Equivalentes Discretos

EQUIVALENTES DISCRETOS DISCRETIZACION

INTRODUCCIÒN 

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Para los sistemas en tiempo continuo, existen diversos métodos para diseñar compensadores de manera que permitan mejorar las condiciones de respuesta ya sea en: Estado estacionario o Estado transitorio (respuesta impulso,escalón, número de polos y ceros) Usando la respuesta de frecuencia ( Mf, Mg)

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Para el control de sistemas discretos o digitales, se pueden determinar dos alternativas:

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La primera es modelar el sistema en continuo y basados en los métodos de diseño existentes, diseñar un compensador apropiado para mejorar la respuesta dinámica del sistema y por último transformar la función resultante al dominio de Z

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La segunda alternativa es encontrar una función discreta que pueda tener aproximadamente las mismas características (en el rango de frecuencias específico) que una función de transferencia H(s) dada

Gc(s)

Gc(z)

Métodos para la Discretización 

Existen tres métodos para hallar el equivalente discreto de un controlador o función de trasferencia.   

Simulaciones invariantes, o equivalentes a la retención Mapeamiento de polos y ceros o Asignacion de polos entre los dominios de s y z. Integración numérica o Discretizaciòn por aproximación

Simulaciones equivalentes 

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invariantes, o a la retención

Este método se basa en la toma de muestras de una señal de entrada, la extrapolación entre muestras para formar una aproximación a dicha señal y el pasar esta aproximación a través de la función de transferencia del filtro dada. Los métodos dentro de esta alternativa son: Respuesta invariante al impulso o Discretización Directa. Respuesta invariante a la paso o Retenedor de orden cero. Respuesta invariante a la rampa o Retenedor triangular Retenedor de primer orden

Respuesta invariante al impulso o Discretización Directa 

 

Se trata de preservar la respuesta al impulso, para este método el retenedor es unitario, o sea la función de trasferencia es muestreada directamente por un tren de impulso del muestreador, en este caso la respuesta al impulso permanece invariante. También se puede considerar como discretizar la función de trasferencia con la Trasformada z de forma directa Si se esta definiendo las respuestas impulso continua y discreta

Respuesta invariante al impulso o Discretización Directa   Características:      

 

Si G(s)es estable G(z) también lo es. G(z) preserva la respuesta al impulso No preserva la respuesta en frecuencia Las frecuencias de trasformadas en G(z) que son múltiplos de la frecuencia de muestreo pueden ocasionar aliasing. Si G(s) es una función complicada se requiere expandir en fracciones parciales. Los polos en s se trasforman mediante . Pero los ceros dependen de las fraciones parciales.

Respuesta invariante a la paso o Retenedor de orden cero (ZOH)   La  

figura muestra la aproximación a la señal continua e(t) utilizando la retención  de las muestras  , en el intervalo entre kT  y (k+ 1)T  Esta operación es la retención de orden cero (ZOH).

Respuesta invariante a la paso o Retenedor de orden cero (ZOH)   Entonces

si se considera el siguiente diagramau(t) de bloques: x(t) u*(t) ZOH

G(s)

Aplicando la regla del asterisco se tiene finalmente:

Respuesta invariante a la paso o Retenedor de orden cero (ZOH)  Características        

Conserva la ganancia estática Si G(s)es estable G(z) también lo es. No preserva la respuesta al impulso ni a la frecuencia G(z) preserva la respuesta al escalón Se requiere expandir en fracciones parciales. Los polos en s se trasforman mediante . Pero los ceros dependen de las fraciones parciales.

Respuesta invariante a la rampa o Retenedor triangular  En

este método el retenedor usado es el triangular, este permite conservar la respuesta invariante a la rampa del sistema analógico con el discreto.

Respuesta invariante a la rampa o Retenedor triangular   Si

y y se quiere conservar la respuesta invariante a la rampa se cumple que:

 Despejando

G(z)

Respuesta invariante a la rampa o Retenedor triangular  Características        

Conserva la ganancia estática Si G(s)es estable G(z) también lo es. No preserva la respuesta al impulso, escalón ni a la frecuencia G(z) preserva la respuesta a la rampa Se requiere expandir en fracciones parciales. Los polos en s se trasforman mediante . Pero los ceros dependen de las fraciones parciales.

Mapeamiento de polos y ceros o Asignación de polos entre los dominios de s y z. Un   método simple pero efectivo de obtener un equivalente

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discreto para una función de transferencia continua, se obtiene mediante la extrapolación de la relación entre el plano s y el plano z . Si tenemos la transformada z  de las muestras de una señal continua e(t ), los polos de la transformada discreta E(z)están relacionados con los polos de E(s) usando la relación . De igual forma podemos usar el procedimiento anterior, para localizar los ceros de E(z). La técnica de correlación de polos y ceros consiste en un grupo de reglas heurísticas para localizar los polos y ceros, y ajustando la ganancia de la transformada z podríamos describir el equivalente discreto de una función de transferencia que se aproxime a la función de transferencia G(s)

Mapeamiento de polos y ceros o Asignación de polos entre los dominios de s y z.   Todos    

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los polos de G(s) se mapean de acuerdo a la relación . Si G(s) tiene un polo en s = -a, entonces G(z) tiene un polo en . En caso de que G(s) tenga polos complejos conjugados de la forma s= -a± jb, G(z) tendra los polos en Todos los ceros de carácter finito son mapeados igual que los polos, es decir, se utiliza las relaciones dadas para los polos.

Mapeamiento de polos y ceros o Asignación de polos entre los dominios de s y z. En

caso de que los ceros del sistema se encuentren en el infinito , estos serán mapeados en z=-1. La razon para esto es que el mapeo de las frecuencias reales para w = 0 hasta w estan dentro del circulo unitario desde z=1 a z=-1

 

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Por lo tanto, el punto z=-1 representa de un modo real la máxima frecuencia posible en la función de trasferencia discreta, por lo tanto es apropiados decir que si G(s) es cero a la máxima frecuencia continua, la magnitud de la función discreta será cera en z= -1, la cual es la frecuencia mas alta que será capaz de procesar un filtro digital.

Mapeamiento de polos y ceros o Asignación de polos entre los dominios de s y z. Si  no se desea que existra retraso en la respuesta del sistema

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todos los ceros en deberán ser mapeados en z = -1.

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Si se desea un retraso de una muestra para permitir a la computadora el tiempo necesarios para computar la salida, entoces solo uno de los ceros en el infinito es mapeado en z = infinito y los otros en z = -1. Con esta elección se esta dejando la funcion discreta con un número finitos de ceros uno menos que el número finito de polos.

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La ganancia de G(z) será seleccionada para concordar con la ganancia de G(s)en el cualquier punto critico. En la mayoría de las aplicaciones de control la frecuencia critica es s= 0, por lo tanto tipicamente seleccionamos la ganacia de tal modo que:

Resumen del procedimiento

Integración numérica o Discretización por aproximación  El   concepto fundamental para el diseño de equivalentes discretos por 

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integración numérica, es el de representar la función de transferencia del controlador Gc(s)entregada como una ecuación diferencial y derivar a una ecuación en diferencia cuya solución es una aproximación de la ecuación diferencial.   Si escribimos la ecuación en su forma integral témenos:

  Donde

el termino integral de la última ecuación equivale a el area bajo la curva de –a*u + a*u en el intervalo y se denomina área incremental  Muchas reglas se han desarrollado en base a como encontrar esa área incremental.

Regla rectangular en Adelanto 

Esta primera aproximación ,también conocida como la Regla de Euler, en donde se aproxima el área teniendo en cuenta el rectángulo visto por delante de(k+1)T(ver figura ), el cual tiene ancho T y toma la amplitud del rectángulo como el valor del integrando en (k+1)T dando como resultado:

Regla rectangular en Adelanto   La  

regla correspondiente a la regla rectagular en adelanto es:

 Que

equivale al mapeo:

Regla rectagular en atraso o integración hacia atras 

Una segunda regla se desprende de tomar la amplitud del rectángulo de aproximación como el valor visto hacia atrás desde kT hasta (k+1)T . La ecuación resultante es:

Regla rectangular en Atraso o Integración hacia atras   La  

regla correspondiente a la regla rectagular en adelanto es:

 Que

equivale al mapeo:

Regla rectangular Trapaezoidal 

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Una última regla para aproximar el área bajo la curva es la Regla Trapezoidal, también llamada método tustin o transformación bilineal . Con esta regla el área bajo la curva es el área del trapecio formado por el promedio de los dos rectángulos vistos en las dos reglas anteriores. La ecuación en diferencia aproximada es:

 

La funcion de   trasferencia para la regla trapopezoidal es

 Que

:

equivale al mapeo: