Integrasi Ganda

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda]

IV. DEFLEKSI BALOK ELASTIS: METODE INTEGRASI GANDA 4.1. Defleksi Balok Sumbu sebuah balok akan berdefleksi (atau melentur) dari kedudukannya semula apabila berada di bawah pengaruh gaya terpakai. Defleksi Balok adalah lendutan balok dari posisi awal tanpa pembebanan. Defleksi (Lendutan) diukur dari permukaan netral awal ke permukaan netral setelah balok mengalami deformasi. Karena balok biasanya horizontal, maka defleksi merupakan penyimpangan vertikal seperti yang ditunjukkan pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1. Defleksi pada Balok Sederhana

49

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] Besarnya defleksi ditunjukan oleh pergeseran jarak y. Besarnya defleksi y pada setiap nilai x sepanjang balok disebut persamaan kurva defleksi balok Beberapa metode yang digunakan untuk mencari lendutan pada balok adalah: 1. Metode Integrasi Ganda. 2. Metode Momen Area 3. Meode Fungsi Singularitas 4. Metode Energi Elastis

4.2. Penurunan Rumus pada Metode Integrasi Ganda a. Persamaan Kelengkungan Momen

 R 1   .................(1) R 



Keterangan:

R = Jari – jari kelengkungan balok E & I Konstan sepanjang balok M & R adalah fungsi dari x

b. Rumus Eksak untuk kelengkungan

1  R

d2y dx 2 3 2

  dy   1       dx   1 d2y  ..............(2) R dx 2 2

dy  Slope kurva pada setiap titik dx Untuk lendutan balok yang kecil,

50

dy adalah kecil maka diabaikan. dx

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] c.

Jadi untuk lendutan yang kecil [dari persamaan (1) dan (2) ] menjadi

 d2y   dx 2 d2y   2  ................(3) dx Keterangan: E = Modulus Elastisitas I = Momen inersia M = Momen Lentur y = Jarak vertikal (lendutan Balok) x = Jarak sepanjang Balok Momen lentur yang telah didapatkan dari setiap segmen balok diantara titiktitik pembebanan dimana terjadi perubahan pembebanan, kemudian masing-masing akan diintegralkan untuk setiap segmen balok.

Untuk menghitung konstanta

integrasi dibutuhkan berbagai syarat batas dan kondisi kontinuitas. Syarat batas homogen untuk balok dengan EI yang tetap, diperlihatkan pada Gambar 4.2.

51

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda]

Gambar 4.2. Syarat batas homogen untuk balok dengan EI yang tetap

52

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda]

Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya 1. Tentukan defleksi maksimum dari balok berikut.

Jawab:

M   PL  Px EI

d2y   PL  Px.........................................1 dx 2

Integrasi I

EI

dy Px 2   PLx   C1 ...............................2 dx 2

Integrasi II

EIy  

PLx 2 Px 3   C1 x  C 2 ......................3 2 6

Dari persamaan (3) x = 0, y = 0

 C2  0

Dari persamaan (2) x = 0,

EI

dy dx

 0  C1  0

dy Px 2   PLx  dx 2

Persamaan defleksi

PLx 2 Px 3 EIy    2 6

ymaks  pada x = L

EIy  

PL3 PL3 PL3   y maks   2 6 3EI

53

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] 2. Jika pada soal no.1, panjang balok 3 m dan diberi beban 50 kN, ketebalan balok baja ini 450 mm, memiliki second moment pada axis 300 x 106 mm4 dan E = 200 GN/m2. Tentukan: a) Defleksi maksimum yang terjadi pada balok b) Tegangan lentur maksimum yang terjadi pada balok Jawab: a) Defleksi maksimum yang terjadi pada balok

 max 





PL3 50  10 3 3000 10   7.5mm 3EI 3 200  10 9 300  10 6



3



6



b) Tegangan lentur maksimum yang terjadi pada balok Mmaks terjadi pada dinding penyangga Mmaks = PL = (50 x 103)(3) = 150 kN

 maks 

Mc 150  10 3 0.225   112.5MPa I 300  10 6

3. Carilah persamaan defleksi dari kurva seperti pada gambar!

Jawab:

M F EI

54

y

o

  M 1  M 2  RR L  0  RR    RL  RR  0  RL 

M1  M 2 L

M1  M 2 L

d2y  M 1  RL x.........................................................1 dx 2

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] Integral I

EI

dy x2  M 1 x  RL  C1 ..............................................2 dx 2

Integral II

EIy  M 1

x 2 RL x 3   C1 x  C 2 ....................................3 2 2 3

Dari persamaan (3) x = 0, y = 0

 C2  0

x = L, y = 0  C1  

EIy  M 1

M1L M 2 L  3 6

x 2 RL x 3  M 1 L M 2 L       x.....................4 2 2 3  3 6 

M1 = 0 Persamaan (4) menjadi EIy 

dan EI

M 2 x 3 M 2 Lx  ................5 6L 6

dy M 2 x 2 M 2 L   .............................................6 dx 2L 6

Nilai defleksi maksimum terjadi ketika slope pada persamaan (6) = 0 dengan nilai x 

EIy maks

M  2 6L

L 3

substitusikan  4 3

M 2 L2 3  L  M2L  L       6  3  27  3

55

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] 4. Carilah persamaan defleksi pada balok kantilever dengan pembebanan seperti di bawah ini.

Jawab:

x wx x   wx  w L w L Momen pada jarak x:

1 1x Px   wx x   wx 2 2L 1 Jarak  x 3

1w 3  1x  1  M   wx  x    x 6L  2 L  3  d2y 1w 3 EI 2   x 6L dx dy 1 w 4 EI  x  C1 dx 24 L Pada x = L,

dy 1  0  C1  wL3 dx 24

dy 1 w 4 1  x  wL3 dx 24 L 24 1 w 5 1 EIy   x  wL3 x  C 2 120 L 24 EI

56

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] Pada x = L, y  0  C 2  

EIy  

1 wL4 30

1 w 5 1 1 x  wL3 x  wL4 120 L 24 30

5. Tentukan persamaan defleksi dari balok kantilever di bawah ini.

Jawab: M = - M1

d2y  M 1 dx 2 dy EI   M 1 x  C1 dx dy pada x = 0,  0  C1  0 dx EI

1 EIy   M 1 x 2  C 2 2 pada x = 0, y  0  C2  0 1 EIy   M 1 x 2 2

57

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] 6. Carilah defleksi maksimum pada balok berikut.

Jawab: Momen lentur pada bagian sepanjang x

M   wL  x  12 L  x   

w  L  x 2 2

d2y w 2 EI 2   L  x  2 dx dy w 3 EI  L  x   C1 dx 6

w 3  dy     0  C1   L 6  dx  x 0 dy w w 3  L  x   L3 dx 6 6 w w 4 EIy   L  x   L3 x  C 2 24 6 EI

x = 0, y = 0  C 2 

EIy  

w 4 L 24

w L  x 4  w L3 x  w L4 24 6 24

Defleksi maksimum pada x = L

EIy maks   Jadi  maks 

58

wL4 wL4 wL4   6 24 8 wL4 8EI

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] 7. Tentukan defleksi maksimum yang terjadi pada balok berikut.

Jawab:

M 

P x 2

untuk 0 < x < L/2

EI

d2y 1  Px dx 2 2

EI

dy 1 2  Px  C1 dx 4 Pada x 

untuk 0 < x < L/2

L dy 1 ,  0  C1   PL2 2 dx 16

dy 1 2 1  Px  PL2 dx 4 16 1 1 EIy  Px 3  PL2 x  C 2 12 16 EI

Pada x = 0, y = 0  C2 = 0

EIy 

1 1 Px 3  PL2 x 12 16

ymaks terjadi pada x = L/2

1 1 3 PL 2  PL2 L 2 12 16 3 3 PL PL 2 PL3 PL3     96 32 96 48

EIy maks  EIy maks

Jadi  maks 

PL3 48EI

59

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] 8. Balok seperti pada gambar berukuran 50 x 100 mm dan beban 20 kN dengan a = 1 m dan b = 0.5 m, carilah defleksi maksimum yang terjadi denga E = 200 GN/m2.

Jawab:

EI







dy PbL 3  3x  L2  b 2 x  x  L2  b 2 / 3 dx 6L

subsitusikan:









2/3 Pb 3 2 L  b2 27 L 3 I  50100 / 12  4.167  10 6 mm 4

EIy max 

y max

 

   3 10  2 3/ 2

2

20  10 3 0.5  10 3 1.5  10 3  0.5  10 3  27 1.5  10 3 4.167  10 6 200  10 9







6

 1.45mm

9. Carilah defleksi maksimum dari kurva seperti gambar yang mendapatkan pembebanan seragam yaitu 1.5 kN/m1, a = 1 m dan b = 4 m dan ukurannya 75 x 100 mm dan E = 200 GN/m2.

60

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] Jawab:





wx 3 wL2 x  a  w L4  a 4 wL2 b    6 4b 24b 12 2 3 2 1.5  10 5 x  1 1.5  10 3 5 4  14 1.5  10 3 5 2 4  1.5  10 3 x 3 / 6    4 4 24  4 12 2

0

 



saat x = 0 m maka



3 3 1 751003 y x0  1.5  10 1 10 200  10  10 12 24



9

6





 1.5  10 3 5  10 3



4

 1 10 4  10 / 12 2

3





 

    4

1.5  10 3 5  10 3  1  10 3 24 4  10 3

3

y x 0  2.25mm. maka  max

 max 

Mc 2.64  10 3 0.05   21MPa 1 I 3 0.0750.1 12

10. Sebuah balok kantilever seperti pada gambar, terdiri dari bentuk segitiga yang memiliki ketebalan konstan, carilah defleksi yang terjadi.

61

 4

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] Jawab: Dari persamaan Bernaulli

U b

L  x 

L M   PL  Px   PL  x  d2y M dx 2 2  b L  x  3  d y E h  2   P L  x  12 L  dx EI

d2y 12 PL  2 dx Ebh 3 Integral I

dy 12 PL  x  C1 dx Ebh 3 Integrasi II x = 0,

dy  0  C1  0 dx

y

6 PLx 2  C2 Ebh 3

x = 0, y = 0  C2 = 0

y

6 PLx 2 Ebh 3

ymaks pada saat x = L

y maks

62

6 PL3  Ebh 3

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda]

Latihan Soal 1. Hitunglah defleksi maksimum pada balok di bawah ini dengan menggunakan metoda integrasi ganda! Gunakan E = 200 GN/m2 dan ukuran penampang 50 mm x 100 mm.

2. Hitunglah defleksi maksimum pada ujung bebas balok kantiliver akibat beban pada ujungnya dengan menggunakan metode Integrasi Ganda! Gunakan E = 200 GN/m2 dan ukuran penampang 60 mm x 80 mm.

3. Tentukan defleksi maksimum pada balok dengan pembebanan seperti pada gambar berikut. Balok dari baja dengan E = 300 Gpa dan penampang empat persegi panjang dengan ukuran 15 x 30 mm dan posisi tegak. Gunakan metode Integrasi Ganda!

63

[Defleksi Balok Elastis: Metode Integrasi Ganda] 4. Tentukan defleksi maksimum dan dimana terjadi (jarak x dari titik asal O) dari balok dengan pembebanan seperti pada Gambar di bawah ini. Ukuran penampang dan bahan balok sama seperti soal nomor 3. Gunakan metoda Integrasi Ganda!

5. Sebuah poros baja bulat pejal dengan panjang antara pusat bantalan penumpu 2 m dan E = 300 GPa, harus sanggup menahan gaya dorong sebesar 6 kN tegak lurus ke poros. Pada sebarang titik di antara bantalan dimana tegangan maksimum tidak melebihi 65 MPa. Dengan menggunakan metode integrasi ganda hitunglah: a) Defleksi maksimum di tengah poros b) Diameter poros yang harus digunakan

Tak ada orang yang tahu, bahkan Anda pun tidak tahu, akan sejauh dan setinggi apa Anda bisa terbang, Until You spread Your Wings. (Anonim)

64