z = .,J1,1,2/s2 ; (4) para meios não-magnét,cos,

C A PfTULO

9

R EFLEXÃO E T RA NSMISSÃO DE Ü NDAS

327

Código de barras Fil1ro de vidro

Sinal elétrico

Código dig ilal Sensor

J

Espelho de rota~ão (6.000 rprn)

10110100010001000110010

B. Código de barras contido em um feixe laser refletido

Operação Básica A. Elementos de um leitor de códigos de barras

Leitores de Código de Barras Um código de barras consiste em uma seqüência de barras paralelas com larguras específicas, geralmente impressas em preto num fundo branco, configurado para representar um código binário particular de informação sobre um produto e seu fabricante. Os scanners laser podem ler o código e transferir a informação para um computador, uma caixa registradora ou uma tela. Para os dois tipos de scanners, tanto o fixo situado no caixa do supermercado, quanto as unidades de mão que são apontadas para o código de barras do objeto semelhante a um revólver, a operação básica de um leitor de código de barras é a mesma.

O scanner usa um feixe laser de luz apontado para um espelho de rotação multifaces, o qual gira a uma alta velocidade da ordem de 6 mil revoluções por minuto (A). O espelho girante cria um feixe em leque para iluminar o código de barras no objeto. Além disso, a exposição da luz do laser em suas diversas facetas faz com que a deflexão do feixe ocorra em diferentes direções, permitindo que o objeto seja escaneado em uma ampla faixa de posições e orientações. O objetivo é que uma das direções seja tal que o feixe refletido pelo código de barras acabe se propagando na direção do detector de luz (sensor), o qual "lê" a seqüência do código (as barras brancas refletem a luz do laser ao contrário das pretas, convertendo-a numa seqüência binária de 1, e O, (B). Para eliminar a interferência da luz ambiente, um filtro de vidro é usado como mostrado em (A) para bloquear toda a luz, exceto uma estreita faixa de comprimentos de onda centrada no comprimento de onda da luz do laser.

328

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Então as potências refletida e transn1itida são

Pií = PJ1 f ol2 = 5(0,435)2 = 0,95W, P l = P i - P í = 5 - 0,95 = 4,05 W. 1

1

1

,

PROBLEMAS •

,

TOPICOS IMPORTANTES DO CAPITULO • As relações que descreven1 o con1portan1ento de reflexão e trans1nissão de uma onda eletromagnética plana e1n urna fronteira entre dois 1neios distintos são a conseqüência de satisfazer as condições de continuidade dos componentes tangenciais de E e H através da fronteira. • As leis de Snell dizem que 8; = 8, e

Para um meio tal que 112 < n 1, a onda incidente é refletida totahnente pela fronteira quando O; > 80 onde Bc é o ângulo crítico dado por Bc = sen- 1(n2/ n, ). • Por ,neio de reflexões 1núltiplas sucessivas, a luz pode ser guiada através de fibras ópticas. A máxin1a taxa de dados de pulsos digitais que podem ser transmitidos ao longo das fibras ópticas é detern1inada pela dispersão modal. • No ângulo de Brewster, para uma dada polarização, a onda incidente é u·ans1nitida totalmente através da fronteira. Para tnateriais não-,nagnéticos, o ângulo de Bre~ ster existe apenas para a polarização paralela. 1

• Qualquer onda plana incidente em urna fronteira plana pode ser sintetizada como uma so,na de ondas polarizadas perpendiculannente e uma onda polarizada paralelan1ente. • Os 1noclelos equivalentes de linha de transmissão podem ser usados para caracterizar a propagação, a reflexão e a transmissão de ondas atJavés da fron teira entre n1eios distintos.

Seção 9-1: Reflexão e Transmissão para Incidência Paralela à Normal

9.1* Uma onda plana no ar com uma amplitude de campo elétrico de 1OV/n1 incide paralelamente à normal na superfície de um meio ,nagnético sen1 perdas com e,= 25. Determine: (a) os coeficientes de reflexão e transmissão. (b) a razão de onda estacionária no ar. (e) a densidade de potência média das ondas jncidente, refletida e transm.itida.

9.2 Unia onda plana se propaga no meio I con1 E, 1 = 2,25 e incide paralelarnente à normal no meio 2 co1n Er2 =4. Os dois meios não são n1agnéticos nem condutores. Se o campo elétrico da onda jncidente for dado por E;= y4cos(6rr x 1091 - 30rrx)

(V/m)

(a) obtenha expressões no don1ínio do tempo para os ca1npos elétrico e magnético em cada u,n dos

dois n1eios. (b) detennine as densidades de potência 1nédia das ondas incidente, refletida e transmitida.

9.3 Uma onda plana que se propaga e,n um n1eio con1 e, 1 = 9 incide paralelamente à nonnal em um segundo meio com s,2 = 4. Os dois meios não são magnéticos nem condutores. Se o carnpo magnético da onda plana incidente for dado por '1!-

ffi = Z2COS(2rr

X

109t

- ky)

(Ahn)

(a) obtenha expressões no domínio do tempo para os ca1npos elétrico e rnagnético e1n cada u1n dos meios. (b) determine as densidades de potência n1édia das ondas incidente, refletida e trans1nitida. 9.4 U,na onda plana de 200 MHz, polarizada de forma circular à esquerda, te,n u1n n1ódulo de

• Resp0s1as disponíveis no Apêndice D. ""' Solução disponível no CD-R0!\1.

CAPÍT ULO 9

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

campo elétrico de l O V/in no ar, incide em um meio dielétrico com e,=4 e ocupa a região definida por z ~ O. (a) Escreva uma expressão para o fasor campo elétrico da onda incidente, dado que o campo te1n u,n 1náximo positivo en1 z = Oe t = O. (b) Calcule os coeficientes de reflexão e transmissão. (e) Escreva expressões para os fasores campo elétrico da onda refletida, da onda transmitida e o ca,npo total na região z < O. (d) Determine as porcentagens da potência 1nédia incidente refletida pela fronteira e transn1itida para o segundo n1eio. 9.5* Repita o Problema 9.4, porém substitua o meio dielétrico por u,n condutor de baixa condutividade caracterizado por e.. = 2,25, µ,, = 1 e <J' = 10-i S/in. 9.6 U,na onda plana de 50 MHz com uma amplitude de ca,npo elétrico de 30 V/in no ar incide paralelamente à normal em um meio dielétrico perfeito se1ni-infinito co1n e.. =36. Deterrnine: (a)

r.

(b) as densidades de potência média das ondas incidente e refletida. (e) a distância no ar a partir da fronteira para uma intensidade de campo elétrico mínima 1nais próxin1a da fronteira, IEI 9.7* Qual a amplitude 1náxi1na do ca1npo elétrico total no ar do Problen1a 9 .6 e qual a distância n1ais próxin1a da fronteira e,n que essa amplitude ocorre? 9.8 Repita o Problen1a 9.6, poré,n substitua o n1eio dielétrico por um condutor com e. =l, µ,.. = 1 e (J' = 2,78 X 10-3 Sim. 9.9* As três regiões n1ostradas na Fig. 9-20 contê,n dielétricos perfeitos. Para u1.na onda no meio 1, que incide paralelamente à normal em z = -d, que co1nbinação de sr2 e d não produz reflexão? Expresse suas respostas em termos de s,i, s,3 e da freqüência de oscilação da onda,/

9.10 Para a configuração 1nostrada na Fig. 9-20, use as equações de linha de trans,nissão (ou a car-

329

·--d--~·1

t-o)

Meio 1

Meio2

Meio 3

- - - - - - - - - - - - - - - +----~ z

z= -d

z=O

Figura 7-20 Ca,nadas dielétricas para os Problen1as 9.9 a 9.11.

ta de S1nith) para calcular a i1npedãncia de entrada em z =- d para s . 1 = 1, e,2 =9, e,3 =4, d= 1,2 n1 e f = 50 MHz. Alé1n disso, determine a fração ela densidade de potência média incidente que é refletida pela estrutura. Considere todos os meios nãomagnéticos e sem perdas. 9.11* Repita o problema 9.10, porém troque entre si e,1 e s,3.

A luz laranja de co,nprirnento de onda 0,61 µ.m no ar entra en1 u,n bloco de vidro con1 s .. = 2,25. Qual seria a cor "vista" por um sensor embutido dentro do vidro? Os comprimentos de onda para as cores são violeta (0,39 a 0,45 µ,rn), azul (0,45 a 0,49 µ,n1), verde (0,49 a 0,58 µ.1n), amarelo (0,58 a 0,60 µ,tn ), laranja (0,60 a 0,62 µ,1.n) e vermelho (0,62 a 0,78 µ,m ). 9.12

9.13* Uma onda plana no ar de freq üência desconhecida incide paralela1nente à nonnal na superfície de um condutor perfeito. Usando um 1nedidor de ca1npo elétrico, foi detern1inaclo que o ca1npo elétrico total no ar é se1npre zero quando medido a u1na distância de 2,5 ma partir da superfície do condutor. Alé1n disso, nenhun1 zero foi observado em distâncias mais próximas do condutor. Qual é a freqüência da onda incidente? ~

9.14 Considere u1na fina bolha de sabão no

ar iluminada por luz amarela com À= 0,6 µ,m no vácuo. Se a bolha for tratada como unia placa dielétrica plana com e,= 1,72 envolvida nos dois la-

330

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

dos por ar, qual a espessura da bolha que produziria u1.11a forte reflexão de luz amarela incidenLe de forrna paralela à normal?

mine o menor valor de e para o q uai o raio emerge do outro lado. Detennine esse n1.ínitno Opara 11. = 1,5 e = 60°.

9.15* Uma onda plana de 5 MHz con1 uma a1nplitude de campo elétrico de 20 (V/m) no ar incide paralela1nente à nonnal de u1na superfície plana semi-infinita de uni 1naterial condutor com e,= 4, µ,, = 1 e a= 100 (S!tn). Detern1ine a potência média dissipada (perdida) por unidade de área de seção transversal corn uma penetração de 2 1nm no condutor.

9.18 Para alguns tipos de vidros, o índice de refração varia com o comprünento de onda. U1n prisn1a feito de un1 1naterial com

9.16 U,na antena de 0,5 MHz transportada por um avião que voa sobre o oceano gera urna onda que se aproxima da superfície da água de forma paralela à norn1al ao plano da água com uma an1plitude de campo elétrico de 3.000 (V/m). A água do 1nar é caracterizada por e, = 72, µ,, = l e a =4 (S!tn). O avião está tentando se co1n unicar con1 urn subn1arino ünerso a u1na profundidade d abaixo da superfície da ,'ígua. Se o receptor no submarino requer u1n sinal ele amplitude míni1na de O, 1 (µ, V/m), qual a profundidade d 1náxin1a na qual a comunicação ainda é possível?

Seções 9-2 e 9-3: Leis de Snell e Fibras ' Opticas

9.17* Um raio de luz no ar incide em um prisma com un1 ângulo O1nostrado na Fig. 9-2 1. O raio é refratado na primeira superfície e novamente na segunda superfície. E1n termos de ângulo de abertura do prisn1a e seu índice de refração n, deter-

n = l,7t -

4

30

Ào,

(Ão em µ.m)

onde Â.0 é o co1nprimento de onda no vácuo, fo i usado para decompor a luz branca, como 1nostrado na Fig. 9-22. A luz branca incide con1 un1 ângulo de 50°, o comprimento de onda "-t> ela luz vermelha é 0,7 µ.rn e o da luz violeta é 0,4 µ.m. Determine a dispersão angular em graus. 9.19* Os dois prisn1as na Fig. 9-23 são feitos de vidro co1n n = 1,52. Qual a fração da densidade de potência transportada pelo raio incidente no prisma superior que emerge do prisma inferior? Desconsidere as reflexões múltiplas internas.

Um raio de luz con1 incidência de 45° passa através de dois 1nateriais dielétricos para os quais os índices de refração e as espessuras são dados na Fig. 9-24. Se o raio de luz atinge a supertYcie do prilneiro dielétrico em uma altura de 2 c,n, a que altura o raio de luz atinge a tela? 9.20

9.21 * A Fig. 9-25 ilustra unia proveta que contém urn bloco de vidro na parte inferior e água na parte superior. O bloco de vidro contén1 utna pequena bolha de ar e,n u1na profundidade desconhecida abaixo da superfície da água. Quando ob-

Dispersão angular Vem1e1hJ

Verde -.....~ Viofe1,i..

Figura 9-21 Prisma cio Problen1a 9.17.

Figura 9-22 Prisma para o Problerna 9.18.

CAPÍTULO 9

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

••

•• ••

1

90º

Posição aparente da bolha de ar

,

Agua ll=

1

1

1,33

90° Bolha de ar

Vidro

n = 1,6

Figura 9-23 Periscópio de prisn1as para o Problen1a 9.19.

Figura 9-25 Posição aparente de u,na bolha de ar (Problema 9.21).

/

=1

11

= 1,5

·-o

1

10cm

11

331

11

= 1,3

11

Gota de óleo

=1 Tela

21n1 / l

/

45°

1--1• •I• 3cm 4cm

5cm

Figura 9-26 Gota de óleo na superffcie plana de u1n vidro semicilíndrico (Problema 9.22).

Figura 9-24 Luz incidente em u,na tela passando através de un1 dielétrico multicamadas (Problema 9.20).

servada de ci1na e1n un1 ângulo de 60°, a bolha de ar parece estar a uma profundidade de 6,81 c1n. Qual é a profundidade real da bolha de ar? 9.22 U1n se1niciJindro de vidro co1n n = 1,5 é posicionado de fonna que sua face plana fique na horizontal, como 111ostra a Fig. 9-26, sendo que sua superfície horizontal suporta u1na gota de óleo,

confonne ta1nbé1n mostra a inesma figura. Quando a luz é dirigida radialmente em direção ao óleo, a reflexão interna total ocorre se () excede a 60°. Qual o índice de refração do óleo? ·.-;:, 9.23* Uma moeda de u111 centavo se encontra no fundo de um manancial de água a uma profundidade de 30 cm. Detennine o diâ1netro de u,n pedaço de papel que, quando colocado para flutuar na superfície da água bem em cima da moeda, encobre total1nen1e a visão desta. Trate a

332

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

moeda como u1n ponto e considere n = 1,33 para a água.

incidente na fronteira plana de um meio dielétrico (z >O) com e, = 9.

Suponha que a fibra óptica do Exernplo 9-5 seja imersa en, água (com n = 1,33) em vez do ar. Determine O, e/P nesse caso.

A luz natural é polarizada aleatoria1nente, o que significa que, e1n média, metade da energia luminosa é polarizada ao longo de qualquer direção (no plano ortogonal à direção de propagação) e a outra 1netade da energia é polarizada ao longo da direção ortogonal à primeira direção de propagação. Portanto, quando se trabalha con1 luz natural incidente em uma fronteira plana, podemos considerar que 1n.etade da energia esteja na forn1a de ondas polarizadas paralelamente e a outra 1netade sejam ondas polarizadas perpendicularmente. Determjne a fração da potencia incidente refletida por uma superfície plana de uma peça de vidro con1 11 = 1,5 quando ilu111inada por luz natural a 70°.

9.24

A Eq. (9.45) foi deduzida para o caso em que a luz incidente na extre1nidade da fibra óptica se estende ao longo do cone de aceitação 1nostrado na Fig. 9- l 2(b). Suponha que a luz incidente esteja restrita a u1na estreita faixa que se estende entre uma incidência paralela à nonnal e O', onde 9.25*

O' < o•.

(a) Obtenha u,na expressão para a 1náxima taxa de dadosfr em tennos de O'. (b) Calculefr para a fibra do Exe1nplo 9-5 quando (}'= 3º.

9.28

U111a onda plana polarizada paralelamente incide a partir do ar e1n u1n dielétrico com e,= 9 e.111 un1 ângulo de Brewster. Qual o ângulo de refração?

9.29*

Seções 9-4 e 9-5: Reflexão e Transmissão para Incidência Oblíqua 9.26

Uma onda plana no ar com

~

(a) A polarização da onda incidente.

Uma onda polarizada perpendicularmente no ar incide ein uma interface plana ar-vidro com um ângulo de 30º. A freqüência da onda é 12 600 THz ( 1 THz = 10 Hz), que corresponde à luz verde, sendo o índice de refração do vidro 1,6. Se a amplitude do campo elétrico for 50 V/m, deter1ni ne o seguinte:

(b) O ângulo de incidência.

(a) Os coeficientes de reflexão e transn1.issão.

(e) As expressões no domínio do tempo para os

(b) As expressões instantâneas para E e H no vi-

ca1npos elétrico e magnético refletidos. (d ) As expressões no do1nínio do tempo para os can1pos elétrico e magnético transmitidos. (e) A densidade de potência média transportada pela onda no meio dielétrico.

dro.

Ei = Y10e- j (3x+4z)

(V/m)

incide na superfície plana de um 1naterial dielétrico, com e,= 4, ocupando o semi-espaço z > O. Determine:

9.27

9.30

Mostre que o coeficiente de reflexão r.1 pode ser escrito da seguinte forma: 9.31

r .L =

Repita o Problen1a 9.26 para unia onda no

ar com

Mostre que, para um meio magnético, o coeficiente de reflexão r 11 pode ser escrito da seguinte forma:

9.32

(A/1n)

sen(81 - 8;) sen(81 + 8;)

CAPÍTULO 9

r _ 11

-

tg(B1 - 8;) tg(B1 + 8j)

Um feixe de luz polarizado paralelan1ente com uma amplitude de campo elétrico de 20 (V/m) no ar incide no poliestireno com µ,, = 1 e e,= 2,6. Se o ângulo de incidência na fronteira plana ar-poliestireno for 50°, determine o seguinte: 9.33*

R EFLEXÃO E TRANSMISSÃO DE ÜNDAS

333

(a) A refletividade e a 1ransmissividade.

(b) A potência transportada pelos feixes inciden-

te, refletido e transnütido se a área na superfície da fronteira iluminada pelo feixe incidente é de 1 1n2 . Mais problemas resolvidos - soluções co,npletas no &,. 9.34-9.37

LO

Radiacão e Antenas -3

Considerações Gerais 10-1

Potenciais Retardados

10-2

O Dipolo Curto

10-3

Características de Radiação de uma Antena

10-4

Antena Dipolo de Meia Onda ,

10-5

Area Efetiva de uma Antena Receptora

10-6

Fórmula de Transmissão de Friis

Considerações Gerais Uma antena pode ser definida con10 u1n transdutor entre a onda guiada que se propaga nu,na linha de trans1nissão e a onda eletro1nagnética que se propaga num 1neio sem li111itações (geralmente o espaço livre), ou vice-versa. A Fig. 10-1 111oslra con10 utna onda é lançada através de uma antena semelhante a L11na antena de abertura, sendo que a abertura atua co1110 uma transição entre a onda guiada e o espaço livre. Embora qualquer estrutura condutora ou dielétrica possa real.izar essa fu nção, unia antena é projetada para radiar ou receber energia eletromagnética co1n propriedades direcional e de polarização satisfatórias para a aplicação desejada. Alé,n disso, para niini1nizar as reflexões na junção antena-linha de trans1n issão, é importante saber a in1pedância da antena e fazer o casan1ento de ünpedãncia co1n a linha de trans1nissão. As antenas são construidas e1n vários fortnatos e tamanhos [Fig. 10-2] e são usadas em siste111as de radiodifusão (rádio e TV), siste1nas de comunicação por ondas de rádio, telefones celulares, siste,nas de radar e sensores automobilísticos de anticolisão, entre muitas outras aplicações. As propriedades de radiação e impedância de u1na antena são deterniinadas pelo seu fonnato e tanianho e pelo 1naterial corn o qual é construída. As diniensões de L11na antena são gerahnente expressas em unidades de comprimentos ele onda ela onda que ela e1nite ou recebe; uina antena dipolo de l u1 ele comprimento operando corn um compri1nento ele onda ele 2 m apresenta as mes,nas propriedades que uma antena dipolo de I cm de comprimento operando co111 À= 2 cni. Portanto, na maioria das discussões neste capítulo, nos referiremos às di111ensões da antena na unidade de compritnentos de onda.

Linhas de cainpo elétrico da onda rad.iada

Linha de transn1issão

-

eletromagnética Região d guiada transição Onda lançada no espaço livre (a) !vfodo de transn1issão , ...

Antena Linha ele transn1issão

Rec Onda Detector ! . ou receptor e 1e1ron1agne11ca Região de guiada transição (b) Modo de recepção

' '

... ...

.. _, , ... , Onda incidente

Antena "vista" corno um transdutor entre a onda eletrornagnética guiada e a onda no espaço l.ivre, tanto para transn1issão quanto para recepção.

Figura 10-1

Reciprocidade A função diJecional caracteriza a distribuição relativa da potência radiada pela antena, sendo conhecida con10 padrão de radiação da antena ou, si,nplesniente, padrão da antena. Unia antena isotrópica é uma antena hipotética que radia igualmente eni todas as direções, sendo usada conio uni radiador de referência quando descrevemos as proprie-

336

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

_J]

_J

-, (a) Dipolo delgado

(b) Dipolo bicónico

(e) Loop

Tira radiante

Prat;-:;rl Ci(C~lar, LJ refletor (d) Hé lice

(e) Log-periódica

Alimentação coaxial

Deslocadores de fase

Substrato dielétrico

Pontode --1 alimentação Plano de terra metálico

(t) Prato refletor parabólico

(g) Corneta

(h) 114icrostrip

(i) Arranjo de antenas

Figura 10-2 Vários tipos de antenas.

dades de radiação de antenas reais. A rnaioria das antenas são dispositivos recíprocos, apresentando as mes,nas propriedades tanto na transn1issão corno na recepção. Reciprocidade significa que, se no rnodo de transmissão u1na dada antena transtnite na direção A unia potência que é lOO vezes a transmitida na direção B, então, quando usada no ,nodo de recepção, ela será 100 vezes mais sensível à radiação eletromagnética incidente na direção A em relação à B. Todas as antenas mostradas na Fig. 10-2 obedecen1 à lei da reciprocidade, poré1n nen1 todas as antenas são dispositivos recíprocos. A reciprocidade pode não ocorrer para algu1nas antenas de estado sólido compostas de ,naterial sen1icondutor não-linear ou n1ateriais de ferrite. Tais antenas, não-recíprocas, estão aciina do escopo deste capítulo e, portanto, a reciprocidade será considerada ao longo do texto. A propriedade da reciprocidade é rnuito conveniente porque ela nos permite calcular o padrão de radiação de urna antena no ,nodo de transmissão, 1nesn10 quando a antena operar como um receptor. O desempenho da antena consiste ern dois aspectos: suas propriedades de radiação e sua impedância. As propriedades de radiação incluen1 o seu padrão de radiação direcional e o estado de polarização associado à onda radiada quando a antena é

usada no n1odo de transmissão. Esse estado de polarização é deno1ninado de polarização da antena. Sendo un1 dispositivo recíproco, tuna antena, quando opera no ,nodo de recepção, pode extrair da onda incidente apenas aquele componente da onda cujo can1po elétrico for paralelo à direção de polarização da antena. O segundo aspecto, a irnpedância da antena, está associado à transferência de potência do gerador para a antena quando a antena é usada cotno um trans1nissor e, reciprocamente, à transferência de potência da antena para a carga quando a antena é usada con10 um receptor, conforme será discutido na Seção 10-5. Devese notar que pelas discussões neste capítulo consideraremos que a antena esteja adequadatnente casada con1 a linha de transn1issão conectada aos seus ternü nais, evitando assim as ret1exões e os seus proble,nas associados.

Fontes de Radiação As fontes de radiação poden1 ser classificadas en1 dois grupos: de co1Tente e de campos de abertura. As antenas dipolo e loop [Fig I 0-2(a) e (c)] são exemplos de fontes de corrente; as co1Tentes variantes no tempo que percorre1n os fios condutores

CAP(TU LO 10

origina,n o campo eletromagnético radiado. Uma antena corneta [Fig. 10-2(g)] é um exemplo da segunda classificação dos campos elétrico e magnético através da abertura da corneta que serve co1no uma fonte de campo radiado. Os can,pos de abertura são induzidos por con·entes variantes no ternpo situadas nas superfícies das paredes da corneta e, portanto, e1n última instância toda radiação é em função de correntes variantes no ten1po.

RADIAÇÃO E ANTENAS

337

Arranjos de Antenas

Quando várias antenas são conectadas juntas, a combinação é deno1n inada de arranjo de antenas [Fig. 10-2(i)], sendo que tal arranjo se cornporta como se fosse unia única antena. Controlando o n1ódulo e a fase do sinal que alimenta cada antena individualmente, é possível ,no/dar o padrüo de radiaçcio do arranjo e guiar a direção do feixe eletronica,nente.

Região de Campo Distante A onda radiada por u1na fonte pontual ten1 tuna

for1na esférica, con1 a frente de onda se expandindo a unia taxa igual à velocidade de fase ur (ou à velocidade da luz e se o 1neio for o espaço livre). Se R, a distância entre a antena transmissora e a antena receptora, for suficienten,ente grande, de forma que a frente de onda na abertura da recepção possa ser considerada uma onda plana [Fig. 10-3], dize1nos que a abertura de recepção está na região de ca,np o distante ( ou zona distante) da fonte pontual de trans1nissão. Essa região é particulannente interessante porque, para a n1aioria das aplicações, a região de observação de interesse está de fato na região de can1po distante da antena. A aproximação de onda plana no campo distante nos pern1ite usar certas aproxin1ações matemáticas que si1nplificam o cálculo do campo radiado e, reciproca1nente, provê técnicas convenient.es para sintetizar a estrutura de antena apropriada que produziria o padrão de ca1npo distante desejado para a antena.

10-1 Potenciais Retardados Considere a situação ilustrada na Fig. L0-4. U1na distribuição ele carga<: p" existe ao longo do volu,ne v' centrado na origem cio sistema de coordenadas. O meio e1n volta é um dielétrico perfeito con1 permissividade e. A partir da Eq. (4.48a), o potencial elétrico V(R) no ponto de observação no espaço especificado pela posição do vetor R é dado por V(R) =

1

Pv(~ i) dv', 4n s v ' R l

onde R; indica a posição do vetor no volume elen1entar Av' que contém a densidade de carga p,, sendo R' = IR- R;I a distância entre Av' e o ponto de observação. Se a distribuição de cargas for uma função variante no 1:etnpo, pode1nos ser tentados a reescrever a Eq. (10.1) para o caso dinâmico co1no V(R , t )=

l

f

4ns } 11 ,

Fonte

"

~ ~ + - ~ t - - - + ~ - + - -R..-

A~

,. transmissora" ' Onda esfenca

1

Antena receptora

:\ Aproximação de un1a onda plana

Figura 10-3 Aproximação de onda plana en1 can1po distante.

(10.1)

Pv(Ri,t)dv ' , (10.2)

R'

poré1n, tal fonnato não conta para o "te1npo de reação". Se V1 é o potencial devido a certa distribuição de carga Pvi• e se Pvi fosse repentinan1ente alterada para p,,2, levará certo ten1po (finito) antes que VP a u1na distância R', mude para V2• Em outras palavras, V(R, t) não pode mudar instantanea1nente. O atraso de tempo é igual a t' =R'lur, onde ur é a velocidade de propagação no n1eio entre a distribuição de cargas e o ponto de observação. Portanto, V(R , t) no instante de tempo t corresponde a p, no instante anterior, ou seja, (t - t). Portanto, a Eq. (10.2) deve ser reescrita corno

338

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Distribuiç,'io

de carga P,.

O polencial elétrico V(R) devido

Figura 10-4

a un1a distribuição de cargas Pv ao longo do volurne v'.

V(R,t) =

·l

1

4rre v '

( 10.5) p (R·1 t v

'

,

R'/u P) dv'

R

(V), (l 0.3)

e V(R , f) é apropriada1nente denominado de po.tencial escalar retardado. Se o meio de propagação for o vácuo, ur é igual à velocidade da luz e. De forn1a sin1i lar, o potencial vetorial retardado A(R, t) está relacionado com a distribuição da densidade de corrente J por A(R,t) = -

µ,

4rr

tensão, assi1n os potenciais V e A e os campos E, D, B e H. Alén1 disso, como V e A são linearmente dependentes de Pv e J, respectiva,nente, e ta1nbém E e B são li neannente dependentes de \I e A, as relações que inter-relacionam todas essas grandezas obedece,n às regras dos siste,nas lineares. Quando u1n siste1na é linear, podemos tirar vantagem das funções senoidais no tempo para detenninar a resposta de um sistema devido a uma fonte co1n qualquer tipo de dependência te1uporal. Nesta subseção, exa1ninarernos a resposta harn1ônica temporal dos potenciais escalar e vetorial retardados. Suponha que p,,(R j, t) seja u1na função senoidal no te1npo con1 freqiiência angular w. En1 notação fasorial , ela é escrita como:

onde .õv(R;) é definida con10 u1na função fasorial que corresponde à função no tempo Pv(Ri, t). Se adotarrnos a mesma correspondência para todas as outras grandezas dependentes do tempo, os potenciais escalar e vetorial assume1n as seguintes expressões no do,nínio fasorial:

V(R) =

1

1Pv

4ne v•

(R ·) t

- jkR'

e R'

dv' (V). (10.6)

1

J(R;, t - R' /up) , dv v' R'

e

(Wb/m). ( 10.4) Ã(R) =

Essa expressão é obtida estendendo a expressão para o vetor potencial magnetostático A(R) dado pela Eq. (5.65) para o caso da variação temporal.

.!!:...J

-

- jk R '

J(R;)e

4n v'

dv', (10.7)

R'

onde (V

10-1.1

k. - -

Potenciais Harmônicos no Tempo

As expressões dadas pelas Eqs. (10.3) e (10.4) para os potenciais vetorial e escalar retardados são válidas sob condições estáticas e dinâ1nicas e para qualquer tipo de dependência temporal que as funções-fonte P. e J possan1 apresentar. No caso dinân1ico, p_. e J estão inter-relacionadas pela relação de continuidade de carga dada pela Eq. (6.54). Portanto, en1 geral , as duas grandezas têm amesma dependência funcional no instante t e, por ex-

( 10.8)

Up

é deno1ninado de número de on
-

-

1 H= - V x A. µ,

( 10.9)

Lembrando que a diferenciação no don1ínio do tempo é equivalente à multiplicação por jw no do-

CAP(TU LO 10

339

RADIAÇÃO E ANTENAS

mínio fasorial, num meio não-condutor (J = O), a lei de Ampere dada pela Eq. ( 10.4) se torna

'i1

-

Q(R,

-

-

x H = jwsE ou E=

·1

jwt

'i1 X

B

-

H.

T

(10.10)

i(r)t ·

y

' ' '

1

- -

l

ou H = - . J
'i1

-

x E.

' ' ' ' '

if>

X

-

--

l

Os vetores fasoriais E e H tarnbém estão relacionados pela lei de Faraday na forma fasorial:

'i1 x E = - jwµ, H

e,if>)

..

Dipolo cu1to colocado na orige1n de uni sistema de coordenadas esféricas. Figura 10-5

(1 0.11 )

10-2

O Dipolo Curto

Considerando uma antena linear como uma série de ele1nentos condutores curtos infi nitesimais, sendo cada um tão curto que a corrente pode ser considerada uniforme ao longo de seu comprin1ento, o campo da antena con1pleta pode ser obtido pela integração dos campos de todas as antenas diferenciais, levando em consideração os módulos e as fases próprios. Deve1nos exanlinar pritneil'o as propriedades de radiação de uma antena diferencial, conhecida co1no dipolo curto , para ern seguida, na Seção I0-4, estendennos os resultados para calcular os ca111pos radiados por um dipolo de rneia onda, o qual é con1urnente usado como urna antena padrão para muitas aplicações. Um dipolo curto, também denominado dipolo Hertziano, é uni condutor linear fino cujo comprimento l é muito curto comparado com o cornprimento de onda Â.; para satisfazer a condição de uniformidade da corrente, l não deve exceder a ')JSO. O fio, que está orientado ao longo da direção z, corno n1ostra a Fig. 10-5, transporta urna corrente que varia senoidalmente dada por i(t)

= locoswt = ~e[loei"'

1

]

(A),

(10.12)

onde /0 é a a,nplitude da corrente. A partir da Eq. ( 10. 12), a corrente fasorial l = /0 . Ainda que a corrente se torne zero nas extremidades do dipolo, deve1nos considerá-la constante ao longo de todo o comprimento.

-

~

A abordagern habitual para determinar os carnpos elétrico e 1nagnético no ponto Q no espaço [Fig. 10-5] devido à radiação relativa a uma fonte de corrente é através do vetor potencial retardado A. A partir da Eq. (10.7), o fasor vetor potencial retardado A(R) para o vetor distância R a partir de um volume i que contén1 um fasor de distribuição de corrente J é dado por

-

Ã(R) = µ,o 4 Jr

f V'

-

'kR'

Je-,I · dv', R.

( ]0. (3)

onde µ,0 é a perrneabilidade magnética do espaço livre (porque o ponto de observação está no ar) e k = w/c = 2'1T/À é o número de onda. Para!! dipolo, a densidade de corrente é sitnplesmente J =z(/Js), onde sé a área da seção reta do fio do dipolo, dv' = s dz, e os 1i1nites de integração são ele z =- //2 a z = l/2. Na Fig. 10-5, a distância R' entre o ponto de observação e un, dado ponto ao longo do dipolo não é a n1esn1a que até o seu centro(/?), ,nas corno esta1nos lidando com um dipolo muito curto, pode1nos fazer R'-:::::. R. Portanto, _

µ,o e- ikR

A= -

4n

--

R

112

1

-112

zlodz (10.14)

A fu nção (e-ikRIR), denominada/ator de propagação esférica, leva em conta o decaimento de 1/R do 1nódulo co,n a distância, be1n co1no a rnudança de fase representada por e-ikR_A direção de Ãé determjnada pela direção da cotTente (direção z).

340

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Como nosso objetivo é caracterizar a característica direcional da potência radiada para u1na distância R fixa a partir da antena, o sisten1a de coordenadas esféricas rnostrado na Fig. 10-6 é julgado apropriado para apresentação do gnífico de radiação da antena, con1 as variáveis R, 8 e cf> sendo a faixa , o âllgulo zênite e o ângulo de azi1nute, respectiva1nente. Com essa finalidade, precisa1nos escrever A em termos de seus componentes em coordenadas esféricas, o que é feito [co1n auxílio da Eq. (2.65c)] expressando em tennos de vetores unitários do sistema de coordenadas esféricas:

-

-

f.Lofol

-

4,r

Ao = -

z= R cos 8 -

A

(10.1 5)

8 sen 8.

Substituindo a Eq. ( 10.15) na Eq. ( 10.14), temos

'k R)

• • µolol (e-J A= (Rcosé- 9 sené)--

4,r

,.-..,

,.,...,

e(e-jkR ) R

'

Co1n as con1ponentes e1n coordenadas esféricas de A conhecidas, o próximo passo é direto; aplica1nos si1nples1nente as relações de espaço livre dadas pelas Eqs. (1 0.9) e (10.10),

-

1 H= - V µo -

1

X

E= . V ;weo

A,

X

( I 0. 18a)

-

H,

(10.18b)

para obter as expressões

1 l olk -jkR [ j

H"' = 4,r e

kR

+

I

J

(k R)2 sen e

R

(10.19a)

,...-..,

(10.16)

=RAR + 8A9 + t/>Aq,,

(10.17b)

Aq, = O.

z

•

sen

1

- _ 2lolk ER 4n rJoe

-jkR[ (kR1 )2 _

J (kR)3 cose )

(10.19b)

com

(e-jkR ), R

µ olol AR= lT cose 4

2

(10.17a)

lolk Eo = 4,r T/oe

-jkR[k)R + (k R)2 1 -

J

) (k R)3 sen 8

(10.19c) onde T/o = .Jµo/ eo ~ 1207T (Q) é a impedância intrínseca do espaço livre. As co,nponentes restantes ( HR, H0 e E"') são de qualquer forma zero. A Fig. 10-7 ilustra as linhas do campo elétrico da onda radiada por um dipolo curto.

--

-

s 10-2.1

,

;

'' -- 0=90° ----)'

-- ---

0=90º = 270°


I

,

I

O= 180º

Figura 10-6 Sistema de coordenadas esféricas.

Aproximações de Campo Distante

Conforme dito anteriormente, na maioria das aplicações con1 antenas, esta1nos prüneira1nente interessados no padrão de radiação da antena a grandes distâncias da fonte. Para o dipolo elétrico, isso corresponde a distâncias R tais que R >> À ou, de forn1a equivalente, kR = 2'1T RIÂ. >> 1. Essa condição nos pern1ite desconsiderar os tennos que varia1n conforme l/(kR) 2 e l/(kR)3 nas Eqs. (10.19a) a (10.19c) en1 favor dos termos que varian1 conforme 1/kR, que resulta nas expressões de ca1npo distante

CAP(TU LO l.0

RADIAÇÃO E ANTENAS

341

Eixo do dipolo

Figura 10-7 Linhas de ca,npo elétrico em torno de u,.n dipolo alimentado con1 uni sinal variante no ten1po nu,n dado instante.

jlolk110 Eo = ,r 4

-

Eo Hq, = 110

(e-ikR) R sene(V/111), ( 10.20a) (10.20b)

(Af1n),

10-2.2 Densidade de Potência

- -

Dados E e H na forma fasorial, o vetor de Poynting médio 110 te111po da onda radiada, ta,nbém denominado densidade de potência, pode ser obtido aplicando-se a Eq. (7.158), ou seja,

-

e E R é desconsiderado. No ponto de observação Q [Fig. L0-5], a onda agora parece si,n.ilar a uma onda plana unifonne com seus can1pos elétrico e magnético em fase no tempo, relacionados pela impedância intrínseca do meio r,0 , a ortogonalidade de um con1 o outro e a direção de propagação (R). Os dois carnpos são proporcionais a sen e e independentes de (que já era esperado a partir de considerações de simetria). ~

Sméd=

f9'le (Ex ü*)

(W/m2 ). (10.21)

Para o dipolo curto, o uso das Eqs. (10.20a) e (10.20b) resulta em () 0.22)

342

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

corri

z 2

,

2

11ok !Jl ) 2 S(R,B)= ( rc 2 R 2 sene 32

e,= 45º F((})

dipolo

= S0 sen 2 e (W/m2 ). (10.23)

1

'

O padrão de radiação direcional de qualquer antena é descrito en1 tennos da intensidade de radiação nor111alizada F(e, ), definida como a razão entre a densidade de potência S(R, e,
O 5" , '

'

'e2 = 135º

(a) Padrão de elevação y

F(e, ) = S(R, e,) (adimensional).

f(())

Smáx

( 10.24)

e

Para o dipolo Hertziano, a dependência de sen2 na Eq. (J 0.23) indica que a radiação é máxima na direção perpendicular ao dipolo (O = 'it/2), que corresponde ao plano de azirnute, e é dada por

(b) Padrão de azimute

'7ok21J12

Smax = So = - - " - -

Figura 10-8 Padrões de radiação de un1 dipolo

32,r2 R2

= 15rr !J R2

curto.

(~)2

W/m2)

À

(

'

(10.25)

onde foran1 usadas as relações k =27T/À e rJo ::::: 1207T. Observamos que Smá, é diretamente proporcional a /20 e a L2 (co1n l 1nedido em co1nprimentos de onda), e decresce co,n a distância conforme l/R2 • A partir da definição de intensidade de radiação nonnalizada dada pela Eq. ( 10.24), segue que F(B, ) = F(B) = sen2

e.

(10.26)

Os gráficos de F(B) estão ,nostrados na Fig. 10-8 nos dois planos: o de elevação (tarnbén1 denominado plano O) e o azi1nutal (plano e/>). Nenhu1na energia é radiada pelo dipolo ao longo da direção de seu eixo e a radiação m,1xÍlna (F = 1) ocorre na direção perpendicular ao eixo do dipolo. Co1no F(O) é independente de cp, o padrão de radiação é na fonna de u1na rosca no espaço 0-c/>.

-

-

QUESTOES PARA REVISAO QIO.l Quando uma antena é un1 dispositivo recíproco? Ql0.2 Qual o aspecto da onda radiada na região de campo distante de uma antena? QI0.3 Qual deve ser o compri,nento do fio de uma antena de fonna que ela possa ser considerada u,n dipolo Hertziano? Que suposição poden1os fazer en1 relação à corrente que percorre o fio? Ql0.4 Cite os passos básicos para relacionar a corrente no fio à densidade de potência radiada.

EXERCÍCIO 10.1 Um dipolo de 1 m de comprin1ento é excitado por unu1 corrente com an1plitude de 5 A e freqüência de 5 l\1Hz. A uma distância de

CAP(TULO l.0

2 k1n, qual a densidade de potência radiada pela antena ao longo da direção perpendicular a ela?

Características de Radiação de uma Antena

O padrão de radiação de 11111a antena descreve as propriedades direcionais do ca1npo distante de uma antena quando medido a u1na distância fixa desta. Em geral, o padrão de radiação de u1na antena é u1n gráfico t.ridin,ensional que 1nostra a intensidade do campo radiado ou a densidade de potência como unia função da direção, sendo a direção especificada pelo ângulo zênite (:) e pelo ângulo de azi1nute . E1n virtude do teoren,a da reciprocidade, urna antena receptora te,n o ,nes,110 padrão de radiaçc1o que é apresentado quando opera 110 ,nodo de transn'lissão. Considere uma antena trans1nissora colocada na origem de tuna esfera de observação, co1no 1nostra a Fig. 10-9. A potência diferencial radiada pela antena através de uma área dA é A

dPrad = Sméd·dA = S méd· RdA = SdA (W), (I 0.27)

343

pre na direção radial. Nu1n sistema ele coordenadas esféricas

Resp. S0 =8,2 x l O..s W/111 2 (v~ja ~ )

10-3

RADIAÇÃO E ANTENAS

?

dA = R· sene d(:) d
(10.28)

e o ângulo sólido dQ associado a dA, definido como a área subentendida dividida por R2 , é dado por

dA

dQ = R2 = sen e de d
Note que, enquanto u1n ângulo plano é medido em radianos e a 1nedida angular de un, círculo con1pleto é 2n (racl), um ângulo sólido é medido e1n esteradianos (sr), sendo a n1edida angular para unia superfície esférica Q = (41r R2)/R2 = 41r (sr). O ângulo sólido de unia se1ni-esfera é 21t (sr). Usando a relação dA =R2dQ, d P,act pode ser reescri t.a co1no dPrad = R 2 S(R,

e,
(10.30)

A potência total radiada por u1na antena através de uma superrície esférica a uma distância R fixa é obtida integrando a Eq. (10.30): 2

Pract = R

f

2 "

{"

S(R , 13,
Í,t,=0 Ío=O =

onde S é a co1nponente radial do valor 1nédio no tempo do vetor de Poynting S 111&1 . Na região de campo distante de qualquer antena, Smcx1 está sem-

R2 Smax

f

2 "

{ "

14>=0J {/: 0

F(e,
=R2 Smax {{ F(e,
J]4;r

(W), (10.31)

onde F(O, <J,) é a intensidade de radiação normalizada definida pela Eq. (10.24). O sírnbolo 47t na parte inferior do sinal de integral é usado como u1na abreviação para os linútes indicados por() e <J:,. Formaln1ente, P 0. d é denominado potência radiada total.

10-3.1 Plano de azin1ute

Figura 10-9 Definição do ângulo sólido.

Padrão de Radiação de uma Antena

Cada combinação específica do ângulo zênite Oe do ângulo de azimute e/> indica urna direção específica no siste1na de coordenadas esféricas mos-

344

E L ET ROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

trado na Fig. l 0-9. A intensidade de radiação normalizada F(fJ, ) caracteriza o padrão deradiação direcional da energia radiada por u1na antena, sendo que u1n gráfico ele F(O, ) como urna função de O e constitui um padrão de radiação tridi1nensional, um exemplo do que é 1nostrado na Fig. 10-10. É interessante caracterizar a variação de F(O, ) na forma de gráficos bidimensionais em planos específicos do siste1na de coordenadas esféricas. Os dois planos nonnalmente especificados para essa finalidade são os planos de elevação e de azin1ute. O plano de elevação, tan1bé1n deno1ninado plano O, é o plano que corresponde a un1 valor constante de . Por exemplo, cp = Odefine o plano x-z e = 90º define o plano y-z, ambos são planos de elevação (Fig. 10-9). Um gráfico de F(O, cp) versus Oe,n qualquer um desses planos constitui um padrão de radiação bidimensional no plano de elevação. Entretanto, isso não in1plica que o padrão de radiação num plano de elevação é necessariamente igual para todos os planos de elevação. O plano de azi111ute, também denominado plano, é

·-§ -10 oe: 0

-15

""<->" "' -20 :.S ~

2

Figura 10-10 Padrão de radiação tridimensional de uma antena de feixe estreito.

especificado para O= 90º e corresponde ao plano x- y. Os planos de elevação e de azünute são freqüentemente chamados de planos principais do sistema de coordenadas esféricas. Algumas antenas apresenta1n padrões ele radiação altan1ente diretivos co1n feixes estreitos, casos nos quais é conveniente fazer o gráfico do padrão de radiação da antena nun1a escala en1 decibel expressando F em decibéis: F (dB) = 10 log F.

Como exemplo, o padrão de radiação ele un1a antena 1nostrado na Fig. 10-1 l(a) é registrado nu1n gráfico de coordenadas polares nu1na escala e1n decibel, con1 a intensidade sendo a variável radial. Esse fonnato pennite u1na interpretação visual conveniente da distribuição direcional dos lóbulos de radiação. Uni outro fonnato norn1aln1ente usado para inspeção cio padrão de radiação de uma antena de feixe estreito é o gráfico em coordenadas retangulares mostrado na Fig. l 0-1 l(b), o qual pern1ite que o padrão de radiação seja facihnente expandido alterando a escala do eixo horizontal. Esses gráficos representa1n a variação em apenas u1n plano de observação da esfera, o plano = O. A 1nenos que o padrão de radiação seja simétrico em relação a , gráficos de padrões e radiação adicionais são necessários para definir a variação de F(O, ) com Oe cf,. Falando estritamente, o ângulo polar Oé sempre positivo, sendo definido ao longo da faixa de 0° (direção z) a 180° (direção negativa de z), já o eixo Ona Fig. 10-11 (b) apresenta valores positivos e negativos. Isso não é un1.a contradição, 1nas u1na forma diferente ele representar padrões de radiação de antenas. A inetade direita do gráfico representa a variação de F (clB) co,n O à medida que fJ aun1enta no sentido horário no plano x-z [veja o pequeno gráfico no canto superior esquerdo da Fig. 10-11 (b)], que corresponde a = O, ao passo que a metade esquerda do gráfico representa as variações ele F (dB) corn () à medida que e varia no sentido anti-horário para = 180º. Portanto, un1 valor negativo ele esitnples1nente indica que a direção (O , cf>) está na metade esquerda do plano x- z. O padrão de radiação mostrado na Fig. 101 l(a) indica que a antena é bastante diretiva, vis-

CAP(TULO 10

20

10

o

10

20

o -3

principal

30

40

40

so ~

t:° -10

.

so

11=0º

50

60

,p = 180º

f

.t

9= 90° t/> =Oº

'O

-

1 1 1 1

z

~

N

li= 180°

oe o

1 1 1 1 1 1 1 1

V "O

V

,

-25

'O

·-""e

,.....

'O

V,

~

e

130

1~ 140 150 160 170 ISO 170 160 150 140

'

.

"

'

/J 112

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

'O

345

1 1 1 1

.

E

·-......

120

'

1 1 1 1

-

;:: -15

U'> •_, "" ?O .:,:

120

/1'

-- -- - --- ' -

-5

s

:::

~

.

..

Primeiro

/ , lóbulo lateral

RADIAÇÃO E ANTENAS

/',

'

1 1 1 1

1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

Ili '

:t3nulo

-30

\

) -35 -so -40

-30 -20 -10

e, o e2 10

20

30

~\so 40

Ângulo zênite O (graus) (b) Gráfico retangular

(a) Diagrama polar

Figura 10-11 Gráficos representativos do padrão de radiação norn1aUzado de unia antena de microondas em (a) fonna polar e (b) forn1a retangular.

to que a maior parte da energia é radiada através de u,na faixa estreita denominada lóbulo principal. Além do lóbulo principal, o padrão de radiação apresenta vários lóbulos laterais e tan1bém lóbulos posteriores (as costas da antena). Para a maioria das aplicações, esses lóbulos extras são considerados indesejáveis porque representa,n energia perdida para antenas transmissoras e u,na potencial direção de interferência para antenas receptoras.

10-3.2

Dimensões de Feixes

Para u1na antena con1 um único lóbulo principal, o ângulo sólido do padrão de radiação Qr descreve a largura equivalente do lóbulo principal do padrão de radiação da antena [Fig. 10-12). Ele é definido como a integral da intensidade de radiação nonnalizada F(O, ) ao longo de uma esfera:

QP =

fl,,

F(B, ) dQ

(sr). (10.32)

=

Para. utna antena isotr6pica co,n F(O, cf>) l e,n todas as direções, Qr = 41t (sr). O ângulo sólido do padrão de radiação carac-

teriza as propriedades direcionais do padrão deradiação tridimensional. Para caracterizar a largura do lóbulo principal nun1 dado plano, o tern10 usado é largura de feixe. A largura de feixe de meia potência, ou sünplesn1ente o feixe de 1neia potência {3, é defin ida como a largura angular do lóbulo principal entre os dois ângulos nos quais o 1nódulo de F(e, cp) é igual à ,netade do valor de pico (ou - 3 dB nu1na escala e1n decibéis). Por exe,nplo, para o padrão de radiação mostrado na Fig. I0-11 (b), f3 é dado por ( 10.33)

346

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHE IROS

-

..... 1

(adimensional),

,_........F(O, cp) F=

1 dentro :-_;__..-,

do cone

(a) Diagran1a real

A

(b) Angulo sólido

equivalente

onde Q P é o ângulo sólido do padrão de radiação definido pela Eq. ( 10.32). Portanto, quanto n1enor o Q P do padrão de radiação de unia antena, maior a diretividade dela. Para uma antena isotrópica, Q P = 4n; portanto, sua diretividade é D;so = l. Usando a Eq. (10.31 ) na Eq. (10.34), D pode ser expressa co1no

Figura 10-12 O ângulo sólido Qr do padrão de

radiação define uni cone equivalente ao longo do qual toda a radiação da antena real está concentrada com intensidade igual ao n1áxi1no do padrão real.

(10.34)

D = 4rr R2Smáx Prnd

Smáx Sméd'

(10.35)

onde S,11 é~ = P11,/(47r R2) é o valor médio da densidade de potência radiada e é igual ao quociente entre a potência total radiada pela antena (Pmd) e a área de uma esfera de raio R.- Con10 S1111;:\,I.., = 1:-0' onde S;'° é a densidade de potência radiada pela antena isotrópica, D representa a razão entre a densidade de potência 1náxi1na radiada pela antena e1n relação à densidade de potência radiada por uma antena isotrópica, sendo as duas 1nedidas na mesma faixa R e as antenas excitadas pelo mes1no valor de potência de entrada. Geralmente, D é expressa e1n decibéis: *D (dB) =lO!ogD. Para uma antena com um único lóbulo principal que aponta na direção z, confor1ne a Fig. 1013, Q P pode ser aproximadamente o produto da largura de feixe de meia potência f3xz por /3,., (em radianos): ·

s.

onde 8 1 e 82 são os ângulos de ,neia potência para os quais F(O, 0) = 0,5 (co1n 92 indicando o maior valor e 8., o nienor valor, conforme a figura). Se o padrão de radiação for si.n1.étrico e o valor de pico de F(8, ) ocorrer para 8 = O, então {3 =282 • Para o padrão de radiação do dipolo curto mostrado anterionnente na Fig. J0-8(a), F(fJ) é máximo para O= 90º, 82 vale 135º e 8 1 vale 45°. Nesse caso, {3 = 135º - 45º = 90º. A largura de feixe {3 também é conhecida corno !t,rgura de feixe de 3 dB . Além da largura de feixe de 1neia potência, outras dimensões de feixe pode1n ser de interesse e1n certas aplicações, como a largura de feixe entre nulos f3nulu• que é a largura do espaço entre os primeiros nulos nos dois lados do pico [Fig. l 0-11 (b)]

10-3.3

Diretividade de uma Antena

A diretividade D de uma antena é definida con10 a razão entre a máxi1na intensidade de radiação norn1alizada, F á, (que é definida con10 sendo igual a 1), e o valor 1nédio de F(O , ) ao longo do espaço 4n: 01

(10.36)

e, portanto, (J 0.37)

Etnbora sendo l1tna aproxin1ação, essa relação provê un1 n1étodo útil para esti1nar a diretividade de u1na antena a partir de medições de largura de feixe nos dois planos ortogonais cuja interseção é o eixo do lóbulo principal.

D= Fmáx Fméd

* Uma nota de precaução: ainda que expressemos freqüentemente cenas quantidades adi1nensionais en1decibéis, devemos setnpre conve11er seus valores en1 decibéis para valores naturais antes de usá-los nas relações dadas neste capítulo.

CAP(TU LO 10

RADIAÇÃO E ANTENAS

z

r1 1

•

1 1 1 1

~

f3 u:

'"

•

z

-

• ·=-"""'--;;.:,- - - , OdB

OctB

347

'

1

r;;----..'1' - 3 dB

/

'J __.--i-/3~.v-z-..'l. - 3 dB

f3xz

/3)':. ; ; ; ;

;

y

X

(a) Feixe de ângulo sólido

(b) Largura de feixe de meia potência no plano x-z

(c) Largura de feixe de meia potência no plano y-z

Figura 10-13 O ângulo sólido de um padrão de radiação unidirecional é aproximadamente igual ao produto das larguras de feixe de ,neia potência nos dois planos principais; ou seja, QP:::: /3.,,/3.,.,·

Exemplo 10-1

z

Propriedades de Radiação de uma Antena

_..t...._/ F(O) = cos2 ()

Determine (a) a direção de ,náxima radiação, (b) o ângulo sólido do padrão de radiação, (e) adiretividade e (d) a largura de feixe de meia potência no plano y-z para uma antena que radia apenas no hemisfério superior, cuja intensidade de radiação normalizada é dada por F(e, cf>) = cos2 e. Solução: Maten1atica1nente, a afinnação de que a antena radia ao longo de direções que estão apenas dentro do hemisfério superior pode ser escrita como

45°

X

Figura 10-14 Gráfico polar de F(8) = cos20.

cos2 B para O< B < n/2 F(8 , ) =F(8) =

e0<<2n O em qualquer outro caso

= e=

2

(a) A função F(()) cos () é independente de cf> e é máxima quando Oº. Um gráfico polar de F(O) é 1nostrado na Fig. 10-14.

(b) A partir da Eq. (10.32), o ângulo sólido Qr do padrão de radiação é dado por

1 [1ir/Z 2

=

cos2 esenB de]

1T

tf,= 0

dr/)

0=0

-12i r [-cos3B]ir/2d ef>=O

=

o

3

r2ir ! d = lo 3

21t

(sr).

3

(e) A aplicação da Eq. (10.34) resulta en1 D

( 3 ) = 4n QP = 4n 2,r = 6,

348

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

que corresponde a D (dB) = 10 log 6 = 7,78 dB. (d) A largura de feixe de 1neia potência~ é obtida fazendo F(8) = 0,5. Ou seja,

são para o ganho cem como referência a potência fornecida para a antena .P,, e1n vez da potência radiada Pr,d· Em função da Eq. (10.38),

F(e) = cos2 e = 0,5

(aditnensional).

que resulta nos ângulos de meia potência 8 1 = - 45° e 02 =45°. Portanto,

f3 = e2 - e, = 90º. • Exemplo 10-2

Solução: Aplicando a Eq. (10.34), sendo F(f}) sen2 () [a partir da Eq. (10.26)), obte1nos

f1,.

=

4n

F(fJ , 4>) sen e de d

-12,, 1"

4n

sen3 e d8 d

4n _ 8n/3 - l, 5

1/>= 0 0=0

ou, de forma equivalente, l,76 dB .

10-3.4

•

10-3.5

Resistência de Radiação

Para uma linha de transmissão, a antena conectada a seus tern1i nais é "vista" n1era1nente con10 uma impedância. Se a Linha de transmissão estiver casada corn a iJnpedância da antena, parte de P,, a potência fornecida pelo gerador, é radiada para o espaço e a potência restante é dissipada na forma de calor na antena. A parte da resistência da impedância da antena pode ser definida corno uma resistência de radiação Rrad e uma resistência de perda Rpc,J•· A correspondente potência média radiada no tempo P rnd e a potência dissipada p perda são

Ganho de uma Antena

Prad =

Da potência total P, (potência do transmissor) fornecida para a antena, u1na parte (Prnt1) é radiada para o espaço, e o restante (Ppc,d,.) é dissipado na forn1a de calor, sendo assin1 u1na perda térn1ica na estrutura da antena. A eficiência de radiação gé definida como a razão entre P,..d e P,:

ç=

O ganho leva eni consideração as perdas ôlunicas no ,naterial da antena, ao passo que a diretividade não considera isso. Para tuna antena se,n perdas, ç = l.

Diretividade de um Dipolo Hertziano

Calcule a diretividade de u1n dipolo Hertziano.

D=

(10.40)

(aditnensional).

(10.38)

Pperda=

_ 4nR2 Smáx G,

Pi

(10.41a)

1 2

(10.4 1b)

IoRperda,

2

onde 10 é a atnpUtude da corrente senoidal de excitação da antena. Conforme definido anteriormente, a eficiência de radiação é a razão entre P,,J e P,:

ç=

Prad

Pi

O ganho ele uma antena é definido como

l 2 - l o Rrad, 2

=

Prad

Prad

+ Pperda

Rrad

_

Rrnd

.

+ Rperda (10.42)

(10.39)

que é si1nilar à forma ela expressão dada pela Eq. (10.35) para a diretividade D exceto que a expres-

A resistência de radiação Rn..1 pode ser calculada integrando a densidade de potência de campo distante ao longo de uma esfera para obter P,0J e e1u seguida igualando o resultado com a Eq. ( 10.41 a).

CAP(TULO

Resistência e Eficiência de Radiação de um Dipolo Hertziano

ExemRlo 10-3

U1n dipolo con1 alin1entação central de 4 cm de comprimento é usado como u,na antena na freqüência de 75 MHz. O fio da antena é feito de cobre e te1n um raio a = 0,4 mm. A partir da Eq. (7. l 47a) e (7 .149), a resistência de perda de un1 fio circular de comprimento L é dada por L

Rperda =

2:rra

.

:rr f JJ.,c

(10.43)

'

(Jc

onde µ, 0 e <Jc são a permeabilidade n1agnética e a condutividade do fio, respectiva,nente. Calcule a resiscência de radiação e a deficiência de radiação da antena dipolo dada.

/.Lc ::::::: /.Lo

l.0

= 41r X

349

RADIAÇÃO E ANTENAS

7

l 0· H/Jn e (Te = 5,8

7

l 0 Sim.

X

Portanto, L

nf /.Lc

2rra

<Jc

Rperda= - -

4x 10-2 2rr x4 x 10-4 rr x75 x 106 x4rr x 10- 7 [ 5,8x 107 = 0,036 Q ,

J

112

e portanto a eficiência de radiação é

~=

Rrad Rrad

+ Rperda

ou 69o/o de eficiência.

0,08 0,08 + 0,036 =

º·

69

•

•

Solução: E1n 75 MHz, C

À---

- f -

-

3 X 108 -4m 7,5 X 107 •

A razão encre o compri,nento da ancena e o comprimento de onda é l/À = 4 cn,/4 1n = 10-2. Portanto, esse é um dipolo curto. A partir da Eq. ( 10.35), Pmd é dada por 4:rrR2 D

Prad =

(10.44)

Smáx,

Para o dipolo Hertziano, Smá, é dada pela Eq. (10.25) e, a partir do Exemplo 10-2, estabelecemos que D= l ,5. Portanto, P,

rad

2

= 4:rr R

X

l 5 '

15:rr lJ R2

(!__) À

2

2

= 40:rr 2 TJ (~)

(10.45)

Igualando esse resultado com a Eq. (10.4 la) e então calculando para a resistência de radiação Rr..d' obte1nos Rrnd = 80n 2 (l/Ã) 2

(Q).

-

QUESTOES PARA REVISAO

(10.46)

Para //'A,= 10· 2 , Rrad = 0,080. En1 seguida, determinamos a resiscência de perda (Rpc,da). Para o cobre, o Apêndice B fornece

Ql0.5 O que representa o ângulo sólido do padrão de radiação? Ql0.6 Qual é o 1nódulo da diretividade de u1na .mtena isotrópica? Ql0.7 Quais são as propriedades físicas e materiais que afeta1n a eficiência de radiação de u1na antena dipolo Hertziano de comprin1ento fixo?

EXERCÍCIO 10.2 Uma antena tern uni padrão de radiação cônico corn urna intensidade de radiação nonnalizada F(O) = 1 para Oentre Oº e 45º e intensidade zero para Oentre 45° e 180º. O padrão de radiação é independente do ângulo de azimute . Determine (a) o ângulo sólido do padrão de radiação e (b) a diretividade.

Resp. (a) Q P = 1,84 sr, (b) D =6,83 ou, equivalentemente, 8,3 dB. (veja ,4' ) ' EXERCICIO 10.3 A densidade de potência máxima radiada por um dipolo curto a uma distância de 1 km é 60 (nW/m 2). Se / 0 = 10 A, deterrnine aresistência de radiação.

350

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

10-4

Antena Dipolo de Meia Onda

Na Seção 10-2 desenvolvemos expressões para os campos elétrico e rnagnético radiados por um dipolo curto de con1prirnento rnui.to menor que À.. Agora devernos usar essas expressões corno blocos construtivos para obter expressões para os campos radiados por uma antena dipolo de rneia onda, dcnorninada assim porque seu comprimento é I =')J2. Conforme n1ostra a Fig. 10-1 5, o dipolo de meia onda consiste em um fio fino alimentado no centro por um gerador conectado aos tert1linais da antena via linha de transmissão. A corrente que percorre o fio tem urna distribuição simétrica em relação ao centro do dipolo, sendo que a corrente tern de ser zero nas extremidades. Maternatican1ente, i(t) é dado por i (t) = lo cos (J)/ cos kz = !:nc [ lo cos kz ejwt]

Distribuição de corrente /(z) = lo cos kz

-,/

t

Linha de trans1ni ssão

'

'

i(I)

\

\

1

==:!::.::==;:

l = À/2

1 I 1

ti(t)

A nt ena _,.,..,,,.

dipolo

-

/I /

(a)

~-2-s~-v

Q(R, 8, e/>)

l = À./2

'

( 10.47)

z = - 1/2

cujo fasor de corrente é (b) - À l(z) = 10 cosk z, <

4

z<

À

4

, (10.48)

sendo k = 2r./À.. A Equação (10.20a) representa urna expressão para E 0, que é o carnpo distante (a urna distância R) radiado por un1 dipolo curto de comprimento l quando excitado por uma corrente 10 • Vamos adaptar essa expressão para un1 dipolo infinitesimal corn seg,nento de comprimento dz, excitado por urna corrente 1-(z) e localizado a urna distância s a partir do ponto de observação [Fig. 10-1S(b)] . Portanto,

-

-

dEo(z)

(e-jks) senes, = jk110 l (z)dz 4n s

( 10.49a) e o campo magnético associado é d Hq,(z)

= d

Eo(z) .

110

(10.49b)

O campo distante devido à radiação gerado pela antena co,npleta é obtido pela integração dos campos a partir ele todos dos dipolos Hertzianos que fonnam a antena:

Figura 10-15 Dipolo de n1eia onda com alin1entação central.

Ã/4

l /J

=

f .

dEo.

(! 0.50)

Í z=- J./4

Antes de calculannos essa integral, devemos fazer as duas aproxirnações mencionadas a seguir. A prirneira delas está relacionada ao ,nódulo do fator de propagação esférica, 1/s. Na Fig. 10IS(b), a distância s entre o elemento de con·ente e o ponto de observação Q é considerada bastante grande em co1.nparação com o compriinento do dipolo, de forma que a diferença entres e R pode ser ignorada em termos de seu efeito em 1/s. Portanto, podernos fazer 1/s::::: 1/R e, pelo mesrno argumento, fazernos e, ::::: e. O erro 6 entres e R é n1áxin10 quando o ponto de observação está ao longo do eixo z e é igual a ')J4 (que corresponde à n1etade do coinprimento da antena). Se R >> Â., esse en·o terá urn efeito insignificante em 1/s. Para o fator de fase e·JI,,, tal erro na djstância correspon-

CAP(TULO

de a um erro na fase de ktJ. = (21r/À)(Ã./4) = 7T/2. Como regra prática, um erro de fase 1naior que 1r/8 é considerado inaceitável porque pode levar a u1n erro significativo no valor calculado para o can1po E 0 • Portanto, a aproxin1ação s=::: Ré rnuito grosseira para o fator de fase e não pode ser usada. Unia opção 1nais tolerável é usar a aproxin1ação de raio paralelo dada por

-

z cos e,

s :::: R -

(10.51)

confonne ilustrado na Fig. 10-1 5(b). Substituindo a Eq. ( 10.51) por s no fator de fase da Eq. (10.49a) e substituindo s por R e (js por e em toda a expressão, temos jkT/o dEo= 4rr I(z)dz

(e-jkR ) senBe'kzcose. . . R (10.52)

Ap6s (1) inserir a Eq. (10.52) na Eq. (10.50), (2) usando a expressão para i (z) dada pela Eq. (10.48) e (3) executando a integração, a expressão a seguir é obtida:

E = .60 l o J

F(B) = S(R,B) = [cos[(rr/2)cose] J So sene

2

(10.55) O diagra1na de radiação de un1 dipolo de meia onda apresenta aproxiJnadan1ente a rnesma fonna de rosca 1nostrada anteriormente na Fig. 10-8 para o dipolo curto. Sua diretividade é um pouco 1naior ( 1,64 con1parado con1 1,5 do dipolo curto), n1as sua resistência de radiação é 73 Q (conforme mostrado anterionnente na Seção 10-4.2), que e1n 1nódulo é maior que a do dipolo curto.

10-4.1

Diretividade do Dipolo de Meia Onda

Para avaliar a diretividade D e a resistência deradiação R mJ do dipolo de meia onda, primeiro precisan1os calcular a potência radiada total P,...0 aplicando a Eq. (10.31): Prnd

= R2

fl,,

S(R, B) dQ

= 15/i [ 2,r [" [cos[(rr/2) cosBJJ 2

Eo H"'=-,

(10.53b)

rr

7/0

e a densidade de potência 111édia no te111po correspondente é

IEol·

lo lo

sen e

(] 0.56) A integração ao longo de é igual a 21t e o cálcu-

lo numérico da integração ao longo de eresulta no valor 1,22. Conseqüentemente,

~

S(R,B) =

351

RADIAÇÃO E ANTENAS

Portanto, a intensidade de radiacão normalizada é ,

[cos[(n/2)cose]](e- jkR ) o senB R ' (10.53a)

l.0

27)0 2

= 15/i [cos [(rr/~) cose)] .

sen· e

rr R2 2

cos [ (rr /2) cos B] J 2). = So [ (W/Jn sen 2 e (10.54) Um exa1ne da Eq. ( 10.54) revela que S(R, 8) é máximo para()= 7T/2 e o seu valor é

smax -- sO --

15/ 2 (rr Ro2)

•

Prad

= 36,6

IJ

(W).

(10.57)

A partir da Eq. ( 10.54), detennina1nos que S,,. . = 2 2 15/ r/(7rR ). Usando isso na Eq. (10.35), temos o seguinte resultado para a diretividade D do dipolo de meia onda: l

2

4rrR D=

Smax

Prad

2

,l X

= 4rrR 2 (1 5/5) =l ,64 36,6/0 rr R 2 (l 0.58)

ou, de forma equivalente, 2,15 dB.

352

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

10-4.2

Resistência de Radiação do Dipolo de Meia Onda

:

t

Plano condutor

'A./4

!

Usando a Eq. (10.41a) para relacionar a resistência de radiação R,.d com a potência radiada total p r:id> ten1os R

_ 2Pmd

rnd -

2

1o

-

2

X

36,6/J ,.._, 73 Q (l0. 59) 2 · 1o

Conforn1e notarnos anterior1nente no Exemplo 10-3, devido à resistência de radiação de um dipolo curto ser comparável e1n módulo à sua resistência de perda Rpcrd•' sua eficiência de radiação g é bem pequena. Para o dipolo de con1pri1nento 4 cm dado no Exemplo 10-3, Rn,<1 = 0,08 Q (em 75 MHz) e R1>crda =0,036 Q. Se 1nantivern1os a freqüência e aumentarn1os o comprimento do dipolo para 2 n1 (À= 41n paraf = 75 MHz), Rr:•I passa a ser 73 Q e Rre,
10-4.3

/

Antena Monopolo de 1/4 de Onda

Quando colocada sobre u1n plano de terra condutor, uma antena 1nonopolo de 1/4 de onda excitada por uma fonte e1n sua base [Fig. 1O- l 6(a)] apresenta o 1nesmo padrão de radiação, na região acima do plano de ten·a, que um dipolo de n1eia onda no espaço livre. Isso ocorre porque, a partir da teoria das imagens [Seção 4-12], o plano condutor pode ser substituído pela iinagem do 1nonopolo de 1/4 de onda, conforme ilustrado na Fig. 10-16(b). Portanto, o monopolo de J/4 de onda radia um campo elétrico idêntico ao dado pela Eq. ( 10.53a) e sua intensidade de radiação normalizada é dada pela Eq. (10.55); porém, a radiação é li1nitada ao semi-espaço superior definido por O < O < 7T/2. Portanto, um monopolo radia metade ela potência

(a)

-,~ --------------1 1

1

t[_1'--1m,gern (b)

Figura 10-16 Uni monopolo de 1/4 de onda acima de um plano condutor é equivalente a um dipo-

lo de n1eia onda co1npleto radiando no espaço livre.

de u1n dipolo. Conseqüentemente, para um 1nonopolo de 1/4 de onda, Prad = 18,3/20 e sua resistência de radiação é R,." = 36,5 Q . A abordagem usada para o n1onopolo de 1/4 de onda também é válida para qualquer antena de fio vertical colocada acin1a de un1 plano condutor, incluindo o monopolo Hertziano.

-

-

QUESTOES PARA REVISAO Ql0.8 Qual é o cornpri1nento físico de u1n dipolo de rneia onda que opera em (a) 1 MHz (faixa de radiodifusão AM), (b) 100 MHz (faixa de radiodifusão FM) e (c) 10 GHz (faixa ele microondas)?

Ql0.9 Corno é o padrão de radiação de um dipolo de 1neia onda con1parado con1 o de um dipolo Hertziano? Compare-os em termos ele clire-

CAP(TULO l.0

tividade, resistência de radiação e eficiência de radiação.

RADIAÇÃO E ANTENAS

r----------

1 1 1 1 1 1 1

Q l0.10 Con10 é a eficiência de radiação de u1n

dipolo de 1/4 de onda em comparação com a de u1n dipolo de 111eia onda, considerando que ambos são feitos do mes1no 111aterial e têm a 1nes1na seção transversal?

353

1

1 1

Onda inci dente

.

ZL

• 1 1 1

Carga

Antena L---------

(a) Antena receptora

---------------- Zcnt.= Rrad + JXent. •

1

EXERCÍCIO 10.4 Para a antena dipolo de meia onda, calcule F(8) em função de epara determinar a largura de feixe de 111eia potência no plano de elevação (o plano contém o eixo do dipolo).

1

1

Q;rc

1

+ I"\,, 1

1 1 1

aberto

1 1

Resp. {3 =78º (veja ~ )

.1

EXERCÍCIO 10.5 Se a densidade de potência máxi111a radiada por un1 dipolo de meia onda for 50 2 (µ. W/in ) a uma distância de l k1n, qual a amplitude da corrente 10?

=3,24 A

Resp.

10

10-5

' Area Efetiva de uma Antena Receptora

(veja ,._.. )

Até esse momento, examina,nos as características de radiação de antenas tratando-as co1no radiadores de energia al imentados por uma fonte . Agora vamos considerar o processo inverso, ou seja, corno uma antena receptora capta energia a partir de uma onda incidente e a entrega a urna carga. A capacidade de u111a antena de captar energia a partir de u1na onda incidente com densidade de potência S; (W/in 2) e convertê-la en1 potência interceptada P;0 , (W) para entregar a uma carga casada é caracterizada pela área efetiva Ac:

Ac =

Pcm.

S;

ZL=RL + iXL

(10.60)

Outros no,nes nonnalmente usados para Ac incluem abertura efetiva e seção transversal de recepção. O processo ele recepção da antena pode ser modelado na fonna de un1 circuito equivalente de Thévenin como mostra a Fig. 10-17, onde V ci"'. • 00,,0 é a tensão

-

Circu i to equi valente da antena 1

----------------'

Carga

(b) Circuito equivalente

Figura 10-17 Antena receptora representada por u1n circui to equivalente.

fasorial de circuito aberto induzida na antena receptora pela onda incidente, Z0 0 , é a impedância da antena e Z1, é a in1pedãncia da carga para a qual a potência recebida é destinada. Ern geral, 20111• e Z.. são co1nplexas: Z e111. = Rrnd

ZL= RL

+ j X e111.,

(10.61a)

+ jXL,

(10.61b)

onde R,,d indica a resistência de radiação da antena, sendo que a resistência de perda é 1nuito 1nenor que Rrad• podendo ser ignorada. Para un1a máxiina transferência de potência, a iu1pedância de carga tem que ser escolhida de forma que Z1, =z;111_, ou R,. = R"'" e XL= - Xen,.· caso no qual o circuito se reduz a un1a fonte V cir. :ilx·no conectada a urna resistêneia igual a 2Rrc,<1· Como Vcir. n1.x:r1o é uma tensão fasorial senoidal, a potência 1nédia no ten1po entregue à carga é

-

P: = L

~

? -

I/

L

l2 R

-

1 Vcirc.

8Rmd

rad

-

2 1 Vcirc. aberto!] R

~? [ ?R

=

-

-

rad

rad

?

aberto!·

'

(! 0.62)

354

E LETROMAGNETISMO PA RA ENGENHEIROS

Sensores de Rada r A palavra radar é uma forma compacta proveniente da frase radio detection and ranging (detecção e rastreamento via rádio), que expressa algumas das características de um moderno sistema de radar. Historicamente, os sistemas de radar foram desenvolvidos e usados inicialmente em freqüências de rádio, incluindo a faixa de microondas, porém temos hoje também os radares de luz, ou lidares, que operam em comprimentos de onda ópticos. Além de detectar a presença de um objeto refletor e determinar sua distância medindo o atraso de tempo de pulsos de duração curta transmitidos pelo radar, este

também é capaz de determinar a posição (direção) do alvo e sua velocidade radial. A medida da velocidade radial de um objeto em movimento, que é a componente de sua velocidade ao longo da direção do objeto-radar, é realizada medindose o deslocamento de freqüência Doppler produzido pelo movimento do objeto. O radar é usado numa ampla variedade de aplicações civis e militares (A), incluindo controle de tráfego aéreo, navegação de aviões, verificação do cumprimento da lei do uso do espaço aéreo, controle e direção de sistema de armas, sensoriamento remoto do ambiente terrestre, observações climáticas, astronomia e prevenção de colisões de automóveis .

....l L

EVITAR TEMPESTADES

MAPEAMENTO TERRESTRE DE ALTA RESOLUÇÃO

ALTÍMETRO COM RADAf\

u ,,

•

BOMBARDEIO COM RADAR

A. Aplicações de radares aerotransportados· ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~--'

C APiTULO

Unidade sineronizador/ modulador

Transmi
Procc., ;sador de vídeo

Rcccpt.or

10

R ADlAÇÃO E ANTENAS

355

i---,

--

Servo

Feixe da antena

....................................,.,___--=======--

Operação Básica Uma unidade sicronizador/modulador (B) serve para sincronizar a operação do transmissor e a unidade de processamento de vídeo, gerando um trem de pulsos de corrente contínua (cc) de curta duração uniformemente espaçados. O transmissor contém um oscilador de radiofreqüência (RF) de alta potência com uma tensão de controle do tipo lig./deslig. acionada pelos pulsos fornecidos pela unidade sincronizador/modulador. Cada pulso alimenta a antena através de um duplexador (ou simplesmente duplex}, o qual permite à antena ser compartilhada entre o transmissor e o receptor. O duplexador, que freqüentemente é chamado de chave transmissor/receptor (T/R), conecta o transmissor à antena durante o pulso e em seguida

B. Sisten1a de radar

conecta a antena ao receptor no restante do tempo antes de iniciar um novo pulso. Após a transmissão pela antena, uma parte do sinal transmitido é radiado novamente pelo objeto de volta para o radar, o qual processa o sinal para detectar a presença do objeto e identifica r sua localização e velocidade relativa. A unidade servo posiciona a orientação do feixe da antena em resposta aos sinais de controle pelo operador, por uma unidade de controle com fun ções de ajuste, ou por uma unidade de controle comandada por um outro sistema. A unidade de controle de um radar que controla o tráfego aéreo, por exemplo, comanda o servo para girar a antena continuamente na direção de azimute. Por outro lado, a antena de um radar colocada no nariz de uma aeronave é construída para escanear de um lado para outro ao longo apenas de uma faixa angular especificada.

356

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

v.

/

Ollde /- f = cm;. aberto (2Rrad) é a corrente fasorial · que per~orre o ciJcuito. Como a antena não tem perdas, toda a potência interceptada Pim chega até a resistência de carga Rr.. Portanto,

-

')

1Vcirc. ab.:1101-

Pinl

= Pi,= SR.

(10.63)

rud

Para uma onda incidente co1n campo elétrico E;en1 paralelo con1 a direção de polarização da antena, a densidade de potência transportada pela onda é

1.e;12

2 1li1 S;=--

(10.64)

240:,r

2110

A razão entre os resultados fornecidos pelas Eqs. ( 10.63) e (10.64) resulta en1 -

?

P;m 30n IVcirc. àbcrto 1Ae = = , S; Rrnd lEi l2

.

(10.65

)

A tensão de circuito aberto V0 ;,c. abcno induzida ~a antena receptora é devida ao ca,npo incidente E;, mas a relação entre eles depende da antena específica sob consideração. Por meio da ilustração, vamos considerar o caso da antena dipolo curto da Seção 10-2. Devido ao comprimento l elo dipolo curto ser pequeno co1nparado com À, a corrente induzida pelo campo incidente será uniforme ao lonoo do co1npri1nento, sendo que a tensão de cirº aberto sen1 simplesmente V - circ. :.bcno = E- J. Obcuito serve c1ue R =801r2(l/Ã.)2 para o dipolo curto [ve~ ja a Eq. ( 10.46)) e, usando V circ. abcno = EJ, a Eq. (10.65) é sirnplificada para

-

Ae =

-3À.2 8n

?

(m-) (dipolo curto).

-

(10.66)

Podemos ver no Exemplo I 0-2 que a diretividade do dipolo curto é D= J ,5. E111 tennos de D, a Eq. ( J0.66) pode ser reescrita da seguinte forma

Ae

=

À.2 D

4n

to, pode-se mostrar que ela também é válida para qualquer antena sob condições de casamento de i1npedância.

EXERCÍCIO 10.6 A área efetiva de uma antena é 9 1n 2. Qual a sua diretividade ern decibéis a 3 GHz? Resp.

D = 40,53 dB. (veja ~ )

EXERCÍCIO 10.7 Em 100 MHz, o ângulo sólido do padrão de radiação de uma antena é 1,3 sr. Detennine (a) a diretividade D da antena e (b) a sua área efetiva A 0 • Resp.

(a) D = 9,67 (b) Ac= 6,92 m2.

10-6

Fórmula de Transmissão de Friis

(veja '4- )

As duas antenas mostradas na Fig. I0-18 são parte de un1 enlace de con1unicação, con1 L11na separação (R) entre elas grande o suficiente para que cada u1na esteja na região de campo distante uma ela outra. As antenas trans,nissora e receptora têm. áreas efetivas A, e A , e eficiência de radiação g, e çr, respectivan1ente. Nosso objetivo é detenninar a • . relação entre P,, a potência do trans1nissor fornecida para a antena, e P"'º' a potência entregue ao receptor pela antena receptora. Corno sempre, consideramos que as antenas tenha1n as impedâncias casadas con1 suas respectivas linhas de trans1nissão. lnicialn1ente, deve,nos considerar o caso e1n que as duas antenas são orientadas de tal form_a que o pico de radiação de cada urna aponta na direção da outra.

-+-- --.R:----r.,.. J~~ -+p "-"'

(m2 ) (qualquer antena). (10.67)

Apesar do fato de que a relação entre Ae e D dada pela Eq. (10.67) foi deduzida para u,n dipolo cur-

A.n tena

Antena

transmissora

rcceplora

Figura 10-18 Configuração transmissor-receptor.

CAP(TULO 10

Vamos começar tratando a antena transmissora como um radiador isotrópico sem perdas. Nesse caso, a densidade de potência incidente sobre a antena receptora a uma distância R a partir da antena transn1issora isotrópica é sin1plesn1ente igual à potência trans1nitida P, dividida pela área da superfície de u1na esfera de raio R:

Pi Siso = 4rr R2

357

deduzir a forma da fórmula de Friis envolvendo os ganhos G, e e . das antenas trans,nissora e receptora, usamos o fato de que ç.,4, = çp.'),..2!41t = G,')....:/47T, e as relações similares aplicadas à antena receptora. Se as duas antenas não estivere,n orientadas na direção de máxima transferência de potência, a Eq. (10.72) pode ser reescrita na for1na geral:

( 10.68)

A antena transmissora real não é um elemento sem perdas ne1n é isotrópica. Portanto, a densidade de potência S, em função da antena trans,nissora é dada por

onde, através do ganho G, = ç1D1ç1, justifica o fato de que apenas parte da potência P, fornecida para a antena é realmente radiada para o espaço, e D, explica a diretividade da antena transn,issora (na direção da antena receptora). Usando a Eq. (10.67), a Eq. (10.69) pode ser expressa en, termos da área efetiva A, da antena transrnissora: (10.70) No lado da recepção, a potência interceptada pela antena receptora é igual ao produto da densidade de potência incidente S, e a área efetiva A,:

(10.71) A potência recebida P""' enviada ao receptor é igual à potência interceptada P;n, 1nultiplicada pela eficiência de radiação da antena receptora, ç,. Assiin, P"'º = ç. P,m.• que conduz ao resultado 2

Prec = ~i~rAiA, = G G ( À ) Pi ),2 R2 t r 4n R

RADIAÇÃO E ANTENAS

.

(l0. 72)

Essa relação é conhecida como fór111ula de tra11s1nissão de Friis e Pn.J P, é algun,as vezes denon,inada de razão de transferência de potência. Ao

onde F.(81, <{>,)éa intensidade de radiação normalizada da antena trans1nissora, calculada na direção (8,, q,,) que corresponde à direção da antena receptora (confonne visto no diagrama de radiação da antena trans1nissora), sendo que unia definição similar se aplica a F,(8,, <J,,) para a antena receptora.

Exemplo 10-4

Sistema de Comunicação Via Satélite

Urn sistema de TV via satélite de 6 GHz transmite 100 W através de un,a antena parabólica de 2 m de diârnetro a partir de uma distância de aproximadamente 40 mil km acima da superfície da Terra. Cada canal de TV ocupa u1na largura de banda de 5 MHz. Devido ao ruído eletromagnético captado pela antena, bem con10 ao ruído gerado pelo receptor eletrônico, u1na estação terrestre de recepção de TV tem um nível de ruído dado por

Pn = KTsist. B

(W),

(10.74)

onde T,isa. [n1edido en1 Kelvin (K)] é tuna figura de mérito, denominada te11iperatura de ruído do sisterna , que caracteriza o desen1penho do ruído da combinação antena-receptor, K é a constante de Boltzn1ann [l,38 x 10-23 (J/K)] e B é a largura de banda do receptor em Hz. A relação sinal-ruído S" (que não deve ser confundida con1 a densidade de potência S) é definida co1no a razão enu·e Prec• a potência do sinal recebido a partir do trans,nissor, e P": Sn = P,ecl Pn (aditnensional).

(10.75)

358

E LETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

Satélite

Órbita de satélite geoestac:,ionário

l 'I: Ój!pta geoesta~ nárja ~~

Equador Cobem1ra mundial por três satélites espaçados 120° u1n do outro

1 \

Aeronave

fr

..1;ê_

~

----. Estação terrestre

~

~-

-

*-

Estação móvel

A. Satélite em órbita geoestacionária

Comunicação Via Satélite A engenharia da comunicação via satélite data do final da década de 1950, quando a Marinha dos Estados Unidos usou a lua como um refletor passivo para a retransmissão de comunicações de baixa taxa de dados entre Washington, D.C., e o Havaí. O primeiro desenvolvimento importante envolvendo satélites artificiais que orbitam em torno da Terra ocorreu em outubro de 1957, quando a então União Soviética lançou o Sputnik /, usando-o por 21 dias para transmitir, de forma unidirecional, informações de telemetria. Em dezembro de 1958, o satélite Score, dos Estados Unidos, foi lançado para a

B. Satélite en1 órbita geoestacionária

transmissão de uma mensagem de natal em radiodifusão do presidente Eisenhower, sendo o primeiro caso de comunicação de voz bidirecional através de um satélite artificial. O mundo de hoje está conectado por uma vasta rede de comunicação que provê um grande arranjo de serviços de voz, dados e vídeo para terminais fixo s e móveis (A). A viabilidade da rede é atribuída principalmente aos satélites em órbita que funcionam como estações retransmissoras com uma grande área de cobertura na superfície da Terra. A partir de uma órbita geoestacionária localizada a 35.786 km do equador, um satélite é capaz de visualizar um terço da superfície da Terra, podendo conectar qualquer par de pontos dentro de sua cobertura (B).

CAPÍTULO 10

R ADIAÇÃO E ANTENAS

359

' Orbita Geoestacionária

Feixes de Antenas

Um satélit e está em órbita geoestacionária em torno da Terra quando está numa órbita circular num plano idêntico ao plano equatorial da Terra em uma altitude tal que o período da órbita é idêntico ao período de rotação da Terra. Um satélite em órbita circular em torno da Terra est á sujeito a duas forças: uma f o rça gravitacional que o puxa para a Terra (F9 ) e uma f o rça centrífuga que o empurra para fora (F,). Para manter o satélite em órbita, as duas forças que agem sobre ele têm de ser iguais em módulo, ou F9 = F,, e para mantê-lo estacionário em relação à superfície da Terra, sua velocidade angular tem de ser igual à velocidade angular da própria Terra em torno de seu eixo. Essas considerações levam ao requisito de que um satélit e em órbita precisa estar a uma altitude de 35.786 km acima da superfície da Terra. A velocidade de tal satélite geoestacionário é de 11 .070 km/h (aproximadamente 2 milhas por segundo). Nem todos os satélites de comunicação que usam o espaço estão em órbitas geoestacionárias; devido a limitações na potência de transmissão ou outras considerações, algumas vezes é necessário operar em altit udes menores, caso no qual os satélites são colocados em ó rbitas altam ente elípticas (para satisfazer a lei de Kepler) de forma que, para uma parte da órbita (próxima do seu perigeu), ele esteja num alcance de apenas algumas centenas de quilômetros da superfície da Terra. Enquanto apenas três sat élites geoestacionários são necessários para prover uma cobertura global da superfície da Terra, um número muito maior é necessário quando os satélites estão em órbitas altamente elípticas.

Embora a maioria das antenas em estações terrestres tenha feixes de alta diretividade para evitar efeitos de interferência, o sistema de antena de um satélite é projetado para produzir feixes sob medida para cobrir as áreas servidas por ele. Para uma cob ertura g lob al, são necessários feixes de largura de 17 ,4°. Em contraste, para transmissão e recepção numa pequena área, larguras de feixes da ordem de 1° ou menos podem ser necessárias (C).

Zona de cobeJtura

Feixes multial vos ,

Areas de cobertura individuais

~=:::::::~: individuais

..,

Transmissores

e antenas cometas

C. Sistemas de antenas de satélite com feixes múltiplos

360

ELETROMAGNETISMO PARA ENGENHEIROS

d,.= l,27111. (veja

Para um receptor com T,;., = 580 K, qual o diâ1netro mínilno de u,na antena receptora parabólica para u111a recepção de TV de alta qualidade com s. = 40 dB? A antena do satélite e também a de recepção terrestre poden1 ser consideradas sem perdas, sendo que as áreas efetivas de cada u111a tambén1 são consideradas iguais às respectivas áreas físicas.

EXERCÍCIO 10.9 U1n enlace de 1nicroondas de 3 GHz consiste em duas antenas idênticas com un1 ganho de 30 dB. Se a potência de saída do transmissor for l kW e as duas antenas estiverem a LOkm un1a da outra, determine a potência recebida.

Solução: As seguintes grandezas são dadas:

Resp.

P,= LOOW,

f = 6 GHz= 6 x 109 Hz, S. =

4

L0 Diâ111etro da antena trans1nissora d, = 2 rn Tsist. = 580 K,

R = 40.000 km = 4 x 107 m,

Resp.

Prcc. =6,33 X l 0-1 W.

>

O co,nprimento de onda À= c/f = 5 x I0-2 ,n e a área da antena trans111issora do satélite é A, = (r.d;/4) = '1T. A partir da Eq. (10.74), a potência de ruído no receptor é

= 4

X

X

10- 23

X

580

( veja .~ )

' EXERCICIO 1O. 1O A área efetiva de uma antena parabólica é aproximadamente igual à sua abertura tisica. Se a diretividade da antena for 30 dB e1n l O GHz, qual a sua área efetiva? Se a freqüência for aumentada para 30 GHz, qual será a sua nova diretividade?

B = 5 MHz = 5 x l 06 Hz.

Pn = KTsisl B = 1,38

$1)

X

5

X

106

14

10- W.

Usando a Eq . ( I0.72) para antenas sem perdas (ç, = ç,. = 1), a potência do sinal recebido é IOOrr Ar

Resp. Ae = 0,07 m-, D = 39,54 dB. (veja r.-)

' ' TOPICOS IMPORTANTES DO CAPITULO

• Uma antena é um transdutor entre uma onda guiada que se propaga nun1a linha de transn1issão e a onda eletro1nagnética que se propaga num 1neio sem limitação, ou vice-versa. • Exceto por algumas antenas co1npostas de semicondutores não-lineares ou materiais de ferrite, as antenas são dispositivos recíprocos; elas apresentam os mes1nos padrões de radiação na trans1111.ssao e na recepçao.

-

A área da antena receptora (A,), agora pode ser de4 terminada igualando a razão P.«IP. co1JJ =10 :

s.

7,85 X 10- 11 Ar 10 =-----4 X J0- 14 4

'

que resulta no valor A, = 5, 1 1112 . O diân1etro mínimo requerido é d,= J4A,/T( = 2,55 m. •

@__) M 10.2-10.3

' EXERCICIO 10.8 Suponha que a freqüência de operação do sisten1a de co111unicação descrito no Exemplo 10-4 tenha sido dobrada para 12 GHz. Qual deve ser o n1enor diân1etro de unia antena receptora de TV?

• Na região de campo distante de uma antena, a energia radiada é aproxi!nada1nente uma onda plana. • O can1po elétrico radiado por unia antena co1nu1n, tal como um fio, é igual à soma dos cam-

pos elétricos radiados por todos os dipolos Hertzianos que fonnaD1 a antena. • A resistência de radiação Rr:iJ de um dipolo de n1eia onda é 73 n, que pode ser faci lmente casada coD1 tuna linha de trans111issão. • As propriedades direcionais de tuna antena são descritas pelo seu padrão de radiação, diretividade, padrão de ângulo sólido e largura de fei xe de meia potência.

CAP(TULO 10

RADIAÇÃO E ANTENAS

361

• A fórmula de transmissão de Friis relaciona a potência recebida por un1a antena devido à potência trans1nitida por outra antena a uma determinada distância da primeira.

10.5* Uma antena dipolo de dois metros de compriJnento con1 alin1entação central opera na banda AM ele radiodifusão en1 l MHz. O dipolo é feito ele fio de cobre com u1n raio de I mm.

PROBLEMAS

(a) Detennine a eficiência de radiação da antena. (b) Qual é o ganho da antena em decibéis? (e) Qual a corrente necessária para que a antena radie 20 W, e qual a potência que o gerador deve fornecer para a antena?

Seções 10-2 e 10-3: Dipolo Curto e Características de Radiação de uma Antena

10.1* Um dipolo Hertziano com alimentação central é excitado por uma corrente 10 = 1OA. Se o dipolo tiver um con)primento de 'A/50, determine a densidade de potência radiada máxi1na a tuna distância de I kn1. 10.2 Um dipolo de compriinento 1 111 é excitado por uma corrente de I MHz com u1na amplitude de 12 A. Qual a densidade de potência 1nédia radiada pelo dipolo a uma distância de 5 k1n na direção de 30º a partir do eixo do dipolo? ~

10.3*

Detennine o seguinte:

(a) A direção de radiação 1náxin)a (b) A diretividade (e) O ângulo sólido do feixe (d) A largura de feixe de 1neia potência no plano

.x- z para unia antena cuja intensidade de radiação nor1nalizada é dada por

F

e

_ {1 para O < e < 60ºe O < <J> < 2n

( ' ) -

O e1n qualquer outro caso.

Sugestão: Faça antes um esboço do padrão de radiação para calcular as quantidades desejadas. 10.4

Repita o problenia 10.3 para uma antena

COITI

se1r? ecos-? para o < 8 < 7T F(e, ) = e - n/2 < < n/2 O em qualquer outro caso.

* Respostas disponíveis no Apêndice O. 1' Solução disponível no CD-ROM.

10.6 Repita o Problema 10.5 para uma antena de 20 cin de comprin1ento e operando com 5 MHz. 10.7* U1na antena com um ângulo sólido de padrão de radiação de 1,5 (sr) radia 30 W de potência. Para u1na faixa de l k.ln, qual será a densidade de potência máxi1na radiada pela antena? 10.8 Uma antena com uma eficiência de radiação de 90% ten1 u1na dixetividade de 6,7 dB. Qual é o seu ganho em decibéis? 10.9* O padrão de radiação de uma antena com reiletor parabólico circular consiste e1n un1 lóbulo principal circular com uma largura de feixe de meia potência de 2° e alguns lóbulos secundários. Ignorando os lóbulos secundários, obtenha un1a esti1nativa para a diretividade da antena en1 dB. 10.10 A intensidade de radiação normalizada de certa antena é dada por F(B) = exp(- 208 2 ) para O < 8 < n

onde (:J está em radianos. Determine: (a) A largura de feixe de 1neia potência. (b) O ângulo sólido do padrão de radiação. (e) A diretividade da antena. Seção 10-4: Antenas Dipolo

10.11* Repita o Proble1na 10.5 para um dipolo de meia onda de 1 n1 de comprimento que opera nu1na banda de radiodifusão FM!fV de 150 MHz. 10.12 Considerando que a resistência de perda de um dipolo de meia onda s~ja desprezível e ignorando a componente de reatância da in1peclância da antena, calcule a razão de onda estacionária con1 un1a linha de transmissão de 60 Q conectada à antena dipolo.

362

ELETROMAGNETISJ\10 PARA ENGENHEIROS

10.13* Para um dipolo curto com comprimento l tal que I << Â., e,n vez de u·a1ar a corrente l (z) co-

1no constante ao longo do dipolo, como foi feito na Seção 10-2, uma aproximação mais realista que garante que a corrente seja zero nas extremidades é descrever l (z) através da função triangular l(z) = { /o(I - 2z/ l) para O~ z ~ l/2 /o(I +2z//) para -//2 < z < O

como mostrado na Fig. 10-19. Use essa distribuição de corrente para determinar o seguinte:

-

(a) O campo distante E(R, e,). (b) A densidade de potência S(R, e, ). (e) A diretividade D. (d) A resistência de radiação Rra<1· Uma antena de carro é um 1nonopolo vertical sobre uma superfície condutora. Repita o Proble1na 10.5 para uma antena desse tipo operando co1n I MHz. O fio da antena é feito de alu7 mínio corn J.Lc = J.Lc e a-0 = 3,5 x 10 Sim e diâmetro de I c1n. 10.14*

,

Seções 10-5 e 10-6: Area Efetiva e Fórmula de Friis

Detennine a área efetiva de urn dipolo de meia onda en1 100 MHz e con1pare-a con1 sua seção reta física se o fio tiver un1 diâ1netro de J cn1. 10.15

Urn enlace de co1nunicação em nlicroondas de visada direta operando en1 3 GHz consiste e,n duas antenas parabólicas sem perdas, cada un1a 10.16*

--

con10 um diâmetro de l m. Se a antena receptora necessita de uma potência de l nW para un1a boa recepção e a distância entre as antenas for 40 krn, qual deve ser a potência transmitida?

10.17 Un1 dipolo de 1neia onda de urna antena de radiodifusão de TV transmite l kW em 50 MHz. Qual a potência recebida pela antena do aparelho de TV com ganho de 13 dB se está localizada a urna distância de 30 krn?

10.18* Um enlace de comunicação em 150 MHz consiste en1 duas antenas dipolo de 1neia onda verticais distanciadas 2 km uma da outra. As antenas não apresentan1 perdas, o sinal ocupa uma largura de banda de 3 MHz, a temperatura de ruído do sistema receptor é 600 K e a relação sinal-ruído desejada é 20 dB. Qual a potência de transrnissão necessária?

10.19 Considere o sistema de comunicação mostrado na Fig. 10-20, co1n todos os componentes adequadamente casados. Se P, = IOW e f = 6 GHz: (a) Qual é a densidade de potência na antena receptora (considerando u1n alinha1nento adequado entre as antenas)? (b) Qual é a potência recebida? (e) Se T,,;51 = l .OOOK e a largura de banda do receptor é de 10 MHz, qual a relação sinal-ruído em decibéis?

10.20-10.22 Mais proble1nas resolvidos - soluções completas no '-'

-

G1 =20dB

' ' / J (z)

(

\ \

' ' lo

l

G,= 23 dB

)

/

/ /

I

Pi

20km

P,cc

/

li

Figura 10-19 Distribuição triangular da corTente num dipolo curto (Problen1a 10.13).

Tx

Rx

Figura 10-20 Sistema de comunicação para o Problema 10.19.

Apêndice A Símbolos, Grandezas e Unidades

Sín1bolo

Quantidade

Unidade SI

Abreviação

A

Potencial n1agnético (vetor) Susceptância Densidade de fluxo magnético Capacitância Diretividade (antena) Intensidade de can1po elétrico Densidade de fluxo elétrico Intensidade de radiação (normalizada) Força Freqüência Condutância Ganho (potência) Intensidade de campo magnético Con·ente Densidade de co1Tente (volumétrica) Densidade de con·ente (superficial) Número de onda Indutância Comprimento Massa Vetor de 1nagnetização Momento de dipolo magnético , lndice de refração Potência Vetor de polarização elétrica Pressão Momento de dipolo elétrico Carga Refletividade (retletância) Resistência Razão de onda estacionária Vetor de Poynting Densidade de potência Te1nperatura

weber/n1etro s1e1nens testa ou weber/Jnetro2 farad (adin1ensional) vol t/inetro coulomb/n1etro2 (adin1ensional) ne\vton hertz s1emens (adin1ensional) ampere/metro ampere ampere/metro2 ampere/metro radiano/metro henry metro quilograma ampere/metro ? ampere-metro(adin1ensional) watt coulomb/metTo2 newton/metro2 coulomb-metro coulomb (adimensional) ohm (adi n1ensi onal) ? watt/metro \vatt/metrci2 kelvin

\Vb/n1

B B

e

D E

D F F

.f G G H I

J

JS k

L

'

M, ,n

M

m

n p p p p

Q, q

R R

s

s

s"',/J T

s

TouW/n1 2 F V/m C/111 2

N Hz

s

A/m A A/m 2 A/m rad/m H

m kg Alm ? A·m\V

C/tn2 Nlm 2 C·n1

e Q

W/m2 W/m2 K

364

APÊNDICE A

Sl!vtBO LOS, GRANDEZAS E U NI DADES

Sín1bolo

Quantidade

Unidade SI

Abreviação

T T

Torque Trans,nissividade (trans,nitância) Ten1po Velocidade Potencial elétrico Tensão Força eletro,notriz (fem) Energia (trabalho) Densidade de energia Reatância Admitância Impedância Constante de atenuação Constante de fase Coeficiente de reflexão Constante de propagação Profundidade pelicular Pern1issividade Pennissiv.idade relativa Impedância Comprilnento de onda Penneabilidade Permeabilidade relativa Mobilidade (elétron, lacuna) Densidade de carga (linear) Densidade de carga (superficial) Densidade de carga (volumétrica) Condutividade Coeficiente de trans1nissão Largura de pulso Fluxo magnético Campo gravitacional Suscetibilidade elétrica Suscetibi Lidade n1agnética . Angulo sóhdo Freqi.iência angular

newton-n1etro (adi n1ensional) segundo 1netro/segundo volt volt volt joule joule/metro3 ohm s1e1nens ohtn neper/metro radiano/metro (adi n1ensional) metro- l metro farad/rnetro (adi n1en sional) ohm metro henry/metro (aclin1ensional) 2 metro /volt-segundo coulo1nb!tn.etro 2 coulo1nb!tnetro 3 coulomb/metro sie1nens!tnetro (adi n1ensional) segundos weber newton/quilograma (adi 1nensional) (adin1ensional) es1eradiano radiano/segundo

N·m

t

u

V V

(J)

X y

z (3

r 'Y

º· e, e0 e, rJ Â

M, Mo M, Me, Mh

P, P, P, (T



'XXc"m Q

(J)

~

s 111/s V

V V J

J/111 3 Q

s Q

Np!tn rad/m -l

m 111

F/rn Q

m H/m 2

1n N·s C/n1 2 C/n1 3 Cltn S/tn

s Wb N/kg

sr rad/s

Apêndice B Constantes de Alguns Materiais Comuns

Tabela B-1

PERMISSIVIDADE RELATIVA s, DE MATERIAIS COMUNS" 12

e = e,e0 e &o= 8,854 X 10º Fim

Permissividade relativas, e,

Material Vácuo Ar (ao nivel do 1nar) *St.yrofoa1n Teflon Petróleo Madeira (seca) Parafi na Polietileno Poliestireno Papel 801Tacha

l

l ,0006 l,03 2, 1 2, 1 1,5-4 2,2 2,25 2,6 2-4 2,2-4, 1

J\,laterial Solo seco **Plexiglass Vidro Quartzo Baquelite Porcelana Fórnlica Mica An1ônia , Agua do n1ar ' . Agua destilada ~

Permissividade relativa, e, 2,5-3,5 3,4 4,5-10 3,8-5 5 5.7 6 5,4-6 22 72-80 81

ºEsses valores são para baixa freqüência na temperatura ambiente (20ºC). Nota: Para a rnaioria dos rnetais, e, ::::: 1.

Tabela B-2 CONDUTIVIDADE u DE ALGUNS MATERIAIS COMUNSª Material

Condutividade, u (S/111)

Co,uluJores Prata Cobre Ouro Alumínio 1\1ngstênio Zinco Latão Fe1TO Bronze Estanho Chumbo Mercú1i o Carbono , Agua do mar Corpo de um animal (1nédia)

6,2 X 107 5.8 X 107 4, 1 X 107 3,5 X 107 1,8 X 107 1,7 X 101 1,5 X 107 107 107 9 X 106 5 X 10(' 106 4 3 X 10 4 0,3 (baixa cond.)

Material

Se111ico11dutores Gern1ânio puro Silício puro lsola11tes Solo úmido ' . Agua fresca ' . Agua desulada Solo seco Vidro Borracha dura Parafina Mica Quartzo fundido Cera

ªEsses valores são para baixa freqüência na temperatura ambiente (20ºC). "' N. de T.: Um tipo de espuma, usada cm pranchas e cspaguc1cs de piscina. "'"' N. de T.: Um tipo de plástico transparente.

Condutividade, u (Sim ) 2,2 4,4 X 10-4 - 10· 2

- ,o-3 - 10-4 - 10-4

'o-12 10· 1;

o·'5 'o·'5

i

10· 11 10· 11

366

APÊNDICE B

CONSTA NT ES DE ALGUNS MATERIAIS COMUNS

Tabela B-3 PERMEABILIDADE RELATIVAµ,, DE ALGUNS MATERIAIS COMUNSª 1

µ = µ ,µ 0 e µ 0 = 47T x 10- H/m

Material

Permeabilidade relativa,µ,

Dian1ag11ético Bismuto Ouro 1vlercúrio Prata Cobre , Aguado mar

0,99983::: 0,99996::: 0,99997::: 0,99998::: 0,99999::: 0,99999:::

1 1 1 1 1 l

Para111ag11ético Ar Alurnínio Tungstênio Titânio Platina

1,000004 ::: 1,00002 ::: 1,00008 ::: 1,0002 ::: 1,0003 :::

1 1 1 1 1

Ferro111ag11ético (não-1 inear) Cobalto Níquel Aço doce Ferro (puro) Aço-silício 1vlurnetal Ferro purificado

250 600 2.000 4.000-5.000 7.000 - 100.000 -200.000

ªValores típicos; os valores reais dependem da variedade do 1naterial. Nota: Exceto para n1ateriais ferromagnéticos, µ, ::: 1 para todos os dielétricos e condutores.

Apêndice e Fórmulas Matemáticas

Relações Trigonométricas

Aproximações para Quantidades Pequenas

sen(x ± y) = senx cos y ± cosx sen y cos(x ± y) = cosx cos y ,= senx sen y 2 senx seny = cos(x - y) - cos(x + y) 2senxcosy = sen(x + y) + sen(x - y) 2 cos x cos y = cos(x + y) + cos(x - y) sen2x = 2senxcosx cos 2x = l - 2 sen2 x sen x

+ sen y =

cosx + cos y = 2cos

(1 ±x)2 ::::'. l ±2x

.JJ ±X::::'. 1 ± :_ 2

1

---;:;=~ ::::: 1 ,=

x+y) (x y) · sen (2 2 X+)') (X )') cos ( 2

cos y = - 2 sen ( X+)' ) sen (X -y) 2

2

sen(-x) = -senx

= cos x

+j

sen x (Identidade de Euler)

ejx - e - jx

senx = - - - 2j

COSX=----

2

.JJ ± X

X

-

2

')

r-

e-' = 1 +x + :_

2!

ln(l

x3

sen x = x - -

3! x2

cos r = 1 - '

lim

x-+0

+ ·· ·:::::: 1 +x

+x)::::: x

2

cos(x ± 90°) = ,= sen x cos(-x) = cosx sen(x ± 90°) = ± cos x e'x

<< l ,

( 1 ± x)":::::: 1 ± nx

2 sen ( x+y) cos (x- y) 2 2

senx - sen y = 2cos

cos x -

Para lxl

2!

senx X

= 1

x5

+ -5! + · · · ::::: x x4

+ -4! + · · · : : : 1 -

x2

-

2

Apêndice D Respostas dos Problemas Selecionados

•

Capítulo 2 A

A

â = X 0,45 + Z 0,89 ' 2.3 Area =9 2.5 (a) A = ~ ; âA =(X + y2 - z3) / ~ 2.1

Capítulo 3 3.2 T(z) = 10 + (1 - e - 2")/2

(d) Ax C=x+y4 + z3 (e) A · (8 x C) = 13 (1) A x (B x C) = x54 - y57 - z20 (g) x B = - z4 (h) (A X y) · = l

3.4 dV / d/ = - 3/./5

z

A(l, - i . 2) = IA (I, - 1, 2)1

2.9 â = - (x 2.11 â =

-xo, 11 -

y·o,10 + zo,10

+ yy + z2)/(5 + y2)1/2

(x 2 + z4)/./ZÕ

3.6 dU/ dl = - 3,125 x 10- 2

3.8 (a) (b)

3.10 (a) (b)

2.13 A =x0,8+yl ,6 2.1s ê=x0,37+y0,56+zo,14

2.19 (a) P 1 =(2,24, 63,4º. O) en1 coordenadas cilíndricas P1 = (2,24, 90º, 63,4º) em coordenadas esféricas (b) P2 = (0, O°, 3) en1 coordenadas cilíndricas P2 =(3, Oº, D°) em coordenadas esféricas (e) P3 = ( 1,41, 45º, 2) en1 coordenadas cilíndricas P3 =(2,45, 35,3º, 45º) e1n coordenadas esféricas (d) P., = (4,24, 135°, -3) e1n coordenadas cilíndricas P4 = (5,2, 125,3º, 135º) em coordenadas esféricas 2.21 (a) P1(0, O, 5) (b) P2(0, 1t, 5) (e) P3(3, 1t, O) 2.23 (a) V = 211t /2 (b) V = l251t/ 3 2.2s (a) (b)

•

(d) D(P4) = R3,67 - Ô1,73 - J0,707

(b) - 12/S (e) IJAc = 15,8°

x

2.1

•

(e) C(P3) = R0,854 + 80, 146 - 4>0,707

En = - r4 E1 = z4

2.27 (a) IJAB = 90°

• (b) ±(r0,487 + 4> 0,22s + z0,843)

2.29 (a) d = ,Ji (b ) d= 2,67 (e) d= 5 2.31 (a) A(P1) = R2,856 - Ô2,888 +J2, 123

(b) B (P2) = -R0.896 +êo,449 - J5

3.12 (a )

(b)

3.14 (a) (b)

f !!! f !!! f

E· ds = -8/3 V· Edv = - 8/3

D · ds = 1501t V• D dV= 150rr

E . d l = - .1

JJ

t fs

V x E · ds = - 1

B · dl = 8 (V x B) · ds = 8

3.17 (a) A é solenoidal, mas não conservacivo. (b) B é conservativo, mas não solenoidal. (e) C não é solenoiclal nen1 conservativo. (d) .D é conserva1i.vo. 1nas não solenoidal. (e) E é conservacivo, 111as não solenoidal. (1) F não é conservativo ne1n solenoiclal. (g) G não é conservativo nem solenoiclal. (h) H é conservativo, 111as não solenoidal.

Capítulo 4 4.1 Q = 2,62 (1nC) 4.3 Q =

o, t 73 e

4.5 (a) Q = (b) Q = (e) Q = (d) Q =

O 1ta2 P'!l.l/2

2rrPsoll - e-ª (I + a)j rrps0[ 1 - e-ª(I + a)]

4.7 l = 1. 570,8 A

APÊNDICE D

4.11 qz = -63, 13 (µ,C)

59 • H=

4.13 (a) E(O, O, O)= - xl , 6 - S•0, 66 (MV/m) (b) E (O, O, 5 cm)= -x81 ,4 - S,33,7 +

z226 (kV/in) (c) E(O, O, -5 cm)= -x81 ,4-j•33,7z226 (kV/m) 4.15 E= i(Psoh/2to)lv'a2 +hz +h 2 /

2hl

,IO(b - a)

z

A

•

5.13 l=320A A

A

5.15 F = - X O, 1 (n1N), onde X é un1a direção para fora a partir do fio, no plano do /oop. Portanto, a força está puxando o loop na direção do fio. .

z'

4.21 (a) Pv = y 2 (b) Q = 64/3 (C) (e) Q = 64/3 (C)

(b) F:n =

1 - tg- 1 ( ~ ) (A/in) -x-rrw 2h

z1211.0 Lg- • (~) (N) 2/J JTW

A força é repulsiva.

4.23 Q = 4n /){)<13 (C)

5.19 F =y4xl0- 5 N

4.25 D = r Pvo(r 2 - 1) /2r, para 1 < r ::, 3 m

5.21 (a) H1 = tf> lo para O::: r ::: a (b) H2 = tf>Jo(a/r) parar > a

D = r 4p,,o/ r, parar

~

3 111

A

A

J=

4.29 (b ) E = z(p1a/ 2to)[z/(a 2 + z2 ) 312 ] (V/in)

5.23

4.31 V(b) = (P1/4nt ) x ln[(/+ J/2 + 4b2)/(-l +

5.25 (a) (b) (e)

Jt2 + 4b2)](V)

4.35 V,10 = - 78,06 V 4.37 (a) r7 = 4 ,32 x I o(b) I = 542, 9 (nA) (e) Uc = - 13E/IEI (m/s)

4 (Sim)

4.43 () = 42º

0:i = 81,9°; 04 = 45°

4.49 (a) IEI é n1áxi1no para r = a (b) A tensão de ruptura do capacitor é V= 1,39 (MV)

(b) C = 0 ,5 pF

e= 0.31 pF

Capítulo 5 5.1 a= -y2, 1 x 1018 (m/s2 ) 5.3 IB I = 410 (mT)

5.5 (a) F = O (b) w = o (e) 4> = O

=o = O

? x-+y-+ z-')3/?-.1 ?

110

Capítulo 6

4.45 E1 = R9 cos{J -!93sen B (V/n1) D1 = t o(R27 cos () - 199 sen O) (C/nr-)

4.53 (a) C = 3 , 1 pF

B = zS;r scn rr y - y;r cos rr x
= 1,5 elétron/áto1no 5.31 H 2 = z4 5.35 L = (11.l/rr) lnf(d - a)/ a] (H) 5.37 Wrn = 139/2 (nJ)

4.41 R = 2 , 1 (n1Q)

4.51 We = 4,62 x 10- 9 (J)

A!ln2

5.27 (a) A = z11.ol L/(4rr R) (b) H =(/L/4rr)[(-x y +yx) 5.29

= 5E/1EI (nlls) = 9 ,21 (!'v1Q)

4.47 81 = 71,6°; 02 = 78, 7° ;

z16e-2'

/(

(d) R (e) P = 2.7(µ,W)

(e)

,.

, con1 z saindo da pagina

4nab 5.11 /2 = 0,8 A; a direção é no sentido horário, conforn1e visto aci1na

5.17 (a) H(O, O, h) =

4.17 E=O

ub

369

5.7 B = - z0,3 (rnT)

4.9 E = z25,61 kV/m

Jaz + h2 -

R ESPOSTAS DOS PROBLEfvlAS SELECIONADOS

6.1 Para t = O, a con-ente na parte superior do loop está n1on1entanean1ente no sentido horário. Parar= t 1, a corrente na parte superior do loop está n101nenta11ea1nente no sentido anti-horário. 6.3 (a) V1cm = 125e-21 (V) (b) Vrcrn = 62,3 sen HPr (kV) (e) Vrcm = O 6.5 Bo = l ,06 (nT)

6.7 l;nd = 37, 7 sen(200rr t) 111A 6.8 p, = (6ylw) sen wt + C0• onde C0 é unia constante de integraçào 6.9 V12 = - 707 (µ, V) 6.11 V12 = - 3, 77 V

6.13 V = wBoa2 /2 6.15 I = J,63cos(J20irt) (µA) 6.18 Pv = (6y!w) sen wr + C0, onde C0 é uma constante de

integração

370

APÊNDICE D

R ESPOSTAS DOS PROBLEMAS S ELECIONADOS

Capítulo 7

7.43

7.1 p(r, 1) = 24 cos(81r x 1031- 24,241r.x + 42º) (N/n/) 7.3 'J.. = 12,5 cm 7.5

"1' =0,83 (ni/s); 'J.. = 10,47 n1

7.7 (a) yi(x, t) se propaga na direção positiva dex, enquanto yi.x, 1) se propaga na direção negativa dex (b) x = (r./60 + 2111r/30) cn1; b•,I..,,. = 1,9 (c) x = nr./30; [y,I,.;. = O

7.9 T = 1,5 s;

up

= 0,56 ni/s; À = 0, 84 1n

7.11 y2 (1) está atrasado em relação a y 1(1) e,n 60º

= 5 x 10- 3 (Nplln) (a) ZJ = 3,6e- jJJ,7" ; z2 = 4,5ejlS3,4º

7.13 et 7.15

(b) (e)

l zd

= 3,60 z1 z2 = 16,2eÍ 119·7"

(d)

z1/z2

(e)

z; = 46,66e- i'º 1• 1•

= 0,8oe- i 187•1º

7.17 (a) t = 3, 16 ei JS. 4 3"; s = 5, 1Oei 78,6'1' (b) t = 2,83e-i 45º ; s = 2,83ei45º (e) t = 5,2; s = 3 ei 90º (d) 1 = O; s = 6ei 30º 7.19 ln(z) = 1, 61 - j0,93 7.21 vc(I) = 8,5 cos(2rr x 1<>1 /. - 62, 1°) V 7.23 (a) (b) (e) (d) (e) (1)

v(1) = v(1) = i (1) = i(I) = i(1) = i (t) =

3 cos(w1 - 21t /3) V 6 cos(w1 + 3rr /4) V 5 cos(w1 + 53, 1°) A 3,61cos(cvt + 146,31°) A -senw1 A 2 cos(w1 + 3rr /4) A

7.25 (a) Direção positiva de y (b) llp = 2 X 10 8 111/S (e) À= 1,26 m (d) lir = 2,25 (e) E= -x12.57e- jSy (V/ln) 7.27 (a) À= 3 1,42 m (b) f = 4,77 MHz (e) lir = 1.67 (d) H(z, t) = x22, 13 cos(9,541r x 106t + 0,2z) (mA/,n) 7.29

6

'

=4

7.31 E= x .,/2cos(Tt x 10 1º1 + 104,72;;) - y.,/2 sen(1r x 10101 + 104, 72z) (Vim) 7.33

IEI = 20; 1/t(t =O)= O;

,f,(t = 5 ns) =

- 45º; v,(1 = 1O ns) = - 90° 7.35 (a) 1' =65,5º ex= - 11,79º (b) Polarizada eliptican1ente à direita

Up

= 6,28

X

104 (nlfs)

7.45 H = - yO, l6e- 3ox cos(2rr x 1091 40.x - 36, 85°) (Afm) 7.47 (RcJRcJ = 143,55 7.49 Smcd = yO, 12 (W/m2 ) 7.51 (a) Sn,ed= i500e-0.4t (W/m2 ) (b) A= -l,74z (dB) (e) z = 23,03 ,n 7.53

llp

= 6

X

J0 7 (nifs)

Capítulo 8 8.1 (a) //'A.= 6,67 x lo-<>; a linha de trans,nissão pode ser ignorada (b) lt'A.=0,01; incerto (e) //À.= 0,2; os efeitos da linha de transmissão deve,n ser incluídos (d) //À.= 0,33; os efeitos da linha de transn1issão deven1 ser incluídos 8.3 R' = 1,0 (Q/m); L' = 167 (nH/ln); G' C' = 172 (pF/in) 8.5

= O;

= 0,14 Np/m; /3 = 31,5 rad/Jn; Zo = (27,7 + j0,098) Q; up = 2 x 10s m/s

Ct

8.7 R' = 2 (Q/in); L' = 200 (nH/1n); G' = 800 (µ.S/m); C' = 80 (pF/m); À =l m 8.9 R' = 0,8 Q/m; U = 38,2 nH/m; G' = 0,5 n1S/1n; C' = 23,9 pF/in 8.11 (a) b = 3,5 1nn1 (b) Up = 1,98 X 108 nifs 8.13 Z1. = (90 - j 120) Q 8.15 Zo = 55,9 Q 8.17 Zent. = (60 + j20) Q 8.21 (a) r = 0,62e- j 29 ·7º (b) Zent. = (12,5 - j 12, 7) Q (e) V; = l ,40e- i3~.0" (V) l; = 78,4e-i l 1.5° (1nA) 8.23 (a) Zcm. 1 = (35,20 - j8,62) Q (b) ZÍ._=(17,6-j4,31)Q (e) Zent. = (107,57 - j56, 7) Q 8.25 / = ),/4 + IIÀ/2 8.27 Zcn1.= 240 Q 8.29 l = 0,29i, 8.31 (a) Zent. = (41,25- } 16,35) Q (b) l; = l,08eil0,16º A V;= 47,86e- i 11.46º V (e) Pcnt. = 24 W

A PÊNDICE D

(e) Pcnt. = 24 W (d ) VL = 6oe- j 54 V; 0

lÍ.. =

9.13 0,8 e-jS4º

A;

Pi. = Pen,.= 24 W (e) Pzi = 29, 15 W; Pg = 53, 15 W 8.33 P~léd = IO,On1W;

PJ100 =

-1. 1 111W; P,\léd = 8,9 mW 8.35 (a) (b) (e) (d)

r

= 0, 5

r r

= 1,o/- s3.1º = 1,o/1so•

R ESPOSTAS DOS PROBLE!vl/\S SELECIONADOS

f =

371

60 MHz

9.15 P' = 4,04 x 10-4 W/in2 9.17 Bmrn = 27,92°

s•

9.19 ....,. = 0, 835

S'

9.21 d= 15 cm 9.23 d= 68,42 cm

r = 0 ,62/-29.7'

8.37 Zo1 = 40 Q ; 202 = 250 Q 8.39 (a) Zenl. = - j 154 Q (b) 0,074À + (11À/2), 11 = 0, J, 2, ... 8.41 (a) ZL = j95 Q (b) l = 0,246),

9.25

fr = 166,33 (tvtb/s)

9.29

e,=18,44º

9.33 (a) R = 6,4 x 10- 3; T = 0,9936 (b) P' = 0,34 W; P' = 2,2 X 10-3 \V; pt = 0,338 W

Capítulo 10 ?

s"'~' = 1,9 (µ, W/in")

8.43 ZL = (41 - j19,5) Q

10.1

8.45 Zem. = (95 - }70) Q

10.3 (a) A direção de 01áxi1n a rad.iação é uni cone circular com abertura de 120°, centrado e n1 torno do eixo z+.

8.47 Prin1eira solução: un1 s111b de con1prin1ento I = O, l 25Â. e d = O, 199Ã. a partir da antena. Segunda solução: u,n stub de cornpri111ento l 0,375À. e111d= 0,37511. a partir da antena.

=

8.49 Zem. = J00 Q 8.53 Vg = 19,2 V; Rg = 30 Q ; l = 525 1n

Capítulo 9 9.1 (a) r = - 0,67; r = 0,33 (b) S = 5 (e) S)1léd = O, 13 (Wfin2); S~léd

s~léd

= 0,06 (W/in2 ); 2

= 0,07 (\V/m )

Ei =

lO(x + jy)e-j4,r z/3 (V/in) (b) r = -0,2; r = 0, 8 (e) E' = - 2(x + jy)ei 4n z/3 (V/m); E' = 8(x + jy)e-1.26x 10- 2z

9.5 (a)

e- j2,-rz

E, =

(V/m);

!O(x + jy)[e - i 4,rzJ3 0,2ei4 " z/Jj (V/in)

(d) o/ô de potência refletida = 4 % % de potência transn1itida = 96%

-

9.7 IEdmáx = 51,3 (V/in); lmáx = .1, 5 111

9.9 9.11

êr2

= .js,, s,3 ; d= c/[4/(s,,s,3 ) 114 ] ~ ( 100- jl 27) O; fração ret1etida da potência

z,...

incidente

=0,24

(b) D= 4 = 6dB (e) QP = 1r (sr)= 3, 14 (sr) (d) /3 = 120°

10.5 (a)

ç=

29,7% (b) G 0,44 -3,5 dB (e) lo= 33,8 A; Pi = 67,3 W

=

=

10.7 Sm:1,, = 2 x 10- 5 (W/m2) L0.9 D= 40, 13 dB 10.11 (a) ç = 99,3% (b) G = l , 63=2, ldB (e) lo = O, 74 A; 10.13 (a) E(R, (!, ) =

Pi =

20, 1 W

êifo =

• . lolkTJo ( e - ikR )

O;

8;r

R

seno (V/in)

i1ok21212 )

(b) S(R (}) = o ( J281r 2 R2 '

sen 2 B (W/Jn2 )

(e) D= 1, 5 (d) N,ad = 201r 2 (//>..) 2 (Q)

10.14 (a) ~ = 62o/o (b) G = 0,93 = -0,3 dB (e) lo= 47, 5 A ; Pi = 32,3 W

10.16 P1 = 25, 9 (,nW) 10.18 Pt = O, l5 (mW)

.

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'

lndice

,

Abertura etetiva, veja Area efetiva Adn1itância, 278 , Agua do n1ar. 224-225. 365 Anel de cargas, 85-86 Angulo crítico. 31 1-312 de azimute, 46-47, 339-340 de Brewster, 320-321 de incidência, 31 O de polarização, 320-32 1. zênite, 50, 339-340 Ângulo de elipsidade, 217-218 Angulo de rotação, 217-218 Angulo sólido, 343-344 Angulo sólido padrão, 344-345 Antena dipolo elétrico, 336 dipolo curto (hertziano), 338-343 dipolo de n1eia onda. 349-352 monopolo de 1/4 de onda, 351-352 Antena receptora, 352-353 Aproxirnações, 367 Área efetiva de qualquer antena, 353-354 do dipolo curto, 353-354 de antenas, 336-337 Arranjo , AtonJO, 30, 99 Auto-indutância, 158 A

A

A

A

Cabo coaxial campo eletrostático, 110-111 can1po rnagnético, 158-159 capacitância, 114, 246-249 condutância, 97-98, 246-249 indutância, 158, 246-249 resistência, 229, 246-249 Can,po, 28-29 conservativo, 72-73, 91-92 eletrostático, 36-37, 79 irrotacional, 72-73, 91-92 magnetostático, 33 sen1 divergência, 68-69 solenoidal, 68-69 Can1po de polarização, 102-103 Capacitância, 108-109 capacitor cilíndrico, 114 capacitor de placas paralelas. l J0-111

Capacitância por unidade de con1prin1ento linha coaxial, 114, 246, 246-247 linha de placas paralelas, 246 linha paralela, 246 Carga de Smith, 270-27 l ângulo do coeficiente de reflexão, 273-274 círculo ROE, 274-275 círculo unitário, 27 l co,nprimentos de onda ern direção à carga, 274-275 co1nprin1entos de onda e,n direção ao gerador, 274-275 Carga elétrica elétron, 28-30 propriedade da conservação, 30 Cargas pontuais, 30, 82-83. 88-89 Casarnento de in1pedãncia con1 tnn único .ftub, 281 -283 Circuito de Thévenin, 352-353 Circulação de uni ca111po vetorial, 72 Coeficiente de reflexão incidente paralela à norrna l, 304-305 polarização paralela, 318, 326, 328 polarização 1>erpendicular, 315-316, 326, 328 tensão, 254-255 Coeficiente de reflexão de Fresnel, 318 Coeficiente de trans1nissão incidência paralela à normal, 304-305 polarização paralela, 318, 326, 328 polarização perpendicular. 3 1. 8, 326, 328 Coeficiente de transn1issão de Fresnel, 3·1s Comprin1ento de onda, 198, 274-275 Con,unicação via satélite, 358-359 Condições de casa111en10 de fase, 317-318 Condições de contorno carupos eletron1agnéticos, I90-191 ca,npos eletrostáticos, 105-106 carnpos rnagnetostáticos, 152-153 densidade de corrente, 108 entre dois n1eios dielétricos, 105-106 entre uo1 dielétrico e u,n condutor perteilo, 107-108 Condutância, 97 -98 Condutância por unidade de co1nprin1ento, 97-98 1.inha coaxial, 97-98, 246-247 linha de placas paralelas, 246-247 linha paralela, 246-247 Condutividade, 33, 96 materiais, 95-96, 365

374

, INDJCE

Condutor perfeito, 33, 246-247 Condutores, 95 bons, 224-225 cargas em, 107-108 Conjugado con1plexo, 202-203 Constante de atenuação, 222-223 bon1 condutor, 224-226 dielétrico de baixas perdas, 224-226 linha de transn1issão. 250 linha se,n perdas, 251 -252 Constante de B0ltzn1ann, 11eja Páginas finais Constante de fase, 199-200, 222-223 bon1 condutor, 224-227 dielétrico de baixa perda, 224-226 linha de transn1issão, 250 linha se,n perdas, 251-252 Constante ele propagação, 209-2 1O bon1 condutor, 224-226 dielétrico de baixas perdas, 224-226 linha ele transnl.issão, 249-252 sem perdas, 249-252 Constante dielétrica, 31 -32, 82-83 Constantes universais, veja Páginas finais Contorno a111periano, 141, 142 Coordenada de alcance, 50 Coordenadas cartesianas. 46-47 Coordenadas cilíndricas, 46-47 Coordenadas esféricas, 50 Coordenadas retangulares, 46-47 Corrente de condução, 81-82 ele convecção, 81 -82 de deslocarnento, 176, 184- 187 Coulomb, Charles Augustin de, 28-30 Curva de n1agnetização, 151-152 ferron1agnético fone, 152-153 ferro,nagnético fraco, 152-153 Densidade de carga linear, 80 superficial, 80 volumétrica, 80 Densidade de corrente de condução, 96 de convecção, 81-82 superficial, 135 voltnnétrica, 135 Densidade de fluxo elétrico. 31-32 Densidade de fluxo ,nagnético, 32-33, ]27 Densidade de potência n1édia, 340-342 Densidade de potência, 229, 340-342 Derivada direcional, 64 Designações de banda, 36 Deslocamento elétrico, I 84-185 Diagra111a de reflexão, 289-291 Dian1agnetisn10, 150-151 Dielétrico perfeito, 33, 246-24 7 Dielétricos, 95, l 03-104

Dipolo de ,neia onda, 349-350 elétrico, 93-94 rnagnético, 137-138 Dipolo Hertziano, 340-342 diretividade. 347-348 padrão de radiação, 341-342 resistência de radiação, 348-349 Diretividade, 346 dipolo de n1eia onda, 351-352 dipolo hert1.iano, 347-348 Disco de carga, 86-87 Dispersão, 242-243 e,n fibras ópticas, 313-3 14 Display de cristal líquido, 220 Distância radial, 46-47 Don1ínios magnetizados, 150-151 Eletroín1ã. 148-151 Eletro,nagnética, 34 Eletro111agnética harn1õnica no ten1po, 337-338 Eletro,nagnético ca,npos, 211-212 espectro, 34-36 força, 127-128 gerador, 183-186 indução, 174-175 onda,303 potenciais, 191-192 Eletron1agnético transversal (TEM), 211 -212, 243-244 Elétron carga do, 28-30 n1obilidade do, 96 velocidade drift do, 95 Eletrostática, 33-34, 36-37, 79 ELF, 36 Energia magnética, 162 Energia potencial eletrostática. 114 Equação da continuidade da carga, 190-19 l. Equação de Laplace, 94 Equação de onda, 209-210. 249-250 Equação de Poisson para potencial elétrico, 94 Equação de Poisson para potencial n1agnético, 145 Equações da telegrafia, 243, 249-250 Equações de Maxwell forrna diferencial, 79, 174 forn1a integral, J 74 Escala decibel, 23 1-232 Escalar gradiente de, 63-64 produto triplo, 44-45 produto, 41-42 Espaço Iivre constantes do, veja Páginas finais impedância intrínseca do, 21 1-212 perrneabilidade do, 32-33 perrnissividade do, 28-30 velocidade da luz no, 33

, lNDI CE

Espectro de ondas eletro1nagné1icas, 35 Estado de polarização. 214, 222 circular à direita, 2 16-217 circular à esquerda, 216 circular, 214-218 elíptica, 217-2 18 linear, 214 paralela, 3 J 5-3 J6 perpendicular, 315-319 Faixa de 111icroondas, 36 Faraday, Michael, 173-174 Fase, 198 adiantada, 200-201 atrasada, 200-201 Fator de atenuação, 200-201 Fator de propagação esférico, 339-340 Fcm (força eletromotriz), 174-175 de movi,nento, 174-175, 180-181 de transforn1ação, 174-1 75 FEM, 188-189 Fc1To1nagnetisn10, 150-151 Fibras ópticas, 243-244, 312-313 ângulo de aceitação, 312-3 13 casca, 3 12-313 dispersão em. 313-314 modos ern, 313-314 núcleo da fibra, 3 12-3 13 Fluxo densidade de, 66-67 cn Iaçado, 158 linhas de, 66-67 Fluxo n1agnético, 145-146, 158 Fluxo rnagnético enlaçado, 158 Força de Lorentz, 127-128 Força eletron101riz, 174- 175 de movimento, 174-175 transfonnador, .174-175 Força n1agnética, 127 condutor sernicircular, 130-131 condutor, 128-129 entre condutores, 1.38-139 relação de torque para, 131-132 Forças elétricas, 28-30 eletron1agnéticas, (Lorentz), 127-128 gravitacionais, 28-29 magnéticas, 127 Fórn1ula de transn1issão de Friis, 356-357 Fomos de microondas. 266-267 Frente de onda, 302 Freqüência, J99-200 GPS, 56-57 Gravação ruagnética, 156- 157 Gravitacional can1po, 28-29

Henry, Joseph, J74 HF, 36 Histerese, 150-151 Histerese n1agnética, 1.50- 15] Homogêneo,33,95, 102- 103 Identidade de Euler, 202-203 Identidades vetoriais, veja Páginas finais Ímã, barra, 31 -32, 138-139 Impedância característica, 250, 253-254 circuito de casamento de, 281-283 de carga, 252-254 de superfície (ou interna), 228-229 entrada, 259-260 intrínseca, veja linpedância intrínseca linha cn1 circuito aberto, 264-265 linha en1 cuno-circuito, 261-262 In1pedância intrínseca bom condutor, 224-226 dielétrico de baixas perdas, 224-226 espaço livre, 211-212 meio com perdas, 223-224 rueio scn1 perdas, 210-21 l Incidência ângulo de, 31 O plano de, 315-316 Incidência corn uni pequeno ângulo, 320-32 1 Índice de refração, 311 Indutância, 154-155 Indutância rnúnia, 158 Indutância por unidade de con1prirnento linha coaxial, 158- 159, 246-247 linha de fio duplo, 246 linha de placas paralelas, 246 Intensidade de can1po elétrico anel de cargas, 85-86 cargas pontuais, 30, 84-85, 88-89 dipolo elétrico, 93-94 disco circular de cargas, 86-87 distribuição de carga, 85-86 linha infinita de cargas, 89-90 Intensidade de carnpo n1agnético, 33, 133-135 condutor linear, 135, 142- J43 distribuições de corrente, 135 elernento de corrente, 133-135 folha de corrente inlinila, J44-145 loop circular. 137-138 /oop na fonna de torta, 137 núcleotoroidal, 144- 145 solenóide, 154-155 Isolador, 95 lsotrópica, 95, 102-1.03 Largura de feixe, 345-346 dipolo curto, 345-346 Laser, 322-323 LCD, 220-221

375

376

, lNDlCE

Lei circuitai de A1npere, J41 -142, 173-174 Lei de Biot-Savart, 32-33, 133-135 Lei de Coulo1nb, 28-30, 82-83 Lei de Faraday, 173-174 Lei de Gauss, 87-88, 173-174 Lei de Gauss para o n1agnetis1no, 140-141 , 174 Lei de Joule, 98-99 Lei de Kirchhoff para corrente, 191 -192 Lei de Kirchhoff para tensão, 91 -92 Lei de Lenz, 176-178 Lei de Ohm, 96-97 Lei de Snell para reflexão, 31l, 317-318 para refração, 311 , 317-3 18 Leitor de código de barras. 327 LF, 36 Linha con1 dielétrico de ar, 246-247, 250-251 Linha de cargas, 80, 89-90 Linha de transnüssão, 243-244 casan1ento de in1pedância de, 265, 268, 28 1-283 coaxial, 243-244, 247-249, 253-254 constante de atenuação de, 250, 253-254 constante de fase, 250, 253-254 constante de propagação de, 249-250, 253-254 curto-circuito, 261-262 ele1nentos de circuito de, 262-263 en1 circuito aberto, 264-265 in1pedância característica de, 250, 253-254 in1pedãncia de entrada de, 259-260 linha de tira, 243-244 linha 111icrostrip, 243-244 máximo de tensão, 257-258 mínimo de tensão, 258-259 paralela, 243-244, 247-249, 253-254 placas paralelas, 243-244, 247-249, 253-254 resposta transitória em, 285-287 seções de 1neia onda de, 265, 268 transferência de potência en1, 268-270 Linha de transn1issão sem perdas, 251-252 Linha fendida, 258-259 Linhas de ca1npo de bordas, l 09-11 O Lóbulo principal da antena, 344-345 Lóbulos laterais do diagrama de radiação da antena, 344-345

linear, 95 sen1 perdas, 198 Meio dielétrico linear, 102-1 03 Meio dispersivo, 252-254 Meio equipontencial, 96-97 Método das in1agens, 1 14-115 MF, 36 Mobilidade de elétrons, 96 de lacunas, 96 Mon1ento de dipolo elétrico, 94 Momento magnético de rotação, 150-15 l Momento magnético orbital, 146-147 Monopolo de 1/4 de onda, 351-352

Oersted, Hans, 32-33 Onda elétrica transversal, 315-316 eletro1nagnética transversal, 211-212, 243-244 esférica. 197-198 estaciom1ria, vejn Onda estacionária magnética transversal, 315-316 01eios coo1 perdas, 222-223 n1eios sen1 perdas, 209-21 O plana uniforme, 197-198 polarizada circularmente, 214-218 polarizada eliptican1ente, 217-218 polarizada lineannente, 214 sonora. 201-202 Onda estacionária, 250-251 , 255-256 círculo da razão na carta de Snlith, 274-275 padrão, 256-257 raz.'io (ROE), 258-259, 274-275. 304-305 Onda plana, 197 -198 polarização de, 214 propagação de, 209-21 O Opacidade da atn1osfera, 35 Operador dei. 64

Magnetita, 31-32 Magnetostática, 33-34, 79 Materiais 1nagnéticos. 145-146 Materiais não-polare-s, 102-103 Materiais polares, 102-103 Maxwell, Jan1es Clerk, 79 Meio anisotrópico, l 02- l 03 con1 perdas, 200-201 guiado, 197-198 ho1nogêneo, 33, 95, 102-103 ili n1itado, 197-198, 302 isotrópico, 95, 102-103

Paran1agnetis1no, 150-151 Parân1etros constitutivos, 33, 95 Parãtnetros de linhas de transn1.issão, 246-247 Parede do domínio, 150-151 Período, 198 Periscópio, 33 1 Permeabilidade, 33, 34, J50-J51 espaço livre, 32-33, 36-37 materiais co1nuns, 366 relativa. 150-151 Permissividade, 31-32, 34, 82-83 ar,31-32 co1nplexa, 208-209

Não-,nagnético, 33 Neper, 200-201 Nú111ero cornplexo, 202-203 Nún1cro de onda, 199-200, 209-21 O

, lNDI CE

espaço livre, 28-30, 36-37, 82-83 materiais comuns, 103-104 relativa, 3 J-32, 82-83 Piezorresistividade, 100 Piano de incidência, 315-316 Planos principais, 343-344 Polarização circular à direita, 216-217 Polarização circular à esquerda, 216 Polarização circular, 214 Polarização de materiais, 31 -32 Polarização elíptica, 217-218 Polarização linear, 214 Polarização paralela, 3 15-3 16, 319-321 Polarização perpendicular, 315-319 Potencial escalar elétrico, 90-91 magnético, vetor, 145 Potencial retardado escalar, 337-338 vetorial, 337-338 Princípio da superposição, 30 Prisn1a, 33 1 Produto cruzado, 42-43 Produto vetorial, 41 -42 Profundidade de penetração, 223-224 Profundidade pelicular. 223-224 Propriedades das antenas área efetiva, 352-353 diretividade, 346 eficiência de radiação, 347-348 ganho, 347-348 largura ele feixe, 347 padrão de radiação, 335, 344-345 polarização, 336 resistência de radiação, 347-348 Próton, carga cio, 28-30 Radiação eficiência, 347-348 intensidade, 340-342 lóbulos, 344-345 padrão, 342-343 resistência, 347-348 dipolo de n1e.ia onda, 351-352 dipolo de 1/4 de onda, 352-353 dipolo Hertziano, 348-349 Radorne, 306-307 Raio, 302 Razão axial, 218-2 19 Razão de transferência de potência, 356-357 Refletividade (retletância), 324 Retlexão ângulo de, 3 10 lei de Snell, 311 Reflexão interna total, 311-3 12 Refração ângulo de, 3 10 índice de, 311

lei de Snell para a, 311 Região de campo distante (ou zona distante), 336-337 dipolo curto, 340-342 Regra da n1ão direita lei de Ampere, 141 -142 produto vetorial, 42-43 relação entre E e H, 212-214 torque n1agnético, 132 Relação sinal/ruído, 357-358 Relaçües trigono1ní!tricas. 367 Relé 1nagnético, 148-15 J Representação fasorial, 205 Resistência, 97-98 Resistência por unidade de co1nprin1ento linha coaxial, 229, 246-247 linha de fio duplo, 246 linha de placas paralelas, 231 -232 Rigidez dielétrica, 103-104 Ruptura dielétrica. 103-104 Scan CT. 70 Semicondutores, 95 Sensor capacitivo, [12-113, l 18 fe111, 188 indutivo, 160- 161 piezoelétrico, J00-1 O1 piezorresistividacle, 100 radar, 354-355 resistivo, 100- 1O1 se,n contato. 118-119 Sintonia con1 .wub, 281 -283 Siste1na de Posicionarnento Global, 56-57 Sistemas de coordenadas cartesianas, 46-48 cilíndricas, 46-48 esféricas, 47 -48, 50 transformações entre, 51-52. 55 Siste1nas de coordenadas ortogonais, 45-46 Solenoidal, 154-155 Supercondutores, 95 Superfície gaussiana, 88-89 Susceptância, 27 8 Suscetibilidade elétrica, 103-104 Suscetibilidade 1nagnética, 150-151 Ten1peratura de ru ído do siste111a, 357-358 Tensão coeliciente ele reflexão, 252-254 de ruptura, 103-104 eletrostática, 90-91 induzida, 174-175 1náxi1na, 257-258 n1ínin1a, 258-259 Teorema da divergência, 68-69 Teorema de Stokes. 72-73 Terra, opacidade da aunosfera, 35 Tesla, Nikola, 32-33

377

378

, INDICE

Tipos de antenas corneta. 336 dipolo curto (Hertziano). 338-339 dipolo de 111eia onda. 349-352 dipolo elétrico, 336 isotrópica, 335 loop, 336

monopolo de 1/4 de onda, 351-352 parabólica, 336 satélite, 357-358 Ton1ografia computadorizada con1 raios X, 70-7 1 Toróide, J44- J45 Torquc 1nagnético, 131 - 132 Transfonnadores de t.J4 de onda, 265, 268 ideal, J78- 179 Transn1issividade (transn1itância), 324-325 UH F, 36

Unidades, grandezas derivadas, 363, 364 Velocidade fase, 199-200, 250-251 , 253-254 luz no espaço livre, 33 Velocidade de arrastan1ento de lacunas, 96 Velocidade de fase. 199-200, 242-243. 253-254 bo,n condutor, 225-226

dielétrico de baixa perda, 223-224 linha sem perdas, 251-254 n1eio se111 perdas, 209-21 O Velocidade de propagação. veja Velocidade de fase Vetor adição e subtração, 40-42 multiplicação, 41-42 produto, 42-43 Vetor de Poynting, 229 Vetor distância coordenadas cartesianas, 41 -42. 55 coordenadas cilíndricas, 55 coordenadas esféricas, 55 Vetor n1agnetização, 150- 15 J Vetor posição, 40-42 coordenadas cartesianas, 40-42 coordenadas cilíndricas, 47-48 coordenadas esféricas, 47-48, 50 Vetor potencial magnético. 145 retardado, 336-337 Vetor unitário, 39 Vetores-base coordenadas cartesianas, 40 coordenadas ciJíndricas, 46-47 coordenadas esféricas, 50 VHF, 36 VLF, 36

CONSTANTES FÍSICAS FUNDAMENTAIS ,

CONSTANTE

SIMBOLO

velocidade da luz no vácuo

e

VALOR 2,998 X JCJ8 ~ 3 X 108 m/S

constante gravitacional

G

6,67 x 10- u N-m2/kg2

constante de Boltzmann

K

1,38 X l0- 23 J/K

carga elementar

e

1,60 X 10 - 19 C

permissividade do espaço livre

ro

8,85 x 10- 12 ~ 3~ x 10-9 Fim

permeabilidade do espaço livre

J1o

41t X 10-7 H/m

massa do elétron

me

9,11 X 10-31 kg

massa do próton

mp

1,67 X J0-27 kg

constante de Planck

h

6,63 X 1o- 34 J.g

impedância intrínseca do espaço livre

376,7

Tio

'.::!

l 201t Q

UNIDADES SI FUNDAMENTAIS

,

~

DIMENSAO

UNIDADE

SIMBOLO

Comprimento

metro

m

Massa

quilograma

kg

Tempo

segundo

s

Corrente elétrica

ampere

A

Temperatura

kelvin

K

Quantidade de matéria

mol

mol

PREFIXOS - MÚLTIPLOS E SUBMÚLTIPLOS

,

,

PREFIXO

SIMBOLO

MAGNITUDE

PREFIXO

SIMBOLO

MAGNITUDE

exa

E

1018

mili

m

10- 3

peta

p

101s

IIl!CrO

µ

10- 6

tera

T

1012

nano

n

10-9

giga

G

109

pico

p

10- 12

mega

M

femto

f

10- 15

quilo

k

tü6 tc>3

atto

a

10- 18

ALGUMAS IDENTIDADES VETORIAIS ÚTEIS A· B = ABcos0An

Produto escalar

A x B = flABsen0AB

Produto vetorial, sendo ô normal ao plano que contém A e B

A·(B x C) = B·(Cx A) = C·(AxB)

Ax (B x C) = B(A·C)-C(Ax B) V(U +V) = VU +VV V(UV) = UVV + VVU

V· (A+B) = V ·A+ V ·B V·(UA)=UV ·A + A·VU Vx (UA) = UVx A+ VU x A Vx (A+ B) = Vx A+VxB V· (Ax B) = B· (V x A) - A· (V x B) V· (Vx A) =0 VxVV=O V·VV =V2 V Vx VxA= V(V·A)-V2A

j"' (V· A) d'II = Ís A· ds

l

(V x A) · ds =

l

A· d l

Teorema da divergência (S envolve v) Teorema de Stokes (Sé envolvida por C)

OPERADORES GRADIENTE, DIVERGENTE, ROTACIONAL E LAPLACIANO COORDENADAS CARTESIANAS (RETANGULARES) (x, y, z) ºV -V

i;)V {\ -+.t. i;)V "' -i;)V X-+,1 A

i;)x

i:ly

i:lz

V·A =

x y z VxA =

vv 2

vv

=

i;)

i;)

i;)

= x (i;)Az _ i:ly

dx dy dz Ax Ay A.

dAy) i;)z

+y (i:lAx _ i;)z

i;)Az) ax

+z (dAy _ ax

i:lAx) i;)y

a2 v a2 v a2 v + i;)y2 + i;)z2

i;)x2

av

.1 av

.av

= r-+, --+ z-i;) z i;) r r i;)cp

V-A=

I d 1 dA4> dAz - - (rA,)+ - - + r i:lr r i;)cp i:lz

r f, z VxA = I d ~ d = r(!i:lAz_dA4i)+ +(~ -~)+ z![i(,A...)-i;)A,] r i:lr i;)cp i:lz r i;)cp i:lz i:lz i:lr r i:lr .,. i;)cp A, rA9 Az

v2v

=

V-A

1 i;) 1 i;)A$ 1 i;) 2 = R2 i;)R(R AR)+ Rsen9 ae(Aesene)+ Rsen9 i;)cp

R ÔR

VxA

=

=

fRsen9

i;) i;) i;) R sen9 i;)R ae d