Laboratorio De Materiales Y Sistemas Estructurales

SISTEMAS ESTRUCTURALES LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES

Autor Responsable: Perla R. Santa Ana Lozada Corresponsable: Lucia G. Santa Ana Lozada Colaboradores: Hector Allier Avendaño, Lorena Pérez Gómez, Nohemí López Roldan, Enrique Juárez Ortiz, Maria Fernanda Martínez Huitrón Dra. Gemma Verduzco

“

Aprendizaje en experiencias y aprendizaje adaptativo como estrategias didácticas para mejorar la enseñanza de los aspectos estructurales en arquitectura.

”

PRÁCTICAS CON MODELOS FÍSICOS LABORATORIO DE MATERIALES Y SISTEMAS ESTRUCTURALES

EQUIPO EDITORIAL Coordinadora editorial Erandi Casanueva Gachuz RESPONSABLE DE DISEÑO EDITORIAL Amaranta Aguilar Escalona Diseño editorial y formación Israel Reyes Alfaro Lorena Acosta León Mariana Ugalde

PAPIME PE 400516 Primera edición: 2018 D.R. © Universidad Nacional Autónoma de México Ciudad Universitaria Delegación Coyoacán C.P. 04510 México, Ciudad de México Facultad de Arquitectura Prohibida su reproducción total o parcial por cualquier medio sin autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales Hecho en México

Contenido

Práctica 1 y 2. Tensión

12

Catenaria y funicular

13

Introducción

18

Objetivos

19

Hipótesis

20

Materiales para el estudiante

21

Procedimiento

22

Práctica 1. Catenaria (curva equilibrio)

25

Práctica 2. Funicular con cargas puntuales

35

Análisis de resultados prácticas 1 y 2

36

Conclusiones prácticas 1 y 2

41

Introducción

37

Ejercicios de aplicació

51

Objetivos

39

Referencias

52

Hipótesis

53

Materiales

54

Procedimiento

55

Práctica 3. Arco parabólico biarticulado

40

Práctica 3 y 4. Compresión Arco biarticulado parabólico

con carga puntual móvil 60

Práctica 4. Arco parabólico biarticulado con carga repartida

62

Análisis de resultados práctica 3 y 4

64

Conclusiones

65

Ejercicios de aplicación

67

Referencias

Práctica 7 y 8. Flexión

90 91

Introducción

98

Objetivos

99

Hipótesis

100

Materiales

101

Procedimiento

102

Práctica 7. Flexión con cargas puntuales

109

Práctica 8. Flexión con carga repartida uniforme y carga puntual

Práctica 5 y 6. Pandeo

68 69

Introducción

75

Objetivos

76

Hipótesis

77

Materiales

78

Procedimiento

79

Práctica 5. Pandeo en elementos biarticulados

83

Práctica 6. Pandeo de barras biempotradas

86

Análisis de resultados prácticas 5 y 6

87

Conclusiones

88

Ejercicios de aplicación

89

Referencias

119

Análisis de resultados practicas 7 y 8

122

Ejercicios de aplicación

123

Conclusiones

124

Referencias

125

Práctica 9 y 10. Armaduras

126

Introducción

132

Objetivos

133

Hipótesis

134

Materiales

135

Procedimiento

137

Práctica 9. Armadura 1 plana estáticamente determinada

147

Práctica 10. Armadura 2 plana estáticamente determinada

153

Análisis de resultados prácticas 9 y 10

157

Conclusiones

158

Ejercicios de aplicación

160

Referencias

161

Práctica 11. Marcos rígidos

162

Introducción

172

Objetivos

173

Hipótesis

174

Materiales

175

Procedimiento

176

Práctica 11. Marcos rígidos

185

Análisis de resultados

187

Conclusiones

188

Ejercicios de aplicación

190

Referencias

Práctica 12 y 13. Efecto de sismo en edificios con marcos

191

192

Introducción

200

Objetivos

201

Hipótesis

202

Materiales

203

Procedimiento

204

Práctica 12. Comportamiento de sistema a base de marcos rígidos de 1 y 2 niveles bajo movimiento senoidal y sísmico

206

Práctica 13. Comportamiento de un sistema formado por marcos semirígidos de 1 y 2 niveles bajo movimiento senoidal y sismico

208

Análisis de resultados

209

Conclusiones

210

Ejercicios de aplicación

212

Referencias

213

Bibliografía

Introducción La arquitectura implica conocer aspectos estructurales así como constructivos para llegar a una solución resistente, funcional y estética. Actualmente existe en los estudiantes de arquitectura reticencia al aprendizaje de estos temas por considerárseles complejos, recurriendo el alumno a obtener solamente el conocimiento suficiente para aprobar las materias sin generar un entendimiento y síntesis de afectación en la solución del objeto arquitectónico que manejará en su quehacer cotidiano. El objetivo del aprendizaje significativo sobre estas temáticas consiste en que el alumno entienda los fundamentos mecánicos que se producen en los elementos estructurales mediante la reproducción, observación y relación de la respuesta física con

8

los conceptos teóricos (mecánica de materiales y estática) ante

aprovecha las herramientas tecnológicas para ir facilitando el

distintas condiciones de trabajo e inducir al estudiante a reali-

conocimiento conforme el nivel de entendimiento del alumno

zar la síntesis del conocimiento aplicado en la fase proyectual al

(ITESM, Edutrends julio 2014).

mostrar la aplicación de los elementos estructurales estudiados dentro de distintos proyectos arquitectónicos como parte de su

Las bondades de las estrategias didácticas mencionadas ante-

sistema estructural.

riormente son: a) el estudiante en su totalidad se involucra en la etapa de conocimiento y entendimiento, ya que no solo su

Un medio empleado para lograr este objetivo, como se ha desa-

intelecto se ve inmerso en el problema, también sus sentidos,

rrollado en distintas universidades nacionales y extranjeras, es

sentimientos y personalidad se integran en la transformación

la aplicación de dos estrategias didácticas que se han manejado

de conocimiento significativo; b) se genera la oportunidad de

por separado hasta el momento: Aprendizaje basado en la ex-

reflexionar así como de sintetizar los conceptos teóricos a par-

periencia y aprendizaje adaptativo.

tir de la observación de efectos y fenómenos tangibles reales; c) los estudiantes se comprometen con generar su propio co-

El aprendizaje basado en experiencia genera el conocimiento

nocimiento mediante la reflexión y síntesis; d) los maestros es-

de conceptos teóricos mediante la experiencia y acción con ob-

tablecen un sentido de confianza, respeto y apertura con los

jetos que le lleven a la comprensión de su funcionamiento; los

alumnos y su forma de racionalizar los problemas; e) el alumno

profesores se transforman en facilitadores que involucran a los

obtiene retroalimentación de su aprendizaje de forma instantá-

alumnos a experimentar y reflexionar en aspectos específicos

nea permitiendo comprender su error en ese momento; f) las

para llegar al conocimiento requerido (Asociación Internacional

evaluaciones varían su nivel de complejidad dependiendo de la

de Aprendizaje Experiencial, 2018). El Aprendizaje adaptativo

capacidad o aptitud del estudiante.

9

Para aplicar la estrategia didáctica basada en experiencia con los alumnos de la Facultad de Arquitectura de la UNAM dentro de su Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales, se realizó el proyecto DGAPA PAPIME 400516 con el cuál se adquirieron 3 modelos físicos comerciales y se fabricaron otros 3 modelos en el laboratorio, además de producir el presente manual de prácticas que sirva como guía para lograr el objetivo planteado. Para lograr el aprendizaje adaptativo se realizaron prácticas virtuales las cuales complementan a las actividades propuestas en este texto, sin embargo no serán expuestas en el presente manual. Considerando las temáticas que se abordan en las materias de

Facultad de Arquitectura. Laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales

Laboratorio de Sistemas Estructurales Prácticas con modelos físicos en Laboratorio: Prácticas 1 y 2. Funiculares. Prácticas 3 y 4. Arcos biarticulados. Prácticas 5 y 6. Pandeo.

Materia: Sistemas Estructurales I (5º sem).

Prácticas 7 y 8. Flexión

Materia: Sistemas Estructurales Básicos III (4º sem).

Prácticas 9 y 10. Armaduras

Materia: Sistemas Estructurales Básicos II y III (3º-4º sem).

Prácticas 11. Marcos rígidos

Materia: Sistemas Estructurales I y II (5º y 6º sem).

Prácticas 12 y 13. Sismo en marcos.

Materia: Sistemas Estructurales II y III (6º y 7º sem).

Sistemas Estructurales Básicos I, II y III así como Sistemas Estructurales I, II y III dentro del Plan de Estudios de la Licenciatura en Arquitectura 2017, de la Facultad de Arquitectura de la UNAM se desarrollaron las primeras 13 prácticas que presenta este manual, abordando los siguientes 7 temas: tensión, compresión, pandeo, armaduras, flexión en vigas, marcos rígidos y

Materia: Sistemas Estructurales Básico I (2º sem). Materia: Sistemas Estructurales Básicos II (3er sem).

efectos sísmicos en marcos. El orden cronológico en el que se presentan es con base en su grado de complejidad del tema, sugiriendo se aborden en los siguientes semestres y materias:

10

Cada práctica presenta un breve resumen de los aspectos teó-

Se agradece tanto a DGAPA como a la Facultad de Arquitectura

ricos que se abordan en la misma dentro de la introducción,

a través de su director M. en Arq. M. Mazari H, a la Coordina-

los objetivos, hipótesis, materiales, procedimiento de trabajo,

ción editorial, M. Erandi Casanueva G. ,Coordinación de comu-

análisis de resultados, conclusiones, ejercicios de aplicación y

nicación social L.D.G Alejandra Villa C. y al laboratorio de Ma-

bibliografía. Se pretende que el alumno asista al laboratorio una

teriales y Sistemas Estructurales de la Facultad de Arquitectura

vez que el profesor ha visto el tema con los alumnos durante

a través de su responsable Dr. A. Muciño.

la clase teórica, de forma que el alumno viva la aplicación del fenómeno y los efectos que presenta sobre los distintos objetos de estudio. El manual es de fácil acceso y entendimiento de forma que tanto profesores como alumnos puedan emplearlo e ir siguiendo el método de experimentación planteado. El aspecto de aprendizaje de uso de los modelos empleados en cada práctica no se aborda en este manual, sin embargo puede ser solicitada la documentación en cuestión en el laboratorio de Materiales y Sistemas Estructurales o en su defecto acercarse a tomar la capacitación para profesores que se imparte dentro del laboratorio para dicho fin.

11

T E N S I Ó N . C AT E N A R I A Y F U N I C U L A R

PAPIME PE 400516

Introducción Se pretende interesar al alumno en las estructuras funiculares, por medio del entendimiento de la geometría que adquiere un cable al ser sometido bajo diferentes cargas.

13

¿

Qué es una catenaria?

La ecuación de la curva en equilibrio (catenaria) es la siguiente: ⎛ x − x0 ⎞ y − y0 = a *cosh ⎜ ⎝ a ⎟⎠

Es la curva cuyo trazo sigue la forma que adquiere una cadena

(1a)

o cuerda de densidad uniforme y perfectamente flexible sujeta por sus dos extremos y que se encuentra sometida únicamente a la fuerza de la gravedad.

Si se toman como referencia los ejes x1 , y1 la ecuación queda de la siguiente forma: ⎛x ⎞ y1 = a *cosh ⎜ 1 ⎟ ⎝ a⎠

(2a)

Donde: y1

es la coordenada del punto a calcular (cm o m)

a

es la separación en el eje y del punto de origen al punto a calcular (cm o m)

cosh

se refiere a la expresión matemática “coseno hiperbólico”

Ilustración 1a. Representación de la catenaria en un plano

14

¿

Qué es un funicular? Es la curva que describe un cable suspendido por sus extremos,

Los funiculares sólo resisten esfuerzos de tensión es decir que

sometido a cargas en su longitud. Si las cargas son el propio

las fuerzas que actúan sobre los funiculares tienden a estirar el

peso del cable se obtiene una catenaria. Si las cargas son uni-

cable principal que forma este elemento.

formes en proyección vertical, se obtiene la parábola. Si son perpendiculares a cada punto del cable generan un arco aproximadamente, etc.

Como se puede observar en los esquemas de la ilustración 2a, la geometría y clasificación de los polígonos funiculares depende del punto donde se aplican las cargas, por lo que todas las

Ilustración 3a.

catenarias son polígonos funiculares, pero no todos los funicu-

Diferencias entre parábola y catenaria

lares son catenarias.

Ilustración 2a. Tipos de polígono funicular

15

¿

Qué ecuaciones gobiernan un polígono funicular?

(3) es la tensión máxima en el funicular, siendo igual a la raíz cuadrada de los componentes de las fuerzas en los extremos

M = P*d

Momento igual a la fuerza aplicada P(4) por la distancia

d(7) al punto de apoyo A o B. (kg*cm o ton*m)

Para resolver una estructura de cables con cargas puntuales, donde el claro y la flecha están establecidas, se pueden utilizar las ecuaciones de equilibrio estático para determinar el trabajo de cada tramo de cable.

Ecuaciones de equilibrio: ∑M

A

=0

∑Y = 0



Sumatoria de momentos (M ) en el punto A igual a cero

Ilustración 4a.

Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje vertical (Y )

de modo puntual

Esquema de fuerzas aplicadas

igual a cero

∑ X =0

Sumatoria de fuerzas aplicadas en el eje horizontal (X ) igual a cero

Donde: L(5)

es la longitud del cable.

para poder soportar el sistema)

s(6)

es el punto máximo (caída del cable).

es la reacción horizontal

d(7)

es la distancia horizontal del soporte izquierdo o derecho.

RA (1), RB (1) es la reacción vertical en el punto A o B (se refiere a las fuerzas que actúan en el sentido contrario de las cargas

H (2)

16

¿

Cómo se predimensiona un cable de acero?

Para que un tensor soporte el esfuerzo interior de tensión (es-

El proporcionar una dimensión transversal al tensor (sección)

fuerzo interno) que se produce debido a una carga axial ex-

significa diseñar dicho elemento estructuralmente. Para poder

terior, se requiere que este elemento esté construido con un

determinar de una forma aproximada y rápida la sección que

material cuyo esfuerzo resistente a compresión sea igual o ma-

requiere el tensor para soportar la carga axial, se proporciona el

yor al esfuerzo interno de la columna, es decir:

valor de esfuerzo resistente de tensión del acero considerando un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo

σT =

Ft = σ resistente a tensión del material A

de tensión permisible.

(3a)

σ resistente a tensión del material = 1520kg / cm2 (4a)

17

Objetivos • Que el alumno se interese de manera teórico-práctica en las estructuras funiculares. • Que el alumno aprenda a identificar un sistema funicular y los esfuerzos que lo gobiernan dentro de elementos aplicados en arquitectura. • Que el alumno pueda reconocer las formas que toma un cable sostenido por sus extremos. • Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos arquitectónicos.

18

Hipótesis El comportamiento de un funicular depende de su geometría de forma que siempre trabaje a tensión. Se probará de forma práctica y numérica el comportamiento de un funicular; para ello, se realizarán diferentes modelos a escala. Para el caso de la catenaria, funicular que sólo soporta su propio peso, calcularemos algunos de los puntos que forman la curva y veremos si coincide el modelo físico con el cálculo matemático. Ambas curvas deberían estar formadas por los mismos puntos; dependiendo de los materiales que sean empleados, este modelo y el cálculo podrán variar un poco. Para los casos en los que se le aplique una carga puntual al cable, se determinará la deformación del cable con el modelo, y con los cálculos, al igual que en la catenaria, el modelo realizado debería ser muy similar al cálculo que comprueba el funcionamiento del sistema

19

Materiales para el estudiante • Base de cartón corrugado de 30X30cm. * • Hojas milimétricas. • Hojas de papel albanene. • Tachuelas. * • Clips. * • Cadena (para collares). • Cubos de plastilina de 1cm3 (1g c/u). * • Masking Tape. * • Marcador.

* Estos materiales pueden ser comprados entre dos o tres personas, de modo que sean económicos y no haya desperdicios

20

Procedimiento Ya que se explicaron las expresiones que gobiernan a un funicular procederemos a hacer cuatro casos modelos para hacer las comparaciones entre ambos. Lo primero que se realizará por participante:

Profesor Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el plano de trabajo, cadena y pesos, ejemplificando cada paso que realizará el alumno ante grupo.

Ilustración 7a. Plano de trabajo para alumnos

Pasos:

Ilustración 6a.

•

Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica.

•

Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación que se desee para el polígono funicular (en el ejemplo 20 unidades).

Modelo de funicular profesor

•

Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor fijación de las tachuelas.

Estudiantes Armarán la base sobre la cual se colocarán los modelos; esta base siempre se posicionará verticalmente para que la gravedad

•

Poner una hoja de albanene sobre la hoja milimétrica, servirá para dibujar sobre ella el polígono funicular que se forme.

actúe directamente sobre el modelo.

21

Práctica

1

Catenaria (curva equilibrio)

• Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica • Resolver la ecuación de la curva en equilibrio

(

Y = (1.5) * cosh ( x / 1.5)

)

Se debe colocar la cadena libre en el modelo del profesor, formando una catenaria cuyo claro sea igual a 6.8 cm, con una caí-

Para obtener la coordenada “h” , h = ⎡⎣(1.5) * ( cosh(x / 1.5) ⎤⎦ − 1.5)

da de 5.8 cm; la separación entre el borde inferior de la hoja y el punto más bajo de la catenaria será de 1.5 cm. El alumno deberá replicarlo con su propio material para evaluarlo, siguiendo los

Se comprueba que la forma es correcta, del siguiente modo:

pasos a continuación: I. Para que la curva derivada de la expresión matemática sea similar a la que se obtuvo de forma experimental, se debe encontrar una relación entre el claro y la altura. Esto se logrará con la Ilustración 8a.

ecuación de la catenaria, considerando “X” como la mitad del

Catenaria de trabajo

claro y el resultado en “Y” debe ser lo más parecido posible a la altura. En este caso, “X” es igual a 3.4 y “a” es igual a 1.5.

• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara una catenaria.

x

y

h

3

5.64329353662545

4.14329353662545

• Deslizar la cadena para obtener

3.1

6.01879359112219

4.51879359112219

la altura deseada (5.8 cm).

3.2

6.42105374830430

4.92105374830430

3.3

6.85186249334734

5.35186249334734

3.4

7.31313524104010

5.81313524104010

3.5

7.80692285189263

6.30692285189263

• Marcar la curva sobre el albanene siguiendo la forma que tiene la cadena

22

2.55

4.24247318683495

2.74247318683495

matemática, se resuelve calculando módulos que correspondan

2.72

4.72046932965910

3.22046932965910

al número de los marcados en la hoja milimétrica; en este caso

2.89

5.25916220482100

3.75916220482100

serán 40 módulos de 0.16, es decir que calcularemos 20 módu-

3.06

5.86547843231807

4.36547843231807

los y los otros 20 serán el “espejo” de los que calculemos.

3.23

6.54721414664506

5.04721414664506

3.4

7.31313524104010

5.81313524104010

II. Una vez que se tiene el claro qué se ocupará en la ecuación

x

y

h

0

1.50000000000000

0.00000000000000

0.17

1.50964364898365

0.00964364898365

0.34

1.53869859588889

0.03869859588889

0.51

1.58753843499465

0.08753843499465

0.68

1.65679115865393

0.15679115865393

0.85

1.74734723214425

0.24734723214425

1.02

1.86037104344703

0.36037104344703

1.19

1.99731587517961

0.49731587517961

1.36

2.15994259119179

0.65994259119180

1.53

2.35034227810303

0.85034227810303

1.7

2.57096313290955

1.07096313290955

1.87

2.82464194238764

1.32464194238764

2.04

3.11464055906158

1.61464055906158

2.21

3.44468784275129

1.94468784275129

2.38

3.81902760699265

2.31902760699265

III Con ayuda de AutoCAD, traza la curva que obtuviste del modelo y compárala con el cálculo matemático.

Ilustración 8a. Gráfica final de catenaria en Autocad

23

Analiza los resultados En la siguiente imagen se puede notar que, aunque la curva que se formó en el modelo (línea roja) no coincide totalmente con la resultante de las expresiones matemáticas (línea verde), esto es debido a que la cadena que se utilizó tiene unas pequeñas bolitas que no permite el libre paso de la cadena a través de los puntos de amarre (tachuelas).

Ilustración 9a. Comparativa catenaria aritmética y obtenida con el modelo físico

24

Práctica

2

Funicular con cargas puntuales Ejercicio 1 Funicular con 1 carga puntual al centro • Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara una catenaria • Deslizar la cadena para obtener la caída “S” deseada (6.05 cm) Ilustración 10a. Modelo práctica 1 Funicular

• Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) en el centro

carga puntual al centro

de la catenaria, esto deformará la curva, por lo que dejará de ser una catenaria • Marcar la figura que se forma sobre el papel albanene siguiendo la forma que tiene la cadena

Donde tenemos los siguientes datos: • Tomar como referencias la posición en la hoja milimétrica • Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo. Una estructura con separación entre los puntos de amarre de 20 cm (claro), al colocar la carga puntual de 1 gr en el

l

es el claro, en este caso de 20cm

h

es la caída o flecha, de 6.05cm

P1

es la carga puntual, de 1gr

centro del cable con una caída igual a 6.05 cm

25

La reacción vertical en el punto B será igual a

Las expresiones que se utilizarán son: Rb =

∑M ∑M

= 0 ; M = Fuerza * distancia ;

= 0 ; M = Fuerza * distancia ;

A

; M = Fuerza * distancia ;

erza * distancia ;

A

∑F

y

=0

∑F

=0

∑F

=0

y

x

∑F

x

∑F

y

=0

∑F

y

∑F

x

=0

∑F

x

=0

=0

=0

10 = 0.5gr 20

Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las fuerzas con sentido hacia arriba: + ↑ ∑ Fy = 0 − P1 + Ra + Rb = 0 , despejando despejando tenemos, tenemos Ra = 1− 0.5 = 0.5gr

Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extremo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-

Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero,

mento en el extremo A que sean igual a cero

ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al punto C considerando sólo la mitad del cable para obtener la

∑M

A

=0

reacción horizontal en B. (girando a favor de las manecillas del reloj es positivo)

P1 *10 − Rb * 20 = 0

∑M

c

=0

− Rb *5 + H b *6.05 = 0

26

Despejando Hb tenemos,

Por último, calcularemos el área de un cable de acero que sería necesario para soportar esta tensión; empleando acero estruc-

Hb =

+0.5x5 = 0.413gr 6.05

tural con un esfuerzo resistente a la tensión permisible (Fy), igual a 1520 kg/cm2 tenemos que:

Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción horizontal en el punto A, + → ∑ Fx = 0 Hb − Ha = 0 H a = 0.413gr

Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, conociendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apoyos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las reacciones en uno de los extremos del mismo: r 2a 2 =(para V AV== HHa 22 + R .4132tensión + 0.52 =máxima) 0.648gr V A = H a 2 + Ra 2 = .4132 + 0.52 = 0.648gr Ilustración 11a. 2

2

2

2

VB = H b + Rb = .413 + 0.5 = 0.648gr

Geometría Funicular carga puntual al centro

27

Ejercicio 2 Funicular con 2 cargas puntuales

• Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendo la forma que tiene la cadena • Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica. • Realizar la verificación numérica para un sistema con cargas puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo. Una estructura con separación entre los puntos de amarre de 20 cm, al colocar 2 cargas puntuales de diferente peso, la altura se toma desde la parte más baja, por lo que en esta ocasión queda de 6 cm, con una carga puntual de 1 gr a 5.5 cm del punto izquierdo y otra de 2 gr a 4.5 cm del

Ilustración 12a.

punto derecho.

Modelo para ejercicio Funicular 2 cargas puntuales

• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formará una catenaria. • Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm). • Con la ayuda de un clip, colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm del punto de amarre izquierdo. • Con la ayuda de otro clip, colocar dos cubos (2 gr) a 4.5

Los datos que tenemos son: l

es el claro, aquí de 20 cm

h

es la caída o flecha, de 6 cm

P1

es la carga puntual, de 1 gr

P2

es la carga puntual, de 2 gr

cm del punto de amarre derecho.

28

Las expresiones que se utilizarán nuevamente son:

∑ M A = 0 ; M = Fuerza*distancia ; ∑M

A

= 0 ; M = Fuerza*distancia ;

; M = Fuerza*distancia ;

∑ Fy = 0

∑ Fy = 0

∑ Fx = 0

rza*distancia ;

∑F

y

=0

∑ Fy = 0

∑F

x

∑ Fx = 0

=0

∑ Fx = 0

Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las fuerzas con sentido hacia arriba: + ↑ ∑ Fy = 0 − P1 − P2 + Ra + Rb = 0

Sustituyendo el valor de Rb y despejando Ra tenemos Ra = 1+ 2 − 1.825 = 1.175gr

Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extremo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-

Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero,

mento en el extremo A que sean igual a cero.

ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al

∑M

A

=0

punto C considerando sólo las fuerzas que se encuentran a la (girando a favor de las manecillas

izquierda del punto para obtener la reacción horizontal en A.

del reloj es positivo)

∑M

P1 x 5.5 + P2 x 15.5 − Rb x 20 = 0

Despejando Rb tenemos: Rb =

1 x 5.5 + 2 x 15.5 = 1.825gr 20

c

=0

− P1 x 10 + Ra x 15.5 − H a x 6 = 0 Ha =

−1 x 10 + 1.175 x 15.5 = 1.368gr 6

29

Haciendo sumatoria de fuerzas en X se obtendrá la reacción

Predimensionando el cable con ambas fuerzas

horizontal en el punto B,

encontramos su área

+ → ∑ Fx = 0

Área del cable =

Tmáx 1520kg / cm2

Hb − Ha = 0

sustituyendo el valor de Ha y despejando tenemos H b = 1.368gr

Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-

El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se

ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-

selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final

yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las

del mismo.

reacciones en uno de los extremos del mismo:

V = H 2 + R2

(para tensión máxima)

V A = H a 2 + Ra 2 = 1.3682 + 1.1752 = 1.803 gr VB = H b 2 + Rb 2 = 1.3682 + 1.8252 = 2.28 gr Ilustración 13a. Geometría Funicular para dos cargas puntuales

30

Ejercicio 3 Funicular con 3 cargas puntuales

• Con la ayuda de un clip colocar un cubo (1 gr) a 5.5 cm del punto de amarre izquierdo • Con la ayuda del clip colocar tres cubos (3gr) al centro del claro • Con la ayuda de otro colocar dos cubos (2gr) a 4.5cm del punto de amarre derecho • Marcar la figura que se forma sobre el albanene siguiendo la forma que tiene la cadena • Tomar referencias de la posición en la hoja milimétrica

Ilustración 14a. Modelo para ejercicio Funicular 3 cargas puntuales

• Resolver las ecuaciones para un sistema con cargas puntuales considerando los datos obtenidos en el modelo. Una estructura con separación entre los puntos de amarre de 20 cm, al colocar 3 cargas puntuales de diferente peso, la

• Colocar la cadena sobre las tachuelas, ésta formara una catenaria

altura se toma desde la parte más baja, por lo que en esta ocasión queda de 5 cm, con una carga puntual de 1 gr a 5.5 cm del punto izquierdo, otra de 2 gr a 4.5 cm del punto

• Deslizar la cadena para obtener la altura deseada (5 cm)

derecho y una más de 3 gr al centro del claro.

31

Los datos que tenemos son:

Paso 1. Se inicia con la obtención de las reacciones en el extremo del funicular, Ra y Rb. Para ello, se realiza la suma de mo-

l

es el claro, aquí de 20 cm

h

es la altura o flecha, de 5 cm

mento en el extremo A que sean igual a cero.

P1

es la carga puntual, de 1 gr

P2

es la carga puntual, de 3 gr

P3

es la carga puntual, de 2 gr

∑M

∑M

A

∑F

y

=0

∑F

=0

∑F

=0

y

x

∑F

x

=0

∑F

y

=0

(girando a favor de las manecillas

P1 *5.5 + P2 *10 + P3 *15.5 − Rb * 20 = 0

Despejando Rb tenemos

= 0 ; M = Fuerza*distancia ;

= 0 ; M = Fuerza*distancia ;

; M = Fuerza*distancia ;

rza*distancia ;

A

=0

del reloj es positivo)

Las expresiones que se utilizaran nuevamente son:

∑M

A

∑F

y

∑F

x

=0

=0

∑F

x

=0

Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las fuerzas con sentido hacia arriba: + ↑ ∑ Fy = 0 − P1 − P2 − P3 + Ra + Rb = 0 Ra = 1+ 3+ 2 − 3.325 = 2.675 gr ton

32

Los momentos sobre cualquier punto del cable son igual a cero,

Para obtener el valor máximo de tensión de la funicular, cono-

ya que no soporta momentos; en este caso se obtendrán al

ciendo que este esfuerzo máximo se presenta junto a los apo-

punto C considerando solo las fuerzas que se encuentran a la

yos, se calcula la resultante en el cable a partir de conocer las

derecha del punto para obtener la reacción horizontal en A.

reacciones en uno de los extremos del mismo:

∑M

C

=0

V = H 2 + R 2 (para tensión máxima)

+ P3 *5.5 − Rb *10 + H b *5 = 0

V A = H a 2 + Ra 2 = 4.452 + 2.6752 = 5.192 gr

Despejando Hb tenemos

VB = H b 2 + Rb 2 = 4.452 + 3.3252 = 5.55 gr

Predimensionando el cable con ambas fuerzas encontramos su área Haciendo sumatoria de fuerzas en “X”, se obtendrá la reacción horizontal en el punto B, + → ∑ Fx = 0

Área del cable =

Tmáx 1520 kg/cm2

Hb − Ha = 0 H a = 4.45 gr ton

33

Analiza los resultados El área final de todo el cable debe ser la misma, por lo que se

Como se mencionó en la hipótesis, al observar los modelos se

selecciona siempre el área mayor obtenida como diseño final

puede observar que la forma que tomó la cadena fue debido a

del mismo.

los pesos colocados. La flecha o altura se da en el punto donde existe la carga de mayor peso; dentro de un proyecto arquitectónico dichas alturas son propuestas por el arquitecto y su proyecto.

Ilustración 15a. Geometría Funicular para dos cargas puntuales

34

Análisis de resultados prácticas 1 y 2 Los polígonos funiculares pueden tener diferentes formas dependiendo del peso que se les aplique, así como de la posición en la que estos pesos se sitúen a lo largo del funicular. Es decir, la forma responde a las cargas. Una catenaria siempre es un funicular, pero un funicular no siempre es una catenaria. Las reacciones o tensión máxima de los polígonos funiculares son diferentes en los tramos del cable debido a la distribución de las cargas, pero ya que pertenecen a un mismo sistema, se tomará en cuenta la tensión más grande para el cálculo del área del cable, ya que éste debe ser un cable continuo y no pedazos de diferentes medidas.

35

Conclusiones prácticas 1 y 2 Un funicular es un sistema formado por elementos flexibles llamados cables que se deforman de acuerdo a las cargas que soportan para que el elemento que lo forma siempre esté trabajando a tensión. Los apoyos de la funicular son importantes, ya que reciben los empujes horizontales del cable, debiendo empujar en sentido contrario para que el cable no “jale” al sistema hacia el centro. La altura o flecha en un proyecto arquitectónico es propuesto por el arquitecto dependiendo del claro, altura de entrepiso, cargas y por supuesto su concepto. Estos sistemas son muy eficientes en su trabajo, generando soluciones limpias para librar claros grandes, y económicas cuando se emplean materiales que trabajan muy bien a tensión como es el acero. Ilustración 16a. Geometría de distintos tipos de funiculares

36

Ejercicios de aplicación • Realiza tu informe de la práctica y anexa tus conclusiones, dibujos o esquemas. • Realiza el caso 1 con una agujeta, toma una foto de la catenaria y cálcala en algún programa de dibujo asistido por computadora (CAD, por sus siglas en inglés; como AutoCAD, Archicad, etc.), así podrás determinar qué tan similar es lo que dibujaste con la expresión matemática adecuada. • Realiza más modelos para poder explicar qué pasa. • Si el claro es mayor, ¿las reacciones aumentan? • Si las cargas son iguales, qué forma obtiene el cable • Si hay mayor número de cargas, la altura ¿aumenta o disminuye?

37

Cuestionario ¿Qué son los cables que trabajan a tensión con sólo dos puntos de amarre?

a. Catenarias b. Polígonos Funiculares

¿Por qué se dice que los polígonos funiculares sólo trabajan a tensión?

c. Parábolas a. Porque los elementos que soportan todo el sistema los empujan los extremos del cable hacia los pesos

¿Cómo es la figura que adopta sobre el plano de representación cuando se le aplica una carga uniformemente repartida a un cable?

que se aplican b. Porque los elementos que soportan el sistema los jalan a los extremos para mantenerse en equilibrio c. Porque las cargas que se aplican solo se pueden poner en el centro para poder mantener el equilibrio

a. Una catenaria b. Una parábola c. Un polígono de 3 lados

38

Referencias Aroca Hernández-Ros, R. (2002). Funiculares. Cuadernos del Instituto Juan de Herrera. Madrid: Instituto Juan de Herrera-ETSAM. Casañas, V., & Fernándes, C. (2012). Cables y arcos. Recuperado el 25 de febrero de 2018, de Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo. Universidad de la República. Montevideo, Uruguay: http://www.fadu.edu.uy/estabilidad-i/files/2012/ 02/estructuras_traccionadas.pdf Departamento de Matemáticas-Formación a Distancia-PIE. (2013). La caternaria en arquitectura. Recuperado el 25 de febrero de 2018, de Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos: http://www2.caminos. upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/ Chip%20geométrico/Catenaria.pdf Onouye, B. (2012). Statics and Strength of Materials for Architecture and Building Construction. Prentice Hall, USA.

39

COMPRESIÓN. A R C O B I A RT I C U L A D O PA R A B Ó L I C O

PAPIME PE 400516

40

Introducción Se pretende interesar al alumno en sistemas estructurales trabajando a compresión por medio de la geometría del sistema; empleando arcos biarticulados parabólicos, el alumno visualizará y comprobará la relación entre cargas, empujes horizontales del arco y sus acciones internas bajo distintos tipos de distribución de cargas.

41

¿

Qué es el esfuerzo de compresión?

Al aplicar una fuerza sobre el eje del elemento (carga axial) en sentido de oprimirlo, éste trabaja oponiéndose a deformarse produciendo un esfuerzo interior llamado esfuerzo de compresión. La deformación del elemento se produce debido a que sus partículas se juntan haciendo que su longitud se acorte y aumente su sección transversal.

Ilustración 1b. Esfuerzo de compresión por carga axial

42

¿

Qué es un arco biarticulado? Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabólico cuyos esfuerzos internos, producto de soportar una carga externa, son a compresión principalmente. Dependiendo de la geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.

Se dice que el arco está biarticulado cuando en sus extremos existe una “rótula” o articulación que le permite girar al arco en dichos puntos, de forma que se generen menores esfuerzos de flexión internos. A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo largo del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una

Ilustración 2b. Funicular y antifunicular con carga repartida

parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifunicular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo principal es a compresión bajo cargas uniformemente distribuidas, estando biarticulado en sus extremos.

43

¿

¿Qué sucede cuando se tiene un arco biarticulado parabólico con carga puntual?

Obteniendo la reacción en el extremo B tenemos:

Cuando un arco tiene cargas puntuales en diferentes puntos,

Donde:

su geometría no obedece a la funicular correspondiente, por lo que comienzan a generarse momentos al interior del arco.

RBX =

5Pa 3 (L + a 3 − 2La 2 ) 8hL3

(1b)

P = carga aplicada en el arco (kg o ton) a = distancia donde se aplica la carga con respecto al punto “A” (cm o m)

Para obtener la reacción horizontal que se produce en el extremo del arco, debido a que se trata de un sistema hiperestático, se recurre a aplicar el método de flexibilidades para encontrar

h = la altura en el punto más alto del arco (cm o m) L = longitud total del arco (cm o m)

la reacción horizontal en el nudo B, liberando dicho nudo como se muestra en la figura 3b. Un arco parabólico presenta una geometría determinada por la siguiente ecuación: y=

4h (Lx − x 2 ) 2 L

(2b)

Ilustración 3b. Funicular y anti-funicular con carga repartida

44

¿

Qué es una línea de influencia de la reacción horizontal de un arco? La gráfica obtenida nos indica los efectos que presenta la carga al ser colocada en distintos puntos del arco; como se puede observar en la figura 4b, el reacción horizontal de mayor valor Se le llama valor de influencia a la proporción obtenida de la

se obtiene cuando la carga puntual se aplica al centro del arco.

reacción horizontal “Rax” con respecto al valor de la carga aplicada para producir dicha reacción

valor Influencia =

Reacción x (3b) Valor Carga Aplicada (3b)

Para obtener una gráfica de la tendencia de este valor, se va variando la posición de una misma carga en distintos puntos del arco, observando el comportamiento del valor de influencia a lo largo del arco. Para generar la gráfica de estos valores, se requiere que la longitud del arco sea también obtener el claro en proporción a la longitud total, es decir:

Fracción del Claro =

(4b) punto donde se aplica carga (4b) longitud total de arco

Ilustración 4b. Gráfica de Línea de Influencia de un Arco parabólico

45

¿

Cómo se obtiene el diagrama de momento flexionante de un arco parabólico bi-articulado?

Donde: P = carga puntual aplicada al centro del arco L = claro total del arco

El diagrama final de momentos que presenta este arco es: Generalmente el valor de momento que interesa para diseñar es el de mayor valor o máximo, el cual se presenta cuando la carga está aplicada al centro del arco.

El primer paso para determinarlo de forma gráfica es obtener el momento generado en el arco donde se colocó la carga, es decir, al centro, siendo dicho momento igual a (ver figura 5b):

M CL = RXA * h (5b) (5b) Y sobre la gráfica producto de estos valores se dibuja el diagrama de momentos considerando el arco ahora como un elemento horizontal, donde su valor cuando la carga está al centro del claro es:

M CL =

P*L 4

(6b)

(6b)

Ilustración 5b. Diagrama de momento flexionte

46

¿

Qué es un arco parabólico con carga uniformemente repartida? Un arco es un elemento con geometría semicircular o parabólico cuyos esfuerzos internos producto de soportar una carga externa son principalmente a compresión. Dependiendo de la geometría del arco, su sujeción en los extremos y tipo de cargas aplicadas sobre estos elementos, el arco puede sufrir esfuerzos internos a flexión y cortante, adicionales a los de compresión.

A partir de estudiar cables a tensión, se observó que un cable

Ray

Rby

que soporta una carga distribuida de forma uniforme a lo largo del cable presenta una geometría de parábola, es decir, una

Ilustración 6b.

parábola es el funicular de un cable bajo carga uniformemente

Reacciones sobre un arco anti-funicular

distribuida. Si este funicular se invierte generando un antifunicular, se forma un arco con geometría de parábola cuyo trabajo principal es a compresión pura bajo cargas uniformemente distribuidas, estando biarticulado en sus extremos.

47

Las reacciones verticales en los extremos serán igual a: w∗ Lt Ray = 2

Debido a que el esfuerzo máximo se presenta en los extremos, la resultante máxima se puede obtener a partir de la suma de

(8b)

sus componentes:

Para obtener el valor de la reacción horizontal H se genera una

2

⎛ wL ⎞ = ⎜ T ⎟ + H2 ⎝ 2 ⎠

sumatoria de momentos al centro del cable, de forma que:

FCmax

w∗ Lt 2 −S∗H =0 8 (9b)

La ecuación para obtener la geometría de la parábola se obtie-

Despejando de esta expresión se obtiene:

ne a partir de sacar la sumatoria de momentos al extremo de

∑ Mcl =

(11b)

un tramo de la parábola, considerando el cortante y la fuerza

w∗ Lt 2 H= 8∗ S

horizontal en dicho punto, obteniendo: (10b)

⎛ x x2 ⎞ yx = 4S ⎜ − 2 ⎝ LT LT ⎟⎠

(12b)

48

¿

Cómo se predimensiona un arco parabólico con carga uniformemente repartida? Donde: Todos los materiales presentan propiedades que los caracterizan, las cuales pueden ser físicas, químicas, térmicas, etc. Las propiedades mecánicas de un material definen cuánto resiste dicho material al trabajar bajo distintos esfuerzos.

σC

es el esfuerzo interno de compresión actuante en la sección

FC

es la fuerza axial que comprime al elemento (kg o ton)

A

es el área transversal del elemento (cm2 o m2)

transversal del elemento (kg/cm2 o ton/m2)

Cuando se aplica una carga axial de compresión a un elemento, interiormente este elemento comienza a trabajar produciéndose esfuerzos internos de compresión en el mismo. Para que el

Determinar una sección transversal al arco significa diseñar di-

elemento soporte dichas cargas, el material del que esté hecho

cho elemento estructuralmente. Se puede obtener una sección

debe tener la capacidad de resistir dichos esfuerzos internos de

directamente de aplicar las expresiones anteriormente mencio-

compresión, es decir,

nadas, sin embargo, el proceso de diseño implica considerar un mayor número de conceptos que afectan la capacidad resisten-

Fc σC = = σ resistente a compresión del material A

te del material. (13b)

49

Con base en lo anterior, para poder determinar de una forma

el valor del módulo de elasticidad denominado como “E” (su

aproximada y rápida la sección que requiere el puntal para so-

capacidad de deformarse y regresar a su estado original en el

portar la carga axial se proporcionan los valores de esfuerzo re-

rango elástico, empleado para obtener su deformación longi-

sistente de compresión para distintos materiales considerando

tudinal), Coeficiente de Poisson (proporción de deformación

un comportamiento elástico de los mismos, llamado esfuerzo

transversal), su capacidad resistente a compresión llamada es-

de compresión permisible del material.

fuerzo a compresión y su capacidad resistente a compresión permisible, la cual será empleada en la práctica para predimensionar los elementos.

En la siguiente tabla se presentan las propiedades de algunos materiales de construcción más comunes; podemos identificar

Material

E (kg/cm2)

Coeficiente Poisson

Esfuerzo de compresión (kg/cm2)

Esfuerzo de comprensión permisible (kg/cm2)

acero

2100000

0.30

2530

1518

aluminio

700000

0.33

2600

1200

madera

140000

0.20

120

85

concreto

1900000

0.26

250

200

tabique rojo

700000

0.20

90

70

piedra

42184

0.38

800

600

50

Objetivos • Que el alumno se interese de manera teórico-práctico en las estructuras a compresión • Que el alumno aprenda a identificar el trabajo de arcos parabólicos con carga puntual • Que el alumno obtenga de forma gráfica los momentos que se producen en un arco bajo carga puntual • Que el alumno establezca la relación existente entre el comportamiento de los materiales y su aportación dentro de los sistemas estructurales trabajando a compresión. • Que el alumno comprenda la importancia de estos conceptos dentro de su vida práctica proyectual y constructiva.

51

Hipótesis Los arcos parabólicos biarticulado bajo cargas puntuales presentan flexiones; con cargas uniformemente repartidas solo trabajan a compresión. Para ello se comenzará a comprender los efectos de flexión sobre elementos a compresión. Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte al proyecto arquitectónico. Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención de dimensiones de los elementos.

52

Materiales • Uso del equipo STR-10 (ARCO BIARTICULADO). • Regla. • Hojas cuadriculadas. • Cuaderno. • Calculadora.

Ilustración 7b. Equipo STR-10 Arco Biarticulado con medidor

53

Procedimiento A partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del comportamiento de arcos parabólicos biarticulados se compararán los valores teóricos con los valores prácticos de las reacciones horizontales sobre el arco cuando se coloca carga puntual sobre de éste.

54

Práctica

3

Arco parabólico biarticulado con carga puntual móvil Para ello se sugiere: •

Generar equipos de 2 a 3 personas.

•

Verifique que el equipo presenta las siguientes dimensiones: Separación entre articulaciones de 50 cm (500 mm), separación entre segundo tornillo es de 6 cm (60 mm), como se muestra en la figura 8b.

• Cada equipo dibujará el arco parabólico que se forma sobre el arco, a escala, indicando la posición de cada uno de los ganchos sobre el dibujo (la distancia entre argollas es de 5cm), para ello se usará la expresión:

y=

4h Lx − x 2 2 L

(

Ilustración 8b. Equipo STR-10 con las dimensiones necesarias entre apoyos

)

• Se colocará en el primer gancho una carga de 0.5kg.

• Cada miembro del equipo colocará el gancho en una posición distinta de forma que se coloque la carga en los 9 gan-

• Se debe leer la reacción horizontal que se obtiene al colocar dicha carga.

chos que presenta el arco y se deben apuntar los distintos valores de reacción para cada caso.

55

• Para obtener el valor de reacción calculada es necesario emplear la expresión 1b para cada punto donde se va colocan-

Distancia del extremo A (cm)

Lectura de reacción (Kg)

Valor de reacción calculada (kg)

0

0

0

5*

0.1528

0.1532

do la carga:

5Pa 3 Rx = L + a 3 − 2La 2 3 8hL

(

)

10 15

Donde:

20 25

a

es la distancia donde se coloca el gancho con carga

P

es el valor de la carga que para este caso sería de 0.5 kg

30 35 40

h

es la altura del arco la cuál debe ser medida desde la articulación fija al punto más alto del arco (siendo para este caso 10 cm aproximadamente).

45 50

• La tabla que deben ir generando por equipo es la que se

* Se realiza como ejemplo los valores obtenidos para la carga ubi-

presenta a continuación; en ésta se debe colocar el valor de

cada en el primer gancho, con una separación a 5 cm del extremo:

la reacción que mide el aparato (la reacción se encuentra

Lectura medida por el aparato lector: 1.5 Newtons.

en Newtons, por lo que debe ser transformada a Kilogramo Fuerza recordando que 1 Newton = .1019 kg).

Transformando a Kg = 1.5 N * .1019 KgF = 0.1528 Kg.

56

Proporción del Claro del Arco

Valor de influencia de la reacción horizontal obtenida del experimento

Valor de influencia de la reacción horizontal calculada

0

0

0

(ejemplo) 0.10

0.3056

0.3064

El valor de fuerza de reacción evaluado con la expresión 1b de la práctica =

5∗0.5∗5 Rx = (503 + 53 − 2 ∗50 ∗52 ) = 0.1532kg 3 8∗10 ∗50

0.20

• Una vez que se ha terminado de llenar la tabla del paso 8, se debe identificar el punto donde la carga aplicada produce la

0.30

mayor reacción en el arco; para ello se obtendrá la línea de in-

0.40

fluencia de la reacción horizontal, llenando la siguiente tabla:

0.50 0.60 0.70

0.80 0.90 1.0

57

Nuevamente se realizará como ejemplo los valores obtenidos para el primer punto del arco que es a una distancia de 5 cm: A partir de la expresión 4b, obtenemos la fracción del arco para este primer punto:

Fracción del Claro =

5cm = 0.10 50cm

Para obtener el valor de influencia en dicho punto, se emplea la expresión 3b primeramente usando los valores medidos del lector de fuerza del arco 0.1528 Kg Valor Influencia = = 0.3056 0.50 Kg

• Finalmente generen el diagrama de momentos que se produce en este arco bajo la carga máxima aplicada, es decir, cuando la carga se coloca al centro del claro.

Finalmente, se realizar la misma operación pero con los valores obtenidos analíticamente 0.1532 Kg Valor Influencia = = 0.3064 0.50 Kg

Para ello se requiere recurrir a las expresiones 5b y 6b, obteniendo nuevamente en cada punto (5 cm) los valores de ambas. Como ejemplo se desarrollará solamente el valor máximo de la gráfica.

Una vez obtenidos todos los valores de la tabla, se realizarán ambas gráficas de línea de influencia. Los valores permitirán ob-

Conociendo la reacción al horizontal cuando la carga se co-

tener una gráfica similar a la siguiente:

loca al centro del claro de la tabla del paso 8:

58

Reacción Horizontal obtenida del lector cuando carga a 25 cm: 0.478 kg. La altura del arco es de 10 cm.

M CL = 0.478∗10 = 4.78Kg ∗ cm Encontrando el momento máximo como si el arco fuera una viga simplemente apoyada con la misma carga al centro tenemos:

M cl =

0.5∗50 = 6.25kg ∗ cm 4

Analiza los resultados

La gráfica de forma general presentará la siguiente geometría:

Un arco parabólico biarticulado presentará esfuerzos de flexión

(ver figura del lado derecho).

adicional a los de compresión cuando se colocan cargas puntuales sobre el mismo; esto se debe a que su geometría no obedece

¿Qué valor es el máximo encontrado? ¿Que implica dicho dia-

a la antifunicular que le corresponde, como se aprendió en la

grama si se construye el arco con concreto reforzado?

práctica 2 sobre funiculares.

59

Práctica

4

Arco parabólico biarticulado con carga repartida Para ello se sugiere: • En equipo, se colocará en cada uno de los 9 ganchos que tiene el arco una carga igual a 70gr de forma que el arco

• ¿Cómo fueron los valores obtenidos analíticamente con respecto a la lectura reportada por el lector del arco?

soporte un total de 360gr. • Genere el diagrama de momentos internos que tiene este • Apunte el valor de la reacción que presenta el aparato.

arco, siguiendo el mismo procedimiento empleado en la práctica 3.

• Confronte dicho valor con la expresión matemática 10b. Para ello, se debe obtener una carga uniformemente repar-

El momento máximo generado en el arco seguirá siendo igual

tida; para lo cual dividimos la carga total entre la longitud

al de la práctica 3, el diagrama de momentos que se modifica

total del arco en línea recta :

es el de la trabe isostática con carga repartida, es decir:

W=

.360 Kg = .0072 Kg / cm 50cm

M CL = RXA * h

Donde LT es igual a 50 cm y S es igual a 10 cm

60

Pero el momento de la viga con carga repartida será

W ∗ L2 M cl = 8

Donde:

• ¿Qué es lo que pasa cuando se unen ambas gráficas como en la práctica 3? • Finalmente, obtenga el valor de fuerza de compresión máxima y predimensione la sección requerida para este arco si se

W

es igual a la carga repartida del inciso anterior

LT

es la longitud total del arco igual a 50 cm

H

es la altura total del arco igual a 10 cm

construye con aluminio. Para ello debe obtener el valor de compresión máxima y determinar el área requerida colocando el valor de esfuerzo resistente a compresión del aluminio.

El esfuerzo resistente a compresión permisible del aluminio es de 1200 kg/cm2.

2

2

⎛ wL ⎞⎛ wL ⎞ FCmax FCmax = ⎜ = T ⎟⎜ + TH⎟2 + H 2 ⎝ 2 ⎠⎝ 2 ⎠

σC =

Fc = σ resistente a compresión del material A

61

Análisis de resultados práctica 3 y 4 El comportamiento del arco bajo la aplicación de la carga en distintos puntos presenta momentos flexionantes internos, los cuales afectan al arco obligando a que las secciones que lo forman sean de mayor dimensión, pues presenta en su interior tres esfuerzos distintos: compresión, cortante y flexión (cortante y flexión se ven en la práctica 7, 8 y 9). Cuando el arco parabólico biarticulado presenta cargas uniformemente repartidas, el momento flexionante se anula ya que su geometría es el antifunicular para dichas cargas trabajando únicamente a compresión, presentando un diseño más ligero por tener secciones más pequeñas.

62

La introducción a la generación de líneas de influencia es intuitiva, de modo que posteriormente puedan comprender dichas líneas en otros elementos estructurales como son puentes con cargas móviles. La gráfica que se genera en este ejercicio de línea de influencia corresponde a la reacción horizontal producto de una carga móvil que se aplica a lo largo del arco. El punto más desfavorable de aplicación de la carga es al centro del arco, ya que es cuando se presenta la mayor reacción horizontal. Un arco biarticulado es estáticamente indeterminado y los movimientos pequeños en los apoyos extremos del arco generarán que la reacción horizontal disminuya incrementando el valor de los momentos flexionantes

63

Conclusiones Los elementos a compresión como son los arcos han sido empleados durante mucho tiempo en distintas soluciones arquitectónicas y constructivas, como los puentes romanos o las catedrales románicas o góticas. La posición de la carga es muy importante, así como su geometría, ya que, si llegan a producirse momentos internos, su diseño se vuelve más laborioso pues se requiere conocer un mayor número de propiedades mecánicas del material para poder dimensionarlo.

64

Ejercicios de aplicación Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando este tipo de arco biarticulado en los extremos. Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de cargas de automóviles o personas sobre de este, ancho de calzada y respondan las siguientes preguntas.

65

a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto? b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las secciones que forman al arco en dicha estructura? c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones? d. Se te pide generar un puente para peatones empleando un arco; genera una propuesta arquitectónica dibujando su estructura requerida para poder ser construido. Especifica el material y secciones que podrías emplear para ello. e. Dibuja su geometría de forma que sea un arco parabólico biarticulado con carga uniformemente repartida.

66

Referencias Megson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.). Oxford: Elsevier. Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics. New York: John Wiley & Sons Inc. Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prentice Hall.

67

PA N D E O

PAPIME PE 400516

68

Introducción Los elementos estructurales bajo esfuerzos de compresión son comunes en todo proyecto arquitectónico. Estos pueden formar parte de una armadura o servir como puntales (elementos rectos o inclinados que dan apoyo a otros elementos evitando que estos últimos se deformen). A diferencia de los elementos que trabajan bajo esfuerzos de tensión, los cuales sólo pueden fallar cuando sus esfuerzos internos sobrepasan los esfuerzos resistentes del material del que están hechos, un elemento trabajando a compresión puede fallar por dos motivos principalmente. La primera forma de falla es por medio de la ruptura del elemento, ya que el esfuerzo de trabajo interno es mayor al esfuerzo resistente del material con el que está construido. La segunda forma en que puede fallar un elemento trabajando a compresión es debido al pandeo que puede sufrir dicho elemento. Al aplicar una fuerza de compresión sobre cualquier elemento, éste puede deformarse tanto axialmente como flexionarse fuera de su eje principal; dicha deformación recibe el nombre de “pandeo”.

69

¿

Qué es pandeo?

Es una deformación fuera del eje principal del elemento debido a una fuerza axial de compresión; dicha deformación se presenta en forma de curvatura, la cual varía debido a distintas variables: a) las condiciones de sujeción en los extremos del elemento que trabaja a compresión; b) su geometría (radio de giro); c) su longitud (altura) libre. Ilustración 1c. Columna con problemas de pandeo

70

¿

Qué es la relación de esbeltez? Con base en lo anterior, al multiplicar el factor K por la longiEs la proporción entre la longitud efectiva de pandeo de un ele-

tud del elemento (KL), obtenemos la proporción de la columna

mento, denominado KL, y su distribución de masa alrededor de

que puede pandearse o la longitud efectiva de pandeo, denomi-

su centroide o “radio de giro”. El valor de “K” se encuentra en

nada como Le.

función a la proporción del elemento en compresión que se deforma alejándose de su eje centroidal principal; dicha longitud

La relación de esbeltez se determina entonces con la siguiente

de pandeo varía de acuerdo al tipo de restricción que presenten

expresión:

los apoyos que sujetan al elemento en sus extremos, como se muestra en la imagen 2c.

KL Le = r r

(1c)

Donde: KL

es la longitud efectiva de pandeo (m o cm)

r

es el radio de giro de la sección (sobre su eje menor, cm)

Ilustración 2c. Valor de “K” para la longitud efectiva de pandeo

71

¿

Qué es el radio de giro?

El radio de giro, r, es una propiedad geométrica de las secciones transversales y se refiere a la distribución de la masa de dicha sección con respecto a su eje centroidal; toda sección presenta radios de giro alrededor de sus dos ejes principales, obteniendo el radio de giro sobre el eje “X” y sobre el eje “Y” como:

rx =

Ix ; ry = A

Iy A

Donde: lx

es el segundo momento de inercia alrededor del eje x. (cm4)

ly

es el segundo momento de inercia alrededor del eje y. (cm4)

A

es el área transversal de la sección. (cm2)

(2c)

72

¿

Qué es el esfuerzo crítico y la carga crítica?

n=

1 k2

(4c)

Cuando una columna a compresión pura no presenta proble-

Esfuerzo crítico

mas de esbeltez, su esfuerzo resistente a compresión es igual al

Cuando un elemento estructural presenta compresión, su capa-

esfuerzo resistente del material del que está construido. Cuan-

cidad de carga dependerá de su relación de esbeltez. El esfuer-

do el valor del esfuerzo crítico de una columna a compresión es

zo máximo a compresión que soporte un elemento esbelto se

menor al esfuerzo que soporta el material del que está hecha

conoce como “Esfuerzo crítico de Euler” o solamente “Esfuerzo

la sección, entonces se dice que el elemento es esbelto y su es-

crítico”, siendo su expresión:

fuerzo resistente será igual al valor del esfuerzo crítico de Euler.

σ CR =

E ∗π 2 ⎛ K ∗ L⎞ ⎜⎝ ry ⎟⎠

2

=

n ∗ E ∗π 2 ⎛ L⎞ ⎜⎝ ry ⎟⎠

Si σ CR < σ material → σ diseño = σ CR

2

(3c)

Donde:

Si σ CR > σ material → σ diseño = σ material

k

es el valor de condición de frontera de la sujeción en los extremos.

E

es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)

L

es la longitud del elemento. (m o cm)

σ material = esfuerzo resistente a comprensión del material

ry

es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)

σ diseño = esfuerzo válido para diseñar una sección

n

es función de la condición de frontera relacionado con el valor de

Donde:

“k” como la expresión 4C.

73

Carga crítica A partir de conocer el esfuerzo crítico, Euler determinó la carga

Esta expresión será empleada cuando se requiere conocer la

crítica, la cuál es:

carga que soporta un elemento a compresión cuando se haya evaluado el esfuerzo crítico y éste sea menor al esfuerzo a com-

PCR = A∗

E ∗π 2 ⎛ K ∗ L⎞ ⎜⎝ ry ⎟⎠

n ∗π ∗ E ∗ I y 2

2

=

2

L

presión del material. (5c)

Donde: ly

es el segundo momento de inercia del área (cm4); se selecciona la

E

es el módulo de elasticidad del material. (kg/cm2)

L

es la longitud del elemento. (m o cm)

ry

es el radio de giro menor de la sección. (cm o m)

n

es función de la condición de frontera relacionado con el valor de

inercia sobre el eje menor ya que el pandeo tomará dicha dirección.

“k” como la expresión 4C

74

Objetivos • Que el alumno se interese de manera teórico-práctica en el efecto de esbeltez y pandeo en elementos a compresión. • Que el alumno aprenda a identificar los parámetros que establecen la relación de esbeltez y su relación con el esfuerzo crítico a compresión. • Que el alumno establezca la carga resistente a compresión de un elemento, con o sin problemas de esbeltez. • Que el alumno determine la carga crítica de una sección y a partir de dicho parámetro pueda establecer la resistencia a compresión del elemento. • Que el alumno comprenda la importancia de estos conceptos dentro de su vida práctica proyectual y constructiva.

75

Hipótesis Todos los elementos esbeltos trabajando a compresión sufren de pandeo tanto local como general. Para lograr el punto anterior se producirá el inicio del pandeo en distintas barras de aluminio y se comprobará el valor de la carga crítica que presente experimentalmente con respecto a la obtenida empleando la expresión de carga crítica de Euler. Se relacionarán los conceptos de radio de giro, esbeltez, pandeo y carga crítica. Se relacionarán los conceptos mecánicos de los materiales junto con el trabajo de los elementos estructurales que dan soporte al proyecto arquitectónico, sintetizando mediante la obtención de dimensiones de los elementos.

76

Materiales • Uso del equipo STR-12 (PANDEO) • Regla • Hojas cuadriculadas • Cuaderno • Calculadora • Práctica

77

Procedimiento A partir de conocer los aspectos teóricos fundamentales del comportamiento de elementos a compresión con efectos de pandeo, se compararán los valores teóricos con los valores prácticos de la carga crítica de Euler.

78

Práctica

5

Pandeo en elementos biarticulados

Para ello se sugiere: • Generar equipos de 2 a 3 personas. • Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada una de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente. • Cada equipo medirá la longitud de cada una de las barras, apuntando su valor en la tabla mostrada en la siguiente página.

Ilustración 3c. Aparato STR-12 para visualizar y medir la fuerza crítica de Euler ante pandeo

79

• Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su inercia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una barra rectangular sobre su eje menor es: (6C) • Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras, ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a

Donde:

aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.

e

es el espesor de la barra (cm).

b

es la dimensión de la base de la barra (cm).

• La tabla que se generará con sus valores respectivos medidos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:

Número de barra

Longitud (cm)

1

32

2

37

3

42

4

47

5

52

Inercia barra Iy (cm4)

Lectura Carga de pandeo (N)

Lectura Carga de pandeo (Kg)

-85

80

Para obtener el valor de la carga crítica de Euler se empleará la

IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han

ecuación 5C:

colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que puede llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores comien-

Pcr =

nEI yπ 2 2

L

za la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin poder ser utilizada posteriormente.

• Para identificar la relación existente de la carga obtenida del experimento con la expresión de Euler de la carga crítica,

Donde: E

cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el inverso de la longitud al cuadrado.

es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de aluminio este valor es igual a 700,000 kg/cm2.

ly

es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).

L

es la longitud de la barra (cm).

n

es igual a la unidad para este experimento.



Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.

Número de barra

Carga Critica Experimental (kg)

Carga Crítica de Euler teórica (kg)

1/L2

1 2 3 4 5

81

Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la longitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados, de forma que se pueda probar la relación existente entre la carga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de la barra. El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se forma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente. • Finalmente obtenga la pendiente de la recta generada y concluya si se genera una línea recta. Responda si la ecuación de Euler determina con precisión el valor de la carga crítica

82

Práctica

6

Pandeo de barras biempotradas Donde:

Para ello se sugiere: • Generar equipos de 2 a 3 personas.

e

es el espesor de la barra.

b

es la dimensión de la base de la barra.

• Verifique que el equipo presenta las regletas y sujete cada una de ellas adecuadamente con el tornillo correspondiente • Cada equipo medirá la longitud de cada una de las barras,

• Cada miembro del equipo pasará a colocar una de las barras,

apuntando su valor en la tabla mostrada en la siguiente página

ajustándola adecuadamente con el tornillo, y comenzará a aplicar fuerza gentilmente hasta iniciar el pandeo de la barra.

• Cada miembro obtendrá para cada una de las barras su inercia midiendo con el vernier su grosor. La inercia de una ba-

La tabla que se generará con sus valores respectivos medi-

rra rectangular es:

dos por barra para cada equipo debe ser como la siguiente:

(6C) Número de barra

Longitud (cm)

1

28

2

33

3

38

4

43

5

48

Inercia barra (cm4)

Carga de pandeo (N)

Carga de pandeo (Kg)

-429

83

Para obtener el valor de la carga crítica de Euler, se empleará la

IMPORTANTE: Para evitar la deformación de las barras, se han

ecuación 5C:

colocado en la tabla los valores máximos de carga a los que pue-

Pcr =

nEl yπ 2 L2

Donde: E

de llegar cada barra; una vez rebasados dichos valores, comienza la deformación inelástica de la barra y queda deformada sin poder ser utilizada posteriormente.

• Para identificar la relación existente de la carga obtenida del experimento con la expresión de Euler de la carga crítica

es el módulo de elasticidad del material de la barra, como es de

cada equipo debe llenar la siguiente tabla, donde 1/L2 es el

aluminio este valor es igual a 700,000 kg/cm2.

ly

es la inercia de la barra con respecto al eje menor (cm4).

L

es la longitud de la barra (cm).

n

es igual a 4, ya que K es 0.5.(verificarlo con la expresión 4C).

inverso de la longitud al cuadrado:

Número de barra

Recordar que 1 Newton = 0.1019 Kg F.

Carga Critica Experimental (kg)

Carga Crítica de Euler (kg)

1/L2

1 2 3 4 5

84

Los valores de carga crítica con respecto al inverso de la longitud al cuadrado de cada barra deberán ser graficados, de forma que se pueda probar la relación existente entre la carga crítica de pandeo y el recíproco de la longitud de la barra. El gradiente es la pendiente que presenta la línea que se forma en la gráfica realizada, es decir, es la proporción entre la carga crítica y el recíproco de su longitud correspondiente. • Genere una tabla final donde pueda obtener la relación entre los gradientes de una barra articulada con respecto a

N experimental =

Gradiente de barra biempotrada Gradiente barra biarticulada

una barra biempotrada. El valor que obtenga será el valor de “n” o condición de frontera.

¿Tiene algún sentido este resultado?

85

Análisis de resultados prácticas 5 y 6 Una vez realizados los dos ejercicios, modificando las condicioPendiente

Barra bi-articulada

Barra bi-empotrada

Experimental

-9.0

-34.9

Relación caso/ bi-articulada

-9.0/-9.0=1

-34.9/-9.0=3.9

Relación teórica “n”

1

4

nes de sujeción del elemento en el extremo, se pide relacionar el valor de la pendiente de la recta que se genera en la gráfica obtenida en cada ejercicio. Para desarrollar la relación de las pendientes obtenidas, la pendiente obtenida por la barra biarticulada se tomará como la unidad para obtener el valor proporcional para los demás casos. El alumno debe verificar cómo cambia el comportamiento conforme se modifica la sujeción de la barra en los extremos; cómo su pandeo siempre es sobre el eje menor de inercia y la carga crí-

Relación teórica 1

2

tica es el valor de carga máximo que puede soportar el elemento antes de iniciar su deformación plástica debido al pandeo.

86

Conclusiones Los elementos a compresión, como son los puntales y columnas, han sido empleados durante mucho tiempo en distintas soluciones arquitectónicas y constructivas; sin embargo, siempre se han visto afectados por el fenómeno del pandeo. La carga que soporta el elemento se verá reducida con base en su geometría tanto de sección transversal como de longitud; la carga crítica de Euler establece el valor máximo que puede soportar un elemento antes de iniciar el pandeo y sufrir deformaciones permanentes.

87

Ejercicios de aplicación Encuentra un proyecto arquitectónico resuelto empleando puntales y revisa su geometría verificando cuál elemento sufrirá pandeo con mayor facilidad. Una vez que hayan encontrado el ejemplo, dibujen de forma sencilla su estructura, plasmen su claro, valores aproximados de cargas de automóviles o personas sobre éste, ancho de calzada y respondan las siguientes preguntas: a. ¿Con qué material se construyó dicho proyecto? b. ¿Qué ventaja o desventaja le aporta la geometría de las secciones que forman al arco en dicha estructura? c. ¿Cuál es su claro y de qué tamaño son sus secciones? Se te pide encontrar imágenes en la red de elementos que han fallado por pandeo. Especifica el material y secciones presentaban estos elementos.

88

Referencias Megson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.). Oxford: Elsevier. Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics. New York: John Wiley & Sons Inc. Beer, FP and Johnston, R. (2010). Statics and Mechanics of Materials. (12a ed.) Mc. Graw Hill.

89

FLEXIÓN

PAPIME PE 400516

Introducción Se pretende que el alumno conozca todo lo relacionado con el esfuerzo de flexión, tanto teórico como práctico, a través de la definición de conceptos claros y precisos, además de la ejemplificación del fenómeno mediante la solución de ejercicios prácticos. Al final el alumno debe poder realizar la síntesis de la repercusión de este esfuerzo sobre los elementos estructurales, especialmente vigas.

91

¿

Qué es flexión?

Es la distribución de esfuerzos que se producen al interior de

La línea que separa las fibras que trabajan a tensión con res-

un elemento al aplicarle a este último una fuerza transversal,

pecto a las que trabajan a compresión recibe el nombre de “eje

generando una deformación llamada “deflexión”, siendo “la

neutro”, punto en el cual no existe ningún esfuerzo. Finalmen-

flecha” el punto de máxima deformación. Al aplicar una carga

te, al “curvearse” el elemento, se genera una curvatura con su

vertical al elemento en el sentido de la fuerza de la gravedad,

respectivo radio llamado “radio de curvatura”, el cual dismi-

las fibras superiores de este cuerpo se acortan produciendo

nuye cuando aumenta la flexión y aumenta al disminuir esta

esfuerzos internos de compresión mientras que las fibras infe-

última.

riores se alargan produciendo esfuerzos de tensión.

Ilustración 1d. Viga con carga perpendicular a su eje principal.

Ilustración 2d. Flexión en vigas.

92

¿

Qué es momento y un momento de flexión?

Momento de flexión Un momento de fuerza es el producto de una fuerza aplicada

Para que el elemento sobre el cual se aplicó la fuerza esté en

en un punto por la distancia perpendicular a dicha fuerza para

equilibrio, la fuerza resultante a tensión (producto de la suma

llegar al punto sobre el cual gira el elemento.

de los esfuerzos de tensión) debe ser igual a la fuerza resultante a compresión (producto de la suma de los esfuerzos de compresión). Ambas fuerzas son de igual valor, pero tienen sentido contrario y se encuentran separadas una distancia, produciendo un momento de flexión al interior del elemento.

Ilustración 3d. Torque o momento. (1d)

M = Fuerza ∗ distancia

(1d)

Donde: M

es el momento (kg*cm, t*m)

Ilustración 4d. Momento y Cortante sobre una viga.

93

Flexión en vigas y tipos de apoyos Una viga es un elemento estructural, generalmente en posición horizontal, cuya función es soportar cargas externas y transmitirlas hacia sus apoyos generalmente ubicados en los extremos de la misma. El comportamiento de la viga dependerá de la forma en que se conecta con sus apoyos.

viga o ballena

Apoyo simple Es aquel apoyo que impide que el elemento se mueva única-

viga enfrente = apoyo simple

viga atrás = apoyo simple

reacción en y

reacción en y

mente en un sentido, pudiendo moverse en la otra dirección, así como girar alrededor de dicho apoyo. Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en una dirección, en dicha dirección se genera una reacción.

Ilustración 5d. Ejemplo apoyo simple y representación gráfica en el plano.

94

Apoyo articulado Este apoyo impide que el elemento se mueva en todas las direcciones; sin embargo, permite que el elemento gire alrededor de todos los planos. Debido a que sólo restringe que el elemento se mueva en dos direcciones, en dichas direcciones se generan reacciones; aho-

columna inclinada

ra se tienen reacción en X y en Y.

articulación madera apoyo reacción en x reacción en y

Ilustración 6d. Ejemplo apoyo articulado y representación gráfica en el plano.

95

Apoyo empotrado Este apoyo impide que el elemento se mueva y gire en todas las direcciones.

Ilustración 7d. Ejemplo apoyo empotrado y representación gráfica en el plano.

Para conocer el trabajo de flexión en una viga estáticamente determinada que soporta carga, ya sea puntual o distribuida, se recurre a obtener el valor de las reacciones en los apoyos para posteriormente obtener las ecuaciones del momento interior en la viga y plasmar dicho trabajo en diagramas conocidos como diagramas de elementos mecánicos, de momento de flexión. momento

empotramiento

reacción en x

reacción en y

96

¿

Qué es la fuerza cortante?

La fuerza cortante es la distribución de las cargas actuantes hacia los apoyos para que la viga esté en equilibrio. En la figura

En los ejercicios planteados a continuación el alumno practi-

4d se presenta el cortante que se transmite de la carga exter-

cará cómo obtener el trabajo de flexión y cortante sobre una

na hacia la viga, y su diagrama es la representación de la suma

trabe, generar su gráfica y relacionar sus resultados con las

algebraica de todas las fuerzas externas perpendiculares al eje

deflexiones que se producen en la viga.

de la viga y su transmisión hacia los apoyos. Para obtener el diagrama de fuerzas cortantes en vigas se realiza una sumatoria de fuerzas en “Y” o fuerzas verticales.

∑F

y

=0

(2d)

97

Objetivos • Que el alumno aprenda a identificar los diferentes tipos de vigas, su 100 kg

100 kg

100 kg

100 kg

100 kg

función y comportamiento. • Que el alumno aprenda a identificar y a calcular los esfuerzos

40 cm

(cortante y momento) a los que está sometida una viga. • Que el alumno pueda observar la deformación de una viga

25 cm

100 kg

100 kg

100 kg

100 kg

sometida a diferentes cargas. • Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos arquitectónicos.

98

Hipótesis Las trabes son elementos cuyo trabajo principal es a flexión y cortante debido a las cargas que soporta. Para verificar dicha hipótesis: se analizará el comportamiento de una viga, para lo que se realizarán diferentes propuestas para saber cómo se flexiona una viga y sus valores. Para todos los ejercicios se determinará la deformación del modelo y, con los cálculos, se verificará la deformación y trabajo obtenido. Los resultados se obtendrán de forma manual así como con programa de análisis estructural, pudiendo variar los valores ligeramente por cuestiones de decimales empleados.

99

Materiales • Esponja

• Masking Tape

• Plumones

• Marcador

• Plastilina

• Tachuelas

• Hojas milimétricas • Cartón • Latas de leche o pintura vacias • Papel albanene

* Estos materiales pueden comprarse entre dos o tres personas, de forma que sean económicos y no se tengan desperdicios.

100

Procedimiento Lo primero que se debe realizar es: Profesor: Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el plano de trabajo, viga formada por secciones de madera, eje neutro y deflexión, ejemplificando cada paso que realizará el alumno ante el grupo. Alumnos: Generarán la base sobre la cual se colocarán los modelos que generen los mismos alumnos. La base se fabricará: • Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica. • Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación que se desee para la trabe. Ilustración 8d. Modelo de flexión del profesor

• Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor fijación de las tachuelas.

101

Práctica

7

Flexión con cargas puntuales

Visualiza el comportamiento a flexión de una viga sobre un modelo para posteriormente calcular las reacciones, el

b. Coloca latas hasta lograr la altura necesaria, estas latas servirán como los apoyos de la viga.

valor del cortante y momento de flexión de la trabe. Finalmente, traza los diagramas de elementos mecánicos correspondientes. Inicia con el modelo Construye un modelo con las características de la viga que será analizada analíticamente y compara los resultados. a. Haz una retícula en una hoja milimétrica con una graduación que te ayude a observar los esfuerzos que producirá

c. Apoya la esponja en las latas para formar el sistema.

la viga.

102

d. Comienza a agregar peso proporcionalmente a las cargas

f. Con la ayuda de un marcador, traza la curva generada por

establecidas en el ejercicio anterior. Para este ejemplo uti-

la flexión de la viga y compara el resultado con el que se

lizamos plumones, pero se puede utilizar cualquier objeto

obtenga en el siguiente ejercicio

al alcance del practicante. Observa la flexión que producen las cargas en la viga.

Solución analítica de la viga e. Sigue agregando las cargas necesarias conforme al ejercicio. Observa los cambios que se van produciendo en la

Se tiene una viga con tres cargas puntuales (equivalente a los tres plumones).

viga.

7000 kg

7000 kg

10 000 kg

Se inicia obteniendo las reacciones

A

B

2.00 R1

3.00

3.00

Ilustración 9d.

2.00 R2

Viga práctica 7.

103

Para obtener las reacciones R1 y R2 se requiere realizar sumatoria de momentos en el extremo derecho, el cuál llamaremos punto “B”. Para obtener el momento, este será igual a Fuerza

Despejando R2 tenemos R2 = 24000kg − 12000kg = 12000kg

por distancia, ecuación 1D.

∑ MB = 0 (girando a favor de las manecillas del reloj es positivo) + R1(10m) − 7000kg(8m) − 1000kg(5m) − 7000kg(2m) + R2(0m) = 0 ∴+ R1(10m) − 56000kg ∗ m − 50000kg ∗ m − 14000kg ∗ m = 0 ∴+ R1(10m) − 12000kg ∗ m = 0

Para obtener el diagrama de cortantes, se hará la sumatoria de fuerzas en “Y” en todos los puntos donde hay carga puntual. Sólo se tomarán en cuenta las fuerzas que estén a la derecha de cada punto donde se pare para obtener la sumatoria. Para obtener el diagrama de momentos se realiza la suma de momentos de las fuerzas ubicadas a la izquierda de cada punto donde están las cargas; el giro se considera positivo si es a favor de las manecillas del reloj.

Despejando R1 R1 =

120000kg ∗ m = 12000kg 10m

Para obtener el valor de la reacción en el punto “A” se realiza la sumatoria de fuerzas verticales del sistema, siendo positivas las fuerzas con sentido hacia arriba: + ↑ ∑ Fy = 0 −24000kg + R2 + R1 = 0

104

7000 kg

7000 kg

10 000 kg

Cortantes

+ ↑ ∑ Fy = 0 Vx=0 = +12000kg 2.00

3.00

3.00

2.00

R1 = 12 000 kg

R2 = 12 000 kg

Vx=2 = +12000kg − 7000kg = 5000kg Vx=5 = +12000kg − 7000kg − 10000kg = −5000kg Vx=8 = +12000kg − 7000kg − 10000kg − 7000kg = −12000kg

12 000

Vx=10 = +12000kg − 7000kg − 10000kg − 7000kg + 12000kg = 0 5 000 0 x=0

x=2

x=5

x=8

x = 10 0

V

-5 000

-12 000

105

7000 kg

7000 kg

10 000 kg

Momentos

∑M 2.00

3.00

3.00

2.00

R1 = 12 000 kg

R2 = 12 000 kg

x

=0

M x=2 = +12000kg(2m) − 7000kg(0m) = 24000kg ∗ m M x=5 = +12000kg(5m) − 7000kg(3m) − 10000kg(0m) = 39000kg ∗ m M x=8 = +12000kg(8m) − 7000kg(6m) − 10000kg(3m) = 24000kg ∗ m M x=10 = +12000kg(10m) − 7000kg(8m) − 10000kg(5m) − 7000(0m) = 0

0 x=0

x=2

24 000 kg.m

x=5

+

39 000 kg.m

x=8

x = 10 0

24 000 kg.m

Analiza los resultados Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio, modelo y resultados con SAP2000.

106

Diagrama de cortantes El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimiento del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa SAP2000, los valores numéricos varían con un pequeño rango

12 000

de diferencia. 5 000 0

En ambos diagramas podemos observar la distribución de las

0

v

-5 000

fuerzas verticales cortantes a lo largo de la viga. También podemos observar que, al tener las cargas puntuales simétricas,

-12 000

los cortantes de la viga son simétricos y proporcionales a las cargas.

Ilustración 11d. Diagrama de cortantes obtenido con los cálculos realizados.

Ilustración 10d. Diagrama de cortantes obtenido con el programa SAP2000.

107

Diagrama de momentos Los resultados de ambos diagramas de momentos son simila-

0

res, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los va-

0

lores debido a los elementos que toma en cuenta el programa SAP2000 al analizar la viga.

24 000 kg.m

24 000 kg.m

En ambos resultados podemos observar que el momen-

39 000 kg.m

to de flexión mayor se encuentra al centro con un valor de 39,000kg ∗ m .

Ilustración 13d. Diagrama de momentos obtenido

Esto mismo lo podemos comprobar en la flexión que presento

con los cálculos realizados.

la viga en el modelo.

Ilustración 12d Diagrama de momentos obtenido

Ilustración 14d.

con el programa SAP2000.

Deformación y momento de la viga modelada.

108

Práctica

8

Flexión con carga repartida uniforme y carga puntual

b. Coloca la carga distribuida sobre la viga; en este ejemplo colocamos una serie de plumones que actúan como la carga distribuida. Observa el comportamiento de la viga al ir agregando las cargas.

Ejercicio 1 Visualiza el comportamiento a flexión de una viga sobre un modelo. Posteriormente, se debe calcular las reacciones, cortante y momento de flexión de la misma. Traza los diagramas de elementos mecánicos correspondientes. Construye un modelo con las características de la viga por analizar a. Prepara nuevamente el sistema completo (viga y apoyos).

c . Agrega la carga puntual. Observa el comportamiento de la viga al ir agregando las cargas.

109

d. Con la ayuda de un plumón, traza sobre la retícula la flexión

Reacciones

que generaron las cargas en la viga. Compara los resultados

Para obtener las reacciones R1 y R2 se requiere realizar suma-

obtenidos con los resultados del ejercicio anterior.

toria de momentos en el extremo derecho, el cuál llamaremos punto “B”. Para obtener el momento, éste será igual a la fuerza por la distancia, ecuación 1D.

∑M

B

=0

(girando a favor de las manecillas del reloj es positivo) + R1(10m) − 7000kg(8m) − 1000kg(5m) − 7000kg(2m) + R2(0m) = 0 ∴+ R1(10m) − 56000kg ∗ m − 50000kg ∗ m − 14000kg ∗ m = 0

Solución analítica de la viga 8 400 kg

∴+ R1(10m) − 12000kg ∗ m = 0 2 000 kg/m

Despejando R1 R1 =

120000kg ∗ m = 12000kg 10m

+ ↑ ∑ fy = 0 A

B 5.00

R1

7.00

−(2000 ∗12)kg + 16900kg − 8400kg + R2 = 0 R2

Despejando R2 ∴ R2 = 32400kg − 16900kg = 15500kg

110

8 400 kg

Cortantes

2 000 kg/m

+ ↑ ∑ Fy = 0 Vx=0 = +16900kg

5.00

7.00

R1=16 900 kg

Vx=5(− ) = +16900kg − 10000kg = 6900kg

R2=15 500 kg

Se obtiene el cortante dos veces en x=5 ya que debe ser sin considerar la carga puntual y después ya debe sumarse dicha carga. 16 900 kg

Vx=5 = +16900kg − 10000kg − 8400kg = −1500kg 6 900 kg 0 -1 500 kg

0

v

Vx=12 = +16900kg − 8400kg − 24000kg − 7000kg = −15500kg Vx=12(− ) = +16900kg − 8400kg − 24000kg + 15500kg = 0

-15 500 kg

111

8 400 kg

Momentos

2 000 kg/m

∑M

x

=0

M x=0 = +16900kg(0m) = 0kg ∗ m 5.00

7.00

R1=16 900 kg

M x=5 = +16900kg(5m) − 10000kg(2.5m) = 59500kg ∗ m

R2=15 500 kg

M x=12 = +16900kg(12m) − 2000kg(12m)(6m) − 8400kg(7m) + 15500kg(0m) = 24000kg ∗ m 0

M 0

+

Se obtiene el diagrama de momento solo en estos valores que son los máximos, ya que la geometría que une dichos puntos será una parábola por ser carga uniformemente repartida.

59 500 kg · m

Analiza los resultados Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio y del modelo con los resultados con la ayuda del programa SAP2000.

112

Diagrama de cortantes El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimiento del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa

16 900 kg

SAP2000, los valores numéricos varían con un pequeño rango de diferencia.

6 900 kg 0 -1 500 kg

0

v

En este caso la distribución de fuerza cortante es lineal al igual que la carga, presentándose un escalón donde está la carga

-15 500 kg

puntual. El cortante máximo se produce en los apoyos. Ilustración 5. Diagrama obtenido con los cálculos realizados.

Ilustración 4. Diagrama obtenido con el programa SAP2000.

113

0

M

Diagrama de momentos

0

Los resultados de ambos diagramas de momentos son similares, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los valores debido a los elementos que toma en cuenta el programa SAP2000 al analizar la viga. 59 500 kg · m

El momento de flexión máximo se localiza fuera del centro de la viga y tiene un valor de 59500kg * m, a 5 metros de uno de los extremos, dicha distancia, coincide con la carga puntual de 8400kg , que incide en ese punto.

Ilustración 18d. Diagrama de momento obtenido analíticamente

En el modelo podemos apreciar que la viga se flexiona más hacia el lado de la carga puntual, lo cual coincide con los diagramas antes analizados.

Ilustración 17d. Diagrama obtenido con el programa SAP2000.

Ilustración 19d. Diagrama obtenido con el modelo.

114

Ejercicio 2 Flexión de una vida en cantiliver con carga repartida uniforme.

Cortantes

0

Calcula las reacciones, el valor del cortante y momento flexionante de la siguiente viga, y posteriormente traza los diagra-

0

V

-1 600 kg -3 200 kg -4 800 kg -6 400 kg

mas correspondientes.

-8 000 kg

800 kg / m

+ ↑ ∑ Fy = 0 2.00

2.00

2.00 10.00

2.00

2.00

Vx=2 = −(800kg ∗ m)(2m) = −1600kg Vx=4 = −(800kg ∗ m)(4m) = −3200kg Vx=6 = −(800kg ∗ m)(6m) = −4800kg Vx=8 = −(800kg ∗ m)(8m) = −6400kg Vx=10 = −(800kg ∗ m)(10m) = −8000kg

115

Momentos

∑M

x

=0

M x=0 = 0kg ∗ m 0 0

1 600 kg · m 6 400 kg · m

M

M x=2 = −(800kg ∗ m)(2m)(1m) = −16000kg ∗ m M x=4 = −(800kg ∗ m)(4m)(2m) = −6400kg ∗ m

14 400 kg · m 25 600 kg · m

Vx=6 = −(800kg ∗ m)(6m) = −14400kg ∗ m

40 000 kg · m

Vx=8 = −(800kg ∗ m)(8m) = −25600kg ∗ m Vx=10 = −(800kg ∗ m)(10m) = −40000kg ∗ m

Analiza los resultados Compara y analiza los datos obtenidos del ejercicio y del modelo con los resultados con la ayuda del programa SAP2000.

116

Diagrama de cortantes El diagrama de cortante obtenido mediante el procedimiento del ejercicio es el mismo que el obtenido en el programa SAP2000; los valores numéricos varían con un pequeño rango de diferencia.

0 0

V

-1 600 kg -3 200 kg

Al ser una viga en voladizo, el cortante mayor se produce en su

-4 800 kg -6 400 kg

empotre; y al tener una carga uniformemente repartida sobre

-8 000 kg

la viga, los cortantes que se producen en ella van incrementando proporcionalmente mientras nos vamos acercando al empotre de la misma.

Ilustración 21d. Diagrama obtenido con los cálculos realizados.

Ilustración 20d. Diagrama obtenido con el programa SAP2000.

117

Diagrama de momentos Los resultados de ambos diagramas de momentos son similares, se presenta un pequeño rango de diferencia entre los valores debido a los elementos que toma en cuenta el programa SAP2000 al analizar la viga.

0 1 600 kg · m

0

M

6 400 kg · m 14 400 kg · m

En este caso, al igual que en el diagrama de cortante, el mo-

25 600 kg · m

mento de flexión máximo se localiza en el empotre de la viga,

40 000 kg · m

teniendo este momento un valor de 40000 kg * m.

Ilustración 23d. Diagrama obtenido analíticamente.

Ilustración 22d. Diagrama obtenido con el programa SAP2000.

118

Análisis resultados prácticas 7 y 8

2.00

3.00

3.00

8 400 kg

7000 kg

7000 kg

10 000 kg

Compara los cortantes de las vigas anteriormente calculadas:

5.00

2.00

7.00

R1=16 900 kg R1=12 000 kg

2 000 kg/m

R2=15 500 kg

R2=12 000 kg

12 000 16 900 kg 5 000 0 0 -5 000

0

v -1 500 kg

Ilustración 24d. Diagrama obtenido analíticamente

6 900 kg

V

0

-12 000 -15 500 kg

119

2.00

El cortante máximo se produce generalmente en los apoyos, quienes reciben toda la

3.00

3.00

R1=12 000 kg

8 400 kg

7000 kg

7000 kg

¿Cómo influyen las cargas en la forma en que se produce el cortante en la viga?

2.00

5.00

7.00 R1=15 000 kg

R1=??? kg

R2=12 ???

2 000 kg · m

carga de las vigas. Cuando se tienen cargas puntuales, el diagrama de fuerzas cortantes

0 0

presenta una geometría escalonada, haciendo cambio donde están las cargas externas;

0 0

en una viga con carga uniformemente repartida, el cortante es una línea con pendiente

M

24 000 kg · m

24 000 kg · m

constante a lo largo de la viga. 39 000 kg · m

59 500 kg · m

Compara los momentos de flexión en las vigas analizadas anteriormente: Ilustración 25d. Diagrama de momentos de ejercicio 1 práctica 7 y 8.

120

¿Cómo influyen las cargas en la forma en que se produce el momento de flexión en la viga?

¿Cuál es la relación entre el cortante producido y el momento de flexión en una viga?

Las cargas y su posición en la viga determinan la distribución

La carga, el cortante y el momento están relacionados, ya que

del momento de flexión en una viga, por lo que la posición en

la integral de la carga da como resultado el cortante y, obte-

la que se encuentren es muy importante ya que el momento

niendo la integral del diagrama de cortante, se determina el

flexionante máximo estará en donde se concentre la mayor

valor del momento en dicho punto.

cantidad de cargas. El tipo de cargas aplicado sobre la trabe también es importante, ya que con una carga distribuida el momento flexionante mayor se producirá al centro de la viga; en cambio, si las cargas son puntuales, el momento de flexión máximo se producirá en donde haya mayor carga, lo cual puede ser en cualquier punto de la viga.

121

Ejercicios de aplicación 5 000 kg

Realiza nuevos análisis con diferentes tipos de vigas para observar los 3 500 kg · m

esfuerzos producidos en cada una de éstas. Toma como punto de partida las siguientes vigas y analiza sus esfuerzos, realiza sus correspondientes diagramas y compara tus resultados. Propón casos de estudio con diferentes tipos de vigas, diferentes em-

3.00

7.00

potres o diferentes características en sus elementos y analiza cómo se comporta cada una de las vigas. Registra tus resultados en una práctica, agrega los diagramas que sean necesarios para entender y analizar los resultados obtenidos.

122

Conclusiones Los esfuerzos que actúan sobre una viga son dos, principalmeLos

Otro aspecto importante a tomar en cuenta son los claros que cubrirá la

esfuerzos que actúan sobre una viga son dos, principalmente: los

viga, ya que entre más grande sea el claro a cubrir mayor será la sección

esfuerzos a cortantes y los momentos de flexión. Es importante cono-

de la viga para poder soportar los esfuerzos que las cargas ejercen sobre

cer cómo actúa cada uno de estos esfuerzos, la forma de calcularlos y

ella.

aplicarlo en el diseño arquitectónico. Todos estos elementos influyen directamente en el proyecto arquitecAl calcular estos esfuerzos se deben tomar en cuenta diversos factores,

tónico, por lo que es esencial conocer los procedimientos que en esta

como el tipo de material del que se hará la viga, la forma en que está

práctica se llevan a cabo, para que con esto podamos crear un criterio

apoyada y las cargas que va a soportar la misma. Estas últimas son par-

que apliquemos al momento de diseñar un edificio.

te esencial de este análisis, ya que una viga no presentará las mismas deformaciones cuando esté sometida a una carga menor que cuando la carga a soportar sea muy grande.

123

Referencias Durán Peña, D. A. (15 de mayo de 2006). Paquete interactivo didáctico para apoyo del curso de comportamiento de materiales I (capítulo 4). Obtenido de Colección de Tesis Digitales - Universidad de las Américas, Puebla: http://catarina.udlap.mx/u_dl_a/tales/ documentos/lic/duran_p_da/capitulo4.pdf Parker, H. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y constructores. (R. Navarro Salas, Trad.) México: Limusa. Quiñonez, A. (7 de junio de 2015). COMO RESOLVER UNA VIGA CON SAP2000 v17.1.1 - BIAGGIO - UNMSM. Obtenido de YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=6-y8itaq7aE&t=550s Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prentice Hall.

124

ARMADURAS

PAPIME PE 400516

125

Introducción ¿Qué es una armadura? Una armadura es un elemento cuya función es soportar cargas y transmitirlas a sus apoyos, de forma similar a las vigas, por ello también se conocen como trabes de alma abierta. Su virtud principal es que a partir de su geometría descomponen la flexión que tienen las vigas en fuerzas más sencillas, como son la tensión y compresión, lo que permite elementos más esbeltos y económicos con respecto a una trabe.

126

El triángulo es la unidad geométrica básica de la armadura; es una forma que no puede ser deformable, independientemente de cómo están conectados sus elementos entre sí. Ilustración 1e.

Las armaduras se componen de los siguientes elementos: (ver

Diagrama de una armadura y sus elementos.

figura 1e). Las cuerdas superior e inferior son los elementos principales de una armadura, ya que ellos transmiten las fuerzas a lo largo de la misma. Las diagonales tienen como función generar triángulos al interior del elemento, descomponiendo la flexión en tensión y compresión dependiendo de cómo estén orientadas. Finalmente, los montantes sirven para acortar la distancia entre nudos y para lograr la conexión de elementos con la armadura. Ilustración 2e. Esfuerzos de trabajo de una armadura.

127

Tipos de armaduras Armaduras planas Son armaduras que se encuentran contenidas en un solo plano, formadas tanto sus cuerdas, diagonales y montantes por uno o dos elementos cuando es metálica, como se aprecia en la figura 3e. Cuando se trata de armaduras construidas con Principios básicos de las armaduras:

madera, cada elemento puede estar formado por 2, 3 y 4 sec-

a. Debe de tener triángulos en todo su interior.

ciones, debido a su baja resistencia a la compresión y tensión.

b. Las cargas deben caer sobre los nudos. c. Puede tener cualquier geometría, mientas que esté triangulada en su interior. d. Los nudos se consideran articulados aun cuando estén soldados o atornillados. e. Una armadura puede prescindir de montantes, pero siembre debe tener diagonales.

Ilustración 6. Armadura plana

128

Armaduras espaciales De acuerdo con la posición de las diagonales e integración de

Estas armaduras generan una superficie, por lo que están

montantes, las armaduras planas pueden presentar distintos

contenidas en 3 planos; estas estructuras reciben el nombre de

nombres, como:

doble manto por contar con cuerdas superior e inferior. Una armadura espacial simple puede construirse a partir de un tetraedro básico agregando tres elementos adicionales y un nodo, y continuar de esta forma hasta formar un sistema de tetraedros multiconectados.

Ilustración 4e.

Ilustración 5e.

Algunos tipos de armaduras de acuerdo a su triangulación.

Armadura tridimensional o “estructura espacial”.

129

Selección de una armadura La selección de una armadura depende de las condiciones del proyecto arquitectónico así como sus requerimientos. Algunos casos generales son: • Para claros grandes las armaduras son una buena elección,

• Cuando se tiene un gran número de instalaciones que

ya que por sus características presentan un menor peso

corren por el entrepiso, las armaduras son una buena

con respecto al de una trabe de alma llena. Las armaduras

solución ya que permiten el paso de estas instalaciones

pueden cubrir claros que van desde los 10 metros hasta

libremente sin quitar altura de entrepiso.

los 150 metros de largo; sin embargo, se debe considerar que su peralte es mayor al de una trabe y cuando se tienen

• Cuando el tiempo de construcción de la edificación es

claros mayores a 100 m se debe considerar una armadura

muy corto para usar sistemas constructivos que conlleven

tridimensional preferentemente.

mayor tiempo del planeado.

• Cuando se tienen cargas gravitacionales importantes sobre un entrepiso y los claros son medianos a grandes para

• Cuando se quiere rigidizar una edificación, pueden sustituir a trabes como a columnas.

dichas cargas (10 a 30 m), las armaduras pueden soportar mayor carga que el de una trabe debido a presentar mayor peralte pero ser ligeras al estar trianguladas.

130

¿

Cómo se conoce el trabajo de cada elemento de una armadura estáticamente determinada?

Se requiere iniciar obteniendo el valor de las reacciones de los apoyos que soportan a la armadura para comenzar a resolver el trabajo de sus elementos; en esta práctica se abordará el método de los nudos para determinar los esfuerzos internos que se producen en cada barra de la armadura. Este método se basa en encontrar el equilibrio en cada nudo obteniendo las fuerzas interiores incógnitas con el equilibrio de fuerzas sobre los ejes principales (en el eje x y eje y). Se debe iniciar en un nudo donde se tengan dos barras y una carga externa.

131

Objetivos • Que el alumno identifique cada uno de los elementos que conforman una armadura, así como la forma en que trabaja cada uno de ellos. • Que el alumno aprenda a diferenciar la forma de trabajo de una viga de la de una armadura, así como las características técnicas de acuerdo a las diferentes formas de empleo de ésta. • Que el alumno pueda reconocer las formas que toma una armadura, así como el trabajo de las barras de la armadura. • Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos arquitectónicos.

132

Hipótesis Una armadura plana descompone su flexión en un par de fuerzas (tensión y compresión) gracias a su triangulación interior. Para verificar lo anterior se relacionará las deformaciones de la armadura sobre modelos con sus resultados numéricos y se determinará su variación conforme se modifique la triangulación, peralte y valor de las cargas. El análisis de resultados para cada caso se comprobará mediante el de un programa computacional de análisis de armaduras para comprobar los resultados y mostrar los diagramas de trabajo de cada una de ellas.

133

Materiales • Base de cartón corrugado de 30X30cm* • Hojas milimétricas • Hojas de papel albanene • Tachuelas* • Varitas de madera balsa • Hilo y Aguja • Plastilina • Masking Tape*

* Estos materiales pueden comprarse entre dos o tres personas, de forma que sean económicos y no se tengan desperdicios.

• Marcador

134

Procedimiento Profesor Presentará el modelo de trabajo de madera donde se encuentra el plano de trabajo, armadura y pesos, ejemplificando cada paso que realizará el alumno ante grupo. Alumnos Para construir su propio modelo, generarán la base sobre la cual se colocarán nuestros modelos de armaduras.

135

a. Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica. b. Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación que se desee para el polígono funicular. (en el ejemplo 20 unidades) Ilustración 6e. Modelo de armadura para el profesor

c. Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor fijación de las tachuelas.

136

Práctica

9

Armadura plana estáticamente determinada a. Corta las varitas de madera balsa para crear cada uno de los Visualiza el comportamiento de una armadura similar a la de

elementos de la armadura (cuerdas, diagonales y montantes).

este problema; posteriormente calcular las reacciones y los esfuerzos que se presentan en cada barra por el método de los

En total necesitarás:

nudos. Dibuja el diagrama de axiales final de dicha armadura. Inicia con el modelo.

· 9 varitas de 5 cm (montantes) · 8 varitas de 7.5 cm (diagonales) · 4 varitas de 40 cm (cuerdas)

Construye un modelo a escala de la armadura para observar su deformación.

137

b. Con la ayuda del hilo y la aguja, une cada uno de los elementos que conformará a la armadura.

d. Coloca unos botes de pintura que servirán como apoyo de la armadura.

c. Sobre un trozo de cartón más grande que el modelo de la armadura pega una hoja milimétrica que nos ayudará a medir la deformación de la armadura. e. Coloca la armadura sobre los apoyos (botes de pintura).

138

f. Agrega las cargas a la armadura de acuerdo con las posición de ellas presentadas en el ejercicio.

g. Con la ayuda de un plumón, marca sobre la retícula la deformación de la viga, posteriormente compara tus resultados con los obtenidos tanto aritméticamente como con el programa SAP2000.

139

Solución analítica de la armadura simplemente apoyada

Se determina el ángulo que presentan las diagonales en la armadura, de forma que se pueda determinar en cada nudo su componente tanto en “X” como en “Y”. Para este caso, el ⎛ 1⎞

ángulo se obtiene: θ = tan −1 ⎜ ⎟ = 45º , como se muestra en la ⎝ 1⎠ figura siguiente:

Reacciones Se obtienen las reacciones de la armadura; en este caso al ser un elemento con geometría simétrica y cargas iguales sobre sus nudos, la reacción será igual a la suma de las fuerzas externas entre dos, ya que la mitad de dicha fuerza la debe soportar cada apoyo. 9 + ↑ ∑ Fy = 0 Ray = 0.55∗ = 2.475T = 2.50T 2

140

Se debe iniciar el cálculo de la armadura en el nudo donde sólo lleguen dos barras y exista una carga externa sobre el mismo, por lo tanto comenzamos en el punto A. Una vez seleccionado el nudo se aísla de las demás barras, se coloca el nombre de la fuerza y su sentido (no importa que no sea el correcto, si el signo nos da negativo significa que la flecha va en sentido contrario). Se hace sumatoria de fuerzas en X y en Y para obtener el valor de las fuerzas. Al pasar al siguiente nudo (en este caso el B), como se conoce ya la fuerza de la barra AB, ésta se coloca sobre el nudo y debe indicarse en sentido contrario al obtenido en la barra AB para lograr

Para continuar con la solución por este método, se debe ir

el equilibrio en la barra; véase figura anterior (lado derecho).

recorriendo de nudo en nudo seleccionando siempre el nudo donde se tienen solo dos barras con fuerzas incógnitas.

141

142

143

Cuando se han obtenido todas las fuerzas con sus sentidos, se genera el siguiente diagrama, indicando que barras se encuentran trabajando a tensión y cuáles a compresión.

Ilustración 7e. Esfuerzos presentes en la armadura.

144

Ilustración 8e. Deformación obtenida con el modelo a escala de armadura plana de 8m de longitud.

Analiza los resultados Compara las deformaciones obtenidas con el prototipo de la armadura y con los resultados obtenidos con el programa SAP2000.

Ilustración 9e. Deformación obtenida con el programa SAP2000 simulando una armadura plana de 8m de longitud.

145

¿

Qué relación hay entre la deformación obtenida con el prototipo y la deformación obtenida con el programa?

Ambos resultados son similares en la forma en que se deforma

Compara la forma de trabajo (tensión y compresión) obteni-

la armadura, teniendo el punto de deformación más grande al

dos con los resultados calculados previos y con los resultados

centro de ésta. Los elementos que presentan mayores esfuer-

del programa SAP2000.

zos son las cuerdas tanto superior como inferior; las diagonales realizan la descomposición de fuerzas obteniendo valores menores a los de las cuerdas, mientras que los montantes casi no trabajan.

¿Qué relación hay entre ambos resultados? Los resultados obtenidos de la forma de trabajo de los elementos que conforman la armadura son iguales en ambos resultados; esto se debe a que, aunque los resultados numéricos presenten pequeñas diferencias, la forma de trabajo de los elementos que conforman la armadura es única para cada

Ilustración 10e. Resultados obtenidos con el programa SAP2000 (azul=tensión; rojo=compresión).

caso.

146

Práctica

10

Armadura plana estáticamente determinada

b. Agrega las cargas correspondientes.

Visualiza el comportamiento de una armadura similar a la de este problema; posteriormente, calcula las reacciones y los esfuerzos que se presentan en cada barra por el método de los nudos. Dibuja el diagrama de axiales final de dicha armadura. Inicia con el modelo. Construye un modelo a escala de la armadura para observar su deformación. c. Con la ayuda de un marcador traza la deformación (línea a. Arma el modelo (armadura y apoyos) al que se le irán

roja) que generan las cargas en la armadura.

agregando las cargas de acuerdo con la práctica 9 presentada anteriormente.

147

Solución analítica de la armadura simplemente apoyada

Reacciones Se obtienen las reacciones de la armadura; en este caso al ser un elemento con geometría simétrica y cargas iguales sobre sus nudos, la reacción será igual a la suma de las fuerzas externas entre dos, ya que la mitad de dicha fuerza la debe soportar cada apoyo. 5 + ↑ ∑ Fy = 0 Ray = 1.0 ∗ = 2.50T 2

Se determina el ángulo que presentan las diagonales en la armadura, de forma que se pueda determinar en cada nudo su componente tanto en “X” como en “Y”. Para este caso, el án⎛ 1⎞

gulo se obtiene: θ = tan −1 ⎜ ⎟ = 45º , ya que la separación entre ⎝ 1⎠ montantes es de 1 metro.

148

149

Ilustración 11e. Esfuerzos presentes en la armadura.

150

Analiza los resultados

Ilustración 12e. Deformación obtenida con el modelo a escala

Compara las deformaciones obtenidas con el prototipo de

de armadura plana de 8m de longitud.

la armadura y con los resultados obtenidos con el programa SAP2000

Ilustración 13e. Deformación obtenida con el modelo a escala de armadura plana de 8m de longitud.

151

¿

Qué relación hay entre ambos resultados?

El trabajo de la cuerda inferior siempre fue a tensión, mientras que la cuerda superior fue a compresión, debido a que ambas armaduras presentan apoyos simples en los extremos además de presentar una geometría y cargas simétricas. El trabajo de las diagonales es importante para descomponer las fuerzas, mientras que los montantes que presentan mayor trabajo es en los apoyos, disminuyendo el mismo hacia el centro.

Ilustración 14e. Resultados obtenidos con el programa SAP2000 (azul= tensión; rojo= compresión).

152

Análisis resultados prácticas 9 y 10 ¿Qué armadura presenta mayores esfuerzos en sus elementos? Considerando que ambas armaduras presentan el mismo peralte y soportan la misma carga total, la primera armadura analizada presenta mayores valores de esfuerzo en sus elementos, ya que su longitud es mayor que la segunda; sus valores máximos se presentan al centro del claro en las cuerdas, distribuyéndose y aminorando hacia los extremos.

153

¿Cuál es la relación entre los valores de los esfuerzos de las dos armaduras? Como puede observarse, la relación del valor de esfuerzo

Cuanto más larga sea la armadura (mayor claro), los esfuerzos

máximo de la armadura larga con respecto a la corta es del do-

internos serán mayores en los elementos (principalmente las

ble, como lo es su relación entre claros: 4 a 8 m, indicando que

cuerdas). Para mantener un valor menor de esfuerzos en la

el efecto que más impacta al diseñar la armadura es el claro y

armadura es necesario aumentar el peralte de la misma, pro-

no tanto la carga que soporta.

porcional al aumento de su longitud. El aumentar el peralte producirá que los esfuerzos internos disminuyan generando una solución más ligera y económica.

154

¿A qué se debe que una armadura presenta mayores deformaciones si soportan a misma carga?

Ilustración 15e. Deformación en armadura plana de 4m de longitud

A que la proporción de la armadura no se conserva, ya que

práctica 10 (SAP2000).

sólo se aumenta la longitud de la armadura, pero no se aumenta su peralte, haciendo que la primera armadura soporte mayores esfuerzos. Compara ambas deformaciones de las armaduras gráficamente.

Ilustración 16e. Deformación en armadura de 8m de longitud práctica 9 (SAP2000).

155

¿Qué harías para obtener la misma deformación en las dos armaduras?

¿Es importante la posición de las diagonales en la armadura?

Aumentar el peralte de la segunda armadura para que de esta

La orientación de las diagonales marca el esfuerzo al que es-

forma su relación entre peralte y longitud sea proporcional, y

tará trabajando cada elemento de la armadura, es decir, la

que así los elementos soporten menores esfuerzos.

posición de la diagonal puede generar que los elementos que trabajaban en la práctica a tensión inviertan su esfuerzo a com-

Otra solución es tener mayor número de diagonales y montan-

presión, impactando al momento de diseñar estructuralmente

tes que ayuden a distribuir mejor los esfuerzos.

la armadura.

¿En dónde se presenta la mayor deformación en ambas armaduras? ¿Por qué? La mayor deformación se presenta en el centro de la armadura debido a que es el punto más alejado entre los dos apoyos que soportan a la armadura.

156

Conclusiones Las armaduras son elementos estructurales que nos permiten librar

La deformación es otro de los aspectos importantes de una armadu-

grandes claros de una forma fácil y económica, por lo cual es impor-

ra; ésta se presenta por las cargas a las que está sujeta la armadura y

tante que conozcamos sus elementos, la forma en que trabajan y su

por su geometría; a pesar de esto, una armadura puede cubrir un gran

comportamiento ante diferentes situaciones.

claro y soportar grandes cargas y presentar una mínima deformación, como se demostró en los ejercicios, debido a la forma en que los ele-

Como vimos en los ejercicios anteriores, al aplicarle cargas a las arma-

mentos que la conforman distribuyen las cargas.

duras sus elementos comienzan a trabajar de diferente forma, teniendo esfuerzos a compresión y tensión con el fin de distribuir las cargas

Por lo anterior, una armadura es de gran utilidad cuando se quiere cu-

hasta sus elementos de apoyo.

brir un gran claro o cuando se deben soportar grandes cargas, ya que, en comparación con una viga, presenta mejores condiciones de trabajo

Los esfuerzos de los elementos que conforman una armadura varían

y resistencia en sus elementos, además de ser de menor costo que una

de acuerdo con diferentes factores, como la forma en que la armadura

viga.

recibe las cargas, la forma en que se apoya la armadura en sus extremos y la manera en que están dispuestos los elementos que la conforman; por esto es importante conocer los diferentes tipos de armaduras y así escoger la que mejor convenga de acuerdo con las necesidades a cubrir.

157

Ejercicios de aplicación Realiza más modificaciones a la armadura con el fin de analizar su comportamiento en diferentes casos. Realiza una propuesta de casos de estudio con diferentes tipos de armaduras, diferentes empotres o diferentes características en sus elementos, y analiza cómo se comporta cada una de las armaduras. Registra tus resultados en una práctica, agrega los diagramas que sean necesarios para entender y analizar los resultados obtenidos.

158

Cuestionario ¿Cómo trabajan todos los elementos de una armadura?

a Tensión. b. Compresión.

¿Qué característica debe cumplirse en las armaduras?:

c. Tensión y compresión. a. La carga debe aplicarse en los nudos de la armadura. b. La carga puede aplicarse en cualquier punto

¿A qué ayuda el peralte de la armadura?



de la armadura.

c. La carga puede ser repartida a lo largo de

las cuerdas.

a. A disminuir el valor de los esfuerzos internos. b. A incrementar el valor de los esfuerzos internos. c. No tiene efecto.

159

Referencias Nachtergal, C. (1969). Estructuras metálicas: cálulos y construcción. (S. López Camarasa, Trad.) Madrid: Blume. Parker, H. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y constructores. (R. Navarro Salas, Trad.) México: Limusa. Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prentice Hall.

160

MARCOS RÍGIDOS

PAPIME PE 400516

161

Introducción Un sistema estructural son los marcos rígidos; este tipo de sistema es comúnmente empleado para salvar grandes claros y resistir de forma adecuada las fuerzas laterales debido a sismo o viento, por su simplicidad en el diseño y construcción. Los marcos rígidos son estructuras en las que los elementos están conectados de tal manera que se permite la transferencia de momentos, cortantes y axiales que actúan sobre las trabes debido a las cargas externas hacia las columnas. La conexión entre elementos es mediante uniones rígidas capaces de transmitir los elementos mecánicos en la viga sin que haya grandes desplazamientos lineales o angulares entre sus extremos y las columnas en que se apoya. Forman parte de la estructura, ya sea que estén compuestos por columnas-trabes o muros-trabes. Los marcos nos ayudan a comprender el funcionamiento lógico de las cargas y cómo actúan en los elementos que las soporten.

162

¿

Qué es un marco rígido? La trabe es un elemento estructural que principalmente está Un marco rígido se identifica como el sistema constructivo

sujeto a carga transversal, es decir, la carga es perpendicular o

compuesto por elementos verticales (columnas) y horizonta-

normal a su eje longitudinal producto del peso del sistema de

les (trabes), formando uniones rígidas. Un marco rígido traba-

piso o losa, así como el peso de muebles y personas, generando

ja repartiendo la carga del edificio de modo equilibrado, de la

flexión como su trabajo principal. La trabe transmite su trabajo a

trabe hacia las columnas, para finalmente repartirlas hacia el

la columna, que se encarga de llevar la carga hasta cimentación.

suelo. La columna es un elemento estructural prismático que principalmente está sujeto a carga axial o normal, es decir, la carga es paralela a su eje longitudinal; sin embargo, también debe ayudar a las trabes que da soporte llevándose un poco del trabajo de flexión de esta última.

Ilustración 2f. Ilustración 1f.

Transmisión de fuerzas o

Transmisión de fuerzas o cargas hacia cimentación en marco rígido.

cargas hacia cimentación en marco rígido

163

Esfuerzos principales de trabajo de un marco rígido

Cualquier sistema estructural soporta diversos tipos de carga, lo cual origina que sufra deformaciones en cada una de las partes o elementos que lo forman; por esta razón, cada elemento realiza una actividad diferente de aquella que realizaba mientras se encontraba en reposo. A estas actividades se la llaman esfuerzos, siendo los principales de compresión y tensión, como se ve en las prácticas 1, 2, 3 y 4. Esto sucede cuando se muestra un cambio de tamaño en el elemento estructural, debido a fuerzas internas producidas

Ilustración 3f.

por una o más fuerzas aplicadas sobre la estructura. A conti-

Diagramas de compresión y tensión.

nuación, se muestran fuerzas en el eje o axiales. Cuando un elemento como la viga recibe la carga perpendicular a su eje, se genera otro esfuerzo denominado “flexión”, el cual se forma internamente por esfuerzos de flexión y compresión, los cuales, al ser un par de fuerzas de igual magnitud y sentido contrario separados una distancia, producen el momento resistente de la viga.

164

Este momento resistente debe ser igual o mayor al que se produce debido a las cargas externas o momento actuante. En cuanto a los momentos actuantes, se llaman de manera generalizada en algunas convenciones de representación gráfica “momentos positivos”, como los que actúan en las partes cen-

Ilustración 4f Objeto sometido a esfuerzo de flexión.

trales de los tramos, y momentos “negativos” a los actuantes en los extremos continuos o empotrados.

Momentos positivos Cuando la zona de tensión se encuentra en la parte inferior, teniendo a la zona de compresión en la parte superior, como se observa en la imagen 5f (lado izquierdo). Momentos negativos

Ilustración 5f.

Cuando la zona de tensión se encuentra en la parte superior,

Deformación de una viga a flexión.

teniendo a la zona de compresión en la parte inferior, como se presenta en todos las trabes en volado ejemplificado en la imagen 5f (figura derecha).

165

La flexión se da cuando la tendencia al desplazamiento del elemento se realiza en dirección hacia los apoyos. Tomando un marco semirígido (donde la conexión entre trabes y columnas no es continua) como ejemplo, se puede observar en la imagen 6f la transmisión de cargas de la trabe (la cual sufre flexión) hacia las columnas, las cuales también se flexionan hacia el interior del marco, tomando parte de la flexión de las

Ilustración 6f. Marco semi-rígido con carga al centro.

columnas.

La deformación de un marco rígido con carga al centro varía en la deformación que sufren las columnas así como la trabe en sus extremos. En la imagen 7f se puede observar que la trabe permanece recta junto al nudo y después se flexiona un poco menos que en el marco semirígido (fig.6f). En cuanto a la columna, podemos ver que en el marco semirígido el elemento formaba una sola curva, mientras que en el marco rígido se generan dos curvas. Ilustración 7f. Marco rígido con carga al centro.

166

La imagen 8f es la representación gráfica de la deformación y trabajo del marco rígido; en esta figura se ha marcado la distribución de los esfuerzos de tensión y compresión producto de la flexión que sufren tanto la trabe como la columna. Ilustración 8f.

Para poder transmitir las cargas hasta el suelo, las columnas

Momentos positivos y negativos.

deben transportarlas de la siguiente manera: a. Las trabes reciben las cargas y las llevan a sus apoyos; esta distribución se refleja en el diagrama de cortantes de la viga (ver práctica 8 y 9 flexión). b. Dicho cortante de la trabe llega a la columna pero ésta lo recibe como carga sobre su eje, es decir, se transforma en

Ilustración 9f. Efecto cortante en trabe y axial para la columna.

una carga axial para la columna. Generalmente, dicha carga axial es a compresión, aunque en algunos casos puede estar a tensión. c. La fuerza cortante que se produce en la columna debe estar en equilibrio en ambos miembros; para pasar el cortante de una columna a otra emplean a la trabe, que recibe

Ilustración 10f.

dicha fuerza como carga axial con valores muy pequeños,

Efecto axial en la trabe, cortante

que por ello generalmente son despreciados al diseñar las

para las columnas

trabes.

167

Método de distribución de momentos o cross para resolver un marco rígido

Es un método basado en desplazamientos, desarrollado por Hardy Cross en 1930. Es un método de aproximación alto, en-

Factor de rigidez de un elemento

tre mayor número de iteraciones se realicen. Esencialmente, el

Es la rigidez angular que presenta una viga o columna al pro-

método comienza por asumir que todos los nudos de la estruc-

ducirle un giro unitario (representando a un momento) en su

tura se encuentran empotrados. Al liberarlos, los momentos

extremo.

internos en cada nudo se distribuyen y se ponen en equilibrio hasta que los nudos rotan a su posición final. Para la distribución de momentos, ésta se realiza mediante los factores de rigidez de cada miembro y por nudo. Finalmente, se transporta la proporción de momento a cada nudo.

Ilustración 11f. Obtención del Factor de Rigidez Angula para barra biempotrada.

168

se considera que K = donde:

4EI (1F) para barra biempotrada L

K E

es el factor de rigidez de la barra (kg/cm).

I L

es la inercia del elemento. (cm4)

es el módulo de elasticidad. (kg/cm2) es la longitud del elemento. (cm)

Ilustración 12f.

3EI Se considera que K = (2F) para una barra empotrada-arL

Rigidez angular para una viga empotrada-articulada

ticulada dónde: K E I L

es el factor de rigidez de la barra.(kg/cm) es el módulo de elasticidad. (kg/cm2) es la inercia del elemento.(cm4) es la longitud del elemento. (cm)

169

Factor de distribución de rigidez Es la proporción de rigideces de las barras que llegan a un nudo; significa qué tan rígido es un elemento con respecto a otro que llega al mismo nudo. Por lo tanto, el factor de transporte o la relación de un moK elemento deseado ΣK elmentos llegan al nudo (3F) K=

mento con respecto al otro extremo es la mitad, es decir, FT biemportada = 0.5 . Como el giro unitario puede generarse

en el nudo contrario de la misma barra, los momentos se invierten y el factor de transporte será el mismo también para el Factor de transporte

otro extremo.

Al producirse el giro unitario de un lado de la barra, los momentos que se producen en los extremos de la barra tienen

En el caso de una trabe empotrada-articulada el factor de

una proporción de “2” en una barra biempotrada; es decir uno

transporte será igual a cero, FT emportada − articulada = 0 , ya

es el doble del otro.

que el apoyo simple no puede tomar momento.

Ilustración 13f.

Ilustración 14f.

elación momentos viga bi-empotrada con giro

Relación momentos viga empotrada-articulada

unitario en extremo derecho

con giro unitario en extremo derecho

170

Factor por momentos en los extremos de la barra Debido a que el método supone que todas las barras son continuas, se considera que estas se encuentran “empotradas”, por lo que es necesario conocer los momentos en los extremos de estas vigas o columnas debido a la carga exterior aplicada. Para una viga biempotrada con carga uniformemente repar-

Donde:

tida, el momento en los extremos de la misma será igual a

WL2 , M= 12

W

es la carga uniformemente repartida (kg/m)

L

W

M=

wL2 12

M=

es el claro de la viga (m o cm)

wL2 12

L

Ilustración 15f. Relación momentos en los extremos de una viga biempotrada.

171

Objetivos • Que el alumno identifique el comportamiento de las edificaciones de acuerdo con modelo sencillo formado por marcos rígidos ante cargas repartidas. • Que el alumno aprenda a identificar las deformaciones en los marcos rígidos bajo cargas gravitacionales. • Que el alumno obtenga el trabajo interno en un marco rígido debido a cargas gravitacionales. • Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos arquitectónicos.

172

Hipótesis El trabajo de un marco rígido ante unas cargas gravitacionales presentará los siguientes esfuerzos internos de flexión, cortante y axial. Para lograr el punto anterior se relacionará las deformaciones del marco con los valores analíticos obtenidos. Se analizará y sintetizará los conceptos de deformación, giro, curvatura y deflexión en los elementos que forman al marco.

173

Materiales • Modelo marcos rígidos mediante sistema MOLA. • 3 Pesas o plomada con peso. • Alambre de cobre en tramos de 5 cm. • Teléfono con cámara. • Cuaderno, lápiz y calculadora. • Masking tape o cinta adhesiva.

174

Procedimiento Profesor: Presentará el modelo de trabajo requerido por realizar por los estudiantes con el modelo MOLA. Alumnos: Para construir su propio modelo, generarán la base sobre la cual se trazará la deformación del marco por modelar.

a. Sobre la base de cartón pegar una hoja milimétrica. b. Poner las tachuelas alineadas en el eje horizontal, con la separación que se desee para el polígono funicular. (en el ejemplo 20 unidades) c. Poner plastilina en la parte trasera del cartón para tener una mejor fijación de las tachuelas.

175

Práctica

11

Marcos rígidos Visualiza el comportamiento de un marco rígido con carga uniformemente repartida; posteriormente, calcula las reacciones

b. Genera las cargas puntuales; apoyándote con pesos de 10 gramos, genera pesas pequeñas para colgar sobre el modelo.

y los esfuerzos que se presentan en cada barra por el método de Cross. Dibuja los diagramas de elementos mecánicos. Inicia con el modelo. Construye un modelo de un marco rígido empleando el MOLA con cargas distribuidas, como se observa en la siguiente imagen. a. Coloca la base metálica y fija 4 apoyos; posteriormente, coloca los elementos para columnas y el largo para trabe; rigidiza el sistema colocando un tensor hacia los apoyos de atrás. No olvides colocar los triángulos para rigidizar la cimentación en la base.

176

c. Para el marco rígido, deberás colocar un triángulo en cada extremo de la parte superior

e. Compara esta deformación con la que se obtenga de la evaluación numérica así como la que se obtenga de emplear un programa de análisis como es el SAP2000.

d. Traza el marco deformado sobre el papel milimétrico de forma que puedas observar el trabajo de los elementos.

177

Solución analítica del marco rígido Pasos: Método de Cross

a. Identificar las respectivas barras indicándolas con letras (opcional). b. Unificar el marco rígido convirtiéndolo en una viga.

c. Determinar cuántos tramos de viga hay; posteriormente, reconocer el tipo de apoyo (biempotrado/empotradaapoyada).

0 t/m

1 t/m

0 t/m

3m

2m

3m

Viga empotrada

Viga empotrada

Viga empotrada

178

d. Obtener el factor de rigidez de cada barra. Vaciar los resultados en la tabla.

f. Obtener los momentos de viga de cada tramo (*). Vaciar los resultados en la tabla.

M C− D = −

(1)(2)2 = −0.33 12

M D−C = (1)(2)2 / 12 = 0.33

La rigidez del elemento 3 será igual a la del elemento 1,

(*) Las columnas no tienen momento ya que no tiene carga externa aplicada sobre ellas directamente.

K1 = K3 = 1.33 .

g. Obtener la distribución de momentos, en donde se obtiee. Obtener el factor de distribución de rigidez de cada nudo.

en equilibrio los momentos ( (Σ = 0) ) en cada punto de la

Vaciar los resultados en la tabla.

estructura. Vaciar los resultados en la tabla.

K elemento D.F. = ∑ K elementos D.F. A - B =

D.F.

C-D

D.F. F - E

=

w= 1

1.33 =0 1.33+ ∞

D.F. B - A =

2 = 0.60 1.33+ 2

D.F. D - C =

1.33 = =0 1.33+ ∞

ne en cada punto el diferencial de momento que ponga

D.F. E - F

1.33 = 0.40 1.33+ 2

3m

2 = 0.60 1.33+ 2

D.F.

1.33 = = 0.40 1.33+ 2

T m

2m

3m

00

.4

0.60

.6

M

0

00 -0.33

0.33

A.M.

0

0.33

0.40

-0.33

0 0

+0 - 0.33 = -0.33 +0 + 0.33 = +0.33 0.33 w pone en -0.33 w pone en equilibrio. equilibrio.

179



NOTA: El factor de rigidez de un empotramiento es igual a infinito.

h. Después de calcular las diferencias entre momentos en ambos lados del apoyo, éstas se multiplican por su respec-

i. Se realiza el transporte de momentos. Vaciar los resultados en la tabla.

tivo factor de distribución de rigidez. Vaciar los resultados en la tabla.

180

El problema termina cuando en el transporte, en el punto donde hay continuidad, debe quedar lo más cercano posible a un valor de cero.

En caso de que éste no quede en ceros, se deben realizar de nuevo los incisos g al i, hasta que se tenga el número más aproximado a cero. j. El momento final se obtiene sumando cada columna a partir de los momentos. Para obtener los diagramas de elementos mecánicos para este marco, emplearemos el siguiente método: NOTA: No se deben incluir en la sumatoria final los valores correspondientes a la diferencia de momentos

1.- Separar el marco en tramos y contemplar cada uno como

(A.M).

vigas con apoyo simple.

181

2.- Sacar reacciones, multiplicando los metros por la carga uni-

4.- Calcular el momento máximo isostático e hiperestático.

formemente distribuida, posteriormente, dividirlo entre dos.

El momento máximo isostático = Es

En este caso solamente la viga presentará diagrama de cortan-

del triángulo del diagrama de cortante, formando una parábo-

te isostático.

la cuando hay cargas repartidas.

la integral

del área

Diagrama de momentos isostático. M máx = 1*1 / 2 = 0.5 t*m

5. Para dibujar el diagrama de momentos hiperestáticos, se debe dibujar los momentos hiperestáticos sobre el diagrama de momentos isostáticos. Para ello primeramente se localiza3.- Se obtiene el diagrama de cortante isostático de la trabe,

rán los momentos hiperestáticos obtenidos del Cross sobre el

colocando las reacciones obtenidas.

eje horizontal considerando: Del lado izquierdo el momento negativo se encontrará en la parte superior y el positivo en la parte inferior, del lado derecho el momento negativo se encontrará en la parte inferior y el positivo en la superior.

182

Se utilizarán los valores del momento final (M.F.) obteni-

Finalmente el momento hiperestático conserva del lado iz-

do de la tabla de Cross, colocándolos según sus momentos

quierdo su signo, mientras que el momento del lado derecho

negativos y positivos sobre el eje, dependiendo de cada tramo.

lo cambia; es decir, el eje de la viga isostática se mueve hacia

En este caso lo aplicamos a la trabe central.

la línea de corrección quedando el diagrama final hiperestático de este elemento

El diagrama de cortante hiperestático para este elemento se obtiene a partir del diagrama isostático y se obtiene la diferenPosteriormente se dibujarán los momentos isostáticos obteni-

cia de cortante existente en los momentos hiperestáticos; para

dos sobre el diagrama anterior

ello se suman los momentos hiperestáticos en el tramo (C-D en este caso) y se divide entre la longitud de la viga

Este número incrementa al cortante del lado donde hay mayor momento y viceversa del lado opuesto.

183

Para las columnas, se dibuja directamente sus momentos

Quedando los diagramas completos de la siguiente forma

recordando que el primer valor de momento hiperestático conserva su signo y el segundo valor de momento del mismo elemento cambia su signo. Ejemplo columna izquierda:

+1t

0.30 -.172

-.172

-0.2

.086t

+.086t

+.086t

-.086t

+1.0t

+1.0t

-.086t

+1.0t

+1.0t

-0.2 -1.0t M

VN

+.086t +.086+

.086

Para obtener el diagrama de cortantes se realiza la misma acción que se realizó para corregir el diagrama isostático de la trabe y se coloca de forma constante en la columna.

V= Mab + Mba / Long. Element. V= ( .086 + 0.172 ) / 3m = 0.086t

184

Análisis de resultados A partir de observar la respuesta del marco bajo comportamiento físico y resultados analíticos se presentan los resultados obtenidos empleando el programa SAP2000. Se puede observar que las deformaciones son similares analíticamente a las del modelo generado; el comportamiento de un marco rígido ante cargas gravitacionales siempre será similar, si éstas se encuentran uniformemente repartidas.

185

Comparando los resultados numéricos obtenidos por el método de Cross en cuanto a momentos del marco con el obtenido por el programa SAP2000, se puede observar que los resultados son muy similares, pudiendo observar al ver los tres diagramas juntos la relación antes mencionada entre las fuerzas cortantes y axiales para columnas y trabes.

Ilustración 16f.

Ilustración 15f.

Diagramas de axiales, momentos y cortante del

Comparación deformación analítica SAP2000

marco.

con modelo generado MOLA

186

Conclusiones La mayor parte de las edificaciones en la Ciudad de México se han resuelto mediante marcos rígidos desde hace muchos años debido a su comportamiento adecuado ante cargas gravitacionales como accidentales (sismo). Resulta de vital importancia conocer su comportamiento y poder obtener su respuesta analítica de forma que se comprenda su efecto sobre las dimensiones de los elementos estructurales que darán apoyo al proyecto arquitectónico.

187

Ejercicios de aplicación • Plantee sobre un proyecto arquitectónico cómo resolverlo mediante marcos rígidos, ubicando trabes y columnas que lo soporten. Verifique de forma intuitiva cómo se transportan las cargas gravitacionales desde las trabes hasta la cimentación trazando con líneas rojas su trayectoria de las cargas. • Verifique qué edificaciones existen a su alrededor con marcos rígidos y vea sus claros, así como las dimensiones de sus elementos. • Busque ejemplos de solución de sistemas de marcos rígidos empleando distintos materiales constructivos y compare claros, tamaño de secciones y solución en general.

188

Cuestionario ¿Cómo son todos los elementos de un marco rígido?

a. Continuos.

¿Qué es un marco rígido?

b. Unidos por nudos. c. Separados. a. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión,

cortante y axiales.

b. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión

¿Cuál es el método para solucionar un marco rígido?



y cortante.

c. Aquel que transporta entre trabes y columnas flexión.

a. Mediante la distribución de momentos. b. Mediante la distribución de axiales. c. Mediante la distribución de torsión.

189

Referencias Gere, J. M., & Timoshenko, S. P. (1986). Mecánica de materiales. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Novely Cabrales, B. D. (2016). Análisis de estructuras. Método de la rigidez. Barranquilla: Independiente Hibbeler, R. (2015). Análisis estructural. (6ª ed.) Prentice Hall.

190

EFECTO DE SISMO EN EDIFICIOS CON MARCOS

PAPIME PE 400516

191

Introducción ¿Qué es un sismo? Un sismo es energía liberada en forma de ondas debido al movimiento de la litosfera terrestre sobre el manto. Existen distintos movimientos de las placas por las que está formada la litosfera, pudiendo ser: Divergentes, Convergentes o Subducción, Transformación.

192

La falla divergente es cuando las placas se mueven en sentido

Divergente

contrario una con respecto a la otra, permitiendo la salida de material candente desde el manto, como se muestra en la figura 1g superior. La falla convergente o de subducción se produce cuando las placas colisionan entre ellas, introduciéndose la de mayor densidad por debajo de la menor densidad. Finalmente, la falla de transformación es producto del movimiento lateral de las placas.

Convergente o subducción

Transformación

Ilustración 1g. Tipo de movimiento de placas tectónicas.

193

¿

Por qué se mueven los edificios?

Ondas sísmicas. Al moverse la corteza terrestre, se libera energía en forma de ondas, las cuales viajan por la litosfera hacia la superficie de la corteza terrestre produciendo movimiento del terreno cuando las ondas están ya en la superficie. Las ondas que se generan en el punto donde se inicia el movi-

Ondas P o principales

miento de una placa con respecto a otra se llama hipocentro (localizado dentro de la litosfera). Las primeras ondas que se generan al liberar tanta energía se conocen como llamadas principales o “P” y las ondas “S”. Las ondas principales, también llamadas ondas de cuerpo, producen un movimiento uniaxial de compresión y descompresión

Ondas S o secundarias

por todos los medios (manto y litosfera). Su velocidad es de 8 a 5 km/s (28,800 km/h). Ilustración 2g. Tipo de movimiento de placas tectónicas

194

La onda secundaria o de cortante se transmite por deformación cizallante, propagándose sólo en el medio sólido, como lo es la litosfera. Sus velocidad es aproximadamente 1.73 veces más lenta que la onda P, es decir, 4.6 km/s (16,600 km/h). La onda secundaria, al salir a la superficie de la corteza terrestre, genera tanto movimiento horizontal como vertical del terreno, descomponiéndose en las ondas Love y Rayleigh. Los edificios que se encuentran desplantados sobre el terreno afectado por las ondas sísmicas se mueven junto con el terreno,

Ilustración 3g. Movimiento del terreno por ondas S.

iniciando dicho movimiento por su cimentación y produciendo movimiento diferente en su parte superior; dicho movimiento del edificio dependerá de distintas características de la edificación: geometría en planta y elevación, altura, rigidez de su estructura portante y distribución de peso sobre sus entrepisos.

195

¿

En qué consiste un edificio diseñado sísmicamente a base de marcos rígidos o semirígidos?

Un marco es un sistema estructural formado por trabes y co-

Los marcos rígidos fueron el primer sistema empleado para

lumnas unidas de forma continua transmitiendo los esfuerzos

soportar movimientos sísmicos en edificios relativamente altos

internos de trabajo de un elemento a otro en proporción a su

en su momento (4 a 10 niveles en 1920-1940) por su compor-

rigidez y distribución de carga. Cuando la edificación presen-

tamiento al transmitir fuerzas sísmicas del piso a trabes y éstas

ta marcos en sus dos direcciones como elementos principales

a las columnas. Cuando el suelo se mueve, la base del edificio

para soportar las cargas se dice que el edificio se encuentra

se va junto con el terreno y los entrepisos superiores permane-

resuelto a base de marcos rígidos.

cen inmóviles hasta que las columnas o elementos de la base jalan a las trabes y por ende a los pisos superiores para iniciar su movimiento de oscilación.

Ilustración 4g. Movimiento del terreno por ondas S.

196

Al iniciar su movimiento de pisos superiores, el edificio comienza a moverse como un péndulo, del cual puede determinarse su periodo o frecuencia fundamental o la que caracteriza al movimiento del edificio.

Ilustración 5g. Representación de un edificio de 1 solo nivel para análisis sísmico.

Un marco semirígido es aquel en que las conexiones entre trabes y columnas no son continuas, es decir, las columnas soportan a las trabes pero no reciben los momentos de estos elementos. Son marcos que presentan articulaciones en las uniones entre trabes y columnas. Este tipo de marcos ante sismo sufren mayores deformaciones laterales, por lo que es necesario colocar contraventeos de columna a columna para evitar que se desplace demasiado.

Ilustración 6g. Representación de marcos semi-rígidos sin y con contraventeo.

197

Respuesta sísmica de un edificio a base de marcos rígidos

El movimiento que produce un sismo a una edificación es en todas direcciones, sin embargo, para poder estudiar el comportamiento de los edificios bajo efectos sísmicos, se emplean los registros sísmicos medidos en terrenos o edificios existentes. Los acelerogramas registran el movimiento del suelo de un sitio determinado en tres direcciones principales: sentido horizontal, longitudinal y componente vertical. La respuesta de la edificación al movimiento y aceleración del terreno producto del sismo dependerá de las características de la edificación (periodo, rigidez y masa del edificio), así como de la amplitud y frecuencia del movimiento. Cada sismo regis-

Ilustración 7g. Registro sísmico en una dirección (“acelerograma”).

trado en un lugar se descompone y se verifican sus efectos en los distintos tipos de edificaciones existentes que se desplantan en dicho lugar.

198

¿

Qué es la amplitud y frecuencia de una onda? La amplitud de una onda es el máximo punto que alcanza la onda en su registro. El periodo es el tiempo que tarda en generarse una onda completa (sus unidades son los segundos) y la frecuencia es el número de ondas completas que se producen en un segundo, siendo sus unidades los Hertz.

Un acelerograma se encuentra formado por una serie de ondas que representan el movimiento y aceleración que sufre el terreno debido a un sismo. Para interpretar un acelerograma se requiere distinguir las amplitudes máximas de aceleración así como la frecuencia de las aceleraciones; entendiendo el mo-

Ilustración 8g. Definición gráfica de amplitud, periodo y frecuencia en ondas senoidales

vimiento del terreno se puede determinar su efecto sobre los distintos tipos de edificaciones construidas sobre dicho suelo.

199

Objetivos • Que el alumno identifique el comportamiento de las edificaciones de acuerdo con modelo sencillo formado por marcos rígidos bajo movimientos del terreno. • Que el alumno aprenda a diferenciar lo que es frecuencia y amplitud de un movimiento. • Que el alumno reconozca el comportamiento de edificios con distintos periodos y determine los efectos del movimiento del terreno. • Que el alumno aplique los conocimientos adquiridos a proyectos arquitectónicos..

200

Hipótesis Un acelerograma se encuentra compuesto por una serie de pulsos con distinta frecuencia y amplitud, las cuales afectan a las edificaciones. Para determinar la anterior hipótesis se relacionará las deformaciones del edificio y la velocidad de movimiento de un sistema de marcos rígidos de 1, 2 y 3 niveles con y sin diafragma rígido. Se analizará y sintetizará los conceptos de periodo del edificio y sus efectos con la amplitud y frecuencia del movimiento en la base moviendo la edificación de forma unidireccional.

201

Materiales • Modelo marcos rígidos y semi-rígidos con el MOLA • Mesa vibratoria unidireccional (shake table I) • Teléfono con cámara de video • Superficie reglada en la parte trasera del modelo

* Estos materiales pueden ser comprados entre dos o tres personas, de modo que sean económicos y no haya desperdicios

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Procedimiento El Profesor: Presentará el modelo de trabajo requerido por realizar por los estudiantes con el modelo MOLA. Explicará que es un diafragma rígido, qué son los nudos continuos y contraventeos, en caso de requerirlos.

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Práctica

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Comportamiento de sistema a base de marcos rígidos de 1 y 2 niveles bajo movimiento senoidal y sísmico Pasos: 1. Se realizará el modelo de un nivel formado por marcos rígidos (empotrado en la base, sus nudos y colocando diafrag-

4. Se generará una tabla para cada uno de los cuatro casos descritos en el paso anterior.

ma rígido en cada nivel). Se colocará sobre la mesa vibratoria unidireccional para que los alumnos por equipo de 3 personas observen el comportamiento de la estructura. 2. Se colocará en la parte de atrás del modelo un cartón blanco donde pueda trazarse el movimiento del marco. Se

Número de niveles del edificio

Desplazamiento visualizado (cms)

Respuesta generada

Caso 1 1 solo nivel

Onda sensorial amplitud 0.5

Frecuencia 1 Hz Movimiento uniforme, armónico, desincronizado, etc.

puede colocar un plumón pegado al diafragma rígido. 3. Se excitará el sistema aplicando una onda senoidal con las siguientes características:

· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 1Hz.



· Amplitud de 1cm y frecuencia de 1Hz.



· Amplitud de 1.5cm y frecuencia de 2Hz.



· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 2.5 a 3Hz

Caso 2

Amplitud 1 cm

Frecuencia 1 Hz

Caso 3

Amplitud 1.5 cm

Frecuencia 2 Hz

Caso 4

Amplitud 0.5 cm

Frecuencia 2.5 a 3 Hz

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5. Al terminar el paso 4, se deberá agregar un nivel más al

6. El edificio de 2 niveles se probará bajo una de las compo-

modelo, volviendo a repetir los mismos 4 casos de exci-

nentes del registro sísmico de Kobe, Japón 1995. El alumno

tación senoidal. Los valores se vacían nuevamente en una

deberá reportar las deformaciones del sistema y el movi-

tabla similar a la de paso anterior.

miento del mismo. Deberá apuntas sus observaciones en la tabla del paso 5.

Número de niveles del edificio

Desplazamiento visualizado (cms)

Respuesta generada

Caso 2 2 niveles

Onda sensorial amplitud 0.5

Frecuencia 1 Hz Movimiento uniforme, armónico, desincronizado, etc.

Caso 2

Amplitud 1 cm

Frecuencia 1 Hz

Caso 3

Amplitud 1.5 cm

Frecuencia 2 Hz

Caso 4

Amplitud 0.5 cm

Frecuencia 2.5 a 3 Hz

Paso 6

Sismo Kobe, Japón

Analiza los resultados Contrasta los desplazamientos que sufrió cada caso y justifica su comportamiento. Ahora contrasta el comportamiento de un movimiento armónico con el de un movimiento asincrónico. ¿Cómo es la respuesta de los elementos que forman al marco rígido y al marco semirígido?

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Práctica

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Comportamiento de un sistema formado por marcos semirígidos de 1 y 2 niveles bajo movimiento senoidal y sismico

Pasos: 1. Se realizará el modelo de un nivel formado por marcos

3. Se excitará con una onda senoidal con las siguientes carac-

semirígidos (empotrado en la base, pero la unión entre

terísticas:

elementos será articulada. No coloque el diafragma rígido en ningún nivel). Se colocará sobre la mesa vibratoria uni-



· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 1Hz.

direccional para que los alumnos por equipo de 3 personas



· Amplitud de 1cm y frecuencia de 1Hz.

observen el comportamiento de la estructura.



· Amplitud de 1.5cm y frecuencia de 2Hz.



· Amplitud de 0.5cm y frecuencia de 2.5 a 3Hz

2. Se colocará en la parte de atrás del modelo un cartón blanco donde pueda trazarse el movimiento del marco. Se puede colocar un plumón pegado al diafragma rígido.

4. Se generará una tabla para cada uno de los cuatro casos descritos en el paso anterior.

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5. Al terminar el paso 4, se deberá agregar un nivel más al modelo colocando contraventeos verticales en ambas direcciones en ambos niveles, volviendo a repetir los mismos 4 casos de excitación senoidal. Los valores se vacían nue-

Número de niveles del edificio

Desplazamiento visualizado (cms)

Respuesta generada

Caso 1 1 solo nivel

Onda sensorial amplitud 0.5

Frecuencia 1 Hz Movimiento uniforme, armónico, desincronizado, etc.

vamente en una tabla similar a la de paso anterior.



Caso 2

Amplitud 1 cm

Frecuencia 1 Hz

Caso 3

Amplitud 1.5 cm

Frecuencia 2 Hz

Caso 4

Amplitud 0.5 cm

Frecuencia 2.5 a 3 Hz

Paso 6

Sismo Kobe, Japón

El edificio de 2 niveles se probará bajo una de las componentes del registro sísmico de Kobe, Japón 1995. El alumno deberá reportar las deformaciones del sistema y el movimiento del mismo. Deberá apuntas sus observaciones en la tabla del paso anterior.

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Análisis de resultados A partir de observar la respuesta de las distintas edificaciones y comparar su tabla de resultados, el alumno deberá contestar las siguientes preguntas: • ¿Qué sistema sufrió mayores deformaciones? ¿Por qué sucedió esto? • ¿Cómo influye la amplitud del movimiento en el terreno en la respuesta de las edificaciones estudiadas? • ¿Cómo influye la frecuencia del movimiento en el terreno en la respuesta de las edificaciones estudiadas? • ¿Cómo es un acelerograma con respecto al comportamiento de una onda senoidal? ¿Será distinto el comportamiento del edificio? • Conociendo que los acelerogramas registrados en una zona presentan características similares con lo cual se puede caracterizar el movimiento de dicha región, ¿Podrá proponerse algún tipo de solución estructural para tener menores problemas ante sismo?

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Conclusiones La respuesta de los edificios ante sismos constituye un punto fundamental por aprender cuando se vive en regiones sísmicas. Es importante que los arquitectos comprendan los efectos de la estructura colocada en sus proyectos para facilitar un mejor comportamiento de estos ante sismos. Aun cuando los efectos de periodo, rigidez, periodo del terreno, se abordan de forma lúdica, no deja de ser importante visualizar dichos conceptos para poder comprender la solución numérica cuando llegue a plantearse por ingenieros.

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Ejercicios de aplicación Realiza una propuesta distinta de estructuración y pruébala en la mesa vibratoria de forma que se analice el comportamiento de cada elemento y después del sistema en conjunto. Verifica qué edificios han sufrido más daños bajo los sismos recientes sufridos en la República Mexicana y determina sus características de estructuración. Busca los acelerogramas de los sismos recientes registrados cerca de la CDMX y trata de entender y sintetizar el comportamiento que tendrán los edificios cercanos a dichas zonas.

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Cuestionario ¿Cómo son todos los elementos de un marco rígido?

a. Continuos.

¿Qué tipo de movimiento implica el sismo?

b. Unidos por nudos. c. Separados. a. Del edificio en su parte superior. b. Del terreno donde se desplanta la edificación. c. Del movimiento del manto de la tierra.

¿En qué ayuda el diafragma rígido al edificio bajo comportamiento sísmico?

a. A transmitir de mejor forma los esfuerzos a todos

los elementos.

b. A incrementar el peso del entrepiso. c. No tiene efecto.

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Referencias Chopra, A. K. (2014). Dinámica de estructuras (4a. ed.). México: Pearson Educación. Kostoglodov, V., & Pacheco, J. (1999). Un catálogo de sismos moderados y grandes ocurridos durante el siglo XX. “100 años de sismicidad en México”. México, D.F., México: Instituto de Geofísica, unam.

212

Bibliografía Aroca Hernández-Ros, R. (2002). Funiculares. Cuadernos del Instituto Juan de Herrera. Madrid: Instituto Juan de Herrera-ETSAM. Casañas, V., & Fernándes, C. (2012). Cables y arcos. Recuperado el 25 de febrero de 2018, de Facultad de Arquitectura, Diseño y Urbanismo. Universidad de la República. Montevideo, Uruguay: http:// www.fadu.edu.uy/estabilidad-i/files/2012/02/estructuras_traccionadas.pdf Chopra, A. K. (2014). Dinámica de estructuras (4a. ed.). México: Pearson Educación. Departamento de Matemáticas-Formación a Distancia-PIE. (2013). La caternaria en arquitectura. Recuperado el 25 de febrero de 2018, de Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos: http://www2.caminos.upm.es/Departamentos/matematicas/Fdistancia/PIE/Chip%20geométrico/Catenaria.pdf Durán Peña, D. A. (15 de mayo de 2006). Paquete interactivo didácti-

213

co para apoyo del curso de comportamiento de materiales

VIGA CON SAP2000 v17.1.1 - BIAGGIO - UNMSM. Ob-

i (capítulo 4). Obtenido de Colección de Tesis Digitales -

tenido de YouTube: https://www.youtube.com/watch?-

Universidad de las Américas, Puebla: http://catarina.udlap.

v=6-y8itaq7aE&t=550s

mx/u_dl_a/tales/documentos/lic/duran_p_da/capitulo4.pdf Gere, J. M., & Timoshenko, S. P. (1986). Mecánica de materiales. México: Grupo Editorial Iberoamérica. Kostoglodov, V., & Pacheco, J. (1999). Un catálogo de sismos moderados y grandes ocurridos durante el siglo xx. “100 años de sismicidad en México”. México, D.F., México: Instituto de Geofísica, UNAM. Megson, T. (2017). Structural and stress analysis (3a. ed.). Oxford: Elsevier.

Zalewzki, W., & Allen, E. (1990). Shaping structures statics. New York: John Wiley & Sons Inc. Onouye, B. (2012). Statics and Strength of Materials for Architecture and Building Construction. Prentice Hall, USA. Hibbeler, R. (2013) Mechanics for Engineers : Statics (13 ed.). Prentice Hall Beer, FP and Johnston, R. (2010). Statics and Mechanics of Materials. (12a ed.) Mc. Graw Hill. Hibbeler, R. (2015). Análisis estructural. (6ª ed.) Prentice Hall.

Nachtergal, C. (1969). Estructuras metálicas: cálulos y construcción. (S. López Camarasa, Trad.) Madrid: Blume. Novely Cabrales, B. D. (2016). Análisis de estructuras. Método de la rigidez. Barranquilla: Independiente. Parker, H. (1995). Ingeniería simplificada para arquitectos y constructores. (R. Navarro Salas, Trad.) México: Limusa. Quiñonez, A. (7 de junio de 2015). COMO RESOLVER UNA

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