Gelombang Elektromagnetik

BAB I PENDAHULUAN 1. Latar Belakang Gelombang elektromagnet merupakan gejala gelombang yang dihasilkan oleh interaksi perubahan medan listrik dan perubaham medan magnet yang terjadi secara bersamaan (Yasa, 2003). Pembahasan tentang gelombang elektromagnetik diawali oleh teori Maxwell yang dikemukakan sekitar abad ke 19. Maxwell mengemukakan 4 buah persamaan yang mengatur hubungan antara kelistrikan dan kemagnetan, khususnya pada gelombang elektromagnetik. Persamaan Maxwell adalah himpunan empat persamaan diferensial parsial yang mendeskripsikan sifatsifat medan

listrik dan medan

magnet dan

hubungannya

dengan

sumber-

sumbernya, muatan listrik dan arus listrik, menurut teori elektrodinamika klasik. Keempat persamaan ini digunakan untuk menunjukkan bahwa cahaya adalah gelobang elektromagnetik. Secara terpisah, keempat persamaan ini masing-masing disebut sebagai hukum Gauss, hukum Gauss unuk magnetisme, hukum induksi Faraday Lenz, dan hukum Ampere. Sebelum Maxwell, masing-masing persamaan tesebut diberlakukan secara terpisah, masing masing digunakan untuk menjelaskan sifat-sifat listrik atau magnet atau elektromagnet. Misalkan hukum Gauss yang merupakan persamaan pertama dari persamaan Maxwell, digunakan untuk menjelaskan hubungan antara distribusi muatan dengan medan listrik yang ditimbulkannya. Ini diberlakukan pada medan elektrostatis dan tidak pernah dikaitkan dengan persamaan lain dalam elektomagnetik. Tetapi dalam persamaan Maxwell persamaan ini tidaklah berdiri sendiri (meskipun dapat diterapkan secara terpisah) melainkan bersama-sama dengan tiga persamaan lainnya membentuk suatu sistem persamaan yang diberlakukan serentak pada gejala elektromagnetik. Dari persamaan Maxwell ini (dengan pertolongan rumus identitas vektor) dapat dibuktikan bahwa gelombang elektromagnetik merambat di udara atau ruang hampa dengan kecepatan sama dengan kecepatan cahaya dan hubungan antara vektor medan listrik, vektor medan magnet dan arah penjalarannya saling tegak lurus sesuai dengan aturan perkalian silang dua buah vektor. 1

Untuk memperdalam pengetahuan mengenai materi yang berhubungan dengan gelombang elektromagnet maka akan dibahas lebih dalam didalam materi mengenai hubungan perubahan medan listrik dan perubahan medan magnet seperti yang dikemukakan oleh Maxwell. 2. Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah yang diangkat berdasarkan latar belakang diatas adalah: 1. Bagaimana persamaan Maxwel dalam medium dielektrik? 2. Bagaimana persamaan gelombang elektromagnetik yang berada dalam medium dielektrik? 3. Bagaimana persamaan dari vektor pointing gelombang elektromagnetik? 3. Tujuan Berdasarkan rumusan masalah diatas, adapun tujuan yang ingin dicapai sebagai berikut: 1. Untuk mengetahui persamaan Maxwel dalam medium dielektrik. 2. Untuk mengetahui persamaan gelombang elektromagnetik yang berada dalam medium dielektrik. 3. Untuk mengetahui persamaan

dari

vektor

pointing

gelombang

elektromagnetik.

2

BAB II PEMBAHASAN 1. Persamaan Maxwell Besaran medan listrik B,

E dapat diperoleh tanpa kehadiran medan magnet

dan demikian juga sebaliknya. Kedua gejala tersebut dapat terjadi karena

medan listrik dan medan magnet tidak berubah terhadap waktu. Sedangankan untuk pembahasan mengenai medan listrik dan medan magnet yang berubah terhadap waktu, keberadaan medan listrik selalu disertai dengan magnet begitu juga sebaliknya. Dan hubungan antara medan listrik dan medan magnet ini dinyatakan didalam persamaan Maxwell. Persamaan Maxwell adalah hukum yang mendasari teori elektromgnetik. Energi dan gelombang electromagnet dibawa oleh medan listrik magnet B

E dan medan

yang dapat menjalar melalui ruang vakum.

Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan Maxwell terdiri dari empat persamaan medan, yang masing-masing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan dan distribusi sumber, baik sumber muatan maupun sumber arus. Untuk ruang vakum tanpa sumber muatan, persamaan Maxwell dalam satuan SI dirumuskan sebagai berikut: ∇ . E=0 Persamaan Maxwell 1 ∇ . B=0 ∇ × E=

Persamaan Maxwell 2

−∂ B ∂t

∇ × B=μ0 ε 0

∂E ∂t

Persamaan Maxwell 3

Persamaan Maxwell 4

Dimana: E = Medan Listrik (V/m) B = Induksi magnetik (Tesla) μ0=¿

Permeabilitas magnetik

3

ε 0 =¿

Permitivitas listrik

Persamaan Maxwell yang dinyatakan oleh persamaan inilah yang merupakan dasar dari pengembangan persamaan gelombang elektromagnet yang disesuaikan dengan keadaan medium dari gelombang. a. Persamaan Maxwell I Persamaan pertama Maxwell merupakan ungkapan dari hukum Gauss, yang menyatakan bahwa “ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang dilingkupi permukaan tersebut.” Secara matematis, hukum Gauss ini dituliskan dengan :

Melalui teorema divergensi, ruas kiri persamaan (3) dapat kita tuliskan menjadi :

atau

Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka =0, sehingga :

b. Persamaan Maxwell Kedua Persamaan Maxwell kedua merupakan hukum Gauss magnetik, yang menyatakan “Fluks medan magnet yang menembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol, tidak adanya sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau dengan kata lain garis gaya medan magnet selalu tertutup, tidak ada muatan monopol. Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua ini dapat kita tuliskan dalam bentuk integral sebagai berikut : 4

Dengan menggunakan teorema divergensi, maka persamaan (8) dapat kita tuliskan menjadi :

c. Persamaan Maxwell Ketiga Persamaan Maxwell ketiga merupakan Hukum Faraday Lenz yang menyatakan ggl induksi yang timbul pada suatu rangkaian sebanding dengan perubahan fluks magnet yang menembus rangkaian tersebut terhadap waktu. sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa medan listrik dapat timbul karena adanya perubahan pada medan magnet, dimana medan magnet ini berubah terhadap waktu. Jika ditulis secara matematis seperti berikut ini:

Kita ketahui bahwa

, sehingga persamaan (11) tersebut dapat kita

tuliskan menjadi :

Kemudian melalui teorema Stokes, ruas kiri dapat kita tuliskan menjadi :

d. Persamaan Maxwell Keempat Persamaan Mxwell yang keempat merupakan hukum Ampere yang menyatakan bahwa jumlah garis gaya medan magnet yang menembus lintasan tertutup sebanding dengan jumlah arus yang dilingkupinya. Secara matematis akan tampak seperti di bawah ini: 5

Φ=∮ B . dl=μ0 . I .......................................................................(15)

Melalui penerapan teorema Stokes pada ruas kiri, dan dengan mengingat

hubungan

, maka persamaan di atas dapat kita tuliskan menjadi

bentuk :

Sedangkan rapat arus

, sehingga persamaan (17), menjadi :

Dari keempat persamaan Maxwell ini sehingga dapat disimpulkan bahwa medan listrik dapat timbul karena perubahan medan magnet (dilihat dari persamaan Maxwell yang ketiga) dan medan magnet timbul karena perubahan medan listrik (dilihat dari persamaan Maxwell yang keempat). Interaksi antara kedua medan ini, akan menghasilkan gelombang elektromagnetik, baik di ruang vakum maupun dalam suatu bahan. 2. Persamaan Gelombang Elektromagnetik Persamaan gelombang elektromagnetik dapat diturunkan dari persamaan Maxwell. Dari persamaan III Maxwell :

Kemudian ruas kiri dan ruas kanan kita diferensialkan dengan operasi rotasi, akan diperoleh :

6

Dengan mengingat vektor identitas

, maka persamaan

dapat kita tuliskan menjadi :

Kemudian persamaan I dan persamaan IV Maxwell, kita substitusikan ke dalam

persamaan

, akan diperoleh :

atau

dengan

, kecepetan gelombang elektromagnetik di ruang vakum.

Melalui cara yang sama, untuk medan magnet B, dapat kita turunkan dari persamaan IV Maxwell, dan akan diperoleh :

Persamaan gelombang

dan elektromagnetik

dalam

ini adalah persamaan bentuk

diferensial.

Masing-masing

mengandung tiga persamaan diferensial yang terpisah sebagai berikut : Untuk medan listrik

7

Untuk medan magnet

Solusi paling sederhana dari persamaan

dan

adalah : E(z,t)=E0 cos (kz-t)……………………….………………(7) B(z,t)=B0 cos (kz-t)………………………………………(8) Bentuk solusi ini merupakan contoh eksplisit dari bentuk umum f(kz-t), yang dikenal sebagai gelombang datar (plain wave). Gelombang datar (plain wave) adalah gelombang yang apabila sebuah bidang tegak lurus dengan arah perambatannya, maka titik potong gelombang tersebut pada bidang yang tegak lurus itu memiliki sudut fase yang sama (Effendi,2007:126). Gelombang datar

merambat dengan kecepatan

, dengan sifat-sifat sebagai berikut (Ramalis,

2003): 

Mempunyai arah jalur tertentu (dalam persamaan tadi, arah z).



Tidak mempunyai komponen pada arah rambat.

8



Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada koordinat transversal (pada contoh ini koordinat transversalnya adalah x dan y).

Sehingga dengan mengacu pada sifat tersebut, solusi persamaan gelombang menjadi :

Sebutan datar berkaitan dengan bentuk muka gelombangnya yang berbentuk

bidang datar tegak lurus pada

, jadi bidang ini dinyatakan dengan :

Dan ditunjukkan seperti pada gambar (2.1) berikut ini :

Gambar 2.1 Ilustrasi muka gelombang dari gelombang datar Gelombang datar atau gelombang bidang memiliki sifat perambatan yang berbeda untuk medium penghantar gelombang yang berbeda. Medium penghantar gelombang bidang dapat dikelompokkan menjadi dua kelompok, yaitu : 1. Medium dielektrik sempurna 2. Medium konduktor atau medium dielektrik merugi Kedua medium ini memiliki nilai faktor atenuasi yang berbeda, untuk medium dielektrik faktor atenuasi gelombang hampir mendekati 1, sedangkan untuk gelombang yang merambat di medium dielektrik merugi faktor atenuasi (e -x) cukup besar. Sehingga gelombang bidang yang merambat di medium dielektrik 9

merugi atau konduktor akan mengalami redaman yang hebat, sehingga muncul istilah kedalaman penetrasi (Effendi, 2007). 3. Transversalitas Gelombang Elektromagnetik Sifat lain dari gelombang datar adalah transversalitasnya. Untuk memperlihatkan

hal

ini,

kita

substitusikan

persamaan

ke dalam persamaan I Maxwell, diperoleh :

Suku pertama dan kedua ruas kiri dari persamaan (11) sama dengan nol, sehingga :

Dari persamaan

ini, berarti Ez tidak bergantung pada z.

Kemudian dengan mensubstitusikan persamaan (10) dan (11) ke dalam persamaan IV Maxwell, kita akan memperoleh :

Ruas kiri sama dengan nol, sehingga :

Hal ini berarti bahwa Ez tidak bergantung pada t. Dari persamaan (12) dan (14), dapat ditarik kesimpulan bahwa Ez(z,t)=konstan=0. Dengan kata lain arah getar dari gelombang medan listrik adalah tegak lurus pada arah gerak rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai komponen-komponen pada arah yang tegak lurus pada arah rambat. Cara yang sama dapat kita turunkan untuk gelombang medan magnetnya, dan akan diperoleh kesimpulan bahwa arah getar gelombang medan magnet pun

10

tegak lurus terhadap arah rambatnya. Sehingga dapat kita simpulkan bahwa gelombang elektromagnetik merupakan gelombang transversal. Selanjutnya akan dicari hubungan matematis antara medan listrik dan medan magnet dari gelombang elektromagnetik. Untuk itu dimisalkan gelombang menjalar dalam arah z, dan ditunjukkan seperti pada gambar (2.2) berikut :

Gambar 2.2 Gelombang elektromagnetik menjalar dalam arah z Pada gelombang ini dapat kita tuliskan : Untuk medan listrik : Ex=E;Ey=Ez=0; dengan E=E0 cos (kz-t)……………………………………………..(15) dan untuk medan magnet : Bx=B;By=Bz=0; dengan B=B0 cos (kz-t)…………………………………………(16) Persamaaan E=E0 cos (kz-t) kita substitusikan ke dalam persamaan III Maxwell, akan diperoleh :

k  E 0 =  B0

11

Mengingat =kc, maka : k  E0 = c B0……………………………………………(17.a) E0 = c B0………………………………………...……...(18.b) Persamaan (17.a) dan (18.b) dapat pula kita peroleh dengan cara mensubstitusikan persamaan (16) ke dalam persamaan IV Maxwell. Dari pembahasan di atas, maka hubungan antara vektor propogasi k, medan listrik E, dan medan magnet B, dapat ditunjukkan seperti pada gambar (2.3).

Gambar 2.3 Hubungan antara E dan B (a) arah rambat ke kanan. (b) arah rambat ke kiri. 4. Vektor Poynting dan Kekekalan Energi Vektor poynting, dengan simbol besaran S atau P, didefinisikan sebagai produk vektor dari vektor intensitas medan listrik E dengan vektor medan magnetik B pada suatu gelombang elektromagnetik yaitu: S= ⃗ E×⃗ B Salah satu ciri penting dari sebuah gelombang elektromagnetik ialah bahwa gelombang tersebut dapat mengangkut tenaga dari titik ke titik (Halliday,1992). Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari energi medan listrik dan energi medan magnet. Rapat energi medan magnet sudah kita peroleh, yaitu :

12

uB =

1 ⃗2 B 2 μ0

Dan rapat energi medan listrik sudah kita pelajari dari Fisika Dasar, yaitu : 1 uB = ε 0 ⃗ E2 2 Sehingga rapat energi medan elektromegnetik dapat kita tuliskan dengan u = uB + uE u=

1 ⃗2 1 ⃗2 B + ε0 E ……………………..………………..(19 2 μ0 2

Perubahan rapat energi terhadap waktu, atau laju perubahan rapat energi, adalah :

Dengan mengingat vektor identitas

, maka

persamaan (20b) dapat kita tuliskan menjadi :

dan

Persamaan (3.b) merupakan ungkapan kekekalan energi. Coba kita bandingkan dengan persamaan kontinuitas :

Tampak adanya kesetaraan antara kedua persamaan tersebut. Rapat muatan  digantikan dengan rapat energi u, rapat arus J digantikan dengan vektor poynting 13

S. Jelas bahwa vektor poynting mengungkapkan aliran energi, analog dengan rapat arus mengungkapkan aliran muatan. Berikut ini suatu contoh adanya energi yang muncul pada kawat yang dialiri arus. Bila ini terjadi, maka ada usaha elektromagnet yang hasilnya berbentuk kalor Joule pada sebatang kawat. Anggap medan listrik pada kawat

, dengan V beda potensial dan L panjang kawat. Sedangkan medan magnet

karena adanya arus I adalah

, yang arahnya menyinggung permukaan

kawat pada gambar (2.5) (Loeksmanto, 1993:162).

Gambar 2.5 energi yang muncul pada kawat yang dialiri arus  Harga vektor poynting

, dengan arah S menuju ke sumbu kawat. Energi yang melewati permukaan kawat per satuan waktu diperoleh dengan mencari integral.

Hasil ini tak lain adalah kalor yang muncul pada sebatang kawat, dikenal sebagai pengeluaran energi joule.

14