Guia Matematica Financiera

UNIVERSIDAD INTERNACIONAL DEL ECUADOR

EDUCACIÓN A DISTANCIA / LINEA

GUÍA DE ESTUDIO / COMPILACIÓN DE TEMAS

ASIGNATURA: MATEMÁTICA FINANCIERA

Ing. Geovanny Reyes Segovia MBA

DESARROLLO DE LAS UNIDADES. MATERIA: MATEMÁTICA FINANCIERA PRIMERA UNIDAD: EL PORCENTAJE Objetivo de la Unidad. Dominar correctamente al porcentaje como herramienta de cálculo, en la aplicación de todas las operaciones comerciales y financieras que se realizan diariamente en los mercados de negocios. El Porcentaje. Porcentaje, llamado también tanto por ciento, proviene de la palabra latina percentum, que significa por ciento. El cálculo del porcentaje es una de las operaciones más utilizadas en el campo comercial y financiero, ya que se emplea para indicar aumentos, disminuciones, utilidades, tasa de interés, tasa de descuento, etc. El término “por ciento” significa “centésima”, es decir, el por ciento de un número N es una fracción con numerador N y denominador 100. El símbolo de por ciento es %, así por ejemplo: 14% significa 14/100 = 0.14 2.16% significa 2.16/100 = 0.0216 348% significa 348/100 = 3.48 Inversamente, cualquier número puede ser escrito en forma de porcentaje; simplemente se multiplica por 100 y se agrega el símbolo %. Por ejemplo: 0.1814 = (0.1814) (100) % = 18.14% 1.175 = (1.175) (100) % = 117.5% ¿Qué significa, entonces, la expresión “6 de 78”? como 6% significa 6 centésimas, ésta expresión significa: hallar 6 centésimas de 78. Por tanto, 6% de 78 es simplemente la multiplicación de 78 por 0.06; esto es: 6% de 78 = (6/100) (78) = (0.06) (78) = 4.68 El número 4.68 recibe el nombre de producto. 6% es el porcentaje o tanto por ciento y 78 se llama base.

Ejemplo 1.1 Obtenga el 16.75% de 5,820.00 Solución: 16.75% de 5,820.00 significa 16.75 centésimas de 5,820.00; esto es: 16.75% de 5,820.00 = (16.75/100)(5,820.00) = (0.1675) (5,820) = 974.85 Ejemplo 1.2 Raúl compró un televisor con valor de 3,850.00. Si dio un enganche del 20% del precio, ¿de cuánto fue el pago inicial? Solución: Pago inicial = 20% de 3,850.00 = (20/100) (3850) = 770.00

Ejemplo 1.3 ¿Qué porcentaje de 2,500.00 es 900? Solución: Sea x el porcentaje buscado, expresado en forma decimal. Como x% de 2,500.00 debe ser igual a 900.00, entonces es posible formar la siguiente ecuación: (x)(2,500.00) = 900.00 Despejando x se tiene: x = 900/2,500 x = 0.36 = 36%

Ejemplo 1.4 Un agente de ventas recibió 8,208.00 de comisión por vender mercancía con un valor total de 68,400.00 ¿Cuál es el porcentaje ganado? Solución: Sea x el porcentaje, expresado en forma decimal, de comisión ganada. Como x% de 68,400.00 debe ser igual a 8,208.00, entonces: (x)(68,400.00) = 8,208.00 Por tanto: x = 8,208.00/68,400.00 x = 0.12 = 12% Ejemplo 1.5 El gerente de una tienda de ropa aumentó el precio de los pantalones para caballero en 12%. ¿Cuál era el precio original de los pantalones, si el actual es de 365.00? Solución: Sea x el precio de los pantalones antes del aumento. El aumento fue de 12% sobre el precio x. Por tanto, Aumento = 12% de x = 0.12 x El precio actual se forma de la siguiente manera: Precio anterior + aumento = precio actual Es decir: x + 0.12 x = 365 Esto es: 1.12 x = 365 x = 325.89

Ejercicios Propuestos # 1 1. El señor Gutiérrez recibe un sueldo neto de $2.920 dólares mensuales. Si gasta 27.55% en renta de la casa donde vive y 39,95% en comida, ¿cuánto tendrá disponible para otros gastos? 2. Un negocio aumenta su gasto de nómina como política de incentivo 18% cada año. Si este gasto actualmente es de $91,600 dólares ¿a cuánto ascenderá dentro de 4 años? 3. Un agente de Bienes Raíces ganó $8,635 dólares por comisión al vender una finca. Si la comisión que él gana es del 8% de la venta, ¿cuál fue el precio de venta de la finca? 4. Si el sueldo básico del Ecuador, en el año 2000, era de 57 dólares y el actual vigente es de 386 dólares, ¿cuál fue el por ciento de aumento? 5. Un corredor de bolsa asesoró a Fabián Terán colocar 19% de su capital en Bonos, 42% en acciones y el resto en comprar inmuebles. Si Fabián invirtió 275,000 dólares en la compra de inmuebles, ¿cuál es el valor total del capital invertido? 6. En el año 2005 el número de habitantes en Ecuador era de 9`535,000 de los cuales 2´308,000 eran hombres. Calcule el porcentaje de mujeres. 7. En 1995 la zona metropolitana de Nevada contaba con 1ʼ705,000 habitantes; para el año 2005 habían 2ʼ940,000 habitantes. Obtenga el por ciento de aumento. 8. Se incendia una casa que estaba asegurada en el 70% de su valor real, y se cobran 144,600 dólares por el seguro. Calcule cuál era el valor real de la casa. 9. Por una Suite de lujo se pagó 105,500 dólares después que se hizo un descuento del 12% sobre el precio original, ¿Cuánto costaba la suite?

10. Un artículo aumentó en el 20%. Si actualmente cuesta 677.14 dólares, ¿cuál era el valor antes del aumento? 11. Una empresa tiene un presupuesto asignado para sus anuncios publicitarios, la empresa gasta 7.600 dólares en cuñas radiales y 1.400 dólares en hojas volantes, estos gastos representan el 35% del total del presupuesto. ¿Cuál es el total del presupuesto? 12. Si un empleado bajo relación de dependencia aporta 338 dólares del 9,45% que corresponde al aporte personal, ¿de cuánto será el sueldo del empleado? Utilidad sobre el costo y sobre el precio de venta. El Costo de un artículo consiste de todos los gastos hechos para fabricar o adquirir el artículo. El costo de un servicio consiste de todos los gastos hechos para proporcionar el servicio. Par determinar el precio de venta de un producto o servicio, se añade al costo una cantidad suficiente para cubrir los gastos de operación y tener una utilidad. Los Gastos de operación o gastos operacionales son las cantidades pagadas por concepto de renta, salarios, publicidad, etc. La cantidad que se suma al costo del artículo o servicio para cubrir los gastos de operación y obtener una ganancia, se llama utilidad bruta. La ganancia esto es, la cantidad que queda después de cubrir los gastos de operación se llama utilidad neta. Esto es: PRECIO DE VENTA = COSTO + UTILIDAD BRUTA UTILIDAD BRUTA = GASTOS DE OPERACIÓN + UTILIDAD NETA Como ejemplo considere el siguiente: un fabricante produce un artículo que le cuesta $120,00 producirlo. Estima en $50,00 los gastos de operación por artículo producido y desea obtener una utilidad neta de $40,00 por artículo vendido. El precio de venta del artículo sería: Utilidad bruta = $50,00 + $40,00 = $90,00

Precio de venta = $120,00 + $90,00 = $210,00 Es costumbre que al fijar los precios de venta, la utilidad bruta y la utilidad neta se den como un porcentaje en lugar de una cifra en unidades monetarias. El porcentaje se da en función o del costo o del precio de venta. Sin embargo, no importa en qué esté basada la utilidad, ésta siempre se suma al costo para hallar el precio de venta.

Ejemplo 1.1 Un detallista compró un ventilador en $90,00. Desea añadir una utilidad bruta de 55% del precio de venta para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta. ¿A qué precio debe vender el ventilador? Solución: Sea x = precio de venta Utilidad bruta = 55% del precio de venta = 55% de x = 0.55 x Por tanto: Precio de venta = costo + utilidad bruta x = 90 + 0.55 x x – 0.55 x = 90 0.45 x = 90 x = 200

Ejemplo 1.2 Un fabricante desea producir árboles de navidad artificiales y venderlos en $310,00 cada uno. Si añade 70% del costo de producción para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta, ¿cuánto es lo más que puede gastar para producir los árboles de navidad? Solución:

En este caso la incógnita es el costo de producción. Si x es el costo de producción, entonces: Utilidad bruta = 70% de x = 0.70x Precio de venta = x + 0.70x = 310 1.70x = 310 X = 182.35

Ejercicios Propuestos # 2 1. El dueño de una zapatería desea comprar zapatos de un modelo que se vende a $ 225,00 el par. ¿Cuál es precio máximo que se puede pagar, si la utilidad bruta debe ser 60% del precio de venta? 2. Un artículo que costó $338,00 se vende en $442,00. Encuentre la utilidad bruta, en porcentaje, basada en el precio de venta. 3. ¿En cuánto deberá vender un minorista un artículo que costó 7,700 dólares, si la utilidad bruta deseada es 45% basada en el precio de venta? 4. El precio de venta de una radiograbadora es de $538,00. Los gastos de operación son 45% del costo y la utilidad neta es 22% del costo. ¿Cuál es el costo? 5. Un comerciante que desea añadir una Tablet, cuyo precio de venta es de $285,00, a su línea de artículos para oficina, encuentra que puede adquirirla en $156,75. ¿Le dará este precio de costo la utilidad bruta del 45% sobre el precio de venta? 6. ¿Cuál fue el precio de costo de un artículo que se vendió en $805,00 con una utilidad sobre el costo del 19%? 7. Un comerciante adquiere una mercancía a un costo de 915 dólares. Determine el precio al cual debe ponerla en venta, para que,

haciendo un descuento del 12% sobre el precio de venta, obtenga una ganancia del 25% sobre el precio de costo. 8. Un Agente de Bienes raíces vendió dos casas en 820,000 dólares cada una, en una perdió 15% de su precio de venta real y en la otra ganó 17% del precio de compra original. ¿Ganó o perdió en total, u cuánto? 9. Un comerciante rehusó vender una mercancía cuando le ofrecieron 6,665 dólares, con lo cual hubiera ganado 25% de lo que le costó. Algún tiempo después lo tuvo que vender en 5,750 dólares. ¿Qué porcentaje del costo ganó al hacer la venta? 10.Un comerciante compró un Computador en $590,00. Desea añadir una utilidad bruta de 56% del precio de venta para cubrir los gastos de operación y la utilidad neta. ¿A qué precio debe vender el computador?

Descuento Comercial. Es usual que los fabricantes de productos y los mayoristas proporcionen a sus clientes listas de precios propuestos por cada producto. El precio mostrado en éstas listas es el llamado precio de lista y es el precio sugerido para menudeo, esto es, el precio de lista puede o no ser el precio final a pagar por el consumidor. Los fabricantes y mayoristas venden sus productos a los detallistas con un descuento basado en el precio de lista, llamado descuento comercial. El descuento comercial es un porcentaje del precio de lista, y recibe el nombre de tasa de descuento. El precio de lista menos el descuento comercial se llama precio neto. Los descuentos comerciales se aplican generalmente a las ventas hechas por el fabricante al mayorista; por el mayorista al detallista y cuando el fabricante vende directamente al detallista. Los descuentos comerciales no se aplican a las ventas al menudeo.

Ejemplo 1.1 Encuentre el precio neto de una mercancía, cuyo precio de lista es $478,00, si se aplica un descuento comercial de 23%. Solución: Descuento = 23% del precio de lista = 23% de 478 = 109.94 Precio neto = precio de lista – descuento Precio neto = 478 – 109.94 = $368.06

Los descuento comerciales pueden ser simples o en cadena. Es común que sobre el precio de lista se hagan varios descuentos por diversas razones. Por ejemplo, un fabricante que vende tanto a mayoristas como a minoristas puede especificar que al minorista se le concede un descuento comercial de 20%, mientras que el mayorista recibe 10% adicional, debido al volumen de la compra. Estos descuentos sucesivos reciben el nombre de descuentos en cadena, en serie o sucesivos. Debido a que las tasas de los descuentos en cadena se aplican con bases diferentes en cada etapa de la resolución de un problema, los descuentos en cadena nunca se deben sumar y utilizar la suma como un solo descuento. Cuando se aplican tasas de descuento en serie, el precio de lista se multiplica por la primera tasa de descuento y el resultado se resta del precio de lista para obtener un residuo que se convierte en la base para la segunda tasa de descuento. Este residuo se multiplica por la segunda tasa de descuento y el resultado se resta del residuo para obtener un nuevo residuo que es la base para la tercera tasa de descuento y así sucesivamente.

Ejemplo 1.2 Un fabricante de muebles finos ofrece a un mayorista descuentos comerciales del 30%, 15% y 8%. Encuentre el precio neto de un pedido por $158,340.00

Solución: Precio de lista Descuento del 30% Saldo

= = =

$158,340 (158,340) (0.30) = $47,501 158,340 – 47,501 = 110,838

Descuento del 15% Sobre el saldo Saldo nuevo

= =

(110,838)(0.15) = $16,625.70 110,838 – 16,625.70 = $94,212.30

Descuento del 8% Sobre el saldo Precio neto

= =

(94,212.30)(0.08) = $7,536.98 94,212.30 – 7,536.98 = 86,675.32

Otro método para hallar el precio neto en un problema donde se aplica descuento comercial (simple o en cadena), consiste en utilizar la siguiente fórmula general: PN = PL (1 – d1) (1 – d2),……., (1 – dn) En donde PN es el precio neto, PL es el precio de lista y d1, d2,…..dn son los descuentos comerciales aplicados. Ejemplo 1.3 Resuelva el ejemplo 1.2 utilizando la formula Solución: PN = 158,340 (1 – 0.30) (1 – 0.15) (1 – 0.08) PN = 158,340 (0.70) (0.85) (0.92) PN = $86,572.32

Ejemplo 1.4 El precio neto de un escritorio fue de $680 después de habérsele descontado 18% y 10%. Halle el precio de lista.

Solución: Al despejar PL de la ecuación, se tiene: PL = PN / (1 – d1) (1 – d2) PL = 680,00 / (1 – 0.18) (1 – 0.10) PL = 680,00 / (0.82) (0.90) PL = $921.41

Ejercicios Propuestos # 3 1. Una empresa editorial fija un precio neto de $59,00 para un libro de estadística. ¿Cuál debe ser el precio de lista del libro, si la editorial concede un descuento comercial a la librería del 30%? 2. Sobre una factura de $28,073.33 se conceden los siguientes descuentos en cadena: 12%, por compra al por mayor; 10%, por promoción especial y 8%, por pago de contado. Encuentre la cantidad a pagar. 3. Dos compañías competidoras tienen el mismo precio de lista para una mercancía. Una de las compañías ofrece descuentos comerciales en serie de 25% y 15%; la otra ofrece descuentos en serie de 18 ⅓%, 13% y 11%. ¿Cuál compañía le conviene más a un comprador? 4. Un vendedor nuevo que no conocía el significado de los descuentos comerciales en cadena que ofrece su compañía, y que son del 22% y 16%, los sumó al efectuar un descuento en su primera venta. Si la cantidad total sobre la que se debe efectuar el descuento comercial, fue de $55.115, ¿de cuánto fue el error del vendedor?

5. Un fabricante de neumáticos desea vender cierto neumático a un precio neto de $122,30 cada uno, después de descuentos del 15%, 10% y 5%, ¿cuál debe ser el precio de lista del juguete? 6. El precio neto de un artículo es $487,78 si se le han hecho descuentos en serie de 9%, 7% y 4%, ¿cuál es el precio de lista? 7. El jefe de compras de una casa comercial compró 8 lavadoras marca Whirlpool de 17 kg en $895,00 c/u menos los descuentos en serie del 11% y 9%, ¿cuál fue el precio neto total? ¿cuál fue la tasa de descuento equivalente? 8. El Gerente de una tienda de artículos electrónicos rebajó las computadoras portátil marca Apple dos veces consecutivas, en 12% y 6%, y la vendió en 1,748.50 dólares. ¿Cuál era su precio original? 9. Una factura por 9,600 dólares está sujeta a descuentos en cadena de 7.5% y 4.75%. Encuentre que descuento simple daría el mismo precio neto? 10. Los descuentos en serie concedidos en una compra fueron 14%, 12% y 6%. Si el precio neto es 24,898.72 dólares, encuentre la tasa de descuento equivalente.

SEGUNDA UNIDAD: INTERÉS SIMPLE Objetivo de la unidad. Comprender de una manera sencilla como el dinero gana intereses en la época actual, incrementándose su valor en el tiempo y entendiendo el uso o manejo de las tasas de interés vigentes aplicadas a préstamos, inversiones, pólizas, entre otras operaciones financieras. Introducción. Cuando una persona utiliza un bien que lo pertenece, por lo general debe pagar una renta por el uso de dicho bien; por ejemplo, se paga una renta al habitar una casa que no nos pertenece. Lo mismo ocurre con el dinero; cuando se pide dinero prestado se paga una renta por el uso de dicho

dinero. En este caso la renta recibe un nombre especial, se llama interés o intereses. Concepto. El interés se define como el dinero que se paga por el uso del dinero ajeno. También se puede decir que el interés es el rendimiento que se tiene al invertir en forma productiva el dinero. El interés es simple cuando se paga al final de un intervalo de tiempo previamente definido, sin que el capital original varíe. El interés simple se usa principalmente en inversiones y créditos a corto plazo, de un año o menos. El interés a pagar por una deuda, o el que se va ha cobrar de una inversión, depende de la cantidad de dinero tomada en préstamo o invertida y del tiempo que dure el préstamo o la inversión. En otras palabras, el interés simple varía en forma directamente proporcional al capital y al tiempo. Suponga que se van a invertir $20.000 a un plazo de 6 meses y a una tasa de interés de 2% mensual. De acuerdo al significado de tasa de interés, el interés que se cobrará por esta inversión será 2% de $20.000, cada mes, es decir: 2% de 20.000 = (20.000) (0.02) = $400 por mes Como la inversión es a 6 meses y el interés, por definición, deberá ser cobrado al final del plazo, el interés total que se cobrará al final de los 6 meses será: (400)(6) = $2.400 De lo anterior, es evidente que el interés simple se calcula por medio de la siguiente formula: I = P.i.t En donde I es el interés simple que se paga o recibe por un capital (o principal) P; t es el tiempo transcurrido (plazo) durante el cual se usa o se invierte el capital; i es la tasa de interés.

Ejemplo 1.1 Rigoberto pidió prestado $6.300 a pagar en 4 meses. Si la tasa de interés es de 33% anual simple, ¿Qué cantidad deberá pagar por concepto de intereses? Solución: Los datos son: P = $6.300 I = 33% anual = 0.33 por año (expresado en forma decimal) t = 4 meses La unidad de tiempo de i y de t no coinciden, por tanto, no es posible sustituir directamente en la formula los valores numéricos. Antes de sustituir es necesario convertir la tasa de interés anual a una tasa de interés mensual: i = 33% anual = 33%/12 meses = 2.75% mensual = 0.0275 por mes Sustituyendo los valores numéricos en la ecuación, se obtiene I = (6.300)(0.0275)(4) = $693 Lo anterior significa que al término de los cuatro meses, Rigoberto deberá pagar el capital ($6.030) más los intereses correspondientes ($693); esto es, deberá pagar un total de $6.993.

Ejemplo 1.2 Marcela posee un capital de $32.000. Invierte 70% de su capital a 5.58% trimestral y el resto a 10.5% semestral. ¿Cuánto recibe cada mes de interés total? Solución: Como se está utilizando el tiempo en meses, es necesario convertir las tasas de interés a forma mensual: 5.58% trimestral = 5.58%/3 = 1.86% mensual = 0.0186 por mes 10.5% semestral = 10.5%/6 = 1.75% mensual = 0.0175 por mes

El 70% de $32.000 son $22.400 y el resto (30%) son 9.600. Al invertir $22.400 al 5.58% trimestral, durante un mes, el interés ganado es: I = (22.400) (0.0186) (1) = $416.64 El interés mensual de $9.600 invertidos a 10.5% semestral es: I = (9.600) (0.0175) (1) = $168 El interés total obtenido al cabo de un mes es de 416.64 + 168 = 584.64

Ejercicios Propuestos # 4 1. ¿Cuánto pagará un comerciante por un crédito que le concedió una fábrica de dulces y chocolates, al comprar mercancía por 2,332 dólares a 27 días de plazo, si le cargan una tatas de interés del 4,5% trimestral? 2. Calcule el interés simple se 7,500 dólares al 6% de interés bimestral durante un año y cuatro meses. 3. Obtenga el Interés simple que produce un capital de 11,065 dólares en 105 días a una tasa de interés semestral del 8% 4. ¿Cuál es el interés simple de un crédito por 13,332 dólares a 1 año plazo, con una tasa de interés del 1.85% mensual? 5. Una Inversión de 21,075 dólares a una tasa de interés semestral del 5.25%, ¿cuánto generará de intereses en 18 meses? 6. En un crédito de 19,714 dólares, a una tasa de interés del 22% anual, ¿de cuánto es el interés generado en 77 días? 7. El Capital de una deuda es de 3,038 dólares a 17 meses, con una tasa de interés del 3% bimestral, ¿de cuánto serán los intereses? 8. ¿Cuál es el interés simple de una inversión de 20,980 dólares, a 144 días, con una tasa de interés del 9% anual?

Monto Simple A la suma del capital más el interés simple ganado se le llama monto simple o únicamente monto, y se simboliza mediante la letra M. Por tanto, M=P+I

(1.1)

Al sustituir la ecuación del interés simple por la del monto se obtiene: M = P + Pit Factorizando la expresión la anterior se tiene: M = P (1 + it)

(1.2)

Las ecuaciones (1.1) y (1.2) indican que si un capital se presta o invierte durante un tiempo t, a una tasa de interés simple de i% por unidad de tiempo, entonces el capital P se transforma en una cantidad M al final del tiempo t. Debido a esto, se dice que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. Al monto también se le llama valor futuro. Ejemplo 1.1 Calcule el monto o valor futuro de un préstamo por $20,000 a 36% de interés simple y 6 meses de plazo. Solución: P = $20,000 t = 6 meses i = 36% anual = 36%/12 meses = 3% mensual = 0.03 por mes Método 1. I = (20,000)(0.03)(6) = $3,600 Utilizando la ecuación (1.1): M = 20,000 + 3,600 = $23,600 Método 2. El monto se obtiene directamente por medio de la ecuación (1.2): M = 20,000 [1 + (0.03)(6)] = $23,600

Ejercicios Propuestos # 5 1. Una Persona consigue un préstamo por 75,000 dólares a dos años de plazo y una tasa de interés simple del 2,44% mensual. ¿Cuánto pagará al final del plazo por el préstamo recibido? ¿Cuánto pagará por concepto de intereses? 2. ¿Cuál es el Monto o Valor Futuro de una Inversión de 11,000 dólares, al 7,65% de interés semestral en 8 meses? 3. En un crédito empresarial de 14,250 dólares al 16,85% anual, ¿cuánto se termina pagando en total, al final de los tres años? 4. Se solicita un préstamo por 7,000 dólares al 10.5% trimestral de interés simple, ¿cuánto se debe pagar por concepto de intereses al termino de 6 meses? ¿cuál es el valor del monto? 5. El 07 de Febrero una persona invirtió 10,000 dólares en un pagaré con rendimiento liquidable al vencimiento, ganando un interés del 21,75%. ¿Cuál será el monto para el 07 de Marzo, fecha de vencimiento de la inversión? 6. Un comerciante adquiere un lote de mercancía por un valor de 3,500 dólares, que acuerda liquidar mediante un pago inmediato de 1,500 dólares y un pago final después. Acepta pagar 10% de interés anual simple sobre el saldo. ¿Cuánto deberá pagar dentro de 4 meses? 7. Una persona deposita 150,000 en un fondo de inversiones bursátiles que garantiza un rendimiento de 0.8% mensual, si retira su depósito 84 días después, ¿cuánto recibe? 8. El Señor López obtiene un préstamo por 20,000 dólares que solicitó a un banco y acuerda pagarlo después de dos meses, a una tasa de interés anual del 12%

Interés comercial y real.

Cuando el tiempo en un préstamo está dado en días, se vuelve necesario convertir la tasa de interés anual a una tasa de interés por día. Cuando la tasa anual se convierte a tasa diaria utilizando el año natural (365 días o 366 si el año es bisiesto) como divisor en la fórmula del interés simple o del monto, el interés obtenido se llama interés real o interés exacto. Cuando se lleva a cabo la conversión utilizando como divisor el número 360, se dice que se está utilizando el año comercial. En este caso, el interés obtenido se llama interés comercial o interés ordinario.

Ejemplo 1.1 Calcule el interés comercial y real de un préstamo por $14,750 a 38% por 50 días. Solución: Interés comercial P = $14,750 t = 50 días i = 38% anual = 38/360 % diario = 0.38/360 por día I = (14,750)(0.38/360)(50) = $778.47 Interés real P = $14,750 t = 50 días i = 38% anual = 38/365 % diario = 0.38/365 por día I = (14,750)(0.38/365)(50) = $767.81 Como se puede observar, el interés comercial resulta más elevado que el interés real para el mismo capital, tasa de interés y tiempo. Esta ganancia extra hace que el año comercial sea muy utilizado en los bancos, casa de bolsa y en comercios que venden a crédito.

El año comercial es utilizado por bancos, casa de bolsa y comercios en, prácticamente, todas sus operaciones financieras. El año comercial se debe a una costumbre surgida entre los prestamistas de la edad media, los cuales

definieron el año comercial como formado de 12 meses de 30 días cada uno. Suponga que desea calcular los intereses de $15,000 prestados a 24% de interés simple por 3 meses. En este caso el interés sería: I= (15,000) (0.24/12) (3) = $900 Si en vez de utilizar meses, el cálculo se realiza utilizando días (3 meses = 90 días) y año comercial, entonces: I = (15,000) (0.24/360) (90) = $900 Si se empleará como divisor el 365 (año real), entonces los intereses resultan diferentes: I = (15,000) (0.24/365) (90) = $887.67

El uso del año natural en los cálculos financieros es mucho menor que el año comercial. En muchas ocasiones el período entre el momento en que se toma un préstamo o se invierte un determinado capital y su vencimiento, se indica mediante fechas. Para calcular el tiempo transcurrido entre dos fechas, se cuentan los días efectivos calendario. Al calcular el número de días se acostumbra excluir el primer día e incluir el último; sin embargo, está no es una práctica generalizada, ya que algunas veces se cuenta tanto el primer día como el último. De esta forma, para un préstamo contraído el 25 de Enero y liquidado el 26 de Abril de un año cualquiera no bisiesto, el tiempo transcurrido es de 91 días: Enero Febrero Marzo Abril Total

6 días (31 – 25) 28 días 31 días 26 días 91 días

Ejemplo 1.1 Calcule el interés ordinario y exacto de un préstamo por $7,675 a 33%, del 13 de Septiembre al 12 de Diciembre de un determinado año no bisiesto. Solución: Cálculo de los días transcurridos:

Septiembre Octubre Noviembre Diciembre Total

17 días (30 – 13) 31 días 30 días 12 días 90 días

Interés Ordinario I = (7,675)(0.33/360)(90) = $633.19 Interés exacto I = (7,675)(0.33/365)(90) = $624.51

Ejemplo 1.2 En cierto banco, la tasa de interés neto para las cuentas de ahorro en el caso de las personas físicas es de 15% anual. El señor Aguirre abrió una cuenta de ahorros con 2,350 el día 3 de Mayo del 2000 (año bisiesto). No realizó depósitos ni retiros posteriores a la fecha de apertura de la cuenta, y el 29 de Mayo del mismo año la canceló. ¿Cuánto dinero recibió el señor Aguirre? Utilice año natural. Solución: Días transcurridos: 29 – 3 = 26 días M = 2,350 [1+(0.15/366)(26)] = $2,375.04

Ejemplo 1.3 Cuando una deuda no se liquida en la fecha de vencimiento, empieza a ganar intereses llamados moratorios, los cuales se calculan en base al capital originalmente prestado. Es usual que la tasa de interés moratorio sea de un 50% más de la tasa normal aplicada, aunque está no es una regla general. El lector puede comprobar que la tasa de interés moratorio indicada en el pagaré (9,730)+ (3235.23)= ($12,965.23) mostrado es, efectivamente, un 50% más de la tasa normal. (57% anual) Solución: Interés moratorio = (9,730) (0.57/360) (12) = $184.87

Cantidad total a pagar = capital + intereses ordinarios + intereses moratorio Cantidad total a pagar = monto + intereses moratorios Cantidad total a pagar = 12,965.23 + 184.87 = $13,150.10 Ejercicios Propuestos # 6 1. Obtenga el interés simple ordinario y exacto de 14,000 dólares, del 02 de Enero al 01 de Mayo de un cierto año bisiesto. La tasa de interés es del 71/2% anual. 2. Una Empresa desea depositar 435,000 dólares a un plazo de 182 días, y deberá decidir si deposita el dinero en el Banco del este, que paga el 11,85% de interés comercial, o en el Banco del Oeste que paga el 13,2% de interés real. ¿Qué banco le conviene elegir? 3. Calcule el interés simple comercial y real de 10,800 dólares, al 16,9% anual del 07 de Julio al 01 de Octubre de un cierto año bisiesto. 4. Calcule el interés simple comercial y real de una deuda de 9,450 dólares del 8 de Mayo al 30 de Septiembre, con una tasa de interés anual del 17,08%. 5. Utilizando el año natural, obtenga el valor de vencimiento de una deuda por 54,500 dólares, del 01 de Febrero al 10 de Agosto, con una tasa de interés del 20% anual. 6. Obtenga el interés real y comercial de 21,300 dólares al 4,10% mensual, siendo 120 días el plazo del préstamo. 7. Una Persona obtiene un Préstamo por 1,890 dólares el 3 de Febrero y restituye el capital más intereses el 15 de Junio del mismo año. Obtenga el monto, si la tasa de interés fue del 3,25% mensual, de un cierto año bisiesto. 8. Calcule el Interés Comercial y Real de una Inversión de 75,000.00 dólares al 9,45% de interés, del 18 de Enero al 27 de Julio. 9. ¿Cuál será el interés comercial y real el 24 de Diciembre, de un capital de 10,500 dólares depositado el 15 de Mayo del mismo año, en una cuenta de ahorros que paga el 8,32% anual?

10. Encuentre el interés simple real y exacto de un préstamo de 1,500 dólares, con el 15% de interés simple anual, del 15 de Marzo al 18 de Diciembre de un cierto año bisiesto.

Valor Presente. El siguiente ejemplo servirá para mostrar el significado del concepto de valor presente, llamado también valor actual. Suponga que usted, el día de hoy, recibe un préstamo de $15,000 a 10 meses de plazo y con una tasa de interés simple de 3% mensual. El monto será: M = 15,000 [1 + (0.03) (10)] = $19,500 Por el capital prestado usted deberá pagar $19,500 dentro de 10 meses. $19,500 son el monto o valor futuro de $15,000. Recíprocamente, se dice que $15,000 son el valor presente o valor actual de $19,500. Esto significa que $15,000 hoy son equivalentes a $19,500 dentro de 10 meses a una tasa de interés simple mensual del 3%.

Ejemplo 1.1 Encuentre el valor presente de $2,000 que vencen dentro de 9 meses, si la tasa de interés es de 38.25% Solución: Para obtener el valor presente de un monto dado, se despeja P de la ecuación (1.2) del monto. P = VP = M/ (1+it) VP = 2,000 / 1+ (0.3825/12) (9) VP = $1,554.15 $1,554.15 son el valor presente o valor actual de $2,000. Esto significa que $1,554.15 invertidos hoy, durante 9 meses al 38.25%, se convertirán en $2,000. También se dice que $1,554.15 son equivalentes a $2,000 si el tiempo es de 9 meses y la tasa de interés es del 38.25%.

Ejemplo 1.2 Valor presente significa el valor del dinero en cualquier fecha conveniente. Así por ejemplo, ¿cuál fue el valor presente el 19 de noviembre de 1998 del pagaré de $12,965.23, a una tasa del 38% anual, a 37 días. Solución: VP = 12,965.23 / 1+ (0.38/360) (37) VP = $12,477.90 El 19 de Noviembre el pagaré tenía un valor presente de $12,477.90. Esto significa que $12,477.90 invertidos durante 37 días se convertirán en $12,965.23, si la tasa de interés es del 38%.

Ejemplo 1.3 ¿Cuánto será la tasa de interés de un pagaré por $2.130, que tiene un monto a pagar de $2,257.80, a 31 días plazo? I = $2,247.80 - $2,120 = $127.80 Se despeja la fórmula de la ecuación del interés simple i = I / Pt i = 127.80 / (2,130)(31) = 1.944613512 x 10-³ Ahora es necesario convertir i en un porciento. Para esto, se multiplica el valor de i por 100: i = (1.944613512 x 10-³)(100) i = 0.1944613512% diario Para convertir la tasa de interés por día a tasa de interés anual, se multiplica el resultado anterior por 360. i = (0.1944613512)(360) = 70% anual

Ejemplo 1.4 Una inversión de $14,400 gana $2,092.80 de interés en 8 meses. Calcule: a) La tasa de interés simple anual. b) La tasa efectiva del periodo Solución: a)

i = 2,092.80 / (14,400)(8) =0.018166666666 por mes i = 1.8166666666% mensual

Para convertir la tasa mensual a tasa anual, se multiplica el resultado por 12 i = (1.8166666666)(12) = 21.8% anual b)

La tasa efectiva del periodo es la tasa de interés que corresponde al período o plazo pactado para la operación. Esto es:

i = 2,092.80 / (14,400) (1) = 0.1453333333 en el periodo de 8 meses. El 1 sustituido en la fórmula se refiere a un periodo de 8 meses Al expresar el resultado anterior en porcentaje, se tiene: i = 14.5333% en 8 meses

Ejemplo 1.5 ¿Cuánto tiempo tardará un préstamo de $4,500 para producir $253.13 de interés simple, si la tasa de interés es de 45%? Solución: Se despeja t de la ecuación del interés simple t = I / Pi t = 253.13 / (4,500)(0.45) = 0.125002469 años Convirtiendo la fracción de año en días: t = (0.123288888888)(360) = 45 días

Ejercicios propuestos # 7 1. Encuentre el Valor Actual de 4,500 dólares con vencimiento en 120 días, si la tasa de interés es del 19,20% anual. 2. ¿Cuál es el Capital que invertido al 1,58% mensual produjo un monto de 3,200 dólares en 45 días? 3. Encuentre el Valor Actual para un Monto de 11,098 dólares al 6% de interés trimestral, 4 meses antes del vencimiento. 4. Jorge le prestó a Darío dinero para reparar su automóvil. Darío está de acuerdo en que Jorge le cobre una tasa de interés igual a la vigente que se encuentre al momento de liquidar la deuda. Después de tres meses, Darío pagó 3,945.05 dólares para cubrir la deuda más los intereses. ¿Cuánto le prestó Jorge, sabiendo que la tasa de interés vigente fue del 23,31%? 5. ¿Cuál es el Valor Presente de una Inversión, donde se termina recibiendo 12.785,00 dólares, del 15 de Enero al 30 de Noviembre de un cierto año bisiesto, a una tasa de interés del 18,6%? 6. Un comerciante termina pagando 12,982.00 dólares por un crédito concedido el 19 de Febrero de un cierto año bisiesto, por un proveedor, a una tasa de interés trimestral del 4,15%, con fecha de vencimiento el 24 de Agosto. ¿De cuánto fue el crédito otorgado? 7. El Interés ganado por un préstamo de 7,700 dólares, en un plazo de 5 meses, fue de 220 dólares. Calcule la tasa de interés anual y la tasa efectiva del periodo. 8. Calcule la tasa de interés para que 9,000 dólares en 120 días, ganen un interés de 498 dólares. 9. Un Pagaré por 3,435 dólares se liquidó después de 35 días, mediante un cheque por 1,603.98 dólares. ¿Cuál la tasa de interés anual? Utilice el año natural.

10. Andrea Invirtió 39,000 dólares en un Fondo de Inversión a plazo de 42 días. Si al vencimiento recibió 50,000 dólares: a) ¿qué rendimiento obtuvo? b) ¿qué tasa de interés anual ganó? 11. 714 dólares prestados al 6% trimestral ganaron un interés de 300 dólares calcule el plazo. 12. Una persona firmó un pagaré el 14 de Febrero por un capital de 18,180 dólares al 19,25% de interés anual. ¿En qué fecha los intereses serán de 1,000 dólares? 13. El 20 de Marzo la señora Arias invierte 13,000 dólares a una tasa del 22% anual. ¿Qué día retira su inversión si obtiene 1001.76 dólares de interés? 14.¿En cuánto tiempo se triplicará 5,900 dólares, si la tasa de interés simple es del 19,38% anual? Utilice el año natural. 15. La Señora García solicita un Préstamo por 8.050 dólares para la compra de una copiadora impresora de inyección de tinta a color. Acuerda pagar 474.50 de intereses al cabo de 45 días. ¿Qué tasa efectiva del período paga por el préstamo? Ecuaciones de valor. Hay ocasiones en que un deudor desea reemplazar un conjunto de deudas, previamente contraídas con un determinado acreedor, por otro conjunto que le sea equivalente, pero con otras cantidades y fechas de vencimiento. Para logar lo anterior es necesario plantear una ecuación de valores equivalentes o simplemente ecuación de valor. Una ecuación de valor es una igualdad que establece que la suma de los valores de un conjunto de deudas es igual a la suma de los valores de un conjunto de deudas propuestas para reemplazar al conjunto original, una vez que su valores de vencimiento han sido trasladados a una fecha común, llamada fecha focal o fecha de valuación. La ecuación de valor se basa en el hecho de que el dinero tiene un valor que depende del tiempo. El valor futuro de una cantidad invertida o prestada es mayor que su valor presente debido a los intereses que gana.

Inversamente, el valor actual de una cantidad de dinero es menor que su valor futuro debido al descuento racional que sufre. Por tal motivo, dos o más cantidades de dinero no se pueden sumar mientras no se hayan trasladado todas a una fecha de comparación (fecha focal). La fecha focal es una fecha arbitrariamente elegida que nos permite elaborar la ecuación de valor. En la resolución de problemas con ecuaciones de valor a interés simple se tiene la desventaja de que el resultado varía al cambiar la fecha focal; por tal motivo la fecha de valuación deberá ser dato del problema. Para facilitar la resolución del problema es conveniente utilizar lo que se conoce como diagrama de tiempo. Este consiste en una línea horizontal con una escala de tiempo en años, meses, días, etc., dependiendo del problema, y en ella se indican los montos de las deudas, tanto originales como propuestas. Las obligaciones originales se colocan arriba del diagrama de tiempo y las nuevas obligaciones se colocan abajo.

Ejemplo 1.1 Una persona tiene una deuda que debe ser saldada de la siguiente forma: $7,200 en este momento y $13,400 dentro de dos meses. Si desea saldar completamente su deuda el día de hoy, ¿cuánto tendrá que pagar, si la tasa de interés es de 24,36%? Solución: En primer lugar es necesarios establecer la fecha focal, ya que no fue establecida en el enunciado. Si el deudor desea saldar su deuda el día de hoy, no deberá pagar $20,600 (7,200 + 13,400), pues los $13,400 son un valor futuro, mientras que los $7,200 vencen hoy. Dos o más cantidades no se pueden sumar mientras no coincidan en el tiempo sus valores de vencimiento. Lo que se puede hacer es calcular el valor presente de los $13,400 y, entonces si, sumarlos con los $7,200. Por tanto, el día de hoy parece una fecha focal “natural” en este problema; aunque puede elegirse cualquier momento como fecha focal. El diagrama de tiempo sería el siguiente:

Deuda Original

$7,200

$13,400

0

1

-2 meses

Deuda propuesta

El 0 representa el momento actual o presente y X representa la cantidad total por pagar el día de hoy para saldar la deuda; esto es, el pago propuesto. La flecha indica que el valor futuro de $13,400 se traslada al momento actual, debido a que este punto se ha tomado como fecha focal. Trasladar un valor futuro al momento actual significa que se obtiene el valor presente del monto, dos meses antes de su vencimiento. Esto es:

VP = 13,400 / 1 + (0.2436/12) (2) = $12,877.19

Al trasladar el monto a la fecha focal, todas las cantidades (7,200; 12,877.19 y X) se encuentran, ya, en una fecha común en la que es posible su comprobación y, por tanto, se puede plantear la ecuación de valor siguiente: Valor total de las deudas Originales Esto es: 7,200 + 12,877.19 = X Es decir: X = $20,077.19

=

Valor total de las deudas propuestas

Esta persona tendrá que pagar $20,077.19 el día de hoy y saldar así su deuda. Amortización con interés simple. Muchas deudas se liquidan mediante un pago único en la fecha de vencimiento; sin embargo, es común que los créditos se contraen para pagarlos mediante pagos parciales o abonos. En este caso se dice que el préstamo se amortiza. Amortizar significa saldar una deuda y sus intereses mediante una serie de pagos parciales o abonos que pueden ser iguales en valor o variables, efectuados a intervalos de tiempo iguale o diferentes. En la mayoría de las operaciones a crédito se acostumbra a saldar las deudas mediante abonos de igual cuantía, de manera que incluyan capital e intereses, y realizados a intervalos de tiempo iguales. Para que esto sea así, basta dividir el monto de la deuda entre el número de pagos, es decir:

Abono = Monto de la deuda / Número de pagos

La amortización de una deuda puede ser con interés simple o con interés compuesto. La amortización con interés simple puede llevarse a cabo de dos maneras distintas: • Con interés global • Con interés sobre saldos insolutos. Amortización con interés global. En este tipo de amortización los intereses son calculados so el total de la deuda, sin tomar en cuenta los pagos parciales efectuados. Ejemplo 1.1 El señor Javier Medina compra un refrigerador a crédito, cuyo precio de contado es de $ 4,800 bajo las siguientes condiciones de pago: Tasa de interés global de 48% y 6 meses para pagar dando abonos mensuales iguales en cantidad. Calcule el valor del abono mensual.

Solución: El monto de la deuda es: M = 4,800 [1 + (0.48/12)(6)] M = $5,952 Al dividir este monto entre los 6 meses, se obtendrá el valor del abono mensual: Abono mensual = 5,952 / 6 = $992 El Interés a pagar por el crédito es: I = 5,952 – 4,800 = $1.152

Amortización con interés sobre saldos insolutos Si insoluto significa lo no pagado, entonces intereses cobrados sobre el saldo insoluto significa el interés calculado en una deuda sobre el saldo que queda por pagar cada vez que se realiza un abono.

Ejemplo 1.2 Resuelva el ejemplo anterior, si los intereses se cobran sobre saldos insolutos. Solución: El problema puede ser resuelto de dos formas; en primer lugar se resolverá desarrollando una tabla de amortización, la cual muestra la evolución de la deuda, periodo a periodo. En este momento se hace necesario mencionar la diferencia que existe entre abono y amortización. Amortizar significa liquidar el capital mediante una serie de pagos, generalmente iguales, mientras que el abono o pago total es la suma de la amortización más el interés generado en el periodo. Por lo anterior, se puede decir que la amortización es la parte del abono que reduce el capital de la deuda. En este ejemplo, la amortización mensual es: Amortización = a = 4,800 / 6 = $800,00

Los interese mensuales se deben calcular sobre la parte no pagada del capital (saldo insoluto) que va quedando después de cada amortización. Desde el inicio del crédito hasta el final del primer mes, el saldo insoluto es de $4,800. Por tanto, el interés a pagar al efectuar la primera amortización será: I = (4,800)(0.48/12)(1) = $192 Al final del primer mes se tendrá que pagar $800 de amortización más $192 de intereses; es decir, se tendrá que dar un abono de $992. El saldo insoluto al inicio del segundo mes es de $4,800 - $800 = $4,000. El interés por pagar al final del segundo mes es: I = (3,200)(0.48/12)(1) = $160 El segundo abono será de $800 + $160 = $960. Al pagar el segundo abono el saldo insoluto es de $4,000 - $800 = $3,200 El interés por pagar al final del tercer mes es: I = (3,200)(0.48/12)(1) = $128 El tercer abono será de $800 + $128 = $928 Continuando de esta manera, es posible elaborar la siguiente tabla de amortización: Saldo Insoluto

Mes

Amortización

Interés

Pago Total

0

-

-

-

1

$800

$192

$992

$4,800

2

$800

$160

$960

$4,000

3

$800

$128

$928

$3,200

4

$800

$96

$896

$2,400

5

$800

$64

$864

$1,600

6

$800

$32

$832

$800 0

Total

$4,800

$672

$5,472

La fórmula para calcular el interés en cualquier periodo de tiempo dentro de una tabla de amortización, es la siguiente: I = ni / 2 [2P – a (n-1)]

La fórmula para calcular el interés total sobre saldos es la siguiente: I = ni / 2 (p + a)

Ejercicios propuestos # 8 1. Calcule la tasa de interés para que $5500, en 138 días, ganen un interés de $455. 2. Un pagaré por $2,800 se liquidó después de 75 días mediante un cheque por $3,603.98 ¿Cuál fue la tasa anual de interés? Utilice el año natural. 3. Cierto individuo ofrece préstamos personales, donde el prestamista debe carga $160 de interés por cada $1,200 tomados en préstamo durante un plazo de 35 días. Calcule la tasa de interés mensual cargada. 4. El señor Andrade solicitó un préstamo por $29,800 a 11 meses a una tasa de interés del 24%. Si realiza un pago de $9,800 a los 5 meses, ¿Cuánto deberá pagar al final de los 7 meses? Utilice como fecha focal la fecha dentro de 7 meses, la tasa para la renegociación de la deuda es del 21%. 5. El señor Arroyo firmó 2 pagarés: uno con valor de vencimiento por $5,000 a pagar en 5 meses y otro con valor de vencimiento por $6,990.00 a pagar en 8 meses. En un nuevo arreglo con su acreedor convino en pagar $4,550.00 el día de hoy y el resto dentro de 5 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final del quinto mes, si la tasa de interés es del 6% trimestral, y se toma como fecha focal el mes 6?

6. Una persona adeuda $975 que debe saldar dentro de 4 meses a 11% de interés simple, y $1,600 con vencimiento a 8 meses e intereses al 12,3%. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de 6 meses para saldar la totalidad de su adeudo suponiendo una tasa de interés de 9%? Tomar como fecha focal la fecha de 6 meses. 7. El Sr. Narváez firmó dos pagarés: uno con valor de vencimiento por 3,000 a pagar en 3 meses y otro con valor de vencimiento por 4,990 a pagar en 6 meses. En un nuevo arreglo con su acreedor convino en pagar 2,800 el día de hoy y el resto dentro de 6 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final del quinto mes, si la tasa de interés es de 2,7% mensual, y se toma como fecha focal el mes seis? 8. El Sr. Chávez firmó dos pagarés: uno con valor de vencimiento por 2,502.50 a pagar en 2 meses y otro con valor de vencimiento a pagar por 3,990 a pagar en 4 meses. En un nuevo arreglo con su acreedor convino en pagar 1,800 el día de hoy y el resto dentro de 5 meses. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final del quinto mes, si la tasa de interés es de 4,7% mensual, y se toma como fecha focal el momento actual? 9. Una persona firmó un pagaré por 19,060 a 120 días y una tasa de interés del 30.4%. Desea reestructurar su deuda firmando tres pagarés de igual cuantía con vencimientos a 60, 120 y 180 días. ¿Cuál será en valor de los nuevos documentos, si la tasa de interés para la reestructuración es del 27% y se toma como fecha focal la fecha dentro de 120 días? 10. Una persona adeuda 11,600 dólares que debe saldar dentro de 3 meses al 9% de interés simple, y 18,500 dólares con vencimiento a 9 meses e intereses del 10%. ¿Qué cantidad tendrá que pagar al final de 6 meses para saldar la totalidad de su adeudo, suponiendo una tasa de interés del 9%? Tomar como fecha focal la fecha dentro de 6 meses 11. Vinicio adeuda 27,500 dólares (valor de vencimiento) que debe pagar dentro de 10 meses y pagar 32,000 dentro de un año, con una tasa de interés del 19,30%. Si queda de acuerdo con el

acreedor en saldar la deuda mediante dos pagos iguales, uno dentro de 6 meses y el segundo a los 10 meses, y la operación se calcula a la tasa del 23,85%, ¿cuál será el valor de cada pago, si la fecha focal es el momento actual? 12. El 15 de Marzo, Armando Aguirre consiguió un préstamo por 6,435 al 32,8% de interés simple. El 20 de Abril abonó 1,540; el 04 de Mayo 1,600; el 31 de Mayo 900 y el 22 de Junio 1,000. Encuentre el Saldo a Pagar el 15 de Julio, utilice como fecha focal el día 15 de Julio. 13. Un Comerciante compra una estufa a crédito, cuyo precio de contado es 2,750, bajo las siguientes condiciones de pago: sin entrada, 4 meses para pagar dando abonos mensuales iguales en cantidad y una tasa de interés del 32%. Calcule el importe del abono mensual, considerando la fecha focal en el mes 4. 14. El día de hoy se cumplen 2 meses de que una persona consiguió un préstamo por 20,000 con tasa de interés del 28% y vencimiento a 5 meses. Cuatro meses antes de aquella fecha, había firmado un pagaré con valor de vencimiento por 16,356 a un plazo de 6 meses. Hoy da un abono de 12,000 y acuerda liquidar su adeudo con otro pago dentro de 6 meses. ¿De cuánto será este pago, si la tasa de interés se convenía en 30% anual? Utilice la fecha de hoy como fecha focal. 15. Adrián es un comerciante que tiene crédito en un almacén donde compra parte de su mercancía. Se le cobra una tasa de interés del 31% y su cuenta ha tenido el siguiente movimiento: Saldo deudor al 01 de Junio: Abono el 16 de Junio: Cargo el 11 de Julio: Cargo el 21 de Julio: Abono el 15 de Agosto:

8,900 3,200 3,650 4,720 6,000

Calcule el saldo al 01 de Septiembre. Utilice el 01 de Septiembre como fecha focal. 16. Un comerciante debe a su proveedor 4,250 que deberá pagar dentro de dos meses y 3,680 a pagar dentro de 4 meses. Si el

comerciante desea liquidar su deuda en este momento, ¿qué cantidad deberá pagar si la tasa de interés es de 2.12% mensual? Utilice el momento actual como fecha focal. 17.En un anuncio de una distribuidora automotriz, aparecido en un periódico local, se menciona que se pude comprar un automóvil dando 40% de enganche y el resto a pagar en 10 mensualidades con 5% mensual de interés global. Si el automóvil cuesta $115,000; obtenga el abono mensual y calcule el interés que se está pagando por el crédito. 18.Un reloj se puede comprar de contado en $2540. A crédito se requiere un pago inicial de $540. Si se cobra una tasa de interés simple global de 44% y la deuda se liquida en 12 pagos semanales, ¿Cuál será el valor de cada pago y los intereses generados al final de las 12 semanas? 19.En cierta agencia automotriz se vende el modelo Light en $165,700 si la compra es al contado. A crédito lo ofrece sin enganche, en 36 mensualidades iguales y con una tasa de interés simple de 39,5% sobre el saldo insoluto. Obtenga el abono mensual y el total del interés generado. 20. El señor Gómez solicitó un préstamo personal por $7000 a una institución de crédito. El plazo es de 8 meses y cada mes deberá amortizar la octava parte del capital más el interés mensual devengado, calculado al 4% mensual sobre el saldo insoluto. Calcule los intereses en el mes 5. 21. Un empleado recibe un préstamo de $9600 que le concede la caja de ahorro de la empresa donde trabaja. Las condiciones del préstamo son: a. Liquidar el préstamo mediante 12 pagos quincenales iguales.

b. Se cobrará la tasa de interés sobre los saldos insolutos de 1,12% quincenal. c. Obtenga el abono quincenal y el total de intereses al final de los 12 pagos. 22. Se compra un televisor cuyo precio es de $5600, con un pago inicial

de 20% y 13 mensualidades iguales con interés de 48%

sobre el saldo insoluto calcule los intereses devengados en los primeros: a. b.

5 meses. 10 meses.

23. Usted desea comprar un auto usado que vale 15,400 de contado. La empresa que lo vende le ofrece dos alternativas de pago si lo compra a crédito:  Cobrar una tasa de interés de 2,4% mensual global.  Cobrar una tasa de interés de 4% mensual sobre saldos insolutos. ¿Cuál alternativa le es más conveniente a usted, si da una entrada del 20% y el resto se paga en 18 mensualidades?

24. Una deuda de 3,000 se va a pagar mediante 5 pagos mensuales, de la siguiente forma: Pago 1 2 3 4 5

Amortización 350 500 600 750 800

El pago mensual deberá incluir los intereses del saldo insoluto. Si la tasa de interés es del 2.93% mensual, elabore la tabla de amortización.

25. Una Tienda departamental vende un equipo de sonido en 3,330, precio de contado. Para promover sus ventas, lo ofrece a crédito con una entrada del 15% sobre el precio de contado y el saldo en 24 pagos quincenales iguales. Si la tasa de interés es de 4,9% bimensual sobre saldos insolutos, calcule el valor del pago quincenal y el interés total que se paga por el crédito.

26. Elabore una tabla de amortización de un crédito por 13,100, al 14.7% de interés anual, a 35 meses, calcule los intereses en el mes 17 y en el mes 24.

27. Una deuda de 16,000 dólares se debe amortizar en un año mediante pagos trimestrales iguales. Si la tasa de interés es del 24% sobre saldos insolutos, encuentre el valor de los pagos y elabore la tabla de amortización por el método Francés.

28. Un automóvil, cuyo precio de contado es de 115,000 dólares, se vende con una entrada del 30% y el saldo en pagos quincenales a 6 meses plazo, con una tasa de interés del 14,64%, elabore la tabla de amortización por el método Francés, encuentre el valor de los pagos y determine el interés total al final del tiempo pactado.

29. Una Persona solicita un préstamo de 85,000 dólares para ser amortizado mediante pagos trimestrales iguales durante 2 años, con interés del 30%. Encuentre el valor de los pagos y el total de los intereses generados.

30. Un automóvil nuevo tiene precio de contado de 84,800, se lo puede adquirir sin entrada y en 12 pagos semanales iguales, con una tasa de interés del 18,9%. Encuentre el valor de los pagos y el total de los intereses generados.

31. En una Cooperativa de la Ciudad, otorgan microcréditos para tiendas de barrio por 10,000 dólares, a 24 meses plazo, e interés del 11,65%, con capital amortizado fijo y cuotas diferentes. Encuentre el interés total y el interés generado en el quinto pago.

32. Una persona desea reunir 1,350 dólares para comprar una cámara fotográfica dentro de 3 meses. ¿Cuánto deberá depositar cada quincena en una cuenta bancaria que paga el 20% de interés. Elabore la tabla de capitalización.

33. Un préstamo por 50,000 se amortizará mediante 5 pagos cuatrimestrales iguales. Si la tasa de interés es del 10,68% cuatrimestral. Encuéntrese el abono cuatrimestral y elabore la tabla de amortización.

34. Calcule el total de los intereses de una deuda por 27,600 dólares, aplicando el método Francés, a 10 años plazos, con una tasa de interés del 18,6%, con cuotas fijas semestrales.

35. En Cierto Banco otorgan créditos de consumo de 7,200 dólares, a una tasa de interés del 9%, con plazo de 18 meses, y cuotas trimestrales iguales.

36. En un préstamo quirografario del IESS, el afiliado solicita un crédito por 6,600 dólares, a una tasa de interés del 11,2% y un plazo de 12 meses, el empleado deberá decidirse si lo realiza por el método francés o el alemán. Indicar cuál método le conviene más y cuál es la diferencia de intereses. Interés Compuesto. Objetivo de la Unidad: Comprender la capitalización que tienen los préstamos e inversiones, donde su capital original varia en el tiempo, incrementándose hasta su vencimiento por la suma de los intereses.

En El Interés Simple el capital que genera el interés permanece constante todo el tiempo de duración del préstamo. En Cambio, en el interés compuesto el interés generado en un periodo dado se convierte en capital para el siguiente periodo. Esto es, el interés simple generado al final del primer periodo se suma al capital original, formándose un nuevo capital. Con este nuevo capital se calcula el interés simple generado en el segundo periodo y el interés se suma al capital, y así sucesivamente. La suma total obtenida al final del tiempo se conoce como Monto Compuesto o Valor Futuro. A la diferencia entre el Monto Compuesto y el Capital original se le llama Interés Compuesto. I=F–C El Interés compuesto se puede definir como la operación financiera en la cual el capital aumenta al final de cada periodo por adición de los intereses vencidos. El periodo convenido para convertir el interés en capital se llama Periodo de Capitalización o Periodo de Conversión. El interés puede capitalizarse anualmente, semestralmente, mensualmente, semanalmente, etc. El número de veces que el interés se capitaliza en un año, se conoce como frecuencia de capitalización o frecuencia de conversión. Así, la frecuencia de capitalización para una inversión con capitalización de intereses cada mes es 12; si la frecuencia de los intereses es bimestral, la frecuencia de capitalización es 6; si los intereses se capitalizan trimestralmente, la frecuencia de capitalización es 4 y si los intereses se capitalizan semestralmente, la frecuencia de capitalización es 2 Formula general: F = C (1 + i) ⁿ Ejemplo: ¿Qué cantidad de dinero se habrá acumulado al cabo de 5 años, si se invierten 8,000 dólares al 2.06% mensual con intereses capitalizables cada bimestre? Solución:

La tasa de interés es del 2.06% mensual, pero pagadera cada bimestre, esto significa que se paga el (2.06 x 2) 4.12% en cada periodo bimestral. Como el tiempo total de la inversión es de 5 años, entonces el número total de periodos de capitalización (n) será de: n = (5 años) (6 bimestres/año) = 30 bimestres Al sustituir los datos en la fórmula se tiene: F = 8,000 (1 + 0.0412) ᶟᵒ = 8,000 (1.0412) ᶟᵒ Al resolver, se tiene: F = 26,860.54 Ejercicios Propuestos # 9 1. Obtenga el monto compuesto y el interés compuesto al cabo de 6 meses de 3,800 dólares, invertidos al 29% anual capitalizable cada mes. 2. En las cuentas de ahorro el ABC Bank de Houston, Texas, ofrece una tasa de interés anual del 16,67% capitalizable diariamente. Si se invierten 8,400 dólares el 04 de Enero, ¿cuál será el valor futuro el 19 de Noviembre? Utilice el año natural. 3. Un anuncio bancario dice: “El Dinero que usted invierte con nosotros gana intereses al 23,7% convertible cada día”. Encuentre el interés ganado si usted decide invertir 5,730 dólares durante tres años en dicho banco. Utilice el año comercial. 4. Trece mil dólares fueron invertidos al 1.65% mensual de interés compuesto, capitalizable mensualmente por un año y 5 meses. a) Obtenga el valor futuro al final de ese tiempo b) ¿Cuánto más se ganó con el interés compuesto, que lo que se hubiera ganado con el interés simple? 5. Cuando Armando cumplió 6 años de edad, su abuelo le obsequió 10,000 dólares para que fueran invertidos y, posteriormente, utilizados en su educación universitaria. Sus padres depositaron el

dinero en una cuenta que paga el 24,4% con capitalización quincenal. Si la tasa de interés permanece constante, ¿cuánto habrá en la cuenta cuando Armando esté listo para ir a la Universidad, a los 18 años de edad? 6. Una Persona tiene que elegir entre invertir 15,000 dólares al 28% capitalizable cada 14 días, por un año, o hacerlo al 30% con capitalización bimestral, por un año. ¿Qué es mejor? 7. Una Inversión de 20,000 dólares se efectúa a 10 años. Durante los primeros 6 años la tasa de interés compuesta capitalizable cada semestre es del 11% anual. Posteriormente, la tasa desciende al 9.6% anual capitalizable semestralmente, durante un año y medio. El resto del tiempo la tasa aumenta al 10% capitalizable cada mes. ¿Cuál es monto final de la inversión? 8. Noemí les presta a su primo 3,500 dólares por 6 meses, cobrándole una tasa de interés simple del 1.5% mensual. Al final de este tiempo, deposita el monto obtenido en una cuenta de ahorros que le paga un 20% capitalizable cada semana. ¿Cuánto dinero tendrá Noemí al cabo de 2 años? 9. Se depositan 10,000 dólares en una cuenta que paga el 23% capitalizable cada 91 días. La tasa se mantiene constante durante 2 años. Al cabo de ese tiempo, la tasa cambia al 20% capitalizable cada mes. Obtenga el monto después de 2 años más. Utilice el año natural. 10.Se invierten 8,500 dólares al 19,75% capitalizable quincenalmente. A los 6 meses, la tasa de interés cambia al 21,43% capitalizable cada mes y en ese momento se retiran 4,000 dólares. Pasados 10 meses, la tasa se vuelve a incrementar, al 23.15% capitalizable cada mes y en ese momento se depositan 6,000 dólares. Obtenga el monto al cabo de 3 años, contados a partir del depósito de los 8,500. El Valor Actual o Presente de una inversión a interés compuesto tiene un significado semejante al mencionado en el interés simple. Esto es, el valor presente es el capital que invertido ahora, a una tasa de interés dada, alcanzará un monto determinado después de un cierto número de periodos de capitalización.

El concepto de valor presente es uno de los más útiles en la matemática financiera, ya que permite obtener el valor que tienen en el momento actual un conjunto de cantidades que han de vencer en el futuro. Formula: 𝐶=

𝐹 (1 + 𝑖)𝑛

Ejemplo 1 ¿Cuál es el valor presente de 10,000 que vencen dentro de 2 años, si la tasa de interés es del 50% y los intereses se capitalizan cada bimestre? Solución: La tasa de interés es del 50% anual, es decir, 0.50/6 bimestral. En dos años hay 12 bimestres; por tanto el número total de capitalizaciones es 12. Al despejar C de la ecuación y sustituir los valores se obtiene: 10,000

10,000

10,000

10,000

𝐶 = (1+0.50/6)12 = (1+0.0833333)12= (1.0833333)12=(2.613034325) C = 3,826.97 Al invertir 3,826.97 dólares en este momento, al cabo de 2 años se tendrá 10,000 dólares, si la tasa de interés es 50% con capitalización bimestral. En otras palabras, 3,826.97 y 10,000 son cantidades equivalentes a la tasa 50% con capitalización de intereses cada bimestre, durante 12 periodos de capitalización. También se puede decir que 10,000 dólares son el valor futuro de 3,896.27 dólares, si la tasa de interés es 50% anual capitalizando los intereses en 12 periodos bimestrales. Ejemplo 2 Luis recibió una herencia de 250,000 dólares y quiere invertir una parte de este dinero en un fondo de jubilación. Piensa jubilarse dentro de 20 años y para entonces desea tener 12ʼ500.000 dólares en el fondo. ¿Qué

parte de la herencia deberá invertir ahora, si el dinero estará invertido a una tasa de interés compuesto cada mes del 21% anual? Solución: F = 12ʼ500.000 i = 21% anual = 1.75% mensual = 0.0175 por mes n = (20 años) (12 meses por año) = 240 meses 12ʼ500.000

12ʼ500.000

12ʼ500.000

12ʼ500.000

𝐶 = (1+0.21/12)240 = (1+0.0175)240=(1.0175)240=(64.30730290) C = 194,379.17 Ejercicios Propuestos # 10 1. Calcule el precio de contado de una impresora de inyección de tinta profesional para diseño gráfico, que se compra a crédito, dando una entrada de 500 dólares y se firma un pagaré que vence dentro de 4 meses por 3,672.92, que incluye intereses al 45% con capitalización mensual. 2. ¿Cuál es el Valor Presente de 9,304.80 dólares a pagar dentro de 5 meses, si la tasa de interés es 4% mensual capitalizable cada quincena? 3. ¿Cuál era el costo de una computadora que actualmente cuesta 14,350 dólares, si tuvo un incremento mensual del 2% capitalizable mensualmente durante un semestre? 4. Carlos Gonzáles tiene dos deudas; una por 5,730 dólares a pagar en 14 meses y otra de 9,675 dólares a pagar en 20 meses. Carlos desea pagar sus deudas en este momento, ya que acaba de recibir 11,000 dólares del fondo de ahorro de la empresa donde trabaja. Si el valor del dinero es 1.82% mensual capitalizable en forma bimestral, ¿le alcanzará el dinero para saldar sus deudas? 5. Jaime Gómez desea establecer un fondo de ahorro, con el fin de comprar de contado su próximo automóvil deportivo y evitar de esta manera el crédito. Calcula comprar el automóvil dentro de tres años y pagar alrededor de 120,000 por él. ¿Cuánto tiene que invertir ahora, sabiendo que puede colocar el dinero en una cuenta de ahorros que le da el 22.125% capitalizable cada día?

6. ¿Cuánto vendía una empresa hace 18 meses, si las ventas se han estado incrementando desde entonces, en un 9% capitalizable trimestralmente y actualmente vende 1ʼ170,000? 7. Se forma un fideicomiso para la educación universitaria de una niña, mediante un solo pago, de manera que dentro de 17 años haya 100,000 dólares. Si el fondo gana intereses a razón del 9% capitalizable cada semestre, ¿Cuál debe ser el depósito inicial? 8. ¿Qué cantidad debe invertirse en este momento al 33% capitalizable cada mes, para convertirse en 1ʼ000,000 de dólares en 15 años? ¿Cuánto interés se habrá ganado? 9. Un Padre de Familia desea tener 90,000 dólares disponibles para cuando su hijo ingrese a la Universidad, dentro de tres años, y costear, con ese dinero, toda la carrera. ¿Qué cantidad debe depositar hoy en el banco, de tal manera que dentro de 3 años tenga los 90,000 dólares? La tasa que le paga el banco es del 21,8% con capitalización mensual. 10. ¿Cuál es el Valor Presente de 14,700 dólares a pagar dentro de 11 meses, si la tasa de interés es del 9% semestral capitalizable semanalmente?