Jc Maxwell

James Clerk Maxwell

Francisco C´anovas Pic´on Universidad de Murcia Historia de la F´ısica

´Indice general

´Indice general

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1. Biograf´ıa

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2. Electrodin´ amica

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2.1. Algunos problemas por resolver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.2. Sobre las l´ıneas de fuerza de Faraday . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.3. Sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.4. Modelo mec´anico de Maxwell del campo electromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.5. Magnitudes mec´anicas y electromagn´eticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.6. Las leyes del campo electromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.7. La teor´ıa electromagn´etica de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.8. La velocidad de la luz, una constante electromagn´etica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.9. Las limitaciones del art´ıculo sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.10. Una teor´ıa din´amica del campo electromagn´etico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.11. El desarrollo de la teor´ıa sin el mecanismo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.12. La actitud de maxwell hacia la interpretaci´on de su teor´ıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Termodin´ amica

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3.1. El problema inicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.2. La soluci´ on de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Bibliograf´ıa

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Cap´ıtulo

1 Biograf´ıa

James Clerk Maxwell naci´ o en Edimburgo el 13 de junio de 1831, de una familia que contaba entre sus antepasados muchas figuras destacadas. La fortuna de la familia hab´ıa sido edificada por John Clerk, en Par´ıs, en los a˜ nos 1634 a 1646, volviendo luego a Escocia donde adquiri´o el dominio de los barones de Penicuik. Su hijo se cas´o con la nieta del poeta Sir William Drummond of Hauthornden, y algunos de sus descendientes llegaron a ser eminentes abogados escoceses, que enviaron a varios de sus hijos a estudiar a Leyden y otras ciudades extranjeras. El t´ıo bisabuelo de Maxwell, John Clerk, era amigo de James Hutton, fundador de la geolog´ıa moderna, y afirmaba haber encontrado la t´actica naval mediante la cual Rodney gan´o la batalla de la Dominique. El bisabuelo de Maxwell, Sir George Clerk, se hab´ıa casado con una prima hermana, Agnes Maxwell, descendiente de Drummond, y heredera de Middlebie, que hab´ıa adoptado el apellido de Clerk Maxwell. Result´ o as´ı que la familia entr´ o en posesi´on de las heredades de Penicuik y Middlebie. En su juventud ten´ıa Maxwell cabello y barba negros, ojos casi negros y cutis p´alido, y sus rasgos eran hermosos y expresivos. Rara vez re´ıa, pero en sus ojos hab´ıa un gui˜ no expresivo cuando estaba de humor ir´ onico. Ten´ıa la tendencia a expresarse por hip´erboles, contra la cual luchaba y que confund´ıa a los esp´ıritus simples. Cuando hablaba con iron´ıa, su voz se tornaba ronca, dificultando la comprensi´on de lo que dec´ıa. Escribe Lewis Campbell, su bi´ ografo, que probablemente la tendencia de Maxwell a hablar en hip´erboles, se increment´ o por las reprimendas de su preceptor, y posteriormente en la escuela, pues era en parte un mecanismo psicol´ ogico de defensa. Pertenec´ıa a la clase de los “lairds”, peque˜ nos terratenientes escoceses, a la cual pertenec´ıa desde hac´ıa tres siglos su familia, de la cual hab´ıan salido varias personalidades destacadas en la historia de Escocia. Su padre contaba con una renta reducida, pero segura, y en su juventud se hab´ıa dedicado espor´adicamente a la profesi´on de abogado, en Edimburgo, concentrando, con el tiempo, su atenci´on en la administraci´ on de su peque˜ na heredad, cerca de Middelebie, en Dumfriesshire. John Clerk Maxwell pose´ıa alguna de las mejores cualidades de su clase; la seguridad de su situaci´on se traduc´ıa en independencia de opini´on y de acci´ on y ocupaba su libertad mental en imaginar planes para el progreso de su propiedad y en informarse sobre el progreso de la ciencia y de la tecnolog´ıa. Su esposa falleci´o cuando James ten´ıa ocho a˜ nos de edad, teniendo entonces que suplir a ´esta en la educaci´ on de su hijo. La corriente de mutua comprensi´on que se tendi´ o entre John Clerk Maxwell y su hijo James contribuy´o a desarrollar en ´este una capacidad de comprensi´ on personal y espiritual. James pudo evitar de caer en la ideolog´ıa de la clase terrateniente y familiarizarse con el esp´ıritu de la cultura industrialista, gracias a su inter´es en la tecnolog´ıa. De no mediar esta circunstancia no se habr´ıa podido transformar en un agente de la adaptaci´on de las ciencias f´ısicas inglesas a las necesidades de un nuevo orden social. 3

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El intelecto de Maxwell pose´ıa dos cualidades, ambas de singular importancia: la claridad y la aparente oscuridad. Tanto en su ´epoca como hasta ahora lo m´as estimado en ´el fue la parte clara de su mente, pues conten´ıa la expresi´ on del esp´ıritu de su ´epoca. En cuanto a la parte obscura, de acuerdo con lo que vemos ahora, esboz´ o el esp´ıritu de la ´epoca siguiente, y el conocimiento m´as profundo del siglo XX ha aclarado el significado de esa parte obscura. La obra mayor que realiz´ o Maxwell fue que mediante la reputaci´on y autoridad que conquist´o por su dominio de los recursos del pensamiento cient´ıfico contempor´aneo, pudo se˜ nalar la direcci´on a seguir para las futuras investigaciones. Igual´ o a los f´ısicos del siglo XIX con sus propias armas, y luego se˜ nal´o el camino a los del siglo XX, tanto en la f´ısica te´ orica como en la experimental. Su teor´ıa de la electricidad y del magnetismo condujo a la teor´ıa de la relatividad; su teor´ıa din´amica de los gases contribuy´o al establecimiento de la teor´ıa de los cuantos, y sus planes de trabajos y m´etodos para el Laboratorio Cavendish, esbozados en su conferencia inaugural, condujeron a la f´ısica at´ omica experimental. Cuando James Clerk Maxwell se hallaba en el periodo m´as intenso de su preparaci´on para optar a la lista de honores de Cambridge se traslad´ o a casa de un amigo en Birmingham para tomar un breve descanso. Su padre le escribi´ o que no dejara de “ver, si puedes, armeros, fabricaci´on y ensayo de p´olvora y de espadas, f´abricas de papel mach´e y de laca, enchapado en plata por cementaci´on y laminado, y por galvanoplast´ıa, las f´abricas de Elkington, el trabajo en bronce por vaciado y por estampado, etc.”. Esta carta no parece confirmar la reputaci´on de indolencia que acompa˜ naba a John Clerk Maxwell, y tiene notables semejanzas con la carta que Newton escribi´ o a un joven pariente que visitaba Italia, y en la cual le aconseja que observe todos los procesos tecnol´ ogicos y fen´ omenos geol´ ogicos, sin mencionar las cosas que m´as han hecho famoso al pa´ıs. Antes de que James tuviera tres a˜ nos, queda ya asentada en alguna carta de familia su esp´ıritu curioso. En su infancia preguntaba a cada momento “¿Para qu´e sirve esto?”y si se le contestaba en forma vaga, insist´ıa: “Pero, exactamente, ¿para qu´e sirve?”. Se ha anotado que el recuerdo m´as antiguo de Maxwell es el estar tirado en el c´esped frente a la casa paterna, mirando al sol y cavilando. Su prima, Mrs. Blackburn, era una dibujante de talento, y ha dejado algunos deliciosos dibujos que representan a Maxwell en su ni˜ nez. A partir de los seis a˜ nos frecuentemente est´a representado en actitud de profunda observaci´ on, o haciendo algo. Ten´ıa muy buena memoria, y a los ocho a˜ nos sab´ıa de memoria hasta el salmo 119 de la Biblia. Desde su ni˜ nez estudi´o detalladamente la Biblia y las obras de Milton. Cuando James ten´ıa ocho a˜ nos, su madre falleci´o, a los cuarenta y ocho a˜ nos, aparentemente, de c´ancer. Su padre realiz´ o con gran comprensi´ on, entonces, la tarea de guiar su vida. Es interesante hacer notar que los dos grandes f´ısicos escoceses del siglo XIX se vieron privados de su madre desde su infancia, estando su educaci´on a cargo de sus padres. Los pedagogos podr´ıan realizar un estudio muy ilustrativo de la eficacia en la ense˜ nanza en la mente comprensiva masculina, en oposici´on con los sentimientos maternales. Es posible que el desarrollo, y especialmente la precoz manifestaci´on de los genios de Thomson y de Maxwell, hayan respondido, en gran parte, a las explicaciones completas de los fen´omenos que les dieron sus ilustrados padres constituyendo as´ı una base intelectual que no podr´ıan haber recibido de madres afectuosas y h´abiles, pero sin preparaci´on cient´ıfica. James era muy feliz, en Glenlair, en la compa˜ n´ıa de su inteligente padre, deleit´andose con las variadas actividades de la vida campesina, jugando en el arroyo adyacente a la casa, y correteando por el campo. Sol´ıa ponerse ranas en la boca, para verlas salir saltando. Entre sus juguetes ten´ıa un fenaquistiscopio, invento de Faraday, que constituye una forma primitiva del cinemat´ografo. A˜ nos m´as tarde, aplic´o el efecto visual de la rotaci´on en su invento del trompo coloreado, y agreg´o lentes al fenaquistiscopio, adelantando un paso m´as hacia su forma moderna, el cinemat´ ografo. Lo utiliz´o para hacer ver escenas del choque de anillos torbellinos, la cual fue probablemente la primera aplicaci´on del cinemat´ografo a la ilustraci´on de fen´omenos cient´ıficos.

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Historia de la F´ısica

Al enfermar su madre, y durante unos dos a˜ nos despu´es de su muerte, Maxwell fue educado por un preceptor que manifest´ o que su pupilo era de aprendizaje lento. A poco de andar, la t´ıa de Maxwell descubri´ o que el preceptor hab´ıa tratado de meterle a la fuerza los conocimientos, recurriendo a veces al expediente de golpearle la cabeza con una regla, y de doblarle las orejas hasta hac´erselas sangrar. Su padre no parece haberse percatado de estos m´etodos o haberlos aceptado como corrientes. Su bi´ografo estaba convencido de que esta tiran´ıa que sufri´o en su edad temprana, fue causa de un “cierto titubeo en sus maneras y modo indirecto de responder” que conserv´o toda su vida. Aunque el se˜ nor Maxwell hab´ıa considerado cuidadosamente la cuesti´on de la educaci´on de su hijo, permiti´o que ´este fuera al colegio con la extravagante ropa de su propio dise˜ no. James se apareci´o con una t´ unica en lugar de un saco, sus zapatos de punta cuadrada, sujetos con hebillas de bronce en vez de cordones negros, y una pechera en lugar de cuello. Despu´es de la primera hora de clase se vio rodeado por sus condisc´ıpulos que lo fastidiaron e hicieron objeto de bromas a prop´osito de su extraordinaria indumentaria, a lo cual James les replic´o ir´onicamente en el claro dialecto de Galloway. Por sus extra˜ nas vestimentas y r´eplicas sus compa˜ neros lo bautizaron con el sobrenombre de “Dafty” (aturdido). Cuando lleg´o a su casa de vuelta del colegio, su t´ unica estaba hecha tiras y su pechera arrancada, pero esto parec´ıa divertirlo m´as que irritarlo. Su bi´ ografo hace notar acertadamente que su comportamiento ocultaba serias heridas de su esp´ıritu. Maxwell no se vio libre, ni trat´ o de hacerlo, de su sobrenombre, durante su estad´ıa en la escuela, y sus raras observaciones y risa eran interpretadas como se˜ nales de tonter´ıa. Durante muchos a˜ nos, la escuela no despert´o su inter´es, que segu´ıa concentrado en “Glenlair” y en la casa de su t´ıa en “Edinburgh”. Escrib´ıa a su padre cartas detalladas, ilustradas con dibujos, y aqu´el las le´ıa con afectuosa comprensi´on, y cuando estaba en Edimburgo no se cansaba de hacer ver a su hijo cosas interesantes. Cuando ten´ıa doce a˜ nos lo llev´ o a ver “m´aquinas electromagn´eticas” y a una reuni´on de la Edinburgh Royal Society. Durante este periodo sus compa˜ neros continuaron mortific´andolo hasta el punto que a veces se volv´ıa contra ellos y los atacaba con furor demon´ıaco. Su prolongada amistad con Lewis Campbell parece haberse iniciado en el patio de la escuela, una vez que Lewis se puso de su parte, contra sus perseguidores. Con la adolescencia, progres´ o r´apidamente su desarrollo intelectual. Consigui´o vencer su inseguridad al recitar sus lecciones, escribiendo las palabras en los espacios de un plano de un ventanal que hab´ıa en la habitaci´on del rector, y aprendi´endolas en esa disposici´on. A la ma˜ nana siguiente, cuando se lo llamaba a dar la lecci´on, miraba al ventanal y su imaginaci´on visualizaba all´ı las palabras escritas. Tem´ıa que lo cambiaran de sitio en la clase impidi´endole as´ı ver el ventanal. Desde el principio de su curso de matem´aticas, Maxwell realiz´o progresos r´apidos. A la edad de catorce a˜ nos gan´o la medalla de matem´aticas y escribi´o a su t´ıa que su amigo Campbell “hab´ıa recibido una carta felicit´andolo prematuramente por la medalla que al final gan´e yo; pero no existe rivalidad entre nosotros”. Tambi´en gan´o una medalla en la asignatura de poes´ıa inglesa. Su padre se preocupaba seriamente de que aprendiera bien matem´aticas, llev´andolo m´as frecuentemente a las reuniones de la Edinburgh Royal Society y de la Society of Arts. Uno de los conferenciantes de la Society of Arts era D.R. Hay, cuyas teor´ıas sobre la interpretaci´on matem´atica de la belleza mediante la forma y el color, hab´ıan sido muy debatidas. Habl´ o sobre las propiedades matem´aticas de la disposici´on de “huevo y sacta” en los motivos ornamentales griegos. De aqu´ı se suscit´o la discusi´on de c´omo construir ´ovalos perfectos. James estudi´o el problema y descubri´ o un m´etodo para trazar ´ovalos mediante un l´apiz guiado por un hilo atado a dos alfileres. Aqu´ı se pudo apreciar la importancia que la independencia econ´omica tiene para poder alentar a un talento en formaci´ on. La libertad de ocupaci´on de Mr. Maxwell le permiti´o darse inmediata cuenta del hallazgo de su hijo, pues dedicaba mucho tiempo a visitar a Hay y a J.D. Forbes, el distinguido profesor de Edimburgo, llam´andoles la atenci´ on sobre el descubrimiento. Forbes qued´o grandemente impresionado, y redact´o el razonamiento de Maxwell en un lenguaje apropiado para una comunicaci´on a la Royal Society de Edimburgo. En esta forma, antes de cumplir quince a˜ nos, Maxwell fue conducido por su padre a una reuni´ on 5

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de la Royal Society de Edimburgo para o´ır la lectura de su primer trabajo. El profesor Forbes destac´ o que el procedimiento de Mr. Maxwell para trazar ´ovalos era m´as sencillo y general que el de Descartes, y que no se hab´ıa sospechado que estas curvas, cuyas propiedades ´opticas hab´ıan sido discutidas matem´aticamente por Newton y Huygens, se pod´ıan construir en forma tan sencilla. ¡Descartes, Newton, Huygens! ¡Qu´e nombres aparec´ıan en la discusi´on del trabajo matem´atico de un escolar!. Nunca se oy´ o a Maxwell lamentarse de su educaci´on cl´asica, y con frecuencia dijo en a˜ nos ulteriores que consideraba que el descubrimiento del pensamiento de un autor, sin otra ayuda que un diccionario y una gram´atica era uno de los mejores ejercicios mentales. Apreci´o, no bien lo ley´ o, el valor del tratado Mathematical Analysis of Logic, de George Boole, que acababa de ser publicado y que es considerado actualmente como el fundamento de la moderna ciencia de la l´ ogica matem´atica. A pesar de que contaba con el apoyo de los profesores Forbes, Kelland y Hamilton, no ten´ıa mayor relaci´on con sus compa˜ neros, y su comportamiento segu´ıa siendo algo exc´entrico. Se vest´ıa cuidadosamente, pero no usaba ropa almidonada, ni guantes y viajaba en tercera clase en el ferrocarril, pues prefer´ıa los asientos duros. Estos trabajos (sobre prismas) despertaron considerable inter´es por el futuro de Maxwell, y as´ı Forbes visit´o al padre de aqu´el, y lo urgi´ o a que lo enviase a Cambridge. Despu´es de muchas deliberaciones ´este decidi´o enviarlo a Peterhouse, donde se hab´ıa destacado Thomson unos a˜ nos antes y hab´ıa ingresado ya Tait, su compa˜ nero de escuela. Los admiradores de Maxwell han discutido con frecuencia acerca de si hubiese salido ganando con ingresar antes a Cambridge, abandonando sus estudios en Edimburgo, inconexos y sin relaci´ on social. Algunos creen que habr´ıa concluido m´as pronto su preparaci´on sistem´atica, obteniendo de ese modo, con m´as rapidez, una t´ecnica para abordar problemas serios. Otros, en cambio, pensaron que su periodo de independencia en Edimburgo contribuy´ o a fortalecer su originalidad de pensamiento. Lo cierto es que Maxwell nunca domin´ o la matem´atica en grado comparable a su penetraci´on en el campo de la f´ısica, y si hubiera ido antes a Cambridge, este ligero desequilibrio podr´ıa haberse remediado. Cuando Maxwell se present´ o personalmente a solicitar al doctor Thomson, entonces rector de Trinity College, que le permitiese pasarse a ese establecimiento, parec´ıa t´ımido e inseguro; pero al poco rato sorprendi´ o al rector present´andole un paquete conteniendo ejemplares de sus trabajos originales y acompa˜ n´andolos con esta observaci´on: “Tal vez esto le demuestre que no soy inepto para ingresar a su College”. Al poco tiempo pas´ o a ser alumno de William Hopkins, famoso profesor de matem´aticas que hab´ıa preparado a Stokes, Thomson y otros candidatos de nota, para el examen para optar a la lista de honores. Teniendo en cuenta el grado de desarrollo mental y su originalidad se puede considerar que sigui´o con notable conciencia las ense˜ nanzas de Hopkins, y que se desempe˜ n´o igualmente bien en el extra˜ no juego que es un examen para optar a honores. Hopkins qued´ o impresionado por la inmensa cantidad de conocimientos de Maxwell, as´ı como por el desorden en que estaban; pero reconoci´o su genio, pues manifest´o que Maxwell era, de lejos, el m´as notable de todos los alumnos que hab´ıa tenido. Lleg´o a decir que Maxwell era casi incapaz de pensar equivocadamente en cuestiones de f´ısica, aunque su dominio de la parte formal de las matem´aticas era deficiente. En enero de 1854 se present´ o a examen, diciendo a un amigo en esa oportunidad que cuando entr´ o en el aula para buscar el primer tema, su mente estaba completamente vac´ıa; pero al poco tiempo le invadi´o una lucidez extraordinaria. Cuando sali´ o estaba mareado y titubeante. Su antiguo compa˜ nero Tait, que hab´ıa participado con felicidad en esa competici´ on el a˜ no anterior, ha dicho que jam´as un buen alumno se present´ o al examen peor preparado que lo estaba Maxwell. Obtuvo el segundo puesto, en gran parte, gracias a un poderoso esfuerzo mental. El primer puesto fue ganado por E.J. Routh, matem´atico talentoso y capaz, cuya facilidad le hab´ıa permitido obtener m´as puntos que su competidor con la sola ayuda de su talento, caso an´alogo al de Stephen

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Parkinson que aventaj´ o a Thomson. Poco tiempo despu´es de graduarse, escribi´o a Thomson, pidi´endole consejo a prop´osito de la investigaci´ on. Le dec´ıa que hab´ıa pensado estudiar electricidad, y preguntaba si a Thomson le molestaba que abordase ese tema. Evidentemente debi´ o recibir una respuesta favorable, pues escribi´o a su padre que Thomson “est´a muy contento de que yo haga incursiones en sus dominios el´ectricos”. Mientras preparaba el material para su primer trabajo de importancia Sobre las l´ıneas de fuerza de Faraday se mantuvo intelectualmente activo en varios campos de la f´ısica. Nunca hab´ıa abandonado las investigaciones a prop´osito de la sensaci´ on del color, sugeridas, as´ı como su trabajo sobre la geometr´ıa del ´ovalo, por el libro de D.R. Hay sobre la teor´ıa matem´atica del arte. Despu´es de un conjunto de experiencias realizadas con diferentes observadores, lleg´o a la conclusi´ on de que el ojo humano es capaz de apreciar con gran precisi´on la semejanza de colores, que la apreciaci´on se debe a una causa que reside en el ojo del observador y no a la verdadera identidad de los colores y que la ley de visi´ on de los colores es, dentro de un cierto grado de aproximaci´on, id´entica para todos los ojos normales. Maxwell demostr´o que, pr´acticamente, todo color puede obtenerse por la combinaci´on de otros tres colores, que pueden, pues, ser aceptados como primarios. Adopt´o como colores primarios ciertas longitudes de onda, la regi´ on del espectro correspondiente al rojo, al verde y al violeta. Descubri´o que las personas dalt´onicas pueden comparar cualquiera de sus sensaciones ´ opticas coloreadas con combinaciones de dos colores primarios, confirmando as´ı la teor´ıa de que el daltonismo se debe a una deficiencia en una de las tres sensaciones primarias sobre las que se basa la percepci´ on de los colores. El resultado m´as importante de los trabajos de Maxwell sobre la visi´on de los colores fue aumentar su reputaci´on cient´ıfica. Por razones hist´ oricas, la f´ısica de los colores era tenida en gran estima en Inglaterra; hab´ıa sido fundada por Newton y Young, y estudiada en tiempos de la juventud de Maxwell, por Brewster y Forbes. El tema estaba de moda y los trabajos que se vincularan con ´el no pasaban inadvertidos. El nombre de Maxwell fue a˜ nadido a los de Newton y Young en la lista de los que contribuyeron al importante conocimiento de la teor´ıa de la visi´ on de los colores, en 1860 la Royal Society le otorg´o la medalla Rumford en m´erito a sus trabajos. La primera oraci´ on de Maxwell en sus trabajos sobre electricidad es “El estado actual de la ciencia de la electricidad parece particularmente desfavorable a la especulaci´on”. Hace observar que algunos de los fen´ omenos de la electricidad est´atica, de la corriente el´ectrica y del electromagnetismo se pueden describir matem´aticamente, pero que, hasta ese momento, no se ha hallado ninguna teor´ıa general que vincule entre s´ı los fen´ omenos de todos estos tipos. El investigador que busque una teor´ıa general debe dominar una “considerable masa de conocimientos matem´aticos de los m´as intrincados, cuya mera retenci´on en la memoria lo estorba materialmente en su progreso”. Si ha de conseguirse la unificaci´on de las distintas ramas de la teor´ıa de la electricidad, debe hallarse alg´ un m´etodo que simplifique los conceptos fundamentales en las distintas ramas, de manera que el estudioso pueda represent´arselos simult´aneamente en su mente. Esta simplificaci´on puede realizarse de dos maneras: hallando un denominador com´ un bajo la forma de una expresi´on matem´atica, o mediante una hip´otesis f´ısica. “En el primer caso, perdemos de vista por completo el fen´omeno que deseamos explicar, y aunque podamos objetivar las consecuencias de ciertas leyes, nunca podremos obtener ideas m´as completas de las vinculaciones de aquel tema. Si por otra parte formulamos una hip´otesis f´ısica, solamente tenemos una visi´on indirecta del fen´ omeno y nos vemos expuestos a no ver los hechos mismos y a sacar conclusiones apresuradas, todo ello como consecuencia de una explicaci´on que s´olo es parcial. En consecuencia debemos hallar alg´ un m´etodo de investigaci´ on que permita que la mente pueda seguir cada paso del razonamiento mediante una clara interpretaci´ on f´ısica, sin verse obligada a recurrir a alguna teor´ıa fundada en la rama de la f´ısica, de la cual se ha extra´ıdo esa interpretaci´on, de manera que la mente no se vea apartada del tema principal, por sutilezas anal´ıticas, ni tampoco llevada m´as all´a de la verdad por alguna hip´otesis afortunada”.

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“Con el prop´ osito de obtener im´agenes f´ısicas sin enunciar una teor´ıa f´ısica, debemos familiarizarnos con la existencia de las analog´ıas f´ısicas. Entiendo por analog´ıa f´ısica la similitud parcial que existe entre las leyes de una ciencia y las de otras, similitud que permite que cada una ejemplifique a la otra. As´ı, todas las ciencias matem´aticas se fundan en relaciones entre las leyes f´ısicas y las leyes de los n´ umeros, de manera que el objeto que debe perseguir una ciencia exacta es reducir los problemas de la naturaleza a la determinaci´ on de cantidades mediante operaciones con n´ umeros”. Explica que las “l´ıneas de fuerza” pueden representarse convenientemente mediante “delgados tubos de secci´on variable, que transportan un fluido imponderable”. La intensidad y la direcci´on de la fuerza es cualquier punto puede representarse mediante el movimiento del fluido. En el caso de un sistema de fuerzas completamente arbitrario habr´a, generalmente, intersticios entre los tubos. Los tubos ser´an entonces meras superficies que gu´ıen el movimiento de un fluido que llene todo el campo. Hace notar que el estudio matem´atico de las fuerzas el´ectricas y magn´eticas se ha basado generalmente en la representaci´on de un modelo en el cual se supone que estas fuerzas son an´alogas a las reacciones entre ciertos puntos; pero ahora propone basar el tratamiento matem´atico en la suposici´ on de que las reacciones de las fuerzas sean an´alogas a las existentes en el modelo hidrodin´amico que ha descrito. Luego procede a demostrar que “las leyes de las atracciones y efectos de inducci´ on de los imanes y de las corrientes el´ectricas pueden imaginarse claramente sin realizar suposiciones respecto de la naturaleza f´ısica de la electricidad, y sin a˜ nadir nada a lo que ya se conoce por la experimentaci´ on‘”. Ya ha escrito “no estoy intentando establecer ninguna teor´ıa f´ısica de una ciencia en la cual apenas he realizado experimentos”. El eminente astr´ onomo real, Sir George Biddle Airy, declar´o que “apenas pod´ıa imaginar que alguien que conozca la coincidencia existente entre los valores observados y los calculados en base a la acci´on a distancia, pueda titubear un instante entre esta acci´on simple y precisa, por una parte, y algo tan vago e impreciso como las l´ıneas de fuerza, por otras”. Debido a su comprensi´ on de lo que es el esp´ıritu de la investigaci´on cient´ıfica y a su imaginaci´on geom´etrica, Maxwell qued´ o convencido de la exactitud de las concepciones de Faraday sin realizar ´el mismo ninguna investigaci´on experimental sobre electricidad. Faraday a su vez supo apreciar inmediatamente los trabajos de Maxwell y en una carta fechada el 13 de noviembre de 1857 le escribe: “Siempre he comprobado que yo pod´ıa entender perfectamente sus conclusiones. Las cuales, aunque no me ilustran del todo sobre los pasos de su razonamiento, me presentan resultados, que ni exceden a la verdad ni quedan cortos, y que son de una naturaleza tan clara, que bas´andome en ellos puedo seguir pensando y trabajando”. Maxwell demostraba con indiscutible lucimiento su dominio de las ideas de acci´on a distancia, y sin embargo, apoyaba la adopci´ on de la noci´ on aparentemente complicada de las l´ıneas de fuerza de Faraday. Sus contempor´aneos, intrigados, se preguntaban qu´e es lo que ten´ıa en la mente, y decidieron finalmente que era una de sus extravagancias. La memoria sobre los anillos de Saturno aument´o grandemente su reputaci´on, y result´o ser de gran importancia t´actica para su campa˜ na, aun s´ olo esbozada, para copar y reformar la escuela cient´ıfica de Cambridge, pues aqu´el trabajo inhib´ıa a los hombres de ciencia de la vieja escuela para poner en duda su dominio de la f´ısica cl´asica. Con sus investigaciones sobre la f´ısica de los colores y los anillos de Saturno, Maxwell hab´ıa satisfecho el gusto y el m´etodo de los m´as cerrados continuadores de Newton. Durante el periodo en que preparaba su primer trabajo sobre las l´ıneas de fuerza de Faraday, daba clases sobres fracciones decimales en los cursos de Cambridge para obreros. En marzo de 1856 escrib´ıa a su padre: “Estamos organizando una escuela preparatoria para muchachos grandes, con el fin de ayudarlos en sus estudios preliminares. Tambi´en trabajamos a favor del cierre temprano de los negocios. Hemos conseguido la adhesi´ on de todos los ferreteros, y de todos los zapateros, menos uno. Las librer´ıas se han adherido durante un tiempo. La imprenta Pitt trabaja hasta horas avanzadas, y le vamos a solicitar que cierre”. 8

1 Biograf´ıa

Historia de la F´ısica

Se dice que el estudio que Maxwell realiz´o de las propiedades de los “cascotes voladores”, como llamaba a los anillos de Saturno, fue el origen de sus investigaciones sobre teor´ıa din´amica de los gases para cuyo estudio present´o su primera contribuci´ on importante en 1859, en la reuni´on de la Aberdeen de la British Association. Al poco tiempo de estar en Aberdeen, Maxwell contaba que “all´ı no entienden chistes de ninguna clase, y no me he atrevido a hacer uno solo en dos meses; si se me ocurre uno me morder´e la lengua”. A pesar de esto, se cas´o con la hija del director del Marischal College. Al retirarse Forbes, la c´atedra de filosof´ıa natural de Edimburgo qued´o vacante, y Maxwell se present´ o para ella, pero los electores prefirieron a P.G. Tait. El Courant, peri´odico de Edimburgo, coment´o en sus p´aginas que “se reconoce al profesor Maxwell en el ambiente cient´ıfico como uno de los hombres de ciencia m´as notables. Pero hay otra condici´ on que es deseable en un profesor de una Universidad como la nuestra, y es la capacidad para exponer verbalmente, partiendo de la suposici´on de que los alumnos tienen conocimientos deficientes o aun nulos. No dudamos que fue esta deficiencia la que indujo a los consejeros a preferir al se˜ nor Tait”. Sea como fuere, dos universidades de su tierra nativa tuvieron la oportunidad de retenerlo como profesor, pero ambas prefirieron otros maestros. Algunos cr´ıticos consideran que el estado actual de la educaci´ on en Escocia es un resultado de preferir la aptitud pedag´ogica al genio creador, pues a la larga esta t´actica no da resultado. Se podr´ıa pensar que despu´es de dos rechazos Maxwell abandonar´ıa sus intentos de alcanzar una carrera acad´emica, pero la cultura del siglo XIX ten´ıa m´as suerte de la que merec´ıa. A fines de 1860 qued´ o vacante una c´atedra del King’s College de Londres, siendo designado Maxwell para ocuparla, cosa que hizo durante cinco a˜ nos de labor fruct´ıfera, retir´andose al final de este periodo debido a su salud precaria. En el oto˜ no de 1860 hab´ıa enfermado de viruela en Glenlair, y en 1865, andando a caballo, una rama le hab´ıa lastimado la cabeza, accidente que fue seguido por un serio ataque de erisipela. En 1859, Clausius public´ o un c´alculo de la longitud del “camino medio libre”, bas´andose en la distancia media existente entre las mol´eculas de una masa de gas y la distancia entre los centros de dos mol´eculas que chocan, en el momento de producirse ´este. Maxwell ley´o el trabajo de Clausius e independientemente dedic´ o toda su capacidad al desarrollo de la teor´ıa din´amica de los gases y en la reuni´on de la British Association que tuvo lugar en Aberdeen en 1859 disert´ o sobre esta teor´ıa. Clausius y sus predecesores, exceptuando al ignorado Waterston, supon´ıan que todas las mol´eculas deb´ıan moverse con la misma velocidad. Esto evidentemente no pod´ıa suceder, pues los choques deb´ıan aumentar a veces, y a veces disminuir la velocidad de la mol´ecula que ha chocado. En su conferencia de Aberdeen, Maxwell dio una soluci´on a este problema con auxilio de la teor´ıa matem´atica de la probabilidad, demostrando que la distribuci´on de la velocidades entre las mol´eculas sigue la misma ley que la de los errores en un grupo de observaciones, variando de cero a infinito, aunque el n´ umero de mol´eculas con velocidades muy elevadas es relativamente peque˜ no. La deducci´on de la distribuci´on de las velocidades moleculares hecha por Maxwell en su trabajo original no es nada clara, aunque el resultado es correcto. Jeans ha dicho que su razonamiento “no parece tener ninguna relaci´on con mol´eculas, o con la din´amica de su movimiento, con la l´ ogica o el sentido com´ un elemental”, y llega a “una f´ormula que de acuerdo con todos los precedentes y todas las leyes de la filosof´ıa cient´ıfica deber´ıa estar equivocada sin duda alguna. Sin embargo se demostr´o m´as adelante que era correcta y actualmente se la denomina ley de Maxwell”. Para su determinaci´ on Maxwell hab´ıa inventado la mec´anica estad´ıstica. Mientras que algunos expertos hombres de ciencia consideraban que la exhibici´on m´as brillante del genio de Maxwell es su contribuci´ on a la teor´ıa din´amica de los gases, la mayor´ıa de los f´ısicos juzgan que su obra capital es su teor´ıa electromagn´etica de la luz. Maxwell realiz´o la parte m´as importante de su trabajo sobre estas dos teor´ıas durante los a˜ nos comprendidos de 1860 a 1865 mientras ocupaba la c´atedra en el King’s College de Londres, entre las edades de veintinueve y treinta y cuatro a˜ nos. En este periodo llevaba una vida 9

1 Biograf´ıa

James Clerk Maxwell

muy ocupada: daba clases nueve meses al a˜ no, periodo muy largo para un curso universitario, y dentro de sus tareas inclu´ıa las clases para obreros. Los hombres de ciencia de la categor´ıa de Einstein y Maxwell, que realizaban grandes descubrimientos sin esfuerzos mentales excepcionales, muestran claramente la diferencia que existe entre diversos grados de la inteligencia humana. Los cerebros poderosos no experimentan dificultades en realizar descubrimientos magnos, mayores que las que experimentan los cerebros d´ebiles para descubrir cosas intrascendentes. Los grandes resultados que produjeron con un esfuerzo mental normal, demuestran la verdadera magnitud de sus inteligencias. Despu´es de cinco agotadores a˜ nos en Londres, Maxwell renunci´o, en 1865, su c´atedra del King’s College, retir´andose a Glenlair. Estaba m´as atado a su peque˜ na heredad que a su carrera, y en esto no hac´ıa m´as que atenerse a las tradiciones de la clase social a que pertenec´ıa. En 1868, a la edad prematura de treinta y siete a˜ nos, fue invitado a ocupar el cargo de decano del United College, en la Universidad de Saint Andrews, cargo que en realidad implicaba la direcci´on de la Universidad misma, pero ni aun este ofrecimiento tentador lo arranc´o de Glenlair, donde se ocupaba escribiendo la gran obra Treatise on Electricity and Magnetism, y atendiendo a las obligaciones sociales y religiosas inherentes a la peque˜ na nobleza. Cerca de su casa hizo construir un buz´ on especial para las necesidades de su abundante correspondencia. Siempre se interes´ o por que la capilla local estuviera dotada de lo necesario y varias veces hizo contribuciones importantes. Asimismo, concurr´ıa con toda asiduidad a los oficios religiosos, y en su casa encabezaba las plegarias y frecuentemente improvisaba oraciones. Despu´es de algunos s´ıntomas de dispepsia, a los que no hab´ıa prestado atenci´on, Maxwell enferm´ o gravemente en 1879, conociendo entonces que sus d´ıas estaban contados, y el 5 de noviembre muri´o, a los cuarenta y ocho a˜ nos de edad.

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Cap´ıtulo

2 ´ mica Electrodina

Einstein en su autobiobraf´ıa :“Lo esencial en el ser de un hombre como yo est´a en qu´e piensa y c´ omo lo piensa, y no en lo que hace o padece”. Se est´e de acuerdo o no con Einstein, hay que reconocer que una parte muy interesante de la vida de un pensador es qu´e piensa y c´omo lo piensa. Lo que quiz´a pueda causarnos sorpresa es que el modo de pensar de un cient´ıfico o un artista, su m´etodo, es casi tan u ´nico como su obra. Ya veremos que Maxwell abord´o los problemas por un camino totalmente distinto del de Faraday. Mientras que Faraday pensaba directamente de las consideraciones metaf´ısicas m´as abstractas a las teor´ıas y experimentos m´as concretos, Maxwell se empe˜ naba en construir teor´ıas f´ısicas muy abstractas, que eran generales y matem´aticas, pero que pod´ıan ser contrastadas por muchos experimentos diferentes. El talante peculiar de Maxwell marc´ o tanto la naturaleza de sus creaciones como la acogida que les dispens´o la comunidad cient´ıfica. Para una mejor comprensi´ on del estilo de pensamiento de Maxwell, echemos una mirada a su historia personal hasta la fecha en que comenz´ o a investigar sobre electricidad y magnetismo. Maxwell naci´ o en el seno de una familia aristocr´atica escocesa, los Clerk, perteneciente a la alta sociedad desde hac´ıa dos siglos. Hasta los diez a˜ nos vivi´o en Glenlair, la hacienda solariega de su padre. Despu´es asisti´ oa la Academia de Edimburgo, y m´as tarde a la Universidad de esta ciudad. Pose´ıa una excelente cultura general, destacando especialmente en matem´aticas. A la edad de catorce a˜ nos public´o su primer trabajo matem´atico, un m´etodo para dibujar curvas ovaladas con ecuaciones de grado superior a las de las elipses, utilizando l´apiz, cuerda y dos alfileres. El m´etodo hab´ıa sido y anticipado - aunque vagamente- por Descartes, pero en cualquier caso constituye un claro exponente de la forma de pensar de Maxwell, concreta y geom´etrica. Maxwell ten´ıa un ingenio deslumbrante, pero detr´as lat´ıa una actitud de moral seriedad. M´as adelante escribi´o, por ejemplo a su mujer largas cartas con discusiones religiosas de angustiosa seriedad, tema sobre el que nunca hablaba con casi nadie m´as. A la edad de diecinueve a˜ nos fue a Cambridge, al Peterhouse College al principio y despu´es al Trinity College (donde Newton hab´ıa estudiado doscientos a˜ nos antes). Cambridge confirm´o todas las caracter´ısticas caracterol´ogicas de Maxwell su excentricidad, su agudeza, su seriedad, su erudici´on, y tambi´en su estilo de trabajo. Quiz´a sea a trav´es de sus escritos como mejor podamos hacernos una idea de la personalidad de Maxwell. Y de entre sus escritos, hay dos interesantes realizados nada m´as graduarse por Cambridge. Uno de los art´ıculos es serio, y el otro es un producto cl´asico del humor de esta universidad. El primero consiste en unas cuantas l´ıneas personales escritas a los veintitr´es a˜ nos cuando empezaba su carrera cient´ıfica: ”Quien quiera disfrutar de la vida y actuar conlibertad debe tener siempre presente el trabajo del d´ıa. No el trabajo de ayer, so pena de caer en la desesperaci´on, ni el de ma˜ nana, so pena de convertirse en visionario, ni

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2.1 Algunos problemas por resolver

James Clerk Maxwell

tampoco el que culmina con el d´ıa, que es trabajo perecedero, ni tampoco el que permanece para la eternidad, porque no sirve para conformas sus acciones. Feliz es el hombre que puede reconocer el trabajo de hoy una porci´on conexa del trabajo de la vida y una concreci´on del trabajo de la eternidad. Los fundamentos de su confianza son inmutables, ya que ha sido part´ıcipe del Infinito. Cumple esforzadamente su empresa diaria, porque el presente le ha sido otorgado en posesi´on. El hombre deber´ıa ser, pues una personificaci´on del proceso divino de la naturaleza, y mostrar la uni´ on de lo infinito con lo finito, sin menospreciar su existencia temporal, ya que s´olo en ella es posible la acci´ on individual, pero sin ignorar tampoco aquello que es eterno, consciente de que el Tiempo es un misterio que no podr´a desvelar hasta que la Verdad eterna lo ilumine.” El segundo fragmento es el comienzo de una charla sobre analog´ıas, dada en 1856 ante el “Apostals Club”, compuesto por doce de los estudiantes m´as brillantes de Cambridge: En la antigua y religiosa fundaci´ on de Peterhouse se observa la regla de que aqu´el que haga un retru´ecano ser´a tenido por su autor, pero aqu´el que pretenda haberlo resuelto ser´a considerado su publicador, y que ambos ser´an multados. Pues bien, as´ı como en un retru´ecano yacen ocultas dos verdades bajo una sola expresi´ on, en una analog´ıa se descubre una sola verdad bajo dos expresiones. Cualquier cuesti´on relativa a analog´ıas es, por tanto, la rec´ıproca de una cuesti´on referente a retru´ecanos, y las soluciones pueden trasponerse por reciprocaci´on. Pero toda vez que a´ un subsisten dudas acerca de la legitimidad del razonamiento por analog´ıa, y habida cuenta de que el razonamiento por retru´ecanos, hemos de adoptar el m´etodo directo en punto a la analog´ıa y luego, de ser necesario, deducir por reciprocaci´on la teor´ıa de retru´ecanos...

2.1.

Algunos problemas por resolver

A partir de las investigaciones de Faraday, la electricidad se convirti´o en uno de los problemas centrales de la f´ısica. Se vio que se trataba de una propiedad caracter´ıstica de todo tipo de materia, una propiedad ´ıntimamente relacionada con el comportamiento qu´ımico y f´ısico de los cuerpos materiales. Cada descubrimiento de Faraday plante´o nuevos problemas de cara a una teor´ıa general de la electricidad. Uno de los problemas fundamentales era encontrar una teor´ıa unificada que diera cuenta del fen´omeno de la electricidad est´atica, la atracci´ on amperiana de las corriente y la inducci´ on electromagn´etica. Adem´as hab´ıa gran cantidad de problemas relativos a las relaciones entre la electricidad y la materia, la explicaci´on de las propiedades de los diel´ectricos, de las sustancias d´ıa y paramagn´eticas, de las reacciones electroqu´ımicas, y de las rotaciones magn´eticas del plano de polarizaci´on de la luz. El estudio de estas relaciones se convirti´o muy pronto en un campo de investigaci´on variado y lleno de posibilidades. De hecho, durante bastante tiempo, la teor´ıa de la electricidad fue el tema punta de la f´ısica y de la qu´ımica, ya que se cre´ıa que toda la materia conten´ıa cargas ( desde el modelo at´omico de Thomson en 1903). La electricidad era el campo de batalla donde todas las concepciones del mundo esperaban probar su validez. El hecho de desarrollar una teor´ıa unificada de la electricidad dentro del esquema de una determinada concepci´on del mundo, esperaba probar su validez. El hecho de desarrollar una teor´ıa unificada de la electricidad dentro del esquema de una determinada concepci´ on del mundo, con exclusi´on de las dem´as, hubiese sido un gran avance para la ciencia. Los problemas de la electricidad se estudiaron, pues , desde muy diferentes puntos de vista. En lo siguiente el texto se centrar´a en aquellas concepciones del mundo que se inspiran en las de Faraday. Al pasar por alto muchos problemas de gran riqueza y variedad tiene el inconveniente de que puede darnos una visi´on deformada de la historia de la ciencia en una determinada ´epoca, pero en cambio la ventaja de exponer con gran brevedad un periodo relativamente largo de la historia. La historia de la ciencia es como una saga, donde en lugar de haber muchas aventuras que convergen en un h´eroe, hay muchos h´eroes y una sola aventura. 12

2.2 Sobre las l´ıneas de fuerza de Faraday

Historia de la F´ısica

Desde F´araday hasta Einstein, los avances fundamentales en el desarrollo dela teor´ıa de campos fueron producto del intento de resolver dos problemas afines. En primer lugar se trataba de conseguir una teor´ıa unificada de la acci´ on de la electricidad est´atica, las corrientes permanentes , y la inducci´on electromagn´etica; en segundo lugar, descubrir la verdadera relaci´on entre la luz y el electromagnetismo. James Clerk Maxwell fue el primero en abordar estos problemas a la luz de la teor´ıa de campos. Bajo el hechizo de Faraday esperaba resolver ambos problemas con una teor´ıa matem´atica clara y precisa. Adem´as de los descubrimientos de Faraday, es necesario se˜ nalar tres aspectos importantes de la situaci´ on problem´atica de Maxwell para poder entender el papel que su teor´ıa desempe˜ n´o en la cuesti´on de la naturaleza del mundo f´ısico. El primero de estos aspectos es el intento de Weber y otros ( incluyendo el desarrollo de la ley de Ohm por Kirchhoff) de resolver el problema de una teor´ıa unificada seg´ un esquemas newtonianos. El segundo factor es el desarrollo de la teor´ıa de la conservaci´ on de la energ´ıa, que afectaba a todas las ramas de las ciencias f´ısicas. Por u ´ltimo, est´a el nacimiento de una nueva metaf´ısica cartesiana y su aplicaci´on por Thompson; Maxwell utiliz´o esta nueva metaf´ısica para interpretar a Faraday.

2.2.

Sobre las l´ıneas de fuerza de Faraday

La historia de los descubrimientos de Maxwell en electricidad y magnetismo comienza con una carta a su amigo William Thomson poco despu´es de licenciarse por Cambridge (Thomson se hab´ıa graduado nueve a˜ nos antes): Ahora que acabo de ingresar en el ingrato estamento de los licenciados, he comenzado a pensar en leer. Actividad placentera, durante cierto tiempo, entre libros de m´erito reconocido que uno no ha le´ıdo, pero que deber´ıa haber le´ıdo. Con todo tenemos una fuerte tendencia a volver a los temas de la f´ısica, y varios de los aqu´ı presentes querr´ıamos abordar la electricidad. Imaginemos una persona que tiene un conocimiento rudimentario de los experimentos el´ectricos y una ligera aversi´on a la Electricidad de Murphy, ¿c´ omo deber´ıa proceder en la lectura y el trabajo para conseguir cierta comprensi´on de la materia que pueda serle u ´til en posteriores lecturas? Si esta persona quisiera leer a Amp´ere, Faraday, etc, ¿en qu´e secuencia disponerlos y en qu´e momento y en qu´e orden deber´ıa abordar la lectura de los art´ıculos que usted ha publicado en el Cambridge Journal? Si usted tiene en la cabeza alguna respuesta a estas cuestiones, tres de nosotros estar´ıamos gustosos de recibir por escrito sus consejos. Maxwell empez´ o sus investigaciones leyendo los Experimental Researches in Electricity, de Faraday, despu´es de decidir que no iba a estudiar m´as matem´aticas sobre esta materia hasta haber le´ıdo a Faraday. Tambi´en ley´o por sugerencia de Thomson, la teor´ıa de Weber, y coment´o: “Confieso que a primera vista no me ha gustado”. Es muy posible que Maxwell no tratara la teor´ıa de Weber, por los complicados efectos que ´esta atribu´ıa a la acci´ on a distancia. Farady sab´ıa lo dif´ıcil que era introducir fuerzas no centrales dentro del esquema newtoniano; igual de poco plausible encontraba Maxwell la dependencia de la velocidad y la aceleraci´ on de las fuerzas que act´ uan a distancia. as´ı las cosas, Maxwell se plante´o el problema de desarrollar las ideas de Faraday dentro de una teor´ıa matem´atica del electromagnetismo. Para entender c´ omo pretend´ıa Maxwell llevar a cabo su objetivo, hay que tener presente que su interpretaci´ on de Faraday es completamente diferente de la que conoce. Utilizaba , como Thomson , una interpretaci´ on en funci´on del ´eter, lo cual le permiti´ o construir varios modelos matem´aticos que pod´ıa estudiar utilizando las leyes de Newton. Maxwell era consciente de que su interpretaci´on era algo distinta de la de Faraday, pero pensaba que era preferible a la teor´ıa del campo. A lo largo de todo su trabajo sobre electricidad, Maxwell sigui´o el “m´etodo de las analog´ıas”, inspirado 13

2.2 Sobre las l´ıneas de fuerza de Faraday

James Clerk Maxwell

en parte en la analog´ıa que Thomson estableci´o entre el calor y la electricidad. Este m´etodo le permit´ıa una extraordinaria flexibilidad, anim´andole a proponer teor´ıas que a ´el mismo le parec´ıan poco veros´ımiles, pero que le brindaban sistemas matem´aticos muy clarificadores al aplicarlos a los fen´omenos que trataba de estudiar. Lo liberador del “m´etodo de las analog´ıas” reside en el hecho de que permite el desarrollo de teor´ıas, en un principio consideradas como falsas, pero que pueden arrojar luz sobre la verdad; un m´etodo que Faraday recomendaba. Por otro lado, estimula a construir teor´ıas distintas de las favoritas, y en general anima a hacer teorizaciones que nadie se creer´ıa, pero que pueden ser de una provecho. La concepci´ on que ten´ıa Maxwell de su situaci´on problem´atica y su idea de c´omo abordarlos est´an expuestas contundentemente en la introducci´ on a su primer art´ıculo sobre electromagnetismo, “On Faraday’s Lines of Force”. El m´etodo que Maxwell propugna es, desde luego, solamente uno entre un n´ umero ilimitado. Como Maxwell se˜ nala, tiene algunos puntos fuertes. En este primer art´ıculo, Maxwell construy´o analog´ıas de dos de las teor´ıas de Faraday, poni´endolas en lenguaje matem´atico: la teor´ıas de la distribuci´on de las l´ıneas de fuerza, y la teor´ıa del estado electr´ onico. Maxwell demostr´ o as´ı que las teor´ıas de Faraday eran matem´aticamente respetables, si bien su trabajo no condujo a ning´ un resultado matem´atico nuevo. Digamos de paso que Faraday en persona hab´ıa acogido con gran entusiasmo la defensa de Thomson hab´ıa hecho de alguna de sus ideas, y Maxwell albergaba ahora la esperanza de que Faraday, que acababa de terminar los Experimental Researches, leyera su art´ıculo. Veamos en primer lugar la analog´ıa de las l´ıneas de fuerza que present´o Maxwell. Si llenamos de l´ıneas de fuerza el espacio que rodea a un im´an, como hizo Faraday, “obtendr´ıamos un modelo geom´etrico de los fen´omenos f´ısicos que nos indicar´ıa la direcci´on de la fuerza, pero no su intensidad en cualquier punto, para lo cual necesitar´ıamos de otro m´etodo”. La soluci´on de Maxwell consist´ıa en “considerar estas curvas no como simples l´ıneas, sino como finos tubos de secci´on variable que transportan un fluido incompresible”. En cualquier punto del campo, la magnitud y direcci´on de la fuerza vendr´ıa entonces representada por la direcci´ on y magnitud del fluido imaginario. Pasemos ahora a la analog´ıa mec´anica de la electricidad. La carga positiva se considera como una fuente e fluido que viene de forma continua una cantidad de fluido que depende de su intensidad. La carga negativa es como un sumidero que absorbe todo el fluido de las proximidades proporcionalmente a su intensidad. Seg´ un Faraday, hay la misma cantidad de carga positiva que de negativa, y por tanto, los sumideros nunca dejan de absorber fluido. Se trata desde luego, de fluido extra˜ no, que continuamente est´a cre´andose en un lugar y destruy´endose en otro. Pero Maxwell recalcaba que , al tratarse de una analog´ıa matem´atica de los fen´ omenos, podemos asignarle todas las propiedades que queramos. Maxwell construye tambi´en una analog´ıa de la acci´on del diel´ectrico suponiendo que el fluido ( que no tiene inercia) fluye a trav´es de un medio resistente que ejerce sobre aqu´el una fuerza proporcional a su velocidad. Variando la resistencia del medio por el que discurre el fluido, obtenemos una analog´ıa de la acci´ on de los materiales diel´ectricos y diamagn´eticos: ante una regi´on de mayor resistencia, el fluido tender´a a rodearlo, desviando las l´ıneas de flujo, como en el caso f´ısico en que las l´ıneas de fuerza se desv´ıan por acci´ on de un material diamagn´etico. Maxwell ampl´ıa despu´es la analog´ıa introduciendo un medio cuya resistencia al flujo var´ıa con la direcci´ on y demuestra c´ omo esta analog´ıa explica los efectos magn´eticos que tienen lugar en los cristales. Como el fluido es incompresible, el volumen de cualquier parte del fluido ha de permanecer constante en el tiempo. por consiguiente, la velocidad del fluido tendr´a que disminuir seg´ un se va alejando de la fuente. De hecho, la velocidad del fluido obedecer´a la ley del inverso del cuadrado. Maxwell demostr´o tambi´en que as´ı como la velocidad es an´aloga a la fuerza en el campo el´ectrico, la presi´on en un punto del fluido es an´aloga al potencial. Vemos, pues, que en el caso est´atico es posible reconciliar la teor´ıa de Poisson con la teor´ıa de las l´ıneas de 14

2.2 Sobre las l´ıneas de fuerza de Faraday

Historia de la F´ısica

fuerza. ¿Puede utilizarse este modelo mec´anico para construir una teor´ıa unificada de la electricidad, como tiene que ser, seg´ un Maxwell, toda teor´ıa nueva que pretenda ser satisfactoria? Maxwell no llega a contestar esta pregunta. Se limita a mencionar la demostraci´on de Kirchhoff de que la fuerza electrosc´opica de Ohm es id´entica al potencial el´ectrico, y que “quedar´ıa definitivamente establecida la conexi´on entre la electricidad de tensi´ on y la corriente el´ectrica” si conoci´eramos cu´anta carga debe pasar por segundo por un cable para obtener una unidad de corriente, medida en unidades de intensidad de campo magn´etico asociado. Esta conexi´ on, aunque valiosa, no constituir´a una teor´ıa unificada, porque necesitar´ıamos saber si la corriente es el flujo de un fluido el´ectrica, o una vibraci´ on y la carga el´ectrica. Maxwell menciona la teor´ıa de que la electricidad es un fluido , pero prosigue luego con ideas que son como un eco de las de Faraday, a quien cita puntualmente. En resumen, Maxwell no contaba con ninguna teor´ıa unificada que fuera m´as all´a de los l´ımites de Faraday. En la segunda parte de “On Faraday’s Lines of Force”, Maxwell expone su teor´ıa de la inducci´ on electromagn´etica, basada en una teor´ıa del estado electrot´onico. “La fuerza electromotriz depende de la variaci´ on del n´ umero de l´ıneas de inducci´ on magn´etica que atraviesan el circuito”, dice Maxwell, explicando la teor´ıa de Faraday. “Es natural suponer que una fuerza de este tipo que depende de la variaci´on del n´ umero del l´ıneas, se deba a un cambio de estado que viene medido por el n´ umero de estas l´ıneas” este estado no es sino el estado electrot´onico de Faraday , para el que Maxwell propone una expresi´on matem´atica. As´ı justificaba Maxwell su trabajo sobre la obra de Faraday, que era completamente ignorada por todos los dem´as: La conjetura de un fil´ osofo (Faraday) tan familiarizado con la naturaleza puede a veces estar m´as pre˜ nada de verdad que la ley experimental mejor establecida por investigadores emp´ıricos, y aunque no es obligado admitirla como verdad f´ısica, cabe aceptarla como una idea nueva con la cual clarificar nuestros conceptos matem´aticos. Maxwell descubri´ o una expresi´ on matem´atica del estado electrot´oncio que coincide con la funci´ on potencial de Neumann ( en aquel entonces Maxwell no conoc´ıa la obra de Neumann). Pero hay que se˜ nalar que el potencial vectorial de la posterior teor´ıa de Maxwell, m´as elaborada , no siempre es el de Neumann. Como indic´ o m´as tarde. Helmholtz, s´ olo coinciden para corrientes estacionarias cerradas el camino seguido por Maxwell hasta llegar al potencial vectorial es diferente del de Neumann. Maxwell empez´o por formular matem´aticamente la idea de Faraday de que la inducci´ on es igual al n´ umero de l´ıneas de fuerza que atraviesan el circuito. Luego obtuvo la funci´ on cuyo cambio da la fuerza electromotriz del circuito, utilizando un teorema probado, entre otros, por Thomson. Aunque el potencial vectorial puede ser considerado como una medida de la intensidad del estado electrot´onico, no proporciona ninguna medida de la intensidad del estado electrot´onico, no proporciona ninguna teor´ıa de la naturaleza de la tensi´ on que, seg´ un Faraday, era de origen de este estado. Maxwell era consciente de que se necesitaba algo m´as para establecer una teor´ıa f´ısica del estado electrot´onico y ten´ıa la esperanza de llegar a descubrirlo. El problema era ahora establecer un mecanismo que explicara las acciones del campo electromagn´etico, y especialmente el estado electrot´onico. Dice en un art´ıculo ( en una defensa del uso de las matem´aticas) La idea del estado electrot´ onico nunca la he tenido en la mente en una forma que permita explicar su naturaleza y propiedades sin recurrir a simples s´ımbolos... Espero que a trav´es de un cuidadoso estudio de las leyes de los s´ olidos el´asticos y del movimiento de los fluidos viscosos pueda descubrir un m´etodo de construir una concepci´ on mec´anica de este estado electrot´onico que se adapte al razonamiento general. ¿Por qu´e tanto inter´es en volcarse en este nuevo programa de investigaci´on si estaba tan a mano la brillante teor´ıa unificada de la electricidad de Weber?

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2.3 Sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza

James Clerk Maxwell

Es bueno dos manera de contemplar un tema, y admitir que hay dos maneras diferentes de contemplarlo. El principal m´erito de una teor´ıa provisional es que sirve de gu´ıa para la experimentaci´on, sin obstaculizar el avance de la teor´ıa correcta ene l momento en que aparezca. Tambi´en hay objeciones a la idea de que las fuerzas u ´ltimas de la naturaleza depende de la velocidad de los cuerpos entre los que act´ uan... el principio de la Conservaci´ on de la Fuerza impone que estas fuerzas act´ uen seg´ un la l´ınea de uni´on de las part´ıculas y dependan s´olo de la distancia. Despu´es de su ´exito inicial con la formulaci´on de expresiones matem´aticas para ciertas partes de la teor´ıa de Faraday, Maxwell se dedic´ o al arduo problema de encontrar una explicaci´on mec´anica de las leyes que hab´ıa expresado matem´aticamente, una explicaci´on que condujera a una teor´ıa unificada de la electricidad. Si Maxwell se mostr´ o muy flexible en su acercamiento a la explicaci´on mec´anica, fue porque cre´ıa que su teor´ıa ser´ıa, en el mejor de los casos, una primera aproximaci´on a la teor´ıa verdadera ( que no llegar´ıa hasta conocer perfectamente el ´eter). Se tom´ o la libertad de imaginar un mecanismo imposible que, sin embargo, podr´ıa presentar analog´ıas como ciertas. Uniendo sabiamente su capacidad de imaginaci´on y su facilidad matem´atica, Maxwell hizo un avance fundamental en la teor´ıa de campos.

2.3.

Sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza

Maxwell logr´ o efectivamente hallar una representaci´on mec´anica del estado electrot´onico y del campo electromagn´etico en general. En un art´ıculo publicado en 1861-62, y titulado “On Physical Lines of Force” expuso el modelo y sus propiedades matem´aticas. Con este art´ıculo Maxwell irrumpi´o hacia una nueva teor´ıa del electromagnetismo, que se convirti´ o en el centro de toda investigaci´on posterior; resultado de estas investigaciones fueron, entre muchas otras cosas, el descubrimiento de las radioondas, la teor´ıa electromagn´etica de la luz y el posterior desarrollo del tel´egrafo y el tel´efono. En su primer trabajo, “On Faraday’s Lines of Force” (publicado en 1855-56), Maxwell hab´ıa desarrollado matem´aticamente muchas de las ideas de Faraday; por ejemplo, la de que la inducci´on es producto de l´ıneas de fuerza en movimiento, la de la capacidad inductiva espec´ıfica y la de la permeabilidad magn´etica. ¿Qu´e esperaba Maxwell conseguir con la construcci´on de un modelo mec´anico del campo de cuya correcci´ on ´el mismo dudaba?¿qu´e problemas trataba Maxwell de resolver con tal modelo? Maxwell, al igual que Thomson, cre´ıa que el campo electromagn´etico realmente est´a constituido por un ´eter subordinado a las leyes de la mec´anica newtoniana. Esto era raz´ on suficiente para buscar un mecanismo. Su idea era que aunque no diera con el mecanismo correcto, pod´ıa encontrar uno que fuera lo suficientemente parecido al verdadero como para poseer algunas propiedades comunes. Pero ese mecanismo , ¿no conducir´ıa a las mismas ecuaciones que las del primer art´ıculo, careciendo de propiedades contrastables? Maxwell esperaba m´as de ese mecanismo. Al parecer, Maxwell cre´ıa que los resultados de sus primitivos art´ıculos ten´ıan que ser modificados con la introducci´ on de la velocidad finita de la inducci´on electromagn´etica. Maxwell, al igual que Faraday, ten´ıa argumentos metaf´ısicos que le impulsaban a aceptar que la inducci´on electromagn´etica requiere tiempo para propagarse por el campo. Seg´ un el concepto de ´eter mantenido por Maxwell, cada parte del ´eter no act´ ua sobre las dem´as a distancia sino s´ olo sobre las contiguas ( como en Descartes). Si se supone que el ´eter es una sustancia el´astica y con masa, entonces la velocidad de propagaci´on ha de ser finita. Y hab´ıa una raz´ on poderosa para creer que el ´eter pose´ıa estas propiedades ( la velocidad finita de la luz). Aqu´ı nos refiremos naturalmente al ´eter lumin´ıfero, que no tiene por qu´e estar relacionado con el campo electromagn´etico; pero a Maxwell le constaba creer que existiesen dos ´eteres superpuestos, uno para la luz y otro para el electromagnetismo. Adem´as, el descubrimiento de Faraday de la rotaci´on magn´etica de la luz polarizada demostraba la existencia de una ´ıntima relaci´ on entre la luz y el magnetismo. Por tanto, lo natural era asignar al mismo ´eter los efectos electromagn´eticos y los luminosos. Y si este ´eter tiene en el caso de la luz una velocidad finita de respuesta 16

2.3 Sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza

Historia de la F´ısica

¿por qu´e no en el de la inducci´ on electromagn´etica? Es m´as, las ondas luminosas ¿no ser´ıan un fen´ omeno electromagn´etico, como Faraday suger´ıa? El problema de Maxwell se centraba, pues , en dar con un modelo del ´eter del campo electromagn´etico que incorporara la masa y elasticidad necesaria para la velocidad finita, y llegar incluso a formular una teor´ıa electromagn´etica de la luz. Las ideas de Faraday jugaron un papel muy importante en la construcci´ on del modelo, sobre todo la de que la conducci´on y el asilamiento ( incluidos los del espacio) son procesos que difieren en grado pero no en cualidad. El objetivo de Maxwell era la creaci´on de una teor´ıa unificada de la electricidad, el magnetismo y la luz. Una sugerencia de Faraday sirvi´ o de punto de partida para la construcci´on del modelo mec´anico. Faraday hab´ıa dicho que la distribuci´ on de las l´ıneas magn´eticas de fuerza pod´ıa determinarse suponiendo que existe tensi´on a lo largo de dichas l´ıneas y una presi´on entre ellas. Adoptando la metaf´ısica cartesiana de Thomson, Maxwell pas´o a preguntarse qu´e explicaci´on mec´anica pod´ıa tener esta desigualdad de presiones en un fluido, o medio m´ovil. La clave la encontr´ o en los trabajos de Thomson, donde se establec´ıa la necesidad de suponer un movimiento turbulento en torno a las l´ıneas magn´eticas de fuerza en un medio diamagn´etico; pensaba que esta era la u ´nica forma de explicar la rotaci´on de la luz de Faraday. Maxwell hizo suya la idea de los remolinos magn´eticos y la aplic´ o a todas las l´ıneas de fuerza, tanto en el espacio como en un medio material. Esta generalizaci´ on daba una respuesta al problema de la explicaci´on mec´anica de la desigualdad de presiones a lo largo de las l´ıneas de fuerza y entre ellas: La explicaci´ on que primero se nos ocurre(a Maxwell) es que el exceso de presi´on en la direcci´on ecuatorial procede de la fuerza centr´ıfuga de los remolinos del medio que tienen sus ejes situados paralelamente a la direcci´on de las l´ıneas de fuerza.... Suponemos, de momento , que todos los remolinos de una parte determinada del campo giran en la misma direcci´ on seg´ un ejes casi paralelos, pero que al pasar de una parte del campo a otra se pueden producir variaciones en la direcci´on de los ejes, en la velocidad de rotaci´on y en la densidad de sustancia de los remolinos. Estudiaremos el efecto mec´anico resultante sobre un elemento del medio, y de la expresi´on matem´atica de estas resultantes pasaremos a deducir el car´acter f´ısico de las diferentes partes que lo componen. En sus deducciones, Maxwell introduce la hip´otesis fundamental de que la masa de los remolinos magn´eticos dependen de la permeabilidad magn´etica del medio por lo tanto, la energ´ıa del campo magn´etico - la energ´ıa cin´etica de los remolinos- es funci´ on de la constante de permeabilidad. El segundo paso de la construcci´ on del modelo era encontrar una analog´ıa mec´anica de la corriente el´ectrica que estableciera una relaci´ on entre ´esta y el magnetismo. Maxwell propuso una soluci´on muy ingeniosa que consist´ıa en suponer que la electricidad est´a constituida por bolitas que separan a unos remolinos magn´eticos de otros, considerando a ´estos como barras flexibles con superficies rugosas. As´ı expon´ıa Maxwell el problema y su soluci´on: Suponiendo que sea correcta la explicaci´on de las l´ıneas de fuerza mediante remolinos moleculares, cabe preguntarse por qu´e una determinada distribuci´on de remolinos supone una corriente el´ectrica. Una respuesta satisfactoria nos facilitar´ıa mucho el camino hacia la resoluci´on del verdadero problema, que no es sino contestar a la pregunta:¿Qu´e es la corriente el´ectrica?. Me ha costado mucho aceptar la existencia de remolinos a trav´es de todo un medio, girando codo con codo en la misma direcci´ on en torno a ejes paralelos. Las porciones contiguas de dos remolinos consecutivos deben moverse en direcciones opuestas; y es dif´ıcil comprender c´omo el movimiento de una parte del medio pueda coexistir con un movimiento contrario de la porci´on contigua e incluso producirlo. La u ´nica idea que me ha ayudado a concebir este tipo de movimiento es que los remolinos est´an separados por una capa de part´ıculas girando cada una alrededor de su propio eje, en direcci´on opuesta a la de los 17

2.3 Sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza

James Clerk Maxwell

remolinos, de forma que las superficies de contacto entre part´ıculas y remolinos tienen el mismo sentido de movimiento.

Figura 2.1: Modelo mec´anico utilizado por Maxwell. En mec´anica, cuando se quiere que dos ruedas giren en la misma direcci´on, se coloca entre ellas otra rueda que engrane con ambas, y que se llama “pi˜ n´on loco”. La hip´otesis que sugiero sobre los remolinos es que entre cada dos remolinos contiguos se interpone una capa de part´ıculas que act´ ua como pi˜ n´on loco; de esta forma cada remolino tiende a hacer que sus vecinos se muevan en su misma direcci´on. En mec´anica, el pi˜ n´ on loco se monta generalmente sobre un eje fijo; pero en trenes epicicloidales y otros aparatos como, por ejemplo, en el regulador de Siemens para m´aquinas de vapor, hay pi˜ nones locos cuyo centro es m´ovil. En todos estos casos, el movimiento del centro es la mitad de la suma de los movimientos de las circunferencias de los pi˜ nones entre los que est´a situado. Examinemos ahora las relaciones que debe existir entre el movimiento de nuestros remolinos y el de la capa de part´ıculas interpuestas entre ellos a modo de pi˜ nones locos. El desplazamiento de las part´ıculas el´ectricas constituye la corriente el´ectrica. Mientras pasa corriente, las part´ıculas se mueven de un remolino a otro. Al desplazarse pueden dar saltos y provocar una p´erdida de energ´ıa que aparece en forma de calor; pero mientras est´an girando, no hay rozamiento entre la part´ıcula y el remolino, y no se producen p´erdidas de energ´ıa. En principio, pues, parece posible mantener indefinidamente un campo magn´etico. El tercer paso en la construcci´ on del modelo fue el suponer que los remolinos magn´eticos est´an dotados de elasticidad. Esta hip´ otesis exige una velocidad finita de variaci´on de los estados del mecanismo: una velocidad de inducci´on finita. Y proporciona tambi´en una explicaci´on de la electricidad est´atica: en un diel´ectrico, los ejes de los remolinos magn´eticos no pueden moverse. Si una causa exterior al mecanismo ejerce fuerzas sobre las part´ıculas el´ectricas, ´estas deforman el´asticamente los remolinos magn´eticos. Esta deformaci´ on pone en juego a las fuerzas el´asticas del remolino, que presiona sobre las part´ıculas el´ectricas circundantes. Se supone que la fuerza de un remolino sobre una part´ıcula el´ectrica representa la fuerza el´ectrica debida a la carga. As´ı pues, Maxwell, al igual que Faraday, aport´o una teor´ıa de campo de la carga. La adopci´on de tal teor´ıa de 18

2.4 Modelo mec´ anico de Maxwell del campo electromagn´etico

Historia de la F´ısica

carga ( y por tanto de la corriente) le vali´o los resultados m´as originales de su teor´ıa.

2.4.

Modelo mec´ anico de Maxwell del campo electromagn´ etico

El modelo mec´anico del campo electromagn´etico de Maxwell es uno de los m´as imaginativos pero menos veros´ımiles que nunca se hayan inventado. Es el u ´nico modelo del ´eter que logr´o unificar la electricidad est´atica, la electricidad corriente, los efectos inductivos y el magnetismo, y a partir de ´el, Maxwell dedujo sus ecuaciones del campo magn´etico, y tu teor´ıa electromagn´etica de la luz. La deducci´on de las ecuaciones es enrevesada y asombrosa. Continuamente atribuye a su modelo propiedades descabelladas, sin que quepa en cabeza humana que haya un sistema real que posea tales propiedades. Pero Maxwell se mueve dentro de este laberinto de suposiciones con total seguridad y claridad de prop´ osito ¿C´omo consigui´ o resultados tan buenos con tanta seguridad y siguiendo caminos tan inveros´ımiles? Lo primero que se le ocurre a uno es que Maxwell nos ha timado: que conoc´ıa de antemano los resultados y que ama˜ n´o el modelo para conseguirlos. La sospecha es absolutamente falsa, pero no deja de tener un grano de verdad. Maxwell sab´ıa que ten´ıa que obtener ciertos resultados, tales como la ley del inverso del cuadrado para la electricidad est´atica y el magnetismo est´atico, y sin duda ama˜ n´o el modelo para conseguirlo. Pero a´ un as´ı, la construcci´ on del modelo estaba plagada de restricciones e incertidumbres. La principal condici´ on que Maxwell impuso al mecanismo fue que obedeciera a las leyes de la mec´anica newtoniana. Entre las principales incertidumbres figuran: 1.- qu´e modificaciones hab´ıa que introducir en la teor´ıa tradicional para reformularla como una teor´ıa de campos de acci´ on contigua, 2.- si se pod´ıa establecer o no una teor´ıa electromagn´etica de la luz dentro de la teor´ıa as´ı reformulada. Al parecer, Maxwell no ten´ıa idea en un principio de qu´e ecuaciones iba a encontrar, ni siquiera si podr´ıa desarrollar o no una teor´ıa electromagn´etica de la luz. Un ejemplo de la inseguridad en que se mov´ıa Maxwell es la introducci´ on de las corriente de desplazamiento ( m´as adelante se nombrar´an). Aunque luego resultar´ıa ser una de las principales innovaciones del art´ıculo, Maxwell no se dio cuenta de eso hasta varios a˜ nos despu´es de su publicaci´ on ¿Por qu´e confiaba entonces Maxwell en que este m´etodo tan ins´olito pod´ıa proporcionarle suculentos resultados? Posiblemente su seguridad se debiera a su fe en la teor´ıa de campos. Faraday y Thomson le hab´ıa convencido de que la acci´ on a distancia no era viable, y que el u ´nico modelo satisfactorio desde el punto de vista de la metaf´ısica era la teor´ıa de campos. Otra raz´on fue su fe en las tres leyes de la mec´anica de Newton. La combinaci´ on de ambas cosas - su fe en la teor´ıa de campos y en las leyes de Newton - le brindaron un programa parecido al de Thomson: explicar todo en t´erminos de un ´eter supeditado a las leyes de Newton. Ahora bien, toda teor´ıa verdadera debe ser consistente con los hechos experimentales, y ninguna teor´ıa de sentido com´ un proporciona una teor´ıa unificada del electromagnetismo que posea poder deductivo para explicar los hechos: la verdad ten´ıa que ser extra˜ na. Maxwell sab´ıa que una teor´ıa correcta ten´ıa que parecer extra˜ na, al menos originalmente, as´ı que estaba dispuesto a comprobar si cualquier hip´otesis consistente con sus principios metaf´ısicos era realmente verdadera o no. Aun en el caso de que ninguno de los aspectos de su modelo mec´anico fuese literalmente correcto, el hecho de ser un modelo mec´anico podr´ıa conferirle algunas propiedades correctas, propiedades como las del mecanismo verdadero. Por eso Maxwell cedi´o a la tentaci´ on de considerar como verdaderas ciertas partes del modelo ( por ejemplo, los remolinos magn´eticos, Maxwell se tom´o realmente en serio la idea del magnetismo como remolinos en rotaci´on, como lo demuestra uno de sus experimentos:“el momento angular del sistema de remolinos depende de su di´ametro medio; de forma que si 19

2.4 Modelo mec´ anico de Maxwell del campo electromagn´etico

James Clerk Maxwell

el di´ametro fuera perceptible, deber´ıamos esperar que un im´an se comportara como si en su interior tuviera un cuerpo girando, y que esto pudiera detectarse experimentalmente estudiando la rotaci´on libre de un im´an. Yo he hecho experimentos en relaci´ on con lo anterior, pero a´ un no he agotado todas las posibilidades del aparato”), aunque m´as tarde no dej´ o de resaltar que los resultados obtenidos eran correctos, independientemente del mecanismo utilizado. La deducci´ on de las ecuaciones de Maxwell a partir del modelo establecido es muy complicada, y esencialmente de car´acter matem´atico. Maxwell quer´ıa que fuera una teor´ıa matem´atica exacta, y las restricciones de la deducci´ on formal son una gu´ıa importante en tales teor´ıas. La dificultad de entender las deducciones se hace a´ un mayor por los errores que el mismo Maxwell cometi´o. Por estas razones, el an´alisis completo de la deducci´on de Maxwell queda fuera del alcance de este libro. Pero, aun sin seguir los pasos matem´aticos, es posible hacerse una idea de las l´ıneas generales de la deducci´on y del contenido f´ısico que el modelo mec´anico introduce en las ecuaciones. Para hacer comprensible el proceso que sigui´o Maxwell, se describir´a aqu´ı el modelo de tres formas diferentes. Primero se explicar´a c´ omo el modelo sirve para explicar un caso importante, la inducci´on electromagn´etica, dedicando para ello el resto de esta secci´on. Despu´es se explicar´a qu´e magnitudes electromagn´eticas est´an correlacionadas con qu´e aspectos del mecanismo, y se har´a un breve esquema de la deducci´on. Por u ´ltimo se expondr´a con detalle las deducciones. Las p´aginas siguientes son, de dif´ıcil lectura, pero a´ un son descripciones m´as sencillas que las originales. La empresa de Maxwell era de una dificultada realmente grande; pero su autor era un virtuoso, y el resultado fue una maravilla. Para comenzar, veamos c´ omo funciona el mecanismo. El campo magn´etico y la corriente est´an relacionados as´ı: la corriente es el movimiento de las part´ıculas el´ectricas; cuando una part´ıcula se mueve, roza las paredes del remolino magn´etico contiguo y lo pone en movimiento. la rotaci´on de este remolino provoca la rotaci´ on de todas las part´ıculas el´ectricas que est´an en contacto con ´el. Estas part´ıculas rozan al girar contra los remolinos en contacto con ellas, provocando su rotaci´on y as´ı hasta que todo el espacio se llena de remolinos magn´eticos en movimiento. Por lo tanto, una part´ıcula el´ectrica con libertad de movimiento en un conductor produce un campo magn´etico alrededor del cable. La parte m´as importante y m´as bella del modelo de la siguiente manera: supongamos, para empezar, que tenemos dos cables conductores, uno de ellos recorrido por una corriente estacionaria. Supongamos tambi´en que un diel´ectrico rodea a ambos cables. Las bolas el´ectricas del primer cable se mover´an a su trav´es, rozando con los remolinos magn´eticos del exterior del cable; estos remolinos se restregar´an contra otras bolas el´ectricas, que a su vez rozar´an contra otros remolinos, etc. las bolitas del diel´ectrico girar´an sin trasladarse, debido a la igualdad de las velocidades de los remolinos a ambos lados de la bola. De la misma forma, las bolitas el´ectricas del otro cable, aunque libres de moverse, no tienden a hacerlo, sino que girar´an sin traslaci´on como las del diel´ectrico. Supongamos ahora que la corriente del cable disminuye. En el modelo esto significa que las part´ıculas el´ectricas empiezan a moverse m´as despacio, haciendo que los remolinos magn´eticos adyacentes pierdan tambi´en velocidad. Por lo tanto, habr´a una diferencia de velocidad entre el remolino contiguo al cable y el siguiente, con el resultado de que las bolas que quedan entre ambos tienden a ponerse en movimiento. y la diferencia de velocidades quedar´a absorbida inicialmente por una distorsi´on el´astica de los remolinos. El remolino deformado ejercer´a una fuerza sobre las part´ıculas, que se mueven m´as de prisa, disminuyendo su velocidad. Y as´ı pasar´a por todo el campo una onda de desplazamiento de las part´ıculas el´ectricas y un campo magn´etico variable. Cuando la onda llega al otro cable, las bolitas el´ectricas que hay en ´el se pondr´an en movimiento y provocar´an la inducci´ on de una corriente en el cable. El lector, despu´es de o´ır hablar de estos cojinetes que vuelan entre remolinos el´asticos, puede llegar a pensar con Pierre Duhem: “Cre´ıamos adentrarnos en la tranquila y pulcra estancia de la raz´on; pero hete aqu´ı que 20

2.5 Magnitudes mec´ anicas y electromagn´eticas

Historia de la F´ısica

estamos en una f´abrica”. La f´abrica, sin embargo, dio algunos productos notables, a saber, las ecuaciones del campo electromagn´etico y la teor´ıa electromagn´etica de la luz. Maxwell se impuso a s´ı mismo varias condiciones al construirse el modelo mec´anico y deducir sus propiedades. Una era su objetivo de relacionar la elasticidad y la masa del mecanismo con propiedades electromagn´eticas ; la otra, la necesidad de ser congruente con los experimentos del electromagnetismo ya conocidos. Para comprender los problemas que Maxwell tuvo que superar para poder llevar a cabo la deducci´on, lo m´as sencillo es empezar por ver qu´e magnitudes electromagn´eticas, bien que este proceder no es precisamente el que sigui´ o el pensamiento de Maxwell.

2.5.

Magnitudes mec´ anicas y electromagn´ eticas

Cada una de las magnitudes mec´anicas y ecl´ecticas est´a espec´ıficamente representadas por un aspecto del modelo mec´anico. En un medio conductor, la intensidad de corriente en un punto ( j) viene representada por el n´ umero de bolas que pasan por ese punto en un segundo. Estas part´ıculas el´ectricas rozan contra los remolinos adyacente y les transmiten un movimiento de rotaci´on. La intensidad de la fuerza magn´etica (H) est´a representada por la velocidad del remolino en su superficie. Su direcci´on viene dada por la del eje del remolino; Maxwell supone que si miramos a lo largo del eje del remolino y vemos que ´este gira en el sentido de las agujas del reloj, entonces estamos mirando en direcci´on norte, es decir aquella hacia donde ser´ıa impulsado un polo norte magn´etico. La densidad media (masa) de los remolinos se corresponde con la permeabilidad magn´etica, µ, del campo. Por lo tanto, la energ´ıa del campo magn´etico viene dada por la energ´ıa cin´etica de los remolinos en movimiento, que es proporcional a µH 2 . Si dos remolinos vecinos describen un movimiento de rotaci´on con velocidades distintas, sobre las part´ıculas que hay entre ellos se ejercer´a una fuerza tangencial. Esta fuerza representa la parte de la fuerza electromotriz (E) debida a la inducci´ on. El estado electrot´onico o potencial vectorial (A) est´a relacionado con el momento de los remolinos, por lo cual la fuerza electromotriz es una funci´on de la variaci´on del momento de los remolinos. Si las bolitas el´ectricas forman parte de un diel´ectrico, no podr´an desplazarse de su posici´on, pero s´ı sufrir una deformaci´ on el´astica bajo la acci´ on de las fuerzas que act´ uan sobre ellas. El grado en que el material de una bola el´ectrica se desplaza por efecto de las fuerzas depende de las constantes el´asticas de la bola. Maxwell supuso que el desplazamiento total (D) es directamente proporcional a la fuerza que act´ ua sobre la bola; la constante de proporcionalidad es an´aloga a la constante diel´ectrica o capacidad inductiva () del medio (D = E). La energ´ıa del campo el´ectrico se corresponder´a con la energ´ıa el´astica de las part´ıculas deformadas. Esta energ´ıa tiene que ser igual al trabajo realizado para deformar las part´ıculas: la fuerza ejercida por los remolinos,multiplicada por el desplazamiento de las sustancia (que es proporcional a E · D = E 2 ). En el modelo de Maxwell, la carga est´a producida por una presi´on mutua ejercida por las part´ıculas el´ectricas. La presi´on es an´aloga al potencial el´ectrico o tensi´on (Ψ). La diferencia de presi´on a ambos lados de una part´ıcula el´ectrica constituye la contribuci´on de la electricidad a la fuerza electromotriz. Un cuerpo cargado es aquel cuyas part´ıculas el´ectricas ejercen una presi´on neta sobre las part´ıculas del diel´ectrico circundante. Se˜ nalemos que la causa de esta presi´ on ha de ser ajena al mecanismo propiamente dicho. Maxwell dedujo sus ecuaciones en tres etapas. En primer lugar utiliz´o la hip´otesis de los remolinos para explicar los efectos puramente magn´eticos. La segunda etapa consisti´o en utilizar la hip´otesis de la elasticidad de las bolas para explicar los fen´ omenos de la carga el´ectrica. Cada una de estas etapas fue un paso hacia la coronaci´on de su obra: la teor´ıa electromagn´etica de la luz. La idea que encierra la primera etapa es realmente ingeniosa; su desarrollo es relativamente directo. Como y ase ha dicho, el punto de partida de Maxwell fue la sugerencia de Faraday de que existe una tensi´ on en las 21

2.5 Magnitudes mec´ anicas y electromagn´eticas

James Clerk Maxwell

l´ıneas de fuerza, y una presi´ on entre ellas. Faraday apunt´o que la forma que tomaba las l´ıneas en una situaci´ on determinada depende de la permeabilidad magn´etica del medio, y precis´o que el movimiento de un cuerpo magn´etico o diamagn´etico cab´ıa considerarlo como debido a las fuerzas de tensi´on a lo largo de las l´ıneas de fuerza que pasan por el cuerpo y a la presi´on entre ellas. Pero ¿en qu´e casos aparece un desequilibrio entre las tensiones del campo, de modo que las l´ıneas de fuerza y los cuerpo que la componen se muevan?¿en que otros casos se da el equilibrio, que hace que las l´ıneas de fuerza se distribuyan como alrededor de un im´an en reposo? Para contestar a estas preguntas har´ıa falta tener una expresi´on cuantitativa de las tensiones ¿Qu´e modelo mec´anico podr´ıa proporcional tensiones an´alogas a las de Faraday, un modelo que nos permitiese calcular exactamente las tensiones y fuerzas involucradas y que quiz´a fuese incluso cierto? Esta es la primera cuesti´on a la que Maxwell dedic´o sus esfuerzo en la b´ usqueda de las ecuaciones del campo.

Figura 2.2: L´ıneas de fuerza en un im´ an est´atico. Primer dibujo realizado por Faraday y utilizado por Maxwell. Para resolver el problema, Maxwell propuso que las tensiones podr´ıan ser producidas por la rotaci´ on de los remolinos en torno a las l´ıneas de fuerza. La rotaci´on ser´ıa la causa de que la presi´on fuera del eje fuese mayor que a lo largo del mismo. Una expresi´ on exacta de esta diferencia de presiones har´ıa posible el c´alculo de las fuerzas que nacen de la tensi´ on, y el conocimiento de estas fuerzas determinar´ıa a su vez la distribuci´ on de las l´ıneas e fuerza y las condiciones bajo las cuales se mueven. El primer resultado que Maxwell obtuvo al derivar las propiedades de su modelo fue el c´alculo de la inferencia de presi´on: p1 − p2 era igual a µH 2 /4π, siendo H la velocidad del remolino en su superficie y µ/4π una constante que depende de la densidad del remolino. La tensi´on cab´ıa desglosarla, pues, en dos partes, la presi´on p1 en la direcci´on del eje del remolino, la l´ınea de una presi´ on p1 en todas las direcciones, una tensi´on de µH 2 /4π fuerza. Maxwell identific´o m´as tarde la presi´on general p1 con el t´ermino µH 2 /8π, dando con esto una expresi´on cuantitativa a la tensi´ on tensi´ on y presi´on que Faraday cre´ıa pod´ıa ser la explicaci´on de la distribuci´on de las l´ıneas de fuerza. Conocida ya la diferencia cuantitativa de presi´on a lo largo de las l´ıneas de fuerza, Maxwell dedujo la expresi´on de la tensi´ on en cualquier direcci´on en un punto del mecanismo. Las componentes de la expresi´ on de una tensi´ on constituyen un tensor, como se le llama hoy d´ıa. A partir del tensor se puede calcular la fuerza resultante ejercida sobre cualquier punto del medio. Maxwell demostr´o que en caso de permeabilidad magn´etica uniforme y ausencia de corrientes en el medio, cumple la ley del inverso del cuadrado. Comprobada la validez del modelo en este caso l´ımite, Maxwell pudo identificar entonces H, la velocidad de los remolinos en su superficie, con la intensidad magn´etica, (como ya mencionamos, la direcci´on H se toma a lo largo del eje del remolino). Partiendo de la tensi´ on, Maxwell hab´ıa deducido una expresi´on general para la fuerza a que est´a sometido 22

2.6 Las leyes del campo electromagn´etico

Historia de la F´ısica

un cuerpo para o diamagn´etico dentro de un campo magn´etico de permeabilidad variable. Aunque el resultado era muy general, no estaba en contradicci´on con la expresi´on que pod´ıa calcularse a partir de las teor´ıas de acci´on a distancia. la deducci´ on era muy importante demostraba c´omo la idea de Faraday de la tensi´ on a lo largo de las l´ıneas de fuerza pod´ıa expresarse cuantitativamente y porque permiti´o a Maxwell identificar la velocidad del remolino con la intensidad magn´etica. Una vez hecha esta identificaci´on, quedaba decidida gran parte de la investigaci´ on restante. Todas las dem´as analog´ıas ten´ıan que ser consistentes con la analog´ıa inicial de la intensidad magn´etica. Como suele ocurrir, el primer paso fue una restricci´on pero tambi´en una gu´ıa.

2.6.

Las leyes del campo electromagn´ etico

La identificaci´ on de la velocidad de los remolinos con la intensidad magn´etica fue la base del resto de la deducci´on. El siguiente problema que abord´o Maxwell fue el de hallar las leyes que relacionan la corriente y el campo magn´etico. Dentro del modelo, el problema era relacionar el movimiento de las bolitas el´ectricas con la rotaci´ on de los remolinos magn´eticos. Hab´ıa dos dificultades: primero, demostrar que el movimiento de las bolitas el´ectricas daba lugar a la distribuci´on correcta de la fuerza magn´etica, de la velocidad de los remolinos; segundo, demostrar que determinadas variaciones de la fuerza magn´etica ejercer´ıan una fuerza sobre las part´ıculas el´ectricas, la fuerza electromotriz de inducci´on. La clave de la soluci´on est´a en el hecho de que la velocidad de traslaci´ on de una bola es igual a la semidiferencia de las velocidades de los remolinos contiguos. (Maxwell no tiene aqu´ı en cuenta la elasticidad de las bolas el´ectricas, que introducir´ıa m´as tarde.) Dado que la relaci´ on entre la velocidad del remolino y el movimiento de traslaci´on de las bolas el´ectricas es fija, se puede expresar el movimiento de las bolas (corriente) en funci´on de la variaci´on de la velocidad de los remolinos (intensidad magn´etica) de un punto a otro. Maxwell descubri´o tal funci´on, que ahora recibe el nombre de rotacional. En general, el rotacional de un campo de fuerzas expresa el par de rotaci´ on que se ejercer´ıa sobre una peque˜ na bola situada en un punto del campo. Al relacionar la corriente con el rotacional del campo magn´etico Maxwell tuvo que suponer que hay π/2 bolas el´ectricas por unidad de superficie de los remolinos magn´eticos. Esta hip´ otesis dio la ecuaci´on p = π∇ × H/2 (igual que antes, p es la corriente y H la fuerza magn´etica). Maxwell demostr´ o que esta ecuaci´on era consistente con la conocida distribuci´ on de las l´ıneas magn´eticas de fuerza alrededor de una corriente estacionaria. El siguiente problema era el de desarrollar una teor´ıa de la inducci´on magn´etica basada en las propiedades del modelo. Para deducir las leyes de la inducci´on, Maxwell utiliz´o un m´etodo dif´ıcil y tortuosos. Su objetivo era encontrar una expresi´ on general de la fuerza electromotriz que act´ ua sobre un conductor que se mueve a trav´es de un campo magn´etico, y quer´ıa evitar a toda costa la introducci´on de hip´otesis especiales sobre las fuerzas el´asticas de las bolas el´ectricas. Para evitarlo, dedujo las leyes de inducci´on indirectamente, partiendo de consideraciones de trabajo y energ´ıa. Llev´o a cabo la deducci´on en dos etapas: primero calcul´ o la fuerza que ejerce un campo magn´etico variable sobre un conductor en reposo, y despu´es la fuerza que origina el movimiento del conductor a trav´es de un campo magn´etico. Maxwell se bas´ o en consideraciones energ´eticas para deducir la relaci´on que existe entre la fuerza electromotriz sobre un conductor en reposo y la variaci´on de la fuerza magn´etica. En primer lugar demostr´ o que la 2 energ´ıa cin´etica (densidad) de los remolinos en rotaci´on es µH /8π como ya dijimos. Despu´es calcul´ o la cantidad de energ´ıa que por unidad de tiempo se introduce en el sistema por la acci´on de la fuerza electromotriz (las fuerzas electromotrices son aquellas que act´ uan sobre las bolitas el´ectricas). Seg´ un la ley de Newton de acci´on y la reacci´ on, la fuerza que los remolinos ejercen sobre las bolas debe ser igual y opuesta a la fuerza de reacci´on sobre los remolinos. La energ´ıa introducida por segundo en los remolinos es igual al producto de esta fuerza de reacci´ on por la velocidad producida en el remolino. 23

2.6 Las leyes del campo electromagn´etico

James Clerk Maxwell

La variaci´ on de la energ´ıa de un remolino podr´ıa tambi´en expresarse en t´erminos de la variaci´on de la fuerza magn´etica, utilizando la f´ ormula anterior para la densidad de energ´ıa de los remolinos. Maxwell logr´ o as´ı relacionar la variaci´ on de la fuerza magn´etica con el producto de la fuerza electromotriz por la velocidad de los remolinos. Y como antes hab´ıa relacionado ya esta velocidad con la fuerza magn´etica, lleg´o por fin a una ecuaci´on que relacionaba la fuerza electromotriz con la variaci´on de la fuerza magn´etica. La funci´on result´ o ser de nuevo un rotacional: ∇ × E = µ(dH/dt). Finalmente, Maxwell se˜ nal´o que se pod´ıa deducir µH del estado electrot´onico A: µH = ∇ × A. El estado electrot´onico pod´ıa identificarse como el momento reducido de los remolinos magn´eticos. La fuerza electromotriz es entonces igual a la variaci´on de este momento, como ya se establec´ıa en aquel primer trabajo de Maxwell, “On Faraday’s Lines of Force”: E = dA/dt. La segunda etapa de la deducci´ on consisti´o en deducir la fuerza sobre un conductor en movimiento. en la primera no hab´ıa tenido en cuenta la posibilidad de que los remolinos pudieran curvarse o alargarse. Ahora, en esta segunda etapa, supuso que el movimiento de un conductor a trav´es de un remolino har´ıa que el remolino tendiera a combarse o alargarse. Maxwell demostr´o que el estirar un remolino tender´ıa a aumentar su velocidad, y el comprimirlo a disminuirla; en este resultado bas´o su teor´ıa de los conductores en movimiento. Consideremos un cable recto, perpendicular a los ejes de remolinos paralelos, y movi´endose en direcci´ on perpendicular tanto al eje del cable como a los remolinos. El cable empuja al remolino que tiene delante y lo estira, con lo cual aumenta su velocidad. As´ı pues, la velocidad de los remolinos delante y detr´as de las part´ıculas el´ectricas del conductor ser´a diferente. Este diferencial de velocidades origina una fuerza que act´ ua sobre las bolas el´ectricas y las impulsar´a a moverse por el cable; es decir, el movimiento del cable a trav´es de las l´ıneas magn´eticas de fuerza producen una corriente el´ectrica. En el trascurso de la deducci´ on, Maxwell descubri´ o que la fuerza electromotriz debida al movimiento del conductor es el producto vectorial de la velocidad del conductor por la fuerza magn´etica (E = v × µH). Tres elementos componen, pues la fuerza electromotriz total de un conductor en movimiento: • la fuerza el´ectrica debida a la carga est´atica, • la fuerza de inducci´ on electromagn´etica debida a la variaci´on del estado electrot´onico, calculada como si el remolino no se desplazara de su posici´on, • la fuerza de inducci´ on electromagn´etica debida al movimiento del conductor, fuerza que se origina por estiramiento de los remolinos, E = ∇Ψ +

dA + v × µH) dt

Hay que se˜ nalar que Maxwell ignor´ o la fuerza electromotriz debida al movimiento de un medio magn´eticamente polarizado. Posiblemente fue Helmholtz el que primero se dio cuenta de esta omisi´on. El car´acter unificado de la fuerza electromotriz es caracter´ıstico de la teor´ıa de Maxwell en “Sobre la l´ıneas f´ısica de fuerza”. En versiones posteriores su teor´ıa, la fuerza debida ala variaci´on del conjunto magn´etico se considera como parte del campo el´ectrico, mientras que la fuerza que resulta del movimiento de un conductor es de ´ındole muy diferente y no se la considera como parte integrante del campo el´ectrico. En la versi´on de Lorentz de la teor´ıa de Maxwell se hace especialmente clara esta divisi´on. El modelo mec´anico de Maxwell fue la u ´ltima teor´ıa de la electricidad y el magnetismo que tuvo el car´acter unificado con que Faraday hab´ıa so˜ nado. Despu´es de desarrollar una teor´ıa de la relaci´on entre corrientes y magnetismo, Maxwell a˜ nadi´ o la u ´ltima hip´otesis que su mecanismo necesitaba: la elasticidad de los remolinos magn´eticos. Su objetivo era triple: en primer lugar, modificar la teor´ıa de la inducci´on electromagn´etica; segundo demostrar que su modelo explicaba la carga est´atica; y por u ´ltimo, demostrar que las perturbaciones del campo electromagn´etico se propagan 24

2.6 Las leyes del campo electromagn´etico

Historia de la F´ısica

a la velocidad de la luz. Maxwell comenz´o la teor´ıa suponiendo que la magnitud del desplazamiento de la materia de los remolinos es directamente proporcional a la fuerza ( electromotriz) que act´ ua sobre la pared del remolino (D = E/4πc2 ). La constante c caracteriza la elasticidad de los remolinos, y 1/4πc2 es la capacidad inductiva del medio. Lo primero que se˜ nala Maxwell es la necesidad de modificar la relaci´on que previamente hab´ıa establecido entre corriente y magnetismo. Con anterioridad hab´ıa supuesto dos causas para la diferencia de velocidad entre dos remolinos vecinos: o se deb´ıa al paso de una corriente continua, o a la presi´on de un conductor en movimiento. ahora era necesario admitir la posibilidad de un peque˜ no desplazamiento de las bolas de un diel´ectrico. Imaginemos dos bolas el´ectricas en un diel´ectrico y un remolino entre ambas. Debido a las fuerzas electromotrices, puede que el remolino se halle muy estirado perpendicularmente a su eje. Este estiramiento es an´alogo a la polarizaci´ on el´ectrica. Si el remolino se recupera, el material que lo constituye retorna a su posici´ on original. Mientras tiene lugar esta del remolino se mover´a en direcci´on contrarias. As´ı pues, las bolas el´ectricas se pondr´an en movimiento en direcciones opuestas, igual que si hubiese conducci´on. En otras palabras, un cambio de desplazamiento produce, igual que una corriente el´ectrica, un campo magn´etico. Maxwell expres´ o esto mismo matem´aticamente diciendo que a la corriente de conducci´on hay que sumarle una corriente de desplazamiento, es decir la tasa de variaci´on del desplazamiento dD/dt. Esta corriente total ser´ıa la responsable del campo magn´etico. La relaci´on entre la corriente total y el campo magn´etico es de nuevo la funci´ on rotacional: 4πj + dD/dt = ∇ × H. Maxwell no examin´o las consecuencias que para la inducci´on ten´ıa la corriente de desplazamiento, pese a que esta modificaci´on de la ecuaci´on anterior era, por implicaci´on, una revisi´ on de toda la teor´ıa de la inducci´on. En lugar de eso, Maxwell la utiliz´o para demostrar que el modelo pod´ıa dar cuenta de las fuerzas el´ectricas debidas a cuerpos cargados. Por raro que parezca - parece claro que una teor´ıa de la carga deber´ıa ser el punto de partida para cualquier teor´ıa del electromagnetismo - hasta ahora Maxwell no hab´ıa considerado la relaci´on entre fuerza electromotriz y carga. Lo que ocurre es que evit´ o introducir la carga en el modelo, otorgando en cambio un peso fundamental a la corriente y a su relaci´ on con el campo magn´etico. Aunque esto le posibilit´o el desarrollo de una teor´ıa unificada del magnetismo y la corriente, impidi´o que la carga entrara a formar parte del modelo. La carga es una causa del desplazamiento de la part´ıcula el´ectrica fuera del mecanismo propiamente dicho. Para descubrir la relaci´on entre la carga y la fuerza el´ectrica, Maxwell tuvo que apoyarse en una deducci´on m´as o menos indirecta que tuviera en cuenta todas las hip´otesis que se hab´ıan formulado sobre el modelo. Maxwell comenz´ o estudiando el desplazamiento originado por la presencia de una carga. Encontr´ o la expresi´on por medio de la ecuaci´ on de continuidad de la carga (∇j + dQ/dt = 0), que expresa que la variaci´ on de la cantidad de carga de una regi´ on dada es igual a la diferencia entre la cantidad de corriente que sale de la regi´ on y la que entra. La ecuaci´ on es, pues, una relaci´on entre cargas y corriente de conducci´on; la anterior ecuaci´ on para la corriente total relaciona la corriente de conducci´on con el desplazamiento. Combinando ambas, Maxwell descubri´ o la relaci´ on entre la carga y el desplazamiento que ´esta produce: si un cuerpo est´a cargado, el n´ umero de l´ıneas de desplazamiento que entran es diferente del de las que salen del cuerpo. A mayor carga, m´as diferencia (Q = ∇D). Dada esta relaci´on, ¿c´omo sabemos que el campo el´ectrico ejercer´a una fuerza sobre un cuerpo cargado? Maxwell se bas´ o en consideraciones energ´eticas para encontrar la fuerza que act´ ua sobre un cuerpo cargado. Si dos cuerpos cargados se acercan uno al otro muy lentamente, el campo magn´etico que se crea es despreciable, y la conservaci´ on de la energ´ıa debe cumplirse para el campo el´ectrico solo. La energ´ıa del campo el´ectrico viene dada por el trabajo que realizan las fuerzas electromotrices sobre las bolas el´ectricas. El trabajo es el producto de la fuerza electromotriz y el desplazamiento producido. Por su anterior demostraci´ on, Maxwell conoc´ıa la distribuci´ on del desplazamiento en torno a una carga, con lo cual pod´ıa calcular el cambio de energ´ıa producido por el cambio de posici´on de dos cargas. Esta variaci´on de energ´ıa debe ser igual al trabajo 25

2.7 La teor´ıa electromagn´etica de la luz

James Clerk Maxwell

realizado sobre el sistema al mover las cargas en contra de las fuerzas que ejerce el campo. Incluso es posible demostrar qu´e fuerzas debe ejercer el campo para que se cumpla el principio de conservaci´on de la energ´ıa. Cuando Maxwell llev´o a cabo la deducci´on, obtuvo que las cargas interact´ uan seg´ un la ley del inverso del cuadrado. Es decir, las cargas obedecen la ley de Coulomb. Lo que Maxwell dedujo no fue exactamente la ley de Coulomb, sino esta ley corregida para los diel´ectricos, F = c2

q1 q2 r2

(2.1)

La constante K est´a relacionada con la capacidad inductiva espec´ıfica mediante la expresi´on  = 1/4πc2 . Esta deducci´ on de la ley de Coulomb pon´ıa fin a dos de las tareas que Maxwell se hab´ıa planteado: 1.- hallar ecuaciones del campo que describan los fen´omenos electromagn´eticos, 2.- probar que estas ecuaciones eran consistentes con los experimentos conocidos. Y demostr´ o tambi´en que su modelo mec´anico era una analog´ıa muy pr´oxima al campo electromagn´etico. No obstante, Maxwell miraba m´as lejos; quer´ıa desarrollar una teor´ıa matem´atica que identificara la luz con las vibraciones del campo electromagn´etico. El complejo mecanismo estaba especialmente dise˜ nado para que las ondas transversales de velocidad finita pudieran moverse por el campo y las l´ıneas de fuerza pudieran describir esa vibraci´on lateral de la que hablaba Faraday.

2.7.

La teor´ıa electromagn´ etica de la luz

El mayor acierto del art´ıculo “Sobre las l´ıneas f´ısica de fuerza” fue el de identificar la luz con un fen´ omeno electromagn´etico. Posiblemente uno de los principales problemas que llevaron a Maxwell a construir un modelo fue el de desarrollar una teor´ıa donde la inducci´on tuviera velocidad finita. Para asegurar la finitud de la velocidad, hab´ıa dotado a su mecanismo de masa y de elasticidad y hab´ıa acertado en la identificaci´ on de muchas de las propiedades mec´anicas con magnitudes electromagn´eticas conocidas. Si lograba deducir la velocidad de las ondas en el mecanismo a partir de estas propiedades electromagn´eticas entonces tendr´ıa una predicci´on que ser´ıa contrastable independientemente del mecanismo. El objetivo de Maxwell era, pues, la relaci´on entre la velocidad de inducci´ on y las magnitudes electromagn´eticas. Exist´ıa ya una teor´ıa general de la elasticidad que fijaba la velocidad de las ondas transversales en un mecanismo sujeto a las leyes de Newton. Seg´ un esta teor´ıa, el cuadrado de la velocidad de las ondas transversales es igual al cociente entre la rigidez (aqu´ pı lo simbolizamos con r, por no estar especificada la naturaleza del medio) y la densidad del medio, (v = E/ρ). El problema se reduc´ıa, por lo tanto, al conocimiento de la rigidez y densidad del mecanismo en t´erminos de sus propiedades electromagn´eticas. Para resolver el problema Maxwell sent´ o unas cuantas hip´ otesis simplificadoras, m´as o menos arbitrarias. En primer lugar, supuso que la masa de las bolas el´ectricas y su elasticidad eran despreciables. (anteriormente hab´ıa tenido que prescindir del momento de las bolas en la teor´ıa de inducci´on.) Toda la elasticidad y toa la masa est´an en los remolinos. La expresi´ on de la elasticidad del mecanismo estaba ya, pues, a mano: Maxwell hab´ıa demostrado ya que la densidad de los remolinos (ρ) pod´ıa correlacionarse con la permeabilidad magn´etica del medio (µ): ρ = πµ. Quedaba luego el problema de hallar la rigidez de los remolinos en t´erminos de magnitudes el´ectricas. La propiedad el´astica clave de los remolinos es que el desplazamiento de su material es proporcional a la fuerza electromotriz que act´ ua sobre ellos. La constante de proporcionalidad es an´aloga a la capacidad inductiva 26

2.7 La teor´ıa electromagn´etica de la luz

Historia de la F´ısica

espec´ıfica del medio. La cuesti´ on era, por tanto, relacionar la rigidez de los remolinos con la capacidad inductiva espec´ıfica. El problemas complica por la existencia de dos constantes que caracterizan las fuerzas que se originan en el desplazamiento: la constante de rigidez que determina la resistencia a la torsi´ on , y la constante de elasticidad tridimensional, que determina la resistencia a la compresi´on o a la dilataci´ on (Aqu´ı se supone que existe una relaci´ on lineal entre el desplazamiento y las fuerzas el´asticas implicadas.) Para obtener la relaci´ on entre la capacidad inductiva espec´ıfica y la rigidez, Maxwell ten´ıa antes que construir una teor´ıa del desplazamiento producido por la acci´on de la fuerza electromotriz y de las fuerzas que se producen por este desplazamiento. La teor´ıa ten´ıa que cumplir una condici´on: los remolinos ten´ıan que reaccionar a las fuerzas electromotrices de forma que permanecieran en equilibrio en una situaci´ on est´atica. Con esta idea in mente, Maxwell supuso primero que la fuerza electromotriz que act´ ua sobre la materia que constituye el remolino var´ıa con el seno del ´angulo cuyo origen es el punto de contacto de la part´ıcula el´ectrica con el remolino. Despu´es supuso que el desplazamiento de la materia de las bolas era puramente tangencial: la materia pod´ıa sufrir una torsi´ on alrededor del centro de la bola, pero no pod´ıa desplazarse hacia dentro ni hacia fuera. Esta hip´ otesis era fundamental, ya que s´olo permite que se originen en el mecanismo ondas transversales. Una vez construido en detalle el mecanismo por el que la fuerza electromotriz produce desplazamientos, Maxwell investig´ o las fuerzas el´asticas que ´estos producen. El problema estribaba en relacionar el desplazamiento con la constante de rigidez y de elasticidad tridimensional. Aunque Maxwell hab´ıa supuesto que todo el desplazamiento era tangencial, la tendencia del remolino a contraerse o dilatarse ten´ıa su importancia, porque un remolino tiende a contraerse o dilatarse cuando est´a sometido a torsi´on. De hecho, se supone que la presi´ on ejercida al intentar dilatarse o contraerse es el potencial debido a la carga est´atica, de modo que para relacionar el desplazamiento con las fuerzas en un remolino en equilibrio Maxwell tuvo que admitir que las constantes de rigidez y de elasticidad tridimensional guardan una proporci´on fija de seis a cinco. Esta proporci´ on es la que se da en un s´ olido perfecto, donde las fuerzas proceden todas ellas de pares de part´ıculas. Maxwell pudo finalmente establecer la deseada relaci´on entre la rigidez y la capacidad inductiva espec´ıfica utilizando todas estas hip´ otesis sobre los remolinos. Descubri´o que la capacidad inductiva espec´ıfica es igual a 1 / 4 del inverso de la rigidez:  = 1/4πc2 , donde πc2 es la rigidez. Maxwell hab´ıa conseguido expresar la velocidad de las ondas transversales del mecanismo en t´erminos de la capacidad inductiva espec´ıfica y la permeabilidad magn´etica del medio. La densidad del medio estaba relacionada con la permeabilidad magn´etica, y la rigidez con la capacidad inductiva espec´ıfica; se sab´ıa que el cuadrado de la velocidad de las ondas transversales era la raz´on entre ambas. La f´ ormula exacta es v 2 = c2 /µ. Midiendo la capacidad inductiva espec´ıfica y la permeabilidad magn´etica de un medio, pod´ıa predecirse la velocidad de las ondas de inducci´on. Pero ¿c´omo medir en las mismas unidades la capacidad inductiva espec´ıfica y la permeabilidad magn´etica, de forma que pueda hallarse en qu´e proporci´ on est´an? Hasta ahora s´olo hemos descrito experimentos para conocer en t´erminos relativos la mayor o menor permeabilidad magn´etica de un medio. Y la interacci´on entre dos polos magn´eticos es tanto m´as d´ebil cuanto m´as permeable sea el medio. ¿c´omo encontrar una medida standard para comparar la capacidad inductiva espec´ıfica y la permeabilidad magn´etica de un medio determinado? Para contestar a esta pregunta hay que explicar el problema de establecer unidades electromagn´eticas, problema que hasta ahora se ha tratado de evitar porque en general es bastante tedioso y no aporta nada a la comprensi´ on de las concepciones del mundo. Pero hay un punto clave donde los experimentos s´ı entran en la cuesti´ on: la determinaci´on de la constante c; que resulta ser precisamente la velocidad de la luz.

27

2.8 La velocidad de la luz, una constante electromagn´etica

2.8.

James Clerk Maxwell

La velocidad de la luz, una constante electromagn´ etica

La dificultad b´asica a la hora de fijar las unidades de corriente es que tiene que ser compatible con los dos aspectos de la corriente, el el´ectrico y el magn´etico. En principio es f´acil fijar una unidad de carga o una unidad de imanaci´ on. La e carga puede definirse como la cantidad que ejerce la unidad de fuerza (medida mec´anicamente) sobre otro cuerpo cargado, situado a una distancia unidad. De la misma forma, una unidad de polo magn´etico puede definirse por la fuerza que produce a una distancia unidad. La unidad de corriente se puede establecer en base a unidades magn´eticas o electrost´aticas. Sea, por ejemplo, un circuito circular que encierra la unidad de ´area. Si por ´el pasa una corriente estacionaria, ejercer´a una fuerza magn´etica constante. Podemos decir que se trata de una corriente de intensidad unidad si su fuerza magn´etica sobre un im´an situado a cierta distancia es la misma que la que producir´ıa un im´an situado a cierta distancia es la misma que la que producir´ıa un im´an, con polos de intensidad unidad, situados a una distancia unidad (suponiendo que el im´an est´a orientado perpendicularmente al plano del c´ırculo). La unidad de carga tambi´en se podr´ıa definir a partir de consideraciones electromagn´etica perpendicularmente al plano del c´ırculo). La unidad de carga tambi´en se podr´ıa definir a partir de consideraciones electromagn´eticas, diciendo que es la unidad de carga que pasa por un punto del circuito en un segundo; pero esta unidad pudiera no concordar con la anterior, basada en la electricidad est´atica. ¿Qu´e relaci´ on existe entre estas dos unidades de carga? O dicho de otro modo, en una unidad de corriente definida desde el punto de vista electromagn´etico, ¿cu´antas unidades de carga, definidas est´aticamente, pasan por un punto en un segundo?. La soluci´on es necesariamente emp´ırica; no se trata de definirla, sino de verla en la pr´actica; es decir, se trata de determinar qu´e cantidad de carga por segundo produce cu´al intensidad del campo magn´etico. La dificultad de definir unidades nace de querer relacionar los efectos el´ectricos y magn´eticos. Si definimos las unidades de carga electrost´aticas y electromagn´eticas como antes, la cuesti´on experimental se plantea as´ı: ¿cu´al es la raz´ on entre las unidades de medida electrost´aticas y electromagn´eticas?, sin entrar en dificultades t´ecnicas podemos ver el problema. Podr´ıamos empezar con dos cartas, peque˜ nas esferas con carga opuesta, de manera que situadas a una distancia unidad, se atrajeran con una fuerza unidad. Despu´es descargar´ıamos las esferas a trav´es de un circuito que incluyera un electrolito. Faraday ya demostr´ o que el grado de disociaci´ on de un electrolito pod´ıa utilizarse como medida standard para otras corrientes. Tendr´ıamos, pues un m´etodo para ver cu´antas unidades de electricidad, medidas electrost´aticamente recorren por segundo el circuito. Por otro lado, podr´ıamos construir un im´an de intensidad unidad, seg´ un la definici´on anterior, y ver su efecto sobre una aguja magn´etica de prueba, separada una cierta cantidad del im´an. Despu´es podr´ıamos construir nuestro anillo de ´area unidad, con un electrolito intercalado en el circuito. Cuando la corriente fuese lo suficientemente intensa para que su acci´on sobre la aguja sea equiparable a la del im´an de intensidad unidad, sabr´ıamos que el circuito est´a recorrido por una unidad de corriente, definida electromagn´eticamente. Con esta intensidad de corriente podr´ıamos comprobar a qu´e velocidad se descompone el electrolito; esta velocidad nos dar´ıa la cantidad e unidades electrost´aticas de carga que pasan por segundo. Llamar´ıamos as´ı a la soluci´ on del problema: sabr´ıamos cu´antas unidades electrost´aticas (esu) hay en una unidad electromagn´etica (emi). Ahora bien, en todos los argumentos anteriores hemos prescindido de la capacidad inductiva espec´ıfica y de la permeabilidad magn´etica; los resultados depender´ıan del medio en que se realizan las medidas. A mayor capacidad inductiva, obtendr´ıamos un mayor valor para la unidad de carga, medida electrost´aticamente. An´alogamente, obtendr´ıamos diferentes unidades electromagn´eticas en medios de diferente permeabilidad magn´etica. La manera de tener en cuenta esa variabilidad consiste en elegir un medio como patr´on de referencia de todos los dem´as. El vac´ıo parece ser el medio m´as natural. Si hallamos la raz´on entre las unidades anteriores en el vac´ıo, podemos predecir los efectos el´ectricos y magn´eticos relativos de cualquier otro medio, porque 28

2.8 La velocidad de la luz, una constante electromagn´etica

Historia de la F´ısica

podemos medir su capacidad inductiva espec´ıfica y su permeabilidad magn´etica en relaci´on con las del vac´ıo. El conocimiento de las constantes diel´ectricas y magn´eticas nos permitir´ıa predecir exactamente en qu´e medida la relaci´on entre los efectos el´ectricos y magn´eticos del medio difieren de la del vac´ıo. Tomando como patr´ on el vac´ıo, podemos por tanto formular las leyes del electromagnetismo para todos los medios, siempre que conozcamos la constante fundamental del vac´ıo, es decir , la relaci´on entre unidades electrost´aticas y electromagn´eticas. Pero , ¿qu´e significan la capacidad inductiva y la permeabilidad magn´etica del vac´ıo? Desde el punto de vista actual, la respuesta f´ısica a esta pregunta no tiene la m´as m´ınima importancia, ya que podemos dar a las constantes del vac´ıo cualquier valor num´erico sin que var´ıe el contenido f´ısico de las ecuaciones. Por ejemplo, se le puede dar a ambas constantes el valor 1 e introducir directamente la raz´ on entre las dos en la ecuaci´ on que relaciona la corriente con el campo magn´etico, o bien introducir la proposici´ on impl´ıcitamente dando valores apropiados ( distintos de 1) a las constantes el´ectricas y magn´eticas del vac´ıo. El contenido f´ısico es el mismo. En el art´ıculo de Maxwell, sin embargo, la elecci´on del sistema de unidades no era arbitrario, sino fundamental para sus deducciones. Es decir, si Maxwell hubiera tomado como 1 el valor de las constantes el´ectricas y magn´eticas, no habr´ıa podido deducir las ecuaciones en las que aparece la relaci´on fundamental entre las dos anteriores, ya que ´estas no aparecer´ıan en le mecanismo. El hecho es que las constantes estaban tan imbricadas en el mecanismo, que Maxwell pens´ o que, a trav´es de la masa que la elecci´on de las constantes atribu´ıa a su mecanismo, podr´ıa encontrar pruebas de la realidad del mismo. Pens´o, por ejemplo, en la posibilidad de que los remolinos tuvieran suficiente di´ametro como para que pudieran notarse efectos girosc´opicos. Sin embargo, no pudo detectar ninguno. El sistema de unidades encastrado en las ecuaciones de Maxwell era un sistema electromagn´etico. En ´el hab´ıa utilizado los s´ımbolos µ y 1/4πc , para representar respectivamente la permeabilidad magn´etica y la constante diel´ectrica, y hab´ıa establecido la relaci´on entre estas dos constantes y las propiedades mec´anicas del mecanismo. Despu´es dedujo la ley del inverso del cuadrado para la electricidad est´atica y para el magnetismo e interpret´o las constantes seg´ un el sistema electromagn´etico. Esta interpretaci´on por implicaci´on convirti´ o las ecuaciones del mecanismo en leyes electromagn´eticas exactas; y en ellas µ val´ıa 1 en el vac´ıo y c en el vac´ıo era la raz´ on entre las unidades magn´eticas y el´ectricas. El fijar el valor de µ en la unidad se debi´ o a que Maxwell dedujo la expresi´ on m1 m2 /µr2 para la ley del inverso del cuadrado de polos magn´eticos; en el sistema electromagn´etico, la unidad de polo magn´etico ejerce la unidad de fuerza a una distancia unidad, por lo cual, la µ de la expresi´ on debe valer 1. La unidad de carga en el sistema electromagn´etico de carga no produce una fuerza unidad a la distancia unidad; dos cargas electromagn´eticas iguales se repelen con una fuerza que vale k 2 , siendo k la raz´ on entre las constantes unidad. Examinemos este punto clave. Sabemos, por la ley de Coulomb, que dos cargas en reposo se repelen en el vac´ıo con una fuerza e1 e2 , donde e1 y e2 est´an , por definici´ on, en unidades electrost´aticas, r2 . Un emu es la cantidad de carga que produce un efecto magn´etico unidad cuando fluye en una corriente que recorre la unida de longitud en la unidad de tiempo. Experimentalmente, esta cantidad de carga, situada a la distancia unidad, produce una fuerza el´ectrica k veces la unidad. Una unidad electrost´atica de carga es aquella que produce una unidad de fuerza el´ectrica a una unidad de distancia. por lo tanto, una cantidad de carga medida en emu (e0 ) contendr´a k veces esa cantidad esu (e), es decir, e = ke0 , siendo k la proporci´on entre ambas. La anterior expresi´ on de la ley de Coulomb en (esu) tendr´ıa la siguiente forma en emu: F =

0 0 ke01 · ke02 2 e1 e2 = k r2 r2

(2.2)

Ya se ha dicho que Maxwell hab´ıa deducido a trav´es de su modelo que la fuerza que una carga ejerce sobre otra deber´ıa tener la expresi´ on c2 e1 e2 /r2 . Por lo tanto, para que sus ecuaciones fueran consistentes con el sistema electromagn´etico de unidades bastaba con identificar el valor de c con el vac´ıo con la raz´ on entre esu 29

2.9 Las limitaciones del art´ıculo sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza

James Clerk Maxwell

y emu, que hemos llamado m´as arriba k. Eso fue lo que hizo Maxwell, y con ello logr´o completar la relaci´ on entre las leyes de su modelo y las del electromagnetismo. En concreto, relacion´o la raz´on entre esu y emu, que se determina experimentalmente, con la velocidad de las ondas transversales en el modelo: pues originalmente hab´ıa definido µ (fijado ahora en el valor 1 en el vac´ıo) como proporcional a la densidad de los remolinos magn´eticos ( ρ = πµ) y hab´ıa establecido c (cuyo valor en el vac´ıo era ahora igual al cociente entre esu y emu) como una funci´ on de la rigidez de las bolas el´ectricas ( r = πc2 ). S´olo los remolinos pose´ıan masa, y la rigidez era una propiedad exclusiva de las bolas el´ectricas. Por lo tanto, se hab´ıa establecido la relaci´ on entre las propiedades mec´anicas que determinan la velocidad de las ondas transversales del mecanismo y una constante que se pod´ıa determinar por experimentos electromagn´eticos. Recordemos que la velocidad de las ondas transversales en un mecanismo es la ra´ız cuadrada del cociente entre la rigidez y la densidad (v 2 = r/d) . Seg´ un las relaciones establecidas por Maxwell, la velocidad de las √ ondas deber´ıa ser c/ µ. Como acabamos de ver, en el vac´ıo µ vale la unidad y c es la raz´on entre unidades electromagn´eticas y electrost´aticas. As´ı pues, en el modelo mec´anico de Maxwell, la velocidad de las ondas transversales es la misma que la relaci´ on entre las unidades electrost´aticas y electromagn´eticas. √ La f´ormula v = c/ µ es v´alida no s´olo en el vac´ıo sino tambi´en en materiales diel´ectricos, pudi´endose determinar la c y la µ de estos materiales en relaci´on a los del vac´ıo. Como el valor de µ en la mayor´ıa de los tipos de vidrio es aproximadamente 1 la velocidad de las ondas a trav´es del vidrio depende fundamentalmente de su capacidad diel´ectrica. La velocidad de la luz en un medio determina su ´ındice de refracci´on ( el grado en que desv´ıa un rayo de luz), con lo cual el ´ındice de refracci´on de un medio depender´ıa de c. como hace notar Maxwell, este nexo con lo emp´ırico es algo m´as tenue que el que proporciona c en el vac´ıo: Debido a la naturaleza desconocida, y probablemente complicada, de las reacciones de las part´ıculas pesadas en el medio et´ereo, es posible que no podamos descubrir ninguna relaci´on num´erica general entre las razones ´opticas, el´ectricas y magn´eticas. En cualquier caso, si se conociera el valor de c en el vac´ıo, la teor´ıa podr´ıa predecir la velocidad de las ondas transversales en este medio. Maxwell elabor´o la teor´ıa en Glenlair, su casa de campo. Al regresar a Londres busc´o el valor del cociente entre las unidades electromagn´eticas y electrost´aticas, que hab´ıa sido determinado a˜ nos antes por Wihelm Weber. Weber hab´ıa medido la mitad de c utilizando otro sistema de unidades. Cuando Maxwell consult´ o el valor de c, descubri´ o que el valor medido por Weber coincid´ıa casi exactamente con el de la velocidad de la luz: acababa de nacer la teor´ıa electromagn´etica de la luz.

2.9.

Las limitaciones del art´ıculo sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza

El art´ıculo de Maxwell “On Physical Lines of Force” (Sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza) es en algunos aspectos el m´as extraordinario de la historia de la teor´ıa de campos. En ´el, Maxwell invent´o y trabaj´ o con una teor´ıa que desde un principio cre´ıa insostenible, pero que produjo resultados que figuran entre los m´as fruct´ıferos en la historia de la ciencia. en la mayor´ıa de los dem´as art´ıculos relacionados con nuestro relato, el autor part´ıa de una idea inicial con cierta consistencia, aunque su elaboraci´on originara luego dificultades y contradicciones. El art´ıculo de Maxwell tiene un car´acter distinto, diferente incluso del resto de sus trabajos. Faraday ten´ıa una idea clara de los entres que deb´ıan existir - los campos de fuerza - pero no de las leyes a que estaban supeditados. Carec´ıa de una teor´ıa unificada de la corriente y del campo que pudiera ser contrastada independientemente, y no contaba realmente con leyes matem´aticas que describieran el campo. Maxwell no sab´ıa m´as que Faraday acerca de qu´e pasaba en el campo o cu´al era la interacci´on entre ´este y las corrientes; pero, confiado en que la verdad estaba en alguna teor´ıa de campos, invent´o una teor´ıa no del todo coherente y avanz´ o con ella hacia una idea m´as elaborada. 30

2.9 Las limitaciones del art´ıculo sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza

Historia de la F´ısica

Tras obtener los resultados, lleg´ o la hora de reconsiderar la teor´ıa que los hab´ıa hecho posibles. Hab´ıa dos direcciones para desarrollar la teor´ıa: elaborar a´ un m´as el mecanismo hasta dar con una teor´ıa completamente mec´anica del electromagnetismo, o bien liberar a la teor´ıa del mecanismo. Maxwell escogi´o la segunda opci´ on, quiz´a por que intuyera que su modelo no ten´ıa salvaci´on. Los obst´aculos que se opon´ıan al desarrollo del modelo eran enormes. En primer lugar hab´ıa problemas generales, como el de explicar la interacci´on de la materia con el mecanismo. Por ejemplo, si los remolinos tienen masa y oponen resistencia a ser penetrados por las bolas el´ectricas, ¿por qu´e un cuerpo neutro no encuentra dificultad al moverse en el seno de un campo? Se supone que los remolinos son propulsados por las bolas el´ectricas en el interior de un material conductor, y a su vez act´ uan sobre ellas. Si los remolinos no tienen masa ¿c´omo pueden penetrar en el conductor? Si sus superficies pueden rozar con las bolas el´ectricas, ¿por qu´e no tambi´en contra las dem´as part´ıculas del cable? Las part´ıculas el´ectricas tienen que interaccionar con la materia del conductor, porque se supone que la carga es el resultado de la acci´on deformadora de la materia del conductor ( o del diel´ectrico) sobre las part´ıculas el´ectricas. Como vemos, las cuestiones relacionadas con la interacci´on materia-part´ıculas son fundamentales en la teor´ıa, y no pueden ignorarse. El mecanismo adolec´ıa de muchas dificultades internas adem´as de la de su interacci´on con la materia ordinaria. Una de ellas era la forma de los remolinos. Si fueran cilindros, las bolas no constituir´ıan un engranaje perfecto; en unos sitios desplazar´ıan a los remolinos y en otros ni los tocar´ıan. Adem´as, se mover´ıan de un lado a otro y disipar´ıan energ´ıa, incluso en un campo estacionario. Para evitar estas dificultades, Maxwell los dibuj´o como hex´agonos cuyas aristas se mueven como correas de transmisi´on. Pero, por otro lado, hab´ıa calculado la fuerza centr´ıfuga de los remolinos como si se tratara de un fluido girando circularmente en torno a un eje, de manera que la hip´ otesis de la forma hexagonal no ser´ıa realmente consistente. Y quedan a´ un muchas otras dificultades. Al calcular las tensiones se supone que los remolinos son fluidos, pero al mismo tiempo impenetrables por las bolas. Todos los c´alculos se realizan sobre remolinos cuyos ejes siguen la direcci´ on de las l´ıneas de fuerza tal y como las dibuj´o Faraday, pero una vez que son alterados por un conductor en movimiento, por ejemplo, dejan de estar en esa direcci´on. Los problemas de la interacci´ on entre el mecanismo y la material as´ı como los de ´ındole interna, era problemas graves. ¿Merecer´ıa la pena abordarlos?, si hubiera realmente remolinos y bolas el´ectricas en el campo la respuesta ser´ıa afirmativa; pero el modelo era muy poco satisfactorio desde el punto de vista metaf´ısico, y Maxwell decidi´ o abandonarlo. La escasa verosimilitud del modelo radica en la supuesta existencia de dos tipos radicalmente distintos de materia: las part´ıculas el´ectricas son bolitas que carecen de masa, mientras que los remolinos magn´eticos son largas barras flexibles con masa, y entre ambos tipos est´a el espacio vac´ıo. ¿Por qu´e iban a tener propiedades tan diferentes los dos tipos de materia? La hip´otesis de gran diversidad s´olo pod´ıa justificarse dentro del modelo mismo. Los remolinos tendr´ıan cabida en un modelo cartesiano del mundo, pero Maxwell admit´ıa tanto el vac´ıo como la materia. Adem´as, como Maxwell lo hab´ıa considerado los efectos gravitatorios sobre su modelo mec´anico, parec´ıa necesario aceptar la hip´otesis de que la materia ordinaria era distinta de las bolas y de los remolinos. Para resumir: se hab´ıa introducido con cierta arbitrariedad gran cantidad de diversidad , y tanto una como otra son inaceptables para la metaf´ısica. Los remolinos eran consistentes con la metaf´ısica cartesiana, y quiz´a eso explique la debilidad de Maxwell sent´ıa por ellos. Incluso cre´ıa que el campo estar´ıa constituido por alg´ un mecanismo que obedeciera las leyes de Newton. Pero sab´ıa tambi´en que su modelo era poco satisfactorio desde cualquier punto de vista f´ısico o metaf´ısico. Por esto se decidi´ o a considerar el problema de liberar las ecuaciones y la teor´ıa electromagn´etica de la luz de su modelo mec´anico.

31

2.10 Una teor´ıa din´ amica del campo electromagn´etico

2.10.

James Clerk Maxwell

Una teor´ıa din´ amica del campo electromagn´ etico

La nueva tarea de Maxwell era obtener, al margen del mecanismo, los mismo resultados que se conten´ıan en “Sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza”, para lo cual ten´ıa que enfrentarse con dos dificultades. La primera consist´ıa en independizar las ecuaciones del modelo espec´ıfico, y la segunda, deducir, tambi´en si el modelo, la velocidad de las ondas electromagn´eticas. La primera tenia f´acil soluci´on: Maxwell se limit´o a enunciar las ecuaciones para magnitudes electromagn´eticas, al margen de cualquier posible explicaci´on mec´anica que se pudieran esgrimir. Pero entonces ¿c´ omo interpretar las ecuaciones si no era mediante el modelo mec´anico? Maxwell cre´ıa que la verdadera explicaci´on de sus ecuaciones ten´ıa que basarse en alg´ un mecanismo supeditado a las leyes de Newton. No conoc´ıa la naturaleza de tal mecanismo, pero para satisfacer las ecuaciones tendr´ıa que poseer energ´ıa en cada punto del campo. Por eso insisti´o Maxwell en que todo lo relacionado con la energ´ıa fuera interpretado literalmente. As´ı explicaba el cambio de rumbo respecto del primer art´ıculo: En alguna ocasi´ on anterior intent´e describir un tipo particular de movimiento y un tipo particular de tensi´ on, dispuestos de tal modo que explicaran los fen´omenos. En el presente art´ıculo no hago ninguna hip´otesis de esta clase; y al utilizar t´erminos como momento el´ectrico y elasticidad el´ectrica... pretendo s´olo dirigir la atenci´ on del lector hacia fen´ omenos mec´anicos que le ayuden a comprender los el´ectricos.. las expresiones de este tipo que aparecen a lo largo del art´ıculo han de tomarse como ilustrativas, nunca como explicatorios. Al hablar de la energ´ıa del campo, me gustar´ıa, no obstante, que se me entendiera al pie de la letra. Toda energ´ıa es lo mismo que energ´ıa mec´anica, ya exista en forma de movimiento o de elasticidad o en cualquier otra. La u ´nica cuesti´ on es : ¿d´ onde reside? Seg´ un las teor´ıas antiguas, reside en los cuerpos electrizados, circuitos conductores e imanes, en la forma de una magnitud desconocida llamada energ´ıa potencial, o capacidad de producir ciertos efectos a distancia. en nuestra teor´ıa reside en el campo electromagn´etico, en el espacio que rodea a los cuerpos electrizados y magn´eticos, y tambi´en el los cuerpos mismos. Y reside en dos formas diferentes, que cabe describir, sin hacer hip´otesis, como polarizaci´on magn´etica y polarizaci´on el´ectrica, o bien, seg´ un una hip´ otesis muy probable, como el movimiento y la tensi´on de un mismo medio. Este enunciado es toda la explicaci´ on que Maxwell dio a sus ecuaciones , y la teor´ıa pas´o a sus disc´ıpulos en este estado de semiinterpretaci´ on. Hab´ıa aspectos en que la teor´ıa era susceptible de gran desarrollo sin necesidad de tomar postura sobre cuestiones de interpretaci´on. En otros aspectos, eso no era posible. la teor´ıa pod´ıa aplicarse directamente a interacciones microsc´opicas entre cargas y corrientes; ten´ıa capacidad de predicci´on sobre todo lo concerniente a la carga y la corriente, cualesquiera que fueran las magnitudes mec´anicas relacionadas con ellas. Pero en problemas como la interacci´on microsc´opica entre las cargas, el campo y la materia, la teor´ıa no pod´ıa desarrollarse sin una interpretaci´on m´as avanzada. La dificultad estribaba en la divergencia entre la teor´ıa interpretada mec´anicamente y la teor´ıa sin hip´otesis relacionadas con una interpretaci´on de este tipo. De hecho, la teor´ıa sin hip´otesis mec´anicas sigui´o interpret´andose, y la interpretaci´ on fue, en ciertos aspectos importantes, m´as newtoniana que faradayana. Maxwell no analiz´ o en detalle su interpretaci´on no mec´anica, probablemente porque la consideraba no definitiva. Sin embargo, la utiliz´ o ampliamente. Para entendernos, a partir de ahora se denominar´a interpretaci´ on operativa. Sus caracter´ısticas eran 1.- las magnitudes electromagn´eticas se consideran fundamentales, y 2.- el campo es una realidad independiente. Consideremos la primera caracter´ıstica. En las ecuaciones de Maxwell aparecen magnitudes que representan la carga, la corriente, la fuerza magn´etica, etc. ya hemos dicho que es posible fijar y medir unidades de estas magnitudes sin introducir para nada propiedades mec´anicas del campo, como masa y velocidad. Es m´as, 32

2.10 Una teor´ıa din´ amica del campo electromagn´etico

Historia de la F´ısica

Maxwell fue incapaz de descubrir pruebas independientes de las propiedades mec´anicas, como el momento angular de los remolinos magn´eticos. Por tanto, se pueden considerar como fundamentales las magnitudes electromagn´eticas y contrastar las ecuaciones independientemente de cualquier hip´otesis mec´anica. Aunque no exist´ıa una interpretaci´ on mec´anica, Maxwell deseaba retener una interpretaci´on de campo; y no era del todo y no era del todo injustificado el interpretar as´ı las ecuaciones: seg´ un las teor´ıas de acci´ on a distancia, cab´ıa decir que la causa directa de una fuerza que act´ ua sobre un cuerpo es otro cuerpo. La fuerza total que act´ ua sobre un cuerpo pod´ıa explicarse por la posici´on y energ´ıa de los cuerpos que lo rodean. Pero ese no es el caso de la teor´ıa de Maxwell. Por ejemplo, es posible que la causa de la radiaci´ on que incide sobre un cuerpo de prueba haya tenido lugar en el pasado; mientras la radiaci´on viajaba hasta el cuerpo habr´a transcurrido un tiempo. Como la acci´on sobre un cuerpo cargado no puede atribuirse a ninguno de los cuerpos contempor´aneos, parece natural considerar el campo como causa de la acci´on. En varios aspectos importantes, la interpretaci´on operativa constitu´ıa una ruptura con la interpretaci´ on mec´anica. Aqu´ı, los campos el´ectricos y magn´eticos era explicados como materia en movimiento. el mecanismo satisfac´ıa los deseos de Faraday de encontrar una teor´ıa unificada de los campos el´ectricos y magn´etico, aunque nunca pens´o que fuese newtoniano. En la interpretaci´on operativa, sin embargo, los campos son independientes y se interpenetran. En el mecanismo, los aspectos el´ectricos y magn´eticos del campo est´an relacionados por un tipo de acci´on contigua, mientras que en la interpretaci´on operativa las fuerzas magn´eticas variables originan fuerzas el´ectricas en el mismo punto que aquellas. El desdoblamiento de los dos campos trae consigo consecuencias f´ısicas y metaf´ısicas. Como ya se ha dicho, los remolinos del mecanismo tienen momento angular y deber´ıan dar lugar a efectos girosc´opicos. Y tambi´en deber´ıan manifestarse otros efectos en la interacci´on microsc´opica entre la corriente y el campo. Por ejemplo, est´a el problema de c´ omo se produce calor debido al flujo de part´ıculas por un cable. Maxwell dec´ıa que cuando las part´ıculas el´ectricas pasaban de un remolino al siguiente saltaban de un lado para otro y se produc´ıa calor. No explicit´o el proceso por el que las part´ıculas el´ectricas pod´ıan interaccionar con la materia ordinaria, pero es evidente que en una teor´ıa detallada de la interacci´on habr´ıa que tener en cuenta el tama˜ no de las part´ıculas y la masa de los remolinos. Todas estas consideraciones han desaparecido en la interpretaci´on operativa. En lugar de que los remolinos act´ uen sobre part´ıculas contiguas, el campo act´ ua directamente sobre la materia conductora en el mismo punto que el campo. Esto nos lleva a la ruptura m´as dr´astica de la interpretaci´on operativa: materia y campo con entes distintos e interpenetrantes. En el modelo mec´anico no quedaba claro c´omo ten´ıa lugar la interacci´on entre materia y campo. La teor´ıa de la carga en el mecanismo era lo que m´as se acercaba a una teor´ıa de la interacci´ on materia-campo. Seg´ un Maxwell, la materia ordinaria se carga al desplazar el material de las bolas el´ectricas que contiene en su interior. No investig´o el mecanismo concreto por el que se produce el desplazamiento, sino que evit´ o el problema utilizando la ley de conservaci´on de la energ´ıa. Pero, como se supone que tanto los remolinos como las bolas est´an constituidos por materia ordinaria que opone resistencia a ala penetraci´ on y obedece a las tres leyes de Newton, era de esperar que el mecanismo consistiese en alg´ un tipo de acci´ on contigua. La materia y el campo ser´ıan , pues, de la misma sustancia y obedecer´ıan a las mismas leyes; pero la interpretaci´ on operativa rechaza esta posibilidad de desarrollo, que ser´ıa una teor´ıa unificada del campo y la materia. En la interpretaci´ on operativa, el campo act´ ua directamente sobre la materia situada en el mismo punto que la intensidad que act´ ua; no hay ning´ un mecanismo de acci´on contigua unificado. El rechazo de Maxwell hacia el programa de una teor´ıa unificada del campo no era inconsciente sino deliberada. M´as tarde, en 1873, dir´ıa: [Faraday] habla incluso de las l´ıneas de fuerza de un cuerpo como si en alg´ un sentido fuesen parte de ´el mismo, de modo que en su acci´ on sobre cuerpos distantes no puede decidirse que act´ ue donde no est´a. 33

2.11 El desarrollo de la teor´ıa sin el mecanismo

James Clerk Maxwell

Pero esa no es una idea dominante de Faraday. Su opini´on, creo yo, era m´as bien que el campo del espacio est´a lleno de l´ıneas de fuerza, cuya distribuci´on depende de la de los cuerpos situados en su seno, y que la acci´on mec´anica y el´ectrica sobre cada cuerpo viene determinada por las l´ıneas que convergen en ´el. La separaci´ on de materia y campo fue el origen de gran n´ umero de dificultades, algunas de las cuales siguen sin resolverse. Muchas de ellas pudieron evitarse en el nivel macrosc´opico, como ya se ha dicho; pero cualquier teor´ıa de los diel´ectricos, de la electr´ olisis o de la relaci´on entre carga y materia ten´ıa que enfrentarse con el problema de la interpretaci´ on correcta de las ecuaciones. El resto de nuestra historia es, en cierta medida, un intento de superar los problemas suscitados por la teor´ıa de Maxwell. En resumen: Maxwell adopt´ o una teor´ıa de la carga y de la corriente fundamentada en el concepto de campo, pero rechaz´ o la teor´ıa de los campos de fuerza de Faraday aplicada a la materia. Su ruptura con Faraday le llev´ o a mantener una visi´ on del mundo no del todo coherente. Antes de analizar los problemas de la teor´ıa de Maxwell, veamos c´ omo desarroll´o con ´exito su interpretaci´on operativa.

2.11.

El desarrollo de la teor´ıa sin el mecanismo

En el art´ıculo “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field” (1864-65), Maxwell trat´o de resolver dos problemas. Uno era liberar del mecanismo a las ecuaciones, el otro deducir la velocidad de las ondas electromagn´eticas sin utilizar el mecanismo. Como ya se explic´o en el apartado anterior, el primero era de f´acil soluci´on, aunque suscit´ o grandes problemas. El segundo era un problema clave. La teor´ıa electromagn´etica de la luz era el resultado m´as importante de su trabajo “On Physical Lines of Force”, pero en la deducci´ on de la velocidad de las ondas electromagn´eticas Maxwell hab´ıa utilizado hip´otesis muy expl´ıcitas relacionadas con el mecanismo. Entre otras cosas, hab´ıa supuesto que la masa de las bolas el´ectricas era despreciable, que el desplazamiento era puramente tangencial, y que sus m´odulos de rigidez y comprensi´on guardaban una proporci´on determinada. Todas estas hip´otesis se utilizaron como premisas en la deducci´on de la velocidad de las ondas electromagn´eticas. a) Ecuaci´ on de la corriente total: T = j +

dD dt

b) Ecuaci´ on de la fuerza magn´etica: µH = ∇ × A c) Ecuaci´ on de la corriente el´ectrica: ∇ × H = 4πT d) Ecuaci´ on de la fuerza electromotriz: E = v × µH −

dA − ∇ψ dt

e) Ecuaci´ on de la elasticidad el´ectrica: E = kD f) Ecuaci´ on de la resistencia el´ectrica: E = −rj g) Ecuaci´ on de la electricidad libre: ρ + ∇D = 0 h) Ecuaci´ on de la continuidad:

dρ + ∇D = 0 dt

Las ecuaciones est´an expresadas como aparecen en “una teor´ıa din´amica del campo electromagn´etico”. T significa corriente total, j corriente de conducci´on, D desplazamiento, H la fuerza magn´etica, A estado electrot´onico o potencial vector, E fuerza electromagn´etica y v velocidad del conductor en movimiento. Todas 34

2.11 El desarrollo de la teor´ıa sin el mecanismo

Historia de la F´ısica

son magnitudes vectoriales. El resto son escalares, µ es la permeabilidad magn´etica, ψ el potencial electrost´atico escalar, k el inverso de la corriente diel´ectrica, r, la resistencia del conductor y ρ la densidad de carga. La notaci´ on vectorial la invent´ o Heaviside y Gibbs despu´es de la muerte de Maxwell. Maxwell escribi´ o , para cada ecuaci´ on , de las seis primeras, tres ecuaciones: una para la componente x, otra para la y, y otra para la z. Las ecuaciones de la (a) a la (e) quedaron ya explicadas en p´aginas anteriores, la (f ) es la forma diferencial de la ley de Ohm, generalizada para diel´ecticos y cargas en movimiento; y la ecuaci´on (h) establece que la variaci´on de la densidad de carga en una regi´on es igual a la cantidad de corriente que entra o sale de la regi´on. Los nombres de las ecuaciones son los que propuso Maxwell. Maxwell hab´ıa demostrado que las ondas electromagn´eticas se mueven a la velocidad de la luz. El problema era deducir este resultado a partir de las ecuaciones u ´nicamente. Caso de conseguirlo, Maxwell podr´ıa decir que sus ecuaciones constitu´ıan, junto con la interpretaci´on operativa, una poderosa teor´ıa del electromagnetismo. Reexamin´o las ecuaciones, y corrigi´ o de paso los errores que se hab´ıan realizado en los signos de las magnitudes expuestas. Hall´ o luego una posible relaci´on entre sus ecuaciones y la velocidad de la luz. Descubri´ o que la existencia de la corriente de desplazamiento por s´ı misma confiere a las l´ıneas de fuerza la inercia de la que Faraday hablaba. Utilizando exclusivamente sus ecuaciones, Maxwell demostr´o que la velocidad de las ondas electromagn´eticas es c. Repitamos una vez m´as que el valor de esta constante coincide con la velocidad de la luz y con el cociente entre las unidades electromagn´etica y electrost´aticas. Combinando las ecuaciones (b) y (c), obtenemos: ∇ × ∇ × A = µ∇ × H = ∇(∇A) − ∇2 A

(2.3)

Con las ecuaciones (a) y (d), Maxwell obtiene estas otras: dD dt dA E=− − ∇ψ dt

T=

(2.4)

Utilizando como hip´ otesis simplificadora la no existencia de corrientes ni de conductores en la regi´ on considerada. Y la ecuaci´ on e, es E = kD. Combinando estas tres ecuaciones se obtiene:  2  1 d A d∇ψ − 2 − =0 T= k dt dt Sustituyendo el valor de T en la primera ecuaci´on obtenemos:  2 
d A d∇ψ 2 k ∇(∇A)∇ A + 4πµ − 2 − =0 dt dt

(2.5)

(2.6)

Si tomamos el rotacional en ambos miembros de la expresi´on, los t´erminos con gradiente se anulan, y utilizando la ecuaci´on (b) se obtiene:   4πµ d2 µH 2 ∇ µH = (2.7) k dt2 Que es una ecuaci´ on de ondas. Este tipo de ecuaciones eran ya por entonces muy conocidas y se sab´ıa que sus soluciones eran ondas. 35

2.11 El desarrollo de la teor´ıa sin el mecanismo

James Clerk Maxwell

p En el caso de ondas planas, la velocidad es 4πµ/k. Maxwell volvi´o a demostrar que k en el vac´ıo es 4πc2 , siendo c la raz´ on entre unidades electromagn´eticas. De aqu´ı se deduce que en el vac´ıo, donde µ = 1, las ondas se propagan con una velocidad igual a c. La velocidad de propagaci´ on de las ondas magn´eticas a trav´es de un medio depende de su permeabilidad magn´etica y de su constantes diel´ectrica, y la funci´on coincide con la predicha por el modelo mec´anico. Maxwell demostr´o tambi´en que la onda magn´etica debe ser transversal, igual que las del otro modelo mec´anico. As´ı pues, hab´ıa conseguido obtener los mismos resultados que daba el modelo mec´anico, s´olo que utilizando u ´nicamente sus ecuaciones. En realidad hab´ıa ido un poco m´as all´a, porque ahora hab´ıa demostrado que la onda era transversal. En su primer art´ıculo hab´ıa demostrado que las ondas del mecanismo eran transversales, pero no hab´ıa estudiado sus propiedades el´ectricas y magn´eticas. A partir de sus ecuaciones, Maxwell dedujo nuevas propiedades de las ondas electromagn´eticas, que expuso en sus obras “A Dynamicla Theory of the Electromagnetic Field” y en el Treatise on Electricity and Magnetism (Tratado sobre electricidad y magnetismo), publicado ocho a˜ nos m´as tarde , en 1873. En el primero, Maxwell demuestra que el mecanismo s´ olo pueden originarse ondas transversales. Este resultado era muy importante, porque uno de los problemas m´as urgentes que ten´ıan planteado las teor´ıas de la luz basadas en el ´eter era el dise˜ no de un medio tal que no permitiera la creaci´on de ondas longitudinales en su seno. Posteriormente, Maxwell dedujo una relaci´on entre la conductividad y la trasparencia. Cuando m´as conductor es un material, m´as absorbe la luz. La idea era que cuando las ondas electromagn´eticas penetran en un conductor, “habr´a no s´ olo desplazamientos el´ectricos, sino tambi´en verdaderas corrientes de conducci´ on, en las cuales la energ´ıa el´ectrica se transforma en calor, debilit´andose as´ı la ondulaci´on”. De ah´ı que los conductores sean opacos, y los medios transparentes, buenos aislantes. Al aplicar este resultado, nos topamos sin embargo, con el mismo problema de siempre: la relaci´on entre la materia y el campo. La resistencia de un cuerpo ¿es la misma cuando est´a sometido a las r´apidas vibraciones de la luz que cuando est´a bajo la tensi´ on continua de una bater´ıa? Si la teor´ıa de Maxwell es v´alida, la respuesta es negativa. Los electrolitos son buenos conductores, pero son transparentes, y un pan de oro deja pasar m´as luz que la que predice Maxwell. Maxwell explicaba el proceso de electr´ olisis suponiendo que durante el poco tiempo que act´ ua la fuerza el´ectrica en una direcci´on no es capaz de separar las mol´eculas del electrolito. En cambio, no pod´ıa explicar la gran transmisi´ on de luz a trav´es de un pan de oro, ni tampoco , por supuesto, que la mayor´ıa de los diel´ectricos fueran opacos. Pero al no existir una teor´ıa detallada de la interacci´on entre la materia y el campo, todos estos problemas no constituyen una refutaci´ on directa de la teor´ıa de Maxwell. Maxwell calcul´ o la energ´ıa de los componentes el´ectricos y magn´eticos de las ondas electromagn´eticas y descubri´o que la mitad de esta energ´ıa era el´ectrica y la otra mitad magn´etica. En el Treatise demostraba detalladamente c´ omo la onda de desplazamiento el´ectrico acompa˜ na a la magn´etica. (Maxwell dedujo la ecuaci´on de ondas del vector potencial y hall´o que la fuerza el´ectrica es igual a su variaci´on con el tiempo.) en el caso de un rayo de luz polarizado en un plano, la onda el´ectrica se propaga junto a la magn´etica dispuesta perpendicularmente entre s´ı. Maxwell se˜ nal´o tambi´en que la resultante es una presi´on; debido a su escasa magnitud , no lleg´ o a descubrirse hasta el siglo XX. Finalmente, Maxwell demostr´o que su teor´ıa explicaba tambi´en, de una forma parecida a las dem´as teor´ıas, el comportamiento de la luz polarizada en cristales. Maxwell hab´ıa encontrado relaci´ on entre la transparencia y la resistencia el´ectrica, y entre el poder de refracci´on y las constantes diel´ectricas y magn´eticas. La inexistencia de una teor´ıa de la interacci´ on entre materia y el campo impidi´ o que todas estas relaciones pudieran ser contrastadas directamente. Pero a´ un as´ı eran de gran importancia, ya que demostraban que la teor´ıa electromagn´etica de la luz pod´ıa , en principio, contrastarse con independencia de las otras teor´ıas de la luz, y que en estas pruebas entraban todos los aspectos electromagn´eticos de la luz y de los cuerpos sobre los que inciden. La teor´ıa de Maxwell promet´ıa ser u ´til en el descubrimiento de nuevos hechos sobre la estructura de la materia y la naturaleza de la luz, y tambi´en sobre 36

2.12 La actitud de maxwell hacia la interpretaci´ on de su teor´ıa

Historia de la F´ısica

electricidad y magnetismo. Despu´es de deducir directamente de sus ecuaciones la teor´ıa de la luz, Maxwell se dio cuenta de la gran importancia de la corriente de desplazamiento, y en el Treatise se˜ nal´o que la corriente de desplazamiento era “una de las principales peculiaridades” de su teor´ıa. la corriente de desplazamiento aparec´ıa en todas las deducciones de las ondas electromagn´eticas en la teor´ıa de Maxwell. Se ve f´acilmente que la existencia de la corriente de desplazamiento influir´ıa mucho en el comportamiento del campo. Pensemos en una carga en reposo que es s´ ubitamente acelerada. En las teor´ıas de acci´on a distancia, todo el campo se acelerar´ıa a la vez, y esto ir´ıa acompa˜ nado de la difusi´ on de un campo magn´etico, igual que si fuese una corriente de conducci´ on ordinaria. Este campo magn´etico variar´ıa con el campo el´ectrico. La fuerza magn´etica variable crear´ıa a su vez fuerzas electromotrices inducidas, que ser´ıan la causa de un desplazamiento, tambi´en variable, que de nuevo originar´ıa un campo magn´etico. En resumen, el campo ser´ıa escenario de interacciones sumamente complejas, que no tendr´ıan lugar sin la existencia de desplazamiento y de corrientes de desplazamiento. Por desgracia, no se conoce ninguna explicaci´on intuitiva de por qu´e la corriente de desplazamiento necesita de ondas, ni de las diferentes configuraciones de ondas y campos a que da lugar. para obtener estos resultados es necesario utilizar deducciones formales. Hay una determinada propiedad matem´atica de la corriente total que puede darnos una idea del papel de las corrientes de desplazamiento. Esta propiedad es la divergencia de la corriente total es cero. Se trata de la misma condici´ on observada en el movimiento de un fluido incompresible, y vela porque el fluido s´ olo fluya en circuitos cerrados. Dentro de la teor´ıa de Maxwell, esta condici´on significa que todas las corriente totales son cerradas, lo cual, como es natural, no ocurre si s´olo incluimos la corriente de conducci´on e ignoramos la de desplazamiento. Un condensador como la botella de Leyden puede descargarse a trav´es de un cable al cual est´a conectado. a trav´es del cable pasar´a una corriente, pero el cable no es cerrado, sino que termina en los dos lados del aislante. Como mencion´ o Maxwell en su “Note on the Electromagnetic Theory of Light” (1868), en el caso de esa descarga la corriente total s´ı es cerrada. La corriente de desplazamiento que tiene lugar en el aislante competa el circuito. Seg´ un esta idea ( del desplazamiento), la corriente producida cuando se descarga un condensador constituye un circuito completo, y su trayectoria pod´ıa ser trazada incluso dentro del mismo diel´ectrico mediante un galvan´ometro adecuado. No tengo noticia de que nadie lo haya hecho, y por tanto esta parte de la teor´ıa, aunque es una consecuencia natural ( del resto) , no est´a verificada experimentalmente. El experimento ser´ıa, sin duda, muy complicado y delicado. Aunque Maxwell sab´ıa que su teor´ıa pod´ıa contrastarse con corrientes abiertas, no conoc´ıa los tipos m´as importantes de contrastaci´ on, que m´as tarde descubrir´ıan Helmoltz y Hertz.

2.12.

La actitud de maxwell hacia la interpretaci´ on de su teor´ıa

Maxwell Hab´ıa demostrado la gran potencia de sus ecuaciones, pero en realidad no ten´ıa claro c´ omo interpretarlas. Aunque en “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field” y en el Treatise utiliz´ o la interpretaci´on que aqu´ı ha sido llamada operativa, nunca la discuti´o expl´ıcitamente, ni tampoco estudi´ o sus relaciones con otras posibles interpretaciones, de manera que sus disc´ıpulos hallaron grandes dificultades para entender la teor´ıa. no comprend´ıan claramente el modelo del mundo en que pretend´ıa articularse, aun sabiendo que era distinto de los conocidos. Para entender m´as f´acilmente la actitud de Maxwell hacia la interpretaci´on, vamos a remontarnos al origen de la teor´ıa. en un principio Maxwell se apoy´o en la imagen cartesiana del mundo, donde el medio omnipresente obedece las leyes de la mec´anica de Newton. Pero, incapaz de construir una explicaci´on mec´anica viable del 37

2.12 La actitud de maxwell hacia la interpretaci´ on de su teor´ıa

James Clerk Maxwell

campo electromagn´etico, independiz´ o las ecuaciones de la analog´ıa mec´anica y , a pesar de no contar con un mecanismo para el campo, trat´ o de defender una teor´ıa de campos. Present´o para ello un fuerte argumento, la deducci´on de la teor´ıa electromagn´etica de la luz, as´ı como la posibilidad de contrastarla. Y expuso adem´as otros argumentos que no he mencionado aqu´ı: demostr´o que la idea de que la energ´ıa y la tensi´ on est´an localizadas en el campo es congruente con su teor´ıa. y se˜ nal´o , aunque no muy convincentemente , que su teor´ıa pod´ıa deducirse a partir de los experimentos de Faraday. Maxwell abog´ o tambi´en por sus ecuaciones se˜ nalando que son consistentes con la hip´otesis de un mecanismo. Present´o este argumento por primera vez en “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field” y consist´ıa en un a “ilustraci´ on din´amica” del mecanismo de la inducci´on electromagn´etica. En esta ilustraci´on din´amica, Maxwell supon´ıa “un cuerpo C conectado de tal suerte a dos puntos de alimentaci´on A y B, que su velocidad es p veces la de A y q veces la de B”. Adem´as, supuso que A y B experimentan una resistencia proporcional a su velocidad. Sin ning´ un otro conocimiento del mecanismo, Maxwell logr´o deducir el efecto sobre B de un cambio de velocidad en A. para ello utiliz´o la formulaci´on lagragiana de la teor´ıa de Newton, porque utilizando las ecuaciones de Lagrange no hace falta introducir las fuerzas espec´ıficas de ligadura en el mecanismo. En esta analog´ıa, A y B representan dos corrientes , el cuerpo C es el mecanismo que posee energ´ıa en el campo. La resistencia el´ectrica es an´aloga a la resistencia (proporcional a la velocidad) que se opone al movimiento de los cuerpos A y B. Maxwell comprob´o que pod´ıa desarrollar una teor´ıa detallada de la inducci´ on bas´andose en esta analog´ıa. La forma concreta en que depende la velocidad de B de los cambios de la de A se corresponde exactamente con el efecto inductivo de una corriente sobre otra. Las consecuencias de este argumento no fueron precisamente las que Maxwell buscaba. Demostr´ o que la teor´ıa era consistente con la existencia de un mecanismo newtoniano en el campo, pero esto quer´ıa decir que habr´ıa un n´ umero infinito de mecanismos que pod´ıan explicar la interacci´on entre corrientes. Utilizando las ecuaciones de Lagrange, pod´ıa llevarse a cabo la deducci´on sin tener en cuenta los detalles de la relaci´ on entre una corriente y la siguiente. Maxwell hab´ıa pretendido que su art´ıculo fuera “una teor´ıa din´amica del campo electromagn´etico”, pero el efecto del argumento fue poner en tela de juicio la empresa de buscar una explicaci´on mec´anica del campo. La teor´ıa expuesta en el art´ıculo no depende realmente de la hip´ otesis de un mecanismo newtoniano. En lugar de ser el primer paso hacia la consecuci´on de una teor´ıa mec´anica, result´ o ser el primero en el sentido opuesto. El en Treatise, Maxwell volvi´ o a considerar el problema de una interpretaci´on mec´anica. Mencion´ o el argumento de Thomson de la existencia de remolinos en medios donde ten´ıa lugar la rotaci´on de la luz de Faraday, y trat´ o de desarrollar la teor´ıa de los remolinos al margen de su antiguo mecanismo.De nuevo, los aplic´o a la explicaci´ on de la rotaci´ on de Faraday. Maxwell conclu´ıa as´ı su discusi´on: Creo que hay buenas pruebas para creer que en el campo magn´etico se da cierto fen´omeno de rotaci´ on, que esta rotaci´on la ejecutan gran n´ umero de porciones muy peque˜ nas de materia que giran en torno a s´ı mismas, orientados sus ejes en la direcci´ on de la fuerza magn´etica, y que las rotaciones de todos estos remolinos dependen unas de otras a trav´es de alg´ un tipo de mecanismo que las conecta. El intento que en aquel momento hice (”Sobre las l´ıneas f´ısicas de fuerza´´) para imaginar un modelo operativo de este mecanismo hay que tomarlo por lo que generalmente es: una demostraci´on de que es posible pensar en el mecanismo como algo capaz de proporcionar una conexi´on mec´anicamente equivalente a la conexi´on real que existe entre las partes del campo electromagn´etico. El problema de determinar el mecanismo necesario para establecer una clase concreta de conexi´on entre los movimientos de las partes de un sistema admite siempre infinitas soluciones. Algunas pueden ser m´as torpes o m´as complejas que otras, pero todas deben satisfacer las condiciones de un mecanismo general. No obstante, los siguientes resultados de la teor´ıa son de gran valor:

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2.12 La actitud de maxwell hacia la interpretaci´ on de su teor´ıa

Historia de la F´ısica

1.- La fuerza magn´etica es el efecto de la fuerza centr´ıfuga de los remolinos. 2.- La inducci´ on electromagn´etica de las corrientes es el efecto de las fuerzas que entran en juego cuando var´ıa la velocidad de los remolinos. 3.- La fuerza electromotriz tiene su origen en la tensino que act´ ua sobre el mecanismo de conexi´ on. 4.- El desplazamiento el´ectrico proviene de la deformaci´on el´astica del mecanismo de conexi´on. Maxwell cre´ıa que la explicaci´ on verdadera resultar´ıa al final ser de naturaleza mec´anica, pero en el tema de la interpretaci´ on mec´anica se hallaba en una posici´on bien inc´omoda. Consigui´o demostrar que hab´ıa infinitos mecanismos coherentes con sus ecuaciones, pero no logr´o describir ni uno s´olo en concreto. No obstante, tampoco le preocupaba demasiado este estado tan poco satisfactorio de su teor´ıa, pues present´ıa que el problema del mecanismo tendr´ıa que aguardar hasta que se hicieran investigaciones experimentales m´as profundas en torno a la relaci´ on entre las mol´eculas de la materia ordinaria y la electricidad. As´ı expon´ıa Maxwell la situaci´ on: Estamos tan poco familiarizados con los detalles de la constituci´on molecular de los cuerpos, que no es probable que en relaci´ on con un determinado fen´omeno - como el de la acci´on magn´etica sobre la luz- se pueda formar ninguna teor´ıa satisfactoria hasta que , mediante una inducci´on fundada en una serie de casos diferentes en los que se compruebe que los fen´omenos visibles dependen de acciones donde intervienen las mol´eculas, logremos averiguar algo m´as concreto sobre las propiedades que deben atribuirse a una mol´ecula para satisfacer las condiciones que imponen los hechos observados. Maxwell fue tambi´en un gran pionero en la teor´ıa molecular del calor, una vertiente de su trabajo que hasta ahora no se ha tocado pero se abordar´a en el cap´ıtulo dos. En resumen, Maxwell cre´ıa que la interpretaci´on correcta de sus ecuaciones era un mecanismo subordinado a las leyes de la mec´anica newtoniana, pero no sab´ıa cu´al ten´ıa fe en el mecanismo y no crey´ o necesario analizar expl´ıcitamente la interpretaci´ on operativa que utiliz´o para hacer sus predicciones electromagn´eticas. En su deseo de conseguir una teor´ıa mec´anica del campo se esforz´o por demostrar que las ecuaciones apoyaban una interpretaci´ on en funci´ on de campos y que pod´ıan interpretarse mediante un mecanismo newtoniano. En Inglaterra la postura de Maxwell tenia algunos adeptos. En 1871-79, durante la u ´ltima parte de su vida, fue el primer profesor de f´ısica experimental de la Universidad de Cambridge, donde por aquel entonces estudiaban J. J. Thomson, G. G. Gitzgerald y J. H. Poynting. Todos ellos entend´ıan la teor´ıa seg´ un la concepci´ on de Maxwell y Oliver Heaviside, autodidacta ingl´es, no dud´o un momento en tomar la teor´ıa de Maxwell como programa de investigaci´ on. Pero los f´ısicos del continente, como Helmholtz, tomaron como punto de partida la teor´ıa newtoniana de la gravitaci´ on, y la de Maxwell se les hac´ıa muy rara. El primer problema era establecer la diferencia entre Maxwell y la escuela de acci´on a distancia, de Amp`ere y Weber. Maxwell muri´ o joven, en 1879, a la edad de 48 a˜ nos, dejando como herencia sus brillantes ideas para que las desarrollaran sus sucesores. Estos se encontraron con una teor´ıa poderosa y compleja a la vez, llena de dificultades , pero tambi´en de prometedoras l´ıneas de investigaci´on.

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Cap´ıtulo

3 ´ mica Termodina

3.1.

El problema inicial

Rumford, se preguntaba por qu´e el cal´orico sal´ıa del ca˜ n´on. Los partidarios de la teor´ıa del cal´orico contestaron que era porque el taladro romp´ıa en pedazos el metal, dejando que el cal´orico contenido en ´este fluyese hacia afuera, como el agua de un jarr´ on roto. Rumford, esc´eptico, revolvi´ o entre los taladros y hall´o uno completamente romo y desgastado. “Utilizad ´este”, dijo. Los obreros objetaron que no serv´ıa, que estaba gastado; pero Rumford repiti´o la orden en tono m´as firme y aquellos se apresuraron a cumplirla. El taladro gir´ o en vano, sin hacer mella en el metal; pero en cambio produc´ıa a´ un m´as calor que uno nuevo. Imag´ınense la extra˜ neza de los obreros al ver el gesto complacido del conde. Rumford vio claro que el cal´ orico no se desprend´ıa por la rotura del metal, y que quiz´a no procediese siquiera de ´este. El metal estaba inicialmente fr´ıo, por lo cual no pod´ıa contener mucho cal´orico; y, aun as´ı, parec´ıa que el cal´orico flu´ıa en cantidades ilimitadas. Para medir el cal´orico que sal´ıa del ca˜ n´on, observ´ o cu´anto se calentaba el agua utilizada para refrigerar el taladro y el ca˜ n´on, y lleg´o a la conclusi´on que si todo ese cal´ orico se reintegrara al metal, el ca˜ n´ on se fundir´ıa. Rumford lleg´ o al convencimiento que el calor no era un fluido, sino una forma de movimiento. A medida que el taladro rozaba contra el metal, su movimiento se convert´ıa en r´apidos y peque˜ n´ısimos movimientos de las part´ıculas que constitu´ıan el bronce. Igual daba que el taladro cortara o no el metal; el calor proven´ıa de esos peque˜ n´ısimos y r´apidos movimientos de las part´ıculas, y, como es natural, segu´ıa produci´endose mientras girara el taladro. La producci´ on de calor no ten´ıa nada que ver con ning´ un cal´orico que pudiera haber o dejar de haber en el metal. El trabajo de Rumford qued´ o ignorado durante los cincuenta a˜ nos siguientes. Los cient´ıficos se contentaban con la idea del cal´ orico y con inventar teor´ıas que explicaran c´omo flu´ıa de un cuerpo a otro. La raz´ on, o parte de la raz´on, es que vacilaban en aceptar la idea de diminutas part´ıculas que experimentaban un movimiento r´apido y peque˜ n´ısimo que nadie pod´ıa ver. Sin embargo, unos diez a˜ nos despu´es de los trabajos de Rumford, John Dalton enunci´ o su teor´ıa at´ omica. Poco a poco, los cient´ıficos iban aceptando la existencia de los ´atomos. ¿No ser´ıa, entonces, que las peque˜ nas part´ıculas m´oviles de Rumford fuesen ´atomos o mol´eculas (grupos de ´atomos)? Pod´ıa ser. Pero ¿c´ omo imaginar el movimiento de billones y billones de mol´eculas invisibles? ¿Se mov´ıan todas al un´ısono, o unas para un lado y otras para otro, seg´ un una ley fija? ¿O tendr´ıan acaso un movimiento aleatorio, al azar, con direcciones y velocidades arbitrarias, sin poder decir en qu´e direcci´ on y con 40

3.2 La soluci´ on de Maxwell

Historia de la F´ısica

qu´e velocidad se mov´ıa cualquiera de ellas? El matem´atico suizo Daniel Bernouilli, a principios del siglo XVIII, algunas d´ecadas antes de los trabajos de Rumford, hab´ıa intentado estudiar el problema del movimiento aleatorio de part´ıculas en gases. Esto fue mucho antes que los cient´ıficos aceptaran la teor´ıa at´omica y, por otro lado, las matem´aticas de Bernouilli no ten´ıan tampoco la exactitud que requer´ıa el caso. Aun as´ı, fue un intento v´alido. En los a˜ nos 60 del siglo XIX entr´ o en escena James Clerk Maxwell, quien parti´o del supuesto que las mol´eculas que compon´ıan los gases ten´ıan movimientos aleatorios, y mediante agudos an´alisis matem´aticos demostr´o que el movimiento aleatorio proporcionaba una bella explicaci´on del comportamiento de los gases. Maxwell mostr´ o c´ omo las part´ıculas del gas, movi´endose al azar, creaban una presi´on contra las paredes del recipiente que lo conten´ıa. Adem´as, esa presi´on variaba al comprimir las part´ıculas o al dejar que se expandieran. Esta explicaci´ on del comportamiento de los gases se conoce por la teor´ıa cin´etica de los gases. Maxwell suele compartir la paternidad de esta teor´ıa con el f´ısico austriaco Ludwig Boltzmann. Los dos, cada uno por su lado, elaboraron la teor´ıa casi al mismo tiempo.

3.2.

La soluci´ on de Maxwell

Una de las importantes leyes del comportamiento de los gases afirma que un gas se expande al subir la temperatura y se contrae al disminuir ´esta. Seg´ un la teor´ıa del cal´orico, la explicaci´on de este fen´ omeno era simple: al calentarse un gas, entra cal´ orico en ´el; como el cal´orico ocupa espacio, el gas se expande; al enfriarse el gas, sale el cal´ orico y aqu´el se contrae. ¿Qu´e ten´ıa que decir Maxwell a esto? Por fuerza tuvo que pensar en el experimento de Rumford. El calor es una forma de movimiento. Al calentar un gas, sus mol´eculas se mueven m´as deprisa y empujan a las vecinas hacia afuera. El gas se expande. Al disminuir la temperatura, ocurre lo contrario y el gas se contrae. Maxwell hall´ o una ecuaci´ on que especificaba la gama de velocidades que deb´ıan tener las mol´eculas gaseosas a una temperatura dada. Algunas se mov´ıan despacio y otras deprisa; pero la mayor´ıa tendr´ıan una velocidad intermedia. De entre todas estas velocidades hab´ıa una que era m´aximamente probable a una temperatura dada. Al subir la temperatura, aumentaba tambi´en esa velocidad m´as probable. Esta teor´ıa cin´etica del calor era aplicable tanto a l´ıquidos y s´olidos como a gases. En un s´olido, por ejemplo, las mol´eculas no volaban de ac´a para all´a como proyectiles, que es lo que suced´ıa en un gas; pero en cambio pod´ıan vibrar en torno a un punto fijo. La velocidad de esta vibraci´on, lo mismo que las mol´eculas proyectiles de los gases, obedec´ıan a las ecuaciones de Maxwell. Todas las propiedades del calor pod´ıan ser exploradas igual de bien por la teor´ıa cin´etica que por la del cal´orico. Pero aqu´ella daba f´acilmente cuenta de algunas propiedades (como las descritas por Rumford) que la teor´ıa del cal´ orico no hab´ıa conseguido explicar bien. La teor´ıa del cal´ orico describ´ıa la transferencia de calor como un flujo de cal´orico desde el objeto caliente al fr´ıo. Seg´ un la teor´ıa cin´etica, la transferencia de calor era resultado del movimiento de mol´eculas. Al poner en contacto un cuerpo caliente con otro fr´ıo, sus mol´eculas, animadas de r´apido movimiento, chocaban con las del objeto fr´ıo, que se mov´ıan m´as lentamente. Como consecuencia de ello, las mol´eculas r´apidas perd´ıan velocidad y las lentas se aceleraban un poco, con lo cual flu´ı¸calor del cuerpo caliente al fr´ıo. La concepci´ on del calor como una forma de movimiento es otra de las grandes ideas de la ciencia. Maxwell le dio mayor realce a´ un mostrando c´ omo utilizar el movimiento aleatorio para explicar ciertas leyes muy concretas de la naturaleza cuyo efecto era totalmente predecible y nada aleatorio. La idea de Maxwell fue luego ampliada notablemente, y los cient´ıficos dan hoy por supuesto que el compor41

3.2 La soluci´ on de Maxwell

James Clerk Maxwell

tamiento aleatorio de ´atomos y mol´eculas pueden producir resultados muy asombrosos. Cabe, inclusive, que la vida misma fuese creada a partir de la materia inerte en los oc´eanos mediante movimientos aleatorios de ´atomos y mol´eculas.

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Bibliograf´ıa

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