Istemas De Ontrole Ealimentado

UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA – UFU FACULDADE DE ENGENHARIA ELÉTRICA - FEELT ENGENHARIA DE CONTROLE E AUTOMAÇÃO

SISTEMAS DE CONTROLE REALIMENTADO

Prof. Aniel Morais Agosto de 2017 Revisão 2

“Quem estuda e não pratica o que aprendeu, é como o homem que lavra e não semeia” Provérbio Árabe

“Espere o melhor, prepare-se para o pior e receba o que vier.” Provérbio Chinês

i

SUMÁRIO CAPÍTULO 1 – RESPOSTA NO TEMPO................................................................................................................1 1.1 INTRODUÇÃO.......................................................................................................................................1 1.2 RESPOSTA DO SISTEMA.......................................................................................................................2 1.3 MEDIDAS DE DESEMPENHO PARA SISTEMAS DE 2ª ORDEM COM ENTRADA DO TIPO DEGRAU........11 1.4 ANÁLISE DO TEMPO DE ACOMODAÇÃO EM SISTEMAS DE 2ª ORDEM EM FUNÇÃO DE  ..................12 1.5 EXERCÍCIOS.......................................................................................................................................15 CAPÍTULO 2 – POLOS, ZEROS E ESTABILIDADE.............................................................................................17 2.1 RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE E ERRO PARA SISTEMA EM MALHA FECHADA......................17 2.2 TEOREMAS DE VALOR INICIAL E DE VALOR FINAL..........................................................................17 2.3 POLOS, ZEROS E ESTABILIDADE........................................................................................................18 2.4 DIAGRAMAS DE POLOS E ZEROS E REGIÃO DE ESTABILIDADE PARA ENTRADA DO TIPO DEGRAU....19 2.5 ANÁLISE PELO LUGAR DAS RAÍZES (LGR) ......................................................................................21 2.6 EXERCÍCIOS.......................................................................................................................................31 CAPÍTULO 3 – RESPOSTA EM FREQUÊNCIA E DIAGRAMA DE BODE...............................................................32 3.1 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA..............................................................................................................32 3.2 DIAGRAMA DE BODE..........................................................................................................................32 3.3 LARGURA DE BANDA E TEMPO DE SUBIDA........................................................................................43 3.4 MARGENS DE GANHO E DE FASE NO DIAGRAMA DE BODE...............................................................44 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: CAPÍTULOS 1 A 3...................................................................................46 CAPÍTULO 4 – INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE DE TEMPO DISCRETO.......................................47 4.1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................47 4.2 TIPOS DE SINAIS................................................................................................................................47 4.3 SISTEMAS DE CONTROLE DIGITAL.....................................................................................................48 4.4 SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO OU DE DADOS AMOSTRADOS...........................................................49 4.5 EXERCÍCIOS.......................................................................................................................................58 CAPÍTULO 5 – A TRANSFORMADA Z..............................................................................................................60 5.1 A TRANSFORMADA Z.........................................................................................................................60 5.2 A TRANSFORMADA Z INVERSA..........................................................................................................63 5.3 EXERCÍCIOS.......................................................................................................................................70 CAPÍTULO 6 – MAPEAMENTO ENTRE O PLANO S E O PLANO Z & ESTABILIDADE EM SIST. DISCRETOS.......72 6.1 MAPEAMENTO ENTRE O PLANO S E O PLANO Z..................................................................................72 6.2 ESTABILIDADE EM SISTEMAS DISCRETOS.........................................................................................76 6.3 EXERCÍCIOS................................................................................................................................. .....81 CAPÍTULO 7 – PROJETOS DE CONTROLADORES DISCRETOS..........................................................................84 7.1 INTRODUÇÃO.....................................................................................................................................84 7.2 ESTRUTURAS DE CONTROLADORES..................................................................................................84 7.3 CONTROLE DIGITAL POR EMULAÇÃO...............................................................................................86 7.4 CONTROLE DIGITAL PELO MÉTODO DIRETO....................................................................................93 7.5 EXERCÍCIOS.....................................................................................................................................104 CAPÍTULO 8 – PROJETOS DE CONTROLADORES PID DISCRETOS.................................................................105 8.1 INTRODUÇÃO AO CONTROLE PID DIGITAL.....................................................................................105 8.2 CONTROLE PROPORCIONAL (P) ......................................................................................................105 8.3 CONTROLE INTEGRAL (I) E PROPORCIONAL INTEGRAL (PI)...........................................................107 8.4 CONTROLE DERIVATIVO (D) E PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD)................................................109 8.5 CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (PID)............................................................110 8.6 CARACTERÍSTICAS DOS CONTROLADORES PID COM PONDERAÇÕES (PI+D) E (I+PD)..................112 8.7 RESPOSTAS TÍPICAS DE SISTEMAS DE CONTROLE REALIMENTADOS.............................................113 8.8 VERSÕES DIGITAIS PARA CONTROLADORES PID...........................................................................115 8.9 EXERCÍCIOS.....................................................................................................................................121 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: CAPÍTULOS 4 A 8.................................................................................126

Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Engenharia Elétrica Engenharia de Controle e Automação Tabela de Transformadas S e Z 1

f t 

F s

F z

2

Impulso unitário   t 

1

1

3

Impulso unitário atrasado de kT    k  1 T 

e kTs

z k

Degrau unitário 1 t  ou u  t 

1 s

Degrau unitário atrasado de kT

z z 1 z  z k z 1

4 5

u   k  1 T 

e  kTs s

6

rampa unitária: t

1 s2

parábola unitária:

1 s3

7

t2 e  at

8

at  1  e at

10

z z  e  aT z 1  e aT 

 z  1  z  e aT 

a2 s s  a

 aT  1  e  z  1  e  aTe  z  z  e   z  1

1

Te aT z

 aT

2

te  at

11

s  a e  at  e bt

12

s e n  t 

14

e

16

 at

 s  a e at cos  t 

17

19

2

 aT

z  s e n  T  z  2z  cos  T   1 z   z  cos  T   2

z  2z  cos  T   1

z  e  aT s e n  T  

2

z   z  e  aT cos  T  



1

 s  a  s  b 

z 2  2ze aT cos  T   e 2aT

2

k  ak 1  e sT s

2

2

1 s   ln a T 

e B0  s  

 bT

z e 

ak

k

 bT

z  z  e  aT 1  aT  

2

z 2  2ze aT cos  T   e 2aT

z za a z

 s   ln a T   Para: G  s  

2

 aT

sa

 s  a

18

 aT

 2

2

 aT

s s 2  2

s e n  t 

 aT

z e  z e  e   z  e  z  e 

 s 2  2

cos  t 

15

2

s

s  a

 aT

2

 aT

ba s   a  s  b 

1  at  e at

13

20

2

 z  1 2 T z  z  1  2  z  13

1 sa a s  s  a

1  e  at

9

Tz

2

 z  a

2

 ab   T

 aT  bT ze  3  k 1  e 1  e  ' , onde k   B0G  z   k  a  b    ab T  z  e aT  z  ebT   3 

'

1 e

21

1  e sT k Para: G  s   e B0  s   s  s  c s

22

Sinal amostrado: x*  t    x  kT     t  kT 

B0G  z   k ' 

 k 0

 cT 3

ze , z   1  z  e cT 

k  T 1  e    cT c 1 e 3  cT

onde

k'  

A transformada Z: X  z    x  kT   z  k k 0

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26

  n

d  n  1  

sT Mapeamento S-Z: z  e  e

Lugar das Raízes s1,2    j  d

2

  jd T

Tustin (Bilinear):

Euler:

2 z 1 s  T z 1

z 1 s T

z  eT  cos  d T   j  s i n  d T  



1 2

Sobre-passo: S P  exp 



s1,2  n  j  n  1   2

  cos  e tan   d 

Backward: s

t5%  3  3



z 1 zT

t2%  4  4



Projeto de controladores por imposição de Polos (Pole-Placement) Controlador discreto  T  z 1 C  z   * T  z  é a função de transferência de malha fechada B0G  z  1  T  z 

27

Controlador Dead-Beat 

T  z   Z k

28

Controlador Dahlin 

 1  eT MF  T  z   z k   T  MF   ze 

Processos Industriais Atraso de transporte ou tempo morto 29 30

Padé de 1ª Ordem 

e s Teste em MA (malha aberta)

G s 

k  e  s s  1

  e  s  (1  s ) (1  s ) 2 2

k

y u

Controladores PID  s d  1   PIDSer  s   k p   1      1   s i   s  f  1  s d 1 PIDPar  s   k p   s i s  f  1

31

Série (interativo)

32

Paralelo

33

Acadêmico (ISA) 

34

Filtro da ação derivativa  f    d , onde,

 s d  1 PIDISA  s   k p   1    s s  1  i f  

1 1  20 3

 Fator de Incontrolabilidade I  

Método Heurístico de Chien, Hrones e Reswick (CHR) para reposta mais rápida sem sobrepasso. 35 36

P

37

PI

38

PID

kP

i

d

0,3   k  

-

-

 k   0, 6   k   

1,16 

-



0, 5 

0,35 

Método Heurístico de Ziegler e Nichols (Z&N) 39

kP

i

d

40

P

  k  

-

-

41

PI

3,33 

-

42

PID

 k   1, 2   k   

2 

0, 5 

0,9 

Aproximação de sistema de ordem superior pela “regra da metade” de Skogestad  Numeradores negativos j  T j 0 s  1   s  Atrasos ordenados de acordo   Go  s   k0  e    10  20    0  20   i 0   T j 0 com a magnitude. i  i 0 s  1 2 2 i3 j 0  k=k  valor final Deseja-se eq. da Linha 30 o

43

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1

Capítulo 1 – Resposta no Tempo

CAPÍTULO 1 RESPOSTA NO TEMPO 1.1 INTRODUÇÃO O controle realimentado de sistemas dinâmicos é uma prática muito antiga, vem sendo utilizado desde a antiguidade para, por exemplo, o controle de níveis de reservatórios d’água e velocidade de moinhos de trigo. Mas passou a ser conhecido e estudado a partir da revolução industrial com a invenção do flyball governor. Este dispositivo mecânico era utilizado para o controle de velocidade dos primeiros motores a vapor. Observe a Figura 1, quanto maior a velocidade do motor, mais fechada ficará a válvula.

Figura 1 – Flyball Governor.

Imagine que você está dirigindo o seu carro em uma rodovia retilínea e quer controlar a velocidade do veículo. Seu “cérebro” é o controlador do sistema, seus “olhos” são os sensores que o permitem observar a velocidade do veículo no velocímetro, seus “pés” são os atuadores que o permitem pressionar o acelerador e o freio, enquanto o “carro” é o processo a ser controlado. Por exemplo, pretende-se atingir a velocidade de 100km/h, seus olhos observam que o carro está atualmente a 50km/h, envia esta informação ao cérebro, este compreende que há uma diferença entre a velocidade desejada (referência ou set-point) com a velocidade atual (saída) e calcula um erro de 50km/h. Como o erro é positivo (erro=referência - saída) a saída do controlador será positiva, ou seja, seu pé irá pressionar o acelerador enviando mais energia ao carro para que o mesmo ande mais rápido. A expressão realimentação provém da palavra inglesa feedback. Sistemas realimentados se caracterizam pela medição constante da variável que se quer controlar, este artifício permite correções dinâmicas (imediatas) de erros que possam surgir na variável controlada. A idéia é que o controlador busque atingir um erro zero, ou seja, o valor da saída seja igual ao valor desejado. O sinal de realimentação pode ser utilizado para uma vasta gama de sistemas, entretanto, para se obter um bom controle existem quatro requisitos básicos: 1. O sistema deve ser sempre estável (Estabilidade); _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 1 – Resposta no Tempo

2. A saída do sistema deve seguir o sinal de referência (Tracking ou SR); 3. A saída do sistema deve rejeitar sinais de perturbação (RP); 4. Os objetivos de controle devem ser alcançados mesmo se o modelo utilizado no projeto não seja muito preciso ou se a dinâmica do sistema físico mudar com o tempo ou com mudanças do ambiente (Robustez). Sistemas de controle é uma ciência que procura atuar em sistemas físicos (não somente), porém, que tem como base fundamental a matemática. A modelagem em sistemas de controle é fundamental para se poder analisar matematicamente o comportamento de um sistema físico, e conseguintemente, se consiga projetar um controlador adequado às especificações. Os controladores contínuos lineares são na verdade simples filtros. Um bom entendimento de sistemas de controle necessita uma boa compreensão da relação entre matemática e física. 1.2 RESPOSTA DO SISTEMA Através do uso de equações diferenciais podemos modelar (representar matematicamente) o comportamento de um determinado sinal ou de um determinado sistema. A resposta do sistema nos diz como este responde a uma determinada excitação de entrada, por exemplo, como a temperatura de uma caldeira varia se diminuirmos a vazão de gás que alimenta o queimador. Para sistemas lineares contínuos no tempo utiliza-se a transformada de Laplace (plano S) para facilitar o equacionamento e a manipulação matemática do sistema. No decorrer deste curso abordaremos as Aplicações e interpretações que esta transformada nos permite. 1.2.1 Equações diferenciais ordinárias (EDO) e transformada de Laplace Sistemas físicos respondem naturalmente de forma exponencial a estímulos bruscos denominados de degraus. Equações diferenciais são equações que envolvem derivadas e representam matematicamente o comportamento dos sistemas físicos no domínio do tempo, elas podem ser classificadas de acordo com a derivada de mais alta ordem. Exemplos: 

1ª ordem : y  t   y  t   u  t  



2ª ordem : y  t   2 y  t   7 y  t   4u  t  

3ª ordem : y  t   y  t   3u  t  



Onde y  t  é a derivada primeira de y  t  , ou seja, y  t  

dy  t   d 2 y t  , y t   e assim dt 2 dt

sucessivamente. As EDO’s são funções no tempo cujas operações matemáticas envolvem exponenciais, enquanto a transformada de Laplace muda a base para o plano S, nesta nova base as exponenciais desaparecem. Aplicando a transformada de Laplace às três equações anteriores obtêm-se: 1ª ordem : sy  s   y  s   u  s  2ª ordem : s 2 y  s   2sy  s   7 y  s   4u  s  3ª ordem : s 3 y  s   y  s   3u  s 

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Capítulo 1 – Resposta no Tempo

Nas equações anteriores a variável y  s  é a saída do sistema enquanto u  s  é a entrada do mesmo. Vamos denominar a equação que representa a relação entre a entrada e a saída do sistema y s como função de transferência G  s   . Observe que a função de transferência neste caso foi u s definida na base S (Transformada de Laplace).

Figura 2 – Função de transferência do sistema, relação entre entrada e saída.

Conhecendo a função de transferência de um sistema, pode-se prever o comportamento deste sistema quando submetido a algum estimulo. Apesar da função de transferência estar no plano S objetivamos conhecer sua resposta no tempo, o que veremos melhor a seguir. 1.2.2 Sistemas de primeira ordem Como visto acima os sistemas lineares são classificados pela sua ordem, quanto maior a ordem, mais complexo é o sistema. Veremos que em função desta ordem podemos saber como será a resposta no tempo do sistema. Exemplo 1.1 

y t    y t   u t  Aplicando a transformada de Laplace e desenvolvendo:

sy  s    y  s   u  s  y  s  s     u  s  Obtém-se a função de transferência do sistema de primeira ordem, este sistema possui um polinômio no denominador cuja raiz é s   . Essa raiz é conhecida como polo do sistema, o polo é a singularidade da função, é o valor no qual a função tende ao infinito. y s 1 G s   u s  s    Aplicando-se a transformada inversa de Laplace chega-se à resposta no tempo, ou seja, em função de exponenciais. G  t  é conhecida como resposta no tempo do sistema devido a um impulso. Observemos que a resposta é influenciada pela raiz s   .

g  t   e  t * Impulso contínuo   t  , por definição é um sinal com amplitude infinita e duração t  0 . A transformada de Laplace de um impulso é simplesmente   s   1 .

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Capítulo 1 – Resposta no Tempo

* Degrau contínuo u  t  ou 1 t  , é um sinal com amplitude zero para t  0 e unitária para 1 . s Ao se aplicar uma entrada do tipo degrau unitário ao sistema g(t), tem-se: y t   u  s   g t 

t  0 e sua transformada de Laplace é u  s  

y  s  u s 

1 s  

1 1 y s   s s   y  t   1  e  t Por definição a constante de tempo  é o valor de tempo que torna  t  1 , onde e  0,3678 . Tem-se que para t     t    1 , portanto,   1 . 1



Na Figura 3 analisa-se a resposta no tempo ao degrau de um sistema de primeira ordem y  t   1  e  t . Para este sistema a constante de tempo será o tempo gasto para que o sistema atinja 63,2% do valor final,

y    1  e   , ou seja,

y 1    1  e   1  e

  

 1  e 1 assim

y    0, 632 (para um degrau unitário).

y  s 

1 1  s s   s s  1







Exemplo 1.2:   5seg 0, 2 y  s  s  s  0, 2 

y  t   1  e0,2t Tabela 1 t

e0,2t

y t 

 5

0,3678 0,1353 0,0498 0,0183 6,73e-3

0,632 0,864 0,950 0,981 0,993

2 3 4 5

 10  15  20  25

Figura 3 – Resposta ao degrau de uma função de transferência de 1 polo.

Na Figura 3 pode-se observar que o valor final é 1, este é o valor para o qual a saída “tende” e somente será alcançado para um tempo infinito. A resposta se tornará cada vez mais próxima de 1, mas nunca atingirá o valor final, portanto, adota-se o tempo de acomodação como sendo o tempo necessário para que a saída esteja satisfatoriamente próxima do valor final. É justamente agora que a definição de constante de tempo passa a ter utilidade podemos notar que após três constantes de _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 1 – Resposta no Tempo

tempo ( 3 ) o erro é igual a 5% e temos o tempo de acomodação de 5% ou t5% , para quatro constantes de tempo ( 4 ) o erro é menor do que 2%, este é o tempo de acomodação de 2% ou t2% e assim por diante. Como sabemos, a posição de um polo de 1ª ordem é s   , onde   1  , conseguintemente, a constante de tempo do sistema e a posição do polo são inversamente proporcionais. Quanto menor a constante de tempo (sistema mais rápido) maior será o módulo do polo (quanto menor o  maior o  ). *Quanto mais o longe o polo se encontra com relação à origem do plano S, mais rápido se torna o sistema. Veremos melhor este assunto na análise do lugar das raízes. A Figura 4 apresenta a resposta no tempo de três sistemas de primeira ordem cujos polos são distintos. Exercício: Identifique na Figura 4 qual o valor de cada um dos polos e suas respectivas constantes de tempo.

Figura 4 – Resposta ao degrau para três sistemas de 1ª ordem com polos distintos.

1.2.3 Sistemas de segunda ordem Sistemas de 2ª ordem são aqueles que possuem dois polos. Caso um sistema possua um “polo dominante”, ou seja, sua influência seja muito maior que a dos demais, o sistema pode ser simplificado, pois sua resposta no tempo será equivalente ao de um sistema de menor ordem. Normalmente os sistemas estudados são de 1ª ou de 2ª ordem, não porque realmente sejam assim, mas porque na prática podemos simplificar a maioria dos sistemas de ordem maior. Por exemplo, um sistema considerado de 1ª ordem pode na verdade ser de 10ª ordem, mas os nove polos que foram desprezados afetam tão pouco a resposta que o erro é aceitável. Características importantes de um sistema de 2ª ordem:

 “Sigma”  Amortecimento, parte real dos polos do sistema, responsável pela dissipação da energia. Exemplo: atrito, resistores, amortecedores de um carro, etc. _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 1 – Resposta no Tempo

n  Frequência natural, é a frequência de oscilação do sistema na ausência de amortecimento.  “Zeta”  Coeficiente de amortecimento. d  Frequência natural amortecida, é a frequência em que o sistema realmente oscilará, depende de n e  . * Não confundir o coeficiente de amortecimento  com amortecimento  do sistema, ele relaciona o amortecimento  (que é a parte real dos polos), com a frequência natural n . Exemplo de sistema de 2ª ordem com polos reais: Polo 1 = 1 e Polo 2 = 4 .

G ( s) 

1 1  s  5s  4  s  1 s  4  2

Exemplo de sistema de 2ª ordem com polos complexos conjugados: Polo 1 = 2  j 2,83 e Polo 2 = 2  j 2,83 . 1 1 G(s)  2  s  4s  12  s  2  j 2,83 s  2  j 2,83 Na Figura 5 vemos o plano complexo S, nele são esboçados os polos do sistema. Quando se trata de um sistema de 1ª ordem o polo está sempre sobre o eixo real, já para sistemas de 2ª ordem, podem aparecer os polos complexos conjugados. Polos complexos conjugados são binários simétricos com relação ao eixo real, possuem duas parcelas, uma real e outra imaginária. A parte real é a mesma para os dois polos, entretanto a parte imaginária é espelhada, igual em módulo, mas de sinais opostos.

 s1    jd   s2    jd ou  s    j 1   2 1 n n   s2  n  jn 1   2

_________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 1 – Resposta no Tempo

 

 n

  cos 

d  n 1   2 Figura 5 – Plano complexo S.

Vamos aprofundar um pouco mais as analises do sistema de 2ª ordem a partir das definições e equações apresentadas. Considerando uma função de transferência de 2ª ordem sem zeros:

s1,2    jn 1   2 ou s1,2    n  2  1 G ( s) 

G ( s) 

a 2

( s    jn 1   )( s    jn 1   2 ) a

2

2

s  s (  jn 1      jn 1   2 )  (  jn 1   2 )(  jn 1   2 )

G( s) 

G ( s) 

a s  2 s  (  1  n 2  (1   2 )) 2

2

2

2

a s  2 s  ( n 2  n 2   2n 2 )

Simplificando chegamos a: G ( s) 

a s  2 s  n 2 2

a é escolhido para que G ( s ) tenha ganho unitário, assim: a   n 2 Portanto:

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8

Capítulo 1 – Resposta no Tempo

G(s) 

n 2 s 2  2n s  n 2

A equação anterior é clássica e nos permite analisar o comportamento da função de transferência em função do coeficiente de amortecimento  e da frequência angular natural. Analisando a equação s1,2  n  jn 1   2 , pode-se notar que se   1 os polos possuirão apenas partes reais e serão distintos. Se   1 os polos possuirão partes imaginárias e serão complexos conjugados. Se   1 os dois polos serão iguais e reais. Em função do coeficiente de amortecimento  observamos três possíveis respostas no tempo. I. Quando   1 , existem duas raízes reais e diferentes (sistema superamortecido)

s1  n  n  2  1 s2  n  n  2  1

1 apresenta ( s  1)( s  3) dois polos reais sobre o eixo real negativo. O ponto de cruzamento na figura é definido por n e é igual a 2 . Na Figura 6 pode-se observar que a função de transferência G ( s) 

s1  n  n  2  1

s1  2  1  1 s2  n  n  2  1

s2  2  1  3 Na Figura 7 é esboçada a resposta no tempo para um sistema de 2ª ordem com polos reais, note que a reposta é parecida com a de um sistema de 1ª ordem, porém, existe uma pequena diferença de inclinação inicial. A resposta é denominada de superamortecida, pois não existem oscilações. Sendo um  (azul) o polo em malha aberta do sistema.

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9

Capítulo 1 – Resposta no Tempo

Figura 6 - Lugar das raízes do sistema superamortecido.

Figura 7 - Resposta no tempo de um sistema superamortecido

II. Quando   1 , existem duas raízes reais e iguais com s1  s2  n (Sistema criticamente amortecido)

1 apresenta dois ( s  3)2 polos reais iguais (polos duplos) sobre o eixo real negativo. Neste caso fica fácil deduzir que n  3 . Na Figura 9 tem-se a resposta no tempo do sistema criticamente amortecido, não existem oscilações, entretanto este sistema se encontra exatamente no limiar. Na Figura 8 pode-se observar que a função de transferência G( s) 

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Capítulo 1 – Resposta no Tempo

Figura 8 – Lugar das raízes do sistema criticamente amortecido (polos duplos).

Figura 9 – Resposta no tempo de um sistema criticamente amortecido.

III. Quando   1 , existem duas raízes complexas conjugadas (Sistema Subamortecido) Na Figura 10 pode-se observar que a função de transferência G ( s ) 

10 apresenta s  2 s  10 2

dois polos complexos conjugados.  s    j 1   2 1 n n   s2  n  jn 1   2

Figura 10 – Lugar das raízes do sistema subamortecido.

A Figura 11 apresenta a resposta no tempo de um sistema de 2ª ordem com polos complexos conjugados, este sistema tem como característica uma resposta oscilatória. A parte real responsável pelo amortecimento (dissipação das energias) não consegue “amortecer” totalmente o sistema, ou seja, dissipar toda a energia de uma vez, o sistema oscila e vai dissipando a energia gradativamente. Se o sistema não possuir amortecimento a oscilação continuará perpetuamente com amplitude constante, a energia circulará indefinidamente sem ser “utilizada” ou “liberada”. _________________________________________________________________________________________________________________________

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11

Capítulo 1 – Resposta no Tempo

1.3 MEDIDAS DE DESEMPENHO PARA SISTEMAS DE 2ª ORDEM COM ENTRADA DO TIPO DEGRAU Critérios de desempenho são definidos para que a resposta no tempo esteja de acordo com determinadas especificações. Para sistemas de 1ª ordem o único critério existente é o tempo de acomodação, já para sistemas de 2ª ordem surgem outros quatro fatores. Na Figura 11 pode-se observar a resposta de um sistema subamortecido a uma entrada degrau, a resposta no tempo será oscilatória e apresentará sobrepasso (overshoot).

Figura 11 - Características de um sistema subamortecido.

Tempo de subida ( tr ): É o tempo gasto para que a resposta vá de 0 até o valor final. É o tempo para a resposta oscilatório completar ¼ de ciclo, isto é, tr  0100%  

 2

.

 2d

Existem também tempos de subida definidos de 0 a 90% ( tr  090%  ) e de 10 a 90% ( tr 1090%  ) este último é o mais comum e é apresentado na Figura 11. Tempo de pico ( t p ): É o tempo gasto para a resposta ir de 0 até o valor de pico. É o tempo para a resposta oscilatório completar meio ciclo, isto é,  . tp 

  2tr  0100%  d

Período ( T ): O período é o tempo necessário para que aconteça uma oscilação completa:

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12

Capítulo 1 – Resposta no Tempo

T

2

 2t p

d

Sobre sinal ou Sobre passo ( S P ): É a quantidade máxima na qual a resposta ultrapassa o valor em regime permanente (valor final). É a amplitude do primeiro pico menos o valor em regime permanente. Pode ser apresentado como porcentagem do valor em regime permanente. (

S p  y  e (

S p  y  e

  ) d

n ) d

 d  n 1   2 Lembrando que: (

S p  y  e

n n 1 2



(

1 2

S p  y  e

)

)

Em percentual (%): Sp % 

(

Sp %  e

 Sp %

Sp y

100%

 1 2

)

100%

Tabela 2 – Sobre passo em função de  . 0,2 0,4 0,5 52,7 24,4 16,3%

0,6 9,5

0,8 1,5

Observação: O segundo sobre sinal é dado por: (

Sp %  e

2 1 2

)

100%

Settling Time, Tempo de acomodação ( t2% ou t5% ): É utilizado como uma medida de tempo necessário para que as oscilações “desapareçam”. É o tempo necessário para a resposta no tempo permaneça dentro de algum percentual especificado, por exemplo, 1%, 2% ou 5% do valor final. 1.4 ANÁLISE DO TEMPO DE ACOMODAÇÃO EM SISTEMAS DE 2ª ORDEM EM FUNÇÃO DE  1.4.1 Segunda ordem com   1 (superamortecido) _________________________________________________________________________________________________________________________

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13

Capítulo 1 – Resposta no Tempo

Polos reais e distintos, sendo  1  5   2 , ou seja, um polo é pelo menos 5 (cinco) vezes mais rápido do que o outro. Neste caso podemos considerar apenas a dinâmica do polo dominante, o mais lento. O sistema é analisado como se fosse de primeira ordem, é uma aproximação. 5 1 Exemplo 1.3: G( s)  é equivalente a . ( s  1)( s  5) ( s  1) Portanto: 1    1seg



t5%  3 

t2%  4 

3

 4



 3seg

 4 seg

1.4.2 Segunda ordem com   1 (criticamente amortecido) Dois polos reais e iguais (polos duplos), s1  s2  n   , neste caso o efeito do atraso gerado pelos dois polos será: 16 Por exemplo: G( s)  ( s  4) 2  3  t5%  3    2  2 t2%  4 

 2



4    2

O termo 

é devido ao atraso que o segundo polo provoca na resposta do sistema com 2 relação às equações para um sistema com polos simples. Note que polos duplos não deixam o sistema duas vezes mais lento e sim 

2

ou 1,57 vezes. Este valor é exato.

Figura 12 – Lugar das raízes de um sistema de segunda ordem com   1 .

Figura 13 – Lugar das raízes de um sistema de segunda ordem com   1 .

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14

Capítulo 1 – Resposta no Tempo

1.4.3 Segunda ordem com   1 (subamortecido) Dois polos complexos conjugados, quanto menor  , mais correta se torna a aproximação a seguir: Por exemplo: G ( s) 

1 s  4s  12 2

t5%  3 

t2%  4 

3

 4



1.4.4 Segunda ordem com   1 e um zero à frente destes polos Por exemplo: G( s)  Sendo  o zero e

s  10 ( s  2)( s  4)

 o polo de malha aberta.

Figura 14 – Lugar das raízes de um sistema de segunda ordem com   1 .

Figura 15 – Lugar das raízes de um sistema de segunda ordem com   1 e um zero.

O efeito do zero é de acelerar a resposta, (obs: 1 zero na frente dos polos de malha fechada gera pico na resposta). Entenda a expressão “na frente” como mais à direita, quanto mais à direita, mais na frente está um polo ou zero. Quando um zero está localizado sobre um polo, o efeito de ambos é anulado. No presente caso, pode-se aproximar a resposta do sistema para o de 1ª ordem, pois considera-se que o zero anula o efeito de um dos dois polos de malha fechada. t5%  3 

3



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15

Capítulo 1 – Resposta no Tempo

t2%  4 

4



1.5 EXERCÍCIOS: 1. Esboce a posição dos polos e zeros no plano complexo e a resposta no tempo para os casos abaixo (Utilize o programa de simulação Matlab® se necessário): (a) G  s  

Ts  1 , para as variações de T ;  5s  1   2s  1

(b) G  s  

Ts  1 , para as variações de T ; s 1

(c) G  s  

 2s  1  Ts  1 , T  s  1   5s  1   3s  1

(d) G  s  

Ts  1

s

2

 4s  16 

variável.

, T variável.

________________________________________________________________________________ % Alguns comandos úteis do Matlab clc clear s=tf('s');

% Define a variável complexa s no Matlab.

G=1/(s+1);

% Função de transferência.

G=tf(1,[1 1]);% Outra forma de obter a Função de transferência. rlocus(G);

% Esboça o root locus (lugar das raízes).

step(G);

% Esboça a resposta no tempo para uma entrada do tipo degrau (step)

rltool(G);

% Abre as ferramentas que permitem manipular o lugar das raízes.

sisotool(G); % Abre as ferramentas que permitem manipular o lugar das % raízes, é mais completo que o anterior, pois apresenta o % diagrama de Bode também. pole(G);

% Mostra quais são os polos de uma função de transferência.

zero(G);

% Mostra quais são os zeros de uma função de transferência.

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16

Capítulo 1 – Resposta no Tempo

Bode(G);

% Esboça o diagrama de Bode (Bode Plot)

simulink;

% Abre a janela da ferramenta simulink.

___________________________________________________________________________ // Alguns comandos úteis do Scilab clc clear s=%s; // Define a variável complexa s no Scilab. G=2/(s+1); // Cria uma Função de transferência. evans(G); // Esboça o root locus (lugar das raízes). // Bode Diagram s=poly(0,'s') // Define a variável complexa s no Scilab (outra forma) h=syslin('c',(s^2+2*0.9*10*s+100)/(s^2+2*0.3*10.1*s+102.01)) // Função de transferência (outra forma) clf();bode(h,0.01,100); //zgrid with discrete time system root locus z=poly(0,'z') H=syslin(0.01,(0.54-1.8*z+2.9*z^2-2.6*z^3+z^4)/(0.8+0.78*z-0.1*z^2+0.9*z^3+z^4)) clf();evans(H,1000);zgrid(0:0.1:0.5) xcos

// Toolbox para simulação de sistemas de controle equivalente ao simulink do Matlab

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

CAPÍTULO 2 POLOS, ZEROS E ESTABILIDADE 2.1 RESPOSTA EM REGIME PERMANENTE E ERRO PARA SISTEMA EM MALHA FECHADA Erro em regime permanente:

e  ref  y Onde: e  Erro de regime permanente, diferença entre o valor desejado e o verdadeiro da saída. ref  Valor de referência ou set-point, é o valor desejado na saída.

y  Resposta em regime permanente, ou seja, valor para o qual a saída tende com o passar do tempo para uma entrada constante.

Figura 1 – Diagrama de blocos de um sistema realimentado.

2.2 TEOREMAS DE VALOR INICIAL E DE VALOR FINAL

Figura 2 – Degrau unitário.

O conteúdo harmônico do sinal no instante do degrau é elevadíssimo, tendendo ao infinito

  .

O sinal para um tempo muito elevado é praticamente constante, portanto,   0 . Uma vez que s  j para t  0 ,

   , portanto s   .

Para t   ,   0 , portanto s  0 . 2.2.1

Teoremas do valor inicial Para y ( s)  G( s)  u( s) , onde G ( s ) 

Tense-que: Para u ( s ) 

1 sa

1 1 , temos y ( s )  s s ( s  a)

* Obs.: Diferenciar um sinal de um sistema.

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

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Valor inicial: yo  y (t  0)  lim y (t ) t 0

yo  lim y(t )  lim sy( s) t 0

s 

Exemplo: yo  lim sy( s)  lim s s 

s 

1 1  lim s  s( s  a) ( s  a)

yo  0 2.2.2

Teoremas do valor final

Valor final: y  y (t  )  lim y (t ) t 

y  lim y(t )  lim sy ( s) t 

s 0

Exemplo: y  lim sy ( s)  lim s 0

s 0

y 

s s( s  a)

1 a

Alternativamente pode se calcular o valor a partir da função de transferência ao invés do sinal, neste caso o valor final é conhecido também como ganho estático ( K e ).

Valor inicial: y0  lim G( s) s 

Valor final: y  Ke  lim G( s) s 0

2.3 POLOS, ZEROS E ESTABILIDADE No projeto de sistemas de controle realimentados, três tipos de especificações são normalmente utilizadas para medida de desempenho do referido sistema, que são: resposta transitória, erro de regime permanente e estabilidade. Destas três especificações, sem dúvida, a estabilidade detém um papel de maior importância. Se o sistema em malha-fechada apresentar características de instabilidade, requisitos de resposta transitória e medidas de erro de regime passam a ter importância secundária.  Um sistema linear invariante no tempo é estável se para uma entrada limitada, gerar uma saída também limitada (ELSL).  A estabilidade e a resposta no tempo estão intimamente relacionadas.  Para sistemas lineares a estabilidade pode ser analisada em função de polos e zeros. Para que um sistema seja estável: 1. A função de transferência deve ser própria, ou seja, o número de polos deve ser maior ou igual ao número de zeros. 2. A parte real de todos os polos deve ser negativa.

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

(a) Sistema estável: G ( s ) 

1 s  2s  10 2

(b) Sistema criticamente estável: G ( s ) 

1 s 2 2

Figura 4 – Sistema criticamente estável.

Figura 3 – Sistema estável.

(c) Sistema instável: G ( s ) 

s 1 ( s  3)( s  1)

Figura 5 – Sistema instável.

2.4 DIAGRAMAS DE POLOS E ZEROS E REGIÃO DE ESTABILIDADE PARA ENTRADA DO TIPO DEGRAU Em uma função de transferência o polo é a singularidade da função, é o valor no qual a função tende ao infinito. Já o zero é o valor que faz com que a função seja zero. Os polos estão localizados no denominador e os zeros no numerador. É fundamental compreender o conceito de estabilidade e sua relação com os polos e zeros do sistema. As figuras 04 a 10 apresentam a relação plano complexo versus resposta no tempo para diversas funções de transferência, o objetivo é abranger os casos mais importantes.

Figura 6 – Sistema de 1ª ordem com um polo com parte real negativa. Sistema estável. _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

Figura 7 - Sistema de 1ª ordem com um polo com parte real positiva. Sistema instável

Figura 8 - Sistema de 1ª ordem com um polo na origem, integrador. Sistema criticamente estável.

Figura 9 - Sistema de 2ª ordem com polos complexos conjugados com parte real negativa. Sistema estável.

Figura 10 - Sistema de 2ª ordem com polos complexos conjugados com parte real positiva. Sistema instável. _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

Figura 11 - Sistema de 2ª ordem com dois polos reais negativos e com um zero à direita dos polos. Sistema estável com pico na resposta.

Figura 12 - Sistema de 2ª ordem com dois polos reais negativos e com um zero com parte real positiva. Sistema estável com pico negativo na resposta. Conhecido como sistema com resposta inversa.

Exercício: Simule no Matlab® todos os exemplos apresentados acima e compare os resultados obtidos!

2.5 ANÁLISE PELO LUGAR GEOMÉTRICO DAS RAÍZES (LGR) Até agora estudamos o plano complexo e a resposta no tempo em função dos polos e zeros. Os polos são as raízes do polinômio do denominador da função de transferência. Os zeros são as raízes do polinômio do numerador da função de transferência. Vamos entender melhor isto no exemplo a seguir. A função G  s  possui dois polos e um zero. Para s  1 tem-se G  s   0 , ou seja, s  1 é o zero de G  s  . Para s  2 ou s  7 tem-se G  s    , ou seja, estes são os polos de G  s  . A função de transferência existe para todos os valores positivos de s com exceção dos polos.

G  s 

 s  1  s  2  s  7 

Por tudo que vimos até agora o estudante já sabe que uma vez que conheçamos a função de transferência de um sistema sabemos quais seus polos e zeros e, consequentemente, sua resposta no tempo. A pergunta de um milhão de dólares é: Se fosse necessário mudar a resposta no tempo deste sistema o que você faria? O que mudaria? Alguns estudantes devem ter respondido imediatamente. – Vamos mudar a posição dos polos e zeros do sistema, assim mudaremos a resposta no tempo.

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

O único problema com este raciocínio é que não se pode esquecer jamais que as equações matemáticas representam sistemas físicos. Mudar a posição de um polo ou zero significa mudar parâmetros físicos de um processo, como por exemplo, aumentar o tamanho de um tanque ou diminuir o diâmetro de uma tubulação de água. Existe outra maneira de modificarmos a posição dos polos sem a necessidade de alteração estrutural do processo, a chave para este mistério é a realimentação negativa obtida quando o sistema passa a operar em malha fechada. Em breve voltaremos a este assunto e veremos os “super poderes” da realimentação negativa. 2.5.1

Malha aberta

Sistemas em malha aberta são sistemas do tipo série, no qual um sinal aplicado à entrada passa pelo sistema e aparece na saída como produto do sinal pela função de transferência, conforme a Figura 13.

y  s  u s G  s  r s  K G  s

Figura 13 – Diagrama de bloco em malha aberta.

A função de transferência de malha aberta ( FTMA  s  ) é simplesmente o produto de todas as funções de transferência em cascata.

FTMA  s   K  G  s  2.5.2

Malha fechada

Um sistema em malha fechada utilizando realimentação negativa é apresentado na Figura 14. A realimentação consiste em medir a saída do sistema e compara-lá com a entrada, se ambas forem iguais o erro será igual a zero, erro zero é o objetivo do controle.

Figura 14 – Diagrama de blocos em malha fechada.

Vamos analisar calmamente as equações a seguir, FTMF ( s ) é a função de transferência de malha fechada, C ( s)  K é a função de transferência do compensador e G( s) é a função de transferência do processo:

FTMF ( s ) 

C s 

C sG s 1 C sG s

NC DC

e

G s 

NG DG

Para simplificar nossa análise definiu-se N como o polinômio do numerador e D como o polinômio do denominador da função de transferência.

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

A função de transferência de malha aberta:

FTMA  s   C  s   G  s  

NC NG DC DG

Vamos agora calcular a função de transferência de malha fechada:

NC NG NC NG DC DG DC DG NC NG FTMF ( s )    N C N G DC DG  N C N G DC DG  N C N G 1 DC DG DC DG FTMF ( s ) 

NC NG DC DG  N C N G

Comparando a FTMA ( s ) com a FTMF ( s ) notamos que o termo NC NG surgiu no denominador da

FTMF ( s ) devido à realimentação. Supondo G ( s) 

1 e C ( s)  K , têm-se: 1 s

FTMA ( s )  FTMF ( s ) 

K 1 s

K 1 s  K

Quando o sistema foi realimentado negativamente o polinômio do numerador da FTMA ( s ) , NC NG , aparece agora no denominador da FTMF ( s ) e modifica a posição dos polos que antes eram fixos, estes novos polos que são variáveis recebem o nome de polos de malha fechada, enquanto os polos fixos recebem o nome de polos de manha aberta. Chegou o momento de desvendarmos o mistério por trás da realimentação negativa, observando a

FTMF ( s ) pode-se notar que o polo do sistema mudou. O polo de malha aberta é s  1 , já o polo de



malha fechada é s 

 1  K 

 , ou seja, o polo depende do valor do ganho K do controlador. Para cada

valor de K a FTMF ( s ) terá um polo diferente e, consequentemente, uma resposta no tempo diferente. Fazendo o polinômio do denominador de uma função de transferência igual a zero nos da a Equação característica do sistema, DC DG  N C N G  0 é a equação característica da FTMF ( s ) .

DC DG  N C N G  1  s  K  0

1  s  K  0

 s  (1  K ) s

(1  K )



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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

A Figura 15 apresenta o lugar das raízes (LGR) do sistema da Figura 14 com G ( s)  1

s 1

e

C ( s)  K . Como o próprio nome sugere o lugar das raízes esboça todos os possíveis locais (“lugares”) no plano complexo em que podem existir polos de malha fechada. Observe o polo de malha aberta em s  1 representado por um  (xis azul), já o polo de manha fechada é calculado por s  (1  K ) , para cada valor de K teremos um polo de malha fechada diferente. Uma vez que K pode assumir qualquer valor maior do que zero desenha-se uma linha contínua de cor azul representando as possíveis posições do polo de manha fechada. Com um (quadrado vermelho) foi indicado a posição do polo de malha fechada para K  2 .

Figura 15 – Lugar das raízes com polo de malha fechada em -3.

Exemplo 2.1 Determinar K tal que t5% MF 

t5% MA

3

para o sistema da Figura 15, onde t5% MF é o tempo de

acomodação de 5% em malha fechada e t5% MA é o tempo de acomodação de 5% em malha aberta.

t5% MA  3

t5% MF 

3    3 MF 3

 MF 

 3

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25

Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

 é a constante de tempo do polo de manha aberta e  MF é a constante de tempo do polo de manha fechada. Neste exemplo   1seg e  MF  0,333seg , ou seja, em malha fechada o sistema ficou três vezes mais rápido que em malha aberta.

s

(1  K )



  MF

s   MF 

s

s

1

 MF

3







1

 MF 1



3

(1  K )



3  1 K

K 2 Qual o erro em regime permanente deste sistema?

e  1  Ke Onde K e é o ganho estático da função de transferência (item 2.2.2).

e  1  lim FTMF ( s) s 0

  K e  1  lim   s  0 (1  s )  K   e  1

K 1 K  K  1 K 1 K

e

1 1 K

Para K  2 tem-se e  1  0, 333 , ou seja, apesar do sistema ser mais rápido ele nunca atingirá o

3

valor de referência. O erro não nulo se deve ao fato de não existem polos na origem na FTMA ( s ) , pelo menos um integrador seria suficiente para eliminar o erro em um sistema cuja referência é um degrau. Em muitos livros este sistema é denominado sistema do tipo 0 (zero integradores).

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

Figura 16 – Resposta no tempo do sistema em malha fechada do exemplo 01.

Exemplo 2.2: Esboçando o lugar das raízes com dois ramos. Utilizando a ferramenta “simulink” do Matlab® simularemos o diagrama de blocos da Figura 17. A planta (processo) G( s) possui dois polos, sendo um deles na origem.

G ( s) 

1 1  2  s  s  1 s  s



Figura 17 – Diagrama de bloco.

Equação característica é obtida igualando o denominador da função de transferência de malha fechada com zero.

K FTMA ( s ) 

s s K

FTMF ( s) 



2



s  s K 2



Equação característica s  s  K 2







  0 , isolando o valor de K têm-se: K   s 2  s

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

Derivando K em relação a s e igualando a zero

dK 0. ds

dK  2 s  1  0 ds Isolando s encontramos o valor para o qual os dois polos de malha fechada serão iguais, ou seja, o ponto de cruzamento dos ramos.

s

1 2

Para   1 o ponto de cruzamento dos ramos será em s  0,5 .

Figura 18 - Lugar das raízes.

Para o sistema do exemplo 2.2 qual o erro em regime permanente? Se o ganho K for igual a 1 qual será o valor dos polos de malha fechada?

e  1  lim FTMF ( s) s 0

K   e  1  lim  2 s 0  s  s K    K e  1  lim   s 0  K  

   

   

e  1 1  0

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

O erro é nulo, pois existe um polo na origem na FTMA ( s ) , um integrador, e o sinal de referência era um degrau. Em muitos livros este sistema é denominado sistema do tipo 1 (um integrador). Se o sinal de referência fosse uma rampa seriam necessários dois polos na origem para que o erro seja nulo. Em muitos livros este sistema é denominado sistema do tipo 2 (dois integradores). Se o sinal de referência fosse uma parábola seriam necessários três polos na origem para que o erro seja nulo. Em muitos livros este sistema é denominado sistema do tipo 3 (três integradores). Desenvolvendo as equações:

 s 2  s  K s K s2    0





2  K 1       4 1       1      s1,2    2 1 2

 1  4K          s1,2  2 1

2

1  1  K s1,2       2  2  

s1,2  

1 K 1 j  2 2  4 2

Como sabemos s1,2  n  jn 1   , desenvolvendo a equação anterior chegamos a:

s1,2  

1 K 1 j  1 2  4 K

Comparando as duas equações conclui-se que: n 

K

  1 2 K .  e

Portanto para K  1 e   1 tem-se n  1 rad/seg,   0,5 e s1,2  0,5  j 0,866 Exemplo 2.3: Esboçando o lugar das raízes com dois ramos. Dois polos e um zero. Utilizando a ferramenta “simulink” do Matlab® simularemos o diagrama de blocos da Figura 19. A planta (processo) G( s) é de 1ª ordem, porém o compensador C ( s) é um PI possui um polo na origem e um zero.

G ( s) 

1  s 1

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

C ( s)  K

 s  z0  s

Figura 19 – Diagrama de bloco de malha fechada com compensador PI.

Equação característica é obtida igualando o denominador da função de transferência de malha fechada com zero.

FTMA (s)  K

 s  z0   s

K  s  z0 

FTMA ( s) 

FTMF ( s) 

1  s 1

s  s  1 K  s  z0 

s  s  1  K  s  z0 

Equação característica s  s  1  K  s  z0   0 , isolando o valor de K têm-se:

K



  s2  s



s  z0

dK 0. ds    u  v  u  v       e derivada do produto u  v  u  v  u  v Lembrete: Derivada da divisão u    v v2 Derivando K em relação a s e igualando a zero

 





2 dK   2 s  1   s  z0    s  s 1  0 2 ds  s  z0 

Como a equação foi igualada a zero tanto o sinal negativo quanto o denominador são desprezados, na prática nunca precisam ser calculados.

 2 s  1   s  z0    s2  s   0 2 s 2  s  2 z0 s  z0   s 2  s  0

 s 2  2 z0 s  z0  0

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

s 2  2 z0 s 

z0



0

Isolando s encontramos o valor para o qual os dois polos de malha fechada serão iguais, ou seja, o ponto de cruzamento dos ramos.

z0 2     2 z0   4 1     s  2 z0    1,2 2 1

  4 z0 2 

4 z0



2 z0  2 z0 1  s1,2 

1  z0

2

s1,2   z0  z0 1 

1  z0

Para   1 e z0  2 os pontos de cruzamento dos ramos será em s1  0,586 e s2  3, 41 .

Figura 20 – Lugar das raízes de sistema em malha fechada com compensador PI.

Para o sistema do exemplo 2.3 para quais valores do ganho K teremos polos duplos? Polos duplos acontecem nos pontos de cruzamentos de ramos, como existem dois pontos de cruzamentos existirão dois valores de K que nos proporcionam polos duplos. Primeiro ponto em s1  0,586 : _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 2 – Polos, Zeros e Estabilidade

2

K

1 0,586    0,586 

 0,586   2

 0,1716

Primeiro ponto em s2  3, 41 : 2

K

1 3, 41   3, 41

 3, 41  2

 5,828

Qual o t5%MF para polos duplos em s2  3, 41 ?

t5% MF teorico 

3





3  0,88seg 3, 41

t5% MF real  0,956 seg _________________________________________________________________________________________________________________________

2.6 EXERCÍCIOS 1. Para as funções de transferência a seguir calcule: o Matlab® para conferência. (a)

G s 

(b)

G s 

(c)

G s 

1  s  1   s  6

 ,  ,  n , d , t5% e o valor final e inicial. Utilize (d)

G  s 

1  s  4s  16

(e)

G s 

s3  s  1   s  3

(f)

G s 

1

 s  3

2

s9 s3

2

s2

 s  3

2

2. Esboce o lugar das raízes. Quais são os polos de malha aberta, o erro em regime permanente, o ponto de cruzamento e o ganho K para o ponto de cruzamento? Qual o valor dos polos de malha fechada para K  5 e o t5% MF .

Figura 21 – Diagrama de bloco em malha fechada.

3. Esboce o lugar das raízes. Quais são os polos de malha aberta, o erro em regime permanente, o ponto de cruzamento e o ganho K para o ponto de cruzamento (em função de T )? Qual o valor dos polos de malha fechada e o t5% MF . para K  3 e T  2 .

Figura 22 – Diagrama de bloco em malha fechada.

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

CAPÍTULO 3 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA E DIAGRAMA DE BODE 3.1 RESPOSTA EM FREQUÊNCIA A resposta em frequência é obtida aplicando à entrada da função de transferência de laço aberto (malha aberta), um sinal senoidal com frequência variável. Deste modo esboça-se o módulo de saída e a fase em função da freqüência.

Figura 1 – Função de transferência de malha aberta excitada por entrada senoidal com frequência variável.

x  t   A  sin t  y  t   B  sin t   

Figura 2 – Função de transferência em malha aberta com S  j .

B  A  H  j 

    H  j  Módulo é a razão da amplitude de saída para a amplitude de entrada, como a frequência é variável o módulo é função da frequência. Fase é o deslocamento da fase da saída senoidal com relação à entrada senoidal, como a frequência é variável o defasamento (fase) é função da frequência. “Ganhar” fase significa adiantar enquanto “perder” significa atrasar o sinal. As variações do Módulo e da Fase com relação à frequência SAP conhecidos como “Resposta em Frequência” da função de transferência em malha aberta.

3.2 DIAGRAMA DE BODE A resposta em frequência pode também ser registrada num diagrama que mostre a sua dependência com o valor da frequência explicitamente. Não sendo possível traçar o valor de H  j  (sendo que um complexo é bidimensional) em função de  num plano, representa-se o valor do módulo e da fase do complexo em função da frequência em dois diagramas separados. Estes diagramas designam-se por Diagrama de Bode.

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

3.2.1 RESPOSTA NA FREQUÊNCIA COM ESCALAS LOGARÍTMICAS Existem vários motivos pelo qual é mais conveniente fazer a representação da resposta numa escala logarítmica de frequência, como a transportabilidade da resposta para qualquer valor de frequência *. Do mesmo modo o uso de escala logarítmica no traçado do ganho (módulo) permite contabilizar o efeito de dispositivos em cascata de uma forma aditiva. * Por exemplo, as notas da escala musical natural (frequências) evoluem de um modo logarítmico (1 oitava = dobro da frequência).

G  j   G1  j   G2  j 

G  j   G1  j   G2  j   e 

j G1  j  G2  j  

Efeito aditivo quando se utiliza logaritmo:











log G  j   log G1  j   log G2  j 



G  j    G1  j    G2  j 

Figura 3 - Escala logarítmica decimal. 1 década = dez vezes a frequência. Fonte [1].

3.2.2 GANHO REPRESENTADO EM DECIBEL (dB) Uma alternativa muito usada em diversas áreas da engenharia é a representação do ganho em dB (um décimo de bel (B)) de modo a tornar a composição de ganhos aditiva. As curvas no diagrama de Bode ficam inalteradas, mas a escala do ganho agora é linear. O módulo é dado em decibel: Módulo (dB) = H ( j ) dB : _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

 Y ( j )  H ( j ) dB  20 log10 | H ( j ) |  20 log10  | |  X ( j )  Assim,

H1  H 2  H 3 dB  20log10 | H1  H 2  H 3 | 20 log10 | H1 |  20log10 | H 2 |  20 log10 | H 3 |  H1 dB  H 2 dB  H 3 dB Note-se que log refere-se, tal como até aqui, à função logaritmo de base 10. Não confundir com o logaritmo natural ln de base e (número de Neper). Na Figura 4 tem-se a escala de Bode em dB.

Figura 4 - Escala de Bode em dB. Fonte [1].

3.2.3 COMPARAÇÃO ENTRE O GANHO REAL E A UTILIZAÇÃO DAS ASSÍNTOTAS Na Figura 5 tem-se a comparação entre o ganho real e a utilização das assíntotas. As assíntotas facilitam o esboço do diagrama de bode quando realizado à mão livre, foi muito utilizado antes do advento dos computadores.

G  j  

G  jc  

K 1 j

c c



K   1  j  c  

K 2

2

1 1



K  0, 707 K 2

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

G  jc  dB  20log K  20log 1  j

c  20log K  20log 2  K dB  3dB c

Figura 5 - Detalhe no ganho real entre assíntotas. Fonte [1].

Para G  j   1  j

 , têm-se na Figura 6 o detalhe da mudança de fase. c

Figura 6 - Detalhe na mudança de fase. Fonte [1].

3.2.4 FATORES DE RAÍZES COMPLEXAS CONJUGADAS G  j  

K

n 2

s

2

 2n s  n 2  :

Diagrama de bode de um sistema com dois zeros complexos conjugados. Lembrem-se que em sistemas de controle os processos físicos são próprios e, portanto, o número de polos deve ser maior ou igual ao número de zeros.

   2   G  j   K   j   2 j  1   n  n     2   M G   dB  20 log K  20 log 1  2   j 2 n  n 

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

2

 2  2  20log K  20log 1  2   4 2 2 n  n 

20log K  0    0    20log K  40log      n  

G    K   1  

   2   n arctan  2  1   n 2

2     j 2  2  n  n 

 ..0....   10 n       .90 ...  n     180 ..  10  n

Figura 7 - Fatores de raízes complexas conjugadas. Fonte [1].

3.2.5

DIAGRAMA DE BODE DE UM GANHO CONSTANTE

G (s)  K

M G  dB   20 log G  j   20 log K

0 K

G   G  j   arctg 

  0 

Para K  0 , a fase será de 180 , pois em dB valores negativos significavam valores de ganho entre 0 e 1, já valores negativos de ganho aparecem com deslocamento de fase de 180 . Exemplo: 10  1180  1  180 . _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

G   G  j   180

Figura 8 – Diagrama de Bode de um Ganho. Fonte [1].

3.2.6 DIAGRAMA DE BODE DE UM POLO G ( j ) 

K  c K :  G ( j )    s  c    1  j  c  

Sistema de 1ª ordem com polo em s  c , neste caso a frequência de corte é igual ao valor do polo.

M G  dB   20 log G  j   20 log K  20 log 1  j

M G  dB   20 log K  20 log 1 

 c

2 c 2

20log K  0    0    20log K  20log      c  

G    K   1  j 

      arctan   c   c 

...0....  c 10   45...  c   90 ..  10  c

_________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

Figura 9 – Diagrama de Bode de 1 polo. Fonte [1].

3.2.7 DIAGRAMA DE BODE DE UM ZERO G ( j ) 

    s  c   G ( j )  K  1  j  : c c   K

M G  dB   20 log G  j   20 log K  20 log 1  j

M G  dB   20 log K  20 log 1 

 c

2 c 2

20log K  0    0    20log K  20log      c  

G    K   1  j 

      arctan   c   c 

.0....  c 10   45...  c   90 ..  10  c

_________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

Figura 10 – Diagrama de Bode de 1 zero. Fonte [1].

3.2.8 DIAGRAMA DE BODE DE UM POLO NA ORIGEM (INTEGRADOR) G ( j ) 

K K  G ( j )  : s j

M G  dB   20 log G  j   20 log K  20 log j

M G  dB   20log K  20log 

G    K  j  0  arctan  j   90

Figura 11 – Diagrama de Bode de 1 integrador. Fonte [1]. _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

No caso do sistema integrador para   0 o valor do módulo M G  dB    .

3.2.9 DIAGRAMA DE BODE DE UM ZERO NA ORIGEM G( j )  K  s  G( j )  K   j  : M G  dB   20 log G  j   20 log K  20 log j

M G  dB   20log K  20log 

G    K  j  0  arctan  j   90

Figura 12 – Diagrama de Bode de 1 zero na origem. Fonte [1].

No caso do sistema integrador para   0 o valor do módulo M G  dB    .

3.2.10 UM PAR DE POLOS COMPLEXOS

G(s) 

G ( j ) 

K  n 2 s 2  2n s  n 2

K  n 2 K  n 2  ( j ) 2  2n ( j )  n 2  2  j 2n  n 2

 2  K   n2   n   2 2 n    j 2n

n 2 G ( j ) 

K   2  1  ( )   j 2 ( ) n  n 

_________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

Assim:

    M G  dB   20 log | G ( j ) | 20 log | K | 20 log 1  ( ) 2   j 2 ( ) n  n  2

    M G  dB   20log | K | 20log 1  ( )2   4 2 ( )2 n  n  20log K  0    0    20log K  40log      n  

G    K    1  ( 

 2   )   j 2 ( )  n  n 

  ...0......   10  n  2 (  )    n  arctan    90 ....  n 1  (  ) 2    n  180 ..  10  n 

Figura 13 – Diagrama de Bode para um par de polos complexos conjugados. _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

3.2.11 COMPOSIÇÃO DE FATORES Considere-se uma função de transferência constituída por diversos fatores.

1 j G ( j )  K 

 c 2

     1  j  1  j  c1  c 3  

         M G  dB   20 log | G ( j ) | 20 log | K | 20 log 1  j   20 log 1  j   20 log  1  j  c 2  c1  c 3    



G    G ( j )   K    1  j 

           1  j    1  j  c 2  c1  c 3   

Figura 14 – Composição de fatores. Fonte [1].

Considere-se uma função de transferência constituída por diversos fatores sendo um deles um polo na origem.

 c1 G ( j )  K     j   1  j  c 2   1 j

      M G  dB   20 log | G ( j ) | 20 log | K | 20 log 1  j   20 log  j   20 log  1  j  c1  c 2   



G    G ( j )   K    1  j 

        90   1  j  c1  c 2  

_________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

Figura 15 – Composição de fatores. Fonte [1].

3.3 LARGURA DE BANDA E TEMPO DE SUBIDA Considerando a dependência do ganho de um sistema dinâmico com o valor da frequência, pode dividir -se a as gamas de frequências por bandas passantes e de rejeição, ou seja, gama de frequência em que o sinal não é atenuado (ou mesmo amplificado) e gama de frequência em que o sinal de entrada sofre uma forte atenuação para a saída. Tipicamente, um sistema de controle tem uma característica de ganho passa-baixo. Uma zona de baixas frequências em que o ganho é aproximadamente constante (se for de seguimento deseja-se unitário) e a partir de um dado valor de frequência uma zona onde o ganho apresenta um forte decaimento. Designa-se por largura de banda de um sistema o valor de frequência máximo da gama de frequências passantes. Para um sistema de 1ª ordem é a freqüência na qual o ganho caiu 3dB e para um de 2ª ordem 6dB.

Figura 16 – Largura de Banda (Bandwidth). Fonte [2].

A situação mais habitual é ter para a malha aberta ganhos elevados (superiores à unidade) à baixa frequência e atenuação às altas frequências. A largura de banda de um sistema final em malha fechada pode ser prevista a partir da malha aberta (controlador mais processo) através da frequência de cruzamento do ganho unitário cross . Malha aberta Malha fechada FMA  j  1   cross  FMA  j   1  FMF  j   1  FMA  j 

  cross



FMA  j   1 

FMF  j  

FMA  j  1  FMA  j 

 FMA  j   1

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

Exemplo 3.1

Figura 17 – Comparação entre um sistema em malha aberta e outro em malha fechada. Fonte [2].

Figura 18 – Largura de banda versus tempo de subida. Fonte [2].

3.4 MARGENS DE GANHO E DE FASE NO DIAGRAMA DE BODE As margens de estabilidade de ganho e fase podem ser transportadas do diagrama de Nyquist para o diagrama de Bode onde as suas representações e medidas aparecem mais simplificadas.





M   180   G0  jcg 

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

G0  jcg   1 M G  20 log G0  jcf







 G0  jcf   180 Margem de ganho ( M G ): É o fator pelo o qual o ganho do sistema, isto é, o módulo, pode ser incrementado sem tornar o sistema instável. Margem de fase ( M  ): É a quantidade na qual a fase em malha aberta cai abaixo de 180º quando o módulo tem valor 1 (0 dB).

Figura 19 – Margem de ganho e margem de fase. Fonte [2].

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Capítulo 3 – Resposta em Frequência e Diagrama de Bode

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: CAPÍTULOS 1 A 3 1. Fonte [1]: Universidade Nova de Lisboa. “TC_T09.pdf” - http://www-scd.dee.fct.unl.pt/leec/sc/tc/ 2. Fonte [2]: Universidade Nova de Lisboa. “TC_T10.pdf” - http://www-scd.dee.fct.unl.pt/leec/sc/tc/ 3. FRANKLIN, POWELL, EMAMI-NAIENI. Feedback Control of Dynamic Systems, AddisonWesley, 1994. 4. DORF, RICHARD C. Modern control systems, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2008. 5. Seborg, D. E., Mellichamp D. A., Edgar, T. F., Doyle F. J. Process Dynamics and Control. 3ª edição. Wiley, 2010. 6. Willsky, Alan S.; Oppenheim, Alan V.; Nawab, Syed Hamid. Sinais e Sistemas. 2ª Ed. 7. PHILLIPS, C. L.; HARBOUR, R. D. Sistemas de Controle e Realimentação. São Paulo: MakronBooks, 2000. 8. KUO, B. C. Automatic Control Systems. New York, EUA: John Wiley & Sons, 1995.

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Sistemas de Controle Realimentado - Capítulo 4

CAPÍTULO 4 INTRODUÇÃO AOS SISTEMAS DE CONTROLE DE TEMPO DISCRETO 4.1 INTRODUÇÃO Os sistemas de controle estudados até este momento envolvem controladores analógicos, que produzem sinais de controle contínuos no tempo a partir de sinais de entrada também contínuos no tempo. Estes Controladores apresentam pouca flexibilidade e modificações na lei de controle implicam em modificações do “hardware”. Além disto, é difícil implementar leis de controle mais complexas. Nas últimas décadas tem-se observado um forte crescimento do uso de controladores digitais em sistemas de controle. Controladores digitais são utilizados visando obter melhores performances dos sistemas, tais como, maior produtividade, menores custos, maior qualidade ou menor energia utilizada. A utilização de controle via computador dotou os robôs industriais de maior “inteligência”, a otimização do consumo de combustíveis em automóveis, e o aprimoramento de aplicações domesticas tais como microondas, máquinas de costura, entre outros. A corrente tendência a favor da utilização de controladores digitais ao invés de controladores analógicos para o controle de sistemas dinâmicos se deve principalmente a capacidade de tomar decisões, a flexibilidade do programa de controle, o baixo custo dos microcontroladores e nas vantagens em se trabalhar com sinais digitais. Algumas desvantagens são os erros introduzidos no processo de amostragem e quantização que podem deteriorar o sinal. Outro problema é que o projeto pode se tornar mais complexo para compensar esta deterioração.

4.2 TIPOS DE SINAIS “Contínuo” versus “Discreto”: Um sinal pode ser contínuo (pode possuir qualquer valor) ou discreto (somente pode possuir valores específicos) tanto no tempo quanto em amplitude. 1. Sinal analógico: é um sinal que toma um conjunto contínuo de valores de amplitude em uma faixa contínua de tempo. Contínuo tanto em amplitude quanto no tempo. 2. Sinal contínuo quantizado: é um sinal cuja amplitude assume apenas valores discretos (específicos). Apenas a amplitude é quantizada. 3. Sinal amostrado: se o sinal for discreto no tempo (existe apenas em instantes definidos) e tiver amplitude contínua o sinal é chamado amostrado. 4. Sinal digital: se o sinal for discreto no tempo e possuir amplitude quantizada (discreta) então o sinal é chamado digital.

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Figura 1 – Sinal analógico.

Figura 2 – Sinal amostrado.

Figura 3 – Sinal analógico e sinal amostrado.

Figura 4 – Sinal analógico quantizado (reconstruído).

Figura 5 – Sinal amostrado e analógico quantizado.

Figura 6 – Sinal analógico, amostrado e quantizado.

4.3 SISTEMAS DE CONTROLE DIGITAL Em um sistema com controle digital o controlador é substituído por um computador ou microcontrolador. Neste caso o sinal medido passará por um conversor A/D, e o sinal aplicado ao atuador poderá passar por um conversor D/A. A Figura 7 apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle digital, já a Figura 8 apresenta o diagrama de blocos de um sistema de controle digital mostrando os sinais na forma binária ou gráfica.

Figura 7 – Diagrama de blocos de um sistema de controle digital.

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Sistemas de Controle Realimentado - Capítulo 4

Figura 8 - Diagrama de blocos de um sistema de controle digital mostrando sinais na forma binária ou gráfica.

4.4 SISTEMAS DE TEMPO DISCRETO OU DE DADOS AMOSTRADOS São sistemas dinâmicos em que uma ou mais variáveis podem mudar apenas em instantes discretos de tempo. Estes instantes serão denominados de kT ( k  0,1, 2,3,... e especificam o momento em que alguma medição física é realizada ou o momento em que a memória de um computador digital é lida. O intervalo de tempo entre dois instantes discretos deve ser suficientemente pequeno para que a informação durante o intervalo possa ser obtida por interpolação. Se o sistema envolve um período de amostragem

T.

O sinal amostrado

x t 

fica

x  0  , x T  , x  2T  , x  3T  , x  4T  ,... , onde T é o período de amostragem. Por exemplo, para a função rampa

onde x  t   t e o sinal seja amostrado teremos x*  t   x  kT   kT , k  0,1, 2,3,... .

Figura 9 – Sinal do tipo rampa amostrado.

O controle digital envolve a medições do sinal de saída do processo, que em geral é contínuo. Como este sinal deve ser processado pelo computador, ele deve ser amostrado. Por outro lado o sinal de controle gerado pelo computador deve ser aplicado na planta. Como este sinal é discreto, ele deve então ser transformado em um sinal contínuo (quantizado em amplitude). Este é o processo de reconstrução do sinal. Sistemas de tempo contínuo, cujos sinais são contínuos no tempo podem ser descritos por equações diferenciais. Sistemas de tempo discreto que envolvem sinais amostrados ou digitais podem ser descritos por equações de diferenças.

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4.4.1 PROCESSO DE AMOSTRAGEM, QUANTIZAÇÃO E RECONSTRUÇÃO DE UM SINAL (A) Amostragem O processo de amostragem consiste em transformar um sinal contínuo no tempo em um sinal discreto no tempo. Na prática esta operação é realizada por um circuito eletrônico denominado conversor A/D (conversor analógico para digital). 1. Amostragem periódica: os instantes de amostragem são igualmente espaçados por um período T. onde kT ( k  0,1, 2,3,... ). 2. Amostragem múltipla (Multisample): Várias amostragem são realizadas dentro de um período T. 3. Amostragem de taxa múltipla: em casos onde o sistema de controle possui várias malhas com diferentes velocidades, altas frequências de amostragem para as malhas rápidas e baixas frequências de amostragem para as malhas lentas. 4. Amostragem aleatória: os instantes de amostragem são aleatórios. (B) Quantização e erro de quantização O processo de amostragem geralmente é seguido de quantização. No processo de quantização a amplitude amostra é substituída por uma digital (representada por números binários), pois os sistemas digitais operam com números binários de palavras limitadas. Para um sistema de 8 bits e um sinal de 10volts, por exemplo, este será dividido em 28  1 partes 10  3,92mV .  255 , portanto, 255 O sinal será representado dentro do computador por valores quantizados no tempo e em amplitude com degraus de 3,92mV. FSR= full-scale range

Q

FSR 2n  1

erro  

Q 2

n= número de bits (C) Sustentador (Retentor ou segurador) de ordem zero O computador processa sinais digitais e aplica a saída ao circuito sustentador (ZOH em inglês “ZeroOrder Hold”). A saída deste circuito é um sinal contínuo no tempo. Na prática esta operação é realizada por um circuito eletrônico denominado conversor D/A (conversor digital para analógico). Ele transforma o sinal apresentado na Figura 2 naquele da Figura 4.

4.4.2 O TREM DE IMPULSOS Analisando matematicamente o processo de amostragem podemos desenvolver um modelo matemático que nos permita representar os sistemas amostrados.

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Figura 10 – Processo de amostragem.

Vamos definir uma função matemática denominada trem de impulsos T  t  . O produto deste trem de impulsos pelo sinal analógico nos dá o sinal amostrado.

Figura 11 – Processo de amostragem através de Modulador.

O trem de impulsos é uma sequência de infinitos impulsos unitários distantes T segundos um do outro, com inicio em t=0. 

T  t      t  kT  k 0

O sinal de saída do sistema x*  t  é o sinal amostrado enquanto x  t  é o sinal analógico.

x*  t   x  t   T  t  

x*  t    x  kT     t  kT  k 0

4.4.3 O SUSTENTADOR DE ORDEM ZERO (ZOH) Conforme mencionado anteriormente na saída de muitos circuitos digitais esta um conversor D/A, este circuito eletrônico é responsável por transformar um sinal amostrado em um sinal contínuo. Matematicamente pode-se definir uma função matemática responsável por essa conversão como sendo o ZOH ou B0  s  . B0  s  

1  e  sT s

Figura 12 – Amostrador impulsional e sustentador de ordem zero (zero-order hold). _________________________________________________________________________________________________________________________

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A operação do ZOH é simples, durante os intervalos entre um sinal amostrado e outro ele mantém constante o ultimo valor.

Figura 13 – (a) amostrador real e o sustentador de ordem zero, (b) Modelo matemático que consiste em um amotrador impulsional e a função de transferência

B0  s  .

4.4.4 RECONSTRUINDO SINAIS ORIGINAIS DE SINAIS AMOSTRADOS Teorema da amostragem (Sampling Theorem): Se a frequência de amostragem (sampling frequency) é suficientemente elevada comparada com a componente de maior frequência presente no sinal continuo que se deseje amostrar, a amplitude característica deste sinal pode ser preservada no envoltório do sinal amostrado. Para se reconstruir um sinal original a partir de um sinal amostrado, existe uma frequência mínima que o processo de amostragem deve obedecer. Vamos assumir que um sinal contínuo no tempo x  t  tem um espectro de frequência mostrado na Figura 14. Este sinal não contem nenhuma componente com frequência superior a 1 radianos por segundo.

Figura 14 – Espectro de frequência.

Sampling Theorem (Teorema da amostragem: Se s , definido como 2 T , onde T é o período de amostragem, é maior que 2  1 .

s  2  1 Onde 1 é a componente de maior frequência presente no sinal contínuo no tempo x  t  , portanto, o sinal x  t  pode ser completamente reconstruído a partir do sinal amostrado x*  t  . Esta frequência também é conhecida na literatura como frequência de Nyquist N . O teorema implica que se s  2  1 então, conhecendo-se o sinal amostrado, é teoricamente possível reconstruir exatamente o sinal continuo no tempo original.

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Para apresentar a validade deste teorema, precisa-se encontrar o espectro de frequência do sinal amostrado x*  t  . A transformada de Laplace de x*  t  é apresentada a seguir, dependendo x(0 )  0 ou não.

X * s 

1 T



1

 X  s  j k   2 x(0 ) s

k 

Para obter o espectro de frequência, substitui-se s por j .

X *  j  

1 T



 X  j  j k  s

k 

1 1 1 X  j   s    X  j   X  j   s    ... T T T A equação anterior nos da o espectro de frequência de um sinal amostrado x*  t  . Pode-se observar  ... 

que o espectro de frequência de um sinal amostrado por impulsos se reproduz um número infinito de vezes e é atenuado pelo fator 1 T . Consequentemente o processo de modulação impulsional do sinal contínuo no tempo produz uma série de bandas laterais (sidebands). Com X *  s  é periódico com período 2 s .

X *  s   X *  s  js k  , .............k  0,1, 2,... Se a função X  s  tem um polo em s  s1 , então X *  s  tem polos em s  s1  js k (k=0,1,2...). A Figura 15 e a Figura 16 apresentam os espectros de frequência X *  j  versus  para dois valores de frequência de amostragem s . A Figura 15 corresponde a s  21 , enquanto a Figura 16 corresponde a s  21 . Cada esboço de X *  j  versus  consiste no X *  j  T repetido a cada

s  2 T rad/seg. No espectro de frequência de X *  j  o componente X *  j  T é chamado de



componente primário (primary component), e os outros componentes, X * j   s k 



T , são chamados

componentes complementares (complementary components).

Figura 15 – Espectro de frequência de

X *  j  versus  para amostragem com frequência s  21 .

Figura 16 - Espectro de frequência de

X *  j  versus  para amostragem com frequência s  21 .

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Se s  21 , não existirá sobreposição (overlap) entre dois componentes de X *  j  e o espectro da frequência de amostragem irá se repetir a cada s rad/seg. Se s  21 , a forma original de X  j  não aprece no gráfico de X *  j  versus  por causa da sobreposição do espectro. Se e somente se s  21 , conforme a Figura 15, pode-se reconstruir o sinal x  t  da Figura 14 a partir do sinal amostrado por impulsos x*  t  utilizando um filtro passa-baixa. É importante observar que apesar do teorema da amostragem requerer s  21 , onde 1 é a componente de maior frequência presente no sinal, considerações praticas sobre a estabilidade do sistema em malha fechada e outras considerações de projeto fazem com que a frequência de amostragem necessária seja muito maior que este valor teórico mínimo. Filtro passa-baixa ideal: O filtro passa-baixa ideal é um filtro teórico que permite a passagem de todo o sinal sem nenhuma atenuação até a freqüência de corte do filtro (sem distorção de amplitude ou fase), porém, assim que um sinal com frequência superior à de corte é aplica na entrada do filtro este irá bloqueá-la completamente. A magnitude do filtro é unitária entre a faixa de freqüência 

s

2

 

s

2

, e zero fora

desta faixa de frequência, sem defasamentos. O processo de amostragem introduz um número infinito de componentes complementares em adição ao componente primário. O filtro ideal irá atenuar todos os componentes complementares a zero e permitirá a passagem somente do componente primpário. A Figura 17 apresenta um exemplo de reconstrução de um sinal contínuo a partir de um sinal amostrado, utilizando um filtro passa-baixa ideal.

Figura 17 – Espectro de frequência dos sinais antes e depois do filtro ideal.

Entretanto um filtro passa-baixa ideal não é fisicamente realizável, seria necessário um sistema no qual a resposta no tempo na saída do filtro iniciasse antes da entrada ser aplicada no filtro, este filtro é dito não causal. Devido ao filtro ideal não ser implementável e como na prática sinais em sistemas de controle geralmente apresentam componentes em altas frequências, na pratica, não é possível, uma reconstrução exata de sinais contínuos no tempo a partir de sinais amostrados, não importando qual a frequência de amostragem escolhida. ZOH (Zero-Order Hold) ou Sustentador de ordem zero: Na maioria das aplicações a reconstrução do sinal amostrado é realizada pelo conversor D/A. Este conversor se comporta como um tipo um pouco diferente de filtro passa-baixa. Sua função de transferência: 1  e  sT B0  s   s Para comparar a resposta em frequência do ZOH com o filtro ideal, deve-se obter a resposta em frequência característica da função de transferência do ZOH. Substituindo s por j : B0  j  

sen  T 2   1 2 jT 1  e  jT T e j T 2

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B0  j  T

sen  T 2 

T 2 A magnitude se torna zero na frequência de amostragem e em múltiplos integrais da frequência de amostragem. A Figura 18 (a) apresenta a resposta em frequência característica do ZOH. Como pode-se observar existem picos indesejáveis nas frequências 3s 2 , 5s 2 e assim por diante. Observe que a magnitude cai mais do que 3dB ( 0, 637  3,92dB ) na frequência de s 2 . Devido ao decrescimento gradual da amplitude com o aumento da frequência, as componentes complementares vão sendo gradualmente atenuadas até zero. Como a magnitude do ZOH não é constante, quando um sistema é conectado a um ZOH (conversor D/A), distorções no espectro de frequência ocorrem no sistema. O deslocamento de fase (phase-shift) do ZOH pode ser obtido por: B0  j  T

sen  T 2  T 2

B0  j  sen

e 1 2  jT

T T  2 2

Observe que sen  T 2  alterna valores positivos e negativos quando  aumenta de 0 a s , s a

2s , 2s a 3s , e assim por diante. Portanto, a curva de fase é descontinua em   ks  2 k T , onde k  0,1, 2, 3,... . Tal descontinuidade ou alternância de um valor positivo para um valor negativo, ou vice versa, pode ser considerado um deslocamento de fase de 180 .

Figura 18 – (a) Curvas de resposta em frequência para o ZOH, curvas lineares; (b) Diagrama de Bode para T=1 seg.

A Figura 19 apresenta a comparação entre o filtro ideal e o ZOH. Para auxiliar a comparação, as magnitudes foram normalizadas. Pode-se observar que ao ZOH é um filtro passa-baixa, embora sua resposta não seja muito boa. Muitas vezes, filtros passa-baixa adicionais são utilizados para filtrar os sinais antes de sua amostragem e assim efetivamente remover as componentes de frequência superior a s 2 . _________________________________________________________________________________________________________________________

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Figura 19 – Comparação entre o filtro ideal e o ZOH.

A exatidão do ZOH como um extrapolador depende da frequência de amostragem s . A saída do sustentador será mais próxima possível do sinal contínuo original quanto menor for o período de amostragem. Sobreposição de espectros (Aliasing ou frequency folding): O fenômeno de sobreposição (overlap) no espectro de frequência é conhecido como folding. A Figura 20 apresenta a região onde erros de sobreposição (folding error) ocorem. A frequência N  s 2 é denominada de folding frequency ou Nyquist frequency.

N 

s 2



 T

Figura 20 – Diagrama mostrando as regiões onde os erros de sobreposição (folding error) ocorem.

Na pratica, sinais em sistemas de controle possuem componentes de alta frequência, e alguns efeitos de sobreposição irão quase sempre acontecer. Todos os sinais com frequências superiores a s 2 aparecem como sinais de frequência entre 0 e s 2 . Em alguns casos um sinal de frequência zero pode aparecer na saída. Aliasing: No espectro de frequência de um sinal amostrado por impulsos x*  t  , onde s  21 , conforme a Figura 21, considere uma frequência arbitraria  2 que cai na região da sobreposição do espectro de frequência. O espectro de frequência   2

compreende dois componentes,

X *  j2 

e

X *  j s  2   . A ultima componente provém do espectro de frequência centrado em    s . Assim, o espectro de frequência do sinal amostrado em    2 inclui componentes não apenas na frequência  2 mas também na frequência  s   2 (em geral n s   2 , onde n é um inteiro). Quando este espectro composto é filtrado por um filtro passa-baixa, algumas harmônicas de alta frequência estarão presentes na saída. A

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componente de frequência   n s   2 , irá aparecer na saída como se fosse a componente de frequência    2 . Não é possível distinguir o espectro de frequência de    2 do espectro para   n s  2 . Conforme a Figura 21, o fenômeno no qual a componente de frequência  s   2 aparece na frequência  2 quando o sinal x  t  é amostrado é denominado aliasing. Esta frequência  s   2 (em geral n s   2 ) é denominada um alias de  2 . A pronuncia correta é alias (êliás) e aliasing (êliassim).

Figura 21 – Espectro de frequência de sinal amostrado por impulsos x*  t 

Se um sinal for amostrado com frequência inferior à  N , então as componentes de alta frequência serão “folded in” rebatidas e aparecerão em baixas frequências. Para evitar o efeito de aliasing, deve-se adotar uma frequência de amostragem suficientemente alta (  s  2 N ) ou utilizar um pré-filtro antes do amostrador para eliminar freqüências acima da frequência de Nyquist. Oscilação oculta (Hidden Oscillation): Se um sinal contínuo no tempo x  t  envolve uma componente de frequência igual a n vezes a frequência de amostragem  s (onde n é um inteiro), portanto este componente não aparecerá no sinal amostrado. Por exemplo, se o sinal

x  t   x1  t   x2  t   s e n t  s e n 3t Onde x1  t   s e n t e x2  t   s e n 3t , x  t  é amostrado em t  0, 2 3, 4 3,... (a frequência de amostragem  s é 3 rad/seg), portanto, o sinal amostrado não apresentará a componente de frequência para

  3. rad seg , a mesma frequência de  s . Esta oscilação em x  t  entre os períodos de amostragem é denominada oscilação oculta (hidden oscillation).

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Figura 22 – Formas de onda de x1  t   s e n t , x2  t   s e n 3t e x  t   s e n t  s e n 3t . Sinal amostrado x  k  , onde a frequência de amostragem s  3. rad seg , não mostra oscilações para   3. rad seg .

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4.5 EXERCÍCIOS 1. As afirmações a seguir são verdadeira ou falsas? Comente-as: (a) A quantização (conversão de um sinal em forma analógica para um em forma digital) é realizada pelos conversores AD (analog-to-digital converter). Este erro de quantização depende do período de amostragem, quanto menor o período de amostragem menor o erro de quantização. (b) O sustentador de ordem zero (ZOH), tem a função de reconstruir o sinal amostrado proveniente do microcontrolador e torná-lo um sinal contínuo. (c) O teorema de shannon e Nyquist estabelece que para que um sinal amostrado possa ser reconstruído, este não pode conter frequências superiores a duas vezes a frequência na qual foi amostrado. 2. O que é aliasing em processamento digital de sinais? O que podemos fazer para evitar este inconveniente? 3. Qual a utilidade do filtro anti-aliasing? Qual a função de transferência de um filtro anti-aliasing? 4. O que é um sustentador de ordem zero? Qual sua função de transferência? 5. Questão Enade 2005. O diagrama de blocos ilustra um sistema para processamento digital de sinais.

Figura 23 - Sistema para processamento digital de sinais.

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Nesse diagrama: FPB = Filtro passa-baixa SH = Retentor ou amostrador de ordem zero (“sample and holder”) ADC = Conversor analógico-digital H(z) = Processamento digital DAC = Conversor digital-analógico FR = Filtro de reconstrução (ZOH) Marque (V) para as respostas verdadeiras e (F) para as respostas Falsas. Justifique as falsas. Analisando esse sistema conclui-se que: ( ) O FPB é necessário para garantir o correto funcionamento do bloco SH. ( ) FPB pode ser omitido nos casos em que o espectro do Sinal 1 está contido dentro da faixa de frequências de interesse. ( ) FR é um filtro rejeita-faixa, usado para atenuar a potência do sinal no entorno da frequência do relógio. ( ) o período de amostragem do SH deve ser superior ao tempo de conversão do ADC. ( ) FR é um filtro passa-baixa.

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Capítulo 5 – A Transformada Z

CAPÍTULO 5 A TRANSFORMADA Z 5.1 A TRANSFORMADA Z A transformada Z é um método matemático muito poderoso quando se trabalha com sistemas de tempo discreto. Assim como a transformada de Laplace promove uma mudança de base que lineariza as respostas exponenciais no tempo ( eat ), a transformada Z promove também uma mudança de base que lineariza atrasos de transporte ( e  s ), também conhecidos como tempo morto. Observação: A função e  s representa um atraso de  segundos. No item 6.4.2 definiu-se a equação matemática para o sinal amostrado onde: 

x*  t    x  kT     t  kT  k 0

Aplicando a transformada de Laplace ao sinal amostrado x*  t  .

  X * ( s )  £ x* (t )  £  x  kT     t  kT    k 0 







   X *  s    e  st    x  kT     t  kT   dt  k 0  0 



X *  s    x  kT   e  st    t  kT  dt k 0

0



X *  s    x  kT   e kTs k 0

Observe que a transformada de Laplace do sinal amostrado não conseguiu linearizá-lo, pois persiste sT um termo de atraso ( e kTs ). Para tanto vamos definir uma nova variável complexa z , onde z  e e 1 consequentemente s  ln z . O termo e kTs se transforma em z  k . T 1    X  z   X *  s  ln z    x  kT   z  k T   k 0 

X  z    x  kT   z  k k 0

Ou seja, a transformada Z de x  t  será definida como:

_________________________________________________________________________________________________________________________

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61

Capítulo 5 – A Transformada Z



X  z     x  t    x  kT   z  k k 0

A transformada Z unilateral: 

x  z    x  kT   z  k ,

onde x  z   0 para t  0

k 0

x  z   x  0   x T  z 1  x  2T  z 2  ...  x  kT  z  k  ... A transformada Z é uma série infinita em z 1 , cujo raio de absoluta convergência é z . Ou seja, ela só converge para z  1 . O sistema será estável somente para z  1 . Observação: A transformada Z considera apenas os valores do sinal nos instantes de amostragem, X  z  depende apenas dos valores de x  t  em t  kT , portanto, a transformada Z inversa nos da apenas informação nos instantes de amostragem.

5.1.1 TRANSFORMADA Z DE FUNÇÕES ELEMENTARES Função degrau unitário x  t   1 t  : 1, t  0 x  t   1 t    0, t  0 



k 0

k 0

x  z    1 t    1 kT   z  k  1  z  k 

x  z     z 1 

k

k 0

Esta é uma progressão geométrica (PG): 

k

x  z     z 1   1  z 1  z 2  z 3  ...  k 0

x z 

1 1  z 1

1 1  z 1

Função rampa unitário x  t   t : t , t  0 x t    0, t  0

x  kT   kT , k  0,1, 2,3... 



k 0

k 0

x  z    1 t      kT   z  k  T   k  z  k

x  z   T  z 1  2 z 2  3z 3  ...  Tz 1 1  2 z 1  3z 2  ... _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 5 – A Transformada Z

2

Tz 1  1  x  z   Tz 1   2 1   1  z  1  z 1 

x z 

Tz 1 1 2

1  z 

Função exponencial x  t   eat : e at , t  0 x t    0, t  0

x  kT   eakT , k  0,1, 2,3... 



k 0

k 0

x  z     eat    eakT  z  k    eaT  z 1  

k

x  z     e aT  z 1   k 0

x z 

k

1 1   e aT  z 1 

1 1   e  z 1  aT

5.1.2 PROPRIEDADES E TEOREMAS IMPORTANTES DA TRANSFORMADA Z Multiplicação por constante:   a  x  t    a  x  z  Linearidade:   a  x  t   b  y  t    a  x  z   b  y  z 



 

Multiplicação por exponencial:  eat  x  t   x eaT  z

Derivada da transformada:

d  z k  dz



  k  z  k 1   k  z  k 1

Deslocamento (Shifting): A cada atraso de T segundos (1 período de amostragem) basta multiplicar a função de transferência por z 1 .  eTs  z 1

 

 e kTs   z  k z 1  y  z   lim  z  1  y  z  z 1 z V f  lim  z  1  y  z 

Teorema do valor final: lim y  kT   lim k 

z 1

z 1

Teorema do valor inicial: lim y  kT   lim k 0

z 

z 1  y  z   lim y  z  z  z

_________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 5 – A Transformada Z

Vi  lim y  z  z 

5.2 A TRANSFORMADA Z INVERSA A transformada Z inversa é obtida de forma similar à transformada inversa de Laplace. Geralmente, a transformada Z é a razão entre dois polinômios de variáveis complexas z, com o polinômio do numerador não possuindo ordem maior que a do denominador. Obtendo a transformada Z inversa pode-se encontrar a sequência associada com o polinômio da transformada Z. Assim como no caso da transformada inversa de Laplace, procura-se a reposta no tempo do sistema. Portanto, utiliza-se a transformada z inversa para obter y  t  a partir de Y  z  . Existem diversos métodos para encontrar a transformada Z inversa de uma função dada. Os seguintes métodos serão descritos aqui. I. II. III.

Séries de Potência (Divisões longas); Expandir Y  z  em frações parciais e utilizando a tabela de transformada Z para encontrar a transformada inversa. Obtendo a transformada Z inversa utilizando uma inversão integral.

Dada uma função de transferência Y  z  , podem-se encontrar os coeficientes de uma sequência associada y  kT  nos instantes de amostragem utilizando a transformada Z inversa. A função no tempo y  t  é então determinada como: 

y  t    y  kT     t  kT  k 0

Método 1: Séries de potência. Este método envolve dividir o numerador de Y  z  pelo denominador de modo a se obter uma série de potências na forma:

Y  z   y0  y1 z 1  y2 z 2  y3 z 3  Observe que os valores de y  kT  são os coeficientes da série de potência.

Exemplo 5.1 Encontre a transformada Z inversa para a função de transferência: Y z 

z2  z z 2  3z  4

Solução: Dividindo o numerador pelo denominador: z 2  z.............. z 2  3 z  4....................................... z 2  3z  4........1  4 z 1  8 z 2  8 z 3 .......4 z  4 ....................4 z  12  16 z 1

............................8  16z 1 _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 5 – A Transformada Z

..........................................8  24 z 1  32 z 2

..................................................8 z 1  32 z 2 ...............................................................8z 1  24 z 2  32 z 3 ................................... E os coeficientes da série de potência são: y  0   1, y T   4, y  2T   8, y  3T   8, 

A sequência requerida é:

y  t     t   4  t  T   8  t  2T   8  t  3T  

Figura 1 – As primeiras amostras de y  t  .

Exemplo 5.2 Encontre a transformada Z inversa para a função de transferência: Y  z 

z z  3z  2 2

Solução: Dividindo o numerador pelo denominador: ..................z...................... z 2  3 z  2.......................................

.......z  3  2 z 1 .......z 1  3 z 2  7 z 3  15 z 4 

......3  2z 1 3  9 z 1  6 z 2 7 z 1  6 z 2 7 z 1  21z 2  14 z 3

15z 2  14 z 3 15z 2  45z 3  30 z 4 ...................................................... E os coeficientes da série de potência são:

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Capítulo 5 – A Transformada Z

y  0   0, y T   1, y  2T   3, y  3T   7, y  4T   15, 

A sequência requerida é:

y  t     t  T   3  t  2T   7  t  3T   15  t  4T  

Figura 2 – As primeiras amostras de y  t  .

Método 2: Frações parciais. Similar à transformada inversa de Laplace, a expansão em frações parciais da função Y  z  pode ser encontrada, portanto, tabelas de transformadas Z conhecidas podem ser utilizadas para determinar a transformada Z inversa. Analisando a tabelada da transformada Z, pode-se observar que geralmente existe um termo z no numerador. Portanto, é mais conveniente encontrar as frações parciais da função Y  z  z e então multiplicar as frações parciais por z para se obter um termo z no numerador. Exemplo 5.3 Encontre a transformada Z inversa para a função de transferência: z Y z   z  1 z  2  Solução: A expressão acima pode ser re-escrita como: Y  z 1 A B    z  z  1 z  2  z  1 z  2 Os valores de A e B podem ser encontrados fazendo a multiplicação cruzada onde:

A  z  2   B  z  1  1 Por superposição, calcula-se A fazendo z  1 e B fazendo z  2 . Encontramos A  1 e B  1 .

Y  z z



1 1  z 1 z  2

ou

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Capítulo 5 – A Transformada Z

Y  z 

z z  z 1 z  2

Da tabelada de transformada Z (ao final deste capítulo) pode-se encontrar:

y  kT   1  2k E os coeficientes da série de potência são: y  0   0, y T   1, y  2T   3, y  3T   7, y  4T   15, 

A sequência requerida é:

y  t     t  T   3  t  2T   7  t  3T   15  t  4T   Exemplo 5.4 Encontre a transformada Z inversa para a função de transferência: 1 Y  z  z  1   z  2  Solução: A expressão acima pode ser re-escrita como: Y z 1 A B C     z z  z  1 z  2  z z  1 z  2 Os valores de A, B e C podem ser encontrados fazendo a multiplicação cruzada onde:

A  z  1 z  2   Bz  z  2   Cz  z  1  1

ou A  z 2  3z  2   B  z 2  2 z   C  z 2  z   1 Por superposição, calcula-se B fazendo z  1 e C fazendo z  2 . Encontramos B  1 e C  0,5 . Da equação anterior pode-se deduzir facilmente que 2 A  1 , portanto, A  0,5 . Y  z 1 1 1    z 2 z z  1 2  z  2 ou 1 z z Y  z    2 z  1 2  z  2 Da tabelada inversa da transformada Z pode-se encontrar:

y  kT   a  1 

2k  a  1  2k 1 2

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Capítulo 5 – A Transformada Z

1 2, ...k  0, a 0, ......k  0, E os coeficientes da série de potência são: y  0   0, y T   0, y  2T   1, y  3T   3, y  4T   7, y  5T   15, 

A sequência requerida é:

y  t     t  2T   3  t  3T   7  t  4T   15  t  5T   Caso I: Raízes reais distintas. Quando Y  z  tem raízes distintas na forma Y  z 

N  z

 z  p1  z  p2  z  p3  z  pn 

Portanto, a expansão em frações parciais pode ser escrita como: A3 An A1 A2 Y z       z  p1   z  p2   z  p3   z  pn  E os coeficientes Ai podem facilmente ser encontrados como:

Ai   z  pi  Y  z  z  p ......... para..i  1, 2, 3, , n i

Exemplo 5.5 Encontre a transformada Z inversa para a função de transferência: z2  z Y  z   z  0,5  z  0,8 z  1 Solução: A expressão acima pode ser reescrita como: Y  z A B C    z z  0,5 z  0,8 z  1 Os valores de A, B e C podem ser encontrados fazendo:

A   z  0,5

z 1  10  z  0,5 z  0,8 z  1 z 0,5

B   z  0,8

z 1  30  z  0,5 z  0,8 z  1 z 0,8

C   z  1

z 1  20  z  0,5 z  0,8 z  1 z 1

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Capítulo 5 – A Transformada Z

Consequentemente,

Y  z 

10 z 30 z 20 z   z  0,5 z  0,8 z  1

Da tabelada inversa da transformada Z pode-se encontrar: k

k

y  kT   10   0,5  30   0,8   20 E os coeficientes da série de potência são: y  0   0, y  T   1, y  2T   3,3, y  3T   5,89, 

A sequência requerida é:

y  t     t  T   3,3  t  2T   5,89  t  3T   Caso II: Raízes de múltiplas ordens. Quando Y  z  tem raízes de múltipla ordem na forma: Y  z 

N z

N z



 z  p1  z  p1  z  p1  z  p1   z  p1 r

Portanto, a expansão em frações parciais pode ser escrita como: Y z 

1



2

 z  p1   z  p1 

2



3

 z  p1 

3

 

r

 z  p1 

r

E os coeficientes i podem ser encontrados como:

r k 

1 dk  r X  z  k  z  pi   k ! dz  z  z p i

Exemplo 5.6 Encontre a transformada Z inversa para a função de transferência: z 2  3z  2 Y  z  2  z  5 z  0,8  z  2  Solução: A expressão acima pode ser reescrita como: Y  z z 2  3z  2 A B C D E       2 z z z  5 z  0,8  z  2   z  2 2 z  z  5  z  0,8  z  2  Os valores de A, B e C podem ser encontrados fazendo:

A z

z 2  3z  2 z  z  5  z  0,8 z  2 

 0,125

2 z 0

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Capítulo 5 – A Transformada Z

B   z  5

z 2  3z  2 z  z  5 z  0,8 z  2 

 0,0056

2 z 5

2

C   z  0,8

E   z  2

D

z  3z  2 z  z  5  z  0,8 z  2 

 0,16

2 z  0,8

z 2  3z  2

2

z  z  5 z  0,8  z  2 

d  z 2  3z  2    dz  z  z  5 z  0,8 

 0, 48

2 z 2

z 2

 2 z  3 z  z  5 z  0,8   z 2  3z  2  3z 2  8, 4 z  4     2 3 2  z  4, 2z  4 z 

 0, 29 z 2

Consequentemente,

Y  z   0,125 

0,0056 z 0,16 z 0, 29 z 0, 48 z    z5 z  0,8  z  2   z  2 2

Da tabelada inversa da transformada Z pode-se encontrar: k

k

k

y  kT   0,125a  0,0056   5   0,16   0,8  0, 29   2   0, 24  k   2 

k

1, .......n  0, a 0, ......n  0, Método 3: Método da convolução integral (Convolution Integral Method). A transformada Z inversa pode ser obtida utilizando a integral inversa, definida por:

y  kT  

1

Y  z z 2 j 

k 1

dz

r

Utilizando o teorema dos resíduos, a integral acima pode ser calculada a partir da expressão:

y  kT  



Para . polos .de ...Y  z  z k 1   

 residuos.de.Y  z  z k 1 

Se a função tem um pólo simples em z  a , então o resíduo é obtido como:

 residuo z a   z  a  Y  z  z k 1  Y  kT    z  a   Y  z   z k 1

z a

  z  b   Y  z   z k 1

z b

  z  c   Y  z   z k 1

z c



Exemplo 5.7 Utilizando o método da convolução integral, encontra-se a transformada Z inversa de:

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70

Capítulo 5 – A Transformada Z

Y z 

z

 z  1 z  2 

Solução

Y  kT    z  1

z

 z  1 z  2  Y  kT  

 z k 1

zk z2

  z  2 z 1

 z 1

z

 z  1 z  2 

 z k 1 z 2

zk  1  2 k z  1 z 2

Exemplo 5.8 Utilizando o método da convolução integral, encontra-se a transformada Z inversa de: z Y z   z  1 z  2  z  3 Solução

Y  kT  

zk zk zk 1 3k     2k  2  z  2  z  3 z 1  z  1 z  3 z 2  z  1 z  2  z 3 2

________________________________________________________________________________________

5.3 EXERCÍCIOS: 1) Determinar a transformada  das funções f1  t  e f 2  t  usando a definição e período de amostragem T. (b) f 2  t   e

(a) f1  t   e at , Resp.: F1  z  

1 1 e z aT

1

Resp.: F2  z  



a t 5T 

onde

fi  t   0 , t  0

z 5 1   eaT z 1 

2) Calcule a transformada  de f  t   at , a  0 . Para o cálculo use a definição e a seguinte propriedade das derivadas:

d  zk  dz

 k  z  k 1   k  z  k 1 ,





Resp.: F  z  

3) Usando a propriedade  t  f  t   T  z  (a) f1  t  

at 2 , 2

Resp.: F1  z  

z  a T

 z  1

2

d  F  z   , calcule as transformadas de: dz

(b) f 2  t   ate bt

aT 2 z ( z  1) 2  z  13

Resp.: F2  z  

aTze bT

z e   bT

2

4) Usando tabeladas e propriedades, calcular as transformadas  das funções de transferência: (a) G1  s  

1 2

 s  1   s  2 

,

(b) G2  s  

 s  1 , 2  s  5

(c) G3  s  

2   s  2  s  3   s  5 

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71

Capítulo 5 – A Transformada Z

Lembrar:

G2  z  

£ t  e at    s  a 2 z



4Tze5T

z e  z e  5T

5T

2

Resp.: G1  z   Resp.: G3  z  

,

z

z



Tze T



z

z e  z e  z  e 



2 T

T

2

T

, Resp.:

3z

z e  z e  3T

5T

5) Calcular os valores final e inicial das sequências digitais cujas transformadas são: (a) E1  z   (c) E3  z  

z  z  2

 z  1  z

2

 3 z  1

k  z  z  2

 z  1 z  0,5  z  2   z 2  0, 5 z  0, 4 

k  z  z  1

(b) E2  z  

,

,

(d)

 z  1  z 2  0,5 z  0,5  2  z  0,5  E4  z    z  1 z  0,75

,

6) Obtenha a transformada inversa das duas funções de transferência a seguir pelos métodos I, II e II. Y1  z  

 z  1 2  z  1   z  3

Y2  z  

3   z  0,82 

 z  0,5   z  0,6 

(a) Método 1: Séries de potência. (b) Método 2: Frações parciais. (c) Método 3: Método da convolução integral.

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Capítulo 6 – Mapeamento Entre o Plano S e o Plano Z e Estabilidade em Sistemas Discretos

72

CAPÍTULO 6 MAPEAMENTO ENTRE O PLANO S E O PLANO Z ESTABILIDADE EM SISTEMAS DISCRETOS 6.1

MAPEAMENTO ENTRE O PLANO S E O PLANO Z

Para fins de análise e projeto, é importante estudar a relação entre a localização das raízes da equação características no plano Z e o tempo de resposta dos dados discretos do sistema. A propriedade periódica da transformada de Laplace do sinal amostrado X *  s  é estabelecida pela equação X *  s  jms   X *  s  onde m é um inteiro. Em outras palavras, dado qualquer ponto s1 no plano S, a função X *  s  tem o mesmo valor

em todos os pontos s  s1  jms . Assim, o plano S é divido em um número infinito de faixas (strips) periódicas, como mostrado nas Figura 1 e Figura 2. A faixa entre    s 2 é chamado a faixa principal, e todos os outros em frequências mais altas são chamadas de faixas complementares. As Figura 1 e Figura 2 mostram também o mapeamento das faixas complementares do plano S para o plano Z, e os detalhes são explicados como se segue. 

O eixo j no plano s é mapeado sobre o círculo unitário z  1 no plano Z.



Os limites das faixas, s  jms 2 , m  1, 3, 5,..., são mapeados no eixo real negativo do plano Z. A parte interior do círculo unitário corresponde a   0 e a parte exterior do círculo unitário corresponde a   0 . Obs.: A parte real do pólo é  , pois, s    jd . As linhas de centro das faixas periódicas, s  jms , m  0, 2, 4,..., são mapeados no eixo real positivo do z-plano. A parte interior do círculo unitário corresponde a   0 , e a parte exterior do círculo unitário corresponde a   0 . Regiões mostradas nas faixas periódicas na metade esquerda do plano S (spE) são mapeados para o interior do círculo unitário no plano Z. O ponto z  1 no plano Z corresponde à origem, s  0 , no plano S. A origem, z  0 , no plano Z corresponde a s   , no plano S.



  

Figura 1 - Faixas primária no plano S e os pontos e as linhas correspondentes entre o plano S e o plano Z.

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Figura 2 – Faixas complementares no plano S e os pontos e as linhas correspondentes entre o plano S e o plano Z.

Na análise no domínio de tempo de sistemas de dados contínuos, tem-se o amortecimento  , o coeficiente de amortecimento  , e a frequência natural não amortecida  n para caracterizar a dinâmica do sistema. Os mesmos parâmetros podem ser definidos para sistemas de dados amostrados com relação às raízes da equação característica no plano Z. O Lugar Geométrico das Raízes (LGR) para  constante,  constante,  constante, e n constante no plano Z são descritos nas seções seguintes. (a) Amortecimento Constante: Para um amortecimento    correspondente no plano Z é descrita por:

no plano S, a trajetória

z  eT Que é um circulo centrado na origem com raio de eT , como mostrado nas Figura 3 e Figura 4.

Figura 3 – Amortecimento constante.

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Figura 4 – Região onde amortecimento é maior que  1 .

(b) Frequência Constante: O lugar para frequência constante   1 no plano S é um linha horizontal paralela ao do eixo  . O lugar correspondente no plano Z é uma linha reta emanando da origem a um ângulo   1T radianos, medido a partir do eixo real, como mostrado nas Figura 5 e Figura 6.

Figura 5 – Frequência constante.

Figura 6 – Região limitada entre dois valores distintos de frequência e amortecimento.

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(c) Frequência natural não amortecida Constante: O lugar para frequência natural constante  n no plano S é um circulo concêntrico com centro na origem e o raio é  n . O lugar correspondente no plano Z é mostrado na Figura 7 para n  s 16 a n  s 2 . Somente o lugar dentro do circulo unitário é apresentado.

Figura 7 – Frequência natural não amortecida constante.

(d) Coeficiente de amortecimento Constante: Para um coeficiente de amortecimento constante o lugar das raízes no plano S corresponde a:

s   tan   j No plano Z o coeficiente de amortecimento constante  é descrito por:

z  esT  e

2  tan   s

 2 s

Onde

  sin 1   constante Para um dado valor de  , o lugar geométrico para  constante no plano Z, descrito pela equação acima. É uma espiral logarítmica para 0    90 . A Figura 8 mostra valores típicos para  constante na metade superior do plano Z.

Figura 8 – Coeficiente de amortecimento constante. _________________________________________________________________________________________________________________________

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A Figura 9 apresenta os lugares das raízes nos planos S e Z para frequência natural e coeficiente de amortecimento constantes.

Figura 9 – Frequência natural e coeficiente de amortecimento constantes.

6.2 ESTABILIDADE EM SISTEMAS DISCRETOS Esta sessão tem como objetivo tratar de varias técnicas para analise de estabilidade em sistemas de tempo discreto. Suponha que tenhamos a função de transferência de malha fechada: Y  z B0G  z  N  z   R  z  1  B0GH  z  D  z  Onde 1  GH  z  é também conhecida como equação característica. A estabilidade do sistema depende da localização dos pólos da função de transferência de malha fechada, ou seja, das raízes da equação característica D  z   0 . Como vimos no item 6.1 o lado esquerdo do plano S (spE), onde o sistema contínuo é estável, é mapeado dentro do círculo unitário no plano Z. Portanto, pode-se afirmar que um sistema no plano Z será estável se todas as raízes da equação característica, D  z   0 , estiverem dentro do círculo unitário. Existem diversos métodos para checar a estabilidade de um sistema de tempo discreto. 

Fatorar D  z   0 e encontrar suas raízes, consequentemente, os pólos de malha fechada.



Determinar a estabilidade do sistema sem encontrar os pólos de malha fechada, através do teste de Jury. Mapear os pólos discretos no plano S e analisar a estabilidade do sistema utilizando o critério de Routh-Hurwitz. Utilizar o método gráfico do lugar geométrico das raízes (LGR) no plano Z para determinar a posição dos pólos do sistema.

 

Com base nas discussões da última seção, podemos estabelecer a relação básica entre as raízes da equação característica e a resposta transitória de um sistema de dados discreto, tendo em mente que, em geral, os zeros da função de transferência de malha fechada também vão desempenhar um papel importante na resposta, mas não sobre a estabilidade do sistema.

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Figura 10 - (a) Respostas transitórias correspondentes a posições dos diferentes pólos de Y

*

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 s  no plano s (pólos

complexos conjugados apenas). (b) Resposta transitória sequencial correspondente às posições dos vários pólos de Y  z  no plano Z.

(a) Raízes no eixo real positivo do Plano Z: Raízes no eixo real positivo dentro do círculo unitário do plano z dão origem a respostas que decaem exponencialmente com o aumento de kT . Respostas típicas em relação à posição dos pólos são mostrados nas Figura 10 e Figura 11. As raízes mais próximas ao círculo unitário apresentam respostas mais lentas. Quando a raiz está em z  1 , a resposta tem uma amplitude constante. Raízes fora do círculo unitário correspondem a sistemas instáveis, e as respostas aumentam com kT . (b) Raízes no eixo real negativo no Plano Z: O eixo real negativo no plano Z corresponde aos limites das faixas periódicas no plano S. Por exemplo, quando s   1  j s 2 os pólos complexos conjugados estão nos limites da faixa principal no plano S. O correspondente plano Z são:

z  e1T  e  j sT 2  e1T Que estão no eixo real negativo do plano Z. Para a frequência de  s 2 , a sequência de saída terá exatamente uma amostra em cada metade do período do envelope. Assim, a sequência de saída ocorrerá em pulsos alternados entre positivos e negativos, como mostrado na Figura 11 (b).

Figura 11 - (a) Respostas transitórias correspondentes a posições dos diferentes pólos de Y *  s  no plano s (pólos complexos conjugados nos limites entre as faixas periódicas). (b) Resposta transitória sequencial correspondente às posições dos vários pólos de Y  z  no plano Z. _________________________________________________________________________________________________________________________

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(c) Raízes complexas conjugadas no Plano Z: Pólos complexos conjugados no interior do circulo unitário no plano z correspondem às respostas oscilatórias que se decompõem com o aumento de kT . Pólos mais próximos ao círculo unitário irão decair mais lentamente. Quando os pólos se movem em direção ao segundo e terceiro quadrantes, a frequência de oscilação da resposta aumenta. Referem-se a Figura 10 e Figura 11 para exemplos típicos.

6.2.1 FATORAÇÃO DA EQUAÇÃO CARACTERÍSTICA A estabilidade de um sistema pode ser determinada se a equação característica puder ser fatorada. Este método tem a desvantagem que nem sempre é fácil fatorar a equação característica. Além disso, este tipo de teste nos diz somente se o sistema é estável ou não. Não é possível conhecer a margem de estabilidade ou o quanto o sistema é afetado se o ganho ou algum outro parâmetro do sistema sofre mudança.

Figura 12 – Sistema em malha fechada.

Exemplo 6.1 A Figura 12 apresenta um sistema em malha fechada. Determine quando o sistema é estável ou não. Assuma T  1seg . Solução A função de transferência do sistema em malha fechada é: V  z 

Y  z B0G  z   R  z  1  B0 G  z 

B0G  z  é a função de transferência discreta obtida aplicando a transformada Z em B0  s   G  s  . Sendo B0  s  a função de transferência do sustentador de ordem zero (ZOH), item 4.4.3.  sT 1  e  sT 4   1 e  4  B0 G  z             s  2 s  s  2   s  s  4   4  1 B0 G  z    1  e sT       1  z       s  s  2    s  s  2  

B0 G  z   1  z 1  

2 z 1  e2T 

2 z 1  e2T   z 1  ~    z  1   z  e2T   z   z  1   z  e2T  B0 G  z  

2 1  e 2T 

z e  2T

Para T  1seg

B0 G  z  

1,729  z  0,135

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As raízes da equação característica são 1  B0G  z   0 , onde obtém-se z  1,594 o que esta fora do círculo unitário, e consequentemente o sistema é instável.  A partir do exposto acima podemos concluir que para calcular B0G  z  basta fazer: G  s  B0 G  z   1  z 1       s 

Exercício proposto 6.1 Para o sistema do exemplo 6.1, encontre o valor de T para o qual o sistema é estável. Resposta: T  0,549seg

6.2.2 CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE JURY O critério de estabilidade de Jury é similar ao Routh-Hurwitz utilizado para sistemas contínuos. Embora o teste de Jury possa ser aplicado a equações características de qualquer ordem, sua complexidade aumenta para sistemas de ordens elevadas. Para descrever o critério de Jury, expressemos a equações característica de um sistema de tempo discreto de ordem n como: F  z   an z n  an 1 z n 1    a1 z  a0 Para an  0 pode-se formar a configuração apresentada na Tabela 1. Os elementos desta configuração são definidos como se segue:  Os elementos de cada uma das linhas pares são os elementos da linha anterior, em ordem invertida.  Os elementos de cada uma das linhas pares são definidas como: a an  k b bn  k 1 c cn  k  2 , , bk  0 ck  0 dk  0 an ak bn 1 bk cn  2 ck Tabela 1 – Configuração para o critério de estabilidade de Jury.

A condição necessária e suficiente para que a equação característica F  z  tenha raízes dentro do círculo unitário são dadas como:

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 1

F 1  0 ,

n

F  1  0 ,

a0  an ,

80

8.1

b0  bn 1 c0  cn  2 d 0  d n 3

 8.2

...... ...... m0  m2

 

O critério de Jury é então aplicado da seguinte forma: Verifique as três condições apresentadas em  8.1 e pare se alguma delas não é satisfeita. Construa as condições dadas na Tabela 1 e verifique as condições apresentadas em  8.2  . Pare se alguma delas não é satisfeita.

O critério de Jury pode se tornar complexo se a ordem do sistema aumentar. Para sistemas de ordem 2 e 3 o teste reduz para as seguintes regras simples. Dado um sistema com equação característica de segunda ordem:

F  z   a2 z 2  a1 z  a0  0 , onde a2  0 , Nenhuma das raízes da equação característica estará sobre ou fora do círculo unitário se:

F 1  0, F  1  0, a0  a2 , Dado um sistema com equação característica de terceira ordem:

F  z   a3 z 3  a2 z 2  a1 z  a0  0 , onde a3  0 , Nenhuma das raízes da equação característica estará sobre ou fora do círculo unitário se:

F 1  0, F  1  0, a0  a3 , a det  0  a3

a3  a  det  0  a0   a3

a1  . a2 

Exemplo 6.2 Sendo B0 G  z  

N  z 0, 2 z  0,5 , utilizando o critério de Jury, determine a estabilidade deste  z  1, 2 z  0, 2 D  z  2

sistema em malha fechada para um controlador proporcional k . Determinar o valor de k para o qual o sistema é estável. Solução N  z N z k k  B0 G  z  D z Dz k  N  z V  z     N  z D z  k  N z D z  k  N  z 1  k  B0G  z  1 k  D z D z k

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A equação característica será: D  z   k  N  z   z 2  1, 2 z  0, 2  k   0,2 z  0,5  0 , onde k  0 . Aplicando o critério de Jury,

F 1  0,7k  0, 2  0, F  1  0,3k  2, 2  0,0,5k  1, Portanto, o sistema é estável para 0,285  k  2 .

Exemplo 6.3 z  0,7 , utilizando o critério de Jury, determine a estabilidade deste z  2 z 2  1, 4 z  0,1 sistema em malha fechada para um controlador proporcional k . Determinar o valor de k para o qual o sistema é estável. Sendo B0 G  z  

3

Solução A equação característica será: D  z   k  N  z   z 3  2 z 2  1,4 z  0,1  k   z  0,7   0 , onde k  0 . Aplicando o critério de Jury, a3  1 , a2  2 , a1  1, 4  k , a0  0,1  0,7 k

F 1  0,3  1,7k  0, F  1  4,5  0,3k  0, 0,1  1, A primeira condição será satisfeita para k  0,1765 .  0,1  0,7 k  det  1 

1   0,1  0,7 k    det  1  0,1  0,7 k   

 0,1  0,7k 

2

1, 4  k   . 2

 

 1  2   0,1  0,7k   1, 4  k 

0, 49k 2  2, 26k  0, 21  0  k1  0,095   k2  4,517

Portanto o sistema será estável para 0,1765  k  0,095 . ________________________________________________________________________________________

6.3 EXERCÍCIOS 1) Para um período de amostragem de T  0,1seg , mapeie os seguintes pólos do plano S para o plano Z:  (a) s  0,1 ; (b) s  10 ; (c) s  5 ; (d) s  0,3  j1 ; (e) s  3  j1 ; (f) s  1000  j ; T 2) Para um período de amostragem de T  0,5seg , mapeie os seguintes pólos do plano Z para o plano S: (a) z  0,1; (b) z  0,1 ; (c) z  2 ; (d) z  0,3  j1 ; (e) z  0,8  j 0,7 ; (f) z  1,5  j 2 ;

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3) Para um período de amostragem de T  2seg , mapeie os seguintes pólos do plano Z para o plano S: (b) z  0,1; (b) z  0,1 ; (c) z  2 ; (d) z  0,3  j1 ; (e) z  0,8  j 0,7 ; (f) z  1,5  j 2 ; 4) Esboce de forma qualitativa a resposta no tempo para os pólos de malha fechada. O período de amostragem é o mesmo para todos. Para facilitar o esboço não é necessário desenhar os degraus da resposta discreta.

a)

b)

c)

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d)

5) Sendo B0 G  z  

z  z  0,79 

, utilizando o critério de Jury, determine a estabilidade deste 3z  7 z 2  11, 4 z  3 sistema em malha fechada para um controlador proporcional k . Determinar o valor de k para o qual o sistema é estável. 3

6) Questão Enade 2008. Na Figura 13 encontram-se, à esquerda, os gráficos no plano z, contendo as raízes características de três funções de transferências de modelos discretos, que estão traçadas em relação ao círculo unitário. À direita, são mostrados gráficos de sequências temporais de modos característicos para entrada do tipo impulso.

A correspondência entre os gráficos é: Justifique a resposta.

( ) 1-Y, 2-Z e 3-W

( ) 1-Y, 2-W e 3-Z

( ) 1-X, 2-Z e 3-Y

( ) 1-W, 2-Y e 3-X

( ) 1-W, 2-Z e 3-X

Figura 13 – Sequencias temporais.

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Capítulo 7 – Projeto de Controladores Discretos

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CAPÍTULO 7 PROJETO DE CONTROLADORES DISCRETOS 7.1 INTRODUÇÃO O projeto de um sistema de controle discreto tem inicio com um modelo do processo a ser controlado. Então um algoritmo de controle é desenvolvido para promover a resposta requerida para o sistema. O sistema é realimentado com um microcontrolador ou computador como controlador do sistema. O computador implementa o algoritmo de controle para obter a resposta requerida. Diversos métodos podem ser utilizados para o projeto de um controlador digital:  

 

A função de transferência é modelada e obtida no plano S. O controlador é projetado no plano S e em seguida é discretizado utilizando-se algum método de discretização (projeto por emulação). A função de transferência é modelada e obtida no plano S. Esta função de transferência então é transformada em uma função de transferência discreta (no plano Z) e o controlador é projetado diretamente no plano Z (projeto discreto direto). A função de transferência é modelada e obtida como um sistema digital e o controlador é projetado diretamente no plano Z. A função de transferência contínua é transformada para o plano W. Um controlador adequado então é projetado no plano W utilizando a resposta no tempo (lugar das raízes) ou a resposta em frequência (Diagrama de Bode) desejada. O projeto final é transformado para o plano Z e o algoritmo é implementado no computador digital.

Neste capítulo estamos interessados principalmente no projeto de um controlador digital utilizando o segundo método, onde o controlador é projetado diretamente no plano Z. No entanto, abordaremos também o primeiro método, projeto por emulação.

7.2 ESTRUTURAS DE CONTROLADORES As estruturas dos controladores discretos são os equivalentes discretos das estruturas dos controladores contínuos (analógicos). Podemos ter controladores do tipo proporcional, proporcional-integral, proporcional-derivativo, proporcional-integral-derivativo, e de avanço e atraso de fase. A Tabela 1 resume as estruturas dos controladores. Tanto as equações de diferença quanto a função de transferência discreta de cada controlador são apresentadas.

Figura 1 – Diagrama de blocos de um controlador discreto.

C z 

C k  

uz e z

u k 

ek  Observação: De agora em diante para simplificar a escrita das equações de diferença iremos omitir o termo T , utilizaremos, por exemplo, e  k  ao invés de e  kT  .

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Capítulo 7 – Projeto de Controladores Discretos

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Tabela 1 – Tipos de Controladores Discretos.

Tipo de Controlador

Transformada Z

Equações de diferença

Proporcional (P)

C  z  K p ,

u k   K p  ek 

z z 1 z 1 C  z   Kd  z

u  k   u  k  1  Ki  e  k 

C  z   Ki 

Integral (I) Derivativo (D) Proporcional-Integral (PI) * É um atraso de fase também

ProporcionalDerivativo (PD) * É um avanço de fase também

Proporcional-IntegralDerivativo (PID)

C  z   K pi 

z  z 1

u  k   u  k  1  K pi   e  k     e  k  1 

C  z   K pd 

z  z

u  k   K pd   e  k     e  k  1 

C  z   K pid 

Avanço de fase (Lead)   Atraso de fase (Lag)  

 z   z     z  1   z   

C  z   K LL 

Cdb  z  

Dead-Beat

u  k   K d   e  k   e  k  1 

z  z 

u  k   1     u  k  1    u  k  2   K pid  e  k        e  k  1      e  k  2  

u  k     u  k  1  K LL   e  k     e  k  1 

T z 1  B0G  z  1  T  z 

? é função do processo

T  z   z k

Passando

de

equações

de

diferença

para

transformada

Z:

  e  k    e  z   e  0 ,

  u  k  1   z u  z   z u  0  , em geral consideramos as condições iniciais nulas, e  0   0 e u  0   0 . 1

1

1 Passando da transformada Z para equações de diferença: u  z   z u  z   e  z  , aplicando a

transformada Z inversa obtém-se, u  k   u  k  1  e  k  e assim por diante. Exemplo 7.1: Obter a equação de diferenças para

y z z :  r z z 1

y  z z 1   r  z  z  1 1  z 1

y  z   z 1 y  z   r  z  y  z   z 1 y  z   r  z  y  k   y  k  1  r  k  Exemplo 7.2: Obter a equação de diferenças para o controlador PI, C  z  

uz e z

 K pi 

z  : z 1

u  z    z  1  e  z   K pi   z   

z  u  z   u  z   K pi   z  e  z     e  z   _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 7 – Projeto de Controladores Discretos

86

u  k  1  u  k   K pi  e  k  1    e  k   Notemos que esta expressão não é causal, pois, os termos e  k  1 e u  k  1 estão um período de amostragem no futuro. Somente possuímos informações passadas e presentes. Vamos atrasar todos os termos em um período de amostragem. u  k   u  k  1  K pi  e  k     e  k  1 

u  k   u  k  1  K pi  e  k     e  k  1  Exercício proposto 7.1: Para os exemplos 7.1 e 7.2, obtenha as funções de transferência discretas a partir das equações de diferença. Exercício proposto 7.2: Obter a equação de diferenças para todos os controladores da Tabela 1 a partir de sua transformada Z.

7.3 CONTROLE DIGITAL POR EMULAÇÃO Projeta-se inicialmente um controlador analógico sem levar em consideração o processo de amostragem e reconstrução dos sinais. O controlador então é discretizado. Vamos discutir o método de Euler (Forward difference), o método Backward difference e Tustin (Bilinear ou trapezoidal).

7.3.1 CONTROLE POR EMULAÇÃO UTILIZANDO O MÉTODO DE EULER (FORWARD DIFFERENCE) Consiste em aproximar a função de transferência contínua do controlador C  s  utilizando a relação: 

x

x  k  1  x  k  T

Figura 2 – Aproximação de Euler.

s do controlador contínuo por: z 1 s T

Na prática basta substituir a variável complexa

Exemplo 7.3: Obter a função de transferência discreta na base Z e a equação de diferenças do sa controlador avanço-atraso (lead-lag) C  s   K L 0  . Utilize a regra de Euler. sd

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C  z 

87

u z sa  K L0  e z sd

s

z 1 T

 z 1   a T  C z   K L0   e z  z 1  d  T  uz z  1  aT C z   K L0  e z z  1  dT u z

Onde   1  aT e   1  dT :

C  z   K L0 

z  z 

Para obter a equação de diferenças:

u  z    z  1  dT   e  z   K L 0   z  1  aT  z  u  z   1  dT   u  z   K L 0   z  e  z   1  aT   e  z   u  k  1  1  dT   u  k   K L0  e  k  1  1  aT   e  k  u  k  1  1  dT   u  k   K L 0  e  k  1  1  aT   e  k   Para tronar a equação acima causal* iremos atrasa-la de um período de amostragem:

u  k   1  dT   u  k  1  K L0  e  k   1  aT   e  k  1  * Fisicamente é impossível conhecer valores de sinais futuros, isso fere a lei de causa e efeito (lei de causalidade), neste caso dizemos que uma equação é não causal. Conhecemos somente sinais atuais e passados. Sinais futuros podem somente ser estimados caso seja necessário. Para   1  aT e   1  dT temos:

u  k     u  k  1  K L 0  e  k     e  k  1

7.3.2 EMULAÇÃO UTILIZANDO O MÉTODO DE TUSTIN (BILINEAR OU TRAPEZOIDAL) Outra forma de discretização consiste em aproximar a integral pela regra trapezoidal, conforme a Figura 3. kT

 e  t dt  0

 k 1 T

 0

kT

e  t dt 

 e  t dt

 k 1 T

kT

Aproximando-se

 e  t dt

pela área do trapézio no intervalo T e definindo-se u  k  como sendo a

 k 1T

área acumulada dos sucessivos trapézios até o instante kT , temos a seguinte equação de diferenças.

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 e  k  1  e  k   u  k   u  k  1    T 2    e  k  1  e  k   Área   T 2  

Figura 3 – Método de Tustin: Integral do trapézio.

Sabemos que a função de transferência continua de um integrador é: u s  1 C s   e s s Sabemos que a função de transferência discreta obtida da equação de diferenças é:

T 2 T u  z   z 1u  z   e  z    z 1  1  2 T u  z   1  z 1   e  z    z 1  1  2 1 u  z   z  1 T C  z    e  z  1  z 1  2

u  z   z 1u  z    z 1e  z   e  z   

C  z 

u z e z



T  z 1   2  z 1 

Comparando o controlador contínuo com o discreto: 1 T  z 1    s 2  z 1  Na prática basta substituir a variável complexa s do controlador contínuo por: 2  z 1  s    T  z 1

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89

Exemplo 7.4: Calcule a função de transferência de um controlador discreto C  z  utilizando o

 s  a  . Em malha 1 e o controlador contínuo é um PI, C  s   k pi  s s fechada o sistema deve apresentar frequência natural n  1rad seg e coeficiente de amortecimento   0,5 . método de Tustin. O processo é G  s  

 Primeiramente deve-se obter o controlador analógico que atende às especificações.  Em seguida deve-se calcular o controlador discreto pelo método de Tustin.

Figura 4 – Lugar das raízes.

Estas raízes podem ser calculadas através do projeto de um controlador PI utilizando o lugar geométrico das raízes (LGR). Para os valores de n e  iremos encontrar as raízes no plano s que são dadas por: s1,2    jd A equação para encontrar a frequência natural amortecida d é:

d  n  1   2  1  1  0,52 d  0,866 A equação para encontrar o amortecimento  é:   n  0,5  1  0,5 Logo as raízes são: s1,2  0,5  j0,866  1  120 A equação característica deste sistema é o polinômio do denominador da função de transferência de malha fechada T  s  .

s  a   1 k pi  C s G s s s T s   s  a 1  1  C s G s 1  k pi   s s

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k pi   s  a  k pi   s  a  2 s s2 T s   2  2 k   s  a  s  k pi   s  a  s  pi 2 2 s s s2

E assim obtemos a função de transferência de malha fechada deste sistema. k  s  a  T  s   2 pi s  k pi   s  a  Igualando o polinômio do denominador a zero obtém-se a equação característica do sistema: s2  k pi   s  a   0 Isolando o ganho k pi do controlador: k pi 

s 2 s  a 

Substituindo s  0,5  j0,866  1120 na equação acima:

k pi 

 1120 

2



 1120 

2

 0,5  j0,866  a   0,5  a   j0,866

Logo,  1240 

k pi 

 0,5  a 

2

 0,5  a 

2

k pi 

2  0,866    0,866   arctan    0,5  a  160 2  0,866    0,866   arctan    0,5  a 

Para que o ganho seja um número real (e não um número complexo) o ângulo do denominador deve ser igual ao do numerador, caso contrário não é possível colocar os pólos de malha fechada na posição desejada.  0,866  arctan    60  0,5  a  0,866  tan 60  1,732 0,5  a 0,866 0,5  a  1,732 a  0,5  0,5

a 1 Substituindo a  1 na equação do ganho k pi , portanto: k pi 

160 1 160

k pi  1 Consequentemente:

C s 

 s  1 s

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Agora iremos fazer a conversão do controlador contínuo para um controlador discreto (discretização) para isso deve-se definir uma frequência de amostragem. Em sistemas de controle duas regras são bastante utilizadas na prática, a primeira delas consiste em adotar uma frequência de amostragem em torno de 20 vezes a frequência de banda passante do sistema de malha fechada. Enquanto a segunda sugere escolher um período de amostragem (inverso da frequência) entre um sexto a um decimo do tempo de acomodação de 5%. Vamos adotar o período de amostragem como sendo: Em muitos casos pode-se aproximar a frequência de banda passante pela frequência do pólo dominantes. B   MF E a frequência de amostragem será 20 vezes esta frequência. a  20  B  20   MF

a  2 f a  20  MF

fa 

20   MF   MF 2 0,314

E consequentemente o período de amostragem para este método será dado pela expressão: 0,314 Ta  MF Pelo segundo método teremos: t 5% t  Ta  5% 10 6

Sabendo que t 5% MF  3  MF , assim:

3 3  Ta  10   MF 6  MF 0,3 0,5  Ta   MF  MF Analisando as opções para escolha do período de amostragem optou-se por adotar Ta  0,3  MF e para  MF  0,5 encontramos: 0,3 Ta   0,6 0,5 Aplicando o método de Tustin para a discretização do controlador: Cz 

u z ez

 k pi 

s  a  s

2  z 1  s    T  z 1 

Substituindo o valor de s na equação:  2  z 1    T  z 1  a     C  z   k pi   2  z 1    T  z 1 k pi   2  aT  z   2  aT   Cz   2 z 1

Manipulando os termos, temos:

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  2  aT    z   2  aT   2  aT     Cz   k pi   2 z 1

Substituindo a  1 , k pi  1 e Ta  0, 6seg , tem-se:

C  z   1,3 

 z  0,538 z 1

A equação de diferenças será:   2  aT   z   u  z   2  aT   2  aT   C s     k pi   e z  2 z 1

  2  aT   u  z   2   z  1  e  z    2  aT   k pi   z      2  aT      2  aT  2  zu  z   2  u  z    2  aT   k pi   ze  z      e  z   2  aT    Aplicando a transformada Z:

   2  aT  2  u  k  1  2  u  k    2  aT   k pi  e  k  1     e  k   2  aT    Atrasando em um período de amostragem para tornar o sistema causal: 

 2  aT    e  k  1   2  aT  

 2  aT   k pi  e  k    

u  k   u  k  1 

u  k   u  k  1 

2

 2  aT  2

   2  aT   k pi  e  k      e  k  1   2  aT   

Substituindo a  1 , k pi  1 e Ta  0,6seg , tem-se:

u  k   u  k  1  1,3  e  k   0,538  e  k  1  Exercício proposto 7.4: Obter a função de transferência discreta na base Z e a equação de diferenças sa do controlador C  s   K L 0  . Utilize a regra de Tustin. sd Exercício proposto 7.5: Refazer o exemplo 7.4 utilizando Euler:

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93

Figura 5 – Comparação entre os métodos por aproximação: Tustin é o único método na qual a estabilidade é conservada.

7.3.3 CONTROLE POR EMULAÇÃO UTILIZANDO O MÉTODO BACKWARD DIFFERENCE Consiste em aproximar a função de transferência contínua do controlador C  s  utilizando a relação: 

x

x  k   x  k  1 T

s do controlador contínuo por: z 1 s zT

Na prática basta substituir a variável complexa

Exercício proposto 7.3: Obter a função de transferência discreta na base Z e a equação de diferenças sa do controlador C  s   K L 0  . Utilize a regra Backward Difference. sd

7.4 CONTROLE DIGITAL PELO MÉTODO DIRETO A melhor forma de se projetar um controlador discreto é pelo método direto, ou seja, o controlador é projeto já no plano Z. Para isso é fundamental que se possua a função de transferência discreta do processo incluindo o sustentador de ordem zero (ZOH). No item 8.2.1 da aula 08 foi apresentado que para se obter a função e transferência discreta a partir de um processo G  s  com ZOH basta fazer: G  s  B0G  z   1  z 1       s 

Figura 6 – Discretização de um processo contínuo.

Uma das formas de se obter o controlador discreto diretamente no plano Z é utilizando o lugar geométrico das raízes. O no plano discreto o LGR segue as mesmas definições do sistema contínuo,

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geralmente utiliza-se este método quando se deseja melhorar o desempenho em regime permanente e transitório. Serão apresentados vários métodos de projeto de controladores discretos através do método direto, sendo eles, Avanço de Fase e Atraso de Fase, Avanço-Atraso de Fase, Dead-Beat e PID Digital.

7.4.1 PROJETO DE CONTROLADOR DEAD BEAT O projeto de um controlador dead-beat se baseia em fazer com que a função de transferência em malha fechada T  z  do sistema se resuma a um atraso em relação ao sinal de referência, assim:

T  z   z  k , Onde k  1 Recordando que a função de transferência de malha fechada é calculada conforme apresentado a seguir, C  z  é o controlador em série com a planta, B0G  z  é a função de transferência discreta do processo e H  z  é a função de transferência na malha de realimentação.

T  z 

C  z   B0G  z  1  C  z   B0G  z   H  z 

Considerando ( ) = 1 a função de transferência necessária para o controlador digital em função da planta e da função B0G  z  e da função de transferência em malha fechada desejada T  z  é:

Cdb  z  

T  z 1 B0G  z  1  T  z 

Uma vez que o controlador dead-beat é projetado para tornar

Cdb  z  

( )=

.

1  z k  B0G  z   1  z  k 

Um exemplo de projeto de um controlador usando o algoritmo dead-beat é dado abaixo. Exercício proposto 7.4: A função de transferência de um processo é dada por:

G s 

e 2 s 1  10s

Projete um controlador digital Dead-Beat para este sistema. Adote

=1

.

Solução A função de transferência do sistema com o sustentador de ordem zero (ZOH) é dada por:

 e 2 s   G  s  1 B0G  z   1  z      1  z      s 1  10 s    s  1

0,1    0,1  1 2 s B0G  z   1  z 1   e 2 s    1  z   e     s  s  0,1    s  s  0,1  De acordo com a tabelada de transformadas S e Z:

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 e  kTs   z  k

z 1  e  aT   a      aT  s  s  a    z  1  z  e  Desta forma:

B0G  z   1  z

1

z 1  e 0,1 

 z  z  1 z  e     2

0,1

B0G  z  

z  1 2 z 1  0, 905 z z  z  1 z  0, 905

0,095  z 2  z  0,905

Calculando a função de transferência do compensador Dead-Beat:

Cdb  z  

1  z k B0G  z   1  z  k

k Pós multiplicando por z

  z k 1    k 2   0,095  z   1  z     z  0,905 

  z  0,905 z 2  z  k    1  z k  0,095   

:

zk z  0,905 z 2  z  k  Cdb  z    1  z k 0,095  Cdb  z  

 z k  z  0,905 z 2  1   k    zk  0,095  z 1 

z 2  z  0,905 0,095  z k  1

Para que o sistema seja realizável o compensador deve ter número de pólos maior ou igual ao número de zeros, para isto devemos escolher k  3 . Como em sistemas digitais queremos sempre que o número de pólos seja igual ao número de zeros para que não existam atrasos desnecessários, faremos k  3 . Observe que o compensador possui três pólos e três zeros.

Cdb  z  

z 3  0,905z 2 0,095  z 3  1

A Figura 7 mostra o diagrama de blocos do sistema com o controlador, enquanto a Figura 8 mostra a resposta ao degrau do sistema. A resposta de saída é unitária após 3 s (terceiro período de amostragem) e permanece neste valor. É importante compreender que a resposta só é correta nos instantes de amostragem e pode ter um comportamento oscilatório entre uma amostragem e outra. Embora o controlador Dead-Beat tenha proporcionado uma excelente resposta, a magnitude do sinal de controle pode não ser aceitável, e pode até saturar na prática.

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Figura 7 - Diagrama de Blocos do Controlador

Figura 8 - Resposta do sistema a um degrau unitário em t=0.

Observe na Figura 8 que para um degrau em t=0 a resposta do sistema reage apenas após 3 segundos. Como projetou-se o sistema para se comportar como T  z   z 3 , pois k  3 , e sabendo que para cada z 1 o sistema é atrasado de 1 período de amostragem, este sistema esta atrasado de 3 períodos de amostragens. Como T  1seg , 3T  3seg , e assim o sistema se comporta como um tempo morto puro de 3 segundos. É importante salientar também que em sistemas discretos a resposta mais rápida possível estará 1 período de amostragem atrasada da entrada ( z 1 ), neste caso ainda existem 2 períodos de atraso devidos ao tempo morto do processo ( e 2 s ) que representa um tempo morto de 2 segundos. O controlador Dead-Beat é muito sensível às características da planta e uma pequena variação no modelo da planta pode levar a resposta a se tornar oscilatória ou mesmo ressonante (ringing).

7.4.2 CONTROLADORES TIPO AVANÇO E ATRASO DE FASE Compensadores de avanço e de atraso de fase são usados extensivamente no projeto de controle. Um compensador de avanço de fase pode aumentar a “distância” do sistema até a perda da estabilidade ou a velocidade de resposta de um sistema, enquanto um compensador de atraso de fase pode reduzir o erro de estado estacionário. Dependendo do efeito desejado, um ou mais compensadores de avanço e atraso de fase podem ser utilizados em várias combinações. Neste tópico, você vai aprender como projetar compensadores digitais de avanço e atraso de fase usando o método do lugar geométrico das raízes (LGR).

7.4.3 INTRODUÇÃO AO CONTROLE AVANÇO DE FASE Considere o compensador de primeira ordem mostrada abaixo.

C  z   Kd

z  z0 z  zp

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O pólo ( ) deve ser um valor real dentro do círculo unitário. Para um compensador de avanço de fase, o zero é maior do que o pólo ( > ). Geralmente, para a concepção de um compensador de avanço de fase, o zero ( ) está colocado na proximidade do local de um dos pólos da planta para obter um cancelamento de pólos e zeros aproximado. O pólo compensador ( ) é então colocado à esquerda do zero, de modo que o lugar das raízes se desloque para a esquerda. A figura abaixo ilustra como o lugar das raízes muda ao se colocar o pólo e o zero.

Figura 9 - Mudando o lugar das raízes para a esquerda resulta em uma resposta no tempo mais rápido. Fonte: http://ctms.engin.umich.edu/CTMS/index.php?aux=Extras_Dleadlag#2

Agora a questão é: quanto mais à esquerda precisamos mudar o lugar das raízes? Isso depende de requisitos de projeto, tais como tempo de subida, tempo de acomodação, e sobressinal (overshoot). Você pode selecionar a localização do pólo do compensador ( ) por tentativa e erro até obter a forma desejada para o lugar das raízes. Depois de ter feito isso, use a função MATLAB rlocfind para selecionar os pólos de malha fechada e obter um ganho adicional correspondente k , assim, obtendo a resposta desejada. A ferramenta de design SISO também é útil para projetar compensadores. 1. O primeiro passo é definir, a partir dos critérios de desempenho desejados para o sistema a ser controlado, quais serão seus novos pólos de malha fechada. 2. Selecionar , geralmente escolhe-se um valor igual à parte real dos pólos de malha fechada, ou um pouco à direita deste ponto. 3. Encontrar através da equação ±180º (2 + 1) = ∑ ∅ − ∑ ∅ − ∅ . Onde ∅ representa o ângulo formado entre o eixo horizontal (real) e um dos pólos de malha fechada tendo como referência um zero ( ). Já representa o ângulo formado entre o eixo horizontal (real) e um dos pólos de malha fechada tendo como referência um pólo ( ). A somatória dos ângulos formados a partir dos zeros menos a somatória dos ângulos formados a partir dos pólos deve ser um múltiplo ±180º (2 + 1) para inteiro e variando de zero a infinito para que o lugar geométrico das raízes (LGR) passe pela posição desejada para os pólos de malha fechada. Se o LGR não passar pelo ponto desejado é impossível que existam estes pólos de malha fechada, pois, o LGR delimita a região em que podem existir pólos de malha fechada. 4. Encontrar o valor de a partir de relações trigonométricas. 5. Sabemos que = . , onde é o ganho total em malha aberta do sistema e é o ganho da planta, assim calcula-se o ganho =

e depois se obtém â â

ó

kd  k / k g

. ó ó

.

Exercício proposto 7.5: Vamos projetar manualmente um compensador avanço de fase discreto para o processo a abaixo, cujo período de amostragem adotado foi de 0,2 segundos e os pólos de malha fechada desejados sejam z MF  0,6  j0,5 . _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 7 – Projeto de Controladores Discretos

G  s 

98

10 s  s  2

Solução: Para um período de amostragem de 0,2 segundos, a função de transferência discreta deste processo será calculada através da equação da já conhecida equação:

 G  s  B0G  z   1  z 1      s  Substituindo:

 10  B0G  z   1  z 1    2   s  s  2  De acordo com a tabelada de transformada Z:

  1  z    s2  sk c    kTc   1

 1  e  cT  cT   1 e 3

cT

  ze 3    z  1  z  e cT  

Assim:

 10  10  0,2  1  e 20,2 B0G  z   1  z    2   20,2  s s  2 2    3   1  e  1

20,2

  ze 3    z  1  z  e 20,2  

z  0,875  1  0,67  B0G  z       1  0,875   z  1 z  0,67  Por fim,

B0G  z   0,176

 z  0,875  z  1 z  0,67

Figura 10 - Lugar das raízes de G(z).

A equação característica deste sistema é o polinômio do denominador da função de transferência de malha fechada T  z  , neste caso não existe compensador, C  s   1 .

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99

 z  0,875 B0G  z   z  1 z  0,67  T z     z  0,875 1  B0G  z  1  0,176  z  1 z  0,67   z  0,875 0,176  z  1 z  0,67  T z    z  1 z  0,67   0,176  z  0,875  z  1 z  0,67  0,176

E assim obtemos a função de transferência de malha fechada deste sistema. 0,176  z  0,875 T z   z  1 z    0,67   0,176  z  0,875 Igualando o polinômio do denominador a zero obtém-se a equação característica do sistema e através desta, os pólos de malha fechada do sistema.

 z  1 z  0,67   0,176  z  0,875  0 Resolvendo a equação acima encontramos os pólos de malha fechada: z 2  1,67z  0,67  0,176z  0,154  0 z 2  1,494z  0,824  0 Encontrando o valor de Z através da formula de “bhaskara”:

z MF '  0, 747  j 0,516 .

Figura 11 - Lugar geométrico das raízes para projeto de um compensador avanço de fase.

Passo 1: Deseja-se que os novos pólos em malha fechada sejam deslocados para esquerda, z MF  MF  j MF  0,6  j0,5 . Não existe razão especial para a escolha desta posição, é apenas um exemplo. Passo 2: Definir a posição de inicialmente igual à parte real do pólo, ou seja, este valor não seja possível encontrar um valor de , deve-se modificar a posição de .

= 0,6. Caso com

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100

Passo 3: Encontrar o ângulo e com ele a posição de . Para encontrar ângulos , ∅ . O ângulo ∅ é um parâmetro de projeto, ao escolhermos definimos ∅ = 90º. Os ângulos retângulos).

,

∅

precisamos encontrar os = 0,6 automaticamente

são obtidos resolvendo relações trigonométricas simples (triângulos

Exemplo do cálculo de 1 :

Figura 12 – Cálculo de 1 . 0,5 0,5 tan 1'    1,25 1  0,6 0,4 1  180  1'  180  arctan 1,25

1  128,7 As equações a seguir são derivadas destas relações, obtenha você mesmo as equações como forma de exercício.

  MF   0,5    180  arctan    128,7      0, 6  1   p1   MF

1  180  arctan 

  MF  0,5    180  arctan   98        0, 6  0, 67  p2   MF

 2  180  arctan 

   MF  0,5    18, 7   arctan    MF   z1   0,6   0,875  

1  arctan 

 p  180  0  1  1  2

 p  180  90  18,7  128,7  98 62   p  180  118  ou  298  

Escolhemos o valor positivo  p  62 pois o ângulo deve estar entre 0º e 180º. Caso tivéssemos escolhido o pólo de malha fechada situado na parte inferior ( zMF  0,6  j 0,5 ) para projetarmos o controlador, o ângulo  p teria valores entre 0º e -180º.

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 Passo 4: Sabendo que  p  62 pode-se calcular o valor de z p .

z p   MF 

 MF 0,5  0,6   0,335 tan  p tan 62º

Passo 5: Calculando o ganho k d

k

k

1  0, 6

2

 0,52

d p1d p 2 d pp d z 0 d z1 2

 0, 67  0, 6   0,52  0, 6  0, 335 2 0,5  0, 6  0,875  0,52 kd 

2

 0,52

 0, 2349

k 0, 2349   1,335 kg 0,176

Por fim obtém-se o controlador de avanço de fase desejado para levar os pólos de malha fechada para o ponto zMF  0,6  j 0,5 . Logo,

C  z   Kd

z  z0 z  0, 6  1,335 z  zp z  0, 335

7.4.4 INTRODUÇÃO AO CONTROLE ATRASO DE FASE Uma vez que uma resposta dinâmica satisfatória é obtida para o sistema, talvez utilizando um ou mais compensadores avanço de fase, pode-se descobrir que o ganho em baixa frequência (o valor da constante de erro em regime permanente) é ainda muito baixo. Como se sabe, o tipo do sistema (tipo 1, tipo 2, ...), que determina o grau do polinômio que o sistema é capaz de seguir, é definido pela quantidade de pólos em ( z  1 ) presentes na função de transferência de malha aberta L  z   C  z   B0G  z  . Se o sistema for do tipo 1 (um pólo em z  1 em L  z  ), a constante erro de velocidade, que determina a magnitude do erro a uma entrada do tipo rampa é dada por kv  lim z1

z 1 L  z . T

Para aumentar o valor desta constante e assim diminuir o erro sem afetar a já satisfatória resposta dinâmica, precisa-se projetar C AT  z  de modo a aumentar significativamente o ganho em z  1 para elevar

k v (ou outra constante de erro de regime permanente), porém com ganho quase unitário (sem efeito) para a alta frequência n onde a resposta dinâmica é determinada, o resultado é:

C AT  z  

z  z0 , z p  z0 z  zp

Onde os valores de z0 e z p são pequenos comparados com n (que está diretamente relacionada à



posição dos pólos de malha fechada visto que   n ), onde C AT 1  1  z0  1  z p

 (este valor depende

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de quantas vezes queremos aumentar o valor de k v ). Já que z p  z0 , a fase do compensador é negativa, correspondente a um atraso de fase, por esta razão o compensador é denominado atraso de fase. 1. Calcula-se o ganho k v atual do sistema e com isso seu erro  1 kv . 2. Definir o novo valor de erro ( erro'  1 kv' ) desejado e calcular:

C AT 1 

k v' erro .  k v erro'

3. Calcular a relação entre z0 e z p :

z0  1  C AT 1  z pCAT 1 4. Definir um valor para z p que esteja mais próximo de z  1 que o pólo de MF dominante (o pólo mais lento), e a partir da relação anterior encontrar z0 . Observação: Como as relações entre pólos no plano complexo z não são lineares devido ao mapeamento z  e sT deve-se calcular a posição dos pólos no plano complexo s e depois encontrar os correspondentes pólos discretos. Exercício proposto 7.6: Vamos projetar um compensador do tipo atraso de fase para o sistema discutido no exemplo Controle Avanço de Fase onde o erro de regime permanente seja diminuído para 40%.

G  z   0,176

 z  0,875  z  1 z  0,67 

C AV  z   1,335

z  0,6 z  0,335

Solução: Passo 1: Calculando o ganho k v . Vamos primeiro calcular a função de transferência de malha aberta (laço aberto) L  z  .

L  z   C AV  z  G  z   1,335

L  z   0, 2349

 z  0,875 z  0,6 0,176 z  0,335  z  1 z  0,67 

 z  0,6 z  0,875  z  1 z  0,67  z  0,335

Calculando k v :

kv  lim z 1

z 1 0, 2349 1  0,61  0,875 L z  4 T 0,2 1  0,67 1  0,335 1 1 erro    0, 25 kv 4

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Passo 2:A titulo de exemplo vamos supor que o novo erro desejado seja erro '  0,1 , que é 40% de 0,25.

C AT 1 

erro 0,25   2,5 erro' 0,1

Ou seja, precisamos projetar um compensador atraso de fase com ganho de 2,5 em regime permanente para que o ganho da função de transferência em malha aberta ( L  z  ) tenha seu ganho estático k v aumentado em 2,5 vezes em regime permanente. Passo 3:Calculando a relação entre z0 e z p :

z0  1  CAT 1  z pCAT 1  1  2,5  2,5z p z0  1,5  2,5z p

Figura 13 - Lugar geométrico das raízes com os compensadores de avanço e atraso de fase.

Passo 4: Vamos definir um valor para z p que esteja mais próximo de z  1 que o pólo de MF dominante, e a partir da relação anterior encontrar z0 .Para zMF   MF  j  MF  0, 6  j 0,5 ,onde a parte real do pólo discreto de malha fechada é  MF  0, 6 . Calculando  MF que é a parte real do pólo de malha fechada contínuo.

 MF

z  e sT  MF  e MF T 1 1  ln  MF   ln  0,6   2,554 T 0, 2

Adotando  p  0, 25 , ou seja, a posição do pólo do compensador atraso de fase foi posicionado uma década à direita do pólo dominante. Calculando z p .

zp  e

 p T

 e0,250,2  e 0,05  0,95

Calculando z0 :

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z0  1,5  2,5z p  1,5  2,5  0,95 z0  0,875 Por fim projetou-se o compensador Atraso de fase apresentado na Figura 13 cuja equação é:

C AT  z  

z  0,875 z  0,95

7.4.5 CONTROLADOR AVANÇO-ATRASO DE FASE (LEAD-LAG) Em casos onde se deseja uma resposta rápida, característica de sistema com compensação em avanço, porém com diminuição do erro em regime estacionário, que é garantida por uma compensação em atraso, é possível usar um controlador que una ambas as características, que é o caso do controlador em avanço–atraso.  Introduz dois zeros e dois pólos;  É usado para melhorar o desempenho em regime e o transitório;  É análogo ao controlador PID sem o pólo integrador. O exemplo anterior ilustra exatamente este compensador, que pode ser projetado em duas etapas, sendo a primeira o projeto do compensador em avanço de fase e a segunda o projeto do compensador em atraso de fase.

 z  z01   z  z02  C  z   K AA   z  z   z  z  p1   p2   ________________________________________________________________________________________

7.5 EXERCÍCIOS 1) Determine as funções de transferência

y z dos sistemas amostrados caracterizados pelas equações à r z

diferença seguintes: (a ) y  kT   2  y  k  1 T   y  k  2  T   r  kT   0,4  r   k  2  T  (b) y  kT   0,1  y   k  1 T   0,16  y   k  2  T   0,2  y  k  3 T  





k r  kT   1,5  r   k  2  T   0,5  r   k  3 T 

2) Obtenha as equações a diferença lineares dos sistemas amostrados, descritos por: y z y z z 2  3z  2 z 2  0,5 (a) , (b)  3  r  z  z  1,5 z 2  1,5 z  0,5 r  z  z2  2z  1 3) Projete um controlador digital Dead-Beat para os processos a seguir. Adote T = 0,2s. e 3s e 0,9s (a) G  s   (b) G  s   2s  1 s 1 4) Projetar manualmente um compensador Avanço de Fase discreto para o processo abaixo, onde o novo pólo discreto de malha fechada deve possuir parte real 20% menor que o pólo de malhada fechada sem este compensador. A parte imaginária deve permanecer a mesma. 8 G s  s  s  13 5) A partir dos dados do sistema do exercício anterior (4), planta e controlador avanço de fase, projete o controlador Atraso de Fase que reduza o erro em regime permanente pela metade. 6) Para a função de transferência a abaixo, calcule um compensador Avanço-Atraso de Fase onde os pólos de malha fechada discretos tenham a parte real reduzida em 15% e a parte imaginária em 10% e o erro de regime permanente seja reduzido para 60%. 2 G s  s  s  1 _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 8 – Projeto de Controladores PID discretos

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CAPÍTULO 8 PROJETO DE CONTROLADORES PID DISCRETOS 8.1 INTRODUÇÃO AO CONTROLE PID DIGITAL O controlador PID (Proporcional Integral Derivativo) é o controlador mais popular e tradicional tanto no meio acadêmico, quanto no meio industrial. Sua característica marcante é a reduzida quantidade de parâmetros a serem ajustados (ou sintonizados). O controlador PID realiza operações a partir do erro (diferença entre a variável de processo e o valor desejado, “setpoint”) e define uma ação de controle para redução deste erro. Os controladores PID tem como enorme vantagem a flexibilidade de combinações de suas ações de controle. Pode-se ter:  Controlador Proporcional (P);  Controlador Proporcional e Integral (PI);  Controlador Proporcional e Derivativo (PD);  Controlador Proporcional, Integral e Derivativo (PID);  Controlador PID com ponderação. A seguir serão consideradas as três ações básicas de controle, começando com o mais simples deles, controle proporcional.

8.2 CONTROLE PROPORCIONAL (P) No controle realimentado, o objetivo é a redução do sinal de erro a zero, em que: et  r t  yt ek  r k  y k

Onde: ( ), ( ) = sinal de erro ( ), ( ) = setpoint ou referência ( ), ( ) = valor medido da variável controlada (ou sinal equivalente do sensor/transmissor) Para o controle proporcional, a saída do controlador é proporcional ao sinal de erro, u  t   u  k ce  t  u  k   u  k ce  k 

Onde: u  t  , u  k  = saída do controlador u  t  , u  k  = nível médio, offset (bias) = ganho do controlador (geralmente adimensional)

Os conceitos fundamentais por trás do controle proporcional são os seguintes:  O ganho do controlador pode ser ajustado para fazer as mudanças da saída do controlador tão sensíveis como desejado para os desvios entre o setpoint e a variável controlada (entrada do processo a ser controlado);

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 O sinal de pode ser escolhido para aumentar a saída do controlador (ou diminuir) com o aumento do sinal de erro.

Figura 1 - Controlador proporcional: comportamento ideal (inclinação da reta =

).

Para o controlador proporcional o nível médio u pode ser ajustado, procedimento chamado como reset manual, pois a saída do controlador é igual a u quando o erro é zero, u é ajustado de modo que a saída do controlador, e consequentemente, a variável manipulada (saída do processo a ser controlado), estão nos seus valores nominais de regime permanente quando o erro for igual a zero. Por exemplo, se o elemento final de controle (atuador) é uma válvula de controle, u é ajustado de modo que a vazão através da válvula de controle seja igual ao nominal, valor de regime permanente, quando = 0. O ganho do controlador é ajustável e é usualmente sintonizado (isto é, ajustado) após o controlador ter sido instalado. Alguns controladores têm uma configuração de banda proporcional em vez de um ganho do controlador. A banda proporcional BP (em%) é definida como: ≜

100%

Esta definição aplica-se apenas se K for adimensional. Note que uma banda proporcional pequena (estreita) corresponde a um ganho do controlador grande, enquanto que um valor grande de BP (larga) implica em um pequeno valor de K . O controlador proporcional ideal na Figura 1 não inclui limites físicos na saída do controlador. Uma representação mais realista é mostrada na Figura 3, em que o controlador satura quando a sua produção atinge um limite físico, seja u máx ou u min . A fim de obter a função de transferência de um controlador proporcional ideal (sem limites de saturação), define-se uma variável desvio u '  t  como:

u'  t   u  t   u Então pode-se escrever:

u '  t   k ce  t  u '  k   k ce  k 

Figura 2 - Controle proporcional: comportamento real.

Isto não é necessário para definir uma variável de desvio para o sinal de erro porque já está na forma de desvio e do seu valor de regime permanente nominal é = 0. Tomando a transformada de Laplace e

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transformada Z e reorganizando a equação anterior tem-se a função de transferência para o controle proporcional puro: u'  t  u'  k    kc e t  ek

Uma desvantagem inerente do controlador proporcional puro é a de que um erro de regime permanente (ou desvio) ocorre após uma mudança do setpoint ou uma perturbação sustentada. A princípio este erro (offset) pode ser eliminado por reposição manual ou o setpoint r ou a nível médio u após ocorrer um offset. No entanto, esta abordagem é inconveniente porque é necessária a intervenção do operador e o novo valor de r (ou u ) devem geralmente ser encontrados por tentativa e erro. Na prática, é mais conveniente utilizar um controlador que contém a ação de controle integral que fornece reposição automática, como discutido abaixo. Para aplicações de controle, onde as compensações podem ser toleradas, o controle somente proporcional é atraente por causa de sua simplicidade. Por exemplo, em alguns problemas de controle de nível, mantendo o nível de líquido próximo do ponto de ajuste não é tão importante como assegurar simplesmente que o tanque de armazenamento não transborde ou esgote.

8.3 CONTROLE INTEGRAL (I) E PROPORCIONAL INTEGRAL (PI) Para a ação de controle integral, a saída do controlador depende da integral do sinal de erro com o tempo. ut  u 

1 I

 e  t  dt

u k  u 

T I

 e  j

t

0

k

j1

Onde τ , é um parâmetro ajustável referido como o tempo de integração, ou o empo de reset, em unidades de tempo. No passado a ação integral de controle, era referida como reset ou controle flutuante, mas esses termos não são mais usados. Ação de controle integral é amplamente utilizada porque proporciona uma vantagem prática importante, a eliminação de offset. Para que o processo seja conduzido ao regime permanente, a saída do controlador de u tem que ser constante, de modo que a variável manipulada também seja constante. A equação acima implica que u se altera ao longo do tempo a não ser que e(t) = 0. Assim, quando a ação integral é utilizada, u automaticamente muda até atingir o valor requerido para fazer erro de regime permanente igual a zero. Esta situação desejável sempre ocorre a menos que a saída do controlador ou o elemento final de controle saturar e, portanto, não é capaz de trazer a variável controlada para o setpoint. A saturação ocorre quando a perturbação ou alteração no setpoint é tão grande que ele esteja fora do alcance da variável manipulada. Apesar da eliminação do offset ser geralmente um importante objetivo de controle, o controlador integral raramente é usado sozinho porque a ação de controle é pequena até que o sinal de erro tenha persistido por algum tempo. Em contraste, a ação de controle proporcional toma medidas corretivas imediatamente logo que for detectado um erro. Consequentemente, a ação de controle integral é normalmente utilizada em conjunto com o controle proporcional para tornar sua atuação mais rápida, surgindo o controlador proporcional-integral (PI):   1 t u  t   u  k c  e  t    e  t  dt  0  I     T k u  k   u  k c  e  k    e  j   I j1   A função de transferência correspondente para o controlador PI é dada por:

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Capítulo 8 – Projeto de Controladores PID discretos

u' s   s   I 1  1   k c 1   k  c  e s  s    Is  Já a função de transferência do PI discreto é dada por:

  I   z  u z  T  I     T  I   T 1    kc 1   kc   1   e z z 1  I 1  z   I       ' u z  zb  k 'c   e z   z 1  '

A resposta do controlador PI para um degrau unitário e(t) está representada na Figura 3. No tempo zero, a saída do controlador muda instantaneamente devido à ação proporcional. Ação integral causa o aumento em rampa de u(t) para t > 0. Quando t = τ , o termo integral contribuiu na mesma quantidade para a saída do controlador como um termo proporcional. Assim, a ação integral repete a ação proporcional uma vez. Alguns controladores comerciais são calibrados em termos de 1/τ (repetições por minuto) em vez de τ (minutos ou minutos por repetição). Por exemplo, se τ = 0,2 min correspondendo a 1/τ , tem um valor de 5 repetições/minuto.

Figura 3 - Resposta do controlador proporcional-integral.

Uma desvantagem do uso da ação integral é que ela tende a produzir respostas oscilatórias da variável controlada e reduz a estabilidade do sistema de controle realimentado. Uma quantidade limitada de oscilação pode geralmente ser tolerada, pois muitas vezes está associada com uma resposta mais rápida. Os efeitos indesejáveis de demasiada ação integral pode ser evitada por meio do ajuste correto do controlador ou pela inclusão de ação derivada que será vista posteriormente, que tende a contrariar os efeitos de desestabilização. 8.3.1

RESET WINDUP

Uma desvantagem inerente da ação de controle integral é um fenômeno conhecido como reset  windup. Recorde-se que a ação integral faz com que a saída do controlador mude sempre que ( ) ≠ 0 do PI. Quando ocorre um erro constante, o termo integral torna-se muito grande e, eventualmente, a saída do controlador satura (atinge o seu valor máximo ou mínimo). A acumulação adicional do termo integral enquanto o controlador está saturado é referido como reset  windup ou integral windup. A Figura 4 mostra uma resposta típica de uma mudança no setpoint quando um controlador PI é utilizado. Note que as áreas indicadas sob a curva apresentam contribuições positivas ou negativas para o termo integral, dependendo se a medição da variável controlada estiver abaixo ou acima do ponto de ajuste r . A maior área acima da referência na Figura 4 ocorre porque o termo integral continua a aumentar devido ao sinal de erro até que = . Só depois é que o termo integral começa a diminuir, quando este termo tornar-se suficientemente pequeno, a saída do controlador se afasta do limite de saturação e tem o valor determinado pela Equação do PI.

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Capítulo 8 – Projeto de Controladores PID discretos

Figura 4 - Reset windup durante uma alteração do setpoint.

Reset windup ocorre quando um controlador PI ou PID encontrar um erro constante, por exemplo, durante o inicio de um processo em batelada ou após uma grande alteração do setpoint. Também pode ocorrer como consequência de uma perturbação elevada e constante que está fora do alcance da variável manipulada. Nesta situação, uma limitação física (válvula de controle totalmente aberta ou totalmente fechada) impede que o controlador reduza o sinal de erro à zero. Claramente, não é desejável que o termo integrante continue a acumular o erro após a saída do controlador saturar, pois o controlador já está fazendo todo o possível para reduzir o erro. Felizmente, os controladores comerciais fornecem anti reset windup. Em uma abordagem, o reset windup é reduzido temporariamente para evitar a ação de controle integral sempre que a saída do controlador satura. A ação integral é retomada quando a saída não está mais saturada.

8.4 CONTROLE DERIVATIVO (D) E PROPORCIONAL DERIVATIVO (PD) A função da ação de controle derivativo é antecipar o comportamento futuro do sinal de erro, considerando sua taxa de variação. No passado, a ação derivativa era referida como rate action, pre-act, ou anticipatory control. Por exemplo, suponhamos que uma temperatura do reator aumenta em 10 °C, num período de tempo curto, por exemplo, de 3 min. Isto é, claramente, um aumento mais rápido da temperatura do que um aumento de 10 °C em 30 min. Se o reator estava sendo controlado manualmente, um operador de planta experiente antecipa as consequências e rapidamente toma as medidas corretivas apropriadas para reduzir a temperatura. Tal resposta não seria obtida através das ações de controle proporcional e integral discutidos até agora. Note que um controlador proporcional reage a um desvio de temperatura somente, sem fazer distinção quanto ao período de tempo durante o qual o desvio ocorre. A ação de controle integral é também ineficaz para um desvio repentino da temperatura devido à ação de correção depender da duração do desvio. A estratégia de antecipação utilizada pelo operador experiente pode ser incorporada em controladores automáticos, fazendo a saída do controlador proporcional à taxa de variação do sinal de erro ou a variável controlada. Assim, para ação derivativa ideal, temos: de  t  u  t   u  d dt d u  k   u   e  k   e  k  1  T Onde τ , o tempo derivativo, é em unidades de tempo. Note que a saída do controlador é igual ao valor nominal se o erro é constante (isto é, desde que de/dt = 0). Consequentemente, a ação derivativa nunca é utilizada isoladamente, sempre é utilizada em conjunto com um controle proporcional ou proporcionalintegral, por exemplo, um controlador PD ideal tem a seguinte função de transferência: u' s   k c 1  ds  e s 

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  d   z  u z     T  d    T  d    k c  1  d 1  z 1    k c    ez T z    T      ' u z  zb  k 'c   e z   z  '

Ao proporcionar uma ação de controle antecipada, a ação derivativa tende a estabilizar o processo controlado. Assim, é muitas vezes utilizado para contrariar a tendência de desestabilização da ação integral. A ação de controle derivativo também tende a melhorar a resposta dinâmica da variável controlada, diminuindo o tempo de acomodação do processo (tempo que o processo leva para atingir o regime permanente). Mas, se o processo de medição é ruidoso, isto é, se contiver alta frequência ou flutuações aleatórias, então o derivativo da variável medida mudará descontroladamente e a ação derivativa irá amplificar o ruído, a menos que a medição seja filtrada. Consequentemente, a ação derivativa é raramente usada para controle de vazão, pois malhas de controle de vazão têm que responder rapidamente e medições de vazão tendem a ser ruidosas. Infelizmente, o algoritmo de controle proporcional-derivativo ideal do controlador contínuo da equação anterior não é fisicamente realizável, pois não pode ser implementado usando componentes analógicos. Para controladores analógicos, a função de transferência pode ser aproximada por: u' s   ds   kc 1   e s   ds  1   Onde a constante  tem tipicamente um valor entre 0,05 e 0,2, com 0,1 sendo uma escolha comum. O termo derivativo inclui um filtro (também denominado de filtro derivativo) que reduz a sensibilidade do controle aos ruídos de alta frequência na medição. Filtros derivativos são usados em praticamente todos os controladores PD e PID, incluindo as versões digitais.

8.5 CONTROLE PROPORCIONAL INTEGRAL DERIVATIVO (PID) Agora vamos considerar a combinação das ações de controle proporcional, integral e derivativo como um controlador PID. Infelizmente, para o estudante iniciante (e mesmo para o engenheiro praticante), muitas variações de controle PID são utilizadas na prática. Em seguida, consideramos as três formas mais comuns. 8.5.1

FORMA ACADÊMICA DO CONTROLE PID

A ação derivativa pode ser combinada com ações proporcional e integral. A forma acadêmica do algoritmo de controle PID (sem um filtro derivativo) é dada por:  1 u  t   u  k c e  t   I   T u  k   u  k c e  k    I 

k

t

 e  t  dt   0

d

d

de  t   dt  

 e  j  T  e  k   e  k  1  j1



A função de transferência correspondente é: u' s    1  kc 1   sd  e s   Is 

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u'  z   T 1    k c 1   d 1  z 1   1 ez T  I 1  z 

Os pólos e zeros deste controlador são dados abaixo. Observe que p2 só existe se existir um filtro na ação derivativa.

 1 1  j 1 i  zero1   p1  0 2 d 4 d i  d    p  1 _____    2   zero  1  j 1 1 i f  2  2d 4d i  d  A Figura 5 ilustra que este controlador pode ser visto como três elementos separados, que operam em paralelo em ( ).

Figura 5 - Diagrama de blocos da forma acadêmica do controle PID (sem um filtro derivativo).

8.5.2

FORMA SÉRIE DO CONTROLE PID

Historicamente, foi conveniente para a construção dos primeiros controladores analógicos (ambos eletrônicos e pneumáticos), de modo que um elemento de PI e um elemento de PD funcionavam em série. Versões comerciais da forma série têm um filtro derivativo que é aplicado tanto no termo derivativo ou no termo PD. Este controlador possui um pólo na origem, outro pólo real definido pela constante do filtro derivativo e apenas zeros reais (sem parte imaginária). PID série sem filtro: de  t      1 t u  t   u  kc   1   e  t  dt    1  d  dt   i 0   PID série com filtro:

u' s  s   I 1   d s  1   kc    e s  s  ds  1  Os pólos e zeros deste controlador são dados abaixo. Observe que p2 só existe se existir um filtro na ação derivativa.

1   p1  0  zero1     i  p  1 _____    2   zero2  1 f   d

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 1  1 s  s    kp  Ti   Td  C  s   Td Tr  1  s s  Td  

Figura 6 - Diagrama de blocos da forma série do controle PID (sem um filtro derivativo).

8.6 CARACTERÍSTICAS DOS CONTROLADORES PID COM PONDERAÇÕES (PI+D) E (I+PD) Uma desvantagem dos controladores PID anteriores é que uma alteração súbita no setpoint (e, portanto no erro, ) vai fazer com que o termo derivativo momentaneamente torne-se muito grande e, assim, proporcionar um chute derivativo para o elemento final de controle. Esta mudança súbita é indesejável e pode ser evitada, baseando a ação derivativa na medição, , em vez do sinal de erro, . Nós ilustramos a eliminação do chute derivativo, considerando a forma acadêmica do controle PD. Substituindo

de  t  dy  t  por  , temos: dt dt  1 u  t   u  k c e  t   I 

t

 e  t  dt   0

d

dy  t   dt 

Este método de eliminar o chute derivativo é um recurso padrão na maioria dos controladores comerciais. Para um controlador PID na forma série, pode ser implementado facilmente, colocando o elemento de PD no circuito de realimentação, como mostrado na Figura 7.

Figura 7 - Diagrama de blocos da forma série do controle PID, que elimina o chute derivativo.

Um algoritmo de controle PID mais flexível pode ser obtido mediante a ponderação do valor de referência no termo proporcional, bem como no termo derivativo (segundo Åström e Hägglund, 1995). Esta modificação elimina o chute proporcional que também ocorre após uma mudança no setpoint. Para esse algoritmo PID modificado, um “erro” diferente é definido para cada uma das ações de controle: de  t    1 t u  t   u  k c e p  t    e  t  dt  d d  0 I dt   Com:

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eP  t   b  r  t   y (t )   e  t   r  t   y (t )  eD  t   c  r  t   y (t ) Onde e são constantes não negativas que variam de 0 a 1. Este algoritmo de controle é conhecido como controlador PID acadêmico com ponderação proporcional e derivativa. O algoritmo de controle PID modificado permite a ponderação do setpoint independente dos termos proporcional e derivativo. Assim, para eliminar o chute derivativo, está definido como zero; para eliminar o chute proporcional, está definido como zero. O parâmetro de ponderação pode ser usado para sintonizar este desempenho do controlador PID para mudanças de setpoint. Note que a definição de erro de ação integral é o mesmo que para a equação de controle padrão, este termo de erro é essencial, a fim de eliminar o offset após uma mudança do setpoint ou uma grande perturbação.

Figura 8 - Controlador digital PID acadêmico com ponderação proporcional e derivativa (I+PD).

  T z   d z  1  u(z)  k c  e p (z)      e(z)      ed (z)  T z   I z  1      T z   d z  1  u(z)  k c   b  r(z)  y(z)       e(z)      c  r(z)  y(z)  T z   I z  1    

 0  b  1 é o fator de ponderação da ação P;  0  c  1 é o fator de ponderação da ação D;  b  1 e c  1 temos o PID tradicional;  b  0 e c  0 as ações P e D estão somente na realimentação. O PID com ponderação é equivalente a um PID tradicional com filtro de referência.

8.7 RESPOSTAS TÍPICAS DE SISTEMAS DE CONTROLE REALIMENTADOS As respostas mostradas na Figura 9 (a) ilustram o comportamento típico de um processo de controle após uma perturbação do tipo degrau. A variável controlada representa o desvio do valor de regime permanente inicial. Se o controle realimentado não é usado, o processo lentamente atinge um novo regime permanente. O controle proporcional aumenta a velocidade da resposta do processo e reduz o offset. A adição de ação integral elimina o offset, mas tende a tornar a resposta mais oscilatória. Adicionando ação derivativa reduz tanto o grau de oscilação como também o tempo de resposta. A utilização de P, PI, e controladores PID _________________________________________________________________________________________________________________________

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nem sempre resulta em respostas de processos oscilatórios, a natureza da resposta depende da escolha das configurações do controlador ( , e ) e da dinâmica do processo. No entanto, as respostas da Figura 9 são representativas do que ocorre na prática.

(a)

(b)

Figura 9 – (a) Respostas típicas com controle realimentado, (b) Controle proporcional: efeito do ganho do controlador.

Os efeitos qualitativos da alteração das configurações dos controladores individuais são mostrados nas

Figura 9 (b) a Figura 11. Em geral, o aumento do ganho do controlador tende a tornar a resposta do processo mais rápida, no entanto, se for muito grande, um valor de utilizado, a resposta pode apresentar um indesejável grau de oscilação ou mesmo tornar-se instável. Assim, um valor intermediário de geralmente resulta em melhor controle, estas orientações são também aplicáveis ao PI e PID, assim como para o controlador proporcional apresentado na Figura 9 (b). Aumentando o tempo de integração, , geralmente faz com que o controle PI e PID fiquem mais conservadores (lentos), como mostrado na Figura 10. Teoricamente, o offset será eliminado para todos os valores positivos de . Mas para valores muito grandes de , a variável controlada irá retornar para o ponto de ajuste de forma muito lenta após ocorrer uma perturbação ou alteração no setpoint.

Figura 10 – Controle proporcional-integral: (a) efeito do tempo de integração, (b) efeito do ganho do controlador.

É mais difícil fazer generalizações sobre o efeito do tempo derivativo . Para valores pequenos, aumentar tende a melhorar a resposta ao reduzir o desvio máximo, tempo de resposta, e o grau de oscilação, como se mostra na Figura 11. No entanto, se é muito grande, o ruído de medição é amplificado e a resposta pode ser oscilatória. Assim, um valor intermediário de é desejável.

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Figura 11 – Controle PID: efeito do tempo derivativo.

8.8 VERSÕES DIGITAIS PARA CONTROLADORES PID Até agora, assumiu-se que os sinais de entrada e de saída do controlador são funções contínuas no tempo. No entanto, hoje os controladores são praticamente todos digitais devido à sua flexibilidade, poder computacional e economia de custos. Nesta seção, tem-se uma breve introdução de técnicas de controle digital, considerando versões digitais de controle PID. Quando uma estratégia de controle realimentado é implementada digitalmente, a entrada e saída do controlador são digitais (ou amostradas) em vez de sinais contínuos (ou analógicos). Assim, o sinal contínuo a partir do dispositivo de medição (sensor/transmissor) é amostrado e convertido periodicamente para um sinal digital por um conversor analógico-digital (ADC). Um algoritmo de controle digital é, então, utilizado para calcular a saída do controlador, um sinal digital. Como os elementos finais de controle são dispositivos analógicos, o sinal de saída digital é normalmente convertido para um sinal correspondente analógico por um conversor digital-analógico (DAC). No entanto, alguns elementos finais de controle eletrônicos podem receber sinais digitais diretamente. 8.8.1

ALGORITMOS DE POSIÇÃO PARA CONTROLE PID DIGITAL

Uma maneira simples de obter uma versão digital do controlador PID é substituir os termos integral e derivativo por aproximações de diferenças finitas: t

k

e  t  dt  e jT 0

j 1

de e  k     e  k  1  dt T

Onde: = período de amostragem (tempo entre as medições sucessivas da variável controlada), para aplicações em controle este tempo é constante. ( )= erro no instante da k-ésima amostra, para k = 1,2, ... Existem duas formas alternativas da equação digital de controle PID, a forma da posição:   T k  u  k   u  k c  e  k    e  j  d  e  k   e  k  1  I j1 T   Onde u  k  é a saída do controlador no instante da k-ésima amostra. Esta equação é a forma da posição do algoritmo de controle PID, pois é calculado o valor atual da saída do controlador.

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8.8.2

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ALGORITMOS DE VELOCIDADE PARA CONTROLE PID DIGITAL

A outra forma é a da velocidade Na forma da velocidade, é calculada a variação da saída do controlador. A forma da velocidade pode ser derivada por escrito a partir da forma da posição, para o instante da amostra (k − 1):   T k 1  u  k  1  u  k c e  k  1   e  j  d  e  k  1  e  k  2   I j1 T   Note que a soma ainda começa em j = 1, pois se pressupõe que o processo se encontra no estado estacionário desejado para j ≤ 0, e, portanto, e(j) = 0 para j ≤ 0. Subtraindo a as duas equações anteriores tem-se a forma da velocidade do algoritmo PID digital:   T  u  k   u  k   u  k  1  k c   e  k   e  k  1   e  k   d  e  k   2e  k  1  e  k  2   I T   A forma da velocidade tem três vantagens sobre a forma da posição: 1. Ela contém intrinsecamente anti reset windup, pois a soma de erros não é explicitamente calculada. 2. Esta saída é expressa numa forma, u  k  , que pode ser utilizado diretamente por alguns elementos finais de controle, tal como uma válvula de controle acionada por um motor de passo. 3. Para o algoritmo da velocidade, a mudança do controlador do modo manual para o automático não exige qualquer inicialização da saída ( ). No entanto, a válvula de controle (ou outro elemento final de controle) deve ser colocada na posição apropriada, antes da mudança. Certos tipos de estratégias de controle avançados, como controle em cascata e controle feedforward (antecipativo), exigem que a saída atual ( u  k  ) do controlador seja calculada explicitamente. No entanto, u  k  pode ser facilmente calculado, reorganizando a equação anterior, esta é a forma mais utilizada na prática: u  k   u  k  1  u  k 

  T  u  k   u  k  1  k c   e  k   e  k  1   e  k   d  e  k   2e  k  1  e  k  2   I T  

Observe que u  k  1 é simplesmente o valor da saída anterior, somar a cada iteração a saída anterior é equivalente a ter uma ação integral. Um método mais completo de se obter a equação de diferenças do controlador digital PID é utilizando a transformada Z e obtendo a função de transferência genérica para o PID. Um controlador PID real (com filtro derivativo) possui dois zeros e dois pólos, sendo um pólo integrador em z=1, assim:

CPID  z  

u z  z   z     k c' e z  z    z  1

Aplicando a transformada Z inversa obtém-se a seguinte equação de diferenças. u  k   1    u  k  1  u  k  2   k c  e  k        e  k  1  e  k  2  

Se fizermos

= 0, teremos uma equação equivalente para o PID onde não existe o filtro derivativo.

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Exemplo 8.1 O código de um programa de controle discreto do tipo PID (Proporcional, integral, derivativo) é representado pela seqüência de instruções: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -> Espere o período de amostragem | Leia y  kT  r  kT  é definido pelo usuário

| | | | |

Calcule e  kT   r  kT   y  kT  u  kT   k1  u   k  1 T   k 2  u   k  2  T   k 3  e  kT   k 4  e   k  1 T   k 5  e   k  2  T 

Envie o sinal de controle u  kT  Atualize as variáveis

| |

u   k  2  T   u   k  1 T 

|

u   k  1 T   u  kT 

|

e   k  2  T   e   k  1 T  e   k  1 T   e  kT 

| - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -<

Volte ao modo espere

Onde y  kT  é o sinal amostrado da saída do processo contínuo y  t  . Por outro lado, o processo contínuo responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial: 



1,5 y  t   1,8 y  t   0, 3y  t   27u  t  Onde u  t  é obtido a partir de u  kT  utilizando um sustentador de ordem zero B0  s  .

C z   k

 z    z     z    z  1

(a) Calcule o período de amostragem adequado sabendo que o sistema em malha fechada é duas vezes mais rápido que em malha aberta. Calcule a função de transferência amostrada do processo com sustentador G  z  . (b) Projete o controlador PID utilizando a técnica de cancelamento pólo-zero, ou seja, os zeros do controlador devem cancelar os pólos da planta. Obtenha a função de transferência do controlador PID discreto (ganho k, pólos e zeros) para t5% MF  0,5  t5% MA , caso da letra (a). (c) Desenho o lugar das raízes completo para G  z  e C  z  . (d) Quais os valores de k1 , k 2 , k3 , k 4 e k5 no programa acima? Solução: (a) Obtendo a função de transferência G  s  a partir da equação diferencial do processo, vamos aplicar a transformada de Laplace:

1,5  s 2  y  s   1,8  s  y  s   0, 3  y  s   27  u  s 

G s 

y s 27  2 u  s  1,5s  1,8s  0, 3

Passando para a forma mônica, onde o coeficiente de maior grau do denominador é igual a 1. Basta dividir o numerador e o denominador por 1,5.

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G s 

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y s 18  2 u  s  s  1, 2s  0, 2

Calculando os pólos do sistema encontramos s  1 e s  0, 2 .

G s 

y s 18  u  s   s  1 s  0, 2 

Considerando  MA  0, 2 que é o valor do pólo dominante, o pólo mais lento. Esta consideração é valida quando um pólo dista do outro pólo de pelo menos 5 vezes no eixo real.

t5% MA 

3

 MA



3  15 0,2

Para um sistema em malha fechada duas vezes mais rápido que em malha aberta temos:

t5% MF 

t5% MA 15   7,5 2 2

Calculando o período de amostragem pode ser escolhido como sendo de um sexto a um decimo do tempo de acomodação de 5%.

T

t5% 6  10

Vamos adotar um decimo.

t5% 7,5  10 10 T  0,75

T

Calculando a função de transferência discreta da planta.

  G s  18 1 G  z   1  z 1      1  z      s   s  s  1 s  0, 2   De acordo com a tabelada de transformada Z:

  1  e 1  e 1  z 1    s  s  ak s  b   abk   a b   T   1 e  3   aT

 bT



 a b   T  3 

ze  z  eaT  z  ebT 

Calculando G  z  :

1  e 18 18 1  e   G  z   1  z 1       1 0,2   0,75  s  s  1 s  0, 2   1  0, 2 1 e  3  10,75

G  z 

0,20,75



 1 0,2   0,75

ze  3   z  e10,75  z  e0,20,75 

0,75 0,15 18 1  e 1  e  z  e 0,3   0,3 0,75 0, 2 1 e  z  e  z  e0,15 

G  z   90 

1  0, 47 1  0,86  1  0,74

z  0, 74  z  0, 47  z  0,86

E finalmente chegamos à função de transferência discreta:

G  z   3,84 

z  0,74  z  0, 47  z  0,86

(b) e (c) A Figura 12 apresenta o lugar geométrico das raízes para a planta e o compensador projetado. _________________________________________________________________________________________________________________________

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Capítulo 8 – Projeto de Controladores PID discretos

119

Calculando o pólo discreto em malha fechada.

t5% MF  7,5 

 MF 

3

 MF

3  0,4 7,5

O pólo discreto é obtido atraves do mapeamento do plano S no plano Z.

zMF

z  e sT  e  MF T  e0,40,75

zMF  e 0,3  0,74 O compensador PID projetado pelo método de cancelamento pólo-zero, tem os zeros iguais aos pólos da planta, uma ação integradora no denominador e adotou-se o filtro derivativo com z  0 . Desde modo a função de transferência do compensador será:  z  0,47 z  0,86 CPID  z   k  z  z  1 Calculando o valor de k .

 z  0,47 z  0,86 3,84  z  0,74 z  z  1  z  0,47 z  0,86  z  0,74  L  z   3,84  k  z  z  1 L  z  é a função de transferência de malha aberta e T  z  é a função de transferência de malha fechada.  z  0,74  3,84  k  L z z  z  1 T z    z  0, 74  1 L  z 1  3,84  k  z  z  1 3,84  k   z  0,74 T  z  z  z  1  3,84  k   z  0,74 L  z   CPID  z   G  z   k 

Onde

Igualando a equação característica a zero, isolando k e substituindo z  zMF  0,74 obtém-se o valor do ganho do compensador. A equação característica é o polinômio do denominador da função transferência de malha fechada. z  z  1  3,84  k   z  0,74   0

k

k

 z  z  1 3,84   z  0, 74  z 0,74

0, 74  0,74  1  0,0338 3,84   0,74  0, 74 

Portanto:

CPID  z   0, 0338 

 z  0, 47  z  0,86 z  z  1

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120

Figura 12 – Lugar das raízes esboçado de acordo com a técnica de cancelamento pólo-zero.

(d) Calculo da lei de controle u  k  :

C z 

u z  z    z    k e z  z  z  1

z  z  1  u  z   k  z    z     e  z 

z

2

 z   u  z   k z 2       z    e  z 

Aplicando a transformada Z inversa:

u  k  2  u  k  1  k e  k  2        e  k  1  e  k  u  k  2   u  k  1  k e  k  2        e  k  1  e  k  Para tornar o sistema causal precisamos atrasar a equação acima de 2 períodos de amostragem, assim não existirão termos futuros.

u  k   u  k  1  k e  k        e  k  1  e  k  2  Substituindo   0,47 ,   0,86 e k  0,0338 tem-se:

u  k   u  k  1  0,0338  e  k   0,045  e  k  1  0, 01366  e  k  2  Portanto:

k1  1  k2  0  k3  k  0,0338 k  k     0, 045    4 k5  k  0, 01366

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121

8.9 EXERCÍCIOS 1) Cite vantagens da estrutura de PID industrial série (iterativa) e escreva sua função de transferência real. Por que é necessário introduzir um filtro na parte derivativa do compensador? 2) O controlador PID é o algoritmo mais utilizado em controle de processos industriais. O diagrama da Figura 13 mostra um controlador PID discreto controlando um processo com modelo discreto G(z) e T=1. Neste PID b, (0
Figura 13

3) A função de transferência de um controlador discreto do tipo PID (Proporcional, integral, derivativo) é apresentado a seguir: 10 z 2  1,42 z  4.92 C z  z2  z Este controlador é aplicado a um processo contínuo que responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial: d 2 y t  dy  t  0,5  3,5  10 y  t   5u  t  2 dt dt Onde u  t  é obtido a partir de u  kT  utilizando um sustentador de ordem zero B0  s  e y  t  é a saída do processo. (a) Monte o programa utilizando as equações a diferença. Assim como foi feito em sala de aula. (3,0 pto). Espere o período de amostragem Leia y  kT  r  kT  é definido pelo usuário Calcule e  kT    u  kT   

Envie o sinal de controle u  kT  Atualize as variáveis ... ... ... Volte ao modo espere _________________________________________________________________________________________________________________________

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122

(b) Calcule a função de transferência amostrada do processo com sustentador B0G  z  para um período de amostragem T=0,1segundos. (3 pontos). (c) Esboce o lugar das raízes (LR) discreto para a planta B0G  z  com o compensador PID. (3 pontos). 4) O código de um programa de controle discreto do tipo PID (Proporcional, integral, derivativo) é representado pela sequência de instruções: (16,0 pontos). - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -> Espere o período de amostragem | Leia y  kT  |

r  kT  é definido pelo usuário

| |

Calcule

| |

e  kT   r  kT   y  kT  u  kT   k1  u   k  1 T   k 2  u   k  2  T   k 3  e  kT   k 4  e   k  1 T   k 5  e   k  2  T  Envie o sinal de controle u  kT  Atualize as variáveis

| |

e   k  2  T   e   k  1 T 

|

e   k  1 T   e  kT 

|

u   k  2  T   u   k  1 T 

|

u   k  1 T   u  kT 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -<

Volte ao modo espere

Onde y  kT  é o sinal amostrado da saída do processo contínuo y  t  . Por outro lado, o processo contínuo responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial:

d2 y  t  dy  t   22   117  y  t   7  u  t  2 dt dt Onde u  t  é obtido a partir de u  kT  utilizando um sustentador de ordem zero B0  s  . Cz  k 

 z      z    z      z  1

(e) Calcule a função de transferência amostrada do processo com sustentador B0 G  z  para um período de amostragem T=0,01 segundos. (3,0 pontos) (f) Projete o controlador PID utilizando a técnica de cancelamento pólo-zero, ou seja, os zeros do controlador devem cancelar os pólos da planta. Obtenha a função de transferência discreta do controlador PID discreto (ganho k, pólos e zeros) para t2%  0, 25seg . Desenho o lugar das raízes completo para B0 G  z  e C  z  . (g) Quais os valores de k1 , k 2 , k3 , k 4 e k5 no programa acima. 5) A função de transferência de um controlador discreto do tipo PD (Proporcional derivativo) é apresentado a seguir: z  C  z  k  z Este controlador é aplicado a um processo contínuo que responde com uma dinâmica de segunda ordem dada pela equação diferencial: _________________________________________________________________________________________________________________________

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

123



1,1  y  t   0, 22  y  t   40, 7  u  t  Onde u  t  é obtido a partir de u  k  utilizando um sustentador de ordem zero B0  s  e y  t  é a saída do processo. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -> Espere o período de amostragem | Leia y  k  |

r  k  é definido pelo usuário

| |

Calcule

ek   r k  y k

|

u k   ?

|

Envie o sinal de controle u  k 

| Atualize as variáveis | ? - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -< Volte ao modo espere (a) Calcule o período de amostragem adequado sabendo que o sistema apresenta t5% MF  24seg . Calcule a função de transferência amostrada do processo com sustentador B0 G  z  . (b) Projete o controlador PD utilizando a técnica de cancelamento pólo-zero, ou seja, os zeros do controlador devem cancelar os pólos da planta. Obtenha a função de transferência discreta do controlador PD discreto (ganho k, pólos e zeros) para t5% MF  24seg , caso da letra (a). (c) Desenho o lugar das raízes completo para B0 G  z  e C  z  . (d) Calcule a equação de diferenças de u  kT  . 6) A Figura 14 apresenta um sistema de controle de posição vertical, é uma versão simplificada de um helicóptero onde existe apenas a hélice vertical. O modelo deste sistema apresenta funções lineares, não lineares, atrito e conjugados resistivos, porém para facilitar nosso projeto iremos linearizá-lo e simplificar seu modelo, o mesmo é apresentado na Figura 15. A velocidade angular do motor cc é medida por um tacogerador, já a posição v do helicóptero por um encoder. As funções de transferências destes sensores foram desprezadas e seus ganhos foram considerados unitários. Você deve projetar um sistema de controle de posição (altitude) do helicóptero, para solucionar este problema foi definida a utilização de dois compensadores discretos implementados dentro de um único Arduino. Esta forma de controle é conhecida na literatura como controle cascata e esta apresentada na Figura 16. Projetam-se os dois controladores como se cada um fosse independente do outro, para isso basta garantir que a velocidade da malha interna seja igual ou superior a dez vezes a velocidade da malha externa ( t 5% MF2  10  t 5%MF1 ). Esta simplificação é valida, pois a malha externa que é mais lenta não percebe a dinâmica da malha interna, a malha interna é observada como um ganho unitário caso sua realimentação seja unitária.

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Figura 14 - Helicóptero com apenas a hélice vertical.

Figura 15 – Diagrama de blocos com as funções de transferências linearizadas e simplificadas.

Figura 16 - Diagrama de blocos com a proposta de controle cascata.

(a) Calcule a função de transferência discreta BoG1 (z) do motor CC, a título de simplificação considere a função de transferência do modulador PWM igual a do ZOH. Defina o período de amostragem sabendo que em malha fechada o tempo de acomodação desta malha será de

t 5%MF1  0, 2seg. (b) Calcule a função de transferência discreta G 2 (z) da hélice, observe que não existe nenhum tipo de sustentador ou modulador em cascata com esse processo. Utilize o mesmo período de amostragem da letra (a). Para obter esta função de transferência discreta utilize exclusivamente a equação abaixo: ' z  e  aT  e bT  k'   k  T G2 ( z )      aT  bT   s  a  s  b    b  a   z  e  z  e 

(c) Projete um Compensador C1 (z) cujo t 5%MF1  0, 2seg. , não exista erro de regime permanente e o sistema apresente polos reais e sem pico na resposta. Desenhe o lugar das raízes completo. Obs.: Despreze a malha externa conforme a Figura 17.

Figura 17

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(d) Projete um Compensador C 2 (z) cujo t 5%MF2  10  t 5%MF1 , não exista erro de regime permanente e o sistema apresente polos reais e sem pico na resposta. Desenhe o lugar das raízes completo. Obs.: Substitua a manha interna pelo seu ganho estático em malha fechada que neste caso é 1, conforme a Figura 18.

Figura 18 (e) Calcule as equações de diferença dos dois compensadores que você projetou nas letras (c) e (d). (f) Complete o programa seguir: - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -> Espere o período de amostragem | Leia ?? | Teta _ ref  k  é definido pelo usuário Calcule

| | |

e2  k   ?? u2  k   ?? e1 kT   ??

| | |

u1 k   ?? Envie o sinal de controle u1  kT 

| | - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -<

Atualize as variáveis ?? Volte ao modo espere

(g) Obtenha a transformada inversa do sinal cc (z) a partir de um degrau de referência, ref . (z) 

z z 1

de acordo com a Figura 17. Utilize o método da Série de potência e esboce a resposta no tempo.

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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS: CAPÍTULOS 4 A 8 1. Ogata, Katsuhiko. Discrete-Time Control Systems. Second edition. Prentice Hall. 1995. 2. D. Ibrahim. Microcontroller Based Applied Digital Control. 2006 John Wiley & Sons, Ltd. ISBN: 0-470-86335-8 3. Benjamin C. Kuo. Discrete-Data Control Systems. Prentice Hall, 1970. 399p. 4. Willsky, Alan S.; Oppenheim, Alan V.; Nawab, Syed Hamid. Sinais e Sistemas. 2ª Ed. 5. FRANKLIN, G. F., POWELL, J. D., Workman, M. L. Digital Control of Dynamic Systems, 3ª Edição, 2005. 6. FRANKLIN, G. F., POWELL, J. D., EMAMI-NAIENI. Feedback Control of Dynamic Systems, Addison-Wesley, 1994. 7. DORF, RICHARD C. Modern control systems, Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, 2008. 8. Seborg, D. E., Mellichamp D. A., Edgar, T. F., Doyle F. J. Process Dynamics and Control. 3ª edição. Wiley, 2010. 9. Willsky, Alan S.; Oppenheim, Alan V.; Nawab, Syed Hamid. Sinais e Sistemas. 2ª Ed.

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