Fisica

EDITORIAL MONFORT

FÍSICA 9

I

j Derechos reservados conforme a la Ley. Copyright ©por Editorial Monfort SRL. Caracas, Venezuela. Lapresentación!i9isposición generalde este li~w,así como susilusfraciofiN, IOn ~ del. E~ito~ lo ~nto, no puede serreproducidopor ningún mecanismo de Impretl6n 'in 11 alitOnzacljlte«tlAa de/lfJsmo. . ~

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Fcitot!o.ifJ1fQiíb@rfY jfqotie: Gabriel Rosas~. , .... E~~p;p4tlC#d~~YiPi@'!,aJlor: Lic. Willi,m Hil1d. M. ·0c:~~ .. ,.> _ .:X ~;i ::'1 ~ ~

ISBN9Sa-6186.-&l..X- ;;;~ ~? ~ (Cf~riigno 8i$ij~;-A~~~bala. 1998 HeQIiP el d§pósito.tle:lff. ':j

D~ítq',1~ga.l: If4.z~-t99a$301852 :'r; •

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1ra~'~dició~:_~ ~~ t:. Impreso enVe"neftWla por: P, licaciones Monfort C.A.

PROLOGO

A continuación presentamos este nuevo texto de Física que ha sido elaborado tomando en cuenta los objetivos y las estrategias metodológicas contenidas en el programa oficial vigente, con la finalidad de complementar el trabajo realizado en aula. La Física es una ciencia que estudia los fenómenos de la Naturaleza y las interacciones entre los cuerpos; podemos decir que es un gran auxiliar de las demás ciencias experimentales y contiene una serie de leyes que constituyen la base de las aplicaciones prácticas de las fuerzas naturales, de ahí su gran importancia y el empeño que hemos puesto en su explicación de una manera sencilla y natural. Este libro ha sido dividido en cinco unidades tomando en cuenta lOS puntos en él tratados: Mecánica, que abarca lo relativo al movimiento, la fuerza y el equilibrio; Calorimetría, trata lo relacionado al calor, la temperatura, la transferencia de energía térmica; Acústica, se desarrolla la parte del sonido y sus efectos; Electricidad y magnetismo, se tratan en general los fenómenos de 'electrización íj magnetización de los cuerpos, sus interacciones y circuitos eléctricos simples; Optica. se estudia el comportamiento de la luz, sus propie. dades y un boceto sencillo sobreálgunos instrumentos ópticos. Cada un,id~d, anteriormente pitacj,a, se ha desarrollado por capítulos y , dada- unodeellcis'en tres pártes:teo,m~-(jonde se expone de una manera senci- " 'tila 'las-leyes,'querigen'lbs fenómenós naturales y se presentan;:numero$os' ejemplos ilustrados para facilitar la comprensión de las mismas; problemas resueltos, esta sección contiene ejemplos resueltos para reforzar los aspectos teóricos expuestos, así como su aplicaciq,qpráctica; la última sección, problemas propuestos complementanla~"~",r¡\Í~rib~res,cada p~oblema va acompañado de su respectiva respuesta para facilitar y orientar la labor del educando. El primer capítulo, Pre-requisitos, contiene una serie de puntos, que consideramos necesarios tratar previamente para así facilitar e,l, desarrollo de los capítulos posteriores. Deseamos que este texto sea de gran utilidad para el alumno y un refuerto a la labor desarrollada por el docente.

Los autores

----------------------

Objetivos programáticos

Estudiar distintas manifestaciones y formulaciones del movimiento y del equilibrio mecánico, mediante descripciones sistematizadas y análisis de gráficas de los parámetros y magnitudes físicas involucradas, para adquirir aquellos conceptos básicos de la cinemática y la estática que sean de uso frecuente en la vida diaria.

l.

1. Establecer las características y regularidades cinemáticas X = X(t) y V = V(t), en el movimiento rectilíneo uniforme de diversos cuerpos físicos, mediante la realización y demostración de experiencias reales y simuladas que se ilustren con el uso de esquemas y gráficas, para ejercitarse en el manejo del análisis cinemático del movimiento rectilíneo uniforme.

2. Establecer las características y regularidades cinemáticas del movimiento rectilíneo uniforme variado, mediante la interpretación física de su formulación matemática y del análisis gráfico respectivo, para ejercitarse en el manejo del análisis cinemático de dicho movimiento y aplicarlo a situaciones de la vida real. -

3. Analizar situaciones físicas cualitativas y cuantitativas, a través de ejemplificaciones, resolución de problemas y la realización de actividades prácticas y de laboratorio, que ilustren y confirmen la aplicación efectiva de los conceptos y formulación del movimiento uniforme y variado, que permitan adquirir un dominio en el uso de expresiones matemáticas, realización de cálculos e interpretaciones físicas de los resultados.

4. Desarrollar una primera aproximación a las ideas básicas de la dinámica del movimiento y el equilibrio físico, mediante la descripción de experiencias que muestren cualitativa y cuantitativamente la relación entre la fuerza aplicada a un cuerpo y el cambio que este experimenta, para adquirir un dominio en el manejo de los conceptos de causa-efecto, interacción y fuerzas físicas en la naturaleza y en la realización de cálculos sencillos utilizando la Segunda y Tercera Ley de Dinámica.

5. Realizar una descripción de las ideas y principios fundamentales de la estática, mediante exposiciones demostrativas y desarrollo de ejemplos que, en situaciones de equilibrio, permitan aplicar correctamente los conceptos físicos.

6. Aplicar los conceptos básicos de la estática a situaciones de la vida real, mediante la realización de ejercicios y la solución de problemas teóricos y prácticos del reposo y equilibrio de cuerpos físicos, para ejercitarse en la realización de cálculos y en el manejo efectivo de procedimientos manuales sencillos y cotidianos.

11.

Estudiar la transferencia de la energía térmica entre cuerpos distintos, mediante la realización de experimentos con cuerpos que se encuentren a temperaturas diferentes yanálisis de sUuaciones análogas, con el objeto de adquirir los conceptos de temperatura, calor y capacidad calórica, que le permitan aplicarlos al tratar problemas físicos de su ambiente.

7. Estudiar los fenómenos de dilatación de los cuerpos y cambios de fases en la materia mediante la realización de experimentos reales controlados, con el objeto de determinar relaciones cualitativas y cuantitativas entre las magnitudes que experimentan cambios.

8. Realizar experiencias relacionadas con el equilibrio térmico entre cuerpos que en contacto intercambien calor a temperaturas diversas, las cuales conduzcan a la adquisición de habilidades y destrezas en la diferenciación del equilibrio y no equilibrio térmico, así como el reconocimiento de la capacidad calórica de los cuerpos a fin de aplicar estos conocimientos en la resolución de problemas relacionados con mediciones' y cálculos de temperatura, cuyas soluciones puedan ser transferidas a situaciones de la vida real. 9.

Realizar experimentos con cuerpos de masas distintas cuyas temperaturas puedan mantenerse constante y construir gráficas asociadas a ellos, con el fin de interpretar y determinar las condiciones necesarias que se requieren para mantener constante la temperatura de un cuerpo determinado, independiente de su masa.

10. Analizar situaciones relacionadas con la transferencia de energía térmica de un cuerpo a otro, imaginando los objetos físicos e interacciones más diversas, así como analogías ficticias con tramas vinculadas a la vida diaria, a fin de relacionar las representaciones imaginarias involucradas con los fenómenos asociados al calor para disfrutar del libre juego de su capacidad imaginativa.

111.

Proporcionar un conjunto de experiencias y conocimientos teórico-prácticos acerca del sonido, mediante la consideración de situaciones reales e imaginarías donde se utilícen objetos, instrumentos y aparatos que produzcan efectos acústicos, con el fin de comprender el comportamiento y naturaleza de las ondas sonoras.

11. Explicar las propiedades, comportamiento y efectos del sonido en sólidos, líquidos y gases, mediante la realización de experiencias que conduzcan a la determinación de las magnitudes, unidades y regularidades de las ondas sonoras. 12. Analizar efectos sonoros a partir de situaciones reales e imaginarias, con el fin de dar interpretaciones físicas adecuadas de los fenómenos físicos involucrados. .! f

13. Producir sonidos de diferentes amplitudes, frecuencias y armónicos, mediante la construcción y uso de diferentes instrum~$t()s musicales: diapasón, cuatro, guitarra, flauta, violín, sinfonía, tambor, timbal; con el fin de determinar la relación de dependencia entre las características de las ondas sonoras y las cualidades del sonido para despertar su aprecio por el arte musical.

IV.

Estudiar el comportamiento y las propiedades de diversos cuerpos físicos electrizados e imanados, mediante la realización de experiencias reales que ilustren interacciones eléctricas y magnéticas, con el fin de determinar magnitudes y establecer relaciones y regularidades de estas interacciones, que conduzcan a la comprensión de los conceptos e ideas básicas de la electricidad y el magnetismo.

14. Analizar el comportamiento de cuerpos físicos electrizados e imanados cuando interactivan separadamente y entre sí, mediante la realización de experimentos con cuerpos cargados e imanados, que permitan comprender la naturaleza y establecer las propiedades de las interacciones eléctricas y magnéticas. "

I

Contenido

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1,

8

I Propagación

10

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de~~a~~.e~~~~i~:~~~C~~jOcalórico. Reservo- 1

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1 Ond~¡;

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de temperatura.

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$QtH:Er:ijS.

.

I O~da~. Propiedades. Ondas sonoras. Velocidad del soni- I

Ido. Cualidades del sonido: intensidad, tono y timbre.

II

I

I 10 ! Teoría

!

11

física de la música.

I E¡~Ctfo~tét¡c!@¡ 'i !iH$~r!leti5mo.

14 Y l '

.-

- ~~--~-----

--~...¡.¡ 125

i Naturaleza y propiedades de las interacciones eléctricas y

1 ',."!,I..

1magnéticas. Carga eléctrica. Fuerza de interacción eléc1trica y magnética. Estructura eléctrica y magnética de los

-

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13

Corriente eiéctrica. Potencial eléctrico. Resistencia eléc-

í

trica. Potencia eléctrica. Unidades.

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II

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17 Y

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155

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I

1

! Naturaleza de la luz. Propagación. Velocidad de propaga- !

,!,

--._~-~~ 175

I l

I

I ción de la luz. Reflexión;:ltormación de imágenes en espe- ¡

1jos planos. Formación de imágenes en espejos esféricos. 1

,1,,;.,

1 Refracción. Angula límíte:Prisma. Lentes. Formación de I

! imágenes con

lentes.

1

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14

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I

I~~~I~~f:';i~~a

visión. Defectos de la visión y correctiv"".

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1La lupa. El microscopio. El anteojo astronómico y el terres- ¡

I - ------------;

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201

I 1

fee_~_:=:~:~~PiO' El telescopio. El proyector diascópico y! ~._J

1

Potencias de 10. Notación cientffica. Despejes. Construcción de gráficas. Magnitudes ffsicas. Vectores. Operaciones con vectores.

PRE-REQUISITOS

Operaciones con potencias de 10. En muchos cálculos prácticos y particularmente en la Física, nos vemos obligados a utilizar potencias de 10, por ello presentamos el

siguiente cuadro con las principales leyes de la potenciación.

OPeración

Desarrono

Cociente de dos potencias

am

-- = am -" a"

Potencia·Ode .potencia ,=' __ :' ( a) "a" _ _

o

b

b"

(a . b) "=a" ;ob"

• 10- 3 = 0,001

Cuando el valor de a ó b es 10, estamos hablando de potencias de 10. Veamos algunos ejemplos.

.10- 2 = 0,01

.103 = 1000 • 105 = 100 000

• -

• 10", n e N ::::: 1~ ... Q.

• -

1

104 1

10"

n veces

9

= 10- 4 = 0,0001 .

,n e N = 10-" = 0.000 ... 01 '--T

"

(n -1) veces

Resolvamos algunos ejemplos aplicando las leyes de potenciación:

Expresemos en forma de potencia los siguientes números:

Orden de magnitud. Expresar una determinada cantidad en función del orden de magnitud de la misma, es un recurso muy utilizado por los científicos en los casos en que dichas cantidades sean extremadamente grandes o pequeñas. Un ejemplo lo tenemos cuando se dice que el orden de magnitud de la vida de una estrella es de 1020 segundos. Observa que la potencia de 10 no está multiplicada por un número real menor que diez, es decir no está expresado en notación científica; la razón es sencilla, la potencia es tan grande que el utilizar la .notación científica no suministra ninguna información adicional. Para determinar el orden de magnitud de un número nos basamos en la notación científica del mismo y utilizamos los siguientes criterios: • Si a < 5 el orden de magnitud viene dado por la potencia de 10 del número. • Si a > 5 el orden de magnitud lo obtenemos sumándole 1 al exponente de la potencia de 10.

Observemos que cada uno de los ejemplos anteriores lo escribimos como el producto de un número real, comprendido entre 1 y 10, y multiplicado por una potencia de 10. Cuando expresamos un número utilizando el criterio anterior decimos que utilizamos la .notación científica.

• SI a = 5 podemos aplicar cualquiera de los criterios anteriores.

Veamos los siguientes ejemplos:

En general, un número de la forma a X 10b está escrito en notación científica si cumple las condiciones siguientes:

Expresemos en notación científica los siguientes números:

Debemos recordar que: b es positivo si corremos la coma hacia la izquierda y será . negativo si la corremos a la derecha. 10

El orden de magnitud de un número e. la potencia de diez con exponente entero que más se aproxime al número.

Despejes de variables en fórmulas.

Vo t lo pasamos restando al primer miembro. 2 x - 2 Vo t = a t 2

Una fórmula es la expresión matemática de una ley o principio. En ellas se cumplen las mismas propiedades que en las ecuaciones y basándonos en ellas podemos despejar la variable pedida. • Despejemos b en A = (S + b) h. 2

=

+

(B

12 • -/Vot _ a I • En E = mgh +

m v2

2

despejemos m.

Eliminamos denominadores. 2 E = 2 mgh

+

m v2

Sacamos factor común m en el segundo mi'embro.

Eliminando denominadores tenemos: 2A

t2 pasa dividiendo al primer miembro.

b) h

2E

h, está multiplicando en el segundo miembro, pasa al primero dividiendo.

=

m (2 gh

+ v2)

2 gh + v2 lo pasamos dividiendo.

12 g~ ~ v' - mi

2A -=S+b h S, está sumando en el segundo miembro, pasa restando al primero. 2A - - B= b h

1r---2-A---B-h~1

o b .

Construcción de gráficas.

h

Para la construcción de una gráfica debemos conocer los puntos por donde pasa la misma, representarlos en el plano y unirlos. Veamos rápidamente la forma de hacerlo.

1 1 1 • Despejemos a en - = - + f a b 1

b

• Representación de puntos en el plano.

pasa restando al otro miembro

El espacio de dos dimensiones lo podemos referir a un sistema de ejes coordenados cartesianos, el eje horizontal es el de las abscisas y el vertical el de las ordenadas. El punto de intersección de los ejes determina el origen de coordenadas (O)

Eliminamos denominadores multiplic~ndo la ecuación por el m.c.m. de los mismos' (m.c.m.= f.b.a)

Cualquier punto del plano queda determinado por un par ordenado, el primer número del par corresponde a la abscisa y el segundo número corresponde a la ordenada.

ba-fa=fb Sacamos factor común a. a(b-f) = f b

Representemos los siguientes puntos: A (3, 4); B (- 2, 1); C (- 3, 1), D (2, - 2); E (O, 5) Y F (- 4, O).

I~ I .

(b - f) pasa al segundo miembro dividiendo. a.

lb b-f

a

t

Una vez que hemos trazado los ejes y divididos según la escala escogida, seguimos estos pasos:

2

• En x = Vo t +-2-despejamos a.

- Representamos en el eje de las abscisas la primera componente del par y en el de las ordenadas la segunda. - Por cada punto señalado en el eje trazamos una perpendicular.

Eliminamos denominadores multiplicando la ecuación por 2. 2 x = 2 Vo t

+ a t2 11

- La intersección de las perpendiculares determina el punto.

En general podemos decir que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al graficarlas obtenemos una recta que pasa por el origen. El cociente entre ambas magnitudes es la llamada constante de proporcionalidad, en nuestro ejemplo anterior la función que las relaciona viene dada por:

3

h=- v 10

3 ( 10

•

3

6

9

12

18

Volumen (ce)

10

20

30

40

60'

de proporcionalidad. )

Pendiente de una recta.

La pendiente de una recta la podemos definir como la relación constante que existe entre el incremento de ordenadas y el de abscisas. Se representa por la letra m y la definimos operacional mente como:

La siguiente tabla corresponde a las mediciones efectuadas del volumen vertido de líquido en un recipiente y la altura alcanzada. Altura (cm)

= constante

siendo (x1, Y1)Y (x 2 , Y2) dos puntos pertenecientes a la recta. Apliquemos la fórmula de la pendiente a nuestro ejemplo.

Representemos los datos obtenidos en un sistema de ejes cartesianos (v - h).

Para ello seleccionamos dos puntos cualesquiera, por ejemplo (10, 3) Y (30, 9). D.. h m=--= D..V m=

9-3 30 -1 O

h2 - h1

6

3

20

10

= --=--

La pendiente calculada coincide con la constante de proporcionalidad. En conclusión podemos afirmar que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando las podemos expresar de la forma f(x) = mx, siendo m la constante de la proporcionalidad. Esta función es lineal ya que el grado de la variable es uno. Observa que al unir los puntos obtenemos una recta que pasa por el origen de coordenadas. Analizando los datos observamos que las dos magnitudes están directamente relacionadas, a doble volumen doble altura, triple volumen triple altura, etc., es decir, son directamente proporcionales.

Representemos gráficamente Y

=

2x

Como el grado de la variable es uno sabemos que su representación gráfica es una recta; por ello, sólo necesitamos conocer dos puntos que pertenezcan a la misma. 12

Construyamos una tabla de datos, para ello asignamos valores arbitrarios a x y calculamos su correspondiente y.

x 1 2

= 2x Y = 2 (1) = 2 Y = 2 (2) = 4

Construyamos la gráfica.

(x, y)

y

(1, 2) (2, 4)

Representemos los puntos obtenidos en el plano y tracemos la gráfica.

la función afín es una función de la forma y = mx + b donde m representa el valor de la pendiente y b el punto donde la recta corta al eje y.

Aplicando lo anterior, de la función: Y=3x-4 podemos decir que:

La pendiente de la recta es 2. ¿Por qué?

m=3 b = - 4

•

->

pasa por el punto (O, - 4)

En el caso particular de que b = O la ecuación y = m x + b queda reducida a y = m x cuya representación vimos en el punto anterior.

Función afín.

Representemos y = 3 x - 4 Sabemos que la representación gráfica es una recte¡ pues el grado de la variable, tanto dependiente como independiente, es uno.

•

Estas funciones donde el producto de las variables es siempre una constante, corresponden a variables que son inversamente proporcionales.

Determinemos dos puntos de la recta.

x O 2

y= 3x - 4

Funciones de la forma x y = K.

A partir de la siguiente tabla construyamos la gráfica.

(x. y)

y= 3'0-4=-4 ( 0.-4)

x

0,5 1 Y 120 60

y=3-2-4= 2 ( 2.2) 13

2 30

3 20

4

15

5 12

Como el grado de la variable independiente (x) es dos, la función y = ax2 + bx + e recibe el nombre de función cuadráfica y su representación es una curva llamada parábola. En matemática verás el estudio detallado de esta función.

y 120 le

i' I

t "

1:'

r' 1 I

-60 _-._: ...__~i I 1\ " ti'

.:

1

I

I

.

~~ ~ r-t---.-T~~:~~~~.~~. __ , __ ,

10

'. · .

I

i

0;5 1

2

I

3"

I

I

=

1

4

Funciones de la forma y = a x 2 2

Representemos la función y = x

Una magnitud es una propiedad que Interviene en los fenómenos que observamos y que puede ser medible. La cuantra de . esta propiedad puede variar de un momento a otro o de un fenómeno a otro y dependiendo de la especie de la magnitud escogeremos la unidad de medida adecuada.

+ b x + c. -

5x

Al efectuar una medida y expresar el resultado obtenido estamos indicando la cantidad de veces que está contenida la unidad de medida ~n el objeto o fenómeno medido.

+4

Para ello construyamos una tabla asignándole valores a la variable x.

x

o

y

4

1 O

234 '-2 -2 O

y unidades_

La longitud, el área, el tiempo, el volumen, la fuerza, la velocidad son algunos ejemplos de estas magnitudes. .

Efectuando el producto entre los correspondientes de cada par, observamos que siempre es constante e igual a 60. Luego la función será x y = 60.

•

fís~cas

De la observación de los fenómenos ffsi· cos naturales nacen los conceptos abstractos de las diversas "magnitudes.

(6.12)

~~~~~..• ,'

==1":.,':.-.-..--1-.---.--:-.-:.:.:,=:,. -,¡;o:--~., I

O

._I

Magnitudes

5

Según la naturaleza de las magnitudes podemos clasificarlas en fundamentales y derivadas. Veamos brevemente cada una.

5/2

4 -25/4

a) Magnitudes fundamentales.

¡fl

Entendemos por magnitudes fundamentales aquellas que para estar perfectamente definidas no necesitan de otras. Ejemplos de éste tipo de magnitud los tenemos en el cuadro que se presenta a continuación.

y JO

:9

8'7

Ademas de las mencionadas, las más conocidas por tí hasta ahora, podemos nombrar la intensidad de la corriente eléctrica, la temperatura, la cantidad de sustancia y la intensidad de la luz. 14

b) Magnitudes derivadas.

Vectores,

Las magnitudes derivadas son aquellas que están definidas en función de otras. Algunos ejemplos de estas magnitudes los tenemos en la superficie, el volumen, la velocidad, la fuerza, etc. Veamos un ejemplo. Si deseamos calcular el área de un terreno de forma rectangular procedemos de la siguiente manera: medimos el largo y el ancho del mismo y multiplicamos los resultados obtenidos. El área es la medida de la superficie (S), y el largo y el ancho corresponden al concepto de espacio, medida de longitud; como lo que nos interesa es la dimensión de la magnitud superficie la expresamos en función de la dimensión de espacio. Así:

En cursos anteriores, en la asignatura matemática, ya has estudiado los vectores; en física el empleo de ellos simplifica y facilita el análisis de muchos fenómenos. Recordemos rápidamente algunos puntos importantes: Vector en general lo definimos como un segmento de recta orientado y distinguimos en él los siguientes elementos: El origen o punto de aplicación (A). La dirección, determinada por la recta que lo contiene (1). El sentido, indicado por la flecha en su extremo (de A hacia B). La magnitud o módulo, distancia entre el origen y el extremo lAS I

S = [L] [L] = [L2]

Otra clasificación de las magnitudes físicas.'

/e

,

"

Cuando se efectúa una medición, al resultado numérico obtenido le añadimos las unidades correspondientes; ejemplos de esto son 60 cm; 30°C; 12 mIs; 75 kg; 3,5 h, etc.

,,

I '

Ahora bien, dependiendo de la naturaleza de la magnitud, ésta quedará o no, perfectamente definida con la información suminis+ trada.Si decimos, la altura del edificio es de 70 m no es necesario suministrar mayor información ya que ésta es completa; la velocidadci~ un cuerpo es de 70 km/h, en este caso la infor7' mación no es completa ya que solamente esta~ mos indicando la medida y no sabemos ni la dirección ni el sentido que lleva el cuerpo.

Note: Un vector puede denotarse de varias maneras: •

Sellalando el origen y el extremo, en ese orden, y con una flecha arriba: Utilizando una letra minúscula con una flecha arriba: Con una letra minúscula en negrita: c.

AB.

•

c.

•

A

Operaciones con vectores en forma gráfica. a) Adición: .....

-t'

......-...

• Dados los vectores a, b determinar: a

Cuando una magnitud queda perfectamente definida mediante el válor numérico de lamisma y sus unidades, decimos que la magnitud es escalar, si además tenemos que especificar la dirección y el sentido para que la información sea precisa, estamos hablando de magnitudes vectoriales.

+

b

Como los vectores dados tienen la misma dirección y el mismo sentido, el vector resultante será otro vector con la misma dirección y sentido que los sumandos y su módulo es igual a la suma de los módulos de los vectores dados.

Ejemplos de magnitudes escalares son la distancia, el tiempo, la masa y la temperatura. Entre las magnitudes vectoriales podemos mencionar el desplazamiento, la velocidad y la fuerza.

;l

...a+b

~

1-----

15

-+

•

Determinemos a

+

-+

Otra manera de realizar esta suma es colocando los vectores sumandos uno a continuación del otro siguiendo la misma dirección y sentido, de forma tal que el origen de uno coincida con el extremo del otro. El vector suma viene determinado por el origen del primero y el extremo del segundo.

b siendo:

~

b

Los vectores dados tienen la misma dirección y sentido opuesto. Para determinar + b copiamos el vector que tiene mayor módulo y a partir de su extremo copiamos, en sentido opuesto, el otro vector. El vector suma es aquel que tiene por origen, el origen del primero y por extremo, el extremo del segundo.

a

b) Sustracción:

a

a-

Sean los vectores y b definimos b como la suma del· vector minuendo con el opuesto del vector sustraendo.

.. ~

J(

......

--.

-+

'.

-..

a - b = a + (- b)

..';;'j,

Cuando se nos presenta este caso podremos asegurar de antemano que el vector suma tendrá la misma dirección y sentido que el vector dado de mayor módulo. •

Como podemos ver, para restar vectores determinamos el opuesto del vector sustraendo y procedemos de igual forma que eh la suma.

Ejemplos:

Sabiendo que:

1)

Dados los vectores:

-+

b

determinemos

a + 15 -.

--'>

determinemos a - b

Observemos que los vectores dados tienen diferente dirección y sentido. Para efectuar la suma trasladamos los vectores dados haciéndolos coincidir en sus orígenes y aplicamos la regla del par~lelogramo.

Primero determinamos el opuesto de O,

....

. -b.

- + (-

Luego procedemos a sumar a

¿t .•,.. ~~ ~---:,~ - 8.

-

..

a

.

,

;

~--::--¡-~.:~:¡;~

;

..

/

ti

."~~~~=~'_.'.

~b "'. 16

-4

......

b)

2)

~~~ Problemas Propuestos. ~~~

Dados los vectores:

1. Calcular las potencias 1, 2, 3 Y 4 de:

.. _ .•. -... ..d eterrnmemosc -d.

a)

10

b) -10

1

I

I

1

c)1ü

d)-0,2

2. Efectúa los siguientes ejercicios. a) Calcula las potencias -1; - 2 Y - 3 de:

1

a)

10

b) 1O

b) 105 X 10- 8

c) Multiplicación de un vector

+

Y

1 C)2

10 7 X 10- 3

por un escalar. Al multiplicar un vector (a) por un escalar (a) obtenemos otro ve'ctor con la misma dirección que el vector dado y el sentido viene determinado por el signo del escalar; si a es positivo, tiene el mismo sentido y si es negativo, sentido opuesto. El módulo del vector resultante será igual al módulo del vector dado multiplicado por el valor absoluto del escalar.

10- 5 d) 10- 10 e) 3 x 103

2 x 10-2 f) 7 x 10- 3 • 5,1 x 10 3

Ejemplos: 1)

Dado el vector

•

+ 5 x 10- 3 + 8 x 10- 2 4 x 10- 3 + 8 x 10- 2 + 9 x 10- 5 3 x 102 + 3 x 10- 14 + 5 x 10- 3

g) 3 x 10- 4

a

...a

determinemos 2

103 105

c)

h)

2

~

3. Escribe en notación científica las siguientes cantidades:

a

a) 804 ¡--.---..-

I

b) 3145 d) 821,5 x 10- 1

c) 74,65 x 103 e) 0,00068

a-----t

f)

621,004 x 10- 1

4. Escribe el orden de magnitud de las siguientes cantidades: 2)

Dado· el vector 'ti

a) 1,4 x 106 c) 3,5 x 10- 3

.. determinemos

b) 7,21 x 106 d) 9,1 x 10- 5

5. Despeja la variable indicada en cada fórmula.

1-'> --b

3

17

a) p'

=

b) A

=

n . I

B

+ 2

(n)

b

. h

(B)

1

d) E

=

m . g . h

at

9

+

f) F = - C

5

1

V =-

=

j) I

=

(h)

•

(r)

1- r E

+

10. Dados los siguientes vectores:

(M)

a-n ·r

R

9. ¿Por qué decimos que la fuerza es una magnitud vectorial?

•

Mt

i) S

8. ¿A qué llamamos tales? Cita ejemplos.

(C)

32

L - M

h) I

magnitudes._.

(Vo); (a)

d2 h

11'

4

7. ¿Qué diferencia existe entre una magnitud escalar y una vectorial.

2

+2

e)x= Vo ' t

g)

(m)

(n)

r/n

• 6. Construye las gráficas de las siguientes curvas:

determina:

a) y = 4 x - 2 -+

b) 3 x

+y

- 2

c) 2 x - 3 y

+

= O 1

c)

= O

{a + b) + e

-+

= -x2

e) y

=

f)

x2

-

~

g) (a - b)

2x

+

i)

1

x . Y = 20

+

-+--,.

(c - b)

-ib

k) 3 (

1_

2"a -

...... ) b

b)a + e d)a - o

fra + (6 - e) h) 3a 1-.j) - c 4 2 _ __ 1) - (b - 3 c)

3

1

g) Y = x2

h) Y =

--

e) b - a -+-

d) y

-'>

a)a + b

Ixl

18

2

Cinemática. Movimiento. Trayectoria. Desplazamiento. Movimiento rectilíneo· uniforme. Gráfica posición-tiempo. Gráfica distancia-tiempo. Gráfica rapidez-tiempo. Unidades de rapidez Rapidez media. Velocidad instantánea. Cantidad de movimiento.

MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME

Para estudiar el movimiento se necesita establecer un sistema respecto al cual referir la partícula y su cambio de posición. Este sistema recibe el nombre de sistema de refe-reneia y puede constituirlo un objeto material respecto al cual el físico estudia al movimiento.

El movimiento ha sido y es uno de los problemas básicos de la ciencia. Para los griegos, todo lo que significara cambio era movimiento: nacimiento, crecimiento, decrecimiento, desplazamiento de un objeto, variaciones en las cualidades de los objetos, etc. El movimiento local se refería al desplazamiento: caída de un objeto, vuelo de una flecha, navegación de una embarcación, trote de un caballo, etc.

Veamos los siguientes ejemplos y tomemos el punto O como punto de referencia.

Al principio del siglo XVII los científicos centran su atención en el estudio del movimiento local, su descripción y comprensión.

a)

Las matemáticas van a jugar un papel primordial en el análisis, comprensión y estudio de todos los fenómenos de la naturaleza. Cuando estudíamos el movimiento hablamos de un objeto que se desplaza, pero ¿cuál ha de ser su tamaño?

La partícula señalada tiene la posición P de abscisa 3, es decir que se encuentra a tres unidades positivas del origen O tomado como punto de referencia.

La cinemática.

b)

la parte de la Física que estudia el movimiento de un cuerpo, considerándolo como una partícula sin masa y sin tomar en cuenta las causas que producen dicho movimiento, recibe el nombre de cinemática.

En esta nueva situación la partícula en cuestión se encuentra en la posición P' de abscisa 6, esto quiere decir que se encuentra a seis unidades positivas del origen O.

Como sólo interesa la descripción del movimiento del objeto, el tamaño del mismo no reviste importancia, por eso se acostumbra hablar del movimiento de las partículas. Entendemos por partícula una mínima porción de materia o cuerpo material de pequeñísimas dimensiones. La partícula en la Física equivale al punto en la Matemática, es decir un objeto sin extensión.

El cambio de posición de la partícula de P a P' pone de manifiesto que se ha realizado un· desplazamiento y se representa como PP'.

21

Supongamos que:

Resulta evidente pensar que para haberse realizado este desplazamiento, cambio de posición, se necesita haber empleado un tiempo t.

3 6

Consideremos que la posición de la partícula en el primer ejemplo (a) corresponde a un tiempo t o ' esto lo escribimos así: 3 = P(to) y se lee: tres es igual a P. de t subcero. Análogamente en el ejemplo b la posición P' de la partícula para un tiempo t la escribimos 6 = P'(t) Y leeremos: seis es igual a P prima de t. En general podemos escribir cualquier posición x de una partícula como una función del tiempo.

Ix==:

= =

P (to) siendo to P (t)

siendo t

= =

Os

y

3s

Construyamos una tabla que contenga los datos anteriores.

x(m)

t(S)

3

O 3

6

Representemos en el eje de las abscisas el tiempo yen el de las ordenadas el desplazamiento.

x{tr!

Sistema de referencia de ejes coordenados.

;¡

Un sistema de referencia de ejes coordenados está constituido por dos ejes perpendiculares, graduados, siendo su punto de corte el origen del sistema de referencia. Dicho origen coincide con .el objeto material fijo respecto al cual se estudia el movimiento de la partícula.

A cualquier posición de la partrcula le corresponde un punto del plano.

Movimiento.

Consideremos el siguiente sistema de ejes coordenados y las diferentes posiciones ocupadas por un objeto en el transcurso del tiempo.

Di: OX:

eje de tiempos eje de los desplazamientos O: punto de referencia (origen)

Comparando los dos sistemas estudiados podemos concluir que éste aventaja al anterior por cuanto en él utilizamos un eje para el tiempo (t) y otro para las posiciones (x) mientras que en el primero sólo se representaban las posiciones.

í

Representemos las posiciones de la partícula de nuestros ejemplos anteriores y del vector desplazamiento. Para ello necesitamos establecer en qué tiempo se realizó dicho desplazamiento.

22

•

¿Cómo podemos interpretar dichas posiciones?

Clasificación de las trayectorias.

- Según el tipo de línea que obtengamos al unir las distintas posiciones ocupadas por el móvil en su recorrido, podemos clasificar las trayectorias en:

Cuando el objeto se encuentra en la posición A ha transcurrido un segundo desde el inicio del movimiento y se ha alejado del origen, punto de referencia, en sentido positivo dos metros. Un segundo después, el objeto ha pasado por el origen y se ha alejado de él en sentido negativo dos metros. Finalmente cuando se encuentra en la posición C, segundo cinco, el objeto ha pasado nuevamente por el punto de referencia y se alejó de él un metro en sentido positivo.

a) Rectilíneas: La trayectoria es una línea recta. Un ejemplo de este tipo de trayectoria lo tenemos en la forma de propagación de los rayos de luz.

Si observas la gráfica comprobarás fácilmente que las coordenadas de las posiciones son diferentes, lo que nos indica que el objeto se ha movido.

b) Curvilíneas: Dentro de este tipo podemos encontrar las siguientes: -circulares, movimiento de las aspas de un ventilador; -parabólicas, lanzamiento de un proyectil con un ángulo de elevación; - elípticas, la órbita que describe la tierra en su movimiento de traslación.

En un sistema de ejes (posición, tiempo) decimos que un objeto está en movimiento con respecto a dicho sistema si las coordenadas correspondientes a sus posiciones varían con el tiempo.

?

"

)"

/

Ya hemos visto que en un sistema de ejes coordenados cualquier punto del plano queda determinado por sus coordenadas. Un móvil al realizar un desplazamiento ocupa diferentes puntos o posiciones en el plano. Si unimos las diferentes posiciones, en el mismo orden en que fueron ocupadas por la partícula en el transcurso del tiempo, obtendremos una línea que recibe el nombre de trayectoria.

?

",

-

~

\¡

\ \,

~

-----=-------:=

c) Mixtas: Resultan de la combinación de las dos anteriores. Ejemplo de este tipo de trayectoria lo tenemos en el recorrido de un automóvil por una carretera.

x

trayectoria de una part(cula -

23

Desplazamiento. El siguiente gráfico nos muestra la trayectoria descrita por un móvil en su movimiento. Analicemos la diferencia entre desplazamiento y recorrido.

Los desplazamientos generalmente no coinciden con el recorrido, sólo, cuando la trayectoria sea una recta o los desplazamientos . sean muy pequeños podemos decir que coinciden.

Trayectoria rectitfnea~desplazamiento AB coincide con el recorrido.

. Hemos escogido dos puntos de la trayectona y los denotamos A y B. El vector AB representa el desplazamiento del móvil y el recorrido viene dado por la parte de la trayectoria comprendida entre A y B. -~

El desplazamiento es una magnitud vectorial por lo tanto tiene longitud, dirección y sentido. Recordemos que la longitud es la medida del segmento, la dirección viene dada por la recta sobre la cual se encuentra el vector desplazamiento y el sentido viene señalado por la punta de flecha del vector.

x

~--.

Eldespjª~ilmlE!llIocA.B__coir]cide cOltel __

. recorrido por estar el origen y el extremo muy próximos.

t x

,

t

En un sistema de ejes rectangulares, la dirección de un vector viene dada por el ángulo (a) que forma la recta que lo contiene con el eje de las abscisas. Los vectores AS y cD" son vectores equivalentes ya que tienen igual módulo, distancia entre el origen y el extremo, la misma dirección yel mismo sentido. El vector EF no es equivalente a los anteriores a pesar de tener igual módulo y dirección, ya que su sentido es opuesto.

_______ 24

1 j

1 ~

La sucesiÓn de vectOl'esdesplazamiéntos muy pequei\os determinan la trayece -toria,

I

11

~

La distancia recorrida por un objeto será la suma de los módulos de todos los vectores desplazamientos cuando el tamaño de éstos sea tan pequeño que coincidan con el recorrido. Veamos el siguiente ejemplo:

Movimiento rectilíneo uniforme (M.R.U).

Cuando un móvil posee movimiento uniforme y la trayectoria descrita por él es una Irnea recta, decimos que tiene un movimiento rectilíneo uniforme. Un ejemplo de este movimiento lo tenemos en un móvil que se desplace en línea recta y que recorra 60 km en cada hora, es decir, 60 km en 1 hora, 120 km en 2 horas, 180 km en 3 horas y así sucesivamente. Si establecemos la relación entre la distancia y el tiempo empleado en recorrerla observamos que es una constante.

A

La gráfica corresponde al recorrido de un ciclista en un circuito cerrado. El punto A representa el punto de partida y el de llegada.

60 km

120 km

180 km

1 h

2 h

3 h

-

km

60h

Este valor constante obtenido lo llamamos rapidez y si le asignamos direcciór:!...Y sentido obtendremos el vector velocidad (v).

Si queremos determinar la distancia recorrida por el ciclista sumamos las longitudes de todos los vectores desplazamientos que determinan la trayectoria. Como la longitud es una magnitud positiva, la distancia total recorri~a no es nula pero, ¿qué ocurre con el desplazamiento?

La velocidad es una magnitud vectorial que viene determinada por el cociente entre el vector desplazamiento (xj y el escalar tiempo.

Observemos que el extremo del vector desplazamiento que llega al final del recorrido coincide con el vector desplazamiento que parte del origen. Si hacemos memoria, recordaremos que la suma de estos vectores es nula, en consecuencia el desplazamiento también lo es.

La rapidez es el módulo de la velocidad y al igual que el tiempo es una magnitud escalar.

Clasificación de los movimientos.

Anteriormente, clasificamos las trayectorias atendiendo al tipo de línea que resultaba de unir las diferentes posiciones de un móvil en su recorrido. Los movimientos los clasificaremos según los desplazamientos realizados en unidades de tiempo tomadas como patrones. a) Movimiento uniforme: Decimos que un móvil posee movimiento uniforme cuando efectúa desplazamientos iguales en intervalos de tiempos iguales. b) Movimiento variado: Un móvil realiza un movimiento variado cuando efectúa desplazamientos desiguales en intervalos de tiempo iguales.

Gráfica de posición tiempo.

Recordemos que para construir la gráfica posición-tiempo representamos en el eje de las abscisas el tiempo y en el de las ordenadas la posición. Interpretemos la siguiente gráfica corres· pondiente al movimiento efectuado por un móvil.

25

.9 h -1 O h: Al finalizar la décima hora de iniX(k~6

ciado el movimiento el móvil se encuentra en el punto de partida, recorriendo en este intervalo una distancia de 40 km.

_

60 50 40 30 20 10

10

_____II

1 .¡.

I

H~

I

I

¿ ,"

I

f 11. , "

-~ - - - -:- -'''=''=''2 1

Como podemos observar, en la interpretación realizada, el móvil recorre distancias desiguales en intervalos de tiempo iguales por lo que decimos que el movimiento es rectilíneo variado.

--------:i,

I ,

t

I

I

1

I

:

1

I

I

~

I

~ '

"

Para determinar la distancia total recorrida basta con sumar las distancias parciales, recordemos que son magnitudes escalares positivas. En conclusión diremos que en las diez horas de movimiento el móvil recorrió 280 km. Compruébalo.

\,"lT'l0----;"( h) e ~ i

f

20 J 30 --------------,--j*" 4

Comencemos diciendo que se trata de un movimiento rectilíneo ya que las trayectorias descritas por el móvil en IQS diferentes intervalos de tiempo son líneast"ectas. Veamos que ocurre en los diferentes intervalos.

En una gráfica distancia-tiempo representamos en el eje de las abscisas el tiempo y en el de las ordenadas la distancia.

• Oh - 2 h: El móvil parte del origen y se aleja de él 50 kilómetros en sentido positivo. .2 h - 4 h: En estas dos horas de movimiento se ateja 20 kilómetros más, del origen" yen sentido positivo. Es decir que, al finalizar la cuarta hora de movimiento, está a 70 km del punto de partida. • 4 h - 5 h: En este intervalo el móvil recorre 50 km hacia el origen, se regresa. Al finalizªf la quinta hora de movimiento <se encuentra a 20 km del punt<;jde,partida. • 5 h - 7 h: Como podeq:Jo$,OQservar, el mó"' vil se encuentra en reposo ya que no varía su posición en este lapso. • 7 h - 8 h: Entre la séptima y la octava hora de iniciado el movimiento pasa nuevamente por el origen y se aleja de él en sentido negativo SO km. La dí!tancia recorrida en este intervalo es de 50 km. • 8 h - 9 h: En este inte~IÓlvuehieél pasar por el origen y se atejade éken sentido positivo 40 km. La distancia recorrida en esta ,hora de movimiento es de 70 km.

Construyamos la gráfica correspondiente a nuestro ejemplo anterior. Para ello elaboramos la siguiente tabla. t(h)

2

4

x(km)

50

70

5

7

8

9

120 120 170 240

10 280

Representemos los puntos y unámoslos.

Observa que la gráfica parte del origen ya que para t = Oh, x = O km, pues no se ha iniciado el movimiento.

26

j-

Consideremos el siguiente cuadro de re'dos efectuados por un móvil.

e

i,

a

Posición

i-

D

O 5 10 15 20

Q

r-

1:. x

Tiempo (s) Recorrido (m)

O P

i-

• Efectuamos el cociente 1:. x (rapidez) 1:.t

R

S

v =--

1:.t

O 100 200

200 m m = 2010 s s

Interpretando el resultado anterior podemos decir que en cada segundo el móvil recorre una distancia de 20 m.

300 400

¿Qué ocurre si tomamos otros dos puntos de la recta? Compruébalo y establece conclusiones.

Con los datos del cuadro, construyamos la ráfica distancia-tiempo utilizando el procedi¡ento de nuestro ejemplo anterior.

En una gráfica distancia-tiempo la pendiente de la recta determina la rapidez del móvil entre esos puntos.

Reprel$entación gráfica en un M.R.U.

rapidez~tiempo

Para construir la gráfica rapidez-tiempo representamos en el eje de las abscisas el tiempo y en el de las ordenadas la rapidez, En nuestro ejemplo anterior el móvil desarrolló un movimiento rectilíneo uniforme con una rapidez de 20 mis durante 20 s. La gráfica rapidez-tiempo correspondiente a dicho movimiento es la siguiente.

V(m/s) La gráfica obtenida representa el movimiento efectuado por el móvil; es una línea recta y decimos que el movimiento es rectilíneo uniforme. ¿Por qué?

20"~"

15

• Calculamos 1:. x (variación de la distancia)

A partir de la gráfica anterior podemos determinar la distancia recorrida por el móvil en un determinado tiempo. Para ello procedemos a calcular el área bajo la curva en el intervalo deseado.

x1 = 400 - 200 m = 200 m

• Calculamos' 1:. t (variación del tiempo) -

I

La representación obtenida corresponde a una recta horizontal. Para cualquier tiempo la rapidez es de 20 mis, es decir, es una constante. En todo movimiento rectllfneo uniforme la gráfica rapidez-tiempo es una recta paralela al eje de los tiempos.

(10, 200) Y S (20, 400).

1:. t = t2

I I

0J--+"",""....12~1+:-4 ....1"="6....1:!:"8-:2:t::O~- ... t~(s ) 2 -4--+6-"'8--110

• Tomamos dos puntos cualesquiera de la recta, por ejemplo:

-

-1

5

La rapidez con que se ha movido el móvil la podemos determinar calculando la pendiente de la recta, recordemos el procedimiento.

1:. x = x2

-~~--='=','~~~~~."-"

10:

Las dos magnitudes relacionadas, distancia-tiempo, en este tipo de movimiento, son directamente proporcionales, a mayor tiempo mayor distancia y viceversa.

Q

'"

t 1 = 20 s - 1O s = 1O s

27

En el c.g.s. las unidades utilizadas son el centímetro (cm), el gramo (g) y el segundo (s); en el M.K.S. tendremos el metro (m) el kilogramo (kg) Y el segundo (s). Anteriormente definimos la rapidez como el módulo de la velocidad y en consecuencia sus unidades vienen dadas por la fórmula

Ivl

Calculemos la distancia recorrida por el móvil en 20 s.

= Ixl /t.

El siguiente cuadro nos muestra las unidades de la rapidez en los dos sistemas anteriores y además en el sistema práctico, sistema que recibe este nombre por ser el de uso más común.

El área corresponde a un rectángulo de base 20 s y de altura 20 mis. Ac:::J = b X h

A

=

m s

20 -X 20 s = 400 m

Observemos que las unidades obtenidas son de longitud y no de superficie ya que las unidades operacionales son diferentes [v] y

Además de las unidades mencionadas existen otras correspondientes a otros sistemas, tal es el caso del inglés. pie/s; milla/h; nudo, etc.

[t].

En función de lo anterior podemos concluir que la distancia recorrida por el móvil es de 400 m.

Rapidez media.

Otra forma de calcular dicha distancia es partiendo de la fórmula:

v

Observa la siguiente gráfica.

x =-

t

despejando x tenemos: x

=

v .

t

sustituyendo valores

m s

x = 20 _ .

20 s = 400 m

El área de la figura limitada por la gráfica y los ejes de coordenadas representa la distancia recorrida por el móvil.

Recordemos que nuestro punto de referencia es el origen; podemos ver fácilmente que el cuerpo ya había iniciado su movimiento antes de pasar por dicho punto. En la gráfica está representado por una línea punteada.

Unidades de rapidez. Recordemos que las magnitudes fundamentales utilizadas son las de longitud, masa y tiempo. En función de ellas podemos formar dos sistemas de medidas, el c.g.s. y el M.K.S.

El tiempo total de este movimiento es de 15 segundos y la distancia total recorrida es de 24 metros. Verifícalo.

28

s

Observamos que las velocidades en los intervalos de tiempo son constantes en cada uno pero diferentes entre sí.

Velocidad instantánea.

¿Podemos encontrar una rapidez constante con la cual recorra los 24 m en los 15 s? la respuesta es afirmativa; esta rapidez recibe el nombre de rapidez media y la definimos operacional mente como el cociente entre la distancia total recorrida y el tiempo total.

En determinadas ocasiones nos interesa conocer la velocidad que tiene un cuerpo en un determinado instante. Cuando vamos en un automóvil y observamos el velocímetro del mismo, el dato que obtenemos es precisamente el de la velocidad instantánea. Observemos la siguiente gráfica.

En nuestro ejemplo la rapidez media del cuerpo es: 24 m

m

1,6-

s

15 s

,--'V'eall1crs elsiguíente ejempro.

56

7

8

910

Si queremos determinar la velocidad instantánea en el punto P bastará con determinar la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto (PI to) ).

t(s)

La velocidad instantánea podemos definirla como la velocidad media que posee un cuerpo en un intervalo de tiempo infinitamente corto.

La rapidez media de este movimiento no podemos calcularla como en el caso anterior ya que no disponemos de las herramientas para saber cuál ha sido la distancia total recorrida entre los puntos A y B por ser la trayectoria una línea curva. No obstante podemos determinar la Vm del desplazamiento directo entre A y B calculando la pendiente de la recta secante a la curva que pasa por dichos puntos.

Lo relativo del movimiento.

Existen un sinnúmero de expresiones como por ejemplo derecha, izquierda, arriba, abajo, delante, detrás, etc., que por sí solas no tienen significado alguno. Estas expresiones adquieren sentido cuando establecemos un sistema de referencia.

Sustituyendo tenemos:

Vm

60m - 30m 8

s- 4s

30 m 4s

m

7,5-

Un ejemplo de esto lo tenemos en las formaciones militares. El oficial que se encuentra al frente de la tropa imparte una orden, por ejemplo derecha-ar, de no existir un sistema de referencia previamente establecido esta orden podría crear confusión ya que los soldados no sabrían si girar a su derecha o a la derecha del oficial (izquierda del soldado).

s

Concluimos que la rapidez media es la rapidez constante de un móvil con la cual puede recorrer la distancia total en el mismo tiempo que empleó con movimiento variado.

29

Cantidad de movimiento.

En la vida diaria observamos cuerpos que se desplazan: un balón de fútbol después de haber sido pateado, una flecha disparada por un arco, etc. Todos estos cuerpos por tener masa y velocidad decimos que poseen cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento (p) de un cuerpo se define como el producto de su masa por la velocidad que posee.

Para evitar la situación anterior, en las instrucciones militares se ha tomado al soldado como sistema de referencia.

-,

p=m' v I~

Muchas películas de comiquitas buscan, en la imprecisión del lenguaje que usan, producir momentos y situaciones hilarantes.

Como te podrás dar cuenta, a partir de la fórmula, la cantidad de movimiento es una magnitud vectorial ya que es el resultado de la multiplicación de un escalar, la masa, por un vector (Vi y tendrá la misma dirección y sentiddo que la velocidad.

Analiza los siguientes ejemplos. • Al estar detenidos en una cola, en un automóvil, con frecuencia nos sucede tener la sensación de estar moviéndonos porque nos alejamos del carro que está a nuestro lado; sin embargo el verdadero movimiento lo realizaba el otro autómovil, nosotros estábamos en reposo.

j

I

Las unidades de la cantidad de movimiento las podemos deducir a partir de la relación anterior.

1

t

• Nos encontramos en un carro en movimiento y una persona está fuera de él, en reposo y observándonos. Respecto al automóvil nosotros estamos en reposo ya que vamos sentados; para el observador, el carro y nosotros formamos un sólo conjunto, tenemos su misma velocidad y estamos en movimiento ya que nos alejamos de él. ¿Quién tiene la razón, el observador o nosotros?

I

I

En el siguiente capítulo veremos más en detalle la cantidad de movimiento lineal, su conservación y el impulso.

~ ~

Iª

§ ~

1

Resolvamos algunos ejemplos:

I

1) Un cuerpo de masa 8 kg tiene una velocidad de 72 km/h; ¿cuál será la cantidad de movimiento que posee el cuerpo?

I ~ ~

Recordemos que la cantidad de movimiento la definimos operacional mente como

Como puedes observar, en los casos anteriores el movimiento se realiza en forma relativa; una partícula, respecto a un sistema de referencia, puede estar en reposo y en movimiento respecto a otro. También un sistema de referencia puede estar en movimiento respecto a otro que se le considera en reposo o en movimiento.

I

-+

P = m . -v.

J.

Antes de efectuar la operación indicada,

~~~sformemos las unidades de velocidad a 72 _km_ h 30

=

_72_._1O_O_O_m_ 3600 s

20 _m_

s

I1 ~.i

1I

!

Apliquemos la fórmula:

m s

m s

X(krn}

p = 10 kg '20-=200 kg , -

m s

p =200 kg , -

o

Un cuerpo tiene una cantidad de movimiento de 350 9 . cm/s. Calculemos su velocidad si la masa del mismo es de 2,5 x 10- 2 kg.

A partir de la gráfica podemos deducir que el móvil se encuentra en estado de reposo ya que en el transcurso de las tres horas la partícula no ha variado su posición.

Primeramente, efectuemos las transformaes necesarias. Como las unidades de p n en el sistema c.g.s. reduzcamos las uníes de masa a dicho sistema.

m = 2,5 x 10- 2 kg

=

2,5 x 10- 2 X 103 9 =

= 2,5 x 10

La gráfica x = x(t) corresponde a las diferentes posiciones de tres objetos en el tiempo, Determina las velocidades de cada uno y establece una relación de orden entre eflas.

2)

9

m = 25 9 Despejemos valores. p v=-

v de p =

m .

350 9 . cm/s

m

25 9

v y sustituya-

= 14

3

2

cm

s

X(km) 120 - - - - - - - -

®

100 90 - -. - -80

_",-.~ __-_.

60 - -- -.

40 20 3

Para determinar la velocidad de cada cuerpo determinamos la pendiente de cada una de las rectas. Para ello tomamos dos puntos pertenecientes a cada una y aplicamos la fórmula v = t::. x/ t::. t

En la siguiente tabla están representadas las posiciones de una partícula en el transcurso del tiempo. Construye la gráfica y analiza el movimiento.

Posición

Tiempo

100 km

1 h

100 km 100 km

2 h

•

Para el 1.

tomemos el punto (4 h, 60 km) y el origen

(O h, O km)

t::. x = 60 k - O km = 60 km

3 h

t::.t=4h-Oh=4h

Representemos los datos en una gráfica x

=

4

v

x(t)

1

31

t::. x t::. t

=-=

60 km 4 h

km h

= 15--

•

Para el 2.

tomemos los puntos (3 h, 90 km) y (O h, O km)

v

= 2

90 km-O km

3h-Oh

90 km

=

3 h

30

km

h

Para el 3.

•

tomemos los puntos (2 h, 120 km) y (O h, O km) v3 =

120 km-O km

120 km

2h-Oh

2h

-

km

60 - h

Comparando los resultados obtenidos podemos concluir que: Los dos móviles se encuentran a las 4 h de haberse iniciado el movimiento ya 160 km de la ciudad B. (240 km - 80 km = 160 km)

¿De qué otra forma podrías establecer la relación entre las velocidades sin necesidad de haberlas calculado previamente?

b) Solución analítica.

Observa los ángulos que forman con la horizontal cada una de las rectas. Recuerda que a mayor ángulo mayor pendiente y en consecuencia mayor velocidad.

Partamos del siguiente esquema:

c

Luego la relación puede establecerse comparando los ángulos que forman las rectas con el eje de los tiempos.

El tiempo empleado por ambos móviles en llegar al punto es el mismo, ya que ambos parten simultáneamente. L1amémoslo t.

e

Dos ciudades A y B están separadas gd km. De A parte un móvil hacia B con una rapidez constante de 60 km/h y simultáneamente parte de B otro con rapiaet constante de 40 km/s en el mismo sentido. ¿A qué distancia de 8 y a qué hGra se encuentran?

Establezcamos la fórmula de la distancia recorrida por ambos:

La solución a este problema la haremos de dos maneras, gráfica y analíticamente.

Sustituyamos las velocidades por sus respectivos valores.

3)

X1 =V l "t

y x2 = v 2

•

t

km

--" t

a) Solución gráfica.

h

Contruyamos una gráfica x = x(t) en la cual la ciudad A estará ubicada en el origen de coordenadas.

km

__

o

t

h

El punto señalado con la letra e es el lugar donde se encuentran los móviles. Proyectando el pu nto sobre los ejes de coordenadas determinaremos dónde y cuándo se encuentran.

La diferencia entre las dos distancias es: Xl - ~ =

32

80 km

¿Por qué?

L

."~

-~ '

...•.•. ...""

-. __._-

Sustituyamos~-

expresiones

yx O

2

por sus respectivas

3.

km km 60 . t - 40 - - . t = 80 km h h Reduciendo términos semejantes y despejando t tenemos:

20

t

Define magnitud escalar y magnitud vectorial.

4. ¿Qué diferencia existe entre desplazamiento y distancia?

5. El desplazamiento ¿puede ser una magnitud negativa? y, ¿la distancia? .

km

t

h

= 80 km

80 km

20 km/h

6. Una embarcación recorre en dirección hacia el Oeste 12 km, luego 21 km en dirección Sur-este con respecto a la horizontal y finalmente 24 km hacia el Este. Calcula: a) el desplazamiento resultante . de la embarcación y, b) distancia total recorrida.

= 4h

El tiempo de encuentro es de 4 h. Calculemos a qué distancia de B se encuentran, para ello calculamos x2 km h

R:

km h

x = 40 _ . t = 40 - ' 4 h = 160 km 2

30,6 km S.E. (Sol. gráfica) 57 km

4 cuadras hacia el Norte, 6 cuadras hacia el Este, 2 hacia el Sur y finalmente 3 hacia el Oeste. ¿Cuántas cuadras recorrió? ¿Cuál fue la distancia total recorrida si cada cuadra mide 100 m? ¿Cuál fue el desplazamiento recorrido?

ii!!i!!!!1!!i!!!!1!~ Problemas Propuestos. ~~~

R:

a) 15 cuadras b) x = 1500 m e) = 180 m N.E. (Sol. gráfica)

x

1. Efectúa las siguientes reducciones: a) 17 m a mm b) 0,2 dm a cm c) 3 km a m d) 8 min a s e) 0,5 s a min f) 1,7 h a min

m

=

7. Una persona hace el siguiente recorrido,

Podemos concluir que se encuentran a los 160 km de la ciudad B.

8. En la gráfica que se te presenta señala el tipo de movimiento que representa cada una de las líneas e interpreta su significado.

cm

.,i.~(

amm s

g) 3 - ,

x=

a) b) x

"

m)

km m h)03-a-'h s dm i) 7,2-

s

,

km 'h

m

a -,mm m

j)36-a-

t

s

(s)

2: Un móvil parte del punto A desplazándose 6 m hacia el Sur, luego 4 m hacia el Oeste y finalmente 12 m hacia el Norte. Realiza la gráfica y calcula la distancia recorrido por el móvil. R:

9.

x = 22 m

33

En un gráfico x = x(t). ¿Qué significado físico tiene el área bajo la curva? y, ¿en un gráfico v = v(t)?

10. En el gráfico que se presenta acontinuación, ¿qué tipo de movimiento tienen los móviles A, 8 Y C? ¿Cuál es la pendiente de cada recta? ¿Qué representan éstas físicamente?

R:

12. Interpreta cada una de las siguientes gráficas.

mA = 1 mB = 1 me =-6

11. La siguiente gráfica representa la posición de dos móviles en función del tiempo:

13, Las siguientes tablas corresponden al estudio del movimiento de un cuerpo. Contesta cada una de las siguientes preguntas. 1 x(km)

a) ¿Qué tipo de movimiento tiene el móvil A? b)¿Qué tipo de movimiento tiene el móvil8? e) ¿Cuál es la rapidez de cada móvil? d) ¿Qué distancia recorrió cada uno hasta encontrarse? e) ¿Cuál es la distancia que separa los móviles en t = O h? f) Construye la gráfica v = v(t) para ambos móviles.. R:

t(h)

160

O

160

5

160

10

160

15

160

20

a) Construye la gráfica: x = x(t) b) ¿Qué distancia recorrió a las 15 h? c) ¿Cuál es el valor de la pendiente? d) ¿Qué representa físicamente? e) ¿En qué estado se encuentra el cuerpo?

e) VI!, = 2 km/h y VB = -2km/h d) 20 km e) 40 km

R:

b)

o km

e) m == O d) v = O km/h

34

2. x(m)

e) Rapidez de retorno. d) Si salió de A a las 20 horas de un día lunes, ¿a qué día y a qué hora regresó a dicha ciudad?

t(x)

30

O

20

5

10

10

O

15

R:

a) Construye la gráfica x = x(t) b) ¿Qué distancia recorrió el cuerpo a los 10 s? c) ¿Cuál es la pendiente? d) Construye la gráfica v = v(t) e) ¿Qué tipo de movimiento realiza? R: b) ~o m e) "':2

a) 202,5 km

b) 405 km e) 67,5 km/h d) 2:15 am del martes

16. Dos móviles están separados por una distancia de 200 m. El móvil A parte hacia 8 con una rapidez constante de 30 mIs y tardan en encontrarse 12 s. El móvil B partió simultáneamente con A en la misma dirección y sentido. Calcula: a) Distancia recorrida por el móvil 8 hasta el encuentro. b) Rapidez del móvil 8 suponiéndola constante. c) Construye el gráfico posición-tiempo.

14. A partir de la siguiente gráfica contesta las preguntas que se formulan.

R: a) 160 m b) 13,33

mis

17. Dos móviles A y 8 parten simultáneamente de un mismo punto en la misma dirección pero sentido contrario yal cabo de 20 s la distancia que los separa es de 2000 m. Calcula la velocidad de A sabiendo que la de 8 es 12 X 10 2 m/min. R:

a) Describe los movimientos señalados con las letras A, 8, C, D, E Y F. b) Calcula la pendiente de cada movimiento. c) ¿Qué distancia recorrió el móvil en los primeros 20 min? d) ¿Qué distancia recorre entre el minuto 20 y el 40? e) ¿Cuál es la distancia total recorrida? f) Construye la gráfica v = v(t) R:

VA = ~O mis

18. Dos móviles A y 8 están sobre la misma horizontal. El móvil A parte hacia 8 ,con una rapidez de 80 mIs y 8 partió 12 s después en el mismo sentido que A y con rapidez de 60 mIs. Si se encuentran a 1800 m del punto 8, determina la distancia que separaba los móviles. R:

b) m A :. 0,5; ~a. = -,0,25; = ' me - mE - u,375, m o 0, mE = 0,75 e) 7 m; d) 6 m; e) 13 m

1560 m

19. Resuelve el problema anterior sabiendo que 8 partió 12 s antes que A. Interpreta el resultado mediante un esquema.

15. Un vehículo sale de una ciudad A hacia otra ciudad 8 con una rapidez constante de 90 km/h;al cabo de 135 min llega a By se detiene por espacio de 1 h. Inicia el retorno, con rapidez constante, y llega a A en 3 h. Calcula:

R:

360 m

20. Un cuerpo A tiene una velocidad de 36 km/h y una cantidad de movimiento de 150 kg mIs y un cuerpo B tiene una velocidad de 2000 cmls y una cantidad de movimiento de 2 X 107 9 cm/s. ¿Cuál cuerpo tiene mayor masa?

a) La distancia que separa a ambas ciudades. b) Distancia total recorrida por el vehículo. 35

3

Movimiento uniformemente variado. Aceleración. Distancia. Tiempo máximo y distancia máxima. Representación gráfica del M.R.u. V. Caída libre y lanzamiento vertical. 71

MOVII\'1IENTu RECTILINEO UNIFORMEr~ENTEVARIADO Movimiento uniformemente variado.

En nuestro objetivo anterior estudiamos el movimiento de un cuerpo cuando realizaba desplazamientos iguales en intervalos de tiempo iguales y decíamos que el móvil tenía un movimiento uniforme.

Dimensionalmente las unidades de aceleración son: [L] [T-2] Análogamente en el sistema c.g.s. las unidades de aceleración son cm/s 2 •

Observa los registros que se le hicieron a un móvil durante su movimiento. t(s)

O

1

2

v(m/s)

O

3

6

3 9

4

5

12

15 Interpretación.

Puedes deducir fácilmente que el movimiento no es uniforme ya que experimenta variaciones en su velocidad. ¿Cómo son esos cambios de velocidad? Si calculamos los Incrementos de velocidad en cada segundo obtendremos que son constantes y diremos que el movimiento es uniformemente variado.

Señalemos el significado físico de los siguientes enunciados. a) Un cuerpo posee una aceleración de: 12 m/s 2 .

Al decir que un cuerpo posee una aceleración de 12 m/s 2 estamos indicando que la velocidad del mismo sufre un incremento de 12 mis en cada segundo. Supongamos que el móvil parte del reposo (v = O mis). ¿Cuál será su velocidad al cabo de 2 s? En el primer segundo de iniciado el movimiento el cuerpo tiene una velocidad de 12 mis (O mis + 12 mis) yal finalizar el segundo dos tendrá una velocidad de 24 mis:

En este tipo de movimiento interviene una nueva magnitud, la aceleración y la definimos como la variación de la velocidad respecto al tiempo. .......

1:::. v

a=-I:::.t

En un movimiento uniformemente variado la aceleración es constante.

(12

mis + 12 mis).

Unidades de aceleración.

b) Un móvil posee una aceleración de:

Para establecer las unidades de la aceleración partimos de la fórmula a = 1:::. vi 1:::. t

-10 m/s 2 •

Por ser la aceleración negativa, también llamada desaceleración, el móvil sufre una disminución de velocidad de 10 mis en cada segundo.

Trabajamos en el sistema M.K.S. [a]

=

[1:::. v] [1:::. t]

[mis] [s]

= [~] S2

37

Suponiendo que el móvil, en un momento determinado, tiene una velocidad de 35 mIs, al segundo siguiente su nueva velocidad será de 25 mIs (35 mIs -1 O mIs) y al siguiente 15 mIs.

Distancia recorrida por el móvil en un M.R.U.V.

La aceleración es una magnitud vectorial, tiene la misma dirección que el vector velocidad y el sentido está determinado por el signo. Si la aceleración es positiva tienen el mismo sentido que la velocidad y si es negativa, sentidos opuestos.

Para deducir la fórmula que nos permite calcular la distancia recorrida por un móvil en un movimiento rectilíneo uniformemente variado partimos de la fórmula del movimiento uniforme.

Deduzcamos M.R.U.V.

algunas

fórmulas

= v.t

x

del Como el movimiento es variado no podemos hablar de una velocidad constante y en consecuencia hablaremos de vm:

Partamos de la fórmula de aceleración: 1::. v

= vm • t

X

a=-I::.t

Sustituyendo vm por su equivalente:

1::. v la definimos como la variación de la velocidad.

v

v¡ + Vo 2

=~_...::...

m

tenemos:

siendo v¡ la velocidad final y Vo la inicial. 1::. t

por:

=

t¡ - to y normalmente queda definida

I::.t=1.

Recordemos que· en un m.r.u.v. la velocidad final viene dada por la expresión:

Sustituyendo las expresiones obtenidas de 1::. v y 1::. t tenemos:

VI

=

Vo

+ at

Sustituyamos esta expresión en la ecuación anterior: Despejemos

VI:

a.t =

x VI

=

(vo

+

a . t)

+ Vo

2

-vo

.

t

Reduciendo términos semejantes tenemos: Despejemos t:

x

2 Vo + a_ t . t _...::.-_

2

Efectuamos la multiplicación indicada:

2 Vo t

Despeja vo'

+ a t2

X=-~---

2

Simplificando:

Como te habrás dado cuenta, no necesitas aprenderte todas las fórmulas, ya que unas son consecuencia de otras, bastará con recordar una de ellas y hacer los despejes necesarios. A partir de la fórmula anterior deduce las de la VI y de t para el caso en que el móvil parta del reposo (vo = O).

¿Será esta la única fórmula para calcular la distancia?

38

Partamos de x = Vm

•

t

Durante el tiempo máximo el cuerpo recorre la llamada distancia máxima, deduzcamos su fórmula partiendo de:

Sustituyamos vm y t por: vm

=

x=

VI

VI

+

Vo

2

+

Vo

y

t

vI-VO

x

a

=

vm

•

Sustituyamos vm y t por

Vo

vI-VO

t =tmá x =a-

a

2

t

La ecuaclon obtenida nos permite también expresar la velocidad final en función de la inicial, la distancia y la aceleración.

Como el móvil tiene una velocidad· final nula (VI = O) en el tiempo máximo, la expresión anterior nos queda:

v,2 =vo2 +2ax Cuando el móvil parte del reposo (vo = O) las ecuaciones obtenidas de la distancia quedan transformadas en:

R~pre$entaclón gráfica de un M.R.U.V.

Tiempo máximo y distancia máxima.

Construyamos la gráfica correspondiente al siguiente caso. Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10m/s 2 • ¿Cuál será su velocidad al cabo de 5 s?

Cuando la aceleración es negativa, desaceleración y constante decimos que el movimiento es uniformemente retardado.

Una forma de resolver este problema es aplicando la fórmula correspondiente de la velocidad final:

Partamos de la fórmula:

v, =

Vo

+ at

Como la aceleración es negativa, tenemos que:

Como parte del reposo, Vo = O, tenemos: VI = a t sustituyendo

vl=vo-at Si el cuerpo sufre la desaceleración hasta que se detenga, diremos que vf = O, sustituyendo tenemos:

vf

= 1O m/s 2 • 5

s

= 50 mis

Resolvamos el problema de forma gráfica: Para ello construyamos una gráfica:

O = vo -a t Despejando t obtenemos que:

v = v(t) representando en el eje de las abscisas, el tiempo y en el de las ordenadas, la velocidad. Recordemos que el móvil parte del reposo, es decir que para t = O s v = O mis. Como el movimiento es acelerado, a razón de 10 mis por cadasegundo, en el primer segun'do tendrá una velocidad de 10 mls,en el segundo 20 mis y así sucesivamente.

La expresión corresponde al tiempo máximo (t máx ) y es el. tiempo que tarda un cuerpo en detenerse desde el momento en que se le aplica la desaceleración.

Representemos los puntos obtenidos.

39

Como sabemos que el móvil parte del reposo ya conocemos un punto de la recta, el origen de coordenadas. Para conocer el otro punto calculamos qué velocidad tiene el móvil para un tiempo determinado, por ejemplo para t = 2 s. t = Os t = 1 s

t

=

2s

-+

-+

V =

O mis

v

= 2 mis

V

=

4 mis

Tracemos los ejes y construyamos la gráfica.

Para determinar la velocidad del móvil a los 5 s de iniciado el movimiento basta con levantar una perpendicular al eje del tiempo por t = 5; por el punto donde corta a la recta trazamos una perpendicular al eje de las orde~ nadas obteniendo así la velocidad pedida. En una gráfica v = v(t) la pendiente de la recta es equivalente a la aceleración que posee el cuerpo. Por t = 10 s levantamos una perpendicular y por el punto donde corta a la recta trazamos una perpendicular al eje de las ordenadas determinando así la velocidad que posee el cuerpo en ese instante.

Cálculo de la distancia en función del área. Cuando estudiamos el movimiento rectilíneo uniforme vimos que el área bajo la curva, en una gráfica v = v(t), era numéricamente " igual a la distancia recorrida por el móvn,'~' de igual manera ocurre cuando el movimient()··~ es uniformemente variado. "\ a) Calculamos la distancia recorrida en 1Os por un móvil que parte del reposo con una aceleración constante de 2 m/s 2 •

Para determinar la distancia recorrida calculamos el área de la figura limitada por los ejes de coordenadas y la recta. Calculemos el área del triángulo. b . h 10 s . 20 mis

x = -- = -----2 2 x

Resolvamos este problema de dos formas, gráfica y analíticamente.

=

100 m

En 10 s el cuerpo habrá recorrido 100 m.

Solución gráfica.. Solución analítica.

Construyamos una gráfica v = v(t). Por ser un movimiento uniformemente acelerado su representación gráfica será una línea recta, por lo tanto será necesario conocer dos puntos pertenecientes a la misma.

Partamos de la fórmula:

ae

+-2

40

Como el móvil parte del reposo (vo = O) la ecuación anterior queda transformada en:

La distancia recorrida por el móvil en 10 s es de 550 m. Comprobemos el resultado obtenido haciendo el cálculo correspondiente.

a t2 x =-2

a·t2

x=v·t+-o 2

Sustituimos a y t por sus valores respectivos y resolvemos las operaciones indicadas:

2 m/s 2 • (10 S)2 x=------

2 m/s 2

2

Ix =

•

100

5 mis . (10 S)2 x =30 mis' 10 s + - - - - 2

S2

2

100

mi

X

Como ya te habrás dado cuenta los resultados obtenidos no dependen del procedimiento seguido, siempre y cuando éstos sean los correctos.

= 300

m+

5 mis' 100 2

x = 300 m

+

S2

250 m

Ix = 550 mI

b) Calculemos la distancia recorrida por un móvil en 10 s sabiendo que tiene una velocidad inicial de 30 mis y una aceleración constante de 5 m/s 2 •

Caída libre de los cuerpos y lanzamiento vertical. Todos, en alguna oportunidad, hemos observado lo que ocurre a un cuerpo al dejarlo libre en las proximidades de la superficie terrestre. Cae en dirección vertical, aumentando constante su velocidad.

Construyamos la gráfica v = v(t) siguiendo el procedimiento del ejemplo anterior.

Otro fenómeno que habrás observado seguramente es lo que le ocurre a un cuerpo al lanzarlo verticalmente hacia arriba, con una determinada velocidad inicial. El cuerpo'va perdiendo velocidad, de una manera constante, hasta detenerse (VI = O) y comienza a caer. En los dos casos anteriores actúa, sobre los cuerpos, una aceleración constante que llamamos aceleración de gravedad (g). En el primer ejemplo la aceleración es positiva ya que tiene el mismo sentido que el desplazamiento, en el segundo es negativa ya que el desplazamiento se efectúa en sentido contrario a la aceleración de gravedad.

10

La aceleración de gravedad varía de un punto a otro de la tierra pues depende de la latitud y la altura del lugar, pero en un mismo punto es siempre constante. Para los efectos de nuestro estudio la tomaremos como un valor constante equivalente a 9,8 m/s2 •

La figura obtenida a partir de la gráfica es un trapecio cuyas dimensiones son: (B) Base mayor: 80 mis (b) Base menor: 30 mis (h) Altura: 10 s Calculemos el área del trapecio: (B

+ b) h

X=---

(80 mis

2

x =

110 m/s-' 10 s

2

+ 30 mis) .

Como pudimos observar, los movimientos de caída libre y lanzamiento vertical son rectilíneos uniformemente acelerados y las ecuaciones que los rigen son similares a las vistas en este capítulo con la salvedad que la aceleración es una constante. Positiva en caída libre y negativa en el lanzamiento vertical.

10 s

2 550 m 41

Para verificélr que todos los cuerpos, en el vacío, caen con la rnisma velocidad yal mismo tiempo, Newton realizó el siguiente experimento. En un tubo de vidrio de 1,5 mde largo y de 4 ó 5 cm de diámetro, introdujo monedas, plumas de aves y diversos objetos. Al voltearlo observó que tanto las monedas como los cuerpos más pesados caían con la misma velocidad y tardaban el mismo tiempo en reCOrrer el tubo, no ocurriendo así con las plumasde ave, debido a la resistencia que ofrecía el aire. Luego aplicó el vacío el tubo y repitió el mismo experimento observando que todos los cuerpos contenidos en el tubo caían con la misma velocidad y al mismo tiempo.

• Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arribá con una velocidad inicial de 49 mis. Calculemos: a) tiempo máximo, b) altura máxima, c) altura a los 8 s y d) velocidad al llegar al suelo.

a)

El tiempo máximo es el tiempo que emplea el cuerpo en llegar al punto más alto de su trayectoria. En ese instante la velocidad final es nula.

=

VI

9

=

t

• Dejamos caer un cuerpo desde una altura de 100 m; ¿cuál será la velocidad al llegar al suelo?

b)

a t2 =v ·t+-o . 2

La altura máxima la alcanza el cuerpo en el tiempo máximo.

,

= 49 mis'

5

h

= 245 m -

122,5 m= 122,5 m

2

=

Vo

-

2 9h

2g 2

(49 m/s 2) 2 . 9,8 m/s 2

h

9

Ih

Calculemos el tiempo de caída libre. _/ V 20,41

S2

=

4,51

c)

s

Conocido el tiempo de caída libre calculemos la velocidad con que llega al suelo. Vf

2

h=_o_ h

9,8 m/s 2

2

V,2

Despejemos t.

2 . 100,m

9,8 m/s 2 • (5 S)2 s -------

h

Vl

9t h=2

t =) -

2

Otra forma de calcular la altura pedida es utilizando la fórmula:

2

=~2

= 5s

m/s 2

gt2

tomando en cuenta las consideraciones anteriores y cambiando x por h,tenemos:

t

9,8

o

Para aplicar esta fórmula necesitarnos conocer el tiempo que tarda en recorrer los 100 m y para ello partimos de la ecuación conocida: X

49 mis

h=v·t---

= 9 . t

VI

== O)

(VI

=.2.

t

Resolvamos algunos ejemplos.

Partamos de las ecuaciones conocidas. La incógnita a calcular es la velocidad final (VI = vo.. + a t). Como el movimiento es de caída libre sabemos que Vo = O Y a = g, entonces tenemos que:

9t

Vo -

vf = 9,8 m/s 2

I

vf

•

4,51

s=

122,5 m

=

Vo

+ 9t

(Vo

=

O)

h = 9 t= 9,8 mis . 3 s

44,19 mis

= 44,19 mis

=

A los 8 s de iniciado el movimiento, el cuerpo alcanzó la altura máxima y lleva descendiendo en caída libre 3 segundos. ¿Por qué? h

=9 .t

máx

122,5 m

I

I

h

42

=

=

29,4 m

29,4 m

I

Para saber con qué velocidad llega a] suelo, partimos de:

v/ =

V0

2

+

Por t = 10 s levantamos una perpendicular y por el pu nto donde corta a la recta, trazamos otra hasta el eje de las velocidades obteniendo así la velocidad pedida.

2 gh

como va = O por ser caída libre, tenemos:

v == SO mIs. Solución anaUtlca.

vf =V2Qh =V 2 . 9,8 m/s 2 • 122,S m == = V 2401 m2/s 2 = 49 mIs

IVI = 49 mIs

La velocidad pedida la calculamos por medio de:

I

= va + a t v, == O mIs + S m/s 2 • 10 s == SO mIs v, = SO mIs VI

Como puedes observar la velocidad con que llega al suelo es la misma con la que partió (velocidad de lanzamiento). También en este tipo de movimiento el tiempo máximo (tiempo de subida) es igual al tiempo de caída libre (tiempo de bajada).

b)

Para determinar la distancia recorrida podemos hacerlo calculando el área bajo la curva en el gráfico v - t o bien analíticamente. • El área bajo la curva equivale a la de un triángulo de base 10 Y altura SO.

b .h

x =--== 2 1. Un móvil parte del reposo con una aceleración de S m/s 2 • a) ¿Cuál será su velocidad a los 10 s? b) Distancia recorrida en los 10 s.

10· SO mis

=2S0 m

2

x == 2S0 m •

Resolvamos el problema gráfica y analíticamente.

Analíticamente:

x == va' t a . t2

Solución gráfica.

x==-2

Construyamos un sistema de ejes cartesianos v - 1. El móvil parte del reposo (va = O) Ypor tener una aceleración constante de S m/s 2 varía su velocidad en S mIs cada segundo. Construyamos la gráfica.

a t2

+-2 S m/s 2

•

(10

S)2

2

S m/s 2 • 1 00 S2 - - - - - - - == 2S0 m

2

x = 2S0 m Como era de suponer el resultado obtenido es el mismo, independientemente del método utilizado.

2. Un móvil parte con una velocidad de 10 mIs y una aceleración de 2 m/s 2 • Calcular: a) velocidad a los 7 s; b) distancia recorrida entre el tercero y el quinto segundo. a)

Velocidad a los 7 s.

vf = vf VI

Vo

+a

.t

= 1O mIs + 2 m/s 2 • 7 s = 10 mIs + 14 mIs == 24 mIs vf == 24 mIs

43

a)

3. Dos móviles A y B salen simultáneamente de un mismo punto. A tiene una velocidad constante de 20 mis y B parte del reposo con una aceleración de 4 m/s 2 • Calcular: a) ¿A qué distancia del punto de partida se encuentran?, b) velocidad de B en el punto de encuentro.

Para determinar la velocidad en forma gráfica procedemos como en el ejemplo anterior.

Resolvamos el problema gráficamente. Para ello representamos las velocidades de cada móvil. 30

24 20

10./

o

b)

Distancia recorrida entre el tercero y el quinto segundo. Partamos de la fórmula

a t2 2

x = v t+-o

Para aplicarla necesitamos calcular previamente la velocidad que lleva el móvil en los 3 s.

Los móviles se encontrarán cuando las áreas bajo las curvas correspondientes sean iguales y esto ocurre en un tiempo, te' común para ambos. La distancia recorrida por los móviles está representada por el área del rectángulo para el móvil A y la del triángulo para B. t . CE xA = 20 . te y X s = e 2

= Vo + a t vf = 1O mis + 2 m/s 2 • 3 s v f = 1O mis + 6 mis = 16 mis

vf

Como el intervalo es entre el tercero y el quinto segundo, el tiempo a emplear en la fórmula es de 2 s. x = 16

mis' 2

x = 32 m

+

2 m/s 2

s

•

(2 s)2

Como CE representa la velocidad de B en un tiempo te podemos escribirla así:

+-----2

CE = a . t = 4 te

4 m = 36 m

Sustituyendo e igualando las distancias tenemos:

Gráficamente correspondería a calcular el área del trapecio, señalado en la gráfica, cuyas dimensiones son B = 20, b=16yh=2

x=

(B

+ 2

b)

20 . t e

h

4 t 2 =_._e_

20 t e

2

x = (20 + 16) . 2 = 36 Despejando y simplificando obtenemos:

2 x

te

= 36 m 44

= 10 s.

Conocido te' calculemos la distancia que recorrieron hasta encontrarse. xA = 20

mis . 1O s

5. Un móvil mantiene una velocidad constante de 20 mis durante 15 segundos, al . cabo de ese tiempo se le aplica una aceleración constante de 4 m/s 2 durante 5 segundos e inmediatamente se desacelera a razón de 2 m/s 2 hasta detenerse. Calculemos: a) tiempo que tarda en detenerse; b) distancia total recorrida.

= 200 m

La velocidad de B en dicho momento la calculamos trazando las perpendiculares correspondientes. Así obtenemos que: Vs

= 40 mis

a)

Para calcular el tiempo que emplea hasta detenerse necesitaremos conocer la velocidad que tenía el móvil en el instante en que se desacelera.

Resuelve el problema de forma analítica.

Calculemos la velocidad. Sabemos que tiene una velocidad inicial de 20 mis y se le aplica una aceleración de 4 m/s 2 durante 5 s, entonces:

4. Un móvil parte con una velocidad inicial V o y una aceleración a. Deduzcamos la fórmula para calcular la distancia recorrida por el móvil en un tiempo t partiendo de un gráfico v - 1.

vf =

Vo

+ at

= 20 mis + v¡ = 40 mis v¡

4

m/s 2

•

s

5

En ese instante (v¡ = 40 mis) se desacelera hasta adelantarse, entonces la velocidad final del movimiento es cero.

v

= Vo - a t O mis = 40 mis - 2 m/s 2 -40 mis t = 20 s -2 m/s 2 v¡

t

b) El área bajo la curva corresponde a la de un trapecio cuyas dimensiones son: B = V o + a t; b = V o Y h = t

x =

s

s:

t

= 20 s

El tiempo que emplea en detenerse es de 20 s.

)

n

•

x

(B

+

• Solución gráfica.

b)

Representamos el movimiento en un gráfico v - 1. La distancia recorrida equivale al área bajo la curva.

h

2

Para determinar la distancia total recorrida podemos emplear el método gráfico o el analítico.

= (v o + a t + vo)

V(m/s)

• t

40

2

x =

2 Vo + a t 2

.

t

2 V t + a t2 x = -o - - - 2 X

a t2

= vo t +-2

o 45

La distancia total recorrida equivale a:

x = Al

+A +A

x = (15 . 20) m + (

+

40 + 20

. 5)m +

2

h - h,

20 ·40

2

! l ¡I +: -+,-

3

2

m

+ 200 m

8 ,

__U'.

x = 300 m + 150 m + 400 m x = 850 m

200 m

.,

Para calcular desde qué altura se dej c.aer el cuerpo necesitamos conocer pr vlamente la distancia recorrida en lo

• Solución analítica.

8 s. g . t2

hl

X=Xl +X2 +X3 i) Xl =

V1 •

t 1 = 20

Como el cuerpo se deja caer, va = O. 2

g t2

4

m/s 2

•

25

S2

= 20 mIs' 5 s +------

h l =313,60m

2

La altura tolal viene dada por h + 200 m como lo indica el esquema a~terior. '

X2 = 100 m + 50 m = 150 m

h = hl + 200 m h = 313,60 m + 200 m

x2 = 150 m

iii) x3 =v o • t

9,8 m/s 2

• 64 S2 h = -- = -----122

at x =v 2 o · t +2x2

2

mIs . 15 s = 300 m

Xl = 300 m ii)

= va' t +--

h = 513,60 m

a t2

+-

b)

2

El tiempo que nos-piden es el de caída libre menos 8 s.

2 m/s 2 • 400 52 x3 = 40 ms· 20 s - - - - - - I

2 x3 = 800 m - 400 m = 400 m x3 = 400 m

te =

x=xl +X2 +X3

V

/2 . 513,60 m 9,8 m/s 2 = 10,23 s

t=te -8s

X = 300 m + 150 m + 400 m

t = 10,23 s - 8 s

x = 850 m

t =2,23 s

6. Un cuerpo se deja caer desde cierta altura y al cabo de8 s está a 200 m del suelo. Calculemos: a) desde qué altura se dejó caer el cuerpo; b) en cuánto tiempo recorrerá los 200 m finales.

7. Desde una altura de 122,5 m se deja caer una piedra; 2 segundos después se lanza otra desde el mismo punto. Calculemos la velocidad con que lanzamos la segunda piedra sabiendo que las dos llegan simultáneamente al suelo.

Construyamos el gráfico del movimiento.

46

Para determinar la velocidad de lanzamiento necesitamos conocer el tiempo que empleó en recorrer dicha altura. Como fue lanzada 2 s después que la primera, el tiempo empleado por ella será t2 = t, - 2 s. Calculemos t"

t, =j2h

h

máx

=

Vo

t, = y/2 '122,5 m== 5 $ 9,8 m/s 2

t2 = t, - 2 s

hmáx

=

h.

=_0

máx

t2 =5s-2s

Vo

V 2

9

9 t +--

2

máx

h -g F/2

2 h-g

t

2 2 . 3

=

-

g' (valg}2 2

/g 2

V 2 0

V2 =_0_

2 9

~!!!!!!!i!!j Problemas Propuestos. ~~~ t2

t

2 . 122,5 m - 9,8 m/s 2

Vo

Vo

2g

h

Despejando Vo tenemos 9 t2 v t=h--o 2

vo =

.9

= -o-

2

.t

(tmáY

2

V 2

La velocidad inicial la calculamos a partir de Vo

9 '

-

V 2 V2 o __ 0_ hmáx = 9 2 9

= 3s

h =

• tmáx

Sustituimos tmáx en la expresión anterior.

9

t2

La expresión anterior corresponde al tiempo máximo, tiempo en el que alcanza la altura máxima.

•

9

1. Efectúa las siguientes reducciones de unidades:

S2

s

245 m - 88,20 m

6s

a) 16 m/s 2 a cm/s 2 b) 25 cm/s 2 a m/s 2

26,13 mis

e) 12 m/s 2 a km/s 2

d) 14400 km/h 2 a cm/s 2 Vo

= 26,13 mis

e) 144000 m/s 2 a km/s 2 f) 129600 dam/h 2 a m/s 2 g) 0,12 cm/s 2 a km/h 2

8. Deduzcamos la fórmula para calcular la altura máxima que alcanza un cuerpo al ser lanzado verticalmente hacia arriba.

2. Interpreta físicamente enunciados.

Recordemos que la altura máxima corresponde al punto en el que la velocidad es ceru. Entonces:

v, = V o - 9

t

los

siguientes

a) Un cuerpo posee una aceleración constante <;ie 6 m/s 2 b) Un móvil tiene una aceleración constante de -4 m/s 2

(v, = O)

Despejemos 1.

c) Un cuerpo se desacelera a razón. de 13 km/h cada segundo.

V t = o9

d) La aceleración de un cuerpo es de O km/h 2

47

8. Un móvil se mueve con rapidez constante de 30 mis durante 15 s luego acelera a razón de 3 m/s 2 durante 10 s y frena hasta detenerse totalmente en 20 S. a) Construye la gráfica v = v(t} b) Calcula la distancia total recorrida. e) ¿Qué velocidad tenía a los 20 s de iniciado el movimiento. d) ¿Qué aceleración tenía el móvil en los últimos 20 s?

3. Un móvil pasa por unpunto con una velocidad de 80 km/h y a los 20 segundos alcanza una velocidad de 98 km/h. ¿Qué distancia, en metros, habrá recorrido el móvil en los 20 s? R:

494,40 m

4. Un cuerpo alcanza en 10 segundos una velocidad de 162 km/h. Determina la velocidad inicial del cuerpo sabiendo que tiene una aceleración constante de 4 m/s 2 • ¿Qué distancia recorrerá en esos 10 s? R:

V

o

5 mis y

=

R:

x = 250 m

9. La siguiente cinta muestra los registros obtenidos al pasar por el timer. Cada tic representa 1 s y la distancia es en cm.

5. Un móvil parte del reposo y recorre 81 Om con una aceleración de 5 m/s 2 • Calcula el tiempo que tardó en recorrer dicha distancia y su velocidad final. R:

t

=

18

b) 1500 m e) 45 mis d) -3 m/s 2

e..

s y VI = 90 mis

............ 10m

6. Un móvil tiene una velocidad constante y recorre 700 m en 35 s. Al cabo de este tiempo inicia un M.R.U.v. y en 15 s adquiere una velocidad de 50 mis. a) Calcula la distancia total recorrida por el móvil; b) velocidad media de todo el recorrido. R:

a) 122,5 m

a) Construye el gráfico x = x(t) b) Construye la gráfica v = v(t} e) ¿Qué tipo de movimiento representa el marcado en la cinta? d) ¿Qué aceleración tenía el móvil en los últimos 20 s?

b) 24,5 mis

R:

10. A partir de la siguiente gráfica contesta cada una de las siguientes preguntas.

7. La siguiente tabla registra los datos obte nidos al estudiar el movimiento de un móvil. k

t(s)

v(m/s)

O

O

2

5

4

10

6'

15

a) Construye - v = - a = - x =

d) V = 32 em/s

I

las gráfic_as: v(t) . a(t) x(t)

b) Si la aceleración se mantiene constante calcula la velocidad que tiene a los 10 s y la distancia recorrida. R:

I I

.1

0,1

VI = 25 mis Y x = 1250 m

48

0,2

0,3

0,4

0,6

.I(",in)

Suponiendo que el móvil para t = O s tiene una velocidad de 5 mIs, contesta las siguientes preguntas. .

a) Calcula las pendientes de A, B Y C. b) Describe el movimiento. c) ¿Qué ocurre para t = 0,4 min? ¿Puede suceder en la realidad? d) ¿Qué distancia total recorrió el móvil? e) ¿Qué velocidad tiene a los 18 s de iniciado el movimiento? f) ¿En qué instante la velocidad del cuerpo es de 25 mIs? R;

al mil = o;

mB

= 2,5;

a) ¿Qué velocidad tiene para t = 1 s? b) ¿Qué distancia habrá recorrido para t = 2 s? c) ¿Qué tipo de movimiento tiene en el intervalo [2 s, 3 s]? d) ¿Cuál será la velocidad en el quinto segundo?

me = -- 2,5

dl 840 m el v = 35 mis f) 14 S Y 26 S

e) ¿Cuál será la distancia recorrida en el intervalo [4 s, 7 s]? f) Construye la gráfica V = v(t). al

11 mis b) 25 m dl 23 mis el 75 m

R:

11 . x(m) t(s)

O 0,5 O 1

2

45

2

3

8 12,5

18

4

6

5

A partir de los datos anteriores:

14. ¿Es posible que un cuerpo esté acelerado y tenga rapidez cero? Justifica tu respuesta.

a) Construye las gráficas x = (t); v = v(l) y a = a(t). b) ¿Qué tipo de movimiento tiene el cuerpo?

15. Un cuerpo se mueve con una rapidez constante de 72 km/h durante una hora, luego acelera a razón de 4 m/s 2 durante 10 s, calcula: . a) ¿Qué rapidez, en kmlh, tiene al finalizar el décimo segundo? b) ¿Qué variación de velocidad experimentó en los 1O s? c) ¿Cuál es la distancia total recorrida? R:

al bl el

216 km/h

144 km/h 72,4 km

16. Desde la azotea de un edificio se deja caer un objeto y 4 segundos después llega al suelo. Determina: a) Altura del edificio. b) Velocidad del cuerpo al llegar al suelo. c) ¿En qué instante la velocidad del cuerpo es de 24,5 mIs? R:

a) 78,40 km/h b) 39,20 mis el 2,5 s

17. Se deja caer un cuerpo desde una altura de 100 m. Calcula: a) velocidad a los 45; b) tiempo de caída; c) altura a que se encuentra el cuerpo a los 3 s Y d) velocidad al llegar al suelo. 49

18. Se deja caer un cuerpo y llega al suelo en 4 s. Calcula: a) altura desde la cual cae el cuerpo y b) velocidad a los 2 s de movimiento; c) construye las gráficas x = x(t) y v = v(t)

19. Un muchacho deja caer metras, en intervalos regulares de tiempo, desde una altura de 7,64 m. La primera llega al suelo cuando la sexta inicia su caída. Determina la altura de la cuarta metra en ese momento. R:

20. Se lanza un cuerpo hacia abajo con una velocidad de 5 mIs, calcular desde que altura se lanzó si tardó 5 s en llegar 81 suelo. ¿Cuánto tiempo le falta para llegar al suelo en el momento en que la velocidad es de 24,6 mIs?

21. Se lanza verticalmente hacia arriba .un cuerpo con una velocidad de 49 mIs. Calcula: a) tiempo máximo; b) altura máxima; c) a los 7 s de movimiento, ¿cuál es la velocidad y la altura que tiene el cuerpo? R:

6,41 m

50

a) 5 s b) 122,5 m e) 19,6 mIs y 102,9 m

4

Dinámica. Leyes de Newton. Peso de los cuerpos. Ley de la gravitación universal. Masa inercial y gravitatoria. Impulso.

DINAMICA

Dinámica.

Si tenemos un resorte y lo halamos producimos en él una elongación, si apretamos un trozo de plastilina con nuestra mano cambiamos su forma, en ambos casos hemos aplicado fuerzas sobre los cuerpos y podemos concluir que las fuerzas producen deformaciones en los cuerpos.

En los capítulos anteriores hemos visto el movimiento sin atender a las causas que lo producían y sin importarnos la masa de los cuerpos. La parte de la Física que se encargaba de dicho estudio la llamábamos cinemática. En este capítulo discutiremos el movimiento y las causas que lo producen, esta parte de la Física la denominamos dinámica.

Dependiendo de los efectos que se produzcan en los cuerpos por las fuerzas sobre él aplicadas podemos clasificarlos en estáticos si producen deformaciones y en dinámicos si ocasionan cambios en el movimiento.

La dinámica es la parte de la Física que estudia la dependencia entre el movimiento y las causas que lo producen.

leyes de la Dinámica.

Por experiencia sabemos que un automóvil, una bicicleta o un cuerpo cualquiera no iniciarán jamás un movimiento por sí solos. La única manera de que comenzaran a moverse es de que se vieran afectados por causas externas, producidas por otros cuerpos que modificaran su estado de reposo.

La Dinámica se encuentra basada en las tres leyes establecidas por Isaac Newton (1642-1727) quien las presentó por primera vez en 1686 en su obra "Principia Mathematica Philosophiae Naturalis". Veamos cada una de ellas.

Analicemos el siguiente ejemplo. Si lanzamos una bola de billar perfectamente esférica sobre una superficie horizontal y lisa vemos que la velocidad de la bola va disminuyendo lentamente. Ahora bien, si lanzamos la misma bola en una pista de hielo observaremos que la velocidad va disminuyendo más lentamente y que la distancia recorrida es mucho mayor. Esto nos lleva a pensar que si lograramos lanzar la bola sobre una superficie que no causara ningún efecto sobre ella, se movería indefinidamente con velocidad constante.

En esta ley, Newton introduce la fuerza como la causa que produce variación en el movimiento, venciendo la tendencia que tienen los cuerpos de mantener su estado de reposo o de movimiento uniforme. Veamos los siguientes casos: a) Cuando estamos de pie en un autobús y éste se pone en marcha bruscamente, tendemos a irnos hacia atrás. b) Si el conductor frena bruscamente, tendemos a irnos hacia adelante. En los casos anteriores hemos podido comprobar fácilmente que los cuerpos tienden a mantener su estado de reposo o de movimiento y esta tendencia a no modificar su estado de movimiento la llamamos in.rcla.

Concluyamos que toda causa capaz de modificar el estado de reposo o de movimiento uniforme de un cuerpo recibe el nombre de fuerza. 51

La primera Ley de Newton, llamada también Ley de inercia, la enunciamos así: Todo cuerpo conserva su estado de reposo o de movimiento uniforme a menos que sea obligado a cambiar ese estado por fuerzas que se le apliquen.

. E._~

-

~.~ . ~=~.E="""

La inercia es una propiedad que poseen los cuerpos al igual que su forma, superficie o volumen.

~

.._._....~J:_.==~.=.==

El hecho de que un cuerpo esté en reposo o en movimiento uniforme supone que las fuerzas externas, sobre él aplicadas, están equilibradas, es decir la fuerza neta es nula. Para que varíe su estado es necesario aplicarle una fuerza no nula. El hecho de que un móvil mantenga su rapidez constante no implica que sobre él no estén actuando fuerzas no equilibradas, un ejemplo de esto lo tenemos cuando un vehículo se desplaza por una carretera con rapidez constante tanto en las rectas como en las curvas, para efectuar los cambios de dirección es necesario aplicarle una fuerza. Recuerda que la velocidad es una. magnitud vectorial.

De la experiencia anterior podemos concluir que al mantener la masa constante de un cuerpo la fuerza sobre él aplicada y la aceleración suministrada son directamente proporcionales. Analicemos la siguiente experiencia. Disponemos de cuatro bloques cuyas masas son una, dos, tres y cuatro veces mayores respectivamente; si a cada bloque le aplicamos la misma fuerza, las aceleraciones obtenidas serán una, dos, tres y cuatro veces menores.

Para vencer la inercia de los cuerpos sabemos que debemos aplicarles fuerzas y así cambiar su estado. Por experiencia también sabemos que cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo, éste se acelera y que a mayor fuerza mayor aceleración. También observamos que una misma fuerza aplicada sobre cuerpos diferentes causa efectos diferentes. Todas estas experiencias nos confirman que hay algo en la materia que caracteriza el movimiento de los cuerpos al estar sometidos a diferentes fuerzas. Este elemento de la materia recibe el nombre de masa y sirve para expresar la resistencia que opone un cuerpo a un cambio en su estado, o lo que es lo mismo, la masa es una medida cuantitativa de la Inercia.

De la experiencia anterior podemos concluir que al aplicar una fuerza constante las masas y las aceleraciones son inversamente proporcionales.

El patrón de masa, se cons~rva en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas cerca de París, y es un cilindro de platino iridiado cuya masa es equivalente a la de 1 dm 3 de agua destilada a la temperatura de 4°C. Veamos la siguiente experiencia. Sobre un mismo bloque se aplican fuerzas una, dos, tres y cuatro veces mayores; podemos observar que las aceleraciones adquiridas por el bloque son una, dos, tres y cuatro veces mayores.

La Segunda ley de Newton, en su enunciado, resume las experiencias anteriores: La aceleración de un cuerpo es directamente proporcional a la fuerza aplicada e inversamente proporcional a la masa del cuerpo. La aceleración tiene siempre la misma .dirección y sentido que la fuerza neta aplicada.

52

Ex'presemos simbólicamente las proporciones establecidas en el enunciado de la ley.

• a es directamente proporcional a F a f (1) • a es inversamente proporcional a m

N

1

(2)

(l-

m

1 N = 10 3 g . 10 2 cm/s 2

Combinando (1) Y (2) en una sola tenemos: --+

--+

a

=

F

= kg . m/s 2

Escribamos la expresión anterior colocando las unidades en sus equivalentes en el sistema c.g.s.

(l

a

Establezcamos la equivalencia entre 1 N y

1 din. Para ello partimos de la relación F = m· a

1

= 10 5 g . cmP 1 N = 105 din

m

1 Newton equivale a 105 dinas.

1 N

despejando R

En la siguiente tabla mostramos las equivalencias entre las diferentes unidades de fuerza.

que corresponde a la expresión matemática de la Segunda Ley de Newton.

Dimensiones y unidades de fuerza.

a

A partir de la relación F = m . podemos determinar fácilmente las dimensiones de fuerza. F = m· a [F]

=

[M] . [L] . [T-2]

Veamos ahora las unidades y sus equivalencias.

Definamos algunas unidades de fuerza.

Ademas de los sistemas contenidos en el cuadro anterior, es muy común el llamado sistema técnico en el cual las unidades de fuerza son: kilopondio (kp): kp = 9,8 N Pondío (p): p = 980 din

53

•

Un newtón es la fuerza que aplicada a una masa de 1 kg le comunica una aceleración de 1 m/s 2.

•

Una dina es la fuerza que aplicada a una masa de 1 g le comunica una aceleración de 1 cm/s 2.

Peso de los cuerpos. Al hablar de la caída libre de los cuerpos decfamos que un cuerpo abandonado en las cercanías de la superficie terrestre caía hacia ella en dirección hacia el centro de la Tierra con una aceleración constante.

Todo cuerpo se encuentra afectado por fuerzas externas provenientes del sistema del cual forma parte y éste a su vez ejerce sobre el medio fuerzas de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario.

La razón es sencilla, la Tierra ejerce una fuerza de atracción sobre cada uno de los cuerpos que la rodean~La fuerza gravitaclo· nal que la Tierra ejerce sobre un cuerpo recibe el nombre de· peso.

Veamos algunos ejemplos. - Un cuerpo colocado sobre una mesa ejerce una fuerza sobre ella y la mesa aplica sobre el cuerpo una fuerza de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario.

Po'r ser el peso una fuerza, su magnitud se expresa en unidades de fuerza, tales como Newton, kilopondio, etc. Partiendo dela Segunda Ley de Newton, establezcamos la relación matemática entre el peso de un cuerpo (P) y su masa.

-F

sustituyendo

- Un peso que se encuentre suspendido por una cuerda ejerce sobre ella una fuerza, en dirección hacia el centro de la Tierra, y al mismo tiempo la cuerda ejerce sobre él otra fuerza de igual magnitud y dirección pero de sentido contrario.

=

--.

m· a

F por P y a por 9: tenemos:

Anteriormente habíamos visto que la aceleración d~;gravedad variaba de un punto a otro dependiendo del lugar donde se encuentre el cúérpo. En consecuencia podemos afirmar, observando la relación anteriormente obtenic;:1a, que el peso de un cuerpo no es una constante ya que depende de la aceleración de gravedad del lugar en el que se encuentre.

¿ Donde pesará más un cuerpo, en el ecuador o en los polos? Para responder a esta pregunta debemos recordar que la Tierra no es perfectamente esférica, es achatada en los polos y abombada en el ecuador. Un cuerpo que se encuentre en el polo está más c~rca del centro de la Tierra que si estuviese en el ecuador; por'tal motivo ·Ia fuerza de atracción ejercida por la Tierra sgbre él será mayor y en consecuenciatarnbién lo será la aceleración de gravedad. Por lo expresado, podemos concluir que, un cuerpo pesará más en los polos que en el ecuador a pesar de que la masa del mismo sea constante.

Si consideramos a una de las fuerzas como "acción" a la otra fuerza la podríamos llama" "reacción". Debemos notar que las fuerzas de acción y reacción actúan sobre cuerpos diferentes, de no ser así, nunca podríamos tener un movimiento acelerado ya que la fuerza resultante sobre un cuerpo sería siempre nula.

En Física efectuamos normalmente una medida que comúnmente denominamos "pesar" pero, dependiendo del tipo de instrumento que utilicemos, estaremos determinando la masa o el peso del cuerpo.

La Tercera Ley de Newton podemos enunciarla de la siguiente manera: A toda acción .e opone siempre una reacción igual y de .entldo contrario. 54

Cuando colocamos en uno de los platos de una balanza un cuerpo y en el otro vamos colocando diferentes pesas hasta lograr equilibrarlos, estamos determinando la masa del cuerpo a través de una comparación de masa patrón.

Definamos las unidades de peso correspondientes al Sistema Técnico. •

Un kilopondio es la fuerza con que la Tierra atrae a Ijn cuerpo de masa 1 kg comunicándole una aceleración de 9,8 m/s2•

•

Un pondio es la fuerza con que la Tierra atrae a un cuerpo de masa 1 g comunicándole una aceleración de 980 cm/s2•

Así como la Tierra atrae a los cuerpos situados en su superficie o en sus proximidades, los astros se atraen unos a otros, de no ocurrir esta interacciÓn estarían en reposo o se moverían en línea recta con movimiento uniforme. Los planetas describen trayectorias elípticas alrededor del Sol con velocidad constante, esto se debe a una fuerza centrí· peta proveniente de dicho astro. Por esta misma fuerza giran los satélites alrededor de sus planetas.

Para determinar el peso de un cuerpo utilizamos el dinamómetro, el cual consiste en un resorte que se encuentra en un cilindro graduado en unidades de peso. El alargamiento que sufre el resorte al suspender el cuerpo nos permite determinar el peso del mismo.

Newton, logró formular una Ley que le permitía explicar los movimientos de los planetas y la caída de los cuerpos cerca de la superficie terrestre y se conoce como Ley de la Gravitación Universal. Su enunciado es el siguiente: La fuerza de atracción entre dos masa. cualesquiera es directamente proporcIonal al producto de sus masas e Inversamente proporcional al cuadrado de la dl.tancia que las separa. La expresión matemática de la Ley anterior

Cotidianamente hablamos indistintamente de masa y peso, incluso llegamos a utilizar expresiones como: este lápiz "pesa 11 gramos", aún cuando sabemos que el "gramo" no es una unidad de peso, para los efectos del estudio de la Física debemos distinguir claramente ambos conceptos.

es:

IF_Gm,~ m'l siendo G la constante de gravitación universal y su valor es de 6,67 X 10- 11 N' m2/kg 2

55

Masa: inercial y gravitatoria.

Impulso de una fuerza.

En puntos anteriores hemos utilizado el término masa' en situaciones muy diferentes. Veamos este ejemplo. Sobre una superficie sin rozamiento tenemos colocado un bloque de masa "m", para poder moverlo necesitamos aplicarle una fuerza para así vencer la tendencia que tiene el cuerpo a mantener su estado. En este ejemplo no interviene la gravedad y es la masa del bloque la que determina la magnitud de la fuerza necesaria que hay que aplicarle para acelerarlo. A este masa la llamamos masa inercial.

En el desarrollo del presente capítulo hemos visto como para variar la velocidad de un cuerpo debemos aplicarle una fuerza, si esta fuerza es constante le comunica una cierta aceleración. Supongamos que la masa del cuerpo es "m" y la aceleración suministrada es "a", por la Segunda Ley de Newton tenemos que:

F

= m· -.. a.

La aceleración la definíamos como la variación de la velocidad (.6. v) por unidad de tiempo (.6. t), sustituyamos a por su correspondiente expresión en la relación anterior.

_

F . .6. t

Analicemos la siguiente situación. Si deseamos sostener un bloque de masa "m" tendremos que aplicar una fuerza de igual magnitud pero de sentido contrario a la fuerza de atracción gravitacional existente entre el bloque y la Tierra. Observemos que en este caso la inercia del bloque no juega ningún papel en el posible movimiento del cuerpo de caída libre. En este caso estamos hablando de masa gravitatoria.

-l>

=

~

m . v f - m . Vo

En el capítulo anterior definimos la cantidad de movimiento de un cuerpo (p) como el producto entre su masa y su velocidad, en consecuencia la ecuación anterior podemos expresarla así: .......

->

-

F . .6. t = PI- Po -'> siendo PI la cantidad de movimiento final y -Po la inicial. La variación en la cantidad de movimi~to del cuerpo (PI-Po) la simbolizamos .6. p, obteniendo entonces que

El primer miembro de esta igualdad lo llamamos impulso y lo definimos como la variación de la cantidad de movimiento de un cuerpo. El impulso, como podemos observar, es una magnitud vectorial. En la práctica existen una gran cantidad de fuerzas que actúan sobre los cuerpos por períodos de tiempo muy cortos, podríamos considerarlas como instantáneas. Ejemplo de este tipo de fuerzas los tenemos cuando con un bate golpeamos una pelota, cuando le damos una patada a un balón o golpeamos con nuestro puño una pera de boxeo. Este tipo de fuerzas las llamamos fuerzas impulsivas.

, --+

Wp

Debemos destacar que la masa inercial y la gravitatoria son equivalentes y por ello podemos medir la masa con una balanza.

56

!!!!~~~ Problemas Resueltos. ~~~!!

2.

1. Efectuemos las siguientes reducciones. a)

Los siguientes gráficos muestran las fuerzas aplicadas a una masa de 5 kg. Deter':' minemos: a) la aceleración comunicada a la masa y b) la velocidad adquirida en 10 s.

5,7 X 10- 4 N a dinas. Recordemos que para reducir de newtons a dinas debemos multiplicar por 105 • 5,7 X 5,7 = 5,7 = 5,7 =

b)

10- 4 N

==

/c-f

X 10- A • 105 dinas == X 10- 4 + 5 dinas = X 101 dinas = 57 dinas

~

~~~#h7

7,2 X 10- 3 N a pon dios. Para reducir de N a pondíos los transformamos primero a kilopondios dividiendo por 9,8 y luego a pondios multiplicando por 1000. 7,2 X 10- 3 N =

= 7,2

X 10- 3

1000 • --

9,8

pondios

= 0.73 pondios e)

0,8 pondios a dinas. -=.1N

Recordando las equivalencias estudiadas nos damos cuenta de que 1 pondío equivale a 980 dinas, luego para determinar cuántas dinas son 0,8 pondios bastará con multiplicar por 980.

a)

Así:

En este caso la fuerza aplicada sobre el cuerpo es de 6 N. Para calcular la aceleración suministrada aplicamos:

....F =

0,8 pondios = 0,8 X 980 dinas == 784 dinas

d)

.......

m· a

0,6 kilopondios a Newton. Para transformar de kilopondios a N multiplicamos por 9,8.

F

=

m· a

a

~

F

= -m

6 N 5 kg

=-- =

1 2 mis ,

2

0,6 kp == 0,6 X 9,8 N == 5,88 N

e)

La masa sufre una aceleración de 1,2 m/s.2 en dirección horizontal y hacia la derecha.

0,32 N a pondios. Para determinar la equivalencia pedida transformamos los N a kp, dividiendo por 9,8 y luego los kp obtenidos los llevamos a pondios multiplicando por 1000. Las transformaciones anteriores podemos expresarlas en una sola operación. 0,32 N

== 0,32

1000

X -- P

9,8

= 32,65

Calculemos la v al cabo de 10 s de aplicada la fuerza VI

== va + a t

v,

= 1,2 m/s 2

Jos la

•

10 s

==

12

mIs

A s el cuerpo tendrá una velocidad de 12 mIs en dirección horizontal y hacia la derecha.

P

57

En estecaSQ, nec~sitaremos descompo'" ner la fuerza aplicada en una horizontal y en otra vertical, como lo muestra la figura.

b)

La fuerza suministrada es de 3N en dirección horizontal y hacia la derecha. Calculemos la at'::'eleración y la velocidad adquirida por el cuerpo: F 3 N . a = - = - - = 0,6 m 5 kg

Con ayuda de la gráfica y de la escala determinamosqueFx = 4 N Y Fy = 3 N. La fuerza horizontal desplaza la masa, la vertical tiende a alzarla pero no lo logra ya que es menor que el peso del cuerpo, luego en este caso sólo influye en el movimiento Fx'

VI

m/s 2

= 0,6 m/s 2 • 10 s = 6 mis

La aceleración y la velocidad tienen la misma dirección y sentido que la fuerza resultante.

Calculemos la aceleración suministrada al cuerpo. d) F 4 N F=m a ~ a = - = - - = 0,8 m 5 kg

m/s 2

En este ejemplo observamos que las fuerzas que influyen en el movimiento son F1 y F : F3 no influye por la razón expuesta en 2 la parte b. Calculemos la fuerza resultante horizon-

Al cuerpo se le comunica una aceleración de 0,8 m/s 2 horizontalmente y. hacia la derecha. Calculemos la velocidad a los 10 s.

VI =

0,8

m/s 2 ·10 s

= 8

La fuerza obtenida tiene la misma dirección y sentido que F1 •

mis

Calculemos la aceleración y la velocidad.

El cuerpo tendrá una velocidad de 8 mis en la misma dirección y sentido que la aceleración.

c)

4 N a = - - = 08 5 kg

m/s 2

I

vf = 0,8

En nuestro ejemplo el cuerpo está sometido a dos fuerzas horizontales, una hacia la derecha y otra hacia la izquierda. La fuerza resultante la obtenemos calculando la diferencia F1 - F2 ,

m/s 2 • 10 s

= 8

mis

La velocidad y la aceleración tienen la mism~ dirección y el mismo sentido

que F,.

58

4. Un cuerpo parte del reposo y al aplicarle una fuerza constante de 100 N durante las, alcanza una velocidad de 15 mIs. Determinemos la masa del cuerpo.

Para determinar la variación de peso, D. P, necesitamos calcular el peso de la persona en cada punto. Corno las unidades de masa y gravedad están en sistemas diferentes, transformemos las de gravedad al sistema M.K.S.

100N?

=

6. Una persona de 60 kg pasa de un lugar A donde 9 = 970 cm/s 2 a un lugar B donde' 9 = 980 cm/s 2 • ¿Cuánto variará su peso?

ga = 970 cm/s 2 = 9,70 m/s 2 Para determinar la masa del cuerpo necesitamos conocer previamente la aceleración del mismo. Partamos de la fórmula v, = Vo + a t. Como parte del reposo Vo = O. Luego tenemos que: V

I

VI =at~a=-

t

15 mIs ---='15 m/s 2 10 s '

Calculemos el peso en cada punto: Pa = m . ga = 60 kg . 9,70 m/s 2== 582 N Pb = m . gb = 60 kg . 9,80 m/s 2 = 588 N D. P == Pb -pa = 588 N - 582 N = 6 N

La variación de peso de un lugar a otro es de 6 N.

Para calcular la masa partimos de F

gb = 980 cm/s 2 = 9,80 m/s 2

= m· a

de donde tenemos que:

F a

m =-=

5.

100 N 1,5 m/s 2

7. Calculemos la fuerza, en dinas, con que el centro de la Tierra atrae a una masa de 1 gramo colocada en la superficie de la misma. .

:;. m =66,66 kg

Sobre un cuerpo de masa 10 kg actúa una fuerza de 60 N durante 5 s. Calculemos la distancia recorrida por el móvil en dicho tiempo si sabemos que partió del reposo. Para calcular la distancia pedida necesitamos conocer la aceleración del móvil; para ello partimos de F = m . a. .

F

60 N

m

10 kg

a = -=5> a =

=6

m/s 2

r2

Identifiquemos por m1 la masa de la Tierra y r el radio de la misma, recordemos sus valores. m = m = 6 . 1027 9 r

CalcUlemos la distancia recorrida en los

=

F = G _m...:,1_·_m.....;2:-

1

rr = r = 6370 . 105 cm dinas . cm 2

5 s. X

Para determinar la fuerza de atracción aplicamos la Ley de Gravitación Universal.

s G == 67 , ·10- - -g2- V

o

•

t

a t2

+-2

Sustituyendo en la ecuación anterior tenernos: dinas cm 2 6 . 1027 g.l 9 F=67·10- S =9 • g2 (6370.10 5 cm)2

como parte del reposo tenemos: a . t2

6 m/s 2 . (5 S)2

2

2

x=--

=75m

=:> F = 981 dinas

El cuerpo recorrerá 75 m en 5 s.

59

8. Un cuerpo de masa 10 kg tiene una velocidad de 20 mis y se le aplica una fuerza de 20 N en sentido contrario al movimiento. Calculemos: a) tiempo que tarda en detenerse y b) distancia máxima recorrida.

9. Un cuerpo de masa 10 kg se encuentra colgado de una cuerda sujeta al techo. Calculemos la tensión de la cuerda.

-+

4,

F

:f .;

Iv

Como la fuerza está aplicada en sentido contrario a la velocidad del cuerpo, éste sufrirá una desaceleración y llegará a detenerse. El tiempo que emplea en detenerse lo llamamos tiempo máximo.

a)

Para detenerse el tiempo máximo tmáx =via, ne.cesitaremos conocer la aceleración; calculémosla:

F

eF=m'a~a=-9

m

~

et

a =

20

N

10 kg

= 2 m/s 2

va 20 mis =-=. =10s máx a 2 m/s 2

El cuerpo se detendrá a los 10 s de estar sometido a la fuerza aplicada.

b)

La distancia pedida es la distancia máxima y la calculamos a partir de:

x máx

V 2

(20 m/s)2 2· 2 m/s2

0 ==----

2a

Diagrama de cuerpo libre

Como podemos ver en el diagrama del cuerpo libre, el cuerpo se encuentra sometido a dos fuerzas verticales, una el peso (P) Y la otra la tensión de la cuerda (f). Por estar el cuerpo en equilibrio, las dos fuerzas son iguales en magnitud pero de sentidos contrarios. Luego podemos escribir que T = P. T=P T =

m· g

= =

10 kg . 9,8 m/s 2 T 98 N La tensión de la cuerda es de 98 N.

T

10. Un ascensor asciende con una aceleración de 1 m/s 2 • Si su masa es de 500 kg, cuál es la tensión en el cable. En este problema el sistema no se encuentra en reposo, existe una fuerza ascendente que 'hace subir al ascensor. Construyamos el diagrama de cuerpo libre. ~­ =T

xmáx = 100 m El cuerpo recorrerá una distancia de 100 m desdé el momento en que se le comienza a aplicar la fuerza hasta que se detiene.

•

I

• 1......

~p

Como el movimiento es acelerado, la ecuación correspondiente viene dada por: T-P=m'a Calculemos la tensión del cable:

7. Efectúa las siguientes transformaciones de unidades.

T=m'a+P

a)

b) c)

T = m . a + mg T = 500 kg . 1 m/s 2 + 500 kg . 9,8 m/s 2 T

= 500 N + 4900 N

T=

5400

6. En un 'lugar A la gravedad es igual a 9,81 m/s 2 y en otro B g = 9,78 m/s 2 • ¿Qué' variación de peso experimentará un cuerpo de masa m colocándolo en A y en B?

N

~)

e) f) g) h)

5,8 kp a N 6,3 N a p 42,3 dinas a p 2800 P a N 5· 108 dinas a kp 3· 10- 7 kp a dinas 6,8 X 10- 4 N a dinas 3,2 X 106 dinas a N

8. Sabiendo quela masa de cada bloque es de 20 kg. Calcular la distancia recorrida en 10 s según las fuerzas aplicadas.

La tensión del cable es de 5400 N.

!i!!i!~~ Problemas Propuestos. ;;¡;¡¡¡:¡¡iiOiiiiii~

1. Del techo de un camión cava se cuelga una pelota. Al arrancar el camión la pelota se separa de la vertical. Explica el por qué de este fenómeno. 2. Explica brevemente el por qué podemos desplazarnos. 3. Si tenemos dos cuerpos de masas 500 y 200 9 Y les aplicamos a cada uno una fuerzA. constante de 100 N, ¿cuál de los dos cuerpos adquirirá mayor aceleración y por qué? 4. Según el principio de acción y reacción, si un asno tira de una carreta, ésta tira del asno con una fuerza igual y de sentido contrario. Explica el por qué se mueve la carreta en la misma dirección que el asno? 5. ¿Qué diferencia existe entre peso y masa?

Determina gráficamente la fuerza resultante para los casos c y d, 61

9. Un cuerpo de masa 100, kg al aplicarle una fuerza pasa de una velocidad de 10 mIs a 30 mIs en 20 s. Calcula: a) aceleración del cuerpo;b) fuerza aplicada; c) distancia recorrida en 10 s y d) tiempo que tarda en alcanzar una velocidad de 60 mIs suponiendo la fuerza constante. R: a) b) e) d)

1m/s2 100 N 150 m 50 s

10. Un móvil parte del reposo Y recorre una distancia de 100 m en 4 s. Determina la fuerza aplicada al cuerpo si su masa es de 5 kg. R:

13. Un cuerpo de masa 25 kg parte d,el reposo y en 10 s adquiere tlnavelocidad de 25 mIs. Al alcanzar está velocidad la mantiene por 30 s. Al cabo de éste tiempo se le aplica una fuerza durante 5 s y se detiene. Calcular la fuerza aplicada y la distancia total recorrida. R: 125 N Y 937,5 m

14. Un ascensor desciende con una aceleración de 0,6 m/s 2 . Si la masa del ascensor es de 1300 kg, cuál será la tensión del cable. R:

11960 N

62,S N

11. La masa de un automóvil es de 1500 kg Y lleva una rapidez de 80 m/h. Al aplicarle los frenos se detiene en 15 s. Determina la fuerza aplicada. R: 2220 N

12. Un cuerpo de masa 15 kg tiene una velocidad de 30 mIs y se le aplica una fuerza opuesta al movimiento de 5 N.Determina la distancia que recorre hasta detenerse.

15. Un cuerpo es lanzado verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 mIs. Al llegar al punto más alto de su trayectoria se abre un paracaídas y desciende verticalmente con una aceleración de 0,2 m/s 2 • Si la masa del cuerpo es de 30 kg determina: a) altura máxima; b) fuerza que hace el par;:¡,caídas y c) velocidad con que llega al suelo. R:

a) 510 m b) 300 N

e) 1(2 mIs

R: 150 m

~

1

1

¡

1

I

j

j

I _______6_2

....

.J

5

Fuerzas en e/plano. Diagrama de cuerpo libre.. Cuerpo rígido. Centro de masa. Centro de gr.avedad. Movimiento de una fuerza. . .. . Equilibrio. Máquinas simples.

Veamos algunos ejemplos. • Si sobre un cuerpóactúan dos fuerzas de igual dirección pero de sentidos opuestos, los efectos que ellas causan sobre el cuerpo también serán opuestos.

Recordemos algunos de los conceptos, ya vistos, sobre fuerza. Las fuerzas, desde el punto de vista físico, son magnitudes vectoriales y como tales podemos distinguir en ellas los siguiente elementos: • Punto de aplicación, corresponde al lugar donde suponemos aplicada la fuerza en cuestión. • Dirección, viene dada por la recta que contiene al vector fuerza. • Sentido, determinado por la punta de flecha que se coloca en el extremo del vector. • Módulo, también llamado magnitud o norma, y es la distancia que hay entre el origen y el extremo del vector.

• Si sobre un cuerpo actuán dos o más fuerzas, podemos sustituirlas por otra llamada fuerza resultante que causa el mismo efecto, sobre el cuerpo que las originales.

Las fuerzas, por ser vectores, podemos operar con ellas como tales, es decir las podemos sumar, restar, multiplicarlas por un escalar, descomponerlas en dos o más fuerzas y reemplazar varias fuerzas aplicadas sobre un mismo cuerpo por una sola, llamada fuerza resultante.

63

En la gráfica mostramos cómo aplicando la regla del paralelogramo podemos sustituir F1 y F2 por Fr'

y

Ya vimos cómo dos fuerzas pueden reemplazarse por una resultante; recfprocamente una fuerza que actúe sobre un cuerpo puede sustituirse por dos o más fuerzas que produzcan el mismo efecto. Estas fuerzas las llamamos componentes de la resultante.

o

Consideremos dos casos de descomposición de fuerzas.

Como el punto de aplicación de la fuerza dada no coincide con el origen de coordenadas, la trasladamos de forma tal que coincidan. Una vez trasladada trazamos por su extremo una perpendicular a cada eje; los puntos de corte con los ejes corresponden a los extremosde las fuerzas buscadas (componentes) y que tienen por origen el origen de coordenadas.

1) Conocida la fuerza resultante y una de sus componentes determinar la otra.

Para determinar la otra componente de F aplicamos la regla.gel triángulo. Para ello unimos el extremo de F1 (origen ~ la nueva componente) con el extremo de F (extremo de la, componente buscada). Aplicando lo anterior tenemos:

Al iniciar nuestro curso, en el estudio de vectores consideramos los métodos para determinar la resultante de varios de ellos, de igual forma podemos trabajar con las fuerzas. Si la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo es nula, decimos que la partícula o cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación.

F

La parte de la mecánica que estudia el equilibrio de los cuerpos recibe el nombre de estática.

2) Conocida una fuerza, determinar sus componentes en un sistema de ei~scartesia­ nos.

Recordemos el hecho de que si una fuerza resultante que actúa sobre un cuerpo es nula no implica que se encuentre en reposo; la PrImera Ley de Newton nos dice al respecto que: un cuerpo está en reposo o en movimiento rectt1íneo uniforme cuando la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre él es cero.

64

Diagrama de cuerpo libre. Para resolver muchos problemas en Física, es muy útil hacer previamente un análisis· de todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo, representarlas gráficamente, ver sus efectos y así poder enfocar correctamente la solución del problema. Veamos cómo se elabora un diagrama de cuerpo libre.

. • Si tenemos una mesa y sobre ella colocamos un cuerpo como lo indica la figura, obviamente podemos decir que se encuentra en equilibrio. Esto, como ya dijimos no significa que no actúen fuerzas sobre él, sino que sencillamente el efecto de todas ellas es nulo.

Todas las consideraciones que hemos hecho de las fuerzas han sido partiendo del hecho de que el cuerpo sobre el cual actuaban las mismas no se deformaba. Este tipo de cuerpo lo llamamos cuerpo rígido. En la realidad este tipo de sólidos no existe ya que al aplicarles fuerzas muy grandes, llega un momento en que vencen su resistencia y se deforman.

. Hasta el momento, todas las consideraciones y estudios de los cuerpos los hicimos considerándolos como partículas, es decir, no tomábamos en cuenta las dimensiones del mismo. Esta consideración es perfectamente válida cuando el movimiento que se realiza es una traslación ya que en él todas las partículas del cuerpo tienen el mismo movimiento yen consecuencia el desplazamiento de una partícula representa el de todo el cuerpo. Si deseamos estudiar el movimiento de una pelota no podríamos hacerlo considerándolo como un punto material, ya que la pelota puede rotar, pero sí podríamos describir su movimiento de traslación tomando como referencia un único punto, el centro de masa. El centro de masa de un cuerpo es un punto en el que se puede considerar concentrada toda la masa del cuerpo. A continuación presentamos la forma de determinar el centro de masa de algunos cuerpos que presentan ejes de simetría.

Haciendo un análisis podemos ver claramente que el peso del cuerpo ejerce una fuerza sobre él y que la mesa ejerce sobre él una fuerza, llamada reacción normal, de la misma dirección, magnitud y sentido opuesto al peso.

Punto de corte de las medianas.

El diagrama que nos muestra todas las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo lo llamamos diagrama de cuerpo libre.

,1

e

fN

Punto
-.

N: reacción normal

a a 1-

,'-

,$

t

~ peso del cuerpo

,¡,---.

"P

En el diagrama de cuerpo libre consideramos el cuerpo como una partícula sobre la cual actúan todas las fuerzas.

Se encuentra en el eje a una distancia de la base de 1/3 de su altura.

65

• Coordenadas del centro de masa.

El punto donde se aplicará la fuerza resultante (peso) lo llamamos centro de gravedad o baricentro.

Supongamos que disponemos de tres partículas de masas m1 , m2 , m3 ubicadas en el plano como lo muestra la figura,

En la mayoría de los casos, al tratar cuerpos isotrópicos, el centro de gravedad coincide con el centro de masa. Sin embargo, debemos hacer una diferencia conceptual entre ambos. El centro de masas es el punto donde se supone concentrada toda la masa para estudiar mejor el movimiento, mientras que el centro de gravedad es el punto de aplicación del peso. •

Determinación del centro de gravedad.

Un método sencillo para determinar experimentalmente el centro de gravedad es el siguiente: suspendemos el cuerpo por un punto 0, el baricentro se encontrará en la vertical que pasa por dicho punto; suspendemos nuevamente al cuerpo por otro punto O' y trazamos la vertical correspondiente. El centro de gravedad se encuentra en el punto de intersección de las verticales,

Las coordenadas del centro de masa del sistema formadopor las tres partículas vienen determinadas por:

Si suspendemos el cuerpo por el centro de gravedad siempre quedará en equilibrio.

Cuando sobre un cuerpo actúa una fuerza el efecto que ésta produce depende directamente, además de la magnitud y dirección de la misma, de la línea de acción, Observemos el siguiente ejemplo.

Centro Si consideramos un sistema formado por varias partículas, de masas m1 , m2 , m3 , ,." mn• sobre cada partícula del sistema actúa una fuerza correspondiente al peso m1 g 1 , m2 g 2 , m3 g3 , ,." mngn,

/~ línea de acción

Como el valor de la gravedad (g) se considera constante en una región limitada de la superficie terrestre, las diversas fuerzas correspondientes al peso son paralelas entre sí y pueden ser sustituidas por una sola que es la resultante de todas las fuerzas.

66

La fuerza ~ produciría un efecto de traslación hacia la d9recha y una rotación en el mismo sentido que giran las agujas del reloj; la fuerza F2 lo traslada hacia la izquierda y lo hace rotar en sentido contrario a las agujas del reloj. Si tomamos el punto O como punto de referencia, definimos brazo de una fuerza como la distancia que existe entre ese punto y la línea de acción de la fuerza. El producto entre la magnitud de una fuerza y su brazo lo definimos momento.

Al desplazarla de su posición de equilibrio y soltarla comienza a moverse hasta alcanzarla nuevamente. La razón de esto es porque el centro de gravedad del cuerpo está por debajo del punto de suspensión.

f~5~'15,i?;~1 Dependiendo del sentido de la rotación que produzca la fuerza, el momento será positivo o negativo; positivo si gira en sentido contrario a las agujas del reloj y negativo si es en el mismo sentido.

Otro ejemplo claro lo tenemos cuando inclinamos levemente un vaso. Este comienza a bambolearse hasta alcanzar nuevamente la posición de equilibrio.

Decimos que un cuerpo se encuentra en equilibrio de rotación cuando la sumatoria de todos los momentos de las fuerzas que actúan sobre él es cero.

Esta ecuación nos resume la segunda condición de equilibrio. • Un cuerpo se encuentra en equilibrio inestable cuando al desplazarlo de él comienza a moverse y alcanza otra posición de equiUbrio distinta a la original.

Una vez establecida la segunda condición de equilibrio podemos concluir que un cuerpo rígido se encuentra en equilibrio completo cuando cumple simultáneamente las condiciones de equilibrio de traslación y de rotación.

Todo cuerpo, por acción de la gravedad, tiende a caer hacia el centro de la Tierra; esto lo podemos evitar o bien apoyando el cuerpo en una determinada superficie o suspendiéndolo. Dependiendo de la ubicación del centro de gravedad de un cuerpo podemos clasificar el equilibrio del mismo en: estable, inestable o indiferente.

•

•-

~--

• Un cu~rpo se encuentra en equilibrio estable cuando al alejarlo de él lo recobra por sí mismo. Un ejemplo de ello lo tenemos en una regla suspendida como lo muestra la figura:

67

La palanca.

•

• Un cuerpo se encuentra en equilibrio indiferente cuando al desplazarlo también se encuentra en equilibrio en su nueva posición.

Es un instrumento que permite a un cuerpo girar alrededor de un eje fijo sin deslizarse a lo largo de él. La palanca consta de una barra rígida en La Gual§e aPJl.ºªr:tqg~ fuerzas, Iª-potencia o fuerza motriz (P) y la resistencia (R); el punto de apoyo (F) lo llamamos fulcro. Dependiendo de la posición relativa entre la potencia, la resistencia y el fulcro podemos clasficiar las palancas en: a) De primer género.

r

.......

->

R

p

F

----._+__-

---l

Ejemplos de este tipo de equilibrio los tenemos en una esfera colocada en un plano horizontal o en una regla suspendida por su centro de gravedad.

El fulcro se halla entre la potencia y la resistencia.

Resumamos entonces los factores que influyen en la estabilidad de los cuerpos:

b) De segundo género.

1.....- - -

• A mayor base de sustentación mayor equilibrio. • Mientras más bajo esté ubicado el centro de gravedad de un cuerpo, tendrá mayor estabilidad. • A mayor peso, mayor estabilidad. Seguramente, atendiendo a lo anterior, podrás contestar correctamente las siguientes preguntas:

a

b

1"""..1 - - - - - - - - a

La resistencia está aplicada entre la potencia y el fulcro.

- ¿Por qué la Torre de Pissa no se ha caído? - Cuando cargamos un camión, ¿dónde debemos colocar los objetos más pesados? ¿por qué?

c) De tercer género.

t,

R

t

Cotidianamente utilizamos máquinas para así facilitar la ejecución de un determinado trabajo; ejemplos de estas máquinas e instrumentos los tenemos en: las tijeras, los alicates, las palancas, los gatos para levantar los carros, las poleas, etc. Todos estos aparatos los consideramos como máquinas simples.

b

'.j._.',

~

La potencia se aplica entre la resistencia y el fulcro.

Una máquina simple es un dispositivo o aparato que utilizamos con la finalidad de multiplicar una fuerza que se está aplicando sobre un determinado cuerpo. Las máquinas simples no transforman la forma de energía.

Si tomamos el fulcro como punto dueferencia para determinar los momentos de P y de R, establecemos la condición de equilibrio para una palanca a través de la relación:

Veamos alguflas máquinas simples.

68

•

El peso que queremos subir o mantener en equilibrio lo colocamos en la polea móvil. Este peso es elevado por dos cuerdas que son' paralelas y cada una soporta un peso igual a la mitad del peso del cuerpo.

La polea fija.

Está constituida por una rueda o disco cuyo eje (A) está unido a un soporte (AS), denominado chapa. El conjunto se encuentra sujeto al techo o a algún otro punto.

En consecuencia, la condición de equilibrio para este tipo de polea viene dada por la relación:

•

'Es un sistema constituido por un conjunto de poleas fijas y móviles. Las poleas fijas están unidas por una sola chapa al igual que las móviles, la cuerda pasa alternativamente por una polea móvil y una fija como se muestra en la figura.

La rueda presenta una hendidura por donde pasa la cuerda en cuyos extremos se aplican las fuerzas. Este tipo de polea se comporta como una palanca cuyo fulcro o punto de apoyo está en el punto A y los brazos de las fuerzas son perpendiculares trazadas desde A a las cuerdas.

->

El polipasto.

-->

p

F

En consecuencia, estará en equilibrio cuando se cumpla que F . b = P . a y como a y b son iguales tenemos que:

•

-

La polea móvil.

Una polea móvil (N) es aquella cuya chapa sube o baja libremente. Un extremo de la cuerda se fija en un punto (A) y en el otro extremo se aplica la fuerza o bien directamente o a través de una polea fija.

El peso P, que incluye el peso de las poleas móviles, es soportado equitativamente por todas las cuerdas, en nuestro caso son seis. Entonces, en general, la condición de equilibrio viene dada por:

donde n es el número de cuerdas que pasan por la parte móvil. 69

Como el sistema está en equilibrio sabemos que I F = O. . 1. Determinemos las fuerzas que actúan sobre un cuerpo situado en un plano inclinado. Supongamos que el plano no es liso y el bloque está sujeto por un cable.

Construyamos el diagrama de cuerpo libre para cada cuerpo: CUERPO 1

CUERPO 2

Para resolver el problema realicemos el gráfico correspondiente y representemos- las fuerzas que actúan sobre el cuerpo.

Como podemos ver claramente en los diagramas construidos, las tensiones de cada cuerda son: • T1 T1

= =

P1

+

P2

20 kp

+ 1O kp

Identifiquemos cada una de las fuerzas:

-P:

es el peso del cuerpo. N: es la reacción del plano sobre el cuerpo. "f es la tensión que ejerce el cable sobre el cuerpo. como el plano no es liso, existe una fuerza de roce, en este caso estático.

1;:

2.

3. Una barra de 3 m de longitud está apoyada sobre un fulcro que estáa 1.80 m de un extremo. En él se encuentra suspendido un peso de 100 kp. Calculemos qué peso debemos colocar en el otro extremo para que la barra esté en equilibrio.

Dos cuerpos pesan 20 kp Y 10 kp, están sujetos del techo, como lo muestra la figura. Determinar las tensiones de cada cuerda.

20

Elaboremos el gráfico correspondiente.

i--I,

L"

kp

1·----1.80---4--1.20-----1

I

10

kp

Recordemos las condiciones de equilibrio de una palanca.

I

i) I F

70

= O

ii) I M

= O

Planteemos las condiciones anteriores en función del esquema:

Sustituyendo

+

A partir de la segunda condición calculamos F: F

+

15 kp . 2,10 m

i) N = F + 100 kp ii) 100 kp . 1,80 m = F . 1.20 m

1O kp . xm

+

10 kp . 0,3 m

15 kp . O m

+

=

= 20 kp . 1,9 m

= 100 kp . 1,80 m

31,5 kp . m

1,20 m

+

3 kp . m

+

10x kp .

= 38 kp . m 10x kp·

Ahora calculamos el valor de N.

N

=

150 kp

+

100 kp x =

IN = 250 kPI 4. Una barra de 4 m de longitud está sometida a la acción de las fuerzas que se muestran en la figura. Determinemos dónde debemos aplicar una fuerza, vertical ya la derecha del fulcro, de 1O kp para que la barra quede en equilibrio.

~~

= 38 kp . m - 34,S kp . m m =9

I x = 0,35 m 1

La fuerza debemos aplicarla a 0,35 m a la derecha del fulcro.

5.

Determinemos el momento resultante al aplicarle a la rueda las fuerzas indicadas en la figura. El diámetro de la rueda es 0,5 m.

F2 = 10 kp F4 =10k p

I

F3 = 20 kp

'0.3

1----2.10 m

m'

"1° ... ,

!

I---X--¡

Como ambas fuerzas producen una rotación en el mismo sentido de las agujas del reloj sus respectivos momentos son negativos.

Planteemos las condiciones de equilibrio: i) I

F= O

N + 1O kp N

Entonces:

+ 1O kp =

15 kp

+ 20

M 1 = - 10 kp . 0,25 M 1 = - 2,5 kp . m M2 = -10 kp . 0,25 m M2 = - 2,5 kp . m M, = -(2,5 + 2,5) kp . m M, = -5 kp . m

kp

= 15 kp

ii) I M

= O

Debemos observar en este ejemplo· que las fuerzas son de igual magnitud y de sentido contrario. A primera vista podríamos pensar que. por esa condición se anularían, pero ya vimos que eso noocurre pues el momento resultante no es cero.

Recordemos que los momentos tienen signo, en consecuencia tenemos que:

71

Cuando fuerzas de este tipo se aplican a un cuerpo rígido hablamos de un par de fuerzas y causan como efecto una rotación. El momento producido por un par lo podemos calcular multiplicando una de las fuerzas por la distancia que las separa a ambas. 6.

En el siguiente sistema, determina P, para que se encuentre en equilibrio.

2. ¿Oué diferencia conceptual existe entre centro de masa y centro de gravedad. 3. Si a un cuerpo se le aplica unadeterminada fuerza cuya línea de acción pasa por el centro de gravedad tendrá equilibrio completo. ¿ Por qué? 4) Define momento de una fuerza. 5) Dos fuerzas de igual magnitud y opuestas, producirán un momento si se aplican sobre un cuerpo fijo a un eje. ¿Por qué?

6) 3 392 N

I

I I

49 N I

¡'--5

m

I

I

"1. 2 m.I.

4

m--l

Para estar en equilibrio debe cumplirse que I. M = O Planteemos la relación de los momentos:

A partir de la figura anterior, señala qué tipo de equilibrio tiene la bolita en cada caso. Define cada uno de ellos.

= O

7) Enuncia los factores que influyen en la estabilidad de los cuerpos.

Por tratarse de una polea móvil se cumple que P = 0/2

8) Dos hombres cargan, por los extremos, un tronco de forma irregular de 4 m de largo. El centro de gravedad del tronco está a 1,6 m de un extremo. Determina el peso que soporta cada hombre sabiendo que el tronco pesa 80 kp. R: P j = 48 kp

- 392 N . 7 m + 49 N' 2 m + O' 4 m

0=

2842 N . 4m

entonces: P

=

m

710,5 N

710,5 N/2

=

355,25 N

P

2

9.

1. Descompón cada una de las siguientes fuerzas (f)

=

32 kp

De una barra homogénea y de peso despreciable penden tres masas, m j = 5 kg, m2 = 10 kg, m3 = 15 ~g. Calcula a qué distancia de A se debe colocar el punto de apoyo para que el sistema esté en ' equilibrio.

1O. Una barra de 5 m de longitud está sorne-' tida a la acción de 3 fuerzas como lo muestra la figura. Determina dónde debe aplicarse una fuerza de 5 kp, si el punto de apoyo se encuentra a 1,8 m de F3 y 0,5 de F2 , para que la barra esté en equilibrio.

11. Una barra homogénea de 1 m de longitud soporta en los puntos A y B pesos de 0,4 . kp y 0,8 kp respectivamente; la distancia entre A y B es 60 cm; cuál será el peso que se coloque en e para que la barra esté en equilibrio.

AJIIII

,B

I

I

_-0.5 m

" '. 1.

R:

X 4

C

.. 1

= 1,84 m

R:

Fe = 0,24 kp

12. Determina "x" para que el sistema esté en equilibrio.

100 N

1.1----6 .... m ---"¡"o--R:

X =

6,1 rn

13. Determina "Q" para que el sistema esté en equilibrio.

1

I

I

I

~6m

I

10m~-..... ~+oI.. _-8m~

.. 1..

R: "'í

+

,

~

-')

73

.)

Q

=

142 kp

6

Calor y temperatura. Dilatación de los sólidos. Dilatación: lineal, superficial y cúbica. Dilatación de los líquidos. Dilatación de los gases. Estados de agregación.

CALOR

Calor y temperatura.

Al nivelo grado de calentamiento que posee un cuerpo le asignamos un número que constituye la temperatura del mismo.

Hasta el siglo XVIII se creyó que el calor era un fluido proveniente del espacio y se le denominaba fluido calórico. Era considerado como una corriente material; así como un desnivel de agua existente entre dos recipientes puestos en comunicación, establece una corriente de agua también una diferencia de temperaturas entre dos cuerpos próximos establece una corriente del llamado flujo calórico.

Como ya sabemos, las partículas que constituyen los cuerpos se encuentran en constante movimiento; la manifestación externa de la energía cinética que poseen dichas partículas la llamamos temperatura. Dos cuerpos pueden encontrarse a la misma temperatura y no tener iguales cantidades de calor. Un ejemplo de lo anterior lo podemos observar al calentar dos masas diferentes de agua hasta que hiervan. En el momento en que ambos hierven se encuentran a la misma temperatura pero a la de mayor masa de agua ha sido necesario suministrarle mayor cantidad de calor para que hierva.

En el año de 1790 esta idea cambia gracias a Benjamín Thompson, Conde de Rumford, norteamericano alistado en el ejército inglés durante la Revolución Norteamericana. Thompson, especialista en armamento, observó que al horadar los cañones se producía un gran desprendimiento de calor; las virutas perdían rápidamente el calor, no sucediendo así con el cañón. Pensó que el tubo y las virutas eran de naturaleza diferentes mas no encontró diferencia alguna entre ellos. Nuevamente probó con una broca lisa que no perforaba el tubo y observó que se producía tal cantidad de calor que era capaz de hacer hervir el agua. A la conclusión que llegó Thompson fue que el calor no provenía del metal si no del contacto entre el tubo y la broca rotando. De esta manera el calor dejó de ser considerado como fluido y pasó a ser una transferencia de la energía interna poseída por los cuerpos. Contínuamente tenemos experiencias al entrar en contacto con diferentes cuerpos y podemos decir cuáles de ellos están más calientes o más fríos; también sabemos que si ponemos en contacto un cuerpo caliente con otro frío al cabo de un tiempo se establece un equilibrio ya que uno se enfría y el otro se calienta.

Podemos definir calor como la cantidad de energía que pasa de un cuerpo a otro por tener diferentes temperaturas. 77

Veamos rápidamente la forma de transf mar un valor de una escala a otra.

Al contrario de las magnitudes fundamentales: longitud, masa, tiempo, etc., la temperatura no la podemos medir directamente. Para poder hacerlo nos basamos en ciertas propiedades físicas de los cuerpos. Todos los cuerpos al calentarse sufren una dilatación y es precisamente esta variación, bien sea de longitud, superficie o volumen, la que registramos para poder medir la temperatura. Todo instrumento que se utiliza para medir la temperatura se denomina termómetro.

oC ..,... °K oC ..,... °F

9/5°0

+

32

°F ..,... oC °K

Veamos brevemente algunos tipos de termómetros.

-

oC

Con las relaciones anteriores podemos determinar fácilmente la equivalencia de una temperatura dada en una cierta escala con cualquier otra.

• Termómetro de mercurio. Consiste en un bulbo lleno de mercurio adosado a un tubo capilar uniforme. Al calentarse, el mercurio sube por el capilar hasta alcanzar la altura correspondiente. Para calibrar el termómetro se le asigna el cero al punto donde se congela el agua pura y el cien al punto de ebullición; Estas calibraciones pe realizan a la presión atmosférica normal. .

Ejemplo: Determinemos cuántos grados F son 318°K. Transformemos los °K a oC: 318°K

=

(318 - 273)OC

=

45°C

Ahora transformemos los oC a °F:

Luego 318°K son 113°F. Debemos observar que, tanto en la escala centígrada como en la kelvin, el espacio comprendido entre el punto de congelación y el de ebullición se encuentra dividido en 100 partes iguales. En la fahrenheit dicho espacio está dividido en 180 partes. Existen diferentes escalas para medir la temperatura. Entre las más usuales pOderTl9.s mencionar la centrgrada (oC), la fahr.nh\eit . (0F) y la kelvin o absoluta (01<). El siguierifeg.L!-ª:..... dro muestra los diferentes valores en las'dif6'"~:'~~ rentes escalas para los puntos de ebullición y congelación del agua. punto de ebullición del agua

373,16°1{

-

100°C

punto de congelación del agua

273,16°K

-:. O°C

~t-

212°f

-t-

32°F

Cada una de estas divisiones recibe el nombre de grado. Dependiendo de los rangos que alcancen las temperaturas a medir, podemos utilizar diferentes tipos de termómetros. El de mercurio no mide temperaturas menores a - 39°C ya que se congela, reemplazando el mercurio por alcohol alcanzamos hasta -100°C y si utiliza-I mos pentano alcanzamos medir -180°C.

I

• Termómetro de gases.

1

Dentro de este tipo de termómetros encon-l1 tramos dos clases diferentes:

I

a) los que miden la temperatura por la j variación de volumen que experimenta el gasl cuando se calienta manteniendo la presión constante; j b) los que miden la temperatura por la l variación de la presión del gas cuando éste se: calienta y se mantiene el volumen constante.

I

cero absoluto

-~

0°1{

Absoluta o de Kelvln

Centrgrada

Fahrenhelt

78

Estos tipos de termómetros son utilizables en escalas muy extensas. Empleando el helio o el hidrógeno pueden medirse temperaturas bajísimas, siempre y cuando la presión sea muy baja para que los gases no se condensen. Si utilizamos nitrógeno podemos llegar a medir temperaturas de hasta 1500°C.

Analicemos el siguiente ejemplo. Coloquemos un trozo de alambre de hierro sobre dos tacos de madera y sujeto por uno de sus extremos con una grapa. Calentemos el alambre utilizando un mechero de gas. Al cabo de un tiempo podemos observar que la longitud del alambre ha aumentado. Ahora en vez del alambre de hierro coloquemos un alambre de cobre de iguales dimensiones que el anterior. Calentémoslo a la misma temperatura que el anterior. Podemos observar q~e la longitud del alambre también aumentó pero no en la misma proporción que en el primer caso. Podremos concluir que la naturaleza del material es un factor importante en la dilatación del cuerpo.

Recordemos que los sólidos son cuerpos tridimensionales y que al estar sometidos a aumentos de temperaturas experimentan aumentos de tamaño en sus tres dimensiones, es decir se dilatan. Una experiencia que comprueba lo dicho es mediante e/llamado piroscopio o anillo de Gravesande. Una esfera metálica en condiciones ambientales pasa a través de un aro del ismo material; si la calentamos, lo suficiente, n la llama de un mechero observaremos que o puede pasar a través de él. Lo anterior nos nfirma que la esfera se ha dilatado.

Fe

c.

_ti Itl Fe

Cu

Un instrumento que nos permite medir la dilatación lineal es el Dilamómetro.

Supongamos que disponemos de una vari lIa de metal de largo Lo' con un coeficiente de dilatación a y que se encuentra a una temperatura t1 • Aumentando su temperatura hasta t2 observamos que la longitud aumentó hasta L.

~l

Dependiendo de la forma predominante I cuerpo nos interesará estudiar la dilata'ón lineal, fa superficial o la cúbica.

En el caso de un alambre estudiaremos llndamentalmente la lineal; para una lámina Delgada la superficial y para una esfera, un ~bo, etc., la cúbica.

I ¡

~

t2 1-1- - - - . - L----~ 79

Lo ocurrido anteriormente podemos expresarlo matemáticamente así: L - la = a ' la . (t2 - t 1)

1.··t::.L::o=.•·.á••

I..o·/txt]

La siguiente tabla muestra los coeficientes de dilatación lineal en °C-1 para diversos materiales.

Ya vimos, en el punto anterior, cómo un sólido al estar sometido a aumentos de tempenatura se dilataba linealmente; ahora bien, si el cuerpo está formada. por una sustancia homogénea podemos considerar que dicha dilatación lineal ocurre en la misma proporción en las tres dimensiones. ... .., _ - - - - - - - - - __ f

---------------

I

1 ! I I I

t--------.. . --

!

.J

, , - - - - - - - - - - - - - :;l'j

~~

#

i

,,'" "

Resolvamos el siguiente problema: Un alambre de cobre tiene una longitud de 100 m y se encuentra a 10°C. ¿Cuál será su nueva longitud si la temperatura se aumenta a 40°C?

! 1

1

)

Nos piden que determinemos L, para ello calculamos 6, L partiendo de: 6,L=a'la'6,t Con ayuda de la tabla vemos que

a

=

17 . 10- 6 °C- 1

sustituyamos los valores:

Tomando en cuenta la consideración anterior, diremos que para un material cuyo coeficiente de dilatación lineal sea a su coeficiente de dilatación superficial (P) será igual a 2 a y la cúbica (8) será S a .

6, L = 17· 10- 6°C- 1 . 100 m· (40°C-10°C) 6, L

=

17 ·10- 6o C- 1

6, L = 51 . 10- 3 Como 6, L

=

L = Lo

=

En consecuencia tenemos que:

100 m· SO°C

m

L - la

L

•

L - la, tendremos:

=

51 . 10- 3 m

+ 51

100 m

1L =

' 10- 3 m

+

0,051 m

100,051

6J 80

Problema.

la (matación de los líquidos.

Un cubo de latón tiene 100 cm de arista y está a 20°C. En cuánto tendremos que aumentar la temperatura para que la variación de volúmen sea de 3420 cm 3. (Coeficiente de dilatación lineal del latón: 19 x 10- 60 C-1).

Los líquidos, al igual que los sólidos, se' dilatan, con la particularidad de que sólo presentan una dilatación cúbica por no tener forma propia; recordemos que los líquidos adoptan la forma del recipiente que los contiene. Su coeficiente de dilatación cúbica, generalmente es mayor que en los sólidos; los definimos como el aumento de volumen del líquido por unidad de volumen al aumentar en un grado su temperatura. La ecuación que nos permite calcular dicha variación de volumen es similar a la de los sólidos:

Considerando que el latón esté constituido homogéneamente, es decir que sea un material isotrópico, podemos decir que su coeficiente de dilatación cúbica 8 será 3 veces el lineal.

V-Ve =a·(t-t) 2 1

El determinar el volumen final (V) de un líquido, en determinadas ocasiones, puede presentar dificultades ya que al aumentar la temperatura se dilata primero el recipiente que el líquido que contiene.

8 = 3 a = 3 . 19 X 10- 6 0C- 1 = 57 . 10- 6 0C- 1 Nos piden la variación de temperatura (.6. t), para ello partimos de .6. V = 8 . Ve . .6. t.

La siguiente figura representa a un recipiente prolongado por un tubo capilar. El líquido que contiene se encuentra a OoC y llega hasta la marca A.

Despejemos .6. t: 6t=

Si calentamos el sistema (envase-líquido) observamos que el líquido desciende. Esto se debe a que et'recipiente se dilata primero que el líquido aumentando así su capacidad.

.6. V 8· Vo

Para aplicar dicha fórmula necesitamos calcular el volumen del cuerpo (Ve)' Por ser un cubo procedemos así:

A medida que se va calentando el líquido, comienza a dilatarse y rebasa la marca A, hasta llegar a C cuando hemos alcanzado la temperatura 1.

Apliquemos la fórmula:

c

.6. V !J.t =>8 . V e .6. t =

A B

3420 cm 3 57 . 10-60C-1 X 106 cm3

Luego, tendremos que elevar la temperatura en SO°C. Es decir, que a 80°C la variación .de volumen del cubo será la señalada. 81

•

A esta temperatura, 4°C, el volumen específico es mínimo y la densidad es máxima.

.AnomaU~5 ~n

la siguiente gráfica nos muestra el comportamiento del agua al aumentar la tempert\Jra a partir de O°C.

Esta anomalía en la dilatación del agua es de suma importancia en la naturaleza, por esta razón es posible la vida en las profundidas ya que el hielo, agua a O°C, tiene una menor densidad que cuando está en estado líquido a 4°C y por eso flota. Por lo expuesto anteriormente podemos comprender fácilmente por qué el proceso de congelación de los lagos comienza por la superficie de los mismos y no llega a afectar las aguas más profundas.

Recordemos que el volumen de una sustancia es el espacio que ocupa. En el caso de los gases será siempre igual al del recipiente qu~ los contiene.

Si disponemos de un cierto volumen de agua a O°C y la calentamos hasta que llegue a 4°C podemos observar que dicho volumen va disminuyendoy que se hace mínimo al llegar a dicha temperatura; si seguimos aumentando la temperatura el volumen aumenta.

El volumen ocupado por un gas depende proporcionalmente de la presión y temperatura a las que esté sometido. Veamos brevemente cómo influyen cada uno de estos fac~ tores.

Podemos asegurar que el coeficiente de dilatación es negativo entre O°C y 4°C, a los 4°C es nulo ypositivo para temperaturas superiores a los 4°C.

• De igual manera que la mayoría de las sustancias, todos los gases aumentan su volumen al elevar la temperatura.

82

Veamos el siguiente ejemplo:

.. . •

:

00,·

• Otra forma que tenemos de variar el volumen de un gas es variando la presión y' manteniendo la temperatura constante. .

. ...

. I

I

"

:

:.

,;.:.::::~. >,'-::.:::: ::'. .::', :::.' :': :;: ~ .; :....:.

:: : (b)

(a)

La gráfica (a) representa un cilindro que contiene un gas y está sometido a una presión Pejercida por el pistón movible. Si calentamos el cilindro, estamos aumentando la temperatura y en consecuencia aumenta la energía cinética de las moléculas del gas. Este aumento de energía cinética se refleja en un aumento de presión por parte del gas; como la presión exterior (P) se ha mantenido constante llega un momento en que la presión interna se hace mayor que ésta y desplaza el pistón hacia arriba, hasta el punto en que se equilibran nuevamente dichas presiones, aumentando así su volumen (b).

La gráfica nos muestra claramente cómo al reducir la presión ejercida sobre el gas éste aumenta su volumen. La Ley de Boyle enuncia claramente este principio:

.La ley que resume este proceso es la Ley de Charles y su enunciado es el siguiente:

HA temperatura constante, el volumen OCUpado por una masa gaseosa es inversamente proporcional a la presión a la que está sometido".

HA presión constante, el volumen ocupado por una masa gaseosa es directamente propor-

La expresamos matemáticamente mediante la relación:

cional a la temperatura absoluta a la que esté sometido". El enunciado anterior lo podemos expresar matemáticamente mediante la relación: La siguiente gráfica muestra el comportamiento del volumen de un gas frente a la presión, manteniendo la temperatura constante. La siguiente gráfica nos muestra el comportamiento del volumen de un gas frente a la temperatura, manteniendo constante la presión.

v

v

"'-~,

~ -300

-200

-100 o temperatura oc

300

400

.p

83

,

• Si dejamos enfriar, el estaño líqUido"l vemos que llega a un punto en que comienzaa transformarse en sólido nuevamente. Estei paso de líquido a sólido recibe el nombre! de solidificación.

I

Comúnmente podemos encontrar en la naturaleza elementos que se encuentran en diferentes estados. Un ejemplo muy corriente lo tenemos en el agua que se puede presentar en estado Irquido, en estado sólido (hielo) y en estado gaseoso (vapor de ag ua).

Debemos observar que para una misma j sustancia los cambios de estado de sólido a' líquido y viceversa se realizan a una misma temperatura. Un ejemplo claro lo tenemos en el agua, cuando se encuentra en estado sólido comienza a derretirse a los Gac y cuando está en estado líquido comienza a solidificarse a esa m¡sma temperatura. Esta reversibilidad en los cambios de estado nos obliga a decir que dichos cambios son meramente físicos y no químicos ya que la sustancia no pierde su identidad, independientemente del estado de agregación en que se encuentre. • Comúnmente hemos podido observar cómo después de llover y al cabo de un tiempo las calles quedan secas, ¿qué ha pasado con el agua? El agua comienza a calentarse y pasa de su estado líquido al gaseoso, este proceso recibe el nombre de vaporización. Este fenómeno ocurre sólo en la superficie del líquido.

Estos tres estados en que se pueden presentar la materia en la naturaleza reciben el nombre de estados de agregación.

Veamos los siguientes ejemplos:

El proceso inverso a la vaporización es la condensación, es decir, es el paso del estado gaseoso al líquido.

• Disponemos de un tubo de ensayo que contiene estaño en estado sólido. Si procedemos a calentar el tubo podemos observar que en un determinado momento comienza a fundirse. Este cambio de estado de sólido a Irquido recibe el nombre de fusión; la temperatura en la cual los estados sólido y líquido se encuentran en equilibrio recibe el nombre de temperatura de fusióny el calor suministrado para que se dé dicho cambio, a la temperatura de fusión, se llama calor de fusión.

.F...'....

• Existen otros dos cambios que no son tan comunes como los anteriores y son; la sublimación, o paso directo del estado sólido al gaseoso, tal es el caso del hielo seco, y la licuefacción que es el cambio del estado gaseoso al sólido. El siguiente esquema nos muestra los posibles procesos para los diferentes cambios de estado.

~

Fusión

~~

~--e-._~-----~ Solidificación

84

4

El punto de fusión será de -178,6°F.

Bajo ciertas condiciones de presión y temperatura una sustancia puede presentarse en los tres estados fundamentales de la materia. Este punto en el que coexisten los tres estados se llama punto triple.

Determinemos ahora el punto de ebullición:

El siguiente esquema nos muestra las condiciones de presión y temperatura que deben cumplirse para que exista el punto triple del agua. p(mm Hg)

[~. 5785 ' + 32

785°C ,

=

78,5°e

= (141,30

] °F

+ 32)OF

I78,5°C = 173,3°F I El punto de ebullición será 173,3°F.

2.

Los puntos de ebullición y de fusión del mercurio, a la presión atmosférica, son. 675°F y - 38°F. Expresemos dichas temperaturas en °K. Para determinar la equivalencia pedida, transformamos primero los °F a oC y luego éstos a 0K. Recordemos la relación entre °F y oC: °F ..... oC

1.

A presión atmosférica las temperaturas de fusión y de ebullición del alcohol etílico son -117°C y 78,5°C respectivamente. Expresemos dichas temperaturas en grados Fahrenheit.

[~(-117)

=

-117°C

= (-210,6 + 32)OF

1-117()C

5

= -178,6°F

.

[~(675 - 32)

675°F

=

675°F

= (.~.

9

9

] oC

643 ) oC

Para transformar los oC a °K aplicamos oC + 273.

Recordemos la relación que debemos aplicar para determinar a cuántos grados Fahrenheit equivale una cantidad dada en grados centígrados.

-117°C

5

:9 (OF -32)

357,22°C

=

(357,22

+ 273)OK

El punto de ebullición del mercurio es 630,22°K.

+ 32 ] °F

Si aplicamos los pasos anteriores para determinar el punto de fusión obtenemos que es 234,12°K. Compruébalo.

I 85

3.

Un cable de acero tiene una longitud de 120 m a 20°C. ¿Cuál será su longitud a 80°C si el coeficiente de dilatación lineal es 12 X 10-4°C-1

Sustituyendo:

Partimos de 6. l = ex • la . 6. t

ex=----2

12;517 m2 2 . 12,5 m2

•

12,5 m2

-

(30°C - O°C)

0,017 m2

25 m

Como 6. l = l-la, tenemos:

•

30°C

0,017

ex=--750°C

L-la = ex • lo . 6. t

ex = 0,0000226°C- 1

l=la+ ex ·la·6. t

l = la (1

+ ex

'1

• 6. t)

5.

l = 120 m [1 + 12·1 0- 60 C- 1 {80°C - 20°C) 1 l=120m[1 +72,10- 5 ) l = 120 m (1 + 0,00072)

Una masa gaseosa ocupa un volumen de 8 I a una presión de 4 atm. Si mantenemos la temperatura constante, qué volumen ocupará dicha masa a una presión de 1140 mm Hg. Como las presiones están en diferentes unidades necesitamos realizar la transformación correspondiente.

l = 120 m (1 ,00072)

II

I

ex = 22,6 . 10- 60 C- 1

1 atm equivale a 760 mm Hg, en consecuencia

= 120,0864 mI

. . 1140 1140 mm Hg equivale a - - atm = 760

P2 = 1,5 atm 4.

Calculemos el coeficiente de dilatación lineal del estaño, sabiendo que una plancha construida con ese material, tiene una superficie de 12,5 m2 a O°C y alcanza a 30°C una superficie de 12,517 m2 •

Recordemos que a temperatura constante el volumen ocupado por un gas es inversamente proporcional a la presión a la que está sometido. Como la presión se ha reducido sabemos a priori que el nuevo volumen será mayor.

Para determinar el coeficiente de dilatación lineal del estaño necesitamos calcular previamente el de dilatación superficial ya que al considerar el material como isotrópico el coeficiente de dilatación superficial (fJ) será el doble del lineal (0:).

la relación que nos permite resolver el problema es:

6. S = P . So . 6. t

p=

V2

P2

V1

Despejando V2 tenemos:

Partimos de:

Como

P1

-=-

V1

V2

2 ex tenemos

P1

•

P2

Sustituyendo

6. S = 2 o: . So . 6. t V2

Despejando ex:

=

I

8 I . 4 atm 1,5 atm

V2

86

=

21 ,33 11·

21,33 I

6.

Un gas ocupa un volumen de 15 I a una temperatura de 17°C. Si mantenemos la presión constante, cuál será la temperatura a la que hay que someter el gas para que su volumen sea 20 1.

3. El punto de congelación del agua de mar es menor que el de 105 ríos y lagos: Explica por qué. 4. Si tienes hielo a O°C y' agua líquida aO°C, ¿cuál tendrá mayor cantidad de calor y por qué?

Recordemos que a presión constante el volumen de un gas es directamente proporcional a la temperatura absoluta a la que está sometido. Como en nuestro ejemplo, el nuevo volumen es mayor que el original, la temperatura también será mayor.

5. El coeficiente de dilatación lineal del plomo es 29 X 1O-6°C-l. ¿Cuáles son sus coeficientes de dilatación superficial y cúbica?

La proporción que nos permite resolver el problema es:

VI

TI

V2

T2

6. ¿Cuál será, a 100°C, la longitud de un cable de acero si a 30°C mide 80 m?

-=-

R:

Antes de sustituir los datos en la relación anterior debemos transformar los oC a °K ya que, sólo es válida dicha relación cuando se trabaja con la escala de temperatura absoluta. 17°C

=

(17

+

273)OK

=

L

=

80,0728 m

7. Una plancha de metal a O°C tiene una superficie de 10,5 cm 2 • ¿Cuál será su coeficiente de dilatación superficial si a 40°· mide 10,520 cm 2 ? R: fJ = 47,6 X 10- 6o C- 1

2900 K

Sustituyendo los datos: T2 =

20 1 • 2900 K 15 I

8. Una botella de vidrio a O°C tiene un volumen de 1,6 1. ¿Cuál será su nuevo volumen a 50°C?

386,66°K

R:

V = 1,60216 I

9. La densidad del hierro a O°C es 7,8 g/cm 3 • ¿Cuál será su densidad a 400°C? R:

d

=

7,69 g/cm3

1Q;¿Qué papel juegan las juntas de dilatación en la construcción?

1. Efectúa las siguientes reducciones de escala:

11. Una masa gaseosa ocupa un volumen de 6,8 I a una temperatura de 12°C. ¿A qué temperatura ocupará un volumen de 3,4 I si la presión permanece constante?

a) 32°C a °F b) -10°C a °K c) 115°F a oC d) 37°F a °K e) 315°K a oC f) 12°K a °F

R:

T =' -130,5°C

12. ¿Qué volumen ocupará un gas a 4 atm si, manteniendo la temperatura constante, ocupa un volumen de 61 a una presión de 1900 mm Hg?

2. Dos alambres, uno de hierro y el otro de cobre, están a la misma temperatura y tienen la misma longitud. ¿Cuál de los dos alambres tendrá mayor longitud si la temperatura se eleva en 80°C?

R:

87

V

=

3,75 I

7

Equilibrio térmico. Cantidad de calor. Capacidad calórica y calor específico.

El siguiente esquema nos representa dos recipientes con líquido, evidentemente B contiene mayor cantidad de líquido que A. Si uni-

mas ambos recipientes mediante un tubo, notaremos que pasará del que presente más alto nivel al del más bajo hasta que se equilibren.

A

Este ejemplo nos revela que el clavo cedió calor y que el agua lo ábsorbió. Este proceso de desprendimiento y absorción del calor es finito y sólo se reáliza hasta el momEtnto en que todos los cuerpos que forman el sistema alcanzan la misma temperatura, .es decir estén en equilibrio térmico.

La temperatura deun cuerpo senos revela a través del sentido del tacto y por él ¡:::lasifica~ mas los cuerpos efl fríos o calien!~s., Veamos un ejemplo que nos revele qu~ sucede al poner en contacto dos cuerpos que presentan diferentes tempera!uras. Tenemos un clavo y lo calentamos hasta que se ponga al rojo vivo, lo sumergimos en un recipiente que contiene agua a temperatura amoiente. Observamos que 'una parte del agua se "Vaporiza repentinamente y transcurrido un tiempo breve el sistema clavo-agua tienen la misma temperatura.. ,

El calor ~e comporta cÜ\'10 un fluido y su paso va .siempr~ dercuerpo'que tiene mayor temperatura al que la tiene menor y se cumple que el calor desprendido es igual al calor absorbido.

89

La cantidad de calor suministrada a u cuerpo se mide por las transformaciones cambios que ocurren durante el proceso. unidad de calor más común es la caloría, caloría-gramo y la definimos como la can· dad de calor que debemos suministrarle un gramo de agua para elevar su tempe tura en un grado centígrado. Generalmerit se suele utilizar como patrón el interva 14,SoC - 1S,SoC.

Como ya hemos visto, el calor es una forma de energía, no es algo tangible como ocurre por ejemplo con la masa de un cuerpo y en consecuencia necesitaremos utilizar pro. cedimientos especiales para determinar la cantidad de calor. Tomemos un balón de vidrio que contiene 100 g, de agua, a temperatura ambiente, y calentemos lo hasta que comience a hervir. Supongamos que el tiempo empleado sea t. Ahora procedamos a calentar en el mismo balón, una masa mayor de agua' en las mismas condiciones hasta que comience a hervir. ¿Qué podemos decir del tiempo empleado? Obviamente sabemos que será mayor.

Otras unidades son la kilocaloría qu equivale él 1000 cal y la unidad térmica brit' .nica S.T.U. equivalente a 0,262 Kcal. Capacidad calórica y calor específico. Dependiendo de la naturaleza de la su la cantidad de calor necesaria para pr ducir una determinada elevación de temper tura sobre una masa dada, es diferente. t~ncia

Esta experiencia nos revela que para alcanzar I~ misma temperatura dos cuerpos, de la misma natural~za y en las mismas condiciones, es necesario suministrarle mayor cantidad de calor al de mayor masa.

Esto lo podemos comprobar fácilment Tomemos dos bloques, uno de aluminio y otr de· plomo, iguales tanto en masa como e forma y calentémoslos. En el momento qu alcanzan la misma temperatura los colocamo sobre una barra de hielo y podemos observ como el de aluminio va penetrando en la barr¡:j con mayor rapidez que el de plomo lo que nod demuestra que tiene una mayor capacida
El hecho de que a un cuerpo o sustancia le suministremos constantemente una determinada cantidad de calor· durante un tiempo no implica que ese cuerpo ya a aumentar su temperatura, constantemente. Existen intervalos en los cuales se consume la cantidad de calor suministrada yla temperatura permanece constante, es en esos intervalos cuando ocurren los. llamados cambios de estado.

I

1 i

Plomo

La siguiente gráfica nos muestra la CUli'Ya de calentamiento del agua. Aluminio

Hielo

La razón entre la cantidad de calor (Q) suministrada yel incremento de la temperatura (!:::. t) la llamamos capacidad calórica).

90

Cuando la masa en cuestión es de 1 g estaremos hablando del calor específico (c) de esa sustancia y lo definimos como la cantidad de calor que necesitamos suministrarle a 1 9 de dicha sustancia para elevar su temperatura en 1°C.

Un calorímetro está formado por un reci- . piente metálico cuyas paredes son muy delgadas y pulidas. Este recipiente se encuentra colocado dentro de otro y apoyado generalmente sobre láminas de corcho o cualquier otro material que sea mal conductor del calor. Las paredes del envase exterior también están pulimentadas para así reflejar tanto el calor interno como el externo procedente del medio ambiente. Por su parte superior se cierra utilizando para ello U'na tapa aisladora que presenta dos orificios para introducir por uno un termómetto y por el otro un agitador.

Las unidades del calor específico son cal/gaC.

Ahora, veamos el procedimiento para determinar el calor específico (c 1) de un sólido. • Calentamos el sólido en cuestión, cuya masa es m1 , hasta alcanzar la temperatura t1 • • Lo introducimos en el calorímetro de masa m3 y calor específico c 3 conocidos que contiene una masa de agua m2 y se encuentra a una temperatura t2 (temperatura ambiente). El calor específico del agua es 1 cal/gaC. • Como t 1 > t2 • el sólido desprende calor que es absorbido por el agua hasta llegar a una temperatura de equilibrio 1.

•

Determinación del calor específico de un sólido.

Una vez realizados los pasos anteriores y anotados todos los datos obtenidos partimos de la relación:

Para la determinación del calor específico de un sólidO emplearemos el método de las mezclas y para ello necesitamos describir previamente el aparato denominado calorímetro.

Los elementos que absorben calor son el agua y el calorímetro, y lo desprende el sólido. Entonces tenemos:

Recordemos que: t 1

91

>t>

t2

_: Para determinar el calor específico de

2.

un líquido procedemos como en el caso anterior utilizando un sólido de masa m2 , calor específico c 2 y a una temperatura t 2 mayor que la del ambiente (t1 ).

Si mezclamos 100 I de agua a 100°C con 50 1, del mismo líquido, a 60°C, ¿cuál será la temperatura de la mezcla? Recordemos que el calor fluye del cuerpo más caliente al menos caliente, en consecuencia la temperatura de la mezcla está comprendida entre 100°C y 60°C.

El sólido cede calor y es absorbido por el líquido y el calorímetro hasta llegar a la temperatura de equilibrio t.

100°C

En este caso tenemos que:

>t>

60°C

Por otra parte, el calor desprendido es siempre igual al calor absorbido. 0des

Entonces: Os = 0L + Oc

=

0abs

Como el calor específico del agua es 1 y su densidad es también 1 tenemos que:

m2 . c2.2 (t -t)=m1. 1 c . (t-t)+m . c (t-t) 133 '1

100 kg (100°C - t) = 50 kg (t - 60°C) Simplificando: 2(1 OO°C - t) = t - 60°C 200°C - 2t = t - 60°C 3t = 260°C

I t = 86,66°C I ~~~!!.!! Problemas Resueltos•. ¡

•

3. 1.

El calor específico del alcohol es 0,6 cal/goC.

Una esfera de ebonita pesa 200 9 y se calienta. Al llegar a una determinada temperatura se introduce en un recipiente que contiene 300 9 de agua a 32°C y la mezcla alcanza una temperatura de 70°C. Determinemos la temperatura que alcanzó la esfera al calentarse sabiendo que su calor específico es de 0,40 cal/g . oC.

Partimos de la ecuación de la cantidad de calor:

El razonamiento de este problema es similar al anterior y partimos de:

¿Oué cantidad de calor será necesario suministrarle a 1000 9 de alcohol que se encuentran a 20°C para elevar su temperatura hasta 60°C?

0des

O=m'c',6,t

=

0abs

La esfera desprende calor y el agua absorbe. Sustituyendo datos tenemos:

Sustituyamos por los datos del problema.

200 9 . 0,40 cal/g . oC . (t - 70°C) = 0= 1000 9 . 0,6 cal/g . oC . (60°C - 20°C)

= 300 9 . 1 . cal/g . oC (70°C - 32°C) Despejando y simplificando unidades.

Q = 1000 9 . 0,6 cal/g . oC . 40°C

I°

= 24000 cal

t-70°C =

I

'3

300 . 1 . 38°C 200 . 0,40

t = 142,5°C + 70°C

I

Necesitaríamos suministrarle 24000 calorías.

t = 212,5°C

I

]

92

J

t .

4.

° A O°C comienza a fundirse. El calor de fusión de una sustancia viene dado por el número de calorías que absorbe un gramo de dicha sustancia para pasar del estado sólido al líquido, a su temperatura de fusión, sin que ésta aumente.

Se introducen 600 9 de un metal que está a 150°C en 1200 9 de agua a 30°C. Si la temperatura de la mezcla es de 40°C, la masa del calorímetro es 120 9 Y su calor específico 0,09 cal/g . oC, ¿cuál es el calor específico del metal? Partimos de:

Como el calor de fusión del agua es 80cal/g. Tenemos que el calor absorbido en esa fase es:

Sustituyendo tenemos: 600 9 . c . (150°C- 40°C)

= 1200

=

9 1 cal/g . oC . (40°C - 30°C)

+ 120 9

°

+

2

02 = 2 9 . 80 cal/g

. 0,09 cal/g . oC (40°C - 30°C)

I

02 = 1 60 cal

Despejamos c y simplificando unidades tenemos: c

=

1200 . 10

+ 120

. 0,09 . 10

=m· Lf

I

° El agua comienza a vaporizarse a los 100°C. Calculemos el calor absorbido entre los O°C y los 100°C.

cal/g . oC

600 . 110

03 = 2 9 . 1 cal/g . oC . (100°C - O°C) c

12000

=

+ 108

I03 = 200 cal I

cal/g . oC

66000

1c =

5.

0,183 cal/g . oC

I

°

Calculemos el calor necesario que hay que suministrarle a 2 9 de hielo que se encuentra a -15°C para que se transforme en vapor a 120°C.

l. J",

Como el calor de vaporización del agua es de 540 cal/g tenemos que el calor absorbido en esta fase es:

Para poder resolver este problema debemos recordar que, durante el tiempo en que ocurren los cambios de estado las sustancias absorben una determinada cantidad de calor sin que se experimente un aumento de temperatura.

04 = m .

104 =

El hielo comienza a fundirse a O°C entonces calculamos primero el calor que absorbe para pasar de -15°C a O°C. El calor específico del hielo es: 0,5 cai/g . oC

e

=2

9 . 0,5 cal/g· oC . (O°C - (- 15°C) )

01

=2

9 . 0,5 cal/g . oC . 15°C

10 = 1

Lv

04 = 2 9 . 540 cal/g

Expliquemos esto de una forma más detaIfRda a través de nuestro problema.

01

El calor de vaporización (L.,) de una sustancia viene dado porel número de calorías que absorbe un gramo de dicha sustancia para pasar del estado líquido al gaseoso, a temperatura de ebullición, permaneciendo ésta constanteo

1080 cal

I

° Calculemos el calor absorbido para pasar de 100°C a 120°C sabiendo que el calor específico del vapor de agua es 0,45 cal/g . oC.

05 = 2 g. 0,45 cal/g . oC . (120°C -100°C)

1°5 = 18 call

15 cal] 93

~

9. Dos láminas, de diferentes metales, tie- ' nen la misma masa y se encuentran a la misma temperatura. Cuál de las dos láminas absorberá mayor cantidad de calor si las calentamos hasta que alcancen una nueva temperatura 1. Razona tu respuesta.

° Finalmente calculamos la cantidad de calor suministrado durante todo el proceso.

0= 0 1 + O2 + 0 3 + 0 4 + Os O = 15 cal + 1S0 cal + 200 cal + 1oao cal + 1a cal

10= 1473 cal

+

1

10. Mezclamos dos masas de agua, una de 400 9 a ao°c y la otra de 200 9 a 40°C. ¿Cuál será la temperatura final de la mezcla? R:

~~~~¡ Problemas Propuestos. €!I~~m!!.

t = 60°C

11: ¿Oué cantidad de agua a 90°C se han de mezclar con 3 litros de agua a 15°C para que la temperatura de equilibrio sea 40°C? R:

1. Explica brevemente cómo al pon'er en contacto dos cuerpos que se encuentran a diferentes temperaturas se alcanza el equilibrio térmico.

1,5 kg

12. Si mezclamos 20 9 de una sustancia A a . 700C Y calor específico 0,21 cal/g . oC I con 15 9 de B a 20°C, la temperatura final! de la mezcla es de 40°C. Calcule el calor 1 específico de B.

!

2. Define cantidad de calor.

R:

3. ¿Cuáles son las unidades másutiUzadas de cantidad de calor? 4. Establece las equivalencias entre ellas.

R:

R:

1

-550 cal

i

15. Un calorímetro de cobre tiene una masa! de 150 9 Y contiene 300 9 de agua a 25°C. ! En él introducimos un cuerpo de masa 1 iBO 9 y que se encuentra a una tempera- 1 tura de 70°C. Determine el calor especí- 1 fico del cuerpo sabiendo que la tempera- 1 tura final del sistema fue de 35°C. (Calor 1 específico del cobre 0,091 cal/g . oC). ¡

Q - 13000 cal

a. Sabiendo que el calor específico del mercurio es 0,03 cal/g . oC, ¿qué cantidad de calor debemos sustraerle a una masa de ao 9 para que su temperatura descienda SO°C? R:

5

2,4 X 10 cal

14. ¿Oué cantidad de calor habrá que qui-l tarle a 5 9 de agua que se encuentran a J 250C para que se transforme en hielo a j -100C? J

7. ¿Oué cantidad de calor necesitaremos suministrar a 200 9 de agua para elevar su temperatura de 25°C a 90°C? R:

1

13. Por el radiador de un carro circulan sI litros de agua. Determine que cantidad del cator desprende el motor si sabemos quel el agua entra a SO°C y sale a 100°C. 1

5. Define caloría. S. Indica cuál es la diferencia conceptual entre capacidad calórica y calor específico de una sustancia.

0,42 cal/g . oC

R:

Q = -144 cal

94

0,49 cal/g . oC, ª

8

Propagación del calor. Cantidad de flujo calórico. Reservorio de temperatura.

TRANSFERENCIA DE E

Propagación del calor. En capítulos anteriores hemos visto como al poner en contacto un cuerpo caliente con otro frío se establecía un flujo calórico. Este flujo, conocido como la propagación del calor, se realiza siempre del cuerpo con mayor temperatura al de temperatura más baja..

energía cinética lo que hace que aumente considerablemente el número de choques con las moléculas más próximas, las que a su vez la trasmiten a las otras, hasta llegar así al otro extremo de la barra. Esta agitación interior es la causa de que se eleve la temperatura en el otro extremo de la barra.

La propagación de calor de un cuerpo a otro se puede efectuar de diversas maneras: por conducción, por convección o por radiación.

• Por

La conducción es la propagación del calor a través de la materia sin que haya desplazamiento alguno visible:

condücch~n=

Veamos el siguiente ejemplo:

Observemos el siguiente ejemplo: Sujetemos, por un extremo, una barra metálica y coloquemos el otro extremo de la barra sobre un mechero encendido. ¿Qué ocurre y por qué?

Si tomamos un recipiente de vidrio conteniendo agua y lo calentamos, podemos ver fácilmente como se establecen corrientes ascendentes y descendentes en el seno del mismo. Al calentarse el líquido, su densidad disminuye y las moléculas ascienden siendo ocupados los espacios libres por las moléculas provenientes de la parte fría del líquido.

6.

Rápidamente podemos comprobar que el remo por el que sujetamos la barra va • mentando su temperatura. La explicación este fenómeno es sencilla; las moléculas, ue se encuentran en la parte de la barra en ntacto con la llama, van incrementando su

E

l

95

la convección es la propagación del calor a través de un transporte de partfculas fluidas, motivado fundamentalmente a la diferencia de densidades que·se establece en un líquido al calentarse. La propagación del calor por convección es característica de los líquidos y los gases.

Veamos los siguientes experimentos: • Disponemos dé un mechero de gas y abrimos la llave de paso, colocamos una rejilla metálica y lo encendemos por arriba de ella. Podemos observar como la llama no se propaga a la parte inferior de la rejilla.

Por fB~:,U~eiór¡, Es la propagación del calor de un cuerpo a otro sin la intervención de la materia.

~

Ejemplos de este tipo de propagación lo tenemos en el calor que nos llega del Sol, el calor que percibimos al acercarnos a una parrillera encendida, el calor emitido por un bombillo, etc. Si por el contrario, el mechero lo encendemos por la parte inferior de la rejilla, la llama no se propagará a la parte superior.

la radiación es una emisión de energía denominada radiante y se trasmite a través de ondas desde los cuerpos emisores.

Las dos experiencias anteriores se deb a la gran conductibilidad de la rejilla que permite la propagación del calor por toda extensión. • Tomemos un tubo de ensayo que ca tenga agua y coloquemos en él un trozo hielo. Calentemos el agua como lo indica figura.

Como el calor lo estamos aplicando 'a la parte superior del líquido, las capas superficiales se hacen menos densas y se mantienen arriba impidiendo así la propagación del calor por convección. Podemos observar como el agua comienza a evaporarse, en la superficie, y el trozo de hielo prácticamente permanece inalterable.

Supongamos que disponemos de una barra asilada térmicamente y queremos determinar la cantidad de calor transmitida, de una cara a otra, en un tiempo 1.

Los líquidos, en general, son malos conductores del calor. Cantidad de flujo

c~¡6r¡c~.

La barra que se muestra en la figura ha sido calentada por uno de sus extremos y en ella hemos colocado varios termómetros.

5 4

3 2

Por estar aislada térmicamente la barra, y ser esta homogénea, la temperatura variará uniformemente y la cantidad de calor (Q) transmitida en el tiempo (t) será proporcional al gradiente de temperatura de la sustancia y a la superficie considerada (A) y viene dado por la expresión:

,,

.

, ", , ,,

-, ,,

,

,,

--''-

-~::...

A continuación presentamos una tabla que contiene los coeficientes de conductibilidad de algunas sustancias expresadas en cal/cm . oC . s.

Si registramos las temperaturas obtenidas en los diferentes termómetros, a lo largo del tiempo, observaremos que el descenso de las mismas no se hace de forma uniforme en todos ellos. La temperatura desciende más rápidamente en los puntos que se encontraban más cerca de la zona de calentamiento, y más lentamente en los más distantes. Esto se debe a que la conducción de calor a la atmósfera es mayor en el extremo izquierdo que en los demás puntos de la barra. Si repitiéramos la experiencia anterior, envolviendo la barra con un material aislante, el descenso de temperatura sería uniforme ya que la conducción del calor a través de ella también lo sería.

La variación de temperatura entre dos puntos separados por una distancia de 1 cm lo llamamos gradiente de temperatura~ 97

Resolvamos el siguiente problema: • Una lámina de hierro de 0,2 cm de espesor tiene un ~rea de 40 cm 2 • Si la cantidad de calor que lo atraviesa es de 100 cál/s y fa temperatur~ de,ta cara fría esd~ SO°C, ¿cuál será la temperatura de la otra cara?

Para resolver el problema partimos de:

.t

Nos piden que calculemos t2 , despejémAsla:.

Q _.-..c..~~_

K' A' t

t2

Q'd

=----+ K' A' t

Reservorio de temperatura• Ya hemos visto en puntos anteriores como al poner ~o;c()f')tacto dos cuerpos que se encuentran á diferentes temperaturas se establecía entre ellos un flujo calórico, siempre del más caliente al m~s frío, hasta alcanzar el sistema una temperatura de equilibrio. Analicemos lo~ siguientes e.xperiencias~ A un recipiente que contieneS I de agua a temperatura ambiente, le añadimos una masa de metal que se encuentra a SO°C. Al cabo de un tiempo podemos comprobar que la temperatura del agua ha aumentado. Ahora, agregaremos la misma masa de metal a SO°C a un recipiente que contenga 20 veces más agua que el antel'iory que Se encuentre a temperatura ambiente. Obviamente,el aguaaumentará algo SU temperatura pero nunca en las proporciones del primer ejemplo. Generalizando las experiencias anteriores, podemos afirmar que si esa masa de metal la tirarámosen un lago, éste no variaría su temperatura a pesar de haberse realizado el intercambio de calor entre el meta! y el agua.

Los cuerpos que tienen la propiedad de realizar intercambios de calor con otros, manteniendo su temperatura constante, reciben el nombre de reservorios de temperatura.

t1

Algunos reservorios de temperatura son los lagos, los mares, la atmósfera, etc. El agua, es un agente regulador del clima de vital importancia debido a su calor específico. Las zonas marítimas gozan de un clima estable, con poca variación de temperatura entre el día y la noche debido a que durante el día, por acción del calor solar, se produce una abundante evaporación refrescando así el ambiente y por la noche, el proceso de evaporación es muy lento impidiendo de esta forma los descensos bruscos de temperatura.

Como la cantidad de calor dada es por segundo tenemos que t = 1 s. y K para el hierro es 0,163 cal/cm' oC . s. Sustituyendo:

t2 -

100 cal, 0,2 cm - - - - - c - a - , - I - - - - - - - - +SO°C 0,163 . 40 cm 2 • 1 s cm ,oC' s

El aire, a pesar de ser un reservorio de temperatura, debido a su bajo calor específico, no es un buen regulador de la misma. Un ejemplo de esto lo tenemos en las zonas desérticas; durante el día el calor absorbido por la tierra es muy alto y de allí las elevadas temperaturas, pero en la noche desprenden gran cantidad de ese calor absorbido ocasionando así las grandes diferencias de temperatura entre el día y la noche.

9S

~~~iiii! Problemas Propuestos. ~1I~~~ 1. ¿A qué llamamos propagación del calor? 2. Menciona las formas de propagarse el calor y describe brevemente cada una de ellas.

3. La propagación del calor por convección puede realizarse en los sólidos. ¿Por qué? 4. Si superponemos dos capas de aire de diferentes densidades, qué fenómeno ocurriría.

5. Explica brevemente cómo se forman las corrientes de aire. 6. Define reservorio de temperatura.

9. Define gradiente de temperatura. 10. ¿A qué llamamos aislantes térmicos?

11. Explica por qué para calentar los líquidos siempre se les suministra calor por su parte inferior. 12. Una habitación tiene una ventana de 4 m2 , el espesor de vidrio es de 0,3 cm y la temperatura interior es de 300C. Si la temperatura exterior es de 120C, cuál será el flujo calórico en 15 minutos. (Ky = 0,002 cal/cm. oC . s) o

R: 4,32 X lO' cal

13. Determina la constante de conductibili:'

7. Explica la importancia de los reservorios de temperatura en la vida del planeta.

8. ¿Cómo sería la temperatura de la Tierra si el aire tuviese una capacidad calórica grande?

dad de una sustancia, sabiendo que el flujo calórico durante 5 s aplicado a dos placas, separadas a una distancia de 2 mm y temperaturas 35°C y 25°C es de 687,5 cal. El área de la placa es de 25 cm 2 • R: 0.11 cal/cm . ·C . •

99