Joaopulido Sebenta Eo

´ ELECTROMAGNETISMO & OPTICA Jo˜ ao Pulido Dep. F´ısica IST 2009-2010

´ Electromagnetismo & Optica

1

Jo˜ao Pulido

1

Elementos de C´ alculo Vectorial

O prop´osito desta introdu¸ca˜o ´e o de apresentar os campos vectoriais gradiante e rotacional e o campo escalar divergˆencia bem como as suas propriedades a que se recorre correntemente em Electromagnetismo.

1.1

Gradiante

Uma fun¸ca˜o que associa a cada ponto do espa¸co um n´ umero real que representa o valor de uma grandeza f´ısica nesse ponto designa-se campo escalar. Assim a massa espec´ıfica ou a temperatura s˜ao campos escalares. De outro modo, associando-se a cada ponto um vector, ou seja um conjunto ordenado de trˆes n´ umeros reais representando uma grandeza f´ısica, temos um campo vectorial. A velocidade do vento ou da a´gua dum rio s˜ao exemplos de campos vectoriais. 0 Seja ent˜ao um campo escalar T (x, y, z) definido em dois pontos P e P de coordenadas 0 0 0 (x, y, z) e (x , y , z ) infinitamente pr´oximos a` escala do problema que estamos a tratar, 0 mas n˜ao coincidentes. A diferen¸ca entre os dois valores de T em P e P ´e por hip´otese infinitesimal 0 0 0 T (x , y , z ) − T (x, y, z) = dT e pode escrever-se em termos das derivadas parciais dT = 0

0

∂T ∂T ∂T dx + dy + dz ∂x ∂y ∂z

0

com x = x + dx, y = y + dy, z = z + dz. Esta express˜ao pode ser vista como o produto interno de dois vectores escrito na forma cartesiana, o que sugere a defini¸ca˜o dum vector chamado gradiante de T : ! ∂T ∂T ∂T −−−−→ grad T ≡ , , ∂x ∂y ∂z tal que

−−−−→ ~ dT = grad T .dr

~ = (dx, dy, dz) representa o deslocamento infinitesimal P → P . em que dr A componente do gradiante dum campo escalar segundo uma direc¸ca˜o ´e pois a taxa de varia¸ca˜o desse campo segundo essa direc¸ca˜o. Se o campo escalar representar por exemplo a altitude, o gradiante segundo xx ´e o declive na direc¸ca˜o xx. A fim de representar o gradiante recorre-se por vezes ao operador nabla: 0

~ = ∇

∂ ∂ ∂ , , ∂x ∂y ∂z

!

.

2 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

N˜ao tem em si mesmo qualquer significado f´ısico, por isso ´e designado como operador. Esse significado apenas aparece quando aplicado a um campo escalar ou vectorial. Assim em −−→ ~ ~ o gradiante pode escrever-se como − termos de ∇ gradφ = ∇φ. 0 0 0 Fixado um ponto P (x, y, z), a sua distˆancia r a um outro ponto Q(x , y , z ) ´e um campo 0 0 0 escalar r(x , y , z ), q r=

(x0 − x)2 + (y 0 − y)2 + (z 0 − z)2 .

A este campo escalar vamos fazer corresponder um vector ~r com origem em P (x, y, z) e 0 0 0 extremidade em Q(x , y , z ), ou seja a express˜ao cartesiana de ~r ´e 0

0

0

~r = (x − x)e~x + (y − y)e~y (z − z)e~z . Podemos ent˜ao definir o gradiante da distˆancia r i ∂r ∂r 1h 0 ~r ∂r 0 0 −−−−−→ (x − x)e~x + (y − y)e~y (z − z)e~z = = rˆ . gradQ r = 0 e~x + 0 e~y + 0 e~z = ∂x ∂y ∂z r r

−−−−−→ Portanto gradQ r ´e o versor da direc¸ca˜o P Q dirigido de P para Q. Se considerarmos 0 0 0 Q(x , y , z ) fixo e P (x, y, z) m´ovel define-se gradiante da distˆancia r em ordem a`s coordenadas de P (x, y, z) ∂r ∂r ~r −−−−−→ ∂r −−−−−→ gradP r = e~x + e~y + e~z = − = −ˆ r = −gradQ r . ∂x ∂y ∂z r S˜ao de mencionar em seguida duas propriedades do gradiante usadas em Electrost´atica −−−→ • Dada uma fun¸ca˜o escalar φ, o seu gradiante gradφ ´e perpendicular a`s superf´ıcies em que φ ´e constante, porque sobre qualquer destas superf´ıcies tem-se sempre −−−→ ~ dφ = 0 = gradφ.dr ~ representa um deslocamento infinitesimal sobre a superf´ıcie, resultando pois em que dr −−−→ ~ gradφ ⊥ dr . • O integral de linha do gradiante entre dois pontos A e B ´e independente do percurso Γ entre esses pontos Z −−−→ ~ gradφ.dr = φ(B) − φ(A) , Γ

ou seja depende apenas do valor da fun¸ca˜o φ nos extremos do percurso. A demonstra¸ca˜o desta propriedade ´e quase imediata. Assim, se considerarmos o per→ − curso entre A e B dividido em n pequenos segmentos orientados ∆ri = (∆x, ∆y, ∆z)i , tem-se para o segmento de ordem i

´ Electromagnetismo & Optica

2

A −−−→ → − (gradφ)i . ∆ri =

3

1

∂φ ∂x

!

Jo˜ao Pulido

n−2

∂φ (∆x)i + ∂y i

!

∂φ (∆y)i + ∂z i

!

i

n−1

3

B

(∆z)i ' (∆φ)i

(i = 1, ..., n) .

Comparando com a express˜ao da varia¸ca˜o de uma fun¸ca˜o entre dois pontos, vˆe-se que esta quantidade ´e aproximadamente igual a` diferen¸ca (∆φ)i entre os valores de φ nos extremos do segmento i. Esta aproxima¸ca˜o ´e tanto melhor quanto menores forem os segmentos e mais elevado o seu n´ umero. Somando membro a membro as n equa¸co˜es acima, o integral de linha ´e o limite desta soma quando o n´ umero de parcelas tende para infinito e cada parcela ´e um infinit´esimo: Z

Γ

−−−→ ~ gradφ.dr =

lim

n→∞,(∆φ)i →0

n X

(∆φ)i = lim

n→∞

i=1

n X

−−−→ → − (gradφ)i . ∆ri .

i=1

Uma vez que cada parcela apenas depende do valor de φ nos extremos do respectivo segmento elementar, o mesmo vai acontecer ao somat´orio, e portanto ao integral como quer´ıamos demonstrar Z −−−→ ~ gradφ.dr = φ(B) − φ(A) . Γ

1.2

Fluxo e divergˆ encia

Seja um volume V onde se encontra definido um campo vectorial α ~ e seja S a superf´ıcie lim´ıtrofe desse volume. Designa-se por fluxo de α ~ atrav´es de S o integral Z

S

α ~ .~n dS

em que ~n ´e um vector unit´ario dirigido para o exterior do volume designado por semi-normal. Se S for uma superf´ıcie aberta, o vector ~n ´e dirigido num sentido positivo pr´e-definido, n˜ao lhe correspondendo obviamente um volume V . Suponhamos agora que V ´e dividido em dois subvolumes V1 e V2 e sejam S1 e S2 as superf´ıcies lim´ıtrofes respectivamente de V1 e V2 . Verifica-se ent˜ao que Z

S

α ~ .~n dS =

Z

S1

α ~ .~n dS +

Z

S2

α ~ .~n dS .

´ Electromagnetismo & Optica

4 Jo˜ao Pulido

Demonstra¸ca ˜o Consideremos a superf´ıcie de separa¸ca˜o Sab entre V1 e V2 e seja S1 = Sa + Sab , S2 = Sb + Sab (ver figura). Tem-se por defini¸ca˜o S = Sa + Sb .

α ~ → ~← n

~n →1

V1

Sa

~n2 ←

α ~ →

V2

Sab

α ~ → ~→ n

Sb α ~ →

O fluxo de α ~ atrav´es de S1 e de S2 ser´a ent˜ao Z

Z

S1

S2

α ~ .~n1 dS =

α ~ .~n2 dS =

Z

Z

Sa

Sb

α ~ .~n1 dS +

α ~ .~n2 dS +

Z

Z

Sab

Sab

α ~ .~n1 dS

α ~ .~n2 dS .

Tratando-se de uma superf´ıcie fechada, a semi-normal ~n ´e dirigida para o exterior dessa superf´ıcie, o que implica que sobre Sab se tem ~n1 = −~n2 ponto a ponto, portanto somando as duas u ´ ltimas equa¸co˜es Z

S1

α ~ .~n1 dS +

Z

S2

α ~ .~n2 dS =

Z

Sa

α ~ .~n1 dS +

Z

Sb

α ~ .~n2 dS =

Z

S

α ~ .~n dS

como quer´ıamos demonstrar. Uma vez que a superf´ıcie S est´a imersa no campo vectorial α ~ , o fluxo de α ~ a` esquerda e a` direita de S ´e respectivamente negativo e positivo porque em Sa π < (~ α ˆ, ~n) < π 2

⇒

α ~ .~n dSa < 0

e em Sb

π ⇒ α ~ .~n dSb > 0 , 2 ou seja o fluxo atrav´es de uma superf´ıcie fechada ´e a diferen¸ca entre o fluxo que sai e o fluxo que entra. Recordar que ~n (vd. figura) ´e a semi-normal dirigida para o exterior de S. ~ a quantidade Define-se divergˆencia dum campo vectorial α 0 < (~ α ˆ, ~n) <

~ α = ∂αx + ∂αy + ∂αz . div α ~ = ∇.~ ∂x ∂y ∂z Trata-se portanto de um campo escalar.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

5

Dado um volume limitado por uma superf´ıcie S verifica-se a seguinte identidade Z

V

div α ~ dV =

Z

S

α ~ .~n dS

conhecida como teorema da divergˆencia. Demonstra¸ca ˜o Vamos considerar o volume V dividido em paralelip´ıpedos infinitesimais alinhados com os eixos coordenados e calculemos o fluxo de α ~ atrav´es da superf´ıcie de cada um deles.

Z α ~

dz

O X

Y

dx

dy

Designando por 1 e 2 as faces paralelas a XOZ, uma vez que ~n ´e neste caso o versor do eixo dos yy, a contribui¸ca˜o destas faces vai ser (~ α tem uma orienta¸ca˜o arbitr´aria) α ~ (1).~n dx dz − α ~ (2).~n dx dz = [αy (1) − αy (2)] dx dz =

∂αy dy dx dz , ∂y

porque [αy (1) − αy (2)] ´e a diferen¸ca infinitesimal entre dois valores αy para uma varia¸ca˜o dy. Analogamente para as faces paralelas a XOY (~n ´e o versor de zz) α ~ .~n dS = [αz (3) − αz (4)] dx dy =

∂αz dz dx dy . ∂z

Faces paralelas a Y OZ (~n ´e o versor de xx) α ~ .~n dS = [αx (5) − αx (6)] dy dz =

∂αx dx dy dz. ∂x

Somando, obtem-se o fluxo de α ~ atrav´es da superf´ıcie lim´ıtrofe do paralelip´ıpedo infinitesimal α ~ .~n dS =

∂αx ∂αy ∂αz + + ∂x ∂y ∂z

!

dx dy dz .

6 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

Somando para todo o volume, no limite em que o n´ umero de paralelip´ıpedos tende para infinito e o volume de cada um deles tende para zero, apenas prevalecem as contribui¸co˜es das faces tangentes a` superf´ıcie exterior S. Portanto Z

V

div α ~ dV =

Z

S

α ~ .~n dS

como quer´ıamos demonstrar. Para volumes elementares, α ~ pode considerar-se uniforme, de modo que div α ~ atrav´es dum volume elementar representa a diferen¸ca entre o fluxo que entra e o fluxo que sai por unidade de volume.

1.3

Rotacional e Teorema de Stokes

Define-se circula¸ca ˜o de um campo vectorial α ~ como o seu produto interno por um vector ~ infinitesimal dr ao longo de um contorno Γ (percurso fechado): I

α ~ ~ dr

Γ

~ α ~ . dr ~2 dr

~1 dr

Γ

~1 dr

~2 dr

Γ1

Γ2 Γab

Γa

Γb

~ que define o sentido de circula¸ca˜o. ´ o vector dr E Se decompusermos o contorno Γ em dois contornos Γ1 e Γ2 como se indica na figura da direita, verifica-se que I I I ~ . ~ + ~ = α ~ . dr α ~ . dr α ~ . dr Γ

Γ2

Γ1

A demonstra¸ca˜o desta propriedade faz-se de modo semelhante a` da propriedade do fluxo que se viu no in´ıcio da sec¸ca˜o 1.2. Basta fazer as primitiva¸co˜es por decomposi¸ca˜o de Γ 1 ~1 e Γ2 ao longo respectivamente de Γa , Γab e de Γb , Γab , notando que os deslocamentos dr ~ 2 sobre Γab ocorrem em sentidos contr´arios. Tal implica o anulamento das respectivas e dr contribui¸co˜es ao fazer-se a soma, ficando demonstrada a propriedade. Define-se rotacional de um campo vectorial α ~ o campo vectorial 

−−−→ ~  rot α ~ =∇×α ~ = det 

~ex

~ey

~ez

∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z

αx αy αz

  

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

7

O rotacional ´e um operador vectorial que est´a intimamente relacionado com o conceito de circula¸ca˜o de um vector nun contorno. Essa rela¸ca˜o ´e dada pelo teorema de Stokes I

Γ

~ = α ~ . dr

Z

S

−−−→ rot α . ~n dS ,

ou seja, a circula¸ca˜o de um vector sobre um contorno ´e igual ao fluxo do seu rotacional atrav´es de uma superf´ıcie que sobre ele se apoia. Demonstra¸ca ˜o

∆Γi

Γ

Y

3

α ~

2 dy

4 1 dx

X Consideremos o contorno Γ decomposto em rectˆangulos elementares ∆Γi como se indica na figura e calculemos a circula¸ca˜o de α ~ sobre cada um deles. Todos os rectˆangulos devem ser percorridos no mesmo sentido, de modo que, de acordo com a propriedade anterior, as contribui¸co˜es dos lados horizontais se cancelam mutuamente. A circula¸ca˜o sobre Γ ´e pois, no limite em que o n´ umero de rectˆangulos tende para infinito, a soma das contribui¸co˜es dos lados que est˜ao sobre o contorno Γ, ou seja a quantidade que pretendemos calcular. Calculemos a circula¸ca˜o sobre o rectˆangulo ∆Γi I

∆Γi

~ = α ~ . dr

Z

[αx (1) − αx (3)]dx +

Z

[αy (2) − αx (4)]dy .

Como ∆Γi ´e infinitesimal: I

∆Γi

~ = α ~ . dr

Z

∂αx − dy dx + ∂y

Z

∂αy dx dy = ∂x

Z

!

∂αy ∂αx − dx dy = ∂x ∂y

Z

−−−→ (rot α)z dx dy.

` parte o integral c´ıclico, todos estes s˜ao integrais de superf´ıcie (pode ser o pr´oprio rectˆangulo A ∆Γi ). Somando sobre ∆Γi (i=1,...,n) obtem-se I

Γ

~ = α ~ . dr

Z

−−−→ (rot α)z dx dy =

Z

S

−−−→ rot α . ~n dx dy .

A direc¸ca˜o z ´e a direc¸ca˜o normal ao plano do contorno Γ que ´e o plano XOY , portanto para um plano com uma orienta¸ca˜o arbitr´aria I

Γ

~ = α ~ . dr

Z

S

−−−→ rot α . ~n dS

´ Electromagnetismo & Optica

8 Jo˜ao Pulido

como quer´ıamos demonstrar. Para que uma superf´ıcie se apoie sobre um contorno ´e necessariamente aberta. Se for fechada, isso significa que o contorno ’colapsou’ para um ponto, resultando que o rotacional atrav´es de qualquer superf´ıcie fechada ´e zero. Z

Sf echada

−−−→ rot α . ~n dS = 0 .

Este facto implica, pelo teorema da divergˆencia Z

V

−−−→ div rot α dV = 0 ,

resultado que ´e v´alido para qualquer volume V que encerre a superf´ıcie. Assim a divergˆencia de um rotacional ´e nula: −−−→ div rot α = 0 . Reciprocamente se um vector tem divergˆencia nula, ´e um rotacional: −−→ ~ =0 ⇒ B ~ =− div B rot A .

−−−→ Por outro lado se rot α = 0, resulta pelo teorema de Stokes I

Γ

~ =0. α ~ . dr

Portanto se um vector tem rotacional nulo, o seu integral de linha num percurso fechado ´e zero e reciprocamente (´e o que acontece por exemplo com o campo gravitacional).

1.4

Resumo das propriedades dos operadores div, rot e grad

• A divergˆencia de um rotacional ´e nula. −−−→ De facto se integrarmos div rot α num volume, tem-se pelo teorema da divergˆencia Z

V

−−−→ div rot α dV =

Z

Sf echada

−−−→ rot α . ~n dS = 0

que pelo teorema de Stokes implica Z

Sf echada

−−−→ rot α . ~n dS =

I

Γ

~ =0 α ~ . dr

sendo este anulamento devido ao facto de que o contorno ’colapsou’ para um ponto. Como o volume V ´e arbitr´ario, resulta −−−→ div rot α = 0 .

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

9

• O integral c´ıclico de um gradiante ´e nulo. Basta recordar que

Z

B A

−−−−→ ~ grad φ . dr = φ(B) − φ(A)

´e independente do percurso de A para B. Se o percurso for fechado, A e B coincidem, ficando I −−−−→ ~ grad φ . dr = φ(A) − φ(A) = 0 . Γ

• Rec´ıproco: se o integral c´ıclico de um campo vectorial ´e zero para qualquer contorno, a integranda ´e um gradiante: I

Γ

−−−−→ ~ =0 ⇒ α α ~ . dr ~ = grad φ .

Se o integral c´ıclico ´e zero podemos escrevˆe-lo como um integral de linha com os extremos coincidentes, resultando que continua a anular-se qualquer que seja o caminho, desde que os extremos coincidam. Sendo o integral independente do caminho, a integranda ´e um gradiante. • Se o integral c´ıclico de um campo vectorial ´e zero para qualquer contorno, a integranda (gradiante) tem rotacional nulo, o que equivale a dizer que o rotacional de um gradiante ´e zero: −−−−−−−→ rot grad φ = 0 . Pelo teorema de Stokes 0=

I

Γ

~ = α ~ . dr

Z

S

−−−→ rot α . ~n dS

−−−−→ e como α ~ ´e um gradiante pela propriedade anterior (~ α = grad φ), uma vez que a superf´ıcie aberta S ´e arbitr´aria, a integranda ´e nula, −−−→ −−−−−−−→ rot α = rot grad φ = 0 . • Se um vector tem divergˆencia nula, ent˜ao ´e um rotacional.

De facto, se a divergˆencia de α ~ ´e nula, pelo teorema de Gauss 0=

Z

V

div α ~ dV =

Z

S

α ~ . ~n dS

ou seja, o fluxo de α ~ atrav´es de qualquer superf´ıcie fechada ´e zero. Mas um vector que tem fluxo zero nestas condi¸co˜es ´e um rotacional, como vimos na sec¸ca˜o anterior. Portanto existe β~ tal que −−→ α ~ = rotβ . Importa reter −−−−→ −−−→ rot α = 0 ⇔ α ~ = grad φ

e tamb´em

−−−→ div α ~ =0 ⇔ α ~ = rot β .

10 Jo˜ao Pulido

2

´ Electromagnetismo & Optica

Electrost´ atica

O Electromagnetismo trata das interac¸co˜es entre cargas el´ectricas em repouso e em movimento. Os fen´omenos el´ectricos e magn´eticos est˜ao interligados: os campos magn´eticos s˜ao provocados pelo movimento de cargas el´ectricas e o movimento de um campo magn´etico provoca um campo el´ectrico. De in´ıcio a electricidade estava relacionada com a no¸ca˜o de ac¸ca˜o a distˆancia, bem ´ com Faraday patente no enunciado da lei de Coulomb (Charles Coulomb, 1736-1806). E (Michael Faraday, 1791-1867) que ´e introduzido o conceito de campo, na base do qual as for¸cas electromagn´eticas se estendem pelo espa¸co livre muito para al´em dos condutores. O conceito de Faraday das linhas de for¸ca ou fluxo emanando dos corpos carregados e dos magnetos permitia visualizar quer o campo el´ectrico quer o magn´etico. Uma maior densidade de linhas de for¸ca por unidade de a´rea perpendicular representa um campo mais intenso. No caso do campo el´ectrico as linhas de for¸ca representam as traject´orias de uma carga el´ectrica positiva. O conceito de campo, embora n˜ao tenha tido aceita¸ca˜o ao tempo de Faraday, ´e muito mais vantajoso relativamente ao de ac¸ca˜o a distˆancia, sobretudo para campos rapidamente vari´aveis, e acabou por se revelar essencial no desenvolvimento posterior da F´ısica e da tecnologia. Uma evolu¸ca˜o essencial subsequente ao trabalho de Faraday foi levada a cabo por Maxwell (James Clark Maxwell, 1831-1879) que demonstrou estarem todos os fen´omenos electromagn´eticos descritos pelas equa¸co˜es ~ =ρ div E  ~ =0 div H ~ ∂B −−−→ rot E = − ∂t ~ ∂E −−−→ . rot H = J~ +  ∂t ~ e H, ~ sendo B ~ a indu¸ca˜o magn´etica Os campos el´ectrico e magn´etico est˜ao designados por E ~ por B ~ = µH ~ e muitas vezes referida apenas como campo magn´etico. Relaciona-se com H depende do meio atrav´es de µ, a permeabilidade magn´etica. O parˆametro  representa a constante diel´ectrica do meio. A primeira das equa¸co˜es acima ´e a lei de Gauss que traduz ~ a segunda ´e o seu equivalente o facto de serem as cargas ρ as fontes do campo el´ectrico E, ~ (ou de indu¸ca˜o magn´etica B) ~ que declara n˜ao haver cargas para o campo magn´etico H ~ e B. ~ A terceira (monopolos) magn´eticos, sendo portanto fechadas as linhas de for¸ca de H (lei de Faraday) traduz o facto de campos magn´eticos vari´aveis originarem campo el´ectrico (o campo el´ectrico de indu¸ca˜o). A u ´ ltima traduz o facto de correntes el´ectricas em condutores produzirem campos magn´eticos (corrente de condu¸ca˜o, 1o termo) que tamb´em podem ser originados pela transmiss˜ao de energia atrav´es de meios isolantes (corrente de deslocamento, 2o termo).

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

11

Nas situa¸co˜es ditas estacion´arias n˜ao h´a varia¸ca˜o dos campos com o tempo. Se anularmos as derivadas em ordem ao tempo, a liga¸ca˜o entre os campos el´ectrico e magn´etico deixa aparentemente de existir: −−→ ~ =0 rotE = 0 div B − − − → ~ = ρ/ ~ div E rotH = J. As duas equa¸co˜es da esquerda referem-se apenas a campos el´ectricos numa situa¸ca˜o est´atica: s˜ao as equa¸co˜es do campo electrost´atico que ´e conservativo, verificando pois −−−→ −−→ ~ = −− rotE = 0 ⇔ E grad V ⇔

I

~ = 0. ~ . dr E

As duas equa¸co˜es da direita s˜ao as da magnet´ost´atica. N˜ao se trata aqui duma situa¸ca˜o est´atica mas apenas estacion´aria pois s´o h´a campo magn´etico se houver cargas em movimento, ou seja corrente el´ectrica: J~ 6= 0. Portanto o magnetismo ´e um efeito provocado pelo movimento de cargas el´ectricas.

2.1 2.1.1

Lei de Coulomb Campo electrost´ atico

O desenvolvimento quantitativo da electrost´atica inicia-se com a lei de Coulomb estabelecida em 1785. Para a introduzir comecemos por notar que uma carga el´ectrica numa zona onde ~ originado por cargas e correntes fica sujeita a uma for¸ca dada por existe campo el´ectrico E ~ F~ = q E de modo que o campo pode ser visualizado como a for¸ca por unidade de carga, sendo as suas unidades N C −1 = V m−1 . A for¸ca el´ectrica ´e pois paralela ou antiparalela ao campo el´ectrico. Se al´em deste existir campo magn´etico, ent˜ao a for¸ca actuante passa a ser ~ + q~v × B ~ F~ = q E (for¸ca de Lorentz). A for¸ca magn´etica ´e assim perpendicular ao campo magn´etico e a` velocidade e s´o existe se houver movimento da carga q. Da express˜ao acima vˆe-se que as unidades ~ s˜ao N C −1 m−1 s = T = W b m−2 ∗ . de B A lei de Coulomb foi originalmente entendida como uma ac¸ca˜o a distˆancia a` semelhan¸ca ´ ali´as formalmente idˆentica, uma vez que a for¸ca entre duas cargas da lei de Newton. E varia directamente com o valor de cada uma, inversamente com o quadrado da sua distˆancia relativa e ´e dirigida segundo a direc¸ca˜o definida pelas duas. A diferen¸ca para a lei de Newton ´e a de que as cargas da mesma natureza se repelem e as de natureza oposta se atraem. O seu enunciado ´e conhecido: 0 1 qq −−−−−→ F~ (r) = gradP r. 4π0 r 2 ∗

T≡ Tesla (unidade de indu¸ca ˜o magn´etica), Wb≡ Weber (unidade de fluxo magn´etico).

´ Electromagnetismo & Optica

12 Jo˜ao Pulido Recorde-se que

~r −−−−−→ gradP r = |~r|

´e o versor da direc¸ca˜o de r (distˆancia relativa entre as cargas) dirigido no sentido de r crescente. A constante multiplicativa 1 = k = 9 × 109 N m−2 C −2 4π 0 em que 0 = 8.85 × 10−12 F m−1 ´e a constante diel´ectrica do v´acuo (F≡ Faraday, unidade de capacidade). Alternativamente podemos visualizar o fen´omeno como sendo uma das cargas (por exemplo q) que provoca um campo electrost´atico que por sua vez vai ser sentido pela outra 0 0 ~ Sendo assim o campo electrost´atico pela lei de Coulomb (q ) atrav´es de uma for¸ca F~ = q E. ´e dado por 1 q −−−−−→ ~ E(r) = gradP r. 4π0 r 2 Para uma distribui¸ca˜o de cargas usa-se normalmente o princ´ıpio da sobreposi¸ca˜o, segundo o qual o campo devido a um conjunto de cargas ´e a soma vectorial dos campos criados por cada uma delas individualmente. Isso significa que n˜ao h´a efeitos de interferˆencia: o campo devido a uma qualquer n˜ao ´e alterado se introduzirmos outras na vizinhan¸ca. Tem este facto a ver com a linearidade das equa¸co˜es de Maxwell. Assim, para uma distribui¸ca˜o ~ i (qi ) o campo devido a` carga qi de cargas, sendo E ~ = E

X

~ i (qi ) . E

i

Exemplo. Condutor filiforme de comprimento infinito (c´alculo do campo pela lei de Coulomb). Trata-se neste caso de uma distribui¸ca˜o de carga em comprimento. Para isso vamos introduzir uma densidade linear ∆q dq = ∆y→0 ∆y dy

λ = lim

tal que o condutor ´e considerado uma sequˆencia de cargas elementares infinitesimais dq = λ dy. Sendo λ Runiforme, a carga do condutor ´e Q = λ dy = λL em que L ´e o seu comprimento. Da figura tem-se tan θ = y/R ⇒ dy = R dθ/(cos2 θ), cos θ = R/r1,2 ⇒ 1/r1,2 = cos θ/R.

λdy y

r1 θ R r2

λdy

grad~P R

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

13

Os campos criados por cada um dos elementos s˜ao ~1= dE

λ dy −−−−−→ λ dy gradP r1 = (cos θ e~x − sin θ e~y ) 2 4π0 r1 4π0 r1 2

λ dy λ dy −−−−−→ gradP r2 = (cos θ e~x + sin θ e~y ) 2 4π0 r2 4π0 r2 2 de modo que o campo devido ao par de elementos ´e ~2 = dE

~ = dE ~ 1 + dE ~ 2 = λ dy cos θ e~x . dE 2π0 r 2 Note-se que devido a` simetria a componente do campo paralela ao fio se anula. Para todo o fio tem-se Z Z dy λ cos θ. E= dE = 2π0 r2 A integra¸ca˜o far-se-´a apenas para metade do fio para evitar a dupla contagem de elementos. Escolhendo θ como vari´avel de integra¸ca˜o vem E=

λ 2π0

Z

π/2 0

cos2 θ R λ cos θ dθ = 2 2 R cos θ 2π0

Z

π/2 0

cos θ λ dθ= . R 2π0 R

Para uma carga filiforme o campo ´e pois inversamente proporcional a` distˆancia. Exemplo. Carga plana (c´alculo do campo pela lei de Coulomb). ` semelhan¸ca do exemplo anterior definimos uma densidade superficial de carga A ∆q dq = σ = lim ∆S→0 ∆S dS em que dS ´e um elemento de a´rea. dφ Come¸camos por calcular o campo devido r a uma coroa circular uniformemente carx θ regada, considerando em seguida o plano R como uma extens˜ao dessa coroa. De acordo com a figuraR a a´rea da coroa circular ´e dS = dx 02π x dφ = 2πx dx. Da figura tem-se tamb´em cos θ = R/r, tanθ = x/R ⇒ dx = R dθ/cos2 θ. O campo criado pela coroa circular ´e ~ = σ dS cos θ e~y = σ 2πx dx cos θ e~y . dE 4π0 r 2 4π0 r 2

P

~ey

´ Electromagnetismo & Optica

14 Jo˜ao Pulido

Novamente s´o h´a componente perpendicular a` coroa. Consider´amos a coroa completa, uma vez que integr´amos de 0 a 2π. O campo total devido ao plano ser´a obtido fazendo a integra¸ca˜o no aˆngulo θ representado e dividindo por 2 para evitar a dupla contagem ou, equivalentemente integrando de 0 a π/2. E=

Z

dE =

Z

R σ cos2 θ R tan θ dθ cos θ = 20 R2 cos2 θ

Z

σ tan θ cos θ dθ. 20

Inserindo os limites de integra¸ca˜o σ E= 20

Z

π/2 0

sin θ σ cos θ dθ = . cos θ 20

Conclus˜ao: o campo devido a uma carga plana ´e uniforme. Nestes exemplos considerou-se quer o fio quer o plano infinitos, o que como ´e o´bvio, envolve uma aproxima¸ca˜o. N˜ao existindo na realidade nem fios nem planos infinitos, a aproxima¸ca˜o ´e tanto melhor quanto menor for a distˆancia ao fio ou plano em compara¸ca˜o com as dimens˜oes destes.

2.1.2

Potencial

Usando a defini¸ca˜o de gradiante ´e facil verificar que −−−→ gradP

 

1 −−−→ 1 ~r 1 = − 2 gradP r = − 2 r r r r

donde o campo electrost´atico pode escrever-se −−→ ~ = −− E gradP

q 4π0 r

o que sugere a introdu¸ca˜o do potencial electrost´atico V =

q 4π0 r

−−→ ~ = −grad E V.

tal que

O campo electrost´atico ´e pois conservativo: resulta de uma fun¸ca˜o potencial por aplica¸ca˜o do operador − grad, ou seja, campos gradiantes tˆem rotacional nulo e o seu trabalho ao longo de um circuito fechado (Γ) ´e zero. Assim −−→ rotE = 0

⇔

I

Γ

~ =0. ~ . dl E

O trabalho do campo electrost´atico entre dois pontos ´e dado por: W =

Z

P2 P1

~ = ~ . dr −E

Z

P2 P1

−−→ ~ = VP − VP = −∆V − grad V . dr 1 2

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

15

ou seja, ´e igual a` diminui¸ca˜o da energia potencial entre esses pontos. Especificamente     Z r q q 1 1 1 r2 2 1 q = dr = − W = − . 4π0 r r1 4π0 r1 r2 r1 4π0 r 2 Se o ponto final estiver situado no infinito, r2 = ∞, o trabalho dispendido pelo campo para transportar uma carga unit´aria de P1 → ∞ ser´a q W = = V P1 4π0 r1 ou seja, ´e o potencial no ponto P1 . Somente as diferen¸cas de potencial tˆem significado f´ısico, sendo o potencial num ponto a diferen¸ca de potencial entre esse ponto e o infinito. O mesmo ´e dizer que o potencial ´e definido a menos de uma constante arbitr´aria: q q 0 V = ou V = +C 4π0 r 4π0 r correspondem ao mesmo campo: −−→ −−→ 0 −grad V = −grad V . Tal como o campo, tamb´em o potencial ´e aditivo: o potencial devido a uma distribui¸ca˜o de cargas ´e dado por 1 X qi V = 4π0 i ri em que ri ´e a distˆancia a` carga pontual qi . Para uma distribui¸ca˜o de carga em volume de densidade ρ, ρ = lim ∆q/∆v ∆ v→0

soma-se sobre os elementos de carga dq = ρ dv: Z 1 ρ dv V = 4π0 V r em que V ´e o volume no qual a carga est´a distribu´ıda. Superf´ıcies equipotenciais s˜ao aquelas que verificam equa¸co˜es do tipo V (x, y, z) = const. resultando que o campo electrost´atico ´e perpendicular em cada ponto a`s equipotenciais. (Recorde-se que sobre uma equipotencial −−→ ~ = grad ~ ~ . dr dV = 0 = −E V . dr ~ ´e um deslocamento elementar sobre a equipotencial. Portanto E ~ ~ ⊥ dr). em que dr

Uma vez que no interior e na superf´ıcie dos condutores as cargas se movem livremente, ~ = 0. elas movimentam-se at´e que as for¸cas se anulem. Nessa situa¸ca˜o ficam em repouso e E Assim, num condutor em equil´ıbrio electrost´atico n˜ao h´a campo quer no seu interior, quer na superf´ıcie. A superf´ıcie de um condutor ´e pois uma equipotencial e o seu volume ´e um volume equipotencial, resultando da´ı que o campo electrost´atico ´e perpendicular a` superf´ıcie dos condutores.

´ Electromagnetismo & Optica

16 Jo˜ao Pulido 2.1.3

Dipolo el´ ectrico

´ um conjunto de duas cargas iguais de natureza oposta separadas por uma distˆancia l E que suporemos muito mais pequena do que a distˆancia a qualquer ponto onde queiramos conhecer o seu campo ou potencial (ponto potenciado). Este sistema ´e um modelo usado na descri¸ca˜o do comportamento de algumas mol´eculas e ainda no estudo da emiss˜ao de ondas electromagn´eticas em sistemas simples. Da´ı que fa¸ca sentido calcular o potencial e campo criados por duas cargas +q e −q relativamente pr´oximas em pontos muito afastados. A figura da esquerda representa esquematicamente o conjunto de linhas de for¸ca do campo dipolar e a da direita as duas cargas e o ponto potenciado P .

P

r~−

r~+


~l Em qualquer ponto P o campo ´e dado por ~ = E

1 4π0



q −−−→ q −−−→ gradP r+ − 2 gradP r− 2 r r

e o potencial q V = 4π0



!

1 1 − . r+ r−

Tal como indicado na figura, definimos um vector ~l dirigido no sentido −q → +q e fazemos ~r− ≡ ~r, de modo que ~r+ = ~r − ~l. Num ponto distante (r− , r+ >> l) podem efectuar-se as seguintes aproxima¸co˜es r+ =

q

~r+ . ~r+ =

q

r 2 + l2 − 2~r.~l '

1/2



q

2~r.~l r 2 − 2~r.~l = r 1 − 2  r

Por outro lado a seguinte aproxima¸ca˜o tamb´em ´e v´alida 





~r.~l ' r 1 − 2  . r



1 1 1 ~r.~l  1 ~r.~l 1 1  − =  ' 1 + − = 3 − ~ r+ r− r r r2 r r r 1 − ~rr.2l

(Us´amos aqui ~r. ~l << r 2 express˜ao de V

e V =

1/(1 − x) ' 1 + x v´alido para |x| << 1 ). Substituindo na ~ q ~ r ~l = 1 q l.~r = 1 m.~ ~ r . 4π0 r 3 4π0 r 3 4π0 r 3

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

17

em que m ~ ≡ q~l (momento do dipolo). No caso mais simples em que m ~ || ~r (com θ = 0 ou θ = π) o campo do dipolo ´e radial. De facto tem-se nesse caso V =±

1 m 4π0 r 2

⇔

~ = ± 1 2m ~er . E 4π0 r 3

Em geral o campo tem tambˆem uma componente segundo ~eθ . Repare-se que no seu conjunto o dipolo tem carga nula, (+q) − (−q) = 0. No entanto o potencial e o campo criados s˜ao diferentes de zero. A intensidade do campo quando r → ∞ vai para zero mais rapidamente do que o campo criado por uma carga (com 1/r 3 e n˜ao 1/r 2 ).

2.2

Lei de Gauss

Consideremos as linhas de for¸ca de um ~ e um elemento de campo electrost´atico E superf´ıcie dS e seja ~n a semi-normal a` superf´ıcie em cada ponto. O vector ~n ´e unit´ario dirigido para fora para uma superf´ıcie fechada e num sentido positivo previamente fixado se a superf´ıcie ~ atrav´es de dS, for aberta. O fluxo de E ~ n dS e mede o define-se como o produto E.~ n´ umero de linhas de for¸ca que cruzam dS num dado sentido. Para uma superf´ıcie S o fluxo define-se como Φ=



~n










 

















!

"





#

$





% 

 

&

'

( 



)



*

+





,

dS



Z

S

~ n dS E.~

o que corresponde a uma soma de todas as linhas de for¸ca que cruzam a superf´ıcie. Se a superf´ıcie for paralela a`s linhas de for¸ca o fluxo ´e zero, pois que o plano tangente a` superf´ıcie ´e paralelo a`s linhas de for¸ca. O fluxo ser´a m´aximo quando a superf´ıcie for perpendicular a`s linhas de for¸ca. Seja uma carga pontual em O exterior a uma superf´ıcie fechada e calculemos o fluxo do campo criado por essa carga atrav´es da superf´ıcie. O n´ umero de linhas de for¸ca que entra ´e igual ao que sai. Portanto Φ = 0.

q -

O

S

´ Electromagnetismo & Optica

18 Jo˜ao Pulido

Se a carga estiver no interior, ´e sempre poss´ıvel considerar uma esfera de raio r centrada na carga e interior a` superf´ıcie, tal que o fluxo ´e o que sairia atrav´es dessa esfera. De facto s˜ao as mesmas linhas de for¸ca que s˜ao cortadas em ambos os casos. Tem-se assim

Φ=

Z

S

~ n dS = E.~

Z

Sesf era

q O

S

~ n dS = E.~

q q 4πr 2 = . 2 4π0 r 0

Note-se que o fluxo n˜ao depende do raio da esfera considerada. Usando o princ´ıpio da sobreposi¸ca˜o para a situa¸ca˜o em que h´a v´arias cargas, este resultado generaliza-se para a lei de Gauss: O fluxo el´ectrico atrav´es de qualquer superf´ıcie fechada ´e dado pela carga total no seu interior a ` parte o factor 1/0 , Φ=

Z

X ~ n dS = 1 qi E.~ 0 i S

→

Φ=

1 Z ρ dV 0 V

sendo a u ´ ltima express˜ao v´alida para uma distribui¸ca˜o de carga em volume ρ. A lei de Gauss constitui como veremos a seguir uma alternativa a` lei de Coulomb para o c´alculo do campo electrost´atico. Na sua aplica¸ca˜o h´a que escolher convenientemente uma superf´ıcie imagin´aria que contenha as cargas (superf´ıcie de Gauss) atrav´es da qual seja simples o c´alculo do fluxo. Exemplo

1. Campo criado por um plano carregado com uma distribui¸ca˜o de carga σ.

A superf´ıcie de Gauss escolhida ´e um paralelip´ıpedo como indica a figura. Sendo ~ ´e perpendicular a`s o plano infinito, E bases do horizontais do paralelip´ıpedo. O fluxo ´e pois zero atrav´es das faces verticais. Portanto sendo A a a´rea de cada face horizontal Z

~n ~n

~n σ

~n

~n ~n

~ . ~n dS = EA + EA = 1 Qint . E 0 S

A carga interior ao paralelip´ıpedo ´e Qint = σ A donde 2EA =

σA 0

~ E

⇒

E=

σ . 20

~ E

´ Electromagnetismo & Optica Exemplo

S

19

2. Campo criado por uma carga filiforme

A superf´ıcie de Gauss ´e um cilindro com as bases muito afastadas (o fio ´e infinito). S´o existe fluxo atrav´es da a´rea lateral, pois o campo ´e radial. Z

Jo˜ao Pulido

~ cil . ~n dS = E E

em que Qint =

RL 0

Z

Slateral

dS = E 2πr L =

~n ~ E ~n

1 Qint 0

~ E

λ dl = λL ´e a carga interior ao cilindro. Portanto E 2πr L =

λL 0

⇒

E=

λ . 2π0 r

Nestas express˜oes r representa o raio do cilindro que ´e a distˆancia do fio ao ponto potenciado. Deve comparar-se a simplicidade destas resolu¸co˜es em rela¸ca˜o aos mesmos exemplos resolvidos pela lei de Coulomb. 2.2.1

Equivalˆ encia entre a lei de Gauss e a lei de Coulomb

Vimos que os condutores em equil´ıbrio electrost´atico s˜ao regi˜oes equipotenciais e que, movendo-se as cargas livremente sobre a sua superf´ıcie como no seu interior, a distribui¸ca˜o de carga na superf´ıcie de um condutor ´e uniforme. Seja ent˜ao uma esfera condutora carregada como a que se representa na figura. Para os dois cones sim´etricos de v´ertice em P que demarcam na esfera as a´reas a1 e a2 verifica-se a2 a1 = 2 2 r1 r2

r2 a2

e as cargas em a1 e a2 verificam

P

a1

a1 q1 = q2 a2

r1

ou seja q1 q2 = 2 2 r1 r2

⇒

E1 = E2

´ Electromagnetismo & Optica

20 Jo˜ao Pulido

o que significa que os campos criados pelas a´reas carregadas a1 e a2 se anulam exactamente em qualquer ponto no interior da esfera. Tal conclus˜ao ´e uma consequˆencia da lei de Coulomb. Por outro lado pela lei de Gauss o campo no interior da esfera ´e zero porque qualquer superf´ıcie de Gauss no seu interior n˜ao cont´em carga. As duas leis s˜ao pois consistentes: a validade da lei de Gauss depende da lei do inverso do quadrado da distˆancia, ou seja da lei de Coulomb. Se a lei de Coulomb afirmasse por exemplo 1 E∝ 3 r haveria campo no interior da esfera: era radial e apontava para o centro numa esfera carregada positivamente. 2.2.2

Campo na cavidade de um condutor

Seja um condutor com uma cavidade oca e suponhamo-lo electrizado. Vamos demonstrar usando a lei de Gauss que ´e nulo o campo na cavidade. Para isso consideremos a superf´ıcie fechada que se representa a tracejado na ~ na massa do massa do condutor. Como E ~ condutor se anula (E = 0), a carga total interior a essa superf´ıcie ´e zero. Na massa ou na superf´ıcie interna da cavidade n˜ao pode haver cargas (+) e (-) de soma nula, uma vez que se aniquilariam de imediato. Resta a possibilidade de as haver na cavidade. Admitindo essa possibilidade, consideremos o contorno fechado Γ atrav´es da massa do condutor e da cavidade no sentido das cargas positivas para as negativas. O trabalho do campo electrost´atico em Γ ´e: I

Γ

~ = ~ . dr E

Z

(+)→(−)

~ + ~ . dr E

Z

cond

+

−

Γ

+ +

~ = ~ . dr E

Z

(+)→(−)

− −

~ =?? ~ . dr E

A segunda parcela deste integral ´e zero, uma vez que se anula o campo no interior do condu~ n˜ao seria conservativo. tor, mas a primeira ´e obrigatoriamente zero porque doutro modo E Conclus˜ao: n˜ao pode haver campos nem cargas na cavidade interna de um condutor.

´ Electromagnetismo & Optica 2.2.3

Jo˜ao Pulido

21

Exemplos

Exemplo Lei de Gauss. Campo devido a uma esfera isolante de raio R uniformemente carregada com uma carga total Q. Determinar as express˜oes do campo e do potencial a uma distˆancia r do seu centro. Resolu¸ca ˜o a) Pontos exteriores, r > R A esfera ´e necessariamente isolante para que possa estar uniformemente carregada. Considerando uma esfera de Gauss de raio r concˆentrica exterior a` esfera dada, vem Z

S

~ n dS = E E.~

Z

r

r R SGauss

2

S

dS = E 4πr = Q/0 ,

SGauss

donde

Q . 4π0 r 2 Note-se que ´e a mesma express˜ao que para uma carga pontual. Quanto ao potencial Eext =

Vext =

Z

∞ r

0

E dr =



1 Q − 0 4π0 r

∞

=

r

Q . 4π0 r

b) Pontos interiores, r < R Considera-se neste caso uma esfera de Gauss interior de raio r Z

S

~ n dS = E E.~

Z

em que 0

Q (r) =

EHrL Q 4 Π Ε0 R2

0

S

Z

dS = E 4πr 2 = Q (r)/0

V

4 ρ dV = ρ πr 3 3

r

R ´e a carga nessa esfera imagin´aria. Substituindo E 4πr 2 = ρ

4 πr 3 30

⇒

Eint =

ρr Qr = 30 4π0 R

3

.

O campo no interior da esfera dada cresce pois linearmente com a distˆancia ao centro e sobre a superf´ıcie da esfera h´a continuidade. De facto: Eint (R) =

QR 4π0 R

3

=

Q 4π0 R

2

= Eext (R).

´ Electromagnetismo & Optica

22 Jo˜ao Pulido O potencial Vint =

Z

∞ r

0

E dr =

Z

R r

Z

0

Eint dr +

∞ R

Eext

Q dr = 4π0 R

R2 r2 − 2 2

0

3

!



+ −

Q 4π0 r 0

∞ R

Q Q 2 2 = (R − r ) + . 8π0 R 3 4π0 R Exemplo Lei de Gauss. Problema idˆentico ao anterior com uma distribui¸ca˜o de carga n˜ao uniforme dada por ρ = A(R − r) 0≤r≤R a) Determinar a constante A em fun¸ca˜o de Q eR. b) Calcular o campo el´ectrico dentro e fora da esfera. a)

Q = =

Z

ρ dV =

V Z R 0

A(R − r) dV =

V

r 2 A(R − r) dr

= A 2π 2 =

Z

πAR 3

4

Z

R

0

Z

2π 0

Z

dϕ

Z

π 0

R 0

dr

Z Z

r sinθ dϕ r dθ A(R − r)

sinθ dθ

R4 R4 r (R − r) dr = 4πA − 3 4 2

!

= 4πA

R4 12

.

Us´amos coordenadas esf´ericas para fazer a integra¸ca˜o sobre a esfera e o facto de dS esf = r sinθ dϕ r dθ em que o factor r sinθ dϕ ´e o arco elementar do paralelo e r dθ ´e o arco elementar do meridiano. Portanto 3Q . A= πR 4 b) Dentro da esfera 0

Eint

Q (r) 4πr = 0 2

com 0

Q (r) =

Z

r 0

0 2

0

r A(R − r ) dr Z

0

Z

2π 0

dϕ

Z

π 0

sinθ dθ

r3 r4 − = 4πA r (R − r ) dr = 4πA R 3 4 0 ! r3 r4 12 Q R − = . R4 3 4 r

0 2

0

0

!

´ Electromagnetismo & Optica Portanto Eint

12 Q r3 r4 4πr 2 = R − 0 R 4 3 4

donde Eint

r r2 3Q R − = π0 R4 3 4

!

Jo˜ao Pulido

23

!

.

Novamente se verifica a continuidade do campo sobre a superf´ıcie da esfera 3Q Eint (R) = π0 R4

2.3

R2 R2 − 3 4

!

=

Q = Eext (R) . 4π0 R2

Distribui¸ c˜ ao em superf´ıcie. Descontinuidades

Ao fazer-se o estudo da esfera electrizada condutora verific´amos haver descontinuidade do campo el´ectrico na passagem do seu interior para o exterior: no interior anula-se e a partir da superf´ıcie ´e radial. A superf´ıcie da esfera est´a nesse caso electrizada. Pelo contr´ario para a esfera isolante h´a no seu interior uma distribui¸ca˜o de carga e um campo el´ectrico que n˜ao sofre descontinuidade atrav´es da superf´ıcie, n˜ao havendo carga distribu´ıda na superf´ıcie. Portanto, havendo carga na superf´ıcie verifica-se descontinuidade no campo e, n˜ao havendo, o campo n˜ao sofre decontinuidade. Este facto ´e inteiramente geral e pode deduzir-se com base nos conhecimentos j´a adquiridos sobre a lei de Gauss e o campo electrost´atico. Seja uma superf´ıcie S de separa¸ca˜o de dois meios que se encontra electrizada com densidade de carga σ e consideremos a superf´ıcie cil´ındrica achatada que se indica em corte na figura. As bases do cilindro est˜ao em meios diferentes e a sua distˆancia a` superf´ıcie ´e infinitesimal. Sendo ~n a semi-normal dirigida de 1 para ~ atrav´es do cilindro ´e 2, o fluxo de E Z

2 ~n

1

~ n dS = (E ~ 2 .~n + E ~ 1 .~n)∆S = σ ∆S E.~ 0 S

em que ∆S ´e a a´rea da base, σ a densidade de carga superficial e se considerou desprez´avel a a´rea lateral. Resulta ent˜ao, no limite em que a a´rea das bases tende para zero, † E n2 − E n1 = †

σ . 0

Considera-se que a a ´rea lateral tende mais rapidamente para zero do que a das bases, de forma a podermos desprezar o fluxo lateral.

24 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

Esta equa¸ca˜o traduz a descontinuidade do campo el´ectrico atrav´es de uma superf´ıcie electrizada. Em termos do potencial ∂V ∂n

!

∂V − ∂n 1

!

2

=

σ . 0

Na componente tangencial n˜ao h´a descontinuidade, como pode ver-se fazendo a cir~ num rectˆangulo achatado cula¸ca˜o de E cujos lados maiores s˜ao paralelos a` superf´ıcie: I

Γ

2 1 Γ

~ =E ~ dr ~ 1 .∆r+ ~ E ~ 2 .∆r ~ = (Et −Et )∆l = 0 E. 1 2

~ = ∆l). Portanto (em que |∆r| E t1 = E t2 . ~ 1 = 0) vem No caso do meio 1 ser um condutor, (Et1 = En1 = 0 porque E E t2 = 0

e

E n2 = E =

σ 0

que ´e a express˜ao geral para o campo a` superf´ıcie de um condutor.

2.4

Capacidades e condensadores

Da linearidade das equa¸co˜es da electrost´atica ´e de esperar que exista uma rela¸ca˜o linear entre a carga e o potencial de um condutor Q = CV

ou

C=

Q V

que se designa por capacidade. Por exemplo para uma esfera condutora carregada, vimos que o potencial a` sua superf´ıcie ´e 1 Q V = 4π0 R sendo R o seu raio e Q a sua carga. Daqui decorre que a capacidade duma esfera ´e C = 4π0 R . As unidades da capacidade s˜ao pois Coulomb Volt−1 ≡ Faraday e as da constante diel´ectrica, Faraday m−1 .

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

25

Um condensador ´e um sistema formado por dois condutores (armaduras) em presen¸ca m´ utua separados por um diel´ectrico ou isolante. Estando carregado apresenta cargas sim´etricas nas armaduras. Sendo a diferen¸ca de potencial entre elas ∆V , define-se a capacidade de um condensador como Q (C > 0). C= ∆V 2.4.1

Condensador plano

As armaduras s˜ao planos paralelos cuja separa¸ca˜o ´e pequena em compara¸ca˜o com as suas dimens˜oes. Para determinar o campo entre as armaduras, atentemos em que o campo devido a um plano ´e como vimos dado por E = 2σ0 . Sendo sim´etricas as cargas nas armaduras, o campo entre elas ´e E=



σ σ − − 20 20



=

++ E=0++

−− E=

σ 0

−−E=0

++

σ 0

−− d

e fora das armaduras anula-se



σ σ − E= 20 20



=0.

Quanto a` diferen¸ca de potencial e capacidade tem-se ∆V =

Z

d 0

~ = σ d = σA d = Q d ~ dr E. 0 0 A 0 A

⇒

C=

Q 0 A = ∆V d

em que represent´amos por d e A a distˆancia entre armaduras e a sua a´rea respectivamente. 2.4.2

Condensador esf´ erico

As armaduras s˜ao esf´ericas e concˆentricas (r1 < r < r2 ). Q Q C= = V |V (r1 ) − V (r2 )| O denominador ´e o m´odulo do trabalho do campo el´ectrico entre as armaduras: Z

Z

dr

−Q r1 r1 4π0 r 2   Q 1 r2 Q r2 − r 1 = = 4π0 r r1 4π0 r1 r2

|∆V | = |

r2

E dr| =

r2

r~1 −Q

+Q ~r

r~2

´ Electromagnetismo & Optica

26 Jo˜ao Pulido e a capacidade

C= 2.4.3

4π0 r1 r2 . r2 − r 1

Condensador cil´ındrico

As armaduras s˜ao dois cilindros coaxiais (r1 < r < r2 ). Sendo Q a carga total e λ a sua densidade, tem-se Q = λ L e |∆V | =

Z

r2 r1

λ r2 λ dr = log 2π0 r 2π0 r1

2.5 2.5.1

~r r~2

donde a capacidade C=

r~1

Q 2π0 L = V log(r2 /r1 )

Diel´ ectricos Vector polariza¸ c˜ ao e cargas de polariza¸ c˜ ao

Diel´ectricos s˜ao substˆancias isolantes electricamente. No seu interior as cargas n˜ao podem deslocar-se livremente, ao contr´ario do que acontece nos condutores. Ao serem sujeitos a um campo el´ectrico, os n´ ucleos dos a´tomos s˜ao atra´ıdos na direc¸ca˜o e sentido do campo, enquanto que os electr˜oes s˜ao atra´ıdos em sentido oposto. As o´rbitas dos electr˜oes s˜ao assim distorcidas com o centro de gravidade da cada electr˜ao deslocado e deixando de coincidir com a carga positiva do n´ ucleo. Vista a distˆancia, uma tal configura¸ca˜o ´e equivalente a um dipolo. Note-se que em muitas substˆancias (em especial a a´gua) as mol´eculas constituem dipolos que na ausˆencia de campo se orientam de maneira aleat´oria. Ao serem imersos num campo el´ectrico eles orientam-se em concordˆancia. ~ (isto ´e existam ou n˜ao eles previaCom ou sem forma¸ca˜o de dipolos por ac¸ca˜o de E mente), o efeito de orienta¸ca˜o dipolar denomina-se polariza¸ca˜o do diel´ectrico, gerando-se um momento dipolar total que ´e o resultado macrosc´opico dos momentos dipolares de cada mol´ecula. Sendo d~ o vector orientado da carga (-) para (+), q a carga positiva em cada dipolo e designando por p~ = q d~ cada um destes momentos dipolares, define-se o vector polariza¸ca˜o N P~ = q d~ V em que N ´e o n´ umero de mol´eculas no volume V .

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

27

Admitiremos que o momento dipolar induzido ´e proporcional a` intensidade do campo, o que ´e em princ´ıpio verdadeiro dentro de limites, ou seja ~ p~ = αE

⇒

N ~ P~ = αE V

em que α ´e a polarizabilidade do diel´ectrico. Consideremos um diel´ectrico polarizado e seja S a superf´ıcie fechada no seu interior como se representa na figura, em que ~n ´e o vector unit´ario que lhe ´e perpendicular em cada ponto. Na parte superior esta superf´ıcie ´e limitada pela esfera inferior e na parte inferior pela esfera superior. As cargas contidas nas camadas preenchidas na figura por (+) e (-) atravessaram essa superf´ıcie ao polarizar-se o diel´ectrico. Uma ~ a espessura das camadas ´e vez que d~ ||E, d~ . ~n e a carga que atravessou o elemento dS ´e o produto desta a´rea pela espessura da camada nesse ponto e pela carga por unidade de volume, ou seja

~ E +

~ E +

+++++++

+

~n

+

+

+

+

+

+

+

−

~n

− −

− −

− −

−

−−−−−−−

−

−

N ~ q d . ~n dS = P~ . ~n dS V A carga total que atravessa a superf´ıcie representada ´e ent˜ao Z

S

P~ . ~n dS

Note-se que as cargas que atravessaram as partes superior e inferior da superf´ıcie representada n˜ao s˜ao necessariamente iguais em m´odulo. Apenas o seriam se a polariza¸ca˜o fosse uniforme. N˜ao estando o diel´ectrico inicialmente carregado, a carga que fica no interior devido a` polariza¸ca˜o ´e o sim´etrico do integral de P~ . ~n dS estendido a toda a superf´ıcie, designado carga de polariza¸ca˜o: 0

Q =−

Z

S

P~ . ~n dS . 0

Introduzindo a densidade de carga de polariza¸ca˜o ρ , vem 0

Q =

Z

0

V

ρ dV = −

Z

S

P~ . ~n dS = −

Z

V

div P~ dV

´ Electromagnetismo & Optica

28 Jo˜ao Pulido

onde se aplicou o teorema da divergˆencia. Daqui se conclui ρ = −div P~ . 0

Consideremos um condensador plano carregado e examinemos o que acontece nas superf´ıcies de contacto do diel´ectrico com as armaduras. Uma vez que a polariza¸ca˜o ´e uniforme porque o campo ´e uniforme, apenas necessitamos para estudar a polariza¸ca˜o de examinar essas superf´ıcies. Numa delas as cargas negativas (electr˜oes) deslocaram-se para fora uma distˆancia δ e na oposta, em contacto com a outra armadura, deslocaram-se para dentro a mesma distˆancia. Sendo A a a´rea das armaduras, a carga que atravessou qualquer dessas superf´ıcies de contacto calcula-se tal como anteriormente, N Q = Aqδ= V 0

Z

S

P~ . ~n dS

onde ~n ´e a normal dirigida para a armadura e o integral se estende a` superf´ıcie de contacto. Desta equa¸ca˜o resulta que existe uma carga de polariza¸ca˜o concentrada na fronteira dum diel´ectrico polarizado cuja densidade superficial ´e 0 σ = P~ . ~n .

Esta conclus˜ao ´e geral para os diel´ectricos polarizados. Portanto em resumo, os efeitos da polariza¸ca˜o podem ser descritos pelas chamadas 0 0 cargas de polariza¸ca˜o ρ e σ : 0 ρ = −div P~

2.5.2

e

0 σ = P~ . ~n .

Vector deslocamento e susceptibilidade el´ ectrica

Se o diel´ectrico estiver inicialmente carregado com uma carga ρ, esta contribui tamb´em para o campo. Sendo assim a lei de Gauss adquire a forma ~ = 1 (ρ + ρ0 ). div E 0 0 Usando ρ = −div P~ vem

~ = ρ − div P~ div 0 E

⇒

~ + P~ ) = ρ div (0 E

ou alternativamente ~ =ρ div D em que se fez ~ = 0 E ~ + P~ . D

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

29

~ chama-se deslocamento el´ectrico. A equa¸ca˜o div D ~ = ρ, que generaliza a lei de O vector D Gauss para incluir os diel´ectricos, ´e uma das equa¸co˜es de Maxwell. Do paralelismo entre os ~ para os diel´ectricos que consideramos (lineares) resulta o paralelismo entre vectores P~ e E ~ e E: ~ D ~ ~ ||E ~ ~ =E ~ P~ | | E ⇒ D ⇒ D em que o escalar  ´e a constante diel´ectrica do meio. Portanto, partindo de ~ ~ ~ = ( 0 + P ) E D ~ E resulta

P N = 0 + α . E V Define-se constante diel´ectrica relativa como o quociente r = /0 . Das equa¸co˜es anteriores deduz-se ent˜ao:  = 0 +

r =

 N =1+ α =1+χ 0 0 V

⇒

 = 0 (1 + χ)

em que a quantidade χ ´e a susceptibilidade el´ectrica, grandeza adimensional. Recordando a ~ nomeadamente constante de proporcionalidade entre P~ e E, N ~ P~ = αE V podemos rescrever esta rela¸ca˜o como ~ = ( − 0 )E ~ . P~ = 0 χ E 0

Daqui resulta que ρ e ρ podem ser relacionados usando a lei de Gauss, 0 ~ = −  − 0 ρ. ρ = −div P~ = −( − 0 )div E 

Esta u ´ ltima equa¸ca˜o afirma que se n˜ao h´a cargas reais, ou seja se o diel´ectrico n˜ao est´a 0 inicialmente carregado (ρ = 0), tamb´em n˜ao h´a cargas de polariza¸ca˜o em volume : ρ = 0. Portanto num diel´ectrico n˜ao carregado e polarizado por aplica¸ca˜o de um campo el´ectrico exterior, as cargas de polariza¸ca˜o distribuem-se a` superf´ıcie, sendo a sua densidade dada por 0 σ = P~ . ~n . Em conclus˜ ao 1. Consider´amos diel´ectricos homog´eneos lineares e is´otropos. As rela¸co˜es ~ = εE ~ , D

~ P~ = ε0 χ E

´ Electromagnetismo & Optica

30 Jo˜ao Pulido

s˜ao lineares (ε e χ s˜ao escalares). Noutros casos (diel´ectricos n˜ao lineares) poder˜ao ser tensores. 2. Se um diel´ectrico n˜ao est´a carregado mas est´a polarizado, as cargas de polariza¸ca˜o 0 distribuem-se sobre a superf´ıcie com uma densidade σ = P~ . ~n , n˜ao havendo nesse caso 0 cargas de polariza¸ca˜o em volume: ρ = 0 ⇒ ρ = 0. 3. Vimos que ~ = 1 (ρ + ρ0 ) ~ =ρ, div E mas div D 0 ~ ou seja quer as cargas livres quer as de polariza¸ca˜o contribuem para o campo el´ectrico E, ~ apenas as cargas livres contribuem. enquanto que para o deslocamento el´ectrico D ~ = ρ, ou seja de as cargas de polariza¸ca˜o n˜ao Uma consequˆencia da equa¸ca˜o div D ~ ´e a continuidade deste vector atrav´es da contribuirem para o deslocamento el´ectrico D, superf´ıcie de separa¸ca˜o de dois meios diel´ectricos que vamos em seguida analisar. Seja ent˜ao uma superf´ıcie n˜ao electrizada que separa dois diel´ectricos 1 e 2 e um cilindro muito achatado com as bases em meios separados. Tal como anteriormente estamos interessados no limite em que a superf´ıcie lateral do cilindro tende mais rapidamente para zero do que a das bases, de modo a podermos desprezar o fluxo ~ atrav´es da do deslocamento el´ectrico D superf´ıcie lateral. Considera-se que em nenhum dos diel´ectricos h´a cargas livres, ρ = 0. Pela lei de Gauss Z

V

~ dV div D

= =

Z

Z

S

~ . ~n dS = D ~ 2 . ~n dS − D

Z

base1

Z

~ . n~1 dS + D

1

2

1

2

ρ=0

ρ=0

~n1

~n2

1 2

Z

base2

~ . n~2 dS D

~ 1 . ~n dS = (Dn − Dn )∆S = 0 D 2 1

porque se sup˜oe n˜ao haver cargas na superf´ıcie de separa¸ca˜o (σ = 0). Esta express˜ao ~ atrav´es da superf´ıcie, mas n˜ao da mostra que h´a continuidade da componente normal de D ~ De facto componente normal de E. Dn 2 = D n 1

⇒

 2 E n2 =  1 E n1

⇒

2 E1 = n . 1 E2n

Esta descontinuidade deve-se a`s cargas de polariza¸ca˜o que se formam sobre a superf´ıcie de separa¸ca˜o porque os dois meios tˆem diferentes polariza¸co˜es. Se houver cargas livres na superf´ıcie de separa¸ca˜o j´a se verifica Dn 2 − D n 1 = σ

(cargas reais, diel. carregado) .

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

31

~ h´a continuidade, tal como No que se refere a` componente tangencial do campo el´ectrico E, sucede na superf´ıcie de separa¸ca˜o entre dois condutores, Et2 = Et1 , uma vez que ´e uma −−→ consequˆencia de rotE = 0.

2.5.3

Cargas de polariza¸ c˜ ao num condensador

Estamos agora habilitados a calcular as cargas de polariza¸ca˜o num condensador que se formam no diel´ectrico nas superf´ıcies (S) de contacto com as armaduras. Vimos que cada uma dessas cargas ´e dada por Q

0

Z

1  − 0 σ A = (1 − ) σ A P~ . ~n dS = P A = ( − 0 ) E A =  r S 1 = (1 − ) Q r =

em que Q ´e a carga da armadura e em que aplic´amos sucessivamente o facto de a polariza¸ca˜o ser uniforme, a rela¸ca˜o P = ( − 0 )E com E = σ/, e r = /0 . Esta carga evidentemente n˜ao existe se o diel´ectrico for o v´acuo, sendo nesse caso r = 1. A carga que provoca o campo atrav´es do diel´ectrico ´e pois a carga sem diel´ectrico menos a carga de polariza¸ca˜o como se indica na figura, ou seja Q r e a capacidade ser´a pois 0

Q−Q =

+ + + + + + + + + + − − − − −

0

C=

Q Q−Q = V r Ed

d + + + + + − − − − − − − − − −

em que E=

σ Q/(Ar ) = .  

Fazendo a substitui¸ca˜o vem C=

A . d

Comparando com C = 0 A/d para o condensador sem diel´ectrico (v´acuo), vˆe-se que o preenchimento do espa¸co entre as armaduras com um diel´ectrico aumenta a capacidade ( > 0 ). O campo diminui tal como o potencial. Para que o campo e o potencial reponham os seus valores, a carga que o gerador cede a`s armaduras tem de passar a ser maior.

´ Electromagnetismo & Optica

32 Jo˜ao Pulido

Exemplo. Condensador com uma placa met´alica inserida no diel´ectrico.

Seja o condensador plano da figura em que se inseriu uma placa met´alica de espessura a entre as armaduras e equidistante destas. Calcular a capacidade do condensador assim obtido.

0 d

a 0

Resolu¸ca ˜o Designemos por Cm essa capacidade. Cm =

Q σA = V V

em que o potencial V = E(d − a) =

σ (d − a) 0

porque, sendo o metal condutor, n˜ao h´a queda de potencial atrav´es deste. Portanto Cm =

σA 0 A = . (σ/0 )(d − a) d−a

Comparando esta express˜ao com a capacidade do condensador sem a placa met´alica para o qual C = 0dA vemos que d Cm = C (Cm > C) d−a a capacidade aumenta devido a` queda de potencial ser menor. Exemplo. Idˆentico ao anterior com a placa met´alica substitu´ıda por um diel´ectrico de constante . Resolu¸ca ˜o A diferen¸ca de potencial ´e agora V =2

σ d−a σ + a 0 2 

0 d

e a capacidade

0

Cd = Fazendo  = r 0 vem Cd =



σA  0 A = . (σ/0 )(d − a) + (σ/)a (d − a) + 0 a

r 0 A r 0 A 0 A = = . r (d − a) + a r d + (1 − r )a d − a(1 − (0 /))

a

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

33

Uma vez que

0 < 1 ⇒ Cd > C  em que C ´e a capacidade do condensador simples (com o v´acuo como u ´ nico diel´ectrico). Sendo Cm a capacidade do condensador com a placa met´alica (exemplo anterior), tem-se 0<1−

C < C d < Cm .

2.6 2.6.1

Energia electrost´ atica Caso discreto

O trabalho dispendido para transportar uma carga q desde o infinito at´e um ponto a` distˆancia r da fonte do campo el´ectrico ´e realizado contra a for¸ca do campo e independente do caminho percorrido W = −

Z

= −q

r ∞

Z

~0 = − F~ . dr r

∞

q q1 = 4π0 r

q1 4π0 r 0

Z

r ∞

~0 ~ . dr qE

0

2

dr = −



1 q q1 − 0 4π0 r

r

∞

onde se supˆos que o campo ´e criado por uma carga q1 . A energia armazenada num sistema de duas cargas q e q 1 ´e assim o trabalho necess´ario para colocar essas cargas a` distˆancia a que se encontram. Ou seja ´e o trabalho dispendido contra as for¸cas do campo para trazer as cargas de uma distˆancia infinita uma da outra at´e ´ pois o produto de uma das cargas pelo potencial criado pela outra: a` distˆancia r. E W = q V. No caso de n cargas W =

1 X 1 qi qj 1 X X qj = . 2 i6=j 4π0 rij 2 i j6=i 4π0 rij

O factor 1/2 ´e introduzido para evitar a dupla contagem. A quantidade X j6=i

qj 4π0 rij

representa o potencial φi a que est´a sujeita a carga q i devido a` distribui¸ca˜o de cargas qj : W =

1X q 1 φi . 2 i

´ Electromagnetismo & Optica

34 Jo˜ao Pulido

Exemplo. Calcular a energia armazenada num sistema de 4 cargas pontuais idˆenticas Q = 4 nC situadas nos v´ertices de um quadrado de 1 m de lado. Qual a energia armazenada quando s´o duas cargas est˜ao armazenadas e em v´ertices opostos? Resolu¸ca ˜o

W =

q1 q4 q2 q3 1 32 (q1 q2 +q1 q3 + √ + √ +q2 q4 +q3 q4 ) = 9×109 ×(64+ √ )×10−9 = 779.6 nJ. 4π0 2 2 2

Na segunda hip´otese 0

W = 2.6.2

16 × 10−9 1 q2 q3 √ = 9 × 109 × √ = 101.8 nJ . 4π0 2 2

Caso cont´ınuo

Se a distribui¸ca˜o de cargas for cont´ınua podemos generalizar a equa¸ca˜o anterior para 1Z 1Z W = ρ φ dV + σ φ dS 2 V 2 S onde ρ e σ s˜ao as densidades de carga volume e superf´ıcie. Esta express˜ao ´e apenas v´alida em electrost´atica. Vamos deduzir uma express˜ao para a energia que ser´a tamb´em v´alida no caso geral incluindo os campos vari´aveis. Partindo da lei de Gauss −−−→ ~ = −div( − ~ = ρ ⇒ ρ =  div E grad φ) div E  e substituindo na express˜ao acima 1 W =− 2

Z

V

 −−−−→ div( grad φ)φ dV = − 2

Z

V

−−−−→ div(grad φ)φ dV .

Notando que −−−−→ −−−→ −−−−→ −−−−→ ~ (φ ∇φ) ~ = ∇φ. ~ ∇φ ~ + φ∇. ~ ∇φ ~ =− div(φ grad φ) = ∇. grad φ. grad φ + φ div grad φ vem

−−−−→ −−−−→ −−−−→ −−−−→ ~ − E2 φ div grad φ = div(φ grad φ) − grad φ. grad φ = −div(φ E)

o que substitu´ıdo na express˜ao da energia d´a W =

 2

Z

V

E 2 dV +

 2

Z

V

~ dV . div(φ E)

Aplicando o teorema da divergˆencia ao segundo termo, obtem-se  2

Z

V

~ dV = div(φ E)

Z

S

~ n dS . E.~

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

35

Este integral ´e calculado no caso em que a superf´ıcie tende para infinito, ou seja os integrais de volume estendem-se a todo o espa¸co, admitindo que todas as cargas est˜ao localizadas a uma distˆancia finita. A maneira mais simples de o conseguir ´e considerar uma superf´ıcie esf´erica de raio muito grande R cujo centro est´a na origem das coordenadas. Sabemos que para grandes distˆancias se tem φ∝

1 , R

E∝

1 . R2

Ambas estas grandezas decrescem com R ainda mais rapidamente se a carga total da distribui¸ca˜o for zero (recorde-se o exemplo do dipolo). Uma vez que a a´rea da esfera cresce com R2 , o integral de superf´ıcie tende para zero com 1/R, ficando para a energia Z W = E 2 dV 2 V que ´e a express˜ao de Maxwell, v´alida para a energia el´ectrica (n˜ao apenas electrost´atica). A densidade de energia el´ectrica (energia por unidade de volume) ´e pois uel = 2.6.3

 E2 . 2

Energia de uma carga pontual

O campo el´ectrico ´e como sabemos E=

q , 4π0 r 2

portanto a densidade ,

uel =

q2 . 32π 2 0 r 4

Da express˜ao de Maxwell resulta Z π Z 2π q2 Z ∞ 1 2 q2 W = dV = r dr sinθ dθ dϕ 32π 2 0 0 r 4 V 32π 2 0 r 4 0 0   q2 1 ∞ q2 Z ∞ 1 dr = − . = 8π0 0 r 2 8π0 r 0 Z

O limite r = ∞ n˜ao apresenta dificuldade. Mas para r = 0 obtem-se infinito, o que ´e inconsistente. Tal inconsistˆencia prov´em do facto de que ao considerarmos a distribui¸ca˜o cont´ınua de carga n˜ao elimin´amos a interac¸ca˜o de uma carga consigo pr´opria, ao contr´ario do que t´ınhamos feito com as distribui¸co˜es discretas. Portanto pode concluir-se que a ideia de se localizar a energia no campo (express˜ao de Maxwell) ´e inconsistente com a hip´otese da existˆencia de cargas pontuais. Sendo assim, cargas elementares como o electr˜ao, n˜ao s˜ao pontuais, mas sim pequenas distribui¸co˜es.

´ Electromagnetismo & Optica

36 Jo˜ao Pulido 2.6.4

Energia de uma esfera diel´ ectrica

Supomos que uma esfera diel´ectrica ´e formada a partir de uma sucess˜ao de camadas muito finas (espessuras infinitesimais). A cada passo juntamos uma camada de espessura r tal que o raio da esfera aumenta r → r + dr.

O processo segue at´e se atingir o raio final a. Sendo Qr a carga correspondente ao raio r (a parte que j´a se encontra formada) e dQ a carga da camada dr, a energia necess´aria para trazer do infinito a carga dQ ser´a dW =

Qr dQ = V (Qr )dQ. 4π0 r

V (Qr ) ´e o potencial a que fica dQ. Usando Qr = ρ 43 πr 3 e admitindo-se uma densidade de carga constante em volume ρ, vem dQ = ρ4πr 2 dr. Daqui se conclui que 4πρ2 r 4 dr dW = 30 ´e a energia necess´aria para ’montar’ a camada de espessura dr na esfera de raio r. A energia necess´aria para ’montar’ toda a esfera ´e W =

Z

a 0

4πρ2 a5 4πρ2 r 4 dr = 30 150

ou em termos da carga da esfera (Q = (4/3)πa3 ρ): W =

3 Q2 . 5 4π0 a

Aten¸ca ˜o: alternativamente tamb´em se pode utilizar a express˜ao W =

1Z E 2 dV. 2

De facto para pontos interiores a` esfera vem, usando Eint = 1 2

Z



Q  E dV = 2 4πR3 2

2 Z

e para pontos exteriores, usando Eext =

R 0

2

r .r dr

Z

π 0

sinθdθ

Z

dφ =

1 Q2 5 8πR

dφ =

Q2 8πR

2π 0

Q 4πr 2



1Z Z∞ 2 Q E 2 dV = r dr 2 2 R 4πr 2 Somando obtem-se

2

Qr 4πR3

2 Z

π 0

sinθdθ

6 Q2 3 Q2 = . 5 8πR 5 4πR

Z

2π 0

´ Electromagnetismo & Optica 2.6.5

Jo˜ao Pulido

37

Energia de um condensador

Supomos que o condensador ´e carregado a` custa de se transferirem sucessivamente cargas elementares dQ de uma armadura para a outra (incialmente ambas descarregadas). Uma fica com a carga dQ e a outra −dQ. O trabalho necess´ario para se transferir a carga dQ de uma armadura para a outra ´e dW = V dQ. A carga dQ estava inicialmente ao potencial zero: tudo se passa como se tivesse sido trazida do infinito para o potencial V como na esfera. Daqui: dW =

QdQ . C

Integrando desde zero at´e a` carga final: W =

Z

Q 0

Q2 1 dW = = CV 2 . 2C 2

Evidentemente que a mesma express˜ao pode ser obtida a partir da express˜ao de Maxwell W =

1 2

Z

E 2 dV

integrada no volume do condensador. Assim por exemplo para o caso do condensador plano: W = 2.6.6

1 2

Z

V

E 2 dV =

σ σA 1 1 EAd = Ed = QV = CV 2 . 2 2 2 2

Energia de uma esfera condutora

´ mais simples porque neste caso s´o existe campo fora da esfera E 1 W = 2

Z

0 E dV = 2 esfera 2

fora da

= Finalmente



Q 4π0

2 Z

Q2 4π 2 × 16π 2 0 W =

Z

∞ R ∞

R

1 2 r dr r4

Z

π 0

sinθdθ

Z

2π 0

dφ =

dr . r2

Q2 . 8π0 R

Exemplo. Condensador e energia electrost´atica Um condensador plano com armaduras quadradas distanciadas de d e com l de lado, ´e submetido a uma diferen¸ca de potencial V . No espa¸co entre as armaduras do condensador encontra-se inicialmente ar.

38 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

a) Calcule a capacidade do condensador, se for introduzido um material de constante diel´ectrica 50 a uma distˆancia x entre as armaduras. b) Qual a energia armazenada no condensador em fun¸ca˜o de x? Qual a for¸ca exercida no diel´ectrico durante a sua introdu¸ca˜o? c) Se, ap´os o diel´ectrico ocupar todo espa¸co entre as armaduras, se desligar a bateria, qual a for¸ca exercida sobre o diel´ectrico quando este depois ´e retirado? Ou seja considere-se o diel´ectrico a meio como em b), mas com o gerador desligado.

x d

50

0

l

Resolu¸ca ˜o a) O condensador ´e equivalente a dois condensadores em paralelo. A capacidade ´e dada por Q1 + Q 2 Q = V V em que Q1 e Q2 s˜ao as cargas em cada armadura. Como est˜ao ambas ligadas ao gerador, a diferen¸ca de potencial ´e apenas uma, ou seja, σ1 σ2 V = d = d. 50 0 Os campos atrav´es de cada diel´ectrico s˜ao dados por σ2 Q1 Q2 σ1 , E2 = com σ1 = , σ2 = e A1 = xl , A2 = (l − x)l E1 = 50 0 A1 A2 de modo que a capacidade ´e C=

C(x) =

σ1 A 1 σ2 A 2 (4x + l)0 l + σ2 = . σ1 d d d 50 0

A capacidade inicial (sem o diel´ectrico) ´e C=

0 l 2 . d

b) Para se calcular a for¸ca vamos antes de mais calcular a energia em fun¸ca˜o de x. Trata-se de uma energia potencial. A for¸ca ser´a ent˜ao o sim´etrico da derivada da energia em ordem a x: F = −dW/dx. A energia armazenada ´e dada por W = W 1 + W2

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

39

em que W1 e W2 s˜ao as energias devidas a cada um dos diel´ectricos, ou seja, usando σ1 =

0 V 50 V , σ2 = d d

vem





50 σ1 2 50 2 50 x l V 2 E1 x l d = xld= 2 2 50 2d  2  0 σ2 0 0 (l − x) l V 2 W2 = E22 (l − x) l d = (l − x) l d = 2 2 0 2d portanto a energia total W1 =

0 l V 2 W = W 1 + W2 = (4 x + l). 2d Quanto a` for¸ca

2 0 l V 2 dW =− . dx d N˜ao se derivou o potencial V uma vez que ´e constante, imposto pelo gerador. F =−

c) Tem-se agora a mesma situa¸ca˜o mas com o gerador desligado: V n˜ao ´e constante, depende de x. O aspecto essencial ´e que a carga no condensador se mant´em constante no processo, pois n˜ao tem para onde ir. Na al´ınea anterior a carga fluia de e para o gerador de modo a que a diferen¸ca de potencial entre as armaduras fosse constante. Calculemos ent˜ao V (x). V (x) =

Q Qd = C(x) (4 x + l) 0 l

em que se usou C(x) =

(4x + l)0 l . d

A energia ser´a ent˜ao

Q2 Q2 d = 2C 2 0 l (4 x + l) que ´e a mesma express˜ao obtida na al´ınea anterior com a substitui¸ca˜o Q = C V . Derivando W =

dW Q2 d 4 − =− − dx 2 0 l (4 x + l)2

!

2 Q2 d = 0 l(4 x + l)2

em que Q ´e a carga do condensador ao desligar-se o gerador. Nota Repare-se que fazendo x = 0 (condensador sem diel´ectrico) a energia tem o seu valor m´aximo. De facto para qualquer x > 0: W (x) < W (0)

Q2 d W (0) = 20 l

!

.

A for¸ca sobre o diel´ectrico ´e pois dirigida para dentro, ou seja para valores decrescentes da energia.

´ Electromagnetismo & Optica

40 Jo˜ao Pulido

3

Correntes estacion´ arias (campo constante no tempo)

3.1

Equa¸ c˜ ao da continuidade

Consideremos um condutor percorrido por uma corrente el´ectrica e seja S uma superf´ıcie perpendicular ao movimento das cargas (sentido convencional da corrente ´e o das cargas positivas). A carga que atravessa a superf´ıcie ∆S no intervalo de tempo ∆t ´e S

∆Q = ρ v ∆t ∆S

(as dimens˜oes s˜ao [QL−3 ][LT −1 ]T L2 = Q). Assim a carga / unidade de tempo / unidade de a´rea ∆Q lim =ρv ∆t,∆S→0 ∆t∆S chama-se densidade de corrente, J~ = ρ ~v (vector densidade de corrente, unidades A.m−2 ). Se S n˜ao for perpendicular ao movimento da carga, S

~ ~n ∆t ∆S. ∆Q = ρ v ∆t ∆S cosα = J. α ~n

A intensidade de corrente ´e a carga que passa por unidade de tempo fis/ pequena atrav´es de uma superf´ıcie aberta Z dQ i= = J~ . ~n dS. dt S Seja agora uma superf´ıcie fechada (lim´ıtrofe de um volume) na qual entra e sai carga el´ectrica: a carga que sai menos a carga que entra (Qout − Qin ) ´e a diminui¸ca˜o de carga no volume: −

dQ = dt

Z

S

J~ . ~n dS =

Z

V

div J~ dV

ou seja

Igualando as integrandas div J~ + em regime estacion´ario ∂ρ =0 ∂t

!

−

∂ρ = 0, ∂t ⇒ div J~ = 0.

d dt

Z

V

ρ dV =

Z

V

div J~ dV.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

41

Teorema - Em regime estacion´ario a corrente ´e a mesma em qualquer sec¸ca˜o do condutor De facto tem-se como se viu para uma superf´ıcie fechada S Z

S

J~ . ~n dS =

Z

V

div J~ dV.

Al´em disso em regime estacion´ario div J~ = 0, portanto se a superf´ıcie fechada S incluir duas sec¸co˜es do condutor tem-se J~

J~

S2

S1 Z

S

J~ . ~n dS = −

ou seja −i1 + i2 = 0.

3.2

Z

S1

J~ . ~n1 dS +

Z

S2

J~ . ~n2 dS = 0

Lei de Ohm

Foi estabelecida experimentalmente e conhecida de in´ıcio na sua forma integral. Comecemos no entanto pela forma local, mostrando depois a equivalˆencia entre as duas ~ J~ = σC E em que σC (condutividade) ´e dada por σC =

1 l . RS

A partir da defini¸ca˜o de intensidade de corrente e de condutividade temos que i=

Z

S

~ ~n dS = σC J.

Z

~ ~n dS = l E. RS S

Z

S

~ ~n dS. E.

~ ~n ´e a componente do campo el´ectrico normal a` superf´ıcie S (sec¸ca˜o do condutor) (E). E. Portanto, multiplicando por R ambos os membros vem lE Z iR = dS = l E = ∆V. S S Esta ´e a forma global (integral) da lei de Ohm (l E - diferen¸ca de potencial entre A e B). Nota: Esta defini¸ca˜o ´e v´alida apenas para correntes estacion´arias . O inverso da condutividade ´e a resistividade: 1 ρC = . σC

´ Electromagnetismo & Optica

42 Jo˜ao Pulido

3.3

Lei de Joule

A potˆencia elementar que um gerador fornece a um circuito ´e o trabalho realizado pelo campo el´ectrico por unidade de tempo para deslocar a carga elementar dq de uma distˆancia ~ elementar dr: ~ dr ~ ~ ~ dr dF. dq E. dq ~ ~ ~ ~ dr, = = E. dP = dr = iE. dt dt dt o que, integrando ao longo do circuito, resulta na potˆencia que o gerador fornece ao circuito P = V i. Se se tratar de uma resistˆencia R verifica-se a rela¸ca˜o V = iR (Lei de Ohm), portanto substituindo, P = Ri2 ´e a potˆencia fornecida a` resistˆencia que ´e dissipada (Lei de Joule). Exemplo Fio de Cobre de com uma sec¸ca˜o S = 1 mm2 percorrido por uma corrente de i = 1 A. Massa espec´ıfica do Cobre 8.96 g.cm−3 , peso at´omico m = 63.54 g.mol −1 , n´ umero de Avogadro N = 6.022 × 1023 mol−1 . Considere que cada a´tomo contribui com um electr˜ao para o g´as electr´onico. Determine a velocidade m´edia desse fluido. Resolu¸ca ˜o Sendo ρ a densidade de carga vem, admitindo que a densidade de corrente J~ = ρ v ´e uniforme i i=J S=ρv S → v= ρS Massa espec´ıfica do Cobre 8.96 g cm−3 = 8.96 ×10−3 kg (10−2 m)−3 = 8.96 × 103 kg m−3 . A carga el´ectrica por unidade de volume ser´a (qel =carga do electr˜ao): Carga el. /m3 = (n de elect./m3 )×qel = (n de at./m3 )×qel = (n de at./mol)(n de mol/m3 )qel = NAv (n de mol/m3 )qel = NAv (n de mol/kg)(n de kg/m3 )qel . Dado o peso at´omico m = 63.54 g.mol −1 , o n de mol/kg ´e o inverso desta quantidade. Portanto, a carga el´ectrica por unidade de volume: 6.022 × 1023

1 × 8.96 × 103 × 1.6 × 10−19 = 1.36 × 1010 C m−3 . −3 63.54 × 10

Finalmente v=

1 = 7.36 × 10−5 m s−1 . 10 −6 1.36 × 10 × 10

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

43

Exemplo Condensador plano com separa¸ca˜o d entre armaduras e dois diel´ectricos de espessuras d 1 , ´ dada a diferen¸ca de potencial entre as armaduras, V . d2 e d = d 1 + d 2 . E Qual a densidade de corrente entre armaduras e a densidade de carga el´ectrica entre a superf´ıcie de separa¸ca˜o das duas camadas. Resolu¸ca ˜o Pela Lei de Ohm, J1 = σC1 E1 , J2 = σC2 E2 com J1 = J2 pois os dois diel´ectricos est˜ao em s´erie. Quanto a` diferen¸ca de potencial V = E 1 d1 + E 2 d2 = Daqui: J=

d1 σC1

V +

J J d1 + d2 . σC 1 σC 2

d2 σC2

.

~ Usando a express˜ao da descontinuidade da componente normal do campo el´ectrico ( E ´e evidentemente normal a superf´ıcie de separa¸ca˜o)  2 E n2 −  1 E n1 = σ vem σ = 2

J J − 1 . σC 2 σC 1

Exemplo Mostre que num condutor a densidade de carga el´ectrica ρ obedece a` equa¸ca˜o dρ σ + ρ = 0. dt  Mostre ainda que qualquer acumula¸ca˜o de carga desaparece num tempo caracterizado por τ = /σ segundos. Resolu¸ca ˜o A partir da equa¸ca˜o da continuidade dρ div J~ + =0 dt usando a Lei de Ohm obtem-se ~ + dρ = 0 div (σ E) dt

e pela Lei de Gauss

ρ dρ σ + = 0.  dt

´ Electromagnetismo & Optica

44 Jo˜ao Pulido

A equa¸ca˜o caracter´ıstica desta equa¸ca˜o diferencial ´e ρ+

σ =0 

com raiz

A solu¸ca˜o da equa¸ca˜o ´e pois

σ ρ=− . 

σ

ρ(t) = Ce−  t o que significa que ao fim de um tempo t = σ a carga do condutor fica reduzida a inicial. Este ´e o chamado tempo caracter´ıstico ou de relaxa¸ca˜o do sistema.

3.4

1 e

do valor

Leis de Kirchhoff

1a Lei - dos n´ os Seja um n´o de condutores e apliquemos-lhe o teorema da divergˆencia. Designando por V o volume indicado que cont´em o n´o e S a sua superf´ıcie lim´ıtrofe verifica-se

V

S iα

Z

Z

Z

~ ~n dS = − d J. ρ dV = 0 dt V V S porque pela equa¸ca˜o da continuidade toda a carga que entra ´e igual a` que sai. Equivalentemente toda a corrente que entra ´e a mesma que sai, ou seja o fluxo de corrente atrav´es de S, representa toda a corrente que atravessa a superf´ıcie S div J~ dV =

Z

S

J~. ~n dS =

X

iα = 0.

α

Portanto: A soma alg´ebrica das correntes que passam por um n´ o ´e zero. (1 a Lei de Kirchhoff). ~ e usando J~ = ρ~vm em que ~vm ´e a velocidade m´edia das cargas Pela Lei de Ohm J~ = σc E el´ectricas no interior de um condutor, vˆe-se que ~ ρ ~vm = σc E ou seja a velocidade das cargas ´e proporcional, portanto paralela ou antiparalela ao campo el´ectrico, mas ´e sempre paralela a` for¸ca el´ectrica ρ ~vm = σc

F~ . q

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

45

A mobilidade das cargas negativas ´e muito maior do que a das positivas, de modo que a corrente el´ectrica ´e devida ao movimento dos electr˜oes em sentido contr´ario ao sentido convencional da corrente. Estes no entanto movem-se de choque em choque atrav´es dos condutores. Entre cada dois choques sucessivos recebem uma for¸ca que os acelera num certo sentido. Num choque perdem toda a informa¸ca˜o sobre o movimento anterior. O que resulta ´e um ~ movimento com uma velocidade m´edia no sentido de F~ (ou −E). 2a Lei - das malhas A soma das diferen¸cas de potencial ao longo de um caminho fechado (malha) ´e sempre nula. Utilizando as leis de Kirchhoff podem escrever-se tantas equa¸co˜es independentes quantas as vari´aveis do circuito, ou seja o problema ´e matematicamente sol´ uvel. H´a no entanto algumas simplifica¸co˜es sempre que se tˆem elementos do mesmo tipo em s´erie ou em paralelo que reduzem o n´ umero das equa¸co˜es a resolver.

3.5

For¸ ca electromotriz e associa¸ c˜ ao de elementos em circuitos

Como se sabe o campo electrost´atico ´e conservativo, ou seja o integral c´ıclico I

~ = 0. ~ e . dr E

Para que a corrente el´ectrica passe num circuito ´e pois necess´ario que exista algum outro campo capaz de transportar as cargas num circuito fechado que necessariamnete n˜ao pode ser conservativo. Trata-se do campo aplicado (proveniente das pilhas) ou do campo de indu¸ca˜o (proveniente do fen´omeno da indu¸ca˜o). Para o campo total (no caso de existirem os trˆes) tem-se ent˜ao I

~ = ~e + E ~a + E ~ i ). dr (E

I

~ = ~a + E ~ i ). dr (E

que se chama for¸ca electromotriz (f.e.m.) que o gerador cede ao circuito. (N˜ao ´e uma for¸ca!). No caso de s´o existirem resistˆencias tem-se  = iR. a) Associa¸ca˜o de elementos em s´erie I

Para resistˆencias a queda de potencial ´e, pela lei de Ohm, V = V1 + V2 = I(R1 + R2 ) = IR ou seja a resistˆencia efectiva do conjunto ´e R = R 1 + R2

R1

R2

´ Electromagnetismo & Optica

46 Jo˜ao Pulido

Para condensadores a queda de potencial ´e   1 1 Q + V =Q = C1 C2 C ou seja a capacidade efectiva do conjunto dos dois ´e

C1

C2

1 1 1 = + . C C1 C2 b) Associa¸ca˜o de elementos em paralelo Para resistˆencias I2

R2

I I1

R1

a queda de potencial ´e V = I 1 R1 = I 2 R2 e como pela Lei dos n´os I = I 1 + I2 =

V R

em que R ´e a resistˆencia equivalente, vem I = I 1 + I2 =

V V V + = R1 R2 R

ou seja, 1 1 1 + . = R R1 R2 Para condensadores C2

C1

V =

Q1 Q2 Q1 + Q 2 = = C1 C2 C

→

Portanto em paralelo as capacidades somam-se.

C=

Q1 + Q 2 = C1 + C2 . V

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

47

R

Aplica¸ c˜ ao: circuito RC com bateria Aplicando a lei das malhas ao circuito  = iR +



dq q q = R+ C dt C

C

donde, pela equa¸ca˜o caracter´ıstica 1 1 =0 → α=− . C RC O integral particular resulta de se substituir na equa¸ca˜o diferencial a fun¸ca˜o q(t) por uma constante (i.e. da mesma natureza que ). Assim αR +

const. = C

→

const. = C , donde t

q(t) = ke− RC + C em que k ´e uma constante arbitr´aria. Supondo que no instante inicial o condensador est´a descarregado q(0) = 0 = k +  C → k = − C. Finalmente



t

q(t) = C 1 − e− RC



que tem uma ass´ımptota horizontal q(t) = C. O tempo caracter´ıstico do circuito ´e τ = RC, tempo ao fim do qual a carga atinge 1 − 1/e do seu valor final.

iHtL

qHtL

€RΕ

ΕC

t

t

A derivada na origem d´a a corrente inicial C  dq(t) |t=0 = = dt RC R Repare-se que o tempo caracter´ıstico τ ´e tanto maior quanto maior for a resistˆencia e que para uma resistˆencia nula o condensador carrega-se instantaneamente com uma corrente infinita. A resistˆencia amortece assim a carga do condensador. i(0) =

´ Electromagnetismo & Optica

48 Jo˜ao Pulido

Exemplo Condensador esf´erico com armaduras de raio R1 = 2 cm, R2 = 5 cm. (A armadura exterior tem espessura 0.1 cm). O diel´ectrico tem r = 4 e condutividade σC = 10−2 Ω−1 m−1 . Tem-se V1 = 10V e V2 = 0V . Determinar: 0 0 a) As cargas ρ, ρ , σ, σ . b) A intensidade de corrente. c) A resistˆencia do meio. Resolu¸ca ˜o ~ = (r 0 − 0 )E ~ = (r − 1)0 E ~ = 30 E ~ a) Recorde-se que P~ = ( − 0 )E A armadura exterior est´a neutra porque est´a ligada a` terra. O campo entre armaduras ´e pois devido a` armadura interior: Q1 E= 4πr 2 e o potencial total entre as duas ´e como vimos para os condensadores esf´ericos V1 =

Q1 R2 − R 1 4π R1 R2

→

Q1 = 4πV1

R1 R2 . R2 − R 1

Substituindo na express˜ao do vector de polariza¸ca˜o e usando os valores num´ericos dados P = 30 4πV1

1 R 1 R 2 V1 0 R1 R2 = 30 = 2 (C m−2 ) 2 2 R2 − R1 4πr (R2 − R1 )r r

~ ´e radial, resulta que com r expresso em metros. Como P~ ´e radial porque E σ = P~ . ~n = P 0

0

Podemos verificar a rela¸ca˜o entre σ e σ . Sabemos que: σ=

1 R1 R2 r 0 r 0 4 0 Q1 = 4πV1 = = σ = σ. 2 2 2 4πr R2 − R1 4πr 3r 3 3

Recorde-se que as cargas de polariza¸ca˜o s˜ao, numa superf´ıcie esf´erica, dadas por 0

Q =

Z

S

P~ . ~n dS = ( − 0 )

Z

S

~ ~n dS = ( − 0 ) E.

Z

S





1  − 0 Q1 Q1 , Q = 1 − dS = 1 4πr 2  r

express˜ao esta que ´e geral para qualquer superf´ıcie polarizada. A anterior express˜ao ´e pois consistente com esta. De facto 







r − 1 1 3 σ = 1− σ= σ = σ. r r 4 0

0 Quanto a`s cargas em volume (ρ, ρ , ρ = − − ρ) s˜ao nulas porque a carga el´ectrica se  distribui em superf´ıcie nas armaduras e o diel´ectrico n˜ao est´a inicialmente carregado. As 0

0

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

49

cargas de polariza¸ca˜o est˜ao nas superf´ıcies de contacto do diel´ectrico com as armaduras interior e exterior. b) Z Z Z σC Q 1 1 2 Z σC Q1 ~ ~ur . ~n dS = r Q1 i = J. ~n dS = σC sinθdθ dφ = 2 2 4π r  S S 4πr em que Q1 foi calculado na al´ınea anterior. c) V1 Q1 R2 − R 1  1 R2 − R 1 R= = = . i 4π R1 R2 σC Q1 4πσC R1 R2

4

Magnetost´ atica

Ao contr´ario do campo el´ectrico em que as cargas s˜ao as fontes ou os sumidouros das linhas de campo, no campo magn´etico n˜ao h´a fontes ou sumidouros porque n˜ao h´a cargas magn´eticas. Na magnetost´atica que trata do campo magn´etico est´atico estudamos o campo magn´etico produzido por correntes estacion´arias. O magnetismo ´e um fen´omeno criado pelo movimento de cargas el´ectricas. Correntes el´ectricas criam campos magn´eticos e estes exercem for¸cas sobre as correntes.

4.1

Lei de Biot-Savart

O resultado fundamental da Magnetost´atica ´e traduzido pela lei de Biot-Savart e pela sua equivalente lei de Amp`ere. Comecemos pela lei de Biot-Savart: para condutores filiformes escreve-se ~ ~ I dl ~ = µ0 i dl × ~r . dB 4π r 3 I~ ~r ⊗ ~ Para o fio todo dB ~ × ~r µ0 Z dl ~ B= i 4π f io r 3 ~ (indu¸ca˜o magn´etica) ´e o Tesla [1 T esla (T ) = 104 Gauss (G)] e em que a unidade de B µ0 = 4π × 10−7 T mA−1 (permeabilidade magn´etica do v´acuo). Como foi dito atr´as os campos magn´eticos exercem for¸cas sobre as correntes, o que ´e expresso pela lei de Laplace que ´e apenas uma forma modificada da for¸ca de Lorentz ~ ~ ~ = dq ~v × B ~ ×B ~ × B. ~ = dq dl ~ = dq dl × B ~ = i dl ~ df dt dt A lei de Biot-Savart desempenha assim para a magnetost´atica o mesmo papel que a lei de Coulomb na electrost´atica. Para uma distribui¸ca˜o de corrente em volume deve fazer-se a

50 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

substitui¸ca˜o

Z

e portanto

f io

~ → i dl

Z

V

J~ dV

Z

J~ × ~r ~ = µ0 B dV 4π V r 3 que ´e a forma da lei de Biot-Savart para correntes em volume. Da mesma forma a lei de Laplace pode escrever-se F~ = i

Z

f io

~ ×B ~ dl

F~ =

→

Z

V

~ dV. J~ × B

Exemplo 1 (lei de Biot-Savart): fio rectil´ıneo ~ apenas depende da distˆancia Partindo da lei de Biot-Savart resulta que a intensidade de B ~ s˜ao portanto circunferˆencias perpendiculares ao fio e com o ao fio e as linhas de for¸ca de B sentido dado pela regra do saca-rolhas. Da figura vˆe-se que ~ idl

R l → dl = tanθ = R cos2 θ e tamb´em, uma vez que R = r cosθ,

α φ ~r

l

~ × ~r = i dl r sinα(−e ~ x) idl ~ x ) = i dl r cosθ(−e ~ x) = = i dl r sinφ(−e ~ x) i dl R (−e

O

θ ⊗ ~ B

R

Portanto ~ = |B|

µ0 i 4π

Z

f io

~ × ~r| |dl µ0 = i 3 r 4π

Z

f io

dl R µ0 = i 3 r 4π

Z

R cos3 θ µ0 R = i 2 3 cos θ R 4π

Z

π 2

− π2

cosθ µ0 i = . R 2πR

~ ao longo de uma circunferˆencia de raio Tendo em vista este resultado, a circula¸ca˜o de B R (linha de for¸ca neste caso) ´e dada por I

~ = |B|2πR. ~ dl ~ B.

~ para uma espira circular sobre o seu eixo e Exemplo 2 (lei de Biot-Savart). Calcular B a uma distˆancia z do seu plano. ´ evidente que as componentes paralelas ao plano da espira se anulam. S´o existe componente E em zz.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

µ0 idl r cosθ. 4π r 3 Da figura vˆe-se que dBz =

r = (z 2 +R2 )1/2 , cosθ =

51

~ dB

R R = 2 , r (z + R2 )1/2

z

~r

donde dBz =

θ

R i µ0 dl. 2 2 2 4π z + R (z + R2 )1/2

R i

Integrando para toda a espira Bz =

I R R2 µ0 i µ0 i dl = . 4π (z 2 + R2 )3/2 2 (z 2 + R2 )3/2

No centro da espira (z = 0): Bz =

µ0 i . 2R

Exemplo 3 (lei de Laplace). Determinar a for¸ca por unidade de comprimento entre dois fios longos, rectil´ıneos e paralelos distanciados de 1m e percorridos por uma corrente de 1A. Suponha que as correntes s˜ao de sentidos opostos. Da figura vˆe-se que correntes de sentidos opostos repelem-se e do mesmo sentido atraem-se. Cada corrente est´a imersa no campo originado pela outra. Portanto aplicando a lei de Laplace e o resultado do exemplo 1 da lei de Biot-Savart

i

i

F








F ⊗

⊗

⊗

⊗









µ0 i µ0 i2 ~ ~ ~ |dF | = i|dl × B| = idl = dl 2πr 2πr donde

µ0 i2 dF = . dl 2πr

´ dado um fio rectil´ıneo infinito percorrido por uma corrente Exemplo 4 (lei de Laplace). E i1 e um circuito rectangular a` sua direita percorrido por uma corrente i2 . Determinar a for¸ca que se exerce sobre o lado horizontal superior do circuito de x = a a x = a + b.

´ Electromagnetismo & Optica

52 Jo˜ao Pulido

F~

A for¸ca ´e paralela ao fio rectil´ıneo e di~ o campo rigida no sentido de i1 . Sendo B criado por i1 , tem-se

F =

4.2

Z

a+b a



µ0 i1 µ0 i1 i2 a+b i2 dl = log . 2πl 2π a



⊗

i1

⊗




⊗

a

i2 R

b

Lei de Amp` ere

Consideremos uma distribui¸ca˜o qualquer de correntes estacion´arias i1 ...in e imaginemos um contorno Γ rodeando estas correntes. Estabelecemos um sentido de circula¸ca˜o em Γ e consideramos positivas ou negativas as correntes consoante tˆem um sentido consistente com ~ o campo criado por estas correntes o da circula¸ca˜o ou n˜ao (regra do saca-rolhas). Se for B temos I X ~ = µ0 ~ dl B. iα Γ

α

que ´e a lei de Amp`ere. A equa¸ca˜o acima traduz a forma integral (global) da lei de Amp`ere. Para obter a forma local usamos o Teorema de Stokes I Z Z −−→ ~ ~ ~ n dS rotB.~n dS = B.dl = µ0 i = µ0 J.~ Γ

S

S

em que S ´e uma superf´ıcie aberta atravessada por uma corrente total i. Igualando as integrandas: −−→ rotB = µ0 J~ que ´e a forma local. Esta ´e uma das equa¸co˜es fundamentais da Magnetost´atica. Tem o ~ = ρ/ e indica que s˜ao as correntes as fontes do campo B. ~ mesmo car´acter que div E Exemplo 1 (lei de Amp`ere). Campo criado por um fio rectil´ıneo muito comprido. Escolhemos para contorno uma circunferˆencia de raio r: I

Γ

~ = µ0 i ~ dl B.

→

~ |B|2πr = µ0 i

→

~ = |B|

µ0 i 2πr

~ e |B| ~ | | dl ~ ´e constante sobre Γ. porque B Exemplo 2 (leis de Biot-Savart e de Amp`ere). Campo no eixo de um solen´oide.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

53

Consideramos o solen´oide como uma distribui¸ca˜o de an´eis de corrente (espiras circulares) e usamos o resultado do exemplo 2 da lei de Biot-Savart µ0 i R B= 2 4π (x + R2 )3/2

I

dl =

R2 µ0 i . 2 (x2 + R2 )3/2

Aplicamos esta express˜ao a um segmento infinitesimal do solen´oide dx. Sendo N/l o n´ umero de espiras por unidade de comprimento, a corrente correspondente ao comprimento dx ´e 

N i dx l



e vai dar origem a um campo infinitesimal dB =





R2 µ0 i N dx . 2 l (x2 + R2 )3/2

Faremos a integra¸ca˜o na vari´avel φ definida na figura: x = R tan φ → dx = R sec2 φ dφ.

l








P ⊗









⊗

⊗

⊗

⊗

R

φ2 φ1

⊗



O

x ⊗

⊗

⊗

N µ0 iN µ0 R 2 i Rsec2 φ dφ = cos φ dφ. dB = 2 2 2 3/2 2(R tan φ + R ) l 2l Integrando de φ1 a φ2 e tendo em aten¸ca˜o que sinφ = x/(x2 + R2 )1/2 vem µ0 iN B= 2l

Z

φ2 φ1

cos φ dφ =

µ0 iN (sin φ2 − sin φ1 ). 2l

(1)

Da figura vˆe-se que sin φ2 = q

l/2 − x

(l/2 − x)2 + R2

e

sin φ1 = − q

l − (l/2 − x)

[l − (l/2 − x)]2 + R2

No centro do solen´oide tem-se (x = 0) 



= −q

l/2 + x (l/2 + x)2 + R2

l/2 1 µ0 iN µ0 iN  l/2 µ iN = 0 q q B= (sin φ2 −sin φ1 ) = +q , 2l 2l 2 (l/2)2 + R2 (l/2)2 + R2 (l/2)2 + R2

54 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

nos extremos tem-se (x = ±l/2) B=

µ0 iN µ0 iN µ0 iN l 1 √ √ = . (sin φ2 − sin φ1 ) = 2 2 2 2l 2l 2 l +R l + R2

Vˆe-se portanto que se o solen´oide for muito longo (l >> R), o campo no seu centro ´e o dobro do campo nos extremos. Nesse caso, partindo da equa¸ca˜o (1) tem-se no centro π φ1,2 ' ± , 2

logo B =

µ0 iN , l

resultado que pode ser obtido muito simplesmente pela lei de Amp`ere. Vejamos como: Consideremos um solen´oide que vamos supor muito longo percorrido por corrente i. Sendo muito longo, podemos admitir que ´e uniforme o campo no seu interior ao longo do eixo, ou seja o efeito do campo nas extremidades ´e desprez´avel. Supomos tamb´em que, em primeira aproxima¸ca˜o, ´e nulo o campo no exterior e aplicamos a lei de Amp`ere ao contorno rectangular Γ cuja circula¸ca˜o ´e feita de acordo com a regra do saca-rolhas, tendo em conta o sentido da corrente. A contribui¸ca˜o dos lados menores do contorno ´e desprez´avel, pois que estes s˜ao t˜ao pequenos quanto se queira, desde que envolvam as espiras. Tem-se ent˜ao I

Γ

~ = µ0 ~ . dl B

Z

S

J~ . ~n dS = µ0 N i

em que N ´e o n´ umero de espiras do solen´oide, pois que a superf´ıcie S ´e atravessada por N espiras. Daqui se conclui N B = µ0 i = µ0 n i l em que n ´e o n´ umero de espiras por unidade de comprimento. ~ criado no interior e no exterior Exemplo 3 (lei de Amp`ere). Determinar o campo B dum cabo rectil´ıneo infinito e raio R percorrido pela intensidade de corrente i distribuida uniformemente na sec¸ca˜o. a) Pontos interiores Problema idˆentico ao do fio infinito sem sec¸ca˜o: Bext =

µ0 i 2πr

b) Pontos exteriores Consideramos uma circunferˆencia interior ao cabo e concˆentrica com este. Integrando sobre esta linha I ~ = Bint 2πr = µ0 i0 ~ int . dl B Γ

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

55

0

em que i ´e a corrente que a atravessa (frac¸ca˜o da corrente que atravessa todo o cabo). Como para uma distribui¸ca˜o uniforme a corrente ´e proporcional a` a´rea atravessada (i = JS): R2 i = . i0 r2 Resulta ent˜ao

0

Bint

4.3

µ0 i r 2 µ0 i r µ0 i = = . = 2 2πr 2πr R 2π R2

Fluxo magn´ etico

´ uma defini¸ca˜o em tudo semelhante a` do fluxo el´ectrico: E Φ=

Z

S

~ ~n dS. B.

~ = W b m−2 = T . As unidades s˜ao [Φ] = W b, portanto [B] Exemplo (fluxo magn´etico): calcular o fluxo atrav´es de um rectˆangulo paralelo a um fio rectil´ıneo percorrido por uma corrente i. i dr

J´a sabemos que B = µ0 i/2πr (exemplo 1, ~ ´e perpendicular lei de Amp`ere) e que B ao plano de escrita dirigido para baixo. Portanto Φ=

Z




⊗

⊗

⊗

⊗

r

µ0 i dS. 2πr



⊗

b ⊗

⊗

⊗

Por outro lado dS = b dr, donde Φ=

4.4

Z

µ0 ib µ0 i b dr = 2πr 2π

Z

a+c a





a+c dr µ0 ib = log . r 2π c

c

a

Movimento de uma carga num campo magn´ etico

Vimos anteriormente (sec¸ca˜o 1.1) que uma carga el´ectrica que se movimenta num campo magn´etico fica sujeita a uma for¸ca perpendicular ao plano da sua velocidade e do campo (for¸ca de Laplace-Lorentz) ~ . F~ = q~v × B

´ Electromagnetismo & Optica

56 Jo˜ao Pulido

~ ´e uniforme e constante, que sem perda de generalidade Suponhamos para simplificar que B est´a dirigido segundo o eixo dos zz. A for¸ca F~ est´a pois no plano Oxy e admitamos que a carga se movimenta no plano Oxy. Por via da perpendicularidade F~ ⊥ ~v vem F~ .~v = 0, ou seja a potˆencia e portanto a energia comunicada pela for¸ca a` carga ´e zero. Pode de facto verificar-se que a sua velocidade n˜ao varia em m´odulo e a energia cin´etica ´e constante: ~ dv d 2 F~ .~v = m . ~v = 0 ⇒ v =0. dt dt Sendo |~v | constante, o m´odulo da for¸ca, F = qvB, ´e constante e uma vez que F~ perpendicular a ~v , trata-se de uma for¸ca centr´ıpeta. A part´ıcula carregada descreve pois uma circunferˆencia com velocidade v e raio r tal que F = qvB = sendo a frequˆencia dada por ω=

mv 2 r

v qB = r m

(frequˆencia do ciclotr˜ao). Podemos chegar a este resultado resolvendo a equa¸ca˜o de movimento m

~ dv ~ = q(vy B e~x − vx B e~y ) . = q(~v × B) dt

Em termos de componentes dvx = qvy B dt dvy m = −qvx B . dt

m

Derivando a primeira equa¸ca˜o, substituindo a segunda na primeira vem m ou seja

q2B2 d2 vx = − vx dt2 m2 



d2 vx qB 2 vx = 0 + dt2 m e do mesmo modo se obtem uma equa¸ca˜o idˆentica para vy . A solu¸ca˜o geral desta equa¸ca˜o ´e do tipo vx = A1 sen(ωt + φ1 ) que representa um movimento oscilat´orio simples com frequˆencia ω=

qB m

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

57

em que A e φ s˜ao as constantes de integra¸ca˜o. N˜ao s˜ao fixadas pelas equa¸co˜es diferenciais de movimento, sendo pois arbitr´arias. Para serem determinadas ´e necess´aria informa¸ca˜o adicional sobre o movimento que em geral ´e dada pelas condi¸co˜es iniciais como veremos a seguir. Tem-se ent˜ao vx = A1 sen(ωt + φ1 ) ,

vy = A2 cos(ωt + φ2 )

que s˜ao necessariamente solu¸co˜es das equa¸co˜es diferenciais. Assim, dvx qvy = B ⇒ A1 ω cos(ωt + φ1 ) = ω A2 cos(ωt + φ2 ) dt m qvx dvy =− B ⇒ − A2 ω sen(ωt + φ2 ) = −ω A1 sen(ωt + φ1 ). dt m Destas equa¸co˜es resulta A1 cos(ωt + φ1 ) = cos(ωt + φ2 ) A2 A1 sen(ωt + φ1 ) = sen(ωt + φ2 ). A2 Elevando ao quadrado e somando membro a membro A21 =1 A22 o que implica A1 = A2 e φ1 = φ2 . As solu¸co˜es s˜ao portanto vx = A sen(ωt + φ) ⇒ x = −

A cos(ωt + φ) + k ω

A 0 sen(ωt + φ) + k . ω 0 Podemos sem perda de generalidade escolher k = k = 0, ou seja a origem ´e de tal modo fixada que a carga oscila a` sua volta. Consideremos agora as seguintes condi¸co˜es iniciais vy = A cos(ωt + φ) ⇒ y =

x0 = 0

v x = v0

cos φ e v0 = A sen φ donde que implicam 0 = − A ω π A = v0 φ= 2 resultando para as equa¸co˜es de movimento A sen(ωt) ω A cos(ωt) . vx = −v0 sen(ωt) y= ω A carga est´a portanto inicialmente situada no eixo dos yy (ordenada A/ω) e descreve um movimento circular no sentido dos ponteiros do rel´ogio. vx = v0 cos(ωt)

x=

58 Jo˜ao Pulido

5 5.1

´ Electromagnetismo & Optica

Campo Electromagn´ etico vari´ avel Lei de Faraday

Esta lei ´e uma das pedras basilares do electromagnetismo e constitui um exemplo da estreita ~ e B. ~ Diz-nos que a varia¸ca˜o do fluxo de B ~ atrav´es de uma rela¸ca˜o entre os campos E superf´ıcie que se apoia sobre um circuito fechado induz no circuito uma f.e.m. . O sentido da corrente induzida ´e tal que origina um fluxo magn´etico φ oposto ao fluxo inicial. Assim Z dΦ ~ ~n dS, , Φ = B. =− dt S ou seja por defini¸ca˜o de f.e.m. I

~ =−d ~ dl E. dt Γ

Z

S

~ ~n dS B.

que ´e a forma integral da lei de Faraday ou da indu¸ca˜o. Para melhor perceber como determinar o sentido da f.e.m. induzida ´e usual recorrer-se a` lei de Lenz: A polaridade da f.e.m. induzida ´e tal que produz uma corrente cujo fluxo magn´etico se op˜ oe a ` altera¸ca ˜o do fluxo inicial. Por outras palavras, a corrente induzida, opondo-se a` varia¸ca˜o de fluxo, tende a manter invariante o fluxo original. Consideremos o exemplo de uma barra condutora que desliza sobre duas calhas tamb´em condutoras, constituindo assim um circuito de a´rea vari´avel. Suponhamos que esse circuito ´e atravessado por um fluxo magn´etico proveniente dum campo dirigido para baixo.

⊗

⊗

⊗

⊗

~v

R ⊗

⊗i

⊗

⊗

Ao mover-se a barra para a direita o fluxo magn´etico atrav´es do circuito aumenta porque a a´rea aumenta. A corrente induzida opor-se-´a a esse aumento, originando portanto um fluxo para cima. O seu sentido ´e pois contr´ario ao dos ponteiros do rel´ogio.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

59

Movendo-se a barra para a esquerda o fluxo diminui porque a a´rea diminui, donde, a corrente induzida gera um fluxo para baixo, sendo portanto no sentido hor´ario. Tudo o que se exige na lei de Faraday ´e que o fluxo varie, o que pode acontecer por ~ fun¸ca˜o do tempo. variar a geometria do circuito, ou mover-se o circuito, ou ser B A equa¸ca˜o acima ´e equivalente a: I

Γ

~ =− ~ dl E.

Z

S

~ dB . ~n dS. dt

Aplicando o Teorema de Stokes I

Γ

~ = ~ dl E.

Z

S

−−→ rotE. ~n dS

e igualando as integrandas obtem-se ~ =− rotE

~ dB dt

que ´e a forma local da lei de Faraday. Esta equa¸ca˜o ´e uma das equa¸co˜es de Maxwell e −−→ generaliza rotE = 0 para o caso dos campos variarem no tempo. Exemplo 1 (lei de Faraday). Seja de novo o circuito anterior em que a barra se move para a direita e calculemos a f.e.m. induzida. Resolu¸ca ˜o ~ Para se determinar o sentido da f.e.m. podemos tamb´em usar a for¸ca de Lorentz: F~ = q~v ×B. O sentido convencional da corrente (cargas positivas) ´e, na barra, para cima, pois a for¸ca de Lorentz ´e dirigida para cima. A corrente ´e pois no sentido anti-hor´ario. A partir da for¸ca de Lorentz

⊗

⊗

⊗

⊗i

⊗

⊗

⊗

⊗

R

~ ~ =F E q

→

=

I

~ =1 ~ dl E. q Γ

I

F~m

~ =1 F~ . dl q

Z

l 0

F~apl ~v

~ =1 qvB F~ . dl q

Z

l 0

dl = v B l

´ Electromagnetismo & Optica

60 Jo˜ao Pulido A partir do fluxo Φ=

Z

S

~ ~n dS = −B l x B.

→

=−

dΦ = B l v. dt

Exemplo 2 (lei de Faraday). Calcular a f.e.m. induzida numa barra condutora de comprimento l que roda no sentido anti-hor´ario com velocidade ω. A barra est´a imersa num ~ perpendicular ao plano de escrita e dirigido para campo magn´etico uniforme e constante B, baixo. ⊗

⊗

~v 



⊗

⊗

l ⊗

⊗

⊗

dr 

O

⊗


Resolu¸ca ˜o ~ fica sujeita Vimos no exemplo anterior que uma barra condutora que se move num campo B a uma f.e.m. induzida dada por  = B l v. As cargas positivas ficam sujeitas a uma for¸ca dirigida para o ponto fixo (centro de rota¸ca˜o) e as negativas para a periferia. Um segmento infinitesimal da barra de comprimento dr fica sujeito a uma f.e.m. d = B v dr. Somando para toda a barra tem-se =

Z

Bv dr = B

Z

l 0

1 ω r dr = B ω l2 . 2

Alternativamente podemos calcular o fluxo elementar dΦ dΦ = B dS = B

1 l dθ l 2

(em que a a´rea elementar dS ´e considerada como um triˆangulo) e dividir por dt: =

dΦ 1 = Bl dt 2

2

dθ 1 = Bl dt 2

2

ω.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

61

Exemplo 3 (lei de Faraday). For¸ca magn´etica numa barra deslizante. Seja a barra deslizante do exemplo 1 de comprimento l e massa m. Suponhamos que a barra est´a inicialmente animada com uma velocidade ~v0 para a direita e ´e em seguida largada. Determinar a velocidade da barra em fun¸ca˜o do tempo.

⊗

⊗

⊗

⊗i

⊗

⊗

⊗

⊗

R

~v0 F~m

Resolu¸ca ˜o Quando a barra est´a em movimento gera-se como vimos uma corrente induzida no sentido contr´ario ao dos ponteiros do rel´ogio. Essa corrente, pela lei de Laplace (-Lorentz) vai por sua vez ser actuada por uma for¸ca magn´etica devida ao campo dada por ~ m = idl ~ ×B ~ dF

→

Fm = −i l B

que aponta para a esquerda (da´ı o sinal (-)), contrariando assim o movimento da barra e a for¸ca que a solicita para a direita. O equil´ıbrio (movimento uniforme) estabelece-se quando as duas for¸cas se compensarem. Deixando de existir a for¸ca para a direita, a u ´ nica for¸ca passa a ser a magn´etica. Pela lei de Newton dv m = −i l B. dt A f.e.m. na barra ´e  = B l v, portanto a intensidade i = B l v/R, donde B 2 l2 dv =− v m dt R ou seja



v log v0

→ 

!

dv B 2 l2 =− t, v Rm !

B 2 l2 =− t. Rm

Finalmente v = v0 e−t/τ

com

τ =

Rm . B 2 l2

´ Electromagnetismo & Optica

62 Jo˜ao Pulido

Portanto a velocidade da barra decresce exponencialmente, o mesmo sucedendo quanto a` corrente e f.e.m. induzidas i=

B l v0 −t/τ Blv = e , R R

 = i R = B l v0 e−t/τ .

Exemplo 4 (lei de Faraday). Seja uma barra condutora de comprimento l que se move paralelamente a` distˆancia a com velocidade ~v de um fio rectil´ıneo infinito percorrido por uma corrente i. Determinar a f.e.m. induzida na barra.

  l

i

a

~v


  

Resolu¸ca ˜o Como vimos o campo criado por um fio rectil´ıneo infinito ´e ~ = µ0 i B 2πr e a f.e.m. induzida numa barra que se move num campo que lhe ´e perpendicular ´e dada por  = B l v. Num segmento dr da barra ´e induzida uma f.e.m. d d = B v dl

→

=v

Z

B dl = v

Z

µ0 µ0 i dr = iv 2πr 2π

Z

dr µ0 i v l+a = log . r 2π a

Aplicando directamente a lei de Faraday =

5.2

d dt

Z

S

B dS =

µ0 i 2π

Z

S

1 dS µ0 i = r dt 2π

Z

l+a a

dr d r dt

Z

x 0

0

dx =

µ0 i l + a dx µ0 i l+a log = log . 2π a dt 2π a

Indu¸ c˜ ao

Vimos no cap´ıtulo anterior que quando o fluxo magn´etico atrav´es de um circuito varia no tempo ´e induzida uma f.e.m. no circuito. O fen´omeno da indu¸ca˜o electromagn´etica tem consequˆencias pr´aticas de que trataremos agora. Consideraremos de in´ıcio a auto-indu¸ca˜o.

´ Electromagnetismo & Optica 5.2.1

Jo˜ao Pulido

63

Auto-indu¸ c˜ ao e indutˆ ancia

Quando um circuito com uma resistˆencia e um anel de corrente ´e ligado, a corrente n˜ao aumenta instantaneamente para o seu valor /R, porque a lei de Faraday o impede. De facto, ao ser ligado o circuito, o fluxo magn´etico atrav´es do anel aumenta com o tempo e este aumento induz uma f.e.m. que se op˜oe como se viu a` f.e.m. do gerador. O resultado ´e o aumento gradual da corrente. Este efeito designa-se auto-indu¸ca˜o porque a varia¸ca˜o de fluxo origina-se no pr´oprio circuito e a f.e.m. que se op˜oe a` que ´e imposta pelo gerador chama-se f.e.m. auto-induzida. Esta f.e.m. ´e proporcional a` varia¸ca˜o de fluxo =−

d Φ dt

~ O campo B ~ ´e por sua vez tamb´em proporcional a` corrente e o fluxo ´e proporcional a B. que percorre o circuito (vd. lei de Biot-Savart). Portanto  = −L

di dt

o que equivale a Φ = L i

em que a constante de proporcionalidade L ´e a indutˆancia do circuito que depende das suas caracter´ısticas geom´etricas e f´ısicas. Exemplo 1 (Indutˆancia do solen´oide) Consideremos um solen´oide com N espiras num circuito percorrido por uma corrente i e calculemos a sua indutˆancia L, admitindo que ´e longo comparado com o raio e que o interior ´e o ar. Resolu¸ca ˜o Sendo percorrido pela corrente i, o campo no seu interior pode ser aproximado como vimos por N B = µ0 i = µ0 ni l em que l ´e o comprimento e n o n´ umero de espiras por unidade de comprimento do solen´oide. Sendo este o campo no interior do solen´oide, o fluxo numa espira ´e φ = B S = µ0 nSi onde S ´e a a´rea da espira e portanto a sec¸ca˜o recta do solen´oide. O fluxo atrav´es do solen´oide ´e N2 Φ = N B S = µ0 nN Si = µ0 Si. l

´ Electromagnetismo & Optica

64 Jo˜ao Pulido

Comparando com Φ = Li obtem-se a indutˆancia L = µ0

N2 S. l

Dados N = 300, l = 25 cm, S = 4 cm2 = 4 × 10−4 m2 e admitindo que a corrente decresce a uma taxa de 50 A s−1 , calcular L e a f.e.m. auto-induzida . De acordo com a defini¸ca˜o tem-se L = µ0

N2 (300)2 (4 × 10−4 m2 ) S = 4π10−7 T m A−1 = 1.81 × 10−4 H (Henry). l 25 × 10−2 m

Para a f.e.m.  = −L

di = −(1.81 × 10−4 H)(−50 A s−1 ) = 9.05 × 10−3 V. dt

Aplica¸ c˜ ao: circuito RL com bateria R



L

i(t)

Ligando o circuito em t = 0, uma vez que a corrente come¸ca a aumentar, a bobina produz uma f.e.m. que se op˜oe a esse aumento e que ´e dada por L = −L

di . dt

Aplicando a lei das malhas vem (aten¸ca˜o ao sentido de circula¸ca˜o)  − iR + L =  − iR − L

di = 0, dt

ou seja a bobina actua como um gerador com polaridade oposta a` da bateria do circuito. Portanto di di dt 1 di dt  − iR = L → = → − = . dt  − iR L R i − /R L Integrando 

 1 − log i − R R



t = + log C L

→



 log i − R



R = − t + log C1 L

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

65

donde

  = C1 e−(R/L)t → i = + C1 e−(R/L)t . R R N˜ao havendo corrente no instante inicial   i(0) = 0 = + C1 → C1 = − . R R Finalmente  i(t) = (1 − e(−R/L) t ). R O tempo caracter´ıstico do circuito (relaxa¸ca˜o) ´e pois i−

τ=

L R

que ´e o tempo ao fim do qual a corrente atinge (1 − e−1 ) ' 0.63 do seu valor final

 . R

iHtL €RΕ 0.63 €RΕ

t

Τ

Para uma bobina com L = 30 mH e uma resistˆencia R = 6Ω, o circuito ter´a um tempo caracter´ıstico de 30 × 10−3 H L = = 5.0ms. τ= R 6Ω

5.3

Energia do campo magn´ etico

A f.e.m. de indu¸ca˜o impede que se estabele¸ca uma corrente instantˆanea no circuito. Portanto ao fechar-se o circuito exerce-se trabalho contra a bobina para ser criada a corrente. Parte desse trabalho ´e dissipado por efeito de Joule na resistˆencia e a outra ´e armazenada na bobina. Partindo da equa¸ca˜o di  = iR + L dt e multiplicando por i obtem-se a potˆencia que o gerador cede ao circuito  i = i2 R + Li

di dt

66 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

que ´e uma express˜ao de conserva¸ca˜o de energia. O termo Li di/dt representa a taxa a que a energia ´e armazenada na bobina: dWm di = Li dt dt que integrando, resulta na energia magn´etica armazenada na bobina quando percorrida pela corrente i, 1 Wm = Li2 . 2 Usando a express˜ao de L e do campo magn´etico B, B L = µ0 n2 S l, B = µ0 n i → i = µ0 n vem !2 1 2 1 B B2 2 Sl. Wm = Li = µ0 n S l = 2 2 µ0 n 2µ0 A quantidade Sl ´e o volume do solen´oide (bobina). Portanto a densidade de energia magn´etica ´e dada por B2 um = . 2µ0 Embora tenha sido deduzida para um solen´oide, esta express˜ao ´e v´alida para qualquer regi˜ao do espa¸co em que exista um campo magn´etico. Notar que ´e semelhante em forma a` equa¸ca˜o da densidade de energia dum campo el´ectrico, 1 ue =  0 E 2 . 2 Em ambos os casos a densidade ´e proporcional ao quadrado da intensidade de campo. Exemplo: corrente estacion´aria e lei de Faraday Um condutor linear infinito ´e percorrido por uma corrente estacion´aria i. Perpendicularmente ao condutor e no mesmo plano afasta-se uma espira rectangular com velocidade ~v constante inicialmente a` distˆancia D.

i

a) Calcular a f.e.m. induzida no rectˆangulo. b) Calcular a f.e.m. se, mantendo o rectˆangulo fixo, a corrente i variar de acordo com i = i0 cos ωt.

a



D



⊗

⊗

b




~v 

⊗

⊗

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

67

Resolu¸ca ˜o a) Como se viu, quer pela lei de Biot-Savart, quer pela de Amp`ere, no lado esquerdo do rectˆangulo e no lado direito tem-se respectivamente µ0 i , 2πD

B0 =

µ0 i . 2π(D + a)

B1 =

Para calcularmos a f.e.m. induzida no rectˆangulo, calculamos as diferen¸cas de potencial ao longo de cada um dos seus lados e depois subtra´ı-mo-las. Assim para o lado esquerdo φ=

Z

t 0

µ0 i dS 2π(D + x)

em que dS = dx dl e x = vt

0

→

dx = v dt

0

Portanto φ=

Z

t 0

0

µ0 i v dt 2π(D + vt0 )

Z

b 0

µ0 i b dl = 2π

Z

t 0

it µ0 i b h vdt 0 log(D + vt ) = 0 D + vt0 2π 0

ou seja φ=

µ0 i b D + v t log . 2π D

A diferen¸ca de potencial aos extremos deste lado ´e pois µ0 i b dφ = ∆V0 = dt 2π

v D D+v t D

=

v µ0 i b . 2π D + v t

E aos extremos do lado direito ∆V1 =

µ0 i b v . 2π D + a + v t

A f.e.m. induzida na barra ´e ent˜ao 



v v µ0 i b µ0 i b a v − .  = ∆V0 − ∆V1 = = 2π D+v t D+a+v t 2π(D + v t)(D + a + v t)

b) O fluxo passa a ser agora (x n˜ao ´e fun¸ca˜o do tempo) Φ= com i = i0 cos ωt

Z

a 0

e

µ0 i dx 2π (D + x)

Z

b 0

 = −dΦ/dt.

µ0 i b dl = 2π

Z

a 0

dx µ0 i b D + a = log D+x 2π D

68 Jo˜ao Pulido

5.4

´ Electromagnetismo & Optica

Corrente de deslocamento

Tudo o que estud´amos at´e agora est´a inclu´ıdo nas seguintes equa¸co˜es ~ dB −−−→ −−−→ ~ = 0 , rot ~ ~ = ρ , div B E=− , rot B = µJ. div E  dt

(2)

At´e ao trabalho de Maxwell (d´ecada de 1870) eram estas as leis conhecidas (embora n˜ao desta maneira compacta). Foi Maxwell quem primeiro notou a importˆancia das combina¸co˜es de derivadas (rot, div, ...). −−−→ Apliquemos a divergˆencia a ambos os membros da lei de Amp`ere. Uma vez que div rot α = 0 para qualquer vector α ~ , vem −−−→ 0 = div rot B = µ div J~

→

div J~ = 0

o que mostra que a lei de Amp`ere s´o ´e v´alida em situa¸co˜es estacion´arias, pois que no caso geral ´e como vimos dρ div J~ = − . dt Por outras palavras a lei de Amp`ere tem de ser alterada para situa¸co˜es n˜ao estacion´arias. A solu¸ca˜o apresentada por Maxwell foi a seguinte: Adicionemos ao lado direito da lei de Amp`ere o termo µ ficando agora

~ ~ dD dE =µ , dt dt

~ = E ~ com D

~ dD −−−→ rot B = µJ~ + µ dt

(3)

~ atrav´es de um circuito ´e igual a` corrente no circuito mais o que se lˆe: a circula¸ca˜o de B ~ fluxo de E no circuito. Aplicando a divergˆencia tem-se agora d ~ 0 = div J~ + div D dt ~ = ρ vem e recordando a lei de Gauss na forma div D dρ =0 div J~ + dt que ´e a equa¸ca˜o da continuidade. Portanto aceitando a forma generalizada da lei de Amp`ere chegamos a` equa¸ca˜o da continuidade, ou seja a conserva¸ca˜o da carga ´e um princ´ıpio contido nas quatro equa¸co˜es de Maxwell (eqs.(2) com a altera¸ca˜o (3)). Vejamos o significado f´ısico do novo termo. Para isso consideremos a carga de um condensador.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

69

Γ

S1 S2

Seja um contorno fechado Γ em torno do condutor e S1 uma superf´ıcie que sobre ele se apoia e que ´e cortada pelo condutor. Sem perda de generalidade podemos consider´a-la plana. Apliquemos a esta superf´ıcie a lei de Amp`ere I

Γ

~ = ~ . dr B

Z

S1

−−−→ rot B . ~n dS = µ0

Z

S1

J~ . ~n dS = µ0 i.

Note-se que neste ponto toda a energia que passa localiza-se sob a forma de corrente no condutor. Seja tamb´em uma superf´ıcie S2 que se apoia em Γ e n˜ao ´e cortada por nen~ em Γ1 ´e a mesma, pois mudar o feitio de uma superf´ıcie hum condutor. A circula¸ca˜o de B imagin´aria n˜ao afecta a f´ısica. Tem-se agora pelo teorema de Stokes Z

d −−−→ rot B . ~n dS = dt S2

Z

S2

~ . ~ndS = µ E

I

Γ

~ ~ . dr. B

Entre as duas armaduras n˜ao passa corrente el´ectrica: passa energia sob a forma de campo el´ectrico. Os dois termos ~ ~ dD dE =µ e µ0 J~ µ dt dt −−−→ combinam-se para dar rot B em todas as zonas do circuito. Vˆe-se assim que o termo adicional, corrente de deslocamento, ´e introduzido para explicar a passagem de corrente em circuitos que n˜ao sejam circula¸co˜es completamente fechadas. Vamos mostrar que ~ dD dt tem o car´acter de uma corrente. Para isso, seja o condensador plano anteriormente considerado em regime vari´avel. Na superf´ıcie S1 tem-se I

Γ

~ =µ ~ . dr B

Z

dQ J~ . ~n dS = µ i(t) = µ , dt S1

pois que a corrente que circula no fio ´e a varia¸ca˜o da carga no condensador. Na superf´ıcie S2 tem-se J~ = 0 porque n˜ao h´a cargas a atravessar o espa¸co entre as armaduras, I

Γ

~ =µ ~ . dr B

Z

S2

~ dD . ~n dS. dt

´ Electromagnetismo & Optica

70 Jo˜ao Pulido

~ e a express˜ao do campo entre armaduras Usando a defini¸ca˜o de D D = E = 

Q σ =σ=  A

obtemos, na aproxima¸ca˜o de s´o existir campo no interior do condensador, µ

Z

S2

Z ~ dD dQ 1 dQ dS = µ . . ~n dS = µ dt A dt S2 dt

−−→ Como este termo se adiciona ao termo da corrente de condu¸ca˜o na equa¸ca˜o (3) de rotB, resulta que ~ dD J~D = dt ´e de facto uma densidade de corrente: corrente de deslocamento como vimos.

5.5

Equa¸ co ˜es de Maxwell

S˜ao as quatro equa¸co˜es fundamentais que descrevem todos os fen´omenos electromagn´eticos. ~ =ρ div D

Lei de Gauss

~ = 0 linhas de campo de B ~ fechadas div B ~ dB −−−→ Lei de Faraday rot E = − dt ~ dD −−−→ rot B = µJ~ + µ Lei de Ampere modificada. dt Esta u ´ ltima equa¸ca˜o cont´em como vimos a equa¸ca˜o da continuidade div J~ +

dρ = 0. dt

Em situa¸co˜es estacion´arias (derivadas em ordem ao tempo nulas) h´a uma separa¸ca˜o entre os fen´omenos el´ectricos e magn´eticos e ´e pois poss´ıvel estud´a-los separadamente. Para campos vari´aveis essa separa¸ca˜o ´e imposs´ıvel. Exemplo: corrente de deslocamento. Calcule a frequˆencia para a qual a a´gua do mar apresenta uma corrente de deslocamento igual a` corrente de condu¸ca˜o no seu interior. Use σH2 O = 5 × 10−3 Ω−1 m−1 e H2 O = 800 . Resolu¸ca ˜o

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

71

A corrente de condu¸ca˜o ´e dada por ~ J~ = σC E

~ dD . J~D = dt

e a de deslocamento

~ dado por E ~ =E ~ 0 cos ω t, vem Sendo o campo E ~ = E ~ = E ~ 0 cos ωt D

→

~ ~ dD dE ~ = = − ω E. dt dt

Igualando as duas correntes (em m´odulo):  ω E = σE

→

ω=

σ = 7.062 × 106 rad s−1 

→

f = 1.124 × 106 s−1 .

Aplica¸ c˜ ao: circuito RLC sem gerador R

C

L

Consideremos o circuito RLC em s´erie em que o condensador est´a inicialmente carregado. Ao fechar-se o circuito o condensador funciona temporariamente como gerador alimentando o resto do circuito. di q = RI + L . VC = V R + V L → C dt A corrente descarrega o condensador, portanto ´e produzida a` custa da diminui¸ca˜o da sua carga, ou seja, i = −dq/dt. Substituindo q d2 q R dq + =0 + 2 dt L dt LC que ´e uma equa¸ca˜o diferencial homog´enea de 2a ordem. A equa¸ca˜o caracter´ıstica escreve-se α2 + 2λα + ω02 = 0

→

α1,2 = −λ ±

q

λ2 − ω02

em que λ =

1 R , ω0 = √ . 2L LC

A quantidade ω0 ´e a frequˆencia pr´opria do circuito. Dois casos h´a a considerar:

´ Electromagnetismo & Optica

72 Jo˜ao Pulido

1. λ < ω0 , caso em que a resistˆencia ´e pequena, que ´e equivalente a R2 1 − <0 2 4L LC faremos

q

q

λ2 − ω02 = i ω02 − λ2 = i ω. As raizes da equa¸ca˜o caracter´ıstica s˜ao α1,2 = −λ±iω

e a solu¸ca˜o ´e de tipo oscilante com frequˆencia ω =

q

ω02 − λ2 < ω02 :

q(t) = e−λ t (C1 eiω + C2 e−iω ) = A e−λ t cos (ωt + φ) (A e φ s˜ao as constantes de integra¸ca˜o). 2. λ > ω0 , caso em que a resistˆencia ´e grande, R2 1 − > 0. 2 4L LC Neste caso n˜ao h´a oscila¸ca˜o: a corrente decai exponencialmente para zero, √ 2 2 √ 2 2 q(t) = C1 e(−λ+ λ −ω0 ) t + C2 e(−λ− λ −ω0 ) t . N˜ao havendo fonte exterior de energia (gerador) e existindo ’atrito’ el´ectrico (resistˆencia com calor de Joule), o sistema acaba por estabilizar: o condensador descarrega-se e deixa de passar corrente. O regime ´e sempre transit´orio.

Aplica¸ c˜ ao: circuito RLC com gerador (caso geral) Seja agora o circuito anterior com uma fonte de energia alternada. A equa¸ca˜o que rege o seu funcionamento ´e q di 0 cos ωt = + L + Ri C dt ). Tem-se ent˜ao (a corrente i n˜ao corresponde a` descarga do condensador:i = dq dt d2 q R dq q 0 + + = cos ωt. 2 dt L dt LC L O integral geral desta equa¸ca˜o ´e como se viu anteriormente a soma do integral da equa¸ca˜o homog´enea (regime transit´orio ou livre) com o integral particular da equa¸ca˜o n˜ao homog´enea. Este u ´ ltimo ser´a um seno ou co-seno: q(t) = k sin(ωt + α).

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

73

As constantes k e α s˜ao determinadas a partir do facto de ser esta express˜ao a solu¸ca˜o particular procurada. Para isso usamos a representa¸ca˜o complexa fazendo q(t) = k ei(ωt+α) , substituimos q(t) na equa¸ca˜o n˜ao homog´enea e obtemos k=q

0 ω 2 R2 + (1/C − ω 2 L)2

e tan α =

(R/L)ω . ω 2 − 1/(LC)

Para a corrente, i(t) = dq/dt, passando para representa¸ca˜o real, i(t) = q

0 R2 + [1/(ωC) − ωL]2

cos(ωt + α).

Esta ´e a solu¸ca˜o de regime for¸cado ou permanente (integral particular da equa¸ca˜o n˜ao homog´enea) que se adiciona a` solu¸ca˜o de regime livre ou transit´orio. A intensidade de corrente ´e m´axima quando ωL =

1 ωC

→

ω 2 = ω02 =

1 , LC

isto ´e quando a frequˆencia aplicada for a frequˆencia pr´opria do circuito. Nesse caso vem i(t) =

0 cos (ωt + π/2). R

O circuito comporta-se ent˜ao como se s´o houvesse resistˆencia. Exemplo. Circuito RC e corrente de deslocamento. Um condensador plano cujo diel´ectrico ´e o ar tem uma a´rea A=10 cm2 e descarrega-se atrav´es de uma resistˆencia R R = 1000Ω ,

C = 10−6 F,

V0 = 100V

a) Determine a corrente que percorre o circuito em fun¸ca˜o do tempo. Quanto tempo leva a perder 99% da carga inicial? b) Determine, em fun¸ca˜o do tempo, o campo magn´etico num ponto A que se encontra a` distˆancia de 10 cm de uma sec¸ca˜o recta do circuito. c) Determine, em fun¸ca˜o do tempo, o campo el´ectrico no interior do condensador. d) Determine, em fun¸ca˜o do tempo e da distˆancia a um eixo coincidente com o fio do circuito, o campo magn´etico no interior do condensador. Resolu¸ca ˜o

´ Electromagnetismo & Optica

74 Jo˜ao Pulido

a) A equa¸ca˜o que rege o funcionamento do circuito ´e q + iR = 0 C

→

dq q R+ =0 dt C

→

dq q =− dt RC

dq dt =− , q RC

→

o que integrando d´a t + log k → q = q0 e−t/(RC) RC em que q0 ´e a carga inicial. O tempo que corresponde a uma perda de 99% desta carga ser´a t1 : log q = −

(1 − 0.99)q0 = q0 e−t1 /(RC)

→

et1 /(RC) = 100

→

t = RC log 100 = 4.6 RC.

Inserindo os valores dados (RC = 103 10−6 = 10−3 s), obtem-se t1 = 4.6 ms. A carga inicial q0 = CV = 10−6 102 = 10−4 C. Quanto a` corrente i=

1 dq 3 =− q0 e−t/(RC) = −0.1 e−10 t . dt RC

b) Recorremos a` equa¸ca˜o de Maxwell-Amp`ere ~ dD −−−→ rot B = µ0 J~ + µ0 dt e integramos ao longo de um contorno (circunferˆencia) de raio 10 cm que envolve o condutor. A superf´ıcie imagin´aria que se apoia sobre esse contorno deve ser escolhida de tal modo que s´o seja atravessada por corrente de condu¸ca˜o: pode ser o pr´oprio c´ırculo. Tem-se ent˜ao I

Γ

~ = µ0 i , ~ . dr B

substituindo vem B 2π 10−1 = 4π 10−7 (0.1) e−10

donde B = 2 × 10−7 e−10

3

t

3t

T.

c) Tratando-se de um condensador plano, o campo el´ectrico ´e E = σ/0 , portanto 3

q0 −t/(RC) 10−4 e−10 t 3 E= e = −3 = 1.13 × 1010 e−10 −12 A0 10 8.85 10

t

V m−1 .

d) No interior do condensador s´o existe corrente de deslocamento. I

Z

~ dD . ~n dS. Γ S 0 dt O contorno de integra¸ca˜o ´e uma circunferˆencia centrada no eixo coincidente com o fio do 0 0 circuito e a superf´ıcie S ser´a o plano desse c´ırculo, S = πr 2 . Portanto B 2π r = µ0 0

dE 0 S dt

→

~ = µ0 ~ . dr B

B=−

8.85 10−12 4π 10−7 2 3 πr 1.13 1010 103 e−10 t . 2π r

Finalmente B = −2π r 10−5 e−10

3

t

T.

´ Electromagnetismo & Optica

6

Jo˜ao Pulido

75

Propriedades magn´ eticas da mat´ eria

O f´ısico Andr´e-Marie Amp`ere (1775-1836) foi o primeiro a atribuir o magnetismo a` existˆencia de pequenas correntes no interior dos materiais, muito antes de ser conhecida a estrutura at´omica da mat´eria (correntes de Amp`ere). Devido a estas correntes todos os materiais s˜ao em maior ou menor escala suscept´ıveis de interagir com campos magn´eticos. Tais correntes s˜ao devidas ao movimento complexo dos a´tomos e dos electr˜oes no interior da mat´eria e o modo como est˜ao organizadas ou desorganizadas determina a maior ou menor capacidade de um material interagir com um campo magn´etico. Imaginemos um pequeno circuito el´ectrico microsc´opico na presen¸ca de um campo magn´etico exterior e admitamos que nesse circuito passa uma corrente i. F~

~ i
dl ~ B ~r µ ~ ~ N ~r ⊗

F~

~ idl

~ do circuito ´e A for¸ca de Lorentz que actua no elemento dl ~ = i dl ~ × B. ~ dF Esta for¸ca ´e, na figura, horizontal. No elemento diametralmente oposto exerce-se uma for¸ca igual e oposta. As duas geram um bin´ario com um momento ~ = 2~r × dF ~ = 2~r × i dl ~ × B. ~ dN O efeito deste bin´ario ´e o de tender a alinhar o circuito perpendicularmente ao campo magn´etico. O vector que multiplica externamente o campo magn´etico ´e ~ = 2 i dA ~n 2~r × i dl ~ e ~n o vector unit´ario perpendicem que dA = r dl ´e a a´rea dos sectores correspondentes a dl ular ao circuito no plano de escrita no sentido da regra da m˜ao direita. Para todo o circuito R tem-se, somando (a a´rea do circuito ´e A = 1/2 dA), µ ~ = i A ~n

76 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

que se designa por momento dipolar magn´etico do circuito (comumente chamado momento magn´etico). O bin´ario que actua sobre o circuito ´e pois dado por ~ =µ ~ N ~ ×B ~ S´o assim N ~ = 0 ‡. e tende a alinhar µ ~ com B. ~ , que O estado magn´etico de uma substˆancia ´e descrito pelo vector magnetiza¸ca˜o, M ´e igual ao momento magn´etico por unidade de volume da substˆancia. Depende do campo magn´etico externo aplicado e da pr´opria substˆancia. ~ 0 criado por um enrolamento no ar. Ao preenchermos o espa¸co interior Seja o campo B ~ =B ~0 + B ~ m em a esse enrolamento por uma substˆancia magn´etica, o campo total passa a B ~ m ´e o campo produzido pela substˆancia. Este termo pode ser expresso em fun¸ca˜o do que B ~ vector M ~ m = µ0 M ~ ~ =B ~ 0 + µ0 M ~. B → B ~ Designando por vector intensidade do campo (ou simplesmente campo magn´etico) H: ~ = B/µ ~ 0−M ~ H vem

~ = µ 0 (H ~ +M ~ ). B

Consideremos a regi˜ao interior a um enrolamento percorrido por uma corrente i. Tratando~ = 0 (n˜ao h´a momentos magn´eticos), portanto B ~ = B ~ 0 = µ0 H ~ se do v´acuo, tem-se M e H = n i. ~ permanece invariante quando se introduz no espa¸co interior uma qualquer O campo H ~ altera-se: aparece o termo µ0 M ~ que ´e devido a` magnetiza¸ca˜o substˆancia, mas o campo B da substˆancia. Para um vasto conjunto de materiais, especificamente os paramagn´eticos e os diama~ e H, ~ gn´eticos, existe uma proporcionalidade entre M ~ = χm H, ~ M onde χm (susceptibilidade magn´etica) ´e um factor adimensional. ~ paralelo a H). ~ χm > 0 Paramagn´eticos (M ~ antiparalelo a H). ~ χm < 0 Diamagn´eticos (M ´ importante notar que a rela¸ca˜o M ~ = χm H ~ n˜ao se aplica aos materiais ferromagn´eticos. E A equa¸ca˜o acima pode ent˜ao escrever-se ~ = µ 0 (H ~ +M ~ ) = µ 0 (H ~ + χm H) ~ = µ0 (1 + χm )H ~ = µH ~ B ~ mas antes efectua uma precess˜ ~ com Na realidade µ ~ n˜ ao se alinha com B, ao em torno da direc¸ca ˜o de B uma velocidade angular ωP ' qe /(2m) (vd. ’The Feynman Lectures on Physics’, vol II, cap 34-3). ‡

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

77

em que se fez µ (permeabilidade magn´etica) µ = µ0 (1 + χm ). Ferromagnetismo As substˆancias ferromagn´eticas contˆem momentos magn´eticos at´omicos devidos ao movimento orbital e ao spin dos electr˜oes t˜ao fortes, que cada momento acaba por se orientar espontaneamente de acordo com o campo magn´etico criado pelos seus vizinhos. Neste caso a magnetiza¸ca˜o pode existir localmente, mesmo sem campo magn´etico exterior aplicado ou com um campo muito fraco. Para estas substˆancias χ >> 1, µ >> µ0 . Os materiais ferromagn´eticos contˆem regi˜oes microsc´opicas – dom´ınios – nos quais os momentos magn´eticos est˜ao alinhados. Tˆem volumes da ordem de 10−12 a 10−8 m3 e contˆem 1017 a 1021 a´tomos. Numa amostra n˜ao magnetizada os dom´ınios est˜ao aleatoriamente orientados, de modo que o momento magn´etico total ´e zero. Quando ´e colocada num campo magn´etico externo, os dom´ınios tendem a alinhar-se com o campo, ficando a amostra magnetizada. Com a remo¸ca˜o do campo retem-se pelo menos temporariamente a magnetiza¸ca˜o na direc¸ca˜o do campo original (o material transforma-se num ´ıman). A altas temperaturas instala-se a desordem e a baixas temperaturas a ordem ´e mais est´avel. ~ os valores de B ~ s˜ao muito grandes. Mas Nos materiais ferromagn´eticos para um dado H a rela¸ca˜o linear ~ =µH ~ B ´e apenas v´alida como aproxima¸ca˜o. De facto para um material inicialmente desmagnetizado pode obter-se uma curva de histerese. (A palavra literalmente significa ficar para tr´as). ~ (com uma corrente na vizinPartindo da substˆancia desmagnetizada e aumentando H ~ atingir uma quase satura¸ca˜o, quando os han¸ca) a magnetiza¸ca˜o ocorre rapidamente at´e B ~ o campo B ~ diminui mas n˜ao ´e zero para H ~ = 0. momentos se alinham. Ao diminuir H, ~ ~ ~ ~ Ao inverter H (H < 0), B acaba por mudar de sinal. Repetindo o processo para H > 0, a traject´oria seguida ´e diferente da inicial.

Ferro, cobalto, n´ıquel, gadol´ınio, dispr´osio s˜ao exemplos de substˆancias ferromagn´eticas. Paramagnetismo Nas substˆancias paramagn´eticas os campos magn´eticos criados pelas correntes de Amp`ere e os momentos magn´eticos microsc´opicos n˜ao s˜ao suficientes para alinhar os circuitos, re-

´ Electromagnetismo & Optica

78 Jo˜ao Pulido

sultando numa orienta¸ca˜o aleat´oria dos dipolos. N˜ao existe portanto uma magnetiza¸ca˜o do meio, a menos que se aplique um campo magn´etico exterior relativamente forte. De qualquer modo, ao orientarem-se por ac¸ca˜o do campo exterior, o correspondente efeito tem de competir com os efeitos do movimento t´ermico. Estas substˆancias podem portanto ser magnetizadas, mas a magnetiza¸ca˜o s´o prevalece enquanto existir o campo exterior e ser´a sempre muito inferior a` das ferromagn´eticas. Para estas substˆancias tem-se 0 < χ << 1

χ ' 10−5 − 10−4 .

com

´ o caso do alum´ınio, c´alcio, cr´omio, platina, magn´esio. E Diamagnetismo ´ um fen´omeno presente em todas as substˆancias e independente da temperatura. Nas E substˆancias diamagn´eticas os a´tomos nem sequer possuem momentos magn´eticos permanentes. S˜ao induzidos apenas ao aplicar-se um campo externo e tendem a contrari´a-lo. Por isso a susceptibilidade ´e negativa χ<0

com

|χ| ' 10−5 − 10−4 .

S˜ao exemplos o bismuto, a prata e o cobre. Exemplo. Magnetiza¸ca˜o Um cilindro de material magn´etico com susceptibilidade χm = 2 × 10−2 tem 20 cm de comprimento e tem enroladas 1500 espiras percorridas por uma corrente i = 2 A. a) Calcule a intensidade do campo magn´etico H no interior do solen´oide. b) Calcule a permeabilidade magn´etica do material.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

79

c) Calcule a magnetiza¸ca˜o produzida e o campo magn´etico B no interior do material. Resolu¸ca ˜o a) H = ni = (1500/0.2)2 = 15000 A m−1 . b) µ = µ0 (1 + χm ) = 4π 10−7 T m A−1 (1 + 0.02) = 1.282 × 10−6 T m A−1 . c) M = χm H = 2 × 10−2 × 15 × 103 = 300 A m−1 , B = 1.282 × 10−6 T m A−1 × 1.5 × 104 A m−1 = 1.92 × 10−2 T.

7 7.1

Ondas Electromagn´ eticas Cargas e correntes nulas

Comecemos por escrever as equa¸co˜es de Maxwell nas regi˜oes do espa¸co em que n˜ao h´a cargas nem correntes ~ =0 div E ~ =0 div B ~ ∂B −−−→ rot E = − ∂t ~ ∂E −−−→ rot B = µ ∂t e apliquemos rotacionais a` lei de Faraday: ~ ∂ −−−→ ∂2E −−−−−−→ rot rot E = − rot B = −µ 2 . ∂t ∂t Por outro lado −−−−−−→ −−−−−−−→ ~ = −∇2 E ~ = −lap E ~ rot rot E = grad div E − ∇2 E em que se aplicou a lei de Gauss no espa¸co sem cargas. Portanto ~ ∂2E ~ ∇ E − µ 2 = 0. ∂t 2

~ D ~ e H. ~ Equa¸ca˜o idˆentica ´e verificada pelos campos B, Para meios condutores mas sem cargas ~ =0 div E ~ =0 div B

(4)

80 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica ~ ∂B −−−→ rot E = − ∂t

~ ∂E −−−→ rot B = µJ~ + µ ∂t e aplicando rotacionais a` lei de Faraday vem agora ~ ∂ −−−→ ∂ J~ ∂2E −−−−−−→ rot rot E = − rot B = −µ − µ 2 . ∂t ∂t ∂t Relembrando

−−−−−−→ ~ rot rot E = −∇2 E

vem

~ ~ ∂2E ∂E ~ − µ 2 = 0. (5) ∇ E−µ σ ∂t ∂t As express˜oes (4) e (5) representam a equa¸ca˜o das ondas, como veremos a seguir, no primeiro caso sem atenua¸ca˜o e no segundo com atenua¸ca˜o do meio. 2

7.2

Equa¸ c˜ ao das ondas

Onda ´e uma perturba¸ca˜o que se propaga no espa¸co com uma certa velocidade. Frente de onda ´e o lugar geom´etrico dos pontos do espa¸co que se encontram na mesma situa¸ca˜o de oscila¸ca˜o, isto ´e que vibram em cada instante com a mesma elonga¸ca˜o e fase. O caso mais simples ´e o de ondas planas, ao qual nos vamos restringir. As ondas dizem-se longitudinais ou transversais consoante a vibra¸ca˜o se faz na direc¸ca˜o de propaga¸ca˜o ou numa direc¸ca˜o perpendicular. Suponhamos para simplificar que a propaga¸ca˜o ´e feita segundo o eixo dos zz e seja u(z, t) a perturba¸ca˜o. Na origem tem-se u(0, t) e a uma distˆancia z tem-se, n˜ao havendo atenua¸ca˜o, u(z, t + θ) = u(0, t) (´e como se o filme que passa na origem no tempo t passasse mais adiante, em z, no tempo t + θ). Sendo v a velocidade de propaga¸ca˜o, u(z, t + z/v) = u(0, t) ,

ou seja u(z, t) = u(0, t − z/v).

Como z e t n˜ao s˜ao independentes (relacionam-se pela velocidade de propaga¸ca˜o), podemos simplesmente escrever u(z, t) = u(t − z/v) ou u(z, t) = u(t + z/v) consoante a propaga¸ca˜o se fa¸ca segundo zz ou −zz.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

81

Vamos mostrar que as perturba¸co˜es u(t ± z/v) (ondas) s˜ao solu¸co˜es da equa¸ca˜o 1 ∂2 u =0 v 2 ∂t2

∇2 u −

~ e B ~ s˜ao ondas que se que s˜ao formalmente idˆenticas a` equa¸ca˜o (4), implicando que E propagam nas regi˜oes em que ρ = 0 e J~ = 0 com uma velocidade v=√ Fa¸camos w = t ± z/v.

1 . µ

∂2 ∂ ∂u ∂ u= = 2 ∂z ∂z ∂z ∂z

∂u ∂w

!

∂w . ∂z

Aplicando a deriva¸ca˜o da fun¸ca˜o composta a ∂ ∂u ∂z ∂w vem ∂2 ∂ u= 2 ∂z ∂z

∂u ∂w

!

∂ ∂w = ∂z ∂w

∂u ∂w

!

∂w ∂z

!2

=

∂2u 1 . ∂w 2 v 2

Do mesmo modo ∂2 ∂ u = ∂t2 ∂t

∂u ∂w

!

∂w ∂ = ∂t ∂w

∂u ∂w

!

∂w ∂t

!2

∂u ∂w

∂ = ∂w

!

=

∂2u ∂w 2

ou seja as duas quantidades s˜ao iguais a` parte o factor 1/v 2 . Portanto ∂2u 1 ∂2u − = 0. ∂z 2 v 2 ∂t2 ~ eB ~ s˜ao pois ondas que se propagam com uma velocidade Os campos E 1 v=√ µ

→

no vazio v = c = √

1  0 µ0

.

Este resultado foi proposto por James Clark Maxwell (1831-1879) em 1862 e demonstrado ` quantidade experimentalmente em 1888 por Heinrich Rudolf Hertz (1857-1894). A c n= = v chama-se ´ındice de refrac¸ca˜o do meio.

s

µ √ =  r µr  0 µ0

´ Electromagnetismo & Optica

82 Jo˜ao Pulido

Tal como anteriormente vamos recorrer no caso das ondas a` representa¸ca˜o complexa. Tratando-se de fen´omenos peri´odicos de argumento t − z/v, s˜ao descritas por fun¸co˜es do tipo seno ou co-seno, logo u(t − z/v)

→

u = u0 sin[ω(t − z/v)]

u = u0 eiω(t−z/v) = u0 eiωt−kz

→

em que ω ´e a frequˆencia angular, u0 a amplitude da onda e k = ω/v o n´ umero de onda. Per´ıodo T ´e o intervalo de tempo m´ınimo ao fim do qual a onda retoma o seu valor: sin[ω(t + T )] = sin (ωt)

→

ω(t + T ) = ω(t + 2π)

→

T =

2π . ω

Frequˆencia f ´e o inverso do per´ıodo (f = 1/T, ω = 2π f ). Comprimento de onda ´e o espa¸co m´ınimo ao fim do qual a onda retoma o seu valor inicial (per´ıodo espacial): sin[k(z +λ)] = sin (kz)

→

k(z +λ) = kz +2π

→

λ=

2π 2πv v = = k ω f

→

λ f = v.

Sendo a direc¸ca˜o de propaga¸ca˜o arbitr´aria, definimos um vector de onda ~k = k ~n = 2π ~n λ que ´e dirigido no sentido da propaga¸ca˜o, e a express˜ao do campo el´ectrico generaliza-se ~ = E~0 e[i(ωt−kz)] E

→

~ = E~0 e[i(ωt−~k E

. ~r)]

~ para a onda plana Ac¸ca˜o dos operadores ∂/∂t e ∇ ∂ ~ ∂ e E = E~0 ∂t ∂t

[i(ωt−~k. ~r)]

~ = i ω E.

~ tem car´acter vectorial, h´a que definir o tipo de produto. Assim para o Uma vez que ∇ produto interno ~ E ~ = ∂ Ex + ∂ Ey + ∂ Ez = (−ik x E 0x − ik y E 0y − ik z E 0z )e[i(ωt−~k ∇. ∂x ∂y ∂z e para o produto externo tem-se obviamente ~ ×E ~ = −i ~k × E. ~ ∇

. ~r)]

~ = −i~k . E

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

83

Car´acter transversal das ondas electromagn´eticas ~ = ∇. ~ E ~ = 0 e div B ~ = ∇. ~ B ~ = 0 implicam As equa¸co˜es div E ~k . E ~ = ~k . B ~ =0 → E ~ , B ~ (H) ~ ⊥ ~k

~ eH ~ oscilam num plano perpendicular a` direc¸ca˜o de propaga¸ca˜o, o ou seja, os vectores E plano de onda. ~ eB ~ Rela¸ca˜o entre E Vimos que as equa¸co˜es de Maxwell para a propaga¸ca˜o das ondas e.m. se escrevem ~k . E ~ = 0 , ~k . B ~ = 0 , − i ~k × E ~ = −iω B ~ , − i ~k × B ~ = µiω E. ~ ~ = iω B ~ resulta pois que os vectores ~k, E ~ eB ~ formam um triedro Da lei de Faraday ~k × E ~ ~ ~ ~ directo. E e B (ou E e H) s˜ao perpendiculares entre si e a` direc¸ca˜o de propaga¸ca˜o. Essa perpendicularidade permite escrever as leis de Faraday e de Maxwell-Amp`ere em m´odulo como µω E. k E = ω B e k B = µω E donde B = k Partindo da lei de Maxwell-Amp`ere e inserindo ω = 2πf e k = 2π/λ vem B = λ f µ E =

λf E E= . 2 c c

Por outro lado da equa¸ca˜o (lei de Faraday) ~ = −i ω B ~ = −i ω µ H ~ −i ~k × E ou seja ~ = |k| ~n × E ~ = ω ~n × E ~ = 1 ~n × E ~ ~ = 1 ~k × E H ωµ ωµ ωvµ vµ em que ~n ´e o versor da direc¸ca˜o de propaga¸ca˜o. Substituindo v 1 vem v=√ µ ~ = H que ´e usual escrever-se

s

 ~ ~n × E µ

~ = 1 ~n × E. ~ H Z

A quantidade

r

µ  designa-se por impedˆancia de onda. Tem-se para o v´acuo Z=

Z=

s

µ0 = 377 Ω. 0

´ Electromagnetismo & Optica

84 Jo˜ao Pulido 7.2.1

Polariza¸ c˜ ao

~ 0 (ou H ~ 0 ). E ´ habitual fazer-se o A informa¸ca˜o sobre a polariza¸ca˜o est´a contida no vector E ~ estudo em termos do campo E. Sendo +zz a direc¸ca˜o de propaga¸ca˜o o campo el´ectrico escreve-se ~ =E ~ 0 ei(ωt−kz) = E0x ei(ωt−kz) e~x + E0y ei(ωt−kz) e~y E em que E0x , E0y podem ser reais ou complexos. Resulta da´ı que quer as fases quer os m´odulos de E0x e E0y podem ser iguais ou diferentes. ~ 0x | = | E ~ 0y | = E0 ) e fases diferentes. Para 1o caso - polariza¸ca ˜o circular - m´odulos iguais, (|E tornar a discuss˜ao mais clara consideremos os casos de uma diferen¸ca de fase δ = ± π2 no plano z = 0. a) δ = π2 No instante t = 0 tem-se π

Ex = E 0 , Ey = E 0 ei 2

e tomando as partes reais,

Ex = E0 , Ey = 0.

No instante t = 0+ tem-se π

Ex = E0 eiωt , Ey = E0 ei(ωt+ 2 ) → Ex = E0 cos ωt < E0 , Ey = −E0 sen ωt < 0 o que corresponde a uma rota¸ca˜o no sentido hor´ario. Diz-se que a onda tem polariza¸ca˜o circular direita ou helicidade negativa (sentido contr´ario ao da progress˜ao do saca-rolhas). y

z




y

~ E0 E

z

E0



x

~ E

x

b) δ = − π2 Partindo de Ex = E0 , Ey = 0 (em t = 0), tem-se para t = 0+ Ex = E0 cos ωt < E0 , Ey = E0 sin ωt o que corresponde a uma rota¸ca˜o no sentido anti-hor´ario. Diz-se que a onda tem polariza¸ca˜o circular esquerda ou helicidade positiva como se indica na figura seguinte (sentido da progress˜ao do saca-rolhas).

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

y

z




85

y

~ E0 E

z



x

~ E0 E

x

~ 0 x | = E 0 , |E ~ 0y | = E 0 . 2o caso - polariza¸ca ˜o linear - m´odulos diferentes, fases iguais, |E 0 Para t = 0 0 Ex = E 0 , Ey = E 0 e para t = 0+ 0

Ex = E0 cos ωt , Ey = E0 cos ωt ou seja 0

Ey E = 0 = tanθ Ex E0 0 ~ tem uma u ~ ´e constante no tempo, portanto o vector E ´ nica direc¸ca˜o. Se E0 = E0 vector E coincide com a recta y = x (θ = π4 ). Pelo que acabamos de ver, a diferen¸ca de fase implica rota¸ca˜o do campo no plano de onda. Os casos de m´odulos diferentes e fases diferentes correspondem a`s polariza¸co˜es el´ıpticas que n˜ao vamos analizar § .

Exemplo Polariza¸ca˜o de uma onda plana. O campo magn´etico de uma onda plana que se propaga no v´acuo ´e dado por Hx = +6 × 10−3 sin(7.5 × 106 t − 3 × 102 y) A m−1 Hy = 0 Hz = −6 × 10−3 cos(7.5 × 106 t − 3 × 102 y) A m−1 ~ a) Calcule o campo el´ectrico E. b) Descreva o seu estado de polariza¸ca˜o. Resolu¸ca ˜o ~ =H ~ 0 ei(ωt−~k Comparando com a express˜ao H §

. ~r)

vˆe-se que a onda se propaga segundo

Estes casos est˜ ao tratados na sua generalidade em ’Electromagnetismo’ (A.B.Henriques e J.Rom˜ ao, IST Press, p.180)

´ Electromagnetismo & Optica

86 Jo˜ao Pulido

+yy. Portanto o vector de onda ~k = 2π ~n em que ~n = (0, 1, 0). λ a) Partimos da equa¸ca˜o de Amp`ere-Maxwell ~ ∂E −−−→ rot H =  ∂t

→

~ =iωE ~ − i~k × H

→



~ Portanto o campo E:

~ ~ ~ = − k × H = − 2π ~n × H. ~ E ω λω



~ex ~ey ~ez   ~ ~n × H = det  0 1 0  = Hz ~ex − Hx ~ez . Hx 0 H z

Ex = −

k Hz ω

Ey = 0 Ex =

k Hx ω

b) Quanto a` polariza¸ca˜o, se representarmos o vector no plano OXZ (y = 0), vemos que no instante t = 0 Hx = 0 e Hz (0) = −6 × 10−3

e no instante t = 0+ vem Hx > 0 e Hz > Hz (0) com Hz < 0, portanto a rota¸ca˜o ´e no sentido anti-hor´ario. Como a propaga¸ca˜o ´e no sentido +yy, trata-se do sentido oposto a` regra da m˜ao direita → a polariza¸ca˜o ´e circular direita (helicidade negativa). z

z

y

⊗

y

H0 ~ H H0

x

⊗

H0 ~ H

x

H0

De acordo com o que vimos anteriormente, como as fases s˜ao diferentes para as componentes Hx e Hz , a polariza¸ca˜o n˜ao pode ser linear, sendo portanto circular ou el´ıptica: uma ~ 0x | = | H ~ 0z |, ser´a circular. vez que |H

´ Electromagnetismo & Optica

7.3

Jo˜ao Pulido

87

Energia do campo electromagn´ etico

Partimos das equa¸co˜es de Maxwell ~ ~ ×E ~ = − ∂B ∇ ∂t

~ ~ ×H ~ = J~ + ∂D , ∇ ∂t

,

~ a segunda por E ~ e subtraimos a primeira da multiplicamos internamente a primeira por H, segunda ~ ~ ~ .∇ ~ ×H ~ −H ~ .∇ ~ ×E ~ =E ~ . J~ + E ~ . ∂D + H ~ . ∂B . E ∂t ∂t Aplicando a identidade ~ .E ~ ×H ~ ≡H ~ .∇ ~ ×E ~ −E ~ .∇ ~ ×H ~ ∇ vˆe-se que o segundo membro ´e o sim´etrico do primeiro membro da equa¸ca˜o anterior, ou seja ~ ~ ~ . ∂B ~ .E ~ ×H ~ = −E ~ . J~ − E ~ . ∂D − H ∇ ∂t ∂t

→

~ ~ ~ .E ~ ×H ~ +E ~ . J~ = −E ~ . ∂D − H ~ . ∂B . ∇ ∂t ∂t

Admitindo , µ constantes, portanto a excluindo a histerese e logo o ferromagnetismo, s˜ao v´alidas as seguintes substitui¸co˜es ~ ~ . D) ~ ~ . ∂D = 1 ∂ (E E ∂t 2 ∂t

e

~ ~ . ∂B = 1 ∂ (H ~ . B) ~ H ∂t 2 ∂t

das quais resulta

1∂ ~ ~ ~ . B) ~ = div(E ~ × H) ~ +E ~ . J. ~ (E . D + H 2 ∂t ~ .D ~ =  E2 e H ~ .B ~ = B 2 /µ s˜ao respectivamente as densidades de energia Recorde-se que E el´ectrica e magn´etica (`a parte 1/2). Portanto integrando para todo o volume preenchido com o campo electromagn´etico −

∂ − ∂t

Z

V

u dV =

Z

V

~ × H) ~ dV + div(E

Z

V

~ . J~ dV E

em que u representa a densidade de energia electromagn´etica e o primeiro membro representa assim o d´ebito de energia a partir do volume V . Aplicando o teorema da divergˆencia ao primeiro termo do segundo membro Z Z ∂ Z ~ ~ . J~ dV (Σ . ~n) dS + E − u dV = ∂t V V S

~ = E ~ × H, ~ vector de Poynting. Esta equa¸ca˜o representa o teorema de em que se fez Σ Poynting que traduz o balan¸co energ´etico do campo electromagn´etico.

88 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

Consideremos uma carga el´ectrica dq = ρ dV num campo el´ectrico que como sabemos fica sujeita a uma for¸ca ~ =ρE ~ dV, dF sendo portanto acelerada, ou seja recebe energia do campo. A energia por unidade de tempo (potˆencia) dW ~ . ~v = ρ E ~ . ~v dV = E ~ .J~ dV. = dF dt Concluimos assim que o segundo termo do segundo membro do teorema de Poynting representa a potˆencia cedida pelo campo a`s cargas, que ´e dissipada por efeito de Joule. Uma vez que no v´acuo n˜ao h´a cargas, n˜ao existe energia dissipada, por isso n˜ao h´a atenua¸ca˜o. O teorema de Poynting afirma pois que o d´ebito de energia electromagn´etica num volume ~ atrav´es da sua superf´ıcie lim´ıtrofe mais a potˆencia cedida ´e igual ao fluxo do vector Σ pelo campo a`s cargas que se encontrem nesse volume. Este teorema representa assim a ~ s˜ao W m−2 . conserva¸ca˜o da energia e as unidades de Σ ~ mede o fluxo de energia por unidade de tempo e de a´rea perpendicular A quantidade |Σ| a` direc¸ca˜o de propaga¸ca˜o. Aparece em todas as considera¸co˜es electromagn´eticas de car´acter energ´etico. Caso das ondas planas ~ eB ~ s˜ao perpendiculares, |Σ| ~ pode escrever-se Uma vez que E Σ=

E2 c EB = = B2 µ0 cµ0 µ0

que s˜ao equa¸co˜es instantˆaneas, ou seja, v´alidas em cada instante de tempo. Do ponto de vista f´ısico a quantidade mais importante ´e o valor m´edio no tempo do vector de Poynting designado a intensidade da onda, I. Essa m´edia (calculada sobre um ou mais per´ıodos) envolve a m´edia de um cos2 ou sin2 que ´e 1/2. Portanto I =< Σ >=

E02 c 2 = B 2c µ0 2µ0 0

em que E0 e B0 s˜ao os valores de pico dos campos. Recordando que as densidades de energia el´ectrica e magn´etica instantˆaneas s˜ao 1 ue =  0 E 2 , 2 tem-se um =

um =

B2 2µ0

B2 E2 E2 0 = 2 = = E 2, 2µ0 2c µ0 2µ0 /(0 µ0 ) 2

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

89

ou seja, as densidades de energia el´ectrica e magn´etica s˜ao iguais em cada instante. Portanto num dado volume a energia ´e igualmente partilhada pelos dois campos. A energia total ´e pois B2 2 . u = ue + um =  0 E = µ0 Todas estas rela¸co˜es s˜ao instantˆaneas excepto I =< Σ >. O valor m´edio no tempo da densidade de energia ´e 1 B2 < u >= 0 E02 = 0 , 2 2µ0 ou seja I =< u > c = uav c. Por outras palavras a intensidade de uma onda electromagn´etica ´e igual ao valor m´edio da sua densidade de energia multiplicada pela velocidade da luz. Exemplo. Vector de Poynting (onda plana). Considere uma onda e.m. plana em que ~ = A~ex + B~ey e H ~ = C~ex + D~ey . E a) Diga em que direc¸ca˜o se propaga a onda. b) Escreva as componentes (C,D) em fun¸ca˜o de A e B. c) Escreva as componentes do vector de Poynting. ~ e (A,B). d) Mostre a rela¸ca˜o entre |Σ| Resolu¸ca ˜o a) Na direc¸ca˜o zz. q ~ = /µ (~n × E) ~ e admitindo que o sentido de propaga¸ca˜o ´e +zz vem b) Dado que H ~ = H

s





s ~ex ~ey ~ez     det  0 0 1  = (−Ey ~ex + Ex~ey ) µ µ Ex Ey Ez

e portanto

s

 B, C=− µ

D=

s

 A. µ

c) 







~ex ~ey ~ez ~ex ~ey ~ez    ~ = det  Σ ez = Σz ~ez .  Ex Ey Ez  = det  A B 0  = (AD − BC) ~ Hx Hy Hz C D 0

90 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

d) 2 ~ = |E ~ × H| ~ = E = 1 (A2 + B 2 ) = |Σ| vµ vµ

s

 2 E2 (A + B 2 ) = . µ Z

Exemplo. Vector de Poynting (fio condutor). Um fio condutor infinito de resistˆencia R, raio a e comprimento l ´e percorrido por uma corrente constante i. Calcular o vector de Poynting para este condutor. Resolu¸ca ˜o Sendo V a diferen¸ca de potencial entre os extremos do fio, o campo el´ectrico ser´a E = V /l dirigido no sentido da corrente. O campo magn´etico, como vimos pelas leis de Amp`ere e de Biot-Savart, ´e dado por µ0 i B= 2πa e o vector de Poynting ~ ~ ~ = E×B Σ µ0 ~ eB ~ s˜ao perpen´e pois dirigido radialmente para o interior do condutor. Uma vez que E diculares entre si, EB µ0 i V R i2 R i2 Σ= = = = µ0 2 π µ0 l a 2πla A em que A ´e a a´rea lateral do condutor, ou seja Σ A = R i2 . Vˆe-se portanto que a taxa de energia electromagn´etica (energia por unidade de tempo) para dentro do fio ´e igual a` potˆencia dissipada por efeito de Joule no fio.

´ OPTICA

92 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

Vimos anteriormente que as frentes de onda s˜ao os lugares geom´etricos dos pontos correspondentes a` mesma fase de oscila¸ca˜o. As linhas que lhes s˜ao perpendiculares s˜ao os raios. D˜ao-nos a direc¸ca˜o de propaga¸ca˜o da onda. No caso da fonte emissora estar muito distante as frentes de onda s˜ao aproximadamente planas e os raios s˜ao paralelos.

1 Reflex˜ ao Ocorre quando uma onda incide numa superf´ıcie de separa¸ca˜o de dois meios. Podemos facilmente deduzir a lei fundamental da reflex˜ao partindo do princ´ıpio que todos os pontos de uma frente de onda tˆem a mesma fase. Consideremos a frente de onda AB representada 0 0 que corresponde aos raios α e β e que, reflectidos, v˜ao dar origem a α e β . A nova frente 0 0 de onda ir´a ser A B .

α

α0

β

β0

B A0 B0

A

Para que AB seja uma frente de onda, as fases nos pontos A e B xA ) v xB φB = ωt − k xB = ω(t − ) v 0 0 0 0 ter˜ao de ser iguais, ou seja xA = xB . Para que A B tamb´em o seja as fases em A B φA = ωt − k xA = ω(t −

xA + AA0 ) φA = ω(t − v 0

0

xB + BB 0 ) v ser˜ao tamb´em iguais, o que obviamente implica 0

0

φB = ω(t −

AA0 = BB 0 . Da figura tem-se que e

AA0 = AB 0 cosA0d AB 0

d0 A BB 0 = AB 0 cosBB

´ Electromagnetismo & Optica donde resulta

Jo˜ao Pulido

93

d0 A. A0d AB 0 = BB

Estes s˜ao os complementos do aˆngulo de reflex˜ao e de incidˆencia, portanto estes dois aˆngulos s˜ao iguais.

2 Refrac¸ c˜ ao Ocorre quando a luz atravessa uma superf´ıcie de separa¸ca˜o de dois meios e tem a ver com o aparecimento de uma nova onda, a onda refractada ou transmitida. Sendo a frequˆencia uma caracter´ıstica do emissor e n˜ao do meio, ´e igual para os raios incidente e refractado. Como veremos em seguida, a velocidade de propaga¸ca˜o depende do meio, resultando, atrav´es da rela¸ca˜o λf =v, ´ habitual caracterizarque o comprimento de onda da radia¸ca˜o tamb´em depende do meio. E se o meio de propaga¸ca˜o pelo seu ´ındice de refrac¸ca˜o n=

c v

onde c e v s˜ao as velocidades de propaga¸ca˜o no v´acuo e no meio considerado. 0 0 Seja ent˜ao uma onda representada por dois raios, sejam AB, A B duas frentes e 6 i, 6 r os aˆngulos de incidˆencia e refrac¸ca˜o respectivamente.

B

i

B0 A

i r

r A0

Os segmentos AA0 e BB 0 ter˜ao de ser percorridos no mesmo tempo, uma vez que quer 0 0 AB, quer A B est˜ao em fase ou seja AA0 = vr ∆t e BB 0 = vi ∆t portanto as velocidades de propaga¸ca˜o nos dois meios s˜ao diferentes. Da figura tem-se que sin6

BB 0 i= AB 0

e

sin6

AA0 r= . AB 0

´ Electromagnetismo & Optica

94 Jo˜ao Pulido

Dividindo as duas igualdades vem sin6 i BB 0 nr vi = = = 0 6 sin r vr ni AA

Lei de Snell − Descartes

em que nr e ni s˜ao os ´ındices de refrac¸ca˜o dos dois meios. Na passagem para meios mais refringentes os raios luminosos aproximam-se pois da normal e a velocidade de propaga¸ca˜o decresce. Uma vez que a frequˆencia se mant´em por ser uma caracter´ıstica do emissor, tem-se f=

vr vi = λi λr

λi vi nr = = λr vr ni

⇒

portanto, ao passar para um meio mais refringente, o comprimento de onda diminui.

ni

nr > n i

λi

λr < λ i

Para todos os materiais (vidro, acr´ılico, diamante, quartzo,...) verifica-se experimentalmente que o ´ındice de refrac¸ca˜o aumenta com a frequˆencia, ou seja, diminui com o comprimento de onda. Isso implica, pela lei de Snell, que as frequˆencias mais altas sofrem um desvio maior ao atravessarem uma superf´ıcie de separa¸ca˜o, o que para uma luz com v´arios comprimentos de onda se traduz no fen´omeno da dispers˜ao. Assim, no caso da luz solar, pode obter-se a sua decomposi¸ca˜o espectral em que o violeta se desvia o m´aximo da direc¸ca˜o inicial, o vermelho o m´ınimo e as restantes cores se situam entre os extremos. Quando a luz passa de um meio mais para um menos refringente, os raios afastam-se da normal e se o aˆngulo de incidˆencia for suficientemente grande, pode dar-se o fen´omeno da reflex˜ao total (6 r = π/2) no qual se baseia o funcionamento das fibras o´pticas. Esse

nr ni ic

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

95

aˆngulo de incidˆencia ´e o chamado aˆngulo cr´ıtico. Tem-se ent˜ao nr sin 6 ic = = sin 6 ic ni sin 6 r e n˜ao h´a passagem de energia de um meio para o outro.

3 Princ´ıpio de Fermat Um princ´ıpio geral que pode ser usado para determinar o percurso dos raios luminosos foi desenvolvido por Pierre de Fermat (1601-1665). Esse princ´ıpio tamb´em designado de percurso m´ınimo estabelece o seguinte: A traject´ oria seguida por um raio luminoso entre dois pontos ´e aquela que corresponde ao tempo m´ınimo de percurso. Uma consequˆencia evidente deste princ´ıpio ´e a de que quando os raios luminosos se deslocam num meio homog´eneo, as suas traject´orias s˜ao linhas rectas pois correspondem a` distˆancia m´ınima entre dois quaisquer pontos. Seguidamente demostraremos como o princ´ıpio de Fermat implica a lei de refrac¸ca˜o (Snell) e vice-versa. P

r1

a θ1 n1 n2

d−x

x θ2

r2

b Q

Seja um raio luminoso que se desloca de P (meio 1) para Q (meio 2). Estes pontos est˜ao a`s distˆancias a e b da interface. Sendo c/n1 e c/n2 as velocidades da luz nos meios 1 e 2 respectivamente e usando a geometria da figura, vˆe-se que o tempo de percurso de P a Q ´e q √ 2 2 b2 + (d − x)2 r1 r2 a +x t= + = + v1 v2 c/n1 c/n2 Obtem-se o tempo m´ınimo derivando e igualando a zero dt n1 x n2 (d − x) = − 2 =0. 2 2 1/2 dx c(a + x ) c[b + (d − x)2 ]1/2

(6)

96 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

Pode verificar-se que a solu¸ca˜o desta equa¸ca˜o ´e um m´ınimo da fun¸ca˜o t(x). De facto a segunda derivada ´e positiva para qualquer valor de x n1 n2 d2 t a2 b2 = + >0. dx2 c(a2 + x2 )1/2 a2 + x2 c[b2 + (d − x)2 ]1/2 b2 + (d − x)2 A partir da figura reconhece-se facilmente sinθ1 e sinθ2 na equa¸ca˜o (6) que pode portanto escrever-se n1 sinθ1 = n2 sinθ2 ou seja a lei de Snell. Usando um procedimento semelhante pode facilmente verificar-se a lei da reflex˜ao.

4 Princ´ıpio de Huygens. Interferˆ encias A teoria ondulat´oria da luz foi proposta inicialmente pelo f´ısico holandˆes Chistian Huygens (1629-1695), que em contraponto a` teoria corpuscular, considerou a luz como uma forma de movimento de ondas, embora n˜ao tivesse conhecimento sobre o seu car´acter electromagn´etico. O Princ´ıpio de Huygens pode ser enunciado do seguinte modo: Todos os pontos de uma frente de onda s˜ ao fontes pontuais de ondas esf´ericas secund´ arias que se propagam com a mesma frequˆencia e velocidade que a onda prim´ aria. Em qualquer instante posterior a frente de onda ´e a superf´ıcie envolvente dessas ondas secund´ arias.






Uma consequˆencia imediata deste princ´ıpio s˜ao as interferˆencias, fen´omeno caracteristicamente ondulat´orio. O exemplo cl´assico usado para mostrar interferˆencias ´e a experiˆencia dos orif´ıcios de Young (1803). A luz que incide a partir duma fonte luminosa S passa por dois orif´ıcios a uma distˆancia relativa d que est˜ao na mesma frente de onda e por isso na mesma fase. Funcionam pois como duas fontes pontuais de ondas secund´arias que incidem num alvo a distˆancia D do plano de orif´ıcios. Se a diferen¸ca de percursos percorridos pelos raios que chegam ao alvo for um n´ umero inteiro de comprimentos de onda, as ondas nesse ponto est˜ao em fase, o que corresponde a um ponto luminoso no alvo. Sendo essa diferen¸ca um n´ umero ´ımpar de semi-comprimentos de onda, as ondas est˜ao em oposi¸ca˜o de fase e tem-se um ponto escuro.

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

97

r1 y θ

r2

θ

d x

D

Seja y a distˆancia entre um ponto gen´erico do alvo e o seu centro tomado na perpendicular do ponto m´edio entre os dois orif´ıcios. Na aproxima¸ca˜o de y << D os dois raios podem considerar-se paralelos e a diferen¸ca de percursos r2 − r1 ser´a r1 − r2 = x ' d sinθ . Na mesma aproxima¸ca˜o θ ´e o aˆngulo entre a bissectriz dos dois raios e a referida perpendicular e tem-se y ' sinθ. tanθ = D Para um m´aximo de intensidade tem-se ent˜ao r1 − r2 = d sin θ = n λ e para um m´ınimo



1 r1 − r 2 = n + 2



λ

n = 0, ±1, ±2, ... n = 0, ±1, ±2, ...

donde



n+

1 2



λ nλ e ymin = D . (7) d d Esta an´alise pode ser feita em termos dos campos el´ectricos das ondas emergentes dos dois orif´ıcios. Representemos esses campos por ymax = D

E1 = E0 sin ω t

e

E2 = E0 sin (ω t + φ).

Recordando a representa¸ca˜o gen´erica de uma onda plana ~ = E~0 ei(ω E

t−~k.~r)

´ Electromagnetismo & Optica

98 Jo˜ao Pulido

vemos que a diferen¸ca de fase φ ´e dada por φ = k (r2 − r1 ) =

2π 2π (r2 − r1 ) ' d sinθ. λ λ

O campo el´ectrico em qualquer ponto P do alvo ´e EP = E1 + E2 = E0 [sin ωt + sin (ωt + φ)]. Usando a express˜ao da trigonometria 





A+B A−B sinA + sinB = 2 sin cos 2 2 vem

!



!

φ φ EP = 2E0 cos sin ωt + . 2 2 Portanto o campo el´ectrico em P tem a mesma frequˆencia ω e a sua amplitude vem multiplicada por 2cos(φ/2). Se a diferen¸ca de fase for φ = 0, 2π, 4π, ... h´a uma interferˆencia construtiva no ponto P , se for φ = π, 3π, 5π, ..., a interferˆencia ´e destrutiva. A intensidade luminosa em P obtem-se como se viu do valor m´edio do vector de Poynting φ 1 0 I =< Σ >= 0 < EP2 > c = c 4 E02 cos2 2 2 2

!

1 2

(o factor adicional 1/2 prov´em do valor m´edio no tempo de sin2 (ωt + φ/2)). Finalmente I ' 0 c

E02

cos

2





!

π πd y d sinθ = 0 c E02 cos2 . λ λ D

(8)

Interferˆencia construtiva, que produz intensidade m´axima, ocorre quando o argumento (π d y)/(λ D) ´e um m´ ultiplo inteiro de π correspondendo a y=

λD n d

que ´e consistente com a equa¸ca˜o (6). Vemos assim que o fen´omeno da interferˆencia de duas fontes depende da fase relativa das ondas no ponto considerado. Essa diferen¸ca de fase depende por sua vez da diferen¸ca de distˆancias percorrida pelas ondas. Alternativamente a intensidade resultante pode ser calculada a partir de 1 1 I = 0 c < (E1 + E2 )2 >= 0 c (< E12 > + < E22 > +2 < E1 E2 >) 2 2

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

99

em que o termo de interferˆencia 2 < E1 E2 > = 2E02 < sin ωt sin (ω t + ϕ) > = 2E0 2 < sin2 ωt cosϕ + sin ωt cos ωt sin ϕ > = E0 2 cosϕ + 2E0 2 sinϕ < sin ωt cos ωt > Z 1 T = E0 2 cosϕ + 2E0 2 sinϕ sin ωt cos ωt dt T 0 " #T 1 sin2 ωt 2 2 = E0 cosϕ + 2E0 sinϕ T 2 0 = E0 2 cosϕ vindo a intensidade !



E02 E02 ϕ π 1 + + E02 cosϕ = 0 c E02 cos2 ' 0 c E02 cos2 d sinθ I = 0 c 2 2 2 2 λ



que ´e a equa¸ca˜o (7). Vˆe-se assim que o termo de interferˆencia pode adicionar ou subtrair aos restantes termos, obtendo-se assim pontos brilhantes ou escuros respectivamente. Portanto somam-se as amplitudes, mas as intensidades n˜ao se somam (h´a as interferˆencias). Exemplo Lei de Snell. Um feixe de luz branca incide sobre uma placa de vidro fazendo um aˆngulo de 80o com a superf´ıcie. Sabendo que o ´ındice de refrac¸ca˜o desse vidro para a luz vermelha ´e 1.5885 e para a luz azul de 1.5982, determine a dispers˜ao angular dessas duas cores quando o feixe atravessa a placa de vidro. Resolu¸ca ˜o Aplicamos a lei de Snell a` transi¸ca˜o ar/vidro para o vermelho 

sin iar sin rvidro



V



nvidro = nar



= 1.5885 V

Sendo sin iar = sin 10o = 0.1736 Para o azul



sin iar sin rvidro



= A



(rvidro )V = 6.276o

⇒

nvidro nar



= 1.5982 A

de que resulta (rvidro )A = 6.238o . Como se vˆe o desvio do azul ´e maior que o do vermelho (o azul fica mais pr´oximo da normal). A diferen¸ca destes aˆngulos d´a a dispers˜ao das duas cores: 0

00

(rvidro )V − (rvidro )A = 6.276o − 6.238o = 2 18 .

´ Electromagnetismo & Optica

100 Jo˜ao Pulido

Exemplo Interferˆencia. Duas fendas estreitas s˜ao iluminadas pela luz amarela de S´odio (λ = 589 nm). A um metro de distˆancia formam-se riscas num ecr˜a espa¸cadas de 1 cm. a) Qual a distˆancia entre as duas fendas? b) Qual o espa¸camento entre as riscas formadas no ecr˜a se as mesmas fendas forem iluminadas com luz vermelha de comprimento de onda λ = 650 nm? Resolu¸ca ˜o a) O espa¸camento entre riscas (ou seja entre m´aximos consecutivos) ´e dado pela express˜ao anteriormente deduzida com n = 1, ymax = D

λ . d

Substituindo valores 10

−2

589 × 10−9 =1 d

⇒

d = 5.89 × 10−5 = 58.9 µm .

b) Para uma luz de λ = 650 nm vem ymax = 1

650 × 10−9 = 1.1 × 10−2 m = 11 cm . −5 5.89 × 10

5 Polariza¸ c˜ ao de ondas luminosas

E0 θ

E0 cos θ

A t´ecnica mais comum para obter luz polarizada ´e a de usar um material vulgarmente conhecido como ’polaroid’ que transmite ondas polarizadas linearmente a partir de ondas com polariza¸ca˜o arbitr´aria. O princ´ıpio desses materiais ´e o de conduzirem corrente el´ectrica apenas numa direc¸ca˜o que ´e a u ´ nica segundo a qual os electr˜oes de valˆencia das longas cadeias de mol´eculas constituintes podem mover-se. Nesse movimento eles colidem com outras part´ıculas reemitindo luz em sentidos opostos, o que consome a energia proveniente da onda incidente. A componente do campo da onda incidente segundo essa direc¸ca˜o ´e assim

´ Electromagnetismo & Optica

Jo˜ao Pulido

101

absorvida, enquanto que a componente perpendicular apenas provoca movimentos ´ınfimos, dado que os electr˜oes n˜ao podem mover-se desse modo. Essa componente prevalece pois quase sem altera¸ca˜o e ´e transmitida. A onda transmitida fica assim polarizada linearmente segundo a direc¸ca˜o do eixo de polariza¸ca˜o que ´e perpendicular a`s cadeias moleculares. Consideremos um feixe de luz n˜ao polarizada que, depois de atravessar um primeiro polarizador, incide num segundo polarizador que designaremos por analizador. Suponhamos que o eixo de transmiss˜ao deste u ´ ltimo faz um aˆngulo θ em rela¸ca˜o ao eixo do primeiro. Sendo ~ ~ 0 perpendicular E0 a amplitude do campo ap´os o primeiro polarizador, a componente de E ao eixo do analizador ´e completamente absorvida enquanto que a componente paralela (E0 cos θ) ´e transmitida. Como a intensidade ´e proporcional ao quadrado da amplitude do campo, vir´a para a onda transmitida I = I0 cos2 θ

Lei de Malus

onde I0 ´e a intensidade da onda polarizada que incide no analizador ¶ . Pode assim obterse uma intensidade transmitida nula (absor¸ca˜o completa pelo analizador) se os eixos de transmiss˜ao forem perpendiculares.






θB

θB i r

90o θr 



Outro processo para obter luz polarizada usa o facto de que raios incidentes com polariza¸ca˜o arbitr´aria s˜ao reflectidos com polariza¸ca˜o diferente. A polariza¸ca˜o paralela a` superf´ıcie de incidˆencia (c´ırculos negros na figura) ´e mais fortemente reflectida do que a do plano de incidˆencia (setas). Verifica-se experimentalmente que ´e poss´ıvel encontrar um aˆngulo de incidˆencia para o qual o raio reflectido ´e polarizado linearmente segundo a direc¸ca˜o paralela a` superf´ıcie (c´ırculos negros). Esse ´e o chamado aˆngulo de Brewster, θ B . Tem-se assim θB + 90o + θr = 180o ⇒ θB = 90o − θr e portanto usando a lei de Snell sinθB sinθB = = tan θB Lei de Brewster. n= sinθr cosθB ¶

Sendo a onda incidente no primeiro polarizador n˜ ao polarizada, I0 ´e metade da intensidade dessa onda, porque o a ˆngulo entre o eixo do polarizador e a direc¸ca ˜o do campo incidente ´e θ = ω t. (Relembrar < cos2 ω t >= 1/2)

102 Jo˜ao Pulido

´ Electromagnetismo & Optica

Por exemplo para a a´gua (n = 1.33) o aˆngulo de Brewster ´e de 53.1o .