Examen Final De Mecanica Cuantica

Mecánica Cuántica Examen final 10/2/2015 Notar: total de puntos = 11, aprobado ≥ 6,6.

Problema 1 (2 puntos) Una partícula evoluciona en un hamiltoniano H, y su vector de estado es |α, t0 , ti. Se ˜ = H + V0 , donde V0 es una constante. considera un nuevo hamiltoniano, H ˜ (1 punto) 1. Encontrar el estado |˜ α, t0 , ti de la partícula a tiempo t en el hamiltoniano H. 2. Sea A un observable, encontrar el valor de expectación de A en el estado |˜ α, t0 , ti como función del valor de expectación de A en el estado |α, t0 , ti. (1 punto)

Problema 2 (3 puntos) 1. De las relaciones fundamentales de conmutación muestre que si F y G son funciones que pueden expresarse como series de potencias en sus argumentos entonces [xi , G(p)] = i~

∂G , ∂pi

[pi , F (x)] = −i~

∂F . ∂xi

(1 punto)

2. El operador traslación para un desplazamiento finito está dado por   ip · d T (d) = exp − , ~ donde p es el operador momento lineal. Evaluar [xi , T (d)].

(1 punto)

3. Usando el resultado del punto anterior encontrar cómo cambia el valor de expectación de la posición, hxi, bajo una traslación en d. (1 punto)

Problema 3 (2 puntos) Sea J el operador momento angular. 1. Usando las relaciones de conmutación y la definición J± := Jx ± iJy probar que J 2 = Jz2 + J+ J− − ~Jz . (1 punto) 2. Encontrar los coeficientes c± que aparecen en las relaciones J± |j, mi = c± |j, m ± 1i. (1 punto)

Problema 4 (4 puntos) 1. Considere un ensamble puro de partículas de spin 21 . Suponga conocidos los valores de expectación hSx i y hSz i, y el signo de hSz i. Determine el vector de estado. (1 punto) 2. Considere un ensamble mezcla de partículas de spin 21 . Suponga conocidos los valores de expectación de ensamble [Sx ], [Sy ] y [Sz ]. Determine la matriz densidad del ensamble. (1 punto) 3. Considere un ensamble mezcla de partículas de spin 1. ¿Cuántos parámetros reales se necesitan para determinar la matriz densidad? (1 punto) 4. Del punto anterior, si se conocen [Sx ], [Sy ] y [Sz ], ¿qué más hace falta conocer para caracterizar completamente el ensamble. (1 punto)

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