Eletromagnetismo

ELECTROMAGNETISMO EEC0012 Caderno de Exerc´ıcios 2014/2015 Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

LMM, PAS, JGO

Departamento de Engenharia F´ısica

Constantes F´ısicas (CODATA 2010) Fonte: P.J. Mohr, B.N. Taylor, and D.B. Newell, ”The 2010 CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants”(National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, Maryland, USA, 2011). http://physics.nist.gov/constants

Constante universal de gravita¸c˜ ao Velocidade da luz no v´ acuo (*) (**) Permitividade el´ectrica do v´ acuo (*) Constante de Coulomb (*) Permeabilidade magn´etica do v´ acuo (*) Constante magnetost´ atica (*) N´ umero de Avogadro Unidade de carga elementar Unidade de massa at´ omica Massa do prot˜ ao Massa do neutr˜ ao Massa do electr˜ ao Raio de Bohr

G = 6.673 84(80) × 10−11 N.m2 .kg−2 c = 299 792 458 m/s 0 = 8.854 187 817... × 10−12 F.m−1 K = 1/(4π0 ) = 8.987 551 787... × 109 N.m2 .C−2 µ0 = 4π × 10−7 N.A−2 = 12.566 370 614... × 10−7 N.A−2 Km = µ0 /(4π) = 10−7 N.A−2 NA = 6.022 141 29(27) × 1023 mol−1 e = 1.602 176 565(35) × 10−19 C u = 1/NA = 1.660 538 921(73) × 10−24 g mp = 1.672 621 777(74) × 10−27 kg = 1.007 276 466 812(90) u mn = 1.674 927 351(74) × 10−27 kg = 1.008 664 916 00(43) u me = 9.109 382 91(40) × 10−31 kg = 5.485 799 0946(22) × 10−4 u ' (1/1823) u a0 = 0.529 177 210 92(17) × 10−10 m

(*) Valores exactos. Rela¸c˜ ao: 0 µ0 c2 = 1. −9 −1 (**) 0 ≈ 10 /(36π) F.m = 8.841 ... × 10−12 F.m−1

1

Unidades do Sistema International (SI) [Grandeza f´ısica] = Unidade da grandeza f´ısica Unidades Fundamentais SI: [Comprimento] = m (metro) [Massa] = kg (kilograma) [Tempo] = s (segundo) [Corrente El´ectrica] = A (Amp`ere) [Temperatura] = K (Kelvin) [Intensidade Luminosa] = cd (candela) [Quantidade de Mat´eria] = mol (mole) ˆ [Angulo Plano] = rad (radiano) ˆ [Angulo S´ olido] = sr (esterradiano) Algumas Unidades Derivadas SI: [Frequˆencia] = s−1 = Hz (Hertz) [Velocidade] = m.s−1 [Acelera¸c˜ ao] = m.s−2 [For¸ca] = kg.m.s−2 = N (Newton) [Press˜ ao] = N.m−2 = Pa (Pascal) [Energia] = N.m = J (Joule) [Potˆencia] = J.s−1 = W (Watt) [Carga El´ectrica] = A.s = C (Coulomb) [Potencial El´ectrico] = J.C−1 = V (Volt) [Capacidade El´ectrica] = C.V−1 = F (Farad) [Resistˆencia El´ectrica] = V.A−1 = Ω (Ohm) [Indutˆ ancia] = Ω.s = H (Henry) ~ = T (Tesla) [Campo Magn´etico B]

2

Prefixos das Potˆ encias de 10

1024 1021 1018 1015

Y (Yotta) Z (Zetta) E (Exa) P (Peta)

1012 109 106

T (Tera) G (Giga) M (Mega)

103 102 101

k (kilo) h (hecto) da (deca)

100

1

10−1 10−2 10−3

d (deci) c (centi) m (mili)

10−6 10−9 10−12

µ (micro) n (nano) p (pico)

10−15 10−18 10−21 10−24

f (femto) a (atto) z (zepto) y (yocto)

3

´ ELECTROMAGNETISMO - EEC0012 - FORMULARIO - FEUP/DEF - 2014/2015

e = 1.6 × 10−19 (SI) F~2/1 =

0 =

10−9 (SI) 36π

q1 q2 1 u ˆ~r −~r 4π0 |~r2 − ~r1 |2 2 1

~ r) = E(~

I

~ ·E ~ = ρ ∇ 0

dq = λdl = σdS = ρdv

~ = Qint ~ · dS E 0 S

Q

I

~ ×E ~ = ~0 ∇

0

~ =0 ~ · dl E

C B

Z

~ = −∇V ~ E

W = −∆EP = −q∆V

dq 0 u ˆ~r−~r |~r − ~r 0 |2

Z

1 4π0

~ · d~l E

V B − VA = − A

V (~r) =

dq 0 |~r − ~r 0 |

Z

1 4π0

Q

σ = σlivre + σpol

∇2 V = −

~ = 0 E ~ + P~ ~ D P~ = 0 χe E I ~ = Qlivre,int ~ ·D ~ = ρlivre ~ · dS ∇ D

Z

dQ I= dt σe =

Ue =

1 Q∆V 2

I= S

1 nq 2 τ = ρe m

µ0 = 4π × 10

Z R=

−7

ρe

dl S

−1 Ceq =

N X

~ · P~ ρpol = −∇

Ci−1

Ceq =

i=1

N X

Ci

i=1

Z P =

~ · Jdv ~ E

~ J~ = σe E

v

∆V = RI

P = I∆V

~ = KdS ~ ~ I dl = Jdv

(SI)

σ 0

D1,n − D2,n = σlivre

~ · J~ = − ∂ρ ∇ ∂t

~ J~ · dS

En =

~ = E ~ r = 1 + χe D Z Z 1 1 ~ · Ddv ~ E = ρlivre V dv Ue = 2 t.e. 2 v

S

Q = C∆V

Et = 0

σpol = P~ · n ˆ

ρ = ρlivre + ρpol

E1,t = E2,t

ρ 0

F~2/1 =

Z

RC =

 σe

~2×B ~ 2/1 I2 dl

L2

~ r) = µ0 B(~ 4π ~ ×B ~ = µ0 J~ ∇

0

~ I dl ×u ˆ~r−~r |~r − ~r 0 |2

Z L

I

~ = µ0 Iint ~ · dl B

~ + ~v × B) ~ F~ = q(E

0

I

~ ·B ~ =0 ∇

C

~ =∇ ~ ×A ~ B

L21 =

N2 Φ21 I1

~ =0 ~ · dS B

S

~ = −µ0 J~ ∇ A 2

Z Φ21 =

~2 ~ 1 · dS B

~ r) = µ0 A(~ 4π Um =

S2

4

1 2µ0

Z t.e.

Z L

0

~ I dl |~r − ~r 0 |

~ 2 dv |B|

Um =

1 2 LI 2

J~ = J~livre + J~mag

~ =K ~ livre + K ~ mag K

~ = B/µ ~ 0−M ~ H

~ ×M ~ J~mag = ∇

~ = χm H ~ M I

~ ×H ~ = J~livre ∇

~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ ∂t

~ = Iint,livre ~ · dl H

H1,t − H2,t = Klivre I

~ =−d ~ · dl E dt C

~ ~ ×B ~ = µ0 J~ + µ0 0 ∂ E ∇ ∂t

1 2

Um =

1 ∂2ψ =0 v 2 ∂t2

~ ~ · dS B

E ≡ Vemf

z

ˆ d~l = dxˆı + dyˆ + dz k;

S

Z

Φ=

~ ~ · dS B

S

~ ~ · dS D

S

~ ∂2B =0 2 ∂t

~ ~ ~ = E×B S µ0

z

P(x,y,z)

P(r,f,z)

z

z

y

Z

(ˆ ur , u ˆθ , u ˆφ ) dv = r2 sin θdrdθdφ

z

x

F = RΦ

~ ~ = −∇V ~ − ∂A E ∂t

~ ~ · dS E

~ − 0 µ0 ∇2 B

ˆ dv = rdrdφdz; (ˆ ur , u ˆφ , k)

y

Z

~ = Ilivre,int + d ~ · dl H dt C

~ ∂2E =0 2 ∂t

~ · Bdv ~ H

t.e.

dΦ =− dt

I

~ − 0 µ0 ∇2 E

Z

F = NI

S

~ = µ0 Iint + µ0 0 d ~ · dl B dt C

ˆ dv = dxdydz; (ˆi, ˆj, k)

x

l µS

R=

I

~ ~ ×H ~ = J~ + ∂ D ∇ ∂t ∇2 ψ −

Z

~ = µH ~ B

µr = 1 + χm

C

B1,n = B2,n

~ mag = M ~ ×n K ˆ

r

q y

f

P(r,q,f) r z y

f

x

x

ˆ d~l = drˆ ur + rdφˆ uφ + dz k;

d~l = drˆ ur + rdθˆ uθ + r sin θdφˆ uφ

1 ∂f ∂f ˆ ∂f 1 ∂f 1 ∂f ~ = ∂f ˆı + ∂f ˆ + ∂f kˆ = ∂f u ∇f ˆr + u ˆφ + k= u ˆr + u ˆθ + u ˆφ ∂x ∂y ∂z ∂r r ∂φ ∂z ∂r r ∂θ r sin θ ∂φ

~ ·A ~ ∇

∇2 f

ˆı ~ ×A ~= ∂ ∇ ∂x A x

∂Ay ∂Az ∂Ax + + ∂x ∂y ∂z 1 ∂ 1 ∂Aφ ∂Az = (rAr ) + + r ∂r r ∂φ ∂z
1 ∂(sin θAθ ) 1 ∂Aφ 1 ∂ r 2 Ar + + = 2 r ∂r r sin θ ∂θ r sin θ ∂φ ∂2f ∂2f ∂2f = + 2 + 2 ∂x2 ∂y ∂z   ∂f 1 ∂2f 1 ∂ ∂2f = r + 2 2+ 2 r ∂r ∂r r ∂φ ∂z     1 ∂ ∂f 1 ∂ ∂f 1 ∂2f 2 = r + sin θ + r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂φ2 u u uθ r sin θˆ uφ ˆ kˆ ˆr rˆ uφ kˆ ˆ∂r rˆ 1 ∂ 1 ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = = ∂θ ∂φ ∂y ∂z ∂φ ∂z r ∂r r2 sin θ ∂r Ar rAθ r sin θAφ Ay Az Ar rAφ Az =

5



6

• Apresentam-se aqui algumas dicas para a resolu¸c˜ao de problemas, em geral, seguindo P´olya (1888-1985):

1o PASSO: COMPREENDER O PROBLEMA -

Fazer um esquema. Quais s˜ ao os dados? Quais s˜ ao as restric¸c˜ oes? O que se pretende? Quais s˜ ao as grandezas f´ısicas envolvidas? Quais s˜ ao as inc´ ognitas? Utilizar nota¸c˜ ao apropriada. Tente descrever o problema por palavras suas. N˜ ao avance enquanto n˜ ao compreender bem o problema, devendo investir neste passo o tempo que for necess´ ario.

2o PASSO: ELABORAR UM PLANO - Encontrar uma liga¸c˜ ao entre os dados e a(s) inc´ognita(s). - Quais as f´ ormulas a utilizar? - Se n˜ ao conseguir resolver o problema, tente resolver um problema relacionado mais simples. 3o PASSO: LEVAR A CABO O PLANO - Fazer os c´ alculos a que o plano obriga. - Verificar se todos os passos est˜ ao correctos. ˜ OBTIDA 4o PASSO: ANALISAR A SOLUC ¸ AO -

Verificar se a(s) solu¸c˜ ao(˜ oes) obtida(s) satisfaz(em) o problema. Verificar se n˜ ao h´ a mais solu¸c˜ oes. As unidades est˜ ao correctas? A dependˆencia entre as grandezas f´ısicas envolvidas faz sentido? O comportamento da solu¸c˜ ao em casos-limite est´a correcto? O valor num´erico obtido faz sentido?

• Segundo P´ olya s´ o resolve problemas se estiver predisposto a resolvˆe-los!... • Na resolu¸c˜ ao de um problema ´e natural que se fa¸cam v´arias tentativas at´e se obter a sua solu¸c˜ao. Por isso, se um problema ”correr mal”, o importante ´e n˜ao desistir e arranjar outra estrat´egia para o resolver.

7

8

Electromagnetismo - EEC0012 - 2014/15

FEUP/MIEEC

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 1 - Introdu¸c˜ ao Opera¸ c˜ oes elementares com vectores

7. Considere a figura: A

1. Os pontos P e Q est˜ ao localizados em (0, 2, 4) e (−3, 1, 4) respectivamente, num referencial cartesiano. Determine:

b c C

(a) O vector posi¸c˜ ao do ponto P; (b) O vector de posi¸c˜ ao de Q em rela¸c˜ ao a P;

B

a

(c) A distˆ ancia entre P e Q; (d) O vector paralelo a ~rP Q e com m´ odulo igual a 10.

(a) Derive a f´ormula dos cossenos:

2. Um rio corre na direc¸c˜ ao SE a uma velocidade de 10 km/h. Nesse rio flutua um barco sujeito `a corrente do rio. No barco um homem caminha para a esquerda da proa do barco, perpendicularmente ao movimento do barco, com uma velocidade de 2 km/h. Calcule a velocidade do homem em rela¸c˜ ao `a terra.

a2 = b2 + c2 − 2bc cos(A) (b) Derive a f´ormula dos senos: sin(A) sin(B) sin(C) = = a b c

ˆ B ~ = αˆi+ˆj+4k, ~ = 3ˆi+β ˆj−6kˆ 3. Considere os vectores A ˆ ~ ˆ ˆ e C = 5i − 2j + γ k. Determine α, β e γ de modo a que os vectores sejam perpendiculares entre si.

8. Mostre que o m´odulo do produto triplo ~a · (~b × ~c) ´e o volume do paralelip´ıpedo definido pelos vectores ~a, ~b e ~c.

4. Os pontos P1 (1, 2, 3), P2 (−5, 2, 0) e P3 (2, 7, −3), num referencial cartesiano, formam um triˆ angulo. Calcule a sua ´ area.

9. Para uma part´ıcula movendo-se numa ´orbita circular ~r = r cos(ωt)ˆi + r sin(ωt)ˆj.

ˆ Q ~ = 5. Considere os seguintes vectores: P~ = 2ˆi − k, ˆ Calcule ~ = 2ˆi − 3ˆj + k. 2ˆi − ˆj + 2kˆ e R ~ × (P~ − Q); ~ (a) (P~ + Q) ~ ·R ~ × P~ ; (b) Q (c) sin(θQR ); ~ e R; ~ (d) Um vector unit´ ario perpendicular a Q ~ (e) O vector projec¸c˜ ao de P~ segundo Q.

(b) Mostre que

d2 ~ r dt2

+ ω 2~r = 0.

10. Expanda em s´erie de Taylor as seguintes fun¸c˜ oes em torno de x = 0:

y P

a

d~ r dt ;

S´ erie de Taylor

6. Calcule o vector que une um ponto qualquer do eixo dos xx ao ponto P.

b

(a) Calcule ~r ×

(a) cos(x); (b) sin(x); √ (c) 1 + x;

x

(d)

9

1 1+x .

Ordens de grandeza

de 10 cm. Calcule o valor de q de modo a que for¸ca entre as cargas seja de 100 N.

11. Estime o n´ umero de mol´eculas num litro de ´agua. 12. Considere duas cargas el´ectricas de carga 1 C `a distˆ ancia de 10 cm. Calcule a for¸ca el´ectrica entre elas e exprima o valor em unidades SI e em kgf. 13. Considere duas cargas el´ectricas iguais q ` a distˆancia

14. Considere o ´atomo de hidrog´enio e assuma que o prot˜ao e o electr˜ao se encontram `a distˆancia de um raio de Bohr: a0 = 0.5291 ˚ A (1 ˚ A= 10−10 m). Estime e compare as for¸cas el´ectrica e grav´ıtica entre o prot˜ao e o electr˜ao.

Solu¸ c˜ oes √ √ ˆ b) −3ˆi − ˆj; c) 10; d) 10(−3ˆi − ˆj) 1. a) 2ˆj + 4k; √ √ 2. 6 2ˆi − 4 2ˆj (km/h), ˆi aponta para E e ˆj para N.

8. -. ˆ b) 9. a) ωr2 k; 10. a) 1 − x2 /2 + O(x4 ); b) x − x3 /3 + O(x5 ); c) 1 + x/2 + O(x2 ); d) 1 − x + O(x2 ).

3. α = 8/3, β = 16, γ = −17/6 4. 25.7

11. ∼ 3 × 1025 mol´eculas.

ˆ b) 14; c) 0.598; 5. a) 2ˆi + 12ˆj + 4k; √ ˆ ~ 5); e) 2Q/9 d) ±(5ˆi + 2ˆj − 4k)/(3

12. 9 × 1011 N, 9 × 1010 kgf

6. (a − x)ˆi + bˆj

13. 10.5 µC

7. -.

14. Fel ≈ 8×10−8 N , Fgrav ≈ 4×10−47 N ,

10

Fel Fgrav

∼ 1039

Electromagnetismo - EEC0012 - 2014/15

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Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 2 - Sistemas de coordenadas e carga el´ ectrica Sistemas de coordenadas 1. Escreva as coordenadas cil´ındricas em fun¸c˜ao das cartesianas, bem como os versores cil´ındricos em fun¸c˜ ao dos cartesianos. 2. Escreva as coordenadas esf´ericas em fun¸c˜ ao das cartesianas, bem como os versores esf´ericos em fun¸c˜ao dos cartesianos.

(a)

Rπ

(b)

Rπ

(c)

R1

u ˆr dφ;

0

sin(φ)ˆ uφ dφ;

0

u ˆz dz.

0

Carga el´ ectrica 7. Usando fita-cola corte duas tiras iguais. Cole uma fita `a parte sem cola da outra. Separe rapidamente ambas as fitas. Escreva U e T nessas fitas. Prepare um segundo conjunto idˆentico de fitas U e T.

3. Calcule o vector que parte de um ponto qualquer do anel de raio a representado na figura a outro ponto qualquer no eixo dos zz. Use coordenadas cil´ındricas. z

(a) Mostre experimentalmente e argumente que as duas fitas U tˆem o mesmo tipo de carga e que as duas fitas T tamb´em. (b) Mostre experimentalmente e argumente que as fitas U e T tˆem tipos de carga diferente.

a y

x

4. Considere o ponto P (−2; 6; 3) e o campo de vectores ~ = yˆi + (x + z)ˆj. E (a) Escreva P em coordenadas cil´ındricas. (b) Escreva P em coordenadas esf´ericas. ~ em coordenadas cil´ındricas. (c) Escreva E ~ em coordenadas esf´ericas. (d) * Escreva E ~ no (e) Obtenha o valor do campo de vectores E ponto P em coordenadas cil´ındricas.

(c) Segundo a conven¸c˜ao escolhida para o tipo de carga, um pente fica carregado negativamente quando nos penteamos. Quais s˜ao os tipos de carga das fitas U e T? 8. Um pˆendulo el´ectrico simples ´e constitu´ıdo por uma esfera condutora suspensa por um fio isolador. A esfera encontra-se inicialmente com carga total nula. Aproximando-se uma barra electrizada da esfera (e.g., uma barra de ˆambar friccionada previamente com uma pele de coelho), verifica-se que a esfera se desloca em direc¸c˜ao `a barra (ver figura). 



































 




























































(f) Repita a al´ınea anterior para coordenadas esf´ericas.































5. Calcule a distˆ ancia entre os seguintes pares de pontos: (a) (2; 1; 5) e (6; −1; 2), os quais est˜ ao escritos em coordenadas cartesianas.

No caso de a esfera tocar na barra, verifica-se que passado algum tempo a esfera afasta-se da barra (ver figura).



















(b) (3; π/2; −1) e (5; 3π/2; 5), os quais est˜ ao escritos em coordenadas cil´ındricas.








































































































































(c) (10; π/4; 3π/4) e (5; π/6; 7π/4), os quais est˜ao escritos em coordenadas esf´ericas. 6. Considere os versores do sistema de coordenadas cil´ındricas (ˆ ur , u ˆφ , u ˆz ). Calcule: 11



























Em ambos os casos, quando a barra ´e retirada o pˆendulo retorna `a sua posi¸c˜ao inicial. Explique as

duas experiˆencias e indique o estado final de electriza¸c˜ ao da esfera, sabendo que esta se encontrava inicialmente com carga nula. 9. No interior do Sol d˜ ao-se reac¸c˜ oes de fus˜ ao nuclear que libertam a energia respons´ avel pela sua luminosidade. A reac¸c˜ ao mais importante ´e chamada cadeia pp-I e consiste na s´erie seguinte de reac¸c˜ oes nucleares: p+p d+p 3

3

He + He

→

He + γ

→

4

He + p + p,

(a) Argumente que a carga total da esfera pode ser calculada pela express˜ao, Z Z q= σdS

onde p ´e um prot˜ ao, d ´e um n´ ucleo de deut´erio, e+ um positr˜ ao, νe um neutrino, γ um fot˜ ao. 3 He e 4 He s˜ ao n´ ucleos de h´elio com 3 e 4 nucle˜ oes. Usando o princ´ıpio da conserva¸c˜ ao da carga determine:

S

onde S ´e a superf´ıcie da esfera.

(a) A carga do n´ ucleo de deut´erio, sabendo que a carga do positr˜ ao ´e a mesma do prot˜ ao e que o neutrino n˜ ao tem carga.

(b) Calcule a carga q quando σ = c ´e constante. (c) Calcule a carga q quando σ = cφ cos2 (θ), e c ´e uma constante.

(b) A carga dos n´ ucleos de 3 He e 4 He, sabendo que um fot˜ ao n˜ ao tem carga. 3

4

(c) O n´ umero de neutr˜ oes nos n´ ucleos de He e He. 10. Uma moeda de 50 cˆentimos tem uma massa de cerca de 8 g e ´e essencialmente constitu´ıda por cobre (Z=29, A=63.54). (a) Calcule a quantidade de carga positiva na moeda. (b) Calcule a quantidade de carga negativa na moeda. (c) Calcule a carga total da moeda. (d) Considere uma carga t´ıpica de 1 µC. Compare-a com a carga positiva da moeda. 11. Considere um fio finito de comprimento 2L centrado no eixo dos zz, com densidade linear de carga λ. (a) Calcule a carga total do fio, supondo λ constante. (b) Calcule a carga λ = Q|z|/L2 .

total

do

fio,

(b) Suponha agora que o disco est´a carregado com uma densidade superficial de carga σ = k(R − r), onde k ´e uma constante e r representa a distˆancia ao centro do disco. Calcule a carga do disco. 13. Considere uma esfera de raio R electrizada na superf´ıcie com uma densidade de carga σ.

→ d + e+ + νe 3

(a) Calcule a carga total no disco se σ = c e constante.

14. Num modelo para o ´atomo de hidrog´enio a nuvem electr´onica estende-se por todo o espa¸co e tem uma densidade vol´ umica de carga dada por   2r ρ = A exp − a Calcule o valor de A sabendo que a carga da nuvem ´e a do electr˜ao (-e). A constante a ´e o raio de Bohr (0.05 nanometros).
R 2 ax ax 2 x e dx = ea x2 − 2x a + a2 15. Considere uma esfera de raio R electrizada em volume e com uma densidade de carga ρ. (a) Argumente que a carga total da esfera pode ser calculada pela express˜ao, Z Z Z q= ρdV V

onde V ´e o volume da esfera.

supondo

(b) Calcule a carga q quando ρ = c ´e constante. (c) Calcule a carga q quando ρ = crφ cos2 (θ), e c ´e uma constante.

12. Considere um disco de raio R e espessura desprez´avel, com densidade superficial de carga σ.

Solu¸ c˜ oes 1. Coordenadas cil´ındricas (r, φ, z)   r φ  z  u ˆ    r u ˆφ    u ˆz

= = =

p = x2 + y 2
= arctan xy = z x ˆi + x2 +y 2 −y √ 2 2 ˆi + x +y

√

kˆ 12

y ˆj x2 +y 2 √ 2x 2 ˆj x +y

√

2. Coordenadas esf´ericas (r, θ, φ)  r   

θ

    u ˆr       u ˆθ   u ˆφ    

φ

p x2 + y 2 + z 2  
z z = arccos r = arccos √ 2 2 2 x +y +z
= arctan xy =

x ˆi + x2 +y 2 +z 2

=

√

=

√

=

√ −y 2

x2 +y x +y

√

y ˆj + x2 +y 2 +z 2

ˆi + √ 2

xz √ 2 2

x +y 2 +z x ˆj x2 +y 2

x2 +y

√

z kˆ x2 +y 2 +z 2

yz √ 2 2

x +y 2 +z

√ 2 2 ˆj − √ x +y kˆ 2 2 2 2 x +y +z

ˆi + √ 2

ˆ 3. −aˆ ur + z k. 4. (a) (6, 32; 108, 43◦ ; 3); (b) (7; 64.62◦ ; 108.43◦ ); (c) ~ E

=

(r cos φ sin φ + (r cos φ + z) sin φ)ˆ ur

+

(−r sin2 φ + (r cos φ + z) cos φ)ˆ uφ

(d) ~ E

= r(sin2 θ cos φ sin φ + (sin θ cos φ + cos θ) sin θ sin φ)ˆ ur + r(sin θ cos θ sin φ cos φ + (sin θ cos φ + cos θ) cos θ sin φ)ˆ uθ + r(− sin θ sin2 φ + (sin θ cos φ + cos θ) cos φ)ˆ uφ

√ (e) −(6ˆ ur + 38ˆ uφ )/ 40; √ √ (f) −((6/7)ˆ ur + (18/7 40))ˆ uθ + (38/ 40)ˆ uφ ). q √ √ √ 5. a) 29; b) 10; c) 5 23/4 + 2(1 − 3) 6. a) 2ˆj; b) −πˆi/2; c) u ˆz . 7. 8. 9. a) +e; b) +2e para ambos; c) 3 He 1 neutr˜ ao, 4 He 2 neutr˜oes. 10. a) +3.52 × 105 C; b) −3.52 × 105 C ; c) 0; d) (carga positiva da moeda)/(carga t´ıpica de 1 µC) ∼ 1011 ! 11. a) 2Lλ; b) Q. 12. a) cπR2 ; b) πR3 k/3. 13. a) -.; b) 4πR2 c; c) 4π 2 R2 c/3. 14. A = −4.07 × 1011 C/m3 . 15. a)-.; b) 4πR3 c/3; c) π 2 R4 c/3.

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Folha 3 - Lei de Coulomb e campo el´ ectrico Lei de Coulomb 1. Considere duas cargas pontuais Q1 = +37 nC e Q2 = +70 nC localizadas nos pontos (1, 3, 0) m e (0, 0, 2) m, respectivamente. Calcule a for¸ca exercida em Q2 por Q1 .

(d) Estime a frequˆencia das oscila¸c˜oes. (Sugest˜ ao: analise primeiro o caso da mola e mostre que a constante K e a massa m da part´ıcula podem ser combinadas numa express˜ ao com as unidades da frequˆencia: 1/s.)

2. Considere duas cargas pontuais Q1 = +1 mC e Q2 = +2 mC localizadas respectivamente em (1, 0) m e (−1, 0) m.

5. Doze part´ıculas de carga q est˜ao dispostas nos v´ertices de um pol´ıgono regular de 12 lados (por exemplo, uma em cada hora do mostrador de um rel´ogio). Cada part´ıcula dista L do centro do pol´ıgono.

(a) Qual ´e a magnitude e direc¸c˜ ao da for¸ca el´ectrica sobre uma terceira carga Q3 = +1 nC localizada em (0, 1) m?

(a) Qual ´e a for¸ca total numa carga teste Q situada no centro?

(b) Em que ponto(s) deve ser colocada esta terceira carga de modo que a for¸ca sobre ela seja nula. 3. Duas part´ıculas de massa m e carga q est˜ ao suspensas do mesmo ponto por dois fios de comprimento l.

(b) Suponha agora que uma das cargas ´e removida (a carga das “6 horas”). Qual ´e a for¸ca na carga Q? (Sugest˜ ao: Use o princ´ıpio da sobreposi¸ca ˜o mas sem fazer grandes c´ alculos...)

Campo el´ ectrico 6. (a) Calcule o campo el´ectrico no ponto P = (3, 1, 0) m criado por uma carga pontual Q = +80 nC localizada em (2, 0, 2) m.

q

(b) Considere duas cargas pontuais Q1 = +5 nC e Q2 = −5 nC localizadas nos pontos (1, 0, 0) m e (−1, 0, 0) m. Calcule o campo el´ectrico em P1 = (0, 0, 0) m, P2 = (1, 1, 0) m e P3 = (0, 0, 1) m.

Mostre que em equil´ıbrio a inclina¸c˜ ao θ de cada fio relativamente ` a vertical ´e dada por: 16π0 mgl2 sin3 θ

7. Um dipolo el´ectrico consiste em duas cargas de igual intensidade mas de sinais opostos +q e −q distanciadas uma da outra de uma distˆancia L (ver figura).

= q 2 cos θ

z

4. Duas cargas q1 e q2 positivas encontram-se fixas no eixo dos yy em y = a e y = −a. Uma terceira part´ıcula de massa m e carga negativa −Q apenas pode mover-se livremente no eixo dos xx. (a) Calcule o vector for¸ca el´ectrica na carga −Q. Que condi¸c˜ ao se deve verificar para que a for¸ca el´ectrica tenha apenas componente segundo x? (b) Na condi¸c˜ ao da al´ınea anterior mostre que quando x  a a for¸ca ´e do tipo Fe = −Ke x, onde Ke ´e uma constante; (c) Comparando a for¸ca da al´ınea anterior com a for¸ca de uma mola (lei de Hooke) argumente que a carga −Q oscilar´ a em torno da origem. 14

p L

+q O -q

(a) Calcule o campo el´ectrico em todo o espa¸co. Exprima o resultado em coordenadas cartesianas, cil´ındricas e esf´ericas.

(b) Desenhe as linhas de campo e interprete-as. (c) Determine o campo el´ectrico para grandes distˆ ancias (r  L) e interprete o resultado. (d) Compare a dependˆencia com r do campo el´ectrico obtido na al´ınea anterior com o de uma carga pontual. Comente o resultado. 8. Considere uma regi˜ ao do espa¸co onde existe um ~ = E0 ˆj. Uma part´ıcula campo el´ectrico constante E de massa m e carga q ´e lan¸cada nessa regi˜ ao com velocidade ~v = v0ˆi. O ponto de lan¸camento ´e a origem. (Nota: a acelera¸c˜ ao da gravidade ~g ´e desprez´avel.) (a) Descreva o movimento da part´ıcula (calcule ~v e ~r em fun¸c˜ ao do tempo); (b) Se for colocado um alvo a uma distˆ ancia L (no eixo dos xx) do ponto de partida, determine as coordenadas do ponto de impacto. (c) Uma placa carregada cria um campo el´ectrico perto da placa com magnitude 1000 N/C. perpendicular ` a placa e apontando para fora. Electr˜ oes s˜ ao ejectados da placa pelo efeito fotoel´ectrico, tendo energias cin´eticas iniciais da ordem de 3 eV (1 eV=1.6 × 10−19 J). Estime a distˆ ancia m´ axima que os electr˜ oes se conseguem afastar da placa. 9. Considere um fio finito de comprimento 2a, colinear e centrado no eixo dos xx, com uma densidade linear de carga λ, constante.

ii. Comparando a for¸ca da al´ınea anterior com a for¸ca de uma mola (lei de Hooke) argumente que a carga −q oscilar´a em torno da origem, ao longo do eixo dos zz. iii. Calcule a frequˆencia das oscila¸c˜oes. (Sugest˜ ao: analise primeiro o caso da mola e mostre que a constante K da mola e a massa m da part´ıcula podem ser combinadas numa express˜ ao com as unidades da frequˆencia: 1/s.) 11. Considere um disco de raio R, e carga Q, uniformemente carregado. (a) Calcule o campo el´ectrico num ponto qualquer z do seu eixo. (b) Desenhe o gr´afico da intensidade do campo ao longo do eixo dos zz. (c) Mostre que o campo do disco, no limite em que z  R, ´e o de uma carga pontual. 12. Considere um plano infinito carregado, com densidade superficial de carga σ, constante. (a) Calcule o campo el´ectrico de um ponto a uma distˆancia z do plano. Sugest˜ ao: esse campo ´e o de um disco onde R → ∞. (b) Desenhe o gr´afico da intensidade do campo ao longo do eixo dos zz. 13. Considere um fio de comprimento L e carga Q centrado no eixo dos xx.

(a) Calcule o campo el´ectrico num ponto no plano yz a uma distˆ ancia r do eixo dos xx. (b) Desenhe o gr´ afico da intensidade do campo ao longo do eixo dos yy.

(a) Considerando que a distribui¸c˜ao de carga do fio ´e uniforme, calcule o campo el´ectrico num ponto do eixo dos xx situado a uma distˆancia r da extremidade do fio – ver figura.

y

(c) Esboce o campo el´ectrico no plano xy. Z x dx √ + constante 3 = 2 2 2 a x2 + a 2 (x + a ) 2

q

(a) Qual ´e a sua densidade linear de carga? (b) Calcule o campo el´ectrico num ponto qualquer no eixo do anel. (c) Desenhe o gr´ afico da intensidade do campo ao longo do eixo dos zz. (d) Suponha agora que uma carga negativa −q e de massa m ´e colocada no eixo do anel. i. Mostre que para distˆ ancias (ao longo do eixo) muito mais pequenas do que a a for¸ca el´ectrica exercida pelo anel sobre a carga ´e ˆ do tipo F~e ' −Ke z k. 15

q,m x

+

10. Considere um anel carregado homogeneamente de raio a e carga total Q. O anel encontra-se no plano xy e centrado na origem.

r

(b) Suponha agora que nesse ponto um pˆendulo de carga q e massa m se encontra em equil´ıbrio – ver figura. Calcule o ˆangulo θ. (c) Suponha agora que a densidade linear de carga do fio n˜ao ´e homog´enea mas ´e dada pela lei bx. A carga num segmento de fio ´e dq = b x dL. Calcule o campo el´ectrico num ponto situado no eixo dos yy a uma distˆancia r do centro do fio. Sugest˜ ao: os seguintes integrais podem ser u ´ teis: R x dx √ 1 e 3 = − x2 +r 2 (x2 +r 2 ) 2 √ R x2 dx √ 1 + ln(x + x2 + r2 ). 3 = − x2 +r 2 2 2 (x +r ) 2

14. Considere o fio representado na figura, o qual possui distribui¸ca˜o de carga linear dada por λ(φ) = λ0 (1 − cos φ), onde λ0 ´e uma constante positiva.

y R

f0 O

(d) Determine o campo el´ectrico na origem. 15. Considere a configura¸c˜ao da figura, consistindo num fio de comprimento r e densidade linear de carga constante κ, e num arco de raio r e densidade linear de carga constante λ.

y

x

r

r

-f0

r

(a) Quais as unidades SI da constante λ0 ? (b) Esboce a fun¸c˜ ao λ(φ) e indique a(s) regi˜ao(˜oes) de maior concentra¸c˜ ao de carga el´ectrica. (c) Calcule a carga total no fio.

p/2

x

(a) Usando o princ´ıpio da sobreposi¸c˜ao calcule o vector campo el´ectrico na origem. (b) Qual deve ser a rela¸c˜ao entre κ e λ de modo a que o campo seja nulo na origem?

Solu¸ c˜ oes 1. 1, 67×10−6

h

ˆ ˆ −ˆi−3 √ j+2k 14

i

ˆ (N) = 4, 4×10−7 (−ˆi−3ˆj+2k)

(N). 2. a) 3, 2 × 10−3 (ˆi + 3ˆj) (N) = 1 × 10−2 √ x = 3 − 2 2 e y = 0.

h

ˆi+3ˆ √ j 10

i

8. a) ~v = v0ˆi + qE0 t/mˆj m/s, ~r = v0 tˆi + qE0 t2 /(2m)ˆj m; 2 0L ); c) 3 mm. b) (x, y) = (L, qE 2mv 2 0

(N); b)

9. a) ~ y, z) E(0,

3. j Q (q1 +q2 )xˆi+(q2 −q1 )aˆ 4. a) F~e = − 4π N, donde q2 = q1 ; 3 0 (x2 +a2 ) 2 p qQ b) Ke = 2π0 a3 ; c) -; d) f ∼ 2Qq1 /(4π0 ma3 ) Hz p 1 (Nota: a solu¸c˜ ao exacta ´e f = 2π 2Qq1 /(4π0 ma3 ); a an´ alise de unidades n˜ ao permite encontrar o factor 1 ). 2π

5. a) ~0 ; b) F~ = −Qqˆj/(4π0 L2 ) N. h

ˆ ˆi+ˆ j−2k √ 6

i

=

  1 2aλ √ yˆj + z kˆ N/C 4π0 r2 r2 + a2

onde r2 = y 2 + z 2 . Em coordenadas cil´ındricas, considerando o fio colinear e centrado no eixo dos zz, o campo no plano rφ (z = 0) ´e dado por: ~ φ, 0) E(r,

=

1 2aλ √ u ˆr N/C 4π0 r r2 + a2

Dois limites importantes:

ˆ N/C; N/C = 49(ˆi + ˆj − 2k)

i. muito longe do fio, r  a: ~ φ, 0) ≈ 1 2aλ E(r, ˆr → carga pontual (Q = 2aλ). 4π0 r 2 u

6. a) 120 ~ 1 = −90ˆi N/C, b) E  √  √ ~ E2 = 9/ 5 −2ˆi + (5 5 − 1)ˆj N/C, √ ~ 3 = −45/ 2ˆi N/C. E

ii. muito perto do fio, r  a: ~ φ, 0) ≈ 1 2λ u E(r, 4π0 r ˆr → fio infinito carregado. b) - ; c) - .

~ 7. (a) Em h coordenadas cil´ındricas (r, φ, z): iE(r, φ, z) = r r = Kq (r2 +(z−L/2)2 )3/2 − (r2 +(z+L/2)2 )3/2 u ˆr + h i z−L/2 z+L/2 +Kq (r2 +(z−L/2) u ˆz . Para 2 )3/2 − (r 2 +(z+L/2)2 )3/2 obter o campo el´ectrico em coordenadas cartesianas e esf´ericas, usar, e.g., na express˜ ao anterior as respectivas rela¸c˜ oes entre coordenadas e versores. (b) - ; (c) Em coordenadas esf´ericas (r, θ, φ) e para r  L: ~ θ, φ) ≈ KqL E(r, ur + sin θˆ uθ ). (d) -. r 3 (2 cos θˆ 16

10. a) λ = Q/(2πa) C/m; b) z ~ = Q E kˆ N/C 2 4π0 (a + z 2 ) 23 p 3 c) -; d) f ∼ Qq/(4π ao p 0 ma ) Hz. (Nota: a solu¸c˜ 1 3 exacta ´e f = 2π Qq/(4π0 ma ); a an´ alise de 1 ). unidades n˜ao permite encontrar o factor 2π

~ = 13. a) E

11. a) ~ = σ E 20



z z −√ 2 |z| R + z2



b) θ = arctan

kˆ N/C

Q onde σ = πR e a densidade superficial de carga do 2 ´ disco; b) -; c) -.

~ = c) E

b 4π0

N/C

Qq 4π0 r(L+r)mg



√  (L/2)2 +r 2 −L/2 ˆi N/C. √ ln 2 2 (L/2) +r +L/2

14. a) C/m; b) -; c) Q = 2Rλ0 (φ0 − sinφ0 ) C; ~ = − λ0 (2 sin φ0 − φ0 − sin(2φ0 )/2) ˆi N/C. d) E 4π0 R

12. a)   σ/(20 ) kˆ ~ ~0 E=  −σ/(20 ) kˆ

ˆi Q 4π0 r(L+r) 

z>0 z = 0 N/C z<0

√

~ = (κ−2 2λ)ˆi N/C 15. a) E √8π0 r b) κ = 2 2λ C/m

b) -.

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Folha 4 - Linhas de campo, argumentos de simetria, o fluxo el´ ectrico e a lei de Gauss Linhas de Campo

Argumentos de Simetria

1. Considere as duas cargas da figura. Usando a informa¸c˜ ao presente nas linhas de campo el´ectrico responda ` as seguintes perguntas.

3. Usando argumentos de simetria mostre que o vector campo el´ectrico, criado por uma distribui¸c˜ao de carga que tenha simetria esf´erica: ´ radial, em rela¸c˜ao ao centro da distribui¸c˜ (a) E ao. (b) A sua magnitude num ponto depende apenas da distˆancia do ponto ao centro da distribui¸c˜ ao. 4. Considere uma distribui¸c˜ao de carga com simetria cil´ındrica. Usando argumentos de simetria mostre que o vector campo el´ectrico: ´ radial, em rela¸c˜ao ao ponto mais pr´ (a) E oximo do eixo de simetria. (b) A sua magnitude num ponto depende apenas da distˆancia do ponto ao eixo de simetria. 5. Considere uma distribui¸c˜ao de carga uniforme com a forma de uma placa plana infinita. Usando argumentos de simetria mostre que o vector campo el´ectrico:

(a) Qual ´e o sinal da carga da direita e da esquerda? (b) Se o m´ odulo do valor da carga da direita ´e q C qual ´e o m´ odulo do valor da carga da esquerda?

(c) A sua magnitude num ponto depende apenas da distˆancia do ponto `a placa.

(c) Se o m´ odulo do valor da carga da direita ´e q C qual ´e a carga total do sistema? 2. Fa¸ca o esbo¸co das linhas de campo el´ectrico para a distribui¸c˜ ao da figura, onde quatro cargas est˜ao nos v´ertices de um quadrado de lado a m. A esta distribui¸c˜ ao chama-se quadrup´ olo el´ectrico.

y -q -

a 2

a 2

+q

-

a 2

6. Considere um anel circular uniformemente carregado. Qual das seguintes transforma¸c˜oes deixam a carga do anel inalterada? Justifique a sua resposta. (a) Uma rota¸c˜ao arbitr´aria em torno do eixo do anel. (b) Uma rota¸c˜ao arbitr´aria em torno de um eixo no plano do anel.

+q

a 2

´ perpendicular `a placa. (a) E ´ nulo no plano central da placa. (b) E

(c) Uma reflex˜ao atrav´es de um plano qualquer que contenha o eixo do anel.

x

(d) Transla¸c˜ao do anel paralelamente ao seu eixo.

Fluxo El´ ectrico

-q

7. Calcule o fluxo el´ectrico para as seguintes combina¸c˜oes de campo el´ectrico e superf´ıcies. 18

~ = Axˆi N/C, a superf´ıcie ´e um quadrado de (a) E lado 1 m, com um v´ertice na origem e coplanar com o plano xz, x, z < 0. ~ = Az kˆ N/C, a superf´ıcie ´e uma folha (b) E cil´ındrica de raio a e altura h assente no plano xy. ~ = A~r N/C, a superf´ıcie ´e um folha esf´erica (c) E de raio R que cobre o primeiro sector (onde x, y, z > 0). 8. Considere o campo el´ectrico gerado por uma part´ıcula de carga Q. Calcule o fluxo do campo el´ectrico atrav´es de uma superf´ıcie esf´erica de raio R centrada na part´ıcula. 9. Um fio infinito com densidade linear de carga constante λ ´e colinear com o eixo dos zz. O campo gerado pelo fio ´e dado por: ~ = E

-2a -a A B

(a) Mostre que o campo no interior da casca ´e nulo. (b) Calcule o campo no exterior da casca esf´erica. (c) Desenhe o gr´afico da intensidade do campo em fun¸c˜ao de r. (d) Compare o campo no exterior da casca esf´erica com o campo de uma carga pontual. 13. Considere uma esfera com raio R. A distribui¸c˜ ao de carga el´ectrica ´e uniforme no volume da esfera, sendo a carga total Q. (a) Calcule o campo el´ectrico no exterior da esfera. (b) Calcule o campo el´ectrico no interior da esfera.

(d) Compare o campo no exterior da esfera com o campo de uma carga pontual e o de uma casca esf´erica.

Considere as superf´ıcies A e B da figura:

A B x y -2a -a

12. Considere uma casca esf´erica de raio R e uniformemente carregada com carga total Q.

(c) Desenhe o gr´afico da intensidade do campo em fun¸c˜ao de r.

λ u ˆr 2π0 r

z a

(b) Compare com o resultado obtido usando a lei de Coulomb.

14. Considere uma esfera maci¸ca, de raio R, cuja densidade de carga ´e dada por ρ(r) = Ar2 , onde A ´e uma constante real.

z y

(a) Quais as unidades da constante A?

a x

(b) Fa¸ca o gr´afico da densidade de carga em fun¸c˜ ao de r. Onde existe maior concentra¸c˜ao de carga? (c) Calcule o campo el´ectrico dentro da esfera.

(a) A superf´ıcie A ´e um quadrado de lado a assente no eixo dos yy conforme ilustrado na figura. Calcule o fluxo do campo el´ectrico atrav´es da superf´ıcie. (b) * A superf´ angulo de altura a √ ıcie B ´e um rectˆ e lado a 2 assente em diagonal no quarto quadrante do plano xy conforme ilustrado na figura. Calcule o fluxo do campo el´ectrico atrav´es da superf´ıcie.

(d) Calcule o campo el´ectrico fora da esfera. (e) Desenhe o gr´afico da intensidade do campo em fun¸c˜ao de r. 15. Considere um plano infinito carregado com uma densidade superficial de carga σ, constante. O plano ´e coplanar com o plano xy. (a) Calcule o campo el´ectrico em todo o espa¸co. (b) Desenhe o gr´afico da intensidade do campo em fun¸c˜ao de z. 16. Considere uma linha infinita, carregada com densidade linear de carga λ, constante.

Lei de Gauss 10. Considere um paralelep´ıpedo no v´ acuo definido por a ≤ x ≤ a + c, 0 ≤ y ≤ a e 0 ≤ z ≤ b, no qual ~ = (3 + 2x2 )ˆi. Deo campo el´ectrico ´e dado por E termine a carga total no interior do paralelep´ıpedo a partir do c´ alculo do fluxo do vector campo el´ectrico atrav´es das suas seis faces . 11. Considere uma carga pontual Q. (a) Calcule o campo el´ectrico gerado pela carga usando a Lei de Gauss. 19

(a) Calcule o campo el´ectrico a uma distˆancia r da linha usando a Lei de Gauss. (b) Desenhe o gr´afico da intensidade do campo em fun¸c˜ao de r. 17. Considere duas linhas muito longas carregadas, paralelas ao eixo dos zz e de coordenadas (0, 0, z) e (a, 0, z), respectivamente. A linha que passa pela origem tem densidade linear de carga constante λ, a linha que passa por x = a tem densidade linear de carga constante −λ.

(a) Calcule o campo el´ectrico ao longo do eixo do x. Sugest˜ ao: considere cada linha isoladamente e de seguida use o Princ´ıpio da Sobreposi¸c˜ ao. (b) Mostre que para x  a o campo tende para −λa . 2πε0 x2 (c) O sistema formado pelas duas linhas ´e est´avel? Em caso negativo, diga se as linhas se repelem ou se atraem. Justifique convenientemente a sua resposta. 18. Considere um cilindro infinito de raio R com densidade de carga vol´ umica uniforme ρ. (a) Usando a Lei de Gauss, calcule o campo el´ectrico dentro e fora do cilindro. (b) Desenhe o gr´ afico da intensidade do campo em fun¸c˜ ao de r. (c) Compare o campo fora do cilindro com o de uma linha infinita. Qual ´e a densidade linear de carga λ equivalente do cilindro? (d) Sem fazer grandes c´ alculos, determine o campo para uma casca cil´ındrica infinita de raio R com densidade superficial de carga σ uniforme, indicando a rela¸c˜ ao entre σ e a densidade linear de carga λ equivalente. 19. Considere duas folhas cil´ındricas coaxiais, infinitas e concˆentricas, de raios a e b > a. A densidade de carga por unidade de comprimento de cada cilindro ´e igual em m´ odulo mas de sinal oposto (o cilindro a ´e positivo). (a) Calcule a densidade superficial de carga no cilindro interior (a) e no cilindro exterior (b). (b) Calcule o campo el´ectrico em todo o espa¸co. (c) Desenhe o gr´ afico da intensidade do campo em fun¸c˜ ao de r. 20. Considere duas placas quadradas de lado L. As suas densidades superficiais de carga s˜ ao σ e −σ, onde σ ´e uma constante positiva. A separa¸c˜ ao entre as placas ´e d, tal que L  d.

y d

-s

(b) Calcule o campo em todo o espa¸co na aproxima¸c˜ao anterior. (c) Desenhe o gr´afico da intensidade do campo em fun¸c˜ao de y. (d) A aproxima¸c˜ao da al´ınea a) falha, por exemplo, perto do bordo das placas. Desenhe as linhas de campo el´ectrico nos bordos das placas. 21. A figura representa um fio rectil´ıneo, infinito, uniformemente electrizado com uma densidade linear de carga constante λ, e uma esfera de raio R, uniformemente electrizada em superf´ıcie com uma densidade superficial de carga constante σ.

l -d

y s

z

d R

(a) Determine o vector campo el´ectrico no ponto P (0, 0, h). (b) Qual dever´a ser a rela¸c˜ao entre λ e σ de modo ao campo el´ectrico tenha apenas componente segundo kˆ no ponto P ? 22. Uma esfera de raio R, representada em corte na figura, possui uma cavidade tamb´em esf´erica. A cavidade tem raio c. O centro da cavidade encontra– se localizado em ~a em rela¸c˜ao ao centro da esfera. Suponha que a esfera, excepto na cavidade, se encontra carregada com uma densidade vol´ umica de carga ρ, uniforme.

R a

x

s

c

Determine o vector campo el´ectrico:

(a) Argumente que o campo na proximidade do eixo dos yy e para |y|  L pode ser aproximado pelo campo de dois planos infinitos com a mesma densidade de carga.

20

x

(a) no interior da cavidade; (b) na massa da esfera; (c) no exterior da esfera.

Solu¸ c˜ oes 1. a) direita -, esquerda +; b) +2q C; c) +q C.

Se uma distribui¸c˜ao de carga n˜ao ´e alterada por uma transforma¸c˜ao, ent˜ao o campo el´ectrico criado por essa distribui¸c˜ao tamb´em n˜ao ´e alterado por essa mesma transforma¸c˜ao. Logo, o campo el´ectrico ´e invariante por:

2. -. 3. Express˜ ao geral para o campo el´ectrico em coordenadas esf´ericas:

(a) uma rota¸c˜ao de 180o em torno de um eixo perpendicular ao eixo z:

~ r) = Er (r, θ, φ)ˆ E(~ ur + Eθ (r, θ, φ)ˆ uθ + Eφ (r, θ, φ)ˆ uφ Distribui¸c˜ ao de carga com simetria esf´erica: ρ(r, θ, φ) = ρ(r) ; σ(r, θ, φ) = σ(r). Uma distribui¸c˜ao de carga com simetria esf´erica ´e invariante por: (a) uma rota¸c˜ ao em torno de um eixo ”radial” (eixo que passa nos pontos O e P na figura). (b) uma rota¸c˜ ao em torno de um eixo perpendicular ao eixo ”radial”.

~ r) = Er (r, φ, z)ˆ E(~ ur (b) uma rota¸c˜ao em torno do eixo z: ~ r) = Er (r, z)ˆ E(~ ur (c) uma transla¸c˜ao ao longo do eixo z: ~ r) = Er (r)ˆ E(~ ur 5. Express˜ao geral para o campo el´ectrico em coordenadas cartesianas: ~ r) = Ex (x, y, z)ˆ E(~ ux + Ey (x, y, z)ˆ uy + Ez (x, y, z)ˆ uz

Se uma distribui¸c˜ ao de carga n˜ ao ´e alterada por uma transforma¸c˜ ao, ent˜ ao o campo el´ectrico criado por essa distribui¸c˜ ao tamb´em n˜ ao ´e alterado por essa mesma transforma¸c˜ ao. Logo, o campo el´ectrico ´e invariante por: (a) uma rota¸c˜ ao em torno de um eixo ”radial” :

Distribui¸c˜ao de carga com simetria cartesiana/plana: ρ(x, y, z) = ρ(x) ; σ(x, y, z) = σ(x). Uma distribui¸c˜ao de carga com simetria cartesiana/plana ´e invariante por: (a) uma rota¸c˜ao em torno de um eixo perpendicular `a sua superf´ıcie (eixo x na figura). (b) uma reflex˜ao (espelho) em rela¸c˜ao ao eixo x.

~ r) = Er (r, θ, φ)ˆ E(~ ur

(c) uma transla¸c˜ao no plano OY Z.

(b) uma rota¸c˜ ao em torno de um eixo perpendicular ao eixo ”radial” : ~ r) = Er (r)ˆ E(~ ur 4. Express˜ ao geral para o campo el´ectrico em coordenadas cil´ındricas: ~ r) = Er (r, φ, z)ˆ E(~ ur + Eφ (r, φ, z)ˆ uφ + Ez (r, φ, z)ˆ uz Seja o eixo de simetria (”central axis”na figura) coincidente com o eixo z. Distribui¸c˜ ao de carga com simetria cil´ındrica: ρ(r, φ, z) = ρ(r) ; σ(r, φ, z) = σ(r) ; λ(r, φ, z) = λ(r). Uma distribui¸c˜ ao de carga com simetria cil´ındrica ´e invariante por: (a) uma rota¸c˜ ao de 180o em torno de um eixo perpendicular ao eixo z.

Se uma distribui¸c˜ao de carga n˜ao ´e alterada por uma transforma¸c˜ao, ent˜ao o campo el´ectrico criado por essa distribui¸c˜ao tamb´em n˜ao ´e alterado por essa mesma transforma¸c˜ao. Logo, o campo el´ectrico ´e invariante por: (a) uma rota¸c˜ao em torno de um eixo perpendicular `a sua superf´ıcie (eixo x na figura). ~ r) = Ex (x, y, z)ˆ E(~ ux (b) uma reflex˜ao (espelho) em rela¸c˜ao ao eixo x:

(b) uma rota¸c˜ ao em torno do eixo z.

~ ~ E(−x, y, z) = E(x, y, z)

(c) uma transla¸c˜ ao ao longo do eixo z.

Em particular: ~ = 0, y, z) = ~0 E(x (c) uma transla¸c˜ao no plano OYZ. ~ r) = Ex (x)ˆ E(~ ux 21

Equivalˆencia linha-cilindro para r > R: λ = ρπR2 . d) Equivalˆencia linha-casca para r > R: λ = σ2πR. Casca cil´ındrica infinita de raio R com σ =constante:  ~0 , rR r 0 r

6. -. 7. a) Φ = 0 Nm2 /C; b) Φ = 0 Nm2 /C; c) Φ = AπR3 /2 Nm2 /C. 8. Φ = Q/0 Nm2 /C. 9. a) Φ = 0 Nm2 /C; b) Φ = λa/40 Nm2 /C.

Nota: o campo el´ectrico na superf´ıcie cil´ındrica (r = R) possui uma discontinuidade de valor σ/0 .

10. Q = 2abc(2a + c)0 C. ~ = 11. a) E

19. a) σa = λ/(2πa) C/m2 , σb = −λ/(2πb) C/m2 ;

Q u ˆr N/C; b)-. 4π0 r2

~ = 12. a) -; b)E

~ = E

b)

Q u ˆr N/C; c) -; d) -. 4π0 r2

~ = σ/0 ˆj (N/C) no espa¸co entre as placas 20. a) -; b) E ~ = ~0 (N/C) (|y| < d/2, |x| < L/2 e |z| < L/2) e E fora do espa¸co entre as placas (|y| > d/2, |x| > L/2 e |z| > L/2); c) -; d) -.

3 ~ = Ar u 14. a) C/m5 ; b) -; c) E ˆr N/C; 50 5 ~ = AR u ˆr N/C; e) -. d) E 50 r2

21. ~ a) E

=

~ = ± σ kˆ N/C, + para z > 0, − para z < 0; 15. a) E 20 b) -.

22. Seja ~a = (a, 0, 0) em coordenadas cartesianas. ~ = ρ~a N/C; a) E 30 ! ˆi + yˆj + z kˆ ρ (x − a) 3 ˆ −c ~ = b)E N/C; (xˆi + yˆj + z k) 3 30 ((x − a)2 + y 2 + z 2 ) 2

18. a) Cilindro infinito de raio R com ρ =constante: ,

r≤R

,

r≥R ~ c) E

b) - ; c) linha infinita com λ =constante: ~ = E

  λ σR2 1 √ − dˆi+ 0 (d2 + h2 ) 2π d2 + h2    σR2 λ +√ + hkˆ N/C 2π d2 + h2

2πσR2 b) λ = √ C/m. d2 + h2

~ = λ u ˆr N/C; b) -. 16. a) E 2π0 r   1 λ 1 ~ ˆi N/C; b) -; c) -. − 17. a) E = 2π0 x x − a

ρ ur 20 rˆ ρR2 1 ˆr 20 r u

rb

c) -.

Q u ˆr N/C; 4π0 r2 ~ = Qr u b) E ˆr N/C; c) -; d) -. 4π0 R3

~ = E

λ ˆr 2π0 r u

 ~ 0

~ = 13. a) E

(

  ~0

=

ρ 30 −c

λ 1 u ˆr 2π0 r

22

3

R3

xˆi + yˆj + z kˆ 3

(x2 + y 2 + z 2 ) 2

− !

(x − a)ˆi + yˆj + z kˆ 3

((x − a)2 + y 2 + z 2 ) 2

N/C.

Electromagnetismo - EEC0012 - 2014/15

FEUP/MIEEC

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 5 - Divergˆ encia do campo el´ ectrico e potencial electrost´ atico Divergˆ encia do campo el´ ectrico 1. Mostre que a divergˆencia do campo el´ectrico ´e dada por ~ ·E ~ = ρ. ∇ 0

7. Numa dada regi˜ao do espa¸co o campo el´ectrico ´e dado por ~ = (2y 2 + z)ˆi + 4xyˆj + xkˆ (N/C). E (a) Determine a densidade volum´etrica de carga no ponto (−1, 0, 3).

2. Usando a defini¸c˜ ao de divergˆencia, calcule a express˜ao ~ y, z) para a divergˆencia de um campo de vectores A(x, em coordenadas cartesianas.

(b) Calcule o fluxo do vector do campo el´ectrico atrav´es da superf´ıcie do cubo definido por 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.

3. O campo el´ectrico no interior de uma esfera de raio R e de densidade de carga desconhecida ´e dado por

(c) Calcule a carga el´ectrica total que se encontra no interior desse cubo.

3 ~ = ρ0 r u E ˆr . 50 R2

8. Aplique o teorema da divergˆencia para derivar a lei de Gauss a partir da forma local da lei de Gauss.

(a) Determine a densidade de carga ρ(r). Qual ´e o seu valor no centro e na superf´ıcie da esfera? (b) Calcule a carga total da esfera.

10z ˆ ~ = 10 sin2 (φ)ˆ cos2 (φ)k. A ur + rˆ uφ + r

4. Sabendo que o campo el´ectrico criado por um dipolo el´ectrico, a grandes distˆ ancias do dipolo, ´e dado por, ~ θ) = E(r,

9. Numa dada regi˜ao do espa¸co, um dado campo vectorial ´e dado em coordenadas cil´ındricas por:

~ ´e inde(a) Mostre que a divergˆencia do campo A pendente de φ e de z.

Qd (2 cos θˆ ur + sin θˆ uθ ) 4π0 r3

onde Q ´e o m´ odulo de cada carga e d a sua separa¸c˜ao. Calcule a divergˆencia do campo longe do dipolo. 5. Uma esfera de raio R, carregada com carga Q, tem uma densidade vol´ umica de carga constante. (a) Calcule a divergˆencia do campo em todo o espa¸co. Considere os casos em que Q > 0 e Q < 0.

~ no ponto (b) Determine a divergˆencia do campo A (b, π/2, h/2). (c) Verifique o teorema da divergˆencia (ou de Green-Gauss-Ostrogradsky) para este campo, considerando o volume cil´ındrico de altura h e base de raio b, esquematizado na figura.

z

(b) Comente o resultado.

h/2

6. Considere o campo el´ectrico criado por uma carga pontual. (a) Calcule a divergˆencia do campo em qualquer ~ Qual ponto do espa¸co aplicando o operador ∇. ´e o significado f´ısico do resultado? (b) Considere agora a origem, onde se encontra a ~ · E? ~ carga. Que valor espera para ∇ 23

x

-h/2

y

O potencial electrost´ atico

14. A express˜ao do potencial el´ectrico de uma carga ponq tual q ´e V (r) = + c. Calcule o campo el´ectrico 4π0 r gerado pela carga em todo o espa¸co.

10. Considere as fun¸c˜ oes: A(x, y, z)

= x2 r2 exp − 2 2a 

B(r, φ, z)

=

15. Considere o plano yz carregado com densidade superficial constante σ.



(a) Supondo que o potencial ´e zero em x = 0 e relembrado a express˜ao do campo el´ectrico calcule Zo potencial em todo o espa¸co, usando ~ ~ · dl. V =− E

(a) Desenhe o gr´ afico de A em fun¸c˜ ao de x e y e de B em fun¸c˜ ao de r e φ. (b) Calcule o gradiente de ambas as fun¸co˜es. (c) Desenhe o vector gradiente na origem, em (±1, 0) e em (±2, 0). Compare a direc¸c˜ao e o sentido para onde aponta o vector gradiente nesses pontos com o gr´ afico da fun¸c˜ ao. 11. Considere duas cargas pontuais Q e q. a

q

(b) A partir do potencial obtido na al´ınea anterior calcule o campo el´ectrico do plano usando ~ = −∇V ~ . E 16. Considere um disco de raio R e coplanar com o plano xy carregado com densidade superficial constante σ. O campo el´ectrico no eixo deste disco ´e dado por   z z ~ = σ kˆ −√ E 20 |z| z 2 + R2

b

~ = ~0 para z = 0. para z 6= 0 e E

Q

(a) Supondo que o potencial ´e zero em z = 0 calcule Z o potencial no eixo dos zz, usando V = ~ ~ · dl. − E (a) Mostre que o trabalho realizado pelo campo electrost´ atico, movendo a carga teste q de a a b depende apenas da distˆ ancia ra e rb da carga teste a Q e n˜ ao do caminho percorrido de a a b. (b) Calcule a varia¸c˜ ao de energia potencial electrost´ atica. (c) Obtenha uma express˜ ao para a energia potencial electrost´ atica do sistema supondo que ela ´e nula para uma separa¸c˜ ao infinita. Discuta o resultado em fun¸c˜ ao dos sinais de q e Q. 12. Considere uma carga pontual q. (a) Mostre que o potencial criado num ponto `a distˆ ancia r da carga ´e dado por V (r) =

q + c. 4π0 r

(b) Supondo que o potencial ´e zero em z = ∞ calcule Z o potencial no eixo dos zz, usando V = ~ ~ · dl. − E (c) Suponha agora que no centro do disco ´e aberto um buraco de tamanho desprez´avel. Argumente que o campo el´ectrico nesse ponto ´e nulo. Sabe– se que no infinito o campo el´ectrico tamb´em ´e nulo. Mostre, no entanto, que a diferen¸ca de potencial entre o infinito e esse ponto n˜ao ´e nula – calcule o seu valor. Essa diferen¸ca de potencial varia quando usado o resultado das al´ıneas a) ou b)? Porquˆe? (d) Usando os resultados obtidos nas al´ıneas a) e b) calcule o campo el´ectrico do disco no seu eixo ~ = −∇V ~ . usando E 17. Considere um fio infinito carregado com densidade linear de carga constante λ.

(b) Mostre que se V = 0 no infinito, ent˜ ao c = 0. (c) Qual ´e a equa¸c˜ ao das superf´ıcies equipotenciais. Qual a forma destas? (d) Desenhe as linhas de campo e as superf´ıcies equipotenciais em todo o espa¸co. 13. Mostre que conhecendo o potencial electrost´atico V ~ ent˜ ao se pode calcular o vector campoel´ectrico E  ∂V ∂V ∂V ~ = − ˆi atrav´es de E + ˆj + kˆ . ∂x ∂y ∂z

(a) Supondo que o potencial ´e nulo em r = r0 e relembrado a express˜ao do campo el´ectrico calcule Zo potencial em todo o espa¸co, usando ~ ~ · dl. V =− E (b) A partir do potencial obtido na al´ınea anterior calcule o campo el´ectrico do fio usando ~ = −∇V ~ . E 18. Considere uma folha cil´ındrica oca, infinita, de raio R e com densidade superficial de carga constante σ.

24

(a) Calcule o campo el´ectrico em todo o espa¸co. (b) Sabendo que o potencial el´ectrico na superf´ıcie da folha ´e nulo calcule Z o potencial em todo o ~ ~ · dl. espa¸co usando V = − E (c) A partir do potencial obtido na al´ınea anterior determine o campo el´ectrico em todo o espa¸co ~ = −∇V ~ . usando E 19. Considere uma esfera de raio a e densidade de carga constante de modo a que a carga total da esfera seja Q. Concˆentrica com a esfera anterior encontra-se uma folha esf´erica com carga −Q e raio b > a. (a) Calcule o campo el´ectrico em todo o espa¸co. (b) Usando o resultado da al´ınea anterior, calcule o potencial electrost´ atico em todo o espa¸co supondo que V = 0 no infinito. (c) A partir do potencial obtido na al´ınea anterior, calcule o campo el´ectrico em todo o espa¸co u~ = −∇V ~ . Compare-o com o resultado sando E obtido na al´ınea a). 20. Num dia de Sol, o campo el´ectrico t´ıpico ´e da ordem dos 100 N/C. Num dia de trovoada pode ultrapassar os 104 N/C.

(b) Nas condi¸c˜ oes da al´ınea anterior, suponha agora que as nuvens se encontram a 1 km de altura. Qual ´e a diferen¸ca de potencial entre as nuvens e o ch˜ ao? ~ ´e definida 21. A circula¸ ao de um campo de vectores A I c˜ ~ · d~l. Mostre que a circula¸c˜ A ao do campo como I ~ · d~l = 0. E electrost´ atico ´e nula: ´ 22. O electr˜ ao-volt (eV) ´e uma unidade de energia. E definido como o trabalho realizado pela for¸ca el´ectrica num electr˜ ao, movendo-o contra uma diferen¸ca de potencial de 1 V. Mostre que 1 eV = 1, 6 × 10−19 J. 23. Um dipolo el´ectrico consiste em duas cargas +q e −q com separa¸c˜ ao L.

p L

(b) Usando o resultado anterior mostre que o campo el´ectrico a grandes distˆancias do dipolo ´e dado por: p ~ = (2 cos θˆ ur + sin θˆ uθ ). E 4π0 r3 (c) Compare a dependˆencia com r do potencial el´ectrico e do campo el´ectrico obtidos na al´ınea anterior com as express˜oes an´alogas para uma carga pontual. Comente o resultado. 24. Considere duas cargas pontuais iguais q, situadas em x = −a e x = +a. (a) Calcule o potencial el´ectrico ao longo do eixo x (considerando-o nulo no infinito). (b) Esboce o potencial em fun¸c˜ao de x. (c) Analise e interprete o potencial el´ectrico quando x = ±a, x = 0 e x → ±∞.

(a) Suponha que as nuvens s˜ ao um plano com densidade de carga σ e que o ch˜ ao n˜ ao tem carga. Calcule a densidade superficial de carga nas nuvens durante uma trovoada.

z

(a) Mostre que o potencial el´ectrico a grandes distˆancias do dipolo (r  L) ´e dado por: 1 qL cos θ 1 p~ · u ˆr = , V = 2 4π0 r 4π0 r2 onde p~ = qLkˆ ´e o momento dipolar el´ectrico, que tem sentido de −q para +q.

(d) Esboce as linhas de campo e as superf´ıcies equipotenciais em todo o espa¸co. 25. Considere uma carga Q situada na origem. z

z +Q,m +Q

+Q

-Q,m

(a) Suponha que uma part´ıcula de carga Q e massa m ´e colocada num ponto do eixo dos zz, acima da carga. Existe um ponto a uma altura h em ˆ e de repuls˜ que as for¸cas grav´ıtica (−mg k) ao electrost´atica se cancelam e a carga levitar´ a. Esta situa¸c˜ao pode ser analisada de outro modo, existe um ponto de equil´ıbrio onde a energia potencial total (grav´ıtica e electrost´atica) satisfaz dEp /dz = 0. Calcule h. (b) Um ponto ´e dito de equil´ıbrio est´avel quando d2 Ep /d2 z > 0. O ponto anterior ´e est´ avel ou inst´avel? Justifique fisicamente.

+q O -q

(c) Considere agora a situa¸c˜ao em que uma carga −Q ´e colocada debaixo da carga Q. Calcule novamente o ponto de equil´ıbrio. O ponto anterior ´e est´avel ou inst´avel? Justifique fisicamente. 26. Considere uma linha finita colinear e centrada com eixo dos zz. O comprimento da linha ´e 2L e a sua densidade linear de carga ´e constante e igual a λ. 25

(a) Calcule o potencial el´ectrico em qualquer ponto do espa¸co.

(c) Verifique o resultado anterior confrontando-o com o resultado previamente obtido para o campo no plano xy.

(b) Usando o resultado anterior calcule o campo el´ectrico em qualquer ponto do espa¸co.  30. Considere uma casca esf´erica de raio R e carga Q.  p R dx Usando o resultado do campo el´ectrico da esfera cal2 2 √ Nota: = ln −(b − x) + a + (b − x) + a2 +(b−x)2 culado previamente usando a lei de Gauss determine +C (a 6= 0) o potencial electrost´atico em todo o espa¸co. Suponha que V (∞) = 0. 27. Considere uma linha finita colinear e centrada com eixo z. O comprimento da linha ´e 2a e a sua den- 31. Considere um quadrado, como se representa na figura sidade linear de carga ´e n˜ ao-homog´enea e dada por seguinte, constitu´ıdo por quatro linhas carregadas, λ(z) = λa0 z. onde cada uma das linhas possui densidade linear de carga constante λ e comprimento 2L.

(a) Calcule o potencial el´ectrico ao longo do eixo z para z > a. Tome o potencial nulo no infinito. (b) Usando o resultado anterior, calcule o potencial ao longo do eixo z para grandes distˆ ancias, i.e. z  a, em primeira ordem de aproxima¸c˜ao na coordenada z. (c) Usando o resultado anterior, qual ´e a dependˆencia do campo el´ectrico com z para grandes distˆ ancias? (d) Relacione os resultados anteriores para grandes distˆ ancias com os de um dipolo el´ectrico. R x Nota: a−x dx = −(x + a ln |x − a|) + C.   1+x S´erie de Taylor: ln 1−x ≈ 2x + 23 x3 para x  1. 28. Considere um anel de raio R e carga Q centrado no plano xy. O anel encontra-se uniformemente carregado. (a) Calcule o potencial electrost´ atico num pontoR qualquer do eixo do anel, usando V = Q dq/(4π0 r). Tome como referˆencia o potencial nulo no infinito. (b) Uma carga −q (sendo |q|  |Q|) ´e lan¸cada do ˆ Usando arcentro do anel, com velocidade v0 k. gumentos energ´eticos calcule a altura m´axima atingida pela carga. Despreze a energia potencial grav´ıtica. (c) A grandes distˆ ancias o potencial do anel ´e aproximadamente o de uma carga pontual. Estime a distˆ ancia a partir da qual a diferen¸ca relativa entre os potenciais do anel e o de uma carga pontual (|(Vanel − Vcarga pontual )/Vcarga pontual |) ´e menor do que 1%. 29. Considere um disco carregado de raio R e densidade superficial de carga constante σ. O disco encontra-se centrado no plano xy.

z -L -L

L

y

L x

(a) Comece por obter a express˜ao para o potencial electrost´atico a uma distˆancia r do centro de uma destas linhas, admitindo-a centrada no eixo dos zz. (b) Aplicando o princ´ıpio da sobreposi¸c˜ao, e usando o resultado anterior, calcule o potencial electrost´atico no eixo do quadrado, i.e., ao longo do eixo z representado na figura. 32. Considere uma superf´ıcie do espa¸co onde existe uma densidade superficial de carga que pode variar de um ponto para outro e que se encontra sujeita a um ~ ext qualquer. Suponha que campo el´ectrico externo E consideramos apenas pontos perto da superf´ıcie. Localmente, a regi˜ao pode ser considerada plana e com densidade superficial de carga σ constante e qualquer campo el´ectrico pode ser considerado constante. (a) Aplicando a lei de Gauss mostre que existe uma descontinuidade do campo el´ectrico atrav´es da superf´ıcie e que o m´odulo da diferen¸ca entre os valores do campo dos dois lados ´e |σ|/0 . (b) O potencial electrost´atico tamb´em sofrer´ a uma descontinuidade na superf´ıcie? Justifique. 33. Considere duas folhas esf´ericas com a mesma carga q, mas com raios a e b > a.

(a) Calcule o potencial el´ectrico em qualquer ponto do eixo do disco. (b) Usando o resultado anterior calcule o campo el´ectrico em qualquer ponto do eixo do disco, tomando em conta a forma das superf´ıcies equipotenciais em torno do eixo dos zz. 26

(a) Calcule a diferen¸ca de potencial (d.d.p.) entre as duas folhas. (b) Suponha agora que a carga da folha exterior ´e duplicada para 2q. Qual ser´a o novo valor da d.d.p. entre as folhas? Porquˆe?

Solu¸ c˜ oes 1. ˜ =∇ ˜ ·A ˜ = 2. divA 3. a) ρ(r) = ρ0

~ = 19. a) E

∂Ax ∂Ay ∂Az + + ∂x ∂y ∂z

  

Qr ˆr 4π0 a3 u Q u ˆ 2 r 4π0 r

r≤a a ≤ r ≤ b V/m; r≥b

  ~0  Q(a2 −r 2 ) Q(b−a)   4π0 ab + 8π0 a3 Q b) V = − Q   4π0 r 4π0 b 0 c) -.

r2 C/m3 ; b) Q = 4πρ0 R3 /5 C. R2

4. 0. ~ ·E ~ = 3Q/(4πR3 0 ), 5. a) dentro da esfera ∇ ~ ~ fora da esfera ∇ · E = 0; b)-.

20. a) 0.18 µC/m2 ; b) 10 MV.

~ ·E ~ = 0; b) ∇ ~ ·E ~ = ∞. 6. a) ∇

21. -

7. a) ρ = −3.5 × 10−11 C/m3 ; b) Φ = 2 Vm; c) Q = 1.8 × 10−11 C.

22. -

r≤a a ≤ r ≤ b V; r≥b

23. a)- ; b)-; c)-. 8. -. 24. a)

9. a) 10/r ; b) 10/b ; c) -. ~ = 2xˆi, ∇B ~ = − r Bu 10. a) -; b) ∇A ˆr ; c)-. a2   Qq 1 1 11. a) W = − − J; 4π0 rb ra Q 1 1 b)∆V = − V; 4π0 rb ra Q V. c)V (r, θ, φ) = 4π0 r

V (x, 0, 0) =

   

13. -;

λ 4π0

p σ (|z| + R − z 2 + R2 ) V; 20 p σ b) V (0, φ, z) = − (|z| − z 2 + R2 ) V; 20 c) ∆V = σR/(20 ) V; d) -.   λ r 17. a) V (r, φ, z) = − ln V; 2π0 r0 ~ = λ u b) E ˆr V/m. 2π0 r

16. a) V (0, φ, z) = −

σR ˆr 0 r u



0 − σR 0 ln

, −a < x < a ,

x>a

R

z−L−

h





i

V (0, 0, z  a) ; d) A linha est´a carregada negativamente para z < a e positivamente para z > a, assemelhando-se a um dipolo “cont´ınuo”. Assim, para grandes distˆ ancias (z >> a), a dependˆencia do potencial e do campo el´ectrico com a distˆancia z ´e idˆentica `a de um dipolo electrico: V ∼ 1/z 2 e E ∼ 1/z 3 .

, rR


r



1 z z+a 4π0 λ0 a ln z−a − 2 , z > a ; b) 2 ≈ a6πλ00 z12 + ... ; c) E(0, 0, z  a) ∼ z13

27. a) V (0, 0, z) =

b) V (r) =

x < −a

V (z = ∞) = 0. b)-.

18. a) ~0

,

 √2 r +(z−L)2 √ ln 26. a) Para r 6= 0: V (r, φ, z) = ; z+L− r 2 +(z+L)2   z+L λ ln z−L e z > L, Para r = 0: V (0, φ, z) = 4π 0   λ V (0, φ, z) = 4π ln z−L e z < −L. Referˆencia: z+L 0

15. a) V (x, y, z) = −σ|x|/(20 ) V; ~ = σx/(2|x|0 )ˆi V/m. b) E



i

√ √ 25. a)z = Q/ 4π0 mg; b) est´avel; c)z = −Q/ 4π0 mg; d) inst´avel.

Q u ˆr V/m. 4π0 r2

~ = E

h

−2xq h (x+a)(x−a) i −2aq 1 4π0 h (x+a)(x−a) i 2xq 1 4π0 (x+a)(x−a) 1 4π0

b)- ; c) Seja q > 0. V (x = ±a) = +∞: m´ aximos de potencial ocorrem nas cargas. V (x = 0): m´ınimo local do potencial, campo el´ectrico nulo. V (x → 1 2q ±∞) ∼ 4π : sistema para grandes distˆ ancias 0 |x| (|x|  a) ´e “idˆentico” a uma carga pontual 2q; d) -.

12. a) -; b) -; c) r = const.; d) -.

~ = 14. E

    

28. a) V =

, r≤R (V ) , r≥R

Q √ ; 4π0 qR2 + z 2

b) hmax = R c) z > 7R.

c) -. 27

[1 − 2π0 mv02 R/(qQ)]−2 − 1;

√ 29. a) V (0, 0, z) = 2σ0 [ R2 + z 2 − |z|] (tomando a re√ ferˆencia V (z = ∞) = 0), V (0, 0, z) = 2σ0 [ R2 + z 2 − −|z| − R] (tomando a referˆencia V (z = 0) = 0); b) h i  σ  √ z −1 − ~uz , z < 0  2 2  20 R +z ~ ~ E(0, 0, z) = 0 h , z=0 i    σ 1− √ z ~uz , z>0 20

V (r, φ, z) =

( V (r) =

Q R Q r

, ,

ln

z−L− z+L−

 √2 2 √r2 +(z−L)2 para r 6= 0 r +(z+L)

z+L−

x +y +(z+L)

y 2 ) 6= 0. b) Para as quatro linhas em quadrado conforme a figura, tomando a referˆencia V (z = ∞) = 0, o pontecial no eixo z ´e dado em coordenadas cil´ındricas por: h√ i 2 +2L2 +L . V (0, 0, z) = πλ0 ln √zz2 +2L 2 −L

R2 +z 2

1 4π0 1 4π0



e em coordenadas cartesianas   √ por: z−L− x2 +y 2 +(z−L)2 λ √ 2 2 V (x, y, z) = 4π0 ln para (x2 + 2

c)-. 30.

λ 4π0

r≤R r≥R

31. a) Para uma linha centrada no eixo z, tomando a referˆencia V (z = ∞) = 0, o potencial ´e dado em coordenadas cil´ındricas por:

28

32. a) - ; b) N˜ao. O potencial electrost´atico n˜ ao pode ~ = −∇V ~ . Caso o ter descontinuidades. Lembrar E potencial apresentasse alguma descontinuidade num ponto do espa¸co, o campo el´ectrico n˜ao estaria definido nesse ponto.
q 1 1 e igual! 33. a) ∆V = 4π a − b ; b) d.d.p ´ 0

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FEUP/MIEEC

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 6 - Electrost´ atica de Condutores Electrost´ atica de Condutores

(a) Calcule o potencial em todo o espa¸co (suponha V (∞) = 0).

1. Considere um condutor em equil´ıbrio electrost´atico. Mostre que o campo electrost´ atico na superf´ıcie do condutor tem as seguintes propriedades. (a) A componente tangencial ´e nula Et = 0.

(b) No centro desta configura¸c˜ao ´e colocada uma carga pontual −Q. Calcule o potencial em todo o espa¸co e esboce V (r) (suponha V (∞) = 0). (c) Na situa¸c˜ao anterior existe alguma superf´ıcie equipotencial onde V = 0? Porquˆe?

(b) A componente normal ` a superf´ıcie num dado ~ = σn ponto ´e dada por E ˆ , onde n ˆ ´e um versor 0 normal ` a superf´ıcie nesse ponto e σ a densidade superficial de carga no ponto.

5. Considere uma esfera met´alica de raio a e carga Q. Concˆentrica com esta esfera ´e colocada uma coroa met´alica neutra de raios 2a e 3a. Considere como referˆencia V (∞) = 0.

2. O ar ´e um isolador. Mas quando o campo aplicado ´e igual ou maior do que 3 × 106 V/m o ar conduz electricidade (descarga el´ectrica, ruptura diel´ectrica). O campo m´ aximo para n˜ ao haver descarga no ar ´e pois Emax = 3 × 106 V/m.

2a 3a

2a

a Q

3a

a Q

(a) Calcule a densidade superficial de carga (σ) que deve existir num condutor para que o campo na sua superf´ıcie seja Emax . (b) Quantos ´ atomos existem num paralelep´ıpedo de area 1 µm2 e espessura 1 ˚ ´ A (tome a ”espessura”de um ´ atomo como sendo 1 ˚ A=10−10 m)?

(a) Calcule a densidade superficial de carga induzida em r = 2a e r = 3a.

(c) Quantos electr˜ oes devem existir em defeito nesse paralelep´ıpedo para o campo ser igual a Emax do ar? (d) Sabendo que o condutor ´e feito de cobre e que cada ´ atomo de cobre doa um electr˜ ao livre, qual ´e a frac¸ca˜o de electr˜ oes livres usados para criar σ? 3. Considere uma coroa esf´erica neutra condutora de raio interior a e raio exterior b. No centro desta coroa ´e colocada uma carga Q positiva. (a) Calcule o campo el´ectrico em todo o espa¸co. (b) Calcule o potencial el´ectrico em todo o espa¸co (suponha V (∞) = 0). (c) Suponha agora que a carga n˜ ao est´ a no centro da coroa esf´erica, mas afastada numa dada direc¸c˜ ao. Discuta o campo el´ectrico em todo o espa¸co. 4. Considere uma coroa esf´erica condutora de raio interno a e raio externo 2a. A coroa tem uma carga total positiva 2Q. 29

(b) Calcule o campo electrost´atico em todo o espa¸co. (c) Calcule o potencial electrost´atico em todo o espa¸co. (d) A coroa esf´erica ´e ligada `a Terra. Repita as al´ıneas anteriores e discuta as diferen¸cas. 6. Considere uma carga pontual Q e um plano condutor infinito com potencial V0 constante. A carga pontual ´e colocada a uma altura h acima do plano. Algumas das linhas de campo tˆem a forma ilustrada na figura:

´ poss´ıvel mostrar que o potencial electrost´atico na E regi˜ ao z ≥ 0 ´e dado, em coordenadas cil´ındricas, por:

V (r, φ, z)

= −

Q 4π0

1 p

-a

1 p

r2

r2 + (z − h)2 !

+ (z + h)2

(c) Usando o resultado anterior calcule a carga total induzida no plano. (d) Esboce as superf´ıcies equipotenciais em torno da carga. Estas superf´ıcies s˜ ao abertas ou fechadas? 7. O potencial electrost´ atico na vizinhan¸ca de uma esfera met´ alica (de raio R) colocada numa regi˜ao onde ˆ ´e dado, em ~ = E0 k) o campo el´ectrico ´e uniforme (E coordenadas esf´ericas, por: "  3 # R r cos θ V (r, θ, φ) = −E0 1 − r

y

9. Considere a configura¸c˜ao da figura. Um plano com densidade superficial de carga σ constante encontrase em z = a e uma placa condutora inicialmente neutra, de espessura b < a encontra-se em z = −a.

z a

>

>

>

> > > > > > > > >

>

>

a

-a

(a) Desprezando os efeitos de bordos, calcule o campo electrost´atico em todo o espa¸co. (b) Calcule o potencial electrost´atico em todo o espa¸co assumindo V (+∞) = 0, desenhe o seu gr´afico. (c) Apesar das placas serem muito finas, qual ´e a densidade superficial de carga em ambas as superf´ıcies de cada placa? (d) Suponha agora que um paralelep´ıpedo condutor de largura a ´e colocado entre as placas, centrado no eixo dos zz. Repita as al´ıneas a) e b).

I

>

y

s

a

(b) O plano est´ a carregado homogeneamente? Calcule a densidade superficial de carga σ para qualquer ponto na superf´ıcie do plano.

2

a

x

z

-s

s

+ V0

(a) Calcule o campo el´ectrico correspondente.

4

z

-s

x -a

A I

z s y

a

b

-a

s y

x

b

z/R 0 A

(a) Calcule o campo e o potencial electrost´ atico em todo o espa¸co. (b) Suponha agora que a placa anterior ´e ligada `a Terra. Repita a al´ınea anterior e discuta as diferen¸cas.

-4

-4

-2

0

y/R

2

>

>

>

>

>

>

I

> > > > > > > > >

-2

4

(a) Calcule o campo el´ectrico correspondente (as linhas de campo el´ectrico est˜ ao representadas na figura acima).

10. Considere uma esfera condutora de raio a ligada ` a Terra. Uma carga pontual Q ´e ent˜ao aproximada at´e uma distˆancia d do centro da esfera condutora. x

(b) A esfera est´ a carregada homogeneamente? Calcule a densidade superficial de carga em fun¸c˜ao de θ para r = R. (c) Esboce as superf´ıcies equipotenciais em torno da esfera. Estas superf´ıcies s˜ ao abertas ou fechadas?

-a

a

d z Q

8. Considere duas placas met´ alicas muito finas com densidades superficiais de carga −σ e σ situadas em y = −a e y = +a, respectivamente. Suponha que as dimens˜ oes das placas s˜ ao muito maiores que a sua separa¸c˜ ao. 30

y

i.e., o condutor blinda o exterior do campo criado pela carga.

A densidade superficial de carga induzida na superf´ıcie da esfera condutora ´e dada, em coordenadas esf´ericas, por: σ(d, θ, φ) = −

Q d2 − a2 4πa (a2 + d2 − 2ad cos θ)3/2

(a) Calcule a densidade superficial de carga induzida em ambos os extremos da esfera met´alica (z = a e z = −a, i.e. θ = 0, π).

13. Considere duas esferas condutoras de raios R1 e R2 inicialmente carregadas com carga Q1 e Q2 , respectivamente. Assuma que a separa¸c˜ao entre as esferas ´e muito maior que os seus raios. As esferas s˜ ao unidas por um fio condutor.

(b) Calcule a carga total induzida na esfera. De onde veio a carga? (c) A carga pontual ´e aproximada cada vez mais da superf´ıcie met´ alica at´e que d = a + δ, com δ  a. Como varia a densidade superficial de carga induzida em ambos os extremos da esfera? 11. Considere um condutor com uma cavidade vazia. As formas do condutor e da cavidade s˜ ao arbitr´arias. O condutor pode ou n˜ ao estar carregado. O condutor ´e mergulhado numa regi˜ ao onde existe um campo electrost´ atico uniforme, como mostra a figura.

Mostre que quando o equil´ıbrio electrost´ atico ´e atingido a densidade superficial de carga em cada esfera ´e inversamente proporcional ao raio de cada esfera. Comente o resultado. 14. Considere um condutor elipsoidal descrito pela y2 z2 x2 elips´oide 2 + 2 + 2 = 1. a b c z

c

Eexterior

cavidade

Eexterior

a

condutor

y

x

(a) Mostre que na cavidade o campo el´ectrico ´e nulo, ~ cavidade = ~0, i.e., o condutor blinda a cavidade E do campo exterior. (b) Mostre que a densidade de carga na superf´ıcie interior do condutor ´e nula, σcavidade = 0.

´ poss´ıvel mostrar que a sua carga total Q se distribui E na superf´ıcie de modo a que a densidade superficial de carga em cada ponto ´e dada por:  2 − 21 Q x y2 z2 σ(x, y, z) = + 4 + 4 4πabc a4 b c (a) Considere o caso limite de uma esfera a = b = c = R. Mostre que a densidade superfiQ cial de carga ´e constante σ = . 4πR2 (b) Considere o caso limite de um disco a = b = R  c. Mostre que a densidade suQ √ perficial de carga ´e σ ' . Como 4πR R2 − r2 se comporta σ no bordo (r → R) e no centro do disco (r → 0)?

12. Considere um condutor neutro com uma cavidade. Na cavidade ´e colocada uma carga.

condutor

b

condutor

(a) Mostre que o campo no exterior, longe do condutor, ´e aproximadamente o da carga (figura da esquerda). (b) Mostre que se o condutor for ligado `a Terra (figura da direita) o campo no exterior ´e nulo,

31

(c) Considere o caso limite de uma ”agulha”c = L  a = b = R. Mostre que a denQ √ sidade superficial de carga ´e σ ' . 4πR L2 − z 2 Como se comporta σ nos bordos (z → ±L) e no centro da agulha (z → 0)?

Respostas 1. a)- ; b)-. 2. a) 2.66 × 10−5 C/m2 ; b) 108 ´ atomos; c) 166 electr˜oes ; d) 1.66 × 10−6 . 3. a)

~ φ, θ) = E(r,

  

Q 1 ur 4π0 r 2 ~

~0

Q 1 ur 4π0 r 2 ~

 

, , ,

rb

c) abertas.  y < −a  ~0 ~ = 8. a) E −σ/0 ˆj −a < y < a  ~ 0 y>a  y ≤ −a  −2σa/0 σ(y − a)/0 −a ≤ y ≤ a b)V =  0 y≥a

b)

V (r, φ, θ) =

    

Q 4π0 Q 4π0 Q 4π0

1 r

+

1 b

−

1 a




1 b 1 r

d) Note a semelhan¸ca do problema com um dip´ olo de carga +Q em (0, 0, h) e carga −Q em (0, 0, −h). As superf´ıcies equipotenciais em torno da carga +Q s˜ao iguais `as do dip´olo e s˜ao fechadas. h
 ~ θ, φ) = E0 1 + 2 R 3 cos θ~ur − 7. a) E(r, r  i
3  − 1 − Rr sin θ~uθ ; b) σ(R, θ, φ) = 30 E0 cos θ;

, r≤a , a≤r≤b , r≥b

c) -.

c) y = −a: σesq = 0, σdir = −σ; y = a: σesq = σ, σdir = 0

4. a) (

1 4π0 1 2π0

V (r, φ, θ) =

Q a Q r

, ,

r ≤ 2a r ≥ 2a

b)

V (r, φ, θ) =

    

Q 4π0 Q 4π0 Q 4π0

− 1r + 1 2a 1 r

3 2a




, r≤a , a ≤ r ≤ 2a , r ≥ 2a

c) O potencial el´ectrico anula-se quando r → ∞, mas tamb´em se anula na superf´ıce esf´erica r = 2a/3. 5. a) σ(r = 2a) = −

Q Q , σ(r = 3a) = + ; 16πa2 36πa2

 ~0 y < −a      −σ/0 ˆj −a < y < −a/2 ~ = ~0 d) E −a/2 < y < a/2   ˆ  −σ/0 j a/2 < y < a   ~0 y>a  −σa/0 y ≤ −a     σy/0 −a ≤ y ≤ −a/2  −σa/(20 ) −a/2 ≤ y ≤ a/2 V =   σ(y − a)/0 a/2 ≤ y ≤ a    0 y≥a 9. a)

 Q/(4π0 r2 )ˆ ur r ≥ 3a    ~0 2a < r < 3a ~ = b) E 2 Q/(4π r )ˆ u a < r < 2a  0 r   ~0 r
~ = E

   

σ uz 20 ~ − 2σ0 ~uz

~0    − 2σ0 ~uz

, z rel="nofollow">a , a < z < −a + b/2 , −a + b/2 < z < −a − b/2 , z < −a − b/2

Potencial de referˆencia: V (z = a) = 0.  − σ0 (z − a)    σ2(z − a) 20 V (z) = σ (−2a + b/2)  20   σ 20 (z − a + b)

, z≥a , a ≤ z ≤ −a + b/2 , −a + b/2 ≤ z ≤ −a − b/2 , z ≤ −a − b/2

Q d) σ(r = 2a) = − , σ(r = 3a) = 0; 16πa2  ~0 r > 2a  ~ Q/(4π0 r2 )ˆ ur a < r < 2a E= b)  ~0  ra  ~0  ~ 0 r > 2a − σ0 ~uz , a < z < −a + b/2  E=  ~ Q/(4π0 )(1/r − 1/(2a)) a ≤ r ≤ 2a V = 0 , z < −a + b/2  Q/(4π0 )(1/(2a)) r
Q Q d+a d−a 10. a) σ(d, 0, φ) = − 4πa (d−a)2 , σ(d, π, φ) = − 4πa (d+a)2 ; a b) Qesf era condutora = − d Q; c) σ(a + δ, 0, φ) ≈ Q − 2πδ 2 , a densidade de carga (negativa) induzida neste extremo da esfera aumenta ` a medida que a carga pontual (positiva) se aproxima da esfera; σ(a + Q δ, π, φ) ≈ − 16πa 3 δ, a densidade de carga (negativa) induzida neste extremo da esfera diminui ` a medida que a carga pontual (positiva) se aproxima da esfera. Note que quando δ → 0 : Qesf era condutora = −Q, σ(a + δ, 0, φ) → −∞ e σ(a + δ, π, φ) → 0. Isto ´e,

33

quando a carga pontual se aproxima at´e “quase” tocar na esfera a carga induzida vale −Q (carga induzida negativa m´axima) e concentra-se toda no extremo θ = 0. Lembrar dip´olo! 11. -. 12. -. 13. -. 14. -.

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Folha 7 - Equa¸c˜ oes de Poisson e Laplace e Energia Electrost´ atica Equa¸ c˜ oes de Laplace e de Poisson

y

V0 P(r,f,z)

1. Considere duas placas condutoras paralelas ao plano xy e infinitas. A distˆ ancia entre as placas ´e d. A placa (x, y, z = 0) tem potencial nulo e a placa (x, y, z = d) tem potencial V0 . Entre as placas n˜ ao existe carga. Calcule o potencial e o campo el´ectrico entre as placas.

2. Considere um cabo coaxial que consiste num cilindro (muito comprido) coaxial com o eixo dos zz e de raio a e numa folha cil´ındrica (muito comprida) de raio b rel="nofollow"> a coaxial com o cilindro. O cilindro e a folha s˜ ao condutores. O cilindro tem potencial V0 e a folha potencial nulo (est´ a ligada ` a Terra).

a

r f x

(a) Calcule o potencial para 0 < φ < α. (b) Calcule o campo el´ectrico na mesma regi˜ ao. 4. Uma esfera condutora de raio R encontra-se ligada a uma fonte de tens˜ao que a mant´em a um potencial V0 . Assuma o potencial nulo no infinito. (a) Calcule o potencial electrost´atico fora da esfera. (b) Calcule o campo electrost´atico fora da esfera. (c) Qual o valor da carga da esfera em fun¸c˜ ao de V0 ? (d) Qual ´e o valor do potencial e campo electrost´atico dentro da esfera? Responda sem efectuar c´alculos. 5. Considere uma esfera de raio a e uma folha esf´erica de raio b, ambas condutoras e concˆentricas entre si. Sabe-se que a esfera se encontra ao potencial Va , enquanto que a folha exterior possui um potencial Vb . Entre ambas n˜ao existe carga.

(a) Calcule o potencial e o campo el´ectrico entre o cilindro e a folha. (b) Calcule a densidade superficial de carga induzida no cilindro e na folha.

(a) Calcule o potencial electrost´atico e o campo el´ectrico entre a esfera e a folha. (b) Como se relaciona a carga na esfera e folha esf´erica em fun¸c˜ao de ∆V = Vb − Va ?

3. Considere duas placas condutoras muito compridas que fazem um ˆ angulo α entre si. Uma das placas ´e mantida a um potencial V0 e a outra ligada `a Terra. Entre as placas n˜ ao existe carga. 34

6. Considere um canto (0 < β < π) ou v´ertice (π < β < 2π) do condutor da figura, que est´ a a um potencial V0 .

y P(r,f,z)

V0

b

r

b

V0

V0+DV

r(r)

f V0

a

x

(a) Indique como se poderia calcular o potencial na parte livre usando a equa¸c˜ ao de Laplace. Quais as condi¸c˜ oes fronteira? ´ poss´ıvel mostrar que para pontos muito (b) E pr´ oximos do canto/v´ertice o potencial ´e aproximadamente dado por: πφ V (r, φ) = V0 + arπ/β sin( ) β Mostre que o potencial anterior verifica a equa¸c˜ ao de Laplace. (c) Calcule a distribui¸c˜ ao superficial de carga σ(r) no plano φ = 0. (d) Discuta fisicamente o comportamento de σ(r) para β = π/4, π/2, π, 3π/2 e 2π.

Este problema ´e relativamente complexo porque como os electr˜oes v˜ao ser acelerados pela diferen¸ca de potencial ρ = ρ(V ). No entanto, por simplicidade, a2 vamos assumir que ρ(r) = ρa 2 , onde ρa ´e negativa. r Usando a equa¸c˜ao de Poisson calcule o potencial entre o c´atodo e o ˆanodo. 10. Considere um c´atodo (condutor) plano e que ´e mantido a alta temperatura e potencial V0 . Do c´ atodo libertam-se electr˜oes que s˜ao acelerados na diferen¸ca de potencial e aterram no ˆanodo (plano) que se encontra a um potencial muito alto V0 + ∆V . Nesta situa¸c˜ao, faz-se variar de forma sinusoidal a temperatura do c´atodo de modo a que `as temperaturas mais altas se libertem mais electr˜oes do que `as temperaturas mais baixas. O resultado final ´e ilustrado na figura onde ondas de densidade de carga se propagam do c´atodo para o ˆanodo.

V0+DV

V0

7. O potencial electrost´ atico de uma esfera maci¸ca de densidade de carga constante ρ e raio a ´e dado por  ρa2 /(30 ) + ρ(a2 − r2 )/(60 ), r < a V = ρa3 /(30 r), r≥a

r(x)

(a) Mostre que este potencial verifica a equa¸c˜ao de Poisson dentro da esfera (onde existe densidade de carga ρ). (b) Mostre que este potencial verifica a equa¸c˜ao de Laplace fora da esfera (onde n˜ ao existe densidade de carga). 8. O potencial el´ectrico de um cilindro de raio R ´e dado por:  − 410 a r2 ,
r≤R V (r) = − 210 a R2 ln( Rr ) + 21 , r > R onde a ´e uma constante. Qual ´e o valor da densidade de carga ρ do cilindro?

x=0

x

x=d

Este problema ´e relativamente complexo porque como os electr˜oes v˜ao ser acelerados pela diferen¸ca de potencial ρ = ρ(V ). No entanto, por simplicidade, vamos assumir que ρ(x) = ρ0 (sin(kx) + 1), onde ρ0 ´e negativa. Usando a equa¸c˜ao de Poisson calcule o potencial entre o c´atodo e o ˆanodo.

Energia electrost´ atica

9. Considere um c´ atodo (condutor) esf´erico e que ´e mantido a alta temperatura e potencial V0 . Do c´atodo libertam-se electr˜ oes que s˜ ao acelerados na diferen¸ca de potencial e aterram no ˆ anodo (folha esf´erica) que se encontra a um potencial muito alto V0 + ∆V . Durante algum tempo mant´em-se uma distribui¸c˜ao de electr˜ oes entre o c´ atodo e o ˆ anodo conforme ilustrado na figura. 35

11. A energia potencial electrost´atica de uma configura¸c˜ao de cargas ´e o trabalho realizado por uma for¸ca exterior contra a for¸ca do campo el´ectrico, para trazer todas as cargas, uma a uma, do infinito para a configura¸c˜ao. Calcule a energia potencial electrost´atica de uma configura¸c˜ao de N cargas pontuais qi em posi¸c˜oes ~ri . (Ignore a energia necess´ aria para criar cada carga pontual).

12. Considere a figura onde se apresentam as linhas equipotenciais para um sistema de quatro cargas.

(a) Calcule a energia potencial electrost´ atica da configura¸c˜ao por carga. P∞ (−1)k = − ln(2). Nota: k=1 k (b) Substitua agora o sistema por 2 cargas +q 0 e −q 0 com separa¸c˜ao d. Qual o valor de q 0 de modo `a energia electrost´atica desta configura¸c˜ ao por carga ser igual `a calculada na al´ınea anterior? 15. Considere um cristal de sal (NaCl – cloreto de s´ odio). Na

+

+

-

Cl

+

=

2a

Duas com carga 2 nC encontram-se em y = +2 mm e y = −2 mm, as outras duas com carga -1 nC encontram-se em x = +1 mm e x = −1 mm. (a) Calcule a energia potencial electrost´atica da configura¸c˜ ao. (b) Calcule o valor do potencial nas linhas equipotenciais A, B e C. Sugest˜ ao: analise com cuidado a figura e note que para calcular o potencial de uma equipotencial basta calcular o potencial num ponto da equipotencial. (c) Identifique na figura os pontos onde o campo el´ectrico ´e nulo. Nesses pontos o potencial elec´ sempre verdade trost´ atico ´e tamb´em nulo? E ~ ~ que V (P ) = 0 ⇔ E(P ) = 0?

q

Q

ˆ onde E0 ´e ~ = E0 k, 16. Considere um campo uniforme E constante. (a) Determine o potencial electrost´atico num ponto (x, y, z) qualquer tomando como referˆencia a origem V (0, 0, 0) = 0 V. (b) Porque ´e que neste exemplo n˜ao se pode escolher a referˆencia para o potencial no infinito V (∞) = 0? (c) Calcule a energia electrost´atica de uma carga pontual colocado no ponto (x, y, z). 17. Considere um dipolo el´ectrico na presen¸ca de um campo el´ectrico constante.

13. Quatro part´ıculas carregadas com cargas Q e q encontram-se ligadas por quatro fios inextens´ıveis de comprimento d. O sistema encontra-se em equil´ıbrio.

q

(a) Calcule aproximadamente a energia potencial electrost´atica por i˜ao Na+ . Suponha que ´e constitu´ıda pelas trˆes componentes da figura. (b) A energia electrost´atica ´e negativa ou positiva? Comente.

Q q

(a) Calcule a energia electrost´ atica da configura¸c˜ao. (b) O ˆ angulo θ pode ser obtido assumindo que o seu valor ´e tal que a energia electrost´ atica ´e m´ınima, i.e. dUe /dθ = 0 e d2 Ue /dθ2 |θeq. < 0. Calcule θ atrav´es de dUe /dθ = 0. 14. Ao longo de uma recta infinita est˜ ao colocadas cargas de m´ odulo q, igualmente espa¸cadas de uma distˆancia d, alternadamente positivas e negativas. Tome a energia electrost´ atica entre 2 cargas como sendo nula no infinito. 36

(a) Calcule a energia electrost´atica do dipolo. (b) Desenhe o gr´afico da energia em fun¸c˜ ao do ˆangulo θ entre o momento dipolar e o campo el´ectrico. Quando ´e que a energia do dipolo ´e m´ınima e m´axima? Discuta fisicamente o resultado. 18. Partindo da express˜ao da energia electrost´ atica em fun¸c˜ao do potencial V (~r) e da densidade de carga ρ(~r), Z 1 ρ(~r)V (~r)dv, Ue = 2 todo o espaco mostre que a energia electrost´atica armazenada no ~ ´e dada por campo el´ectrico E Z Z 1 1 ~ · Edv ~ Ue = 0 E 2 dv = (0 E) 2 todo o espaco 2 t. o e. 19. Considere uma esfera maci¸ca de raio R com densidade de carga uniforme ρ. (a) Calcule a energia electrost´atica da esfera usando a interpreta¸c˜ao de que a energia est´a nas cargas. (b) Calcule a energia electrost´atica da esfera usando o campo el´ectrico em todo o espa¸co.

(c) Expresse o resultado em fun¸c˜ ao da carga Q total da esfera. 20. Considere um cabo coaxial constitu´ıdo por um cilindro maci¸co de raio a e por uma folha cil´ındrica de raio b (ambos met´ alicos). O cilindro encontra-se a um potencial V0 e a folha est´ a ligada ` a Terra. O cilindro interior tem uma densidade linear de carga λ.

(b) Calcule a energia electrost´atica por unidade de comprimento do cabo coaxial usando o potencial. (c) Calcule a energia electrost´atica por unidade de comprimento do cabo coaxial usando o campo el´ectrico em todo o espa¸co. 21. Considere uma esfera condutora maci¸ca de raio R com uma carga total Q. (a) Calcule a energia electrost´atica da esfera usando a interpreta¸c˜ao de que a energia est´a nas cargas. (b) Calcule a energia electrost´atica da esfera usando o campo el´ectrico em todo o espa¸co.

(a) Escreva λ em fun¸c˜ ao da geometria do cabo coaxial e V0 .

(c) Mostre que a distribui¸c˜ao de cargas livres na superf´ıcie da esfera condutora ´e a que minimiza a energia electrost´atica. Sugest˜ ao: argumente em termos da energia armazenada no campo electrost´ atico.

Respostas ˆ V/m. ~ = −V0 k/d 1. V = V0 z/d V, E

N

11. Ue =

2. a) V = −V0 ln(r/b)/ ln(b/a) V, ~ = V0 /(r ln(b/a))ˆ E ur V/m; b) σ(r = a) = 0 V0 /(a ln(b/a))) C/m2 , σ(r = b) = −0 V0 /(b ln(b/a))) C/m2 .

N X j=1(j6=i)

1 qi qj , onde rij = |~ri − ~rj | 4π0 rij

12. a) -7,1 µJ; b) V (A) = 18 kV, V (B) = 0 V, V (C) = 3, 3 kV; c) Campo nulo nos pontos onde as equipotenciais se cruzam: (0, 0) e (3.5, 0). V (0, 0) = 0 e V (3.5, 0) 6= 0. N˜ao.   1 Q2 q2 + + 4qQ J; 13. a) Ue = 4π0 d 2 cos θ 2 sin θ b) tan3 θ = q 2 /Q2 .

~ = −V0 /(αr)ˆ 3. a) V = V0 φ/α V; b) E uφ V/m. ~ = V0 R/(r2 )ˆ 4. a) V = V0 R/r V; b)E ur V/m; ~ = ~0 V/m. c) Q = 4π0 V0 R C; d) V = V0 V e E − 1r ∆V ab ~ ˆr V/m; 1 V, E = − r 2 b − a u −b b) ∆V > 0 : folha +, esfera -; ∆V < 0 : folha -, esfera +.

5. a)V = V0 + ∆V

1X 2 i=1

1 a 1 a

1 q 02 q2 14. a) ue = − ln 2 J; b) ue = − J, donde 4π0 d 2 4π0 d √ q 0 = 2 ln 2q ≈ 1.2q C. e2 J; b) -. 4π0 a

π 6. a) -; b) -; c) σ(φ = 0) = −0 a r(π/β)−1 C/m2 ; β d) β = π/4 : σ ∝ r3 , β = π/2 : σ ∝√r, β = π : σ = σ0 , √ β = 3π/2 : σ ∝ 1/ 3 r, β = 2π : σ ∝ 1/ r.

16. a) V = −E0 z V; b) -; c) Ue = −qE0 z J.

7. a)-; b) -.

18. -.

15. a) ue = −1.07

~ J; b) θmin = 0, θmax = π. 17. a) Ue = −~ p·E

8. ρ = a C/m3 .

19. a) Ue =

− 1r −ρa a2 ln(r/a)/0 V. π0 V02 Ue − 1b = J/m; 20. a) λ = 2π0 V0 / ln(b/a) C/m; b) L ln(b/a)   ∆V x ρ0 x c) idem. 10. V = V0 + + 2 sin(kx) − sin(kd) + d k 0 d ρ0 x 1 Q2 (d − x) V. 21. a) Ue = J; b) idem; c)-. 20 2 4π0 R 9. V = ∆V + ρa a2 ln(b/a)/0




1 a 1 a

3 Q2 4πρ2 R5 J; b) idem; c)Ue = J. 150 5 4π0 R

37

Electromagnetismo - EEC0012 - 2014/15

FEUP/MIEEC

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 8 - Capacidade el´ ectrica, condensadores e diel´ ectricos Capacidade el´ ectrica e condensadores 1. Considere uma esfera condutora de raio R isolada e carregada com carga Q. Tome o potencial nulo no infinito. (a) Usando an´ alise de unidades, estime a express˜ao da capacidade el´ectrica da esfera. (b) Calcule a capacidade el´ectrica da esfera e interprete o resultado. 2. Considere um condensador formado por duas armaduras planas paralelas de ´ area A e separa¸c˜ao d (condensador plano). O condensador encontra-se no v´ acuo. Tome as armaduras como infinitas (ie, se A = L1 L2 ent˜ ao d  L1 e d  L2 ). Calcule a capacidade do condensador. 3. Considere um um condensador cil´ındrico formado por duas armaduras cil´ındricas coaxiais ambas de comprimento L e de raios R1 e R2 (R2 > R1 ). O meio entre as armaduras ´e o v´ acuo. Considere as armaduras como infinitas (i.e., L  R2 − R1 ).

(a) Calcule a capacidade deste condensador. (b) Mostre que quando R2 − R1 = d  R1 a capacidade ´e a de um condensador plano. (c) Mostre que quando R2 → ∞ a capacidade ´e a de uma esfera isolada. 5. A equa¸c˜ao de Laplace tamb´em pode ser utilizada para calcular a capacidade de um condensador no v´acuo. O m´etodo a seguir ´e: i) assumir V = V0 e V = V0 + ∆V em cada placa; ii) calcular o potencial entre as armaduras usando a equa¸c˜ao de Laplace; iii) calcular o campo el´ectrico a partir do potencial; iv) calcular a densidade superficial de carga em ~ sup.condutor = σ n cada placa condutora usando E 0 ˆ ; v) R Q = Aplaca σdS. vi) Calcular a capacidade. Aplique este m´etodo para calcular a capacidade de um condensador plano de armaduras paralelas de ´ area A e separa¸c˜ao d considerando a aproxima¸c˜ ao de armaduras infinitas. 6. Associa¸c˜oes de condensadores em paralelo e em s´erie. CN

Ci

C1 DV

C1

Ci

CN

DV

(a) Calcule a capacidade do condensador e interprete o resultado. A capacidade seria alterada se a folha interior fosse substitu´ıda por um cilindro maci¸co? (b) Mostre que quando R2 − R1 = d  R1 a capacidade ´e a de um condensador plano com a ´area do cilindro. Nota: ln(1 + x) = x −

x2 2

+

x3 3

+ ..

4. Considere um condensador esf´erico formado por duas armaduras esf´ericas concˆentricas de raios R1 e R2 . O meio entre as armaduras ´e o v´ acuo. 38

(a) Considere a configura¸c˜ao de N condensadores em paralelo da figura. Mostre que esta associa¸c˜ao ´e equivalente a um condensador i=N X Ceq = Ci . i=1

(b) Estude o caso limite em que um dos condensadores possui uma capacidade muito maior do que a dos outros. Qual o condensador que ”domina”esta associa¸c˜ao? (c) Considere a configura¸c˜ao de N condensadores em s´erie da figura. Mostre que esta associa¸c˜ ao ´e equivalente a um condensador i=N X −1 Ceq = Ci−1 . i=1

(d) Estude o caso limite em que um dos condensadores possui uma capacidade muito menor do que a do outro. Qual o condensador que ”domina”esta associa¸c˜ ao?

(c) Mostre que o potencial electrost´atico criado pelo diel´ectrico ´e dado por "I # Z ~ ~ · P~ )dv P~ · dS 1 (−∇ + V (~r) = 4π0 S |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | v

7. Considere o divisor de tens˜ ao da figura. Vout

Vin C1

C2

Neste, dois condensadores s˜ ao ligados em s´erie e `a Terra. A tens˜ ao de sa´ıda Vout ´e proporcional `a tens˜ao de entrada Vin . (a) Mostre que a diferen¸ca de potencial (ou tens˜ao) em cada um dos condensadores ´e dada por V1

=

V2

=

carga de polariza¸c˜ao em cada ponto do interior do diel´ectrico ´e dada por ρpol = −∇ · P~

9. Usando a defini¸c˜ao de vector deslocamento el´ectrico ~ derive a lei de Gauss para este campo de vectores D, na sua forma local ~ = ρlivre ∇·D e na forma integral ZZ ~ = Qinterior . ~ · dS

D livre S

C2 Vin C1 + C2 C1 Vin C1 + C2

onde Vin = V1 + V2 ´e a diferen¸ca de potencial total entre os dois condensadores.

10. Polarizabilidade at´ omica. Considere um ´atomo consistindo num n´ ucleo de carga +q e numa nuvem electr´onica esf´erica homog´enea de carga −q e raio a. Suponha que o ´atomo ´e posto na presen¸ca de um ~ resultando numa separa¸c˜ campo el´ectrico E ao d entre o n´ ucleo e o centro da nuvem. Assuma que a nuvem electr´onica se mant´em esf´erica. E

(b) Estude os casos em que C2  C1 e C1  C2 . (c) Escreva a energia total armazenada nos condensadores em fun¸c˜ ao de C1 , C2 , V1 e V2 . Mostre que as rela¸c˜ oes anteriores podem ser obtidas minimizando a energia total armazenada, sob a condi¸c˜ ao de que Vin = V1 + V2 .

Materiais diel´ ectricos 8. Considere um corpo diel´ectrico de volume v finito, o qual possui uma superf´ıcie S (fechada). O diel´ectrico ~ ext , est´ a sujeito a um campo el´ectrico exterior E adquirindo uma polariza¸c˜ ao caracterizada pelo vector de polariza¸c˜ ao P~ . Assuma que as mol´eculas que comp˜ oem o diel´ectrico se comportam como dipolos ~ el´ectricos microsc´ opicos de momento dipolar p~ = q d, onde d~ ´e o vector de m´ odulo d igual ` a distˆ ancia entre as duas cargas do dipolo e com direc¸c˜ ao e sentido da carga negativa −q para a carga positiva +q. (a) Considere a superf´ıcie do diel´ectrico. Mostre que a densidade superficial de carga de polariza¸c˜ ao em cada ponto da superf´ıcie do diel´ectrico ´e dada por σpol = P~ · n ˆ onde n ˆ ´e o versor normal ` a superf´ıcie do diel´ectrico (apontando para fora do diel´ectrico). (b) Considere agora o interior do diel´ectrico. Usando o facto da carga total de um diel´ectrico ser nula, mostre que a densidade vol´ umica de 39

E

a +q

d

<=>

p

-q

(a) Mostre que o momento dipolar formado/induzido ´e proporcional ao campo ~ onde α ´e a polarel´ectrico aplicado p~ = αE, izabilidade at´omica. Obtenha uma express˜ ao para a polarizabilidade. (b) Sabendo que o ”tamanho” de um ´atomo ´e da ordem de a ∼ 1˚ A estime a ordem de magnitude da polarizabilidade at´omica. (c) Como se compara d com a? Assuma que ´e aplicado um campo el´ectrico de 3 MV/m. 11. Considere um material diel´ectrico homog´eneo, isotr´opico e linear (diel´ectrico simples). Nestes materiais a polariza¸c˜ao ´e proporcional ao campo el´ectrico ~ onde χe ´e a susceptino seu interior: P~ = 0 χe E, bilidade el´ectrica do material e que ´e constante para diel´ectricos simples. (a) Mostre que ~ = E ~ D onde  ´e a permitividade el´ectrica do material. (b) Mostre que o campo el´ectrico no interior de um diel´ectrico ´e menor do que o campo el´ectrico aplicado exteriormente. Interprete o resultado fisicamente.

(c) Mostre que apenas ´e induzida densidade volum´etrica de carga de polariza¸c˜ ao se existir uma densidade volum´etrica de carga livre dispersa no interior do diel´ectrico.

(b) Calcule o vector polariza¸c˜ao no diel´ectrico quando as armaduras tˆem uma carga ±Q. (c) Calcule a densidade superficial e volum´etrica de carga de polariza¸c˜ao no diel´ectrico.

12. Considere um meio diel´ectrico isotr´ opico e linear de permitividade relativa r . Neste meio ´e colocada uma carga pontual q.

16. Considere um condensador de armaduras paralelas, com ´area A e separa¸c˜ao d. S˜ao inseridas entre as armaduras do condensador lˆaminas de material diel´ectrico com permitividade relativa r (figura da esquerda) e de material condutor (figura da direita). As lˆaminas tˆem ´area A e espessura t e s˜ ao inseridas paralelamente `as armaduras conforme ilustrado na figura.

(a) Se r ´e constante (meio homog´eneo), mostre que o campo el´ectrico ´e o de uma carga pontual q 0 = q/r no v´ acuo. Justifique fisicamente. (b) Suponha que se quer criar neste meio um campo el´ectrico de intensidade constante. Que forma funcional dever´ a ter a permitividade relativa do meio? Calcule a densidade volum´etrica de cargas de polariza¸c˜ ao.

+Q

z er

z condutor

d t

-Q

Condensadores com diel´ ectricos 13. Considere um condensador formado por duas armaduras planas paralelas de ´ area A e separa¸c˜ao d possuindo um diel´ectrico entre as armaduras de permitividade relativa εr . Tome as armaduras como infinitas. (a) Calcule a capacidade do condensador. Interprete o resultado comparando-o com o de um condensador plano sem diel´ectrico. (b) Calcule o vector polariza¸c˜ ao no diel´ectrico quando as armaduras tˆem carga ±Q. (c) Calcule densidade superficial e volum´etrica de carga de polariza¸c˜ ao no diel´ectrico. 14. Considere um condensador cil´ındrico formado por duas armaduras cil´ındricas coaxiais ambas de comprimento L e de raios R1 e R2 > R1 . O meio entre as armaduras ´e um diel´ectrico de permitividade relativa r . Considere as armaduras como infinitas (i.e., L  R2 − R1 ). (a) Calcule a capacidade do condensador. Interprete o resultado comparando-o com o de um condensador plano sem diel´ectrico. (b) Calcule o vector polariza¸c˜ ao no diel´ectrico quando as armaduras est˜ ao a uma diferen¸ca de potencial ∆V . (c) Calcule densidade superficial e volum´etrica de carga de polariza¸c˜ ao no diel´ectrico. 15. Considere um condensador esf´erico formado por duas armaduras esf´ericas concˆentricas de raios R1 e R2 , sabendo que o meio entre as armaduras ´e um diel´ectrico de permitividade relativa r . (a) Calcule a capacidade do condensador. Interprete o resultado comparando-o com o de um condensador plano sem diel´ectrico. 40

(a) Fa¸ca os gr´afico de D(z), E(z), P (z) e V (z) na ausˆencia de lˆaminas e nas outras duas situa¸c˜ oes. Discuta o resultado. (b) Calcule as densidades superficiais de carga induzidas nas superf´ıcies superior e inferior da lˆamina, para ambas as situa¸c˜oes e discuta o resultado. (c) Calcule a capacidade para ambas as situa¸c˜ oes e discuta o resultado comparando-o com a capacidade na ausˆencia de lˆaminas. 17. Diel´ectrico n˜ ao-homog´eneo. Suponha que se quer desenhar um condensador esf´erico (raios a e b > a) em que o diel´ectrico ´e feito da combina¸c˜ao de dois materiais. Um com elevada rigidez diel´ectrica e baixa permitividade relativa (por exemplo, plexiglass r = 3, 4 e Emax = 40 MV/m), outro com baixa rigidez diel´ectrica e alta permitividade relativa (por exemplo, porcelana r = 7 e Emax = 5, 7 MV/m). A ideia ´e utilizar o material de elevada rigidez diel´ectrica perto da esfera interior, onde o campo el´ectrico ´e mais intenso, e o material de alta permitividade no resto do condensador de modo a ter uma elevada capacidade. O resultado ´e um diel´ectrico n˜ao-homog´eneo cuja permitividade ´e dada por α (r) = 0 1 + Kr onde α e K s˜ao constantes. (a) Supondo que a esfera interior tem carga Q, cal~ E ~ e P~ entre as armaduras. cule D, (b) Calcule as densidade superficial e volum´etrica de carga de polariza¸c˜ao. (c) Supondo que a = (r = a) e b = (r = b) s˜ ao as permitividades dos dois materiais, calcule α e K. (d) Calcule a capacidade do condensador em fun¸c˜ ao de a e b .

Energia electrost´ atica em meios diel´ ectricos 18. Considere um condensador esf´erico com armaduras de raio a e b > a, o meio entre as armaduras ´e um diel´ectrico de permitividade relativa r constante. No desenho do condensador o campo electrost´atico na placa interior n˜ ao deve ultrapassar Emax por perigo de ruptura do diel´ectrico. (a) Calcule o raio a de modo a que a energia armazenada no condensador seja m´ axima. (b) Calcule a energia m´ axima armazenada no condensador. 19. A energia electrost´ atica de uma configura¸c˜ ao de cargas livres ´e o trabalho realizado por um agente exterior para a criar a configura¸c˜ ao. Na presen¸ca de diel´ectricos lineares e isotr´ opicos (mas que podem ser n˜ ao-homog´eneos) a energia electrost´ atica tem a mesma defini¸c˜ ao, mas surgem v´ arias componentes, Ue = Ulivre + Uinteraccao + Upolarizacao , onde Ulivre ´e a energia electrost´ atica das cargas livres no v´ acuo, Uinteraccao ´e a energia electrost´atica de interac¸c˜ ao das cargas livres com o potencial electrost´ atico criado pelas cargas de polariza¸c˜ao e Upolarizacao o trabalho realizado pelas cargas livres para polarizar o diel´ectrico. Mostre que nas condi¸c˜oes anteriores a energia armazenada no campo el´ectrico na presen¸ca de diel´ectricos lineares e isotr´opicos ´e dada por Z 1 ~ · Edv. ~ D Ue = 2 t.oe. 20. Considere um condensador constitu´ıdo por duas armaduras condutoras com uma geometria qualquer. As armaduras possuem carga Q e −Q e encontramse a uma diferen¸ca de potencial ∆V . (a) Mostre que a energia electrost´ atica armazenada no condensador ´e dada por 1 1 1 Q2 Ue = Q∆V = C(∆V )2 = 2 2 2 C onde C ´e a capacidade do condensador. (b) Considere o caso em que o condensador se encontra ligado a uma bateria. Mostre que a inclus˜ ao de um diel´ectrico simples com permitividade relativa r aumenta a energia armazenada entre as armaduras de Ue para Ue0 = r Ue , bem como a carga armazenada nas armaduras de Q para Q0 = r Q. Comente estes resultados. (c) Considere agora o caso em que o condensador se encontra isolado. Mostre que a inclus˜ ao de um diel´ectrico simples com permitividade relativa r diminui a diferen¸ca de potencial de ∆V para ∆V 0 = ∆V /r , bem como energia armazenada nas armaduras de Ue para Ue0 = Ue /r . Comente estes resultados. 41

21. A capacidade de um condensador pode ser calculada a partir da energia electrost´atica Ue armazenada no condensador Q2 , C = 2Ue onde Q ´e a carga armazenada em cada uma das suas armaduras. O procedimento a seguir ´e: i) assumir ±Q nas armaduras; ii) calcular o vector deslocamento el´ectrico no diel´ectrico; iii) calcular o campo el´ectrico R ~ · Edv ~ no no diel´ectrico; iv) calcular Ue = 21 v D diel´ectrico. (a) Calcule a capacidade de um condensador plano, com armaduras de ´area A, separa¸c˜ ao d e diel´ectrico com permitividade relativa r . (b) Calcule a capacidade de um condensador cil´ındrico, com armaduras de raio R1 e R2 , comprimento L e diel´ectrico com permitividade relativa r . (c) Calcule a capacidade de um condensador esf´erico com armaduras de raio R1 e R2 e diel´ectrico com permitividade relativa r .

Ordens de grandeza 22. Ordens de grandeza da capacidade e grandezas associadas. (a) Considere um condutor esf´erico de 1 cm de raio. Estime a sua capacidade e valor de Q quando est´a a um potencial de 1 kV. (b) Considere um condensador plano caseiro, com duas folhas de papel de alum´ınio (tamanho A4), e uma folha de saco do lixo (poliestereno r = 2.50, espessura 0,2 mm). Estime a capacidade do condensador. Qual ´e a densidade superficial de carga nas folhas de alum´ınio e no poliestereno se a tens˜ao aplicada ´e de 12 V? (c) Considere um condensador cil´ındrico de comprimento L = 5 cm, raio interno R1 = 2.00 mm e raio externo R2 = 5.00 mm. O diel´ectrico entre as placas ´e baquelite (r = 4.90, Emax = 24 MV/m). O condensador ´e isolado num inv´olucro de mica (Emax = 90 MV/m). Calcule a capacidade do condensador e a tens˜ ao que ´e necess´ario aplicar para queim´a-lo. 23. Quando num dia seco sa´ımos de um carro e sentimos um choque, o nosso corpo tem um potencial de alguns milhares de volts. (a) Estime a capacidade do corpo humano. (b) Estime a energia libertada na fa´ısca.

Condi¸ co ˜es-fronteira na presen¸ca de diel´ ectricos

(b) Considere agora que o meio 1 ´e ´agua a 20◦ C (r = 80) e o meio 2 ´e o ar (r = 1, 00059). Sabendo que θ1 = 30◦ , calcule θ2 .

24. Considere a interface entre dois meios diel´ectricos com permitividades 1 e 2 . Nos meios pode existir uma densidade volum´etrica de carga livre ρlivre e na interface pode existir uma densidade superficial de carga livre σlivre .

26. Considere um condensador de placas paralelas com dois diel´ectricos conforme ilustrado na figura. Admita que 2 > 1 .

y

Ds

+Q

slivre

Dh

(a) Mostre que na interface a descontinuidade da componente normal do campo deslocamento el´ectrico ´e causada pela densidade superficial de cargas livres na interface, D1,n − D2,n = σlivre . (b) Mostre que a descontinuidade da componente normal do campo el´ectrico ´e causada pela densidade superficial total na interface, de cargas de polariza¸c˜ ao (dos meios 1 e 2) e de cargas livres, σlivre + σ1,pol. + σ2,pol. E1,n − E2,n = . 0

Dh

e1 e 2

slivre b

c

~ E ~ e P~ entre as placas do conden(a) Calcule D, sador. Desenhe o seu gr´afico. ~ eE ~ obedecem `as condi¸c˜ (b) Verifique que D oes fronteira. (c) Calcule as densidades superficiais e volum´etricas de carga induzidas no diel´ectrico. (d) Calcule a capacidade equivalente do condensador supondo que se trata de dois condensadores em s´erie, justificando devidamente o seu racioc´ınio. (e) Calcule a capacidade do condensador integrando o campo el´ectrico entre as placas.

y

DV d

(c) Mostre que na interface a componente tangencial do campo el´ectrico ´e cont´ınua na interface, E1,t = E2,t . 25. Considere a interface de dois diel´ectrico isotr´opicos e lineares.

e1>e2 e2

x

27. Considere um condensador de placas paralelas com dois diel´ectricos conforme ilustrado na figura. Considere ainda que cada metade das armaduras tem um ´area A/2.

a

d

e2 e1

d

-Q

e1 e 2

Dw

A

A x

e1

e2

~ E ~ e P~ entre as placas do conden(a) Calcule D, sador. Desenhe o seu gr´afico. ~ eE ~ obedecem `as condi¸c˜ (b) Verifique que D oes fronteira.

q1 E1

(c) Calcule as densidades superficiais e volum´etricas de carga induzidas no diel´ectrico.

E2 q 2

(a) Mostre que nos dois lados da interface os ˆangulos que o campo el´ectrico faz com a normal (θ1 e θ2 ) obedecem ` a rela¸c˜ ao, tan θ1 tan θ2 = . 1 2

42

(d) Calcule as densidade superficiais de carga livre σ(x) nas armaduras do condensador. Desenhe o seu gr´afico e discuta fisicamente o resultado. (e) Calcule a capacidade equivalente do condensador supondo que se trata de dois condensadores em paralelo, justificando devidamente o seu racioc´ınio.

Respostas 1. a) C ∝ 0 R; b) C = 4π0 R (F).

Na lˆamina condutora: σlivre (superior) = −σlivre , σlivre (inf erior) = +σlivre ; c) Sem lˆaminas: C = 0 A/d ; Com lˆamina diel´ectrica: C = 0 A/[d − t(1 − 1/r )] ; Com lˆamina condutora: C = 0 A/(d − t).

2. C = 0 A/d (F). 3. a) C = 2π0 L/ ln(R2 /R1 ) (F); b) -. 4. a) C = 4π0 R1 R2 /(R2 − R1 ) (F); b) -; c) -. 5. C = 0 A/d (F). 6. (a) note que Ceq > Ci (i = 1, ..., N ); (b) supondo Cj  Ci (i 6= j) ent˜ ao Ceq ≈ Cj e Cj ´e o condensador que determina a capacidade equivalente da s´erie ; (c) note que Ceq < Ci (i = 1, ..., N ); (d) supondo Cj  Ci (i 6= j) ent˜ ao Ceq ≈ Cj e Cj ´e o condensador que determina a capacidade equivalente do paralelo . 7. (a) - ; (b) se C2 >> C1 ent˜ ao V1 ≈ Vin e V2 ≈ 0, se C1 >> C2 ent˜ ao V1 ≈ 0 e V2 ≈ Vin ; (c) -.

~ = Q/(4πr2 )ˆ ~ = (1 + Kr)/(α0 )D ~ ; 17. a) D ur ; E ~ ~ P = (α − 1 − Kr)/αD; b) σP (r = a) = −(α − 1 − Ka)Q/(4παa2 ) ; σP (r = b) = (α − 1 − Kb)Q/(4παb2 ) ; ρP (r) = KQ/(4παr2 ) ; c) α = a /0 [1 + (a − b )a/(bb − aa )] ; K = (a − b )/(bb − aa ) ; d) C = 4π0 α/[(1/a − 1/b) + K ln(b/a)], com α e K dados pela al´ınea anterior. 2 18. a) a = 3b/4 ; b) Ue = 27πEmax b3 /128.

19. -. 20. -.

8. -.

21. a) C = r 0 A/d (F); b) C = 2πr 0 L/ ln(R2 /R1 ) (F); c) C = 4πr 0 R1 R2 /(R2 − R1 ) (F).

9. -. 10. (a) α = 4π0 a3 ; (b) α ∼ 10−40 F.m2 c) d/a ∼ 10−5 . 11. -. ~ = constante = K, ent˜ao 12. (a) - ; (b) Para que |E| 2 r (r) = a/r (meio n˜ ao-homog´eneo), com a = = q/(4π0 K) = constante ; ρpol = q/(2πar) (C/m3 ) (ρpol 6= 0: meio n˜ ao-homog´eneo). 13. a) C = r 0 A/d (F); b) P~ = Q(1 − 1/r )/Akˆ C/m2 ; c) σP = ±σ(1 − 1/r ) C/m2 , σP ´e positiva/negativa perto da armadura negativa/positiva; ρP = 0 C/m3 .

22. a) C ' 1.1 × 10−12 F; Q ' 1.1 × 10−9 C; b) C ' 6.9 × 10−9 F; σ ' ±1.3 × 10−6 C/m2 ; σP ∓ 7.8 × 10−7 C/m2 ; c) C ' 1.5 × 10−11 F; ∆Vruptura ' 44 kV. 23. a)- ; b)- . 24. -. 25. a) -; b) θ2 ' 0.41◦ .

~ = −Q/Aˆ ~ 26. a) D  ; E(0 < y < d/2) = −Q/(A2 )ˆ  ~ ~ ; E(d/2 < y < 0) = −Q/(A1 )ˆ  ; P (0 < y < 14. a) C = 2πr 0 L/ ln(R2 /R1 ) (F); ~ (−d/2 < y < 0) = d/2) = −( −  )Q/(A )ˆ  ; P 2 0 2 2 b) P~ = 0 (r − 1)∆V /[r ln(R2 /R1 )]ˆ ur (C/m ); −(1 − 0 )Q/(A1 )ˆ  ; b) - ; c) σP (y = d/2) = c) σP (r = R1 ) = −0 (r −1)∆V /[R1 ln(R2 /R1 )] (C/m2 ); −(2 − 0 )Q/(A2 ) ; σP (y = 0+ ) = (2 − 0 )Q/(A2 ) 2 σP (r = R2 ) = 0 (r − 1)∆V /[R2 ln(R2 /R1 )] (C/m ); ; σP (y = 0− ) = −(1 − 0 )Q/(A1 ) ; σP (y = −d/2) = ρP = 0 (C/m3 ). (1 − 0 )Q/(A1 ) ; ρP = 0 ; d) Ceq = 21 2 A/[(1 + 2 )d] ; e) C = 21 2 A/[(1 + 2 )d]. 15. a) C = 4πr 0 R1 R2 /(R2 − R1 ) (F); b) P~ = (r − 1)Q/(4πr r2 )ˆ ur (C/m2 ); ~ = −(∆V /d)ˆ ~ ~ ; D(x ~ 27. a) E  ; D(x < 0) = 1 E > 0) = c) σP (r = R1 ) = −(r − 1)Q/(4πr R12 ) (C/m2 ); ~ ~ ~ ~ ~  E; P (x < 0) = ( −  ) E ; P (x > 0) = ( − 0 )E. 2 2 2 1 0 2 σP (r = R2 ) = (r − 1)Q/(4πr R2 ) (C/m ); b) -; c) σ (x < 0, y = d/2) = −( −  )∆V /d ; 3 P 1 0 ρP = 0 (C/m ). σP (x < 0, y = −d/2) = (1 − 0 )∆V /d ; σP (x > 16. a) - ; b) Carga livre nas armaduras do condensador: 0, y = d/2) = −(2 − 0 )∆V /d ; σP (x > 0, y = σlivre = +Q/A. Na lˆ amina diel´ectrica: −d/2) = (2 −0 )∆V /d ; ρP = 0 ; d) Na armadura em σpol (superior) = −(1 − 1/r )σlivre , y = d/2: σ(x < 0) = 1 ∆V /d ; σ(x > 0) = 2 ∆V /d ; σpol (inf erior) = +(1 − 1/r )σlivre ; e) Ceq = (1 + 2 )A/(2d).

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Electromagnetismo - EEC0012 - 2014/15

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Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 9 - Corrente el´ ectrica, lei de Ohm e resistˆ encia el´ ectrica Material Prata Cobre Ouro Aluminium Tungst´enio Ferro Platina Merc´ urio Nicr´ omio (Ni:Cr:Fe) ´ Agua do mar Sil´ıcio Terra seca ´ Agua destilada Alumina (Al2 O3 ) Vidro Porcelana Borracha Quartzo (SiO4 ) Polistireno Teflon

Tipo condutor met´alico condutor met´alico condutor met´alico condutor met´alico condutor met´alico condutor met´alico condutor met´alico condutor met´alico condutor met´alico condutor semicondutor puro isolador isolador isolador cerˆamico isolador vidro isolador cerˆamico isolador isolador vidro isolador pl´astico isolador polim´erico

ρe (Ω m) 1,6×10−8 1,7×10−8 2,4×10−8 2,7×10−8 5,6×10−8 8,9×10−8 1,1 ×10−7 9,8 ×10−7 1,0-1,5 ×10−6 0,2 6,4×102 102 − 104 2,5 ×105 109 − 1012 109 − 1012 ∼ 1012 1015 ∼ 1016 15 10 − 1019 1022 − 1024

r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 72 11,9 3-4 80 8,5 7 5,7 2,3-4 4,5 2,6

Tabela 1: Resistividades e permitividades el´ectricas de v´arios materiais.

Corrente el´ ectrica 1. Considere um fio met´ alico cil´ındrico de diˆametro φ = 1 mm, o qual ´e percorrido por uma corrente constante de 10 mA segundo o seu eixo longitudinal. Calcule a densidade de corrente el´ectrica que atravessa o fio. 2. Considere o seguinte trecho cil´ındrico de um condutor:

onde nc ´e a densidade vol´ umica dos portadores de carga (e.g., os electr˜oes de condu¸c˜ao num metal), qc a carga de cada portador (−e para electr˜oes) e ~vd a velocidade de deriva (ou velocidade de condu¸c˜ ao) dos portadores de carga. 3. Usando o modelo de Drude, mostre que num conductor o vector densidade de corrente ´e proporcional ao vector campo el´ectrico aplicado no conductor: ~ J~ = σe E onde σe = nc qc2 tc /mc ´e a condutividade el´ectrica do material que ´e feito o conductor, nc , qc e mc s˜ao a densidade vol´ umica, carga e massa dos portadores de carga, respectivamente, e tc o tempo m´edio entre colis˜oes.

Mostre que o vector densidade de corrente ´e dado por: J~ = nc qc~vd

4. Considere os metais Cobre e Ferro, para os quais a densidade de portadores de carga ´e de nc = 8, 49 × 44

1022 e− /cm3 e nc = 17, 0 × 1022 e− /cm3 , respectivamente. Usando o modelo de Drude, determine para ambos os metais:

electrodos

b a

isolante

(a) o tempo de colis˜ ao tc ;

a

b

h

semicondutor

(b) a velocidade de deriva/condu¸c˜ ao dos electr˜oes de condu¸c˜ ao num fio cil´ındrico de sec¸c˜ao recta 1.0 mm2 percorrido por uma corrente el´ectrica constante de 1.0 A na direc¸c˜ ao longitudinal. Exprima a velocidade em cm/h. 5. Resistividade e temperatura em conductores. Experimentalmente verifica-se que a resistividade el´ectrica de um conductor met´ alico aumenta com a temperatura. Explique sucintamente este comportamento `a luz do Modelo de Drude.

(a) Calcule a resistˆencia entre os el´ectrodos, supondo que o semicondutor ´e atravessado por uma corrente I. (b) Calcule a resistˆencia entre os el´ectrodos aplicando a equa¸c˜ao de Laplace. 9. Considere um material de resistividade el´ectrica ρe com a forma de um cone truncado de altura h e de raios a e b no topo e na base, respectivamente (ver figura).

Lei de Ohm/Resistˆ encia El´ ectrica 6. Considere um fio com sec¸c˜ ao recta de ´ area A, comprimento L e feito de um material de condutibilidade el´ectrica σe . (a) Calcule a resistˆencia el´ectrica do fio na direcc¸c˜ao longitudinal. (b) Sabendo que o fio ´e feito de cobre e possui 1 km de comprimento e 1 mm de raio, calcule a sua resistˆencia el´ectrica. (c) Se o fio transporta uma corrente de 1 A, calcule o tempo necess´ ario para um electr˜ ao derivar de uma ponta ` a outra do fio. (Cobre: nc = 8, 49 × 1028 electr˜ oes/m3 .) 7. Considere um condutor com forma curva cobrindo um ˆ angulo ∆φ e possuindo uma sec¸c˜ ao rectangular com altura w e largura (b − a) (ver figura). Admita que a condutibilidade el´ectrica deste condutor ´e σe .

b

Df a

(a) Assumindo que a corrente est´a distribu´ıda uniformemente atrav´es da sec¸c˜ao-recta do cone, determine a resistˆencia el´ectrica entre a base e o topo. Sugest˜ ao: use dR = ρe dl/A. (b) Qual a resistˆencia el´ectrica no limite b → a? Comente o resultado. 10. Resistˆencia de fuga de um condensador. Os diel´ectricos reais n˜ao s˜ao isoladores perfeitos, possuindo uma conductividade el´ectrica n˜ao-nula, ainda que muit´ıssimo menor do que a conductividade el´ectrica de um conductor. Um condensador conduz uma corrente el´ectrica, muit´ıssimo pequena mas n˜ao-nula, atrav´es do seu diel´ectrico, dita corrente de fuga. Considere um condensador com um diel´ectrico de condutividade el´ectrica σe . Calcule a resistˆencia el´ectrica de um condensador entre as suas armaduras (dita resistˆencia de fuga), no caso de as suas armaduras serem: (a) planas paralelas de ´area A e separa¸c˜ao d;

w

(b) cil´ındricas coaxiais de raios a e b e comprimento L; (c) esf´ericas concˆentricas de raios a e b.

(a) Calcule a resistˆencia entre as duas extremidades rectangulares.

Efeito de Joule

(b) Calcule a resistˆencia entre as duas superf´ıcies r = a e r = b. (c) Qual deve ser a rela¸c˜ ao entre a, b e ∆φ para que as duas resistˆencias calculadas anteriormente sejam iguais? 8. Considere um filme semicondutor de espessura h e condutibilidade el´ectrica σe . S˜ ao colocados no filme dois el´ectrodos condutores e concˆentricos. 45

11. Lei de Joule. (a) Mostre que a potˆencia P dissipada por efeito Joule numa resistˆencia R atravessada por uma corrente I ´e dada por P = ∆V I = RI 2 =

∆V 2 R

Conserva¸c˜ ao da carga el´ ectrica

onde ∆V ´e a diferen¸ca de potencial entre os terminais da resistˆencia. (b) Mostre que a potˆencia dissipada por efeito Joule por unidade de volume num ponto de um conductor ´e dada por

(a) Mostre a equa¸c˜ao de continuidade para o vector densidade de corrente:

2 dP ~ =J = J~ · E dv σe

~ E ~ e σe s˜ onde J, ao a densidade de corrente el´ectrica, o campo el´ectrico e a condutibilidade el´ectrica, respectivamente, no ponto em causa. 12. Considere um fio cil´ındrico de raio 1 mm e comprimento 1 m. Considere trˆes situa¸c˜ oes para as quais o fio ´e feito de Quartzo, de Sil´ıcio e de Cobre. Para cada uma das situa¸c˜ oes: (a) Determine a resistˆencia do fio. (b) Calcule a potˆencia dissipada pelo fio quando este se encontra sujeito a uma diferen¸ca de potencial de 100 mV. (c) Compare os resultados obtidos para as trˆes situa¸c˜ oes e comente. 13. Considere uma lˆ ampada de incandescˆencia de potˆencia 100 W, cujo fio ´e feito de tungst´enio. Sabese que quando a lˆ ampada se encontra apagada a sua resistˆencia ´e de 70 Ω e a temperatura do seu fio ´e de 15◦ C. Calcule a temperatura do fio quando a lˆ ampada ´e ligada ` a rede de 220 V, admitindo que o comprimento e a sec¸c˜ ao recta do fio permanecem constantes. O coeficiente de temperatura do tungst´enio ´e α = 0.0045◦ C−1 .

14. Lei das malhas de Kirchhoff. (a) Mostre que para um circuito constitu´ıdo por uma pilha de for¸ca electromotriz Vemf e por uma resistˆencia R, se tem: Vemf = RI onde I ´e a corrente el´ectrica no circuito. (b) Mostre que para um caminho fechado ao longo de um circuito (uma malha) se verifica:

malha

Vemf =

X

∂ρ(t) ∇ · J~ = − ∂t (b) Estude e interprete os casos em que ∇ · J~ ´e positivo, negativo e nulo. 16. Considere uma regi˜ao do espa¸co atravessada por corrente. A cada ponto da regi˜ao est´a associado um vec~ Por isso J~ ´e um campo tor densidade de corrente J. de vectores. Mostre que em regime estacion´ ario as linhas de campo associadas a J~ s˜ao sempre fechadas. Este resultado implica que uma corrente el´ectrica estacion´aria s´o pode existir num circuito fechado. Sugest˜ ao: use a equa¸ca ˜o de continuidade para a corrente el´ectrica. 17. Lei dos nodos de Kirchhoff. Mostre que a conserva¸c˜ ao da carga em qualquer ponto de um circuito (incluindo nodos onde v´arios ramos se unem), implica que X

Ii = 0

i

onde Ii ´e a corrente el´ectrica de cada ramo do nodo, sendo que as correntes que convergem e que divergem do nodo possuem sinais opostos.

~ Rela¸c˜ Dualidade entre J~ e D. ao entre resistˆ encia e capacidade el´ ectricas.

For¸ ca electromotriz

X

15. Equa¸c˜ ao de continuidade. Considere um dado ponto do espa¸co onde existe uma densidade de corrente J~ e uma densidade vol´ umica de carga livre ρ.

(I

ramosdamalha

X

Ri )

i

18. Redistribui¸c˜ ao de carga livre. Considere um meio isotr´opico, homog´eneo e linear caracterizado por uma condutibilidade el´ectrica σe e uma permitividade el´ectrica . (a) Mostre que uma densidade de carga inicial ρ0 se redistribui no tempo numa escala de tempo τ (o tempo de relaxa¸c˜ao) como   t ρ(t) = ρ0 exp − τ  . σe (b) Calcule o tempo de relaxa¸c˜ao para o Cobre, ´agua destilada e Quartzo. Comente os resultados. onde τ =

onde Vemf s˜ ao as fontes de for¸ca electromotriz da malha, I ´e a corrente em cada ramo da malha e o somat´ orio em R refere-se ` a soma sobre todas as resistˆencias do ramo em causa. 46

19. Considere um condensador gen´erico cujas armaduras s˜ ao feitas de materiais condutores perfeitos (el´ectrodos) e entre as quais existe um meio caracterizado por uma permitividade el´ectrica ε e uma condutibilidade el´ectrica σe . O meio ´e homog´eneo, isotr´ opico e linear. Mostre que a capacidade el´ectrica C deste dispositivo est´ a ligada ` a sua resistˆencia R por RC =

ε =τ σe

tre os el´ectrodos. 20. Usando o valor da capacidade el´ectrica, calcule a resistˆencia de fuga de um condensador de armaduras: (a) planas paralelas de ´area A e separa¸c˜ao d. (b) cil´ındricas coaxiais de raios a e b e comprimento L. (c) esf´ericas concˆentricas de raios a e b.

onde τ ´e o tempo de relaxa¸c˜ ao (tempo de redistribui¸c˜ ao) das cargas livres. Para efectuar os c´alculos assuma que ´e aplicada uma diferen¸ca de potencial en-

21. Considere um condensador de capacidade 1 µF. Calcule a sua resistˆencia de fuga supondo que o diel´ectrico ´e polistireno, porcelana ou ´agua destilada.

Respostas 1. J~ = (104 /π)ˆ u (A/m2 ), onde u ˆ ´e o versor longitudinal do fio com a direc¸c˜ ao e o sentido da corrente el´ectrica.

4.9 × 10−11 W ; Cobre (conductor): (a) 5.4 × 10−3 Ω , (b) 1.9 × 100 W ; (c) - . 13. 1300 ◦ C. Nota importante: a temperatura de uma lˆampada de incandescˆencia de filamento de Tungst´enio ´e de cerca de 2500o C a 3000o C. O baixo valor obtido deve-se ao facto de se ter admitido que a resistividade do Tungst´enio como variando sempre linearmente com a temperatura, i.e., que o coeficiente de temperatura α se mant´em constante. Para temperaturas t˜ao elevadas, esta hip´otese n˜ao se verifica de todo.

2. -. 3. -. 4. (a) 2.7 × 10−14 s (Cu), 2.3 × 10−15 s (Fe) ; (b) 7.36 × 10−5 m/s = 26.5 cm/h (Cu), 3.67 × 10−5 m/s = 13.2 cm/h (Fe). 5. -. 6. (a) R =

L σe A

(Ω); (b) R = 5, 4 Ω; (c) 496 dias. 14. -.

∆φ 7. (a) R = σe ln(b/a)w (Ω); (b) R = (c) b = a exp(∆φ).

ln(b/a) σe w∆φ

(Ω);

15. -. 16. -.

8. (a) R = ln(b/a)/(σe 2πh) (Ω); (b) -. h h 9. (a) R = ρe πab (Ω) ; (b) Para a = b: R = ρe πa 2 (Ω), o que corresponde ` a resistˆencia el´ectrica de um cilindro de raio a.

10. (a) R = (c) R =

d σe A (Ω); (b) b−a σe 4πab (Ω).

R=

ln(b/a) σe 2πL

(Ω);

17. -. 18. (a) - ; (b) 1.5 × 10−19 s ; 1.8 × 10−4 s ; ∼ 50 dias. 19. -. 20. (a) R = (c) R =

11. -. 12. Quartzo (isolador): (a) 3.2 × 1021 Ω , (b) 3.1 × 10−24 W ; Sil´ıcio (semiconductor puro): (a) 2.0 × 108 Ω , (b)

47

d σe A (Ω); (b) b−a σe 4πab (Ω);

R=

ln(b/a) σe 2πL

(Ω);

21. Polistireno: aproximadamente entre 2 × 1010 Ω e ´ 2 × 1014 Ω. Porcelana: ∼ 5 × 1010 Ω. Agua destilada: aproximadamente entre 0.07 Ω e 70 Ω.

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Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 10 - Campo Magn´ etico e Lei de Biot-Savart For¸ ca magn´ etica entre fios

de corrente da espira i e ~r2/1 = ~r2 − ~r1 ´e o vector posi¸c˜ao relativa do elemento de corrente 2 em rela¸c˜ ao ao elemento de corrente 1.

1. Considere dois fios rectos (paralelos ou perpendiculares) percorridos por correntes I1 e I2 . Mostra-se experimentalmente que a for¸ca no fio 2 devido ao fio 1 ´e dada por:

(a) Mostre que a for¸ca na espira C2 pode ser escrita como Z ~2×B ~ 2/1 F~2/1 = I2 dl C2

F~2/1 = kI2 u ˆ2 × (I1 u ˆ1 × rˆ2/1 ) onde k depende da distˆ ancia entre os fios, u ˆ1 e u ˆ2 s˜ ao versores que apontam na direc¸ca ˜o e sentido das correntes e rˆ2/1 ´e o versor da posi¸c˜ ao relativa do fio 2 em rela¸c˜ ao ao fio 1. z I1u1

I2u2

I2u2

I1u1

r2/1

I1u1 x r2/1

r2/1

y

(b) Interprete fisicamente a no¸c˜ao de campo de indu¸c˜ao magn´etica, fazendo uma analogia com a de campo el´ectrico.

I2u2

(a) Considere dois fios paralelos com correntes com o mesmo sentido (figura da esquerda). Calcule F~2/1 e discuta o resultado. (b) Considere dois fios paralelos com correntes com sentidos opostos (figura do centro). Calcule F~2/1 e discuta o resultado. (c) Considere dois fios perpendiculares (figura da direita). Calcule F~2/1 e discuta o resultado. 2. A lei da for¸ca de Amp`ere descreve as for¸cas entre duas espiras C1 e C2 percorridas por correntes el´ectricas I1 e I2 .

C1 I1 >

C2

r2/1 z

r1 x

r2 y

I2 >

I C1

I C2

Vector elemento de corrente 3. Vector elemento de corrente. O vector elemento de ~ para um corrente na lei de Biot-Savart escreve-se I dl ~ fio percorrido por uma corrente linear I (A), KdS para uma superf´ıcie percorrida por uma densidade de ~ (A/m) e Jdv ~ para um volume percorrido corrente K por uma densidade de corrente J~ (A/m2 ). Considere um fio cil´ındrico de raio a, coaxial com o eixo z e transportando uma corrente I com sentido positivo do eixo z. (a) Supondo que a corrente est´a distribu´ıda homo~ geneamente no volume do cilindro, calcule J. (b) Supondo que a corrente se encontra apenas na ~ superf´ıcie do cilindro, calcule K 4. Vector elemento de corrente de distribui¸c˜ oes de carga em movimento. Para os trˆes casos da figura de objectos carregados em movimento, calcule a corrente ou densidades de corrente que lhe est˜ao associadas.

A for¸ca na espira 2 devido ` a espira 1 ´e dada por: µ0 F~2/1 = 4π

~ 2/1 ´e o campo de indu¸c˜ onde B ao magn´etica produzido pela espira 1 no ponto onde se encontra um elemento de corrente da espira 2: I ~ 1 × rˆ2/1 I1 dl ~ 2/1 = µ0 B 4π C1 |~r2/1 |2

z

~ 2 × (I1 dl ~ 1 × rˆ2/1 ) I2 dl |~r2/1 |2

w y

x

−7

onde µ0 = 4π × 10 H/m ´e a permeabilidade ~ magn´etica do v´ acuo, Ii dli s˜ ao os vectores elemento 48

l

v

r

w r

(a) Um fio com densidade linear de carga constante λ movendo-se com velocidade ~v = vˆj. (b) Um disco de raio a com densidade superficial de carga constante σ (chamado disco de Rowland) ˆ rodando com velocidade angular ω ~ = ω k. (c) Uma esfera de raio a com densidade volum´etrica de carga ρ constante, rodando com velocidade ˆ angular ω ~ = ω k.

9. Bobinas de Helmholtz. Considere duas bobinas de raio a, com N espiras, de comprimento desprez´ avel, coaxiais com o eixo dos zz e com separa¸c˜ao h. Usando uma separa¸c˜ao ´optima ´e poss´ıvel criar um campo magn´etico aproximadamente constante na regi˜ ao entre as bobinas, campo esse que varia mais suavemente que o de um solen´oide com a vantagem adicional de f´acil acesso `a regi˜ao de campo quase constante.

x

I

Lei de Biot-Savart

a

I

-h/2

5. Fio finito. Considere um fio de comprimento 2a centrado e coaxial com o eixo dos zz. O fio ´e percorrido por uma corrente constante I no sentido positivo dos zz. (a) Calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica em qualquer ponto do plano xy.

a h/2

z

y (a) Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica no eixo dos zz. (b) Mostre que na origem

dBz dz

= 0.

2

(b) Calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica no limite em que o fio ´e infinito. (c) Esboce a intensidade do campo em fun¸c˜ao da distˆ ancia r ao centro do fio, para ambos os casos. 6. Espira quadrada. Considere uma espira quadrada de lado 2a, coplanar e centrada no plano xy. A espira ´e atravessada por uma corrente I no sentido anti– hor´ ario. Calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica em qualquer ponto do seu eixo. 7. Pol´ıgono regular. Um fio transportando uma corrente I ´e dobrado com a forma de um pol´ıgono regular de N lados. O pol´ıgono encontra-se circunscrito numa circunferˆencia de raio a. (a) Calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica no centro do pol´ıgono. (b) Mostre que no limite em que N → ∞ o campo tende para o de uma espira circular de raio a. 8. Espira circular. Uma espira circular de raio a ´e percorrida por uma corrente constante I no sentido anti– hor´ ario. A espira encontra-se no plano xy, coaxial com o eixo dos zz. (a) Calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica em qualquer ponto do eixo da espira. (b) Esboce a intensidade do campo em fun¸c˜ao da distˆ ancia z ao centro da espira, compare com a dependˆencia do fio finito e infinito.

(c) Quando ddzB2z = 0 na origem, o campo de indu¸c˜ao magn´etica ´e praticamente uniforme na regi˜ao entre as espiras. Que rela¸c˜ao deve existir entre a e h (separa¸c˜ao ´optima) de modo a que tal aconte¸ca? 10. Disco de Rowland. Considere um disco de raio a, centrado no plano xy, rodando com velocidade angular constante ω ~ = ω kˆ muito baixa, e com uma densidade superficial de carga aproximadamente constante σ. ~ no (a) Calcule o vector densidade de corrente K disco. (b) Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica em qualquer ponto do eixo do disco. Z (x2

x3 dx 2a2 + x2 =√ 2 3/2 +a ) a2 + x2

11. Solen´ oide. Considere um solen´oide de raio a e de comprimento L, que se encontra centrado e coaxial ´ percorrido por uma corrente I que ao eixo dos zz. E est´a enrolada em n espiras por unidade de comprimento. (a) Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica em qualquer ponto do eixo do solen´oide. (b) Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica no limite em que o solen´oide ´e infinito. (c) Esboce a intensidade do campo em fun¸c˜ ao de distˆancia z, para ambos os casos.

(c) Suponha que a espira de 10 cm de diˆametro ´e atravessada por uma corrente de 1 A. Qual ´e a intensidade do campo de indu¸c˜ ao magn´etica no seu centro? Como se compara com o campo magn´etico terrestre? 49

(d) Considere uma bobina de comprimento 10 cm, atravessada por uma corrente de 1 A e com 1000 espiras. Qual ´e a intensidade do campo de indu¸c˜ao magn´etica no seu centro? Como se compara com o campo magn´etico terrestre?

12. Considere uma espira de fio condutor consistindo em dois segmentos circulares e dois segmentos rectil´ıneos conforme mostra a figura. Na espira passa uma corrente estacion´ aria com intensidade I.

I I

~ Determine o vector campo de indu¸c˜ ao magn´etica B no ponto P (o centro dos dois arcos de circunferˆencia). Sugest˜ ao: use o princ´ıpio da sobreposi¸c˜ ao.

13. Considere o fio condutor da figura constitu´ıdo por duas semi-rectas e uma semi-circunferˆencia de raio a e percorrido por uma corrente estacion´ aria I.

P a Q h

(a) Qual espera ser a contribui¸c˜ao das semi-rectas e da semi-circunferˆencia para o campo de indu¸c˜ ao magn´etica no ponto P ? Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica no ponto P . (b) O ponto Q encontra-se situado a uma altura h acima do centro do semi-circunferˆencia. Qual espera ser contribui¸c˜ao das semi-rectas e da semi-circunferˆencia para o campo no ponto Q? Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica no ponto Q.

Respostas 1. -. 2. 3. Coordenadas cil´ındricas: (a) J~ = I/(πa2 )ˆ uz para 0 < r < a e J~ = ~0 para r > a (A/m2 ) ; (b) ~ = I/(2πa)ˆ ~ = ~0 para r 6= a K uz para r = a e K (A/m). ~ = σ~v , coordenadas cil´ındricas: 4. (a) I~ = λ~v ; (b) K ~ ~ = ~0 K(r) = σωrˆ uφ na superf´ıcie do disco e K ~ fora do disco ; (c) J = ρ~v , coordenadas esf´ericas: ~ J(r) = ρωr sin θˆ uφ dentro da esfera e J~ = ~0 fora da esfera. ~ φ, 0) = 5. (a) B(r, ~ φ, z) = (b) B(r,

µ0 I √ a ˆφ (T); 2πr r 2 +a2 u µ0 I u ˆφ (T); (c) -.

2πr

  a2 ~ 0, z) = 2 √ µ0 I 6. B(0, kˆ (T). π z 2 + 2a2 z 2 + a2   ~ 0, 0) = N tan π µ0 I kˆ (T) ; 7. (a) B(0, 2π N a (b) Tomar o limite N → ∞.  2  a ˆ ~ 0, z) = 1 √ µ0 I 8. (a) B(0, 2 z 2 +a2 z 2 +a2 k (T); (b) -; (c) 12.6 µT ∼ 1/4 Bsuperf icie da (Bsuperf icie da T erra ∼ 50 µT).

 µ0 N Ia2 1 ~ 9. a) B = + 2 (a2 + (z + h/2)2 )3/2  1 kˆ (T); b) -; c) h = a. + 2 (a + (z − h/2)2 )3/2 ~ = σ~v , coordenadas cil´ındricas: K(r) ~ 10. (a) K = σωrˆ uφ ~ ~ na superf´ıcie do disco e K = 0 fora do disco ; (b)  2  2 ~ 0, z) = µ0 ωσ z√ + a /2 − |z| kˆ (T). B(0, z 2 + a2 L/2 − z p + 2 a + (z − L/2)2 ! L/2 + z ~ = µ0 nI kˆ (T); +p kˆ (T); (b) B a2 + (z + L/2)2 (c) - ; (d) 12.5 mT ∼ 250 Bsuperf icie da T erra (Bsuperf icie da T erra ∼ 50 µT).

~ = µ0 nI 11. (a) B 2

12. Coordenadas cil´ındricas
e ponto P na origem. ~ 0, 0) = µ0 Iα 1 − 1 kˆ (T) B(0, 4π b a ~ = − µ0 I kˆ (T); (b) B ~ = µ0 I 13. (a) B 4a 2π   a 1 ha ˆj− √ − + + 2 h h a2 +h2 (a + h2 )3/2 πa2 − kˆ (T). 2(a2 + h2 )3/2

T erra

50

Electromagnetismo - EEC0012 - 2014/15

FEUP/MIEEC

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 11 - Lei de Amp` ere, for¸cas magn´ eticas e bin´ arios magn´ eticos Lei de Amp` ere (forma integral) 1. Circula¸c˜ ao de campos vectoriais. Calcule a circula¸c˜ao dos seguintes campos vectoriais ao longo do caminho e sentido ilustrados na figura. 2

2

1

1

0

0

-1

-2

-2

b) -1

0

r/a

1

2

-2

2

4

1

3

0

2

-1

-2

-2

-1

0

r/a

1

2

4. Cabo coaxial infinito. Considere uma linha de transmiss˜ao coaxial. O condutor interno transporta uma corrente +I. O condutor externo transporta uma corrente −I. O condutor interno ´e um cilindro de raio a. O condutor externo ´e uma casca cil´ındrica de raio interior b e raio exterior c.

1

c) -2

-1

0

r/a

1

2

0

d) -2

-1

0

r/a

1

2

~ = (a) Campo magn´etico de um fio infinito B ~ = (b) Campo magn´etico de um fio infinito B

(b) Desenhe o gr´afico do campo em fun¸c˜ ao da distˆancia r ao fio. (c) Considere uma linha de alta tens˜ao, transportando uma potˆencia de a 60 MW a uma tens˜ao de 110 kV. Calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica a uma distˆancia de 100 m e compare com o campo magn´etico terrestre.

-1

a)

(a) Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica dentro e fora do cilindro, supondo a corrente distribu´ıda uniformemente no cilindro.

-I

µ0 I ˆφ . 2πr u µ0 I ˆφ . 2πr u

b c

a +I

~ = (c) Campo electrost´ atico de uma carga pontual E +Q u ˆ . 4π0 r 2 r (d) Campo de velocidades na margem de um rio ~v = yˆi. 2. Fio infinito. Considere um fio infinito coaxial com o eixo dos zz atravessado por uma corrente estacion´aria I. (a) Usando a lei de Amp`ere, calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica em qualquer ponto do espa¸co. (b) Esboce as linhas de for¸ca do campo, no plano xy. (c) Desenhe o gr´ afico da intensidade campo em fun¸c˜ ao da distˆ ancia r ao fio. (d) Suponha que o fio ´e atravessado por uma corrente de 1 A, qual ´e o valor do campo de indu¸c˜ao magn´etica a 1 cm e 1 m do fio? Como se compara com o campo magn´etico terrestre. 3. Cilindro infinito. Considere um cilindro infinito, de raio a, coaxial com o eixo dos zz atravessado por uma corrente estacion´ aria I.

(a) Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica em todo o espa¸co. (b) Desenhe o gr´afico do campo em fun¸c˜ao da coordenada radial r. (c) Considere um cabo coaxial RG-59 de 100 m de comprimento, suportando uma tens˜ao m´ axima de 2 kV, com uma resistˆencia de 8,5 Ω/km. Estime o campo magn´etico m´aximo no seu interior, sabendo que o diˆametro do condutor interno ´e 0.81 mm. 5. Solen´ oide infinito. Um dos tipos de bobines consiste em espiras enroladas em forma de solen´oide. Considere um solen´oide infinito de raio a, transportando uma corrente I em cada espira e com uma densidade n de espiras por unidade de comprimento. a

51

z

(a) Calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica em todo o espa¸co. (b) Esboce as linhas de campo. (c) Considere uma bobina com 1000 espiras, de raio 5 cm, comprimento 30 cm, transportando uma corrente de 1 A. Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica no seu eixo. Como se compara com o de um fio infinito? 6. Bobine toroidal. Considere uma bobine toroidal, cujo o tor´ oide tem um raio interior a e um raio exterior b. A bobine possui N espiras e transporta uma corrente estacion´ aria I. b

7. Cilindro com cavidade. Considere um cilindro de raio a atravessado por uma densidade de corrente J~ constante. O cilindro tem uma cavidade cil´ındrica de raio b, localizada cujo centro relativamente ao centro do primeiro cilindro ´e ~s.

s

(d) Qual a intensidade e o sentido da corrente el´ectrica que deveria percorrer o solen´ oide interior para que o campo no seu interior fosse nulo?

Lei de Amp` ere (forma diferencial) 9. Rotacional em coordenadas cartesianas. A partir da defini¸c˜ao de rotacional, mostre que em coordenadas ~ se cartesianas o rotacional de um campo vectorial A escreve ˆi ˆj kˆ ~ × A ~ ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z = ∇ = Ax A A   y  z   ∂Az ˆ ∂Ax ∂Az ˆ ∂Az ∂Ay ˆ ∂Ay − i+ − j+ − k. ∂z ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z 10. Teorema de Stokes. Demonstre o teorema de Stokes I ZZ   ~ = ~ ~ · dl ~ ×A ~ · dS A ∇ C

b

S

~ ´e um campo de vectores, C um caminho onde A fechado e S uma superf´ıcie qualquer cujo contorno ´e o caminho C.

J

11. Rotacional do campo electrost´ atico.

Calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica na cavidade.

(a) Mostre que o campo electrost´atico ´e irrotacional: ~ ×E ~ = ~0 ∇

8. Dois solen´ oides coaxiais. Considere dois solen´oides infinitos, cujos eixos longitudinais s˜ ao coincidentes, constitu´ıdos por espiras de igual sec¸c˜ ao recta e possuindo raios (distˆ ancia das espiras ao eixo longitudinal) de R1 e R2 = 2R1 . As espiras s˜ ao percorridas por correntes el´ectricas estacion´ arias com o mesmo sentido e de valor I1 e I2 = 2I1 , no solen´ oide interior e no solen´ oide exterior, respectivamente. A densidade de espiras no solen´ oide interior ´e de n1 . O campo de indu¸c˜ ao magn´eica ao longo do eixo longitudinal comum aos dois solen´ oides tem uma intensidade B0 .

e interprete fisicamente esta equa¸c˜ao. Sugest˜ ao: use a defini¸c˜ ao de rotacional e/ou use o teorema de Stokes. (b) Mostre que para qualquer campo escalar  f , o ~ ~ rotacional do seu gradiente ´e nulo ∇× ∇f = ~0 e use este resultado para o campo electrost´ atico identificando o significado do campo escalar f .

R2 R1

(c) Obtenha valores num´ericos para as al´ıneas anteriores tomando I1 = 0.1 A, R1 = 1 dm, n1 = 25 voltas/cm e B0 = 5.3 × 10−4 T.

a

Calcule o campo de indu¸c˜ ao magn´etica em todo o espa¸co.

a

(b) Calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica entre os dois solen´oides.

12. Rotacional do campo magnetost´ atico.

z

(a) Determine a densidade n2 de espiras no solen´ oide exterior. Sugest˜ ao: comece por calcular o campo de indu¸c˜ ao magn´etica gerado por um solen´ oide infinito com uma densidade de espiras n e percorrido por uma corrente el´ectrica estacion´ aria I e aplique o princ´ıpio da sobreposi¸c˜ ao. 52

(a) A partir da defini¸c˜ao de rotacional e da Lei de Amp`ere na forma integral, mostre que o rotacional do campo de indu¸c˜ao magn´etica est´ atico ´e dado por ~ ×B ~ = µ0 J~ ∇ onde µ0 ´e a permeabilidade magn´etica do v´ acuo e J~ o vector densidade de corrente el´ectrica. Esta equa¸c˜ao traduz a Lei de Amp`ere na sua forma diferencial (ou local).

(b) Interprete fisicamente a Lei de Amp´ere na forma diferencial. (c) Aplique o teorema de Stokes para obter a Lei de Amp`ere na forma integral a partir da sua forma diferencial. 13. Considere um cilindro infinito de raio a transportando uma corrente estacion´ aria I uniformemente distribu´ıda na sua sec¸c˜ ao. O campo de indu¸c˜ao magn´etica em todo o espa¸co foi calculado anteriormente usando a Lei de Amp`ere na forma integral. Calcule o rotacional deste campo de indu¸c˜ao magn´etica em qualquer ponto do espa¸co e verifique a lei de Amp`ere na forma diferencial.

For¸ ca magn´ etica part´ıcula

sobre

uma

14. Trabalho da for¸ca magn´etica. Considere uma part´ıcula de carga q e velocidade ~v numa regi˜ao onde ~ existe um campo de indu¸c˜ ao magn´etica B. (a) Mostre que a for¸ca magn´etica n˜ ao realiza trabalho sobre a part´ıcula. (b) Qual a varia¸c˜ ao da energia cin´etica da part´ıcula devido ` a for¸ca magn´etica? (c) Estes resultados implicam que a for¸ca magn´etica actuando sobre uma part´ıcula n˜ ao altera a intensidade da velocidade desta. Que efeitos tem pois a for¸ca magn´etica sobre a velocidade de uma part´ıcula? 15. Movimento de ciclotr˜ ao. y B R q x

(m = 1.7 × 10−27 kg, q = +e) em torno de uma linha de campo magn´etico terrestre, que no p´olo Norte magn´etico tem um valor de cerca B⊕ = 60 µT. (d) Um ciclotr˜ao ´e um tipo de acelerador de part´ıculas que acelera part´ıculas carregadas atrav´es do efeito combinado de um campo magn´etico e de um campo el´ectrico (figura da direita). O campo magn´etico da figura da direita ´e idˆentico ao da esquerda. O campo el´ectrico acelera a part´ıcula, por breves momentos, enquanto esta passa de um semi-disco para o outro. Explique qualitativamente a traject´ oria da part´ıcula. 16. O espectr´ ometro de massa. Um espectr´ometro de massa ´e um dispositivo que usando um campo magn´etico uniforme selecciona ´atomos em fun¸c˜ ao da sua massa. Antes de entrarem na cˆ amara (regi˜ao onde existe um campo magn´etico uniforme) os ´atomos s˜ao ionizados ficando com uma carga q e s˜ ao sujeitos a uma diferen¸ca de potencial ∆V adquirindo uma velocidade v de entrada na cˆamara. Quando entram na cˆamara, a for¸ca magn´etica que sentem faz com que a sua traject´oria seja circular de raio R. Por fim, os ´atomos ionizados colidem numa chapa fotogr´afica (alvo) a uma distˆancia x do ponto de en´ ent˜ao poss´ıvel calcular a massa trada na cˆamara. E dos ´atomos ionizados sabendo a distˆancia x. A figura ilustra o espectr´ometro de massa. B R placa fotográfica

E

Considere uma part´ıcula de carga +q e massa m, na ausˆencia de campo el´ectrico e na presen¸ca de campo ~ = B kˆ (figura da de indu¸c˜ ao magn´etica uniforme B esquerda). A part´ıcula tem uma velocidade inicial ~v = v0 ˆj. (a) Mostre que a traject´ oria da part´ıcula ´e uma cir0 cunferˆencia de raio R = mv qB . (b) Calcule o vector velocidade da part´ıcula em fun¸c˜ ao do tempo e mostre que a part´ıcula roda com frequˆencia angular ω = qB m . (c) As auroras boreais s˜ ao causadas pelo embate de part´ıculas carregadas, provenientes do vento solar (velocidade v ∼ 500 km/s), que espiralam em torno das linhas de campo magn´etico terrestre. Calcule o raio da ´ orbita de um prot˜ao 53

x

v q+

DV

(a) Suponha que inicialmente o ´atomo ionizado tˆem velocidade nula e que ´e acelerado numa diferen¸ca de potencial ∆V , calcule a sua velocidade v de entrada na cˆamara. (b) Calcule o raio da traject´oria dos ´atomos ionizados em fun¸c˜ao da sua massa m, carga q, velocidade v e campo magn´etico B. (c) Calcule a posi¸c˜ao x na chapa fotogr´ afica em fun¸c˜ao de ∆V , m, q e B. + (d) Suponha que temos ´atomos ionizados de N+ 2 , O2 + e NO , com velocidades de 30 km/s, o campo magn´etico B tem a intensidade de 0.1 T. Calcule as posi¸c˜oes x dos i˜oes na placa fotogr´ afica. As massas at´omicas do azoto e oxig´enio s˜ ao 14 g/mol e 16 g/mol, respectivamente.

17. O efeito Hall. Considere um condutor rectangular, de comprimento L, espessura w e altura d. Considere que os portadores de carga deste condutor s˜ ao

cargas positivas +e. (Esta situa¸c˜ ao ocorre num semicondutor de tipo p em que os portadores de carga s˜ ao lacunas que se comportam como possuindo carga el´ectrica positiva +e.) Considere que existe uma densidade vol´ umica de cargas positivas np (n´ umero de cargas positivas por unidade de volume). O condutor encontra-se ligado a uma diferen¸ca de potencial V0 , sendo atravessado por uma corrente I0 com a direc¸c˜ao ´ positiva do eixo dos xx. E-lhe aplicado um campo de ~ = B0 kˆ conforme ilustrado nas indu¸c˜ ao magn´etica B figuras.

y I0

L B

z

For¸ca magn´ etica sobre percursos com correntes el´ ectricas 19. (a) Usando a Lei de Lorentz, mostre que a for¸ca magn´etica sobre um percurso C percorrido por uma corrente el´ectrica I (por exemplo, um fio, uma barra, etc.) na presen¸ca de um campo de ~ ´e dada por indu¸c˜ao magn´etica B Z ~ ×B ~ ~ F = I dl

d x

C

VH

V0

(a) Calcule a for¸ca inicialmente sentida pelas cargas quando se movem no condutor. (b) Quando o estado estacion´ ario ´e atingido, uma distribui¸c˜ ao n˜ ao homog´enea (em y) de carga ´e criada que resulta numa diferen¸ca de potencial VH . Calcule VH . (c) Mostre que a polaridade de VH depende do sinal da carga dos portadores de carga. ´ poss´ıvel, usando um 18. Selector de velocidades. E campo magn´etico perpendicular a um campo el´ectrico, criar uma m´ aquina que selecciona part´ıculas com uma dada velocidade. A figura ilustra esse mecanismo. Uma part´ıcula de massa m, carga q e velocidade v entra numa cˆ amara onde existe um campo el´ectrico est´ atico E e um campo magn´etico est´ atico B. S´ o part´ıculas com uma dada velocidade v efectuam um movimento rectil´ıneo, conseguindo sair da cˆ amara.

v

(b) Suponha agora que o campo magn´etico tem uma intensidade de 100 gauss e que se pretende seleccionar part´ıculas com uma velocidade de 0.01 c (onde c ´e a velocidade da luz no v´acuo). Qual dever´a ser a intensidade do campo el´ectrico?

B E

(a) Calcule a velocidade necess´ aria a uma part´ıcula para efectuar uma traject´ oria rectil´ınea. O resultado depende da massa e/ou da carga da part´ıcula? Obtenha um valor num´erico tomando E ∼ 100 N/C e B ∼ 0.5 gauss = 5 × 10−5 T (ordens de grandeza dos campos el´ectrico e magn´etico ` a superf´ıcie terrestre). 54

(b) Anteriormente mostrou-se que um campo magn´etico n˜ao realiza trabalho sobre uma part´ıcula carregada em movimento. A corrente el´ectrica do percurso ´e constitu´ıda por part´ıculas carregadas em movimento (e.g., os electr˜oes num metal), pelo que o percurso sob a ac¸c˜ao de um campo magn´etico n˜ao deveria alterar o m´odulo da sua velocidade. Mas pelo resultado da al´ınea anterior, sob a ac¸c˜ ao de um campo magn´etico surge uma for¸ca magn´etica no percurso que pode alterar o m´odulo da sua velocidade. Como se explica este aparente paradoxo? Sugest˜ ao: analise o mecanismo microsc´ opico pelo qual a for¸ca magn´etica sobre os portadores de carga ´e transmitida ao percurso. 20. For¸ca magn´etica sobre uma barra deslizante percorrida por uma corrente el´ectrica. Uma barra met´ alica condutora de massa M est´a apoiada num par de trilhos condutores, horizontais, compridos e separados por uma distˆancia L constante. Os trilhos encontram-se ligados a uma fonte ideal de corrente, a qual imp˜oe uma corrente I constante entre os seus terminais. O sistema encontra-se sob a ac¸c˜ ao de ~ perpendicular ao mesmo um campo magn´etico B e dirigida para a parte de tr´as da folha, conforme ilustrado na figura. Admita que n˜ao h´a atrito entre a barra e os trilhos.

(a) Sabendo que a barra parte do repouso, em que sentido ´e que a barra se desloca?

(c) Caso a corrente el´ectrica mudasse de sentido, como se moveria a barra? 21. Motor de propuls˜ ao magnetohidrodinˆ amico. Como a agua do mar ´e condutora, ´e poss´ıvel desenhar um ´ motor de propuls˜ ao magnetohidrodinˆ amico que usa for¸cas magn´eticas (em vez de uma h´elice) para empurrar a ´ agua para tr´ as. Esta tecnologia foi utilizada no barco Yamato 1. A figura apresenta um esquema do princ´ıpio de funcionamento do motor. fluxo de água do mar

w

h

B

DV

O canal do centro est´ a mergulhado na ´ agua. Este canal tem altura h, largura w e comprimento L. Espiras de fios supercondutores, arrefecidos com h´elio l´ıquido a -269 ◦ C, criam um campo magn´etico B fort´ıssimo. As paredes verticiais do ”canal” s˜ao mantidas a uma diferen¸ca de potencial ∆V conforme ilustrado na figura.

Calcule a for¸ca magn´etica, por unidade de comprimento, entre os dois fios. Esta for¸ca ´e atractiva ou repulsiva? Nota: como L  a, considere os fios como infinitos.

For¸cas e bin´ arios em espiras 23. For¸ca num percurso fechado. Mostre que a for¸ca magn´etica sobre um percurso fechado (espira) percorrido por uma corrente el´ectrica I na presen¸ca de ~ uniforme ´e nula. um campo de indu¸c˜ao magn´etica B Note que o facto da for¸ca total sobre um percurso fechado (espira) num campo magn´etico uniforme ser nula n˜ao significa que o momento total sobre o percurso seja nulo. 24. For¸cas e bin´ ario numa espira rectangular. Considere uma espira rectangular, a qual ´e percorrida por uma corrente I constante, conforme ilustrado na figura. A espira encontra-se sujeita `a ac¸c˜ao de um campo ~ = B ˆj. O eixo de rota¸c˜ magn´etico uniforme B ao da espira ´e o eixo dos zz.

z >

(b) Usando a Segunda Lei de Newton, escreva a equa¸c˜ ao de movimento da barra e mostre que o m´ odulo da sua velocidade em fun¸c˜ ao do tempo ´e dado por v(t) = BIL M t.

(a) Em que direc¸c˜ ao deve a corrente el´ectrica na agua fluir para o motor empurrar a ´ ´ agua na direc¸c˜ ao indicada na figura?

x

(b) Calcule a for¸ca (magn´etica) de propuls˜ao deste motor. (c) Calcule a resistˆencia el´ectrica da ´ agua entre as paredes verticais mantidas ` a diferen¸ca de potencial ∆V . (d) Calcule a potencia dissipada em energia t´ermica, i.e., por efeito de Joule. (e) Se o barco se move a uma velocidade v, calcule a eficiˆencia do motor. A eficiˆencia ´e a raz˜ ao da potˆencia mecˆ anica (que faz o barco mover-se) pela potˆencia t´ermica (a potˆencia total dispon´ıvel para fazer mover o barco). (f) Sabendo que para a ´ agua do mar σe = 4 (Ωm)−1 , tomando w = h = 50 cm, L = 2 m, B = 1 T, v = 18 km/h e ∆V = 1 kV, estime valores para as quantidades anteriores. 22. Lei da for¸ca de Amp`ere. (a) Considere duas espiras C1 e C2 percorridas por correntes el´ectricas I1 e I2 , respectivamente. Calcule a for¸ca magn´etica entre ambas, reobtendo assim a lei da for¸ca de Amp`ere. (b) Considere dois fios rectil´ıneos paralelos muito longos de comprimento L e distanciados de a um percorrido por uma corrente el´ectrica I1 e o outro percorrido por uma corrente el´ectrica I2 . 55

B

y x

>

m >

z

b

m

d y

O vector momento dipolar magn´etico da espira ´e dado por m ~ ≡ IS n ˆ , onde S ´e a ´area da superf´ıcie delimitada ela espira e n ˆ o versor normal `a superf´ıcie (com sentido dado pela regra da m˜ao direita). Seja tamb´em θ o ˆangulo entre o vector momento dipolar magn´etico da espira e o vector campo magn´etico. (a) Considere os lados de cima e de baixo da espira. i. Calcule a for¸ca magn´etica nestes lados. ii. Calcule a for¸ca total resultante nestes lados. iii. Calcule o bin´ario destas for¸cas em rela¸c˜ ao ao eixo de rota¸c˜ao da espira. (b) Considere agora os lados da esquerda e da direita da espira. i. Calcule a for¸ca magn´etica nestes lados. ii. Calcule a for¸ca total resultante nestes lados. iii. Calcule o bin´ario destas for¸cas em rela¸c˜ ao ao eixo de rota¸c˜ao da espira. (c) Mostre que a espira sofre um bin´ario em rela¸c˜ ao ao seu eixo de rota¸c˜ao dado por: ~ T~ = m ~ ×B (d) Mostre que a espira roda sempre de modo a alinhar o seu momento dipolar magn´etico segundo a direc¸c˜ao e o sentido do campo magn´etico, e indique a sua posi¸c˜ao de equil´ıbrio.

1 cm2 e possui 1000 enrolamentos. A sensibilidade do visor ´e de 1◦ , e pretendem-se medir correntes de 1 mA. Qual dever´a ser o bin´ ario da mola T0 ?

25. O galvan´ ometro de Arsonval.

26. Motor de corrente cont´ınua. Um galvan´ ometro ´e um dispositivo que mede a corrente el´ectrica num ramo de um circuito. O princ´ıpio do funcionamento do galvan´ ometro consiste em usar a pr´ opria corrente I do ramo em quest˜ ao para alimentar uma bobina (com N enrolamentos de ´area A) no interior do galvan´ ometro. Esta bobina encontra~ criado por um se imersa num campo magn´etico B ´ıman. O bin´ ario magn´etico sobre a bobina, quando esta ´e percorrida pela corrente I do ramo em causa, tende a alinhar o momento dipolar magn´etico da es~ criado pira com a direc¸c˜ ao e o sentido do campo B pelo ´ıman. Por outro lado, uma mola equilibra o bin´ ario magn´etico provovado pelo campo com um bin´ ario dado por T = T0

θ π/2

onde θ ´e o ˆ angulo de tor¸c˜ ao da mola. (a) Obtenha uma express˜ ao para a corrente el´ectrica em fun¸c˜ ao do ˆ angulo de deslocamento do ponteiro no visor, I(θ). (b) Suponha que o campo do ´ıman ´e de 1 mT, a bobina tem uma sec¸c˜ ao transversal de ´area de

(a) Explique o princ´ıpio de funcionamento de um motor de corrente cont´ınua. Em particular como ´e que a bobina central se mant´em em movimento constante e n˜ao se alinha com o campo do ´ıman. (b) Anteriormente mostrou-se que um campo magn´etico n˜ao realiza trabalho sobre uma part´ıcula carregada em movimento. Num motor el´ectrico ´e a for¸ca magn´etica que o faz rodar. Ora como na espira do motor a corrente ´e constitu´ıda por part´ıculas carregadas em movimento, como explica o aparente paradoxo? Sugest˜ ao: analise o problema microscopicamente e mostre que microscopicamente n˜ ao ´e o campo magn´etico que exerce for¸ca sobre os ´ atomos do fio.

Respostas µ0 ~ s 2 J ×~

1. (a) -µ0 I ; (b) µ0 I ; (c) 0 ;(d) −4 m2 /s.

~ = 7. B

~ = µ0 I u 2. (a) B 2πr ˆφ (T); (b) - ; (c) - ; (d) B(r = 1 cm) = 20 µT, B(r = 1 m) = 0.2 µT (Bsuperf icie da T erra ∼ 50 µT).  µ0 I uφ r ≤ a  2πa2 rˆ ~ = 3. (a) B (T) ; (b) - ;  µ0 I 1 u ˆ r ≥ a 2π r φ (c) 1.1 µT (Bsuperf icie da T erra ∼ 50 µT).  µ0 I  uφ r≤a  2πa2 rˆ       µ0 I 1  ˆφ a≤r≤b  2π ru ~ 4. (a) B = (T) ; (b) - ; 2 2  0 I c −r   µ2πr u ˆ b ≤ r ≤ c 2 2 φ  c −b       ~0 r≥c (c) Bmax ' 1.16 T.

~ entre = B ~ 2 = (B0 − 8. (a) n2 = 2µB00I1 − n21 ; (b) B ~ 2 = 2.16 × µ0 n1 I1 )kˆ ; (c) n2 = 859 espiras/m , B n2 −4 ˆ 0 10 k (T) ; (d) I1 = − n1 I2 = −68.7 mA (sinal negativo significa que o sentido de I1 ´e oposto ao de I2 no solenoide exterior).

(T) na cavidade.

9. -. 10. -. 11. (a) - ; (b) f (~r) = −V (~r), onde V ´e o potencial electrost´atico.

~ = µ0 nI kˆ (T) dentro do solen´ ~ = ~0 (T) 5. (a) B oide, B fora ; (b) - ; (c) 4.19 mT , Bf io inf inito (r = 5 cm) = 4µT.

12. (a) - ; (b) As correntes estacion´arias s˜ao as ”fontes” ~ est´atico. O campo magn´etico do campo magn´etico B ~ est´atico ”roda” em torno das correntes que o criam. B (c) -.   µI  πa0 2 kˆ , r < a  ~ ×B ~ = = µ0 J~ (T/m). 13. ∇   ~ 0 ,r > a

~ = 6. (a) B fora.

14. (a) - ; (b) 0 ; (c) A for¸ca magn´etica, sendo sempre perpendicular `a velocidade ~v de uma part´ıcula, n˜ ao

µ0 N I ˆφ 2πr u

~ = ~0 (T) (T) dentro da bobina, B

56

altera o seu m´ odulo, mas altera a direc¸c˜ ao da velocidade da part´ıcula em que actua.

da for¸ca magn´etica dos portadores de carga para o condutor.

15. (a) - ; (b) A part´ıcula possui movimento circular com uma frequˆencia angular ω constante (denominada por frequˆencia de ciclotr˜ ao), sendo o seu vector-posi¸c˜ao ~r(t) = R[cos(ωt)ˆı+sin(ωt)ˆ] e o seu vector-velocidade ~v (t) = d~rdt(t) = ωR[− sin(ωt)ˆı + cos(ωt)ˆ]. Donde se conclui que v0 = ωR e portanto ω = qB/m. (c) R ∼ 88.5 m ; (d) -. q q mv 2 2m∆V ; (b) R = ; (c) x = ; 16. (a) v = 2q∆V m qB B q

20. (a) A for¸ca que actua na barra ´e F = BIL para a direita. Como parte do repouso, a barra desloca-se para a direita. (b) M dv dt = BIL ; (c) Para a esquerda.

+ + (d) x(N+ 2 ) ' 17.5 cm, x(O2 ) ' 20.0 cm, x(NO ) ' 18.8 cm.

17. (a) F~mag = evB0 ˆj onde v = 1 I0 B 0 np e w

I0 wdnp e

; (b) VH =

; (c) - .

E 18. (a) v = B ∼ 2 × 106 m/s ; (b) E = vB ∼ 4 3 × 10 V/m=30 kV/m.

19. (a) - ; (b) Tal como no efeito de Hall, a for¸ca magn´etica actua sobre os portadores de carga do condutor e faz surgir um excesso de carga negativa num lado da superf´ıcie externa do condutor e um excesso de carga positiva no lado oposto. A for¸ca devida ao impacto dos portadores de carga sobre as paredes do condutor ´e o mecanismo microsc´ opico de transmiss˜ao

57

21. (a) Direc¸c˜ao e sentido da parede vertical a potencial mais alto para a parede vertical a potencial mais w ; (d) P = baixo ; (b) F = ∆V σhLB ; (c) R = σ1 hL wvB 2 hL (∆V ) σ w ; (e) Pmec /P = ∆V ; (f) F = 4 × 103 N, R = 0.125 Ω, P = 8 MW, Pmec /P = 2.5 × 10−3 . I1 I2 . Se as correntes paralelas I1 e 22. (a) - ; (b) FLm = µ02πa I2 possuem o mesmo sentido a for¸ca ´e atractiva, caso possuam sentidos opostos a for¸ca ´e repulsiva. H H ~ × B) ~ ×B ~ = I( dl) ~ = ~0, pois I ´e con23. F~ = ( C I dl C ~ ´e uniforme e pela adi¸c˜ stante (percurso fechado), B ao H ~ ~ de vectores C dl = 0.

24. (a) i. F~1 = IbB cos θkˆ em cima, F~2 = −IbB cos θkˆ em baixo; ii. F~1 + F~2 = ~0 iii. T~ = ~0; (b) i. F~3 = IdBˆı ˆ F~4 = −IdBˆı no no lado com corrente segundo −k, ˆ lado com corrente segundo +k; ii. F~3 + F~4 = ~0. iii. ˆ (c) - ; (d)-. T~ = IdbB sin θk; 25. (a) I(θ) = 26. (a) -; (b) -.

2T0 πN AB θ

(A) ; (b) T0 = 9 × 10−6 (N.m) .

Electromagnetismo - EEC0012 - 2014/15

FEUP/MIEEC

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 12 - Divergˆ encia do campo magn´ etico, indutˆ ancias e magnetismo na mat´ eria Divergˆ encia do campo magn´ etico 1. Divergˆencia do campo de indu¸c˜ ao magn´etica. Con~ gerado por: sidere o campo de indu¸c˜ ao magn´etica B (i) um fio rectil´ıneo infinito percorrido por uma corrente estacion´ aria I; (ii) um cil´ındro infinito de raio R transportando uma corrente estacion´ aria J~ uniformemente distribu´ıda. Mostre que a divergˆencia ~ B ~ = 0. destes campos de indu¸c˜ ao magn´etica ´e nula ∇· 2. Divergˆencia do campo de indu¸ca ˜o magn´etica.

(b) A partir do resultado da al´ınea anterior, calcule o campo de indu¸c˜ao magn´etica. Verifique o resultado com o obtido pela Lei de Amp`ere. (c) Interprete os resultados. 5. Mostre que o fluxo magn´etico numa superf´ıcie aberta S pode ser escrito como a circula¸c˜ao do vector potencial magn´etico ao longo do contorno C dessa superf´ıcie: ZZ I S

(a) *Usando a Lei de Biot-Savart, mostre que a divergˆencia do campo de indu¸c˜ ao magn´etica ´e nula: ~ ·B ~ =0 ∇ (b) Usando o resultado anterior e o teorema da divergˆencia, mostre que a Lei de Gauss para o campo de indu¸c˜ ao magn´etica se escreve: ZZ ~ · dS ~=0 (1)

B S

3. O campo de vectores potencial magn´etico. *Mostre que se pode escrever o campo de vectores de ~ atrav´es de um campo auxiliar, indu¸c˜ ao magn´etica B ~ tal que o campo de vectores potencial magn´etico A, ~ =∇ ~ ×A ~ B ~ ´e dado por onde A ~ r) = µ0 A(~ 4π

v

Z C

Indutˆ ancias 6. Coeficiente de auto-indu¸ca ˜o de um solen´ oide muito comprido. Considere um solen´oide de raio a e comprimento l  a. O solen´oide tem N espiras. (a) Calcule o coeficiente de auto-indu¸c˜ ao do solen´oide pelo m´etodo do fluxo de liga¸c˜ ao.

(c) Supondo que N = 1000 espiras, L = 10 cm e a = 5 mm, calcule o valor num´erico do coeficiente de auto-indu¸c˜ao. 7. Coeficiente de auto-indu¸c˜ ao de um cabo coaxial. Considere um cabo coaxial consistindo em duas folhas cil´ındricas condutoras de raio a e b. (a) Calcule o coeficiente de auto-indu¸c˜ ao por unidade de comprimento pelo m´etodo do fluxo de liga¸c˜ao.

~ Jdv |~r − ~r0 |

(b) Calcule o coeficiente de auto-indu¸c˜ ao por unidade de comprimento pelo m´etodo da energia.

para correntes em volumes e por ~ r) = µ0 A(~ 4π

C

(b) Calcule o coeficiente de auto-indu¸c˜ ao do solen´oide pelo m´etodo da energia.

(c) Interprete fisicamente os resultados anteriores.

Z

~ · d~l A

~ · dS ~= B

Φ=

~ I dl |~r − ~r0 |

(c) Supondo que se trata de um cabo RG-214, com a = 2.256 mm e b = 7.24 mm calcule o valor num´erico do coeficiente de auto-indu¸c˜ ao.

para correntes em percursos lineares. 4. Considere um fio rectil´ıneo infinito percorrido por uma corrente estacion´ aria I. (a) *Calcule o vector potencial magn´etico. 58

8. Coeficiente de auto-indu¸c˜ ao de uma linha de transmiss˜ ao. Considere uma linha de transmiss˜ ao consistindo em dois fios condutores paralelos de raio a e separa¸c˜ao d  a.

(a) Calcule o coeficiente de auto-indu¸c˜ao por unidade de comprimento pelo m´etodo do fluxo de liga¸c˜ ao. (b) Calcule o valor num´erico supondo que se trata de uma linha de 300 Ω (normalmente usada para ligar uma antena ` a TV) com d/a = 6. 9. Coeficiente de auto-indu¸c˜ ao de uma bobina toroidal. Considere uma bobine toroidal. O tor´ oide tem um raio interior a e um raio exterior b. A bobine possui N espiras e transporta uma corrente estacion´aria I. Calcule o coeficiente de auto-indu¸c˜ ao. 10. Indutˆ ancia m´ utua entre dois solen´ oides. Considere dois solen´ oides coaxiais de raios R1 e R2 e n´ umero de espiras N1 e N2 , respectivamente.

(b) Calcule o vector campo de indu¸c˜ao magn´etica, para pontos muito afastados da espira (r  a). 14. Correntes de magnetiza¸c˜ ao. Considere um material ~. caracterizado por uma magnetiza¸c˜ao M (a) *Mostre que o vector potencial magn´etico criado pelo material ´e dado por ! Z I ~ ×M ~ ~ ×n ∇ M ˆ µ 0 ~= dv 0 + dS 0 A 4π |~r − ~r0 | |~r − ~r0 | v0 S0 onde v 0 ´e o volume do material e S 0 a sua superf´ıcie. ~ ×M ~ (b) Usando an´alise dimensional, mostre que ∇ pode ser interpretado como uma densidade de corrente de magnetiza¸c˜ao (dentro do material)

(a) Calcule o coeficiente de indutˆ ancia m´ utua L12 e L21 dos solen´ oides.

~ ×M ~ = J~m . ∇

(b) Compare L12 e L21 . 11. F´ ormula de Neumann. Considere a indutˆancia m´ utua L12 entre duas espiras C1 e C2 , N1 e N2 espiras respectivamente.

~ ×n (c) Usando an´alise dimensional, mostre que M ˆ pode ser interpretado como uma densidade superficial de corrente de magnetiza¸c˜ao (na superf´ıcie do material) ~ ×n ~ m. M ˆ=K

(a) Mostre que L12

µ0 N1 N2 = 4π

I C1

I C2

~ 1 · dl ~2 dl |~r1/2 |

onde ~r1/2 = ~r1 − ~r2 ´e o vector-posi¸c˜ ao relativa de um elemento da espira 1 em rela¸c˜ao a um elemento da espira 2. (Sugest˜ ao: use a rela¸c˜ ao ~ e o vecentre o campo de indu¸c˜ ao magn´etica B ~ tor potencial magn´etico A.) (b) Interprete fisicamente o resultado.

15. O campo de excita¸c˜ ao magn´etica. Na presen¸ca de correntes livres e de magnetiza¸c˜ao, a Lei de Amp`ere para o campo de indu¸c˜ao magn´etica escreve-se na forma diferencial como   ~ ×B ~ = µ0 J~livre + J~m ∇ e na forma integral I ~ = µ0 (Ilivre, ~ · dl B

int

+ Im,

int )

C

(c) Mostre que L12 = L21 . 12. Indutˆ ancia m´ utua entre duas espiras. Considere duas espiras circulares de raio a e b e n´ umero de espiras N1 e N2 , respectivamente. Suponha as espiras coaxiais e separadas de d  a, b. Calcule o coeficiente de indutˆ ancia m´ utua das espiras.

onde Ilivre, int e Im, int s˜ao a corrente livre e a corrente de magnetiza¸c˜ao no interior do caminho amperiano C, respectivamente. A Lei de Gauss para o campo de indu¸c˜ao magn´etica escreve-se na forma diferencial e na forma integral, ~ ~ ZZ ∇ · B ~ ~ · dS

B

Magnetismo na mat´ eria

=

0

=

0

S

13. O dipolo magn´etico. Considere uma espira circular de raio a, transportando uma corrente I. Esta espira ´e um dipolo magn´etico. A espira ´e caracterizada pelo ˆ momento dipolar magn´etico m ~ = πa2 I k.

respectivamente, mesmo na presen¸ca de correntes de ~ ´e magnetiza¸c˜ao. O campo de excita¸c˜ao magn´etica H definido como,

(a) * Mostre que o vector potencial magn´etico, para pontos muito afastados da espira (r  a), ´e dado por ~ ×u ˆr ~ r) = µ0 m A(~ 4π r2 onde u ˆr ´e o versor radial esf´erico e r a coordenada radial esf´erica.

(2)

59

~ ~ = B −M ~ H µ0 ~ ´e o vector magnetiza¸c˜ao do material. onde M

(a) Mostre que a forma local da lei de Amp`ere para o campo de excita¸c˜ao magn´etica se escreve ~ ×H ~ = J~livre ∇

onde J~livre ´e a densidade de corrente livre (exclui as correntes de magnetiza¸c˜ ao) e que na forma integral se escreve I ~ = Ilivre, int ~ · dl H

(b) Determine as correntes de magnetiza¸c˜ ao na barra e esboce-as na barra.

C

onde Ilivre, int ´e a corrente livre no interior do caminho amperiano. (b) Mostre que a forma local da lei de Gauss para o campo de excita¸c˜ ao magn´etica se escreve ~ ~ ~ ~ ∇ · H = −∇ · M e que a forma integral se escreve ZZ ZZ ~ ~ ~ ~ · dS.

H · dS = − M S

S

16. Permeabilidade magn´etica relativa. Para materiais simples (isotr´ opicos, homog´eneos e lineares) o vector magnetiza¸c˜ ao ´e proporcional ao campo de excita¸c˜ao magn´etica ~ = χm H ~ M

(c) Pode-se mostrar que a energia armazenada no campo magn´etico na presen¸ca de meios materiais magn´eticos simples ´e dada por Z 1 ~ ·B ~ dv. H Um = 2 t.oe. Calcule a energia magn´etica no solen´oide com e sem a barra. Comente a diferen¸ca de energias. ´ 18. Iman permanente. Um ´ıman permanente possui um campo magn´etico conforme ilustrado na figura, contudo o campo magn´etico n˜ao ´e produzido por correntes livres, mas ´e devido `a magnetiza¸c˜ao permanente do ´ıman.

onde χm ´e a a susceptibilidade magn´etica do material. (a) Mostre que nestas condi¸c˜ oes se pode escrever ~ = µH ~ B onde µ ´e a permeabilidade magn´etica do material. (b) Mostre que a permeabilidade magn´etica (µ), a permeabilidade magn´etica relativa (µr ) e a susceptibilidade magn´etica est˜ ao relacionadas por µ = 1 + χm . µr = µ0 (c) Mostre que nestes materiais s´ o existem densidades de corrente de magnetiza¸c˜ ao se o material estiver sujeito ` a ac¸c˜ ao de correntes livres. 17. Electro´ıman. Considere um solen´ oide de raio R, comprimento L e densidade uniforme de espiras n. O solen´ oide ´e percorrido por uma corrente el´ectrica I estacion´ aria. Considere tamb´em uma barra cil´ındrica feita de um material magn´etico simples (isotr´opico, homog´eneo e linear) de susceptibilidade magn´etica χm > 0. A barra ´e inserida no interior do solen´oide ajustando-se perfeitamente a este conforme a figura. Assuma a ”aproxima¸c˜ ao infinita” para os diversos campos.

R

z I

L

~ B ~ e M ~ dentro do (a) Determine os campos H, solen´ oide antes e depois da barra ser inserida. Comente as diferen¸cas. 60

Considere um ´ıman permanente com uma forma cil´ındrica de raio a e comprimento l. Tome a direc¸c˜ao do eixo dos zz como coincidente com o eixo longitudinal do ´ıman e que este se encontra centrado. O ´ıman ´e caracterizado por uma magnetiza¸c˜ ao per~ = M kˆ (constante) dentro da sua massa manente M e nula fora. Assuma M > 0. (a) Calcule a densidade de corrente de magnetiza¸c˜ao J~m dentro do ´ıman e a densidade su~ m nas perficial de corrente de magnetiza¸c˜ao K v´arias faces do ´ıman. (b) Escreva a lei de Amp`ere para o campo ~ produzido pelo ´ıman e mostre que magn´etico B ~ do ´ıman ´e idˆentico ao o campo magn´etico B de um solen´oide finito com N espiras uniformemente distribu´ıdas e percorridas por uma corrente I estacion´aria tal que N I = M l. Calcule ~ ao longo do eixo longio campo magn´etico B tudinal do ´ıman dentro e fora deste. Esboce o ~ eM ~ em fun¸c˜ gr´afico da intensidade de B ao da coordenada longitudinal z. (c) Como n˜ao existem correntes livres, a circula¸c˜ ao ~ ´e nula. Mostre que o campo H ~ dendo campo H tro do ´ıman possui sentido oposto ao dos campos ~ eM ~ . Comente. B ~ ao longo do eixo (d) Calcule o campo magn´etico H longitudinal do ´ıman dentro e fora deste. Es~ em fun¸c˜ boce o gr´afico da intensidade de H ao da coordenada longitudinal z. ~ M ~ e (e) Esboce as linhas de campo dos campos B, ~ em todo o espa¸co dentro e fora do ´ıman. H

19. Magnetiza¸c˜ ao de uma barra ferromagn´etica. Considere um solen´ oide muito comprido, de raio a, com uma densidade linear de espiras n e onde cada espira ´e percorrida por uma corrente I estacion´ aria. Considere tamb´em uma barra cil´ındrica de raio a e comprimento l que se introduz no interior do solen´oide. A barra ´e constitu´ıda por um material ferromagn´etico de permeabilidade relativa µr e encontra-se inicialmente desmagnetizada. ~ o (a) Calcule o campo de excita¸c˜ ao magn´etica H, ~ e o vector magcampo de indu¸c˜ ao magn´etica B ~ ao longo do eixo longitudinal do netiza¸c˜ ao M solen´ oide dentro e fora da barra. (b) Considere agora que o solen´ oide ´e retirado fi~ = cando a barra com uma magnetiza¸c˜ao M ˆ M0 k, dita magnetiza¸c˜ ao remanescente. Calcule a densidade de corrente de magnetiza¸c˜ao J~m e densidade superficial de corrente de magne~ m nas v´ tiza¸c˜ ao K arias faces da barra. (c) Na situa¸c˜ ao anterior calcule o campo de indu¸c˜ao ~ ao longo do eixo longitudinal da magn´etica B barra, fora desta. 20. Condi¸c˜ oes-fronteira para os campos magn´eticos. Considere dois meios materiais caracterizados por permeabilidades magn´eticas µ1 e µ2 .

Ds

m1 m 2 Dw Dh m1

d m2

c

21. Refrac¸c˜ ao do campo magn´etico. Considere dois meios materiais caracterizados por permeabilidades magn´eticas µ1 e µ2 . N˜ao existe densidade superficial de corrente entre os meios.

B1 q1

m1>m2 m2

B2 q 2

(a) Mostre que na interface os ˆangulos que o campo de indu¸c˜ao magn´etica faz com a normal (θ1 e θ2 ) obedecem `a rela¸c˜ao, tan θ2 tan θ1 = . µ1 µ2 (b) Seja o meio 1 o ar e o meio 2 ferro com permeabilidade relativa µr,2 = 7000. Supondo que ~ 2 ´e o campo de indu¸c˜ao magn´etica no ferro ´e B normal `a interface calcule θ1 . Supondo que o campo de indu¸c˜ao magn´etica no ferro ´e quase tangente `a interface θ2 = 85◦ calcule θ1 . 22. Lei de Hopkinson. Considere o material magn´etico representado na figura. O material magn´etico possui comprimento l, sec¸c˜ao recta de ´area S e permeabilidade magn´etica µ, assumida constante. Existe um enrolamento de N espiras, envolvendo uma parte do material magn´etico, percorrido por uma corrente el´ectrica I constante, produzindo portanto um campo ~ Admitindo que µ  µ0 , podemos conmagn´etico B. ~ se enconsiderar que as linhas do campo magn´etico B tram todas dentro do material magn´etico. Por outras palavras, o material magn´etico ”captura” dentro de ~ produzido pelo enrolamento. si o campo magn´etico B

n

Dh

(c) Mostre que a componente tangencial do campo de excita¸c˜ao magn´etica na interface est´ a relacionada com a existˆencia de densidade superfi~ livre por cial  de corrente livre K ~1 − H ~2 = K ~ livre . n ˆ× H

a

n b Klivre

(a) Mostre que a componente normal do campo de indu¸c˜ ao magn´etica ´e cont´ınua na interface, B1,n − B2,n = 0. (b) Mostre que a componente tangencial do campo de indu¸c˜ ao magn´etica na interface est´a relacionada com a existˆencia de densidades super~ livre e de corrente de ficiais de corrente livre K ~ m por magnetiza¸c˜ ao K   ~ livre + K ~ m ). ~1 − B ~ 2 = 1 (K n ˆ× B µ0 61

(a) Usando a Lei de Amp`ere, mostre a Lei de Hopkinson: F = RΦ onde F = N I ´e a for¸ca magnetomotriz aplicada ao material, Φ = BS ´e o fluxo magn´etico atrav´es

l do material e R = µS ´e a relutˆ ancia magn´etica do material. (b) Quais s˜ ao as unidades SI da for¸ca magnetomotriz, da relutˆ ancia magn´etica e do fluxo magn´etico? (c) Fa¸ca uma analogia entre as quantidades anteriores dos circuitos magn´eticos (F, R, Φ e µ) e os seus equivalentes em circuitos el´ectricos. (d) Para que tipos de materiais magn´eticos se tem µ  µ0 ?

23. Leis dos circuitos magn´eticos. Considere um circuito magn´etico cujas sec¸c˜ oes s˜ ao muito menores do que as dimens˜ oes do circuito. (a) Mostre que para uma malha do circuito, X X Fi = Rk Φk , i

k

(a) Determine as relutˆancias e for¸cas magnetomotrizes do circuito. (b) Desenhe o circuito equivalente. (c) Calcule o fluxo magn´etico em cada ramo. 25. Circuito magn´etico com entre-ferro. Na figura representa-se um circuito magn´etico. Admita que se podem desprezar as perdas de fluxo e que a permeabilidade magn´etica do n´ ucleo ferromagn´etico, µ, ´e constante. Assuma ainda que este circuito magn´etico tem ´area de sec¸c˜ao transversal igual a S e que as intensidades das correntes I1 e I2 nos enrolamentos de N1 e N2 espiras, respectivamente, s˜ao constantes. Como no entre-ferro as linhas de campo magn´etico se expandem, suponha que neste o campo atravessa 0 uma sec¸c˜ao S = 2S.

onde Fi ≡ Ni Ii ´e a for¸ca magnetomotriz e li ´e a relutˆ ancia. Ri ≡ µi Si (b) Mostre que para um nodo do circuito, X Φi = 0. i

24. Circuito magn´etico simples. Considere o circuito magn´etico da figura. As sec¸c˜ oes dos ramos exterior e central s˜ ao S1 e S2 , respectivamente.

l3

l1 >

l2

N1I1

(a) Determine o esquema do circuito equivalente a este circuito magn´etico, indicando os valores das relutˆancias e for¸cas magnetomotrizes que representar.

>

N2I2

>

>

(b) Obtenha uma express˜ao para o fluxo magn´etico no entre-ferro em fun¸c˜ao dos parˆametros indicados na figura.

Respostas √ 9. L = µ0 N 2 [R − R2 − c2 ], onde R = (a + b)/2 (raio do tor´oide) e c = (b − a)/2 (raio de cada espira).

1. - . 2. (a) - ; (b) - ; (c) - .

πR2

10. (a) (b) L12 = L21 = µ0 N1 N2 l 1 , onde l ´e o comprimento dos solen´oides (l  R1 , R2 ).

3. - . ~ φ, z) = − µ0 I ln 4. (a) A(r, 2π



r r0



(T.m), onde r0 ´e uma

~ φ, z) = distˆ ancia arbitr´ aria; (b) B(r, .

µ0 I ˆφ 2πr u

11. - .

(T); (c) -

2 2

πa b 12. L12 = L21 = N1 N2 µ0 2d 3

~ r) = ∇ ~ ×A ~ = 13. (a) - ; (b) B(~ r  a.

5. - . 2

6. (a)(b) L = µ0 N 2 πal ; (c) 0.99 mH . 7. (a) (b) L/l = 8. (a)L/l =

µ0 π

µ0 2π

14. -.

ln (b/a) ; (c) 0.233 µH/m.

15. - .

ln (d/a − 1) ; (b) 0.644 µH/m.

16. - . 62

~ ur )ˆ ur −m ~ µ0 3(m.ˆ 4π r3

para

~ = nI kˆ (A/m), B ~ 0 = µ0 nI kˆ (T) e 17. (a) sem barra: H ˆ B ~ ~ ~ = µnI kˆ e ~ M0 = 0 (A/m), com barra: H = nI k, ˆ ~ M = (µr − 1)nI k onde µ = (1 + χm )µ0 e µr = 1 + χm ~ = µr B ~ 0 : o campo B ~ com (µr > 1) ; Note que B a barra magn´etica ´e mais intenso do que sem barra, pois a corrente total que contribui para o campo ´e a corrente livre mais as correntes de magnetiza¸c˜ao, as quais para χm > 0 possuem o mesmo sentido da livre. ~ M ~ = ~0 , K ~m = M ~ ׈ ~ ×u (b) J~m = ∇× n=M ˆr = nI u ˆφ (A/m) ; (c) sem barra: Um,0 = (1/2)µ0 n2 I 2 πR2 L , com barra: Um = (1/2)µn2 I 2 πR2 L = µr Um,0 > Um,0 ; O trabalho realizado pela fonte exterior para criar uma corrente I no solen´ oide ´e superior com barra, porque ´e necess´ aria uma energia extra para magnetizar a barra. 18. Os ´ındice 0 e 1 correspondem ` a regi˜ ao fora do ´ıman (v´ acuo) e dentro do ´ıman, respectivamente. ~ × M ~ = ~0, K ~m = M ~ × n (a) J~m = ∇ ˆ = ~ × kˆ = ~0 nas faces do topo e da base, K ~m = M ~ ×n ~ ×u M ˆ = M ˆr = M u ˆφ (A/m) na superf´ıcie ~ ~0 = B ~ ~ cil´ındrica lateral ; (b) B1 = B   , B(0, 0, z) = µ0 M 2

√

l/2−z

a2 +(z−l/2)2

+√

l/2+z

a2 +(z+l/2)2

kˆ (T) ; (c) O

ˆ o mesmo da ~ possui sempre o sentido +k, campo B ~ do ´ıman. O campo H ~ no extemagnetiza¸c˜ ao M ˆ mas no interior do ´ıman rior possui o sentido +k, ˆ oposto ao da magnetiza¸c˜ao do possui sentido −k, ~ ´e dito um campo desmagneti´ıman. O campo H ~ 0 = B~ ⇒ H ~ 0 (0, 0, z) = zante. (d) Para |z| > l/2: H µ0 ~ 1 = B~ − M ~ ⇒ B(0, 0, z)/µ0 kˆ e para |z| < l/2: H µ0

~ 0 (0, 0, z) = −(M − B(0, 0, z)/µ0 ) kˆ (A/m) ; (e) - . H 19. Seja kˆ a direc¸c˜ ao do eixo longitudinal do solen´oide e da barra e consideremos a barra centrada no eixo ˆ B ~ = nI k, ~ 0 = µ0 H, ~ dos zz. (a) Para |z| > l/2 : H ˆ ~ ~ ~ ~ ~ ~ M = 0 ; Para |z| < l/2 : H = nI k, B = µr µ0 H, M = ~ ; (b) J~m = ∇ ~ ×M ~ = ~0, K ~m = M ~ ×n (µr − 1)H ˆ = ~0 ~m = M ~ ×n nas faces do topo e da base, K ˆ = M0 u ˆφ (A/m) na superf´ıcie lateral ; (c) Para |z| > l/2: ~ = B

µ0 M0 2

√

l/2−z

a2 +(z−l/2)2

+√

l/2+z

a2 +(z+l/2)2

kˆ (T).

20. - .

63

21. - . 22. (a) - ; (b) Amp`ere-volta, H−1 e Wb ; (c) - (d) -. 23. (a) - ; (b) -. 24. Os ´ındices 1, 2 e 3 referem-se ao ramo que cont´em o enrolamento de N1 espiras, ao ramo que cont´em o enrolamento de N2 espiras e ao ramo central, respectivamente. (a) F1 = N1 I1 (para cima), F2 = N2 I2 l3 l2 l1 , R2 = µS , R3 = µS , (b) - ; (para cima); R1 = µS 1 1 2 (c) Arbitrar os sentidos dos fluxos nos trˆes ramos: Φ1 com sentido hor´ario, Φ2 com sentido anti-hor´ ario, Φ3 com sentido de cima para baixo. Escrever as equa¸c˜ oes de Kirchhoff para circuitos magn´eticos:   Φ1 + Φ 2 = Φ 3 F1 = R1 Φ1 + R3 Φ3  F2 = R2 Φ2 + R3 Φ3 Resolvendo o sistema, obtemos os fluxos nos trˆes ramos: Φ1 = [(R2 + R3 )F1 − R3 F2 ]/D, Φ2 = [(R1 + R3 )F2 − R3 F1 ]/D, Φ3 = (R2 F1 + R1 F2 )/D onde D = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 . 25. Os ´ındices 1, 2 e 3 referem-se ao ramo que cont´em o enrolamento de N1 espiras, ao que cont´em o enrolamento de N2 espiras e ao que cont´em o entreferro, respectivamente. (a) F1 = N1 I1 (da direita para a esquerda), F2 = N2 I2 (para baixo); R1 = L1 +2L4 L1 +2L2 , R2 = µS , R3 = 2L3µS + Rentre−ferro , µS L

g onde Rentre−ferro = µ0 2S ; (b) Arbitrar os sentidos dos fluxos nos trˆes ramos: Φ1 com sentido hor´ ario, Φ2 com sentido de baixo para cima, Φ3 com sentido hor´ario. Escrever as equa¸c˜oes de Kirchhoff para circuitos magn´eticos:   Φ1 + Φ 2 = Φ 3 F1 = R1 Φ1 + R3 Φ3  −F2 = R2 Φ2 + R3 Φ3

Resolvendo o sistema obtemos o fluxo Φ3 no entreferro. Φ1 = [(R2 + R3 )F1 + R3 F2 ]/D, Φ2 = [−(R1 + R3 )F2 − R3 F1 ]/D, Φ3 = (R2 F1 − R1 F2 )/D onde D = R1 R2 + R2 R3 + R3 R1 .

Electromagnetismo - EEC0012 - 2014/15

FEUP/MIEEC

Mestrado Integrado em Engenharia Electrot´ ecnica e de Computadores

Departamento de Engenharia F´ısica

Folha 13 - Lei de Faraday, energia magn´ etica, lei de Amp` ere-Maxwell, equa¸c˜ oes de Maxwell e ondas electromagn´ eticas Lei de Faraday 1. Lei de Lenz. Considere os circuitos A e B da figura. Em ambos foi assumido o mesmo sentido de circula¸c˜ ao e respectivo sentido do vector elemento de superf´ıcie. A direc¸c˜ ao do campo magn´etico ´e normal a folha e o sentido ´e o indicado na figura. `

A

B

Bext

Bext

> dl

ds

> dl

quadrada de lado a, a uma distˆancia b de um fio infinito. O fio infinito ´e atravessado por uma corrente I(t) vari´avel no tempo. (a) Calcule a for¸ca electromotriz induzida na espira. (b) Calcule a for¸ca electromotriz induzida na espira em fun¸c˜ao do coeficiente de indutˆancia m´ utua. 4. Espira a rodar num campo magn´etico uniforme. Considere uma bobine rectangular de dimens˜ oes a e b, com N espiras, cujos terminais est˜ao ligados a dois an´eis colectrores dos quais se pode extrair uma for¸ca electromotriz (f.e.m.), conforme a figura. A bobine gira com velocidade angular ω num campo magn´etico uniforme.

ds

Determine o sentido da corrente induzida na espira, quando: (a) o fluxo na espira A diminui; (a) Determine a f.e.m. induzida na bobine, i.e., a diferen¸ca de potencial (d.d.p.) entre os dois an´eis colectores.

(b) o fluxo na espira A aumenta; (c) o fluxo na espira B diminui; (d) o fluxo na espira B aumenta. (e) Se tivesse arbitrado o sentido contr´ ario de circula¸c˜ ao (e do vector elemento de superf´ıcie) os resultados anteriores seriam sim´etricos? Justifique. 2. For¸ca electromotriz induzida numa espira por um campo vari´ avel. Considere uma espira circular de raio a atravessada por um campo de indu¸c˜ ao magn´etica ˆ Assuma que a espira est´ ~ = B0 sin(ωt)k. B a colocada ~ perpendicularmente a B. (a) Calcule a for¸ca electromotriz Vfem induzida na espira. (b) Qual ´e o sentido da corrente no instante t = 0 s. (c) Fa¸ca o gr´ afico de Vfem e I, em fun¸c˜ao do tempo, supondo que a espira tem uma resistˆencia el´ectrica R. 3. For¸ca electromotriz induzida numa espira por um fio infinito de corrente vari´ avel. Considere uma espira 64

(b) Determine o sentido da corrente el´ectrica induzida na espira. Justifique usando argumentos de fluxo magn´etico e de for¸ca magn´etica. (c) Considere que N = 1000 espiras, a = 1.0 cm, b = 2.0 cm e B = 2 T. Com que frequˆencia angular deve a bobine girar para gerar uma f.e.m. m´axima de 110 V? (d) Qual a frequˆencia da d.d.p. de sa´ıda nos terminais dos colectores? 5. Gerador de corrente alternada. Considere um gerador de corrente alternada consistindo numa espira quadrada de lado a, girando com uma frequˆencia ω em torno do eixo dos zz. O campo de indu¸c˜ ao ~ ´e constante e segundo o eixo dos xx. magn´etica B (a) Calcule a for¸ca electromotriz induzida na espira. (b) Mostre que o trabalho mecˆanica realizado para manter a espira em movimento ´e igual ` a energia el´ectrica fornecida pelo gerador.

6. Barra condutora movendo-se num campo magn´etico. Numa regi˜ ao do espa¸co existe um campo de indu¸c˜ao ~ Suponha agora que uma barra condumagn´etica B. tora se move com velocidade ~v nessa regi˜ ao conforme ilustrado na figura.

(a) Usando a Segunda Lei de Newton, escreva a equa¸c˜ao de movimento da parte m´ovel do circuito. (b) Mostre que a velocidade da parte m´ovel do circuito tende para zero. (c) Obtenha a velocidade da parte m´ovel em fun¸c˜ ao do tempo, esboce o seu gr´afico e verifique a afirma¸c˜ao da al´ınea anterior.

Mostre que a barra em movimento ´e equivalente a uma bateria com uma for¸ca electromotriz entre as suas extremidades a e b dada por Z a ~ ~ · dl Vfem = (~v × B) b

7. Circuito el´ectrico com uma parte m´ ovel I. O circuito el´ectrico da figura possui uma parte m´ ovel (por exemplo, uma barra condutora que pode deslizar sobre carris condutores) e encontra-se numa regi˜ ao onde ex~ iste um campo de indu¸c˜ ao magn´etica B uniforme. A barra tem uma resistˆencia el´ectrica R e o restante circuito possui resistˆencia el´ectrica desprez´ avel. A barra possui uma distˆ ancia L de contacto com o resto do circuito. Considere ainda que a barra se move com velocidade ~v = vˆj constante.

9. Circuito el´ectrico com uma parte m´ ovel III. Considere uma barra met´alica m´ovel de massa m e de resistˆencia el´ectrica R, a qual se encontra apoiada em dois trilhos condutores el´ectricos conforme a figura. Perpendicular ao sistema existe um campo magn´etico uniforme. Uma fonte ideal de for¸ca electromotriz Vfem = ε ´e ligada aos pontos a e b com uma polaridade tal que a corrente el´ectrica na barra devido `a bateria tem o sentido de cima para baixo. Despreze a resistˆencia el´ectrica dos trilhos e da fonte ideal de for¸ca electromotriz. Considere ainda que a barra est´ a em repouso para t = 0.

(a) Aplicando a Segunda Lei de Newton, escreva a equa¸c˜ao de movimento da barra. (b) Mostre que a velocidade da barra tende para um valor limite e determine esse valor. (c) Obtenha a velocidade da barra em fun¸c˜ ao do tempo, esboce o seu gr´afico e verifique o resultado da al´ınea anterior. (a) Calcule a for¸ca electromotriz induzida no circuito, notando que o fluxo atrav´es deste varia com o tempo.

(d) Qual a corrente na barra quando esta atinge a velocidade limite?

(b) Calcule a for¸ca electromotriz induzida nos terminais da barra, notando que esta ´e um condutor em movimento numa regi˜ ao onde existe um ~ campo magn´etico B.

10. Considere o caso geral de termos um circuito C em ~ movimento num campo de indu¸c˜ao magn´etica B.

(c) Qual ´e a polaridade dos pontos a e b? Calcule o valor e o sentido da corrente no circuito. (d) Mostre que a potˆencia dissipada na resistˆencia da barra ´e igual ` a potˆencia mecˆ anica necess´aria para manter a barra com o seu movimento. 8. Circuito el´ectrico com uma parte m´ ovel II. Considere novamente o sistema do exerc´ıcio anterior com a altera¸c˜ ao de que n˜ ao existe qualquer for¸ca exterior para manter a velocidade da parte m´ ovel do circuito constante. No instante inicial t = 0, a velocidade da parte m´ ovel vale v0 e possui sentido para a direita. Considere que a parte m´ ovel possui massa m. 65

(a) Mostre que a for¸ca electromotriz induzida ´e dada por ! ZZ I ~ ∂B ~ ~ ~ · dl Vfem = − · dS + (~v × B) ∂t S C (b) Mostre que a equa¸c˜ao anterior ´e equivalente ` a Lei de Faraday: Vfem = −

dΦ dt

~ atrav´es onde Φ ´e o fluxo do campo magn´etico B do percurso onde surge a Vfem induzida. 11. Lei de Faraday local.

(a) Mostre que a Lei de Faraday na sua forma diferencial (ou local) se escreve ~ ~ ×E ~ = − ∂B . ∇ ∂t (b) Interprete fisicamente a Lei de Faraday na forma diferencial. (c) Qual a divergˆencia do campo el´ectrico devido a indu¸c˜ ` ao electromagn´etica? Interprete o resultado. (d) Aplique o teorema de Stokes para obter a Lei de Faraday na forma integral a partir da sua forma diferencial. 12. Considere um campo magn´etico uniforme no espa¸co ~ = B(t)ˆ mas dependente do tempo B uz confinado numa regi˜ ao cil´ındrica de comprimento infinito e de raio R, conforme a figura.

I. Mostre que a energia armazenada na espira ´e dada por, 1 Um = LI 2 2 (b) Considere duas espiras C1 e C2 , transportando correntes I1 e I2 , com coeficientes de autoindu¸c˜ao L11 e L22 e com coeficiente de indutˆancia m´ utua L12 . Mostre que a energia armazenada no sistema ´e dada por, 2 2 1 XX Um = Lij Ii Ij 2 i=1 j=1 (c) Generalize o resultado anterior para um sistema de N espiras, N N 1 XX Lij Ii Ij . Um = 2 i=1 j=1 15. Energia armazenada no campo magn´etico. A energia armazenada num sistema de N espiras pode expressa em fun¸c˜ao do campo de indu¸c˜ao magn´etica. Partindo do resultado, N

Um =

N

1 XX Lij Ii Ij , 2 i=1 j=1

mostre que a energia magn´etica armazenada no campo de indu¸c˜ao magn´etica ´e, Z Z ~ 1 B B2 ~ =1 Um = · Bdv dv 2 t. o e. µ0 2 t. o e. µ0 (a) Calcule o campo el´ectrico induzido em todo o espa¸co devido ` a varia¸c˜ ao temporal do campo magn´etico. (b) Considere que se coloca uma espira circular de raio a < R concˆentrica com a regi˜ ao cil´ındrica. Calcule a for¸ca electromotriz induzida na espira. (c) Considere agora que se coloca uma espira circular de raio a > R concˆentrica com a regi˜ao cil´ındrica. Calcule a for¸ca electromotriz induzida na espira. (d) Desenhe o gr´ afico da for¸ca electromotriz induzida na espira em fun¸c˜ ao do seu raio a.

Lei de Amp` ere-Maxwell 16. Rotacional do campo magn´etico. (a) Mostre que a lei de Amp`ere ~ ×B ~ = µ0 J~ ∇ em condi¸c˜oes n˜ao-estacion´arias (dependentes do tempo) ´e inconsistente com o princ´ıpio da conserva¸c˜ao da carga el´ectrica, i.e., com a equa¸c˜ ao de continuidade: ~ · J~ = − ∂ρ ∇ ∂t

13. O campo el´ectrico. Mostre que o campo el´ectrico se pode dividir em duas componentes, uma electrost´ atica e outra induzida, dadas por

(b) Mostre que a Lei de Amp`ere-Maxwell ~ ~ ×B ~ = µ0 J~ + µ0 ε0 ∂ E ∇ ∂t

~ ~ =E ~ electrostatico + E ~ induzido = −∇V ~ − ∂A E ∂t

´e consistente com a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ ao da carga.

Energia Magn´ etica 14. Energia magn´etica armazenada num sistema de espiras. (a) Considere uma espira isolada com coeficiente de auto-indu¸c˜ ao L e percorrida por uma corrente 66

17. Forma integral da Lei de Amp`ere-Maxwell. Usando o teorema de Stokes, mostre que a Lei de Amp`ereMaxwell na forma integral se escreve: ! I ZZ ~ ∂E ~ ~ ~ B · dl = µ0 Iint,S + µ0 ε0 · dS ∂t C S

onde C ´e um percurso fechado, S uma superf´ıcie qualquer apoiada em C e Iint,S a corrente total que atravessa a superf´ıcie S.

~ produzido em (a) Calcule o campo magn´etico B todo o espa¸co devido `a varia¸c˜ao temporal do campo el´ectrico.

18. A corrente de deslocamento de Maxwell. Considere um ramo de um circuito atravessado por uma corrente el´ectrica I e no qual se encontra um condensador. O meio ´e o v´ acuo.

(b) Desenhe o gr´afico da intensidade do campo ~ em fun¸c˜ao da coordenada radial magn´etico B cil´ındrica r. 21. Lei de Amp`ere-Maxwell e Lei de Biot-Savart. Considere duas esferas met´alicas iguais com cargas +Q e −Q ligadas por um fio condutor de comprimento L. A separa¸c˜ao das esferas ´e muito maior do que as suas dimens˜oes. Num dado instante, enquanto a esfera positiva descarrega a sua carga para a esfera negativa a corrente no fio ´e I com sentido segundo ˆ +k.

+Q (a) Mostre que a densidade de corrente J~ no fio ´e igual em valor ` a taxa de varia¸c˜ ao temporal do vector deslocamento el´ectrico: ~ ∂D J~ = ∂t (b) Mostre que a corrente I no fio ´e igual em valor a taxa de varia¸c˜ ` ao temporal do fluxo do vector deslocamento el´ectrico entre as placas do condensador: ZZ ∂ ~ ~ · dS I= D ∂t S2 (c) Interprete os resultados anteriores. 19. O campo magn´etico na ausˆencia de correntes el´ectricas. Considere a situa¸c˜ ao em que n˜ ao existem correntes el´ectricas, i.e., em que a densidade de corrente el´ectrica ´e nula J~ = 0. (a) A equa¸ca˜o de Amp`ere-Maxwell nesta situa¸c˜ao ´e: ~ ~ ×B ~ = µ0 ε0 ∂ E . ∇ ∂t Interprete fisicamente esta equa¸c˜ ao. (b) Qual ´e a divergˆencia do campo magn´etico obtido pela equa¸c˜ ao anterior? 20. Considere um campo el´ectrico uniforme no espa¸co ~ = E(t)ˆ mas dependente do tempo E uz e confinado numa regi˜ ao cil´ındrica de comprimento infinito e de raio R, conforme a figura.

I

-Q

L (a) Usando a lei de Biot-Savart mostre que o campo de indu¸c˜ao magn´etica num ponto situado a uma distˆancia r do meio do fio ´e dado por ~ = µ0 p IL B u ˆφ . 4π r (L/2)2 + r2 (b) Usando a express˜ao para o campo el´ectrico deduzida a partir da lei de Coulomb, mostre que o vector campo el´ectrico num ponto situado a uma distˆancia r do meio do fio ´e dado por QL ˆ ~ = 1 E k. 4πε0 [(L/2)2 + r2 ]3/2 (c) Se for aplicada a lei de Amp`ere o campo de indu¸c˜ao magn´etica num ponto situado a uma distˆancia r do meio do fio ´e dado por ~ = µ0 I u B ˆφ . 2πr O resultado obtido pela lei de Amp`ere ´e errado porque a situa¸c˜ao n˜ao ´e estacion´ aria: a carga nas esferas varia no tempo Q(t) e portanto tamb´em a corrente no fio varia no tempo I(t). Deve por isso ser usada a lei de Amp`ereMaxwell. Usando a forma integral da lei de Amp`ere-Maxwell, mostre que somando as contribui¸c˜oes para o campo de indu¸c˜ao magn´etica da corrente I dada pela lei de Amp`ere e da varia¸c˜ao temporal do campo el´ectrico, se obt´em o resultado obtido pela lei de Biot-Savart, i.e., o resultado correcto para o campo de indu¸c˜ ao magn´etica.

As Equa¸c˜ oes de Maxwell 22. Escreva as equa¸c˜oes de Maxwell e explique o significado f´ısico de cada um dos seus termos: (a) quando o meio ´e o v´acuo. 67

(b) na presen¸ca de meios diel´ectricos e magn´eticos.

(b) Determine o per´ıodo (T ), a frequˆencia (f ) e a frequˆencia angular (ω) da onda. Qual ´e o significado f´ısico destas quantidades?

(c) na presen¸ca de meios diel´ectricos e magn´eticos simples.

(c) Determine a velocidade da onda na corda v e o seu sentido.

Ondas

(d) Tratando-se de uma onda harm´onica escreva a respectiva fun¸c˜ao de onda.

23. A equa¸c˜ ao de onda. A equa¸c˜ ao de onda ´e uma equa¸c˜ ao diferencial que descreve a propaga¸c˜ao de ondas. Todas as fun¸c˜ oes f que sejam solu¸c˜ oes dessa equa¸c˜ ao diferencial podem descrever ondas que se propagam no espa¸co tridimensional. Esta equa¸c˜ao escreve-se, 1 ∂2f ∇2 f − 2 2 = 0. v ∂t onde v ´e a velocidade de propaga¸c˜ ao da onda. (a) Mostre que para ondas a uma dimens˜ao (a dos zz) a equa¸c˜ ao de onda se escreve, ∂2f 1 ∂2f − 2 2 = 0. ∂z 2 v ∂t (b) Mostre que a fun¸c˜ ao escalar f (z, t) = A cos(kz ± ωt) que descreve uma onda harm´ onica ´e solu¸c˜ao da equa¸c˜ ao de onda. ~ (c) Mostre que a fun¸c˜ ao vectorial E = ˆ E0 cos (kz ± ωt) i que descreve uma onda harm´ onica ´e solu¸c˜ ao da equa¸c˜ ao de onda. (d) Calcule o m´ odulo e o sentido da velocidade das ondas harm´ onicas anteriores, discutindo os casos cos (kz − ωt) e cos (kz + ωt). 24. Ondas harm´ onicas numa corda. Considere o movimento ondulat´ orio de uma corda muito comprida. A figura de cima representa o perfil da corda no instante t = 0 s. A figura de baixo representa o movimento do ponto da origem, em fun¸c˜ ao do tempo.

(e) Calcule a velocidade do ponto da origem em fun¸c˜ao do tempo. Discuta a sua rela¸c˜ ao com a velocidade da onda.

Ondas Electromagn´ eticas 25. Ondas electromagn´eticas no v´ acuo I. Considere as equa¸c˜oes de Maxwell no v´acuo e na ausˆencia de cargas e correntes. (a) Mostre que as equa¸c˜oes de Maxwell d˜ ao origem a duas equa¸c˜oes de onda, uma para o campo el´ectrico e outra para o campo magn´etico: 2~ ~ − ε0 µ0 ∂ E = 0 ∇2 E ∂t2 2~ ~ − ε0 µ0 ∂ B = 0 ∇2 B ∂t2 ~ ~ × ~a) = ∇( ~ ∇ ~ · ~a) − ∇2~a.) (Nota: ∇ × (∇ (b) Mostre que as ondas se propagam com uma velocidade, 1 . v=√ µ0 ε0 (c) A permeabilidade magn´etica do v´acuo (µ0 ), a permitividade el´ectrica do v´acuo (ε0 ) e a velocidade da luz (c) podem ser determinadas experimentalmente e de modo independente. Tomando os valores tabelados mostre que a velocidade das ondas electromagn´eticas no v´ acuo ´e igual `a da velocidade da luz no v´acuo. Discuta o resultado. 26. Ondas electromagn´eticas no v´ acuo II. Considere as equa¸c˜oes de Maxwell no v´acuo e no espa¸co livre (i.e., na ausˆencia de cargas e correntes). Considere que os campos el´ectrico e magn´etico s˜ao dependentes do tempo e da coordenada z: ~ E ~ B

= =

~ t) E(z, ~ t) B(z,

(a) Mostre que se obt´em os seguintes dois sistemas de equa¸c˜oes independentes: ( ∂By x = −ε0 µ0 ∂E ∂z ∂t ∂By ∂Ex = − ∂t ∂z (a) Determine o comprimento de onda (λ) e o n´ umero de onda (k). Qual ´e o significado f´ısico destas quantidades? 68

(

∂Bx ∂z ∂Ey ∂z

= =

ε0 µ0 ∂Bx ∂t

∂Ey ∂t

(b) Mostre que os dois sistemas anteriores podem ser reescritos como: ( 2 ∂ Ex ∂ 2 Ex = 0 2 − ε0 µ0 ∂t2 ∂z 2 ∂ 2 By ∂ By = 0 ∂z 2 − ε0 µ0 ∂t2 ( 2 ∂ Ey ∂ 2 Ey = 0 2 − ε0 µ0 ∂t2 ∂z ∂ 2 Bx ∂ 2 Bx = 0 ∂z 2 − ε0 µ0 ∂t2 (c) Interprete os resultados anteriores. 27. Ondas electromagn´eticas planas e harm´ onicas no v´ acuo I. Considere uma onda electromagn´etica, plana e harm´ onica, ou seja, monocrom´ atica, i.e., possuindo uma s´ o frequˆencia, propagando-se no v´ acuo. O campo el´ectrico desta onda ´e dado por ~ = E0 cos (kz − ωt) ˆi. E (a) Mostre que este campo el´ectrico ´e solu¸c˜ao da respectiva equa¸c˜ ao de onda, obtida no exerc´ıcio anterior. (Relembre que a frequˆencia angular ´e dada por ω = ck, onde c ´e a velocidade da luz no v´ acuo e k o denominado n´ umero de onda.) (b) Calcule o campo magn´etico associado a esta onda, usando as equa¸c˜ oes obtidas no exerc´ıcio anterior. (c) Qual a direc¸c˜ ao e o sentido de propaga¸c˜ao desta onda?

(c) Para precisar ideias, considere a situa¸c˜ ao em que n˜ao existem nem cargas el´ectricas nem correntes el´ectricas livres. Comparando a equa¸c˜ ao de conserva¸c˜ao da energia electromagn´etica com a equa¸c˜ao de conserva¸c˜ao da carga (a equa¸c˜ ao de continuidade), mostre que o vector de Poynting ~ pode ser interpretado como uma ”densidade S de corrente de energia electromagn´etica”.

29. Ondas electromagn´eticas planas e harm´ onicas no v´ acuo II. Considere uma onda electromagn´etica, plana e harm´onica, propagando-se no v´ acuo. O campo el´ectrico desta onda ´e dado por ~ = E0 cos (kz − ωt) ˆi. E

(a) Calcule o campo magn´etico associado a esta onda e discuta o resultado. (b) Mostre que a densidade de energia magn´etica um ´e igual `a densidade de energia el´ectrica ue . (c) Calcule o vector de Poynting associado a esta onda.

(d) Mostre que ´e v´ alida a seguinte rela¸c˜ ao ~ ~ = 1u ˆ×E B c onde u ˆ ´e o versor segundo a direc¸c˜ ao e sentido de propaga¸c˜ ao da onda, e que pode tamb´em ser escrita como ~ =B ~ × ~c E onde ~c ´e o vector velocidade da onda. Interprete esta rela¸c˜ ao. 28. Equa¸c˜ ao de conserva¸c˜ ao da energia electromagn´etica. A energia electromagn´etica de um meio pode ser vista como estando armazenada nos campos electromagn´eticos. Nesse caso (e supondo que o meio ´e o v´ acuo) a densidade vol´ umica de energia electromagn´etica ´e dada por uem = ue + um =

~ (b) Interprete fisicamente o termo J~ · E.

1 1 B2 ε0 E 2 + 2 2 µ0

(a) Partindo da express˜ ao anterior e usando as equa¸c˜ oes de Maxwell, mostre que a densidade vol´ umica de energia magn´etica obedece `a seguinte equa¸c˜ ao diferencial, chamada equa¸c˜ao de conserva¸c˜ ao da energia electromagn´etica, ~ ·S ~ + J~ · E ~ = − ∂uem ∇ ∂t ~ ´e o vector de Poynting e ´e dado por onde S ~= 1E ~ × B. ~ S µ0 69

(d) Mostre que o vector de Poynting se pode escr~ = uem~c, onde ~c ´e o vector velocidade da ever S onda. (e) Calcule a intensidade da onda electromagn´etica, a qual ´e dada por Z 1 T Sdt. < S >= T 0 ~ e T ´o per´ıodo da onda. onde S = |S| (f) Numa sala bem iluminada, a intensidade da luz ´e de 200 W/m2 . Qual ´e a amplitude dos campos el´ectrico e magn´etico das ondas luminosas na sala? Se a sala tiver 5 m por 4 m e uma altura de 2.5 m, e estiver uniformemente iluminada, qual ´e a energia armazenada na sala sob a forma de ondas luminosas?

30. Potˆencia radiada por uma carga acelerada. Uma carga acelerada emite ondas electromagn´eticas, i.e., radia¸c˜ao electromagn´etica. A figura abaixo ilustra a radia¸c˜ao electromagn´etica emitida por um dipolo, constitu´ıdo por duas cargas ±q, em que cada carga descreve um movimento harm´onico simples.

(a) A potˆencia radiada (P ) pelo dipolo depende apenas do valor da carga q, da acelera¸c˜ ao a do movimento das cargas do dipolo, da permitividade do v´acuo ε0 e da velocidade da luz c. Usando an´alise dimensional obtenha uma express˜ao para P . (b) Considere uma onda electromagn´etica que embate num ´atomo. A nuvem electr´onica do ´ atomo vai oscilar com a frequˆencia f da onda electromagn´etica e emitir radia¸c˜ao electromagn´etica. A este fen´omeno d´a-se o nome de espalhamento de Rayleigh. A luz do c´eu durante o dia prov´em do espalhamento de Rayleigh por mol´eculas de azoto e oxig´enio. Mostre que a potˆencia emitida ´e proporcional a f 4 e discuta porque raz˜ ao ´e o c´eu azul.

Respostas uma outra for¸ca magn´etica na barra Find = 2 2 BIind L = B RL v para a esquerda (proporcional `a velocidade da barra).

1. - . 2. (a) Vfem,induzida (t) = −B0 ωπa2 cos(ωt) ; (b) sentido ~ = − B0 ωπa2 cos(ωt)ˆ uφ . −ˆ uφ ; (c) I(t) R
b+a dI(t) 0 3. (a) Vfem,induzida (t) = − aµ ; 2π ln b dt (b)Vfem,induzida (t) = −L12 dI(t) , onde L = 12 dt
aµ0 b+a . 2π ln b

dv dt dv m dt 2 2 dv B L + v dt mR m

4. (a) Vfem,induzida (t) = N Babω sin(ωt) ; (b) - ; (c) 275 rad/s = 43.8 voltas/s ; (d) 43.8 Hz.

(b) vlimite =

5. (a) Vfem,induzida (t) = BSω sin(ωt) onde S = a2 ; (b) 2 2 2 P (t) = B SR ω sin2 (ωt).

B 2 L2 mR .

(d) 0 10. - .

7. (a) (b) Vfem,induzida = BvL ; (c) a: positivo , b: negativo ; Iinduzida = BvL com sentido directo. (d) R 2 2 2 P = B vR L .

(b)

ε BL .

(c) v(t) = vlimite (1 − e−αt ), onde α =

6. - .

8. (a)

= BIL   ε BL = B − v L R R BLε = mR

B 2 L2 mR v = 0 Fazendo dv dt = 0 na dv dt

+

equa¸c˜ ao de movimento, o que corresponde a procurar uma velocidade limite, i.e., a procurar uma solu¸c˜ ao estacion´ aria para o problema, obtemos vlimite = 0.

(c) v(t) = v0 e−αt , onde α = R∞ (d) s = 0 v(t)dt = vB02mR L2

B 2 L2 mR .

9. (a) A bateria de for¸ca electromotriz ε fornece ao circuito uma corrente el´ectrica I0 = ε/R (con~ surge uma for¸ca stante) e devido ao campo B magn´etica na barra F0 = BI0 L para a direita (constante). Por indu¸c˜ ao electromagn´etica, surge uma outra for¸ca electromotriz (esta induzida) no circuito dada por εind = BvL a qual gera uma corrente el´ectrica induzida BvL ~ Iind = εind R = R e devido ao campo B surge 70

~ variando no tempo 11. (a) - ; (b) Um campo magn´etico B ~ (induzido, n˜ cria, por si s´o, um campo el´ectrico E aoelectrost´atico) em todos os pontos do espa¸co, n˜ ao sendo necess´ ario um percurso condutor para que este campo el´ectrico exista. Se se colocar um percurso condutor na regi˜ao onde existe este campo el´ectrico, aquele sente o campo el´ectrico, surgindo ent˜ ao no percurso condutor uma for¸ca electromotriz (induzida). Por outras palavras, um campo magn´etico vari´ avel no tempo gera um campo el´ectrico, o qual ”roda” em torno da varia¸c˜ao temporal do campo magn´etico com sentido oposto ao da regra da m˜ao direita. (c) ~ ·E ~ = 0. Este campo el´ectrico n˜ao tem origem em ∇ qualquer distribui¸c˜ao de cargas, sendo devido apenas `a varia¸c˜ao temporal do campo magn´etico. Como n˜ao existem cargas, as linhas de campo deste campo el´ectrico s˜ao fechadas. (d) - .  dB r ˆφ r≤R  − dt 2 u ~ r, t) = 12. (a) E(~ (V/m) ;  dB R2 − dt 2r u ˆφ r ≥ R

(b) (dB/dt)πa2 ; (c) (dB/dt)πR2 . Note que a espira adquire uma for¸ca electromotriz induzida mesmo quando colocada numa regi˜ ao onde n˜ ao existe campo magn´etico! (d) -. 13. - . 14. - . 15. - . 16. -. 17. -. 18. -. 19. (a) Um campo el´ectrico vari´ avel no tempo produz, por si s´ o, um campo magn´etico em todos os pontos do espa¸co, n˜ ao sendo necess´ ario uma corrente el´ectrica para o campo magn´etico existir. Este campo magn´etico ”roda” em torno da varia¸c˜ ao temporal do campo el´ectrico e no mesmo sentido (dado pela regra da m˜ ao direita). (b) 0 .  dE(t) ˆφ ,r ≤ R  µ0 ε0 dt 2r u ~ (T) ; 20. (a) B(~r, t) =  R2 µ0 ε0 dE(t) u ˆ , r ≥ R dt 2r φ (b) -.

~ ~ ×H ~ = J~livre + ∂ D ∇ ∂t ~ D ~ = ρlivre ∇. ~ B ~ =0 ∇. ~ −M ~. ~ = ε0 E ~ + P~ e H ~ = 1B onde D µ0 (c) ~ ×E ~ = − ∂ B~ ∇ ∂t ~ ~ ×H ~ = J~livre + ∂ D ∇ ∂t ~ D ~ = ρlivre ∇. ~ B ~ =0 ∇. ~ = εE ~ (meios diel´ectricos simples) e H ~ = onde D (meios magn´eticos simples).

1 ~ µB

23. (a) - ; (b) - ; (c) - ; (d) v = ω/k (m/s). No caso cos (kz − ωt) a onda propaga-se no sentido positivo do eixo z, enquanto que no caso cos (kz + ωt) a onda propaga-se no sentido negativo do eixo z. 24. (a) λ = 0.25 m , k = 2π/λ = 8π rad/m ; (b) T = 1 s , f = 1/T = 1 Hz , ω = 2π/T = 2π rad/s ; (c) ~v = −vˆi onde v = ω/k = λ/T = 0.25 m/s ; (d) y(x, t) = A sin(kx + ωt), amplitude A = 2 cm ; (e) vponto (x = 0, t) = Aω cos(ωt) cm/s. 25. -. 26. -.

21. -.

~ = 27. (a) - ; (b) B

22. (a) ~ ×E ~ = − ∂ B~ ∇ ∂t ~ ×B ~ = µ0 J~ + µ0 ε0 ∂ E~ ∇ ∂t ~ E ~ = 1ρ ∇.

28. -.

E0 c

cos (kz − ωt) ˆj ; (c) +kˆ ; (d) -.

~ = E0 cos (kz − ωt) ˆj ; (b) - ; (c) 29. (a) B c ~ = ε0 cE 2 cos2 (kz − ωt) kˆ (W/m2 ); (d) - ; (e) S 0 Intensidade= 21 ε0 cE02 (W/m2 ); (f) E0 = 3.9 × 102 V/m , B0 = 1.3 × 10−6 T, Uem = 3.7 × 10−5 J.

ε0

~ B ~ =0 ∇. onde J~ ≡ J~livre e ρ ≡ ρlivre (b) ~ ×E ~ = − ∂ B~ ∇ ∂t

30. (a) P ∼ -.

71

q 2 a2 ε0 c3

(a express˜ao exacta ´e P =

q 2 a2 6πε0 c3 )

; (b)