K1 Teorija

  • Uploaded by: БажеАрсов
  • 0
  • 0
  • February 2021
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View K1 Teorija as PDF for free.

More details

  • Words: 9,384
  • Pages: 32
Loading documents preview...
Материјали за теоретскиот испит по Калкулус 1 Дополнителни часови по Калкулус 1 070 255-791/[email protected]

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Прв колоквиум 1. Дефиниција на функција Деф. Ако променливата у зависи од променливата х, така што на секоја вредност на х и одговара единствена вредност на у, велиме дека у е функција од х. Деф. Функција е правило кое на секој влез х придружува единствен излез у. Деф. Нека множеството D c R. Функција f од D во R е пресликување на множеството D во множеството R, така што на секој ∈ му се придружува единствен реален број у. Со ова е зададена реална функција од една реална променлива. : → D – домен/дефинициона област на функција R – ранг/ кодомен/ опсег/ множество вредности на функција = ( )

х – независна променлива У – зависна променлива

Доколку доменот на функцијата не е експлицитно наведен, се смета дека доменот на функцијата се состои од сите вредности на х за кои у прима реална вредност. Овој домен се нарекува природен домен на функцијата. Деф. Две функции ( ) и ( ) се еднакви ако имаат исти домени = и ако ∀ ∈ => ( ) = ( ) Начини на претставување на функција:  Бројно – со табела  Геометриски – со график

=

= , имаат исти ранг

• Описно • Алгебарски – со формула

Тест со вертикални прави: Некоја крива е график на некоја функција, ако секоја вертикална права ја сече кривата во најмногу една точка. Експлицитно зададени функции: Една функција е зададена експлицитно доколку формулата со која е зададена функцијата се менува во зависност од делот од доменот на кој припаѓа х. Пр.

0, ≤ −1 ( ) = √1 − , − 1 ≤ ≤ 1 , ≥ 1

Апсолутна вредност на реален број , ≥ 0 | |= − , < 0

Својства на апсолутната вредност 1. – = | | 2. | | = | || | 3. | |=

| | | |

, ≠ 0

4. | + | ≤ | | + | | Правило на триаголник 5.



= | | !!!

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 2

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

2. Добивање нови функции од стари Аритметички операции со функции Деф. Нека се зададени функциите ( ) и ( ) на домените на = ∩ постојат на следните функции: 1. ( + )( ) = ( ) + ( ) 2. ( − )( ) = ( ) − ( ) 3. ( ∙ )( ) = ( ) ∙ ( ) ( ) ( )= 4. , ( ) ≠ 0

и

соодветно. Тогаш следи дека

( )

Композиција на функциите и е функција која се дефинира на следниот начин:  Композиција на од ( ° )( ) = ( ) , ° = ∈ ( ) ∈ }  Композиција на g од ( ° )( ) = ( ) , ° = ∈ ( ) ∈ } ( ° )( ) ≠ ( ° )( )

Транслација = ( ) + - поместување по у оска за с единици нагоре = ( ) − - поместување по у оска за с единици надоле

= ( + ) -поместување по x оска за с единици лево = ( − ) -поместување по x оска за с единици десно

Рефлексија

= (− ) - рефлексија во однос на у-оска = − ( ) - рефлексија во однос на х-оска

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 3

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Развлекување и компресија = >1

0<

( )

- развлекува вертикално за с

< 1 - компресира вертикално за c = ( )

>1 - компресира по х-оска за с 0 < < 1 - растегнува по х-оска за c

Симетричност и парност  Симетричност во однос на х-оска: Кривата е симетрична во однос на х-оската ако за секоја точка (х,у) од кривата важи дека и точката (х, -у) припаѓа на кривата. Оваа крива не претставува график на функција, бидејќи нема да го помине тестот со вертикални прави



Симетричност во однос на у-оска: Графикот на функцијата е симетричен во однос на у-оската ако за секоја точка (х,у) од графикот, важи дека и точката (-х, у) припаѓа на графикот. Овие функции за кои важи (− ) = ( ) се нарекуват парни функции.



Симетричност во однос на координатен почеток: Графикот на функцијата е симетричен во однос на координатниот почеток ако за секоја точка (х,у) од графикот, важи дека и точката (-х,-у) припаѓа на графикот. Овие функции за кои важи (− ) = − ( ) се нарекуват непарни функции.

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 4

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

3. Фамилии функции Фамилии криви Параметри се константи во формулата на функцијата кои може да се меенуваат, при што се добиваат фамилии криви.

( )= c – се менува

Функции со степен = 1. P ∈ , > 0 =>

= + b –фиксно, m – се менува

= + m –фиксно, b – се менува

=



p – парен број o Функциите се парни – симетрични во однос на у-оска o Нивниот график поминува низ точките (0,0), (1,1), (1,1) o Сите графици се слични на графикот на =



p-непарен број o Функциите се непарни – симетрични во однос на координатниот почеток o Нивниот график поминува низ точките (0,0), (1,1), (-1,-1) o Сите графици се слични на графикот на =

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 5

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

2.

∈ , > 0 => = = o Дефинициона област: ∈ \{0} o Во х=0 има прекин, бидејќи = ∞ 

p-парен број o Функциите се парни – симетрични во однос на у-оска o Нивниот график поминува низ точките (1,1), (-1,1) o Сите графици се слични на графикот на =



p-непарен број o Функциите се парни – симетрични во однос на координатниот почеток o Нивниот график поминува низ точките (1,1), (-1,-1) o Сите графици се слични на графикот на =

Функции со степен реален број



,

= => =

=

=





p-парен број o Дефинициона област: ≥ 0 o Пример = √



p-непарен број o Нема ограничување за дефиниционата област o Пример = √

Рационални функции o o

=

( ) ( )

P(x) и Q(x) се полиномни функции Функциите имаат прекин за оние вредности на х за кои Q(x)=0

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 6

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Тригонометриски функции од обликот = ( + ) и = ( + )  Параметар А – ја растегнува или компресира функцијата по у-оска o А>1 ја растегнува функцијата o 0


Параметар В – ја растегнува или компресира функцијата по х-оска o В rel="nofollow">1 ја компресира функцијата o 0<В <1 ја растегнува функцијата Параметар С Трансформација на функцијата во облик

=

sin[

o

< 0 функцијата се поместува десно по х-оска за

o

>0 функцијата се поместува лево по х-оска за

+

]

=

cos [

+

]

единици единици

Експоненцијални функции = o Поминувааат низ точката (0,1) o За > 1, функцијата = е растечка o За 0 < < 1, функцијата = е опаднувачка o За = 1, функцијата = е константна o Дефинициона област: ∈ (−∞, +∞) o Ранг: ∈ (0, +∞)

Логаритамски функции

o log

=

= <=>

=

Дефинициона област: ∈ (0, +∞) Ранг: ∈ (−∞, +∞) o Aко > 0 и ≠ 1 функциите и log o o

се

инверзни

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 7

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Природен логаритам со е o = ln x <=> = o Неколку поважни примери = е= =−



е



е =

Важни и често користени особини = =

= =

 Својства на логаритмирањето Ако > 0, ≠ 1, > 0, > 0, ∈ 1. ( )= + 2.

( )=

3.

(

4.

( )=−

5.

=



)=

Прави равенка на права =

+ R

равенка на права низ две точки −

=

( −

)

коефициент на правец на права (не зависи од изборот на точките) =

Q

y2

y2 - y1

y- y1

S

T

P

y1 α

x1

=

x2

> 0 - правата е пострмна = 0 - правата е паралелна со х-оска < 0 - правата опаѓа Теорема: Нека и се прави со зададени правци 1. || ако и само ако = 2. ⊥ ако и само ако = −1, т.е. =

Контакт: 070 255-791/[email protected]

и

Page 8

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

4. Лимеси. Интуитивен пристап Деф. Ако вредноста на ( ) е се поблиску до L, кога вредностите на х се доволно блиску до , тогаш L е лимес на функцијата ( ) кога х тежи кон . lim ( ) = →

Деф. Ако вредноста на ( ) е се поблиску до L, кога вредностите на х се доволно блиску до , но, > тогаш L е десен лимес на функцијата ( ) кога х тежи од десно кон . lim ( ) = →

Деф. Ако вредноста на ( ) е се поблиску до L, кога вредностите на х се доволно блиску до , но, < тогаш L е лев лимес на функцијата ( ) кога х тежи од лево кон . lim ( ) = →

Теорема: Врска помеѓу едностраните лимеси и двостраниот лимес Двостраниот лимес на ( ) постои во точката ако и само ако постојат двата еднострани лимеси во и имаат иста вредност. lim ( ) = ако и само ако lim ( ) = = lim ( ) →





Бесконечни лимеси Деф. Вредноста на функцијата ( ) неограничено расте, т.е. тежи кон плус бесконечност ако ( ) = +∞ и lim → ( ) = +∞ т. е. lim → ( ) = +∞ lim → Вредноста на функцијата ( ) неограничено опаѓа, т.е. тежи кон минус бесконечност ако ( ) = −∞ и lim → ( ) = −∞ т. е. lim → ( ) = −∞ lim → Вертикална асимптота на функцијата ( ) е правата = за која ( ) → ±∞ кога важи ( ) = +∞ или ( ) = +∞ lim → lim → или ( ) = −∞ или ( ) = −∞ lim → lim →

→ т.е.

5. Пресметување лимеси Теорема: Нека а и k се реални броеви. Важи: lim → = lim → = lim

= −∞



lim

Теорема: Нека постојат лимесите lim → ( ) = и lim → ( ) = a) lim → [ ( ) + ( )] = lim → ( ) + lim → ( ) = + b) lim → [ ( ) − ( )] = lim → ( ) − lim → ( ) = − c) lim → [ ( ) ∙ ( )] = lim → ( ) ∙ lim → ( ) = ∙ ( ) ( ) → d) lim → = = , ≠0 ( ) ( )

e) lim f)

lim

→ →

( )=



= +∞

и k е реален број. Важи:



lim ( ) =

,

> 0 ако = 2



∙ ( ) = lim



∙ lim ( ) =

Истите правила важат и кога







и

∙ lim ( ) = →







Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 9

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Теорема: За секоја полиномна функција ( ) = + +⋯+ и секој реален број а важи lim ( ) = + +⋯+ = ( ) Доказ: lim

( ) = lim



lim + ⋯ +

lim





Теорема: Нека ( ) =





= ( ) ( )

(

+

+

+⋯+

+⋯+

) = lim → = ( )

+ lim →

+ ⋯ + lim →

= lim →

+

е рационална функција, и а е реален број.

a) Ако ( ) ≠ 0 тогаш lim → ( ) = ( ) b) Ако ( ) = 0 и ( ) ≠ 0 тогаш lim → ( ) не постои. Се случува една од следните можности: 1) Двата еднострани лимеси се +∞ 2) Двата еднострани лимеси се −∞ 3) Едниот едностран лимес е +∞ , а другиот е −∞ Доказ: 1) Нека ( ) ≠ 0 ( ) = lim ( ) →

( ) ( ) lim ( ) = → = = ( ) → → ( ) lim ( ) ( ) → ( ) = lim → ( ) = 0 ( ) = lim ( ) ≠ 0

lim ( ) = lim 2)



Количникот на ( ) и ( ) неограничено ќе расте или ќе опаѓа кога дека лимесот не постои.

→ од што следи

6. Лимеси во бесконечност. Гранично однесување на функција Деф. Ако вредноста на функцијата ( ) тежи кон L кога x се зголемува кон плус бесконечност, ( )= запишуваме lim → Ако вредноста на функцијата ( ) тежи кон L кога x се намалува кон минус бесконечност, ( )= запишуваме lim → Доколку постои некој од овие лимеси, правата функцијата lim

→±

1+

=

lim ( ( )) = ( lim →±

lim →±

→±

( )=

lim →±

lim

( )) ( )



=

lim

=0

→±

се нарекува хоризонтална асимптота на

(1 + ) =

lim →±

=

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 10

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Бесконечни лимеси во бесконечност Деф. Ако вредноста на функцијата ( ) тежи кон плус бесконечност кога → +∞ или запишуваме lim → ( ) = +∞ lim → ( ) = +∞ Ако вредноста на функцијата ( ) тежи кон минус бесконечност кога → +∞ или запишуваме lim → ( ) = −∞ lim → ( ) = −∞ кога

Лимеси lim

→ −∞

,

→ ±∞

= +∞ , = 1,2,3,4 … . .



→ −∞ ,

lim

−∞, = 1,3,5, … +∞, = 2,4,6, …

→ ±∞

Лимеси од полиномни функции кога ) = lim lim ( + + ⋯+ →±

=



→±

Доказ:

+

lim



ln

lim



ln

+⋯+

= +∞ = −∞

=

+

+ ⋯+

~

, кога → ±∞

lim



= +∞

lim



=0

lim



=0

lim



= +∞

7. Формална дефиниција на лимес Деф. Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х, кои се елементи на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. Бројот L е лимес на функцијата ( )кога → , т.е. lim → ( ) = ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што | ( ) − | < кога 0 < | − | <

Лев и десен лимес Деф. Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. lim ( ) = ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што | ( ) − | < кога − < − < 0 →а

Деф. Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. lim ( ) = ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што | ( ) − | < кога 0 < − < →а

Лимеси кога → ±∞ Деф. Нека функцијата ( )е дефинирана во некој отворен интервал кон плус бесконечност lim ( ) = ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што | ( ) − | < кога > →

Деф. Нека функцијата ( )е дефинирана во некој отворен интервал кон минус бесконечност lim ( ) = ако (∀ > 0) (∃ < 0) така што | ( ) − | < кога < →

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 11

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Бесконечни лимеси Деф. . Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х, на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. lim ( ) = +∞ ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што ( ) > кога 0 < | − | < →

Деф. Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. lim ( ) = −∞ ако (∀ < 0) (∃ > 0) така што ( ) < кога 0 < | − | < →

8. Непрекинатост Деф. Функцијата ( ) е непрекината во точката = ако се исполнети следните услови: 1) ( ) е дефинирана во = , т.е. постои ( ) 2) lim → ( ) постои 3) lim → ( ) = ( ) Ако функцијата ( ) не е непрекината во точката = , велиме дека во таа точка функцијата има прекин. Непрекинатост на интервал Ако функцијата ( ) е непрекината во секоја точка од интервалот (а, b) тогаш велиме дека функцијата е непрекината на отворениот интервал (а, b) Ако функцијата ( ) е непрекината во секоја точка од интервалот (−∞, +∞) тогаш велиме дека функцијата е непрекината насекаде. Функцијата е непрекината од лево ако важи: lim → Функцијата е непрекината од десно ако важи: lim →

( )= ( ) ( )= ( )

Деф. Функцијата ( ) е непрекината на затворениот интервал [а, b] ако се исполнети следните услови: 1) ( ) е непрекината на отворениот интервал (а, b) 2) ( ) е непрекината од десно во а 3) ( ) е непрекината од лево во b Теорема: Ако ( ) и ( ) се непрекинати во точката а, тогаш во неа се непрекинати и следните функции: 1) ( + )( ) 3) ( ∙ )( ) 2) ( − )( ) 4) ( ), ( ) ≠ 0 Доказ: Ако ( )и ( ) се непрекинати во точката а, важи lim ( ) = ( ) и lim ( ) = ( ) 1) lim



2) lim



( + ) ( ) = lim ( − ) ( ) = lim



( ∙ ) ( ) = lim

3) lim 4) lim



( )( ) =



→ →





( )



( )



( ( ) + ( )) = lim ( ) + lim ( ) = ( ) + ( ) = ( + )( ) → → ( ( ) − ( )) = lim ( ) − lim ( ) = ( ) − ( ) = ( − )( ) →



( ( ) ∙ ( )) = lim ( ) ∙ lim ( ) = ( ) ∙ ( ) = ( ∙ )( ) =

( ) ( )





= ( )

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 12

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Теорема: a) Секоја полиномна функција е непрекината насекаде b) Дробно-рационалните функции се непрекинати во сите точки каде што именителот е различен од нула, а имаат прекини во оние точки во кои именителот е еднаков на нула. Секоја дробно-рационална функција е непрекината во секоја точка од својот домен. Непрекинатост на композиција на функции Теорема: Ако lim → ( ) = и ако функцијата ( ) е непрекината во lim → ( ( )) = ( ). Односно lim → ( ( )) = (lim → ( )) Ова важи и за lim , lim , lim , lim →





тогаш



Теорема: a) Ако функцијата ( ) е непрекината во с, а функцијата е непрекината во (с), тогаш композицијата ° е непрекината во с. Доказ: Функцијата ( ) е непрекината во точката c, значи важи: lim → ( ) = ( ) е непрекината во ( ), значи важи: lim → ( ) ( ) = ( ( )) ( ) = lim ( ) = ( ) = ( ° )( ) lim ( ° )( ) = lim →





b) Ако функцијата ( ) е непрекината насекаде и функцијата ( ) е непрекината насекаде, тогаш композицијата ° е непрекината насекаде. Теорема за меѓувредност вредност: Ако функцијата е непрекината на затворен интервал [a,b], и k е било кој број кој припаѓа помеѓу ( ) и ( ) ( ( ) ≤ ≤ ( ) или ( ) ≤ ≤ ( ) ), тогаш постои барем еден број х, во интервалот [a,b] за кој важи ( ) = . Теорема: (Последица од Теоремата за средна вредност) Ако функција е непрекината на затворен интервал [a,b], и ( ) и ( ) се различни од нула и имаат спротивен знак, тогаш барем едно решение на равенката ( ) = 0 припаѓа на интервалот (a,b).

9. Непрекинатост на тригонометриски, експоненцијални и инверзни функции Тригонометриски функции Теорема: Ако с е точка која припаѓа на природниот домен на тригонометриските функции, тогаш тие се непрекинати во таа точка lim sin = sin , ∈ →

lim cos →

= cos , ∈ , ≠ (2 + 1) , ∈ 2 = ctg , ≠ , ∈

lim tg = →

lim ctg →

Инверзни функции Теорема: Ако е еден-на-еден функција која е непрекината во секоја точка од својот домен, тогаш инверзната функција е непрекината во секоја точка од нејзиниот домен, односно е непрекината во секоја точка од рангот на .

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 13

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Експоненцијални и логаритамски функции Теорема: Нека > 0 и ≠ 1 a) функцијата е непрекината на (−∞, +∞) b) функцијата log е непрекината на (0, +∞) Теорема: (Сендвич теорема) Нека за функциите ( ), ( ) и ℎ( ) важи ( ) ≤ ( ) ≤ ℎ( ) за секој х што припаѓа на отворен интервал околу точката с, освен можеби во с. Ако lim → ( ) = lim → ℎ( ) = тогаш lim → ( ) =

lim

Теорема: Доказ: sin lim =1

=1



lim

=0





D

D

A

A

С

О

О

C

О

A

С

О

B

С

За плоштините на триаголниците на цртежот важи следново неравенство: ≤ ∆ ≤ ∆ ∆ Плоштините на триеголниците се: ∙ sin = = ∆ 2 2 1 = = , должина на кружен лак е: = ∆ 2 2 ∙ = = ∆ 2 2 Заменуваме во неревенството: sin ≤ ≤ /∙ 2 2 2 2 sin ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 2 Од sin ≤ => Од ≤

sin

≤1 sin sin <=> ≤ => cos

≥ cos

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 14

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

cos ≤

sin

≤ 1, 0 ≤



2 Ова важи само за интервалот [0, ] . Проверуваме дали истото важи и за интервалот [− , 0] Нека – ≤

≤ 0 => = − каде што 0 ≤ ≤ sin − sin sin(− ) sin cos = cos(− ) = cos ≤ = = = − − sin => cos ≤ ≤ 1 , – ≤ ≤ 0 2 Значи, важи дека cos ≤ ≤ 1, − ≤ ≤ теоремата lim → cos = 1 lim → 1 = 1 => lim →

lim

1 − cos



lim



≤1

и можеме да ја примениме сендвич =1

=0 = lim





= lim





Контакт: 070 255-791/[email protected]

= lim



∙ lim



= 1 ∙ = 0

Page 15

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Втор колоквиум 1. Наклон и брзина на промена Ако телото се движи праволиниски и неговата положба во текот на времето е дадена со функцијата = ( ), тогаш просечната брзина со која се движи е: изминат пат прос = време За временски интервал [ , ], изминатиот пат изнесува ( ) − ( ), ( ) − ( ) прос = − Моменталната брзина во временски момент е: ( ) − ( ) мом ( ) = lim → − Наклонот (коефициентот) на секантата на кривата во точка со координати P( , ( )) е: ( ) − ( ) = − Наклонот (коефициентот) на тангентата на кривата со координати P( , ( )) е: ( ) − ( ) = lim → −

Нека = ( ). Просечна брзина(рата) на промена на функцијата на интервалот [ , ] е: ( ) − ( ) = прос = − Моменталната брзина на промена во точка е: ( ) − ( ) = мом ( ) = lim → −

во однос на променливата ,

2. Извод на функција Деф. Нека функцијата е зададена со формулата = ( ) и нека е точка од доменот на f . Ако постои лимесот, тогаш тој се нарекува извод на функцијата f во точката . Се означува со: ( ) − ( ) ( ) = lim → − ( ) e всушност наклонот (стрмнината) на функцијата f во точката

Деф. Нека е точка од доменот на f. Тогаш ( ) е коефициент на правец на тангентата на графикот на функцијата f во точката со координати ( , ( )) . Равенката на тангентата е: − ( ) = ( )( − ) Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 16

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

( )

( )

Деф. Извод на функцијата е дефиниран со: ( ) = lim → може д се разгледува како нова функција, чиј домен го сочинуваат сите за кои постои Диференцијабилност Деф.  Функцијата е диференцијабилна во точката ( ) − ( ) ( ) = lim → −  

ако постои извод во

( )

, т.е. ако постои

Функцијата е диференцијабилна на интервал (a,b) ако е диференцијабилна во секоја точка од интервалот (a,b) Функцијата е диференцијабилна секаде ако е диференцијабилна на интервалот (−∞, +∞)

Причини за непостоење извод се:  Наклонот на секантите има различни лимеси од лево и од десно на таа точка. Затоа не постои двостраниот лимес  Во таа точка постои вертикална тангента  Функцијата има прекин во таа точка

Теорема. Ако функцијата f е диференцијабилна во точката точка Доказ: Дадено е

( ) = lim

(

)

(

, тогаш таа е непрекината во таа

)



( ) = ( ), односно lim Треба да се докаже дека lim → ( )− ( ) ( − )= lim ( ) − ( ) = lim → → − ( ) ( ) = lim → lim → ( − ) =

( )− ( )=0



( )0 = 0

Обратното не важи, т.е. ако функцијата е непрекината во точка не значи дека е диференцијабилна во таа точка

Функцијата е диференцијабилна од лево ако Функцијата е диференцијабилна од десно ако

_

( ) = lim ( ) = lim

Контакт: 070 255-791/[email protected]

(

)

(

)

→ (

)

(

)



Page 17

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Функцијата f е диференцијабилна на затворен интервал [a, b] ако  f e диференцијабилна на отворениот интервал (a, b)  f e дифренцијабилна од лево во a  f e диференцијабилна од десно во b Други нотации на извод кои често се користат: ( + ∆ ) − ( ) ( ) = lim ∆ → ∆ ( + ∆ ) − ( ) Δ = lim = lim ∆ → Δ ∆ → ∆

3. Техники на диференцирање Теорема: Ако f е константна функција, изводот е 0. [ ] = 0 ( ) ( ) Доказ: ( ) = ( ) = lim → = lim → =0 Теорема: За секој природен број важи ( Доказ:(

)′ = lim

=

( )

( )



+

= lim

+

)′ = = lim



+⋯+

За секој реален број r вaжи истото (

(

)(



)



+

=

)′ =

Теорема: Ако f е диференцијабилна функција во точката ( )( )= е исто така диференцијабилна во ( )( ) ( )( ) ( ) ( Доказ: ( ) ( )=lim → = lim →

и c е константа, тогаш и функцијата c f ( ) )

= lim

( )

( )



=

( )

Теорема: Ако функциите f и g се диференцијабилни во , тогаш и функциите f+g и f-g се ( + )( )= ( )+ ( ) ( − )( )= ( )− ( ) диференцијабилни во Доказ: ( )( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( )( ) ( + ) ( ) = lim → = lim → = lim = lim →

[ ( )

( )]

+ lim →

=

[ ( )

( )]



=

( )+

)

( )]

=

( )

( − )( ) − ( − )( ) ( )− ( )− ( )+ ( ) = lim → → − − [ ( ) − ( )] − [ ( ) − ( )] = lim → − [ ( ) − ( )] [ ( ) − ( )] = lim − lim = ( )− ( ) → → − −

( − ) ( ) = lim

Теорема: Ако функциите f и g се диференцијабилни во , тогаш и функцијата fg е ( ) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( ) диференцијабилна во

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 18

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Доказ: ( ) ( ) = lim = lim = lim

(

)( ) (

)( )

→ ( ) ( )

( ) ( )

= lim

→ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

→ [ ( )

( )] ( )

( )[ ( )

( )]

→ ( )

= lim

( )

lim

= [ ( )

= lim

( ) + lim

( )=

( ) = lim

Доказ:

= lim

( ) ( )( ) → ( ) ( )



=

( ) )

( )]



=

( ) ( )+ ( ) ( )

=

, тогаш и функцијата е ( )

( )

= lim

( ) ( )



( )



( )

( ) ( )

= lim



( ) ( ) ) ( ) ( )

( ( ) (

( )

( )[ ( )

+ lim

[ ( )]

( ) ( )



( )

( ) lim

( ) ( )

( )] ( )



Теорема: Ако функциите f и g се диференцијабилни во диференцијабилна во

=

( ) ( )



( )



( )



( ) ( ) →

= lim ( ) (

( ) )

( ) ( ) ) ( ) ( )

( ( ) (

( ) )

( )



=

= ( ) (

( )

( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

=

( )

[ ( )]

Теорема: За произволен цел број n важи ( )′ = Доказ: Ако ∈ доказот следи од Теоремата за извод од Ако ∈ , < 0 => = − , > 0 1 = = (

) =(

) =

(

)

=

(

)

=−

=

Изводи од повисок ред ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ( )( ) Ако = 0 тогаш за ∀ > , ( ) ( ) = 0

) ( ) …

( )(

)=(

(

)

)( )

Други записи кои се користат ( )=

(



( )=



=



( )=



=

Контакт: 070 255-791/[email protected]



( )(

)=



) (

( ) )

=



Page 19

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

4. Извод од тригонометриски функции ( ) = lim

( )− ( )



Смена: ℎ =





= lim →

( + ℎ) − ( ) ℎ

(sin ) = cos

∈ sin( + ℎ ) − sin sin cos ℎ − cos sin ℎ − sin (sin ) = lim = lim → → ℎ ℎ sin (cos ℎ − 1) + cos sin ℎ −(1 − cos ℎ) sin ℎ = lim = sin lim + cos lim → → → ℎ ℎ ℎ = sin 0 + cos 1 = cos

(cos ) = −sin ∈ cos( + ℎ ) − cos cos cos ℎ − sin sin ℎ − cos (cos ) = lim = lim → → ℎ ℎ cos (cos ℎ − 1) − sin sin ℎ −(1 − cos ℎ) sin ℎ = lim = cos lim − sin lim → → → ℎ ℎ ℎ = cos 0 − sin 1 = −sin

(tg ) =

∈ sin (sin ) cos − sin (cos ) cos + sin (tg ) = ( ) = = cos cos cos

=

1 cos

(ctg ) = −

∈ cos (cos ) sin − cos (sin ) −sin − cos (ctg ) = ( ) = = sin sin sin

1 sin (sec ) = ( ) = cos cos cos

=−

1 cos

= sec tg

1 −cos (csc ) = ( ) = = −csc ctg sin sin sin

5. Верижно правило Теорема: Ако g е диференцијабилна во и f е диференцијабилна во ( ), композицијата f◦g е диференцијабилна во ( ° ) ( ) = ( ( )) ∙ ( )

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 20

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Ако

= ( ) тогаш можеме да ја користиме следната формула

=

6. Имплицитно диференцирање Експлицитно зададена функција-зависната променлива( y) се наоѓа од една страна на равенството, а сите изрази со независната променлива(аргументот x) од другата страна, т.е. y=f(x) Имплицитно зададена функција- независната променлива(аргументот x) и функцијата , односно зависната променлива( y) се претставени во произволен алгебарски израз. Пр. yx+y+1=x Деф. Равенката од x и y ја дефинира функцијата имплицитно ако y=f(x) се поклопува со дел од графикот на таа равенка. Пр. За равенката + = 1 имаме = ±√1 − Значи со оваа равенка имплицитно се определени следниве две функции ( ) = √1 − и ( ) = −√1 −

7. Локална линеарна апроксимација. Диференцијал Се прави апроксимација на нелинеарни функции во линеарни функции(равенка на права). Правата која што најдобро ја апросимира функцијата во некоја точка е тангентата на функцијата во таа точка. = ( ) + ( )( − ) ( ) ( ) Ако е блиску до => ( )≈

=

Диференцијал на во :

( )− ( )≈

( )( −

)

( ) ≈ ( )+

( )( −

)

( )

/:

≠ 0 =>



=

( )

8. Инверзни функции Деф. Ако

и ги задоволуваат двата услови: ( ) = , ∀ ∈ ( ( )) =   ∀ ∈  Тогаш и и се инверзни, е инверзна за и е инверзна функција за . Ознака: Ако има инверзна функција, тогаш таа е единствена.

(

( ) = , ( )) =  

Домен и Ранг:

∀ ∈ ∀ ∈ −1

=

−1

=



−1

Нe секоја функција има инверзна функција, функцијата треба да има различен излез за различен влез: ( ) ≠ ( ) зa ≠ , т.е. е инјекција (функцијата е од тип “еден на еден”). Заклучок: Функцијата има инверзна функција ако и само ако е инјекција. Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 21

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Теорема: Тест со хоризонтални прави Функцијата има инверзна функција ако секоја хоризонтална права го сече графикот на функцијата во најмногу една точка. Теорема. Ако има инверзна функција тогаш графиците на функцијата = ( ) и = ( ) се рефлексивни една на друга во однос на = т.е. секоја е слика во огледало на другата во однос на = . Ако секогаш расте или секогаш опаѓа на доменот на , тогаш има инверзна функција. Теорема: Ако е интервал над кој ʹ ( ) > 0 или ʹ ( ) < 0 за ∀ ∈ тогаш има инверзна функција. Теорема. Ако е функција со домен и ранг , и ако e интервал и “еден на еден“ на , тогаш e интервал и e непрекината на .

e непрекината и е од тип

Извод на инверзна функција Теорема. Нека е функција чиј домен е отворен интервал и нека е ранг на . Ако е диференцијабилна и е од тип “еден на еден“ на , тогаш е диференцијабилна за било која вредност на во за која ′( ( )) ≠ 0. Ако ∈ и ′( ( )) ≠ 0 тогаш 1 ( ) ( ) = [ ( )] = ′( ( )) Изведување: Функцијата е диференцијабилна во ( , ) ≡ ( , ( )) и ′( ) ≠ 0. Равенката на тангентата на графикот на функцијата во точката( , ) е: − = ′( )( − ) Инверзна функција на тангентата е: − = ′( )( − ) − = ( − ) ( )

Ова е тангента на инверзната функција во точката( , ). Од друга страна, равенката на тангентата на инверзната функција во ( , ) = ( , ( ) ) е: − =( ) ′( )( − ) Оттука следи ( )′ ( ) = (

( ))

Доказ: Функцијата е диференцијабилна над и ′( ) > 0. Нека ( ) = ( ) . ( ) Oттука следи ′( ) > 0 ∀ ∈ и ( ) е диференцијабилна во тие па lim → За , ∈ и ≠ нека и = ( ) и = ( ) Следи дека ( ) = и ( ) = , ≠ ( )− ( ) − 1 = = ( )− ( ) ( )− ( ) − − ( ) ( ) → акко → . Следи дека lim → постои само ако постои lim → lim

( ) →

( )

( )

постои

( )

( )

и

≠0

Оттука следи дека: ′( ) ≠ 0

( )

е диференцијабилна во

Контакт: 070 255-791/[email protected]

ако

е диференцијабилна во

и

Page 22

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

е отворен интервал и ′( ) > 0, ∀ ∈ (или ( ) < 0, ∀ ∈ −1 и таа е диференцијабилна за ∀ ∈ −1 за кои ′( ( )) ≠ 0

Последица: Нека Следи дека постои

=

( )

= ( ) 

(

=>

=(

=>

= ( ) ( ) = ( ) (

) ( ) =

=

)

) ( ) ( ))

Лајбницова нотација

9. Експоненцијални и логаритамски функции =

∙…∙

=

(n пати)

=



=

= 1,

≠0

=

= √ (

) =



,

= , ∈

f(x)= каде b>0 и b≠1 е наречена експоненцијална функција со ( )= база (основа) b (f(x) е непрекината)  Функцијата f(x)= е дефинирана за сите реални вредности на x т.ш Df=(-∞,+∞).  Ф-јата f(x)= e непрекината на (-∞,+∞) и Rf=(0,+ ∞). Ако b>0 и b≠1 тогаш за x>0, логаритам со база b од x се означува со ( ) = log и се дефинира да биде показателот на b за кој се добива x. Дефинициона област: ∈ (0, +∞). Ранг: ∈ (−∞, +∞)  b=10 – Обичен логаритам  b=e – Природен логаритам e≈2.718282 (функцијата се означува со ln x) Својства:

= ln x <=> = ( )= – природна експоненцијална функција ( ) = log Инверзна на ( ) = e log

= ln = = =

Својства на логаритмирањето Ако > 0, ≠ 1, > 0, > 0, ∈ 6. log ( ) = log + log 7. log ( ) = log 8. log (

− log

) = rlog

9. log ( ) = −log 10. log

=

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 23

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

= lim 1 +

1

= lim



1+



1

= lim (1 + ) →

lim



= +∞

lim



=0

lim



lim



=0

lim



= +∞

lim



ln

= −∞

ln

= +∞

Изводи на логаритамски и експоненцијални функции (log

) = log

≥0

− log 1 1 = lim [ log ] = lim [ log → → → − − − 1 − 1 − = lim [ log (1 + )] = lim [ log 1 + → → − Смена: = → => → 0 1 1 = lim log (1 + ) = log (log

) = lim

log

+( − )

]



(log

(

) =

) = = =

>0

ln

x = log 1 = = ln 1 ln

Својство: ∀ ∈ => ( Доказ: = ln = ln | | = =

>0

> 0, ≠ 1

 1

(ln ) =

=

∈ , =

(ln | |) =

(

≠0

) =

>0 ln

) =

= Логаритамско диференцирање

Во изрази од облик: = каде u и v се неконстантни ф-ции од x, за пресметување на се применува логаритамско диференцирање (ln на двете страни на равенството и потоа имплицитно диференцирање).

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 24

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

10. Инверзни тригонометриски функции sin

(arcsin x) е инверзна функција на ограничената синусна функција sinx, зa − ≤

cos

(arccos x) е инверзна функција на ограничената косинусна фукција cos x, за 0 x 

tg

(arctg x) е инверзна функција на tanx , за − ≤

≤ 

sec

(arcsec x) е инверзна функција зa secx, 0 x со ≠

sec

= cos

sin

+ cos

cos (sin sin (cos

sin

=

+ cos −

=

= cos

) = √1 +

sin (sec

)=



, |x| ≥ 1

| |

sin (− ) = − sin tg (− ) = − tg

) = √1 − ) = √1 − x )= √1 −

tg (sin

sin

sec (tg



2 =



=>

= sin

, = cos

= sin

=>

+ cos

Изводи на инверзни тригонометриски функции = arcsin => = sin − 1 ≤ =

=

=

=

=>



≤ 1 − ≤ (sin

) =





= arccos => = cos − 1 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ = = = = => (cos ) =− √

= arctg => = tg − ∞ ≤ =

=

=

=

≤ +∞ − ≤

=

=>

(tg



≤ ) =

= arctg => = ctg − ∞ ≤ ≤ +∞ 0 ≤ ≤ = = = =− =− => (ctg

= sec (sec

x= ) =



| |√

=> = cos 1

0 ≤

) =−

≤ ≠

−1

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 25

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

11. Лопиталово правило. Неопределени форми и lim

Нека и се диференцијабилни функции во точката Тогаш во lim

( ) →

( )



( ) = 0 и lim

( )=0.



постои неопределеноста .

Од диференцијабилноста на И lim → ( ) = ( ) = 0

и

следи дека

и

и lim

се непрекинати во

( )= ( )=0



( )− ( ) ( )− ( ) lim ( ) ( )− ( ) ( ) − − → lim = lim = lim = = ( )− ( ) ( )− ( ) → ( ) → ( )− ( ) → ( ) lim − − → Теорема: Лопиталово правило – Неопределеност Нека и се диференцијабилни функции на отворениот интервал околу освен можеби во нека lim → ( ) = 0 и lim → ( ) = 0 . Ако lim

( ) →

( )

Ова важи и за

постои и е конечен број или +∞ или -∞ => lim →





→ −∞

( ) →

( )

( ) →

( )

Ова важи и за

постои и е конечен број или +∞ или -∞ => lim →





( ) →

( )



→ +∞

Теорема: Лопиталово правило – Неопределеност Нека и се диференцијабилни функции на отворениот интервал околу нека lim → ( ) = ∞ и lim → ( ) = ∞ . Ако lim

= lim

и

→ −∞

( ) →

( )

освен можеби во = lim

( ) →

( )

и



→ +∞

Неопределеност 0 ∙ ∞ - Се пишува производот како дропка Алгебарски операции со бесконечности (определени): (+∞) + (+∞) → +∞ (+∞) − (−∞) → +∞ (−∞) − (+∞) → −∞ Неопределени: (+∞) − (+∞) (−∞) − (−∞) – Се доведуваат до облик

(+∞) + (−∞)

(−∞) + (−∞) → −∞

(−∞) + (+∞)

Неопределености: 0 ∞ 1 Се решаваат со логаритамско диференцирање lim ( ) ( ) / ln →

= ( )

( )

=> lim ln →

= lim [ ( )ln ( )] →

Ако ln → , → од непрекинатоста на експоненцијалната функција следи дека → , → => → , →

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 26

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

12. Анализа и скицирање на график на функција 12.1.

Растење и опаѓање на функција

Деф. Нека функцијата е дефинирана на интервал I и нека и се произволни точки од тој интервал. 1. Ако ( ) < ( ) кога < , тогаш е растечка на интервалот I 2. Ако ( ) > ( ) кога < , тогаш е опаѓачка на интервалот I 3. Ако ( ) = ( ) за сите , , тогаш е константна на интервалот I

Теорема : Нека функцијата е непрекината на затворениот интервал [a,b] и е диференцијабилна на отворениот интервал (a,b) 1. Ако ( ) > 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е растечка на интервалот [a,b] 2. Ако ( ) < 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е опаѓачка на интервалот [a,b] 3. Ако ( ) = 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е константна на интервалот [a,b]

12.2.

Вдлабнатост и испакнатост на функција

Деф. Нека е диференцијабилна функција во и нека е тангента на графикот на во точката ( , ( )) 1. Функцијата е конвексна (испакната, горно конкавна) во ако постои интервал I кој ја содржи т.ш за секој ∈ I што ≠ , точката ( , ( )) е под тангентата 2. Функцијата е конкавна (вдлабната, долно конкавна) во ако постои интервал I кој ја содржи т.ш за секој ∈ I што ≠ , точката ( , ( )) е над тангентата Теорема: Нека е два пати диференцијабилна функција отворениот интервал I 1. Ако ( ) > 0 на I , тогаш е конкавна(вдлабната, горно конкавна) на I 2. Ако ( ) < 0 на I , тогаш е конвексна(испакната, долно конкавна) на I Деф. Ако е непрекината на отворен интервал во кој припаѓа , и ако ја менува насоката на конкавност во точката ( , ( )), тогаш велиме дека има превојна точка во Вториот извод на функцијата во точката е нула. ( ) = 0

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 27

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

12.3.

Локални (релативни) екстреми

Деф. 1. Функцијата има локален максимум во точката , ако постои отворен интервал I кој ја содржи точката , т.ш Ако ( ) ≥ ( ) 2. Функцијата има локален минимум во точката , ако постои отворен интервал I кој ја содржи точката , т.ш Ако ( ) ≤ ( ) Локалниот минумум и локалниот максимум со едно име се нарекуваат локални екстреми. Теорема: Нека е функција дефинирана над отворен интервал кој го содржи бројот . Ако има релативен екстрем во = тогаш или ʹ ( ) = 0 или f не е диференцијабилна во . Доказ: Нека има релативен екстрем во . Тогаш постојат два случаи 1. Или е диференцијабилна во 2. Или не е диференцијабилна во (ако не е, завршува доказот) Ако е диференцијабилна во , треба да докажеме дека ʹ ( ) = 0. Ако ( ) > 0 тогаш функцијата би била растечка и не би имала екстрем во точката . Од истите причини, не може да биде ниту пак ( ) < 0 . Следи дека ʹ ( ) = 0 Вредностите во доменот на во кои ʹ(х) = 0 или ( ) не е диреференцијабилна се нарекуваат критички точки (броеви) на f.  Вредностите за во кои ′( ) = 0 ќе ги нарекуваме стационарни точки на f. ( Можно е да нема релативни (локални ) екстреми во секоја критична точка) . 

Теорема: Тест со први изводи Нека f е непрекината во критичната точка . 1. Ако ’( ) > 0 на отворен интервал кој се простира лево од и ’( ) < 0 на отворен интервал кој се простира десно од тогаш f има локален максимум во . 2. Ако ’( ) < 0 на отворен интервал кој се простира лево од и ’( ) > 0 на отворен интервал кој се простира десно од тогаш f има локален минимум во . 3. Ако ’( ) има ист знак од двете страни на тогаш нема локален екстрем во Теорема: Тест со втори изводи Нека е двапати диференцијабилна во . 1. Ако ’( ) = 0 и ’’( ) > 0 тогаш има локален минимум во . 2. Ако ’( ) = 0 и ’’( ) < 0 тогаш има локален максимум во . 3. Ако ’( ) = 0 и ’’( ) = 0 тогаш тогаш тестот е нерешлив (недефиниран) т.е. може да може да има локалем максимум во , локален минимум во или ниедно од двете.

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 28

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

12.4.

Испитување на својствата и скицирање на графикот

Чекор 1. Определување домен Чекор 2. Испитување симетричност и периодичност Чекор 3. Наоѓање на пресеци со x и y оските Чекор 4. Однесување на графикот кога → −∞ и → +∞, сите хоризонтални, коси и вертикални асимптоти Чекор 5. Наоѓање на ( ) за критични точки, интервали на растење и опаѓање Чекор 6. Наоѓање на локални екстреми Чекор 7. Наоѓање на ( ) за критични точки, интервали во кои е испакната и интервали во кои е вдлабната и превојни точки. Чекор 8. Цртање на график

13. Апсолутен (глобален) минимум и максимум Деф. 1. Функцијата има апсолутен (глобален) максимум во точката на интервалот I кој ја содржи точката Ако ( ) ≥ ( ) за ∀ ∈ I 2. Функцијата има апсолутен(глобален) минимум во точката , на интервалот I кој ја содржи точката , Ако ( ) ≤ ( ) за ∀ ∈ I Апсолутниот минумум и апсолутниот максимум со едно име се нарекуваат апсолутни (глобални) екстреми. Теорема: Ако е непрекината на конечен затворен интервал [a,b], тогаш има апсолутен min и апсолутен max во тој интервал. Теорема: Нека е непрекината на интервалот (a,b) и има глобални точки. Тогаш тие се во критичните точки. Алгоритам за определување глобален екстрем на функција: Чекор 1. Наоѓање на критичните точки на f во (a , b) Чекор 2. Наоѓање на вредности на во сите критични точки и во крајните точки a и b Чекор 3. Најголемата вредност на од Чекор 2 е апсолутен max, а најмалата апсолутен min . Апсолутен екстрем на бесконечни интервали:

lim



( ) = +∞

lim



( ) = −∞

lim



( ) = −∞

lim



( ) = +∞

lim



( ) = +∞

lim



( ) = −∞

lim



( ) = +∞ lim



( ) = −∞

=> има глобален min

=> има глобален max

Контакт: 070 255-791/[email protected]

=> нема глобален екстрем

Page 29

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Апсолутен екстрем на отворени интервали:

lim

→а

( ) = +∞

lim

lim



( ) = +∞

lim

=> има глобален min

→а →

( ) = −∞ lim

→а

( ) = −∞



lim

=> има глобален max

( ) = −∞

lim

→а

( ) = +∞ lim



( ) = +∞ ( ) = −∞

=> нема глобален екстрем

Теорема: Нека функцијата е непрекината функција на интервалот I и има само еден локален екстрем во . Тогаш функцијата мора да има глобален екстрем во таа точка 1. Ако има локален максимум во , тогаш ( ) е глобален максимум на на I 2. Ако има локален минимум во , тогаш ( ) е глобален минимум на на I

14. Теорема на Рол. Теорема за средна вредност Теорема: Теорема на Рол Нека функцијата е непрекината на затворениот интервал [a,b] и диференцијабилна на отворениот интервал (a,b). Ако ( ) = ( ) тогаш постои ∈ ( , ) т.ш. ( ) = 0 Доказ: Разгледуваме два случаи: ( )=0 1. Ако е константна на (a,b) , тогаш за ∀ ∈ ( , ) 2. Ако не е константна на (a,b). Тогаш ќе помине од растење во опаѓање и во таа точка ќе има локален екстрем (поради непрекинатоста). Од диференцијабилноста на на ( , ) следи дека во точката на локалниот екстрем , ( )=0 Геометриско толкување: Во точката точката на локалниот екстрем , ( ) = 0, што значи дека тангентатата на функцијата во точката ( , ( )) ќе биде паралелна со х-оската Правата низ крајните точки ( , ( )) и ( , ( )) е исто така паралелна со х-оската. Оттука следи дека тангентата во точката с е паралелна со правата низ крајните точки.

Теорема: Теорема за средна вредност Нека функцијата е непрекината на затворениот интервал [a,b] и диференцијабилна на ( ) ( ) отворениот интервал (a,b). Постои барем една точка ∈ ( , ) т.ш. ( ) = Доказ: Равенката на секантата што ги поврзува крајните точки ( , ( )) и ( , ( )) е: ( )

( )

− ( )= ( − ) ( )− ( ) ( − )+ ( ) = −

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 30

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Разликата помеѓу висината на графикот на функцијата и висината на секантата е: ( )− ( ) ( ) = ( )−[ ( )+ ( − )] − Функцијата е непрекината на [a,b] како комбинација од непрекинати функции на [a,b]. Функцијата е диференцијабилна на (a,b) како комбинација од диференцијабилни функции на (a,b). ( )− ( ) ( )= ( )− ( )+ ( − ) =0 − ( )− ( ) ( )= ( )− ( )+ ( − ) =0 − Од ова следи дека функцијата ги задоволува сите услови на теоремата на Рол, од каде ќе следи дека постои ∈ ( , ) т.ш. ( ) = 0 ( )− ( ) ( )= ( )− − ( )− ( ) ( ) = ( )− − ( )− ( ) ( )= −

Геометриско толкување: Помеѓу две точки ( , ( )) и ( , ( )) од графикот на една диференцијабилна функција , постои барем една точка во која тангентната линија на графикот е паралелна со секантата кој ги поврзува точките ( , ( )) и ( , ( )).

Последици од Теоремата за средна вредност Теорема: Нека функцијата е непрекината на затворениот интервал [a,b] и е диференцијабилна на отворениот интервал (a,b) 1. Ако ( ) > 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е растечка на интервалот [a,b] 2. Ако ( ) < 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е опаѓачка на интервалот [a,b] 3. Ако ( ) = 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е константна на интервалот [a,b] Доказ: Го докажуваме случајот под 1. Нека за , ∈ [a,b] < . Треба да се докаже ( ) < ( ) [ , ] ∁ [ , ] па условите на Теоремата за средна вредност ќе важат и за интервалот [ , ]. ( ) ( ) Според теоремата, постои ∈ [ , ]. т.ш. ( ) = ( ) > 0 => Бидејќи

<

=>

( )− ( ) − −

>0

>0

=>

( )− ( ) >0

Контакт: 070 255-791/[email protected]

=>

( )> ( )

Page 31

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Теорема: Теорема за константка разлика Ако и се диференцијабилни на интервалот [ , ], и ако ( ) = ( ) за ∀ ∈ [ , ]. Тогаш и се разликуваат за константа, т.ш. ( )= ( )+ , ∈ [ , ] Доказ: Нека за , ∈ [a,b] < [ , ] ∁ [ , ] па условите на Теоремата за средна вредност ќе важат и за интервалот [ , ]. ℎ( ) = ( ) − ( ) Функцијата ℎ е непрекината на [a,b] како комбинација од непрекинати функции на [a,b]. Функцијата ℎ е диференцијабилна на (a,b) како комбинација од диференцијабилни функции на (a,b). ℎ ( ) = ( ) − ( ) = 0 Според теоремата за средна вредност функцијата ℎ е константна функција ℎ ( ) = , ∀ ∈ [ , ] ( )− ( )= ( ) = ( ) + , ∀ ∈ [ , ]

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 32

Related Documents

K1 Teorija
February 2021 1
Ekonometrija K1
January 2021 1
Teorija Skupova
January 2021 0
Teorija-racunovodstvo
February 2021 0
-teorija 1
January 2021 0
Zbirka-teorija-brojeva
March 2021 0