Investigacion De Operaciones Y Modelos De Optimizacion De Recursos

INSTITUTO TECNOLÓGICO DE TEPIC INVESTIGACION DE OPERACIONES Y/O MODELOS DE OPTIMIZACION DE RECURSOS. PROFESOR: ING. GAMEZ RODRIGUEZ JOSE ANGEL ALUMNO: RUELAS AGUILAR ARMANDO NO. CONTROL: 13400203 CARRERA: ING. CIVIL GRUPO: 2-B HORARIO: 14:00-15:00

RESUMEN HISTORICO La investigación de operaciones se remontan en los años 1759 cuando el economistas Quesnay empieza utilizar modelos primitivos de la programación matemática. En 1874, otro economista de nombre Walras, hace uso de técnicas similares. Los modelos lineales de investigación de operaciones, tienen como precursores a Jordán en 1873, Minkowsky en 1896 y a Farkas 1903. Los modelos dinámicos probabilísticos tienen su origen con Marcov a fines del siglo pasado. A principios del siglo XX, estudian con metodos matematicos por lo húngaros Koning y Egervary en la segunda y la tercera década de este siglo. Von Neuman cimenta en 1937 lo que los años mas tarde culminara como la teoria de juegos y la teoría de preferencias.

Los problemas de distribución se estudian por el ruso kantorovich en 1939. Empezó a tomar auge en la segunda guerra mundial, cuando la Investigación de operaciones.

DEFINICIÓN Y SIGNIFICADO DE LA INV. DE OPERACIONES.

 La investigación de operaciones es la aplicación de la metodología científica atraves de modelos matematicos, primero para representar al problema y luego para resolverlo.  Como ciencia radica en ofrecer técnicas y algoritmos matematicos para resolver problemas de decisión adecuada En un equipo de investigación de operaciones es importante para la habilidad adecuada en los aspectos científicos y artísticos de investigación de operaciones.

METODOLOGÍA El proceso de la investigación de Operaciones comprende las siguientes fases: 1. Formulación y definición del problema 2. Construcción del modelo 3. Solución del modelo 4. Validación del modelo 5. Implementación del modelo La información de cada proceso se dirán a continuación en las siguientes diapositivas.

 Formulación Y Definición Del Problema:

En esta fase del proceso se necesita: una descripción de los objetivos del sistema, es decir, que se desea optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del sistema.  Construcción Del Modelo: En esta fase el investigador de operaciones debe decidir el modelo a utilizar para representar el sistema. Debe ser un modelo tal que relacione a las variables de decisión con los parámetros y restricciones del sistema.  Solución Del Modelo: Derivar una solución matemática empleando las diversas tecnicas y metodos matematicos para resolver problemas y ecuaciones. Debemos tener en cuenta que las soluciones que se obtienen en este punto del proceso, son matemáticas y debemos interpretarlas en el mundo real.

 Validación Del Modelo: La validación de un modelo requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema. Un método común para probar la validez del modelo, es someterlo a datos pasados disponibles del sistema actual y observar si reproduce las situaciones pasadas del sistema.  Implementación de resultados: Una vez que hayamos obtenido la solución o soluciones del modelo, el siguiente y ultimo paso del proceso es interpretar esos resultados y dar conclusiones y cursos de acción para la optimización del sistema.

MODELOS DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

La forma convencional en que la investigación de operaciones realiza esto es construyendo un modelo matemático que represente la esencia del problema. Un modelo siempre debe ser menos complejo que el problema real, es una aproximación abstracta de la realidad con consideraciones y implicaciones que hacen mas manejable el problema y permiten evaluar eficientemente las alternativas de solución.

La selección del método de solución depende de las características del modelo. Los procedimientos de solución pueden ser clasificados en 3 tipos:  Analíticos  Numéricos

 Simulación  Analíticos: Utilizan Procesos de deducción matemática.  Numéricos: Que son de carácter inductivo y funcionan en base a operaciones de prueba de error.  Simulación: Que utilizan metodos que imitan o, emulan al sistema real, en base a un modelo.

FORMULACIÓN MODELO INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES. La programación lineal utiliza un modelo matemático para descubrir el problema. El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. La palabra programación no se refiere a programación en computadoras; en esencia es un sinónimo de planeación, la programación lineal trata de planeación de las actividades para obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada.

MODELO MATEMÁTICO La función objetivo y las restricciones del modelo se pueden expresar en forma cuantitativa o matemática como funciones de las variables de decisión, a esto se dice que se trata de un modelo matemático. Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos, Estos son:

•

Variables y Parámetros De Decisión

•

Restricciones

•

Función Objetivo

La solución optima será aquella que produzca el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las restricciones.

PROGRAMACIÓN LINEAL

La programación lineal es un método determinista de análisis para elegir la mejor entre muchas alternativas y que no incluye probabilidades.

El adjetivo lineal significa que todas las funciones matemáticas del modelo deben ser funciones lineales. La programación lineal trata de planeación de las actividades para obtener un resultado optimo, esto es, el resultado que mejor alcance la meta especificada entre todas alternativas de solución.

ASPECTOS RELEVANTES DE LA TEORÍA DE PROGRAMACIÓN LINEAL:

I.

Programación lineal es una técnica cuantitativa ampliamente aplicada en sistemas que presenten relaciones lineales, para utilizar los recursos escasos de la mejor manera posible

II.

La mejor manera de usar los recursos escasos se logra utilizando un modelo del sistema llamado modelo de programación lineal.

III. El modelo de programación lineal es un modelo matemático con variables de decisión, coeficientes y/o parámetros, restricciones y una función objetivo IV. Es determinístico porque todos los datos relevantes utilizados, son conocidos. Es lineal porque las restricciones son funciones lineales.

V.

La formulación y construcción del modelo lineal implica:

1.- Definir claramente las variables de decisión y expresarlas simbólicamente o convencionalmente 2.-Definir claramente la función objetivo y las restricciones y expresarlas matemáticamente como funciones lineales. VI. Debe cuidarse que los elementos componentes del modelo sean expresados para el mismo periodo de tiempo. VII. Se debe estipular que las variables de decisión sean mayores o iguales a cero. Esto acerca el modelo a la realidad. VIII. La funcion Objetivo del modelo lineal es la formulación matematica de una meta establecida y por lo tanto su valor final mide la efectividad lograda. Es una función lineal a ser maximizada o minimizada y tiene la siguiente forma general: Optimizar C1X1+C2X2+C3X3+C4X4+……………….+CnXn

IX. Xj, Simboliza matemáticamente a las variables de decisión, son los valores numéricos que se determinan con la solución del modelo y representan o están relacionadas con una actividad o acción a tomar. X.

Cj, Matematicamente, simboliza el coeficiente de la variable j en la funcion objetivo.

XI. Las restricciones, desde el punto de vista matematico, son funciones lineales expresadas como igualdades o desigualdades que limitan el valor de las variables de decision a valores permisibles. XII. Aij, matematicamente simboliza el coeficiente, en la restriccion i, de las variables j. XIII. Bi, matematicamente constituye el lado derecho de la limitado i. XIV. Xj>=0 es una restriccion de no negatividad de las j variables, la cual se le considera siempre presente como una condicion natural en el modelo lineal general.

CONSTRUCCIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL.  FORMA ESTÁNDAR DEL MODELO. Ahora se puede formular al modelo matemático para este problema general de asignación de recursos a actividades.  En este caso debemos elegir valores de x1, x2, ..., xn para: Maximizar Z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn, (función objetivo) Sujeta a las restricciones:

a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn ≤ b1 (restricciones funcionales) a21x1 + a22x2 + ... + a2n xn ≤ b2 am1x1 + am2x2 + ...+ amnxn ≤ bm x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, ..., xn ≥ 0 (restricciones de no negatividad)

FORMAS ESTÁNDAR Y CANONICA La forma canónica de la programación lineal es:

 Max Z= c1x1+ c2x………..+ cnxn Sujeto a las restricciones:  a11x1+ a12x2 …….. + a1nxn ≤ b1  a21x1+ a22x2………..+ a2nxn ≤ b2

 am1x1+ am2x2………..+ amnxn ≤ bm  x1 ≥ 0, x≥ 0……….xn ≥ 0  Se puede observar que en la forma canónica:

1.

La función objetivo se maximiza.

2.

Las restricciones de los recursos son representados por desigualdades menor o igual a los recursos limitados (≤).

3.

Las variables todas deben ser mayores que cero.

PARA PODER RESOLVER DE FORMA ALGEBRAICA EL MODELO DE PROGRAMACIÓN LINEAL DEBE TENER LAS SIGUIENTES PROPIEDADES: a) Todas restricciones deben ser ecuaciones (igualdades) y el segundo miembro no debe de ser negativo. b) Todas las variables no deben ser negativas c) La función objetivo puede ser de maximización o de minimización.

a) Para que todas las restricciones se conviertan a ecuaciones (igualdades):  1) Las restricciones de tipo ≤ se le suma una variable de holgura al primer miembro de la ecuación. b) Todas las variables no deben ser negativas  En caso de existir una variable irrestricta (no restringida) xi puede expresarse en término de dos variables no negativas C) como sabemos el problema de PL puede ser maximización o minimización, pero algunas veces es conveniente convertir de una forma a otra:  La maximización de una función objetivo equivale a la minimización del negativo de la misma función y viceversa

FORMULACIÓN DE MODELOS DE PROGRAMACIÓN LINEAL  Problema de ejemplo:  Producción de juguetes

Una empresa fabrica dos tipos de juguetes de madera : soldados y trenes. Se vende un soldado a 27 dólares y se usan 10 dólares de materia prima. Cada soldado que se produce aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 14 dólares. Se vende un tren a 21 dólares y se usan 9 dólares de materia prima. Cada tren producido aumenta los costos variables de mano de obra y los costos generales en 10 dólares. La producción de soldados y trenes de madera necesita dos tipos de trabajo especializado : carpintería y acabado. Un soldado requiere 2 horas de acabado y 1 hora de carpintería. Un tren requiere 1 hora de acabado y 1 de carpintería. Cada semana, la empresa puede conseguir toda la materia prima que necesita, pero solamente dispone de 100 horas de acabado y 80 de carpintería. La demanda de los trenes no tiene límite, pero se venden a lo más 40 soldados semanalmente. Formule un modelo de programación lineal que maximice la ganancia semanal de la empresa.

Fabrica de Juguetes; Solución 

Fábrica de Juguetes

F.O. Maximizar Ganancias Variables: 

Número de soldados Æ S



Número de trenes Æ T

Restricciones:

Hrs. De Acaba do

Hrs. De Demanda Capinter ia



Número de horas de acabado <= 100



Número de horas de carpinteira <= 80

Soldados

2

1



Número de soldados <= 40

Trenes

1

1

Disponibilida d

100

80

F.O. Max [ (27-10-14)*S + (21-9-10)*T ] F.O. Max ( 3*S + 2*T ) Desigualdades:



2S + T <= 100



S + T <= 80



S <= 40

S, T >= 0

A lo mas 40/semana

MÉTODO GRAFICO DE INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES.  La solución en forma grafica se obtiene representando en un plano cartesiano las restricciones tecnológicas y la función objetivo. No es el método generalmente usado pero nos permite visualizar rápidamente la solución en problemas sencillos de dos y tres variables.  Si el problema tiene dos variables obtiene una grafica en el plano de dos dimensiones y si se trata de un problema de 3 variables se dibuja entonces una superficie en el espacio. Asociando los ejes coordenados a las variables de decisión o actividades del problema.

 EL MÉTODO GRÁFICO EN ACTIVIDADES  Esta forma de obtener una solución gráfica nos permite deducir uno de los teoremas fundamentales de la P.L., llamado teorema del punto extremo – solución óptima. Igualmente descubriremos la esencia del método simplex, que es el algoritmo mas utilizado para obtener la solución analítica de los problemas de P.L.

 El algoritmo del método gráfico en actividades es el siguiente: 1.

Dibujar un plano coordenado y asociar un eje a cada variable del modelo.

2.

Representar en el plano las restricciones tecnológicas.

3.

Identificar la región de soluciones factibles (región de factibilidad).

4.

Representar en el plano la función objetivo.

5.

Identificar gráficamente la solución óptima.

Pasos necesarios para realizar el método grafico son:  1. graficar las soluciones factibles, o el espacio de soluciones (factible), que satisfagan todas las restricciones en forma simultánea.  2. Las restricciones de no negatividad Xi>= 0 confían todos los valores posibles.

 3. El espacio encerrado por las restricciones restantes se determinan sustituyendo en primer término <= por (=) para cada restricción, con lo cual se produce la ecuación de una línea recta.  4. trazar cada línea recta en el plano y la región en cual se encuentra cada restricción cuando se considera la desigualdad lo indica la dirección de la flecha situada sobre la línea recta asociada.  5. Cada punto contenido o situado en la frontera del espacio de soluciones satisfacen todas las restricciones y por consiguiente, representa un punto factible.  6. Aunque hay un número infinito de puntos factibles en el espacio de soluciones, la solución óptima puede determinarse al observar la dirección en la cual aumenta la función objetivo.

 7. Las líneas paralelas que representan la función objetivo se trazan mediante la asignación de valores arbitrarios a fin de determinar la pendiente y la dirección en la cual crece o decrece el valor de la función objetivo.

EL TEOREMA DEL PUNTO EXTREMOSOLUCIÓN ÓPTIMA  La región de soluciones posibles de un modelo con dos variables es un polígono. Puede demostrarse, que lo anterior es una característica general para los problemas de P.L. En efecto, la región de factibilidad de todo problema de P.L., en más de dos dimensiones, es un poliedro convexo. Algunos problemas presentan regiones de factibilidad no acotadas en algún sentido y otros tienen conjunto vacío de soluciones posibles.  Cada vértice del polígono (o poliedro) de factibilidad se llama punto extremo y los puntos que pertenecen a las líneas que forman los lados se conocen como puntos frontera. Dos puntos extremo son adyacentes si la recta que los une es una frontera o lado del espacio de soluciones.

 Teorema: Si un problema de P.L. tiene solución óptima, esta se encuentra en uno de los puntos extremo o en una de las líneas que una dos puntos extremo adyacentes de la región de factibilidad. AL RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL SE PUEDE TENER UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS Caso 1.- El PL tiene una solución única. Caso 2.- El PL tiene una soluciones optimas múltiples. Caso 3.- El PL no es factible.

Caso 4.- El PL no es acotado. Región factible de un PL.- es un conjunto de todos los puntos que satisfagan las limitaciones y restricciones de signo de la PL. Solución optima para un problema de maximización .- Es un punto con el valor de función objetivo mas grande de la región factible. Solución optima para un problema de minimización .- Es un punto con el valor de función objetivo mas pequeño de la región factible.

TIPOS DE SOLUCIÓN AL RESOLVER PROBLEMAS DE P.L. La región factible es la reunión de todas las soluciones factibles Solución no factible o no acotada: ocurre cuando:  Es una solución para la que al menos una restricción se viola.

 No existen soluciones factibles. Solución Optima: es una solución factible para la que todas las restricciones se satisfacen y que a demás proporciona el valor mas favorable de la función objetivo.

Soluciones Múltiples: Es aquella en la que pueden existir varias áreas factibles en las que hay al menos un punto optimo en cada una de ellas. Solución infinita: Es aquella en la que los valores de una variable pueden aumentar de modo indefinido en la región factible sin llegar aun valor máximo de Z. Solución Degenerada: Es una solución básica factible que tienen menos de dos variables estrictamente positivas.

SOLUCIÓN OPTIMA  Una solución es óptima única, cuando tanto las variables como la función del objetivo toman valores finitos, existiendo una sola combinación de valores de las variables que optimiza el valor de la función objetivo.  El siguiente modelo tiene solución óptima única:

SOLUCIÓN LIMITADA  Surge esta solución ilimitada, cuando una o más variables y la función objetivo toman un valor ilimitado, cumpliendo con las restricciones estructurales. Cuando se obtiene solución ilimitada, es debido a una de las siguientes causas:  Omisión de una o más restricciones.  Fallas en la formulación.  Errores en el valor de los parámetros.

De manera que ningún problema real de programación lineal tiene este tipo de solución y cuando se presenta es porque se ha cometido alguno de los errores descritos.

SOLUCIÓN NO FACTIBLE  Se dice que un problema de programación lineal tiene solución infectable, cuando no pueden encontrarse soluciones que además de cumplir con las restricciones estructurales, cumplan con la condición de no negatividad de las variables. Geométricamente, esto implica que la región de los puntos que cumplen todas las restricciones se halla fuera del primer cuadrante.

Su aparición se debe a errores tales como: 1.

Hay restricciones en conflicto, ó sea que ellas no pueden satisfacerse simultáneamente.

2.

Fallas en la modelación.

3.

Errores en los datos de entrada al método de solución.

SOLUCIÓN INEXISTENTE  La última situación que puede presentarse, durante la solución de un problema, es que este no tenga ninguna solución. Se presenta el caso cuando no pueden hallarse puntos que cumplan las restricciones tecnológicas. Cuando se tiene esta solución, puede ser debido a alguna de las siguientes causas: 1.

Fallas en la modelación y formulación.

2.

Errores en los datos de entrada al método de solución.

SOLUCIONES MÚLTIPLES  La solución óptima múltiple no es tan frecuente en la práctica como la solución optima única. Si realmente encontramos este tipo de solución, tendríamos una gran flexibilidad para tomar la decisión, puesto que con diferentes valores de las variables, podemos obtener el mismo valor de la función objetivo, pudiendo de esta manera “escoger la solución” que más nos convenga en un momento determinado, en consideración a otros factores no cualitativos del problema.