K1 Teorija

Материјали за теоретскиот испит по Калкулус 1 Дополнителни часови по Калкулус 1 070 255-791/[email protected]

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Прв колоквиум 1. Дефиниција на функција Деф. Ако променливата у зависи од променливата х, така што на секоја вредност на х и одговара единствена вредност на у, велиме дека у е функција од х. Деф. Функција е правило кое на секој влез х придружува единствен излез у. Деф. Нека множеството D c R. Функција f од D во R е пресликување на множеството D во множеството R, така што на секој ∈ му се придружува единствен реален број у. Со ова е зададена реална функција од една реална променлива. : → D – домен/дефинициона област на функција R – ранг/ кодомен/ опсег/ множество вредности на функција = ( )

х – независна променлива У – зависна променлива

Доколку доменот на функцијата не е експлицитно наведен, се смета дека доменот на функцијата се состои од сите вредности на х за кои у прима реална вредност. Овој домен се нарекува природен домен на функцијата. Деф. Две функции ( ) и ( ) се еднакви ако имаат исти домени = и ако ∀ ∈ => ( ) = ( ) Начини на претставување на функција:  Бројно – со табела  Геометриски – со график

=

= , имаат исти ранг

• Описно • Алгебарски – со формула

Тест со вертикални прави: Некоја крива е график на некоја функција, ако секоја вертикална права ја сече кривата во најмногу една точка. Експлицитно зададени функции: Една функција е зададена експлицитно доколку формулата со која е зададена функцијата се менува во зависност од делот од доменот на кој припаѓа х. Пр.

0, ≤ −1 ( ) = √1 − , − 1 ≤ ≤ 1 , ≥ 1

Апсолутна вредност на реален број , ≥ 0 | |= − , < 0

Својства на апсолутната вредност 1. – = | | 2. | | = | || | 3. | |=

| | | |

, ≠ 0

4. | + | ≤ | | + | | Правило на триаголник 5.

√

= | | !!!

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 2

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

2. Добивање нови функции од стари Аритметички операции со функции Деф. Нека се зададени функциите ( ) и ( ) на домените на = ∩ постојат на следните функции: 1. ( + )( ) = ( ) + ( ) 2. ( − )( ) = ( ) − ( ) 3. ( ∙ )( ) = ( ) ∙ ( ) ( ) ( )= 4. , ( ) ≠ 0

и

соодветно. Тогаш следи дека

( )

Композиција на функциите и е функција која се дефинира на следниот начин:  Композиција на од ( ° )( ) = ( ) , ° = ∈ ( ) ∈ }  Композиција на g од ( ° )( ) = ( ) , ° = ∈ ( ) ∈ } ( ° )( ) ≠ ( ° )( )

Транслација = ( ) + - поместување по у оска за с единици нагоре = ( ) − - поместување по у оска за с единици надоле

= ( + ) -поместување по x оска за с единици лево = ( − ) -поместување по x оска за с единици десно

Рефлексија

= (− ) - рефлексија во однос на у-оска = − ( ) - рефлексија во однос на х-оска

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 3

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Развлекување и компресија = >1

0<

( )

- развлекува вертикално за с

< 1 - компресира вертикално за c = ( )

>1 - компресира по х-оска за с 0 < < 1 - растегнува по х-оска за c

Симетричност и парност  Симетричност во однос на х-оска: Кривата е симетрична во однос на х-оската ако за секоја точка (х,у) од кривата важи дека и точката (х, -у) припаѓа на кривата. Оваа крива не претставува график на функција, бидејќи нема да го помине тестот со вертикални прави



Симетричност во однос на у-оска: Графикот на функцијата е симетричен во однос на у-оската ако за секоја точка (х,у) од графикот, важи дека и точката (-х, у) припаѓа на графикот. Овие функции за кои важи (− ) = ( ) се нарекуват парни функции.



Симетричност во однос на координатен почеток: Графикот на функцијата е симетричен во однос на координатниот почеток ако за секоја точка (х,у) од графикот, важи дека и точката (-х,-у) припаѓа на графикот. Овие функции за кои важи (− ) = − ( ) се нарекуват непарни функции.

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 4

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

3. Фамилии функции Фамилии криви Параметри се константи во формулата на функцијата кои може да се меенуваат, при што се добиваат фамилии криви.

( )= c – се менува

Функции со степен = 1. P ∈ , > 0 =>

= + b –фиксно, m – се менува

= + m –фиксно, b – се менува

=



p – парен број o Функциите се парни – симетрични во однос на у-оска o Нивниот график поминува низ точките (0,0), (1,1), (1,1) o Сите графици се слични на графикот на =



p-непарен број o Функциите се непарни – симетрични во однос на координатниот почеток o Нивниот график поминува низ точките (0,0), (1,1), (-1,-1) o Сите графици се слични на графикот на =

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 5

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

2.

∈ , > 0 => = = o Дефинициона област: ∈ \{0} o Во х=0 има прекин, бидејќи = ∞ 

p-парен број o Функциите се парни – симетрични во однос на у-оска o Нивниот график поминува низ точките (1,1), (-1,1) o Сите графици се слични на графикот на =



p-непарен број o Функциите се парни – симетрични во однос на координатниот почеток o Нивниот график поминува низ точките (1,1), (-1,-1) o Сите графици се слични на графикот на =

Функции со степен реален број

∈

,

= => =

=

=

√



p-парен број o Дефинициона област: ≥ 0 o Пример = √



p-непарен број o Нема ограничување за дефиниционата област o Пример = √

Рационални функции o o

=

( ) ( )

P(x) и Q(x) се полиномни функции Функциите имаат прекин за оние вредности на х за кои Q(x)=0

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 6

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Тригонометриски функции од обликот = ( + ) и = ( + )  Параметар А – ја растегнува или компресира функцијата по у-оска o А>1 ја растегнува функцијата o 0


Параметар В – ја растегнува или компресира функцијата по х-оска o В rel="nofollow">1 ја компресира функцијата o 0<В <1 ја растегнува функцијата Параметар С Трансформација на функцијата во облик

=

sin[

o

< 0 функцијата се поместува десно по х-оска за

o

>0 функцијата се поместува лево по х-оска за

+

]

=

cos [

+

]

единици единици

Експоненцијални функции = o Поминувааат низ точката (0,1) o За > 1, функцијата = е растечка o За 0 < < 1, функцијата = е опаднувачка o За = 1, функцијата = е константна o Дефинициона област: ∈ (−∞, +∞) o Ранг: ∈ (0, +∞)

Логаритамски функции

o log

=

= <=>

=

Дефинициона област: ∈ (0, +∞) Ранг: ∈ (−∞, +∞) o Aко > 0 и ≠ 1 функциите и log o o

се

инверзни

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 7

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Природен логаритам со е o = ln x <=> = o Неколку поважни примери = е= =−



е



е =

Важни и често користени особини = =

= =

 Својства на логаритмирањето Ако > 0, ≠ 1, > 0, > 0, ∈ 1. ( )= + 2.

( )=

3.

(

4.

( )=−

5.

=

−

)=

Прави равенка на права =

+ R

равенка на права низ две точки −

=

( −

)

коефициент на правец на права (не зависи од изборот на точките) =

Q

y2

y2 - y1

y- y1

S

T

P

y1 α

x1

=

x2

> 0 - правата е пострмна = 0 - правата е паралелна со х-оска < 0 - правата опаѓа Теорема: Нека и се прави со зададени правци 1. || ако и само ако = 2. ⊥ ако и само ако = −1, т.е. =

Контакт: 070 255-791/[email protected]

и

Page 8

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

4. Лимеси. Интуитивен пристап Деф. Ако вредноста на ( ) е се поблиску до L, кога вредностите на х се доволно блиску до , тогаш L е лимес на функцијата ( ) кога х тежи кон . lim ( ) = →

Деф. Ако вредноста на ( ) е се поблиску до L, кога вредностите на х се доволно блиску до , но, > тогаш L е десен лимес на функцијата ( ) кога х тежи од десно кон . lim ( ) = →

Деф. Ако вредноста на ( ) е се поблиску до L, кога вредностите на х се доволно блиску до , но, < тогаш L е лев лимес на функцијата ( ) кога х тежи од лево кон . lim ( ) = →

Теорема: Врска помеѓу едностраните лимеси и двостраниот лимес Двостраниот лимес на ( ) постои во точката ако и само ако постојат двата еднострани лимеси во и имаат иста вредност. lim ( ) = ако и само ако lim ( ) = = lim ( ) →

→

→

Бесконечни лимеси Деф. Вредноста на функцијата ( ) неограничено расте, т.е. тежи кон плус бесконечност ако ( ) = +∞ и lim → ( ) = +∞ т. е. lim → ( ) = +∞ lim → Вредноста на функцијата ( ) неограничено опаѓа, т.е. тежи кон минус бесконечност ако ( ) = −∞ и lim → ( ) = −∞ т. е. lim → ( ) = −∞ lim → Вертикална асимптота на функцијата ( ) е правата = за која ( ) → ±∞ кога важи ( ) = +∞ или ( ) = +∞ lim → lim → или ( ) = −∞ или ( ) = −∞ lim → lim →

→ т.е.

5. Пресметување лимеси Теорема: Нека а и k се реални броеви. Важи: lim → = lim → = lim

= −∞

→

lim

Теорема: Нека постојат лимесите lim → ( ) = и lim → ( ) = a) lim → [ ( ) + ( )] = lim → ( ) + lim → ( ) = + b) lim → [ ( ) − ( )] = lim → ( ) − lim → ( ) = − c) lim → [ ( ) ∙ ( )] = lim → ( ) ∙ lim → ( ) = ∙ ( ) ( ) → d) lim → = = , ≠0 ( ) ( )

e) lim f)

lim

→ →

( )=

→

= +∞

и k е реален број. Важи:

→

lim ( ) =

,

> 0 ако = 2

→

∙ ( ) = lim

→

∙ lim ( ) =

Истите правила важат и кога

→

→



и

∙ lim ( ) = →

→

∙



Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 9

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Теорема: За секоја полиномна функција ( ) = + +⋯+ и секој реален број а важи lim ( ) = + +⋯+ = ( ) Доказ: lim

( ) = lim

→

lim + ⋯ +

lim

→

→

Теорема: Нека ( ) =

→

→

= ( ) ( )

(

+

+

+⋯+

+⋯+

) = lim → = ( )

+ lim →

+ ⋯ + lim →

= lim →

+

е рационална функција, и а е реален број.

a) Ако ( ) ≠ 0 тогаш lim → ( ) = ( ) b) Ако ( ) = 0 и ( ) ≠ 0 тогаш lim → ( ) не постои. Се случува една од следните можности: 1) Двата еднострани лимеси се +∞ 2) Двата еднострани лимеси се −∞ 3) Едниот едностран лимес е +∞ , а другиот е −∞ Доказ: 1) Нека ( ) ≠ 0 ( ) = lim ( ) →

( ) ( ) lim ( ) = → = = ( ) → → ( ) lim ( ) ( ) → ( ) = lim → ( ) = 0 ( ) = lim ( ) ≠ 0

lim ( ) = lim 2)

→

Количникот на ( ) и ( ) неограничено ќе расте или ќе опаѓа кога дека лимесот не постои.

→ од што следи

6. Лимеси во бесконечност. Гранично однесување на функција Деф. Ако вредноста на функцијата ( ) тежи кон L кога x се зголемува кон плус бесконечност, ( )= запишуваме lim → Ако вредноста на функцијата ( ) тежи кон L кога x се намалува кон минус бесконечност, ( )= запишуваме lim → Доколку постои некој од овие лимеси, правата функцијата lim

→±

1+

=

lim ( ( )) = ( lim →±

lim →±

→±

( )=

lim →±

lim

( )) ( )

→

=

lim

=0

→±

се нарекува хоризонтална асимптота на

(1 + ) =

lim →±

=

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 10

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Бесконечни лимеси во бесконечност Деф. Ако вредноста на функцијата ( ) тежи кон плус бесконечност кога → +∞ или запишуваме lim → ( ) = +∞ lim → ( ) = +∞ Ако вредноста на функцијата ( ) тежи кон минус бесконечност кога → +∞ или запишуваме lim → ( ) = −∞ lim → ( ) = −∞ кога

Лимеси lim

→ −∞

,

→ ±∞

= +∞ , = 1,2,3,4 … . .

→

→ −∞ ,

lim

−∞, = 1,3,5, … +∞, = 2,4,6, …

→ ±∞

Лимеси од полиномни функции кога ) = lim lim ( + + ⋯+ →±

=

→

→±

Доказ:

+

lim

→

ln

lim

→

ln

+⋯+

= +∞ = −∞

=

+

+ ⋯+

~

, кога → ±∞

lim

→

= +∞

lim

→

=0

lim

→

=0

lim

→

= +∞

7. Формална дефиниција на лимес Деф. Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х, кои се елементи на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. Бројот L е лимес на функцијата ( )кога → , т.е. lim → ( ) = ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што | ( ) − | < кога 0 < | − | <

Лев и десен лимес Деф. Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. lim ( ) = ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што | ( ) − | < кога − < − < 0 →а

Деф. Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. lim ( ) = ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што | ( ) − | < кога 0 < − < →а

Лимеси кога → ±∞ Деф. Нека функцијата ( )е дефинирана во некој отворен интервал кон плус бесконечност lim ( ) = ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што | ( ) − | < кога > →

Деф. Нека функцијата ( )е дефинирана во некој отворен интервал кон минус бесконечност lim ( ) = ако (∀ > 0) (∃ < 0) така што | ( ) − | < кога < →

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 11

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Бесконечни лимеси Деф. . Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х, на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. lim ( ) = +∞ ако (∀ > 0) (∃ > 0) така што ( ) > кога 0 < | − | < →

Деф. Нека функцијата ( ) е дефинирана за сите х на отворениот интервал околу точката а, освен можеби во точката а. lim ( ) = −∞ ако (∀ < 0) (∃ > 0) така што ( ) < кога 0 < | − | < →

8. Непрекинатост Деф. Функцијата ( ) е непрекината во точката = ако се исполнети следните услови: 1) ( ) е дефинирана во = , т.е. постои ( ) 2) lim → ( ) постои 3) lim → ( ) = ( ) Ако функцијата ( ) не е непрекината во точката = , велиме дека во таа точка функцијата има прекин. Непрекинатост на интервал Ако функцијата ( ) е непрекината во секоја точка од интервалот (а, b) тогаш велиме дека функцијата е непрекината на отворениот интервал (а, b) Ако функцијата ( ) е непрекината во секоја точка од интервалот (−∞, +∞) тогаш велиме дека функцијата е непрекината насекаде. Функцијата е непрекината од лево ако важи: lim → Функцијата е непрекината од десно ако важи: lim →

( )= ( ) ( )= ( )

Деф. Функцијата ( ) е непрекината на затворениот интервал [а, b] ако се исполнети следните услови: 1) ( ) е непрекината на отворениот интервал (а, b) 2) ( ) е непрекината од десно во а 3) ( ) е непрекината од лево во b Теорема: Ако ( ) и ( ) се непрекинати во точката а, тогаш во неа се непрекинати и следните функции: 1) ( + )( ) 3) ( ∙ )( ) 2) ( − )( ) 4) ( ), ( ) ≠ 0 Доказ: Ако ( )и ( ) се непрекинати во точката а, важи lim ( ) = ( ) и lim ( ) = ( ) 1) lim

→

2) lim

→

( + ) ( ) = lim ( − ) ( ) = lim

→

( ∙ ) ( ) = lim

3) lim 4) lim

→

( )( ) =

→

→ →

→

→

( )

→

( )

→

( ( ) + ( )) = lim ( ) + lim ( ) = ( ) + ( ) = ( + )( ) → → ( ( ) − ( )) = lim ( ) − lim ( ) = ( ) − ( ) = ( − )( ) →

→

( ( ) ∙ ( )) = lim ( ) ∙ lim ( ) = ( ) ∙ ( ) = ( ∙ )( ) =

( ) ( )

→

→

= ( )

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 12

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Теорема: a) Секоја полиномна функција е непрекината насекаде b) Дробно-рационалните функции се непрекинати во сите точки каде што именителот е различен од нула, а имаат прекини во оние точки во кои именителот е еднаков на нула. Секоја дробно-рационална функција е непрекината во секоја точка од својот домен. Непрекинатост на композиција на функции Теорема: Ако lim → ( ) = и ако функцијата ( ) е непрекината во lim → ( ( )) = ( ). Односно lim → ( ( )) = (lim → ( )) Ова важи и за lim , lim , lim , lim →

→

→

тогаш

→

Теорема: a) Ако функцијата ( ) е непрекината во с, а функцијата е непрекината во (с), тогаш композицијата ° е непрекината во с. Доказ: Функцијата ( ) е непрекината во точката c, значи важи: lim → ( ) = ( ) е непрекината во ( ), значи важи: lim → ( ) ( ) = ( ( )) ( ) = lim ( ) = ( ) = ( ° )( ) lim ( ° )( ) = lim →

→

→

b) Ако функцијата ( ) е непрекината насекаде и функцијата ( ) е непрекината насекаде, тогаш композицијата ° е непрекината насекаде. Теорема за меѓувредност вредност: Ако функцијата е непрекината на затворен интервал [a,b], и k е било кој број кој припаѓа помеѓу ( ) и ( ) ( ( ) ≤ ≤ ( ) или ( ) ≤ ≤ ( ) ), тогаш постои барем еден број х, во интервалот [a,b] за кој важи ( ) = . Теорема: (Последица од Теоремата за средна вредност) Ако функција е непрекината на затворен интервал [a,b], и ( ) и ( ) се различни од нула и имаат спротивен знак, тогаш барем едно решение на равенката ( ) = 0 припаѓа на интервалот (a,b).

9. Непрекинатост на тригонометриски, експоненцијални и инверзни функции Тригонометриски функции Теорема: Ако с е точка која припаѓа на природниот домен на тригонометриските функции, тогаш тие се непрекинати во таа точка lim sin = sin , ∈ →

lim cos →

= cos , ∈ , ≠ (2 + 1) , ∈ 2 = ctg , ≠ , ∈

lim tg = →

lim ctg →

Инверзни функции Теорема: Ако е еден-на-еден функција која е непрекината во секоја точка од својот домен, тогаш инверзната функција е непрекината во секоја точка од нејзиниот домен, односно е непрекината во секоја точка од рангот на .

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 13

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Експоненцијални и логаритамски функции Теорема: Нека > 0 и ≠ 1 a) функцијата е непрекината на (−∞, +∞) b) функцијата log е непрекината на (0, +∞) Теорема: (Сендвич теорема) Нека за функциите ( ), ( ) и ℎ( ) важи ( ) ≤ ( ) ≤ ℎ( ) за секој х што припаѓа на отворен интервал околу точката с, освен можеби во с. Ако lim → ( ) = lim → ℎ( ) = тогаш lim → ( ) =

lim

Теорема: Доказ: sin lim =1

=1

→

lim

=0

→

→

D

D

A

A

С

О

О

C

О

A

С

О

B

С

За плоштините на триаголниците на цртежот важи следново неравенство: ≤ ∆ ≤ ∆ ∆ Плоштините на триеголниците се: ∙ sin = = ∆ 2 2 1 = = , должина на кружен лак е: = ∆ 2 2 ∙ = = ∆ 2 2 Заменуваме во неревенството: sin ≤ ≤ /∙ 2 2 2 2 sin ≤ ≤ , 0 ≤ ≤ 2 Од sin ≤ => Од ≤

sin

≤1 sin sin <=> ≤ => cos

≥ cos

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 14

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

cos ≤

sin

≤ 1, 0 ≤

≤

2 Ова важи само за интервалот [0, ] . Проверуваме дали истото важи и за интервалот [− , 0] Нека – ≤

≤ 0 => = − каде што 0 ≤ ≤ sin − sin sin(− ) sin cos = cos(− ) = cos ≤ = = = − − sin => cos ≤ ≤ 1 , – ≤ ≤ 0 2 Значи, важи дека cos ≤ ≤ 1, − ≤ ≤ теоремата lim → cos = 1 lim → 1 = 1 => lim →

lim

1 − cos

→

lim

→

≤1

и можеме да ја примениме сендвич =1

=0 = lim

→

∙

= lim

→

∙

Контакт: 070 255-791/[email protected]

= lim

→

∙ lim

→

= 1 ∙ = 0

Page 15

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Втор колоквиум 1. Наклон и брзина на промена Ако телото се движи праволиниски и неговата положба во текот на времето е дадена со функцијата = ( ), тогаш просечната брзина со која се движи е: изминат пат прос = време За временски интервал [ , ], изминатиот пат изнесува ( ) − ( ), ( ) − ( ) прос = − Моменталната брзина во временски момент е: ( ) − ( ) мом ( ) = lim → − Наклонот (коефициентот) на секантата на кривата во точка со координати P( , ( )) е: ( ) − ( ) = − Наклонот (коефициентот) на тангентата на кривата со координати P( , ( )) е: ( ) − ( ) = lim → −

Нека = ( ). Просечна брзина(рата) на промена на функцијата на интервалот [ , ] е: ( ) − ( ) = прос = − Моменталната брзина на промена во точка е: ( ) − ( ) = мом ( ) = lim → −

во однос на променливата ,

2. Извод на функција Деф. Нека функцијата е зададена со формулата = ( ) и нека е точка од доменот на f . Ако постои лимесот, тогаш тој се нарекува извод на функцијата f во точката . Се означува со: ( ) − ( ) ( ) = lim → − ( ) e всушност наклонот (стрмнината) на функцијата f во точката

Деф. Нека е точка од доменот на f. Тогаш ( ) е коефициент на правец на тангентата на графикот на функцијата f во точката со координати ( , ( )) . Равенката на тангентата е: − ( ) = ( )( − ) Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 16

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

( )

( )

Деф. Извод на функцијата е дефиниран со: ( ) = lim → може д се разгледува како нова функција, чиј домен го сочинуваат сите за кои постои Диференцијабилност Деф.  Функцијата е диференцијабилна во точката ( ) − ( ) ( ) = lim → −  

ако постои извод во

( )

, т.е. ако постои

Функцијата е диференцијабилна на интервал (a,b) ако е диференцијабилна во секоја точка од интервалот (a,b) Функцијата е диференцијабилна секаде ако е диференцијабилна на интервалот (−∞, +∞)

Причини за непостоење извод се:  Наклонот на секантите има различни лимеси од лево и од десно на таа точка. Затоа не постои двостраниот лимес  Во таа точка постои вертикална тангента  Функцијата има прекин во таа точка

Теорема. Ако функцијата f е диференцијабилна во точката точка Доказ: Дадено е

( ) = lim

(

)

(

, тогаш таа е непрекината во таа

)

→

( ) = ( ), односно lim Треба да се докаже дека lim → ( )− ( ) ( − )= lim ( ) − ( ) = lim → → − ( ) ( ) = lim → lim → ( − ) =

( )− ( )=0

→

( )0 = 0

Обратното не важи, т.е. ако функцијата е непрекината во точка не значи дека е диференцијабилна во таа точка

Функцијата е диференцијабилна од лево ако Функцијата е диференцијабилна од десно ако

_

( ) = lim ( ) = lim

Контакт: 070 255-791/[email protected]

(

)

(

)

→ (

)

(

)

→

Page 17

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Функцијата f е диференцијабилна на затворен интервал [a, b] ако  f e диференцијабилна на отворениот интервал (a, b)  f e дифренцијабилна од лево во a  f e диференцијабилна од десно во b Други нотации на извод кои често се користат: ( + ∆ ) − ( ) ( ) = lim ∆ → ∆ ( + ∆ ) − ( ) Δ = lim = lim ∆ → Δ ∆ → ∆

3. Техники на диференцирање Теорема: Ако f е константна функција, изводот е 0. [ ] = 0 ( ) ( ) Доказ: ( ) = ( ) = lim → = lim → =0 Теорема: За секој природен број важи ( Доказ:(

)′ = lim

=

( )

( )

→

+

= lim

+

)′ = = lim

→

+⋯+

За секој реален број r вaжи истото (

(

)(

⋯

)

→

+

=

)′ =

Теорема: Ако f е диференцијабилна функција во точката ( )( )= е исто така диференцијабилна во ( )( ) ( )( ) ( ) ( Доказ: ( ) ( )=lim → = lim →

и c е константа, тогаш и функцијата c f ( ) )

= lim

( )

( )

→

=

( )

Теорема: Ако функциите f и g се диференцијабилни во , тогаш и функциите f+g и f-g се ( + )( )= ( )+ ( ) ( − )( )= ( )− ( ) диференцијабилни во Доказ: ( )( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( )] [ ( )( ) ( + ) ( ) = lim → = lim → = lim = lim →

[ ( )

( )]

+ lim →

=

[ ( )

( )]

→

=

( )+

)

( )]

=

( )

( − )( ) − ( − )( ) ( )− ( )− ( )+ ( ) = lim → → − − [ ( ) − ( )] − [ ( ) − ( )] = lim → − [ ( ) − ( )] [ ( ) − ( )] = lim − lim = ( )− ( ) → → − −

( − ) ( ) = lim

Теорема: Ако функциите f и g се диференцијабилни во , тогаш и функцијата fg е ( ) ( ) = ( ) ( )+ ( ) ( ) диференцијабилна во

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 18

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Доказ: ( ) ( ) = lim = lim = lim

(

)( ) (

)( )

→ ( ) ( )

( ) ( )

= lim

→ ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

→ [ ( )

( )] ( )

( )[ ( )

( )]

→ ( )

= lim

( )

lim

= [ ( )

= lim

( ) + lim

( )=

( ) = lim

Доказ:

= lim

( ) ( )( ) → ( ) ( )

→

=

( ) )

( )]

→

=

( ) ( )+ ( ) ( )

=

, тогаш и функцијата е ( )

( )

= lim

( ) ( )

→

( )

→

( )

( ) ( )

= lim

→

( ) ( ) ) ( ) ( )

( ( ) (

( )

( )[ ( )

+ lim

[ ( )]

( ) ( )

→

( )

( ) lim

( ) ( )

( )] ( )

→

Теорема: Ако функциите f и g се диференцијабилни во диференцијабилна во

=

( ) ( )

→

( )

→

( )

→

( ) ( ) →

= lim ( ) (

( ) )

( ) ( ) ) ( ) ( )

( ( ) (

( ) )

( )

→

=

= ( ) (

( )

( ) )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

=

( )

[ ( )]

Теорема: За произволен цел број n важи ( )′ = Доказ: Ако ∈ доказот следи од Теоремата за извод од Ако ∈ , < 0 => = − , > 0 1 = = (

) =(

) =

(

)

=

(

)

=−

=

Изводи од повисок ред ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) = ( ( )( ) Ако = 0 тогаш за ∀ > , ( ) ( ) = 0

) ( ) …

( )(

)=(

(

)

)( )

Други записи кои се користат ( )=

(



( )=



=



( )=



=

Контакт: 070 255-791/[email protected]



( )(

)=



) (

( ) )

=



Page 19

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

4. Извод од тригонометриски функции ( ) = lim

( )− ( )

→

Смена: ℎ =

−

−

= lim →

( + ℎ) − ( ) ℎ

(sin ) = cos

∈ sin( + ℎ ) − sin sin cos ℎ − cos sin ℎ − sin (sin ) = lim = lim → → ℎ ℎ sin (cos ℎ − 1) + cos sin ℎ −(1 − cos ℎ) sin ℎ = lim = sin lim + cos lim → → → ℎ ℎ ℎ = sin 0 + cos 1 = cos

(cos ) = −sin ∈ cos( + ℎ ) − cos cos cos ℎ − sin sin ℎ − cos (cos ) = lim = lim → → ℎ ℎ cos (cos ℎ − 1) − sin sin ℎ −(1 − cos ℎ) sin ℎ = lim = cos lim − sin lim → → → ℎ ℎ ℎ = cos 0 − sin 1 = −sin

(tg ) =

∈ sin (sin ) cos − sin (cos ) cos + sin (tg ) = ( ) = = cos cos cos

=

1 cos

(ctg ) = −

∈ cos (cos ) sin − cos (sin ) −sin − cos (ctg ) = ( ) = = sin sin sin

1 sin (sec ) = ( ) = cos cos cos

=−

1 cos

= sec tg

1 −cos (csc ) = ( ) = = −csc ctg sin sin sin

5. Верижно правило Теорема: Ако g е диференцијабилна во и f е диференцијабилна во ( ), композицијата f◦g е диференцијабилна во ( ° ) ( ) = ( ( )) ∙ ( )

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 20

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Ако

= ( ) тогаш можеме да ја користиме следната формула

=

6. Имплицитно диференцирање Експлицитно зададена функција-зависната променлива( y) се наоѓа од една страна на равенството, а сите изрази со независната променлива(аргументот x) од другата страна, т.е. y=f(x) Имплицитно зададена функција- независната променлива(аргументот x) и функцијата , односно зависната променлива( y) се претставени во произволен алгебарски израз. Пр. yx+y+1=x Деф. Равенката од x и y ја дефинира функцијата имплицитно ако y=f(x) се поклопува со дел од графикот на таа равенка. Пр. За равенката + = 1 имаме = ±√1 − Значи со оваа равенка имплицитно се определени следниве две функции ( ) = √1 − и ( ) = −√1 −

7. Локална линеарна апроксимација. Диференцијал Се прави апроксимација на нелинеарни функции во линеарни функции(равенка на права). Правата која што најдобро ја апросимира функцијата во некоја точка е тангентата на функцијата во таа точка. = ( ) + ( )( − ) ( ) ( ) Ако е блиску до => ( )≈

=

Диференцијал на во :

( )− ( )≈

( )( −

)

( ) ≈ ( )+

( )( −

)

( )

/:

≠ 0 =>



=

( )

8. Инверзни функции Деф. Ако

и ги задоволуваат двата услови: ( ) = , ∀ ∈ ( ( )) =   ∀ ∈  Тогаш и и се инверзни, е инверзна за и е инверзна функција за . Ознака: Ако има инверзна функција, тогаш таа е единствена.

(

( ) = , ( )) =  

Домен и Ранг:

∀ ∈ ∀ ∈ −1

=

−1

=

≡

−1

Нe секоја функција има инверзна функција, функцијата треба да има различен излез за различен влез: ( ) ≠ ( ) зa ≠ , т.е. е инјекција (функцијата е од тип “еден на еден”). Заклучок: Функцијата има инверзна функција ако и само ако е инјекција. Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 21

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Теорема: Тест со хоризонтални прави Функцијата има инверзна функција ако секоја хоризонтална права го сече графикот на функцијата во најмногу една точка. Теорема. Ако има инверзна функција тогаш графиците на функцијата = ( ) и = ( ) се рефлексивни една на друга во однос на = т.е. секоја е слика во огледало на другата во однос на = . Ако секогаш расте или секогаш опаѓа на доменот на , тогаш има инверзна функција. Теорема: Ако е интервал над кој ʹ ( ) > 0 или ʹ ( ) < 0 за ∀ ∈ тогаш има инверзна функција. Теорема. Ако е функција со домен и ранг , и ако e интервал и “еден на еден“ на , тогаш e интервал и e непрекината на .

e непрекината и е од тип

Извод на инверзна функција Теорема. Нека е функција чиј домен е отворен интервал и нека е ранг на . Ако е диференцијабилна и е од тип “еден на еден“ на , тогаш е диференцијабилна за било која вредност на во за која ′( ( )) ≠ 0. Ако ∈ и ′( ( )) ≠ 0 тогаш 1 ( ) ( ) = [ ( )] = ′( ( )) Изведување: Функцијата е диференцијабилна во ( , ) ≡ ( , ( )) и ′( ) ≠ 0. Равенката на тангентата на графикот на функцијата во точката( , ) е: − = ′( )( − ) Инверзна функција на тангентата е: − = ′( )( − ) − = ( − ) ( )

Ова е тангента на инверзната функција во точката( , ). Од друга страна, равенката на тангентата на инверзната функција во ( , ) = ( , ( ) ) е: − =( ) ′( )( − ) Оттука следи ( )′ ( ) = (

( ))

Доказ: Функцијата е диференцијабилна над и ′( ) > 0. Нека ( ) = ( ) . ( ) Oттука следи ′( ) > 0 ∀ ∈ и ( ) е диференцијабилна во тие па lim → За , ∈ и ≠ нека и = ( ) и = ( ) Следи дека ( ) = и ( ) = , ≠ ( )− ( ) − 1 = = ( )− ( ) ( )− ( ) − − ( ) ( ) → акко → . Следи дека lim → постои само ако постои lim → lim

( ) →

( )

( )

постои

( )

( )

и

≠0

Оттука следи дека: ′( ) ≠ 0

( )

е диференцијабилна во

Контакт: 070 255-791/[email protected]

ако

е диференцијабилна во

и

Page 22

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

е отворен интервал и ′( ) > 0, ∀ ∈ (или ( ) < 0, ∀ ∈ −1 и таа е диференцијабилна за ∀ ∈ −1 за кои ′( ( )) ≠ 0

Последица: Нека Следи дека постои

=

( )

= ( ) 

(

=>

=(

=>

= ( ) ( ) = ( ) (

) ( ) =

=

)

) ( ) ( ))

Лајбницова нотација

9. Експоненцијални и логаритамски функции =

∙…∙

=

(n пати)

=

∙

=

= 1,

≠0

=

= √ (

) =

∙

,

= , ∈

f(x)= каде b>0 и b≠1 е наречена експоненцијална функција со ( )= база (основа) b (f(x) е непрекината)  Функцијата f(x)= е дефинирана за сите реални вредности на x т.ш Df=(-∞,+∞).  Ф-јата f(x)= e непрекината на (-∞,+∞) и Rf=(0,+ ∞). Ако b>0 и b≠1 тогаш за x>0, логаритам со база b од x се означува со ( ) = log и се дефинира да биде показателот на b за кој се добива x. Дефинициона област: ∈ (0, +∞). Ранг: ∈ (−∞, +∞)  b=10 – Обичен логаритам  b=e – Природен логаритам e≈2.718282 (функцијата се означува со ln x) Својства:

= ln x <=> = ( )= – природна експоненцијална функција ( ) = log Инверзна на ( ) = e log

= ln = = =

Својства на логаритмирањето Ако > 0, ≠ 1, > 0, > 0, ∈ 6. log ( ) = log + log 7. log ( ) = log 8. log (

− log

) = rlog

9. log ( ) = −log 10. log

=

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 23

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

= lim 1 +

1

= lim

→

1+

→

1

= lim (1 + ) →

lim

→

= +∞

lim

→

=0

lim

→

lim

→

=0

lim

→

= +∞

lim

→

ln

= −∞

ln

= +∞

Изводи на логаритамски и експоненцијални функции (log

) = log

≥0

− log 1 1 = lim [ log ] = lim [ log → → → − − − 1 − 1 − = lim [ log (1 + )] = lim [ log 1 + → → − Смена: = → => → 0 1 1 = lim log (1 + ) = log (log

) = lim

log

+( − )

]

→

(log

(

) =

) = = =

>0

ln

x = log 1 = = ln 1 ln

Својство: ∀ ∈ => ( Доказ: = ln = ln | | = =

>0

> 0, ≠ 1

 1

(ln ) =

=

∈ , =

(ln | |) =

(

≠0

) =

>0 ln

) =

= Логаритамско диференцирање

Во изрази од облик: = каде u и v се неконстантни ф-ции од x, за пресметување на се применува логаритамско диференцирање (ln на двете страни на равенството и потоа имплицитно диференцирање).

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 24

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

10. Инверзни тригонометриски функции sin

(arcsin x) е инверзна функција на ограничената синусна функција sinx, зa − ≤

cos

(arccos x) е инверзна функција на ограничената косинусна фукција cos x, за 0 x 

tg

(arctg x) е инверзна функција на tanx , за − ≤

≤ 

sec

(arcsec x) е инверзна функција зa secx, 0 x со ≠

sec

= cos

sin

+ cos

cos (sin sin (cos

sin

=

+ cos −

=

= cos

) = √1 +

sin (sec

)=

√

, |x| ≥ 1

| |

sin (− ) = − sin tg (− ) = − tg

) = √1 − ) = √1 − x )= √1 −

tg (sin

sin

sec (tg

≤

2 =

−

=>

= sin

, = cos

= sin

=>

+ cos

Изводи на инверзни тригонометриски функции = arcsin => = sin − 1 ≤ =

=

=

=

=>

√

≤ 1 − ≤ (sin

) =

≤

√

= arccos => = cos − 1 ≤ ≤ 1 0 ≤ ≤ = = = = => (cos ) =− √

= arctg => = tg − ∞ ≤ =

=

=

=

≤ +∞ − ≤

=

=>

(tg

√

≤ ) =

= arctg => = ctg − ∞ ≤ ≤ +∞ 0 ≤ ≤ = = = =− =− => (ctg

= sec (sec

x= ) =



| |√

=> = cos 1

0 ≤

) =−

≤ ≠

−1

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 25

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

11. Лопиталово правило. Неопределени форми и lim

Нека и се диференцијабилни функции во точката Тогаш во lim

( ) →

( )

→

( ) = 0 и lim

( )=0.

→

постои неопределеноста .

Од диференцијабилноста на И lim → ( ) = ( ) = 0

и

следи дека

и

и lim

се непрекинати во

( )= ( )=0

→

( )− ( ) ( )− ( ) lim ( ) ( )− ( ) ( ) − − → lim = lim = lim = = ( )− ( ) ( )− ( ) → ( ) → ( )− ( ) → ( ) lim − − → Теорема: Лопиталово правило – Неопределеност Нека и се диференцијабилни функции на отворениот интервал околу освен можеби во нека lim → ( ) = 0 и lim → ( ) = 0 . Ако lim

( ) →

( )

Ова важи и за

постои и е конечен број или +∞ или -∞ => lim →



→

→ −∞

( ) →

( )

( ) →

( )

Ова важи и за

постои и е конечен број или +∞ или -∞ => lim →



→

( ) →

( )



→ +∞

Теорема: Лопиталово правило – Неопределеност Нека и се диференцијабилни функции на отворениот интервал околу нека lim → ( ) = ∞ и lim → ( ) = ∞ . Ако lim

= lim

и

→ −∞

( ) →

( )

освен можеби во = lim

( ) →

( )

и



→ +∞

Неопределеност 0 ∙ ∞ - Се пишува производот како дропка Алгебарски операции со бесконечности (определени): (+∞) + (+∞) → +∞ (+∞) − (−∞) → +∞ (−∞) − (+∞) → −∞ Неопределени: (+∞) − (+∞) (−∞) − (−∞) – Се доведуваат до облик

(+∞) + (−∞)

(−∞) + (−∞) → −∞

(−∞) + (+∞)

Неопределености: 0 ∞ 1 Се решаваат со логаритамско диференцирање lim ( ) ( ) / ln →

= ( )

( )

=> lim ln →

= lim [ ( )ln ( )] →

Ако ln → , → од непрекинатоста на експоненцијалната функција следи дека → , → => → , →

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 26

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

12. Анализа и скицирање на график на функција 12.1.

Растење и опаѓање на функција

Деф. Нека функцијата е дефинирана на интервал I и нека и се произволни точки од тој интервал. 1. Ако ( ) < ( ) кога < , тогаш е растечка на интервалот I 2. Ако ( ) > ( ) кога < , тогаш е опаѓачка на интервалот I 3. Ако ( ) = ( ) за сите , , тогаш е константна на интервалот I

Теорема : Нека функцијата е непрекината на затворениот интервал [a,b] и е диференцијабилна на отворениот интервал (a,b) 1. Ако ( ) > 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е растечка на интервалот [a,b] 2. Ако ( ) < 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е опаѓачка на интервалот [a,b] 3. Ако ( ) = 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е константна на интервалот [a,b]

12.2.

Вдлабнатост и испакнатост на функција

Деф. Нека е диференцијабилна функција во и нека е тангента на графикот на во точката ( , ( )) 1. Функцијата е конвексна (испакната, горно конкавна) во ако постои интервал I кој ја содржи т.ш за секој ∈ I што ≠ , точката ( , ( )) е под тангентата 2. Функцијата е конкавна (вдлабната, долно конкавна) во ако постои интервал I кој ја содржи т.ш за секој ∈ I што ≠ , точката ( , ( )) е над тангентата Теорема: Нека е два пати диференцијабилна функција отворениот интервал I 1. Ако ( ) > 0 на I , тогаш е конкавна(вдлабната, горно конкавна) на I 2. Ако ( ) < 0 на I , тогаш е конвексна(испакната, долно конкавна) на I Деф. Ако е непрекината на отворен интервал во кој припаѓа , и ако ја менува насоката на конкавност во точката ( , ( )), тогаш велиме дека има превојна точка во Вториот извод на функцијата во точката е нула. ( ) = 0

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 27

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

12.3.

Локални (релативни) екстреми

Деф. 1. Функцијата има локален максимум во точката , ако постои отворен интервал I кој ја содржи точката , т.ш Ако ( ) ≥ ( ) 2. Функцијата има локален минимум во точката , ако постои отворен интервал I кој ја содржи точката , т.ш Ако ( ) ≤ ( ) Локалниот минумум и локалниот максимум со едно име се нарекуваат локални екстреми. Теорема: Нека е функција дефинирана над отворен интервал кој го содржи бројот . Ако има релативен екстрем во = тогаш или ʹ ( ) = 0 или f не е диференцијабилна во . Доказ: Нека има релативен екстрем во . Тогаш постојат два случаи 1. Или е диференцијабилна во 2. Или не е диференцијабилна во (ако не е, завршува доказот) Ако е диференцијабилна во , треба да докажеме дека ʹ ( ) = 0. Ако ( ) > 0 тогаш функцијата би била растечка и не би имала екстрем во точката . Од истите причини, не може да биде ниту пак ( ) < 0 . Следи дека ʹ ( ) = 0 Вредностите во доменот на во кои ʹ(х) = 0 или ( ) не е диреференцијабилна се нарекуваат критички точки (броеви) на f.  Вредностите за во кои ′( ) = 0 ќе ги нарекуваме стационарни точки на f. ( Можно е да нема релативни (локални ) екстреми во секоја критична точка) . 

Теорема: Тест со први изводи Нека f е непрекината во критичната точка . 1. Ако ’( ) > 0 на отворен интервал кој се простира лево од и ’( ) < 0 на отворен интервал кој се простира десно од тогаш f има локален максимум во . 2. Ако ’( ) < 0 на отворен интервал кој се простира лево од и ’( ) > 0 на отворен интервал кој се простира десно од тогаш f има локален минимум во . 3. Ако ’( ) има ист знак од двете страни на тогаш нема локален екстрем во Теорема: Тест со втори изводи Нека е двапати диференцијабилна во . 1. Ако ’( ) = 0 и ’’( ) > 0 тогаш има локален минимум во . 2. Ако ’( ) = 0 и ’’( ) < 0 тогаш има локален максимум во . 3. Ако ’( ) = 0 и ’’( ) = 0 тогаш тогаш тестот е нерешлив (недефиниран) т.е. може да може да има локалем максимум во , локален минимум во или ниедно од двете.

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 28

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

12.4.

Испитување на својствата и скицирање на графикот

Чекор 1. Определување домен Чекор 2. Испитување симетричност и периодичност Чекор 3. Наоѓање на пресеци со x и y оските Чекор 4. Однесување на графикот кога → −∞ и → +∞, сите хоризонтални, коси и вертикални асимптоти Чекор 5. Наоѓање на ( ) за критични точки, интервали на растење и опаѓање Чекор 6. Наоѓање на локални екстреми Чекор 7. Наоѓање на ( ) за критични точки, интервали во кои е испакната и интервали во кои е вдлабната и превојни точки. Чекор 8. Цртање на график

13. Апсолутен (глобален) минимум и максимум Деф. 1. Функцијата има апсолутен (глобален) максимум во точката на интервалот I кој ја содржи точката Ако ( ) ≥ ( ) за ∀ ∈ I 2. Функцијата има апсолутен(глобален) минимум во точката , на интервалот I кој ја содржи точката , Ако ( ) ≤ ( ) за ∀ ∈ I Апсолутниот минумум и апсолутниот максимум со едно име се нарекуваат апсолутни (глобални) екстреми. Теорема: Ако е непрекината на конечен затворен интервал [a,b], тогаш има апсолутен min и апсолутен max во тој интервал. Теорема: Нека е непрекината на интервалот (a,b) и има глобални точки. Тогаш тие се во критичните точки. Алгоритам за определување глобален екстрем на функција: Чекор 1. Наоѓање на критичните точки на f во (a , b) Чекор 2. Наоѓање на вредности на во сите критични точки и во крајните точки a и b Чекор 3. Најголемата вредност на од Чекор 2 е апсолутен max, а најмалата апсолутен min . Апсолутен екстрем на бесконечни интервали:

lim

→

( ) = +∞

lim

→

( ) = −∞

lim

→

( ) = −∞

lim

→

( ) = +∞

lim

→

( ) = +∞

lim

→

( ) = −∞

lim

→

( ) = +∞ lim

→

( ) = −∞

=> има глобален min

=> има глобален max

Контакт: 070 255-791/[email protected]

=> нема глобален екстрем

Page 29

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Апсолутен екстрем на отворени интервали:

lim

→а

( ) = +∞

lim

lim

→

( ) = +∞

lim

=> има глобален min

→а →

( ) = −∞ lim

→а

( ) = −∞

→

lim

=> има глобален max

( ) = −∞

lim

→а

( ) = +∞ lim

→

( ) = +∞ ( ) = −∞

=> нема глобален екстрем

Теорема: Нека функцијата е непрекината функција на интервалот I и има само еден локален екстрем во . Тогаш функцијата мора да има глобален екстрем во таа точка 1. Ако има локален максимум во , тогаш ( ) е глобален максимум на на I 2. Ако има локален минимум во , тогаш ( ) е глобален минимум на на I

14. Теорема на Рол. Теорема за средна вредност Теорема: Теорема на Рол Нека функцијата е непрекината на затворениот интервал [a,b] и диференцијабилна на отворениот интервал (a,b). Ако ( ) = ( ) тогаш постои ∈ ( , ) т.ш. ( ) = 0 Доказ: Разгледуваме два случаи: ( )=0 1. Ако е константна на (a,b) , тогаш за ∀ ∈ ( , ) 2. Ако не е константна на (a,b). Тогаш ќе помине од растење во опаѓање и во таа точка ќе има локален екстрем (поради непрекинатоста). Од диференцијабилноста на на ( , ) следи дека во точката на локалниот екстрем , ( )=0 Геометриско толкување: Во точката точката на локалниот екстрем , ( ) = 0, што значи дека тангентатата на функцијата во точката ( , ( )) ќе биде паралелна со х-оската Правата низ крајните точки ( , ( )) и ( , ( )) е исто така паралелна со х-оската. Оттука следи дека тангентата во точката с е паралелна со правата низ крајните точки.

Теорема: Теорема за средна вредност Нека функцијата е непрекината на затворениот интервал [a,b] и диференцијабилна на ( ) ( ) отворениот интервал (a,b). Постои барем една точка ∈ ( , ) т.ш. ( ) = Доказ: Равенката на секантата што ги поврзува крајните точки ( , ( )) и ( , ( )) е: ( )

( )

− ( )= ( − ) ( )− ( ) ( − )+ ( ) = −

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 30

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Разликата помеѓу висината на графикот на функцијата и висината на секантата е: ( )− ( ) ( ) = ( )−[ ( )+ ( − )] − Функцијата е непрекината на [a,b] како комбинација од непрекинати функции на [a,b]. Функцијата е диференцијабилна на (a,b) како комбинација од диференцијабилни функции на (a,b). ( )− ( ) ( )= ( )− ( )+ ( − ) =0 − ( )− ( ) ( )= ( )− ( )+ ( − ) =0 − Од ова следи дека функцијата ги задоволува сите услови на теоремата на Рол, од каде ќе следи дека постои ∈ ( , ) т.ш. ( ) = 0 ( )− ( ) ( )= ( )− − ( )− ( ) ( ) = ( )− − ( )− ( ) ( )= −

Геометриско толкување: Помеѓу две точки ( , ( )) и ( , ( )) од графикот на една диференцијабилна функција , постои барем една точка во која тангентната линија на графикот е паралелна со секантата кој ги поврзува точките ( , ( )) и ( , ( )).

Последици од Теоремата за средна вредност Теорема: Нека функцијата е непрекината на затворениот интервал [a,b] и е диференцијабилна на отворениот интервал (a,b) 1. Ако ( ) > 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е растечка на интервалот [a,b] 2. Ако ( ) < 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е опаѓачка на интервалот [a,b] 3. Ако ( ) = 0 ∀ ∈ ( , ), тогаш е константна на интервалот [a,b] Доказ: Го докажуваме случајот под 1. Нека за , ∈ [a,b] < . Треба да се докаже ( ) < ( ) [ , ] ∁ [ , ] па условите на Теоремата за средна вредност ќе важат и за интервалот [ , ]. ( ) ( ) Според теоремата, постои ∈ [ , ]. т.ш. ( ) = ( ) > 0 => Бидејќи

<

=>

( )− ( ) − −

>0

>0

=>

( )− ( ) >0

Контакт: 070 255-791/[email protected]

=>

( )> ( )

Page 31

Дополнителни часови за предметите од ФИНКИ/ФЕИТ/МФС

Теорема: Теорема за константка разлика Ако и се диференцијабилни на интервалот [ , ], и ако ( ) = ( ) за ∀ ∈ [ , ]. Тогаш и се разликуваат за константа, т.ш. ( )= ( )+ , ∈ [ , ] Доказ: Нека за , ∈ [a,b] < [ , ] ∁ [ , ] па условите на Теоремата за средна вредност ќе важат и за интервалот [ , ]. ℎ( ) = ( ) − ( ) Функцијата ℎ е непрекината на [a,b] како комбинација од непрекинати функции на [a,b]. Функцијата ℎ е диференцијабилна на (a,b) како комбинација од диференцијабилни функции на (a,b). ℎ ( ) = ( ) − ( ) = 0 Според теоремата за средна вредност функцијата ℎ е константна функција ℎ ( ) = , ∀ ∈ [ , ] ( )− ( )= ( ) = ( ) + , ∀ ∈ [ , ]

Контакт: 070 255-791/[email protected]

Page 32