Eso Y Bachillerato Matematicas

1212606

Síguenos en:

www.santillana.es

Estamos a tu disposición ANDALUCÍA OCCIDENTAL

CASTILLA Y LEÓN

GALICIA

Sevilla

León

A Coruña

Polígono Industrial Carretera Amarilla C/ Rafael Beca Mateos, 3. Local 2 41007 Sevilla Tel.: 95 499 97 33. Fax: 95 451 20 88

C/ Maestro Nicolás, 41. 24005 León Tel.: 987 87 60 17. Fax: 987 22 53 77

Cádiz

Tels.: 947 21 00 69 / 947 21 21 31

Centro de Negocios «Mans» Polígono Pocomaco – Parcela D-22 – Local 55. 15190 Mesoiro. (A Coruña) Tel.: 981 08 17 66. Fax: 981 08 11 03

Tel.: 956 56 96 24

Córdoba

Burgos Salamanca Tel.: 923 19 36 51

Tel.: 957 43 60 62. Fax: 957 44 05 97

Valladolid

ANDALUCÍA ORIENTAL

Tel.: 983 34 57 20. Fax: 983 34 45 62

Málaga

CASTILLA-LA MANCHA

C/ Paquiros, 32, Polígono Industrial San Luis, 29006 Málaga Tels.: 95 224 45 87 / 95 224 45 88 Fax: 95 224 43 92

Ciudad Real

Granada Tel.: 958 43 00 09

Jaén Tels.: 953 28 11 14 / 953 28 08 70 Fax: 953 28 13 77

Pasaje San Vicente Ferrer, 1 13004 Ciudad Real Tel.: 926 22 89 87. Fax: 926 22 89 40

Albacete Tels.: 967 24 90 74 / 967 21 07 85

CATALUNYA Barcelona

Tel.: 950 30 64 60. Fax: 950 30 61 93

C/ Frederic Mompou, 11. (Vila Olímpica) 08005 Barcelona Tel.: 93 230 36 00. Fax: 93 221 26 00

ARAGÓN-LA RIOJA

Girona

Almería

Zaragoza Parque Industrial El Polígono Avda. Santa Ana, 14 50410 Cuarte de Huerva (Zaragoza) Tel.: 976 46 30 60. Fax: 976 50 36 83

ASTURIAS-CANTABRIA Asturias Polígono de Asipo Travesía 3. Parcela 50. Nave 10 33428 Cayés (Llanera) Tel.: 985 20 75 13. Fax: 985 20 58 23

Cantabria Tel.: 942 22 32 95. Fax: 942 22 24 09

ILLES BALEARS C/ Gremi de Teixidors, 26. Local 11. 1.º 07009 Palma Tel.: 971 76 08 82. Fax: 971 75 56 77

CANARIAS Las Palmas C/ El procesador, 7 Urbanización Industrial Ajimar. Jinámar. 35220 Telde. (Las Palmas) Tel.: 928 70 90 55. Fax: 928 71 43 73

Tel.: 972 40 17 33. Fax: 972 40 17 33

Lugo Tel.: 982 21 91 20

Ourense Tel.: 988 22 74 73. Fax.: 988 22 93 97

Vigo Tel.: 986 41 48 22. Fax: 986 41 35 73

MADRID Avenida del Majuelo, 34 Polígono Industrial “La Postura” 28343 Valdemoro (Madrid) Tel.: 902 40 20 12. Fax: 91 495 88 82

MURCIA Avda. Francisco Salzillo. Parcela 30-22 Polígono Industrial Oeste 30169 San Ginés (Murcia) Tel.: 968 37 99 39. Fax: 968 88 57 93

COMUNIDAD VALENCIANA Valencia

Tarragona

C/ Valencia, 44. 46210 Picanya. (Valencia) Tels.: 96 159 43 90 / 96 159 43 91 Fax: 96 159 25 17

Tel.: 977 33 34 40. Fax: 977 31 10 52

Alicante

Lleida Tel.: 973 21 27 50. Fax: 973 20 50 34

EUSKADI-NAVARRA Bizkaia Legizamon poligonoa. Gipuzkoa Kalea, 31 48450 Etxebarri (Bizkaia) Tel.: 94 426 90 22. Fax: 94 440 52 14

Prolongación Rosa de los Vientos, 62 Polígono Industrial Llano del Espartal 03007 Alicante Tel.: 96 510 15 90. Fax: 96 510 15 92

Gipuzkoa Tels.: 943 26 11 84 / 943 26 07 99

Navarra Tels.: 948 13 23 11. Fax: 948 12 50 42

EXTREMADURA Cáceres C/ Amberes, 12-14. 10005 Cáceres Tels.: 927 23 65 87 / 927 23 65 96 Fax: 927 23 63 59

Badajoz Tel.: 924 24 77 24. Fax: 924 26 08 50

Tenerife Polígono El Mayorazgo Parcela 14 A, N 2, 17 B. (Frente a UNELCO) 38010 Santa Cruz de Tenerife Tel.: 922 21 05 83. Fax: 922 21 04 30

Fuerteventura Tel.: 615 03 60 25

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

Matemáticas cATÁLOGO ESO - BACHILLERATO

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

Índice ¿Por qué Saber Hacer?........................................................................................................ 3 Las claves del Proyecto....................................................................................................... 4 Saber Hacer, la respuesta adecuada a la LOMCE.............................................................. 6 Matemáticas, características de los libros del alumno..................................................... 8 Recursos de Matemáticas................................................................................................... 9 MATERIAL DEL ALUMNO

MATERIAL DEL PROFESOR Bachillerato Día a día en el aula................................................................................................................ 22 Competencias para el siglo xxi de Matemáticas................................................................ 23 Documentos curriculares.................................................................................................... 24 Solucionarios....................................................................................................................... 24 Sistema de evaluación......................................................................................................... 24

ESO Libros del alumno 1.º a 4.º................................................................................................... 10 Libros del alumno (desarrollo de unidad modelo de 3.º).................................................. 12

MATERIAL DEL ALUMNO FP Básica

Bachillerato

Libros del alumno 1 y 2........................................................................................................ 25

Libros del alumno 1.º y 2.º................................................................................................... 14

Libros del alumno (desarrollo de unidad modelo de 1.º)................................................... 26

Libros del alumno (desarrollo de unidad modelo de 1.º)................................................... 16 MATERIAL DEL PROFESOR MATERIAL DEL PROFESOR ESO

FP Básica Guías didácticas................................................................................................................... 28

Día a día en el aula................................................................................................................ 18 Competencias para el siglo xxi de Matemáticas................................................................ 19

LibroMedia y LibroNet......................................................................................................... 30

Competencias para el siglo xxi. Proyectos Interdisciplinares........................................... 20

Aula Virtual........................................................................................................................... 31

Tutoría................................................................................................................................... 20

E-vocación............................................................................................................................ 32

Documentos curriculares.................................................................................................... 21

Edupack................................................................................................................................ 33

Solucionarios....................................................................................................................... 21 Sistema de evaluación......................................................................................................... 21

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

Índice ¿Por qué Saber Hacer?........................................................................................................ 3 Las claves del Proyecto....................................................................................................... 4 Saber Hacer, la respuesta adecuada a la LOMCE.............................................................. 6 Matemáticas, características de los libros del alumno..................................................... 8 Recursos de Matemáticas................................................................................................... 9 MATERIAL DEL ALUMNO

MATERIAL DEL PROFESOR Bachillerato Día a día en el aula................................................................................................................ 22 Competencias para el siglo xxi de Matemáticas................................................................ 23 Documentos curriculares.................................................................................................... 24 Solucionarios....................................................................................................................... 24 Sistema de evaluación......................................................................................................... 24

ESO Libros del alumno 1.º a 4.º................................................................................................... 10 Libros del alumno (desarrollo de unidad modelo de 3.º).................................................. 12

MATERIAL DEL ALUMNO FP Básica

Bachillerato

Libros del alumno 1 y 2........................................................................................................ 25

Libros del alumno 1.º y 2.º................................................................................................... 14

Libros del alumno (desarrollo de unidad modelo de 1.º)................................................... 26

Libros del alumno (desarrollo de unidad modelo de 1.º)................................................... 16 MATERIAL DEL PROFESOR MATERIAL DEL PROFESOR ESO

FP Básica Guías didácticas................................................................................................................... 28

Día a día en el aula................................................................................................................ 18 Competencias para el siglo xxi de Matemáticas................................................................ 19

LibroMedia y LibroNet......................................................................................................... 30

Competencias para el siglo xxi. Proyectos Interdisciplinares........................................... 20

Aula Virtual........................................................................................................................... 31

Tutoría................................................................................................................................... 20

E-vocación............................................................................................................................ 32

Documentos curriculares.................................................................................................... 21

Edupack................................................................................................................................ 33

Solucionarios....................................................................................................................... 21 Sistema de evaluación......................................................................................................... 21

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

¿Por qué SABER HACER? Todos tenemos una pasión. Desde su fundación, hace más de 50 años, Santillana no ha dejado de trabajar, investigar, realizar productos, diseñar servicios y buscar innovaciones que mejoren la educación, como forma de construir un mundo mejor para todos. El fruto de este compromiso ha sido una larga historia de grandes proyectos educativos. Proyectos concebidos desde la realidad social y académica existente en cada momento, nacidos con vocación de acompañar a los alumnos en su aventura de aprender y de dotar a los profesores de todas las herramientas y recursos necesarios para llevar a cabo la tarea de educar. Así, nuestro nuevo proyecto, SABER HACER, surge como respuesta a una nueva ley educativa, la LOMCE, y a los intensos cambios que se están produciendo en las aulas y en todos los aspectos de nuestra vida. Hoy más que nunca, en la sociedad de la información, en un mundo cada vez más global regido por un cambio rápido y constante, la educación marca la diferencia. Vivimos un presente de grandes interrogantes que merecen grandes respuestas. Hay que educar hoy a los ciudadanos del siglo xxi, de un mañana cercano que está por construir. La educación se ha centrado tradicionalmente en la enseñanza de contenidos, se trataba de saber. Hoy, la comunidad educativa es consciente de que hay que dar un paso adelante: además de saber hay que SABER HACER. El aprendizaje por competencias es el modelo elegido para alcanzar con éxito los nuevos objetivos que la sociedad reconoce como necesarios en la educación de niños y adolescentes. Saber comunicar, interpretar, deducir, formular, valorar, seleccionar, elegir, decidir, comprometerse, asumir, etc., es hoy tan importante como conocer los contenidos tradicionales de nuestras materias. Necesitamos trabajar con ideas, ser capaces de resolver problemas y tomar decisiones en contextos cambiantes. Necesitamos ser flexibles, versátiles, creativos... Para superar el reto que tenemos por delante, Santillana va a aportar todo su SABER HACER, va a estar al lado de profesores y alumnos, ofreciendo materiales, servicios, experiencia… para garantizar dicho éxito.

3

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

¿Por qué SABER HACER? Todos tenemos una pasión. Desde su fundación, hace más de 50 años, Santillana no ha dejado de trabajar, investigar, realizar productos, diseñar servicios y buscar innovaciones que mejoren la educación, como forma de construir un mundo mejor para todos. El fruto de este compromiso ha sido una larga historia de grandes proyectos educativos. Proyectos concebidos desde la realidad social y académica existente en cada momento, nacidos con vocación de acompañar a los alumnos en su aventura de aprender y de dotar a los profesores de todas las herramientas y recursos necesarios para llevar a cabo la tarea de educar. Así, nuestro nuevo proyecto, SABER HACER, surge como respuesta a una nueva ley educativa, la LOMCE, y a los intensos cambios que se están produciendo en las aulas y en todos los aspectos de nuestra vida. Hoy más que nunca, en la sociedad de la información, en un mundo cada vez más global regido por un cambio rápido y constante, la educación marca la diferencia. Vivimos un presente de grandes interrogantes que merecen grandes respuestas. Hay que educar hoy a los ciudadanos del siglo xxi, de un mañana cercano que está por construir. La educación se ha centrado tradicionalmente en la enseñanza de contenidos, se trataba de saber. Hoy, la comunidad educativa es consciente de que hay que dar un paso adelante: además de saber hay que SABER HACER. El aprendizaje por competencias es el modelo elegido para alcanzar con éxito los nuevos objetivos que la sociedad reconoce como necesarios en la educación de niños y adolescentes. Saber comunicar, interpretar, deducir, formular, valorar, seleccionar, elegir, decidir, comprometerse, asumir, etc., es hoy tan importante como conocer los contenidos tradicionales de nuestras materias. Necesitamos trabajar con ideas, ser capaces de resolver problemas y tomar decisiones en contextos cambiantes. Necesitamos ser flexibles, versátiles, creativos... Para superar el reto que tenemos por delante, Santillana va a aportar todo su SABER HACER, va a estar al lado de profesores y alumnos, ofreciendo materiales, servicios, experiencia… para garantizar dicho éxito.

3

Las claves del proyecto Garantizar una adecuada adquisición de las competencias clave

Sistema de Evaluación Santillana, un sistema de evaluación completo y eficaz

Para ello, el proyecto SABER HACER contiene:

La evaluación, entendida como herramienta de mejora, es una parte esencial del proceso educativo. La LOMCE, además, propone la introducción de pruebas de evaluación externa y de una orientación competencial de dicha evaluación.

• Libros del alumno con saberes sólidos, con contenidos relevantes que se explican en profundidad, para facilitar la comprensión. • Aplicación de los conocimientos a situaciones de aprendizaje reales. • Proyectos y programas relacionados con el desarrollo de las competencias en la Biblioteca del profesorado.

Metodologías innovadoras, junto con otras tradicionales, para desarrollar una educación rica en experiencias Ninguna metodología es mejor que otra, depende de aquello que queramos conseguir. En el proyecto SABER HACER, se combinan, por ello, distintas metodologías y enfoques. • Trabajo por tareas. • Trabajo por proyectos. • Trabajos cooperativos. • Metodología expositiva.

El Sistema de Evaluación Santillana está compuesto por: • Pruebas de evaluación de contenidos. • Pruebas de evaluación por competencias. • Rúbricas de evaluación. • Generador de pruebas de evaluación (aplicación informática). • Banco de pruebas externas de evaluación, nacionales e internacionales.

Una rica oferta digital, para aprender sin límites La utilización de recursos educativos digitales en el aula ayuda a mejorar considerablemente la enseñanza y el aprendizaje. El proyecto SABER HACER integra una completa oferta digital multidispositivo que se adapta a diferentes necesidades y gustos: • LibroNet, para aquellos que realizan una enseñanza completamente digital. • LibroMedia, para aquellos que desean enriquecer la enseñanza-aprendizaje del libro de texto con una serie de recursos digitales. Todos los profesores y alumnos que utilicen el proyecto SABER HACER tendrán acceso al Aula Virtual Santillana, un potente entorno digital con numerosos productos, aplicaciones y servicios.

Enseñanza individualizada, para que todos los alumnos desarrollen sus competencias al máximo

Educar alumnos con valores sólidos, críticos y comprometidos

El proyecto SABER HACER ofrece propuestas y materiales que le permitirán adecuar su enseñanza a los distintos ritmos y estilos de aprendizaje de sus alumnos.

Porque somos conscientes de que educar es algo más que transmitir conocimientos y técnicas, el proyecto SABER HACER incluye:

• Sección Saber más en los libros del alumno. • Fichas de repaso y apoyo. • Fichas de profundización. • Mi libro, herramienta de personalización del LibroMedia y el LibroNet.

4

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

• Materiales con una orientación respetuosa con los derechos humanos. • Proyecto social, para aunar aprendizaje, servicio a la comunidad y emprendimiento social. • Proyecto de inteligencia emocional y ética.

5

Las claves del proyecto Garantizar una adecuada adquisición de las competencias clave

Sistema de Evaluación Santillana, un sistema de evaluación completo y eficaz

Para ello, el proyecto SABER HACER contiene:

La evaluación, entendida como herramienta de mejora, es una parte esencial del proceso educativo. La LOMCE, además, propone la introducción de pruebas de evaluación externa y de una orientación competencial de dicha evaluación.

• Libros del alumno con saberes sólidos, con contenidos relevantes que se explican en profundidad, para facilitar la comprensión. • Aplicación de los conocimientos a situaciones de aprendizaje reales. • Proyectos y programas relacionados con el desarrollo de las competencias en la Biblioteca del profesorado.

Metodologías innovadoras, junto con otras tradicionales, para desarrollar una educación rica en experiencias Ninguna metodología es mejor que otra, depende de aquello que queramos conseguir. En el proyecto SABER HACER, se combinan, por ello, distintas metodologías y enfoques. • Trabajo por tareas. • Trabajo por proyectos. • Trabajos cooperativos. • Metodología expositiva.

El Sistema de Evaluación Santillana está compuesto por: • Pruebas de evaluación de contenidos. • Pruebas de evaluación por competencias. • Rúbricas de evaluación. • Generador de pruebas de evaluación (aplicación informática). • Banco de pruebas externas de evaluación, nacionales e internacionales.

Una rica oferta digital, para aprender sin límites La utilización de recursos educativos digitales en el aula ayuda a mejorar considerablemente la enseñanza y el aprendizaje. El proyecto SABER HACER integra una completa oferta digital multidispositivo que se adapta a diferentes necesidades y gustos: • LibroNet, para aquellos que realizan una enseñanza completamente digital. • LibroMedia, para aquellos que desean enriquecer la enseñanza-aprendizaje del libro de texto con una serie de recursos digitales. Todos los profesores y alumnos que utilicen el proyecto SABER HACER tendrán acceso al Aula Virtual Santillana, un potente entorno digital con numerosos productos, aplicaciones y servicios.

Enseñanza individualizada, para que todos los alumnos desarrollen sus competencias al máximo

Educar alumnos con valores sólidos, críticos y comprometidos

El proyecto SABER HACER ofrece propuestas y materiales que le permitirán adecuar su enseñanza a los distintos ritmos y estilos de aprendizaje de sus alumnos.

Porque somos conscientes de que educar es algo más que transmitir conocimientos y técnicas, el proyecto SABER HACER incluye:

• Sección Saber más en los libros del alumno. • Fichas de repaso y apoyo. • Fichas de profundización. • Mi libro, herramienta de personalización del LibroMedia y el LibroNet.

4

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

• Materiales con una orientación respetuosa con los derechos humanos. • Proyecto social, para aunar aprendizaje, servicio a la comunidad y emprendimiento social. • Proyecto de inteligencia emocional y ética.

5

SABER HACER, la respuesta adecuada a la LOMCE

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

Principales novedades de la LOMCE en el proyecto SABER HACER

Lugar central de las competencias en el currículo La LOMCE diseña un currículo centrado en la adquisición de las competencias clave. Se han definido siete competencias clave: • Comunicación lingüística. • Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. • Competencia digital. • Aprender a aprender. • Competencia social y cívica. • Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor. • Conciencia y expresiones culturales. Esta filosofía supone un cambio metodológico, en el que prima la aplicación de lo aprendido frente a la memorización.

Desarrollo de sistemas de evaluación externa La LOMCE propone la realización de dos pruebas de evaluación externa en Secundaria:

En el material del alumno

En la Biblioteca del profesorado

• Apartado SABER HACER en todas las unidades. • Tareas por competencias. • Iconos identificando las actividades fuertemente competenciales. • Formas de pensar, páginas para desarrollar la reflexión y el análisis. • Propuestas de trabajo cooperativo.

• Proyectos específicos para cada materia. • Proyectos de trabajo cooperativo e interdisciplinar. • Proyecto social. • Inteligencia emocional y ética. • La prensa en el aula.

En el material del alumno

En la Biblioteca del profesorado

• Actividades finales.

• Al finalizar 4.º de ESO. • Al finalizar 2.º de Bachillerato. En estas pruebas se comprobará el logro de los estándares finales de la etapa y el grado de adquisición de las competencias clave por los alumnos.

En el material del alumno

Atención a las diferencias individuales Mediante: • Programa de mejora y del rendimiento en 2.º y 3.º de ESO. • Paso a la Formación Profesional Básica (FPB) al finalizar 3.º de ESO. • Configuración de 4.º de ESO como curso de iniciación, en el que los alumnos se orientan, bien hacia el Bachillerato (opción de enseñanzas académicas), bien hacia la Formación Profesional (opción de enseñanzas aplicadas).

6

• Actividades del libro del alumno categorizadas por nivel de dificultad. • Sección Saber más.

• Evaluación de contenidos (1 o 2 niveles por unidad). • Evaluación de competencias (por bloques de contenido). • Rúbricas de evaluación.

En la Biblioteca del profesorado • Fichas de repaso y apoyo. • Fichas de profundización.

En el Aula Virtual • Programación de aula.

En el Aula Virtual • Generador de pruebas de evaluación. • Deberes digitales. • Biblioteca de pruebas externas.

En el Aula Virtual • Mi libro, herramienta de personalización del LibroMedia y el LibroNet.

7

SABER HACER, la respuesta adecuada a la LOMCE

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

Principales novedades de la LOMCE en el proyecto SABER HACER

Lugar central de las competencias en el currículo La LOMCE diseña un currículo centrado en la adquisición de las competencias clave. Se han definido siete competencias clave: • Comunicación lingüística. • Competencia matemática y competencias básicas en ciencia y tecnología. • Competencia digital. • Aprender a aprender. • Competencia social y cívica. • Sentido de iniciativa y espíritu emprendedor. • Conciencia y expresiones culturales. Esta filosofía supone un cambio metodológico, en el que prima la aplicación de lo aprendido frente a la memorización.

Desarrollo de sistemas de evaluación externa La LOMCE propone la realización de dos pruebas de evaluación externa en Secundaria:

En el material del alumno

En la Biblioteca del profesorado

• Apartado SABER HACER en todas las unidades. • Tareas por competencias. • Iconos identificando las actividades fuertemente competenciales. • Formas de pensar, páginas para desarrollar la reflexión y el análisis. • Propuestas de trabajo cooperativo.

• Proyectos específicos para cada materia. • Proyectos de trabajo cooperativo e interdisciplinar. • Proyecto social. • Inteligencia emocional y ética. • La prensa en el aula.

En el material del alumno

En la Biblioteca del profesorado

• Actividades finales.

• Al finalizar 4.º de ESO. • Al finalizar 2.º de Bachillerato. En estas pruebas se comprobará el logro de los estándares finales de la etapa y el grado de adquisición de las competencias clave por los alumnos.

En el material del alumno

Atención a las diferencias individuales Mediante: • Programa de mejora y del rendimiento en 2.º y 3.º de ESO. • Paso a la Formación Profesional Básica (FPB) al finalizar 3.º de ESO. • Configuración de 4.º de ESO como curso de iniciación, en el que los alumnos se orientan, bien hacia el Bachillerato (opción de enseñanzas académicas), bien hacia la Formación Profesional (opción de enseñanzas aplicadas).

6

• Actividades del libro del alumno categorizadas por nivel de dificultad. • Sección Saber más.

• Evaluación de contenidos (1 o 2 niveles por unidad). • Evaluación de competencias (por bloques de contenido). • Rúbricas de evaluación.

En la Biblioteca del profesorado • Fichas de repaso y apoyo. • Fichas de profundización.

En el Aula Virtual • Programación de aula.

En el Aula Virtual • Generador de pruebas de evaluación. • Deberes digitales. • Biblioteca de pruebas externas.

En el Aula Virtual • Mi libro, herramienta de personalización del LibroMedia y el LibroNet.

7

Matemáticas

Características de los libros del alumno: • Presenta contextos reales de la vida cotidiana sobre los que aplicar lo aprendido y trabajar las competencias. • Dada la naturaleza práctica del área, prima la explicación y desarrollo de procedimientos (Saber Hacer) aunque no olvidamos la transmisión de contenidos conceptuales (Saber). •  Procedimientos pautados que crean un modelo a seguir y facilitan su estudio y comprensión, paso a paso. • Textos claros, rigurosos y directos, con orden y claridad en las explicaciones. El profesor y el alumno siempre “saben dónde están y qué hacer”. •  Numerosos elementos didácticos que facilitan el aprendizaje y apoyan las explicaciones en los márgenes. •  Multitud de actividades para practicar los contenidos, afianzarlos y ampliarlos. En todos los contenidos y en todas las páginas. Abundantes ejemplos resueltos. • Satisface las necesidades de alumnos avanzados con actividades de ampliación e investigación matemática. • Propuestas de trabajo cooperativo en forma de proyecto. • Trabajo de las competencias desde el punto de vista de las evaluaciones internacionales en educación (PISA).

ESO · Bachillerato · FP Básica

Material del alumno

Material del profesor

1.º - 4.º ESO

1.º - 4.º ESO

• Serie Resuelve de 1.º y 2.º. • Serie Resuelve de 3.º y 4.º (Matemáticas Académicas). • Serie Soluciona de 3.º y 4.º (Matemáticas Aplicadas). • Refuerzo de Matemáticas de 1.º y 2.º. • Adaptación curricular Serie Avanza de 1.º a 3.º. • LibroMedia. • LibroNet.

1.º - 2.º Bachillerato • Matemáticas I y II Serie Resuelve. • Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II Serie Resuelve. • Cuaderno Lo que debes saber de Secundaria de 1.º (incluido en el libro del alumno). • LibroMedia de 2.º. • LibroNet de 1.º.

Formación Profesional Básica • Matemáticas 1 y 2. Módulo de Ciencias Aplicadas I y II. • Cuaderno de Matemáticas 1 y 2. • LibroMedia.

8

• Día a día en el aula. • Competencias para el siglo xxi. Matemáticas. • Competencias para el siglo xxi. Proyectos interdisciplinares. • Tutoría. • Documentos curriculares (Programación didáctica de aula y Rúbricas). • Solucionario. • LibroMedia. • LibroNet.

1.º - 2.º Bachillerato • Día a día en el aula. • Documentos curriculares (Programación didáctica de aula y Rúbricas). • Sistema de evaluación. • Solucionario. • LibroMedia de 2.º. • LibroNet de 2.º.

Formación Profesional Básica • Guía didáctica 1 y 2. • LibroMedia.

9

Matemáticas

Características de los libros del alumno: • Presenta contextos reales de la vida cotidiana sobre los que aplicar lo aprendido y trabajar las competencias. • Dada la naturaleza práctica del área, prima la explicación y desarrollo de procedimientos (Saber Hacer) aunque no olvidamos la transmisión de contenidos conceptuales (Saber). •  Procedimientos pautados que crean un modelo a seguir y facilitan su estudio y comprensión, paso a paso. • Textos claros, rigurosos y directos, con orden y claridad en las explicaciones. El profesor y el alumno siempre “saben dónde están y qué hacer”. •  Numerosos elementos didácticos que facilitan el aprendizaje y apoyan las explicaciones en los márgenes. •  Multitud de actividades para practicar los contenidos, afianzarlos y ampliarlos. En todos los contenidos y en todas las páginas. Abundantes ejemplos resueltos. • Satisface las necesidades de alumnos avanzados con actividades de ampliación e investigación matemática. • Propuestas de trabajo cooperativo en forma de proyecto. • Trabajo de las competencias desde el punto de vista de las evaluaciones internacionales en educación (PISA).

ESO · Bachillerato · FP Básica

Material del alumno

Material del profesor

1.º - 4.º ESO

1.º - 4.º ESO

• Serie Resuelve de 1.º y 2.º. • Serie Resuelve de 3.º y 4.º (Matemáticas Académicas). • Serie Soluciona de 3.º y 4.º (Matemáticas Aplicadas). • Refuerzo de Matemáticas de 1.º y 2.º. • Adaptación curricular Serie Avanza de 1.º a 3.º. • LibroMedia. • LibroNet.

1.º - 2.º Bachillerato • Matemáticas I y II Serie Resuelve. • Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales I y II Serie Resuelve. • Cuaderno Lo que debes saber de Secundaria de 1.º (incluido en el libro del alumno). • LibroMedia de 2.º. • LibroNet de 1.º.

Formación Profesional Básica • Matemáticas 1 y 2. Módulo de Ciencias Aplicadas I y II. • Cuaderno de Matemáticas 1 y 2. • LibroMedia.

8

• Día a día en el aula. • Competencias para el siglo xxi. Matemáticas. • Competencias para el siglo xxi. Proyectos interdisciplinares. • Tutoría. • Documentos curriculares (Programación didáctica de aula y Rúbricas). • Solucionario. • LibroMedia. • LibroNet.

1.º - 2.º Bachillerato • Día a día en el aula. • Documentos curriculares (Programación didáctica de aula y Rúbricas). • Sistema de evaluación. • Solucionario. • LibroMedia de 2.º. • LibroNet de 2.º.

Formación Profesional Básica • Guía didáctica 1 y 2. • LibroMedia.

9

material del alumno

Matemáticas Material del alumno

ESO

ESO

A continuación conozca cómo son los libros del alumno de ESO: Para 1.º de ESO:

Para 2.º de ESO:

Para 3.º de ESO:

ESo

Matemáticas Enseñanzas aplicadas sEriE soluciona

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897.indd 1

Matemáticas

Enseñanzas académicas

esO

esO

ESo

Matemáticas Enseñanzas académicas sEriE rEsuElvE

AVANZA

AVANZA

Enseñanzas aplicadas

Serie Soluciona

Matemáticas Enseñanzas académicas sEriE rEsuElvE

Serie Soluciona

Serie Soluciona

Matemáticas

Enseñanzas aplicadas

Serie Soluciona

Enseñanzas aplicadas

esO

Enseñanzas aplicadas

Matemáticas

ESo

esO

Matemáticas

esO

Matemáticas AVANZA

Matemáticas

ESo

ESO

AVANZA

ESO

Matemáticas

ESO

ESO

ESO

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897

Matemáticas

Matemáticas

esO

Enseñanzas académicas

Serie REsuElvE

Matemáticas

esO

Matemáticas

000000_Matematicas_2_ESO_Avanza

Matemáticas AVANZA

Enseñanzas académicas

Matemáticas

Enseñanzas académicas

Matemáticas Enseñanzas académicas Serie Resuelve

Serie REsuElvE

AVANZA 28/01/2015 16:38:21

Serie REsuElvE

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897.indd 1

28/01/2015 16:38:21

Y nuestra oferta de contenidos digitales para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje.

Enseñanzas académicas

Enseñanzas académicas Serie Resuelve

ESo

Serie RESUELVE

ESo

ESO

Matemáticas Serie reSUeLVe

ESO

ESO

Serie REsuElvE

Matemáticas

Matemáticas

Matemáticas

Enseñanzas aplicadas

Serie RESUELVE

ESo

Matemáticas

Matemáticas

Matemáticas Enseñanzas aplicadas

Matemáticas Enseñanzas aplicadas sEriE soluciona

000000_Matematicas_2_ESO

Serie Resuelve

esO

esO

Serie RESuElvE

Matemáticas Enseñanzas académicas sEriE rEsuElvE

Matemáticas

Matemáticas

esO

ESO

Matemáticas serie resuelve

ESO

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897

ESO

ESO

ESO

Serie Resuelve

Matemáticas

000000_Matematicas_1_ESO_Avanza

AVANZA

2

Refuerzo

Serie ESORESUELVE

Enseñanzas académicas

ESo

Matemáticas

Matemáticas

ESo

1

Matemáticas

Matemáticas

esO

Serie RESUELVE

Matemáticas Enseñanzas aplicadas sEriE soluciona

ESO

Refuerzo

Matemáticas

Matemáticas Enseñanzas académicas sEriE rEsuElvE

Serie RESuElvE

esO

ESO

Matemáticas

ESO

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897

Matemáticas Serie reSUeLVe

ESO

Matemáticas serie resuelve

ESO

000000_Matematicas_2_ESO

Para 4.º de ESO:

Serie Soluciona

Serie Soluciona ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897.indd 1

10

28/01/2015 16:38:21

11

material del alumno

Matemáticas Material del alumno

ESO

ESO

A continuación conozca cómo son los libros del alumno de ESO: Para 1.º de ESO:

Para 2.º de ESO:

Para 3.º de ESO:

ESo

Matemáticas Enseñanzas aplicadas sEriE soluciona

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897.indd 1

Matemáticas

Enseñanzas académicas

esO

esO

ESo

Matemáticas Enseñanzas académicas sEriE rEsuElvE

AVANZA

AVANZA

Enseñanzas aplicadas

Serie Soluciona

Matemáticas Enseñanzas académicas sEriE rEsuElvE

Serie Soluciona

Serie Soluciona

Matemáticas

Enseñanzas aplicadas

Serie Soluciona

Enseñanzas aplicadas

esO

Enseñanzas aplicadas

Matemáticas

ESo

esO

Matemáticas

esO

Matemáticas AVANZA

Matemáticas

ESo

ESO

AVANZA

ESO

Matemáticas

ESO

ESO

ESO

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897

Matemáticas

Matemáticas

esO

Enseñanzas académicas

Serie REsuElvE

Matemáticas

esO

Matemáticas

000000_Matematicas_2_ESO_Avanza

Matemáticas AVANZA

Enseñanzas académicas

Matemáticas

Enseñanzas académicas

Matemáticas Enseñanzas académicas Serie Resuelve

Serie REsuElvE

AVANZA 28/01/2015 16:38:21

Serie REsuElvE

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897.indd 1

28/01/2015 16:38:21

Y nuestra oferta de contenidos digitales para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje.

Enseñanzas académicas

Enseñanzas académicas Serie Resuelve

ESo

Serie RESUELVE

ESo

ESO

Matemáticas Serie reSUeLVe

ESO

ESO

Serie REsuElvE

Matemáticas

Matemáticas

Matemáticas

Enseñanzas aplicadas

Serie RESUELVE

ESo

Matemáticas

Matemáticas

Matemáticas Enseñanzas aplicadas

Matemáticas Enseñanzas aplicadas sEriE soluciona

000000_Matematicas_2_ESO

Serie Resuelve

esO

esO

Serie RESuElvE

Matemáticas Enseñanzas académicas sEriE rEsuElvE

Matemáticas

Matemáticas

esO

ESO

Matemáticas serie resuelve

ESO

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897

ESO

ESO

ESO

Serie Resuelve

Matemáticas

000000_Matematicas_1_ESO_Avanza

AVANZA

2

Refuerzo

Serie ESORESUELVE

Enseñanzas académicas

ESo

Matemáticas

Matemáticas

ESo

1

Matemáticas

Matemáticas

esO

Serie RESUELVE

Matemáticas Enseñanzas aplicadas sEriE soluciona

ESO

Refuerzo

Matemáticas

Matemáticas Enseñanzas académicas sEriE rEsuElvE

Serie RESuElvE

esO

ESO

Matemáticas

ESO

ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897

Matemáticas Serie reSUeLVe

ESO

Matemáticas serie resuelve

ESO

000000_Matematicas_2_ESO

Para 4.º de ESO:

Serie Soluciona

Serie Soluciona ES0000000004020 509297_Matematicas-Acad_3_ESO_20897.indd 1

10

28/01/2015 16:38:21

11

material del alumno

Matemáticas Cómo son nuestros libros

ESO

La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de las actividades propuestas. A lo largo de toda la unidad marcamos con iconos aquellos contenidos o actividades en los que se trabajan de manera particular las competencias básicas.

21 : 3 " 7 7

1

2

2. Triturado de la madera.

3

SABER HACER

1. Desmenuzado. La madera se divide en trozos muy pequeños.

7:7" 1 63 = 3 ? 3 ? 7 = 32 ? 7

2

•   Números decimales y racionales

•   Hallar el término desconocido de una  fracción equivalente a otra •   Calcular la fracción irreducible

2

ACTIVIDADES

b) 270

c) 66

d) 92

Troncos sin corteza

EJEMPLO Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo  de 12 y 28 mediante su descomposición en factores. 12 2 6 2 3 3 1

28 2 14 2 7 7 1

12 = 22 ? 3

Bobina de papel

El papel Para conseguir un paquete de papel es necesario un tronco de unos 90 cm de alto y 20 cm de diámetro. Si el papel 3 es reciclado, se consume de la energía 5 3 y del agua necesaria para producir 7 papel nuevo.

7. Prensado y secado del papel. La pasta extendida pasa a través de cilindros de prensado y secado.

•   Para fabricar una tonelada de papel  se requieren 15 m3 de agua dulce y 9 600 kWh de electricidad. ¿Qué cantidad de agua y electricidad se ahorraría si el papel fuese reciclado?

28 = 22 ? 7

m.c.d. (12, 28) = 22 = 4 m.c.m. (12, 28) = 22 ? 3 ? 7 = 84

Egipto

Asia

Europa

Año 105

1840

En el antiguo Egipto se escribía sobre papiro, un vegetal muy abundante en las riberas del río Nilo.

En China fabricaban papel a partir de los residuos de la seda, la paja de arroz y el cáñamo, e incluso del algodón.

En Europa, durante la Edad Media, se utilizó el pergamino. Este consistía en pieles de cabra o de carnero curtidas y preparadas para recibir la tinta.

Un empleado del emperador chino Ho Ti fabricó por primera vez un papel a partir de pasta vegetal de caña de bambú, morera y otras plantas, dando origen al papel que conocemos hoy.

En este año se inventó la primera máquina que trituraba madera para fabricar pulpa. Diez años después se descubrió el proceso químico para este fin.

ACTIVIDADES 2 Descompón estos números en factores primos y calcula

su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo. a) 18 y 20

d) 18 y 32

b) 28 y 42

e) 48 y 32

c) 18 y 4

f ) 21 y 28

6

7

Movimientos y semejanzas

RESUELVE EL RETO

& Transforma el triángulo ABC mediante:

Una traslación de vector v es un movimiento que transforma cualquier punto P en otro punto Pl de forma que PPl tiene el mismo módulo, dirección y sentido que v. Se representa por t v .

A

Pasos a seguir a)

4. Aplica una traslación de vector v (2, 3) al punto A (2, 1).

Al

v

1

Traslación

" Al(2 + 2, 1 + 3) " Al(4, 4)

X

Un giro de centro O y ángulo a es un movimiento que asocia a cada punto P otro punto Pl, situado a la misma distancia de O que % el punto P, y de forma que POPl = a. Se expresa como G (O; a).

Rectas dobles: las rectas que contienen al vector. •   En un giro: Puntos dobles: el centro de giro. Rectas dobles: si el giro es de 180°, las rectas que pasan por el centro de giro.

2. Con el compás medimos distancias.

B

EJEMPLO

O

ACTIVIDADES 7 PRACTICA. Para cada punto A y vector v, determina

las coordenadas del transformado de A mediante la traslación tv : a) A (3, -2), v = (2, -1)

c) A (1, 6), v = (-4, -3)

b) A (-4, 5), v = (7, 2)

d) A (-3, 1), v = (-5, 1)

C

B

O

B

A

A

a) Cl

Bl

b)

v

Cl

C

C

Al

Bl B

Al

B

O

A

A

A

Medimos la distancia OA y la llevamos sobre la última recta dibujada. Así obtenemos el punto Al, transformado de A.

8 APLICA. Determina el vector de la traslación que

transforma el punto A (-1, 4) en Al(5, 2). 9 REFLEXIONA. Aplica la traslación de vector v = (2, 3)

seguida de un giro de centro B(3, 2) y ángulo 270°. ¿Es lo mismo aplicar el giro y luego la traslación?

64 Calcula el dato desconocido en estos cuerpos

59 Calcula el número que falta en cada caso. Caras

Aristas

geométricos. a)

Vértices

6

8

6

6

8

14

a)

b)

b)

b) g

segundo.

107 Un niño ha ideado una cadena de favores. Su idea es

que cada persona realice un favor a otras tres personas y, después, cada una de estas tres haga lo mismo, y así sucesivamente.

3 2 + 4 2 = 5 cm

" a = 52 - 32 = 4 cm c) ap2 = 32 + 42 " ap =

114 Un litro de gasolina cuesta 1,198 €. ¿Cuánto tengo que

pagar por 27 litros?

el mes de septiembre? Exprésalo mediante un producto de potencias.

115 Un alumno afirma que la longitud de una

circunferencia de diámetro 12 cm mide 37,6992 cm. ¿Qué aproximación del número r ha tomado?

3 2 + 4 2 = 5 cm

DEBES SABER HACER Potencias. Operaciones

Notación científica

1 Calcula las siguientes potencias.

c)

g)

65 Halla la apotema de una pirámide regular de base

cuadrada de altura 7 cm y arista básica 9 cm. 66 Halla la altura de estas pirámides regulares.

d)

a) Pirámide hexagonal de apotema 10 cm y arista básica 10 cm.

h)

b) Pirámide pentagonal de apotema 9 cm y apotema básica 4,13 cm. 67 Calcula la diagonal de un ortoedro de dimensiones: 62 Di cuál es la base de estos prismas que tienen

el número de elementos indicado. a) 9 caras

c) 20 vértices

e) 21 aristas

b) 18 aristas

d) 10 vértices

f ) 18 caras

78,65 m2

113 Marta dice que el lado de un cuadrado de área 27 cm2

mide, aproximadamente, 5,2 cm. Pedro dice que el lado de un cuadrado de área 34 cm2 mide, aproximadamente, 5,83 cm. ¿Cuál de los dos ha cometido mayor error?

hay 7 bolsas, en cada bolsa hay 7 estuches y en cada estuche 7 lápices. ¿Cuántos lápices hay en 7 contenedores? 109 ¿Cuántos segundos tiene

ap2 = 32 + 42

b) 52 = a2 + 32 " a2 = 52 - 32 "

f)

y la de otro es 73,65 m2. Redondea y trunca la superficie de cada piso a metros cuadrados. Indica qué aproximación es más precisa.

Se resuelve la ecuación resultante.

a) g2 = 32 + 42 " g = b)

ap

6 = 3 cm 2

a

52 = a2 + 32

rectángulo cuyos catetos miden 2 cm y 3 cm, con un error menor de una centésima. 112 Un piso tiene una superficie de 117,13 m2

108 En un contenedor hay 7 cajas, en cada caja

c)

3 cm

g2 = 32 + 42

e)

111 Halla el valor de la hipotenusa de un triángulo

b) ¿En qué eslabón se habrán realizado 59 049 favores?

Se determina el triángulo rectángulo que relaciona los datos conocidos y el dato desconocido, y se aplica el teorema de Pitágoras.

c)

genealógico se pueden expresar relaciones como potencias. Expresa en forma de potencia cuántos abuelos, bisabuelos y tatarabuelos tienes.

Páginas finales con gran cantidad de problemas para adaptar los conocimientos a contextos reales.

a) ¿Cuántos favores se realizarán en el sexto eslabón de la cadena?

6 cm primero.

61 Comprueba si estos poliedros cumplen la fórmula

Actividades identificadas con el nivel de dificultad que tienen. Saber hacer ayudan a seguir profundizando en los procedimientos.

ap

a

a)

de Euler. a)

c)

5 cm

g 3 cm

10

a) 8 # 5 # 4 cm

b) 10 # 7 # 3 cm

68 La diagonal de un cubo mide

27 cm. Obtén la medida de la arista y de la diagonal de una de sus caras.

4 Realiza las siguientes operaciones con números

a) (-2)2

c) -(-82)

e) -(-2)3

b) (-3)3

d) -42

f ) 42

2 Calcula estas potencias.

d) 4-2

a) 2-3 b) (1,3)-2 c) f

-2

1 p 2

g) (-5,02)-3

e) (-3)-2 f) f

-3

-3 p 5

h) (-2)-4 i) f-

-2

1 p 6

3 Expresa como potencia única.

a) (23)4

c) [-64]3

b) [(-3)3]2

d) >f

e) >f-

a) 3,2 ? 102 + 2,1 ? 10 3

c) (1,5 ? 10 3 ) ? (3,6 ? 10 2 )

b) 1,2 ? 10 4 - 2,1 ? 10 3

d) (1,8 ? 10 2 ) : (7,2 ? 10 4 )

Raíces 5 Extrae factores de las raíces y después realiza las

operaciones. 6 27 + 3 - 2 243

3 5

3 pH 5

2 4

1 pH 3

en notación científica.

f ) [-52]4

Números reales. Aproximación 6 Trunca y redondea el número

14 = 3,7416573…

a las: a) Décimas.

b) Centésimas.

c) Milésimas.

212

47

En la vida cotidiana es una actividad relacionada con el invento inicial.

ACTIVIDADES 10 Traza el segmento AB determinado por estos

puntos y calcula su transformado mediante una traslación de vector v = (3, 4). a) A(1, -2), B (3, -1)

c) A(3, 1), B (0, 4)

b) A(-1, 4), B (-3, 2)

d) A(7, 2), B( 4, -1)

12 Obtén la transformada de la figura F mediante

una traslación de vector v . v

v

F

F

11 Para cada pareja de puntos A y B, traza el segmento

AB y su transformado mediante un giro de centro el origen de coordenadas y ángulo de 60°. a) A(5, 2), B(4, -3)

c) A(1, 6), B(2, 3)

b) A(-2, 4), B(-3, 1)

d) A(1, -2), B(4, 5)

13 Dibuja el trapecio isósceles de vértices A(3, 2),

B (7, 2), C (6, 5) y D (4, 5), y transfórmalo mediante una traslación de vector v = (7, 3) y a continuación un giro de centro (8, 3) y ángulo de 45°.

179

Las actividades ayudan a a practicar, aplicar y reflexionar. Tienen como objetivo afianzar y dominar los contenidos.

Progresiones

COMPETENCIA MATEMÁTICA

OBJETIVO: Diseñar un plan de evacuación para el instituto

131 Con la aparición de los nuevos teléfonos inteligentes o smartphones

han empezado a proliferar los virus telefónicos. Existen varios tipos de virus, uno de ellos es el denominado gusano, que se transmite a través de SMS o MMS y no requiere la interacción de los usuarios para ser ejecutado. Su principal objetivo es reproducirse y propagarse a través de otros móviles, por lo que puede copiarse infinitas veces infectando todos los terminales que tenga a su alcance.

Una vez formados los grupos seguid este proceso: 1.ª Fase. • Buscad información sobre en qué consiste un plan de evacuación. • Determinad si se puede seguir un plan general de evacuación o pueden existir situaciones que requieren un plan especial.

Por ahora el riesgo real de que un móvil sea infectado es muy bajo debido a la variedad de sistemas operativos de nuestros terminales (Android, Apple, Windows Mobile…).

2.ª Fase. • Elaborad un croquis de vuestro centro, con todas sus aulas, zonas comunes, escaleras, salidas al exterior y personas que hay en cada zona. • Valorad si es importante, o no, la edad de los estudiantes a la hora de planificar su evacuación.

Imagina que un móvil ha sido infectado con un gusano que se contagia vía MMS. El gusano elige aleatoriamente a 5 personas de sus contactos y les manda un MMS. Al abrirlo, la persona que lo recibe activa el virus que vuelve a repetir el proceso de la misma forma.

Formas de pensar pone a prueba los razonamientos matemáticos.

3

PROYECTO FINAL. Trabajo cooperativo

En la vida cotidiana

b)

Los extremos son los vértices de la nueva figura.

140° A

En el apartado Saber hacer se explica paso a paso los procedimientos necesarios para el desarrollo matemático.

C

•   Si es un giro, con origen el centro, O.

Al

O

A

v

•   Si es una traslación, utilizando como  origen los vértices de la figura.

5. Realiza un giro de 140° y centro O al punto A.

Trazamos una recta que pase por O y por A. Dibujamos otra recta que pase por O y que forme con ella un ángulo de 140°, el ángulo de giro.

B

O

a)

•   Si es un giro, medimos la distancia  entre el centro, O, y cada uno de los vértices de la figura.

3. Trasladamos esas distancias sobre las rectas dibujadas.

140°

C

110°

A

•   Si es una traslación, medimos  el módulo del vector.

Puntos dobles: no existen.

Aplicar el teorema de Pitágoras en un cuerpo geométrico

d) ¿Cuál es el número de vértices de un heptaedro si tiene 15 aristas?

sabiendo que 357 km de carretera separan estas dos ciudades? Exprésalo en notación científica.

106 En el árbol

SABER HACER

c) ¿Cuál es el número de aristas de un heptaedro que tiene 7 vértices?

A 1

v (2, 3)

C

•   Si es un giro, hasta el centro  de giro, O, y desde este punto, ayudados por el transportador, trazamos otras rectas que formen un ángulo a con las ya dibujadas.

Y

Partiendo de A colocamos un vector igual en módulo, dirección y sentido al vector v . El punto Al es el situado en el extremo de ese vector.

b)

v

•   Si es una traslación, paralelas  al vector.

EJEMPLO

•   En una traslación:

12

C

b) Un giro de centro O y ángulo 110°.

1. Trazamos rectas desde los vértices:

178

v

a) Una traslación de vector v .

B

Dados un punto A(x, y) y un vector v = (v1, v2), el punto trasladado de A, Al, tiene como coordenadas Al(x + v1, y + v2).

A (2, 1)

Junto a los textos hay informaciones complementarias. Resuelve el reto pone a prueba los conocimientos y razonamientos matemáticos.

Las traslaciones y los giros son movimientos, es decir, transforman una figura en otra igual.

Realizar traslaciones y giros de figuras geométricas

Una butaca muy pesada solo se puede mover mediante giros de 90° alrededor de cualquiera de sus esquinas. ¿Es posible colocarla justo detrás de donde estaba y mirando en la misma dirección?

Saber con textos claros y estructurados. Ejemplos que ayudan a afianzar los saberes.

9

SABER HACER

Traslaciones y giros

f ) 10 caras

110 ¿Cuántos milímetros hay entre Madrid y Valencia

Debes saber hacer es la autoevaluación básica para comprobar el alcance de los objetivos planteados en la unidad.

Páginas de competencia matemática: un paso más en la aplicación de los contenidos aprendidos.

Páginas de contenidos: SABER y SABER HACER como un todo integrado.

3

e) 18 aristas

c) 8 caras

m

•   El m.c.m. se obtiene descomponiendo los números en factores  primos y multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor de sus exponentes.

6. Extendido de la pasta. La pasta se extiende sobre una tela metálica para conseguir una capa uniforme.

d) 9 vértices

b) 20 aristas

5c

VIDA COTIDIANA

•   El m.c.d. de varios números se obtiene descomponiendo los  números en factores primos y multiplicando los factores primos comunes elevados al menor de sus exponentes.

a) 7 vértices

b) ¿Cuál es el número de vértices de un pentaedro si tiene 8 aristas?

60 Los siguientes poliedros, ¿son regulares? Razónalo.

La Vida cotidiana propone un ejercicio relacionado con la imagen inicial.

•   Expresar un número decimal exacto  o periódico mediante una fracción

Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de dos números

Comenzamos la unidad en torno a la historia, utilidades y curiosidades de algún invento.

a) ¿Cuál es el número de aristas de un pentaedro que tiene 6 vértices?

18

•   Expresar una fracción mediante  un número decimal

1 Descompón en factores primos.

a) 210

58 Contesta a estas cuestiones.

•   Realizar operaciones combinadas  con fracciones

Problemas con números reales

63 ¿Qué polígono es la base de estas pirámides?

2

117,13 m2

3 3

3:3"

•   Comparación y operaciones  con fracciones

Poliedros

4 cm

6:2"

12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3

•   Fracciones equivalentes. Fracción  irreducible

Potencias y raíces

ACTIVIDADES FINALES

4 cm

FACTORES PRIMOS

63 3 63 : 3 " 21 3

SABER

5. Refinado de la pasta.

Actividades finales secuenciadas para aprovechar la mejor forma posible de aplicación de los contenidos.

G

COCIENTES PARCIALES

6 2

Iniciativa  y emprendimiento.

3 cm

FACTORES PRIMOS

12 2

Conciencia y expresión artística.

4 cm

COCIENTES PARCIALES

12 : 2 "

4. Blanqueado y batido de la pasta.

Competencia social y cívica.

3 cm

Descompón 12 y 63 en factores primos.

Aprender a aprender. 

• Poned en común la información recogida y elegid el plan que consideráis más adecuado. • Realizad un informe que recoja las conclusiones a las que habéis llegado.

La unidad finaliza con las actividades del tipo Pruebas PISA.

Pruebas PISA

Formas de pensar. Razonamiento matemático 132 ¿Puede ser el número 0 el primer término de una

progresión geométrica? ¿Y de una progresión aritmética? 133 Razona si puede existir una sucesión que sea, al

mismo tiempo, progresión aritmética y progresión geométrica. En caso afirmativo, pon un ejemplo. 134 Discute si el término general de una progresión

aritmética o geométrica puede ser de la forma an = n p, con p > 1 un número natural. 135 La suma de los n primeros términos de una

progresión aritmética (n > 1) es 153 y la diferencia de la progresión es 2. Si a1 es un número entero, ¿qué valores puede tomar n?

140 Roberto construye el esquema de una escalera

141 Una leyenda cuenta que

usando cuadrados. He aquí los pasos que sigue:

Nivel 1

138 Consideramos una progresión geométrica con

a1 ! 0 y r ! 0, y una progresión aritmética con a1 = 0. Sumando, término a término, estas dos progresiones obtenemos la sucesión: 1, 1, 2, … ¿Cuál es la suma de los 10 primeros términos?

Nivel 2 Nivel 3

Como se puede ver, utiliza un cuadrado para el Nivel 1, tres cuadrados para el Nivel 2, y seis para el Nivel 3. ¿Cuántos cuadrados en total deberá usar para construir hasta el cuarto nivel?

C

A

«Pídeme lo que quieras, que te lo daré».

«Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64».

en 8 partes iguales, levantando desde los puntos de división paralelas al lado BC. Si BC mide 10 cm, calcula la suma de las longitudes de los otros 7 segmentos. B

0,3 + 0,03 + 0,003 + …

el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la India. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle y le dijo:

El inventor del ajedrez, sorprendido, pidió:

139 Dividimos el lado AC de un triángulo rectángulo ABC

! 0,3; para ello escríbelo de la forma: y halla la suma de la progresión.

El inventor del ajedrez

!

136 Expresa de forma fraccionaria el número periódico

70

Esquema de escalera

137 Obtén la fracción generatriz de 2,8 utilizando la suma

de una progresión.

Proyecto final plantea objetivos que se plantearán en la vida diaria. Mejora las competencias para el trabajo cooperativo.

3.ª Fase.

Si suponemos que las personas a las que se manda el MMS no coinciden nunca, cuando el virus se haya autocopiado por décima vez en un terminal, ¿cuántos móviles lleva contagiados?

cm

EJEMPLO

Competencia digital. 

10

3. Preparación de la pasta química. La madera se trata con diversos productos químicos.

Se especifican los contenidos (Saber) y los procedimientos (Saber hacer) de la unidad.

1

Números racionales

Un número entero se puede expresar de forma única como producto de potencias de distintos números primos. A esta expresión se la llama descomposición en factores primos del número.

Comunicación lingüística.

4 cm

CLAVES PARA EMPEZAR

Descomponer un número en factores primos

Competencia matemática, científica y tecnológica.

Páginas de actividades finales: una forma práctica de aprender a aprender.

Introducción a la unidad: dos elementos básicos, una base sólida y una motivación adecuada. Las Claves para empezar permiten recordar contenidos útiles para la unidad.

ESO

(Prueba PISA 2003)

La sorpresa fue cuando calcularon la cantidad de trigo que representaba la petición del inventor. ¿Cuántos granos de trigo pedía aproximadamente? Expresa el resultado en notación científica. 71

13

material del alumno

Matemáticas Cómo son nuestros libros

ESO

La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de las actividades propuestas. A lo largo de toda la unidad marcamos con iconos aquellos contenidos o actividades en los que se trabajan de manera particular las competencias básicas.

21 : 3 " 7 7

1

2

2. Triturado de la madera.

3

SABER HACER

1. Desmenuzado. La madera se divide en trozos muy pequeños.

7:7" 1 63 = 3 ? 3 ? 7 = 32 ? 7

2

•   Números decimales y racionales

•   Hallar el término desconocido de una  fracción equivalente a otra •   Calcular la fracción irreducible

2

ACTIVIDADES

b) 270

c) 66

d) 92

Troncos sin corteza

EJEMPLO Calcula el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo  de 12 y 28 mediante su descomposición en factores. 12 2 6 2 3 3 1

28 2 14 2 7 7 1

12 = 22 ? 3

Bobina de papel

El papel Para conseguir un paquete de papel es necesario un tronco de unos 90 cm de alto y 20 cm de diámetro. Si el papel 3 es reciclado, se consume de la energía 5 3 y del agua necesaria para producir 7 papel nuevo.

7. Prensado y secado del papel. La pasta extendida pasa a través de cilindros de prensado y secado.

•   Para fabricar una tonelada de papel  se requieren 15 m3 de agua dulce y 9 600 kWh de electricidad. ¿Qué cantidad de agua y electricidad se ahorraría si el papel fuese reciclado?

28 = 22 ? 7

m.c.d. (12, 28) = 22 = 4 m.c.m. (12, 28) = 22 ? 3 ? 7 = 84

Egipto

Asia

Europa

Año 105

1840

En el antiguo Egipto se escribía sobre papiro, un vegetal muy abundante en las riberas del río Nilo.

En China fabricaban papel a partir de los residuos de la seda, la paja de arroz y el cáñamo, e incluso del algodón.

En Europa, durante la Edad Media, se utilizó el pergamino. Este consistía en pieles de cabra o de carnero curtidas y preparadas para recibir la tinta.

Un empleado del emperador chino Ho Ti fabricó por primera vez un papel a partir de pasta vegetal de caña de bambú, morera y otras plantas, dando origen al papel que conocemos hoy.

En este año se inventó la primera máquina que trituraba madera para fabricar pulpa. Diez años después se descubrió el proceso químico para este fin.

ACTIVIDADES 2 Descompón estos números en factores primos y calcula

su máximo común divisor y su mínimo común múltiplo. a) 18 y 20

d) 18 y 32

b) 28 y 42

e) 48 y 32

c) 18 y 4

f ) 21 y 28

6

7

Movimientos y semejanzas

RESUELVE EL RETO

& Transforma el triángulo ABC mediante:

Una traslación de vector v es un movimiento que transforma cualquier punto P en otro punto Pl de forma que PPl tiene el mismo módulo, dirección y sentido que v. Se representa por t v .

A

Pasos a seguir a)

4. Aplica una traslación de vector v (2, 3) al punto A (2, 1).

Al

v

1

Traslación

" Al(2 + 2, 1 + 3) " Al(4, 4)

X

Un giro de centro O y ángulo a es un movimiento que asocia a cada punto P otro punto Pl, situado a la misma distancia de O que % el punto P, y de forma que POPl = a. Se expresa como G (O; a).

Rectas dobles: las rectas que contienen al vector. •   En un giro: Puntos dobles: el centro de giro. Rectas dobles: si el giro es de 180°, las rectas que pasan por el centro de giro.

2. Con el compás medimos distancias.

B

EJEMPLO

O

ACTIVIDADES 7 PRACTICA. Para cada punto A y vector v, determina

las coordenadas del transformado de A mediante la traslación tv : a) A (3, -2), v = (2, -1)

c) A (1, 6), v = (-4, -3)

b) A (-4, 5), v = (7, 2)

d) A (-3, 1), v = (-5, 1)

C

B

O

B

A

A

a) Cl

Bl

b)

v

Cl

C

C

Al

Bl B

Al

B

O

A

A

A

Medimos la distancia OA y la llevamos sobre la última recta dibujada. Así obtenemos el punto Al, transformado de A.

8 APLICA. Determina el vector de la traslación que

transforma el punto A (-1, 4) en Al(5, 2). 9 REFLEXIONA. Aplica la traslación de vector v = (2, 3)

seguida de un giro de centro B(3, 2) y ángulo 270°. ¿Es lo mismo aplicar el giro y luego la traslación?

64 Calcula el dato desconocido en estos cuerpos

59 Calcula el número que falta en cada caso. Caras

Aristas

geométricos. a)

Vértices

6

8

6

6

8

14

a)

b)

b)

b) g

segundo.

107 Un niño ha ideado una cadena de favores. Su idea es

que cada persona realice un favor a otras tres personas y, después, cada una de estas tres haga lo mismo, y así sucesivamente.

3 2 + 4 2 = 5 cm

" a = 52 - 32 = 4 cm c) ap2 = 32 + 42 " ap =

114 Un litro de gasolina cuesta 1,198 €. ¿Cuánto tengo que

pagar por 27 litros?

el mes de septiembre? Exprésalo mediante un producto de potencias.

115 Un alumno afirma que la longitud de una

circunferencia de diámetro 12 cm mide 37,6992 cm. ¿Qué aproximación del número r ha tomado?

3 2 + 4 2 = 5 cm

DEBES SABER HACER Potencias. Operaciones

Notación científica

1 Calcula las siguientes potencias.

c)

g)

65 Halla la apotema de una pirámide regular de base

cuadrada de altura 7 cm y arista básica 9 cm. 66 Halla la altura de estas pirámides regulares.

d)

a) Pirámide hexagonal de apotema 10 cm y arista básica 10 cm.

h)

b) Pirámide pentagonal de apotema 9 cm y apotema básica 4,13 cm. 67 Calcula la diagonal de un ortoedro de dimensiones: 62 Di cuál es la base de estos prismas que tienen

el número de elementos indicado. a) 9 caras

c) 20 vértices

e) 21 aristas

b) 18 aristas

d) 10 vértices

f ) 18 caras

78,65 m2

113 Marta dice que el lado de un cuadrado de área 27 cm2

mide, aproximadamente, 5,2 cm. Pedro dice que el lado de un cuadrado de área 34 cm2 mide, aproximadamente, 5,83 cm. ¿Cuál de los dos ha cometido mayor error?

hay 7 bolsas, en cada bolsa hay 7 estuches y en cada estuche 7 lápices. ¿Cuántos lápices hay en 7 contenedores? 109 ¿Cuántos segundos tiene

ap2 = 32 + 42

b) 52 = a2 + 32 " a2 = 52 - 32 "

f)

y la de otro es 73,65 m2. Redondea y trunca la superficie de cada piso a metros cuadrados. Indica qué aproximación es más precisa.

Se resuelve la ecuación resultante.

a) g2 = 32 + 42 " g = b)

ap

6 = 3 cm 2

a

52 = a2 + 32

rectángulo cuyos catetos miden 2 cm y 3 cm, con un error menor de una centésima. 112 Un piso tiene una superficie de 117,13 m2

108 En un contenedor hay 7 cajas, en cada caja

c)

3 cm

g2 = 32 + 42

e)

111 Halla el valor de la hipotenusa de un triángulo

b) ¿En qué eslabón se habrán realizado 59 049 favores?

Se determina el triángulo rectángulo que relaciona los datos conocidos y el dato desconocido, y se aplica el teorema de Pitágoras.

c)

genealógico se pueden expresar relaciones como potencias. Expresa en forma de potencia cuántos abuelos, bisabuelos y tatarabuelos tienes.

Páginas finales con gran cantidad de problemas para adaptar los conocimientos a contextos reales.

a) ¿Cuántos favores se realizarán en el sexto eslabón de la cadena?

6 cm primero.

61 Comprueba si estos poliedros cumplen la fórmula

Actividades identificadas con el nivel de dificultad que tienen. Saber hacer ayudan a seguir profundizando en los procedimientos.

ap

a

a)

de Euler. a)

c)

5 cm

g 3 cm

10

a) 8 # 5 # 4 cm

b) 10 # 7 # 3 cm

68 La diagonal de un cubo mide

27 cm. Obtén la medida de la arista y de la diagonal de una de sus caras.

4 Realiza las siguientes operaciones con números

a) (-2)2

c) -(-82)

e) -(-2)3

b) (-3)3

d) -42

f ) 42

2 Calcula estas potencias.

d) 4-2

a) 2-3 b) (1,3)-2 c) f

-2

1 p 2

g) (-5,02)-3

e) (-3)-2 f) f

-3

-3 p 5

h) (-2)-4 i) f-

-2

1 p 6

3 Expresa como potencia única.

a) (23)4

c) [-64]3

b) [(-3)3]2

d) >f

e) >f-

a) 3,2 ? 102 + 2,1 ? 10 3

c) (1,5 ? 10 3 ) ? (3,6 ? 10 2 )

b) 1,2 ? 10 4 - 2,1 ? 10 3

d) (1,8 ? 10 2 ) : (7,2 ? 10 4 )

Raíces 5 Extrae factores de las raíces y después realiza las

operaciones. 6 27 + 3 - 2 243

3 5

3 pH 5

2 4

1 pH 3

en notación científica.

f ) [-52]4

Números reales. Aproximación 6 Trunca y redondea el número

14 = 3,7416573…

a las: a) Décimas.

b) Centésimas.

c) Milésimas.

212

47

En la vida cotidiana es una actividad relacionada con el invento inicial.

ACTIVIDADES 10 Traza el segmento AB determinado por estos

puntos y calcula su transformado mediante una traslación de vector v = (3, 4). a) A(1, -2), B (3, -1)

c) A(3, 1), B (0, 4)

b) A(-1, 4), B (-3, 2)

d) A(7, 2), B( 4, -1)

12 Obtén la transformada de la figura F mediante

una traslación de vector v . v

v

F

F

11 Para cada pareja de puntos A y B, traza el segmento

AB y su transformado mediante un giro de centro el origen de coordenadas y ángulo de 60°. a) A(5, 2), B(4, -3)

c) A(1, 6), B(2, 3)

b) A(-2, 4), B(-3, 1)

d) A(1, -2), B(4, 5)

13 Dibuja el trapecio isósceles de vértices A(3, 2),

B (7, 2), C (6, 5) y D (4, 5), y transfórmalo mediante una traslación de vector v = (7, 3) y a continuación un giro de centro (8, 3) y ángulo de 45°.

179

Las actividades ayudan a a practicar, aplicar y reflexionar. Tienen como objetivo afianzar y dominar los contenidos.

Progresiones

COMPETENCIA MATEMÁTICA

OBJETIVO: Diseñar un plan de evacuación para el instituto

131 Con la aparición de los nuevos teléfonos inteligentes o smartphones

han empezado a proliferar los virus telefónicos. Existen varios tipos de virus, uno de ellos es el denominado gusano, que se transmite a través de SMS o MMS y no requiere la interacción de los usuarios para ser ejecutado. Su principal objetivo es reproducirse y propagarse a través de otros móviles, por lo que puede copiarse infinitas veces infectando todos los terminales que tenga a su alcance.

Una vez formados los grupos seguid este proceso: 1.ª Fase. • Buscad información sobre en qué consiste un plan de evacuación. • Determinad si se puede seguir un plan general de evacuación o pueden existir situaciones que requieren un plan especial.

Por ahora el riesgo real de que un móvil sea infectado es muy bajo debido a la variedad de sistemas operativos de nuestros terminales (Android, Apple, Windows Mobile…).

2.ª Fase. • Elaborad un croquis de vuestro centro, con todas sus aulas, zonas comunes, escaleras, salidas al exterior y personas que hay en cada zona. • Valorad si es importante, o no, la edad de los estudiantes a la hora de planificar su evacuación.

Imagina que un móvil ha sido infectado con un gusano que se contagia vía MMS. El gusano elige aleatoriamente a 5 personas de sus contactos y les manda un MMS. Al abrirlo, la persona que lo recibe activa el virus que vuelve a repetir el proceso de la misma forma.

Formas de pensar pone a prueba los razonamientos matemáticos.

3

PROYECTO FINAL. Trabajo cooperativo

En la vida cotidiana

b)

Los extremos son los vértices de la nueva figura.

140° A

En el apartado Saber hacer se explica paso a paso los procedimientos necesarios para el desarrollo matemático.

C

•   Si es un giro, con origen el centro, O.

Al

O

A

v

•   Si es una traslación, utilizando como  origen los vértices de la figura.

5. Realiza un giro de 140° y centro O al punto A.

Trazamos una recta que pase por O y por A. Dibujamos otra recta que pase por O y que forme con ella un ángulo de 140°, el ángulo de giro.

B

O

a)

•   Si es un giro, medimos la distancia  entre el centro, O, y cada uno de los vértices de la figura.

3. Trasladamos esas distancias sobre las rectas dibujadas.

140°

C

110°

A

•   Si es una traslación, medimos  el módulo del vector.

Puntos dobles: no existen.

Aplicar el teorema de Pitágoras en un cuerpo geométrico

d) ¿Cuál es el número de vértices de un heptaedro si tiene 15 aristas?

sabiendo que 357 km de carretera separan estas dos ciudades? Exprésalo en notación científica.

106 En el árbol

SABER HACER

c) ¿Cuál es el número de aristas de un heptaedro que tiene 7 vértices?

A 1

v (2, 3)

C

•   Si es un giro, hasta el centro  de giro, O, y desde este punto, ayudados por el transportador, trazamos otras rectas que formen un ángulo a con las ya dibujadas.

Y

Partiendo de A colocamos un vector igual en módulo, dirección y sentido al vector v . El punto Al es el situado en el extremo de ese vector.

b)

v

•   Si es una traslación, paralelas  al vector.

EJEMPLO

•   En una traslación:

12

C

b) Un giro de centro O y ángulo 110°.

1. Trazamos rectas desde los vértices:

178

v

a) Una traslación de vector v .

B

Dados un punto A(x, y) y un vector v = (v1, v2), el punto trasladado de A, Al, tiene como coordenadas Al(x + v1, y + v2).

A (2, 1)

Junto a los textos hay informaciones complementarias. Resuelve el reto pone a prueba los conocimientos y razonamientos matemáticos.

Las traslaciones y los giros son movimientos, es decir, transforman una figura en otra igual.

Realizar traslaciones y giros de figuras geométricas

Una butaca muy pesada solo se puede mover mediante giros de 90° alrededor de cualquiera de sus esquinas. ¿Es posible colocarla justo detrás de donde estaba y mirando en la misma dirección?

Saber con textos claros y estructurados. Ejemplos que ayudan a afianzar los saberes.

9

SABER HACER

Traslaciones y giros

f ) 10 caras

110 ¿Cuántos milímetros hay entre Madrid y Valencia

Debes saber hacer es la autoevaluación básica para comprobar el alcance de los objetivos planteados en la unidad.

Páginas de competencia matemática: un paso más en la aplicación de los contenidos aprendidos.

Páginas de contenidos: SABER y SABER HACER como un todo integrado.

3

e) 18 aristas

c) 8 caras

m

•   El m.c.m. se obtiene descomponiendo los números en factores  primos y multiplicando los factores primos comunes y no comunes elevados al mayor de sus exponentes.

6. Extendido de la pasta. La pasta se extiende sobre una tela metálica para conseguir una capa uniforme.

d) 9 vértices

b) 20 aristas

5c

VIDA COTIDIANA

•   El m.c.d. de varios números se obtiene descomponiendo los  números en factores primos y multiplicando los factores primos comunes elevados al menor de sus exponentes.

a) 7 vértices

b) ¿Cuál es el número de vértices de un pentaedro si tiene 8 aristas?

60 Los siguientes poliedros, ¿son regulares? Razónalo.

La Vida cotidiana propone un ejercicio relacionado con la imagen inicial.

•   Expresar un número decimal exacto  o periódico mediante una fracción

Calcular el m.c.d. y el m.c.m. de dos números

Comenzamos la unidad en torno a la historia, utilidades y curiosidades de algún invento.

a) ¿Cuál es el número de aristas de un pentaedro que tiene 6 vértices?

18

•   Expresar una fracción mediante  un número decimal

1 Descompón en factores primos.

a) 210

58 Contesta a estas cuestiones.

•   Realizar operaciones combinadas  con fracciones

Problemas con números reales

63 ¿Qué polígono es la base de estas pirámides?

2

117,13 m2

3 3

3:3"

•   Comparación y operaciones  con fracciones

Poliedros

4 cm

6:2"

12 = 2 ? 2 ? 3 = 22 ? 3

•   Fracciones equivalentes. Fracción  irreducible

Potencias y raíces

ACTIVIDADES FINALES

4 cm

FACTORES PRIMOS

63 3 63 : 3 " 21 3

SABER

5. Refinado de la pasta.

Actividades finales secuenciadas para aprovechar la mejor forma posible de aplicación de los contenidos.

G

COCIENTES PARCIALES

6 2

Iniciativa  y emprendimiento.

3 cm

FACTORES PRIMOS

12 2

Conciencia y expresión artística.

4 cm

COCIENTES PARCIALES

12 : 2 "

4. Blanqueado y batido de la pasta.

Competencia social y cívica.

3 cm

Descompón 12 y 63 en factores primos.

Aprender a aprender. 

• Poned en común la información recogida y elegid el plan que consideráis más adecuado. • Realizad un informe que recoja las conclusiones a las que habéis llegado.

La unidad finaliza con las actividades del tipo Pruebas PISA.

Pruebas PISA

Formas de pensar. Razonamiento matemático 132 ¿Puede ser el número 0 el primer término de una

progresión geométrica? ¿Y de una progresión aritmética? 133 Razona si puede existir una sucesión que sea, al

mismo tiempo, progresión aritmética y progresión geométrica. En caso afirmativo, pon un ejemplo. 134 Discute si el término general de una progresión

aritmética o geométrica puede ser de la forma an = n p, con p > 1 un número natural. 135 La suma de los n primeros términos de una

progresión aritmética (n > 1) es 153 y la diferencia de la progresión es 2. Si a1 es un número entero, ¿qué valores puede tomar n?

140 Roberto construye el esquema de una escalera

141 Una leyenda cuenta que

usando cuadrados. He aquí los pasos que sigue:

Nivel 1

138 Consideramos una progresión geométrica con

a1 ! 0 y r ! 0, y una progresión aritmética con a1 = 0. Sumando, término a término, estas dos progresiones obtenemos la sucesión: 1, 1, 2, … ¿Cuál es la suma de los 10 primeros términos?

Nivel 2 Nivel 3

Como se puede ver, utiliza un cuadrado para el Nivel 1, tres cuadrados para el Nivel 2, y seis para el Nivel 3. ¿Cuántos cuadrados en total deberá usar para construir hasta el cuarto nivel?

C

A

«Pídeme lo que quieras, que te lo daré».

«Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64».

en 8 partes iguales, levantando desde los puntos de división paralelas al lado BC. Si BC mide 10 cm, calcula la suma de las longitudes de los otros 7 segmentos. B

0,3 + 0,03 + 0,003 + …

el inventor del ajedrez presentó su invento a un príncipe de la India. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle y le dijo:

El inventor del ajedrez, sorprendido, pidió:

139 Dividimos el lado AC de un triángulo rectángulo ABC

! 0,3; para ello escríbelo de la forma: y halla la suma de la progresión.

El inventor del ajedrez

!

136 Expresa de forma fraccionaria el número periódico

70

Esquema de escalera

137 Obtén la fracción generatriz de 2,8 utilizando la suma

de una progresión.

Proyecto final plantea objetivos que se plantearán en la vida diaria. Mejora las competencias para el trabajo cooperativo.

3.ª Fase.

Si suponemos que las personas a las que se manda el MMS no coinciden nunca, cuando el virus se haya autocopiado por décima vez en un terminal, ¿cuántos móviles lleva contagiados?

cm

EJEMPLO

Competencia digital. 

10

3. Preparación de la pasta química. La madera se trata con diversos productos químicos.

Se especifican los contenidos (Saber) y los procedimientos (Saber hacer) de la unidad.

1

Números racionales

Un número entero se puede expresar de forma única como producto de potencias de distintos números primos. A esta expresión se la llama descomposición en factores primos del número.

Comunicación lingüística.

4 cm

CLAVES PARA EMPEZAR

Descomponer un número en factores primos

Competencia matemática, científica y tecnológica.

Páginas de actividades finales: una forma práctica de aprender a aprender.

Introducción a la unidad: dos elementos básicos, una base sólida y una motivación adecuada. Las Claves para empezar permiten recordar contenidos útiles para la unidad.

ESO

(Prueba PISA 2003)

La sorpresa fue cuando calcularon la cantidad de trigo que representaba la petición del inventor. ¿Cuántos granos de trigo pedía aproximadamente? Expresa el resultado en notación científica. 71

13

material del alumno

Matemáticas Material del alumno

Bachillerato

A continuación conozca cómo son los libros del alumno de Bachillerato: Para 1.º de Bachillerato:

Para 2.º de Bachillerato:

Matemáticas

las Ciencias Sociales

ES0000000035051 716825_Matematicas_2_BACH_41827.indd 1

aplicadas a las Ciencias Sociales serie RESUELVE

Matemáticas

aplicadas a las Ciencias Sociales Serie RESUELVE

10/11/2015 12:15:12

Matemáticas bachillerato

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales serie resUelVe

BACHILLERATO

bachillerato

Bachillerato

ticas

BACHILLERATO

SERIE RESUELVE

Lo que debes saber de Secundaria

E

SERIE RESUELVE

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales serie resUelVe

BACHILLERATO

Matemáticas Lo que debes saber de Secundaria

Matemáticas

bachillerato

BACHILLERATO

Matemáticas

SERIE RESUELVE

Serie RESUELVE

Bachillerato

Matemáticas serie resUelVe

bachillerato

Matemáticas

BACHILLERATO

BACHILLERATO

ES0000000035051 716825_Matematicas_2_BACH_41827

aplicadas a las Ciencias Sociales Serie RESUELVE

Incluido en el libro del alumno.

Y nuestra oferta de contenidos digitales para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje.

14

material del alumno

Matemáticas Material del alumno

Bachillerato

A continuación conozca cómo son los libros del alumno de Bachillerato: Para 1.º de Bachillerato:

Para 2.º de Bachillerato:

Matemáticas

las Ciencias Sociales

ES0000000035051 716825_Matematicas_2_BACH_41827.indd 1

aplicadas a las Ciencias Sociales serie RESUELVE

Matemáticas

aplicadas a las Ciencias Sociales Serie RESUELVE

10/11/2015 12:15:12

Matemáticas bachillerato

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales serie resUelVe

BACHILLERATO

bachillerato

Bachillerato

ticas

BACHILLERATO

SERIE RESUELVE

Lo que debes saber de Secundaria

E

SERIE RESUELVE

Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales serie resUelVe

BACHILLERATO

Matemáticas Lo que debes saber de Secundaria

Matemáticas

bachillerato

BACHILLERATO

Matemáticas

SERIE RESUELVE

Serie RESUELVE

Bachillerato

Matemáticas serie resUelVe

bachillerato

Matemáticas

BACHILLERATO

BACHILLERATO

ES0000000035051 716825_Matematicas_2_BACH_41827

aplicadas a las Ciencias Sociales Serie RESUELVE

Incluido en el libro del alumno.

Y nuestra oferta de contenidos digitales para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje.

14

material del alumno

Matemáticas Cómo son nuestros libros

Bachillerato

La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de las actividades propuestas.

Introducción a la unidad: un texto que motiva el estudio de los contenidos.

Páginas finales de la unidad: un paso más en la aplicación de los contenidos aprendidos.

Bachillerato Páginas de Saber hacer: para aprender a hacer matemáticas. En estas páginas se muestran los procedimientos básicos (Saber hacer) de la unidad.

Resolución de triángulos

Aplicar la resolución de triángulos a la resolución de problemas reales Rita quiere saber la anchura de un desfiladero. Para ello, utilizando sus pasos ha logrado obtener las siguientes medidas, que ha plasmado en el croquis adjunto.

Calcular el área de un polígono regular conociendo su radio

Resolver problemas aplicando el teorema del coseno

Determina el área de un octógono regular de radio 12 cm.

Dos corredores parten de un mismo punto en distintas direcciones que forman un ángulo de 60°. Al cabo de 2 horas el primero ha recorrido 18 km, y el segundo, 14 km. ¿A qué distancia en línea recta se encuentran?

primero.

a

primero.

El triángulo de vértices ABC es un triángulo rectángulo del que se conocen dos de sus lados y se quiere calcular el ángulo a. tg a =

C5mA a 4m B

a

4 = 0,8 5

100 m

D

El triángulo de vértices DCE es un triángulo rectángulo del que se conocen uno de sus lados y un ángulo, a. Se determina a. tg a =

MATEMÁTICAS EN TU VIDA

1 Se especifican los contenidos (Saber) de la unidad.

a 100

tg a = 0,8

" 0,8 =

a 100

Se halla la medida del ángulo central. Para ello se divide 360° entre el número de lados, n, del polígono regular.

CONTENIDOS Números racionales e irracionales Números reales Intervalos

Pero si un coche frena bloqueando las cuatro ruedas, se detiene mucho antes que si frena bloqueando solo dos ruedas. Para determinar correctamente la velocidad inicial antes de un accidente es necesario tener en cuenta el reparto de carga entre las ruedas. Si las cuatro ruedas se bloquean, la aceleración a cumple: a = -ng, donde g es la gravedad, g = 9,8 m/s 2, y  n es el coeficiente de rozamiento de la carretera.

Notación científica Radicales Logaritmos

Así, al reemplazar en la expresión, se tiene que la velocidad inicial en m/s respecto a la distancia de frenado x se obtiene mediante la siguiente expresión: v=

El texto inicial presenta un aspecto de la vida real en el que se utilizan los contenidos que se van a estudiar en la unidad.

Por lo general, asociamos los coches y su conducción a situaciones placenteras, de ello se han encargado la publicidad, los vendedores… La realidad es que en la mayoría de los casos estas situaciones idílicas no son tales y la conducción pasa a ser estresante y peligrosa, debiendo prestar la máxima atención para evitar accidentes. La prevención de los accidentes de tráfico es fundamental, para mejorarla se han realizado campañas aconsejando la conducción responsable: respeto a las señales de circulación,

adecuación de la velocidad a la vía por la que se circula, prohibición expresa de consumir sustancias que influyan negativamente en la conducción, como las drogas o el alcohol…

Resolución de triángulos

Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.

Los coeficientes de rozamiento más comunes para vehículos, de acuerdo con el tipo de pavimento, son: Tipo de pavimento

2ngx

Coeficiente de rozamiento n

0,75

0,9

REFLEXIONA

1. Responde.

4. ¿Es correcta esta igualdad? v=

2n g x =

Nieve

Grava

0,3

2? n?

0,5

g?

6. Calcula la velocidad de un automóvil si se sabe que frenó bruscamente y dejó una marca de frenado de 30 m en una carretera de asfalto.

3. ¿Qué magnitudes representan las variables n, g y x en la expresión de la velocidad inicial con respecto a la distancia de frenado?

7. Averigua cuáles son las campañas de los responsables de tráfico de tu ciudad o comunidad para evitar accidentes.

36

Calcular la altura de un triángulo conociendo uno de sus lados y sus dos ángulos adyacentes

Calcula el área de este triángulo.

Halla la altura de un triángulo cuya base mide 80 cm y sus ángulos adyacentes son a = 30° y b = 45°.

Resolver problemas aplicando el teorema del seno

primero.

Las bases de un trapecio miden 7 cm la mayor y 3 cm la menor, y los ángulos adyacentes a la base mayor miden 60° y 45°, respectivamente. Calcula cuánto miden los otros lados del trapecio.

5 cm

Se calcula la tangente de los ángulos conocidos, considerando que la altura forma dos triángulos rectángulos.

h 30° 7 cm primero.

Se calcula la altura utilizando el seno del ángulo.

h sen a = a

1 " h = 5 sen 30° = 5 ? = 2,5 cm 2

segundo. Se determina el área del triángulo una vez conocidas la base y la altura.

7 ? 2,5 base ? altura Área = = = 8,75 cm2 2 2

T.V.M. ([a, b]) = f (b) - f (a)

f (a)

b-a

a

b

X

La tasa de variación media de una función en un intervalo mide el aumento o la disminución de dicha función en ese intervalo. El valor de la tasa de variación media coincide con el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). EJEMPLOS

en el intervalo [-1, 2].

Junto a los textos explicativos se encuentran informaciones complementarias que te serán muy útiles para la comprensión de los conceptos y procedimientos.

16

Distancia (km)

entre dos ciudades modifica su velocidad. La gráfica muestra la relación entre el tiempo empleado y la distancia recorrida. Determina la tasa de variación media en los intervalos de tiempo [15, 30] y [30, 90], e interpreta el resultado.

f' (a) = lim h"0

2 Determina la derivada de la función f (x) = en x = -1 y en x = 0. x-1 primero.

600 450

300 60

300

Se halla el incremento de la función y se simplifica el resultado.

2 2 2 2 Para x = -1 " f (-1+ h) - f (-1) = = = (-1+ h) - 1 (-1) - 1 -2 + h -2

150

150

=

15 15

30 45 60 75 90

Para x = 0 " f (0 + h) - f (0) =

Tiempo (min)

f (30) - f (15) 150 T.V.M. ([15, 30]) = = = 10 30 - 15 15

=

f (90) - f (30) 300 = =5 T.V.M. ([30, 90]) = 90 - 30 60

segundo.

Para x = -1 "

Con frecuencia, en la tasa de variación media se considera el intervalo [a, a + h], donde h indica su longitud.

Date cuenta

T.V.M. ([a, a + h]) =

f (a + h) - f (a) Var. de f (x) = h Var. de x

f (a + h) - f (a) = (a + h) - a

f (a + h) - f (a) = h

f (a + h) f (a + h) - f (a) f (a)

[2, 3], [2, 4], [2, 5], [2, 6], [3, 5], [3, 6]

254

a) [2, 2 + h]

b) [3, 3 + h]

Para x = -1 " f' (-1) = lim

h"0

4"h=

(80 - x) 3 3

h=x

4

Se resuelve el sistema y se halla la altura.

80 3 - 3 x 80 3 = 29,3 cm "x= 3 3+ 3 h = x " h = 29,3 cm

segundo.

PRACTICA

40. Calcula el área de este triángulo.

2 cm

A

B

4 cm 45°

E

60° x

75°

B

B

Se aplica el teorema del seno en los dos ángulos conocidos para obtener las medidas pedidas. 4

a

sen W A

=

b

sen V B

=

c

W sen C

"

4 x y = = sen 75° sen 45° sen 60°

"

* sen475° sen 75°

PRACTICA

D

5 cm

= =

x sen 45° y sen 60°

"x= "y=

4 ? sen 45° = 2,93 cm sen 75° 4 ? sen 60° = 3,59 cm sen 75°

C

x

41. Halla la altura de un triángulo de base 100 cm y cuyos ángulos adyacentes son a = 45° y b = 60°.

3 cm

C

E

y

44. Calcula la longitud de los lados que faltan en el siguiente trapecio rectángulo.

PRACTICA

h

60°

C

D y 45°

y 70°

40°

A

B

8 cm

106

107

Nuestras Actividades finales están secuenciadas para aprovechar de la mejor forma posible la aplicación de los contenidos estudiados.

Cada actividad te ofrece la dificultad que tiene. Los Saber hacer te ayudarán a seguir profundizando en los procedimientos.

5

Números complejos

ACTIVIDADES Números complejos

Operaciones con números complejos

33. Expresa estos números complejos en forma binómica. a)

b) -2 - -4

-16 + 3

c)

-8 +

2

34. Expresa en forma binómica estos números complejos. Y

41. Calcula el resultado de estas operaciones. a) (4 - i ) + (-2 + 3i )

c) 5 - (2 - i )

Reflexiona sobre la teoría

b) e

d) e

131. Elige la respuesta adecuada. (Concurso de Primavera)

1 1 1 1 - i o - e- + i o 2 3 4 3

z1

a) (3 - 5i ) + (2 - 7i ) + (-4 + 8i ) b) (-1 + 2i ) - (3 + 6i ) - (-4 - i )

z2

1 2

X z4

z5

z3

c) -(1 - 2i ) - (-7i ) - (-4 - 3i ) d) 2 (1 - 4i ) - 2 (1 + 4i ) - 3 (4 - 4i ) e) 2 _ 3 + i i - 3 _2 3 + 4i i f) _ 2 - 3i i + 2 _2 -

35. Representa estos números en el plano complejo. a) 5 + i b)

g)

3 5 - i 2 3

e) -4

h)

3 - 2i

f ) -2i

i)

3i

d) 6i

2 - 3i

c) -3 - i

36. Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa sus soluciones mediante números complejos.

a) (1 - 3i )(2 - 6i )

d) (5 - 4i )(5 + 4i )

e) _-3 - 2 2 i i_-3 + 2 2 i i

b) (-3 - 4i )(7 - i )

f ) _ 2 - ii

3

c) (-2 + 5i )2

44. Efectúa las siguientes divisiones. -1 + 5i a) 3 - 2i

20 + 40i b) 8 + 6i

a) (3 - i ) : (1 - i ) b)

a) -3 + 2i

d) -4

b) -3i

e) -2 - 2i

-1 + 5i c) 2-i

d)

2 1+

-2 + i

A la vista de estos ejemplos deduce: a) ¿Cómo es la representación del conjugado de un número complejo? b) ¿Cómo es la representación del opuesto de un número complejo? 39. Calcula el valor de k para que el número k + (k - 3)i cumpla las siguientes condiciones. a) Sea un número imaginario puro. b) Sea un número real.

Resuelve la operación

Investiga también lo que ocurre con i -1, i -2, i -3, i -4, i -5, i -6, …

149

205

215

225

235

z ? t = 660 es: Uno de los números complejos z que verifican el sistema * z = 330° t

2+2 3i

2 3 - 2i

3 + 3i

2 + 2i

1 3 i + 2 2

¿Cuál de los siguientes números no es raíz del polinomio z 4 - 5z2 - 36?

2i

2180°

2270°

3180°

3

¿Para qué valor de n se verifica que i + 2i 2 + 3i 3 + 4i 4 + ... + ni n es el número complejo 48 + 49i?

24

48

49

97

98

1

16

243

1 024

El valor de f

1+ 3i -1 + 3 i

12

p es:

132. Demuestra que si un número complejo cualquiera z es una raíz del polinomio P(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales, su conjugado z es también una raíz de dicho polinomio.

-1 -

3

133. Calcula las cinco soluciones complejas de la siguiente ecuación. x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 CLAVE

CLAVE

El primer miembro es la suma de los términos de una progresión geométrica.

Comprueba que P( z ) = 0.

Piensa un poco más

(1 - 2i )(-2 + i ) 2 + . 3i (1 - i ) i

primero.

Se resuelven las operaciones indicadas en los numeradores y los denominadores. -2 + i + 4i - 2i 2 (1- 2i )(-2 + i ) 2 2 + = + = 3i (1- i ) i i 3i - 3i 2 5i 2 = + 3 + 3i i

134. Halla la expresión de z sabiendo que los afijos de los números complejos 1, z y z 2 están alineados.

Se calculan las sumas y las restas de fracciones. 5i 2 5i ? i + 2 (3 + 3i ) 1+ 6i + = = 3 + 3i i (3 + 3i ) i -3 + 3i

Se resuelve la división resultante multiplicando por el conjugado del denominador. 1+ 6i (1+ 6i ) (-3 - 3i ) 15 - 21i 5 - 7i = = = -3 + 3i (-3 + 3i ) (-3 - 3i ) 18 6

Olimpiadas matemáticas para potenciar el ingenio y descubrir regularidades y propiedades de los contenidos estudiados.

Olimpiadas matemáticas 136. Calcula, en el campo complejo, las raíces del polinomio ax2 + bx + c, sabiendo que son iguales que las de los polinomios cx2 + ax + b y bx2 + cx + a.

Y z2

z 1

CLAVE Dos vectores son proporcionales si sus coordenadas son porporcionales.

segundo.

tercero.

40. Calcula y representa en el plano complejo los números i 1, i 2, i 3, i 4, i 5, i 6, …

¿Cuántas ternas ordenadas (x, y, z) de enteros no negativos menores que 20 verifican que hay justamente dos elementos distintos en el conjunto {i x, (1 + i ) y, z}, siendo i 2 = -1?

Esta página sirve para profundizar en el aprendizaje de los contenidos de la unidad. Las actividades que ofrecemos harán reflexionar al alumno sobre la teoría y pensar un poco más.

2i

Resolver operaciones combinadas con números complejos

f) 4 + i

3 - 2i

5 2 + 4i

c) (5 + 2i ) : (2i )

SABER HACER

38. Escribe el conjugado y el opuesto de los siguientes números complejos. 2 - 3i

3 ii

43. Calcula estos productos y potencias.

45. Realiza las siguientes divisiones de números complejos.

37. Escribe y dibuja el conjugado y el opuesto de los siguientes números complejos.

c) 1 - 3i

2 1 2 - io+e - io 3 5 5

42. Realiza las siguientes operaciones.

z7

z6

Para profundizar

(Certamen Número de Oro. Argentina) X

137. Sean los conjuntos de números complejos: A = {z: arg [z - (2 + 3i )] = B = {z: ;z - (2 + i ); < 2}

r 4

Determina la proyección ortogonal del conjunto intersección de A y B sobre el eje X. (Olimpiadas matemáticas. Fase de Distrito)

135. Representa el número 1 + i. Pásalo a forma polar, calcula sus 10 primeras potencias y represéntalas en el plano complejo. Observa que los afijos de esos números complejos describen una curva espiral.

138. Sea la sucesión de números complejos { an }, n $ 1: a n = (1 + i ) ? f 1 +

i 2

p ? … ? f1 +

i p n

Averigua si existe un número natural m tal que: m

/

n=1

a n - a n+1 = 1 990

(Olimpiadas matemáticas. Fase de Distrito)

132

137

1 1 1 = =h-2 0-2 2

2 2 = = -2 h-1 0-1

X

3. Utilizando la definición, calcula la derivada en x = 2 y en x = -1 de estas funciones. a) f (x) =

3 h = 3 80 - x h 1= x

C

7 cm

A lo largo de toda la unidad marcamos con iconos aquellos contenidos o actividades en las que se trabajan de manera particular las competencias básicas.

Antes de calcular la derivada de una función en un punto conviene simplificar la tasa de variación media correspondiente.

ACTIVIDADES 2. Halla la T.V.M. de la función f (x) = x2 - x + 3 en los intervalos siguientes.

4"

3 cm

2h 2h 2 f (0 + h) - f (0) h-1 = = = h-1 h h h (h - 1)

h"0

a+h

h 80 - x h x

D Se completa, por uno de los vértices de la base menor, el trapecio x hasta convertirlo en un paralelogramo. 60° Para hacerlo se añade al trapecio A un triángulo como indica la figura.

Se calcula el límite cuando h tiende a cero del resultado obtenido.

Para x = 0 " f' (0) = lim a

x

80 - x

No olvides

2 + 2h - 2 2h = h-1 h-1

h f (-1 + h) - f (-1) h 1 -2 + h = = = h h h-2 h (-2 + h)

h

ACTIVIDADES 1. Halla la tasa de variación media de la función f (x) = x2 - x + 3 en los siguientes intervalos.

Para x = 0 "

Y tercero.

2-2+h h = -2 + h -2 + h

2 2 2 2 = = -1 h-1 0-1 h-1

Se halla la tasa de variación media de la función.

En el primer intervalo, la distancia varía a razón de 10 km por minuto, y en el segundo, a razón de 5 km por minuto.

Si se da este caso, la tasa de variación media se puede definir como el siguiente cociente:

f (a + h) - f (a) h

f ' (a) se lee como f prima de a, y si este límite existe y es finito, decimos que f (x) es derivable en x = a.

Calcular la derivada de una función en un punto utilizando la definición

f (2) - f (-1) (3 ? 2 2 - 2) - (3 ? (-1) 2 - 2) = =3 2 - (-1) 2+1

2 Una avioneta que realiza un recorrido

En la parte Saber hacer se presenta, paso a paso, los procedimientos necesarios para el desarrollo matemático.

La derivada de una función f (x) en un punto x = a se representa por f ' (a) y se obtiene calculando este límite:

SABER HACER

1 Calcula la tasa de variación media de la función f (x) = 3x 2 - 2

T.V.M. ([-1, 2]) =

Derivada de una función en un punto

Para medir el aumento o la disminución de una función en un punto dado utilizamos la tasa de la variación media en un intervalo muy próximo a ese punto. A este valor le llamamos derivada de la función en ese punto.

f (b) - f (a) b-a

45°

x=

a) x2 + 7 = -42

Derivada de una función 10

f (b)

tg 45° = segundo.

e) (x - 10)2 = -20x

La tasa de variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] es el cociente:

tg 30° =

Teoremas del seno y del coseno

primero.

h 30°

Con ambas tangentes formaremos un sistema de ecuaciones.

d) -3 + x2 = 2 x2 + 1

Y

42. Determina el área del pentágono regular cuyo radio mide 15 cm.

Resolución de triángulos

b) -x2 - 64 = 0

2

43. Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rumbos que forman un ángulo de 82°. El primero navega a una velocidad de 18 millas por hora, y el segundo a 25 millas por hora. Si mantienen inalterados los rumbos y el alcance de sus equipos de radio es de 180 millas, ¿podrán ponerse en contacto al cabo de 3 horas?

base ? altura 12 ? 6 2 = 8? = 407,29 cm 2 2 2

Calcular el área de un triángulo conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman

c) 1 - (-x2 ) = -120

Tasa de variación media

Área = n ?

3m

Páginas de Saber hacer: para aprender a hacer matemáticas.

APLICA

INTERPRETA

Páginas de contenidos: SABER y SABER HACER como un todo integrado.

1

A

a

x

Esta página muestra cómo las matemáticas intervienen en tu vida, responde a la pregunta de la página inicial de la unidad. Además, propone una serie de actividades que permitirán profundizar en el aspecto de la vida real que se muestra.

Nuestra propuesta para Saber son unos textos claros y estructurados. Los Ejemplos te ayudarán a los alumnos a afianzar esos saberes.

C 5m

25 m

5. ¿Cuál es el índice de la expresión radical?

2. Consulta qué es el coeficiente de rozamiento de una superficie.

9

Cemento

LEE Y COMPRENDE

b) ¿Cuál es el valor de la gravedad g?

¿Cómo saber la velocidad que lleva un vehículo antes del accidente?

Asfalto

W a 2 + b 2 - 2ab cos C

14 2 + 18 2 - 2 ? 14 ? 18 ? cos 60° = 16,371 km

AB =

PRACTICA

a) ¿Por qué se hacen marcas en la carretera al frenar bruscamente el automóvil?

Estas medidas no son caprichosas, se han tomado después de analizar millones de accidentes y determinar las causas que los provocaron. Los estudios afirman que la velocidad es responsable en la mayoría de los casos, pero…

W"c= c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C

A

18 km

PRACTICA

B

v = -2ax

Aproximaciones y acotación de errores

a

a

Por lo general, la velocidad inicial de un automóvil en un accidente se estima a partir de la longitud de las marcas de frenado x por medio de la expresión:

60° C

Se aplica el teorema del coseno para calcular la longitud del otro lado. a 12 cm

Las actividades que acompañan cada procedimiento permitirán practicar y dominar estos contenidos.

14 km

segundo.

Altura = r ? sen a = 12 sen 45° = 6 2 cm

D

Cuando un coche frena bruscamente, a una velocidad considerable, produce marcas sobre la carretera debido a una transferencia de peso a las ruedas delanteras. Gracias a estas marcas es posible calcular la velocidad a la cual iba un automóvil antes de utilizar los frenos, en el caso de un accidente de tráfico.

Se dibuja el triángulo que se forma con los datos del problema. Se conocen dos lados y el ángulo que forman.

Base = 12 cm

39. Juan quiere saber la anchura de un río sin tener que desplazarse a la otra orilla. Midiendo con sus pasos llega a la siguiente situación.

Para determinar la velocidad en un accidente de tráfico

Se calcula el área del triángulo que forman dos de sus radios con el lado y se multiplica por el número, n, de lados.

E

B

primero.

a 12 cm

360° 360° = = 45° n 8

a= segundo.

" a = 80 m

PRACTICA

Números reales

Teoremas del seno y del coseno

E

segundo.

¿PARA QUÉ SIRVEN LOS NÚMEROS REALES?

4

Trigonometría

SABER HACER Resolución de triángulos rectángulos

1 x-3

b) f (x) = 2 x2 + x

c) f (x) =

4. Calcula la derivada de la función f (x) = x3 + 4 en los siguientes puntos. 1 x2

a) x = 1

b) x = -4

c) x = 2

d) x = -3

255

Actividades que ayudan a practicar los conocimientos adquiridos.

Competencia matemática, científica y tecnológica.

Comunicación lingüística.

Competencia digital. 

Aprender a aprender. 

Competencia social y cívica.

Conciencia y expresión artística.

Iniciativa  y emprendimiento. 17

material del alumno

Matemáticas Cómo son nuestros libros

Bachillerato

La estructura de las unidades didácticas es muy sencilla, ya que se trata de facilitar la localización de los contenidos fundamentales, de los ejemplos resueltos y de las actividades propuestas.

Introducción a la unidad: un texto que motiva el estudio de los contenidos.

Páginas finales de la unidad: un paso más en la aplicación de los contenidos aprendidos.

Bachillerato Páginas de Saber hacer: para aprender a hacer matemáticas. En estas páginas se muestran los procedimientos básicos (Saber hacer) de la unidad.

Resolución de triángulos

Aplicar la resolución de triángulos a la resolución de problemas reales Rita quiere saber la anchura de un desfiladero. Para ello, utilizando sus pasos ha logrado obtener las siguientes medidas, que ha plasmado en el croquis adjunto.

Calcular el área de un polígono regular conociendo su radio

Resolver problemas aplicando el teorema del coseno

Determina el área de un octógono regular de radio 12 cm.

Dos corredores parten de un mismo punto en distintas direcciones que forman un ángulo de 60°. Al cabo de 2 horas el primero ha recorrido 18 km, y el segundo, 14 km. ¿A qué distancia en línea recta se encuentran?

primero.

a

primero.

El triángulo de vértices ABC es un triángulo rectángulo del que se conocen dos de sus lados y se quiere calcular el ángulo a. tg a =

C5mA a 4m B

a

4 = 0,8 5

100 m

D

El triángulo de vértices DCE es un triángulo rectángulo del que se conocen uno de sus lados y un ángulo, a. Se determina a. tg a =

MATEMÁTICAS EN TU VIDA

1 Se especifican los contenidos (Saber) de la unidad.

a 100

tg a = 0,8

" 0,8 =

a 100

Se halla la medida del ángulo central. Para ello se divide 360° entre el número de lados, n, del polígono regular.

CONTENIDOS Números racionales e irracionales Números reales Intervalos

Pero si un coche frena bloqueando las cuatro ruedas, se detiene mucho antes que si frena bloqueando solo dos ruedas. Para determinar correctamente la velocidad inicial antes de un accidente es necesario tener en cuenta el reparto de carga entre las ruedas. Si las cuatro ruedas se bloquean, la aceleración a cumple: a = -ng, donde g es la gravedad, g = 9,8 m/s 2, y  n es el coeficiente de rozamiento de la carretera.

Notación científica Radicales Logaritmos

Así, al reemplazar en la expresión, se tiene que la velocidad inicial en m/s respecto a la distancia de frenado x se obtiene mediante la siguiente expresión: v=

El texto inicial presenta un aspecto de la vida real en el que se utilizan los contenidos que se van a estudiar en la unidad.

Por lo general, asociamos los coches y su conducción a situaciones placenteras, de ello se han encargado la publicidad, los vendedores… La realidad es que en la mayoría de los casos estas situaciones idílicas no son tales y la conducción pasa a ser estresante y peligrosa, debiendo prestar la máxima atención para evitar accidentes. La prevención de los accidentes de tráfico es fundamental, para mejorarla se han realizado campañas aconsejando la conducción responsable: respeto a las señales de circulación,

adecuación de la velocidad a la vía por la que se circula, prohibición expresa de consumir sustancias que influyan negativamente en la conducción, como las drogas o el alcohol…

Resolución de triángulos

Cada procedimiento se introduce mediante la resolución de una actividad en la que se muestra, paso a paso, un método general de resolución.

Los coeficientes de rozamiento más comunes para vehículos, de acuerdo con el tipo de pavimento, son: Tipo de pavimento

2ngx

Coeficiente de rozamiento n

0,75

0,9

REFLEXIONA

1. Responde.

4. ¿Es correcta esta igualdad? v=

2n g x =

Nieve

Grava

0,3

2? n?

0,5

g?

6. Calcula la velocidad de un automóvil si se sabe que frenó bruscamente y dejó una marca de frenado de 30 m en una carretera de asfalto.

3. ¿Qué magnitudes representan las variables n, g y x en la expresión de la velocidad inicial con respecto a la distancia de frenado?

7. Averigua cuáles son las campañas de los responsables de tráfico de tu ciudad o comunidad para evitar accidentes.

36

Calcular la altura de un triángulo conociendo uno de sus lados y sus dos ángulos adyacentes

Calcula el área de este triángulo.

Halla la altura de un triángulo cuya base mide 80 cm y sus ángulos adyacentes son a = 30° y b = 45°.

Resolver problemas aplicando el teorema del seno

primero.

Las bases de un trapecio miden 7 cm la mayor y 3 cm la menor, y los ángulos adyacentes a la base mayor miden 60° y 45°, respectivamente. Calcula cuánto miden los otros lados del trapecio.

5 cm

Se calcula la tangente de los ángulos conocidos, considerando que la altura forma dos triángulos rectángulos.

h 30° 7 cm primero.

Se calcula la altura utilizando el seno del ángulo.

h sen a = a

1 " h = 5 sen 30° = 5 ? = 2,5 cm 2

segundo. Se determina el área del triángulo una vez conocidas la base y la altura.

7 ? 2,5 base ? altura Área = = = 8,75 cm2 2 2

T.V.M. ([a, b]) = f (b) - f (a)

f (a)

b-a

a

b

X

La tasa de variación media de una función en un intervalo mide el aumento o la disminución de dicha función en ese intervalo. El valor de la tasa de variación media coincide con el valor de la pendiente de la recta que pasa por los puntos (a, f (a)) y (b, f (b)). EJEMPLOS

en el intervalo [-1, 2].

Junto a los textos explicativos se encuentran informaciones complementarias que te serán muy útiles para la comprensión de los conceptos y procedimientos.

16

Distancia (km)

entre dos ciudades modifica su velocidad. La gráfica muestra la relación entre el tiempo empleado y la distancia recorrida. Determina la tasa de variación media en los intervalos de tiempo [15, 30] y [30, 90], e interpreta el resultado.

f' (a) = lim h"0

2 Determina la derivada de la función f (x) = en x = -1 y en x = 0. x-1 primero.

600 450

300 60

300

Se halla el incremento de la función y se simplifica el resultado.

2 2 2 2 Para x = -1 " f (-1+ h) - f (-1) = = = (-1+ h) - 1 (-1) - 1 -2 + h -2

150

150

=

15 15

30 45 60 75 90

Para x = 0 " f (0 + h) - f (0) =

Tiempo (min)

f (30) - f (15) 150 T.V.M. ([15, 30]) = = = 10 30 - 15 15

=

f (90) - f (30) 300 = =5 T.V.M. ([30, 90]) = 90 - 30 60

segundo.

Para x = -1 "

Con frecuencia, en la tasa de variación media se considera el intervalo [a, a + h], donde h indica su longitud.

Date cuenta

T.V.M. ([a, a + h]) =

f (a + h) - f (a) Var. de f (x) = h Var. de x

f (a + h) - f (a) = (a + h) - a

f (a + h) - f (a) = h

f (a + h) f (a + h) - f (a) f (a)

[2, 3], [2, 4], [2, 5], [2, 6], [3, 5], [3, 6]

254

a) [2, 2 + h]

b) [3, 3 + h]

Para x = -1 " f' (-1) = lim

h"0

4"h=

(80 - x) 3 3

h=x

4

Se resuelve el sistema y se halla la altura.

80 3 - 3 x 80 3 = 29,3 cm "x= 3 3+ 3 h = x " h = 29,3 cm

segundo.

PRACTICA

40. Calcula el área de este triángulo.

2 cm

A

B

4 cm 45°

E

60° x

75°

B

B

Se aplica el teorema del seno en los dos ángulos conocidos para obtener las medidas pedidas. 4

a

sen W A

=

b

sen V B

=

c

W sen C

"

4 x y = = sen 75° sen 45° sen 60°

"

* sen475° sen 75°

PRACTICA

D

5 cm

= =

x sen 45° y sen 60°

"x= "y=

4 ? sen 45° = 2,93 cm sen 75° 4 ? sen 60° = 3,59 cm sen 75°

C

x

41. Halla la altura de un triángulo de base 100 cm y cuyos ángulos adyacentes son a = 45° y b = 60°.

3 cm

C

E

y

44. Calcula la longitud de los lados que faltan en el siguiente trapecio rectángulo.

PRACTICA

h

60°

C

D y 45°

y 70°

40°

A

B

8 cm

106

107

Nuestras Actividades finales están secuenciadas para aprovechar de la mejor forma posible la aplicación de los contenidos estudiados.

Cada actividad te ofrece la dificultad que tiene. Los Saber hacer te ayudarán a seguir profundizando en los procedimientos.

5

Números complejos

ACTIVIDADES Números complejos

Operaciones con números complejos

33. Expresa estos números complejos en forma binómica. a)

b) -2 - -4

-16 + 3

c)

-8 +

2

34. Expresa en forma binómica estos números complejos. Y

41. Calcula el resultado de estas operaciones. a) (4 - i ) + (-2 + 3i )

c) 5 - (2 - i )

Reflexiona sobre la teoría

b) e

d) e

131. Elige la respuesta adecuada. (Concurso de Primavera)

1 1 1 1 - i o - e- + i o 2 3 4 3

z1

a) (3 - 5i ) + (2 - 7i ) + (-4 + 8i ) b) (-1 + 2i ) - (3 + 6i ) - (-4 - i )

z2

1 2

X z4

z5

z3

c) -(1 - 2i ) - (-7i ) - (-4 - 3i ) d) 2 (1 - 4i ) - 2 (1 + 4i ) - 3 (4 - 4i ) e) 2 _ 3 + i i - 3 _2 3 + 4i i f) _ 2 - 3i i + 2 _2 -

35. Representa estos números en el plano complejo. a) 5 + i b)

g)

3 5 - i 2 3

e) -4

h)

3 - 2i

f ) -2i

i)

3i

d) 6i

2 - 3i

c) -3 - i

36. Resuelve las siguientes ecuaciones y expresa sus soluciones mediante números complejos.

a) (1 - 3i )(2 - 6i )

d) (5 - 4i )(5 + 4i )

e) _-3 - 2 2 i i_-3 + 2 2 i i

b) (-3 - 4i )(7 - i )

f ) _ 2 - ii

3

c) (-2 + 5i )2

44. Efectúa las siguientes divisiones. -1 + 5i a) 3 - 2i

20 + 40i b) 8 + 6i

a) (3 - i ) : (1 - i ) b)

a) -3 + 2i

d) -4

b) -3i

e) -2 - 2i

-1 + 5i c) 2-i

d)

2 1+

-2 + i

A la vista de estos ejemplos deduce: a) ¿Cómo es la representación del conjugado de un número complejo? b) ¿Cómo es la representación del opuesto de un número complejo? 39. Calcula el valor de k para que el número k + (k - 3)i cumpla las siguientes condiciones. a) Sea un número imaginario puro. b) Sea un número real.

Resuelve la operación

Investiga también lo que ocurre con i -1, i -2, i -3, i -4, i -5, i -6, …

149

205

215

225

235

z ? t = 660 es: Uno de los números complejos z que verifican el sistema * z = 330° t

2+2 3i

2 3 - 2i

3 + 3i

2 + 2i

1 3 i + 2 2

¿Cuál de los siguientes números no es raíz del polinomio z 4 - 5z2 - 36?

2i

2180°

2270°

3180°

3

¿Para qué valor de n se verifica que i + 2i 2 + 3i 3 + 4i 4 + ... + ni n es el número complejo 48 + 49i?

24

48

49

97

98

1

16

243

1 024

El valor de f

1+ 3i -1 + 3 i

12

p es:

132. Demuestra que si un número complejo cualquiera z es una raíz del polinomio P(x) = ax2 + bx + c, donde a, b y c son números reales, su conjugado z es también una raíz de dicho polinomio.

-1 -

3

133. Calcula las cinco soluciones complejas de la siguiente ecuación. x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 CLAVE

CLAVE

El primer miembro es la suma de los términos de una progresión geométrica.

Comprueba que P( z ) = 0.

Piensa un poco más

(1 - 2i )(-2 + i ) 2 + . 3i (1 - i ) i

primero.

Se resuelven las operaciones indicadas en los numeradores y los denominadores. -2 + i + 4i - 2i 2 (1- 2i )(-2 + i ) 2 2 + = + = 3i (1- i ) i i 3i - 3i 2 5i 2 = + 3 + 3i i

134. Halla la expresión de z sabiendo que los afijos de los números complejos 1, z y z 2 están alineados.

Se calculan las sumas y las restas de fracciones. 5i 2 5i ? i + 2 (3 + 3i ) 1+ 6i + = = 3 + 3i i (3 + 3i ) i -3 + 3i

Se resuelve la división resultante multiplicando por el conjugado del denominador. 1+ 6i (1+ 6i ) (-3 - 3i ) 15 - 21i 5 - 7i = = = -3 + 3i (-3 + 3i ) (-3 - 3i ) 18 6

Olimpiadas matemáticas para potenciar el ingenio y descubrir regularidades y propiedades de los contenidos estudiados.

Olimpiadas matemáticas 136. Calcula, en el campo complejo, las raíces del polinomio ax2 + bx + c, sabiendo que son iguales que las de los polinomios cx2 + ax + b y bx2 + cx + a.

Y z2

z 1

CLAVE Dos vectores son proporcionales si sus coordenadas son porporcionales.

segundo.

tercero.

40. Calcula y representa en el plano complejo los números i 1, i 2, i 3, i 4, i 5, i 6, …

¿Cuántas ternas ordenadas (x, y, z) de enteros no negativos menores que 20 verifican que hay justamente dos elementos distintos en el conjunto {i x, (1 + i ) y, z}, siendo i 2 = -1?

Esta página sirve para profundizar en el aprendizaje de los contenidos de la unidad. Las actividades que ofrecemos harán reflexionar al alumno sobre la teoría y pensar un poco más.

2i

Resolver operaciones combinadas con números complejos

f) 4 + i

3 - 2i

5 2 + 4i

c) (5 + 2i ) : (2i )

SABER HACER

38. Escribe el conjugado y el opuesto de los siguientes números complejos. 2 - 3i

3 ii

43. Calcula estos productos y potencias.

45. Realiza las siguientes divisiones de números complejos.

37. Escribe y dibuja el conjugado y el opuesto de los siguientes números complejos.

c) 1 - 3i

2 1 2 - io+e - io 3 5 5

42. Realiza las siguientes operaciones.

z7

z6

Para profundizar

(Certamen Número de Oro. Argentina) X

137. Sean los conjuntos de números complejos: A = {z: arg [z - (2 + 3i )] = B = {z: ;z - (2 + i ); < 2}

r 4

Determina la proyección ortogonal del conjunto intersección de A y B sobre el eje X. (Olimpiadas matemáticas. Fase de Distrito)

135. Representa el número 1 + i. Pásalo a forma polar, calcula sus 10 primeras potencias y represéntalas en el plano complejo. Observa que los afijos de esos números complejos describen una curva espiral.

138. Sea la sucesión de números complejos { an }, n $ 1: a n = (1 + i ) ? f 1 +

i 2

p ? … ? f1 +

i p n

Averigua si existe un número natural m tal que: m

/

n=1

a n - a n+1 = 1 990

(Olimpiadas matemáticas. Fase de Distrito)

132

137

1 1 1 = =h-2 0-2 2

2 2 = = -2 h-1 0-1

X

3. Utilizando la definición, calcula la derivada en x = 2 y en x = -1 de estas funciones. a) f (x) =

3 h = 3 80 - x h 1= x

C

7 cm

A lo largo de toda la unidad marcamos con iconos aquellos contenidos o actividades en las que se trabajan de manera particular las competencias básicas.

Antes de calcular la derivada de una función en un punto conviene simplificar la tasa de variación media correspondiente.

ACTIVIDADES 2. Halla la T.V.M. de la función f (x) = x2 - x + 3 en los intervalos siguientes.

4"

3 cm

2h 2h 2 f (0 + h) - f (0) h-1 = = = h-1 h h h (h - 1)

h"0

a+h

h 80 - x h x

D Se completa, por uno de los vértices de la base menor, el trapecio x hasta convertirlo en un paralelogramo. 60° Para hacerlo se añade al trapecio A un triángulo como indica la figura.

Se calcula el límite cuando h tiende a cero del resultado obtenido.

Para x = 0 " f' (0) = lim a

x

80 - x

No olvides

2 + 2h - 2 2h = h-1 h-1

h f (-1 + h) - f (-1) h 1 -2 + h = = = h h h-2 h (-2 + h)

h

ACTIVIDADES 1. Halla la tasa de variación media de la función f (x) = x2 - x + 3 en los siguientes intervalos.

Para x = 0 "

Y tercero.

2-2+h h = -2 + h -2 + h

2 2 2 2 = = -1 h-1 0-1 h-1

Se halla la tasa de variación media de la función.

En el primer intervalo, la distancia varía a razón de 10 km por minuto, y en el segundo, a razón de 5 km por minuto.

Si se da este caso, la tasa de variación media se puede definir como el siguiente cociente:

f (a + h) - f (a) h

f ' (a) se lee como f prima de a, y si este límite existe y es finito, decimos que f (x) es derivable en x = a.

Calcular la derivada de una función en un punto utilizando la definición

f (2) - f (-1) (3 ? 2 2 - 2) - (3 ? (-1) 2 - 2) = =3 2 - (-1) 2+1

2 Una avioneta que realiza un recorrido

En la parte Saber hacer se presenta, paso a paso, los procedimientos necesarios para el desarrollo matemático.

La derivada de una función f (x) en un punto x = a se representa por f ' (a) y se obtiene calculando este límite:

SABER HACER

1 Calcula la tasa de variación media de la función f (x) = 3x 2 - 2

T.V.M. ([-1, 2]) =

Derivada de una función en un punto

Para medir el aumento o la disminución de una función en un punto dado utilizamos la tasa de la variación media en un intervalo muy próximo a ese punto. A este valor le llamamos derivada de la función en ese punto.

f (b) - f (a) b-a

45°

x=

a) x2 + 7 = -42

Derivada de una función 10

f (b)

tg 45° = segundo.

e) (x - 10)2 = -20x

La tasa de variación media de una función f (x) en un intervalo [a, b] es el cociente:

tg 30° =

Teoremas del seno y del coseno

primero.

h 30°

Con ambas tangentes formaremos un sistema de ecuaciones.

d) -3 + x2 = 2 x2 + 1

Y

42. Determina el área del pentágono regular cuyo radio mide 15 cm.

Resolución de triángulos

b) -x2 - 64 = 0

2

43. Dos barcos salen simultáneamente de un puerto con rumbos que forman un ángulo de 82°. El primero navega a una velocidad de 18 millas por hora, y el segundo a 25 millas por hora. Si mantienen inalterados los rumbos y el alcance de sus equipos de radio es de 180 millas, ¿podrán ponerse en contacto al cabo de 3 horas?

base ? altura 12 ? 6 2 = 8? = 407,29 cm 2 2 2

Calcular el área de un triángulo conociendo dos de sus lados y el ángulo que forman

c) 1 - (-x2 ) = -120

Tasa de variación media

Área = n ?

3m

Páginas de Saber hacer: para aprender a hacer matemáticas.

APLICA

INTERPRETA

Páginas de contenidos: SABER y SABER HACER como un todo integrado.

1

A

a

x

Esta página muestra cómo las matemáticas intervienen en tu vida, responde a la pregunta de la página inicial de la unidad. Además, propone una serie de actividades que permitirán profundizar en el aspecto de la vida real que se muestra.

Nuestra propuesta para Saber son unos textos claros y estructurados. Los Ejemplos te ayudarán a los alumnos a afianzar esos saberes.

C 5m

25 m

5. ¿Cuál es el índice de la expresión radical?

2. Consulta qué es el coeficiente de rozamiento de una superficie.

9

Cemento

LEE Y COMPRENDE

b) ¿Cuál es el valor de la gravedad g?

¿Cómo saber la velocidad que lleva un vehículo antes del accidente?

Asfalto

W a 2 + b 2 - 2ab cos C

14 2 + 18 2 - 2 ? 14 ? 18 ? cos 60° = 16,371 km

AB =

PRACTICA

a) ¿Por qué se hacen marcas en la carretera al frenar bruscamente el automóvil?

Estas medidas no son caprichosas, se han tomado después de analizar millones de accidentes y determinar las causas que los provocaron. Los estudios afirman que la velocidad es responsable en la mayoría de los casos, pero…

W"c= c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos C

A

18 km

PRACTICA

B

v = -2ax

Aproximaciones y acotación de errores

a

a

Por lo general, la velocidad inicial de un automóvil en un accidente se estima a partir de la longitud de las marcas de frenado x por medio de la expresión:

60° C

Se aplica el teorema del coseno para calcular la longitud del otro lado. a 12 cm

Las actividades que acompañan cada procedimiento permitirán practicar y dominar estos contenidos.

14 km

segundo.

Altura = r ? sen a = 12 sen 45° = 6 2 cm

D

Cuando un coche frena bruscamente, a una velocidad considerable, produce marcas sobre la carretera debido a una transferencia de peso a las ruedas delanteras. Gracias a estas marcas es posible calcular la velocidad a la cual iba un automóvil antes de utilizar los frenos, en el caso de un accidente de tráfico.

Se dibuja el triángulo que se forma con los datos del problema. Se conocen dos lados y el ángulo que forman.

Base = 12 cm

39. Juan quiere saber la anchura de un río sin tener que desplazarse a la otra orilla. Midiendo con sus pasos llega a la siguiente situación.

Para determinar la velocidad en un accidente de tráfico

Se calcula el área del triángulo que forman dos de sus radios con el lado y se multiplica por el número, n, de lados.

E

B

primero.

a 12 cm

360° 360° = = 45° n 8

a= segundo.

" a = 80 m

PRACTICA

Números reales

Teoremas del seno y del coseno

E

segundo.

¿PARA QUÉ SIRVEN LOS NÚMEROS REALES?

4

Trigonometría

SABER HACER Resolución de triángulos rectángulos

1 x-3

b) f (x) = 2 x2 + x

c) f (x) =

4. Calcula la derivada de la función f (x) = x3 + 4 en los siguientes puntos. 1 x2

a) x = 1

b) x = -4

c) x = 2

d) x = -3

255

Actividades que ayudan a practicar los conocimientos adquiridos.

Competencia matemática, científica y tecnológica.

Comunicación lingüística.

Competencia digital. 

Aprender a aprender. 

Competencia social y cívica.

Conciencia y expresión artística.

Iniciativa  y emprendimiento. 17

material del profesor

Matemáticas

Fracción irreducible

1

Comparación de fracciones

RECURSOS DIDÁCTICOS

Indican una fracción de numerador a y denominador b.

a de c b

Indica la fracción

División

1

OBJETIVO 1

a de una cantidad c. b

a Indican que la fracción es equivalente b c . d

a la fracción

¿Qué significa? N

Indica el conjunto de los números naturales.

Z

Indica el conjunto de los números enteros.

Q

Indica el conjunto de los números racionales.

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES

c)

F

d)

8

2

F

Actividades

F

............... octavos

F

............... ...............

1

F

............... medios

F

............... ...............

2

3

11 30

a)

2 5 1, 2, 3, 4 y 7

# 1,58

PRUEBA B

Indica un número decimal periódico puro. Indica un número decimal periódico mixto. Curso:

184

8 5y6

2 8

b)

2 5

3

1 2

d)

4 6

20 60

7 21

11 30

15 45

18 55

Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones:

20 60

1

128 144 y . 1 024 54

fracciones:

7 14 23 33 , , , . 4 5 11 14

1

Completa la suma:

2 + 3

=

7 . 5

408

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Competencias para el siglo XXI Competencias para el siglo XXI

Competencias para el siglo XXI Competencias para el siglo XXI ESO

ESO

ESO

1m Fecha:

Una comunidad de vecinos quiere instalar placas solares. Han consultado con una empresa instaladora y les ha proporcionado estos datos: IÓN DE

TALAC LA INS O PARA ES PUEST SOLAR inos: c/

vec dad de

S PLACA

Bádminton

sol

otal: 22 ........T

Rebeca, David, Ahmed y Marta

son un grupo de amigos de la ESO a los que les encanta el bádminton. David, que vive cerca de la estación de metro La Rambla, conoce un polideportivo cerca de su casa donde alquilan pistas. Los cuatro amigos deciden quedar el sábado para jugar. Ahmed vive cerca del metro Miró. Marta y Rebeca viven cerca del metro El Cruce.

000 €

n........

talació

ins ares e

a)

5 3 5 15 oH ?> -e : 9 4 7 2

128 144 y . 1 024 54

InstItuto para la DIversIfIcacIón y ahorro De la energía

b)

7 5 6 42 oH ?> -e 5 32 27 24

La empresa instaladora les ha informado de que ciertos organismos oficiales conceden subvenciones para la instalación de placas solares. Concretamente, la mitad del coste de las placas y de su instalación.

1 ¿Qué itinerarios podría seguir Ahmed para ir a casa de David? ¿Cuál te parece mejor? Razona tu respuesta.

Sol, 23

Comuni

=

14 4 312 " 5 1 540

En relación con la subvención solicitada por su comunidad para la instalación de placas solares en el edificio situado en la calle Sol, número 23, le informamos de que dicha subvención ha sido concedida, y que su cuantía asciende a la mitad del coste de las placas y su instalación, siendo necesaria la presentación de la factura debidamente sellada por la empresa de instalación y montaje para su cobro.

Línea 1

La Rambla

Línea 2

Pl. Olivo Enclave

404

23 3 220 " 11 1 540

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Proyecto 1

PRESU

Opera y simplifica.

M. de Guzmán

3 630 33 " 1 540 14

El Puente

b) ¿Cuánto dinero ahorraría cada vecino si se instalaran placas solares?

El Cruce

2 ¿Qué itinerarios podrían seguir Marta y Rebeca para ir a casa de David? ¿Cuál te parece mejor? Razona tu respuesta.

Ópera

Benavente

7 . 5

Línea 3 El Parque

La Arena

a) ¿Cuántos kWh, aproximadamente, han gastado en el último mes?

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Albéniz

Miró

Línea 4

Camino Línea 5

Opera y simplifica. a)

5 3 10 5 315 - 40 5 ? 275 1 375 275 5 3 5 15 oH = ? e o= ? = = = ?> -e : 9 4 105 9 420 9 ? 420 3 780 756 9 4 7 2

b)

7 5 6 ? 8 - 42 ? 9 7 5 330 7 1 455 679 7 5 6 42 o = ?e o= ? oH = ? e + ?> -e = 5 32 216 5 32 216 5 864 288 5 32 27 24

c) ¿Si un vecino ha decidido vender su casa en los próximos 5 años, ¿le proporcionará beneficios la instalación de las placas solares?

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

412

18

ESO

m

Curso:

El informe técnico relativo a la instalación de placas solares estima un ahorro de dos séptimos del consumo actual del edificio.

2 7 7 2 7?3 - 2?5 11 + x = "x= - = = 3 5 5 3 15 15 6

Desarrollo de la competencia matemática

EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

La compañía eléctrica suministradora de la comunidad cobra a 8,6726 céntimos el kWh. En el último recibo bimensual, cada uno de los 48 vecinos ha pagado 46,34 €.

7 2 695 " 4 1 540

2 + 3

Competencias para el siglo XXI Competencias para el siglo XXI

68

23 65

NOTA INFORMATIVA DE LA JUNTA DE VECINOS 5

23 65

7 14 23 33 Ordena las siguientes fracciones: , , , . 4 5 11 14 7 23 33 14 < < < 4 11 14 5

Completa la suma:

F

5 . 15

2

Común denominador:

D

G

2 ?3 8 144 = = 54 3 2 ? 33

5

E

C

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Nombre:

5 . 15

18 55

B

8m

H

Fecha:

1 3

6

27 1 1 128 = 10 = 3 = 8 1 024 2 2

4

Literatura y Matemáticas

que estas se repiten indefinidamente. A ese grupo se le llama período.

15 y cuyo denominador sea 80. 48

Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones:

4

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Para escribir un número decimal separamos las cifras enteras de las decimales con una coma. El símbolo # sobre una cifra o grupo de cifras indica

15 y cuyo denominador sea 80. 48

De las siguientes fracciones rodea las que sean equivalentes a

4 Ordena las siguientes DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

B.2-1.9. Calcula el valor de expresiones numéricas de números enteros, decimales y fraccionarios mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente entero aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

15 45

8m

¿Cómo lo escribimos?

Indica un número decimal exacto.

! EVALUACIÓN DE CONTENIDOS 2,34

Escribe una fracción equivalente a

6 21

2 5

2 3

15 ? 80 15 25 = 25 " = 48 48 80

7 21

ESO

N, Z y Q representan los conjuntos de números naturales, enteros y racionales, respectivamente.

¿Qué significa? 3,21

y 10 ¿Cuál es9la respuesta correcta? Rodéala.

B.2-1.3. Halla la fracción generatriz correspondiente a un decimal exacto o periódico.

De las siguientes fracciones rodea las que sean equivalentes a 6 21

Lo primero que se le ocurre es hacer un croquis de la piscina y tomar medidas. Este es el resultado.

Los conjuntos de números los denotamos con letras mayúsculas, generalmente huecas.

Placas

2

M

arisa pertenece a una asociación que va a organizar un campamento juvenil. Ella se encargará de preparar la piscina que hay en la finca donde se va a realizar. No sabe mucho de piscinas, pero tiene que estudiar la situación y hacer algunas propuestas.

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Partiendo del dibujo, halla la fracción que representa y escribe cómo se lee.

F

"x=

4

7 74 o = 4 3 3

0

F

B.2-1.1. Reconoce los distintos tipos de números (naturales, enteros, racionales), indica el criterio utilizado para su distinción y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente información cuantitativa.

=e

A

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Nombre:

b)

3

4

3 o 7

José del Río Sánchez

7 5

a)

Estándares de aprendizaje

1

e

2,50 m

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

0

PRESENTACIÓN PRUEBA B Y SUGERENCIAS

B.1-2.1. Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones entre los datos, contexto del problema).

=

¿Cómo lo escribimos?

14

2

-4

3 o 7

4

4 5

e

10

Completa la siguiente tabla. REPRESENTACIÓN NUMÉRICA

Indica la potencia negativa de una fracción.

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

•  Denominador " Partes en que se divide la unidad. •  Numerador " Partes que tomamos de la unidad.

Cuatro quintos

a -n n b

La potencia negativa de una fracción es igual a su fracción inversa, elevada al mismo exponente pero positivo.

Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador.

REPRESENTACIÓN ESCRITA

–Sí, es un edificio extraordinario, pero hace ya algunos años que varias ciudades están construyendo catedrales con las que aspiran a superar a Chartres. Las de París, Reims y Amiens son más grandes, y en Inglaterra están comenzando a edificar algunos templos de tamaño desmesurado. Pero están equivocados; lo importante, lo que hace realmente bella una catedral no es su tamaño, ni siquiera la luminosidad de sus vidrieras, ni la calidad de sus esculturas. La belleza, hijo, está

4

3 3 3 3 3 34 o = ? ? ? = 4 7 7 7 7 7 7

m

FRACCIONES

d

e

m

12

Indica la potencia de una fracción.

Números racionales

Fecha:

1

15 x = 48 80

Enrique de Rouen estaba recién llegado de París, en cuya universidad había acabado sus estudios. Durante aquel verano se dedicaría a preparar con su padre el examen de maestro de obra, pues había convocadas unas pruebas para el mes de septiembre.

a c = indica que las fracciones son equivalentes y se b d cumple en este caso que a ? d = c ? b.

4

Curso:

a n n b

La piscina del campamento

–Es magnífica, padre, no hay ninguna catedral igual en todo el mundo.

¿Cómo lo escribimos?

d

Proyecto 1

La catedral de Chartres lucía al fin en todo su esplendor. Aquella primavera el maestro Juan de Rouen pudo descansar tranquilo; a principios de mayo se colocó la última escultura del templo, una gárgola que coronaba la terraza de la torre sur.

a de c expresa la fracción de una cantidad; su valor b es el resultado de multiplicar a por c y dividir entre b. 3 3 ? 40 de 40 = = 24 5 5

1m

Nombre:

0

Escribe una fracción equivalente a

ESO

El número de Dios

a o a/b expresan que de b partes tomamos a. b

¿Qué significa? REPASO Y APOYO

RECONOCER LAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN QUE TIENE UNA FRACCIÓN

Siete quintos

1

Mate máti cas

Números decimales

1

0

B.2-1. Utilizar las propiedades de los números racionales para operarlos, utilizando la forma de cálculo y notación adecuada, para resolver problemas de la vida cotidiana, y presentando los resultados con la precisión requerida.

El argumento de esta novela histórica, ambientada en la Edad Media, se desarrolla en torno a la construcción de las catedrales de Burgos y de León. Uno de sus protagonistas, un joven arquitecto francés llamado Enrique de Rouen, viene a España a trabajar con su tío Luis, que dirige las obras de la catedral de Burgos. Su padre, Juan de Rouen, también es arquitecto y acaba de terminar la construcción de una de las catedrales góticas más bellas del mundo, la de Chartres. En la siguiente escena, asistimos a la conversación que Enrique tiene con su padre antes de viajar definitivamente a España.

¿Cómo lo escribimos?

a , a/b b

a c = b d

1

Criterio

ARGUMENTO

m

Multiplicación

ACTIVIDADES

B.1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

Autor: José Luis Corral

NOTACIÓN MATEMÁTICA

Operaciones con fracciones

Resta

El número de Dios

NÚMEROS RACIONALES

¿Qué significa?

Suma

NÚMEROS RACIONALES

4

Amplificación y simplificación de fracciones

• Programación didáctica de aula • Guiones didácticos y bancos de recursos • Enseñanza individualizada (repaso, apoyo y ampliación) • Evaluación de contenidos • Evaluación por competencias

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Matemáticas Matemáticas

Fracciones equivalentes

Reducción a común denominador

1

Competencias para el siglo XXI Competencias para el siglo XXI ESO

Matemáticas Matemáticas

Día Díaaadía díaen enel elaula aula

Matemáticas Matemáticas

Día Díaaadía díaen enel elaula aula

L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O

L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O

Fracciones

1

4

ESO

inar ea scipl el ár erdi para e int icos ativo pecíf oper tos es jo co oyec traba • Pr tos de oyec l • Pr y ética socia al to ion oyec emoc • Pr inar ncia área scipl la elige erdi ra el el au • Int e int s pa • Pr ensa en ativo cífico proyec oper tos es • La s espe jo co • Pr pecíf Proyecto oyec traba ico • s tos de para tos de • Pr traba Proyec el ár cial oyec ética • jo co y ea so to al to socia • Int ion ecer l • Proyop elige ativo emoc inar ncia ea e intla ncia scipl • La emoc el ár elige erdi el au erdiscipl pren ion para • Int e int sa en sa en inar •al y ét icos enica ativo proy el au LaPr pecíf ecto oper la • • s espe tos es jo co Proy oyec cífico traba ecto • Pr s pa tos de s de • Pr ra el traba Proyec oyec ár ética cial • jo co y ea so to to socia • Int ional ecer l • Proyop elige ativo emoc inar ncia ea e intla ncia scipl • La emoc el ár elige erdi el au erdiscipl pren ion para • Int e int sa en sa en inar •al y ét icos enica ativo proy el au LaPr pecíf ecto oper la • • s espe tos es jo co Proy oyec cífico traba ecto • Pr s pa tos de s de • Pr ra el traba Proyec l ica oyec ár ét cia • y joES to so coop to soea • Int ional ecer cial oyO elige ativo emoc • Pr ncia e intla ncia • La emoc elige el au erdiscipl pren ion • Int sa en sa en inar •al y ét enica proy el au LaPr ecto la • • s espe Proy cífico ecto s pa s de • Pr ra el traba oyec área jo co to so • Int oper cial elige ativo ncia e int • La emoc erdi pren scipl ional sa en inar y ética el au la

MATEMÁTICAS

aula

cas máti Mate

ESQUEMA DE LA UNIDAD

• Literatura y matemáticas. • Desarrollo de la competencia matemática.

2,50 m

en el

NÚMEROS RACIONALES

s ncia I X pete Com el siglo X para ias Com tenc XXI s mpe pectC a eo pa máti nc el siglo Matera el s araias pig lo ias ESO ComXXI tenc pecaesompe iglo XXI Mate nciael s máti tC máti paa a s r M castera el s ESO a piglo ias ESO ComXXI tenc pecaesompe iglo XXI Mate nciael s máti tC máti paa a s r M castera el s ESO a piglo ESO ComXXI pecas Mate máti tencia máti paa s M castera el s ESO iglo XXI ESO Matemáticas Matemáticas

a día

RECURSOS DIDÁCTICOS

Proyectos específicos del área:

MATEMÁTICAS

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Día

1

ti ción a la cos dive rsida d Mate mát icas

ESO ESO

s ática atem

Competencias para el siglo xxi

ticMaa s

Matemáticas Matemáticas

la el au

SO

ESO ESO

Matemáticas Matemáticas

O

Día Díaaadía díaen enel elaula aula

Mate máti cas ES

L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O

aula

aula s a de curso áctic de re ión did bancos mac y ogra ticos • Pr didác iones da • Gu aliza ) du ión ivi a ind ampliac • ñanz oy aula s Ense , apoy idos a de so nten curso • (re s Prpa áctic ogra ión de co ncia de re pete m ión did bancos • Gu ión com mac aluac acpo y ionesión r didációnProgra • Ev ticos ac• tica de es didác izada ) • aluac didev ácalu dual ticos • Ev Guion aulaa indivi pliación s de y• ba ica Enbr ncos nz am seña io señade oyo y s • Rú ara ind (repaionnz • En so, apre cursontenido luc la s so ivi pa , apoy du (re s ncia de co s • • So de au Evalu o y am al pete curso tica • iza daación Pralu ación ogra de re r com pliac didác • Ev macpo de co • • Ev ncos iónac ación ) ión aluac iónaluación y ba Guion ram ión po nten Ev ticos idoalu Prog es didev didác• tic • Rú da r com• • Ens icas de a de es didác aliza brica br aula seña ioácticos Guion ividu iación) s de tenc •peRú • So ind ES y nz • pl ev ar ba a Oos aluac (repaia nc lucion s a indivi ñanz oyo y am lucion so s , apoy ario du Ense de •ión • So , aprecursontenido Evalu so o y am•alizapa la s da O ación s ncia de co s ES pl(re de au • Ev pete curso de co iónación tica • iac Pralu aluac og ) de re r com didác • Ev ión po nten m idos ra ncos ión acpo • Rú ación iónalu y ba ación r com • Gu ram brica aluac ticos ev didác• tic Prog •peEv iones s de de didác • So izada ) a de es didác evalu • te iass Ennc dual lucion seica ac•ión Rúbr ña ario ticos y• ES Guion aulaa indivi pliación ario ba (repaionnz a Oos nc nz y am luc so, ap individu señade s oyo En ido • • So re ap al , oy • cu en iza Evalu o y am rsont s daso pa ación ncia de co s pl(re • Ev pete de co iónación • iac Pralu aluac og ) r com • Ev ión po nten m idos ra ión acpo • Rú iónalu ación r com • Gu brica aluac ev didáctic •peEv iones s de de didác • So a de evalu • te iass Ennc lucion aula seica ac•ión Rúbr ña ario ticos y ba ario (repaionnz a ncos luc so, ap individu de re • • So al oyo curso Evalu y am izada s ación pliac • Ev de co ión) aluac ión po ntenido • Rú s r com brica pete s de • So ncia evalu lucion s ación ario ESO ESO

en el

ESO

Sugerencias didácticas relacionadas con el contenido de cada unidad y herramientas que te ayudaran a planificar el curso, además de evaluar el grado de adquisición de las competencias por los alumnos.

. l aula en e a día ácticos idad Día id s r d . dive rsos Recu ción a la l aula en e ten yDaía a día ía a día ácticos ad id D Recu en s did ivers . d r aescuresloa y atemsáotsicdR idác ciónualala. l aula tico en e Mate nciónyD ten aaía la daivdsía ía a día cticos ad O á ES Recu ersD ide ersid s did . sand rsotsica Mate uresloaualala div ec á did atem l aula mát y a . ión ácn nció RD icMaste en e ESO te ticco nyaaía la daivdsía ía a día cticos ad O á ES Recu ersD ide ersid s did sand rsotsica Mate uresloaualala div ec á did atem mát y a . ión ácn nció RD icMaste ESO te ticcos nyaaía la a d d ESO rsidean e Recu iveía s d l au rsotsica Mate la. á didá má y ate tem c n

Matemáticas Matemáticas

Día Díaaadía díaen enel elaula aula ESO ESO

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

en

a día

Matemáticas Matemáticas

el au la

atem ática s Día

ESO

a día

L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O

Día a día en el aula

a a dí a en

ESO

¡Más de 550 páginas de recursos!

ESO

Biblioteca del profesorado

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

74

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

75

19

material del profesor

Matemáticas

Fracción irreducible

1

Comparación de fracciones

RECURSOS DIDÁCTICOS

Indican una fracción de numerador a y denominador b.

a de c b

Indica la fracción

División

1

OBJETIVO 1

a de una cantidad c. b

a Indican que la fracción es equivalente b c . d

a la fracción

¿Qué significa? N

Indica el conjunto de los números naturales.

Z

Indica el conjunto de los números enteros.

Q

Indica el conjunto de los números racionales.

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES

c)

F

d)

8

2

F

Actividades

F

............... octavos

F

............... ...............

1

F

............... medios

F

............... ...............

2

3

11 30

a)

2 5 1, 2, 3, 4 y 7

# 1,58

PRUEBA B

Indica un número decimal periódico puro. Indica un número decimal periódico mixto. Curso:

184

8 5y6

2 8

b)

2 5

3

1 2

d)

4 6

20 60

7 21

11 30

15 45

18 55

Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones:

20 60

1

128 144 y . 1 024 54

fracciones:

7 14 23 33 , , , . 4 5 11 14

1

Completa la suma:

2 + 3

=

7 . 5

408

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Competencias para el siglo XXI Competencias para el siglo XXI

Competencias para el siglo XXI Competencias para el siglo XXI ESO

ESO

ESO

1m Fecha:

Una comunidad de vecinos quiere instalar placas solares. Han consultado con una empresa instaladora y les ha proporcionado estos datos: IÓN DE

TALAC LA INS O PARA ES PUEST SOLAR inos: c/

vec dad de

S PLACA

Bádminton

sol

otal: 22 ........T

Rebeca, David, Ahmed y Marta

son un grupo de amigos de la ESO a los que les encanta el bádminton. David, que vive cerca de la estación de metro La Rambla, conoce un polideportivo cerca de su casa donde alquilan pistas. Los cuatro amigos deciden quedar el sábado para jugar. Ahmed vive cerca del metro Miró. Marta y Rebeca viven cerca del metro El Cruce.

000 €

n........

talació

ins ares e

a)

5 3 5 15 oH ?> -e : 9 4 7 2

128 144 y . 1 024 54

InstItuto para la DIversIfIcacIón y ahorro De la energía

b)

7 5 6 42 oH ?> -e 5 32 27 24

La empresa instaladora les ha informado de que ciertos organismos oficiales conceden subvenciones para la instalación de placas solares. Concretamente, la mitad del coste de las placas y de su instalación.

1 ¿Qué itinerarios podría seguir Ahmed para ir a casa de David? ¿Cuál te parece mejor? Razona tu respuesta.

Sol, 23

Comuni

=

14 4 312 " 5 1 540

En relación con la subvención solicitada por su comunidad para la instalación de placas solares en el edificio situado en la calle Sol, número 23, le informamos de que dicha subvención ha sido concedida, y que su cuantía asciende a la mitad del coste de las placas y su instalación, siendo necesaria la presentación de la factura debidamente sellada por la empresa de instalación y montaje para su cobro.

Línea 1

La Rambla

Línea 2

Pl. Olivo Enclave

404

23 3 220 " 11 1 540

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Proyecto 1

PRESU

Opera y simplifica.

M. de Guzmán

3 630 33 " 1 540 14

El Puente

b) ¿Cuánto dinero ahorraría cada vecino si se instalaran placas solares?

El Cruce

2 ¿Qué itinerarios podrían seguir Marta y Rebeca para ir a casa de David? ¿Cuál te parece mejor? Razona tu respuesta.

Ópera

Benavente

7 . 5

Línea 3 El Parque

La Arena

a) ¿Cuántos kWh, aproximadamente, han gastado en el último mes?

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Albéniz

Miró

Línea 4

Camino Línea 5

Opera y simplifica. a)

5 3 10 5 315 - 40 5 ? 275 1 375 275 5 3 5 15 oH = ? e o= ? = = = ?> -e : 9 4 105 9 420 9 ? 420 3 780 756 9 4 7 2

b)

7 5 6 ? 8 - 42 ? 9 7 5 330 7 1 455 679 7 5 6 42 o = ?e o= ? oH = ? e + ?> -e = 5 32 216 5 32 216 5 864 288 5 32 27 24

c) ¿Si un vecino ha decidido vender su casa en los próximos 5 años, ¿le proporcionará beneficios la instalación de las placas solares?

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

412

18

ESO

m

Curso:

El informe técnico relativo a la instalación de placas solares estima un ahorro de dos séptimos del consumo actual del edificio.

2 7 7 2 7?3 - 2?5 11 + x = "x= - = = 3 5 5 3 15 15 6

Desarrollo de la competencia matemática

EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

La compañía eléctrica suministradora de la comunidad cobra a 8,6726 céntimos el kWh. En el último recibo bimensual, cada uno de los 48 vecinos ha pagado 46,34 €.

7 2 695 " 4 1 540

2 + 3

Competencias para el siglo XXI Competencias para el siglo XXI

68

23 65

NOTA INFORMATIVA DE LA JUNTA DE VECINOS 5

23 65

7 14 23 33 Ordena las siguientes fracciones: , , , . 4 5 11 14 7 23 33 14 < < < 4 11 14 5

Completa la suma:

F

5 . 15

2

Común denominador:

D

G

2 ?3 8 144 = = 54 3 2 ? 33

5

E

C

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Nombre:

5 . 15

18 55

B

8m

H

Fecha:

1 3

6

27 1 1 128 = 10 = 3 = 8 1 024 2 2

4

Literatura y Matemáticas

que estas se repiten indefinidamente. A ese grupo se le llama período.

15 y cuyo denominador sea 80. 48

Encuentra las fracciones irreducibles de estas fracciones:

4

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Para escribir un número decimal separamos las cifras enteras de las decimales con una coma. El símbolo # sobre una cifra o grupo de cifras indica

15 y cuyo denominador sea 80. 48

De las siguientes fracciones rodea las que sean equivalentes a

4 Ordena las siguientes DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

B.2-1.9. Calcula el valor de expresiones numéricas de números enteros, decimales y fraccionarios mediante las operaciones elementales y las potencias de exponente entero aplicando correctamente la jerarquía de las operaciones.

15 45

8m

¿Cómo lo escribimos?

Indica un número decimal exacto.

! EVALUACIÓN DE CONTENIDOS 2,34

Escribe una fracción equivalente a

6 21

2 5

2 3

15 ? 80 15 25 = 25 " = 48 48 80

7 21

ESO

N, Z y Q representan los conjuntos de números naturales, enteros y racionales, respectivamente.

¿Qué significa? 3,21

y 10 ¿Cuál es9la respuesta correcta? Rodéala.

B.2-1.3. Halla la fracción generatriz correspondiente a un decimal exacto o periódico.

De las siguientes fracciones rodea las que sean equivalentes a 6 21

Lo primero que se le ocurre es hacer un croquis de la piscina y tomar medidas. Este es el resultado.

Los conjuntos de números los denotamos con letras mayúsculas, generalmente huecas.

Placas

2

M

arisa pertenece a una asociación que va a organizar un campamento juvenil. Ella se encargará de preparar la piscina que hay en la finca donde se va a realizar. No sabe mucho de piscinas, pero tiene que estudiar la situación y hacer algunas propuestas.

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Partiendo del dibujo, halla la fracción que representa y escribe cómo se lee.

F

"x=

4

7 74 o = 4 3 3

0

F

B.2-1.1. Reconoce los distintos tipos de números (naturales, enteros, racionales), indica el criterio utilizado para su distinción y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente información cuantitativa.

=e

A

REPRESENTACIÓN EN LA RECTA NUMÉRICA

Nombre:

b)

3

4

3 o 7

José del Río Sánchez

7 5

a)

Estándares de aprendizaje

1

e

2,50 m

REPRESENTACIÓN GRÁFICA

0

PRESENTACIÓN PRUEBA B Y SUGERENCIAS

B.1-2.1. Analiza y comprende el enunciado de los problemas (datos, relaciones entre los datos, contexto del problema).

=

¿Cómo lo escribimos?

14

2

-4

3 o 7

4

4 5

e

10

Completa la siguiente tabla. REPRESENTACIÓN NUMÉRICA

Indica la potencia negativa de una fracción.

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

•  Denominador " Partes en que se divide la unidad. •  Numerador " Partes que tomamos de la unidad.

Cuatro quintos

a -n n b

La potencia negativa de una fracción es igual a su fracción inversa, elevada al mismo exponente pero positivo.

Una fracción está compuesta por un numerador y un denominador.

REPRESENTACIÓN ESCRITA

–Sí, es un edificio extraordinario, pero hace ya algunos años que varias ciudades están construyendo catedrales con las que aspiran a superar a Chartres. Las de París, Reims y Amiens son más grandes, y en Inglaterra están comenzando a edificar algunos templos de tamaño desmesurado. Pero están equivocados; lo importante, lo que hace realmente bella una catedral no es su tamaño, ni siquiera la luminosidad de sus vidrieras, ni la calidad de sus esculturas. La belleza, hijo, está

4

3 3 3 3 3 34 o = ? ? ? = 4 7 7 7 7 7 7

m

FRACCIONES

d

e

m

12

Indica la potencia de una fracción.

Números racionales

Fecha:

1

15 x = 48 80

Enrique de Rouen estaba recién llegado de París, en cuya universidad había acabado sus estudios. Durante aquel verano se dedicaría a preparar con su padre el examen de maestro de obra, pues había convocadas unas pruebas para el mes de septiembre.

a c = indica que las fracciones son equivalentes y se b d cumple en este caso que a ? d = c ? b.

4

Curso:

a n n b

La piscina del campamento

–Es magnífica, padre, no hay ninguna catedral igual en todo el mundo.

¿Cómo lo escribimos?

d

Proyecto 1

La catedral de Chartres lucía al fin en todo su esplendor. Aquella primavera el maestro Juan de Rouen pudo descansar tranquilo; a principios de mayo se colocó la última escultura del templo, una gárgola que coronaba la terraza de la torre sur.

a de c expresa la fracción de una cantidad; su valor b es el resultado de multiplicar a por c y dividir entre b. 3 3 ? 40 de 40 = = 24 5 5

1m

Nombre:

0

Escribe una fracción equivalente a

ESO

El número de Dios

a o a/b expresan que de b partes tomamos a. b

¿Qué significa? REPASO Y APOYO

RECONOCER LAS FORMAS DE REPRESENTACIÓN QUE TIENE UNA FRACCIÓN

Siete quintos

1

Mate máti cas

Números decimales

1

0

B.2-1. Utilizar las propiedades de los números racionales para operarlos, utilizando la forma de cálculo y notación adecuada, para resolver problemas de la vida cotidiana, y presentando los resultados con la precisión requerida.

El argumento de esta novela histórica, ambientada en la Edad Media, se desarrolla en torno a la construcción de las catedrales de Burgos y de León. Uno de sus protagonistas, un joven arquitecto francés llamado Enrique de Rouen, viene a España a trabajar con su tío Luis, que dirige las obras de la catedral de Burgos. Su padre, Juan de Rouen, también es arquitecto y acaba de terminar la construcción de una de las catedrales góticas más bellas del mundo, la de Chartres. En la siguiente escena, asistimos a la conversación que Enrique tiene con su padre antes de viajar definitivamente a España.

¿Cómo lo escribimos?

a , a/b b

a c = b d

1

Criterio

ARGUMENTO

m

Multiplicación

ACTIVIDADES

B.1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

Autor: José Luis Corral

NOTACIÓN MATEMÁTICA

Operaciones con fracciones

Resta

El número de Dios

NÚMEROS RACIONALES

¿Qué significa?

Suma

NÚMEROS RACIONALES

4

Amplificación y simplificación de fracciones

• Programación didáctica de aula • Guiones didácticos y bancos de recursos • Enseñanza individualizada (repaso, apoyo y ampliación) • Evaluación de contenidos • Evaluación por competencias

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Matemáticas Matemáticas

Fracciones equivalentes

Reducción a común denominador

1

Competencias para el siglo XXI Competencias para el siglo XXI ESO

Matemáticas Matemáticas

Día Díaaadía díaen enel elaula aula

Matemáticas Matemáticas

Día Díaaadía díaen enel elaula aula

L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O

L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O

Fracciones

1

4

ESO

inar ea scipl el ár erdi para e int icos ativo pecíf oper tos es jo co oyec traba • Pr tos de oyec l • Pr y ética socia al to ion oyec emoc • Pr inar ncia área scipl la elige erdi ra el el au • Int e int s pa • Pr ensa en ativo cífico proyec oper tos es • La s espe jo co • Pr pecíf Proyecto oyec traba ico • s tos de para tos de • Pr traba Proyec el ár cial oyec ética • jo co y ea so to al to socia • Int ion ecer l • Proyop elige ativo emoc inar ncia ea e intla ncia scipl • La emoc el ár elige erdi el au erdiscipl pren ion para • Int e int sa en sa en inar •al y ét icos enica ativo proy el au LaPr pecíf ecto oper la • • s espe tos es jo co Proy oyec cífico traba ecto • Pr s pa tos de s de • Pr ra el traba Proyec oyec ár ética cial • jo co y ea so to to socia • Int ional ecer l • Proyop elige ativo emoc inar ncia ea e intla ncia scipl • La emoc el ár elige erdi el au erdiscipl pren ion para • Int e int sa en sa en inar •al y ét icos enica ativo proy el au LaPr pecíf ecto oper la • • s espe tos es jo co Proy oyec cífico traba ecto • Pr s pa tos de s de • Pr ra el traba Proyec l ica oyec ár ét cia • y joES to so coop to soea • Int ional ecer cial oyO elige ativo emoc • Pr ncia e intla ncia • La emoc elige el au erdiscipl pren ion • Int sa en sa en inar •al y ét enica proy el au LaPr ecto la • • s espe Proy cífico ecto s pa s de • Pr ra el traba oyec área jo co to so • Int oper cial elige ativo ncia e int • La emoc erdi pren scipl ional sa en inar y ética el au la

MATEMÁTICAS

aula

cas máti Mate

ESQUEMA DE LA UNIDAD

• Literatura y matemáticas. • Desarrollo de la competencia matemática.

2,50 m

en el

NÚMEROS RACIONALES

s ncia I X pete Com el siglo X para ias Com tenc XXI s mpe pectC a eo pa máti nc el siglo Matera el s araias pig lo ias ESO ComXXI tenc pecaesompe iglo XXI Mate nciael s máti tC máti paa a s r M castera el s ESO a piglo ias ESO ComXXI tenc pecaesompe iglo XXI Mate nciael s máti tC máti paa a s r M castera el s ESO a piglo ESO ComXXI pecas Mate máti tencia máti paa s M castera el s ESO iglo XXI ESO Matemáticas Matemáticas

a día

RECURSOS DIDÁCTICOS

Proyectos específicos del área:

MATEMÁTICAS

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Día

1

ti ción a la cos dive rsida d Mate mát icas

ESO ESO

s ática atem

Competencias para el siglo xxi

ticMaa s

Matemáticas Matemáticas

la el au

SO

ESO ESO

Matemáticas Matemáticas

O

Día Díaaadía díaen enel elaula aula

Mate máti cas ES

L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O

aula

aula s a de curso áctic de re ión did bancos mac y ogra ticos • Pr didác iones da • Gu aliza ) du ión ivi a ind ampliac • ñanz oy aula s Ense , apoy idos a de so nten curso • (re s Prpa áctic ogra ión de co ncia de re pete m ión did bancos • Gu ión com mac aluac acpo y ionesión r didációnProgra • Ev ticos ac• tica de es didác izada ) • aluac didev ácalu dual ticos • Ev Guion aulaa indivi pliación s de y• ba ica Enbr ncos nz am seña io señade oyo y s • Rú ara ind (repaionnz • En so, apre cursontenido luc la s so ivi pa , apoy du (re s ncia de co s • • So de au Evalu o y am al pete curso tica • iza daación Pralu ación ogra de re r com pliac didác • Ev macpo de co • • Ev ncos iónac ación ) ión aluac iónaluación y ba Guion ram ión po nten Ev ticos idoalu Prog es didev didác• tic • Rú da r com• • Ens icas de a de es didác aliza brica br aula seña ioácticos Guion ividu iación) s de tenc •peRú • So ind ES y nz • pl ev ar ba a Oos aluac (repaia nc lucion s a indivi ñanz oyo y am lucion so s , apoy ario du Ense de •ión • So , aprecursontenido Evalu so o y am•alizapa la s da O ación s ncia de co s ES pl(re de au • Ev pete curso de co iónación tica • iac Pralu aluac og ) de re r com didác • Ev ión po nten m idos ra ncos ión acpo • Rú ación iónalu y ba ación r com • Gu ram brica aluac ticos ev didác• tic Prog •peEv iones s de de didác • So izada ) a de es didác evalu • te iass Ennc dual lucion seica ac•ión Rúbr ña ario ticos y• ES Guion aulaa indivi pliación ario ba (repaionnz a Oos nc nz y am luc so, ap individu señade s oyo En ido • • So re ap al , oy • cu en iza Evalu o y am rsont s daso pa ación ncia de co s pl(re • Ev pete de co iónación • iac Pralu aluac og ) r com • Ev ión po nten m idos ra ión acpo • Rú iónalu ación r com • Gu brica aluac ev didáctic •peEv iones s de de didác • So a de evalu • te iass Ennc lucion aula seica ac•ión Rúbr ña ario ticos y ba ario (repaionnz a ncos luc so, ap individu de re • • So al oyo curso Evalu y am izada s ación pliac • Ev de co ión) aluac ión po ntenido • Rú s r com brica pete s de • So ncia evalu lucion s ación ario ESO ESO

en el

ESO

Sugerencias didácticas relacionadas con el contenido de cada unidad y herramientas que te ayudaran a planificar el curso, además de evaluar el grado de adquisición de las competencias por los alumnos.

. l aula en e a día ácticos idad Día id s r d . dive rsos Recu ción a la l aula en e ten yDaía a día ía a día ácticos ad id D Recu en s did ivers . d r aescuresloa y atemsáotsicdR idác ciónualala. l aula tico en e Mate nciónyD ten aaía la daivdsía ía a día cticos ad O á ES Recu ersD ide ersid s did . sand rsotsica Mate uresloaualala div ec á did atem l aula mát y a . ión ácn nció RD icMaste en e ESO te ticco nyaaía la daivdsía ía a día cticos ad O á ES Recu ersD ide ersid s did sand rsotsica Mate uresloaualala div ec á did atem mát y a . ión ácn nció RD icMaste ESO te ticcos nyaaía la a d d ESO rsidean e Recu iveía s d l au rsotsica Mate la. á didá má y ate tem c n

Matemáticas Matemáticas

Día Díaaadía díaen enel elaula aula ESO ESO

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

en

a día

Matemáticas Matemáticas

el au la

atem ática s Día

ESO

a día

L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O

Día a día en el aula

a a dí a en

ESO

¡Más de 550 páginas de recursos!

ESO

Biblioteca del profesorado

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

74

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

75

19

material del profesor

Matemáticas Biblioteca del profesorado

ESO

ESO

Competencias para el siglo xxi. Proyectos interdisciplinares Esta metodología plantea el desarrollo de proyectos concretos y evaluables en los que los alumnos, de manera cooperativa, apliquen sus conocimientos y capacidades.

1_ES

O_35

ES00

0000

253

0036

668 72

B L IEOT ER L OPFREOSFOERSA OD RO ADO B I BB L II OT C AE C DA E LDP

ierta_

Competencias Competenciaspara parael elsiglo sigloXXI XXI

_Cub

B L IEOT ER L OPFREOSFOERSA OD RO ADO B I BB L II OT C AE C DA E LDP

54

1106

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

1

ES00

00000

ESO

Competencias Competenciaspara parael elsiglo sigloXXI XXI

20/07

8 72110

/2015

bierta

_1_E

SO_3

5253.

indd

cierta ocasión, Gauss preguntó: ¿Solo eso? ¿Bastaba con eso para ser alemán? Su padre meditó tanto rato que le resultó increíble. Después asintió.

En esta novela histórica se relata de una forma muy amena la vida de dos científicos que desarrollaron su actividad entre los siglos XVIII y XIX. Uno, el naturalista Alexander von Humboldt, recorre y explora la Tierra, abriéndose paso por selvas y estepas para conocer el mundo. El otro, Carl Friedrich Gauss, es un astrónomo, físico y matemático que descubre la geometría necesaria para medir el mundo. En el texto siguiente el narrador cuenta algunos detalles de la infancia de Gauss.

Su madre era gordita y melancólica, y él nunca la vio hacer otra cosa que cocinar, lavar, soñar y llorar. No sa­ bía ni leer ni escribir. Pronto se dio cuenta de que enve­ jecía. Su piel perdió la tersura, su cuerpo se deformó, sus ojos tenían cada vez menos brillo, y cada año apare­ cían en su rostro nuevas arrugas. Él sabía que sucedía lo mismo a todas las personas, pero en el caso de ella se le antojaba insoportable. Se consumía ante sus ojos sin que él pudiera hacer algo para evitarlo. […] Cuando era muy pequeño Gauss quiso comprender los signos negros de los libros, que hablaban a la mayo­ ría de los adultos, pero no a su madre, ni a él. Una tarde de domingo, pero, qué cosas tienes, hijo, hizo que su padre le explicara algunos: el del travesaño grande, el muy curvado por abajo, el semicírculo y el círculo en­ tero. Después contempló la página hasta que aquellos signos desconocidos se completaron por sí mismos y de pronto surgieron las palabras. Pasó la hoja, esta vez todo aconteció más deprisa; un par de horas después había aprendido a leer, y esa misma noche terminaba el libro que, dicho sea de paso, era aburrido y hablaba todo el tiempo de las lágrimas de Cristo y del arrepenti­ miento contrito del pecador. Se lo llevó a su madre para explicarle los signos, pero ella sacudió la cabeza, son­ riendo con tristeza. En ese momento él comprendió que nadie quería utilizar la inteligencia. La gente deseaba tranquilidad. Comer y dormir, que fuesen amables con ellos. No querían pensar.

:04

13:25

13:24

/2015

:05

20/07

:04

13:25

1

20/07

/2015

13:24

:05

1

O_35

20/07

/2015

indd

5253.

SO_3

_1_E

bierta

6_Cu

8 72110

13:25

:04

• Proyectos de trabajo cooperativo • Proyecto social • Inteligencia emocional y ética • La prensa en el aula

1

20/07

/2015

03666

00000

ARGUMENTO

Autor: Daniel Kehlmann

La medición del mundo

03666

ES00

La medición del mundo

Proy ecto s inte rdisc iplin ares

/2015

UNIDAD 1. Números racionales Estándares de aprendizaje Etapa

13:25

:04

Cuando alguien preguntaba a Gauss por sus tempranos acuerdos, este contestaba que no existían. […] Por ejemplo, el recuerdo de la tarde en que corrigió a su padre en el cálculo del salario se le antojaba de escaso valor. A lo mejor lo había oído contar demasiadas veces; le parecía maquillado e irreal. Todos los demás recuerdos guardaban relación con su madre. Si se caía, ella le consolaba; si lloraba, enjugaba sus lágrimas; si no podía dormir, le cantaba; si un joven de la vecindad pretendía pegarle, ella lo veía, echaba a correr y, tras alcanzarlo, lo sujetaba entre las rodillas y golpeaba su cara hasta que se marchaba caminando torpemente, sangrando y entumecido. Él le profesaba un amor indecible. Si le sucedía algo, él moriría. Y no eran palabras vanas. Él sabía que no sobreviviría a ese acontecimiento. Así eran las cosas cuando tenía tres años, y treinta años después no habían cambiado.

•

g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.

•

Enfoque de la unidad. Los alumnos sabrán identificar y calcular fracciones • Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para equivalentes y hallar el término desconocido de una fracción equivalente a resolver operaciones con paréntesis, cuando las fracciones tengan distinto otra; sabrán amplificar, simplificar y reducir fracciones, calcular un término denominador y se trate de efectuar sumas, restas, multiplicaciones y desconocido en fracciones equivalentes, reducir a común denominador y divisiones combinadas. Prevenir para que no confundan el orden correcto de comparar fracciones. Sabrán realizar operaciones con fracciones y con resolución, tanto por la jerarquía de operaciones como por el uso de números decimales, expresando la equivalencia entre ellos. Realizarán paréntesis, y la reducción a común denominador. Sugerencia de temporalización: 2 primeras semanas de noviembre operaciones combinadas con números racionales. CONTENIDOS Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos los números naturales y sus CRITERIOS DE EVALUACIÓN CURRICULARES CONTENIDOS CURRICULARES DEIdentifican LA ETAPA CONTENIDOS DE LA UNIDAD operaciones básicas, así como el cálculo elemental de potencias. y saben operar con númerosBLOQUE enteros; 1.distinguen entreMÉTODOS enteros y Ynaturales, PROCESOS, saben expresar la equivalencia entre enteros y números naturales. ACTITUDES EN positivos MATEMÁTICAS

•

•

Planificación del proceso de resolución de problemas.

Fracciones; fracciones equivalentes; hallar el término desconocido de una fracción equivalente a otra.

• Fracción irreducible; amplificación y simplificación de fracciones; calcular la fracción irreducible. Estrategias y procedimientos puestos en • Reducción a común denominador; comparación de práctica: uso del lenguaje apropiado (gráfico, fracciones. numérico, algebraico, etc.), reformulación del problema, resolver subproblemas, recuento • Operaciones con fracciones: suma, resta, exhaustivo, empezar por casos particulares multiplicación y división. sencillos, buscar regularidades y leyes, etc. Programación Didáctica de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de •3º de Educación Secundaria Realizar operaciones combinadas con fracciones. • Reflexión sobre los resultados: revisión de las operaciones utilizadas, asignación de unidades a los resultados, comprobación e interpretación de las soluciones en el contexto de la situación, búsqueda de otras formas de resolución, etc. •

El maestro de la escuela se llamaba Büttner y le gustaba castigar. Fingía ser severo y ascético, pero a veces la ex­ presión de su rostro revelaba lo mucho que le complacía pegar. Prefería imponer tareas que sus alumnos, a pesar de trabajar mucho rato, fuesen incapaces de resolver sin faltas, de forma que al final hubiese un motivo para sa­ car la palmeta. Era el barrio más pobre de Braunsch­ weig, ninguno de los niños de allí asistiría al instituto, todos trabajarían con las manos. Él sabía que Büttner no le podía ni ver. Por silenciosamente que se comportase y por mucho que intentara contestar despacio igual que todos, percibía la desconfianza del maestro, y era cons­ ciente de que este solo aguardaba un motivo para atizar­ le un poco más fuerte que a los demás.

•

Niveles de adquisición En vías de adquisición (1)

Indicadores de logro •

Comprende la situación planteada en el enunciado de problemas con números racionales; y responde literalmente a las preguntas que se le formulan.

B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

Entiende parcialmente la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando los números racionales; necesita apoyos para elegir la estrategia y para llevar a cabo las operaciones necesarias para su resolución.

Adquirido (2)

Avanzado (3)

Excelente (4)

Lee comprensivamente el enunciado de un problema y lo representa mentalmente, utilizando los números racionales; analiza los datos que contiene, deduce las relaciones entre ellos, organiza los datos, realiza las operaciones necesarias y resuelve el problema.

Entiende el enunciado de un problema, utilizando los números racionales; representa mentalmente la información, analiza los datos e identifica la estrategia más adecuada para su resolución. Ordena los datos, realiza las operaciones y resuelve el problema; relee el enunciado y comprueba el resultado.

Comprende la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando los números racionales; analiza y ordena los datos e identifica y aplica la estrategia más adecuada para su resolución; relee el enunciado, comprueba el resultado y emplea el mismo proceso en otros contextos.

Estándares de aprendizaje Etapa B1-6.1.

B1-6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

Indicadores de logro •

Identifica y comprende la situación planteada en el enunciado de problemas, desarrollando procesos matemáticos en contextos de la vida cotidiana.

6

Calificación (máximo 4)

Niveles de adquisición En vías de adquisición (1) Entiende parcialmente la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando números racionales; necesita apoyos para elegir la estrategia y para llevar a cabo las operaciones necesarias para su resolución.

Rúbricas de Matemáticas Académicas de 3.º de Educación Secundaria

Adquirido (2)

Avanzado (3)

Excelente (4)

Lee comprensivamente el enunciado de un problema y lo representa mentalmente, utilizando números racionales; analiza los datos que contiene, deduce las relaciones entre ellos y elige la estrategia para solucionarlo; organiza los datos, realiza las operaciones necesarias y resuelve el problema.

Entiende el enunciado de un problema, utilizando números racionales; representa mentalmente la información, analiza los datos e identifica la estrategia más adecuada para su resolución. Ordena los datos, realiza las operaciones y resuelve el problema; relee el enunciado y comprueba el resultado.

Comprende la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando números racionales; representa mentalmente la información; analiza y ordena los datos e identifica y aplica la estrategia más adecuada para su resolución; relee 12 el enunciado, comprueba el resultado y emplea el mismo proceso en otros contextos.

Calificación (máximo 4)

Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos.

BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Büttner les había mandado sumar todas las cifras de uno a cien. Eso costaría horas y ni con la mejor voluntad lo lograrían sin cometer tarde o temprano algún fallo en la suma que los haría acreedores al castigo. ¡Venga, había gritado Büttner, dejad de papar moscas, empezad de una vez, vamos! Más tarde, Gauss ya no recordaba si ese día había estado más cansado de lo habitual o sencilla­ mente solo distraído. En cualquier caso, no se había

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

B1-2.1.

PUNTO DE PARTIDA DE LA UNIDAD

Y se lo dio.

Su padre era jardinero, tenía casi siempre las manos sucias, ganaba poco y cuando hablaba era para quejarse o dar órdenes. Un alemán, repetía siempre mientras tomaba, cansado, la sopa de patata vespertina, nunca se sentaba encorvado. En

18

f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.

e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.

PROGRESIONES

linare I s

20/07

6_Cu

253.indd

3

ESO ESO

ESO ESO

Proyectos Proyectosinterdisciplinares interdisciplinares

sigl

ativo oper

• Rúbricas de evaluación.

UNIDAD 1. Números racionales b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

tra tos de oyec cial • Pr y ética to so ional oyec emoc • Pr ncia la elige el au • Int sa en ativo pren oper • La jo co • Pr traba oyec s de to s de ecto • Pr traba • Proy ética cial oyec al y jo co ecto so to so • Int op ocion oy cial elige • Pr erat ia em ivo ncia la genc • La au eli em ocion• Int pren en el sa en al y prensa ativo ética el au • La oper la • jo co Proy traba ecto s de s de ecto • Pr traba • Proy ética oyec cial al y jo co ecto so to so • Int op ocion cial oy elige • Pr erat ia em ncivo ncia la ge • La eli emoc el au pren • Int ion sa en sa en al ativo éten el au • Lay pr oper ica la• jo co Proy traba ecto tos de s de • Pr l traba • Proy:05ec oyec ética socia jo /2015 13:24 al y to so coop ecto • Int 20/07 cial ocion Proyerativo elige • ES ia em nc nc la ia ge O • La au emoc eli pren en el ion• alInt sa en ensa y ét prica el au • La la • Proy ecto s de • Pr traba oyec :05 jo /2015 13:24 to so coop • Int 20/07 cial erat elige ivo nc ia em • La ocion pren sa en al y ética el au la

ares iplin rdisc inte ctos Proye pe Com

253.indd

ra el ias pa tenc

co bajo

Proyectos Proyectosinterdisciplinares interdisciplinares

ESO ESO

_C

ESO

O

O_35

Proyectos Proyectosinterdisciplinares interdisciplinares

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

oye

O_35

1_ES

ta_ ubier

1106

668 72

0036

SO ES000000

253

• Programación Didáctica de Aula. OBJETIVOS CURRICULARES

B L IEOT CA ER L OPFREOSFOERSA OD RO ADO B I BB L II OT C AE D E LDP

253

ESO ESO

O_

1_ES

ierta_

_Cub

1106

3 3525

O_35

Competencias Competenciaspara parael elsiglo sigloXXI XXI

1_ES

Proyectos Proyectosinterdisciplinares interdisciplinares

ierta_

Competencias Competenciaspara parael elsiglo sigloXXI XXI

_Cub

B L IEOT CA ER L OPFREOSFOERSA OD RO ADO B I BB L II OT C AE D E LDP

s ncia I X pete Com el siglo X a par iass nare cip C telinc XXI l sigl is o mpe inte rdpe o XX I steCnom payreacto siglo l c e ia ra s el sp Pro mis d pec te igalo ip nc liia iass nare nsapa rera ESO s el si cip ComXXI telinc XXI ise glo XX rdp pe inte I lo om Proy oyec ctosteCncia el sig tos in ecto pro a e y r a teCord sP interd el sp ESO ara s mis pecte ipncliia iass iscip iglo XX nare nsapa rera XXI ESO s el si cip liCno telinc XXI siglo ise am glo XX rdp respeI intem I Pro Proy tosteCnocia el siglo p s yectos c e a re e c a y r tos P inte a iplin rdisc inro ESO ara s s terd el sp disc iplin iscip iglo XX nare ares XXI ESO cipli liCno siglo am respeI interdis ra el ias pa Proy sten tenc to p s c e mpe a c re e c a y ia ra tos P iplin inro ESO terd el siglo s rdisc inte iscip I XX ESO o XX ctos 1106

4

Documentos curiculares

•

Jerarquía de operaciones.

•

Números decimales y racionales.

•

Transformación de fracciones en decimales y viceversa. Números decimales exactos y periódicos. Fracción generatriz.

•

Operaciones con fracciones y decimales. Cálculo aproximado y redondeo. Cifras significativas. Error absoluto y relativo.

•

Números decimales; tipos de números decimales; expresar una fracción mediante un número decimal; expresar un número decimal exacto o periódico mediante una fracción.

•

Números racionales.

B2-1. Utilizar las propiedades de los números racionales para operarlos, utilizando la forma de cálculo y notación adecuada, para resolver problemas de la vida cotidiana, y presentando los resultados con la precisión requerida.

Programación Didáctica de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 3º de Educación Secundaria

7

Rúbricas de Matemáticas Académicas de 3.º de Educación Secundaria

13

19

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Solucionarios

ia_1_

3_

Tutoría Tutoría

utor ía

2

ESO

ESO ESO

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

O_24

029.indd

1

ES00

/2015

00569

7 56037

5_Tu

toria_

1_ES

/2015

06/08

11.

Ser el delegado.

Adquirir nuevos conocimientos.

12.

Pasármelo bien en clase.

3.

Mejorar mis calificaciones.

13.

Conseguir una buena relación con mis padres y mis profesores.

4.

Hacer nuevos amigos.

14.

Llevar los estudios al día.

5.

No tener partes de incidencias.

15.

Tener pocos deberes para casa.

•   Finalizado este proceso, se realiza una puesta en común de los resultados en la pizarra   y se valoran las expectativas más elegidas por los alumnos. (Duración aproximada: 15 minutos). 

6.

Caer bien a mis compañeros.

16.

Pasar desapercibido.

•   A continuación, el tutor divide a la clase por parejas formadas aleatoriamente y pide   a cada alumno que entreviste a su compañero utilizando la ficha de trabajo «Yo soy…».   (Duración aproximada: 10 minutos).

7.

Estar preparado para el siguiente curso.

17.

Ser más constante.

8.

Tener buenos profesores.

18.

Ser feliz.

9.

Generar buen clima en el aula.

19.

Conseguir más recursos para trabajar en el aula.

10.

Disfrutar de clases dinámicas.

20.

No espero nada en concreto.

•   Después de las entrevistas, el tutor solicita a las parejas una puesta en común de las respuestas  obtenidas, para lo cual cada alumno debe presentar al compañero asignado como pareja.  (Duración aproximada: 10 minutos).

•   Es importante que el tutor recuerde que, aunque algunos alumnos ya se conozcan de años  anteriores, para conformar el grupo de la clase es necesaria la participación de todos sus  miembros, incluido el tutor mismo como elemento de las dinámicas.

13:02

:33

/2015

•   Se puede elaborar un cuadro que recoja las expectativas más representativas del grupo,   así como un cuadro con las características que más se repitan entre los alumnos de la clase.

:08

13:01

1

MATERIALES 06/08

/2015

Ficha de trabajo 2

indd

4029.

:33

1 06/08

/2015

1

¿Cuáles son tu nombre y tus apellidos?

2

¿Qué asignaturas te gustan más? ¿Y cuáles te gustan menos?

3

¿Qué haces en tu tiempo libre? (Practicar algún deporte, escuchar música, ver la televisión, jugar a videojuegos, salir con amigos, leer…).

4

¿Cómo eres? ¿Cuáles son los rasgos fundamentales de tu carácter? (Introvertido/extrovertido, fiel, tímido, alegre, sincero, con mucho carácter…).

5

¿Qué cosas te resultan más difíciles? (El estudio, las relaciones con los amigos, la salud, la familia…).

6

¿Cuál es tu actitud en clase? (Me gusta: pasar desapercibido, participar, ayudar a los compañeros…).

5_Tu

7 56037

13:02

:33

1 06/08

/2015

00569

00000

ES00

022.indd

O_24

1_ES

toria_

13:01

:08

6

20

Sistema de evaluación

Yo soy…

Habla con tu compañero sobre ti mismo. Responde al siguiente cuestionario.

•   Papel y lápiz. SO_2

03/11/2015 12:37:07

13:02

•   Fichas de trabajo «Mis expectativas» y «Yo soy…».

_3_E

ES0000000006188 562309_Soluc_Matem_Acad_3ESO_papel_41595.indd 1

OBSERVACIONES / SUGERENCIAS

:33

06/08 022.indd

Destacar en mi grupo.

2.

•   El tutor explica en qué consiste la actividad de dinámica de grupo que se va a realizar: reparte   la ficha «Mis expectativas», que contiene un listado de posibles expectativas para el presente  curso escolar, relativas tanto a la vida personal como a la académica de los alumnos.   A continuación, divide la clase en grupos pequeños y pide a cada grupo que elija las cinco  expectativas más votadas por los miembros que lo integran. (Duración aproximada: 10 minutos).

13:02

O_24

Mis expectativas

1.

•   El tutor comienza la sesión presentando a los alumnos nuevos del centro y a los que hayan  repetido. Se recuerda la importancia de conocerse para conseguir una convivencia adecuada.   (Duración aproximada: 5 minutos).

ES O

ludab les nvive ncia - La tom a de decis iones

Fecha:

Reflexiona sobre lo que esperas conseguir en el presente curso escolar. A continuación, de la siguiente lista de posibles expectativas, elige las seis que te parezcan más importantes y ordénalas según tus prioridades. Para finalizar, haz una puesta en común con tus compañeros.

CONTENIDO / DESARROLLO

Tuto ría

06/08

00000

•   Hacer conscientes a los miembros de la clase de que son un grupo con objetivos comunes.

ES O

- La co

Ficha de trabajo 1

•   Mejorar la comunicación y aumentar la confianza entre los miembros de la clase.

ES O

ESO

Curso:

SERIE RESUELVE

•   Facilitar el conocimiento interpersonal entre los alumnos.

Tuto ría utoría T

ES O

ría Tuto

3_ES

ES O

ES O

EL GRUPO

OBJETIVOS

Tuto ría utoría T

ESO ESO

ía utor

ESO

Otro año juntos Nombre:

das parti jo re traba s s de ande sione co gr 22 se a cin rno sta de en to opue tres zan • Pr mes gani se or en tri s ne s: s s sesiotemático rtida • La repa es bajo bloqu s de tra ande grupo nes • Pr tudio - El co gr sesio opuear el es jor sta o a cin de 22 ables en - Me torn lud22 trimos sade uesta s n en bit estre ia sesio• Prop estre niza • La nes trim s - Há s sesio de tra s se orga ivenc es en nv ion co nejo blo ba s: sde - La ques ane secis sesio m das reico át orga parti tede Las te parti tom m • ni -- El da es ático zan qu Lagru jo re s s: bloen to po traba s rn - Me s de ande io grupo o atud cin jorar • Pr sione - El co gr co gr el es opuear el es 22 se - Há ande a cin tudio jor sta rno bitos ables en suesta de - Me lud22 trimos sade salud en to s - La zan ables • bit estre ia sesio• Prop estre conv nes trim s La gani - Há nc or s ivenc de ive se es en tra s se nv - La ia ion cosio nejo blo ba s: tom - La ques ane secis a de das reico desde át s sesiotem orga pa te La decis rti parti tom m • das ático nizan ques Lagru iones -- El jo re s: bloen to po traba s rn - Me s de ande io grupo o atud cin jorar • Pr sione - El co gr co gr el es opuear el es 22 se - Há ande tudio jor sta o a cin bitos ables en s sta de - Me torn lud22 trimos sade salud op:33ue tres n en - La ables • bit estre ia sesio• Pr13:02 niza es conv ne m s La ga - Há nc /2015 s tri or s ivenc de tra s se ive 06/08 sesio - La ia iones en conv nejo blo ba s: tom - La ques ane secis a de reico desde át s sesiotem orga pa te La decis rtida tom mát • Lagru iones -- El icos: nizablo s ques n en po torn - Me io grupo o atud cin jorar • Pr - El co gr el es opuear el es - Há ande tudio jor sta bitos ables en s - Me lud22 trimos sade salud - La ables • bit estre ia sesio :33 conv 13:02 ne s La - Há /2015s de s sesio ivenc ivenc 06/08 - La traba ia iones conv blo tom sde - La jo re ques ane secis a de de or parti ga decis tomtemát das Lagru iones -- El icos: nizan en po torn - Me o a cin jorar co gr el es - Há ande tudio bitos s sa

ES O

ES O

Tuto ría

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

ES00

022

O_24

1_ES

toria_

75_Tu

7 5603

0569

00 0000

1

Tuto ría utoría T

Enseñanzas académicas

SERIE RESUELVE

PRIMER TRIMESTRE

SESIÓN

ría Tuto

ESO ESO

ESO

ESO

2402

ESO ESO

56

029

24 ESO_

toria_

_Tu 1053

ESO_

SOLUCIONARIO

Matemáticas

Enseñanzas académicas

Solucionario

_Tutor

Tutoría Tutoría

0375

029

B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO

029

697 56

Tutoría Tutoría

O_24

0005

B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO

3_ES

0000

Tutoría Tutoría

toria_

ES00

B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO

53_Tu

B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO

5610

Matemáticas

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Propuesta didáctica para el profesor-tutor de 22 sesiones de trabajo con los alumnos.

29

SOLUCIONARIO

ESO

Tutoría

Matemáticas Enseñanzas académicas SERIE RESUELVE

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

• Papel y Digital.

ESO

ES0000000006188 562309_Soluc_Matem_Acad_3ESO_papel_41595

TUTORÍA 3.° ESO   Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

TUTORÍA 3.° ESO   Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

7

• Evaluación por competencias claves. • Evaluación de contenidos. • Biblioteca de pruebas de evaluación externa.

También en

21

material del profesor

Matemáticas Biblioteca del profesorado

ESO

ESO

Competencias para el siglo xxi. Proyectos interdisciplinares Esta metodología plantea el desarrollo de proyectos concretos y evaluables en los que los alumnos, de manera cooperativa, apliquen sus conocimientos y capacidades.

1_ES

O_35

ES00

0000

253

0036

668 72

B L IEOT ER L OPFREOSFOERSA OD RO ADO B I BB L II OT C AE C DA E LDP

ierta_

Competencias Competenciaspara parael elsiglo sigloXXI XXI

_Cub

B L IEOT ER L OPFREOSFOERSA OD RO ADO B I BB L II OT C AE C DA E LDP

54

1106

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

1

ES00

00000

ESO

Competencias Competenciaspara parael elsiglo sigloXXI XXI

20/07

8 72110

/2015

bierta

_1_E

SO_3

5253.

indd

cierta ocasión, Gauss preguntó: ¿Solo eso? ¿Bastaba con eso para ser alemán? Su padre meditó tanto rato que le resultó increíble. Después asintió.

En esta novela histórica se relata de una forma muy amena la vida de dos científicos que desarrollaron su actividad entre los siglos XVIII y XIX. Uno, el naturalista Alexander von Humboldt, recorre y explora la Tierra, abriéndose paso por selvas y estepas para conocer el mundo. El otro, Carl Friedrich Gauss, es un astrónomo, físico y matemático que descubre la geometría necesaria para medir el mundo. En el texto siguiente el narrador cuenta algunos detalles de la infancia de Gauss.

Su madre era gordita y melancólica, y él nunca la vio hacer otra cosa que cocinar, lavar, soñar y llorar. No sa­ bía ni leer ni escribir. Pronto se dio cuenta de que enve­ jecía. Su piel perdió la tersura, su cuerpo se deformó, sus ojos tenían cada vez menos brillo, y cada año apare­ cían en su rostro nuevas arrugas. Él sabía que sucedía lo mismo a todas las personas, pero en el caso de ella se le antojaba insoportable. Se consumía ante sus ojos sin que él pudiera hacer algo para evitarlo. […] Cuando era muy pequeño Gauss quiso comprender los signos negros de los libros, que hablaban a la mayo­ ría de los adultos, pero no a su madre, ni a él. Una tarde de domingo, pero, qué cosas tienes, hijo, hizo que su padre le explicara algunos: el del travesaño grande, el muy curvado por abajo, el semicírculo y el círculo en­ tero. Después contempló la página hasta que aquellos signos desconocidos se completaron por sí mismos y de pronto surgieron las palabras. Pasó la hoja, esta vez todo aconteció más deprisa; un par de horas después había aprendido a leer, y esa misma noche terminaba el libro que, dicho sea de paso, era aburrido y hablaba todo el tiempo de las lágrimas de Cristo y del arrepenti­ miento contrito del pecador. Se lo llevó a su madre para explicarle los signos, pero ella sacudió la cabeza, son­ riendo con tristeza. En ese momento él comprendió que nadie quería utilizar la inteligencia. La gente deseaba tranquilidad. Comer y dormir, que fuesen amables con ellos. No querían pensar.

:04

13:25

13:24

/2015

:05

20/07

:04

13:25

1

20/07

/2015

13:24

:05

1

O_35

20/07

/2015

indd

5253.

SO_3

_1_E

bierta

6_Cu

8 72110

13:25

:04

• Proyectos de trabajo cooperativo • Proyecto social • Inteligencia emocional y ética • La prensa en el aula

1

20/07

/2015

03666

00000

ARGUMENTO

Autor: Daniel Kehlmann

La medición del mundo

03666

ES00

La medición del mundo

Proy ecto s inte rdisc iplin ares

/2015

UNIDAD 1. Números racionales Estándares de aprendizaje Etapa

13:25

:04

Cuando alguien preguntaba a Gauss por sus tempranos acuerdos, este contestaba que no existían. […] Por ejemplo, el recuerdo de la tarde en que corrigió a su padre en el cálculo del salario se le antojaba de escaso valor. A lo mejor lo había oído contar demasiadas veces; le parecía maquillado e irreal. Todos los demás recuerdos guardaban relación con su madre. Si se caía, ella le consolaba; si lloraba, enjugaba sus lágrimas; si no podía dormir, le cantaba; si un joven de la vecindad pretendía pegarle, ella lo veía, echaba a correr y, tras alcanzarlo, lo sujetaba entre las rodillas y golpeaba su cara hasta que se marchaba caminando torpemente, sangrando y entumecido. Él le profesaba un amor indecible. Si le sucedía algo, él moriría. Y no eran palabras vanas. Él sabía que no sobreviviría a ese acontecimiento. Así eran las cosas cuando tenía tres años, y treinta años después no habían cambiado.

•

g) Desarrollar el espíritu emprendedor y la confianza en sí mismo, la participación, el sentido crítico, la iniciativa personal y la capacidad para aprender a aprender, planificar, tomar decisiones y asumir responsabilidades.

•

Enfoque de la unidad. Los alumnos sabrán identificar y calcular fracciones • Previsión de dificultades. Es posible que existan algunas dificultades para equivalentes y hallar el término desconocido de una fracción equivalente a resolver operaciones con paréntesis, cuando las fracciones tengan distinto otra; sabrán amplificar, simplificar y reducir fracciones, calcular un término denominador y se trate de efectuar sumas, restas, multiplicaciones y desconocido en fracciones equivalentes, reducir a común denominador y divisiones combinadas. Prevenir para que no confundan el orden correcto de comparar fracciones. Sabrán realizar operaciones con fracciones y con resolución, tanto por la jerarquía de operaciones como por el uso de números decimales, expresando la equivalencia entre ellos. Realizarán paréntesis, y la reducción a común denominador. Sugerencia de temporalización: 2 primeras semanas de noviembre operaciones combinadas con números racionales. CONTENIDOS Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos los números naturales y sus CRITERIOS DE EVALUACIÓN CURRICULARES CONTENIDOS CURRICULARES DEIdentifican LA ETAPA CONTENIDOS DE LA UNIDAD operaciones básicas, así como el cálculo elemental de potencias. y saben operar con númerosBLOQUE enteros; 1.distinguen entreMÉTODOS enteros y Ynaturales, PROCESOS, saben expresar la equivalencia entre enteros y números naturales. ACTITUDES EN positivos MATEMÁTICAS

•

•

Planificación del proceso de resolución de problemas.

Fracciones; fracciones equivalentes; hallar el término desconocido de una fracción equivalente a otra.

• Fracción irreducible; amplificación y simplificación de fracciones; calcular la fracción irreducible. Estrategias y procedimientos puestos en • Reducción a común denominador; comparación de práctica: uso del lenguaje apropiado (gráfico, fracciones. numérico, algebraico, etc.), reformulación del problema, resolver subproblemas, recuento • Operaciones con fracciones: suma, resta, exhaustivo, empezar por casos particulares multiplicación y división. sencillos, buscar regularidades y leyes, etc. Programación Didáctica de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de •3º de Educación Secundaria Realizar operaciones combinadas con fracciones. • Reflexión sobre los resultados: revisión de las operaciones utilizadas, asignación de unidades a los resultados, comprobación e interpretación de las soluciones en el contexto de la situación, búsqueda de otras formas de resolución, etc. •

El maestro de la escuela se llamaba Büttner y le gustaba castigar. Fingía ser severo y ascético, pero a veces la ex­ presión de su rostro revelaba lo mucho que le complacía pegar. Prefería imponer tareas que sus alumnos, a pesar de trabajar mucho rato, fuesen incapaces de resolver sin faltas, de forma que al final hubiese un motivo para sa­ car la palmeta. Era el barrio más pobre de Braunsch­ weig, ninguno de los niños de allí asistiría al instituto, todos trabajarían con las manos. Él sabía que Büttner no le podía ni ver. Por silenciosamente que se comportase y por mucho que intentara contestar despacio igual que todos, percibía la desconfianza del maestro, y era cons­ ciente de que este solo aguardaba un motivo para atizar­ le un poco más fuerte que a los demás.

•

Niveles de adquisición En vías de adquisición (1)

Indicadores de logro •

Comprende la situación planteada en el enunciado de problemas con números racionales; y responde literalmente a las preguntas que se le formulan.

B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y comprobando las soluciones obtenidas.

Entiende parcialmente la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando los números racionales; necesita apoyos para elegir la estrategia y para llevar a cabo las operaciones necesarias para su resolución.

Adquirido (2)

Avanzado (3)

Excelente (4)

Lee comprensivamente el enunciado de un problema y lo representa mentalmente, utilizando los números racionales; analiza los datos que contiene, deduce las relaciones entre ellos, organiza los datos, realiza las operaciones necesarias y resuelve el problema.

Entiende el enunciado de un problema, utilizando los números racionales; representa mentalmente la información, analiza los datos e identifica la estrategia más adecuada para su resolución. Ordena los datos, realiza las operaciones y resuelve el problema; relee el enunciado y comprueba el resultado.

Comprende la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando los números racionales; analiza y ordena los datos e identifica y aplica la estrategia más adecuada para su resolución; relee el enunciado, comprueba el resultado y emplea el mismo proceso en otros contextos.

Estándares de aprendizaje Etapa B1-6.1.

B1-6. Desarrollar procesos de matematización en contextos de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la identificación de problemas en situaciones problemáticas de la realidad.

Indicadores de logro •

Identifica y comprende la situación planteada en el enunciado de problemas, desarrollando procesos matemáticos en contextos de la vida cotidiana.

6

Calificación (máximo 4)

Niveles de adquisición En vías de adquisición (1) Entiende parcialmente la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando números racionales; necesita apoyos para elegir la estrategia y para llevar a cabo las operaciones necesarias para su resolución.

Rúbricas de Matemáticas Académicas de 3.º de Educación Secundaria

Adquirido (2)

Avanzado (3)

Excelente (4)

Lee comprensivamente el enunciado de un problema y lo representa mentalmente, utilizando números racionales; analiza los datos que contiene, deduce las relaciones entre ellos y elige la estrategia para solucionarlo; organiza los datos, realiza las operaciones necesarias y resuelve el problema.

Entiende el enunciado de un problema, utilizando números racionales; representa mentalmente la información, analiza los datos e identifica la estrategia más adecuada para su resolución. Ordena los datos, realiza las operaciones y resuelve el problema; relee el enunciado y comprueba el resultado.

Comprende la información contenida en el enunciado de un problema, utilizando números racionales; representa mentalmente la información; analiza y ordena los datos e identifica y aplica la estrategia más adecuada para su resolución; relee 12 el enunciado, comprueba el resultado y emplea el mismo proceso en otros contextos.

Calificación (máximo 4)

Práctica de los procesos de matematización y modelización, en contextos de la realidad y en contextos matemáticos.

BLOQUE 2. NÚMEROS Y ÁLGEBRA

Büttner les había mandado sumar todas las cifras de uno a cien. Eso costaría horas y ni con la mejor voluntad lo lograrían sin cometer tarde o temprano algún fallo en la suma que los haría acreedores al castigo. ¡Venga, había gritado Büttner, dejad de papar moscas, empezad de una vez, vamos! Más tarde, Gauss ya no recordaba si ese día había estado más cansado de lo habitual o sencilla­ mente solo distraído. En cualquier caso, no se había

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

B1-2.1.

PUNTO DE PARTIDA DE LA UNIDAD

Y se lo dio.

Su padre era jardinero, tenía casi siempre las manos sucias, ganaba poco y cuando hablaba era para quejarse o dar órdenes. Un alemán, repetía siempre mientras tomaba, cansado, la sopa de patata vespertina, nunca se sentaba encorvado. En

18

f) Concebir el conocimiento científico como un saber integrado, que se estructura en distintas disciplinas, así como conocer y aplicar los métodos para identificar los problemas en los diversos campos del conocimiento y de la experiencia.

e) Desarrollar destrezas básicas en la utilización de las fuentes de información para, con sentido crítico, adquirir nuevos conocimientos. Adquirir una preparación básica en el campo de las tecnologías, especialmente las de la información y la comunicación.

PROGRESIONES

linare I s

20/07

6_Cu

253.indd

3

ESO ESO

ESO ESO

Proyectos Proyectosinterdisciplinares interdisciplinares

sigl

ativo oper

• Rúbricas de evaluación.

UNIDAD 1. Números racionales b) Desarrollar y consolidar hábitos de disciplina, estudio y trabajo individual y en equipo como condición necesaria para una realización eficaz de las tareas del aprendizaje y como medio de desarrollo personal.

tra tos de oyec cial • Pr y ética to so ional oyec emoc • Pr ncia la elige el au • Int sa en ativo pren oper • La jo co • Pr traba oyec s de to s de ecto • Pr traba • Proy ética cial oyec al y jo co ecto so to so • Int op ocion oy cial elige • Pr erat ia em ivo ncia la genc • La au eli em ocion• Int pren en el sa en al y prensa ativo ética el au • La oper la • jo co Proy traba ecto s de s de ecto • Pr traba • Proy ética oyec cial al y jo co ecto so to so • Int op ocion cial oy elige • Pr erat ia em ncivo ncia la ge • La eli emoc el au pren • Int ion sa en sa en al ativo éten el au • Lay pr oper ica la• jo co Proy traba ecto tos de s de • Pr l traba • Proy:05ec oyec ética socia jo /2015 13:24 al y to so coop ecto • Int 20/07 cial ocion Proyerativo elige • ES ia em nc nc la ia ge O • La au emoc eli pren en el ion• alInt sa en ensa y ét prica el au • La la • Proy ecto s de • Pr traba oyec :05 jo /2015 13:24 to so coop • Int 20/07 cial erat elige ivo nc ia em • La ocion pren sa en al y ética el au la

ares iplin rdisc inte ctos Proye pe Com

253.indd

ra el ias pa tenc

co bajo

Proyectos Proyectosinterdisciplinares interdisciplinares

ESO ESO

_C

ESO

O

O_35

Proyectos Proyectosinterdisciplinares interdisciplinares

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

oye

O_35

1_ES

ta_ ubier

1106

668 72

0036

SO ES000000

253

• Programación Didáctica de Aula. OBJETIVOS CURRICULARES

B L IEOT CA ER L OPFREOSFOERSA OD RO ADO B I BB L II OT C AE D E LDP

253

ESO ESO

O_

1_ES

ierta_

_Cub

1106

3 3525

O_35

Competencias Competenciaspara parael elsiglo sigloXXI XXI

1_ES

Proyectos Proyectosinterdisciplinares interdisciplinares

ierta_

Competencias Competenciaspara parael elsiglo sigloXXI XXI

_Cub

B L IEOT CA ER L OPFREOSFOERSA OD RO ADO B I BB L II OT C AE D E LDP

s ncia I X pete Com el siglo X a par iass nare cip C telinc XXI l sigl is o mpe inte rdpe o XX I steCnom payreacto siglo l c e ia ra s el sp Pro mis d pec te igalo ip nc liia iass nare nsapa rera ESO s el si cip ComXXI telinc XXI ise glo XX rdp pe inte I lo om Proy oyec ctosteCncia el sig tos in ecto pro a e y r a teCord sP interd el sp ESO ara s mis pecte ipncliia iass iscip iglo XX nare nsapa rera XXI ESO s el si cip liCno telinc XXI siglo ise am glo XX rdp respeI intem I Pro Proy tosteCnocia el siglo p s yectos c e a re e c a y r tos P inte a iplin rdisc inro ESO ara s s terd el sp disc iplin iscip iglo XX nare ares XXI ESO cipli liCno siglo am respeI interdis ra el ias pa Proy sten tenc to p s c e mpe a c re e c a y ia ra tos P iplin inro ESO terd el siglo s rdisc inte iscip I XX ESO o XX ctos 1106

4

Documentos curiculares

•

Jerarquía de operaciones.

•

Números decimales y racionales.

•

Transformación de fracciones en decimales y viceversa. Números decimales exactos y periódicos. Fracción generatriz.

•

Operaciones con fracciones y decimales. Cálculo aproximado y redondeo. Cifras significativas. Error absoluto y relativo.

•

Números decimales; tipos de números decimales; expresar una fracción mediante un número decimal; expresar un número decimal exacto o periódico mediante una fracción.

•

Números racionales.

B2-1. Utilizar las propiedades de los números racionales para operarlos, utilizando la forma de cálculo y notación adecuada, para resolver problemas de la vida cotidiana, y presentando los resultados con la precisión requerida.

Programación Didáctica de Matemáticas orientadas a las enseñanzas académicas de 3º de Educación Secundaria

7

Rúbricas de Matemáticas Académicas de 3.º de Educación Secundaria

13

19

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 3.° ESO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Solucionarios

ia_1_

3_

Tutoría Tutoría

utor ía

2

ESO

ESO ESO

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

O_24

029.indd

1

ES00

/2015

00569

7 56037

5_Tu

toria_

1_ES

/2015

06/08

11.

Ser el delegado.

Adquirir nuevos conocimientos.

12.

Pasármelo bien en clase.

3.

Mejorar mis calificaciones.

13.

Conseguir una buena relación con mis padres y mis profesores.

4.

Hacer nuevos amigos.

14.

Llevar los estudios al día.

5.

No tener partes de incidencias.

15.

Tener pocos deberes para casa.

•   Finalizado este proceso, se realiza una puesta en común de los resultados en la pizarra   y se valoran las expectativas más elegidas por los alumnos. (Duración aproximada: 15 minutos). 

6.

Caer bien a mis compañeros.

16.

Pasar desapercibido.

•   A continuación, el tutor divide a la clase por parejas formadas aleatoriamente y pide   a cada alumno que entreviste a su compañero utilizando la ficha de trabajo «Yo soy…».   (Duración aproximada: 10 minutos).

7.

Estar preparado para el siguiente curso.

17.

Ser más constante.

8.

Tener buenos profesores.

18.

Ser feliz.

9.

Generar buen clima en el aula.

19.

Conseguir más recursos para trabajar en el aula.

10.

Disfrutar de clases dinámicas.

20.

No espero nada en concreto.

•   Después de las entrevistas, el tutor solicita a las parejas una puesta en común de las respuestas  obtenidas, para lo cual cada alumno debe presentar al compañero asignado como pareja.  (Duración aproximada: 10 minutos).

•   Es importante que el tutor recuerde que, aunque algunos alumnos ya se conozcan de años  anteriores, para conformar el grupo de la clase es necesaria la participación de todos sus  miembros, incluido el tutor mismo como elemento de las dinámicas.

13:02

:33

/2015

•   Se puede elaborar un cuadro que recoja las expectativas más representativas del grupo,   así como un cuadro con las características que más se repitan entre los alumnos de la clase.

:08

13:01

1

MATERIALES 06/08

/2015

Ficha de trabajo 2

indd

4029.

:33

1 06/08

/2015

1

¿Cuáles son tu nombre y tus apellidos?

2

¿Qué asignaturas te gustan más? ¿Y cuáles te gustan menos?

3

¿Qué haces en tu tiempo libre? (Practicar algún deporte, escuchar música, ver la televisión, jugar a videojuegos, salir con amigos, leer…).

4

¿Cómo eres? ¿Cuáles son los rasgos fundamentales de tu carácter? (Introvertido/extrovertido, fiel, tímido, alegre, sincero, con mucho carácter…).

5

¿Qué cosas te resultan más difíciles? (El estudio, las relaciones con los amigos, la salud, la familia…).

6

¿Cuál es tu actitud en clase? (Me gusta: pasar desapercibido, participar, ayudar a los compañeros…).

5_Tu

7 56037

13:02

:33

1 06/08

/2015

00569

00000

ES00

022.indd

O_24

1_ES

toria_

13:01

:08

6

20

Sistema de evaluación

Yo soy…

Habla con tu compañero sobre ti mismo. Responde al siguiente cuestionario.

•   Papel y lápiz. SO_2

03/11/2015 12:37:07

13:02

•   Fichas de trabajo «Mis expectativas» y «Yo soy…».

_3_E

ES0000000006188 562309_Soluc_Matem_Acad_3ESO_papel_41595.indd 1

OBSERVACIONES / SUGERENCIAS

:33

06/08 022.indd

Destacar en mi grupo.

2.

•   El tutor explica en qué consiste la actividad de dinámica de grupo que se va a realizar: reparte   la ficha «Mis expectativas», que contiene un listado de posibles expectativas para el presente  curso escolar, relativas tanto a la vida personal como a la académica de los alumnos.   A continuación, divide la clase en grupos pequeños y pide a cada grupo que elija las cinco  expectativas más votadas por los miembros que lo integran. (Duración aproximada: 10 minutos).

13:02

O_24

Mis expectativas

1.

•   El tutor comienza la sesión presentando a los alumnos nuevos del centro y a los que hayan  repetido. Se recuerda la importancia de conocerse para conseguir una convivencia adecuada.   (Duración aproximada: 5 minutos).

ES O

ludab les nvive ncia - La tom a de decis iones

Fecha:

Reflexiona sobre lo que esperas conseguir en el presente curso escolar. A continuación, de la siguiente lista de posibles expectativas, elige las seis que te parezcan más importantes y ordénalas según tus prioridades. Para finalizar, haz una puesta en común con tus compañeros.

CONTENIDO / DESARROLLO

Tuto ría

06/08

00000

•   Hacer conscientes a los miembros de la clase de que son un grupo con objetivos comunes.

ES O

- La co

Ficha de trabajo 1

•   Mejorar la comunicación y aumentar la confianza entre los miembros de la clase.

ES O

ESO

Curso:

SERIE RESUELVE

•   Facilitar el conocimiento interpersonal entre los alumnos.

Tuto ría utoría T

ES O

ría Tuto

3_ES

ES O

ES O

EL GRUPO

OBJETIVOS

Tuto ría utoría T

ESO ESO

ía utor

ESO

Otro año juntos Nombre:

das parti jo re traba s s de ande sione co gr 22 se a cin rno sta de en to opue tres zan • Pr mes gani se or en tri s ne s: s s sesiotemático rtida • La repa es bajo bloqu s de tra ande grupo nes • Pr tudio - El co gr sesio opuear el es jor sta o a cin de 22 ables en - Me torn lud22 trimos sade uesta s n en bit estre ia sesio• Prop estre niza • La nes trim s - Há s sesio de tra s se orga ivenc es en nv ion co nejo blo ba s: sde - La ques ane secis sesio m das reico át orga parti tede Las te parti tom m • ni -- El da es ático zan qu Lagru jo re s s: bloen to po traba s rn - Me s de ande io grupo o atud cin jorar • Pr sione - El co gr co gr el es opuear el es 22 se - Há ande a cin tudio jor sta rno bitos ables en suesta de - Me lud22 trimos sade salud en to s - La zan ables • bit estre ia sesio• Prop estre conv nes trim s La gani - Há nc or s ivenc de ive se es en tra s se nv - La ia ion cosio nejo blo ba s: tom - La ques ane secis a de das reico desde át s sesiotem orga pa te La decis rti parti tom m • das ático nizan ques Lagru iones -- El jo re s: bloen to po traba s rn - Me s de ande io grupo o atud cin jorar • Pr sione - El co gr co gr el es opuear el es 22 se - Há ande tudio jor sta o a cin bitos ables en s sta de - Me torn lud22 trimos sade salud op:33ue tres n en - La ables • bit estre ia sesio• Pr13:02 niza es conv ne m s La ga - Há nc /2015 s tri or s ivenc de tra s se ive 06/08 sesio - La ia iones en conv nejo blo ba s: tom - La ques ane secis a de reico desde át s sesiotem orga pa te La decis rtida tom mát • Lagru iones -- El icos: nizablo s ques n en po torn - Me io grupo o atud cin jorar • Pr - El co gr el es opuear el es - Há ande tudio jor sta bitos ables en s - Me lud22 trimos sade salud - La ables • bit estre ia sesio :33 conv 13:02 ne s La - Há /2015s de s sesio ivenc ivenc 06/08 - La traba ia iones conv blo tom sde - La jo re ques ane secis a de de or parti ga decis tomtemát das Lagru iones -- El icos: nizan en po torn - Me o a cin jorar co gr el es - Há ande tudio bitos s sa

ES O

ES O

Tuto ría

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

ES00

022

O_24

1_ES

toria_

75_Tu

7 5603

0569

00 0000

1

Tuto ría utoría T

Enseñanzas académicas

SERIE RESUELVE

PRIMER TRIMESTRE

SESIÓN

ría Tuto

ESO ESO

ESO

ESO

2402

ESO ESO

56

029

24 ESO_

toria_

_Tu 1053

ESO_

SOLUCIONARIO

Matemáticas

Enseñanzas académicas

Solucionario

_Tutor

Tutoría Tutoría

0375

029

B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO

029

697 56

Tutoría Tutoría

O_24

0005

B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO

3_ES

0000

Tutoría Tutoría

toria_

ES00

B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO

53_Tu

B I BBLIIBOT CA LE PLR O FE AR DA OD O L IE OT E CDAE D PR OS FO ER SO

5610

Matemáticas

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Propuesta didáctica para el profesor-tutor de 22 sesiones de trabajo con los alumnos.

29

SOLUCIONARIO

ESO

Tutoría

Matemáticas Enseñanzas académicas SERIE RESUELVE

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

• Papel y Digital.

ESO

ES0000000006188 562309_Soluc_Matem_Acad_3ESO_papel_41595

TUTORÍA 3.° ESO   Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

TUTORÍA 3.° ESO   Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

7

• Evaluación por competencias claves. • Evaluación de contenidos. • Biblioteca de pruebas de evaluación externa.

También en

21

material del profesor

Matemáticas

ER

•

ILLE

Decimales

*

Enteros

…, -2, -1, 0, 1, 2, …

Exactos: -2,2; 1,34; 6,245; f ! & Periódicos puros: -1,3; 56,345; f ! # Periódicos * Periódicos mixtos: 0,62; 5,3287; f No periódicos: r; 2 ; 7,101001000f

ILL BACH

ER

Competencias Competenciaspara paraelelsiglo sigloXXI XXI

XX siglo

1 4 12 ,… - , , 2 5 4

Fracciones

R AT O

1

Paso de número decimal exacto o periódico a fracción Cualquier número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto se puede expresar en forma de fracción.

Clasifica estos números según el tipo al que pertenecen. # ! 27 -34 0,7 -16 685,0091 -0,0201 67 -456,89 44 8

Expresión de un número decimal exacto en forma de fracción

a,bc =

El número decimal sin coma

abc 100

3,25 =

Tantos 0 como cifras decimales haya

1

325 100

-0,2467 = -

2 467 10 000

$ abc - a a,bc = 99

! 6-0 6 2 0,6 = = = 9 9 3

abc - ab ! a,bc = 90

siglo XX

I

- Oli mp

iad

I

cas máti Mate O ILL BACH

ER AT

y Ma tem

áti

para el

cas as ma • La tem pren ática sa en s el au la

ER AT O

ra el ias pa tenc

LEenR sa ATO pren • La • Pr oyec tos es - Lit pecíf eratur icos a

XX siglo

área

I

s ncia I X pete Com el siglo X a r a p Com petcas pate mátiencias Mara e lO R AT siglo HILLE C XX BA ra s pa cífico s s espe ática ecto tem Proy s y Ma

ea el ár

Mate • a m eratur átemática - Lit as ma tica BA C mpiad el aula s - OliHIL LEenR

ensa La pr

El código Da Vinci

LITERATURA Y MATEMÁTICAS

Autor: Dan Brown

El código Da Vinci

ARGUMENTO

I

Z

Expresa el conjunto de los números enteros.

Q

Indica el conjunto de los números racionales.

ATO

1,618

• • Pr oyec tos es pe

Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de sus alumnos.

Litera cífico tura s pa y Ma - Oli ra el tem mpiad área áti

–¿Alguien puede decirme qué es este número?

cas as ma • La tem pren ática sa en s el au la

Indica el conjunto de los números reales.

# 205 - 2 203 =-0,205 = 990 990

¿Qué significa?

# 1,58 ! 2,34

& 2,302

3,14159…

El inspector de policía opta por llamar a una experta en descifrar mensajes, Sophie, que es además nieta del fallecido, y a un experto en interpretar obras de arte, el profesor norteamericano Langdon, que estaba en París, invitado por él, para pronunciar una conferencia. Los dos reconocen inmediatamente la alusión a un famoso dibujo de Leonardo da Vinci, que representa a un hombre desnudo dentro de un círculo y de un cuadrado. Siguiendo esta pista, descubren una llave escondida por el conservador en un cuadro. También se dan cuenta de que esos números no son arbitrarios, sino que pertenecen todos a una famosa sucesión descubierta en el siglo xii por un matemático y comerciante llamado Fibonacci, en la cual cada término se obtiene sumando los dos anteriores:

Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentaba al fondo levantó la mano. –Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe. […] –Phi –prosiguió Langdon–, uno coma seiscientos dieciocho, es un número muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué?

–En realidad, Stettner, vuelve a tener razón. Phi suele considerarse como el número más bello del universo. Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorporó, orgulloso. […] A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguió Langdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era su papel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Las plantas, los animales e incluso los seres humanos poseían características dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razón de Phi a 1.

N, Z y Q representan los conjuntos de los números naturales, enteros y racionales, respectivamente. El conjunto de los números reales se denota con la letra R y se compone de los números racionales (conjunto Q) y los irracionales (conjunto I).

El código Da Vinci Llegaron a la salida de emergencia, y Sophie abrió la puerta con mucho cuidado. No sonó ninguna alarma. El sistema solo se activaba si se abría desde fuera. Guió a Langdon escaleras abajo en dirección a la planta inferior, cada vez más deprisa.

Dan Brown

OLIMPIADAS MATEMÁTICAS

Los puntos suspensivos detrás de una cifra indican que detrás de ella hay más cifras decimales.

Señala un número decimal no exacto.

La huida empieza en el Museo del Louvre.

–La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando las luces [para proyectar en la pantalla imágenes de nautilos, piñas, girasoles…]– trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguos creían que ese número había sido predeterminado por el Creador del Universo. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientos dieciocho como «La Divina Proporción».

¿Cómo lo escribimos?

Indica un número decimal periódico mixto.

Esto les lleva a pensar que tal vez constituyan una clave para recuperar algún objeto de valor, guardado en algún lugar del mundo, y que el fallecido quiso que fueran ellos quienes lo descubrieran. Deciden no contarle nada de lo que saben a la policía y emprender por su cuenta una larga y peligrosa aventura en busca del misterioso objeto. Esta búsqueda vertiginosa, perseguidos por el asesino, que también lo quiere, y por la policía, que sospecha que el profesor Langdon es el asesino, constituye el argumento de la novela.

Todos se rieron.

Para escribir un número decimal separamos las cifras enteras de las decimales con una coma. " El símbolo sobre una cifra o grupo de cifras indica que estas se repiten indefinidamente. A ese grupo se le llama período.

Indica un número decimal exacto. Expresa un número decimal periódico puro.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

–¿Porque es muy bonito?

Los conjuntos de números los denotamos con letras mayúsculas, generalmente huecas.

Señala el conjunto de los números irracionales.

3,21

La intriga de la novela comienza cuando el conservador del Museo del Louvre es asesinado en la sala dedicada a los pintores italianos. Al llegar los policías, encuentran su cuerpo desnudo, tumbado boca arriba en el suelo, con las piernas abiertas y los brazos extendidos. Le rodea un círculo y, en el abdomen, tiene dibujada con sangre una estrella de cinco puntas, llamada pentagrama. A sus pies hay un extraño mensaje verbal acompañado por esta sucesión de números: 13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5. La escena les llena de perplejidad. ¿Qué significa todo esto? Parece que el muerto quiso transmitir algo, pero ¿qué era?

El profesor Langdon se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en su clase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido en la pizarra:

Stettner seguía en su papel de gracioso.

Indica el conjunto de los números naturales.

I

Tantos 9 como cifras tiene el período y tantos 0 como cifras tiene el anteperíodo

Expresa en forma de fracción. # ! & 0,22 34,03 25,012 0,1043

CHILL

área

¿Cómo lo escribimos?

N

R

REPASA 2

NÚMEROS REALES

! 3 247 - 324 2 923 3,247 = = 900 900

Expresión de un número decimal periódico mixto en forma de fracción Parte entera y decimal no periódica

RECURSOS DIDÁCTICOS

¿Qué significa?

& 21 302 - 21 20 281 -21,302 = =999 999

Tantos 9 como cifras tiene el período

• Guiones didácticos y bancos de recursos • Evaluación de contenidos • Evaluación por competencias

Mate máti cas BA

ra el s pa cífico

s s espe ática MPraoyte ecto tem • a y Ma m eratur átemáticas - Lit as ma tica BA C mpiad el aula s - OliHIL

• Literatura y matemáticas. • Desarrollo de la competencia matemática. • Olimpiadas matemáticas. • La prensa en el aula.

NOTACIÓN MATEMÁTICA

Expresión de un número decimal periódico puro en forma de fracción # 537 - 5 532 Parte entera y período Parte entera 5,37 = = 99 99

Parte entera y decimal periódica y no periódica

Com pete ncia s pa ra el

pe Com

REPASA

• Gu iones didá • Ev ctico alua s y ba ción • Ev nco de co de re alua nten ción curs idos os por com pete ncia s

Matemáticas Matemáticas

cas máti Mate ATO

L IEOT ER LO PF REOSFOER SA OD RO ADO B I BB LIIB OT C AE C DA E LD P

BACHILLERATO BACHILLERATO

I

ra el s pa ncia pete Com

Competencias Competenciaspara paraelelsiglo sigloXXI XXI

1, 2, 3, …

I

L IEOT ER LO PF REOSFOER SA OD RO ADO B I BB LIIB OT C AE C DA E LD P

Naturales

siglo XX

ER AT O

BACHILLERATO BACHILLERATO

Tipos de números

CHILL

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Día a día en el aula

Día a día en el aula

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

ad

ía e Recu rsoicsas n el au t y atm e áció didáctic la Mate RnAT os O na os la cudrsiv HILLE de re BAC ersid nco s y ba ad ctico Mionaeste idos didá nten ias de co • Gu nm tenc pe ció á ua tica com Bal por • Ev ACH s ción ua Eval

NÚMEROS REALES

ANTES DE COMENZAR… RECUERDA

Mate máti cas BA

s ncia I X pete Com el siglo X para Com petcas pate mátiencias Mara e lO R AT siglo HILLE XX BAC

Aritmética y álgebra

En realidad, el valor del número Phi es U =

–Su abuelo –se interesó él, intentando seguir su ritmo–, cuando le habló del pentagrama, ¿le mencionó el culto a la diosa o le dio a entender que tuviera algún tipo de resentimiento hacia la Iglesia católica?

1+ 5 . Los números 1,618 2

1+ 5 son dos números reales, pero uno es racional y el otro es irracional. 2 3 En una cafetería, un vaso de limonada, tres bocadillos y siete bizcochos han costado ¿Por qué? ¿Qué error se comete al tomar 1,618 como valor de Phi? 1 chelín y 2 peniques, y un vaso de limonada, cuatro bocadillos y diez bizcochos valen 1 chelín y 5 peniques. Hallar el precio de:

y ¿Qué significa? 14

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

[a, b]

¿Cómo lo escribimos?

1

Un intervalo es el conjunto de todos los puntos de un segmento de la recta real.

Indica un intervalo cerrado.

[a, b) (a, b]

Expresan un intervalo semiabierto por la derecha y otro por la izquierda.

(a, b)

Indica un intervalo abierto.

Un polinomio P( x) dividido entre ( x - 2) da resto 4, y otro polinomio Q( x) da resto 3 al dividirlo entre ( x - 2). a) ¿El resto de la división [P( x) ? Q( x)] : ( x - 2) es 3 ? 4 = 12?

(Premio Extraordinario de Bachillerato, 1993-1994)

–A mí me interesaban más sus aspectos matemáticos: la Divina Proporción, Phi, la Secuencia de Fibonacci, esas cosas.

a) Un vaso de limonada, un bocadillo y un bizcocho.

b) ¿Existe un resultado análogo para divisiones arbitrarias? Si el resto de P( x) : S( x) es R1( x) y el resto de Q( x) : S( x) es R2( x), ¿es cierto que el resto de [P( x) ? Q( x)] : S( x) es R1( x) ? R2( x)?

Si aparecen los símbolos [ o ], el extremo pertenece al intervalo, y si aparecen los símbolos ( o ), el extremo no pertenece al intervalo.

Sophie negó con la cabeza.

Langdon se sorprendió. –¿Su abuelo le hablaba del número Phi? –Claro. La Divina Proporción –sonrió con falsa modestia–. En realidad, muchas veces decía en broma que yo era medio divina… Ya sabe, por las letras de mi nombre. Langdon se quedó un momento pensativo y después masculló algo en señal de asentimiento. «So-PHI-e». Seguían bajando por la escalera, y Langdon se concentró en el número Phi. Estaba empezando a darse cuenta de que las pistas del asesinado eran más coherentes de lo que en un principio había supuesto.

b) Dos vasos de limonada, tres bocadillos y cinco bizcochos. Ten en cuenta que 1 chelín es 12 peniques.

10

11

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

(XIX Olimpiada de Bachillerato. Fase Nacional)

SOLUCIÓN: ¿Qué significa? PRUEBA B

n an = a ? a ? … ?a an = a ? a ? … ? a

4

1

EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

n veces

a-n Nombre:

Curso:

Fecha: (-a)

n

(-a)-n

INSTRUCCIONES:

m

a n gráfica Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad o de cálculo simbólico.

¿Cómo lo escribimos?

1

Indican la expresión de una potencia en forma de producto.

Los puntos suspensivos entre los dos signos de multiplicación significan que a se multiplica n veces.

Expresa una potencia de exponente negativo.

Cuando a una letra se le pone el signo menos delante estamos indicando que representa un número negativo.

Indica una potencia de base negativa.

Indica una potencia de exponente fraccionario.

3

74 =

P(2) ? Q(2) = C(2) ? 0 + r " r = P(2) ? Q(2) = 4 ? 3 = 12

Se verifica que:

P( x) = x 2 - x, Q( x) = x 2 + x y S( x) = x 2 - 1,

73

2 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

5 + 2 z + 3 - 3z + z = a 2 " a = 8 y b = 19 10 + 4z + 9 - 9z + 5z = b 4

(Olimpiada de Bachillerato. Fase de Distrito)

(Puntuación máxima: 2 puntos) Resuelve de forma exacta las siguientes operaciones. ! a) 1,2 - 0,23 # ! b) 0,72 : 0,916

SOLUCIÓN:

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES

2

Estándares de aprendizaje

Prueba B

B.2‑1.1. Reconoce los distintos tipos números (reales y complejos) y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente información cuantitativa.

(Puntuación máxima: 2 puntos) La capacidad de memoria de un ordenador se mide en megabytes (Mb). Un megabyte tiene 106 bytes de información, de forma que cada byte contiene un símbolo (dígito, letra, etc.).

(Premio Extraordinario de Bachillerato, 1992-1993) SOLUCIÓN:

xy P

Sean p y q dos de estos números primos, con p < q, y x es el número entero comprendido entre ellos.

kP Como y ! Z , entonces ! Z+. Pero k no es divisible por k - 1, por lo que k - 1 será k-1 un divisor de P, que es número primo, siendo k - 1 = !1 o k - 1 = !P, y los posibles valores de k son 2, 0, P + 1 o 1 - P.

1

EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

Si k = 0: x = y = 0 Si k = 2: x = 2P, y = 2P

3

3

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Nombre:

a) Representa gráficamente: 26

Curso:

Si k = P + 1: x = P(P + 1) e y = P + 1

Fecha:

Si k = 1 - P: x = P(1 - P) e y = P - 1

b) Halla el resultado de: 4 80 - 5 245 + 6 605 - 320

B.2‑1.3. Utiliza la notación numérica más adecuada a cada contexto y justifica su idoneidad.

1y3

B.2‑1.4. Obtiene cotas de error y estimaciones en los cálculos aproximados que realiza valorando y justificando la necesidad de estrategias adecuadas para minimizarlas.

2

c) Racionaliza y simplifica:

Las soluciones son: (2P, 2P); (P(P + 1), P + 1); (P(1 - P), P - 1).

5 3

Nuestro mundo podría desaparecer

Al ser la ecuación simétrica, los pares anteriores en orden inverso son también soluciones.

5

2 100

B.2‑1.6. Resuelve problemas en los que intervienen números reales y su representación e interpretación en la recta real.

1

4

Si tres números son consecutivos, uno de ellos es múltiplo de 3; por tanto, x es también múltiplo de 3. Al ser x múltiplo de 2 y de 3, también es múltiplo de 6. Otra forma:

+

4

B.2‑1.2. Realiza operaciones numéricas con eficacia, empleando cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora o herramientas informáticas.

Como p es un número primo, es impar y, en consecuencia, x es múltiplo de 2.

con k ! 1, pues si k = 1, P + y = y " P = 0, que no es posible por ser un número primo.

Prueba A

4

Para que x sea múltiplo de 6, debe serlo también de 2 y de 3.

kP kP + y = ky " y = k-1

Si, por término medio, una palabra está compuesta por 4 símbolos, estima cuántas palabras puede archivar un ordenador con una memoria de 500 Mb.

Actividades

En la sucesión de números primos hay números que son casi iguales: 11 y 13; 17 y 19; 29 y 31; … Demostrar que el número comprendido entre estos números primos especiales es siempre un múltiplo de 6 (exceptuando el par 3 y 5).

Sean x e y distintos de cero. Despejando x + y, tenemos que:

que debe ser un número entero positivo. ? ? Como P es primo, resulta que x = P o y = P . ? Si x = P = kP, entonces:

PRESENTACIÓN Y SUGERENCIAS

B.2‑1. Utilizar los números reales, sus operaciones y propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información, estimando, valorando y representando los resultados en contextos de resolución de problemas.

Y sustituyendo estos valores en la tercera y cuarta ecuaciones, se cumple que:

Encontrar todas las soluciones enteras positivas, x e y, de la ecuación P ? ( x + y) = xy, siendo P un número primo.

x+y =

Criterio

x + 3y = 14 - 7z 3 x = 5 + 2 z e y = 3 - 3z x + 4y = 17 - 10z "

Al dividir P( x) ? Q( x) = x 4 - x 2 entre S( x), se obtiene de resto 0: R1( x) ? R2( x) = 1 - x 2 ! 0

16

x + 3y + 7z = 14 x + 4y + 10z = 17 x+ y+ z = a 2 x + 3y + 5z = b

Considerando las dos primeras ecuaciones del sistema, y tomando como parámetro z, se obtiene:

haciendo las divisiones: P( x) = ( x2 - 1) ? 1 + (-x + 1) y Q( x) = ( x2 - 1) ? 1 + ( x + 1)

4

Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.

1

*

Dados:

Tiempo: Una hora y treinta minutos.

1

P( x) ? Q( x) = C( x) ? ( x - 2) + r

Sean x, y, z los precios respectivos de un vaso de limonada, un bocadillo y un bizcocho, y a, b son los precios pedidos.

b) En este caso, S( x) no tiene que ser necesariamente un polinomio de primer grado cuando se verifican las condiciones anteriores.

Si no tiene signo delante, el número puede ser negativo o positivo.

Señala una potencia de exponente negativo y base negativa.

SOLUCIÓN:

a) Al ser P(2) = 4 y Q(2) = 3, si C( x) es el cociente resultante de dividir [P( x) ? Q( x)] entre ( x - 2) y r es el resto, se verifica que:

(Puntuación máxima: 3 puntos) Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones. a) log (x - 1) = 1 - log (x + 2)

1

74

GEOGRAFÍA FÍSICA 8 EL PAÍS • TIERRA

8 EL PAÍS • TIERRA

MUNDO

Hacemos la demostración por reducción al absurdo.

21 de noviembre de 2009

? ábado Supongamos que x no es múltiplo de 6, entonces x =Sábado 6 +21n,decon n= 1, 2, 3,Sábado 4 o 21 5. de noviembre de 2009 noviembre de 2009

Sábado 21 de noviembre de 2009

EL PAÍS • TIERRA 9

21 de noviembre de 2009

? ? MUNDO Si x = 6 + 1 " p = 6, que no es primo. Agua. Contaminación ? ? ?

Geografía Física. Agua. contaminación Si x = 6 + 2 " q = 6 + 3 = 3, que no es primo.

El Ganges El Ganges agoniza agoniza

? ? ? Si x = 6 + 3 " p = 6 + 2 = 2, que no es primo. ? ? ? Si x = 6 + 4 " p = 6 + 3 = 3, que no es primo. ? ? ? Si x = 6 + 5 " q = 6 + 6 = 6, que no es primo.

Pie de foto Um inim velessi. Ci exer augait wisit erci blamcons adipsusci ea adignis am nonsequat alit doloborperos dolorpero odolortin

En consecuencia, x debe ser múltiplo de 6.

101

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

b) 3x+1 = 240 c) 25x - 5x = 600

PRUEBA B Apartado a): 1 punto ! 12 21 87 29 1,2 - 0,23 = = = 10 90 90 30

Apartado c): 1 punto 5 3

Apartado b): 1 punto # ! 72 825 8 11 96 0,72 : 0,916 = : : = = 99 900 11 12 121 2

4

=

5 $ 52 = 5

6

6

53 $ 54 5 5 = = 5 5

6

5

Apartado a): 1 punto log (x - 1) = 1 - log (x + 2)

" log (x - 1) =

10 = log 10 - log (x + 2) " log (x - 1) = log x+2 10 x-1= " x2 + x - 2 = 10 x+2

Planteamiento correcto: 1 punto Resolución correcta: 1 punto 1 Mb = 106 b

5

3

" 500 Mb = 5 ? 108 b

128

" x2 + x - 12 = 0 " ( x = -4

Por tanto, un ordenador con una memoria de 500 Mb puede archivar 125 millones de palabras.

La solución x = -4 no es válida, de modo que la única solución es x = 3. Apartado b): 1 punto

3

Apartado a): 1 punto

3x+1 = 240 52 + 12

Aplicando el teorema de Pitágoras: 26 = 2

26 =

0

1

2

52 + 1

26 3

4

5

Apartado b): 1 punto

Durante los últimos años se han presentado múltiples ejemplos de cómo la astronomía puede llegar a convertirse en un elemento importante en la vida del ser humano. Así, podemos leer las noticias o ver películas sobre desastres naturales causados por meteoritos, estrellas o cometas que chocan contra la Tierra. Se cree que hace unos 65 millones de años, en la península de Yucatán en México, un enorme meteorito chocó contra la Tierra, lo cual llevó a la extinción de los dinosaurios y de la mayoría de los seres vivos.

" log 3x+1 = log 240 log 240

" (x + 1) log 3 = log 240 " x + 1 = log 3 " x = 3,99

Infinidad de meteoritos se acercan a la Tierra cada día, pero pocos alcanzan el volumen suficiente para llegar a la superficie terrestre, debido a la fricción con la atmósfera, que los quema y desintegra, formando destellos o estrellas fugaces.

Apartado c): 1 punto x

x

25 - 5 = 600 Si t = 5x

4 80 - 5 245 + 6 605 - 320 = = 16 5 - 35 5 + 66 5 - 8 5 = 39 5

130

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

x=3

Si cada palabra contiene 4 símbolos: 5 ? 108 : 4 = 1,25 ? 108

" t2 - t - 600 = 0 "

t = 25 ( t = -24

Como 5x ! -24, para cualquier valor de x, entonces 5x = 25 " x = 2

A partir de fórmulas obtenidas experimentalmente, los científicos pueden predecir los efectos que podría producir el choque de un meteorito con el planeta Tierra. Esta y otras cuestiones las resuelven planteando ecuaciones que expliquen el entorno. Por ejemplo, usan la ecuación de velocidad (v) como el cociente entre la distancia (d ) del recorrido y el tiempo (t) invertido en dicho desplazamiento.

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

v=

188

d t

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

las represas y elestán cambio climático están La contaminación,La lascontaminación, represas y el cambio climático dañando seriamente sagrado la India. El mal estado dañando seriamente el río más sagradoelderíolamás India. El mal de estado deasus aguas la afecta la flora y laorillas población de sus orillas de sus aguas afecta la fauna, flora ay la la fauna, población de sus

L

L

a vida de los indios está ínti- está disminuyendo su caudal a ciones de la expedición fue que depende de tener agua para las coa vida de los indios está ínti- está disminuyendo caudal a pasos ciones de la expedición fue que una agigantados. La contamigran parte del agua del río mamente ligada alsuGanges. constata Ram Kumar, un agigantados. Ladecontamiuna gran parteydel del río se sechas”, mamente ligada al Ganges. pasos industrial de agua los drenaretiene en represas, como la El río más sagrado la In- nación de una aldea a unos 50 industrial de losrecurdrena- jesseensucia retienesuen represas, como la decampesino El río más sagrado de la In- nación Theri, que empezó a operar en agua. dia no sólo da yagua, kilómetros de Haridwar. de queconstatar empezó a una operar ensucia su agua. dia no sólo da agua, recur- sosjesnaturales AsíTheri, lo pudo ex-en 2005 y es una de las más grandes y sustento a unos “En los últimos 20 años se han Así lo pudo una 2005 y Ganges es una de las más grandes sos naturales y sustento a unos 400 millones Expedition, que del mundo. “No estamos en contra de constatar habitantes, unex- pedición, cinco grandes reprepedición, Expedition, que durante del mundo. “No estamos contra deconstruido 400 millones de habitantes, un tercio 30 días recorrió losen2.510 que se produzca electricidad, de la Ganges población. También sas”, indica Shailendra Singh, res30 días recorrió los de que sedel produzca tercio de la población. También es durante Ganges:electricidad, desde su todos la necesitamos. Pero poparte muy importante de2.510 la kilómetros ponsable para la India de la ONG kilómetros del Ganges: desde su todos la necesitamos. Pero poes parte muy importante de la vida cultural y religiosa de los nacimiento, en el glaciar Gangotri, drían ser represas más pequeñas estadounidense Turtle Survival. nacimiento, en elque glaciar Gangotri, ser represas pequeñas vida cultural y religiosa de los hinduistas. el Himalaya, hastamás el delta de que no afectaran a los microcli“Tenía traer a mi endrían Estos contenedores artificiales de enpara el Himalaya, hastalaelfuente delta de losque no afectaran losCalcuta. microcli- mas hinduistas. “Tenía que traer a mi hijo Sunderbans, cercaa de y que aseguraran que el agua que conociera de Calcuta. y que aseguraran que la el siagua agua son muy dañinos para el Ganhijo para que conociera la fuente delos intención es documentar la Sunderbans, vida”, cuentacerca Dinesh Agra- Lamas ges porque alteran el fluir natural intención documentar la si- tuación medioambiental actual “y de la vida”, cuenta Dinesh Agra- ri, Latras viajar es600 kilómetros del agua, cambian los microclimas tuación medioambiental actual “y ri, tras viajar 600 kilómetros para dar a su bebé el tradicional lanzar una señal para que se cuiy dañan las orillas del río, que es lanzar una señal para que seen cui- den estos recursos”, asegura Andy para dar a su bebé el tradicional chapuzón a los recién nacidos donde muchas de las especies se estos asegura chapuzón a los recién nacidos en lasden aguas delrecursos”, Ganges. El ritual Andy no Leemann, el capitán de este recoreproducen. “También el agua es Leemann, capitán reco- rrido, que se hizo tanto a pie como las aguas del Ganges. El ritual no termina ahí. el Cada día,de uneste sinfín desviada y usada indiscriminadaque se tanto a pie como en lanchas neumáticas. Un viaje termina ahí. Cada día, un sinfín derrido, personas se hizo reúne en los punmente para los regadíos”, comenta lanchas neumáticas. Un viaje así es histórico, pues sólo lo había de personas se reúne en los pun- tosenconsiderados más importanKalyan Rudra, geólogo y ex miempues sólo lo había hecho el primer conquistador del tos considerados más importan- tesasí deeslahistórico, orilla para orar y lanzar bro del Ganga Action Plan. el primer conquistador tes de la orilla para orar y lanzar sushecho ofrendas al agua. Los hinduis-del Everest, Edmund Hillary, que no La reducción del caudal se proEdmund Hillary, sus ofrendas al agua. Los hinduis- tasEverest, creen que una vida estáque in-no llegó a la fuente del río. Los testiduce por muchas causas, pero llegó a lasin fuente del río. Los testitas creen que una vida está in- completa ir al río sagrado al monios, fotografías y vídeos servitambién por la relacionada con monios, y vídeos servi- rán a la organización Green Cross completa sin ir al río sagrado al menos unafotografías vez, y lo más cotizacambio climático, que altera a la organización Green Cross International para documentar la se el menos una vez, y lo más cotiza- dorán comparte”, dice Leemann. Dues lanzar al cauce las cenizas los patrones de precipitación y International para se comparte”, Leemann. Du- rante do es lanzar al cauce las cenizas o los deldice Ganges ante la la expedición, en muchos cuerpos tras la documentar muerte. “El la degradación aumenta los niveles de evaporadegradación Ganges ante rante del la expedición, en muchos tramos o los cuerpos tras la muerte. “El Ganges, clima de Copenhague. hubo que empujar las lannuestradel madre”, dice un la cumbre ción. En 2004, el Ganges ya tenía cumbre del clima de Copenhague. tramos hubo empujar lasde lan- chas Ganges, nuestra madre”, dice un habitante pudo ser que testigo de parte neumáticas porque el agua de Haridwar. La frase Tierra un 20% menos de agua que hace pudo testigo chas neumáticas el agua habitante de Haridwar. La frase se Tierra recorrido, cuatroporque días desde la no era suficiente para navegar. escucha unaser y otra vez.de parte de este 56 años, y en los próximos la pérno era suficiente para navegar. este recorrido, cuatro días desde la se escucha una y otra vez. Pero el Ganges está murien- ciudad de Haridwar hasta Narora. “El agua se ha alejado mucho, dida de caudal podría ser más ráPero el Ganges está murien- do.ciudad de Haridwar hasta “El agua se ha alejado mucho, unos Y su agonía es rápida. EsNarora. uno También con un viaje a Benarés, 30 metros en los dos últimos pida. Podría incluso desaparecer do. Y su agonía es rápida. Es uno deTambién conamenazados un viaje a Benarés, unos 30más metros en los últimos años. los ríos más en el la ciudad sagrada dedos la India, Creemos que son las represas 50 años. La observación de los de los ríos más amenazados en el mundo la ciudad sagradaclimático. de la India, pero años. Creemos las represas y laenfalta por más el cambio donde el ríoque estáson sumamente de lluvias. Todos estamos locales también demuestra que los mundo por el cambio climático. Esto, pero donde el río está sumamente y la falta de lluvias. Todos estamos muy junto a las represas y las ca- contaminado. preocupados y no sabemos bancos de arena aumentan. “Esto Esto, junto a las represas y las ca- nalizaciones contaminado. muy y no sabemos qué para la agricultura, hacer: nuestra supervivencia Una preocupados de las primeras observanalizaciones para la agricultura, Una de las primeras observa- qué hacer: nuestra supervivencia es indicativo del precario futuro

El agua es desviada en cualquier punto y usada sin control para regadíos

194 339245 _ 0112-0312.indd 179

22

Junto a estas líneas, cinco peregrinos se bañan en Sangam. A la izquierda, lavadores de ropa en Varanasi.

� Texto: ANA GABRIELA ROJAS, BENARÉS (INDIA) / Fotografía: ÁLVARO LEIVA � Texto: ANA GABRIELA ROJAS, BENARÉS (INDIA) / Fotografía: ÁLVARO LEIVA

del Ganges”, predice Uday Kant Chowdhary, que coordina el laboratorio de investigación del Ganges del Instituto de Tecnología de la Universidad de Benarés. La erosión que el Ganges va sufriendo en sus orillas no sólo afecta a la biodiversidad, sino que también ha hecho perder a algunas aldeas parte de sus tierras para las cosechas. En Rajakarna, una aldea cercana a Narora, hasta la mitad de su tierra se ha desgajado, según contaron sus habitantes a los expedicionarios. Otro de los desastres del Ganges es la enorme contaminación. “En los primeros tramos del río está causada principalmente por los productos químicos usados en la agricultura que terminan en el agua”, comenta Sandeep Behera, responsable de WWF en el área. Hasta Narora las industrias son todavía pocas, pero a partir de Kanpur comienzan las más contaminantes. Entre las más sucias están las del tratamiento del cuero, que tiran metales pesados al río. “A medida que el país se moderniza, crece la contaminación de las industrias, cuyo número aumenta a pasos agigantados”, comenta el encargado de Turtle Survival. Dice que en 50 años el

río sufrirá una muerte biológica. “Todavía podemos hacer algo, pero es muy difícil. La degradación es mucho más rápida que la conservación”, lamenta Singh. Con el Ganges se extinguiría una zona de gran biodiversidad: 100 especies de aves acuáticas, 13 de tortugas, 2 de cocodrilos, 150 de peces y otras tantas de plantas. En las orillas del Ganges hay

Un número incontable de cadáveres y cenizas se lanza al río cada día

179

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI LA PRENSA EN EL AULA Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. 16/02/11 19:33

miles de aldeas y más de 120 ciudades asentadas, seis de más de un millón de habitantes. Entre ellas, Benarés, la ciudad más sagrada de la India. Aquí, un número incontable de cadáveres, cenizas y restos humanos y de animales se lanzan al río cada día. Miles de hinduistas tiran ofrendas de flores y velas, y durante las grandes celebraciones se llegan a arrojar estatuas de

dioses. A la vez, en 32 puntos llega hasta el río el agua de los desagües de la ciudad sin tratamiento. El río está completamente lleno de desechos humanos. Ahí se descargan las aguas residuales sin tratar de millones y millones de personas. “Aunque sea sagrado, les puede hacer enfermar y morir”, asegura Veer Bhadra Mishra, fundador de Shankat Mochan, una ONG que trabaja por la limpieza del Ganges. Cuando sale de Benarés, la concentración de bacteria fecal coliforme es más de 3.000 veces la recomendada por la OMS para el agua de baño. Mientras que la OMS recomienda un máximo de 500 microorganismos por cada 100 mililitros para el agua de baño, el Ganges en Benarés tendrá hasta millón y medio, según las mediciones del Shankat Mochan. Estos microorganismos procedentes de los intestinos de hombres y animales causan enfermedades como hepatitis vírica, cólera, tifus y gastroenteritis. Como en la ciudad hinduista por antonomasia, en todo el recorrido del Ganges la mayoría de los colectores de los asentamientos van al río sin ningún tratamiento. Pero la gente se baña y bebe de él.

Un delfín de agua dulce ¡Oh, oh!, gritaban de emoción los integrantes de la expedición cada vez que un delfín los sorprendía con un salto fuera del agua. Con suerte, en algunas partes del Ganges todavía se ven estos cetáceos. Pero no se sabe cuánto tiempo más podrán sobrevivir: las cifras más optimistas dicen que ya sólo quedan 2.000. El delfín del Ganges es uno de los únicos cuatro de agua dulce que hay en el mundo. Se encuentran también en los ríos de la Plata, Amazonas y, tal vez, en el Yangtsé, aunque lo dan como extinto desde 2006.

Un pescador de Bangladesh sostiene un delfín del Ganges.

F. X. PELLETIER / WWF

1

F. X. PELLETIER / WWF

ILL BACH

didá iversid d rsos Recu ción a la en atía yD

RECURSOS DIDÁCTICOS

Com pete ncia s pa ra el

Matemáticas Matemáticas

cas máti Mate ATO

Día

1

Proyectos específicos del área:

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

la el au

BACHILLERATO

a en a dí

R AT O

BACHILLERATO

ER AT O

ILLE

• Gu iones didá • Ev ctico alua s y ba ción • Ev nco de co de re alua nten ción curs idos os por com pete ncia s

Matemáticas

CHILL

alua • Ev

l aula en e a día cticos ad

Bachillerato Competencias para el siglo xxi

Sugerencias didácticas relacionadas con el contenido de cada unidad y herramientas que te ayudaran a planificar el curso, además de evaluar el grado de adquisición de las competencias por los alumnos.

l aula en e s ico a día Día os didáct iversidad

Matemáticas

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Día a día en el aula

Día a día en el aula

BACHILLERATO

BACHILLERATO

Matemáticas

el au la

Mate máti cas BA

Día

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

a dí a en

Matemáticas

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Día

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Día a día en el aula

d rs Recu ción a la en atía yD a día en e Recu l au rsoicsas t y atm e áció didáctic la Mate RnAT os O na os la cudrsiv HILLE de re BAC ersid nco y ba s ad ctico Mionaeste idos didá nten s ncia de co • Gu nm pete á m uació t co al ic r BAC n po as • Ev ció H

Bachillerato

¡Más de 550 páginas de recursos!

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Biblioteca del profesorado

En el Ganges, su mayor amenaza es la fragmentación de su hábitat, por la disminución del nivel de agua por el sistema de represas y la contaminación, explica Sandeep Behera, responsable del programa de conservación del delfín de WWF. Ver delfines en el agua es sinónimo de que es potable y que la gente de la región puede beberla. Además, se sitúan en lo más alto de la cadena alimentaria del río, por lo que ayudan a mantener el equilibrio ecológico. Si desaparecen, todo quedará afectado, lamenta Behera.

Este delfín (Platanista gangetica gangetica) se encuentra también en el río Brahmaputra, donde ya sólo quedan unos 300, según un estudio de la Unión Internacional para la Conservación de la Naturaleza (UICN). La pesca para conseguir su preciado aceite es la gran amenaza para estos cetáceos aquí, explica el líder del proyecto, Abdul Wakid. Y advierte de que su desaparición podría acelerarse gravemente de llevarse a cabo la exploración petrolera que la compañía Indian Oil quiere hacer en la zona. El uso de explosivos dañaría físicamente a los delfines y a su sistema de ecolocalización. Debido a la turbiedad del agua, los delfines de río han evolucionado hasta ser casi ciegos; sólo distinguen entre luz y oscuridad. A diferencia de las especies marinas, los delfines de río son menos amigables y tratan de vivir aislados de los humanos.

180 COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI LA PRENSA EN EL AULA Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. 339245 _ 0112-0312.indd 180

195 16/02/11 19:33

23

material del profesor

Matemáticas

ER

•

ILLE

Decimales

*

Enteros

…, -2, -1, 0, 1, 2, …

Exactos: -2,2; 1,34; 6,245; f ! & Periódicos puros: -1,3; 56,345; f ! # Periódicos * Periódicos mixtos: 0,62; 5,3287; f No periódicos: r; 2 ; 7,101001000f

ILL BACH

ER

Competencias Competenciaspara paraelelsiglo sigloXXI XXI

XX siglo

1 4 12 ,… - , , 2 5 4

Fracciones

R AT O

1

Paso de número decimal exacto o periódico a fracción Cualquier número decimal exacto, periódico puro o periódico mixto se puede expresar en forma de fracción.

Clasifica estos números según el tipo al que pertenecen. # ! 27 -34 0,7 -16 685,0091 -0,0201 67 -456,89 44 8

Expresión de un número decimal exacto en forma de fracción

a,bc =

El número decimal sin coma

abc 100

3,25 =

Tantos 0 como cifras decimales haya

1

325 100

-0,2467 = -

2 467 10 000

$ abc - a a,bc = 99

! 6-0 6 2 0,6 = = = 9 9 3

abc - ab ! a,bc = 90

siglo XX

I

- Oli mp

iad

I

cas máti Mate O ILL BACH

ER AT

y Ma tem

áti

para el

cas as ma • La tem pren ática sa en s el au la

ER AT O

ra el ias pa tenc

LEenR sa ATO pren • La • Pr oyec tos es - Lit pecíf eratur icos a

XX siglo

área

I

s ncia I X pete Com el siglo X a r a p Com petcas pate mátiencias Mara e lO R AT siglo HILLE C XX BA ra s pa cífico s s espe ática ecto tem Proy s y Ma

ea el ár

Mate • a m eratur átemática - Lit as ma tica BA C mpiad el aula s - OliHIL LEenR

ensa La pr

El código Da Vinci

LITERATURA Y MATEMÁTICAS

Autor: Dan Brown

El código Da Vinci

ARGUMENTO

I

Z

Expresa el conjunto de los números enteros.

Q

Indica el conjunto de los números racionales.

ATO

1,618

• • Pr oyec tos es pe

Langdon se dio la vuelta para contemplar la cara expectante de sus alumnos.

Litera cífico tura s pa y Ma - Oli ra el tem mpiad área áti

–¿Alguien puede decirme qué es este número?

cas as ma • La tem pren ática sa en s el au la

Indica el conjunto de los números reales.

# 205 - 2 203 =-0,205 = 990 990

¿Qué significa?

# 1,58 ! 2,34

& 2,302

3,14159…

El inspector de policía opta por llamar a una experta en descifrar mensajes, Sophie, que es además nieta del fallecido, y a un experto en interpretar obras de arte, el profesor norteamericano Langdon, que estaba en París, invitado por él, para pronunciar una conferencia. Los dos reconocen inmediatamente la alusión a un famoso dibujo de Leonardo da Vinci, que representa a un hombre desnudo dentro de un círculo y de un cuadrado. Siguiendo esta pista, descubren una llave escondida por el conservador en un cuadro. También se dan cuenta de que esos números no son arbitrarios, sino que pertenecen todos a una famosa sucesión descubierta en el siglo xii por un matemático y comerciante llamado Fibonacci, en la cual cada término se obtiene sumando los dos anteriores:

Uno alto, estudiante de último curso de matemáticas, que se sentaba al fondo levantó la mano. –Es el número Phi –dijo, pronunciando las consonantes como una efe. […] –Phi –prosiguió Langdon–, uno coma seiscientos dieciocho, es un número muy importante para el arte. ¿Alguien sabría decirme por qué?

–En realidad, Stettner, vuelve a tener razón. Phi suele considerarse como el número más bello del universo. Las carcajadas cesaron al momento, y Stettner se incorporó, orgulloso. […] A pesar de los orígenes aparentemente místicos de Phi, prosiguió Langdon, el aspecto verdaderamente pasmoso de ese número era su papel básico en tanto que molde constructivo de la naturaleza. Las plantas, los animales e incluso los seres humanos poseían características dimensionales que se ajustaban con misteriosa exactitud a la razón de Phi a 1.

N, Z y Q representan los conjuntos de los números naturales, enteros y racionales, respectivamente. El conjunto de los números reales se denota con la letra R y se compone de los números racionales (conjunto Q) y los irracionales (conjunto I).

El código Da Vinci Llegaron a la salida de emergencia, y Sophie abrió la puerta con mucho cuidado. No sonó ninguna alarma. El sistema solo se activaba si se abría desde fuera. Guió a Langdon escaleras abajo en dirección a la planta inferior, cada vez más deprisa.

Dan Brown

OLIMPIADAS MATEMÁTICAS

Los puntos suspensivos detrás de una cifra indican que detrás de ella hay más cifras decimales.

Señala un número decimal no exacto.

La huida empieza en el Museo del Louvre.

–La ubicuidad de Phi en la naturaleza –añadió Langdon apagando las luces [para proyectar en la pantalla imágenes de nautilos, piñas, girasoles…]– trasciende sin duda la casualidad, por lo que los antiguos creían que ese número había sido predeterminado por el Creador del Universo. Los primeros científicos bautizaron el uno coma seiscientos dieciocho como «La Divina Proporción».

¿Cómo lo escribimos?

Indica un número decimal periódico mixto.

Esto les lleva a pensar que tal vez constituyan una clave para recuperar algún objeto de valor, guardado en algún lugar del mundo, y que el fallecido quiso que fueran ellos quienes lo descubrieran. Deciden no contarle nada de lo que saben a la policía y emprender por su cuenta una larga y peligrosa aventura en busca del misterioso objeto. Esta búsqueda vertiginosa, perseguidos por el asesino, que también lo quiere, y por la policía, que sospecha que el profesor Langdon es el asesino, constituye el argumento de la novela.

Todos se rieron.

Para escribir un número decimal separamos las cifras enteras de las decimales con una coma. " El símbolo sobre una cifra o grupo de cifras indica que estas se repiten indefinidamente. A ese grupo se le llama período.

Indica un número decimal exacto. Expresa un número decimal periódico puro.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…

–¿Porque es muy bonito?

Los conjuntos de números los denotamos con letras mayúsculas, generalmente huecas.

Señala el conjunto de los números irracionales.

3,21

La intriga de la novela comienza cuando el conservador del Museo del Louvre es asesinado en la sala dedicada a los pintores italianos. Al llegar los policías, encuentran su cuerpo desnudo, tumbado boca arriba en el suelo, con las piernas abiertas y los brazos extendidos. Le rodea un círculo y, en el abdomen, tiene dibujada con sangre una estrella de cinco puntas, llamada pentagrama. A sus pies hay un extraño mensaje verbal acompañado por esta sucesión de números: 13 – 3 – 2 – 21 – 1 – 1 – 8 – 5. La escena les llena de perplejidad. ¿Qué significa todo esto? Parece que el muerto quiso transmitir algo, pero ¿qué era?

El profesor Langdon se sintió una vez más en Harvard, de nuevo en su clase de «Simbolismo en el Arte», escribiendo su número preferido en la pizarra:

Stettner seguía en su papel de gracioso.

Indica el conjunto de los números naturales.

I

Tantos 9 como cifras tiene el período y tantos 0 como cifras tiene el anteperíodo

Expresa en forma de fracción. # ! & 0,22 34,03 25,012 0,1043

CHILL

área

¿Cómo lo escribimos?

N

R

REPASA 2

NÚMEROS REALES

! 3 247 - 324 2 923 3,247 = = 900 900

Expresión de un número decimal periódico mixto en forma de fracción Parte entera y decimal no periódica

RECURSOS DIDÁCTICOS

¿Qué significa?

& 21 302 - 21 20 281 -21,302 = =999 999

Tantos 9 como cifras tiene el período

• Guiones didácticos y bancos de recursos • Evaluación de contenidos • Evaluación por competencias

Mate máti cas BA

ra el s pa cífico

s s espe ática MPraoyte ecto tem • a y Ma m eratur átemáticas - Lit as ma tica BA C mpiad el aula s - OliHIL

• Literatura y matemáticas. • Desarrollo de la competencia matemática. • Olimpiadas matemáticas. • La prensa en el aula.

NOTACIÓN MATEMÁTICA

Expresión de un número decimal periódico puro en forma de fracción # 537 - 5 532 Parte entera y período Parte entera 5,37 = = 99 99

Parte entera y decimal periódica y no periódica

Com pete ncia s pa ra el

pe Com

REPASA

• Gu iones didá • Ev ctico alua s y ba ción • Ev nco de co de re alua nten ción curs idos os por com pete ncia s

Matemáticas Matemáticas

cas máti Mate ATO

L IEOT ER LO PF REOSFOER SA OD RO ADO B I BB LIIB OT C AE C DA E LD P

BACHILLERATO BACHILLERATO

I

ra el s pa ncia pete Com

Competencias Competenciaspara paraelelsiglo sigloXXI XXI

1, 2, 3, …

I

L IEOT ER LO PF REOSFOER SA OD RO ADO B I BB LIIB OT C AE C DA E LD P

Naturales

siglo XX

ER AT O

BACHILLERATO BACHILLERATO

Tipos de números

CHILL

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Día a día en el aula

Día a día en el aula

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

ad

ía e Recu rsoicsas n el au t y atm e áció didáctic la Mate RnAT os O na os la cudrsiv HILLE de re BAC ersid nco s y ba ad ctico Mionaeste idos didá nten ias de co • Gu nm tenc pe ció á ua tica com Bal por • Ev ACH s ción ua Eval

NÚMEROS REALES

ANTES DE COMENZAR… RECUERDA

Mate máti cas BA

s ncia I X pete Com el siglo X para Com petcas pate mátiencias Mara e lO R AT siglo HILLE XX BAC

Aritmética y álgebra

En realidad, el valor del número Phi es U =

–Su abuelo –se interesó él, intentando seguir su ritmo–, cuando le habló del pentagrama, ¿le mencionó el culto a la diosa o le dio a entender que tuviera algún tipo de resentimiento hacia la Iglesia católica?

1+ 5 . Los números 1,618 2

1+ 5 son dos números reales, pero uno es racional y el otro es irracional. 2 3 En una cafetería, un vaso de limonada, tres bocadillos y siete bizcochos han costado ¿Por qué? ¿Qué error se comete al tomar 1,618 como valor de Phi? 1 chelín y 2 peniques, y un vaso de limonada, cuatro bocadillos y diez bizcochos valen 1 chelín y 5 peniques. Hallar el precio de:

y ¿Qué significa? 14

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

[a, b]

¿Cómo lo escribimos?

1

Un intervalo es el conjunto de todos los puntos de un segmento de la recta real.

Indica un intervalo cerrado.

[a, b) (a, b]

Expresan un intervalo semiabierto por la derecha y otro por la izquierda.

(a, b)

Indica un intervalo abierto.

Un polinomio P( x) dividido entre ( x - 2) da resto 4, y otro polinomio Q( x) da resto 3 al dividirlo entre ( x - 2). a) ¿El resto de la división [P( x) ? Q( x)] : ( x - 2) es 3 ? 4 = 12?

(Premio Extraordinario de Bachillerato, 1993-1994)

–A mí me interesaban más sus aspectos matemáticos: la Divina Proporción, Phi, la Secuencia de Fibonacci, esas cosas.

a) Un vaso de limonada, un bocadillo y un bizcocho.

b) ¿Existe un resultado análogo para divisiones arbitrarias? Si el resto de P( x) : S( x) es R1( x) y el resto de Q( x) : S( x) es R2( x), ¿es cierto que el resto de [P( x) ? Q( x)] : S( x) es R1( x) ? R2( x)?

Si aparecen los símbolos [ o ], el extremo pertenece al intervalo, y si aparecen los símbolos ( o ), el extremo no pertenece al intervalo.

Sophie negó con la cabeza.

Langdon se sorprendió. –¿Su abuelo le hablaba del número Phi? –Claro. La Divina Proporción –sonrió con falsa modestia–. En realidad, muchas veces decía en broma que yo era medio divina… Ya sabe, por las letras de mi nombre. Langdon se quedó un momento pensativo y después masculló algo en señal de asentimiento. «So-PHI-e». Seguían bajando por la escalera, y Langdon se concentró en el número Phi. Estaba empezando a darse cuenta de que las pistas del asesinado eran más coherentes de lo que en un principio había supuesto.

b) Dos vasos de limonada, tres bocadillos y cinco bizcochos. Ten en cuenta que 1 chelín es 12 peniques.

10

11

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

(XIX Olimpiada de Bachillerato. Fase Nacional)

SOLUCIÓN: ¿Qué significa? PRUEBA B

n an = a ? a ? … ?a an = a ? a ? … ? a

4

1

EVALUACIÓN DE CONTENIDOS

n veces

a-n Nombre:

Curso:

Fecha: (-a)

n

(-a)-n

INSTRUCCIONES:

m

a n gráfica Para la realización de esta prueba puede utilizarse la calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad o de cálculo simbólico.

¿Cómo lo escribimos?

1

Indican la expresión de una potencia en forma de producto.

Los puntos suspensivos entre los dos signos de multiplicación significan que a se multiplica n veces.

Expresa una potencia de exponente negativo.

Cuando a una letra se le pone el signo menos delante estamos indicando que representa un número negativo.

Indica una potencia de base negativa.

Indica una potencia de exponente fraccionario.

3

74 =

P(2) ? Q(2) = C(2) ? 0 + r " r = P(2) ? Q(2) = 4 ? 3 = 12

Se verifica que:

P( x) = x 2 - x, Q( x) = x 2 + x y S( x) = x 2 - 1,

73

2 DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

5 + 2 z + 3 - 3z + z = a 2 " a = 8 y b = 19 10 + 4z + 9 - 9z + 5z = b 4

(Olimpiada de Bachillerato. Fase de Distrito)

(Puntuación máxima: 2 puntos) Resuelve de forma exacta las siguientes operaciones. ! a) 1,2 - 0,23 # ! b) 0,72 : 0,916

SOLUCIÓN:

ESTÁNDARES DE APRENDIZAJE Y SOLUCIONES

2

Estándares de aprendizaje

Prueba B

B.2‑1.1. Reconoce los distintos tipos números (reales y complejos) y los utiliza para representar e interpretar adecuadamente información cuantitativa.

(Puntuación máxima: 2 puntos) La capacidad de memoria de un ordenador se mide en megabytes (Mb). Un megabyte tiene 106 bytes de información, de forma que cada byte contiene un símbolo (dígito, letra, etc.).

(Premio Extraordinario de Bachillerato, 1992-1993) SOLUCIÓN:

xy P

Sean p y q dos de estos números primos, con p < q, y x es el número entero comprendido entre ellos.

kP Como y ! Z , entonces ! Z+. Pero k no es divisible por k - 1, por lo que k - 1 será k-1 un divisor de P, que es número primo, siendo k - 1 = !1 o k - 1 = !P, y los posibles valores de k son 2, 0, P + 1 o 1 - P.

1

EVALUACIÓN POR COMPETENCIAS

Si k = 0: x = y = 0 Si k = 2: x = 2P, y = 2P

3

3

(Puntuación máxima: 3 puntos)

Nombre:

a) Representa gráficamente: 26

Curso:

Si k = P + 1: x = P(P + 1) e y = P + 1

Fecha:

Si k = 1 - P: x = P(1 - P) e y = P - 1

b) Halla el resultado de: 4 80 - 5 245 + 6 605 - 320

B.2‑1.3. Utiliza la notación numérica más adecuada a cada contexto y justifica su idoneidad.

1y3

B.2‑1.4. Obtiene cotas de error y estimaciones en los cálculos aproximados que realiza valorando y justificando la necesidad de estrategias adecuadas para minimizarlas.

2

c) Racionaliza y simplifica:

Las soluciones son: (2P, 2P); (P(P + 1), P + 1); (P(1 - P), P - 1).

5 3

Nuestro mundo podría desaparecer

Al ser la ecuación simétrica, los pares anteriores en orden inverso son también soluciones.

5

2 100

B.2‑1.6. Resuelve problemas en los que intervienen números reales y su representación e interpretación en la recta real.

1

4

Si tres números son consecutivos, uno de ellos es múltiplo de 3; por tanto, x es también múltiplo de 3. Al ser x múltiplo de 2 y de 3, también es múltiplo de 6. Otra forma:

+

4

B.2‑1.2. Realiza operaciones numéricas con eficacia, empleando cálculo mental, algoritmos de lápiz y papel, calculadora o herramientas informáticas.

Como p es un número primo, es impar y, en consecuencia, x es múltiplo de 2.

con k ! 1, pues si k = 1, P + y = y " P = 0, que no es posible por ser un número primo.

Prueba A

4

Para que x sea múltiplo de 6, debe serlo también de 2 y de 3.

kP kP + y = ky " y = k-1

Si, por término medio, una palabra está compuesta por 4 símbolos, estima cuántas palabras puede archivar un ordenador con una memoria de 500 Mb.

Actividades

En la sucesión de números primos hay números que son casi iguales: 11 y 13; 17 y 19; 29 y 31; … Demostrar que el número comprendido entre estos números primos especiales es siempre un múltiplo de 6 (exceptuando el par 3 y 5).

Sean x e y distintos de cero. Despejando x + y, tenemos que:

que debe ser un número entero positivo. ? ? Como P es primo, resulta que x = P o y = P . ? Si x = P = kP, entonces:

PRESENTACIÓN Y SUGERENCIAS

B.2‑1. Utilizar los números reales, sus operaciones y propiedades, para recoger, transformar e intercambiar información, estimando, valorando y representando los resultados en contextos de resolución de problemas.

Y sustituyendo estos valores en la tercera y cuarta ecuaciones, se cumple que:

Encontrar todas las soluciones enteras positivas, x e y, de la ecuación P ? ( x + y) = xy, siendo P un número primo.

x+y =

Criterio

x + 3y = 14 - 7z 3 x = 5 + 2 z e y = 3 - 3z x + 4y = 17 - 10z "

Al dividir P( x) ? Q( x) = x 4 - x 2 entre S( x), se obtiene de resto 0: R1( x) ? R2( x) = 1 - x 2 ! 0

16

x + 3y + 7z = 14 x + 4y + 10z = 17 x+ y+ z = a 2 x + 3y + 5z = b

Considerando las dos primeras ecuaciones del sistema, y tomando como parámetro z, se obtiene:

haciendo las divisiones: P( x) = ( x2 - 1) ? 1 + (-x + 1) y Q( x) = ( x2 - 1) ? 1 + ( x + 1)

4

Calificación: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.

1

*

Dados:

Tiempo: Una hora y treinta minutos.

1

P( x) ? Q( x) = C( x) ? ( x - 2) + r

Sean x, y, z los precios respectivos de un vaso de limonada, un bocadillo y un bizcocho, y a, b son los precios pedidos.

b) En este caso, S( x) no tiene que ser necesariamente un polinomio de primer grado cuando se verifican las condiciones anteriores.

Si no tiene signo delante, el número puede ser negativo o positivo.

Señala una potencia de exponente negativo y base negativa.

SOLUCIÓN:

a) Al ser P(2) = 4 y Q(2) = 3, si C( x) es el cociente resultante de dividir [P( x) ? Q( x)] entre ( x - 2) y r es el resto, se verifica que:

(Puntuación máxima: 3 puntos) Calcula las soluciones de las siguientes ecuaciones. a) log (x - 1) = 1 - log (x + 2)

1

74

GEOGRAFÍA FÍSICA 8 EL PAÍS • TIERRA

8 EL PAÍS • TIERRA

MUNDO

Hacemos la demostración por reducción al absurdo.

21 de noviembre de 2009

? ábado Supongamos que x no es múltiplo de 6, entonces x =Sábado 6 +21n,decon n= 1, 2, 3,Sábado 4 o 21 5. de noviembre de 2009 noviembre de 2009

Sábado 21 de noviembre de 2009

EL PAÍS • TIERRA 9

21 de noviembre de 2009

? ? MUNDO Si x = 6 + 1 " p = 6, que no es primo. Agua. Contaminación ? ? ?

Geografía Física. Agua. contaminación Si x = 6 + 2 " q = 6 + 3 = 3, que no es primo.

El Ganges El Ganges agoniza agoniza

? ? ? Si x = 6 + 3 " p = 6 + 2 = 2, que no es primo. ? ? ? Si x = 6 + 4 " p = 6 + 3 = 3, que no es primo. ? ? ? Si x = 6 + 5 " q = 6 + 6 = 6, que no es primo.

Pie de foto Um inim velessi. Ci exer augait wisit erci blamcons adipsusci ea adignis am nonsequat alit doloborperos dolorpero odolortin

En consecuencia, x debe ser múltiplo de 6.

101

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI MATEMÁTICAS 1.° BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

b) 3x+1 = 240 c) 25x - 5x = 600

PRUEBA B Apartado a): 1 punto ! 12 21 87 29 1,2 - 0,23 = = = 10 90 90 30

Apartado c): 1 punto 5 3

Apartado b): 1 punto # ! 72 825 8 11 96 0,72 : 0,916 = : : = = 99 900 11 12 121 2

4

=

5 $ 52 = 5

6

6

53 $ 54 5 5 = = 5 5

6

5

Apartado a): 1 punto log (x - 1) = 1 - log (x + 2)

" log (x - 1) =

10 = log 10 - log (x + 2) " log (x - 1) = log x+2 10 x-1= " x2 + x - 2 = 10 x+2

Planteamiento correcto: 1 punto Resolución correcta: 1 punto 1 Mb = 106 b

5

3

" 500 Mb = 5 ? 108 b

128

" x2 + x - 12 = 0 " ( x = -4

Por tanto, un ordenador con una memoria de 500 Mb puede archivar 125 millones de palabras.

La solución x = -4 no es válida, de modo que la única solución es x = 3. Apartado b): 1 punto

3

Apartado a): 1 punto

3x+1 = 240 52 + 12

Aplicando el teorema de Pitágoras: 26 = 2

26 =

0

1

2

52 + 1

26 3

4

5

Apartado b): 1 punto

Durante los últimos años se han presentado múltiples ejemplos de cómo la astronomía puede llegar a convertirse en un elemento importante en la vida del ser humano. Así, podemos leer las noticias o ver películas sobre desastres naturales causados por meteoritos, estrellas o cometas que chocan contra la Tierra. Se cree que hace unos 65 millones de años, en la península de Yucatán en México, un enorme meteorito chocó contra la Tierra, lo cual llevó a la extinción de los dinosaurios y de la mayoría de los seres vivos.

" log 3x+1 = log 240 log 240

" (x + 1) log 3 = log 240 " x + 1 = log 3 " x = 3,99

Infinidad de meteoritos se acercan a la Tierra cada día, pero pocos alcanzan el volumen suficiente para llegar a la superficie terrestre, debido a la fricción con la atmósfera, que los quema y desintegra, formando destellos o estrellas fugaces.

Apartado c): 1 punto x

x

25 - 5 = 600 Si t = 5x

4 80 - 5 245 + 6 605 - 320 = = 16 5 - 35 5 + 66 5 - 8 5 = 39 5

130

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

x=3

Si cada palabra contiene 4 símbolos: 5 ? 108 : 4 = 1,25 ? 108

" t2 - t - 600 = 0 "

t = 25 ( t = -24

Como 5x ! -24, para cualquier valor de x, entonces 5x = 25 " x = 2

A partir de fórmulas obtenidas experimentalmente, los científicos pueden predecir los efectos que podría producir el choque de un meteorito con el planeta Tierra. Esta y otras cuestiones las resuelven planteando ecuaciones que expliquen el entorno. Por ejemplo, usan la ecuación de velocidad (v) como el cociente entre la distancia (d ) del recorrido y el tiempo (t) invertido en dicho desplazamiento.

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

v=

188

d t

DÍA A DÍA EN EL AULA MATEMÁTICAS 1.º BACHILLERATO Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

las represas y elestán cambio climático están La contaminación,La lascontaminación, represas y el cambio climático dañando seriamente sagrado la India. El mal estado dañando seriamente el río más sagradoelderíolamás India. El mal de estado deasus aguas la afecta la flora y laorillas población de sus orillas de sus aguas afecta la fauna, flora ay la la fauna, población de sus

L

L

a vida de los indios está ínti- está disminuyendo su caudal a ciones de la expedición fue que depende de tener agua para las coa vida de los indios está ínti- está disminuyendo caudal a pasos ciones de la expedición fue que una agigantados. La contamigran parte del agua del río mamente ligada alsuGanges. constata Ram Kumar, un agigantados. Ladecontamiuna gran parteydel del río se sechas”, mamente ligada al Ganges. pasos industrial de agua los drenaretiene en represas, como la El río más sagrado la In- nación de una aldea a unos 50 industrial de losrecurdrena- jesseensucia retienesuen represas, como la decampesino El río más sagrado de la In- nación Theri, que empezó a operar en agua. dia no sólo da yagua, kilómetros de Haridwar. de queconstatar empezó a una operar ensucia su agua. dia no sólo da agua, recur- sosjesnaturales AsíTheri, lo pudo ex-en 2005 y es una de las más grandes y sustento a unos “En los últimos 20 años se han Así lo pudo una 2005 y Ganges es una de las más grandes sos naturales y sustento a unos 400 millones Expedition, que del mundo. “No estamos en contra de constatar habitantes, unex- pedición, cinco grandes reprepedición, Expedition, que durante del mundo. “No estamos contra deconstruido 400 millones de habitantes, un tercio 30 días recorrió losen2.510 que se produzca electricidad, de la Ganges población. También sas”, indica Shailendra Singh, res30 días recorrió los de que sedel produzca tercio de la población. También es durante Ganges:electricidad, desde su todos la necesitamos. Pero poparte muy importante de2.510 la kilómetros ponsable para la India de la ONG kilómetros del Ganges: desde su todos la necesitamos. Pero poes parte muy importante de la vida cultural y religiosa de los nacimiento, en el glaciar Gangotri, drían ser represas más pequeñas estadounidense Turtle Survival. nacimiento, en elque glaciar Gangotri, ser represas pequeñas vida cultural y religiosa de los hinduistas. el Himalaya, hastamás el delta de que no afectaran a los microcli“Tenía traer a mi endrían Estos contenedores artificiales de enpara el Himalaya, hastalaelfuente delta de losque no afectaran losCalcuta. microcli- mas hinduistas. “Tenía que traer a mi hijo Sunderbans, cercaa de y que aseguraran que el agua que conociera de Calcuta. y que aseguraran que la el siagua agua son muy dañinos para el Ganhijo para que conociera la fuente delos intención es documentar la Sunderbans, vida”, cuentacerca Dinesh Agra- Lamas ges porque alteran el fluir natural intención documentar la si- tuación medioambiental actual “y de la vida”, cuenta Dinesh Agra- ri, Latras viajar es600 kilómetros del agua, cambian los microclimas tuación medioambiental actual “y ri, tras viajar 600 kilómetros para dar a su bebé el tradicional lanzar una señal para que se cuiy dañan las orillas del río, que es lanzar una señal para que seen cui- den estos recursos”, asegura Andy para dar a su bebé el tradicional chapuzón a los recién nacidos donde muchas de las especies se estos asegura chapuzón a los recién nacidos en lasden aguas delrecursos”, Ganges. El ritual Andy no Leemann, el capitán de este recoreproducen. “También el agua es Leemann, capitán reco- rrido, que se hizo tanto a pie como las aguas del Ganges. El ritual no termina ahí. el Cada día,de uneste sinfín desviada y usada indiscriminadaque se tanto a pie como en lanchas neumáticas. Un viaje termina ahí. Cada día, un sinfín derrido, personas se hizo reúne en los punmente para los regadíos”, comenta lanchas neumáticas. Un viaje así es histórico, pues sólo lo había de personas se reúne en los pun- tosenconsiderados más importanKalyan Rudra, geólogo y ex miempues sólo lo había hecho el primer conquistador del tos considerados más importan- tesasí deeslahistórico, orilla para orar y lanzar bro del Ganga Action Plan. el primer conquistador tes de la orilla para orar y lanzar sushecho ofrendas al agua. Los hinduis-del Everest, Edmund Hillary, que no La reducción del caudal se proEdmund Hillary, sus ofrendas al agua. Los hinduis- tasEverest, creen que una vida estáque in-no llegó a la fuente del río. Los testiduce por muchas causas, pero llegó a lasin fuente del río. Los testitas creen que una vida está in- completa ir al río sagrado al monios, fotografías y vídeos servitambién por la relacionada con monios, y vídeos servi- rán a la organización Green Cross completa sin ir al río sagrado al menos unafotografías vez, y lo más cotizacambio climático, que altera a la organización Green Cross International para documentar la se el menos una vez, y lo más cotiza- dorán comparte”, dice Leemann. Dues lanzar al cauce las cenizas los patrones de precipitación y International para se comparte”, Leemann. Du- rante do es lanzar al cauce las cenizas o los deldice Ganges ante la la expedición, en muchos cuerpos tras la documentar muerte. “El la degradación aumenta los niveles de evaporadegradación Ganges ante rante del la expedición, en muchos tramos o los cuerpos tras la muerte. “El Ganges, clima de Copenhague. hubo que empujar las lannuestradel madre”, dice un la cumbre ción. En 2004, el Ganges ya tenía cumbre del clima de Copenhague. tramos hubo empujar lasde lan- chas Ganges, nuestra madre”, dice un habitante pudo ser que testigo de parte neumáticas porque el agua de Haridwar. La frase Tierra un 20% menos de agua que hace pudo testigo chas neumáticas el agua habitante de Haridwar. La frase se Tierra recorrido, cuatroporque días desde la no era suficiente para navegar. escucha unaser y otra vez.de parte de este 56 años, y en los próximos la pérno era suficiente para navegar. este recorrido, cuatro días desde la se escucha una y otra vez. Pero el Ganges está murien- ciudad de Haridwar hasta Narora. “El agua se ha alejado mucho, dida de caudal podría ser más ráPero el Ganges está murien- do.ciudad de Haridwar hasta “El agua se ha alejado mucho, unos Y su agonía es rápida. EsNarora. uno También con un viaje a Benarés, 30 metros en los dos últimos pida. Podría incluso desaparecer do. Y su agonía es rápida. Es uno deTambién conamenazados un viaje a Benarés, unos 30más metros en los últimos años. los ríos más en el la ciudad sagrada dedos la India, Creemos que son las represas 50 años. La observación de los de los ríos más amenazados en el mundo la ciudad sagradaclimático. de la India, pero años. Creemos las represas y laenfalta por más el cambio donde el ríoque estáson sumamente de lluvias. Todos estamos locales también demuestra que los mundo por el cambio climático. Esto, pero donde el río está sumamente y la falta de lluvias. Todos estamos muy junto a las represas y las ca- contaminado. preocupados y no sabemos bancos de arena aumentan. “Esto Esto, junto a las represas y las ca- nalizaciones contaminado. muy y no sabemos qué para la agricultura, hacer: nuestra supervivencia Una preocupados de las primeras observanalizaciones para la agricultura, Una de las primeras observa- qué hacer: nuestra supervivencia es indicativo del precario futuro

El agua es desviada en cualquier punto y usada sin control para regadíos

194 339245 _ 0112-0312.indd 179

22

Junto a estas líneas, cinco peregrinos se bañan en Sangam. A la izquierda, lavadores de ropa en Varanasi.

� Texto: ANA GABRIELA ROJAS, BENARÉS (INDIA) / Fotografía: ÁLVARO LEIVA � Texto: ANA GABRIELA ROJAS, BENARÉS (INDIA) / Fotografía: ÁLVARO LEIVA

del Ganges”, predice Uday Kant Chowdhary, que coordina el laboratorio de investigación del Ganges del Instituto de Tecnología de la Universidad de Benarés. La erosión que el Ganges va sufriendo en sus orillas no sólo afecta a la biodiversidad, sino que también ha hecho perder a algunas aldeas parte de sus tierras para las cosechas. En Rajakarna, una aldea cercana a Narora, hasta la mitad de su tierra se ha desgajado, según contaron sus habitantes a los expedicionarios. Otro de los desastres del Ganges es la enorme contaminación. “En los primeros tramos del río está causada principalmente por los productos químicos usados en la agricultura que terminan en el agua”, comenta Sandeep Behera, responsable de WWF en el área. Hasta Narora las industrias son todavía pocas, pero a partir de Kanpur comienzan las más contaminantes. Entre las más sucias están las del tratamiento del cuero, que tiran metales pesados al río. “A medida que el país se moderniza, crece la contaminación de las industrias, cuyo número aumenta a pasos agigantados”, comenta el encargado de Turtle Survival. Dice que en 50 años el

río sufrirá una muerte biológica. “Todavía podemos hacer algo, pero es muy difícil. La degradación es mucho más rápida que la conservación”, lamenta Singh. Con el Ganges se extinguiría una zona de gran biodiversidad: 100 especies de aves acuáticas, 13 de tortugas, 2 de cocodrilos, 150 de peces y otras tantas de plantas. En las orillas del Ganges hay

Un número incontable de cadáveres y cenizas se lanza al río cada día

179

COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI LA PRENSA EN EL AULA Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. 16/02/11 19:33

miles de aldeas y más de 120 ciudades asentadas, seis de más de un millón de habitantes. Entre ellas, Benarés, la ciudad más sagrada de la India. Aquí, un número incontable de cadáveres, cenizas y restos humanos y de animales se lanzan al río cada día. Miles de hinduistas tiran ofrendas de flores y velas, y durante las grandes celebraciones se llegan a arrojar estatuas de

dioses. A la vez, en 32 puntos llega hasta el río el agua de los desagües de la ciudad sin tratamiento. El río está completamente lleno de desechos humanos. Ahí se descargan las aguas residuales sin tratar de millones y millones de personas. “Aunque sea sagrado, les puede hacer enfermar y morir”, asegura Veer Bhadra Mishra, fundador de Shankat Mochan, una ONG que trabaja por la limpieza del Ganges. Cuando sale de Benarés, la concentración de bacteria fecal coliforme es más de 3.000 veces la recomendada por la OMS para el agua de baño. Mientras que la OMS recomienda un máximo de 500 microorganismos por cada 100 mililitros para el agua de baño, el Ganges en Benarés tendrá hasta millón y medio, según las mediciones del Shankat Mochan. Estos microorganismos procedentes de los intestinos de hombres y animales causan enfermedades como hepatitis vírica, cólera, tifus y gastroenteritis. Como en la ciudad hinduista por antonomasia, en todo el recorrido del Ganges la mayoría de los colectores de los asentamientos van al río sin ningún tratamiento. Pero la gente se baña y bebe de él.

Un delfín de agua dulce ¡Oh, oh!, gritaban de emoción los integrantes de la expedición cada vez que un delfín los sorprendía con un salto fuera del agua. Con suerte, en algunas partes del Ganges todavía se ven estos cetáceos. Pero no se sabe cuánto tiempo más podrán sobrevivir: las cifras más optimistas dicen que ya sólo quedan 2.000. El delfín del Ganges es uno de los únicos cuatro de agua dulce que hay en el mundo. Se encuentran también en los ríos de la Plata, Amazonas y, tal vez, en el Yangtsé, aunque lo dan como extinto desde 2006.

Un pescador de Bangladesh sostiene un delfín del Ganges.

F. X. PELLETIER / WWF

1

F. X. PELLETIER / WWF

ILL BACH

didá iversid d rsos Recu ción a la en atía yD

RECURSOS DIDÁCTICOS

Com pete ncia s pa ra el

Matemáticas Matemáticas

cas máti Mate ATO

Día

1

Proyectos específicos del área:

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

la el au

BACHILLERATO

a en a dí

R AT O

BACHILLERATO

ER AT O

ILLE

• Gu iones didá • Ev ctico alua s y ba ción • Ev nco de co de re alua nten ción curs idos os por com pete ncia s

Matemáticas

CHILL

alua • Ev

l aula en e a día cticos ad

Bachillerato Competencias para el siglo xxi

Sugerencias didácticas relacionadas con el contenido de cada unidad y herramientas que te ayudaran a planificar el curso, además de evaluar el grado de adquisición de las competencias por los alumnos.

l aula en e s ico a día Día os didáct iversidad

Matemáticas

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Día a día en el aula

Día a día en el aula

BACHILLERATO

BACHILLERATO

Matemáticas

el au la

Mate máti cas BA

Día

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

a dí a en

Matemáticas

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Día

B I B L I OT E C A D E L P R O F E S O R A D O

Día a día en el aula

d rs Recu ción a la en atía yD a día en e Recu l au rsoicsas t y atm e áció didáctic la Mate RnAT os O na os la cudrsiv HILLE de re BAC ersid nco y ba s ad ctico Mionaeste idos didá nten s ncia de co • Gu nm pete á m uació t co al ic r BAC n po as • Ev ció H

Bachillerato

¡Más de 550 páginas de recursos!

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

Biblioteca del profesorado

En el Ganges, su mayor amenaza es la fragmentación de su hábitat, por la disminución del nivel de agua por el sistema de represas y la contaminación, explica Sandeep Behera, responsable del programa de conservación del delfín de WWF. Ver delfines en el agua es sinónimo de que es potable y que la gente de la región puede beberla. Además, se sitúan en lo más alto de la cadena alimentaria del río, por lo que ayudan a mantener el equilibrio ecológico. Si desaparecen, todo quedará afectado, lamenta Behera.

Este delfín (Platanista gangetica gangetica) se encuentra también en el río Brahmaputra, donde ya sólo quedan unos 300, según un estudio de la Unión Internacional para la Conservación de la Naturaleza (UICN). La pesca para conseguir su preciado aceite es la gran amenaza para estos cetáceos aquí, explica el líder del proyecto, Abdul Wakid. Y advierte de que su desaparición podría acelerarse gravemente de llevarse a cabo la exploración petrolera que la compañía Indian Oil quiere hacer en la zona. El uso de explosivos dañaría físicamente a los delfines y a su sistema de ecolocalización. Debido a la turbiedad del agua, los delfines de río han evolucionado hasta ser casi ciegos; sólo distinguen entre luz y oscuridad. A diferencia de las especies marinas, los delfines de río son menos amigables y tratan de vivir aislados de los humanos.

180 COMPETENCIAS PARA EL SIGLO XXI LA PRENSA EN EL AULA Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L. 339245 _ 0112-0312.indd 180

195 16/02/11 19:33

23

Matemáticas

material del profesor

material del ALUMNO

Bachillerato

FP Básica

Biblioteca del profesorado

A continuación, conoce cómo son los libros y cuadernos del alumno de Formación Profesional Básica:

• Rúbricas de evaluación.

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Matemáticas

Formación Profesional Básica

UNIDAD 1. Números reales

1

1

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Matemáticas

1

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Matemáticas

Formación Profesional Básica

2 Matemáticas

• Programación didáctica de aula.

Matemáticas

Documentos curriculares

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Matemáticas

OBJETIVOS CURRICULARES

Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo científico.

Formación Profesional Básica ES0000000004056 509835_FPB_Matem_1_9669.indd 1

Cian Magenta Amarillo Negro

1

Programación Didáctica de Aula de Matemáticas. Serie Resuelve. 1º de Bachillerato 8

Formación Profesional Básica

Matemáticas

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Cuaderno

Matemáticas 12/03/2014 14:21:08

1

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Cuaderno

Matemáticas Formación Profesional Básica

Solucionarios

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Cuaderno

Matemáticas

2 Formación Profesional Básica

Realización de investigaciones matemáticas a partir de contextos de la realidad o contextos del mundo de las matemáticas.

Cuaderno

Formación Profesional Básica

•

•

1

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Formación Profesional Básica

Sugerencia de TEMPORALIZACIÓN: 2 últimas semanas de septiembre y 2 primeras de octubre

CONTENIDOS Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer los números racionales e • Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos sabenCRITERIOS que existen DE diversos EVALUACIÓN CURRICULARES DEde LAlos ETAPA LA UNIDAD irracionales y que estos formasCONTENIDOS el conjunto de CURRICULARES los números reales, que tipos CONTENIDOS de números. DE También conocen los logaritmos, las raíces y las conocerán la recta numérica yBLOQUE sus propiedades y relación de orden. YTambién ecuaciones. 1. PROCESOS, MÉTODOS • Lectura comprensiva de los enunciados y de las B1-1. Expresar verbalmente, de forma razonada el proceso conocerán los intervalos (abiertos, semiabiertos y cerrados) y las ACTITUDES EN MATEMÁTICAS situaciones planteadas. en la resolución de un problema. • Previsión de dificultades. Es posible que seguido los alumnos encuentren aproximaciones (por defecto o exceso) y errores (absolutos y relativos) y dificultades a lapara horalade operar con y con • Planificación del proceso de resolución de • Elección de datos resolución de radicales problemas y logaritmos. B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de aplicarán la acotación de errores. Asimismo harán uso de la notación científica problemas. su representación. resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y harán operaciones con radicales y logaritmos. Para una reflexión sobre la y comprobando las soluciones obtenidas. y procedimientos en • Expresión de razonamientos matemáticos. aplicación de las matemáticas• enEstrategias la vida cotidiana resolveránpuestos una actividad práctica: relación con otroslaproblemas B1-8. Desarrollar procesos de matematización en contextos sobre el uso de los números reales a la hora de determinar velocidad en un • Utilización del lenguaje matemático adecuado al conocidos, modificación de variables, suponer de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, accidente de tráfico. nivel. el problema resuelto, etc. funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la • Resolución de problemas a través del desarrollo de identificación de problemas en situaciones de la realidad. • Soluciones y/o resultados obtenidos: procesos matemáticos. coherencia de las soluciones con la situación, B1-10. Desarrollar y cultivar las actitudes personales • Utilización de patrones para la resolución de revisión sistemática del proceso, otras formas inherentes al quehacer matemático. ejercicios matemáticos. de resolución, problemas parecidos, B1-13. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, generalizaciones y particularizaciones • Actitudes adecuadas para la práctica de las de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, Programación Didáctica de Aula de Matemáticas. interesantes..Serie Resuelve. 1º de Bachillerato matemáticas. algebraicos o estadísticos,7haciendo representaciones • Elaboración y presentación oral y/o escrita de gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante • Emplea la calculadora para realizar cálculos informes científicos sobre el proceso seguido simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones numéricos, algebraicos o estadísticos. en la resolución de un problema o en la diversas que ayuden a la comprensión de conceptos demostración de un resultado matemático. matemáticos o a la resolución de problemas.

•

Cuaderno Matemáticas

Formación Profesional Básica

PUNTO DE PARTIDA DE LA UNIDAD

Formación Profesional Básica

k) Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa, trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico. n) Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial.

g) Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la comunicación.

Formación Profesional Básica

e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y, en su caso, la lengua cooficial de su Comunidad Autónoma.

j) Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones de vida, así como afianzar la sensibilidad y el respeto hacia el medio ambiente.

Formación Profesional Básica

d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de desarrollo personal.

i) Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las habilidades básicas propias de la modalidad elegida.

Cuaderno Matemáticas

a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española así como por los derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y equitativa.

ES0000000003917 412325_Soluc_Matem_1_Bach_papel_41871

Y nuestra oferta de contenidos digitales para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje.

ES0000000003917 412325_Soluc_Matem_1_Bach_papel_41871.indd 1

11/11/2015 9:24:08

Sistema de evaluación

• Evaluación por competencias claves. • Evaluación de contenidos. • Biblioteca de pruebas de evaluación externa. 24

ES0000000004056 509835_FPB_Matem_1_9669.indd 1

Cian Magenta Amarillo Negro

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Matemáticas

Matemáticas Formación Profesional Básica

1 2

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Matemáticas

2 Formación Profesional Básica

1

1

Matemáticas

Formación Profesional Básica

Formación Profesional Básica

Matemáticas

Formación Profesional Básica

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Matemáticas

SERIE RESUELVE

12/03/2014 11:57:12

Cian Magenta Amarillo Negro

Formación Profesional Básica

SERIE RESUELVE

BACHILLERATO

SERIE RESUELVE

BACHILLERATO

Matemáticas

Solucionario Matemáticas

SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO

Matemáticas

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

ES0000000004057 509846_FPB_Cdno_Mat_1_9670.indd 1

BACHILLERATO

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

• Papel y Digital.

12/03/2014 14:21:08

También en

25

Matemáticas

material del profesor

material del ALUMNO

Bachillerato

FP Básica

Biblioteca del profesorado

A continuación, conoce cómo son los libros y cuadernos del alumno de Formación Profesional Básica:

• Rúbricas de evaluación.

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Matemáticas

Formación Profesional Básica

UNIDAD 1. Números reales

1

1

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Matemáticas

1

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Matemáticas

Formación Profesional Básica

2 Matemáticas

• Programación didáctica de aula.

Matemáticas

Documentos curriculares

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Matemáticas

OBJETIVOS CURRICULARES

Confianza en las propias capacidades para desarrollar actitudes adecuadas y afrontar las dificultades propias del trabajo científico.

Formación Profesional Básica ES0000000004056 509835_FPB_Matem_1_9669.indd 1

Cian Magenta Amarillo Negro

1

Programación Didáctica de Aula de Matemáticas. Serie Resuelve. 1º de Bachillerato 8

Formación Profesional Básica

Matemáticas

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Cuaderno

Matemáticas 12/03/2014 14:21:08

1

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Cuaderno

Matemáticas Formación Profesional Básica

Solucionarios

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Cuaderno

Matemáticas

2 Formación Profesional Básica

Realización de investigaciones matemáticas a partir de contextos de la realidad o contextos del mundo de las matemáticas.

Cuaderno

Formación Profesional Básica

•

•

1

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Formación Profesional Básica

Sugerencia de TEMPORALIZACIÓN: 2 últimas semanas de septiembre y 2 primeras de octubre

CONTENIDOS Enfoque de la unidad. Los alumnos deben conocer los números racionales e • Lo que los alumnos ya conocen. Los alumnos sabenCRITERIOS que existen DE diversos EVALUACIÓN CURRICULARES DEde LAlos ETAPA LA UNIDAD irracionales y que estos formasCONTENIDOS el conjunto de CURRICULARES los números reales, que tipos CONTENIDOS de números. DE También conocen los logaritmos, las raíces y las conocerán la recta numérica yBLOQUE sus propiedades y relación de orden. YTambién ecuaciones. 1. PROCESOS, MÉTODOS • Lectura comprensiva de los enunciados y de las B1-1. Expresar verbalmente, de forma razonada el proceso conocerán los intervalos (abiertos, semiabiertos y cerrados) y las ACTITUDES EN MATEMÁTICAS situaciones planteadas. en la resolución de un problema. • Previsión de dificultades. Es posible que seguido los alumnos encuentren aproximaciones (por defecto o exceso) y errores (absolutos y relativos) y dificultades a lapara horalade operar con y con • Planificación del proceso de resolución de • Elección de datos resolución de radicales problemas y logaritmos. B1-2. Utilizar procesos de razonamiento y estrategias de aplicarán la acotación de errores. Asimismo harán uso de la notación científica problemas. su representación. resolución de problemas, realizando los cálculos necesarios y harán operaciones con radicales y logaritmos. Para una reflexión sobre la y comprobando las soluciones obtenidas. y procedimientos en • Expresión de razonamientos matemáticos. aplicación de las matemáticas• enEstrategias la vida cotidiana resolveránpuestos una actividad práctica: relación con otroslaproblemas B1-8. Desarrollar procesos de matematización en contextos sobre el uso de los números reales a la hora de determinar velocidad en un • Utilización del lenguaje matemático adecuado al conocidos, modificación de variables, suponer de la realidad cotidiana (numéricos, geométricos, accidente de tráfico. nivel. el problema resuelto, etc. funcionales, estadísticos o probabilísticos) a partir de la • Resolución de problemas a través del desarrollo de identificación de problemas en situaciones de la realidad. • Soluciones y/o resultados obtenidos: procesos matemáticos. coherencia de las soluciones con la situación, B1-10. Desarrollar y cultivar las actitudes personales • Utilización de patrones para la resolución de revisión sistemática del proceso, otras formas inherentes al quehacer matemático. ejercicios matemáticos. de resolución, problemas parecidos, B1-13. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, generalizaciones y particularizaciones • Actitudes adecuadas para la práctica de las de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, Programación Didáctica de Aula de Matemáticas. interesantes..Serie Resuelve. 1º de Bachillerato matemáticas. algebraicos o estadísticos,7haciendo representaciones • Elaboración y presentación oral y/o escrita de gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante • Emplea la calculadora para realizar cálculos informes científicos sobre el proceso seguido simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones numéricos, algebraicos o estadísticos. en la resolución de un problema o en la diversas que ayuden a la comprensión de conceptos demostración de un resultado matemático. matemáticos o a la resolución de problemas.

•

Cuaderno Matemáticas

Formación Profesional Básica

PUNTO DE PARTIDA DE LA UNIDAD

Formación Profesional Básica

k) Afianzar el espíritu emprendedor con actitudes de creatividad, flexibilidad, iniciativa, trabajo en equipo, confianza en uno mismo y sentido crítico. n) Afianzar actitudes de respeto y prevención en el ámbito de la seguridad vial.

g) Utilizar con solvencia y responsabilidad las tecnologías de la información y la comunicación.

Formación Profesional Básica

e) Dominar, tanto en su expresión oral como escrita, la lengua castellana y, en su caso, la lengua cooficial de su Comunidad Autónoma.

j) Comprender los elementos y procedimientos fundamentales de la investigación y de los métodos científicos. Conocer y valorar de forma crítica la contribución de la ciencia y la tecnología en el cambio de las condiciones de vida, así como afianzar la sensibilidad y el respeto hacia el medio ambiente.

Formación Profesional Básica

d) Afianzar los hábitos de lectura, estudio y disciplina, como condiciones necesarias para el eficaz aprovechamiento del aprendizaje, y como medio de desarrollo personal.

i) Acceder a los conocimientos científicos y tecnológicos fundamentales y dominar las habilidades básicas propias de la modalidad elegida.

Cuaderno Matemáticas

a) Ejercer la ciudadanía democrática, desde una perspectiva global, y adquirir una conciencia cívica responsable, inspirada por los valores de la Constitución española así como por los derechos humanos, que fomente la corresponsabilidad en la construcción de una sociedad justa y equitativa.

ES0000000003917 412325_Soluc_Matem_1_Bach_papel_41871

Y nuestra oferta de contenidos digitales para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje.

ES0000000003917 412325_Soluc_Matem_1_Bach_papel_41871.indd 1

11/11/2015 9:24:08

Sistema de evaluación

• Evaluación por competencias claves. • Evaluación de contenidos. • Biblioteca de pruebas de evaluación externa. 24

ES0000000004056 509835_FPB_Matem_1_9669.indd 1

Cian Magenta Amarillo Negro

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Matemáticas

Matemáticas Formación Profesional Básica

1 2

2

Módulo de Ciencias Aplicadas II

Matemáticas

2 Formación Profesional Básica

1

1

Matemáticas

Formación Profesional Básica

Formación Profesional Básica

Matemáticas

Formación Profesional Básica

Módulo de Ciencias Aplicadas I

Matemáticas

SERIE RESUELVE

12/03/2014 11:57:12

Cian Magenta Amarillo Negro

Formación Profesional Básica

SERIE RESUELVE

BACHILLERATO

SERIE RESUELVE

BACHILLERATO

Matemáticas

Solucionario Matemáticas

SOLUCIONARIO

SOLUCIONARIO

Matemáticas

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

ES0000000004057 509846_FPB_Cdno_Mat_1_9670.indd 1

BACHILLERATO

BIBLIOTECA DEL PROFESORADO

• Papel y Digital.

12/03/2014 14:21:08

También en

25

material del alumno

Matemáticas Cómo son nuestros libros

FP Básica

FP Básica

La apertura de las unidades es una página única con la información precisa.

Número de unidad y título. Texto introductorio.

En los márgenes, en ocasiones se inlcuyen contenidos relevantes que sirven de apoyo a la comprensión.

Contenidos de la unidad.

En las páginas de actividades, a veces se especifican los pasos necesarios para resolver un ejercicio.

Imagen.

Contextualización (Solo en Matemáticas).

Los contenidos se tratan en pequeñas dosis y siempre acompañando a los ejemplos y ejercicios de aplicación inmediata.

Desarrollo de los contenidos de la unidad.

Actividades.

La penúltima página, Comprueba lo que sabes (idea del Saber hacer) contiene ejercicios finales sobre lo estudiado en la unidad.

Ejemplos en los que se apoya la teoría.

Las ilustraciones contienen aspectos importantes de la teoría.

26

La última página está dedicada a otro tipo de actividades más competenciales, como las enfocadas a trabajar la comprensión lectora o las destrezas TIC. También pueden abordar aspectos lúdico-matemáticos, como en este caso los “cuadrados mágicos”.

27

material del alumno

Matemáticas Cómo son nuestros libros

FP Básica

FP Básica

La apertura de las unidades es una página única con la información precisa.

Número de unidad y título. Texto introductorio.

En los márgenes, en ocasiones se inlcuyen contenidos relevantes que sirven de apoyo a la comprensión.

Contenidos de la unidad.

En las páginas de actividades, a veces se especifican los pasos necesarios para resolver un ejercicio.

Imagen.

Contextualización (Solo en Matemáticas).

Los contenidos se tratan en pequeñas dosis y siempre acompañando a los ejemplos y ejercicios de aplicación inmediata.

Desarrollo de los contenidos de la unidad.

Actividades.

La penúltima página, Comprueba lo que sabes (idea del Saber hacer) contiene ejercicios finales sobre lo estudiado en la unidad.

Ejemplos en los que se apoya la teoría.

Las ilustraciones contienen aspectos importantes de la teoría.

26

La última página está dedicada a otro tipo de actividades más competenciales, como las enfocadas a trabajar la comprensión lectora o las destrezas TIC. También pueden abordar aspectos lúdico-matemáticos, como en este caso los “cuadrados mágicos”.

27

material del PROFESOR

Matemáticas Biblioteca del profesorado

FP Básica

Guías didácticas

Ciencias Aplicadas II RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Formación Profesional Básica

m Mate

2

Programación del Módulo Profesional

/2015

14/10

:07

15:07

Resolución de ecuaciones y sistemas en situaciones cotidianas:

2. Resuelve problemas sencillos de diversa índole, a través de su análisis contrastado y aplicando las fases del método científico.

a) Se han planteado hipótesis sencillas, a partir de observaciones directas o indirectas recopiladas por distintos medios. b) Se han analizado las diversas hipótesis y se ha emitido una primera aproximación a su explicación. c) Se han planificado métodos y procedimientos experimentales sencillos de diversa índole para refutar o no su hipótesis. d) Se ha trabajado en equipo en el planteamiento de la solución. e) Se han recopilado los resultados de los ensayos de verificación y plasmado en un documento de forma coherente. f) Se ha defendido el resultado con argumentaciones y pruebas las verificaciones o refutaciones de las hipótesis emitidas.

Resolución de problemas sencillos:

3. Realiza medidas directas e indirectas de figuras geométricas presentes en contextos reales, utilizando los instrumentos, las fórmulas y las técnicas necesarias.

a) Se han utilizado instrumentos apropiados para medir ángulos, longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas interpretando las escalas de medida. b) Se han utilizado distintas estrategias (semejanzas, descomposición en figuras más sencillas, entre otros) para estimar o calcular medidas indirectas en el mundo físico. c) Se han utilizado las fórmulas para calcular perímetros, áreas y volúmenes y se han asignado las unidades correctas. d) Se ha trabajado en equipo en la obtención de medidas. e) Se han utilizado las TIC para representar distintas figuras.

Realización de medidas en figuras geométricas:

4. Interpreta gráficas de dos magnitudes calculando los parámetros significativos de las mismas y relacionándolo con funciones matemáticas elementales y los principales valores estadísticos.

a) Se ha expresado la ecuación de la recta de diversas formas. b) Se ha representado gráficamente la función cuadrática aplicando métodos sencillos para su representación. c) Se ha representado gráficamente la función inversa. d) Se ha representado gráficamente la función exponencial. e) Se ha extraído información de gráficas que representen los distintos tipos de funciones asociadas a situaciones reales. f) Se ha utilizado el vocabulario adecuado para la descripción de situaciones relacionadas con el azar y la estadística. g) Se han elaborado e interpretado tablas y gráficos estadísticos. h) Se han analizado características de la distribución estadística obteniendo medidas de centralización y dispersión. i) Se han aplicado las propiedades de los sucesos y la probabilidad. j) Se han resueltos problemas cotidianos mediante cálculos de probabilidad sencillos.

Interpretación de gráficos:

5. Aplica técnicas físicas o químicas, utilizando el material necesario, para la realización de prácticas de laboratorio sencillas, midiendo las magnitudes implicadas.

a) Se ha verificado la disponibilidad del material básico utilizado en un laboratorio. b) Se han identificado y medido magnitudes básicas, entre otras, masa, peso, volumen, densidad, temperatura. c) Se han identificado distintos tipos de biomoléculas presentes en materiales orgánicos. d) Se ha descrito la célula y tejidos animales y vegetales mediante su observación a través de instrumentos ópticos. e) Se han elaborado informes de ensayos en los que se incluye el procedimiento seguido, los resultados obtenidos y las conclusiones finales.

Aplicación de técnicas físicas o químicas:

36343.ind

at_2_

uia_M

041 5984

00000010

ES00

• Programación del Módulo

Profesional Ciencias Aplicadas. • Programación Didáctica de Aula. • Fichas de refuerzo y apoyo. • Recursos TIC. • Evaluación. • Solucionarios.

UNIDAD

6

Estas guías contienen:

CONTENIDOS BÁSICOS

a) Se han utilizado identidades notables en las operaciones con polinomios. b) Se han obtenido valores numéricos a partir de una expresión algebraica. c) Se han resuelto ecuaciones de primer y segundo grado sencillas de modo algebraico y gráfico. d) Se han resuelto problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas. e) Se ha valorado la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para representar situaciones planteadas en la vida real.

d 1

77_FPB_G

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Resuelve situaciones cotidianas aplicando los métodos de resolución de ecuaciones y sistemas y valorando la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico.

– Transformación de expresiones algebraicas. – Obtención de valores numéricos en fórmulas. – Polinomios: raíces y factorización. – Resolución algebraica y gráfica de ecuaciones de primer y segundo grado. – Resolución de sistemas sencillos.

– El método científico. – Fases del método científico. – Aplicación del método científico a situaciones sencillas.

– Puntos y rectas. – Rectas secantes y paralelas. – Polígonos: descripción de sus elementos y clasificación. – Ángulo: medida. – Semejanza de triángulos. – Circunferencia y sus elementos: cálculo de la longitud.

– Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. – Funciones lineales. Funciones cuadráticas. – Estadística y cálculo de probabilidad. – Uso de aplicaciones informáticas para la representación, simulación y análisis de la gráfica de una función.

– Material básico en el laboratorio. – Normas de trabajo en el laboratorio. – Normas para realizar informes del trabajo en el laboratorio. – Medida de magnitudes fundamentales. – Reconocimiento de biomoléculas orgánica e inorgánicas. – Microscopio óptico y lupa binocular. Fundamentos ópticos de los mismos y manejo. Utilización.

MATEMÁTICAS 2.° FPB Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

5

REFUERZO Y APOYO

MATEMÁTICAS 2.° FPB Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

FICHA 3

Triángulos y figuras circulares

Nombre:

Curso:

Fecha:

EJERCICIOS PROPUESTOS 1

Clasifica los siguientes triángulos.

2

Halla las longitudes de los lados que faltan en los siguientes triángulos.

a=

13

cm c

b = 8 cm

II adas Aplic cias Cien

tica didác Guía áticas e ulo d Mód

b = 11 cm

3

a

c = 5 cm

Nombra los elementos marcados en azul en la siguiente circunferencia.

4

UNIDAD

O

Identifica los siguientes elementos del círculo.

5

RECURSOS TIC

Figuras planas

Figuras planas

Trivial sobre polígonos

▶ http://cplosangeles.juntaextremadura.net/web/

▶ http://www.testeando.es/test.

edilim/tercer_ciclo/matematicas6/figuras_planas_6/ figuras_planas_6.html

O

O

O

asp?idA=66&idT=silvztjh#

O

Ejercicios ▶ https://recursospcpi.files.wordpress.com/2011/04/

perc3admetros-y-c3a1reas-de-figuras-planasejercicios.pdf Efa Moratalaz

PCPI - Matemáticas

Geometría Plana – Ficha 1 (Ejercicios Cuadrado)

60

MATEMÁTICAS 2.° FPB Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Estudio de figuras planas y cuerpos geométricos ▶ http://recursostic.educacion.es/multidisciplinar/

itfor/web/sites/default/files/recursos/ estudiodefigurasplanasycuerposgeometricos/html/ index.html

Área de un cuadrado:

Perímetro de un cuadrado:

EJERCICIOS 1) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado. 2) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 11,3 m de lado. 3) Averigua el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 29,2 cm. 4) Halla el lado de un cuadrado cuya superficie mide 6,25 centímetros cuadrados.

5) Halla el perímetro deinteractivas un cuadrado cuya superficie mide 10,24 centímetros Teoría con actividades cuadrados.

Perímetros

6) Halla el lado de un cuadrado cuyo perímetro mide 34 m.

▶ http://v2.educarex.es/web/fsanchezm02/figuras7) La diagonal de un cuadrado mide 9 metros. Calcula su área.

planas

▶ http://www.genmagic.org/mates1/per1c.html#

▶ http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/

Teoría y ejercicios ▶ http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/

zonaalumnos/tkPopUp?pgseed= 1264230578078&idContent= 20742&locale=es_ES&textOnly=false

tema509.pdf

62

28

MATEMÁTICAS 2.° FPB Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

7

material del PROFESOR

Matemáticas Biblioteca del profesorado

FP Básica

Guías didácticas

Ciencias Aplicadas II RESULTADOS DE APRENDIZAJE

Formación Profesional Básica

m Mate

2

Programación del Módulo Profesional

/2015

14/10

:07

15:07

Resolución de ecuaciones y sistemas en situaciones cotidianas:

2. Resuelve problemas sencillos de diversa índole, a través de su análisis contrastado y aplicando las fases del método científico.

a) Se han planteado hipótesis sencillas, a partir de observaciones directas o indirectas recopiladas por distintos medios. b) Se han analizado las diversas hipótesis y se ha emitido una primera aproximación a su explicación. c) Se han planificado métodos y procedimientos experimentales sencillos de diversa índole para refutar o no su hipótesis. d) Se ha trabajado en equipo en el planteamiento de la solución. e) Se han recopilado los resultados de los ensayos de verificación y plasmado en un documento de forma coherente. f) Se ha defendido el resultado con argumentaciones y pruebas las verificaciones o refutaciones de las hipótesis emitidas.

Resolución de problemas sencillos:

3. Realiza medidas directas e indirectas de figuras geométricas presentes en contextos reales, utilizando los instrumentos, las fórmulas y las técnicas necesarias.

a) Se han utilizado instrumentos apropiados para medir ángulos, longitudes, áreas y volúmenes de cuerpos y figuras geométricas interpretando las escalas de medida. b) Se han utilizado distintas estrategias (semejanzas, descomposición en figuras más sencillas, entre otros) para estimar o calcular medidas indirectas en el mundo físico. c) Se han utilizado las fórmulas para calcular perímetros, áreas y volúmenes y se han asignado las unidades correctas. d) Se ha trabajado en equipo en la obtención de medidas. e) Se han utilizado las TIC para representar distintas figuras.

Realización de medidas en figuras geométricas:

4. Interpreta gráficas de dos magnitudes calculando los parámetros significativos de las mismas y relacionándolo con funciones matemáticas elementales y los principales valores estadísticos.

a) Se ha expresado la ecuación de la recta de diversas formas. b) Se ha representado gráficamente la función cuadrática aplicando métodos sencillos para su representación. c) Se ha representado gráficamente la función inversa. d) Se ha representado gráficamente la función exponencial. e) Se ha extraído información de gráficas que representen los distintos tipos de funciones asociadas a situaciones reales. f) Se ha utilizado el vocabulario adecuado para la descripción de situaciones relacionadas con el azar y la estadística. g) Se han elaborado e interpretado tablas y gráficos estadísticos. h) Se han analizado características de la distribución estadística obteniendo medidas de centralización y dispersión. i) Se han aplicado las propiedades de los sucesos y la probabilidad. j) Se han resueltos problemas cotidianos mediante cálculos de probabilidad sencillos.

Interpretación de gráficos:

5. Aplica técnicas físicas o químicas, utilizando el material necesario, para la realización de prácticas de laboratorio sencillas, midiendo las magnitudes implicadas.

a) Se ha verificado la disponibilidad del material básico utilizado en un laboratorio. b) Se han identificado y medido magnitudes básicas, entre otras, masa, peso, volumen, densidad, temperatura. c) Se han identificado distintos tipos de biomoléculas presentes en materiales orgánicos. d) Se ha descrito la célula y tejidos animales y vegetales mediante su observación a través de instrumentos ópticos. e) Se han elaborado informes de ensayos en los que se incluye el procedimiento seguido, los resultados obtenidos y las conclusiones finales.

Aplicación de técnicas físicas o químicas:

36343.ind

at_2_

uia_M

041 5984

00000010

ES00

• Programación del Módulo

Profesional Ciencias Aplicadas. • Programación Didáctica de Aula. • Fichas de refuerzo y apoyo. • Recursos TIC. • Evaluación. • Solucionarios.

UNIDAD

6

Estas guías contienen:

CONTENIDOS BÁSICOS

a) Se han utilizado identidades notables en las operaciones con polinomios. b) Se han obtenido valores numéricos a partir de una expresión algebraica. c) Se han resuelto ecuaciones de primer y segundo grado sencillas de modo algebraico y gráfico. d) Se han resuelto problemas cotidianos y de otras áreas de conocimiento mediante ecuaciones y sistemas. e) Se ha valorado la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico para representar situaciones planteadas en la vida real.

d 1

77_FPB_G

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Resuelve situaciones cotidianas aplicando los métodos de resolución de ecuaciones y sistemas y valorando la precisión, simplicidad y utilidad del lenguaje algebraico.

– Transformación de expresiones algebraicas. – Obtención de valores numéricos en fórmulas. – Polinomios: raíces y factorización. – Resolución algebraica y gráfica de ecuaciones de primer y segundo grado. – Resolución de sistemas sencillos.

– El método científico. – Fases del método científico. – Aplicación del método científico a situaciones sencillas.

– Puntos y rectas. – Rectas secantes y paralelas. – Polígonos: descripción de sus elementos y clasificación. – Ángulo: medida. – Semejanza de triángulos. – Circunferencia y sus elementos: cálculo de la longitud.

– Interpretación de un fenómeno descrito mediante un enunciado, tabla, gráfica o expresión analítica. – Funciones lineales. Funciones cuadráticas. – Estadística y cálculo de probabilidad. – Uso de aplicaciones informáticas para la representación, simulación y análisis de la gráfica de una función.

– Material básico en el laboratorio. – Normas de trabajo en el laboratorio. – Normas para realizar informes del trabajo en el laboratorio. – Medida de magnitudes fundamentales. – Reconocimiento de biomoléculas orgánica e inorgánicas. – Microscopio óptico y lupa binocular. Fundamentos ópticos de los mismos y manejo. Utilización.

MATEMÁTICAS 2.° FPB Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

5

REFUERZO Y APOYO

MATEMÁTICAS 2.° FPB Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

FICHA 3

Triángulos y figuras circulares

Nombre:

Curso:

Fecha:

EJERCICIOS PROPUESTOS 1

Clasifica los siguientes triángulos.

2

Halla las longitudes de los lados que faltan en los siguientes triángulos.

a=

13

cm c

b = 8 cm

II adas Aplic cias Cien

tica didác Guía áticas e ulo d Mód

b = 11 cm

3

a

c = 5 cm

Nombra los elementos marcados en azul en la siguiente circunferencia.

4

UNIDAD

O

Identifica los siguientes elementos del círculo.

5

RECURSOS TIC

Figuras planas

Figuras planas

Trivial sobre polígonos

▶ http://cplosangeles.juntaextremadura.net/web/

▶ http://www.testeando.es/test.

edilim/tercer_ciclo/matematicas6/figuras_planas_6/ figuras_planas_6.html

O

O

O

asp?idA=66&idT=silvztjh#

O

Ejercicios ▶ https://recursospcpi.files.wordpress.com/2011/04/

perc3admetros-y-c3a1reas-de-figuras-planasejercicios.pdf Efa Moratalaz

PCPI - Matemáticas

Geometría Plana – Ficha 1 (Ejercicios Cuadrado)

60

MATEMÁTICAS 2.° FPB Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

Estudio de figuras planas y cuerpos geométricos ▶ http://recursostic.educacion.es/multidisciplinar/

itfor/web/sites/default/files/recursos/ estudiodefigurasplanasycuerposgeometricos/html/ index.html

Área de un cuadrado:

Perímetro de un cuadrado:

EJERCICIOS 1) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 3 m de lado. 2) Halla el perímetro y el área de un cuadrado de 11,3 m de lado. 3) Averigua el área de un cuadrado cuyo perímetro mide 29,2 cm. 4) Halla el lado de un cuadrado cuya superficie mide 6,25 centímetros cuadrados.

5) Halla el perímetro deinteractivas un cuadrado cuya superficie mide 10,24 centímetros Teoría con actividades cuadrados.

Perímetros

6) Halla el lado de un cuadrado cuyo perímetro mide 34 m.

▶ http://v2.educarex.es/web/fsanchezm02/figuras7) La diagonal de un cuadrado mide 9 metros. Calcula su área.

planas

▶ http://www.genmagic.org/mates1/per1c.html#

▶ http://www.educa.jcyl.es/educacyl/cm/

Teoría y ejercicios ▶ http://www.clarionweb.es/5_curso/matematicas/

zonaalumnos/tkPopUp?pgseed= 1264230578078&idContent= 20742&locale=es_ES&textOnly=false

tema509.pdf

62

28

MATEMÁTICAS 2.° FPB Material fotocopiable © Santillana Educación, S. L.

7

material del profesor

Matemáticas

Una aplicación multidispositivo que ofrece todos los contenidos, recursos y herramientas necesaria para la enseñanza digital. Descubre esta potente plataforma que te ayudará a desempeñar tu labor docente de una forma más ágil y sencilla, y desde la cual podrás acceder al LibroMedia y el LibroNet de Santillana. El auténtico contenido digital que aprovecha el potencial multimedia para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje. ¡LibroNet, el contenido más digital de Santillana!

El libro de texto digital de Santillana que reproduce el libro de papel de manera interactiva. ¿Aún no conoces LibroMedia?

No necesitas conexión a Internet

Aula Virtual Online

Descargados la aplicación y los contenidos, no necesitarás conexión para trabajar. Aula Virtual cuenta, además, con una versión online.

La versión online de Aula Virtual es compatible con la gran mayoría de dispositivos, incluso con los más novedosos, como los Chromebook. www.aulavirtual.santillana.es

• Presentación y organización de

contenidos totalmente personalizables. • Gran cantidad de recursos interactivos como vídeos, animaciones, objetos 3D, etc. • Numerosas herramientas que transforman el contenido textual en elementos activos. A  • cceso a enlaces recomendados por su interés educativo. • Disponible para Primaria, Secundaria y Bachillerato. • Disponible en dos versiones: profesor y alumno.

• Navegación fácil e intuitiva. • Disponible en dos versiones: profesor

y alumno. • Con amplias opciones de personalización en el Aula Virtual de Santillana, que te permitirán añadir tus propios contenidos. • Con numerosos recursos multimedia organizados por unidades y herramientas que facilitan la exposición didáctica. • Disponible para la mayoría de asignaturas de Primaria, Secundaria y FP Básica y para todos los cursos.

Te ayuda en tu día a día

Creas tus propios materiales

Te ofrece numerosas herramientas que facilitan tu labor, como el corrector de deberes digitales o el generador de exámenes.

Podrás personalizar y generar tus propios contenidos digitales y enviárselos a tus alumnos.

¡PRUEBA UNA DEMO! Consulta los requisitos técnicos de Aula Virtual de Santillana.

Recorre Aula Virtual de Santillana y descubre todas su funciones en:

30

Prueba una demo en:

Prueba una demo en:

www.digital.santillana.es

www.digital.santillana.es

www.digital.santillana.es

31

material del profesor

Matemáticas

Una aplicación multidispositivo que ofrece todos los contenidos, recursos y herramientas necesaria para la enseñanza digital. Descubre esta potente plataforma que te ayudará a desempeñar tu labor docente de una forma más ágil y sencilla, y desde la cual podrás acceder al LibroMedia y el LibroNet de Santillana. El auténtico contenido digital que aprovecha el potencial multimedia para enriquecer la enseñanza y el aprendizaje. ¡LibroNet, el contenido más digital de Santillana!

El libro de texto digital de Santillana que reproduce el libro de papel de manera interactiva. ¿Aún no conoces LibroMedia?

No necesitas conexión a Internet

Aula Virtual Online

Descargados la aplicación y los contenidos, no necesitarás conexión para trabajar. Aula Virtual cuenta, además, con una versión online.

La versión online de Aula Virtual es compatible con la gran mayoría de dispositivos, incluso con los más novedosos, como los Chromebook. www.aulavirtual.santillana.es

• Presentación y organización de

contenidos totalmente personalizables. • Gran cantidad de recursos interactivos como vídeos, animaciones, objetos 3D, etc. • Numerosas herramientas que transforman el contenido textual en elementos activos. A  • cceso a enlaces recomendados por su interés educativo. • Disponible para Primaria, Secundaria y Bachillerato. • Disponible en dos versiones: profesor y alumno.

• Navegación fácil e intuitiva. • Disponible en dos versiones: profesor

y alumno. • Con amplias opciones de personalización en el Aula Virtual de Santillana, que te permitirán añadir tus propios contenidos. • Con numerosos recursos multimedia organizados por unidades y herramientas que facilitan la exposición didáctica. • Disponible para la mayoría de asignaturas de Primaria, Secundaria y FP Básica y para todos los cursos.

Te ayuda en tu día a día

Creas tus propios materiales

Te ofrece numerosas herramientas que facilitan tu labor, como el corrector de deberes digitales o el generador de exámenes.

Podrás personalizar y generar tus propios contenidos digitales y enviárselos a tus alumnos.

¡PRUEBA UNA DEMO! Consulta los requisitos técnicos de Aula Virtual de Santillana.

Recorre Aula Virtual de Santillana y descubre todas su funciones en:

30

Prueba una demo en:

Prueba una demo en:

www.digital.santillana.es

www.digital.santillana.es

www.digital.santillana.es

31

EDUPACK

Compartir el conocimiento es el mejor medio para alcanzarlo. Presentamos e-vocación, un programa exclusivo para profesores usuarios de nuestros materiales. Es un espacio donde descubrir nuevas propuestas, compartir experiencias y encontrar material adicional para completar las clases. Además, en la Biblioteca del profesorado puedes obtener materiales de tu interés, como los solucionarios, guías, recursos multimedia, etc. Todo esto a través de una web de fácil usabilidad, participativa y que cuenta con la máxima calidad de contenidos, donde encontrarás recursos, formación y un programa de puntos en el que se te recompensará por tu fidelidad.

¿Quieres ver muestras de todos nuestros materiales de manera digital antes de recibirlas en formato papel? Entra en Edupack y podrás profundizar en cada materia y descubrir todos los recursos pedagógicos que se incluyen en cada curso.

¡Permanece atento, pronto colgaremos las novedades para este curso!

¡Seguro que querrás visitarla asiduamente para ver todas sus novedades!

Entra y descubre

www.santillana.es/es/w/edupack/ Entra y regístrate en

www.e-vocacion.es

32

33

EDUPACK

Compartir el conocimiento es el mejor medio para alcanzarlo. Presentamos e-vocación, un programa exclusivo para profesores usuarios de nuestros materiales. Es un espacio donde descubrir nuevas propuestas, compartir experiencias y encontrar material adicional para completar las clases. Además, en la Biblioteca del profesorado puedes obtener materiales de tu interés, como los solucionarios, guías, recursos multimedia, etc. Todo esto a través de una web de fácil usabilidad, participativa y que cuenta con la máxima calidad de contenidos, donde encontrarás recursos, formación y un programa de puntos en el que se te recompensará por tu fidelidad.

¿Quieres ver muestras de todos nuestros materiales de manera digital antes de recibirlas en formato papel? Entra en Edupack y podrás profundizar en cada materia y descubrir todos los recursos pedagógicos que se incluyen en cada curso.

¡Permanece atento, pronto colgaremos las novedades para este curso!

¡Seguro que querrás visitarla asiduamente para ver todas sus novedades!

Entra y descubre

www.santillana.es/es/w/edupack/ Entra y regístrate en

www.e-vocacion.es

32

33

1212606

Síguenos en:

www.santillana.es

Estamos a tu disposición ANDALUCÍA OCCIDENTAL

CASTILLA Y LEÓN

GALICIA

Sevilla

León

A Coruña

Polígono Industrial Carretera Amarilla C/ Rafael Beca Mateos, 3. Local 2 41007 Sevilla Tel.: 95 499 97 33. Fax: 95 451 20 88

C/ Maestro Nicolás, 41. 24005 León Tel.: 987 87 60 17. Fax: 987 22 53 77

Cádiz

Tels.: 947 21 00 69 / 947 21 21 31

Centro de Negocios «Mans» Polígono Pocomaco – Parcela D-22 – Local 55. 15190 Mesoiro. (A Coruña) Tel.: 981 08 17 66. Fax: 981 08 11 03

Tel.: 956 56 96 24

Córdoba

Burgos Salamanca Tel.: 923 19 36 51

Tel.: 957 43 60 62. Fax: 957 44 05 97

Valladolid

ANDALUCÍA ORIENTAL

Tel.: 983 34 57 20. Fax: 983 34 45 62

Málaga

CASTILLA-LA MANCHA

C/ Paquiros, 32, Polígono Industrial San Luis, 29006 Málaga Tels.: 95 224 45 87 / 95 224 45 88 Fax: 95 224 43 92

Ciudad Real

Granada Tel.: 958 43 00 09

Jaén Tels.: 953 28 11 14 / 953 28 08 70 Fax: 953 28 13 77

Pasaje San Vicente Ferrer, 1 13004 Ciudad Real Tel.: 926 22 89 87. Fax: 926 22 89 40

Albacete Tels.: 967 24 90 74 / 967 21 07 85

CATALUNYA Barcelona

Tel.: 950 30 64 60. Fax: 950 30 61 93

C/ Frederic Mompou, 11. (Vila Olímpica) 08005 Barcelona Tel.: 93 230 36 00. Fax: 93 221 26 00

ARAGÓN-LA RIOJA

Girona

Almería

Zaragoza Parque Industrial El Polígono Avda. Santa Ana, 14 50410 Cuarte de Huerva (Zaragoza) Tel.: 976 46 30 60. Fax: 976 50 36 83

ASTURIAS-CANTABRIA Asturias Polígono de Asipo Travesía 3. Parcela 50. Nave 10 33428 Cayés (Llanera) Tel.: 985 20 75 13. Fax: 985 20 58 23

Cantabria Tel.: 942 22 32 95. Fax: 942 22 24 09

ILLES BALEARS C/ Gremi de Teixidors, 26. Local 11. 1.º 07009 Palma Tel.: 971 76 08 82. Fax: 971 75 56 77

CANARIAS Las Palmas C/ El procesador, 7 Urbanización Industrial Ajimar. Jinámar. 35220 Telde. (Las Palmas) Tel.: 928 70 90 55. Fax: 928 71 43 73

Tel.: 972 40 17 33. Fax: 972 40 17 33

Lugo Tel.: 982 21 91 20

Ourense Tel.: 988 22 74 73. Fax.: 988 22 93 97

Vigo Tel.: 986 41 48 22. Fax: 986 41 35 73

MADRID Avenida del Majuelo, 34 Polígono Industrial “La Postura” 28343 Valdemoro (Madrid) Tel.: 902 40 20 12. Fax: 91 495 88 82

MURCIA Avda. Francisco Salzillo. Parcela 30-22 Polígono Industrial Oeste 30169 San Ginés (Murcia) Tel.: 968 37 99 39. Fax: 968 88 57 93

COMUNIDAD VALENCIANA Valencia

Tarragona

C/ Valencia, 44. 46210 Picanya. (Valencia) Tels.: 96 159 43 90 / 96 159 43 91 Fax: 96 159 25 17

Tel.: 977 33 34 40. Fax: 977 31 10 52

Alicante

Lleida Tel.: 973 21 27 50. Fax: 973 20 50 34

EUSKADI-NAVARRA Bizkaia Legizamon poligonoa. Gipuzkoa Kalea, 31 48450 Etxebarri (Bizkaia) Tel.: 94 426 90 22. Fax: 94 440 52 14

Prolongación Rosa de los Vientos, 62 Polígono Industrial Llano del Espartal 03007 Alicante Tel.: 96 510 15 90. Fax: 96 510 15 92

Gipuzkoa Tels.: 943 26 11 84 / 943 26 07 99

Navarra Tels.: 948 13 23 11. Fax: 948 12 50 42

EXTREMADURA Cáceres C/ Amberes, 12-14. 10005 Cáceres Tels.: 927 23 65 87 / 927 23 65 96 Fax: 927 23 63 59

Badajoz Tel.: 924 24 77 24. Fax: 924 26 08 50

Tenerife Polígono El Mayorazgo Parcela 14 A, N 2, 17 B. (Frente a UNELCO) 38010 Santa Cruz de Tenerife Tel.: 922 21 05 83. Fax: 922 21 04 30

Fuerteventura Tel.: 615 03 60 25

EL IMPULSO QUE NECESITA SU FUTURO

Matemáticas cATÁLOGO ESO - BACHILLERATO