Sebenta Cs.pdf

Controlo de Sistemas

ˆ nica Licenciatura em Engenharia Meca o o o 3 ano, e 4 /5 anos do ramo de Automa¸ca˜o e Rob´otica

Miguel Ayala Botto Prof. Associado, IST

Fevereiro 2007 Instituto Superior T´ecnico Departamento de Engenharia Mecˆanica Sec¸c˜ ao de Sistemas Av. Rovisco Pais, 1049-001, Lisboa Tel: 218 419 028 Fax: 21 841 80 97 Email: [email protected]

´Indice

i

´Indice ´Indice

i

Lista de S´ımbolos Lista de Abrevia¸co ˜es

vii ix

1 Introdu¸c˜ ao

1

2 Introdu¸c˜ ao ao controlo autom´ atico de sistemas

3

2.1 Evolu¸ca˜o hist´orica do controlo autom´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.2 Conceitos b´asicos e terminologia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

2.3 Controlo por realimenta¸c˜ao (feedback control ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3.1

Controlo por realimenta¸ca˜o manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.3.2

Controlo por realimenta¸ca˜o autom´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.4 Controlo directo (feedforward control ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.4.1

Controlo directo manual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4.2

Controlo directo autom´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.5 Controlo por realimenta¸c˜ao/directo autom´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6 Controlo em cascata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.7 Controlo de sistemas com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.7.1

Preditor de Smith . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.8 Exemplos de sistemas de controlo autom´atico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3 Efeitos da realimenta¸ c˜ ao

29

3.1 Efeito nas perturba¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

´INDICE

ii

3.2 Efeito no ru´ıdo dos sensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.3 Efeito nas varia¸c˜oes dos parˆametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.4 Efeito nas caracter´ısticas da resposta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 An´ alise de estabilidade e constru¸c˜ ao do LGR

37

4.1 Crit´erio de Routh-Hurwitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 4.2 Constru¸ca˜o do Lugar Geom´etrico das Ra´ızes (LGR) . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4.2.1

Regras construtivas do LGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.2.2

Exemplo de constru¸ca˜o do LGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4.2.3

LGR de sistemas com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

5 Margens de estabilidade na resposta em frequˆ encia

63

5.1 Margem de ganho e margem de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 5.2 Situa¸co˜es n˜ao regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 5.3 Sistemas com atraso no tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 5.4 Diagramas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 5.4.1

Diagrama polar de sistemas com atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.4.2

Margens de estabilidade num diagrama polar . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Crit´ erio de estabilidade de Nyquist

82

6.1 Mapeamento de fun¸co˜es complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2 Crit´erio de estabilidade de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 6.3 Exemplos de aplica¸ca˜o do crit´erio de estabilidade de Nyquist . . . . . . . . . . . 93 7 Erros estacion´ arios e a precis˜ ao do anel fechado

96

7.1 Entrada degrau unit´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

´INDICE

iii

7.2 Entrada rampa unit´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 7.3 Entrada par´abola unit´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 7.4 Exemplo de c´alculo dos erros estacion´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 8 Projecto de controladores PID

104

8.1 As ac¸c˜oes b´asicas de controlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 8.1.1

Ac¸c˜ao proporcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

8.1.2

Ac¸c˜ao integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

8.1.3

Ac¸c˜ao derivativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

8.2 Controlador PI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 8.3 Controlador PD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 8.4 Controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 8.5 Exemplo comparativo de controladores PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.6 Projecto de controladores PID via m´etodos de Ziegler-Nichols . . . . . . . . . . 114 8.6.1

M´etodo do ganho cr´ıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

8.6.2

M´etodo da curva de reac¸ca˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

8.7 Projecto de controlador PID via LGR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 8.8 Aspectos pr´aticos na implementa¸c˜ao de controladores PID . . . . . . . . . . . . 127 9 Projecto de compensadores de avan¸ co e de atraso

128

9.1 Compensador de avan¸co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 9.2 Projecto de compensador de avan¸co baseado na resposta em frequˆencia . . . . . 133 9.2.1

Exemplo: projecto em frequˆencia de compensador de avan¸co . . . . . . . 134

9.3 Projecto de compensador de avan¸co baseado no LGR . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.3.1

Exemplo: projecto via LGR de compensador de avan¸co . . . . . . . . . . 138

´INDICE

iv

9.4 Compensador de atraso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 9.5 Projecto de compensador de atraso baseado na resposta em frequˆencia 9.5.1

. . . . . 146

Exemplo: projecto em frequˆencia de compensador de atraso . . . . . . . 147

9.6 Projecto de compensador de atraso baseado no LGR . . . . . . . . . . . . . . . 150 9.6.1

Exemplo: projecto via LGR de compensador de atraso . . . . . . . . . . 152

10 Introdu¸c˜ ao aos sistemas de controlo digital

156

10.1 Conversor Anal´ogico/Digital (A/D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 10.1.1 Escolha do per´ıodo de amostragem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 10.2 Conversor Digital/Anal´ogico (D/A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 10.2.1 Efeitos da coloca¸ca˜o de um ZOH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 11 Equivalentes discretos de sistemas cont´ınuos

167

11.1 Aproxima¸c˜ao com retentor de amostras de ordem zero (ZOH) . . . . . . . . . . 168 11.2 Aproxima¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11.2.1 Aproxima¸c˜ao rectangular para a frente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11.2.2 Aproxima¸c˜ao rectangular para tr´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 11.2.3 Aproxima¸c˜ao trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 11.2.4 Exemplo comparativo da aproxima¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial . . . . . . . 173 11.3 Aproxima¸c˜ao por mapeamento de p´olos e zeros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 11.4 Exemplo comparativo entre aproxima¸co˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 12 Projecto de controladores PID digitais via m´ etodo da emula¸ c˜ ao

179

12.1 PID digital via aproxima¸c˜ao rectangular para a frente . . . . . . . . . . . . . . . 179 12.2 PID digital via aproxima¸c˜ao rectangular para tr´as . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

´INDICE

v

12.3 PID digital via aproxima¸c˜ao trapezoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.4 PID digital via aproxima¸c˜ao com ZOH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.5 Exemplo de projecto de controlador PID digital . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.6 Considera¸c˜oes sobre a implementa¸ca˜o de PID digitais . . . . . . . . . . . . . . . 190 13 Projecto de controladores digitais via m´ etodo directo

191

13.1 Especifica¸co˜es de desempenho em Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 13.1.1 Especifica¸co˜es de desempenho no regime transit´orio . . . . . . . . . . . . 192 13.1.2 Especifica¸co˜es de desempenho no regime estacion´ario . . . . . . . . . . . 196 13.2 O LGR no plano Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 13.2.1 Exemplo de projecto de controlador digital via LGR . . . . . . . . . . . . 201 A Diagramas de blocos de sistemas cont´ınuos

207

A.1 Elementos b´asicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 A.2 Combina¸c˜oes especiais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 A.3 Simplifica¸c˜ao de diagramas de blocos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 B Diagrama de blocos de sistemas discretos

217

B.1 Fun¸c˜oes de transferˆencia de configura¸co˜es em s´erie . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 B.2 Fun¸c˜oes de transferˆencia de configura¸co˜es em anel fechado . . . . . . . . . . . . 220 C Resposta de sistemas de segunda ordem

225

C.1 Resposta ao degrau unit´ario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 C.2 Resposta em frequˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 D Tabela com transformadas de Laplace e Z

233

D.1 Tabela com transformadas Z com e sem ZOH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

vi

´INDICE

Lista de S´ımbolos

vii

Lista de S´ımbolos Alguns s´ımbolos poder˜ao ter pontualmente um significado diferente. Gp (s) Gc (s) H(s) GD (s) R(s) Y (s) U (s) E(s) Et (s) D(s) N (s) µ T K Z P N ess N t Kp Kv Ka Ti Td Kcr Pcr Mp ts tr tp

Fun¸ca˜o de transferˆencia do processo Fun¸ca˜o de transferˆencia do controlador Fun¸ca˜o de transferˆencia da realimenta¸ca˜o Fun¸ca˜o de transferˆencia da perturba¸c˜ao Transformada de Laplace da referˆencia do anel de controlo Transformada de Laplace da sa´ıda Transformada de Laplace da entrada Transformada de Laplace do erro `a entrada do controlador Transformada de Laplace do erro de seguimento Transformada de Laplace da perturba¸ca˜o Transformada de Laplace do ru´ıdo de leitura Atraso no tempo, ou atraso de transporte Constante de tempo Ganho est´atico N´ umero de p´olos inst´aveis do anel fechado N´ umero de p´olos inst´aveis do anel aberto N´ umero de envolvimentos em torno do ponto cr´ıtico de estabilidade Erro estacion´ario N´ umero de envolvimentos em torno do ponto cr´ıtico de estabilidade Vari´avel tempo Coeficiente de erro est´atico de posi¸ca˜o, e constante proporcional do controlador PID Coeficiente de erro est´atico de velocidade Coeficiente de erro est´atico de acelera¸c˜ao Constante integral do controlador PID Constante derivativa do controlador PID Ganho cr´ıtico de estabilidade Per´ıodo cr´ıtico de estabilidade M´aximo de sobreimpulso Tempo de estabelecimento Tempo de crescimento Tempo de pico

viii

Lista de S´ımbolos

ª !n !d æ sd !ctr ¡ctr !cg !cf T0 F0 fb !b HGp (z) Gc (z) R(z) Y (z) U (z) E(z)

Coeficiente de amortecimento Frequˆencia natural Frequˆencia natural amortecida Magnitude da parte real de p´olo no plano S Localiza¸c˜ao dos p´olos desejados no plano complexo Frequˆencia central do compensador avan¸co/atraso Fase na frequˆencia central do compensador avan¸co/atraso Frequˆencia de cruzamento de ganho Frequˆencia de cruzamento de fase Per´ıodo de amostragem Frequˆencia de amostragem Largura de banda em Hz Largura de banda em rad/s Transformada Z de Gp (s) com ZOH na entrada Fun¸c˜ao de transferˆencia em Z do controlador Transformada Z da referˆencia do anel de controlo Transformada Z da sa´ıda Transformada Z da entrada Transformada Z do erro `a entrada do controlador

Lista de Abrevia¸c˜oes

Lista de Abrevia¸co ˜es

FT P PI PD PID LGR

Fun¸ca˜o de Transferˆencia Proporcional Proporcional, Integral Proporcional, Derivativo Proporcional, Integral, Derivativo Lugar Geom´etrico das Ra´ızes

MG

Margem de Ganho

MF

Margem de Fase

SPE

Semi Plano Esquerdo

SPD

Semi Plano Direito

A/D

Anal´ogico/Digital

D/A

Digital/Anal´ogico

ZOH

Zero Order Hold

FOH

First Order Hold

ix

x

1

1

Introdu¸c˜ ao

Este documento ´e a Sebenta da disciplina “Controlo de Sistemas”, do 3o ano da Licenciatura em Engenharia Mecˆanica, e dos curricula de transi¸c˜ao dos 4o e 5o anos do ramo de Automa¸c˜ao e Rob´otica, Instituto Superior T´ecnico. Esta sebenta contempla toda a mat´eria leccionada na disciplina. O desenvolvimento dos assuntos ´e acompanhado de forma gradual por uma quantidade significativa de problemas resolvidos, facilitando assim a apreens˜ao dos conceitos. Objectivos gerais: Introdu¸c˜ao aos conceitos b´asicos de an´alise e projecto de sistemas de controlo autom´atico. O aluno dever´a ficar apto a utilizar um conjunto de ferramentas de an´alise qualitativa e quantitativa para projecto de controladores de sistemas SISO de dinˆamica linear, ou lineariz´avel, representados via fun¸c˜ao de transferˆencia. O estudo desenvolve-se inicialmente tendo como base o tempo cont´ınuo (controladores anal´ogicos), e terminando no projecto de controladores digitais (tempo discreto). O formalismo sist´emico adoptado no desenvolvimento das mat´erias permite que estas sejam aplicadas de forma transparente em qualquer dom´ınio da engenharia. Referˆ encias: Os gr´aficos com exemplos de simula¸c˜oes foram obtidos atrav´es do software Matlabr . Alguns dos exemplos e ilustra¸co˜es foram retirados de sites na Internet devidamente referenciados, bem como do seguinte conjunto de obras bibliogr´aficas (ordem alfab´etica do 1o autor): 1. P.M. Anacleto, E.C. Fernandes, M.V. Heitor, and S.I. Shtork. “Swirl flow structure and flame characteristics in a model lean premixed combustor”, Combustion Science and Technology, 175:1369–1388, 2003. 2. G.W. Celniker and J.K. Hedrick. “Rail vehicle active suspensions for lateral ride and stability improvement”, Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control, 104:100–106, 1982. 3. David J. DeFatta, Joseph G. Lucas, William S. Hodgkiss. “Digital Signal Processing: a system design approach”, John Wiley & Sons, 1988. 4. Gene F. Franklin, J. David Powell, Abbas Emamo-Naeini. “Feedback Control of Dynamic Systems (3rd Edition)”, Addison-Wesley, 1994. 5. Gene F. Franklin, J. David Powell, Michael L. Workman. “Digital control of dynamic systems (2nd Edition)”, Addison-Wesley, 1990. 6. Rolf Isermann. “Digital Control Systems. Volume 1: Fundamentals, Deterministic Control (2nd, revised edition)”, Springer-Verlag, 1989. 7. Benjamin C. Kuo. “Digital Control Systems”, Holt-Saunders International Editions, 1980 8. P. Lueg. “Process of silencing sound oscillations”, US Patent 2043416, June 9, 1936. 9. Paul W. Murrill. “Fundamentals of Process Control Theory”, Instrumentation Society of America, 1981. 10. Katsuhiko Ogata. “Discrete-time control systems”, Prentice-Hall, Inc., 1987. 11. Katsuhiko Ogata. “Engenharia de Controle Moderno”, Prentice-Hall, Brasil, 1970. 12. Katsuhiko Ogata. “Modern Control Engineering (3rd Edition)”, Prentice-Hall, Inc., 1997. 13. Maria Isabel Ribeiro. “An´ alise de Sistemas Lineares”, IST Press, 2002. 14. Dale E. Seborg, Thomas F. Edgar and Duncan A. Mellichamp. “Process Dynamics and Control”, John Wiley & Sons, 1989. 15. A. Frank D’Souza. “Design of Control Systems”, Prentice-Hall International, 1988.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

2

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

3

2

Introdu¸c˜ ao ao controlo autom´ atico de sistemas

Controlo: procedimento que permite que uma determinada vari´avel de um sistema atinja um valor espec´ıfico desej´avel, denominado por valor de referˆencia.

2.1

Evolu¸c˜ ao hist´ orica do controlo autom´ atico

• O exemplo mais antigo que h´a mem´oria consiste no sistema de controlo do n´ıvel de vinho numa pipa, independentemente da quantidade de copos extra´ıdos!

Nota: este mecanismo ainda hoje ´e utilizado em nossas casas... onde? • Nas civiliza¸co˜es gregas e ´arabes, encontram-se v´arios exemplos de sistemas de controlo idˆenticos ao anterior, e cujo objectivo consistia em determinar com exactid˜ao o tempo (rel´ogio de ´agua de Ktesibios, 270 A.C.): a medida do tempo era retirada a partir da quantidade de ´agua extra´ıda do tanque a velocidade constante. • Um problema que apaixonou os engenheiros durante v´arias d´ecadas foi o controlo da velocidade de rota¸ca˜o de um disco. O m´etodo mais promissor foi desenvolvido pelo engenheiro escocˆes James Watt, em 1788, consistindo na utiliza¸ca˜o de um pˆendulo can´onico, fly-ball governor, para o controlo da velocidade de rota¸ca˜o de uma m´aquina a vapor:

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

4

• O estudo te´orico deste mecanismo desenvolvido por James Watt espoletou o desenvolvimento da teoria de controlo. • Foi igualmente importante o desafio levantado por v´arios investigadores ao constatarem que o fly-ball governor nem sempre era est´avel: G.B. Airy, professor de matem´atica e de astronomia da Universidade de Cambridge (1826-1835), constatou que este mecanismo era capaz de instabilizar o seu telesc´opio num movimento de rota¸ca˜o a velocidade constante (“and the machine became perfectly wild”). Foi assim que o estudo da solu¸ca˜o de equa¸c˜oes diferencias, desenvolvido essencialmente por matem´aticos, se torna no primeiro contributo importante para a teoria de controlo: J. Maxwell, 1868: “On Governors”, primeiro estudo sistem´atico sobre a estabilidade das equa¸co˜es diferenciais do fly-ball governor, linearizadas em torno de um ponto de equil´ıbrio. A estabilidade do sistema estaria dependente das ra´ızes de um determinado polin´omio, denominado por equa¸c˜ ao caracter´ıstica: estas teriam que ter parte real negativa. Maxwell conseguiu ainda estabelecer as condi¸c˜oes que se teriam de verificar nos coeficientes por forma a garantir que todas as ra´ızes dos polin´omios de 2a e 3a ordens teriam parte real negativa. E.J. Routh, 1877: conseguiu estabelecer o crit´erio para an´alise da estabilidade de polin´omios de qualquer ordem inteira, ainda hoje denominado por crit´ erio de RouthHurwitz (E.J. Routh foi vencedor do Adams Prize). No entanto, a sua aplica¸ca˜o para polin´omios de ordem elevada era dif´ıcil. H. Nyquist, 1932: na sua tese de doutoramento apresenta um m´etodo para determinar a estabilidade com base num gr´afico com a resposta em frequˆencia do sistema (integra¸ca˜o dos conceitos de resposta em frequˆencia com ´algebra de vari´aveis complexas). Ainda hoje ´e reconhecido como o mais importante Teorema de estabilidade: Crit´ erio de Estabilidade de Nyquist. Callender et. al, 1936: descrevem o conceito de controlador PID, proporcional-integral-derivativo. Ainda hoje, cerca de 80% dos controladores industriais s˜ao PID. H. Bode, 1945: com base no trabalho de Nyquist, desenvolveu metodologias para o projecto de sistemas de amplifica¸c˜ao por feedback, por necessidade pr´atica da Bell Telephone Laboratories em evitar a distor¸ca˜o causada pelo uso de amplificadores nas comunica¸co˜es a longa distˆancia. As metodologias de amplifica¸c˜ ao por feedack s˜ao ainda hoje extensivamente usadas no projecto de sistemas de controlo. W. Evans, 1948: trabalhando no guiamento e controlo de sistemas aeron´auticos, desenvolveu um m´etodo que permitia seguir graficamente o caminho percorrido pelas ra´ızes de um polin´omio caracter´ıstico quando um parˆametro varia. Este m´etodo ´e uma importante ferramenta de ajuda para o projecto de sistemas de controlo, designa-se por root locus method, ou M´ etodo do Lugar Geom´ etrico das Ra´ızes.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

5

R. Kalman, 1950-1960: clivagem entre o controlo cl´ assico (baseado na representa¸ca˜o em fun¸c˜ao de transferˆencia) e o denominado controlo moderno (baseado na representa¸c˜ao em espa¸co de estados). O estudo de problemas multivari´aveis (estimulado sobretudo pelo programa espacial Norte Americano do presidente J.F. Kennedy), associado ao advento da era digital, fez com que se considerasse de novo as equa¸co˜es diferenciais ordin´arias como modelo do sistema. 1960-1980: com base numa representa¸ca˜o de estado, desenvolveram-se as teorias de ´ Controlo Optimo, Controlo Robusto e Controlo Predictivo. Com base numa representa¸c˜ao em fun¸ca˜o de transferˆencia, desenvolveram-se as teorias de Controlo Adaptativo e Controlo Estoc´ astico. 1980-2000: desenvolvimento de t´ecnicas de Controlo de Sistemas N˜ ao Lineares, usando conceitos derivados da an´alise do comportamento de equa¸co˜es diferencias n˜ao lineares (teoria de estabilidade Lyapunov), e/ou recorrendo a modelos de redes neuronais, fuzzy, ou neuro-fuzzy. Com a introdu¸ca˜o do PC em 1983, surgem ferramentas de apoio ao projecto de sistemas de controlo, assistindo-se `a uni˜ao entre o controlo cl´assico e o moderno. 2000-: controlo de sistemas distribu´ıdos, sistemas de supervis˜ao, sistemas de detec¸c˜ao de falhas e de diagn´ostico autom´atico, sistemas h´ıbridos (rob´otica m´ovel), modela¸ca˜o e controlo de sistemas biol´ogicos, aplica¸co˜es em biomedicina, modela¸ca˜o e controlo usando smart materials, etc...

Conclus˜ ao: o progresso da disciplina de engenharia, controlo autom´atico, ao longo da hist´oria da humanidade esteve sempre ligado com a necessidade de resolver problemas de ´ındole pr´atica. Os desenvolvimentos hist´oricos que mais contribu´ıram para o seu desenvolvimento, foram: ´ 1. A preocupa¸c˜ao dos Gregos e Arabes em terem uma medida precisa do tempo (entre 300 A.C. e 1200 D.C.). 2. A Revolu¸c˜ao Industrial na Europa (terceiro quartel do s´eculo 18). 3. O in´ıcio das comunica¸c˜oes telef´onicas em massa, e as Primeira e Segunda Guerras Mundiais (entre 1910 e 1945). 4. O in´ıcio da era espacial e o advento dos computadores (entre 1950 e 1960). 5. Preocupa¸c˜oes ambientais e energ´eticas, e expans˜ao para novos dom´ınios de aplica¸c˜ao nas ´areas da medicina e biologia.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

6

2.2

Conceitos b´ asicos e terminologia

As vari´aveis envolvidas s˜ao: Perturba¸c˜ oes

?

Vari´ aveis manipuladas

-

?

?

? ?

Sistema ou Processo

-

Vari´ aveis controladas

Os objectivos t´ıpicos em controlo autom´atico podem ser divididos em: Regula¸c˜ ao: estabilizar o sistema (ex: manter a temperatura numa sala, velocidade constante de um CD, cruise control num autom´ovel, posi¸c˜ao do pˆendulo invertido, etc...). Seguimento: seguir uma referˆencia variante no tempo (ex: pintura ou soldadura com robˆo industrial, traject´oria de um m´ıssil, output de uma linha industrial, etc...).

A estrat´egia mais cl´assica de controlo: controlo por realimenta¸ c˜ ao ou feedback control :

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

7

2.3 2.3.1

Controlo por realimenta¸ c˜ ao (feedback control ) Controlo por realimenta¸ c˜ ao manual

Princ´ıpio b´asico de funcionamento:

Exemplo 1: operador de um comboio el´ectrico

Exemplo 2: condutor de um autom´ovel

Outros exemplos: tomar duche, andar de bicicleta, etc... c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

8

2.3.2

Controlo por realimenta¸ c˜ ao autom´ atico

Exemplo 1: Term´ostato num sistema de aquecimento

Exemplo 2: controlo do caudal de sa´ıda de um reservat´orio

Exemplo 3: gest˜ao da produ¸ca˜o industrial

Outros exemplos: cruise control, selec¸ca˜o natural, aprendizagem, etc... Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

9

Vantagens do controlo por realimenta¸ c˜ ao: ´ uma das t´ecnicas de controlo mais simples que pode ser desenvolvida, aplic´avel na • E grande maioria dos sistemas de controlo autom´atico. • Exerce uma ac¸ca˜o correctiva. • Requer um conhecimento m´ınimo do processo a controlar. • N˜ao implica o conhecimento das perturba¸co˜es que afectam o sistema. • Torna f´acil, robusto e vers´atil o projecto de controladores PID.

Desvantagens do controlo por realimenta¸ c˜ ao: • A correc¸c˜ao s´o ´e feita ap´os ser detectado o desvio da variada controlada. Mesmo teoricamente, o controlo por realimenta¸c˜ao perfeito ´e imposs´ıvel. • N˜ao existe ac¸ca˜o predictiva de controlo que possa compensar os efeitos de perturba¸co˜es conhecidas ou mensur´aveis. • N˜ao ´e satisfat´orio para controlar sistemas com elevado atraso no tempo. Nalgumas situa¸c˜oes demonstra-se que o sistema de controlo por realimenta¸c˜ao ´e sempre inst´avel. ´ impratic´avel sempre que n˜ao for poss´ıvel medir on-line a vari´avel controlada. • E

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

10

2.4

Controlo directo (feedforward control )

Conceito b´asico de controlo directo:

Anel de controlo directo:

Diagrama de blocos do anel de controlo directo:

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

11

2.4.1

Controlo directo manual

Princ´ıpio b´asico de funcionamento:

Exemplo 1: regula¸ca˜o da temperatura numa arca fechada

Outros exemplos: velejar, estudar para o 2o exame, etc...

2.4.2

Controlo directo autom´ atico

Exemplo: controlo de atitude numa aeronave, m´ usica de fundo nas esta¸c˜oes do Metro.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

12

Vantagens do controlo directo: • Permite contrariar os efeitos de grandes perturba¸c˜oes. • O controlador directo determina a varia¸ca˜o necess´aria a ocorrer na vari´avel manipulada por forma a minorar o efeito da perturba¸c˜ao na vari´avel controlada. • Tem um car´acter preventivo.

Desvantagens do controlo directo: • As perturba¸co˜es dever˜ao ser conhecidas e medidas on-line. • O modelo do processo a controlar tem que ser conhecido com exactid˜ao. • Os controladores directos ideais podem n˜ao ser fisicamente realiz´aveis. • N˜ao introduz nenhuma ac¸ca˜o correctiva, ou seja, se a vari´avel controlada se afasta da referˆencia o sistema de controlo nada sente. • O projecto de um controlador directo ´e complexo. ´ raramente utilizado sozinho, normalmente utiliza-se como complemento ao controlo por • E realimenta¸ca˜o.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

13

2.5

Controlo por realimenta¸c˜ ao/directo autom´ atico

Exemplo 1: controlo da temperatura ambiente num compartimento

Exemplo 2: controlo da temperatura de um processo qu´ımico industrial

Outros exemplos: piloto autom´atico, guiar um autom´ovel numa estrada (portuguesa!), educar uma crian¸ca, tirar um curso superior, etc...

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

14

2.6

Controlo em cascata

Consiste na inclus˜ao de um anel de realimenta¸c˜ao no interior de outro anel de realimenta¸ca˜o:

D2 (s)

D1 (s)

?

?

GD2 (s)

GD1 (s)

+ ? Y (s) - m 2 - Gp (s) 1

+ ? Y (s) - m 1 -

Anel interior R(s)

- m - Gc (s) 1 6 °

- m - Gc (s) 2 6 °

+

- Gp (s) 2

+

H2 (s) æ H1 (s) æ

onde: • Gc1 (s) ¥ Controlador Mestre. • Gp1 (s) ¥ Processo Prim´ario.

Gc2 (s) ¥ Controlador Escravo. Gp2 (s) ¥ Processo Secund´ario.

Metodologia: dividir o processo a controlar em dois sub-processos, Gp1 (s) e Gp2 (s), e projectar dois controladores independentes para cada um deles, Gc1 (s) e Gc2 (s), respectivamente. O controlador mestre recebe a indica¸ca˜o do erro e a sua ac¸c˜ao de correc¸ca˜o ´e a altera¸ca˜o da referˆencia do anel interior. Esta referˆencia interior ´e, por sua vez, comparada com a vari´avel interm´edia, sendo a diferen¸ca a entrada do controlador escravo.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

15

Caracter´ısticas e vantagens do controlo em cascata: • Quando n˜ao ´e poss´ıvel medir as perturba¸co˜es on-line, e caso o sistema seja lento, os desvios provocados na vari´avel controlada poder˜ao assim ser mais rapidamente corrigidos pelo anel interior (controlador escravo). • O controlador mestre (anel exterior) fica apenas concentrado no desvio da vari´avel controlada relativamente `a referˆencia que se pretende seguir, sem se “preocupar” com as perturba¸c˜oes. • Um crit´erio poss´ıvel para seleccionar a vari´avel interm´edia ´e concentrar o m´aximo de perturba¸c˜oes no anel interior, e o m´aximo de atraso (ou constantes de tempo elevadas), no anel exterior. • Procede-se primeiro ao projecto do controlador escravo (anel interior), e s´o depois se passa ao projecto do controlador mestre (anel exterior). A dinˆamica do anel interior deve ser r´apida. Desvantagem do controlo em cascata: • Nem sempre ´e poss´ıvel encontrar uma vari´avel interm´edia: como dividir o processo?

Exemplo: manter constante a temperatura de um reactor

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

16

Op¸c˜ ao 1: sem controlo em cascata Tws - m - Control. I 6 °

Tref

TF

+ ? - m - Distrib. ´ agua +

- V´ alvula

+ ? - m - Reactor +

- Parede reactor

T-

Sensor æ

Problemas: • Se a u ´nica perturba¸c˜ao a ocorrer fosse uma varia¸ca˜o na temperatura do reagente de entrada no reactor, TF , ent˜ao um simples controlo por realimenta¸ca˜o seria suficiente. • No entanto, qualquer perturba¸c˜ao que ocorra na temperatura da ´agua de arrefecimento, Tws , apenas seria sentida pelo sensor de temperatura mergulhado no interior do reactor, T . Entretanto...

Op¸c˜ ao 2: com controlo em cascata Tws

Anel interior - m -Control. I 6 °

Tref

- m - Control. - V´ alvula II 6 °

TF

+ ? + ? T - m- Distrib. wi - Parede - m - Reactor ´ agua reactor +

+

Sensor æ

Sensor æ

Vantagens: • Ao utilizar um sensor de temperatura interm´edio, Twi , ´e poss´ıvel compensar imediatamente qualquer perturba¸ca˜o que surja na temperatura da ´agua de arrefecimento, Tws . • Melhora o desempenho do sistema de regula¸ca˜o de temperatura no interior do reactor.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

T -

17

Exemplo: bola na barra

Op¸c˜ ao 1: sem controlo em cascata

xref

- m- Controlador 6 °

ø-

Motor

µ˙- Barra

+ Bola

x-

Problemas: • Dif´ıcil projectar um controlador eficiente (sistema inst´avel com p´olos na origem). • As perturba¸co˜es na barra afectam a posi¸c˜ao da bola.

Op¸c˜ ao 2: com controlo em cascata xref

- m - Controlador Mestre 6 °

- m - Controlador Escravo 6 °

ø-

Motor

µ˙ - Barra

+ Bola

x-

Vantagens: • A realimenta¸c˜ao da velocidade angular da barra traz duas vantagens: – As perturba¸c˜oes na barra s˜ao eliminadas pelo controlador escravo. – Torna-se mais f´acil projectar um controlador mestre eficiente.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

18

2.7

Controlo de sistemas com atraso

u(t) -

Sistema com atraso

y(t)

atraso

æ -

-

Um sistema com atraso (puro) no tempo ´e um sistema que n˜ao responde imediatamente a uma solicita¸c˜ao: apresenta um “tempo morto”, ou dead time, antes de responder. Esta caracter´ıstica ´e tamb´em designada por “atraso de transporte” ou transport delay. Exemplo: resposta a um degrau unit´ario de um sistema de primeira ordem, com constante de tempo T = 1 segundo, e atraso no tempo de µ = 2 segundos. y(t) = 1(t ° µ) ° e°(t°µ) = 1(t ° 2) ° e°(t°2) 1

0.9

0.8

0.7

y(t)

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

θ 0

0

1

2

3

4 Tempo [s]

5

6

7

8

Aplicando transformada de Laplace a y(t), resulta: £ § Y (s) = L[y(t)] = L 1(t ° 2) ° e°(t°2) = ?

Pela express˜ao da transformada de Laplace de uma fun¸ca˜o transladada no tempo: resulta, neste caso:

L[f (t ° Æ)] = e°Æs L[f (t)] = e°Æs F (s)

∑ ∏ £ § £ § 1 °(t°2) °2s °t °2s 1 Y (s) = L 1(t ° 2) ° e =e L 1°e =e ° s s+1 1 e°2s 1 1 °2s Y (s) = e°2s = · = G(s) · U (s) ) G(s) = e s(s + 1) s+1 s s+1

Conclus˜ ao: a representa¸c˜ao do atraso no tempo de µ segundos, para uma fun¸c˜ao de transferˆencia gen´erica, corresponde a multiplicar o seu numerador pelo termo n˜ao linear, e°µs . Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

19

Exemplo: tomar um duche com o esquentador na cozinha.

Situa¸c˜ ao 1: Sensor de temperatura localizado no interior da caldeira: • Controlo deficiente, pois o sensor encontra-se demasiado longe da torneira!

Situa¸c˜ ao 2: Sensor de temperatura localizado perto da torneira: • Atraso na altera¸c˜ao da temperatura desejada: atraso =

distˆancia(sensor-caldeira) velocidade de escoamento

• Possibilidade de instabiliza¸c˜ao!

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

20

Efeito do atraso no tempo no anel de controlo: • O atraso no tempo, µ, ´e uma n˜ao-linearidade, das mais dif´ıceis de lidar num anel de controlo por realimenta¸ca˜o: Y (s) = Gp (s) = G§ (s) e°µs U (s) • O atraso diminui a estabilidade relativa do anel fechado, podendo mesmo causar a instabilidade do sistema de controlo: Gp (s) R(s) - m - Gc (s)

- G§ (s)

6 °

- e°µs

Y (s) -

• A equa¸ca˜o caracter´ıstica do anel fechado inclui o termo do atraso: 1 + Gc (s)G§ (s)e°µs = 0 • Este problema seria eliminado se existisse uma forma de separar fisicamente o atraso do resto do sistema, i.e., se fosse poss´ıvel conceber o seguinte anel de controlo: R(s) - m - Gc (s)

- G§ (s)

6 °

- e°µs

Y (s) -

• A equa¸ca˜o caracter´ıstica do anel fechado n˜ao incluiria o termo do atraso: 1 + Gc (s)G§ (s) = 0 • Como resolver o problema da inseparabilidade f´ısica do atraso e assim eliminar o termo do atraso da equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel de realimenta¸ca˜o convencional?

ou Como tornar equivalentes os diagramas de blocos anteriores?

... atrav´es do Preditor de Smith!

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

21

2.7.1

Preditor de Smith (1957, O.J.M. Smith)

• Seja a fun¸c˜ ao de transferˆ encia do sistema que se pretende controlar: Gp (s) = G§ (s)e°µs • Seja a fun¸c˜ ao de transferˆ encia do modelo do sistema que se pretende controlar: ˆ ˆ p (s) = G ˆ § (s)e°µs G

ˆ § (s) e µˆ correspondem `a estima¸c˜ onde G ao de G(s)§ e µ, respectivamente.

1. A ideia b´asica surgiu a partir da estrat´egia de controlo IMC (Internal Model Control ): Gp (s) R(s) - m erro de modela¸ c˜ ao

- Gc (s)

- G§ (s)

6 °

6 m æ – 6 +

ˆ

e°µs

æ

- e°µs

Y (s)-

ˆ § (s) æ G

No caso da identifica¸c˜ao ser perfeita, o erro de modela¸c˜ao ´e zero, e consequentemente: • A realimenta¸ca˜o da sa´ıda ´e eliminada.

• O bloco controlador, Gc (s), funcionar´a como um controlador em anel aberto. 2. O Preditor de Smith consiste na estrat´egia IMC modificada de acordo com: Gp (s) R(s) - m

- Gc (s)

- G§ (s)

6 °

erro de modela¸ c˜ ao

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

- e°µs

Y (s)-

m æ 6 +

+

m æ – 6 +

ˆ

e°µs

æ

ˆ § (s) æ G

Controlo de Sistemas

22

3. No caso de modela¸ca˜o perfeita o Preditor de Smith torna-se equivalente a: Gp (s) R(s) - m

- Gc (s)

- G§ (s)

- e°µs

6 °

Y (s)-

G§ (s) æ

o que, por sua vez, ´e equivalente a: Gp (s) R(s)

-

- G§ (s)

Gc (s) 1+Gc (s)G§ (s)

- e°µs

Y (s)-

ou ainda:

R(s)

-

Gc (s)G§ (s) 1+Gc (s)G§ (s)

- e°µs

Y (s)-

Donde se demonstra que com o Preditor de Smith ´e poss´ıvel eliminar o termo do atraso do anel de controlo por realimenta¸ca˜o convencional:

R(s) - m - Gc (s) 6 °

- G§ (s)

- e°µs

Y (s) -

Conclus˜ ao: o controlador, Gc (s), ´e projectado para controlar o processo sem o termo de atraso, G§ (s), e depois implementado na estrat´egia de controlo do Preditor de Smith.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

23

2.8

Exemplos de sistemas de controlo autom´ atico

SegWayr Human Transporter Motiva¸c˜ ao: sistema pr´atico de transporte de pessoas sobre rodas, econ´omico, e utiliz´avel por pessoas com incapacidades motoras (e.g., doentes com Parkinson).

Modo de funcionamento: princ´ıpio do pˆendulo invertido, ou estabiliza¸c˜ ao dinˆamica. • Caso a pessoa se incline para a frente ou para tr´as, as rodas movimentam-se no sentido correcto e com a velocidade adequada por forma a recuperar o equil´ıbrio. Esquema do anel de controlo:

Mais informa¸ca˜o em: http://www.segway.com

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

24

Suspens˜ ao activa Objectivo: encontrar um compromisso entre conforto (baixas rela¸c˜oes de transmissibilidade nas altas frequˆencias), e seguran¸ca (deslocamentos limitados da massa suspensa nas baixas frequˆencias).

Esquema do anel de controlo:

Fa = ca x¨ + ba x˙ + ka (x ° x0 ) • ca x¨ - termo respons´avel pela estabilidade (ground force). • ba x˙ - termo respons´avel pelo conforto. Numa suspens˜ao passiva tradicional: F = b(x˙ ° x˙ 0 ) + k(x ° x0 ) 1

10

Suspens˜ ao passiva: o aumento da rigidez (seguran¸ca) origina uma diminui¸ca˜o do conforto.

aumento da rigidez numa suspensão passiva 0

|x/x0|

10

Suspens˜ ao activa: ´e poss´ıvel aumentar a seguran¸ca melhorando simultaneamente o conforto.

aumento da rigidez numa suspensão activa −1

10

−2

10

−1

10

0

10 ω/ω

1

10

n

Efeito do aumento da rigidez da suspens˜ ao (coeficiente de amortecimento) Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

25

Cˆ amara de combust˜ ao LPP (Lean premixed prevaporized ) Objectivo: garantir uma baixa concentra¸ca˜o de NOx nos gases de escape de uma cˆamara de combust˜ao, atrav´es da diminui¸ca˜o da temperatura adiab´atica em condi¸co˜es de excesso de ar (raz˜ao de equivalˆencia ¡ < 1), sem afectar a eficiˆencia da combust˜ao.

Nas altas temperaturas, por oxida¸ca˜o do azoto atmosf´erico resultante da reac¸c˜ao entre este e o oxig´enio atmosf´erico, resulta o aparecimento do NOx t´ermico.

Problemas: • instabilidade da chama em regimes de m´axima potˆencia. • vibra¸c˜oes indesej´aveis originadas pela instabilidade termo-ac´ ustica (acoplamento dinˆamico que se verifica entre a liberta¸c˜ao de calor da chama e o campo ac´ ustico por ela provocado). • s˜ao necess´arias grandes varia¸c˜oes do caudal de ar para acompanhar as varia¸c˜oes de potˆencia exigidas pelos v´arios regimes de funcionamento. Esquema do anel de controlo: (Cˆamara LPP existente no Laborat´orio do Centro de Termodinˆamica Aplicada e Mecˆanica de Flu´ıdos, Departamento de Engenharia Mecˆanica, IST Lisboa).

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

26

Manipulador rob´ otico r´ıgido Motiva¸c˜ ao: um manipulador rob´otico pode manipular objectos num ambiente f´ısico. Por exemplo, os robˆos industriais s˜ao especialmente vers´ateis e particularmente vocacionados para tarefas como o manuseamento, transporte e montagem de componentes, soldadura, pintura de superf´ıcies, etc. Robˆo manipulador r´ıgido IRB 2000 da ABB existente no Departamento de Engenharia Mecˆanica do Instituto Superior T´ecnico (6 graus de liberdade):

Objectivo: determina¸ca˜o da evolu¸ca˜o no tempo dos bin´arios aplicados em cada junta, ø (t), que garantam o seguimento de uma determinada traject´oria no espa¸co de trabalho.

Esquema do anel de controlo:

onde: • q - posi¸co˜es angulares de cada junta (qd - posi¸c˜oes desejadas, ou de referˆencia). • ø - bin´arios aplicados em cada junta. • {X, Y, Z} - posi¸ca˜o cartesiana do elemento terminal.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

27

Controlo activo de ru´ıdo Motiva¸c˜ ao: preocupa¸ca˜o ambiental e de sa´ ude p´ ublica. Uma exposi¸ca˜o continuada a n´ıveis sonoros de elevada intensidade pode provocar altera¸c˜oes psicol´ogicas e/ou fisiol´ogicas no ser humano, ou mesmo les˜oes mecˆanicas permanentes no sistema auditivo. Objectivo: utiliza¸c˜ao de t´ecnicas de controlo por realimenta¸ca˜o para cancelamento activo de ru´ıdo (ao inv´es de utilizar materiais com propriedades absorventes, espessos, e de custo elevado). Configura¸c˜ ao esquem´ atica: (Paul Lueg, 1936, US Patent 2043416)

Ideia b´ asica: gera¸c˜ao e sobreposi¸c˜ao intencional ao ru´ıdo indesej´avel de uma onda ac´ ustica, com a mesma amplitude e em oposi¸ca˜o de fase: interferˆencia destrutiva. • A - fonte sonora indesej´avel. • M - microfone: capta onda sonora indesej´avel. • V - controlador: amplifica e inverte a fase do sinal lido por M . • L - altifalante: emite onda sonora de cancelamento. Exemplo de aplica¸c˜ ao: conduta de ar condicionado (Laborat´orio de Ac´ ustica, Departamento Engenharia Mecˆanica, IST).

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

28

Controlo da anestesia em interven¸ co ˜es cir´ urgicas Objectivo: controlo autom´atico da infus˜ao de drogas num paciente durante a interven¸c˜ao cir´ urgica, por forma a minimizar os seus efeitos nocivos a longo prazo: • Quantidades demasiado elevadas: a administra¸ca˜o de quantidades elevadas de f´armacos anest´eticos provoca sequelas neuro-fisiol´ogicas graves, estando inclusivamente associada ao aparecimento de doen¸cas cr´onicas (cancro). Quando o “apag˜ao” ´e muito profundo, a probabilidade de morte ap´os um ano aumenta. • Quantidades demasiado baixas: quando a quantidade de droga administrada ´e inferior ao valor m´ınimo estabelecido, o paciente pode “acordar” durante a interven¸c˜ao. A tomada de consciˆencia, mesmo que por breves instantes e sem sensa¸c˜ao de dor, pode ser causadora de problemas psicol´ogicos no futuro (depress˜oes). Igualmente grave poder´a ser a possibilidade do paciente se movimentar durante a interven¸c˜ao. As 3 drogas que intervˆ em numa anestesia: relaxante muscular (atracurium, cisatracurium, vecuronium e rocuronium), anest´etico ou hipn´otico (profopol ) que cria um estado de inconsciˆencia, e um analg´esico (remifentanil ) que elimina a sensa¸c˜ao de dor. Dificuldades: como medir o estado hipn´otico? Como saber se o doente est´a a sentir dor? Como quantificar a reac¸c˜ao ao est´ımulo cir´ urgico (noxicep¸ca˜o)? Esquema do anel de controlo:

Legenda: DOA-Depth Of Anesthesia; BIS-BI-Spectral index (100-“acordado”, 0-coma), EMG-Electromiograma, EEG-Electroencefalograma, ECG-Electrocardiograma.

Nota: foi desenvolvido por investigadores portugueses um controlador autom´atico para regula¸c˜ao do bloqueio neuromuscular utilizando controladores PID sintonizados pelos m´etodos de Ziegler-Nichols (ver p´agina 114). Consultar as referˆencias: “PID control strategies for the automatic control of neuromuscular blockade”, Teresa Mendon¸ ca, Pedro Lago, Control Engineering Practice, 6, 1225–1231, 1998; “Control of neuromuscular blockade in the presence of sensor faults”, Jo˜ ao M. Lemos et. al., IEEE Transactions on Biomedical Engineering, 52(11), 1902–1911, 2005.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

29

3

Efeitos da realimenta¸c˜ ao

Quest˜ ao: porquˆe controlo por realimenta¸c˜ao da sa´ıda? Efeitos da realimenta¸ c˜ ao: • Reduz o efeito das perturba¸co˜es externas que afectam o sistema. • Reduz o efeito de varia¸c˜oes nos parˆametros do sistema. • Altera as caracter´ısticas da resposta transit´oria e estacion´aria do sistema, com consequˆencias na estabilidade do anel de controlo.

3.1

Efeito nas perturba¸co ˜es

Anel aberto: Considerar o seguinte sistema em anel aberto, sem perturba¸co˜es: R(s) -

- Gp (s)

K

Y (s) = KGp (s) R(s)

,

Y (s) = KGp (s)R(s)

Y (s) -

Considere-se agora o mesmo sistema sujeito a uma perturba¸ca˜o D(s) na sua entrada: D(s) R(s) -

K

+ -+ ? i

- Gp (s)

Y (s) -

Y (s) = Gp (s)D(s) + KGp (s)R(s) Y (s) = YD (s)|R(s)=0 + YR (s)|D(s)=0

¥

Princ´ıpio da Sobreposi¸ca˜o

Nota: a resposta do sistema corresponde `a soma alg´ebrica da resposta do sistema `a entrada perturba¸ca˜o, com a resposta do sistema `a entrada de referˆencia. Quest˜ ao: ser´a que D(s) afecta muito a resposta do sistema `a referˆencia R(s)? Ou, de outro modo, qual o impacto do termo Gp (s)D(s) na resposta do sistema? c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

30

Exemplo: comparar as respostas dos seguintes sistemas para uma entrada de referˆencia em degrau unit´ario, considerando D(s) uma perturba¸c˜ao com evolu¸ca˜o temporal conhecida.

Sistema A: sem perturba¸c˜ ao

Sistema B: com perturba¸c˜ ao D(s)

R(s) -

-

2

1 s+1

Y(s)-

R(s) -

Resposta do sistema A:

+ -+ ? i

2

-

Y(s)-

1 s+1

Resposta do sistema B:

Sistema sem perturbação

Sistema com perturbação

2

2

1.5

1.5 y(t)

2.5

y(t)

2.5

1

1

0.5

0.5

0 0

2

4

6

8

10 12 Tempo [s]

14

16

18

20

0 0

2

4

6

8

10 12 Tempo [s]

14

16

18

20

Conclus˜ ao: a perturba¸ca˜o D(s) afectou bastante a resposta do sistema.

Quest˜ ao: ser´a que o efeito de D(s) pode ser minorado caso se opte por fechar o anel atrav´es da realimenta¸ca˜o da sa´ıda?

Resposta: sim. Este ´e um dos benef´ıcios importantes da realimenta¸c˜ao.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

31

Anel fechado: Considerar o anel de controlo com o sistema sujeito a uma perturba¸ca˜o D(s) na sua entrada: D(s) R(s)

-+ i ° 6

-

K

+ -+ ? i

Y(s)-

- Gp (s)

Y (s) = Gp (s)D(s) + KGp (s)R(s) ° KGp (s)Y (s) Y (s) =

Gp (s) KGp (s) D(s) + R(s) 1 + KGp (s) 1 + KGp (s)

Y (s) = YD (s)|R(s)=0 + YR (s)|D(s)=0

¥

Princ´ıpio da Sobreposi¸ca˜o

Nota: tal como no caso anterior, a resposta do sistema corresponde `a soma alg´ebrica da resposta do sistema `a entrada perturba¸ca˜o, com a resposta do sistema `a entrada de referˆencia. Quest˜ ao: ser´a que o impacto de D(s) na resposta do sistema ´e agora menor que no caso do sistema em anel aberto? Pela an´alise da equa¸ca˜o final:

Y (s) =

Gp (s) KGp (s) D(s) + R(s) 1 + KGp (s) 1 + KGp (s) | {z } !0, se K!1

Conclus˜ ao: ´e poss´ıvel diminuir o impacto da perturba¸c˜ao D(s) na sa´ıda do sistema, bastando para isso aumentar o valor do ganho K.

Nota: fica ao cuidado do leitor demonstrar que a mesma conclus˜ ao se tiraria caso a perturba¸c˜ ao afectasse de forma aditiva a sa´ıda do sistema, de acordo com: D(s) R(s)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

-+ i ° 6

-

K

- Gp (s)

+ -+ ? i

Y(s) -

Controlo de Sistemas

32

Exemplo: comparar as respostas dos seguintes sistemas considerando D(s) uma perturba¸ca˜o com evolu¸ca˜o temporal semelhante `a apresentada no exemplo anterior (ver p´agina 30). D(s) R(s) -+ i K

-

° 6

R(s) -+ i

Y(s)-

1 s(s+1)

° 6

1.6

1.4

+ -+ ? i -

- K

Y(s) -

1 s(s+1)

1.5

K=1

com perturbação

K=5

com perturbação

1.2 1

y(t)

y(t)

1

0.8

0.6 0.5 d(t) 0.4

0.2

0 0

2

4

6

8

10 12 Tempo [s]

14

16

18

0 0

20

1.8

2

4

6

8

10 12 Tempo [s]

14

16

18

20

16

18

20

1.8

1.6

1.6

K = 15

K = 30

1.4

1.4 com perturbação

1.2

com perturbação

1.2

y(t)

1

y(t)

1 0.8

0.8

0.6

0.6

0.4

0.4

0.2

0.2

0 0

2

4

6

8

10 12 Tempo [s]

14

16

18

20

0 0

2

4

6

8

10 12 Tempo [s]

14

As figuras anteriores mostram, tal como previsto, que o efeito das perturba¸c˜oes na resposta do sistema vai diminuindo `a medida que o ganho K do anel aberto aumenta. Quanto maior o valor do ganho K, mais insens´ıvel (robusto) ´e o sistema de controlo `as perturba¸c˜oes. Quest˜ ao: ser´a que se pode ent˜ao concluir que se deve sempre escolher o maior valor poss´ıvel para K? Resposta: n˜ao! Para al´em de haver restri¸c˜oes f´ısicas que limitam o valor m´aximo de K, valores elevados deste parˆametro amplificam o ru´ıdo de leitura dos sensores e levam, geralmente, `a instabilidade do anel de controlo. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

33

3.2

Efeito no ru´ıdo dos sensores

O ru´ıdo est´a sempre presente nas medidas de sensores anal´ogicos. Como ´e que este afecta a resposta do sistema de controlo por realimenta¸ca˜o? Como poder´a ser atenuado? Seja o seguinte sistema de controlo por realimenta¸c˜ao com perturba¸ca˜o aditiva D(s) na entrada do sistema, e ru´ıdo de leitura N (s) no sensor de medida: D(s) R(s)

-+ i ° 6

-

K

+ -+ ? i

- Gp (s)

Y(s)+ ? i æ +

N(s)

Desenvolvendo o diagrama de blocos, resulta: Y (s) =

Gp (s) KGp (s) KGp (s) D(s) + R(s) ° N (s) 1 + KGp (s) 1 + KGp (s) 1 + KGp (s)

An´ alise da resposta do sistema de controlo: 1. Bom seguimento da referˆencia R(s): Y (s) KGp (s) = º1 R(s) 1 + KGp (s)

)

K elevado!

)

K elevado!

2. Boa rejei¸ca˜o da perturba¸ca˜o D(s): Y (s) Gp (s) = º0 D(s) 1 + KGp (s) 3. Boa rejei¸ca˜o do ru´ıdo de leitura N (s): Y (s) KGp (s) =° º0 N (s) 1 + KG(p s)

)

K baixo!

Conclus˜ ao: dever´a existir um compromisso na escolha do valor de K por forma a garantir ´ poss´ıvel compatibilizar os resultados ansimultaneamente as especifica¸c˜oes de desempenho. E teriores se considerarmos, ao inv´es de K, uma fun¸c˜ao de transferˆencia K(s). A ideia ´e projectar (moldar) K(s) respeitando as seguintes condi¸co˜es: • Baixas frequˆ encias: |K(s)Gp (s)| ¿ 1, banda ! 2 [0 , !r ] [ [0 , !d ]. • Altas frequˆ encias: |K(s)Gp (s)| ø 1, banda ! 2 [!n , +1]. Nota: esta t´ecnica de projecto de controladores denomina-se por moldagem do ganho (loop shaping), e est´a fora do ˆambito desta cadeira. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

34

3.3

Efeito nas varia¸c˜ oes dos parˆ ametros

No projecto de um controlador ´e necess´ario ter em considera¸ca˜o que o modelo do sistema a controlar pode deixar de ser v´alido. Isto acontece sempre que haja varia¸co˜es nos parˆametros devido, e.g., ao envelhecimento dos seus componentes, a erros de modela¸c˜ao, tolerˆancias de fabrico, etc. Quest˜ ao: ser´a que num anel de realimenta¸ca˜o ´e poss´ıvel diminuir a sensibilidade a varia¸c˜oes nos parˆametros da fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema a controlar? R(s)

-+ i ° 6

-

- Gp (s)

K

Y(s) -

Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado: Y (s) KGp (s) = = GAF (s) R(s) 1 + KGp (s) An´ alise da sensibilidade: A sensibilidade de GAF (s) a varia¸c˜oes de Gp (s), SG , pode ser determinada atrav´es da seguinte express˜ao:

SG =

dGAF (s)/GAF (s) dGAF (s) Gp (s) = · dGp (s)/Gp (s) dGp (s) GAF (s)

Desenvolvendo:

SG =

K[1 + KGp (s)] ° KGp (s)K Gp (s) K Gp (s) · = · 2 2 [1 + KGp (s)] GAF (s) [1 + KGp (s)] GAF (s)

Substituindo GAF (s) na express˜ao acima, resulta:

SG =

1 1 + KGp (s)

Conclus˜ ao: a insensibilidade (robustez) a poss´ıveis varia¸c˜oes nos parˆametros do sistema a controlar Gp (s) pode ser aumentada se for usado um valor elevado para o ganho K do anel de realimenta¸c˜ao.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

35

3.4

Efeito nas caracter´ısticas da resposta

1. Resposta transit´ oria: a realimenta¸ca˜o afecta sobretudo a resposta transit´oria do sistema a controlar, podendo melhorar significativamente a resposta do sistema em termos de sobreimpulso, tempo de pico, tempo de crescimento, tempo de estabelecimento (ou equivalentes na resposta em frequˆencia). Por efeito da realimenta¸ca˜o pode um sistema originalmente inst´avel em anel aberto tornar-se est´avel quando a sua sa´ıda ´e realimentada. No entanto, o contr´ario tamb´em pode acontecer: um sistema originalmente est´avel em anel aberto pode instabilizar quando a sua sa´ıda ´e realimentada.

Exemplo 1: anel de controlo estabiliza sistema inst´ avel em anel aberto. 3

2.5

R(s) -+ i

y(t)

2

-

° 6

1.5

Y(s)-

2 (s°1)(s+2)

1

0.5

0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo [s]

Exemplo 2: anel de controlo instabiliza sistema est´ avel em anel aberto. 3 2.5 2

R(s) -+ i

1.5 1 y(t)

° 6

0.5

-

15 (s+1)(s+2)(s+0.5)

Y(s)-

0 −0.5 −1 −1.5 0

1

2

3

4

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

5 Tempo [s]

6

7

8

9

10

Controlo de Sistemas

36

2. Resposta estacion´ aria: a realimenta¸ca˜o pode eliminar completamente o erro estacion´ario no seguimento a referˆencias. No entanto, o contr´ario tamb´em pode acontecer: um sistema com erro estacion´ario nulo em anel aberto (ganho unit´ario) pode ver este aumentado quando integrado num anel de realimenta¸c˜ao.

Exemplo 1: anel de controlo com erro estacion´ ario nulo para sistema em anel aberto no limite de estabilidade. 1.4

1.2

1

R(s) -+ i

0.8

-

y(t)

° 6

0.6

1 s(s+1)

Y(s)-

0.4

0.2

0

0

2

4

6 Tempo [s]

8

10

12

Exemplo 2: anel de controlo com erro estacion´ ario n˜ ao nulo para sistema em anel aberto com ganho unit´ ario.

1

R(s) -+ i

y(t)

0.8

° 6

0.6

-

1 s+1

Y(s)-

0.4

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2 Tempo [s]

2.5

3

3.5

4

˜ FINAL CONCLUSAO Para se tirar o m´ aximo partido de um anel de controlo por realimenta¸c˜ ao ´e necess´ ario ter presente e conjugar todos os seus efeitos, por forma a obter-se o melhor desempenho poss´ıvel para o sistema em anel fechado. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

37

4

An´ alise de estabilidade e constru¸c˜ ao do LGR

4.1

Crit´ erio de Routh-Hurwitz

Seja o seguinte polin´omio em s: P (s) = an sn + an°1 sn°1 + · · · + a1 s + a0 n = (s ° s1 )(s ° s2 ) · · · (s ° sn°1 )(s ° sn ) ao necess´ aria para que todas as ra´ızes de P (s) tenham parte real negativa (est´aveis), A condi¸c˜ ´e que se verifiquem simultaneamente as seguintes condi¸co˜es: • Todos os coeficientes ai , i = 0, . . . , n ° 1, sejam diferentes de zero. • Todos os coeficientes aj , j = 0, . . . , n, tenham o mesmo sinal. caso contr´ario, o polin´omio ter´a ra´ızes com parte real positiva (inst´aveis).

Tabela de Routh-Hurwitz sn

an

an°2

an°4

···

0

sn°1

an°1

an°3

an°5

···

0

sn°2

b1

b2

···

···

sn°3

c1

c2

···

.. .

.. .

.. .

s0

k1

onde: b1 =

an°1 an°2 ° an an°3 an°1

b2 =

an°1 an°4 ° an an°5 an°1

c1 =

b1 an°3 ° an°1 b2 b1

c2 =

b1 an°5 ° an°1 b3 b1

Crit´ erio de Routh-Hurwitz: o n´ umero de mudan¸cas de sinal na primeira coluna da tabela, indica o n´ umero de ra´ızes inst´aveis do polin´omio P (s), i.e., o n´ umero de ra´ızes que pertencem ao semi-plano direito do plano complexo. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

38

Exemplo: aplica¸c˜ao do crit´erio de Routh-Hurwitz: Considere-se o seguinte polin´omio: P (s) = s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0 A constru¸ca˜o da tabela de Routh-Hurwitz origina: s4

1

3

5

s3

2

4

0

s2

1

5

s1

°6

s0

5

Como h´a duas mudan¸cas de sinal na primeira coluna da tabela de Routh-Hurwitz (do 1 ! °6, e do °6 ! 5), o polin´omio P (s) ter´a duas ra´ızes com parte real positiva. Na realidade, o polin´omio em forma factorizada ´e: P (s) = (s ° 0.29 ± 1.42j)(s + 1.29 ± 0.86j). | {z } 2 ra´ızes inst´aveis

Caso particular 1: termo nulo na primeira coluna Considere-se o seguinte polin´omio:

P (s) = s3 + 2s2 + s + 2 = 0 A constru¸ca˜o da tabela de Routh-Hurwitz origina: s3

1

1

s2

2

2

s1

0º"

s0

2

Como o sinal do coeficiente acima do zero (" ! 0+ ) ´e o mesmo do coeficiente abaixo deste, isto significa que o polin´omio P (s) tem um par de ra´ızes imagin´arias: P (s) = (s + 2)(s ± j). Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

39

Considere-se agora o seguinte polin´omio: P (s) = s3 ° 3s + 2 = 0 A constru¸ca˜o da tabela de Routh-Hurwitz origina: s3

1

°3

s2

0º"

2

s1

°3 °

s0

2 "

2

Como h´a sempre duas trocas de sinal nos elementos da primeira coluna, quer " ! 0+ ou " ! 0° , o polin´omio P (s) tem duas ra´ızes com parte real positiva: P (s) = (s + 2)(s ° 1)2 .

Caso particular 2: linha nula na tabela de Routh-Hurwitz Considere-se o seguinte polin´omio: P (s) = s5 + 2s4 + 24s3 + 48s2 ° 25s ° 50 = 0 A constru¸ca˜o da tabela de Routh-Hurwitz at´e `a linha s3 , origina: s5

1

24

°25

s4

2

48

°50 √ Polin´omio auxiliar, Pa (s)

s3

0

0

Nesta circunstˆancia, define-se o polin´ omio auxiliar formado pelos coeficientes da linha anterior:

Pa (s) = 2s4 + 48s2 ° 50

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

40

O desenvolvimento continua, substituindo-se na tabela de Routh-Hurwitz o polin´omio auxiliar pelo polin´omio resultado da derivada de Pa (s) em ordem a s: Pa (s) = 8s3 + 96s ds A nova tabela de Routh-Hurwitz ser´a dada por: s5

1

24

°25

s4

2

48

°50

s3

8

96

√°

s2

24

°50

s1

112.7

0

s0

°50

Coeficientes de

dPa (s) ds

Como h´a uma mudan¸ca de sinal na primeira coluna da tabela de Routh-Hurwitz, o polin´omio P (s) ter´a uma raiz com parte real positiva: P (s) = (s + 1)(s ° 1)(s ± 5j)(s + 2). Nota: o crit´erio de Routh-Hurwitz pode tamb´em ser utilizado para a an´alise de estabilidade de ´ poss´ıvel avaliar a estabilidade de um anel de controlo por varia¸c˜ao de sistemas de controlo. E um u ´nico parˆametro, sem ter que calcular explicitamente a localiza¸ca˜o dos p´olos do anel fechado! R(s) -+ j 6 °

-

s+a s(s2 +s+1)

Y (s)-

Quest˜ ao: que valores pode a tomar (ou, qual a localiza¸ca˜o do zero) por forma a n˜ao instabilizar o anel de controlo?

• Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado: Y (s) s+a s+a = = 3 2 R(s) s(s + s + 1) + s + a s + s2 + 2s + a

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

41

s3 + s2 + 2s + a = 0

• Equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado:

A constru¸ca˜o da tabela de Routh-Hurwitz origina: s3

1

2

s2

1

a

s1

2°a

0

s0

a

Para se garantir a estabilidade do anel de controlo ´e necess´ario garantir que n˜ao h´a altera¸c˜oes de sinal nos elementos da primeira coluna da tabela, ou seja: 0< a <2

caso contr´ario, o sistema de controlo instabiliza! Visualiza¸c˜ao da resposta do sistema, y(t), considerando um degrau unit´ario, R(s) = 1/s, como entrada de referˆencia no anel de controlo:

Caso, a = 1 (zero em s = °1):

Caso, a = 3 (zero em s = °3):

1.4

20

15

1.2

10

1 5

0.8

Y(s) 0.6

R(s)

=

y(t)

y(t)

0

s+1

−5

s3+s2+2s+1

Y(s) −10

R(s)

0.4

Pólos: −0.57, −0.21±1.31j

=

s+3 s3+s2+2s+3

−15

Pólos: −1.28, 0.14±1.53j

0.2 −20

0

0

5

10

15 Tempo [s]

20

25

−25

0

5

10

15

20

Tempo [s]

Nota: a simples desloca¸ca˜o do zero do sistema, de s = °1 para s = °3, torna o anel de controlo inst´avel!

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

25

42

4.2

Constru¸c˜ ao do Lugar Geom´ etrico das Ra´ızes (LGR)

Recordando o sistema de controlo por realimenta¸ca˜o: R(s)-+ h E(s) Gc (s)

U(s)-

° 6

Y(s)-

Gp (s)

H(s) æ

Pergunta: como garantir que o controlador Gc (s) n˜ao instabiliza o anel de controlo? Como garantir que os p´olos da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado n˜ao est˜ao localizados no semiplano direito do plano complexo?

Exemplo: pretende-se que o seguinte sistema siga, o melhor poss´ıvel, um degrau unit´ario: 10 (s + 1)(s + 2)

Gp (s) =

Para tal, resolvemos seguir o conselho de um colega mais velho (que dizia que sabia imenso sobre seguimento de referˆencias!), e implement´amos o seguinte anel de controlo: R(s) -+ j

-

-

1 s

6 °

Y (s)-

10 (s+1)(s+2)

RESPOSTA DE Gp(s)

6

ANEL FECHADO 5

4

5

3

Amplitude

Amplitude

4

3

2

1

2 0

1

0

−1

0

1

2

3

4

5 Tempo (seg.)

6

7

8

9

10

−2

0

1

2

3

4

5 Tempo (seg.)

6

7

8

9

10

Quest˜ ao: o que falhou no racioc´ınio do “colega mais velho”? Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

43

An´ alise de estabilidade do anel de controlo: • Estabilidade absoluta: p´olos da FT anel fechado localizados no SPD. Sim ou n˜ao? – Crit´erio de Routh-Hurwitz.

X

• Estabilidade relativa: proximidade dos p´olos da FT anel fechado ao eixo imagin´ario. – M´etodo do Lugar Geom´ etrico das Ra´ızes (LGR, ou root locus).

O m´ etodo do Lugar Geom´ etrico das Ra´ızes O m´etodo do LGR ´e um m´etodo gr´afico que permite visualizar a localiza¸c˜ao no plano complexo dos p´olos da FT do anel fechado, `a medida que um u ´nico parˆametro do anel de controlo varia. Este parˆametro ´e o: ˜ DE TRANSFERENCIA ˆ GANHO DA FUNC ¸ AO DO ANEL ABERTO! Seja ent˜ao o seguinte sistema de controlo gen´erico: R(s) -+ j E(s) 6 °

Gc (s)

U(s) -

H(s)

Gp (s)

Y(s) -

æ

onde: • Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto: Gc (s)Gp (s)H(s) = KG(s),

onde G(s) ´e uma fun¸ca˜o de transferˆencia de ganho unit´ario.

• Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado: Gc (s)Gp (s) Gc (s)Gp (s) = 1 + Gc (s)Gp (s)H(s) 1 + KG(s) • Equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado: c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

1 + KG(s) = 0

Controlo de Sistemas

44

Pergunta: em que consiste o m´etodo do LGR? Resposta: consiste na visualiza¸c˜ao do caminho que as ra´ızes da equa¸c˜ ao caracter´ıstica do anel fechado fazem no plano complexo, 1 + KG(s) = 0, em fun¸ca˜o da varia¸c˜ao do ganho da fun¸c˜ ao de transferˆ encia do anel aberto, definido pelo parˆ ametro real, K: LGR ¥ 1 + KG(s) = 0,

com K 2 ] ° 1, +1[

Exemplo: o meu primeiro LGR. Determinar a localiza¸c˜ao dos p´olos da FT do anel fechado do seguinte sistema de controlo, `a medida que o ganho K varia entre 0 e +1: R(s) -+ j 6 °

-

-

K

Y (s)-

1 s+1

• Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto: Gc (s)Gp (s)H(s) = KG(s) = K

1 s+1

• Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado:

Gc (s)Gp (s) K = 1 + Gc (s)Gp (s)H(s) s+1+K

• Equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado:

s+1+K =0

• A localiza¸ca˜o dos p´olos da FT do anel fechado: s = °1 ° K,

com K 2 [0, +1[

• Atribuindo valores a K temos a seguinte localiza¸c˜ao dos p´olos da FT do anel fechado: K = 0 ) s = °1 K = 1 ) s = °2 K = 2 ) s = °3 .. . K = +1 ) s = °1

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

45

O respectivo LGR para K 2 [0, +1[ ´e: O meu primeiro LGR

ANEL FECHADO

1 0.8 1

0.6

k = 10

0.4

K=2

K = +∞

K=1

K=0

Amplitude

Eixo Imaginário

0.8

k=3

0.2 0

0.6

k=1

−0.2 0.4

−0.4 −0.6

0.2

−0.8 −1 −6

−5

−4

−3 Eixo Real

−2

−1

0

0

0

1

2

3 Tempo (seg.)

4

5

6

Exemplo: o meu segundo LGR. Determinar a localiza¸c˜ao dos p´olos da FT do anel fechado do seguinte sistema de controlo, considerando que o parˆametro K pode tomar valores entre 0 e +1: R(s) -+ j

-

6 °

-

K

1 s

Y (s) -

1 s+1

æ

• Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto: Gc (s)Gp (s)H(s) = KG(s) = K

1 s(s + 1)

• Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado: Gc (s)Gp (s) Ks = 2 1 + Gc (s)Gp (s)H(s) s +s+K • Equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado:

s2 + s + K = 0

• A localiza¸ca˜o dos p´olos da FT do anel fechado: s =

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

°1 ±

p

1 ° 4K , 2

com K 2 [0, +1[ Controlo de Sistemas

46

• Atribuindo valores a K temos a seguinte localiza¸c˜ao dos p´olos da FT do anel fechado: K = 0 ) s1 = °1 , s2 = 0 K = 1/4 ) s1 = s2 = °0.5 p °1 ± 3j K = 1 ) s1,2 = 2 .. .

O respectivo LGR para K 2 [0, +1[ ´e: ANEL FECHADO

O meu segundo LGR

2

4 K = +∞

3

K=5 1.5

2

0

K=0

Amplitude

Eixo Imaginário

1

1 K=0

K = 1/4

K=1

0.5

K = 0.25

−1 0

−2

−4

K = 0.1

−0.5

−3

K = +∞

−1

−0.8

−0.6 −0.4 Eixo Real

−0.2

0

0.2

−1

0

5

10

15

Tempo (seg.)

Coment´ arios: • Para valores de K 2 [0 0.25], os p´olos do anel fechado ficam localizados sobre o eixo real, donde a resposta do sistema de controlo segue um perfil exponencial. • Para valores de K > 0.25, os p´olos do anel fechado ficam localizados na mesma recta vertical, i.e., possuem todos a mesma parte real com parte imagin´aria tanto maior quanto maior for o valor de K. A resposta do sistema de controlo ´e cada vez mais oscilat´oria, com cada vez maior sobreimpulso, embora o tempo de estabelecimento permane¸ca inalter´avel. • O erro estacion´ario de seguimento ao degrau ´e sempre igual a 1. Seria capaz de o calcular analiticamente? (Sugest˜ ao: calcular limt!1 [y(t) ° r(t)] = lims!0 s[Y (s) ° R(s)])

Quest˜ ao: como representar o LGR para sistemas cuja equa¸ca˜o caracter´ıstica ´e um polin´omio de ordem elevada? Como saber quais os pontos do plano complexo por onde passa o caminho dos p´olos da FT do anel fechado quando o ganho da FT do anel aberto, K, varia? Solu¸c˜ ao: regras construtivas do LGR! Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

47

4.2.1

Regras construtivas do LGR

Seja a seguinte configura¸c˜ao gen´erica de um anel de controlo por realimenta¸ca˜o: R(s) -+ j E(s) 6 °

Gc (s)

U(s) -

Gp (s)

Y(s) -

æ

H(s)

onde a fun¸c˜ao de transferˆencia do anel aberto ´e dada por: ≥

Gc (s)Gp (s)H(s) = K.G(s) = K. ≥

s z1

¥ ≥ ¥ + 1 · · · zsm + 1 ¥≥ ¥ ≥ ¥ + 1 ps2 + 1 · · · psn + 1

+1

s p1

¥≥

s z2

onde: • G(s) com ganho unit´ario. • Os termos zi 2 C, i = 1, . . . , m e pj 2 C, j = 1, . . . , n, ou seja, zi e pj correspondem a zeros e p´olos, reais ou complexos conjugados, respectivamente. A equa¸ca˜o caracter´ıstica do anel fechado ´e: 1 + KG(s) = 0 KG(s) = °1 Ideia b´ asica: um n´ umero complexo s§ = a ± bj pertence ao LGR sse, para um determinado valor do ganho da FT do anel aberto, K, verificar simultaneamente as seguintes condi¸c˜oes: |KG(s§ )| = 1 Condi¸ c˜ ao de M´ odulo arg [KG(s§ )] = ±180± (2n + 1), n = 0, 1, 2, . . .

Condi¸c˜ ao de Argumento

Conclus˜ ao: o LGR corresponde assim ao conjunto de pontos no plano complexo que verificam simultaneamente as condi¸c˜oes de m´odulo e de argumento, para diferentes valores do ganho K.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

48

Regras para o Tra¸cado do Lugar Geom´ etrico das Ra´ızes Regras gerais: • A fun¸ca˜o de transferˆencia G(s) tem n p´olos, pj (j = 1, . . . , n), e m zeros, zi (i = 1, . . . , m). • O n´ umero de ramos do LGR ´e igual ao n´ umero de ra´ızes da equa¸c˜ao caracter´ıstica. Como se sup˜oe sempre que n ∏ m, o n´ umero de ramos do LGR ´e sempre igual ao n´ umero de p´olos de G(s), ou seja n. • Todos os ramos do LGR come¸cam nos p´olos de G(s), para K = 0, e terminam nos zeros de G(s), para K = 1. Se o n´ umero de p´olos for maior que o n´ umero de zeros, i.e., n > m, ent˜ao existir˜ao (n°m) ramos que terminam no infinito. • O LGR ´e sempre sim´etrico em rela¸c˜ao ao eixo real. • Se n ∏ m+2, o “centro de gravidade” do caminho dos p´olos no LGR ´e constante qualquer que seja o K: n X

Re (pj ) = cte

j=1

LGR para o caso: K 2 ]0, +1[ 1. Marcar no plano complexo os n p´olos (£) e os m zeros (±) de G(s). 2. Um ponto do eixo real pertence ao LGR se a soma do n´ umero de p´olos e zeros (reais e complexos) `a sua direita for ´ımpar. 3. As (n°m) ass´ımptotas dos ramos do LGR que terminam no infinito s˜ao rectas que fazem um ˆangulo com o eixo real, contado no sentido directo (em graus), de: ∞ =

180(1 + 2k) , n°m

n>m

k = 0 (1a ass´ımptota), k = 1 (2a ass´ımptota), . . ., at´e k = (n ° m) ° 1 (´ ultima ass´ımptota). 4. As ass´ımptotas do LGR intersectam-se num ponto do eixo real dado por: Pn Pm R (p ) ° e j j=1 i=1 Re (zi ) æc = , n>m n°m

onde pj e zi correspondem aos n p´olos e m zeros de G(s), respectivamente.

5. Os pontos de convergˆencia/divergˆencia do LGR sobre o eixo real correspondem `as ra´ızes reais da seguinte equa¸ca˜o: d °1 [G (s)] = 0, ds Controlo de Sistemas

G°1 (s) =

¶nj=1 (s ° pj ) ¶m i=1 (s ° zi ) c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

49

6. O ˆangulo de sa´ıda de um ramo do LGR num p´olo complexo, ¡l , e o ˆangulo de chegada de um ramo do LGR a um zero complexo, √l , contados no sentido directo (em graus), s˜ao obtidos respectivamente por: ±

¡l = 180 °

n X j6=l

¡j +

m X

√i

,

i=1

±

√l = 180 °

m X i6=l

√i +

n X

¡j

j=1

e medidos de acordo com a seguinte figura:

ˆ Angulo de sa´ıda de p3 :

¡3 = 180± ° ¡1 ° ¡2 ° ¡4 + √1 + √2 .

LGR para o caso: K 2 ] ° 1, 0[ 1. igual ao caso anterior. 2. Um ponto do eixo real pertence ao LGR se a soma do n´ umero de zeros e p´olos (reais e complexos) `a sua direita for par. 3. As (n°m) ass´ımptotas dos ramos do LGR que terminam no infinito s˜ao rectas que fazem um ˆangulo com o eixo real, contado no sentido directo (em graus), de: ∞=

360k , n°m

n>m

k = 0 (1a ass´ımptota), k = 1 (2a ass´ımptota), . . ., at´e k = (n ° m) ° 1 (´ ultima ass´ımptota). 4. igual ao caso anterior. 5. igual ao caso anterior. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

50

6. O ˆangulo de sa´ıda de um ramo do LGR num p´olo complexo, ¡l , e o ˆangulo de chegada de um ramo do LGR a um zero complexo, √l , contados no sentido directo, s˜ao obtidos respectivamente por: n m m n X X X X ¡l = ° ¡j + √i , √l = ° √i + ¡j i=1

j6=l

i6=l

j=1

e medidos de acordo com a seguinte figura:

ˆ Angulo de sa´ıda de p3 :

¡3 = °¡1 ° ¡2 ° ¡4 + √1 + √2 .

Nota final: as regras anteriores s˜ao aplicadas directamente considerando que a fun¸ca˜o de transferˆencia do sistema, G(s), foi factorizada na forma: ≥ ¥≥ ¥ ≥ ¥ s s s + 1 + 1 · · · + 1 z1 z2 zm ¥≥ ¥ ≥ ¥ , onde: {zi , pj } 2 C G(s) = ≥ s s s + 1 + 1 · · · + 1 p1 p2 pn Isto significa que, caso surjam termos no numerador (ou denominador) expressos na forma (°s/zi + 1) (ou (°s/pj + 1)), ´e necess´ario alterar a sua representa¸ca˜o para °(s/zi ° 1) (ou °(s/pj ° 1)) por forma a estarem em consonˆancia com a forma factorizada de G(s). No entanto, devido `a troca de sinal que resulta desta altera¸c˜ao, sempre que estes termos ocorram um n´ umero ´ımpar de vezes na fun¸ca˜o de transferˆencia G(s) ´e necess´ario trocar as regras para o tra¸cado do LGR: para K > 0 aplicam-se as regras para K < 0, e vice-versa. Exemplo:

G(s) = ≥

s p1

G(s) = ≥

s p1

Controlo de Sistemas

≥

¥ 3 +1 °1 ¥≥ ¥ = ° 4≥ ¥≥ ¥ 5 ) Regras do LGR trocam. s s s + 1 p2 + 1 + 1 p2 + 1 p1 ≥ ¥ ≥ ¥ s ° zs1 + 1 ° 1 z1 ¥≥ ¥=≥ ¥≥ ¥ ) Regras do LGR mantˆem-se. s s + 1 ° ps2 + 1 + 1 ° 1 p1 p2 ° zs1

¥

2

≥

s z1

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

51

Exemplo: voltemos ao caso apresentado no in´ıcio: R(s) -+ j

-

-

1 s

6 °

Y (s)-

10 (s+1)(s+2)

onde se obteve uma resposta inst´avel em anel fechado: ANEL FECHADO 5

4

Amplitude

3

2

1

0

−1

−2

0

1

2

3

4

5 Tempo (seg.)

6

7

8

9

10

Quest˜ ao: teria sido poss´ıvel prever este comportamento atrav´es do LGR? • Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto: Gc (s)Gp (s)H(s) =

10 2 1 =5 =5 = KG(s) s(s + 1)(s + 2) s(s + 1)(s + 2) s(s + 1)( 2s + 1) | {z } Ganho unit´ario

O LGR de G(s) para K 2 [0, +1[ ´e: LGR 4

K=+∞

3 K=5

Eixo Imaginário

2 1 K=+∞

K=0

K=0

K=0

0 −1 −2 −3

K=+∞ −4 −6

−5

−4

−3

−2 Eixo Real

−1

0

1

2

Localiza¸ca˜o dos p´olos da FT anel fechado (K = 5): °3.31 e 0.15 ± 1.73i. O sistema ´e inst´avel! c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

52

Rela¸c˜ ao entre LGR e a resposta no tempo A cada valor de K corresponde uma determinada localiza¸c˜ao dos p´olos da fun¸c˜ao de trans` medida que K aumenta, a localiza¸ca˜o dos p´olos do sistema evolui ferˆencia do anel fechado. A de acordo com: • Para 0 < K < 0.2: 3 p´olos reais e est´aveis. • Para 0.2 < K < 3: 1 p´olo real, e 2 p´olos complexos conjugados, est´aveis. • Para K > 3: 1 p´olo real est´avel, e 2 p´olos complexos conjugados inst´aveis. Resposta ao degrau unit´ario do anel fechado, para diferentes valores de K: K = 0.1 1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6 y(t)

y(t)

K = 0.01 1

0.5

0.5

0.4

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0 0

100

200

300 Tempo [s]

400

500

0 0

600

5

10

15

20

25 30 Tempo [s]

35

40

45

50

K=5

K=1

8

1.4

6

1.2

4 1

2 y(t)

y(t)

0.8

0

0.6

−2 0.4

−4

0.2

0 0

−6

5

10

15 Tempo [s]

20

25

−8 0

5

10

15

Tempo [s]

Quest˜ ao: observe bem a diferen¸ca entre a resposta do anel fechado para K = 0.01 e K = 0.1. Consegue encontrar uma justifica¸c˜ao para esta diferen¸ca? Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

53

4.2.2

Exemplo de constru¸c˜ ao do LGR

Tra¸car o LGR do seguinte sistema de controlo, considerando K > 0 e K < 0: R(s) -+ j

-

-

K

6 °

Gp (s) = H(s) =

3.713s + 59.41s + 609 , (s + 3)(s2 + 4s + 29) 1 , s+7

p´olo: {°7}

Y(s) -

æ

H(s)

2

Gp (s)

8 < zeros : {°8 ± 10j} :

p´olos : {°3; °2 ± 5j}

A fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto ´e: G(s) =

3.713s2 + 59.41s + 609 s4 + 14s3 + 90s2 + 374s + 609

Aplica¸c˜ ao das regras gerais: • Sistema com n = 4 p´olos, e m = 2 zeros, ou seja, o LGR ter´a 4 ramos, 2 dos quais terminam no infinito. • O LGR ´e sim´etrico em rela¸ca˜o ao eixo real. • Como n = m+2, o “centro de gravidade” do caminho dos p´olos no LGR ´e constante para qualquer valor de K.

Caso K > 0: 1. Marcar no plano complexo os 4 p´olos (£) e os 2 zeros (±) de G(s). 2. Os pontos do eixo real no segmento de recta [°7 ° 3] pertencem ao LGR. 3. As 2 ass´ımptotas dos ramos do LGR que terminam no infinito s˜ao rectas que fazem um ˆangulo com o eixo real, contado no sentido directo (em graus), de:

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

∞1 =

180(1 + 2.0) = 90± 2

∞2 =

180(1 + 2.1) = 270± 2

Controlo de Sistemas

54

4. As ass´ımptotas obtidas no ponto anterior intersectam-se no seguinte ponto sobre o eixo real: P4 P2 (°7 ° 3 ° 2 ° 2) ° (°8 ° 8) °14 + 16 j=1 Re (pj ) ° i=1 Re (zi ) æc = = = =1 n°m 2 2 5. Os pontos de convergˆencia/divergˆencia do LGR sobre o eixo real correspondem `as ra´ızes reais da seguinte equa¸ca˜o: ∑ ∏ d °1 d s4 + 14s3 + 90s2 + 374s + 609 [G (s)] = 0 , =0 ds ds 3.713s2 + 59.41s + 609 ,

7.426s5 + 230.21s4 + 4099.5s3 + 29536s2 + 105100s + 191590 =0 (s4 + 14s3 + 90s2 + 374s + 609)2

, 7.426s5 + 230.21s4 + 4099.5s3 + 29536s2 + 105100s + 191590 = 0 , (s + 5.45)(s + 10.44 ± 13.8j)(s + 2.33 ± 3.2j) = 0 Donde, o u ´nico ponto de convergˆencia/divergˆencia ´e: s=-5.45 6. C´alculo dos ˆangulos de sa´ıda e chegada aos p´olos e zeros complexos, respectivamente. C´ alculo do ˆ angulo de sa´ıda em p3 : Pólos (x) e Zeros (o) 15

10

z1 Ψ

1

p3

Eixo imaginário

5

p1

0

φ

φ1

2

p

2

φ

4

−5

p4 Ψ

−10

−15 −10

2

z2 −8

−7

−3 Eixo Real

−2

0

2

¡3 = 180± ° (¡1 + ¡2 + ¡4 ) + √1 + √2 ¡3 = 180± ° [arctan (1) + arctan (5) + 90± ] + [270± + arctan(6/5)] + arctan (15/6) ¡3 = 345.5±

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

55

C´ alculo do ˆ angulo de chegada em z1 : Pólos (x) e Zeros (o) 15

z 10

1

φ

3

Eixo imaginário

5

p3 φ

φ

1

p2

2

1

0

p

φ

4

−5

p4 Ψ

2

−10

z2

−15 −10

−8

−7

−3 Eixo Real

−2

0

2

√1 = 180± ° √2 + (¡1 + ¡2 + ¡3 + ¡4 ) 2

√1 = 180± ° 90± + 490± + arctan (1/10) + 90± + arctan (5/10) + · · · | {z } | {z } ¡1 ¡2 3 · · · 90± + arctan (6/5) + 90± + arctan (6/15)5 = 203.4± | {z } | {z } ¡3

Finalmente:

¡4

LGR para K>0 50

K=+∞ 40 30

Eixo Imaginário

20

K=+∞

10

K=0

0 −10

K=0

K=0

K=+∞

−20 −30 −40

K=+∞ −50 −10

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

−9

−8

−7

−6

−5

−4

−3 −2 Eixo Real

−1

0

1

2

3

4

Controlo de Sistemas

56

Caso K < 0: 1. Marcar no plano complexo os 4 p´olos (£) e os 2 zeros (±) de G(s). 2. Os pontos do eixo real nos segmentos de recta [°1 ° 7] e [°3 + 1] pertencem ao LGR. 3. As 2 ass´ımptotas dos ramos do LGR que terminam no infinito s˜ao rectas que fazem um ˆangulo com o eixo real, contado no sentido directo (em graus), de: ∞1 =

360 £ 0 = 0± 2

∞2 =

360 £ 1 = 180± 2

4. As ass´ımptotas obtidas no ponto anterior est˜ao sobre o eixo real, logo n˜ao faz sentido calcular o ponto de intersec¸ca˜o. 5. N˜ao h´a nenhum ponto de convergˆencia/divergˆencia do LGR sobre o eixo real, visto que s = °5.45 n˜ao pertence ao LGR (ver ponto 2. anterior). 6. C´alculo dos ˆangulos de sa´ıda e chegada aos p´olos e zeros complexos, respectivamente. C´ alculo do ˆ angulo de sa´ıda em p3 (ver gr´afico da p´agina 54): ¡3 = °(¡1 + ¡2 + ¡4 ) + √1 + √2 ¡3 = ° [arctan (1) + arctan (5) + 90± ] + [270± + arctan(6/5)] + arctan (15/6) ¡3 = 165.5±

C´ alculo do ˆ angulo de chegada em z1 (ver gr´afico da p´agina 55): √1 = °√2 + (¡1 + ¡2 + ¡3 + ¡4 ) 2

√1 = °90± + 490± + arctan (1/10) + 90± + arctan (5/10) + · · · | {z } | {z } ¡1 ¡2 3 · · · 90± + arctan (6/5) + 90± + arctan (6/15)5 | {z } | {z } ¡3

√1 = 23.4

¡4

±

Donde, finalmente:

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

57

LGR para K<0 15

K=−∞ 10

K=0

Eixo Imaginário

5

0

K=0

K=0

K=−∞

K=−∞

−5

K=0 −10

K=−∞ −15 −14

−12

−10

−8

−6 −4 Eixo Real

−2

0

2

4

Conclus˜ ao: o sistema de controlo apresentado na p´agina 53 ´e est´avel para uma gama de valores do ganho finita K 2]Ka Kb [, sendo Ka < 0 e Kb > 0. Para determinar exactamente estes valores limite, recorre-se ao crit´erio de estabilidade de Routh-Hurwitz (ver p´agina 37): • Equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado: 1 + KG(s) = 0 , s4 + 14s3 + (90 + 3.713K)s2 + (374 + 59.41K)s + 609 + 609K = 0 • Tabela de Routh-Hurwitz: s4

1

90 + 3.713K

609 + 609K

s3

14

374 + 59.41K

0

s2

a=

14(90+3.713K)°1.(374+59.41K) 14

s1

a(374+59.41K)°14(609+609K) a

s0

609 + 609K

609 + 609K

• Deixa-se ao cuidado do leitor mostrar que a gama de valores de K que garante que n˜ao h´a altera¸co˜es de sinal na 1a coluna da tabela de Routh-Hurwitz ´e: K 2] ° 1 3[ ou seja, dentro deste intervalo o sistema de controlo ´e est´avel! c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

58

4.2.3

LGR de sistemas com atraso

Vimos atr´as que o atraso no tempo (atraso de transporte), ´e um elemento comum na maior parte dos sistemas f´ısicos: Gp (s) = G§p (s) e°µs ,

µ = atraso no tempo

Suponhamos o seguinte sistema de controlo por realimenta¸ca˜o de um sistema com atraso no tempo: R(s) -+ j 6 °

-

K

- G§ (s)e°µs p

Y (s)-

• Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado: KG§p (s)e°µs Y (s) = R(s) 1 + KG§p (s)e°µs • Equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado:

1 + KG§p (s)e°µs = 0

Quest˜ ao: como representar a evolu¸ca˜o das ra´ızes da equa¸ca˜o caracter´ıstica, em fun¸ca˜o do parˆametro K? ou Quest˜ ao: como tra¸car o LGR do sistema de controlo?

Solu¸c˜ ao: aproxima¸ca˜o do termo n˜ao racional, e°µs , por uma frac¸ca˜o racional de ordem n, com n 2 N, usando a aproxima¸ c˜ ao de Pad´ e: • Preserva a amplitude unit´aria de e°µs . • Aproxima, o melhor poss´ıvel, a caracter´ıstica de fase de e°µjw .

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

59 Henri Eug` ene Pad´ e nasceu a 17 de Dezembro de 1863 em Abbeville, Picardia, noroeste de Fran¸ ca. Entrou para a Ecole Normale Sup´ erieure de Paris, em 1883. Passados trˆ es anos graduou-se em Matem´ aticas (Agr´ egation de Math´ ematiques) e iniciou a carreira ensinando em escolas secund´ arias. O seu primeiro artigo sobre desenvolvimentos matem´ aticos foi publicado em 1888. Em 1889 Pad´ e foi para a Alemanha para continuar os seus estudos, passando por Leipzig e G¨ ottingen, trabalhando com Klein e Schwarz. Mais tarde, em 1890, regressa a Fran¸ ca onde continua a ensinar em escolas secund´ arias enquanto tira o doutoramento sob a supervis˜ ao de Hermite. Em 21 de Junho 1892, Pad´ e defende em Paris a sua tese de doutoramento, “Sur la representation approch´ ee d’une fonction par des fractions rationelles”. Nesta tese, Pad´ e apresenta o primeiro estudo sistem´ atico daquilo que ´ e hoje conhecido por aproxima¸ c˜ ao de Pad´ e, aproxima¸ c˜ oes racionais de fun¸ c˜ oes descritas em s´ eries de potˆ encias. Durante o resto da sua vida continuou a investigar este tema, tendo recebido em 1906 o “Grand Prix of the French Academy”, tendo nesse mesmo ano sido nomeado Reitor da Faculdade de Ciˆ encias da Universidade de Bordeaux. Pad´ e deixou a universidade em 1908 tornando-se Reitor da Academia de Besan¸ con, e em 1917 Reitor da Academia de Dijon. Entre 1923 e 1934, ano em que se reformou, foi Reitor de Aix-Marseille. Pad´ e faleceu a 9 de Julho 1953 em Aix-en-Provence, Fran¸ ca.

Ideia b´ asica da aproxima¸ c˜ ao de Pad´ e: estabelecer equivalˆencias entre os parˆametros da expans˜ao em s´erie de Taylor da fun¸c˜ao transcendental, e°µs , e os parˆametros da expans˜ao em s´erie de uma fun¸ca˜o racional cujo numerador ´e um polin´omio de grau p, e o denominador um polin´omio de grau q. Ao resultado, denomina-se uma aproxima¸ c˜ ao de Pad´ e (p, q) de e°µs : e°µs °

Np (s) = ", Dq (s)

"!0

• Aproxima¸ca˜o em s´erie de Taylor de e°µs : e°µs = 1 ° µs +

1 1 1 (µs)2 ° (µs)3 + (µs)4 ° · · · 2! 3! 4!

• Considerando a expans˜ao de uma fun¸ca˜o racional com polin´omios de ordem 1: N1 (s) b0 s + b1 = D1 (s) a0 s + 1 = b1 + (b0 ° a0 b1 )s ° a0 (b0 ° a0 b1 )s2 + a20 (b0 ° a0 b1 )s3 + · · · • Igualando as duas s´eries at´e aos termos de terceira ordem: 1 1 1 ° µs + (µs)2 ° (µs)3 + · · · = b1 + (b0 ° a0 b1 )s ° a0 (b0 ° a0 b1 )s2 + a20 (b0 ° a0 b1 )s3 + · · · 2! 3! • Igualando os coeficientes de cada s´erie:

b1 = 1 b0 ° a0 b1 = °µ 1 2 °a0 (b0 ° a0 b1 ) = µ 2 1 a20 (b0 ° a0 b1 ) = ° µ3 6 .. .

... infinitas equa¸co˜es e apenas 3 inc´ognitas! c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

60

• Considerando apenas as trˆes primeiras equa¸c˜oes, tira-se: b1 = 1, a0 = resulta a seguinte aproxima¸ca˜o de Pad´e (1,1) de e°µs :

e°µs º

µ 2

e b0 = ° 2µ , donde

1 ° 2µ s 1 + 2µ s

• As aproxima¸c˜oes de Pad´e (2, 2) e (3, 3) de e°µs , originam: °µs

e

°µs

e

º º

1 ° 2µ s +

(µs)2 12 (µs)2 12

1 ° 2µ s +

(µs)2 10 (µs)2 10

1 + 2µ s +

1 + 2µ s +

° +

(µs)3 120 (µs)3 120

• Aproxima¸co˜es de Pad´e de e°µs podem ser obtidas em Matlab: [num,den]=pade[µ, n] Conclus˜ ao: qualquer que seja a aproxima¸ca˜o de Pad´e usada, resulta uma fun¸c˜ao racional onde as ra´ızes do denominador (p´olos) tˆem sempre parte real negativa, e as ra´ızes do numerador (zeros) s˜ao sim´etricas `aqueles, i.e., situam-se sempre no SPD (fase n˜ao-m´ınima): Mapeamento de pólos e zeros 10 8 6

Eixo Imaginário

4 2 0 −2 −4 −6 −8 −10

−8

−6

−4

−2

0 Eixo Real

2

4

6

8

Aproxima¸c˜oes de Pad´e (1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5) e (6, 6), do termo e°s .

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

61

Exemplo: tra¸car o LGR do seguinte anel de controlo, onde K 2 ]0, +1[: R(s) -+ j

-

6 °

-

K

Y (s) -

e°5s (10s+1)(60s+1)

• Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado: Y (s) Ke°5s = R(s) 600s2 + 70s + 1 + Ke°5s 600s2 + 70s + 1 + Ke°5s = 0

• Equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado:

...!

• Aproxima¸ca˜o do atraso de acordo com a aproxima¸ c˜ ao de Pad´ e (1,1): °s + 0.4 s + 0.4

e°5s º • O anel de controlo aproximado ser´a: R(s) -+ j

-

6 °

-

K

°s+0.4 (10s+1)(60s+1)(s+0.4)

Y (s)-

• O LGR para K > 0: LGR sistema sem atraso

LGR com aprox. atraso Padé (1,1)

0.4

0.4 K=+∞

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

Eixo Imaginário

Eixo Imaginário

K = 15.4

0 K=0

K=0

−0.1 −0.2

0 K=0

K=+∞

−0.1 −0.2

−0.3

−0.3 K=+∞

−0.4 −1

−0.8

−0.6

−0.4

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

−0.2

0 0.2 Eixo Real

0.4

0.6

0.8

1

−0.4 −1

−0.8

−0.6

−0.4

−0.2

0 0.2 Eixo Real

0.4

0.6

0.8

1

Controlo de Sistemas

62

• Adoptando outras aproxima¸co˜es para o atraso de acordo com a aproxima¸ c˜ ao de Pad´ e: e°5s º

s2 ° 1.2s + 0.48 , s2 + 1.2s + 0.48

e°5s º

°s5 + 6s4 ° 16.8s3 + 26.88s2 ° 24.19s + 9.68 , s5 + 6s4 + 16.8s3 + 26.88s2 + 24.19s + 9.68

aproxima¸ca˜o de Pad´e (2,2). aproxima¸c˜ao de Pad´e (5,5).

• Os respectivos LGR para K > 0: LGR com aprox. atraso Padé (5,5)

LGR com aprox. atraso Padé (2,2)

5

5

4

3

3

2

2 Eixo Imaginário

Eixo Imaginário

4

1 0 −1

1 0 −1

−2

−2

−3

−3

−4

−4

−5 −1.5

−1

−0.5

0 Eixo Real

0.5

1

−5

1.5

−6

−4

−2

0 Eixo Real

2

4

6

• Os respectivos LGR para K < 0: LGR com aprox. atraso Padé (5,5) 10

0.8

8

0.6

6

0.4

4 Eixo Imaginário

Eixo Imaginário

LGR com aprox. atraso Padé (2,2) 1

0.2 0 −0.2

2 0 −2

−0.4

−4

−0.6

−6

−0.8

−8

−1 −2

−1.5

Controlo de Sistemas

−1

−0.5

0 Eixo Real

0.5

1

1.5

2

−10 −6

−5

−4

−3

−2 Eixo Real

−1

0

1

2

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

63

5

Margens de estabilidade na resposta em frequˆ encia

´ poss´ıvel analisar a estabilidade de um anel de controlo por realimenta¸ca˜o (determinar a E localiza¸ca˜o dos p´olos da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado), com base apenas na: • Fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto. • Varia¸ca˜o de um parˆametro (ganho da FT anel aberto). A mesma an´alise pode ser feita com base na: • Resposta em frequˆ encia da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto. • Varia¸ca˜o de um parˆametro (ganho da FT anel aberto).

Exemplo: seja o seguinte sistema de controlo por realimenta¸c˜ao, com K > 0: R(s) -+ j

-

6 °

-

K

Y (s)-

1 s(s+1)2

LGR 2.5 K=+∞ 2 K=2

1.5

Eixo Imaginário

1 0.5 0 K=0

K=0 −0.5 −1 −1.5

K=2

−2 K=+∞ −2.5 −2.5

−2

−1.5

−1

−0.5

0 0.5 Eixo Real

1

1.5

2

2.5

Recordar: um n´ umero complexo s§ = a ± bj pertence ao LGR sse, para um determinado valor do ganho da FT do anel aberto, K, verificar simultaneamente as seguintes condi¸c˜oes: |KG(s§ )| = 1,

Condi¸c˜ ao de M´ odulo

arg[KG(s§ )] = °180± (2n + 1), n = 0, 1, 2, . . .

Condi¸ c˜ ao de Argumento

Isto ´e v´alido, neste exemplo, particularmente para: K = 2 e s§ = {°2, j1.0, °j1.0}. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

64

Representemos ent˜ao a resposta em frequˆencia da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto, KG(j!), considerando valores de K inferiores e superiores a K = 2: DIAGRAMA DE BODE 100

Magnitude [dB]

K=100 50

K=2 K=0.1

0 −50 −100 −150 −2 10

−1

10

0

10

1

10

2

10

Frequência [rad/s]

Fase [°]

−90

−180

−270 −2

−1

10

10

0

10

1

10

2

10

Frequência [rad/s]

Da observa¸c˜ao do gr´afico constata-se que para K = 2 e ! = 1 rad/s: |KG(j!)| = 1,

M´ odulo da FT anel aberto no ponto cr´ıtico de estabilidade

arg[KG(j!)] = °180± ,

Fase da FT anel aberto no ponto cr´ıtico de estabilidade

Conclus˜ oes: • O diagrama de Bode de um sistema no limite de estabilidade em anel fechado, i.e., cujo K ´e tal que um ou mais p´olos do anel fechado se localizam sobre o eixo imagin´ario, satisfaz as condi¸c˜ oes de m´ odulo e de argumento na frequˆ encia desses p´ olos, neste caso para s§ = j! = j1.0, ou seja, ! = 1 rad/s. • O diagrama de Bode de um sistema est´ avel em anel fechado, i.e., cujo K ´e tal que todos os p´olos do anel fechado se localizam no SPE, satisfaz a seguinte condi¸ca˜o: |KG(j!)| < 1, para a frequˆencia ! onde arg[KG(j!)] = °180± . • O diagrama de Bode de um sistema inst´ avel em anel fechado, i.e., cujo K ´e tal que pelo menos um dos p´olos do anel fechado se localiza no SPD, satisfaz a seguinte condi¸ca˜o: |KG(j!)| > 1, para a frequˆencia ! onde arg[KG(j!)] = °180± . Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

65

5.1

Margem de ganho e margem de fase

Duas quantidades permitem analisar a estabilidade relativa do anel de controlo: Margem de Ganho (MG): factor pelo qual o ganho K da FT do anel aberto pode ser aumentado at´e se atingir a instabilidade do anel fechado. Margem de Fase (MF): fase que pode ser subtra´ıda `a fase da FT do anel aberto at´e se atingir a instabilidade do anel fechado. Quest˜ ao: como quantificar os valores da MG e MF directamente a partir do Diagrama de Bode? Frequˆ encia de cruzamento de ganho (!cg ): frequˆencia para a qual a curva de magnitudes no Diagrama de Bode cruza os 0 dB, ou, frequˆencia para a qual o m´odulo da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto ´e, |KG(j!)| = 1. Frequˆ encia de cruzamento de fase (!cf ): frequˆencia para a qual a curva de fases no Diagrama de Bode cruza os -180 ± , ou, frequˆencia para a qual a fase da fun¸c˜ao de transferˆencia do anel aberto ´e, arg[KG(j!)] = °180± . Ent˜ao, considerando MG e MF positivas quando o anel de controlo ´e est´avel, resultam: MG = °20 log10 |KG(j!cf )| MF = 180± + arg[KG(j!cg )]

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

66

1. Considerando K = 0.1, obtemos !cg = 0.099 rad/s, e !cf = 1 rad/s, donde: DIAGRAMA DE BODE para K=0.1

Magnitude [dB]

50

0

ω

MG ≈ 26 dB

cg

−50

−100

−150 −2 10

−1

0

10

10

1

10

Frequência [rad/s]

Fase [°]

−90 MF ≈ 79° −180

ωcf

−270 −2 10

−1

0

10

10

1

10

Frequência [rad/s]

Ø Ø Ø Ø 0.1 Ø º 26 dB (K = 1026/20 º 20) MG = °20 log10 |KG(j!cf )| = °20 log10 ØØ 2 j!cf (j!cf + 1) Ø MF = 180± + arg[KG(j!cg )] = 180± + arg[0.1] ° arg[j!cg (j!cg + 1)2 ] º 79±

2. Considerando K = 100, obtemos !cg = 4.57 rad/s, e !cf = 1 rad/s, donde: DIAGRAMA DE BODE para K=100

Magnitude [dB]

100 50 0

ωcg

MG ≈ − 34 dB

−50 −100 −150 −1 10

0

1

10

10

2

10

Frequência [rad/s]

Fase [°]

−90

−180

ω

MF ≈ − 65°

cf

−270 −1 10

0

1

10

10

2

10

Frequência [rad/s]

Ø Ø Ø Ø 100 Ø º °34 dB MG = °20 log10 |KG(j!cf )| = °20 log10 ØØ j!cf (j!cf + 1)2 Ø

MF = 180± + arg[KG(j!cg )] = 180± + arg[100] ° arg[j!cg (j!cg + 1)2 ] º °65±

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

67

5.2

Situa¸co ˜es n˜ ao regulares

Dos exemplos anteriores, ´e poss´ıvel concluir que: • Se, MG> 0 e MF> 0, o sistema em anel fechado ´e est´ avel. • Caso contr´ario, o sistema em anel fechado ´e inst´ avel e, MG< 0 e MF< 0. Quest˜ ao: ser´a esta uma regra geral?

Exemplo1: determinar as margens de estabilidade e concluir quanto `a estabilidade do sistema de controlo por realimenta¸c˜ao unit´aria, com K > 0, considerando as seguintes fun¸c˜oes de transferˆencia do anel aberto:

G1 (s) =

1 s+1

G2 (s) =

1 (s + 1)(2s + 1)

DIAGRAMA DE BODE de G (s) 1

DIAGRAMA DE BODE de G2(s)

0

−10

Magnitude [dB]

Magnitude [dB]

0

MG = +∞ −20 −30 −40

−20

MG = +∞ −40 −60 −80

−50 −2 10

−1

10

0

10

1

10

−100 −2 10

2

10

−1

10

0

0

−45

−45

−90

MF = 180°

−134

−180 −2 10

0

10

1

10

2

10

Frequência [rad/s]

Fase [°]

Fase [°]

Frequência [rad/s]

−90

°

MF = 180

−135

−1

10

0

10

Frequência [rad/s]

1

10

2

10

−180 −2 10

−1

10

0

10

1

10

Frequência [rad/s]

• Em ambos os casos, MG=+1, pois a frequˆencia de cruzamento de fase n˜ao est´a definida! As curvas de fase nunca cruzam os °180± . • No entanto, sabe-se que o anel fechado ´e sempre est´avel, qualquer que seja o valor positivo para o ganho da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

2

10

68

Exemplo2: determinar as margens de estabilidade e concluir quanto `a estabilidade do seguinte sistema de controlo por realimenta¸ca˜o, com K > 0: R(s) -+ j

-

6 °

-

K

Y (s)-

(s+10)2 s3

O LGR do sistema mostra que o sistema de controlo ser´a inst´avel para K < 5, e est´avel para K > 5. Para K = 5, o sistema de controlo apresenta p´olos localizados em {°5, j10, °j10}. LGR 20 15

Eixo Imaginário

10 K=5

5 0

K = +∞

K=0

K = +∞

−5 −10 −15 −20 −35

−30

−25

−20

−15 Eixo Real

−10

−5

0

5

Aplicando a mesma l´ogica dos exemplos anteriores, as MG e MF ser˜ao: • Para K < 5, espera-se MG< 0 e MF< 0 (pois o sistema ´e inst´avel). • Para K = 5, espera-se MG= 0 e MF= 0 (pois o sistema est´a no limite de estabilidade). • Para K > 5, espera-se MG> 0 e MF> 0 (pois o sistema ´e est´avel). Mas, `a parte de K = 5, o resultado n˜ao vai ser bem este...

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

69

DIAGRAMA DE BODE para K=0.1, K=5 e K=100

Magnitude [dB]

150 100

MG = − 26 dB

50 0 −50 −100 −1 10

MG = 34 dB

0

10

1

10

2

10

3

10

Frequência [rad/s]

Fase [°]

0

−90

MF = 78.7° −180

MF = − 65.3° −270 −1 10

0

10

1

10

2

10

3

10

Frequência [rad/s]

Resulta: Para K = 0.1: MG= 34 dB (!cf = 10 rad/s), e MF= °65.3± (!cg = 2.19 rad/s) Para K = 5: MG= 0 dB (!cf = 10 rad/s), e MF= 0± (!cg = 10 rad/s) Para K = 100: MG= °26 dB (!cf = 10 rad/s), e MF= 78.7± (!cg = 101 rad/s) Conclus˜ ao: o sistema ´e est´ avel com MG< 0 e MF> 0, e inst´ avel com MG> 0 e MF< 0 !!!

Exemplo3: determinar as margens de estabilidade e concluir quanto `a estabilidade do sistema de controlo anterior, considerando agora o seguinte sistema condicionalmente est´ avel:

G(s) =

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

s2 + 2s + 4 s(s + 4)(s + 6)(s2 + 1.4s + 1)

Controlo de Sistemas

70

LGR

DIAGRAMA DE BODE

5

50

ωcg

K=+∞ Magnitude [dB]

4 3

?

−1

10

0

1

10

10

2

10

Frequência [rad/s]

K=0

K=0

K=0

K=0

?

−100

−200 −2 10

K=0 0 K=+∞

?

−50

−150

K=+∞ 1

−90

−1

K=+∞ °

MF = 77.4

−2 Fase [°]

Eixo Imaginário

2

0

−3

ω

−180

ωcf1 ω cf2

cf3

−4 K=+∞ −5 −8

−7

−6

−5

−4 −3 Eixo Real

−2

−1

0

1

−270 −2 10

−1

10

0

1

10

10

Frequência [rad/s]

• No LGR verifica-se existirem 3 valores do ganho que colocam os p´olos sobre o eixo imagin´ario: K = 15.7, K = 67.5 e K = 163.5. • Qual das frequˆencias de cruzamento de fase, !cf 1 , !cf 2 ou !cf 3 , se deve considerar? Qual o ganho limite de estabilidade para o sistema de controlo? • Normalmente considera-se a frequˆencia de cruzamento de fase que origina a menor margem de estabilidade. Neste caso, !cf 1 = 1.21 rad/s com MG= 23.9 dB (donde K = 15.7).

Conclus˜ ao: o c´alculo das margens de estabilidade (margem de ganho e margem de fase) n˜ao ´e a ferramenta ideal para concluirmos quanto `a estabilidade do anel de controlo via resposta em frequˆencia do anel aberto, pois existem situa¸c˜oes onde n˜ao ´e poss´ıvel extrair uma rela¸c˜ao sistem´atica entre o seu sinal e a estabilidade do anel fechado, nomeadamente para:

• Sistemas onde MG e/ou MF n˜ ao est´ a bem definida, i.e., a curva de fases n˜ao cruza os °180± e/ou a curva de magnitudes n˜ao cruza os 0 dB, respectivamente. • Sistemas com MG e/ou MF de sinais opostos, i.e., MG< 0 e MF> 0 e/ou MG> 0 e MF< 0. • Sistemas condicionalmente est´ aveis, onde a curva de magnitudes apresenta m´ ultiplos cruzamentos dos 0 dB, e/ou a curva de fases m´ ultiplos cruzamentos dos °180± .

Alternativa: Crit´erio de Estabilidade de Nyquist. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

2

10

71

5.3

Sistemas com atraso no tempo

Seja a fun¸c˜ao de transferˆencia gen´erica com atraso no tempo de µ segundos: G(j!) = G§ (j!) e°µj! Curva de magnitudes (diagrama de Bode): Ø Ø Ø Ø 20 log10 |G(j!)| = 20 log10 ØG§ (j!) e°µj! Ø = 20 log10 |G§ (j!)| + 20 log10 Øe°µj! Ø | {z }

termo do atraso

desenvolvendo o termo do atraso:

q Ø °µj! Ø Ø Ø 20 log10 e = 20 log10 |cos (µ!) ° j sin (µ!)| = 20 log10 cos2 (µ!) + sin2 (µ!) = 0 Conclus˜ ao: o atraso no tempo n˜ao altera a curva de magnitudes do sistema.

Curva de fases (diagrama de Bode): arg [G(j!)] = arg [G§ (j!)] + arg [e°µj! ] = arg [G§ (j!)] + arg [cos (µ!) ° j sin (µ!)] §

= arg [G (j!)] + arctan

µ

° sin (µ!) cos (µ!)

∂

= arg [G§ (j!)] + arctan (° tan (µ!)) §

= arg [G (j!)] ° µ! ·

µ

180± º

∂

, mantendo as unidades em [± ]

Conclus˜ ao: o atraso no tempo altera a curva de fases do sistema. A nova fase ´e calculada subtraindo µ! · (180± /º) ao valor da fase do sistema original em [± ]. Assim, quanto maior for o valor da frequˆencia !, maior ser´a a diferen¸ca entre a fase do sistema original e a fase do sistema com atraso.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

72

Exemplo: efeito do termo de atraso no tempo no diagrama de Bode.

Seja a seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia G1 , sem atraso: 1 s+1

G1 (s) =

Seja a mesma fun¸ca˜o de transferˆencia mas com atraso no tempo de µ = 2 segundos: e°2s s+1

G2 (s) =

Compara¸ c˜ ao das respostas em frequˆ encia

G1 (j!)

G2 (j!)

0

0 −10

−20

Ganho [dB]

Ganho [dB]

−10

−30 −40

−30 −40

−1

10

0

10 Frequência [rad/s]

1

10

−50 −2 10

2

10

0

0

−20

−2000

−1

10

0

10 Frequência [rad/s]

1

10

2

10

−4000

−40

Fase [°]

Fase [°]

−50 −2 10

−20

−60

−6000 −8000

−80 −100 −2 10

−10000 −1

10

0

10 Frequência [rad/s]

1

10

2

10

−12000 −2 10

−1

10

0

10 Frequência [rad/s]

1

10

Conclus˜ ao: o termo de atraso n˜ao altera a curva de magnitudes do sistema, mas introduz um decr´escimo na fase que ´e tanto maior quanto maior for a frequˆencia da sinus´oide de entrada.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

2

10

73

Ouvimos dizer atr´as que: • “O atraso puro no anel aberto diminui a estabilidade relativa do anel fechado, podendo mesmo causar a instabilidade do sistema de controlo.” Porquˆ e? Porque o termo de atraso, e°µs , quando presente na fun¸c˜ao de transferˆencia do anel aberto, adiciona atraso de fase `a sua resposta em frequˆencia, tanto mais quanto maior for o valor de µ: |e°µj! | = | cos(!µ) ° j sin(!µ)| = 1, magnitude do atraso °µj!

arg [e

] = arg [cos(!µ) ° j sin(!µ)] = arctan

µ

° sin(!µ) cos(!µ)

∂

= °µ!, fase do atraso

Exemplo: determinar as margens de estabilidade e concluir quanto `a estabilidade do sistema de controlo por realimenta¸ca˜o unit´aria, considerando as seguintes fun¸co˜es de transferˆencia do anel aberto:

G1 (s) =

G2 (s) =

DIAGRAMA DE BODE de G1(s)

20 15 10

MG = +∞ 5 0

6 e°s s+1

DIAGRAMA DE BODE de G2(s)

20

Magnitude [dB]

Magnitude [dB]

6 s+1

15 10 5

MG < 0

0

−5 −1 10

0

−5 −1 10

1

10 Frequência [rad/s]

10

0

1

10

10

Frequência [rad/s]

0

0

Fase [°]

Fase [°]

−180

−90 MF > 0

MF < 0 −360 −540

−180

−720 −1

10

0

10 Frequência [rad/s]

Sistema est´ avel em anel fechado

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

1

10

−1

10

0

1

10

10

Frequência [rad/s]

Sistema inst´ avel em anel fechado

Controlo de Sistemas

74

5.4

Diagramas polares

• O diagrama polar ´e uma forma alternativa de representar a resposta em frequˆencia de um sistema, G(j!). • O diagrama polar representa no mesmo gr´afico a evolu¸c˜ao do m´odulo, |G(j!)|, e da fase, arg[G(j!)] , em fun¸c˜ao da varia¸ca˜o de ! 2 ]0, +1[: G(j!) = |G(j!)| arg[G(j!)] ,

! 2 ]0, +1[

Vantagens dos diagramas polares: • Integra¸ca˜o num u ´nico gr´afico da evolu¸ca˜o do m´odulo e da fase de G(j!). • Permite uma mais f´acil interpreta¸c˜ao e an´alise da estabilidade relativa de sistemas de controlo. • O crit´erio de estabilidade de Nyquist vai basear-se neste tipo de representa¸ca˜o da resposta em frequˆencia.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

75

Factores integral e derivativo: G(j!) =

! 1 1 1 1 ± = °j = e° arctan( 0 ) = e°90 , j! ! w w

! 2 ]0, +1[

corresponde ao eixo imagin´ario negativo. G(j!) = j! = !earctan( 0 ) = w e90 , !

±

! 2 ]0, +1[

corresponde ao eixo imagin´ario positivo. Factores de 1a ordem: G(j!) =

1 1 =p e° arctan(!T ) , T j! + 1 T 2!2 + 1

G(j!) = T j! + 1 =

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

p

T 2 ! 2 + 1 earctan(!T ) ,

! 2 ]0, +1[

! 2 ]0, +1[

Controlo de Sistemas

76

Factores de segunda ordem: G(j!) = 1 + 2ª

G(j!) = 1 + 2ª

Controlo de Sistemas

≥

µ

1 ¥

j! !n

j! !n

∂

¥2 ,

+

≥

j! !n

+

µ

j! !n

∂2

ª>0

,

ª>0

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

77

An´ alise segundo o tipo do sistema (sistemas com ganho positivo):

An´ alise para ! ! +1 (sistemas sem zeros ou p´ olos no SPD, com ganho positivo):

An´ alise de fun¸c˜ oes de transferˆ encia com dinˆ amica no numerador:

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

78

Exemplo: desenhar o diagrama polar do sistema:

G(s) =

1 s(T s + 1)

Desenvolvendo:

G(j!) = =

1 1 °T ! 2 ° j! = = j!(T j! + 1) °T ! 2 + j! T 2!4 + !2 °T ! 2 ! T 1 °j 2 4 =° 2 2 °j 2 4 2 2 2 T ! +! T ! +! T ! +1 !(T ! 2 + 1)

donde: ±

lim G(j!) = °T ° j1 = 1 e°90

!!0

±

lim G(j!) = °0 ° j0 = 0 e°180

!!+1

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

79

Exemplos de diagramas polares de fun¸co ˜es de transferˆ encia simples

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

80

5.4.1

Diagrama polar de sistemas com atraso

G(j!) = e°µj! = 1. arg [cos(!µ) ° j sin(!µ)] = °µ! M´odulo unit´ario e fase a variar linearmente com !, donde o diagrama polar ´e:

Exemplo: desenhar o diagrama de polar de um sistema com atraso puro no tempo: G(s) =

1 e°µs Ts + 1

Desenvolvendo:

1 G(j!) = e°µj! , T j! + 1

Controlo de Sistemas

8 > < |G(j!)|

Ø Ø Ø 1 Ø ØØ °µj! ØØ = Ø T j!+1 = Ø e

p

1 T 2 ! 2 +1

> : arg [G(j!)] = arg [ 1 ] + arg [e°µj! ] = ° arctan T ! ° µ! T j!+1

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

81

5.4.2

Margens de estabilidade num diagrama polar

R(s) -+ j 6 °

-

K

-

G(s)

Y (s)-

Margem de Ganho (MG): factor pelo qual o ganho K da FT do anel aberto pode ser aumentado at´e se atingir a instabilidade do anel fechado. Margem de Fase (MF): fase que pode ser subtra´ıda `a fase da FT do anel aberto at´e se atingir a instabilidade do anel fechado. Quest˜ ao: como quantificar os valores da MG e MF directamente a partir do diagrama polar?

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

82

6

Crit´ erio de estabilidade de Nyquist

Harry Nyquist nasceu a 7 de Fevereiro de 1889, em Nilsby, Su´ ecia. Graduou-se em engenharia electrot´ ecnica em 1912 pela University of North Dakota, onde obteve o Msc em 1915. Entre 1915 e 1917 frequenta a Yale University, New Haven, onde obt´ em o grau de Ph.D. Entre os anos de 1917 e 1934, trabalhou no Department of Development and Research Transmission da American Telephone and Telegraph Company, desenvolvendo estudos na ´ area da transmiss˜ ao de voz. Desde 1934 at´ e ` a sua reforma, em 1954, trabalhou na Bell Telephone Laboratories, Inc., continuando a´ı a desenvolver trabalho na ´ area das comunica¸ c˜ oes e sistemas. Durante este per´ıodo, recebeu 138 patentes nos E.U. e publicou 12 artigos t´ ecnicos. As suas contribui¸ co ˜es mais importantes incluem: primeira explica¸ c˜ ao quantitativa do ru´ıdo t´ ermico, estudos sobre transmiss˜ ao de sinal que s˜ ao a base da moderna teoria da informa¸ c˜ ao e da transmiss˜ ao de dados, e o t˜ ao conhecido diagrama de Nyquist para a determina¸ c˜ ao da estabilidade de sistemas com realimenta¸ c˜ ao. Ap´ os se reformar, trabalhou como consultor de comunica¸ co ˜es para o Departamento de Defesa dos E.U.. Nyquist foi a quarta pessoa a receber o National Academy of Engineer’s Founder’s Medal, “in recognition of his many fundamental contributions to engineering.” Em 1960 recebe o IRE Medal of Honor “for fundamental contributions to a quantitative understanding of thermal noise, data transmission and negative feedback.” Nyquist recebeu tamb´ em a Stuart Ballantine Medal do Franklin Institute em 1960, e o pr´ emio Mervin J. Kelly em 1961. Faleceu a 4 de Abril de 1976.

O crit´erio de estabilidade de Nyquist caracteriza-se por: • Ser um m´ etodo global de an´alise de estabilidade de sistemas de controlo por realimenta¸ca˜o; • Fornecer a condi¸c˜ ao necess´ aria e suficiente para a estabilidade; • Poder ser aplicado de forma sistem´atica sempre que a fun¸c˜ao de transferˆencia do anel aberto for: – Est´avel, ou inst´avel. – De fase m´ınima, ou n˜ao-m´ınima.

Princ´ıpio b´ asico: princ´ıpio do argumento, da teoria das vari´aveis complexas. “O mapeamento de uma fun¸c˜ ao complexa ao longo de um contorno, resulta num novo contorno que envolver´a a origem do novo plano sse o contorno original incluir um ou mais pontos singulares da fun¸c˜ ao complexa”. Notas: • Pontos singulares (ou singularidades) da fun¸ca˜o complexa s˜ao: zeros e p´olos. • O contorno n˜ao deve passar sobre nenhum dos pontos singulares da fun¸ca˜o complexa. • O n´ umero de voltas e o sentido do novo contorno em torno da origem est´a relacionado o n´ umero e tipo de singularidades envolvidas pelo contorno original: envolvimento no sentido hor´ario de um zero (p´olo) ) envolvimento no sentido (anti-)hor´ario da origem. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

83

6.1

Mapeamento de fun¸co ˜es complexas

Exemplos: mapeamento de fun¸c˜oes complexas ao longo de contornos fechados.

Seja a fun¸c˜ao apenas com 1 zero: F (s) = s + a,

a>0

Zero fora do contorno:

Zero no interior do contorno:

Conclus˜ ao: o novo contorno tem o mesmo sentido que o contorno original, e envolver´a a origem apenas no caso em que o zero, s = °a, ´e envolvido pelo contorno original.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

84

Seja a fun¸c˜ao apenas com 1 p´olo:

F (s) =

1 , s+a

a>0

P´ olo fora do contorno:

P´ olo no interior do contorno:

Conclus˜ ao: o novo contorno tem o sentido contr´ario ao contorno original e envolver´a a origem, apenas no caso em que o p´olo, s = °a, ´e envolvido pelo contorno original. • m zeros envolvidos pelo contorno original com sentido hor´ario (anti-hor´ario), resulta num contorno com m voltas no sentido hor´ario (anti-hor´ario) em torno da origem. • n p´olos envolvidos pelo contorno original com sentido hor´ario (anti-hor´ ario), resulta num contorno com n voltas no sentido anti-hor´ario (hor´ario) em torno da origem.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

85

6.2

Crit´ erio de estabilidade de Nyquist

Define-se contorno de Nyquist ao contorno definido por todo o eixo imagin´ario, de j! ! °j1 a j! ! +j1, e pelo contorno semicircular de raio infinito no SPD do plano complexo, com sentido hor´ario:

Ideia b´ asica: ao mapearmos uma fun¸c˜ao de transferˆencia, G(j!), no contorno de Nyquist — designado por diagrama de Nyquist de G(j!) —, resultar´a num novo contorno que envolver´a a origem sse G(j!) possuir zeros ou p´olos no SPD! (caso G(j!) possua zeros ou p´olos sobre o eixo imagin´ario, o contorno de Nyquist dever´a contorn´ a-los pela direita.)

• Se G(j!) possuir um zero no SPD, o seu mapeamento no contorno de Nyquist apresentar´a um envolvimento no sentido hor´ ario da origem do plano complexo. • Se G(j!) possuir um p´ olo no SPD, o seu mapeamento no contorno de Nyquist apresentar´a um envolvimento no sentido anti-hor´ ario da origem do plano complexo.

A grande ideia de Nyquist: Nyquist aplicou esta ideia para a determina¸c˜ao da estabilidade de um sistema de controlo por realimenta¸ca˜o: mapear a equa¸c˜ ao caracter´ıstica do anel fechado no contorno de Nyquist!

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

86

Seja o seguinte sistema de controlo por realimenta¸ca˜o: R(s)

- j +

-

6 °

-

Gc (s)

Y(s) -

Gp (s)

æ

H(s)

Equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado: 1 + Gc (s)Gp (s)H(s) = 0,

com: Gc (s)Gp (s)H(s) =

N (s) D(s)

• Ra´ızes de N (s), resultado de N(s) = 0, correspondem aos zeros da FT anel aberto. • Ra´ızes de D(s), resultado de D(s) = 0, correspondem aos p´ olos da FT anel aberto. Desenvolvendo a equa¸ca˜o caracter´ıstica: 1 + Gc (s)Gp (s)H(s) = 1 +

N (s) D(s) + N (s) = D(s) D(s)

• Ra´ızes do numerador, D(s) + N(s) = 0, indicam os p´ olos da FT anel fechado. • Ra´ızes do denominador, D(s) = 0, indicam os p´ olos da FT anel aberto. Desenvolvimento da solu¸c˜ ao: 1. Mapear a equa¸ca˜o caracter´ıstica do anel fechado, Desenhar o diagrama de Nyquist de

N (s)+D(s) . D(s)

N (s)+D(s) , D(s)

no contorno de Nyquist ¥

2. O n´ umero e sentido dos envolvimentos em torno da origem do contorno resultante s˜ao o resultado da seguinte contabilidade: N = Z °P onde: • Z = N´ umero de envolvimentos em torno da origem com sentido hor´ario resultantes das Z ra´ızes de D(s)+N (s) = 0. • P = N´ umero de envolvimentos em torno da origem com sentido anti-hor´ario resultantes das P ra´ızes de D(s) = 0. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

87

3. A estabilidade do anel fechado ´e garantida caso Z = 0 na seguinte express˜ao: Z = N +P onde N e P s˜ao conhecidos: • N resulta da observa¸ca˜o do diagrama de Nyquist de N (s)+D(s) (n´ umero de envolviD(s) mentos em torno da origem), sendo N > 0 caso os envolvimentos tenham o sentido hor´ario (e vice-versa). • P = n´ umero de p´olos inst´aveis da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto. Solu¸c˜ ao alternativa (mais simples): 1. Ao inv´es de se mapear a equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado, 1 +

N (s) D(s)

=

contorno de Nyquist, opta-se por mapear a fun¸c˜ao de transferˆencia do anel

N (s)+D(s) , no D(s) (s) aberto, N . D(s)

2. Como se subtraiu °1 `a equa¸ca˜o caracter´ıstica original, toda a an´alise anterior ´e v´alida desde que se contabilize o n´ umero e o sentido dos envolvimentos em torno do ponto °1:

O ponto, °1, passa a ser denominado por ponto cr´ıtico de estabilidade. 3. A estabilidade do anel fechado ´e garantida caso Z = 0 na seguinte express˜ao: Z = N +P onde N e P s˜ao conhecidos: • N = n´ umero de envolvimentos em torno de °1 do diagrama de Nyquist da fun¸c˜ao (s) de transferˆencia do anel aberto, N , sendo N > 0 caso os envolvimentos tenham o D(s) sentido hor´ario (e vice-versa). • P = n´ umero de p´olos inst´aveis da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto. ou seja, o anel fechado ser´a est´avel numa das seguintes situa¸c˜oes: (a) N = 0 e P = 0, ou (b) N = °P , para N 6= 0 ou P 6= 0. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

88

´ PROCEDIMENTO PARA ANALISE DE ESTABILIDADE ´ VIA CRITERIO DE NYQUIST

1. Desenhar o diagrama de Nyquist da fun¸c˜ ao de transferˆ encia do anel aberto: Gc (s)Gp (s)H(s), com s = j!, e considerando °1 ∑ ! ∑ +1 (¥ diagrama polar para ! 2] ° 1, +1[). 2. Contar o n´ umero de envolvimentos do diagrama de Nyquist em torno do ponto cr´ıtico de estabilidade, °1, e designar esse valor por, N. Se os envolvimentos de °1 forem no sentido anti-hor´ario, N ´e negativo. 3. Contar o n´ umero de p´ olos inst´ aveis da fun¸c˜ ao de transferˆ encia, G(s)H(s), e designar esse valor por P. 4. Determinar o n´ umero de p´ olos inst´ aveis da fun¸c˜ ao de transferˆ encia do anel fechado, designando esse valor por Z, atrav´es da seguinte express˜ao: Z = N+P

5. A estabilidade do anel fechado s´o estar´a garantida se, Z = 0, o que s´o poder´a acontecer numa das seguintes situa¸co˜es: (a) N = 0 e P = 0. (b) N = °P , para N 6= 0 ou P 6= 0.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

89

Caso particular: seja o seguinte sistema de controlo por realimenta¸c˜ao com K 2 ] ° 1, +1[: R(s)

- j +

-

-

K

6 °

H(s)

Y(s) -

Gp (s)

æ

Equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado: 1 + KGp (s)H(s) = 0, 1+K

com: Gp (s)H(s) =

N (s) D(s)

N (s) = 0 D(s)

Desenvolvendo a equa¸ca˜o caracter´ıstica: 1+K

N (s) D(s) + KN (s) = D(s) D(s)

• Ra´ızes do numerador, D(s) + KN(s) = 0, indicam os p´ olos da FT anel fechado. • Ra´ızes do denominador, D(s) = 0, indicam os p´ olos da FT anel aberto. Crit´ erio de estabilidade de Nyquist: (s) 1. Desenhar o diagrama de Nyquist da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto, N . D(s) O ponto, °1/K, passa a ser denominado por ponto cr´ıtico de estabilidade.

2. A estabilidade do anel fechado ´e garantida caso Z = 0 na seguinte express˜ao: Z = N +P onde N e P s˜ao conhecidos: • N = n´ umero de envolvimentos em torno de °1/K do diagrama de Nyquist da fun¸ca˜o (s) de transferˆencia do anel aberto, N , sendo N > 0 caso os envolvimentos tenham o D(s) sentido hor´ario (e vice-versa). • P = n´ umero de p´olos inst´aveis da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto. ou seja, o anel fechado ser´a est´avel numa das seguintes situa¸c˜oes: (a) N = 0 e P = 0, ou (b) N = °P , para N 6= 0 ou P 6= 0. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

90

Exemplo: aplicar o crit´erio de estabilidade de Nyquist e concluir quanto `a estabilidade do seguinte sistema de controlo por realimenta¸ca˜o, com K 2 ] ° 1, +1[: R(s) -+ j

-

6 °

K

-

Y (s)-

1 s(s+1)2

Desenhar o diagrama de Nyquist da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel aberto, considerando o seguinte contorno de Nyquist:

A resposta em frequˆencia da FT anel aberto, considerando K = 1:

G(j!) =

1 1 °2! 2 ° j!(1 ° ! 2 ) = = j!(j! + 1)2 °2! 2 + j!(1 ° ! 2 ) 4! 4 + ! 2 (1 ° ! 2 )2

°2 1 ° !2 G(j!) = °j 5 1 + ! 4 + 2! 2 ! + 2! 3 + !

lim+ G(j!) = °2 ° j1 = 1 e°90

±

!!0

±

lim G(j!) = °0 + j0 = 0 e°270

!!+1

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

91

Diagrama de Nyquist:

Nota: para explicar o andamento do diagrama de Nyquist no infinito (entre ! = 0° e ! = 0+ ) h´a que ter em conta o mapeamento da fun¸c˜ao de transferˆencia G(s) no contorno de Nyquist em torno da origem (seguir o andamento da fase entre os pontos A, B e C):

• Ponto A: a contribui¸ca˜o para a fase total neste ponto ´e: °[(°Æ) £ 2 ° 90± ] º 90± • Ponto B: a contribui¸c˜ao para a fase total neste ponto ´e: °[0± £ 2 + 0± ] = 0± • Ponto C: a contribui¸ca˜o para a fase total neste ponto ´e: °[(Æ) £ 2 + 90± ] º °90± c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

92

Aplicando o procedimento para a an´alise de estabilidade via crit´erio de Nyquist (p´agina 88): Para 0 < K < 2: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °1 < ° K1 < °0.5, e portanto n˜ao ´e envolvido pelo diagrama de Nyquist, donde: Z = 0+0 = 0, i.e., a equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado n˜ao possui ra´ızes inst´aveis. Para K = 2: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a em ° K1 = °0.5, e portanto o diagrama de Nyquist intersecta o ponto cr´ıtico de estabilidade (p´olos sobre o eixo imagin´ario). Para K > 2: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °0.5 < ° K1 < 0° , e ´e envolvido duas vezes pelo diagrama de Nyquist, donde: Z = 2 + 0 = 2, i.e., a equa¸c˜ao caracter´ıstica do anel fechado possui duas ra´ızes inst´aveis. Para K < 0: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre 0+ < ° K1 < +1, e portanto ´e envolvido uma vez pelo diagrama de Nyquist, donde: Z = 1 + 0 = 1, i.e., a equa¸ca˜o caracter´ıstica do anel fechado possui uma raiz inst´avel. Conclus˜ ao: o sistema de controlo s´o ´e est´avel para valores de 0 < K < 2. Este resultado ´e confirmado atrav´es do LGR. LGR para K>0

LGR para K<0

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

k=2

1 Eixo Imaginário

Eixo Imaginário

1 0.5

k=0

0

k=0

k=2 −0.5 −1

0.5

−0.5 −1

k=2

−1.5

−1.5

−2

−2

−2.5 −3.5

−3

−2.5

−2

−1.5 −1 Eixo Real

−0.5

k=0

k=0

0

0

0.5

1

−2.5 −2

−1.5

−1

−0.5

0 Eixo Real

0.5

1

1.5

• Confirma-se que a fun¸c˜ao de transferˆencia do anel aberto se pode escrever na forma K.G(s), tendo G(s) ganho unit´ario (ver p´agina 47). S´o assim o parˆametro K do m´etodo LGR corresponde ao mesmo parˆametro no crit´erio de estabilidade de Nyquist do caso particular descrito na p´agina 89. • O sistema em anel fechado s´o ´e est´avel para valores do ganho 0 < K < 2. • Para K = 2, o sistema de controlo est´a no limite de estabilidade, com os p´olos da fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado localizados em: °2, e ±j. • Para valores de K > 2, a fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado apresenta 2 p´olos (complexos conjugados) no SPD. • Caso K < 0, a fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado ter´a 1 p´olo (real) no SPD. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

2

93

6.3

Exemplos de aplica¸c˜ ao do crit´ erio de estabilidade de Nyquist

Exemplo: seja o seguinte sistema de controlo por realimenta¸c˜ao, com K 2] ° 1, +1[: R(s) -+ j

-

6 °

K

-

s+1 s(0.1s°1)

Y (s)-

O diagrama de Nyquist da FT anel aberto, considerando K = 1: G(j!) =

j! + 1 10(j! + 1) 10j! + 10 °110 10(10 ° ! 2 ) = = = + j j!(0.1j! ° 1) j!(j! ° 10) °! 2 ° 10j! ! 2 + 100 ! 3 + 100!

onde: lim!!0+ Re [G(j!)]

=

°110 100

lim!!+1 Re [G(j!)] = 0°

= °1.1

lim!!0+ Im [G(j!)]

=

100 0

= +1

lim!!+1 Im [G(j!)] = 0°

Diagrama de Nyquist:

0 < K < 1: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °1 < ° K1 < °1, e portanto o sistema ´e inst´avel em anel fechado (2 p´olos no SPD: Z = N + P = 1 + 1 = 2). K > 1: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °1 < ° K1 < 0° , e portanto o sistema ´e est´avel em anel fechado (0 p´olos no SPD: Z = N + P = °1 + 1 = 0). K < 0: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre 0+ < ° K1 < +1, e portanto o sistema ´e inst´avel em anel fechado (1 p´ olo no SPD: Z = N + P = 0 + 1 = 1).

Conclus˜ ao: como P = 1 (sistema em anel aberto com 1 p´olo no SPD), s´o na situa¸c˜ao em que existe 1 envolvimento do ponto cr´ıtico de estabilidade no sentido anti-hor´ario (N = °1) ´e que resulta um anel fechado est´avel, o que ocorre neste caso apenas para valores de K > 1.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

94

Exemplo: concluir quanto `a estabilidade do sistema de controlo anterior, considerando agora o seguinte sistema condicionalmente est´ avel (sistema da p´agina 69): G(s) =

s2 + 2s + 4 s(s + 4)(s + 6)(s2 + 1.4s + 1)

O diagrama de Nyquist tira-se facilmente a partir do diagrama de Bode: DIAGRAMA DE BODE

Magnitude [dB]

50

ωcg

0

?

?

−50

?

−100 −150 −200 −2 10

−1

10

0

1

10

10

2

10

Frequência [rad/s] −90

°

Fase [°]

MF = 77.4

ω

−180

ωcf1 ω

cf3

cf2

−270 −2 10

−1

10

0

10

1

10

2

10

Frequência [rad/s]

An´ alise de estabilidade: 0 < K < 15.7: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °1 < ° K1 < °0.06, e portanto n˜ao ´e envolvido pelo diagrama de Nyquist, donde o sistema em anel fechado ´e est´avel: Z = N + P = 0 + 0 = 0. 15.7 < K < 67.5: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °0.06 < ° K1 < °0.01, e ´e envolvido duas vezes pelo diagrama de Nyquist, donde o sistema em anel fechado ´e inst´avel: Z = N + P = 2 + 0 = 2. 67.5 < K < 163.5: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °0.01 < ° K1 < °0.006, e ´e envolvido duas vezes pelo diagrama de Nyquist. No entanto, como estes envolvimentos tˆem sentidos contr´arios, a sua soma ´e nula, donde o sistema em anel fechado ´e est´avel: Z = N + P = (°1 + 1) + 0 = 0. K > 163.5: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °0.006 < ° K1 < 0° , e ´e envolvido duas vezes pelo diagrama de Nyquist, donde o sistema em anel fechado ´e inst´avel: Z = N + P = 2 + 0 = 2. K < 0: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre 0+ < ° K1 < +1, e ´e envolvido uma vez pelo diagrama de Nyquist, donde o sistema em anel fechado ´e inst´avel: Z = N +P = 1+0 = 1. Conclus˜ ao: o crit´erio de estabilidade de Nyquist ´e totalmente esclarecedor! E confirma a an´alise feita anteriormente via LGR (ver p´agina 70). O sistema de controlo s´o ´e est´avel se: K 2]0; 15.7[[]67.5; 163.5[. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

95

Exemplo: concluir quanto `a estabilidade do sistema de controlo anterior, considerando agora o seguinte sistema inst´avel:

G(s) =

(s + 10)2 s3

O diagrama de Nyquist da FT anel aberto, considerando K = 1:

G(j!) =

(j! + 10)2 °! 2 + 100 + 20j! °j! 5 + j100! 3 ° 20! 4 °20 100 ° ! 2 = = = + j (j!)3 °j! 3 !6 !2 !3

onde: lim!!0+ Re [G(j!)]

=

°20 0

lim!!+1 Re [G(j!)] = 0°

= °1

lim!!0+ Im [G(j!)]

=

100 0

= +1

lim!!+1 Im [G(j!)] = 0°

Diagrama de Nyquist: 0 < K < 5: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °1 < ° K1 < °0.2, e portanto o sistema ´e inst´avel em anel fechado (2 p´olos no SPD: Z = N + P = 2 + 0 = 2). K > 5: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre °0.2 < ° K1 < 0° , e portanto o sistema ´e est´avel em anel fechado (0 p´olos no SPD: Z = N + P = (°1 + 1) + 0 = 0). K < 0: o ponto cr´ıtico de estabilidade est´a entre 0+ < ° K1 < +1, e portanto o sistema ´e inst´avel em anel fechado (1 p´ olo no SPD: Z = N + P = 1 + 0 = 1).

Notas: • Como identificar o andamento do diagrama de Nyquist no infinito, entre ! = 0° e ! = 0+ ? Reparar que este envolvimento ´e de extrema relevˆancia para a an´alise de estabilidade do sistema de controlo! Sugest˜ ao: aplique a mesma an´alise feita no exemplo da p´agina 91. • Deixa-se ao cuidado do leitor confirmar este resultado atrav´es do LGR. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

96

7

Erros estacion´ arios e a precis˜ ao do anel fechado

Seja o seguinte sistema de controlo: - j +

erro de seguimento

-

6 °

R(s)

- j +

E(s) -

6 °

U(s) -

Gc (s)

H(s)

Gp (s)

Y(s) -

æ

Pergunta: como evolui no tempo a vari´avel que caracteriza o erro de seguimento do sistema de controlo, e quais as caracter´ısticas do sistema que influenciam esta evolu¸ca˜o? ou Pergunta: como determinar a precis˜ao do anel fechado?

Solu¸c˜ ao: considere-se o caso mais simples de um anel com realimenta¸ca˜o unit´aria (H(s) = 1): ? #√

R(s) -+ j E(s) 6 °

U(s) -

"!

Gc (s)

Gp (s)

Y(s) -

onde, e(t) = r(t) ° y(t) = L°1 [E(s)] = L°1 [R(s) ° Y (s)], corresponde ao erro de seguimento. A precis˜ ao do anel fechado ser´a assim determinada atrav´es da caracteriza¸ca˜o de e(t) no regime estacion´ario, i.e., atrav´es do seguinte limite: ess =

lim e(t) = lim sE(s) = ? Erro estacion´ ario

t!+1

s!0

Pergunta: ... e quais as caracter´ısticas do sistema que influenciam o valor estacion´ario de ess ? Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

97

Seja o sistema de controlo com realimenta¸c˜ao unit´aria: ? #√ R(s) -+ j E(s) 6 °

"!

Gc (s)

U(s) -

Y(s) -

Gp (s)

Desenvolvendo as equa¸co˜es do diagrama de blocos: 8 8 < Y (s) = Gc (s)Gp (s)E(s) < — :

E(s) = R(s) ° Y (s)

donde:

:

E(s) = R(s) ° Gc (s)Gp (s)E(s)

E(s) =

8 < — :

[1 + Gc (s)Gp (s)] E(s) = R(s)

R(s) 1 + Gc (s)Gp (s)

ou seja, o erro estacion´ ario ser´a dado por (caso o limite exista): ∑

sR(s) ess = lim e(t) = lim sE(s) = lim t!+1 s! 0 s!0 1 + Gc (s)Gp (s)

∏

Conclus˜ ao: de acordo com a express˜ao de cima, o valor estacion´ario do erro de seguimento depende da conjuga¸c˜ao de dois factores: 1. Referˆencia do sistema de controlo: R(s). 2. Fun¸ca˜o de transferˆencia do ramo directo: Gc (s)Gp (s).

No desenvolvimento subsequente, considere-se a fun¸ca˜o de transferˆencia do ramo directo:

Gc (s)Gp (s) =

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

K(Ta s + 1)(Tb s + 1) · · · = G(s), s t (T1 s + 1)(T2 s + 1) · · ·

onde t - TIPO de G(s)

Controlo de Sistemas

98

7.1

Entrada degrau unit´ ario: R(s) =

1 s

∑

∏ ∑ ∏ s 1s sR(s) 1 ess = lim = lim = s! 0 1 + Gc (s)Gp (s) s! 0 1 + Gc (s)Gp (s) 1 + lims! 0 Gc (s)Gp (s) Defina-se: Kp = lim Gc (s)Gp (s),

Coeficiente de erro est´ atico de posi¸c˜ ao

s! 0

Kp = lim G(s) s! 0

Kp

∑

∏ K(Ta s + 1)(Tb s + 1) · · · = lim t , s! 0 s (T1 s + 1)(T2 s + 1) · · ·

K ganho de Gc (s)Gp (s)

donde, para entrada em degrau unit´ario: 1 , 1 + Kp

ess =

Erro estacion´ ario de posi¸c˜ ao

Temos ent˜ao: • G(s) do TIPO 0:

Kp = K,

e

ess =

1 1+K

• G(s) do TIPO 1:

Kp = 1,

e

ess =

1 1+1

• G(s) do TIPO > 1:

Kp = 1,

e

ess =

)

Erro de seguimento constante. )

=0

1 1+1

=0

Seguimento perfeito. )

1 2s+1

Exemplo: sistema com G(s) =

ANEL FECHADO 1

0.9

0.9

0.8

0.8

0.7

0.7

0.6

0.6 Amplitude

Amplitude

ANEL ABERTO 1

0.5

0.4

0.3

0.3

0.2

0.2

0.1

0.1

0

Controlo de Sistemas

2

4

6 Tempo (seg.)

8

10

12

ess

0.5

0.4

0

Seguimento perfeito.

0

0

2

4

6 Tempo (seg.)

8

10

12

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

99

7.2

1 s2

Entrada rampa unit´ aria: R(s) = ∑

∏ ∑ ∏ sR(s) 1 1 ess = lim = lim = s! 0 1 + Gc (s)Gp (s) s! 0 s + sGc (s)Gp (s) lims! 0 sGc (s)Gp (s) Defina-se: Kv = lim sGc (s)Gp (s), s! 0

Coeficiente de erro est´ atico de velocidade

Kv = lim sG(s) s! 0

∑

K(Ta s + 1)(Tb s + 1) · · · = lim s t s! 0 s (T1 s + 1)(T2 s + 1) · · ·

Kv

∏

donde, para entrada em rampa unit´aria: 1 , Kv

ess =

Erro estacion´ ario de velocidade

Temos ent˜ao: • G(s) do TIPO 0:

Kv = 0,

• G(s) do TIPO 1:

Kv = K,

• G(s) do TIPO > 1:

e

ess =

e

Kv = 1,

ess = e

1 0

=1 1 K

ess =

)

) 1 1

Erro de seguimento infinito.

Erro de seguimento constante. )

=0

Seguimento perfeito.

1 s(2s+1)

Exemplo: sistema com G(s) =

ANEL FECHADO 12

50

10

40

8

Amplitude

Amplitude

ANEL ABERTO 60

30

20

4

10

2

0

0

2

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

4

6 Tempo (seg.)

8

10

12

e

6

0

ss

0

2

4

6 Tempo (seg.)

8

10

12

Controlo de Sistemas

100

7.3

Entrada par´ abola unit´ aria: R(s) =

1 s3

∑

∏ ∑ ∏ sR(s) 1 1 ess = lim = lim 2 = s! 0 1 + Gc (s)Gp (s) s! 0 s + s2 Gc (s)Gp (s) lims! 0 s2 Gc (s)Gp (s) Defina-se: Ka = lim s2 Gc (s)Gp (s), s! 0

Coeficiente de erro est´ atico de acelera¸c˜ ao

Ka = lim s2 G(s) s! 0

Ka = lim s

2

s! 0

∑

K(Ta s + 1)(Tb s + 1) · · · s t (T1 s + 1)(T2 s + 1) · · ·

∏

donde, para entrada em par´abola unit´aria:

ess =

1 , Ka

Erro estacion´ ario de acelera¸c˜ ao

Temos ent˜ao: • G(s) do TIPO 0:

Ka = 0,

e

ess =

1 0

=1

)

Erro de seguimento infinito.

• G(s) do TIPO 1:

Ka = 0,

e

ess =

1 0

=1

)

Erro de seguimento infinito.

• G(s) do TIPO 2:

Ka = K,

e

ess =

1 K

)

Erro de seguimento constante.

Exemplo: compara¸c˜ao da resposta dos sistemas: G1 (s) =

5s+1 , s(2s+1)

5s+1 . s2 (2s+1)

ANEL FECHADO

ANEL FECHADO 40

40

35

35

30

30

25

25

G1(s)

Amplitude

Amplitude

e G2 (s) =

20

G (s) 2 20

e

ss

15

15

10

10

5

5

0

0

1

Controlo de Sistemas

2

3 Tempo (seg.)

4

5

6

0

0

1

2

3 Tempo (seg.)

4

5

6

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

101

Conclus˜ ao: a precis˜ao do anel fechado depende da referˆencia que se pretende seguir, R(s), e do TIPO (n´ umero de p´olos na origem) da fun¸ca˜o de transferˆencia do ramo directo, Gc (s)Gp (s).

ess

R(s) degrau unit´ario

R(s) rampa unit´aria

R(s) par´abola unit´aria

G(s) TIPO 0

1 1+Kp

1

1

G(s) TIPO 1

0

1 Kv

1

G(s) TIPO 2

0

0

1 Ka

Tabela 1: Erros estacion´arios num anel de realimenta¸ca˜o unit´ario

7.4

Exemplo de c´ alculo dos erros estacion´ arios

Realimenta¸c˜ao unit´aria da posi¸c˜ao angular de um motor el´ectrico. µref (t) -+ j

ø (t) -

6 °

µ(t) -

K s(T s+1)

10

1.4

9 1.2

8

θref = cte 1

7

Amplitude

Amplitude

6 0.8

0.6

5

.

4

θref = cte

3

0.4

2 0.2

1

0

0

1

2

3

4

5 Tempo (seg.)

6

7

8

9

10

0

0

1

2

3

4

5 Tempo (seg.)

6

7

8

9

10

Conclus˜ oes: i) ´e poss´ıvel colocar o veio do motor numa determinada posi¸ca˜o angular fixa, com erro nulo (sistema do TIPO 1); ii) n˜ao ´e poss´ıvel manter a velocidade de rota¸ca˜o do veio do motor no valor constante pretendido (sistema do TIPO 1, logo ess = K1 ). c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

102

Voltando agora ao caso inicial mais gen´erico com H(s) 6= 1:

R(s)

Et (s) -+ herro de seguimento, ° 6

-+ h E(s) - Gc (s) ° 6

U(s)-

Y(s)-

Gp (s)

H(s) æ

Pergunta: qual a express˜ao para o c´alculo do erro estacion´ario de seguimento, Et (s)? Desenvolvendo as equa¸co˜es do diagrama de blocos: 8 Y (s) = Gc (s)Gp (s)E(s) > > > > < E(s) = R(s) ° H(s)Y (s) > > > > : Et (s) = R(s) ° Y (s) Donde:

8 — > > > > < E(s) = R(s) ° Gc (s)Gp (s)H(s)E(s) > > > > : Et (s) = R(s) ° Gc (s)Gp (s)E(s) 2

8 — > > > > > < R(s) E(s) = 1+Gc (s)G p (s)H(s) > > > > > : E (s) = R(s)° Gc (s)Gp (s) R(s) t 1+Gc (s)Gp (s)H(s)

3

6 7 Gc (s)Gp (s) 6 7 Et (s) = 61 ° 7 R(s) 1 + Gc (s)Gp (s)H(s) 5 4 | {z } F.T. anel fechado

ou seja, o erro estacion´ ario de seguimento ser´a dado por: ∑

∏ Gc (s)Gp (s) lim et (t) = lim sEt (s) = lim s 1 ° R(s), t!+ 1 s! 0 s! 0 1 + Gc (s)Gp (s)H(s)

an´alise dif´ıcil...

Claro que, se H(s) = 1, ca´ımos no caso anterior: ∑ Et (s) = 1 ° Et (s) =

Controlo de Sistemas

∏ Gc (s)Gp (s) R(s) 1 + Gc (s)Gp (s)

R(s) = E(s), 1 + Gc (s)Gp (s)

quod erat demonstradum !

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

103

Exemplo: realimenta¸ca˜o n˜ao unit´aria da posi¸ca˜o angular de um motor el´ectrico. µref (t)-+ h

ø (t)-

° 6

µ(t)-

K s(T s+1)

1.1 æ 10

9 1.2

8

θref = cte 1

7

Amplitude

Amplitude

6 0.8

0.6

5

. 4

θref = cte

3

0.4

2 0.2

1

0

0

1

2

3

4

5 Tempo (seg.)

6

7

8

9

0

10

0

1

2

3

4

5 Tempo (seg.)

6

7

8

9

10

Obten¸c˜ ao dos erros estacion´ arios de seguimento: et (t) = µref (t) ° µ(t) • Caso em que µref ´e constante: " lim et (t) = lim s 1 °

t!+ 1

s! 0

1

• Caso em que µ˙ref ´e constante: "

K s(T s+1) + s(T1.1K s+1)

lim et (t) = lim s 1 °

t!+ 1

s! 0

1

#

∑ ∏ 1 K 1 = lim 1 ° 2 =1° º 0.1 s s! 0 T s + s + 1.1K 1.1

K s(T s+1) + s(T1.1K s+1)

#

∑ ∏ 1 1 K = lim ° = +1 s2 s! 0 s T s3 + s2 + 1.1Ks

Conclus˜ ao: a introdu¸c˜ao no anel de realimenta¸ca˜o de um sensor com ganho est´atico diferente de 1 deteriorou o desempenho do anel de controlo: o sistema, apesar de ser do TIPO 1 (1 p´olo na origem), passa a comportar-se como sendo um sistema do TIPO 0 (sem p´olos na origem), pois apresenta: • erro estacion´ario de seguimento constante para entrada em degrau, e • erro estacion´ario de seguimento infinito para entrada em rampa. Desafio: mostre que as caracter´ısticas de precis˜ao do anel de controlo n˜ao s˜ao alteradas se o bloco de realimenta¸c˜ao H(s) tiver ganho est´atico unit´ario. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

104

8

Projecto de controladores PID

Considera-se o seguinte sistema de controlo por realimenta¸ca˜o: D(s) R(s) -+ j E(s) Gc (s) 6 °

+ U (s) -+ ? j

- Gp (s)

Y (s)-

Relembrar: num anel de realimenta¸c˜ao, o controlador Gc (s) determina as varia¸c˜oes necess´arias da vari´avel manipulada, u(t), por forma a compensar o efeito de desvios na vari´avel controlada, y(t), causados quer por perturba¸co˜es, d(t), quer por varia¸co˜es na referˆencia, r(t). As ac¸co˜es b´asicas de controlo s˜ao: • Ac¸c˜ao proporcional. • Ac¸c˜ao integral. • Ac¸c˜ao derivativa.

8.1 8.1.1

As ac¸co ˜es b´ asicas de controlo Ac¸c˜ ao proporcional

R(s)

- j +

E(s)-

6 °

u(t) = Kp e(t)

Gc (s) = Kp

T.L.

°!

U (s)-

U (s) = Kp E(s)

Trata-se da mais simples ac¸c˜ao de controlo linear: • a amplitude da ac¸ca˜o de controlo ´e proporcional ao erro de seguimento: n˜ao se altera quando se atinge o regime estacion´ario. • denomina-se por: controlador P. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

105

Caracter´ısticas do controlador de ac¸c˜ ao proporcional: • Ajuste f´acil (amplificador de ganho ajust´avel). • Reduz o efeito das perturba¸c˜oes (ver p´agina 32) e reduz o erro de seguimento (ver tabela da p´agina 101). • Aumenta a velocidade de resposta e o sobreimpulso. • Pode levar `a instabilidade do anel de controlo (sistemas de ordem elevada). • N˜ao elimina o erro estacion´ario. Exemplo: seja o seguinte sistema de controlo por realimenta¸c˜ao: R(s) -+ j E(s)U (s)Kp = 2

Y (s)-

1 0.5s+1

6 °

A evolu¸ca˜o dos v´arios sinais: 2 1.8 1.6

u(t)

1.4

Amplitude

1.2 1 0.8

e(t)

0.6 0.4

y(t)

0.2 0 0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Tempo [s]

Conclus˜ ao: ´e imposs´ıvel eliminar o erro estacion´ario. Em termos gerais:

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

106

8.1.2

Ac¸c˜ ao integral

- j

R(s)

+

E(s)-

6 °

1 u(t) = Ti

Z

t

e(¥)d¥

0

Gc (s) =

U (s)-

1 Ti s

T.L.

°!

U (s) 1 = E(s) Ti s

• a amplitude da ac¸c˜ao de controlo altera-se sempre que o erro de seguimento, e(t) 6= 0:

• denomina-se por: controlador I. Caracter´ısticas do controlador de ac¸c˜ ao integral: • Elimina o erro estacion´ario de posi¸ca˜o. • Diminui a estabilidade relativa do anel de controlo: introduz atraso de fase no anel aberto. Diagrama de Bode da acção integral 40

Ganho [dB]

20

0

−20

−40

1/Ti

Frequência [rad/s] −89

Fase [°]

−89.5

−90

−90.5

−91

1/Ti

Frequência [rad/s]

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

107

• A ac¸ca˜o correctiva ´e tanto maior quanto mais demorada for a recupera¸ca˜o. • Pode provocar oscila¸c˜oes indesej´aveis na presen¸ca de satura¸c˜oes na ac¸ca˜o de controlo (reset-windup).

Exemplo: seja o seguinte sistema de controlo por realimenta¸c˜ao: R(s) -+ j E(s)-

U (s)-

1 s

6 °

Y (s)-

1 0.5s+1

A evolu¸ca˜o dos v´arios sinais: 1.2

u(t) 1

0.8

Amplitude

y(t) 0.6

0.4

e(t)

0.2

0

−0.2 0

1

2

3

4 Tempo [s]

5

6

7

8

Conclus˜ ao: eliminado o erro estacion´ario.

8.1.3

Ac¸c˜ ao derivativa

R(s)

- j +

E(s)-

6 °

u(t) = Td

de(t) dt

Gc (s) = Td s

T.L.

°!

U (s)-

U (s) = Td s E(s)

• a amplitude da ac¸c˜ao de controlo ´e proporcional `a varia¸c˜ao do erro de seguimento. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

108

• Car´acter antecipat´orio da ac¸ca˜o correctiva (derivative kick ): ao contr´ario da ac¸c˜ao de controlo P (que reage apenas proporcionalmente aos desvios) e da ac¸c˜ao de controlo I (cuja reac¸ca˜o vai sendo constru´ıda no tempo), esta ´e a mais r´apida a reagir a desvios. • Aumenta a estabilidade relativa do anel de controlo: introduz avan¸co de fase no anel aberto. Diagrama de Bode da acção derivativa 40

Ganho [dB]

20 0 −20 −40

1/Td Frequência [rad/s]

91

Fase [°]

90.5 90 89.5 89

1/Td Frequência [rad/s]

• denomina-se por: controlador D, embora nunca se use sozinho pois amplifica o ru´ıdo. ´ poss´ıvel agrupar as ac¸c˜oes b´asicas de controlo, originando os seguintes controladores: E • Controlador PI. • Controlador PD. • Controlador PID.

8.2

Controlador PI

R(s)

- j +

E(s)-

6 °

u(t) = Kp

Controlo de Sistemas

∑

1 e(t) + Ti

Z

0

Gc (s) = Kp

t

e(¥)d¥

∏

T.L.

≥

°!

Ti s+1 Ti s

¥

U (s)-

U (s) = Kp E(s)

µ

Ti s + 1 Ti s

∂

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

109

Caracter´ısticas do controlador PI: • Devido ao termo proporcional, a ac¸c˜ao correctiva ´e imediata:

• O p´olo na origem introduz atraso de fase no anel aberto: diminui a estabilidade relativa.

Ganho [dB]

Diagrama de Bode do controlador PI

20log10Kp

1/Ti Frequência [rad/s]

Fase [°]

0

−45

−90 1/Ti Frequência [rad/s]

• A existˆencia do zero no SPE “atrai” o LGR para a esquerda, melhorando as caracter´ısticas dinˆamicas da resposta. • Elimina o erro estacion´ario de posi¸ca˜o. • Pode resultar em oscila¸c˜oes indesej´aveis. • Aspecto do efeito provocado pela varia¸ca˜o dos parˆametros Ti e Kp :

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

110

8.3

Controlador PD - j

R(s)

+

E(s)-

6 °

u(t) = Kp

∑

Gc (s) = Kp (1 + Td s)

de(t) e(t) + Td dt

∏

T.L.

°!

U (s)-

U (s) = Kp (1 + Td s) E(s)

Caracter´ısticas do controlador PD: • Car´acter antecipat´orio da ac¸ca˜o correctiva. • Aumento da estabilidade relativa devido `a introdu¸c˜ao de avan¸co de fase no anel aberto:

Ganho [dB]

Diagrama de Bode do controlador PD

20log10Kp

1/Td Frequência [rad/s]

Fase [°]

90

45

0

Td Frequência [rad/s]

• N˜ao elimina o erro estacion´ario. • Amplifica o ru´ıdo na alta frequˆencia.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

111

8.4

Controlador PID - j

R(s)

+

6 °

u(t) = Kp

∑

1 e(t) + Ti

Z

0

t

E(s)-

Gc (s) = Kp

de(t) e(¥)d¥ + Td dt

∏

≥

Ti Td s2 +Ti s+1 Ti s

T.L.

°!

¥

U (s)-

U (s) = Kp E(s)

µ

Ti Td s 2 + Ti s + 1 Ti s

∂

Ganho [dB]

Diagrama de Bode do controlador PID

−1/2

(TdTi)

Frequência [rad/s] 90

Fase [°]

45 0 −45 −90 Frequência [rad/s]

Caracter´ısticas do controlador PID: • Os controladores PID podem ter zeros reais ou complexos conjugados. • O desempenho do sistema est´a relacionado com a correcta sintonia dos seus parˆametros: – Aumentar Kp e 1/Ti , reduz o erro de seguimento, mas pode instabilizar o sistema. – Aumentar Td melhora a estabilidade se para valores pequenos, embora origine uma resposta oscilat´oria e uma indesej´avel amplifica¸c˜ao do ru´ıdo para valores elevados:

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

112

8.5

Exemplo comparativo de controladores PID

Comparar a resposta do sistema de controlo para uma entrada em degrau unit´ario, considerando os seguintes controladores: P, PI, PD e PID. R(s) -+ j E(s)Gc (s) 6 °

U (s)-

1 (s+1)(5s+1)

Y (s)-

Parˆametros dos controladores: Kp = 19, Ti = 2 e Td = 0.21: • Controlador P: • Controlador PD: • Controlador PI: • Controlador PID:

Gc (s) = Kp = 19 Gc (s) = Kp (1 + Td s) = 4s + 19 ≥ ¥ Ti s+1 Gc (s) = Kp Ti s = 38s+1 2s ≥ ¥ 2 2 i s+1 Gc (s) = Kp Ti Td sT+T = 8s +38s+19 2s is Resposta do sistema de controlo a um degrau unitário

1.6

PI

1.4

PID

Amplitude

1.2 1 0.8 0.6

PD P

0.4 0.2 0 0

5

10

15

Tempo [s]

• A introdu¸ca˜o do termo derivativo reduz o comportamento oscilat´orio. • A introdu¸c˜ao do termo integral elimina o erro estacion´ario, mas torna a resposta de novo mais oscilat´oria e com maior sobreimpulso.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

113

QUADRO RESUMO DOS CONTROLADORES PID Designa¸c˜ ao

Express˜ ao temporal

P

u(t) = Kp e(t)

I

u(t) =

1 Ti

Rt 0

Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia Gc (s) = Kp

e(¥)d¥

Gc (s) =

PI

h u(t) = Kp e(t) +

PD

h i u(t) = Kp e(t) + Td de(t) dt

PID

h u(t) = Kp e(t) +

1 Ti

1 Ti

Rt 0

Rt 0

e(¥)d¥

i

Gc (s) = Kp

1 Ti s

≥

Ti s+1 Ti s

¥

Gc (s) = Kp (1 + Td s)

e(¥)d¥ + Td de(t) dt

i

Gc (s) = Kp

≥

Ti Td s2 +Ti s+1 Ti s

¥

Configura¸c˜ ao b´ asica: D(s) - 1

R(s) -+ j E(s) 6 °

- 1

Ti s

+ ? - j - Kp + 6 +

+ U (s)-+ ? j

-

Gp (s)

Y (s)-

- Td s

Quest˜ ao: como seleccionar os parˆametros Kp , Ti e Td , de um controlador PID, por forma a obter uma resposta satisfat´oria do anel fechado? • O anel fechado dever´a ser est´avel. • O anel fechado dever´a ser robusto `as perturba¸co˜es. • A resposta a altera¸co˜es na referˆencia dever´a ser r´apida e suave. • O erro estacion´ario de seguimento dever´a ser eliminado. • O esfor¸co de controlo n˜ao dever´a ser excessivo.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

114

8.6

Projecto de controladores PID via m´ etodos de Ziegler-Nichols

Os m´etodos de sintonia de parˆametros de controladores PID desenvolvidos por J.G. Ziegler & N.B. Nichols (“Optimum settings for automatic controllers”, Trans. ASME, 1942) s˜ao uma referˆencia no projecto de controladores PID. • M´ etodo do ganho cr´ıtico (ou, continuous cycling method ou, ultimate gain method ). • M´ etodo da curva de reac¸c˜ ao (ou, reaction curve method ). 8.6.1

M´ etodo do ganho cr´ıtico

Ideia b´ asica: os parˆametros do controlador PID v˜ao estar relacionados com o valor de dois parˆametros medidos experimentalmente: • Ganho cr´ıtico de estabilidade, Kcr . • Per´ıodo cr´ıtico de estabilidade, Pcr . Trata-se, portanto, de um m´etodo de afina¸c˜ao em anel fechado considerando a presen¸ca de um controlador PID.

Procedimento: 1. Eliminar as ac¸co˜es integral e derivativa do controlador PID, colocando Ti e Td nos seus valores m´aximo e m´ınimo, respectivamente. 2. Sintonizar Kp para um valor baixo e colocar em funcionamento o sistema de controlo. 3. Ir aumentando ligeiramente o valor de Kp at´e se verificar uma oscila¸c˜ao permanente de amplitude constante na vari´avel controlada. 4. Medir o valor de Kp e atribui-lo `a vari´avel ganho cr´ıtico de estabilidade, Kcr . 5. Medir o valor do per´ıodo de oscila¸ca˜o cr´ıtico, Pcr . 6. Utilizar as rela¸co˜es emp´ıricas propostas por Ziegler-Nichols e determinar os parˆametros do controlador PID: Kp , Ti e Td . 7. Sintonizar o valor do ganho do controlador, Kp , para o valor recomendado. 8. Sintonizar o valor da constante de integra¸ca˜o, Ti , para o valor recomendado. 9. Sintonizar o valor da constante de deriva¸c˜ao, Td , para o valor recomendado. 10. Observar o desempenho do sistema de controlo e, caso seja necess´ario, efectuar uma sintonia fina dos parˆametros.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

115

Parˆametros dos controladores PID de acordo com o m´ etodo do ganho cr´ıtico: Desempenho do anel fechado

Controlador

Kp

Ti

Td

Ziegler-Nichols original§

P

0.5Kcr

1

0

Ziegler-Nichols original§

PI

0.45Kcr

Pcr /1.2

0

PID

0.6Kcr 0.33Kcr 0.2Kcr

Pcr /2 Pcr /2 Pcr /2

Pcr /8 Pcr /3 Pcr /3

Ziegler-Nichols original§ Pequeno sobreimpulso Sem sobreimpulso

§

- resposta em anel fechado com 1/4 de taxa de decaimento entre os dois picos iniciais.

Desvantagens do m´ etodo do ganho cr´ıtico: • Para sistemas lentos, consome muito tempo. • Pode ser muito caro: processo `a espera... • Sistema levado ao limite de instabilidade. • Alguns processos nunca chegam a instabilizar em anel fechado por varia¸c˜ ao do ganho. • N˜ao ´e aplic´avel a sistemas inst´aveis em anel aberto, pois tipicamente estes sistemas s˜ao apenas est´aveis para uma gama interm´edia de valores do ganho.

Exemplo1: comparar o desempenho do seguinte anel de controlo considerando os v´arios controladores PID obtidos atrav´es do m´etodo de Ziegler-Nichols do ganho cr´ıtico (ver tabela acima). D(s) R(s)

- j +

6 °

E(s)

- PID

U (s)

+ ? - j +

-

1 s(s+1)(s+2)

Y (s)

-

Avaliar o desempenho do sistema de controlo resultante considerando, independentemente, R(s) e D(s) degraus unit´arios aplicados nos instante inicial.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

116

Resolu¸ c˜ ao: determina¸c˜ao dos parˆametros Kcr e Pcr por via anal´ıtica. D(s) R(s)

- j +

6 °

E(s)

-

+ ? - j

U (s)

Kp

+

-

1 s(s+1)(s+2)

Y (s)

-

A fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel fechado (considerando D(s) = 0): Y (s) R(s)

=

s3

+

3s2

1 + 2s + Kp

Determina¸c˜ao de Kcr atrav´es do crit´erio de Routh-Hurwitz (ver p´agina 37):

s3

1

2

s2

3

Kp

s1

6°Kp 3

s0

Kp

Donde se tira que o valor limite de estabilidade para Kp ´e: Kcr = 6. Para determinar Pcr , encontra-se primeiro wcr a partir da equa¸c˜ ao caracter´ıstica do anel fechado com Kp = Kcr , substituindo s = j!: (j!)3 + 3(j!)2 + 2(j!) + 6 = 0 (6 ° 3! 2 ) + (2! ° ! 3 )j = 0 !2 = 2

Donde se tira que quando Kp = Kcr os p´ olos que se encontram sobre o eixo imagin´ario possuem uma p componente imagin´aria dada por: !cr = 2 rad/s. O valor do per´ıodo de oscila¸c˜ao cr´ıtico ´e ent˜ao obtido a partir de: Pcr =

Controlo de Sistemas

2º 2º = p = 4.44 s !cr 2

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

117

Os valores de Kcr e de Pcr podiam tamb´em ser determinados por via experimental, variando o ganho Kp do PID (com Ti = +1 e Td = 0) at´e o sistema atingir o limite de estabilidade: Resposta do anel fechado para Kp=6

2

4.44 s

1.8 1.6 1.4

y(t)

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

1

2

3

4

5 Tempo [s]

6

7

8

9

10

Com Kcr = 6 e Pcr = 4.44 s, tira-se da tabela de Ziegler-Nichols da p´agina 115:

Desempenho do anel fechado

Controlador

Ziegler-Nichols original Pequeno sobreimpulso

PID

Sem sobreimpulso

Kp

Ti

Td

Gc (s)

3.6

2.22

0.56

4.436s2 +7.992s+3.6 2.22s

1.98 2.22

1.48

6.505s2 +4.396s+1.98 2.22s

1.2

1.48

3.943s2 +2.664s+1.2 2.22s

2.22

Simula¸c˜ao da resposta do sistema: Resposta do anel fechado a degrau na referência

Resposta do anel fechado a degrau na perturbação

1.8

0.6

Ziegler−Nichols original 1.6

0.5

Sem sobreimpulso

Pequeno sobreimpulso 1.4

0.4

Pequeno sobreimpulso

sem sobreimpulso

1.2

0.3

1

Ziegler−Nichols original

y(t)

y(t)

0.2

0.8

0.1

0.6

0

0.4

−0.1

0.2

−0.2

0 0

5

10

15

20 Tempo [s]

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

25

30

35

40

−0.3 0

5

10

15

20 Tempo [s]

25

30

35

40

Controlo de Sistemas

118

Para o PID resultante do m´etodo de Ziegler-Nichols original, resulta a seguinte fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel fechado: 8 zeros : °0.9 ± 0.009j < 2 4.436s + 7.992s + 3.6 p´ olos : °0.3 ± 1.03j ; °1.37; °1.03 : | {z } 2.22s4 + 6.66s3 + 8.876s2 + 7.992s + 3.6 ª=0.28;!n =1.07 rad/s

Ap´os uma sintonia fina dos parˆametros do controlador: 9 Kp = 6.6 = 3.45s2 + 27.85s + 6.6 Ti = 4.22 , Gc (s) = ; 4.22s Td = 1.56 resulta a seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia do anel fechado: 8 <

43.45s2 + 27.85s + 6.6 4.22s4 + 12.66s3 + 51.89s2 + 27.85s + 6.6

:

zeros

:

°0.32 ± 0.22j

p´ olos

:

°0.29 ± 0.25j;

°1.21 ± 3.05j | {z }

ª=0.37;!n =3.28 rad/s

Localização dos Pólos e Zeros 4 3

Ziegler−Nichols após sintonia fina

Eixo Imaginário

2 1 0 −1 −2

Ziegler−Nichols original

−3 −4 −1.4

−1.2

−1

−0.8 −0.6 Eixo Real

−0.2

0

Resposta do anel fechado a degrau na perturbação

Resposta do anel fechado a degrau na referência

0.3

1.8 1.6

−0.4

Ziegler−Nichols original

0.25

1.4

Ziegler−Nichols original

0.2

Ziegler−Nichols após sintonia fina 1.2

0.15

y(t)

y(t)

1

0.1

Ziegler−Nichols após sintonia fina

0.8

0.05 0.6

0

0.4

−0.05

0.2 0 0

5

Controlo de Sistemas

10

15

20 Tempo [s]

25

30

35

40

−0.1 0

5

10

15

20 Tempo [s]

25

30

35

40

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

119

Exemplo2: comparar o desempenho do seguinte anel de controlo considerando os v´arios controladores PID obtidos atrav´es do m´etodo de Ziegler-Nichols do ganho cr´ıtico, considerando independentemente R(s) e D(s) degraus unit´arios aplicados no instante inicial. D(s) R(s)

- j +

E(s)

6 °

- PID

U (s)

+ ? - j +

-

Y (s)

-

4e°3.5s 7s+1

Resolu¸ c˜ ao: a determina¸c˜ao dos parˆametros Kcr e Pcr por via experimental, i.e., fechando o anel de controlo e registando a evolu¸c˜ao da sa´ıda variando o ganho Kp do PID (com Ti = +1 e Td = 0), originou: Kcr

= 0.95 ,

Pcr = 12 ,

ganho cr´ıtico de estabilidade per´ıodo de oscila¸c˜ ao cr´ıtico

Donde se tira da tabela de Ziegler-Nichols da p´agina 115:

Desempenho do anel fechado

Controlador

Ziegler-Nichols original Pequeno sobreimpulso Sem sobreimpulso

PID

Kp

Ti

Td

Gc (s)

0.57

6.0

1.5

5.13s2 +6s+1.5 6s

0.31

6.0

4.0

7.44s2 +1.86s+0.31 6s

0.19

6.0

4.0

4.56s2 +1.14s+0.19 6s

Simula¸c˜ao da resposta do sistema:

Degrau unit´ ario na referˆ encia

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Degrau unit´ ario na perturba¸ c˜ ao

Controlo de Sistemas

120

Exemplo3: efectuar a mesma an´alise do exemplo anterior, mas agora considerando o seguinte sistema: Gp (s) =

2e°s (10s + 1)(5s + 1)

Resolu¸ c˜ ao: a determina¸c˜ao dos parˆametros Kcr e Pcr por via experimental, i.e., fechando o anel de controlo e registando a evolu¸c˜ao da sa´ıda variando o ganho Kp do PID (com Ti = +1 e Td = 0), originou: Kcr

= 7.88

,

Pcr = 11.6 ,

ganho cr´ıtico de estabilidade per´ıodo de oscila¸c˜ ao cr´ıtico

Donde se tira da tabela de Ziegler-Nichols da p´agina 115:

Desempenho do anel fechado

Controlador

Ziegler-Nichols original Pequeno sobreimpulso Sem sobreimpulso

PID

Kp

Ti

Td

Gc (s)

4.73 5.8 1.45

39.7s2 +27.43s+4.73 5.8s

2.60 5.8 3.87

58.36s2 +15.08s+2.6 5.8s

1.58 5.8 3.87

35.46s2 +9.16s+1.58 5.8s

Simula¸c˜ao da resposta do sistema: Degrau unit´ ario na referˆ encia

Degrau unit´ ario na perturba¸ c˜ ao

Conclus˜ oes: • Para uma solicita¸c˜ao na referˆencia, o m´etodo de Ziegler-Nichols original revela ser a op¸c˜ ao menos conservadora. • Quando o sistema ´e sujeito a uma perturba¸c˜ ao, o m´etodo de Ziegler-Nichols original revela ser a op¸c˜ao mais conservadora.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

121

8.6.2

M´ etodo da curva de reac¸c˜ ao

Ideia b´ asica: os parˆametros do controlador PID est˜ao relacionados com o valor de dois parˆametros (µ e T ) medidos experimentalmente a partir da resposta em anel aberto do sistema a um degrau de amplitude M :

Corresponde `a seguinte aproxima¸c˜ ao: Gp (s) º

Ke°µs Ts + 1

De acordo com o m´ etodo da curva de reac¸ c˜ ao, os parˆametros dos controladores PID s˜ao calculados empiricamente para uma resposta em anel fechado com 1/4 de taxa de decaimento:

Controlador

Kp

Ti

Td

P

T µK

—

—

PI

T 0.9 µK

µ 0.3

—

PID

T 1.2 µK

2µ

0.5µ

Notas: • Ao contr´ario do m´etodo do ganho cr´ıtico, o m´etodo da curva de reac¸c˜ ao ´e um m´etodo de sintonia em anel aberto. • O m´etodo do ganho cr´ıtico n˜ao ´e aplic´avel a sistemas inst´aveis em anel aberto, ou com p´olos complexos conjugados dominantes. • No caso do PID para sistemas de ganho est´atico unit´ario (K = 1), o m´etodo prop˜oe um controlador com 2 zeros reais duplos localizados em s = °1/µ: ° ¢2 µ ∂ µ ∂ s + 1µ Ti Td s2 + Ti s + 1 T µ2 s2 + 2µs + 1 Gc (s) = Kp = 1.2 = 0.6T Ti s µ 2µs s

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

122

8.7

Projecto de controlador PID via LGR

Pretende-se projectar um controlador PID para o seguinte sistema de controlo: R(s)

- j +

6 °

- P ID

-

1 (s+1)(s+2)(s+10)

Y (s)

-

garantindo as seguintes especifica¸c˜oes de desempenho para a resposta do anel fechado: • Sobreimpulso: Mp = 4.3%. • Tempo de estabelecimento: ts = 0.8 s (crit´erio dos 2%). • Erro estacion´ario nulo no seguimento ao degrau. 1. Determina¸ c˜ ao da localiza¸ c˜ ao dos p´ olos dominantes desejados Tendo em considera¸c˜ao os valores desejados de Mp e ts , tira-se: s °p ª 2 º (ln Mp )2 Mp = e 1°ª , ª=+ = 0.707 2 º + (ln Mp )2 ts =

4 = 0.8 ª!n

,

!n =

4 = 7.07 rad/s ts ª

a que correspondem 2 p´olos complexos conjugados em: s2 + 2ª!n s + !n2 = 0 : sd = °5 ± 5j 2. Projecto do controlador PI

Gc (s) = Kp

µ

Ti s + 1 Ti s

∂

8 1 < zero : s = ° Ti :

p´ olo : s = 0

An´ alise: caso seja poss´ıvel encontrar uma localiza¸c˜ ao para o zero do controlador PI (s = °1/Ti ) tal que, para um determinado valor de Kp , o LGR passe na localiza¸c˜ ao dos p´olos desejados (sd = °5 ± 5j), ent˜ao ser´a poss´ıvel garantir todas as especifica¸c˜ oes de desempenho para a resposta do anel fechado.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

123

LGR para diferentes localiza¸ c˜ oes do zero do controlador PI: LGR para zero do PI entre −1 e 0

LGR para zero do PI entre −2 e −1 8

6 6

4

2

Eixo Imaginário

Eixo Imaginário

4

pólos desejados

0

−2

2

pólos desejados

0 −2 −4

−4

−6

−6 −12

−10

−8

−6 −4 Eixo Real

−2

0

−8 −12

2

6

6

4

4

pólos desejados

Eixo Imaginário

Eixo Imaginário

8

0 −2

−6

−6

−4 Eixo Real

−2

−2

0

2

4

0

2

pólos desejados

−2

−6

−8

−4 Eixo Real

0

−4

−10

−6

2

−4

−8 −12

−8

LGR para zero do PI entre −∞ e −10

LGR para zero do PI entre −10 e −2 8

2

−10

−8 −20

4

−15

−10

−5

0

Eixo Real

Conclus˜ ao: n˜ao ´e poss´ıvel com um controlador PI garantir as especifica¸c˜ oes de desempenho pretendidas, nomeadamente o sobreimpulso e o tempo de estabelecimento. 3. Projecto do controlador PID

Gc (s) = Kp

µ

Ti Td

s2

+ Ti s + 1 Ti s

∂

8 < zeros : Ti Td s2 + Ti s + 1 = 0 :

p´olo

: s=0

Metodologia: considerar os zeros reais e projectar o PID dividindo em 2 partes. Gc (s) = Kp

≥

Ti Td s2 +Ti s+1 Ti s

onde, a sequˆencia do projecto ser´a: c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

¥

µ

∂ s+b = K(s + a) . | {z } s | {z } Gc1 (s)

com: a, b 2 R

Gc2 (s)

Controlo de Sistemas

124

• 1o : Gc1 (s) - corresponde `a componente PD, ´e projectado por forma a garantir a dinˆamica do regime transit´orio desejada (sobreimpulso, e tempo de estabelecimento). • 2o : Gc2 (s) - corresponde `a componente PI, ´e projectado por forma garantir as especifica¸c˜oes em regime estacion´ario (erro nulo no seguimento ao degrau), sem deteriorar as caracter´ısticas do regime transit´orio previamente obtidas com Gc1 (s). Projecto da componente PD: Gc1 (s) = K(s + a),

K =? a =?

Objectivo: determinar a posi¸c˜ao do zero real s = °a, que garanta que, para um determinado K, o LGR passa pelos p´olos desejados (sd = °5 ± 5j). Ap´os uma breve an´alise do LGR, conclui-se que a u ´nica posi¸c˜ ao poss´ıvel para o zero, s = °a, ´e este estar localizado entre °10 e °2. Sendo assim, o problema resume-se a determinar os valores de a e K tal que o LGR verifique simultaneamente as condi¸c˜ oes de argumento e de m´odulo ao passar pelos p´olos desej´aveis, sd : Localização dos Pólos e Zeros de G (s) e G (s) c1

p

6

sd

5

Condi¸c˜ ao de argumento:

Eixo Imaginário

4

arg [KGc1 (sd )Gp (sd )] = °180±

3 2

Condi¸c˜ ao de m´odulo:

1

φ

ψ1

3

0

φ2

|KGc1 (sd )Gp (sd )| = 1

φ

1

−a −1 −2

−10

−5 Eixo Real

−2

−1

0

Condi¸ c˜ ao de argumento:

√1 ° ¡1 ° ¡2 ° ¡3 = °180±

obt´em-se: a = 2.71

Controlo de Sistemas

,

° ¢ 8 ± + arctan 5°a √ = 90 1 > 5 > > > > ° ¢ > > > < ¡1 = 90± + arctan 45 > > ¡2 > > > > > > : ¡3

= 90± + arctan = arctan

°5¢

°3¢ 5

5

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

125

Condi¸ c˜ ao de m´ odulo: Ø Ø Ø Ø 1 Ø Ø=1 |KGc1 (sd )Gp (sd )| = 1 , ØK(sd + 2.71) (sd + 1)(sd + 2)(sd + 10) Ø

K = 48

,

Resposta do anel fechado com controlador, Gc1 (s) = 48(s + 2.71):

Resposta do anel fechado para G (s)=48(s+2.71)

LGR para G (s)=48(s+2.71)

c1

c1

6 1

K=48 4

pólos desejados

0.8

0.6 y(t)

Eixo Imaginário

2

0

0.4

−2

0.2

−4

K=48 −6 −12

−10

−8

−6 Eixo Real

−4

−2

0 0

0

0.5

1

1.5

Tempo [s]

• Sobreimpulso: Mp = 8.22%

¿

4.3% (!)

• Tempo de estabelecimento: ts = 0.94s

>

0.8s (!)

Por forma a baixar simultaneamente os valores obtidos de Mp e ts , opta-se por deslocar o zero ligeiramente para a direita por forma a “puxar” os ramos do LGR mais para o eixo real. Localizando o zero em s = °2.1 obteve-se a resposta desejada: Resposta do anel fechado 1

Sobreimpulso:

Gc1(s)=48(s+2.71)

Mp = 4.32% X

0.8

Gc1(s)=48(s+2.1)

Tempo de estabelecimento:

y(t)

0.6

ts = 0.81s X

0.4

0.2

0 0

0.5

1

1.5

Tempo [s]

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

126

Projecto da componente PI: s+b , s

Gc2 (s) =

b =?

Objectivo: determinar a posi¸c˜ao do zero real s = °b, que n˜ao altere as caracter´ısticas dinˆamicas do sistema controlado com Gc1 (s). O zero dever´a estar pr´oximo do p´olo s = 0 por forma a n˜ao influenciar muito o LGR do sistema com o compensador Gc1 (s) obtido anteriormente. Ap´os um processo de tentativa/erro, chega-se ao resultado b = 0.9: s + 0.9 s

Gc2 (s) =

Gc (s) = 48(s + 2.1)

)

µ

s + 0.9 s

∂

Resposta do anel fechado para G (s) c

1

Sobreimpulso: 0.8

Mp = 3.36% X Tempo de estabelecimento:

y(t)

0.6

ts = 0.8s X

0.4

Erro estacion´ario nulo. X

0.2

0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1 1.2 Tempo [s]

1.4

1.6

1.8

2

Em termos de constantes do controlador cl´assico PID:

Gc (s) = 48(s + 2.1)

Gc (s) = Kp

Controlo de Sistemas

µ

µ

s + 0.9 s

∂

Ti Td s2 + Ti s + 1 Ti s

∂

,

8 Kp = 48(2.1 + 0.9) = 144 > > > > < 1 Td = 2.1+0.9 = 0.33 onde: > > > > : Ti = 2.1+0.9 2.1£0.9 = 1.59

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

127

8.8

Aspectos pr´ aticos na implementa¸ c˜ ao de controladores PID

1. Configura¸ c˜ ao PI-D: por forma a evitar o “derivative kick” opta-se por colocar a ac¸c˜ ao derivativa no anel de realimenta¸c˜ao: D(s) - 1

R(s)

- j E(s) +

6 °

- 1

Ti s

+ ? - j - Kp + 6 +

+ ? U (s) j +

-

Gp (s)

Y (s) -

°Td s 6

A fun¸c˜ao de transferˆencia do anel fechado altera-se ligeiramente:

PID original (ver p´agina 113) :

PI-D :

∂ Kp Gp (s) 1 ≥ ¥ 1+ + Td s Ti s 1 + 1 + T1i s + Td s Kp Gp (s) µ ∂ Kp Gp (s) Y (s) 1 ≥ ¥ = 1+ R(s) Ti s 1 + 1 + 1 + T s K G (s) p p d Ti s Y (s) = R(s)

µ

Nota: deixa-se ao cuidado do leitor demonstrar que ambas as configura¸c˜ oes apresentam a mesma fun¸c˜ao de transferˆencia Y (s)/D(s). 2. Implementa¸ c˜ ao do termo derivativo: embora o controlador P D e P ID tenham mais zeros que p´olos, na pr´atica a implementa¸c˜ ao ´e feita recorrendo a um p´olo ajust´avel: Td s + 1 , com T ! 0 1 + Ts µ ∂ µ ∂ Ti Td s2 + Ti s + 1 Ti Td s2 + Ti s + 1 Gc (s) = Kp °! Gc (s) = Kp , com T ! 0 Ti s Ti s(1 + T s) Gc (s) = Kp (1 + Td s) °! Gc (s) = Kp

As vantagens desta implementa¸c˜ ao s˜ao: • Diminui o “derivative kick” e, por conseguinte, o esfor¸co de controlo. • N˜ao influencia a dinˆamica do sistema de controlo desde que o p´olo em °1/T n˜ ao seja dominante.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

128

9

Projecto de compensadores de avan¸co e de atraso

Ideia b´ asica: sempre que por um simples ajuste de ganho n˜ao for suficiente modificar a dinˆamica do processo a controlar, recorre-se ao projecto de um compensador dinˆ amico, cujas formas mais simples correspondem ao: • Compensador de avan¸ co ou lead compensator : Gc (s) =

Æs + a , s+a

Æ > 1, a > 0

Localização do pólo e do zero

0

−a

a

Frequência [rad/s]

a/α

−a/α

Fase [°]

Eixo Imaginário

Magnitude [dB]

DIAGRAMA DE BODE

0

Eixo Real

Frequência [rad/s]

• Compensador de atraso ou lag compensator. Gc (s) =

s+a , s + a/Æ

Localização do pólo e do zero

Æ > 1, a > 0

0

−a

a/α Frequência [rad/s]

a

−a/α 0

Fase [°]

Eixo Imaginário

Magnitude [dB]

DIAGRAMA DE BODE

Eixo Real

Controlo de Sistemas

Frequência [rad/s]

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

129

9.1

Compensador de avan¸ co R(s)

- j +

E(s)

6 °

- Gc (s)

U (s)

-

Y (s)

Gp (s)

-

onde: Gc (s) =

Æs + a , s+a

8 < lims!0 Gc (s)

Æ > 1, a > 0

:

= 1

lims!1 Gc (s) = Æ

DIAGRAMA DE BODE

Magnitude [dB]

20log10(α)

20log

10

(α)1/2

0

ω

a/α

ctr

a

Frequência [rad/s] φctr

Fase [°]

−2arctan[1/α1/2]+90°

0

ωctr Frequência [rad/s]

Caracter´ısticas do compensador de avan¸ co:

!ctr =

a p , Æ

Æ < 20,

Frequˆencia central

)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

¡ctr < 64.78±

p 8 < 20 log10 |Gc (j!ctr )| = 20 log10 Æ : ¡ ctr

= °2 arctan( p1Æ ) + 90±

(apenas por imposi¸c˜ ao f´ısica em implementa¸c˜ ao anal´ ogica)

Controlo de Sistemas

130

Quest˜ ao: qual o objectivo do compensador de avan¸co? i. Melhorar as caracter´ısticas da resposta transit´ oria do anel fechado, nomeadamente, baixando o tempo de estabelecimento e o sobreimpulso. ii. Melhorar a estabilidade relativa do anel fechado, nomeadamente, aumentando as margens de ganho e de fase. iii. N˜ ao piorar as caracter´ısticas da resposta estacion´ aria do anel fechado, i.e., mantendo a precis˜ao do anel fechado.

Exemplo: seja o seguinte sistema de controlo por realimenta¸c˜ ao, com K > 0 e K1 > 0: R(s)

- j +

6 °

-

-

K

Y (s)

K1 (T s+1)2

-

O aumento da MF pode ser feito por via da diminui¸c˜ ao do ganho da fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto, K, de K = 1 para K = K2 < 1: DIAGRAMA DE BODE 20log Magnitude [dB]

10

20log

10

K

1

K K

1 2

0

ω

ωcg1

cg2

Frequência [rad/s]

Fase [°]

0

−90

MF −180

MF

2

1

ω

cg2

ω

cg1

Frequência [rad/s]

No entanto, este procedimento provoca uma diminui¸c˜ ao da precis˜ao do anel fechado! Solu¸ c˜ ao: usar um compensador de avan¸co (de preferˆencia bem projectado). Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

131

Seja agora o mesmo sistema de realimenta¸c˜ ao com compensador de avan¸co: R(s)

- j +

6 °

- Æs+a s+a

-

Y (s)

K1 (T s+1)2

-

O aumento da MF obt´em-se quando a frequˆencia central, ¡ctr , correspondente ao pico m´aximo da curva de fase no compensador de avan¸co, se localiza na proximidade da frequˆencia de cruzamento de ganho do sistema n˜ao compensado:

Magnitude [dB]

DIAGRAMA DE BODE

0

Frequência [rad/s]

ωcg1

ω

cg2

Fase [°]

90

0

−90

MF

2

MF1 −180

Frequência [rad/s]

ωcg1

ω

cg2

Conclus˜ ao: MF2 > MF1 , donde a estabilidade relativa aumentou, sem que para tal se tenha alterado a precis˜ao do anel fechado com a introdu¸c˜ ao do compensador de avan¸co: Sistema n˜ao compensado: Sistema compensado:

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

K1 = K1 (T s + 1)2 µ ∂ Æs + a K1 Kp = lim = K1 s!0 s + a (T s + 1)2 Kp = lim

s!0

Controlo de Sistemas

132

Em termos de LGR, ´e tamb´em vis´ıvel a melhoria do desempenho da resposta transit´oria do sistema de controlo pela introdu¸c˜ao do compensador de avan¸co: Caso 1: zero do compensador afastado dos p´olos do sistema (°1/T ). LGR

Eixo Imaginário

K=+∞

K=0

−a

K=+∞

K=0

−a/α

−1/T

K=+∞

Eixo Real

Caso 2: zero do compensador pr´oximo dos p´olos do sistema (°1/T ). LGR

Eixo Imaginário

K=+∞

K=0

K=+∞

K=0

−a

−a/α

−1/T

K=+∞

Eixo Real

Quest˜ ao: como projectar os parˆametros a e Æ do compensador de avan¸co?

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

133

9.2

Projecto de compensador de avan¸ co baseado na resposta em frequˆ encia

Objectivo: determinar os parˆametros a e Æ do compensador de avan¸co, por forma a garantir determinadas especifica¸c˜oes de desempenho no dom´ınio da frequˆencia: Gc (s) =

Æs + a , s+a

Æ > 1, a > 0

Procedimento: 1. Calcular a margem de fase do sistema n˜ao compensado: M Fp . 2. Determinar o ˆangulo de avan¸co de fase necess´ario adicionar ao sistema n˜ao compensado, por forma a garantir a margem de fase pretendida, M Fd : ¡ = M Fd ° M Fp 3. Determinar o valor do parˆametro Æ do compensador de avan¸co que garante o avan¸co de fase necess´ario ¡, obtido em 2., atrav´es da seguinte express˜ao: 1 ¡ + Ø = °2 arctan p + 90± Æ onde Ø = 5± , 10± , . . ., contabiliza o decr´escimo de fase inerente ao aumento do valor da frequˆencia de cruzamento de ganho resultante da introdu¸c˜ ao do compensador de avan¸co. 4. Determinar o valor do parˆametro a do compensador de avan¸co, a partir da express˜ao: 0 p a = !cg Æ 0 onde !cg corresponde `a frequˆencia para a qual a magnitude do sistema n˜ao compensado ´e igual, mas de sinal contr´ario, ao incremento de magnitude na frequˆencia central verificado pela introdu¸c˜ao do compensador de avan¸co: p 0 !cg =? : °20 log10 Æ

5. Caso as especifica¸c˜oes de desempenho n˜ao sejam satisfat´orias, voltar ao ponto 3. e actualizar o parˆ ametro Ø, caso contr´ario terminar o projecto.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

134

9.2.1

Exemplo: projecto em frequˆ encia de compensador de avan¸ co

Projectar um compensador de avan¸co para o sistema de controlo por realimenta¸c˜ ao unit´aria, por forma a garantir as seguintes especifica¸c˜oes de desempenho: • Margem de fase: MF ∏ 50± . • Margem de ganho: MG ∏ 10 dB. • Manter inalterado o coeficiente de erro est´atico de velocidade, Kv . R(s)

- j +

6 °

- Gc (s)

-

Y (s)

40 s(s+2)

-

An´ alise do sistema n˜ ao compensado: DIAGRAMA DE BODE

Magnitude [dB]

50

ωcg = 6.2 rad/s

0

MG = +∞

−50 −1 10

0

1

10

10

2

10

Frequência [rad/s]

Fase [°]

−90

−135

−180 −1 10

MF = 18° 0

1

10

10

2

10

Frequência [rad/s]

Coeficiente de erro est´atico de velocidade: Kv = lim s Gp (s) = lim s s!0

Controlo de Sistemas

s!0

40 = 20 s(s + 2)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

135

Projecto de compensador de avan¸ co baseado na resposta em frequˆ encia Æs + a , s+a

Gc (s) =

Æ > 1, a > 0

1. Calcular a margem de fase do sistema n˜ao compensado: M Fp = 18± 2. Determinar o ˆangulo de avan¸co de fase necess´ario adicionar ao sistema n˜ao compensado, por forma a garantir a margem de fase pretendida, M Fd = 50± : ¡ = M Fd ° M Fp = 50± ° 18± = 32± 3. Determinar o valor do parˆametro Æ do compensador de avan¸co que garante o avan¸co de fase necess´ario ¡: 1 ¡ + Ø = °2 arctan p + 90± , Æ µ ± ∂ ± 37 ° 90 1 = ° arctan p 2 Æ 1 0.4986 = p , Æ = 4.17 Æ

usar: Ø = 5±

0 : 4. Determinar !cg

°20 log10

p

Æ = °6.02 dB

)

0 !cg = 9 rad/s (tirado do gr´ afico).

CURVA DE MAGNITUDES DO SISTEMA NÃO COMPENSADO 50

40

30

Magnitude [dB]

20

10

0

−6.02 dB −10

−20

−30

−40

ω’

cg

−50 −1 10

0

1

10

10

= 9 rad/s 2

10

Frequência [rad/s]

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

136

Determinar o valor do parˆametro a do compensador de avan¸co: p 0 p a = !cg Æ = 9 4.17 = 18.38 donde a fun¸c˜ao de transferˆencia do compensador de avan¸co ´e: Gc (s) =

4.17s + 18.38 , s + 18.38

Zero: °4.41, e P´olo: °18.38

5. Confirmar se as especifica¸c˜oes de desempenho est˜ao verificadas: R(s)

+ - j - 4.17s+18.38

6 °

-

s+18.38

Y (s)

40 s(s+2)

-

An´ alise do sistema compensado: DIAGRAMA DE BODE 60

Magnitude [dB]

40 20

ω

cg

= 8.9 rad/s

0

MG = +∞

−20 −40 −1 10

0

1

10

2

10

10

Frequência [rad/s]

Fase [°]

−90

−135 °

MF = 50.5 −180 −1 10

0

1

10

2

10

10

Frequência [rad/s]

Coeficiente de erro est´atico de velocidade:

Kv = lim sGc (s)Gp (s) = lim s s!0

Controlo de Sistemas

s!0

µ

4.17s + 18.38 s + 18.38

∂

40 = 20 X s(s + 2)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

137

9.3

Projecto de compensador de avan¸ co baseado no LGR

Objectivo: determinar os parˆametros a e Æ do compensador de avan¸co, por forma a garantir as especifica¸c˜oes de desempenho pretendidas no dom´ınio do tempo: Gc (s) =

Æs + a , s+a

Æ > 1, a > 0

Procedimento: 1. Determinar a localiza¸c˜ao desejada para os p´olos do anel fechado, sd , a partir das especifica¸c˜ oes de desempenho pretendidas para o anel de controlo. 2. Desenhar o LGR do sistema n˜ao compensado e verificar se um simples ajuste de ganho ´e suficiente para garantir o desempenho pretendido para o anel fechado. 3. Determinar os parˆametros a e Æ do compensador de avan¸co atrav´es da condi¸c˜ ao de argumento aplicada ao sistema compensado, considerando a localiza¸c˜ ao dos p´olos desejados determinada em 1., i.e., a partir da seguinte express˜ao: arg[Gc (sd )Gp (sd )] = °180± Visto tratar-se de uma equa¸c˜ ao a duas inc´ognitas, escolher uma solu¸c˜ ao poss´ıvel. A escolha pode ser feita de forma anal´ıtica ou gr´afica. 4. Determinar o ganho da fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto, K, que verifica a condi¸c˜ ao de m´odulo aplicada ao sistema compensado nos p´olos determinados em 1., i.e., que verifica a seguinte express˜ao: |KGc (sd )Gp (sd )| = 1 onde o ideal ser´a obter um valor unit´ario, ou superior, para K, por forma a n˜ao deteriorar a precis˜ao do anel fechado. 5. Caso as especifica¸c˜oes de desempenho n˜ao sejam satisfat´orias, voltar ao ponto 3. e admitir outra solu¸c˜ao poss´ıvel, caso contr´ario terminar o projecto.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

138

9.3.1

Exemplo: projecto via LGR de compensador de avan¸ co

Projectar um compensador de avan¸co para o sistema de controlo por realimenta¸c˜ ao unit´aria, por forma a garantir as seguintes especifica¸c˜oes de desempenho para os p´olos dominantes do sistema, n˜ao diminuindo o coeficiente de erro est´atico de velocidade, Kv : • Frequˆencia natural: !n = 4 rad/s. • Coeficiente de amortecimento: ª = 0.5 - j

R(s)

+

6 °

- Gc (s)

-

Y (s)

4 s(s+2)

-

An´ alise do sistema n˜ ao compensado: Localiza¸c˜ao desejada para os p´olos do anel fechado: sd = °ª!n ± !n sd = °2 ± 3.46j

p

ª2 ° 1

LGR 4 K = +∞

3

Eixo Imaginário

2 1

pólos desejados K=0

K=0

0 −1 −2 −3 K = +∞

−4 −3

−2.5

−2

−1.5

−1 Eixo Real

−0.5

0

0.5

1

Conclus˜ ao: um ajuste de ganho n˜ao ´e suficiente para garantir o desempenho pretendido. Coeficiente de erro est´atico de velocidade: Kv = lim sGp (s) = lim s s!0

Controlo de Sistemas

s!0

4 =2 s(s + 2)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

139

Projecto de compensador de avan¸ co baseado no LGR Gc (s) =

Æs + a , s+a

Æ > 1, a > 0

1. Determinar a localiza¸c˜ao desejada para os p´olos do anel fechado: sd = °2 ± 3.46j 2. Um simples ajuste do ganho n˜ao ´e suficiente para garantir que os p´olos do anel fechado passem por sd . 3. Determinar os parˆametros a e Æ do compensador de avan¸co, atrav´es da condi¸c˜ ao de argumento do sistema compensado nos p´olos desejados: arg[Gc (sd )Gp (sd )] = °180± arg[Gc (sd )] + arg[Gp (sd )] = °180± arg[Æsd + a] ° arg[sd + a] + arg[4] ° arg[sd ] ° arg[sd + 2] = °180± µ

∂ µ ∂ µ ∂ µ ∂ 3.46Æ 3.46 3.46 3.46 arctan °arctan + 0°arctan °arctan = °180± °2Æ + a °2 + a °2 0 µ ∂ µ ∂ 3.46Æ 3.46 arctan ° arctan ° 120± ° 90± = °180± °2Æ + a °2 + a Resulta uma equa¸c˜ao a duas inc´ognitas:

arctan

µ

3.46Æ °2Æ + a

∂

° arctan

µ

3.46 °2 + a

∂

= 30±

Determina¸ c˜ ao de Æ e a: • Via gr´afica, baseada no LGR. • Via anal´ıtica.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

140

Determina¸ c˜ ao de Æ e a por via gr´ afica: A localiza¸c˜ao do zero e do p´olo do compensador de avan¸co devem ser tais que a contribui¸c˜ ao das suas fases dever´a garantir que os p´olos desejados (sd = °2 ± 3.46j) satisfa¸cam a condi¸c˜ ao de argumento, i.e., perten¸cam ao LGR: µ ∂ µ ∂ 3.46Æ 3.46 arctan ° arctan = 30± °2Æ + a °2 + a | {z } | {z } √c

¡c

√c ° ¡c = 30±

Centrando o diedro formado pelo p´olo e zero do compensador, com v´ertice no p´olo desejado sd , em rela¸c˜ao ao diedro formado pela recta que une a origem ao p´olo desejado e a horizontal a partir deste p´olo, chega-se a:

Diedros no plano complexo 4

sd

3.5

Verifica-se:

°

45 3

°

30°

Eixo Imaginário

2.5

45

°a = °5.4 (p´olo)

2

a °Æ = °2.9 (zero)

1.5 1

Donde o controlador de avan¸co ´e:

0.5 °

120 0

−a

−a/α

−1 −6

−5

−4

−3

1.86s + 5.4 s + 5.4

Gc (s) =

−0.5

−2 Eixo Real

−1

0

1

Determina¸ c˜ ao de Æ e a por via anal´ıtica: Admitir, por exemplo: 8 ≥ ¥ 3.46Æ > arctan = 75± > °2Æ+a < ≥ ¥ > > : arctan 3.46 °2+a

=

45±

)

8 < :

3.46Æ °2Æ+a 3.46 °2+a

8 = tan 75± = 3.73 < Æ = 1.86 = tan 45± = 1

:

a

= 5.4

donde a fun¸c˜ao de transferˆencia do compensador de avan¸co ´e: Gc (s) =

Controlo de Sistemas

1.86s + 5.4 , s + 5.4

Zero: °2.9, e P´olo: °5.4

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

141

4. Determinar o ganho da fun¸c˜ao de transferˆencia do anel aberto, K, atrav´es da condi¸c˜ ao de m´odulo aplicada ao sistema compensado nos p´olos desejados: + - j - K 1.86s+5.4 s+5.4 6 °

≥

R(s)

|KGc (sd )Gp (sd )| = 1

¥

-

Y (s)

4 s(s+2)

-

Ø µ Ø ∂ Ø Ø 1.86s + 5.4 4 d ØK Ø=1 Ø sd + 5.4 sd (sd + 2) Ø

,

|0.397K| = 1 , K = 2.52

,

donde, finalmente, o compensador a colocar no sistema ser´a: Gc (s) = 2.52

µ

1.86s + 5.4 s + 5.4

∂

An´ alise do sistema compensado: LGR 5 K=+∞

4 K=2.52 3

Eixo Imaginário

2

pólos do anel fechado

1 0

K=2.52 K=+∞

K=0

−5.4

−2.9

K=0

K=0

0

−2

−1 −2 −3 K=2.52 −4 K=+∞

−5 −6

−5

−4

−3

−2 Eixo Real

−1

0

1

Coeficiente de erro est´atico de velocidade: Kv = lim sGc (s)Gp (s) = lim s 2.52 s!0

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

s!0

µ

1.86s + 5.4 s + 5.4

∂

4 = 2.52 £ 2 = 5.04 > 2 X s(s + 2)

Controlo de Sistemas

142

9.4

Compensador de atraso R(s)

- j +

U (s)

E(s)

6 °

- Gc (s)

-

Y (s)

Gp (s)

-

onde: s+a , s + a/Æ

Gc (s) =

Æ > 1, a > 0

8 < lims!0 Gc (s) :

= Æ

lims!1 Gc (s) = 1

DIAGRAMA DE BODE

Magnitude [dB]

20log10 (α)

20log

10

(α)1/2

0

a/α

ωctr

a

Frequência [rad/s]

Fase [°]

0

2arctan[1/α1/2]−90° ωctr

Frequência [rad/s]

Caracter´ısticas do compensador de atraso:

!ctr =

a p , Æ

Æ < 15,

Controlo de Sistemas

Frequˆencia central

)

¡ctr > °61.05±

p 8 < 20 log10 |Gc (j!ctr )| = 20 log10 Æ : ¡ ctr

= 2 arctan( p1Æ ) ° 90±

(apenas por imposi¸c˜ ao f´ısica em implementa¸c˜ ao anal´ ogica)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

143

Quest˜ ao: qual o objectivo do compensador de atraso? i. Melhorar as caracter´ısticas da resposta estacion´ aria do anel fechado, i.e., melhorar a precis˜ao do anel fechado. ii. N˜ ao alterar as caracter´ısticas da resposta transit´ oria do anel fechado, i.e., manter as margens de ganho e de fase e n˜ao alterar significativamente a localiza¸c˜ ao dos p´olos dominantes do sistema n˜ao compensado. Exemplo: seja o seguinte sistema de controlo por realimenta¸c˜ ao, com K > 0 e K1 > 0: R(s)

- j

-

+

6 °

-

K

Y (s)

K1 (T s+1)2

-

A melhoria na precis˜ao do anel fechado pode ser alcan¸cada via aumento do ganho da fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto, K, de K = 1 para K = K2 > 1: K1 = K1 s!0 (T s + 1)2

Para K = 1:

Kp1 = lim

Para K = K2 :

Kp2 = lim

K1 K2 = K1 K2 s!0 (T s + 1)2

ess1 =

)

1 1 + K1

ess2 =

)

1 < ess1 1 + K1 K2

X

No entanto, este procedimento resulta numa diminui¸c˜ ao da margem de fase: DIAGRAMA DE BODE

Magnitude [dB]

20log10 K1K2 20log10 K1 0

ω

ω

cg1

cg2

Frequência [rad/s]

Fase [°]

0

−90

MF −180

MF

1

2

ω

cg1

ω

cg2

Frequência [rad/s]

Solu¸ c˜ ao: usar um compensador de atraso (de preferˆencia bem projectado). c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

144

Seja agora o mesmo sistema de realimenta¸c˜ao com compensador de atraso: - j

R(s)

+

6 °

- s+a

-

s+a/Æ

K1 (T s+1)2

Y (s)

-

O aumento da precis˜ao do anel fechado sem altera¸c˜ ao significativa da MF obt´em-se quando a frequˆencia central, ¡ctr , correspondente ao pico m´ınimo da curva de fase no compensador de atraso, se localiza numa frequˆencia sensivelmente abaixo da frequˆencia de cruzamento de ganho do sistema n˜ao compensado: DIAGRAMA DE BODE 20log αK Magnitude [dB]

10

0

1

20log K

10 1

ω cg Frequência [rad/s]

Fase [°]

0

−90

MF ≈ MF 1

−180

2

ωcg Frequência [rad/s]

Conclus˜ ao: MF1 ºMF2 , a estabilidade relativa n˜ao se alterou, mas aumentou a precis˜ao do anel fechado com a introdu¸c˜ao do compensador de atraso: Sistema n˜ao compensado: Sistema compensado:

Controlo de Sistemas

K1 1 = K1 ) ess1 = (T s + 1)2 1 + K1 µ ∂ s+a K1 1 = lim = ÆK1 ) ess2 = < ess1 X s!0 s + a/Æ (T s + 1)2 1 + ÆK1

Kp1 = lim

s!0

Kp2

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

145

Confirma-se que os p´olos dominantes do sistema de controlo se mantˆem sensivelmente nas mesmas posi¸c˜oes com a introdu¸c˜ao do compensador de atraso, originando regimes transit´orios semelhantes: LGR: sistema n˜ao compensado versus sistema com compensador de atraso. LGR K=+∞

Eixo Imaginário

Pólos do sistema compensado

K=+∞

K=0

K=0

−1/T

−a

−a/α

Pólos do sistema não compensado

K=+∞

Eixo Real

Reposta ao degrau: sistema n˜ao compensado versus sistema com compensador de atraso. Resposta do anel fechado a um degrau unitário

sistema compensado

Amplitude

1

sistema não compensado

0 0 Tempo (sec)

Quest˜ ao: como projectar os parˆametros a e Æ do compensador de atraso?

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

146

9.5

Projecto de compensador de atraso baseado na resposta em frequˆ encia

Objectivo: determinar os parˆametros a e Æ do compensador de atraso, por forma a garantir determinadas especifica¸c˜oes de desempenho no dom´ınio da frequˆencia: Gc (s) =

s+a , s + a/Æ

Æ > 1, a > 0

Procedimento: 1. Calcular o valor do coeficiente de erro est´atico do sistema n˜ao compensado (admite-se, sem perda de generalidade, um sistema de controlo com realimenta¸c˜ ao unit´ aria): Sistema do tipo 0:

Kpp = lim Gp (s)

Sistema do tipo 1:

Kvp

= lim s Gp (s)

Sistema do tipo 2:

Kap

= lim s2 Gp (s)

s!0 s!0 s!0

2. Determinar o aumento de ganho K necess´ ario introduzir na fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto, por forma a garantir a precis˜ao desejada do anel fechado, sabendo-se os valores desejados para os parˆametros Kpd , Kvd e Kad : Sistema do tipo 0:

K=

Sistema do tipo 1:

K=

Sistema do tipo 2:

Kpd Kpp

Kvd Kvp Kd K = ap Ka

3. Determinar o valor do parˆametro Æ do compensador de atraso que garante o valor desejado para o coeficiente de erro est´atico, atrav´es da seguinte express˜ao: 20 log10 (Æ) = 20 log10 (K) ,

Æ=K

4. Determinar o valor do parˆametro a do compensador de atraso, tendo em conta que este deve estar suficientemente abaixo da frequˆencia de cruzamento de ganho do sistema n˜ao compensado, !cg , por forma a minimizar o impacto negativo do atraso de fase introduzido pelo compensador, aplicando a seguinte heur´ıstica: Sistema do tipo 0: Sistema do tipo 1: Sistema do tipo 2:

!cg 10 !cg a= 20 !cg a= 40 a=

5. Caso as especifica¸c˜oes de desempenho n˜ao sejam satisfat´orias, voltar ao ponto anterior e actualizar o parˆametro a, caso contr´ario terminar o projecto.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

147

9.5.1

Exemplo: projecto em frequˆ encia de compensador de atraso

Projectar um compensador de atraso para o sistema de controlo por realimenta¸c˜ ao unit´aria, por forma a garantir as seguintes especifica¸c˜oes de desempenho: • Coeficiente de erro est´atico de posi¸c˜ ao: Kpd = 50. • Margens de estabilidade aproximadamente idˆenticas `as do sistema n˜ao compensado. R(s)

- j +

6 °

- Gc (s)

-

Y (s)

25 (s+1)(s+5)

-

An´ alise do sistema n˜ ao compensado: DIAGRAMA DE BODE

Magnitude [dB]

20

ωcg = 3.9 rad/s

0

MG = +∞

−20

−40

−60 −1 10

0

1

10

10

2

10

Frequência [rad/s]

Fase [°]

0

−90

°

MF = 66 −180 −1

0

10

1

10

10

2

10

Frequência [rad/s]

Coeficiente de erro est´atico de posi¸c˜ ao: Kpp = lim Gp (s) = lim s!0

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

s!0

25 =5 (s + 1)(s + 5)

Controlo de Sistemas

148

Projecto de compensador de atraso baseado na resposta em frequˆ encia s+a , s + a/Æ

Gc (s) =

Æ > 1, a > 0

1. Calcular o valor do coeficiente de erro est´atico do sistema n˜ao compensado: Kpp = lim Gp (s) = 5 s!0

2. Determinar o aumento de ganho K necess´ ario introduzir na fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto por forma a garantir a precis˜ao desejada do anel fechado: Sistema do tipo 0:

K=

Kpd 50 = 10 p = 5 Kp

3. Determinar o valor do parˆametro Æ do compensador de atraso: 20 log10 (Æ) = 20 log10 (K) ,

Æ = K = 10

4. Determinar o valor do parˆametro a do compensador de atraso: Sistema do tipo 0:

a=

!cg 3.9 = = 0.39 10 10

donde a fun¸c˜ao de transferˆencia do compensador de atraso ´e: Gc (s) =

s + 0.39 , s + 0.039

Zero: °0.39, e P´olo: °0.039

5. Confirmar se as especifica¸c˜oes de desempenho s˜ao verificadas: R(s)

- j +

6 °

-

s+0.39 s+0.039

25 (s+1)(s+5)

Y (s)

-

An´ alise do sistema compensado: Coeficiente de erro est´atico de posi¸c˜ao:

Kp = lim Gc (s)Gp (s) = lim s!0

Controlo de Sistemas

s!0

µ

s + 0.39 s + 0.039

∂

25 = 50 X (s + 1)(s + 5)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

149

Embora a margem de fase tenha diminu´ıdo, DIAGRAMA DE BODE

Magnitude [dB]

40 20

ω

cg

= 3.85 rad/s

0

MG = +∞

−20 −40 −60 −2 10

−1

0

10

1

10

2

10

10

Frequência [rad/s]

Fase [°]

0

−90

°

MF = 61.7 −180 −2

−1

10

0

10

1

10

2

10

10

Frequência [rad/s]

o comportamento transit´orio n˜ao sofreu altera¸c˜ oes significativas: Resposta do anel fechado a um degrau unitário sistema compensado 1

Amplitude

0.8

sistema não compensado

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo (seg.)

P´olos (res´ıduos) do sistema n˜ ao compensado: °3.0 ± 4.58j (res´ıduo: 2.73) | {z } p´olos desejados

P´olos (res´ıduos) do sistema compensado: °2.84 ± 4.49j (res´ıduo: 2.78), e °0.35 (res´ıduo: 0.036) | {z } p´olos dominantes

NOTA: quanto menor o valor do parˆametro a, mais pr´oximo estar´a o valor da margem de fase da margem de fase do sistema n˜ao compensado, embora isso resulte num aumento do tempo de estabelecimento da resposta do sistema. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

150

9.6

Projecto de compensador de atraso baseado no LGR

Objectivo: determinar os parˆametros a e Æ do compensador de atraso, por forma a garantir determinadas especifica¸c˜oes de desempenho no dom´ınio do tempo: Gc (s) =

s+a , s + a/Æ

Æ > 1, a > 0

Procedimento: 1. Determinar a localiza¸c˜ao dos p´olos dominantes do sistema n˜ao compensado, sd . 2. Calcular o valor do coeficiente de erro est´atico do sistema n˜ao compensado (admite-se, sem perda de generalidade, um sistema de controlo com realimenta¸c˜ ao unit´ aria): Sistema do tipo 0:

Kpp = lim Gp (s)

Sistema do tipo 1:

Kvp

= lim s Gp (s)

Sistema do tipo 2:

Kap

= lim s2 Gp (s)

s!0 s!0 s!0

3. Determinar o aumento de ganho K necess´ ario introduzir na fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto, por forma a garantir a precis˜ao desejada do anel fechado, sabendo-se os valores desejados para os parˆametros Kpd , Kvd e Kad : Sistema do tipo 0:

K=

Sistema do tipo 1:

K=

Sistema do tipo 2:

Kpd Kpp

Kvd Kvp Kd K = ap Ka

4. Determinar o valor do parˆametro Æ do compensador de atraso que garante o valor desejado para o coeficiente de erro est´atico, atrav´es da seguinte express˜ao: 20 log10 (Æ) = 20 log10 (K) ,

Æ=K

5. Determinar o valor do parˆametro a do compensador de atraso atrav´es da condi¸c˜ ao de m´odulo aplicada ao sistema compensado numa localiza¸c˜ ao pr´oxima dos p´olos desejados determinados em 1., i.e., que verifica a seguinte express˜ao: |Gc (s0d )Gp (s0d )| = 1 onde: s0d º sd 6. Caso as especifica¸c˜oes de desempenho n˜ao sejam satisfat´orias, voltar ao ponto anterior e alterar a localiza¸c˜ao dos p´olos desejados, s0d , caso contr´ ario terminar o projecto.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

151

Demonstra¸ c˜ ao: ocorrˆencia de singularidade quando se pretende garantir exactamente a mesma localiza¸c˜ao para os p´olos dominantes do sistema n˜ao compensado e compensado. 1. Sistema n˜ ao compensado: R(s)

- j

-

+

Y (s)

Gp (s)

6 °

-

Para os p´olos dominantes do anel fechado, sd , verificam-se as seguintes condi¸c˜ oes: 8 < |Gp (sd )| :

= 1 Condi¸ c˜ ao de M´ odulo

arg[Gp (sd )] = °180±

Condi¸ c˜ ao de Argumento

2. Sistema compensado: R(s)

- j +

6 °

- Gc (s)

-

Gp (s)

Y (s)

-

O n´ umero complexo, sd , ser´a um p´olo da fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel fechado se verificar: 8 < |Gc (sd )Gp (sd )| :

= 1

arg[Gc (sd )Gp (sd )] = °180±

cuja u ´nica hip´otese poss´ıvel ´e considerar: 8 = 1, < |Gc (sd )| :

arg[Gc (sd )] = 0,

8 < |Gc (sd )|.|Gp (sd )| :

= 1

arg[Gc (sd )] + arg[Gp (sd )] = °180±

pois: |Gp (sd )| = 1 pois: arg[Gp (sd )] = °180±

ou seja, Gc (sd ) = 1, correspondente a um escalar com m´odulo unit´ario e fase 0± , significando um cancelamento entre os zeros e os p´olos do controlador para s = sd . No caso de um compensador de atraso, isto significa a coincidˆencia entre o zero e o p´olo! Nota: embora Gc (sd ) = 1 se verifique nalgumas situa¸c˜ oes, e.g., quando Gp (s) = 2/(s + 4), Gc (s) = 6/s(s + 5) e s = °2, na maior parte dos casos torna-se imposs´ıvel obter a solu¸c˜ ao para o sistema de 0 equa¸c˜oes. Da´ı optar-se por aproximar sd º sd no projecto do compensador de atraso, e resolver apenas a equa¸c˜ao correspondente `a condi¸c˜ao de m´odulo (evitando assim ter que se alterar posteriormente o ganho da fun¸c˜ao de transferˆencia do anel aberto).

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

152

9.6.1

Exemplo: projecto via LGR de compensador de atraso

Projectar um compensador de atraso para o sistema de controlo por realimenta¸c˜ ao unit´aria, por forma a garantir as seguintes especifica¸c˜oes de desempenho: • Coeficiente de erro est´atico de velocidade, Kv = 5. • N˜ao alterar significativamente a localiza¸c˜ ao dos p´olos dominantes do sistema n˜ao compensado. - j

R(s)

+

6 °

- Gc (s)

-

Y (s)

1.06 s(s+1)(s+2)

-

An´ alise do sistema n˜ ao compensado: Localiza¸c˜ao dos p´olos dominantes do sistema n˜ao compensado (equa¸c˜ ao caracter´ıstica): s(s + 1)(s + 2) + 1.06 = 0

,

s = °2.34

e

sd = °0.33 ± 0.59j | {z } p´olos dominantes

LGR 3 K = +∞ 2

pólos dominantes desejados (K=1.06)

Eixo Imaginário

1

K=0

0

K=0

K=0

−1

−2 K = +∞ −3 −3

−2.5

−2

−1.5

−1 Eixo Real

−0.5

0

0.5

1

Coeficiente de erro est´atico de velocidade: Kv = lim sGp (s) = lim s s!0

Controlo de Sistemas

s!0

1.06 = 0.53 s(s + 1)(s + 2)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

153

Projecto de compensador de atraso baseado no LGR Gc (s) =

s+a , s + a/Æ

Æ > 1, a > 0

1. Determinar a localiza¸c˜ao dos p´olos dominantes do sistema n˜ao compensado: sd = °0.33 ± 0.59j 2. Calcular o valor do coeficiente de erro est´atico do sistema n˜ao compensado: Sistema do tipo 1:

Kvp = lim s Gp (s) = 0.53 s!0

3. Determinar o aumento de ganho K necess´ ario introduzir na fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto por forma a garantir a precis˜ao desejada do anel fechado: Sistema do tipo 1:

K=

Kvd 5 = = 9.43 0.53 Kvp

4. Determinar o valor do parˆametro Æ do compensador de atraso: 20 log10 (Æ) = 20 log10 (K) ,

Æ = K = 9.43

5. Determinar o valor do parˆametro a do compensador de atraso atrav´es da condi¸c˜ ao de m´odulo aplicada ao sistema compensado numa localiza¸c˜ ao pr´oxima dos p´olos desejados: |Gc (s0d )Gp (s0d )| = 1

onde: s0d º sd

como sd tem (!n , ª) = (0.67, 0.49), adopta-se para s0d : s0d = °0.34 ± 0.61j

pois: (!n , ª) = (0.70, 0.49)

donde, a equa¸c˜ao a resolver ´e: Ø Ø Ø s+a Ø 1.06 Ø Ø Ø s + a/9.43 s(s + 1)(s + 2) Ø 0 s=s

= 1

d

usando o comando “fsolve” do Matlab:

>> fsolve(0 abs(1.06 § (s0d + a)/((s0d + a/9.43) § (s0d ) § (s0d + 1) § (s0d + 2))) ° 10 , 1) obt´em-se a solu¸c˜ao: a = 0.6787 Donde a fun¸c˜ao de transferˆencia do compensador de atraso ´e: Gc (s) =

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

s + 0.6787 , s + 0.072

Zero: °0.6787, e P´olo: °0.072

Controlo de Sistemas

154 R(s)

- j +

6 °

-

s+0.6787 s+0.072

1.06 s(s+1)(s+2)

Y (s)

-

´ Aten¸ c˜ ao: o sistema em anel fechado ´e INSTAVEL: °2.27, °0.81 e 0.0012±0.63j. 6. Caso as especifica¸c˜oes de desempenho n˜ao sejam satisfat´orias, voltar ao ponto anterior e alterar a localiza¸c˜ao dos p´olos desejados, s0d : s0d = °0.335 ± 0.58j

com: (!n , ª) = (0.67, 0.5)

usando o comando “fsolve” do Matlab: >> fsolve(0 abs(1.06 § (s0d + a)/((s0d + a/9.43) § (s0d ) § (s0d + 1) § (s0d + 2))) ° 10 , 0.1) obt´em-se a solu¸c˜ao: a = 0.0255, donde o compensador de atraso ´e: Gc (s) =

s + 0.0255 , s + 0.0027

Zero: °0.0255, e P´olo: °0.0027

An´ alise do sistema compensado: Resposta do anel fechado a um degrau unitário 1.4 sistema compensado

1.2

Amplitude

1

0.8

sistema não compensado

0.6

0.4

0.2

0 0

10

20

30

40 Tempo (sec)

50

60

70

80

Conclus˜ ao: o baixo valor do parˆametro a provocou uma lenta evolu¸c˜ ao da resposta do sistema (elevado tempo de estabelecimento), donde a sua escolha dever´ a ter em conta o bin´omio “tempo de estabelecimento/aproxima¸c˜ao aos p´olos desejados”. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

155

Sejam agora os seguintes p´olos desejados: s0d = °0.2455 ± 0.4356j

com: (!n , ª) = (0.5, 0.49)

usando o comando “fsolve” do Matlab: >> fsolve(0 abs(1.06 § (s0d + a)/((s0d + a/9.43) § (s0d ) § (s0d + 1) § (s0d + 2))) ° 10 , 0.1) obt´em-se a solu¸c˜ao: a = 0.2268, donde o compensador de atraso ´e: s + 0.2268 , s + 0.02405

Gc (s) =

Zero: °0.2268, e P´olo: °0.02405

An´ alise do sistema compensado:

Resposta do anel fechado a um degrau unitário 1.6 1.4

sistema compensado

1.2

Amplitude

1 0.8 sistema não compensado 0.6 0.4 0.2 0 0

5

10

15 Tempo (sec)

20

25

30

Conclus˜ ao: o valor mais elevado do parˆametro a provocou uma diminui¸c˜ ao do tempo de estabelecimento do sistema, mas originou uma diferen¸ca assinal´avel relativamente `a dinˆamica do sistema n˜ao compensado, i.e., os p´olos dominantes afastaram-se dos p´olos desejados: P´olos (res´ıduos) do sistema n˜ ao compensado: °2.34 (res´ıduo: 0.24) e °0.33±0.59j (res´ıduo: 0.43) | {z } p´olos desejados

P´olos (res´ıduos) do sistema compensado: °2.32 (res´ıduo: 0.23), °0.34 (res´ıduo: 0.20) e °0.19±0.52j (res´ıduo: 0.44) | {z } p´olos dominantes

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

156

10

Introdu¸c˜ ao aos sistemas de controlo digital

• Todos os controladores estudados no dom´ınio do tempo cont´ınuo s˜ao implement´ aveis por meio de componentes electr´onicos anal´ogicos. • Devido ao seu baixo custo, poder de c´alculo, e extrema flexibilidade, o computador digital veio a revelar-se a plataforma ideal para a implementa¸c˜ ao de controladores. • No entanto, devido `as suas caracter´ısticas f´ısicas, o computador digital processa apenas sequˆencias discretas de eventos, i.e., efectua opera¸c˜oes de acordo com uma determinada frequˆencia de amostragem (normalmente associada `a frequˆencia do seu rel´ogio interno). • Como utilizar os conhecimentos adquiridos no projecto de controladores anal´ogicos para o projecto de controladores digitais?

A implementa¸c˜ao num computador digital de uma lei de controlo, levanta as seguintes quest˜oes:

Quest˜ ao 1: como ligar o mundo f´ısico (cont´ınuo no tempo, t 2 R+ 0 ) com o mundo digital (discreto no tempo, t 2 kT0 , com k = 0, 1, . . ., onde T0 designa o per´ıodo de amostragem)? • O conversor Anal´ogico/Digital (A/D). • O conversor Digital/Anal´ogico (D/A). • O retentor de amostras ZOH.

Quest˜ ao 2: como aproximar o melhor poss´ıvel atrav´es de uma equa¸c˜ ao alg´ebrica discreta no tempo (equa¸c˜ ao `as diferen¸cas), uma lei de controlo descrita por uma equa¸c˜ ao diferencial? • A transformada Z. • Representa¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia de sistemas discretos.

Quest˜ ao 3: como projectar um controlador digital? • M´ etodo de emula¸ c˜ ao: aproxima¸c˜ao discreta do controlador projectado no dom´ınio do tempo cont´ınuo (m´etodo aproximado). • M´ etodo directo: projecto de controlador digital no dom´ınio do tempo discreto (m´etodo exacto).

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

157

Seja o seguinte sistema de controlo anal´ogico:

Numa implementa¸c˜ao digital, a configura¸c˜ ao ser´a a seguinte:

10.1

Conversor Anal´ ogico/Digital (A/D)

1. Modula¸c˜ao em amplitude do sinal: convolu¸c˜ ao do sinal de entrada por um trem de pulsos.

onde T0 corresponde ao per´ıodo de amostragem, e ¢T0 << T0 .

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

158

Dado um sinal anal´ogico f (t) amostrado a T0 segundos:

o resultado da modula¸ c˜ ao em amplitude por um trem de pulsos:

No entanto, dada a dificuldade em exprimir matematicamente f § (t) = f (t) · p(t), considera-se antes a modula¸ c˜ ao em amplitude por um trem de impulsos:

onde: §

f (t) = f (t) · p(t),

p(t) =

+1 X

k=°1

±(t ° kT0 ),

com t = kT0 ,

k = 0, 1, 2, . . .

f § (t) = f (0)±(t) + f (T0 )±(t ° T0 ) + f (2T0 )±(t ° 2T0 ) + · · · +1 X f § (t) = f (kT0 )±(t ° kT0 ), com t = kT0 , k = 0, 1, 2, . . . k=0

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

159

2. Quantiza¸c˜ao para os n´ıveis da palavra bin´aria do computador: arredondamento num´erico para o n´ umero bin´ario mais pr´oximo. Exemplo1: quantiza¸c˜ao de uma sinal em n´ umeros inteiros.

Exemplo2: convers˜ao de 10 Volts para uma palavra bin´aria com 16 bits ) 216 = 65536 n´ıveis bin´arios ) 0.15 mV de resolu¸c˜ ao em 10 V.

10.1.1

Escolha do per´ıodo de amostragem

• T0 grande (frequˆencia de amostragem baixa): menor precis˜ao, fen´omeno do alisamento (aliasing), podendo mesmo ocorrer instabilidade.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

160

Teorema da Amostragem: um sinal cont´ınuo no tempo, f (t), pode ser reconstru´ıdo a partir dos seus valores uniformemente amostrados, f (kT0 ), sse o per´ıodo de amostragem satisfizer a seguinte rela¸c˜ ao: T0 ∑ sendo ! = 2ºF , com F =

1 T

T 2

ou F0 ∏ 2F

ou !0 ∏ 2!

a maior componente em frequˆencia contida no sinal f (t).

• T0 pequeno (frequˆencia de amostragem alta): maior precis˜ao, mas pode provocar o alisamento do ru´ıdo proveniente do sensor de medida para valores dentro da largura de banda do sistema ) o sistema em anel fechado responde ao ru´ıdo!

Solu¸ c˜ oes poss´ıveis: 1. Pr´ e-filtragem anal´ ogica do sinal antes do conversor A/D (logo ap´os o sensor): Hp (s) =

a , s+a

com: a <

!0 2

• Quanto menor o valor de a, mais se atenuam as frequˆencias acima de !0 /2.

• O pr´e-filtro anal´ogico n˜ao elimina totalmente o efeito de alisamento do ru´ıdo.

• O pr´e-filtro anal´ogico deve reduzir consideravelmente a magnitude do ru´ıdo alisado. 2. Substitui¸c˜ao do grupo “sensor anal´ogico + conversor A/D” por um sensor digital. • Encoder ´optico: incremental ou absoluto.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

161

Encoder incremental

• A direc¸c˜ao de rota¸c˜ao ´e determinada pelo avan¸co de um sinal em rela¸c˜ ao ao outro. • A contagem dos pulsos determina o deslocamento angular do disco.

• O n´ umero de pulsos por unidade de tempo determina a velocidade angular do disco.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

162

Encoder abslouto

• Sinal em formato digital com precis˜ao fun¸c˜ ao do n´ umero de pistas (4 ) 24 n´ıveis). • N˜ao necessita contador para medir o deslocamento angular do disco. • Uma falha de leitura n˜ao afecta a pr´oxima leitura.

• A velocidade angular do disco pode ser medida dividindo o ˆangulo de rota¸c˜ ao pelo per´ıodo entre as leituras.

Afinal, como seleccionar o per´ıodo de amostragem? O per´ıodo de amostragem deve ser escolhido por forma a que, tendo em conta todas as restri¸c˜ oes anteriores, se verifique a seguinte express˜ao: 2º 2º ∑ T0 ∑ 20!b 10!b ou 10fb ∑ F0 ∑ 20fb onde !b = 2ºfb corresponde `a largura de banda do sistema de controlo em anel fechado.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

163

10.2

Conversor Digital/Anal´ ogico (D/A)

1. Descodifica¸c˜ao do sinal bin´ario num sinal discreto: transforma¸c˜ ao de um n´ umero bin´ario numa tens˜ao el´ectrica anal´ogica, resultando um trem de impulsos. Exemplo: implementa¸c˜ao de um conversor D/A de 5 bits, b0 b1 b2 b3 b4 .

• O valor da resistˆencia ´e inversamente proporcional ao peso do respectivo bit na palavra bin´aria. • Interruptor aberto: bit a 0; interruptor fechado: bit a 1. F´ormula geral de convers˜ao para um D/A com n-bits:

V0

∑ ∏ Vr Rf b1 b2 bn°1 = ± b0 + + + · · · + n°1 R 2 4 2

O resultado ´e um trem de impulsos modulados em amplitude:

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

164

2. Reconstru¸c˜ao do sinal cont´ınuo a partir de um trem de impulsos. • A reconstru¸c˜ao do sinal, u(t), ´e feita no intervalo: kT0 < t ∑ (k + 1)T0 com base nos valores passados conhecidos do sinal u§ nos instantes de amostragem: ···

,

u§ ((k ° 2)T0 ) ,

u§ ((k ° 1)T0 ) ,

u§ (kT0 )

• A extrapola¸c˜ao de dados de uma s´erie pode ser feita recorrendo `a expans˜ao em s´ erie de Newton-Gregory, para kT0 < ¢t ∑ (k + 1)T0 : §

§

§

u(kT0 + ¢t) = u (kT0 ) + u˙ (kT0 )¢t + u ¨ (kT0 )

µ

T0 + ¢t 2

∂

¢t + · · ·

onde, para o instante t = kT0 , se tem: u˙ § (kT0 ) =

u§ (kT0 ) ° u§ ((k ° 1)T0 ) T0

u ¨§ (kT0 ) =

u˙ § (kT0 ) ° u˙ § ((k ° 1)T0 ) u§ (kT0 ) ° 2u§ ((k ° 1)T0 ) + u§ ((k ° 2)T0 ) = T0 T02

.. .

Na pr´atica os conversores D/A usam apenas o primeiro termo da s´erie: u(kT0 + ¢t) = u§ (kT0 ),

kT0 ∑ ¢t < (k + 1)T0

¥ Retentor de amostras de ordem zero, Zero Order Hold ou ZOH.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

165

10.2.1

Efeitos da coloca¸c˜ ao de um ZOH

• A reten¸c˜ao de ordem zero (ZOH) provoca sempre a introdu¸c˜ ao de um atraso no tempo de T0 /2:

• A transformada de Laplace do ZOH ´e: L {ZOH} =

1 ° e°T0 s = Gzoh (s) s

Substituindo s = j!, resulta:

Gzoh (j!) =

1 ° e°T0 j! = e°j!T0 /2 j!

= e°j!T0 /2 sin (!T0 /2) = T0 e°j!T0 /2

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

√

ej!T0 /2 ° e°j!T0 /2 2j

!

2j j!

2j 2 = e°j!T0 /2 sin (!T0 /2) j! !

sin (!T0 /2) !T0 /2

Controlo de Sistemas

166

Donde: Magnitude de Gzoh (j!): Fase de Gzoh (j!):

Ø Ø Ø sin (!T0 /2) Ø Ø Ø T0 Ø !T0 /2 Ø

0 /2) +¢ e ¢| sin (!T {z }

°j!T0 /2

0± ou ±180±

=°

!T0 2

REPOSTA EM FREQUÊNCIA DO ZOH

Magnitude [dB]

0 −10 −20 −30

−50

ω=4π/T0

ω=2π/T0

−40

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

12

14

16

18

20

ω T [rad/s] 0

Fase [°]

0

−90

−180 0

2

4

6

8

10

ω T0 [rad/s]

Conclus˜ oes: • O ZOH comporta-se como um filtro passa-baixo. • O ZOH diminui a estabilidade relativa do anel fechado, pois introduz atraso de fase na fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto. • O ZOH provoca uma distor¸c˜ao na resposta em frequˆencia da fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto. • A utiliza¸c˜ao de retentores de ordem superior, FOH, n˜ao elimina estes problemas.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

167

11

Equivalentes discretos de sistemas cont´ınuos

Seja o seguinte sistema de controlo digital:

H´a duas abordagens poss´ıveis para o projecto do controlador digital: 1. M´ etodo directo: projecto de controlador digital no dom´ınio do tempo discreto. 2. M´ etodo de emula¸ c˜ ao: aproxima¸c˜ ao discreta do controlador projectado no dom´ınio do tempo cont´ınuo.

(“An´ alise de sistemas lineares”, Maria Isabel Ribeiro, IST-Press 2002, p´ ag. 335)

Conclus˜ ao: em ambas as abordagens ´e necess´ario determinar um equivalente discreto de um sistema cont´ınuo.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

168

M´ etodos para determina¸ c˜ ao de um equivalente discreto de um sistema cont´ınuo: 1. Aproxima¸c˜ao com retentor de amostras de ordem zero (ZOH). 2. Aproxima¸c˜ao da equa¸c˜ao diferencial. 3. Aproxima¸c˜ao por mapeamento de p´olos e zeros. 4. ... (ver literatura)

11.1

Aproxima¸c˜ ao com retentor de amostras de ordem zero (ZOH)

O equivalente discreto de G(s) (representa¸c˜ao gen´erica para um processo, ou um controlador):

u(t) -

y(t)-

G(s)

pode ser obtido atrav´es de:

T0

u(t)

? ° s° s

T0

u§ (t) -

ZOH

m(t)-

G(s)

? y(t) s°°s

y § (t)-

- HG(z) = ?

onde: HG(z) = HG(z) = HG(z) = HG(z) =

∑

∏ M (s) Z [H(s)G(s)] = Z G(s) U § (s) ∑ ∏ 1 ° e°T0 s Z G(s) s ∑ ∏ ∑ ∏ G(s) G(s) °T0 s °1 Z (1 ° e ) =Z (1 ° z ) s s ∑ ∏ z°1 G(s) Y (z) Z = z s U (z)

Problemas: introdu¸c˜ao de atraso no tempo na fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel aberto.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

169

11.2

Aproxima¸c˜ ao da equa¸c˜ ao diferencial

Ideia b´ asica: aproxima¸c˜ao por discretiza¸c˜ ao num´erica da equa¸c˜ ao diferencial associada `a fun¸c˜ ao de transferˆencia cont´ınua, resultando numa equa¸c˜ ao `as diferen¸cas: G(s) # equa¸c˜ ao diferencial # forma integral da equa¸c˜ ao diferencial # √ aproxima¸ c˜ ao ... equa¸c˜ ao `as diferen¸cas # G(z)

Exemplo: seja o seguinte sistema cont´ınuo:

G(s) =

Y (s) a = , U (s) s+a

a>0

cuja equa¸c˜ao diferencial ´e:

y(t) ˙ + ay(t) = a u(t)

,

y(t) =

Z

t

(°ay(ø ) + au(ø )) dø

0

Admitindo um intervalo de discretiza¸c˜ ao T0 , vem para t = (k + 1)T0 :

y((k + 1)T0 ) =

Z

(k+1)T0

(°ay(ø ) + au(ø )) dø

0

y((k + 1)T0 ) =

Z

kT0

(°ay(ø ) + au(ø )) dø +

0

Z

(k+1)T0

(°ay(ø ) + au(ø )) dø

kT0

Donde:

y((k +1)T0 ) = y(kT0 )+

Z |

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

(k+1)T0

kT0

(°ay(ø ) + au(ø )) dø {z }

´area da fun¸c˜ao a aproximar

Controlo de Sistemas

170

11.2.1

Aproxima¸ c˜ ao rectangular para a frente (forward rule), ou regra de Euler

onde: Z

(k+1)T0

(°ay(ø ) + au(ø )) dø

kT0

º T0 [°ay(kT0 ) + au(kT0 )]

substituindo: y((k + 1)T0 ) = y(kT0 ) ° aT0 y(kT0 ) + aT0 u(kT0 )

y((k + 1)T0 ) + (aT0 ° 1)y(kT0 ) = aT0 u(kT0 ) donde:

G(s) =

a s+a

°! GF (z) =

Y (z) aT0 a = = U (z) z + (aT0 ° 1) (z ° 1)/T0 + a

Rela¸c˜ao entre os planos s e z: s =

z°1 , T0

ou:

z = 1 + T0 s

Conclus˜ ao: a aproxima¸c˜ao rectangular para a frente (Euler) n˜ao preserva a estabilidade!

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

171

11.2.2

Aproxima¸ c˜ ao rectangular para tr´ as (backward rule)

onde: Z

(k+1)T0

(°ay(ø ) + au(ø )) dø

kT0

º T0 [°ay((k + 1)T0 ) + au((k + 1)T0 )]

substituindo: y((k + 1)T0 ) = y(kT0 ) ° aT0 y((k + 1)T0 ) + aT0 u((k + 1)T0 )

y((k + 1)T0 ) + aT0 y((k + 1)T0 ) ° y(kT0 ) = aT0 u(k(+1)T0 ) donde:

G(s) =

a s+a

°! GB (z) =

Y (z) aT0 z a = = U (z) z(1 + aT0 ) ° 1 (z ° 1)/T0 z + a

Rela¸c˜ao entre os planos s e z: s =

z°1 , T0 z

ou:

z=

1 1 ° T0 s

Conclus˜ ao: a aproxima¸c˜ao rectangular para tr´as preserva a estabilidade de s para z, mas n˜ao o contr´ario! c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

172

11.2.3

Aproxima¸ c˜ ao trapezoidal, bilinear, ou de Tustin

onde: Z

(k+1)T0

(°ay(ø ) + au(ø )) dø

kT0

º

T0 [°ay((k + 1)T0 ) + au((k + 1)T0 )] + T0 [°ay(kT0 ) + au(kT0 )] 2

desenvolvendo, resulta: G(s) =

a s+a

°! GT (z) =

Y (z) a = U (z) (2/T0 ) [(z ° 1)/(z + 1)] + a

Rela¸c˜ao entre os planos s e z: s =

2 z°1 , T0 z + 1

ou:

z=

1 + T0 s/2 1 ° T0 s/2

Conclus˜ ao: a aproxima¸c˜ao trapezoidal (bilinear ou de Tustin) preserva a estabilidade! Nota: a regra de integra¸c˜ao trapezoidal corresponde ao primeiro termo da expans˜ao em s´erie de Taylor da transformada Z inversa, s = 1/T0 ln z: 1 s= ln z º T0

∑ ∏ 2 z°1 (z ° 1)3 ) + + ··· T0 z + 1 3(z + 1)3 | {z }

aprox. Tustin

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

173

11.2.4

Exemplo comparativo da aproxima¸ c˜ ao da equa¸c˜ ao diferencial

Sistema de terceira ordem com todos os p´olos com !n = 1 rad/s (filtro Butterworth): G(s) =

s3

+

1 , + 2s + 1

2s2

p´ olos: {°1.0, °0.5 ± 0.866j}

considerando, T0 = 0.1 s, resultaram: GF (z) =

z3

°

0.001 , + 2.62z ° 0.82

2.8z 2

Aproxima¸c˜ ao de Euler (+)

GB (z) =

0.001z 3 , 1.22z 3 ° 3.42z 2 + 3.2z ° 1

GT (z) =

(0.11z 3 + 0.34z 2 + 0.34z + 0.11) £ 10°3 , z 3 ° 2.8z 2 + 2.62z ° 0.82

Aproxima¸c˜ ao rect. p/ tr´as (§) Aproxima¸c˜ ao de Tustin (o)

Comparativo da resposta no tempo: Resposta ao degrau unitário 1.2

1

Amplitude

0.8

0.6

0.4

Sistema contínuo Aproximação de Euler Aproximação p/ trás Aproximação Tustin

0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo (seg.)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

174

Comparativo da resposta em frequˆ encia: • Num sistema cont´ınuo, a resposta em frequˆencia de G(s) corresponde `a evolu¸c˜ ao da magnitude e fase dos p´olos e zeros da fun¸c˜ao de transferˆencia, `a medida que o ponto s = j! varia, com ! = 0+ ! ! = +1: – ponto s percorre a parte positiva do eixo imagin´ario. • Num sistema discreto, a resposta em frequˆencia de G(z) corresponde `a evolu¸c˜ ao da magnitude e fase dos p´olos e zeros da fun¸c˜ao de transferˆencia, `a medida que o ponto z = esT0 = ej!T0 varia, com ! = 0+ ! ! = +1: – Para ! 2 [0 º/T0 ] (onde º/T0 = !0 /2, frequˆencia de Nyquist), o ponto z percorre o semi-c´ırculo unit´ario, de z = 1 a z = °1.

– Para ! 2 [º/T0 2º/T0 ], o ponto z percorre o semi-c´ırculo unit´ario, de z = °1 a z = 1, e portanto as curvas de magnitude e fase de G(z) tˆem um andamento inverso ao obtido at´e ent˜ao, entre 0 e º/T0 . – Para ! > 2º/T0 a resposta em frequˆencia de G(z) repete-se com uma periodicidade de 2º. Compara¸c˜ao da resposta em frequˆencia do sistema cont´ınuo: G(j!) =

1 (j!)3 + 2(j!)2 + 2j! + 1

com as respostas em frequˆencia das fun¸c˜oes de transferˆencia discretas equivalentes: GF (ej!T0 ) = GB (ej!T0 ) = GT (ej!T0 ) =

e3j!T0

°

0.001 , + 2.62ej!T0 ° 0.82

2.8e2j!T0

1.22e3j!T0

0.001e3j!T0 , ° 3.42e2j!T0 + 3.2ej!T0 ° 1

Aprox. de Euler (+) Aprox. para tr´as (§)

(0.11e3j!T0 + 0.34e2j!T0 + 0.34ej!T0 + 0.11) £ 10°3 , e3j!T0 ° 2.8e2j!T0 + 2.62ej!T0 ° 0.82

Aprox. Tustin (o)

analisando o efeito provocado pelo valor da amostragem, ou seja, considerando: T0 = {0.1 , 0.5 , 1 , 2} segundos.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

175

COMPARAÇÃO DAS REPOSTAS EM FREQUÊNCIA (T0=0.1 s)

COMPARAÇÃO DAS REPOSTAS EM FREQUÊNCIA (T0=0.5 s)

0.8

0.8

0.6

0.6

|G|

1

|G|

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

0

2.5

0

0.5

0

0

−50

−50

−100

−100

−150 −200 −250

1.5

2

2.5

2

2.5

−150 −200

0

0.5

1

1.5

2

−250

2.5

0

0.5

Frequência [rad/s]

1

1.5

Frequência [rad/s]

COMPARAÇÃO DAS REPOSTAS EM FREQUÊNCIA (T0=1 s)

COMPARAÇÃO DAS REPOSTAS EM FREQUÊNCIA (T0=2 s)

0.8

0.8

0.6

0.6

|G|

1

|G|

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

0

2.5

0

0.5

Frequência [rad/s]

1.5

2

2.5

2

2.5

0 −50 −100

∠ G [°]

−50 −100 −150 −200 −250

1

Frequência [rad/s]

0

∠ G [°]

1

Frequência [rad/s]

∠ G [°]

∠ G [°]

Frequência [rad/s]

−150 −200

0

0.5

1

1.5

Frequência [rad/s]

2

2.5

−250

0

0.5

1

1.5

Frequência [rad/s]

Conclus˜ oes: • Quanto maior o per´ıodo de amostragem, pior a aproxima¸c˜ ao. As aproxima¸c˜ oes rectangulares d˜ao sempre pior resultado que a aproxima¸c˜ ao trapezoidal (Tustin): para T0 = {1, 2} segundos, a aproxima¸c˜ao rectangular para a frente (Euler) origina um sistema inst´avel! • A transforma¸c˜ao trapezoidal (bilinear ou de Tustin) provoca uma distor¸ c˜ ao na resposta em frequˆencia do modelo discreto, pelo facto de esta transformar o conjunto infinito de pontos do eixo imagin´ario no plano s, no conjunto finito de pontos sobre o c´ırculo unit´ario no plano z. ´ poss´ıvel garantir a coincidˆencia das respostas em frequˆencia de G(s) e de GT (z), para • E frequˆencias espec´ıficas, utilizando a t´ecnica de “prewarping”.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

176

11.3

Aproxima¸c˜ ao por mapeamento de p´ olos e zeros

Ideia b´ asica: aplicar o mapeamento, z = e sT0 , tanto aos p´olos como aos zeros de G(s), sintonizando depois o ganho da fun¸c˜ao de transferˆencia obtida.

Procedimento: Seja G(s) uma fun¸c˜ ao de transferˆencia cont´ınua com n p´olos finitos e m zeros finitos, donde a diferen¸ca positiva, n°m ou m°n, corresponde ao n´ umero de zeros ou de p´olos no infinito (localizados em s = °1), respectivamente: 1. Mapear todos os p´ olos finitos de G(s) para o plano z, atrav´es da rela¸c˜ ao: z = esT0 . G(s) com p´olo em: s = °a ) G(z) com p´olo em: z = e°aT0

G(s) com p´olo em: s = °a±bj ) G(z) com p´olo em: z = reµj , com r = e°aT0 e µ = ±bT0 2. Mapear todos os zeros finitos de G(s) para o plano z, atrav´es da rela¸c˜ ao: z = esT0 . 3. Caso n˜ao se pretenda nenhum atraso na resposta do sistema discreto, mapear todos zeros (ou p´olos) infinitos de G(s) para o ponto z = °1 do plano z: • O ponto z = °1, corresponde ao ponto no plano s cuja frequˆencia ´e: ! = º/T0 .

• Como n˜ao faz sentido usar frequˆencias maiores que a frequˆencia de Nyquist, o ponto z = °1 passa a ser considerado o ponto ! = 1 no plano z. 4. Caso se pretenda um instante de amostragem de atraso na resposta do sistema discreto, mapear todos os zeros infinitos de G(s) excepto um deles, para o ponto z = °1 do plano z. 5. Ajustar o ganho de G(z) por forma a igualar o de G(s), de acordo com a express˜ao:

Controlo de Sistemas

G(s)|s=0 = G(z)|z=1 ,

para filtros passa-baixo

G(s)|s=1 = G(z)|z=°1 ,

para filtros passa-alto

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

177

Exemplo1: obter o equivalente discreto utilizando o m´etodo do mapeamento de p´olos e zeros: s+b s+a

G(s) =

Mapeando o p´olo e zero finitos de acordo com a rela¸c˜ ao, z = esT0 , obt´em-se: G(z) = K

z ° e°bT0 z ° e°aT0

Ajustar o ganho, por forma a que os ganhos a baixa frequˆencia coincidam: G(s)|s=0 = G(z)|z=1 b a

= K

K =

1 ° e°bT0 1 ° e°aT0

b 1 ° e°aT0 a 1 ° e°bT0

Donde, o sistema discreto equivalente ´e: G(z) =

b 1 ° e°aT0 z ° e°bT0 a 1 ° e°bT0 z ° e°aT0

Exemplo2: obter o equivalente discreto utilizando o m´etodo do mapeamento de p´olos e zeros: G(s) = s + a Mapeando o zero finito, z = e°aT0 , e mapeando o p´olo infinito para z = °1, obt´em-se: G(z) = K

z ° e°aT0 z+1

Ajustar o ganho, por forma a que os ganhos a baixa frequˆencia coincidam: G(s)|s=0 = G(z)|z=1 a = K

1 ° e°aT0 , 1+1

,

K=

2a 1 ° e°aT0

Donde, o sistema discreto equivalente ´e: G(z) =

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

2a z ° e°aT0 1 ° e°aT0 z + 1 Controlo de Sistemas

178

11.4

Exemplo comparativo entre aproxima¸co ˜es

Considerando as seguintes aproxima¸c˜oes do filtro de Butterworth de terceira ordem:

HG(z) =

(0.16z 2 + 0.60z + 0.14) £ 10°3 , z 3 ° 2.8z 2 + 2.62z ° 0.82

Aproxima¸c˜ ao com ZOH (+)

GM (z) =

(0.23z 2 + 0.45z + 0.23) £ 10°3 , z 3 ° 2.8z 2 + 2.62z ° 0.82

Aproxima¸c˜ ao mapeamento p´olos e zeros (§)

GT (z) =

(0.11z 3 + 0.34z 2 + 0.34z + 0.11) £ 10°3 , z 3 ° 2.8z 2 + 2.62z ° 0.82

Aproxima¸c˜ ao de Tustin (o)

Para T0 = {0.1 , 0.5 , 1 , 2}, resultam as seguintes respostas em frequˆencia: COMPARAÇÃO DAS REPOSTAS EM FREQUÊNCIA (T0=0.1 s)

COMPARAÇÃO DAS REPOSTAS EM FREQUÊNCIA (T0=0.5 s)

0.8

0.8

0.6

0.6

|G|

1

|G|

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

0

2.5

0

0.5

Frequência [rad/s]

−50

−50

−100

−100

−150 −200

2

2.5

2

2.5

−150 −200

0

0.5

1

1.5

2

−250

2.5

0

0.5

Frequência [rad/s]

1

1.5

Frequência [rad/s]

COMPARAÇÃO DAS REPOSTAS EM FREQUÊNCIA (T0=1 s)

COMPARAÇÃO DAS REPOSTAS EM FREQUÊNCIA (T0=2 s)

0.8

0.8

0.6

0.6

|G|

1

|G|

1

0.4

0.4

0.2

0.2

0

0

0.5

1

1.5

2

0

2.5

0

0.5

Frequência [rad/s]

1.5

2

2.5

2

2.5

0 −50 −100

∠ G [°]

−50 −100 −150 −200 −250

1

Frequência [rad/s]

0

∠ G [°]

1.5

0

∠ G [°]

∠ G [°]

0

−250

1

Frequência [rad/s]

−150 −200

0

0.5

1

1.5

Frequência [rad/s]

Controlo de Sistemas

2

2.5

−250

0

0.5

1

1.5

Frequência [rad/s]

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

179

12

Projecto de controladores PID digitais via m´ etodo da emula¸c˜ ao

O projecto de controladores PID digitais faz-se aqui utilizando a abordagem do m´ etodo da emula¸ c˜ ao (ver p´agina 167). A equa¸c˜ao anal´ogica do controlador PID ´e (ver p´agina 111): ∑ ∏ Z 1 t de(t) u(t) = Kp e(t) + e(¥)d¥ + Td Ti 0 dt • Termo proporcional: u(t) = Kp e(t), onde Kp ´e o ganho proporcional. Rt • Termo integral: u(t) = Kp /Ti 0 e(¥)d¥, onde Ti ´e a constante de integra¸c˜ ao. • Termo derivativo: u(t) = Kp Td de(t)/dt, onde Td ´e a constante de deriva¸c˜ ao.

Quest˜ ao: como implementar um controlador PID digital por discretiza¸c˜ ao do PID anal´ogico? Resposta: dependendo da forma como se aproxima o termo integral e o termo derivativo, resultam configura¸c˜oes diferentes para o controlador PID digital.

12.1

PID digital via aproxima¸ c˜ ao rectangular para a frente

Para o intervalo de tempo entre t = 0 e t = kT0 :

A discretiza¸c˜ao da equa¸c˜ao do PID anal´ogico vem dada por:

u(k) = Kp

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

"

k°1 1 X e(kT0 ) ° e((k ° 1)T0 ) e(k) + e(iT0 )T0 + Td Ti T0 i=0

#

Controlo de Sistemas

180

Determina¸ c˜ ao da forma recursiva: "

# k°1 1 X e(kT0 ) ° e((k ° 1)T0 ) u(k) = Kp e(k) + e(iT0 )T0 + Td Ti T0 i=0 " # k°2 1 X e((k ° 1)T0 ) ° e((k ° 2)T0 ) u(k ° 1) = Kp e(k ° 1) + e(iT0 )T0 + Td Ti T0 i=0

A diferen¸ca entre u(k) e u(k ° 1) para um instante de amostragem gen´erico, k, ´e dada por: "

# k°1 1 X e(k) ° e((k ° 1)) u(k) ° u(k ° 1) = Kp e(k) + e(i)T0 + Td ° Ti T0 i=0 " # k°2 1 X e(k ° 1) ° e(k ° 2) °Kp e(k ° 1) + e(i)T0 + Td Ti T0 i=0 µ ∂ µ ∂ Td Td Td u(k) ° u(k ° 1) = Kp 1 + e(k) ° Kp 1 + 2 e(k ° 1) + Kp e(k ° 2) + T0 T0 T0 √k°1 ! k°2 X T0 X +Kp e(i) ° e(i) Ti i=0 i=0 | {z } =e(k°1)

Donde resulta o algoritmo recursivo de velocidade:

µ ∂ µ ∂ Td Td T0 Td u(k) ° u(k ° 1) = Kp 1 + e(k) ° Kp 1 + 2 ° e(k ° 1) + Kp e(k ° 2) T0 T0 Ti T0 A lei de controlo ´e assim facilmente implementada atrav´es da seguinte equa¸ c˜ ao ` as diferen¸ cas: u(k) = u(k ° 1) + q0 e(k) + q1 e(k ° 1) + q2 e(k ° 2) ou seja: U (z) E(z)

=

Controlo de Sistemas

q0 + q1 z °1 + q2 z °2 q0 z 2 + q1 z + q2 = , 1 ° z °1 z(z ° 1)

≥ ¥ 8 Td > q = K 1 + > 0 p < ≥ T0 com: q1 = °Kp 1 + 2 TTd0 ° > > : q2 = Kp TTd0

T0 Ti

¥

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

181

12.2

PID digital via aproxima¸ c˜ ao rectangular para tr´ as

Para o intervalo de tempo entre t = 0 e t = kT0 :

A discretiza¸c˜ao da equa¸c˜ao do PID anal´ogico vem dada por:

u(k) = Kp

"

k 1 X e(kT0 ) ° e((k ° 1)T0 ) e(k) + e(iT0 )T0 + Td Ti T0 i=1

#

Determina¸ c˜ ao da forma recursiva: "

# k 1 X e(kT0 ) ° e((k ° 1)T0 ) u(k) = Kp e(k) + e(iT0 )T0 + Td Ti T0 i=1 " # k°1 1 X e((k ° 1)T0 ) ° e((k ° 2)T0 ) u(k ° 1) = Kp e(k ° 1) + e(iT0 )T0 + Td Ti T0 i=1

A diferen¸ca entre u(k) e u(k ° 1) para um instante de amostragem gen´erico, k, ´e dada por: "

# k 1 X e(k) ° e((k ° 1)) u(k) ° u(k ° 1) = Kp e(k) + e(i)T0 + Td ° Ti T0 i=1 " # k°1 1 X e(k ° 1) ° e(k ° 2) °Kp e(k ° 1) + e(i)T0 + Td Ti T0 i=1

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

182

µ

∂ µ ∂ Td Td Td u(k) ° u(k ° 1) = Kp 1 + e(k) ° Kp 1 + 2 e(k ° 1) + Kp e(k ° 2) + T0 T0 T0 √ k ! k°1 X T0 X +Kp e(i) ° e(i) Ti i=1 i=1 | {z } =e(k)

Donde resulta o algoritmo recursivo de velocidade:

µ ∂ µ ∂ Td T0 Td Td u(k) ° u(k ° 1) = Kp 1 + + e(k) ° Kp 1 + 2 e(k ° 1) + Kp e(k ° 2) T0 Ti T0 T0 A lei de controlo ´e assim facilmente implementada atrav´es da seguinte equa¸ c˜ ao ` as diferen¸ cas: u(k) = u(k ° 1) + q0 e(k) + q1 e(k ° 1) + q2 e(k ° 2) ou seja: U (z) E(z)

12.3

=

q0 + q1 z °1 + q2 z °2 q0 z 2 + q1 z + q2 = , 1 ° z °1 z(z ° 1)

≥ ¥ 8 Td T0 > > < q0 = Kp 1≥+ T0 + ¥Ti com: q1 = °Kp 1 + 2 TTd0 > > : q2 = Kp TTd0

PID digital via aproxima¸c˜ ao trapezoidal

Para o intervalo de tempo entre t = 0 e t = kT0 :

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

183

O termo integral ´e aproximado por: Z

0

t

e(0) + e(T0 ) e(T0 ) + e(2T0 ) e((k ° 1)T0 ) + e(kT0 ) e(¥)d¥ ª + T0 + · · · + T0 = T0 2 2 2 ª =

T0 [e(0) + e(T0 ) + e(T0 ) + · · · + e((k ° 1)T0 ) + e((k ° 1)T0 ) + e(kT0 )] 2

ª =

X T0 [e(0) + e(kT0 )] + T0 e(iT0 ) 2

k°1 i=1

A discretiza¸c˜ao da equa¸c˜ao do PID anal´ogico vem dada por:

u(k) = Kp

"

T0 e(k) + Ti

√

! # k°1 e(0) + e(kT0 ) X e(kT0 ) ° e((k ° 1)T0 ) + e(iT0 ) + Td 2 T0 i=1

Determina¸ c˜ ao da forma recursiva: "

! # k°1 e(0) + e(kT0 ) X e(kT0 ) ° e((k ° 1)T0 ) u(k) = Kp + e(iT0 ) + Td 2 T0 i=1 " √ ! # k°2 T0 e(0) + e((k ° 1)T0 ) X e((k ° 1)T0 ) ° e((k ° 2)T0 ) u(k ° 1) = Kp e(k ° 1) + + e(iT0 ) + Td Ti 2 T0 T0 e(k) + Ti

√

i=1

A diferen¸ca entre u(k) e u(k ° 1) para um instante de amostragem gen´erico, k, ´e dada por: "

! # k°1 e(0) + e(k) X e(k) ° e(k ° 1) u(k) ° u(k ° 1) = Kp + e(i) + Td ° 2 T0 i=1 √ ! # k°2 T0 e(0) + e(k ° 1) X e(k ° 1) ° e(k ° 2) °Kp e(k ° 1) + + e(i) + Td Ti 2 T0 i=1 µ ∂ µ ∂ Td T0 Td T0 Td u(k) ° u(k ° 1) = Kp 1 + + e(k) ° Kp 1 + 2 + e(k ° 1) + Kp e(k ° 2) + T0 2Ti T0 2Ti T0 √k°1 ! k°2 X T0 X +Kp e(i) ° e(i) Ti | i=1 {z i=1 } T0 e(k) + Ti "

√

=e(k°1)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

184

Donde resulta o algoritmo recursivo de velocidade:

u(k) ° u(k ° 1) = Kp

µ

Td T0 1+ + T0 2Ti

∂

e(k) ° Kp

µ

Td T0 1+2 ° T0 2Ti

∂

e(k ° 1) + Kp

Td e(k ° 2) T0

A lei de controlo ´e assim facilmente implementada atrav´es da seguinte equa¸ c˜ ao ` as diferen¸ cas: u(k) = u(k ° 1) + q0 e(k) + q1 e(k ° 1) + q2 e(k ° 2) ou seja: U (z) E(z)

=

≥ ¥ 8 Td T0 > q = K 1 + + > p < 0 ≥ T0 2Ti ¥ T0 com: q1 = °Kp 1 + 2 TTd0 ° 2T > i > : Td q2 = Kp T0

q0 + q1 z °1 + q2 z °2 q0 z 2 + q1 z + q2 = , 1 ° z °1 z(z ° 1)

QUADRO RESUMO DOS CONTROLADORES PID DIGITAIS ˜ DO TERMO INTEGRAL OBTIDOS POR APROXIMAC ¸ AO

U (z) E(z) u(k)

= ou, =

q0 + q1 z °1 + q2 z °2 q0 z 2 + q1 z + q2 = 1 ° z °1 z(z ° 1) u(k ° 1) + q0 e(k) + q1 e(k ° 1) + q2 e(k ° 2)

Tipo de aproxima¸ c˜ ao Rectangular para a frente

q0 ≥

Kp 1 +

q1 Td T0

¥

≥

°Kp 1 +

Rectangular para tr´ as

≥ Kp 1 +

Td T0

+

T0 Ti

¥

Trapezoidal (*)

≥ Kp 1 +

Td T0

+

T0 2Ti

¥

2 TTd0

q2 °

T0 Ti

¥

≥ ¥ °Kp 1 + 2 TTd0 ≥ °Kp 1 + 2 TTd0 °

T0 2Ti

Kp TTd0

Kp TTd0 ¥

Kp TTd0

(*) - corresponde `a m´edia das duas aproxima¸c˜oes anteriores.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

185

12.4

PID digital via aproxima¸ c˜ ao com ZOH

O equivalente discreto do controlador PID, Gc (s), via aproxima¸c˜ ao com retentor de ordem zero:

T0

e(t)

? ° s° s

T0

e§ (t) -

ZOH

m(t)-

Gc (s)

? ° u(t) s° s

u§ (t)-

- HGc (z) = ?

Devido `a n˜ao causalidade do PID, opta-se por considerar um derivador n˜ao ideal: ∑ ∏ 1 Td s Gc (s) = Kp 1 + + , Ti s T1 s + 1

com:

Td ' 3, . . . , 10 T1

Demonstra-se que a transformada Z com ZOH origina: HGc (z) =

∑ ∏ z°1 Gc (s) q0 + q1 z °1 + q2 z °2 Z = z s 1 + p1 z °1 + p2 z °2

onde: q0 q1 q2

µ

∂ Td = Kp 1 + T1 µ ∂ Td T0 = °Kp 1 ° ∞1 + 2 ° , T1 Ti ∑ µ ∂ ∏ Td T0 = Kp + ° 1 ∞1 T1 Ti

com: ∞1 = °e°T0 /T1

p1 = ∞1 ° 1 p2 = °∞1 Nota: a introdu¸c˜ao de um novo retentor no anel aberto pode piorar significativamente o desempenho do anel fechado.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

186

12.5

Exemplo de projecto de controlador PID digital

Projectou-se um PID anal´ogico para um pequeno motor com fun¸c˜ ao de transferˆencia: Gp (s) =

360000 , (s + 60)(s + 600)

(“Digital control of dynamic systems”, Gene Franklin, et.al., Addison Wesley 1997)

resultando um desempenho satisfat´orio do anel fechado para os seguintes parˆametros do controlador: ganho proporcional, Kp = 5, constante de integra¸c˜ ao, Ti = 0.003 seg., e constante de deriva¸c˜ ao, Td = 0.0008 seg. Comparar a resposta do sistema com o anel de controlo com PID digital:

Considere-se o PID digital obtido a partir do PID anal´ogico considerando: aproxima¸c˜ ao rectangular (frente e tr´as), aproxima¸c˜ao trapezoidal e aproxima¸c˜ ao com retentor de ordem zero.

Determina¸ c˜ ao do per´ıodo de amostragem O per´ıodo de amostragem deve ser escolhido por forma a que (ver p´agina 162): 2º 2º ∑ T0 ∑ 20!b 10!b

ou,

10!b 20!b ∑ F0 ∑ , 2º 2º

!b ¥ largura de banda do anel fechado

Procedimento para a escolha de T0 : 1. Determinar a largura de banda do sistema cont´ınuo em anel fechado, !b : (a) Indirectamente a partir da resposta ao degrau do anel fechado, tomando a rela¸c˜ ao: tr º

1.8 !n

)

!b = !n++

(b) Directamente a partir da curva de magnitudes da resposta em frequˆencia do anel fechado. 2. Escolher, T0 = 2º/10!b , e verificar o desempenho do anel de controlo digital. Se n˜ao for satisfat´orio, ir diminuindo o T0 at´e se atingir um limite m´ınimo tecnicamente vi´avel.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

187

An´ alise do sistema de controlo anal´ ogico

R(s)

+ - j - 1.2£10°5 s2 +0.015s+5

-

0.003s

6 °

360000 (s+60)(s+600)

Y (s)

-

Fun¸c˜ao de transferˆencia do anel fechado: Y (s) R(s)

4.32s2 + 5400s + 1.8£106 0.003s3 + 6.3s2 + 5508s + 1.8£106

=

RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO ANEL FECHADO

CURVA DE MAGNITUDES DO ANEL FECHADO

1.4

2

0

1.2 −2

−4

Magnitude [dB]

Velocidade (rad/s)

1

0.8

0.6

tr ≈ 1 mseg.

−6

Largura de banda −8

−10

−12

0.4

−14

0.2 −16

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

−18 2 10

3

10

Tempo (mseg.)

Frequência [rad/s]

ωb

• Da resposta ao degrau: tr ª = 1 mseg.

)

!n ª = 1800 rad/s

)

!b º 2000 rad/s

• Da curva de magnitudes: !b = 2000 rad/s. Donde, adopta-se para o per´ıodo de amostragem (frequˆencia de amostragem): T0 = 2º/10!b = 0.3 mseg

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

,

F0 = 3.2 kHz

Controlo de Sistemas

4

10

188

An´ alise do sistema de controlo digital T0 ? r(t) °r e(t) - m r° Gc (z) °6

u(kT0 ) - zoh

u(t) -

y(t)

360000 (s+60)(s+600)

-

onde Gc (z) corresponde `a discretiza¸c˜ao do PID anal´ogico com T0 = 0.3 mseg: GFc (z) =

18.33z 2 ° 31.17z + 13.33 , z2 ° z

Aproxima¸c˜ ao rect. p/ frente (+)

GB c (z) =

18.83z 2 ° 31.67z + 13.33 , z2 ° z

Aproxima¸c˜ ao rect. p/ tr´as (§)

GTc (z) =

18.58z 2 ° 31.42z + 13.33 , z2 ° z

Aproxima¸c˜ ao de Tustin (o)

HGc (z) =

5.5z 2 ° 10.32z + 4.834 , z 2 ° 1.963z + 0.9632

Aproxima¸c˜ ao com ZOH (x)

RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO ANEL FECHADO

RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO ANEL FECHADO

1.4

2

1.8 1.2 1.6

1.4

Velocidade (rad/s)

Velocidade (rad/s)

1

0.8

0.6

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.4 0.2 0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

0

0

1

Tempo (mseg.)

2

3

4

5

6

7

8

9

Tempo (mseg.)

Conclus˜ oes: • O anel de controlo digital apresenta uma resposta com um sobreimpulso mais acentuado relativamente ao sistema de controlo anal´ogico, embora com menor tempo de crescimento. • O controlador HGc (z) n˜ao produz resultados satisfat´orios. • Na tentativa de melhorar o desempenho do anel de controlo digital, opta-se por aumentar a frequˆencia de amostragem para F0 = 10 kHz (cerca de 30 vezes a largura de banda do anel fechado).

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

10

189

Para T0 = 0.1 mseg: 45z 2 ° 84.83z + 40 , Aproxima¸c˜ ao rect. p/ frente (+) z2 ° z 45.17z 2 ° 85z + 40 , Aproxima¸c˜ ao rect. p/ tr´as (§) z2 ° z 45.08z 2 ° 84.92z + 40 , Aproxima¸c˜ ao de Tustin (o) z2 ° z 5.5z 2 ° 10.77z + 5.273 , Aproxima¸c˜ ao com ZOH (x) z 2 ° 1.988z + 0.9876

GFc (z) = GB c (z) = GTc (z) = HGc (z) =

RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO ANEL FECHADO

RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO ANEL FECHADO

1.4

1.8

1.6 1.2 1.4 1

Velocidade (rad/s)

0.8

0.6

1

0.8

0.6 0.4 0.4 0.2 0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

10

0

1

2

3

Tempo (mseg.)

4

5

6

7

8

9

Tempo (mseg.)

Caso n˜ao fosse poss´ıvel baixar o per´ıodo de amostragem, i.e. T0 = 0.3 mseg, pode-se melhorar o desempenho modificando Kp = 3.2, Td = 0.0011 seg., e mantendo inalterado o parˆametro Ti : RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO ANEL FECHADO 1.4

1.2

1

Velocidade (rad/s)

Velocidade (rad/s)

1.2

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo (mseg.)

Outra solu¸ c˜ ao: incluir o termo de atraso devido ao ZOH inicialmente aquando do projecto do PID °T s anal´ogico, i.e., projectar um PID anal´ogico para o processo: 1°es 0 Gp (s). c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

10

190

12.6

Considera¸co ˜es sobre a implementa¸ c˜ ao de PID digitais

Problema: devido a varia¸c˜oes bruscas no sinal de referˆencia, as ac¸c˜ oes de controlo do PID digital podem tomar valores muito elevados, o que ´e indesej´avel. Como evitar que isto aconte¸ca?

Exemplo: seja o PID digital obtido por aproxima¸c˜ ao rectangular para tr´as: µ ∂ µ ∂ Td Td T0 Td u(k) ° u(k ° 1) = Kp 1 + e(k) ° Kp 1 + 2 ° e(k ° 1) + Kp e(k ° 2) T0 T0 Ti T0 Desenvolvendo esta express˜ao: u(k) = u(k ° 1) + Kp

∑µ

Td 1+ T0

∂

µ

Td T0 e(k) ° 1 + 2 ° T0 Ti

∂

∏ Td e(k ° 1) + e(k ° 2) T0

∑ ∏ T0 Td u(k) = u(k ° 1) + Kp e(k) ° e(k ° 1) + e(k ° 1) + (e(k) ° 2e(k ° 1) + e(k ° 2)) Ti T0 onde: Kp [e(k) ° e(k ° 1)] , Termo proporcional ∑ ∏ T0 Kp e(k ° 1) , Termo integral Ti ∑ ∏ Td Kp (e(k) ° 2e(k ° 1) + e(k ° 2)) , Termo derivativo T0 Solu¸ c˜ oes poss´ıveis: quando e(k) ´e muito elevado, opta-se por: i. Substituir no termo derivativo, e(k) por °y(k), resultando: Kp

∑

∏ Td (°y(k) + 2y(k ° 1) ° y(k ° 2)) , Termo derivativo corrigido T0

ii. Substituir no termo proporcional, e(k) por °y(k), resultando: Kp [°y(k) + y(k ° 1)] , Termo proporcional corrigido iii. ou ent˜ao, usar aproxima¸c˜oes mais suaves para a 1a derivada: ∑ ∏ Td Kp (e(k) + 2e(k ° 1) + 6e(k ° 2) + 2e(k ° 3) + e(k ° 4)) 6T0

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

191

13

Projecto de controladores digitais via m´ etodo directo

Passos habituais no projecto de um controlador digital pela abordagem do m´ etodo directo: 1. Determinar as especifica¸c˜oes de desempenho no dom´ınio do tempo discreto (em Z). 2. Projectar o controlador digital, Gc (z), que garanta as especifica¸c˜ oes pretendidas para o anel de controlo: • Projecto no dom´ınio do tempo (LGR no plano Z). X

• Projecto no dom´ınio da frequˆencia: an´ alise de estabilidade via crit´erio de estabilidade de Nyquist no plano Z. (fora do ˆ ambito desta disciplina). 3. Avaliar o desempenho do anel de controlo digital e, caso seja necess´ario, alterar T0 (novas especifica¸c˜oes de desempenho em Z) e/ou o controlador digital, Gc (z).

13.1

Especifica¸co ˜es de desempenho em Z

Seja o seguinte sistema de controlo digital:

R(z)

- m °

E(z)

- Gc (z)

U (z)

-

HGp (z)

Y (z) -

6

• No regime estacion´ ario: precis˜ao do anel fechado via c´alculo dos erros estacion´arios de posi¸c˜ao, velocidade e acelera¸c˜ao. • No regime transit´ orio: tempo de pico, m´aximo de sobreimpulso, tempo de estabelecimento, tempo de crescimento (ou, frequˆencia de corte, largura de banda, pico de ressonˆancia, etc...).

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

192

13.1.1

Especifica¸co ˜es de desempenho no regime transit´ orio

Quest˜ ao: como traduzir especifica¸c˜oes de desempenho no dom´ınio do tempo cont´ınuo, plano S, para o dom´ınio do tempo discreto, plano Z? Os p´olos em S s˜ao mapeados para o plano Z atrav´es da rela¸c˜ ao: z = esT0

ou seja: • A frequˆencia natural de um p´olo em S ´e mapeada para o ˆangulo do p´olo no plano Z, em p 2 coordenadas polares: µ = !d T0 , onde !d = !n 1 ° ª . • A magnitude da parte real de um p´olo em S ´e mapeada para o raio do p´olo no plano Z: r = e°æT0 , onde æ = ª!n .

• Um linha de amortecimento constante no plano S ´e mapeada para uma espiral logar´ıtmica no plano Z.

Nota: a frequˆencia !n = º/T (com T ¥ T0 ) corresponde `a frequˆencia de Nyquist. Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

193

Rela¸ c˜ oes entre o plano S e o plano Z

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

194

Equivalˆ encia entre as respostas impulsionais nos planos S e Z:

1. Plano S

2. Plano Z

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

195

Exemplo: traduzir as seguintes especifica¸c˜ oes de desempenho para o plano Z. • Sobreimpulso, Mp ∑ 16%. • Tempo de estabelecimento, ts ∑ 10 segundos (crit´erio dos 1%). • Tempo de crescimento, tr ∑ 3.6 segundos. Solu¸ c˜ ao: 1. Traduzir as especifica¸c˜oes em termos dos parˆametros ª e !n : • Sobreimpulso: ª ∏ 0.5.

• Tempo de estabelecimento: æ = ª!n ∏ 4.6/10 = 0.46. • Tempo de crescimento: !n ∏ 1.8/3.6 = 0.5. 2. Representar a regi˜ao pretendida no plano S:

3. Representar a regi˜ao equivalente no plano Z (para um T0 qualquer):

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

196

13.1.2

Especifica¸co ˜es de desempenho no regime estacion´ ario

Seja o seguinte anel de controlo digital: R(z)

- m °

E(z)

U (z)

- Gc (z)

-

HGp (z)

Y (z) -

6

onde: e(kT0 ) = r(kT0 ) ° y(kT0 ) = Z °1 [E(z)] = Z °1 [R(z) ° Y (z)], erro de seguimento. A precis˜ ao do anel fechado ´e determinada aplicando o teorema do valor final em Z: ess =

lim e(kT0 ) = lim (1 ° z °1 )E(z) = ? Erro estacion´ ario em Z

k!+1

z!1

Desenvolvendo as equa¸c˜oes do diagrama de blocos:

E(z) =

R(z) 1 + Gc (z)HGp (z)

ou seja, o erro estacion´ ario ser´a dado por:

ess =

lim e(kT0 ) = lim (1 ° z

k!+1

z! 1

°1

∑

(1 ° z °1 )R(z) )E(z) = lim z!1 1 + Gc (z)HGp (z)

∏

Conclus˜ ao: de acordo com a express˜ao de cima, o valor estacion´ario do erro de seguimento depende da conjuga¸c˜ao de dois factores: 1. Referˆencia do sistema de controlo: R(z). 2. Fun¸c˜ao de transferˆencia do ramo directo: Gc (z)HGp (z). desde que o limite exista, i.e., desde que todos os p´olos da fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel fechado se encontrem dentro do c´ırculo unit´ario.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

197

Entrada degrau unit´ ario: R(z) =

ess =

z z°1

"

lim e(kT0 ) = lim (1 ° z °1 )E(z) = lim z! 1

k!+1

z!1

# z (1 ° z °1 ) z°1 1 = 1 + Gc (z)HGp (z) 1 + Kp

onde: Kp = Kp

lim Gc (z)HGp (z),

Coeficiente de erro est´ atico de posi¸ c˜ ao

z! 1

∑

(z + Æ1 )(z + Æ2 ) · · · = lim z! 1 (z ° 1) t (z + Ø1 )(z + Ø2 ) · · ·

∏

• Para Gc (z)HGp (z) do tipo 0: Kp =

(1 + Æ1 )(1 + Æ2 ) · · · , (1 + Ø1 )(1 + Ø2 ) · · ·

ess =

1 1 + Kp

)

Erro de seguimento constante.

• Para Gc (z)HGp (z) do tipo ∏ 1: Kp = 1,

Entrada rampa unit´ aria: R(z) =

ess =

lim (1 ° z

z! 1

°1

ess = 0

)

Seguimento perfeito.

T0 z (z°1)2

)E(z) = lim

z!1

"

T0 z (1 ° z °1 ) (z°1) 2

1 + Gc (z)HGp (z)

#

= lim

z!1

∑

∏ T0 1 = (z ° 1)Gc (z)HGp (z) Kv

onde: Kv = Kv

lim

z! 1

µ ∑

z°1 T0

∂

Gc (z)HGp (z),

Coeficiente de erro est´ atico de velocidade

(z ° 1)(z + Æ1 )(z + Æ2 ) · · · = lim z! 1 T0 (z ° 1) t (z + Ø1 )(z + Ø2 ) · · ·

∏

• Para Gc (z)HGp (z) do tipo 0: Kv = 0,

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

ess =

1 =1 0

)

Erro de seguimento infinito.

Controlo de Sistemas

198

• Para Gc (z)HGp (z) do tipo 1: Kv =

(1 + Æ1 )(1 + Æ2 ) · · · , T0 (1 + Ø1 )(1 + Ø2 ) · · ·

ess =

1 Kv

)

Erro de seguimento constante.

• Para Gc (z)HGp (z) do tipo ∏ 2: Kv = 1,

Entrada par´ abola unit´ aria: R(z) =

ess =

lim (1 ° z

z! 1

°1

2

)E(z) = lim 4 z!1

ess = 0

Seguimento perfeito.

)

T2 0 z(z+1) 2 (z°1)3

(1 ° z °1 )

T02 z z(z+1) 2 2(z°1)3

1 + Gc (z)HGp (z)

3

5 = lim

z!1

"

(z °

T02 (z+1) 2 1)2 Gc (z)HGp (z)

#

=

1 Ka

onde: Ka = Ka =

lim

z! 1

lim

z! 1

µ ∑

z°1 T0

∂2

Gc (z)HGp (z),

Coeficiente de erro est´ atico de acelera¸ c˜ ao

(z ° 1)2 (z + Æ1 )(z + Æ2 ) · · · T02 (z ° 1) t (z + Ø1 )(z + Ø2 ) · · ·

∏

• Para Gc (z)HGp (z) do tipo 0: Ka = 0,

ess =

1 =1 0

)

Erro de seguimento infinito.

ess =

1 =1 0

)

Erro de seguimento infinito.

• Para Gc (z)HGp (z) do tipo 1: Ka = 0,

• Para Gc (z)HGp (z) do tipo 2: Ka =

Controlo de Sistemas

(1 + Æ1 )(1 + Æ2 ) · · · , T02 (1 + Ø1 )(1 + Ø2 ) · · ·

ess =

1 Ka

)

Erro de seguimento constante.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

199

Conclus˜ ao: a precis˜ao do anel fechado depende da referˆencia que se pretende seguir, R(z), e do tipo da fun¸c˜ao de transferˆencia do ramo directo, Gc (z)HGp (z), i.e., do n´ umero de p´olos localizados em z = 1.

Degrau unit´ ario Rampa unit´ aria

Par´ abola unit´ aria

ess

2

z R(z) = z°1

T0 z R(z) = (z°1) 2

0 z(z+1) R(z) = T2(z°1) 3

Gc (z)HGp (z) tipo 0

1 1+Kp

1

1

Gc (z)HGp (z) tipo 1

0

1 Kv

1

Gc (z)HGp (z) tipo 2

0

0

1 Ka

Tabela 2: Erros estacion´arios num anel de realimenta¸ca˜o unit´ario

Kp = Kv = Ka =

lim Gc (z)HGp (z),

z! 1

lim

z! 1

lim

z! 1

µ µ

z°1 T0 z°1 T0

∂

Coeficiente de erro est´ atico de posi¸ c˜ ao

Gc (z)HGp (z),

∂2

Gc (z)HGp (z),

Coeficiente de erro est´ atico de velocidade Coeficiente de erro est´ atico de acelera¸ c˜ ao

Nota 1: com a excep¸c˜ao da entrada ao degrau, os erros estacion´arios dependem do valor do per´ıodo de amostragem, T0 : quanto maior for T0 , maior ser´a o valor do erro estacion´ario (se finito). Nota 2: em termos de resposta em frequˆencia, como z = ej!T0 , ent˜ ao z ! 1 implica !T0 ! 0, ou seja, o limite da curva de magnitudes quando ! ! 0 permite tamb´em concluir quanto ao valor do coeficiente de erro est´atico do sistema de controlo: Quanto mais elevada for a curva de magnitudes a baixa frequˆencia menor ser´ a o erro estacion´ ario!

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

200

13.2

O LGR no plano Z

Seja o seguinte anel de controlo digital: R(z)

- j +

E(z)

6 °

-

U(z)

Gc (z)

- HGp (z)

H(z)

Y(z)

-

æ

• Fun¸c˜ao de transferˆencia do anel fechado: Y (z) R(z)

=

Gc (z)HGp (z) 1 + Gc (z)HGp (z)H(z)

• Equa¸ c˜ ao caracter´ıstica do anel fechado: 1 + Gc (z)HGp (z)H(z) = 0 | {z } =KG(z)

1 + KG(z) = 0 ,

onde G(z) tem ganho unit´ario e K 2] ° 1, +1[.

Como a estrutura da equa¸c˜ao caracter´ıstica ´e idˆentica ao caso do sistema cont´ınuo no tempo: 1. As regras de constru¸ c˜ ao do LGR no plano Z s˜ ao idˆ enticas ` as do plano S. 2. A interpreta¸ c˜ ao da estabilidade do anel fechado faz-se relativamente ao c´ırculo unit´ ario. Sendo assim, um n´ umero complexo z § = a ± bj pertence ao LGR sse, para um determinado valor do ganho da FT do anel aberto, K, verificar simultaneamente as seguintes condi¸c˜ oes: |KG(z § )| = 1 Condi¸ c˜ ao de M´ odulo § ¢ KG(z ) = ±180± (2n + 1), n = 0, 1, 2, . . .

Condi¸ c˜ ao de Argumento

O LGR corresponde assim ao conjunto de pontos no plano Z que verificam simultaneamente as condi¸c˜ oes de m´odulo e de argumento, para diferentes valores do ganho K.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

201

13.2.1

Exemplo de projecto de controlador digital via LGR

Seja o seguinte anel de controlo digital. R(z) E(z) - j - Gc (z)

U (z) 1°e°T0 s s

6

°

Y (z) -

1 s+1

onde Gc (z) ´e um controlador digital do tipo integral, com K 2] ° 1, +1[: Gc (z) =

K Kz = 1 ° z °1 z°1

1. Tra¸car o LGR do sistema, considerando T0 = {0.5, 1, 2} segundos. 2. Determinar, para cada caso, o ganho cr´ıtico de estabilidade. 3. Determinar, para cada caso, a localiza¸c˜ ao dos p´olos do anel fechado para K = 2.

• Fun¸c˜ao de transferˆencia do anel aberto: Gc (z)HGp (z) =

µ

Kz z°1

∂

∑ ∏ z°1 1 Kz 1 ° e°T0 Z = z s(s + 1) z ° 1 z ° e°T0

• Equa¸ c˜ ao caracter´ıstica do anel fechado: 1 + KG(z) = 0 1+K

z(1 ° e°T0 ) (z ° 1)(z ° e°T0 )

£ § z 2 ° e°T0 (K + 1) + 1 ° K z + e°T0

= 0 = 0

• A an´ alise de estabilidade da FT do anel fechado faz-se aplicando o crit´erio de RouthHurwitz ao polin´omio resultante da transforma¸c˜ ao bilinear (ou aplicando directamente o crit´erio de Jury): P (z) = z n + a1 z n°1 + · · · + an°1 z + an z =

1+! , 1°!

Aproxima¸c˜ ao bilinear

P¯ (!) = (1 + !)n + a1 (1 + !)n°1 (1 ° !) + · · · + an (1 ° !)n

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

202

No nosso caso: P (z) = z 2 + a1 z + a2 ,

£ § 8 < a1 = ° e°T0 (K + 1) + 1 ° K :

a2 = e°T0

P¯ (!) = (1 ° a1 + a2 )! 2 + 2(1 ° a2 )! + a1 + a2 + 1 A estabilidade do anel fechado ´e garantida sse: 1 ° a1 + a2 > 0 ^ 2(1 ° a2 ) > 0 ^ a1 + a2 + 1 > 0 K<

°2(1 + e°T0 ) e°T0 ° 1

^

T0 > 0

^

K>0

ou seja, a gama de estabilidade para o parˆametro K depende da escolha de T0 : ∏ K 2 0 ,

°2(1 + e°T0 ) e°T0 ° 1

∑

• Considerando diferentes valores para T0 , o ganho cr´ıtico de estabilidade ´e: T0 ! 0 ) Kcr = +1, .. .

caso cont´ınuo!

T0 = 0.5 ) Kcr = 8.165 T0 = 1 ) Kcr = 4.328 T0 = 2 ) Kcr = 2.626 .. . T0 ! +1 ) Kcr = 2 • A localiza¸ c˜ ao dos p´ olos do anel fechado para K = 2: T0 = 0.5 ) z = 0.4098 ± 0.6623j

(ª = 0.24 , !n = 2.09 rad/s)

T0 = 2 ) z = °0.297 ± 0.2171j

(ª = 0.37 , !n = 1.35 rad/s)

T0 = 1 ) z = 0.0518 ± 0.6043j

(ª = 0.32 , !n = 1.56 rad/s)

rela¸c˜oes tiradas da rela¸c˜ao gen´erica para z = a ± bj: ª = !n =

Controlo de Sistemas

r

p x2 ° ln( a2 + b2 ) , x= 1 + x2 arctan (b/a) p ° ln( a2 + b2 ) T0 ª

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

203

LGR no plano Z

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

204

1. Efeito do per´ıodo de amostragem na resposta transit´ oria Fun¸c˜ao de transferˆencia do anel fechado: Y (z) R(z)

=

Kz(1 ° e°T0 ) (z ° 1)(z ° e°T0 ) + Kz(1 ° e°T0 )

Localiza¸ c˜ ao dos p´ olos do anel fechado para K = 2:

Donde resulta: RESPOSTA AO DEGRAU UNITÁRIO DO ANEL FECHADO: T0=0.5, 1 e 2 s. 1.8

1.6

1.4

Amplitude

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo (seg.)

Conclus˜ ao: para frequˆencias de amostragem pequenas, < 6 amostragens por ciclo de oscila¸c˜ ao, a estabilidade relativa deixa de poder ser inferida a partir do valor do coeficiente de amortecimento, ª, ao contr´ario do que acontece nos sistemas cont´ınuos.

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

205

2. Efeito do per´ıodo de amostragem na resposta estacion´ aria Considere-se uma entrada em rampa unit´aria: R(z) =

T0 z (z°1)2

O valor do erro estacion´ario de seguimento `a rampa: ess =

1 Kv

donde, para K = 2 vem:

Kv = lim

z!1

µ

z°1 T0

∂

Gc (z)HGp (z) = lim

z!1

µ

z°1 T0

∂

2z 1 ° e°T0 2 = °T 0 z°1z°e T0

ou seja: ess = 0.25, ess = 0.5, ess = 1,

para T0 = 0.5 s. para T0 = 1 s.

para T0 = 2 s.

RESPOSTA À RAMPA UNITÁRIA DO ANEL FECHADO: T0=0.5, 1 e 2 s. 10

9

8

7

Amplitude

6

5

4

3

2

1

0

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Tempo (seg.)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

206

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

207

A

Diagramas de blocos de sistemas cont´ınuos

Um diagrama de blocos ´e uma forma gr´afica simplificada de representar as rela¸c˜ oes entrada/sa´ıda de um sistema f´ısico.

A.1

Elementos b´ asicos

Os 4 elementos b´asicos de um diagrama de blocos s˜ao: 1. Seta: indica o sentido de fluxo de um dado sinal. a 2. Ponto soma: opera¸c˜ao alg´ebrica (soma, subtrac¸c˜ ao) dos sinais que confluem para o ponto soma. a

-+ i ° 6

a °b

b 3. Ponto de deriva¸ c˜ ao: separa¸c˜ ao do mesmo sinal em fluxos distintos. a a

a

-

4. Bloco: representa¸c˜ao b´asica da rela¸c˜ ao entrada/sa´ıda de um sistema.

U (s) -

G(s)

Y (s) -

onde a rela¸c˜ao do bloco ´e: Y (s) = G(s)U (s)

com: • G(s) - fun¸c˜ao de transferˆencia do sistema.

• U (s) - transformada de Laplace do sinal de entrada. • Y (s) - transformada de Laplace do sinal de sa´ıda.

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

208

A.2

Combina¸ c˜ oes especiais

Apresentam-se 3 combina¸c˜oes especiais de liga¸c˜ ao de blocos num diagrama de blocos: 1. Blocos em cascata. 2. Blocos em paralelo. 3. Forma can´onica de realimenta¸c˜ao.

Blocos em cascata

Seja o seguinte diagrama de blocos:

U (s) -

G1 (s)

X1 (s) -

X2 (s) - . . . XN°1 (s)GN (s)

G2 (s)

Y (s) -

Resolvendo, bloco a bloco: 8 X1 (s) = G1 (s)U (s) > > > < X2 (s) = G2 (s)X1 (s) .. > . > > : Y (s) = GN (s)XN °1 (s)

donde, a rela¸c˜ao entre U (s) e Y (s) ´e dada por:

Y (s) = GN (s) · · · G2 (s)G1 (s)U (s) Y (s) = G(s)U (s)

ou seja, N blocos em cascata s˜ao equivalentes a:

U (s) -

G(s)

Y (s) -

com:

G(s) =

N Y

Gi (s)

i=1

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

209

Blocos em paralelo

Seja o seguinte diagrama de blocos:

-

G1 (s)

-

G2 (s)

Y1 (s)

Y2 (s)

J + + J J ^ ? i Y (s) -

U (s)

+ 6

.. .

YN (s)

- GN (s)

Resolvendo, bloco a bloco: 8 Y1 (s) > > > < Y2 (s) > > > :

= G1 (s)U (s) = G2 (s)U (s) .. .

YN (s) = GN (s)U (s)

Substituindo estes termos na rela¸c˜ao alg´ebrica do ponto de soma: Y (s) = Y1 (s) + Y2 (s) + · · · + YN (s)

Y (s) = G1 (s)U (s) + G2 (s)U (s) + · · · + GN (s)U (s) Y (s) = [G1 (s) + G2 (s) + · · · + GN (s)] U (s) ou seja, N blocos em paralelo s˜ao equivalentes a: U (s) -

G(s)

Y (s) -

com:

G(s) =

N X

Gi (s)

i=1

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

210

Forma can´ onica de realimenta¸ c˜ ao

R(s) -+ i E(s) ® 6

B(s)

Y (s) -

G(s)

H(s)

æ

Defini¸c˜oes: • Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia do ramo directo: E(s) -

G(s)

Y (s) -

G(s) =

Y (s) E(s)

B(s) -

H(s) =

B(s) Y (s)

• Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia da realimenta¸ c˜ ao: Y (s) -

H(s)

• Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia do anel aberto: E(s) -

G(s)H(s)

B(s) -

G(s)H(s) =

Y (s) -

Y (s) R(s)

B(s) E(s)

• Fun¸ c˜ ao de transferˆ encia do anel fechado: R(s) -

Controlo de Sistemas

G(s) 1±G(s)H(s)

=

G(s) 1±G(s)H(s)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

211

A.3

Simplifica¸c˜ ao de diagramas de blocos

A simplifica¸c˜ao do diagrama de blocos pode ser efectuada recorrendo a um dos seguintes m´etodos, ou combina¸c˜ao deles: • M´etodo alg´ebrico. X • M´etodo de redu¸c˜ao gr´afica sucessiva. X • M´etodo dos grafos. Objectivo: simplificar o mais poss´ıvel um diagrama de blocos at´e se atingir, no limite e caso seja poss´ıvel, um u ´nico bloco. Nota que um dos efeitos resultantes da simplifica¸c˜ ao de um diagrama de blocos ´e o aumento da complexidade das fun¸c˜ oes de transferˆencia envolvidas.

M´ etodo alg´ ebrico

Procedimento: 1. Escrever as equa¸c˜oes alg´ebricas que descrevem cada elemento do diagrama de blocos (pontos soma, pontos de deriva¸c˜ao e blocos). 2. Manipular as equa¸c˜oes alg´ebricas anteriores eliminando as vari´ aveis interm´edias, por forma a obter a representa¸c˜ao pretendida, por exemplo, a fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel fechado.

Exemplo: aplicar o m´etodo alg´ebrico para determinar a fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel fechado do sistema correspondente `a representa¸c˜ ao can´onica de realimenta¸c˜ ao. R(s) -+ i E(s) ® 6

B(s)

Y (s) -

G(s)

H(s)

æ

• Bloco do ramo directo, G(s): Y (s) = G(s)E(s) • Bloco de realimenta¸c˜ao, H(s): B(s) = H(s)Y (s) • Ponto soma: E(s) = R(s) ® B(s) Por simples manipula¸c˜ao alg´ebrica: c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

212

Y (s) = G(s) [R(s) ® H(s)Y (s)]

Y (s) = G(s)R(s) ® G(s)H(s)Y (s)

Y (s) ± G(s)H(s)Y (s) = G(s)R(s) Y (s) [1 ± G(s)H(s)] = G(s)R(s)

ou seja, o sistema de controlo por realimenta¸c˜ao pode ser representado por um u ´nico bloco cuja fun¸c˜ ao de transferˆencia corresponde `a fun¸c˜ao de transferˆencia do anel fechado:

R(s) -

Y (s) -

G(s) 1±G(s)H(s)

Nota: deixa-se ao cuidado do leitor verificar que a fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel fechado ter´ a como zeros exactamente os zeros de G(s) e os p´ olos de H(s), e ter´ a tantos p´ olos quanto a soma do n´ umero de p´ olos de G(s) e de H(s).

Exemplo: aplicar o m´etodo alg´ebrico para determinar a fun¸ca˜o de transferˆencia do anel fechado do seguinte sistema de controlo por realimenta¸c˜ao com perturba¸c˜ ao no ramo directo. D(s) - perturba¸c˜ ao R(s) -+ i E(s) ° 6

+ -+ ? i

G1 (s)

H(s)

8 < Y (s) = G2 (s)[D(s) + G1 (s)E(s)] :

E(s) = R(s) ° H(s)Y (s)

donde:

-

G2 (s)

Y (s)-

æ

8 < Y (s) = G2 (s)[D(s) + G1 (s)(R(s) ° H(s)Y (s))] :

—

Y (s) = G2 (s)D(s) + G2 (s)G1 (s)R(s) ° G2 (s)G1 (s)H(s)Y (s) Y (s) =

Controlo de Sistemas

G1 (s)G2 (s) G2 (s) R(s) + D(s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s) 1 + G1 (s)G2 (s)H(s)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

213

Exemplo: aplicar o m´etodo alg´ebrico para determinar a fun¸c˜ ao de transferˆencia do anel fechado do seguinte sistema de controlo. (“An´alise de sistemas lineares”, Maria Isabel Ribeiro, IST-Press 2002, p´ag. 769) -

R(s) -+ iE(s) -+ iE1 (s) ° 6

+ 6

G1 (s)

H1 (s)

-

G4 (s)

U (s)

G3 (s)

-

Z(s)

G2 (s)

+ -+ ? i Y (s)-

æ

H2 (s)

æ

Sugest˜ ao: come¸car a descri¸c˜ao pela vari´ avel de sa´ıda do diagrama de blocos, Y (s). Y (s) = Z(s) + G2 (s)U (s) = G3 (s)U (s) + G2 (s)U (s) = [G2 (s) + G3 (s)] U (s) U (s) = G1 (s)G4 (s)E1 (s) = G1 (s)G4 (s) [E(s) + H1 (s)U (s)] = G1 (s)G4 (s)E(s) + G1 (s)G4 (s)H1 (s)U (s) desta u ´ltima equa¸c˜ao resulta a seguinte rela¸c˜ ao entre U (s) e E(s) (e, por sua vez, entre U (s) e Y (s)):

U (s) =

G1 (s)G4 (s) G1 (s)G4 (s) E(s) = [R(s) ° H2 (s)Y (s)] 1 ° G1 (s)G4 (s)H1 (s) 1 ° G1 (s)G4 (s)H1 (s)

Substituindo esta u ´ltima express˜ao na primeira obt´em-se a rela¸c˜ ao pretendida entre R(s) e Y (s):

Y (s) = [G2 (s) + G3 (s)]

G1 (s)G4 (s) [R(s) ° H2 (s)Y (s)] 1 ° G1 (s)G4 (s)H1 (s)

Y (s) =

[G2 (s) + G3 (s)] G1 (s)G4 (s) [G2 (s) + G3 (s)] G1 (s)G4 (s)H2 (s) R(s) ° Y (s) 1 ° G1 (s)G4 (s)H1 (s) 1 ° G1 (s)G4 (s)H1 (s)

Y (s) R(s)

[G2 (s) + G3 (s)] G1 (s)G4 (s) 1 ° G1 (s)G4 (s)H1 (s) + [G2 (s) + G3 (s)] G1 (s)G4 (s)H2 (s)

=

Conclus˜ ao: ´e poss´ıvel representar o sistema total atrav´es de um u ´nico bloco, embora a fun¸c˜ ao de transferˆencia resultante seja bastante mais complexa!

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

214

M´ etodo de redu¸ c˜ ao gr´ afica sucessiva O m´etodo de redu¸c˜ao gr´afica sucessiva consiste na aplica¸c˜ ao de um conjunto de regras alg´ebricas de manipula¸c˜ao de blocos que, ao serem aplicadas na ordem correcta, permitem a simplifica¸c˜ ao do diagrama de blocos original. (“Engenharia de Controle Moderno”, Katsuhiko Ogata, Prentice-Hall 1970)

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

215

Exemplo: aplicar o m´etodo de redu¸c˜ ao gr´afica sucessiva ao sistema de realimenta¸c˜ ao apresentado na p´agina 213.

R(s) -+ i ° 6

-+ i + 6

-

G1 (s)

H1 (s)

G4 (s)

-

G3 (s)

-

G2 (s)

+ -+ ? i Y (s) -

æ

H2 (s)

æ

Aplicando simultaneamente as Regras 5 e 13, resulta: R(s) -+ i

-

-

G1 (s)G4 (s) 1°H1 (s)G1 (s)G4 (s)

° 6

H2 (s)

G2 (s) + G3 (s)

Y (s)

-

æ

Donde, atrav´es da aplica¸c˜ao da Regra 13 resulta o diagrama de blocos totalmente simplificado:

R(s) -

G(s)

Y (s) -

com:

G(s) =

G(s) =

1+

G1 (s)G4 (s) 1°H1 (s)G1 (s)G4 (s) [G2 (s) + G3 (s)] G1 (s)G4 (s) 1°H1 (s)G1 (s)G4 (s) [G2 (s) + G3 (s)] H2 (s)

G1 (s)G4 (s) [G2 (s) + G3 (s)] 1 ° H1 (s)G1 (s)G4 (s) + G1 (s)G4 (s) [G2 (s) + G3 (s)] H2 (s)

Nota: como era de esperar, o resultado coincide com o apresentado anteriormente e obtido via m´etodo alg´ebrico. c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

216

Exemplo: aplicar o m´etodo de redu¸c˜ao gr´afica sucessiva ao seguinte sistema de realimenta¸c˜ ao.

(“Modern

Control Engineering (3rd Edition)”, K. Ogata., Prentice-Hall, Inc., 1997. p´ ag. 69)

H2 (s) R(s) -+ i ° 6

-+ i + 6

° -+ ? i

G1 (s)

H1 (s)

-

G2 (s)

-

Y (s) -

G3 (s)

æ

Aplicando a Regra 6, resulta: H2 (s) G1 (s)

R(s) -+ i ° 6

° -+ ? i

-+ i + 6

-

-

G1 (s)

H1 (s)

G2 (s)

-

G3 (s)

Y (s)-

-

G3 (s)

Y (s)-

æ

Aplicando sucessivamente a Regra 13, resulta: H2 (s) G1 (s)

R(s) -+ i ° 6

° -+ ? i

R(s) -+ i ° 6

-

G1 (s)G2 (s) 1°G1 (s)G2 (s)H1 (s)

-

G1 (s)G2 (s)G3 (s) 1°G1 (s)G2 (s)H1 (s)+G2 (s)G3 (s)H2 (s)

Y (s) -

donde, finalmente resulta o diagrama de blocos simplificado: R(s) -

Controlo de Sistemas

G1 (s)G2 (s)G3 (s) 1°G1 (s)G2 (s)H1 (s)+G2 (s)G3 (s)H2 (s)+G1 (s)G2 (s)G3 (s)

Y (s) -

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

217

B

Diagrama de blocos de sistemas discretos

Problema: a determina¸c˜ao da fun¸c˜ao de transferˆencia de um diagrama de blocos contendo elementos discretos em cascata, ´e fun¸c˜ao da localiza¸c˜ ao f´ısica do elemento amostrador.

Exemplo1: considere o seguinte sistema discreto, com T0 o per´ıodo de amostragem s´ıncrono:

T0

u(t)

? ° s° s

T0

u§ (t) -

G(s)

? y(t) s°°s

y § (t) -

- G(z) = Y (z) = ? U (z)

Desenvolvendo: y(t) = g(t)u§ (t) #

aplicando a T L

Y (s) = G(s)U § (s) #

aplicando o operador amostrador

Y § (s) = (G(s)U § (s))§ Y § (s) = G§ (s)U § (s), #

pois U § (s) j´a est´a amostrado!

aplicando a T Z

Y (z) = G(z)U (z)

donde, a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta, G(z), ´e dada por:

G(z) =

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Y (z) U (z)

Controlo de Sistemas

218

B.1

Fun¸co ˜es de transferˆ encia de configura¸co ˜es em s´ erie

Configura¸ c˜ ao 1:

T0

u(t)

? ° s° s

T0

u§ (t) -

G1 (s)

y1 (t) -

G2 (s)

y2 (t)

? ° s° s

y2§(t)

- G(z) = Y2 (z) = ? U (z)

Desenvolvendo: y2 (t) = g2 (t)y1 (t) = g2 (t)g1 (t)u§ (t) #

aplicando a T L

Y2 (s) = G1 (s)G2 (s)U § (s) #

aplicando o operador amostrador

Y2§ (s) = (G1 (s)G2 (s)U § (s))§ Y2§ (s) = (G1 (s)G2 (s))§ U § (s) #

aplicando a T Z

Y2 (z) = Z {G1 (s)G2 (s)} U (z) Y2 (z) = G1 G2 (z)U (z) donde, a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta, G(z), ´e dada por:

G(z) =

Controlo de Sistemas

Y2 (z) = G1 G2 (z) = Z {G1 G2 (s)} U (z)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

219

Configura¸ c˜ ao 2:

T0

u(t)

? ° s° s

T0

u§ (t) -

G1 (s)

? y1 (t) s°°s y1§ (t) -

T0

G2 (s)

y2 (t)

? ° s° s

y2§(t)

- G(z) = Y2 (z) = ? U (z)

Desenvolvendo: 8 < y2 (t) = g2 (t)y1§ (t) :

y1 (t) = g1 (t)u§ (t) # aplicando a T L

8 < Y2 (s) = G2 (s)Y1§ (s) :

Y1 (s) = G1 (s)U § (s)

# aplicando o operador amostrador

8 § § < Y2 (s) = (G2 (s)) Y1§ (s) :

Y1§ (s) = (G1 (s))§ U § (s)

# aplicando a T Z 8 < Y2 (z) = G2 (z)Y1 (z) :

Y1 (z) = G1 (z)U (z)

donde, a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta, G(z), ´e dada por:

G(z) =

Y2 (z) = G1 (z)G2 (z) U (z)

6=

G1 G2 (z)

Conclus˜ ao: a coloca¸c˜ao do amostrador entre os blocos G1 (s) e G2 (s) alterou a fun¸c˜ ao de transferˆencia!

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

220

B.2

Fun¸co ˜es de transferˆ encia de configura¸co ˜es em anel fechado

Exemplo1: seja a seguinte configura¸c˜ao cl´assica de um anel de controlo digital:

T0

? ∂≥ ° r(t) e(t) s° s e§ (t)µ¥ ° 6

T0

u§ (t)-

Gc (z)

1°e°T0 s s

u(t)-

y(t)

Gp (s)

? ° y § (t) s° s -

Determinar a fun¸c˜ao de transferˆencia discreta que relaciona C(z) com R(z). Desenvolvimento:

donde:

8 Y (s) = HGp (s)U § (s) > > > > < U § (s) = Gc (z)E § (s) > > > > : E(s) = R(s) ° HGp (s)U § (s)

8 Y (z) = HGp (z)U (z) > > > > < U (z) = Gc (z)E(z) > > > > : E(z) = R(z) ° HGp (z)U (z)

U (z) = Gc (z) [R(z) ° HGp (z)U (z)] Y (z) R(z)

=

,

U (z) =

Gc (z)R(z) 1 + Gc (z)HGp (z)

Gc (z)HGp (z) 1 + Gc (z)HGp (z)

Exemplo2: e se troc´assemos a posi¸c˜ao do amostrador?

∂≥ r(t) e(t) µ¥ ° 6

T0

Gc (s)

? ° u(t) ° s s

T0

u§ (t)-

1°e°T0 s s

u(t)-

Gp (s)

y(t)

? ° y § (t) s° s -

Quest˜ ao: como se relaciona neste caso Y (z) com R(z)?

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

221

Desenvolvimento: 8 Y (s) = HGp (s)U § (s) > > > > < U (s) = Gc (s)E(s) > > > > : E(s) = R(s) ° HGp (s)U § (s)

aplicando a transformada Z:

resulta:

8 — > > > > < U (s) = Gc (s)R(s) ° Gc (s)HGp (s)U § (s) > > > > : —

8 Y (z) = HGp (z)U (z) > > > > < U (z) = Gc R(z) ° Gc HGp (z)U (z) > > > > : —

U (z) =

Gc R(z) 1 + Gc HGp (z)

Y (z) =

HGp (z)Gc R(z) 1 + Gc HGp (z)

donde, finalmente:

Conclus˜ oes: • N˜ao foi poss´ıvel estabelecer a fun¸c˜ ao de transferˆencia que relaciona Y (z) com R(z). • A resposta do sistema depende do instante de amostragem em que o sinal de entrada ´e aplicado. • O sistema ´e variante no tempo. • Contudo, ´e ainda poss´ıvel aplicar as t´ecnicas do LGR em Z, ou o crit´erio de estabilidade de Nyquist), para a an´alise de estabilidade do sistema a entradas espec´ıficas (degraus, rampas ou sinus´oides).

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

222

Configura¸ c˜ oes t´ıpicas de sistemas de controlo discreto em anel fechado

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

223

Exemplo: seja o seguinte sistema de controlo digital.

w(t) T0

? ∂≥ ° e(t) ° e§ (t)s s µ¥ ° 6

T0

Gc (z)

? u§ (t)s°° su§ (t) -

+ ∂≥ ? µ¥

T0

+

ZOH c

e2 (t)

Gp (s)

c

? ° y § (t) s ° s -

e1 (t)

1. Verifique se ´e poss´ıvel descrever a fun¸c˜ ao de transferˆencia Y (z)/W (z). 2. Determine a transformada Z de e1 e e2 , em fun¸c˜ ao da perturba¸c˜ ao w. 3. Repita as al´ıneas anteriores mas considerando agora a perturba¸c˜ ao, w, amostrada e retida por um ZOH antes de ser aplicada ao sistema. Desenvolvendo o diagrama de blocos: 8 Y (s) > > > > > > > > E1 (s) > > > > < E2 (s) > > > > > § > > > U (s) > > > > : E(s)

8 Y (s) = Gp (s) [W (s) + H(s)U § (s)] > > > > > > > W (s) + E2 (s) > — > > > > < H(s)U § (s) — > > > > > > > Gc (z)E § (s) > — > > > > : °Y (s) E(s) = °Gp (s) [W (s) + H(s)U § (s)]

= Gp (s)E1 (s) = = = =

Aplicando a transformada Z:

8 Y (z) = Gp W (z) + HGp (z)U (z) > > > > < U (z) = Gc (z)E(z) > > > > : E(z) = °Gp W (z) ° HGp (z)U (z)

Donde:

8 — > > > > < U (z) = Gc (z) [°Gp W (z) ° HGp (z)U (z)] > > > > : —

U (z) = °Gc (z)Gp W (z) ° Gc (z)HGp (z)U (z) U (z) = °

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Gc (z)Gp W (z) 1 + Gc (z)HGp (z)

Controlo de Sistemas

224

Tiram-se as seguintes rela¸c˜oes:

Y (z) = Gp W (z) ° E1 (z) = W (z) ° E2 (z) = °

Gc (z)Gp W (z)HGp (z) 1 + Gc (z)HGp (z)

H(z)Gc (z)Gp W (z) 1 + Gc (z)HGp (z)

H(z)Gc (z)Gp W (z) 1 + Gc (z)HGp (z)

Conclus˜ ao: n˜ao ´e poss´ıvel encontrar a fun¸c˜ao de transferˆencia que relaciona Y (z), E1 (z) e E2 (z) com a perturba¸c˜ao, W (z). Para o caso em que a perturba¸c˜ ao, w, ´e amostrada e retida por um ZOH antes de ser aplicada ao sistema:

w(t) s @ æ @ s

T0

w§ (t)

?

ZOH T0

? ∂≥ ° e(t) ° e§ (t)s s µ¥ ° 6

T0

Gc (z)

? u§ (t)s°° su§ (t) -

+ ∂≥ ? µ¥

T0

+

ZOH c

e2 (t)

c

Gp (s)

? ° y § (t) s ° s -

e1 (t)

Demonstra-se que:

Controlo de Sistemas

Y (z) W (z)

=

HGp (z) 1 + Gc (z)HGp (z)

E1 (z) W (z)

=

H(z) 1 + Gc (z)HGp (z)

E2 (z) W (z)

= °

H(z)Gc (z)HGp (z) 1 + Gc (z)HGp (z)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

225

C

Resposta de sistemas de segunda ordem

Considere-se o seguinte sistema de segunda ordem puro com ganho est´atico unit´ario: G(s) =

!n2 s2 + 2ª!n s + !n2

A localiza¸c˜ao no plano complexo dos p´olos do sistema depende do valor do coeficiente de amortecimento (ª) e da frequˆencia natural (!n ): p p °2ª!n ± 4ª 2 !n2 ° 4!n2 p1,2 = = °ª!n ± !n ª 2 ° 1 2

C.1

Resposta ao degrau unit´ ario

• Caso ª = 0, o sistema encontra-se no limite de estabilidade: y(t) = 1 ° sin(!n t +

º ) = 1 ° cos(!n t) 2

2

1.8

1.6

1.4

Saída

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0 ωnt

• Caso 0 < ª < 1, o sistema exibe um comportamento subamortecido:

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

226

Defini¸ c˜ oes: - Tempo de subida (tr ) Intervalo de tempo que a resposta demora a passar entre 0% a 90% do seu valor final. Nos sistemas subamortecidos considera-se por vezes os valores 10% a 100% do valor final, resultando: p 1°ª 2 º ° arctan ª p tr = !n 1 ° ª 2 - Tempo de pico (tp ) Tempo que a resposta leva at´e atingir o seu valor m´aximo: tp =

º p !n 1 ° ª 2

- M´ aximo de sobreimpulso (Mp ) Valor m´aximo da resposta, descrito em % do seu valor final: °p

Mp = e

ª

1°ª2

º

Rela¸c˜ao entre o m´aximo sobreimpulso (Mp ), e o coeficiente de amortecimento (ª): 1

0.9

0.8

0.7

M

p

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5 ξ

0.6

0.7

0.8

0.9

1

- Tempo de estabelecimento (ts ) Tempo que a resposta leva at´e atingir o regime estacion´ario, definido consoante o crit´erio: ts = ts =

Controlo de Sistemas

4 ª!n 3 ª!n

, crit´erio dos 2% , crit´erio dos 5%

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

227

Rela¸ c˜ ao entre a localiza¸ c˜ ao dos p´ olos complexos conjugados e a resposta temporal a num sistema de 2 ordem 1) Varia¸c˜ao do parˆametro ª para !n constante:

Nota: o m´aximo de sobreimpulso (Mp ), a frequˆencia natural amortecida (!d , n´ umero de oscila¸c˜oes da resposta at´e atingir o regime estacion´ario) e o tempo de estabelecimento (ts ), v˜ao diminuindo `a medida que ª aumenta.

2) Varia¸c˜ao do parˆametro !n para ª constante:

Nota: o m´aximo de sobreimpulso (Mp ) mant´em-se constante, ao passo que o tempo de subida (tr ) e o tempo de estabelecimento (ts ) diminuem `a medida que !n aumenta.

(Figuras tiradas de “An´ alise de sistemas lineares”, Maria Isabel Ribeiro, IST-Press 2002, p´ ag. 182. Reprodu¸ c˜ ao proibida.)

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

228

3) Varia¸c˜ao da parte imagin´aria mantendo constante a parte real:

Nota: o tempo de estabelecimento (ts ) mant´em-se constante, o sobreimpulso (Mp ) e a frequˆencia natural amortecida (!d ) aumentam, e o tempo de subida (tr ) diminui, `a medida que a componente imagin´aria aumenta.

4) Varia¸c˜ao da parte real mantendo constante a parte imagin´aria:

Nota: a frequˆencia natural amortecida (!d ) e o tempo de subida (tr ) mantˆem-se constantes, ao passo que o tempo de estabelecimento (ts ) e o m´aximo de sobreimpulso (Mp ) diminuem `a medida que o m´odulo da parte real aumenta.

(Figuras tiradas de “An´ alise de sistemas lineares”, Maria Isabel Ribeiro, IST-Press 2002, p´ ags. 182 e 183. Reprodu¸ c˜ ao proibida.)

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

229

• Caso ª = 1, o sistema apresenta um comportamento do tipo amortecimento cr´ıtico: y(t) = 1 ° e°!n t (1 + !n t)

1

Saída

0.8

0.6

0.4

0.2

0 ωnt

Nota: desaparece a caracter´ıstica sinusoidal da resposta, ou seja, esta deixa de ser oscilat´oria e passa a ser do tipo exponencial. • Caso ª > 1, o sistema ´e sobreamortecido: !n

y(t) = 1 + p 2 ª2 ° 1

µ

e°p1 t e°p2 t ° p1 p2

∂

onde, °p1 e °p2 s˜ao os p´olos reais e distintos do sistema: p °p1 = °ª!n ° !n ª 2 ° 1 p °p2 = °ª!n + !n ª 2 ° 1 1

ξ=1 ξ=3

Saída

0.8

0.6

ξ=5

0.4

0.2

0 ω t n

Nota: para coeficientes de amortecimento ª ∏ 1, a derivada da resposta na origem ´e dada por: Ø dy(t) ØØ =0 dt Øt=0 c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

230

C.2

Resposta em frequˆ encia

Fun¸c˜ao de transferˆencia de um sistema de segunda ordem puro, substituindo s = j!:

G(j!) =

!n2 (j!)2 + 2ª!n j! + !n2

Representa¸c˜ao em frequˆencia via diagrama de Bode.

Curva de magnitudes: Ø Ø 2 Ø Ø ! n Ø 20 log10 |G(j!)| = 20 log10 ØØ 2 2 (j!) + 2ª!n j! + !n Ø sµ ∂ µ ∂ !2 2 ! 2 = °20 log10 1° 2 + 2ª !n !n Para baixas frequˆencias, ! ø !n : 20 log10 |G(j!)| = °20 log10

p

1 + 0 = 0 dB

Para altas frequˆencias, ! ¿ !n : 20 log10 |G(j!)| = °40 log10

µ

! !n

∂

dB

Curva de fases:

onde:

arg[G(j!)] = arg[1] ° arg[(j!/!n )2 + 2ªj!/!n + 1] 0 1 ! B 2ª !n C = ° arctan @ ≥ ¥2 A 1 ° !!n ! ø !n : arg[G(j!)] = 0± ! = !n : arg[G(j!)] = ° arctan ! ¿ !n : arg[G(j!)] = °180±

Controlo de Sistemas

µ

2ª 0

∂

= °90±

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

231

Resposta em frequˆ encia de sistema com 2 p´ olos complexos conjugados

40

ξ=0.01 Ganho [dB]

20

ξ=0.1 ξ=0.2

0

ξ=0.4 −20

ξ=0.6

−40

ξ=0.9

w/wn Frequência [rad/s]

Fase [°]

0

−90

ξ=0.01 ξ=0.1 ξ=0.2

ξ=0.4 ξ=0.6 ξ=0.9

−180

w/wn Frequência [rad/s]

Frequˆ encia de ressonˆ ancia (!r ) Valor da frequˆencia para a qual a curva de magnitudes atinge o seu m´aximo: p !r = !n 1 ° 2ª 2 , 0 ∑ ª < 0.707 Nota: a frequˆencia natural, !n , ´e sempre superior `a frequˆencia de ressonˆancia, excepto quando ª = 0, situa¸c˜ao em que os p´olos se encontram sobre o eixo imagin´ario e !r = !n .

Pico de ressonˆ ancia (Mr ) Valor m´aximo da curva de magnitudes: p Mr = 20 log10 |G(j!r )| = 20 log10 (2ª 1 ° ª 2 )°1 , 0 ∑ ª < 0.707 Fase de ressonˆ ancia (¡r ) Valor da fase na frequˆencia de ressonˆancia, !r : p ¡r = arg[G(j!r )] = °90± + arcsin(ª/ 1 ° ª 2 ) , 0 ∑ ª < 0.707 c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

232

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

233

D

Tabela com transformadas de Laplace e Z Fun¸ c˜ ao tempo g(t)

Transformada L G(s)

Transformada Z G(z)

±(t)

1

1

±(t ° kT0 )

e°kT0 s

z °k

1(t)

1 s

z z°1

bk

1 s° T1 ln b

z z°b

t

1 s2

T0 z (z°1)2

t2 2

1 s3

T02 z(z+1) 2(z°1)3

1 3 3! t

1 s4

T03 z(z 2 +4z+1) 6 (z°1)4

e°at

1 s+a

z z°e°aT0

te°at

1 (s+a)2

T0 ze°aT0 (z°e°aT0 )2

1 2 °at 2t e

1 (s+a)3

T02 °aT0 z(z+e°aT0 ) 2 e (z°e°aT0 )3

1 ° e°at

a s(s+a)

z(1°e°aT0 ) (z°1)(z°e°aT0 )

s2 (s+a)

a

z[(aT0 °1+e°aT0 )z+(1°e°aT0 °aT0 e°aT0 )] a(z°1)2 (z°e°aT0 )

b°a (s+a)(s+b)

(e°aT0 °e°bT0 )z (z°e°aT0 )(z°e°bT0 )

0

t°

1°e°at a

e°at ° e°bt

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas

234

Fun¸ c˜ ao tempo g(t)

Transformada L G(s)

Transformada Z G(z)

(1 ° at)e°at

s (s+a)2

z[z°e°aT0 (1+aT0 )] (z°e°aT0 )2

1 ° (1 + at)e°at

a2 s(s+a)2

be°bt ° ae°at

(b°a)s (s+a)(s+b)

z[z(b°a)°(be°aT0 °ae°bT0 )] (z°e°aT0 )(z°e°bT0 )

sin(at)

a s2 +a2

z sin(aT0 ) z 2 °2 cos(aT0 )z+1

cos(at)

s s2 +a2

z(z°cos(aT0 )) z 2 °2 cos(aT0 )z+1

e°aT0 sin(bt)

b (s+a)2 +b2

ze°aT0 sin(bT0 ) z 2 °2e°aT0 cos(bT0 )z+e°2aT0

e°aT0 cos(bt)

s+a (s+a)2 +b2

z(z°e°aT0 cos(bT0 )) z 2 °2e°aT0 cos(bT0 )z+e°2aT0

a2 +b2 s[(s+a)2 +b2 ]

z(Az+B) (z°1)(z 2 °2e°aT0 cos(bT0 )z+e°2aT0

° 1 ° e°at cos(bt) +

1 ab

+

e°at a(a°b)

+

a b

¢ sin(bt)

e°bt b(b°a)

z z°1

°

z z°e°aT0

°

aT0 e°aT0 z (z°e°aT0 )2

A = 1 ° e°aT0 cos(bT0 ) ° ab e°aT0 sin(bT0 ) B = e°2aT0 + ab e°aT0 sin(bT0 ) ° e°aT0 cos(bT0 ) z(Az+B) (z°e°aT0 )(z°e°bT0 )(z°1)

1 s(s+a)(s+b)

b(1°e°aT0 )°a(1°e°bT0 ) ab(b°a) ae°aT0 (1°e°bT0 )°be°bT0 (1°e°aT0 ) ab(b°a)

A= B=

Controlo de Sistemas

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

235

D.1

Tabela com transformadas Z com e sem ZOH

z°1 z

G(s) s

i

G(s)

G(z) = Z [G(s)]

1 s

z z°1

T0 z°1

1 s2

T0 z (z°1)2

T02 (z+1) 2(z°1)2

1 s3

T02 z(z+1) (z°1)3

T03 (z 2 +4z+1) 6(z°1)3

1 s4

T03 z(z 2 +4z+1) 6(z°1)4

T04 (z 3 +11z 2 +11z+1) 24(z°1)4

1 s+a

z z°e°aT0

(1°e°aT0 ) a(z°e°aT0 )

1 (s+a)2

T0 ze°aT0 (z°e°aT0 )2

(1°e°aT0 (1+aT0 ))z+e°aT0 (e°aT0 °1+aT0 ) a2 (z°e°aT0 )2

1 (s+a)(s+b)

(e°aT0 °e°bT0 )z 1 (b°a) (z°e°aT0 )(z°e°bT0 )

1 Az+B ab(a°b) (z°e°aT0 )(z°e°bT0 )

HG(z) =

Z

h

A = a ° b ° ae°bT0 + be°aT0

B = (a ° b)e°(a+b)T0 ° ae°aT0 + be°bT0

c Miguel Ayala Botto, 2006 ∞

Controlo de Sistemas