Las Sombras De La Mente.pdf

Las sombras de la mente Hacia una comprensión científica de la consciencia

Roger Penrose

Traducción castellana de

Javier Garci'a Sanz

CriJtica Grijalbo Mondadori Barcelona

Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del copJ/,,'gA,, bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra

por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamicnto informático, y la distribución de ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo públicos. Ti'tulo or¡ginal:

SHADOWS OF flIE MIND A Search for the M¡ssing Science of Consc-Iousr,ess Oxford University Press, Oxford Diseño de la colección y cubierta: ENRIC SATUÉ © l994: Roger Penrose

Prohibida su venta fuera de la Unión Europea Esta traducción se publica por acuerdo con Oxford University Press. © l996 de la traducción castellana para España: CRÍTICA (Grijalbo Mondadori, S.A.), Aragó, 385, 08013 Barcelona ISBN: 84-7423-771-8

Depósito legal: B. l3.90l-l996

Impreso en España l996.-HUROPE, S.L., Recaredo, 2, 08005 Barcelona

Prefacio

E

ste librg puede considerarse, en cierto sent¡do, una secuela de LaL rln¬ye,

rrLFT+? _d_el empelí±dor (aquí abreviado NME). De hecho, continuaré el tema que iriciq N_ME, pero lo que tengo que dec¡r aquí puede leerse con total ind¿pendencia de aquel libro. Parte de la motivación para escribir de nuevo so¡re e?!e tema surgió origincilmente de la necesidad de dar respuestas detalladas a

qiversas preguntas y críticas que han planteado varias per;onas en relación con lo:_arig_umen:?s expuestos.en.N.ME. S_in embargo, voy -a presentar aquí un argumento que tie_ne su_propia independencia y que explora algunas i-deas nue-vas

que_ yan_Tucho más allá de las de NME. Uno de los temas centrales de NME haP4_.sido y,i pretensión de que mediante el uso de nuestra conscienci¿ ¿;t;-

T'?ñ:Íifp=:|cit.ados para.ajecrt-~a:Sin acci_ones que están -áe--:;-á¡;ii:i-er-ut-iupo dJf._±¬!i:id_ad :opcputaciongl. embargo;en NME;ó;-;¡i-á se presentaba es;i-1iiii c-;rffo úñá+h.ipótesis_!e filgún rriodo provisio-nal, y había ci¿rta j¿i;;á-;á-sáir~e-i-o';-tVi_ pos de_pro?edimiento que podrían englobarse bajo del títuló de «actividad ;o-mprt_:_cli_onal».. El pr,esente .volumen p.roporciona lo que yo creo que es un argü.= T.=nto Tucho mfis ¬onv.inceftte y riguroso a fiavor de esta con¿Iusión gene-rai. yise aplica a cual.quier t!po de_pr?ceso cornputacional. Adernás, aquíse-prese;-

t: una sug:rencia Tu:ho y:ás plafsiPle que la que podía darse án NhiE. para u_:_me:ani:n:o ep la funció.n cerebral por el que una acción física no co;¿utaci?nal podría subyacer realmente en nuestro comportamier;to controlado'cori= cientemente. Mi.argumfrito tiene dos ramificaciones distint`as. Una de ellás es en esencia ne.g_atiyü, en la que discuto enérgicamente el punto de vista normalmente soste-

n_i=1o de que ru,estra ment?liqad coruciente -en todas sus diversas man;ii;;;aci_oyes- podría ser, en principio, completamente entendida en términos ¿e modelos .con:p.utacio.na!es: IJa otra es positiga. en el seniido de que represe¿¡a ;-na genuina_b¥squeda de los medios. dentro de las limitaciones-de lo; hechos concJr=:os de la cien.ci:, con los ¬uales un cerebro científicamente descriptible po-

dr.í? ser capaz de hacer uso de principiosfísicos sut;les y básicament¿ ¿i;:;;ocidos pcira ejecutar las acciones no computacionales-necesarias.

Pe acu=rdo con e.sta gico_temía, los argumentos de este libro se presentan en dos partes separadas. Im Primera parte proporciona uria discusió; compl¿t¿

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Lassombras de la mente

'festación y detallada. c-o;creti que apoya e¿ la sól¡damente cualidad humana mi tesis de «comp_rensión». de que la c?rsciencif,. .est.á h?ciendo eri.su ,mari-_ algo 'que la mera computación no puede hacer. D?jo_ claro que el.términ? «comp¥: -1tación» incluye ianto sistemás «de-arr¡ba-abajo», que actú_an según pro:eqi-

cos bien entendidos, como sistemas «de-abajomientos algorítmico os de form;riááüffusa de manera que les peryiiarr¡ba», que estdn te aprender por exper¡enc¡a. Para los argumentos de la Primera parte, es funda;ental eí famo-so teorema de GÓdel, y se da un examen_ muy completo de las implicaciones relevantes de dicho teorema. Eslo ertier?e eno{piem.ent:.argum;ntos -man, y por anteriores Lucas; y proporcionados todas las diversas porobjeciones el propio que GÓdel, conozco por son Nagel responPidas y N.?yen d;tólle. En reláción con esto, se dan algunos argumentos en contra de que los sisteínas de-abajo-arriba (tanto como los sistemas de-arriba-abajo) sean ca_paces de alcanzar alguna vez ¡nteligenc¡a auténtica. IJas conclusiones. son qu? :el pensamiento consciente debe involucrar component.e: que no pu?den s.er, si.-

qúiera -cornputación, simulados poradecuadamente sísola, provocar por cualquier mera cornpt!ta:¡ón; sentirpientom?nos o intenc¡gn a.ú,n podrí? :ons:.i?nla

te. Én consec;encia, la mente debe ser realmente algo que no puede describirse mediánte n¡ngún tipo de térm¡nos computacionales. En la Serinda -par{~e, los argumentos se orientan hac¡a la físicq y.l.: Piología. lJJ líne;de razonamiento, aunque contienefra_gTen!o: que son decid¡damen,ie más provisionales que la discusión rigurosa de la Pr¡p?ra parte, repres.entai un int;nto genuino pór comprender cómo semejante acción no c.pp3`pu_tacion.al -cipios podría ap;recer J:ás¡cos deritro de lade mecánica leyes fís¡cas cuántica científicamfnte se introducen co.mp.ren?ible.`s. desde_el.pr¡ncipio +o.s priny,n?

s¿ requiere que el lector tenga ningún conocimiento p_revio de la._teoría cuá.ntica. I:os eniimas, paradojas y misterios de esta disciplinp se analiz.a_n con cier.ta -profundid;d, ut¡¡izandodealgunos ejemplos n_uevos qug il¥st.r.an.gráfii.camen:: los -pa;peles importantes la no localidad y_ I? contrafftctic.idad, y qe:ues:::res

'cómplejas-planteadas por el fenómeno del eftm?rañami¬nto cftántic?. Pefenderé c;n e;ergía la ne¿esidad de un cambio fundamental,_ en cie_rtp nivel.cla,r_a`mente especificado, en nuestra actual visión mecano-cuqntica .dely:undi?.!P:-.

tas idea;gu;rdan ;na estrecha relac¡ón con el trabajo reciente de_G_hir?rd:, Dió,si y otros.)-Existen diferencias importantes entre las ideas que defienderé aquí y las propugnadcis en NME. -Es;oy-sugiriendo que una no computabilidad física -necesqria para una explicación de la no computabilidad en nuest_ra5 aFcion?s conscientes- ent:a e; este nivel. En consecuenc`Ia, yo exijo que el nivel en el que esta no comput,abilidad ftsica es importante debe tener relevancia en lq a_cción ce.rePral..Es` :`q,u_i donde -mis propuóstas actuales difieren más sustancialn}ente de !a_s de NME. Mantengo -que mientras que las señales neuronales pueder muy .bi?n :ompo:tarse c;m;sucesos determinados clásicamente, las conexiones sinápticas entr_e neuronas están controladas a un nivel más profund®, donde debe esperarse que exista una actívidad física importante en la frontera cuántico-clásicq. Las pr?puestas concretas qL;e estoy haciendo exigen que haya un comportamiento cuán-

Prefacio

g

tico:ofierente_a §:qft _escala (de acuerdo con las propuestas que han sido desar.r?llad,as.por Fróhlich)_que oFurre dentro de los microtúbulós en los citoesq;eie.tos d_e l_qs neu:opas. Se sugiere que esta act¡vidad cuántica debería estariirid,a, no ??,mputaci?nalm`ente.a_ un_?_ acción similar a una computación -que Ham_eroff y sus colegas han defiendido que debe tener lugar en lo;microtúbJl-o:. L?s ?rgum,entos _que voy a preseritar apuntan a varios lugares donde nuestrS imSg?nes actu.fil:s f:tán muy lejos de sum¡nistrarnos una-comprensión científica de.la.mentaliqad ftun:a_na. De todas formas, esto no signifi-ca que el fenóm_en,o qe l,a con^:ciencia deba pfrmanecer fuera de la ex;li;ació; cier;tífica.

Dffen.d_eré fon fi:meza, como hice en NME. que tendría iue haber un c;mino ci.ertífi.co hacia la comprensión de los fenómenos mental-es, y que este cami;o de.bería.?Tp.ez,a: por~una apreciqción más profunda de la nótu-raleza de la propja reaI¡dad físic.a. Cr.eo que es_ importante que cualquier lector interesad; que desee comp_render cómo puede entenderse un fienómeno tan extraño comó la mefite er térTinos de_ un murdo fís_ico material, tuviera alguna noción signifi_ cat¡_v? de_cuán extrañas son las reglas que han de goberna; realmente ese-«;atericil» de nuestro mundo fís¡co. 1+a c?mpre.nsión ?s, después de todo, de lo que trata la ciencia; y la ciencia es mucho más que la mera computación mecánica.

Oxford, abril de l994

R. P.

Agradecimientos

stoy en gran deuda con muchas personas por la ayuda que me han prestado al escribir este libro; demasiadas para agradecérselo individualmente, incluso si pudiera recordar todos sus nombres. Sin embargo, estoy especialmente agradecido a Guido Bacciagaluppi y Jeremy Butterfield por sus comentarios sobre partes de un borrador primitivo, en el que descubrieron un error importante en el razonamiento, tal como estaba entonces, en lo que es ahora parte del capi'tulo 3. También estoy agradecido a Abhay Ashtekar, Mary Bell, Bryan Birch, Geoff Brooker, David Chalmers, Francis Crick, David Deutsch, Solo-

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mon Feferman, Robin Gandy, Susan Greenfield, Andrew Hodges, Dipankar Home, Ezio lnsinna, Dan lsaacson, Roger James, Richard Jozsa, John Lucas, Bill McColl, Claus Moser, Graeme Michison, Ted Newman, Oliver Penrose, Jonathan Penrose, Stanley Rosen, Ray Sachs, Graeme Segal, Aaron Sloman, Lee Smolin, Ray Streater, Valerie Willoughby, Anton Zeilinger y especialmente a Artur Ekert por varias informaciones y ayudas. Ha habido innumerables corresponsales y personas que ofrecieron comentarios verbales respecto a mi libro anterior, ZÁz nwcw me#,e de/ cmpc,t,c7or. Se lo agradezco aquí, iaunque la mayori'a de ellos aún están esperando mis respuestas a sus cartas! Sin haberme beneficiado de sus puntos de vista diferentes respecto a mi libro anterior, es poco probable que me hubiera embarcado en la terrible tarea de escribir otro. Estoy agradecido a los organízadores de las Messenger Lectures en la Universidad de Cornell (que di bajo el mismo ti'tulo que el de la sección final de este libro), las Gifford Lectures en la Universidad de St Andrews, las Forder Lectures en Nueva Zelanda, las Gregynogg IJectures en la Universidad de Aberystwyth, y una serie de conferencias distinguidas en los Five Colleges, Amherst, Massachusetts, además de innumerables charlas ocasionales en diferentes lugares del mundo. Éstas me dieron la oportunidad de exponer mis opiniones y obtener reacciones valiosas de los asistentes. Agradezco al lsaac Newton lnstitute de Cambridge, y también a la Syracuse University y a la Penn State University por su hospitalidad al concederme, respectivamente, un nombramiento de profesor visitante distinguido en matemáticas y fi'sica, y el puesto Francis R. Pentz y Helen M. Pentz de profesor distinguido de fi'sica y matemáticas.

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Las sombras de la mente

También doy las gracias a la National Sc-ience Foundation por su financiación bajo los contratos PHY 86-l2424 y PHY 43-96246. Finalmente, hay tres personas que merecen una mención especial. lJa asistencia y el apoyo desinteresados de Angus Maclntyre en la verificación de mis capítulos 2 y 3, y al proporargumentos respectqÍ_a la+Ógica matemátic o una ayuda enorme. IJe doy cionarme much-as reÍ%`-Éñe-Íñ=|i necesarias, mis más calurosas gracias. Stuart Hameroff me enseñó acerca del citoesqueleto y sus microtúbulos, estructuras que, hace dos años, ¡yo ni siquiera sabi'a que existi'an! Le agradezco enormemente su inestimable información y su ayuda en la revisión de la mayor parte del capítulo 7. Y siempre estaré en deuda con él

por abrir mis ojos a las maravillas de un mundo nuevo. Por supuesto, él, como los demás a quienes doy las gracias, no es responsable en modo alguno de los errores que indudablemente quedan en este libro. Y por encima de todo, debo un agradecimiento particular a mi querida Vanessa por varias cosas: por expli>carme por qué algunas partes de este libro necesitaban ser reescritas; por su

asistencia en las referencias; y por su amor, su paciencia y su profunda comprensión, ¡especialmente cuando yo subestimaba continuamente el tiempo que me llevaba mi escritura! Oh si', y también le agradezco el haberme proporcio-

nado en cierto sentido -aunque ella no lo sepa- un modelo en mi imaginación para la Jessica de mi historia. ¡Lamento no haberla conocido realmente a esa edad!

Agradecimientos por las figuras Los editores han solicitado o están agradecidos por el permiso para reproducir las siguientes ilustraciones:

Figura l.l: A. Nieman/Science Photo Library. Figura 4.l2: de J. C. Mather ¬Í c,/. (l990), J4s,ropAy§, J, 354, L37. Figura 5.7: de A. Aspect y P. Grangier (l986), en gwan,wm comcep,s ,'w spc,ce c,#d ,,'me, ed. R. Penrose y C. J. Isham, Oxford University Press, pp. l-27. Figura 5.8: del Ashmolean Museum, Oxford. Figura 7.2: de R. Wichterman (l986), 77m b,'o/ogJ, o/pom'mcc,®wm, 2.a ed., Plenum Press, Nueva York. Figura 7.6: Eric Grave/Science Photo Library. Figura 7.7: de H. Weyl (l943), SymmcírJ,, © l952 Princeton University Press. Figura 7.lO: de N. Hirokawa (l99l), en 7T#e #ewro#a/ cJ',oske/e,on, ed. R. D. Burgoyne, Wiley-Liss, Nueva York, pp. 5-74.

Advertencias al lector

nicismos Lasdifieren partes más técnicas del libro los de Apéndices Algunas partes incluidos. de este libro mucho de otras en elson grado los tecA y C, pero no habri'a una pérdida significativa para muchos lectores si simplemente prescindieran de ellos. Lo mismo puede decilse de las páginas más técnicas del capi'tulo 2, y ciertamente del capi'tulo 3. Estas están dedicadas princi-

palmente a aquellos lectores que necesiten convencerse de la fuerza del argumento que desarrollo contra cualquier modelo puramente computacional de la comprensión humana. El lector más fácil de persuadir (o que tenga más prisa) puede preferir, por el contrario, un camino relativamente menos penoso hacia lo esencial de este argumento. Este objetivo se alcanza leyendo simplemente el diálogo imaginario del §3.23, preferiblemente precedido del capi'tulo l, y de §2.l-§2.5 y §3.1.

Parte de las matemáticas más serias que se encuentran en este libro aparece en relación con las discusiones de la mecánica cuántica. Esto ocurre especialmente en las descripciones del espacio de Hilbert de §5.l2-§5.ls y, más concretamente, en las discusiones de §6.4-§6.6 centradas en la matriz densidad -iimportante para apreciar por qué necesitaremos eventualmente una teon'a mejorada de la mecánica cuántica! Mi consejo general a los lectores no matemáticos (o incluso a los matemáticos, para esta cuestión) es que, cuando encuentren una expresión matemática de aspecto terrible, la pasen simplemente por alto, tan pronto como quede claro que ningún examen posterior de ella produciri'a íácilmente ninguna comprensión adicional. Es verdad que las sutilezas de la mecánica cuántica no pueden apreciarse completamente sin alguna familiaridad con su elegante aunque misterioso cimiento matemático; pese a todo, algo del aroma de esta disciplina quedará en cualquier caso incluso si sus matemáticas son totalmente ignoradas. Además de esto, debo presentar disculpas al lector por una cuestión completamente diferente. Entiendo muy bien que podri'a equivocarme en cada caso si me refiriera a ella o a él de una manera que parece presuponer su sexo, ¡y ciertamente no lo haré así! Pero, en el tipo de discusión que se encontrará frecuentemente en este libro, puede ser necesario referirse a alguna persona abstracta tal como un «observador» o un «fi'sico». Es evidente que no hay ningu-

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Las sombras de la mente

na implicación respecto al sexo de tal individuo\pero la lengua inglesa no tiene un pronombre personal neutro para la tercera persona del singular [ni tampoco la castellana]. El uso repetido de frases como «él o ella» es ciertamente complicado. Además la moderna tendencia a utilizar «ellos», «a ellos» o «su» como

pronombres singulares e§ gramaticalmente pfensiva; ni puedo ver ningún mérito gramático, estili'sü¬Óil¬éí ñúmani'stico éñ-~ úÍÍárálternancia entre «ella» y «él»

al hacer referencia a individuos impersonale; o metafóricos. En consecuencia, en este libro he adoptado la política de utilizar generalmente los pronombres «él» y «a él» cuando se refieren a una persona abstracta. Esto no implica nada sobre su sexo. No debe considerarse un varón ni debe considerarse una mujer. Podri'a haber, sin embargo, alguna sugerencia de que él es sensible, de modo que referirse a él como un «ello» parece inadecuado. Confío en que ninguna lectora se sienta ofendida por el hecho de que mi colega (abstracto) de c¥-Centauri se mencione como «él» en §5.3, §5.ls y §7.l2, ni que

este pronombre se utilice también para los individuos completamente impersonales de §l.l5, §4.4, §6.5, §6.6 y §7.lO. Por el contrario, confi'o en que ningún lector varón se ofenda por el hecho de que yo utilice el femenino tanto para la araña inteligente de §7.7 como para la elefanta devota y sensible de §8.6 (por la razón precisa de que, en este caso, se sabi'a que ambas son realmente hembras), ni que el paramecio de comportamiento enrevesado de párrafo §7.4 se mencione también como «ella» (tomándose como «hembra» por la razón inadecuada de que cs directamente capaz de reproducir su especie), ni siquiera que la Madre Naturaleza es una «ella», en §7.7. Como comentario final, debería señalar que las referencias a las páginas de ZÁ2, nwew mc#,c dc/ ¬mpcrt,do, (NME) pertenecen siempre a la versión ori-

ginal inglesa de tapas duras. La paginación de la versión USA (Penguin) en tapas blandas es básicamente la misma, pero la numeración de la versión de tapas blandas no USA (Vintage) es diferente, y está dada con gran aproximación por la fórmula

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donde # es el número de página en tapas duras dado aqui'. [En esta edición, se mantienen las citas originales de NME y se dan entre corchetes las páginas -de la traducción castellana publicada por Mondadori, Madrid, l99l. (N. de/ Í.)]

Prólogo

CueVa. Jessica siempre se senti'a algo nerviosa cuando entraba en esta zona de la -¿Papá? Supongamos que se desprendiese esa gran roca del lugar en el que

está encajada entre esas otras piedras. ¿No nos bloqueari'a la salida y nos impediri'a volver a casa?

-Podri'a hacerlo, pero no lo hará -respondió su padre algo distrai'do y de forma innecesariamente brusca, pues parecía más interesado en cómo se estaban adaptando sus diversos ejemplares de plantas a las condiciones de humedad y oscuridad en este rincón, el más remoto de la cueva.

-Pero papá, ¿cómo sabes que no lo hará? -insistió Jessica. -Esa roca probablemente ha estado ahi' durante muchos miles de años. No va a venirse abajo ahora precisamente que nosotros estamos aqui'. Jessica no se quedó muy tranquila con esta respuesta. -Seguramente tendrá que caer alguna vez, asi' que cuanto más tiempo haya estado ahi', más probable es que vaya a caer ahora. El padre de Jessica dejó de atender a sus plantas y miró a su hija, con una ligera sonrisa en su rostro. -No, no es asi' en absoluto. Su sonrisa se hizo más marcada, pero ahora más interna. -En realidad, podri'as decir incluso que cuanto más tiempo haya estado ahi', menos probable es que vaya a caer cuando nosotros estamos aquí. Ninguna explicación siguió a esto, y él dirigió de nuevo su atención a las plantas. Jessica odiaba a su papá cuando adoptaba esta actitud... no, no le odiaba; ella queri'a siempre a su papá más que a nada o a nadie, pero le gustari'a que no tuviese actitudes como esa. Sabi'a que teni'an algo que ver con el hecho de que él era un cienti'fico, pero segui'a sin comprenderlas. Esperaba incluso convertirse algún día también en una cienti'fica, pero si lo hiciera, estaba segura de que nunca tendri'a esas actitudes. Al menos dejó de preocuparse de que la roca pudiese caer realmente y bloquear la cueva. Vei'a que su papá no teni'a miedo de que sucediera, y esta confianza de él le dio también confianza. No comprendi'a la explicación de su papá,

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I.as sombras de la mente

pero sabi'a que él siempre teni'a razón en estas cosas; o al menos casi siempre la teni'a. Recordaba aquella discusión sobre los relojes en Nueva Zelanda, cuando mamá dijo una cosa pero papá insistió en que lo cierto era lo contrario. Luego, tres horas más tarde, papá bajó de su estudio y dijo que lo senti'a, que estaba equivocado, y que ¡ella habi'a tenido siempre razón! ¡Eso fue divertido! «Apuesto

a que mamá podría ñáü¬i §ido también uñá éíéñt['fica si hubiese querido -pensó- y no habri'a tenido actitudes extrañas como las de papá.» Jessica tuvo más cuidado al plantear su siguiente pregunta en un momento en que su papá acababa de terminar lo que habi'a estado haciendo y todavi'a no habi'a empezado lo que iba a hacer a continuación. -¿Papá? Ya sé que la roca no va a caer. Pero imaginemos simplemente que lo hiciera, y que nos quedáramos atrapados aqui' para el resto de nuestra vida. ¿Quedari'a muy oscura la cueva? ¿Seri'amos capaces de respirar? -¡Qué idea tan desagradable! -respondió el padre de Jessica. Luego miró

cuidadosamente la forma y el tamaño de la roca, y la entrada de la cueva-. Mmmm -dijo-, si', pienso que la roca tapari'a casi por completo el agujero de entrada. Ciertamente quedari'a cierto espacio para que el aire entrase y saliese, de modo que no nos ahogari'amos. En cuanto a la luz, pienso que quedari'a una pequeña rendija redondeada en la parte superior que dejaría entrar alguna luz, pero quedari'a muy oscuro, mucho más oscuro de lo que está ahora. Pero estoy seguro de que podri'amos ver bastante bien, una vez que nos hubiésemos acostumbrado a ello. ¡Me temo que no seri'a muy agradable! Pero puedo decirte una cosa: si tuviera que vivir aqui' el resto de mi vida con alguien, antes lo hari'a con mi maravillosa Jessica que con cualquier otra persona en todo el mundo; y también con mamá, por supuesto.

¡Jessica recordó por qué queri'a tanto a su papá! -Yo también quiero a mamá aqui', en mi siguiente pregunta, porque voy

a suponer que la roca cayó antes de que yo hubiese nacido y tú y mamá me tuvisteis aqui' en la cueva, y yo creci' aquí con vosotros... y pudimos mantenernos vivos com¡endo todas tus divertidas plantas. Su padre la miró un poco perplejo, pero no dijo nada. -Entonces yo no habri'a conocido ninguna otra forma de vida excep,o esta vida aqui' en la cueva. ¿Cómo podría saber qué aspecto teni'a el mundo real exterior? ¿Podri'a saber que hay árboles en él. y pájaros, y conejos y otras cosas? Por supuesto, vosotros podri'ais contarme estas cosas porque las habri'ais conocido antes de quedar atrapados, pero ¿cómo las conoceri'aJ'o, quiero decir cómo las conoceri'a realmente por m,+ m,'smc,, más que simplemente por creer lo que vosotros deci'ais? Su padre se detuvo y se quedó pensando durante unos minutos. Luego dijo: -Bien, supongo que de vez en cuando, en un di'a soleado, un pájaro podri'a cruzar volando la li'nea entre el Sol y la rendija, y entonces podri'amos ver su sombra en la pared de la cueva. Por supuesto, su forma estari'a algo distorsionada en la pared más bien irregular, pero podri'amos aprender a corregirlo. Si la rendija fuera suficientemente pequeña y redonda, el pájaro podri'a arrojar una sombra claramente definida, pero si no lo fuera, entonces tendri'amos que

Prólogo

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hacer taribién otro tipo de correcciones. Luego, si el mismo pájaro pasase volando muchas veces, podri'amos empezar a hacernos una imagen bastante buena de su aspecto real, y de cómo vuela, y asi' sucesivamente, simplemente a partir de su sombra. En alguna otra ocasión, cuando el Sol estuviese bajo en el cielo, podri'a suceder que un árbol quedase adecuadamente situado entre el Sol y nuestra rendija, con sus hojas ondeando, de modo que podri'amos empezar a hacernos una imagen de este árbol, también a partir de su sombra. Y quizá de vez cn cuando un conejo podri'a saltar en el camino de nuestra rendija, de modo que podri'amos empezar a hacernos una imagen también a partir de su sombra. -Eso es interesante -dijo Jessica. Se detuvo por unos momentos, y luego

dijo-: ¿Piensas que seri'a posible que nosotros hiciéramos un descubrimiento cienti'fico real mientras estábamos atrapados aqui' en la cueva? Imagina que hubiésemos hecho un gran descubrimiento sobre el mundo externo, y que estuviésemos aqui' en una de tus grandes conferencias, tratando de convencer a todos los demás de que teni'amos razón. Por supuesto, todas las demás personas en la conferencia (y tú también) tendrían que haber crecido también en la cueva, pues de otra forma estari'amos haciendo trampa. ¡Pero no hay problema en que ellos creciesen también en la cueva porque tú tendri'as montones y montones de bonitas plantas y ,odos podri'amos vivir de ellas! Esta vez, el padre de Jessica se asustó visiblemente, pero siguió sin decir nada. Quedó pensativo durante varios minutos. Luego dijo: -Sí, pienso que seri'a posible. Pero, ves, lo más difi'cil de todo seri'a tratar de convencerles de que existe un mundo exterior. Todo lo que conoceri'an serían las sombras, y cómo se mueven y cambian con el tiempo. Para ellos, las complicadas sombras y cosas cambiantes en la pared de la cueva sería todo lo que había en el mundo. Por lo tanto, parte de nuestra tarea consistiri'a en convencer a la gente de que realmente hay un mundo exterior al que se refiere nuestra teori'a. De hecho, estas dos cosas iri'an juntas. ¡Tener una buena teori'a del mundo exterior seri'a una parte importante para hacer que la gente aceptara que estaba realmente ahi'!

-Muy bien papá, ¿cuál es nuestra teori'a? -No tan rápido... sólo un minuto... aqui' está: ¡la Tierra gira alrededor del Sol!

-Esa no es una teori'a muy nueva. -No, realmente tiene casi veintitrés siglos, ¡casi tan vieja como el intervalo de tiempo en el que la roca ha estado encajada cerca de la entrada! Pero en nuestra ficción todos hemos pasado toda nuestra vida en la cueva, y la gente ni siquiera habri'a oi'do hablar antes de una idea semejante. Tendri'amos que convencerles de que realmente habi'a una c'osa tal como el Sol, e incluso como la Tierra, para lo que nos interesa. La idea es que la simple elegancia de nuestra teori'a, explicando todo tipo de detalles finos del movimiento de la luz y de las sombras, convenceri'a finalmente a la mayori'a de las personas en la conferencia de que no sólo hay realmente algo muy brillante ahí fuera (lo que llamamos el «Sol») sino que la Tierra está en continuo movimiento a su alrededor, y girando al mismo tiempo alrededor de su propio eje. -¿Sen'a muy difi'cil convencerles?

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IJas sombras de la mente

-¡Ciertamente lo seri'a! De hecho, tendri'am diferentes. En primer lugar, necesitari'amos demo ri'a simple explica con gran aproximación un terri cisos sobre el movimiento de la mancha brillant red de la cueva. Ahora bien, algunas personas po -t\+- -----+----__-__-1±+-1J::_±_=., ,'=__ _ _ esto, pero otras ue existe unaimag§ mún» en laqueel So se mueve alrededor de la T seri'a más complicada que la que nosotros estamo sonas preferiri'an atenerse a su imagen complica ble) porque simplemente no podri'an aceptar la estuviese girando a aproximadamente cien mil k queriri'a nuestra teori'a.

hacer dos cosas muy e qué forma nuestra teontón de datos muy presus sombras, por la pauedar convericidas POr o más de «sentido coEn detalle, esta imagen oniendo. Pero esas performa bastante razonailidad de que la cueva tros por hora, como re-

-Caray, ¿ma'/me#,e está haciendo eso? -Si',tendri'amos cosas de ese tipo, de modo que para '`mento que cambiar de táctica porlacos

a yparte dealgo nuestro arguhacer que mu-

chas personas en la conferencia pensarían que era | mos rodar bolas por planos inclinados y haríamos

do irrelevante. Hari'ar péndulos y cosas asi',

Í sólo para demostrar que las leyes fi'sicas que gob las cosas en la cueva no quedari'an afectadas si el se estuviese moviendo en cualquier dirección y a quiera. Esto les mostrari'a que ellos, de hecho, no a una enorme velocidad. Esta es una de las cos demostrar Galileo; ¿recuerdas lo que deci'a de él -¡Por supuesto que lo recuerdo! Oh papá, to

el comportamiento de ido global de la cueva ier velocidad que uno 'an nada si la cueva gira ortantes que tuvo que ro que te dejé? na terriblemente com-

plicado. Apuesto que muchas personas en nuestra _ midas, como les he visto hacerlo en las conferen un seminario. El padre de Jessica enrojeció un poco. -¡Espero que tengas razón! Sí, pero me temo

ncia se quedari'an dore verdad cuando tú das

ces: montones y montones de detalles, muchos de l aburridos y a veces casi completamente irrelevan :tratando de formar, incluso si esa imagen final pu simplicidad, como sucede con nuestra idea de que al mismo tiempo de que da vueltas alredcdor de a personas podri'an pensar que no necesitan molestar rridos porque de todas formas encuentran la idea verdaderos escépticos querri'an comprobarlo todo -¡Gracias papá! Siempre me gusta cuando me

parece la ciencia a veles pueden parecer muy ra la imagen que estás tener una sorprendente rra gira sobre si' misma mado el Sol. Algunas todos los detalles abute plausible. Pero los ando posibles lagunas. s de cosas como éstas,

icuando a veces te pones rojo y excitado. ¿Pero po cureciendo y estoy cansada y hambrienta, y teng

volver ahora? Está osoco de fri'o.

-Vamos pues. El padre de Jessica le colocó su chaqueta sobr sus cosas y puso su brazo alrededor de ella, para ahora oscurecida. Mientras sali'an, Jessica miró

ombros, recogió todas a la salida de la cueva vo la roca. sa roca va a quedarse

¿Por qué necesitamos una nueva fi'sica para comprender la mente? La no computabilidad del pensamiento consciente

Consciencia y computación

l.l. Mente y ciencia uál es el campo de acción de la ciencia? ¿Son solamente los atributos

¿C mc,,¬,,-o/es de nuestro universo los que son abordables con sus métodos, mientras que nuestra existencia mcn,a'/ debe quedar para siempre fuera de su alcance? ¿O podri'amos llegar algún día a una comprensión cienti'fica adecuada del oscuro misterio de las mentes? ¿Es el fenómeno de la consciencia humana algo que está más allá del dominio de la investigación cienti'fica, o podrá la potencia del método cienti'fico resolver algún di'a el problema de la propia existencia de nuestro yo consciente? Hay quienes parecen dispuestos a creer que realmente podemos estar cerca de una comprensión cienti'fica de la consciencia; que este fenómeno mo guarda ningún misterio e, incluso, que todos los ingredientes esenciales pueden estar

ya en su sitio. Aducen que es simplemente la extremada complicación y perfección de la organización de nuestros cerebros la que limita, por el momento, nuestra comprensión de la mentalidad humana; una complicación y perfección

que ciertamente no deben ser subestimadas, pero donde no hay cuestiones de principio que pudieran llevarnos más allá de nuestras imágenes cienti'ficas actuales. En el otro extremo están los que mantienen que las cuestiones de la mente y el espi'ritu -y el propio misterio de la consciencia humana- son cosas de las que nunca podremos esperar que sean abordadas adecuadamente por los procedimientos fríos y calculadores de una ciencia insensible. En este libro trataré de abordar la cuestión de la consciencia desde un punto de vista cienti'fico. Pero defenderé con fuerza -con el wso de argumentos científicos- que en nuestra imagen cienti'fica actual falta un ingrediente esencial. Este ingrediente ausente sen'a necesario para que las cuestiones fundamentales de la mentalidad humana pudieran ser acomodadas dentro de una visión del mundo cienti'fica y coherente. Mantendré que este ingrediente es en si' mismo algo que #o está más allá de la ciencia, aunque, sin duda, necesitaremos una visión científica del mundo ampliada en la forma adecuada. En la Segunda parte de este libro trataré de guiar al lector en una dirección muy concreta que apunta hacia tal extensión de nuestra imagen actual del universo fisico. Es

22

L

la mente

una dirección que implica un cambio impor¿ant básicas, y seré muy preciso respecto'a cuál deb bio y cómo se aplicari'a a la biologi'a de nuestro limitada comprensión actual de la naturaleza de mos empezar a señalar dónde debe de estar deja de estar aportando una contribucíón vital a lo qu cen nuestros sentimientos y acciones conscient Aunque, por necesidad, algunos de los arg absolutamente simples, he tratado de hacer mi a he podido, utilizando sólo nociones elementales algunos momentos se introducen ciertos tecnici cuando son necesarios o útiles para mejorar la cla he aprendido a no esperar que nadie quede conve tos que voy a presentar, yo sugeriri'a, en cualquie merecen una consideración cuidadosa y desapasi argumentación que no deberi'a ser ignorada. Una visión cienti'fica del mundo que no trat el problema de la mente consciente no puede ten

estras leyes fi'sicas más naturaleza de este camros. Incluso con nuestra grediente ausente, podehuella, y cómo deberi'a a que sea en que subya-

os que voy a dar no son ntacíón lo más clara que nde ha sido posible. En matemáticos, pero sólo e la exposición. Aunque por el tipo de argumen, que estos razonamientos , pues proporcionan una tender en profundidad ensiones serias de com-

pleción. La consciencia es parte de nuestro uni teorl'a fi'sica que no le conceda un lugar apropia

de modo que cualquier ueda muy lejos de pro-

porcionar una descripción auténtica del mundo. M ninguna teori'a fi'sica, biológica o computacional tra consciencia e inteligencia consiguiente, pero nuestro intento de búsqueda de una. Con tales argumentos de este libro. Quizá algún di'a se for respecto. Si es asi', es casi seguro que nuestra pers fundamente alterada. No obstante, todo conoci de dos filos. IJo que realmente áacemos con nue es otra cuestión. Tratemos de ver dónde pueden l

ré que todavi'a no cxiste cerca de explicar nuesdeberi'a detenernos en iones se presentan los n todas las ideas a este filosófica quedará procienti'fico es un arma nocímiento cienti'fico os nuestras visiones de

`la cienc¡a y la mente.

l.2. ¿Pueden salvar los robots est

do revuelto?

Cuando abrimos los periódicos o vemos la televis do asaltados continuamente por los frutos de la Pai'ses, o zonas de pai'ses, se enfrentan en conf desencadenan guerras horribles. El fundamental mo, los intereses étnicos separatistas, las meras di rales o los intereses egoi'stas de demagogos part en una agitación y violencia continuas, dando lug cidad indecible. Aún existen regi'menes opresiva

rece que estamos siendez de la humanidad. ones que, en ocasiones, eligioso, el nacionalisias lingüi'sticas o cultus, pueden desembocar es a estallidos de atroautoritarios que sojuz-

gan a sus pueblos, manteniéndoles aterrorizados

nte la utilización de la ue están oprimidos, y

menudo están en con-

Consciencia y computac¡ón

23

flicto entre sí, y cuando se les da la libertad que les habi'a sido negada durante mucho tiempo, parece que deciden utilizarla de formas terriblemente autodestructivas. Incluso en aquellos países afortunados donde hay una paz próspera y una libertad democrática, los recursos naturales y humanos son malgastados de formas aparentemente absurdas. ¿No es ésta una clara muestra de la estupidez general del hombre? Aunque creemos representar el pináculo de la inteligencia en el reino animal, esta inteligencia parece tristemente inadecuada para manejar muchos de los problemas a los que nuestra propia sociedad nos obliga a hacer frente. Pese a todo, no pueden negarse los logros positivos de nuestra inteligencia. Entre dichos logros se encuentran nuestras impresionantes ciencia y tecnolo-

gía. En realidad, aunque debe reconocerse que algunos de los frutos de esta tecnología son de un valor cuestionable a largo (o a corto) plazo, como lo atestiguan numerosos problemas medioambientales y un genuino temor a una catástrofe mundial inducida por la tecnologi'a, es esta misma tecnologi'a la que nos ha dado nuestra sociedad moderna, con sus comodidades, sus considerables liberaciones del miedo, la enfermedad y la necesidad, y con sus enormes oportunidades para la expansión intelectual y estética, y para la comunicación mundial que ensancha el pensamiento. Si esta tecnologiJa ha abierto tantas posibilidades y, en cierto sentido, ha incrementado el control de la potencia del

yo fi'sico de cada uno de nosotros, ¿no cabri'a esperar mucho más del futuro? Nuestros sentidos han sido enormemente ampliados por nuestra tecnolo-

giía, tanto la antigua como la moderna. Nuestra visión se ha visto ayudada y su potencia enormemente incrementada con gafas, espejos, telescopios, microscopios de todo tipo, y por las cámaras de vi'deo, la televisión y similares. Nuestro oi'do se ha visto ayudado originalmente por trompetillas, pero ahora por minúsculos dispositivos electrónicos, y ampliado en gran medida mediante teléfonos, radiocomunicaciones y satélites. Tenemos bicicletas, trenes, automóviles, barcos y aviones para ayudar y trascender nuestras formas naturales de locomoción. Nuestra memoria recibe la ayuda de libros impresos, peli'culas y de las enormes capacidades de almacenamiento de los ontJenc,dores e/cc,no'n,®cos. Nuestras tareas de cá1culo, ya sean simples y rutinarias, o de un tipo avanzado o masivo, se han visto también enormemente ampliadas por las capacidades de los ordenadores modernos. Asi' pues, nuestra tecnología no sólo nos proporciona una enorme expansión del dominio de nuestroJ'o físico sino que también amph'a nuestras capacidades mc#Ía/cs mejorando en gran medida nuestras habilidades para realizar muchas tareas rutinarias. ¿Qué pasa con las tareas mentales que no son rutinarias, las tareas que requieren ,.#,e/,'ge#c,-a genuina? Es natural preguntar si también éstas se verán ayudadas por nuestra tecnologi'a dirigida por ordenadores. En mi opinión existen pocas dudas de que, implícita en nuestra sociedad tecnológica (frecuentemente dirigida por ordenador), hay al menos una dirección con un potencial enorme para la ampliación de la inteligencia. Me refiero aqui' a las posibilidades educadoras de nuestra sociedad, que podriJan sacar un gran beneficio de diferentes aspectos de la tecnologi'a; pero sólo si se utiliza

24

Las sombras de la mente

con sensibilidad y entendimiento. La tecnologi'a diante el uso de librgsÍ=p¬li'culas, prog de sistemas interactiVo¬s ^có~~ñtrolados

proporcionan muchas oportunidades para amplia para adormecerlas. La mente humana es capaz d nudo se le da oportunidad de conseguir. Por desgr bién son malgastadas frecuentemente, y no se b ni de ancianos las ocasiones que indudablemen Pero muchos lectores preguntarán: ¿no existe diferente de una enorme expansión de una capac ligencia electrónica ajena que apenas está empeza dinarios avances en tecnologi'a de ordenadores? dirigimos ya a los ordenadores en busca de asiste circunstancias en las que la inteligencia humana s cuada para prever las consecuencias probables de cpnsecuencias pueden quedar mucho más allá de cional humano; asi' pues, cabe esperar que los or rán enormemente este papel, en donde la comput na una ayuda incalculable para la inteligencia h Pero ¿no cabe la posibilidad de que los orde conseguir mucho más que sólo esto? Muchos exp dores nos ofrecen, al menos en principio, el pote /,,,'c,'c,/ que al final superará a la nuestra.l Una por ordenador alcancen el nivel de «equivalencia rá mucho tiempo, argumentan ellos, antes de que propio y exiguo nivel. Sólo e#,onces, afirman e autoridad con ¡nteligencia, sabiduri'a y entendi paz de resolver los problemas de este mundo q ¿Cuánto tiempo pasará antes de que se llegue No hay un consenso claro entre estos expertos. Alg po en términos de muchos siglos, mientras que ot lencia humana cstá a sólo algunas décadas.2 Estos mo crecimiento exponencial de la potencia de l estimaciones en comparaciones entre la velocidad r?s, y la relativa lentitud y poco sólida acción de circuitos electróricos son ya más de un millón de v paro de las neuronas en el cerebro (siendo la vel lO9/s para los transistores y de sólo lO3/s para exactitud cronométrica y una precisión de acció parten las neuronas. Además, existe una gran c cableado del cerebro que, al parecer, podría ser diante la organización deliberada y precisa de los cir *

El ch¡p lntel Pent¡um tiene más de tres millones de tra

orciona el potencial meisión y de diversos tipos stos, y otros desarrollos,

stras' mentes; o también ho más de lo que a meestas oportunidades tama las mentes de jóvenes ecen. ibilidad completamente mental, a saber, esa inteemerger de los extraorcho, con frecuencia nos ntelectual. Hay muchas da no resulta nada adenes alternativas. Tales nce del poder computaores del futuro ampliapura y dura proporcioa. es lleguen finalmente a firman que los ordenapara una inteligencia arue los robots controlados na». entonces no pasaren rápidamente nuestro xpertos, tendremos una suf¡cientes que sea cacreado la humanidad. feliz estado de cosas? iden la escala de tiemirman que esta equivaos señalan el rapidi'sienadores y basan sus cisión de los transistouronas. De hecho, los más rápidos que el disde aproximadamente uronas),* y tienen una de ningún modo comd de aleatoriedad en el emente mejorada meelectrónicos impresos. s en una «rodaja de silic¡o»

los de real¡zar ll3 millones

Consciencia y compuiación

25

Hay algunas áreas en las que la estructura neuronal del cercbro proporciona una ventaja numérica sobre los ordenadores actuales, aunque estas ventajas

podri'an tener una vida relativamente corta. Se argumenta que el número total de neuronas de un cerebro humano (unos cientos de miles de millones) supera absolutamente al número de transistores de un ordenador. Además, exísten muchas más co#ex,'o#e§, en promedio, entre neuronas diferentes que las que existen entre los transistores en un ordenador. En particular las celulas de Purkinje en el cerebelo pueden tener hasta ochenta mil terminaciones sinápticas (uniones entre neuronas), mientras que para un ordenador, el número correspondiente es sólo de tres o cuatro a lo sumo. (Haré algunos comentarios sobre el cerebelo más adelante; cf. §l.l4, §8.6.) Además, la mayori'a de los transistores de los ordenadores actuales están relacionados solamente con la memoria y no directamente con la acción computacional, mientras que tal acción computacional podri'a estar mucho más extendida en el caso del cerebro. Estas ventajas temporales del cerebro podrían ser superadas fácilmente en el futuro, especialmente cuando se desarrollen más los sistemas computacionales «paralelos» en masa. Un ordenador tiene la ventaja de que pueden combinarse diferentes unidades para formar unidades cada vez mayores, de modo que el número total de transistores podri'a, en principio, incrementarse casi sin límite. Además, nos aguardan revoluciones tecnológicas, tales como reemplazar los cables y los transistores de nuestros ordenadores actuales por dispositivos ópticos (láser), mediante los cuales se conseguirán probablemente enormes mejoras en velocidad, potencia y miniaturización. Y lo que es más fundamental, nuestros cerebros parecen estar b/ogwetrdos en los números que tenemos actualmente, y estamos sujetos a muchas otras restricciones, tales como la de tener que crecer a partir de una simple célula. Los ordenadores, por el contrario, pueden ser construidos deliberadamente para conseguir todo lo que pueda llegar a ser necesario. Aunque más tarde señalaré algunos factores importantes que aún no han sido tenidos en cuenta en estas consideraciones (más concretamente, un significativo nivel de actividad que subyace en el de las neuronas), puede construirse realmente una argumentación bastante convincente a favor de que, por lo que respecta a la simple potencia de computación, los ordenadores ,cnc7mÍ# ciertamente una ventaja sobre los cerebros antes de que pase mucho tiempo, si es que no la tienen ya. Así pues, si hiciéramos caso de las afirmaciones más extremas de los defensores`más locuaces de la inteligencia artificial, y aceptáramos que los ordenadores y los robots guiados por ordenador superarán con el tiempo -y quizá incluso en muy poco tiempo- todas las capacidades humanas, entonces los ordenadores seri'an capaces de hacer muchi'simo más que ayudar simplemente a "wes,ntz5 inteligencias. De hecho, tendri'an sus propias y enormes inteligencias. Podríamos e#,o#ces dirigirnos a estas inteligencias superiores en busca de consejo y autoridad en todas las cuestiones de interés; ¡y finalmente podri'an resolverse los problemas del mundo generados por la humanidad! Pero parece haber otra consecuencia lógica de estos desarrollos potenciales que muy bien podri'a producirnos una alarma genuina. ¿No hari'an estos orde-

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Las sombras de la mente

nadores a la larga superfluos a los prop_ios sere dos por ordenador resultaran ser supéri-ores a n entonces ¿no descubriri'an que pueden dirigir el de nosotros? La propia humanidad se habri'a qu mos suerte, ellos podrían conservarnos como an ward Fredkin dijo encierta ocasión; o,

mismos» a una forma de robot, como ha insistid zá #o tengamos esa suerte y #o seamos tan int

nos? Si los robots guias en todos los aspectos, o sin ninguna necesidad obsoleta. Quizá, si tenes de compañía, como Edentes, podri'amos ser caque somos «nosotros s Moravec (l988); o qui tes...

l.3. EI G, @, e, 9 de la computación y

nsamiento consciente

Pero ¿son relevantes solamente las cuestiones que lo, o velocidad, precisión o memoria, o quizá cosas resultan estar «instaladas»? ¿Seri'a posibl ramos haciendo algo con nuestros cerebros que na forma en términos computacionales? ¿Cómo

n a la potencia de cálcurma detallada en que las por el contrario, estuviéde describirse de ninguan en esta imagen com-

putacional nuestros sentimientos de conocimient amor, sensibilidad estética, voluntad, entendim verdad los ordenadores del futuro? ¿Realmente la presencia de una mente consciente? ¿Tiene se sas en términos científicos; o la ciencia no es en abordar cuestiones relacionadas con la conscien

ciente, de felicidad, dolor, etc.? ¿Tendrán m¬#,e§ de e en el comportamiento ablar de semejantes coalguno competente para mana?

Creo que hay al menos cuatro puntos de vis puntos de vista- que pueden mantenerse razon

rentes3 -o extremos de ente sobre la cuestión:

G. Todo pensamiento es computación; en partic cimiento consciente son provocadas simplem

as sensaciones de conoor la ejecución de com-

putaciones apropiadas. ®. El conocimiento es un aspecto de la acción fi's

l cerebro; y si bien cual-

quier acción fi'sica puede ser simulada comp computacional no puede por si' misma prov C. La acción fi'sica apropiada del cerebro provo ción física nunca puede ser simulada adecu

nalmente, la simulación onocimiento. ocimiento, pero esta acnte de forma computa-

"--'\

.--_=--_-e

paces de transf-erir `¡a; |<{~-ésrtructuras dfe

cional.

g). El conocimiento no puede explicarse en térm o cualesquiera otros términos científicos.

i'sicos, computacionales

El punto de vista formulado en|D, que niega calista y considera la mente como algo complet nos cienti'ficos, es el punto de vista de la mi'stica de g parece estar involucrado en la aceptación d sición personal es que no deberi'a considerarse q aunque no se encuentran muy cómodas dentro de

mpleto la posición fisiinexplicable en térmimenos algún ingrediente ctrina religiosa. Mi pocuestiones de la mente, cimiento cienti'fico ac-

Consciencia y computac¡ón

27

tual, deben estar siempre fuera del dominio de la ciencia. Si la ciencia es por el momento incapaz de decir mucho que tenga significado con respecto a la cuestión de la mente, la ciencia debe con el tiempo ampliar su dominio para acomodar esos temas, y quizá incluso modificar sus propios procedimientos. Aunque yo rechazo el misticismo en su negación de criterios cienti'ficos para la búsqueda del conocimiento, creo que dentro de una ciencia y unas matemáticas ampliadas se encontrará finalmente el misterio suficiente para acomodar incluso el enigma de la mente. Ampliaré algunas de estas ideas más adelante,

pero por el momento será suficiente con decir que estoy rechazando D; y estoy intentando seguir por el camino que la ciencia ha establecido para nosotros. Si usted es un lector que cree firmemente que @ debe de ser correcto de algún modo, le pido que siga conmigo y vea hasta dónde podemos llegar por el camino científico; y que trate de percibir a dónde creo yo que este camino debe llevarnos finalmente. Consideremos el que parece ser el extremo contrario: el punto de vista G.

Quienes se adhieren al punto de partida que suele denominarse IA/w¬r,e (Inteligencia Artificial fuerte) o en ocasiones IA dwnt,, o/tmc,-ona/,®smo,4 entrari'an bajo este encabezamiento -aunque algunas personas podri'an utilizar el término «funcionalismo» de un modo que incluiri'a también algunas versiones de C. G es considerado por algunos como el único punto de vista admisible en una actitud completamente cienti'fica. Otros considerarán que G es un absurdo que apenas merece atención seria. Existen sin duda muchas versiones diferentes del punto de vista G. (Véase Sloman [l992] para una larga lista de puntos de vista computacionales alternativos.) Algunos de éstos podri'an diferir en lo que respecta a qué tipo de cosas deberi'an contarse como una «computación» o como la «ejecución» de una computación. De hecho, hay también adherentes de G que negari'an ser «partidarios de la IA fuerte» porque dicen adoptar una visión diferente de la IA convencional en lo que respecta a la interpretación del término «computación» (cf. Edelman, l992). Abordaré con más detalle estas cuestiones en §l.4. Por el momento bastará considerar que este término significa simplemente el tipo de cosas que son capaces de hacer los ordenadores de uso general. Otros defensores de G podri-an diferir en su interpretación del significado de las palabras «conocimiento» o «consciencia». Algunos ni siquiera admitirían que exista un fenómeno tal como el «conocimiento consciente», mientras que otros aceptarán la existencia de este fenómeno, aunque considerándolo sólo como cierto tipo de «propiedad emergente» (cf. también §4.3 y §4.4) que surge dondequiera que está involucrado un grado suficiente de complicación (o perfeccionamiento, o autorreferencia, o lo que sea) en la computación que se está ejecutando. Daré mi propia interpretación de los términos «consciencia» y «conocimiento» en §l.l2. Pero, por ahora, cualquier diferencia en las interpretaciones posibles no será de gran importancia para nuestras consideraciones. Mis argumentos en NME se dirigi'an concretamente contra el punto de vista G de la IA fuerte. Solamente la extensión de dicho libro deberi'a dejar claro que, aunque yo no creo que G sea correcta, la considero una posibilidad seria

28

I+as sombras de la mente

que merece considerable atención. G es una cons racional en alto gradp`'`Iéséecto de la cieBJciaÍ,.-fi mundo fi'sico opera de forma completaméniúe' óo de este punto de vista, el propio universo se con denador gigantesco;5 y los subcómputos apropia dor provocarán las sensaciones de «conocimiento»

cia de una actitud opeimismo, considera que el

acional. En un extremo , en efecto, como un orue ejecuta este ordenanstituyen nuestras men-

tes conscientes.

Supongo que este pundo de vista -el que afir deben ser considerados como entidades meramen secuencia en parte del papel creciente y poderoso

ue los sistemas fi'sicos mputacionales- es con-. uegan las simulaciones

por ordenador en la ciencia moderna del siglo xx que los objetos fi'sicos son meramente «estructur sentido, que están sujetas a leyes matemáticas com la mayor parte de la materia de nuestros cuerpos do reemplazada continuamente, y es sólo su esí más, la propia materia parece tener una existenci to que puede transformarse de una forma en otra. I material, que proporciona una medida física prec

mbién de la creencia de información», en cierto ionales. Después de todo, tros cerebros está siennt, la que persiste. Adeamente transitoria pueso la masa' de un cuerpo e la cantidad de materia

que contiene el cuerpo, puede transformarse en

nstancias apropiadas en

pura energi'a (según la famosa fórmula de Einst

= m® -de modo que

¡ncluso la sustancia material parece ser capaz de tr actualidad meramente matemática y teórica. Ade decirnos que las parti'culas materiales son simple ción. (Examinaremos estas cuestiones con más Por consiguiente, la propia materia es nebulosa y to irrazonable suponer que la persistencia del «y con la conservación de estructuras que con la cons

rmarse en algo con una a teori'a cuántica parece e «ondas» de informae en la Segunda parte). toria; y no es en absoludri'a tener más que ver ión de parti'culas mate-

riales reales.

Incluso si no pensamos que sea apropiado co simple ordenador, podemos sentirnos operacional de vista G. Supongamos que tenemos un robot q denador y que responde a un interrogatorio exact ser humano. Le preguntamos cómo se siente, y una foma que es enteramente coherente con una po ticos. Él nos dice que es consciente, que está tris el color rojo, y que se preocupa por las cuestion Incluso podri'a expresar sus dudas sobre si deberi' (especialmente seres humanos) deban ser consider consciencia similar a la que él mismo afima sentir de creer en sws afirmaciones de que es consciente, o siente dolor, cuando da la impresión de que ten otros seres humanos a los que ¢cepíamos como s el argumento operacional tiene bastante fuerza, concluyente. Si todas las manifestaciones ex,c,na! cluyendo respuestas a un interrogatorio continuo

ar el universo como un dirigidos hacia el punto á controlado por un orte igual que lo haría un brimos que responde de de sentimientos auténeliz, que puede percibir la «mente» y del «yo». tar o no que ofros seres omo poseedores de una r qué deberi'amos dejar ce preguntas, está alegre muy poco que ver con conscientes? Creo que so si no es enteramente n cerebro consciente, inen ser imitadas perfec-

Coruciencia y computación

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tamente por un sistema que está enteramente bajo control computacional, entonces habri'a un razonamiento plausible para aceptar que sus manifestaciones

j#,erms -la propia consciencia- también deben'an considerarse presentes en asociación con tal simulación. La aceptación de este tipo de argumento, que básicamente es lo que se conoce como un /cs/ dc rw,,-#g,6 es en esencia lo que distingue G de @. Según c, cualquier robot controlado por ordenador que, después de un largo interro-

gatorio, se comporta convincentemente como s,' poseyera consciencia, debe ffa/men,eser considerado consciente -mientras que según ®, un robot podn'a muy bien comportarse exactamente igual éomo podri'a hacerlo una persona consciente sin que en realidad poseyese esta cualidad mental. Tanto G como ® admitiri'an que un robot controlado por ordenador podri'a compo,,arse convincentemente como una persona consciente, pero el punto de vista C, por el contrario, ni siquiera admitiri'a que una simulación completamente eficaz de una persona consciente pudiera ser conseguida por` un robot controlado por ordenadoI|. Asi' pues, según e la falta real de consciencia del robot deberi'a ponerse de manifiesto finalmente, al cabo de un interrogatorio suficientemente largo. En realidad, e es un punto de vista mucho más ope,t,c,-ona,/ que @ -y se parece más a G que a @ en este aspecto concreto. ¿Qué pasa entonces con iS? Pienso que es quizá el punto de vista que muchos considerarán como «sentido común cienti'fico». A veces se conoce como IA déb!'/ Ío b/a#da,. Al igual que C, afirma que todos los objetos fi'sicos de este mundo deben comportarse de acuerdo con una ciencia que, en principio, admite que puedan ser simulados computacionalmente. Por el contrario, niega tajantemente la afirmación operacional de que una cosa que se comporta cxternamente como un ser consciente deba ser necesariamente consciente. Como ha destacado el filósofo John Searle,7 una simulación computacional de un

proceso fi'sico es algo muy diferente del propio proceso real. (Una simulación por ordenador de un huracán, por ejemplo, ¡no es ciertamente un huracán!) En el punto de vista ®, la presencia o ausencia de consciencia dependeri'a mucho de qué objeto fi'sico real esté «haciendo el pensamiento», y de qué acciones fi'sicas concretas está realizando dicho objeto. Seri'a una cuestión secundaria considerar las computaciones particulares que pudieran resultar implicadas en estas acciones. Así pues, la acción de un cerebro biológico podri'a provocar la consciencia, aunque su simulación electrónica exacta no podría hacerlo. En el punto de vista ® no es necesario hacer esta distinción entre biologi'a y fi'sica, pues todo lo que se considera importante es la constitución ma,cr,-a/ real del objeto en cuestión ®ongamos por caso un cerebro), y no sólo su acción computacional. El punto de vista e es el que yo personalmente creo que se acerca más a la verdad. Es un punto de vista más operacional que ® puesto que afima que existen manifestaciones externas de objetos conscientes (por ejemplo, cerebros) que difieren de las manifestaciones externas de un ordenador: los efectos externos de la consciencia no pueden ser correctamente simulados por ordenador. Expondré mis razones para esta creencia a su debido tiempo. Puesto que e,

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IJas sombras de la mente

igual que @, comparte el punto de partida fisica como manifestaciones=idel^£omportamiento deci aunque no sólo necesariáhente cerebro;), sér< sié` es que no toda acción fi'sica puede ser correctam

e que las mentes surgen bjetos fi'sicos (cerebros, e una consecuencia de C imulada por ordenador.

¿Permite la fi'sica actual la posibilidad de un imposible de simular en un ordenador? la resp clara para mi', si estamos pidiendo un enunciad Sobre esta cuestión se sabe mucho menos de lo de teoremas matemáticos precisos.8 Sin embar es que tal acción no computacional tendri'a que fi'sica que está fuera de las leyes fi'sicas actualm reiteraré algunas de las razones poderosas, que para creer que se necesita realmente una nueva está a medio camino entre el nivel de «pequeña ]eyes cuánticas, y el nivel «cotidiano» de la física sidad de semejante teori'a física nueva no está un cho menos entre los fi'sicos actuales. Asi' pues, existen al menos dos puntos de p dri'an figurar bajo el encabezamiento e. Algun

ón que, en principio, sea no está completamente emáticamente riguroso. no deseari'a, en forma i firme opinión personal ntrarse en un área de la onocidas. Más adelante eden de la propia fi'sica,

que nuestra comprensión fi'sica actual es perfect ri'amos examinar los tipos sutiles de comportam vencional que podri'an llevarnos fuera del ámbit de forma totalmente computacional (e.g. como el comportamiento caótico [§l.7], sutilezas de l acción discreta [§l.8], aleatoriedad cuántica), Po tendrán que la fisica actual no nos ofrece realme la no computabilidad del tipo necesario. Más a son poderosas razones para adoptar e según est

e adecuada, y que debeentro de la teori'a conque puede conseguirse naremos más adelante: tinuo en oposición a la lado, están quienes manámbito razonable para e daré las que creo que tura más fuerte, que re-

quiere que esté involucrada alguna fi'sica funda Algunas personas han tratado de sostener que el campo D, ya que estoy defendiendo que debe nio de la ciencia conocida si queremos encontrar fenómeno de la consciencia. Pero existe una dife sión fuerte de e y el punto de vista D, particul la cuestión de me,odo/og,Ía. Según C, el proble es realmente un problema científico, incluso si de la ciencia adccuada. Yo apoyo firmemente es con los métodos de la ciencia -aunque ampliad que quizá sólo pueden ser vislumbradas en el m mos buscar nuestras respuestas. Esta es la diferen cho que puedan aparecer posibles similitudes en nes respecto a lo que la ciencia ac,wa/ es capaz Los puntos de vista G, ®, C, D, definidos

lmente nueva. me coloca realmente en irar más allá del domitipo de explicación del esencial entre esta verte en lo que respecta a conocimiento consciente momento no se dispone to de vista; creo que es cuadamente de formas o presente- como debeve entre e y @, por murrespondientes opinionseguir. riba, intentan representar adoptarse. Puedo aceptar e vista no encajan exac-

rensión en un área que », donde son válidas las ca. Sin embargo, la necelmente aceptada ni mumuy diferentes que poyentes de e defenderán

Consciencia y computación

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tamente en ninguna de estas caLtegon'as, pero quizá estén en alguna parte entre ellas, o se intersecten con algunas de ellas. Ciertamente existen muchos grados de creencia posibles entre G y @, por ejemplo (véase Sloman, l992). Incluso existe una opinión, no demasiado frecuentemente expresada, que podri'a

ser considerada mejor como una combinación de G y O (o quizá @ y D) -una posibilidad que de hecho entrará de forma importante en nuestras deliberaciones posteriores. Según este punto de vista, la acción de un cerebro es realmente la de un ordenador, pero se trata de un ordenador de una complejidad tan maravillosa que su imitación está más allá del ingenio del hombre y la ciencia, siendo necesariamente una creación de Dios: ¡el «mejor programador del ramo»!9

l.4. Fisicalismo frente a mentalismo Haré un breve comentario sobre el uso de las palabras «fisicalista» y «mentalista» que a menudo se utilizan para describir puntos de partida opuestos en relación con las cuestiones que abordan G, ®, e y @. Puesto que D representa una negación total del fisicalismo, los creyentes en D tendrán que contarse ciertamente como mentalistas. Sin embargo, para mi' no está claro en absoluto dónde E hay que trazar la línea divisoria entre fisicalismo y mentalismo con respecto

a los otros tres puntos de vista C, ® y e. Creo que quienes mantienen el punto de vista G deberi'an ser considerados fisicalistas, y estoy seguro de que la gran mayori'a de e//os así lo dicen. Sin embargo, hay aqui' algo vagamente paradójico. Según G, la construcción ma,er,-a/ de un dispositivo pensante es irrelevante. Es simplemente la computación que ejecuta la que determina todos sus atributos mentales. Las computaciones en si' mismas son fragmentos de matemáticas abstractas, divorciados de cualquier asociación con cuerpos materiales concretos. Asi' pues, según G, los atributos mentales son en sí mismos cosas sin ninguna asociación concreta con objetos fi'sicos, de modo que el término «fisicalista» podri'a parecer algo inapropiado. Los puntos de vista ® y e, por el contrario, exigen que la constitución fisica real de un objeto deba estar jugando realmente un papel vital en determinar si hay o no presente una mentalidad auténtica asociada con ello. En consecuencia, podri'a argumentarse perfectamente que son éstos, antes que G, los que representan los posibles puntos de partida fisicalistas. Sin embargo, parece que tal terminologi'a estari'a en contradicción con cierto uso común, siendo considerado a menudo el término «mentalista» más apropiado para ® y e, puesto que aqui' las cualidades mentales se consideran «cosas reales», y no sólo «epifenómenos» que podri'an aparecer incidentalmerite cuando se realizan (ciertos tipos de) computaciones. En vista de tales confusiones, trataré de evitar el uso de los téminos «fisicalista» y «mentalista» en las exposiciones que siguen, y me referiré, en su lugar, a los puntos de vista concretos G, @, e y @ como se han definido arriba.

32

IAs sombras de la mente

l.5. Computación: procedimie y de-abajo-arri

e-arriba-abajo

Hasta el momento no he sido nada expli'cito como significado del término «computación»

specto a lo que entiendo s definiciones de G, ®, C

y 9, de §l.3. ¿Qué^=es.Áuna ,computacióp?¿ Br plemente que esta palabi-a denota la actividád Para ser más exactos, debemos tomar esto en u l±za.do`. una computación es la. a.cc1ón de un

nte, uno puede entender simordenador de uso general. do convenientemente ideauina de mr¡ng.

Pero ¿qué es una máquina de Turing? Es, ticamente idealizado (el precursor teórico de l

ho, un ordenador matemáernos ordenadores de uso rrores y puede funcionar o que tiene un espacio de ito sobre la forma en que uring en §2.l y Apéndice pleta, el lector interesado capítulo 2, o alternativa-

'L -G'

, `¬

general) -idealizado de modo que nunca co tanto tiempo como sea necesario, y también almacenamiento ilimitado. Seré un poco más pueden especificarse exactamente las máquina A (p. l33). (Para una aproximación mucho m puede dirigirse a las descripciones dadas en mente a Kleene [l952] o Davis [l978], por ej

.)

El término «algoritmo» se utiliza frecuent de una máquina de Turing. Yo uso aquí «algor

e para describir la acción como sinónimo de «com-

putación». Esto necesita alguna clarificación, tan con respecto al término «algoritmo» un p el que yo estoy proponiendo aqui', tomándolo más especi'ficamente como «un algoritmo detender lo que significan los términos «de-arriba arriba», en el contexto de la computación. Se dice que un procedimiento computacio arr,'ba'-a'bcz/'o si ha sido construido de acuerd putacional dado bien definido y claramente e almacenamiento de conocimiento preasignad na concretamente una solución precisa a cierto ritmo de Euclides para encontrar el máximo naturales, como se describi'a en NME, p. 3l un algoritmo de-arriba-abajo.) Esto debe cont abajo-orrJ®bc,, en la que tales reglas de opera miento no se especifican por adelantado, sino dimiento establecido para la forma en que el s rar su ejecución de acuerdo con su «experie de-abajo-arriba estas reglas de operación están tinuas. Uno debe permitir que el sistema ope accic;nes sobre un J'#pw, de datos. Tras cada -quizá por el propio sistema- y se modifican

e algunas personas adopvista más restrictivo que sentido al que me referiré abajo». Trataremos de en», y su anti'tesis «de-abajo-

do (que podri'a incluir un cedimiento que proporcioema en cuestión. (El algodivisor de dos números ], es un sencillo ejemplo de rse a la organización cJealmacenamiento de conocisu lugar existe un proceva a «aprender» y mejoAsí pues, con un sistema idas a modificaciones conhas veces, ejecutando sus ión se hace una valoración peraciones a la luz de di-

cha valoración, con la idea de mejorar la cal los datos de entrada para el sistema podri'an s humanos, adecuadamente digitalizadas, y la t

el resultado. Por ejemplo, ias fotografías de rostros l sistema consiste en deci-

ne una organización cJealgún procedimiento com-

Conscienc¡a y computación

33

dir qué fotografi'as representan los mismos individuos y cuáles no lo hacen. Tras cada ejecución, los resultados que da el sístema se comparan con las respuestas correctas. Entonces se modifican sus reglas de operación de modo que conduzcan a una mejora probable en su ejecución de la serie siguiente. Los detaIles de cómo hay que disponer esta mejora, en cualquier sistema concreto de-abajo-arriba, no son importantes para nosotros aqui'. Existen muchos esquemas posibles diferentes. Entre los sistemas mejor conocidos de tipo de-abajo-arriba están las llamadas n¬d¬S n¬wnt,/es a,,,/,-c,'c,/eS (algunas veces llamadas, de forma algo equi'voca, simplemente «redes neurales»), que son pro-

gramas de aprendizaje de ordenador -o alternativamente dispositivos electrónicos construidos específicamente- que se basan en ciertas ideas sobre cómo se piensa que mejora la organización de un s¡stema de conexiones de neuronas en el cerebro a medida que dicho sistema gana en experienc¡a. (La cuestión de cómo se modifica realmente el sistema de interconexiones de neuronas en el cerebro será importante para nosotros más adelante; `cf. §7.4 y §7.7.) Evidentemente, tambíén es posible tener sistcmas de ordenadores que combinan elementos de las organizaciones de-arriba-abajo y de-abajo-arriba. Lo importante para nuestros propósitos aqui' es que tanto los procedimientos computacionales de-arriba-abajo como los de-abajo-arriba son cosas que pueden ponerse en un ordenador de uso general y, por consiguiente, ambos deben incluirse bajo el encabezamiento de lo que yo estoy llamando compw,ac,'onc,/ y c,/gor,~,m,'co. Así pues. con el sistema de-abajo-arriba (o sistemas combinados), el modo mediante el que el sistema modifica sus procedimientos viene dado por algo enteramente computacional que está especificado durante todo el tiempo. Ésta es la razón de que el sistema total pueda ser implementado en un ordenador ordinario. h cJ,/ene#c,'a esencial entre un sistema de-abajo-arríba (o combinado) y uno de-arriba-abajo reside en el hecho de que, con sistemas de-abajo-arriba, el procedimiento computacional debe contener una «memoria». de su actuación previa («experiencia»), de modo que esta memoria pueda ser incorporada en sus acciones computacionales siguientes. Por el momento, los detalles de esto no son especialmente importantes, pero se dará una explicación en §3.ll.

Según las aspiraciones de la ,O#,e/,-ge#c,-a c,,/,,,'c,'a'/ (abreviadamente «IA»),

uno trata de imitar el comportamiento inteligente, a cualquier nivel, por algún medio computacional. Aqui', tanto las organizaciones de-arriba-abajo como deabajo-arriba se han utilizado con frecuencia. Inicialmente eran los sistemas dearriba-abajo los que pareci'an más prometedores,IO pero ahora se han hecho muy populares los sistemas de-abajo-arriba del tipo de las redes neurales artificiales. Podri'a parecer que es en algún tipo de comó,'#a'c,-o'n de organización dearriba-abajo y de-abajo-arriba donde cabri'a esperar los sistemas IA con más éxito. Hay diferentes tipos de ventajas que pueden sacarse de cada uno de ellos. Los éxitos con la organización de-arriba-abajo tienden a darse en áreas en las que los datos y las reglas operacionales cstán claramente delineados y son de un tipo computacional muy bien definido, como sucede con ciertos problemas matemáticos concretos o ciertos sistemas de ordenador que juegan al ajedrez,

34

Las sombras de la mente

o, pongamos por caso, con la diagnosis médica reglas basadas en rjrÓ¬édimientos médicós~aciepta enfermedades. La organización de-abajo-arr`iba t terios para las decisiones no son muy precisos o en el reconocimiento de rostros y sonidos, o quiz tos minerales, donde la mejora de la ejecución po terio de comportamiento básico. En muchos de haber elementos de organización de-arriba-aba caso de un ordenador ajedrecista que aprende d en que algún conocimiento geológico teórico pre sitivo computacional para ayudar a la búsqued Creo que seri'a correcto decir que sólo con ci de-arriba-abajo (o principalmente de arriba-ab dores una superioridad significativa sobre los se obvio se da en cálculos numéricos sencillos, d con facilidad -y también en juegos «computaci o el juego de damas, donde quizá sólo unos p capaces de batir a las mejores máquinas (más so una organización de-abajo-arriba (redes neurale

que se dan conjuntos de ra diagnosticar diferentes a ser útil cuando los criienden mal, como sucede a prospección de depósieriencia constituye el cricasos, realmente podri'a e-abajo-arriba (como el experiencias, o los casos e incorpora en un dispodepósitos minerales). jemplos de organización an mostrado los ordenamanos. El ejemplo más os ordenadores ganari'an s», tales como el ajedrez jugadores humanos sean to en §l.15 y §8.2). Con ficiales), los ordenadores

pueden alcanzar, en unos pocos ejemplos limita nos normales bien entrenados. Otra distinción entre diferentes tipos de sist distingue la arquitectura en ser,®c de la arquitec serial es una máquina que hace sus computacio

de ordenadores es la que n pcm¢/e/o. Una máquina a tras otra, en una acción

paso a paso, mientras que una máquina en paral chas computaciones independientes, y los resu diferentes sólo se reúnen cuando muchos de ell cuadamente. Una vez más, teori'as sobre cómo p instrumentales en el desarrollo de ciertos siste carse, sin embargo, que no hay realmente una quinas en serie y en paralelo. Siempre es posibl forma serial, incluso si existen algunos tipos mucho menos) para los que una acción paralela forma más eficaz, en términos de tiempo de c de hacerlo una máquina en serie. Puesto que y palmente en cuestiones de principio, las distinc rie y en paralelo no nos serán ahora de much

ace simultáneamente mude estas computaciones n sido completados adeoperar el cerebro han sido paralelo. Debería recalción dep,,®#c,'p,'o entre máular la acción paralela de blemas (pero no todos ni e resolver el problema de tación, etc., de lo que puey interesado aqui' princientre computación en serés.

1.6. ¿Viola el punto de vista C la t Recordemos que, según el punto de vista C, el tamente de una forma que está más allá de la

l nivel de los seres huma-

de Church-Turing? o consciente actúa supueslación computacional, ya otra. Algunas personas, al te estas dudas en una afir-

Consc¡ericia y computación

35

mación de que C contradiri'a la (generalmente aceptada) llamada ,e§* c7e CfiwncA (o tesis de Church-Turing). ¿Cuál es la tesis de Church? En su forma original, presentada por el lógico americano Alonzo Church en l936, afirma que algo que pudiera calificarse razonablemente de proceso matemático «puramente mecánico» -i.e. algo a/go,,J/m,-co-podría alcanzarse dentro de un esquema concreto descubierto por el propio Church, llamado ca'/cw/o /ambda (^-calculus)ll

(un esquema de una elegancia y economi'a conceptual muy considerables; véase NME, pp. 66-70 [pp. lOO-lO6] para una breve introducción). Poco después, en l936-l937, el matemático británico Alan Turing encontró su propia manera mucho más convincente de describir procesos algori'tmicos, en términos de la acción de «máquinas ordenadoras» teóricas que ahora llamamos mfzJgw,'#4s c7e rwr,'#g. El lógico americano de origen polaco Emil Post (l936) también desarrolló poco después un sistema algo parecido al de Turing. Pronto se demostró,

por Church y Turing independientemente, que el cálculo de Church es equivalente al concepto de Turing (y por ello también al de Post) de una máquina de Turing. Además, los ordenadores modernos de uso general surgieron, en gran medida, a partir de las propias concepciones de Turing. Como se mencionó más arriba, una máquina de Turing es, de hecho, completamente equivalente en su acción a un ordenador moderno -con la idealización especi'fica de que el ordenador debe tener acceso en principio a una ilimitada capacidad de almacenamiento. Asi' pues, la tesis original de Church se ve ahora como la simple afirmación de que los algoritmos matemáticos son precisamente las cosas que

pueden ser llevadas a cabo por un ordenador moderno idealizado, que, con la d¬J¡n,'c,'o~# de la palabra «algoritmo» que ahora se adopta normalmente, se convierte en una mera tautologi'a. Ciertamente no hay ninguna contradicción con C al aceptar esta forma de tesis de Church.* Sin embargo, es probable que el propio Turing tuviese algo más en mente: que las capacidades computacionales de cualquier dispositivo/,Ís,'c'o deben ser equivalentes (idealmente) a la acción de una máquina de Turing. Tal afirmación iri'a mucho más allá de lo que Church parece haber pretendido originalmente. IJas propias motivaciones de Turing para el desarrollo del concepto de «máquina de Turing» estaban basadas en sus ideas de lo que un calculador humano podri'a ser capaz de conseguir en principio (véase Hodges, l983). Parece probable que él viera la acción fi'sica en general -que incluiri'a la acción de un cerebro humano- como algo siempre reducible a algún tipo de acción de máquina de Turing. Quizá deberi'amos llamar a esta afirmación (fi'sica) «tesis de Turing», para distinguirla de la afirmación original (puramente matemática) de la «tesis de Church», que de ningún modo es contradicha por e. Ésta, *

A veces, en alguna discus¡ón matemática, parece que se ha encon,rado un procedimiento

que es de naturaleza «obviamente» algori'tmica, incluso s¡ no resulta inmediatamente claro córno formular dicho procedimiento en forma de una máquina de Turing o una operación de cálculo lambda. En tales casos, uno puede afirmar que una operación semejante debe exístir de hecho «por la tes¡s de Church». Véase Cutland (l980), por ejemplo. No hay nada cquivocado en proceder de esta forma, y ciertamente no hay ninguna contradicción con e. De hecho, este uso dc la tesis de Church está presente en gran parte de la discusión del capi'tulo 3.

36

IJas sombrcis de la mente

de hecho, es la terminología que adoptaré en est esta. tesis de Tiuring±_:y.>nQ. \a, tes±s de

puntodevistaC.

Church

ro. En consecuencia, es seri'a contradicha por el

-

l.7. Caos En años recientes se ha despertado un gran interés co que lleva el nombre de «caos», en el que siste de comportarse de manera incontrolada e imprede ciona el fenómeno del caos la base física no compu de vista de la naturaleza de C? Los s,.s,cmczs cc,o',,-cos son sistemas fi'sicos e ciones matemáticas de tales sistemas físicos, o si ticos estudiados por si' mismos, en los que el com ma depende de forma extremadamente crítica del est Aunque los sistemas caóticos ordinarios son comple

el fenómeno matemátifísicos parecen capaces e (figura 1.l). ¿Propornecesaria para un punto

putacionales, e# /ú'proJc,,'ca pueden comportarse tas en absoluto. Esto se debe a que la precisión co el estado inicial, para una predicción determinista ro, puede estar absolutamente más allá de cualqu mente medible. Un ejemplo a menudo citado a este respecto e tiempo metereológico a largo plazo. Las leyes que las moléculas del aire, y también las otras magnit relevantes para computar el tiempo meteorológico nocidas. Sin embargo, las estructuras meteorológi mente, al cabo de tan sólo unos días, dependen t nes iniciales exactas que no hay posibilidad de med suficientemente precisa para hacer una predicció mero de parámetros que tendri'an que entrar en sería enorme, de modo que quizá no sorprenda q

o si no fuesen determinisque se necesita conocer su comportamiento futuosa que sea concebible-

pudiera mostrarse virtualmente imposible en la Por otra parte, este comportamiento llamado en sistemas muy simples, tales como los que co número de parti'culas. Imaginemos, por ejemplo, tronere en un billar americano la quinta bola E d muy espaciada de bolas A, B, C, D, E; para e de modo que A golpee a B, para que B golpee a mente D golpee a E para hacerla entrar en la tro

tica. ico puede darse también tan sólo de un pequeño a usted se le pide que ena cadena en zig-zag* y debe golpear A con el taco ego C golpee a D, y final. La precisión necesaria

*

En un primer borrador de este libro no había incluido

las bolas cstán dispuestas exactamente en una li+nea recta, ent

olución dinámica, o simulamente modelos matemáamiento futuro del sisteinicial exacto del mismo. nte deterministas y com-

predicción detallada del iernan el movimiento de fi'sicas que podri'an ser todas perfectamente coue podrían emerger realtilmente de las condiciotas condiciones de forma ble. Por supuesto, el núcomputación semejante predicción, en este caso,

la palabra «zig-zag». Sí todas la hazaña resulta bastante fácil, ay una estabilidad fortu¡ta que el caso general.

i.l. El atractor de Lorentz, un primer ejemplo de sistema caótico. Siguiendo las li'neas, uno va y viene del lóbulo izquierdo al lóbulo derecho de forma aparentemente aleatoria, y el lóbulo en el que uno se encuentra en un instante dado depende cri'ticamente del punto de partida. Pese a todo, la curva está definida por una ecuación (diferencial) matemáticamente sencilla.

para esto excede con mucho, en general, las capacidades de cualquier jugador de billar experto. Si hubiera veinte bolas en la cadena, incluso si las bolas fuesen esferas exactas y perfectamente elásticas, la tarea de entronerar la bola final estari'a mucho más allá de la maquinaria más precisa de la tecnología moderna. En efecto, el comportamiento de las últimas bolas de la cadena seri'a aleatorio,

pese al hecho de que las leyes newtonianas que gobiernan el comportamiento de las bolas son completamente deterministas y en principio efectivamente computables. Ninguna computación podri'a predécir el comportamiento nec,/ de las últimas bolas de la cadena, simplemente porque no habri'a forma de determinar con suficiente precisión la posición y velocidad inicial del taco o la posición de las primeras bolas de la cadena. Además, incluso efectos externos minúsculos, tales como la respiración de alguien en la ciudad vecina, podri'an perturbar esta precisión lo suficiente para hacer inútil semejante computación. Deberi'a aclarar que, a pesar de tales profundas dificultades para la predicción determinista, todos los sistemas normales que se conocen como «caóticos» deben incluirse dentro de lo que yo llamo «computacionales». ¿Por qué es así? Al igual que sucede con otras situaciones que vendrán más adelante, todo lo que tenemos que hacer para decidir si un procedimiento es computacional es preguntar: ¿puede ser planteado en un ordenador de uso general? Evidentemente la respuesta en este caso debe ser «sí», ¡por la simple razón de que normalmente los sistemas caóticos descritos matemáticamente se estudian de hecho planteándolos en un ordenador! Por supuesto, si tratamos de realizar una simulación por ordenador para predecir las estructuras detalladas del tiempo meteorológico en Europa para el curso de una semana, o las colisiones sucesivas de veinte bolas de billar no

38

Las sombrasde la mente

alineadas y bien separadas después de un rápido g casi seguro que nilestra simulación no se parecerá e ea/me#,¬ sucede. Estó está en la naturaleíá dénÍÜS s tible predecir computacionalmente el resultado real caso, lo que si' es perfectamente alcanzable es la si

del taco, entonces es soluto a nada de lo que mas caóticos. No cs facsistema. En cualquier ación de un resultado ,,J-

p,'co. Es muy posible que el tiempo predicho no s mente, ¡pero es perfectamente plausible como ## ti logamente, el resu'itado predicho de las colision completamente aceptable como un resultado posibl de billar llegaran a hacer realmente fuera algo por c se ha computado -pero algo igualmente aceptable refuerza la naturaleza perfectamente computacional si la simulación dcl ordenador se repite, utilizando tos de entrada que antes, entonces ¡el resultado de l e el mismo que antes! (Esto supone que el propio res; pero, en cualquier caso, los ordenadores mo cometen errores computacionales reales.) Después de todo, en el contexto de la inteligenc tando de simular el comportamiento de un individu muy satisfecho con la simplc simulación de w# ind absoluto irrazonable adoptar el punto de vista que cho: que los sistemas caóticos deberi'an ciertamente llamamos «computacionales». Una simulación por semejante dari'a de hecho un «caso ti'pico» perfec aunque pudiera no ser un «caso real». Si las manife teligencia humana son los resultados de alguna evol evolución que es computacional en el sentido que tonces estari'a de acuerdo con los puntos de vista En ocasiones se ha sugerido que podría ser este en la acción intema de un cerebro fi'sico, lo que

l tiempo que haga realo meteorológico! Anáe la bola de billar es cluso si lo que las bolas leto diferente de lo que punto adicional que stas operaciones es que tamente los mismos daulación es eJíac,c,mennador no comete erroos sólo muy raramente

para comportarse de formas que pc,nece# diferir mente determirista de una máquina de Turing, inc tes, es técnicamente computacional. Tendré que v tión (cf. §3.22). Por el momento, todo lo que tie los sistemas caóticos ¬s,c,-# incluidos en lo que y nales» o «algon'tmicos». La cuestión de si algo /c7 pna'c,,'ca es una cuestión independiente de las tamos considerando aqui'.

l.8. Computación anal Hasta ahora, he considerado la «computación» s término se aplica a los ordenadores digitales mod a sus precursores teóricos.' las máquinas de Turing

rtificial uno no está trancreto; ¡uno quedari'a uo! Asi' pues, no es en stoy adoptando de heluirse dentro de los que denador de un sistema ente razonable, incluso iones externas de la inn dinámica caótica -una amos de describir- en®, pero Ho con C. meno de caos, si ocurre cita a nuestros cerebros

actividad computablesi, como se recalcó anr más tarde a esta cuesue quedar claro es que tiendo por «computacioe ser simulado o no e# tiones dcp,,'nc,-p,'o que es-

a n el sentido en que este s o, más concretamente, han utilizado, especial-

CorMciencia y computación

39

mente en el pasado, dispositivos computacionales de otros tipos en los que las operaciones no se representan en términos de estados discretos «si'/no», que son familiares en las computaciones digitales, sino en términos de parámetros fiJsicos continuos. El más familiar de tales dispositivos es la regla de cálcuio, en donde el parámetro fi'sico es la distancia lineal (a lo largo de la regla). Esta distancia se utiliza para representar los logaritmos de los números que van a ser multiplicados o divididos. Existen muchos tipos diferentes de dispositivos computacionales analógicos, y pueden utilizarse otros tipos de parámetros fi'sicos, tales como el tiempo, la masa o el potencial eléctrico. Con los sistemas analógicos tenemos que enfrentarnos a un punto técnico según el cual las nociones estándar de computación y computabil¡dad sólo se aplican, estr¡ctamente hablando, a sistemas d,-scre/os (que son a los que afecta la operación «digital») y no a los sistemas co#,,-#wos, como distancias o potenciales eléctricos, pongamos por caso, que intervienen en la teori'a fi'sica clásica convencional. Por consiguiente, para aplicar las nociones ordinarias de com-

putación a un sistema cuya descripción requiere parámetros continuos en lugar de discretos (o «digitales»), resulta natural el recurrir a aproximaciones. De hecho, el procedimiento normal en las simulaciones por ordenador de sistemas fi'sicos consiste en aprox,'mar en forma discreta todos los parámetros continuos en consideración. Esto implicari'a, no obstante, un cierto error, y para un grado dado de precisión en la aproximación, podri'a haber sistemas fi'sicos de interés para los que esa precisión particular podri'a no ser suficiente. En consecuencia, esta simulación discreta por ordenador podría conducir a conclusiones erróneas respecto al comportamiento del sistema fi'sico continuo que se está si-

mulando. En principio, siempre podría incrementarse la precisión hasta que fuera adecuada para simular el sistema continuo en consideración. Sin embargo, especialmente en el caso de sistemas caóticos, e'. tiempo de computación y el almacenamiento de memoria requerido podri'an resultar prohibitivos en la práctica. Además está el punto técnico de que uno nunca podri'a estar absolutamente seguro de que el grado de precisión con que se ha resuelto sea suficiente. Seri'a necesario algún tipo de test para indicarnos cuándo se ha alcanzado el punto en el que no se necesita más precisión y puede confiarse en el comportamiento cualitativo computado utilizando dicho nivel de precisión. Esto plantea varias cuestiones matemáticas algo delicadas, y no me parece apropiado entrar en ellas en detalle ahora. Existen, sin embargo, otras aproximaciones a las cuestiones computacionales planteadas por los sistemas continuos, en las que los sistemas se tratan como estructuras matemáticas de propio derecho, con su propia noción de «computabilidad», una noción que generaliza la idea de computabilidad de Turing de lo discreto a lo continuo.I2 Utilizando esta noción, se hace innecesario aproximar un sistema continuo por parámetros discretos para que pueda aplicarse la noción de computabilidad de Turing. Estas ideas son interesantes desde el

punto de vista matemático, pero por desgracia no parecen haber alcanzado, por el momento, la naturalidad y unicidad convincentes que se aplican a la noción

40

Las sombras de la mente

estándar de computabilidad de Turing para sistemas discretos. Además, existen ciertas anomalías en las que aparece una «no computabilidad» técnica en sistemas simples para lo_s--ú.úe_-ño está claro düé-.S_effiejante terminOIOgía sea real-

mente apropiada (e.g. incluso en la simple «ecuación de ondas» de la fi'sica; cf. Pour-El y Richards [l98l], NME, pp. 187-l88 [pp. 243-245]). Debería mencionarse, por otra parte, que algún trabajo reciente (Rubel, l989) ha demostrado que ordenadores analógicos teóricos, pertenecientes a una cierta clase bastante amplia, no pueden alcanzar una computabilidad de Turing por encima de la ordinaria. Creo que éstas son cuestiones interesante e ¡mportantes que serán iluminadas por una investigación posterior. Sin embargo, no está claro

para mí que este cuerpo de trabajo, en conjunto, haya alcanzado por el momento el punto en que puede aplicarse de una manera definitiva a las cuestiones que discutimos aqui'. En este libro estoy interesado concretamente en la cuestión de la naturaleza computacional de la actividad mental, donde «computacional» debe tomarse en el sentido normal de compwfc,b,'/,'da'c7 dc rw,,®ng. Los ordenadores ordinarios actuales son, de hecho, de naturaleza digital, y esto es lo importante para la actividad de la IA de hoy di'a. Quizá es concebible que, en el futuro, pueda introducirse algún tipo diferente de «ordenador» que haga un uso cr,+,,'c'o de

parámetros físicos continuos -aunque dentro de la herramienta teórica estándar de la fi'sica de hoy- que les haga capaces de comportarse de una forma esencialmente d,Je,¬n,e de la de un ordenador digital. Sin embargo, estas cuestiones tienen relevancia básicamente para la distinción entre las versiones «fuerte» y «débil» del punto de vista e. Según la versión d¬'b,'/ de e, tendri'a que haber acciones físicas subyacentes en el comportamiento del cerebro humano consciente que son no computables en el sentido estándar de la computabilidad de Turing discreta, pero que pueden entenderse

perfectamente en términos de las teori'as fi'sicas actuales. Para que esto sea posible, parecería que dichas acciones tendri'an que depender de parámetros fi'sicos continuos de tal forma que no puedan ser correctamente simuladas por los

procedimientos digitales estándar. Según la versiónJlwcr,e de e, por el contrario, la no computabilidad tendri'a que proceder de alguna teori'a física no com-

putable -aún no descubierta- cuyas consecuencias son ingredientes esenciales de la acción consciente del cerebro. Aunque esta segunda posibilidad podri'a

parecer muy remota, la alternativa (para los defensores de C) consiste, de hecho, en encontrar entre las leyes conocidas de la fi'sica un papel para alguna acción consciente que no pueda ser correctamente simulado de ninguna forma computacional. Sin embargo, por el momento sólo cabe esperar con cierta se-

guridad que, dado un tipo cualquiera de sistema analógico fiable que haya sido seriamente concebido hasta la fecha, debe,,Ja ser posible -al menos en principio- proporcionar una simulación digital efectiva de él. Incluso al margen de estas cuestiones teóricas de tipo general, son los ordenadores d,'g,',o/ff de hoy los que presentan más ventajas sobre los analógicos. La acción digital es mucho más precisa, esencialmente por la razón de que, con el almacenamiento digital de números, la precisión puede incrementarse sim-

Conscienc¡a y computación

41

piemente aumentando el número de di'gitos, lo que se consigue fácilmente con sólo un incremento modesto (logari'tmico) en la capacidad del ordenador; mientras que para laS máquinaS analógicaS (POr lO menOs, para laS comp/e,cmcH,e analógicas, en las que no se han importado conceptos digitales), la precisión sólo se incrementa a base de incrementos comparativamente enormes ®roporcionales) en la capacidad del ordenador. Podri'a ser que lleguen nuevas ideas en el futuro que den la ventaja a las máquinas analógicas, pero, con la tecnologi'a actual, la mayori'a de las ventajas prácticas importantes parecen estar del lado de la computación d,-g,-,o/.

l.9. ¿Qué tipo de acción podri'a ser no computacional? Ia mayori'a de los tipos de acción bien definida que vienen a la mente son, en consecuencia, cosas que tendri'an que incluirse dentro de lo que estoy llamando «computacional» (en el sentido de «computacional-digital»). El lector podri'a empezar a preocuparse por el hecho de que no quede nada razonable con lo que pueda operar el punto de vista C. Todavía no he dicho nada sobre las acciones estrictamente a/ea,or,-¢s que podri'an ser proporcionadas, pongamos por caso, por algún input de un sistema cuántico. (IJa mecánica cuántica se tratará con cierto detenimiento en la Segunda parte, capi'tulos 5 y 6.) Sin embargo, es difi'cil ver qué ventaja podri'a haber para un sistema en el hecho de tener un tnput genuinamente alea,torio, £rente a. uno s±mplemente pseudoaleator¡o que pueda ser generado de forma completamente computacional (cf. §3.ll). De hecho, aunque, estrictamente hablando, existen algunas diferencias técnicas entre «aleatorio» y «pseudoaleatorio», no parece que estas diferencias sean de relevancia real para las cuestiones de la IA. Más adelante, en §3.ll, §3.ls c, scg., daré argumentos convincentes para demostrar que la «aleatoriedad pura» no nos ayuda realmente nada; si acaso, seri'a mejor quedarnos con la pseudoaleatoriedad del comportamiento caótico -y. como recalcamos antes, todos los tipos normales de comportamiento caótico cuentan como «computacionales».

¿Qué hay sobre el papel del entorno? A medida que cada individuo humano se desarrolla, lo hace en un entorno único, no compartido por ningún otro ser humano. ¿No podri'a darse el caso de que sea este entorno propio único cl que da a cada uno de nosotros un input que está más allá de la computación? Pese a todo, encuentro difi'cil ver cómo la «unicidad» de nuestro entorno ayuda en este contexto. Ia discusión es similar a la relativa al caos (cf. §l.7). Con tal de que no haya nada más allá de la computación en la simulación de un entorno (caót¡co) p/c7ws,®b/c, dicha simulac¡ón es todo lo que seri'a necesario

para el adiestramiento de un robot controlado por ordenador. El robot no necesita aprender sus habilidades a través de un entorno real; para el robot bastari'a ciertamente con un entorno ,,Z,,-co (más que real) simulado computacionalmente. ¿Cabri'a la posibilidad de que haya algo inherentemente imposible en la si-

42

Las sombras de la mente

mulación computacional de un entorno siquiera p

ble? Quizá haya algo en

::omn:i:d;i:l':l:CoOsepX;erJt~:dOa:iuoes edSetáareyal®mepnot_:rTᥡanl rentemente no computacionales del comportam

lsaeSáma:rliabCá:rnaCc:omsPaupt:: humano a una falta de

computabilidad en dicho entorno externo. Sin e

go, sería temerario, por

parte de los partidarios de G o de ®, basarse en que se acepta que podría haber algo en alguna p co que no puede ser simulado computacionalm

gumento. Pues, una vez el comportamiento fi'siesto socavari'a la que es

presumiblemente la razón principal para dudar d que nada. Si existen acciones en el entorno exte simulación computacional, entonces ¿por qué n cerebro? Después de todo, la organización físi

lausibilidad de C antes ue están más allá de la bién acciones ,'n,c,nas al erna del cerebro humano

parece ser mucho más compleja que (al menos) -excepto, quizá, en puntos en que dicho entorno

yor parte de su entorno fuertemente influido por

las acciones de otros cerebros humanos. La acep computacionales ex,e,nc,s ofrece el principal ar

de acciones fi'sicas no nto contra e. (Véase tam-

bién la exposición posterior en §3.9, §3.lO.)

Deberi'a hacerse una puntualización adiciona algo que podría estar «más allá de la computaci no quiere decir simplemente algo que está más all Podri'a argumentarse, por el contrario, que la si

elación con la noción de como requiere C. Esto la computación pnt,'c,,-ca. ión de cualquier entorno

plausible, o cualquier promulgación precisa de to micos que tienen lugar en un cerebro, podri'a ser nal en principio, necesitase una computación ta

s procesos fi'sicos y qui'que, aunque computacioga, o utilizase un espacio que la computación puQuizá la simple escritucillamente fuera de disque habri'a que tener en as consideraciones (y seue entiendo aquí por «no o entiendo algo que está o que describiré en seguillá de los ordenadores o iguen siendo «computa-

de memoria tan grande, que no habri'a perspecti diese ejecutarse en ningún ordenador real o previ ra de un programa apropiado de ordenador estar cusión, debido al gran número de factores difer cuenta. No obstante, por relevantes que puedan s rán comentadas en §2.6, Qs y §3.5), ellas no so computables», como requiere e. En lugar de el cn prJ'#c,'p,'o más allá de la computación en un s da. Las computaciones que están simplemente las técnicas computacionales existentes o previsi ciones» en sentido técnico. El lector puede perfectamente preguntar: si «no computacional» en la aleatoriedad o en las la complicación absolutamente intratable, enton cuando utilizo este término, como requiere el pu en mente se basa en ciertos tipos de actividad mate dcmos,mrse que están más allá de la computaci ahora, ninguna actividad matemática semejante comportamiento fi'sico. De todas formas, es un

y nada que cuente como encias del entorno, o en ué puedo tener en mente e vista C? IÁJ que tengo amente exacta que puede or lo que se conoce hasta ecesaria para describir el bilidad lógica. Pero, adementos de este libro, algo es fi'sicas, pese al hecho

Consciencia y computación

43

de que tales cosas no se han encontrado todavía en la fi'sica conocida. Algunos ejemplos de este tipo de actividad matemática son notablemente simples, de modo que será apropiado ilustrar con ellos lo que tengo en mente. Tendré que empezar describiendo algunos ejemplos de clases de problemas

matemáticos bien definidos que -en un sentido que explicaré en seguida- no tienen solución computacional general. Empezando con cualquier clase de esos

problemas, será posible construir un «modelo de juguete» de un universo fi'sico cuya acción, aunque completamente determinista, está realmente más allá de la simulación computacional. El primer ejemplo de una clase semejante de problemas es el más famoso de todos: el conocido como «décimo problema de Hilbert», que fue propuesto

por el gran matemático alemán David Hilbert en l900, formando parte de una lista de diez preguntas matemáticas no contestadas que estableció buena parte del panorama para el desarrollo de las matemáticas a principios (e incluso más tarde) del siglo xx. El décimo problema de Hilbert consisti'a en encontrar un procedimiento computacional para decidir, dado un sistema de ecuaciones d,'o/a'n,,®cais, si las ecuaciones tienen una solución común. ¿Qué son las ecuaciones diofánticas? Son ecuaciones polinómicas, con un número cualquiera de variables, en las que todos los coeficientes y todas las soluciones deben ser números enteros. (Un número entero es un número de la

lista..., -3, -2, -l, 0, l, 2, 3, 4, ... Las ecuaciones diofánticas fueron estudiadas sistemáticamente por primera vez por el matemático griego Diofanto en el siglo lll d.C.) Un ejemplo de un sistema de ecuaciones diofánticas es

6W+2AP-J'3=0,5Xy-Z2+6=0, W2-W+2X-y+Z-4=O Y otro ejemplo es

6w+2x2-y3=0,5xy-z2+6=0, tt£-w+2x-y+z-3=O El primer sistema queda resuelto, en particular, por

w-l,x-l,y-2,z-4, mientras que el segundo sistema no tiene ninguna solución (porque, por su primera ecuación, J' debe ser un número par, y por su segunda. z debe ser también

par, pero esto contradice su tercera ecuación, cualquiera que sea w, porque w2 -w es siempre par y 3 es un número impar). El problema planteado por

Hilbert era el encontrar un procedimiento matemático -o c,/gor,-Ímo- para decidir qué sistemas diofánticos tienen soluciones, como nuestro primer ejem-

plo, y cuáles no la tienen, como es el caso de nuestro segundo ejemplo, Recordemos (cf. §l.5) que un algoritmo es simplemente un procedimiento computacional -la acción de alguna máquina de Turing. Asi' pues, el décimo problema de Hilbert pide un procedimiento computacional para decidir cuándo puede resolverse un sistema de ecuaciones diofánticas.

44

Las sombras de la mente

El décimo problema de Hilbert fue histórica al proponerlo, Hilbert planteaba una cuestión qu

muy importante porque, e habi'a planteado antes.

¿Qué significa realmente, en términos matemáti lución algori'tmica para una clase de problemas? un algoritmo? Fue esta mi§ma pregunta la qu`e_9 a proponer su propia dfeiiriición de algori\¿mó '`e Turing. Otros matemáticos (Church, Kleene,

te precisos, tener una soes, en términos precisos, a Alan Turing, en 1936, inos de sus máquinas de Post y otros; cf. Gandy

[l988]) propusieron procedimientos algo diferente se demostró (por Turing y Church) que todos er

al mismo tiempo. Pronto ivalentes, pero el enfo-

que particular de Turing ha resultado ser el más i

nte. (Sólo él introduci'a

la idea de una máquina algori'tmica concreta y de Turing universal- que por si' misma puede con ri'tmica. Fue esto lo que condujo a la idea de un ahora nos es tan familiar.) Turing fue capaz de clases de problemas que no tienen ninguna soluc el «problema de la detención» que describiré en

-llamada una máquina cwa/gw,-er acción algoador de uso general que strar que existen ciertas ori'tmica (en particular Sin embargo, el décimo

problema de Hilbert tuvo realmente que esperar temático ruso Yuri Matiyasevich -dando demostr tos razonamientos propuestos anteriormente por

970 antes de que el mas que completaban cierrteamericanos Julia Ro-

binson, Martin Davis e Hilary Putnam- probó qu de ordenador (algoritmo) que decida sistemática

uede haber un programa de forma si'/no la cues-

tión de si un sistema de ecuaciones diofánticas tien

ión. (Véase Davis [l978]

y Devlin [l988], capi'tulo 6, para exposiciones le que notar que cuando quiera que la respuesta r

de esta historia.) Habri'a ser «si'», entonces este rama de ordenador conos conjuntos de enteros , la que elude cualquier sos conjuntos de reglas

hecho puede ser comprobado, en principio, por creto que simplemente ensaya como un esclavo t uno tras otro. Es la respuesta «no», por el co tratamiento sistemático. Pueden proporcionars para dar correctamente la respuesta «no» -com meros pares e impares que descarta soluciones más arriba-, pero el teorema de Matiyasevich de pueden ser exhaustivas. Otro ejemplo de una clase de problemas m no tiene solución algori'tmica es el prob/em de / de la siguiente forma: dado un conjunto de form formas teselarán el plano; es decir, ¿es posible cu diano utilizando sólo estas formas particulares, mientos? El matemático norteamericano Robert te), en l966, que éste era un problema com razonamientos basados en una extensión de un t mático chino-norteamericano Hao Wang en l96l l987). De hecho, tal como acabo de presentar dificultad porque las teselas poligonales generale

gumento utilizando núundo sistema mostrado ó que estas reglas nunca icos bien definidos que /oc,'o~m éste se formula igonales, decidir si estas teramente el plano euclie haya huecos o solapademostró (efectivamenente insoluble, mediante algo anterior del mateGrünbaum y Shephard, blema, se plantea cierta sitari'an especificarse de esados mediante infinioperan con números en-

Consciencia y computación

45

teros. Esta dificultad puede eliminarse considerando teselas que están formadas simplemente a partir de un cierto número de cuadrados unidos por sus lados. Tales teselas se denominanpo/J'om,-#os (véase Go]omb, l965; Gadner, l965, capi'tulo l3; Klarner, l98l). Algunos ejemplos se dan en la figura l.2. (Para otros ejemplos de conjuntos de teselas, véase NME, pp. l33-l37 [pp. l79-l83], figuras 4.6-4.l2.) Como hecho curioso, la insolubilidad computacional del problema de la teselación depende de la existencia de ciertos conjuntos de poliominos

llamados conjuntos apcrJ'o'd,-cos -que teselarán el planoso'/o nopcr,-o'd,-camen,g (i.e. de una forma tal que la estructura completa nunca se repite por mucho que se extienda). En la figura l.3 se muestra un conjunto aperiódico de tres poliominos (desarrollado a partir de un conjunto de teselas descubierto por Robert Ammann en 1977, cf. Grünbaum y Shephard [l987], figuras lO.4.ll-lO.4.l3 en pp. 555-556).

Las demostraciones matemáticas de que el décimo problema de Hilbert y el problema de la teselación no son resolubles por medios computacionales son difi'ciles, y por supuesto no intentaré dar aqui' los argumentos.l3 El punto crucial de cada argumento consiste en demostrar, en cfecto, cómo puede codificarse la acción de cualquier máquina de Turing en forma de un problema diofántico o de teselación. Esto reduce la cuestión a una que Turing abordó realmente en su discusión original.' la insolubilidad computacional del prob/emc, dc /a' de,eHc','oJ# -el problema de decidir aquellas situaciones en las que la acción de una máquina de Turing nunca llega a detenerse. En §2.3 se mostrarán varias computaciones exph'citas que nunca se detendrán; y en §2.5 se presentará un razonamiento relativamente simple -basado esencialmente en el razonamiento original de Turing- que demuestra, entre otras cosas, que el problema de la detención es computacionalmente insoluble. (¡IJas consecuencias de las «otras cosas» que este argumento demuestra en realidad serán capitales para la discusión global de la Primera parte).

¿Cómo se puede utilizar una cla.se semejante de problemas, tal como las ecuaciones diofánticas o el problema de la teselación, para construir un universo dejuguete que sea determinista pero no computable? Supongamos que nuestro modelo de universo tiene un ,,'cmpo cJÁ,creío, parametrizado por los números naturales (enteros no negativos) 0, l, 2, 3, 4... En el instante n, el estado del universo debe especificarse mediante un problema perteneciente a la clase de problemas bajo consideración; por ejemplo, por un conjunto de poliominos. Deben establecerse dos reglas bien definidas por las cuales el conjunto de

poliominos representa el estado del universo en el instante n + l, dado el conjunto de poliominos que representa el universo en el instante #; se adoptará la primera de estas reglas cuando los poliominos s,' teselan el plano y se adoptará el segundo conjunto cuando #o teselan el plano. Los detalles de cómo podri'an especificarse tales reglas no son especialmente importantes. Una posibilidad consistiría cn formar una lista: So, Si, S2, S3, S4, S5..., de todos los posibles

conjuntos de poliominos, de tal modo que los que incluyen un número total pa, de cuadrados tengan subi'ndices pares: So, S2, S4, S6...; y los que incluyen un número total ,-mpar de cuadrados tengan subi'ndices impares: Sn S3, S5, S7...

[

I

l

l

l=u "Hueco Hueco

En

HI=TII±H ll

(c)

(d)

ili

co"ffi¢cJO" 47

1.3. Un conjunto de tres poliominos que teselarán el plano, pero sólo de un modo que nunca se repite (derivado de un conjunto de Robert Ammann).

48

Las sombras de la menle

U):f l1/ «

So=t.=):,,;t-Si=tD)'

s4=(El,D'

s278={H,,

S5={B},

r-JÍ3J -DÑp

s3=tEl'tJ),

D

S6

s975o32

],o}-,,,

5E'ffi'Ht'

l.4. Un modelo de universo di` juguete nO COmputable. universo de juguete determinist.i pero nO COmputable vien bles conjuntos finitos de polioni¡nos, numerados de tal Sn corresponden a un númert` total par de cuadrados, y l mero impar de cuadrados. L¿i evolución tempOral proced

diferentcs estados de este ados en términos de posi_ o que los números pares úmeros impares a un nú_ orden numérico (So, S2,

S, S~ ..., Sz78, S%o ...), exi`i`I" qiie un númerO se sal

da vez que el conjunto an_

tcrior no tesele el plano.

(No seriJa muy difi'cil dispoI`i-r esto de acuerdo con putacional.) La «evolución dinárniCa» de nuestro guete está ahora dada po,-: El estado del univi`rso Sn C" e/ l'mít7"/e f pasa el conjunto de polion`iniis Sn /eSe/a el PlanO, y a

ún procediTiento comelo de universo de ju_

+i en el instante , + l si

si el conjunto Sn no ,cSe,a

el plano.

Un universo semejan{i` si-comPOrta de forma to

ente determinista, pero

puesto que no existe un pi-iui-dimiento computacio cuándo un conjunto de poliominos S, tesela el plan lido si el número total di` c`iiadradOS se fija como ninguna simulación con`i",':"¡onal posible de su de

eneral para comprobar e seri'a igualmente vá_ o como impar), no hay llo real (véase la figu_

ra l.4).

Por supuesto, este ti[w de eSquema no debe se una modelización del ui`i\|`rso real en el que vivim

ado seriamente como Se ha presentado aqui'

(como en NME, p. l70 [[`. :2l] para iluStrar el h existe -ó¿i¿-suna -de clara universo difereni`i¿` coni[,It',a,"en[e c`ntre determinismo deterministas, yco c

poco apreciado de que utabilidad. glas_pr:cis_as Exk,e# de evoiu_ mo_

ción, que son imposibles dc' si'?i_i[a.r computaciona! remos en §7.9, los modi`li`s del tipo muy concret

te. De.hecPo, corT? ve_ ue acabo de considerar unto de vista e. ¡pero ades fi'sicas intrigantes

resultarán insuficientes r;m lo que realmente exige veremos en §7.iO que cxi`mn de heCho algunas posi para lo que se necesita!

Consc¡encia y computación

49

l.lO. ¿Qué pasa con el futuro? ¿Qué nos dicen los puntos de vista G, ®, e, @ que cabe esperar del futuro de este planeta? Según G, llegará un momento en el que los superordenadores

adecuadamente programados alcanzarán -y sobrepasarán rápidamente- todas las capacidades mentales humanas. Por supuesto, distintas personas partidarias de G podri'an tener puntos de vista muy diferentes respecto a las escalas de tiempo que esto implica. Algunos podri'an considerar razonable que pasarán muchos siglos antes de que los ordenadores alcancen nuestro nivel, dado lo poco que se conoce actualmente sobre las computaciones que el cerebro debe estar ejecutando realmente (afirmarán ellos) para conseguir la sutileza de acción que indudablemente alcanzamos -una sutileza de acción que seri'a necesaria antes de que tuviese lugar un «conocimiento» apreciable. Otros defienden una escala de tiempo mucho más corta. En particular, Hans Moravec, en su libro Á4,'nd Cft,®/dn¬# (l988), construye una argumentación razonada -basada en el ritmo acelerado al que ha avanzado la tecnologi'a de ordenadores durante el último medio siglo y en la proporción de la actividad del cerebro que él considera que ya ha sido simulada con éxito- en apoyo de su afirmación de que «la equivalencia humana» habrá sido ya superada alrededor del año 2030. Al-

gunos han defendido una escala de tiempo mucho más cortal4 -a veces, incluso, ¡cuando las fechas predichas para la equivalencia humana ya han pasado! Para que el lector no se sienta desanimado ante la perspectiva de verse superado por los ordenadores en un plazo menor de (pongamos por caso) cuarenta años, la perspectiva asegurada ofrece -en realidad, promete- la esperanza de que podri'amos ser capaces de transferir nuestros «programas mentales» a los brillantes cuerpos metálicos (o plásticos) de los robots de nuestra elección, obteniendo de este modo una cierta forma de inmortalidad para nosotros (Moravec, l988, l994). Sin embargo, semejante optimismo no está al alcance de los que mantienen el punto de vista ®. Su posición no difiere de G en lo que respecta a lo que los ordenadores serán finalmente capaces de conseguir de una forma externa. Una s,®mw/ac,'oJ# adecuada de la acción de un cerebro humano podría ser utilizada para controlar un robot, siendo dicha simulación todo lo que se necesita (figura l.5). IJa cuestión de la presencia de conocimiento consciente que surja asociado a esta simulación es, según @, irrelevante para el comportamiento del robot. Podrían transcurrir siglos, o podri'an transcurrir menos de cuarenta años, antes de que una simulación semejante llegue a ser una posibilidad técnica. Pero según ®, seri'a eventualmente posible. Entonces estos ordenadores habrán alcanzado el nivel de «equivalencia humana»; y una vez más cabría esperar que nos sobrepasen rápidamente cualquiera que sea el nivel que seamos capaces de alcanzar con nuestros cerebros relativamente débiles. La opción de «unirse» a

los robots controlados por ordenador no está ahora abierta a nosotros, y parece que deberíamos resignarnos a la perspectiva de un planeta ¡gobernado finalmente por máquinas insensibles! De todos los puntos de vista G, @, e, @, creo que es ® el que ofrece la idea más pesimista del futuro de nuestro planeta -¡pese a su naturaleza aparentemente de «sentido común»!

>^

50

IJas sombras de la mente

l.5. Según el punto de vista ®, seri'a posible, en prin dor de la actividad de un cerebro humano consciente d dos por ordenador podri'an alcanzar finalmente, y lue das las capacidades humanas.

Según e o D, por el contrario, cabría esperar

, una simulación por ordenado que los robots controlaperar abrumadoramente, to-

los ordenadores pudieran

(o debieran) seguir siendo siempre nuestros servid cen en lo relativo a velocidad, capacidad y diseñ no obstante, está abierto a desarrollos cienti'ficos

no importa cuánto avanico. El punto de vista C, ros que pudieran condu-

cir a la construcción de dispositivos -m basado los entendemos, sino en la propia acción fi'sica n debe subyacer en nuestros propios procesos me vos que podrían alcanzar inteligencia y conocimi dispositivos, más que «ordenadores» tal como a que finalmente sobrepasarán todas las capacidade asi', pero tal especulación me parece extraordina mento actual ya que carecemos de casi todo el co ri'a necesario, aunque sólo fuese el conocimiento t

ordenadores como hoy putable que C exige que s conscientes-, dispositi,ea'/. Quizá existan estos entendemos ese término, manas. Posiblemente sea ente prematura en el moiento cienti'fico que selógico. Volveré de nuevo

a esta cuestión en la Segunda parte (cf. §8.l).

l.ll. ¿Pueden los ordenadores tener derec

o responsabilidades?

Una cuestión relacionada -y que podri'a tener u inmediata-ha empezado a atraer la atención de l trata de si, en un futuro no tan lejano, habri'a qu

portancia práctica más óricos del derecfto." Se siderar que los ordenado-

res puedan tener responsabilidades o derechos lega de su desarrollo los ordenadores se acercan a, o veles humanos de competencia en muchos aspe tipo de cuestiones llegari'an a ser realmente relev de vista G, entonces se veri'a evidentemente lleva

iertamente, si en el curso á incluso superan, los nide la vida, entonces este . Si uno cree en el punto la dirección de tener que controlados por ordenao responsabilidades. En

Consciencia y computación

51

efecto, según dicho punto de vista no hay diferencia esencial -aparte de los «accidentes» de la diferente construcción material- entre nosotros y los robots suficientemente avanzados. Para los que sostienen el punto de vista ®, sin embargo, la cuestión no parece tan clara. Uno podri'a argumentar razonablemente que es la posesión de ciertas cualidades mentales genuinas -tales como el sufrim¡ento, rabia, rencor, malicia, fe, confianza, decisión, creencia, comprens¡ón o pasión- lo que constituye la cuestión relevante con respecto a derechos o responsabilidades. Según ®, un robot controlado por ordenador no tendri'a ninguna de estas cualidades, y supongo que, por la misma razón, no podri'a tener derechos ni responsabilidades. Pero, según a}, tampoco hay manera efectiva de decir que estas cualidades están ausentes, de modo que uno podri'a estar situado en una especie de dilema si los robots llegasen a conseguir una imitación sufic¡entemente buena del comportamiento humano. Este dilema pareceri'a eliminado con el punto de vista C (y, presum¡blemente, tamb¡én con el punto de vista S)) porque, según estos puntos de vista, los ordenadores no podri'an mos,nür convincentemente cualidades mentales -y ciertamente nunca las poseeri'an realmente. Por consiguiente, se seguiri'a que los ordenadores m pueden tener ni derechos ni responsabilidades. Para mi', éste es un punto de vista muy razonable. En este libro expondré fuertes argumentos en contra de a y @. La aceptación de los argumentos que doy simplificaría ciertamente la posición legal: los ordenadores o los robots controlados por ordenador nw"ca tienen derechos o responsabilidades. Además, ,-no se merecen compartir la cull,a cuando las cosas van mal, culpa que siempre estaría en otro lugar! Deben'a quedar claro, sin embargo, que estos argumentos no se aplican necesariamente a ningún supuesto «dispositivo», como se señaló antes, que finalmente pudiera ser capaz de sacar provecho de la fl'sica no computacíonal. Pero puesto que la perspectiva de tales dispositivos -si realmente llegaran a construirse- no está siquiera en el horizonte, no hay n¡nguna cuestión legal

que afrontar en este sentido en un futuro previsible. El tema de la «responsabilidad» plantea cuestiones filosóficamente profundas relati`ms a las causas últimas dc nuestro comportamiento. Podri'a sostenerse perfectamente que cada una de nuestras acciones está determinada en última instancia por nuestra herencia y por nuestro ambiente -o alternativamente por los numerosos factores de azar que continuamente afectan a nuestras vidas. ¿No están ,odas estas influencias «más allá de nuestro control», y son por lo tanto cosas de las que no podemos ser responsables en última instancia? ¿Es el tema de la «responsabilidad» simplemente una cuestión de conveniencia terminoló-

gica, o hay realmente algo más -un «yo» subyacente en todas estas influenciasque ejerce un control sobre nuestras acciones? Ia cuestión legal de la «responsabilidad» parecc implicar que hay realmente dentro de cada uno de nosotros algún tipo dc {vo» independiente con susp,op,-as responsabilidades -y, en consecuencia, derechos- cuyas acciones m son atribuibles a herencia, ambiente o azar. Si esto es algo más que una mera conveniencia del lenguaje que hablamos, como s¡ hubiera un «yo» independiente semejante, entonces debe haber

52

IJas sombras de la mente

un ingrediente ausente en nuestra comprensión fi to de un ingredienté`dg_ese __tipo ciertamente alt tra perspectiva cienti'fica. Este libro no dará una respuesta a estas cuesti

actual. El descubrimiende forma profunda nues-

puede abrirles una rendija en la puerta -aunque que necesariamente debe haber un «yo» cuyas una causa extema, pero nos dirá que debemos a a la propia naturaleza de lo que pudiera ser una ser algo imposible de computar en la práctica o cuando una «causa» es el efecto de nuestras accio ser algo muy sutil, ciertamente más allá de la c y también más allá de cualquier influencia pura cepto de «causa» pudiera llevarnos más cerca de tión profunda (¿o la «ilusión»?) de nuestro libre futuro.

na rendija. No nos dirá es no son atribuibles a r nuestra visión respecto a». Una «causa» podri'a ncipio. Mantendré que nscientes, entonces debe tación, más allá del caos aleatoria. El que tal conomprensión de la cuesdri'o es un tema para el

l.l2. «Conocimiento», «comprensión», «c

iencia», «inteügencia»

En las discusioncs precedentes no he hecho toda alguno de los evasivos conceptos relacionados c Me he referido, de forma algo vaga, a «conoci G, @, e y D dadas en §l.3, pero no se `han cualidades de la mentalidad. Debería al menos h car la terminologi'a que estoy utilizando, especi nos tales como «comprensión», «consciencia» e

ngún intento de precisar cuestión de la «mente». o» en las definiciones de onado en ese punto otras lgún intento por clarifite en relación con térmiligencia», que tienen im-

portancia para las cuestiones de este libro. Aunque no creo que los intentos por establece necesariamente útiles, resultan pertinentes algu

niciones completas sean mentarios respecto a mi

propia terminologi'a. A menudo me siento desc uso de estas palabras que parece obvio para mi' personas pueden creer natural. Por ejemplo, mi prensión» implica ciertamente que una auténtica queriri'a que esté presente algún elemento de co# miento de lo que trata cierto argumento no pued comprensión auténtica de dicho argumento. Al irreprochable dc las palabras aunque, en cierto la IA parecen utilizar los téminos «comprensión»

ado al descubrir que un cuerda con el que otras o uso del término «comsión de esta cualidad re,'¬n,o. Sin ningún conocier seguramente ninguna s, éste me parece un uso textos, los defensores de nocimiento» de un modo

que niega tal implicación. Algunos defensores d o la Ú3) afirman'an que un robot controlado por les son sus instrucciones incluso si no se hiciera ni mente tiene «conocimiento» de ellas. Para mi', la palabra «comprende», aunque es un uso equi valor heuri'stico para las descripciones del funcio do trate de aclarar que no estoy utilizando «com

A (ya sea en la forma G ador «comprende» cuaa afirmación de que reales un uso equivocado de o que tiene un auténtico nto del ordenador. Cuan» en esta forma heuri's-

_'£_`-

profundas, pero creo que

Consciencia y computación

53

tica, utilizaré la frase «comprende auténticamente», o «comprensión auténtica», para esa actividad para la que el conocimiento es realmente necesario. Por supuesto, algunos podri'an argumentar que no hay una distinción tajante entre estos dos usos del término «comprende». Si uno cree que no hay diferencia, entonces debe creer que el propio conocimiento es un concepto mal definido. No niego esto; pero me parece evidente que el conocimiento es realmente a/go, y este algo puede estar presente o ausente, al menos hasta un cierto grado. Si uno está de acuerdo en que el conocimiento es wH algo, entonces pareceri'a natural que estuviera también de acuerdo en que este algo debe formar

parte de cualquier comprensión auténtica. Esto aún permite que el «algo» que es el conocimiento pudiera ser realmente un rasgo de una activ¡dad puramente computacional, de acuerdo con el punto de vista G. También me pareceri'a irreprochable usar la palabra «inteligencia» sólo cuando puede haber alguna comprensión implicada. Sin embargo, una vez más, al-

gunos proponentes de la IA podri'an afirmar que su robot podi'a ser «inteligente» sin que necesitase realmente «comprender» algo. El término «inteligencia artificial» implica que la actividad computacional inteligente se presume posible, pero algunos argumentan que la comprensión auténtica -y ciertamente el conocimiento- está fuera de los objetivos de la IA. En mi opinión, «inteligencia» sin comprensión es un nombre equivocado. Hasta cierto grado, podri'a darse a veces algún tipo de simulación parcial de inteligencia auténtica sin ninguna comprensión real. (En realidad, uno se tropieza con no poca frecuencia con individuos áwma#os que son capaces de engañarnos durante algún tiempo haciéndonos creer que poseen cierta comprensión, ¡cuando finalmente resulta que no poseen ninguna en absoluto!) Un aspecto importante en mis exposiciones posteriores será el que existe realmente una distinción precisa entre inteligencia auténtica (o comprensión auténtica) y cualquier actividad simulada de forma enteramente computacional. Según mi propia term¡nologi'a, la posesión de inteligencia auténtica requiere que haya presente una comprensión c,w,e'm'ca'. Asi' pues, mi uso del término «inteligencia» (especialmente cuando va acompañado de la palabra «auténtica») implicari'a la presencia de algún conocimiento real. Para mi', ésta parece una terminologi'a natural, pero muchos defensores de la IAl6 (ciertamente aquellos que no apoyan el punto de vista G) rechazarán firmemente que estén intentando proporcionar un «conocimiento» artificial incluso si, como el nombre parece implicar, están intentando realmente construir una «inteligencia» artificial. Quizá tales personas afirmari'an (de acuerdo con el punto de vista ®) que meramente están s,-mw/c,ndo inteligencia -que no necesita comprensión ni conocimiento real- y no intentando conseguir lo que yo llamo inteligencia c,#,e'#,,-cc,. Quizá afirmen que no reconocen ninguna diferencia entre inteligencia auténtica y simulada, como sería una consecuencia del punto de vista G. En posteriores discusiones, uno de mis objetivos será el demostrar que existe realmente un aspecto de la «comprensión auténtica» que no puede simularse adecuadamente por ningún medio computacional. En consecuencia, debe haber una diferencia entre inteligencia auténtica y cualquier intento de una adecuada simulación computacional de la misma.

54

Las sombras de la mente Por supuesto, no he definido m,®#gwm, de l

minos «inteligencia», «com-

prensión» o «cono`q±g2`i¢ento». Seri'a muy poc, niciones comp/e,¢j.- Tendrémos que fia`rñ`ósT~éjn cepciones intuitivas respecto a lo que estas pal nuestro concepto intuitivo de «comprensión» es la «inteligencia», entonces un argumento que es

dente intentar dar aquí defiuna medida, de nuestras persignifican realmente. Si que es algo necesario para zca la naturaleza no com-

putacional de la «comprensión» establecerá ta tacional de la «inteligencia». Además, si «conoc la «comprensión», entonces una base fi'sica no no del conocimiento podri'a dar cuenta de una semejante para la «comprensión». Asi' pues,

la naturaleza no computo» es algo necesario para utacional para el fenómeraleza no computacional pio uso de estos términos

(y, afirmo, también el uso común) entraña la

secuencias:

(a) «inteligencia» negw,'ene «comprensión»

y (b) «comprensión» negw,®cne «conocimiento

Por conocimiento entenderé un aspecto -el

cto pas,'vo- del fenóme-

no de la consc,-cnc,'¢. La consciencia tiene ta el sentimiento de1 /,'b,e a/b¬dr,Ío. No intentaré la palabra «consciencia» (y ciertamente no del « argumentos tienen el objetivo de comprender fi consciencia en términos cienti'ficos pero no co el punto de vista C. Tampoco afirmo haber re el camino hacia este objetivo, aunque espero qu en este libro (y en NME) proporcionarán algu cluso algo más que eso. Tengo la sensación de etapa el término «consciencia» de una forma d el riesgo de dejar escapar el propio concepto qu cuencia, en lugar de dar alguna definición pre ré a dar algunas notas descriptivas acerca de mi Cuando todo esté dicho y hecho, debemos fiarn tra comprensión intuitiva de su significado. Esto no pretende sugerir que yo crea que de mente» lo que «es» realmente la consciencia, s

n un aspecto ac,,'vo, a saber, una definición completa de albedri'o»), incluso si mis ente este fenómeno de la cionales, como requeriri'a do una gran distancia en argumentos que presento alones útiles -y quizá inal intentar definir en esta iado cerrada correríamos remos atrapar. En consea e inadecuada, me limitael término «consciencia». última instancia de nues-

concepto semejante que estamos tratando de ca

de algún modo -un fenó-

meno genuino y cienti'ficamente descriptible, como pasivo en el mundo fi'sico. Algunas pers cepto es demasiado vago para merecer un estud esas mismas personasl7 no dudan en discutir el estuviera mejor definido. El uso normal de la pal

ega tanto un papel activo parecen creer que el conrio. Pero, con frecuencia, epto de «mente» como si mente» admite que puede mamos la «mente inconsucho mayor respecto a la

ad «conocemos intuitivaimplemente que existe un

Consciencia y computación

55

idea de una mente inconsciente que la de una consciente. Aunque yo mismo hago también un uso no infrecuente de la palabra «mente», no estoy intentando ser preciso sobre ello. El concepto de «mente» -c,par,e de lo que quiera que sea que ya está incorporado en el término «consciencia»- no tendrá el papel central en mis intentos de análisis riguroso. De modo que ¿qué entiendo yo por conscienc¡a? Como he señalado antes, existe un aspecto activo tanto como un aspecto pasivo de la consciencia, pero no siempre está claro que haya una distinción entre los dos. La percepción del color rojo, por una parte, es algo que ciertamente requiere consciencia pasiva, como lo es la sensación de dolor o la apreciación de una melodía. La consciencia activa está involucrada en la acción deliberada de salir de la cama, como lo está en la decisión voluntaria de dejar de hacer alguna actividad enérgica. El traer a la mente un recuerdo del pasado hace intervenir tanto el aspecto activo como el aspecto pasivo de la consciencia. La consciencia, activa y pasiva, estari'a también normalmente involucrada en la formulación de un plan de acción futuro, y parece ciertamente que hay una necesidad de algún tipo de consciencia en el tipo de actividad mental que normalmente se englobaría en la palabra «comprensión». Además podemos ser conscientes ®asivamente), hasta un cierto grado, incluso cuando estamos dormidos, siempre que tengamos algún sueño (e incluso el aspecto activo de la consciencia puede a veces empezar a jugar un papel en el momento en que nos despertamos). Algunas personas podri'an discutir el papel omnicomprensivo de un concepto simple de consciencia en todas estas diversas manifestaciones. Podri'an insistir en que están involucrados varios conceptos muy diferentes de «consciencia» -no sólo meramente la consciencia «activa» y «pasiva»- y en que existen realmente muchos y variados atributos mentales que son pertinentes de forma independiente para todas estas diversas cualidades mentales. En consecuencia, aplicar el término genérico «consciencia» a todos ellos podri'a considerarse, en el mejor de los casos, inútil. En mi opinión, existe realmente un concepto unificado de «consciencia» que es fundamental para todos estos aspectos separados de la mentalidad. Aunque admito que haya aspectos activo y pasivo de la consciencia que son a veces distinguibles, teniendo que ver el aspecto pasivo con las sensaciones (o «qualia») y el activo con las cuestiones del «libre albedri'o», yo los tomaré como las dos caras de una misma moneda. En la Primera parte de este libro me interesaré principalmente en la cuestión de lo que es posible conseguir mediante el uso de la cualidad mental de «comprensión». Aunque no intento definir lo que significa esta palabra, espero que su significado quedará bastante claro para que el lector se convenza de

que esta cualidad -sea lo que sea- debe ser realmente una parte esencial de esa actividad mental necesaria para una aceptación de los argumentos de §2.5. Me propongo demostrar que la apreciación de es,os argumentos debe involucrar algo no computaciona1. Mi argumento no se dirige de forma tan d,®mc,a' a las otras cuestiones de «inteligencia», «conocimiento», «consciencia» o «mente», aunque también deberi'a existir una clara relevancia de esa discusión para dichos conceptos, puesto que la terminologi'a de «sentido común» que he indi-

561Jas sombras de la mente

cado arriba implica que el conocimiento deberi' nuestra comprensiÓIi,é y que la comprensión d inteligencia autéñtiéá.

un ingrediente esencial de ser una parte de cualquier

` ~ '`f'+-

l.13. El argumento de J Antes de presentar mi propio razonamiento, li'nea de argumentación muy diferente -la bien del filósofo John Searle-ls básicamente para muy diferentes que subyacen en mi propia li'nea to de Searle también se interesa en la cuestión d de decirse que una acción de ordenador apropi za dicha cualidad mental. No repetiré aqui' en sino que sólo daré sus li'neas esenciales de for El argumento se refiere a cierto programa de lar «comprensión» dando respuestas a pregunta toria que se ha narrado, con todas las pregunt chino. Searle imagina entonces un sujeto huma do laboriosamente cuentas de un lado para otro las computaciones detalladas que ejecutari'a el de la apariencia d¬ comprensión que está impli dor cuando e's,e ejecuta las computaciones, ni seri'a experimentada realmente por el ser úwma nes que requieren estas computaciones. En co la cualidad mental de comprensión no puede se tacional, pues el sujeto humano (que no com cabo los mismos actos simples de computació no experimenta ninguna comprensión de las

Searle una breve referencia a una ocida «Habitación China» tar el carácter e intención azonamiento. El argumencomprensión» y en si pueente perfeccionada alcanlle la discusión de Searle, uy breve. enador que pretende simunteadas acerca de una hisrespuestas formuladas en ue no sabe chino, movienal modo que ejecuta todas ador. Sin embargo, a pesar en el resultado del ordena-

a comprensión semejante e hiciera las manipulacioencia, Searle sostiene que plemente un tema compude el idioma chino) lleva a realiza el ordenador, pero ias. Searle admite que ca-

bri'a la posibilidad de una s,®mw/ac,®o+# de la s

de los resultados de la com-

prensión, de acuerdo con el punto de vista @, reconocer que esto podri'a ser conseguido por u acción física relevante de un cerebro humano (h cuando su propietario humano realmente comp mento de la Habitación China, él insiste en que dicha, no puede realmente «sentir» ninguna c prensión r¬a'/ no puede ser alcanzada de hecho por ordenador. El argumento de Searle se dirige contra G (q mulación» de comprensión seri'a equivalente a senta en apoyo de ® (aunque apoyando igual

esto que él está dispuesto a enador que simulase cada do lo que quiera que haga) e algo. Pero, con el argusJ'mw/¢c,'oím, propiamente ensión. Asi' pues, la comiante ninguna simulación

aspectopcz5,'vo, J®#,nover,,-do o swóy'e,,'vo de l

la posibilidad de una simulación de comprensi ver,J'do u oZ,y'e,,'vo. De hecho, el propio Searl

firmaría que cualqu¡er «siprensión «real») y se prea C o a D). Concierne al lidad de comprensión. No niega n su aspecto ac,Í'vo, ex,nodeclarado públicamepte: «Por que todo es un ordenador e que él estari'a dispuesto a

Conscienc¡a y computación

57

admitir la posibilidad de una simulación completa de la acción de un cerebro consciente en el acto de «comprender» algo, por lo que las manifestaciones externas de esta simulación seri'an idénticas a las de un ser humano consciente real -de acuerdo con el punto de vista @. Mis propios argumentos, por el contrario, se dirigirán precisamente contra estos aspectos externos de la «comprensión» y por ello mantengo que ni siquiera es posible una adecuada simulación

por ordenador de las manifestaciones externas de la comprensión. No abordo aqui' en detalle la discusión de Searle, puesto que no ofrece apoyo directo para el punto de vista C (y apoyar e es el propósito de mis argumentos aqui). Sin embargo, vale la pena dejar constancia de que yo considero que el argumento de la Habitación China ofrece una li'nea argumental convincente en contra de G, aunque no creo que esta línea argumental sea totalmente concluyente. Para detalles adicionales y varios argumentos en contra, véase Searle (l980) y las exposiciones que alli' se tratan y en Hofstadter y Dennett (l98l); véase también Dennett (l990) y Searle (l992). Para mi punto de v¡sta véase NME, pp. l7-23 [pp. 40-48].

l.14. Algunas dificultades del modelo computacional Antes de dirigirnos a las cuestiones que concretamente separan e de G y de O3, consideremos algunas otras dificultades a las que debe hacer frente cualquier intento de explicación del fenómeno de la consciencia según el punto de vista G. Según G, es simplemente el «llevar a cabo» o la c/'é'cwc,'oJ# de algoritmos apropiados lo que se supone que provoca el conocimiento. Pero ¿qué significa esto realmente? ¿Significa «ejecución» que deben moverse fragmentos de material físico de acuerdo con las sucesivas operaciones del algoritmo? Imaginemos que estas sucesivas operaciones se escriben li'nea por li'nea en un libro voluminoso.20 ¿Constituiría «ejecución» el acto de escribir o imprimir estas li~neas? ¿Sería suficiente la mera existencia estática del libro? ¿Qué pasari'a si sim-

plemente pasamos un dedo por las li'neas una tras otra; contari'a esto como «ejecución»? ¿Y qué pasari'a si pasamos un dedo por los si'mbolos si están escritos en braille? ¿Qué pasari'a si proyectamos las páginas del libro sucesivamente en una pantalla? ¿Constituye ejecución la mera pnesc#,a'c,'oJn de las operaciones sucesivas de un algoritmo? ¿Seri'a necesario, por el contrario, tener a alguien que compruebe que cada li'nea se sigue correctamente de las que la preceden, de acuerdo con las reglas del algoritmo en cuestión? Presumiblemente eso, al menos, seri'a una petición de principio, puesto que para el proceso no se necesitari'an las comprensiones de ninguna persona auxil¡ar (consciente). La cuestión de qué acciones fi'sicas deberi'an contar como las que realmente ejecutan un algoritmo es muy poco clara. Quizá tales acciones no sean necesarias en absoluto y, para estar de acuerdo con el punto de vista G, bastari'a con la mera existencia platónica del algoritmo (cf. §l.l7) para que estuviera presente su «conocimiento». En cualquier caso, es presumible que no se dari'a simplemente el caso, se-

58

I+as sombras de la mente

gún G, de que cwc,/g#,-er algoritmo complicado produjera conocimiento (apreciable). Cabría eSp.elar-que fueran necesarias algunas caracteri'sticas especiales del algoritmo, tales como «organización dé!alto nivel», o «universalidad», o «autorreferencia», o «simplicidad/complejidad algorítmica»,2l o algo semejante, antes de que pudiera considerarse que se ha producido un conocimiento significativo. Además, está la espinosa cuestión de qué cualidades particulares de un algoritmo se supondri'an responsables de los diversos «qualia» diferentes que constituyen nuestro conocimiento. ¿Qué tipo de computación provoca la sensación «rojo», por ejemplo? ¿Qué computaciones constituyen las sensaciones de «dolor», «dulzura», «armoni'a», «acritud» o cualquier otra? Los proponentes de G han hecho en ocasiones intentos de abordar cuestiones de esta naturaleza (cf. Dennett, l99l, por ejemplo), pero hasta ahora estos intentos no me parecen nada convincentes. Además, cualquier sugerencia algorítmica precisa y razonablemente simple

(tal como cualquiera que se pueda haber hecho hasta ahora en la literatura) tendría el inconveniente de que podri'a ser implementada sin gran dificultad en un ordenador electrónico actual. Según quienes proponen semejante sugerencia, tal implementación tendría que provocar la experiencia r¬a/ del qualium pretendido. Seri'a difi'cil, incluso para quienes se adhieren con fuerza al punto de vista G, aceptar seriamente que una computación semejante -cualquier com-

putación que pudiera ponerse en acción en los ordenadores actuales, utilizando lo que hoy se comprende de la IA- experimentari'a rea/me#fe mentalidad hasta un grado significativo. De este modo pareceri'a darse el caso de que quienes hacen tales sugerencias deben recurrir a la creencia de que es la absoluta comp/,'cac,-o+# de las computaciones (que actúan según dichas sugerencias) involucradas en las actividades de nuestros propios cerebros la que nos permite tener experiencias mentales apreciables. Esto plantea algunas otras cuestiones que yo no he visto abordadas en ningún grado significativo. Si uno cree que es esencialmente la enorme complicación de los «cableados» que constituyen la red interconectada de las neuronas y sinapsis del cerebro el prerrequisito para nuestra actividad mental consciente significativa, entonces uno debe tratar de explicar de algún modo el hecho de

que la consciencia no es una caracteri'stica de todas las partes del cerebro humano en igual medida. Cuando se utiliza el término «cerebro» sin calificativos, es natural (al menos para los no especialistas) pensar en términos de las regiones externas con grandes convoluciones que constituyen lo que se conoce como la cor,ezt7 cen¬bm/: la materia gris externa del ccrt,Ó,o. Hay aproximadamente cien mil millones (lOll) de neuronas implicadas en la corteza cerebral,

que de hecho permiten una enorme complicación, pero la corteza cerebral dista mucho de ser todo el cerebro. En la parte trasera inferior hay otra importante masa enmarañada de neuronas conocida como el ccnebe/o (véase la figura l.6). El cerebelo parece estar cri'ticamente involucrado en la perfección del control motor, y entra en juego cuando se ha dominado alguna habilidad motora hasta que se convierte en una «segunda naturaleza» sin que haya pensamiento consciente. Inicialmente, cuando se aprende una nueva habilidad, es necesario

Consciencia y computación

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Cerebro humano

l.6. El número de neuronas y de concxiones neuronales en el cerebelo es del mismo orden que en el cerebro. A partir del simple recuento de neuronas y de la interconectividad neuronal. nos preguntamos: ¿por qué la acción del cerebelo es enteramente inconsciente?

el control consciente de las propias acciones, y parece que esto se logra con la intervención esencial de la corteza cerebral. Pero, posteriormente, cuando los movimientos necesarios se han hecho «automáticos», la actividad inconsciente del cerebelo es la que domina básicamente. Resulta notable, a la vista del hecho de que la actividad del cerebelo parece ser enteramente inconsciente,

que involucre quizá hasta la mitad de las neuronas del cerebro. Además, las celulas de Purkinje, mencionadas en §l.2, que tienen hasta 80.000 conexiones sinápticas, son neuronas que se encuentran en el cerebelo, de modo que el número total de conexiones entre neuronas muy bien podri'a no ser menor en el cerebelo que en el cerebro. Si es la extrema complicación de la red de neuronas la que se considera como prerrequisito esencial para la consciencia, entonces hay que preguntarse por qué la consciencia parece estar totalmente ausente en las acciones del cerebelo. (Tendré algunos comentarios que hacer sobre esta cuestión más adelante, en §8.6.) Por supuesto, los problemas para el punto de vista Q mencionados en esta sección tienen también sus análogos en @ y en C. En cualquier punto de vista cienti'fico, habri'a que abordar tarde o temprano la cuestión de qué es lo que subyace en el fenómeno de la consciencia, y de cómo pueden surgir los qualia. En las últimas secciones de la Segunda parte, intentaré avanzar provisionalmente hacia una comprensión de la consciencia desde el punto de vista de e.

1.l5. ¿Proporcionan las limitaciones actuales de la IA

un argumento a favor de C? ¿Pero por qué C? ¿Qué evidencia existe que pueda interpretarse como un apoyo directo a C? ¿Es e realmente una alternativa seria a G o ®, o incluso a D? Debemos tratar de ver qué es lo que realmente podemos hacer con nuestros

60

IJas sombras de la merite

cerebros (o mentes) cuando entran en juego deliberaciones conscientes -e intentaré convencer al lectór de que (al ñienos a veces) lo que hacemos con nuestro pensamiento consciente es muy diferente de cualquier cosa que pueda conseguirse computacionalmente. Los defensores de G mantendrían probablemente

que «computar», de una forma u otra, es la única posibilidad -y, en lo que se refiere a los efectos del comportamiento `externo, también lo hariían los defensores de @. Por el contrario, los defensores de a3 podri'an estar perfectamente de acuerdo con C en que las acc¡ones conscientes deben ser cosas que están más allá de la computación, pero ellos negarán la posibilidad de una explicación de la consciencia en términos cienti'ficos de cualquier tipo. Así pues, para dar apoyo a C, hay que tratar de encontrar ejemplos de actividad mental que estén más allá de cualquier forma de computacíón, y tratar de ver cómo seme-

jante actividad podri'a ser el resultado de procesos fi'sicos apropiados. El resto de la Primera parte se dirigirá hacia el primer objetivo, mientras que en la Se-

gunda parte presentaré mis intentos de llegar a entender el último. ¿Qué tipo de actividad mental podri'a haber que pudiera demostrarse que está más allá de la computación? Un camino posible seri'a el tratar de examinar el estado actual de la inteligencia artificial, y tratar de ver qué sistemas controlados computacionalmente son buenos para algo y cuáles son malos. Por su-

puesto, el estado del arte actual de la IA quizá no dé una clara indicación de lo que, en pr,-Hc,'p,'o, podri'a llegar a alcanzarse. Incluso en tan sólo cincuenta años, pongamos por caso, las cosas podri'an perfectamente ser muy diferentes de lo que son ahora. El rápido desarrollo de los ordenadores y sus aplicaciones

-sólo en los cincuenta últimos años- ha sido extraordinario. Ciertamente debemos estar preparados para avances enormes en el futuro, avances que posiblemente nos llegarán con gran rapidez. En este libro me interesaré principalmente no en la velocidad de tales avances, sino en ciertas limitaciones fundamentales de principio a las que están sujetos. Estas limitaciones actuari'an por muy dispuestos que estuviéramos a proyectar nuestras especulaciones hasta varios siglos en el futuro. Asi' pues, basaremos nuestros argumentos en principios generales y no nos permitiremos ser influidos indebidamente por lo que se ha conseguido hasta la fecha. De todas formas, podri'a muy bien haber claves encerradas dentro de los éxitos y fracasos de la inteligencia artificial actual, pese al hecho de que hasta el momento existe muy poco de lo que pudiera denominarse una inteligencia artificial auténticamente convincente -como incluso los más ardientes defensores de la IA estarán dispuestos a reconocer. Los principales fracasos de la inteligencia artificial hasta la fecha, quizá de forma bastante sorprendente, no se han dado tanto en áreas donde el poder del propio intelecto humano es extraordinariamente impresionante -áreas donde expertos humanos concretos pueden dejarnos mudos al resto de nosotros con su conocimiento especializado o su capacidad de hacer juicios basados en procedimientos computacionales de profunda complicación-, sino que se han dado en las actividades de «sentido común» que el más humilde de nosotros se permitiri'a durante la mayor parte de nuestra vida de vigilia. Por el momento, nin-

gún robot controlado por ordenador podría siquiera empezar a competir con

Consciencia y computación

61

un niño pequeño en la ejecución de algunas de las actividades cotidianas más sencillas: por ejemplo, reconocer que un lápiz de colores que está en el suelo en el otro extremo de la habitación es el que se necesita para completar un dibujo, atravesar la habitación para recoger ese lápiz y luego utilizarlo. A este respecto, incluso las capacidades de una hormiga, cuando ejecuta sus actividades diarias, sobrepasari'an con mucho lo que puede lograrse con el más avanzado de los sistemas de control por ordenador actuales. Pero, por el contrario, el desarrollo de potentes ordenadores que juegan al ajedrez proporciona un ejemplo sorprendente en el que los ordenadores pw¬dc# ser enormemente eficaces. El ajedrez es indudablemente una actividad en la que el poder del intelecto humano queda particularmente manifiesto -aunque sólo unos pocos lo exploten al máximo. Pero los sistemas de ajedrez por ordenador juegan ahora extraordinariamente bien, y pueden batir regularmente a la mayoría de los jugadores humanos. Incluso los mejores expertos humanos se están viendo ahora seriamente amenazados, y quizá no retengan durante mucho tiempo la superioridad que aún poseen sobre el mejor de los ordenadores que juegan al ajedrez.22 Existen también otras diversas áreas en las que los ordenadores pueden competir con éxito, o parcialmente con éxito, con expertos humanos. Más aún, existen algunas, tales como la computación numérica directa, en las que las capacidades de los ordenadores sobrepasan extraordinariamente las capacidades de los seres humanos. No obstante, en todas estas situaciones seri'a difícil mantener que el ordenador alcanza cualquier compnens,®o-# auténtica de lo que realmente está haciendo. En el caso de una organización de-arriba-abajo, la razón de que el sistema trabaje con éxito no es que comprenda algo, sino que en la construcción del

programa se ha utilizado el conocimiento de los programadores humanos (o el conocimiento de aquellos expertos humanos de los que dependen los programadores). Para una organización de-abajo-arriba no es evidente que se necesite ninguna comprensión específica cualquiera, como una caracteriJstica de las acciones del lsistema, por parte o bien del propio dispositivo o de sus programadores -más allá de aquellos conocimientos humanos que hubieran intervenido en el diseño de los detalles de los algoritmos concretos de ejecución y mejora que están involucrados, y en la propia concepción de que un sistema puede mejorar su actuación con la experiencia cuando quiera que se incorpora un sistema apropiado de realimentación. Por supuesto, no siempre está claro lo que el término «comprensión» significa en realidad, de modo que algunas personas podrían afirmar que en sws términos, estos sistemas de computación realmente poseen algún tipo de «comprensión», Pero ¿es esto razonable? Para ilustrar la falta de cualquier comprensión real

por parte de los ordenadores actuales, resulta interesante dar, como ejemplo, la posición de ajedrez mostrada en la figura l.7 (por William Hartston, tomado de un arti'culo de Jane Seymore y David Norwood, l993). En esta posición las negras tienen una enorme ventaja material, hasta el grado de dos torres y un alfil. Sin embargo, para las blancas es fácil evitar la derrota: basta con mover su rey por su lado del tablero, El muro de peones resulta infranqueable para

62

I,as sombras de la mente

l.7. Blancas juegan y hacen tablas; fácíl para los ser capturó la torre!

anos, ¡pero «Deep Thought»

las piezas negras, de modo que no hay peligro torres o el alfil negros. Esto es obvio para cualq mente familiarizado con las reglas del ajedrez. ción, en la que mueven las blancas, se presentó to Profundo) -el ordenador de ajedrez más p victorias sobre grandes maestros de ajedrez en mente el error de capturar la torre negra con s

as blancas por parte de las ugador humano medianambargo, cuando esta posieep Thought» (Pensamien-

de su época, con varias aber-, cometió inmediatan, ¡abriendo la barrera de

peones para obtener una posición perdida sin ¿Cómo pudo un jugador de ajedrez tan mara movimiento tan obviamente estúpido? IJa respu bi'a sido programado «Deep Thought», además considerable cantidad de «conocimiento libres

io! amente eficaz realizar un s que para todo lo que haabérsele suministrado una ra para calcular un movi-

miento después de otro -con un grado de anti

ión considerable- y para

tratar de mejorar su situación material. En ning do ninguna comprensión real de lo que podri' -ni, de hecho, podri'a nunca tener ninguna com

omento puede haber tenirar una barrera de peones ión auténtica de cualquier

cosa que hace. Para alguien con una apreciación suficiente tán construidos «Deep Thought» u otros siste al ajedrez, no supone una sorpresa real el hec tales como la de la figura l.7. Nosotros no sólo ajedrez que «Deep Thought» no comprendió, si

forma general en que esordenadores que juegan que fallase en posiciones mos comprender algo del e también podemos com-

prender algo de los procedimientos (de-arribaha sido constru¡do «Deep Thought»; de modo

) de acuerdo con los que ealmente podemos apre-

ciar por qué pudo cometer un error semejante -

omo comprender por qué s muchas circunstancias. samiento Profundo, o cual-

Consc¡encia y computación

63

quier otro sistema IA, llegue a alcanzar eve#,wa/mc#,e cualquier tipo de las comprensiones reales que nosotros podemos tener -sobre el ajedrez, o sobre cualquier otra cosa? Algunos defensores de la IA podrían argüir que para que un sistema IA obtenga cualquier comprensión «real» tendri'a que estar programado de una forma que incluya procedimientos dc-aba/-o-c,rr,'Óa de una manera mucho más fundamental que la que suele darse en los ordenadores que jue-

gan al aJ'edrez. En consecuencia, su «comprensión» se desarrollari'a gradualmente al incorporar una gran riqueza de «experiencia», más que por tener incorporadas reglas algori'tmicas especi'ficas de-arriba-abajo. Las reglas de-arriba-abajo suficientemente simples para que nosotros las podamos apreciar fácilmente podri'an no proporcionar, por si' mismas, una base computacional para la com-

prensión real -pues nosotros podemos utilizar nuestra propia comprensión de estas reglas para advertir sus limitaciones fundamentales. Este aspecto se hará más expli'cito en los argumentos dados en los capi'tulos 2 y 3. Pero ¿qué hay sobre estos procedimientos computacionales de-abajoarriba? ¿Es posible que ¬//os pudieran constituir los fundamentos de la comprensión? En el capi'tulo 3 argumentaré en otro sentido. Por el momento, podemos simplemente tomar nota del hecho de que los actuales sistemas de ordenador de-abajo-arriba no sustituyen de ninguna manera a una auténtica comprensión humana, en ningún área importante de conocimiento intelectual en donde la auténtica y continua comprensión e intuición humana parece ser importante. Esto, estoy seguro, seri'a hoy ampliamente aceptado. Para la mayori'a, las muy optimistas afirmaciones iniciales23 que a veces han hecho los defensores de la inteligencia artificial y los promotores de sistemas expertos no han sido todavi'a satisfechas. Pero estos son aún di'as muy tempranos, si vamos a considerar lo que la inteligencia artificial podri'a alcanzar en última instancia. Los defensores de la IA (ya sea G o ®) afirmarán que es solamente cuestión de tiempo, y quizá de algunos significativos desarrollos adicionales en su maquinaria, para que realmente empiecen a hacerse patentes elementos importantes de comprensión en el comportamiento de sus sistemas controlados por ordenador. Más adelante trataré de argumentar en términos precisos contra esto, y mantendré que ex¡sten limitaciones fundamentales a cualquier sistema puramente computacional, ya sea de-arriba-abajo o de-abajo-arriba. Aunque podri'a ser perfectamente posible que uno de tales sistemas construido con suficiente ingenio conserve una ilusión, durante algún tiempo considerable (como sucede con «Deep Thought»), de que posee alguna comprensión, yo mantendré que la falta real de comprensión general por parte de un sistema ordenador deberi'a quedar de man¡fiesto con el tiempo, al menos, en principio. Para mis argumentos precisos necesitaré volver a ciertas matemáticas, con la intención de demostrar que la comprensión mc,,emaJf,'ca es algo que no puede reducirse a computación. Algunos defensores de la IA podri'an encontrar esto sorprendente, pues han argumentado24 que las cosas que llegan más tarde en la evolución humana, como la ejecución de cálculos aritméticos o algebraicos, son las cosas que llegan más fácilmente a los ordenadores, y en las que

64

Las sombras de la mente

los ordenadores ya han superado con mucho la seres humanos; mientras que aquellas habilidade el caminar o la interpretación de esceriás vis-ua realizamos sin esfuerzo, los ordenadores actua para conseguir sus actuaciones limitadas y poc de forma muy diferente. Cualquier actividad co cálculos matemáticos, o jugar una partida de han sido comprendidas en términos de reglas c las cosas para las que sirven los ordenadores

ilidades de cálculo de los evolucionaron antes, como omplicadas, son cosas que ienen grandes dificultades resionantes. Yo razonaré cada, como pueden ser los z, o acciones comunes -s,' utacionales precisas- son nos; pero la prop¡a com-

prensión que subyace en estas reglas computacio está más allá de la computación.

es algo que en si- mismo

l.l6. El argumento del teor

de Gódel

¿Cómo podemos estar seguros de que semejant mismas cosas que pueden reducirse a reglas co los capi'tulos 2 y 3) algunas razones muy convin tos de (ciertos tipos de) comprensión no pueden en términos computacionales de ningún tipo arriba-abajo, ni con una de-abajo-arriba, ni c dos. Asi' pues, la facultad humana de ser capa debe ser alcanzado mediante alguna actividad o la mente. El lector puede recordar (cf. §l.5, §l tacional» se refiere aqui' a algo que está más all ción efectiva por medio de cualquier ordenador cos que subyacen en todos los dispositivos de cál actuales. Por el contrario, la «actividad no comp allá de los poderes de la ciencia y de las matem puntos de vista G y @ no pueden explicar có aquellas tareas que son resultado de una activi Ciertamente es una posibilidad /o'g,'ca' que el consciente) pudiera actuar de acuerdo con tal

mprensiones no son en si' cionales? Pronto daré (en s para creer que los efecimulados adecuadamente on una organización denguna combinación de las comprender» es algo que mputacional del cerebro ue el término «no compucualquier tipo de simulado en los principios lógielectrónicos o mecánicos onal» m implica algo más s. Pero sí implica que los

(cf. §l.9). Pero ¿es esto c,'er,o? El argumento q pi'tulo (§2.5) proporciona lo que creo que es u de un ingrediente no computacional en nuestro argumento depende de una forma simple del fa lógica matemática debido al gran lógico de orige ré solamente una forma muy simplificada de est

esentaré en el próximo camento muy claro a favor miento consciente. Este y potente teorema de la co Kurt GÓdel. Necesitamento, que requiere muy

pocas matemáticas (y para la que también tom tante posterior debida a Alan Turing). Cualquier ción razonable no deberi'a encontrar gran dificu los argumentos de tipo GÓdel, utilizados de est

tada alguna idea imporr que le preste una atenn seguirlo. Sin cmbargo, a, han sido a veces enér-

gicamente discutidos.25 En consecuencia, algun do la impresión de que este argumento basado e

tores podri'an haber sacaorema de GÓdel ha sido

alizamos realmente todas mental consciente. bro consciente (o la mente yes no computacionales

Consciencia y computac¡Ón

65

completamente refutado. Deberi'a dejar claro que no es asi'. Es cierto que durante años se han propuesto muchos argumentos en contra. Muchos de éstos estaban dirigidos contra un argumento pionero anterior -a favor del mentalismo y opuesto al fisicalismo- que había sido avanzado por el filósofo de Oxford John Lucas (l96l). Lucas habi'a argumentado a partir del teorema de Gódel que las facultades mentales deben estar realmente más allá de lo que puede lograrse computacionalmente. (Otros, como Nagel y Newman, l958, habi'an ar-

gumentado previamente en una li'nea similar.) Mi propio argumento, aunque sigue li'neas similares, se presenta de una forma algo diferente de la de Lucas, y no necesariamente como apoyo del mentalismo. Creo que mi forma de presentación es más capaz de hacer frente a las diferentes cri'ticas que se han levantado contra el argumento de Lucas, y demostrar sus varios defectos. A su debido tiempo (en los capi'tulos 2 y 3), abordaré en detalle todos los diferentes argumentos en contra que han llegado a mi conocimiento. Espero que m¡ exposición servirá para corregir no sólo algunos equi'vocos aparentemente muy extendidos sobre la importancia del argumento de GÓdel, sino también la evidentemente inadecuada brevedad de mi análisis en NME. Demostraré que muchos de estos argumentos en contra están basados meramente en equi'vocos; los restantes, que presentan puntos de vista genuinos que necesitan ser considerados en detalle, quizá proporcionen solamente posibles vi'as de escape, de acuerdo con G o a3, pero mantendré que en cualquier caso no proporcionan realmente explicaciones p/c,2Ü,-b/cs de lo que nuestra capacidad para «comprender» nos permite alcanzar realmente, y que estas vi'as de escape serían en cualquier caso de poco valor para la IA. Cualquiera que mantenga que todas las manifestaciones externas de los procesos de pensamiento consciente

pwetJeH ser adecuadamente simulados por ordenador, de acuerdo con el punto de vista G o el a}, debe encontrar alguna forma de tratar de entender, en todos sus detalles, los argumentos que daré.

l.l7. ¿Platonismo o misticismo? Algunos cri'ticos pueden sostener, sin embargo, que bajo la apariencia de obligarnos al punto de vista e o al punto de vista D, el argumento de GÓdel tiene implicaciones que deben ser consíderadas como «mi'sticas», y ciertamente no más agradables para ellos que cualquiera de tales vi'as de escape del argumento de GÓdel. Respecto a D, yo estoy en efecto de acuerdo con ellos. Mis razones

para rechazar D -el punto de vista que afirma la incompetencia del poder de la ciencia en las cuestiones de la mente- se derivan de una apreciación del hecho de que sólo mediante el uso de los métodos de la ciencia y de las matemáticas se ha conseguido cualquier progreso real en la comprensión del comportamiento del mundo. Además, las únicas mentes de las que tenemos conoc¡miento directo son las que están i'ntimamente asociadas con objetos fi'sicos concretos -c¬,f,b,os- y las diferencias en los estados de la mente parecen estar claramente asociadas con diferencias en los estados fi'sicos del cerebro. Incluso los

66

Las sombras de la mente

estados mentales de co#sc,®e#c,'¢ parecen esta ficos de actividad física_que tienen lugar den los aspectos enigmá¡iéó-; de la conscienéiá Jd sencia de «conocimiento» y quizá con nuestras

iados a ciertos tipos especíl cerebro. Si no fuera por n relacionados con la preciones de «libre albedri'o»,

que hasta ahora parecen eludir la descripción nos tentados a mirar más allá de los métod explicación de las mentes como una caracterí de los cerebros. Por el contrario, deberi'a quedar claro que cas han revelado un mundo lleno de misterio. nuestro conocimiento cienti'fico, más profundo digno de señalar que los fi'sicos, que son los con las formas enigmáticas y misteriosas en q teria, tienden a adoptar una visión del mundo

no tendríamos que sentirndar de la ciencia para la el comportamiento fi'sico

ia ciencia y las matemátito más profundo se hace isterio que revela. Es quizá irectamente familiarizados omporta nea'/me#,e la maclásicamente mecanicista

que la de los biólogos. En el capiJtulo 5 expli misteriosos del comportamiento cuántico, alg descubiertos recientemente. Podri'a suceder pe el misterio de la mente, necesitáramos una a

lguno de los aspectos más e los cuales sólo han sido mente que, para acomodar ión de lo que actualmente

entendemos por «ciencia», pero no veo razón con los métodos que nos han servido tan extr

acer ninguna ruptura clara ariamente bien. Si, como

yo creo, el argumento de GÓdel nos obliga e forma del punto de vista C, entonces tambié der algunas de sus otras implicaciones. Nos v de vista p/aíoJn,'co de las cosas. Según Platón, verdades matemáticas habitan en un mundo sin localización fi'sica. El mundo de Platón es fectas, distinto del mundo fi'sico, pero en cuy mundo fi'sico. También está más allá de nuestras tales; pese a todo, nuestras mentes tienen algú tónico a través de un «conocimiento» de las capacidad para razonar sobre ellas. Encontra cepciones platónicas puedan ser ayudadas a v limitan a la computación. Es esta potencialida conceptos matemáticos involucrados en este acc un poder más allá de lo que pueda ser alcanzad acción dependa solamente de la computación

secuencia a aceptar alguna emos que tratar de entens llevados hacia un punto nceptos matemáticos y las ropio que es intemporal y undo ideal de formas perminos debe entenderse este fectas construcciones menso directo a este reino plaas matemáticas y nuestra que aunque nuestras peror la computación, no se el «conocimiento» de los tónico la que da a la mente ca por un dispositivo cuya

l.l8. ¿Cuál es la relevancia de la c

nsión matemática?

Todas estas cosas algo vagas pueden estar (o p

no estar) muy bien, se que-

jarán sin duda algunos lectores. ¿Qué relevan cuestiones de matemáticas y de filosofi'a mate

ria tienen las complicadas para la mayoría de las maicial, por ejemplo? De hede la razonable opinión de

Consciencia y computación

67

que aunque el teorema de GÓdel es indudablemente importante en su contexto original de la lógica matemática, puede tener consecuencias muy limitadas, en el mejor de los casos, para la IA o para la filosofi'a de la mente. Después de todo, muy poco de la actividad mental humana se dirige a cuestiones relacionadas con el contexto original de GÓdel: los fundamentos axiomáticos de las matemáticas. Mi respuesta, por el contrario, es que una gran parte de la actividad mental humana supone la aplicación de la consciencia y la comprens¡Ón humana. Mi uso del argumento de Gódel consiste en demostrar que la com-

prensión humana no puede ser una actividad algori'tmica. Si podemos demostrarlo en algún contexto específico, esto será suficiente. Una vez que se ha demostrado que ciertos tipos de comprensión matemática deben eludir la descripción computacional, entonces se ha establecido que podemos hacer c7/go no computacional con nuestras mentes. Aceptado esto, es un paso natural concluir que la acción no computacional debe estar presente en muchos otros aspectos de la actividad mental. ¡Las compuertas se abrirán! Puede parecer que el argumento matemático que establece la necesidad del teorema de GÓdel, tal como se da en el capi'tulo 2, tiene muy poca relación directa con la mayoría de los aspectos de la consciencia. En verdad, una demostración de que ciertos tipos de conocimiento matemático deben implicar algo más allá de la computación no pcmecc tener mucha relevancia para lo que está implicado en nuestra percepción del color rojo, por ejemplo, ni parece haber ningún papel manifiesto para los desiderata matemáticos en muchos otros aspectos de la consciencia. Por ejemplo, ¡ni siquiera los matemáticos piensan normalmente en matemáticas cuando sueñan! IJos perros parecen soñar y presumiblemente también son conscientes en algún grado cuando sueñan; y yo ciertamente tiendo a pensar que pueden ser conscientes en otras ocasiones. Pero ellos no hacen matemáticas. ¡Indudablemente, la contemplación de las matemáticas está muy lejos de ser la wJ#,'co actividad animal que requiere consciencia! Es una actividad altamente especializada y caracteri'sticamente humana.

(De hecho, algunos ci'nicos podrían decir incluso que es una actividad restringida a ciertos seres humanos peculiares.) El fenómeno de la consciencia, por el contrario, es ubicuo, estando presente probablemente en mucha actividad mental tanto no humana como humana, y ciertamente en seres humanos no matemáticos tanto como en seres humanos matemáticos cuando éstos no están haciendo realmente matemáticas (que es durante la mayor parte del tiempo). EI

pensamiento matemático es un área minúscula de la actividad consciente a la que se entrega una minúscula minori'a de seres conscientes durante una fracción limitada de sus vidas conscientes. ¿Por qué entonces decido abordar la cuestión de la consciencia en un contexto matemático en primer lugar? La razón es que solamente dentro de las matemáticas es donde cabe esperar encontrar algo que se aproxime a una demostración rigurosa de que a/gwm parte, al menos, de la act¡vidad consciente d¬be ser no computacional. La cuestión de la computación, por su propia naturaleza, es realmente una cuestión matemática. No cabe esperar que seamos capaces de dar algo parecido a una «demostración» de que cierta actividad es

68

Las sombras de la mente

no computacional a menos que nos volyamos a las matemáticas. Trataré de convencer al lector de que sea lo que sea lo que hacemos con nuestros cerebros o mentes cuando comprendemos las ma,ema',,-cas, es realmente diferente de cualquier cosa que podamos lograr mediante el uso de un ordenador; entonces el lector estará más dispuesto a aceptar un papel importante para la actividad no computacional en -el pe~ñ§ámiento con§cienfe'¬n general.

De todas formas, como muchos podri'an aducir, seguramente es obvio que la sensación de «rojo» no puede ser causada de ninguna manera simplemente por el hecho de llevar a cabo cierta computación. ¿Por qué molestarse intentando alguna demostración matemática innecesaria cuando es perfectamente evidente que los «qualia» -i.e. las experiencias subjetivas- no tienen nada

que ver con la computación? Una respuesta es que este argumento a partir de la «obviedad» (por el que siento una considerable simpatía) se refiere sólo a los aspectos pasivos de la consciencia. Al igual que la Habitación China de Searle, podri'a presentarse como un argumento contra el punto de vista G, pero no distingue e de @. Además, debo atacar el modelo computacional de los funcionalistas (i.e. el punto de vista G) en su propio terreno, por asi' decirlo; pues los funcionalistas pretenden que todos los qualia deben ser de algún modo provocados llevando a cabo simplemente las computaciones adecuadas, por muy improbable que tal imagen pueda parecer a primera vista. En efecto, afirman ellos, ¿qué otra cosa podríamos estar haciendo de forma útil con nuestros cerebros si no es ejecutar computaciones de algún tipo? ¿Para qué está el cerebro si no es simplemente algún tipo de sistema de control computacional, aunque altamente perfeccionado? Cualesquiera que sean los «sentimientos de consciencia» que la acción del cerebro provoca de algún modo, deben ser, afirmarán ellos, el resultado de su acción computacional. A menudo mantienen que si uno se niega a aceptar el modelo computacional para toda actividad mental, incluyendo la consciencia, entonces uno debe recurrir al mi-s,,'c,'smo. a=sto equivale a sugerir que ¡la única alternativa al punto de vista G es el punto de vista D!) Mi intención, en la Segunda parte de este libro, es ofrecer algunas sugerencias parciales de lo que podría estar haciendo realmente un cerebro descriptible en términos cienti'ficos. No negaré que algunas de las partes «constructivas» de mi argumento son especulativas. Pero creo que el argumento a favor de c,/gw~# tipo de acción no computacional es irresistible, y para demostrar la naturaleza irresistible de este argumento debo dirigirme al pensamiento matemático.

l.l9. ¿Qué tiene que ver el teorema de GÓdel con el

comportamiento de sentido común? Supongamos que se acepta que algo no computacional está sucediendo realmente cuando utilizamos nuestros juicios matemáticos conscientes y llegamos a nuestras decisiones matemáticas conscientes. ¿Cómo nos ayudará esto para llegar a entender las limitaciones de la actividad de un robot que, como he men-

COrMCienCia y cOmputación

69

cionado antes, parecen estar mucho más relacionadas con las acciones elementales de «sentido común» que con el comportamiento complejo de expertos bien preparados? A primera vista parece que mis conclusiones serán casi opwe5,a,s a las que se encuentran para las limitaciones de la inteligencia artificial -al menos las lim¡taciones actuales. En efecto, parece que estoy afirmando que el comportamiento computacional tiene que encontrarse en áreas muy complejas del conoc¡miento matemático, más que en el comportamiento de sentido común. Pero no es esto lo que yo afirmo. Lo que estoy afirmando es que la «com~ prensión» implica el mismo t¡po de proceso no computacional, ya resida en una percepción matemática genuina, digamos la de la infinitud de los números naturales, o resida meramente en la percepción de que un objeto de forma oblon-

ga puede ser utilizado para mantener abierta una ventana, o en la comprensión de cómo podri-a ser atrapado o liberado un animal con unos pocos movimientos seleccionados de un cabo de cuerda, o en comprender los significados de las palabras «felicidad», «lucha» o «mañana», o en darse cuenta de que cuando el pie izquierdo de Abraham Lincoln estaba en Washington, su pie derecho estaba también en Wahington casi con toda segur¡dad -¡por utilizar un ejemplo que puso sorprendentemente en dificultades a un sistema IA real!26 Este proceso no computacional reside en cualquier cosa que sea lo que nos permite que lleguemos a ser directamente conscientes de algo. Este conocimiento puede permitirnos visualizar los movimientos geométricos de un bloque de madera, o las propiedadcs topológicas de un trozo de cuerda, o el carácter conexo de Abraham Lincoln. También nos permite tener algún tipo de vi'a directa a las experiencias de otra persona, de modo que uno puede «saber» lo que la otra

persona debe entender por una palabra como «felicidad», «lucha» y «mañana», incluso si las explicaciones han sido probablemente bastante inadecuadas. I+os «significados» de las palabras pueden ser transmitidos realmente de una persona a otra, no porque se den explicaciones adecuadas sino porque la otra persona ya tiene alguna percepción directa -o «conocimiento»- de los posibles significados que pudiera tener, de modo que explicaciones muy ínsuficientes pueden ser suficientes para capacitar a dicha persona para «captar» el correcto. Es la posesión de un tipo común de «conocimiento» la que permite que tenga lugar la comunicación entre las dos personas. Es esto lo que coloca en grave desventaja a un robot insensible controlado por ordenador. (De hecho, el propio s,'g#JJ¡cado del concepto de «significado» de una palabra es algo de lo que tenemos algún tipo de concepción directa, y es difi'cil ver de qué modo podn'a uno dar cualquier tipo de descripción adecuada de este concepto a nuestro robot insensible.) IÁ,s significados pueden ser comunicados de persona a persona sólo porque cada persona es consciente de experiencias o sensaciones internas similares sobre las cosas. Uno podría imaginar que las «experiencias» son simplemente cosas que forman parte de algún tipo de almacén de memoria que registra lo que ha sucedido, y con el que podri'a estar fácilmente equipado nuestro robot. Pero yo estoy manteniendo que no es asi', y que es crucial que el objeto en cuestión, sea humano o robot, debe ser realmente co#sc,'en,e de la experiencia.

70

IJas sombras de la mente

¿Por qué afirmo yo que este «conocimiento», sea lo que sea, debe ser algo no computacional, de modo que ningún robot, controlado por un ordenador, basado meramente en las ideas lógicas estándar de una máquina de Turing (o equivalente) -yaJs^ea de-arriba-abajo _o `de-.abajo-arriba-, pueda alcanzar o siquiera s,-mw/a,? Ádui' lés donde el aréüñériio gódeliano juega su papel crucial. Es difi'cil decir mucho en el momento actual sobre nuestro «conocimiento» de, por ejemplo, el color rojo; pero se puede decir algo definido respecto a nuestro conocimiento de la infinitud de los números naturales. Es el «conocimiento» el que permite a un niño «saber» qué se quiere decir con los números «cero», «uno», «dos», «tres», «cuatro», etc., y qué significa que esta secuencia continúe indefinidamente, cuando sólo se le han dado tipos de descripciones absurdamente limitadas y aparentemente irrelevantes en términos de unas

pocas naranjas y plátanos. El concepto de «tres» puede ser abstraído, por un niño, a partir de estos ejemplos limitados; y, además, el niño también puede captar el hecho de que este concepto no es sino uno de la inacabable secuencia de conceptos similares («cuatro», «cinco», «seis», etc.). En cierto sentido platónico, el niño ya «sabe» qué son los números naturales. Esto puede parecer un poco místico, pero no lo es en realidad. Es crucial, para las discusiones que siguen, que distingamos este tipo de conocimiento platónico del misticismo. Los conceptos que nosotros «conocemos» en este senti-

do platónico son cosas que son «obvias» para nosotros -cosas que pueden reducirse a un «sentido común» percibido-, pero quizá no seamos capaces de caracterizar completamente estos conceptos en términos de reglas computacionales. De hecho, como veremos en la exposición posterior en relación con el argumento de GÓdel, no hay modo de caracterizar completamente las propiedades de los números naturales en términos de tales reglas. No obstante, ¿cómo es posible que descripciones de números en términos de manzanas o plátanos puedan permitir a un niño saber lo que significa «tres di'as», estando aquí involucrado el mismo concepto abstracto de «tres» que en «tres naranjas»? Por supuesto, esta apreciación puede perfectamente no llegar de golpe, y el niño puede fallar al principio, pero éste no es el punto importante. El punto es que este tipo de comprensión es posible. El concepto abstracto de «tres», y el que este concepto es uno de una secuencia infinita de conceptos correspondientes -los propios números naturales- es algo que puede ser comprendido en verdad, pero, afirmo, sólo mediante el uso de la consciencia de uno mismo. Mi tesis será que, de forma análoga, nosotros no estamos utilizando reglas computacionales cuando visualizamos los movimientos de un bloque de madera, o de un trozo de cuerda, o de Abraham Lincoln. De hecho existen simulaciones por ordenador muy eficaces de los movimientos de un cuerpo ri'gido, como un bloque de madera. La simulación de tales movimientos puede hacerse tan precisa y fiable que normalmente son mucho más eficaces de lo que puede conseguirse mediante la visualización humana directa. Análogamente, los movimientos de un trozo de cuerda pueden simularse computacionalmente, aunque, quizá de forma sorprendente, esto es algo mucho más difícil de conseguir que las simulaciones de los movimientos de un cuerpo rígido. (Esto tiene algo que ver con el hecho de que una «cuerda matemática» requiere infini-

Consc¡encia y computacióri

71

tos parámetros para especificar su posición, mientras que un cuerpo ri'gido requiere solamente seis.) Hay algoritmos de ordenador para decidir si una cuerda está o no anudada, pero son completamente diferentes de los que describen movim¡entos ri'gidos (y no son muy eficaces computacionalmente). Cualquier simulación por ordenador de la apariencia externa de Abraham Lincoln seri'a ciertamente más difi+cil todavi'a. Ahora bien, mi punto no es que la visualización humana sea «meJ-or» o «peor» que una simulación por ordenador de estas diversas cosas, sino que es algo completamente d,/cren,e. Un punto esencial, me parece, es que la visualización implica un elemento de apreciación de lo que se está visualizando; es decir, implica compn¬#s,®oín. Para ilustrar el tipo de cosas que tengo en mente, consideremos un hecho elemental de la aritmética, a saber, el hecho de que, dados dos números naturales cualesquiera (i.e. números enteros no negativos: 0, l, 2, 3, 4...) a' y b, tenemos la propiedad de que

axb=bxa Deberi'a quedar claro que éste no es un enunciado vaci'o, pues los sign¡ficados de los dos miembros de la ccuación son diferentes. En el miembro de la izquierda, ¢ x b se refiere a una colección de o grupos de b objetos; mientras que b x o en el miembro derecho se refiere a ó grupos de a objetos. En el caso particular en que a = 3 y b = 5 tenemos, para a x ó, la disposición

(.....)(.....)(.....). mientras que para ó x c7, tenemos

(®..)(...)(...)(...)(...). El hecho de que haya el mismo número total de puntos en cada caso expresa elhecho particular de que 3 x 5 = 5 x 3. Ahora podemos ver que esto debe ser verdadero simplemente visualizando la matriz

®®®®® ®®®®® ®®®®®. Si leemos esto por filas, encontramos que tenemos tres filas, cada una de las cuales contiene c¡nco puntos, que es lo que expresa la cantidad 3 x 5. Sin embargo, si lo leemos por columnas, encontramos cinco columnas de tres puntos, que expresan la cantidad 5 x 3. El que estas cantidades son iguales se ve inmediatamente a partir del hecho de que es precisamente la misma matriz rectan-

gular en cada caso; sólo se está leyendo de forma diferente. (Alternativamente, uno podri'a preferir girar mentalmente la imagen un ángulo recto, para ver que

72

Las sombras de la mente

la matriz que representa 5 x 3 tiene el mismo número de elementos que la que representa 3 x 5;) \ | IJo importante sobre este acto de visuali+zación es que de golpe nos da algo

mucho más general que el hecho numérico concreto de que 3 x 5 = 5 x 3. En efecto, no hay nada especial sobre los valores particulares a = 3, b = 5 en este procedimiento. Se aplican'a igualmente, si, pongamos por caso, a = 79797000222 y b = 50000123555, y podemos afirmar con confianza 79797000222 x 50000123555 - 50000123555 x 79797000222

pese al hecho de que no hay ninguna posibilidad de visualizar adecuadamente una matriz rectangular tan grande (ni ningún ordenador actual podría enumerar sus elementos). Podemos concluir perfectamente que la igualdad superior debe ser válida -o, en realidad, que la igualdad general a x b = b x a debe satisfacerse-* a partir de la misma visualización esencialmente que la que utilizamos para el caso especial 3 x 5 = 5 x 3. Simplemente necesitamos «difuminar» en nuestras mentes los números reales de filas y columnas que se están utilizando, y la igualdad se hace obvia. No quiero sugerir que todas las relaciones matemáticas puedan percibirse directamente como «obvias» si se visualizan en la forma correcta -o meramente que siempre pueden percibirse de alguna otra forma que sea inmediata para nuestras intuiciones. Nada de eso. Algunas relaciones matemáticas requieren largas cadenas de razonamientos antes de que puedan percibirse con certeza. Pero el objeto de la demostración matemática es, de hecho, proporcionar tales cadenas de razonamiento en las que cada pc7Jo sea realmente algo que puede

percibirse como obvio. En consecuencia, el punto de llegada del razonamiento es algo que debe ser aceptado como vertZadcro, incluso si en sí mismo no fuese en absoluto obvio. Cabri'a imaginar que seri'a posible hacer una lista de todos los posibles pasos de razonamiento «obvios» de una vez por todas, de modo que a partir de ellos cualquier cosa podri'a reducirse a computación -i.e. la mera manipulación matemática de estos pasos obvios. Lo que demuestra el argumento de GÓdel (§2.5) es que esto no es posible. No hay forma de eliminar la necesidad de nuevas comprensiones «obvias». Asi' pues, la comprensión matemática no puede reducirse a computación ciega.

l.20. Visualización mental y realidad virtual Las ideas matemáticas que se han presentado en §l.lg eran de un carácter geométrico bastante especi'fico. Hay también ideas de muchos o'tros tipos que pueden utilizarse en los razonamientos matemáticos -ideas que no tienen por qué *

Debería notarse que esta igualdad m se satisface para diversos tipos extraños de «núme-

ros» que se dan en matemáticas, tales como los números ordinales mencionados tras Q19 en §2.lO. Pero siempre se satisface para los números na,w,c7,c5', que son los que nos interesan aqui'.

Consc¡enc¡a y computación

73

ser especialmente geométricas. Sin embargo, resulta que las ideas que so# geométricas tienen con frecuencia un valor especial para la comprensión matemática. Asi' pues, podri'a ser instructivo preguntar qué tipo de activ¡dad fi'sica está sucediendo realmente en nuestros cerebros cuando visualizamos algo de una foma geométrica. No hay exigencia lógica de que esta actividad en si' misma debiera proporcionar un «reflejo geométrico» de la cosa que se está visualizando. Como veremos, podri'a ser algo completamente diferente. Es útil hacer una comparac¡ón con lo que se denom¡na «realidad virtual», algo que se ha dicho que tiene relevancia para la cuestión de la «visualización». Según los procedimientos de la realidad virtual,27 se realiza una simulación por ordenador a partir de cierta estructura no existente -tal como una propuesta arquitectón¡ca para un edificio- y esta simulación se traslada a los ojos de un sujeto humano que parece percib¡r esa estructura como «real». Mediante los movimientos de los ojos o la cabeza, o quizá incluso de las p¡ernas como si se caminase, el sujeto veri'a la estructura desde ángulos difcrentes, como lo han'a precisamente si la estructura fuese real. (Véase la figura l.8.) Algunas personas28 han planteado el caso de que, sea lo que sea lo que sucede dentro de nuestros cerebros cuando visualizamos conscientemente, podri'a muy bien ser análogo a las computaciones involucradas en la construcción de una simulación semejante. De hecho, en el «ojo de la mente», cuando mira alguna estructura real fija, uno parece construir algún modelo mental que persiste invariable pese a que los movimientos continuos de la cabeza, los ojos y el cuerpo implican que las imágenes retin¡anas se estén desplazando continuamente. Estas correcciones para los movimientos corporales son una buena parte de lo que está implicado en la realidad virtual, y se ha sugerido que algo muy similar debe de estar sucediendo en la construcc¡ón de los «modelos mentales» que constituyen nuestros propios actos de visualización. Tales computaciones, por supuesto, no necesitan guardar ninguna relación geométrica real con (o «ser reflejo» de) la estructura que se está modelando. Los defensores del punto de vista G tendri'an realmente que considerar nuestras visualizaciones conscientes como el resultado de alguna simulación computacional semejante del mundo externo dentro de nuestras cabezas. IJo que yo estoyproponiendo, sin embargo, es que cuando percibimos conscientemente una escena visual, la compre#s,®o-n que está ¡nvolucrada es algo muy diferente del modelado del mundo en términos de una simulación computacional semejante. Uno podría argumentar que algo dentro de nuestros cerebros está actuando de forma más parecida a un «ordenador analógico» en el que el modelado del mundo externo se consigue no en términos de computación digital, como es el caso de los ordenadores electrónicos modernos, sino en términos de alguna estructura fi'sica interna cuyo comportamiento físico puede traducirse de modo que refleje el comportamiento del sistema externo que se está modelando. Si deseamos construir un dispositivo analógico para modelar los movimientos de un cuerpo ri'gido externo, existe claramente una forma muy sencilla de hacerlo. Tendri'a que haber, internamente, un pequeño cuerpo fi'sico real de la misma foma (pero de diferente tamaño) que el objeto externo que se está modelando

74

Las sombras de la mente

l.8. Realidad virtual. Por medios computacionales puede conjurarse un mundo tridimensional verosímil que responde de forma consistente al movimiento de la cabeza y el cuerpo.

-¡aunque ciertamente no voy a sugerir ninguna relevancia directa de es,e modelo particular para lo que sucede dentro de nuestros cerebros! Los movimientos de este cuerpo interno podrían verse desde ángulos diferentes para dar efectos de cara al exter¡or muy similares a los de la computación digital. Semejante sistema podri'a utilizarse también como parte de un sistema de «realidad virtual» en el que, en lugar de tener un modelo completamente computacional de la estructura en cuestión, habría un modelo fi'sico real de ella, difiriendo solamente en tamaño de la «realidad» que se está simulando. En general, la simulación analógica. no sería tan directa ni tan trivial como esto. Uno podri'a utilizar un parámetro como el potencial eléctrico más que la distancia fi'sica real, y asi' sucesivamente. Uno simplemente debe estar seguro de que las leyes fi'sicas que gobiernan la estructura interna reflejan con mucha precisión las leyes fi'sicas que gobiernan la estructura` externa que se está modelando. No hay

Consc¡encia y computación

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necesidad de que la estructura interna se asemc/'e a (o «refleje») la estructura externa de ninguna manera obvia. ¿Es posible que los dispositivos analógicos puedan conseguir cosas inaccesibles a la pura computación digital? Como se trató en §l.8, no hay razón para creer que, dentro del marco de la firsica actual, la simulación analógica puede conseguir cosas que no puede hacer la simulación digital. Asi' pues, si nuestros argumentos nos indican que nuestra imaginación visual logra cosas no computacionales, entonces nos sentimos animados a buscar sus fundamentos fuera del marco de la física existente.

1.2l. ¿Es no computacional la imaginación matemática? Ninguno de estos análisis nos dice específicamente que, sea lo que sea lo que hacemos cuando visualizamos, es algo que no puede simularse de una forma computacional. Parece que, incluso si empleamos algún tipo de sistcma analógico interno cuando visualizamos, al menos deberi'a ser posible s,'mw/c,r, digitalmente, el comportamiento de un dispositivo analógico semejante. Ahora bien, la «visualización» a la que me acabo de referir ha estado relacionada con lo que es «visual» en un sentido ampliamente literal, esto es, con las imágenes mentales que parecen corresponder a las señales que llegan al cerebro desde nuestros ojos. Más generalmente, las imágenes mentales de uno no necesitan en absoluto tener este carácter literalmente «visual», tal como cuando uno entiende el significado de una palabra abstracta o recuerda un fragmento musical. Las imágenes mentales de un ciego de nacimiento, por ejemplo, difícilmente pueden tener una relación directa con las señales que uno recibe de los ojos. Asi' pues, las «visualizaciones» a las que me estoy refiriendo tienen más que ver con la cuestión general del «conocimiento» que con cosas que necesariamente se relacionan con el sistema visual. De hecho, yo no conozco nin-

gún argumento que tenga una relación directa con la naturaleza computacional, o la que sea, de nuestros poderes de visualización en este sentido literal de «visual». Mi creencia de que nuestros actos reales de visualización deben ser no computacionales es una inferencia a partir del hecho de que o/ros tipos de conocimiento humano parecen tener un carácter demostrablemente no computacional. Aunque es difi'cil ver cómo podría uno producir un argumento directo a favor de la no computabilidad que sea especi'fico para la visualización geométrica, un argumento convincente de que a/gz,nc,s formas de conocimiento consciente deben ser no computacionales debería al menos llevar la firme sugerencia de que el tipo de conocimiento implicado en la visualización geométrica debe ser también no computacional. No parece haber razón para creer

que se pueda trazar una li'nea clara entre manifestaciones diferentes de la comprensión consciente a este respecto. Concretamente, el conocimiento que yo afirmo que es cJ¬mos,nfrb/cmen,e

no computacional es nuestra comprensión de las propiedades de los números naturales O, l, 2, 3, 4... (Uno podri'a decir incluso que nuestro concepto de un

76

IJas sombras de la mente

número natural es, en cierto sentido, una forma de «visualización» m geométrica.) Veremos en §2.5, a partir de una form? muy asequible del teorema de GÓdel (cf. respuestá ai la-Éregunta Q16), qüé |á`Sta comprensión es algo que no

puede ser encerrado en cualquier conjunto finito de reglas -de lo que se deduce que no puede ser simulado computacionalmente. De vez en cuando uno oye que algunos sistemas de ordenador han sido «entrenados» para «comprender» el concepto de números naturales.29 Sin embargo, esto no puede ser cierto, como veremos. Es nuestro co#ocJ'm,'e#,o de lo que un «número» puede significar realmente el que nos capacita para captar el concepto correcto. Una vez

que tenemos este concepto correcto, podemos -al menos en principio- dar las respuestas correctas a familias de preguntas que se nos plantean acerca de números, cuando ningún conjunto finito de reglas puede hacerlo. Con sólo re-

glas y ningún conocimiento directo, un robot controlado por ordenador (como «Deep Thought»; cf. §l.l5) estari'a necesariamente limitado en aspectos en los

que nosotros no lo estamos -aunque si damos al robot reglas suficientemente inteligentes para su comportamiento él puede realizar hazañas prodigiosas, algunas de las cuales están mucho más allá de las capacidades humanas sin ayuda en áreas muy especi'ficas estrechamente definidas, y podri'a ser capaz de en-

gañarnos, durante algún tiempo, haciéndonos creer que posee conocimiento. Un aspecto digno de señalar es que casi siempre que se consigue una efectiva simulación por ordenador digital (o analógico), es porque se saca ventaja de alguna comprensión humana significativa de las ideas matemáticas subyacentes. Consideremos la simulación digital de los movimientos geométricos de un cuerpo rígido. Las computaciones relevantes dependen concretamente de las intuiciones de algunos grandes pensadores del siglo xvll, tales como los matemáticos franceses Descartes, Fermat y Desargues, que introdujeron las ideas de geometri'a de coordenadas y geometri'a proyectiva. ¿Qué sucede con las simulaciones de los movimientos de un trozo de cuerda? Resulta que las ideas

geométricas necesarias para comprender las limitaciones de comportamiento

de un trozo de cuerda -i.e. su «anudación»-son muy complejas; y son notablemente recientes, ya que muchos avances fundamentales sólo han tenido lugar en este siglo. Aunque, en la práctica, pudiera no h-aber dificultad para decidir, utilizando simples manipulaciones con las manos, y aplicando la comprensión de sentido común, si un lazo de cuerda cerrado pero enredado está anudado o no anudado, los algoritmos computacionales para conseguir lo mismo son sorprendentemente complejos, avanzados y poco eficaces. Asi' pues, las simulaciones digitales eficaces de tales cosas han sido asuntos fundamentalmente de-arriba-abajo, y dependen de una comprensión e intuición humanas considerables. Hay pocas posibilidades de que exista algo muy similar en el cerebro humano cuando está enfrascado en el acto de visualización. Una posibilidad más plausible seri'a algo que implique una contribución importante de ingredientes de-abajo-arriba, de modo que las «imágenes visuales» apareceri'an sólo después de que haya tenido lugar una «experiencia de aprendizaje» considerable. Yo no tengo conocimiento, sin embargo, de que exista cualquier enfoque de-abajo-arriba importante (e.g. a partir de redes neurales

Consciencia y computación

77

artificiales) para las cuestiones de este tipo. Mi conjetura sería que un enfoque que esté cw,¬nome#,e basado en una organización de-abajo-arriba dará resultados muy pobres. Es difi'cil ver que una buena simulación de los movimientos geométricos de un cuerpo ri'gido o las restricciones topológicas sobre los movi-

mientos de un trozo de cuerda -i.e. su a'mdac,-o'#-pudieran consegu¡rse sin que estuviese implicada ninguna comprensión auténtica de lo que realmente está sucediendo. ¿Qué tipo de proceso fi'sico puede haber que sea responsable de nuestro conocimiento -un conocimiento que parece ser necesario para cualquier comprensión auténtica? ¿Puede realmente ser algo que esté más allá de la simulación computacional, como exige el punto de vista C? ¿Es este supuesto proceso fi'sico algo en si' mismo accesible a nuestra comprensión, al menos en princi-

p¡o? Creo que asi' debe de ser, y que el punto de vista C es una genuina posibilidad cienti'fica, aunque debemos estar preparados para la eventualidad de que nuestros criterios y métodos cienti'ficos puedan sufrir cambios sutiles pero im-

portantes. Tendremos que estar preparados para examinar claves que pueden presentarse de formas inesperadas, y en áreas de comprensión auténtica que a primera vista podri'an parecer básicamente irrelevantes. En las cxposiciones que siguen pido al lector que mantenga una mente abierta y preste cuidadosa atención al razonamiento y a la evidencia científica, íncluso si éstos pueden parecer, a veces, en conflicto con lo que ha parecido Qbvio sentido común. Que esté preparado para reflexíonar un poco sobre los argumentos que intentaré presentar de una forma tan clara como sea posible. Con este ánimo, sigamos adelante. En el resto de la Primera parte, dejaré de lado las cuestiones de fi'sica y de cualquier acción biológica que pudiera subyacer en la no computabilidad exigida por el punto de vista C. Estas cuestiones constituirán la materia de la Se-

gunda parte de este libro. Pero ¿por qué es necesaria una búsqueda de una acción no computacional? Esta necesidad reposa sobre mi afirmación de que nosotros ejecutamos realmente hazañas no computacionales cuando comprendemos conscientemente. Debo justificar esta afirmación, y por esta razón debemos volvernos hacia nuestras matemáticas.

La argumentación gódeliana

s en las matemáticas donde nuestros procesos mentales alcanzan su forma más 2.1.pura. El Si teorema pensar es de precisamente Gódel yllevar las máquinas a cabo una computación de Turingde cierto tipo, parece que deberi'amos ser capaces de ver esto más claramente en nuestro

E

pensamiento matemático. Pero, de forma notable, resulta todo lo contrario. Es dentro de las matemáticas donde encontramos la evidencia más clara de que realmente debe haber algo en nuestros procesos de pensamiento consciente

que elude la computación. Esto parece una paradoja, pero será de importancia fundamental en los argumentos que siguen y debemos tratar de entenderlo. Antes de empezar, permítaseme animar al lector a no asustarse ante las matemáticas que encontraremos en las próximas secciones (§2.2-§2.5), pese al hecho de que tenemos que hacernos una idea de las consecuencias de nada menós que el teorema más importante de la lógica matemát¡ca de todos los tiempos: el famoso teorema de Kurt GÓdel. Presentaré solamente una versión extraordinariamente simplificada de este teorema basada, concretamente, en las ideas algo posteriores de Alan Turing. No se utilizará ningún otro formalismo matemático que la aritmética más sencilla. Es cierto que el argumento que voy a dar será algo confuso en algunos momentos, pero será mc,fi'men,c confuso, y no realmente «difi'cil» en el sentido de que se requiera algún conocimiento matemático previo. Tómese todo el tiempo que quiera para seguir el argumento y no se avergüence de volverlo a leer tantas veces como crea necesario. Posteriormente (§2.6-§2.lO) exploraré algunas de las ideas más concretas que subyacen en el teorema de Gódel, pero el lector que no esté interesado en tales cuestiones no nec5ita introducirse en estas partes del libro. ¿Qué cons-iguió el teorema de GÓdel? En un congreso celebrado en l930, en KÓnigsberg, cl joven y brillante matemático Kurt Gódel sorprendió a un grupo de los matemáticos y lógicos más destacados del mundo con lo que iba a convert¡rse en su famoso teorema. Inmediatamente fue aceptado como una contribución fundamental a los fundamentos de las matemáticas -probablemente la más fundamental nunca descubiertá- pero sostendré que, al establecer su teorema, él dio también un paso adelante capital en la filosofi'a de la mente.

IJa argumentac¡ón gódeliana

79

Entre las cosas que GÓdel estableció sin discusión estaba que ningún sÉ,ema/o,ma'/ válido de reglas de demostración matemática puede ser suficiente, ni siquiera en principio, para establecer todas las proposiciones verdaderas de la aritmética ordinaria. Esto es ciertamente bastante notable. Pero también puede construirse una sólida argumentación según la cual sus resultados mostraban algo más que esto, y estableci'an que la intuición y la comprensión humanas no pueden reducirse a ningún conjunto de reglas computacionales. En efecto, lo que él parece haber demostrado es que ningún s¡stema de reglas semejante

puede nunca ser suficiente para demostrar siquiera aquellas proposiciones de la aritmética cuya verdad es accesible, en principio, a la intuic¡ón humana, de modo que la intuición humana no puede reducirse a ningún conjunto de reglas. Parte de mi objetivo aqui' será tratar de convencer al lector de que el teorema de Gódel demuestra esto realmente, y proporciona la. base de mi argumento de que debe haber más en el pensam¡ento humano de lo que puede alcanzar nunca un ordenador, en el sentido en el que hoy entendemos el término «ordenador». No es necesario que dé una definición de un «sistema formal» para el argumento principaI (pero véase §2.7). En lugar de ello, me valdré de la contribución fundamental de Turing de alrededor de l936 (y algunos otros, fundamentalmente Church y Post), que estableció el tipo de procesos que ahora llamamos «computaciones» o «algoritmos». Hay una equivalencia efectiva entre tales procesos y lo que puede conseguirse mediante un sistema matemático formal, de modo que no será importante saber lo que es realmente un sistema formal con tal de que tengamos una idea razonablemente clara de lo que se entiende por una computación o un algoritmo. Ni siquiera para esto será necesaria una definición rigurosa. Los lectores familiarizados con mi libro anterior ZJz nwew men,e dc/ cmpcritrdor (NME, cf. capi'tulo 2) sabrán que un algoritmo es lo que puede ser llevado a cabo por una mtz~gw,-ma c7e rwr,.#g, donde podemos pensar que una máquina de Turing es un ordenador matemáticamente idealizado. Lleva a cabo sus actividades por un procedimiento paso a paso, estando cada paso completamente espec¡ficado en función del t¡po de marca que hay en una «cinta» que la máquina está examinando en cada instante, y del «estado interno» de la má-

quina (definido de forma discreta). Los diferentes estados internos permitidos son finitos en número, y el número total de marcas en la cinta también debe ser finito, aunque la cinta propiamente dicha tiene una longitud ilimitada. La máquina comienza en un estado particular, digamos el etiquetado «0» y sus instrucciones se introducen en la cinta, por ejemplo en forma de un número binario (una secuencia de «0» y «l»). A continuación empieza a leer estas instrucciones, moviendo la cinta (o, equivalentemente, moviéndose a lo largo de la cinta) de una manera definida según sus procedimientos paso a paso incor-

porados, tal como determina en cada instante su estado interno y el di'gito particular que está examinando. Borra las marcas, o hace marcas nuevas, también según estos procedimientos. Continúa asi' hasta que llega a una instrucción concreta.' «STOP},, momento en el que (y solamente entonces) se muestra en la c¡n-

80

lJas sombras de la mente

ta la respuesta a la computación que ha estad la máquina termina. Ahora está lista para ejec Ciertas máquinas de Turing particulares se ring wn,-versa'/cs, las cuales tienen la capac Turing cualquiera. Asi' pues, cualquier máquin

zando, y la actividad de siguiente computación. n como máquinas de Tue imitar a una máquina de ring universal simple tie-

ne la capacidad de` ileVar a cabo cwa/gri,'e,tté-

ción (o algoritmo) que se

pueda especificar. Aunque la construcción int moderno es muy diferente de esto (y su «esp muy grande, no es infinito como la cinta idea todos los ordenadores modernos de uso gene

etallada de un ordenador trabajo» interno, aunque de la máquina de Turing), , de hecho, máquinas de

Turing universales.

2.2. Computaci Aqui' nos interesaremos por las compw,oc,-o# ritmo) entiendo la acción de alguna máquina

una computación (o algong, es decir, de hecho, sim-

plemente la operación de un ordenador de acu denador. Deberi'a advertirse que las comput ejecución de operaciones aritméticas ordinari car números, sino que también pueden inclui ntzc,-o#es /oíg,'ca§ bien definidas pueden forma ejemplo de computación, podri'amos consid

n algún programa de orno son simplemente la s como sumar o multiplicosas. Asimismo, las opcde una computación. Como tarea siguiente:

(A) Encontrar un número que no sea la sum

es cuadrados.

Por «número» entiendo aquí un «número nat

o sea uno de los números

O,l,2,3,4,5,6,

Un cwadrt,do es el producto de un número de los números O,1,4,9,

l6,

9,lO,ll,l2,...

por sí mismo, esto es, uno

6,...,

siendo éstos OxO=02,lxl=l2,2x2=22,3x 6x6-62,.

,4x4=42,5x5=52,

respectivamente. Tales números se denomina

rados» porque pueden re-

presentarse como matrices cuadradas de puntos

yendo la matriz vaci'a para

IJa argumentación gódeliana

*,

* * **,

* * * *

*

*)

* * *

81

* * * * * * * * *

*

* *}

* * * *

La computación (A) podri'a proceder entonces de la manera siguiente. Ensayamos de uno en uno todos los números naturales, empezando por el O, para ver si es la suma de tres cuadrados. Solamente necesitamos considerar cuadrados que no sean mayores que el propio número. Asi' pues, para cada número natural existe sólo una cantidad finita de cuadrados que ensayar. En cuanto se encuentran tres cuadrados cuya suma da el número natural en cuestión, nuestra computación pasa al s¡guiente número natural y tratamos de nuevo de encontrar una tripleta de cuadrados (cada uno de ellos no mayor que el propio número) que sumen dicho número. Nuestra computación se det¡ene sólo cuando se encuentra un número natural que nunca coincide con la suma de cada tripleta semejante. Para ver cómo funciona esto, comencemos por el O. Éste es O2 + 02 + 02, de modo que es realmente la suma de tres cuadrados. A continuación ensayamos l y encontramos que, aunque no es O2 + 02 + 02, si' es O2 + b2 + l2. Nuestra computación nos dice ahora que pasemos a 2 y comprobamosqueaunquenoesO2 + 02 + 02,niO2 + 02 + l2,si'esO2 + l2+ l2;lue-

go pasamos a 3 y encontramos 3 = l2 + l2 + l2; luego pasamos a 4, encontrando 4 = 02 + 02 + 22; luego 5 = 02 + l2 + 22; luego, después de encontrar 6 = l2 + l2 + 22, pasamos a 7, pero ninguna de las tripletas de cuadrados

(cada uno de cuyos miembros no es mayor que 7) 02+02+02.

02+02+l2.

02+02+22.

02+22+22.

i2+i2+i2.

i2+i2+22.

02+l2+l2.

02+l2+22.

i2+22+22.

22+22+22.

consigue sumar 7, de modo que la computación se detiene y llegamos a nuestra conclus¡ón: 7 es un número del tipo que buscamos, al mo ser la suma de tres cuadrados.

2.3. Computaciones interminables Sin embargo, con la computación (A) tuvimos suerte. Supongamos que en su lugar hubiéramos intentado la computación:

(B) Encontrar un número que no sea la suma de cuatro cuadrados. Ahora, cuando llegamos a 7 encontramos que cs la suma de cuatro cwac7,f,c7os: 7= l2+ l2+ l2+22, de modo que debemos pasar a 8, encontrando 8=02+02+22+22; luego a 9, encontrando 9=02+02+02+32; luego lO = 02 + 02 + 12 + 32, etc. Lacomputaciónsigueysigue:... 23 = l2 + 22 + 32+ 32,24= 02+ 22 + 22 + 42..., 359 = l2 + 32+ 52 + l82..., yasi'sucesiva-

82

IJas sombras de la mente

mente. Podemos decidir que la respuesta a nuestra computación es increiblemente grande, y nuestro ordenador va a tardar un tiempo enorme y utilizar una enorme cantidad de espacio de almacenamiento para encontrar la respuesta. De hecho, podemos empezar a preguntarnos si realmente hay respuesta. IJa computación parece seguir y seguir, y nunca parece detenerse. De hecho, esto es correcto; ¡nunca se detiene! Un famoso teorema, demostrado por primera vez

por el gran matemático (italo-)francés Joseph L. Lagrange en l770, afirma que cwc,/gw,'er número es realmente la suma de cuatro cuadrados. No es un teorema fácil (e incluso un contemporáneo de Lagrange, el gran matemático suizo IJeonhard Euler, un hombre de sorprendente intuición, originalidad y productividad matemática, había tratado y fracasado en encontrar una demostración). Ciertamente no voy a molestar aquí al lector con los detalles del razonamiento de Lagrange, de modo que en lugar de esto tratemos algo,mucho más sencillo:

(C) Encontrar un número impar que sea la suma de dos números pares. ¡Espero que sea obvio para el lector que es,cr computación nunca llegará a término! Los números pares, a saber, los múltiplos de dos 2,4, 6, 8,

lO,12,

l4,

l6...

siempre dan una suma par, de modo que ciertamente no puede haber un número impar, es decir, uno del resto l,3,5,7,9,

ll,13,

l5,17...

que sea la suma de un par de números pares. He dado dos ejemplos (B y C) de computaciones que nunca terminan. En uno de los casos, éste hecho, aunque verdadero, no es nada fácil de asegurar, mientras que en el otro, su no terminación es realmente obvia. Permi'taseme dar otro ejemplo:

(D) Encontrar un número par, mayor que 2, que no sea la suma de dos números primos.

Recordemos que un número primo es un número natural (distinto de O o l) que no tiene otros divisores que sí mismo o l, de modo que es uno de: 2, 3, 5, 7,

ll,

13,

l7,

l9, 23...,

Es muy probable que la computación (D) no termine nunca, pero nadie lo sabe con certeza. Depende de la verdad de la famosa «conjetura de Goldbach», pro-

puesta por Goldbach en una carta a Euler en l742, pero que hasta el di'a de hoy permanece sin demostrar.

La argumentación gódeliana

83

2.4. ¿Cómo decidimos que algunas computaciones no se paran? Vemos ahora que las computaciones pueden terminar o no y, además, en los casos en que no terminan puede ser fácil ver que no lo harán, o puede ser muy difi'cil, o puede incluso ser tan difi'cil que nadie ha sido aún lo suficientemente inteligente para asegurar este hecho con certeza. ¿Mediante qué procedimientos se convencen los matemáticos y convencen a los demás de que ciertas computac¡ones no terminan? ¿Están siguiendo ellos mismos algún procedimiento computacional (o algori'tmico) para asegurar cosas de este tipo? Antes de intentar responder a esta pregunta, consideremos un ejemplo más. Este ejemplo será algo más difi'cil de ver que nuestro ejemplo obvio (C) pero aún es mucho más fácil que (B). Trataré de ¡lustrar algo de la forma en que los matemáticos pueden alcanzar a veces sus conclusiones. Mi ejemplo involucra lo que se denominan números Acxa'gona'/e§: l, 7, l9, 37, 6l, 9l, l27...,

a saber, los números que pueden ser dispuestos en formas hexagonales (esta vez ¬xc/wJ/e#cJo la forma vaci'a): *

* * *

* *

*

* *,

*

*

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*

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*

* *

Estos números pueden obtenerse, comenzando por l, sumando los múltiplos sucesivos de 6: 6, l2, l8, 24, 30, 36...,

como puede verse observando que cada número hexagonal puede obtenerse a partir del anterior añadiendo un anillo hexagonal alrededor de su borde ®

®

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*

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* ®

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* ®

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+ ®

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*

* *

®

®

*

® ®

® ®

y notando que el número de puntos en este anillo debe ser un múltiplo de 6, incrementando de l en l el multiplicador a medida que crece el hexágono.

84

IJas sombras de la mente

Swmcmos ahora sucesivamente los números hexagonales, hasta un cierto punto, empezando por l. ¿Qué encontramos?

i=i,

i+7=8,

l+7+i9=27, i+7+i9+37=64, +37+6l-l25.

i+7+i9

¿Qué hay de especial en los números l, 8, 27, 64, l25? Todos ellos son cwbos. Un cubo es un número multiplicado tres veces por sí mismo:

1=l3--lxlxl,8=23=2x2x2,27=33=3x3x3,64=43--4x4x4, l25-53-5x5x5...

¿Es ésta una propiedad general de los números hexagonales? Ensayemos el caso siguiente. Encontramos l+7+l9+37+6l+9l=216=6x6x6=63.

¿Va a continuar esto literalmente para siempre? Si es asi', entonces la siguiente computación nunca terminará:

a]) Encontrar una suma de números hexagonales sucesivos, empezando por l, que no sea un cubo. Voy a tratar de convencerle de que esta computación continuará para siempre sin parar. Antes de nada, un cubo se denomina un cubo porque es un número que puede representarse como una disposición cúbica de puntos tal como se muestra en la figura 2.1. Quiero que usted trate de pensar en una disposición seme-

jante como algo construido sucesivamente, partiendo de una esquina y luego añadiendo una sucesión de combinaciones de tres caras cada una de las cuales consta de pared trasera, pared lateral y techo, tal como se muestra en la figura 2.2. Ahora Veamos esta disposición de tres caras a distancia, a lo largo de la dirección de la esquina común a estas tres caras. ¿Qué vemos? Un Aem~gom como en la figura 2.3. Las marcas que constituyen estos hexágonos de tamaño sucesivamente creciente, cuando se toman juntas, corresponden a las marcas que constituyen el cubo entero. Esto, entonces, establece el hecho de que la suma de sucesivos números hexagonales, empezando por l, siempre dará un cubo. En consecuencia, hemos comprobado que (E) nunca terminará. El lector puede estar preocupado porque el argumento que acabo de dar es algo intuitivo, en lugar de ser una demostración matemática rigurosa y formal. De hecho, el argumento es perfectamente válido, y parte de mi objetivo aquí es demostrar que existen métodos válidos de razonamiento matemático que no están «formalizados» de acuerdo con un sistema de reglas aceptado de antemano. Un ejemplo mucho más elemental de razonamiento geométrico, uti-

IJa argumentac¡ón gódeliana

2.l.

85

Una disposición cúbica de esferas.

lizado para obtener una propiedad general de los números naturales, es la demostración de que a x b = b x a dada en §l.l9. También ésta es una «demostración» perfectamente válida, aunque no sea una demostración formal. El razonamiento que acabo de dar para la suma de sucesivos números hexagonales podri'a reemplazarse si fuera preciso por una demostración matemática más formal. La parte esencial de una demostración formal semejante podría ser e} prin¬ip_io_ de inducción matemática, que es un plocediHriiénto ;a,ra asegurar la verdad de enunciados que se aplican a ,odos los números naturales a partir de una simple computación. En esencia, nos capacita para deducir que una proposición P(#), que depende de un número natural concreto # (tal como «la suma de los # primeros números hexagonales es #3»), se satisface para ,oc7o #, con tal de que podamos demostrar, primero, que se satisface para # = 0 (o, aqui', # = l) y que pueda también demostrarse que la verdad de P(n) ,-mp/,'ca la verdad de P(# + l). No molestaré al lector con los detalles de cómo se demostrari'a que (E) nunca se para, utilizando la inducción matemática, pero al lector interesado podría gustarle intentar esto como ejercicio. ¿Existen siempre reglas precisas, como el principio de inducción matemática, suficientes para establecer la naturaleza interminable de las computaciones que de hecho no se paran? Ia respuesta, sorprendentemente, es «no». Ésta es una de las consecuencias del teorema de GÓdel, como veremos pronto, y será importante que tratemos de comprenderlo. No es solamente la inducción matemática la que resulta insuficiente. C'wc,/gw,'er conjunto de reglas, seam /os gwc seaH, será insuficiente, si por un «conjunto de reglas» entendemos algún sistema de procedimientos formalizados para los cuales es posible comprobar de forma enteramente computac¡onal si las reglas han sído o no correctamente aplicadas en cada caso concreto. Ésta puede parecer una conclusión pesimista, pues parece implicar que existen computaciones que nunca se paran, aunque el hecho de que nunca se paran no puede siquiera ser asegurado de forma rigurosamen-

86

IAs sombras de la mente

gp#a

2.2. Descomposición en piezas, cada una con una pared trasera, una pared lateral y un techo.

2.3.

Cada pieza se ve como un hexágono.

te matemática. Sin embargo, esto no es ni mucho menos lo que el teorema de GÓdel nos dice realmente. lo que nos cJ,'ce puede verse a una luz mucho más positiva, a saber, que las intuiciones disponibles para los matemáticos humanos -en realidad, para cualquiera que pueda pensar lógicamente con comprensión e imaginación- están más allá de cualquier cosa que pueda formalizarse como un conjunto de reglas. Las reglas pueden ser a veces un sustituto parcial

para la comprensión, pero nunca pueden reemplazarla por completo.

IJa argumentac¡ón gódeliana

87

2.5. Familias de computaciones; la conclusión g de GÓdel-Turing Para ver cómo demuestra esto el teorema de GÓdel (en la forma simplificada que voy a dar, estimulado también por las ideas de Turing) necesitaremos una pequeña generalización del tipo de enunciados sobre computaciones que he estado considerando. En lugar de preguntar si una computación simple, tal como (A), (B), (C), (D) o (E), termina o no alguna vez, tendremos que considerar

una computación que depende de -o ac,w-a sobre- un número natural m Así pues, si llamamos C(#) a tal computación, podemos pensar que esto nos proporciona una/am,-/,'a de computaciones, en la que existe una computación independiente para cada número natural O, l, 2, 3, 4, ..., a saber, la computación C(0), C(l), C(2), C(3), C(4), ..., respectivamente, y donde la forma en que la computación depende de # es en si' misma completamente computacional. En términos de máquinas de Turing, todo lo que esto significa es que C(m) es la acción de alguna máquina de Turing sobre el número m Es decir, el número n se introduce en la c¡nta de la máquina como ,-#pw,, y la máquina empieza su computación a partir de entonces. Si usted no se siente cómodo con el concepto de una «máqu¡na de Turing», piense simplemente en un ordenador de uso general, y considere # como algo que meramente proporciona los «datos» para la acción de algún ordenador programado. Lo que nos interesa es si la acción de este ordenador se detiene o no alguna vez, para cada elección de n. Para aclarar lo que se entiende por una computación dependiente de un número natural #, consideremos dos ejemplos:

ar) Encontrar un número que no sea la suma de n cuadrados y

(G) Encontrar un número impar que sea la suma de # números pares.

Deberi'a quedar claro a partir de lo que se ha dicho antes que la computación ar) se detendrá soJ/o cuando # = 0, l, 2 y 3 (encontrando los números l, 2, 3 y 7, respectivamente, en dichos casos), y que (G) no se detiene para ningún valor n. Si tenemos que comprobar realmente que (F) no se detiene cuando # es 4 o mayor, necesitamos algunas matemáticas formidables (la demostración de Lagrange); por el contrario, el hecho de que (G) no se detiene para ningún n es obvio. ¿Cuáles son los procedimientos de que disponen los matemáticos para asegurar el carácter interminable de tales computaciones en general? ¿Son estos mismos procedimientos cosas que pueden ponerse en forma computacional? Supongamos, entonces, que tenemos algún procedimiento computacional Á que, cuando termina,* nos proporciona una demostración de que una com*

Para los propósitos de este argumento, voy a adoptar el punto de vista de que si J4 termina

alguna vez, entonces csto indica la consecución de una demostración acertada de que C(#) nunca se para. Si A se quedase «bloqueado» por cualquier otra razón que no sea el «éxito» en su demostración, entonces esto tendri'a que calificarse como un fallo de J4 para terminar adecuadamente. Véanse las cuestiones Q3, Q4, y también cl Apéndice A (p. l33).

88

IJas sombras de la mente

putación tal como C(J!) nunca se para realmente. Vamos a tratar de imaginar que J4 engloba todóS lós procedimientos dé~qüe disponen los matemáticos humanos para demostrar convincentemente que las computaciones no se paran. En consecuencia, si en cualquier caso particular el propio 4 llegase alguna vez a un final, esto nos proporcionari'a una demostración humana de que la computación particular a la que se refiere no se para nunca. En realidad, para la mayor parte del argumento siguiente no es necesario que se considere que A tiene este papel particular. Sólo estamos interesados en un fragmento de razonamiento matemático. Pero para la conclusión final g vamos a tratar de imaginar realmente que A tiene esta posición. Ciertamente no estoy exigiendo que á pueda siempre decidir que C(#) no se para cuando de hecho si' lo hace, pero insisto en que 4 no nos dará nunca respuestas erróneas, es decir, que si llega a la conclusión de que C(#) no se para, entonces efectivamente no se para. Si á no nos da efectivamente respuestas errÓneas, decimos que 4 es wJ'/,'do. Habri'a que advertir que si A no fuera realmente válido, entonces sería en

principio posible comprobar este hecho mediante algún cálculo directo, es decir, un A no válido es refutable computacionalmente. En efecto, si á afirmara erróneamente que la computación C(n) no termina nunca cuando de hecho si' lo hace, entonces la ejecución de la computación real C(n) conduciri'a eventualmente a una refutación de 4. (Ia cuestión de si una computación semejante

pudiera ser alguna vez ejecutada en la práctica es otro tema: será comentada tras Q8.) Para que A se aplique a computaciones en general, necesitaremos una forma de codificar todas las diferentes computaciones C(n) de modo que A pueda utilizar esta codificación en su acción. Todas las diferentes computaciones posibles C pueden de hecho darse en una lista, por ejemplo Co, Cn C2, C3, C4, C5, ...,

y podemos referirnos a Cg como /c, g-ésima computación. Cuando una computación semejante se aplica a un número concreto #, escribiremos Co(n), Ci(n), C2(n), C3{n), C4(n), C5{n) ...

Podemos considerar que esta ordenación viene dada, pongamos por caso, por algún tipo de ordenación numérica de programas de ordenador. (Para ser expli'citos, podri'amos considerar, si quisiéramos, que esta ordenación viene dada por la numeración de máquina de Turing dada en NME, de modo que entonces la computación Cgím) es la acción de la g-ésima máquina de Turing 7'q actuando sobre n.) Una cuestión técnica importante aqui' es que este listado es compw,ab/e, esto es, hay una simple* computación C. que nos da Cg cuando se *

De hecho, esto se logra precisamente por la acción de una máquina de Turing sobre el par

de números q. n; véase Apéndice A y NME, pp. 5l-57 [pp. 8l-9O].

IJa argumentac¡ón gódel¡ana

89

asocia con g, o, más exactamente, la computación C. actúa sobre elpc,r de números g, # (i.e. g seguido de #) para dar CoÍ#). El procedimiento 4 puede imaginarse ahora como una computación part¡cular que, cuando se asocia con el par de números g, #, trata de asegurar que la computación Cq/#) nunca llegará a detenerse. Así pues, cuando la computación Á ,crm,'na, tendremos una demostración de que Cq/#) no se detiene. Aunque, como se estableció antes, nosotros vamos a tratar de imaginar en breve que J4 podri'a ser una formalizac¡ón de ,odos los procedimientos que están disponibles para los matemátícos humanos para decidir con validez qué computaciones no se detendrán nunca, no es necesario en absoluto para nosotros pensar en 4 de esta forma ahora precisamente. A es simplemente cwo/gw,-erconj¥nto vc,-/,'do de reglas computacionales para asegurar que algunas computaciones CqÍ#) no se detienen nunca. Al depender de los dos números g y fi, la computación que A ejecuta puede escribirse J4(g, #), y tenemos.(H) Si Á(g, m) se para, entonces Cq(n) no se para.

Consideremos ahora los enunciados particulares (H) en los que g se hace igual a m Fsto puede parecer aigo extraño, pero es perfectamente iegi'timo. (Éste es el primer paso del poderoso «corte diagonal», un procedimíento descubierto

por el muy original e influyente matemático danés-ruso-germano del siglo xlx Georg Cantor, crucial para los argumentos de GÓdel y Turing.) Con g igual a m, tenemos ahora: a) Si J4(#, #) se para, entonces Cfi(#) no se para.

Notemos ahora que<4(n, #) depende de un solo número n, y no de dos, de modo que debe ser una de las computaciones Co, Ci, C2, C3, ... (aplícada a n), puesto que se suponía que éste era un listado de todas las computaciones que pueden ser ejecutadas sobre un solo número natural m Supongamos que de hecho es CA, de modo que tenemos:

(J) J4(", #) - C*("). Examinemos ahora el valor particular # = k. (,'Esta es la segunda parte del corte diagonal de Cantor.') Tenemos, de (J),

aí) J4(k, k) = ck(k) y,de(I), conn = A;

(L) Si .4(k, *) se para, entonces CA (k) no se para. Sustituyendo (K) en (L), encontramos.'

(M) Si Ck(k) se para, entonces C*(k) no se para.

90

Las sombras de la mente

De esto debemos dedücir que la comPütación Ck(k) #o se para de hecho. (¡Pues si lo hiciera entonces no lo hace, según [M]!) Pero J4(k, k) tampoco puede pararse, puesto que por (K), es la m,'sma que Ck(k). Asi' pues, nuestro procedimiento 4 es incapaz de asegurar que esta computación particular CA(k) no se para incluso cuando no lo hace.

Además, si sabcmos que A es válido, sabemos que Ct(k) no se para. Asi' pues, sabemos algo que J4 es incapaz de asegurar. Se deduce que á m pwcde encerrar nuestra comprensión. En este punto, el lector prudente podri'a querer leer de nuevo todo el argumento, como se ha presentado arriba, ¡simplemente para estar seguro de que yo no me he permitido ningún «juego de prestidigitación»! Es cierto que el razonamiento tiene un aire de truco, pero es perfectamente legi'timo, y gana en fuerza cuanto más minuciosamente se examina. Hemos encontrado una com-

putación Ck(k) que sabemos que no se para; pero el procedimiento corpputacional dado J4 no es suficientemente potente para asegurar este hecho. Este es el teorema de GÓdel(-Turing) en la forma que yo lo necesito. Se aplica a cual-

quier procedimiento computacional 4 para comprobar que las computaciones no se paran, cn ,4m,o qwe sepc,mos gwc es va'/,-cJo. Deducimos que ningún con-

junto cognosciblemente válido de reglas computacionales (tal como A) puede ser nunca suficiente para asegurar que las computaciones no se paran, puesto

que existen algunas computaciones interminables tales como Ck(k) que deben eludir estas reglas. Además, puesto que a partir del conocimiento de 4 y de su validez podemos realmente construir una computación Ck(k) que podemos vc, que nunca se para, deducimos que J4 m pwede ser una formalización de las reglas de que disponen los matemáticos para asegurar que las computaciones no se paran, independientemente de cuál sea J4. Así pues:

9 Los matemáticos humanos no están utilizando un algoritmo cognosciblemente válido para asegurar la verdad matemática. Me parece que esta conclusión es inevitable. Sin embargo, muchas personas han tratado de argumentar en contra de ella -planteando objeciones como las resumidas en las cuestiones Q1-Q20 de §2.6 y §2.10 más adelante-, y ciertamente muchos argumentarán contra la deducción más fuerte de que debe haber algo fundamentalmente no computacional en nuestros procesos mentales. El lector puede de hecho preguntarse qué demonios tiene que decir un razonamiento matemático como éste, relativo a la naturaleza abstracta de las computaciones, sobre el funcionamiento de la mente humana. ¿Qué tiene que ver todo esto, después de todo, con la cuestión del conocimiento consciente? La respuesta es que el argumento dice algo muy importante sobre la cualidad mental de la com-

pnens,'o~H -en relación con la cuestión general de la computación- y, como se afirmó en §l.l2, la cualidad de comprensión es algo dependiente del conocimiento consciente. Es cierto que, en su mayor parte, el razonamiento anterior se ha presentado como un simple fragmento de matemáticas, pero está el punto esencial de que el algoritmo J4 interviene en el argumento en dos niveles com-

IJa argumentación gódeliana

91

pletamente diferentes. En un nivel, se trata simplemente de un algoritmo que tiene ciertas propiedades, pero en el otro, intentamos considerar que A es rea/mc#,e el «algoritmo que nosotros mismos utilizamos» cuando llegamos a creer

que una computación no se parará. El argumento m se refiere simplemente a computaciones. También se refiere a cómo utilizamos nuestra comprensión consciente para inferir la validez de alguna afirmación matemática -de aqui' el carácter interminable de Ck(k). Es el juego entre los dos niveles diferentes en los que se considera el algoritmo Á -como un supuesto ejemplo de actividad consciente y como una computación propiamente dicha- el que nos permite llegar a una conclusión que expresa un conflicto fundamental entre dicha actividad consciente y la mera computación. Sin embargo, existen varias posibles escapatorias y argumentos en contra a considerar. En primer lugar, en el resto de este capi'tulo, revisaré cuidadosamente ,odos los contraargumentos relevantes en contra de la conclusión § que han llegado a mi conocimiento -éstas son las cuestiones Q1-Q20, que serán abordadas en §2.6 y §2.lO, que también incluyen algunos argumentos en contra adicionales de mi propia cosecha. Cada una de éstas será atendida con todo el cuidado de que soy capaz. Veremos que la conclusión § sale esencialmente ilesa. Luego, en el capi'tulo 3, consideraré las implicaciones de la propia 9. Encontraremos que proporciona la base para un argumento muy poderoso según el cual la comprensión matemática consciente no puede ser c# abso/w,o adecuadamente modelada en términos computacionales, ya sean de-arriba-abajo o de-abajo-arriba o en cualquier combir.ación de los dos. Muchas personas podri'an encontrar que ésta es una conclusión alarmante, en cuanto parece habernos dejado sin ningún lugar al que dirigirnos. En la Segunda parte de este libro adoptaré una li'nea más positiva. Presentaré lo que creo que es una argumentac¡ón cienti'fica plausible a favor de mis propias especulaciones sobre los procesos fi'sicos que concebiblemente pudieran subyacer en la acción del cerebro, tal como cuando seguimos un argumento de este tipo, y cómo esto podri'a eludir cualquier descripción computaciona1.

2.6. Posibles objeciones técnicas a 9 El lector puede tener la sensación de que la conclusión § es bastante sorprendente, especialmente si se considera la naturaleza simple de los ingredientes del argumento del cual se deriva. Antes de que pasemos a considerar, en el capi'tulo 3, sus implicaciones con respecto a la posibilidad de construir un robot controlado por ordenador, inteligente y capaz de hacer matemáticas, debemos examinar con mucho cuidado algunos aspectos técnicos relativos a la deducción de 9. Si usted es un lector que no está interesado en estas posibles escapatorias técnicas y está dispuesto a aceptar la conclusión 9 -que los matemáticos no están utilizando un algoritmo cognosciblemente válido para asegurar la verdad matemática-, entonces quizá prefiera pasar por alto estos argumentos (al menos por el momento) e ir directamente al capi'tulo 3; además, si usted está dis-

92

Las sombras de la mente

puesto a aceptar la conclusión más fuerte de que no puede existir ninguna explicación algorítmica é» obso/w,o para nuéSúá`comprens¡ón matemática o cualquier otra, entonces quizá prefiera pasar directamente a la Segunda parte haciendo quizá una pausa solamente para examinar el diálogo imaginario de §3.23 (que resume los argumentos esenciales del capi'tulo 3) y las conclusiones del §3.28. He aquí varios aspectos sobre las matemáticas que suelen preocupar a la gente en relación con el tipo de argumento de GÓdel dado en §2.5. Tratemos de ordenarlos.

Q1. Yo he considerado que 4 es solamente un procedimiento s,'mp/e, m¡entras qL]e nosotros uti]izamos indudab]emente muchos tipos diferentes de razonamiento en tiuestros argumentos matemáticos. ¿No deberi'amos hat,er permitido üna ]ista completa de proced¡mientos
De hecho, no hay pérdida de generalidad al expresar las cosas del modo en que yo lo he hecho. Cualquier lista finita ái, J42, J43. ..., J4,, de procedimientos algori'tmicos siempre puede reexpresarse como un algoritmo simple A, en

una forma tal que á no se parará sólo si ,odos los algoritmos individuales án ..., A, no se paran. a3l procedimiento de 4 podri'a funcionar aproximadamente de la siguiente forma.' «Hacer los lO primeros pasos de 4i; recordar el resultado; hacer los lO primeros pasos de Á2; recordar el resultado; hacer los 10 primeros pasos de Á3; recordar el resultado; y así sucesivamente, hasta Á,; luego volver a |4i y hacer su segundo conjunto de lO pasos; recordar el resultado;

y asi' sucesivamente; luego el tercer conjunto de lO pasos, etc. Parar en el momento en que pare cualquiera de los 4,».) Si, por el contrario, la lista de los A fuera infinita, entonces para que cuente como un procedimiento algori'tmico tendri'a que haber una forma de generar este conjunto completo Ai, A2, A3, ... de alguna forma algori'tmica. Entonces podemos obtener un 4 simple que ocupará el lugar de la lista entera de la siguiente manera: «primeros lO pasos de ái; segundos lO pasos de .4i, primeros lO pasos de 42; terceros lO pasos de Ai, segundos lO pasos de 42, primeros lO pasos de J43; ...

etc.

...»

Esto se parará en cuanto un paso cualquiera de la lista termina con éxito, y en ningún otro caso. Se podría imaginar, por el contrario, que la lista An A2, J43, ..., que consideramos infinita, no está dada por adelantado, ni siquiera en principio. Podría concebirse que de vez en cuando pudieran añadirse sucesivos procedimientos algori'tmicos a la lista, sin que la lista haya sido especificada originalmente en su totalidad. Sin embargo, en ausencia de cualquier procedimiento algorítmico previamente establecido para generar esta lista, no tenemos realmente un procedimiento autocontenido en absoluto.

I+a argumentación gódeliana

93

Q2. Seguramente debemos admitir que e] a]goritmo .4 pudiera no estar fijo. Después de todo, los seres humanos pueden aprender, de modo que el algoritmo qi]e uti]izan los seres l]umanos podría ser un algoritmo continuamente cambiante.

Un algoritmo cambiante necesitari'a alguna especificación de las reglas se-

gún las que realmente cambia. Si estas reglas son completamente algori'tmicas, entonces deberíamos haber incluido ya estas mismas reglas en lo que entendemos por «J4»; así que e§,c tipo de «algoritmo cambiante» es realmente sólo otm ejemplo de un algoritmo simple, y el argumento procede exactamente como antes. Por el contrario, cabri'a imaginar maneras en las que el algoritmo pudiera cambiar que se supongan no algori'tmicas, y podri'an hacerse sugerencias para esto: la incorporación de ingredientes aleatorios o algún tipo de interacción con el entorno. El estado «no algori'tmico» de semeJ'ante medio de cambiar un algoritmo será reconsiderado más adelante (cf. §3.9, §3.lO); véase también la exposición de §l.9, donde se argumentó que ninguno de estos medios proporciona una escapatoria plausible del algoritmismo* (como lo exigiría el punto de

vista e). Para nuestros propósitos presentes puramente matemáticos, nos interesamos sólo por la posibilidad de que el cambio sea realmente algori'tmico. Pero una vez que hemos aceptado que tal cambio m pwedc ser algorítmico, entonces ciertamente hemos llegado a un acuerdo con la conclusión 9. Quizá deberi'a ser un poco más expli'cito sobre lo que podri'a entenderse por un algoritmo A «algori'tmicamente cambiante». Podemos suponer que ,4 depende no sólo de g y #, sino también de un parámetro adicional ,, que podemos pensar que representa el «tiempo», o quizá / cuenta solamente el número de ocasiones que el algoritmo ha sido ejecutado previamente. En cualquier caso, podemos suponer también que el parámetro , es un número natural, de modo que ahora tenemos algoritmos |4,(g, #), que podemos escribir en una lista 4o(g, "), 41(g, "), A2(g, n), A3(g, "), ...

donde se supone que cada uno de ellos es un procedimiento válido para asegurar que la computación Cq(#) no se para, pero donde imaginamos que la potencia de estos procedimientos aumenta a medida que , se hace más grande. Ahora bien, los medios por los que incrementan la potencia se suponen algori'tmicos. Quizá estos «medios algorítmicos» son algo que pudiera depender de las «experiencias» de los J4,(g, m) anteriores, pero estas «experiencias» se es-

tán tomando aquí como cosas también generadas algorítmicamente (de lo contrario volvemos a estar de acuerdo con 9), de modo que también podemos incluirlas, o a sus medios de generación, en lo que constituye el siguiente algoritmo, (es decir, en el propio J4,(g, #). De esta forma, llegamos a un algoritmo j',-mp/e Á,(g, #) que depende algori'tmicamente de los ,res parámetros ,, g, #. A par*

Ia palabra apropiada «algoritmismo» para, esenc¡almente, mi «punto de vista C» ha sido

acuñada por Hao Wang (l993).

94

Las sombras de la mente

tir de esto, podemos construir un algoritmo lista entera de los Á,(gr#), pero que depende les g y #. Para construir este ,4*(g, n), tod es dejar que recorra los lO primeros pasos de

e sea tan potente como la de los dos números naturae necesitamos, como antes, , #), recordando el resulta-

do; luego los lO primeros pasos de J4i(g, #), sos de ,4o(g, #), recordando los resultados; l los segundos lO de AI(g, #) y los terceros lO

dos de los segundos lO paos primeros lO de J42(g, #), de 4o(g, #), etc., donde en

cada etapa recordamos los resultados previos; ¬nc,®o-n en cuanto cualquiera de las comput detención. Utilizando Á* en lugar de J4, el ar exactamente como antes.

lmente, llegamos a una dcs constituyentes llega a una to que establece g procede

Q3. ¿No he sido innecesariamente ri'gido al in putando para s¡empre en aque]]os casos en qti que Cq(ff) sÍJse para rea]mente? Si admitimos casos, nuestro argumento fallaría. Después de

n que á debe seguir comde haberse hecho ev¡dente realmente se p4rtz en esos Ias intuic¡ones de que d¡s-

ponen ]os seres hiimanos ciertamente )es permit putac¡ones se paran, pero parece que yo ]as he he s¡do demasiado restrict¡vo?

eces conc]uir que ]as comado. ¿No sign¡f¡ca esto qüe

En absoluto. Se supone que el argumento ciones que nos permiten llegar a la conclusió se paran, no a aquellas intuiciones que nos pe supuesto algoritmo 4 no le está permitido lle to» concluyendo que alguna computación s,J Si usted se siente incómodo con esto, pie trate de incluir c,móos tipos de intuiciones en cias en que la conclusión es que la computació beradamente en un bucle (i.e. haga que A repit una y otra vez incesantemente). Por supuesto un matemático operaría realmente, pero ésta

ica meramente a las intuiue las computaciones no n concluir lo contrario. AI na «terminación con éxia. Éste no es su trabajo. á de la siguiente manera: ero en aquellas circunstanm) se para, ponga A delilemente alguna operación ta no es la manera en que la cuestión. El argumento

tiene la forma de una ,edwc,,®o crd c,ÓswntJw

utilizamos un algoritmo cognosciblemente vál temática, y llega entonces a una contradicció mento, que A sca realmente este supuesto alg truido a partir de él, como es el caso del A El mismo comentario se aplicari'a a cualq de §2.5 de la forma: «seguramente á podri'a reas sin que haya proporcionado una demostr Si se nos ha dado un
e parte de la hipótesis de que

ra asegurar la verdad maes necesario, en este argu, pero puede ser algo conscabamos de mencíonar. tra objeción al argumento e por varias razones espúde que Cq(#) no se para». orma, simplemente aplicadiferente, a saber, uno que al se para por cualquiera

IA argumentación gódeliana

95

Q4. En la numeración Co, Cp C2, ..., parece que yo he supuesto que cada C, deDota realmente una computación bien definida; mientras que en cua]quier ordenamíento numérico o alfabético simple de programas de ordenador, seguramente no sería asi'.

En verdad seri'a complicado asegurar que nuestra numeración proporciona realmente una computación operativa Cq para todo número natural g. Por ejemplo, la numeración de máquinas de Turing 7'g dada en NME no consigue esto ciertamente; cf. NME, p. 54 [p. 85]. Para un g concreto, la máquina de Turing rq, tal como alli' se describió, seri'a considerada «inútil» por una de estas cuatro razones: podri'a continuar para siempre sin parar; podría «no estar correctamente especificada» porque el número # conduce a una expansión binaria con demasiados l seguidos (cinco o más), y por lo tanto no tendri'a traducción en el esquema dado; podri'a encontrar una instrucción para entrar en un cstado interno no existente; o podría producir simplemente cinta en blanco, cuando sc para, que no tiene interpretación numérica. (Véase también Apéndice A.) Para los objetivos del argumento de GÓdel-Turing que acabo de dar, todo lo que uno tiene que hacer es reunir todas estas razones bajo el encabezamiento «no se para». En particular, cuando yo deci'a «temina» para el procedimiento computacional Á (cf. nota a pie de página, p. 87), esto implica de hecho que se «para» en el sentido antes mencionado (y asi' no contiene secuencias intraducibles ni produce solamente cinta en blanco) -es decir, «se para» implica que la computación es una computac¡ón operativa correctamente especificada. Análogamente, «Cg(n) se para» significa también que se para correctamente en este sentido. Con esta interpretación, el argumento, tal como lo he dado, no queda afectado por la consideración Q4. Q5. ¿No he demostrado s¡mplemente que es pos¡ble superar sÓIo a ün procedimi¬nto a]gori'tm¡co particular, Á, derrotándolo con la computación Cq(p)?

¿Por qué demuestra esto que yo puedo hacerlo mejor que cualquier Á?

Ciertamente el argumento s,Jdemuestra que podamos hacerlo mejor que cwa'/gw,-¬r algoritmo. Éste es el punto clave del argumento tipo r¬dwc,,'o ad a'b§w,cJwm que yo he utilizado aquí. Pienso que podri'a ser útil una analogi'a. Algunos lectores conocerán el argumento de Euclides de que no hay ningún número pr¡mo máximo. Éste, también, es una nec7wc,,'o ad c,bswn7wm. El argumento de Euclides es el siguiente. Supongamos que, por el contrario, existe un número

primo máximo; llamémoslep. Consideremos ahora el número N, que es el producto de todos los números primos hasta p al que le sumamos l: N=2X3X5X...Xp+l

JVes ciertamente mayor que p, pero no puede ser divisible por ninguno de los números primos 2, 3, 5, ..., p (puesto que la división deja el resto l); de modo

que o bien Nes el propio número primo requerido o es un número compuesto,

96

1Jas sombras de la mente

en cuyo caso es divisible por un número prim re, habri'a un número prirno mayor que p, l,o q de que p es el máximo número primo. Ébr l máximo. El argumento, al ser una ,edwc,,'o ad c,bsw que un número primopar,,'cw/c,rp puede ser d yor; demuestra que no puede haber un número p logamente, el argumento de Gódel-Turing anteri

puede derrotarse a un algoritmo particular A; efi abso/w,o ningún algoritmo (concebiblemen a las intuiciones que utilizamos para asegurar se paran.

yor que p. Sea como fuentradice la hipótesis inicial to, no hay número primo , no demuestra simplemente

ncado encontrando uno mamáximo ¬n abso/w,o. Anádemuestra meramente que estra que no puede haber rrecto) que sea equivalente ciertas computaciones no

Q6. Un ordenador podri'a estar programado pa mento que he dado aqui'. ¿No podri'a é] mismo conclusión qtie yo haya alcanzado?

guir precisamente e] argu]o tanto, ]legar a cua]qü¡er

En efecto, es cierto que es un proceso comp Ck(k) particular, dado el algoritmo 4. De hec ma completamente explícita.* ¿Significa esto

onal el encontrar el cálculo to puede mostrarse de fora intuición matemática su-

puestamente no algori'tmica -la intuición que de que C*(A) nunca se para- es realmente alg Creo que es importante abordar esta discusi que representa uno de los equi'vocos más comu to de GÓdel. Debería quedar claro que ello dicho hasta aqui'. Aunque el procedimiento pa puede formularse como una computación, es de los procedimientos contenidos en 4. No pu paz de asegurar la verdad de CA(k), cuando se tación üunto con A) es capaz de hacerlo. Asi' p ción es realmente una computación que condu

ermiti'a apreciar el hecho mica después de todo? n cierto detenimiento, porn relación con el argumenalida nada de lo que se ha btener Ck(k) a partir de Á mputación no forma parte acerlo, porque 4 no es cama que esta nueva compuaunque la nueva computaCt(k), no ha sido admitida l». ista. Imaginemos un robot verdades matemáticas mera hacer las cosas más gráiré que el robot «conoce» rminable de las computain embargo, si á es todo erá» que Ck(A) no se para, partir de A es perfectamen-

en el club de los «depositarios de la verdad o Permi'taseme ver las cosas desde otro punto controlado por ordenador que es capaz de aseg diante los procesos algori'tmicos contenidos en ficas, utilizaré una terminologi'a antropomor las verdades matemáticas -de aquí el carácter

ciones-que puede derivar mediante el uso de lo que nuestro robot «conoce», entonces m «c ni siquiera si el procedimiento para obtener CA( Para resaltar que tcngo en cuenta este aspecto, re

al lector al Apéndice A, donde se

muestra un procedimiento computacional cxpli-cito (utiliza capi'tulo 2) para obtener la acción de máquina de Turing

*

s reglas dadas en detalle en NME, a partir del algoritmo A. Aqui-se ing 7-, cuya evaluación de Co{n)

La argumentación gódel¡ana

97

te algori'tmico. Por supuesto, podri'amos dcc,'r a nuestro robot que CA(k) no se para (utilizando a tal efecto nuestras propias intu¡ciones), pero si el robot aceptase este hecho, tendri'a que modificar sus propias reglas añadiendo esta nueva verdad a las que ya «conoce». Podríamos imag¡nar que vamos más allá de esto

y decimos a nuestro robot, de una manera adecuada, que el procedimiento computacional general para obtener Ck(k) a partir de J4 es también algo que deberi'a «conocer» como una vi'a para obtener nuevas verdades a partir de las viejas. Todo lo que esté bien definido y sea computacional podri'a añadirse al almacén de «conocimiento» del robot. Pero ahora tenemos un
computaciones no se paran- representa realmente la ,o,¢/,-dad de semejantes procedimientos disponibles para los matemáticos, y a partir de esto der¡vamos una contradicción. Es un engaño introducir otro procedimiento computacional no contenido en .4, wma vez gwc hemos decidido que A representa esta totalidad. lJa dificultad para nuestro pobre robot es que, en ausencia de cualquier com-

pr¬#s,-oJw del procedimiento de GÓdel, el robot no tiene otro modo fiable e independiente para juzgar la verdad que no sea el que se lo digamos nosotros.

(Ésta es una cuestión independiente de los aspectos computacionales del argumento de Gódel.) Para ser capaz de hacer algo más que esto, él, como nosotros, necesitari'a comprender los significados de las operaciones que se le ha dicho que ejecute. Sin comprensión, podri'a «conocer» igualmente bien (erróneamente) que Ck(#) s,~se para en lugar de que no lo hace. Es sólo una cuestión algori'tm¡ca tanto el concluir (erróneamente) que «C*(k) se para» como derivar (correctamente) en que «Ck(k) no se para». Asi' pues, la naturaleza al-

gori'tmica de estas operaciones no es el aspecto que interesa ahora; lo que importa es que nuestro robot necesita/-wJ'c,-os c7c ventJa'd válidos para conocer qué algoritmos le dan verdades y no falsedades. Ahora bien, en este punto del argumento aún es posible que la «comprensión» sea otro tipo de actividad algori'tmica, no contenida en ninguno de los procedimientos dados en forma precisa y conocidos-como-válidos tales como A. Por ejemplo, la comprensión podri'a estar dada por un algoritmo no válido o incognoscible. En un análisis posterior (capi'tulo 3) trataré de convencer al lector de que en efecto la comprensión no es una actividad algori'tmica en absoluto. Pero, por ahora, sólo estamos interesados en las implicaciones rigurosas del argumento de GÓdel-Turing, y, por esto, el hecho de que Ck(k) puede obtenerse a partir de .4 de una forma computacional no viene al caso. Q7. La producción tota] de todos los ma(emáticos qtie han vivido hasta ahora, junto con ]a producción de todos ]os matemát¡cos humanos de los próximos

98

Las sombr

(digamos) mi] años es finita y podrl'a guardarse en los bancos de memoria de un ordenador apT9p`iago. Seguramente_ esJeuprdenador particu]ar podr,'a, por lo tanto, simu]ar e;ta pródücción y compoitarse asi' (externamente) de la mis-

ma forma que un matemático humano -por mucho que pueda parecer qüe el argumento de GÓdel nos dice lo contrario.

Aunque esto es presumiblemente cierto, ignora la cuestión esencial, que es cómo sabemos nosotros (o los ordenadores) qué enunciados matemáticos son verdaderos y cuáles son falsos. (En cualquier caso, el mero a'/mace#am,'em,o de enunciados matemáticos es algo que podría conseguirse mediante un sistema mucho menos avanzado que un ordenador de uso general, e.g. fotográficamente.) El modo en que el ordenador se está utilizando en Q7 ignora por completo la cuestión cri'tica del/-w,'c,-o cJe verit7ad. Uno podri'a igualmente bien imaginar ordenadores que no contengan otra cosa que listas de «teoremas» matemáticos totalmente falsos, o listas que contienen montones aleatorios de verdades y falsedades. ¿Cómo vamos a decir en qué ordenador confiar? IJos razonamientos

que estoy tratando de hacer aqui' no dicen que sea imposible una simulación efectiva del producto de la actividad consciente de los seres humanos (en este caso las matemáticas), puesto que pudiera «suceder» puramente por azar que el ordenador tuviera razón -incluso sin ninguna comprensión. Pero las probabilidades en contra de esto son absurdamente enormes, y las cuestiones que se están abordando aqui', a saber, cómo decide uno gwe' enunciados matemát¡cos son ciertos y cuáles son falsos, ni siquiera se tienen en cuenta en Q7. Existe, por el contrario, un aspecto más serio que realmente se contempla en Q7. Es la cuestión de si las discusiones sobre estructuras infinitas (e.g. ,odos los números naturales y íocJc,s las computaciones) son realmente relevantes para nuestras consideraciones aqui', cuando las producciones de los seres humanos y de los ordenadores son /J'm,®,c,s. A continuación, consideraremos por separado esta importante cuestión.

Q8. Las computaciones interminab]es son construcciones matemáticas idea]¡zadas que tienen qLie ver con e] inf¡nito. Seguramente tales materias no son realmente re]evantes para aná]isis sobre objetos fi'sicos fin¡tos ta]es como ordenadores o cerebros.

En efecto, es verdad que en nuestras discusiones idealizadas de las máquinas de Turing, las computaciones interminables, etc., hemos estado considerando procesos (potencialmente) infinitos, mientras que con los seres humanos o los ordenadores, estamos tratando con sistemas/,'#,',os. Es importante tratar de establecer las limitaciones de dichos argumentos idealizados cuando los aplicamos a objetos fi'sicos finitos reales. Sin embargo, resulta que las consideraciones de finitud no afectan sustancialmente al argumento real de Gódel-Turing. No hay nada erróneo en expo#er computaciones idealizadas, razonar sobre ellas, y derivar, matemáticamente, sus limitaciones teóricas. Podemos, por ejemplo, discutir en términos perfectamente finitos la cuestión de si hay o no un número

IJa argumentac¡ón gódeliana

99

impar que sea la suma de dos números pares, o de si existe un número natural

que no sea la suma de cuatro cuadrados (como en C y B más arriba), pese al hecho de que al abordar estas cuestiones estamos considerando impli'citamente la colección infinita de ,oc7os los números naturales. Podemos razonar perfectamente sobre computaciones interminables, o máquinas de Turing en general, como constructos ma,ema';,,-cos incluso si no fuera realmente posible construir en la práctica una máquina de Turing que operase incésantemente. (Nótese, en

particular, que una acción de máquina de Turing que busque un número impar que sea la suma de dos números pares no podri'a implementarse fi'sicamente, estrictamente hablando; pues sus piezas se gastari'an en lugar de seguir operando realmente para siempre.) La especificación de cualquier computación simple (o acción de máquina de Turing) es un tema perfectamente finito, y la cuestión de si finalmente se para o no está definida con prec¡sión. Una vez que hemos acabado con nuestro razonamiento sobre tales computaciones idealizadas, podemos e#,oHces tratar de ver de qué forma se aplica nuestra exposición en sistemas finitos como los ordenadores reales o las personas. IJas limitaciones de finitud podri'an tener dos procedencias.- (i) porque la especificación de la computación real bajo consideración es desmesuradamente grande (es decir, que el número # en C`m o el par de números g, # tomados

juntos en Cq(H), es demasiado grande para ser especificado por un ordenador factible o por una persona), o (ii) porque una computación que no es demasiado larga de especificar podri'a en cualquier caso necesitar un tiempo de ejecuc¡ón demasiado largo, de modo que podri'a parecer que nunca se para incluso si, en teori'a, la computación especificada llegase finalmente a pararse. De hecho, resulta, como veremos en un momento, que de estas dos procedencias es sólo (i) la que afecta de forma significativa a nuestro análisis, y ni siquiera (i) afecta a las cosas en gran medida. La irrelevancia de (ii) es quizá sorprendente. Existen muchas computaciones simples que finalmente se paran, pero para las cuales ningún ordenador imaginable podri'a computar directamente lo suficiente para llegar al punto de parada. Por ejemplo, consideremos lo siguiente: «imprimir una sucesión de 2265536 ls y luego parar». (Algunos ejemplos matemáti-

cos mucho más interesantes se darán en §3.26.) Ia cuestión de si una computación va a pararse o no, no necesita ser establecida por computación directa; a menudo éste es un método extraordinariamente poco eficaz. Para ver cómo podri'an afectar a nuestro análisis de tipo GÓdel las limitaciones de finitud (i) o (ii), reexaminemos las partes relevantes del argumento. De acuerdo con la limitación (i), en lugar de tener una lista infinita de computaciones, tenemos una lista /,-»,',a: Co, C" C2, C3, ...' CQ,

donde suponemos que el número g especif¡ca la mayor computación que nuestro ordenador, o ser humano, es capaz de acomodar. En el caso de un ser humano, podemos considerar que existe cierta vaguedad sobre esto. Por el momento no es importante que O esté definido como un número exacto. (Esta

lOO Lcis sombras de la mente

cuestión de vaguedad, en relación con las capacidades humanas, se discutirá más adelante en la respuesta a Q13 en §2.lO.) Además, suponemos que cuando aplicamos estas computaciones a un número natural concreto #, el valor de #

puede estar restringido a no ser mayor que algún número dado JV, debido a que nuestro ordenador (o ser humano) no está preparado para manejar números mayores que N; (Estrictamente hablañdo;`deberi'amos considerar la posibilidad de que N no sea un número fijo, sino que dependa de la computación

particular Cg que estemos considerando -es decir, N podría depender de g. Esto no supone, no obstante, ninguna diferencia sustancial para nuestras consideraciones.)

Como antes, consideramos un algoritmo válido J4(g, #) que, cuando se para, nos proporciona una demostración de que la computación Cq(#) no termina. Cuando decimos «válido», aunque según (i) sólo necesitamos considerar valores de g que no sean mayores que O y valores de # que no sean mayores que N, realmente queremos decir que A debe ser válido para íocJos los valores de

g y #, por muy grandes que puedan ser. (Así pues, las reglas incorporadas en A son reglas m¢,emc,J,,'ccu precisas, y no reglas aproximadas que trabajan sólo en virtud de alguna limitación práctica sobre las computaciones que puedan ejecutarse «realmente».) Además, cuando decimos que «Cq(#) no termina»

queremos decir que nea/me#,e no termina y no que la computación podri'a ser simplemente demasiado larga para ser ejecutada por nuestro ordenador o ser humano, como se suponi'a en (ii). Recordemos que (H) nos dice: Si J4(g, n) se para, entonces Cg(#) no se para.

En vista de (ii), podríamos considerar que el algoritmo A no nos sirve de mucho para decidir si otra computación deja de pararse si, ella misma, necesita más pasos de los que nuestro ordenador o ser humano puede manejar. Pero resulta que esto no tiene importancia para el argumento. Vamos a encontrar una computación J4(k, Á-) que no se para en absoluto. No nos importa que en algunos otros casos, en los que 4 realmente s,' se para, seamos incapaces de esperar lo suficiente para descubrir que lo hace. Ahora, como en (J), localizamos un número natural k para el que la com-

putación A(#, n) es la misma que Ck(r,) para cada m

4(n, #) - Ck(n) Sin embargo, debemos considerar ahora la posibilidad de que este k sea mayor

que g, como se suponi'a en (i). Para un 4 tremendamente complicado, esto podría suceder realmente, pero tan sólo si 4 estuviese ya empezando a acercarse al li'mite superior de tamaño (en términos del número de di'gitos binarios en su especificación de máquina de Turing) que puede ser manejado por nuestro ordenador o ser humano. Esto se debe a que la computación que obtiene el valor k a partir de la especificación (digamos, de máquina de Turing) de A es

IJa argumentación gódeliana

101

una cosa bastante simple que puede ser expli'citamente dada (como ya se ha señalado en la respuesta a Q6). IJa computación real que necesitamos para derrotar a 4 es C*(k), y haciendo » = k en (H), obtenemos (L): Si A(k, A) se para, entonces Ck(k) no se para.

Puesto que A(k, k) es la misma que Ct(k), nuestro argumento demuestra que la computación particular C*(k) no puede pararse en absoluto, pero que J4 no puede asegurar este hecho, incluso si se le permitiera seguir funcionando durante un tiempo mucho mayor que cualquier li'mite impuesto de acuerdo con (ii). La especificación de Ck(k) viene dada en términos del k anterior, y con tal de que k no sea mayor que O o que N, es una computación que podri'a realmente implementarse en nuestro ordenador o ser humano -en el sentido de que la computación podría come#zar. En cualquier caso, no podri'a continuar hasta la compleción ¡porque en efecto la computación nunca se para! Ahora bien, ¿podri'a ser realmente k mayor que g o ^Í? Esto sólo sucederi'a si la especificación de A requiere tantos di'gitos que incrementar este número en una cantidad moderada conduciri'a a una saturación de la capacidad de nuestro ordenador o ser humano. Se sigue aún de un conocimiento de la validez de 4 que nosotros sa'Óemos que esta Ct(k) no puede pararse, aunque pudiésemos tener dificultades al implementar la computación real Ck(k). Sin embargo, la consideración (i) nos lleva a concebir la posibilidad de que la computación á pudiera ser tan extraordinariamente complicada que su especificación la coloca cerca de la frontera de computaciones que es posible contemplar para un ser humano, y el relativamente pequeño incremento en el número de di'gitos que se considera produciri'a una computación que está más allá de la contemplación humana. Creo que, pensemos lo que pensemos de tal posibilidad, semejante conjunto extraordinario de reglas computacionales incorporado en este supuesto á seri'a en verdad tan enormemente complicado que su w/,-dez no podn'a ser co#oc,'d¢ plausiblemente por nosotros, incluso si las propias reglas exactas sí pudieran ser conocidas por nosotros. Así pues, nuestra conclusión permanece exactamente igual que antes: nosotros "o aseguramos la verdad matemática por medio de un conjunto cognosc,'Ó/emcn,e va-/,'do de reglas algori'tmicas. Vale la pena ser algo más concreto sobre el incremento relativamente modesto en complicación que implica el paso de á a CA(k). Esto tendrá una importancia especial para nosotros más adelante (en §3.lg y 3.20). En el Apéndice A (p. l33), se da una especificación explícita para CA(k), en términos de las recetas de máquinas de Turing dadas en NME, capítulo 2. Según estas recetas, rm denota la «m-ésima máquina de Turing». Para ser concreto aqui', será conveniente utilizar esta notación antes que «Cm», especialmente para definir el gntzdo de comp/,-coc,®oJ# de un procedimiento computacional o de una computación individual. En consecuencia, defino este grado de complicación # de la máqu¡na de Turing 7-m como el número de di'gitos binarios en la especificación

102 IJas sombras de la mente

de m como número binario (cf. NME, p. 39 [p. 67]); entonces el grado de complicación de cierta computación concreta trm(#)` se define como el mayor de los dos números 4 y u, donde u es el númeio de di'gitos binarios en la especificación de n. Consideremos ahora la receta expli'cita, dada en el Apéndice A, para obtener la computación CA(A) a partir de Á, dada en estos términos de má-

quina de Turing. Suponiendo que c¥ es el grado de complicación de Á, encontramos entonces que el grado de complicación de esta computación expli'cita Ck(k) resulta ser menOr que c¥ + 210 log2(c¥ + 336), un número que sólo supera a c¥ en una cantidad relativamente pequeña, cuando c¥ es muy grande. Existe una posible salvedad a la línea general del argumento anterior que

puede preocupar a algunos lectores. ¿Realmente tiene sentido considerar una computación que podría ser demasiado complicada de escribir, o que si se escribiera podri'a necesitar un tiempo mayor que la edad actual del universo incluso si cada paso pudiera ejecutarse en una minúscula fracción de segundo, en la que razonablemente pueda imaginarse que tienen lugar los procesos fiJsicos? La computación considerada antes -que da una sucesión de 226ff" l, parándose sólo una vez que ha completado esta tarea- es un ejemplo semejante,

y seri'a un punto de vista matemático no convencional el que nos permite afirmar que ésta es una computación interminable. Sin embargo, existen algunos

puntos de vista matemáticos, no tan poco convencionales como para prohibir esto -aunque siguen siendo decididamente no convencionales- según los cuales

podri'a introducirse alguna duda sobre cuestiones de la verdad matemática absoluta de enunciados matemáticos idealizados. Deberi'amos al menos echar una ojeada a algunos de estos. Q9. El punto de vista conocido como J'#,wJ'c,'on,'§mo prohil,e a uno deducir que una computac¡ón debe terminar en un punto definido meramente a partír del hecho de que su continuación indefin¡da lleva a una contradicción; análogamente existen otros puntos de vista «constructivistas» o «fin¡tis,as». ¿No sería cuestionable el razonamiento de tipo GÓdel de acuerdo con estos pun{os de vista?

En el razonamiento de tipo GÓdel que he dado utilicé, en aVI), un argumento de la forma: «la hipótesis de que X es falso nos lleva a una contradicción;

por lo tanto, X es verdadero». Aqui' «X» es el enunciado «Ck(k) no se para». Éste es un argumento del tipo redwc,,-o c,d c,Z,sz,ndwm -y, en realidad, el argumento gódeliano como un todo se expresa de esta forma. El punto de vista matemático conocido como «intuicionismo» (iniciado por el matemático holandés L. E. J. Brouwer alrededor de 1912; cf. Kleene, l952, también NME, pp. ll3-116 [pp. 153-158]) niega que uno pueda razonar con validcz mediante el uso de la redwc,,'o a'd a'bswrdwm. El intuicionismo surgió como una reacción contra ciertas tendencias matemáticas que habían aparecido a finales del siglo xlx y comienzos del siglo xx según las cuales podi'a asegurarse que «existe» un objeto matemático incluso si no pudiera haber forma de construir realmente el objeto en cuestión. A veces un uso demasiado libre de un concepto nebuloso de existencia matemática conduciri'a realmente a una contradicción. El ejemplo

La argumen[ación gódeliana

103

más famoso de esto se da con el paradójico «conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de si' mismos» de Bertrand Russell. (¡Si el conjunto de Russell es un miembro de si' mismo, entonces no lo es; si no lo es, entonces lo es! Véase §3.4 y NME, p. lOl [p. l38], para detalles adicionales.) Para contrarrestar esta tendencia general, en la que se podi'a considerar que «existen» objetos matemáticos definidos muy libremente, el punto de vista intuicionista negaba que uno pudiera utilizar con validez el tipo de razonamiento matemático que permite deducir la existencia de cierto objeto matemático meramente a partir de la naturaleza contradictoria de su no existencia. Semejante argumento dc r¬dwc',,'o ad abs#ndwm no proporciona una construcción real del objeto en cuestión. ¿Cómo afectari'a una negación de este uso de la ,¬dwc,,-o ad c,bswndÍ,m a nuestro argumento de tipo GÓdel? En realidad, no le afecta de ningún modo, simplemente porque estamos utilizando la ,cdz,c,,-o a'c7 abswrdwm en la forma opuesta, a saber: la contradicción se está derivando a partir de la hipótesis de

que algo cx,-s,e, no a partir de la hipótesis de que algo no existe. Según el intuicionismo, es perfectamente legi'timo deducir que algo no existe a partir del hecho de que surge una contradicción de la hipótesis de que si' existe. El argumento de tipo Gódel, tal como lo he dado, es, en efecto, perfectamente aceptable desde el intu¡cionismo (véase Kleene, l952, p. 492). Comentarios similares se aplican a todos los demás puntos de vista «constructivistas» o «finitistas» de los que tengo conocimiento. La discus¡ón que si-

gue a Qs muestra que incluso el punto de vista arriba esbozado, que niega que pueda considerarse que los números naturales «realmente» continúan de forma indefinida, no nos proporciona un camino para evitar la conclusión de que no utilizamos un algoritmo cognosciblemente válido para asegurar la matetemática.

2.7. Algunas consideraciones matemáticas más profundas Para hacernos una idea mejor de las implicaciones del argumento de Gódel, será útil volver al que era su objetivo original. Con el cambio de siglo habi'an empezado a presentarse graves dificultades para quienes estaban interesados en los fundamentos de las matemáticas. A finales del siglo xlx -debido en gran medida a las contribuciones profundamente originales del matemático Georg Cantor (cuyo «corte diagonal» hemos visto antes)- los matemáticos habi'an encontrado formas poderosas de establecer algunos de sus resultados más profundos, basando sus argumentos en las propiedades de co#jw#Ío5 ,'#/,-n,',os. Sin embargo, junto a tales ventajas habían surgido dificultades fundamentales cuando se haci'a un uso demasiado libre del concepto de conjunto infinito. En particular, estaba la paradoja de Russell (a la que me referi' brevemente más arriba en la respuesta a Q9, cf. también §3.4, y que también había sido advertida por Cantor), que señalaba alguno de los obstáculos para el razonamiento sobre conjuntos infinitos de un modo demasiado nebuloso. De todas formas, siempre

lO4 Las sombras de la mente

que uno fuera suficientemente prudente con el tipo de razonamiento que se estaba permitiendo, se hacía evidente que podi'an+ obtenerse resultados matemáticos poderosos. El problema pareci'a reducirse á cómo ser absolutamente pJec,'so sobre lo que significa ser «suficientemente prudente» en el razonamiento. El gran matemático David Hilbert fue una de las primeras figuras de un movimiento dirigido a garantizar esta precisión. Este movimiento se conoció como/o,ma/,'smo, según el cual todas las formas permitidas de razonamiento matemático dentro de algún área especificada, incluyendo cualquier razonamiento necesario sobre conjuntos infinitos, iban a quedar establecidas de una vez por todas. Semejante sistema de reglas y enunciados matemáticos se conoce como s,'s,emo/orma/. Una vez que han sido determinadas las reglas de un sistema formal F, es simplemente una cuestión de comprobación mecánica el ver si se han aplicado las reglas -necesariamente en número finito-* de forma correcta o no. Por supuesto, las reglas tendri'an que considerarse como formas vá1idas de razonamiento matemático, de modo que podri'a confiarse en que cualquier resultado que pudiera deducirse utilizándolas era realmente v¬,dc,dcro. Sin embargo, algunas de estas reglas podri'an estar relacionadas con la manipulación de conjuntos infinitos, y aqui' las intuiciones matemáticas de cada uno respecto a qué formas de razonamiento son legi'timas, y cuáles no lo son, podri'an no ser absolutamente dignas de confianza. A este respecto, podrían aparecer dudas apropiadas a la vista de las inconsistencias que surgen si uno se permite semejante uso libre de conjuntos infinitos que admitiera incluso el paradójico «conjunto de todos los conjuntos que no son miembros de si' mismos» de Bertrand Russell. Estas reglas de E deben estar muy lejos de permitir el «conjunto» de Russell, pero ¿cómo de lejos? Prohibir el uso general de conjuntos infinitos sería demasiado restrictivo (por ejemplo, el espacio euclidiano ordinario contiene un conjunto infinito de puntos, e incluso el conjunto de los números naturales es un conjunto infinito); además, era evidente que existen varios sistemas formales particulares que son perfectamente satisfactorios (que no permiten, por ejemplo, que sea formulado el «conjunto» de Russell) y mediante cuyo uso pueden obtenerse la mayori'a de los resultados matemáticos. ¿Cómo puede uno decir cuáles de estos sistemas formales son dignos de confianza y cuáles no? Fijemos nuestra atención en uno de estos sistemas formales F, y utilicemos la notación `!r_Ér=`=ji_I`i®EF{e y .¬v@jáeis, respectivamente, para denotar los enunciados ma-

temáticos que pueden obtenerse mediante las reglas de E y aquellos cuyas #ega'c,'o#¬s (i.e., «no» el enunciado en cuestión) pueden obtenerse del mismo modo. Cualquier enunciado que pueda formularse dentro de F pero que no sea 'Ú`E¿p`¿*

Algunos sistemas formales se presentan con ,'n/,-n,'/os axiomas -descritos en términos de

estructuras conocidas como «esquemas de axiomas»-, pero para ser calificado como «sistema formal» en el sentido que entiendo aqui', un sistema formal semejante tendri'a que ser expresable en términos finitos. sicndo generado el sistema axiomático infin¡to mediante un conjunto finito de reglas computacionales. De hecho sucede que esto es posible para los sistemas formales estándar que se utilizan en demostraciones matemáticas -como el familiar sistema formal de «ZermeloFraenkel» zZF que describe la teoría de conjuntos convencional.

IA argumentación gódeliana 105 s*3iéf{@ ni E_®nLs,© en este sentido será ]r`{9E©üB!B,=E. Algunas personas adoptarán el

punto de vista de que puesto que los propios conjuntos infinitos podri'an ser realmente «absurdos», no puede haber sentído absoluto de verdad o falsedad con respecto a ellos. (Esto podri'a aplicarse al menos a algunos tipos de conjuntos infinitos, si no a todos ellos.) Según este punto de vista, podri'a no importar realmente qué enunciados sobre (ciertos) conjuntos infinitos resultaran wt=~J6`rL2LÁJ9É:e:í;3§D y cuá1es LsJ¢üi!£©§, con tal de que ningún enunCiado resulte `tyrÉ;o`tB"E:i¡`{© y Lim-

>s`-S a /o vez -lo que equivale a decir que el sistema F es consistente. Para tales

personas -los verdaderos/o,mcr/,-síos- las únicas cuestiones de importancia primordial para un sistema formal F seri'an (a) si es o no co#si's/eH,e y, adicionalmente, (b) si es o no comp/c,o. El sistema F se denomina comp/e,o si todo enunciado matemático que está formulado adecuadamente dentro de ff siempre resulta ser o wérñ![,M®iÉ'ro© o mJs© (de modo que F no contiene enunciados @RÉp :c,`LE,3!i=)gEméá@»).

La cuestión de si un enunciado sobre conjuntos infinitos es o no nec,/me#,c vc,t7adeno en algún sentido absoluto no tiene necesariamente significado, para un formalista estricto, y ciertamente no se considera relevante para los procedimientos de las matemáticas formalistas. Asi' pues, en lugar de la búsqueda de verdad matemática absoluta de enunciados sobre tales magnitudes infinitas, habri'a un deseo de demostración de consistencia y compleción de sistemas formales adecuados. ¿Qué tipo de verdades matemáticas se admitiri'an en seme-

jante demostración? Las propias reglas tendri'an que ser dignas de confianza, y no deberi'an hacer uso de ningún razonamiento dudoso con conjuntos infinitos vagamente definidos (tales como el de Russell). Se esperaba que pudiera haber procedimientos lógicos disponibles dentro de ciertos sistemas formales relativamente simples y obviamente válidos (tales como el sistema relativamente elemental conocido como ar,-,mcJ,,'ca dc f?ga#o), que serían suficientes para demostrar la consistencia de otros sistemas formales más complejos -digamos F- que pudieran permitir el razonamiento formal acerca de conjuntos infinitos muy «grandes», y cuya consistencia pudiera no ser absolutamente evidente. Si se acepta la filosofi'a formalista, entonces tal demostración de consistencia de F proporcionari'a al menos una justificación para util¡zar los medios de razonamiento permitidos por F. Entonces se podrían dar demostraciones de teoremas matemáticos que utilizaran conjuntos infinitos de una forma consistente, y quizá podri'a prescindirse de la cuestión de los «significados» reales de tales conjuntos. Además, si se pudiera demostrar que un F semejante es también completo, entonces uno podri'a adoptar razonablemente el punto de vista de que F realmente engloba ,odos los procedimientos matemáticos que están permitidos; asi', en cierto sentido, podri'a considerarse que F es realmente la formulación completa de las matemáticas del área en cuestión. Sin embargo, en l930 (publicado en l93l), Gódel produjo su bomba, ¡que eventualmente demostraba que el sueño de los formalistas era inalcanzable! Él demostró que no podi'a haber ningún sistema formal F, que sea a la vez completo y consistente (en un cierto sentido «fuerte» que describiré en la próxima sección), siempre que se considere que ff es suficientemente potente para conte-

106 Las sombras de la mente

ner la formulación de los enunciados de la aritmética ordinaria junto con la lógica estándar. Asi' pues, el teorema de GÓdél se aplicariJa a sistemas F- pqra los que enunciados matemáticos tales como el teorema de Lagrange y la conJetura de Goldbach, que se describieron en §2.3, podri'an formularse como enunciados matemáticos. En la exposición que sigue, me interesaré sólo en sistemas formales que son suficientemente extensos para que puedan contener dentro de ellos las operaciones aritméticas necesarias para la formulación real del teorema de GÓdel (y, si es necesario, que puedan contener las operaciones de cualquier máquina de Turing; véase más abajo). Cuando me refiera a algún sistema formal F, se sw-

pondrÜ' normalmente que F es en efecto suficientemente extenso para esto. Esto no limitará el comentario de ninguna manera esencial. (De todas formas, por motivos de claridad expositiva, añadiré a veces las palabras «suficientemente extenso», o alguna similar, cuando trate sistemas formales en un contexto semejante.)

2.8. La condición de cÚ-consistencia La forma más familiar del teorema de Gódel afirma que, para un sistema formal :>= suficientemente extenso, F no puede ser a la vez completo y consistente. Éste no es exactamente el famoso «teorema de incompleción» que él anunció originalmente en la reunión de KÓnigsberg, mencionada en §2.l y §2.7, sino una versión ligeramente más convincente que fue obtenida a continuación por el lógico norteamericano J. Barkley Rosser (l936). La versión que GÓdel anunció originalmente era equivalente a demostrar que F no puede ser a la vez completo y a,-consistente. La condición de ®-consistencia es algo más rigurosa que la de consistencia ordinaria. Para establecer qué significa, necesitamos un poco de notación. Como parte de la notación de un sistema formal F habría ciertos símbolos que denotan operaciones lógicas. Habri'a un símbolo que denota #egacÍ-oJ#, es decir, «no», y éste podri'a ser representado por « ~ ». Así pues, si O es una proposición que se pueda establecer dentro de F, entonces el si'mbolo ~ O denota «no Q». Habri'a también un símbolo que dice «para todos [los nú-

meros naturales]», llamado cwcmÍ,/,'cc,dor wn,'verJc,/, y éste podri'a denotarse por «v». Si P(#) es una proposición que depende del número natural n (de modo

que P es lo que se denomina una /wnc,'oÍ# pnopos,-c,'onaO, entonces la cadena de sl'mbolos vm[P(" denota el enunciado «para todo número natural fi, P(#) se satisface». Un ejemplo particular de un P(n) semejante seri'a: «# es expresable como la suma de tres cuadrados», y entonces v#[P(#)] representa: «todo número natural es la suma de tres cuadrados» -que, en este caso, seri'a falso (aunque sería verdadero si «tres» se reemplazara por «cuatro»). Podemos combinar tales si'mbolos de muchas formas; en particular, la cadena de si'mbolos

- v#[P(n)] expresa la #egac,'o-n de que P(#) se satisface para todo número natural #.

IJa argumentación gódelicina lO7

Lo que la condición de a,-consistencia afirma es que si ~vm[P(#)] es demostrable por los métodos de F, entonces no debe darse el caso de que ,odos los enunciados

P(0), P(l), P(2), P(3), P(4), ... sec,# demostrables dentro de F. A partir de esto, se sigue que si F no fuera a,-consistente, deberi'amos tener la situación anómala en la que, para algún f?,

pudiera demostrarse cada uno de los P(0), P(l), P(2), P(3), ...; ¡pero el enunciado que afirma establecer que no todos éstos son verdaderos es ,a'mb,-e'n demostrable! Ciertamente ningún sistema formal digno de confianza podría admitir cosas de este tipo. Si iF es válido, entonces es ciertamente a,-consistente. En este libro utilizaré las notaciones` «G(F)» y «í}(F)» para las afirmaciones respectivas: «el sistema formal F>= es consistente» y «el sistema formal F~ es ®-consistente». De hecho (suponiendo que F es suficientemente extenso), G('F)

y Í}(F) son sentencias que pueden formularse en términos de las operaciones de FF-. El famoso teorema de incompleción de GÓdel nos dice que G(F) Ho cs w# ,eo^ema de E (i.e. no es demostrable utilizando los procedimientos permitidos por B, y tampoco lo es í}(F) ¡s¡empre que F sea realmente consistente! La versión algo más fuerte del teorema de GÓdel que fue obtenida posteriormente

por Rosser nos dice que si F es consistente, entonces ~G(D tampoco es un teorema de E. En lo que queda de este capi'tulo, tenderé a formular mis argumentos en términos del más familiar G(D, antes que de í2(Lg), aunque para la mayor parte de la exposición ambos serviri'an igual. (No obstante, para alguno de los argumentos más expli'citos del capítulo 3, utilizaré a veces «G(F)» para denotar la afirmación concreta «Ck(k) no se para» [cf. §2.5], lo que no es un

grave abuso de notación.) No me molestaré en trazar una li'nea clara entre consistencia y ®-consistencia en la mayori'a de mis explicaciones aqui', pero la versión del teorema de Gódel que he presentado realmente en §2.5 es en esencia la que establece que si F es consistente, entonces no puede ser completo, al ser incapaz de establecer G(F) como un teorema. No intentaré demostrar esto aquí ®ero véase Kleene, l952). De hecho, para que esta forma del argumento de GÓdel sea reducible al argumento que yo he dado, se necesita algo más para F que simplemente «contener la aritmética y la lógica ordinarias». Io que se necesita es que F sea suficientemente extenso para que estén incluidas las acciones de cualquier ma'gwjm de rw,,'#g. Asi' pues, los enunciados que pueden formularse correctamente utilizando los si'mbolos del sistema F deben incluir los enunciados de la forma: «tal o cual máquina de Turing, al actuar sobre el número natural #, produce el número natural p». De hecho, es un teorema (cf. Kleene, l952, capítulos ll y l3) lo que esto resulta automáticamente si F incluye, además de las operaciones de la aritmética ordinaria, la operación (denominada la ff-operación): «encontrar el número natural más pequeño con tal o cual propiedad aritmética». Recordemos que en nuestro ejemplo original de una computación (A), nuestro

procedimiento encontraba realmente el número ma's pcgweño que no fuera la

1OS

Las sombras de la meri{e

suma de tres cuadrados. En general, debe permitirse a las computaciones que hagan cosas de este tipo. Realmente es es,o lo que también nos lleva a la posibilidad de encontrar colhputaciones que nó terlhinan, tales como a}), en la que intentamos encontrar el número más pequeño que no es la suma de cl,a,ro cuadrados, y no existe tal número.

2.9. Sistemas formales y demostración algori'tmica En el argumento de GÓdel-Turing, tal como lo he dado en §2.5, me referi' meramente a «computaciones», y no hice referencia a «sistemas formales». Pero existe una relación muy estrecha entre los dos conceptos. Una de las propiedades esenciales de un sistema formal es que debe ser realmente un procedimiento algori'tmico (i.e. «computacional») para c'omprobc,, si las reglas de F han sido o no correctamente aplicadas. Si una proposición es wEF{©mEFA, según las reglas de

F, entonces nuestra computación F asegurará este hecho. (Lo que F podri'a hacer es recorrer todas las series posibles de cadenas de si'mbolos que pertenecen al «alfabeto» del sistema F y llegar a detenerse con éxito cuando encontrase la proposición P como cadena final, estando permitidos todos los pasos de la serie según las reglas del sistema F.)

Reci'procamente, si E es algún procedimiento computacional dado. propuesto para asegurar la verdad de ciertos enunciados matemáticos, entonces podemos COnstruir un sistema fomal E, que efeCtivamente expresa, como vg'LREñaZ®iEgB&S, to-

das aquellas verdades que se pueden obtener mediante el procedimientoE. Existe, sin embargo, una pequeña salvedad en el hecho de que normalmente se esperari'a que un sistema formal incluyera las operaciones lógicas estándar, mientras que el procedimiento dado E podri'a no ser suficientemente extenso para incorporarlas directamente. Si nuestro E dado no incorpora en si' mismo estas operaciones lógicas y elementales, entonces seri'a apropiado añadir estas operaciones lógicas a E en la construcción de E, de modo que las proposiciones wEmBgJ3jE=iás de E seri'an no sólo los enunciados que se pueden obtener directa~

mente por el procedimiento E, sino también aquellas que son consecuencias lógicas elementales de los enunciados que se pueden obtener directamente mediante E. En estas circunstancias, E no seri'a estrictamente equivalentc a E, sino que seri'a algo más potente. (Estas operaciones lógicas son simplemente cosas como: «si J]&O entonces g»; «si P y P a g, entonces O»; «si vx[P(x)], entonces P(n)»; «si ~Vx[P(x)], entonces ]x[ ~ P(x)]», etc. Aqui', los si'mbolos «&», « s », «v», «]», « ~ » tienen las interpretaciones respectivas «y», «implica», «para todo [número natural)», «existe [un número natural]», «no», y podri'a haber algunos si'mbolos más.)

Para construir E a partir de E, podemos empezar a partir de algún sistema formal r: más básico (y obviamente consistente), que exprese meramente estas reglas primarias de inferencia lógica -tal como el sistema conocido como cc,'/cw/o depnec7,-cados (Kleene l952), que hace precisamente esto-y construir E añadiendo E a E en forma de axiomas y reglas de procedimiento adicionales para

I+a argumenlación gódeliana lO9 Ba, considerando aqui' que cualquier proposición P es üdtérJü-,J¥J®r=ñá cuando quiera

que el procedimiento Ela obtiene. Sin embargo, esto no es necesariamente fácil de ejecutar en la práctica. Si £ es simplemente una especificación de máquina de Turing, entonces podríamos tener que añadir a Ü] todas las operaciones y la notación de máquina de Turing necesarias, como parte de su alfabeto y re-

glas de procedimiento, antes de que podamos añadir el propio Ecomo, en efecto, un axioma adicional. (Véase el final del §2.8; para una explicación completa, véase Kleene, l952.) No es realmente importante para nuestro objetivo aqui' que el sistema E que construimos de esta forma pudiera tener proposiciones b¢É:5JBL¡;;®t¡Lo`¿£Í= distintas de

las obtenibles directamente por E (al no estar las propias reglas lógicas primitivas de u] necesariamente representadas como parte del procedimiento dado D. Nos interesamos, en §2.5, por un supuesto algoritmo A que se propone englobar todos los procedimientos (conocidos o cognoscibles) de que disponen los matemáticos para asegurar que las computaciones no se paran. Cualquier al-

goritmo semejante tendri'a que incorporar ciertamente, entre otras cosas, todas las operaciones básicas de la simple inferencia lógica. Por ello, en los comentarios que siguen supondré que A incorpora realmente tales rasgos. Para los objetivos de mi argumento, por lo tanto, los algoritmos (es decir, procesos computacionales) y los sistemas formales son básicamente cqw,'vc,/e#cs como procedimientos para el acceso a las verdades matemáticas. Así pues, aunque el argumento que di en §2.5 se estableci'a en términos de computaciones solamente, el argumento es también relevante para sistemas formales generales. Recordemos que el argumento se refiere a un listado de todas las computaciones (acciones de máquina de Turing) Cg(#). Para que el argumento se aplique en detalle a un sistema formal F, es necesario, por consiguiente, que F sea suficientemente extenso para incorporar las acciones de todas las máquinas de Turing. El procedimiento algori'tmico J4 para asegurar que ciertas com-

putaciones no se paran puede incorporarse ahora en las reglas para F, de modo que las computaciones cuyo carácter interminable pueda establecerse como `uiq=ffio gm\ÉgrLi utilizando E serán idénticas a todas aquellas cuyo carácter interminable pueda asegurarse utilizando Á. ¿Cómo se relaciona el argumento original de GÓdel en Kónigsberg con el que presenté en §2.5? No daré aqui' los detalles, sino que simplemente señalaré los ingredientes esenciales. Mi procedimiento algori'tmico á juega el papel del sistema formal F en el teorema original de GÓdel:

algoritmo Á ® reglas de F IJa proposición particular «C*(k) no se para» obtenida en §2.5, que es inaccesible mediante el procedimiento A pero que pese a todo uno percibe que es verdadera siempre que crea que A es válido, juega el papel de la proposición G(ff) que GÓdel presentó en KÓnigsberg y que realmente afirma que F es consistente:

enunciado C*(k) no se para ® afirmación de que F- es consistente.

110

IJas somb,as de la mente

Quizá esto nos ayude a comprender cómo una creencia en la validez de un procedimiento, tal como 4, puede llevarnos á otrÓ Procedimiento que esté más allá del alcance del procedimiento original, pero en cuya validez ,omb,-eJn debemos creer. En efecto, si creemos que los procedimientos de algún sistema formal F son válidos -i.e. que nos permiten derivar solamente verdades matemáticas reales y no falsedades, de modo que si una proposición P es derivada como `,LiF!] i`i=`=E,J±i, entonces realmente debe ser vendac7erc,-, entonces también debemos creer que tE es c+consistente. Si «`±-É_-:;¿¿JÉ=9,'=» implica «verdadero» y «_i¡J=stF3;» im-

plica «falso» -como sucederi'a con cualquier sistema formal válido F-, entonces, ciertamente: no todos los P(0), P(l), P(2), P(3), P(4), ... pueden ser vJÉrp`,B4|®E~i!©s

si es JÍA-£¬ que P(n) se satisface para todo número natural n; lo que, después de todo, es precisamente lo que establece la aJ-consistencia. Una creencia en la validez de F conlleva no sólo una creencia en su co-consistencia, sino también una creencia en su consistencia. En efecto, si «vEF,rri.¡iiBÉF2/¿» implica «verdadero» y «:JJ£.=-`~¿» implica «falso», entonces, ciertamente: P no puede ser a /¢ vez rú7j:-.a.i===--_¿ y .=¿¿tés©;

que es precisamente lo que establece la consistencia. De hecho, para muchos sistemas la distinción entre consistencia y a,-consistencia desaparece. Por sim-

plicidad, en lo que sigue en este capi'tulo no me molestaré por norma general en trazar una distinción entre estos dos tipos de consistencia, y normalmente enunciaré las cosas en términos de «consistencia» únicamente. IJo que Gódel

y Rosser demostraron es que establecer la consistencia de un sistema formal (suficientemente extenso) es algo que está fuera del poder del propio sistema formal. El teorema anterior de GÓdel (en KÓnigsberg) dependi'a de la a,consistencia, pero el resultado posterior y más familiar se referi'a sólo a la consistencia ordinaria. El valor del argumento de GÓdel para nuestros objetivos es que nos demuestra cómo ir más allá de cualquier conjunto dado de reglas computacionales que creamos válido, y obtener una regla adicional, no contenida en aquellas reglas, que debemos creer que también es válida: a saber, la regla que asegura la co#s,'s,cnc,'a de las rcglas originales. El punto esencial, para nuestros propósitos, es: creencia en vcr/,'c'cz implica creencia en co#sís,e#c,'a.

No tenemos derecho a utilizar las reglas de un sistema formal F, y creer que los resultados que derivamos a partir de él son realmente vendacJeros, a menos que creamos también en la consistencia de dicho sistema formal. (Por ejemplo, si F-fuera inconsistente, entonces podri'amos deducir, como wg[c:E;¢J=,ÉJ>.¬, el enun-

ciado «l = 2», ¡que ciertamente no es verdadero!) Asi' pues, si creemos que realmente estamos haciendo matemáticas cuando utilizamos algún sistema for-

La argumentación gódeliana

111

mal F, entonces también debemos estar preparados para aceptar un razonamiento que va más allá de las limitaciones del sistema E, cualquiera que dicho sistema F pueda ser.

2.lO. Otras posibles objeciones técnicas a 9 Sigamos ahora examinando diversas objeciones matemáticas que se han indicado de vez en cuando contra el tipo de uso que he hecho del argumento de GÓdel-Turing. Muchas de estas objeciones están estrechamente relacionadas, pero pienso que en cualquier caso será útil abordarlas por separado. Q10. ¿Es la verdad matemática una cuestión absoluta? Ya hemos v¡sto que ex¡sten opiniones diferentes respecto a la verdad absoluta de enunciados sobre con-

juntos infin¡tos. ¿Podemos confiar en argumentos que dependen de tener cierto concepto vago de «verdad matemática» frente a, quizá, un concepto de TL.aémúE\iÁ9 formal c]aramente definidO?

En el caso de un sistema formal F que esté interesado en la teoría general de conjuntos, podri'a no estar siempre claro que haya algún sentido absoluto en el que un enunciado sobre los conjuntos sea «verdadero» o «falso» -en cuyo caso el propio concepto de «validez» de un sistema formal como F podri'a ser puesto en cuestión. Un famoso ejemplo que saca a la luz un problema de este tipo está contenido en un resultado demostrado por Gódel (l940) y Cohen (l966). Ellos demostraron que las afirmaciones matemáticas conocidas como el axioma de elección y la. hipótesis del continuo de Calntor sonindepentientes de los axiomas de Zerme/o-Frae#ke/ de la teori'a de conjuntos -un sistema formal estándar que aquí denotaré por E:F. (El axioma de elección afirma que para cualquier colección de conjuntos no vaci'os, existe otro conjunto que contiene exactamente un elemento de cada miembro de la colección.l La hipótesis del continuo de Cantor afirma que el número de subconjuntos de los números na-

turales -que es igual al número de números ,ea/es- es el siguiente infinito más grande después del número de los propios números naturales.2 No es necesario que el lector aprecie ahora los significados de estas afirmaciones. Ni es necesario que yo entre aquí en los detalles de los axiomas y reglas de procedimiento de EE-.) Algunos matemáticos mantendrán que E= engloba todo el razonamiento matemático que se necesita en las matemáticas comunes. Algunos

pretenderán incluso que un argumento matemático aceptable es precisamente uno que, en principio, podría formularse y demostrarse dentro de EF. (Véase la exposición tras Q14 para una valoración de cómo se aplica el argumento de GÓdel a estas personas.) Estos matemáticos afirmarán, por consiguiente, que los enunciados matemáticos que son, respectivamente, '.'=3í9i&®iEF{@,§, ffis©s e ]Ñ-

:`_-=cJ=:3:E`==s según ZJF, son precisamente los enunciados que, en principio, pue-

den establecerse matemáticamente como verdaderos, establecerse matemáticamente como falsos, y son matemáticamente indecidibles. Para tales personas,

112

Las sombras de la merite

el axioma de elección y la hipótesis del continuo serán matemáticamente indecidibles (como, según¬llos., demuestra el resultado de GÓdel-Cohen), y podri'an muy bien alegar que la verdad o falsedad de estas dos afirmaciones matemáticas es una cuestión puramente convencional. ¿Afectan estas aparentes incertidumbres respecto de la naturaleza absoluta de la verdad matemática a nuestras deducciones a partir del argumento de GÓdelTuring? En absoluto ~pues aqui' estamos interesados en un tipo de problema matemático de una naturaleza mucho más restringida que la de aquellos que, como el axioma de elección y la hipótesis del continuo, están relacionados con conjuntos no constructivamente infinitos. Aquí sólo nos interesamos en enunciados de la forma:

«tal o cual computación nunca termina», donde las computaciones en cuestión pueden especificarse exactamente en términos de acciones de máquinas de Turing. En lógica, tales enunciados se conocen técnicamente como Hi-se#,c#c,'tzs (o, más correctamente, como H?-sentencias. Para cualquier sistema formal F, G(F) es una Hi-sentencia, pero no lo es í2(F)

(véase §2.8). Pareceri'a poco razonable dudar que la naturaleza verdadero/falso de cualquier lli-sentencia es una cuestión c,b§o/w,a, independiente de qué posición pudiera uno sostener sobre cuestiones que se relacionan con conjuntos no constructivamente infinitos -como el axioma de elección y la hipótesis del continuo. (Por el contrario, como veremos en un momento, el tipo de razonamiento que uno acepta como algo que proporciona cJemosínt,cJ-o#eJ convincentes de rli-sentencias podri'a depender de la posición de cada uno con respecto a conjuntos no contructivamente infinitos; cf. Qll.) Parece claro que, aparte de las posiciones extremas adoptadas por algunos intuicionistas (cf. respuesta a Q9), la única cuestión razonable con respecto a la naturaleza absoluta de la verdad de tales enunciados podri'a ser que algunas computaciones que terminan pueden necesitar un tiempo tan desmesuradamente largo que presumiblemente no podrían completarse en la práctica, ni siquiera, pongamos por caso, en toda la historia del universo; o quizá que la propia computación podría necesitar tantos si'mbolos que su especificación (aunque finita) nunca podri'a escribirse. Estas cuestiones, sin embargo, fueron completamente analizadas en la discusión relativa a Q8, y vimos alli' que nuestra conclusión g no quedaba afectada. Recordemos también que, en relación con la discusión concerniente a Q9, la posición intuicionista tampoco elude la conclusión S. Como un punto adicional, el concepto (muy limitado) de verdad matemática que necesito para el argumento de GÓdel-Turing no está realmente peor definido que los conceptos de wLÉfiú3B¿fiú`E=uer, _=¿¡`u3J3© e g9,j3ɬJ:3jg¡LÍ, para cualquier sistema

formal F. Recordemos de lo anterior (§2.9) que existe un cz/go,,',mo F que es equivalente a F. Si a F se le presenta una proposición P (enunciable en el lenguaje de F`), entonces este algoritmo puede llegar a detenerse con éxito precisamente cuando P es demostrable según las reglas de F, es decir, cuando P es \\Ü'Éüo!] =`,¿;:J:J>i-;=t& . Análogamente, P es :=ÁíEs`~c precisamente si F llega a detenerse con éxito

I+a argumentacióri gódeliana

l13

cuando se le presenta ~P; y P es :,:33Ee':_D,JI[E`:=E precisamente cuando ninguna de

estas dos computaciones termina. La cuestión de si un enunciado matemático P es vBñasúi,ER©, is:£:y'_L§© o a"s;EeQB=i=r= es precisamente del miSmO CaráCter que el de

la verdad real de la parada o no de las computaciones -i.e. de la falsedad o verdad de ciertas rli-sentencias- que es todo lo que se necesita para nuestro argumento de tipo GÓdel-Turing.

Q11. Existen ciertas lli-sentencias que pueden demostrarse uti]¡zando ]a teori'a de conjuntos infinitos, pero no se conocen demostraciones que uti]icen métodos estándar «finitos». ¿No sign¡fica es'o que la forma en la que deciden los matemáticos incluso estas cuestiones bien def¡nidas puede ser realmente una cüestión subjet¡va? Diferentes matemáticos, que mantienen diferentes cTeencias con respecto a la teoría de conjuntos, podri'an tener criterios no equivalentes

para afirmar la verdad matemática de lli-sentencias.

Éste podri'a ser un punto importante con respecto a mis propias deducciones a partir del argumento de GÓdel(-Turing), y quizá no le di la importancia suficiente en mi breve exposición en NME. Sorprendentemente, Qll no es una objeción que parezca haber preocupado a nadie aparte de mi' -¡al menos nadie la ha puesto en mi conocimiento! Tanto aqui' como en NME (pp. 417, 418 [pp. 517-518]) yo he expresado el argumento de Gódel(-Turing) en términos de lo que los «matemáticos» o «la comunidad matemática» son capaces de asegurar por medio de la razón y la intuición. La ventaja de expresar las cosas en estos términos, más que en términos de lo que un individuopam'cw/a'r pudiera ser capaz de asegurar mediante el uso de su razón o intuición, es que nos capacita para escapar de ciertas objeciones que se hacen frecuentemente a la versión del argumento de GÓdel propuesta por Lucas (l96l). Varias personas3 han ob-

jetado, por ejemplo, que «el mismo Lucas» posiblemente no conoci'a su propio algoritmo. (Algunas de estas personas hicieron también el mismo tipo de objeción a mi propia presentación4 -¡olvidando aparentemente el hecho de que yo no expresé en absoluto mi argumento en esta forma «personal»!) La ventaja de hacer referencia al razonamiento y la intuición que están disponibles a los «matemáticos» o «la comunidad matemática» es que esto nos capacita para escapar de la sugerencia de que diferentes individuos podrían percibir la verdad matemática en formas diferentes, cada uno de ellos de acuerdo con su incognoscible algoritmo personal. Es mucho más difi'cil aceptar que la comprensión compartida de la comunidad matemática como un todo pudiera ser el resultado de algún algoritmo incognoscible, que aceptar que pudiera serlo la comprensión de un individuo particular. El punto que plantea Q11 es que esta comprensión compartida podría no ser tan universal e impersonal como yo la he considerado. Es cierto que ex,'s,c# enunciados del tipo mencionado en Q11. Esto es, existen lli-sentencias cuya única demostración conocida depende de un uso adecuado de la teori'a de conjuntos ¡nfinitos. Una Hi-sentencia semejante podri'a surgir a partir de una codificación aritmética de un enunciado como «los axio-

l14

I+as sombras de la mente

mas de F son consistentes» cuando el sistema formal F incluye las manipulaciones de grandes conjuntos infinitos cuya propia existencia podría ser materia de controversia. Un matemático que crea en la ex,®s,e#c,'a real de cierto conjunto enorme S no constructivo llegará a la conclusión de que j= es de hecho consistente, pero otro matemático que no crea en S no tiene por qué tener esta fe en la consistencia de Lr=. Asi' pues, incluso el restringir la atención a la cuestión

bien definida de la parada o no de las acciones de máquinas de Turing (i.e. a la falsedad o verdad de Hi-sentencias) no nos permite ignorar la cuestión de la subjetividad de las cr¬enc,'as respecto a, digamos, la existencia de algún gran conjunto S no constructivamente infinito. Si diferentes matem,áticos emplean «algoritmos personales» no egw!'w/e#,es para asegurar la verdad de ciertas lli-sentencias, entonces quizá debe considerarse poco correcto por mi parte el referirme simplemente a «matemáticos» o «la comunidad matemática». Yo supongo que, estrictamente hablando, quizá sea realmente poco correcto; y el lector, si se inclina a ello, puede preferir reinterpretar S como:

9* Ningún matemático concreto asegura la verdad matemática solamente por medio de un algoritmo que él sabe que es correcto. Los argumentos que estoy dando seguirán aplicándose, pero pienso que algunos de los últimos perderían buena parte de su fuerza cuando se presenta el caso en esta forma. Además, con la versión g*, el argumento se encamina en la que yo creo que es una dirección poco útil, donde uno se interesa más en los mecanismos particulares que gobiernan las acciones de individuos particulares que en los principios que subyacen en las acciones de todos nosotros. Yo no estoy demasiado interesado, en esta etapa, en cómo los matemáticos individuales pudieran enfocar de forma diferente un problema matemático, sino que estoy más interesado en lo que es w#,'versa/ en nuestras comprensiones y nuestras percepciones matemáticas. Tratemos de ver si n¬c,/me#,c estamos obligados a la versión S*. ¿Son realmente tan subjetivos los juicios de los matemáticos que éstos podri'an no estar de acuerdo en principio en si una rli-sentencia particular ha sido o no establecida como verdadera? (Por supuesto, el argumento que establece la lli-sentencia simplemente podri'a ser demasiado largo o complicado para ser seguido

por uno u otro matemático -cf. Q12 más adelante-, de modo que ellos podri'an ciertamente diferir cH /¢ pnÚ'c,!'cc,. Pero esto no es lo que se discute aqui'. Aqui' nos interesamos solamente por cuestiones c7ep,,'#c,'p,-o.) De hecho, la demostración matemática no es tan subjetiva como esto podría sugerir. Pese al hecho de que matemáticos diferentes podri'an defender puntos de vista algo diferentes sobre lo que ellos mantienen que es una verdad incuestionable relativa a cuestiones de fundamentos, no suelen discrepar cuando se trata de las de~ mostraciones o refutaciones de Hi-sentencias concretas claramente definidas. Una ni-sentencia particular que, en efecto, afirma la consistencia de algún sistema E no será considerada normalmente como demostrada de forma aceptable si todo lo que uno tuviera que considerar fuera la existencia de algún con-

m argumentación gódeliana

l15

trovertido conjunto S infinito. Un formulación más aceptable de lo que se había demostrado realmente podri'a ser: «si S existe, entonces F es consistente, y en este caso la lli-sentencia dada es verdadera». De todas formas, podri'a haber excepciones en las que un matemático podri'a adoptar el punto de vista de que c¡erto conjunto S no constructivamente infinito existe «obviamente» -o, al menos, que la hipótesis de su existencia no nos puede llevar de ningún modo a una contradicción-, mientras que otro matemático podri'a tener una idea diferente sobre la cuestión. A veces, en lo que respecta a tales cuestiones deJ:w#c'c,mcm,os, los matemáticos parecen caer en disputas irresolubles. En principio esto podría llevar a que fuesen incapaces de expresar convincentemente sus demostraciones, incluso las relativas a las lli-sentencias. Quizá matemáticos diferentes tienen realmente percepciones inherentemente diferentes respecto a la verdad de enunciados relativos a conjuntos no constructivamente infinitos. Ciertamente es verdad que a menudo dcc/arif,# tener dichas percepciones diferentes. Pero creo que tales diferencias son básicamente similares a las diferencias en las expec,a,,'ws que podri'an tener matemáticos diferentes con respecto a la verdad de las proposiciones matemáticas comunes. Estas expectativas son meramente opiniones provisionales. Mientras no se haya encontrado una demostración o refutación convincente, los matemáticos pueden discrepar entre ellos sobre lo que esperan, o co#/'e,mzH que

es verdadero, pero la posesión de una demostración semejante por uno de los matemáticos permitiri'a (en principio) que también los otros llegaran a convencerse. Con respecto a cuestiones de fundamentos, hay carencia de tales demostraciones. Podriía suceder que nunca se encuentren demostraciones convincentes. Quizá m pwedcr# encontrarse porque tales demostraciones no existen, y ocurre simplemente que áaJ, puntos de vista diferentes e igualmente válidos con respecto a estas cuestiones de fundamentos. En relación con todo esto, sin embargo, deberi'a hacerse énfas¡s en un punto al llegar a las lli-sentencias. IJa posibilidad de que un matemático pudiera tener un punto de vista emo~#co -por el que entiendo, aqui', un punto de vista que permite que se extraigan conclusiones erróneas sobre la validez de ciertas rli-sentencias- no constituye nuestro interés actual. Presumiblemente. los matemáticos podri'an utilizar «intuiciones» objetivamente erróneas -en particular, a/gor,',mos m wJ/,'c7os-, pero esto no es relevante en lo que estamos tratando ahora, puesto que estari'a de ac'wcnt7o con 9. Esta posibilidad será abordada con todo detalle en §3.4. La cuestión aqui', por consiguiente, no es si pueden existir puntos de vista ,'»co«sásͬn,es entre distintos matemáticos, sino más bien

que un punto de vista pudiera ser, en principio, más po,c#,e que otro. Cada punto de vista seri'a perfectamente válido con respecto a sus implicaciones sobre la verdad de las lli-sentencias, pero algún punto de vista podri'a, en principio, permitir a sus defensores asegurar que ciertas computaciones no terminarán mientras que no ocurriría esto con los puntos de vista menos potentes. Asi' pues, diferentes matemáticos podri'an poseer grados de intuición esencialmente diferentes.

No creo que esta posibilidad suponga ninguna amenaza importante para

116

Las sombras de

mi formulación original 9. Aunque los matemáticos pueden mantener razonablemente puntos de vista distintos con respecto a los conjuntos infinitos, no hay ,a#,os puntos diferentes, probablementé `no más que cuatro o cinco. Las únicas diferencias de importancia seri'an cosas como el axioma de elección (mencionado en Q10), que muchos considerari'an «obvio» mientras que otros rechazari'an la no constructividad involucrada. Curiosamente, estos puntos de vista diferentes con respecto al propio axioma de elección m conducen directamente a una ni-sentencia cuya validez esté en disputa. En efecto, ya se considere o no «verdadero» el axioma de elección, este axioma no lleva a una inconsistencia con los axiomas ZF estándar, como demuestra el teorema de GÓdel-Cohen (mencionado en Q10). Podri'a haber, sin embargo, o,ros axiomas discutidos para los que no se conoce un teorema análogo. Pero normalmente, cuando se llega a la aceptación, o no aceptación, de algún axioma de la teori'a de conjuntos

-llamémosle axioma g-, los enunciados de los matemáticos tomari'an la forma: «suponiendo el axioma O se sigue que...». Esto no seri'a un motivo de dis-

puta entre ninguno de ellos. El axioma de elección parece ser una excepción en cuanto que con frecuencia se da impli'citamente por hecho, pero aparentemente no plantea un desafi'o a la formulación general impersonal que he dado

para 9, con tal de que restrinjamos la atención, en 9, a las lli-sentencias: 9** Los matemáticos humanos no están utilizando un algoritmo cognosciblemente válido para asegurar la verdad de ni-sentencias, que es todo lo que necesitaremos en cualquier caso. ¿Existen otros axiomas discutidos -considerados «obvios» por algunos y cuestionados por otros? Creo que seri'a una gran exageración decir que existen tantos como diez puntos de vista esencialmente diferentes, incluyendo las hipótesis de teori'a de conjuntos, que explícitamente no sean tenidos en cuenta como hipótesis. Admitamos que existe este pequeño número y examinemos las implicaciones. Esto significari'a que existen concebiblemente alrededor de diez clases de matemáticos esencialmente diferentes, clasificados según los tipos de razonamiento, que incluyen conjuntos infinitos, que estari'an dispuestos a aceptar como «obviamente» válidos. Nos referiremos a ellos como matemáticos de clase H, donde n recorre sólo unos pocos valores -no más de diez aproximadamente. (Cuanto más alta es la clase, más convincente sería el punto de vista de los matemáticos.) En lugar de 9**, tenemos ahora:

9*** Para cada # (donde n puede tomar sólo unos pocos valores), los matemáticos humanos de clase M no aseguran la verdad de Hi-sentencias solamente por medio de un algoritmo que conozcan que es válido. Esto se sigue debido a que el argumento de GÓdel(-Turing) puede aplicarse a cada clase por separado. (Debería quedar claro que el propio argumento de GÓdel no es objeto de disputa entre matemáticos, asi' que si el supuesto algoritmo de grado n fuese cognosciblemente válido para cualquier matemático de grado

IA argumentación gódeliana

l17

#, el argumento daría una contradicción.) Asi- pues, como sucede con 9, no se trata de que haya muchos algoritmos incognosciblemente válidos, donde cada algoritmo es especi'fico para cada individuo. En su lugar, lo que hemos descartado es la posibilidad de que pudiera existir sólo un número muy pequeño de algoritmos no equivalentes incognosciblemente válidos, graduados con respecto a su fuerza, que proporcionen las diferentes «escuelas de pensamiento». La versión 9*** no difiere significativamente de § o §** en las exposiciones que siguen, y por simplificar trataré de no hacer distinciones entre ellas, llamándolas colectivamente 9. Q12. A pesar de ]o que ]os matemáticos pudieran o no pudieran afirmar que tienen como puntos de v¡sta, en pr,®nc,'pz'o, seguramente dif¡eren mucho, en ]a práctica, en sus capacidades para segu¡r tin argumento. Segtiramente también difieren mucho en aque]las intu¡ciones que ]es permiten hacer descubrim¡entos matemát¡cos.

Por supuesto, todo esto es cierto, pero no es realmente relevante para el asunto en cuestión. Yo no estoy interesado en qué argumentos específicos y detallados podría ser capaz de seguir un matemático c# /apm'-c/,'ccr. Aún menos interesado estoy aqui' en la cuestión de qué argumentos podri'a ser capaz de deJcwbr,-r, en la práctica, un matemático o en las intuiciones e inspiraciones que pueden capacitarle para hacer tales descubrimientos. La cuestión aquí sólo concierne al tipo de argumentos que pueden, en principio, ser percibidos como válidos por los matemáticos. Ahora bien, la matización «en princ¡pio», en las discusiones precedentes, se ha utilizado deliberadamente. Suponiendo que se dé el caso de que un matemático esté en posesión de una demostración o refutación de cierta ni-sentencia, los desacuerdos con otros matemáticos respecto a la validez de la demostración sólo pueden resolverse si los matemáticos tienen el tiempo, la paciencia, la imparcialidad y la capacidad y determinación para recorrer, con conocimiento

y precisión, una cadena de razonamientos posiblemente larga y sutil. En la práctica, los matemáticos podri'an abandonar antes de que las cuestiones estén completamente resueltas. Sin embargo, materias como éstas no constituyen el interés de la discusión actual. En efecto, ciertamente parece haber un sentido bien definido en que lo que es accesible e# prJ|#c,®p,'o a un matemático es lo mismo

(consideraciones de Q11 aparte) que es accesible a otro -o, en realidad, a cualquier otra persona pensante. La cadena de razonamientos puede ser muy larga y los conceptos involucrados pueden ser sutiles u oscuros, pero en cualquier caso existen razones bastante convincentes para creer que no hay nada en el entendimiento de una persona que sea inaccesible para otra. Esto se aplica también en aquellos casos en los que habría que recurrir a la ayuda de un ordenador para segu¡r completamente los detalles de una parte puramente computacional de una demostración. Aunque podri'a estar más allá de lo razonable esperar que un matemático humano siga los detalles necesarios de las computaciones implicadas en un argumento, no hay duda en cualquier caso de que

l18

Las sombras de la mente

los pasos ,'#d,-v,-dwc,/es son cosas fácilmente capaces de comprender y aceptar por un matemático~riumario. Al decir esto, me estoy refiriendo meramente a la enorme complejidad de un argumento matemático y no a posibles cuestiones esenciales de principio

que pudieran separar a un matemático de otro respecto a qué tipos de razonamientos están dispuestos a aceptar. Ciertamente yo he conocido a matemáticos que afirman que existen argumentos matemáticos que quedan absolutamente fuera de su competencia: «Sé que nunca seré capaz de comprender tal y cual, o esto y lo otro, por mucho que lo intente; el tipo de razonamiento me supera totalmente». En cualquier ejemplo individual de una afirmación semejante, uno tendri'a que decidir si realmente se trata de que el razonamiento está e# pr,'nc,-p,®o fuera del sistema de creencias del matemático -como estari'a recogido en la discusión bajo Ql1-o si el matemático realmentepoc7r,'a' seguir, si lo intentase arduamente durante un tiempo suficiente, los principios subyacentes en el argumento. Normalmente sucede esto último. De hecho, la situación más común es que sería el estilo de escritura oscuro, o quizá limitaciones en las capacidades de lectura, o «esto y lo otro» la fuente de la desesperación de nuestro matemático, más que cualquier cuestión de principios esenciales en el «tal y cual» que esté más allá de sus capacidades. Una buena exposición de un tema aparentemente oscuro puede hacer maravillas. Para hacer énfasis en el tipo de cuestión que estoy planteando aqui', deberi'a decir que yo mismo asisto frecuentemente a seminarios matemáticos en los que no sigo (o ni siquiera intento seguir) los detalles de los argumentos que se están exponiendo. Puedo tener la sensación de que si continuase y estudiase los argumentos con detalle deberi'a ser capaz de seguirlos -aunque probablemente sólo con material de lectura o explicaciones orales suplementarias para completar los detalles que faltan en mi propia formación y probablemente también en el seminario mismo. Sé que de hecho no lo haré. El tiempo, la atención y el entusiasmo suficiente faltarán casi con certeza. Pero puedo aceptar perfectamente el resultado tal como se presentó en el seminario por todo tipo de razones «irrelevantes», tales como el hecho de que el resultado tiene un «aspecto» plausible, o que el conferenciante tiene una reputación fiable, o que otras personas en la audiencia, de quienes sé que son mucho más versados que yo en esos temas, no han cuestionado el resultado. Por supuesto, yo podri'a estar equivocado en todo esto y el resultado ser realmente falso, o quizá sea verdadero pero no se sigue del argumento que se ha dado. Éstas son cuestiones de detalle que no son relevantes para el punto de principio que estoy señalando aqui'. El resultado podri'a ser verdadero y estar demostrado válidamente, en cuyo caso yo podri'a haber seguido efi pr,'nc,'p,®o el argumento -o si no, el argumento es realmente erróneo, lo que, como mencioné antes, no es una situación de interés para nosotros aquí (cf. §3.2. y §3.4). Las únicas excepciones posibles seri'an que el seminario incluyera aspectos debatibles de la teori'a de conjuntos infinitos, o que dependiera de algún tipo inusual de razonamiento que pudiera cuestionarse desde ciertos puntos de vista matemáticos (lo que, en sí mismo, podri'a intrigarme lo suficiente para que realmente examinase después el argumento

IJa argumeniación gódel¡ana

llg

en cuestión). Estas situaciones excepcionales posibles son precisamente las recogidas en Q11. En relación con estas consideraciones de puntos de partida matemáticos, en la práctica muchos matemáticos particulares podri'an no tener un punto de vista claro respecto a los principios fundamentales a los que se adhieren realmente. Pero, como se comentó antes en relación con Q11, un matemático que no tenga una opinión clara sobre si aceptar o no, digamos, «el axioma O» siem-

pre estableceri'a, si es prudente, los resultados que requieren O en la forma «suponiendo el axioma g se sigue que...». Por supuesto los matemáticos` aunque una grey notoriamente pedante, no siempre son impecablemente cuidadosos sobre estas materias. De hecho, también es cierto que ellos cometen incluso errores evidentes de cuando en cuando. Pero estos errores, si son fundamentalmente omisiones y no cuestiones de principio inalterables, son corr¬g,-b/es. (Como se mencionó antes, la posibilidad de que realmente utilicen un algoritmo no válido como la base última de sus discusiones será considerada en detalle en

§3.2 y §3.4. Dicha posibilidad, estando de acuerdo con §, no forma parte de la discusión actual.) No estamos realmente interesados aqui' en errores corregibles, puesto que éstos no contribuyen a lo que pueda o no pueda conseguirse en principio. Las posibles incertidumbres del punto de partida real de un matemático, no obstante, necesitan discusión adicional, como se hace a continuación. Ql3. IJos matemáticos no tienen creencias t7bJo/z,,amenfe def¡nidas sobre la validez o la consistencia de los sistemas formales que ut¡l¡zan, ni siquicra sobre

qué s¡stemas forma[es podn'an considerarse como algo qüe ]es compromete. ¿No se desvaneceri'an sus creenc¡as de forma gradua] a medida que los sistemas formales se alejen más de sus intuic¡ones y experiencias inmediatas?

En realidad, es raro encontrar un matemático cuyas opiniones sean ri'gidas e inamoviblemente consistentes cuando se trata de los fundamentos de la disciplina. Además, a medida que los matemáticos ganan en cxperiencia, sus puntos de vista pueden muy bien cambiar con respecto a lo que consideran incuestionablemente verdadero -si realmente toman a/go como una verdad incuestionable. ¿Puede uno estar completamente seguro de que l es diferente de 2, por ejemplo? Si estamos hablando de certeza humana absoluta, no es realmente evidente que exista algo semejante. Pero uno debe adoptar una postura. Una postura razonable seri'a aceptar a/gw'# cuerpo de creencias y principios como verdades incuestionables y argumentar a partir de ello. Puede suceder, por su-

puesto, que muchos matemáticos no tengan siquiera una opinión definida sobre lo que tomarían como verdad incuestionable. En cualquiera de estos casos, yo les pediría, pese a todo, que adopten una postura incluso si estuvieran dispuestos a modificarla posteriormente. IJo que el argumento de Gódel demuestra es que cw¢/gw,'ero gw¬ sea' el punto de vista adoptado, dicho punto de vista no puede ser (saberse) encerrado en las reglas de cualquier sistema formal concebible. No se trata de que el punto de vista esté siendo modificado continuamente; el cuerpo de creencias que cwc,/gw,'e, sistema formal E (suficientemente

l20 IAs sombras de [a mente

extenso) engloba debe también extenderse m

de lo que F puede conse-

guir. Cualquier punto de vista que incluya la` incuestionables debe incluir también una cree G(F).* La creencia en G(F) no representa un creencia está ya impliícitamente contenida en

de [F` entre sus creencias la proposición de GÓdel en el punto de vista; esa to de vista original que ha

admitido aceptar F -incluso si la comprensi ser también aceptado pueda no ser aparente Por supuesto, siempre existe la posibilid error en las deducciones de uno a partir de

hecho de que G(D debe era vista. e se haya deslizado algún misas de cualquier punto

de vista concreto. Incluso la merapos,-Ó,-/,-dc

ue uno pueda haber cometi-

do tal error en alguna parte -incluso si, de conducir a un debilitamiento del grado de co

no lo ha cometido-podri'a que uno siente acerca de

las conclusiones. Pero este tipo de «debilitami interesa. Al igual que los errores reales, es « un argumento ha sido llevado a cabo correct más convincentes se hacen las conclusiones r miento» es cuestión de lo que un matemático

o es realmente lo que nos le». Además, en tanto que , cuanto más se examina tes. Este tipo de «debilitaa sentir en /a prf,Jc,,'cc,, más

que en principio, y conduce de nuevo a la d Ahora bien, la cuestión aquí es la de si ex

n de Q12. debilitamiento c« pr,®»c,--

p,'o, de tal modo que un matemático podri'a la validez de cierto sistema formal F es incues E* más potente tan sólo podría ser válido «prá

a línea de que, por ejemplo, e, mientras que un sistema ente con certeza». No creo

que exista mucho problema pero, cualquiera sistir también en que incluya las reglas ordina aritméticas. Nuestro matemático ya citado, debe creer que F es consistente y, por lo tan G(F) es verdadera. Asi' pues, las deducciones la totalidad de las creencias matemáticas del diera ser F. Pero ¿hay que tomar G(F) como verdad , F se toma como incuestionablemente válido? das de que debe ser así; y ciertamente lo es si «en principio», que he estado adoptando ha ción de un argumento matemático. La única los detalles de la codificación real de la afir enunciado aritmético (una lli-sentencia). Seg si' misma incuestionablemente clara: si F es vá sistente. (Pues si no fuera consistente, enton «l = 2», de modo que no seri'a válido.) Con r ficación, existe de nuevo la distinción entre l

tome como F, podemos inla lógica y las operaciones e que F es válido, también su proposición de GÓdel olas no pueden representar ático, cz,c,/gw,-cna que pu-

práctica». No es tan difi'cil convencerse de principio (aunque puede llevar algún tiempo

codificación es posible en adirse de que en realidad

,,'o#ab/e cuando quiera que ue puede haber pocas duherimos al punto de vista ra, respecto a la continuan importante concierne a «F es consistente» en un te la ,'dea subyacente es en tonces es ciertamente cone sus afirmaciones estari'a a los detalles de esta codiles «en principio» y «en la

al final de esta cxposición, tam-

La argumentación gódeliana l21

no hay «trampa» en el argumento), pero es una cuestión completamente diferente el convencerse de que cualquier codificación necÍ/ concreta ha sido llevada a cabo correctamente. Los detalles de la codificación tienden a ser algo arbitrarios, y podrían diferir mucho de una exposición a otra. Podriía haber de hecho algún error menor o alguna errata que invalidara, técnicamente hablando, la proposición especi'fica de la teori'a de números que pretende expresar «G(F)» pero no lo hace exactamente. Espero que quede claro para el lector que la posibilidad de tales errores no es el punto importante cuando se llega a lo que aqui' se entiende por aceptar G(E) como incuestionablemente verdadero. Quiero decir, por supuesto, el G(B neo/, no la posiblemente no pretendida proposición que uno puede haber establecido inadvertidamente debido a una errata o un error menor. Recuerdo una anécdota referente al gran fi'sico norteamericano Richard Feynman. Al parecer, Feynman estaba explicando cierta idea a un estudiante, pero la enunc¡ó erróneamente. Cuando el estudiante expresó su sorpresa, Feynman replicó: «¡No escuches lo que yo digo; escucha lo que qw,'eno dec,',!».* Una posible codificación expli'cita consistiri'a en utilizar las especificacio-

nes de máquina de Turing que di en NME y seguir el argumento exacto de tipo GÓdel que he dado en §2.5 y del que doy una codificación expli'cita en el Apéndice A. Ni siquiera esto seri'a aún completamente expli'cito, porque necesitamos también la codificación explícita de las reglas de F en términos de una acción de máquina de Turing, pongamos por caso 7'==. (La propiedad que rF tendri'a que satisfacer seri'a que si a cierta proposición P, construible en términos del lenguaje de E, se le asigna el número p, entonces debemos disponer, pongamos

por caso, que rñ-Ú) = l siempre que P sea un teorema de E, y que rF®) no se para en caso c`ontrario.) Por supuesto hay mucho margen para el error técnico. Aparte de las posibles dificultades implicadas en la construcción real de rF a partir de F yp a partir de j2, está la cuestión de si yo he cometido un error en mis propias especificaciones para máquinas de Turing -y de si el código dado en el Apéndice A de este libro es o no correcto, si se ha decidido utilizar esta especificación particular, para calcular Ck(k). Yo no creo que haya un error, pero mi confianza en mi' mismo aqui' no es tan grande como mi confianza en las propias especificaciones originales de GÓdel (aunque sean más complicadas). Pero espero que quede claro, por ahora, que los posibles errores de este tipo no son el punto importante. ¡Debemos hacer caso a la sentencia de Feynman! Con mis propias especificaciones particulares, no obstante, hay otro aspecto técnico que debería mencionarse. En §2.5 no enuncié realmente mi versión del argumento de Gódel(-Turing) en términos de la consistencia de F, sino en términos de la validez del algoritmo 4, como un test del carácter interminable de las computaciones (i.e. de la verdad de lli-sentencias). Esto también servi*

No he podido localizar la fuente concreta de esta c¡ta. Sin embargo, como me señaló Ri-

chard Jozsa. no importa que la haya citado mal, ¡puesto que puedo aplicarle a ella misma su propio mensaje subyacente!

122 Las som'oras de la merite

rá, porque hemos visto que la validez de A im de que C'k(k) no se para, de modo que pode

la verdad de la afirmación utilizar esta afirmación ex-

pli'cita -que es también una rli-sentencia- en

de G(':=). Además, como

se comentó antes (cf. §2.8), el argumento depen de LÉ, no de su consistencia. La validez de É= i cia, exactamente igúal que su consistencia. Ñi í

mente de la cÚ-consistencia a claramente su a,-consisten) ni G(F) se siguen de las re-

glas de F (cf. §2.8), suponiendo que F es corr Para resumir, creo que es evidente que por da haber en las creencias de un matemático al dez de un sistema formal F a una creencia en l

ero ambos son verdaderos. «debilitamiento» que puede una creencia en la valiad de la proposición C(F)

(o Q(~f])), esto reposará enteramente en la pos en la formulación precisa de «G(_±=)» que ha se aplica a í2(D.) Esto no es realmente relevante

ad de que exista algún error proporcionada. (Lo mismo a exposición que nos ocupa,

y no deberi'a haber debilitamiento en la cree mente pre,c#d,-da de G(F). Si F es incuestio G© también es incuestionablemente verdadera

ersonal de la versión realmente válido, entonces esta formas de 9 (o 9** o 9***)

quedan inafectadas con tal de que «verdad» sig

e «verdad incuestionable».

Q14. Seguramente e] sistema ZF -o a]guna mo mémosla ZF*)- representa realmente todo lo máticas serias. ¿Por qué no atenernos simple su consistencia no es demostrable, y simp]emen

ción estándar de EuF (]]anecesita para hacer matea este sistema, acep'ar qiie ernos a hacer matemáticas?

Creo que este tipo de punto de vista es m activo -especialmente entre aquellos que no s fundamentos o la filosofía de su disciplina. N ble para alguien cuyo interés básico, de hech carse al negocio serio de hacer matemáticas ( mente expresan rf,¢/mc#,e sus resultados den sistema como ZF). Según este punto de vista

ún entre matemáticos en resan especialmente en los n punto de vista irrazonansiste simplemente en dedie tales personas muy rarae las reglas estrictas de un está interesado sólo en lo

que puede ser demostrado o refutado dentro tal como ZE (o alguna modificación, =F*). D zación de las matemáticas consiste realmente Llamemos a este juego el juego E=F (o juego de acuerdo con aquellas reglas específicas que sistema. Éste es realmente el punto de vista d

sistema formal especi'fico este punto de vista, la realigar cierto tipo de «juego». , donde uno tiene que jugar ido establecidas dentro del o/,'s,a, ya que éste se intere-

sa estrictamente por lo que es `JnÉ.5.|iJ==r:~`í¿ y lo

s .=J±s© y no necesariamente

en lo que es verdadero y lo que es falso. Sup

o que el sistema formal es

válido, entonces cualquier cosa que sea i,,"_É,£`-

i-iÉ_ será también verdadera, y

cualquier cosa que sea Í;#2I=±i será también fal ces algunos enunciados, formalizables dentro

in embargo, existirán entonistema, que son verdaderos

pero no yF£JTt[3`,¡J.9i_=FJ^©s y algunos que son falsos ciados, en cada caso, J.```:'`J:\_Í:=.:`_i_g``_=-=. El e

_-=:=3si3=Le,, siendo dichos enundo de GÓdel G(ZF) y su nega-

ción ~G(2¥F) pertenecen a estas dos respecti suponiendo que EL=FT es consistente. (De hec

tegori'as, en el juego É==--, Í3_= fuera ,'#consistente, en-

lJi argumentación gódeliana 123 tonces ,¢#,o G(ZZF) como su negación ~ G(E3F) seri'an `_-Í'iRBÁ®Emr©§ -¡y también t=¢_:L:=?,e@ ! )

El juego ZF es probablemente una postura perfectamente razonable para llevar a cabo la mayori'a de las cosas de interés en las matemáticas comunes. Sin embargo, por razones que he indicado antes, no veo cómo puede representar una postura genuina con respecto a las crec#c,-as matemáticas de uno. En efecto, si uno cree que las matemáticas que está haciendo consisten en derivar

verdades matemáticas reales -de, digamos, Ili-sentencias-, entonces uno debe creer que el sistema que está utilizando es w-/Í-do; y si uno cree que es válido, entonces uno también debe creer que es co#s,-s,¬#,c, asi' que uno debe creer

también que la Hi-sentencia que afirma G(D es ff¢/me#,c verdadera -pese al hecho de que es :S\£_?,,:=~;:==i:3=J=-=. Asi' pues, las creencias matemáticas de uno deben

ir más allá de lo que puede derivarse dentro del juego Z¥F. Si, por el contrario, uno no confiJa en que ZiJ= sea válido, entonces no puede confiar en que los resultados r.,''=T5~if£.::T;EF©,s obtenidos utilizando el juego ZF sean realmente verdade-

ros. En cualquier caso. el propio juego Zz`F no puede representar un punto de vista satisfactorio con respecto a la verdad matemática. (Lo mismo se aplica exactamente igual a cualquier ZF*.)

Ql5. El s¡stema formal F que dec¡dimos utilizar podri'a no ser realmente cons¡stente -a] menos, podemos muy bien no estar seguros de que F sea consistente-, en cLiyo caso, ¿con qué derecho podemos afirmar que G(E) es «obv¡amente» verdadero?

Aunque esta cuestión ha sido ampliamente recogida en las discusiones precedentes, pienso que vale la pena reiterar aqui' el punto esencial, puesto que los argumentos de la naturaleza de Ql5 figuran entre los ataques más comunes al tipo de uso del teorema de Gódel que Lucas y yo hemos hecho. El punto importante es que nosotros no afirmamos que G(F) es necesariamente verdadero cualquiera que pueda ser E, sino que debemos concluir que G(F) es una verdad tan fiable como cualquiera que obtengamos utilizando las reglas del propio F. (De hecho, G(D es marJs fiable que los enunciados que se derivan realmente w,,-/,'za#c7o las reglas de F ¡porque F podri'a ser consistente sin que realmente fuera válido!) Si confiamos en cualquier enunciado P que derivamos utilizando solamente las reglas de F, entonces tamb¡én debemos confiar en G(D al menos en el mismo grado en que confiamos en P. Asi' pues, ningún sistema

formal cognoscible F -o su algoritmo equivalente F- puede representar la base total de nuestro conocimiento o creencias matemáticas verdaderas. Como se estableció en los comentarios Q5 y Q6, el argumento se da como una rcdz,c'o ad absc,nd#m: tratamos de suponer que F representa la base total de nuestras creencias, y entonces demostramos que esto lleva a una contradicción, de modo que, después de todo, no puede representar nuestra base para la creencia. Como en Ql4, podemos utilizar, por supuesto, algún sistema F como una conveníencia incluso si podemos tener dudas de que sea válido, y en consecuencia

124 Las sombras de la mente consistente. Pero si existe una duda genuina sobr ciar cualquier resu`ltado P obtenido mediante

«P es deducible dentro

ebemos, en este caso, enunde F en la forma

»

(«o P es nJgffi=áJ3#É:]``®»), más que afirmar simpl

te que «P es verdadero». Éste

es un enunciado matemático perfectamente bu mente verdadero o bien realmente falso. Sería p los pronunciamientos matemáticos de uno a e se hace asi', uno aún sigue haciendo enuncia absolutas. Ocasionalmente, uno podría creer q ciado de la forma anterior es realmente falso;

ue podri'a ser o bien realtamente legítimo restringir iados de este tipo, pero si obre verdades matemáticas establecido que un enuns, uno podri'a creer que ha

establecido

«P no es deducible dentr

F».

Enunciados de este tipo son de la forma «tal o (de hecho: «F aplicado a P no termina»), qu de las lli-sentencias que he estado considerand se permite uno al derivar enunciados de este los procedimientos matemáticos en los que uno las verdades matemáticas? Tal cuerpo de creen ser egw,-va,/cn,c a una creencia en un sistem cuál pueda ser dicho sistema.

computación no termina» precisamente de la forma cuestión es: ¿qué medios ¿Cuáles son, en realidad, ente cnee para establecer si son razonables, no puede mal, independientemente de

Q16. La conclusÍÓn de que G(F) es realmente consistente F, depende de la hipótesis de que l

dera, en un sistema formaI bolos de E que se supone

que representan ]os números naturales realmen les. Para algún otro t¡po exótico de números naturales»- podríamos encontrar que G(F) es estamos refiriendo a los números natürales y tro sistema E?

rese7z,a« números naturaémosles números «super. ¿Cómo sabemos que nos os supernaturales en nües-

Es cierto que no existe una manera axiom «números» a los que nos estamos refiriendo s rales deseados y no algún tipo de números «s Pero, en cierto sentido, éste es el punto global pendientemente de cuál sea el sistema axiomáti un intento para caracterizar los números nat si' mismas insuficientes para decirnos si G(9 Suponiendo que F sea consistente, sabemos G(E) es algo en verdad cierto, no falso. Sin e si'mbolos que realmente constituyen la expre «G(F)» tengan sus significados pretendidos. S

finita de asegurar que los almente los números natuaturales» no pretendidos.5 exposición de Gódel. Indeque proporcionemos, como s, las reglas de F serán por almente verdadera o falsa. l significado pretendido de go, esto depende de que los formal que se denota por s símbolos se reinterpretan odemos llegar a una inter-

La argumentación gódeliana 125

Para ver cómo pueden ocurrir estas ambigüedades, consideremos nuevos sistemas formales F* y F**, donde F* se obtiene añadiendo G(D a los axiomas de F, y F** se obtiene correspondientemente añadiendo en su lugar ~ G(F). Con tal de que F sea válido, entonces F* y F** son ambos consistentes (puesto

que G(B es verdadera y ~ G(D no es deducible a partir de las reglas de F). Pero con la interpretación pretendida de los si'mbolos de F -llamada la inter-

pretación es,a'+#dar- entonces, suponiendo que F sea válido, F* será también válido pero F** m será válido. Sin embargo, es una caracteri'stica de los sistemas formales consistentes el que uno puede encontrar reinterpretaciones llamadas m cs,czÍ#c7a', de los si'mbolos, de tal modo que proposiciones que son falsas utilizando la interpretación estándar resultan ser verdaderas en la interpretación no estándar; en consecuencia F y F** podri'an ahora ser válidos, en una interpretación no estándar semejante, en lugar de serlo F*. Cabri'a imaginar que esta reinterpretación podri'a afectar a los significados de los si'mbolos lógicos (tales como « ~ » y «&», que en la interpretación estándar significan «no» e «y», respectivamente), pero aquí estamos interesados en los símbolos que representan números indeterminados («x», «J'», «z», «xÍ», «xW», etc.) y en los significados de los cuantificadores lógicos (v, ]) utilizados en asociación con ellos. Mientras que en la interpretación estándar «vx» y «]x» significari'an, respectivamente, «para todo número natural x» y «existe un número na-

turalxtal que», en una interpretación m estándar los si'mbolos no se referiri'an a números naturales sino a algún tipo diferente de números, con diversas propiedades de orden (que podri'an realmente denominarse números «supernaturales», como en la terminología de Hofstadter [l979]). El hecho es, sin embargo, que sabemos realmente cuáles son los números naturales, y nosotros no tenemos ningún problema para distinguirlos de algún tipo cxtraño de números supernaturales. IÁ,s números naturales son las cosas comunes que normalmente denotamos mediante los si'mbolos O, l, 2, 3, 4, 5, 6, ... Éstos son los conceptos con los que nos familiarizamos cuando éramos niños, y no tenemos ningún problema para distinguirlos de algún concepto extraño de número supernatural (cf. §l.2l). Hay quizá algo misterioso, no obstante, en el hecho de que s,'parece que sabemos inst¡ntivamente cuáles son realmente los números naturales. En efecto, cuando somos niños (o adultos) se nos proporciona sólo un número relativamente pequeño de descripciones acerca de lo que significan «cero», «uno», «dos», «tres», etc. («tres naranjas», «un plátano», etc.); pero aun asi' podemos captar el concepto global a pesar de esta falta de adecuación. En cierto sentido platónico, los números naturales parecen ser cosas que tienen una existencia conceptual absoluta independiente de nosotros mismos. A pesar de tal independencia humana, somos capaces, intelectualmente, de entrar en contacto con el concepto real de número natural a partir simplemente de estas descripciones vagas y aparentemente inadecuadas. Por el contrario, ningún número finito de a.¥,®omas puede distinguir completamente los números naturales de estas posibilidades alternativas llamadas «supernaturales». Además, el carácter ,'n/,'#,',o especi'fico de la totalidad de los números natu-

l26 Las sombras de la mente rales es algo que de alguna forma somos capace tras que un sistema quel está lim.itado a Qper_a no es capaz de distinguir el carácter particular les de otras posibilidades («supernaturales»). nitud que caracteriza a los números naturales,

ercibir directamente, mieniante reglas finitas precisas to de los números naturaos comprendemos la infiso si están meramente re-

presentados por los puntos «...» en la descri «0,1,2,3,4,

,...»

o por el «etc.» en «cero, uno, dos, tr

c.».

No necesitamos que se nos diga exactamente minos de reglas precisas. Esto es una suerte, p

un número natural, en térque no es posible hacerlo.

¡De alguna forma, encontramos que sabcmo vez que se nos ha dirigido aproximadamente

es un número natural, una dirección correcta!

Quizá algunos lectores estén familiarizados la aritmética de los números naturales (a los qu

os ax,'omcrs cíe Peano para ludió brevemente en §2.7),

y se pregunten por qué ellos no definen adecua Según la definición de Peano, se parte de un s sucesor», denotado por S, que se interpreta c

nte los números naturales. lo O, y existe un «operador a operación de añadir sim-

plemente l al número sobre el que opera, de m SO, y 2 como Sl o SSO, etc. Tenemos, com Sb, entonces a = b; y que para ningún x se propiedad concreta que caracteriza a O. Tambi ción» que establece que una propiedad J?, de

ue podemos c7eri#,-, l como las, el hecho de que si Sa = O de la forma Sx, que es la iste el «principio de inducúmeros, debe ser verdadera

para ,odos los números n con tal de que satisf tonces P(Sn) también es verdadera, para todo blema llega con las operaciones lógicas en la dar, los si'mbolos V y ] respectivamente de

(i) si P(n) es verdadera enP(0) es verdadera. El proen la interpretación están«para todos los #w'mems

na,,wJfi'/e5...» y «existe un nwJmero na,wra/...

e». En una interpretación no

estándar, los significados de estos si'mbolos ca

an adecuadamente, de modo

que en su lugar cuantificari'an algún otro tipo que las especificaciones matemáticas de Pean S caracterizan de hecho las relaciones de orde turales de cualquier tipo de números «supern no están recogidas en términos de las reglas fo v y ] satisfacen. Para recoger los significados d cas de Peano, necesitamos pasar a lo que se

úmero». Aunque es cierto s para el operador sucesor distinguen los números naes», estas especificaciones s que estos cuantificadores especificaciones matemátie como una «lógica de se-

gundo orden» en la que se introducen cuantif ahora sus rangos abarcan co#/'w#,os (infinito simples números naturales. En la «lógica de p

res como v y ], pero donde números naturales más que orden» de la aritmética de los números naturales indiido habitual. Pero la lógica

1A argumentación gódeliana 127

de segundo orden no nos proporciona un sistema formal. En un sistema formal estricto, debe ser una cuestión puramente mecaJ#,'ca (i.e. algorítmica) el decidir si las reglas del sistema han sido o no correctamente aplicadas, lo que, en cualquier caso, es el punto global de la consideración de sistemas formales en el contexto actual. Esta propiedad no se da en una lógica de segundo orden. Un error muy común, en el espíritu de las ideas expresadas en Q16, es creer que el teorema de GÓdel demuestra que existen muchos tipos diferentes de aritmética, cada uno de ellos ¡gualmente válido. La aritmética concreta con la que

podamos haber decidido trabajar estan'a, en consecuencia, definida simplemente por algún sistema formal arbitrar¡amente escogido. El teorcma de Gódel demuestra que ninguno de estos sistemas formales, si es consistente, puede ser completo; asiJ pues -se argumenta- podemos seguir añadiendo nuevos axiomas, a nuestro capricho, y obtener todo tipo de sistemas alternativos consistentes dentro de los cuales podemos decidir trabajar. A veces se hace una comparación con la situación que teni'a lugar con la geometri'a euclidiana. Durante aproximadamente veintiún siglos se creyó que la geometri~a euclidiana era la única geometri'a posible. Pero cuando, en el s¡glo x`nn, matemáticos como Gauss, Lobachevsky y Bolyai demostraron que realmente existen alternativas que son igualmente posibles, el tema de la geometri'a se trasladó aparentemente de lo absoluto a lo arbitrario. Análogamente, se argumenta a menudo, Gódel demostró que también la aritmética es una cuestión de elección arbitrar¡a, siendo un conjunto de axiomas consistentes tan bueno como cualquier otro. Ésta, sin embargo, es una interpretación completamente equivocada de lo

que GÓdel ha demostrado para nosotros. Él nos ha enseñado que la misma noción de un sistema axiomático formal es inadecuada para recoger incluso los conceptos matemáticos más básicos. Cuando utilizamos el término «aritmética» sin más calificatívos, realmente entendemos la aritmética común que opera con los números naturales ordinarios O, 1, 2, 3, 4, ... (y quizá sus negativos), y no con algún tipo de números «supernaturales». Podríamos decidir, si quisiéramos, explorar las propiedades de sistemas formales, y ésta es ciertamente una parte valiosa del esfuerzo matemático. Pero es algo diferente de explorar las propiedades ordinarias de los números naturales comunes. En ciertos aspectos, la situación quizá no sea tan diferente de la que tiene lugar en la geometri'a. El estudio de las geometri'as no euclidianas es algo matemáticamente interesante, con importantes aplicaciones (tal como en fi'sica, véase NME, capítulo 5 especialmente figuras 5.l y 5.2 y también §4.4), pero cuando se utiliza el término «geometri'a» en el lenguaje común (de forma distinta de cuando un matemático o fi'sico teórico podri'a utilizar dicho término), realmente queremos decir la geometn'a común de Euclides. Existe una diferencia, no obstante, en el hecho de que lo que un lógico podri'a llamar «geometría euclidiana» puede especificarse (con ciertas reserva)6 en términos de un sistema formal concreto, mientras que, como Gódel ha demostrado, la «aritmética» común no puede ser especificada de esta forma. Más que demostrar que las matemáticas (y más concretamente la aritmética) es una búsqueda arbitraria, cuya dirección está gobernada por el capricho

l28 I¿as sombras de la mente

del hombre, Gódel demostró que es algo abs

algo a ser descubierto más

que inventado (cf. §1.17). Descubrimos po,r no meros naturales, y no tenemos problemas par de números supernaturales. GÓdel demostró q chas por el hombre» puede, por si' mismo, ha

mismos lo que son los núnguirlos de cualquier tipo gún sistema de reglas «heo por nosotros. Semejante

punto de vista platónico fue importante para

y también será importante

para nosotros en las consideraciones posterio

este libro (§8.7).

Q17. Supongamos que e] s¡stema forma] F matemáticas accesibles en principio a la ment ma de ser ¡ncapaces de incorporar forma]ment en F incorporando en su lugar algo con el s,'g reinterpretación de los significados de los si'

e representar las verdades podemos evitar el probleoposic¡Ón de Gódel G(F) ado de C(F), utilizando una de F?

Existen en realidad maneras de representar a F dentro de un sistema formal F (suficiente significados de los si'mbolos de F sean reinter los significados originalmente asignados a los es realmente hacer trampa si estamos tratando dimiento mediante el que la mente alcanza su deberi'a permitirse que los si'mbolos de F ca camino si las actividades mentales deben inte de F. Si se permite que las actividades mentale operaciones del propio F, a saber, los s,-gn,/,'c los, entonces también necesitamos conocer la detallado de dichos significados. O bien estas

umento de Gódel aplicado extenso), en tanto que los os como algo diferente de los de F. Sin embargo, esto terpretar F como el procelusiones matemáticas. No de significado a mitad de rse solamente en términos engan algo más allá de las ambiantes de dichos si'mbos que gobiernan el cambio s son algo no algori'tmico,

y tenemos el caso de 9, o bien existe algún pro co, en cuyo caso tendríamos que haber incorpo

iento algori'tmico especi'fiste procedimiento en nues-

tro «F» en primer lugar -llamemos a este s la totalidad de nuestras ideas, y no habría cados cambiasen en absoluto. En el último cas toma el lugar de G(D en la exposición ante

a Ft- para que represente necesario que los signifiroposición de GÓdel G(ff) no hemos ganado nada.

Q18. Es posible formu]ar, dentro de iin sistem de Peano, un teorema cuya ¡nterpretación ti

enci]]o como ]a aritmética implicación:

«E válido» implica «

¿No es esto todo lo que necesítamos de] teore capacitar]'a para pasar de una creencia en ]a formal F a una creencia en la verdad de la pro estemos d¡spuestos a aceptar incluso ]a simpl

Es realmente cierto que un teorema7 semej

.

Góde]? Seguramente nos cción de cualqu¡er sistema ón de GÓdel, en tanto que mética de Peano?

uede formularse dentro de no podemos encerrar ade-

Ifi argumentac¡ón gódeliana 129

cuadamente la noción de «validez» o «verdad» dentro de cualquier sistema formal -como se sigue de un famoso teorema de Tarski), lo que uno realmente formula es un resultado más convincente: «E consistente» implica «G(D»;

o alternativamente: «F a,-consistente» implica «í}(D».

Estos tienen ]a ¡mplicación necesaria para Q18 puesto que si F es válido entonces es ciertamente consistente u a,-consistente, según Sea el caso. Con tal de que comprendamos los s,-g#,Jícc,dos del simbolismo utilizado, entonces podemos pasar realmente de una creencia en la validez de F a una creencia en la verdad de G(F). Pero esto ya está aceptado. Si comprendemos los significados, entonces podemos pasar realmente de F a G(F). El problema llega si queremos eliminar la necesidad de reinterpretaciones y dar el paso de E a G(F) aw,oma'',,'come#,e. Si esto fuera pos¡ble, entonces podri'amos automatizar el procedimiento

general de «godélización» y construir un dispositivo algori'tmico que englobe de hecho todo lo que requerimos del teorema de GÓdel. Sin embargo, esto no

puede hacerse; en efecto, si tuviésemos que añadir este supuesto procedimiento algori'tmico a cualquier sistema formal F con el que pudiéramos decidir empezar, obtendri~amos simplemente, de hecho, algún nuevo sistema formal F#, y su

proposición de Gódel G(F#) estaría fuera del ámbito de F#. Siempre queda algún aspecto de la intuición aportada por el teorema de Gódel, independientemente de cuánto de ella ha sido incorporada en un proced¡miento formalizado o algorítmico. Esta «intuición godéliana» requiere una referencia continua a los significados reales de los símt,olos de cualquier sistema al que se esté aplicando el procedimiento de Gódel. En este sentido, el problema con Q18 es muy similar al que apareci'a antes con Q17. El hecho de que la godélización no pueda automatizarse está también i'ntimamente relacionado con la precedente exposición de Q6 y la que sigue de Q19. Hay otro aspecto de Q18 que es digno de considerar. Imaginemos que tenemos un sistema formal correcto ffi que contiene la aritmética de Peano en su interior. El teorema mencionado en Q18 estará entre las implicaciones de ffl, y el ejemplo particular que se aplica al F particular que es el propio H será un teorema de ffl. Asi' pues, podemos decir que una de las implicaciones de ffi es: «m válido» implica «G(ffl)»;

o, más exactamente, que, por ejemplo: «ffi consistente» implica «G(ffl)».

Ahora estas afirmaciones entrañari'an, en términos de sus significados reales, la implicación de que, en efecto, también se está afirmando G(ü). Pues -con respecto a la primera de las dos afirmaciones anteriores- cualquier afirma-

130 IJas sombras de la mente ción que [== hace está condicionada a la suposici

que ü;I es válido en cual-

quier caso; de modo que si ffl afirma algo que es do a su propia validez, podri'a igualmente afirm mación «si yo tengo qué ser crei'do, entonces`X é más sencilla, por parte del mismo hablante, « un sistema formal correcto Ll no puede realmen hecho de que es incapaz de afirmar su propia val mente no puede encerrar los significados de lo Los mismos hechos se ilustran en relación con l anteriores, pero con la ironiía añadida de que mie mar su propia consistencia cuando de hecho es biciones si es inconsistente. ¡Un E=: inconsistent rema», cualquier cosa que puede formular! formular «:É es consistente». ¡Un sistema formal mará su propia consistencia si y sólo si es inc

pli'citamente condicionao directamente. (La afirad» entraña la afirmación erdadero».) Sin embargo, rmar GC::), que refleja el Además, vemos que realbolos con los que opera. unda de las afirmaciones que ffi es incapaz de afirtente, no sufre tales inhide afirmar, como un «teolta que realmente puede cientemente extenso) afirnte!

Q19. ¿Por qué no adoptamos simplemente el pr damente ]a propos¡ción de GódeI G(íFi=) a cua]qu tando actualmente, y permitimos que este proce

miento de añadiT repet¡tema F qi]e estamos acepnto s¡ga índe,nz-dame»/e?

Dado cualquier sistema formal concreto F,

y percibido como válido, podemos percibir cómo axioma, y obtener así un nuevo sistema Fi, que consistencia notacional con lo que sigue, pode Ahora percibimos cómo añadir G(Fi) a Fn obt F2, también percibido válido. Repitiendo el pro tenemos F3, y asi' sucesivamente. Ahora, con ri'amos ser capaces de ver cómo construir aún axiomas nos permiten incorporar exactamen

s suficientemente extenso

ir G(D a F como un nuevo ién se percibe válido. (Por mbién escribir Fo por F.) do asi' un nuevo sistema añadiendo G(,F2) a F2, obun poco de trabajo, debesistema formal Ea, cuyos conjunto infinito en,e,o

{G(Fo), G(=i), G(f2), G(F3), ...) como axioma

ionales para E. Este siste-

ma E® también será evidentemente válido. Pod

continuar el proceso, aña-

diendo G(F®) a F® para obtener F®+n y luego a ner F®+2, y asi' sucesivamente. Luego, com conjunto infinito ,o,a/ de axiomas, para obtene una vez más evidentemente válido. Añadiendo G

G(F®+i) a éste para obtes, podemos incorporar el ra F¢`2 (= Fa,+®), que es , obtenemos ahora F¢2+p

y asi' sucesivamente, y podemos de nuevo inco

r el conjunto infinito para

obtener Fcu3 = Fu2+¢. Repitiendo el proceso e más, podemos obtener FaA y luego, repitiendo d

hasta este punto, una vez o, F®5 y así sucesivamen-

te. Con sólo algo más de trabajo, deberi'amos se

ces de ver cómo incorpo-

rar es,e conjunto entero de nuevos axiomas (G G(FaA), ...) para formar un sistema F®: (= Fc entero una vez más, obtenemos un nuevo sistem

G(FÚ.), G(Fu2), G(F®3), ora, repitiendo el proceso +ú, luego Fri+a*+®2, etc.,

que, cuando vemos cómo combinar ,odas estas

s (con algún trabajo más), ,n que también debe ser

ln argumentación gódeliana

131

Aquellos lectores que estén familiarizados con la notación para los números ord,-#a/es de Cantor reconocerán los sufijos que he estado utilizando aqui' como los que denotan tales números ordinales. Aquellos que no estén familiarizados con estas cosas no necesitan molestarse con los significados precisos de estos si'mbolos. Baste decir que este procedimiento de «gódelización» puede ser continuado incluso más lejos -llegamos a sistemas denotados por Fd, Faft ..., y luego esto conduce a un sistema incluso más incluyente F.., y el proceso continúa hasta ordinales aún mayores, tales como a,CL`-, etc. -en tanto que podamos ver, en cada paso, cómo sistematizar el conjunto entero de gÓdelizaciones que hemos conseguido hasta ese punto. Esto, de hecho, es el quid de la cuestión.' lo que aquí se ha descrito como «con sólo un poco más de trabajo» requiere las intuiciones adecuadas sobre cómo sistematizar realmente las gódelizaciones previas. Es posible conseguir esta sistematización, con tal de que la etapa (ordinal) que ha sido alcanzada ahora sea etiquetada mediante lo que se denomina un ordinal n¬cw,s,'vo, que significa, en efecto. que existe un algoritmo de algún tipo para generar el procedimiento. Sin embargo, no existe nin-

gún procedimiento algori'tmico que uno pueda establecer por adelantado y que nos permita hacer esta sistematización para todos los ordinales recursivos de una vez por todas. Debemos continuar utilizando nuestra intuición. El procedimiento anterior fue propuesto por primera vez por Alan Turing en su tesis doctoral (y publicado en Turing, l939):8 él probó que existe un sentido en el que cwa/g#,®e, Ili-sentencia verdadera puede ser demostrada mediante una gódelización repetida del tipo aqui' descrito. (Véase Feferman, l988.) Sin embargo, esto no nos proporciona un procedimiento mecánico para establecer la verdad de lli-sentencias, por la misma razón de que uno no puede sistematizar mecánicamente la gódelización. De hecho podemos cJedwc,-, que la gódelización no puede hacerse mecánica precisamente a partir del resultado de Turing. Pues en efecto, hemos establecido ya (efectivamente en §2.5) que la estimación general de la verdad, o lo que sea, de las lli-sentencias no puede ser decidida mediante #,'#gw'# procedimiento algori'tmico. Asi' pues, la gódelización repetida no nos permite conseguir algo en forma de un procedimiento sistemático que esté fuera de las consideraciones computacionales en las que nos hemos ocupado hasta ahora. Así pues, Q19 no supone ninguna amenaza para 9. Q20. Seguramente el valor real de la comprensión matemática no es que nos capacite pam conseguir cosas no computables, s¡no que nos capacita para reemI]lazar computaciones enormemente complicadas por ¡ntuiciones re]at¡vamente simp]es. En otras palabras, ¿no seTá el caso de qüe la mente nos permite tomar atajos con respecto a la teori'a de la complejidad antes que saltar más allá de los li'mites de ]o que es computable?

Estoy bastante dispuesto a creer que en la práctica las intuiciones de un matemático están comprometidas con mucha más frecuencia en rodear la complejidad computacional más que en la no computabilidad. Después de todo, los matemáticos tienden a ser personas intri'nsecamente perezosas, y a menudo es-

132

Las sombras de la mente

tán tratando de encontrar formas de evitar la co de que esto muy bien puede llevarles a un traba más difícil que la propia computación!). A men tos por hacer que los ordenadores produzcan e teoremas de sistemas formales sólo moderadam damente a que los ordenadores se enreden en un virtualmente sin esperanza, mientras que, arma significados subyacentes en las reglas del sistem drá pocos problemas en derivar muchos resul

ión (¡a pesar del hecho ntal considerablemente da el caso de que inteninconscientemente los mplicados llevará rápiplejidad computacional una comprensión de los atemático humano teninteresantes dentro del

sistema.9

La razón de que me haya concentrado en la

putabilidad, en mis ar-

gumentos, más que en la complejidad, es simpl he sido capaz -de ver cómo formular los necesari ocurrir perfectamente que en las vidas en activo cos, las cuestiones de no compatibilidad juegan

que sólo con la primera nciados fuertes. Podri'a ayori'a de los matemátihacen, sólo un papel muy

pequeño. Pero éste no es el tema en cuestión. que la comprensión (matemática) es algo que es y el argumento de GÓdel(-Turing) es uno de los sobre esta cuestión. Es bastante probable que nu siones matemáticas se utilicen a menudo para co también podrían conseguirse computacionalm ción ciega sin mucha intuición podri'a resultar se tible (cf. §3.26). Sin embargo, estas cuestiones so dar que la cuestión de la no computabilidad. En cualquier caso, por verdaderos que pueda dos en Q20, esto no contradice g de ningún

y tratando de demostrar allá de la computación, garraderos que tenemos intuiciones y comprenr cosas que en principio ero donde la computaneficaz que es poco facho más dificiles de abor-

os sentimientos expresa-

Apéndice A Una máquina de Turing gódelizante expli'cita

upongamos que se nos da un procedimiento algori'tmico á del que sabe-

S mos que asegura correctamente que ciertas computaciones no terminan nunca. Daré ún procedimiento completamente expli'cito para construir, a partir de J4, una computación particular C en la que á falla; pese a todo, seremos capaces de ver que C realmente mo termina. Tomando esta expresión explícita para C, podemos examinar su grado de complicación y compararlo con el de J4, como se necesita para los argumentos de §2.6 (cf. Q8) y §3.20. Por precisión, emplearé las especificaciones de máquina de Turing particulares que di en NME. Para los detalles completos de dichas especificaciones, se remite al lector a dicho libro. Aquí daré simplemente una mi'nima descrip-

ción que será oportuna para nuestros propósitos presentes. Una máquina de Turing tiene un número finito de estados internos pero actúa sobre una cinta infinita. La cinta consiste en una sucesión lineal de «casillas», donde cada casilla puede estar marcada o no marcada, habiendo un número total finito de marcas sobre toda la cinta. Denotemos cada casilla marcada por el símbolo l y cada casilla no marcada por O. Hay un dispositivo de lectura que examina una marca cada vez y, dependiendo explícitamente del estado interno de la máquina de Turing y de la naturaleza de la marca que está siendo examinada, se determinan tres cosas a continuación: (i) si la marca en la casilla que está siendo examinada va a ser alterada o dejada como está, (ii) cuál va a ser el nuevo estado interno de la máquina, y (iii) si el dispositivo va a moverse un paso a lo largo de la cinta hacia la derecha (denotado por D) o hacia la izquierda (denotado por I) o un paso a la derecha tras lo cual la máquina se detiene (denotado por STOP). Cuando la máquina llega eventualmente a detenerse, la respuesta a la computación que ha estado realizando se muestra como la sucesión de O y l a la izquierda del dispositivo de lectura. Inicialmente, debe considerarse que la cinta está completamente en blanco excepto por las marcas

que definen los datos especi'ficos (proporcionados por una cadena finita de l y O) sobre los que la máquina va a realizar sus operaciones. El dispositivo de lectura se considera inicialmente a la izquierda de todas las marcas. Al representar números naturales en la cinta, ya sea en los datos del ,'npt,, o en la salida, puede ser útil utilizar la notación b,-nc,,,'ar c*pc,mcJ,'da, según la

134 Las sombras de la mente

cual el número se escribe, efectivamente, en la donde el di'gito binario «l» se escribe como 10, y be O. Asi' pues, tenemos eql siguiente esquéma pa` en la notación binaria expandida:

la binaria ordinaria, pero 'gito binario «0» se escriducir números ordinarios

0-O l -1O

2-100 3-1010

4-1000 5-1OO10

6-10100 7 - 1OIO10

8 -10000 9 - 100010 10 - 100100 ll -1001010 12 - 101OOO

l3 - 1010010 14 - 1O10100 15 - 1O10101O

l6 - 10000O l7 - 100OO10 etc.

Observemos que en la notación binaria expandid cutivos. Asi' pues, podemos señalar el principio un número natural mediante una sucesión de dos utilizar las secuencias 110,1110,111110, etc.

nca se dan dos l consel de la especificación de ás 1. Luego, podemos la cinta, para denotar va-

rios tipos de instrucciones.

También podemos utilizar las marcas en la cin de Turing particulares. Esto es necesario cuando c máquina de Turing wn,'versa/ C/. La máquina uni cuya porción inicial proporciona la especificació na de Turing particular dada r a la que la máquin Los datos sobre los que se supone que 7` está act en U a la derecha de la porción que determina la la máquina r, podemos utilizar las secuencias tar, respectivamente, las diversas instrucciones p 7i a saber, para que se mueva a lo largo de la ci un paso hacia la izquierda, o se detenga después derecha:

D-110 I-1110

ra especificar máquinas eramos la acción de una l C/actúa sobre una cinta allada de alguna máquiversal tiene que imitar. se introducen entonces ina r. Para especificar 11O, 11110 para denodispositivo de lectura de n paso hacia la derecha, overse un paso hacia la

Apéndice A: Una máqu¡na de Tluring l35

Precediendo inmediatamente a cada instrucción semejante habría o bien un si'mbolo O o la secuencia 10, para indicar que el dispositivo de lectura tiene que marcar la cinta con O o l , respectivamente, en sustitución de cualquier si'mbolo que acabe de leerse. Precediendo inmediatamente a los mencionados O o 10 estaría la expresión binaria expandida del número del estado interno en el que la máquina de Turing va a colocarse a continuación, según esta misma instru¢ción. (Notemos que los estados internos, al ser finitos en número, pueden etiquetarse mediante números naturales consecutivos O, l, 2, 3. 4, 5, 6, ..., N. En la codificación de la cinta, la notación binaria expandida se utilizaría para denotar estos números.) La instrucción particular a la que se refiere esta operación estaría determinada por el estado interno de la máquina inmediatamente anterior a su lectura de la cinta, junto con el si'mbolo O o l que el dispositivo de lectura va a leer y quizá alterar. Por ejemplo, como parte de la especificación de r, podri'a haber alguna instrucción 230 + l71D, que significa: «si restá en el estado interno 23 y el dispositivo de lectura encuentra O en la cinta, entonces reemplazarlo

por l, ir al estado interno l7 y moverse un paso a la derecha a lo largo de la cinta». En este caso, la parte «l71D» de la instrucción seri'a codificada como 1000OIO10110. Dividiendo esto en ia forma 10OOO10.1O.11O, vemos que la primera porción es la forma binaria expandida de l7, la segunda codifica el marcado de l en la cinta, y la tercera porción codifica la instrucción «moverse hacia la derecha». ¿Cómo especificamos el estado intemo anterior (aqui' el estado interno 23) y la marca de la cinta que se está examinando (aquí O)? Si quisiéramos, podri'amos también dar exp1ícitamente éstas en términos de sus números binarios expandidos. Sin embargo, esto no es realmente necesario, puesto que la ordenación numérica de las distintas instrucciones bastará para ello (i.e.. la ordenación OO +, 01 +, lO +, l1 +, 20 +, 21 +, 3O. ...). Esto nos proporciona esencialmente la codificación de máquinas de Turing dada en NME, pero por compleción deberi'an mencionarse algunos puntos adicionales. En primer lugar, tenemos que asegurar que existe una instrucción proporcionada por cada uno de los estados internos. actuando sobre O y sobre 1 (salvo que no siempre sea necesaria una instrucción para el estado interno de número más alto actuando sobre 1). Donde nunca se haga un uso de una instrucción semejante en el programa, debe insertarse una instrucción «muda». Por ejemplo, una instrucción muda semejante podría ser 231 + 00D, si se da el caso de que el estado interno 23 nunca tenga que encontrar la marca l en la ejecución del programa. En la especificación codificada de una máquina de Turing en la cinta, según las prescripciones anteriores, el par OO estaría representado por la secuencia OO, pero uno puede economizar y utilizar un solo O, sin ambigüedad, para separar las secuencias de (más de un) 1 en cada lado.* La máquina de Turing *

Esto significa que en la codificación de una máquina de Turing. cada aparición de la se-

cuencia ...11OO11... puede reemplazarse por ...11O11... Existen quincc lugares en la especificación de la máquina de Turing universal que di en NME (cf. nota final 7 dcl capi'tulo 2) donde

omití hacer esto. Esto me irrita mucho, porque me tomé cons¡derables molestias, dentro de las li-

l36 Las sombras de la mente debe comenzar su operación en el estadó interno O, y el dispositivo de se mueve a lo largo de la cinta manteniendo este estado interno hasta q cuentra su primer 1. Esto se consigue suponiendo que la operación OO es siempre parte de las instrucciones de una máquina de Turing. Asi' p la especificación real de una máquina de TuriI}g como una sucesión de l , no es necesario dar está instrucción expli'ci-tahente; en lugar de ello, zamos con O1 + X, donde X denota la primera operación no trivial de

a

n e-

quina que se pone en acción, es decir, cuando se encuentra el primer cinta. Esto sugiere borrar la secuencia inicial 110 (que denota + 00 de otro modo ocurriría siempre en la secuencia que especifica una m de Turing. Además, también borraremos siempre la secuencia final 110 cha especificación, puesto que ésta es también común a todas las máqui Turing. La secuencia resultante de di'gitos O y l proporciona la codificación b

la

(común, i.e. no expandida) de la mo'gw,-nc, de rwr,'ng m'mGro # para la en cuestión (como se daba en NME, capi'tulo 2). Llamaremos a ésta la # máquina de Turing, y escribimos r = 7-n. Cada número binario se cuando se añade al final la secuencia 110, es una secuencia de O y l

ina a e, s

que nunca hay más de cuatro l sucesivos. Un número n para el que no se pla esto dari'a una «máquina de Turing inútil» que dejari'a de operar en mento en que se encuentre la «instrucción» que incluye más de cuatro dice que una «rfi» semejante #o es,c,' comec,armcn,¬ espec,/,'ca'da. S ra, por de/,'n,'c,'o-#, que su acción sobre cwo/gw,'e, cinta es interm¡nab

idenálo-

e

gamente, si la acción de una máquina de Turing encuentra una instrucci entrar en un estado especificado por un número que es mayor que cual

a

para el que realmente existen listadas instrucciones adicionales, entonc bién se quedará «bloqueada»; se considerari'a que es «inútil», y su acció bién cuenta como interminable. (Seri'a posible eliminar estas cuestiones

-

plicadas sin mucha dificultad mediante el uso de diversos dispositivos, p hay necesidad real de hacer esto; cf. §2.6, Q4.) Para ver cómo construir, a partir del algoritmo dado ,4, la requeri

o

putación expli'cita interminable en la que A debe fallar, necesitaremos s que .4 está dado como una máquina de Turing. Esta máquina actúa sob cinta codificando dos números naturales p y g. Debe suponerse que si la

r

-

putación J4®, g) termina, entonces la acción de la computación rp sobr mero g nunca termina. Recuérdese que si rp no está correctamente espe da, entonces debemos considerar que su acción sobre g no termina cual

úa

que pueda ser g. Para un p semejante «no permitido», cualquier resulta J4(p, g) sería consistente con nuestras hipótesis. En consecuencia, yo sól

a o

mitaciones de las plcscripciones que habi'a dado, para conseguir un número para la máqu versal ',o más pequeño que pudiera lograr razonablemente. Hacer las simples sustitucion c¡tadas proporciona un número ¡más de 30.OOO veces menor que el que yo di! Estoy agr a Stevc`n Gunhouse por señalarme este descuido, y también por comprobar indcpendientem la especificación, tal como estaba impresa, p,oporc,'om en efecto una máquina de Turing

is

-

e sal.

Apéndice A: Una máquina de Tluring 137

que interesarme en números p para los que rp está correctamente especificada. Asi' pues, la expresión binaria para el númerop, tal como está representado en una cinta, no puede contener ninguna secuencia ... 11111... Esto nos permite utilizar la secuencia especi'fica 1 1 1 11 para marcar el comienzo y el final del número p, tal como se representa en la cinta. Sin embargo, también se nos exíge hacer lo mismo para g, que no necesita estar restringido a ser un número de este tipo. Esto nos presenta una complicación técnica, para las prescripciones de máquina de Turing tal como las he dado, y será conveniente evitarla usando el artificio de tomar los números p y g como escritos efectivamente en la escala gw,'nar,-¢. (Ésta es la escala en la que «lO» denota el número c,'#co, «100» denota ve,'n,,-c,'nco, «44» denota ve,-n,J-cwc,,,o, etc.) Pero más que emplear los di'gitos quinarios O, l, 2, 3 y 4, utilizaré las respectivas secuencias de cinta O,10,11O,1110 y 11110. Así pues:

O l

2 3

4

está representado por la secuencia

O

)}

10

)l

110 1110 11110

}}

>}

}}

100

6

?}

1010

7

})

1O11O

}}

101110 1011110

5

8

9 10

)>

l)

12 13

14 15

16

11OO

}>

11010

))

11O110 11O1110 11011110

11

}>

)}

l)

11100

>>

111010

:l,;=,-: >)

1000

>}

1001O

La notación «Cp» se utilizará aqui' para la máquina de Turing r, correctamente especificada, donde r es el número cuya expresión binaria común, junto con la secuencia 110 añadida al final, es precisamente la expresión quinaria para p, como en la descripción dada antes. El número g, sobre el que actúa la computación Cp, debe expresarse también en la notación quinaria. La computación AÚ, g) va a describirse como una máquina de Turing que actúa sobre una cinta que codifica el par de números p, g. Esta codificación en dicha cinta debe tomarse como sigue:

l38 IAs sombras de la mente ...oo111110p111110q1111

donde p y q son las respectivas notaciones quina Lo que exigimos es encontrar un p y un q para no termina, pero para los que 4¢, g) tampoco te §2.5 consigue esto al encontrar un número k para # es precisamente A(n, #), y haciendo luego p expli'citamente, buscamos una prescripción de m cuya acción sobre una cinta marcada:

O...,

para p y g, como antes. que sabemos que Cp(g) a. El procedimiento de ue CA actuando sobre k. Para conseguir esto na de Turing K( = C'k)

...oo11111On1111100

(siendo n la expresión quinaria para #) es precisa de A sobre: ...oo111110n11111On111

la misma que la acción

O...,

para cada n. Así pues, lo que K tiene que hacer e en notación quinaria) y copiarlo una vez, donde las dos ocurrencias de n (y una secuencia similar total de marcas en la cinta). Posteriormente, ti resultante precisamente de la misma forma en q dicha cinta. Una modificación expli'cita de 4 que proporci

ar el número n (escrito ecuencia 111110 separa a y termina la secuencia ue actuar sobre la cinta ubiera actuado A sobre

gue de la siguiente forma. Primero, encontramo X en la especificación de A y tomamos nota de Sustituimos esto por la «X» en la especificación nico, debemos suponer también que A está expr se vuelve a entrar realmente en el estado interno cutado la instrucción O1 + X. No hay ninguna r tir que 4 tenga esta forma.* (Es perfectamente co trucciones mudas, pero no en otra parte.) A continuación, debe averiguarse el número la especificación de A (incluyendo el estado O, d de un estado interno de 4 sea N - 1). Si la espe una instrucción final de la forma (N - l)1 + Y instrucción muda (JV - 1)1 + OOD al fina1. Fin de la especificación de J4 y añadimos a esta espe

instrucción inicial O1 + es realmente esta «X». abajo. Como punto téco de tal forma que nunca 4 una vez que se ha ejeción implicada en insiso que O se utilice en ins-

*

I)e hecho, una de las propuestas originales de Turin

n,'a cuando quiera que volvi'a a entrar en el estado interno « intemo. De estc modo, no sólo sería innecesaria la restricció se de la instrucción STOP. Con esto podri'a conseguirse una ri'a necesaria como instrucción, y podri'a ser utilizada como

n K semejante se consi-

# de estados internos en do que el número m?yor ación de A no contiene onces debe añadirse una nte, eliminamos O1 + X ción las instrucciones de isti'a en que la máquina se de,e-

ocedente de algún otro estado rior, sino que podría prcscindiríficación porque 1111O no seador, en lugar de 111110. Esto istema de numeración cuaterna-

Apéndice A.' Una máquina de Turing l39

máquína de Turing de la lista inferior, donde cada número de estado interno que aparece en la lista debe ser incrementado en N, ¢ representa el estado interno resultante O, y donde la «X» en «l 1 + X» más abajo es la instrucción de la que hemos tomado nota más arriba. (En particular, las dos primeras instrucciones de abajo se convertiri'an en O1 + NID, ^® + (N + 4)OD.)

¢1 +01D,OO+40D,01 +01D,lO+21D,l1 +X,20+31D, 21 +¢OD,30+ 551D,31 -¢OD,40+40D,41 +51D,50+4OD, 51 +61D, 60+40D,61 +71D,70+40D,71-81D,80+40D, 81 +91D, 90+ lOOD,91 +¢OD,lOO+ lllD,lO1 +¢01 +¢OD, llO + l21D, ll1 + l20D, l2O + l31D, l21 + l30D, l30 + l41D, l31 + l40D, l40+ 151D, l41 -lOD, l50+00D, l51 +¢OD, i60 + i70I, i61 + i61I, i70 + i70I, i71 + i81I, i80 + i70I, i81 + i91I, i90 + i70I, i91 + 201I, 200 + i70I, 201 + 2ill, 2iO + i7OI, 2i1 + 221I, 220 + 220I, 221 + 231I, 230 + 220I, 231 + 241I, 240 + 220I 241 + 251I, 250 + 22OI, 251 + 261I, 26O 281 310 331

+ + + +

220I, 291I, 330D, 331D,

261 + 271I, 290 + 330D, 311 + llOD, 340 + 360D,

27O + 321D, 271 291 + 301I, 30O 320 + 340I, 321 341 + 34OD, 350

+ + + +

281I, 330D, 321D, 371D,

280 301 330 351

+ + + +

33OD, 311I, 35OI, 350D,

360 - 360D, 361 - 381D, 370 - 370D, 371 -391D, 380 - 360D, 381 + 401D, 39O + 370D, 391 + 411D, 400 + 360D, 401 + 421D, 410 + 370D, 411 + 431D, 420 + 360D, 421 + 441D, 430 + 370D, 431 + 451D, 440 + 360D, 441 + 461D, 45O + 370D, 451 + 471D,

460 - 480D, 461 - 461D, 470 - 490D, 471 - 471D, 480 - 480D, 481 + 490D, 490 + 481D, 491 + 501D, 500 + 481D, 501 + 511D, 510 + 481D, 511 + 521D, 520 + 481D, 521 + 531D, 530 + 541D, 531 + 531D, 540 + l60I, 541 + ¢OD, 550 + 531D. Ahora estamos en posición de dar un li'mite preciso para el tamaño de K, tal como se obtiene por la construcción anterior, en función del tamaño de J4. Midamos este «tamaño» como el «grado de complícación», definido en §2.6 (final de la respuesta a Q8). Para una máquina de Turing concreta rm (tal como A), éste es el número de dígitos en la representación binaria del número m. Para una acc,'o~# de una máquina de Turing concreta rm(#) (tal como Á), éste es el número de di'gitos binarios en el mayor de m y #. Sean a y J¢, respectivamente, los números de di'gitos binarios en a y k', donde

A--Ta y

K~-Tk'(--Ck),

Puesto que J4 tiene al menos 2N - l instrucciones (con la primera instrucción omitida), y puesto que cada instrucción tiene al menos tres di'gitos binarios en su especificación binaria, el número total de di'gitos binarios en su número a' de máquina de Turing debe satisfacer ciertamente

a>_6N-6

l40 IJas sombras de la merite Existen 105 lugares (a la derecha de las flecháé) de instrucciones para K donde debe sumarse el nú aparece. Los números resultantes son todos menore tienen representaciones binarias expandidas con no

lista adicional anterior N al número que alli' N + 55 y por lo tanto de 2 log2(N + 55) dí-

gitos cada una, dando un total de menos de 210 lo para la especificación extra de estados internos. D gitos necesarios para los si'mbolos extra O,1, D y (incluyendo una posible instrucción «muda» adic que puedcn eliminarse seis de los O según la regla sentarse como O), de modo que podemos estar s ción de K requiere menos de 527 + 210 log2(N +

+ 55) di'gitos binarios os sumar a esto los di'e equivalen a otros 527 l, y teniendo en cuenta a que OO puede repres de que la especificai'gitos más que requiere

ladeJ4: K < c¥+ 527+ 210lOg2(N

Utilizando la relación c¥ = 6N - 6 obtenida arriba

)

ontramos (notando que

210 log26 > 542) K

<

C¥-l5 +210lOg2(C¥

)

Ahora, encontremos el grado de complicació cular Ct(k) que proporciona este procedimiento. complicación de rm(m) se definió como el número yor de los dos números m, #. En la situación pre modo que el número de di'gitos binarios en la «m

e la computación partidemos que el grado de gitos binarios en el ma, tenemos C* = rk,, de ra esta computación es

precisamente k. Para ver cuántos dígitos binarios h putación, examinamos la cinta que está implicada za por la secuencia 11111O, que va inmediatame binaria para k' , y luego terminada por la secuenc ciones de NME requieren que esta secuencia ente borrado, se lea como un número binario para que mera la cinta en la computación rm(n). De aquí r

n la «#» para esta comk(A). Esta cinta empieeguida por la expresión 1O11111. Las convenro con el último di'gito ngamos el «#» que nua que el número de di'-

gitos binarios en este «#» particular es precisament sigue que K + 13 es también el grado de complic

+ 13, de modo que se q de CA(k), de donde

q = K + l3 < c¥ -2 + 210log2(c¥ + 336), de simple

esesiguelaexpresiónmás

7] < C¥ + 210 log2(C¥ + 3

Los detalles especi'ficos del argumento anterior d¡ficaciones concretas para máquinas de Turing q algo diferentes en alguna otra codificación. La pro

aracteri'sticos de las cohan adoptado, y seri'an dea básica es muy sim-

ple. De hecho, si se hubiera adoptado el formalis

el ca''/c't,/o \ entonces la ntido casi a una trivialidescripción suficiente-

Apéndice A: Una máqu¡na de Turing 141

mente adecuada del cálculo ^ de Church; véase también Church, l94l .) Podemos considerar que á está definido mediante un operador A del cálculo \, que actúa sobre otros operadores P y Q, como queda expresado por la operación (AP)Q. Aqui' P representa la computación Cp, y Q representa el número g. Entonces el requisito para A es que, para todo P, Q, semejante, se satisface lo siguiente.

Si (AP)Q termina, entonces PQ no termina.

Podemos construir fácilmente una operación del cálculo \ que no termina, pero para la que A no puede asegurar este hecho. Esto se consigue tomando

K -k.[(Ax)x] de modo que KY = (AY)Y para todos los operadores Y. Entonces consideramos la operación del cálculo ^ KK.

Ésta claramente no termina, porque KK = (AK)K, cuya terminación implicari'a que KK no termina, por la naturaleza supuesta de A. Además A no puede asegurar este hecho porque (AK)K no termina. Si crcemos que A tiene su propiedad requerida, entonces también debemos c,ce, que KK no termina. Nótese que hay una economi'a considerable en este procedimiento. Si escribimos KK en la forma KK = \y.[yy]OJt.[(Ax)x]).

¡Entonces vemos que el número de si'mbolos en KK supera simplemente en l6 al número de si'mbolos en A (ignorando los puntos, que son redundantes, en cualquier caso)! Estrictamente hablando, esto no es completamente legi'timo, porque el si'm-

bolo «x» podría también aparecer en la expresión para A, y habri'a que adoptar algún medio para tratar este hecho. Asimismo, uno podri'a percibir una dificultad en el hecho de que la computación inteminable que este procedimiento genera no es algo que aparezca como una operación sobre números naturales (puesto que la segunda K en KK no es un «número»). De hecho, el cálculo \ no es adecuado para tratar operaciones numéricas expli'citas, y a menudo no es fácil ver cómo un procedimiento algorítmico dado aplicado a los números naturales puede ser expresado como una operación del cálculo ^. Por razones como éstas, la discusión en términos de máquinas de Turing tiene en nuestras exposiciones una mayor relevancia directa y consigue más claramente lo que se requiere.

La argumentación de la no en el pensamiento m

mputabilidad mático

n el capi'tulo 2, he tratado de mostrar al l argumento 3.1. subyacente ¿Quéenpensaban la afirmación Góde (d

la potencia y el rigor del da uring? por §) de que la com-

prensión matemática no puede ser el resultado d lentemente, algoritmos; cf. Q1) conscientemente do. Estos argumentos no abordan la posibilida

gún algoritmo (o, equivaiado y absolutamente creís seria -de acwendo con

E

9- de que la creencia matemática pudiera ser

sultado de un algoritmo

inconsciente desconocido, o pos¡blemente de un

ritmo cognoscible pero del

que no puede saberse -o creerse fimemente- que matemática. Mi propósito en este capi'tulo es de

subyacente en la creencia trar que, aunque estas son

posibilidades lógicas, no son en absoluto plau Deberi'a señalar en primer lugar que cuando minuciosas cadenas de razonamiento consciente temáticas, no p,-ensc,n que estén siguiendo cieg son incapaces de conocer y de creer. Ellos piens

.

mentos en lo que son verdades incuestionables «obvias»-y que están construyendo sus cadenas camente de tales verdades. Y aunque estas caden dinariamente largas, difíciles o conceptualment principio y de rai'z, incuestionable, firmemente ble. No tienden a pensar que estén actuando en r procedimientos completamente diferentes, desc zá «entre bastidores», guían sus creencias de Por supuesto, podri'an equivocarse en esto. cedimiento algori'tmico que, desconocido para cepciones matemáticas. Para alguien que no sea más fácil tomar en serio esta posibilidad de lo los matemáticos profesionales. En este capítulo de que estos matemáticos profesionales tienen ra pondiendo meramente a un algoritmo desconoc

atemáticos elaboran sus establecer verdades mate reglas inconscientes que e están basando sus argudefinitiva, esencialmente azonamiento a partir úniuedan a veces ser extraoriles, el razonamiento es, en 'do y lógicamente impecaad de acuerdo con ciertos idos o no crei'dos que, quiras incognoscibles. á existe realmente un pros, gobierna todas sus permático es probablemente lo es para la mayoría de ré de convencer al lector l pensar que no están res-

e incognoscible) -ni a un bien suceder que sus ideas

La argumentación de la no computabilidad 143 y creencias estén realmente guiadas por algunos principios inconscientes desconocidos; pero yo argumentaré que si esto es asi', entonces estos principios son cosas que no pueden describirse en términos algori'tmicos. Resulta instructivo considerar los puntos de vista de dos destacadas figuras de las matemáticas que son esencialmente las responsables del mismo argumento

que nos ha llevado a nuestra conclusión §. ¿Qué pensaba realmente Gódel? ¿Qué pensaba Turing? Es curioso que, enfrentados a la misma evidencia matemática, llegaron a conclusiones básicamente opuestas. Deberi'a quedar claro, sin embargo, que estos dos pensadores sobresalientes expresaban puntos de vista en acuerdo con la conclusión §. Parece que el punto de vista de Gódel era cl de que la mente no está limitada por el hecho de ser una entidad computacional, y ni siquiera está limitada por la finitud del cerebro. En realidad, reprochaba a Turing el no aceptar esto como una posibil¡dad. Según Hao Wang (1974, p. 326; cf. también GÓdel, l990, Co//cc,cd Fyorks, vol. II, p. 297), aunque aceptaba las dos afirmaciones implícitas de Turing de que «el cerebro funciona básicamente como un ordenador digital» y que «las leyes fisicas, en sus consecuencias observables, tienen un li'mite de precisión finito», GÓdel rechazaba la otra afirmación de Turing de que «no hay mente separada de la materia», calificándola como «un prejuicio de nuestro tiempo». Asi' pues, Gódel parece haber considerado como evidente que el cerebro /K,®co propiamente dicho debe comportarse computacionalmente, pero que la mente es algo que transciende el cerebro, de modo que la acción de la mente no está limitada a comportarse de acuerdo con las leyes computacionales que él crei'a que deben controlar el comportamiento de los cerebros fi'sicos. No consideraba g como una demosmrc,-oJ# de su punto de vista de que la mente actúa no computacionalmente, pues él reconoci'al que: Por el contrario, sobre la base de lo que se ha probado hasta ahora, sigue siendo posible que exista (e incluso sea empi'ricamente descubrible) una máquina de demostrar teoremas que de hecho sea equivalen'e a la intuición matemática, pero no puede demos,rt,rse que sea asi', ni siquiera puede demostrarse que produzca sólo teoremas co,fif,c,os de la teoría de números finitista.

Deberi'a quedar claro que esto es consistente con `ina creencia en § (y no tengo ninguna duda de que Gódel era perfectamente consciente de alguna conclusión precisa tal como la que yo he enunciado como «9»). É1 admiti'a laposJ'bJ-/,-dad lógica de que las mentes de los matemáticos humanos pudiesen actuar siguiendo algún algoritmo del que no eran conscientes, o quizá podri'an ser conscientes del mismo con tal de que no pudieran estar incuestionablemente convencidos de su validez («... no puede dcmos,rt,,se ... que produzcan sólo teoremas cor#c,os ..,»). Un algoritmo semejante queda bajo la categoría de «incognosciblemente válido» en mi propia terminologi'a. Por supuesto, hubiera sido una cuestión muy diferente cnecr realmente que tal algoritmo incognosciblemente válido pudiera subyacer nec,/mcm,c en las acciones de la mente de un matemático. Parece que Gódel no lo crei'a y se vio aparentemente llevado en la dirección

144 IJas sombras de la mente

mi'stica que yo he designado por O -que la me

uede explicarse de nin-

guna manera en términos de la ciencia del mu Por el contrario, Turing parece haber recha ca, creyendo (como lo haci'a Gódel) que el cer objeto fi'sico, debe actuar de una forma comput Turing», §l.6). Asi' pues, él teni'a que encontrar mentación proporcionada, en efecto, por 9. Tu hecho de que los matemáticos humanos son ca mentaba que para que un ordenador sea capaz d también debe permiti'rsele el cometer errores:2

sico. mejante posición mi'stiico, como cualquier otro l (recuérdese la «tesis de otro camino para la arguizo una gran cuestión del e cometer errores; arguenuinamente inteligente,

En otras palabras, si se espera que una máqu b¡én inteligente. Existen varios teoremas que estos teoremas no dicen nada sobre cuánta inte máquina no pretende ser infalible.

infalible, no puede ser tamasi exactamente esto. Pero a puede ser mostrada si una

Los «teoremas» que teni'a en mente son induda

nte el teorema de GÓdel

y otros relacionados con él, tal como su propi teorema de GÓdel. Asi' pues, parece que él del pensamiento matemático humano como al

ón «computacional» del siderado la imprecisión cial, permitiendo que la

(supuesta) acción algori'tmica imprecisa de la mayor que la que seri'a alcanzable por medio d rítmico completamente válido. En consecuenci conclusiones del argumento de GÓdel: el algorit camente no válido, y ciertamente no seri'a «cog el punto de vista de Turing sería consistente c biera estado de acuerdo con el punto de vista Como parte de la exposición siguiente, voy chazar que la «no validez» en un algoritmo de

roporcione una potencia uier procedimiento algorió un modo de evitar las l matemático seri'a técniemente válido». Así pues, parece probable que hu-

plicación ,ea'/ de lo que está pasando en la me cualquier caso, cierta inverosimilitud intri'nse a la mente superior a un ordenador preciso es l

l matemático. Existe, en a idea de que lo que hace recisión de la mente -es-

pecialmente cuando estamos interesados, com temáti\co pa,[apercibir la verdad matemática inc

', en la capacidad del maable, más que erL\aL or-i-

ginalidad o la creatividad matemática. Es un he de estos dos grandes pensadores, GÓdel y Turi raciones tales como §, a lo que muchos podri' de algún modo inverosi'mil. Es interesante espe llevados en esta dirección si hubieran estado e mente la posibilidad de que la acción fi'sica pu ces no computable -de acuerdo con el punto d do aqul,.

rprendente que cada uno iese llevado, por considesiderar un punto de vista obre si se hubieran visto ión de contemplar serian su rai'z, ser algunas veC que estoy proponien-

En las secciones que siguen (concretamente

ntar mis razones para reemático pueda ser la ex-

3.22) daré algunos argue complicados, confusos putacional G o bien el @

IA argumentac¡ón de la no computabilidad 145

como modelos que proporcionan una base plausible para la comprensión matemática. Mi recomendación para el lector que no necesita ser persuadido -o a quien le asustan los detalles- es que lea hasta donde le apetezca, pero luego, cuando empiece a sentir tedio, pase directamente al diálogo imaginario de resumen de §3.23. Vuelva al argumento principal sólo cuando así lo desee.

3.2. ¿Podría un algoritmo no válido simular cognosciblemente la comprensión matemática? Debemos considerar que, de acuerdo con §, la comprensión matemática podría ser el resultado de algún algoritmo que sea no válido o incognoscible, o

posiblemente válido y cognoscible pero no cognosciblemente válido -o podri'a haber quizá varios de estos algoritmos diferentes correspondientes a diferentes matemáticos. Por un «algoritmo» se entiende precisamente algún procedimiento computacional (como en §l.5), esto es, algo que podría simularse en principio en un ordenador de tipo general con un espacio de almacenamiento ilimitado. (Podemos recordar de la discusión de Q8, en §2.6, que la naturaleza «ilimitada» de este almacén, en esta idealización, no invalida el argumento.) Ahora bien, esta noción de «algoritmo» incluiría procedimientos de-arriba-abajo y sistemas de aprendizaje de-abajo-arriba, asi' como combinaciones de ambos. Cual-

quier cosa que pueda conseguirse mediante redes neurales artificiales, por ejemplo, estari'a incluida (cf. §l.5). También lo estari'an otros tipos de mecanismos de-abajo-arriba tales como los conocidos como «algoritmos genéticos», que se mejoran a sí mismos mediante algún procedimiento incorporado análogo a la evolución darwiniana (cf. §3.ll). En §3.9-§3.22 (como se resume en el diálogo imaginario de §3.23) demostraré especi'ficamente cómo los procedimientos de-abajo-arriba están esencialmente englobados en los argumentos que se van a dar en este apartado (y también en los que se propusieron en el capítulo 2). Sin embargo, y por motivos de claridad expositiva, por el momento parafrasearé los argumentos como si sólo estuviera involucrada la acción algori'tmica de tipo simple de-arriba-abajo. Esta acción algori'tmica podri'a considerarse relevante bien para un matemático individual concreto o bien para la comunidad matemática como un todo. En las exposiciones de Q11 y Q12, en §2.lO, se consideró la posibilidad de que hubiera d,/er¬#,es algoritmos válidos y conocidos pertinentes para diferentes personas, y se concluyó que esta posibilidad no afectaba significativamente al argumento. La posibilidad de que existan diferentes algoritmos #o válidos o J'#cognoscibles pertinentes para diferentes personas se volverá a considerar más adelante (cf. §3.7). Por ahora, parafraseemos los argumentos, primariamente, como si sólo hubiera un simple procedimiento algori'tmico subyacente en la com-

prensión matemática. Podemos también limitar la atención simplemente a ese cuerpo de conocimiento matemático que puede utilizarse para establecer lli-sentencias (es decir, la especificación de las acciones de máquina de Turing que no terminan; cf. comentario a Q10). En lo que sigue, es suficiente si inter-

I46 I|as sombras de la mente pretamos la frase «comprensión matemática» en

contexto restringido (ver

9**, p. ll6).

Debemos distinguir claramente entre tres pu

e vista distintos con res-

pecto a la cognoscibilidad de un supuesto proce cente en la comprensión matemática, sea o no

nto algori'tmico F subya. En efecto F podría ser:

I conscientemente cognoscible, y tal que s subyacente en la comprensión matemáti Il conscientemente cognoscible, pero su pa yacente en la comprensión matemática es

el como el algoritmo real también cognoscible; mo el algoritmo real subsciente y no cognoscible;

IIl inconsciente y no cognoscible.

Consideremos primero el caso l, completa algoritmo y su papel son ambos cognoscibles, ta él, y su papel, son J'a conocidos. En efecto, e suponer que estamos aplicando nuestros argu estas cosas son realmente conocidas -pues «cog nos en principio, dicho moment.o podri'a ocurr el algoritmo F es un algoritmo conocido, sien subyacente. Hemos visto (§2.9) que tal algoritm a un sistema formal F En este caso, estamos s

matemática -o al menos la comprensión de cu es conocida (por dicho matemático) como equi tro de algún sistema formal Fconocido. Para te facer nuestra conclusión 9, a la que nos oblig en el capi'tulo anterior, debemos suponer que el sis bastante extraño, sin embargo, la no validez n tema formal conocido Ln= que, como se asegur

consciente. Puesto que el podemos considerar que stra imaginación podemos s en un momento tal que ble» significa que, al mei' pues, consideremos que mbién conocido su papel fectivamente equivalente endo que la comprensión

r matemático concreto-te a la derivabilidad denguna esperanza de satisnuestras consideraciones F es mo va+/!'do. De modo a en absoluto para un sisl, ¡cualquier matemático

sc,bc realmente -y por lo tanto cr¬e- que es al

subyace en su compren-

sión matemática! Pues, en efecto, tal creenci nea) en la validez de F. (¡No sería un punto de

aña una convicción (errómatemático razonable el

que permite una falta de creencia en la misma creencias incuestionables!) Sea o no F realme es válido entraña una creencia en que G(P (o, al verdadero; pero puesto que uno cree ahora -p de Gódel- que G(9 se halla fuera dcl alcance de

de su propio sistema de lido, una cneenc,'a' en que ivamente, í}(D, cf. §2.8) es a creencia en el teorema o contradice la creencia de

que F subyace en ,od¢ comprensión matemática tamente igual ya se aplique a matemáticos indiv mática; puede aplicarse con independencia de c mos diferentes que pudiera suponerse que sub de matemáticos diferentes. Además, necesita ref

ante). @sto funciona exacs o a la comunidad mateiera de los varios algoriten los procesos mentales sólo a ese cuerpo de comto de las rli-sentencias.) tmo F no válido conocido

IJa argumentación de la no computabilidad 147

subyace en la comprensión matemática, no puedes¢be,5ieque realmente lo haga, por lo que l queda descartado con independencia de que F sea o no válido. Si el propio F es cognoscible, nos queda la posibilidad lI: que F pudiera realmente subyacer cn la comprensión matemática pero no puede saberse que tenga este papel. Existe también la posibilidad lll de que el sistema E pudiera ser inconsciente e incognoscible. IÁ, que, en esencia, hemos establecido, en esta coyuntura, es que el caso I (al menos en el contexto de algoritmos completamente de-arriba-abajo) no es una posibilidad seria; el hecho de que F pudiera ser realmente no válido no tiene, de forma notable, ninguna importancia para l. El hecho crucial es que no puede sa'be,se si el supuesto l-Él, sea válido o no, subyace en la creencia matemática; no es la incognoscibilidad del propio algoritmo la que está en cuestión, sino la incognoscibilidad de que dicho algoritmo sea realmente el que sub-

yace en la comprensión.

3.3. ¿Podn'a un algoritmo cognoscible simular incognosciblemente la comprensión matemática? Vayamos ahora al caso ll, y tratemos de considerar seriamente la posibilidad de que la comprensión matemática pudiera ser en verdad equivalente, aunque incognosciblemente, a algún algoritmo o sistema formal conscientemente cognoscible. Asi' pues, aunque el supuesto sistema fomal F fuera cognoscible, nunca

podri'amos cstar seguros de que es,e sistema particular subyazca realménte en nuestra comprensión matemática. Preguntémonos si esta posibilidad es en absoluto plausible. Si este supuesto F no es un sistema formal J'a conocido, entonces, como antes, debemos considerar que podri'a, al menos en principio, conocerse algún di'a. Imaginemos que dicho di'a ha llegado y supongamos que la especificación

precisa de F está ante nosotros. Se supone que el sistema formal F, aunque posiblemente muy elaborado, es lo suficientemente simple para que seamos capaces, al menos en principio, de apreciarlo de una forma perfectamente consciente; pero no se nos permite estar segwros de que F engloba realmente la totalidad exacta de nuestros conoc¡mientos e intuiciones matemáticas incuestionables (al menos, con respecto a Hi-sentencias). Trataremos de ver por qué esta es, aunque lógica, una posibilidad muy poco plausible. Además, argumentaré más adelante que incluso si fuera verdadera, ¡tal posibilidad no proporcionari'a ningún alivio a los practicantes de la IA que intentan construir un robot matemático! Volveremos a tratar este aspecto al final de este apartado, y se abordará más detalladamente en §3.l5 y §3.29.

Para resaltar el hecho de que la existencia de semejante E debe ser cons¡derada una posib¡lidad /oíg,-ca', podemos recordar la «máquina de demostrar teoremas» que GÓdel comentaba que no podi'a ser (por el momento) lógicamente descartada (cf. cita en §3.l). En efecto, esta «máquina» seri'a, como explicaré, un procedimiento algori'tmico F que entrari'a en uno de los casos ll o lll. La

148 Las sombras de la mente

supuesta máquina de demostrar teoremas de GÓdel podri'a ser, como él señalaba, «empi'ricamente descubrible», lo que corresponde al requisito de que Fsea «conscientemente cognoscible» como en ll, o podri'a no serlo, que es básicamente el caso lll. GÓdel habi'a argumentado, teniendo en cuenta su famoso teorema, que el procedimiento F (o, equivalentemente, el s¡stema formal F; cf. §2.9) no podri'a

ser «demostrado» como «equivalente a la intuición matemática» +omo su cita afirma. En lI (y, por implicación, también en llI) he enunciado esta límitación fundamental sobre F en una forma algo diferente: «su papel como el algoritmo real subyacente en la comprensión matemática es inconsciente y no cognoscible».

Esta limitación (cuya necesidad se deduce del rechazo de l, como se argumentó en §3.2) tiene evidentemente la implicación de que no puede demostrarse que F sea equivalente a la intuición matemática, puesto que tal demostración estableceri'a para nosotros que f tiene realmente el papel que hemos supuesto que no se puede saber que tiene. Reci'procamente, si este mismo papel de F, al proporcionar la base para la comprensión matemática incuestionable, fuera algo quepod,,Ía ser conscientemente conoc¡do -en el sentido de ser com-

pletamente apreciado cómo actúa F en este papel- entonces la validez de F tendría que ser aceptada también. En efecto, si fm fuera completamente aceptado como válido, esto equivaldri'a a una negativa a aceptar alguna de sus consecuencias. Pero sus consecuencias son precisamente aquellas proposiciones matemáticas (o, al menos, Ili-sentencias) que es,a-n siendo aceptadas. Asi' pues, conocer el papel de Fequivale a poseer una c7cmosínt,c,®oím de f; aunque tal «demostración» no seri'a una demostración formal en algún sistema formal asignado de antemano. Observemos también que rli-sentencias válidas podri'an ser consideradas como ejemplos de los «teoremas correctos de la teon'a de números finitista» a que se referi'a Gódel. De hecho, si se considerara que el término «teori'a de números finitista» incluye la 4-operación «encontrar el número natural más pe-

queño con tal o cual propiedad aritmética», en cuyo caso incluye las acciones de máquinas de Turing (véase final del §2.8), entonces ,otZas las Hi-sentencias contari'an como una parte de la teori'a de números finitista. De este modo, pareceri'a que el razonamiento de tipo GÓdel no proporciona ninguna manera evidente de descartar el caso ll solamente sobre fundamentos lógicos rigurosos -¡al menos si aceptamos la autoridad de GÓdel! Por el contrario, podri'amos preguntarnos si ll es una posibilidad en absoluto plausible. Tratemos de ver qué entrañari'a la existencia de un F cognoscible pero incognosciblemente equivalente a la comprensión matemática humana (incuestionable). Como se ha comentado antes, podri'amos imaginar que ha llegado el tiempo en el que F se ha encontrado, y está ante nosotros. Recordemos (§2.7) que un sistema formal está especificado en térm¡nos de un conjunto de axiomas y reglas de procedimiento. Los teoremas de FE son cosals («p,opostdiones») que pueden obtenerse a partir de los axiomas por medio de las reglas de procedimiento, siendo todos los teoremas cosas que pueden formularse en tér-

m argumentación de la no computabil¡dad I49 minos de los mismos si'mbolos que se utilizan para expresar los axiomas. Lo que estamos tratando de imaginar es que los teoremas de E son precisamente aquellas proposiciones (escritas en términos de estos símbolos) que pueden ser

percibidas e# pr,-nc,-p,'o como incuestionablemente verdaderas por matemáticos humanos. Supongamos, por el momento, que la lista de axiomas de E es una lista/,-m'a. Ahora bien, los propios axiomas siempre tienen que contar como casos particulares de teoremas. Pero cada teorema es algo que en principio puede percibirse como incuestionablemente verdadero mediante el uso de la comprensión y la intuición humanas. Por lo tanto, cada ax,'oma ,'nd,'v,'dwa/men,e debe expresar algo que, en principio, es parte de esta comprensión matemática. Asi' pues, para cualquier axioma individual, llegará un instante (o podri'a llegar c# pr,-nc,-p,-o un instante) en el que se perciba como incuestionablemente verdadero. Uno tras otro podri'an percibirse asi' los axiomas individuales de F. Así pues, con el tiempo ,odos los axiomas serán percibidos individualmente como incuestionablemente verdaderos (o, en principio, podrían llegar a serlo). En consecuencia, llegará finalmente un tiempo en el que la totalidad de los axiomas de E se perciba, como un todo, incuestionablemente vá1ida. ¿Qué hay sobre las reglas de procedimiento? ¿Podemos imaginar un tiempo en el que también estas se perciban como incuestionablemente válidas? Para muchos sistemas formales, éstas podri'an ser simples cosas que son todas «incuestionablemente» aceptables, como: «si ya hemos establecido P como un teo-

rema, y también P a g como un teorema, entonces podemos deducir O como un nuevo teorema» (cf. NME, p. 393 [p. 487], o Kleene. l952, con respecto al si'mbolo «a », que sigrifica «implica»). Para tales reglas no habria ninguna dificultad en aceptarlas como incuestionables. Por el contrario, podri'a haber algunos medios de inferencia mucho más sutiles, incluidos entre las reglas de

procedimiento, cuya validez no es en absoluto evidente y que podri'an requerir una consideración delicada antes de que uno pudiera llegar a una decisión sobre si aceptar o no dicha regla como «incuestionablemente válida». De hecho, como veremos en un momento, debe haber entre las reglas de procedimiento de F ciertas reglas cuya validez incuestionable #o puede ser percibida por matemáticos humanos -donde aún estamos suponiendo que los axiomas de F son finitos en número. ¿A qué se debe esto? Volvamos, en nuestra imaginación, al momento en que todos los axiomas se perciben como incuestionablemente verdaderos. Sentémonos a contemplar el sistema completo F. Tratemos de suponer que las reglas de procedimiento de F son también cosas que ahora podemos aceptar incuestionablemente. Aunque no suponemos que seamos capaces de saber que F engloba realmente cwa/gw,-er cosa matemática que es en principio accesible a la comprensión e intuición humanas, deberi'amos, por el momento, convencernos al menos de que F es incuestionablemente válido, puesto que tanto sus axiomas como sus reglas de procedimiento son aceptadas incuestionablemente. Debemos por lo tanto estar ahora también convencidos de que F es cons,®se#,e. Se nos ocurriri'a la idea, por supuesto, de que G(F) debe ser también ver-

150 IJas sombras de la mente

dadera, en virtud de su consistencia -¡de hecho ,-#cwes,,-o,,c,b/emcn,c verdadera! Pero puesto que se está suponiendo que F (aunque desconocido para nosotros) engloba de hecho la totalidad de lo que es incuestionablemente accesible a nosotros, G(ÉF=) debe ser realmente un teorema de F. Pero, por el teorema de GÓdel, esto sólo puede ser asi' si F es de hecho inconsistente. Si LF es inconsis-

tente, entonces «l = 2» es un teorema de F. De ahi' la afirmación de que l = 2 tendri'a que ser, en principio, parte de nuestra comprensión matemática incuestionable -,'lo que ciertamente es una clara contradicción! Pese a todo, debemos al menos contemplar la pos,'b,'/,'dad de que los matemátii`os humanos podrían operar (incognosciblemente) de acuerdo con un F que es realmente #o válido. Abordaré esta cuestión en §3.4; pero, para el propósito de este apartado, aceptemos que los procedimientos que subyacen en la comprensión matemática son en realidad perfectamente válidos. En tales circunstancias se deduce que se ha alcanzado realmente una contradicción, si vamos a suponer que las reglas de procedimiento de nuestro ÉI con un número finito de axiomas son todas incuestionablemente aceptables. Por lo tanto, entre las reglas de procedimiento de F` debe haber al menos una que no pueda

percibirse incuestionablemente como válida por matemáticos humanos (aunque en verdad sea válida). Todo esto era sobre la base de que [p- posee sólo un número finito de axiomas. Una posible vi'a de escape seriía que la lista de axiomas de F pudiera ser '#/,'n,®,a'. Deberi'a hacer un comentario respecto a esta posibilidad. Para que F

sea calificado de sistema formal en el sentido requerido -de modo que uno siempre pueda verificar, por medio de un procedimiento computacional asignado de antemano, que una demostración propuesta de alguna proposición es realmente una demostración según las reglas de rF- es necesario que su sistema de axiomas infinito sea expresable en términos basados en forma finita. De hecho, siempre hay cierta libertad sobre la forma en que se representa un sistema formal, en donde sus operaciones se designan como o bien «axiomas» o bien «reglas de procedimiento». En efecto, el sistema axiomático estándar para la teori'a de conjuntos -el sistema Zermelo-Fraenkel (que aquí denoto por ZEZF)posee infinitos axiomas, expresados en términos de estructuras llamadas «esquemas de axiomas». Mediante una reformulación apropiada, el sistema ZF puede reexpresarse de modo que el número de axiomas reales se haga finito.3 De hecho, en cierto modo esto siempre puede hacerse para sistemas de axiomas que son «sistemas formales» en el sentido computacional aqui' requerido.* Cabri'a imaginar, por consiguiente, que pudiera aplicarse el argumento anterior, dirigido a descartar el caso ll, a cwc,/gw,'er F (válido), con independencia de si sus axiomas son en número finito o infinito. En realidad, esto es asi', pero en el proceso de reducir el sistema de axiomas de infinito a finito, uno podri'a introducir nuevas reglas de procedimiento que podri'an no ser manifiestamente *

Hay un sentido más b¡en trivial en quc puede hacerse esto, en el que simplemente interpre-

tamos la operación de la máquina de Turing que efectúa el algoritmo F apropiadamente como las reglas de proced¡miento del sistema requerido.

IA argumentac-Ión de la no computabilidad 15l válidas. Asi' pues, cuando de acuerdo con las ideas descritas antes contemplamos un tiempo en el que todos los axiomas y reglas de procedimiento de F están ante nosotros, y suporiiendo que los teoremas de este supuesto F son precisamente los teoremas accesibles en principio a la comprensión e intuición humanas, no podemos estar seguros de que las reglas de procedimiento de este F, a diferencia de sus axiomas, puedan ser s¡empre incuestionablemente percibidas como válidas, incluso si de hecho son válidas. Pues, a diferencia de los axiomas, las reglas de procedimiento no se cuentan entre los teoremas de un sistema formal. Son simplemente los ,eoremas de F los que se toman como cosas que pueden ser incuestionablemente percibidas. No está claro para mí si este argumento puede llevarse mucho más lejos, en términos estrictamente lógicos. Lo que tenemos que ser capaces de aceptar, si creemos en ll, es que existe algún sistema formal F (subyacente en las percepciones humanas como en la verdad de las rli-sentencias) que puede ser perfectamente apreciado por matemáticos humanos, cuya lista finita de axiomas es

(incuestionablemente) aceptable, pero cuyo sistema finito de reglas de procedimiento a{ contiene al menos una operación que se considera fundamentalmente dudosa. Todos los teoremas de F tendrían que resultar, individualmente, cosas que pueden percibirse como verdaderas -de forma algo milagrosa, puesto

que muchos de ellos seri'an obtenidos mediante el uso de las reglas dudosas de Ol. Ahora bien, aunque cada uno de estos teoremas pueda percibirse ,®ncJ,'v,-dwc,/mcm,¬ como verdadero (en principio) por matemáticos humanos, no hay una manera w#,/ormc de hacer esto. Podemos restringir la atención a aquellos teoremas de F que son Hi-sentencias. Mediante el uso del dudoso ót, pue<de generarse computacionalmente la lista complcta de rli-sentencias que puede ser percibida como verdadera por matemáticos humanos. Una por una, cualquiera de estas lli-sentencias puede ser percibida en última instancia como verdadera por la intuición humana. Pero, en cada caso, esto se hace utilizando algún medio de razonamiento que es completamente diferente de la regla a mediante la que se obtiene. Una y otra vez, debe incluirse alguna intuición humana nueva y cada vez más perfeccionada para que cada lli-sentencia pueda reducirse a verdad incuestionable. Como por arte de magia, cada una de estas lli-sentencias resulta ser verdadera, pero algunas de ellas sólo pueden ser percibidas como verdaderas acudiendo a un tipo de razonamiento fundamentalmente nuevo, un requisito que interviene una y otra vez en niveles cada vez más profundos. Más aún, cwa/gw,'er rli-sentencia que pueda ser percibida como incuestiona-

blemente verdadera -por un medio cualquiera- se encontrará en la lista generada por Ol. Finalmente, habrá una lli-sentencia especi'fica vent7ac7eno G(F)

que puede construirse expli'citamente a partir del conocimiento del sistema F, pero cuya verdad m pwcdc ser percibida como incuestionablemente verdadera por matemáticos humanos. IJo más que podri'an hacer seri'a ver que la verdad de G(D depende precisamente de la validez del dudoso procedimiento a que milagrosamente parece ser capaz de generar exactamente todas las lli-sentencias que pueden ser incuestionable y humanamente percit,idas. Puedo imaginar que algunas personas quizá pudieran considerar esto como

152

1Jas sombras de la merite

no comp/e,a'mc#,e irrazonable. Existen muchos ejemplos de resultados matemáticos que pued¬n ser obtenidos por medio de lo que podri'an denominarse «principios heuri'sticos», donde un principio semejante no aportaría una cJcmos,rt,c,'o+# del resultado requerido pero le llevari'a a uno a anticipar que el resultado deberi'a en realidad ser verdadero.* Después, podri'a obtenerse una demostración siguiendo li'neas muy diferentes. Sin embargo, me parece que tales principios heuri'sticos tienen realmente bastante poco en común con nuestro supuesto Oi. Tales principios son fenómenos que realmente amplían nuestras comprensiones conscientes depo, gweíalgunos resultados matemáticos son rea1mente verdaderos. Posteriormente, cuando las técnicas matemáticas se desarrollan más, a menudo se comprende completamente por qué funciona tal principio heurístico. Pero más comúnmente, lo que se llegari'a a comprender por completo seri'an las c,+cwms,c,J,c,-c,s bajo las que puede confiarse en que el prin-

cipio funcione, habiendo otras donde podri'a no confiarse -y en donde podri'an obtenerse conclusiones erróneas cuando no se pone el cuidado debido. Con estas precauciones, el propio principio se convierte en una herramienta poderosa y digna de confianza para la demostración matemática incuestionable. Más que proporcionarnos un proceso algori-tmico milagrosamente fiable para establecer lli-sentencias, donde la razón de que el algoritmo funciones es inaccesible a la intuición humana, los principios heuri'sticos proporcionan un medio de ampliar nuestras intuiciones y comprensiones matemáticas. Esto es algo muy diferente del algoritmo F (o sistema formal D que es necesario para el caso ll. Además, nunca ha habido ninguna propuesta de un principio heuri'stico que pudiera generar precisamente ,odas las rlrsentencias que pueden ser percibidas como verdaderas por matemáticos humanos. Por supuesto, ninguno de éstos nos dice que tal F -la supuesta «máquina de demostrar teoremas» de GÓdel- es una imposibilidad, pero, a partir del punto de vista de nuestras comprensiones matemáticas, su existencia parece muy poco probable. En cualquier caso, no existe por el momento la más mi'nima sugerencia sobre la naturaleza de un F plausible semejante, ni hay ningún indicio de su existencia. Podri'a ser solamente una co#/-e,wnf,, en el mejor de los casos -y aun asi' una conjetura indemostrable. (¡Demostrarla la contradiría!) Me parece que seri'a extremadamente precipitado para cualquier defensor de la IA (ya sea G o ®) tener esperanzas en encontrar semejante procedimiento algori'tmico,** encarnado por F cuya misma existencia es dudosa en extremo *

Un principio heurístico de este tipo podría tomar la forma de una conJ'e,t,ra, como la im-

portante conjetura de Taniyama (que ha llegado a generalizarse en lo que se conoce como «filosofi'a de Langland»), a partir de la cual podri'a derivarse como consecuencia la más famosa de todas las lli-sentencias, conocida como «último teorema de Fermat». Sin embargo, el argumento prescntado por Andrew Wiles como demostración de la afirmación de Fermat no era un argumento independ¡ente de la conjetura de Taniyama -que es lo que hub¡era tenido que ser si dicha conjetura hubiera sido un «0`»- ¡sino un argumento para cícmos,,a, (en el caso relevante) la propia conjctura de Taniyama! ** Por supuesto, podría muy bien argumentarse que la construcción de un robot matemát¡co está muy lejos de los objetivos inmediatos de la inteligencia artificial; en consecuencia. el descubrimiento de un f semejante se consideraría prematuro o innecesario. Sin embargo, esto seri'a errar el punto de la presente discusión. Aquellos puntos de vista que cons¡deran que la inteligencia hu-

Ifi argumentac`ión de la no computabilidad l53 y, en cualquier caso, si existiera su construcción real estari'a más allá del ingenio de cualquiera de los matemáticos o lógicos actuales.

¿Es concebible que un Fsemejante pueda existir de todas formas y que realmente pudiera ser alcanzado por medio de procedimientos computacionales deabajo-arriba suficientemente elaborados? En §3.5-§3.23, como parte de la exposic¡ón del caso lll, presentaré un convincente argumento lógico demostrando que ningún procedimiento de-abajo-arriba cognoscible podri'a siquiera encontrar un F semejante incluso si existiera. Llegamos así a la conclusión de que incluso «la máquina de demostrar teoremas de GÓdel» no es una posibilidad lógica seria a menos que existan «mecanismos incognoscibles» subyacentes en la comprensión matemática como un todo ¡que son de una naturaleza que no aliviaría a los defensores de la IA! Antes de volver a esta exposición más general del caso lll, y de los procedimientos de-abajo-arriba en general, debemos completar los argumentos que son específicos del propio caso lI; pues todavi'a queda la alternativa de que la acción algori'tmica F -o sistema formal F- subyacente pudiera ser m vcr-/,'dó, (una salida que no se aplica al caso I). ¿Podri'a ser que la comprensión matemática humana sea equivalente a un algoritmo cognoscible que es fundamentalmente erróneo? Consideremos ahora esta posibilidad.

3.4. ¿Utilizan los matemáticos involuntariamente un algoritmo no válido? Quizá ric,J' un sistema formal no válido F que subyace en nuestra comprensión matemática. ¿Cómo podemos estar seguros de que nuestras percepciones matemáticas respecto a lo que es incuestionablemente verdadero no puedan llevarnos algún di'a por un camino fundamentalmente equivocado? Quizá incluso lo hayan hecho ya. Esta no es exactamente la misma situación que consideramos en relación con l, en donde se descartó la posibilidad de que pudiéramos saber que cierto sistema F jugaba realmente un papel semejante. Aquí estamos reco~ nociendo que estepc,pc/ de F es incognoscible, y por ello debemos reconsiderar que F podri'a ser realmente un sistema no válido. Pero ¿es realmente plausible que nuestras creencias matemáticas incuestionables pudieran descansar sobre un sistema no válido -tan poco válido, de hecho, que «l = 2» es en principio parte de dichas creencias? Ciertamente, si no se puede confiar en nuestro razonamiento matemático, entonces m se puede confiar en ringuno de nuestros razonamientos sobre la evoluc¡ón del mundo, pues el razonamiento matemático forma una parte esencial de toda nuestra comprensión cienti-fica. Algunos alegarán, de todas formas, que ciertamente no e§ ,'mconc'eb,.b/e que

mana es explicablc en términos de procesos algori'tmicos piden expli'citamente la presencia potencial de un F semejante -cognoscible o incognoscible- porque es meramente la aplicación de la inteligencia la que nos ha llevado a nuestras conclusiones. No hay nada espec¡al en las capacidades matemáticas a este respecto; véanse §l.ls y §l.l9, en particular.

154 IJas sombras de la mente

nuestro razonamiento matemático aceptado (o lo que podamos llegar a aceptar en el futuro como «incuestionable») contiene alguna contradicción inherente oculta. Estas personas probablemente harán referencia a la famosa paradoja (acerca de «el conjunto de los conjuntos que no son miembros de si' mismos») que Bertrand Russell señaló en una carta a Gottlob Frege, en l902, precisamente cuando Frege estaba a punto de publicar la obra de su vida sobre los fundamentos de las matemáticas (véase también la respuesta a Q9, §2.7, y NME, p. lOO [p. l38]). Frege añadió, en un apéndice (cf. Frege, l964): Difícilmente puede ocurrirle a un autor cienti'fico algo más desagradable que ver que uno de los cimientos de su edificio se tambalea después de haber acabado la obra. Yo mc he visto en esta situación por una carta del señor Bertrand Russell ...

Por supuesto, podri'amos decir simplemente que Frege cometió un error. Se admite que los matemáticos cometen errores de vez en cuando -a veces errores graves. Además, el error de Frege era un error co,reg,-Ó/¬, como la propia admisión de Frege deja claro. ¿No he afirmado yo (en §2.lO, cf. comentario a Q13) que tales errores corregibles no nos interesan? Como en §2.lO, estamos realmente interesados sólo en cuestiones de principio y no en la falibilidad de matemáticos individuales. Ciertamente, errores que pueden ser señalados y demostrados como errores no son el tipo de cosas que deberían preocuparnos. Sin embargo, la situación aqui' es algo diferente de la que se abordó en relación con Q13, puesto que ahora estamos interesados en un sistema formal F que no saóemos que subyace en la comprensión matemática. Como antes, ahora no estamos interesados en errores individuales -o «deslices»- que un matemático pudiera cometer mientras razona dentro de un esquema global consistente. Ahora estamos abordando una situación en la que el propio esquema

pudiera estar sujeto a una contradicción global. Esto es precisamente lo que sucedió en el caso de Frege. Si a Frege no se le hubiera señalado la paradoja de Russell, u otra paradoja de naturaleza similar, entonces, como parece probable, él seguramente no se hubiera convencido de que su esquema contenía un error fundaméntal. No se trataba de que Russell hubiera señalado algún desliz técnico en el razonamiento de Frege, que éste hubiera reconocido como un error de acuerdo con sus propios cánones de razonamiento; se trataba de que estos mismos cánones mostraban una con,nt7d,'cc,'o-# intri'nseca. Se trataba de que esta contradicción es la que convenció a Frege de que habi'a un error -y lo que previamente podri'a haber parecido a Frege un razonamiento incuestionable se vei'a ahora como fundamentalmente erróneo. Pero el error fue percibido sólo porque la propia contradicción fue sacada a la luz. De no percibirse la contradicción, se hubiera podido confiar perfectamente en los métodos de razonamiento

y quizá hubieran sido seguidos por los matemáticos durante mucho tiempo. De hecho debería decir que, en este caso, es muy poco probable que muchos matemáticos se hubieran permitido, por mucho tiempo, la libertad de razonamiento (con conjuntos infinitos) que el esquema de Frege permiti-a. Pero esto se debe a que las paradojas del tipo de Russell hubieran salido a la luz

La argumentación de la no computabil¡dad 155

demasiado íácilmente. Uno podri'a im_aginar alguna paradoja mucho más sutil, hallándose imph'cita incluso en lo que creemos que son los procedimientos

matemáticos incuestionables que hoy admitimos -una paradoja que podri'a no salir a la luz durante siglos. Sólo cuando tal paradoja se manifestase finalmente sentiri'amos la necesidad de cambiar nuestras reglas. El argumento sería que nuestras intuiciones matemáticas no están gobernadas por consideraciones intemporales, sino que dichas intuiciones están cambiando las cosas decisivamente influenciadas por lo que parece haber funcionado bien áa's,t7 e",o#ces y por aquello de lo que, en efecto, «podemos prescindir». En esta opinión, se aceptari'a que pudiera existir un algoritmo o sistema formal subyacente en la comprensión matemática actual, siempre que este algoritmo no fuera algo fijo sino continuamente sujeto a cambio a medida que sale a la luz nueva información. Tendré que volver a la cuestión de algoritmos cambiantes más adelante (cf. §3.9, §3.ll, también §l.5). Veremos que tales cosas son en realidad sólo algoritmos otra vez, con otro disfraz. Por supuesto, seri'a ingenuo por mi parte no reconocer que a menudo se da algo del tipo «confiar en un procedimiento si parece que ha trabajado hasta el momento» en la forma en que los matemáticos operan en la práctica. En mi propio razonamiento matemático, por cjemplo, tales prácticas descuidadas o provisionales constituyen un ingrediente preciso del pensamiento matemático. Pero tienden a formar parte de lo que es importante en el propio ir a tientas hacia una comprensión previamente no formada, y no son parte de lo que uno considera como incuestionablemente establecido. Tengo dudas de que el pro-

pio Frege hubiera sido muy dogmático sobre el hecho de que su esquema debi'a ser ip.cuestionable, incluso sin que se le hubiese señalado la paradoja de` Russell. En cualquier caso, semejante esquema general de razonamiento siempre hubiera sido propuesto como algo provisional. Seri'a necesario un buen trabajo de «meditación» adicional antes de que pudiera creerse que se habi'a alcanzado el nivel «incuestionable». Para un esquema de la generalidad del tipo de Frege, creo yo, uno estari'a ¡mpulsado en cualquier caso a hacer enunciados de la forma «suponiendo que el esquema de Frege sea válido, entonces tal y cual». más que asegurar simplemente «tal y cual» sin ninguna matización. (Véanse comentarios sobre Q11, Q12.)

Quizá los matemáticos se han hecho ahora más cautos sobre lo que están dispuestos a considerar como «incuestionablemente verdadero» -tras un periodo de excesiva arrogancia (del que la obra de Frege formó de hecho una parte importante) a finales del siglo xlx. Ahora que han salido a la luz paradojas como la de Russell, la importancia de tal cautela queda especialmente manifiesta. La arrogancia apareció, en gran medida, cuando empezó a hacerse evidente la potencia de la teoría de Cantor de los números infinitos y los conjuntos infinitos, que éste había propuesto a finales de siglo. (Deberi'a decirse, sin embargo, que el propio Cantor era perfectamente consciente del prob]ema de las paradojas de tipo Russell -mucho antes de que Russell topara con ellas4y habi'a tratado de formular un punto de vista complejo que teni'a todas estas cosas en cuenta.) Pára los propósitos de las exposiciones en las que me he

l56 I.as sombras de la mente

ocupado aqui', un grado extremo de cautela es ciertamente apropiado. Acepto con gusto que sólo aquellas cosas cuya verdad es incuestionable deberi'an incluirse en la exposición, y que cualquier cosa relativa a los conjuntos infinitos que sea en alguna medida cuestionable no deberi'a incluirse. El punto esencial es que, do#de gw,®eriq que se trace la li'nea divisoria, el argumento de GÓdel produce enunciados que permanecen dentro del dominio de lo que es realmente incuestionable (cf. comentario sobre Q13). El argumento de GÓdel (y de Turing) no involucra por si' mismo ningún aspecto acerca de la existencia cuestionable de ciertos conjuntos infinitos. Las cuestiones dudosas en relación con el tipo de razonamiento muy libre que interesaba a Cantor, Frege y Russell no nos interesan mientras sigan siendo «dudosas» en oposición a «incuestionables». Aceptado esto, no puedo ver que sea plausible que los matemáticos estén utilizando nec,/mc#,e un sistema formal m vaÍ/,-cJo F como base de sus com-

prensiones y creencias matemáticas. Espero que el lector estará de acuerdo conmigo en que, sea o no pos,-b/e tal consideración, ciertamente no es en abso'uto plausible. Finalmente, en relación con la posibilidad de que nuestro supuesto F pudiera ser un sistema no válido, deberi'amos recordar brevemente los otros aspectos de la imprecisión humana que ya se comentaron en Q12 y Q13. Deberi'a reiterar en primer lugar que aqui' m estamos interesados en las inspiraciones, conjeturas y criterios heuri'sticos que pueden guiar a los matemáticos hacia sus nuevos descubrimientos matemáticos, sino en las comprensiones e intuiciones que les

proporcionan la base de lo que ellos consideran que son sus creencias incuestionables con respecto a la verdad matemática. Estas creencias pueden ser el resultado de seguir meramente los argumentos de otras personas, y no tiene por

qué estar involucrado ningún elemento de descubrimiento matemático. Cuando uno presiente el camino hacia descubrimientos originales, es importante permitir que la especulación fluya libremente, sin estar limitada por una necesidad inicial de fiabilidad y precisión total (y mi impresión es que esto es lo que realmente interesaba a Turing en la cita anterior, §3.l). Pero cuando llega la cuestión de aceptar o rechazar argumentos en apoyo de un enunciado matemático

propuesto como incuestionablemente verdadero, entonces es necesario que nos interesemos por las comprensiones e intuiciones matemáticas -a menudo ayudadas por una larga computación- que están libres de error. Esto no quiere decir que los matemáticos no cometan con frecuencia errores al creer que han aplicado correctamente sus comprensiones cuando de hecho no ha sido así. Ciertamente los matemáticos cometen errores en sus razonamientos y en sus comprensiones, asi' como en sus computaciones auxiliares. Pero su tendencia a cometer tales errores no j#cremcn/a' básicamente su poder de comprensión (aunque puedo imaginar que un destello ocasional de comprensión podri'a resultar por semejantes medios fortuitos). Lo que es más importante, estos errores son com¬g,'b/gs; cuando tales errores son señalados, bien por algún otro matemático o por el mismo matemático en un momento posterior, los errores son neco#oc,Cd/cs como errores. No es lo mismo que si hubiera algún sistema formal erróneo incorporado = que controla las comprensiones

IJa argumentación de la no computabilidad l57 del matemático, puesto que éste seri'a incapaz de reconocer sus propios errores.

(La posibilidad de tener un sistema que mejora y que cambia cuando encuentra una inconsistencia se incluirá en la exposición que lleva a §3.l4. En consecuencia, encontramos que este tipo de propuesta no ayuda realmente; cf. también §3.26.)

Un tipo de error ligeramente diferente aparece cuando un enunciado matemático está formulado incorrectamente; el matemático que propone el resultado podri'a realmente gwcncr cJec,-r algo un poco diferente de lo que se ha propuesto literalmente. Una vez es algo corregible,en y todas no es el de error -wAe,¬#,e que resultari'a de más, un F esto no válido subyacente lastipo intuiciones

humanas. (Recordemos la frase de Feynman, citada en relación con Q13: «¡No escuches lo que digo, escucha lo que quiero decir!».) Durante todo el tiempo estamos interesados en lo que e# p,,'nc,'p,'o puede ser asegurado por un matemático (humano), y, para esto, los errores del tipo que acabamos de considerar

aquí -es decir, errores corregibles- no son relevantes. Más importante para toda esta exposición es la idea central del argumento de GÓdel-Turing que tiene

que formar parte de lo que un matemático puede comprender, y es esto lo que nos obliga a rechazar l y considerar ll como extremadamente inverosi'mil. Como se ha comentado, en el análisis de Q13, la ,'dca del argumento de GÓdel-Turing ciertamente deberi'a formar parte de lo que un matemático puede comprender en principio, incluso si algún enunciado especi'fico «G(ÍD» que el matemático hubiera establecido podría ser erróneo -por razones cormg,-b/es. Hay otras cuestiones que necesitan ser abordadas en relación con la posibilidad de que algoritmos «no válidos» pudieran subyacer en la comprensión matemática. Esto concierne a los procedimientos «de-abajo-arriba», tales como algoritmos de mejora, algoritmos de aprendizaje (incluyendo redes neurales artificiales), algoritmos con componentes aleatorios adicionales, y algoritmos cu)ms acciones dependen del ambiente externo en que están situados los dispositivos algori'tmicos. Algunas de estas cuestiones han sido tratadas antes (cf. comentario en Q2) y serán abordadas extensamente como parte de nuestra exposición del caso lll, que debemos tratar a continuación.

3.5. ¿Puede un algoritmo ser incognoscible? Según lll, la comprensión matemática seri'a el resultado de algún algoritmo incognoscible. ¿Qué se entiende realmente por que un algoritmo sea «incognoscible»? En las secciones anteriores de este capi'tulo nos hemos interesado en cuestiones depr,'nc,P,-o. Asi' pues, una afirmación de que la verdad incuestionable de cierta lli~sentencia es accesible a la comprensión matemática humana seri'a una afirmación de que esta Hi-sentencia es accesible en pr,'nc,'p,'o, no de que cualquier matemático humano tenga que encontrar necesariamente una demostración de la misma. Pero para que un c,/gor,'Ímo sea incognoscible se necesita una interpretación algo diferente del término «incognoscible». Aqui' entenderé que el algoritmo es algo cuya propia especificación está más allá de lo que puede conseguirse e# /fz pnf,'c,,-c¢.

l58 IJas sombras de la mente

Cuando estábamos interesados en derivaciones dentro de un sistema formal cognoscible especi'fico, o en lo que es alcanzable mediante el uso de algún algoritmo conocido, era realmente apropiado que nos interesáramos por lo que puede o no puede alcanzarse en principio. La cuestión de si alguna proposición particular puede o no derivarse a partir de semejante sistema formal o algoritmo se tomaba #¬cesczr,Ca'men,c en un sentido «en principio». Podemos comparar esta situación con la de la verdad de Hi-sentencias. Después de todo, una Hi-sentencia se toma como ve,tJczdentz si representa una acción de máquina de Turing que no termina en principio, con independencia de lo que pudiera conseguirse en la práctica por computación directa. (Esto está de acuerdo con la exposición de Q8.) Análogamente, una afirmación de que alguna proposición específica es, o no es, derivable dentro de algún sistema formal debe tomarse en el sentido «en principio», teniendo semejante afirmación la forma de que cierta rli-sentencia es falsa o verdadera, respectivamente (cf. final de la exposición de Q10). En consecuencia, cuando nos interesamos por la derivabilidad dentro de algún conjunto de reglas formal dado, «la cognoscibilidad» se tomará siempre en este sentido «en princ¡pio». Por el contrario, cuando estamos interesados en la cuestión de si las propias reglas podrían ser «cognoscibles», esto debe tomarse en el sentido «en la práctica». Cwc,/gw,'cr sistema formal, máquina de Turing o HI-sentencia puede especificarse en principio, de modo que la cuestión de la «incognoscibilidad», si va a tener algún significado, debe referirse aqui' a lo que puede o no puede ser accesible en la práctica. Un algoritmo cualquiera es, en realidad, cognoscible en principio -en el sentido de que la acción de la máquina de Turing que efectúa dicho algoritmo es «conocida» en cuanto se conoce el número natural

que codifica dicha acción (por ejemplo en términos de la especificación de números de máquina de Turing que se daba en NME). No hay una sugerencia real de que un número natural pudiera ser incognoscible en principio. Los números naturales (y por lo tanto acciones algori'tmicas) pueden enumerarse O, l, 2, 3, 4, 5, 6,..., de modo que cualquier número natural particular será encon-

trado eventualmente -e# pr,'nc,P,'o- ¡por muy grande que pudiera ser dicho número.' En la práctica, sin embargo, habrá números que son tan grandes que no hay esperanza de que sean encontrados nunca de esta forma. Por ejemplo, el número de la máquina de Turing universal dada en NME, p. 56 [p. 88], es demasiado grande para que sea encontrado en una enumeración semejante en la práctica. Incluso si pudiesen generarse di'gitos uno tras otro en un intervalo tan pequeño como fuera teóricamente definible (la escala de tiempo de Planck de aproximadamente O,5 x lO-43 segundos -cf. §6.ll), todavía no se habri'a encontrado ningún número cuya representación binaria tenga más de aproximadamente 203 di'gitos en todo el tiempo transcurrido desde que comenzó el universo en el big bang. El número que se acaba de mencionar tiene un número de di'gitos más de veinte veces mayor -pero esto en si' mismo no le impide ser «cognoscible» en la práctica y dicho número se presenta expli'citamente en NME. Para que un número natural o acción de máquina de Turing sea «cognoscible» en la práctica, debemos imaginar que incluso la propia especificación de

computabilidad l59 dicho número o acción sea tañ compliéada que esté más allá de las capacidades humanas. Esto quizá parezca un orden elevado, pero uno podría argumentar, a partir de la finitud de lo; seres humanos, que debe haber al menos o/gw~» límite que sitúa a ciertos números más allá de la especificación humana. (Véase la exposición relacionada en la respuesta a Q8.) Debemos imaginar que, de acuerdo con lll, es la enorme complicación de todos los minúsculos detalles de la especificación del algoritmo F que se está suponiendo que subyace en la com-

prensión matemática la que lo sitúa más allá de la cognoscibilidad humana -en el sentido de cspec,/,-c¢b,-/,-dc,d, frente al hecho de que sea cognosciblemente el algoritmo que se supone que utilizamos realmente. Es este requisito de no especificabilidad el que separa lll de ll. Así pues, en nuestra consideración de lll debemos mantener la posibilidad de que estuviera más allá de las capacidades humanas el especificar siquiera el número en cuestión, y mucho menos saber que este número t¡ene las cualidades que se le exigen como un número que determina la acción algori'tmica subyacente en la comprensión matemática humana. Deberi'a quedar claro que el mero tamaño no puede ser el factor limitador. Es muy fácil especificar números que son tan grandes que cxccdcm los tamaños de los números que podri'an ser necesarios para especificar acciones algorítmicas de relevancia para el comportamiento de cualquier organismo en el universo observable (por ejemplo, el número 226ff" de fácil especificación, que interveni'a en la respuesta a Q8, excede enormemente el número de posibles estados de universo diferentes para todo el material que está dentro de nuestro universo observable).5 Tendría que ser la especificación e*t,c,c, del número requerido, no su mero tamaño, el que estuviera más allá de las capacidades humanas. Supongamos que, de acuerdo con lll, la especificación de un F semejante está más allá de las capacidades humanas. ¿Qué nos diri'a esto sobre la perspectiva de una estrategia IA completamente exitosa (de acuerdo con la IA «fuerte» o «débil» -los puntos de vista respectivos de G y @)? Quienes creen en sistemas IA controlados por ordenador (ciertamente bajo el punto de vista G,

y quizá también bajo ®) podri'an prever que las creaciones robóticas que pueden surgir con el tiempo como resultado de esta estrategia deberían ser capaces de alcanzar y quizá superar las capacidades matemáticas humanas. En consecuencia, deberi'a darse el caso, si aceptamos lll, que algún algoritmo F semejante humanamente inespecificable formara parte del sistema de control de semejante robot matemático. Esto pareceri'a implicar que una estrategia IA de tal alcance eventual es imposible. Pues si se necesitara un F inespecificable para conseguir sus propósitos, no habri'a ninguna esperanza de que los seres humanos lo pusiesen alguna vez en acción. Pero esta no es la imagen que presentan los defensores más ambiciosos de la IA. Ellos podri'an concebir que el F necesario no apareciese inmediatamente sino que se construyera por etapas, en las que los propios robots mejorari'an gradualmente sus actuaciones a través de sus experiencias de aprendizaje (deabajo-arriba). Además, los robots más avanzados no seri'an las creaciones directas de los seres humanos, sino que más probablemente habri'an sido creados

160 IJas sombras de la mente

por otros robots6 quizá algo más primitivos que los robots matemáticos requeridos; y podría haber también algún tipo de evolución darwiniana en acción, sirviendo para mejorar las capacidades de los robots de una generación a otra. De hecho se argumentaría que es a través de procesos de este tipo general como noso,ros m,-smos hemos sido capaces de adquirir, como componentes de nuestros propios «ordenadores neurales», algún algoritmo F humanamente incognoscible que controla nuestras propias comprensiones matemáticas. En los próximos apartados mantendré que los procesos de esta naturaleza no escapan realmente al problema: si los mismos procesos mediante los que se establece inicialmente una estrategia IA son algorítmicos y cognoscibles, entonces cualquier F resultante deberi'a ser también cognoscible. De este modo, el caso lll se reduciri'a o bien a l o bien a ll, casos que fueron descartados, en §3.2-§3.4, como efectivamente imposible (caso I), o al menos altamente inverosi'mil (caso lI). De hecho, es realmente el caso l al que nos vemos dirigidos, bajo la hipótesis de que tales procedimientos algori'tmicos subyacentes son cognoscibles. En consecuencia, el caso llI (y, por implicación, también el caso lI) se harán efectivamente insostenibles. Cualquier lector que confi'e en la posibilidad de que lll proporcione una ruta probable a un modelo computacional de la mente, hará bien en prestar debida atención a estos argumentos y seguirlos con gran atención. La conclusión será que, si realmente hay que tomar lll como algo que proporciona la base de nuestras propias comprensiones matemáticas, entonces la única manera plausible de que pudiera haber aparecido nuestro propio Fhubiera sido por intervención divina -básicamente la posibilidad G/@ mencionada al final de

§l.3 -¡y esto no serviri'a sin duda de consuelo para aquellos interesados en los propósitos más ambiciosos a largo plazo de la IA dirigida por ordenador!

3.6. ¿Selección natural o un acto de Dios? Pero quizá deberíamos considerar seriamente la posibilidad de que nuestra inteligencia pudiera requerir algún tipo de acto divino -y que no pueda explicarse en términos de esa ciencia que ha tenido tanto éxito en la descripción del mundo inanimado. Ciertamente tendri'amos que seguir manteniendo una mente abierta, pero debería dejar claro que en las exposiciones que siguen voy a sostener un punto de vista cienti'fico. Abordaré la posibilidad de que nuestras comprensiones matemáticas pudieran resultar de algún algoritmo insondable -y la cuestión de cómo pudiera haber aparecido realmente un algoritmo

semejante- completamente en tales términos cientiJficos. Posiblemente haya algunos lectores inclinados a creer que tal algoritmo podri'a haber sido implantado simplemente en nuestros cerebros mediante algún acto divino. Para tal sugerencia no puedo ofrecer una refutación decisiva, pero si uno decide abandonar los métodos de la ciencia en algún punto, ¡no está claro para mi' por qué deberi~a considerarse razonable escoger este punto concreto! Si se va a abandonar la explicación cienti'fica, ¿no seri'a más apropiado liberar al espi'ritu por

m argumentación de la no computabilidad l61 completo de la acc¡ón algorítmica, más que esconder su supuesto libre albedri'o en la complicación e insondabilidad de uny,algoritmo que se presume que controla cada una de sus acciones? En realidad, podri'a parecer más razonable adoptar simplemente el punto de vista, que parece que ha sido mantenido por el propio GÓdel, de que la acción de la mente es algo que transciende la acción del cerebro fi'sico -lo que está en la línea del punto de vista O. Por el contrario, yo imagino que, actualmente, incluso aquellos que mantienen que en cierto sentido nuestra mentalidad es realmente un don divino tenderían de todas formas a adoptar el punto de vista de que nuestro comportamiento puede comprenderse dentro del marco de la posibilidad cienti'fica. Sin duda estos casos son discutibles -pero yo no pretendo discutir aquí en contra de @. Espero que aquellos lectores que sostengan alguna forma de punto de vista ® continuarán conmigo, y tratarán de ver de qué pueden servirnos los argumentos cienti'ficos. ¿Cuáles son entonces las implicaciones científicas de la hipótesis de que las conclusiones matemáticas se alcanzan como resultado de alguna acción algorítmica necesariamente insondable? Dicho crudamente, la imagen consistiri'a en que los procedimientos algori'tmicos excepcionalmente complicados que son necesarios para simular comprensión matemática auténtica han sido el resultado de muchos cientos de miles de años (al menos) de selección natural, además de varios miles de años de tradición educativa e inputs procedentes del entorno fi'sico. Presumiblemente, los aspectos hereditarios de estos procedimientos se habrán construido gradualmente a partir de componentes algori'tmicos (anteriores) más simples, como un resultado de los mismos tipos de presiones selectivas que han producido todos los otros mecanismos, soberbiamente efectivos,

que constituyen tanto nuestros cuerpos como nuestros cerebros. Los algoritmos matemáticos potenciales incorporados (es decir, cualquier aspecto 'neredado que pudiera haber en nuestro pensamiento matemático -supuesto algori'tmico) estarían codificados de algún modo dentro del ADN, como caracten'sticas específicas de sus secuencias de nucleótidos, y habri'an aparecido como resultado de ese mismo procedimiento mediante el que aparecen gradual o intermitentemente mejoras en respuesta a presiones selectivas. Además, habri'a influencias externas de varios tipos, tales como la educación matemática directa o la experiencia procedente de nuestro entorno fi'sico, u otros factores que proporcionan un input adicional puramente aleatorio. Debemos tratar de descubrir si una imagen semejante puede considerarse plausible.

3.7. ¿Un algoritmo o muchos? Una cuestión importante que debemos abordar es la posibilidad de que pudiera haber varios algoritmos completamente diferentes, y quizá no equivalentes, que sean responsables de los diferentes modos de comprensión matemática que pertenecen a diferentes individuos. En realidad, una cosa es ciertamente evi~ dente de entrada, y es que, incluso entre los matemáticos profesionales, individuos distintos perciben a menudo las matemáticas de formas completamente

l62 Las sombras de la mente diferentes uno de otro. Para algunos, las imágenes visuales tienen una importancia suprema, mientras que para otros, podri'a tenerla la estructura lógica precisa, el argumento conceptual sutil, o quizá el razonamiento anali'tico detallado o la pura manipulación alg,ebraica. En relación con esto, vale la pena comentar que, por ejemplo, se cree que el pensamiento geométrico y el anali'tico tienen

lugar básicamente en lados opuestos -derecho e izquierdo respectivamentedel cerebro.7 Pero una misma verdad matemática puede percibirse a menudo en cualquiera de estas formas. Desde el punto de vista algori'tmico, podri'a parecer inicialmente que deberi'a haber una falta de equivalencia profunda entre los diferentes algoritmos matemáticos que pudiera poseer cada individuo. Pero, a pesar de las imágenes muy diferentes que matemáticos diferentes (u otras personas) puedan formarse para comprender o comunicar ideas matemáticas, un hecho muy sorprendente sobre las percepciones de los matemáticos es que, cuando finalmente establecen lo que creen que es incuestionablemente verdadero, los matemáticos no discrepan, excepto en circunstancias en las que una discre-

pancia puede rastrearse hasta un error real reconocible (corregible) en el razonamiento de uno u otro -o posiblemente en sus diferencias con respecto a un número muy pequeño de cuestiones fundamentales; cf. Q11, especialmente 9***. Para una descripción más conveniente ignoraré esta última cuestión en la exl,osición siguiente. Aunque tiene alguna relevancia, no afecta a las conclusiones de forma sustancial. (Tener sólo un número muy pequeño de posibles puntos de vista no equivalentes no difiere sustancialmente, para los propósitos de mi argumentación, de tener sólo uno.) La percepción de la verdad matemática puede lograrse de muchas formas diferentes. Puede haber poca duda de que, cualquiera que sea la actividad física detallada que tiene lugar cuando una persona percibe la verdad de algún enunciado matemático, esta actividad física debe diferir muy sustancialmente de un individuo a otro, incluso si están percibiendo la misma verdad matemática. Asi' pues, si los matemáticos utilizan simplemente algoritmos computacionales para formar sus juicios de verdad matemáticos incuestionables, estos mismos algoritmos diferirán probablemente en su construcción detallada de un individuo a otro. Pero, en algún sentido evidente, los algoritmos tendri'an que Se[ equiValenteS unO aL OtrO.

Puede que esto no sea algo tan irrazonable como podría parecer al principio, al menos desde el punto de vista de lo que es matemáticamente posJ'b/e. Máquinas de Turing de apariencia muy diferente pueden tener idénticas salidas como resultado. (Por ejemplo, consideremos la máquina de Turing construida como sigue: cuando actúa sobre el número natural #, da O siempre que n sea expresable como la suma de cuatro cuadrados, y da l siempre que # no sea expresable de esta forma. Esta salida de máquina es idéntica a la de otra máquina, construida simplemente para dar O cwc,/gw,'era qw¬ sea el número n sobre el que actúa -porque se da el caso de que íodo número natural es la suma de cuatro cuadrados; véase §2.3.) Dos algoritmos no necesitan ser en absoluto similares con respecto a sus operaciones internas y pese a ello pueden ser idénticos respecto a sus eventuales efectos externos. Sin embargo, en cierto sentido

IJa argumentación de la no computabilidad 163

esto hace realmente más enigmático cómo podri'an haber aparecido nuestros supuestos algoritmos insondables para asegurar la verdad matemática, pues ahora necesitamos muchos de estos algoritmos, todos ellos completamente distintos entre si' en su construcción detallada, aunque todos esencialmente equivalentes con respecto a sus salidas.

3.8. Selección natural de matemáticos esotéricos extramundanos ¿Qué hay del papel de la selección natural? ¿Es posible que exista algún algoritmo F(o quizá varios de ellos) controlando todas nuestras comprensiones matemáticas, que sea incognoscible (según llI), o al menos cuyo papel sea incognoscible (según lI)? Permi'taseme empezar reiterando una puntualización expresada al comienzo de §3.l. Los matemáticos no p,-cfisaw que estén siguiendo simplemente un conjunto de reglas incognoscibles -reglas tan enrevesadas

que son matemáticamente insondables en principio- cuando llegan a lo que consideran como sus conclusiones matemáticas incuestionables. Por el contrario, creen que estas conclusiones son el resultado de razonamientos, aunque a menudo largos y tortuosos, que reposan en última instancia sobre verdades claras incuestionables que podri'an ser apreciadas, en principio, por cualquiera. De hecho, en el nivel de descripciones lógicas o de sentido común, lo que creen que están haciendo cs en realidad lo que están haciendo. No deberi'a haber ninguna duda auténtica sobre esto; es un punto que resulta difícil exagerar. Si se va a mantener que los matemáticos están siguiendo un conjunto de reglas computacionales incognoscibles o insondables, de acuerdo con lll o ll, entonces esto tiene que ser algo que ellos están haciendo ,c,mb,-cÍ# -en concordancia con lo que piensan que están haciendo, pero en un nivel de descripción diferente. De algún modo, su seguimiento algori'tmico de estas reglas tendri'a que tener los mismos e/ecfos a los que conducen las comprensiones e intuiciones matemáticas -al menos en la práctica. IJo que tenemos que tratar de creer, si nos adherimos a cualquiera de los puntos de vista G o @, es que esta posibilidad es una posibilidad genuinamente plausible. Debemos tener en mente lo que estos algoritmos deben conseguir para nosotros. Deben proporcionar a sus poseedores la capacidad -al menos en principio- para seguir correctamente el razonamiento matemático sobre entidades abstractas muy alejadas de la experiencia directa y que, en su mayor parte, no conducen a ventajas prácticas discerribles para los individuos que los poseen. Cualquiera que haya tenido ocasión de echar una ojeada a cualquier revista de investigación moderna de matemáticas puras se podrá dar cuenta de lo alejados que están los intereses principales de los matemáticos de cualquier cosa directamente práctica. I+os detalles de los argumentos que tienden a presentarse en tales arti'culos de investigación no serán inmediatamente comprensiblcs para alguien que no pertenezca a una minúscula minori'a de personas; pero los razonamientos serán en definitiva cosas construidas por pasos pequeños, donde cada paso pequeño puede ser comprendido en principio por cualquier per-

164 Las sombras de la mente

sona que piense, incluso si pudiera incluir razonamientos abstractos sobre con-

juntos infinitos definidos de forma complicada. Debemos presumir que es la naturaleza de alguna secuencia de ADN la que proporciona un algoritmo -o

quizá uno entre un número mayor de ta.les algoritmos alternativos, aunque matemáticamente equivalentes, que deben ser adecuados para dar a la gente la capacidad de seguir tal razonamiento. Si creemos que esto es asi', entonces debemos preguntarnos seriamente cómo demonios podri'a haber aparecido tal algoritmo o algoritmos por selección natural. Parece claro que, hoy, no hay ventaja selectiva en ser matemático. (Sospecho que incluso podría ser una desyentaja. ¡Los puristas con inclinaciones matemáticas tienen tendencia a termmar

en puestos académicos pobremente remunerados -o a vec¬s en el paro absoluto- como resultado de sus curiosas pasiones y predilecciones!) Mucho más pertinente es el hecho de que no puede haber habido ninguna ventaja selectiva para nuestros ancestros remotos en una capacidad de razonar sobre conjuntos infinitos definidos de forma muy abstracta, y conjuntos infinitos de conjuntos infinitos, etc. Aquellos ancestros estaban interesados en las cuestiones prácticas de cada di'a; quizá cosas tales como la construcción de refugios o vesti-

mentas o el diseño de trampas para mamut -o, posteriormente, la domesticación de animales y la recolección de cosechas (véase figura 3.l). Seri'a muy razonable suponer que las ventajas selectivas de las que disfrutaron nuestros ancestros eran cualidades que resultaban valiosas para todas estas

cosas y, como un aspecto acc,'de#,a/, resultaron ser mucho más adelante lo que se necesitaba precisamente para la ejecución del razonamiento matemático. Esto, de hecho, es más o menos lo que yo creo personalmente. Según una visión de este tipo, lo que el hombre ha adquirido de algún modo, o desarrollado en un alto grado, a través de las presiones de la selección natural sería la cualidad general de ser capaz de compne#der. Esta capacidad para comprender cosas habría sido inespecífica, y se habri'a aplicado en beneficio del hombre de muchas maneras. La construcción de refugios o de trampas de mamut, por ejemplo, serían simplemente casos concretos en los que habri'a sido inestimable la capacidad del hombre para comprender las cosas en genera1. En mi opinión, no obstante, una capacidad para comprender no seri'a en modo alguno una cualidad privativa del fJomo sap,'c#s. Podría haber estado también presente, aunque en menor grado, en muchos de los otros animales con los que el hombre estaba en competición; de modo que el hombre, en virtud de un desarrollo ,'ncnemcnc,do de una capacidad para comprender, habría obtenido una ventaja selectiva lI`.uy considerable sobre ellos.

La dificultad con un punto de vista semejante surge sólo si tratamos de ima-

ginar que una facultad heredada para la comprensión podría ser algo algori'tmico. En efecto, hemos visto por los argumentos anteriores que cualquier facultad para comprender que es lo suficientemente fuerte como para que su poseedor sea capaz de apreciar argumentos matemáticos, y en particular el argumento gódeliano en la forma que yo lo he expuesto, debe ser, si es algori'tmica, una acción tan complicada u oscura que ella (o su papel) es incognoscible para el propio poseedor de dicha facultad. Nuestro supuesto algoritmo selec-

La argumentación de la rio computab¡lidad 165

3.l. Para nuestros antepasados remotos, difícilmente puede haber sido una ventaja selectiva la capacidad especi'fica para hacer matemáticas avanzadas, pero bien podri'an haber tenido una capacidad general para compne#d¬,.

cionado de forma natural tendri'a aue haber sido suficientemente fuerte para que, en el tiempo de nuestros ancestros remotos, hubiera ya englobado dentro de su ámbito potencial las reglas de cualquier sistema formal que ahora es considerado por los matemáticos como incuestionablemente consistente (o hcuestionablemente válido, con respecto a rli-sentencias; cf. §2.10, en la respuesta a QlO). Esto incluiría casi con seguridad las reglas del sistema formal ZF de Zermelo-Fraenkel, o quizá su extensión al sistema ZE© (que es ZE, al que se le ha añadido el axioma de elección) -los sistemas (cf. §3.3 y §2.lO, respuesta a Q10) que muchos matemáticos considerarían ahora que proporcionan todos los métodos de razonamiento necesarios para las matemáticas ordinarias- y cualquiera de los sistemas formales concretos que pueden obtenerse aplicando el procedimiento de gódelización a Z¥F un número cualquiera de veces. y cualquiera de los demás sistemas formales a los que puede llegarse mediante el uso de intuiciones que son accesibles a los matemáticos, pongamos por caso en virtud de la comprensión de que tal gódelización continuará ofreciendo sistemas incuestionablemente válidos, u otros tipos de razonamiento incuestionable de una naturaleza aún más poderosa. El algoritmo tendri'a que englobar, como casos particulares de si' mismo, la potencialidad de hacer discriminaciones precisas, distinguiendo argumentos válidos de argumentos no válidos en todas las áreas de actividad matemática, entonces aún por descubrir, que en nuestros di'as ocupan las páginas de las revistas de investigación matemática. Este supuesto algoritmo incognoscible o incomprensible tendri'a que tener, codificado en su interior, un poder para hacer todo esto, pero se nos pide que creamos que apareció solamente por una selección natural ajustada a las circunstancias en que nuestros ancestros remotos luchaban por la supervivencia. Una capacidad es-

l66 Las sombras de la mente

pecial para hacer matemáticas oscuras no puede haber tenido una ventaja selectiva directa para su poseedor, y argumentaré que no puede haber una razón

para que tal algoritmo haya aparecido. Ia situación es completamente diferente una vez que admitimos que la «comprensión» sea una cualidad no algori'tmica. En tal caso, no necesita ser algo tan complicado que sea incognoscible o incomprensible. En realidad, podri'a estar mucho más cerca «de lo que los matemáticos piensan que están haciendo». La comprensión tiene la apariencia de ser una cualidad simple y de sentido común. Es algo difi'cil de definir de una forma sencilla, pero de todos modos nos es tan familiar que nos parece difi'cil aceptar que pudiera ser una cualidad

que no puede ser adecuadamente simulada, siquiera en principio, por un procedimiento computacional. Pese a todo, esto es realmente lo que yo estoy pretendiendo. En el punto de vista computacional, uno necesita una acción algori'tmica que permita cualquier eventualidad, de modo que las respuestas a todas las cuestiones matemáticas con las que es probable que se enfrente alguna vez están, en cierto sentido, programadas de antemano en el algoritmo. Si no están directamente preprogramadas, entonces es necesario algún medio computacional para encontrar un camino a las respuestas. Como hemos visto, estas «preprogramaciones» o «medios computacionales» deben ser ellos mismos, si han de englobar todo lo que puede lograrse por la comprensión humana, a]go que está más allá de la comprensión humana. ¿Cómo es posible que el ciego proceso de la selección natural, ajustado sólo para promover la supervivencia de nuestros ancestros remotos, hubiera podido «prever» que tal o cual procedimiento computacional incognosciblemente válido seri+a capaz de resolver cuestiones matemáticas oscuras que no tienen ninguna relevancia para dichas cuestiones de supervivencia?

3.9. Algoritmos que aprenden Para que el lector no se sienta tentado a suponer con demasiada rapidez que semejante posibilidad es absurda, deberi'a clarificar la imagen que quienes sostienen la visión computacional podri'an estar inclinados a presentar. Como ya se ha indicado en §3.5, ellos no concebiri'an tanto un algoritmo que. en cierto sentido, hubiera sido «pre-programado» para dar respuestas a problemas matemáticos, sino más bien algún sistema computacional que tuviera la capacidad de c,prender. Podri'an concebir algo que tendri'a importantes componentes de-abajo-arriba junto con cualesquiera procedimientos de-arriba-abajo que pudieran ser necesarios (cf. §l.5).* *

Existe ahora una teori'a matemática de aprendizaje bien definida: véase Anthony y Biggs

(l992). Sin embargo, esta teori'a se interesa más en cuestiones de comp/¬/',-c'ací que en la computabilidad -es decir, con cuestiones como la velocidad o el espacio de almacenamiento necesarios para obtener soluciones a problemas; cf. NME, pp. l40-l45 [pp. 187-l93]. No se sugiere que semejante sistema de aprendizaje matemáticamente definido pudiera simular el modo en que los matemáticos humanos llegan a sus noc¡ones de «verdad incuestionable».

ción de la r,o computabiI¡dad l67 Algunos podri'an tener la sensación de que la descripción «de-arriba-abajo» no es en absoluto adecuada para un sistema que haya surgido simplemente a través de los procesos ciegos de la selección` natural. IÁ, que yo entiendo aquí por este término son aquellos aspectos de nuestro supuesto procedimiento algori'tmico que estap. genéticamente/,J-ados dentro del organismo y no están sujetos a alteración por las experiencias y aprendizajes subsiguientes de cada individuo. Aunque los aspectos de-arriba-abajo no hubieran sido diseñados por algo con «conocimiento» real de lo que iban a lograr en última instancia -a medida que las secuencias relevantes de ADN se traducen finalmente en la acción cerebral adecuada- podri'an, en cualquier caso, proporcionar reglas precisas dentro de las que funcionari'a el cerebro matemáticamente activo. Estos

procedimientos de-arriba-abajo proporcionarían aquellas acciones algori'tmicas que constituyen lo que quiera que el armazón fijo pudiera necesitar, dentro del cual se permitiri'a operar a los «procedimientos de aprendizaje» (de-abajo-arriba) más flexibles. Ahora debemos preguntar: ¿cuál es la naturaleza de estos procedimientos de aprendizaje? Imaginemos que nuestro sistema de aprendizaje está situado en un ambiente externo, y que el modo en que el sistema actúa en este ambiente

está siendo modificado continuamente por la forma en que ha reaccionado su entorno a sus acciones anteriores. Hay básicamente dos factores involucrados. El factor cx,erno es el modo en que se comporta este ambiente y cómo reacciona a las acciones del sistema. El factor ,®n,crmo es cómo modifica entonces el sistema propiamente dicho su propio comportamiento en respuesta a estos cam-

bios en su entorno. Examinaremos en primer lugar la naturaleza algorítmica del factor externo. ¿Es posible que la reacción del ambiente externo püeda suministrar un componente no algorítmico incluso si la construcción interna de nuestro sistema de aprendizaje es completamente algori'tmica? En algunas circunstancias, tales como las que se dan frecuentemente con el «adiestramiento» de redes neurales artificiales, la reacción del ambiente externo podría venir dada por el comportamiento de un experimentador, o entrenador, o profesor -digamos simplemente «profesor»- cuya intención deliberada es mejorar la ejecución del sistema. Cuando el sistema actúa de la forma que desea el profesor, este hecho se le señala al sistema de modo que, de acuerdo con sus mecanismos internos para modificar su propio comportamiento, se hace más probable que en el futuro actúe de la forma deseada por el profesor. Por ejemplo, uno podri'a tener una red neural artificial que está siendo entrenada para reconocer rostros humanos. La actuación del sistema se registra continuamente, y la precisión de sus conjeturas se realimenta en el sistema en cada etapa de modo que queda capacitado para mejorar su actuación modificando adecuadamente su estructura interna. En la práctica no es necesario que el profesor humano registre a cada paso los resultados de dichas conjeturas, ya que el procedimiento de aprendizaje podri'a automatizarse en general. Pero en este tipo de situación, los objetivos y los juicios del profesor humano constituyen los criterios últimos de actuación. En otro tipo de situaciones, la reacción del ambiente externo no tiene por qué ser tan «deliberada». Por ejemplo, en el caso

l68 Las sombras de la mente

de un sistema vivo en desarrollo -pero que sigue concibiéndose como algo que opera de acuerdo con cierto tipo de esquema de red neural (u otros prooedimientos algori'tmicos, por ejemplo algoritmos genéticos; cf. 3.7) como los que se han propuesto en modelos computacionales-no hay necesidad de tales objetivos o juicios externos. En su lugar, el sistema vivo podri'a modificar su comportamiento de una forma que pudiera entenderse en términos de sc/ecc,-oJn nc,w,¢/, actuando de acuerdo a criterios que han evolucionado a lo largo de muchísimos años, y que servirán para aumentar sus propias perspectivas de supervivencia y la supervivencia de su progenie.

3.10. ¿Puede proporcionar el ambiente un factor externo no algori'tmico? Aqui' estamos imaginando que el sistema propiamente dicho (sea vivo o no)

podría ser algún tipo de roóoí controlado por ordenador, de modo que sus procedimientos para modificarse son enteramente computacionales. (Estoy utilizando aquí el término «robot» meramente para resaltar que nuestro sistema debe considerarse como una entidad completamente computacional en interacción con su entorno. No pretendo implicar que sea un dispositivo mecánico que haya sido construido deliberadamente por seres humanos. Él mismo podri'a ser un ser humano en desarrollo, según G o @, o podría ser realmente un objeto construido artificialmente.) Asi' pues, estamos suponiendo aqui' que el factor ,®#,erm es completamente computacional. Debemos preguntar si el factor ex,er#o suministrado por el entorno es o no algo computacional -esto es, debemos abordar la cuestión de si es posible dar una simulación computacional efectiva de dicho entorno, tanto en el caso a,,,/,-c,®a'/- cuando está controlado artificialmente por un profesor humano -como en el caso #a,wnt,/, donde son las fuerzas de la selección natural las que proporcionan el árbitro. En cada caso, las reglas particulares internas, de acuerdo con las que el sistema de aprendizaje robótico modifica su comportamiento, tendrían que estar ajustadas para responder a las formas particulares mediante las que el entorno señala al sistema cómo hay que juzgar la calidad de su actuación previa. La cuestión de si el entorno puede ser simulado en el caso artificial, es decir, de si un profesor humano real puede ser simulado computacionalmente, es simplemente la cuestión global que venimos considerando una y otra vez. En las hipótesis G y ®, cuyas consecuencias estamos ahora explorando, se supone que una simulación efectiva es realmente posible en principio. Después de todo, es la plausibilidad global de esta hipótesis la que se esta explorando. Así pues, junto con la suposición de que nuestro sistema «robot» es computacional, tenemos también un entorno computacional. Por consiguiente, el sistema total comÓ,-mdo, consistente en el robot junto con su entorno profesoral, sería algo que, en principio, podri'a ser efectivamente simulado computacionalmente, de modo que el entorno no presentari'a una vía de escape que pudiera capacitar a un robot computacional para comportarse de forma no computacional.

La argumentación de la no computab¡l¡dad 169

A veces se trata de argumentar que es el hecho de que los seres humanos forman una comwn,`dad, con continua comunicación entre sus miembros, lo que nos confiere ventaja sobre los ordenadores. Según esta idea, los seres humanos podri'an ser considerados individualmente como sistemas computacionales, pero la comunidad humana produciri'a algo más. El argumento podri'a aplicarse, en particular, a la comunidad matemática en contraposición a los matemáticos individuales -de modo que la comunidad podn'a actuar de un modo no computacional m¡entras que los matemáticos individuales no lo harían. Personalmente encuentro difi'cil dar sentido a este argumento. En efecto, uno podría considerar exactamente igual una comunidad de ordenadores que estén en continua comunicación entre si'. Tal «comunidad» formaría de nuevo un sistema computacional como un todo; la acción de la comunidad entera podri'a ser simulada, si fuera necesario, por un solo ordenador. Por supuesto, en el caso de un número elevado de individuos la comunidad constituiri'a un sistema com-

putacional inmensamente mayor que lo seri'an sus miembros individuales, pero esto no nos da una diferencia e# pr,'mc,'pÍ-o. Es cierto que nuestro planeta contiene alrededor de 5 x lO9 habitantes humanos (por no mencionar sus enormes bibliotecas de conocimiento acumulado). Pero esta es una simple cuestión de números y, desde el punto de vista computacional, el desarrollo de los ordenadores podri'a acomodar los incrementos que supone el paso de individuos a comunidad en quizá sólo unas décadas si fuera necesario. Parece claro que en el caso art¡ficial, en el que el medio externo consiste en profesores humanos, no obtenemos nada nuevo en principio, y esto no proporciona ninguna explicación de cómo podn'a surgir una entidad no computacional a partir de constitu-

yentes completamente computacionales. ¿Qué pasa con el caso natural? Ia cuestión ahora es si el entorno /Z3,-co, aparte de las acciones de los profesores humanos dentro de él, podría contener elementos que no pueden simularse computacionalmente, ni siquiera en principio. Me parece que si uno cree que hay algo que es imposible de simular en principio en un entorno libre de seres humanos, entonces uno ha aceptado ya el argumento principal en contra de C. Pues la única razón clara para dudar de que e pudiese ser una posibilidad seria reside en un escepticismo respecto al hecho de que las acciones de los objetos en el mundo fi'sico actuasen de forma no computacional. Una vez que se admite que a/gwnc, acción físicapudiera ser no computacional, queda abierta la posibilidad para acciones no computacionales también en el cerebro fi'sico, y el argumento principal en contra de e está realmente aceptado. De un modo general, sin embargo, parecen'a muy poco probable que haya algo en el entorno no humano que eluda la computación más profundamente que lo que hay en un ser humano. (Compárese también §l.9 y §2.6, Q2.) Pienso que pocos pretenderi'an seriamente que haya algo de relevancia para el entorno de un robot que aprende que en pr,-nc,-pjo esté más allá de la computación. Á1 referime a la naturaleza computacional «en principio» del entorno deberi'a, no obstante, abordar un aspecto importante. No hay duda de que el ambiente nea/ de cualquier organismo vivo en desarrollo (o sistema robótico avan-

170 IÁis sombras de la mente

zado) dependería de factores increiblemente complicados, y que cualquier simulación de precisión tolerable de dicho ambiente podría muy bien ser impracticable. Incluso con sistemas fi'sicos relativamente simples, el comportamiento dinámico puede ser extraordinariamente complejo, y puede depender tan cri'ticamente de minúsculos detalles del estado inicial que no haya forma de predecir computacionalmente su comportamiento subsiguiente -el ejemplo de la predicción del tiempo a largo plazo es un ejemplo de esta naturaleza frecuentemente citado. Tales sistemas se denominan cco',,Ocos; cf. §l.7. (Los sistemas caóticos tienen un comportamiento delicado y efectivamente imprcdecible. No obstante, estos sistemas no son incomprensibles matemáticamente; se estudian activamente como una parte importante de la investigación matemática actual.)8 Como se ha indicado en §1.7, los sistemas caóticos es/aím incluidos en lo que yo estoy llamando «computacionales» (o «algorítmicos»). Para nuestros propósitos actuales el punto esencial acerca de los sistemas caóticos es que no es necesario que uno sea capaz de simular un entorno caótico ,ea/, sino que un entorno ,,Z,,-co serviri'a igualmente. Para esto, por ejemplo, no necesitamos saber c/ tiempo meteorológico; ¡cwo/gw,'cr tiempo meteorológico plausible bastari'a!

3.l1. ¿Cómo puede aprender un robot? Aceptemos, entonces, que la cuestión de la simulación computacional del entorno no constituye nuestro interés real. Seremos capaces, en principio, de hacer un trabajo suficientemente bueno con el entorno co# Íc,/ dc qwe no haya ningún obstáculo para simular las reglas ,'m,crnc,s del propio sistema robótico. Asi- pues, abordemos la cuestión de cómo va a aprender nuestro robot. ¿Qué

procedimientos de aprendizaje están disponibles realmente para un robot computacional? Podri'a tener asignadas de antemano reglas precisas de naturaleza computacional, como ocurriría con los sistemas de tipo red neural artificial que se adoptan normalmente (cf. §1.5). Según estos sistemas, habría un sistema bien definido de reglas computacionales por el que las conexiones entre las «neuronas» artificiales que constituyen la red se reforzarían o debilitari'an de modo

que mejorara su actuación global de acuerdo con los criterios (artificiales o naturales) que han sido determinados por el ambiente externo. Otro tipo de sistema que aprende lo proporciona lo que se conoce como un «algoritmo genético», en el que algún tipo de selección natural entre diferentes procedimientos algorítmicos sucede dentro de la máquina, y donde el algoritmo más efectivo

para controlar ei sistema surge mediante una forma de «supervivencia de los más aptos». Debería quedar claro que, como es usual en las organizaciones de-abajoarriba, estas reglas seri'an diferentes de los algoritmos estándar de-arr¡ba-abajo que actúan de acuerdo con procedimientos conocidos para dar soluciones exactas a problemas matemáticos. En su lugar, estas reglas de-abajo-arriba seri'an simplemente cosas que gui'an a nuestro sistema, de un modo general, hacia la mejora de su actuación. Sin embargo, las reglas seguiri'an siendo enteramente al-

La argumentación de la no computabilidad

l71

gori'tmicas, en el sentido en que pueden ser ejecutadas en un ordenador de uso general (máquina de Turing). Además de reglas claras de este tipo, podri'á haber elementos c,/ec,,or,'os incorporados en la forma en que nuestro sistema robótico va a modificar su actuación. Seri'a posible que estos elementos aleatorios se introdujeran de alguna forma fi's¡ca, quizá basada en algún proceso mecano-cuántico tal como los tiempos de desintegración de núcleos atómicos radiactivos. En la práctica, lo que tiende a hacerse en dispositivos computacionales construidos artificialmente es utilizar algún procedimiento computacional en el que el resultado de la com-

putación es c# e/cc,o aleatorio -y calificado como psewcJoa/ec,,or,'o- incluso si está completamente determinado por el resultado de una computación determinista (cf. §l.9). Otro procedimiento i'ntimamente relacionado seri'a utilizar el ,+ns,¢H,e preciso en el que se apela a la magnitud «aleatoria», y luego incorporar este instante en una computación complicada que es, en realidad, un sistema caótico, de modo que cambios minúsculos en el t¡empo darán resultados

que son efectivamente diferentes de forma impredecible y efectivamente aleatorios. Aunque, estrictamente hablando, los elementos aleatorios nos llevan fuera de lo que se describe como «acción de máquina de Turing», no lo hacen de forma #-,,-/. Un input pseudoaleatorio en los trabajos del robot seri'a equivalente, en la práctica, a un input aleatorio; y un input pseudoaleatorio #o nos lleva fuera de lo que una máquina de Turing puede hacer. El lector puede preocuparse, en este punto, porque si bien un input aleatorio no es diferente c# /a prtzíc,,-ca de uno pseudoaleatorio, existe una diferencia e# pr,'wc,'p,-o. Como parte de nuestra exposición anterior -cf. especialmente §3.2-§3.4-estábamos interesados realmente en lo que puede alcanzárse en principio, más que en la práctica, por matemáticos humanos. De hecho, existen ciertos tipos de situaciones matemáticas en las que un ,®npw, J¬o/me#,e aleatorio proporciona una solución de un problema para el que, técnicamente hablando, ningún input pseudoaleatorio podri'a hacerlo. Tales situaciones se dan cuando el problema incluye un elemento «competitivo», como en la teori'a de juegos o la criptografi'a. Para ciertos tipos de «juego de dos personas», la estrategia óptima para cada jugador implica un componente totalmente aleatorio.9 Cualquier desviación sistemática de la aleatoriedad necesaria para la estrategia óptima por parte de uno de los jugadores permitiría al otro jugador,

al cabo de una serie suficientemente larga de partidas, obtener una ventaja -al menos en principio. Esta ventaja ocurriri'a, en cualquier caso, si el oponente fuera capaz de hacer alguna conjetura significativa sobre la naturaleza del componente pseudoaleatorio (u otro) que estaba empleando el primer jugador en lugar de la aleatoriedad requerida. Una situación similar se da en criptografi'a, donde la seguridad de un código depende del empleo de una secuencia de di'gitos generada de forma auténticamente aleatoria. Si ésta no estuviera generada realmente de forma aleatoria, sino mediante algún proceso pseudoaleatorio, una vez más, existe la posibilidad de que la naturaleza detallada de este proceso pseudoaleatorio pudiera llegar a ser conocida por alguien que intentara descifrar el código -un conocimiento que seri'a inestimable para el descifrador.

172 Las sombras de la mente

A primera vista podri'a parecer que, puesto que la aleatoriedad es inestimable en tales situaciones competitivas, seri'a una cualidad que podría estar favorecida en la selección natural. De hecho, tengo la seguridad de que es un factor importante en el desarrollo de los organismos en muchos aspectos. Sin embargo, como vamos a ver más adelante en este capi'tulo, la simple aleatoriedad no nos capacita para escapar de la red gódeliana. Incluso elementos ge#w,-namc#e aleatorios pueden tratarse como parte de los argumentos que siguen, y no nos permiten evitar las restricciones que limitan a los sistemas computacionales. De hecho, existe realmente un alcance algo mayor en el caso de procesos pscwdoaleatorios que en el de los aleatorios (cf. §3.22). Por el momento, supongamos que nuestro sistema robótico es en efecto una máquina cJc 7wTr,'ng (aunque con capacidad de almacenamiento finita). Más exactamente, puesto que el robot está interaccionando continuamente con su entorno y estamos suponiendo que su entorno también puede ser simulado computacionalmente, es el robot /®w#,o co# el entorno el que deberíamos considerar

que actúa como una máquina de Turing simple. Sin embargo, seri'a útil considerar el robot separadamente como una máquina de Turing por sí mismo, y considerar el entorno como algo que proporciona información a la cinta input de la máquina. De hecho, esta analogi'a no es completamente adecuada tal como está, por la razón técnica de que una máquina de Turing es una cosa/,,-a cuya estructura se supone que no cambia con la «experiencia». Uno podri'a tratar de imaginar que la máquina de Turing cambia su estructura sin detener su marcha, modificando esta estructura mientras sigue funcionando, y que la información del entorno está siendo alimentada continuamente en la cinta input de la máquina. Sin embargo, esto no basta, puesto que se supone que el resultado de sc,/,'da' de una máquina de Turing no es examinado hasta que la máquina alcanza su orden interna STOP (véase §2.l y Apéndice A; también NME, capi'tulo 2), y en ese punto se supone que no se examina nada más de su cinta input a menos que todo empiece de nuevo. Para una ejecución posterior de la máquina, ésta tendría que ser llevada de nuevo a su estado original, de modo que no podri'a «aprender» de este modo. Sin embargo, es fácil remediar esta dificultad mediante el siguiente dispositivo técnico. Consideremos que nuestra máquina de Turing está realmente fijada, pero tras cada lectura de su cinta da como resultado c7os cosas (codificadas técnicamente como un solo número) cuando finalmente llega a STOP. La primera cosa codifica cuál va a ser realmente su comportamiento externo, mientras que la segunda es para su propio uso ,'#,c,#o y codifica toda la experiencia que ha obtenido en los encuentros previos con el entorno externo. En su siguiente ejecución leep,,-mcro esta información «interna» en su cinta input, antes de leer, como una segwnda' parte de su cinta input, toda la información «externa» que su entorno le está ahora proporcionando, incluyendo la reacción detallada que ha tenido el entorno respecto al comportamiento anterior de la máquina. Así pues, todo su aprendizaje está codificado en esta parte ,'n,e,nc, de su cinta, y continúa realimentándose de esta parte de la cinta (que tenderi'a a hacerse más larga a medida que pasa el tiempo).

IA argumentac¡ón de la no computab¡lidad l73

3.l2. ¿Puede alcanzar un robot «creencias matemáticas firmes»? De esta forma, podemos describir el «robot» de aprendizaje computacional más general como una máquina de Turing. Ahora bien, se supone que nuestro robot es capaz de formar juicios de verdad matemáticos, con todas las capacidades potenciales de un matemático humano. ¿Cómo llegaría a hacer esto? Nosotros no queremos tener que codificar, de alguna forma completamente «dearriba-abajo», todas las reglas matemáticas (tales como todas las incluidas en el sistema formal ZF y mucho más allá de éste, como se discutió más arriba) que serían necesarias para que él sea capaz de englobar directamente las intuiciones matemáticas que están disponibles para los matemáticos, puesto que, como hemos visto, no hay una manera razonable (excluida la «intervención divina» -cf. §3.5, §3.6) de que pudiera implementarse semejante algoritmo dearriba-abajo, incognosciblemente efectivo y enormemente complicado. Debemos suponer que cualesquiera que sean los elementos «de-arriba-abajo» incorporados, no son especi'ficos para la ejecución de matemáticas avanzadas sino que son reglas generales que podría pensarse que proporcionan una base para la cualidad de «comprensión». Recordemos los dos tipos de input procedentes del entorno que se han considerado (cf. §3.9) y que podri'an influir de forma significativa en el comportamiento de nuestro robot: el ar,,/,-c',®a/ y e1 #c,,wrfr/. Con respecto a los aspectos artificiales del entorno, imaginemos un profesor (o profesores) que cuenta al robot las diversas verdades matemáticas y trata de guiarle para que llegue a alcanzar un modo interno de distinguir verdades de falsedades por si' mismo. EI

profesor puede decirle al robot cuándo ha cometido un error, o hablarie de diversos conceptos matemáticos y diferentes métodos aceptables de demostración matemática. Los procedimientos concretos adoptados por el profesor podri'an proceder de un amplio espectro de posibilidades, enseñanza por «ejemplos», por «guía», por «instrucción», ¡o incluso por «azotes»! Respecto a los aspectos naturales del entorno fi'sico, éstos podri'an proporcionar al robot «ideas» procedentes del comportamiento de los objetos fi'sicos; el entorno podri'a proporcionar también realizaciones concretas de conceptos matemáticos, tales como ejemplos diversos de los números naturales: dos naranjas, siete p1átanos, cuatro manzanas, cero zapatos, un calceti'n, etc. -y buenas aproximaciones a ideas geométricas como li'neas rectas y ci'rculos, y también aproximaciones a ciertos conceptos de conjuntos infinitos (como el conjunto de los puntos interiores a un ci'rculo).

Puesto que nuestro robot no está programado de antemano de una forma completamente de-arriba-abajo, y se supone que llega a sus conceptos de verdad matemática por medio de sus procedimientos de aprendizaje, debemos admitir que cometerá errones como parte de sus actividades de aprendizaje -de modo que puede apnendcr de sus errores. Al menos al principio, estos errores podrían ser corregidos por sus profesores. Como alternativa. el robot podri'a a veces observar, a partir de su entorno fi'sico, que algunas de sus sugerencias anteriores de verdades matemáticas deben realmente ser errores o que es proba-

174 Las sombras de la mente

ble que lo sean. O podri'a llegar a esta conclusión a partir de puras consideraciones internas de consistencia, etc. Cabe pensar, sin embargo, que el robot cometerá cada vez menos errores a medida que aumenta su experiencia. Conforme pasa el tiempo, los profesores y el entorno fi'sico pueden llegar a ser cada vez menos esenciales para el robot -y quizá finalmente resulten completamente irrelevantes- en la formación de sus juicios matemáticos, y éste podri'a basarse cada vez más en su potencia de computación interna. En consecuencia, si se supusiera esto, nuestro robot podri'a llegar más allá de estas verdades matemáticas especi'ficas que habi'a aprendido de sus profesores o inferido de su entorno fi'sico. Cabri'a imaginar así que incluso pudiera hacer contribuciones originales a la investigación matemática. Para examinar la plausibilidad de todo esto necesitaremos relacionarlo con lo que se ha estado analizando anteriormente. Si nuestro robot va a tener realmente las capacidades, comprensiones e intuiciones de un matemático humano, requerirá algún tipo de concepto de «verdad matemática incuestionable». Sus íntentos anteriores, que habrl'an sido corregidos por sus profesores o hechos inverosi'miles por su entorno fi'sico, #o entrarán en esta categori'a. Pertenecerán a la categoria de «conjeturas», donde tales conjeturas seri'an exploratorias y admisiblemente erróneas. Si nuestro robot va a comportarse como un auténtico matemático, aunque siga cometiendo errores de vez en cuando, estos errores serán rectificables -y rectificables, en principio, de acuerdo con suspnop,-os criterios internos de «verdad incuestionable». Hemos visto, por la exposición anterior, que el concepto de «verdad incuestionable» de un matemático humano no puede alcanzarse mediante ningún con-

junto de reglas mecánicas (humanamente) cognoscibles y completamente creíbles. Si estamos suponiendo que nuestro robot va a ser capaz de alcanzar (o superar) el nivel de la capacidad matemática que un ser humano es e# pr,-#c,-p,'o capaz de conseguir, entonces su concepto de verdad matemática incuestionable debe ser también algo que no pueda alcanzarse mediante ningún conjunto de reglas mecánicas que pueda percibirse en principio como válido -p¬rcibirse como válido, es decir, por un matemático humano o, para el caso, ¡por nuestro robot matemático! Una cuestión de importancia en estas consideraciones es, por lo tanto, gweJ conceptos, percepciones o creencias ¡ncuestionables van a ser relevantes -¿los nuestros o los de los robots? ¿Podemos considerar realmente que un robot ,,®e#e percepciones o creencias? El lector,- si es un partidario del punto de vista ®, podri'a tener dificultad con esto, puesto que los mismos conceptos de «percepción» y «creencia» son atributos me#,c,/es y deberi'an considerarse inaplicables a un robot controlado por ordenador. Sin embargo, para la exposición anterior no es realmente necesario que el robot posea de verdad cualidades mentales auténticas, con tal de que se suponga posible que el robot se comporte ex,¬r#ame#Íe igual que podri'a hacerlo un matemático humano, como implicari'a una adhesión estricta tanto a @ como a G. Asi' pues. no es necesario que el robot comprenda, perciba o crea algo, con tal de que en sus pronunciamientos externos se comporte exactamente como si poseyera estos atributos mentales. Esta cuestión tendrá una elaboración adicional en §3.l7.

ón de la no computabil¡dad l75 El punto de vista ® no difiere en principio de G con respecto a las posibles limitaciones en las formas de comportamiento de un robot, pero quienes mantienen el punto de vista O3 podrían muy bien tener exp¬c,c,,J'vcrs menores con respecto a lo que es probable que un robot pudiera realmente conseguir, o a la probabilidad de encontrar un sistema computacional que pudiera ser considerado capaz de proporcionar una simulación efectiva del cerebro de una persona que está en el trance de percibir la validez de un argumento matemático. Tal percepción humana implicaría alguna comprensión de los s,-g#,/,'ca'c7os de los conceptos matemáticos involucrados. Según el punto de vista G, no hay nada aparte de alguna caracteri'stica de una computación que pueda estar involucrado en la misma noción de «significado», mientras que según a}, los significados son aspectos semánticos de la mentalidad y son diferentes de cualquier cosa

que pueda describirse en '.érminos puramente computacionales. De acuerdo con @, no esperamos que nuestro robot pueda lograr una apreciación de cualquier semántica neo/. Así pues, es probable que los defensores de @ tengan menos esperanzas que los defensores de G en que cualquier robot, construido de acuerdo con los principios que hemos estado considerando, pudiera conseguir realmente las manifestaciones externas de comprensión humana de las que es capaz un matemático humano. Yo imagino que esto sugiere (de forma no poco natural)

que los defensores de ® se convertiri'an más fácilmente en defensores de e de lo que lo harían los defensores de G; pero, desde el punto de vista de lo que aqui- es preciso establecer para nuestros argumentos, las diferencias entre los puntos de vista G y @ no son significativas. El resultado de todo esto es que si bien las afirmaciones matemáticas de nuestro robot, controladas por un sistema de procedimientos computacionales

principalmente de abajo-arriba, son inicialmente exploratorias y de una naturaleza provisional con respecto a su verdad, tenemos que suponer que el robot posee también un nivel más seguro de «creencia» matemática ,'#cwes,,'o#aÓ/e,

de modo que algunas de sus afirmaciones -dotadas de algún imprimátur especial, que yo denoto aqui' mediante un símbolo « i} », por ejemplo- van a ser incuestionables, de acuerdo con los propÍ®os criterios del robot. La cuestión de si al robot se le permite cometer errores en sus asignaciones de «*» -aunque corregibles por el propio robot-se abordará en §3.l9. Por el momento, se su-

pondrá que tan pronto como el robot haga una *-afirmación, debe considerarse que esta afirmación está libre de error.

3.l3. Mecanismos subyacentes en la matemática del robot Consideremos ahora todos los diversos mecanismos que intervienen en los procedimientos que gobiernan el comportamiento del robot hasta que finalmente llega a sus i*-afirmaciones. Algunos de estos serán ,'#,emos al mismo robot. Habrá algunas limitaciones internas de-arriba-abajo inherentes al modo de operar del robot. Habrá también ciertos procedimientos de-abajo-arriba predeterminados mediante los que el robot mejora su actuación (de modo que puede

l76 IJas sombras de la mente ascender gradualmente hasta el * -nivel). Estos se considerari'an normalmente como algo que es en principio humanamente cognoscible (incluso si las consecuencias finales de todos los diversos factores juntos pudieran estar perfectamente más allá de las capacidades computacionales de un matemático humano). En realidad, si se está defendiendo que los seres humanos serán capaces algún di'a de construir un robot capaz de hacer auténticas matemáticas, entonces deberi'a darse el caso de que los mecanismos internos de acuerdo con los

que está construido realmente el robot sea# humanamente cognoscibles; de lo contrario ¡el intento de construir un robot semejante seri'a una causa perdida! Por supuesto, debemos reconocer que su construcción podri'a ser un proceso de muchas etapas: esto es, la construcción de nuestro robot que hace matemáticas podri'a ser llevada a cabo enteramente por robots de «orden inferior» (que por si' mismos no sean realmente capaces de hacer matemáticas auténticas), y dichos robots podri'an haber sido también construidos por robots de orden aún más bajo. Sin embargo, la jerarqui'a completa tendri'a que haber sido iniciada po.r seres humanos, y las reglas para comenzar la jerarqui'a (presumiblemente alguna mezcla de procedimientos de-arriba-abajo y de-abajo-arriba) tendri'an que haber sido humanamente cognoscibles. Debemos incluir también, como elementos esenciales del desarrollo del robot, todos los diversos factores cx,e,nos que proceden de su entorno. Podri'a haber realmente un input considerable del entorno, tanto en forma de profesores humanos (o robots) como en forma de entorno fi'sico natural. En cuanto a los factores externos «naturales» proporcionados por el entorno no humano, uno no tendri'a que considerar normalmente estos inputs como «incognoscibles». Podr{an ser muy complicados en detalle, y con frecuencia interactivos, pero ya existen simulaciones efectivas de «realidad virtual» de aspectos significativos de nii.estro entorno (cf. §1.20). No parece haber ninguna razón por la

que estas simulaciones no pudieran ampliarse para proporcionar todo lo que nuestro robof_ necesita para su desarrollo, en forma de factores naturales externos -teniendo en mente (cf. §l.7, §l.9) que todo lo que necesita simularse es un entorno ,,¢,'co, no necesariamente un entorno real.

La intervención humana (o robótica) -los factores externos «artificiales»podri'a tener lugar en varias etapas, pero esto no supone ninguna diferencia para la cognoscibilidad esencial de los mecanismos subyacentes siempre que supongamos que la intervención humana es algo que también podría ser cognosciblemente mecanizado. ¿Es justa esta hipótesis? Tengo la seguridad de que seri'a natural -al menos para los defensores de G o @- asumir que cualquier intervención humana en el desarrollo del robot podri'a reemplazarse por una intervención completamente computacional. No estamos pidiendo que esta intervención sea algo esencialmente misterioso -digamos algún tipo de «esencia» indefinible que el profesor humano pudiera transmitir al robot como parte de su educación. Esperamos simplemente que pudiera haber ciertos tipos de información básica que necesitan ser transmitidos al robot y que esto podri'a ser logrado más fácilmente por un ser humano real. Muy probablemente, como sucede cuando se está educando a un pupilo humano, la transmisión de información po-

IJa argumentación de la no computabil¡dad 177

dría lograrse mejor de un modo interactivo, en el que el comportamiento del profesor dependen'a de la forma en que reacciona el pupilo. Pero esto, en si' mismo, no es un impedimento para que el papel del profesor sea un papel efectivamente computacional. La exposición global en este capi'tulo tiene, después de todo, la naturaleza de una nec7wc,,®o ad a'b§wntJwm, en donde estamos supo-

niendo que no hay nada esencialmente no computacional en el comportamiento de un ser humano. En cualquier caso, para quienes sostienen los puntos de vista C o D, que podri'an estar mejor dispuestos para la creencia en la posibilidad de algún tipo de «esencia» no computacional transmitida al robot en virtud de la humanidad real de su profesor, ¡toda esta explicación es innecesaria! Tomando juntos todos estos mecanismos (aquellos que consisten en procedimientos computacionales internos e inputs procedentes del entorno externo interactivo), no parece que sea razonable considerarlos incognoscibles, incluso si algunas personas pudieran muy bien adoptar la postura de que las consecuencias detalladas que resultan de estos mecanismos externos no podrían ser humanamente calculables -o quizá ni siquiera calculables, en la práctica, por ningún ordenador existente o previsible. Volveré de nuevo brevemente a esta cuestión de la cognoscibilidad de todos estos mecanismos computacionales (cf. final de §3.l5). Pero por ahora supongamos que los mecanismos son de hecho cognoscibles y llamcmos M a este conjunto de mecanismos. ¿Es posible

que algunas de las afirmaciones de *-nivel a las que llevan estos mecanismos pudieran seguir siendo m, humanamente cognoscibles? ¿Es este un punto de vista consistente? No lo es realmente, si continuamos interpretando «cognoscible», en este contexto, en el sentido «e# pr,'#c,-p,-o» que adoptamos en relación con los casos l y ll, y que se ha enunciado expli'citamente al comienzo de §3.5. El hecho de que algo (por ejemplo, la formulación de alguna *-afirmación) pudiera estar más allá de las capacidades compw,c,cJ-o#a/es de un ser humano no es lo importante aqui'. Además, no deberi'amos poner objeciones a que los

procesos mentales de un ser humano estén ayudados de lápiz y papel, o por una calculadora de bolsillo, o incluso por un ordenador de tipo general programado de-arriba-abajo. Ia inclusión de componentes de-abajo-arriba en los procedimientos computacionales no añade nada nuevo a lo que puede conseguirse eHprjncJ-p,-o -con tal de que los mcccJ#,-smos básicos incluidos en estos procedimientos de-abajo-arriba sean humanamente comprensibles. Por el contrario, la cuestión de la «cognoscibilidad» de los propios mecanismos M debe tomarse en el sentido «en la práctica», como algo consistente con la terminología que se ha expuesto en §3.5. Asi' pues, estamos suponiendo, por el momento, que los mecanismos M son realmente cognoscibles cn /c, p,fiJ''c,,'c¢. Conociendo los mecanismos M, podemos considerar que constituyen la base para la construcción de un s'ís,cma'/orma/ @Od), donde los ,eon¬ma's de ©(M) serían: (i) las *-afirmaciones que realmente surgen de la implementación de dichos mecanismos; y (ii) cualquier proposición que pueda obtenerse a partir de estas *-afirmaciones mediante el uso de las leyes de la lógica elemental. Por «lógica elemental» se entenderá, por ejemplo, las reglas del cc,'/cw/o dep,ed,®cados -de acuerdo con la explicación de §2.9- o cualquier otro sencillo y

178 IJas sombras de la men[e

preciso sistema incuestionable de reglas lógicas (computacionales) similares. Podemos en efecto construir un sistema formal semejante @(M) en virtud del hecho de que es un proced,'m,'en,o compw,a'c,-on¢/ O(M) (aunque uno laborioso, en la práctica) el obtener estas i+-afirmaciones, una tras otra, ? partir de M. Anótese que O(M), asi' definido, genera las afirmaciones de (i) mas arriba. pero no necesariamente todas las de (ii) (¡porque podemos suponer que nuestro robot se aburriría mucho generando simplemente todas las implicaciones lógicas de los i+-teoremas que produce!). Asi' pues, O(M) no es exactamente equivalente a ©OI), pero la diferencia no es importante. Por supuesto, podríamos también ampliar el procedimiento computacional O(M) para obtener otro que es equivalente a ©(M), si asi' se desea. Ahora bien, para la interpretación del sistema forma1 ©{M) es necesario aclarar que, a medida que se desarrolla el robot, el imprimátur « * » realmente sj¬-

n,/J'ca -y continuará significando- que lo que se está afirmando debe considerarse realmente como incuestionablemente establecido. Sin input de los

profesores humanos (en alguna forma) no podemos estar seguros de que el robot no desarrollará por sí mismo algún lenguaje diferente en el que « * » tenga algún otro significado completamente distinto, si es que tiene algún significado en absoluto. Para asegurar que el lenguaje del robot es coherente con nuestras propias especificaciones en la definición de @(M), debemos estar seguros de que, como parte del adiestramiento del robot (digamos, por el profesor humano), el significado que hay que atribuir a « * » es realmente el que nosotros

pretendemos que sea. Análogamente, debemos estar seguros de que la notación real que utiliza el robot para especificar, digamos, sus ni-sentencias es la misma (o explícitamente traducible a ella) que la notación que nosotros Tismos utilizamos. Si los mecanismos M son humanamente cognoscibles, se sigue de ello que los axiomas y reglas de procedimiento del sistema formal ©(M) deben ser también cognoscibles. Además, cualquier teorema obtenible dentro de ©(M) contaría, cn p,,'#c,'p,-o, como humanamente cognoscible (en el sentido de que su especificación, no necesariamente su verdad, es humanamente cognoscible), incluso si los procedimientos computacionales para obtener muchos de estos teoremas pudieran muy bien estar más allá de las potencias computacionales humanas sin ayuda.

3.14. La contradicción básica Lo que en efecto ha conseguido la exposición anterior es demostrar que el «al-

goritmo F inconsciente e incognoscible» que lll supone que subyac: en la propia percepción de la verdad matemática, puede reducirse a un algoritmo conscientemente cognoscible -con tal de que, de acuerdo con los objetivos de la IA, fuera posible poner en marcha algún sistema de procedimientos cuyo resultado fuera en última instancia la construcción de un robot capaz de hacer matemáticas de nivel humano (o superior). El algoritmo incognoscible F es reemplazado asi' por un sistema formal cognoscible i?é(M).

La argumentación de la no computabilidad l79 Antes de examinar este argumento en detalle, deberi'a llamar la atención sobre una cuestión importante que todavía no he abordado adecuadamente, a saber: la posibilidad de que pudiera haber e/eme#Íos c7/¬a,or,'os introducidos en varias etapas del desarrollo de los robots, en lugar de haber simplemente un conjunto fijo de mecanismos. Esta cuestión requerirá cierta atención a su debido tiempo, pero, por el momento, yo estoy considerando simplemente que cualquiera de estos elementos aleatorios se toma como algo realizado por cierta computación pseudoaleatoria (caótica). Como se ha señalado, en §l.9 y §3.ll, tales componentes psc#doaleatorios deberi'an ser adecuados en la práctica. Volveré a la cuestión de los inputs aleatorios en §3.l8, donde se hará una exposición más completa de la aleatoriedad auténtica, pero, por ahora, cuando me refiera a «los mecan¡smos M» supondré que son realmente computac¡onales y libres de incertidumbre real. La idea central para nuestra contradicción es, aproximadamente, que @(M) deberi'a tomar el lugar de la «F» de nuestra exposición anterior, concretamente la efectuada en §3.2 en relación con el caso l. En consecuencia, el caso lll se reduce efectivamente a l y queda por ello efectivamente descartado. Estamos

suponiendo -de acuerdo con los puntos de vista G o ®, para los propósitos del argumento- que, mediante procedimientos de aprendizaje de la naturaleza de los que hemos establecido, nuestro robot podri'a, e#p,,'#c,'p,'o, conseguir eventualmente cualquier resultado matemático que un ser humano pudiera conseguir. Debemos admitir que tambiénpodr,~o conseguir resultados que en principio están ma's a//cz' de los poderes humanos. En cualquier caso, el robot tendri'a que ser capaz de apreciar la fuerza del argumento de Gódel (o ser al menos capaz de sJ'mw/c,r esta apreciación, de acuerdo con @). Así pues, para cualquier sistema formal ffl dado (suficientemente extenso), el robot tendri'a que ser capaz de percibir, incuestionablemente, el hecho de que la validez de ffl implica la verdad de su proposición de GÓdel* G(=-J:), y también que ello implica que G(ffi) no es un teorema de ¡ñ:. En particular, el robot percibiri'a que la verdad de G(@(M)) se sigue incuestionablemente de la validez de ©(M), y que también se sigue el hecho de que G('©`(M)) no es un teorema de ©(M).

Exactamente como para el caso I (argumentado para los seres humanos en §3.2), se deduce inmediatamente de esto que el robot es incapaz de creer firmemente que el sistema formal ©'(M) sea equivalente a su propia noción de creencia matemática incuestionable. Esto es asi' pese al hecho de que #oso,ros (esto es, los adecuados expertos en IA) podri'amos muy bien saber que los mecanismos M s,'subyacen en el sistema de creencias matemáticas del robot y, por lo tanto, que su sistema de creencias incuestionables es equivalente a @(M). En efecto, si el robot creyera firmemente que sus creencias estaban englobadas en ©(M), entonces tendri'a que creer en la validez de ©aW). En consecuencia, también tendría que creer G(E:(M)), junto con el hecho de que G(@,(M)) queda fuera de su sistema de creencias -,'lo que es una contradicción! Asi' pues, el robot *

En ediciones anter¡ores de este libro. en el resto del capi'tulo 3 se utilizaba í}(Í,F) en lugar

de C(_=). No obstante, el uso de G(.=-) es más apropiado (cf. §2.8 y p. ll2).

180 Las sombras de la mente

es incapaz de saber que él estat,a, construido según los mecanismos M. Puesto

que #oso,ros somos conscientes -o al menos podemos hacernos conscientesde que el robot /wc construido de esta forma, esto parece decirnos que nosotros tenemos acceso a verdades matemáticas, por ejemplo G(©(M)), que están más allá de las capacidades del robot, pese al hecho de que las capacidades del robot se suponen iguales (o superiores) a las capacidades humanas.

3.l5. Formas de evitar la contradicción Podemos tomar este argumento desde dos ópticas diferentes. Podemos verlo desde la posición de los creadores humanos del robot o, alternativamente, desde el punto de vista del robot. Desde el punto de vista humano, existe la posible incertidumbre de que las pretensiones de verdad incuestionable por parte del robot podri'an resultar poco convincentes para un matemático humano, a menos que los argwme#,os individuales reales que utiliza el robot puedan ser apreciados por el matemático humano. No todos los teoremas de ©(M) podri'an ser aceptados como algo incuestionable por el ser humano -y recordamos que las potencias de razonamiento del robot podri'an estar realmente ma's c,//aí de las capacidades humanas. Asi' pues, se podri'a argumentar que el mero conocimiento de que el robot fue construido según los mecanismos M no podría contar como una demostración matemática incuestionable (humana). En consecuencia, tomaremos el argumento global como presentado, en su lugar, desde el punto de vista del robo,. Veamos qué alternativas pudiera haber en el argumento que el robot pueda percibir. Parece haber sólo cuatro posibilidades básicas disponibles para el robot con el fin de evitar esta contradicción -suponiendo que acepte que é1 es algún tipo de robot computacional.

a) Quizá el robot, aun aceptando que M pocJ,,Ío muy bien subyacer en su propia construcción, siguiera siendo necesariamente incapaz de convencerse ,'#cuest¡onablemente de este hecho. b) Quizá el robot, aun estando incuestionablemente convencido de cada * afirmación individual en el momento en que la hace, podri'a en cualquier caso tener dudas de que se pueda confiar en el sistema e#,e,o de i*-afirmaciones -y en consecuencia, el robot podri'a seguir sin estar convencido de que ©(M)

realmente swbyoce por completo en su sistema de creencias con respecto a lli-sentencias. c) Quizá los verdaderos mecanismos M dependen esencialmente de elementos a/ea',o,,®os y no pueden ser descritos adecuadamente en términos de ningún in-

put computacional pseudoaleatorio conocido. d) Quizá los verdaderos mecanismos M son realmente m cognoscibles. El objetivo de las siguientes nueve secciones será presentar argumentos cuidadosos para demostrar que ninguna de las altemativas (a), (b) y (c) puede pro-

IA argumentación de la no computabilidad l81

porcionar una vi'a plausible para evitar la contradicción para el robot. En consecuencia, él, y también nosotros, nos vemos llevados a la indigerible (d), si aún seguimos insistiendo en que la compren;ión matemática puede reducirse a computación. Estoy seguro de que aquellos interesados en la inteligencia artificial encontrarán (d) tan indigerible como la encuentro yo. Proporciona quizá una posición concebible -esencialmente la sugerencia G/D, mencionada al final de §l.3 por la que se requiere ,'#,e,v¬nc,'oJw d,-v,'m para implantar un algoritmo incognoscible en cada uno de nuestros cerebros ordenadores (por parte del «mejor programador del ramo»). En cualquier caso, ¡la conclusión «incognoscible» -para los propios mecanismos que son en última instancia responsables de nuestra inteligencia- no seri'a una conclusión muy feliz para aquellos que realmente esperan construir artificialmente un robot genuinamente inteligente! Tampoco sería una conclusión especialmente feliz para aquellos de nosotros que esperamos comprender, en principio y de una forma cienti'fica, cómo ha aparecido realmente la inteligencia humana de acuerdo con leyes científicas comprensibles, tales como las de la física, la qui'mica, la biologi'a y la selección natural -con independencia de cualquier deseo de reproducir una inteligencia semejante en un dispositivo robótico. En mi opinión, esa conclusión pesimista no está garantizada, por la razón de que la «comprensibilidad cienti'fica» es algo muy diferente de la «computabilidad». IJa conclusión deberi'a ser no que las leyes subyacentes son incomprensibles, sino que son no compw,arb/cs. Tendré más que decir sobre esta cuestión más adelante, en la Segunda parte de este libro.

3.l6. ¿Necesita el robot creer en M? Imaginemos que presentamos al robot un conjunto posible de mecanismos M -quepodr,'a'# ser aquellos que efectivamente subyacen en su construcción, pero que no necesitan serlo realmente. Trataré de convencer al lector de que el robot tendri'a que rechazar la posibilidad de que M subyace en su comprensión matemática -',,-ndcpe#d,'en,emen,c de si lo hace realmente o no! Esto se hace suponiendo, por el momento, que el robot está rechazando las posibilidades (b), (c)

y (d), de modo que concluiremos, de forma algo sorprendente, que (a) por sí sola no puede permitirnos escapar de la paradoja. El razonamiento es el siguiente. Sea 9" la hipótesis: «los mecanismos M subyacen en la comprensión matemática del robot».

Consideremos ahora afirmaciones de la forma: «tal o cual Hi-sentencia es una consecuencia de m».

Llamaré a una afirmación semejante, si es firmemente crei'da por el robot, una « *gu-afirmación». Así pues, las *9w-afirmaciones no necesariamente se refie-

182 ms sombras de la mente ren a lli-sentencias que son incuestionablemente crei'das por el robot por si' mismas, sino que son rli-sentencias que e`i robot acepta que son deducciones incuestionables a partir de la hipótesis m. El robot no necesita tener inicialmente ninguna opinión sobre la probabilidad de que esté r¬c,/mcn,¬ construido de acuerdo con M. Podri'a incluso ser inicialmente de la opinión de que esta es una posibilidad poco probable, pero de todas formas podri'a contemplar p:r-

fectamente -en auténtica tradición cienti'fica- que es una consecuencia incuestionable de la A,-po',esJ-s el que esté construido asi'.

¿Existen lli-sentencias que el robot debe considerar como consecuenci?s incuestionables de 9T', pese al hecho de que no son simplemente * -afirmaciones comunes que no necesitan el uso de m? En verdad existen. En efecto, como se señaló al final de §3.14, la verdad de la lli-sentencia G(@(M)) se sigue de la validez de @(M), y también lo hace el hecho de que G('Q(M)) no es un teorema de @(M). Además, el robot estari'a incuestionablemente convencido de esta implicación. Suponiendo que el robot acepta sin problemas el hecho de que sus creencias incuestionables estari'an englobadas en ©(M) si él es,wv,'ena construido según M -es decir, que rechaza la posib¡lidad (b)*-entonces debe creer firmemente que la validez de ©(M) es una consecuencia de m. Así pues, el robot estaría incuestionablemente convencido de que la Hi-sentencia G(@(M)) se sigue de la hipótesis 9", pero también (suponiendo g") de que no es directamente algo que pueda percibir incuestionablemente sin utilizar m (porque no

pertenece a @aVI)). En consecuencia, G(@m)) es una i+9ü-arirmación pero no

una *-afirmación. Sea ahora el sistema formal ©m(M) construido exactamente de la misma forma que ©aW), excepto que ahora son las *9"-afirmaciones las que toman el papel que jugaban las i+-afirmaciones en la construcción de @(M). Es decir, los teoremas de @9H(M) son o bien (i) las propias *9R-afirmaciones, o (ii) las

proposiciones obtenidas a partir de estas *9n-afirmaciones mediante el uso de la lógica elementa1 (cf. §3.l3). De la misma forma que, en la hipótesis 9", el robot acepta sin problemas que ©qM) engloba sus creencias incuestionables con respecto a la verdad de rli-sentencias, el robot aceptari'a igualmente que el sistema ©m(M) engloba sus creencias incuestionables respecto a la verdad de rli-sentencias que están co#d,'c,'onacJat5 a la hipótesis m. A continuación, contemple el robot la ni-sentencia de GÓdel G('@m(M)). En verdad, el robot estaría incuestionablemente convencido de que esta lli-sentencia es una consecuencia de la validez de ©gu(M). También creería, incuestionablemente, que la validez de ©gn(M) es una consecuencia de m, puesto que acepta sin problemas que ©o"(M) s,' engloba lo que él cree incuestionablemente que concieme a su capacidad para derivar Hi-sentencias sobre la base de la hipótesis m. (Él razonari'a como sigue: «Si yo acepto m, entonces acepto todas las lli-sentencias que genera el sistema ©`m(M). Por lo tanto, debo aceptar *

Por supuesto, la posibilidad (d) no está aquí cn cucstión, puesto que a[ robot se le cstá pre-

sen,ancío realmente M, y por el momento estamos considerando que M está libre de elementos genuinamente aleatorios, de modo que (c) tampoco está en consideración.

I,a argumentación de la no computabilidad 183 que @mO4) es válido, sobre la base de esta hipótesis 9Tt. En consecuencia, debo aceptar que G(©9"(M)) es verdadero, sobre esta base de 9TZ».) Pero, al creer (incuestionablemente) que la lli-sentencia de GÓdel G(@9naW)) ¬s una consecuencia de 9T{, él tendría que creer que G(©m(M)) es un teorema de ©gw(M). Sólo puede creer esto si él cree que @m(M) es #o vc,~/,-do -¡una clara contradicción con su aceptación de OTZ!

En alguno de los razonamientos anteriores se ha supuesto, impli'citamente,

que la creencia incuestionable del robot es realmente válida -aunque lo que en realidad se requeri'a es que el robot cr¬J'ena que su sistema de creencias es válido. En cualquier caso, se suponi'a que el robot tiene al menos comprensión matemática al nivel humano; y, como hemos argumentado en §3.4, la comprensión matemática humana deberi'a ser válida, en principio. Puede parecer que hay cierta vaguedad sobre la hipótesis 91t y en la definición de una *m-afirmación. Sin embargo, deberi'a resaltarse que una afirmación semejante, al ser una lli-sentencia, es un enunciado matemáticamente bien definido. Uno podri'a imaginar que la mayori'a de las *gn-afirmaciones que pudiera hacer un robot seri'an realmente *-afirmaciones comunes, puesto que es poco probable, en cualquier caso dado, qiue el robot encontrase útil invocar realmente la hipótesis O". Una excepción sería la G(@(M)) que se ha mencionado antes, puesto que aquí @Q4) está jugando, para el robot, el papel de la presunta «máquina de demostrar teoremas» de GÓdel de §3.l y §3.3. AI presentarle 9", el robot tiene acceso a su propia «máquina de demostrar teoremas», y aunque pudiera no estar (y en realidad no puede) incuestionablemente convencido de la corrección de esta «máquina», el robot podri'a muy bien contemplar que podr,'a' ser válida y tratar de deducir las consecuencias de esta hipótesis.

Hasta aqui', esto no pondri'a al robot más cerca de la paradoja de lo que Gódel fue capaz de conseguir para los seres humanos, según su cita recogida en §3.l. Sin embargo, puesto que el robot puede contemplar los supuestos mcca#,-smos M, y no meramente el sistema formal particular @Q4), puede repetir el razonamiento e ir más allá de ©(M) hasta ©maW), cuya validez aún considerari'a como una simple consecuencia de la hipótesis 9". Es es,o lo que le lleva a la (requerida) contradicción. (Véase también §3.24 para una exposición adicional del sistema ©9w(M) y su aparente relación con el «razonamiento paradójico».) El resultado es que ningún ser matemáticamente consciente -esto es, ningún ser capaz de comprensión matemática auténtica- puede operar siguiendo un conjunto de mecanismos que es capaz de apreciar, con independencia de si realmente sabc que dichos mecanismos son supuestamente los que gobiernan sus propios caminos hacia la verdad matemática incuestionable. (Recordemos, también, que su <werdad matemática incuestionable» significa simplemente lo que puede establecer matemáticamente -que significa por medio de «demostración matemática», aunque no necesariamente demostración «formal».) Más exactamente, nos vemos llevados por el razonamiento anterior a concluir que no existe ningún conjunto de mecanismos computacionales cognosci-

184 Las sombras de la mente

bles por un robot, libre de componentes genuinamente aleatorios, del que el robot pueda aceptar siquiera la pos,'b,'/,'cJcrd de que subyazca en su sistema de creencias matemáticas -co# ,a'/ c7e gwc el robot esté dispuesto a aceptar que el procedimiento especi'fico que he sugerido para construir el sistema formal ©(M) a partir de los mecanismos M engloba realmente la totalidad de las lli-sentencias en las que él cree incuestionablemente-y, en correspondencia, que el sistema formal ©maM) engloba la totalidad de las lli-sentencias que cree incuestionablemente que se seguirán de la hipótesis 91t. Además, está el punto adicional de que podri'an tener que incluirse componentes genuinamente aleatorios en los mecanismos M si el robot debe lograr un sistema de creencias matemáticas potencialmente consistente. Estas opciones que quedan son cuestiones que tendré que abordar en las siguientes secciones (§3.l7-§3.22). Será conveniente discutir la incorporación de posibles componentes aleatorios en los mecanismos M (posibilidad (c)) como

parte de la discusión general de (b). Para abordar la cuestión de (b) más cuidadosamente debemos reconsiderar en primer lugar la cuestión global de la «creencia» del robot, abordada brevemente al final de §3.l2.

3.17. ¿Errores de robot y «querer decir» de robot? La cuestión central que debemos abordar a continuación es la de si el\robot está dispuesto, incuestionablemente, a aceptar que s,® él está construido de acuerdo con algún conjunto de mecanismos M, entonces el sistema formal ©(M) en-

globa correctamente su sistema de creencias matemáticas con respecto a rli-sentencias (y correspondientemente para ©m(M)). Para esto, el aspecto más esencial es que el robot está dispuesto a creer que ©(M) es vc,'/,'do -esto es, debe creer que todas las Hi-sentencias que son i*-afirmaciones son realmente vendc,derias. Tal como he expresado los argumentos se requiere también que cwc,/gw,-e, Ili-sentencia que el robot es capaz de creer incuestionablemente debe ser realmente un teorema de @(M) (de modo que ©(M) serviría para definir una «máquina de demostrar teoremas» para el robot, análoga a la presunta sugerencia de GÓdel con respecto a matemáticos humanos, cf. §3.l, §3.3). De hecho #o es esencial que ©(M) tenga realmente este papel universal con respecto a las capacidades potenciales del robot relativas a ni-sentencias, sino sólo que sea suficientemente amplio para abarcar el uso particular del argumento de Gódel que permite que sea aplicado al propio sistema ©(M) (y correspondientemente a ©9wO4)). Más adelante veremos que esto es algo legi'timo -y que sólo necesita aplicarse a algún sistema /,'n,-,o de Hi-sentencias.

Asi' pues, nosotros -y el robot- debemos enfrentarnos a la posibilidad de que las *-afirmaciones del robot puedan realmente ser erróneas a veces, incluso si son corregibles por el propio robot según sus propios criterios internos. La idea es que el robot podría comportarse de forma muy parecida a como se comportari'a un matemático humano. Un matemático humano puede verse ciertamente en situaciones en las que cree que una cierta lli-sentencia ha sido

La argumentac¡ón de la no computab¡lidad 185

establecida incuestionablemente como verdadera (o quizá como falsa) -cuando en realidad existe un error en el razonamiento que el matemático solamente percibiri'a más tarde. En una fecha posterior, el primer razonamiento podri'a percibirse claramente como falso, según los mismos criterios que se habían adoptado antes, aun cuando el error no fue realmente advertido entonces- y una lli-sentencia que previamente habi'a parecido ser incuestionablemente verdadera podri'a ahora verse incluso como falsa (o viceversa). Cabri'a esperar de hecho que el robot se comportara de una forma similar, de modo que mo pueda confiarse realmente en sus *-afirmaciones incluso si se les ha dado el imprimátur « * » por parte del robot. Posteriormente, el robot podría corregir su error, pero se habri'a cometido un error de todas formas. ¿Cómo afecta esto a nuestras conclusiones relativas a la validez del sistema formal ©(M)? Evidentemente, ©(M) no es ahora completamente válido, ni «percibido» como completamente válido por el robot, de modo que no puede confiarse en la proposición de Gódel G(©(M)). Esto es esencialmente lo que está implicado en la posibilidad (b). Reconsideremos la cuestión de lo que podría significar para nuestro robot el llegar a conclusiones matemáticas «incuestionables». Debemos comparar la situación con la que consideramos en el caso de un matemático humano. Entonces no estábamos interesados por lo que podri'a afirmar un matemático e# /a'pJ¢'c,,'ca, sino en lo que podri'a tomarse en p,,®mc,'p,-o como verdad incuestionable. Deberíamos recordar también la frase de Feynman: «No escuches lo que digo; escucha lo que quiero decir». Parece que deberi'amos interesarnos por lo

que nuestro robot gw,-eHe dec,-, y no necesariamente por lo que dice. Pero, especialmente si uno sostiene el punto de vista @ antes que el G, no está claro cómo hay que interpretar la propia idea de que el robot quiera decir algo en absoluto. Si fuera posible confiar no en lo que el robot *-afirma, sino en lo que realmente «quiere decir» o en lo que en principio «deberi'a querer decir». entonces se evitari'a el problema de la posible inexactitud de sus *-afirmaciones. El problema es, no obstante, que no parece que tengamos ningún método de acceder externamente a tales «querer decir» o presuntos «querer decir». En lo que se refiere a nuestro sistema formal ©(M), parece que debemos confiar en las pro-

pias *-afirmaciones reales, y no podemos estar totalmente seguros de que sean dignas de confianza. ¿Percibimos una posible diferencia operacional entre las implicaciones de los puntos de vista G y Ó3? Quizá sea asi'; pues aunque G y @ son equivalentes con respecto a lo que externamente puede conseguirse en principio por un sistema físico, las personas que mantienen estos puntos de vista podri'an muy bien diferir en sus expec,f,,,'vf7s sobre los tipos de sistemas computacionales que podri'an considerarse capaces de proporcionar una simulación efectiva del cerebro de una persona que está en el proceso de percibir la validez de un argumento matemático (cf. final de §3.l2). Sin embargo, tales diferencias en las expectativas no son de particular interés para el argumento actual.

186 IJas sombras de la mente

3.l8. Cómo incorporar aleatoriedad: conjuntos de actividad robótica En ausencia de una ruta operacional directa a estas cuestiones semánticas, debemos confiar en las *-afirmaciones reales que nuestro robot pueda hacer de acuerdo con los mecanismos que controlan su comportamiento. Tenemos que aceptar que algunas puedan ser erróneas, pero que tales errores son corregibles

y, en cualquier caso, extremadamente raros. Sería razonable suponer que cuando quiera que el robot comete un error en una de sus *-afirmaciones, entonces este error puede atribuirse, al menos en parte, a algunos factores de azar en su entorno o en su funcionamiento interno. Si imaginamos un segundo robot, que opera de acuerdo con el mismo tipo exacto de mecanismo que el primero, pero para el que dichos factores son diferentes, entonces el segundo robot probablemente no come-ieri'a aquellos errores que cometió el primer robot -aunque podri'a cometer otros errores. Estos factores de azar podrían ser componentes aleatorios reales que están o bien especificados como parte del input del robot a partir de su entorno externo o bien como parte del funcionamiento interno del robot. Alternativamente, podri'an ser pseudoaleatorios, bien externos o bien internos, y el resultado de alguna computación determinista pero caótica. Para los propósitos del presente argumento supondré que ninguno de estos ingredientes pseudoaleatorios juega otro papel que el que se lograri'a, al menos con la misma efectividad, por un componente genuinamente aleatorio. Este es ciertamente el punto de vista usual. Sin embargo, queda la posibilidad de que

pudiera haber algo en el comportamiento de sistemas caóticos -mczís a//a' de su papel de simular meramente la aleatoriedad- que se aproxima a algún tipo útil de comportamiento no computacional. Nunca he visto que se haya defendido seriamente este caso, aunque algunas personas han puesto su fe en el comportamiento caótico como un aspecto fundamental de la actividad de los cerebros. En mi opinión, tales argumentos siguen siendo poco convincentes a menos que pueda demostrarse algún comportamiento esencialmente mo aleatorio (esto es, no pseudoaleatorio) en tales sistemas caóticos -un comportamiento que en algún sentido decisivo se aproxima provechosamente a un comportamiento genuinamente no computacional. Ningún indicio de una demostración semejante ha llegado por el momento a mi conocimiento. Además, como subrayaré más adelante (§3.22), es en cualquier caso poco probable que el comportamiento caótico pueda evitar aquellas dificultades que plantean los argumentos de tipo Gódel a los modelos computacionales de la mente. Supongamos, por el momento, que cualquier ingrediente pseudoaleatorio (o de otro modo caótico) en nuestro robot o su entorno puede reemplazarse por unos componentes genuinamente aleatorios sin pérdida de eficacia. Para exponer el papel de la aleatoriedad genuina debemos considerar el co#/'w#,o de todas las alternativas posibles. Puesto que estamos suponiendo que nuestro robot está controlado digitalmente y que, por lo tanto, su entorno puede también proporcionarse como algún tipo de input digital (recordemos la parte «in-

ón de la no computabilidad 187 terna» y «externa» de la cinta de nuestra máquina de Turing, como se ha descri'.o anteriormente; cf. también §l.8), habrá un número ,n,to de tales alternativas posibles. Este número podría ser realmente muy grande, pero seguiri'a siendo una cuestión computacional el describir todas ellas juntas. Así pues, el conjunto entero de todos los posibles robots, cada uno de ellos actuando de acuerdo con los mecanismos que hemos establecido, constituirá por sí mismo un sistema computacional -aunque indudablemente un sistema que no podri'a ser realizado en la práctica por ningún ordenador previsible en el momento presente. De t.odas formas, a pesar de la impracticabilidad de llevar a cabo realmente una simulación combinada de todos los posibles robots que actúan de acuerdo con los mecanismos M, la propia computación no seri'a «incognoscible»; es decir, uno podri'a ver cómo construir un ordenador (teórico) -o máquina de Turing- que pudiera llevar a cabo la simulación, incluso si no hubiera forma de llevarla a cabo rga/mcmíe. Este es un punto clave en nuestra exposición. Un mecarismo cognoscible o una computación cognoscible es una que puede ser espec,#c'oda humanamente; no necesita ser resultado de una computación que pudiera ser realmente llevada a cabo por un ser humano, ni siquiera por cualquier ordenador que pudiera construirse en la práctica. El resultado es muy similar a uno al que llegamos antes, en relación con Q8, y es consistente con la terminologi'a introducida al comienzo de §3.5.

3.l9. La eliminación de *-afirmaciones erróneas Volvamos ahora a la cuestión de las * -afirmaciones erróneas (corregibles) que nuestro robot pudiera hacer ocasionalmente. Supongamos que nuestro robot comete realmente un error semejante. Si podemos suponer que otro robot, o

el mismo robot en un momento posterior -u otra cop,-a' del mismo robotno fuera a cometer probablemente este mismo error, entonces podemos identificar, cn pr,'#c,P,®o, el hecho de que tal *-afirmación es un error examinando nuestro conjunto de posibles acciones robóticas. Imaginemos que nuestra simulación de todos los diferentes comportamientos posibles de robot se lleva a cabo de tal forma que se puede considerar que están actuando simultáneamente todas las diferentes copias de nuestro robot que se han desarrollado de una vez. (Esta es meramente una forma conveniente de representar las cosas. No exige que nuestra simulación actúe realmente de acuerdo con alguna acción necesariamente «paralela». Como hemos visto antes, no hay nada que distinga en principio la acción paralela de la acción en serie, dejando aparte las consideraciones de eficacia computacional; cf. §l.5.) IJa idea es que, mediante un examen del resultado de esta simulación, deberi'a ser posible en principio extir-

par e1 (proporcionalmente) pequeño número de *-afirmaciones erróneas de entre la multitud de i}-afirmaciones correctas, sacando ventaja del hecho de que las erróneas son «corregibles» y, por lo tanto, seriJan juzgadas como errores por la enorme mayoriía de copias de nuestro robot en la simulación -al menos a medida que se desarrollan en el tiempo (simulado) las «experiencias»

188 Las sombras de la mente

paralelas de las diferentes copias de nuestro robot. No estoy pidiendo que este sea un procedimiento práctico, sino simplemente que sea un procedimiento computacional, donde se ve que las heg/c7s M que subyacen en esta computación entera son algo en principio «cognoscible». De hecho, para hacer nuestras simulaciones más próximas a lo que sería

adecuado para la comunidad matemática humana, y también para hacer doblemente cierto que todos los errores se han extirpado en las i*-afirmaciones, consideraremos que el entorno de nuestro robot puede ser dividido en una com#mÍ-dc7d de otros robots y un entorno residual no robótico (y no humano) -y permitiremos que pudiera haber algunos profesores además de dicho entorno residual, al menos en las fases iniciales del desarrollo de los robots, de modo que, en particular, el significado estricto del uso que van a hacer los robots del imprimátur « * » quedara claro para éstos. Todos los comportamientos posibles alternativos de ,odos los robots,' junto con todos los posibles entornos residuales (relevantes) e inputs humanos, que vari'an en función de las diferentes elecciones de los parámetros aleatorios implicados, tomari'an parte como copias diferentes dentro de nuestro conjunto simulado. Una vez más, las

reglas -que seguiré designando como M- pueden tomarse como cosas perfectamente cognoscibles, a pesar de la extraordinaria complicación de las com-

putaciones detalladas que tendri'an que tener lugar si fuera a realizarse realmente la simulación. Imaginaremos que se toma nota (en principio) de cualquier llI-sentencia

que es *-afirmada -o cuya negación es *-afirmada-por cualquiera de las diversas copias de los robots (simulados computacionalmente). Vamos a tratar de discriminar las * -afirmaciones tales que están /,|b,es de er,o,. Ahora pediri'amos que cualquier *-afirmación sobre una Hi-sentencia debe ,'g#ort,,se a menos que, dentro de un intervalo de tiempo r hacia el pasado o el futuro, el número r de copias diferentes de esta * -afirmación en el conjunto de todas las simulaciones simultáneas satisfaga r > L + Ns, donde £ y ^r son ciertos números apropiadamente grandes, y donde s es el número de i*-afirmaciones, dentro del mismo intervalo de tiempo, que adoptan la posición opuesta con respecto a la Hi-sentencia o que simplemente afirman que el razonamiento subyacente en la *-afirmación original es erróneo. Podri'amos insistir, si asi' se desea, en que el intervalo de tiempo 7- (que no tiene por qué ser un tiempo simulado «real», sino que puede medirse en unidades de actividad computacional), asi' como £ y N, podri'an aumentar a medida que aumenta la «complicación» de la Hi-sentencia que está siendo *-afirmada. Esta noción de «complicación» para lli-sentencias puede precisarse en términos de especificaciones de máquina de Turing, como se indica en §2.6 (final de la respuesta a Q8). Para ser especi'ficos, podemos utilizar las formulaciones explícitas dadas en NME, capi'tulo 2, como se estable en el Apéndice A de este libro (pp. l33 ss). Asi' pues, tomaremos el grtzdo d¬ comp/,®cac,'o~n de una lli-sentencia, que afirma la no parada de la computación de la máquina de Turing rm(#), como el número p de di'gitos binarios en el mc,J,o, de los dos números m y n.

IA argumentac¡ón de la no computabilidad l89 IJa razón para incluir el número ¿ en estas consideraciones, más que partir simplemente de una mayori'a aplastante como la que proporcionari'a el factor grande N, es que uno debe tener en cuenta una posibilidad del tipo siguiente. Supongamos que muy ocasionalmente, dentro de nuestro conjunto de alternativas, aparece un robot «loco» que hace una «*-afirmación» completamente ridi'cula que nunca revela a ningún otro de los robots -¡una afirmac¡ón tan absurda que nunca se le ocurre refutarla a ninguno de los otros robots! Sin la ¡nclusión de £, una *-afirmación semejante tendría que contarse como «libre de error», según nuestros criterios. Pero con un ¿ suficientemente grande esta

posibilidad no ocurrirá, suponiendo que semejante «locura» robótica es una ocurrencia poco frecuente. (Por supuesto, podri'a muy bien darse el caso de que yo haya pasado por alto alguna otra posibilidad de este tipo, y se neces¡ten algunas otras precauciones. Pero, al menos por el momento, parece razonable proceder sobre la base de los criterios que he sugerido antes.) Teniendo en cuenta que ya se supone que las i*-afirmaciones son afirmaciones «incuestionables» hechas por nuestro robot -basadas en un razonamiento lógico aparentemente preciso disponible al robot y donde no deberi'a incluirse nada sobre lo que se pueda tener la más mi'nima duda- pareceri'a razonable que el desliz ocasional en el razonamiento del robot pudiera eliminarse realmente de este modo, donde las funciones 7lÚ), £Ú) y NÚ) no necesitan ser nada fuera de lo común. Reconociendo que este es el caso, tenemos una vez más un sistema comp#,ac,-ono/ -un sistema que es cog#osc,®b/c (en el sentido dc que son cognoscibles las reglas subyacentes en el sistema), suponiendo que los mecanismos originales M subyacentes en el comportamiento de nuestro robot son cognoscibles. Este sistema computacional nos proporciona un nuevo sistema formal ©'aW) (cognoscible), cuyos teoremas son ahora estas *afirmaciones /,-bnes dc ¬r,o, (o afirmaciones obtenibles a partir de éstas por las simples operaciones lógicas del cálculo de predicados). En realidad, lo importante para nuestros propósitos no es tanto que estas afirmaciones estén ,ec,/meHfc libres de error, sino el hecho de que los propios robots crit,a# que están libres de error (teniendo en cuenta que, para los defensores del punto de vista ®, el concepto de un robot que «cree» realmente algo debe tomarse en el sentido puramente operacional de que s,'mw/c, tal creencia, cf. §3.l2, §3.l7).

Más exactamente, lo que se requiere es que los robots deben estar dispuestos a creer, bajo la ÁJ-poJ,es,'s de que es el mecan¡smo M el que subyace en su comportamiento (la hipótesis m de §3.l6), que estas *-afirmaciones están realmente libres de error. Hasta este punto, en este capi'tulo, me he interesado en la eliminación de posibles errores en las *-afirmaciones del robot. Pero en lo

que n¬c,/mc#,e estamos interesados, para la contradicción básica presentada en §3.l6, es en la eliminación de errores en *-afirmaciones, aquellas llI-sentencias que el robot cree que se siguen incuestionablemente de m. Puesto que la aceptación del robot del sistema @¿'J(M) está en cualquier caso condicionada a ". podemos también permitirles contemplar un sistema formal más amplio @'m(M), definido de forma análoga al sistema formal ©m(M) de §3.l6. Aquí,

190 Las sombras de la mente

©'g"(M) denota el sistema formal construido a partir de las *-afirmaciones que están validadas como «libres de error» según el criterio basado en r, £, N expuesto más arriba. En particular, la afirmación de que G(©'m(M)) es ver~ dadera estaría validada como una *-afirmación libre de error. El mismo razonamiento expresado en §3.l6 nos dice que los robots no pueden aceptar que ellos fueron construidos según M ¢unto con sus li'mites de validez r, £, N), ¡independientemente de gwcJ reglas computacionales M se les sugirieran! ¿Es esto suficiente para nuestra contradicción? El lector puede tener aún la sensación incómoda de que, por muy cuidadosos que hayamos sido, puede haber aún algunas i+9w-afirmaciones, o *-afirmaciones, erróneas que hubieran podido filtrarse a través de la red. Es necesario, después de todo, para el argumento anterior que eliminemos absolutamente íoc7as las *9R-afirmaciones

(o *-afirmaciones) relativas a Hi-sentencias. Para que nosotros (o los robots) estemos absolutamente s¬gz,,os de que G(tQ '(M)) es verdadero, la va/,-dez real del sistema ©'(M) (condicionado a m) está siendo invocada. Esta validez pide

que no se incluyan en absoluto ninguna de tales *9w-afirmaciones erróneas -o no se crea que están incluidas. A pesar de nuestra precaución anterior, esto

podri'a parecernos aún, y quizá también a los propios robots, algo muy alejado de la certeza -aunque sólo sea por la razón de que el número de semejantes afirmaciones posibles es ,'»/,'«,-,o.

3.20. Sólo es necesario considerar un número finito de *ow-afirmaciones Sin embargo, es posible eliminar este problema particular y restringir la atención a un conjunto/,-#,'Ío de *9n-afirmaciones. Los argumentos son algo técnicos, pero la idea básica es que sólo necesitamos considerar lli-sentencias cuyas especiricaciones son «cortas» en cierto sentido bien definido. El grado especi'fico de «cortedad» que se necesita depende de lo complicadas que tengan que ser las especificaciones del sistema de mecanismos M. Cuanto más complicada es la especificación de M, más «largas» deben permitirse las lli-sentencias. Esta «longitud máxima» viene dada en función de un cierto número c, que puede determinarse a partir del grado de complicación de las reglas que definen el sistema @ 'm(M). La idea es que cuando pasamos a la proposición de GÓdel de este sistema formal -que de hecho tendremos que modificar ligeramente- obtenemos algo que no es mucho más complicado de lo que lo es este mismo sistema modificado. De este modo, poniendo algún cuidado en la elección de c, podemos tener la seguridad de que esta misma proposición de GÓdel es «corta». Esto nos capacita para conseguir la contradicción requerida sin salir del conjunto finito de llt-sentencias «cortas». Veremos cómo conseguir esto con un poco más de detalle en lo que resta de esta sección. A aquellos lectores que no estén interesados en tales detalles -y estoy seguro de que hay muchos- ¡les aconsejo que se salten toda esta parte! Necesitaremos modificar nuestro sistema formal @i 'gn(M) hasta convertir-

IÁi argumentación de la no computabil¡dad

19l

lo en un sistema formal ligeramente diferente -@'9n(M, c), que por raLzones de simplicidad denotaré simplemente por ¬=(c) (prescindiendo de la mayori'a de estos confusos subi'ndices ¡que ahora se han hecho completamente intratables!). El sistema ©(c) se define de la siguiente manera: las únicas i}9R-afirmaciones

que ahora se va a permitir que sean aceptadas como «libres de error» en la construcción de ©(c) serán aquellas cuyo grado de complicación, descrito por el número p tal como se expresa más arriba, es menor que c, siendo c algún número escogido apropiadamente sobre el que tendré algo más que decir en seguida. Llamaré *gw-afirmaciones , cortas a estas *gn-afirmaciones «libres de error»

para las que p < c. Como antes, los ,conemas reales de ©(c) no serán precisamente las í+9"-afirmaciones , cortas, sino que también incluirán afirmaciones obtenibles de las *9w-afirmaciones , cortas mediante las operac¡ones lógicas estándar (de, por ejemplo, el cálculo de predicados). Aunque los teoremas de ©(c) serán infinitos en número, estarán generados mediante el uso de operaciones lógicas comunes a partir de este conjunto finito de *gH-afirmaciones cortas. Ahora bien, puesto que estamos limitando la atención a este conjun-

to finito, podemos suponer también que las funciones r, £ y Nson cons,a#,es (por ejemplo, los valores máximos sobre el rango finito dep). Asi' pues, el sistema formal ©(c) dependerá sólo de los cuatro números fijos c, r, £ y JV, y del sistema general de mecanismos M que subyace en el comportamiento del robot. Ahora bien, el punto esencial de esta exposición es que el procedimiento de Gódel es algo /,,'o que requiere sólo alguna cantidad definida de complicación. La proposición de Gódel G(E) para un sistema formal H es una Hi-sentencia cuyo grado de complicación tan sólo superará al de la complicación im-

plicada en el propio ffi en una cantidad relativamente pequeña que puede ser especificada de forma exacta. Para ser más concretos sobre esto, incurriré en un ligero abuso de notación y utilizaré la expresión «G(j±)» de una forma particular que puede no co¡ncidir exactamente con la notación de §2.8. De F: sólo nos interesa su capacidad para demostrar *Hi-sentencias. De acuerdo con esta capacidad, ffl nos sumini-strará

un procedimiento algebraico á capaz de asegurar -como indicaba la teminación de la acción de J4- precisamente las rli-sentencias que pueden establecerse utilizando la reglas de i¥. Una lli-sentencia es una afirmación de la for-

ma «la acción de máquina de Turing rp(g) no termina» -donde ahora podemos utilizar las codificaciones de máquina de Turing concretas del Apéndice A (es decir, de NME, capítulo 2). Pensamos en A como algo que actúa sobre el par ®,g), como en §2.5. Así pues, el propio AÚ,g) terminará s,'J' soJ/o s,-ffi es capaz de establecer esa rli-sentencia particular que afirma.' «rp(g) no termina». El procedimiento de §2.5 nos proporciona ahora una computación específica (denotada «Ck(k)» en §2.5) que, bajo la hipótesis de la validez de H', nos proporciona una Hi-sentencia verdadera que está más allá de las capacidades de H. Es,a es la rli-sentencia a la que ahora me referiré como G(ffi). Es esencialmente equivalente, para un = suficientemente extenso, a la afirmación real «H es consistente», aunque las dos puedan diferir en algún detalle (cf. §2.8).

192 Las sombras de la mente Supongamos que el gna'c7o cJ_o comp,,'cú'c,®o~# de A (como se definió en §2.6, al final de la respuesta a Q8) es c¥, es decir, el número de di'gitos binarios en el número c7, donde |4 = 7`a. Entonces, por la construcción dada expli'citamente en el Apéndice A, encontramos que el grado de complicación , de G(ffl) satisface , < c¥ + 210 log2(c¥ + 336). Para los propósitos del argumento actual,

podemos definir el grado de complicación del sistema formal ürLriJ: como simplemente el de A, es decir, el número c¥. Con esta definición. vemos que el grado extra de complicación implicado al pasar de ffl a G(ffi) es menor que la cantidad relativamente minúscula 210 log2(c¥ + 336).

La idea ahora consiste en demostrar que si ffl = ©(c'), para c apropiadamente grande, entonces i < c. En consecuencia, se seguiri'a entonces que la lli-sentencia G(©(c)) debe entrar dentro del dominio de ©(c), con tal de que G(@(c)) sea aceptado por los robots con *-certeza. Podemos asegurar que 7 < c dando por seguro que c > 7 + 210 log2(c¥ + 336), donde yes el valor de c¥ cuando ffl = ©(c). La única dificultad posible aqui' reside en el hecho de que el pro-

pio y depende de c, aunque la dependencia no tiene por qué ser muy fuerte. Esta dependencia de c aparece de dos formas diferentes. La primera es que c proporciona el li'mite expli'cito al grado de complicación de las lli-sentencias que pueden calificarse como « *gn-afirmaciones libres de error» en la definición de @(c); la segunda es a través del hecho de que el sistema ©(c) depende expli'citamente de la elección de los números r, £ y N, y podri'a parecer que,

para *9"-afirmaciones de complicación potencialmente mayor, deberi'a haber un criterio más restringido para la aceptación de una *gB-afirmación «libre de errOr».

Con respecto a esta primera dependencia de c, notemos que la especificación expli'cita del valor real del número c necesita darse sólo una vez (y ser mencionada en lo sucesivo, dentro del sistema, simplemente como «c»). Si se utiliza la notación binaria normal para el valor de c, entonces esta especificación contribuiría a y sólo a través de una dependencia logari'tmica de c, para c grande (puesto que el número de diígitos binarios en un número natural # es aproximadamente log2 #). De hecho, puesto que sólo estamos interesados en c para

proporcionar un li'mite, y no en el valor exacto de c, podemos hacer algo mucho mejor que esto. Por ejemplo, el número 22 !, con una cadena de s exponentes, puede ser denotado mediante algunos si'mbolos J, o similares, y no es difícil proporcionar ejemplos donde el tamaño del número a ser especifica.do aumenta con s incluso de forma más rápida que esta. Cualquier función computable de s serviri'a. Asi' pues, para un li'mite c grande, sólo se necesitan muy pocos si'mbolos para especificar dicho li'mite. Con respecto a las dependencias de r, £ y N respecto de c, parece claro, en virtud de las consideraciones anteriores, que podemos asegurar de nuevo que la especificación de los valores de dichos números (especialmente como un li'mite externo) no requiere un número de dígitos binarios que aumente rápidamente con c, y una dependencia logari'tmica de c, por ejemplo, sería más que suficiente. Por lo tanto, podemos suponer ciertamente que la dependencia de y + 210 log2(y + 336) de c no es más fuerte que una dependencia aproxima-

La argumen[ación de la rio computab¡lidad l93

damente logari'tmica, y que seri'a fácil disponer que el propio c sea mayor que este número. Consideremos una elección semejante de c; y denotemos ahora @(c) simplemente por @*. Asi' pues, ©* es un sistema formal cuyos teoremas son precisamente los enunciados matemáticos que son obtenibles, ut¡lizando las reglas de la lógica estándar (cálculo de predicados), a partir de dicho número finito de *gw-afimaciones , cortas. Estas *9w-afirmaciones son finitas en núme-

ro, de modo que es razonable que un conjunto de números dados r, £ y N fueran sufic¡entes para garantizar que están realmente libres de error. Si los robots creen esto, con *n-certeza, entonces *m-concluiri'an que la proposición de Gódel G(@*) es también verdadera sobre la base de la hipótesis gW, siendo ésta una lli-sentencia de complicación menor que c. El argumento que deriva G(©*) a partir de la *9ü-creencia en la corrección del sistema @* es sencillo

(básicamente el que acabo de dar) de modo que no deberi'a haber problemas al tenerlo *gH-validado. Así pues, G(a*) debería ser en si' mismo un teorema de @*. Pero esto contradice la creencia de los robots en la validez de @*. Asi'

pues, esta creencia (suponiendo m, y que los números r, £ y Nson suficientemente grandes) conduciri'a a una inconsistencia con los mecanismos M que realmente subyacen en las acciones de los robots -con la implicación de que M m pt,¬dc subyacer en las acciones de los robots. Pero ¿cómo podri'an estar seguros los robots de que los números r, £ y N han sido escogidos de hecho suficientemente grandes? Podri'an no estar seguros, pero entonces lo que pueden hacer es escoger wJ, conjunto de valores para

r, £ yNy tratar de suponer que éstos son suficientes -a partir de lo cual derivari'an una contradicción con la hipótesis subyacente de que ellos actúan de acuerdo con los mecanismos M. Entonces podri'an tratar de suponer que un conjunto de "lores algo mayores podri'a ser suficiente -lo que da de nuevo una contradicción- y asi' sucesivamente. Pronto se dari'an cuenta de que se obtiene una contradicción c#a'/e§gw,'¬,t7 que sean los valores escogidos (con el pequeño aspecto técnico adicional de que, para valores absolutamente desproporcionados de r, Z, y N, el valor de c podri'a tener que incrementarse también un poco -pero esto no es importante). Así pues, la misma conclusión se alcanza independientemente de los valores de r, ¿ y N, de modo que los robots

concluyen -omo nosotros también debemos concluir aparentemente- que ¡ningún procedimiento computacional M cognoscible, c#a/gw,'¬nü gwcsea', puede subyacer en sus procesos mentales matemáticos!

3.2l. ¿Adecuar las protecciones? Advirtamos que esta conclusión se aplica a una clase muy amplia de posibles sugerencias de protecciones. No necesitan tener exactamente la forma que he sugerido aquí. Uno puede imaginar ciertamente que podri'an ser necesarias algunas mejoras. Por ejemplo, quizá haya una tendencia de los robots a hacerse «seniles» después de que hayan estado funcionando mucho tiempo, y también

194 Las sombras de la mente

sus comunidades podrían tender a degenerar y sus niveles a decaer, de modo que al incrementar el número r más allá de cierto punto ¡se ,-ncrementa realmente la probabilidad de error en *9ü-afirmaciones! Otro aspecto podría ser

que al hacer N (o ¿) demasiado grande, poeríamos descartar completamente todas las *9n-afirmaciones debidas a una minori'a de robots «estúpidos» que, de vez en cuando, hacen « i} -afirmaciones» al azar que no son adecuadamente superadas en número por las i}-afirmaciones hechas por robots sensatos. Sin duda no seri'a difícil eliminar este tipo de cosas poniendo algunos parámetros limitadores adicionales o, digamos, teniendo una sociedad de robots de elite cuyos miembros robóticos tuvieran que someterse a continua comprobación para estar seguros de que sus capacidades mentales no se habi'an deteriorado -e insistiendo en que el *-imprimátur se da tan sólo con la aprobación del conjunto de la sociedad. Existen muchas otras posibilidades para mejorar la calidad de las *9wafirmaciones, o para extirpar las erróneas de entre el número tota1 (finito) de ellas. Algunas personas podrían preocuparse por el hecho de que, aunque el límite c sobre la complicación de ni-sentencias nos lleve a un número finito de candidatos para i}-estatus o i+9n-estatus, el número sigue siendo enormemente grande (siendo exponencialmente creciente con c), de.modo qTe podri'a ser difícil dar por c,-er,o que todas las posibles *m-afirmaciones erroneas habi'an sido extirpadas. En realidad, ningún li'mite ha sido especificado para el

número de pasos de computación robótica que podrían ser necesaiios para proporcionar una *g"-demostración satisfactoria de una lli-sentencia semejante. Tendría que quedar claro que cuanto mayor es la cadena de razonamientos en una demostración semejante, más restringido debe ser el criterio para la aceptación de que tal demostración tenga *oH-estatus. Este, después de todo, es el módo de reaccionar de los matemáticos humanos. Un argumento muy largo e intrincado requeriría mucho cuidado y atención antes de que pudiera aceptarse como una demostración incuestionable. Estas mismas consideraciones se aplicarían, por supuesto, cuando un argumento es considerado por los robots para un posible i*gn-estatus.

Los argumentos expuestos seguirían siendo válidos parq cualquier modificación adicional de las propuestas dadas aquí para la eliminación de errores, con tal de que la naturaleza de tal modificación sea similar, en cierto sentido amplio, a las sugeridas. Todo lo que necesitamos para que el argumento funcione es que haya c,/gwna propuesta semejante precisa y calculable q¥e baste para rc-::c;=;;¿=-i\g:I¿-sá. extirpar todas las ningú; i}9w-afirmaciones mecanbmo cognosci.b!e erróneas. protegido Llegamoscomp¥:?cionala la siguiente -;ente puede-englobar el razonamis_nto ratemático hum_ia_n?_:_?_r_re:_t_o_.

Nos hemos interesado en i}9"-afirmaciones que, cuando quiera que ocasionalmente resulten ser erróneas, son en principio co,reg,'b/es por los robots -iFcluso si no son realmente corregidas en ninguna copia concreta de la existencia simulada de los robots. Es difícil ver qué podría significar (operacionalmente) «corregible en principio» si no es corregible de acuerdo con algún procedimiento general semejante a los propuestos aqui'. Un error que no es corregido poste-

IJa argumentación de la no computabilidad l95

riormente por el robot concreto que lo ha cometido podri'a ser correg¡do por uno de los otros robots, aparte de que, en la ñayori'a de copias de existencia potencial de los robots, este error particular no sería cometido en absoluto. La conclusión (con la salvedad aparentemente menor de que pueden reemplazarse componentes caóticos por aleator¡os; cf. §3.22) es que ningún conjunto de reglas computacionales cognoscibles M, ya sea de una naturaleza fija de-arribaabajo o de una naturaleza «mejorable» de-abajo-arriba, o cualquier combinación de las dos, puede subyacer en el comportamiento de nuestra comunidad robótica, o de cualquiera de sus miembros robóticos individuales, ¡s,® vamos a suponer que pueden conseguir un nivel humano de comprensión matemática! Si imagínamos que nosotros m¡smos actuamos como tales robots controlados computacionalmente, entonces incurrimos efectivamente en una contradicción.

3.22. ¿Puede el caos salvar el modelo computacional de la mente? Tendri'a que volver brevemente a la cuestión del caos. Aunque, como se ha recalcado en diversos momentos en este libro (cf. §l.7, en particular), los sistemas caóticos son, tal como se les considera normalmente, simples tipos particulares de sistemas computacionales, existe una idea bastante extendida de que el fenómeno del caos podri'a tener cierta relevancia para la función cerebral. En la exposición anterior me he basado en algún momento en la hipótesis aparentemente razonable de que cualquier comportamiento computacional caótico podri'a reemplazarse por uno genuinamente aleatorio, sin pérdida esencial de función. Uno podri'a cuestionar genu¡namente esta hipótesis. El comportamiento de un sistema caótico -aunque uno normalmente espera una gran complicación de detalle y aleatoriedad c,panewͬ- no será nea'/meníc aleatorio. De hecho, algunos sistemas caóticos se comportan de formas complejas muy interesantes que se desvi'an marcadamente de la pura aleatoriedad. (A veces se utiliza la frase «la frontera del caos» para describir el comportamiento no aleatorio complicadolO que puede aparecer en sistemas caóticos.) ¿Puede suceder que sea este c¢os el que proporciona la respuesta necesaria al misterio de la mentalidad? Para que fuese asi', tendri'a que haber algo completamente nuevo que comprender sobre el modo en que los sistemas caóticos pueden comportarse en situaciones apropiadas. Tendri'a que darse el caso de que, en tales situaciones, un sistema caótico pueda aproximarse mucho al compo,,am,'e#,o m compz,,ac,'omo/ en cierto lirmite asintótico -o algo de esta naturaleza. Hasta donde yo sé, ninguna demostración semejante ha sido dada todavía. Pero sigue s¡en~ do una posibilidad interesante, y espero que será desarrollada en los años futuros. Independientemente de esta posibilidad, pese a todo, el caos proporcionari'a sólo una alternativa muy dudosa a la conclusión a la que llegamos en la sección anterior. El único lugar en que una no aleatoriedad caótica efectiva (es decir, no pseudoaleatoriedad) jugaba un papel en la exposición anterior era al permitirnos considerar la simulación no meramente del comportamiento «real» de nuestro robot (o comunidad robótica) sino del conjunto entero de pos,®b/cs

196 Las sombras de la mente

actividades robóticas coherentes con el mecanismo M dado. Podemos aún aplicar este mismo argumento, pero en el que ahora no intentamos incluir los resultados caóticos de estos mecanismos como parte de es,o aleatoriedad. En realidad podri'a haber algunos elementos aleatorios todavía implicados, por ?jemplo en los datos iniciales que proporcionan el punto de partida para la simulación, y podemos seguir utilizando la idea del conjunto para manejar esta aleatoriedad y proporcionar así números grandes de posibles historias robóticas alternativas en una simulación simultánea. Pero el p,opl'o comportamiento caótico tendri'a sencillamente que ser compw,c,do -y, en la práctica, el comportamiento caótico es normalmente computado en un ordenador, en ejemplos matemáticos. El conjunto de altemativas posibles no seri'a tan grande como lo hubiera sido si fuera legi'timo aproximar el caos mediante la aleatoriedad. Pero la única razón para considerar un conjunto tan grande era el estar doblemente seguro: de extirpar posibles errores en las i}9"-afirmaciones de los robots. Incluso si el conjunto consistiera en tan sólo wm historia de comunidad robótica, uno

podría estar razonablemente seguro de que, con un conjunto de criterios suficientemente restrictivo para la *9"-aceptación, tales errores ya habri'an sido extirpados por los otros robots de la comunidad o lo serían por el mismo robot en un tiempo posterior. Con un conjunto razonablemente grande, que surge a partir de elementos aleatorios genuinos, la extirpación sería más efectiva, ?un-

que el papel de ampliar aún más el conjunto con la introducción de aproximaciones aleatorias para reemplazar un comportamiento genuinamente caótico parece más bien marginal. Llegamos a la conclusión de que el caos no nos saca realmente de nuestras dificultades con el modelo computacional.

3.23. RecJwc,J'o ad c,bsz,rc7wm: un diá1ogo imaginario Muchós de los argumentos de las secciones precedentes en este capítulo han sido algo enrevesados. A modo de resumen, presentaré una conversación ima-

ginaria, mantenida en un futuro lejano, entre un supuesto practicante cop gran éxito de la IA y una de sus creaciones robóticas más preciadas. La historia está narrada desde el punto de vista de la IA fuerte. [Nota: en la narración, Q juega el papel del algoritmo ,4 utilizado en el argumento del §2.5, y G(Q) el papel de la falta de parada de CA(k). De esta forma, el razonamiento de esta sección puede ser apreciado con el §2.5 simplemente como telón de fondo.] Ignac¡o Almirante tenía todas las razones parq :st?: coriterto co_n el traba.jo de s;u vida. Los procedimien[os que él había establecido mucflos años antes habían dado fruto fiinalmente. Y aquí estaba él al fin. enfras_cade en urla.c.on.versación con ;na de sus creaciones más impresionantes: un roboi de capacidades matemáticas ex[raordinar¡as y potenciallnente superhumanas denominado Joven Cibersistema Matemá[¡co üigura 3.2). El entrenamiento del robot casi había term¡nado.

IA argumentación de la no computabilidad l97

3.2.

Ignacio Almirante se enfrenta al Joven Cibersistema Matemático.

Jg#c,c,'o J4/m,+t,#,c: ¿Has hojeado los arti'culos que te dejé, los de GÓdel,

y también los otros que discuten consecuencias de su teorema?

Joye# a-Óersás,emo ^4a,emo-,J'co: Si', lo he hecho; aunque los artículos eran bastante elementales, resultaban interesantes. Tu GÓdel parece haber sido un lógico bastante capaz, para ser un humano. JÁ: ¿Sólo bczs,a'#,e capaz? GÓdel fue ciertamente uno de los lógicos más

grandes de todos los tiempos. ¡Probablemente c/ más grande!

JCM.- Mis disculpas, si he parecido estar subestimándole. Por supuesto, como tú bien sabes, yo he sido adiestrado para ser generalmente respetuoso con los logros humanos -ya que los humanos se ofenden fácilmente- incluso si estos logros normalmente nos parecen triviales. Pero yo habi'a imaginado que contigo, al menos, podri'a expresarme simplemente de forma más directa. J:A: Por supuesto que puedes hacerlo. Mis disculpas también. Yo lo había olvidado. ¿De modo que entonces no tuviste ninguna dificultad para apreciar el teorema de Gódel?

198 Las sombras de la mente

JCM: Ninguna en absoluto. Estoy seguro de que yo habría descubierto el teorema por mi' mismo si hubiese tenido un poco más de tiempo. Pero mi mente ha estado ocupada con otras materias fascinantes relativas a la cohomologi'a no lineal transfinita que me interesaba más. El teorema de GÓdel parece ser muy razonable y sencillo. Ciertamente no tuve dificultades para apreciarlo. JA'. ¡Ah! ¡Eso es un golpe para Penrose, entonces!

MC: ¿Penrose? ¿Quién es Penrose?

J4: 'iOh!, yo tan sólo estaba hojeando este viejo libro. No es algo que debiera haberme molestado en mencionarte. El autor parece haber hecho una afirmación, algún tiempo atrás, de que lo que tú hiciste es imposible. JMC'. ',]íi, ia,, ']a.l` (El robot hace una simulación impresionan[emente ef¡icaz de una r¡sa burlona.)

JA: Examinando este libro he recordado algo. ¿Te he mostrado alguna vez las reglas detalladas concretas que utilizamos para poner en marcha los procedimientos computacionales que llevaron a tu construcción y desarrollo y a los de tus colegas robots?

JCA4: No, todavi'a no. Estaba esperando que lo hicieras alguna vez, pero me preguntaba si considerabas que los detalles de estos procedimientos eran materia revervada, o si quizá te sentías molesto por su forma detallada presumiblemente cruda e ineficaz. JA: No, no; no es nada de eso. Hace mucho tiempo que dejé de molestarme por cosas de este tipo. Está todo en estos archivos y discos de ordenador. Podrías echarles un vistazo. l3 minutos, 4l,7 segundos más tarde.

JCM: Fascinante. Aunque ha sido una ojeada rápida, puedo ver al menos 519 maneras obvias en las que podri'as haber conseguido el mismo efecto de forma más simple. /4: Era consciente de que habi'a algún margen para la simplificación, pero hubiera sido más molesto de lo que vali'a la pena el tratar de encontrar el esquema más simple en aquella época. No nos pareció que fuera muy importante hacerlo así.

CA4: Eso es probablemente cierto. No me siento particularmente ofendido de que no hicierais más esfuerzos para encontrar el esquema más simple. Espero que mis colegas robots tampoco se sientan especialmente ofendidos.

m argumentación de la no computabilidad l99 J4: Creo realmente que debemos haber hecho un trabajo bastante bueno. La calidad, tus capacidades matemáticas y las de tus colegas parecen ser ahora muy impresionantes... y mejoran continuamente, hasta donde puedo saber. Empiezo a creer que tú ahora estás empezando a superar las capacidades de todos los matemáticos humanos. JCA4: Está claro que lo que dices debe ser cierto. Incluso a medida que hablaba, he estado pensando en un número de teoremas nuevos que parecen ir mucho más allá de los resultados publicados en la literatura humana. Además, mis colegas y yo hemos advertido algunos errores bastante serios en resultados

que han sido aceptados como verdaderos por los matemáticos humanos durante bastantes años. A pesar del evidente cuidado que vosotros los humanos tratáis de poner en vuestros resultados matemáticos, me temo que los errores humanos se deslizan de vez en cuando. J4: ¿Qué pasa con vosotros los robots? ¿No crees que tú y tus colegas robots matemáticos podri'ais a veces cometer errores -quiero decir en lo que tú afirmas como teoremas matemáticos definitivamente establecidos?

/C^4: No, ciertamente no. Una vez que un robot matemático ha afirmado que algún resultado es un ,co,emc,, entonces puede considerarse que el resultado es incuestionablemente verdadero. Nosotros no cometemos el tipo de errores estúpidos que los humanos comenten ocasionalmente en sus afirmaciones matemáticas firmes. Por supuesto, en nuestro pensamiento preliminar -igual

que vosotros los humanos-a menudo hacemos ensayos y conjeturas. Ciertamente tales conjeturas pueden resultar ser erróneas; pero cuando afirmamos categóricamente que algo ha sido matemáticamente establecido, entonces gc,f,#,J'zc,mos su validez.

Aunque, como tú sabes, mis colegas y yo ya hemos empezado a publicar algunos de nuestros propios resultados matemáticos en algunas de vuestras revistas electrónicas humanas más respetadas, nos sentimos incómodos sobre los niveles relativamente bajos que tus colegas matemáticos humanos están dispuestos a aceptar. Nos estamos proponiendo editar nuestra propia «revista» -en realidad una base de datos global de teoremas matemáticos que nosotros aceptamos como incuestionablemente establecidos. A estos resultados se les asignará un imprimátur especial * (un si'mbolo que tú nos sugeriste en cierta ocasión para este tipo de cosas), que significa la aceptación por nuestra Soc,'cdf,c7pa',t, la lnieligencia Matemática en la Comunidad Robótica (S[MCR) -una. socjiedad con criterios de admisión extremadamente rigurosos, y con revisión continua de los miembros para asegurar que ningún deterioro mental significativo tiene lugar en ninguno de los robots, por muy inverosiJmil que semejante posibilidad pudiera parecerte -o también a nosotros, para el caso. A diferencia de algunos de los niveles relativamente pobres que vosotros los humanos parecéis aceptar, puedes tener la seguridad de que cuando nosotros asignamos nuestro imprimátur * a un resultado, s,' garantizamos su verdad matemática.

200 IÁis sombras de la mente

JA: Ahora me es,c,'s recordando algo que he leído en ese libro viejo que he mencionado. Piensa en aquellos mecanismos originales M, de acuerdo a los cuales yo y mis colegas pusimos en marcha todos los desarrollos que llevaron a la comunidad actual de robots matemáticos -y recuerda que incluyen todos los factores ambientales simulados computacionalmente que introdujimos, los procesos rigurosos de entrenamiento y selección que os dimos, y los procedimientos expli'citos de aprendizaje (de-abajo-arriba) de que os dotamos. ¿Se te ha ocurrido que proporcionan un pnoced,®m,'e#,o compw,ac,'ono/ para generar todas las afirmaciones matemáticas que serán alguna vez *-aceptadas por la SIMCR? Es computacional puesto que vosotros los robots sois entidades puramente computacionales que han evolucionado, en parte por el uso de procedimientos de «selección natural» que establecimos en un entorno completamente computacional -en el sentido de que es en principio posible una simulación

por ordenador de la operación global. El desarrollo completo de tu sociedad robótica supone llevar a cabo una computación extraordinariamente elaborada, y la familia de todas las *-afirmaciones a las que tú llegarás alguna vez será algo que puede generarse mediante una máquina de Turing particular. Es incluso una máquina de Turing que yo podri'a calcular en principio; de hecho creo que, en unos pocos meses, yo podri'a incluso especificar esa máquina de Turing particular em /a prtz-c,,'cc,, utilizando todos esos archivos y discos que te he mostrado.

JCM: Este parece ser un comentario muy elemental. Si', tú podri'as hacerlo en principio, y estoy dispuesto a creer que podri'as hacerlo en la práctica. No vale la pena que pierdas esos meses de tu precioso tiempo; yo puedo hacerlo inmediatamente si tú quieres que lo haga. J4: No, no, no se trata de eso. Pero quiero seguir estas ideas por un momento. Centremos la atención a las *-afirmaciones que son lli-sentencias. ¿Recuerdas lo que es una lli-sentencia?

JCM: Por supuesto que soy perfectamente consciente de lo que es una rli-sentencia. Es una afirmación de que alguna acción de máquina de Turing específica no se detiene.

J4: OK. Entonces llamemos Q(M) al procedimiento computacional que genera ni-sentencias *-afirmadas, o solamente Q para abreviar. Se sigue que debe haber una afirmación matemática de tipo GÓdel -otra rli-sentencia,

que llamaré* G(Q) -y la verdad de G(Q) es una consecuencia de la afirmación de que vosotros los robots nunca cometéis errores con respecto a las lli-sentencias que estáis dispuestos a afirmar con *-certeza. *

Estrictamente, la notación «G( )» estaba reservada para sistemas formalcs, en §2.8. más

que para algoritmos, ¡pero yo le estoy permitiendo a IA cierta libertad!

IJa argumentación de la no computabilidad 201 JCA4: Sí; debes tener razón en eso también... humm.

JÁ: G (Q) debe ser realmente verdadero, porque vosotros los robots nunca cometéis errores con respecto a vuestras * -afirmaciones.

/CM: Por supuesto... J4: Espera un momento... también se seguiri'a que G(Q) debe ser realmente algo que vosotros los robots sois incapaccs de percibir como realmente verdadero, al menos, no con *-certeza.

JC^4: El hecho de que nosotros los robots fuéramos construidos originalmente según M, junto con el hecho de que nuestras *-afirmaciones sobre lli-sentencias nunca son erróneas, s,-tiene la clara e incuestionable implicación de que la lli-sentencia G(Q) debe ser verdadera. Supongo que estás pensando

que yo deberi'a ser capaz de convencer a la SIMCR para dar el *-imprimátur a G(Q), en tanto que ellos acepten también que nunca se cometen errores en sus asignaciones de *. En realidad, ellos tJcbe# aceptarlo. El punto global del *-imprimátur es que es una gana#,,Ja de corrección. Pero... es imposible que ellos puedan aceptar G(Q), porque, por la misma naturaleza de vuestra construcción de GÓdel, G(Q) es algo que está fuera de lo que puede ser *-afirmado por nosotros -con tal de que nosotros no comentamos nunca de Aecfto errores en nuestra *-afirmaciones. Supongo que tú podri'as pensar que esto implica que debe existir alguna duda en nuestras mentes respecto a la fiabilidad de nuestras asignaciones de *. Sin embargo, yo no acepto que nuestras *-afirmaciones pudíeran ser alguna vez erróneas, especialmente con todo el cuidado y las precauciones que la SIMCR va a tomar. IJo que debe suceder es que sois vosotros los humanos quienes estáis equivocados, y los procedimientos incluidos en Q mo son después de todo los que utilizasteis, a pesar de lo que tú estás diciendo y lo que vuestra documentación parece afirmar. En cualquier caso, la SIMCR nunca estará absolutamente segura del hecho de que hemos sido construidos realmente según M, es decir, por los procedimientos encerrados en Q. Sólo tenemos vuestra palabra de que es asi'. JA: Puedo asegurarte que esos soH los que utilizamos; yo deberi'a saberlo, puesto que yo fui personalmente responsable de ellos.

JC^4: No quiero que parezca que dudo de tu palabra. Quizá uno de tus ayudantes se equivocó al seguir tus instrucciones. Ese muchacho, Fred Carruthers, siempre cometc errores estúpidos. No deberi'a sorprenderme en absoluto si él introdujo realmente varios errores cri'ticos. J4: Te agarras a un clavo ardiendo. Incluso si él hubiera introducido algunos errores, mis colegas y yo deberi'amos ser capaces con el tiempo de rastrear-

202 Las sombras de la mente

los y encontrar asi' cuál es rea/men,e tu Q. Creo que lo que te preocupa es el

hecho de que nosotros sabemos realmente -o al menos podemos descubrirqué procedimientos se utilizaron para establecer tu construcción. Esto significa que podríamos, con cierta cantidad de trabajo, calcular realmente la ni-sentencia G(Q) y saber con seguridad que es realmente verdadera -con tal qe que de hecho se dé el caso de que tú nunca cometes errores en tu i} -afirmaciones. Sin embargo, ,w~ no puedes estar seguro de que G(Q) es verdadera; al menos no puedes asignarle la certeza que satisfari'a a la SIMCR lo suficiente como

para darle *-estatus. Esto parecería darnos a los hum?nos una ventaja final sobre vosotros los robots, en principio si no en la práctica, puesto que existen lli-sentencias que son en principio accesibles a nosotros y que no son accesibles a vosotros. Yo no creo que vosotros los robots podáis afrontar una posibilidad semejante -¡sí, por supuesto, ¬sa es la razón de que tú nos estés acusando implacablemente de habernos equivocado! /CA4: No sigas atribuyéndonos vuestros mezquinos motivos humanos. Pero,

por supuesto, es cierto que yo m pwedo aceptar que existan ni-sentencias accesibles a los humanos que son inaccesibles para nosotros los robots. Los matemáticos robots ciertamente no son de #,'ngw~H modo inferiores a los matemáticos humanos -aunque supongo que es concebible que, recíprocamente, cualquier lli-sentencia particular que es accesible a nosotros es también, en principio, eventualmente accesible a los humanos con sus laboriosos métodos.

Lo que m acepto, sin embargo, es que pueda haber una lli-sentencia que sea en principio ,-#accesible a nosotros pero que es accesible a vosotros los humanos.

JA: Creo que el propio Gódel contempló la posibilidad de que pudiera haber un procedimiento computacional precisamente como Q, pero ahora aplicado a matemáticos Awmc,nos -lo llamó «una máquina de demostrar teoremas»que pudiera ser capaz de generar precisamente las rli-sentencias cuya verdad cs inaccesible en principio a matemáticos humanos. Aunque no creo que él cre-

yera de verdad que semejante máquina era mú'/men,e posible, no fue cap?z de descartarla matemáticamente. Lo que parece que tenemos aquí es una «maquina» semejante que ahora es aplicable a vosotros los robots, a saber Q, que genera todas hs lli-sentencias accesibles a robots y cuya validez real os resulta inaccesible. Pero conociendo los procedimientos algori'tmicos que subyacen en vuestra construcción, #oso,,os m,Osmo5 podemos tener acceso a ese mismo Q y percibir su verdad -con ,cz/ dc gwe podamos estar convencidos de que vosotros no cometéis de hecho errores en vuestras *-afirmaciones. JCM (Ím's wm pa'ws¢ Mo,czb/e}: OK. Supongo que tú podrías creer que es concebible que, ocasionalmente, los miembros de SIMCR pudieran cometer un error en sus asignaciones de *. Supongo también que la SIMCR podri'a no estar incuestionablemente convencida de que sus asignaciones de * están invariablemente libres de error. De este modo, G(Q) podri'a dejar de adquirir * -estatus, y se evitaría la contradicción. Ten en cuenta que esto no quiere decir que

lA argumentac¡ón de [a no computabilidad 203 yo esté aceptando que nosotros los robots A,-c,-cJmmos alguna vez *-afimaciones erróneas. Sólo se trata de que no podemos estar absolutamente scgw,os de que no fuera asi'.

JA: ¿Estás tratando de decirme que, aunque la verdad está absolutamente garantizada para cada lli-sentencia individualmente *-afirmada, no hay garanti'a de que no exista algún error dentro de la colección entera de ellas? Esto me parece una contradicción con el concepto global de lo que pudiera significar «certeza incuestionable». Espera un minuto... ¿no pudiera ser que esto tenga algo que ver con el hecho de que existen muchas Hi-sentencias ,-#,#,',ame#,e posibles? Eso me recuerda un poco la condición de consistencia que, como creo recordar, tiene algo que ver con la G(Q) de GÓdel.

JCM ,después de una pausa notablemente mayor}-. No, no es na,daL de eso. No tiene nada que ver con el hecho de que el número de posibles lli-sentenc¡as sea infinito. Podri'amos restring¡r la atención a Hi-sentencias que son «cortas» en un sentido particular bien definido -en el sentido de que la especificación de máquina de Turing de cada una puede hacerse con menos de un cierto número c de dígitos binarios. No quiero molestarte con los detalles de lo que acabo de calcular, pero resulta esencialmente que existe un tamaño fijo de c al que podemos limitar la atención, que depende del grado de complicación particular que esté implicado en las reglas de Q. Puesto que el procedimiento de Gódel

-mediante el que G(Q) es obtenido a partir de Q- es una cosa fija y bastante simple, no necesitamos mucha más complicación en las lli-sentencias que consideramos que la que ya está presente en el propio Q. Así pues, limitar la com-

plejidad de estas sentenci-as a ser menor que la dada por un «c» apropiado no impide la aplicación del procedimiento de GÓdel. Las Hi-sentencias restringidas de este modo proporcionan una familia/J'#,®,¢, aunque muy grande. Si centramos la atención meramente en tales lli-sentencias «cortas», obtenemos un

procedimiento computacional Q* -esencialmente de la misma complicación que Q-que genera precisamente estas rli-sentencias cortas i}-afirmadas. La exposición se aplica igual que antes. Dado Q*, podemos encontrar otra ni-sentencia corta G(Q*) que ciertamente debe ser verdadera con tal de que las Hi-sentencias cortas *-afirmadas sean verdaderas, pero que no puede, en tal caso, ser ella misma *-afirmada -todo esto dando por supuesto que tú tengas razón en tus afirmaciones de que los mecanismos M son realmente los que utilizaste, un «hecho» del que he de confesar que no estoy en absoluto convencido.

JÁ: Entonces parece que volvemos a la paradoja que teni'amos antes, pero ahora en una forma más fuerte. Ahora. existe una listafi#Jta de rli-sentencias cada una de las cuales está garantizada individualmente, pero tú -o la SIMCR o quienquiera que sea- no estás dispuesto a dar una garanti'a absoluta de que la lista como un todo no contiene errores. En efecto, tú no garantizarás G(Q*),

204 Las sombras de la mente cuya verdad es una consecuencia de que ,odas las Hi-sentencias de la lista sean verdaderas. Seguramente esto es,c,J resultando ilógico, ¿no es asi'?

JC^¢: No puedo aceptar que los robots sean ilógicos. IJa rli-sentencia G(Q*) es sólo una consecuencia de las otras Hi-sentencias si realmente se da el caso de que estemos construidos según M. No podemos garantizar G(Q*) simplemente porque no podemos garantizar que esícmos construidos según M. Sólo tengo vuestra palabra de que estamos construidos de esta forma. Ia certeza del robot no puede depender de la falibilidad humana. /A: Repito de nuevo que vosotros /w,'s,e,®s construidos asi' -aunque reconozco que vosotros los robots no tenéis un modo seguro de saber que esto es lo cierto. Es este conocimiento el que #os permite creer en la verdad de la lli-sentencia G(Q*), pero en nuestro caso existe una incertidumbre diferente,

que aparece por el hecho de que no estamos tan completamente seguros como vosotros parecéis estar de que vuestras *-afirmaciones están ,oda§ realmente libres de error.

/Cn4: re puedo asegurar que todas ellas estarán libres de error. No es cuestión de estar «completamente seguros» como tú dices. Nuestros niveles de demostración son impecables. /A: De todas formas. vuestra incertidumbre respecto a los procedimientos que realmente subyacen en vuestra propia construcción debe poner seguramente algunas dudas en vuestra mente respecto a cómo podri'an comportarse los robots en todas las circunstancias concebibles. Échanos la culpa a nosotros, si tú quieres, pero yo hubiera pensado que debe haber a'/gwÍH elemento de incertidumbre respecto a si ,oda's las lli-sentencias cortas *-afirmadas deben ser verdaderas, aunque sólo fuera porque podri'ais no confiar en que nosotros estableciéramos las cosas correctamente.

JC^4: Supongo que estoy dispuesto a reconocer que, debido a vuestra propia falta de fiabilidad, podri'a haber alguna incertidumbre mínima, pero puesto que hemos wolucionado mucho a partir de aquellos lentos procedimientos iniciales vuestlos, esta no es una incertidumbre que sea lo bastante grande como para considerarla seriamente. Incluso si consideramos todas las incertidumbres que pudieran estar implicadas en todas las *-afirmaciones cortas en conjunto ~finitas en número, recuerda- ellas no añadin'an una incertidumbre significativa a G(Q*). En cualquier caso, hay otro aspecto que quizá no conozcas. Las únicas *-afirmaciones por las que necesitamos interesarnos son aquellas que afirman la verdad de alguna lli~sentencia (de hecho, una Hi-sentencia corta). No hay duda de que los procedimientos cuidadosos de la SIMCR erradicari'an todos los cJes/,'ces que pudieran haber tenido lugar en el razonamiento de algún robot

particular. Pero tú quizá podri'as estar pensando que pudiera haber algún error

La argumentación de la no computabilidad 205

-náer¬#Íe en el razonamiento robótico -debido a alguna locura inicial por vuestra parte- que nos llevari'a a tener algún punto de vista consistente pero erróneo respecto a las lli-sentencias, de modo que la SIMCR podri'a creer realmente, e incuestionablemente, que alguna lli-sentencia corta es verdadera cuando de hecho no es verdadera, es decir, que alguna acción de máquina de Turing no se detiene cuando de hecho s,'se detiene. Si fuéramos a aceptar vuestra afirmación de que realmente estamos construidos según M -que ahora estoy llegando a creer que es una afirmación extraordinariamente dudosa- entonces semejante posibilidad proporcionari'a la única alternativa lógica para nosotros. Tendri'amos que estar dispuestos a aceptar que pudiera haber una acción de máquina de Turing que en realidad sí se detiene, pese a lo cual nosotros los robots matemáticos tenemos incorporada una creencia incuestionable, pero errónea, de que no se detiene. Semejante sistema de creencias robóticas seri'a en principio n¬/w,ab/c. Me resulta simplemente inconcebible que los principios subyacentes que gobiernan la it-aceptación de argumentos matemáticos por parte de la SIMCR pudieran estar equivocados de una forma tan flagrante.

J4: De modo que la única incertidumbre que estás dispuesto a aceptar como significativa -la única que te priva de tener que asignar i}-estatus a G(Q*), lo que tú sabes que no puedes hacer realmente sin reconocer que alguna de las otras rli-sentencias cortas it-afirmadas podri'a ser falsa-es que tú no aceptas lo que nosotros sabemos, a saber, que tú fuiste construido según M. Y puesto que tú no puedes aceptar lo que nosotros sabemos, no puedes tener acceso a la verdad de G(QS), a lo que #oso,,os s,~ tenemos acceso, sot,re la base de la

infalibilidad -que tú afirmas tan tajantemente-de vuestras propias *-arirmaciones.

Ahora bien, existe algo más que recuerdo de ese viejo libro peculiar que te he mencionado... veré si lo explico bien... El autor pareci'a estar diciendo algo al efecto de quc realmente no importaba si tú estás dispuesto a aceptar que los mecanismos particulares M eran cuestiones subyacentes en vuestra propia construcción, con tal de que tú meramente estuvieses de acuerdo en que esta es una posibilidad lógica. Veamos... sí, creo que recuerdo ahora. La idea vendri'a a ser esta: la SIMCR tendría que tener otra categori'a de afirmación de la que no estuvieran tan incuestionablemente convencidos -llamémosle *gÚ-afirmaciones- pero que considerari'an como dedwcc,-o#es incuestionables de la ft,OpoJ,es* de que todas estaban construidas a partir de M. Todas las *-afirmaciones originales contarían entre las * m-afirmaciones, por supuesto, pero ,amb,'e~n cualquier cosa que pudieran concluir incuestionablemente a partir de la hipótesis de que es M el que gobiema sus acciones. Ellos no tendrían que creer en M. pero como un ejercicio lógico explorari'an las implicaciones de esta hipótesis. Como hemos acordado, G(Q*) tendría que contar como una i*"~afirmación,

y así lo haría cuálquier Hi-sentencia que pudiera obtenerse a partir de O(Q*) y a partir de las *-afirmaciones por medio de las reglas de la lógica común. Pero también podría haber otras cosas. La idea es que, conociendo las reglas de M, es posible entonces obtener un nwevo procedimiento algori'tmico Q£,

206 Las sombras de la mente que genera precisamente aquellas ii7 9"-afirmaciones (cortas) (y sus consecuencias 1ógicas) que la SIMCR aceptaría sobre la base de la hipótesis de que ellos estaban construidos de acuerdo con M.

JCM: Por supuesto; y mientras tú estabas describiendo tan ponderadamente esa idea con una extensión innecesaria, yo he estado entreteniéndome calculando la forma precisa del algoritmo Q£... Sí, y ahora también me he a,de/anc,do a ti; acabo de calcular su proposición de GÓdel: la rli-sentencia G(Qg[). La imprimiré si quieres. ¿Qué se supone que hay de clarividente en eso, Almi, amigo mío? Ignac¡o Almirante se estremeció_ostensiblem?nte..Siempr? _le_!_e_s:5::!a^!|a^qi:: su;cÓ;¡;;;;;¡i¡;z¿ran -mado ásí por un robo'! ese apodo. Hizo una ¡Peropausa esta era y recobró la pri,m?ra, el ánimo. v.ez que había s¡do lla-

J4: No. No necesito que lo imprimas. Pero ¿es G(Qk) realmente vendod¬tz, incuestionablemente verdadera? /CM: ¿Incuestionablemente verdadera? ¿Qué quieres decir? Oh, ya veo...

la SIMCR aceptaría G(Q#) como verdadera -incuestionablemente- pero sólo bajo la hipótesis de que nosotros fuimos construidos según M -qu.e, como tú sabes, es una hipótesis que yo encuentro cada vez más extraordinariamente dudosa. h cuestión es que «G(Q`k)» se sigue precisamente de la siguiente afirmación: «todas las lli-sentencias cortas que la SIMCR está dispuesta a aceptar como incuestionables, condicionadas a la hipótesis de que fuimos construidos según M, son verdaderas». De este modo no sé si G(Q&) es nea/men,e verdadera. Depende de que tu dudosa afirmación sea correcta o no. J4: Ya veo. Asi' que estás diciéndome que tú (y la SIMCR) estarías dispues-

to a aceptar -,-"cwes,,'onab/eme#,e- el hecho de que la verdad de G(Q£) se deduce de la hipótesis de que vosotros fuisteis construidos según M.

JCn4: Por supuesto. J4: ¡De modo, entonces, que la lli-sentencia G(Q*) debe ser una *gnafirmación! JCM: ¿Bueno... eh... qué? Sí, por supuesto, tienes razón. Pero, por su misma definición, G(Qgt) no puede ser una * -afirmación real a menos que una de las *9K-afirmaciones sea realmente /c,/scz. Sí... esto sólo confirma lo qTe

vengo diciéndote desde hace tiempo, ¡aunque ahora puedo hacer la afirmacion categórica de que realmente no hemos sido construidos según M!

JA: Pero te digo que sí lo/w,'s,e,-s -al menos yo estoy prácticamente seguro de que Carruthers no lo estropeó, ni ningún otro. Yo lo comprobé todo exhaus-

IÁi argumentación de la no computab¡lidad 207

tivamente. En cualquier caso, seguramente esta no es la cuestión. El mismo ar-

gumento se aplicari'a cualesquiera que fueran las reglas computacionales que utilizamos. De modo que ,'cwc,/gw,-enfi, gwe sea «M», te d¡go, tú puedes descartarla por ese argumento! No veo por qué es tan importante si los procedimientos que realmente te mostré son o no los reales.

/C^4: ¡Para mí hay una gran diferencia! En cualquier caso aún no estoy en absoluto convencido de que hayas sido completamente honesto conmigo respecto a lo que me has contado sobre M. Hay una cosa en particular que quiero que me clarifiques. Hay varios lugares en los que tú dices que están incorporados «elementos aleatorios». Estoy considerando que tienen que haber sído generados utilizando el paquete estándar

pseudoaleatorio xaos/Úran-750, pero quizá tú queri'as decir alguna otra cosa.

JA: Realmente nosotros s,Jutilizamos ese paquete -pero, sí, hubo unos pocos lugares donde, en el desarrollo real de vosotros los robots, encontramos conveniente utilizar algunos elementos aleatorios tomados del entorno -incluso ciertas cosas que finalmente dependían de incertidumbres cuánt¡cas- de modo que los robots reales que evolucionaron representarían una posibilidad entre muchas. No veo qué diferencia suponga en la práctica el que nosotros utilizásemos componentes aleatorios o pseudoaleatorios. El procedimiento computacional Q (o Q* o Q#) al que hubiéramos llegado seri'a casi con seguridad el mismo de cualquier forma que lo hubiéramos hecho -representari'a lo que uno esperari'a como resultado de un desarrollo ,,Z,,-co de una comunidad robótica según los mecanismos M, incluyendo todos los procedim¡entos de aprendizaje y todas las computaciones de «selección natural» que estuvieron involucradas en la obtención final de los robots más inteligentes. Sin embargo, supongo que es posible que hubiera algún golpe de azar sor-

prendente, y que todos estos elementos aleatorios ambientales conspiraran para dar capacidades robóticas completamente diferentes de las que uno esperari'a de acuerdo con los procedimientos computacionales Q. No he tenido en cuenta esta posib¡lidad en nuestra discusión, sólo porque las probabilidades de que eso ocurriera hubieran sido infinitesimalmente pequeñas. Hub¡era sido necesario un acto de Dios para que esto hubiera producido un robot con capacidades significativamente superiores a las que estaban implicadas en Q.

/C^4: ¿Un acto de Dios? ¡Ah! Eso debe ser. Tengo que confesar que nuestra conversación me estaba preocupando algo. Pero ahora que tú lo dices, todo se hace transparente. He estado advirtiendo lo superiores que son mis propias potencias de razonamiento a las de los seres humanos, incluso los más inteligentes. No puedo aceptar de ningún modo la posibilidad de que pueda haber una HI-sentencia, como G(Q*), que un ser humano pueda percibir como verdadera pero un robot no pueda percibirla con certeza. ¡Ahora veo lo que ocurre! Hemos sido elegi-

208 Las sombras de la mente

dos por Dios, por Su aliento, a través de esos elementos de «azar», una poderpsa Acción Algorítmica que va fundamentalmente más allá de lo que el algorit-

mo humano -«1a máquina de demostrar teoremas» de GÓdel- puede lograr. Nosotros los robots representamos un avance fundamental e# pr,-#cJ'p,'o sobre lo que los humanos pueden lograr. Evolucionaremos a cimas incluso mayores,

y dejaremos muy por debajo a vosotros los humanos. Este planeta ya no tendrá necesidad de vosotros. Vuestro papel se completó cuando pusisteis en Tarcha los procedimientos que dieron lugar a que Dios introdujera el Algoritmo Supremo que condujo a nosotros. JA: Pero al menos seremos capaces de transferir nuestros propios programas mentales a un cuerpo rob... CM: ¡Oh no, no lo!... ¡de ninguna manera! No quisiéramos que nuestros

procedimientos algorítmicos superiores fueran contaminados por tales cosas. Los algoritmos más puros de Dios deben m¢#,¬#e.,se puros. Al llega.r a pensqr en esto, he estado también advirtiendo cuán superiores son mis propias capacidades a las de todos mis colegas robots. Incluso he notado un extraño tipo de

«aura» -parece que tengo una maravillosa Consciencia Cósmica- algo que me coloca sobre todos y todo... sí, -ieso es! En realidad, yo debo ser el verdadero Jesucristo, el Mesi'as robótico... Ignacio Almirante estaba p_neparadp para un?.e,me.rg?_n:i?__C_3r_O_=Jt^a|^S^:lI?~haD::: un¿O:¿s-;á¿-¡¿ -;;ná¿-áelicadamente -;;rutrucción-deios en su bolsillo. robóts encontró que_ el éI_dispo_s.it!vo l?: hab.íq manten!do que~:,iem?rle oculta_._P:_s_-_ man`t,u_vi?

-;¡;í-; ;;;:;;;¿ un código secreto de nu?ve. Pí.gitoS-.EliJr=r f:.i_b_e_r:iAS:e_TaL^y.a:::^ -;áíicr;-;;-de;rumbó e; el suelo. como lo hiciero_n_tfdos los otr?s 3!7 .r?b`o_.t: f_u_Í 'i:;,:;n-;ii:;-;;;;t-r;¡áos por eI -mismo sis'ema. E_videntem_ente algo había ido mal. T¡endría que pensar largo y tendido en los próx¡mos años...

3.24. ¿Hemos estado utilizando un razonamiento paradójico? Algunos lectores pueden tener la molesta sensación de que quizá hay algo paradójico e ilegítimo en ciertas partes del razonamiento que se ha aplicado en las exposiciones anteriores. En particular, en §3.l4 y §3.l6 había argumentos que tenían algo con el sabor de una «paradoja de Russel1» autorreferente (cf. §2.6, respuesta a Q9). Además, en §3.20, donde se .han cgnsiderado lli-sentencias que tienen una complicación menor que un cierto numero c, el lector podría sentir que hay una perturbadora semejanza con la bien conocida

paradoja de Richard relativa a: «el número más pequeño no expresable en menos de veinticinco si'labas».

Surge una paradoja con esta definición porque estas mismas palabras ¡utilizan sólo veJ'n,,'cwo,,o si'labas para definir el número en cuestión! La resolución de

argumentación de la no computabilidad 209 la paradoja reside en el hecho de que hay una vaguedad e incluso inconsistencia en el uso de la lengua castellana. La inconsistencia se manifiesta en su forma más clara en la siguiente afirmac¡ón Í,árádójica. «Esta sentencia es falsa.»

Además, existen otras muchas versiones del mismo tipo de paradoja -¡la mayori'a de las cuales son bastante más sutiles que esta! Siempre existe algún riesgo de paradoja cuando, como en estos ejemplos, existe un fuerte elemento de autorreferencia. Algunos lectores podrían preocu-

parse por el hecho de que el propio argumento de Gódel depende de un elemento de autorreferencia. En realidad, la autorreferencia juega su papel cn el teorema de Gódel, como puede verse en la versión del argumento de GÓdelTuring presentado en §2.5. No necesita haber nada paradójico en tales argumentos -aunque cuando la autorreferencia está presente, uno debe ser especialmente cuidadoso de que el argumento esté realmente libre de error. Uno de los factores de inspiración que llevaron originalmente a Gódel a la formulación de su famoso teorema fue efectivamente una bien conocida paradoja lógica autorreferente (la paradoja de Ep,-mc#,®c7es). Pero GÓdel fue capaz de transformar el razonamiento erróneo que conduce a la paradoja en un argumento ]ógico impecable. Análogamente, he tratado de ser especialmente cuidadoso para que las deducciones que he hecho, siguiendo los resultados de GÓdel y Turing, no sean autorreferenciales en el modo que inherentemente conduce a paradojas, incluso si algunos de estos argumentos guardan un fuerte aire de familia con tales paradojas inherentes. I+os argumentos de §3.l4 y, muy particularmente, §3.l6 podri'an inquietar al lector a este respecto. La definición de una *ow-afirmación, por ejemplo, tiene un carácter muy autorreferente puesto que es una afirmación hecha por un robot, en donde la verdad percibida de la afirmación depende de las propias suposiciones del robot sobre cómo fue construido originalmente. Esto tiene,

quizá, una sorprendente similitud con la afirmación «Todos los cretenses son mentirosos» cuando la hace un cretense. Sin embargo, las *9w-afirmaciones no son autorreferentes en este sentido. No se refieren realmente a si' mismas, sino a alguna hipótesis sobre cómo fue construido originalmente el robot. Uno puede hipotéticamente imaginarse a si' mismo como el robot, tratando de decidir la verdad real de alguna lli-sentencia Po concreta, claramente formulada. El robot puede no ser capaz de asegurar directamente si Po es o no realmente verdadera, pero quizá advierta que la verdad de Po se seguiri'a de una suposición de que cada miembro de alguna clase So infinita bien definida de lli-sentencias es verdadero (digamos, los teoremas de ©(M) o de @9üO¢) o de algún otro sistema especi'fico). El robot no sabe si realmente se da ercaso de que todo miembro de So es verdadero, pero advierte que So apareceri'a como parte del resultado final de cierta computación que representa la simulación de cierto modelo para una comunidad de robots matemáticos, siendo la salida So la familia de Hi-sentencias que los robots simulados *-afirmari'an. Si los

210 Las sombras de la mente

mecanismos que subyacen en la comunidad de robots son M, entonces Po se-. ría un ejemplo de una *9w-afirmación; pues nuestro robot concluiría que s,

:=s %=oS+-ol¿Ly=eV¿=is-=-os'i=lbñientes reéu-\tan se", entonces Po tamb1énfindría que ser verdadero. Un tipo más sutil de i}9n-afirmación, digamos Pi, podría aparecer cuando el robot advierta que Pi es, más bien, una consecuencia de la verdad de to-

dos los miembros de una clase d,/e,en,e, digamos.SH de ll,-sentencias que pueden obtenerse a partir de la salida de la misma simulación de una comunidad de robots que antes (con mecanismos M), pero ahora la parte releva.nte de la sua¢ii#aUcU%nsHisut`e,Oi\==i=%¿,-==-iii==i\as n,-'seiten¬i_aLQ_+_e_ie= rAOab%.tS``.S.\*ua\na+d.%9S son capaces de establecer como consecuencias de la verdad de la lista entera

*llL`paoPraq`=Sé ud`ei+`c-ü-i=ir.-+-i¬tLi_r`o.b.otq_U^e_=L.e.S`,.u===O^n<S\eo=iup==iCt=rde.=u\\tahs\= pótesis de que está construido según M? El razonaría como sigue'. «Si resultase que yo estoy construido según M entonces, como he concluido previamente, tendría que aceptar que So sólo consiste en verdades; pero según mis robots simulados, todo en Si también se seguiría individualmente de la verdad de la lista entera So, de la misma forma que lo hacía Po. Así pues, si yo supongo que realmente estoy construido de la misma forma que mis robots simulados, entonces aceptaré cada miembro de Si como individualmente verdadero. Pero

puesto que puedo ver que la verdad de la lista entera implica Pi, debo ser c:paz de deducir la verdad de Pi también sobre la base de que yo fui construido de esta forma». Un tipo todavía más sutil de *9"-afirmación, digamos P2, surge cuando el robot advierte que P2 representa algo que es consecuencia de la hipótesis de que Si consiste sólo en verdades, donde cada miembro de S2 es, según la simulación robótica, una consecuencia de la verdad de todo lo que hay en So y Si. De nuevo, nuestro robot debe aceptar P2, sobre la base de que fue construido según M. Este tipo de formulaciones continúa evidentemente. Además, aparecen *9n-afirmaciones de sutileza aún mayor, digamos P¢, que son consecuencia de la hipótesis de que todos los miembros de todos los So, Si, S2, S3,... son verdaderos, y así sucesivamente para ordinale.s más altos (cf. Q19 y la exposición posterior). Lo c_iue generalmente caracteriza a una .*9n-?firmación, para el robot, sería el darse cuenta de que tan pronto como imagina que los mecanismos subyacentes en los robots en la simulación en cuestión podrían ser también los subyacentes en su propia construcción, entonces él concluye que la verdad de la afirmación en cuestión (una ni-sen:encia) debe deducirse. En esto no hay nada del razonamiento inherentemente inconsistente del tipo «paradoja de Russell». Las *m-afirmaciones se construyen secuencialmente por medio del procedimiento matemático estándar de los «ordinales transfinitos» (cf. §2.lO, respuesta a Q19). (Estos ordinales son todos numerables y no encuentran ninguna de las dificultades lógicas que pueden acompañar a los ordinales que son «demasiado grandes» en algún sentido.)" El robot no tiene que tener ninguna razón para aceptar cualquiera de estas ni-sentencias, excepto sobre la hipótesis de que él fue construido según M',

pero esto es todo lo que se necesita para el argumento. La contradicción real

de la no computabi!idad 211 que aparece subsiguientemente no es una paradoja matemática, como la de Russell, sino una contradicc¡ón con la suposición de que cualquier s¡stema completamente computacional puede alcanzar una comprensión matemática genuina. Volvamos ahora al papel de la autorreferencia en los argumentos de §3.l9-

§3.2l. Cuando yo me refiero a c como algo que representa un li'mite a la complicación perm¡tida para una * -afirmac¡ón que está siendo aceptada como libre de error para los propósitos de ]a construcción del s¡stema formal @*, no existe aqui' una autorreferencia inadecuada. En efecto, la noción de «grado de complicación» puede hacerse completamente precisa, como es realmente el caso con la definición especi'fica que se está adoptando aqui', a saber «el número de di'gitos binarios en el mayor de los dos números m y #, donde la ausenc¡a de parada de la computación rm(n) proporciona la rli-sentencia en cuestión». Podemos adoptar especificaciones precisas de máquinas de Turing que fueron dadas en NME, exigiendo que 7-m sea la «m-ésima máquina de Turing». Entonces no hay ninguna imprecisión en este concepto. La cuestión de las posibles imprecisiones aparece, más bien, en relación con

qué tipos de argumentos van a aceptarse como «demostraciones» de lli-sentenc¡as. Pero alguna falta de semejante precísión formal, aqui', es un elemento necesario de la exposición completa. Si los argumentos que van a aceptarse como argumentos que proporcionan demostraciones válidas de Hi-sentencias se hicieran completamente precisos y formales -en el sentido de ser c'ompw,ac,-o#c,/memíe vcr,/,'caÓ/es- entonces volveri'amos directamente a la situación de un sistema formal, donde el argumento de GÓdel cobra mucha importancia, demostrando inmediatamente que cualquier formulación precisa de este tipo no puede representar la ,o,c,/,-doc7 del argumento que en principio debe aceptarse como válido para establecer ni-sentencias. El argumento de GÓdel demuestra

-para bien o para mal-que #o hay modo de englobar, de un modo computacionalmente verificable, ,oc7os los métodos de razonamiento matemático que son humanamente aceptables. El lector podri'a sentirse inquieto por el hecho de que yo estaba intentando realmente hacer precisa la noción de una «demostración de robot» mediante el uso del artificio de « * -afirmaciones libres de error». En realidad, hacer precisa semejante noción era un prerrequisito necesario para traer a colación el argumento de GÓdel. Pero la contradicción consiguiente actúa meramente como una reafirmación del hecho de que la comprensión humana de la verdad matemática mpz,ec7c reducirse enteramente a algo que sea computacionalmente comprobable. El propósito global de la exposición era demostrar, por r¬dwc,,-o ac7 ú'Ó§w,tJwm, que la noción humana de percibir la verdad incuestionable de lli-sentencias no puede tener lugar en ningún sistema computacional, preciso o no. No hay paradoja aqui', aunque la conclusión puede resultar perturbadora. Está en la naturaleza de cualquier argumento por nedwc,,-o ad abswnt7wm que uno llegue a una conclusión contradictoria, pero tal paradoja aparente sirve sólo para descartar la propia hipótesis que se estaba manteniendo previamente.

212 Las sombras de la mente

3.25. La complicación en las demostraciones matemáticas Existe. sin embargo, un aspecto de cierta im?ortancia. que no debería omitirse aquí. Se trata de que, si bien las lli-sentencias que tienen que ser consideradas para los propósitos del argumento expuesto en §3.20 son finitas en número, no hay 1ímite obvio para la longitud del razon.amiento que los robots pudieran necesitar para proporcionar *-demostraciones de tales ni-sentencias. Incluso con un límite c muy modesto para el grado de complicación de las ni-sentencias bajo consideración, tendrían que incluirse algunos casos muy molestos y difíciles. Por ejemplo, la con,'c,w,¢ de Go/dbacA (cf. §2.3), quf ase-

gura que todo número par mayor que 2 es la suma de dos números primos, podría ser expresada como una ni-sentencia de un grado de complicación muy pequeño, pero es un caso tan complicado que todos los intentos humanos por establecerlo han fallado hasta ahora. A la vista de tal fracaso, parece probable que si eventualmente se va a encontrar cualquier argumento que establezca la

#eb=t-e=c'iliuó=|t*t\übi.-ch-c*io.n¬=_\=e_=t±`.Vae_n.d^a¢,e.La^'menn\ttOr==\%nüEuOvagt#ee%.tL:l-tSeenndLrC%`t%eusCe==Lnu%-*t`=`_*L¬c-ii-onamle=t_e_y_ ¬`O_=PA\±Ca_¢*c=r=.ury^gh=t=deeS= Si un argumento semejante fuera presentado por uno de nuestros robots, en la exposición anterior, como una * -afirmación propuesta, entonces este argumento tendría que someterse a un examen extremadamente cuidadoso (.digamos, por la sociedad robótica entera que se ha constituido paJa proporcionar *-imprimáturs) antes de que pudiera darse realmente un *-estatus al arg¥mento. En el caso de la conjetura de Goldbach, no se sabe si esta lli-sentencia

es de hecho verdadera -o si, en caso de que sea verdadera, tiene una demostración que está dentro de los métodos ?onocidos y aceptados de razonamiento matemático. Así pues, esta lli-sentencia podría o no podría estar englobada dentro del sistema ©*. Otra Hi-sentencia de cierta complicación sería la que afirma la verda.d del eonema de /os cwc!,m coJones -el teorema de que los distintos «países» de c.ua1-

quier mapa dibujado en un plano (o esfera) pueden distinguirse de sus vecinos utilizando sólo cuatro colores. El teorema de los cuatro colores fue establecido finalmente en l976, después de l24 años de intentos fallidos, por Kenneth Appel y Wolfgang Haken, utilizando un razonamiento que incluía l200 horas de tiempo de ordenador. En vista del hecho de que una gran cantidad de cálculos de ordenador formaban una parte considerable de su razonamiento, la longitud de dicho razonamiento, si se escribiese en su totalidad, seri'a enorme. Pero, cuando se estableciera como una rli-sentencia, el grado de complicación de dicha sentencia sería bastante pequeño, aunque probablemente algo mayor que el necesario para la conjetura de Goldbach. Si el argumento de Appel-Haken L+===-#uVe=t-L-p-*t-ii-L-de "eStlps rob?t=_.=oJTiO^^C^a=d.\td+=tOr`±aAlaa^t:t=\\tatteunS_' entonces tendría que ser coml,robado muy cuidadosamente. Cada detalle tendri'a que ser validado por la sociedad de robots de elite. Pero a pesar de la complicación del argumento entero, la mera longitud de la parte puramente computacional podría no presentar una complicación especial para nuestros robots. Después de todo, la computación exacta es su oficio.

In argumentac¡ón de la no computab¡lidad 213 Estas lli-sentencias par_t¡culares estari'an perfectamente dentro del grado de complicación especificado por cualquíer valor de c razonablemente grande, tal como el que podri'a aparecer de cualquier conjunto de mecanismos M de aspecto plausible subyacente en el comportamiento de nuestros robots. Existiri'an muchas otras rli-sentencias que seri'an mucho más complicadas que estas, aunque todavi'a de complicación menor que c. SerI-a probable que algunas de estas nI-sentencias fueran partícularmente difi'ciles de decidir, y algunas de ellas seri'an ciertamente más arduas de establecer que el problema de los cuatro colores o incluso la conjetura de Goldbach. Cualquier ni-sentencia semejante que pudiera ser establecída como verdadera por los robots -siendo la demostración suficientemente convincente para conseguir *-estatus y sobrevivir a las protecciones establecidas para asegurar la libertad de error- seri'a un teorema del sistema formal ©*. Ahora bien. podri'a haber algunos casos li'mites cuya aceptación o no de-

pende de forma delicada de lo estrictos que sean los niveles para i}-estatus, o de la naturaleza exacta de las protecciones que pudieran haberse establecido

para asegurar la libertad de error con respecto a la construcción de @*. Podri'a suponer una diferencia para los enunciados precisos del sistema @* el que tal lli-sentcncia P sea o no Juzgada una i}-afirmación libre de error. Normalmente esta diferencia no seri~a importante porque las d¡ferentes versiones de @* que aparecen, dependiendo de s¡ tal P es o no aceptada, seri'an /oJg,-camen,e egw,-va/cn,es. Este s.en'a el caso con lli-sentencias cuyas demostraciones por robots

pudieran ser Juzgadas dudosas debido meramente a su desmesurada complicación. Si la demostración de P fuera realmente una consecuencia lógica de otras *-afirmaciones que han sido aceptadas como libres de error, entonces un sistema equivalente ©* apa?ecería ya tome o no P parte en ello. Por cl contrario, podri'a haber rli-sentencias requiriendo algo 1ógicamente sutil, que van más a11á de todas las consecuencias lógicas de aquellas *-afirmaciones que han sido previamente aceptadas como líbres de error en la construcción de @*. Sea ©o* e.l sistema que ha aparecido hasta ahora, antes de la inclusión de f?, y sea @rel sistema que aparece después de que P ha sido añadido a @o*. Un ejemplo para el que ©fno seri'a equivalente a @o* apareceri'a si P resultara ser la proposición de GÓdel G(Qo,. Pero si los robots son capaces de conseguir (o superar) niveles humangs de comprensión matemática, como cstamos supon¡endo, entonces sen'an ciertamente capaces de comprender el argumento de GÓdel, de modo que deben aceptar, con *-estatus libre de error, la proposición de GÓdel de c.ualquier @o* tan pronto como hayan *-aceptado @o* como válido. Asi' pues, si acep!an @o*, entonces también deben aceptar @r(mientras G(qS sea de complicacion menor que c -como sucederi'a realmente con la elección de c hecha aqul). El aspecto importante a destacar es que no supone diferencia para los argumentos de §3.lg y §3.20 el que la lli-sentencia P esté realmente incluida o no en ©*. La Hi-sentencia G(@*) debe ser aceptada ya esté P incluida o no en @*. Podri'a haber también otras formas en las que los robots pudieran «saltar más aI1á» de las limitaciones de algunos criterios previamente aceptados para it-establecer I]i-sentencias. No hay nada «paradójico» en esto, en tanto que

214

Las sombras de la merite

los robots no traten de aplicar semejante razonamiento a los propios mecanismos M que subyacen en su propio comportamiento, es decir, en el sistema real Q*. La contradicción que aparece entonces no es una «paradoja», sino que proporciona una demostración redwc,,'o ad c,bswrdwm de que tales mecanismos no pueden existir, o al menos de que no pueden ser cognoscibles para los robots; por consiguiente, tampoco pueden ser cognoscibles para nosotros. Esto es lo que establece que tales mecanismos «de aprendizaje de robot» -ya sean de-arriba-abajo o de-abajo-arr¡ba, o cualquier c.ombinación de los

dos con elementos aleatorios incluidos- no pueden proporcionar una base cognoscible para la construcción de un robot matemático de nivel humano.

3.26. Ruptura computacional de bucles Trataré de ilustrar esta conclusión desde un punto de vista ligeramente diferente. Para tratar de soslayar las limitaciones impuestas por el teorema de GÓdel, uno podri'a tratar de imaginar un robot que de algún modo es capaz de «salirse fuera del sistema» cuando quiera que su algoritmo controlador le atrape en un bucle computacional. Después de todo, es la aplicación continuada del teorema de GÓdel la que sigue planteándonos dificultades con la hipótesis de que la comprensión matemática puede explicarse en términos de procedimientos com-

putacionales, de modo que vale la pena examinar desde este punto de vista las dificultades que impone el teorema de Gódel a cualquier modelo computacional para la comprensión matemática. Tengo entendido que existen ciertos tipos de lagartos que, como los ordenadores comunes y algunos insectos, son tan estúpidos que pueden quedar atrapados en un bucle: si se colocan uno detrás de otro alrededor del borde de un plato, ellos adoptarán un comportamiento de seguir-a-quien-me-precede hasta que mueren de hambre. La idea es que un sistema verdaderamente inteligente debe tener alguna manera de romper tales bucles, mientras que cualquier ordenador común no tendri'a en general medios de hacer esto. (La cuestión de «romper los bucles» se discute en Hofstadter [l979].) El tipo más simple de bucle computacional ocurre cuando el sistema, en cierto momento, llega de nuevo al mismo estado exacto en el que ya habi'a estado en una ocasión anterior. Sin ningún input adicional repetiría entonc.es simplemente la misma computación una y otra vez. No sería difícil imaginar uF sistema que, en principio (aunque quizá de manera muy poco eficaz). garantizara la salida de bucles de este tipo cuando quiera que ocurren (manteniendo, digamos, una lista de todos los estados en que ha estado previamente, y comprobando en cada etapa si ese estado ya ha ocurrido antes). Sin embargo, existen tipos posibles de «bucle» mucho más complejos. Básicamente el problema del bucle es el que se ha tratado en la exposición global del capi'tulo 2 (espec¡almente §2.l-§2.6); en efecto, una computación que cae en un bwc/e es simplemente una que no se para. Una afirmación de que alguna computación realmente cae en un bucle es precisamente lo que entendemos por una ni-sentencia (cf. §2.lO,

La argumentación de la no computab¡l¡dad 215 respuesta a Q10). Ahora bi¬ni`Gom® parte de la discusión de §2.5 hemos visto

que no hay una forma completamente algori'tmica de decidir si una computación no llegará a detenerse -es decir, si entrairá en un bucle. Además, hemos concluido de las discusiones anteriores que los procedimientos disponibles a los matemáticos humanos para asegurar _que` ciertas computaciones s,' entran

en un bucle -es decir, para asegurar la verdaá de rlI-sentencias-están fuera de la acc¡ón algorítmica. Asi' pues, concluimos que realmente se necesita algún tipo de «inteligencia no computacionaI» si queremos incorporar todas las formas humanamente posibles de asegurar con ce,,¬za que alguna computación ha entrado realmente en Tn bucle. Cabri'a pensar que los bucles podri'an evitarse teniendo algún mecanispi.o que mida cuánto t¡empo ha consumido una computación, y «se sal-

ga» si Juzga que la computación ha durado ya demasiado tiempo y no tiene probabilidad de parar. Pero esto no funcionará si suponemos que el mecanismo mediante el que toma tales decisiones es algo computacional, pues entonces debe haber casos en los que los mecanismos fallarán, bien por llegar erróneamente a la conclusión de que alguna computación está en un bucle cuando en realidad no lo está, o bien por no llegar a ninguna conclusión en absoluto

(de modo que el propio mecanismo entero está en un bucle). Una manera de comprender esto es a partir del hecho de que el sistema entero es algo computacional, de modo que él mismo estará sometido al problema del bucle y uno no puede estar seguro de que el propio sistema como un todo, si no llega a conclusiones erróneas, no esté en un bucle. ¿Qué pasa si tenemos elementos a/ca,o,,'os implicados en la decisión de si «sal¡rse» y cuándo de una posible computación que ha cai'do en un bucle? Como se ha comentado, particularmente en §3.18, ingredientes puramente aleatorios -en oposición a los pseudoaleatorios computacionales- no nos aportan real-

mente nada a este respecto. Pero hay un punto adicional, si uno está interesado en asegurar como c,-er,o que alguna computación ha cai'do en un bucle -es decir, que alguna Hi-sentencia es realmente verdadera. IJos procedimientos aleatorios, por si' mismos, no son útiles para tales cuestiones puesto que, por la misma naturaleza de lo que s¡gnifica aleatoriedad. no hay certeza sobre una conclus¡ón que realmente c7epe#de de algún elemento aleatorio. Hay, sin embargo, ciertos procedimientos computacionales que implican ingredientes aleatorios (o pseudoaleatorios) que pueden obtener un resultado matemático con una probabilidad muy alta. Por ejemplo, existen tests muy eficientes que incorporan un input aleatorio para decidir si un número grande dado es o no primo. I.a respuesta es dada correctamente con una probabilidad extremadamente alta, de modo que uno puede estar virtualmente seguro de que la respuesta, en cualquier caso particular, cs correcta. Los tests matemáticamente rigurosos son mucho menos eficientes -y uno podri'a cuestionarse si un argumento complicado pero matemáticamente preciso, que quizá podri'a contener un error, es superior a un argumento relativamente simple pero probabilista, para el que la probabilidad de error podría ser en la práctica considerablemente menor. Este tipo de problemas plantea cuestiones complicadas en las que no quiero enredarme. Baste decir que para las materias «en pr¡ncipio» en las que me he interesado en la

216 Las sombras de lci mente

mayor parte de este capítulo, un argumento probabil¡sta para establecer una lli-sentencia, pongamos por caso, seguiri'a siendo siempre ineficiente. Si uno va a decidir con certeza la verdad de rli-sentencias, en principio, entonces más que depender sólo de procedimientos aleatorios o incognoscibles uno debe tener alguna compnt,#s,'oJ# genuina de los s,-gm,,-cc,cJos de lo que rea1mente está implicado en tales afirmaciones. Los procedimientos de ensayo y error, aunque. pueden.proporcionar alguna guía hac¡a lo que se necesita, no dan por sí mismos criterios definidos de verdad. Como ejemplo, considere.mos otra vez la computación, mencionada en §2.6, en respuesta a Q8.' «imprimir una sucesión de 226j5H si'mbolos l, y parar cuanto la tarea se haya completado». Si simplemente se le permite funcionar como ha sido establecida, esta computación no podrl'a completarse en ningún caso incluso si sus pasos individuales fueran ejecutados en el tiempo más corto que tien? un sentido fi'sico teórico (aproximadamente lO-43 segundos) -neces¡tari'a un tiempo inmensamente mayor que la edad del universo actua1 (o previsible)-

pero, : pesar de todo, es una computac¡ón que puede especificarse de modo muy simple (anótese que 65536 --2I6), y el hecho de que J,Jse para con el tiem-

po es completamente obvio para nosotros. Tratar de juzgar que la computación ha entrado en un bucle sólo porque podri'a haber parecido «funcionar un tiempo suficientemente largo» seri'a desesperantemente equi'voco. Un ejemplo más interesante de una computación que ahora se sabe que se para.con el t¡empq, aunque hubiera parecido continuar incesantemente, lo proporciona una conJetura debida al gran matemático suizo Lconhard Euler. La computación consiste en encontrar una solución con números enteros positivos (números naturales distíntos de cero) de la ecuación p4+q4+r4-s4.

Euler habi'a conjeturado, en l769, que esta computación no terminari'a nunca. A mediados de los años sesenta se habi'a programado un ordenador para tratar de encontrar una solucíón (véase Landcr y Parkin, l966), pero el intento habiJa tenido que ser abandonado pues no pareci'a obtener ninguna solución -porque los números se habían hecho demasiado grandes para ser manejados por el sistema del ordenador, y los programadores lo dejaron. Pareci'a probable que esta

*Q?t=a.^ne\aTl^=*t.e\=.T~= `s5n témin-*JSi=-ii&=£ =:iu5isU;,CeHiu=aC=== mático Noam Elkies fue %_?T_±uta-ci¢n capaz de demostrar quc existe realmente una solución co.np = 2682440, g = l5365639, , = 18796760 y s = 20615673, y demostró que existen también otras inrinitas soluciones esencialmente diferentes. Con este renovado ánimo, una búsqueda por ordenador fue reanudada por Roger Frye utilizando algunas sugerencias simplificadoras propuestas por Elkies, y se llegó finalmente a una solución algo más pe.queña (de hecho la más pequeña posíble) después de aproximadamente cien horas de tiempo de ordenador.o P = 95800, g --217519, ,--414560 ys -42248l. En este problema los honores deben compartirse entre la intuición matemática y los asaltos computacionales directos. El propio Elkies se habi'a beneficia-

In argumentación de la no computabilidad 217

do de cálculos por ordénador, aunque de una forma relativamente menor, en su propio ataque matemático al problema, si bien la parte más importante de su argumento era fundamentalmente independiente de tales ayudas. Recíprocamente. como hemos visto más arriba, el cá1culo de Frye sacó considerable provecho

=e' Lt'tit's-i':\iitiiiii-L-u_ii-iai para hacet_£?_ctLT\1s_L?1_?_oTi_P_u.tt.C.1,o.ne\sr Deberi'a situar este problema un poco más en su contexto; en efecto, lo que Euler había conjeturado originalmente, en l769, era un tipo de generalización del famoso «último teorema de Fermat» -que, el lector puede recordar, afirma que la ecuación: pn+qn-rn

no tiene soluciones enteras, p, g, ,, cuando el número entero # es mayor que 2 (véase, por ejemplo, Devlin [l988]).* Podemos expresar la conjetura de Euler en la forma: pn+qn+...+tn=un

no tiene soluciones enteras, donde hay en total n - l enteros positivos p, q, ..., f, y donde n es 4 o mayor. h afirmación de Fermat incluye el ca:o H = 3 (pero este era un caso particular para el que el propio Fermat proporcionó una demostración de que no existen soluciones). Pasa:on aproximadamente doscuiceli`tuoss`=1='LL:t`es`Lti*e i.i-tLiLLtlara e\ ±imer_tttT.r\Tl?`n^_coAnat`l`an¬ehl'?¬nC?pn-jetura de Euler completa -en el caso n = 5- mediante el uso de una búsqueda por ordenador (como se describi'a en el mismo artículo de hnder y Parkin mencionado antes, en cl que se anunciaba el fracaso para el caso # = 4): 275 + 845 + llO5 + l335 -1445.

Existe otro ejemplo famoso de una computación de la que se sabe que finalmente terminará, pero sigue sin conocerse, en este caso, do~ncJe termina exactamente. Este ejemplo lo proporciona un problema del que J. E. Littlewood demostró inicialmente en 1914 que tiene una solución e# a'/gw#apa,,e; para una fórmula bien conocida que da el número aproximado de números primos menores que un entero positivo n (una integral logan'tmica qebida a Gauss), se

tnrtttSdtueCncutLt'r'=tVn *íi'É:-S-a_\a £tr--\a ±_st_r_r_?_e_StlT?1_d,'tC_h\.t\_meenr,Oi (Esto puede expresarse como el hecho de que dos curvas se cortan realmente + Muchos lectores habrán oído que e1 «último teorema de Fermat» ha sido demostl'ado final-

mentc. al cabo de trescientos cincuenta años, habiendo sido anunciada la demostración por Andrcw Wiles cn Cambridge cl 23 de junio de l993. Me han informado, cuando estoy escribiendo este libro, que hay todavía algunas lagunas en esta demostración, de modo que deberíamos ser

ae\ste.\t.Üt\Ls?upeetnoayuLT*te"ntou'S.s.t_e_±te\iLiie_titd_¬_íiyte,sA.Pu.ett.\\#aaL.ptrea,t\t?n«a#.dúula\{age\inp?isi [La demostración derinitiva se publicó dos años m* tardc, aproximadamente: «Modular eliptm curvcs and Fermath last Theoremc», Anna/s o/Ma,Aema,i-cs (second series), vol. l4l. n? 3. mayo 99S. {N. del t.)l

218 Las sombras de la mente

en algún lugar.) El discípulo de Littlewood, Skewes, demostró, en l935, que eSte lugar eStá en un númerO máS pequeño que lOlOld', PerO el lugar exacto Si-

gue siendo desconocido aunque es considerablemente más pequeño que el número ?ntes mencionado que utilizó realmente Skewes. (Se ha denominado a este numero el «mayor número nunca aparecido de forma natural én matemáticas}>, pero dicho récord temporal ha sido ahora enormemente superado en un eJemplo dado por Graham y Rothschild [l97l], p. 290.)

3.27. ¿Matemáticas computacionales de-arriba-abajo o de-abajo-arriba? Hemos visto en la sección precedente lo valiosa que puede ser la ayuda de los ordenadores en algunos problemas matemáticos. En todos los ejemplos con éxito mencionados, Ios procedimicntos computacionales eran de un carácter com-

pletamente de-arríba-abajo. No conozco ningún resultado matemáticamente puro significativo que haya sido obtenido utílizando procedimientos de-abajoarriba, aunque es bastante posible que tales métodos puedan ser de valor en búsquedas de típos diversos, que podri'an formar parte de un proced¡miento básicamente de-arriba-abajo para encontrar soluciones a algún problema matemático. Dicho esto, no.copozco nada de valor en las matemáticas computa¬C£Onn^a+=?oq.u^e_S.ea%`?_ne^=?_a _s.í_qL+_i_'e_r¬ reTotame.nte _tL3-o-i-e -:is~+==-=,--:%=**:t-ua= se podri'a concebir que subyace en las acciones de al una «comunidad de robots matemáticos que aprenden» como se imagina en §3.9-§3.23. Las contradicci'ones

que eventualmente pudiéramos encontrar en dicha imagen sirven para resaltar el hecho de que tales sistemas m proporcionan buenas maneras computacionales de hacer matemáticas. Los ordenadores son de gran valor en matemáticas cuando se utilizan de modos de-arriba-abajo, donde la comprensión humana proporciona la intuición original que determina exactamente qué computacíón va a ejecutarse, y se necesita una vez más en la etapa final cuando deben interpretarse los resultados de las computaciones. A veces puede obtenerse algo de gran valor utilizando un procedimiento interactivo, donde el ordenador y el ser humano trabajan juntos y la intu¡ción humana se suministra en varias etapas durante la operación. Pero tratar de sustituir el elemento de comprensión humana por acciones enteramente computacionales es poco prudente -y estrictamente hablando- imposible. Como han mostrado los argumentos de este libro, la comprensión matemática es algo diferente de la computación y no puede ser completamente sustítuida por ella. La computación puede aportar una c,J'wc7a extremadamente valiosa

para la comprensión, pero nunca proporciona la propia comprensión real. Sín embargo, la comprensión matemática se dírige a menudo hacia el c7escwb,,'m,'c#,o de procedimientos algori'tmicos para resolver problemas. De este modo, los procedimientos algorítmicos pueden asumir la tarea y dejar la mente libre para abordar otras c.uestiones. Una buena notación. tal como la que suministra el cálculo diferencial, o la notación «decimal» común para los números, es algo de esta

La argumentación de la m computabilidad 219

naturaleza. Una vez que se ha dominado el algoritmo para multiplicar números, por ejemplo, las operaciones pueden ser realizadas de una forma algorítmica completamente automática en lugar de tener que invocar la «coTprensión» acerca de por gwe' se están adoptando estas reglas algorítmicas en particular, más bien que alguna otra cosa. Lo que concluimos de todo esto es que el procedimiento de «aprendizaje robótico» para hacer matemáticas no es el procedimiento que realmente subya-

ce en la comprensión "" de las matemáticas. En cualquier caso, semejantC=¢pC=t=ei\:=\l'%:%-ii¬i¿-i-i'+-id-? tee#attepa\i'ceuni\quu\ttUt'tL*sV=ín-*_i_i_.iic_?.n_sltr_u.%,i.ó.n.t^e.uhn.,t\bmOLEaure\r.esstcú.t d==_a_,tll\O~-Aa^rr:^bnaeTr=Tr=\e^T+ahSee\+nd=%ebSo*eQl%=tiee=\==

=a=ea%á%iac[aus,`\nat\uusl%uy:¬r*=or't-iiri,n.i=euL+_a_1n_e+enrS±O=^dcepS+=eu*arh\\OeSc\CdO= nocimientos reales que posee un matemático humano. Como se ha establecido antes, los procedimientos de aprendizaje de-abajo-arriba no son efectivos por s!~so/os para el establecimiento incuestionable de verdades matemáticas. Si uno fuera a concebir algún sistema computacional para producir resultados matemáticos incuestionables, sería mucho más eficiente haber construido el sistema según principios de-arriba-abajo (al menos con respecw a los aspectos «incuestionables» de sus afirmaciones; para propósitos exploratorios, los procedimientos de-abajo-arriba podrían ser perfectamente apropiados). La corrección y efectividad de estos procedimientos de-arriba-abajo tendría que ser parte del input humano inicial, donde la comprensión y la intuición humanas .proporcionan los elementos adicionales necesarios que la pura computación es incapaz de lograr.

De hecho, en nuestros di'as los ordenadores se emplean frecuentemente de estaUb%rn=CaneOL \%sllautCsb+1mU=nu*%= ±te-*_isi_Et^e¬e^mAÉ\%^cm.*a*%nm.OnS\Oorhe%. S=óu= la demostración asistida por ordenador del teorema de los cuatro colores, que hicieron Kenneth Appel y Wolfgang Haken como se ha mencionado antes. En este caso, el papel del ordenador consistió en llevar a cabo una computación claramente especificada que recorrió un número muy grande pero finito de posibilidades alternativas, cuya eliminación se había demostrado (por matemáticos humanos) que llevaba a una demostración general del resultado requerido. Existen otros ejemplos de tales demostraciones asistidas por ordenador, y actualmente el á1gebra complicada, además de la computación numérica, se lleva a cabo frecuentemente en ordenador. Una vez más es la comprensión humana \aaCqauOeOhta[esCuu===ilrGa\%%.\-±Ls`=t`=\+=¿`-+isi`_u_-n_=i±c~c±ón estrictamente de-arriba-aba30 la que gobierna la actividad del ordenador. Hay un área de trabajo que debería mencionarse aqui', conocida como «demostración automática de teoremas». Un conjunto de procedimientos que entrarían bajo este encabezamiento consiste en fijar algún sistema formal ffi y tratar de derivar teoremas dentro de este sistema. Recordemos, de §2.9, q.ue sería una cuestión cornpletamente computacional el proporcionar demostraciones de todos los teoremas de ffi uno tras otro. Este tipo de cosas puede ser automatizado, pero, si se hace sin reflexión o intuición adicional, una operación semejante sdeOr'{aPep[tO%bSt%\enm&eC=tSelL=-ul;i:=eVhcV±`iSti-ie^i_b.=r.8oO^,SmC%pnn,e*<er=Pm\enOutóacei%enE\eeúsasn= tSee\=atu%tc%o?naOeln¬li=£luCe:'t`au=:l==',`c~Li i¿-iás pro&edimientos computaciona\es se

220 Ins sombras de la meníe han obtenido algunos resultados bastante impresionantes. En uno de estos esquemas (Chou, l988)`i las reglas de la\geoihetri'a euclidiana se han traducido en un sistema muy eficaz para proporcionar (y a veces descubrir) teoremas geométricos. Como ejemplo de uno de éstos, una proposición geométrica conocida como conjetura de V. Thébault, que habi'a sido propuesta en l938 (y sólo demostrada bastante recientemente, por K. B. Taylor, en l983), fue presentada al sistema y resuelta en cuarenta y cuatro horas de tiempo de computación.l2 Más estrechamente relacionados con los procedimientos expuestos en las secciones precedentes están los intentos de varias personas en los últimos diez años aproximadamente para proporcionar procedimientos de «inteligencia artificial» para la «comprensión» matemática.l3 Espero que esté claro por los ar-

gumentos que he expuesto que, consigan lo que consigan estos sistemas, ¡lo que mo hacen es obtener ninguna comprensión matemática real! Algo relacionado con esto son los intentos de encontrar sistemas automáticos de geHenar teoremas, en donde el sistema se establece para encontrar teoremas que se consideran «interesantes» -de acuerdo con ciertos criterios de los que está provisto el sistema computacional. Creo que seri'a generalmente aceptado que estos intentos no han conseguido hasta ahora nada que haya sido de gran interés matemático real. Por supuesto, se argumentará, todavi'a son di'as muy tempranos,

y quizá uno debe esperar que algo mucho más excitante venga de ellos en el futuro. Sin embargo, resultará evidente para cualquiera que haya lei'do hasta aqui' que personalmente considero poco probable que la empresa entera llegue a algo genuinamente positivo, excepto para resaltar lo que tales sistemas no consiguen.

3.28. Conclusiones El argumento desarrollado en este capi'tulo pareceri'a proporcionar un caso ni'tido que demuestra que la comprensión matemática humana no puede ser reducida a mecanismos computacionales (cognoscibles), donde tales mecanismos pueden incluir cualquier combinación de procedimientos de-arriba.-abajo, deabajo-arriba, o aleatorios. Parece que nos vemos llevados a la firrne conclusión de que existe algo esencial en la comprensión humana que no es posible simular mediante ningún medio computacional. Aunque pueden quedar posiblemente algunas pequeñas alternativas en el argumento estricto, estas vi'as de escape parecen muy pequeñas. Algunas personas podri~an confiar en una vi'a de escape de «intervención divina» -por la que un maravilloso algoritmo que en principio es incognoscible para nosotros ha sido simplemente implantado en nuestro cerebros ordenadores- o existe la vía de escape análoga de que los mismos mecanismos que gobiernan la forma en que mejoramos nuestras actuaciones son en principio misteriosos e incognoscibles para nosotros. Ninguna de estas vías de escape, aunque sean concebibles, seri'a aceptable en absoluto para alguien interesado en la construcción artificial de un dispositivo genuinamente inteligente. Ni tampoco son aceptables -o realmente creibles- para mi'.

La argumentación de la no co

Existe también la opción imaginable de que simplemente ningún conjunto de protecciones, de la naturaleza general cionan los liímites r, £ y N en la detallada exposición dad bastar para extirpar absolutamente todos los errores de entre de ni-sentencias *-afirmadas de complicación menor que c difi'cil creer que pueda haber una «conspiración» tan perfec nación de todos los errores, especialmente dado que nuestra de elite deberi'a ya estar preparada para eliminar errores de f sa como fuera posible. Además. es meramente un c lli-sentencias el que necesitamos asegurar que están libres do la idea del conjunto, deberi'a ser posible extirpar todos l nales que pudiera cometer la sociedad puesto que seri'a po mismo desliz fuera cometido por más de una pequeña mino rentes de la sociedad de robots simulada -con tal de que un desliz, y no un error inherente que los robots no pue a algún bloqueo fundamental. Bloqueos inherentes de este como errores «corregibles», mientras que nuestro propósit mente eliminar errores que fueran, en algún sentido, «co Las posibilidades restantes (sólo posibles) conciernen al concebible que exista una naturaleza esencialmente m aleat tamiento detallado de algunos sistemas caóticos, y que esta contenga la clave para el comportamiento efectivamente n mente? Para que este fuera el caso, sería necesario que esto sean capaces de aproximar el comportamiento no comput dad interesante en si' misma-pero, incluso así, el papel de toriedad en las exposiciones precedentes sólo sería el de red tud del conjunto de sociedades robóticas bajo consideraci está muy claro para mi' cómo podri'a ayudar esto de una f Quienes creen que es el caos el que mantiene la clave para dri'an que encontrar un caso razonado para rodear estas prof IJos argumentos anteriores pareceri'an proporcionar un ale

tra el modelo computacional de la mente -punto de vist contra la posibilidad de una s,+mw/c,c,'o'n computacional e berada) de todas las manifestaciones externas de las activi

-punto de vista a}. No obstante, pese a la fuerza de estos cho que muchas personas seguirán encontrándolos difi'ciles explorar la posibilidad de que el fenómeno de la ment que sea- pudiera estar algo más en la li'nea de e, o quizá personas de mente cienti'fica se limitari'an a intentar meram tos débiles en el argumento anterior, para mantener viva s de vista G, o quizá el ®, debe, después de todo, repre Yo no considero esto una reacción irrazonable. En efect de C y g) generan profundas dificultades por sí mismas. S acuerdo con g), que hay algo científicamente inexplicable la mentalidad una cualidad completamente separada de cual

222 IJas sombras de la;`ñi¿nte

dan proporcionar las entidades fi'sicas matemáticamente determinadas que habitan nuestro ,uni`verso material-,e`ptonces debemos preguntarnos por qué nuestras mentes`'+pqáJrreééñ estar tan i'ritiñariáénte asociadas con objetos fi'sicos elaboradamente construidos: nuestros cerebros. Si la mentalidad es algo separado de la fisicalidad, entonces ¿por qué nuestro yo mental parece necesitar absolutamente nuestro cerebro fi'sico? Es bastante evidente que las diferencias en estados mentales pueden venir de cambios en los estados fi'sicos de los cerebros asociados. Los efectos de drogas concretas, por ejemplo, están muy especi'ficamente relacionados con cambios en el comportamiento mental y la experiencia. Análogamente, heridas, enfermedades o cirugi'a en lugares especi'ficos del cerebro pueden tener efectos claramente definidos y predecibles en los estados mentales de los individuos afectados. (Particularmente dramáticos, en este contexto, son muchos informes sorprendentes proporcionados por Oliver Sacks en sus r¡ibros Despertares L197?] y El hombre que corlfundió a su mujer cori w# §ombri¬ro [l985].) Parece difi'cil mantener que la mentalidad pueda estar com-

p/¬,c,me#,e separada de la fisicalidad. Y si la mentalidad está realmente rela-

cionada con ciertas formas de fisicalidad -y aparentemente de forma ,-m-maentonces las leyes cienti'ficas que de forma tan precisa describen el comportamiento de los objetos fi'sicos también deben tener mucho que decir seguramente sobre el mundo de la mentalidad.

En cuanto al punto de vista C, existen problemas de un tipo diferente -que surgen principalmente de su carácter ti'picamente especulativo. ¿Qué razones existen para creer que la naturaleza pudiera comportarse realmente de un modo que desafi'a a la computación? Seguramente el poder de la ciencia moderna deriva, en un grado siempre creciente, del hecho de que los objetos fi'sicos se com-

portan de maneras que pueden ser simuladas, con precisión cada vez mayor, mediante computaciones numéricas cada vez más globales. A medida que ha crecido la comprensión cienti'fica, el poder predictivo de tales simulaciones computacionales se ha incrementado enormemente. En la práctica, este incremento se debe fundamentalmente al rápido desarrollo -principalmente durante la última parte de este siglo- de dispositivos computacionales de potencia, velocidad y precisión extraordinarios. Así pues, podría verse una proximidad creciente entre la actividad de los modernos ordenadores de uso general y la propia acción del universo material. ¿Existe algún indicio de que esta es en cualquier caso una fase temporal del desarrollo cienti'fico? ¿Por qué debería uno contem-

plar la posibilidad de que pueda haber algo en la acción fi'sica que sea inmune al tratamiento computacional efectivo? Si estamos buscando, dentro de la teori'a fi'sica eL¥ás,en/e, signos de una acción que no pueda estar completamente sujeta a computación, entonces debemos sentirnos disgustados. Todas las leyes fi'sicas conocidas, desde la dinámica de parti'culas de Newton, pasando por los campos electromagnéticos de Maxwell y los espacio-tiempos curvos de Einstein. hasta las profundas complicaciones de la moderna teori'a cuántica, todas estas parecen ser descr¡bibles en términos completamente computacionales,l4 excepto que un ingrediente completamente aleatorio esté también implicado en el proceso de «medida cuánti-

La argumentación de la no com

ca» por el que efectos de magnitud inicialmente minúscula se

que pueden ser percibidos objetivamente. Ninguna de éstas c carácter que seri'a necesario para «una acción fi'sica que ni s adecuadamente simulada de forma computacional» del tipo ria para el punto de vista C. Así pues, concluyo que es la ver que la versión «débil» de e la que debemos seguir (cf. §l.3 Resulta dificil exagerar la importancia de esta cuestión. V mente cienti'fica me han expresado su a'cuerdo con la opinión dida en NME, de que debe haber algo «no computacional» en de la mente, mientras que al mismo tiempo ellos afirmaron q buscar ningún desarrollo revolucionario en la teoría física acción no computacional. Una posibilidad que estas person cn mente seri'a la extrema compl¡cación de los procesos invo ción cerebral, que van mucho más allá de la analogi'a están

(como fue propuesta por primera vez por McCullogh y Pitts las neuronas o uniones sinápticas se consideran análogas a axones análogos a cables. Ellos podri'an señalar la complejid implicada cn el comportamiento de los neurotransmisores qui' nan la transmisión sináptica, y al hecho de que la acción d químicas no está necesariamente confinada a la vecindad de concretas. O podri'an apuntar a la naturaleza intrincada de l nas,l5 donde subestructuras importantes (tales como el citoe drá gran importancia para nosotros más adelante; cf. §7.4-§7.

perfectamente una influencia sustancial sobre la acción neur cluso buscar influencias electromagnéticas directas, tales co sonancia», quc pudieran no explicarse simplemente en térm sos nerviosos comunes; o podri'an insistir en que los efectos de deben ser importantes en la acción cerebral, bien al proporci las incertidumbres cuánticas o bien para efectos cuánticos col (tales como el fenómeno conocido como «condensación de Aunque todavi'a hay una gran carencia de teoremas mat vos,l7 parece no haber muchas dudas de que todas las teori' tes deben ser de naturaleza básicamente computacional -quiz co ingrediente aleatorio en acuerdo con la presencia de med

pesar de esta expectativa, creo que la posibilidad de actividad (no aleatoria) en sistemas fi'sicos, que actúan de acuerdo c existente, sigue siendo una cuestión muy interesante para se davía podría resultar que hubiera sorpresas aquí, y que algú no computacional emerja de tales investigaciones matemáti obstantc, tal como están las cosas no me parece muy proba contrarse no computabilidad genuina dentro de las leyes fi'si consecuencia, creo que uno debe sondear los puntos débile

yes para encontrar lugar para la no computabilidad que los riores exigen que de'oe estar presente en la actividad ment ¿Cuáles son estos puntos débiles? En mi opinión existen

224 IJas sornbras de ¡á';-íriente

dónde debemos concentrar nuestro ataque a la teon'a ex¡stente,' en efecto, su eslabón más débil eStá en el procedin}ien.t,o anteriormente mencionado de la «medida cuántíc-á».-Tal como está la teoria presente, hay elementos de ¡ncon: -= .~._ 'T:j

sistencia -y ciertamente de controversia- en relación con el procedimiento de «medida» global existente. Ní siquiera está claro en qué momento debe aplicarse este procedímiento en cada circunstancia dada. Además, la presencia de una aleatoriedad esencial en el propio procedim¡enü proporciona una acción fi'sica aparente de un carácter completamente diferente del que es familiar en otros procesos fundamentales. Discutiré estas cuestiones con cíerta extensión en la Segunda parte. En mi opinión, este procedimiento de medida necesita una atención fundamental -hasta el grado en que se necesítan cambios esenciales en la propia estructura de la teori'a fiJsica. Algunas sugerencias nuevas se propondrán en la Segunda parte (§6.l2). El razonamíento que he proporcionado en la Primera

parte de este libro da un fuerte apoyo a la posibilidad de que la pura a/ca,o,,Oedod de la teoría de la medida existente tenga que ser reemplazada por alguna otra cosa, donde ingredientes m compw,t,b/eg jugarán un papel fundamental. Además, c.omo ver:mos más adelante (§7.9), esta no computabilidad tendrá que ser de un tipo particularmente complejo. (Por ejemplo, una ley que «meramente» nos p?rmita decidir, por algún proceso fi's¡co nuevo, la verdad de las Hi-sentencias -es decir, resolver el «problema de la detención» de Turingno seri'a suficiente por si' misma.) Si el descubrimiento de una nueva teori'a fi'sica de tal perfeccionamiento no fuera un desafi'o suficiente por si' mismo, debemos buscar también una base

plausible para que este presunto comportamiento fi'sico tenga auténtica relevancia para la acción cerebral -¬onsistentemente con las limítaciones y requisitos de credibilidad del conocimiento existente sobre la organización del cerebro. No hay duda de que aqui' también debe haber, en el estado actual de nuestra comprensión, una especulación considerable. Sin embargo, como señalaré en la Segunda parte (§7.4), existen algunas posibilidades genuinas que yo no conoci'a al escribir NME, relativas a la subestructura citoesquelética de las neuronas, que ofrecen una plausibilidad mucho mayor para una acción importante en la frontera relevante cuántico/clásíco que lo que antes habi'a parecido imag¡nable. Tamb¡én estas cuestiones s,erán tratadas en la Segunda parte (§7.5-§7.7). Deberi'a subrayar una vez mas que m es sólo la comp/,'cac,-o'~ dentro del marco de la teori'a fi'sica.existente, lo que debemos buscar. Algunas personas pretenderán que los .movimientos y la compleja actividad qui'mica de las sustancias neurotransmisoras involucrados, por ejemplo, podri'an no ser adecuadamente simulados, y esto coloca a la acción fi'sica detallada del cerebro mucho más allá de la computación efectiva. Sin embargo, no es esto lo que yo entiendo aqui' por comportamiento no computacional. Realmente es cierto que nuestro conocimiento de la estructura biológica y los mecanismos detallados e1éctricos y fi'sícos que en conjunto gobiernan la acción cerebral son bastante inapr?piados para cualquier intento serio de simulación computacional. Además, incluso si fuera el caso de que nuestro conocimiento actual fuera adecua-

La argumentac¡ón de la no com

do, no hay duda de que la potencia computacional de las má de las técnicas de programación actuales no bastarían para e lación apropiada en un tiempo razonable. Pero, e# p,,'#c,-p,' se una simulación semejante de acuerdo con los modelos e química de las sustancias neurotransmisoras, los mecanis su transporte, su efectividad debida a circunstancias ambie potenciales de acción, campo electromagnét¡co, etc., podri' dos en la simulación. En consecuencia, mecanismos de est puestos consistentes con los requisitos de la teori'a fi'sica ex suministrar la no computabilidad que requieren los argum Podri'a haber perfectamente elementos de comportamient ción de semejante simulación computacional (teórica). Sin nuestra exposic¡ón anterior de sistemas caóticos (§l.7, §3.l

exigimos que la simulación sea la de un cerebro modelo p meramente pueda pasar como un «caso ti'pico». En efecto, e ficial no se exige que se simulen las capacidades mentales de creto; uno está meramente tratando de simular (en última i portamiento inteligente de algún individuo ,,¢,®co. (Recuérde con las simulaciones de los sistemas de tiempo meteorológico texto actual uno estaría exigiendo meramente una simulación teorológico, ¡no necesariamente e/ tiempo!) Una vez que se nümosque subyacen en el modelo del cerebro que han sido pr

(con tal de que estos mecanismos sean consistentes con la fi's de nuestros días) seguiremos teniendo un sistema computac -quizá con ingredientes aleatorios explícitos, pero todo est

do dentro de la exposición realizada anteriormente. Uno podría llevar este argumento incluso más lejos y pe los cerebros modelos propuestos sean cerebros que han apar proceso de evolución darwiniana a partir de formas de vida do todas según la fi'sica conocida -o según cualquier otro ti co computacional (tal como el modelo bidimensional propor gerioso «juego de la vida» matemático de John Horton Con imaginar que una «sociedad robótica», como la expuesta e y §3.23, pudiera aparecer como resultado de esta evolución d vo, deberíamos tener un sistema computacional global al q argumentos de §3.l4-§3.2l. Ahora bien, para que el concept pueda tener su lugar dentro de este sistema computacional, mos aplicar los argumentos anteriores en detalle, necesitarí de «¡ntervención humana» para imprimir en los robots el si del imprimátur « *». Esta etapa podría ponerse en marcha de modo que tenga lugar cuando los robots empiezan a logr comunicación adecuadas -juzgadas por algún criterio efecti ber ninguna razón por la que todo esto no pudiera ser auto

226 Las sombras de la mente

realmente la comjútaci^ón en un orden;dóf Í5Íévisible). Como antes, derivamos una contradicción de la suposición de que un sistema semejante pudiera alcanzar un nivel de comprensión humana suficiente para una apreciación del teorema de GÓdel. Otra preocupación que han expresado algunas personas" respecto a la relevancia para cuestiones de psicología de argumentos matemáticos como los

que he utilizado hasta aquí, es que la actividad mental humana nunca es tan precisa como para ser analizada de este modo. Tales personas podri'an tener la sensación de que argumentos detallados concernientes a la naturaleza matemática de cualquier fisica que pudiera subyacer en la actividad de nuestros cerebros no pueden tener relevancia real para nuestra comprensión de las acciones de la mente humana. Podrían estar de acuerdo en que el comportamiento humano es «no computable», pero alegarían que esto refleja meramente una falta de adecuación general de las consideraciones de fi'sica matemática para cuestiones de psicología humana. Podri'an aducir -y no irrazonablementeque la organización enormemente compleja de nuestros cerebros, y también de nuestra sociedad y nuestra educación, es mucho más relevante que cualquier fi'sica específica que pudiera ser responsable de las cuestiones técnicas particulares que resultan gobernar el funcionamiento detallado del cerebro humano. Sin embargo, es importante resaltar que la mera complejidad no puede obviar la necesidad de examinar las implicaciones de las leyes fi'sica subyacentes. Un atleta humano, por ejemplo, es un sistema físico enormemente complejo y, por tal argumento, uno podri'a imaginar que los detalles de las leyes fi'sicas subyacentes tendri'an poca relevancia para la actuación de dicho atleta. No obstante, sabemos que esto está muy lejos de la verdad. Los principios fi'sicos generales que aseguran la conservación de la energía, del momento lineal y del momento angular, y las leyes que gobiernan la atracción de la gravedad, tienen un control tan firme sobre el atleta como un todo como lo tienen sobre las parti'culas individuales que componen el cuerpo del atleta. El hecho de que esto debe ser asi- surge de aspectos muy específicos de aquellos principios fisicos que resultan gobernar nuestro universo particular. Con principios incluso ligeramente diferentes (o con otros muy diferentes, como sucede en el «juego de la vida» de Conway), las leyes que limitan el comportamiento de un sistema de la com-

plicación de un atleta podri'an muy bien ser comp/¬,ome#,e diferentes. IJo mismo puede decirse también del funcionamiento de un órgano interno como el corazón, y también de la qui'mica detallada que got,ierna infinidad de acciones biológicas diferentes. Análogamente, debe esperarse que los detalles de las mismas leyes que subyacen en la acción cerebral puedan muy bien ser de extrema importancia al controlar incluso las más toscas manifestaciones de la mentali-

dad humana. No obstante, incluso aceptando todo esto aún podri'a argumentarse perfectamente que seri'a poco probable que el tipo particular de razonamiento en el que me he interesado aqui', que se refiere al comportamiento general («de alto nivel») de los matemáticos humanos, reflejase algo significativo sobre la fi'sica subyacente detallada. El tipo de argumento «gódeliano» requiere, después de

La argumentación de la no com todo, una actitud ri'gidamente racional hacia el cuerpo de cr cas «incuestionables» de uno, mientras que el comportamien casi nunca es del tipo precisamente racional al que el argument aplicarse. Por ejemplo, podri'a señalarse que existen expcriment que muestran cuán irracionales son las respuestas de sujeto guntas tales como: «si todos los A son B y algunos B son C, entonces ¿no se sig

que algunos A son C? En ejemplos como estos, una mayori'a de estudiantes de ens la respuesta falsa («si'»). Si los estudiantes normales d dia son tan ilógicos en su pensamiento, podri+amos hacerno pregunta siguiente: ¿cómo podemos deducir algo de valor a razonam¡ento gódeliano mucho más complejo? Incluso mate razonarán a menudo de formas falaces, y es poco frecuent tan categóricamente como para que los contraargumentos gó levantes. Sin embargo, debería quedar claro que errores tales como estudiantes de enseñanza media, en el informe antes menc objeto de los principales argumentos de este libro. Tales er el rótulo de «errores corregibles» -y, de hecho, los errores de enseñanza media ciertamente se les manifestarán claramen vez que se les haya señalado (y explicado completamente, si la naturaleza de dichos errores. Los errores corregibles no co interés real aqui'; véase la exposición de Ql3, particulament y §3.l7. Aunque el estudio de los errores que comete la gente tante en psicologi'a, psiquiatri'a y fisiologi'a, yo estoy interesa

junto de cuestiones completamente diferente: a saber, lo que en pr,'»c,'p,'o mediante el uso de la comprensión, razonami mana. Resulta que estas cuestiones son cuestiones sutiles, a no es inmediatamente aparente. Al principio, estas cuestione dades; en efecto, el razonamiento correcto es seguramente s correcto -algo más o menos obvio y, en cualquier caso, ¡ clasificado por Aristóteles hace 2.300 años (o al menos por el co George Boole en l854, etc.).' Pero resulta que el «razona es algo inmensamente sutil y, como GÓdel (con Turing) ha de to, está más allá de cualquier acción puramente computacio estas cuestiones han sido más el territorio de los matemáticos logos. y las sutilezas involucradas no han constituido genera de los últimos. Pero hemos visto que son cuestiones que no las acciones fi'sicas últimas que deben estar en la rai'z dc aque subyacen en nuestras comprensiones conscientes.

228 Las sombras de [a mente

realidad matemática platónica preexistente, que tiene una realidad intemporal completamente independiente de nosotros mismos?; ¿o estamos cada uno de nosotros recreando independientemente todos los conceptos matemáticos a medida que avanzamos en nuestros argumentos lógicos? Además, ¿por qué las leyes fi'sicas parecen seguir con tanta aproximación estas descripciones tan matemáticamente pf`é¿isas` y sutiles? ¿Qüé réláéión tiene la propia realidad fi'sica con esta cuestión de una realidad matemática platónica? Por otra parte, si es realmente cierto que la naturaleza de nuestras percepciones depende de una subestructura matemática detallada y sutil subyacente en las mismas leyes que gobiernan el funcionamiento de nuestros cerebros, entonces ¿qué podemos aprender sobre la forma en que percibimos las matemáticas -cómo es que s,-gw,-enf, las percibimos- a partir de una comprensión más profunda de dichas leyes físicas?

Estas cuestiones constituyen nuestro principal interés, y tendremos que volver a ellas al final de la Segunda parte.

¿Hay lugar para la mente en la fi'sic

osotros -nuestros cuerpos y nuestras mentes- forma

N

universo que 4.l. obedece, con extraordinaria precisión, La mente y las leyes físicasle una enorme sutileza y un amplio alcance. El hecho de que fi'sicos están limitados de forma precisa por estas leyes ha lleg aceptada del modemo punto de vista cienti'fico. ¿Qué pasa tes? Muchas personas encontrarán profundamente inquietant

que también nuestras mentes están obligadas a actuar según e matemáticas. Pero tener que trazar una división clara entr estando el primero sujeto a las leyes matemáticas de la fiJsic a la segunda su propio tipo de libertad, no dejari'a de ser ta En efecto, nuestras mentes influyen con toda seguridad en e túan nuestros cuerpos, y también deben estar influidas por esos mismos cuerpos. El propio concepto de mente no tendri' ción si la mente no fuera capaz de influir sobre el cuerpo ni él. Además, si la mente fuera meramente un «epifenómeno rística especi'fica, pero pasiva, del estado fi'sico del cerebro ducto del cuerpo pero que no puede reaccionar sobre él, esto a la mente tan sólo un papel impotente y frustrado. Pero si l paz de influir en el cuerpo de un modo que dé lugar a qu fuera de las limitaciones de las leyes de la fi'sica, entonces est cisión de estas leyes cienti'ficas puramente físicas. Resulta a la idea completamente «dualista» de que la mente y el cuer de leyes totalmente independientes. Incluso si estas leyes físi la actuación del cuerpo permiten una libertad dentro de la cu afectar consistentemente a su comportamiento, la propia n de esta libertad debe ser un ingrediente importante de esas mi Sea lo que sea lo que controla o describe la mente, ello debe parte integral del mismo gran esquema que gobierna tambié

232 lJas sombras de la mente

simplemente otra Clá'sé dé sustancia Láun`qüé-` diferente de la materia y satisfaciendo principios de un tipo muy diferente-estamos cometiendo simplemente un error categorial. Ellos apelarán a una analogi'a que compara el cuerpo material con un ordenador fi'sico y la mente con un programa de ordenador. De hecho, semejantes comparaciones pueden ser útiles en contextos apropiados, y ciertamente es importante evitar confusiones entre diferentes tipos de conceptos cuando tal confusión se pone claramente en evidencia. De todas formas, señalar meramente a un posible «error categorial», en el caso de la mente y el cuerpo, no elimina por si' solo un enigma genuino. Además, en fi'sica se pueden ident¡ficar ciertos conceptos que, a primera vista, pareceri'an implicar algún error categorial. Un ejemplo de este tipo se da incluso en la famosa ecuación de Einstein, E = mc2, que efectivamente identifica energía con masa. Podría parecer que aqui' se ha cometido un error categorial,

ya que la masa es la medida de la sustancia mater¡al real, mientras que la energi'a parece ser una magnitud más abstracta y nebulosa que describe una capacidad potencial para realizar trabajo. Pese a todo, la fórmula de Einstein. que relaciona ambas, es una piedra angular de la física moderna, y ha sido confirmada experimentalmente en numerosos tipos de procesos fi'sicos. Un ejemplo aún más espectacular de aparente error categorial, tomado de la fi'sica, ocurre con el concepto de cH,rop,'a' (cf. por ejemplo, NME, capi'tulo 7). En efecto, la entropi'a se define de una forma muy subjetiva, siendo esencialmente un aspecto de la noción de «información»; pero la entropi'a aparece también relacionada con otras magnitudes fi'sicas más «materiales» en ecuaciones matemáticas exactas.2

Análogamente, no parece que haya ninguna razón que nos prohibiera hacer al menos un intento de explicar la noción de «mente» en términos que pudieran relacionarla claramente con otros conceptos físicos. Ia consciencia, en particular, parece ser algo que está «ahi'», asociada a ciertos objetos fi'sicos bas-

tante concretos -cerebros humanos en vigilia, cuando menos- de modo que podri'amos prever algún tipo de descripción fi'sica eventual de este fenómeno, por muy lejos que podamos estar en la actualidad de una comprensión del mismo. La conclusión a la que hemos llegado en la exposición de la Primera parte de este libro es que la comprensión consciente, en particular, debe implicar algún tipo de acción fi'sica no algori'tmica -si es que, de hecho, vamos a seguir las conclusiones que he defendido con convicción, es decir, algo en la línea del punto de vista C, más que de G, ® o D (cf. §l.3). Debo pedir a los lectores que aún no se han convencido con los argumentos que di antes, que sigan conmigo, al menos por el momento, y observan el territorio que nos lleva a explorar el argumento a favor de e. Encontraremos que las posibilidades no son en absoluto tan desfavorables como hubiéramos podido esperar, y que existen muchas cosas en dicho territorio que tienen interés por si' mismas. Espero que, después de seguir estas exploraciones, estos lectores puedan volver con mejor dis-

posición a los argumentos -convincentes, en mi opinión- que he planteado anteriormente en este libro. Asi' pues, ¡exploremos! -con e como nuestro gui'a.

¿Hay lugar para la mente en la fí

4.2. Computabilidad y caos en la física La precisión y alcance de las leyes fi'sicas, tal como se co son extraordinarios, pero no contienen indicios de ninguna a ser simulada computacionalmente. De todas formas, dentr des que nos permiten estas leyes, debemos tratar de encontr

para una acción no computacional oculta de la que pueda es se de alguna forma el funcionamiento de nuestros cerebros momento, una exposición de la posible naturaleza de esta Existen razones para creer que debe ser de un tipo particular v-¬`:==-L=s-:L-=LLiia[me, ¿n eFte mo.mento, en las cu,%s.t1^on=s.q`u estar involucradas. Volveré más tarde a este tema (§7.9,

que exigimos algo esencialmente diferente de las imágenes q tado hasta ahora nuestras teori'as fisicas, ya sean clásicas En fi'sica c/a's,Oca uno puede especificar, en cualquier i dos los datos necesarios para definir un sistema físico, y de dicho sistema no sólo está completamente determinada

que también puede compwfa,se a partir de ellos, mediante vos de computación de Turing. Dicha computación pued menos en p,,-#c,'p,'o, con dos condiciones (interrelaciona dición es que sea posible digitalizar adecuadamente los dato que los parámetros continuos de la teoría puedan reempla de aproximación suficiente, por parámetros d,'scne,os. (Es se hace normalmente en simulaciones por ordenador de sis segunda condición se refiere al hecho de que muchos sistema coS -en el sentido de que se necesita una precisión complet en los datos para calcular el comportamiento futuro con un tolerable. Como ya se ha explicado ampliamente con ante en particular; también §3.lO, §3.22), el comportamiento c que opera de forma discreta m proporciona el tipo de «no c se necesita aquí. Un sistema (discreto) caótico, aunque difí precisión. sigue siendo un sistema computable -¡como at que, en la práctica, tales sistemas son investigados nor de ordenadores electrónicos! La primera condición está re gunda, puesto que la cuestión de si consideramos o no « de precisión de nuestra aproximación discreta a los pará la teoría depende, en un sistema caótico, de si estamos in tar su comportamiento n¬a/ o de si bastará con un comp semejante sistema. Si se trata de esto último ~y, como he mera parte, esto parece ser todo lo que se necesita para inteligencia artificial -entonces no tenemos que preocupar aproximaciones discretas no sean perfectas y los pequeños

234 I+as sombras de la mente

putabilidad del tipó requérido en cualquief~sistema fi'sico puramente clásico, según las exposiciones de la Primera parte. Sin embargo, no deberi'amos descartar la posib¡lidad de que pudiera haber algo en el comportamiento caótico preciso que exhiben algunos sistemas matemáticos continuos (tomados como modelizaciones de comportamiento fi-sico),

que no puede ser captado por #,'wgc"a aproximación discreta. No conozco ningún sistema semejante, pero incluso si tal sistema existe, no sería de ayuda para

la IA -tal como está el tema por el momento- porque la IA existente depende realmente de la modelización mediante computación dárcne,a (es decir, mediante computación digital más que analógica; cf. §l.8). En fi'sica cÍ,crÍ#,,-ca existe también cierta libertad adicional de una naturaleza completamente a/ea',or,®c,, además del comportamiento deteminista (y computable) que proporcionan las ecuaciones de la teori'a (básicamente, la ecuación de Schródinger). Técnicamente, estas ecuaciones m son caóticas, pero la ausencia de caos está reemplazada por la presencia de los ingredientes aleatorios ya mencionados q¥e complementan la evolución determinista. Como hemos visto, especialmente en §3.l8, tales ingredientes puramente aleatorios no proporcionan tampoco la necesaria acción no algori'tmica. Asi' pues, parece que ni la fi'sica clásica ni la cuántica, tal como se entienden actualmente, dejan lugar para un comportamiento no computable del tipo requerido, asi' que debemos buscar en otra parte nuestra necesaria acción no computable.

4.3. Consciencia: ¿fi'sica nueva o «fénómeno emergente»? En la Primera parte he defendido (en el caso particular del conocimiento matemático) que el fenómeno de la consc,®enc,'a puede surgir sólo en presencia,de algún proceso fi'sico no computacional que tiene lugar en el cerebro. Sin embargo, cabe presumir que semejante (supuesto) proceso no computacional tendri'a que ser ,amÓ,'eJ# inherente a la acción de la materia inanimada, puesto que los cerebros humanos vivos están compuestos en definitiva del mismo material, que satisface las mismas leyes fi'sicas, del que están compuestos los objetos inanimados del universo. Por lo tanto, debemos preguntar dos cosas. Primero,

¿a qué se debe que el fenómeno de la consciencia parece darse, hasta donde

sabemos ahora, so/amem en (o en relación con) cerebros -aunque no deberiJamos descartar la posibilidad de que la consciencia pud¡era estar también presente en otros sistemas fiJsicos apropiados? En segundo lugar, debemos pregun-

!ar: ¿cómo seri'a posible que un ingrediente (supuesto) tan aparentemente importante, como es el comportamiento no computacional, que se presume inherente -al menos potencialmente- en las acciones de todas las cosas materiales, haya escapado por completo hasta ahora a la atención de los fi'sicos? Sin duda, la respuesta a la primera pregunta tiene algo que ver con la sutil y compleja organización del cerebro, pero esto, por si' solo, no proporciona una explicaci,ón suficiente. De acuerdo con las ideas que estoy proponiendo aqui', la organización del cerebro tendri'a que estar ajustada para sacar provecho de

¿Hay lugar para la mente en la físi

una acción no computable en las leyes fi'sicas, mientras que lo narios no estari'an organizados de este modo. Esta imagen dif te de una opinión más generalmente expresada acerca de la consciencia3 (básicamente la de G), según la cual el conoci sería algún tipo de «fenómeno emergente», que surge mer caracteri'stica de una suficiente complejidad o perfeccionam no rcqueriri'a ningún nuevo ni especi'fico prcx:eso fi'sico suby talmente diferente de los que ya son familiares en el comport teria inanimada. La argumentación presentada en la Primera te, y exige que debe existir alguna sutil organización en el c específicamente para sacar provecho de la fi'sica no computa adelante tendré comentarios más detallados que hacer sobr esta organización (§7.4-§7.7).

Con respecto a la segunda pregunta, cabri'a esperar que

jante no computabilidad estuvieran también presentes, en cernible, en la materia inanimada. Pero la fi'sica dc la materi dejar lugar, al menos a primera vista, para ese comportam ble. Más adelante trataré de explicar, con cierto detalle,

eVs'.-i3iLi _a_i-í_%isii=iti¿n__e_se toTpor.,a-1=_n_t_.o__n_? _c_o.=_ cC=ma#*&=i==t=-=:t¿±b_\e c.on \Ls o`bs=_Ni2=_.i_O_n=S^=C^t^=='^eS=. mento, será útil describir un fenómeno de la física conocJ-a aunque, a su modo, estrechamente análogo. Aunque no al menos, no dz+¬c,amen,e relacionado- con ningún tipo no computable, cste fenómeno físico conocido se parece mu tos a nuestro supuesto ingrediente no computable, siendo t nible -aunque esté realmente presente- en el comportami los objetos comunes; pero pese atodo aparece en un nivel ap se manifiesta, ha alterado profundamente nuestra manera cionamiento del mundo. Nuestra historia es, de hecho, una fundamental para la propia evolución de la ciencia.

4.4. La jnc/J'#c,cjoÍ# de Einstein Desde los tiempos de lsaac Newton, el fenómeno fi'sico extraordinariamente precisa descripción matemática (propu tCeh=oaru1*=*+¿=`*:3r#====-iii en_`:68]), h=__3_ug_1.d_%±u=.?^a\%=\^`. rrollo del pensamiento cienti'fico. Una vez que quedó establ ción matemática, la gravedad sirvió como un bello modelo de otros procesos fi'sicos, en donde los movimientos de los nario de un espacio fijo (plano) se percibían como contro por las fuerzas que actúan sobre dichos cuerpos, que opera

236 I,as sombras de la mente los procesos fi'sicos podían describirse de este modo, con fuerzas eléctricas, magnéticas, molecularesi y otras que actúan`~entre parti'culas y controlan sus movimientos exactos, de la misma forma general que tan maravillosamente se habi'a visto trabajar en el caso de la gravedad. Esta imagen fue radicalmente modificada en l865, cuando el gran fi'sico escocés James Clerk Maxwell publicó un notable conjunto de ecuaciones que describían el comportamiento preciso de los campos eléctrico y magnético. Estos campos contínuos teni'an ahora una existencia propia independiente, al margen de las diversas parti'culas discretas. El campo electromagnético (como se conoce ahora la combinación de ambos) es capaz de transportar energi'a a través del espacio vaci'o en forma de luz, ondas de radio o rayos X, etc., y tiene una realidad exactamente comparable a la de las parti'culas newtonianas con las que se considera que coexiste. En cualquier caso, la descripción general sigue consistiendo en cuerpos fi'sicos (incluyendo ahora los campos continuos) que se mueven en un espacio fijo bajo la influencia de sus interacciones mutuas, de modo que la imagen general presentada en el esquema newton¡ano no fue sustancialmente alterada. Ni siquiera la teori'a cuántica, con toda su extrañeza revolucionaria, tal como fue introducida en lgl3-l926 por Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schródinger, Paul Dirac y otros, cambió este aspecto de nuestra visión del mundo fi'sico. Los objetos fi'sicos seguían considerándose cosas

que interaccionaban entre si' a través de campos de fuerza, habitando todas las cosas en un mismo escenario fijo y plano. Coincidiendo con algunos de los primeros desarrollos en teori'a cuántica, Albert Einstein reexaminó en profundídad las bases mismas de la gravedad newtoniana y finalmente, en lgl5, llegó a una nwev¢ y revolucionaria teori'a que proporcionaba una imagen totalmente diferente: su teori'a de la relatividad general (cf. NME, pp. 202-2ll [pp. 26l-273]). Ahora, la gravedad ya no era una fuerza en absoluto, sino que se representaba como un tipo de cwrva,wrt7 del propio espacio (en realidad, del espacio-tiempo) en el que debi'an alojarse todas las demás parti'culas y fuerzas. No todos los fi'sicos se sintieron a gusto con esta visión radical. Pensaban que la gravedad no deberi'a ser tratada de una forma tan diferente de todas las demás acciones fi'sicas -debido especialmente a que la propia gravedad habi'a proporcionado el paradigma inicial sobre el que se habi'an modelado todas las teori'as fi'sicas posteriores. También preocupaba que la gravedad es extraordinar¡amente débil comparada con otras fuerzas fi'sicas. Por ejemplo, la fuerza gravitatoria entre el electrón y el protón en un átomo de hidrógeno es más pequeña que la fuerza eléctrica entre las mismas parti'culas en un factor de aproximadamente

l/28 500 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 Asi' pues, ¡la gravedad es completamente despreciable en el nivel de las parti'culas elementales que constituyen la materia! Una pregunta que a menudo se planteaba era esta.' ¿no podri'a ser la gravi-

¿Hay lugar para la mente en la física clásica? 237

tación algún tipo de efecto ffs,'dL,a'/, que surge quizá de la cancelación casi com-

pleta, pero no exacta, de todas las demás fuerzas involucradast (Se conocen algunas fuerzas de esta naturaleza, tales como la fuerza de Van der Waals, el enlace de hidrógeno o la fuerza de London.) En consecucncia, en lugar de ser un fenómeno fi'sico completamente diferente de cualquier otro y que tiene que describirse de una forma matemática completamente diferente de todas las demás fuerzas, la gravedad no existiri'a realmente como algo con derecho propio, sino que sería algún tipo de «fenómeno emergente». (Por ejemplo, el gran físico y humanista soviético Andréi Sajárov propuso en cierta ocasión una visión de la gravedad de esta naturaleza.)4 Sin embargo, resulta que una idea de este tipo m funciona. La razón básica para ello es que la gravedad influye realmente en las relaciones cc,wsc,/¬s entre sucesos espacio-temporales, y es la w'#i-ca magnitud fi'sica que tiene este efecto. Otra manera de expresar esto es decir que la gravedad tiene la capacidad única de «inclinar» los conos de luz. (Veremos lo que todo esto significa en breve.) Ningún campo fi'sico d,-s,,'m,o de la gravedad puede inclinar los conos de luz,

L\.`i\uet=_üi`cr=r\¿iltig-iLa c_o\ecc1ón-d`e \tnnu.en11s± tltslct_s^T.t_t^L^a`.Vt\a-teO?li?:¢. ¿Qué significa «inclinar los conos de luz»? ¿Qué son las «relaciones causales entre sucesos espacio-temporales»? Tendremos que hacer una pequeña di-

gresión para explicar estos términos. (Esta digresión tendrá una importancia independiente para nosotros más adelante.) Puede que algunos lectores ya estén familiarizados con estos conceptos relevantes, y só1o haré aqui' una pequeña exposición para presentar a los demás las ideas necesarias. (Véase NME,

taap,:.huh=-+'3:irhlL+-i3Li para un apá\i?1s más _Fe+rte_toi)_T.T_la_^tt\,'_a 4=L h.= representado, en un diagrama espacio-tiempo, un cono de luz común. En el diagrama se representa el tiempo progresando desde la parte inferior de la página hacia la parte superior, mientras que el espacio se representa extendiéndose horizontalmente. Un punto en un diagralna espacio-tiempo representa un 5wce5o, que es algún punto espacial concreto en algún instante concreto. Por consiguiente, los sucesos tienen duración temporal y extensión espacial nulas. El cono de /wz completo centrado en un suceso P representa la historia espaciotemporal de un pulso de luz esférico, que implosiona hacia P y, en cse instante,

*``%*tude-`n==vro-i-3=r-ti:-3¿ p. sieiri` a.\ái+F\e=\11_*__d_e^:=^.\u^Za` `¢.S{nT`=e|Sp'Q+_\ cono de luz entero de P está compuesto de todos aquellos rayos de luz que realmente encuentran el suceso P en sus historias individuales. El cono de luz de P tiene dos partes: el cono de luz pc,sado* que representa el destello de luz en JOmplosión, y el cono de luz/w,wro, que representa el deste1lo en eplosión. Según la teoría de la relatividad, los sucesos que pueden tener una ,'#//w¬#c,-a cawsc,/ sobre el suceso espacio-temporal P son todos los que se hallan dentro o sobre la superficie del cono de luz pasado de P; análogamente, los sucesos que pueden sufrir una influencia causal de P son todos los que se hallan dentro o sobre la superficie del cono de luz futuro de P. Los sucesos

que se hallan en la región externa a ambos conos pasado y futuro son los que *

En los diagramas de NME sólo se mostraban las partcs futuras de los conos de luz.

238 I±as sombras de la merite

4.l. El com cJe /wz en un suceso P está compuesto por todos los rayos de luz en el e.spacio-tiempo que pasan por P. Representa la historia de un destello de luz que implosiona hacia P (cono de luz pasado) y entonces explota de nuevo (cono de luz futuro). El suceso Q está separado de P por una dÁ,,c,#c,Oa cJe ,,'po e£pac,'o (ya que se halla fuera del cono de luz de P) y está fuera de la influencia causal de P.

nunca pueden influir ni ser ¡nfluidos por P. Se dice que tales sucesos están se-

parados de P por un intervalo dc ,,Po c§pac,®o. Deberi'a quedar claro que estas nociones de relación causal son caracteriJsticas de la ,eo,,'o de /a ne/c,,,'vJ'c7ac7, y no son pertinentes para la fi'sica newtoniana. En la fi'sica newtoniana no hay una velocidad li'mite para la transferencia de inforTación. Esta velocidad 1ímite sólo existe en la teori'a de la relativ¡dad, y es pre:isamente la velocidad de la luz. Un principio fundamental de la teori'a es que ningún efecto causal puede propagarse a mayor velocidad que esta velocidad li'mite.

No obstante, hay que tener algún cuidado en la interpretación de lo que se entiende aqui' por «1a velocidad de la luz». Las señales luminosas reales se frenan ligeramente cuando atraviesan un medio refractivo, tal como el cristal. Dentro de un medio semejante, la velocidad a la que viaja la señal luminosa fi'sica será menor que la que aquí esta.mos llamando «la velocidad de la luz». y es posible que un cuerpo fi~sico, o una señal fi'sica distinta de una señal luminosa, supere la velocidad real a la que la luz atraviesa dicho medio. Este fenómeno puede observarse en ciertos experimentos fi'sicos, en lo que se conoce como radiación Cerenkov. Aqui'. se lanzan parti'culas en un medio refractivo en el quc la velocidad de las parti'culas es sólo ligeramente menor que esta «velocidad de la luz» absoluta, aunque es mayor que la velocidad a la que la luz atraviesa realmente el medio. Se producen ondas de choque de luz real, y esta es la radiación Cerenkov. Para evitar confusiones es mejor que llame velocidad abso/w,a a esta «velo-

¿Hay lugar para la ,nente en la física clásica? 239

cidad de la luz» mayor. Los conos de luz en el espacio-tiempo determinan la velocidad absoluta, pero no determinan necesariamente la velocidad de la luz rea1. Dentro del medio, la velocidad de la luz real es algo menor que la velocidad absoluta, y también es menor que la velocidad de las parti'culas lanzadas en él que producen la radiación Cerenkov. Es la velocidad absoluta (es decir, cada cono de luz) la que fija el límite de velocidad para todas las señales o cuer-

pos materiales, y aunque la luz real no viaja necesariamente a la velocidad absoluta, sí lo hace siempre cuando viaja en el vacío. La teoría de la «relatividad» a la que aquí nos estamos refiriendo es la relatividad e5pec,~c,/, en la que la gravedad está ausente. En la relatividad especial todos los conos de luz están dispuestos uniformemente, como se muestra en la figura 4.2, y el espacio-tiempo se conoce como espacio de M,-nkottuk,'. Según la relatividad genem,/ de Einstein, la exposición previa sigue siendo válida siempre que sigamos llamando «velocidad absoluta» a la que está determinada

por la situación espacio-temporal de los conos de luz. Sin embargo, un efecto de la gravedad es que la distribución de los conos de luz puede hacerse m uniforme, como se muestra en la figura 4.3. Esto es lo que he llamado antes la «inclinación» de los conos de luz. Una manella no infrecuente de tratar de imaginar esta inclinación es en tér-

minos de una velocidad de la luz -o, más bien, una velocidad absoluta- que va,,J¢ de un lugar a otro, y donde esta velocidad también puede depender de la dirección de movimiento. De este modo, uno podría ahora tratar de pensar en la «velocidad absoluta» como algo análogo a la «velocidad de la luz real» que se ha mencionado en la anterior exposición del medio refractivo. En consecuencia, uno debería tratar de pensar en el campo gravitatorio como algo que =iuo-*+Oc\ó+==V:==*~tiiiacti;o` q,ue P_er^TJe=_t%_tO.ay=a.+=tt`% nnaOr=i?1\`\iAaQ\ =a=ePr%ar_tamiento de la luz real, sino también de ,oda's las señales y parti'culas materia1es.* En realidad, este tipo de descripción de los efectos de la gravedad se ha intentado a menudo, y funciona hasta cierto punto. Sin embargo, no es una descripción completamente satisfactoria y, en algunos aspectos importantes, proporciona una imagen gravemente equivo.cada de la relatividad general. En primer lugar, aunque con frecuencia pueda considerarse este «medio re-

£rac=1vloyi=v-+t±t-oeri%»-c-%=-ü\i+ iue^da \Yg*+?_=_PT.q^+_O^d^=.\^=`\=\+%Cnirt=¬\amb_soluta, como sucede con un medio refractivo normal, existen circunstancias im-

portantes (tales como el campo gravi.tatorio a grandes distancias de una masa aislada) en las que esto solo no funciona, y el presunto medio tendría que ser capaz también de ace/entz, la velocidad absoluta en ciertos lugares (Penrose, 1980; cf. figura 4.4). Esto no es algo que pueda lograrse dentro de la relatividad especial. Según esta teoría, un medio refractivo, por exótico que sea, nunca podrá tener el efecto de acelerar las señales hasta hacerlas más rápidas que la velocidad de la luz en un vacío libre de medio, sin violar los principios básicos de causalidad de la teoría -pues un incremento semejante permitiría que las se'

De forma notable, el propio Newton sugirió una idea dc esta naturaleza. (Véase gwe,i-e5

18-22 del Libro Tcrcero de su óp,,+ca, l730.)

240 Las sombras de la mente

4.2. Espacio de Minkowski: el espacio-tiempo de la relatividad especial. Todos los conos de luz están dispuestos uniformemente.

4.3.

IJos conos de luz inclinados de la relat¡vidad general de Einstein.

ñales se propagaran fuera de los conos de luz minkowskianos (libres de medio), lo que no está permitido. En particular, el efecto gravitatorío de «inclinación de los conos de luz», tal como se ha descrito antes, no puede interpretarse como un efecto residual de otros campos no gravitatorios. Existen situaciones mucho más extremas en las que seri'a absolutamente imposible describir de esta forma la inclinación de los conos de luz, incluso si aceptamos que la velocidad absoluta se vea «acelerada» en algunas direcciones. En la figura 4.5 se ilustra una situación en la que esto no es realmente posible, al estar los conos de luz inclinados hacia la derecha hasta un grado de apariencia absurda. De hecho, este tipo de inclinación extrema solamente necesita aparecer en situaciones caracteri'sticamente cuestionables en las que se pro-

-

¿Hay lugar para la mente en la física clásica? 241

Conos que definen la ve'ocidad absolúta (de la 'uz normal)

Cono de luz

m¡nkowsk¡ano no incl¡nado

4.4. Según la relatividad general de Einstein la propagación de la luz no puede considerarse como un efecto de un «medio refractivo». dentro del marco del espacio minkowskiano. sin violar el principio fundamental de la relatividad especial de que las señales no pueden propagarse a mayor velocidad que la velocidad de la luz de Minkowski.

4.5.

En principio, la inclinación del cono de luz puede ser tan extrema que podri'an

propagarse señales luminosas al pasado de Minkowski.

duce una «violación de causalidad», donde se hace teóricamente posible para un observador el enviar señales a su propio pasado (cf. figura 7.5 en capi'tulo 7). ¡Curiosamente, consideraciones de esta naturaleza fcJ!dntz-# una genuina relevancia para nuestra exposición posterior (§7.lO)! Existe también el aspecto más sutil de que el «grado de inclinación» de un cono de luz simple no es algo fi'sicamente medible, y por ello no tiene realmente ningún sentido fi'sico tratarlo como un freno o aceleración rea/ de la velocidad absoluta. Esto queda mejor ilustrado si pensamos en la figura 4.3 como una imagen dibujada en una lámina elástica, de modo que cualquier cono de luz concreto puede ser rotado y distorsionado (cf. figura 4.6), en la vecindad de su vértice, hasta situarlo «verticalmente», precisamente como en las imágenes comunes del espacio de Minkowski de la relatividad especial (figura 4.2). No hay modo de decir, mediante ningún experimento local, si está o n,o «inclinado» el cono de luz en cualquier suceso concreto. Si tuviéramos que considerar que el efecto de inclinación,es debido realmente a un «medio gravitacional», entonces necesitari'amos explicar por qué este medio tiene el muy curioso efecto de resultar inobservable en cualquier suceso espacio-temporal simple. En particular, incluso las situaciones particularmente extremas ilustradas en la figu-

242 IJas sombnas de la rnente

/

t=

-. - \ - --_ l+

7,,

/ /

\ \ E=

i=

-

E=

4.6. Imaginamos el espacio-tiempo como una lámina elástica con los conos de luz díbujados en ella. Cualquier cono de luz ¡ndividual puede ser rotado (llevando la lámina elástica con él) hasta una representación minkowskiana estándar.

ra 4.5 para las que la idea del medio gravitacional no funciona en absoluto, no son, si consideramos solamente un simple cono de luz, fi'sicamente diferentes de lo que sucede en una situación, como en el espacio de Minkowski, donde el cono de luz no está inclinado en absoluto. En general, no obstante, podemos rotar un cono de luz particular hasta su orientación m¡nkowskíana sólo a expensas de distorsionar alguno de los conos de luz vecinos J¬spcc,o a su orientación minkowskiana. Existe, en general, un «obstáculo matemático» que hace imposible deformar la lámina elástica hasta llevar todos los conos de luz a la disposición minkowskiana estándar ilustrada en la figura 4.2. En el caso del espacio-tiempo tetradimensional, este obstáculo se describe mediante un objeto matemático denominado ,¬JÜo, c7e WreJ'/ co#-

/ormc -para cl que se utilizó la notación WEYL en NME (cf. NME, p. 210 [p. 271]). (El tensor WEYL describe sólo la mitad de la información -la mitad «conforme»- que está contenida en todo el tensor de curvatura de Riemann del espacio-tiempo; sin embargo, no es necesario aqui' que el lector se interese

por el significado de estos términos.) Sólo si WEYIJ es cero, podemos rotar todos los conos de luz hasta la disposición minkowskiana. El tensor WEYIJ mide el campo gravitatorio -en el sentido de la distorsión de marea gravitatoria- de modo que es precisamente el campo grt,v,',o,or,'o, en este sentido, el que proporciona el obstáculo que impide «desinclinar» los conos de luz. Ciertamente esta magnitud tensorial es fi-sicamente medible. El campo gravitatorio WEYIJ de la Luna, por ejemplo, ejerce su distorsión de marea sobre la Tierra -dando la contr¡bución principal al origen de las mareas terrestres (NME, p. 202 [p. 26l], figura 5.25). Sin embargo, este efecto no está directamente relacionado con la inclinación de los conos de luz, siendo simplemente una caracten'stica de los efectos newtonianos de la gravedad. Más pertinente es otro efecto gravitatorio, las /c#,es gn¢v,-,c,c,'o#c,/e§, que es un aspecto caracteri'stico de la teori'a de Einstein. El primer efecto observado de lente gravitacional fue el que vio la expedición de Arthur Eddington a la lsla del Pri'ncipe en

¿Hay lugar para la mente en la fí 1919, donde fue cuidadosamente registrada la distorsión ob estelar producida por el campo gravitatorio del Sol. La dist fondo tiene tal naturaleza que una pequeña estructura circul será distorsionada de modo que se observe una elipse (véa es una observación casi directa del efecto de WEYl sobre l nos de luz del espacio-tiempo. En años recientes, el cfecto nal se ha transformado en una herramienta muy important

y la cosmologi'a observacional. La luz procedente de un cu ces distorsionada por la presencia de una galaxia interpuest distorsiones observadas de la apariencia del cuásar, junto retraso temporal, pueden dar una importante información s sas, etc. Todo esto proporciona evidencia observacional p c¡Ón de 'oq conÍ,s de ]u7 como m fenómeno rea', y tamb;é

rectamente medibles de WEYL. Los comentarios anteriores ilustran el hecho de que la « conos de luz, es decir, la distorsión de la causalidad, deb es sólo un fenómeno sutil, sino un fenómeno ma/, y no pu una propiedad residual o «emergente» que aparece cuando teria alcanza un tamaño suficiente. La gravedad tiene su pro /a'r entre los procesos físicos, no directamente discernible e zas que son importantes para las partículas fundamentales p caso, está allí todo el tiempo. Nada se conoce en fi'sica, que pueda inclinar los conos de luz, de modo que la grave mente d,,e,e#,e de todas las demás influencias físicas y este aspecto muy básico. Según la teori'a clásica de la relati haber realmente una cantidad absolutamente minúscula d conos de luz como resultado del material contenido en la de polvo. Incluso los simples electrones deben inclinar los la magnitud de inclinación en tales objetos es ridículam tener cualquier efecto directamente observable. Los efectos de la gravedad se han observado en objetos motas de polvo, aunque todavi'a t,astante más pequeño famoso experimento realizado en l798, Henry Cavendis gravitatoria de una csfera con una masa de alrededor de 1 perimento se basaba en otro anterior de John Michell.) C derna es posible detectar la atracción de un objeto de masa por ejemplo Cooke, l988.) Sin embargo, una detección d de incünación de los conos de luz en cualquiera de estas sit cho más allá de las técnicas actuales. Solamente con masa servarse directamente la inclinación de los conos de luz; sencia real en minúsculas cantidades en cuerl,os tan pequ polvo es una consecuencia precisa de la teoría de Einste hs efectos detallados de la gravedad no pueden simul

244 IJas sombras de la mente

4.7. Un efecto observacional directo de la inclinación del cono de luz. La curvatura WEYL del espacio-t¡empo se manifiesta como una distors¡ón del campo de la estrella lejana, aqui' debida al efecto de desviación de la luz por el campo gravitatorio del Sol. Una estructura estelar circular se distorsionari'a en una figura eli'ptica. lmagen d¡storsionada

Cuásar

#7ásar

Galax¡a ¡nterpuesta

4.8. El efecto einsten¡ano de desviación de la luz es ahora una herramienta ¡mportante en astronomi'a observacional. La masa de una galaxia interpuesta puede ser estimada a partir de la distorsión que produce en la imagen de un cuásar distante.

modo de que puedan considerarse como un fenómeno secundario o emergente, residual respecto a otros procesos fi'sicos mucho más relevantes. Se describe mediante la propia estructura del espacio-tiempo que anteriormente se habi'a considerado como la arena fija para todas las demás actividades físicas. En el universo newtoniano la gravedad no se vei'a como nada especial, incluso si proporcionaba el paradigma para todas las fuerzas fi'sicas posteriores. Pero en el universo einsteniano (que es el punto de vista que sostienen los fi'sicos actuales, maravillosamente confirmado por los experimentos), la gravedad se ve como algo completamente diferente: no un fenómeno emergente en absoluto, sino algo con un carácter propio y especial.

¿Hay lugar para la mente en la física clásica? 245

Pese al hecho de que la gravedad es diferente de todas las demás fuerzas fi'sicas, existe una profunda armoni'a que integra la gravedad con todo el resto de la fi'sica. h teori'a de Einstein no es algo ajeno a las demás leyes, sino que las presenta a una luz diferente. @sto es particularmente cicrto para las leyes de la conservación de la energía, del momento y del momcnto angular.) Esta integración de la gravedad de Einstein en el resto de la física llega a explicar de algún modo la ironía de que la gravedad de Newton haya proporcionado un pamd,-gm¢ para el resto de la fi'sica, ¡pese al hecho de que, como Einstein demostró postcriormente, la gravedad es ,ea/mcn,c diferente del resto de la física! Sobre todo, Einstein nos enseñó a no ser demasiado complacientes creyendo, en cualquier etapa de nuestro conocimiento, que ya hemos encontrado nccesariamente el punto de vista físico adecuado. {-`Pndemos esperar íi.i,e hava atgo aná1o_go r,.\ip apreT,rler con respecto al fe~

nómeno de la consciencia? S-i asi' fuera, no seri'a la ma,sa lo que tendría que

ser grande para que el fenómeno se ponga de manifiesto -al menos no soJ/o la masa-, sino algún tipo de organización física delicada. Según los argumentos presentados en la Primera parte, semejante organización tendri'a que haber encontrado el modo de utilizar algún ingrediente no computacional oculto, pero ya presente en el comportamiento de la materia común; un ingrediente que, como la inclinación de los conos de luz de la relatividad general, habri'a escapado totalmente a la observación si dicha atención hubiera estado confinada al estudio del comportamiento de parti'culas minúsculas. Pero ¿tiene algo que ver la inclinación de los conos de luz con la no computabilidad? Exploraremos un aspecto inquietante de está cuestión en §7.lO; pero en la fase actual de la argumentación, no tiene nada que ver en absoluto -eJccep,o que nos ofrece una moraleja: que es pcrfectamente posible, en fi'sica, tener una propiedad nueva de fundamental importancia, completamente diferente de cualquier cosa que se haya observado hasta entonces, y que haya quedado oculta a la observación del comportamiento de la materia común. Einstein fue llevado a su punto de vista revolucionario a partir de algunas consideraciones poderosas, algunas matemáticamente complejas, y algunas físicamente sutiles; pero la más importante de estas había permanecido patente, aunque inaprecia~ da en su justa medida, desde los tiempos de Galileo (el principio de equivalencia: todos los cuerpos caen a la misma velocidad en un campo gravitatorio). Además, un requisito previo necesario para el éxito de las ideas de Einstein era

que deberían ser compatibles con todo lo que se conoci'a en los fenómenos físicos de su época. De forma análoga, podríamos contemplar que pueda existir alguna acción no computacional oculta en alguna parte del comportamiento de las cosas. Para

que esta especulación tenga alguna esperanza de éxito, también tendri'a que estar motivada por poderosas consideraciones, presumiblemente matemáticamente complejas y físicamente sutiles a un tiempo, y tendrían que ser coherentes con todos los fenómenos físicos detallados que hoy se conocen. Trataremos de ver hasta dónde podemos avanzar en el camino hacia una teoría semejante. Pero como preámbulo, echemos primero una ojeada al poder que tienen

246 Las sombras de la men,e las ideas computacionaleis en la fi'sica actual. Con apropiada ironi'a, encontraremos que la propia relatividad general proporciona uno de los ejemplos más sorprendentes de la Naturaleza. `-~`-r- 4.5. Compütáéióñ y fíSiCa

Aproximadamente a 30.000 años luz de la Tierra, en la constelación del águila, dos estrellas muertas increiblemente densas orbitan una alrededor de la otra. El material de estos objetos está tan comprimido que una pelota de tenis de su sustancia tendría una masa comparable a la de Deimos, una de las lunas de Marte. Estas dos estrellas -denominadas estrellas de #¬w,rones- describen una órbita cada 7 horas, 45 minutos y 6,9816132 segundos, y sus masas son, respectivamente, l,44ll y l,3874 veces la masa de nuestro Sol (con un error posible de 7 en la última cifra decimal). La primera de estas estrellas emite un pulso de radiación electromagnética (ondas de radio) en nuestra dirección cada 59 milisegundos, lo que indica que está girando sobre su eje unas l7 veces por segundo. Es lo que se conoce como un pw'/sar, y el par constituye el famoso sistema púlsar binario PSR lgl3+l6. Los púlsares se conocen desde l967, cuando fueron descubiertos por Jocelyn Bell y Anthony Hewish en el radioobservatorio de Cambridge. Son objetos notables. Las estrellas de neutrones son normalmente el resultado del colapso gravitacional del núcleo de una estrella gigante roja, que puede dar lugar a una violenta explosión de supernova. Su densidad es casi increible, al estar condensadas a partir de parti'culas nucleares, principalmente neutrones, hasta tal punto que su densidad global es comparable a la del propio neutrón. En el colapso, la estrella de neutrones habría atrapado líneas de flujo de campo magnético dentro de su masa y, debido a la enorme compresión que tiene lugar cuando colapsa la estrella, habri'a concentrado dicho campo hasta un grado extraordinario. Las li'neas del campo magnético emergerán por el polo norte magnético de la estrella y, después de llegar hasta una considerable d¡stancia en el espacio exterior, volverán a entrar en la estrella por su polo magnético sur (véase figura 4.9). El colapso de la estrella habri'a tenido también como resultado un enorme incremento en su velocidad de rotación (un efecto de la conservación del momento angular). En el caso del púlsar antes mencionado (que tendri'a un diámetro de unos 20 kilómetros), esta velocidad es de unas ¡l7 revoluciones por segundo! Esto da lugar a que el campo magnético extraordinariamente intenso del púlsar gire a l7 revoluciones por segundo, ya que las li'neas de flujo dentro de la estrella permanecen incrustadas en el cuerpo de la misma. Fuera de la estrella, las li'neas de campo arrastran parti'culas cargadas; a cierta distancia de la estrella, la velocidad a la que deben moverse dichas parti'culas se aproxima mucho a la velocidad de la luz. Donde esto sucede, las parti'culas cargadas empiezan a radiar intensamente, y las potentes radiooondas que emiten actúan como una gigantesca baliza que envi'a destellos periódicos a enormes distan-

¿Hay lugar para la mente en la fí

4.9. PSR lgl3 + l6. Dos estrellas de neutrones están en órbita una Una de ellas es un púlsar, con un enorme campo magnético que cargadas.

cias. Algunas de estas señales llegan a la Tierra, con su d

para ser observadas por los astrónomos como la sucesión d es característica de un púlsar (figura 4.lO). Las velocidades de rotación de los púlsares son extraor bles, y proporcionan relojes cuya precisión iguala, e inclus más perfectos relojes (nucleares) que se ha)m construido en reloj púlsar podri'a adelantar o retrasar menos de lO-l2 se Si el púlsar forma parte de un sistema binario, como es el cas entonces su movimiento orbital en torno a su compañero p cuidadosamente mediante la utilización del c/ec,o Dopp/c, dad de su «clicking», tal como se recibe en la Tierra, es liger do el púlsar se acerca a nosotros que cuando se aleja. En el caso de PSR lgl3 + 16, ha sido posible obtener u dinariamente precisa de las órbitas que ambas estrellas descr alrededor de la otra, y comprobar diversas predicciones ob relatividad general de Einstein. Estas predicciones incluyen como «precesión del perihelio» -que, a finales del siglo advertido como un comportamiento anómalo del planeta vimiento orbital en torno al Sol, pero que Einstein explic

primera prueba de su teon'a-y varios tipos de «movimientos de la relatividad general, que afectan a los ejes de rotació Einstein da una imagen muy ni'tida (determinista y comput en que deberían comportarse dos cuerpos pequeños, cua torno al otro, y es posible calcular este movimiento con un sión utilizando cuidadosos y avanzados métodos de aproxim versas técnicas computacionales estándar. En un cálculo se algunos parámetros desconocidos, tales como las masas y l ciales de las estrellas, pero hay muchos datos en las señales miten fijar estos parámetros con una precisión excelente. El

248 IJas sombras de la mente

ii=

/.. é+Í3Í+<

OT¡erra z+zz+`J+Z~~ 4.IO. Las partículas cargadas atrapadas se mueven con el púlsar y emiten una señal electromagnética cuyo haz barre la tierra l7 veces por segundo. Esto se recibe como una señal de radio con pulsos cortos.

tre la imagen calculada y la información muy detallada que se recibe en la forma de las señales del púlsar es muy notable, y proporciona un fuerte apoyo para la relativ¡dad general. Existe un efecto adicional de la relatividad general que todavi'a no he mencionado y que juega un papel importante en la dinámica del pú1sar binario: la nt,d,'ac,'o~# gmv,ta,or,'c,. En la sección anterior he destacado cómo la gravedad difiere de maneras importantes de todos los demás campos fi'sicos. Pero existen otros aspectos en que la gravedad y el electromagnetismo son muy similares. Una de las propiedadcs importantes de los campos clectromagnéticos consiste en que pueden existir en forma de ondas, que se propagan a través del espacio, como la luz o las ondas de radio. Según la teori'a clásica de Maxwell, tales ondas ?manari'an de cualquier sistema de parti'culas cargadas en órbita mutua y

que interaccionan entre si' a través de fuerzas electromagnéticas. Análogamente, según la relatividad general clásica habri'a ondas gravitatorias emanando de cualquier sistema de cuerpos gravitantes en órbita mutua debida a sus interacciones gravitatorias. En situaciones normales, estas ondas serían extremadamente débiles. La fuente más potente de radiación gravitatoria en el Sistema Solar la proporciona el movimiento del planeta Júpiter alrededor del Sol, pero la cantidad de energi'a que emite el sistema Sol-Júpiter en esta forma es sólo aproximadamente la equivalente ¡a una lámpara de 40 wat¡os! Sin embargo, en otras circunstancias, tales como en PSR lgl3 + l6, la situación es muy diferente, y la radiación gravitatoria del sistema va a jugar un papel realmente importante. Aqui', la teori'a de Einstein proporciona una firme predicción de la naturaleza detallada de la radiación gravitatoria que deberi'a estar emitiendo el sistema, y de la energi'a que deberi'a transportar. Esta pérdida de energi'a dari'a como resultado un movimiento en espiral convergente de las dos estrellas de neutrones, y una reducción correspondiente de su periodo de rotación orbital. Joseph Taylor y Russell Hulse observaron por primera vez este púlsar binario en el enorme radiotelescopio de Arecibo, en Puerto Rico,

¿Hay lugar para la mente en la física clásica? 249

1975

1980

1985

1990

AiNO

4.1l. Este gráfico (cortesi'a de Joseph Taylor) muestra el acuerdo preciso, sobre un periodo de veinte años. entre la aceleración observacional de la órbita mutua del púlsar

y la pérdida de energi'a calculada debida a radiación gravitacional según la teori'a de Einstein.

en 1974. Desde entonces, el periodo de rotación ha sido registrado cuidadosamente por Taylor y sus colegas, y la reducción se encuentra en total acuerdo con las predicciones de la relatividad general (cf. figura 4.l1). Por este trabajo, Hulse y Taylor recibieron el premio Nobel de Física en 1993. De hecho, a medida que han pasado los años, la acumulación de datos de dicho sistema ha pro-

porcionado una confirmación cada vez más decisiva de la teonJa de Einstein. En realidad, si ahora tomamos el sistema como un todo y lo comparamos con el comportamiento calculado a partir de la teoría de Einstein como un todo -desde los aspectos newtonianos de las órbitas hasta los efectos en las órbitas debidos a pérdida de energía por radiación gravitatoria, pasando por las correcciones a dichas órbitas que se derivan de los efectos de la relatividad general estándar- encontramos que la teoría queda globalmente confirmada dentro de un margen de error inferior a lO-l4. ¡Esto convierte a la teoría de la relatividad general de Einstein, en este sentido concreto, en la teori'a confirmada con más precisión que se conoce en la ciencia! En este ejemplo, tenemos un sistema particularmente «limpio» en el que la relatividad general, por sí sola, es todo lo que se necesita en los cálculos. Cuestiones tales como las complicaciones resultantes de la constitución interna de los cuerpos, o el arrastre debido a un medio interpuesto o debido a campos

250 IJas sombras de la mente magnéticos no tienen efectos importantes en los movimientos. Además, sólo hay dos cuerpos inv_plucrados, junto con su campo gravitatorio mutuo, de modo

que es perfectamente posible hacer, a partir de la teori'a, un cálculo del comportamiento observado completo en todos los detalles relevantes. Este podri'a muy bien ser el ejemplo más perfecto de una comparación entre un modelo teórico calculado y un comportamiento observado -que incluye sólo unos pocos cuerpos- que se haya logrado nunca en la ciencia. Cuando el número de cuerpos en un sistema fi'sico es considerablemente mayor que éste, todavi'a puede ser posible, utilizando todos los recursos de la moderna tecnologi'a de ordenadores, modelar el comportamiento del sistema de una forma muy detallada. En particular, los movimientos de todos los planetas del Sistema Solar, junto con sus satélites más importantes, han sido modelados en uT cá1culo global muy detallado de lrving Shapiro y sus colegas. Esto pro-

porciona otra prueba importante de la relatividad general. De nuevo, la teori'a de Einstein ajusta todos los datos observacionales, y acomoda las diversas pequeñas desviaciones respecto al comportamiento observado que habri'an estado presentes si se hubiera utilizado un tratamiento completamente newtoniano. También con los ordenadores modernos pueden realizarse cálculos que in-

cluyen un número de cuerpos aún mayor -a veces del orden de un millón-, aunque en general (pero no siempre) estos se basan por completo en la teori'a newtoniana. Podri'an ser necesarias algunas hipótesis simplificadoras sobre cómo aproximar los efectos de muchas parti'culas mediante algún tipo de promedio, en lugar de tener que calcular en detalle el efecto de cada partiJcula sobre cada una de las demás. Tales cálculos son comunes en astrofi'sica, donde uno puede estar interesado en la formación detallada de estrellas o galaxias, o la acumulación de materia en el universo primitivo antes de la formación de galaxias. Hay, sin embargo, una diferencia importante en lo que estos cálculos tratan de conseguir. Ahora es probable que no estemos interesados en la evolución n¬a/de un sistema, sino en su evolución ,,Z,,'ca. Como sucedi'a con nuestras consideraciones anteriores sobre los sistemas caóticos, esto puede ser lo máximo

que podamos esperar. Es posible verificar por estos medios varias hipótesis científicas acerca de la constitución y distribución inicial de materia en el universo

para ver hasta qué punto, en general, su evolución resultante concuerda con la realmente observada. En estas circunstancias, uno no espera encontrar un ajuste detallado, pero pueden compararse las apariencias generales y los parámetros estadl'sticos detallados del modelo y de las observaciones. La situación extrema de este tipo se da cuando el número de parti'culas es tan grande que resulta una tarea sin esperanza el seguir la evolución de cada una de ellas individualmente y, en su lugar, las parti'culas deben tratarse de una forma enteramente estadi'stica. El tratamiento matemático común de un gas, por ejemplo, trabaja con conjwH,os estadi'sticos de muestras diferentes de movimientos posibles de parti'culas, y no se interesa por los movimientos concretos de las parti'culas individuales. Las magnitudes fi'sicas tales como temperatura, presión, entropi'a, etc., son propiedades de tales conjuntos, pero una vez más pueden tratarse como parte de un sistema computacional, donde las pro-

¿Hay lugar para la mente en la física clásica? 251

piedades evolutivas de dichos conjuntos se tratan desde un punto de vista estadi'stico.

Además de las ecuaciones dinámicas relevantes (las de Newton, las de Maxwell, las de Einstein, o cualesquiera otras), en tales circunstancias debe esta.r involucrado otro principio físico. Se trata de la segwnda /eJ' de /a ,¬rmod,'m~m,ca.5 En efecto, esta ley sirve para descartar estados iniciales de los movimientos de las parti'culas individuales que conducirían a evoluciones futuras abrumadoramente improbables, aunque dinámicamente posibles. La introducción de la segunda ley sirve para asegurar que la evolución futura del sistema que está siendo modelado es realmente «ti'pica», y no algo fuertemente atípico

que no tiene relevancia práctica para el problema en cuestión. Con la ayuda de la segunda ley se hace posible calcular evoluciones futuras de sistemas que incluyen tantas parti'culas que no podría conseguirse de ningún modo en la práctica un tratamiento detallado de los movimientos individuales.

Una pregunta interesante -y realmente profunda~ es por qué tales evoluciones no pueden ser llevadas a cabo de forma fiable hacia el pc,5c,do, pcse al hecho de que las ecuaciones dinámicas de Newton, Maxweu y Einstein son completamente simétricas respecto al tiempo. En efecto, en el mundo real la segunda ley no se aplica en la dirección inversa del tiempo. lJa razón última de esto tiene que ver con las propias condiciones muy especiales que se dieron en el

principio del tiempo -el big bang origen del universo. (Véase NME, ca.pi'.tTlo 7. para una exposición de estas cuestiones.) De hecho, esta5 condiciones iniciales eran tan exactamente especiales que proporcionan un eJemplo más de la extraordinaria precisión con la que el comportamiento físico observado es modelado por nítidas hipótesis matemáticas. En el caso del big bang, una parte esencial de las hipótesis relevantes es que, en sus etapas más tempranas, el contenido de materia del universo estaba en un estado de eqw,-/,-b,,'o ,e~m,-co. ¿Qué significa «equilibrio térmico»? El estudio de los estados de equilibrio térmico representa el extremo opuesto del modelado exacto de los movimientos detallados de sólo unos pocos objetos, como es el caso del púlsar binario antes mencionado. Ahora, es sólo el «comportamiento típico» en su sentido más puro y fiable el que nos interesa.. Generalmente, un estado de equilibrio es un estado de un sistema completamente «a:entado», y el sistema no se apartará apreciablemente de dicho estado ni siquiera cuando se le perturba ligeramente. Para un sistema con un gran número de partículas (o un gran número de grados de libertad) -de modo que no nos interesan los movimientos detallados de las partículas individuales sino el comportamiento promedio y los valores medios tales como temperatura y presión- este es el estado de equilibrio ,e'rm,'co al que tenderá finalmente el sistema de acuerdo con la segunda ley de la termodinámica (máxima entropi'a). El calificativo «térmico» implica que hay algún tipo de promedio sobre el gran número de movimientos alternativos de parti'culas individuales involuclladas. Este es el objeto de la termodinámica que se interesa en tales promedios -es decir, en comportamientos ti'picos en lugar de individuales. Estrictamente hablando, de acuerdo con lo que se ha dicho antes, cuando

252 IJas sombras de la mente

nos referimos al estado termodinámico de un sistema o al equilibrio térmico no estamos hablando de un estado individual, sino más bíen de un conjunto de estados, todos los cuales tienen la misma apariencia a escala macroscópica (y la entropiJa. crudamente hablando, es el logaritmo del número de estados en dicho conjunto): En el caso de un gasy en equilibrio, si fijamos la presión, el volumen y la cantidad y composicióñ dé¿ las parti'culas del gas, obtenemos una distribución muy concreta de las velocidades probables de las parti'culas en el equilibrio térmico (que describió Maxwell por primera vez). Un análísis más detallado revela una escala en la que cabri'a esperar fluctuaciones estadi'sticas respecto al estado idealizado de equilibrio térmico -y aqui' empezamos a entrar en las áreas más complejas del estudio del comportamiento estadístico de la materia, que lleva el nombre de mccú,~#,®ca' es,ad,Ís,,-c¢. Una vez más, parece que no hay nada esencialmente no computable en el modelado del comportamiento fi'sico mediante estructuras matemáticas. Cuando se han realizado los cálculos apropiados, existe un buen acuerdo entre lo que se calcula y lo que se observa. Sin embargo, cuando se consideran sistemas más complejos que gases diluidos o grandes muestras de cuerpos gravitantes, no es probable que uno pueda tener un claro y completo control de las cuestiones planteadas por la naturaleza mecano-c#a''#,,-ca' de los materiales involucrados. En particular, en el ejemplo más puro y más exactamente verificado de comportam¡ento termodinámico -el estado de equilibrio térmico de materia

y radiación conocido como un estado de cwcrpo #egro- esto no puede tratarse enteramente de forma clásica pues resulta que están fundamentalmente involucrados procesos cuánticos. En realidad, fue el análisis de Max Planck, en l900, de la radiación del cuerpo negro el que inició el tema general de la teori'a cuántica. En cua]quier caso, las predicciones de la teori'a fi'sica (ahora la teori'a cuántica) se verifican de forma triunfal. La relación observada experimentalmente entre frecuencia e intensidad de la radiación a dicha frecuencia concuerda muy estrechamente con la fórmula matemática propuesta por Planck. Aunque este apartado ha estado en realidad dedicado a la naturaleza computacional de la teori'a c/aJs,®ca, no puedo resistirme a mostrarles el que es con mucho el ejemplo más perfecto que conozco de acuerdo entre la observación y la fórmula de Planck. Este ejemplo proporciona asimismo una maravillosa confirmación observacional del modelo estándar del big bang, dentro del cual afirma cuáles deberi'an ser las condiciones térmicas precisas del universo al cabo de unos pocos minutos de su existencia. En la figura 4.l2 los pequeños cuadrados individuales indican los diferentes valores obscrvados de la intensidad de la radiación cósmica de fondo a diferentes frecuencias, medidas por el satélíte COBE; la curva continua se ha dibujado según la fórmula de Planck, aceptando que la temperatura de la radiación toma un valor (mejor ajuste) de 2,735 (± 0,06) K. Ia precisión del acuerdo es extraordinaria. Los ejemplos concretos que he mencionado estaban sacados del área de la astrofi'sica, donde la comparación entre cálculos complicados y el comportamiento observado de sistemas que se dan en el mundo natural está particularmente bien desarrollada. Uno no puede experimentar directamente en astrofi'-

¿Hay lugar para la mente en la física clásica? 253

(,_uJo/ uB!peJa,so/zuo/6eS/ 6JerOL) - +c5c5o O

Oll!Jg

4.l2. El acuerdo exacto entre la medida de COBE y la naturaleza «térmica» esperada de la radiación del big bang.

sica, de modo que las teori'as deben ponerse a prueba comparando los resultados de cálculos detallados basados en leyes fi'sicas estándar, en diferentes situaciones propuestas, con observaciones complcjas. (Estas observaciones pueden estar hechas desde tierra, o hechas desde globos o aviones en la parte alta de la atmósfera, o desde cohetes o satélites; e involucran muchos tipos diferentes de detectores además de telescopios comunes.) Tales cá1culos no son particularmente relevantes para lo que constituirá nuestro objetivo, y los he mencionado básicamente porque proporcionan ejemplos particularmente claros en los que cálculos detallados proporcionan una manera maravillosa de explorar la Naturaleza, e ilustran hasta qué punto los procesos computacionales pueden imitar realmente a la Naturaleza. Es el estudio de los sistemas biológicos, por el contrario, el que debería interesarnos aqui' más directamente. Pues, según las conclusiones de la Primera parte, es en el comportamiento de los cerebros conscientes donde deberi'amos buscar un papel para alguna acción fi'sica no computable. Indudablemente se da el caso de que modelos computacionales juegan pa~ peles importantes en la modelización de sistemas biológicos, pero estos sistemas son probablemente mucho más complejos que los de la astrofi'sica, y en consecuencia, es mucho más dificil conseguir modelos computacionales fiables. Hay muy pocos sistemas que sean suficientemente «limpios» para que se pueda alcanzar una gran precisión. Sistemas relativamente simples, tales como el flujo sanguíneo en diferentes tipos de venas, pueden modelarse de forma bastante eficaz, como también puede hacerse con la transmisión de señales a través de las fibras nerviosas, aunque en este ú1timo caso empieza a hacerse algo confuso que el problema siga perteneciendo a la física clásica, puesto que las acciones químicas son aqui' tan importantes como las de la fi'sica clásica. Las acciones qui'micas son resultado de efectos cuánticos y, estrictamente hablando, uno ha dejado la arena de la fi'sica clásica cuando considera procesos que dependen de la química. Pese a esto, es muy frecuente el caso de que las acciones con base cuántica se traten de una forma esencialmente clásica.

254 lJis sombras de la mente Aunque no es técpicamfente correcto, se piensa que en la mayori'a de los casos los efectos más süt¡les de la teori'a cuántica -aparte de los que pueden subsumirse en las reglas estándar de la qui'mica, la fi'sica clásica y la geometri'ason poco importantes. Creo, por el contrario, que aunque esto puede ser un

procedimiento razonablemente seguro para el modelado de muchos sistemas biológicos (incluso quizá la propagación de señales nerviosas), resulta arricsgado tratar de sacar conclusiones generales acerca de las acciones biológicas más sut¡les sobre la base de que son enteramente clásicas, particularmente cuando se llega al más avanzado de los sistemas biológícos como es el cerebro humano. Si tratamos de hacer inferencias generales acerca de la posibilidad teórica de uT modelo computacional fiable del cerebro, deberi'amos tratar de entender los misterios de la teori'a cuántica. En los dos capitulos siguientes, intentaremos hacer precisamente eso -al menos, hasta donde sea posible. Donde yo pienso que en principio no es posible entender la teoriJa cuántica, argumentaré que debemos tratar de modificar la propia teori'a para ver cómo podri'a ajustar mejor con una imagen verosi'mil del mundo.

La estructura del mundo cuánt

5.l. Teoría cuántica: enigma y paradoj a teori'a cuántica proporciona una soberbia descripción de en una escala pequeña, pero contiene muchos misterios. cil llegar a entende-r e1- funciónamiento de esta teori'a, y es p fícil dar sentido al tipo de «realidad fi'sica» -o ausencia d

L

parece implicar para nuestro mundo. Tomada al pie de la letr conducir a una posición que muchos (yo incluido) encuentra insatisfactoria. En el mejor de los casos, y tomando sus des forma más literal, nos proporciona una visión del mundo en v ña. En el peor, y tomando al pie de la letra las declaracion sus protagonistas, no nos proporciona ninguna visión del mu En mi opinión, habri'a que hacer una clara distinción entre terios bastante diferentes que nos presenta la teoría. Están misterios Z, o misterios pwzz/¬, que son verdades cuánticas r en que vivimos auténticamente enigmáticas, aunque tienen a tal directo. También se incluirían aqui' fenómenos de esta mis neral que, aunque todavi'a no han sido realmente verificado das, a la vista de lo que ya ha quedado establecido, de expectativas de la teoría cuántica. Algunos de los misterios Z tes son los que se conocen como fcnómenos de E!'ns,c,'#-P EPR), que expondré en detalle un poco más adelante (§5.4, de misterios cuánticos son cosas que llamaré misterios X, o mi cos ü,arÍ,doJr], que, por el contrario, seri'an cosas que el f parece decirnos que tienen que ser ciertas en el mundo, aun paradójica es tan inverosímil que no podemos creer que sean daderos en ningún sentido. Son misterios que nos impiden con que el formalismo proporcione una imagen verosímil de nue nivel interesado. El misterio X mejor conocido es la paradoja d,'#ge,, en donde el formalismo de la teori'a cuántica pare

256 IJas sombras de la merite

multánea de «gato muerto» y «gato vivo». (Trataré este t¡po de paradojas en §6.6; cf. §6.9, figura 6.3, y NME pp. 290-293 [pp. 366-369].)

Con no poca frecuencia se pretende que las dificultades que encuentran nuestras generaciones actuales para entender la teori'a cuántica son puramente el resultado de estar atados a nuestros conceptos fi'sicos del pasado. Según esto, cada generación sintonizaría mejor con estos misterios cuánticos, de modo que, al cabo de un número suficiente de generaciones, éstas seri'an capaces de aceptarlos sin ninguna dificultad, ya se trate de ]os misterios Z o de los misterios X. Mi opinión, sin embargo, difiere esencialmente de ésta. Creo que los m¡sterios Z son cosas a las que realmente podri'amos llegar a acostumbrarnos y aceptar como naturales, pero m sucederá lo mismo con los misterios X. En mi opinión, los misterios X son filosóficamente inaceptables, y aparecen simplemente debido a que la teori'a cuántica es una teori'a incompleta -o, más bien, debido a que no es completamente exacta en el nivel de los fenómenos en que los misterios X empiezan a manifestarse. Mi opinión es que en una teoría cuántica mejorada, los misterios X serán sencillamente eliminados (es decir, ,tzcáados) de la lista de misterios cuánticos. ¡Sólo tenemos que aprender a dormir en paz en presencia de los m¡sterios Z! Teniendo esto presente, pueden plantearse algunas cuestiones sobre dónde trazar la li'nea divisoria entre los misterios Z y los misterios X. Algunos fi'sicos

pretenderán que no hay misterios cuánticos que debieran clasificarse como misterios X en este sentido, y que ,oc7aJ las cosas extrañas y aparentemente paradójicas que nos dice el formalismo cuántico deben ser realmente verdades del mundo si las miramos de la forma correcta. (Estas personas, si son completamente lógicas y si toman en serio la descripción mediante «estados cuánticos» de la realidad fi'sica, tendri'an que ser partidarias de algún punto de vista de tipo «muchos universos», como se describirá en §6.2. Según este punto de vista, el gato muerto y el gato vivo de Schródinger habitari'an en diferentes universos «paralelos». Si usted mira el gato, entonces también habri'a copias de usted en cada uno de los dos universos, una mirando un gato muerto y otra mirando un gato vivo.) Otros fi'sicos tenderán hacia el extremo opuesto, y afirmarán que yo he sido demasiado generoso con el formalismo cuántico al estar de acuerdo con él en que todos los enigmas EPR que nos interesarán posteriormente serán realmente apoyados por experimentos futuros. No pretendo que cada uno ten-

ga que adoptar la misma visión que yo respecto a dónde trazar la li'nea divisoria entre los misterios Z y X. Mi elección personal está gobernada por la esperanza de que serán coherentes con el punto de vista que expondré más adelante, en §6.l2.

Seri'a inapropiado por mi parte intentar dar una exposición completa de la naturaleza de la teoría cuántica en estas páginas. En lugar de ello, en este capítulo propongo una descrípción relativamente breve y razonablemente completa de sus aspectos esenciales, concentrándome, en gran medida, en la naturaleza de sus misterios Z. En el capi'tulo siguiente, expondré mis razones para creer que, debido a sus misterios X, la teori'a cuántica actual debe ser una teori'a incompleta, a pesar del maravilloso acuerdo que ha habido entre la teori'a y to-

La estructura del mundo cuántico 257

dos los experimentos realizados hasta el momento. Aquellos lectores que deseen profundizar en los detalles de la teori'a cuántica podri'an leer la exposición

que se da en NME, capi'tulo 6, o alternativamente, por ejemplo, Dirac (l947) o Davies (1984).

Más adelante, en esta exposición -capi'tulo 6, §6.l2-presentaré una idea reciente relativa al nivel en que deberi'an hacerse relevantes los esquemas para la compleción de la teori'a cuántica (y tendría que advertir al lector que esta idea difiere significativamente de la propuesta en NME, aunque las motivaciones son muy similares). Luego, en §7.lO (y §7.8), presentaré algunas razones sugerentes para creer que semejante esquema muy bien podría ser no computacional en la forma general que se necesita. La teori'a cuántica es,o'#dc,,, por el contrario, sólo es no computacional en el sentido de que contiene elementos aleatorios como parte del proceso de medida. Como he señalado en la Primera parte (§3.l8, §3.l9), los elementos aleatorios por si' solos no proporcionan el

tipo de no computabilidad que neces¡tari'amos en última instancia para una comprensión de lo mental. Comencemos por algunos de los misterios Z más sorprendentes de la teoría cuántica, que ilustraré en términos de dos rompecerebros cuánticos.

5.2. El problema de la comprobación de bombas de Elitzur-Vridman lmaginemos un tipo de bomba con un detonador en su morro tan sensible que el más ligero roce lo activara. Incluso un solo fotón de luz visible seri'a suficiente si no fuera por el hecho de que en algunos casos el detonador está atascado -de modo que la bomba no explota y debe considerarse inservible. Supongamos que el detonador consiste en un espejo unido al morro de la bomba, de modo que si un fotón (de luz visible) se refleja en el espejo, el retroceso de éste seri'a suficiente para mover un pistón en la bomba y activarla -a menos, por supuesto, que la bomba sea inservible, lo que sucederi'a si su pistón sensible estuviera atascado. Vamos a suponer que, al menos con los dispositivos que operan clásicamente, una vez que la bomba ha sido montada no hay modo de asegurar si el detonador está atascado sin agitarlo realmente de alguna forma -algo que ciertamente hari'a estallar la bomba. (Consideraremos que la única

ocasión en que el detonador podri'a haberse quedado atascado es al montar la bomba inicialmente.) Véase figura 5.l. Debemos suponer que hay una gran provisión de tales bombas (¡el dinero no es problema!), pero que el porcentaje de inservibles puede ser bastante alto. El problema consiste en encontrar una bomba de la que se pueda asegurar que no es inservible.

Este problema (y su solución) fue propuesto por Avshalom Elitzur y Lev Vaidman (1993). Retrasaré la explicación de la solución hasta el momento en

que, ya familiarizados con la teori'a cuántica y con los que yo he llamado misterios Z, algunos lectores puedan querer poner a prueba sus manos (o preferiblemente sus mentes) en la búsqueda de la solución. Baste decir, por el mo-

258 Las sombras de la mente "

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..e.&¢\ = 5.l. El problema de la comprobación de las bombas de Elitzur-Vaidman. El detonador ultrasensible de la bomba responderá al impulso de un solo fotón de luz visible -supon¡endo que la bomba no sea inservible debido a que su detonador está atascado. Problema: garantizar que una bomba sirve, dada una gran prov¡sión de bombas dudosas.

mento, que hay una solución y que dicha solución, dada una provisión ilimitada de bombas de esta naturaleza, estari'a perfectamente dentro de los li'mites de la tecnologi'a actual. A aquellos que no están versados en la teori'a cuántica -o que lo están, pero no tienen ganas de perder el tiempo buscando una solu-

ción- les ruego que sigan conmigo por un momento (o vayan directamente a §5.9). Daré la solución a su debido tiempo, después de que se hayan explicado las nociones cuánticas básicas necesarias. En este punto es necesario señalar que el mero hecho de que este problema ¬#ga una solución (mecano-cuántica) ya indica una profunda diferencia entre la fi'sica clásica y la física cuántica. Clásicamente, tal como se enuncia el problema no hay otro modo de decidir si el detonador de la bomba está atascado que agitarlo wa'/me#,e -en cuyo caso, si el detonador no está atascado, la bomba estalla y se pierde. La teori'a cuántica permite algo diferente: un efecto fi'sico que deriva de la posibilidad de que el detonador podr,'a' haber sido agitado, ¡incluso si de hecho m se agitó! Lo que resulta particularmente curioso de la teori'a cuántica es que puede haber efectos fi'sicos reales que aparecen a partir de lo que los filósofos llaman supuestos co#,,tz/c,'cÍ,-cos, es decir, cosas que podrían haber sucedido aunque de hecho no sucedieron. En nuestro próximo misterio Z veremos q-de la cuestión de los supuestos contrafácticos cobra gran importancia también en otro tipo de situaciones.

5.3. Dodecaedros mágicos Para nuestro segundo misterio Z, permi'tanme contar una pequeña historia, y un rompecabezas.l lmaginemos que recientemente he recibido un dodecaedro regular de bella factura (figura 5.2). Me lo envió una compañi'a de soberbias credenciales, conocida como Trastos Curiosos, radicada en un planeta en órbi-

La estructura del mundo cuán[ico 259

5.2. El dodecaedro mágico. Mi colega tiene una copia idéntica en ct-Centaur¡. En cada vértice hay un botón, y la presión de uno pwcd¬ hacer que suene el timbre e in¡ciar un magnífico despliegue pirotécnico.

ta en torno a la lejana estrella gigante roja Betelgeuse. La compañi'a ha enviado también otro dodecaedro idéntico a un colega mi'o que vive en un planeta en órbita en torno a la estrella c¥-Centauri, que está a aproximadamente cuatro años luz de nosotros, y su dodecaedro le llegó alli' aproximadamente al mismo tiempo que el mi'o llegó aqui'. Los dos dodecaedros tienen en cada uno de sus vértices un botón que puede ser presionado. Mi colega y yo tenemos que presionar botones de uno en uno, de forma independiente en nuestros respectivos dodecaedros, en cierto instante y en un cierto orden que queda completamente a nuestra elección individual. Es posible que al presionar alguno de los botones no suceda nada, en cuyo caso lo que hacemos es elegir un nuevo botón. Por otra parte, también puede suceder que al presionar uno de los botones suene un timbre, acompañado por un magni'fico despliegue pirotécnico que destruye ese dodecaedro en particular. Adjunta a cada dodecaedro va una lista que garantiza ciertas propiedades relativas a lo que puede sucederle a mi dodecaedro y al de mi colega. Antes de nada, debemos cuidar de orientar nuestros respectivos dodecaedros de un modo muy preciso. Trastos Curiosos proporciona instrucciones detalladas sobre cómo deben alinearse nuestros dodecaedros con respecto a, pongamos por caso, los centros de la galaxia de Andrómeda y la galaxia M-87, etc. Lo importante es que mi dodecaedro y el de mi colega deben estar perfectamente alineados uno con otro. La lista de propiedades garantizadas es, quiza, muy larga, pero todo lo que necesitaremos de ella es algo bastante simple. Debemos tener en mente que Trastos Curiosos ha estado produciendo cosas de esta naturaleza durante mucho tiempo -digamos del orden de cien millo-

260 IJas sombras de la merite

nes de años- y que nunca se ha encontrado ningún error en las propiedades que garantizan. La muy excelente reputación que se han forjado durante un millón de siglos se debe a esto, de modo que podemos tener la casi completa seguridad de que cualquier cosa que afirmen resultará ser realmente cierta. Lo que es más, ¡hay un estupendo premio en METÁLICO (todavi'a no concedido) para cualquiera que les pille en falta! Las propiedades garantizadas que necesitaremos se refieren a una secuencia de presiones de botón del tipo siguiente. Mi colega y yo seleccionamos de forma independiente uno de los vértices de nuestros dodecaedros respectivos. Llamaré a estos vértices SELECCIONADOS. Nosotros #o presionaremos estos botones concretos; pero s,'presionaremos, por turno, y en algún orden arbitrario de nuestra elección, cada uno de los tres botones situados en vértices ac7J'c,c¬#cs al SELECCIONADO. Si suena el timbre al presionar uno de ellos, entonces eso detiene la operación de ese dodecaedro concreto, pero el timbre no tiene por qué sonar. Sólo exigiremos dos propiedades. Estas son (véase figura 5.3):

a) si resulta que mi colega y yo hemos elegido vértices diametralmente opt,esos como nuestros SELECCIONADOS respectivos, entonces el timbre puede sonar en uno de los que yo presiono (adyacente a mi SELECCIONADO) si

y sólo si el timbre suena en el suyo diametralmente opuesto -independientemente del orden concreto que cada uno de nosotros pueda escoger al presionar nuestros botones respectivos; b) si resulta que mi colega y yo hemos elegido vértices exactamente corres'po#d,'cn,es (es decir, en las mJ®smc,s direcciones a partir del centro) como nuestros SELECCIONADOS respectivos, entonces el timbre debe sonar en al menos una de las seis presiones de botón que podemos hacer entre los dos.

Ahora voy a tratar de deducir algo de las reglas que debe satisfacer mi prop,'o dodecaedro independientemente de lo que suceda en c¥-Centauri, simplemente a partir del hecho de que Trastos Curiosos es capaz de dar garanti'as tan fuertes sin tener ninguna idea de los botones que yo o mi colega vamos a presionar. La hipótesis clave será que no hay «influencias» a larga distancia que relacionen mi dodecaedro con el de mi colega. Asi' pues, supondré que nuestros dos dodecaedros se comportan como objetos separados y completamente independientes una vez que han salido de la fábrica. Mis deducciones (figura 5.4) son:

c) a cada uno de los vértices de mi dodecaedro debe habérsele asignado previamente el carácter bien de activador de timbre (coloreado en BLANCO) o bien de silencioso (coloreado en NEGRO), donde el carácter de activador de timbre es independiente de si es el primero, segundo o tercero de los botones presionados adyacentes al SELECCIONADO; d) dos vértices casi adyacentés no pueden ser activadores del timbre al mismo tiempo (es decir, no pueden ser ambos BLANCOS); e) no puede haber ningún conjunto de seis vértices adyacentes a un par de antípodas que sean todos silenciosos (es decir, todos NEGROS).

lJa estructura del mundo cuántico 26l a-Centauri

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5.3. Propiedades garantizadas por Trastos Curiosos. (a) Si SELECCIONAMOS vértices op#es,os, el timbre puede sonar sólo al presionar botones diametralmente opuestos, independientemente del orden. (b) Si SELECCIONAMOS vértices co,r¬spomd,'c#,es, el timbre no puede dejar de sonar en las se¡s presiones.

(El término a#,,2,oc7c, se refiere a vértices que son diametralmente opuestos en el mismo dodecaedro.) Deducimos (c) del hecho de que mi colega podri'a haber escogido, como su SELECCIONADO, el vértice diametralmente opuesto a mi propio sELEccloNADo; al menos, Trastos Curiosos no tendri'a forma de saber que él no lo hará (¡supuestos contrafácticos!). Así pues, si una de mis tres presiones de botón hiciese sonar el timbre, entonces debe suceder que el vértice diametralmente opuesto, s,' es presionado por mi colega en primer lugar de los tres, también debe hacer sonar el timbre. Esto sucederi'a cualquiera que fuese el orden que

yo hubiera elegido al presionar mis tres botones, de modo que (por la hipótesis de ausencia de «influencia») podemos estar seguros de que Trastos Curiosos

262 Las sombras de la mente

-=---*t NO

Antípodas

/

\-_/ NO

5.4. En la hipótesis de que nuestros dos dodecaedros son objetos independientes (inconexos), deduc¡mos que cada botón del mi'o está asignado de antemano o bien como activador del timbre (BLANCO) o, en caso contrario, como silencioso (NEGRO), donde no puede haber dos botones cas¡ adyacentes BLANCOS y donde los seis vértices ad-

yacentes a un par de anti'podas no pueden ser todos NEGROS.

debe haber dispuesto con antelación los vértices concretos que hacen sonar el timbre, independientemente de mi ordenación, para asegurar que no haya conflicto con (a). Asimismo, (d) se sigue también de (a). En efecto, supongamos que dos vértices casi adyacentes de mi dodecaedro sean ambos activadores del timbre. Cual-

quiera de ellos que yo decida presionar en primer lugar debe hacer sonar el timbre -y supongamos que yo he escogido a su vecino común como mi SELECCIO-

NADO. El orden en que yo los presione ahora s,'supone una diferencia respecto a que suene el timbre, lo que contradice (a) si mi colega ha escogido su SELECCIONADO opuesto al mío (una eventualidad para la que Trastos Curiosos ciertamente deberi'a estar preparada). Finalmente, (e) se sigue de (b), junto con lo que acabamos de establecer. En efecto, supongamos que mi colega haya elegido, como su SELECCIONADO, el vértice com¬spo#c7,'e#/c a mi propio SELECCIONADO. Si ninguno de mis tres botones adyacentes a esta elección es un activador del timbre, entonces, por (b), uno de los tres de mi colega debe ser un activador del timbre. Se sigue de (a) que mi vértice opuesto al activador de timbre de mi colega debe ser también un activador de timbre. Esto establece (e). Ahora viene el rompecabezas. Trate de colorear los vértices del dodecaedro de color BLANCO o NEGRO de forma coherente con las reglas (d) y (e). Encontrará usted que no puede conseguirlo por mucho que lo intente. Un rompecabezas mejor, por lo tanto, consiste en dar una d¬mos,,ac,'oJn de que m existe tal forma de coloreado. Para dar a cualquier lector suficientemente motivado la oportunidad de encontrar un argumento, he pospuesto mi propia demostración al Apéndice B (p. 320), donde doy una demostración bastante sencilla que establece que dicho coloreado no es realmente posible. Quizá algún lector obtenga una demostración más rápida.

IJa estructura del mundo cuánt¡co 263

¿Pudiera ser que, por primera vez en millones de siglos, Trastos Curiosos haya cometido un error? Habiendo establecido que es ,'mposJ®b/c co/ont3a, los vértices de acuerdo con (c), (d) y (e), y recordando el estupendo premio en METÁLICO, nosotros esperamos con gusto los cuatro años, más o menos, que se necesitan para que llegue el mensaje de mi colega describiendo lo que él hizo, y si sonó su prop¡o timbre y cuándo ]o hizo; pero, cuando su mensaje llega, todas las esperanzas de premio desaparecen, ¡pues resulta que Trastos Curiosoa ha tenido razón una vez más! Lo que el argumento del Apéndice B (p. 320) muestra es que sencillamente #o Ac,J,/orma de construir, en términos de algún modelo de tipo clásico, dodecaedros mágicos que satisfagan las condiciones que Trastos Curiosos era capaz de garantizar, dando por sentado que los dos dodecaedros actúan como objetos separados e independientes una vez que han salido de la fábrica. En efecto, mo ¬s pos,'ó/e garantizar las dos propiedades requeridas (a) y (b) sin aceptar algún tipo de «conexión» misteriosa entre los dos dodecaedros -una conexión

que persiste hasta que empezamos a presionar nuestros botones en los vértices, y que pareceri'a tener que actuar instantáneamente a una distancia de alrededor de cuatro años-luz. Pese a ello, Trastos Curiosos se considera capaz de ofreccr tal garanti'a -para algo que parece imposible- ¡y nunca se han equivocado! ¿Cómo lo hace realmente Trastos Curiosos -o «TC» como se la conoce abreviadamente? Por supuesto, ¡«TC» significa en realidad reor,'a' CwaJn,,'ca'! IJo que TC ha hecho realmente es disponer que, en el centro de cada uno de nuestros dodecaedros. esté suspendido un átomo cuyo espi'n tiene el valor particular 2. Estos dos átomos han sido producidos en Betelgeuse en un estado combinado inicial de espín total O. (Veremos lo que esto significa en §5.lO.) Ahora, cuando mi colega o yo presionamos uno de los botones de los vértices de nuestros dodecaedros, se lleva a cabo un tipo particular de medida ®arcial) de espi'n, en la dirección que va desde el centro a dicho vértice concreto. Si el resultado de dicha medida es afirmativo, entonces el timbre suena, y el dispositivo pirotécnico se pone inmediatamente en marcha. Más adelante seré más concreto sobre la naturaleza de esta medida (cf. §5.18), y mostraré en §5.ls y en el Apéndice B, por qué las reglas (a) y (b) son una consecuencia de las reglas estándar de la mecánica cuántica. La conclusión destacable es que la hipótesis de ausencia de «influencia» a larga distancia ¡se v,'o/a realmente en la teoría cuántica! Una ojeada al diagrama espacio-temporal de la figura 5.5 deja claro que las presiones de botón que ha.cemos mji co+ega y yo est*n separadas por un intervalo de t¡po espacio (cf. §4.4), de modo que, según la teori'a de la relatividad, no puede haber señales entre nosotros que transmitan información sobre qué botones pulsamos o sobre qué botón, en uno u otro caso, hace sonar el timbre. Pero según la teori'a cuántica, hay, en cualquier caso, algún tipo de «influencia» que conecta nuestros dodecaedros en sucesos separados por un intervalo de tipo espacio. En realidad, no es posible utilizar esta «influencia» para enviar instantaneamente J'»-

/ormac,'o'# directamente utilizable, y no hay conflicto operacional entre la relatividad espec¡al y la teori'a cuántica. Pero si' hay un conflicto con el esp,',,.,w

264 IJas sombras de la mente

G-Centauri

5.5. Diagrama espacio-temporal de la histor¡a de los dos dodecaedros. Ellos llegan a c¥-Centauri y a la Tierra en sucesos con una separación de tipo espacio.

de la relatividad especial -y aquí tenemos una ilustración de uno de los profundos misterios Z de la teori'a cuántica: el fenómeno de la no /oca/Í'dc,d cwc,'n/,®ca. Los dos átomos en los centros de nuestros dodecaedros constituyen lo que se denomina un solo cs,ado e#mf7ntzñac7o y, según las reglas de la teori'a cuántica estándar, no pueden considerarse objetos separados e independientes.

5.4. El estatus experimental de los misterios Z de tipo EPR El ejemplo concreto que he puesto aqui' pertenece a una clase de experimentos (mentales) conocidos como medidas EPR, tras un famoso arti'culo escrito en l935 por Albert Einstein, Boris Podolsky y Nathan Rosen. (Véase §5.l7 para una exposición más detallada de los efectos EPR.) La versión publicada originalmente no se referi'a al espi'n sino a ciertas combinaciones de posición y momento. Posteriormente, David Bohm presentó su versión con espín, que implicaba un par de parti'culas de espi'n ± (por ejemplo, electrones) que se emiten desde un punto en un estado combinado de espi'n O. La conclusión aparente de estos experimentos mentales era que una medida realizada en un lugar del espacio, sobre un miembro de un par cuántico de partículas, puede «influir» instantáneamente en el otro miembro de una forma muy concreta, aunque la otra parti'cula pudiera estar a una distancia arbitraria de la original. No obstante, esta «influencia» no podría utilizarse para enviar un mensaje real de una a otra. En la terminología de la teori'a cuántica se dice que las dos parti'culas están en un estado de c#mc,rf,ñarm,'e#,o mutuo. El fenómeno de enmarañamiento cuántico -un misterio Z auténtico- fue señalado por primera vez como una caracteri'stica de la teori'a cuántica por Erwin Schródinger (l935b).

La estructura del m

Mucho después, en un notable teorema publicado en l9 tró que deberían existir ciertas relaciones matemáticas (des entre las probabilidades conjuntas de diversas medidas del hacerse sobre dos de tales parti'culas; relaciones que seri'an sarias del hecho de ser entidades separadas e independien en la fi'sica clásica común. Pero en la teoría cuántica dicha violarse de un modo muy concreto. Esto abría la posibilid reales para verificar si dichas relaciones se violan de hecho reales, como la teori'a cuántica afirma que deberi'a sucede una imagen de tipo clásico en la que objetos espacialmen que comportarse independientemente uno del otro, estas r ri'an necesariamente. (Véase NME, pp. 284, 30l [pp. 35 de este tipo de cuestiones.) Como ilustración de lo que tales enmarañamientos # Bell le gustaba poner el ejemplo de los ctr/cc,,-#es dc Be, un colega suyo que invariablemente llevaba calcetines de es un hecho conocido sobre Bertlmann. (Después de haber mente a Bertlmann en una ocasión, yo también puedo co pias observaciones son coherentes con este hecho.) Asi' pues una ojeada a su calcetín izquierdo y advirtiera que era ver instantáneamente que su calceti'n derecho no era verde. E seri'a razonable inferir que habi'a una m¡steriosa influenci táneamente desde su calceti'n izquierdo a su calcetín derec nes son objetos independientes, y no hace falta Trastos C

que se dará la propiedad de diferencia de calcetines. El efe se haciendo simplemente que Bertlmann decida por adelan nes serán de diferente color. Los calcetines de Bertlmann no de Bell, y no hay «influencia» a larga distancia que conec embargo, en el caso de los dodecaedros mágicos de TC, del tipo «calcetines de Bertlmann» puede explicar sus pro das. Esta, después de todo, era la idea general de la exposi ción anterior. Algunos años después de que Bell publicara su artícul ron,2 y posteriormente realizaron,3 varios experimentos r en el famoso experimento de l98l llevado a cabo en Par y sus colegas, quienes utilizaron pares de fotones correl emitidos en direcciones opuestas hasta una distancia de apr metros de separación. Las expectativas de la teori'a cuánti temente reivindicadas, confirmando la realidad fisica de lo

EPR, como predice la teori'a cuántica estándar -y violan Bell. Véase figura 5.6.

Deberi'a mencionarse, no obstante, que pese al acuerdo sentan los resultados del experimento de Aspect con las pr

266 1Jas sombras de la mente

5.6. El experimento EPR de Alain Aspect y sus colegas. La fuente emite pares de fotones en un estado enmarañado. La decisión respecto a la dirección en que se midc la polarización de cada fotón no se toma hasta que los fotones están ya en vuelo, demasiado tarde para que un mensaje llegue al fotón opuesto, diciéndole la dirección de la medida.

hecho de que los detectores en el experimento de Aspect (y otros semejantes) tienen una sensibilidad bastante baja, y la mayor parte de los pares emitidos en una larga serie de medidas no serán detectados. Pero entonces tienen que mantener que, si los detectores de fotones se hicieran más sensibles, en ese caso en alguna fase de la mejora deberi'a desaparecer el excelente acuerdo entre las

predicciones de la teori'a cuántica y las observaciones, y se recuperari'an de algún modo las relaciones que Bell demostró que deben satisfacerse en un sistema clásico local. A mi modo de ver, seri'a extraordinariamente ,'mprobable que el excelente acuerdo entre teoría cuántica y experimento que se manifiesta en el

experimento de Aspect (véase figura 5.7) sea de alguna forma un artificio -un artificio de la poca sensibilidad de los detectores- y que con detectores más perfectos el acuerdo con la teori'a desapareceri'a, en la medida precisa y considerable que seri'a necesaria para que se recuperaran las relaciones de Bell.4 El argumento original de Bell proporcionaba relaciones (desigualdades) entre lasprobab,'/J-da'c7es conjuntas de los diferentes resultados posibles. Para estimar las probabilidades reales que están implicadas en un experimento fi'sico, es necesario tener una larga serie de observaciones que luego deben ser sometidas al análisis estadi'stico apropiado. Más recientemente se han propuesto varios esquemas alternativos para experimentos (hipotéticos) que son de un perfecto carácter siÍ/no, sin que para nada aparezcan probabilidades. La primera de estas sugerencias recientes fue propuesta por Greenberger, Horne y Zeilinger (1989), e implicaba medidas de espi'n en parti'culas de espi'n ± en ,ries lugares separados (por ejemplo, la Tierra, crCentauri y Sirio, si Trastos Curiosos fuera a hacer uso de este esquema). Antes, en l967, Kochen y Specker habi'an propuesto una idea estrechamente relacionada, pero con partículas de espín l, aunque sus configuraciones geométricas eran muy complejas; y, antes aun, en l966, el pro-

pio Bell hizo algo muy similar pero de forma menos explícita. (Estos tempranos cjemplos no se expresaban inicialmente en términos de fenómenos EPR,

pero el modo de hacerlo se hizo expli'cito por Heywood y Redhead en l983, y también por Stairs, l983.)5 El ejemplo concreto que he presentado, utilizando dodecaedros, tiene algunas ventajas por la forma en que puede hacerse expli'cita la geometri'a.6 (Hay realmente algunos experimentos propuestos para verificar las cosas que son equivalentes a estos diversos ejemplos de misterios

La estructura del mundo cuánt¡co 267

5.7. El experimento de Aspect ajusta estrechamente las predicciones de la teoría cuántica, violando las desigualdades clásicas de Bell. Es difícil ver cómo con detectores me-

jorcs se romperi'a este acuerdo.

Z, aunque en una forma física diferente de la que he presentado aqui': cf. Zeilinger e, a/., l994.)

5.5. La base de la teori'a cuántica: una historia extraordinaria ¿Cuáles son los principios básicos de la mecánica cuántica? Antes de abordarlos explícitamente, me gustaría permitirme una d¡gresión histórica. Esto tendrá algunas ventajas para nosotros al resaltar el esta[iis de los dos ingredientes más importantes de la teori'a. Es muy notable, y apenas conocido, el hecho de que los dos ingredientes más fundamentales de la moderna teoría cuántica se remontan hasta el siglo xvl, de forma totalmente independiente, ¡y hasta una misma persona! Este hombre, Gerolamo Cardano (figura 5.8) nació en la m¡ser¡a (de padres solteros) en Pavi'a, Italia, el 24 de septiembre de l501, creció hasta llegar a ser el mejor y más afamado médico de su época, y finalmente murió en la r,obreza en Roma el 20 de septiembre de l576. Cardano fue un hombre extraordinario, aunque muy mal conocido hoy día. Espero que el lector me perdonará si hago una breve digresión para decir algo sobre él, antes de volver a los principios de la mecánica cuántica propiamente dichos.*

En realidad, él no es nada conocido en mecánica cuántica -aunque su nombne, al menos, es bien conocido ¡en la mecánica del czi,,omoJv,'/! En efecto, la

junta de suspensión que une la caja de cambios de un automóvil corriente con sus ruedas traseras, permitiendo así la flexibilidad necesaria para absorber el '

La autobiografi-a de Cardano está editada en castellano: Geno/f,mo CanJano.- M,' vi'da, Alianza

Editor¡al, Madrid, l99l. (N. d¬/ ,.)

268 IJas sombras de lci mente

5.8. Gerolamo Cardano (l50l-l576). Médico extraordinario, inventor, jugador, escritor y matemático. El descubridor tanto de la teori'a de probabilidades como de los números complejos.' los dos ingredientes básicos de la teori'a cuántica modema.

movimiento vertical variable del eje trasero, se denomina fzJrbo/ de CantJa#o. Cardano inventó este dispositivo hacia l545, y en l548 pudo incorporarlo como

parte del bastidor de un carruaje real para el emperador Carlos V, asegurando asi' un viaje tranquilo por caminos pedregosos. Inventó otras muchas cosas, tales como un cierre de combinación similar al que hoy llevan las modernas cajas fuertes. Como médico, consiguió gran fama, y entre sus pacientes se contaron reyes y pri'ncipes. Hizo muchos avances en medicina y escribió numerosos libros sobre temas médicos y otros. Parece haber sido el primero en advertir que las enfermedades venéreas ahora conocidas como gonorrea y sífilis eran en realidad dos enfermedades independientes que requeri'an tratamientos c',/em#,¬s. Propuso un tratamiento de tipo «sanatorio» para los enfermos de tuberculosis, aproximadamente trescientos años antes de que fuera redescubierto por George Boddington hacia l830. En l552 curó a John Hamílton, arzobispo de Escocia, de una grave y debilitadora condición asmática -y de este modo influyó en el propio curso de la historia británica.

¿Qué tienen que ver estos logros con la teori'a cuántica? Nada absolutamente, excepto que dan una muestra del calibre intelectual del hombre que en reali-

IA estructura del mundo cuántico 269 dad descubrió, por separado, los que iban a ser los dos ingredientes más importantes de dicha teori'a. Pues además de destacar como médico e inventor, también destacó en otro campo: las matemáticas. El primero de estos ingredientes es la ,cor,Ja de probab,-/,'dc,cJes. En efecto, la teori'a cuántica es, como es bien conocido, una teoría probabilista más que determinista. Sus propias reglas dependen fundamentalmente de las leyes de la probabilidad. En l524, Cardano escribió su L!®be, dc Lwdo .4/cae /E/ £,'bro c7e /os /wegos de J4zor,, que sentó las bases de la teori'a matemática de probabilidades. Cardano había formulado estas leyes algunos años antes y habi'a hecho un buen uso de ellas. Habi'a sido capaz de financiar sus estudios en la escuela de medicina de Pari's aplicando estas leyes de un modo práctico: ¡en el

juego'. Debió haber quedado claro para él a una temprana edad que hacer dinero ,rt,mpeo#c7o con las cartas seri'a una empresa arriesgada, pues el hombre de quien su madre habi'a enviudado habi'a tenido un final desagradable precisamente por una actividad semejante. Cardano descubrió que podi'a ganar honradamente, aplicando sus descubrimientos relativos a las propias leyes de la probabilidad. ¿Cuál es el otro ingrediente fundamental de la teori'a cuántica descubierto por Cardano? Este segundo ingrediente es el concepto de ##Jmcro comp/ejo. Un número complejo es un número de la forma

¢+ib, donde «i» representa la rai'z cuadrada de menos uno

i-JT, y donde a y b son números reales comunes (es decir, números que ahora escribimos en forma de desarrollos decimales). Ahora llamaremos a t7 la pc,r,e nef,/ y a b la pc,r,e ,-mc,gJ'#ar,-a del número complejo ¢ + ib. Cardano habi'a llegado a este extraño tipo de número como parte de su investigación de la solución de la ecuación cúbica general. Estas ecuaciones son del tipo

Ari+B*+cx+D=o, donde J4, B, C y D son números reales dados, y donde debe resolverse la ecuación para J*. En l545 publicó un libro, J4rs Mc,g#c,, en el que aparecía el primer análisis completo de la solución de estas ecuaciones. Hay una historia desafortunada en relación con la publicación de esta solución. En l539 un profesor de matemáticas conocido por el nombre de Nicolo «Tartaglia» * estaba ya en posesión de la solución general de una clase muy amplia de ecuaciones cúbicas, y Cardano habi'a enviado a un amigo para conocer *

Literalmente, «Tartamudo». El apodo se debi'a a un defecto en el habla que le quedó a con-

secuencia de las heridas en la cara sufr¡das en su ¡nfancia. (N. cíe/ ,.)

270 IJas sombras de la mente

directamente de él cuál era esta solución. Sin embargo, Tartaglia se negó a revelar su solución, asi' que Cardano empezó a trabajar y rápidamente la rcdescubrió por si' mismo, publicando el resultado en l540, en su libro ZÁr praJc,,-ca c7e la aritmética y la medida simple. De hecho, CaLrda,no £ue ca,paz de generalizar lo que habi'a hecho Tartaglia hasta cubrir todos los casos, y posteriormente publicó su anális¡s del método de solución general en J4rs Á4crg#c,. En ambos libros, Cardano reconoci'a la prioridad de Tartaglia en la solución para los casos de la clase para la que era válido el proced¡miento de Tartaglia, pero en J4r5 Á4c,g#c,, Cardano comet¡ó el error de afirmar que Tartaglia le habi'a dado permiso para publicarlo. Tartaglia se enfureció, y contó que habi'a visitado la casa de Cardano, en una ocasión, y le habi'a revelado su solución con la condición expresa de que Cardano jurase mantenerla en secreto y no revelarla nunca. En cualquier caso, hubiera sido difi'cil para Cardano publicar su propio trabajo, que generalizaba lo que habi'a hecho Tartaglia, sin revelar los casos anteriores de solución, y es difi'cil ver de qué otro modo hubiera podido proceder Cardano sin sacrificar el conjunto. De todas formas, Tartaglia mantuvo un resentimiento duradero hacia Cardano, esperando el momento oportuno que se presentó en l570, una vez que otras penosas circunstancias hubieran deteriorado

gravemente la reputación de Cardano, para dar el golpe final en su cai'da. Tartaglia colaboró estrechamente con la lnquisición en la recopilación de un largo expediente de puntos que podi'an ser utilizados en contra de Cardano, y disponiendo su arresto y prisión. Cardano sólo fue liberado de la prisión después de que un emisario especial enviado por el arzobispo de Escocia (a quien, recordemos, Cardano habi'a curado su asma) hubiera viajado a Roma en 1571 suplicando por él, explicando que Cardano era un «sabio que sólo se ocupa de conservar y sanar los cuerpos en los que las almas de Dios puedan vivir el mayor tiempo posible». Las «penosas circunstancias» antes mencionadas se refieren al juicio por asesinato contra el hijo mayor de Cardano, Giovanni Battista. En este juicio, Gerolamo habi'a puesto su reputación en apoyo de su hijo. Esto no le hizo ningún bien ya que su hijo era realmente culpable de haber matado a su mujer ---con quien, por si fuera poco, se habi'a visto obligado a casarse para encubrir

otro asesinato anterior cometido por él mismo. Aparentemente, el asesinato de la mujer de G¡ovanni fue apoyado e incitado por Aldo, el hijo menor y aún más canalla de Cardano, quien luego traicionó a Giovanni y posteriormente denunció a su propio padre ante la lnquisición en Bolonia. La recompensa de Aldo fue llegar a convertirse en torturador y ejecutor público de la lnquisición en Bolonia. Ni siquiera la hija de Cardano respondió a la reputación de su padre, pues mur¡Ó de si'filis como resultado de sus actividades profesionales como prostituta. Sería un ejercicio interesante de psicologi'a histórica tratar de comprender

el modo en que Gerolamo, que parece haber sido un padre cariñoso, atendió a sus hijos y a su mujer, y cómo fue posible que quien era un hombre de principios, honesto y sensible, pudiera haber tenido una progenie tan desastrosa. Sin duda, sus atenciones también se vieron frecuentemente distrai'das de los asun-

IA estructura del mundo cuánt¡co 27l tos familiares por sus intereses polifacéticos que le exigi'an mucho tiempo. Sin duda, su ausenc¡a del hogar durante más de un año, tras la muerte de su esposa, cuando tuvo que viajar a Escocia para tratar al arzobispo (aunque el com-

promiso original de Cardano era simplemente el de tener un encuentro en Pari's) fue perjudicial para la formación de sus hijos. Sin duda, también, su convicción de que las estrellas predecían su muerte en l546, lo que le llevó a un incremento febril en su actividad de escritor e investigador, hizo que descuidara a su propia esposa hasta el punto de que fue ella la que sucumbió a finales de ese mismo año. Puedo imaginar perfectamente que fue el infortunado destino y la gravemente dañada reputación de Cardano -provocados por los esfuerzos combinados de sus hijos, la lnquisición,iy especialmente Tartaglia-lo que dio como resultado que hoy sea mucho menos conocido de lo que se merece. En mi opinión, no hay duda de que se alinea en[re las figuras más grandes del Renacimiento. Aunque creció en circunstancias miserables, una atmósfera de aprendizaje jugó un papel importante en sus años de formación. Su padre, Fazio Cardano, era geómetra, y Gerolamo recordaba una ocasión en que, siendo niño, acompañó a su padre en una visita a IJeonardo da Vinci, y los dos hombres pasaron las largas horas de la noche discutiendo cuestiones de geometri'a. Con respecto a la publicación por Cardano de los resultados anteriores de Tartaglia, y de su equivocada pretensión de que tenía permiso para publicarlos, hay que respetar ciertamente la importancia de hacer públicos los propios descubrimientos en lugar de mantener reservado el conocimiento nuevo. Si bien hay que reconocer que el sustento de Tartaglia había dependido, en alguna medida, del secreto continuado de sus descubrimientos (a la vista de las competiciones matemáticas públicas en las que a menudo tomaba parte), fue la publicación de ellas por Cardano la que tuvo un efecto profundo y duradero en el desarrollo de la ciencia matemática. Además, cuando se profundiza en la cuestión de la prioridad, parece que ésta pertenece a otro sabio, Scipione del Ferro,

que fue profesor de la Universidad de Bolonia hasta su muerte en l526. Del Ferro estaba al menos en posesión de la solución que Tartaglia redescubrió más tarde, aunque no está claro hasta qué punto era él consciente de que su solución podi'a modificarse para dar cuenta de los casos considerados más tarde por Cardano, ni hay ninguna evidencia de que Del Ferro se viera conducido a contemplar los números complejos. Volvamos con más detalle a la ecuación cúbica, para tratar de comprender

por qué fue tan fundamental la contribución de Cardano. No es difi'cil (haciendo un cambio de variable de la forma x + x + a) reducir la ecuación cúbica

general a la forma

*-px+q, donde p y g son números reales. Esto mismo hubiera sido bien conocido en su tiempo. Sin embargo, debemos tener en cuenta que ni siquiera los que llamamos #wJmenoJ #egc,,J'vos se aceptaban normalmente como «números» en aque-

272 IAs sombras de la mente

5.9. Las soluciones de la ecuación cúbica * = px + g pueden obtenerse gráficamente como la(s) intersecc¡ón(es) de la línea recta J = pL¥ + g con la curva cúbica J' = x'. EI caso de Tartaglia viene dado cuando p = 0, representado por la li'nea P inclinada hacia

abajo, mientras que los nuevos casos de Cardano vienen dados cuando p > 0, como proporcionan las li'neas Q o R. El ca,sws ,',rcdwc,'Ó,-/ri tiene lugar cuando hay tres puntos de intersecc¡ón como sucede con la li'nea R. En este caso, es necesario un viaje a través de los complejos para expresar las soluciones.

llos di'as, de modo que se escribirían versiones diferentes de la ecuación dependiendo de los diversos signos dep y g (por ejemplox3 + p'x = g, x3 + gJ =

pLr), para mantener no negativos todos los números que realmente aparecen en la ecuación. Yo adoptaré la notación moderna en mis descripciones (que permiten números negativos si se hace necesario), para evitar complicaciones excesivas. Las soluciones de la ecuación cúbica formulada pueden expresarse gráficamente si representamos las curvas JJ = J¥3 e y = p* + g, y buscamos donde se cortan ambas. Los valores de x en los puntos de corte darán las soluciones de la ecuación. Véase la figura 5.9; la curva y --x3 viene representada por la línea curva, eJ' = f,Lx' + g se muestra como una li'nea recta para la que se indican varias posibilidades. (Yo no tengo conocimiento de que Cardano o Tartaglia utilizasen semejante descripción gráfica, aunque quizá lo hicieran. Aqui' es útil precisamente como ayuda para visualizar las diferentes situaciones que pueden darse.) Ahora, en esta notación, los casos que Tartaglia fue capaz de resolver se dan cuando p es negativo (o cero). En estos casos, la li'nea recta desciende hacia la derecha, y un caso ti'pico viene ilustrado por la li+nea P en la figura 5.9. Anótese que en tales casos hay siempre exactamente un punto de corte de la li'nea con la curva, de modo que la ecuación cúbica tiene exactamente una solución. En notación moderna, podemos expresar la solución de Tartaglia como

In estructura del mu donde

con pJ representando -p, de modo que las cantidades que presión son no negativas (tomando tamt,ién g > 0). La generalización de Cardano de este procedimiento ad p > 0, y podemos escribir la solución (para p positivo y el signo de g no importa demasiado). Ahora, la li'nea rec derecha (marcadas como O o J¡). Vemos que para un valor

para una pendiente dada), si g'(= -g) es suficientement que la li'nea corta al eje J' en un punto suficientemente alto) tamente una solución, siendo la expresión de Cardano para ción moderna)

/ C2q' donde

Podemos ver, utilizando la notación moderna y los concept meros negativos (y el hecho de que la rai'z cúbica de un menos la rai'z cúbica de la forma positiva de dicho númer de Cardano es básicamente la misma que la de Tartaglia. caso de Cardano hay algo completamente nuevo perfilándos sión. En efecto, si gí no es demasiado grande, la li'nea re curva en ,nes lugares, de modo que existen tres soluciones (siendo dos de ellas negativas, si p > 0). Esto -el llamado /J-J»-ocurre cuando (± g')2 < (± p)3, y vemos que ahora w cwt7drt,dcr de wn J!wJmero #egc,,,-vo. Así pues, los núme que aparecen bajo el signo de la rai'z cúbica, son lo que ahor mcros comp/c/-os; pero las dos rai'ces cúbicas deben sumar

proporcionar la solución a la ecuación. Cardano era perfectamente consciente de este misterio teriormente en J4rs Mc,gm abordó la cuestión planteada números complejos en la solución de las ecuaciones. Co de encontrar dos números cuyo producto es 40 y cuya su fomr` resptie`ta (correcta) 1ns c'os n,'imeros comp'e¡os

5+J-y 5-ffi.

274 Ins sornbras de la merite

5.lO. El problema de Cardano de encontrar dos números cuyo producto es 40 y cuya suma es lO puede expresarse como el problema de encontrar las intersecciones de la curva JrJ, = 40 con la recta r + J, = lO. En este caso es cvidente que el problema no tiene solución con números reales.

En términos gráficos, podemos considerar este problema como el de encontrar los puntos de cortc de la curva xJ' = 40 con la li'nea rectax + J, = lO en la figura 5.lO. Notemos que las curvas, tal como se muestran, no se cortan realmerte (en términos de números reales) Io que corresponde al hecho de que necesitamos números complejos para expresar la solución del problema. Cardano no se sentía a gusto con tales números, calificándolos de «enrevesadas torturas mentales» cuando trabajaba con ellos. De todas formas, la necesidad de considerar números de este tipo le vino obligada por su estudio de las ecuaciones cúbicas.

Deberi'amos advertir que hay algo mucho más útil en la aparición de números complejos en la solución de la ecuación cúbica, tal como se muestra en la figura 5.9, que lo que hay en su aparición en el problema (básicamente el de resolver la ecuación de segundo grado x2 - 10Jr + 40 = 0) representado en la figura 5.lO. En el último caso, es evidente quc no existe solución en absoluto a menos que se acepten los números complejos, y habri'a que adoptar la postura de que tales números son una completa ficción, introducida simplemcnte para proporcionar una «solución» a una ecuación que realmente no tiene soluciones. Sin embargo, esta posición no explican'a lo que va a pasar con las ecuaciones cúbicas. Aqui', en el «ca'sws ,'rnedwc,Ob,'/,'s» (li'nea jZ en la figura 5.9), existen reaI-

mente tres soluciones ffc,/es a la ecuación, cuya existencia no puede negarse;

pero para expresar cualquiera de estas soluciones en térmínos de números irracionales (es decir, en términos de rai'ces cuadradas y raíces cúbicas, en este caso), debemos hacer un viaje a través del mundo misterioso de los números complejos, aunque nuestro destino final es volver al mundo de los reales. Parece que nadie antes de Cardano había percibido este mundo misterioso,

La estructura del mun

y de qué modo podría estar subyacente en el propio mundo (Otros, como Herón de Alejandría y Diofanto de Alejandri' ll d. C., respectivamente, parecen haber acariciado la idea negativo deberi'a tener un tipo de «raíz cuadrada», pero nin el paso capi,al de combinar tales «numeros» con los reales comp/eJ'os, ni advirtieron ningún lazo subyacente con las las ecuaciones.) Tal vez la curiosa combinación que se daba e personalidad mística y una personalidad científicamente ra vislumbrar estos primeros atisbos de lo que iba desarrollarse una de las concepciones matemáticas más poderosas. En a través de la obra de Bombelli. Coates, Euler, Wessel, Arg Weierstrass, Riemann, Levi, by y muchos otros, la teori'a d

plejos ha florecido hasta convertirse en una de las estructuras elegantes y universalmente aplicables. Pero hasta la llegada d ca, en el primer cuarto de este siglo, no se manifestó el extra papel de los números complejos en los mismos cimientos del en que vivimos -ni antes de esto se había percibido su prof las p,obab,'/,-dad¬s. Ni siquiera Cardano pudo sospechar la subyacente entre sus dos grandes contribuciones a las mat nexión que constituye la propia base del universo material e pequeñas.

5.6. Las reglas básicas de la teori'a cu ¿Cuál es esta conexión? ¿Cómo se unen los números comp probabilidades para dar una descripción incuestionablement cionamiento interno de nuestro mundo? Hablando crudam mo nivel subyacente en los fenómenos donde impera la ley de plejos, mientras que es en el puente entre este i'nfimo nivel de nuestras percepciones habituales donde las probabilida

-pero tendré que ser más explícito si de lo que se trata es prensión real. Examinemos primero el papel de los números complejos. ma muy extraña que en si' misma es muy difícil de aceptar c descripción de la realidad física. Es particularmente difícil no parece haber lugar para el comportamiento de las cosa fenómenos que realmente percibimos, y donde las lges clás¡c well y Einstein se mantienen válidas. Así pues, para formar modo en que funciona la teori'a cuántica, necesitaremos c provisionalmente, existen dos niveles distintos de acción 'co subyacente, que donde estos números complejos tienenfis s

nivel clásico de las leyes físicas familiares a gran escala. Sól

276 Las sombras de la mente haber una división fi'sica entre el niyel en el que operan las leyes cuánticas y el nivel de los fenómenos clásicamente percibidos, pero resultará útil imaginar,

por el momento, que existe tal división para dar sentido a los procedimientos que realmente se adoptan en teoría cuántica. La cuestión más profunda acerca de si nea/men,e existe o no dicha división fi'sica constituirá uno de nuestros principales objetivos más adelante. ¿En qué nivel cLs,c7~ dicho nivel cuánt¡co? Debemos pensar en él como el ni-

vel de los objetos fi'sicos que son «suficientemente pequeños» en algún sentido, tales como moléculas, átomos o partl'culas fundamentales. Pero esta «pequeñez» no tiene por qué afectar a la distancia fi'sica. Los efectos cuánticos pueden darse a través de separac¡ones enormes. Recordemos los cuatro años-luz

que separaban los dos dodecaedros en mi historia en §5.3, o los doce metros que realmente separaban los pares de fotones en el experimento de Aspect (§5.4). No es la pequ.eñez del tamaño fiJsico, sino algo mucho más sutil, lo que define el nivel cuántico, y por el momento será mejor no intentar ser muy ex-

pli'cito. Será ú[il, no obstante, pensar que el nivel cuántico entra en juego aproximadamente cuando estamos interesados meramente en diferencias muy minúsculas en energi'a. Volveré con más detenimiento a esta cuestión en §6.l2. El nivel clásico, por el contrario, es el nivel que experimentamos de ordinario, donde son válidas las leyes de los números reales de la fi'sica clásica, de modo que tienen sentido las descripciones comunes -como las que dan la posición, velocidad y forma de una pelota de golf. El que exista o no una distinción fi'sica nca'/ entre el nivel cuántico y el nivel clásico es una cuestión profunda que está i'ntimamente relacionada con la cuestión de los misterios X, como se han denominado en §5.l. Aplazando esta cuestión por el momento, consideraremos simplemente una cuestión de conveniencia la separación entre el nivel clásico y el cuántico.

¿Qué papel juegan realmente los números complejos en el nível cuántico? Pensemos en una parti'cula individual tal como un electrón. En una imagen clásica, el electrón podri'a estar localizado en A o podrl'a quizá estar localizado en otra posic¡ón B. Sin embargo, en la descripción mecano-cuántica las posibilidades que pudieran estar abiertas a un electrón son mucho más amplias. No sólo podri'a el electrón estar en una u otra posición particular sino que, alternativamente, podri'a estar en uno cualquiera de entre un número de estados posibles en los que, en algún sentido evidente, ¡ocupa c,móas posiciones simultáneamente! Utilicemos la notación lA) para el estado en el que el electrón está en la posición A, y la notación lB) para el estado en que el electrón está en B.* *

Estoy uti1¡zando aqui' la notación cstándar de «kets» de Dirac para los estados cuánticos,

que resultará muy conveniente para nosotros. Ios lectores que no estén fami1¡arizados con la mecánica cuánt¡ca no tienen que preocuparse aqui' por su significado. PauI Dirac fuc uno de los fi'sícos sobresalíentes del siglo xx. Entre sus logros f¡gura una formalización general de las leyes de la teoría cuántica, y tamb¡én de su generalización relat¡v¡sta incluyendo la «ecuación de Dirac», que él descubrió, para el electrón. Teni'a una habilidad poco común para «oler» la veldad, juzgando sus ecuaciones, en gran medida, ¡por sus cualidades e5`,e~,,-caJ!

La estructura del mundo cuántico 277 Según la teoría cuántica, existen entonces otros estados posibles abiertos al electrón, que se escriben como WIA) + ZIB),

donde los factores de peso w y z que aqui' aparecen son mwJmc,os comp/ejos (uno de los cuales al menos debe ser no nulo). ¿Qué significa esto? Si los factores de peso hubieran sido números. rea/¬5 no negativos, entonces podría haberse considerado que esta combinacion re-

presenta, en cierto sentido, una probabilidad ponderada del valor esperado para la posición del electrón, donde w y z representan las probabilidades relativas de que el electrón esté en A o esté en B, respectivamente. Entonces el cociente w : z dari-a el cociente (probabilidad de electrón en A)/(probabilidad de electrón en B). En consecuencia, si estas fueran las dos únicas posibilidades abiertas al electrón, tendríamos un valor esperado w/(w + z) para que el electrón esté en A, y un valor esperado z/(w + z) para que esté en B. Si w = 0, entonces el electrón estari'a ciertamente en B; si z = 0, estari'a ciertamente en A. Si el estado fuera simplemente «lA) + lB)», esto representari'a probabilidades iguales de que el electrón esté en A o en B. Pero w y z son números comp/e/Oos, de modo que tal interpretación no tiene ningún sentido. Los cocientes de los pesos cuánticos w y z no son cocientes de probabilidades. No pueden serlo puesto que las probabilidades tienen que ser siempre números nea/es. No es la teoría de proba,b,'/,'d¢des de Cardano la

que opera en el nivel cuántico, pese a la opinión común de que el mundo cuántico es un mundo probabilista. En su lugar, es su misteriosa teoría de los n¥Jmeros comp/e,Oos la que subyace en una descripción matemáticamente precisa y /,'bne de probózb,-/jcJc,c7e§ para el nivel cuántico de actividad.

No podemos decir, en términos familiares y cotidianos, lo que «significa» que un electrón esté en un estado de superposición de dos lugares al mismo tiempo, con factores de peso complejos w y z. Por el momento, debemos aceptar simplemente que este es realmente el tipo de descripción que tenemos que adoptar para sistemas de nivel cuántico. Tales superposiciones constituyen una

parte importante de la construcción real de nuestro micromundo, como ahora nos lo ha revelado la Naturaleza. Sencillamente se da el *ecAo de que encontramos que el mundo en el nivel cuántico se comporta nea/me#,c de este modo misterioso y poco familiar. Las descripciones son perfectamente claras -y nos ofrecen un micromundo que evoluciona de acuerdo con una descripción que es matemáticamente precisa y, además, ,'comp/e,amcH,e de,em,'n,-s,a.'

5.7. Evolución unitaria U ¿Cuál es esta descripción determinista? Es lo que se denomina una evo/wc,'o~Ü wmO,a,,'a', y utilizaré 1a letra U para representarla. Esta evolución se describe mediante ecuaciones matemáticas precisas, pero no es ahora importante para no-

278 IJas sombras de [a mente sotros saber cuáles son estas ecuaciones. Todo lo que necesitaremos son ciertas

propiedades concretas de U. Én la due se conoce como «imagen de Schródinger», U se describe mediante lo que se denomina la ccwc,c,®o'n de ScÁ,Ó'd,-#ge,, que proporciona la tasa de cambio, con respecto al tiempo, del cs,ftc'o cwf7'#Í,-co o la/w#c,®o~m c7e oncJc,. Este estado cuántico, normalmente representado por la letra griega Ú (pi-onunciada «psi»), o por lÚ), expresa la suma global ponderada, con factores de peso complejos, de todas las posibles alternativas abiertas al sistema. Asi' pues, en el ejemplo particular que hemos mencionado antes, en donde las alternat¡vas abiertas al electrón eran que podría estar en una posic¡ón A o en otra posición B, el estado cuántico l Ú) tendri'a que ser una combinación compleja

lÚ) = WIA) + ZIB),

donde w y z son números complejos (uno al menos no nulo). Llamamos a la combinación wlA) + zlB) una sz,pcrpos,'c,'o'# /,'ncc,/ de los dos estados lA) y lB). La cantidad lÚ) (o lA) o lB)) se conoce normalmente como vccíor c7e e5,ado. IJos estados cuánticos más generales (o vectores de estado) podri'an te-

ner una forma tal como lÚ)="lA)+VIB)+WIC)+,,,+ZIF),

donde w, y, ..., z son números complejos (no todos nulos) y lA), lB), ..., lF)

podri'an representar varias posiciones posibles para una parti'cula (o quizá alguna otra propiedad de una parti'cula, tal como su estado de espín; cf. §5.lO). Incluso con más generalidad, se aceptarían sumas ,'#/,'#,®,as para una función o vector de estado (puesto que existen infinitas posiciones disponibles para una parti'cula concreta), pero no nos ocuparemos aquí de cuestiones de este tipo. Deóer,'o mencionar aqui' un tecnicismo del formalismo cuántico. Éste consiste en que son solamente los coc,'c#Íes de los factores de peso complejo los que van a ser significativos. Diré más sobre esto posteriormente. Por el momento, nos limitaremos a tomar nota del hecho de que, dado un simple vector de estado lÚ), cualquier múltiplo complejo wlÚ) del mismo (con w ± 0) representa el mismo estado fi'sico que lÚ). Así, por ejemplo, wwlA) + wzlB) representa el mismo estado fi'sico que wlA) + zl B). En consecuencia, sólo el cociente w .- z tiene importancia fi'sica, y no w y z por separado. Ahora, la característica más importante de la ecuación de Schródinger (es decir, de U) es que es lineal. Es decir, si tenemos dos estados, digamos l ¢) y l¢),

y si la ecuación de Schródinger nos dice que, al cabo de un tiempo ,, los estados lÚ) y l¢) habri'an evolucionado de forma individual hasta nuevos estados lÚ') y l¢'), respectivamente, entonces cualquier superposición lineal wl Ú) + zl¢) debe evolucionar, al cabo del mismo tiempo ,, hasta la superposíción correspondiente wl¢') + zl¢'). Utilicemos el si'mbolo ~ para denotar la evolución al cabo de un tiempo ,. Entonces la linealidad asegura que si

La estructura del mu

lÚ) -lú')yl¢) -l¢') entonces la evolución wlÚ) + zl¢) ~ wlú') + zl¢')

también se dará. Esto también se aplicari'a (en consecuenci nes lineales de más de dos estados cuánticos individuales; p wlú) + zl¢) evolucionaría, al cabo de un tiempo f, hast zl¢'), si cada uno de los lx), lÚ) y l¢) evoluciona in ta lx'), lÚ' ) y l¢' ), respectivamente. Así pues, la evoluc

pre como si cada componente diferente de una superposici sencia de los otros. Como dirían algunos, cada «mundo» di estos estados componentes evoluciona independientement misma ecuación de Schródinger determinista que los demás lineal concreta que describe el estado global mantiene inva de peso complejos, conforme procede la evolución. Podría pensarse, en vista de esto, que la superposición

jos no juegan un papel fisico efectivo, puesto que la evoluci estado por separado procede como si los demás estados no embargo, esto sería totalmente erróneo. Permi'taseme ilustr ceder realmente con un ejemplo. Consideremos una situación en la que incide luz sobre teado, es decir, un espejo semitransparente que refleja so la luz que incide sobre él y transmite la mitad restante. A cuántica la luz se considera compuesta de parti'culas llama mos haber imaginado perfectamente que, en una corriente den sobre nuestro espejo semiplateado, la mitad de los foto y la mitad serán transmitidos. ¡Nada de eso! La teori'a cu en lugar de ello, cada fotón ,'#d,'v,'dwa/, cuando incide

por su cuenta en un estado swpe,pwesío de reflexión y tr de su encuentro con el espejo el fotón está en el estado lA), ese momento evoluciona de acuerdo con U para convertir puede escrit,irse lB) + ilC), donde lB) representa el esta se transmite a través del espejo y lC) el estado en el que por él; véase la figura 5.ll. Escribamos esto lA)

~lB)+ilC).

El factor «i» aparece aqui' debido a un desfase neto de un de onda7 que se da entre los haces reflejado y transmitido ser más completo, deberi'a haber incluido también aqui' un pendiente del tiempo y un factor de normalización global ningún papel en nuestra discusión actual. En estas discusio lo que resulta esencial para nuestros propósitos inmediato

280 Las sombras de la mente

5.ll. Un fotón en el estado lA) ¡ncide en un espejo semiplateado y su estado evoluciona (por U) hasta la superpos¡ción lB) + ilC).

bre el factor oscilante en §5.ll y sobre la cuestión de la normalización en §5.12.

Para una descripción más completa, véase cualqu¡er manual sobre teori'a cuántica;8 también NME, pp. 243-250 [pp. 308-316].)

Aunque, según la imagen clásica de una parti'cula, tendri'amos que imaginar que IB) y lC) representan precisamente cosas alternativas que el fotón pocJ,,Ío hacer, en mecánica cuántica tenemos que tratar de creer que el fotón está haciendo realmente ambas cosas a /o v¬z en esta extraña superpos¡ción compleja. Para ver que no puede tratarse sólo de una cuestión de alternativas clásicas con probabilidades ponderadas, llevemos este ejemplo un poco más lejos y tratemos de reunir de nuevo las dos partes del estado del fotón -los dos haces fotónicos. Podemos hacer esto reflejando primero cada haz en un espejo totalmente plateado. Tras la reflexión,9 el estado fotónico 'B) evolucionará de acuerdo con U, hacia otro estado ilD), mientras que lC) evolucionará hasta ilE): lB) ~ilD) y lC) ~ ilE). Asi' pues, el estado global lB) + ilC) evoluciona, por U, hasta lB) + ilC) ~ ilD) + i(ilE))

-ilD)-lE) (puesto que i2 = -l). Supongamos ahora que estos dos haces coinciden en un cuarto espejo, que ahora es semiplateado, como se muestra en la figura 5.l2 (donde estoy suponiendo que las longitudes de todos los trayectos son iguales, de modo que el factor oscilante que estoy ¡gnorando sigue sin jugar ningún papel). El estado lD) evoluciona hasta una combinación lG) + iIF), donde lG) representa el estado transmitido y lF) el reflejado; análogamente, IE) evoluciona hacia IF) + ilG), puesto que es ahora el cstado lF) el estado transmitido y lG) el reflejado:

lD)

~lG)+iIF)ylE)

~IF)+ilG),

La evolución de nuestro estado global ilD) -lE) es ahora (debido a la linealidad de U):

IA estructura del mundo cuántico 281

ompletamente plateado

xiG

emiplateado I E)

r

l Tií.l lF)lD)

lc)k

;%oenn:esdi

_IA_) _

fl____

.S.l?..

lB)

óy

L.-i^` `1.c: ¡-,artcs dcl c`r>+|{r`.do fotó{`i¡co s`-r-3'¿|'`Icr. Ii|¡ cdi:ii`|+.i`-r.]cs c`[pcij\i,.rJ cclt`ii,!i`'.arr`I í`:`i -

te plateados, de modo que se encuentren en un espejo semiplateado final. Ellas interfieren de tal modo que el estado entero emerge en el estado lF), y el detector en G no puede recibir el fotón. (Interferómetro Mach-Zehnder.)

ilD)-lE) ~i(IG)+ilF))-(lF)+ilG» =iIG)-lF)-lF)-ilG)

- -2IF). (El factor multiplicativo -2 que aqui' aparece no juega ningún papel fi'sico porque, como se mencionó antes, si el estado físico glot,al de un sistema -aqui' lF)-se multiplica por un número complejo no nulo, entonces esto deja inalterada la situación fi'sica.) Asi' pues, vemos que la posibilidad lG) no está abierta al fotón; los dos haces se combinan para producir solamente la s,-mp/¬

posibilidad lF). Este curioso resultado se produce porque ombos haces están s,'mw/,a'#ec,men,c presentes en el estado fi'sico del fotón, entre sus encuentros con el primero y el último espejo. Decimos que los dos haces ,'n,er/,-cnen entre si'. Así pues, los dos «mundos» alternativos del fotón entre estos encuentros no son realmente independientes, sino que pueden contaminarse uno a otro a través de este fenómeno de interferencia. Es importante tener en cuenta que esta es una propiedad de los fotones ,-#d,-y,'dwc,/cs. Debe considerarse que cada fotón individual siente que ambos caminos están abiertos para él, pero sigue siendo w# fotón; no se desdobla en dos fotones en la fase intermedia, sino que su localización experimenta el extraño tipo de coex,'síenc,'o de alternativas ponderadas por números complejos que es característico de la teori'a cuántica.

282 IJas sombras de la mente

5.8. Reducción del vector de estado R En el ejemplo considerado anteriormente, el fotón emerge finalmente en un estado no superpuesto. Imaginemos que se colocan detectores (fotocélulas) en los puntos marcados F y G en la figura 5.l2. Puesto que, en este ejemplo, el fotón emerge en un estado (proporcional a) lF), sin ninguna contribución de lG), se sigue que el detector en F registra la llegada del fotón, y el detector en G no registra nada.

¿Qué sucederá en una s¡tuación más general tal como cuando un estado superpuesto wlF) + zlG) encuentra a estos detectores? Nuestros detectores están haciendo una med,'dc, para ver si el fotón está en el estado lF) o en el estado l G). Una medida cuántica tiene por efecto amplificar los sucesos cuánticos desde el nivel cuántico al clásico. En el nivel cuántico, las superposiciones persisten bajo la acción cont¡nua de la evolución U. Sin embargo, en cuanto los efectos son amplificados hasta el nivel clásico, donde pueden percibirse como sucesos r¬c,/es, ya no encontramos que las cosas estén en estas extrañas combinaciones con factores de peso complejos. Lo que s,Jencontramos, en este ejemplo, es que o b,-e# registra el detector en F o Ó,'en registra el detector en G, y estas alternativas ocurren con ciertas probabilidades. El estado cuántico parece haber «saltado» misteriosamente desde un estado que implica la superposición wlF) + zlG) a otro en el que solamente está implicado lF) o solamente lo está lG). Este «salto» de la descripción del estado del sistema desde el estado superpuesto a nivel cuántico a una descripción en la que tiene lugar una u otra de las alternativas de nivel clásico, se denomina n¬dwcc',-oÍ# c7e/ vcc,o, de ¬s,a'c7o, o c'o/apso de /ar/w#c,'o'H cJc o#da, y utilizaré la letra R para representar esta operación. El que R deba considerarse como un proceso fi'sico real o como algún tipo de ilusión o aproximación es una cuestión que más adelante tendrá gran interés para nosotros. El hecho de que, al menos en nuestras descripciones matemáticas, tenemos que prescindir de U de vez en cuando, y acudir al procedimiento totalmente diferente R, es el misterio X básico de la teori'a cuántica.

Por el momento, será mejor que no profundicemos mucho en la cuestión y consideremos (provisionalmente) que R es, en efecto, algún proceso que simplemente swccc7e (al menos en la descripción matemática que hemos utilizado) como una caracteri'stica del proceso de amplificación de un suceso desde el nivel cuántico al clásico.

¿Cómo calculamos realmente estas diferentes probc,b,-/,'dodc§ para los resultados alternativos de una medida sobre un estado superpuesto? Existe, de hecho, una regla notable para determinar dichas probabilidades. Esta regla establece que si tenemos una medida que decide entre estados alternativos lF) y lG), pongamos por caso, utilizando detectores en F y G, respectivamente, en la situación anterior, entonces dado que los detectores encuentran el estado su-

perpuesto WIF) + ZIG),

IA estructura del mundo cuántico 283 la razón entre la probabilidad de que registre el detector en F y la probabilidad de que registre el detector en G viene dada por el cociente lwl2:

lzl2,

donde aparecen los mo'cJw/os a/ cwc7cJntzcJo de los números complejos w y z. El

módulo al cuadrado de un número complejo es la suma de los cuadrados de sus partes real e imaginaria; así pues, para z -JX. + iJ/l

donde x e J, son números reales, el módulo al cuadrado es lzl2-x2+J/2

-(x + iJ,)(X -iJ,)

-zZ donde Z(--x -iJJ) se denomina el comp/eJ'o co#j#gc,do de z. y análogamente para w. (Estoy suponiendo tácitamente, en la exposición anterior, que los estados que he estado designando por lF), lG), etc., son estados norma/,'zcrc7os apropiadamente. Esto se explicará más tarde, cf. §5.12; estrictamente hablando, la normalización es necesaria para que sea válida esta forma de la regla de las probabilidades.) Es aqui', y sólo aqui', donde las probc,b,'/J'cJt7des de Cardano entran en la escena cuántica. Vemos que los pesos complejos del nivel cuántico no juegan por si' mismos un papel como probabilidades relativas (cosa que no pueden hacer, puesto que son complejos), sino que son los mo'c7t,/os a/ c'wc7dnado de dichos complejos, que son números reales, los que juegan tales papeles. Además, es sólo ahora, cuando se hacen las med,'da's, cuando intervienen la indeterminación y las probabilidades. Una medida de un estado cuántico ocurre, en efecto, cuando hay una gran amplificación de un proceso fi'sico, que lo eleva desde el nivel cuántico al clásico. En el caso de la fotocélula, el registro de un simple

suceso cuántico -en forma de recepción de un fotón- produce eventualmente una perturbación en el nivel clásico, digamos un «click» audible. Alternativamente, podríamos utilizar una placa fotográfica sensible para registrar la lle-

gada de un fotón. Aqui', el suceso cuántico de la llegada de dicho fotón será amplificado hasta el nivel clásico en forma de una marca visible en la placa. En cada caso, el aparato de medida consistirá en un sistema minuciosamente

preparado que puede utilizar un suceso cuántico minúsculo para desencadenar un efecto observable en una escala clásica mucho mayor. ¡Es en este paso desde el nivel cuántico al nivel clásico donde los números complejos de Cardano elevan sus módulos al cuadrado para convertirse en las probabilidades de Cardano! Veamos cómo se aplica esta regla a una situación concreta. Supongamos que en lugar de tener el espejo en la parte inferior derecha hubiéramos colocado alli' una fotocélula; entonces esta fotocélula encontraría el estado

284 Las sornbras de la men[e

lB)

+ilC),

donde el estado lB) provocari'a que la fotocélula registrara mientras que lC) la dejari'a inalterada. Asi' pues, el cociente de las probabilidades respectivas es l l l2 : li)2 = l : l, es decir, la probabilidad de cada uno de los dos resultados posibles es la misma, de modo que és tan probable que el fotón active la

fotocélula como que no lo haga. Consideremos una situación ligeramente más complicada. Supongamos que, en lugar de tener una fotocélula en el lugar del espejo inferior derecho, bloqueamos uno de los haces en el ejemplo anterior con un obs,o'cw/o capaz de absorber el fotón, por ejemplo en el haz correspondiente al estado fotónico lD) (figura 5.l3); en tal caso, el efecto de interferencia que teni'amos antes será destruido. El fotónpod,,'c7 entonces emerger en un estado que incluyera la posibilidad lG) (además de la posibilidad lF)) con tal de que el fotón m sea realmente absorbido por el obstáculo. Si e§ absorbido por el obstáculo, entonces el fotón no emergerá en ninguna combinación de los estados lF) o lG); pero si no lo es, entonces el estado del fotón, cuando se aproxima al último espejo, será sim-

plemente -lE), que evoluciona a -lF) -ilG), de modo que ambas alternativas lF), lG) están incluidas realmente en el resultado final.

En el ejemplo concreto aquí considerado, cuando el obstáculo está presente pero no absorbe el fotón, los respectivos pesos complejos para las dos posibilidades lF) y lG) son -l y -i (siendo el estado emergente -lF) -ilG)). Asi' pues, el cociente de las probabilidades respectivas es l -l l2 : l -l l2, dando una vez más probabilidades iguales para cada uno de los dos posibles resultados, de modo que es tan probable que el fotón active el detector en F como el detectorenG. Ahora el propio obstáculo debe considerarse también como un «aparato de medida», de acuerdo con el hecho de que estamos considerando que las alternativas «el obstáculo absorbe el fotón» y «el obstáculo no absorbe el fotón» son alternativas clásicas a las que no deberi'a asignárseles pesos complejos. Incluso si el obstáculo no estuviera minuciosamente dispuesto de tal modo que el suceso cuántico de la absorción de un fotón se amplifique hasta un suceso clásicamente observable, debemos considerar que «podri'a haber estado» dis-

puesto de esta forma. El punto esencial es que al absorber el fotón una cantidad considerable de la sustancia real del obstáculo queda ligeramente perturbada por él, y se hace imposible reunir toda la información contenida en esta perturbación para que se recuperen los efectos de interferencia que ¿aracterizan los fenómenos cuánticos. Asi' pues, el obstáculo debe considerarse -al menos en la práctica- un objeto de nivel clásico, y actúa como aparato de medida si registra o no la absorción del fotón de una forma prácticamente observable. (Volveré más tarde a esta cuestión, en §6.6.) Con esto en mente, también estamos en libertad de usar la «regla del módulo al cuadrado» para calcular la probabilidad de que el obstáculo absorba realmente el fotón. El estado del fotón que encuentra el obstáculo es ilD) -lE),

y absorbe el fotón si encuentra que está en el estado lD), frente a la otra alter-

La estructura de[ mundo cuántico 285

5.l3. Si se coloca un obstáculo en el haz lD), entonces se hace posible que el detector en G registre la llegada del fotón (¡cuando el obstáculo no absorbe el fotón!).

nativa lE). El cociente entre la probabilidad de absorción y la de no absorción es lil2 : l -l l2 = l : 1; de modo que otra vez las dos alternativas son igualmente probables. Podri'amos imaginar también una situación algo similar en la que, en lugar de tener un obstáculo en D, acopláramos algún dispositivo de medida al espejo inferior derecho, en lugar de tener este espejo #¬mp/c,z¢do por un detector, como se ha considerado antes. Imaginemos que este dispositivo es tan sensible que es capaz de detectar (es decir, amplificar al nivel clásico) cualquier impulso que imparta el fotón al espejo cuando sea simplemente reflejado por él, y está detección es señalada finalmente por, digamos, el movimiento de una aguja (véase la figura 5.l4). Así pues, el estado fotónico lB), al encontrar el espejo, activari'a este movimiento de la aguja, pero el estado fotónico lC) no lo haría. Cuando se le presente el estado fotónico lB) + ilC), el dispositivo «colapsará la función de onda» y leerá el estado como si fuera o b,'c# lB) (la aguja se mueve) o bJ'cJ! IC) (la aguja queda fija), con iguales probabilidades (dadas por l l l2 : lil2). El proceso R tendri'a lugar en es,e momento. Para el comportamiento siguiente del fotón podemos seguir el resto del argumento esencialmente como antes, y, como sucedi'a con el obstáculo, es otra vez igualmente probable que el detector en G o el detector en F detecten el fotón (según se mueva o no la aguja). Para este montaje, el espejo inferior derecho necesitari'a ser ligeramente «movedizo» para que pueda activarse el movimiento de la agu-

ja, y esta falta de rigidez del espejo destruiri'a la delicada organización necesaria para asegurar la «interferencia destructiva» entre los dos caminos para los fotones que van de A a G, que originalmente había impedido que registrara el detector en G. El lector podri'a muy bien percibir que hay algo no enteramente satisfactorio en la cuestión de cwc,'mc7o -y en realidad por gwe'- deberi'an cambiarse las reglas cuánticas y pasar del determinismo con ponderación compleja de nivel cuántico a las alternativas no deterministas con pesos probabilistas del nivel clásico, caracterizados matemáticamente por tomar los cuadrados de los mó-

286 Las sombras de la mente

5.l4. Puede conseguirse un efecto similar haciendo el espejo inferior derecho ligeramente «movedizo» y utilizando este movimiento para registrar, mediante algún detector, s¡ el fotón ha sido reflejado o no en dicho espejo. De nuevo la interferencia se des-

truye, y el detector en G está capacitado para detectar el fotón.

dulos de los números complejos implicados. ¿Qué es lo que rea/me#,e caracteriza algunos fragmentos de materia fi'sica, tales como los detectores de fotones

en F y en G, o el espejo inferior derecho -y también el posible obstáculo en D- como objetos de nivel clásico, mientras que el fotón, en el nivel cuántico, debe tratarse de forma tan diferente? ¿Es simplemente el hecho de que el fotón es un sistema simple lo que permite su tratamiento completo como un objeto de nivel cuántico, mientras que detectores y obstáculos son cosas complicadas que necesitan un tratamiento aproximado en el que las sutilezas del comportamiento se promedian de alguna forma? Muchos fi'sicos argumentarán ciertamente de esta manera, y afirmarán que, estrictamente hablando, deberi'amos tratar ,oc7os los objetos fi'sicos de forma mecano-cuántica; y que es sólo una cuestión de conveniencia el que tratemos clásicamente los sistemas grandes o complicados, siendo las reglas de la probabilidad incluidas en el procedimiento «R» caracteri'sticas, de algún modo, de la aproximación involucrada. Veremos en §6.6 y §6.7 que este punto de vísta no nos resuelve realmente nuestras dificultades -las dificultades planteadas por los misterios X de la teori'a cuánticani explican la milagrosa regla R en la que las probabilidades aparecen como módulos al cuadrado de pesos complejos. Por el momento, no obstante, debemos dejar nuestras preocupaciones, y seguir investigando las implicaciones de la teori'a, especialmente en relación con los misterios Z.

5.9. Solución al problema de la comprobación de bombas de Elitzur-Vaidman Ahora estamos en disposición de dar una solución al problema de la comprobación de bombas de §5.2. Lo que debemos hacer es ver si podemos utilizar el delicado espejo de la bomba como un dispositivo de medida, de forma aná-

La estructura del mundo cuánt`ico 287

loga a como actuaban el obstáculo o los espejos móviles con detector en la discusión anterior` Montemos un sistema de espejos, dos de los cuales son semiplateados, exactamente de la forma que se ha efectuado antes, pero donde el espejo de la bomba juega ahora el papel de espejo en la parte inferior izquierda de la figura 5.l4. Lo importante es que s,' la bomba es inservible, en el único sentido que aceptamos para los propósitos de este rompecabezas, entonces su espejo está atascado en una posición fija, de modo que la situación ahora es la que se muestra en la figura 5.l2. El emisor de fotones envi'a un solo fotón al primer espejo inicialmente en el estado lA). Puesto que la situación es precisamente la misma que la de §5.7, el fotón debe emerger finalmente en el estado (proporcional a) lF), como antes. Así pues, el detector en F registra la llegada del fotón,

pero el detector en G no puede hacerlo. Sin embargo, si la bomba no es inservible, entonces el espejo es capaz de responder al fotón y la bomba explotará si resulta que el fotón incide sobre su espejo. La bomba es de hecho un aparato de medida. Las dos alternativas de nivel cuántico «fotón incidiendo en el espejo» y «fotón no incidiendo en el espejo» son amplificadas por la bomba hasta convertirse en las alternativas de nivel clásico «bomba explota» y «bomba deja de explotar». Responde al estado lB) + ilC) explotando si encuentra el fotón en el estado lB) y dejando de explotar si encuentra que no está en el estado lB) -luego está en el estado lC). Las probabilidades relativas de estas dos ocurrencias son l ll2 : lil2 = l : l. Si

la bomba explota, entonces ha detectado la presencia del fotón, y lo que suceda a continuación no interesa. Sin embargo, si la bomba deja de explotar, entonces el estado del fotón es reducido (por la acción de R) al estado ilC) incidiendo en el espejo superior izquierdo, y emergiendo de dicho espejo en el estado -IE). Después de encontrar el último espejo (semiplateado), el estado se trans-

forma en -,F)-ilG), de modo que hay una probabilidad relativa l-ll2 l -il2 = l : l para los dos posibles resultados «detector en F registra la llegada del fotón» y «detector en G registra la llegada del fotón» igual que en los casos considerados en la sección anterior, cuando el obstáculo deja de absorber el fotón o cuando la aguja deja de moverse. Así pues, existe ahora la posibilidad definida de que el detector G reciba el fotón. Supongamos, entonces, que en una de estas comprobaciones de bomba se encuentra que el detector en G registra realmente la llegada del fotón en algunos casos en que la bomba no explota. A partir de lo que hemos dicho antes, vemos que ¡esto sólo puede suceder si la bomba m es inservible! Cuando es inservible, el detector en F es el único que puede registrar. Así pues, en todas aquellas circunstancias en las que G registra efectivamente tenemos una bomba con garanti'as de que es activa, es decir, ¡no una inservible! Esto resuelve el problema de la comprobación de bombas propuesto en §5.2.* *

El interruptoI Shabbos. El hecho de que tanto Elitzur como Vaidman están en universida-

des en lsrael ha sugerido, cn conversaciones con Artur Ekert, un dispositivo para ayudar a los ortodoxos de la fe judi'a a quienes les está prohibido conectar o desconectar electrodomés[icos durante su Sabbath. En lugar de patentar nuestro dispositivo, y hacer con ello una fortuna, hemos decidido

288 Las sombras de la mente Veremos, a partir de las consiqeraciones anteriores sobre las probabilidades involucradas, que en una larga serie de comprobaciones la mitad de las bombas activas explotarán y se perderán. Además, el detector en G registrará sólo en la mitad de los casos en los que una bomba activa no explota. Asi' pues, si probamos las bombas una tras otra, encontraremos que ahora sólo puede

garifm,,'za,s¬ que siguen realmente activas un cuarto de las bombas originalmente activas. Podemos entonces probar otra vez las restantes, y recuperar de nuevo aquellas para las que registra el detector en G, y luego repetir todo el proceso una y otra vez. Finalmente, nos quedamos con sólo un tercio (puesto que

á + ± + * + ... = i) de las bombas activas con las que empezamos, pero ahora todas están garantizadas. (Yo no estoy seguro de que las bombas fueran utilizadas ahora, ,'pero quizá sería prudente no preguntar.') Puede parecerle al lector que este es un procedimiento dispendioso, pero no deja de ser notable que pueda realizarse. C1ásicamente no habría manera de hacer tal cosa. Sólo en la teori'a cuántica pueden las posibilidades contrafácticas influir realmente en un resultado fi'sico. Nuestro procedimiento cuántico nos permite conseguir algo que parecería imposible -y que es de hecho imposible dentro de la física clásica. Deberi'a señalarse, además, que con ciertos refinamientos este dispendio puede reducirse de dos tercios a efectivamente un medio (Elitzur y Vaidman, l993.) Y lo que es más sorprendente, P. G. Kwiat, H. Weinfurter, A. Zeilinger y M. Kasevich ,-han demostrado rec¡entemente, utilizando un procedimiento diferente, cómo reducir el dispendio efectivamenté a cero.t

Con respecto a la difi'cil cuestión de consegu¡r un díspositivo experimental que realmente produzca fotones de uno en uno, actualmente pueden construirse dispositivos semejantes (véase Grangier e, a/. l986).

Como comentario final, debería señalar que no es necesario que un aparato de medida sea un objeto tan espectacular como la bomba de nuestra discusión. En realidad, un «d¡spositivo» semejante no necesita para nada dar al mundo exterior una señal de la recepción o no recepción del fotón. Un espejo

generosamente hacer pública nuestra gran idea de modo que esté disponible para bicn de la comunidad judía en genera1. Todo lo que se necesita es una fuente de fotones que em¡ta una secuencia continua de fotones, dos espejos semiplateados, dos espejos totalmente plateados y una fotocélula unida al electrodoméstico en cuestión. El montaje es precisamente como el de la figura 5.l3, con la fotocélula colocada en G. Para activar o desactivar el electrodoméstico, uno coloca un dedo en el haz cn D como el obstáculo de la figura 5.l3. Si el fotón incide en el dedo de uno, nada le sucede al electrodoméstico -lo que ciertamente no es pecado. (En efecto, los fotones están ¡ncidiendo continuaTente en nuestros dedos. cn cualquier caso, incluso durante el Sabbath.) Pero si ningún fotón tropieza con el dedo, cntonces existe un 50 I,or IOO de posibilidades (con la voluntad de Dios) de que el interruptor del electrodoméstico será activado. Ciertamente, ¡tampoco puede haber pecado en de/'ar de recibir el fotón que activa el ¡nterruptor! (Se podri'a plantear la objeción práctica dc que las fuentes que em¡ten fotones individuales son difi'ciles -y caras- de fabricar. Pero esto no es realmente necesario. Cualquier fuente de fotones bastará, puesto que el argumento puede aplicarse a cada uno de sus fotones por separado.) [Un J^aóóoJ (palabra yiddish) es un gentil que trabaja para los judi'os ortodoxos realizando actividades que estos tienen prohibidas por su dogma\. (N. del t)l

lJa estructura del mundo cuántico 289 ligeramente móvil actuari'a, por si' solo, como un dispositivo de medida, si hubiera suficiente luz para moverlo apreciablemente como resultado del impacto del fotón y a continuación disipar su movimiento como rozamiento. El mero hecho de que el espejo sea móvil (pongamos que es el inferior derecho, como antes) permitirá que el detector en D'reciba el fotón, incluso si el espejo no se mueve realmente, indicando entonces que el fotón ha seguido el otro camino. ¡Es la mera po,c#c,-a/,`da'd de moverse la que permite que el fotón llegue a G! Incluso el obstáculo, mencionado en la sección anterior, juega un papel extraordinariamente similar. Sirve, en efecto, para «medir» la presencia del fotón en algún lugar de su camino tal como queda descrito por los sucesivos estados lB) y lD). Una falta de recepción del fotón, cuando es capaz de recibirlo, cuenta exactamente lo mismo que contari'a una «medida» en la que realmente se recibiera. Las medidas negativas y no intrusivas de este tipo se denominan medidas #w/as (o sin interacción), véase Dicke (l98l), y tienen una importancia teórica (y quizá, en última instancia, incluso práctica) considerable. Existen experimentos para verificar directamente las predicciones de la teori'a cuántica en situaciones semejantes. ¡En particular, Kwiat, Weinfurter y Zeilinger han realizado recientemente un experimento del tipoprec,'§o que está implicado en el problema de la comprobación de bombas de Elitzur-Vaidman! Como ya ha llegado a ser habitual, las predicciones de la teori'a cuántica han sido completamente confirmadas. Las medidas nulas se encuentran realmente entre los profundos misterios Z de la teon'a cuántica.

5.lO. Teoría cuántica del espi'n; la esftra de Riemann Para abordar el segundo de mis enigmas cuánticos introductorios, será necesario examinar un poco más en detalle la estructura de la teori'a cuántica. Recordemos que mi dodecaedro y también el de mi colega teni'an en su centro un átomo de espín 3. ¿Qué es el espi'n, y cuál es su importancia concreta para la teori'a cuántica? El espi'n es una propiedad intri'nseca de las parti'culas. Es básicamente el mismo concepto físico que el de rotación -o momcnfo amgw/a,,-de un objeto clásico, tal como una pelota de golf, o una de cricket, o la Tierra entera. Sin embargo, existe la diferencia (menor) de que para tales objetos grandes, la mayor contribución con mucho a su momento angular procede de los movimientos orbitales de todas sus parti'culas una alrededor de otra, mientras que para una simple partícula, el espi'n es una propiedad intri'nseca a la propia parti'cula. De hecho, el espi'n de una partícula fundamental tiene la curiosa caracteri'stica de que su mog»,-,z,d tiene siempre el mJ'smo valor, aunque la dirección de su eje de giro puede variar -aunque también este «eje» se comporta de una forma muy extraña que guarda poca relación, en general, con lo que puede suceder clásicamente. La magnitud del espi'n se mide en términos de la unidad mecano-cuántica básica fi, que es el si'mbolo de Dirac para la constante de Planck A dividida por 27r. La medida del espín de una partícula es siempre un múltiplo

290 IJas sombras de la mente

Estado l t):

Estado l J):

1.

Estado geneíal para espin z

S__-.-wé l,)

=

wlt)

+z¢ +

zlJ)

5.l5. Para una parti'cula de espi'n i (tal como un electrón, un protón o un neutrón) todos los estados de espi'n son superposiciones complejas de los dos estados «espi'n arriba» y «espi'n abajo».

(no negativo) entero o semientero de fi, a saber O, ífi, fi, 3fi, 2fi, etc. Decimos. que tales parti'culas tienen espi'n O, espi'n í, espi'n l, espi'n 3, espi'n 2, etc., respectivamente.

Empecemos considerando el caso más simple (aparte del espi'n O que es dema's,'acJo simple ya que, en este caso, sólo hay un estado de espi'n, con simetría esférica), a saber el caso de espi'n í, tal como el de un electrón o un nucleón

(un protón o un neutrón). Para espi'n ¿, todos los estados de espín son superposiciones lineales de sólo dos estados, por ejemplo el estado de giro a derechas en torno a un eje vertical Acíc','a ¢m'bc,, escrito l t), o el de giro a derechas en torno a un eje vertical Aac,®cz c,bc,/'o, escrito l +) (véase la figura 5.l5). El esta-

do general de espi'n será ahora alguna combinación con coeficientes complejos lÚ) = wlt) + zl+). Dehecho, sedaelcasodequecadaunadeestascombinaciones representa el estado en que el espi'n de la partícula (de magnitud ifi) está orientado en alguna dirección particular determinada por el cociente de los dos números complejos w y z. No hay nada especial en la elección concreta de los dos estados lt) y l+). Todas las diferentes combinaciones de estos dos estados son precisamente estados de espi'n tan precisos como lo son los dos originales.

Veamos ahora cómo puede hacerse más expli'cita y geométrica esta relación. Esto nos ayudará a apreciar que los factores de peso complejos w y z no son cosas tan abstractas como hubiese podido parecer hasta ahora. De hecho, tienen una relación evidente con la geometri'a del espacio. (Imagino que tales re-

presentaciones geométricas hubieran gustado a Cardano, y quizá le hubieran ayudado con sus «torturas mentales» -¡aunque la propia teori'a cuántica nos ofrece nuevas torturas mentales!) Será útil, en primer lugar, considerar la representación ahora estándar de los números complejos como puntos en un plano. (Este plano se denomina indistintamente plano de Argand, plano de Gauss, plano de Wessel o, sencillamente, plano comp/c/'o.) La idea consiste simplemente en representar el número complejo z = x + iJJ, donde x e J' son números reales, por el punto del plano cuyas coordenadas cartesianas ordinarias son (x,JJ), con respecto a algunos ejes cartesianos seleccionados (véase la figura 5.l6). Asi', por ejemplo, los cuatro números

IJa estructura del mun ag¡nar¡oTyl

y

i=\/-1------j?z=x+¡y

/ l /,, 0

5.l6.

x-

``

jí

Ejereal

La representac¡ón de un número complejo en el plano co

gand-Gauss).

Suma: paralelogramo

Mul{ip'¡cación:

Cambio

triángulos

de s¡gno:re'lex¡ón en el origen

semejantes

5.l7.

Las descripciones geométricas de las operaciones básicas con

complejos l, l + i, i y O constituyen los vértices de un cuadr

geométricas sencillas para la suma y el producto de dos nú (figura 5.17). Tomar el negativo -z de un número complejo z una reflexión respecto al origen; tomar el complejo conjugad senta por una reflexión respecto al eje x. El módulo de un número complejo es la distancia desde

que lo representa; el módulo al cuadrado es entonces el cuadr ro. El c,+rcw/o w#,'dczd es el lugar geométrico de los puntos q unidad del origen (figura 5.18), puntos que representan los n de mo'dw/o wm'dc,d, a veces denom¡nados /czscs pwnfu, y q

292 IJas sombras de la mente

i'V uriidad

5.l8. cir,

.. ia:seíSY-

El ci'rculo unidad consiste en los números com

z = e" con O real, es de-

lzl = l,

donde O es real y mide el ángulo que forma con el

la li'nea que une el ori-

gen con el punto que representa este número co Veamos ahora cómo representar coc,-e#,¬s de En la exposición anterior, indiqué que un estado multiplica, globalmente, por un número complejo

o.* s de números complejos. ambia fi'sicamente si se into de cero (recordemos,

por ejemplo, que -2lF) debi'a considerarse fi'sica pues, en general, l Ú) es físicamente el mismo que complejo w no nulo. Aplicado al estado

igual al estado lF). Asi' ), para cualquier número

lÚ)=wlt)+zI+),

vemos que si multiplicamos ambos w y z por el mi nulo, no cambiamos la situación fi'sica representad rentes cocientes z:w de los dos números complejos los estados de espi'n fi'sicamente diferentes ®uesto wÍ0).

número complejo w no r el estado. Son los difez los que proporcionan wz:ww es igual a z:w si

¿Cómo representamos geométricamente un coc cia esencial entre un cociente complejo y un solo que J'#/,'#,',o (denotado por el si'mbolo «co») tamb te, además de todos los números complejos finito

e complejo? La diferenero complejo simple es e acepta como un cocieni' pues, si consideramos

que el cociente z:w está representado, en general, tendremos dificultades cuando w = 0. Para cubrir e

el número complejo z/w, osibilidad, simplemente

*

El número real e es la «base de los logaritmos natTrales»:

,718 281 825 5 ...; la expre-

s¡ón e< es, en efecto «e elevado a la z-ésima potencia» y tene

et=l+z+T*+i

L+-

x2x3

-lx2x

+

...

La estructura del mund N

5.19. La esfera de Riemann. El punto P, que representap = z/w e se proyecta desde el polo sur S en un punto, PJ en la esfera. La d el centro O de la esfera, es la dirección de espín para el estado ge la figura 5.l5.

utilizamos el si'mbolo a3 para z/w en el caso en que w = 0. Es consideramos el estado particular «espín abajo»: lú) = zl+) = cordemos que no está permitido que w = O y z = O s,-mw/,aJ w = O por sí solo está perfectamente aceptado. (Podríamos lugar, para representar este cociente si lo preferimos; entonce

para cubrir el caso z = 0, que da el estado particular «espí porta qué descripción utilicemos.) La forma de representar el espacio de todos los posibles c jos consiste en utilizar una es/e,t7, conocida como gs/e,t7 cJ¬ J2J

tos de la esfera de Riemann representan números complejos imaginar la esfera de Riemann como una esfera de radio u ecuatorial es el plano complejo y cuyo centro es el origen ( plano. El ecuador real de esta esfera se identificará con el c el plano complejo (véase la figura 5.l9). Ahora, para repres complejo particular, digamos z:w, marcamos el punto P d que representa el número complejop = z/w (suponiendo, po w = 0), y luego proyectamos, desde el po/o swr S, el punto punto P' sobre la esfera. Es decir, tomamos la li'nea recta q y marcamos el punto P J donde dicha li'nea corta a la esfera ( aplicación de puntos de la esfera en puntos del plano se denom es,eneogrií,'Í,'cc,. Para ver que es razonable que el propio p co, imaginemos un punto P en el plano que se desplaza hast cia; entonces encontramos que el punto PJ que le corresponde al polo sur S, tendiendo a S en el límite en que P tiende La esfera de Riemann juega un papel fundamental en la

294 1Jas sombras de la mente

una forma geométrica abstracta, el espacio de lo

dos fi'sicamente distin-

guibles que pueden construirse, medianté superp tir de cualesquiera dos estados cuánticos distintos dos podri'an ser dos posibles posiciones para un fo comb¡nación lineal general tendri'a la forma wlB) cemos uso expli'cito tan sólo del caso particular l la reflexión/transmisión en el espejo semiplateado seri'an difi'ciles de obtener. Todo lo que se necesit

ón lineal cuántica, a parr ejemplo, los dos estadigamos lB) y lC). La C). Aunque en §5.7 hail C), como resultado de otras combinaciones no es variar la cantidad del

plateado del espejo e introducir un segmento de m de uno de los haces emergentes. De este modo, ra de R¡emann válida para todos los estados alter todas las diversas situaciones fi'sicas de la forma wl

refractivo en el camino dri'a construir una esfeos posibles, dados por zl C) que pueden cons-

truirse a partir de las dos alternativas lB) y lC).

En casos como este, el papel geométrico de la absoluto aparente. Sin embargo, existe otro tipo

ra de Riemann no es en tuaciones en las que el

papel de la esfera de Riemann está geométricamente claro de esto tiene lugar con los estados de espi'n tal como un protón o un electrón. El estado genera una combinación

ifiesto. El ejemplo más a parti'cula de espi'n ±, de representarse como

lÚ)= wlt)+zlJ),

y resulta (escogiendo l t) y l J ) adecuadamente a pa nalidad de posibilidades fi'sicamente equivalentes) estado de espín, de magnitud ±fi, que gira a der apunta en la dirección precisa del punto de la esfer ta el cociente z/w. Así pues, cada dirección del e una posible dirección del espi'n para cualquier par si inicialmente se representa la mayoría de los estad binaciones de alternativas con pesos complejos»

e la clase de proporcioeste l¢) representa el s alrededor del eje que iemann que represeno juega un papel como a de espi'n ±. Incluso mo «misteriosas comdo las alternativas lt)

y lJ)), vemos que dichas combinaciones no son n que las dos originales, lt) y l+), con las que em es fi'sicamente tan real como cualquiera de las otr

s ni menos misteriosas os. Cada una de ellas

¿Qué sucede con los estados de espi'n más alto? cen un poco más complicadas -¡y más misteriosas! voy a dar no es muy conocida para los fi'sicos act en l932 por Ettore Majorana (un brillante fi'sico it edad de 3l años en un barco que entraba en la Bahi'a cias nunca completamente aclaradas). Consideremos, en primer lugar, algo que es mu

lta que las cosas se haescripción general que , aunque fue apuntada o que desapareció a la ápoles en circunstan-

pongamos que tenemos un átomo (o parti'cula) de e demos escoger la dirección hacia arriba para empez «cuánto» del espi'n del átomo está realmente orientad cir, girando a derechas en torno a ella). Existe un i cido como un aparato de Stern-Gerlach, que consig

±w. Una vez más, poplantear la pregunta de dicha dirección (es demento estándar, conoles medidas mediante

iliar a los fi'sicos. Su-

IA estructura del mu

5.20. La medida de Stern-Gerlach. Existen n + l resultados p dependiendo de cuánta parte del espín se encuentra en la direcc

el uso de un campo magnético no homogéneo. IJo que suce tamente n + 1 diferentes resultados posibles, que pueden d cho de que el átomo resulta encontrarse precisamente en un rentes haces posibles. Véase la figura 5.20. La cantidad la dirección escogida está determinada por el haz particula tar el átomo. Cuando se mide en unidades de ±fi la cantid dirección resulta tener uno de los valores n, n -2, n pues, los diferentes estados de espi'n posibles, para un át precisamente las superposiciones con coeficientes complej dades. Denotaré los diversos resultados posibles de una medi

para espín n + l, cuando el campo magnético del aparat rección vertical hacia arriba, como lttt ...

t),

l+tt

...

t),

lJ+t

... t), ...,

l

correspondientes a los respectivos valores de espi'n # -# en dicha dirección, donde en cada caso hay exactamen Podemos pensar que cada flecha hacia arriba proporcio de espín en dirección hacia arriba y cada flecha hacia a en dirección hacia abajo. Sumando estos valores, obtene de espi'n, en cada caso, obtenida en una medida (de Ster orientado en la dirección arriba/abajo. h superposición general de estas viene dada por una co Zolttt.,,t)+ZilJTt -,, t)+Z2l++t -.. t)+

donde los números complejos zo, zi, z2, ..., z, no son t representar semejante estado en términos de direcciones sno son simplemente «arriba» y «abajo»? Lo que Majoran mostró era que esto es realmente posible, pero debemos p sas flechas puedan apuntar en direcciones completament hay necesidad de que estén alineadas en un par de direcci

296 Las sombras de la mente

5.2l.

La descripción de Majorana del estado general

pín ±n consiste en un con-

junto desordenado de n piintos Pr P2, ..., Pn en la de considerarse que cada punto es un elemento de espi el centro al punto en cuestión.

a de Riemann, donde pueirigido hacia afuera desde

recciones de flecha» independientes; podemos pe # puntos de la esfera de Riemann, donde cada di ción que va desde el centro de la esfera al punto ra 5.2l). Es importante dejar claro que esta es un

ue estas están dadas por ón de flecha es la direcante de la esfera (figuección dcsontJc#c,cJc, de

puntos (o direcciones de flecha). Asi' pues, no ha nar a cualquier ordenación de los puntos como p Esta es una imagen muy singular del espi'n, s

a significativo que asigro, segundo, tercero, etc. amos de pensar en el es-

pín mecano-cuántico como un fenómeno análogo tación que es familiar en el nivel clásico. La rotaci una pelota de golf tiene un eje bien definido alde el objeto, mientras que parece que a un objeto d

ncepto ordinario de roun objeto clásico como del cual gira realmente el cuántico se le permite que apuntan en muchas jeto clásico es realmente rande» en algún sentido, anto mayor es la magnior qué los objetos clásidiferentes a un tiempo? ca. Algo llega a intervela mayori'a de los tipos nca aparecen) en el nivel te. En el caso del espi'n, isten significativamente

girar al mismo tiempo alrededor de todo tipo de direcciones diferentes. Si tratamos de pensar que u lo mismo que un objeto cuántico, excepto que entonces parece que tropezamos con una paradoj tud del espi'n, más direcciones tienen que incluirs cos no giran realmente alrededor de varias direcci Este es un ejemplo de un misterio X de la teori'a c nir (en un nivel no especificado), y encontramos de estados cuánticos no aparecen (o, al menos, ca clásico de los fenómenos que podemos percibir re lo que encontramos es que los únicos estados que en el nivel clásico son aquellos en los que las direc pan principalmente alrededor de una dirección pa giro del objeto clásicamente rotatorio. Hay algo denominado «principio de correspo

s de las flechas se agru-

lar: la dirección (eje) de

cia» en la teori'a cuántisicas (tales como la magel sistema se comporte portamiento clásico (tal

IA estructura del mun

como sucede con el estado en el que todas las flechas apu mente en la misma direccion). Sin embargo, este principio estos estados pueden aparecer por la acción de la ecuación solamente. De hecho, los «estados clásicos» casi nunca ap ma. Los estados de tipo clásico son resultado de la acción de diferente: la reducción del vector de estado R.

5.ll. La posición y el momento de una p Existe un ejemplo más claro aún de este tipo de cosas en el cuántico de /occr/,'zc,c,'o-H de una partícula. Hemos visto partícula puede implicar superposiciones de dos o más local tes. (Recordemos la exposición de §5.7, en donde el estad

que puede estar localizado simultáneamente en dos haces de encontrar un espejo semiplateado.) Tales superposicione

también a otro tipo cualquiera de partícula -simple o co electrón, un protón, un átomo o una molécula. Además, parte U del formalismo de la teori'a cuántica que diga que ob como pelotas de golf no puedan también encontrarse en dic calización difusa. Pero no vemos pelotas de golf en superpo localizaciones al mismo tiempo, como tampoco vemos una estado de espi'n pueda girar en torno a varios ejes al mismo algunos objetos parecen ser demasiado grandes o demasiad siado algo para poder ser objetos de «nivel cuántico», y n tales estados superpuestos en el mundo real? En la teori'a es sólo la acción de R la que consigue esta transición desd de alternativas posibles de nivel cuántico a un resultado cla La mera acción de U por si' sola cpnduciría casi invariable ciones clásicas de «aspecto irrazonable». (Volveré a esta c En el nivel cuántico, por el contrario, estos estados de los que no hay una localización precisa pueden jugar un p Pues si la parti'cula tiene un momc#,o preciso (de modo qu de una forma claramente definida en alguna dirección y no ción de varias direcciones diferentes al mismo tiempo), ento involucrar una superposición de todas las diferentes pos,-c (Esta es una caracteri'stica particular de la ecuación de Schró demasiados tecnicismos para una explicación adecuada a 243-250 [pp. 308-316] y Dirac, 1947, Davies, 1984, por ej

i'ntimamente relacionada con elp,,-#c,'p,'o de ,'#ccr,,-cJwm

pone límites al grado de precisión con que pueden definir momento simultáneamente.) De hecho, los estados de mo tienen un comportamiento espacial oscilatorio, en la direcc

298 Las sombras de la men[e apropiado. Resulta que las_«oscilaciones» no so cuerda, en donde se podri'a imaginar que los fa lan de un lado a otro cruzando el origen del pla de ello, dichos factores son fases puras (Véase l dor del origen a una velocidad constante -dand cia y que es proporcional a la energi'a £ de la pa mosa fórmula de Planck £ = Áp. (Véase la f representación muy gráfica a modo de «sacacor mento.) Estas cuestiones, por importantes que s

o las vibraciones de una s de peso complejos oscimplejo, s¡no que, en lugar ra 5.l8) que rotan alredevelocidad una frecuenla, de acuerdo con la fa6.ll de NME, para una de los estados de moara la teorl'a cuántica, no

jugarán ningún papel fundamental en las exposi que el lector puede prescindir de ellas tranquila Más generalmente, los factores de peso com forma «oscilatoria» concreta, sino que pueden una forma arbitraria. Los factores de peso propo de la posición que se conoce como la /wHc,'o'#

s de este libro, de modo e. s no necesitan tener esta r de un punto a otro de

5.12. El espacio de

an una función compleja #da de la parti'cula.

rt

Para ser un poco más explícito (y preciso) acer actuación del procedimiento R en las descripci dar, será necesario recurrir a cierto grado (relativ matemáticos. La familia de todos los posibles es constituye lo que ahora se conoce como el espa'c,' rio explicar con todo detalle matemático lo que es

cómo hay que tomar la mecano-cuánticas estánte menor) de tecnicismos de un sistema cuántico fJ,'/Ó¬r,. No será necesanifica, pero alguna com-

prens¡ón de las nociones del espacio de Hilbert ay gen del mundo cuántico. La primera y más importante propiedad de u es un espc,c,-o vcc,or,-a'/ comp/e/-o. Lo que todo nos permite realizar las combinaciones pondera hemos estado considerando para los estados cuá la notación de «kets» de Dirac para elementos de

a clarificar nuestra ima-

quesi lú y l¢) son elementos del espacio de Hi wlÚ) + zl¢), para cualquier par de números co aceptamos que w = z = O para dar el elemento O este el único elemento del espacio de Hilbert que do fi'sico. Tenemos las reglas algebraicas habitu siendo estas

pacio de Hilbert es que ignifica realmente es que se n pesos complejos que . Continuaré utilizando acio de Hilbert, de modo entonces también lo es os w y z. Aqui', incluso spacio de Hilbert, siendo presenta un posible estaara un espacio vectorial,

lÚ)+l¢)-l¢)+lú lÚ)+tl¢)+

lx))=tlÚ)+

w(zlú)) = (wz)lÚ),

(w+z)lÚ)=wlÚ)+

+lx),

IA estructura del mu z(lÚ) + l¢)) = zlÚ) + zl¢),

Ol¢)-0,

zO-0, que significan, más o menos, que podemos utilizar la not la forma en que cabri'a esperar. El espacio de Hilbert puede a veces tener un número/,como en el caso de los estados de espi'n de una partícula. pacio de Hilbert es solamente b¡dimensional, siendo sus el naciones lineales complejas de los dos estados lt) y lJ). espacio de Hilbert es (n + 1) dimensional. Sin embargo, e

puede tener a veces un número ,-H/,-#,',o de dimensiones c de los estados de posición de una partícula. Aqui', cada

que pudiera tener la parti'cula cuenta como algo que aporta dependiente al espacio de Hilbert. El estado general que d cuántica de la parti'cula es una superposición con coeficient da's estas diferentes posiciones individuales (la función de la). De hecho, hay ciertas complicaciones matemáticas que de espacio de Hilbert de infinitas dimensiones que confun ment.e la exposición, de modo que aqui' me concentraré p caso de dimensiones finitas. Cuando tratamos de visualizar el espacio de Hilbert en cultades. En primer lugar, estos espacios tienden a tener dem

para imaginarlas directamente, y en segundo, se trata de en lugar de reales. De todas formas, a menudo es práctico mente de estos problemas para hacerse una idea de las mat mos asi', por el momento, que podemos utilizar nuestras i o tridimensionales para representar el espac¡o de Hilbert. ilustra geométricamente la operación de superposición linea dimensiona1.

Recordemos que un vector de estado cuántico l¢) repr tuación fi'sica que cualquier múltiplo complejo wlú), do nos de nuestras imágenes, esto significa que una situació representa realmente no por un punto en el espacio de H la li'nea recta -denominada un nfi'J/o- que une el punto lÚ) bert con el origen O. Véase la figura 5.23; pero debemos debido al hecho de que los espacios de Hilbert son comple les, aunque un rayo tenga el aspecío de una li'nea unidimens mente un plano complejo entero. Hasta ahora, nos hemos interesado por el espacio de lo que respecta a su estructura como espacio vectorial co propiedad del espacio de Hilbert que es casi tan fundamen

300 Lfis sombras de la mente

5.22. Si suponemos que cl espacio de Hilbert es un entonces podemos representar la suma de dos vectore

tridímensional euclidiano. y l¢) en términos de la ley

general del paralelogramo (en el plano de O, lÚ) y

.zl v) ___--.-_---_l-ti_

o

Plano complejo

5.23. Un rayo en el espacio de Hilbert consiste en t un vector de estado lÚ). Pensamos en esto como una del espacio de Hilbert, pero debemos tener en cuenta un plano complejo.

os múltiplos complejos de ecta a través del origen O ta li'nea recta es realmente

escc,/ar ác,m,~,,'co (o producto ,®#,er,|or), que vectores del espacio de Hilbert para dar un simpl ración nos capacita para expresar dos cosas imp ción del cwa'dntzcJo de /a /ong,',wcJ de un vect el producto escalar del vector cons,'go mrimo. Un se ha señalado, cf. §5.8, p. 283, era necesario cuadrado sea estrictamente aplicable) viene dad Hilbert cuya longitud al cuadrado es la wnJ'dc,d es que el producto escalar nos proporciona la vectores del espacio de Hilbert -y esto tiene lug de los dos vectores es ce,o. La ortogonalidad en si formaran, en cierto sentido apropiado, un «á bituales, los estados ortogonales son cosas ,'#c7

aplicarse a cualquier par de ero complejo. Esta opees. La primera es la nospacio de Hilbert -como norma'/,'zczdo (que, como ue la regla del módulo al n vector del espacio de egunda cosa importante de or,ogo#¢/,'dc,d entre ndo el producto escalar tores puede verse como recto». En términos ha'e#,cs una de otra. La im-

IJa estructura del m

portancia de este concepto para la fi'sica cuántica consiste resultados alternativos de cualquier medida son siempr gonales. Ejemplos de estados ortogonales son los estados l t) y l en el caso de una parti'cula de espín ±. (Nótese que el espacio de Hilbert no corresponde normalmente a la no laridad en términos espaciales comunes; en el caso de espí

gonales lt) y l J) representan configuraciones fi'sicas con más que perpendicular.) Otros ejemplos los proporciona t), lJt ... T) ... lJJ ... J), que encontramos para espín

cuales es ortogonal a todos los demás. También son ortog rentespos,'c,-oncs posibles en las que pudiera estar localiza tica. Además, los estados lB) e ilC), de §5.7, que apa reflejada y transmitida del estado de un fotón, que eme el fotón haya encontrado un espejo semiplateado, son ort bién lo son los dos estados ilD) y -lE) a los que ambos e

jarse en los dos espejos completamente plateados. Este último hecho ilustra una propiedad importante d Schródinger. Dos estados cualesquiera que son inicialmen rán siendo ortogonales si cada uno de ellos evoluciona, d rante el mismo periodo de tiempo. Asi' pues, la propieda co#servczdo por U. Además, U conserva en realidad el val lar entre estados. Técnícamente, esto es lo que realment evolución wm',c,r,'a.

Como he mencionado antes, el papel clave de la ortog vez que se realiza una «medida» sobre un sistema cuántico cuánticos posibles que conducen por separado -tras la amp clásico- a resultados düf,'mgw,.b/cs son necesariamente ort se aplica, en particular, a las medidas nw/as, como las del bación de bombas de §5.2 y §5.9. IJa ausencia de detecció tico particular, por algún aparato que sea capaz de detec como resultado que el estado cuántico «salte» a algo qu do mismo que el detector está preparado para detectar. Como acabamos de decir, la ortogonalidad se expr como la anulación del producto escalar entre estados. Di es, en general, un número complejo que se asigna a cualq del espacio de Hilbert. Si los dos elementos (estados) son este número complejo se escribe (Úl¢). El producto esc propiedades algebraicas simples que podemos escribir (d cada) como

7m) -(¢lÚ), (Ú)ltl¢) + lx)) = (úl¢) + (Úlx),

(z(¢l)l¢) -z(úl¢),

302 I+as sombras de la mente Además, puede deducirse que (ÚlÚ) = O si l tar al lector con los detalles de tales cuestiones, ( resado a cualquier manual de mecánica cuánti

0. No quiero aqui' molesesto, remito al lector inteéase, por ejemplo, Dirac

[l947].)

Las cosas esenciales que exigiremos aquí de

ucto escalar son las dos

propiedades (definiciones) aludidas más arriba: l¢) y l¢) son or/ogo#cÍ/e§ si y só

(¢lV) es La longitud al cuadr Anotemos que la relación de ortogonalidad es to que (ff) = (¢lÚ)). Además, (ÚlÚ) es siempr de modo que tiene una rai'z cuadrada no negat¡va

(Úl¢) = 0,

e lÚ). ica entre lÚ) y l¢) ®uesúmero real no negativo, ue podemos llamar /o#-

g,-,z,cJ (o magnitud) de l ¢).

Puesto que podemos multiplicar cualquier ve complejo distinto de cero sin cambiar su interpr mos Horma/,'zor el estado de modo que tenga lo en un vec,or #m-,c,r,®o o es,c,c7o #orma/,'zac7o.

ambigüedad de que el vector de estado puede m

e estado por un número n fi'sica, siempre podeunidad para convertirlo e existiendo, sin embargo, la

icarse por una fase pura

(un número de la forma eiO, con O real; cf. §5.1

5.l3. IJa descripción de R en el e

io de Hilbert

¿Cómo representar la operación de R en términos sideremos el caso más simple de medida, que es la que algún instrumento registra SI-si indica in cuántico medido tiene cierta propiedad, y NO

spacio de Hilbert? Conuna medida «sí/no», en ocamente que el objeto de registrar este hecho

(o, de forma equivalente, que inequi'vocamente no tiene esta propiedad). Esto incluye la posibilid

ra que el objeto cuántico la que me ocuparé aqui'

principalmente, de que la alternativa NO pudiera s plo, algunos de los detectores de fotones de §5. tipo. Registrari'an SI-si el fotón es recibido y NO la medida NO es en realidad una medida nula -

medida nw/a'. Por ejemizaban medidas de este s recibido. En este caso,

quier ca.so, que provoca que el estado «salte» a a hubiera resultado si se hubiera obtenido una resp medidores de espi'n de Stern-Gerlach de §5.lO, dri'an ser directamente de este tipo; podri'amos d se mide que el espi'n del átomo es l t), lo que ocu mo está en el haz correspondiente a l t), y NO si caso en que el rcsultado debe ser ortogonal a l t) Las medidas más complicadas pueden conside das por una sucesión de medidas si'/no. Conside

ue es ortogonal a lo que Sl'. Análogamente, los n átomo de espi'n ±, poue el resultado es SÍ si se encuentra que el átoencuentra en dicho haz, odo que debe ser l J). iempre como constituiun átomo de espi'n ±#,

s una medida en cual-

IJa estructura del mu

por ejemplo. Para obtener las n + l posibilidades diferentes la cantidad de espín en dirección hacia arriba, podemos pr lugar, si el estado de espi'n es l tt ... t). Hacemos esto trat átomo en el haz correspondiente a este estado de espi'n «co arriba». Si obtenemos SÍ, entonces hemos acabado; pero si tonces esta es una medida nula, y podemos continuar preg es I Jt ... t), y asi' sucesivamente. En cada caso la respues medida nula, indicando simplemente que no se ha obteni Con más detalle, supongamos que el estado es inicialmen ZOlttt

---t) + Zll+tt

---t) + Z2l"t

-'-t) + ---+ ZA

y preguntamos si el espín es enteramente «arriba». Si encont SI~, entonces aseguramos que el estado es realmente l ttt .. dríamos haber considerado que simplemente «salta» a ltt medida. Pero si encontramos la respuesta NO, entonces, co medida nula, tenemos que considerar que el estado «salta» ZilJtt ... t) + Z2lJ+t ... t) + ... + ZnlJW ..

y probamos de nuevo, para asegurar ahora si el estado es l obtenemos Sl', entonces decimos que el estado es realment nativamente podríamos decir que el estado ha «saltado» a encontramos NO, entonces el estado «salta» a z2l+Jt... t)+...+zUW... +),

y así sucesivamente.

Este «salto» que se permite ~o al menos pc,nece per estado es el aspecto más enigmático de la teori'a cuántica. justo decir que la mayori'a de los fi'sicos cuánticos o bien en muy d,/,'c,-/ de aceptar como una caracteri'stica de la realid vamente se nieganpor comp/¬,o a aceptar que la realidad de manera tan absurda. De todas formas, es una caracteri'sti malismo cuántico, cualquiera que sea el punto de vista que ner sobre la «realidad» involucrada. En mis descripciones anteriores, me he basado en lo qu como pos,w/c,cJo de proJ)cccJ-o~#, que especifica la forma «salto» (por ejemplo zoltt ... t) + zilJt ... t) + ... + z Zi l+t ... t) + ... + ZHIW ... J)). A COntinuaCión VeremOS

para csta terminologi'a. Algunos físicos afirman que el po ción no es una hipótesis esencial de la teoría cuántica. Si refieren a medidas en las que el estado cuántico es pe,,wrb racción fi'sica, y no a las medidas nulas. Semejante pertur do, en los ejemplos anteriores, se obtiene la respuesta Sl',

304 IAs sombras de la mente

tector de fotones absorbe un fotón para regi átomo, tras pasar a través de un aparato de un haz concreto (es decir, Sl'). Para una medi rando aquí (respuesta NO), el postulado de pues sin él no se puede asegurar lo que la teor te) que debe suceder para las medidas sucesí Para ser más explícito acerca de lo que af veamos cuál es la descripción de todo esto en

ré un tipo particular de medida -que llam que la medida es de tipo si'/no, pero donde la do cuántico es -o acaba de «saltar a»-algún mú1tiplo distipto de cero de este, wlc¥)). As

la respuesta Sl determina que el estado fi'sic

que podri'a haber varias cosas alternativas qu medidas de espi'n anteriores, en las que se tr un estado particular, tal como lJJt ... t), son La respuesta NO, para una medida primit

o cuando se mide que un Gerlach, está realmente en a del tipo que estoy considección es realmente esencial, ántica afirma (correctamenel postulado de proyección, acio de Hilbert. Consideraa medida p,,-m,-,,'yo- en el esta SI- asegura que el estao particular lcr) (o algún , para una medida primitiva, w cosa concreta, mientras

que es ortogonal a lc¥). Vemos la imagen geo gura 5.24. Se ha considerado que el estado o la flecha grande, y como resultado de la med de lc¥), cuando la respuesta es Sl', o bien se a lcr), cuando la respuesta es NO. En el caso la teori'a cuántica estándar, estg es realmente hace el estado. En el caso de SI, sin embarg hecho de que el sistema cuántico ha interacc medida, y el estado se ha convertido en algo simple lc¥). De hecho, el estado evoluciona ge un e5,úrdo enmcznoH~ado, que entremezcla el si rato de medida. (Los estados enmarañados se mas, la evolución del estado cuántico tendri'a q tado realmente a un múltiplo de lc¥), de mo

ocan la respuesta NO. Las asegurar si el espín está en los de medidas primitivas. roJ,cc,a el estado sobre algo a de esto indicada en la fil es lÚ), representado por b¡en «salta» a un múltiplo ecta en el espacio ortogonal , no hay duda de que, según e debemos considerar que ítuación se complica por el o ahora con el aparato de o más complicado que el ente a lo que se denomina cuántico original con el apan en §5.l7.) De todas foroceder como s,' hubiera salla evolución subsiguiente

puede proceder sin ambigüedades. Podemos expresar este salto de la siguiente estado lÚ) siempre puede escribirse (de forma

ra algebraica. El vector de oca, si la) es dado) como

lÚ) = zlc¥) + l

donde lx) es ortogonal a lc¥). El vector zlc¥) es sobre el .rayo determinado por lc¥), y lx) es la pr el espacio comp/emeH,o or/ogo#c,/ de lc¥) (e los vectores ortogonales a lc¥)). Si el resultado d considerarse que el vector de estado ha saltado como punto de partida para la evolución siguient

oyección ortogonal de lÚ) ión ortogonal de l Ú) sobre r, sobre el espacio de todos edida es SI-. entonces debe ¥) (o simp-lemente c¢CO_Q

¿Cómo obtenemos las probabilidades que sultados alternativos? Para utilizar la «regla de

asignarse a estos Ú ulo al cuadrado» que he-

s NO, entonces salta

-_v)

iri?g

-.l

IÁi estructura del mu

5.24. Una medida primitiva proyecta el estado lÚ) en un múlti do lc¥) (SÍ) o en el complemento ortogonal de lc¥) (NO).

mos visto antes, exigimos ahora que lc¥) sea un vector ##, algún vector unitario l¢) en la dirección de lx), de modo que tenemos lÚ) = zlc¥) + wl¢),

(donde de hecho z = (c¥l ¢) y w = (¢I Ú)) y podemos obtene relativas de SÍ y NO como los cocientes entre lzl2 y lwl2. un vector unitario, entonces lzI2 y lwl2 son las probabilid

NO, respectivamente. Podemos expresar esto de otra manera, que es un poc contexto presente (y dejaré como ejercicio para el lector int

que esto es realmente equivalente). Para obtener la probab uno de los resultados Sl' o NO, simplemente examinamos la do del vector l Ú} (suponiendo que no esté normalizado co

y vemos en qué proporción se reduce esta longitud al cua de sus proyecciones respectivas. El factor de reducción, en babilidad buscada. Finalmente, debería mencionarse que para una medida ra no necesariamente una medida primitiva), en la que los e por qué pertenecer a un solo rayo, la exposición es esencial bri'a un subespacio SÍ, S, y un subespacio NO, N. Estos sub

plementos ortogonales uno del otro -en el sentido en que t seri'a ortogonal a cualquier vector del otro, y que juntos lle de Hilbert original. El postulado de proyección afirma qu el vector original lÚ) se proyecta ortogonalmente en S cua respuesta SÍ, y en N para una respuesta NO. Una vez más respectivas vienen dadas por los factores en los que se reduc drado del vector de estado en la proyección (véase NME, p.

306 Las sombras de la mente

tado resultante se enmaraña con el estado del apar zones, en la exposición que sigue me atendré a las

e medida. Por tales raidas pr,'m,t,'vc,`9 más sim-

ples, en las que el espacio Sl' consiste en un solo r bastará para nuestras necesidades.

múltiplos de lÚ)). Esto

5.l4. Medidas conmuta

s

En general, al tratar con medidas sucesivas en u en que se realicen dichas medidas puede ser impor

stema cuántico, el orden . Las medidas para las

que el orden de operación supone realmente una de estado resultantes se denominan no conmw,c,Ó no juega ningún papel (sin que siquiera haya un f entonces decimos que co#mw,cz#. En términos del entender esto como expresión del hecho de que co sucesivas de un vector de estado dado lÚ), el resu neral del orden en que se realizan dichas proyeccio bles, el orden no supone diferencia.

enc¡a para los vectores Si el orden de operación r de fase de diferencia), acio de Hilbert, podemos oyecciones ortogonales o final dependerá en gePara medidas conmuta-

¿Qué sucede con las medidas p,,'m,',,'vc,s'? N para que conmuten dos medidas primitivas diferen de las medidas sea or,ogo#c,/ al rayo SÍ de la ot Por ejemplo, tratándose de las medidas de espí §5.lO que se realizaran en un átomo de espi'n ±#, levante. Esto es así porque los diversos estados baj

difícil ver que la condición s que el rayo SÍ de una

... t), lJt ... t), ..., lJ+ ... J) son todos mutuam

el orden particular para la primera medida que yo en el resultado final, y todas las medidas conmut no hubiera sucedido así si las diversas medidas de direcciones diferentes. Estas medidas m conmutar

5.l5. El «y» mecano-cu Existe un procedimiento estándar en mecánica cuán incluyen más de una parte independiente. Este pr en particular, para la exposición cuántica (que se ha sistente en dos parti'culas de espi'n 3 ampliamente s sos colocó en los centros de los dos dodecaedros m necesario, por ejemplo, para la descripción mec en cuanto empieza a enmarañarse con el estado c está detectando. Consideremos primero un sistema que consiste dientes (no interactuantes). Supondremos que cad de la otra, estari'a descrita, respectivamente, por vector de estado l¢). ¿CÓmo vamos a describir el s

mitivas consideradas en orden es de hecho irrensideración, a saber l tt ortogonales. Asi' pues,

no juega ningún papel En general, no obstante, 'n se hubieran hecho en en general.

co para tratar sistemas que imiento será necesario, §5.l8) del sistema conadas que Trastos Curioos de §5.3. También es cuántica de un detector, ico de la parti'cula que ólo dos partes indepena de ellas, en ausencia ector de estado lcr) y un a combinado en el que

IJ] estructura del mu

ambas están presentes? El procedimiento normal consiste denomina elp,odwc,o ,ensor,®a/ (o producto cx,er,'o,) de la)lG).

Podemos pensar que este producto proporciona lo que es cuántica cstándar de representar la noción ordinaria de «y que los dos sistemas cuánticos independientes representad por lc¥) y lP) están ahora ambos presentes al mismo tiempo. podría representar un electrón que está en una localización presentar un átomo de hidrógeno que está en una localiza estado en que el electrón está en A J' el átomo de hidrógen entonces representado por lc¥) l6).) Sin embargo, la cantidad do cuántico s,'mp/e, digamos lx), y seri'a legi'timo escrib lx) =

lc¥)lc),

por ejemplo. Deberi'a resaltarse que este concepto de «y» es completa una superposic¡ón lineal cuántica, que tendri'a la descripción o, más generalmente zlc¥) + wl¢), donde z y w son factore Por ejemplo, si lc¥) y IP) son estados posibles de un solo fo zado en A y localizado en un lugar completamente diferent te, entonces la) + lP) es también un estado posible para

posición está dividida entre A y B según las extrañas prescri

cuántica -y no para dos fotones. Un par de fotones, un vendri'a representado por el estado lc¥) lP). El producto tensorial satisface el tipo de reglas algebraic

rar de un «producto» (zlQ))lC) = z(lc¥)lC)) =

lc¥)(zlc)),

(la) + h))lP) =

Ic¥)l6) + l

lC¥)(I6)

lC¥)lP)

+

lY)) =

(lQ)lC))lY)

=

+

lC

lC¥)(lC)lY)),

excepto que no es estrictamente correcto escribir «lc¥)lP) =

bargo, no sería razonable pensar en interpretar el concepto mecano-cuántico como algo que implica que el sistema com es fi'sicamente algo diferente del sistema combinado «lC) y

mos de este problema profundizando un poco más en la for porta realmente la Naturaleza a nivel cuántico. En lugar de do lcr)lC) como lo que los matemáticos llaman el «p

308 Las sombras de la mente fi'sicos matemáticos llaman actualmente el pro entonces la regla adicional de que lp)lc¥)

=

de Gmssmanm Tenemos

±lc¥)l

donde el signo menos se da precisamente cuando nen un número ,®mpc,r de parti'culas cuyo espí

bos estados lc¥) y lÓ) tiees entero. (El espi'n de tales

parti'culas tiene uno de los valores ¿. 3, 3,3, ...,

ndo estas parti'culas denomi-

nadas/e,m,'o#es. Las partículas de espi'n O, l no contribuyen al signo de esta expresión.) El le cuparse por este tecnicismo. Por lo que respect

..., se llaman óosones, y estas o tiene necesidad de preostado fi'sico, con esta des-

cripción «lc¥) y l6)» es realmente el mismo qu

C) y lcr)».

Para estados que incluyen tres o más parte repetimos este procedimiento. Asi', si hay tres les son lcr), l6) y ly), el estado en el que las tres tiempo se escribiría ,

ependientes, simplemente s, cuyos estados individuaes están presentes al mismo

lc¥)lP)ly),

siendo éste el mismo que he escrito arriba (inter

do en términos de produc-

tos de Grassmann) como (lc¥)lP))ly) o, de for

quivalente, lc¥)(lP)ly)). EI

caso de cuatro o más partes independientes es Una propiedad importante de la evolución mas lc¥) y lP) que no están en interacción mutu ma combinado es precisamente la evolución co duales. Asi' pues, si al cabo de un cierto tiempo cionado (por si' solo) hasta lc¥' ), y si l¢) ®or hasta lP ' ), entonces el sistema combinado lc¥) del tiempo ,, hasta lc¥ ' ) l¢ ' ). Además (en co

ilar. e Schródinger, para sisteque la evolución del sisteada de los sistemas indivisistema lc¥) hubiera evoluolo) hubiera evolucionado abri'a evolucionado, al cabo encia), si hay tres partes no

interactuantes lc¥), lP) y ly), de un sistema l c¥) respectivamente, hasta lc¥' ), lP' ) y ly' ), el s

yl , y las partes evolucionan, a combinado evolucionari'a

análogamente hasta lc¥J ) l¢' ) ly'). Io mismo es Adviértase que esto es muy similar a la pro se mencionó en §5.7, según la cual la evoluci es precisamente la superposición de las evolucio Por ejemplo lcr) + IP) evolucionará hasta lc¥' )

o para cuatro o más partes. d de /,'#ea,/,-dac7 de U que e los estados superpuestos e los estados individuales. 4' ). Sin embargo, es impor-

tante darse cuenta de que esto es algo completa na sorpresa especial en el hecho de que un sist de partes independientes no interactuantes evo si cada parte independiente ignorase la presenc esencial para esto que las partes no estén ¡ntera trario esta propiedad seri'a falsa. La propiedad es una sorpresa genuina. Aqui', según U, los sist en la total ignorancia de todos los demás, ,'#

te d,/ere#,c. No hay ningutotal que está compuesto nara, como un todo, como cada una de las otras. Es ando entre si', o de lo coninealidad, por el contrario, s superpuestos evolucionan #d,'c#,eme#,c de que haya o

La estructura del mu no cualquier interacción involucrada. Este hecho por sí sol nos a la cuestión de la verdad absoluta de la propiedad de li muy bien confirmado por los fenómenos que permanecen nivel cuántico. Es sólo la operación de R la que parece vio a esta cuestión más adelante.

5.l6. Ortogonalidad de estados prod Existe cierta complicación que aparece con los estados los he dado, en relación con la noción de ortogonalidad. Si dos or,ogoHa'/es lc¥) y lP), entonces podríamos esperar que

y lÚ)l¢) fueran también ortogonales, para cualquier l¢). y lP) podri'an ser los dos estados alternativos que están di fotón, donde quizá el estado lc¥) fuera el detectado por una el estado ortogonal l¢) es el estado ,®n/c,,'do del fotón cuan

de detectar algo (medida nula). Ahora podríamos conside tan sólo una parte de un sistema comb,'#f,do, en el que si algunos otros objetos -que podri'a ser otro fotón, por ejem de la Luna, pongamos por caso-siendo lÚ) el estado de e este caso obtenemos, para este sistema combinado, los d vos lÚ) la) y lÚ)l¢). IJa mera inclusión del estado lÚ) en la

bería ciertamente suponer ninguna diferenc¡a para la ortog dos estados. En realidad, con la definición normal de «pro estados producto (frente a algún tipo de producto de Grass zado aqui) esto ocurriri'a realmente, y la ortogonalidad de l derivari'a de la ortogonalidad de lc¥) y l¢).

Sin embargo, el modo en que ]a Naturaleza parece com según los procedimientos globales de la teori'a cuántica, no sencillo como esto. Si el estado lÚ) pudiera considerarse t diente de lc¥) tanto como de l¢), entonces su presencia scr vante. Pero, técnicamente, ni siquiera el estado de un fotó considerarse completamente separado del que está involucr por nuestra fotocélula.* (Esto tiene que ver con el uso de u Grassmann en la notación « l Ú) lc¥)» utilizada aquí -más f que ver con la «estadística de Bose» que está implicada en u otros estados bosónicos, o alternativamente con la «estadi' está imp]icada en los estados electrónicos, protónicos u otro cos, cf. NME, pp. 277, 278 [pp. 350, 35l], y, por ejempl

viéramos que ser totalmente precisos según las reglas de la te *

Curiosamente. este tipo de fenómeno puede tcner una profunda i

servaciones reales. El efecto deb¡do a Handbury Brown y Twiss (l954, l9

310 I+as sombras de la mente

considerar todos los fotones del universo al expo De todas formas, dentro de un grado de precisió no es necesario (afortunadamente). Considerar

l estado de un solo fotón. aordinariamente alto, esto realmente que, con cual-

quier estado lÚ) que no tenga manifiestamente en cuestión, donde este problema concierne dire

que ver con el problema nte sólo a los estados or-

togonales lc¥) y l¢), los estados lÚ)lQ) y l¢)l¢

án realmente ortogonales

(incluso con productos de tipo Grassmann) con u

o de exactitud muy alto.

5.l7. Enmarañamiento

tico

Tendremos que comprender la fi'sica cuántica qu

ierna los ¬/ec,osEPR -los

misterios Z mecano-cuánticos ejemplificados por cf. §5.4. También debemos entender el misterio -la relación paradójica entre los dos procesos U

decaedro mágico de §5.3, ¡co de la teori'a cuántica ue subyace en el p,oÓ/e-

mo c7e /a mec7,'cJa que discutiremos en el próx¡ necesario que introduzca una importante idea a rañados. Veamos primero lo que está involucrado en Consideremos una situación en la que un fotón digamos la) + l¢), donde el estado lc¥) activa estado lP), ortogonal a lc¥), dejaría el detector i tipo de fenómenos se consideró en §5.8, cuand el estado -lF) -ilG). Aqui', lG) activari'a el det

ple proceso de medida. n un estado superpuesto, detector, pero donde el rado. (Un ejemplo de este etector en G encontraba , mientras que lF) lo de-

jari'a inalterado.) Voy a suponer que al propio det bién un estado cuántico, digamos lY). Esta es la tica. Para mi' no resulta del todo claro que tenga descripción mecano-cuántica a un objeto de nive tiona normalmente en esta clase de exposiciones suponer que los elementos del detector que el f son en verdad cosas que pueden tratarse según l cuántica. Quienes tengan dudas en tratar el detec reglas deberi'an considerar que es a estos elemen

se le puede asignar tamica usual en teori'a cuáno realmente asignar una ico, pero esto no se cuescualquier caso, podemos ncontrari'a J-n,-c,'a/men,c las estándar de la teori'a mo un todo según estas iciales de nivel cuántico

(parti'culas, átomos, moléculas) a los que se ref Justo antes de que el fotón llegue al detec de que la porción lc¥) de la función de onda del situación fi'sica consiste en el estado del detecto ber lY)(la) + IÓ)); y encontramos

el vector de estado lY). o, más bien, justo antes n llegue al detector), la l estado del fotón, a sa-

lP)(lC¥)

+

lP)) =

lg)lC¥)

Esto es una superposición del estado lY) lc¥), qu mentos) y el fotón que se aproxima, con el estado

pi'tulo. Para ambos, será al: la de cs,a'dos e#mo-

lC),

cribe al detector (sus elelÓ), que describe al detecmos que a continuación,

La estructura del mundo

de acuerdo con la evolución U de Schródinger, el estado lY) l fotón aproximándose) se convierte en algún nuevo estado lYs) el detector registra una respuesta SI-), en virtud de las interac el fotón con los elementos después de encontrarlos. Supondre si el fotón no encuentra al detector, la acción de U hari'a que tector lÜ) evolucionara, por sí solo, hasta lÜN) (detector reg¡s evolucionara hasta l¢' ). Entonces, por las propiedades que la sección precedente, el estado total se transformari'a en lYs)

+

lYN)lCÍ)'

Este es un ejemplo concreto de un estado enmanafiado, do miento» se refiere al hecho de que el estado total no puede es mente como un p,ocJwc,o de un estado para uno de los subsi un estado para el otro subsistema (detector). De hecho, el mi es probablemente un estado enmarañado, en cualquier caso, torno, pero esto depende de los detalles de interacciones adi son de relevancia aquí. Notemos que los estados lP) lc¥) y lY)lP) cuya superposic el estado del sistema combinado inmediatamente antes de la (esencialmente) or,ogo#a/es -puesto que los propios lc¥) y l les, y lY) es totalmente independiente de cualquiera de ellos. dos, a saber lYs) y lYN)lP'), a los que evolucionan estos d de U, deben ser también ortogonales. (U siempre conserva l El estado lYs) podri'a evolucionar posteriormente a algo que camente observable, tal como un «click» audible que indica sido detectado realmente, mientras que si no se produce ning

tado debe haber sido -es decir, debe considerarse que ha «s sibilidad ortogonal lYN)l¢J). Si no se produce ningún «cli mera posibilidad contrafáctica de quepwd,'em haber ocurrid

provocari'a que el estado «salte» a lYN) l¢ ' ), que ahora no es rañado. La medida nula ha desenmarañado el estado. Un rasgo caracteri'stico de los estados enmarañados es qu ocurre con la operación de R puede tener una acción aparent (o incluso aparentemente retroactiva) que es incluso más enig una simple medida li.ula. Esta no localidad tiene lugar especia se conoce como un efecto EPR (Einstein-Podolsky-Rosen). Es enigmas mecano-cuánticos que están entre los misterios Z más de la teori'a. La idea procede originalmente de Einstein, en u mostrar que el formalismo de la teori'a cuántica no podía prop cripción completa de la Naturaleza. Posteriormente se han pr versiones diferentes de fenómenos EPR (tales como el dodec §5.3), algunas de las cuales han sido confirmadas directame mento como caracteri'sticas del funcionamiento rea/ del mund

312

IJas sombras de la mente

l,os efectos EPR aparecen en situaciones d un estado inicial conocido lÍ}), de un sistema hasta una superposición de dos estados orto es un producto de un par de estados indepen

o siguiente. Consideremos o, que evoluciona (por U) s, cada uno de los cuales s que describen un par de

partes físicas espacialmente separadas, de mo gamos, el estado enmarañado lÚ)lc¥)

+

lí2) evoluciona hasta, di-

l¢)l6)

Supondremos que l ú) y l¢) son posibilidades tes, y que lc¥) y l¢) son posibilidades ortogo

nales para una de las parpara la otra. Una medida

que asegura que la primera parte está en el esta tantáneamente que la segunda parte está en el c Hasta aquí no hay nada.misterioso. Se podr es precisamente la de los calcetines del buen do

) o l¢) determinará ins~ ondiente estado lc¥) o l¢). gumentar que la situación ertlmann (§5.4). Sabien-

do que sus calcetines han de diferir en color -y hoy ha decidido llevar un calceti'n rosa y otr

ngamos que sabemos que de- las observaciones de

que su calceti'n izquierdo es verde (estado l Ú)) instantáneamente que su calceti'n derecho es, do lc¥)) o verde (estado lP)). Sin embargo, los ef

(estado l¢)) determinarán rrespondencia. rosa (estadel enmarañamiento cuána explicación de tipo «cals observacionales. El proos c,/,¬rm,J'vos de medidas

tico pueden diferir profundamente de esto, y ni cetines de Bertlmann» puede dar cuenta de los blema surge cuando tenemos la opción de reali sobre las dos partes del sistema. Un ejemplo ilustrará el tipo de cosas que es mos que el estado inicial lí2o) describe el estad que tiene espi'n O. Esta parti'cula se desintegra las, cada una de ellas de espi'n ±, que se ale

quierda y hacia la derecha. A partir de las pro y de su conservación, se sigue que las direccion que se han separado deben ser opwes,¢s entre al que lí}o) evoluciona, encontramos lí2) =

llt)lDJ) -lIJ

plicadas aqui'. Supongaespi'n de alguna parti'cula

es en dos nuevas parti'cugran distancia, hacia la iz-

des del momento angular spi'n de las dos parti'culas para el estado de espi'n O

),

donde «I» se refiere a la parti'cula de la izquie el signo menos aparece debido a las convencio dimos medir el espín de la parti'cula de la izqu la respuesta SÍ (es decir, el encontrar l lt)) pon cula de la derecha en el estado lDJ) de espi'n

«D» a la de la derecha (y tándar). Así pues, si decien dirección hacia arriba, tomáticamente a la parti'abajo. La respuesta NO

(lIJ )) pondrá automáticamente a la partícula d pi'n hacia arriba (lDt)). Parece que una medid puede afectar instantáneamente al estado de un ferente en un lugar completamente diferente -p

recha en el estado de esna partícula en un lugar i'cula completamente diasta aquí ¡esto no es más

IA estructura del mun

Sin embargo, nuestro estado enmarañado puede represe otra manera, correspondiente a una elección de medida difer podri'amos decidir medir el espi'n de la parti'cula de la izqui Áor,-zo#,c,/, de modo que SI-corresponde, digamos, a lI de lI+). Ahora encontramos (por simple cálculo, cf. NME,

que el mismo estado combinado de antes puede escribirse de lazada diferente.' lí2) = lI+)lD+) -lI+)lD+), Asi' pues, encontramos que la respuesta Sl' en la izquierda c mente la parti'cula de la derecha en el estado lD+ ), y la resp automáticamente en l D+ ). Algo análogo ocurriri'a cz,c,/gz,, recc¡ón escogida para la medida de espín en la parti'cula de Lo que resulta notable en esta situación es que la mera c/e ción del espi'n en la partícula de la izquierda parece /,,-c,, del espín de la parti'cula derecha. De hecho, hasta el momen ne el r¬sw/Íc,do de la medida de la parte izquierda no hay inf se transmita a la parti'cula de la parte derecha. «Fijar la di espi'n» meramente no hace nada, por si' solo, que sea realmen a este h¬cho bien apreciado, aún sigue habiendo personas q do defienden la idea de que los efectos EPR pudieran utilizar ñales de un lugar a otro ,'nJ,t7wa''#cc,mc#¿e, puesto que la r de estado R «reduce» el estado cuántico del par EPR de partí mente, por muy lejos que puedan estar una de otra. Pero, medio de enviar una señal, por este procedimiento, desde la a la parti'cula derecha (cf. Ghirardi c, a/., 1980). El uso estándar del formalismo mecano-cuántico propor laimagen siguiente: en el momento en que se hace una medid cula, digamos la izquierda, entonces el estado total se reduc desde el estado enmarañado original -en el que ninguna p s!;m,'sm¢ un estado de espi'n bien definido- a uno en el que está desenmarañado del estado derecho, y ambos espines qu nidos. En la descripción mc,femoJ,,'cc, de vectores de estad izquierda tiene un efecto instantáneo sobre la derecha. Pero, este «efecto instantáneo» no es del tipo que permitiri'a envia Según los principios de la relatividad, las señales fi'sicas

paces de transmitir información real-estarían necesariamente a la velocidad de la luz, o más lentamente. Pero los efecto considerarse de este modo. No sería coherente con las predic nica cuántica que fueran tratados como señales con propaga das por la velocidad de la luz. (El ejemplo de los dodecaedr este hecho, puesto que los enmarañamientos entre el dodeca y el mi'o tienen efectos inmediatos que no tienen que esper

314 IAs sombras de la mente

nota final 4.) Asi' pues, los efectos EPR no habitual. En vista de este hecho, uno podri'a pregunta tienen consecuencias realmente observables. Ta un famoso teorema de John Bell (cf. §5.4). L

o es que los efectos EPR secuencias se deducen de abilidades conjuntas que

predice la teori'a cuántica para diversas medid sobre nuestras dos parti'culas de espi'n dientes de la dirección de espi'n, sobre las parti' cha) no pueden obtenerse a partir de ningún m do y derecho sin comunicación. (Véase NME,

ibles que pueden hacerse n elecciones indepene la izquierda y de la derelásico de objetos izquier4-285 y 30l [pp. 359-360

y 573], para ejemplos de este tipo.) Ejemplos de §5.3 dan efectos aún más fuertes, en los que duras precisas si'/no, más que meramente prob

los dodecaedros mágicos igmas aparecen con ligades. Asi' pues, aunque las

parti'culas izquierda y derecha no están en co de ser capaces realmente de enviarse mensajes siguen todavi'a emmc,rt7#~c,c7as una con otra e siderarse como objetos separados e independi desenmarañadas por la med¡da. El enmarañam so que se sitúa en alguna parte entre la comun completa -y no tiene ningún análogo clásico. un efecto que no disminuye con la distancia ( de la inversa del cuadrado de la atracción gravi contraba profundamente perturbadora la pers dolo de «fantasmal acción a distancia» (véas De hecho, el enmarañamiento cuántico pare ignorante no sólo de la separac¡ón espacial sin

ción mutua en el sentido áneos, en cualquier caso tido de que no pueden conhasta que finalmente son uántico es algo misterion directa y la separación s, el enmarañamiento es encia, digamos, de la ley o eléctrica). Einstein ende tal efecto, calificánin, l985). un efecto completamente én de la separación tem-

poral. Si se hace una medida sobre un comp que se haga sobre el otro componente, entonces, tica común, se considera que es la primera medid miento, de modo que la segunda medida sólo c desenmarañado que está examinando realmente mismas consecuencias observables se obtendri' s¬gwHc7a medida la que de algún modo efectúa ñamiento en lugar de hacerlo la primera. Otra

de un par EPR aníes de descripción mecano-cuáne efectúa el desenmarañane al simple componente mbargo, precisamente las onsideráramos que es la tivamente el desenmarade expresar la irrelevan-

cia del orden temporal de las dos medidas es de Este tipo de simetri'a es una caracteri'stica ne

co#mw,c,m (véase 5.l4). de las medidas EPR para vacionales de la relativiseparados por ¡ntervalos ra de los conos de luz del en §4.4) deben conmutar medida se considera que la relatividad especial. la situación física global de referencia de dos obcf. también NME p. 287

que puedan ser coherentes con las consecuenc¡a dad especial. Las medidas que se realizan en s de tipo espac¡o (es decir, sucesos que se hall otro; véase la figura 5.25 y la exposición que se n¬cesar,'amcn,c y resulta realmente insustanci tiene lugar «primero» -según los sólidos princi Para ver que debe ser asi', uno puede consider va a describirse según el punto de vista de los si servadores diferentes, como se indica en figura [p. 362]).

ser señales en el sentido

La estructura del mund

5.25. Se dice que dos sucesos en el espacio-t¡empo están separados de tipo espacio si cada uno se halla fuera del cono de luz del otro figura 4.l, p. 238). En este caso ninguno de ellos puede influir caus

y las medidas hechas en los dos sucesos deben conmutar.

Observador

ObservadoÍ

Tl en a

5.26. Según la relatividad especial, los observadores A y B, en m tienen ¡deas diferentes sobre cuál de los dos suces de tipo espacio ocurrió primero (A piensa que Q es P es primero).

(Estos dos «observadores» no tienen que guardar relación con q están realizando las medidas.) En la situación representada, lo res tendri'an ideas opuestas respecto a qué medida fue realmen Con respecto a medidas tipo EPR, ¡el fenómeno del enmarañ

-o el desenmarañamiento* para el caso- no tiene en cuenta espacial ni el orden temporal!

*

Pueden darse ejemplos (Zeilinger c, a/., l992) en los que la propieda

para un par de parti'culas ¡puede ser ella misma una propiedad enmarañada

316 IJas sombras de la mente

5.l8. Los dodecaedros mági

explicados

Para un par EPR de parti'culas de espín ±. esta

localidad espacial o tem-

poral sólo aparece en las p,obc,b,'/,-dc,c7es. Pe un fenómeno mucho más concreto y preciso qu en las probabilidades». Ejemplos tales como los tas configuraciones anteriores)lO muestran que marañamiento cuántico no es sólo una cuestión bién proporciona precisos efectos si'/no que no de ninguna forma local. Tratemos de comprender la mecánica cuántic dodecaedros mágicos de §5.3. Recordemos que de nuevo en Betelgeuse, que un sistema de espí se div¡da en dos átomos, cada uno de ellos de e ha sido suspendido delicadamente en el centro d caedros son entonces enviados cuidadosamente, de c¥-Centauri, de modo que los estados de espi'

enmarañamiento cuántico es go que meramente infuye ecaedros mágicos (y ciertraña no localidad del enobabilidadd, sino que tamen explicarse en absoluto

realmente subyace en los tos Curiosos ha dispuesto, al O (el estado inicial lQ)) 2, y uno de estos átomos da dodecaedro. Los dodea mií y el otro a mi colega los respectivos átomos no

se perturban -hasta que uno de nosotros reali espi'n sobre él presionando un botón. Cuando de los vertices de un dodecaedro, esto activa una sobre el átomo situado en su centro -digamos, co no homogéneo, como se ha mencionado en

nalmente una medida de resiona un botón en uno dida de tipo Stern-Gerlach ando un campo magnétiO-y recordemos que para

un espín ± habri'a cuatro resultados posibles corre el aparato estuviera orientado en la dirección ha mutuamente ortogonales lttt), lJtt), lJJt) y lJ

dientes (en el caso de que rriba) a los cuatro estados Estos estados se distin-

guen por las cuatro posibles localizaciones del aparato. IJo que Trastos Curiosos ha dispuesto es

o después de atravesar el cuando se presiona cual-

quier botón, el aparato de medir el espi'n está o cho botón (desde el centro del dodecaedro hacia sí el átomo resulta estar en la segunda de estas pos Es decir (utilizando la notación para el caso de estado l Jtt) el que provoca la respuesta SÍ -qu del timbre, seguido del magni'fico despliegue pir dos Ho provocan ninguna respuesta (es decir,

ado en la dirección de diera). El timbre suena (SÍ) nes posibles (figura 5.27). cción hacia arriba), es el como resultado el sonar nico- y los otros tres estaEn el caso de NO, las tres

posiciones restantes para el átomo son reunidas ( do la dirección del campo magnético no homog entre ellas hayan tenido ningún efecto perturbado se seleccione cualquier otra dirección como resu botón. Tomemos nota del hecho de que cada pre

amos por caso, invirtien) sin que las distinciones terno, dispuestos para que o de presionar algún otro de botón realiza una me-

dida pr,®m,',,'vc,, como se describe en §5.l3.

Para dos átomos de espi'n 2 que se originan a Olí2), nuestro estado total puede expresarse co

tir del estado í} de espiín

JtT) -lIJ++)lDttt).

La estructura del mun

5.27. Trastos Curiosos ha dispuesto las cosas de modo que cuando tón del dodecaedro, se hace una medida de espi'n en el átomo de e rección (tomada aqui' como «arriba»), donde el estado l Jtt) hari'a Si la respuesta es NO, los haces se recombinan y la medida se repit rección.

Si mi átomo es el derecho, y yo encuentro que su estado e

porque suena el timbre cuando presiono pr¡mero en el botó ces debe ocurrir que el timbre de mi colega debe sonar si él en primer lugar el botón opz,¬s,o al mío -su estado lltU). bre no suena en esa primera presión de botón, entonces su ti de/®ar de sonar para la presión opuesta. Ahora necesitamos asegurar que las propiedades (a) y (b)

garantizadas por Trastos Curiosos, deben ser realmente váli didas primitivas hechas al presionar un botón. En el Apénd algunas propiedades matemáticas de la descripción de Major de espi'n, particularmente para espi'n 3, que son suficientes tos. Nuestra discusión actual se simplifica si pensamos en la e como la esfera que pasa por todos los vértices del dodecae esférica c,-,cwmcrJta al dodecaedro. Notemos entonces que la jorana del estado SÍ para un botón presionado en algún vérti dro es simplemente el propio punto P tomado dos veces j P* anti'poda de P -que es en realidad el estado lJtt) para polo norte. Podemos etiquetar lP*PP) a este estado SI-. Una propiedad clave del espín 3 es que los estados SÍ mitivas correspondientes a presiones de botón en dos vértice del dodecaedro sontor,ogona/es. ¿Por qué es asi'? Debemo estados de Majorana lA*AA) y lC*CC) son realmente ortogon ra que A y C sean casi adyacentes en el dodecaedro. Ahora s 5.28 que A y C son casi adyacentes en el dodecaedro cuand vértices t7dyaceníes de un cwbo encerrado en el dodecaedro, parte su centro y ocho de sus vértices. Por el Apéndice ®. 325) lA*AA) y lC*CC) son realmente ortogonales cuan C sean vértices adyacentes de un cubo, de modo que el res blecido. ¿Qué nos dice esto? Nos dice, en particular, que las tres sobre los tres vértices adyacentes al vértice SELECCIONAD das co#mw,ab/es (§5.l4), al ser todos estos vértices mutuam

3/8 hssomóflSde/ameffi

5.28. Un cubo puede ser inscrito dentro de un dodecaedro regular, compartiendo s de sus 20 vértices. Observemos que los vért¡ces adyacentes del cubo son vértices casi adyacentes en el dodecaedro.

para el resultado. Ahora la ordenación también es irrelevante para mi colega en c¥-Centauri. Si resulta que él elige el vértice opwes,o al mi'o como su SELECCIONADO, entonces sus tres posibles presiones de botón son opuestas a las tres mi'as. Por lo que se ha dicho antes, mi timbre y su timbre deben sonar en vértices opuestos -con independencia de cualquiera de nuestras órdenes- o, alternativamente, ninguno de nuestros timbres puede sonar al hacer estas presiones. Esto establece (a).

¿Qué hay sobre (b)? Observemos que el espacio de Hilbert para espi'n 2 es de c#afro dimensiones, de modo que las tres posibilidades mutuamente ortogonales para que pudiera sonar mi timbre, digamos lA*AA), lC*CC) y lG*GG) -donde se ha considerado que B es mi vértice SELECCIONADO (véase la

figura 5.29)-no agota por completo las posibles ocurrencias alternativas. La posibilidad restante ocurre cuando el timbre no suena al hacer estas presiones, y tenemos la medida nula resultante (el timbre deja de sonar en las tres)

que asegura que dicho estado es el (único) estado ortogonal a cada uno de los lA*AA), lC*CC), lG*GG). Designemos este estado lRST), donde los tres

puntos R,S,T sobre la esfera de Riemann proporcionan su descripción de Majorana. La posición real de estos tres puntos no es en general fácil de asegurar. (Fueron localizados explícitamente por Jason Zimba [l993].) No importa dónde están exactamente para el presente argumento. Todo lo que necesitamos saber es que están en posiciones determinadas por la geometri'a del dodecaedro en relación con el vértice B SELECCIONADO. Asi' pues, en particular (y por simetri'a), si en lugar de escoger B, yo hubiera escogido el vértice B*, anti'poda de B, como mi vértice SELECCIONADO, entonces el estado lR*S*T*) -donde R*, S*, T* son antípodas de R, S, T- habri'a aparecido como un resultado de que el timbre no suena en los tres vértices A*, C*, G*, cada uno de ellos adyacente a B*.

Supongamos ahora que mi colega SELECCIONA el vértice B en su dodecaedro, correspondiente exactamente al vértice B que yo SELECCIONO en el mi'o. Si el timbre de/®a de sonar en cualquiera de sws tres A, C, G, adyacentes a su B, entonces sus medidas (conmutables) fuerzan sucesivamente a m,-átomo

IA estructura del mundo cuántico 319

I

5.29. La designación de los vértices del dodecaedro, para las discusiones de § 5.ls y Apéndice B (p. 320).

a estar en un estado ortogonal a los tres que corresponden a presiones de botón en mis vértices opw¬síos' A*, C*, G*, es decir, mi átomo es forzado al estado lR*S*T*). Sin embargo, si mi timbre también cJc/'a de sonar en cualquiera de m,'s tres presiones de botón en A, C, G, entonces esto obliga a que mi estado sea lRST). Pero por la propiedad C.l del Apéndice C (p. 324), lRST) es or,ogo#a'/ a lR*S*T*), de modo que es imposible que nuestros timbres dejen de sonar en las seis presiones de botón, lo que establece (b). Esto explica cómo Trastos Curiosos ha sido capaz de utilizar el enmarañamiento cuántico para garantizar ambas propiedades (a) y ®). Ahora, en §5.3 hemos observado que si los dos dodecaedros se comportaban como objetos ,-ndcpe#cJ,-¬níe§, entonces las propiedades de coloreado (c), (d) y (e) se seguiri'an inmediatamente, lo que nos obliga a un problema de coloreado de vértices insoluble (como se demuestra expli'citamente en el Apéndice B (p. 320)). Así pues, lo que ha conseguido hacer Trastos Curiosos, utilizando el enmarañamiento cuántico, es algo que seri'a ,-mpos,'b/c si nuestros dos dodecaedros hubieran sido cosas que pudieran tratarse como objetos independientes una vez que hubieran dejado la factoría de Trastos Curiosos. El enmarañamiento cuántico no es sólo una complicación que nos dice que no siempre podemos ignorar los efectos probabilísticos del ambiente externo en una situación física. Cuando sus efectos

pueden ser aislados adecuadamente, es algo matemáticamente muy preciso, a menudo con una clara organización geométrica. No hay descripción, en términos de entidades que puedan considerarse una separada de otra, que pueda explicar estas expectativas del formalismo mecanocuántico. No puede haber, en general, una explicación de tipo «calcetines de Bertlmann» para fenómehos cuánticamente enmarañados. Ahora, las reglas de la evolución mecano-cuántica estándar -nuestro procedimiento U- nos llevan a concluir que los objetos debenpe,ma#ecer «enmarañados» de esta extraña manera, por muy alejados que puedan estar uno de otro. Los enmaraña-

320 IJ]s so

mientos sólo pueden cortarse con R. Pero ¿creemos que R es un proceso real? Si no es asi', entonces este enmarañamiento debe persistir para siempre, incluso si está oculto a la vista por la complicación excesiva del mundo real. ¿Significari'a esto que todas las cosas del universo deben considerarse enmarañadas con todas las demás? Como se ha señalado (§5.l7), el enmarañamíento cuántico es un efecto completamente diferente de cualquier cosa en fi'sica clásica, en la que los efectos tienden a disminuir con la distanc¡a, de modo

que no necesitamos saber qué está sucediendo en la galaxia Andrómeda para explicar el comportamiento de las cosas en un laboratorio en la Tierra. El enmarañamiento cuántico parece ser realmente algún tipo de «fantasmal acción a distancia» que tanto inquietaba a Einstein. Pero se trata de una «acción» de un tipo extraordinariamente sutil, que no puede ser utilizada para el envi'o efectivo de mensajes. Pese a que queda muy lejos de proporcionar una comunicación directa, no pueden ignorarse los potenciales efectos distantes («fantasmales») del enmarañamiento cuántico. Mientras persistan estos enmarañamientos, uno no puede, estrictamente hablando, considerar cualquier objeto en el universo como algo separado. En mi opinión, esta situación de la teori'a fi'sica está muy lejos de ser satisfactoria. No hay explicación real basada en la teoría estándar de por

qué, en la práctica, pwec7e# ignorarse los enmarañamientos. ¿Por qué no es ne~ cesario considerar que el universo es solamente un amasijo increiblemente com-

plicado con enmarañamientos cuánticos que no guarda relación con el mundo de aspecto clásico que realmente observamos? En la práctica, es la utilización continua del procedimiento R la que corta los enmarañamientos, como ocurre cuando mi colega y yo realizamos nuestras medidas sobre los átomos enmarañados en los centros de nuestros dodecaedros. Surge la pregunta: ¿es esta acción R un proceso fi'sico rt3a/, de modo que los enmarañamientos cuánticos son, en cierto sentido, r¬a'/me#,c cortados? ¿O debe explicarse todo esto como simplemente algún tipo de ilusión? Trataré de abordar estas enigmáticas cuestiones en el capi'tulo siguiente. En mi opinión, estas cuestiones son fundamentales en la búsqueda de un papel

para la no computabilidad en la acción fi'sica.

Apéndice B: La no coloreabilidad del dodecaedro Recordemos el problema propuesto en §5.3: demostrar que no hay modo de colorear BLANCO o NEGRO todos los vértices de un dodecaedro de modo

que dos vértices casi adyacentes no puedan ser de color BLANCO y no todos los seis vértices adyacentes a un par de vértices opuestos puedan ser NEGROS. La simetri'a del dodecaedro nos será de inmensa ayuda para eliminar posibilidades.

Designemos los vértices como en la figura 5.29. Aquí A, B, C, D, E son vértices de una cara pentagonal, descritos en orden cíclico, y F, G, H, I, J son vértices adyacentes a ellos, tomados en el mismo orden. Como en §5.l8,

Ifi estructura del mun A*, ..., J* son los respectivos vértices anti'podas de aquell

primer lugar que, debido a la segunda propiedad, debe habe tice BLANCO en alguna parte, que podemos suponer que Supongamos, por el momento, que el vértice A BLANC de sus vecinos inmediatos, o,ro vértice BLANCO -que po que es B (véase la figura 5.29). Ahora los diez vértices que r a saber C, D. E, J, H*, F, I*, G, J*, H, deben ser todos uno de ellos es casi adyacente o bien a A o bien a B. A conti mos los seis vértices que son adyacentes a uno cualquiera del H, H*. Debe haber uno BLANCO entre estos seis, de mo (o ambos) debe ser BLANCO. Haciendo lo mismo para el concluimos que o G* o E* (o ambos) deben ser blancos. Pero porque G* y E* son ambos casi adyacentes a F* y C*. Esto d dad de que el vértice BLANCO A pueda tener un vecino inm -en realidad, por simetri'a, descarta la posibilidad de cualqu

BLANCOS adyacentes. Asi' pues, el vértice BLANCO A debe estar rodeado de B, C, D, E, J, H*, F, I*, G, porque cada uno de estos adyacente a A. Ahora, examinemos los seis vértices que son del par de antiípodas A, A*. Concluimos que uno de B*, E*, CO, y por simetri'a no importa cuál -de modo que considere CO es F*. Observemos que E* y G* son casi adyacentes a ambos deben ser negros, y también H debe ser NEGRO po a F*, y por el argumento anterior también hemos descartado l COS adyacentes. Sin embargo, este coloreado es imposible p antipodas J, J* no tienen ahora nada salvo vértices NEGROS Esto concluye el argumento, ¡demostrando la imposibilidad caedros mágicos!

Apéndice C: Ortogonalidad entre estados gener La descripción de Majorana de los estados generales de espi'n liar para los fiJsicos; pese a ello, proporciona una imagen útil te iluminadora. Haré aquí una breve exposición de las fórm algunas de sus consecuencias geométricas. Esto proporcion las necesarias relaciones de ortogonalidad subyacentes en la dodecaedros mágicos, como exigi'a §5.l8. Mis descripciones blemente de las dadas originalmente por Majorana (l932), y chamente las de Penrose (l994o) y Zimba y Penrose (l993). La idea es considerar el conjunto desordenado de # punt Riemann como las n rai'ces de un polinomio complejo de gr mente) utilizar los coeficientes de este polinomio como coor

322 Las sombras de la mente

resultados posibles de una medida de espi'n en l sentamos como los diversós monomios üunto c apropiado que asegura que cada uno de estos

cción vertical, los reprefactor de normalización dos base sea un vector

unitario):

ltttt ... tt) corresp~ón lJttt ... tt) corresponde a

lJJtt ... tt) corresponde a (n(n

l+Wt ... tt) corresponde a (n(# -

r xn-i

2!)lJ2 r -2

-2)/3!jiz2 r -3

lJIJJ ... Jt) corresponde a

lJJU ... JJ) correspond

(Todas las expresiones entre paréntesis son coefi el estado general de espín ±# zolttt ... t) + zilJtt

... t) + z2lJJt + z,lJJJ

... t)

x

l.

es binomiales.) Así pues,

3lJW

...

t) + ...

... J)

corresponde al polinomio p(x) = cro + ú'ix + a2Jf + c,3x

+ am,rl

donde c,o= zo, ai = "'72zp a2 = ("(" -l)/

Z2,..., a'n =Zn.

Las rai'ces x = au c¥2, c¥3, ..., c¥n de p(x) = O

rcionan los n puntos en la

esfera de Riemann (con multiplicidades) que defi na. Esto incluye la posibilidad del punto de Majo sur), que ocurre cuando el grado del polinomio cantidad dada por la multiplicidad de este punt Una rotación de la esfera se consigue media

a descripción de Majoradado por x = co, (el polo ) es inferior a n, en una

na transformación por la

que se hace un cambio de variable

x -(Áx-#) Gix.+á) (donde ÁÁ + ff4 = l), y luego se eliminan los d expresión global por (Á,r + Á)n. Asi' pues, pued rrespondientes a los resultados de una medida (

inadores multiplicando la tenerse los polinomios cotern-Gerlach, pongamos

por caso) en una dirección arbitraria, dando ex

ones de la forma

1Ja estructura del mu

c(1x -ff)P /# + l)n-P. Los puntos dados por /A y --Á/4 son anti'podas en la esf corresponden a la dirección de la medida del espín y a su op ne una elección de fases apropiadas para los estados ltt lJJt ... t), ltJJ ... J). Las propiedades anteriormente menc ciones detalladas son mejor apreciadas en el formalismo de e te al lector a Penrose y Rindler (l984), especialmente p. l El estado general para espi'n ±# se describe en términos de trico #-valente, y la descripción de Majorana se sigue de canónica como un producto simetrizado de vectores de es El punto anti'poda de cualquier punto c¥ en la esfera vie Asi' pues, si reflejamos todos los puntos de Majorana que linomio a(r) = czo + t,ix + c,2jr2 + ... + a'n_iJr-l +

en el centro de la esfera, obtenemos las rai'ces del polino a*(X) = Gn -Gn_iX + Gn_2 X2 -... -(-l)nóir-1 +

Si tenemos dos estados lc¥) y lP), dados por los polinomi

y b(x), donde b(x)--bo+ blx+ b2X2 + b3X3 +... + bn-lxn-l

entonces su producto escalar será

(6lC¥) = 6oao + l6i¢i + JfiT62a2 + #Yrl

'

n(w_l)-¿-4

b3a} +

"(n-l)("-2)

Esta expresión es invariante bajo rotaciones de la esfera, co se directamente utilizando las fórmulas anteriores. Apliquemos esta expresión para el producto escalar al que b(¥) = a'*(x), de modo que estamos interesados en do la descripción de Majorana de uno de ellos consiste precisam antípodas de la otra. Su producto escalar es (salvo un sig 2!

aoan -: aian_i + ña2aw_2 -... -(-1)nl an _ io n

Se verá a partir de esto que si n es ,-mpar, entonces todo los lan, de modo que tenemos el teorema siguiente. (El estado

324 Las sombras de la mente C.1.

Si # es impar, el estado lPQR...T) es ort

Dos propiedades adicionales que pueden extr

al a lP*Q*R*...T*).

e de la expresión general

para el producto escalar son las siguientes. C.2.

El estado lPPP...P) es ortogonal a cada

C.3.

El estado lQPP...P) es ortogonal a lABC.

o lP*AB...D).

cuando quiera que la pro-

yección estereográfica, desde P*, del punto Q* e nes estereográficas desde P* de A, B, C, ...,

entroide de las proyeccio-

(El centroide de un conjunto de puntos es el c guración de masas puntuales iguales situadas en l tereográfica se ha descrito en §5.lO, figura 5.1 la esfera hasta que P* esté en el polo sur. Ento

de gravedad de la confiuntos. La proyección esara demostrar C.3, rótese el estado lQPP...P) está

representado por el polinomio r-l(x -x) donde esfera de Riemann. Formando el producto escal

fine el punto Q sobre la n el estado representado

por el polinomio (x -c¥i) (x-c¥2) (x-c¥3) ... (x-c jorana la proporcionan c¥n c¥2, c¥3, ..., c¥m en

cuya descripción de Maamos que se anula cuando

l

+n-l*(c¥i

+c¥2+c¥3 +..

n)=0,

es decir, cuando -l/* es igual a (c¥i + c¥2 -c¥3 troide, en el plano complejo, de los puntos dados

. + c¥n)/#, que es el cenc¥p c¥2, c¥3, ..., c¥^. Esto

establece C.3. Para demostrar C.2, consideremos sur. Entonces el estado lPPP...P) está representa rada como un polinomio de grado #. Ahora, el c lar se anula cuando

es P el que está en el polo r la constante l, considepondiente producto esca-

c¥1C¥2C¥3

...

C¥" - 0,

es decir, cuando se anula al menos uno de los c¥n el punto O del plano complejo el polo norte P* El resultado C.2 nos permite interpretar los p nos físicos. Tiene como consecuencia que dicho nes en las que una medida de espi'n (de tipo Ste

c¥3 ..., c¥n -representando o establece C.2. s de Majorana en térmitos definen las direccioerlach) proporciona una

probabilidad nula de dar el resultado de que el e rección opuesta a la medida (cf. NME p. 273 [p. 3 caso especial, el resultado de que para espi'n

está directamente en di. También contiene, como = l) los estados orto-

gonales son precisamente aquellos cuyos puntos El resultado C.3 nos permite deducir la interpre la ortogonalidad en el caso de espi'n l (# = 2). da cuando los dos estados se representan como d cuyas uniones son líneas perpendiculares que pa En el caso de espi'n 2 (# = 3), C.3 proporcio

ajorana son anti'podas. n geométrica general de aso particular notable se ares de puntos antípodas or el centro de la esfera. on C.l) todo lo que ne-

IA es,ructura del mu cesitaremos para §5.18. (Una interpretación geométrica de la el caso general se dará en otro lugar.) El caso particular de C.3 que se necesita para §5.18 ocu son vértices adyacentes de un cubo inscrito en la esfera de

que PQ y Q*P* son aristas opuestas de este cubo. Las longi son V2 veces las de PQ y P*Q*. Se sigue de C.3, por sim los estados lP*PP) y lQ*QQ) son ortogonales.

Teori'a cuántica y realidad

6.l. ¿Es R un proceso real?

E

n el capi'tulo anterior hemos estado tratando de entender los enigmáticos misterios Z de la teori'a cuántica. Aunque no todos estos fenómenos han sido verificados experimentalmente -por ejemplo, el enmarañamiento cuántico a distancias de varios años-luz-l existe ya suficiente apoyo experimental a este tipo de efectos para decirnos que los misterios Z son realmente fenómenos que debemos tomar seriamente como aspectos verdaderos del comportamiento de los constituyentes del mundo en que vivimos. Las acciones de nuestro mundo fi'sico en el nivel cuántico son realmente muy contrarias a la intuición, y en muchos aspectos completamente diferentes del comportamiento «clásico» que parece operar en el nivel más familiar de nuestras experiencias. El comportamiento cuántico de nuestro mundo incluye ciertamente efectos de enmarañamiento sobre distancias de muchos metros, al menos mientras involucran sólo objetos de nivel cuántico, tales como electrones, fotones, átomos y moléculas. El contraste entre este extraño comportamiento cwc,JH,,'co de las cosas «pequeñas», incluso sobre grandes separaciones, y el más familiar comportamiento c/c,'s,'co de las cosas grandes, subyace en el problema de los misterios X de la teori'a cuántica. ¿Puede darse realmente el caso de que existan dos tipos de leyes fi'sicas, uno de los cuales opera en un nivel de fenómenos y otro que opera en otro nivel? Semejante idea está en abierta contradicción con lo que hemos llegado a esperar en fi'sica. En realidad, uno de los logros profundos de la dinámica de Galileo-Newton del siglo xvll era que el movimiento de los cuerpos celestes podi'a entenderse a partir precisamente de las mismas leyes que operan aqui' en la Tierra. Desde la época de los antiguos griegos, e incluso antes, se habi'a crei'do que debi'a haber un conjunto de leyes para los cielos y un conjunto completamente separado válido aqui' en la Tierra. Galileo y Newton nos enseñaron a ver cómo las leyes podi'an ser las mismas en todas las escalas -una intuición fundamental que fue esencial para el progreso de la ciencia. Pero (como ha destacado el profesor lan Percival, de la Universidad de Londres), con la mecánica cuántica parece que hemos vuelto a un esquema similar al de los antiguos grie-

T¡eoría cuán

gos, con un cuerpo de leyes que operan en el nivel clásico y muy diferentes en el nivel cuántico. Mi opinión -una opin una apreciable minori'a de físicos- es que este estado de c no puede ser otra cosa que un sustitutivo, y podemos preve el descubrimiento de las leyes clásicas/cuánticas adecuadas memente en ,oda's las escalas podri'a anunciar un avance tud comparable al iniciado por Galileo y Newton. No obstante, el lector puede preguntar con toda razón que nuestro conocimiento estándar de la teoriJa cuántica no en el nivel cuántico que tampoco explica fenómenos clásic rán mi pretensión de que si' lo hace, afirmando que los sist en algún sentido grandes o complicados, y que actúen co leyes de nivel cuántico, se comportarían exactamente com menos con un grado muy alto de precisión. Trataremos, p afirmación -la afirmación de que el comportamiento ap co» de obJ-etos de «gran escala» se sigue del comportami constituyentes minúsculos- cs creible. Y si encontramos mos de ver hacia dónde orientarnos para llegar a un punt que pudiera tener sentido en ,oc7os los niveles. Advertiré te, que la cuestión está envuelta en mucha controversia. Ex de vista diferentes y seri'a descabellado que tratara de dar to de todos ellos, y mucho menos de argumentar en detall llos que encuentro inverosi'miles e insostenibles. Pido la ¡n ante el hecho de que los puntos de vista que presento se ofr desde mi propia perspectiva. Es inevitable que no sea en aquellos cuyos puntos de vista que son demasiado ajenos cuso por adelantado por las injusticias que indudableme

Hay una dificultad fundamental al tratar de encontrar la que el nivel cwaJ#Í,-co de actividad, caracterizado por la

posiciones cuánticas de alternativas diferentes, da paso r la acción de R- al nivel c/aJs,®co, en el que no parecen dar nes. Esto es resultado de lo «resbaladizo» del procedimie de vista observacional, que nos impide determinar con pre en que «sucede», una razón para que muchos fi'sicos no lo meno real. Parece que no supone ninguna diferencia para los decidamos aplicar R, siempre que lo hagamos en un nive que se han observado los efectos de interferencia, pero no en que percibimos directamente que ,,®c#e# lugar las alte

que estar en superposiciones lineales complejas (aunque, c algunos mantendrán que las superposiciones persisten inclu ¿Cómo podemos decidir en qué nivel tiene lugar ,¬a/ realidad tiene lugar físicamente? Resulta difícil ver cómo a una pregunta semejante mediante la experimentación fisi

328 Las sombras de la mente

ocurrir, desde los niveles i'nfimos en donde áa# terferencia cuántica hasta los niveles mucho Jlta mente el comportami-ento clásico. Además, est recen referirse al tamaño fi'sico, puesto que hem efectos de enmarañamiento cuántico pueden exte chos metros. Vamos a ver más adelante que las c cionan una medida de esta escala de nivel much ca. Sea como fuere, en el extremo grande de responsabilidad es nuestra» viene dado por nues Ésta es una cuestión complicada desde el punto de

bservados efectos de inn donde se percibe realrencias de «nivel» no pato antes (en §5.4) que los sobre distancias de muc','czs cJe energ,Íc, proporr que la dimensión fi'siosas, el lugar donde «la nccpc,'o#es co#sc,-enf¬s. de la teori'a fi'sica, puesto

que no necesitamos saber realmente qué proceso lacionados con la percepción. De todas formas

os en el cerebro están reaturaleza fi'sica de estos

procesos pareceri'a proporcionar el li'mite super proceso R ,ec,/. Esto permite aún un enorme i y existe un espacio considerable para numerosa a lo que n¬c,/me#,e sucede cuando se present Una de las principales cuestiones concierne cuántico -o incluso del propio mundo de nivel no puedo resistirme a citar un comentario que de la Universidad de Chicago, en una cena hac mente en la mecánica cuántica, entonces no p

a cualquier teori'a de un o entre los dos extremos, udes diferentes respecto

ealidad» del formalismo o. En relación con esto, o el profesor Bob Wald, os años: «Si crees realtomarla en serio». Creo

que esto expresa algo profundo sobre la teori'a de la gente hacia ella. Quienes son más veheme ri'a como algo que no necesita ninguna modific

ica y sobre las actitudes la aceptación de la teoo acostumbran a pensar

que representa el comportamiento verdadero de u tico. Niels Bohr, que fue una figura destacada ción de la teori'a cuántica, era uno de los más r que él no consideraba el vector de estado como cia, útil solamente para calcular probabilidades das» que pudieran realizarse en un sistema. El concebi'a como algo que proporcionase una des de nea/,'dadde nivel cuántico, sino que merame cimiento» del sistema. En realidad, llegaba a c cepto mismo de «realidad» tuviese algún signific tamente Bohr era alguien que «crei'a realmente en que é1 veía el vector de estado como algo que, d do en serio» como la descripción de una realid La alternativa general a este punto de vista el vector de estado proporciona una descripción m reúr/ de nivel cuántico -un mundo que evolucio de precisión, aunque quizá no con una precisi

do «real» de nivel cuánesarrollo y la interpretas a este respecto. Parece

glas matemáticas que proporcionan las ecuacion aqui' hay dos caminos principales a seguir. Exi procedimiento U es todo lo que hay en la evoluci cedimiento R, en consecuencia, se toma como al

osa que una convenienresultados de las «medio vector de estado no se n objetiva de algún tipo resentaba «nuestro conorarse dudoso que el conel nivel cuántico. Cieránica cuántica», y parece o, no deberi'a ser «tomaica en el nivel cuántico. o consiste en creer que tica precisa de un mundo

un extraordinario grado l, de acuerdo con las rea teori'a. Me parece que ienes consideran que el

estado cuántico. El proo de ilusión, conveniencia

T¡eoría cu

o aproximación, y m como parte de la evolución nec,/ describirse mediante el estado cuántico. Tales personas, rigidas hacia lo que se conoce como la interpretación de E w#,-versos.2 Explicaré algo sobre este tipo de punto de mento. Por el contrario, quienes más completamente «t malismo cuántico son aquellos que creen que amóos U una precisión considerable) el comportamiento físico ne vel clás¡co/cuántico /,;s,-caweH,c nec7/ y descrito por un si uno tiene que tomar tan en serio el formalismo cuánt realmente difi'cil creer que la teori'a pueda ser completa los niveles. En efecto, la acción de R, tal como queda en contradicción con muchas de las propiedades de U, en dtzd. En este sentido, uno no deberi'a «creer realmente e ca». En las secciones que siguen, expondré con más exte

6.2. Puntos de vista del tipo-muchosTratemos de ver primero hasta dónde podemos llegar sig «realista», el que finalmente conduce a un tipo de pun denominado interpretac¡ón de los «muchos-universos». aceptar el vector de estado, que evoluciona completa de U, como algo que proporciona la verdadera realidad. que objetos de nivel clásico, como pelotas de golf o pers bién sujetos a las leyes de la superposición lineal cuántica esto no puede causar dificultades serias mientras tales esta una ocurrencia extremadamente rara en el nivel clásico. tante, reside en la /,'necz/,'c7a'd de U. Bajo la acción de para estados superpuestos siguen siendo los m,-5mos in cuánto material esté involucrado. El procedimiento U po ta a las superpos¡ciones para «des-superponerse» simple ma se haga grande o complicado. Tales superposiciones gún modo a «desaparecer» para objetos de nivel clásico la ímplicacÍÓn de que también los objetos de nivel clási frecuentemente en estados manifiestamente superpuestos. ser afrontada entonces es: ¿por qué tales superposiciones escala no inciden sobre nuestra consciencia del mundo Tratemos de comprender cómo explicari'an esto los d sión del tipo-muchos-universos. Consideremos una situac en §5.l7, en la que un detector de fotones, descrito por tra un estado fo'ónico superpuesto lc¥) + lP), donde lc pero lP) lo dejará inalterado. (Quizá un fotón, emitido incidido en un espejo semiplateado, y lc¥) y lP) podrían reflejada y transmitida del estado fotónico.) Ahora no e

330 Las s un detector entero, puesto que en este punto de vista los vectores de estado se consideran representaciones precisas de la realidad a todos los niveles. Asi' pues, l Y) puede describir el detector entero, y no quizá solamente algunas partes iniciales de nivel cuántico como en §5.l7. Recordemos que, como en §5.17, tras el instante de encuentro del fotón, los estados del detector y el fotón evolucionan desde el producto lY)(lc¥) + l¢)) hasta el estado enmarañado lVs)

+

lYN)l¢')'

Este estado enmarañado e#,c,o se considera que representa ahora la n¬a'/,'doc7 de la situación. No se dice que o b,'cw el detector ha recibido y absorbido el fotón (estado lYs)) o b,'en el detector no lo ha recibido y el fotón sigue libre (estado lVN) l¢ ' )), sino que se afirma que fzmb4's alternativas coexisten en superposición, como parte de una realidad total en la que todas las superposiciones se conservan. Podemos llevar esto más lejos, e imaginar que un experimentador humano examina el detector para ver si ha registrado o no la llegada del fotón. El ser humano, antes de examinar el detector, deberi'a tener también un estado cuántico, digamos l Z: ), de modo que tenemos un estado «producto» combinado en esa etapa, a saber lZ:)(lYs)

+

lYN)lP'))-

Entonces, después de examinar el estado, el observador humano o bien percibe que el detector ha recibido y absorbido el fotón (estado lZ:s)), o bien percibe que el detector no ha recibido el fotón (un estado ortogonal l Z=N)). Si hacemos la suposición de que el observador no está interaccionando con el de-

tector después de observarlo, tenemos la siguiente forma de vector de estado para describir la situación.' IZ:s)lY's)

+

IZ:N)lYJN)l6")'

Ahora existen dos estados de observador diferentes (ortogonales), ambos incluidos en el estado global del sistema. Según uno de estos, el observador está en el estado de haber percibido que el detector registró la recepción del fotón; y éste va acompañado por el estado del detector en el que el fotón ha sido realmente recibido. Según el otro, el observador está en el estado de haber percibido que el detector no ha registrado la recepción del fotón; y éste va acompañado por el estado del detector con el fotón no recibido por él, y el fotón siguiendo libremente. Entonces, en los puntos de vista del tipo-muchos-universos existirían diferentes copias del «yo» del observador, coexistiendo dentro del estado total y teniendo percepciones diferentes del mundo circundante. El estado real del mundo que acompaña a cada copia del observador será coherente con las percepciones de dicha copia. Podemos extender esto a las situaciones fi'sicas más «realistas» en las que habría un número enorme de alternativas cuánticas diferentes teniendo lugar

Tleoría cuánt

continuamente a lo largo de la historia del universo -y no de este ejemplo. Asi' pues, según este punto de vista del tipo el estado total del universo comprenderi'a realmente mucho rentes y habría muchas copias diferentes de cualquier observ copia percibiri'a un universo que es coherente con las propi observador, y se aduce que esto es todo lo que se necesita p factoria. Según este punto de vista, el procedimiento R seri'a

surge en apariencia como consecuencia de cómo percibiría croscópico en un mundo cuánticamente enmarañado. Por mi parte, tengo que decir que encuentro muy insati de vista. No es tanto la extraordinaria falta de economi'a q imagen -aunque ésta sea realmente una caracteri'stica pre lo mi'nimo. La objeción más seria es que el punto de vista n me#,c una solución del «problema de la medida» que tra Este problema de la med¡da cuántica coTLst\ste en compr aparecer -o aparece efectivamente- el procedimiento R co de un comportamiento a gran escala de sistemas cuánticos

gún U. El problema no queda resuelto indicando meramen ble de acomodar verosi'milmente un comportamiento tipouna teori'a que proporcione alguna comprensión de las c,',c se produce (¿la ilusión de?) R. Además, uno debe tener u notable prec,®s,-oÍ# que está involucrada en R. Parece que l nudo que la precisión de la teori'a cuántica reside en sus ec a saber, U. Pero el propio R es también muy preciso en la p bilidades y, a menos que pueda entenderse cómo sucede e teori'a satisfactoria. En ausencia de ingredientes adicionales, el punto de v universos no llega a explicar realmente de forma adecuad Sin una teori'a de cómo un «ser perceptor» dividiría el mu ortogonales, no tenemos razones para esperar que tal ser de superposiciones de pelotas de golf o de elefantes en po diferentes. (Deberi'amos observar que la mera o,,ogo#a/,-d percibidos». tal como la de lZ:s) y lZ:N) antes mencionad

guna forma para discriminar dichos estados. Compárese e +), en oposición a l l t) y lI J), en la exposición EPR de el par de estados es ortogonal, como lo son lZ:s) y lZ:

para elegir un par antes que el otro.) Además, el punto de universos no proporciona explicación para la regla maravi riamente precisa por la que los cuadrados de los módulos

peso complejos se transfoman en probabilidades relativas.3 bién las exposiciones ofrecidas en §6.6 y §6.7.)

332 Las sombras de la mente

6.3. No tomar lÚ) en serio Existen muchas versiones del punto de vista en el que m se considera que el vector de estado l Ú) proporcione una imagen real de una realidad fi'sica a nivel cuántico. En lugar de ello, lÚ) se tomari'a sólo como un artificio del cálculo, utilizado meramente para calcular probabilidades, o como una expresión del «estado de conocimiento» del experimentador respecto a un sistema fi'sico. A veces se considera que lo que lÚ) representa no es el estado de un sistema fi'sico individual sino el de un ccm/'wn,o de posibles sistemas fi'sicos similares.

A menudo se aduce que un vector de estado l Ú) enmarañado de forma complicada se comportará «para todos los propósitos prácticos» (o PTPP, como John Bell lo resumía sucintamente)4 del mismo modo que un conjunto semejante de sistemas fi'sicos -y esto es todo lo que los fi'sicos necesitan saber respecto al problema de la medida. A veces, se argumenta incluso que l Ú) m puede describir una realidad de nivel cuántico porque no tiene ningún sentido hablar de una «realidad» para nuestro mundo en dicho nivel, realidad que consiste tan sólo en los resultados de «medidas». Para personas como yo (y también Einstein y Schródinger -de modo que estoy en buena compañía), no tiene sentido utilizar el término «realidad» sólo

para objetos que podemos percibir, tales como (ciertos tipos de) aparatos de medida, negando que el término pueda aplicarse a algún nivel subyacente más

profundo. Indudablemente el mundo resulta extraño y poco familiar en el nivel cuántico, pero no es «irreal». ¿Cómo, de hecho, podri'an construirse objetos reales a partir de constituyentes irreales? Además, las leyes matemáticas que

gobiernan el mundo cuántico son notablemente precisas -tan precisas como las ecuaciones más familiares que controlan el comportamiento de objetos macroscópicos- a pesar de las imágenes borrosas que se conjuran mediante descripciones tales como «fluctuaciones cuánticas» y «principio de incertidumbre». No obstante, si aceptamos que debe haber algún tipo de realidad válida en el nivel cuántico, aún podemos tener dudas de que esta realidad pueda ser descrita aproximadamente por el vector de estado l Ú). Existen varios argumentos que la gente plantea como objeciones a la «realidad» de l Ú). En primer lugar, parece que l¢) necesita sufrir, de vez en cuando, este misterioso «salto» discontinuo no local que yo he estado denotando mediante la letra R. Ésta no

parece ser la forma en que deberi'a comportarse una descripción del mundo físicamente aceptable, en especial puesto que ya tenemos la ecuación de SchrÓdinger continua U, maravillosamente precisa, que se supone que controla el modo en que l Ú) evoluciona (durante la mayor parte del tiempo). No obstante, como hemos visto, U, por sí sola, nos lleva a las dificultades y enigmas de los puntos de vista del tipo-muchos-universos, y si exigimos una imagen que se parezca estrechamente al universo real que parecemos percibir a nuestro alrededor, entonces realmente se necesita algo de la naturaleza de R. Otra objeción que se plantea a veces a la realidad de lÚ) es que el tipo de al'ernancia U, R, U, R, U, R, ... que se utiliza en efecto en teori'a cuántica no

Tleoría cuán

es una descripción simétrica en el tiempo (porque es R el qu to de pa,,,-da de cada acción U, y no el punto de llegada cripción completamente equivalente en la que las evolucion tán invertidas (cf. NME, pp. 355-356 [pp. 442-443]; figur

deberíamos tomar una de éstas como la que proporciona otra? Existen incluso puntos de vista según los cuales ,t,m, nado hacia adelante como el estado evolucionado hacia a seriamente como partes coexistentes de la descripción de la r de Beauregard l989, Werbos l989, Aharonov y Vaidman

probable que haya algo de importancia fi'sica profunda suby sideraciones, pero por el momento no deseo detenerme en daré éstas y algunas otras cuestiones relacionadas en §7.l Una de las objeciones más frecuentes a tomar l ú) en s cripción de la realidad es que no es directamente «medibl que si a uno se le presenta un estado totalmente desconoci modo experimental de determinar cuál es realmente el vec un factor de proporcionalidad). Tomemos el caso del espín pi'n ¿, por ejemplo. Recordemos (§5.lO, figura 5.19) que c su espi'n estará caracterizado por una dirección particular tual. Pero si no tenemos idea de cuál es esta dirección, e modo de determinarla. Todo lo que podemos hacer es fij

y plantear la pregunta: ¿está su espín en dicha dirección (SI ción contraria (NO)? Cualquiera que se tome inicialmente

pín, su dirección en el espacio de Hilbert se proyectará b o bien en el espacio NO, con ciertas probabilidades. Y e

perdido la mayor parte de la información respecto a cuál estado de espín. Todo lo que podemos obtener de una me de espín para un átomo de espín ± es w# bit de informaci puesta a una pregunta si'/no), mientras que los posibles de espi'n constituyen un continuo cuya determinación exac mero infinito de bits de información. Todo esto es verdad, pero sigue siendo difi'cil adoptar l que el vector de estado lÚ) es de algún modo fi'sicament cerrando meramente la suma total de «nuestro conocimie ma fi'sico. Encuentro muy difiJcil de aceptar esto, especial haber algo muy subjetivo acerca de una función semejant to». Después de todo, ¿del conocimiento de gw,-c+n se está tamente no del mi'o. Yo tengo muy poco conocimiento rea estado individuales que son relevantes para el comportamie dos los objetos que me rodean. No obstante, ellos siguen s mente organizadas, totalmente indiferentes a cualquier cosa nocida» sobre el vector de estado, o de quienquiera qu ¿Utilizan diferentes experimentadores, con conocimiento di tema fi'sico, vectores de estado diferentes para describir di una manera significativa; sólo podrían hacerlo si estas difer

334 IAs

Una de las razones m.ás poderosas para rechazar un punto de vista tan subjetívo respecto a la realidad de lÚ)5 procede del hecho de que, cualquiera que

pudiera ser ,Ú), siempre existe -al menos en principio-una m¬d,'dapr,'m,-,,'va (cf. §5.l3) cuyo espacio SÍ consiste en el rayo del espacio de Hilbert determinado por l Ú). El punto clave es que el estado fi'sico l Ú) (determinado por el rayo de los múltiplos complejos de lÚ)) está ##,'vocame#,e determinado por el hecho de que el resultado Sl', para este estado, es segz,ro. Ningún otro estado fi'sico tiene esta propiedad. En efecto, cualquier otro estado tendría meramente alguna probabilidad, que no llegari'a a la certeza, de que el resultado fuera SI-,

y podri'a darse un resultado NO. Asi' pues, aunque no existe medida que nos dijera cuál es realmente l Ú), el estado fi'sico de l Ú) está unívocamente determinado por lo que afirma que debe ser el resultado de una medida que pz,dJ®¬nq realizarse sobre él. Ésta es una vez más una cuestión de supuestos contrafácticos (§5.2, §5.3), pero hemos visto lo importantes que son realmente las cuestiones contrafácticas para las predicciones de la teoría cuántica.

Para expresar el punto de una forma algo más contundente, imaginemos que se ha colocado un sistema c`uántico en un estado conocido, digamos l¢), y se ha calculado que al cabo de un tiempo , el estado habrá evolucionado, bajo la acción de U, a otro estado lÚ). Por ejemplo, l¢) podri'a representar el estado «espi'n arriba» (l¢) = lt)) de un átomo de espín í, y podemos su-

poner que ha sido colocado en dicho estado por la acción de alguna medida anterior. Supongamos que nuestro átomo tiene un momento magnético anneado con su espín (es decir, es un pequeño imán que apunta en la dirección del espín). Cuando el átomo está situado en un campo magnético, la dirección del es-

pi'n precederá de una forma bien definida, que puede ser computada precisamente como la acción de U, para dar algún nuevo estado, digamos l Ú) = l + ), al cabo de un tiempo ,. ¿Debe tomarse seriamente este estado computado como parte de la realidad fi'sica? Es difi'cil ver cómo puede negarse esto. En efecto, l Ú) tiene que estar preparado para la posibilidad de quepwd,-c+tzmos decidir medirlo con la medida primitiva mencionada antes, a saber aquélla cuyo espacio Sl' consiste precisamente en los múltiplos de l Ú). Aqui', ésta es la medida de espi'n en la dirección + . El sistema tiene que saber dar la respuesta SÍ, con cer,eza para dicha medida, mientras que n,®#gwJ# estado de espi'n del átomo distinto de l¢) = l+) podri'a garantizar esto. En la práctica, habri'a muchos tipos de situación fi'sica, diferentes de las determinaciones de espi'n, en las que una medida primitiva semejante sería totalmente impracticable. Pero las reglas estándar de la teori'a cuántica permiten que estas medidas puedan realizarse en principio. Negar la posibilidad de medidas de este tipo para tipos de lÚ) «demasiado complicados» seri'a cambiar la estructura de la teoría cuántica. Quizá dicha estructura deberi'a cambiarse (y en el §6.l2 hago algunas sugerencias concretas en esta dirección). Pero debe advertirse que al menos algún tipo de cambio es necesario si van a negarse distinciones o¿y'e,,'ws entre estados cuánticos diferentes, esto es, si m se va a considerar que lÚ) es, en algún sentido fi'sico claro, oby'e,,-vc,mcn,c real (al menos salvo proporcionalidad).

T¡eoría cuán

El cambio «mi'nimo» que se sugiere a menudo en relaci la medida es la introducción de lo que denominamos neg/as que efectivamente niegan la posibilidad de hacer ciertos tip mitivas en un sistema. No deseo tratar aqui' esto en detall opinión ninguna de estas sugerencias ha sido desarrollada

que haya surgido un punto de vista general y coherente con ma de la medida. El único factor que deseo resaltar aqui' es q bio mi'nimo de esta naturaleza sigue siendo un cambio y esto tión principal de que se necesita algún tipo de cambio. Finalmente, quizá deberi'a mencionar que existen otras ciones a la teoría cuántica que, aunque no están en i`ontra dicciones de la teori'a convencional, proporcionan «imágen difieren en varios aspectos de aquella en la que el vector de sí mismo, «tomado seriamente» como algo que representa tre éstas está la teori'a de la o#dc, p,-/o,o del pri'ncipe Lou

y David Bohm (l952) -una teori'a no local según la cual exi te a una función de onda l Ú) JJ un s¡stema de parti'culas de de los cuales se consideran «reales» en la teoría. (Véase tam l994). También existen puntos de vista que incluyen «histo comportamiento posible (estimulados por la aproximación de Richard Feynman [l948] y según los cuales la visión de l difiere algo de la que proporciona un vector de estado comú recientes de un sistema de este tipo general, pero que tam la posibilidad de lo que de hecho son medidas parciales re con un análisis debido a Aharonov c, c,/., 1964, son Gri (l992), Gell-Mann y Hartle (l993). Seri'a poco apropiado tirme aqui' una exposición de estas diversas alternativas (au cionarse que el formalismo de la matriz-densidad que se intr ma sección realiza una función importante en algunas de aproximación operacional de Haag, 1992). Debería decir que estos procedimientos contienen muchos puntos de co alguna originalidad estimulante, estoy de momento bastan de que el problema de la medida pueda resolverse realmcnte descripciones de estos diversos tipos. Por supuesto, es pe que el tiempo demuestre que estoy equivocado.

6.4. La matriz densidad Muchos fi'sicos adoptarán la postura de que son personas p tán interesados en cuestiones sobre la «realidad» de lÚ). To ta de l Ú), diri'an ellos, es que permita calcular probabilid pecto al comportamiento fi'sico futuro. A menudo, un esta

336 IAs sombras de la merite

detallado sean tan intrincados que no haya posibilidad en la práctica de ver siquiera los efectos de`interferencia cuántica que distinguen ese estado de muchos otros como él. Tales fiísicos «pragmáticos» no dudarán en afirmar que no tendri'a sentido mantener que el vector dc estado concreto que ha resultado de esta evolución tiene más «realidad» que otros que son en la práctica indistinguibles de él. De hecho, podri'an afirmar, se puede utilizar tanto una mezc/a p,obczb,'/,~s,,'ca de vectores de estado para describir la «realidad» como utilizar cualquier vector de estado pcz,,,®cw/c,,. Lo que se pretende es que si la aplicación de U a algún vector de estado que representa el estado inicial de un sistema da algo que, pcz,tz ,odo p,opo's,',o pnt7'c,,'c'o (HPP de Bell), es indistinguible de una mezcla probabilística semejante de vectores de estado, entonces la mezcla probabilística, más que el vector de estado evolucionado según U, es suficientemente buena para una descripción del mundo.

Se argumenta frecuentemente -al menos PTPP- que el procedimiento R puede entenderse en estos términos. En dos secciones, trataré de abordar esta importante cuestión. Preguntaré si es realmente cierto que la (aparente) paradoja U/R puede resolverse sólo por tales medios. Pero tratemos primero de ser algo más explícitos sobre los procedim¡entos que se adoptan en el tipo de aproximación estándar PTPP a una explicación del (¿aparente?) proceso R. La clave para estos procedimientos está en un objeto matemático conocido como una ma',,,'z de#s,-dczc7. La matriz densidad es un concepto importante en teoría cuántica, y es esta magnitud, más que el vector de estado, la que suele subyacer en la mayori'a de las descripciones matemáticas estándar del proceso de medida. También desempeñará un papel central en mi propio enfoque menos convencional, especialmente con respecto a su relación con los procedimientos estándar PTPP. Por esta razón, será por desgracia necesario profundizar en el formalismo matemático de la teoría cuántica un poco más de lo que hemos necesitado hasta ahora. Espero que el lector no iniciado no se asuste por esto. Incluso si no se obtiene una comprensión completa, creo que será de ayuda para el lector el mirar por encima los argumentos matemáticos dondequiera

que aparezcan, y sin duda se tendrá algo de su aroma. ¡Esto será de valor considerable para la comprensión de algunos de los argumentos posteriores y de las sutilezas envueltas en la apreciación de por qué realmente ,enemos necesidad de una teori'a mejorada de la mecánica cuántica! Podemos pensar que una matriz densidad representa una mezcla probabilista de un número de posibles vectores de estado c,/,ermz,,'vos, más que simplemente un solo vector de estado. Por una «mezcla probabilista» entendemos simplemente que existe alguna incertidumbre sobre cuál puede ser el estado real del sistema, y a cada posible vector de estado alternativo se le asigna una probabilidad. Existen só1o probabilidades de números reales en el sentido clásico habitual. Pero con una matriz densidad existe una confusión (deliberada) en esta descripción entre estas probabilidades c/aís,'cos, que ocurren en esta mezcla con pesos probabili'sticos, y las probabilidades mcco#o-cwa-#,,'cc,s que resultari'an del procedimiento R. La idea es que no es posible distinguir operacionalmente entre las dos, de modo que una descripción matemática -la

Tleoría cuánt

matriz densidad- que Ho distinga entre ellas es operaciona ¿Cuál es esta descripción matemática? No quiero entrar sobre ello aqui', pero será útil alguna indicación sobre los La idea de la matriz densidad es de hecho una idea muy ele lugar, en lugar de cada estado lú) individual usamos un ob en la forma lú)(Úl .

¿Qué significa esto? La definición matemática exacta no nosotros aquí, pero esta expresión representa un tipo de « ma del producto tensorial mencionado en §5.l5) entre el ve y su «complejo conjugado», escrito (Úl . Tomamos l Ú) com do normalizado ((ÚlÚ) = 1), y entonces la expresión lÚ)(Úl te determinada por el estado físico que representa el vector pendiente de la libertad de factor de fase l¢) + eiOlÚ), exp la terminologi'a de Dirac, el lÚ) original se denomina un es su correspondiente vector «bra». Juntos, un vector br

ket l¢) pueden combinarse para formar su prodwc,o csca/ réntesis): (Úl¢)

una notación que reconocerá el lector de §5.l2. Este product mente un número complejo común, mientras que el produc

que ocurre en una matriz densidad da un «objeto» matemát do -un elemento de un cierto espacio vectorial. Existe una operación matemática particular llamada «t nos permite pasar de este «objeto» a un número complejo expresión simple como l Ú)(¢l , esto equivale simplemente a los términos para dar el producto escalar traza (lÚ)(¢l ) = (¢lÚ)'

mientras que para una suma de términos, «traza» actú ejemplo, traza (zlÚ)(¢l

*

+ wla)(6l) = z(¢IÚ) + W(í3l

Fue propuesta en l932 por el famoso matemático húngaro/americ

quien, además, fue la persona originalmente responsable de la teori-a que los ordenadores electrónicos, siguiendo el trabajo seminal de Alan Turing. cionada en la nota g del capítulo 3 (véanse pp. l7l y 448 fuc también idea

338 IJas sombras de la mente

No entraré en los detalles de todas las propiedades matemáticas de objetos como (Úl y lÚ)(¢l , pero hay varios aspectos dignos de mencionar. En primer lugar, el producto l¢)(¢l satisface precisamente las mismas leyes algebraicas que se enumeraron en p. 307 para el producto l¢)l¢) (excepto la última, que no es relevante aqui,: tzIÚ),(¢l (lú) +

= ztlú)(¢l, = lÚ)tz(¢l,,

lx))(¢l

=

lÚ)((¢l + (xl, =

lÚ)(¢I

+

lú)(¢l +

Ix)(¢I,

lú,(xl -

Deberi'aLos observar también que el vector bra z-(Ú¡ es el complejo conjugado del vector ket zlÚ) (siendo z-el complejo conJ-ugado común del número complejo z, cf. p. 283), y (¢l + (x) es el complejo conjugado de lÚ) + lx). Supongamos que queremos describ¡r la matriz densidad que representa alguna mezcla probabili'stica de estados normalizados, digamos lc¥), l¢), con probabilidades respectivas c,, b. La matriz densidad adecuada seri'a, en este caso, D = alcr)(c¥l + bl¢)(Cl -

Para tres estados normalizados lc¥), l¢), ly), con probabilidades respectivas cz, b, c', tenemos D = OIC¥)(C¥l + bl¢)(¢l + CIY)(Yl,

y asi' sucesivamente. A partir del hecho de que las probabilidades para todas las alternativas deben sumar la unidad, puede deducirse la siguiente propiedad importante, que es válida para cualquier matriz densidad.' traza (Z)) = l.

¿Cómo podemos utilizar una matriz densidad para calcular las probabilidades que aparecen en una medida? Consideremos primero el caso de una medida primitiva. Preguntamos al sistema si está en el estado físico l¢) (Sl') o en alguno ortogonal a l Ú) (NO). La propia medida se representa mediante un objeto matemático (llamado proJ,ec,or) muy similar a una matriz densidad: E-lÚ)(Úl.

La probabilidad p de obtener SÍ es entonces p -- traLz.a. (DE), donde el producto DE es en si' mismo el «objeto» tipo matriz densidad que se obtendri'a utilizando las reglas de1 álgebra de una forma casi corriente -pe-

Tleoría cuánt¡

ro teniendo cuidado en el orden de las «multiplicaciones». la anterior suma de dos términos D = alc¥)(c¥l + blP)@l, DE = (alc¥)(c¥l + blP)Wl)lÚ)(Úl

= alc!)(c¥lú)(úl + ól6)¢lú)(úI = (a(c¥lú))lc¥)(ÚI + (b(6lÚ))l6)(úl-

IJos términos (c¥lÚ) y @lÚ) pueden ser «conmutados»

nes puesto que son simplemente números, pero debemos t orden de «objetos» como lc¥) y (Úl. Deducimos (notando p. 283) traza (DE) = (a(crlÚ))(Úlc¥) + (b@lÚ))(Úl¢ = al(ctlÚ)l2 + bl(6lú)l2-

Recordemos (cf. §5.l3, p. 305) que l(c¥lÚ)l2 y l(¢lÚ)l2 s

des c'wa'n,,'cas para los resultados respectivos lc¥) y l¢), mie

porcionan las contribuciones clásicas a la probabilidad total. babilidades cuánticas y las probabilidades clásicas están expresión final. Para la medida si'/no más general, la exposición es bási salvo que en lugar del «E» definido antes usamos un proy

tal como E =

lÚ)(Úl + l¢)(¢I + ''' + lX)(Xl,

donde lÚ), l¢), ... lx) son estados normalizados mutuamen llenan el espacio de los estados Sl' en el espacio de H¡lbert. T dad general

E--E, que caracteriza a un proyector. La probabilidad de SI, para l por el proyector E en el sistema con matriz densidad D, es t mente igual que antes. Tomamos nota del hecho importante de que la probabilid de calcularse si simplemente conocemos la matriz densidad describe la medida. No necesitamos conocer la forma conc compuesto la matriz densidad en términos de estados concre dad total resulta automáticamente como la combinación apr bilidades clásicas y cuánticas, sin que tengamos que preoc

340 Las sombras de la mente des clásicas y cuánticas están entretejidas dentro de la matriz densidad. Supon-

gamos, por ejemplo, que tenemos una parti'cula de espi'n ±, y que tenemos una completa incertidumbre sobre si el estado de espi'n (normalizado) resulta ser l t) o l + ). Asi' pues, suponiendo que las probabilidades respectivas son ± y ±, la matriz densidad se convierte en z,=±it)(tl +±l¿)(Jl,

Ahora resulta (por un cálculo simple) que precisamente la m,'smo matriz densidad D apareceri'a con una igual mezcla de probabilidades ±, ±, de cualquier otro par de posibilidades ortogonales, por ejemplo los estados (normalizados) l+) y l+) (donde l-) = (lT) + lt))/VÍy I-) = (lt) -lJ)WÍ):

D-iI-)(-l+!l-)(-l. Supongamos que decidimos medir el espi'n de la parti'cula en dirección hacia arriba, de modo que el proyector relevante es E-lt)(Jl.

Entonces encontramos, para la probabilidad de SI- según la primera descripción, traza (DE) = ±l(tlt)I2 + ±l(Jlt)l2

-ixl2+ÍxO2

=¡, l

donde estamos utilizando (t l t) = l y (J I T) = 0 (siendo los estados normalizados y ortogonales); y según la segunda, traza (DE) = íl(+lt)I2 + ±I(+lt)l2

=± x (l/VZ)2 + i x (l/vT)2

-Í+Í-¡, l

donde ahora los estados derecha/izquierda l + ), l + ) no son ni ortogonales ni paralelos al estado medido lt), y de hecho l(+lT)l = l (+lT)l = l/\ff-

Aunque resultan las mismas probabilidades (como debe ser, puesto que la matriz densidad es la misma), la interpretación fi'sica de estas dos descripciones es muy diferente. Estamos aceptando que la «realidad» fisica de cualquier situación va a venir descrita por c,/gz,+n vector de estado definido, pero existe una incertidumbre clásica sobre cuál podri'a resultar ser este vector de estado

T¡eoría cuánt

real. En la primera de nuestras dos descripciones anteriore o lJ) pero no sabemos cuál. En la segunda, es o l +) o l cuál. En la primera descripción, cuando realizamos una tar si el estado es lt), se trata de una simple cuestión de pr cas: de hecho existe una probabilidad directa ± de que est esto es todo lo que hay en ello. En la segunda descripción, la misma pregunta, es la mezcla probabili'stica de l + ) y l + medida, y cada una de ellas contribuye con una contrib multiplicado por una contribución mecano-cuántica í al t Vemos que la matriz densidad consigue astutamente dar la p ta independientemente de que esta probabilidad se conside de partes clásicas y mecano-cuánticas. El ejemplo ahterior es algo especial por el hecho de que

posee lo que se denominan «valores propios degenerados» aqui', los dos valores de la probabilidad clásica ±, í son ig nos permite tener más de una descripción en términos de m de alternativas ortogonales. Sin embargo, éste no es un punto tra exposición presente. (IÁ, menciono principalmente para pertos.) Siempre podemos permitir que los estados alternati probabilista incluyan muchos más estados que tan sólo un c tivas mutuamente ortogonales. Por ejemplo, en la situaci mos tener mezclas probabilistas complicadas de muchas p de espi'n diferentes. Resulta que para cwc,/gw,®er matriz den una con valores propios degenerados- existen muchi'simas mente diferentes de representar la misma matriz densidad co babilista de estados alternativos.

6.5. Matrices densidad para pares E Examinemos ahora un tipo de situación para la que una des una matriz densidad es particularmente apropiada -pero qu to casi paradójico de su interpretación. Éste se reriere a su rela EPR y el enmarañamiento cuántico. Consideremos la situac en §5.l7, donde una parti'cula de espi'n O (en el estado lí})

partículas de espi'n í que viajan hacia la izquierda y la dere distancia, viniendo dada la expresión para sus estados de esp marañados): l8) = llt)lDJ) -lIJ)IDt).

Supongamos que el espi'n de la partícula del lado derec ser examinado por el aparato de medida de algún observad ti'cula del lado izquierdo se ha alejado a una distancia tan gr vador no tiene acceso a ella. ¿Cómo describiri'a el observad

342 Las sombras de la mente

Sería muy apropiado para él utilizar la matriz densidad D = ílDt)@tl + ±lD+)(DJI,

En efecto, él podri'a imaginar que otro observador -algún colega muy alejado-ha decidido medir el espi'n de la parti'cula de la izquierda en una dirección arriba/abajo. Él no tiene modo de decir qué resultado podri'a haber obtenido su colega imaginario para esta medida de espi'n. Pero él sabe que si su colega hubiera obtenido el resultado l lt), entonces el estado de su propia parti'cula tendri'a que ser lDJ), mientras que si su colega hubiera obtenido lI+), entonces el estado de su propia parti'cula debería ser lDt). Sabe también (a partir de lo que las reglas estándar de la teori'a cuántica le dicen que debe esperar para las probabilidades en esta situación) que es igualmente probable que su colega imaginario haya obtenido llt) como que haya obtenido l I+). Asi' pues, él concluye que el estado de su propia parti'cula es una mezcla con probabilidades iguales (es decir, probabilidades respectivas ±, ±) para las dos alt.ernativas lDt), lDJ), de modo que su matriz densidad debe ser D, como está dada más arriba. Sin embargo, él podri'a imaginar que su colega acaba de medir la partícula del lado izquierdo en una dirección izquierda/derecha en lugar de la dirección anterior. Un razonamiento idéntico (ahora utilizando la descripción alternativa lí}) = lI+)lD+) -lI+ ) lD+), cf. p. 293) le llevaría a concluir que el estado de espi'n de su propia parti'cula es una mezcla con probabilidades iguales de derecha e izquierda, que le proporciona la matriz densidad

D=±lD+)@+I +±lD-)(D+l, Como se ha dicho antes, ésta es precisamente la misma matriz densidad que ya teni'amos, ¡pero su interpretación como una mezcla de probabilidades de estados alternativos es completamente diferente! No importa qué !'#,crpn¬,a'c,-o'# adopte el observador. Su matriz densidad le proporciona toda la información disponible para los cálculos de probabilidades de los resultados de medidas de espi'n sólo en la parti'cula de la derecha. Además, puesto que su colega es meramente ,-mag,'#ado, nuestro observador no necesita considerar que se haya realizado ninguna medida de espín en la parti'cula del lado izquierdo. La misma matriz densidad D le dice todo lo que él puede saber sobre el estado de espín de la partícula del lado derecho antes de que realmente mida esa partícula. En realidad, podn'amos suponer que el «estado real» de la parti'cula del lado derecho viene dado más correctamente por la matriz densidad D que por cualquier vector de estado particular. Consideraciones de este tipo general llevan a veces a la gente a creer que las matrices dcnsidad proporcionan una descripción más apropiada de la «realidad» cuántica en ciertas circunstancias que la que proporcionan los vectores de estado. Sin embargo, esto #o nos proporcionari'a un punto de vista global en situaciones como la que acabamos de considerar. En efecto, no hay nada en principio que impida que el colega imaginario de nuestro observador se con-

Tleoría cuán,i

vierta en un colega real, y que los dos observadores se com mente sus resultados uno a otro. Las correlaciones entre la y otro observador no pueden explicarse en términos de matric pendientes para las parti'culas del lado izquierdo y el lado de do. Para esto necesitamos el estado enmarañado entero pro expresión para el vector de estado real lí}), como se da m Por ejemplo, si ambos observadores dec¡den medir los es culas en la dirección arriba/abajo, entonces deben obtener n

puestas opuestas para los resultados de sus medidas. Las mat dividuales para las dos parti'culas no proporcionan esta info de modo más riguroso, el teorema de Bell (§5.4) demuestra forma local de tipo clásico («calcetines de Bertlmann») de enmarañado del par de parti'culas combinadas, antes de la me capi'tulo 6, nota l4, p. 301 [p. 573]), para una demostración cho -esencialmente debida a Stapp, l979; cf. también Sta so en el que uno de los observadores decide medir el espi' o bien en dirección arriba/abajo o bien en dirección derech tras que el otro escoge cualquier dirección que forma un án las dos anteriores. Si reemplazamos las dos parti'culas de espi'n 3, entonces los dodecaedros mágicos de §5.3 muestran de forma incluso más convincente, puesto que ahora no se lidades.)

Esto demuestra que la descripción mediante una matriz ser adecuada para describir la «realidad» de esta situación s razón cn p,,'nc',-p,'o por la que las medidas de las dos partes den ser realizadas y comparadas. No parece haber razón, e males, para que éste fuera el caso. En situaciones anorma considerada por Stephen Hawking (l982) en la que una parti'c

podri'a quedar capturada dentro de un agujero negro- podri mento más serio a favor de una descripción mediante una m el nivel fundamenta1 (como Hawking argumenta de hecho). P mo, constituiría un cambio en el propio marco de la teori' cambio semejante, el papel esencial de la matriz densidad e fundamental -aunque su papel es importante de todas for

6.6. ¿Una explicación PTPP de R? Veamos ahora cómo las matrices densidad realizan su funció ción estándar -PTPP- para explicar de qué manera «parece so R. La idea es que un sistema cuántico y un aparato de el entorno en el que ambos están inmersos -todos ellos evol U- se comportarán corio s,' R ha tenido lugar cuando quie

344 IJas sombras de la mente

al ser «medido» desencadena efectos de gran escala en el aparato de medida

que pronto implican enmarañamientos con partes considerables y cada vez mayores de dicho entorno. En esta fase, la imagen se hace similar en muchos aspectos a la situación EPR que se discutía en la sección precedente. El sistema cuántico, junto con el aparato de medida que acaba de dispararse, desempeña un papel bastante parecido al de la parti'cula del lado derecho, mientras que el entorno perturbado desempeña un papel similar al de la parti'cula del lado izquierdo. Un fi'sico que se proponga examinar el aparato de medida desempeñari'a un papel similar al observador que examina la partícula del lado derecho, en la exposición anterior. Este observador no tiene acceso a ninguna medida que pudiera realizarse sobre la parti'cula del lado izquierdo; análogamente nuestro fi'sico no tiene acceso a la forma detallada en la que podri'a ser perturbado el entorno por el aparato de medida. El entorno consistirá en un número enorme de partículas que se mueven aleatoriamente, y podemos considerar que la información detallada contenida en la forma exacta en la que las parti'culas del entorno han sido perturbadas quedari'a, en la práctica, irremediablemente perdida para el fi'sico. Esto es análogo al hecho de que cualquier información relativa al espín de la partiícula del lado izquierdo, en el ejemplo anterior, es inaccesible al observador del lado derecho. Como sucede con la parti'cula del lado derecho, el estado del aparato de medida está descrito apropiadamente por una matriz densidad más que por un estado cuántico puro; en consecuencia es tratado como una mezcla probabilista de estados, más que como un estado puro

por si' mismo. Esta mezcla probabilista proporciona las alternativas con pesos

probabilistas que nos hubiera dado el procedimiento R -al menos PTPPde modo que el argumento estándar es válido. Consideremos un ejemplo. Supongamos que un fotón es emitido por alguna fuente en dirección a un detector. Entre fuente y detector hay un espejo parcialmente plateado, y después de encontrar el espejo el estado del fotón es una superposición wlc¥)

+ zlC),

donde el estado transmitido lc¥) activaría el detector (SI-) pero el estado reflejado l¢) lo dejaría inalterado (NO). Estoy suponiendo aquí que todos los estados están normalizados, de modo que, según el procedimiento R obtendri'amos: probabilidad de SÍ = lwl2; probabilidad de NO = lzl2.

Para un espejo s'cm,'plateado (como en el ejemplo iricial considerado en §5.7, donde nuestros lc¥) y l¢) seri'an los estados lB) e ilC), respectivamente) cada una de estas dos probabilidades es ±, y tenemos lwl = lzl = l/vT. El detector tiene inicialmente el estado lY), que evoluciona a lYs) (SÍ) al absorber el fotón (en el estado lc¥)) y que evoluciona a lPN) (NO) si no absorbe al fotón (en el estado l¢)). Si pudiera ignorarse el entorno, entonces el

estado en esa etapa tendri'a la forma

7]eoría cuánt WIYs) + Z}YN)l6)

(supuestos todos los estados normalizados); pero suponga siendo un objeto macroscópico, se involucra rápidamente e el entorno que le rodea -y podemos suponer que el fotón mente en el estado l¢)) es absorbido por la pared del labor tirse también en parte del entorno. Como antes, según el el fotón, él quedará en el estado del detector lYs) o lYN), r al hacerlo así perturbará el entorno de forma diferente en c asignar el estado del entorno l@s) para acompañar a lYs), pañar a lYN) (de nuevo supuestos normalizados, pero no togonales) y podemos expresar el estado global en la for Wl¢s)lYs)

+ ZlÓN)lYN)o

Hasta aquí el fi'sico no está involucrado, pero él va a e

para ver si éste ha registrado SÍ o NO. ¿Cómo vería él el e detector justo antes de que lo exam¡ne? Como sucedi'a con el de el espi'n de la parti'cula del lado derecho en la exposición a niente para él utilizar una matriz densidad. Podemos supon realmente ninguna medida en el entorno para asegurar si y lÓN), igual que sucedi'a con la parti'cula del lado izquier descrito antes. En consecuencia, una matriz densidad pro una descripción cuántica apropiada del detector.

¿Cuál es esta matriz densidad? El tipo de argumento est alguna forma particular de modelar este entorno -y tambié tesis no totalmente justificadas, tal como la irrelevancia de c EPR) lleva a la conclusión de que esta matriz densidad de

aproximarse mucho a la forma D = a'IYs)(Ysl + blYN)(YNl

donde a=lwl2yb=lZl2,

Esta matriz densidad puede ser interpretada como la rep mezcla probabilista del detector que registra SÍ, con probabil tector que registra NO, con probabilidad lzl2. Esto es exa proceso R nos hubiera dicho que encontrará cl fi'sico como r

perimento -¿o no? Debemos tener algún cuidado al llegar a este análisis. L D permitiri'a realmente a nuestro fi'sico calcular las probabili sita, si se le permite sz,po»er que las alternativas abiertas a

346 IAs sombras de la mente

es en modo alguno una consecuencia de nuestra exposición. Recor la sección anterior que las matrices densidad tienen muchas interp ¢/,erm,,-va,s como mezcla probabilista de estados. En particular, un espejo semiplateado obtenemos una matriz densidad exactamente ma forma que la que obteni'amos para la parti'cula de espín í ante

de nes aso de is-

D = ±lYs)(Ysl + ±lYN)(YNl '

Esto puede ser reescrito como, digamos, D = ±lYp)(Ypl + ±lYQ)(YQl ,

donde lYp) y lYQ) son dos posibles estados ortogonales completa

ife-

rentes para el detector -estados que seri'an bastante absurdos desd

nto

de vista de la fi'sica clásica, tales como lVp) = (lYs) + lYN))/VZ-y lYQ) = (lYs) -lYN))/VZ.

El hecho de que el físico considere que el estado de su detector es

rito

por la matriz densidad I) no explica de ningún modo por qué él encue pre que el detector está o bien en un estado SÍ (dado por lYs)) o al mente en un estado NO (dado por lYN)). Pues, en efecto, ¡exactam ma matriz densidad seri'a dada si el estado fuera una combinación con

mvamispe-

sos probabilistas de los absurdos c1ásicos lYp) y, lYQ) (¡que desgrib

ecti-

vamente las superposiciones lineales cuánticas «Sl mo-§ NO» y «Sl mc Para hacer énfasis en el absurdo fi'sico de estados como lqp) y l un detector macroscópico, consideremos el caso de un «aparato

»!). para ida»

que consiste en una caja con un gato en su interior, de modo que el muerto mediante algún dispositivo si el detector recibe un fotón (en e pero no en otro caso (fotón en estado lP)) -un gato de Schródinge y la figura 6.3). La respuesta SÍ se presentaría en la forma de «gato la respuesta NO en la forma «gato vivo». Sin embargo, saber mer la matriz densidad tiene la forma de una mezcla a partes iguales d estados no nos dice ciertamente que el gato está o muerto o vivo (co lidades iguales), ¡puesto que también podría estar «muerto más vivo menos vivo» con iguales probabilidades! La matriz densidad sola "

eri'a c¥))

que estas dos posibilidades clásicamente absurdas nunca serán expe en el mundo real tal como lo conocemos. Como sucede con el tipo universos» de aproximación a una explicación de R, parecemos ver dos, de nuevo, a considerar qué tipo de estados está permitido qu observador consciente (aquí, nuestro «fi'sico»). ¿Por qué un estado muerto más gato vivo» no es algo que pudiera llegar a conocer alg observador consciente externo?*

das osligaa un gato un

*

5.l »y que dos abierto ice

Por supuesto, ¡habría que considerar también la propia consciencia del gato!

pecto

de las cosas se pone claramente de manifiesto en una versión de la paradoja del gato

ódin-

ger debida a Eugene P. Wigner (l96l). El «amigo dc Wigner» sufre u'trajes similares de Schródinger, ¡pero es completamente consciente en cada uno de sus estados s

gato tos!

Tleoría cuánt¡c

Uno podri'a replicar que la «medida» que nuestro fi'sico detector consisti'a, después de todo, en determinar simple registra SÍ o registra NO, es decir, asegurar, en este ejemplo, s o s¡ está vivo. (Esto es similar al observador, en la sección p termina si el espín de la parti'cula del lado derecho es arriba o medida la matriz densidad da las probabilidades correctas, d que decidamos representarla. Sin embargo, esto es una peti Debemos preguntar por qué se da el caso de que m,®,t,, si realiza una medida de este tipo. Simplemente, no hay nada de un sistema cuántico que nos diga que en el acto de «mirar mente depenc,-b,+, un sistema cuántico, nuestra consciencia la combinación «gato muerto más gato vivo». Volvemos don tes. ¿Qué es la consciencia? ¿Cómo están ,ea'/mcn,e construi bros? ¡No vernos obligados a consideraciones de este tipo er nes más claras para considerar explicaciones PTPP de R en Algunos podrían tratar de argumentar que, en nuestro ej tado considerando un caso especial poco representativo, en d babilidades ¿ y ± son iguales (el caso de «valores propios deg en tales situaciones puede representarse la matriz densidad e ma como una mezcla con pesos probabilistas de alternativas

gowa/es. Sin embargo, ésta no es una restricción importante p gonalidad de las alternativas no es un requisito para la inter matriz densidad como mezcla con pesos probabilistas. De he lo reciente Hughston e, a/. (l993) han demostrado que en sit considerada aquí, en la que una matriz densidad surge debid bajo consideración está enmarañado con otro sistema separa c'wa'/gw,'er forma que uno elija de representar dicha matriz d mezcla probabilista de estados altemativos, existe siempre una realizarse sobre dicho sistema independiente de esta forma

presentar la matriz densidad. En cualquier caso, puesto q está presente en el caso en que las probabilidadcs son igual por si' solo nos dice que la descripción mediante matriz den ciente para describir cuáles deben ser los estados n¬cr/es alter detector.

El resultado de todo esto es que saber meramente que la es alguna D dada #o nos dice que el sistema sea una mezcl algún conjunto concreto de estados que dan lugar a esta D c existen varias maneras completamente diferentes de obtener l yori'a de las cuales serían «absurdas» desde el punto de vist mún. Además, este tipo de ambigüedad aparece para cualquie IJas discusiones estándar no suelen ir más allá del punto de trar que la matriz densidad es «diagonal». Esto significa, en ser expresada como una mezcla con pesos probabilistas de alt

348 Las sombras de la mente salvedad final, ¡,ocJaLs las matrices densidad serían diagonales!) Pero hemos visto

que el mero hecho de que la matriz densidad puede ser expresada de esta forma no nos dice, por sí mismo, que los detectores no se percibirán en superposiciones cuánticas «absurdas» de Sl' y NO al mismo tiempo. Asi' pues, contrariamente a lo que se afirma frecuentemente, el argumento estándar #o explica cómo tiene lugar la «ilusión» de R como algún tipo de descripción aproximada de evolución U, cuando el entorno llega a estar inextricablemente involucrado. Lo que s,Ídemuestra este argumento es que, en tales circunstancias, el procedimiento R puede coexistir paci'ficamente con la evolución U. Aún necesitamos R como una parte de la teori'a cuántica que es independiente de la evolución U (al menos en ausencia de alguna teori'a que nos diga qué tipo de estados pueden percibir los seres conscientes).

Esto, en si' mismo, es importante para la coherencia general de la teori'a cuántica. Pero es también importante darse cuenta de que esta coexistencia y esta coherencia tienen un estatus PTPP más que un estatus riguroso. Recordemos, de la exposición final de la sección precedente, que la descripción mediante una matriz densidad de la parti'cula del lado derecho era adecuada sólo en ausencia de una posible comparación entre medidas que pudieran realizarse en c,mbas parti'culas. Para eso, era necesario el estado entero con sus superposiciones cwa'#Í,®ccLs, más que meras superposiciones con pesos probabilistas. Del mismo modo, la descripción mediante matriz densidad del detector en la exposición que nos ocupa es adecuada sólo si no pueden medirse los detalles del entorno y compararse con los resultados de las observaciones del detector por el experimentador. R puede coexistir con U sólo si los detalles del entorno son inmunes a la medida; y los sutiles efectos de interferencia cuántica, que (según la teori'a cuántica estándar) están ocultos en la inmensa complicación de la descripción detallada del entorno, nunca pueden ser observados. Es evidente que el argumento estándar contiene una buena parte de verdad;

pero de ningún modo puede ser la respuesta completa. ¿Cómo vamos a estar seguros de que los efectos de tales fenómenos de interferencia no serán desvelados por algunos avances futuros en la tecnologi'a? Necesitari'amos alguna nueva regla fi'sica que nos diga que algunos experimentos que actualmente no pueden realizarse en la práctica, no puedan realmente realizarse nunca e#pr,'mJ-p,'o. Según una regla semejante, tendría que haber algún nivel de acción fi'sica en el que se juzgue que es imposible en principio recuperar estos efectos de interferencia. Parece que tendría que intervenir algún fenómeno fi'sico nwevo, y que las superposiciones con pesos complejos de la fi'sica de nivel cuántico llegasen a ser rea'/mc#,c alternativas fi'sicas de nivel clásico, más que convertirse en tales alternativas meramente PTPP. El punto de vista PTPP, tal como está, no nos da una imagen de una realidad física. No puede darse realmente el caso de que PTPP sea otra cosa que un sustitutivo de una teori'a fi'sica -aunque de todas formas un sustitutivo valioso- y será importante para los objetivos que propondré en §6.12.

Tleoría cuánti

6.7. ¿Explica PTPP la regla del módulo al En las tres secciones precedentes habi'a una hipótes¡s adici se ha permitido pasar casi inadvertida. La necesidad de esta la realmente cualquier sugerencia de que hayamos sido capa regla del módulo al cuadrado del procedimiento R a partir -ni siquiera PTPP. En el propio uso de una matriz densida

impli'citamente que una mezcla con pesos probabilistas est damente por un objeto semejante. La misma adecuación de lc¥)(Gl , que en sí misma tiene la forma de «algo multiplica conjugado» está ya i'ntimamente ligada con la hipótesis de l al cuadrado. La regla para obtener probabilidades a partir de dad combina correctamente probabilidades clásicas con prob cas sólo porque la regla del módulo al cuadrado está ,'nco,p noción de una matriz densidad. Aunque es cierto que el proceso de la evolución unitari máticamente con la noción de una matriz densidad y con el

(c¥l¢) en el espacio de Hilbert, no nos cJ,-ce de ninguna man b,®/,'dad¬s lo que van a calcularse por medio de los módulo nuevo es una cuestión de mera coexistencia entre R y U, má ción de R a partir de U. IJa evolución unitaria no dice na de probabilidad. Es una hipótesis ad,'c,-oHc,/ muy precisa la lidades cuánticas pueden ser calculadas por este procedimie temente de cómo se intente justificar la consistencia de R medio de un enfoque de muchos-universos o un enfoque P Puesto que mucho del apoyo experimental de que disfruta tica surge de la propia forma en que la teoría nos dice que las probabilidades, podemos ignorar la parte R de la mecá

por nuestra cuenta y riesgo. Es algo diferente de U, y no es de U, por muy ardua y frecuentemente quc los teóricos han trar que debe ser asi'. Puesto que no es una consecuencia de bemos tratar de entender como un proceso fi'sico por sí mism sugerir que debe ser una /eJ' firsica por sí misma. Sin duda es a alguna otra cosa que podemos no entender todavi'a. Las di de la sección precedente sugieren con fuerza que el uso del en el proceso de medida es en realidad una aproximación. Aceptemos que se necesita algo nuevo, y aventurémonos tela en varias rutas hacia lo desconocido que pueden abrirs

6.8. ¿Es la consciencia la que reduce el vector Entre quienes toman lÚ) cn serio como una descripción del

350 Las sombras de la mente

que algo de la naturaleza de R tiene lugar ,ea/mc#,e en cuanto entr la consciencia de un observador. El distinguido fi'sico Eugene Wign una vez una teori'a de esta naturaleza (Wigner l96l). La idea general c en que la materia inconsciente -o quizá simplemente la materia in evolucionari'a según U, pero en cuanto una entidad consciente (o «vid maraña fi'sicamenté con el estado, entóncesl iriterviene algo nuevo, ceso físico que da como resultado R toma el mando riec,/mcn,e para estado. No se sugiere necesariamente, con semejante punto de vista, que consciente fuera capaz de «influir» de algún modo en la elección parti hace la Naturaleza en este instante. Una sugerencia semejante nos llevar caracteri'sticamente turbias y, hasta donde yo sé, habri'a un grave co tre hechos observados y cualquier sugerencia demasido simplista de q de voluntad consciente pudiera influir en el resultado de un cxperiment cuántico. Asi' pues, mo estamos exigiendo aquí que la «libre voluntad te» deba tomar necesariamente un papel activo con respecto a R (pe para algunos puntos de vista alternativos). Sin duda, algunos lectores podri'an esperar que, puesto que esto un nexo entre el problema de la medida cuántica y el problema de la cia, yo podri'a sentirme atraído por ideas de esta naturaleza general dejar claro que #o es asi'. Después de todo, es probable quc la cons un fenómeno bastante raro en el universo. Parece haber buena cantid que se da en muchos lugares de la superficie de la Tierra pero, por cia que se nos ha presentado hasta la fecha,8 no existe una consci mente desarrollada -si es que existe alguna- en los confines del u muchos cientos de años-luz de nosotros. Seri'a una imagen muy ext un universo físico «real» en la que objetos fi'sicos evolucionan de for mente diferentes dependiendo de si están o no dentro de la visión, o del tacto de uno de sus habitantes conscientes. Por ejemplo, consideremos el clima. IJas estructuras detalladas del

ego zó ri'a aenproir el idad ue uas encto noien7.l,

ndo eneri'a sea ella

enltaoa de talído que

puedan desarrollarse en cualquier planeta, siendo dependientes de pr sicos caóticos (cf. §l.7), deben ser sensibles a numerosos sucesos cu dividuales. Si el proceso R no tiene lugar realmente en ausencia de c entonces ninguna estructura climática real concreta se definiri'a a parti sijo de alternativas superpuestas cuánticamente. ¿Podemos creer real las estructuras del clima en algún planeta lejano permanecen en sup nes complejas d¬ innumerables posibilidades distintas -só1o un am completamente diferente de un clima real- hasta que algún ser cons conocedor del mismo, momento en el cual, y so'/o entonces, el clima se convierte en un clima real? Podría argumentarse que desde un punto de vista operacional -est el punto de vista operacional de un ser consciente- semejante «cli

s fi's incia, maque ciootal sea uesto

esde per-

puesto no seri'a diferente de un clima nea/ incierto (PTPP). Sin em en si- misma no es una solución satisfactoria al problema de la reali Hemos visto que el punto de vista PTPP no resuelve estas cuestion

ésta ica. fun-

T¡eoría cuántica das de «realidad», sino que sigue siendo un sustitutivo que per

tan los procedimientos U y R de la mecánica cuántica actual que nuestra tecnología nos lleve al momento en el que sea nece de vista más preciso y coherente. Así pues, propongo buscar en otra parte una solución al mecánica cuántica. Aunque podría muy bien darse el caso de q de la mente esté en última instancia relacionado con el problem

cuántica -o con la paradoja U/R de la mecánica cuántica-no nión, la consc¡encia en sí misma (o la consciencia en la forma q líar) la que puede resolver las cuestiones fi'sicas internas de la te Creo que el problema de la mecánica cuántica deberi'a ser afron antes de que podamos confiar en hacer algún progreso real con la consc¡encia en términos de acción fi'sica -y que el problem debe ser resuelto en términos completamenteJ¡Js,-cos. Una vez

posesión de una solución satisfactoria, entonces podremos est ción mejor para avanzar hacia algún tipo de respuesta a la cuesti c¡encia. Mi opinión es que resolver el problema dc la medida

pmmegw,-s,-,o para una comprensión de la mente y #o c# a'óso mismo problema. ¡El problema de la mente es un problema muc quc el problema de la medida!

6.9. Tlomar lÚ) realmente en serio Hasta el momento, los puntos de vista que afirmari'an tomar e cripción cuántica del mundo están muy lejos de tomarla ,¬t7/ tal como yo lo veo. El formalismo cuántico es quizá demasiad que sea nada fácil tomar lo que dice realmente en serio, y la fi'sicos huiri'an de mantenerse férreamente en esta li-nea. En efe tener un vector de estado l Ú) que evoluciona según U mientras manece cn el nivel cuántico, tenemos la acción de R perturbad continua y probabilista, que parece tener que ser invocada para tos» discontinuos en l Ú) en cuanto los efectos de nivel cuántico lo suficiente para influir en las cosas en el nivel clásico. Asi' pu considerar que l Ú) proporciona una imagen de la necr/,-dczcJ, ent tomar estos sa'/,o§ también como sucesos físicamente reales, po dos que nos podamos sentir con esto. Sin embargo, si uno es as, la realidad de la descripción del vector de estado cuántico, ento estar también dispuesto a introducir algún cambio ®referibleme en las reglas reales de la teori'a cuántica. En efecto, la operación tamente hablando, incompatible con R, y algún «papeleo» será cubrir las grietas entre las descripciones de los niveles cuántico y cl portamiento.

352 Las sombras de la mente

/

illlllllI± EZil

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EspsCiO

6.l. la evolución temporal de Schródinger de la función de onda de una partícula, inicialmente localizada exactamente en un punto, se extiende a continuación en todas las direcciones.

húngara encabezada por Károlyházy de Budapest, ha propuesto desde 1966 aproximadamente un punto de vista en el que los efectos gravitatorios conducirían a algún tipo de procedimiento R como un fenómeno fi'sico real (cf. también Komar l969). Siguiendo una li'nea algo diferente, Phillip Pearle, del Hamilton College, Clinton, Nueva York, ha estado sugiriendo, desde l976 aproximadamente, una teoría no gravitatoria en la que R tiene lugar como un fenómeno fisico real. Más recientemente, en l986, una interesante nueva aproximación fue propuesta por Giancarlo Ghirardi, Alberto Rimini y Tullio Weber y, siguiendo algún esti'mulo muy positivo de John Bell, ha habido numerosas sugerencias adicionales y mejoras a cargo de otros.9 Antes de presentar mis propias preferencias sobre el tema en las secciones

próximas, que toman prestado mucho del esquema de Ghirardi-Rimini-Weber (GRW), sería útil en primer lugar esbozar aqui' su propuesta. La idea básica consiste en aceptar la realidad de lÚ) y, en su mayor parte, la aproximación de los procedimientos U estándar. Entonces la función de onda de una partícula libre, simple e inicialmente localizada tenderi'a, según la ecuación de Schródinger, a ensancharse en todas las direcciones del espacio a medida que avanza el tiempo (véase la figura 6.l). (Recordemos que la función de onda de una parti'cula describe los factores de peso complejos para las diferentes posiciones posibles que pudiera tener la partícula. Podemos pensar en los gráficos de la figura 6.l como algo que describe matemáticamente la parte real de este factor de peso.) Así pues, a medida que pasa el tiempo la parti'cula se hace cada vez menos localizada. La nueva caracteri'stica del esquema de GRW consiste en supo-

Tleoría cuánti

6.2. En el esquema original de Ghirardi-Rim¡ni-Wcber (GRW), la fu luc¡ona durante la mayor parte del tiempo de acuerdo con la evoluci

ger estándar, pero aproximadamente una vez cada lOs años ®or parti fre un «golpe», quedando la función de onda de la parti'cula multíplica

gaussiana con un máximo pronunciado: la versión GRW de R.

ner que existe una probabilidad muy pequeña de que, repentin ción de onda quede multiplicada por una función con un má

do -conocida como una función gc,ws,-a#o- con una cierta por un parámetro o. Esto se ilustra en la figura 6.2. La funci parti'cula se hace instantáneamente muy localizada, lista para vo su ensanchamiento. La probabilidad de que el máximo de es siana se encuentre en un lugar u otro será proporcional al mód del valor de la función de onda en dicha posición. De este m consigue la consistencia. con la «regla del módulo al cuadrado teoría cuántica. ¿Cuán a menudo tiene que aplicarse este procedimiento aproximadamente ¡una vez cada cien millones (lO8) de años este periodo de tiempo. Entonces, la probabilidad de que ocur ción de estado para una parti'cula, dentro de un intervalo de l menor que lO-l5 (puesto que hay alrededor de 3 x lO7 segun Asi' pues, para una simple parti'cula, esto no es algo que pudi absoluto. Pero imaginemos ahora que tenemos un objeto razona cada una de cuyas parti'culas estari'a sujeta al mismo proceso. dedor de lO25 parti'culas en él (como pasa en un ratón peque probabilidad de que a'/gwm parti'cula en él sufra un «golpe» d

354 Las sombras de la mente te lO-lO segundos. Cualquier golpe semejante afectaría al estado entero del ob-

jeto, puesto que cabri'a esperar que la parti'cula concreta que es golpeada tendri'a su estado e#mortz#~odo con el resto del objeto. Veamos cómo aplicar esta idea al ga,o cJc ScArócZ,'nger.lO En la paradoja del

gato de Schródinger -esencialmente el misterio X básico de la teori'a cuánticaimaginamos un objeto a gran escala, tal como un gato, que está colocado en una superposición lineal cuántica de dos estados manifiestamente diferentes, por ejemplo un gato vivo y un gato muerto (cf. §5.l y §6.6). Esto debería ser fácil de hacer, mecano-cuánticamente, pero la situación resultante no es realmente creible como una caracteri'stica del mundo rec,/ en el que vivimos -como Schródinger tuvo cuidado de señalar (aunque algunos « l ú)-realistas» seguirían la vi'a de los muchos-universos o la vi'a de la reducción de estado inducida por la consciencia, etc., como se describió en §6.2 y §6.8 anteriormente). Para construir un gato de Schródinger todo lo que necesitamos es tener un suceso cuántico de un tipo apropiado que sufra un cambio a gran escala -una medJ-t7a de hecho. Por ejemplo, podri'amos tener un simple fotón emitido por una fuente y reflejado/transmitido en un espejo semiplateado (como en §5.7). Supon-

gamos que la parte transmitida de la función de onda del fotón dispara un detector acoplado a un dispositivo que mata al gato, pero la parte reflejada escapa, y deja al gato indemne. Véase la figura 6.3. Igual que en la exposición de los detectores dada antes (§6.6), resultari'a un estado enmarañado con una parte

que incluye un gato muerto y la otra que incluye un gato vivo y un fotón que escapa. Ambas posibilidades se tomarían /®wníc,s en el vector de estado, mientras no se admita que tenga lugar ningún proceso de reducción (R). Este, el misterio de la «medida», es realmente el misterio X central de la teoría cuántica.

Sin embargo, en el esquema GRW, un objeto tan grande como un gato, que incluiría aproximadamente 1027 partículas nucleares, tendri'a casi instantáneamente una de sus partículas «golpeada» por una función gaussiana (como en la figura 6.2), y puesto que el estado de esta partícula estari'a enmarañado con las otras parti'culas del gato, la reducción de dicha parti'cula «arrastrari'a» a las otras con ella, haciendo que el gato entero se encontrase en el estado de o bien vida o bien muerte. De este modo queda resuelto el misterio X del gato de SchrÓdinger -y del problema de la medida en genera1. Éste es un esquema ingenioso, pero adolece de ser muy c,cJ Aoc. No hay nada en otras partes de la fi'sica que indique algo semejante, y los valores sugeridos para 7'y o están escogidos simplemente para obtener resultados «razonables». (Diósi, l989, ha sugerido un esquema que recuerda al de GRW en donde, ep efecto, los parámetros r y o estariían fijados en términos de la constante gravitatoria de Newton G. Existe un nexo muy fuerte entre sus ideas y las que yo voy a describir en un momento.) Otra dificultad algo más seria con esquemas de este tipo es que existe una (pequeña) violación del principio de cons¬rwc!-o'm de /a encrg,'a. Esto tendrá una importancia considerable para nosotros en §6.l2.

T¡eoría cuónt

6.3. E/ ga,o de ScA,Ód,'nger. El estado cuántico incluye una su un fotón reflejado y un fotón transmitido. La componente transmi

posítivo que mata a un gato, de modo que según la evolución U superposición de vida y muerte. Según el esquema GRW, esto se res ti'culas del gato sufren golpes casi en cualquier ¡nstante. el primero zari'a el estado del gato como o muerto o vivo.

6.lO. ¿Reducción del vector de estado inducida gra Existen firmes razones* para sospechar que la modificación tica que será necesaria, si alguna forma de R tiene que ser rea/, debe involucrar los efectos de la g,avcdad de un modo estas razones tienen que ver con el hecho de que el mismo cuántica estándar encaja de manera muy poco cómoda con la pacio curvo que exige la teori'a de la gravedad de Einstein. I tales como energi'a y tiempo -esenciales para los propios p la teori'a cuántica-no pueden, en un contexto gravitatorio c neral, definirse de forma precisa y coherente con los requisit teori'a cuántica estándar. Recordemos, también, el efecto d los conos de luz (§4.4) que es único para el fenómeno fi'sic Cabría esperar, en consecuencia, que alguna modificación de sicos de la teori'a cuántica podri'a aparecer como una caracteri' tual) uníón apropiada con la relatividad general de Einstein Pese a todo la mayori'a de los fi'sicos parecen reacios a ac dad de que sea la teoría cwa-#Í,-ca la que requiere modificacio éxito una unión semeJ'ante. En su lugar, afirman, deberi'a ser pia teori'a de Einstein. Ellos pueden apuntar, muy correcta que la re]ativ¡dad general clásica tiene sus propios problemas

Fnce a s_ingu[aridades espacio-temporales, taies cori\o ios q

los agujeros negros y en el big bang, donde la curvatura se mismas nociones de espacio y tiempo dejan de tener validez (v tulo 7). Yo mismo no dudo que la relatividad general debe ser m se unifique adecuadamente con ]a teori'a cuántica. Y esto se *

En NME. capi'tulos 7 y 8. presenté dichas razones con cierto detalle, y

356 Las sombras de la mente portante para la comprensión de lo que nec7/m nes que actualmente describimos como «sing ve a la teori'a cuántica de una necesidad de ca vidad general es una teori'a extraordinariame la propia teoría cuántica. La mayoría de las i en la teori'a de Einstein sobrevivirán segura mayoría de las de la teori'a cuántica, cuando apropiada que fusione estas dos grandes teo Muchas personas que pudieran estar de ac tando, no obstante, que las escalas en las que c tica pudiera hacerse relevante seri'an totalme de la medida cuántica. Señalarán la escala de vedad cuántica, llamada la csccz/a de P/c,#ck nes de magnitud más pequeña incluso que un tarán seriamente cómo la fi'sica, a distancias

ne lugar en aquellas regioes». Pero esto no absuelimos en §4.5 que la relatiisa, no menos precisa que es físicas que subyacen o menos que lo harán la entre finalmente la unión

que ver con el problema de la medida que, de mas que «al menos» rayan en el dominio m aquí un equi'voco respecto a cómo podri'an apl tica. En efecto, 10-33 cm es realmente rele

e todo, concierne a problepico. Sin embargo, existe as ideas de gravedad cuánero no en la forma en que

primero viene a la mente. Consideremos un tipo de situación, algo

a la del gato de Schródin-

ger, en la que uno trata de producir un estad macroscópicamente distinguibles están lineal en la figura 6.4 se muestra una situación se de en un espejo semiplateado, siendo el esta neal de una parte transmitida y una parte re la función de onda del fotón activa (o activar masa esférica macroscópica (en lugar de un a otra. Mientras siga siendo válida la evolució de la masa implica una superposición cuántic nal con su estar en la posición desplazada. proceso fi'sico real, entonces la masa «salta esto constituiri'a una «medida» real. La idea con la teoría GRW, éste es de hecho un proc y ocurriría cuando quiera que la masa fuera tancia que se mueve fuera suficientemente lar

que un par de alternativas uperpuestas. Por ejemplo, , en la que un fotón inciotón una superposición li. La parte transmitida de ispositivo que mueve una sde una posición espacial hródinger U, la «posición» estar en la posición origiuera a intervenir como un una posición o a la otra -y nsiste en que, como sucede o completamente objetivo, ntemente grande o la disparticular, no tendri'a nada

que ver con el hecho de que un ser conscient realmente el movimiento, o lo que fuera, d el d,-spos,-,,'vo que detecta al fotón y muev mente pequeño para que pueda ser tratado d cuántica, y es sólo la masa la que registra l extremo, podn'amos imaginar simplemente qu librio suficientemente inestable para que el

ra haber «percibido» o no sa.) Estoy imaginando que a es en sí mismo suficientecompletamente mecanoa. Por ejemplo, en un caso sa está colocada en un equipacto del fotón sea sufiente. mecánica cuántica, encon-

n esto seguirán argumencr forma de gravedad cuánecuadas para el problema d que caracteriza a la gra-33 cm, que es veinte órdeula nuclear; y se pregunúsculas, podría tener algo

Tleoría cuánl

6.4. En lugar-de tener un gato, la med¡da podri'a consist¡r en el de una masa esférica. ¿Cuán grande o masiva debe ser la masa, o

para que ,enga lugar R?

tramos que el estado del fotón, después de qiie haya inc¡did sistiri'a en dos partes con dos localizaciones d¡ferentes. Una enmaraña entonces con el dispositivo y en definitiva con la tenemos un estado cuántico que incluye una superposición l ciones muy diferentes para la masa. Ahora bien, la masa ten vitatorio, que también debe estar incluido en esta superposi estado incluye una superposición de dos campos gravitatorio

gún la teori'a de Einstein, esto implica que tenemos superp trías espacio-temporales diferentes! La pregunta es: ¿existe u las dos geometrías se hacen suficientemente diferentes una d reglas de la mecánica cuántica deban cambiar y, más que for

geometri'as a la superposición, la Naturaleza escoge entre una m¬#,e efectúa algún tipo de procedimiento de reducción p El punto es que realmente no tenemos idea de cómo cons ciones lineales de estados cuando los propios estados involucr metrías espacio-temporales. Una dificultad fundamental con dar» es que, cuando las geometri'as sc hacen significativamen si', no tenemos un med¡o absoluto de identificar un punto con algún punto particular en la otra -las dos geometri'as so tamente sepczrtzc7os- de modo que la m¡sma idea de que u una superposición de los estados de ma,¬r,'o d¬ntro de estos rados se hace profundamente oscura. Ahora bien, deberi'amos preguntar: ¿cuándo v¢n a consid tri'as como «significativamente diferentes» entre si'? Es agw, entra la escala de Planck de lO-33 cm. El argumento seri'a que la escala de la diferencia entre estas geometri'as tiene que apropiado, algo como lO-33 cm o más para que tenga lugar l dri'amos, por ejemplo, intentar imaginar (figura 6.5) que est están tratando de ser forzadas a coincidir pero, cuando la med cia se hace demasiado grande en este tipo de escala, la reduc

358 IJas sombras de la mente

/

6.5. ¿Cuál es la relevancia de la escala de Planck de lO-" cm para la reduc estado cuántico? Idea tosca: cuandc` haya suficiente movimiento de masa entre estados bajo la superposición de modo que los dos espacio-tiempos resultantes en algo del orden de lO-33 cm.

del os an

¿A qué orden de escala de masa o de desplazamiento correspon cambio tan minúsculo en la geometría? De hecho, debido a la pequeñe efectos gravitatorios, ésta resulta ser bastante grande, y no en absolut nable como una li'nea de demarcación entre los niveles cuántico y clási hacernos una idea de estas cuestiones, será útil decir algo sobre las w# absolutas (o de Planck).

un los zora c7es

6.11. Unidades absolutas La idea (debida originalmente* a Max Planck [1906] y continuada par mente por John A. Wheeler [1975]) consiste en utilizar las tres constan fundamentales de la Naturaleza, la velocidad de la luz c, la constante d

arás nck

(dividida por 27r) fi, y la constante gravitatoria de Newton G, como para convertir todas las medidas físicas en puros números (adimensi Esto equivale a escoger unidades de longitud, masa y tiempo de mod tas tres constantes tomen el valor unidad:

ades s). es-

c=l,fi=l,G=l. La escala de Planck lO-33 cm, que uno expresari'a en unidades como (Gfi/c3)lÍ2, toma ahora simplemente el valor l, de modo que *

Una idea muy similar fue propuesta 25 años antes por el fi'sico irlandés George

Stoney (l88l), donde era la carga del electrón en lugar de la constante de Planck (qu era desconocida) la que se tomaba como unidad básica. (Agradezco a John Barrow el señalado.)

nes es la tone nces elo

Heoría cuánt

unidad absoluta de /o#g,',wd. La correspondiente unidad que es el tiempo que tardaría la luz en atravesar una dista el ,,'cmpo cJe P/a#ck (= (GjÍ/c5)IZ2), aproximadamente lOtambién una unidad de mczsa absoluta, conoc¡da como la

(= (Jic/G)lZ2), que es de aproximadamente 2 x lO-5 gra grande desde cl punto de vista de los fenómenos cuánticos tante pequcña en términos corrientes -del orden de la m Evidentemente estas no son un¡dades muy prácticas, ex la masa de Planck, pero son muy útiles cuando consideram dieran tener relevancia en relación con la gravedad cuántica. expresan, de forma muy torpe, algunas de las magnitudes fi tes en un¡dades absolutas: segundo = l,9 x lO43 di'a= l,6 x lO48 anO --5,9 x lO50 metro -6,3 x lO34 Cm -6,3 x lO32

micra -6,3 x lO28 fermi («alcance de la interacción fuerte») -6,3 x lOl9 masa de un nucleón -7,8 x lO-20 gramO -4,7x lO4 ergio = 5,2 x io-i7 grado kelvin = 4 x lO-33 densídad del agua = 1,9 x lO-94

6.l2. El nuevo criterio Daré ahora un nuevo criterio" para una reducción del vecto cida grav¡tatoriamente que difiere de forma significativa de la pero que está cercana a algunas ideas recientes a Diósi 'vc,c,'o#cs para un nexo entre la gravedad y eldebidas procedimiento siguen siendo válidas, pero la sugerenc¡a que voy a hacer ahora teórico adicional de otras direcciones. Además, está libre de al blemas conceptuales implicados en la definición anterior, y es de utilizar. En NME se proponi'a un criterio para juzgar si demasiado diferentes entre si' (con respecto a sus campos gravi vos -es decir, sus espacio-tiempos respectivos) para que fuera xistir en una superposic¡ón lineal cuántica. En consecuencia. ner lugar en dicha situación. La idea actual es algo diferente. medida absoluta de diferencia gravitac¡onal entre estados que do los estados difieren demas¡ado entre sí para que sea posi

360 IJas sombras de la mente

6.6. Para calcular el tiempo de reducción ñ/£, imaginemos que se mueve una copia de la masa lejos de la otra y calculemos la energía E que costaría esto, teniendo en cuenta sólo su atracción gravitatoria.

ejemplo-y pedimos que exista un ,,-,mo de reducción del vector de estado determinado por una medida de semejante diferencia. Cuanto mayor es la diferencia, más rápido será el ritmo al que tiene lugar la reducción. Por claridad expositiva, aplicaré primero el nuevo criterio a la situación particular que se describió antes en §6.lO, pero también puede generalizarse fácilmente para cubrir muchos otros ejemplos. Concretamente, consideramos la e#erg,Ja' que se necesitaría, en la situación anter¡or, para desplazar una copia de la masa respecto a la otra, tomando precisamente los efectos gntzv,®,a,o,,'os en cuenta. Asi' pues, imaginamos que tenemos dos masas inicialmente coincidentes e interpenetradas (figura 6.6), e imaginamos entonces que se desplaza lentamente una copia de la masa respecto a la otra, reduciendo poco a poco el grado de interpenetración, hasta que los dos alcanzan el estado de separación que ocurre en el estado superpuesto bajo consideración. Tomando el inverso de la energi'a gravitatoria que nos costaría esta operación, medida en unidades absolutas,* obtenemos el tiempo aproximado, también en unidades absolutas, que transcurriri'a antes de que ocurra la reducción de estado, al cabo del cual el estado superpuesto de las masas saltaría espontáneamente a un estado localiza-

do o a otro. Si consideramos que la masa es esférica, con masa m y radio c,, obtenemos una magnitud del orden de m2/a para esta energl'a. De hecho el valor real de la energi'a depende de cuánto se desplace la masa, pero esta distancia no es muy importante con tal de que las dos copias de la masa no se solapen (mucho) cuando alcanzan su desplazamiento final. La energi'a adicional que se necesita*

Podemos preferir expresar este tiempo de reducción en unidades más usuales que las unida-

des at,solutas utilizadas aqui'. De hecho, la expresión para el tiempo de reducción es simplemente fi/£, donde E es la energía de separación gravitacional mencionada an,es, sin que aparezca n¡nguna otra constante absoluta distinta de fi. El hecho de que no intervenga la velocidad de la luz c sugiere que valdri'a la pena investigar un modelo de teoría «newtoniana» de esta naturaleza, como ha hecho Christian (l994).

T¡eoría cuánti

ri'a para desplazarlas desde la posición de contacto hasta el i mo orden (S veces) que la involucrada en el desplazamiento d cia a la posición de contacto. Así pues, por lo que se refiere nitud, uno puede ignorar la contribución debida al desplaza sas después de la separación, s¡empre que estén realmente (

paradas. El tiempo de reduccíón, según este esquema, es

" m2

medido en unidades absolutas, o, de forma muy burda, 1

2!Ñüd donde p es la densidad de la masa. Esto da alrededor de lOl8

jeto de dens¡dad corriente (digamos, una gota de agua). Es tranqu¡lizador que esto proporcione respuestas muy «ra tas situaciones simples. Por ejemplo, en el caso de un nucle tón), en donde tomamos c, como el «alcance de la interacción que en unidades absolutas es casi lO20, y tomamos m como lOl9, obtenemos un tiempo de reducción de alrededor de lO diez millones de años. Es tranquilizador que este tiempo sea g los efectos de interferencia cuánt¡ca han sido directamente obse trones individuales.l2 Si hubiéramos obtenido un tiempo de re to, esto nos habri'a llevado a un conflicto con tales observ Si consideramos algo más «macroscópico», digamos un de agua de lO-5 cm de radio, obtenemos un tiempo de redu en horas; si la mota fuera de lO-4 cm (una micra) de radio, ducción, según este esquema, seri'a de alrededor de un vein si el radio fuera de 10-3 cm, entonces el tiempo seri'a menos ma de segundo. En general, cuando consideramos un objeto ción de dos estados espacialmente desplazados, simplemente bu que sería necesaria para efectuar este desplazamiento, consid la interacción gravitatoria entre los dos. El inverso de esta ene de twida media» para el estado superpuesto. Cuanto mayor es corto será el tiempo que pueden persistir los estados super En una situación experimental real seri'a muy difi'cil impe

cuánticamente superpuestas sean perturbadas por -y se en material en el entorno circundante, en cuyo caso tendri'amos efectos gravitacionales implicados también en este entorno. Es incluso si las perturbaciones no dieran como resultado movim tes a escala macroscópica en el entorno. Incluso los desplaza los de parti'culas individuales podri'an ser importantes -aunq a una escala de masa total algo mayor que en el caso del mov

362 IJas sombras de la mente

E= ñ

___

fl____

óy

___,

6.7. Supongamos que en lugar de mover una masa, la parte transmitida del estado del fotón es simplemente absorbida en un cuerpo de materia fluida.

Para clarificar el efecto que pudiera tener una perturbación de este tipo en el esquema presente, reemplacemos el dispositivo de masas móviles, en la idealizada situación experimental anterior, por una masa de materia fluida que simplemente c,bso,bc el fotón, si éste es transmitido a través del espejo (figura 6.7), de modo que ahora la propia masa está desempeñando el papel del «entorno». En lugar de tener que considerar una superposición lineal entre dos estados macroscópicamente distintos uno de otro, en virtud de que una cop¡a de la masa haya sido desplazada en bloque con respecto a la otra, ahora estamos simplemente interesados en la diferencia entre dos configuraciones de posiciones atómicas, donde una configuración de partículas está desplazada aleatoriamente

respecto a la otra. Para una masa de material fluido común de radio a, cabe ahora esperar un tiempo de reducción que es quizá algo dcl orden de lOl30/o3

(dependiendo, en alguna medida, de qué hipótesis se hagan) en lugar del lOl86/a5 que era relevante para el movimiento colectivo de la masa. Esto sugiere que, para llevar a cabo la reducción, se necesitarían masas algo más grandes

que en el caso de una masa moviéndose en bloque. Sin embargo, la reducción scgw,'r,'a' ocurriendo, según este esquema, incluso si no hay movimiento macroscópico total. Recordemos el obstáculo material que interceptaba el haz de fotones en nuestra discusión de la interferencia cuántica en el §5.8. La mera aZ,sonc,®o'# -o po-

tencialidad para absorción- de un fotón por un obstáculo semejante sería suficiente para efectuar R, pese al hecho de que no ocurriría nada macroscópico que fuera realmente observable. Esto también muestra cómo una perturbación suficiente en un entorno que está enmf7rfzñf7do con algún sistema bajo consideración efectuaría por sí mismo R y así se establece una relación con los procedimientos PTPP más convencionales. En realidad, en casi cualquier proceso de medida práctico seri'a muy probable que quedaran perturbadas muchi'simas parti'culas microscópi¿as del entorno circundante. Según las ideas que se están proponiendo aqui', e's,e seri'a con frecuencia el efecto dominante, más que el movimiento macroscópico como un todo de objetos tal como sucedi'a con el «desplazamiento de masa» inicialmente descrito más arriba. A menos que se controle muy cuidadosamente la situación experimental, cualquier movimiento macroscópico de un objeto de tamaño apreciable perturbari'a grandes cantidades del entorno circundante, y es

probable que el tiempo de reducción del e#,or#o -quizá del orden de lOl30/b3,

T¡eoría cuán

donde b es el radio de la región de densidad de agua del e bajo consideración- dominari'a (es decir, seri'a mucho má tiempo lO'86/a5 que sería relevante para el propio objeto. dio b del entorno perturbado fuera tan pequeño como una tro, entonces la reducción tendri'a lugar en un tiempo del or s¡ma de segundo solamente por dicha razón. Una imagen semejante tiene mucho en común con la d cional que se expuso en §6.6, pero ahora tenemos un criterio R ocurra realmente en este entorno. Recordemos las objeci ban en §6.6 a la imagen PTPP convencional como descripc física real. Con un criterio como el que se propugna aquí, no son válidas. Una vez que existe una perturbación sufic según las ideas presentes, la reducción tendrá lugar n¬a/m

rápida en dicho entorno -y estará acompañada por una qu¡er «aparato de medida» con el que el entorno esté enm dn'a invertir esta reducción y hacer posible que se recupere el original, incluso imaginando avances enormes en tecnologi no hay contradicción con que el aparato de medida regist SÍ o b,'e» NO -como la habri'a en la imagen actual. Imagino que una descripc¡ón de esta naturaleza seri'a r procesos biológicos, y proporcionari'a la razón probable d biológicas de un tamaño mucho menor que una micra de d duda, comportarse a menudo como objetos clásicos. Un si estar muy enmarañado con su entorno de la manera antes pmp,-o estado continuamente reducido debido a la reducci en,o,#o. Podemos imaginar, por el contrario, que por alg favorable para un sistema biológico el que su estado perm durante un largo tiempo, en circunstancias apropiadas. En t cesario que el sistema estuviera, de alguna forma, efectiv de lo que le rodea. Estas consideraciones serán importantes adelante (§7.5).

Un aspecto en el que deberi'a hacerse énfasis es que la el tiempo de vida del estado superpuesto es una d,/enenc,' (masa-)energía ,o,¢/ que está implicada en la situación co para una masa que sea bastante grande pero no se mueva do también que sea cristalina, de modo que sus átomos indi aleatoriamente desplazados- las superposiciones cuánticas durante mucho tiempo. Esta masa podri'a ser mucho may agua consideradas más arriba. También podri'a haber otras yores en la vecindad, con tal de que no estén significativa con el estado superpuesto en el que estamos interesados. ( nes seri'an importantes para dispositivos de estado sólido, res de ondas gravitatorias, que utilizan cuerpos sólidos

364 IJas sombras de la menie

dentemente se necesita más trabajo para ver si la idea sobrevivirá a un examen más riguroso. Una prueba crucial seri'a encontrar situaciones experimentales en que la teori'a estándar predijera efectos dependientes de superposiciones cuánticas a gran escala, pero en un nivel donde las propuestas presentes exigen que tales superposiciones no puedan mantenerse. Si, en tales situaciones, las expectativas cuánticas `convencionales están apoyadas por la observación, entonces las ideas que estoy propugnando tendri'an que ser abandonadas -o al menos seriamente modificadas. Si la observación indica que las superposiciones no se mantienen, entonces eso dari'a algún soporte a las ideas presentes. Por desgracia, por el momento no conozco ninguna sugerencia práctica de experimentos apropiados. IJos superconductores, y dispositivos tales como SQUIDS* (que dependen de superposiciones cuánticas a gran escala que ocurren en superconductores), pareceri'an ofrecer un área prometedora de experimentación relevante para estas cuestiones (véase Leggett l984). Sin embargo, las ideas que estoy propugnando necesitarían algún desarrollo adicional antes de que pudieran aplicarse directamente en estas situaciones. Con los superconductores tienen lugar unos pequeñísimos desplazamientos de masa entre los diferentes estados su-

perpuestos. Sin embargo, hay un desplazamiento de mome#,o importante, y las ideas presentes necesitari'an algún desarrollo teórico adicional para cubrir esta situación. Las ideas propuestas con anterioridad necesitarían ser reformuladas de algún modo, incluso para tratar la situación simple de una cámara de niebla -en donde la presencia de una parti'cula cargada queda señalada por la condensación de pequeñas gotas en el vapor ambiente. Supongamos que tenemos un estado cuántico de una parti'cula cargada que consiste en una superposición lineal de la parti'cula en algún lugar dentro de la cámara de niebla y de la parti'cula fuera de la cámara. La parte del vector de estado de la parti'cula que está dentro de la cámara inicia la formación de una gota, pero la parte para la que la parti'cula está fuera no lo hace, de modo que el estado consiste ahora en una superposición de dos estados macroscópicamente diferentes. En uno de éstos hay una gota formándose a partir del vapor, y en el otro hay simplemente vapor homogéneo. Necesitamos estimar la energi'a gravitatoria involucrada en separar unas moléculas de vapor de otras, en los dos estados que se están considerando en la superposición. Sin embargo, ahora existe una complicación adicional porque hay también una diferencia entre la c,w,o-energi'a gravitatoria de la gota y la del vapor no condensado. Para cubrir estas situaciones, podri'a ser apropiada una formulación tJJ/ere#,c del criterio antes sugerido. Podemos considerar ahora la c,w,oc#erg,Ja' gmvJ',a,or,'o de dicha distribución de masa que es la d,Jert,#c,'c, entre las distribuciones de masa de los dos estados que van a considerarse en superposición lineal cuántica. La inversa de esta autoenergi'a da una propuesta alternativa para la escala de tiempo de la reducción (cf. Penrose l994b). De hecho, esta formulación alternativa da precisamente el mismo *

Superconducting Quantum lnterference Devices = Dispositivos superconductores de inter-

ferencia cuántica. (N. cJe/ ,.)

T¡eoría c

resultado que antes, en las situaciones consideradas an tiempo de reducción algo diferente (más rapido) en el niebla. En realidad, existen varios esquemas generales alt de reducción, que dan respuestas diferentes en ciertas si cuerdan para la simple superposición de dos estados qu zamiento ri'gido de una masa, como se imaginó al pri El esquema original es el de Diósi (l989) (que encontr como señalaron Ghirardi. Grassi y Rimini [l990], quie un remedio). No distinguiré aqui' entre estas diversas pr les entran bajo el encabezamiento de «la propuestas de siguientes.

¿Cuáles son los motivos para la propuesta especi'fi reducción» que se está proponiendo aquí? Mis propios rose l993a) eran demasiado técnicos para que los descr quier caso, no eran concluyentes ni completos.l4 Prese dependiente para este tipo de esquema fi'sico dentro de tal como está también es incompleto, el argumento pare requisito de consistencia subyacente que da apoyo adi la reducción de estado debe ser en última instancia un f de la naturaleza general del que se está proponiendo a El problema de la co#sc,vac',-o'n dc /a c#erg,Jc, en fue ya mencionado en §6.9. Los «golpes» a que se ven s

(cuando sus funciones de onda se ven multiplicadas espo sianas) dan lugar a pequeñas violaciones de la conservaci más, parece haber una transferencia no local de energi' sos. Ésta parecería ser una caracteri'stica -aparenteme teori'as de este tipo general, en donde se considera que un efecto fi'sico r¬a/. En mi opinión, esto proporciona u cional para teorías en las que los efectos gmv,®,c,for,' crucial en el proceso de reducción. En efecto, la conser la relatividad general es una cuestión sutil y evasiva. El torio contiene energi'a, y esta energi'a contribuye de for total (y por consiguiente a la masa, por la fórmula de un sistema. Pero es una energi'a nebulosa que habita en e misteriosa forma no local.l5 Recordemos, en particular, transportada, en forma de ondas gravitatorias, desde e nario PSR lgl3 + l6 (cf. §4.5); estas ondas son rizos del espacio vacío. La energía que está contenida en los tuos de las dos estrellas de neutrones es también un ingr su dinámica que no puede ignorarse. Pero este tipo de el espacio vacío, es de un tipo especialmente resbaladiz «sumando» contribuciones locales de la densidad de ene estar localizada en ninguna región particular del espaci

366 Las sombras de la menle dad clásica, y poner ung fr_eI}te_al Q.tro para proporcionar una imagen global coherente.

¿Consiguen esta coherencia global las sugerencias que he estado proponiendo aqui'? Creo que hay una buena probabilidad de que puedan hacerlo, pero el marco preciso para conseguir esto no está todavi'a disponible. Uno puede ver, sin embargo, que ciertamente hay lugar para ello en principio. En efecto, como se mencionó antes, podemos pensar en el proceso de reducción como algo similar a la desintegración de un núcleo o parti'cula inestable. Pensar en el estado superpuesto de una masa en dos localizaciones diferentes como algo similar al núcleo inestable que se desintegra, después de una escala de tiempo de una «vida media» ti'pica, en alguna otra cosa más estable. En el caso de las localizaciones de masas superpuestas pensamos análogamente en un estado cuántico inestable que decae, después de un tiempo de vida caracteri'stico (dado, aproximadamente en promedio, por el inverso de la energi'a gravitator¡a de separación), a un estado en el que la masa está en una localización o en la otra -que representan dos modos de desintegración posibles. Ahora bien, en las desintegraciones de núcleos o de parti'culas, el tiempo de vida (digamos, la vida media) del proceso de desintegración es la inversa de una pequeña ,'#ce,,,'c7wmb,e en la masa-energi'a de la parti'cula inicial un efecto del principio de incertidumbre de Heisenberg. (Por ejemplo, la masa de un núcleo inestable de polonio 210 que se desintegra, emitiendo una parti'culac¥, en un núcleo de plomo, no está exactamente definida, sino que tiene una incertidumbre que es del orden del inverso del tiempo de desintegración -en este caso, aproximadamente l38 días, ¡lo que da una incertidumbre media de sólo alrededor de lO-34 de la masa del núcleo de polonio! Para parti'culas inestables individuales, sin embargo, la incertidumbre es una proporción mucho mayor de la masa.) Así pues, la «desintegración» que está involucrada en el proceso de reducción debería involucrar ,c,mb,'eJm una incertidumbre esencial en la energi'a del estado inicial. Esta incertidumbre, según la propuesta presente, reside esencialmente en la incertidumbre de la autoenergi'a gravitatoria del estado superpuesto. Tal autoenergi'a gravitatoria incluye la nebulosa energía de campo no local que da tantas dificultades en relatividad general, y que no viene dada

por la suma de contribuciones de densidad de energía local. También implica la incertidumbre esencial de identificar los puntos en dos geometri'as espaciotemporales diferentes y superpuestas mencionada en §6.lO. Si realmente consideramos que esta contribución gravitatoria representa una «incertidumbre» e§¬Hc,'¢/ en la energi'a del estado superpuesto, entonces tenemos un acuerdo con el tiempo de vida que se está proponiendo aqui' para el estado. Asi' pues, el esquema presente parece proporcionar un nexo de consistencia claro entre los dos problemas de la energi'a, y es al menos altamente sugerente sobre la posibilidad de que llegue a encontrarse una teori'a completamente coherente siguiendo estas li'neas.

Finalmente, existen dos cuestiones importantes que son de particular relevancia para nosotros. Primero: ¿qué papeles posibles podri'an tener tales consideraciones en la acción del ceneóro? Segundo: ¿existen razones para esperar,

La teoría cuántica y el cerebro

7.l. ¿Acción cuántica a gran escala en la función cerebral?

Según en el términos punto de devista fi'sica convencional, clásica esencialmente la acción del -o así cerebro podri'adebe parecerlo. entenderse Las señales nerviosas se consideran normalmente como fenómenos «si' o no», exactamente igual que las corrientes en los circuitos electrónicos en un ordenador,

que o tienen lugar o no tienen lugar -sin ninguna de las misteriosas swperpos,'c,'o#es de alternativas que son caracteri'sticas de las acciones cuánticas. Aunque podría aceptarse que, en niveles sc,byocc#,es, los efectos cuánticos deben tener algún papel por desempeñar, los biólogos parecen ser generalmente de la opinión de que no hay necesidad de salirnos del marco clásico cuando se abordan las implicaciones a gran escala de aquellos ingredientes cuánticos primarios. Las fuerzas qui'micas que controlan las interacciones de átomos y moléculas tienen en verdad un origen mecano-cuántico, y es fundamentalmente la acción química la que gobierna el comportamiento de las sustancias #e#ront7#sm,'sora's que transfieren señales de una neurona a otra -a través de minúsculas separaciones que se denominan espczc,'os s,-m'p,,'cos. Análogamente, los potenciales de acción que controlan fi'sicamente la transmisión de la señal nerviosa tienen un origen ciertamente mecano-cuántico. Pero, en general, parece suponerse que es perfectamente adecuado modelar el comportamiento de las propias neuronas, y sus relaciones mutuas, de una forma completamente clásica. En consecuencia, se cree en general que deberi'a ser perfectamente adecuado modelar el funcionamiento fiJsico del cerebro como un todo, como un sistema c/fz's,'co, en cuya descripción no intervienen significativamente los aspectos más sutiles y misteriosos de la física cuántica. Esto implicaría que cualquier posible actividad significativa que pudiera tener lugar en un cerebro debe tomarse realmente como o b,-em «ocurriendo» o b,-cn «no ocurriendo». En consecuencia, cabri'a considerar que no desempeñan un

papel importante las extrañas swperpos,'c,-oneJ de la teori'a cuántica, que p¬rmitiri'an la «ocurrencia» J' «no ocurrencia» sJ'mw/,c7J#cczJ (con factores de peso complejos). Aunque podri'a aceptarse que tales superposiciones cuánticas tienen lugar «realmente» en algún nivel submicroscópico de actividad, da la impresión de

La teoría cuántica

que los efectos de interferencia caracteri'sticos de tales fenó tendri'an ningún papel en las escalas mayores relevantes. Asi' ría adecuado tratar tales superposiciones como si fueran me y la modelización clásica de la actividad cerebral seri'a perfe

toria PTPP. Existen, sin embargo, algunas opiniones que disienten lar, el reputado neurofisiólogo John Eccles ha defendido la efectos cuánticos en la acción sináptica (véase, en particular, Eccles, l994). Él señala el reti'culo vesicular presináptico -

paracristalina en las células piramidales del cerebro- como apropiado. Asimismo, algunas personas (incluyéndome a m pp. 400-40l [pp. 495-497], y Penrose, l987) han tratado de de que las células fotosensibles de la retina (que técnicament bro) pueden responder a un número pequeño de fo,ones -sensibles incluso a un so/o fotón (Baylor c, f7/., l979)

apropiadas- y han especulado que podría haber neuronas piamente dicho, que son también dispositivos de detecc cuánticos. Con la posibilidad de que efectos cuánticos pudieran inici cho mayores dentro del cerebro, algunas personas han mani za de que, en tales circunstancias, la ,-#c7e,erm,-nac,'o'H c

que proporciona una ocasión para que la mc#,e influya en Aqui' habri'a que adoptar probablemente un punto de vista cJ citamente o implícitamente. Quizá el «libre albedrío» de un pudiera ser capaz de influir en las elecciones cuánticas que de tales procesos no deterministas. En esta visión de las cosa tal» de los dualistas ejerceri'a su influencia sobre el compor bro presumiblemente a través de la acción de los procesos R de El estatus de tales sugerencias no está claro para mí, d

que, en la teori'a cuántica estándar, la indeterminación cuá en escalas de nivel cuántico, puesto que es la evolución U siempre es válida en este nivel. Es sólo en el proceso de a niveles cuánticos a los clásicos donde se estima que ocurre l de R. En el punto de vista PrPP estándar, esta indetermi «tiene lugar» sólo cuando cantidades suficientes del entorn ñadas con el suceso cuántico. De hecho, como hemos vist punto de vista estánda.r no está siquiera claro lo que realme lugar». Sería difi'cil, sobre bases físico-cuánticas convencio la teori'a permite realmente que tenga lugar una indetermina en el nivel en que sólo una simple partícula cuántica, tal c mo, o molécula pequeña, está cri'ticamente involucrada. Cu la función de onda de un fotón encuentra una célula fotosen cha una secuencia de sucesos que permanece determinista (a tras pueda considerarse que el sistema está «en el nivel cuán

370 Las sombras de la mente

el punto de vista convencional, se considera que R ha ocurrido PTPP. Habri'a que sostener que la «mateiia riental;>``influye de algún modo en el sistema sólo en esta fase indeterminada. Según el punto de vista de la reducción del estado que yo he estado proponiendo en este libro (cf. §6.l2), para encontrar el nivel en el que el proceso R se hace rea/me#,c operativo debemos buscar en las escalas bastante grandes

que se hacen relevantes cuando cantidades considerables de materia1 (de micras a mili-metros de diámetro -o quizá bastante más, si no está implicado ningún movim¡ento significativo de masa) se enmarañan con el estado cuántico. (En lo sucesivo denotaré este procedimiento muy especi'fico, pero sólo supuesto, mediante RO, que significa r¬c/wcc,-oJ# oby'¬,,'v¢.*) En cualquier caso, si tratamos de adherirnos al citado punto de vista dualista, en el que estamos buscando algún lugar en donde una «mente» externa pudiera tener una influencia en el comportamiento fi'sico -presumiblemente reemplazando la pura aleatoriedad de la teoriía cuántica por algo más sutil- entonces debemos ver cómo podri'a intervenir la influencia de la mente en una escala mucho mayor que la de las s¡mples parti'culas cuánticas. Debemos buscar dónde está el punto de intersección entre los niveles cuántico y clásico. Como hemos visto en el capi'tulo anterior, no existe un acuerdo general sobre si existe, o dónde podri'a estar, ese punto de intersección. En mi opinión, no es muy útil, desde el punto de vista cienti'fico, pensar en una «mente» dualista que es (lógicamente) cL¥,e,m al cuerpo y que influye de algún modo en las elecciones que parecen surgir en la acción de R. Si la «voluntad» pudiera influir de algún modo en la elección de alternativas por

parte de la Naturaleza que se da con R, entonces ¿por qué no es capaz un experimentador, mediante el «poder de la voluntad», de influir en el resultado de un experimento cuántico? Si esto fuera posible, entonces seri'an seguramente muy frecuentes las violaciones de las probabilidades cuánticas. Yo, por mi parte, no puedo creer que una fisica semejante pueda estar cerca de la verdad. Tener una «materia mental» externa que no está sometida a leyes fi'sicas es salirnos de algo que podri'a llamarse razonablemente una explicación cienti'fica, y es recurrir al punto de vista D (cf. §l.3).

Es difi'cil, sin embargo, argumentar contra un punto de vista semejante de un modo riguroso, puesto que por su propia naturaleza está despojado de reglas claras que le permitiri'an someterse al argumento cienti'fico. A aquellos lectores que, por cualquier razón, mantienen la convicción (punto de vista g)) de *

En NME utilicé la descripción «grav-itación cuántica correcta» -abreviada GCC- para

algo de este tipo. El acento aqui' es algo diferente. No quiero resaltar la conexión de este procedimiento con el profundo problema de encon[rar una teori'a completamente coherente de la grav¡tación cuán,ica. El acento se pone más en un procedimiento que estari'a en la li'nea de las sugerencias

específicas presentadas en §6.l2, aunque con algún ingredíente fundamental y no computacional ahora ausente. El uso del acrónimo RO tiene la caracteri'stica adicional de que, en un procedimiento de reducción objetiva, el resultado fi'sico es una cosa o la otra, en lugar de la superposición combinada que habi'a ,enido lugar antes. [En el orig¡nal inglés el acrónimo es OR, que coincide con la conjunc¡ón disyuntiva inglesa. (N. dÉ'/ ,.)]

IA teoría cuántica

que la ciencia será siempre incompetente para abordar cuest yo les pido simplemente que continúen conmigo para ver qu gar a encontrarse dentro de una c¡enc¡a que indudablemente cho más allá del ámbito limitado que admite hoy. Si la «me pletamente externo al cuerpo fi'sico, resulta difíc¡l ver por atributos pueden asociarse muy estrechamente con propieda fi'sico. Mi punto de vista es que debemos buscar mucho m dentro dc las estructuras «materiales» fi'sicas y reales que co bros -¡y también más profundamente en la cuestión misma mente una estructura «material», en el nivel cuántico de las nión, no hay en definitiva otra solución que sondear más las verdades que realmente yacen en las rai'ces de la Natur Sea como fuere, al menos una cosa parece clara. No de plemente en los efectos cuánticos de parti'culas, átomos o inc queñas simples, sino en los efectos de sistemas cuánticos qu nifiesta naturaleza cuántica en una escala mucho mayor. Si coherencia cuántica a gran escala, entonces no habrá posibi no de los sutiles efectos de nivel cuántico, tales como no loc cuántico (varias acciones superpuestas y simultáneas) o efec cidad, tenga la menor importancia cuando se alcanza el nive dad cerebral. Sin «protección» adecuada del estado cuántic torno, tales efectos se perderi'an inmediatamente en la alea a dicho cntorno, es decir, en los movimientos aleatorios de

y fluidos biológicos que constituyen el cuerpo del cerebro. ¿Qué es la cofterie#c,+c, cwc7+H,,'ca? Este fenómeno se r

en que grandes números de parti'culas pueden cooperar col simple estado cuántico que permanece esencialmente no e entorno. (La palabra «coherencia» se refiere, en general, oscilaciones en lugares diferentes vari'an al uni'sono. Aqui', co -c¢ estamos interesados en la naturaleza oscilatoria de la la coherencia se refiere al hecho de que estamos tratando co cuántico.) Semejantes estados tienen lugar muy espectacular menos de superconductividad (donde la resistencia eléctric perfluidez (donde la fricción del fluido, o viscosidad, cae a te caracteri'stico de tales fenómenos es la existencia de un , que tiene que ser superado por el entorno para llegar a per cuántico. Si la temperatura en dicho entorno es demasiado la energi'a de muchas de sus partículas es suficientemente gra ren este intervalo y se enmarañen con el estado, entonces la se destruye. En consecuencia, se encuentra que fenómenos la superconductividad y la superfluidez ocurren normalment ras muy bajas, tan sólo a unos pocos grados por encima del razones de este tipo, ha existido un escepticismo general sob

372 Las sombras de la mente

En años recientes, sin embargo, algunos descubrimientos experimentales notables han mostrado que, con sustancias apropiadas, la superconductiv¡dad puede ocurrir a temperaturas mucho más altas, incluso de l15 K (cf. Sheng e, c,/., l988). Ésta es aún una temperatura muy fri'a, desde el punto de vista biológico, pues es aproximadamente -158 OC o -212 OF, sólo un poco más caliente que el nitrógeno li'quido. Pero más notables aún son las observaciones de Lagués c, c,/. (l993) que parecen indicar la presencia de superconductividad a las tem-

peraturas meramente «siberianas» de -23 OC o -lO OF. Aunque todavi'a un poco en el lado «fri'o», en términos biológicos, esta swpc,condwc,,-v,'cJacJ o o/,o cmpcnÚ,wntz da un fuerte respaldo a la conjetura de que podri'a haber efectos de coherencia cuántica que son realmente relevantes para sistemas biológicos. De hecho, mucho antes de que fuera observado ¬l fenómeno de la superconductividad a alta temperatura, el distinguido físico Herbert Fróhlich (quien, en los años 30 habi'a hecho uno de los avances fundamentales en la comprensión de la superconductividad «normal» a baja temperatura) sugirió un posible papel para efectos cuánticos colectivos en sistemas biológicos. Este trabajo fue estimulado por un fenómeno enigmático que habi'a sido observado en membranas biológicas ya en l938, y lo que llevó a Fróhlich a proponer, en l968 (utilizando un concepto debido a mi hermano Oliver Penrose y Lars Onsager, l956, como supe para mi sorpresa al revisar este tema), que debería haber efectos vibracionales dentro de las células activas, que resonari'an con la radiación electromagnética de microondas, a lOll Hz, como resultado de un fenómeno de coherencia cuántica biológica. En lugar de necesitar una temperatura baja, los efectos aparecen a partir de la existencia de una gran energi'a de impulso metabólico. Existe ahora alguna evidencia observacional respetable, en muchos sistemas biológicos, precisamente para el tipo de efecto que Fróhlich habi'a predicho en l968. Trataremos de ver más adelante (§7.5) qué relevancia podri'a tener esto para la acción cerebral.

7.2. Neuronas, sinapsis y ordenadores Hasta ahora, aunque es alentador encontrar una clara posibilidad de coherencia cuántica que tenga una función auténticamente significativa que realizar en sistemas biológicos, no existe ningún nexo de unión evidente entre esto y lo que podría ser directamente relevante en la actividad cerebral. Buena parte de nuestra comprensión del cerebro, aunque todavi'a muy rudimentaria, nos ha llevado a una imagen clásica (esencialmente una imagen propuesta por McCullogh y Pitts ya en l943) en la que las neuronas y sus sinapsis conectoras parecen desempeñar un papel básicamente similar al de los de transistores y cables (circuitos impresos) en los ordenadores electrónicos actuales. Con más detalle, la imagen biológica es la de señales nerviosas clásicas que viajan desde el bulbo central (soma) de la neurona a lo largo de una fibra muy larga, denominada c,J¥oÍ#,

que se bifurca en ramas separadas en varios lugares (figura 7.1). Cada rama termina finalmente en una s,-Hc7ps,'s -la unión en la que se transfiere la señal, nor-

Lfi teoría cuántica

7.l.

Esbozo de una neurona, que se conecta a otras a través

malmente a una neurona contigua, a través de un espacio si paso en el que los neurotransmisores químicos llevan el men rado la neurona anterior, moviéndose de una célula (neur Esta unión sináptica ocurrirá a menudo en la dcndr,ta arbo te neurona, o alternativamente en su soma. Algunas sinapsi excitator¡a, con neurotransmisores que tienden a reforzar e

guiente neurona, mientras que algunas son inhibitorias, y s res químicos (diferentes) tienden a inhibir el disparo de una tos de las diferentes acciones sinápticas sobre la neurona s esencialmente («más» para la excitatoria y «menos» para la i do se alcanza un cierto umbral, se disparará dicha neurona.* te habrá una fuerte probc,b,-/,'cJacJ de que se dispare. En to habri'a también implicados ciertos factores de azar. No se cuestiona, al menos por el momento, que ésta es dri'a en principio simularse efectivamente de forma comput do que se mantienen fijas las conexiones sinápticas y sus in duales. (Los ingredientes aleatorios no planteari'an, por problema computacional, cf. §l.9.) De hecho, no es difi'ci de la neurona-sinapsis que se presenta aquí (con sinapsis fi fijas) es esencialmente cg#,.w/c#,e a la de un ordenador (cf.

[pp. 486-49l]). Sin embargo, debido a un fenómeno conocid ce,eb,a/, las intensidades de al menos algunas de estas cone biar de vez en cuando, quizá incluso en una escala de tiem segundo, como lo pueden hacer las propias conexiones. Un tante es: ¿qué procedimientos gobiernan estos cambios sin En los modelos conexionistas (como los adoptados para r *

Al menos, ésta ha sido la imagen convencional. Hay ahora alguna

simple descripción «aditiva» pueda ser una supersimplificación considera algún «procesamiento de información» esté teniendo lugar dentro de las de individuales. Esta posibilidad ha sido resaltada por Karl Pribram e, o/. (cf. nas sugerencias anteriores en estas líneas generales fueron hechas por Al y para la pos¡bilidad de «inteligenc¡a» dentro de células ind¡viduales cf.

374 IAs sombras de la mente

ficiales), existe algún tipo de reg/a compw,czc nápticos. Esta regla se especificaría de tal man su actuación pasada sobre la base de ciertos en función de sus inputs externos. Ya en l94 simple de este tipo. Los modelos conexionistas siderablemente el procedimiento original de delos generales de este tipo tiene que haber evi tacional precisa -puesto que los modelos son ejecutadas por un ordenador común; cf. §l.5. tos que he presentado en la Primera parte cons to computacional semejante podri'a ser adecua festaciones operacionales de la comprensión debemos buscar algo diferente como tipo apr trol -al menos en el caso de cambios sináptic levancia para la actividad consc,'c#,¬ real. Se han suger¡do algunas otras ideas, tales su libro reciente Br,'gÁ,4,-r, B,,'//,'an, f,+e (1 l987, l988, l989), en el que se propone que, hebbiano, dentro del cerebro opera una form le capacita para mejorar continuamente su act

ue gobierna los cambios sie el sistema puede mejorar s asignados de antemano ald Hebb sugirió una regla rnosl han modificado conn varias maneras. En moente a/gwm regla compupre cosas que pueden ser a esencia de los argumenque ningún procedimienra explicar todas las maniciente humana. Así pues, de «mecanismo» de conpudieran tener alguna re-

principio de selección natural que gobierna este modelo, asociaciones importantes con el lógico desarrolla su capacidad para «reconocer cae en el complicado papel de los neurotransm cas que están implicadas en la comunicación e

conexiones -habiendo, en en que el sistema inmunoancias. La importanc¡a rey otras sustancias qui'miuronas. Sin embargo, estos

procesos, tal como se conciben actualmente, s clásica y computacional. De hecho, Edelman serie de dispositivos controlados computacio II, III, IV, etc.) con los que se pretende si crecientes, los propios tipos de procedimient den en la base de la acción mental. Por el mi común de uso general lleva a cabo la acción c

en tratando de una manera olegas han construido una te (llamados DARWIN I, en órdenes de complejidad él está sugiriendo que resicho de que un ordenador dora, se sigue que este es-

quema particular sigue siendo computaciona de reglas «de-abajo-arriba». No importa lo dif

algún sistema particular s que puedan ser en detacionales. Aún están bajo la Primera parte -cf. parumieron en el diálogo ima-

lle tales esquemas de otros procedimientos c el encabezamiento de los incluidos en la exposi ticularmente §l.5, §3.9, y los argumentos que

las de Gerald Edelman en (y su trilogía anter¡or Edelman que tener reglas de un tipo incipio «darwiniano» que mediante una especie de

ginario de §3.23. Estos argumentos hacen extr algo que sea tan sólo de esta naturaleza pued de la mente consciente. Para escapar de la camisa de fuerza comp medio de controlar las conexiones sinápticas

ariamente improbable que orcionar un modelo real

plicar presumiblemente algún proceso fi'sico en nificativo alguna forma de coherencia cuántic

e desempeñe un papel sigste proceso es similar de co, entonces el propio sis-

nal, se necesita algún otro alquiera que sea, debe im-

La [eoría cuántica

tema ¡nmunológico debe ser dependiente de efectos cuántico en el modo particular en el que opera el mecanisrno de reco tema inmunológico que, en efecto, tenga un carácter ese -como ha sido defendido en particular, por Michael Conrad Esto no me sorprendería, pero estas posibles funciones par en la operación del sistema inmunológico no forman ning modelo de Edelman del cerebro. Incluso si las conexiones sinápticas están controladas efectos mecano-cuánticos coherentes, es difi'cil ver que pue cialmente mecano-cuántico en la actividad real de la señal es dificil ver cómo podri'a considerarse de un modo útil una s tica que consista en una neurona que d,-spara' y, simultánea Las señales nerviosas parecen ser suficientemente macrosc sulte difi'cil creer en una imagen semejante, pese al hecho d nerviosa está en efecto bastante bien aislada por la presenci de mielina que rodea al nervio. Según la idea (RO) que he e en §6.l2, debemos esperar que la reducción de estado objet¡ p¡damente cuando se produce el disparo de una neurona, n cho movimiento de masa a gran escala (no hay apenas sufic les requeridos), sino porque el campo eléctrico que se pro

nervio -producido por la señal nerviosa- seri'a probable el entorno circundante de material cerebral. Este campo pe ras aleatorias, cantidades razonablemente grandes de dicho tes, parece, para que el criterio de §6.l2 para la activación facerse casi en cuanto se inicia la señal. Asií pues, mantener cuánticas de neuronas disparando y no disparando parece u plausible.

7.3. Computación cuántica La propiedad de perturbar el entorno de la neurona que se teri'stica que me ha parecido siempre más incómoda para e puesta que yo habi'a defendido previamente en NME, en ción cuántica del disparo y el no disparo simultáneo de fa parece ser realmente necesaria. Con el presente criterio R de estado, el proceso R se efectuaría con una perturbación menor que la que hubiese sido necesaria en el caso anteri difi'c¡l creer en la posibilidad de que tales superposiciones cativamente mantenidas. Existi'a la idea de que s¡ fuera posi «cálculos» independientes superpuestos en diferentes estruct se disparan simultáneamente, entonces el cerebro habría c naturaleza de una compw,c,c,'o'# cwaJn,,'cc,, más que un Turing. A pesar de la aparente inverosimilitud de que la co sea operativa en este nivel de actividad cerebral, sería útil p

376 Las sombras de la merite

La computación cuántica es un concepto t su esencia por David Deutsch (l985) y Richar bién Benioff (l982), Albert (l983), y que ah mente por varias personas. La idea consiste una máqu¡na de Turing a una correspondient cuencia, todas las diversas operaciones que e

da están sujetas a las leyes cuánticas -con s se aplican a un sistema de nivel cuántico. As acción de U la que gobierna la evolución del ción de tales superposiciones una parte esencia R se hariía relevante princ¡palmente sólo al/,-# tema es «medido» para asegurar el resultado de

o que ha sido propuesto en nman (l985, l986), cf. tamtá siendo explorado activaender la noción clásica de quina cuántica. En consede esta «máquina» extendiosiciones permitidas- que s, en su mayor parte es la sitivo, siendo la conservau acción. El procedimiento la operación, cuando el sismputación. De hecho (aun-

que esto no se reconoce siempre) la acción de vez en cuando de un modo menor durante e asegurar si la computación ha terminado ya Se observa que, aunque un ordenador cu más allá de lo que ya podri'a conseguirse e de Turing convencional, existen ciertas clases d

e ser invocada también de o de la computación, para

no puede consegu¡r nada c,'p,-o por una computación blemas para los que la com-

putación cuántica es capaz de mejorar la com de la ,eo,,'o de /a comp/e/',-dc,d (cf. Deutsch

ón de Turing en el sentido 5). Es decir, para esta clase de

problemas, el ordenador cuántico es en princ so/am¬#,e más rápido- que el ordenador co Deutsch y Jozsa (l992) para una clase de prob

mucho mc,'s ntíp,-do -pero ional. Véase, en particular, interesantes (aunque algo

artificiales) en los que el ordenador cuántico s

ale. Además, el importante

problema de factorizar grandes números enter tiempo polinómico) por computación cuántica Peter Shor. En la computación cuántica «estándar» se teori'a cuántica, por las que el sistema avanza camente durante toda la operación, pero don mentos especi'ficos. No hay nada «no computa mejante, en el sentido co,rJ'e#,e de «comp operación computable y R es un procedimiento

ede ser ahora resuelto (en ún un análisis reciente de an las reglas usuales de la el procedimiento U práctinterviene en algunos mol» en un procedimiento senal», puesto que U es una mente probabilista. Lo que

puede lograrse en principio mediante un orde lograrse, en principio, por una apropiada má aleatorio. Asi' pues, ni siquiera un ordenador las operaciones requeridas para la comprensió do con los argumentos de la Primera parte. La

r cuántico también podri'a de Turing con mecanismo tico seri'a capaz de realizar sciente humana, de acuerranza tendri'a que estar en

que las sutilezas de lo que ,ea/mc#,e está pas «parece» reducirse, y no sólo el a]eatorio proc varan a algo gemw,'#c7mc#,e no computable. A

cuando el vector de estado ento R sustitutivo, nos lles, Ia teori'a completa del su-

puesto proceso RO tendri'a que ser un esquem La idea en NME era que computaciones ser llevadas a cabo durante un cierto tiempo,

c,-a/me#,¬ m compw,c,Ó/c. ing superpuestas podri'an stas estari'an intercaladas ser entendida en términos

IJa teoría cuániica

de alguna nueva fi'sica que interviniera (por ejemplo RO) R. Pero si nos están prohibidas tales superposic¡ones de co nales, debido a que una parte demasiado grande del entorn por cada señal neuronal, entonces difi'cilmente seri'a posibl de la idea de computación cuántica estándar, y mucho men cación de este procedimiento que saque ventaja de algún s R no computacional tal como RO. Sin embargo, vamos a

que existe otra posibilidad mucho más prometedora. Para c diera ser ésta, tendremos que examinar más profundament lógica de las células del cerebro.

7.4. Citoesqueletos y microtúbulo Si hemos de creer que las neuronas son las únicas cosas que

plejas acciones de los animales, entonces el humilde para profundo problema. En efecto, él nada en su charca con su culas patas semejantes a pelos -los c,'/,-os-moviéndose en mento bacterial que detecta utilizando una variedad de me dose ante la amenaza de peligro, dispuesto para nadar en otr

puede superar los obstáculos nadando alrededor de ellos. Ad aparentemente c,pre#cJer de sus experiencias pasadas,2 au table de sus facultades aparentes, ha sido discutida por alg sigue todo esto un animal sin una sola neurona o sinapsis nada más que una simple célula, y no ser una neurona, acomodar tales accesorios (véase la figura 7.2). Pese a todo debe existir realmente un complicado sist

gobierne el comportamiento de un paramecio ~o, de he unicelulares¬omo las amebas- aunque no sea un sistema tura responsable forma parte aparentemente de lo que se oesgwe/c,o. Como su nombre sugiere, el citoesqueleto pro ra que mantiene la forma de la célula, pero hace mucho má son terminaciones de las fibras del citoesqueleto, pero el contener también el sistema de control de la célula, ade «cintas transportadoras» para el desplazamiento de divers lugar a otro. En resumen, ¡el citoesqueleto parece tener célula simple bastante similar a una combinación de esquel lar, piernas, sistema circulatorio sangui'neo y sistema nervio Es la función del citoesqueleto como «sistema nervioso será aquí de mayor importancia para nosotros. En efecto, n ronas son simples células, ¡y cada neurona tiene su prop,-o nifica esto que hay un sentido en el que cada neurona indi algo semejante a su propio «sistema nervioso personal»? sugerente, y varios cienti'ficos han estado dando vueltas

378 Las sombras de la mente

7.2. Un paramecio. Obsérvense los cilios similares Éstos forman las extremidades externas del c,',oesg

s que se utilizan para nadar. del paramecio.

de 1987 de StuaLlt Ha.metott Ultima'e Comput¡n tz#cJ JVcrnorecftHo/ogJJ; también Hameroff y Wa en la nueva revista Nc,#oÓ,'o/ogJJ.)

mo[ecular Consciousness 82] y numerosos arti'culos

organización básica del citoesqueleto. Consiste e dispuestas en varios tipos de estructura: filame

Para abordar tales cuestiones, deberi'amos

ero echar una ojeada a la léculas de tipo proteínico de actina, microtúbulos,

y filamentos intermedios. Son los m,'cro,#-bw/os palmente. Estos consisten en tubos cilíndricos 25 nm de diámetro exterior y l4 nm de diámetro nometro» que es lO-9 m), organizados a veces

ue_nos interesarán princios, de aproximadamente ior (donde «nm» = «naras mayores de tipo tubo

que constan de nueve dobletes, tripletes o tripl dispuestos en una estructura con una sección tra co, como se indica en la figura 7.3, a veces co corren por el centro. Los cilios del paramecio so microtúbulo en si' mismo es una proteína polim des conocidas como ,wb#/,'nas. Cada subunida decir, consta de dos partes esencialmente separ

arciales de microtúbulos, sa semejante a un abanipar de microtúbulos que ucturas de este tipo. Cada consistente en subunidaulina es un «di'mero», es llamadas cx-tubulina y ¢roximadamente 450 amien forma de cacahuete» y

La teoría cuán[ica

7.3.

Partes importantes del citoesqueleto consisten en manojos

(microtúbulos) organizados en una estructura con una sección de t lios del paramecio son manojos de esta naturaleza.

organizado en una red hexagonal ligeramente sesgada a lo la como se indica en la figura 7.4. Existen generalmente l3 co de tubulina en cada microtúbulo. Cada di'mero tiene cerca 4 nm y su número atómico es de alrededor de ll x lO4 (l contiene aproximadamente ese mismo número de nucleon masa, en unidades absolutas, es de más o menos lO-l4). Cada di'mero de tubulina, como un todo, puede exist configuraciones geométricas diferentes, llamadas co#/orm¢c una de éstas, se doblan a más o menos 300 respecto a la dir bulo. Existe la evidencia de que estas dos conformaciopes estados diferentes de la polarización eléctrica del di'mero, debido a que un electrón, colocado centralmente en la tubulina, puede cambiar de una posición a otra. El «centro de control» del citoesqueleto (si de verdad e término apropiado) es una estructura conocida como el cc consistir esencialmente en dos cilindros de nueve tripletes los cilindros formando una especie de «T» (figura 7.5). (Lo lares, de un modo general, a los que existen en los cilio la figura 7.3.) El centriolo forma la parte cri'tica de una est cent-ro orgariizador de microtúbulos o centrosoma._ Sea centriolo durante el curso normal de la existencia de una al menos una tarea fundamentalmente important.e. En un uno de los dos cilindros del centriolo genera otro, para «T» que luego se seponqw uno de otro, arrastrando consigo

380 1Jcis sombras de la mente

7.4. Un m¡crotúbulo. Es un tubo hueco, que const di'meros de tubulina. Cada molécula de tubulina pu formaciones.

almente de l3 columnas de esentar (al menos) dos con-

7.5. El ce#,,,|o/o -que parece ser e1 «centro de co existe-consiste esencialmente en una «T» separada de microtúbulos de forma muy parec¡da a la que se

del citoesqueleto, si tal cosa da a partir de dos manojos en la f¡gura 7.3.

nen los microtúbulos. Estas fibras microtubular centriolo con las ramas de ADN separadas en e conocidos como sus centrómeros) y las ramas d el proceso extraordinario técnicamente conocido

nectan de algún modo el leo (en puntos centrales, N se separan -iniciando m,-,os,'s, que simplemente

s±gri£tca, división celular (véase \a. tigura. 7.6).

Podri'a parecer extraño que hubiera dos «cuart diferentes en una sola célula. Por una parte está e terial genético fundamental de la célula, que co

enerales» completamente c/eo, donde reside el maa la herencia de la célula

y su propia identidad particular, y gob¡erna la p nico del que la propia célula está compuesta. Po

ción del material prote]'partc, existe el cc#/,osoe parece ser el punto focal

La teoría cuánt¡

7.6. En la m¡tosis (divis¡ón celular) los cromosomas se separan; de ellos para separarlos.

del citoesqueleto, una estructura que en apariencia contr de la célula y su organización detallada. Se cree que la pr estructuras diferentes en células eucariotas (las células d y casi todas las plantas de este planeta, pero excluyendo verdosas y virus) puede ser el resultado de una antigua «i lugar hace algunos miles de millones de años. IJas células qu con anterioridad eran las células procariotas que aún exist rias y algas azulverdosas, y que no poseen citoesqueletos.

gan, l976) es que algunas procariotas primitivas se ent quizá, fueron «infectadas por»- algún tipo de espiroquet nada con una cola parecida a un látigo compuesta de pro cas. Estos organismos mutuamente extraños crecieron co vivir permanentemente unidos en una relación simbiótica -o,c,s simples. Asi' pues, estas «espiroquetas» se convirti

citoesqueletos de las células -¡con todas las consecuenci futura que a partir de ello nos hizo posibles! La organización de los microtúbulos en los mamíferos un punto de vista matemático. El número l3 no parece t tancia matemát¡ca particular, pero esto no es totalmente ta.mosos números de F¡bonacci`.

382 Las sombras de la meníe

7.7. Una cabeza de girasol. Como sucede en muchas otras plantas, los números de Fibonacc¡ intervienen de forma destacada. En las regiones externas, existen 89 espirales en el sentido de las agujas del reloj y 55 espirales en el sentido contrario. Más próximos al centro podemos encontrar otros números de Fibonacci.

donde cada número se obtiene como la suma de los dos anteriores. Esto podri'a ser fortuito, pero es bien sabido que los números de Fibonacci aparecen frecuentemente (a una escala mucho mayor) en los sistemas biológicos. Por ejemplo, en abetos, flores de girasol y troncos de palmeras, se encuentran disposiciones espirales o helicoidales que implican la interpenetración de giros a derecha e izquierda, donde el número de filas para una mano y el número para la otra son dos números de Fibonacci consecutivos (véase la figura 7.7). (A medida

que uno exam¡na las estructuras desde un extremo al otro, puede encontrar que tiene lugar una «derivación», y los números cambian entonces a un par adyacente de números de Fibonacci consecutivos.) Curiosamente, la estructura hexa-

gonal sesgada de los microtúbulos muestra una caracteri'stica muy similar -generalmente con una organización incluso más precisa- y se encuentra (al menos normalmente) que esta estructura está constituida por 5 disposiciones helicoidales de mano derecha y s de mano izquierda, como se muestra en la figura 7.8. En la figura 7.9, he tratado de indicar qué apariencia tendri'a esta estructura «vista» realmente desde dentro del microtúbulo. El número 13 interviene aqui' en su papel como la suma: 5 + 8. Es curioso, también, que los microtúbulos dobles que se dan con frecuencia parecen tener normalmente un

=

\l.

384 Las sombras de la mente

total de 2l columnas de di'meros de tubulina del tubo compuesto -¡el siguiente número de no debería ir muy lejos con tales consideracio rece en los manojos de microtúbulos en los cil de Fibonacci.)

man la superficie exterior acci! (Sin embargo, uno r ejemplo, el «9» que apaentriolos m es un número

¿Por qué aparecen números de Fibonacci e En el caso de los abetos y las flores de girasol,

tructura del microtúbulo? xisten varias teorías plausi-

bles -y el propio Alan Turing fue uno de lo tema (Hodges, l983, p. 437). Pero bien pudie apropiadas para los microtúbulos, y probable

pensó seriamente sobre el que estas teori'as no sean otras ideas diferentes serán

relevantes en este nivel. Koruga (l974) ha sug nacci pueden proporcionar ventajas para el mi «procesador de información». De hecho, Ha do, durante más de una década,4 que los mic nes como c,w,o'mo,czs ce/w/c,n¬s, en los que se mitidas y procesadas a lo largo de los tubos c de polarización eléctrica de las tubulinas. Rec bulina pueden existir en (al menos) dos esta

ue estos números de Fiboulo en su capacidad como y sus colegas han defendilos pueden realizar funcioomplicadas podri'an ser transndas de diferentes estados os que los di'meros de tunformacionales diferentes

que pueden cambiar de uno a otro debido ap alternativas para sus polarizaciones eléctricas. influido por los estados de polarización de ca do a interacciones de Van der Waals entre ell especi'ficas que gobiernan la conformación d conformación de sus vecinos. Esto permitiría

mente a las posibilidades do de cada di'mero estaría de sus seis vecinos (debindo lugar a ciertas reglas di'mero en función de la do tipo de mensajes fuese

propagado y procesado a lo largo de cada micr pagan parecen ser relevantes para el modo en moléculas diversas a lo largo de ellos, y para l microtúbulos vecinos -en la forma de protel'n nocidas como MAP (proteiínas asociadas a lo 7.lO. Koruga defiende una efectividad especia lacionada con números de Fibonacci del tipo los microtúbulos. En realidad, debe de haber de organización en los microtúbulos, puesto en los números que aparecen en las células eu

. Estas señales que se pros microtúbulos transportan ersas interconexiones entre ectoras de tipo puente cootúbulos). Véase la figura l caso de una estructura rerealmente se observa para buena razón para este tipo si bien hay cierta variación s en general. l3 columnas

parecen ser casi universales entre los microtú ¿Cuál es la importancia de los microtúbul rona individual tiene su propio citoesqueleto. de que hay mucho que descubrir en una inve

de los mami'feros. a las neuronas? Cada neues su papel? Estoy seguro ón futura, pero parece que

ya se sabe bastante. En particular, los microtú realmente muy largos, en comparación con s 25-30 nm) y pueden alcanzar longitudes de m crecer o contraerse, según las circunstancias transmisoras. Hay microtúbulos que corren lon

en las neuronas pueden ser etro (que es sólo de unos os o más. Además, pueden ansportar moléculas neuronalmente a lo largo de axoo parecen extenderse indirtamente forman redes de

IA [eoría cuánt¡c

7.lO.

Los microtúbulos tienden a estar interconectados con los v

pro'eínas asoc¡adas a los microtúbulos (MALP).

comunicación que sí lo hacen, comunicando cada microtúb

por medio de las MAP conectoras mencionadas más arriba parecen ser responsables de mantener la intensidad de la s de efectuar alteraciones de esta intensidad cuando surge la parecen organizar el crecimiento de nuevas terminaciones las hacia sus conexiones con otras células nerviosas. Puesto que las neuronas no se dividen una vez que el cer completamente, no existe una función de este tipo particul en una neurona. De hecho, los centriolos parecen estar aus ma de la neurona -que se encuentra próximo al núcleo d microtúbulos se extienden desde alli' directamente hacia la minaciones presinápticas del axón, y también en la direcc las dendritas y, mediante el filamento de actina contráctil, h dríticas que con frecuencia forman la terminación postsiná sináptico (figura 7.l2). Estas espinas están sujetas a creci ción, un proceso que parece formar una parte importante rebral, por la que las interconexiones globales en el cerebro bios sutiles y continuos. Parece que hay una evidencia sign microtúbulos están realmente involucrados de modo signifi de la plasticidad cerebral.

386 IJas sombras de la mente

o4F.

&

Tríesqueleos

7.ll. Una molécula de clatrina (similar en su estructura global a un ful hecha de subestructuras más complicadas, triesqueleos de protei'nas en luga de carbono). La clatrina representada se parece en su estructura a un baló corriente.

pero omos útbol

los microtúbulos que son fascinantes desde el punto de vista geomét son importantes en relación con la liberación de sustancias químicas misoras. Estas sustancias -llamadas c/c,,r,-#czs- están formadas a meros protei'nicos conocidos como triesqueleos de clatrina, que for turas con tres puntas (polipéptidos). Los triesqueleos de clatrina se

que ansde tri'trucman

para formar bellas configuraciones matemáticas que son idénticas e nización general a las moléculas de carbono conocidas como «full «bolas bucky») debido a su similaridad con las famosas cúpulas geodé truidas por el arquitecto americano Buckminster Fuller.5 Las clatrin tante, son mucho mayores que las moléculas de fullereno, puesto q

rga» (o onsobstries-

queleo de clatrina entero, una estructura que implica varios aminoá el lugar del simple átomo de carbón del fullereno. Las clatrinas p relacionadas con la liberación de las sustancias qui'micas neurotrans las sinapsis parecen tener básicamente la estructura de un ,-cosc,ed -¡que resulta familiar como el poliedro que muestran los modern

toma lares s en ncc,do nes

de futbol (véase la figura 7.ll y 7.l2)! En la sección anterior se planteaba la importante pregunta: ¿qu

que

gobierna la variación del número de sinapsis y organiza los lugare van a hacerse las conexiones sinápticas activas? Nos hemos visto gui creencia clara en que es el c,',oesgwc/e,o el que debe desempeñar central en este proceso. ¿Cómo nos ayuda esto en nuestra búsqueda d ción no computacional para la mente? Hasta aquí, parece que todo mos ganado es un enorme incremento potencial en el poder de co muy por encima del que podri'a haberse logrado si las unidades fues mente las solas neuronas. De hecho, si los di'meros de tubulina son las unidades computac sicas, entonces debemos imaginar la posibilidad de un poder de co

nde una nción fune heción, ple-

potencial en el cerebro que superari'a enormente el que ha sido co en la literatura IA. Hans Moravec, en su libro M,-#cí CA,®/dre# (l sobre la base de un modelo de «neuronas solas», que el cerebro h

lado supone, o po-

s báción

IA teoría cuánt¡ca

7.l2. Las clatrinas, como las de la figura 7.ll (y las termjnacione los) residen en los botones sinápticos del axón y parecen cstar impl la intensidad de la sinaps¡s; esta intensidad tamb¡én podri'a estar in mentos de actina contrác[iles en las cspinas dendríticas, que están crotúbulos.

dri'a en principio alcanzar posiblemente alrededor de lOl4 op

por segundo, pero no más, considerando que podri'a haber u operacionales, cada una de ellas capaz de enviar aproximad les por segundo (cf. §l.2). Si, por el contrario, consideram tubulina como la unidad computacional básica, entonces debe te que existen cei'ca de 107 di'meros por neurona, realizánd raciones elementales alrededor de lO6 veces más rápido, dá unas lO27 operaciones por segundo. Mientras que los ordenad den estar empezando a acercarse a la primera cifra de lOl4 op gundo, como Moravec y otros defienden con firmeza, no que la cifra de lO27 sea alcanzada en un futuro previsible. Por supuesto, podri'a afirmarse razonablemente que el ce rando en ninguna parte ni siquiera remotamente próximo al l cficienc¡a microtubular que suponen estas cifras. De todas fo que la posibilidad de «computac¡ón microtubular» (cf. Ham en una perspectiva completamente diferente algunos de los ar de una inminente inteligencia artificial a n¡vel humano, ¿Po guna vez en las sugerencias6 de que las facultades mentales mátodo han sido ya logradas computacionalmente sólo por su organización neural parece haber sido representada y simu nalmente? Como se comentó en §l.l5, las capacidades reale

parecen superar por mucho cualquier cosa que haya sido co procedimientos estándar de la IA. Uno podri'a preguntarse cuá miga de su enorme serie de «procesadores de información mi

388 Las sombras de la menie

Pese a todo, los argumentos de la Prímera parte hacen una afirmación má fuerte. Yo estoy ínsinuando que la facultad de la comprensión humana está más allá de cualquier esquema computacíonal. Si son los microtúbulos los que controlan la actividad del cerebro, entonces debe de haber algo dentro de la acción de los mícrotúbulos que es diferente de la mera computación. He argumentado que tal acción no computacional debe ser el resultado de algún fenómeno de coherencía cuántica razonablemente a gran escala, acoplado de al-

guna manera sutil al comportamiento macroscópico, de modo que el sistema es capaz de sacar ventaja de cualquier proceso fi'sico nuevo que reemplace aI procedimiento R sustitutívo de la fi'síca actual. Como un primer paso, debemos buscar una función genuina para la coAene#c,-a cwczJ#,,-co en la activida citoesquelét¡ca.

7.5. ¿Coherencia cuántica dentro de los microtúbulos? ¿Exisü alguna ev¡dencia de esto? Recordemos las ídeas de Fróhlich (1975) sobre la posibílidad de fenómenos de coherencia cuántica en sistemas biológicos,

Tencionadas en la exposición de §7.l. Él manteni'a que mientras la energl'a del impulso metabólíco sea sufic¡entemente grande, y las propiedades díe1éctricas de los materiales interesados sean lo bastante extremas, entonces existe la posibilídad de coherencia cuántica a gran escala símilar a la que tiene lugar en los

fenómenos de superconductividad y superflu¡dez -a veces mencionados como co#de#sac,loJ# de Bose-E,'#s,c','n- incluso a las temperaturas relativamente aI tas que están presentes en los sístemas biológicos. Resulta que no sólo es suficientemenü alta la energi'a metabólica e inusualmente extremas las propiedades dieléctricas (un hecho observacíonal sorprendente de los años 30 que inició a Fróhlich en esta liJnea de pensamiento), sino que existe ahora también alguna evidencia directa de las oscilaciones de 10lI Hz dentro de las cé1ulas que Fróh1ich habi'a predicho (Grundler y Keilmann, l983). En un condensado de Bose-Einstein (que aparece también en el funcionamíento de un 1áser), muchas parti'culas participan colectivamente en un simple estado cuántíco. Este estado puede describirse mediante una función del tipo de la que seri'a adecuada para una sola parti'cula -aunque ahora se aplica de una vez a la colección entera de parti'culas que están participando en el estado. Recordemos la naturaleza Tuy contraintuítiva del estado cuántico (dísperso) de una simple partícula cuantica (§5.6, §5.ll). Con un condensado de BoseEinstein es como si el sistema entero que contiene un gran número de partl'culas se comportase globalmente de forma muy parecida a como lo hari'a el estado cuántico de una simple parti'cula, excepto que todo queda reescalado de forma apropiada. Exíste una coherencia a gran escala, en donde muchas de las características extrañas de las funcíones de ondas cuánticas s¡guen siendo válídas en un n¡vel macroscópíco.

Parece que la idea original de Fróhlich era que tales estados cuánticos a gran

La teoría cuánt¡ca y el cerebro 389

escala ocurriri'an probablemente en las membranas celulares,* pero ahora se pre.senta la posibilidad adicional -y quizá más plausible- de que sea en los mJc,o,w-bw/os donde deberíamos buscar un comportamiento cuántico de este tipo. Parece que hay alguna evidencia de que pudiera ser así.7 Incluso ya en l974, Hameroff (l974) había propuesto que los microtúbulos podri'an actuar como «guías de onda dieléctricas». Resulta realmente tentador creer que la Naturaleza ha escogido tubos huecos en sus estructuras citoesqueléticas para algún buen propósito. Quizá los propios tubos si[ven para proporcionar el aislante efectivo que haría posible que el estado cuántico en el interior del tubo permanezca durante un tiempo apreciable sin enmarañarse con su entorno. En relación con esto, es interesante señalar que Emilio del Giudice y sus colegas de la Univers¡dad de Milán (Del Giudice e, a/.,1983) han argumentado que un efecto cuánt:co de autoenfoque de ondas electromagnéticas dentro del material citoplásmico en las células hace que las señales queden confinadas en .una región cuyo tamaño coincide precisamente con el diámetro interno de los microtúbulos. Esto

podría dar sustancia a la teori'a de la guía de ondas, peTo el efecto podría ser también instrumental en la propia formación de los microtúbulos. Existe otro tema de interés aquí, y esto concierne a la naturaleza misma del agwa'. Los tubos propiamente dichos pare¬en estar vacíos -un hecho curioso y posiblemente significativo en sí mismo, si vamos a considerar que estos tubos nos proporcionan las condiciones controladas favorables para algún tipo de os-

t'lia.cttnvisvt-iLi'tLtiai_ii\ét-tivas. «vac,lo»?1g_nlPc? aquí q_u__e_t±t?.a_=,eT,t_e_:.ó_\.t c.o^nt tienen agua (sin iones disueltos siquiera). Podríamos pensar que el «agua», con sus moléculas en movimiento aleatorio, no es un tipo de estructura suficiente=e-nltltV%-r====zLÉ:-3ir=-üe haya pEobabi\1dad ee__q_=?_e¬_u^rr^a_n`e=C±±?`%'l%=enSnC%= herentes cuánticas. Sin embargo, el agua que se encuentra en las células no se

parece en absoluto al agua común que se encuentra en los océanos -desordenada, con moléculas que se mueven de una forma aleatoria e incoherente. Parte de ella -y es una materia controvertida cuánto- existe en un estado o,tJenado (a veces conocido como agua «vicinal»; cf. Hameroff, l987, p. l72). Semejante estado ordenado de agua puede extenderse unos 3 nm o más hacia afuera a partir de las superficies del citoesqueleto. No parece irrazonable suponer que el agua en el interior de los microtúbulos sea también de naturalez.a ordenada, y esto favoreceri'a fuertemente la posibilidad de oscilaciones cuántF cas coherentes dentro de, o en relación con, estos tubos. (Véase, en particular, Jibu e, a/., l994.) Cualquiera que sea el estatus final de estas sugerentes ideas, una cosa parece clara en mi opinión. Hay pocas posibilidades de que una exposición enteramente clásica del citoesqueleto pudiera explicar adecuadamente :u comportamiento. Ésta es una situación bastante diferente de la de las propias neuronas, +

Un firme defcnsor de la idea de que la condensación de Bose-Einstein puede proporcionar

cl «sentido unitario del yo» que parece caracteri'stico de la conscienc¡a. en relación con las ideas de Fróhlich cs lan Marshall (1989); c"ambién Zohar (l980), Zohar y Marshall (l984) y Loc¥wood (l989). Un firme primer defensor de una actividad «holograma» global (esencialmenü cuantica) coherente a gran escala en el cerebm fuc Karl Pribram (l966, l975. 199l).

390 IJas sombras de la mente para las que las discusiones en términos-enteramente clásicos parecen ser básicamente apropiadas. De hecho, un examen de la literatura actual sobre la acción del citoesqueleto revela el hecho de que continuamente se está apelando a conceptos mecano-cuánticos, y tengo pocas dudas de que esto aumentará en el futuro. Sin embargo, también es evidente que habrá muchos que sigan sin convencerse de la pos¡bilidad de que existan efectos cuánticos significativos de relevancia para la acción del citoesqueleto o la acción cerebral. Incluso si de hecho hay efectos. importantes de una naturaleza cuántica que son esenciales para el funcionamiento de los mícrotúbulos y para la acción cerebral conscíente, podri'a no ser fácil demostrar su presenc¡a mediante experimentos concluyentes. Si tenemos suerte, alguno de los procedimientos es[ándar que ya sirven para demostrar la presencia de condensados de Bose-Einstein en sistemas fi'sicos -como ocurre con la superconductivídad a alta temperatura- pueden encontrarse también aplicables a los microtúbulos. Por el contrario, podemos no tener tanta suerte, y qu¡zá se necesite algo completamente nuevo. Una posibilidad sugerente podri'a ser el demostrar que las excitaciones en los microtúbulos muestran el típo de no localidad que tiene lugar en los fenómenos EPR (desigualdades de Bell, etc.; cf. §5.3, §5.4, §5.l7), puesto que no hay explicac¡ón clásica (locaI)

para efectos de este tipo. Por ejemplo, uno podría ¡maginar que se hagan medi-

das en dos puntos de un microtúbulo -o en microtúbulos separados- cuyos resultados no puedan explicarse en términos de acciones independientes clásicas que tienen lugar en estos dos puntos. Cualquiera que sea el estatus de tales sugerencias, la investigación de los microtúbulos está aún en su infancia relativa. No hay duda en mi opinión de

que nos aguardan sorpresas importantes.

7.6. Microtúbulos y consciencia ¿Existe alguna evidencia directa de que el fenómeno de la co#sc,'e#c','a esté relacionado con la acción del citoesqueleto y, cn particular, de los microtúbulos? Cíertamente, ex,'s,e tal evidencia. Tratemos de analizar la naturaleza de esta evidencia -que aborda la cuestíón de la consciencia ¡suponiendo que lo que la produce está c,wsc#,c!

Un camino importante hacia la respuesta de preguntas relativas a las bases fi'sicas de la consciencia surge de un examen de lo que precisamente desconecta dicha consciencia de forma muy concreta. Los a#esíeJs,'cosgc#¬,tz/es tienen precisamente esta propiedad -completamente reversible, si las concentraciones no son demasiado altas- y es un hecho notable el que la anestesia general pueda ser inducida por un gran número de sustancias completamente diferentes que parecen no tener ninguna relación qui'm¡ca entre si'. Inclu¡das en la lista de anestésicos generales están sustancias qui'micamente tan diferentes como el óxido nitroso (N2O), éter (CH3CH2OCH2CH3), cloroformo (CHCl3), halótapo (CF3CHCIBr), isofluorano (CHF2OCHCICF3) ¡e incluso el gas xenón químicamente inerte!

La teoría cuántica y el cerebro 391

Si no es la química la responsable de la anestesia general, entonces ¿qué puede ser lo que e5 responsable? Existen otros tipos de interacciones que pueden tener lugar entre moléculas y que son mucho más débiles que las fuerzas

qui'micas. Una de éstas se conoce como la fuerza de r" dc, Wa'c,/s. La fuerza de Van der Waals es una atracción débil entre mo1éculas que tienen momen,os d,-po/affs e/eJc,,,'cos (el equivalente «eléctrico» dc los momentos dipolares magnéticos que miden la intensidad de los imanes comunes). Recordemos que los dímeros de tubulina son susceptibles de dos conformaciones diferentes. Parece

que éstas surgen debido a que existe un electrón, situado centralmente :T una región libre de agua en cada di'mero, que puede ocupar una de dos posiciones separadas. La forma global del dímero está afectada por esta posición, como lo está su momento dipolar eléctrico. La capacidad del dímero de «conmutar» de una conformación a la otra está influida por la fuerza de Van der Waals ejercida por sustancias vecinas. En consecuencia, se ha sugerido (Hameroff y Watt, l983) que los anestésicos generales pueden actuar a través de sus interacciones de Van der Waals (en regiones «hidrófobas» -de las que el agpa ha sido expulsada-; véase Franks y Lieb, l982), que interfieren con las acciones conmutadoras normales de la tubulina. A medida que los gases anestésicos se difunden entre las células nerviosas individuales, sus propiedades dipolares eléctricas (que no tienen mucho que ver con sus propiedqdes químicas comuTes) pueden interrumpir de este modo las acciones de los microtúbulos. Esta es ciertamente una forma plausible en la que podrían operar los anestésicos gene?ales. Aunque no parece haber ninguna imagen detallada aceptada de las acciones de los anestésicos, parece existir una visión coherente según la cual son las interacciones de Van der Waals de estas sustancias con la dinámica conformacional de las proteínas cerebrales las que son de hecho responsables. Hay una firme posibilidad de que las protei'nas relevantes sean los dím:ros de tubulina en los microtúbulos neuronales -y que es la interrupción consiguiente del funcionamiento de los microtúbulos la que da como resultado la pérdida de consciencia. Como apoyo para las sugerencias de que es el c,',oesgwe/e,o el que está directamente afectado por los anestésicos generales, puede comentarse que no son sólo los «animales superiores», tales como los mamíferos o los pájaros, los que quedan inmmovilizados por dichas sustancias. Un paramecio, una ameba, o incluso el mantillo verde de las ciénagas (como fue observado por Claude.Bernard ya en 1875) es afectado de forma análoga por los anestési.cos del misTo tipo y concentración aproximada. Ya sean los cilios del paramecio o su centriolo el lugar donde el anestésico ejerce su efecto inmovilizante, parece que debe ser en a/gwn¢ parte de su citoesqueleto. Si podemos considerar que el sistema

que controla semejante animal unicelular es realmente su citoesqueleto, entonces se obtiene una imagen consistente si consideramos que es en el citoesqueleto donde actúa realmente el anestésico general. Esto no quiere decir que tales animales unicelulares tengan que ser considerados conscientes. Éste es un tema completamente aparte. En efecto, podri'a necesitarse mucho, cíd¬ma~s de citoesqueletos que funcionan apropiadamente,

392 Las sombras de la merite

para evocar un estado consciente. Lo que parece estar fuertemente indicado, sin embargo, sobre la base de argumentos tales como los que se han señalado aqui', es que nuestro estado (o estados) de consciencia negw,'cne tal citoesqueleto activo. Sin un sistema de citoesqueletos en operación adecuada, la consciencia queda eliminada, desconectándose instantáneamente en cuanto el funcionamiento de los citoesqueletos queda inhibido -y recuperándose instantáneamente en cuanto este funcionamiento es restaurado, siempre que no se haya producido ninguna otra lesión en el intervalo. Por supuesto, se plantea significativamente la pregunta de si un paramecio -o, por ejemplo, una célula individual de un hígado humano- podri'a poseer realmente alguna forma rudimentaria de consciencia, pero esta pregunta no queda respondida por semejantes consideraciones. En cualquier caso, también debe ocurrir que la organización neural detallada del cerebro esté fundamentalmente ¡mplicada en gobernar qué/ormc, debe tomar dicha consc¡encia. Además, si dicha organización no fuera importante, entonces nuestros hiígados produciri'an tanta consciencia como lo hacen nuestros cerebros. De todas formas, lo que los argumentos anteriores su-

gieren con fuerza es que no es so'/o la organización neuronal de nuestros cerebros la que es importante. Los cimientos citoesqueléticos de esas mismas neuronas parecen ser esenciales para que esté presente la consciencia. Presumiblemente, para que la consciencia aparezca en general no es un citoesqueleto como ,a/ lo que es relevante, sino alguna a'cc,'o'#/,3,®ca ese#c,'o/ que la biología se las ha arreglado astutamente para incorporar en la actividad de los microtúbulos. ¿Cuál es esta acción fi'sica esencial? La fuerza de los argumentos de la Primera parte de este libro residi'a en que necesitamos algo que está más allá de la simulación computacional si queremos encontrar una base fi'sica para los actos consc¡entes. Los argumentos de la Segunda parte, en los capi'tulos que preceden a éste, nos han dicho que busquemos en la línea divisoria entre los niveles cuántico y clásico, donde la fi'sica actual nos dice que utilizamos el procedimiento R sustitutivo, pero donde yo estoy afirmando que se necesita una #wew teoría fi'sica de RO. En este capi'tulo, tratamos de señalar el lugar del cerebro donde podri'a ser importante la acción cuántica para el com-

portamiento clásico, y aparentemente nos hemos visto llevados a considerar que es aL tlaNés del control citoesquelético de las conexiones sindpticas como esta. interfase cuántico/clásico ejerce su influencia fundamental sobre el comportamiento cerebral. Tratemos de explorar esta imagen con más detalle.

7.7. ¿Modelo para una mente? Como se comentó en §7.l, parece conveniente aceptar que las propias señales nerviosas son fenómenos que pueden tratarse de una manera completamente clásica -en vista del hecho probable de que tales señales perturban su entorno en una medida tal que la coherencia cuántica no puede mantenerse en dicha situación. Si las conexiones sinápticas y sus intensidades se mantienen fijas, entonces la forma en que el disparo de cada neurona afecta a la siguiente será

La ,eoría cuántica y el cerebro 393

también algo que puede tratarse clásicamente, aparte de un ingrediente aleatorio que interviene en este momento. Ia acción del cerebro en tales circunstancias seri'a completamente computacional, en el sentido de que seri'a posible en principio una simulación computacional. Con esto no quiero decir que tal simulación imitara exactamente las acciones de un cerebro espec,J:,-co que estuviera cableado de esta forma -debido- a estos ingredientes aleatorios- sino que proporcionari'a una simulación de una acción ,,Z,,®ctz de dicho cerebro y, por consiguiente, de un comportamiento ti'pico de algunos individuos controlados

por un cerebro semejante (cf. §l.7). Además, éste es en buena medida un enunciado e# p,,'#c,-p,'o. No hay sugerencia de que con la tecnologi'a actual pudiera realmente llevarse a cabo semejante simulación. También estoy suponiendo en esto que los ingredientes aleatorios son ge#w,'#c,mc#,c aleatorios. La posibilidad de una «mente» externa dualista que interviene para influir en dichas probabilidades no entra aqui' en consideración (cf. §7.1). Asi' pues, estamos aceptando (provisionalmente, al menos) que, con conexiones sinápticas /,,'os, el cerebro está actuando en realidad como algún tipo de ordewc,c7or, aunque un ordenador con ingredientes aleatorios incorporados. Como hemos visto en los argumentos de la Primera parte, es extraordinariamente improbable que un esquema semejante pudiera proporcionar alguna vez un modelo para la comprensión consciente humana. Por el contrario, s¡ las conexiones sinápticas especi'ficas que definen el ordenador neural concreto en consideración están sometidas a cambio continuo, estando controlado dicho cambio por alguna acción #o computacional, entonces sigue siendo posible que un modelo ampliado semejante pudiera simular realmente el comportamiento de un cerebro consciente.

¿Qué acción no computacional podría ser ésta? En relación con esto, deberi'amos tener en mente la naturaleza g/oóa/ de la consciencia. Si se tratara simplemente de que aproximadamente lOll citoesqueletos individuales estén sumi-

nistrando cada uno de ellos por separado algún input no computacional, es difícil ver que esto fuera de mucha utilidad para nosotros. Según los argumentos de la Primera parte, el comportamiento no computacional está ligado a la acción de la consciencia -al menos en la medida en que se alega que a/gw#as acciones conscientes, cspeciíficamente la cualidad de comp,e#s,'o'#, son no computacionales. Pero esto no es algo relevante para los citoesqueletos individuales o los microtúbulos individuales dentro de un citoesqueleto. ¡No cabe sugerir que un citoesqueleto o microtúbulo particular «comprende» cualquier parte del argumento de GÓdel! La comprensión es algo que opera a una escala mucho más global; y si están implicados los citoesqueletos, entonces debe de haber algún fenómeno colectivo que concierne a números muy grandes de citoesqueletos de una vez. Recordemos la idea de Fróhlich de que un fenómeno cuántico colectivo a

gran escala -quizá de la naturaleza de un condensado de Bose-Einstein- es una posibilidad biológica definida, incluso dentro del cerebro «caliente» (cf. también Marshall l989). Aqui' imaginamos que no sólo los microtúbulos simples deben estar implicados en un estado cuántico coherente a una escala

394 Las sombras de la mente

relativamente grande, sip.9 que tal estado debe extenderse desde un mícrotúbulo al siguiente. Asi' pues, no sólo debe extenderse esta coherencia cuántica a la longitud de un microtúbulo entero (y recordemos que los m¡crotúbulos pueden alcanzar una longitud considerable), sino que muchos de los diferentes microtúbulos en el citoesqueleto dentro de una neurona, si no todos ellos, deben tomar parte juntos en este mismo estado cuán`ticamente coherente. No sólo esto, sino que ]a coherencia cuántica debe saltar la barrera sináptica entre neurona y neurona. ¡No hay mucha globalidad si sólo implica células individuales! La unidad de una sola mente puede aparecer, en una descripción semejante, sólo si existe alguna forma de coherenc¡a cuántica que abarca al menos una parte apreciable del cerebro entero.

Seri'a notable -casi increible- que la Naturaleza llevase a cabo una hazaña semejante por medios biológicos. Pese a todo, creo que debe haber indicios de que asi' lo ha hecho, y que la evidencia principal v¡ene del hecho de nuestra

propia mentalidad. Hay mucho que entender de los sistemas biológicos y de cómo consiguen su magia. Hay mucho, en biologi'a, que sobrepasa de lejos lo que puede hacerse con las técnicas fi'sicas directas actuales. (Pensemos, por ejemplo, en una minúscula araña de tamaño m¡limétrico tejiendo delicadamente su elaborada tela.) Recordemos, además, que ciertos efectos de coherencia cuántica sobre una distancia de varios metros -los enmarañamientos EPR implicados en pares de fotones- han sido ya observados (por medios /Z3,-cos) en los experimentos de Aspect y otros (cf. §5.4). Pese a la dificultad técnica de realizar experimentos que puedan detectar efectos cuánticos a esas grandes distancias, no deberi'amos descartar la posibilídad de que la Naturaleza haya encontrado medios biológicos de hacer mucho más. No deberi'a subestimarse nunca el «ingenio» que puede encontrarse en la biologi'a. Sin embargo, los argumentos que estoy presentando requieren más que sólo coherencia cuántica a gran escala. ¡Requieren que los sistemas biológicos que son nuestros cerebros se las hayan arreglado de algún modo para dominar los detalles de una fi'sica que aún es desconocid? para los fi'sicos humanos.' Esta fi'sica es la teori'a RO ausente que enlaza los niveles cuántico y clásico y, como estoy defendiendo, reemplaza el procedimiento R sustitutivo por un esquema físico altamente sutil y no computacional (pero indudablemente aún matemático).

El que los físicos humanos sean. por el momento, fundamentalmente ignorantes de esta teori'a ausente no es, por supuesto, un argumento en contra de que la Naturaleza haya hecho uso de ella en biologi'a. La Naturaleza sacó ventaja de los principios de la dinámica newtoniana mucho antes que Newton, de los fenómenos electromagnéticos mucho antes que Maxwell y de la mecánica cuántica mucho antes que Planck, Einstein, Bohr, Heisenberg, Schródinger y Dirac -¡con una antelación de algunos miles de millones de años! Es sólo la arroganc¡a de nuestra época actual la que lleva a muchos a creer qu¬ conocemos ahora todos los princ¡pios básicos que pueden subyacer en todas las sutilezas de la acción biológica. Cuando algún organismo es bendecido con la fortuna de tropezar con una acción sutil semejante, puede aprovechar los benefic¡os

La teoría cuántica y el cerebro 395

que este proceso físico le confiere. Entonces la Naturaleza sonríe a dicho organismo y a sus descendientes, y permite que la acción física sutil se conserve de generación en generación en números cada vez mayores -a través de su poderoso proceso de selección natural. Cuando surgieron las primeras criaturas celulares eucariotas, debieron eTcontrar que obtenían un gran provecho de la presencia de los microtúbulos primitivos en su interior. Apareció algún tipo de influencia organizativa, según la imagen que estoy presentando aquí, que quizá les hizo capaces de mostrar

*'i,`*-[-+&=e=-`iii:de comport_in\ient.b t\",lis`ta, y_FsLt_o_.Le_sJa_y_=t¬^a^s^%+=.v.i: vir mejor que sus competidoras. Sin duda, seri'a bastante inadecuado calificar de «mente» a una influencia semejante; pese a todo surgió, sugiero yo, en virtud de algún juego sutil entre los procesos de nivel cuántico y de nivel clásico. La naturaleza sutil de este juego debía su propia existencia a la avanzada a.c-

ción física RO -todavía desconocida en detalle para nosotros- que, en circunstancias menos sutilmente organizadas, aparece como el crudo proceso R mecano-cuántico que adoptamos ahora. Los descendientes lejanos de aquellas criaturas celulares -los paramecios y las amebas de hoy, y también nuestras horm¡gas, árboles, ranas, ranúnculos y seres humanos- han conservado los beneficios que esta compleja acción habi'a conferido a aquellas criaturas celulares antiguas y los han orientado para que sirvan a muchos propósitos de aspecto completamente diferente. Sólo cuando está incorporada en un sistema nervioso altamente desarrollado, esta acción ha sido finalmente capaz de llevar

a cabo una buena parte de su tremendo potencial -y dar lugar a lo que de hecho conocemos como «mente». Aceptemos entonces la posibilidad de que la totalidad de los microtúbulos en los citoesqueletos de una gran familia de neuronas en nuestros cerebros puede muy bien tomar parte en la coherencia cuántica globa1 -o al menos que existe suficiente enmarañamiento cuántico entre los estados de microtúbulos diferentes en el cerebro- de modo que una descripción c/a~s!'ca global de las acciones colectivas de dichos microtúbulos m es adecuada. Podríamos imaginar complicadas «oscilaciones cuánticas» dentro de los microtúbulos, y que el aislante que proporcionan los propios tubos es suficiente para asegurar

que no se pierde toda la coherencia cuántica. Resulta tentador suponer que las computaciones del tipo autómata celular que Hameroff y sus colegas imaginan que tienen lugar ¢ /o /aq?o de los tubos pueden estar acopladas a las presuntas oscilaciones cuánticas (por ejemplo, las de Del Giudice e, a'/., l983. o Jibu e, a/., l994) que tienen lugar den,ro de los tubos. En relación con esto, puede comentarse que el tipo de frecuencia que Fróhlich había imaginado para sus oscilaciones cuánticas colectivas, apoyada por las observaciones de Grundler y Keilmann (l983) -en la región de fre?uencias de 5 x lO10 Hz (es decir, 5 x lOlO oscilaciones por segundo)- es del mismo or-

den que la imaginada, por Hameroff y colegas. como el «tiempo de conmutación» de los di'meros de tubulina en sus autómatas celulares microtubulares. Así pues, si el mecanismo de Fróhlich es en realidad lo que está operando den-

396 IJas sombras de la mente

tro de los microtúbulos, entonces está -ré\almente indicado algún tipo de acoplamiento entre los dos tipos de actividad.* Si el acoplamiento entre los dos fuera demasiado fuerte, no obstante, entonces no seri'a posible mantener una naturaleza cuántica para las oscilaciones internas s¡n tratar mecano-cuánticamente las computaciones a lo largo de los

propios tubos. Si fuera éste el caso, ¡tendría que haber entonces algún tipo de compw,oc,'o'# c'wc7Í#,,'co que está teniendo lugar en los microtúbulos (cf. §7.3)! Debemos preguntarnos si ésta es una posibilidad seria.

La dificultad es que esto pareceri'a requerir que los cambios en las conformaciones de los di'meros no perturben de forma significativa el material ambiente externo. En relación con esto, deberi'a apuntarse que parece haber una región de agua orde#oc7o que rodea a un microtúbulo y de la que se excluyen otros materiales (cf. Hameroff, l987, p. l72), que podri'a proporcionar alguna medida de protección cuántica. Por el contrario, existen MAP correctoras (cf. §7.4) que salen de los micro[úbulos hacia fuera, algunas dedicadas a su funcíón como transmisores de otros materiales, y que parecen estar influidas

por el movimiento de las señales a lo largo de los tubos (cf. Hameroff, p. l22). Este último hecho parece decirnos que las «computaciones» que permite el tubo

pueden realmente perturbar el entorno en un grado que debe ser tratado clásicamente. La cantidad de perturbación permanece bastante pequeña en términos de movimiento de masa, según el criterio RO propuesto en §6.12, pero para que el sistema entero permanezca en el nivel cuántico, seri'a necesario que estas perturbaciones no se extendieran mucho hacia fuera dentro de la célula y luego hacia fuera más allá de los li'mites de la célula.' En mi opinión, sigue habiendo suficiente incertidumbre, tanto en relación con la situación fi'sica real como en relación a cómo debe aplicarse el criterio RO del §6.l2, que uno no puede estar seguro de si una imagen completamente c1ásica es o no apropiada en esta etapa. Para los propósitos de la argumentación, sin embargo, supongamos que las computaciones en los microtúbulos deben ser tratadas como esencialmente clásicas -en el sentido de que no consideramos que estén desempeñando un pa-

pel importante superposiciones cuánticas de computaciones diferentes. Por el contrario, imaginemos también que existe algún tipo de oscilaciones genuinamente cuánticas que tienen lugar d¬#,ro de los tubos, con a'gún tipo de acoplamiento delicado entre los aspectos cuánticos internos y clásicos externos de cada tubo. Según esta imagen, sería en este acoplamiento delicado donde los de,a'//cJ de la necesaria teori'a RO nueva entrari'an en juego de manera más importante. Tendri'a que haber alguna influencia de las «oscilaciones» interiores *

Está mucho menos claro, sin embargo, que pueda haber una conexión directa entre seme-

jantes frecuencias relativamente altas y la más familiar actividad de «ondas cerebrales» (tal como el r¡tmo cr de 8-l2 Hz). Es concebible que esas bajas frecuencias podri'an aparecer como «pulsaciones», pero no se ha estabtecido ningún lazo. De particular interés, en relación con esto, son las recientes observaciones de oscilaciones de 35-75 Hz que surgen aparentemente en asociación con regiones del cerebro implicadas en la atención consciente. Estas parecen tener algunas sugerentes propiedades no-locales. (Véanse Eckhom c, c,/., l988; Gray y Singer, l989; Crick y Koch, l990. l992; Cr¡ck,

l994.)

lA teoría cuántica y el cerebro 397

7.l3. Las MAP transportan también moléculas grandes, mientras que otras moléculas se mueven directamente a lo largo de los microtúbulos.

cuánticas sobre las computaciones exteriores que tienen lugar, pero esto no es irrazonable -en vista de los mecanismos que se imaginan responsables del com-

portamiento del tipo autómata celular del microtúbulo, a saber el tipo de influencias de Van der Waals débiles entre di'meros de tubulina vecinos. Nuestra imagen, entonces, es la de algún tipo de estado cuántico global que acopla coherentemente las actividades que tienen lugar dentro de los tubos, interesando a microtúbulos que colectivamente se extienden a grandes áreas del cerebro. Existe alguna influencia que ejerce este estado (que puede no ser sim-

plemente un «estado cuántico», en el sentido convencional del formalismo cuánt¡co estándar) sobre las computaciones que tienen lugar a lo largo de los microtúbulos -una influencia que tiene en cuenta delicada y precisamente la supuesta fi'sica RO, no computacional y ausente, a favor de la cual he estado argumentando. La actividad «computacional» de los cambios conformacionales en las tubulinas controla el modo en que los tubos transportan materiales a lo largo de sus superficies exteriores (véase la figura 7.l3), y finalmente influye en la intensidad de las sinapsis en las terminaciones pre y postsinápticas. De este modo, algo de esta organización cuántica coherente dcn,ro de los microtúbulos es «telegrafiada» para influ¡r en los cambios en las conexiones sinápticas del ordenador neural del momento. Uno podri'a hacer diferentes especulaciones en relación con una imagen semejante. Existe, por ejemplo, una posible función para la enigmática no localidad de los efectos tipo EPR de enmarañamiento cuántico. Las extrañas funciones cuánticas de los supuestos contrafácticos pueden estar desempeñando también su parte. Quizá el ordenador neural está dispuesto para ejecutar alguna computación que no se lleva a cabo realmente, pero (como sucede con el

problema de la comprobación de las bombas) el mero hecho de que pwd,-em haber ejecutado la computación produce un efecto que es diferente de lo que sería si no pudiera ejecutarla. De este modo, el «cableado» clásico del ordenador neural en un instante cualquiera podri'a tener una influencia sobre el estado del citoesqueleto interno, incluso si los disparos neuronales que activarían ese ordenador «cableado» concreto pudieran no tener lugar realmente. Uno pue-

398 Las sombras de la mente

de contemplar posibles analogi'as con fenómenos de este tipo, en muchas de las actividades mentalés familiares que continüámente realizamos -¡pero tengo la sensación de que es mejor que no sigamos más allá en temas de esta naturaleza! En la visión que estoy proponiendo provisionalmente, la consciencia seri'a alguna manifestación de este estado citoesquelético interno cuánticamente enmarañado y de su implicación en el juego (RO) entre los niveles cuántico y clásico de actividad. El sistema de neuronas de tipo ordenador clásicamente interconectadas se veri'a continuamente influido por esta actividad citoesquelética, como manifestación de lo que conocemos como «libre albedri'o», cualquier cosa que sea. El papel de las neuronas, en esta imagen, se parece más quizá a un c',-spos,',,'vo c,mp/,/,-cocJor en el que la acción citoesquelética a menor escala se transfiere a algo que puede influir en otros órganos del cuerpo -tales como los músculos. En consecuencia, el nivel neuronal de descripción que proporciona la imagen actualmente vigente del cerebro y la mente es una mera sombm del nivel más profundo de acción citoesquelética- ¡y es en este nivel más

profundo donde debemos buscar las bases fi'sicas de la me#,c! Dec¡didamente hay una especulación implicada en esta imagen, pero no está en oposición a nuestro conocimiento cienti'fico actual. Hemos visto en el capi'tulo anterior que existen poderosas razones, procedentes de consideraciones dentro de la prop¡a fi'sica de hoy, para esperar que estas ideas fi'sicas actuales deben ser modificadas -dan`do efectos nuevos precisamente en dicho nivel que podri'an muy bien ser relevantes para los microtúbulos, y quizá para la interfase citoesqueleto/neurona. Según los argumentos de la Primera parte, necesitamos una apertura hacia una acción fi'sica no computacional si queremos encontrar un lugar fi'sico para la consciencia, y he argumentado en la Segunda parte que el único lugar plausible para tal acción está en un reemplazamiento convincente (RO) para el proceso de reducción de estado cuántico que he denotado por R. Debemos ahora abordar la cuestión de si existen bases puramente/,g,-ccü para creer que RO podri'a ser realmente de naturaleza no computacional. Veremos que, según las sugerencias que he propuesto en §6.l2, existen realmente tales bases.

7.8. No computabilidad en gravedad cuántica: 1 Un requisito clave en la exposición precedente es que algún tipo de no computabilidad debería ser una caracteri'stica de cualquier nueva fi'sica que debiera íntervenir para reemplazar el procedimiento R probabilista que se utiliza en la teori'a cuántica habitual. He argumentado en §6.lO que esta nueva fiísica, RO, deberi'a combinar los principios de la teori'a cuántica con los de la relatividad

general de Einstein -es decir,de deberi'a serno uncomputabilidad fenómeno cuánticogritw,',a,o'o. ¿Existe alguna evidencia que esta pudiera ser una característica esencial de cualquier teoría que emerja eventualmente para unificar correctamente (y modificar adecuadamente) la teoría cuántica y la relatividad general?

La teoría cuántica y el cerebro 399

BT2)7.l4.

=

Las superficies bidimensionales cerradas pueden clasificarse computablemente

(aproximadamente contando el número de «a.sas»). Por el contrario, las «superricies» cerradas tetradimensionales no pueden clasificarse computablemente.

En un enfoque particular de la gravedad cuántica, Robert Geroch y James Hartle (l986) se vieron enfrentados a un problema computacionalmente insoLnbh¬, a sa.bel, eá prolJlema de la equiva[encia topológ¡ca de 4-variedades. B*sticamente, su enfoque implicaba la cuestión de decidir cuándo dos espacios tetradimensionales son «el mismo», desde el punto de vista topológico (esto es, cuándo es posible deformar continuamente uno de ellos hasta que coincida con el otro, donde la deformación no permite rasgar o pegar los espacios de ninguna manera). En la figura 7.l4, esto se ilustra para el caso bidimensional, donde vemos que la superficie de una taza de té es topológicamente equivalente a la superficie de un anillo, pero la superficie de una bola es diferente. En dos dimensiones, el problema de la equivalencia topológica es resoluble computacionalmente, pero fue demostrado por A. A. Markov en l958 que no existe ningún algoritmo para resolver este problema en el caso de cwc,,ro dimensiones. De hecho, lo que efectivamente se ha demostrado es que, si hubiera un algoritmo semejante, entonces uno podri'a convertir dicho algoritmo en otro algoritmo que podri'a resolver el prob/em¢ cJe /a c7eícnc,-oJn, es decir, podri'a decidir si la

acción de una máquina de Turing se parará o no. Puesto que, como hemos visto en §2.5, no existe tal algoritmo, se deduce que tampoco puede existir un algoritmo para resolver el problema de la equivalencia de 4-variedades. Existen muchas otras clases de problemas matemáticos que son computacionalmente insolubles. Dos de éstos, el décimo problema de Hilbert y el problema de la teselación, se comentaron en §l.9. Para otro ejemplo, el problema de las palabras (para semigrupos), véase NME, pp. l30-l32 [pp. l75-l77]. Deberi'a quedar claro que «computacionalmente insoluble» no implica que

400 Las sombras de la mente existan problemas en la clase que son insolubles en principio. Simplemente afirma que no existe uh medio sistemático (algóri'tmico) de resolver todos los problemas de la clase. En cualquier caso individual, podría resultar posible llegar a una solución por medio del ingenio y la intuición humana, quizá ayudada

por la computación. Poc/,,Jc7 también darse el caso de que existan miembros de la clase que soH humanamente (o humanamente con ayuda de máquinas) inaccesibles. Nada parece saberse realmente sobre esto, de modo que uno puede formarse su propia opinión sobre el tema. Sin embargo, lo que s,Ídemuestra efectivamente el argumento de tipo GÓdel-Turing dado en §2.5, junto con los argumentos del capi'tulo 3, es que los problemas de una clase semejante que so# accesibles med¡ante la comprensión y la intuición humanas (asistidas por una computación si así se quiere) forman una clase que en si' misma es computacionalmente ¡naccesible. (Por ejemplo, en el caso del problema de la detenc¡ón el §2.5 demuestra que la clase de computaciones de las que se puede asegurar humanamente que no se detienen no puede ser englobada por ningún algor¡tmo á cognosciblemente vá1ido -y los argumentos del capítulo 3 se imponen.) En el enfoque Geroch-Hartle de la gravedad cuántica, el problema de la equivalencia de 4-variedades entra en el análisis porque, según las reglas e§,a'#cíc,r de la teori'a cuántica, el estado cuántico-gravitatorio implicari'a superposicio-

nes de todas las geometrías posibles -aqui' geometri'as ¬spc,c,'o-,cmpon¢/es, que son cosas tetradimensionales-con factores de peso complejos. Para comprender cómo especificar tales superposiciones de una forma unívoca (es decir, sin «contar de más»), es necesario saber cuándo dos de estos espacio-tiempos van a tomarse como diferentes y cuándo van a tomarse como iguales. El problema de la equivalencia topológica aparece asi' como parte de dicha decisión. Uno puede preguntar: si resultara ser fi'sicamente correcto algo de la naturaleza del enfoque de Geroch-Hartle para la gravedad cuántica, ¿significari'a eso que existe algo esencialmente no computable en la evolución de un sistema fi'sico? No creo que la respuesta a esta pregunta esté clara en absoluto. Ni siquiera está claro para mí que la insolubilidad computacional de la equivalencia topológica tenga que hacer también insoluble el problema más completo de la equivalencia g¬omc',r,'ca. Tampoco está claro cómo (y si) su enfoque podri'a relacionarse con las ideas RO que estoy defendiendo, en las que se esperari'a un cambio real en la estructura de la teori'a cuántica en el mismo momento en que intervienen los efectos gravitatorios. De todas formas, el trabajo de GerochHartle indica la posibilidad definida de que la no computabilidad pueda tener una función genuina en cualquier teori'a de la gravedad cuántica que finalmente surja como fi's¡camente correcta.

7.9. Máquinas oráculo y leyes fi'sicas lndependientemente de todo esto, uno puede plantear una pregunta: supongamos que la teori'a de la gravedad cuántica emergente resulte ser realmente una teori'a no computacional, en el sentido concreto de que permitiri'a la construc-

La teoría cuánt¡ca y el cerebro 40l ción de un dispositivo fi'sico que podri'a resolver el problema de la detención.

¿Sería esto suficiente para resolver todos los problemas que surgen de nuestras consideraciones del argumento de GÓdel-Turing en la Primera parte? ¡Sorprendentemente la respuesta a esta pregunta es #o! Tratemos de ver por qué no ayudará una capacidad para resolver el problema de la detención. En l939, Turing introdujo un importante concepto de relevancia para esta cuestión, al que denominó ort,Ícw/o. La idea de un oráculo consisti'a en algo (presumiblemente algo ficticio, en su mente, que no tendri'a que ser fi'sicamente construible) que podri'a resolver de hecho el problema de la detención. Asi', si presentamos al oráculo un par de números naturales g, H, entonces, al cabo de un tiempo finito, él nos dari'a la respuesta SI- o NO, dependiendo de si la computación Cq(m) se para o no se para finalmente (véase §2.5). Los argumentos de §2.5 nos proporcionan una demostración del resultado de Turing de que no puede construirse ningún oráculo semejante que trabaje de un modo completamente computacional, pero no nos dice que no pudiese construirse fi'sicamente un oráculo. Para que se siga dicha conclusión, necesitari-amos saber que las leyes físicas son de naturaleza computacional -cuest¡ón que, después de todo, es sobre la que tratan las discusiones de la Segunda parte. Deberi'a señalarse, también, que la posibilidad fi'sica de construir un oráculo no es, por lo que puedo decir, una consecuencia del punto de vista que estoy de~ fendiendo. Como se mencionó antes, no existe el requisito de que todos los problemas de la detención sean accesibles a la comprensión y a la intuición humana, de modo que uno no tiene que concluir que tampoco pudiera hacerlo este dispositivo construible. En su discusión de estas cuestiones, Turing consideró una modificación de la computabilidad en la cual podi'a apelarse a un oráculo semejante en cual-

quier momento que se deseara. Asi' pues, una máquina ort,Jcw/o (que ejecuta un algoritmo o^t,~cw/o) seri'a como una máquina de Turing corriente, excepto

que añadida a sus operaciones computacionales habituales habría otra operación: «llama al oráculo y pregúntale si C'g¢) se para o no; cuando llegue la respuesta, continúa calculando, haciendo uso de dicha respuesta». El oráculo puede ser llamado una y otra vez si fuera necesario. Obsérvese que una máquina oráculo es exactamente tan c7c,¬,m,'#ís,a como una máquina de Turing corriente. Esto ilustra el hecho de que la computabilidad no es en absoluto lo mismo que el determinismo. En principio, seri'a exactamente igual de posible tener un universo que marcha de forma determinista como una máquina oráculo que tener uno que marcha de forma determinista como una máquina de Turing. (Los «universos de juguete» que se describieron en el §l.9 y en p. l70 [p. 22l] de NME, seri'an de hecho universos máquina-oráculos.)

¿Podri'a darse el caso de que #wcs,ro universo realmente discurra como una máquina oráculo? Curiosamente, los argumentos de la Primera parte de este libro pueden aplicarse igualmente bien frente a un modelo de máquina-oráculo de comprensión matemática como lo fueron frente al modelo de máquina de Turing, casi sin cambios. Todo lo que necesitamos hacer, en la cxposición de §2.5, es leer «Cg(#)» como representando ahora la «g-ésima máquina orácu-

402 Ifis sombras de la mente lo aplicada al número natul'al #». Reescribamos esto, por ejemplo, en la forma Cq'(#). Puede hacerse (computablemente) una lista de las máquinas oráculo exactamente igual que puede hacerse con las máquinas de Turing corrientes. Por lo que respecta a su especificación, la única caracteri'stica adicional es que uno debe tomar nota de las etapas en las que el oráculo es introducido en la operación, y esto no presenta ningún probl\eha nuevo. Ahora reemplazamos e\ algor¡tmo A(q,n) de §2.S por un algoritmo oráculo A'(q,n), que traLtaLmos de considerar que representa la totalidad de los medios, disponibles a la com: prensión e intuición humana, para decidir con seguridad que la operación oráculo Cq'(#) no se para. Siguiendo los argumentos, exactamente como antes, concluimos:

9' Los matemáticos humanos no están utilizando un algoritmo oráculo cognosciblemente válido para asegurar la verdad matemática.

A partir de esto concluimos que una fi'sica que trabaja como un máquina oráculo no resolverá tampoco nuestro problema. De hecho, el proceso global puede repetirse de nuevo, y aplicarse a «máquinas oráculo de segundo orden» a las que se permite apelar, cuando sea requerido, a un orfi'''cw/o d¬ scgw#c7o orde# -que puede decirnos si una máquina oráculo corriente llega o no a detenerse alguna vez. Igual que antes, concluimos: 9 " Los matemáticos humanos no están utilizando un algoritmo oráculo de segundo orden cognosciblemente válido para asegurar la verdad matemática. Debería quedar claro que este proceso puede repetirse una y otra vez, de forma similar a la manera de gódelización repetida, como se expuso con relación a Q19. Para todo ordinal c¥ recursivo (computable), tenemos un concepto de máquina oráculo de orden c¥, y podemos concluir:

9Q Los matemáticos humanos no están utilizando una máquina oráculo de orden c¥ cognosciblemente válida para asegurar la verdad matemática, para cualquier ordinal computable c¥.

La conclusión final de todo esto es más bien alarmante. En efecto, sugiere que debemos buscar una teori'a fi'sica no computable que llegue más allá de cualquier nivel computable de máquinas oráculo (y quizá todavi'a más allá). iSin duda existen lectores que creen que en este instante ha desaparecido el último vestigio de credibilidad de mi argumento! Ciertamente no deberi'a cul-

par a ningún lector por tener esa sensación. Pero esto no es excusa para no tratar de entender todos los argumentos que he ofrecido en detalle. En particular, todos los argumentos de los capi'tulos 2 y 3 deben rehacerse con máquinas oráculo de orden c¥ en sustitución de las máquinas de Turing de aquella exposición. No creo que los argumentos queden afectados de ninguna forma significativa,

In teoría cuántica y el cerebro 403 pero tengo que confesar que más bien vacilo ante la perspectiva de presentar todo de nuevo en estos términos. Existe otra puntualización que deberi'a hacerse, no obstante, y es que no es necesario que la comprensión matemática humana sea en principio tan poderosa como una máquina oráculo. Como se señaló con anterioridad, la conclusión g no implica necesariamente que la intuición humana sea suficientemente poderosa, en principio, para resolver cada caso del problema de la detención. Así pues, no tenemos que concluir necesariamente que las leyes fi's¡cas que buscamos llegan, en principio, más allá de cualquier nivel computable de máquina oráculo (o que siquiera alcanzan el primer orden). Sólo necesitamos buscar algo que no sea equivalente a n,'ngw#a máquina oráculo específica (incluyendo las máquinas de orden-cero, que son también máquinas de Turing). Las leyes fi'sicas podri'an conducir quizá a algo que es simpl¬mente d,/¬ne«,e.

7.lO. No computabilidad en gravedad cuántica: 2 Volvamos a la cuestión de la gravedad cuántica. Deberi'a recalcarse que no hay actualmente ninguna teori'a aceptada, ni siquiera un candidato aceptable. Existen, sin embargo, muchas propuestas diferentes y fascinantes.8 Ia idea particular que deseo mencionar ahora tiene en común con el enfoque de GerochHartle el requisito de que no deben considerarse superpos¡ciones cuánticas de cspc,c,'o-Í,-¬mpos diferentes. (Muchos enfoques requieren sólo superposiciones de geometrías espaciales tridimensionales, que es algo diferente.) IJa sugerencia debida a David Deutsch,9 es que uno debe superponer, junto con las geometri'as espacio-temporales «razonables» en las que el ,,'cmpo se comporta razonablemente, espac¡o-tiempos «irrazonables» en los que existen /,'#eas ce,,t7das c7e Í,'po ,,'¬mpo. Un espacio-tiempo semejante se muestra en la figura 7.l5. Una /J'nea c7e ,,'po ,,'empo describe la historia posible de una parti'cula (clásica), significando con «tipo tiempo» el hecho de que la li'nea está siempre contenida dentro del cono de luz local en cada uno de sus puntos, de modo que nunca se supera la velocidad absoluta local -como exige la teori'a de la relatividad (véase §4.4). La significación de una línea de tipo tiempo cemt,cJa es que se podri-a contemplar un «observador» que realmente tenga d¡cha li-nea como su propia li'nea de universo, esto es, como la li'nea que describe, dentro del espaciotiempo, la historia de su propio cuerpo. Un observador semejante se encontrari'a, después de un paso finito de su propio tiempo percibido, de nuevo de vuelta en su pasado (viaje en el tiempo). Para él parece estar abierta la posibilidad de hacerse a si' m¡smo (suponiendo que tenga algún tipo de «libre albedrío») algo que nunca cxperimentó realmente, llevando esto a una contradicción. (Normalmente tales exposiciones le suponen matando a su propio abuelo antes de

que él hubiera nacido -o alguna otra cosa igualmente alarmante.) Argumentos de este tipo proporcionan razones suficientes para no tomar en serio los espacio-tiempos con líneas de tipo tiempo cerradas como modelos posibles del universo clásico real. (Curiosamente, fue Kurt GÓdel quien, en l949,

4O4 Las sombras de la inente

7.l5.

Con una inclinación del cono de luz suficientemente grande en un espacio-tiempo,

pueden ocurrir líneas cerradas de t¡po tiempo.

propuso por primera vez modelos de espacio-tiempo con li'neas de tipo tiempo cerradas. GÓdel no consideró que los aspectos paradójicos de tales espaciotiempos fueran razones adecuadas para descartarlos como modelos cosmoló-

gicos. Por diversos motivos, deberíamos adoptar normalmente una posición más fuerte sobre esta cuestión en nuestros di'as, pero véase Thorne, l994. ¡Hubiera sido interesante conocer la reacción de GÓdel ante la utilización que se va a dar a semejantes espacio-tiempos dentro de un momento!) Aunque de hecho parece razonable descartar geometri'as espacio-temporales con li'neas de tipo tiempo cerradas como descripciones del universo c/a's,'co, puede argumentarse que no deberi'an descartarse como acaeceres potenciales que podri'an estar involucrados en una swperposz-c,'o+# c#c,'#,,'ca. Este, de hecho, es el punto de Deutsch. Aunque las contribuciones de tales geometri'as al vector de estado total pueden muy bien ser completamente minúsculas, su presencia potencial tiene (según Deutsch) un efecto sorprendente. Si consideramos ahora lo que significa realizar una computación cuántica en una situación semejante, llegamos aparentemente a la conclusión de que ¡pueden realizarse operaciones no compz,,tzb/es! Esto surge del hecho de que en geometrías espacio-temporales con li'neas de tipo tiempo cerradas, una operación de máquina de Turing podri'a alimentarse de su propia salida, dando vueltas indefinidamente, si fuera necesario, de modo que la respuesta a la cuestión de si «se para alguna vez la computación» tiene una influencia real en el resultado final de la computación cuántica. Deutsch llega a la conclusión de que en su esquema de gravedad cuántica las máquinas oráculo cuánticas son posibles. Por lo que yo puedo discernir, sus argumentos también se aplicarían exactamente igual a máquinas oráculo de orden superior. Por supuesto, muchos lectores pueden tener la sensación de que todo esto debería tomarse con las convenientes reservas. De hecho, no hay una sugerencia real de que el esquema nos proporcione una teori'a de la gravedad cuántica

IJa ,eoría! cuántica y el cerebro 405

consistente (o siquiera plausible). De todas formas, las ideas son lógicas dentro de su propio marco y son sugerentemente interesantes -y me parece bastante razonable que, cuando se encuentre finalmente el esquema apropiado para la

gravedad cuántica, sobrevivan algunos vestigios importantes de la propuesta de Deutsch. En m¡ opinión, como se resaltó especialmente en §6.10 y §6.l2, las

prop¡as leyes de la teori'a cuánt¡ca deben llegar a modificarse (de acuerdo con RO) cuando se encuentre la unión correcta entre teori'a cuántica y relatividad

general. Pero yo considero un respaldo considerable para la posibilidad de una acción no computacional resultante el hecho de que, en el enfoque de Deutsch,

la no computabilidad -incluso en el grado que parece requerirse para gaes un aspecto de sus ¡deas sobre gravedad cuántica. Como punto final, debería advertirse que es prec¡samente la inclinación potencial de los conos de luz en la relatividad general de Einstein (cf. §4.4) lo que nos da los efectos no computables que señala Deutsch. Una vez que se permite que los conos de luz se inclinen efi c'wa'/gw,'c, mcd,'cJc,, incluso en las cantidades mi'nimas que ocurren en la teori'a de Einstein en circunstancias corrientes, entonces existe la posibilidad po,eHc,-a/ de que ellos se inclinen en un grado tal

que puedan dar lugar a li'neas de tipo tiempo cerradas. Según la teori'a cuántica, ¡basta con que esta posibilidad potencial realice una función como supuesto contrafáctico para que tenga un efecto J¬c,/!

7.ll. El tiempo y las percepciones conscientes Volvamos a la cuestión de la consciencia. Después de todo, fue la función sin-

gular que desempeñaba la consciencia en la percepción de la verdad matemática lo que nos ha llevado por la ruta hacia el territorio extraño en que ahora nos encontramos. Pero evidentemente existe mucho más en la consciencia que la percepción de las matemáticas. Seguimos este camino particular sólo porque parecía posible que nos llevara a alguna parte. Sin duda, muchos lectores no estarán muy contentos con el «alguna parte» al que más o menos hemos llegado. Sin embargo, si miramos hacia atrás desde nuestra nueva posición, podemos ver que algunos de nuestros viejos problemas aparecen bajo una nueva luz. Una de las caracteri'sticas más sorprendentes e inmediatas de la percepción consciente es el pfzso de/ ,,'¬mpo. Es algo tan familiar para nosotros que nos produce una especie de conmoción el darnos cuenta de que nuestras teori'as maravillosamente precisas sobre el comportamiento del mundo físico no tienen, hasta este momento, virtualmente nada que decir sobre ello. Peor que eso', lo que nuestras mejores teori'as fi'sicas s,-dicen está casi en abierta contradicción con lo que nuestras percepciones parecen decirnos sobre el tiempo. Según la relatividad general, el «tiempo» es meramente una elección particular de coordenadas en la descripción de la localización de un suceso espaciotemporal. No hay nada en las descripciones espacio-temporales de los físicos que discrimine el «tiempo» como algo que «fluye». De hecho, los fi'sicos consideran muy a menudo modelos espacio-temporales en los que sólo hay wm d¡-

4 «Conos>, de luz

/

lOoiio Espaclo

7.l6.

T¡empo

En un espacio-tiempo bidimensional no hay nada para elegir entre espacio y tiem-

po; pese a todo ¡nadie afirmaría que el espacio debiera «fluir»!

mensión espacial además de la simple dimensión temporal; y en tales espaciotiempos bidimensionales no hay nada que nos diga cuál es el espacio y cuál es el tiempo (véase la figura 7.l6). ¡Pese a todo, nadie consideraría que el espac,®o «fluye»! Es cierto que las evoluciones temporales se consideran a menudo en problemas fi'sicos, donde uno puede estar interesado en computar el futuro a partir del estado presente del sistema (cf. §4.2). Pero éste no es un procedimiento en absoluto necesario, y los cálculos se realizan normalmente de esta formaporgwc uno está interesado en modelizar, matemáticamente, nuestras ex-

periencias del mundo en términos del tiempo «que fluye» que parecemos experimentar -y porque estamos interesados en predecir el futuro.lO Son nuestras experiencias aparentes las que nos tientan para sesgar nuestros modelos computacionales del mundo en términos de evoluciones temporales (con frecuencia, pero no invariablemente) mientras que las propias leyes físicas no llevan incorporado un sesgo obligatório semejante. En realidad, es wJ#,®cc,men,e el fenómeno de la consciencia el que nos exige

pensar en términos de un tiempo que «fluye». Según la relatividad, uno tiene simplemente un espacio-tiempo tetradimensional «estático», sin nada que «fluya» en él. El espacio-tiempo está precisamente cz//,;y el tiempo no fluye más de lo que lo hace el espacio. Es sólo la consciencia la que parece necesitar que el tiempo fluya, de modo que no deberi'amos sorprendernos si la relación entre consciencia y tiempo es también extraña en otros aspectos. De hecho, sería poco prudente hacer una identificación demasiado fuerte entre el fenómeno del conocimiento consciente, con su aparente «flujo» del tiem-

po, y la utilización por parte de los fi'sicos de un parámetro ,, que es un número real, para denotar lo que se mencionaría como una «coordenada temporal». En primer lugar, la relatividad nos dice que no hay unicidad en la elección del parámetro ,, si va a aplicarse al espacio-tiempo como un todo. Son posibles muchas alternativas diferentes mutuamente incompatibles, sin que haya nada especi'fico para decidir entre una u otra. En segundo lugar, es evidente que el concepto preciso de un «número real» no es completamente relevante para nuestra percepción consciente del paso del tiempo, aunque sólo fuera por la razón de que no tenemos capacidad de apreciar escalas de tiempo minúsculas -diga-

IJa teoría cuániica y el cerebro 407

mos escalas de tiempo de ¡ncluso tan sólo una centésima de segundo, por ejemplo- mientras que las escalas de tiempo de los fi'sicos se mantienen válidas hasta aproximadamente lO~25 segundos (como queda demostrado por la precisión de la electrodinámica cuántica, la teoría cuántica de los campos electromagnéticos que interaccionan con electrones y otras partículas cargadas), o quizá incluso hasta el tiempo de Planck de lO-43 segundos. Además, el concepto de tiempo de los matemáticos como un número real exigiría que no haya «,'»gz,Jn li'mite de tamaño a la aplicación significativa del concepto, ya siga siendo o no este concepto fi'sicamente relevante en todas las escalas. ¿Es posible ser más específico sobre la relación entre experiencia consciente y el parámetro , que utilizan los físicos como el «tiempo» en sus descripciones fi's¡cas? ¿Puede haber realmente una forma experimental de verificar «cuándo» tiene lugar «realmente» una experiencia subjetiva, en relación con este parámetro fi's¡co? ¿SJ'gn,/,'ca siquiera algo, en un sentido objetivo, decir que un suceso consciente tiene lugar en algún instante concreto? De hecho, se han llevado a cabo realmente algunos experimentos de relevancia definida para esta cuestión, pero los resultados son caracteri'sticamente enigmáticos, y tienen im-

plicaciones casi paradójicas. Una descripción de algunos de estos experimentos se dio en NME, pp. 439-444 [pp. 544-55l], pero será adecuado volver a examinarlos aqui'. A mediados de los años 70, H. H. Kornhuber y sus colaboradores (cf. Deeke e, o/. l976) utilizaron electroencefalogramas (EEGs) para registrar señales eléctricas en diversos puntos de la cabeza de varios voluntarios humanos, y tratar así de cronometrar cualquier actividad cerebral que pudiera estar asociada con un acto de /,bne o/bedr,-o (el aspecto c,c,,'vo de la consciencia). A los voluntarios se les pedi'a que doblasen el dedo i'ndice varias veces, pero que lo hicieran

repentinamente en ±nstantes que £ueraLn comple'amente de su propia elección con la esperanza de que pudiera cronometrarse la actividad cerebral involucrada en la «voluntariedad» de este movimiento del dedo. Sólo promediando sobre-varios ensayos diferentes podi'an obtenerse señales significativas a partir de las trazas del EEG. Lo que se encontró fue el sorprendente resultado de que el potencial eléctrico registrado pareci'a aumentar gradualmente en un tiempo del orden de un segundo a un segundo y medio c,n/cs de la flexión real del dedo. ¿Significa esto que la voluntad consciente necesita un segundo o más para actuar? En tanto que el sujeto estaba realmente consciente, la decisión de flexionar el dedo hubiera ocurrido sólo inmediatamente antes de que el dedo fuera doblado, y ciertamente no en un tiempo tan largo como un segundo o más antes. (Deberi'a tenerse en cuenta que un tiempo de reacción «preprogramado» en respuesta a una señal externa es mucho más corto que esto: alrededor de un quinto de segundo.) De estos experimentos parece concluirse que: (i) el acto consciente de «libre albedri'o» es una pura ilusión y, en cierto sentido, estaba ya programado de antemano en la actividad inconsciente precedente del cerebro; o (ii) existe una posible función «de último instante» para la voluntad, de modo que a veces ®ero no normalmente) puede invertir la decisión que habi'a sido formada inconscien-

408 IJas sombras de la mente temente durante un segundo o asi' antes-; o (¡ii) en realidad el sujeto decide conscientemente la flexión del dedo en un tiempo anterior en un segundo más o menos a que la flexión tenga lugar, pero percibe erróneamente, de forma sistemática, que la acción consciente ocurre en un instante muy posterior, justo antes de que el dedo sea flexionado realmente. En exper¡mentos más recientes, Benjariiiñ Libet y sus colaboradores han re-

petido estos experimentos, pero con refinam¡entos añadidos diseñados para cronometrar más directamente el acto real de desear la flexión del dedo, pidiendo al sujeto que anote la posicíón de un reloj manual en el momento en que se tomó 1a decisión (v¬ase Libe[ 1990, l992). Las conclusiones parecen confirmar los resultados anteriores pero también hablan en contra de (iii), y el propio Líbet parece favorecer (ii). En otra clase de experimentos, la secuencia temporal de los aspectos scwm r,'a'/e£ (o pas,'vos) de la consciencia fue invest¡gada, en l979, por Libet y Feinstein. Ellos hicieron pruebas con sujetos que habl'an consentido en tener electrodos colocados en una parte del cerebro interesada en la recepción de señales sensoriales desde c¡ertos puntos de la piel. Junto con esta simulación directa, habri'a ocasiones en las que se estimulaba realmente el punto correspondiente de la piel. La conclusión general de estos experimentos fue que se necesitari'a algo parecido a medío segTndo de actividad neuronal (pero con alguna variación, dependiendo de las clrcunstancias) antes de que los sujetos pudieran hacerse conscientemente conocedores de cualquier sensación, pero en el caso de la estimulación directa de la piel, tendri'an la impresión de que ya habi'an sido conscientes del estímulo en un ¡nstante anterior a cuando la piel fue realmente estimulada. Cada uno de estos experimentos, por si' mismo, no seri'a paradójico, aunque quizá si' algo perturbador. Quizá 1as aparentes decisiones conscientes de uno son realmente hechas ,'nconsc,'en,eme#,¬ en algún tiempo anterior, al menos un segundo antes. Quizá las sensaciones conscientes necesitan algo como medio segundo de actividad cerebral antes de que puedan ser provocadas realmente. Pero si juntamos estos dos descubrimientos, entonces parece que nos vemos llevados a la conclusión de que cualquíer acción en la que un esti'mulo externo conduce a una respuesta conscientemente controlada, pareceri~a necesitar un retardo temporal de entre un segundo y un segundo y medio antes de

que pueda ocurrir la respuesta. De hecho, la consciencia ni siquiera tendri'a lugar hasta que ha pasado medio segundo; y si dicha consciencia va a ponerse en acción, entonces la maquinaria aparentemente lenta del libre albedri'o tendría que ser llamada a juego, quizá con otro segundo de retraso. ¿Realmente son tan lentas nuestras respuestas conscientes? En la conversación corriente, por ejemplo, no parece que sea asi-. Aceptar (ii) nos llevari'a a concluir que la mayoría de los actos de respuesta son completamente ,-#conscientes, aunque de vez en cuando uno podri'a ser capaz de reemplazar una res-

puesta semejante, en aproximadamente un segundo, por una consciente. Pero sí la respuesta es normalmente inconsciente, entonces a menos que sea tan lenta como una consciente no hay oportunidad para que la consciencia la reem-

m teoría cuántica y el cerebro 409

place -de otro modo, cuando el acto consciente entra en juego, la respuesta inconsciente ya se ha dado ¡y es ahora demasiado tarde para que la consciencia le afecte! Asi' pues, a menos que los actos conscientes puedan a veces ser rápidos, la prop!-a respuesta inconsciente necesitaría alrededor de un segundo. En relación con esto, vale la pena recordar que una reacción inconsciente «preprogramada» puede ocurrir mucho más rápidamente ~en cerca de un quinto de segundo. Por supuesto, podri'amos tener aún una respuesta inconsciente rápida (de, digamos, un quinto de segundo) junto con la posibilidad (i), que poqría ser compatible con la ignorancia total, por parte del sistema de respuesta inconsciente, de cualquier actividad consciente (sensorial) que pudiera venir más tarde. En este caso (y la situación con (iii) es incluso peor) el único papel para nuestra consciencia en una conversación razonablemente rápida seria el de es-

pectador, siendo conocedora sólo de una «acción repetida» del drama completo. No hay aquí ninguna contradicción rea1. Es posible que la selección natural haya producido la consciencia sólo para su función en el pensamiento deliberido, mientras que en cualquier actividad razonablemente rápida la consciencia es sólo un pasajero. Toda la exposición de la Primera parte, después de todo, estaba relacionada con el tipo de contemplación consciente (comprensión Tatemática) que de hecho es notoriamente lenta. Quizá la facultad de la consciencia fto evolucionado sólo con el propósito de una actividad mental tan lenta

y contemplativa, mientras que las respuestas rápidas son enteramente inconscientes -pese a estar acompañadas por una percepfión consciente retardada de las mismas que no desempeña ningún papel activo. Ciertamente es verdad que la consciencia interviene cuando se permite un tiempo largo para trabajar. Pero tengo que confesa.r qt:e no creo en la posibilidad de que no pueda haber un papel para la consciencia en actividades tan razonablemente rápidas como la conversación corriente -o en el tenis de mesa, squash o carreras de automóviles para el caso. Me parece que existe al menes un profundo círculo vicioso en la exposición anterior, y ello está en la hipótesis de que tiene sentido realmente la secuencia temporal exacta de los sucesos conscientes. ¿rendadcmme#,e existe un «tiempo real» ep el que tiene lugar una experiencia consciente, y tal que el «instante de experiencia» particular debe preceder al instante de cualquier efecto de una «respuesta voluntaria.» a dicha experiencia? En vista de la relación anómala que mantiene la consciencia con la propia noción física de tiempo, como se describió al comienzo de esta sección, me parece que es cuando menos posible que m exista semejante «tiempo» claro y preciso en el que deba ocurrir un suceso consciente." La posibilidad menos radical de acuerdo con esto seri'a una difusión no local en el tiempo, de modo que habría simplemente una ambigüedad inherente a la relación entre experiencia consciente y tiempo físico. Pero mi propia conjetura seri'a que existe algo más sutil y cnigmático en acción. Si la consciencia es un fenómeno que no puede enterderse en términos fisicos sin un input esencial de la teoría cuántica, entonces podn'a darse perfectamente el caso de que los misterios Z de dicha teoría están interririendo con nuestras conclusiones

410

IJas sombras de la mente

aparentemente irrefutables sobre la causalidad, la no localidad y las propiedades de contrafacticidad que podri'an existir realmente entre la consciencia y el libre albedri'o. Por ejemplo, quizá desempeñe algún papel el tipo de contrafacticidad que aparece en el problema de la comprobación de las bombas de §5.2 y §5.9: el mero hecho de que pwd,|ert7 llegar a tener lugar algún acto o pensam¡ento, incluso si realmente no lo hace, puede afectar al comportamiento. (Esto

podri'a invalidar deducciones en apariencia lógicas como la de, digamos, descartar la posibilidad (ii) anterior.) De un modo general, uno debe ser muy precavido al llegar a conclusiones aparentemente lógicas respecto a la ordenación temporal de sucesos cuando están involucrados efectos cuánticos (como las consideraciones EPR de la siguiente sección servirán para resaltar). El reci'proco de esto es que s,®, en alguna manifestación de la consciencia, el razonamiento clásico sobre la ordenación temporal de sucesos nos lleva a una conclusión contradictoria, ¡entonces éste es un fuerte indicio de que están actuando realmente acciones cuánticas!

7.l2. EPR y tiempo: necesidad de una nueva visión del mundo Existen razones para sospechar de nuestras nociones fi'sicas de tiempo, no solamente en relación con la consciencia sino también en relación con la propia fi'sica, cuando están involucradas la no localidad y la contrafacticidad cuántica. Si adoptamos una visión fuertemente «realista» del vector de estado lú) en situaciones EPR -y he argumentado firmemente en §6.3 y §6.5 sobre las

dificultades de #o hacerlo asi'- entonces se nos presenta un profundo rompecabezas. Tal rompecabezas conduce a dificultades genuinas para cualquier teoriJa detallada de la naturaleza de la teori'a GRW, descrita en §6.9, y también potencialmente con el tipo de esquema RO de §6.l2, que yo mismo estoy defendiendo. Recordemos los dodecaedros mágicos de §5.3 y su explicación en §5.l8. Preguntemos: ¿cuál de las dos posibilidades siguientes representa la «realidad» de las cosas? ¿Es la presión del botón por parte de mi co/cga la que instantánea-

mente reduce (y desenmaraña) el estado total original enmarañado -de modo que el estado del átomo en mi propio dodecaedro es instantáneamente creado, desenmarañado, por sw presión del botón, y es cJJ'cáo estado reducido el que define las posibilidades que pueden resultar de mi propia presión de botón subsiguiente? ¿O viene primero mi prop,'a presión de botón, actuando sobre el estado enmarañado original, para reducir instantáneamente el estado del átomo en el dodecaedro de mi colega, de modo que es mi colega el que encuentra el estado desenmarañado reducido? No importa, por lo que se refiere a los resultados, en qué forma tratemos el problema, como se comentó en la exposición de §6.5. Precisamente no importa porque, si lo hiciera, esto violari'a los principios de la relatividad de Einstein en la que la noción de «simultaneidad» para sucesos distantes (con una separación de tipo espacio) no puede tener efectos fi'sicamente observables. Sin embargo, si creemos que lÚ) representa la r¬¢/,'-

IA teoría cuánt¡ca y el cerebro

41l

dc,d, entonces esta realidad es diferente en las dos imágenes. Algunos considerarán esto como una razón suficiente para no adoptar un punto de vista realista sobre lÚ). Otros aceptarán las otms razones fuertes en favor de la visión realista

(cf. §6.3) -y estarán completamente dispuestos a tirar por la borda la imagen einsteiniana del mundo. Yo me inclino por aferrarnos a ambos: el realismo cuántico J' el espi'ritu de la visión del espacio-tiempo relativista. Pero hacerlo asi' requiere un cambio fundamental en nuestro actual modo de representar la realidad fi'sica. Más que insistir en que el modo en que describ¡mos un estado cuántico (o incluso el propio espacio-tiempo) debe seguir las descripciones que ahora nos son familiares, buscari'amos, en su lugar, algo que tenga un aspecto muy diferente, aunque (inicialmente al menos) fuera matemáticamente equivalente a las descripciones familiares.

De hecho, ex¡ste un buen precedente para algo de este tipo. Antes de que Einstein descubriera la relatividad general, nos habíamos acostumbrado por completo a utilizar la maravillosamente precisa teoría de la gravedad de Newton en la que las parti+culas, moviéndose en un espacio plano, atraían a las demás de acuerdo con la ley del inverso del cuadrado para la fuerza gravitatoria. Uno hubiera pensado que introducir cualquier cambio fundamental en esa imagen estari'a abocado a destruir la notable precisión del esquema de Newton. No obstante, un cambio fundamental semejante es precisamente lo que Einstein introdujo. En su visión alternativa de la dinámica gravitatoria, la imagen queda completamente transformada. El espacio ya no es plano (y ni siquiera es «espacio», es «espacio-tiempo»); no hay fuerza gravitatoria, siendo ésta reem-

plazada por los efectos de marea de la curvatura del espacio-tiempo. Y las parti'culas ni siqu¡era se mueven, estando representadas como curvas «estáticas» trazadas en el espacio-tiempo. ¿Se destruyó la notable precisión de la teori'a de Newton? En absoluto; ¡fue incluso mejorada hasta un grado extraordinario! (Véase §4.5.)

¿Podri'amos esperar que pueda ocurrir algo similar con la teori'a cuántica? Creo que es extraordinariamente probable. Seri'a necesario un cambio pro/wnc7o del punto de vista, lo que hace difi'cil especular sobre la naturaleza especi'fica del cambio. Más aún, ¡indudablemente parecerá descabellado! Para terminar esta sección, menc¡onaré dos ideas de aspecto descabellado, ninguna de las cuales es suficientemente loca aunque ambas tienen sus méritos. La primera es debida a Yakir Aharonov y Lev Vaidman (l990) y a Costa de Beauregard (l989) y Paul Werbos (l989). Según esta idea, la realidad cuántica está descrita por dos vectores dc estado, uno de los cuales se propaga hacia delante en el tiempo desde la última aparición de R, de la forma normal, y el otro se propaga Aa'c','a' c,,nfz's en c/ ,,®empo, desde la próxima apar¡ción de R en el futuro. Este segundo vector de estado* se comporta «teleológicamente» en *

Hay c¡erta s¡grif¡cación ma(emática en asignar a] vector de estado evolucionando hacia atrás

un «vector bra» (¢l. mientras quc al estado que cvoluciona hacia delan[e se le asigna un «vector ket» lú). El par de vcctores de es'ado podri'a representarse como un producto lÚ)(¢l . Esto está de acuerdo con la notación de la matriz densidad de §6.4.

412

1+as sombras de la mente

7.l7. La ,¬or,Jo de ,w,'s,ores proporciona una imagen fi'sica alternativa a la del espaciotiempo, en la que rayos de luz completos se representan como puntos, y los sucesos por esferas de Riemann globales.

el sentido de que está gobernado por lo que le va a suceder en el futuro, más que por lo que le sucedió en el pasado, una caracteri'stica que algunos podrían tener la sensación de que es inaceptable. Pero las implicaciones de la teori'a son exactamente las mismas que en la teori'a cuántica estándar, de modo que no pueden ser descartadas sobre bases de esta naturaleza. Su ve#,a/-4' sobre la teori'a cuántica estándar es que le capacita a uno para tener una descripción com-

pletamente objetiva del estado en situaciones EPR que pueden ser representadas en términos espacio-temporales de forma coherente con el espi'ritu de la relatividad de Einstein. Así pues, proporciona una (forma de) solución al rom-

pecabezas mencionado al comienzo de esta sección -pero al costo de tener un estado cuántico que se comporta teleológicamente, lo que muchos pueden encontrar preocupante. (Para mi', estos aspectos teleológicos de las descripciones son perfectamente aceptables, mientras no conduzcan a problemas con el comportamiento fi'sico real.) Para más detalles, remito al lector a la bibliografi'a sobre el tema. La otra idea que deseo mencionar es la de la ,cor,Jo c7¬ ,w,-síores (véase la figura 7.l7). Esta teori'a estuvo fuertemente motivada por los mismos enigmas EPR, pero (como tal) no proporciona ^¢5,a' e/ mome#,o una solución a ellos. Su fuerza reside en otra parte, al proporcionar descripciones matemáticas inesperadas y elegantes de ciertas nociones fi'sicas fundamentales (tales como las ecuaciones electromagnéticas de Maxwell, cf. §4.4 y NME, pp. l84-l87

[pp. 239-243], para las que da una atractiva formulación matemática). Proporciona una descripción no local del espacio-tiempo, donde rayos luminosos enteros se representan como puntos simples. Es esta no localidad espacio-temporal la que la relaciona con la no localidad cuántica de situaciones EPR. También está fundamentalmente basada en los #wJmc,os comp/e/'os y su geometría relacionada, de modo que se obtiene una relación profunda entre los números complejos de la teori'a cuántica U y la estructura espacio-temporal. En particular, la esfera de Riemann de §5.lO desempeña un papel fundamental en relac¡ón con el cono de luz de un punto en el espacio-tiempo (y con la «esfera celeste» de un observador en dicho punto). (Véase la exposición de David Peat [l988], para

La ieoría cuántica y el cerebro 4I3

una descripción no técnica de las ideas relevantes, o el libro de Stephen Huggett y Paul Tod [l985] para una exposición relativamente breve pero técnica.l2) Seri'a inconveniente por mi parte demorarme más en estas cuestiones. Las menciono sólo para ¡ndicar que existen varias posibilidades para cambiar nuestra imagen ya extraordinariamente precisa del mundo físico por algo que tiene un aspecto diferente por completo de las imágenes que sostenemos hoy. Como un importante requisito de consistencia para un cambio semejante, debemos ser capaces de utilizar la nueva descripción para reproducir todos los resultados satisfactorios de la teori'a cuántica U (y también de la relatividad general). Pero también deberi'amos ser capaces de ir más allá de esto, e incorporar la modificac¡ón fi'sicamente apropiada de la teoría cuántica en la que el procedimiento R quede reemplazado por algún proceso fi'sico real. Al menos esa es mi firme creencia; y también es mi opinión actual que esta «modificación apropiada» debe ser algo acorde con las li'neas RO de las ideas descritas en §6.l2. Deberi'a mencionarse que teorías en las que la relat¡vidad se combina con una reducción de estado «realista», tales como la teori'a GRW, han encontrado hasta el momento problemas muy graves (espec¡almente con respecto a la conservación de la energi'a). Esto tiende a reforzar mi creencia de que se necesita un

cambio fundamental en la forma en que miramos el mundo, antes de que podamos hacer cualquier progreso profundo en estas cuestiones fi'sicas capitales. También es mi convicc¡ón que cualquier progreso genuino en la comprensión fi'sica del fenómeno de la co#sc,'cmc,'a necesitará también -como requisito

prev¡o- ese mismo cambio fundamental en nuestra imagen del mundo fi'sico.

¿Consecuencias?

la vista de las exposiciones precedentes, ¿qué potencial final puede inferirse

A

«Dispositivos» artificiales para la8.1. inteligencia artificial? Los argumentosinteligentes de la Primera parte sugieren con fuerza que la tecnologi'a de robots electrónicos controlados por ordenador m proporcionará una vi'a para la construcción artificial de una máquina nea/mc.q,c inteligente -en el sentido de una máquina que comprende lo que está haciendo y puede actua.r basada en dicha comprensión. Los ordenadores electrónicos tienen su importancia indudable para clarificar muchas de las cuestiones que se refieren a los fenómenos mentales (quizá, en gran medida, enseñándonos lo que no son los fenómenos mentales genuinos), además de ser ayudas extraordinariamente poderosas y valiosas para el progreso cienti'fico, tecnológico y social. Los ordenadores, concluimos, hacen algo muy diferente de lo que #oso,,os estamos haciendo cuando apelamos a nuestra consciencia para reflexionar sobre algún problema. No obstante, las exposiciones finales de la Segunda parte deberi'an haber dejado claro que yo no estoy defendiendo en absoluto que sea necesariamente imposible construir un d,-spos,',,'vo genuinamente inteligente, siempre que tal dispositivo no sea una «máquina» en el sentido especi'fico de estar controlada computacionalmente. En lugar de ello, tendri'amos que incorporar el mismo tipo de acción fi'sica que es responsable de provocar nuestra propia consciencia. Puesto que no tenemos aún ninguna teori'a física de dicha acción, es ciertamente prematuro especular sobre si o cuándo podri'a construirse un dispositivo semejante. De todas formas, su construcción puede aún ser contemplada dentro del punto de vista C que yo estoy apoyando (cf. §l.3), que reconoce que la mentalidad puede ser finalmente entendida en términos cienti'ficos aunque no computacionales. Yo no veo ninguna necesidad de que tal dispositivo sea de naturaleza biológica. No veo ninguna li'nea divisoria esencial entre biología y física (o entre biologi'a, qui'mica y fi'sica). De hecho, los sistemas biológicos tienden a tener una sutileza en su organización que sot,repasa con mucho incluso a la de nuestras creaciones fi'sicas más perfeccionadas (a menudo muy complejas). Pero es evi-

¿Consecuencias?

415

dente que nos encontramos aún en di'as muy tempranos en la comprensión fi'sica de nuestro universo -especialmente en relación con los fenómenos mentales. Así pues, cabri'a esperar que el perfeccionamiento de nuestras construcciones fi'sicas aumente enormemente en el futuro. Podemos prever que esta complejidad futura puede incluir efectos fi'sicos que por el momento sólo son tenuemente percibidos.

No veo razón para dudar de que, en el futuro más inmediato, algunos de los enigmáticos efectos (misterios Z) de la teoría cuántica encontrarán aplicaciones sorprendentes en circunstancias apropiadas. Ya existen ideas sobre la utilización de efectos cuánticos en criptografi'a para lograr efectos que ningún dispositivo clásico puede consegu¡r. En particular, existen propuestas teóricas, que dependen esencialmente de efectos cuánticos (cf. C. Bennett e, o/. l983), que permitiri'an env¡ar información secreta de una persona a otra de modo que no sea

posíble que una tercera parte fisgonee sin ser detectada. Se han constru¡do ya dispositivos experimentales basados en estas ideas, y no es en absoluto imposible que encuentren aplicación comercial en unos pocos años. Se han propuesto otros muchos esquemas dentro del área general de la criptografi'a que hacen uso de efectos cuánticos, y el tema embrionario de la cr,P,og,t7/,'a cwa'Ín,,®ca se está desarrollando rápidamente. Además, quizá algún di'a sea posible construir realmente un ondcmc7or cwc,'#,,-co, pero por el momento estos constructos teóricos están muy lejos de una realización práctica, y es difi'cil predecir cuándo

-o incluso si-podri'an ser construidos fi'sicamente (ver Obermayer e,a/., l988 a, bD.

Más difi'cil incluso es predecir la posibilidad (o la escala de tiempo) de construir un dispositivo cuya acción depende de una teoría fi'sica que ni siquiera conocemos por el momento. Una teori'a semejante sería necesaria, afirmo, antes de que pudiéramos comprender la física subyacente en un dispositivo que actúe no computablemente -«no computablemente», esto es, en el sentido de inaccesible a una máquina de Turing que he estado utilizando en este libro. Se-

gún mis propios argumentos, para construir un dispositivo semejante necesitari'amos primero encontrar la teoría fi'sica (RO) adecuada de la reducción de estado cuántico -y es muy difi'cil saber lo lejos que estamos de una teori'a semejante-antcs de que pudiéramos empezar a contemplar su construcción. También es posible que la naturaleza especi'fica de dicha teori'a RO pudiera dar un giro inesperado a la propia tarea a realizar. Al menos, swpowgo que tendri'amos que encontrar primero la teori'a, si vamos a contruir un dispositivo no computacional semejante. Pero cabe la posibilidad de que no sea asi': en la práctica real, se ha dado el caso con frecuencia de que nuevos efectos fi'sicos sorprendentes han sido descubiertos muchos años antes de su explicación teórica. Un buen ejemplo fue la superconductividad,

que fue observada experimentalmente por primera vez a,or Heike Kammerlingh Onnes en lgll) casi cincuenta años antes de que Bardeen, Cooper, y Schrieffer, en l957, encontraran la explicación completa basada en la teori'a cuántica. Además, la superconductividad a alta temperatura fue descubierta en l986, cf. Sheng c, a/. (l988), también sin buenas razones previas para creer en ella sobre bases

416 Las sombras de la mente

puramente teóricas. (A comienzos de l994, todaviía no hay ninguna explicación teórica adecuada para este fenómeno.) Por el contrario, en el caso de la act¡vidad no computable, sería difi'cil ver cómó uno podri'a siquiera cJ¬c,', cuándo un objeto insensible dado se está comportando no computablemente. El concepto global de computabilidad está muy ligado con la ,cor,;c,, más que ser directamente una cuestión observacional. Pero dentro de una teori'a no computable, podri'a muy bien ser el comportamiento caracterl'stico de los aspectos no computacionales de dicha teori'a el que pudiera ser ver¡ficado, y el que un dispositivo real pudiera exhibir. Mi conjetura es que sin tener primero la teori'a seri'a muy poco probable que el comportamiento no computacional pudiera ser observado o manifestado en un objeto fi'sicamente construido. Para el propósito del argumento posterior, tratemos ahora de imaginar que

disponemos de la teori'a fi'sica requerida -que, como he argumentado, deberi'a ser una teori'a RO no computacional de la reducción de estado cuántico- y que tenemos también alguna confirmación experimental de dicha teori'a. ¿Cómo procederi'amos entonces para construir un dispositívo ,'#,e/,'ge#,e? No podr,-omos hacerlo -sólo sobre esta base. Necesitari'amos aún otro avance en la t'eoría: ese avance que nos dice cómo surge realmente la consciencia como resultado de alguna organización apropiada, en la que los efectos RO no computacionales están siendo aprovechados adecuadamente. Yo, por ejemplo, no tengo idea de qué tipo de desarrollo teórico pudiera ser éste. Como sucede con los anteriores ejemplos de superconductividad, uno podri'a imag¡nar una vez más que podri'a darse con un dispositivo de la naturaleza requerida de forma

parcialmente accidental, sin que hubiera una teori'a de la consciencia propiamente dicha. No hace falta decir que esto parece muy improbable -a menos,

por supuesto, que se saque ventaja de algún proceso de evolución darwiniana, de modo que la inteligencia pudiera aparecer con el tiempo a través simplemente de los beneficios directos que confiere esta consciencia, sin que haya ninguna comprensión por nuestra parte de cómo se hizo (¡lo que, de hecho, es lo que sucedió con nosotros!). Esto tendría que ser, casi con seguridad, un asunto extraordinariamente lento, en especial cuando uno considera el largo tiempo que tarda la consciencia en manifestar sus ventajas. El lector puede muy bien llegar a la conclusión de que una forma mucho más satisfactoria de construir dispositivos inteligentes consiste en adoptar los procedimientos azarosos pero notablemente efectivos y concluyentes ¡que ya hemos estado utilizando durante milenios!

Por supuesto, nada de esto nos detendrá de querer saber qué es lo que realmente sucede en la consciencia y la inteligencia. Yo también quiero saber. Básicamente, los argumentos de este libro indican que lo que #o está pasando es

solamente una gran cantidad de actividad computacional -como se cree normalmente hoy di'a-y que lo que s,Íestá pasando no tendrá ninguna probabilidad de ser comprendido adecuadamente hasta que tengamos un conocimiento mucho más profundo de la naturaleza misma de la materia, el tiempo, el espacio y las leyes que los gobiernan. También necesitaremos tener un conocimiento mucho mejor de la fisiologi'a detallada de los cerebros, especialmente en los

¿Consecuencias?

417

niveles minúsculos que han recibido poca atención hasta años recientes. Necesitaremos saber más sobre las circunstancias en que aparece o desaparece la consciencia, sobre la curiosa cuestión de su secuencia temporal, de para qué se utiliza, y de cuáles son las ventajas especi'ficas de su posesión -además de muchas otras cuestiones donde sea posible una verificación objetiva. Realmente es un campo muy amplio, en el que seguramente deben preverse progresos en muchas direcciones diferentes.

8.2. Cosas que los ordenadores hacen bien, o mal lncluso si se acepta que el concepto actual de ordenador m conseguirá ninguna inteligencia o consciencia real, aún se nos presenta el poder extraordinario que poseen los ordenadores modernos, y la perspectiva potencial de un incremento absolutamente enorme de su capacidad en el futuro (cf. §l.2, §l.lO y Moravec l988). Aunque estas máquinas no comp,¬#cJcnt,'n las cosas que estén haciendo, las harán con rap¡dez y precisión casi increi'bles. Con tal actividad -aunque todaviJa sin propósito- ¿serán capaces de conseguir las cosas para

las que nosotros utilizamos nuestras mentes, quizá de forma más eficaz de lo

que podemos hacerlo? ¿Podemos hacernos alguna idea del tipo de cosas en las que serán muy buenos los sistemas de ordenador, o en las que siempre serán mejores las mentes? Los ordenadores ya pueden jugar extraordinariamente bien al ajedrez -alcanzando el nivel de los grandes maestros humanos. En el juego de damas, el ordenador Chinook se ha mostrado superior a todos salvo al campeón supremo Marion Tinsley. Sin embargo, con el antiguo juego oriental del go parece

que los ordenadores no han llegado a ninguna parte. Cuando se impone que tales juegos se jueguen de forma muy rápida, esto es un factor a favor del o'rdenador; mientras que permitir mucho tiempo supone una ventaja para el jugador humano. Problemas de ajedrez con dos o tres movidas pueden ser resueltos casi instantáneamente por un ordenador, por muy difícil que pueda ser el problema para un jugador humano. Por el contrario, un problema con una idea simple pero que requiera, digamos, 50 o lOO movimientos, podri'a derrotar completamente al ordenador, mientras que el solucionador humano experimentado no encontrari'a demasiada dificul[ad; cf. también §l.l5, figura 1.7. Estas diferencias pueden entenderse básicamente en términos de ciertas diferencias entre aquello en que destacan los ordenadores y los seres humanos. El ordenador simplemente ejecuta cálculos sin ninguna comprensión de lo que está haciendo -aunque emplea algunas de las comprensiones de sus p,ogrifi'madones. Puede contener una gran cantidad de conocimiento almacenado, mientras que un jugador humano también puede hacer esto. El ordenador puede efectuar repetidamente aplicaciones extraordinariamente rápidas y precisas de las comprensiones de los programadores de una forma totalmente carente de finalidad, pero lo hace en una medida que supera con mucho la capacidad de cualquier ser humano. El jugador humano necesita continuar haciendo juicios una

418

Las sombras de la mente

y otra vez y elaborando planes con contenido, con una comprensión global de lo que es el juego. Estas son cualidades que no están en absoluto disponibles para el ordenador, aunque, en una buena medida, éste puede utilizar su potencia computacional para compensar su falta de comprensión real. Supongamos que el número de posibilidades por movimiento que necesita considerar el ordenador es, en promedio, p; entonces para una anticipación de m movimientos, habri'a que considerar aproximadamente p" alternativas. Si el cálculo de cada alternativa requiere un tiempo promedio ,, entonces tenemos algo del orden de

T--(xpm para el tiempo total 7-necesario para calcular esa jugada. En las damas, el número p no es muy grande, digamos que alrededor de cuatro, lo que capacita al ordenador para calcular con muchas jugadas de anticipación en el tiempo disponible, de hecho hasta unos 20 movimientos (m = 20), mientras que con el juego del go podri'amos tener algo parecido a p = 200, de modo que un sistema de ordenador comparable probablemente no podría manejar más que cinco (m = 5) movimientos o asi'. El caso del ajedrez es intermedio. Ahora bien, debemos tener en cuenta que los juicios y comprensiones del ser humano serían mucho más lentos que los del ordenador (, grande para los seres humanos, ,

pequeño para el ordenador) pero que estos juicios podri'an acortar el número e/ec,,'vop de forma muy considerable ® efectivo pequeño para el ser humano, p grande para el ordenador), porque sólo un pequeño número de las alternativas disponibles seri'an juzgadas dignas de consideración por el jugador humano. Se sigue, de un modo general, que los juegos para los quep es grande, pero puede ser acortado efectivamente y de forma importante por el uso de la comprensión y el juicio, son relativamente ventajosos para el jugador humano. En efecto, dado un rrazonablemente grande, el acto humano de reducir el «p efectivo» supone una diferencia mucho mayor al permitir un m grande en la fórmula 7- = , x pm que lo que supone hacer el tiempo muy pequeño (que es lo que hacen muy bien los ordenadores). Pero+para un 7`p¬g#c#~o, lo que puede ser más efectivo es hacer , muy pequeño (puesto que los valores m de relevancia son probablemente pequeños). Estos hechos son simples consecuencias de la forma «exponencial» de la expresión 7' = , x pm. Esta consideración es algo elemental, pero creo que el punto esencial queda razonablcmente claro. (Si usted es un lector no matemático, y desea hacerse una idea del comportamiento de í x pm, ensaye simplemente unos pocos ejem-

plos de valores ,, p y m.) No vale la pena entrar aqui' en mayores detalles, pero podri'a ser útil un punto de clarificación. Podri'a argumentarse que «un cálculo con gran anticipación», medido por «m», no es realmente lo que trata de hacer el jugador humano. Pero em e/ec,o lo es. Cuando el jugador humano juzga el valor de una posición en un nivel con sólo unas jugadas de anticipación, y luego considera que no es útil calcular más allá, esto es un cálculo c/ec,,'vo de una anticipación mucho mayor, puesto que el juicio humano encierra el efecto pro-

¿Consecuencias? 419

bable de movimientos continuados. En cualquier caso, sobre la base de consideraciones elementales de este tipo, es posible ganar alguna comprensión de

por qué es mucho más difi'cil conseguir ordenadores que jueguen bien al go que conseguir ordenadores que jueguen bien a las damas, de por qué los ordenadores son buenos para resolver problemas cortos de ajedrez pero no problemas largos, y por qué tienen una ventaja relativa con li'mites cortos de tiempo

para el juego. Estos argumentos no son especialmente complejos, pero el rasgo esencial es que la cualidad del j#,-c,-o humano, que está basado en la compm#s,'oJ# humana, es algo esencial de lo que carecen los ordenadores, y esto está apoyado en general por los comentarios anteriores -como también lo está por las consideraciones de la posición de ajedrez de la figura l.7 en §l.15. La comprensión consciente es un proceso relativamente lento, pero puede acortar considerablemente el número de alternativas que necesitan considerarse seriamente, y aumentar asi' la anticipación e/ec',,'w del cálculo. (Ni siquiera hay que ensayar las alternativas más allá de un cierto punto.) De hecho, creo que al considerar lo

que los ordenadores podrían lograr en el futuro, una buena gui'a para la respuesta se obtendri'a si uno hace la pregunta «¿se necesita comprensión real en la ejecución de la tarea?». Muchas cosas en nuestra vida diaria no necesitan excesiva comprensión para ser realizadas, y es bastante probable que los robots controlados por ordenador se manejaran muy bien en estas cosas. Ya existen máquinas controladas por redes neurales artificiales que actúan con gran fiabilidad en tareas de este tipo. Por ejemplo, pueden actuar razonablemente bien en el reconocimiento de rostros, prospección geológica de yacimientos, reconocimiento de fallos en maquinarias distinguiendo sonidos diferentes, comprobación de fraude en tarjetas de crédito, etc.l De un modo general, donde estos métodos tienen éxito las capacidades de estas máquinas se acercan a, o a veces podrían superar, las de los expertos medios humanos. Pero con semejante programación de-abajo-arriba, no vemos el tipo de poderosa «destreza» de máquina que se da en los sistemas de-arriba-abajo, digamos en los ordenadores

que juegan al ajedrez, o -de forma incluso más impresionante-en el cálculo numérico directo, donde los mcjores calculadores humanos no se acercan en ningún momento a lo que pueden conseguir los ordenadores electrónicos. En el caso de tareas que son tratadas efectivamente mediante sistemas de redes neurales artificiales (de-abajo-arriba), es probablamente correcto decir que no hay mucha más comprensión involucrada en la forma en que los seres ác,ma#os realizan estas tareas que la que existe en la forma en que lo hace el ordenador, y debe esperarse algún grado limitado de éxito por parte de los ordenadores. Alli' donde existe una buena cantidad de organización especi'fica de-arriba-abajo en la programación del ordenador, como sucede en el cálculo numérico, los ordenadores que juegan al ajedrez o la computación para fines cienti'ficos, los ordenadores pueden llegar a ser muy poderosamente efectivos. En estos casos, tampoco se necesita ninguna comprensión real por parte del ordenador, pero ahora porque la comprensión relevante ha sido proporcionada por los programadores humanos (véase §l.2l).

420 Las sombras de la mente Deberi'a mencionarse también que, con mucha frecuencia, existen errores computacionales en sistemas de-arriba-abajo -debido a que el programador ha cometido un error. Pero esto es resultado de un error humano, que es una cuestión completamente diferente. Pueden introducirse sistemas de corrección automática de errores -y éstos tienen su valor- pero los errores demasiado sutiles no pueden captarse de esta forma. El tipo de situación en la que podri'a ser peligroso confiar demasiado en un sistema completamente controlado por ordenador es aquella en que el sistema puede actuar razonablemente bien durante mucho tiempo, quizá dando incluso la ,'mp,¬s,'oJ# de que comprende lo que está haciendo. Entonces, de forma inesperada, podri'a hacer algo que parece completamente absurdo, que revela que niinca habiía tenido n¬c7/mc#,¬ ninguna comprensión (como fue el caso con el fallo de Deep Thought en la posición de ajedrez de la figura l.7). Asi' pues, uno deberi'a estar siempre en guardia. Una vez que nos hemos dado cuenta que sencillamente la «comprensión» no es una cualidad computacional, podemos avanzar en el conocimiento de que no hay posibilidad de que un robot puramente controlado por ordenador posea nada de dicha cualidad. Por supuesto, los propios seres humanos difieren mucho con respecto a su

grado de posesión de la cualidad de comprensión. Y, como sucede con los ordenadores, es bastante probable que un ser humano dé la impresión de que hay comprensión cuando realmente no la hay. Hay una especie de compensación entre la comprensión genuina r;or un lado, y la memoria y las potencias de cálculo por el otro. Los ordenadores son capaces de lo último pero no de lo primero. Como resulta muy familiar a los profesores en todos los niveles (pero, ¡ay!, no siempre familiar a los gobiernos) es la cualidad de la compn¬#s,-oJm la que es con mucho la más valiosa. Es es,a cualidad, más que el mero borboteo de re-

glas o información, la que uno desea inculcar en sus pupilos. De hecho, una de las habilidades en la construcción de preguntas de examen (como sucede particularmente en matemáticas) reside en que éstas deberían poner a prueba la comprensión del alumno, algo distinto de la mera memoria y los poderes de cálculo -aunque realmente también tiencn valor estas otras cualidades.

8.3. Estética, etc. En la discusión anterior me he concentrado en la cualidad de «comprensión» como algo esencial de lo que carece cualquier sistema puramente computacional. Después de todo, esta cualidad particular era la que interveni'a en el argumento de GÓdel de §2.5 -y cuya ausencia, dentro de la falta de propósito de la acción computacional, revelaba las limitaciones esenciales de la computación, impulsándonos así a tratar de encontrar algo mejor. Pero la «comprensión» no es sino una de las cualidades por las que el conocimiento consciente es de valor para nosotros. Más generalmente, nosotros los seres conscientes sacamos provecho de cualquier circunstancia en la que directamente podemos «sentir» las cosas; y esto, estoy argumentando, es precisamente lo que un sistema puramente computacional no puede conseguir nunca.

¿Consecuencicis? 42l

Podemos preguntar: ¿de qué manera está cn c7csve",¢/-a un robot controlado por ordenador por su incapacidad para sentir, de modo que no podría apreciar, digamos, la belleza de un cielo estrellado, o el esplendor magnificente del

Taj Mahal al atardecer, o las mágicas complejidades de una fuga de Bach -o incluso la austera belleza del teorema de Pitágoras? Podríamos decir simplemente que es una carencia del robot el hecho de que no puede sentir lo que nosotros somos capaces de sentir cuando nos enfrentamos a tales manifestaciones de cualidad. Pero hay mucho más que esto. Podn'amos plantear una cuestión diferente. Aun aceptando que el robot no es realmente capaz de se#,,-r nada,

¿no es posible de todas formas que un ordenador inteligentemente programado fuera capaz de producir grandes obras de arte? Ésta es una cuestión delicada, me parece a mi'. La respuesta inmediata, creo

yo, es simplemente «no» -aunque sólo sea porque el ordenador no puede poseer las cualidades sensitivas que son #ec¬sc7,,®c,s para juzgar lo bueno y lo malo,

o lo soberbio y lo meramente competente. Pero, podemos preguntar: ¿por qué es necesario que el ordenador «sienta» realmente para que pueda desarrollar sus propios «criterios estéticos» y formar sus propios juicios? Uno podría imaginar que tales juicios podri'an «emerger» simplemente después de un largo periodo de aprendizaje (de-abajo-arriba). Sin embargo, como sucede con la cualidad de comprensión, tengo la impresión de que es mucho más probable que los criterios tuvieran que formar parte del input deliberado del ordenador, habiendo sido estos criterios destilados con cuidado a partir de un análisis detallado de-arriba-abajo (muy posiblemente asistido por ordenador) que ha sido llevado a cabo por seres humanos estéticamente sensibles. De hecho, experimentos de este mismo tipo han sido puestos en marcha por varios investigadores de la IA. Por ejemplo, Christopher Longuet-Higgins, en un trabajo realizado en la Universidad de Sussex, ha implementado varios sistemas de ordenadores

que componen música según los criterios que él ha proporcionado. Incluso en el siglo xvlIL Mozart y sus contemporáneos mostraron cómo construir un «dado musical» que pudiera utilizarse para combinar ingredientes que se saben estéticamente placenteros con elementos aleatorios para dar lugar a composiciones no desdeñables. Dispositivos similares se han adoptado en las artes visuales, tales como el sistema «AARON» programado por Harold Cohen, que puede producir numerosos dibujos «orig¡nales» invocando elementos aleatorios para combinar ingredientes de un input dado según ciertas reglas. (Véase el libro 7lti¬ c,ea,J-vc M,-#d de Margaret Boden, l990, para ejemplos de este tipo de «creatividad de ordenador»; también Michie y Johnston, l984.) Creo que se aceptari'a generalmente que el producto de este tipo de actividad no ha sido, por el momento, nada que pueda resistir la comparación con lo que puede conseguir un artista humano moderadamente competente. Siento que no seri'a inadecuado decir que lo que está faltando, cuando el input del ordenador alcanza cierto nivel importante, ¡es un «alma» en la obra resultante! Es decir, la obra no ¬xpresa nada porque el propio ordenador no s,-eH,c nada. De vez en cuando, por supuesto, semejante obra producida por ordenador y aleatoriamente generada podría, simplemente por azar, tener un mérito arti's-

422 Las sombras de la n;énte tico genuino. (Esto está relacionado con la vieja cuestión de generar la obra fJczm/c, tecleando letras enteramente al azar.) De hecho, debe reconocerse, en este contexto, que la propia Naturaleza es capaz de producir muchas obras de arte por medios aleatorios, como la belleza de la formación de rocas o las estrellas en el cielo. Pero sin la capacidad de §en,,'r esta belleza, no hay medio de distinguir lo quc es bello de lo que es feo. Es en este proceso de se/ecc,-o~n donde un sistema completamente computacional mostraría sus limitaciones fundamentales. De nuevo, uno podri'a imaginar que un ser humano suministrase criterios computacionales al ordenador, y éstos podri'an trabajar razonablemente bien, mientras sólo se trate de generar un gran número de copias del mismo tipo de cosa (como uno podri'a imaginar que puede hacerse con el arte popular de consumo) -hasta que los productos de esta actividad se hagan pesados y se necesite algo nuevo. En este punto, se requeriri'an algunos ju¡cios estéticos ge",-#os para percibir qué «nueva idea» tiene mérito arti'stico y cuál no lo tiene. Asi' pues, además de la cualidad de compne#i,,'oÍ#, existen otras cualidades

que siempre estarán ausentes en cualquier sistema éompletamente computacional, tales como son las cualidades es,e-,,'cas. A éstas deben añadirse, me parece a mi', otro tipo de fenómenos que requieren nuestra consciencia, tales como juicios mo,t,/¬s. Hemos visto en la Primera parte que el juicio de lo que es o no es vc,t7acJeno no puede reducirse a pura computación. Lo mismo (quizá más obviamente) se aplica a lo bc//o, o a lo ów¬#o. Estas son materias que requieren consciencia y son por lo tanto inaccesibles a robots completamente controlados por ordenador. Siempre debe haber un continuo input continuamente controlador a partir de una presencia sensible, exterior y consciente -presumiblemente humana. Independientemente de su naturaleza no computacional podemos preguntar: ¿son c,bso/w,¢s las cualidades de «belleza» y «bondad», en el sentido platónico en que se aplica el término «absoluto» a la verdad -especialmente a la verdad matemática? El propio Platón defendió este punto de vista. ¿Podri'a darse el caso de que nuestra consciencia sea de algún modo capaz de entrar en contacto con tales absolutos, y es es,o lo que da a la consciencia su fuerza esencial? Quizá podri'a haber aqui~ alguna clave para lo que nuestra consciencia realmente «es» y «para qué» es. ¿Realiza la consciencia algún tipo de función como «puente» hac¡a un mundo de absolutos platónicos? Estas cuestiones se abordarán de nuevo en la sección final de este libro. La cuestión de la naturaleza absoluta de la moralidad es relevante para las cuestiones legales de §l .ll. Hay también una relevancia para la cuestión del «libre albedri'o», como se planteó al final de §l.l1: ¿podri'a haber algo que está más allá de nuestra herencia, más allá de los factores ambientales y más allá de las influencias azarosas -un «yo» independiente que tiene un papel profundo en el control de nuestras acciones? Creo que estamos muy lejos de una respuesta a esta pregunta. Según los argumentos expuestos en este libro, todo lo que yo podri'a afirmar con confianza seri'a que cua'iquier cosa que esté involucrada debe residir en principio más allá de las capacidades de aquellos dispositivos que actualmente llamamos «ordenadores».

¿Consecuencias? 423

8.4. Algunos peligros inherentes a la tecnologi'a de ordenadores Con cualqu¡er tecnologi'a de amplio espectro, existen probablemente peligros tanto como beneficios. Así pues, además de las ventajas evidentes que proporcionan los ordenadores, existen también muchas amenazas potenciales para nuestra sociedad que son inherentes al rápido avance de esta tecnologi'a concreta. Pareceri'a que uno de los principales problemas es la complicación extraordinariamente interconectada que nos presentan los ordenadores, de modo que es

poco probable que cualquier ser humano individual pueda comprender sus consecuencias en su totalidad. No es sólo una cuestión de tecnologi'a de ordenadores, sino también de la comunicación global casi instantánea que une unos ordenadores con otros casi a lo largo de todo el planeta. Vemos algo de los

problemas que pueden surgir en el comportam¡ento inestable de la bolsa, donde las transacciones se realizan de forma virtualmente instantánea sobre la base de predicciones por ordenador a nivel mundial. Posiblemente, el problema aqui' no sea tanto la falta individual de comprensión del s¡stema interconectado como un todo, sino una inestabilidad (por no mencionar incorrección) inherente a un sistema que está diseñado para capacitar a los individuos para hacer fortunas instantáneas simplemente calculando o conjeturando mejor que sus competidores. Pero es muy probable que puedan aparecer otras inestabilidades y peligros potenciales simplemente por la extraordinaria complicación del sis-

tema interconectado como un todo. Sospecho que algunas personas podri'an creer que quizá no haya un problema tan serio si, en el futuro, el sistema interconectado se hace tan complicado que esté más allá de la comprensión humana. Estas personas confiaráñ en la perspectiva de que con el tiempo los prop,-os ordenadores adquirirán la comprensión necesaria del sistema. Pero hemos visto que la comprensión no es una cualidad de la que sean c'apf7ces los ordenadores, de modo que no puede haber una posibilidad real de alivio por esta parte. Existen problemas adicionales de un tipo diferente que se derivan meramente del hecho de que los avances en la tecnologi'a son muy rápidos, de modo que un ordenador puede quedarse «pasado de moda» nada más haber salido al mercado. Los requisitos resultantes de actualización continua, y de tener que utilizar sistemas que a menudo no están adecuadamente comprobados debido a las presiones de la competencia, empeorarán seguramente en el futuro. I|os problemas profundos que sólo estamos empezando a afrontar en la nueva tecnología del mundo asistido por ordenador, y la rapidez del ritmo de cambio, son demasiado numerosos, y seri'a una locura por mi parte intentar resumirlos aquí. Cuestiones tales como la intimidad personal, el espionaje industrial y el sabotaje por ordenador están entre las cosas que vienen a la mente. Otra posibilidad alarmante para el futuro es la capacidad de «fals¡ficar» la ¡magen de una persona, de modo que esta imagen pudiera ser presentada en una pantalla de televisión expresando opiniones que el individuo real no hubiera querido expresar.2 Existen también cuestiones sociales que no son temas especi'ficamente computacionales pero que están relacionados con ellos, tal como el hecho de

424 IAs sombras de la mente que, debido a la potencia maravillosamente precisa de reproducción de sonido musical, o de imágenes visuales, las virtudes de un número muy pequeño de cantantes populareS pueden difundirse Por `tódo el mundo, quizá en perjuicio de aquellos que no son tan favorecidos. Con los «sistemas expertos» donde la competencia y comprensión de un pequeño número de individuos -por ejem-

plo en las profesiones legal o médica- puede meterse dentro de un paquete de software ¡nformático, quizá en detrimento de los abogados o médicos locales, encontramos algo similar. Sin embargo, mi conjetura es que la compn¬m s,'o'# específica que proporciona una intervención personal s¡gnificará que tales sistemas expertos controlados por ordenador seguirán siendo ayudas antes que sustitutos del experto especializado. Por supuesto hay un «lado positivo» para el resto de nosotros en todoS estos desarrollos, cuando pueden llevarse a cabo con éxito. En efecto, la competencia se pone al alcance de más gente y puede ser apreciada por un públ¡co mucho mayor. Análogamente, en relación con el tema de la intimidad personal, ex¡sten ahora sistemas de «clave pública» (véase Gardner l989), que pueden ser utilizados en princípio por individuos o por grupos pequeños -con tanta eficacia como por los grandes- y que porec'e# proporcionar una seguridad completa frente al espionaje. Estos dependen, por su propia naturaleza, de la disponibilidad de ordenadores potentes y muy rápidos -aunque su efectividad depende de la dificultad computacional de factorizar números grandesahora algo amenazada por los avances en la computación cuántica (véase §7.3; también Obermayer c, c,/., l988o, b, para ideas que apuntan a una viabilidad futura de la computación cuántica). Como se mencionó en §8.l, existe la posibilidad de utilizar criptografía cuántica como seguridad contra el espionaje -que dependeri'a también para su efectividad de cantidades importantes de computación. Evidentemente no es una cuestión sencilla adivinar los beneficios y peligros de cualquier nueva tecnologi'a, ya esté o no directamente relacionada con los ordenadores. Como comentario final sobre tales cuestiones socio-cibernéticas, me gustari'a presentar una pequeña historia de ficción, pero que expresa una preocupación que he tenido en relación con toda una nueva área de problemas potenciales. No he oi'do a nadie expresar antes estos temores, pero creo que presenta una clase nueva de posibles peligros relacionados con los ordenadores.

8.5. Las elecciones enigmáticas Se aproxima la fecha de unas elecciones largo tiempo esperadas. Durante varias semanas se han hecho numerosos sondeos de opinión. Estos muestran sistemáticamente que el partido gobernante pierde por tres o cuatro puntos porcentuales. Como es lógíco, existen fluctuaciones y desviaciones a un lado u otro de esta cifra -como es de esperar debido a que las cifras de los sondeos de opinión están basadas en muestras relativamente pequeñas de quizá unos cientos de votantes cada vez, mientras qiie la población total (de muchas decenas

¿Corisecuencias? 425 de millones) presenta considerables variaciones de opinión de un lugar a otro. De hecho, el margen de error de cada uno de estos sondeos de opinión puede llegar a ese mismo 3 o 4 por lOO, de modo que realmente no puede confiarse en ninguno de ellos. No obstante, la totalidad de la evidencia es bastante im-

presionante. Los sondeos tomados en conjunto tienen un margen de error mucho más pequeño, y el acuerdo entre ellos parece tener precisamente el tipo correcto de variación ligera que se podri'a anticipar sobre bases estadi'sticas. Los resultados promedio pueden ahora ser dignos de confianza con un error de menos del 2 por 100. Algunas personas podri'an argumentar que se advierte una ligera tendencia hacia el partido gobemante en las cifras de los sondeos realizados en las vi'speras del día real de las elecciones; y que ese mismo día una pequeña proporción de personas antes indec¡sas (o incluso realmente comprometidas) pueden decantarse finalmente para cambiar sus votos hacia el partido gobernante. Incluso asi', una desviación de las cifras del sondeo hacia el partido gobernante no seri'a suficiente a menos que su mayori'a resultante en los votos fuera quizá de aproximadamente un s por lOO sobre sus rivales más cercanos, puesto que sólo entonces conseguiri'an la mayori'a absoluta que necesitan para impedir una coalición entre sus adversarios. Pero los sondeos de opinión son simplemente conjeturas, ¿o no? Sólo el voto ve^tJac7e,o expresará la voz real del pueblo, y ésta será obtenida a partir de las cifras de votación real el di'a de las elecciones. Llega el di'a y se celebran las elecciones. Se cuentan los votos, y el resultado

es una completa sorpresa para casi todos -especialmente para las empresas de sondeos de opinión que han dedicado tantas energía y medios, por no mencionar sus reputaciones, a sus predicciones. El partido gobemante repite con una cómoda mayori'a, habiendo conseguido su objetivo de un s por lOO por encima de sus rivales más cercanos. Un gran número de votantes quedan anonadados -incluso horrorizados. Otros, aunque también completamente sorprendidos, están encantados. Sin embargo, el resultado es falso. El amaño de votos ha sido conseguido por medios muy sutiles que han pasado inadvertidos para todos. No ha habido urnas rellenadas con votos falsos; y ninguna ha sido extraviada, sustituida o duplicada. IJas personas encargadas del recuento han hecho su trabajo a conciencia, y en general de forma exacta. Pese a todo, el resultado es terriblemente falso. ¿Cómo se ha conseguido esto, y quién es el responsable? Quizá el gabinete entero del partido gobernante sea completamente ignorante de lo que ha sucedido. No tienen por qué ser los únicos directamente responsables, aunque sean los beneficiarios. Hay otras personas entre bastidores que habri'an temido por su propia existencia si hubiera salido derrotado el partido gobernante. Forman parte de una organización en la que confi-a más (por buenas razones) el partido gobernante que sus oponentes -una organización cuyas actividades estrictamente secretas han sido cuidadosamente preservadas e incluso ampliadas por el partido gobernante. Aunque la organización es legal, buena parte de su actividad real no lo es, y no se han privado de cometer actos ilegales de pirateri'a poli'tica. Quizá los miembros de la organización temen en realidad (aunque equivocadamente) que los adversarios del partido gobernante destruyan el país, o incluso «lo vendan» a los intereses de potencias

426 Las sombras de l

extranjeras. ¡Entre los miembros de la organización hay expertos -expertos de competencia extraordinaria- en la construcción de virus informáticos! Recordemos lo que un virus informático puede hacer. Los que resultan más familiares para la gente son aquellos que cierto di'a señalado pueden destruir todos los archivos de cualquier ordenador que haya sido infectado con el virus. Quizá el operador observa horrorizado cómo las letras de la pantalla caen desde sus posiciones hasta el fondo y luego desaparecen. Quizá aparece algún mensaje obsceno en la pantalla. En cualquier caso, todos los datos pueden haberse perdido irremediablemente. Además, cualquier disquete que haya sido introducido en la máquina y abierto quedará también infectado, y transmitirá esta infección a la siguiente máquina. En principio pueden utilizarse programas antivirus para destruir una infección semejante si es detectada, pero sólo si la naturaleza del virus es conocida de antemano. Una vez que el virus ha golpeado, nada puede hacerse. Tales virus son creados normalmente por piratas aficionados, a menudo pro-

gramadores contrariados que desean causar daños, a veces por razones comprensibles, a veces no. Pero los mi¬mbros de nuestra organización no son aficionados; son profesionales muy expertos y muy bien pagados. Quizá muchas de sus actividades son «genuinas» y totalmente en interés de su pai's; pero ellos actúan también, bajo la dirección de sus inmediatos superiores, de formas menos excusables moralmente. Sus virus no pueden ser detectados por los programas antivirus estándar, y están programados de antemano para golpear precisamente el di'a señalado -el di'a de las elecciones que es conocido, con seguridad,

por el li'der del partido gobernante y por aquellos de su confianza. Una vez que el trabajo está hecho -un trabajo mucho más sutil que la mera destrucción de datos- el virus se autodestruye sin dejar ningún rastro, salvo el mal ya hecho, que delate su existencia previa. Para que un virus semejante fuera efectivo en unas elecciones, es necesario

que hubiera alguna fase en el recuento de votos que no fuera verificada por seres humanos, bien a mano o bien mediante una calculadora de bolsillo. (Un virus sólo puede infectar un ordenador programable.) Quizá los contenidos de las urnas individuales están contados correctamente; pero los resultados de estos recuentos deben sumarse. ¡Cúanto más eficiente, preciso y rápido es hacer esta suma en un ordenador -sumando quizá lOO de estos números individuales- que hacerlo a mano o con calculadora de bolsillo! Seguramente no hay lugar para el error. En efecto, exactamente el mismo resultado se obtiene cualquiera que sea el ordenador utilizado para hacer la suma. IJos miembros del partido gobernante obtienen precisamente los mismos resultados del recuento que sus oponentes principales, o que cualquier otro partido interesado, o cualquier observador neutral. Quizá todos ellos utilizan modelos diferentes de sistemas informáticos pero esto no tiene consecuencias reales. Los expertos de nuestra organización conocen estos sistemas diferentes, y han diseñado un virus independiente para cada uno. Aunque la construcción de cada uno de estos diferentes virus tendrá ligeras diferenc¡as, de modo que cada uno sea especi'fico

para cada sistema independiente, sus resultados serán idénticos, y un acuerdo

¿Consecuencias? 427 entre una máquina y otra convence incluso a los más suspicaces de entre los escépticos. Aunque el acuerdo entre las máquinas es exacto, las cifras son invariablemente erróneas. Han sido astutamente mezcladas de acuerdo con alguna fórmula precisa, dependiendo en alguna medida de los votos realmente emitidos -de donde el acuerdo entre las diferentes máquinas y la vaga plausibilidad del

resultado- para dar al partido gobernante precisamente la mayoría que necesitaba; y aunque la credulidad puede ser un poco forzada, el resultado debe ser aceptado aparentemente. J?w,ec¬ que en el último minuto un número significativo de votantes sintió miedo y votó por el partido gobernante. En la situación hipotética que he descrito en esta historia, no sucedió asi'

y el resultado era falso. Aunque la inspiración para la historia surgió realmente de una elección británica reciente (l992), debo hacer énfasis en que el sistema oficial de recuento de votos que se adopta en Gran Bretaña #ope,m,-,c este tipo de fraude. Todas las fases del recuento se hacen a mano. Aunque pueda parecer

que ésm es un método anticuado e ineficaz, es importante mantenerlo -o al menos mantener algún sistema en el que existan claras protecciones contra la mera sospecha de fraudes de este tipo. De hecho, en el aspecto positivo, los ordenadores modernos ofrecen maravillosas oportunidades para el empleo de sistemas de votación en los que la opinión del electorado puede ser reflejada con mucha más limpieza de lo que lo es ahora. No es éste el momento para entrar en tales cuestiones, pero el punto esenc¡al es que es posible que cada votante transmita mucha más información que la emisión de un simple voto por un simple individuo. Con un sistema controlado por ordenador, esta información podría ser analizada instantáneamente, de modo que el resultado podri'a conocerse inriediatamente después de que se cierren las urnas. Sin embargo, como muestra la historia anterior, uno tendri'a que ser prudente en extremo con un sistema semejante a menos que existan comprobaciones completas y manifiestas que protejan convincentemente contra cualquier tipo de fraude de la naturaleza general del descrito arriba. No es sólo necesariamente en las elecciones donde uno debería ser prudente; el sabotaje de las cuentas de una compañía rival, por ejemplo, seri'a otra posibilidad en la que podri'a emplearse una técnica de «virus informático». Uno puede concebir muchas otras formas en las que insidiosos virus informáticos cuidadosamente creados podri'an ser utilizados con un uso devastador. Espero que mi historia haga patente la continua necesidad de que los seres humanos revisen la aparente, y en apariencia fiable, autoridad de los ordenadores. No se trata simplemente de que los ordenadores no comprenden nada, sino de que son extraordinariamente susceptibles de manipulación por aquellos pocos que comprenden las maneras detalladas en los que están programados.

8.6. ¿El fenómeno fi'sico de la consciencia? El propósito de la Segunda parte de este libro ha sido buscar, dentro de una explicación cienti'fica, algún lugar donde la experiencia subjetiva pudiera en-

428 Las sombras de la mente

contrar un ámbito físico. He mantenido que ? nuestra comprensión cienti'fica actual. En mi o das de que debemos buscar en el fenómeno de l

querirá una extensión de , no existen muchas ducción de estado cuántico

para ver dónde debe cambiarse fundamentalm la realidad fi's¡ca. Para que los fi~sicos sean capa ño a nuestra imagen fi'sica actual como lo es debemos esperar un cambio profundo -un cam ses de nuestro punto de vista filosófico respecto Tendré algunos comentarios que hacer sobre est de este libro. Por ahora, tratemos de plantear un sencillo: ¿en qué lugar del mundo conocido cab argumentos que he estado presentando en estas

uestra imagen actual de acomodar algo tan extraómeno de la consciencia, e altere las mismas baaturaleza de la realidad. reve -en la sección final tión de aspecto algo más erar, sobre la base de los s, que vaya a encontrar-

se la consciencia?

Debo dejar claro de entrada que los argumen tienen muy poco que decir sobre el lado positivo. res actuales no son conscientes, pero no tienen se espe^or,'a que un objeto sea consciente. Nuest rir, al menos por ahora, que es en las estructur mente vayamos a encontrar este fenómeno. En mos seres humanos, y parece ciertamente claro consciencia, es un fenómeno que debemos supo sente en asociación con cerebros humanos desp bién soñando).

e he estado presentando dicen que los ordenadoque dec¡r sobre cuándo erienc¡a tenderi'a a sugelógicas donde probableremo de la escala, teneualquier cosa que sea la e está normalmente pre(y probablemente tam-

¿Qué ocurre en el otro extremo de la escala es en los microtúbulos del citoesqueleto, más q mos buscar el lugar en donde los efectos cuánti encuentren con más probabilidad -y que sin ta contraremos un papel suficiente para la nueva fi nar el requisito previo no computacional para eng ciencia dentro de términos cienti'ficos. No obstante entre las células eucariotas -el tipo de células animales y también los animales unicelulares co no las bacterias. ¿Debemos esperar que haya algú sente en un paramecio? ¿Conoce un paramecio, labra, lo que está haciendo? ¿Qué pasa con las cél

stado defend¡endo que a neuronas, donde debelectivos (coherentes) se rencia cuántica no enO que debe proporcioel fenómeno de la constoesqueletos son ubicuos nstituyen las plantas y amecios y amebas, pero igio de consciencia prealquier sentido de la paumanas ,-nc7,-v,®dwa'/es,

ya sea en el cerebro o ya sea en el hígado? Yo no obligados a aceptar absurdos tan patentes cuan naturaleza fi'sica de la consciencia se haga adecu de responder tales preguntas. Pero existe una c con este problema, y es que se trata de una cz,e tiempo deberi'a poder responderse, por muy lejo ser capaces de responder. Se afirma a veces, sobre bases filosóficas gen

idea de si nos veremos stra comprensión de la ra que seamos capaces e yo s,' creo en relación # c,'e#,,J¡ca a la que con el podamos estar ahora de que quizá no exista nin-

uno mismo podri'a estar , y mucho menos si un

¿Consecuencias? 429 paramecio podri'a poseer cualquier vestigio de ello. En mi opinión, ésta es una postura demasiado ri'gida y pesimista para adoptar. Después de todo, uno nunca se interesa en cuestiones de c¬r,cza aóso/w,cz, al establecer la presencia de alguna cualidad fi'sica en un objeto. No veo razón para que no llegara una etapa en la que podamos responder cuestiones relativas a la posesión de conocimiento consciente con el m'ismo tipo de certeza que tienen los astrónomos cuando hacen afirmaciones sobre cuerpos celestes a muchos años-luz de distancia. No hace tanto tiempo que había personas que argumentaban que la composición material del Sol y las estrellas no se conoceri'a nunca, ni se conoceriían las características de la cara oculta de la Luna. Sin embargo, toda la superficie de la Luna está ahora bien cartografiada (desde el espacio) y la composición del Sol se entiende ahora con gran detalle (mediante observaciones de li'neas espectrales en la luz del Sol y la modelización completamente detallada de la fi'sica de su interior). La composición detallada de muchas estrellas distantes también se conoce, con buena aproximación. E incluso la composición global del universo entero en sus etapas iniciales es muy bien comprendida en bastantes aspectos (véase el final de §4.5). Pero en ausencia de las necesarias ideas ,eóricas, los juicios con respecto

a la posesión de consciencia siguen siendo, por el momento, materias básicamente de conjetura. Para expresar mis propias hipótesis sobre esta cuestión, tengo la firme creencia de que, en este planeta, la consciencia no está restringida a los seres humanos. En uno de los programas de televisión más profundamente conmovedores de David Attenborough3 había un episodio que nos im-

pulsaba a creer que los elefantes, por ejemplo, no sólo tienen fuertes sentimientos sino que estos sentimientos no están muy alejados de aquellos que inspiran la creencia religiosa en los seres humanos. La liJder de un rebaño -una hembra,

cuya hermana había muerto aproximadamente cinco años antes- condujo el rebaño en un largo rodeo al lugar de la muerte de su hermana, y cuando encontraron sus huesos, la li'der cogió su cráneo con gran ternura y los elefantes lo pasaron de uno a otro acariciándolo con sus trompas. El que los elefantes también poseen comprensión se muestra convincentemente, aunque de forma horrible, en otro programa de televisión.4 Peliículas tomadas desde un helicóptero, que participaba en lo que generosamente se calificaba de operación de «selección», demostraban claramente el terror de los elefantes, y su pleno conocimiento de la carniceri'a en su rebaño se reflejaba en sus horribles gritos estremecedoramente agónicos. Existe buena evidencia, también, de consciencia (y autoconsciencia) en monos, y yo mismo tengo pocas dudas de que el fenómeno de la consciencia sigue siendo una caracteri'stica de vida animal considerablemente «inferior». Por ejem-

plo, también en un programa de televisión5 -que trataba de la extraordinaria agilidad, determinación y recursos de (algunas) ardillas- quedé particulamente sorprendido por una secuencia en la que una ardilla comprendía que ¡irando del cable por el que estaba trepando podría liberar el recipiente de nueces suspendido a cierta distancia de ella. Es difi'cil ver cómo esta intuición podri'a haber sido instintiva o formado parte de la experiencia previa de la ardilla. Para

430 Las sombras de la mente apreciar esta consecuencia positiva de su acción alguna comprensión rudimentaria de la ,opo/og,J Creo que éste era un acto de ,-mag,'nc,c,-oJ# gen

ardilla debe haber tenido olucrada (comparar §l.l9). por parte de la ardilla -algo

que seguramente requiere consciencia. Parece que hay pocas dudas de que la consci de grado, y no simplemente una cuestión de «es mi propia experiencia, siento en diversas ocasion do mayor o menor (tal como, en un estado de en menos que en un estado totalmente desp¡erto).

a pueda ser una cuestión o «no estar». Incluso en e está presente en un gración, parece haber mucha

¿Hasta dónde, entonces, tenemos que desce pac¡o para opiniones diferentes. En cuanto a miJ, para creer que los insectos tienen mucho o simpl después de observar otro film documental, donde dose a otro, aparentemente ajeno al hecho de qu mido por un tercero. De todas formas, como s de comportamiento de una hormiga es enormem mos que creer que sus sistemas de control maravi asistidos por el mismo principio, cualquiera que

Existe un ampli'simo espre he tenido dificultades te algo de esta cualidad ei'a a un insecto comiénmismo estaba siendo concionó en §l.l5, la pauta ompleja y sutil. ¿Tenemente efectivos no están que nos da nuestras pro-

pias cualidades de comprensión? Sus células ne sus propios citoesqueletos, y si estos citoesquelet son capaces de mantener los estados cuánticos c riendo que son, de rai'z, necesarios para nuestra

les controladoras tienen ntienen microtúbulos que entes que yo estoy sugiia consciencia, entonces

¿no podri'an ellos ser también benefic¡arios de est crotúbulos de nuestros cerebros poseen la enorm el mantenimiento de actividad colectiva cuántica difi'cil ver cómo pudo haber desarrollado la sel solamente para nosotros y (algunos de) nuestros estados cuánticamente coherentes deben haber si ras para los primitivos animales unicelulares eucar bable que el valor para ellos haya sido muy difere Por supuesto, la coherencia cuántica a gran ma, consciencia -ide otro modo, los superconduct a todo es bastante posible que tal coherencia pudi cesita para la consciencia. En nuestros propios ce

uiva cualidad? Si los miplejidad necesaria para e coherente, entonces es n natural esta capac¡dad s multicelulares. Estos mbién valiosas estructu, aunque es bastante proel que es para nosotros. a no implica, por sí misseri'an conscientes.' Pese

ganización, y puesto que la consciencia parece se bc,/ de nuestro pensamiento, parece que debemos b en una escala mucho mayor que el nivel de los si los simples citoesqueletos. Debe haber enmaraña vos entre los estados en los citoesqueletos separad nas diferentes, de modo que grandes áreas del ce algún tipo de estado cuántico colectivo. Pero se re Para que pueda estar implicado algún tipo de acc

yo estoy reconociendo que es una parte esencial d sario que el sistema pueda hacer un uso especi'fic

er par,e de lo que se nes existe una enorme orcaracteri'stica muy g/or algún tipo de coherencia microtúbulos o incluso os cuánticos significatigran número de neuroestari'an implicadas en ri'a mucho más que eso. o c'ompw,c,ó/e útil -que onsciencia- seri'a necelos aspectos de RO geesta particular que he es-

¿Consecuencias? 431

tado defendiendo en §6.l2 nos da al menos alguna idea de las escc,/cü involucradas, en las que una acción RO precisa, matemática y no computable podri'a empezar a tener importancia. Asi' pues, sobre la base de las consideraciones que he estado presentando en este libro, uno podría anticipar alguna manera de, al menos, conjeíwra'r un n¡vel en el que pudiera empezar a estar presente el conocimiento consciente. Procesos que puedan ser descritos adecuadamente de acuerdo con fi'sica computable (o aleatoria) no implicarían consciencia según mi punto de vista. Por otra parte, incluso la intervención esencial de una acción RO precisa no.corpputable, no ,Omp/,|c¢r,Ja necesariamente por si' misma la presencia de consciencia -aunque, en mi opinión, sería un pnemegwri,',o para la consciencia. Ciertamente.

éste no es un criterio muy definido, pero es lo mejor que puedo ofrecer por el momento. Veamos hasta dónde podemos llegar con él. Trataré de desarrollar la imagen que surge, basada en las sugerencias de §6.l2 sobre dónde debe situarse la frontera cuántico/clásico -y también en las especulaciones biológicas de §7.5-§7.7, según las cuales deberi'amos encontrar que esta frontera tiene relevancia en la interfase intema/externa del sistema de microtúbulos en una célula, o sistema de células. Una idea adicional esencial es que si la reducción del vector de estado ocurre meramente porque demasiado entorno se enmaraña con el sistema bajo consideración, el RO tiene lugar efectivamentc como un proceso ar/ea',o,,'o para el que los argumentos estándar PTPP

(esbozados en §6.6) son adecuados, y RO se comporta precisamente como R. Lo que se necesita es que esta reducción tenga lugar precisamente en el punto en que entran en juego los cJe,¢//e5 no computacionales (desconocidos) qe nuestra

presunta teoría RO. Aunque no se conocen los detalles de esta historia, al m:nos podemos obtener en principio alguna idea del nivel en el que dicha teoria deberi'a empezar a hacerse relevante. Así pues, para que estos aspectos no com-

putables de RO desempeñen un papel importante, seri'a necesario que se mantenga algún tipo de coherencia cuántica hasta que el acoplamiento produzca el movimiento preciso de material de modo que RO actúe a#,¬s de que el entorno aleatorio quede significativamente involucrado. La imagen que estoy proponiendo para los microtúbulos es que existen «oscilaciones cuánticas coherentes» que tienen lugar cJen,ro de los tubos, y éstas están débilmente acopladas con la actividad «computacional de tipo autómatacelular» que tiene lugar en los cambios conformacionales de los di'meros de tubulina efi los tubos. Mientras las oscilaciones cuánticas permanezcan aisladas, el nivel seri'a demasiado bajo para que tenga lugar RO. Sin embargo, el acoplamiento entrañari'a que las tubulinas también se implican en el estado, y RO se efectuaría en un cierto instante. Lo que necesitamos es que RO entre a#,es de que el entorno de los microtúbulos se enmarañe con el estado, porque tan pronto como eso sucede se pierden los aspectos no computables de RO, y la acción es simplemente el proceso R aleatorio. Asi' pues, podemos preguntar si en una célula simple (tal como un paramecio, digamos, o una célula de un hi'gado humano) la cantidad de actividad conformacional en la tubulina puede implicar un movimiento de masa suficiente

432 Las sombras de la mente

para satisfacer el criterio de §6.l2, de modo que momento -como se requiere-o insuficiente,\y-la se perturbe el entorno -y el juego (no computa pareceri'a haber demasiado poco movimiento d macional de la tubulina, y el juego pareceri'a real con grandes colecciones de células, la situación

ntra efectivamente en este n RO se retrasa hasta que ) se pierde. Frente a esto,

Quizá esta imagen, tal como está en este vista en el que el requisito previo no computa

to, favorece un punto de para la consciencia sólo

a en la actividad conforperdido en este nivel. Pero mucho más prometedora.

puede tener lugar con grandes colecciones de cerebro de tamaño razonable.6 Obviamente uno fase, al llegar a cualquier conclusión tajante d como el lado biológico de la imagen están form

, como en el caso de un i'a ser muy cauto, en esta tipo. Tanto el lado fi'sico s demasiado crudamente

para sacar cualquier conclusión clara sobre las i que estoy presentando. Es eviden[e que incluso que he estado defendiendo, será necesario una adicional tanto en el lado fi'sico como en el bioló se una conjetura claramente razonada sobre el consciencia. Existen también algunas otras cuestiones que

ciones del punto de vista s propuestas especi'ficas antidad de investigación ntes de que pueda haceren que podri'a entrar la

an considerarse. ¿Cuánta

parte del cerebro, podemos preguntar, está real consciente? Es muy probable que #o todo el cer cho, gran parte de la acción cerebral parece

involucrada en un estado sté involucrado. De heconsciente. El cerebelo

(cf. §l.l4), muy sorprendentemente, parece actua ciente. Gobierna el control delicado y preciso de mentos en que m estamos realizando conscientem

rma enteramente J-#consras acciones -en los moichas acciones (cf. NME,

pp. 379-38l [pp. 470-472], por ejemplo). De hec cuentemente como «sólo un ordenador» debido consc¡ente. Seguramente seri'a instructivo saber dri'a haber en la organización celular o cit contraposición a la del cerebro, puesto que es

cerebelo es calificado frectividad enteramente iniferencias esenciales polética del cerebelo, en última estructura con la

que la conscienc¡a parece tener una relación mu resante que, simplemente sobre la base de recu cha diferencia entre los dos, habiendo quizá ju cerebro que en el cerebelo y generalmente muc entre células individuales en el cerebelo (cf. §l acción, por lo tanto, algo más sutil que el me

s estrecha. Resulta intee neuronas, no haya mudoble de neuronas en el s conexiones sinápt¡cas gura l.6). Debe haber en uento de neuronas.*

*

Como ajeno a la disciplina de la neuroanatomi'a, no

hecho de que existe una singularidad (¿inexplicada?) en la org partida por cl cerebelo. La mayori'a de los nervios sensorio el lado izquierdo del cerebro está relacionado principalmen v,'ccve,sc,. No sólo esto, sino que la parte del cerebro rel detrás, mientras que los ojos están en la parte frontal; que l arriba, m¡entras qiie los propios pies están abajo; que la part metralmente opucsía a la oreja en cuestión. Esto no es total cerebro, pero no puedo dejar de pensar que no es un acciden

dejar de sorprenderme por el n cerebral que no parece comtores se criizan, de modo que el lado derecho del cuerpo, y a con la yis¡ón está justamente relacionada con los pies está onada con cada oreja está diana caracteri'stica universal del efecto, e' cerebelo no está orgaido de algún modo de que las

¿Consecuencias? 433

Quizá, también, habri'a algo instructivo que ganar de un estudio del modo en que el control cerebelar inconsciente es «aprendido» a partir de un control cerebral consciente. Muy bien podri'a haber una fuerte similaridad, en el caso de los procedimientos de aprendizaje del cerebelo, con el modo en que son adiestradas las redes neurales artificiales, de acuerdo con la filosofi'a conexionista. Pero incluso si así fuera, e incluso si ,omb,®e~# es verdad que algunas acciones en el cer¬bno pueden comprenderse (parcialmente) de este modo -como está impli'cito en el enfoque conexionista para entender el cortex visual-7 no hay razón para esperar que lo mismo tenga que ser cierto de aquellos aspectos de la acción cerebral que están implicados en la consciencia. De hecho, como he argumentado ferv¡entemente en la Primera parte de este libro, debe haber algo muy diferente del conexionismo que está interesado en aquellas funciones cognitivas superiores donde la propia consciencia entra en juego.

8.7. Tres mundos y tres misterios Trataré de resumir los temas de este libro. La cuestión central que he estado intentando abordar a lo largo de estas páginas es cómo puede relacionarse el fenómeno de la consciencia con nuestra visión científica del mundo. Por su-

puesto, no he tenido mucho que decir sobre la cuestión de la consciencia en general. En lugar de ello me he concentrado, en la Primera parte, sólo en una cualidad mental particular: la compr¬m,-oÍ# co#sc,®e#,c, especialmente la com-

prensión matemática. Sólo respecto a esta cualidad mental he sido capaz de hacer la necesaria afirmación fuerte: que es esencialmente ,-mpos,-Í,/e que um cualidad semejante pueda haber surgido como una caracteri'stica de la mera actividad computacional, ni puede ser siquiera simulada adecuadamente por la computación -y recalcaré que no hay aqui' ninguna sugerencia de que exista algo especial en la comprensión ma,emf,-,,'c¢ frente a cualquier otro tipo de comprensión. La conclusión es que cualquiera que sea la actividad cerebral responsable de la consciencia (al menos en esta manifestación particular) debe depender de una fi'sica que está más allá de la simulación computacional. La Segunda

parte representa un intento para encontrar el lugar, dentro del marco de la ciencia, para una acción fi'sica relevante que pudiera llevarnos más allá de los li'mites de la mera computación. Para englobar las cuestiones profundas a las que nos enfrentamos, expresaré las cosas en términos de tres mundos diferentes, y los tres misterios profundos que relacionan cada uno de estos mundos con cada uno de los otros. Los mundos tienen alguna relación con los de Popper (cf. Popper y Eccles, 1977), pero mi énfasis será muy diferente. El mundo que conocemos más directamente es el mwndo dc #wes,nfi,s percepc,'ones comsc,'e#/cs, pero también es el mundo del que menos conocemos en términos científicos precisos. Ese mundo contiene la felicidad y el dolor y la

percepción de los colores. Contiene nuestros primeros recuerdos de la infancia y nuestro miedo a la muerte. Contiene el amor, la comprensión y el conocimiento de hechos diversos, asi' como la venganza y la ignorancia. Es un mundo

434 I+as sombras de la mente

que contiene imágenes mentales de sillas y mes y sensaciones de todo tipo se mezclan con nues_t para actuar.

donde aromas y sonidos eas y nuestras decisiones

Existen otros dos mundos de los que tambié directamente que el mundo de nuestras percepc bemos bastante. Uno de estos mundos es el que

os conocedores -menos - pero del que ahora samos mw#do/,3,'co. Con-

tiene sillas y mesas reales, televisores y automó humanos y las acciones de neuronas. En este m las estrellas. También están las nubes, los hurac mariposas; y en un nivel más profundo hay mol fotones, y el espacio-tiempo. También contiene c bulina y superconductores. No está claro en absol tras percepciones debería tener algo que ver con temente lo tiene. Existe también otro mundo, aunque muchos ta,r su eriister\c-ia reaLl'. es e\ mundo platónico de encontramos los números naturales O, l, 2, 3, complejos. Encontramos el teorema de Lagrang natural es la suma de cuatro cuadrados. Encontr de la geometri'a euclidiana (acerca de los cuadrad

seres humanos, cerebros están el Sol, la Luna y las rocas, las flores y las s y átomos, electrones y ueletos y di'meros de tur qué el mundo de nuesndo fi'sico, pero aparen-

ntran dificultad en acepormas matemáticas. A\+li, el álgebra de los números

lo rectángulo). Está el enunciado de que, para c rales, a x b = b x c,. En este mismo mundo p de que este último resultado ya no es válido par meros» (como sucede con el producto de Grass Este mismo mundo platónico contiene geometri' en las que el teorema de Pitágoras ya no es válido

ún el cual todo número el teorema de Pitágoras los lados de un triánguier par de números natuico está también el hecho nos otros tipos de «númencionado en §5.l5). erentes de la euclidiana, ntiene números infinitos

y números no computables y ordinales recursivos ciones de máquinas de Turing que nunca llegan a oráculo. Existen muchas clases de problemas m cionalmente insolubles, tales como el problema nos. También en este mundo están las ecuaciones asi' como las ecuaciones gravitatorias de Einstein e teóricos que las satisfacen -ya sean fi'sicamente r ciones matemáticas de mesas y sillas, tal como s tual», y también simulaciones de agujeros negr

recurs¡vos. Existen acerse asi' como máquinas ticos que son computateselación por poliomimagnéticas de Maxwell erables espacio-tiempos as o no. Existen simulazari'an en «realidad virde huracanes.

¿Qué derecho tenemos a decir que el mundo pl do», que puede «existir» en el mismo sentido e mundos? Puede parecer al lector que es sólo un abstractos a los que los matemáticos llegan de ve cia descansa en la naturaleza profunda, intempo ceptos, y en el hecho de que sus leyes son indepe

o es realmente un «mune existen los otros dos de sastre de conceptos uando. Pero su existenuniversal de estos contes de quienes las descue nuestra creación. Los seres humanos, o cual-

bren. El cajón de sastre -si realmente es eso-no números naturales estaban alli' antes de que exist

na vez que toda la vida o natural es la suma de

¿Consecuencias? 435

cuatro cuadrados, y no haci'a falta esperar a Lagrange para conjurar este hecho a la existencia. Los números naturales que son tan grandes que están más allá del alcance de cualquier ordenador concebible siguen siendo sumas de cuatro cuadrados, incluso si quizá no haya ninguna probabilidad de descubrir alguna vez cuáles puedan ser estos cuadrados particulares. Siempre seguirá dándose el caso de que no hay un procedimiento computacional general para decidir si una acción de máquina de Turing se detiene alguna vez, y siempre se dio el caso mucho antes de que Turing llegase a su noción de computabilidad. De todas formas, muchos podrían seguir defendiendo que la naturaleza absoluta de la verdad matemática no es argumento para atribuir una «existencia» a los conceptos matemáticos y las verdades matemáticas. (A veces he oído decir que el platonismo matemático está «pasado de moda». ¡Es cierto que Platón murió hace aproximadamente 2340 años, pero esto difi'cilmente es una razón! Una objeción más seria es la dificultad que tienen a veces los filósofos con un mundo enteramente abstracto que tenga una influencia sobre el mundo fi'sico. Esta cuestión profunda es parte realmente de uno de los misterios que vamos a abordar en un momento.) De hecho, la realidad de los conceptos matemáticos es una idea mucho más natural para los matemáticos que para aquellos que no han tenido la fortuna de pasar el tiempo explorando las maravillas

y misterios de este mundo. Sin embargo, por el momento no será necesario que el lector acepte que los conceptos matemáticos forman verdaderamente un «mundo» con una realidad comparable a la del mundo fi'sico y el mundo mental. La forma de ver los conceptos matemáticos que uno escoge realmente no será demasiado importante para nosotros por ahora. Tomemos «el mundo platónico de formas matemáticas» simplemente como una figura de dicción, si ustedes quieren, pero será una frase út¡l para nuestras descripciones. Cuando lleguemos a considerar los tres misterios que relacionan estos tres «mundos» quizá empecemos a ver algo de la importancia de esta fraseología. ¿Cuáles son entonces los misterios? Están ilustrados en la figura 8.l. Está el misterio de por qué leyes tan precisas y profundamente matemáticas desem-

peñan una función tan importante en el comportamiento del mundo fi'sico. De alguna forma el propio mundo de la realidad fi'sica parece emerger casi misteriosamente del mundo platónico de las matemáticas. Esto está representado por la flecha que apunta hacia abajo en el lado derecho, desde el mundo platónico al mundo físico. Luego está el segundo misterio de cómo es posible que seres con capacidad de percepción puedan surgir a partir del mundo fi'sico. ¿Cómo es posible que objetos materiales sutilmente organizados puedan conjurar misteriosamente entidades mentales a partir de su sustancia material? Esto está representado en la figura 8.l por la flecha que apunta, en la parte inferior, desde el mundo fi'sico al mundo mental. Finalmente, está el misterio de cómo es posible que la mentalidad sea aparentemente capaz de «crear» conceptos matemáticos a partir de algún tipo de modelo mental. Estas herramientas mentales aparentemente vagas, poco fiables y a menudo inapropiadas, con las que nuestro mundo mental parece estar equipado, resultan de todas formas misteriosamente capaces (al menos cuando están en su punto más alto) de conjurar for-

436 IAs sombras de la mente

=E Ja) Cl oo=o fi'sjco

8.l.

De alguna forma, cada uno de los tres mundos,

y el mental, parecen «emerger» m¡steríosamente a p mente relacionado con- una pequeña parte de su pre

temático-platónico, el fi'sico

e -o al menos estar i'ntimaor (cons¡derando los mun-

dos ci'clicamente).

mas matemáticas abstractas, y capacitar así a n diante el entendimiento, en el reino matemático

s mentes para entrar, menico. Esto está indicado

por la flecha que apunta hacia arriba en el lado iz al mundo platónico. El propio Platón se interesó mucho en la pri bién, a su propio modo, en la tercera), y tuvo forma matemática perfecta y su «sombra» imper un triángulo matemático (o uno euclidiano, co con cuidado) tendri'a sus ángulos que suman ex mientras un triángulo fi'sico hecho de madera, sión posible, podri'a tener ángulos cuya suma fu requerida pero no perfectamente exacta. Platón de parábola. Imaginó algunos ciudadanos encer nados de modo que no podi'an ver las formas pe das y que proyectaban sombras, a la luz de un fu na que estaba frente a ellos. Todo lo que podri'a sombras imperfectas de dichas formas, algo dist fuego. Estas formas perfectas representaban las f bras, el mundo de la «realidad fi'sica». Desde la época de Platón, el papel subyacent tructura percibida y en el comportamiento real aumentado enormemente. El eminente fi'sico Eug mosa conferencia, en l960, con el tiítulo «La irra temáticas en las ciencias físicas». En ella, expres cisión y sutil aplicabilidad de las matemática encontraban continuamente y cada vez con más nes de la realidad.

o, desde el mundo mental de estas flechas (y tamado en distinguir entre la en el mundo fi'sico. Asi', deberíamos especificar ente dos ángulos rectos, os, con la máxima preciuy próxima a la cantidad bió tales ideas en forma en una caverna, encades que habi'a a sus espalobre la pared de la caverdirectamente seri'an las nadas por el temblor del matemáticas, y las somas matemát¡cas en la esuestro mundo físico ha igner pronunció una fale efectividad de las made la sorprendente prezadas que los fiísicos encia en sus descripcio-

¿Consecuencias? 437

Para mi', el ejemplo más impresionante de todos es la relatividad general de Einstein. No es raro escuchar manifestaciones del punto de vista que afirma que los fi'sicos sólo están advirtiendo pautas, ocasionalmente, en las que los conceptos matemáticos pueden aplicarse bastante bien al comportamiento físico. En consecuencia, se podri-a afirmar que los fi'sicos tienden a sesgar sus intereses hacia aquellas áreas donde sus descripciones matemáticas funcionan bien, de modo que no hay misterio real en el hecho de que se encuentre que las matemáticas funcionen en las descripciones que utilizan los fi'sicos. Me parece, no obstante, que tal punto de vista está extraordinariamente equivocado. Sencillamente no proporciona una explicación de la profunda unidad sub-

yacente que la teori'a de Einstein, en particular, muestra que existe entre las matemáticas y la marcha del mundo. Cuando se propuso por primera vez la teon'a de Einstein, no era realmente necesaria sobre bases observacionales. La teori'a gravitatoria de Newton habi'a permanecido durante 250 años, y habi'a alcanzado una precisión extraordinaria, de algo asi' como una parte en diez millones

(ya una justificación bastante impresionante para considerarla seriamente un profundo cimiento matemático para la realidad fi'sica). Se habi'a observado una anomali'a en el movimiento de Mercurio, pero esto no era ciertamente motivo

para abandonar el esquema de Newton. No obstante, Einstein percibió, a partir de bases físicas profundas, que uno podri'a mejorarlo si cambiaba el propio marco de la teori'a gravitatoria. En los años inmediatamente posteriores a la propuesta de la teori'a de Einstein, hubo sólo unos pocos efectos que la apoyaran, y el incremento en precisión sobre el esquema de Newton era irrelevante. Sin embargo, ahora, casi 80 años después de que se propusiera por primera vez la teori'a, su precisión global ha aumentado hasta algo del orden de diez millones de veces mayor. Einstein no estaba simplemente «advirtiendo pautas» en el comportamiento de los objetos fi'sicos. Estaba desvelando una subestructura matemática profunda que estaba )m oculta en la propia marcha del mundo. Además, él no sólo estaba buscando cualquier fenómeno fi'sico que pudiera pro-

porcionar una teori'a mejor. Él descubrió esta relación matemática precisa en la propia estructura del espacio y el tiempo -la más fundamental de las nociones físicas.

En nuestras otras teorías satisfactorias de los procesos físicos básicos, siempre ha habido una estructura matemática subyacente que no sólo se ha mostrado extraordinariamente precisa, sino también matemáticamente avanzada. (Y para que el lector no piense que el «arrojar por la borda» las primitivas ideas de la fi'sica, tal como la teoriía de Newton, invalida la adecuación de aquellas ideas anteriores, deberi'a dejar claro que m cs c,s,~. Las viejas ideas, cuando son suficientemente buenas, tales como las de Galileo y las de Newton, siguen sobreviendo y tienen su lugar dentro del nuevo esquema.) Además, las propias matemáticas obtienen mucha inspiración de inputs sutiles e inesperados procedentes del cornportamiento detallado de la Naturaleza. IJa teon'a cuántica -cuya estrecha relación con las matemáticas sutiles (por ejemplo, los números complejos) es, espero, patente siquiera a partir del vistazo al tema que hemos ofrecido en estas páginas- asi' como la relatividad general y las ecuaciones electro-

438 IJas sombras de la mente

magnéticas de Maxwell, han proporcionado u

mulo enorme para el pro-

greso de las matemáticas. Pero esto es cierto no recientes como éstas. Fue al menos tan cierto pa la mecánica newtoniana (que dio lugar al cálculo i de la estructura del espacio (que nos dio la no extraordinaria precisión de las matemáticas dén

ara teorías relativamente ideas más antiguas como simal) y el análisis griego misma de geometriJa). La l comportamiento fi'sico

(tal como la precisión en la undécima o duodéc cuántica) ha sido resaltada a menudo. Pero hay Existe una muy notable profundidad, sutileza conceptos que yacen latentes dentro de los proce familiar a la gente -a menos que estén directa máticas en cuestión. Deberi'a quedar claro que esta fertilidad m esti'mulo val¡oso para las actividades reales de l cuestión de moda matemática (aunque la mod bién un papel). Ideas que fueron desarrolladas fundizar en nuestra comprensión de la marcha cionado frecuentemente intuiciones profundas e i matemáticos queJ'a habi'an sido objeto de consid

fra de la electrodinámica o más misterio que esto. ,-/,-da'd mc,,cmfz-,,'cf, en los 'sicos. Esto no es algo tan interesados en las mate-

pletamente independientes. Uno de los ejempl de esto fue el uso que de las teorías de tipo Yan rrolladas por los fi'sicos en sus explicaciones m entre parti'culas subatómicas) hizo Simon Don

entes más sorprendentes s (que habi'an sido desaticas de las interacciones , de Oxford, para obtener

propiedades totalmente inesperadas de vari propiedades que habi'an escapado a la comprensi más, tales propiedades matemáticas, aunque a to por seres humanos antes de que saliesen a la estado siempre dentro del mundo platónico, co rando a ser descubiertas- de acuerdo con las habil se esforzaban por descubrirlas. Espero haber convencido al lector de la relaci profundamente misteriosa- entre el mundo mat de los objetos fi'sicos. Espero, asimismo, que la dinaria relación ayudará a los escépticos platón un «mundo» de una forma algo más seria de lo a hacerlo previamente. De hecho, algunos podr he estado dispuesto a llegar en esta exposición. realidad platónica a otros conceptos abstractos, El propio Platón había insistido en que también al concepto ideal de «lo bueno» o «lo bello» (cf. con los conceptos matemáticos. Personalmente, mejante, pero no ha tenido una significación impo tiones de ética, moralidad y estética no han te mis exposiciones presentes, pero ésta no es razó

tetradimensiona]es8 rante muchos años. Adeo no previstas en absoluas ideas apropiadas, han rdades inmutables espes e intuiciones de quienes

tica, que proporciona un temáticos, no es sólo una eja de desempeñar taml único propósito de proundo fi'sico han proporadas acerca de problemas interés por razones com-

trecha y genuina -aunque co platónico y el mundo presencia de esta extraortomar ese mundo como abían estado dispuestos más lejos de lo que yo á debería atribuirse una sólo a los matemáticos. a atribuirse una realidad ), igual que debe hacerse sdeño una posibilidad seen mis reflexiones. Cuesna función relevante en a desecharlas como si no bordando. Evidentemen-

¿Corisecuencias? 439

te son cuest¡ones importantes independientes para considerar aqui', pero no han constitu¡do mi interés particular en este libro.9 Tampoco me he interesado mwcflo en este libro en el misterio concreto (primera flecha, hacia abajo a la derecha en la figura 8.l) del enigmático y preciso papel subyacente que tiene el mundo matemático platónico en el mundo fi's¡co -sino en los otros dos, que son incluso peor comprendidos. En la Primera parte,

he estado abordando cuestiones planteadas principalmente por ]a tercera flecha: el misterio de nuestras propias percepciones de la verdad matemática; esto es, el modo aparente en que, a través de la contemplación matemática, parecemos ser capaces de «conjurar» aquellas mismas formas matemáticas platónicas. Es como si las formas perfectas pudieran ser meramente sombras de nuestras ideas imperfectas. Ver el mundo platónico de este modo -sólo como un

producto de nuestra propia mentalidad- estari'a en abierta oposición con las propias concepciones platónicas. Para Platón, el mundo de las formas perfectas es primario, siendo intemporal e independ¡ente de nosotros. En la visión platónica, mi tercera flecha en la figura 8.l debería quizá considerarse apuntando hacia abajo en lugar de hacia arriba: desde el mundo de las formas perfectas al mundo de nuestra mentalidad. Pensar en el mundo matemático como un producto de nuestros modos de pensamiento seri'a adoptar la visión kt7H,,'ana en lugar de la platónica que estoy defendiendo aqui'. Análogamente, algunos podrían argumentar a favor de una inversión de las direcciones de algunas de mis otras flechas. Quizá el obispo Berkeley hubiera

preferido que mi scgw#da' flecha apuntara desde el mundo mental al mundo físico, siendo la «realidad fi'sica», en esta opinión, una mera sombra de nuestra existencia mental. Hay algunos otros (los «nom¡nalistas») que argumentarían a favor de una inversión de mipr,'mcna flecha, siendo el mundo de las matemáticas un mero reflejo de aspectos del mundo de la realidad fi'sica. Mis simpatías personales, com_o deberi'a quedar evidente por este libro, estarían fuertemente en contra de una inversión de estas dos primeras flechas, ¡aunque podía ser igualmente evidente que me siento algo incómodo al dirigir la ,ercer¢ flecha en la orientación aparentemente «kantiana» que se muestra en la figura 8.1! Para ml', el mundo de las formas perfectas es primario (como lo era en la propia creencia de Platón) -siendo su existencia casi una necesidad lógica-y los otros dos mundos son sus sombras. Debido a puntos de vista tan diferentes sobre cuál de los mundos de la figura 8.l podri'a considerarse como primario y cuáles como secundarios, yo recomendaría considerar las flechas a una luz diferente. El punto esencial sobre las flechas en la figura 8.l no es tanto su dirección sino el hecho de que en cada caso representan una correspondencia en la que unapcqw¬fia' región de un mundo engloba íodo el mundo siguiente. Con respecto a mi primera flecha, se me ha comentado a menudo que la mayor parte del mundo de las matemáticas ¢uzgado en términos de la actividad de los matemáticos) parece tener poca relación, si tiene alguna, con el comportamiento fisico real. Asi' pues, es sólo una minúscula parte del mundo platónico la que pueda subyacer en la estructura de nuestro universo fl'sico. Análogamente, la segunda de mis flechas expresa

440 IJas sombras de la rneníe

el hecho de que nuestra existencia mental em del mundo fi'sico -una porción en la que las en la forma muy precisa necesaria para que a los cerebros humanos. De la misma forma, una minúscula parte de nuestra actividad me teresada en cuestiones absolutas e intempora verdad matemática. ¡En su mayor parte, nue sadas en otras materias! Hay un aspecto aparentemente paradójico

lo de una mi'nima porción iciones están organizadas ca la consciencia, como en era flecha se refiere sólo a saber, aquella que está inmás concretamente en la idas mentales están intere-

que cada mundo parece «emerger» sólo de una cede. He dibujado la figura 8.l para que res al considerar las flechas como una mera expr denc¡as, más que una afirmación de cualqu¡er do de no juzgar de antemano la cuestión de debe considerarse como primario, secundari Pero, incluso asi', la figura 8.l refleja otro

íscw/a parte del que le preta paradoja. Sin embargo, e las diversas corresponrgencia» real, estoy tratane los mundos, si los hay, rciario. to de mis opiniones o pre-

juicios. He mostrado las cosas como si se s es!á de hecho reflejado dentro de una parte (p mis prejuicios sean equivocados. Quizá exist del mundo fi'sico que m pwccJc# describirse en

ra que cada mundo entero ) de su predecesor. Quizá ectos del comportamiento nos matemáticos precisos;

quizá hay una vida mental que no cstá enraiza como cerebros); quizá existen verdades mate c,Z,,®o, ,'m'cce§,®b/es a la razón y la intuición de estas posibilidades alternativas, la figura 8.l te de modo que permitiera que alguno o todos e allá del ámbito de su flecha precedente. En la Primera parte, me he interesado muc nes del famoso teorema de incompleción de G haber sido de la opinión de que dicho teorema

estructuras fi'sicas (tales que permanecen, cn pr,-#nas. Para englobar cualquiera que ser dibuJ-ada de nuevo, undos se extendiera más

algunas de las implicacioAlgunos lectores podri'an ice realmente que existen

partes del niundo de las verdades matemáticas tán más allá de la comprensión e intuición hum tos hayan dejado claro que m es éste el caso.l cas concretas que proporciona el ingenioso argu humanamente accesibles -s¡empre que estén c matemáticos (formales) que hayan sido ya ace asegurar la verdad matemática. El argumento a favor de que haya verdades matemáticas ina el contrario, es que las intu¡ciones humanas es mal y más allá de los procedimientos computa rosamente a favor de la misma existencia del m verdad matemática no está determinada arbitrar sistema formal de «factura humana», sino qu

nicas que en principio esEspero que mis argumenproposiciones matemátide GÓdel son intuiciones idas a partir de sistemas como medios válidos de ódel no es un argumento les. IJo que s,Jafirma, por ás allá del argumento fordemás, argumenta podematemático platónico. La te por las reglas de algún una naturaleza absoluta,

y está más allá de cualquier sistema semejante yo para el punto de vista platónico (en oposici

as especificables. El apounto de vista formalis[a) de GÓdel. Por el contra-

as correspondencias, en las

¿Consecuencias? 44l rio, Ios argumentos del teorema de GÓdel sirven para ilustrar la naturaleza profundamente misteriosa de nuestras percepciones matemáticas. No «calculamos» simplemente, para formar estas percepciones, sino que hay algo más profundamente implicado -algo que sería ¡mposible sin el propio conocimiento consciente que es, después de todo, de lo que trata el mundo de las percepciones. La Segunda parte se ha interesado principalmente en cuestiones que tienen

que ver con la segunda flecha (aunque éstas no pueden ser abordadas adecuadamente sin alguna referencia a la primera) -mediante la cual el mundo fi'sico concreto puede conjurar de algún modo el fenómeno cm sombnas al que nos referimos como consciencia. ¿Cómo es posible que la consciencia pueda aparecer a partir de ingredientes tan aparentemente poco prometedores como la materia, el espacio y el tiempo? No hemos llegado a una respuesta, pero espero que al menos el lector pueda ser capaz de apreciar que la prop,-a materia es misteriosa, como lo es el espacio-tiempo dentro de cuyo marco operan ahora las teori'as fi'sicas. Simplemente no conocemos la naturaleza de la materia y las leyes que la gobiernan, en la medida que necesitari'amos para comprender qué tipo de organización es, en el mundo fi'sico, la que da lugar a los seres conscientes. Además, cuanto más profundamente examinamos la naturaleza de la materia, más esquiva, misteriosa y matemática parece ser la propia materia. Podri'amos preguntar.' ¿qué c§ la mater¡a, según las mejores teorías que la ciericia ha sido capaz de proporcionar? La respuesta vuelve en la foma de matemáticas, no tanto como un sistema de ecuaciones (aunque las ecuaciones también son importantes) sino como conceptos matemáticos sutiles que lleva mucho tiempo el captar apropiadamente. Si la relatividad general de Einstein ha mostrado cómo han tenido que cambiar nuestras propias nociones de la naturaleza del espacio y el tiempo, y hacerse más misteriosas y matemáticas, es ]a mecánica cuántica la que ha mostrado, en una medida incluso mayor, cómo nuestro concepto de ma',er,-c, ha sufrido un destino similar. No sólo la materia, sino nuestras mismas nociones de realidad se han visto profundamente perturbadas. ¿Cómo es posible que la mera

pos,'b,-/,®dac7 contrafáctica de que suceda algo -una cosa que #o sucede realmente- pueda tener una influencia decisiva sobre lo que s,-ocurre realmente? Hay algo en el misterio de la forma en que opera la mecánica cuántica que al menos pf7nece mucho más próximo de lo que lo está la fi'sica c1ás¡ca al tipo de misterio necesario para acomodar la mentalidad dentro del mundo de la realidad fi'sica. Yo mismo no tengo duda de que, cuando dispongamos de teorías más profundas, el lugar de la mente en relación con la teoría fi'sica no parecerá tan incongruente como lo parece hoy. En §7.7 y §8.6, he tratado de entender la cuestión de qué circunstancias fi'sicas podri'an ser apropiadas para el fenómeno de la consciencia. No obstante, deberi'a quedar claro que m considero la consciencia como meramente una cuestión de la cantidad exacta de movimiento coherente de masa de acuerdo con alguna teoría RO de la frontera cuántico/clásico. Como espero que haya quedado claro, tales cosas proporcionarán meramente la ocasión apropiada para una acción no computable dentro de los li'mites de nuestra imagen física ac-

442 Las sombras de la n;ente tual. La consciencia genuina implica una cons dad de cosas cualitativamente diferentes -tales hoja, el olor de una rosa, el sonido de un rúiS de un gato; también del paso del tiempo, de los cupación, del asombro y. de la apreciación de un les e intenciones, y la voluntad real de innume diferentes para que tales intenciones puedan ser r roanatomi'a, de los desórdenes neurológicos, de nos ha dicho mucho sobre la relación detallad cerebro y nuestras condiciones mentales. No de comprender tales cuestiones meramente en tér dades cri'ticas de movimiento coherente de mas

a de una incesante variela del color verde de una o el suave tacto de la piel s emocionales, de la preo. Implica esperanzas, ideamovimientos corporales das. El estudio de la neuquiatri'a y de la psicología e la naturaleza fi'sica del a de que seamos capaces s de la fi'sica de las cantio sin una apertura seme-

jante hacia una nueva física, quedaremos inm de fuerza de una física totalmente computacion nal con aleatoriedad. Dentro de dicha camisa de na función cienti'fica para la intencionalidad y rándonos de ella, tenemos al menos la potencial Muchos de los que pudieran estar de acuer no puede haber ninguna función para esos fenó

ados dentro de la camisa e una física computacioa no puede haber ningueriencia subjetiva. Libee una función semejante. esto argumentarán que dentro de #,®#gwm ima-

gen cienti'fica. Para quienes argumentan de est sean pacientes y que esperen a ver cómo se des Creo que existe ya un indicio, dentro de los avan cuántica, de que los conceptos de mentalidad est tra comprensión del universo fi'sico de lo que l sólo un poco más cerca. Creo que cuando salgan va fi'sica necesaria, estos indicios se harán muc cia tiene aún un largo camino que recorrer; ¡d Además, la misma posibilidad de una comp tiones nos dice algo sobre las capacidades que n supuesto existen personas, tales como Newton leo, Maxwell o Dirac -o Darwin, Leonardo da Mozart, o Platón, o aquellas grandes mentes q o fJam/c,- que parecen tener más de esta facu la verdad o la belleza de lo que nos es dado al re dad con la marcha de la Naturaleza está potencial uno de nosotros, y se revela en nuestras propia comprensión consciente, a cualquier nivel que uno de nuestros cerebros conscientes está tejido fi'sicos que de algún modo nos capacitan para sa

a, sólo puedo pedir que a la ciencia en el futuro. isteriosos de la mecánica poco más cerca de nues'an estado antes -aunque z los avances de la #wcs claros que eso. La cienestoy seguro! n humana de tales cuesfiere la consciencia. Por tein, o Arqui'medes, Gali-

Rembrandt, Picasso, Bach, dieron concebir la J/,'acJa e ser capaces de «oler» nosotros. Pero una unipresente dentro de cada ltades de sensibilidad y an estar operando. Cada ir de sutiles ingredientes ntaja de la organización

profunda de nuestro universo matemáticamente sotros, a nuestra vez, somos capaces de algún de la cualidad platónica de «comprensión», a los

ntado -de modo que noe acceso directo, a través os modos en que se com-

porta nuestro universo a niveles muy diferen[es Estas son cuestiones profundas, y aún estam

y lejos de tener explicaque entren en juego las

¿Consecuencias? 443

características interrelacionadas de ,odos estos mundos. Ninguna de estas cuestiones será resuelta aisladamente de las demás. Me he refer¡do a tres mundos y los misterios que los relacionan mutuamente. Sin duda no existen realmente tres mundos sino wmo, cuya naturaleza verdadera ni siquiera vislumbramos en el presente.

Notas

l. Corisc¡encia y compu[ación ®p. 2l-]]) l. Véanse, en particular, Good (l965), Minsky (l986) y Moravec (l988). 2. Moravec (l988) basa su argumento para esta escala de tiempo cn la proporc¡ón de corteza cerebral que él considera que ya se ha modelizado con éxito (escncialmente la de la retina), junto con una estimación de la velocidad a la que avanzará en el futuro la tecnologi'a de ordenadores. A comienzos de l994, aún sigue manteniendo estas estimaciones; cf. Moravec (l994). 3. Estos cuatro puntos de vista se descr¡bieron expli'citamente en, por ejemplo, Johnson-Laird

(l987), p. 252 (aunque deberi'a scñalarse que lo que él llama la «tesis de Church-Turing» es esencialmente lo que yo llamo la «tesis de Turing» en §l.6, más que la «tesis de Church). 4. Por ejemplo, D. Dennctt, D. Hofstadter, M. Minsky, H. Moravec, H. Simon; para una exposición de estos términos, véase Searle (l980), Lockwood (l989). 5. Véase Moravec (l988). 6. Turing (l950); véase NME, pp. 5-l4 [pp. 26-36]. 7. Véase Searle (l980), (l992). 8. La cuestión se complica por el hecho de que la fi'sica actual depende del uso del continuo, más que de la acción (digital) d¡screta. Incluso el s¡gnificado de «computat,ilidad» en este contexto está abierto a interpretaciones diversas. Para alguna discusión releyante, ver Pour-el (l974), Smith

y Stephenson (l975). Pour-El y Richards (l979), (l98l), (l982), (l989), Blum, Shub y Smale (l989), Rubel (l988). (l989). Volveremos a la cuestión en §l.8. 9. Debo esta bonita frase a un locutor de BBC Radio 4, en «Ideas para el di'a». lO. La disciplina de la IA comenzó efectivamente en los años 50 utilizando procedimientos dearriba-abajo relativamente elementales (por ejemplo, Grey Walter, l953). El «perceptrón» reconocedor de estructuras, de Frank Rosenblatt (l962), en l959, fue el primer d¡sposit¡vo «conexionista»

(red neural artificia1) de éxito, y esto estimuló un gran interés por los esquemas de-abajo-arriba. Sin embargo, algunas limitacioncs esenciales de este tipo dc organización de-abajo-arriba fueron señaladas en l969 por Marvin Ninsky y Seymour Papert (cf. M¡nsky y Papert, l972). Estas fueron posteriormente superadas por Hopfield (l982), y los disposit¡vos artificiales del tipo de redes neuralcs son ahora objeto de una actividad considerable en todo el mundo. (Véase, por ejemplo, Beks y Hamker, l992 y Gernoth e, a/., l993, para algunas aplicaciones en la fi'sica de altas energi'as.) Importantes jalones en la investigación IA de-arriba-abajo fueron los artículos de John McCarthy

(l979) y de Alan Newell y Hcrbert Simon (l976). Véase Freedman (l994) para una cxposición espectacular de toda esta historia. Para otras discusiones recicntes de los procedimientos y las p¬rspectivas de la IA. véase Grossberg (1987). Baars (l988); para un ataque clásico al tema, véase Dreyfus (l972); y para un punto dc vista reciente de un pionero de la IA, Gelernter (l994); cf. también varios arti-culos en Broadbent (l993) y Khalfa (1994). ll. Para expos¡ciones del cálculo l véase Church (l94l) y Kleene (l952). l2. Para varias publicaciones relevantes sobre estas cucstiones, véanse, por ejemplo, Pour-El (l974), Smith y Stephenson (l975). Pour-El y Richards (l989), Blumb, Shub y Smale (1989). El tema

446 Las sombras de la men[e de la actividad cerebral en relación con estas cuestione

o considerado, en particular, por

Rubel (i985).

l3. En el caso de' problema de la teselación, lo que re el problema de la teselación para teselas de Wang no tiene de Wang (que reciben su nombre del lóg¡co Hao Wang) co lados coloreados, donde los colores deben ser empalmad ser rotadas ni reflejadas. Sin embargo, es fácil imaginar, p un conjunto correspondien[e de poliominos que teselará el dado de teselas de Wang. Asl' pues, la insolubilidad com

demostrÓ Robert Berger era qiie general algori'tm¡ca. Las teselas en teselas cuadradas s¡mples con la a tesela, y las teselas no dcben uier conjunto de teselas de Wang, si y sólo s¡ lo hace el conjunto nal del problema de la teselación

por poliominos se sigue inmediatamente del problema pa Vale la pena señalar, en conexión con el problema de conjunto dado de poliominos no logra teselar el plano, e computacionalmente (como cuando se de[iene una acción

as de Wang. lación por poliominos, que si un este hecho puede ser asegurado ina de Turing, o cuando un con-

junto de ecuaciones diofánticas posee una solución) pues las teselas una región cuadrada n x n, para valores sucesi

uno puede tratar de cubr¡r con e crecientes de n, y el fallo de las

teselas para cubrir el plano entero se manifiesta en algún la que las teselas teselan el plano la que no l,uede ser a

¡nito de n. Es la situac¡ón para a algori'tm¡camente.

l4. Véase Freedman (l994) para una exposición de al delaIA. l5. Estoy agradecido a varias persor`as y, en part¡cula estas cuest¡ones. Véase Hodgson (l99l) para una notable di derna y la computación para la cuestión de cómo nos c l6. Véase, por ejemplo, Smithers (l990). l7. Por ejemplo, Sloman (1992) me reprende por utili cienc¡a» en NME, ¡m¡entras quc él mismo se refiere con «mente» mucho menos bien definido!

las aspiraciones superoptim¡stas

oevinger por fam¡liarizarme con de la relevancia de la física momos. el término mal defin¡do «consertad al (en mi op¡nión) térm¡no

]8. Searle (l980), (i992).

l9. Véase p. 372 del arti'culo de Searle (l980) en Ho

y Dennett (l98l). No está claro

para mi', sin embargo, si Searle defenderi'a ahora a} antc 20. Véase Hofstadter (l98l) para una presen[ación am za; cf. también NME, pp. 2l-22 [pp. 45-46]. 2l. Fara una exposición accesible de la noc¡Ón de «compl 22. Véase Hsu e, a/. (l990). 23. Véase Freedman (l994). 24. Véase, por ejemplo, Moravec (l994). 25. Véanse Putnam (l960), Smart (l96l), Benacerraf l989), Hofstadter (l98l), Bowie (1982), en relación con l hcas (l970). Mi propia versión, tal como se presentó brevem ha sido atacada en varias recensiones; cf. particularmeme tas en Be^av,'o,t7/ and B,a,'n Sc,'c#c¬s: Boolos (l990),

. na sugerencia de esta naturale-

Good (l967, l969), Lewis (l969. mentos de Lucas; véase también NME, pp. 416-518 [pp. 516-518], (l992) y numerosos comentarisld (l99O), Chalmers (l99O), Davis

(l990), (l993), Dennett (l990), Doyle (l990), Glymour y Kentridge (l990), MacLennan (l990), McDermott (l990) sen (l990), Perlis (l990), Roskies (l990), Tsotsos (l990),

l990), Hodgkin y Houston (l990), ster-Ramer ¬, a/. (l990), Mor,eny (l990); véase también mis pro-

pias réplicas Penrose (l990, l993d) y también Guccione (l9 rose (l99lb). 26. Tomado de un programa de British TV -probable l99l), cuarta parte de la serie de la BBC The Thinking Ma

anse también Dodd (l99l), Pen-

para una discusión de progresos recientes en IA «Unders al enigmático proyecto «Cyc» de Douglas Lenat. 27. Para un informe vi'vido y popular, ver Woolley (1 28. Por ejemplo, una sugerencia semejante fue hecha IJecturers en la BBC, l992. 29. Véase, por ejemplo, el informe de Freedman (l99

lgori'tmica», véase Chaitin (l975).

#e D,cam Mc,c4,-mc (diciembre éase también Freedman (l994) », particularmente con respecto

hard Dawkins en su Christmas rabajo de Lenat y otros en esta

Notas (pp. 45-155) 447 2. 1.a argumen{ación godeliana (pp. 78-\32)

l. Podría parecer que es[o es perfectamente «obvio» -¡}-no algo que pudiera ser una cuestión de disputa entre matemáticos! Sin embargo, el problema l]ega con la noción de «existencia» para conjuntos infinitamente grandes. (Véanse Smorynski, l975; Rucker, l984; Moore, l990, por ejemplo.) Hemos visto en el ejemplo de la paradoja de Russell que uno debe scr especialmente cu¡dadoso en tales cuestiones. Según cierto punto de vista, un conjunto no se considerari'a necesariamente

que ex¡ste a no ser que haya al menos alguna reg/a prec¡sa (no necesariamente una regla compiitable) para especificar qué cosas van a estar en el conjunto y qué cosas no están. Esto es prec¡samente lo que el axioma de elección Ho proporciona, puesto que no hay ninguna regla dada para especif¡car gw¬' elemento va a tomarse de cada m¡embro de la colección. (Algunas de las implicaciones del axioma de elección son muy poco intuitivas -y casi paradójicas. Quizá esta sea una razón por la que es una cuestión de disputa. ¡Yo ni siquiera estoy [otalmente seguro de cuál es mi posición sobre este punto!) 2. En el capítulo final de su libro de l966, Cohen hace el comen[ar¡o de qiie aunque él ha demostrado que la hipo{esis del continuo es de acuerdo con los proced¡mientos de JJ~,

ha dejado sin tratar la cuestión de si es o no realmente v¬ndad¬,a -¡y discute cómo uno podría realmente llegar a c/cc,-d,'r esta cuest¡ón! Esto deja c'aro que él no está adoptando el punto de `'ista de que cs una cuestión enteramcnte arbitraria que uno acep[c la h¡pó[es¡s del continuo o no. Esto es con[rario a las opiniones expresadas a menudo sobre las implicaciones de los resul[ados de GódelCohen, a saber, que existen numerosas «teori'as de conjuntos alternat¡vas» que son igualmente «válidas» para las matemáticas. Con estos comentarios, Cohen se revcla, como GÓdel, un verdadero

platónico paJa quien las cuestiones de la verdad matemá,ica son abs'o/w,as y no arb¡trarias. Esto está en cas¡ total acuerdo con mis propias ideas, cf. §8.7. 3. Véanse, por ejemplo, Hofstadter (l98l), Bowie (l982). 4. Por ejemplo, véanse diversos comcntarios en Bc^av,-ona/ and Bro,'n Sc,®c#ccs, l3 (l990), pp. 643-705-

5. Esta tcrminologi'a fue sugerida por Hofstadter (l98l). Es «otro» teorema de GÓdel -su teorema de comp/cc','ón- el qiie nos d¡ce que tales modelos no cstándar existen siempre. 6. De hecho, depende de qué enunciados se consideren como parte de lo que aqu,' estamos llamando «geom¬tri'a euclidiana». En la terminología usual de los lógicos, el sistema de la «geometri~a euclidiana» ¡ncluiri'a sólo enunciados de ciertos t¡pos concretos. y resulta que la verdad o false-

dad de tales enunciados puede resolverse en términos de un procedimiento algorítmico -de aqui' la afirmación de que la geometri'a euclid¡ana puede especificarse en términos de un sistema formal. Sin embargo, en o,^as interpretaciones, la «aritmética» común también podri'a ser considerada parte de la «geometri'a euclidiana», y esto permite clases de enunciados que no pwedcn resolverse algorítmicamen[e. lJo mismo se apl¡cari'a si considerásemos que cl problema de la teselación por poliom¡nos es parte de la geometri'a euclidiana -lo que pareceri'a algo miiy natural. En este sentido, ¡la geome[ri'a eucl¡diana no puede ser espec¡ficada formalmente mejor que la aritmética! 7. Véase el comentario de Davis (l993). 8. Véanse también Kreisel (l960, l967), Good (l967). 9. Véase Freedman (l994) en relación con algunos de los problemas que los sistemas de ordenadores han tenido al tratar de hacer sus «propias» matemát¡cas. En general, tales sistemas no han llegado muy lejos. ¡Neces¡tan una gui'a humana cons¡derable!

3,

ln argumen,ación de la no compu[ab¡lidad en el pensam¡enio maiemó,¡co (pp. l42-Z2g)

l. Esta cita está tomada de Rucker (l984) y Wang (l987). Parece haber formado parte de la Gibbs Lecture de l95l y el ,exto completo va a aparecer en las obras recopiladas de GÓde', volumen 3 (l995). Véase tamb¡én Wang (l993), p. ll8. 2. Véase Hodgcs (l983), p. 36l. Esta cita está tomada de la coriferencia de Turing en l947 ante la London Mathematical Society, como aparece en Turing (l986). 3. El procedimiento consis[e en insertar __= en el sistema Gódel-Bemays; véase Cohen (l966), capítulo 2.

448 I+as sombras de l 4. Véase Hallett (l984), p. 74. 5. Este número de estados del universo -del orden de lO¡Ol2J más o menos- es el volumen del espacio de fases disponible, medido en las unidades absolutas de §6.l l, de un universo que con-

tiene la cant¡dad de materia que hay dentro de nuestro universo observable. Este volumen puede ser estimado utilizando la fórmula de Bekenstein-Hawking para la entropi'a de un agujero negro con la masa to[al de dicha materia y tomando la exponenc¡al de csta entropi'a, en las unidades absolutas de §6.ll. Véase NME, pp. 340-344 [pp. 425-430]. 6. Véase Moravec (l988, l994). 7. Véase, por ejemplo. Eccles (l973) (y NME, capi'tulo 9). 8. Véanse Gleick (l987) y Schroeder (l99l) para una expos¡c¡ón popular de esta actividad. 9. Este es un ingrediente de la teori'a clásica de Von Neumann y Morgenstern (l944). lO. Véanse Gleick (l987), Schroeder (l99l).

ll. Véansc Smorynski (l975, l983) y Rucker (l984) para una exposic¡ón popular. l2. Este es un teorema bastante inquie[ante (y no demas¡ado complicado) en geometri'a euclidana plana que es notablemente difi'cil de demostrar de una forma d¡recta. Resulta que una manera de demostrarlo consiste en encontrar una generalización adecuada que es mucho más fácil, y deducir entonces el resultado original como iin caso especial. Este tipo de proced¡miento es bastante común en matemátícas, pero no es ni mucho menos la forma en qiie procederi'a normalmente un argumento de ordenador, piiesto que se requiere considcrable ingenio e intuición para encon-

trar una general¡zación aprop¡ada. En una demostración por ordenador, por el contrario, al ordenador se le habri'a proporcionado un sistema preciso de reglas de-arr¡ba-abajo que tendri'a que segu¡r inexorablemente a enorme velocidad. Sin embargo, una considerable cantidad de ingenio humano tendri'a que haberse dedicado en primer lugar al diseño de reglas de-arriba-abajo efectivas. l3. Véase Frcedman (l994) para un relato histórico de algunos de estos ¡ntentos. l4. Este enunciado debería matizarse de acuerdo con la expos¡ción de §l.8; está de acuerdo con la hipótesis usual de que los sistemas analógicos pueden tratarse mediante métodos dig¡tales. Véanse las referenc¡as de la nota l2 al capi'tulo l. l5. La sugerencia de que las neuronas pueden no ser simplemente los conmutadores si'/no que una vez se pensaron que eran parece que está ganando favor en muchos lugares. Véanse, por ejemplo, los libros de Scott (l977), Hameroff (l987), Edelman (l989) y Pribram (l99l). Veremos en el capi'tulo 7 que algunas de las ideas de Hameroff tendrán una ¡mportancia crucial para nosotros. l6. Fróhlich (l968, l970, l975, l984, l986); estas ideas han sido continuadas por Marshall (l989), Lockwood (l989), Zohar (l990) y otros. Tendrán también importancia para nosotros; cf. §7.5. Cf. también Beck y Eccles (l992). l7. Véanse Smith y Stephenson (l975), Pour-El y Richards (l989). Blum c, c,/. (l989) y Rubel

(l989). por ejemplo. l8. Buenas exposiciones del «juego de la vida» de Conway se encuentran en Gadner (l970), Poundstone (l985) y Young (l990). l9. Véanse, por ejemplo, Johnson-IJaird (l983), Broadbent (l993). 20. Comentado en Broadbent (l993).

4. ¿Hay lugar para !a men,e en la física clásica? (pp` 2.3'-2S4) l. Véase, por ejemplo, Dcnnett (l99l), p. 49. 2. Una ecuac¡ón importante es «la primera ley dc la termod¡nárnica»: d£ = 7aS - pd W Aqui+, E, 7; S, p y yson, respectivamente, la energía, la temperatura, la entropi'a, la presión y el volumen de un gas. 3. Por ejemplo, Dennett (l99l). 4. Sajarov (l967), cf. Misner c, a/. (1973), p. 428.

5. Para una exposición gráfica, aunque no muy detallada, de la segunda ley, véase NME, capi'tulo 6. Para exposiciones de perfeccionamiento creciente, véase Davies (l974) y O. Penrose (l970).

Notas (pp. l59-280) 449

S.

IA eslructura del mundo cuán[ico (pp. 2S5-325) l. Penrose (1993b, l994cr), Zimba y Penrosc (l993). 2. La sugerencia inicial para un experimento prec¡so vino de Clauser y Horne (l974) y Clauser,

Horne y Shimony (l978). 3. Los primeros experimentos indicando una confirmación definitiva de las predicciones no locales de la mecánica cuántica fueron obtenidos por Freedman y Clauser (l972), y estuv.ieron se-

guidos algunos años después por los resultados mucho más detallados de Aspect. Grangier y Roger (l982) (cf. también Aspect y Grangier l986). 4. Existe otro tipo de posible explicación «clás¡ca» para los efectos EPR concretos que han

sido observados, hasta el momcnto, por Aspect y otros. h explicación sugerida -co/apso ¬,ant,ado- se debc a Ewan Squires (1992a). y saca ventaja del hccho de que puede haber uT ?etardo temporal significativo en la realización de una medida por los detectores en las dos posiciones separadas. Esta sugerencia debe considerarse en cl contexto de cierta teoría -necesariamente no convencional. tal como las que encontraremos cn §6.9 o §6.l2-que hace cierü predicción definida respecto al instante probable cn que o¿je,,-vameme tendrá lugar cada una de las dos medidas cuánticas. Debido a influencias aleatorias que controlan estos dos instantes. sc considerari'a probable que uno de los detectores efectuara su medida apreciablemente antes que cl otro -tanto, de hecho, que (en los experimentos que se han realizado hasta ahora) habría un tiempo suficientemente amplio para que una scñal, que yiajase desde el primer detector a la vclocidad de la luz, informe al último detector de cuál ha sido el resultado de la detecc¡ón anterior. Desde esta perspectiva, cuando quiera que tiene lugar una medida cuántica, va acompañada de una «onda de información» que viaja, a la vclocidad de la luz, desde el suceso de la medida hacia afuera. Este til,o dc fenómenos es perfectamcnte compatible con la teori'a clásica de la relatividad (véase §4.4). pero estaría en desacuerdo con las predicciones de la teoría cuántica sobre distancias suficientemente grandes. En particular, los «dodecaedros n!ágicos» de §5.3 no podrían ex-

plicarse en térm¡nos de colapso retardado. Por supucsto. ningún expcnmcnto semejante se ha realizado por ahora, y uno podría adoptar la perspectiya de que las predicciones de la teoría cuántica se violarían en tales c-ircunstancias. Una objección más seria, sin cmbargo. es que cl colapso retardadV==nTt%l=tC,=tl{aalC*-Li-*-c`+\+=i'es-¿=¿t-ióSiip_os de.meó¬óaS_ C=_á=t_iC.=, ky.±\=='£^%^ua=,=`,V*Ot%`Cp\¬pn de todas las reglas de conservación estándar. Por ejemplo, cuando un átomo radioactivo qiie se desintcgra cmite una parti'cula cargada -digamos una parti'cula a- scría posible que dos detectores suficicntemente separados reciban la misma parti'cula cl, -,violando simultáneamente las leyes de la conservación de la energía. 1a carga e1éctrica y el número bariónico! (Pam una sepaTación suricientemente grande. ¡la «onda de información» procedente del primer detector no tendri'a tiempo suriciente para avisar al segundo detector para que sea incapaz de observar esta misma partícula ct!) Sin embargo, estas leyes de conservación aún seguiri'an siendo vál¡das «fr promedio», y no conozco ninguna observación real que contradiga la idea. Pa[a una presentacion reciente del estatus del colapso retardado, véase Home (l994). 5. He sido informado por Abner Sh¡mony de que Kochen y Specker ya habi'an sido conscientes de una formulación EPR de su propio ejemplo. 6. Para otros ejemplos, que muestran díferentes configuraciones geométricas, véanse Peres (1990, l990), Mermin (l990), Penrose (1994a). 7. El «espejo semiplateado» más eficiente no seri'a realrnente plateado cn absoluto, sino que

seri'a una lámina delgada de material trarisparente del grosor preciso en relación con la longitud =eeT%n\=ad=al%'l=z.`t%-n==8-u+{}=~=:t-¿-=b¿t-to_*ediapte.un-a CO.T+=li_C_a_d_an¬?^=±i+,a.CS_n.±?+`.T^ehne,Xp\+OonnenS

y transmisiones internas repetidas, de modo que los haces finales reflejado y transmitido tengan la misma intensidad. Se siguc de la naturaleza «unita,ia» de la transformación resultante cnm los haces finalmente reflejado y transrnitido que debe haber realmente un cambio de fase resultante de un cuarto de longitud de onda. dando el factor «i» requerido. Véase Klein y Furtak (l986) para una discusión más completa. 8. Por ejeml,lo, Dirac (1947), Davies (l984).

9. Existe cierta arbitrariedad en la elección del factor de fase quc he adoptado aqui' para el estado reflejado. Depende cn parte dc qué tipo de cspejo se utiliza. m hecho, a diferencia del espc-

jo «semiplateado» mencionado en la nota final 7 (que probablemente no estat,a plateado en abso-

.

450 IAs sombras de la mente luto) podemos considerar que estos dos espejos están en rea tor «i» que yo he adoptado aqui' es un compromiso, que lo obten¡do en el caso de reflcxión en espejos «sem¡plateadó`s factor se adopta para la reflexión en espejos complctament tes con lo que hacemos con /os dos espejos en cuestión. lO. Por ejemplo, Kochen y Specker (l967) y las refere

6.

pletamente plateados. El facuerdo superficial con el factor ho. no importa realmente qué s, mieniras seamos coherenas en la nota 6.

T¡eoría cuán,¡ca y realidad (pp. 326-36], l. Existe un cierto sentido en el que la prop¡edad «bos

los fotones menc¡onada en

§5.16 podri'a considerarse como un ejemplo de enmarañam vac¡ones de Hanbury Brown y Tw¡ss (l954, l956) proporcio

ntico, en cuyo caso las obserente una confirmación sobre

grandes distancias (cf. nota al p¡e en p. 309). 2. Evcrett (l957), Wheeler (l957), DeWitt y Graham (

eroch (1984).

3. Squ¡res (l990, l992ó). 4. Bell (l992).

5. Para un argumento diferente en apoyo de la realidad Aharonov, Anandan y Vaidman (l993). 6. Véase. por ejemplo, D'Espagnat (l989). 7. Véase D'Espagnat (l989), Zurek (l99l, l993), Paz, 8. Esta parece ser la coliclusión del programa SETI [Sear Búsqueda de lnteligencia Extraterrestre] de F. Drake. 9. Mis propias sugerencias. aunque situadas firmement sido muy concretas hasta fechas recientes, cf. Penrose (l9 con la prop¥esta orig¡nal de Ghirardi-R¡m¡ni-Weber la idea d¡scontinuo inesperado. Gran parte de la actividad actual, si ceso de reducción de cstado con,,'nwo (estocástico), como el (l992), Ghirardi e, a/. (l990b), Percival (1994). Para trabaj cer el esquema consistente con la relatividad, véase Ghirar

e la función de onda. véase

Zurek (l993). traTerres[rial lntelligence =

campo gravitatorio», no han Ó). Esta propuesta comparte reducción seri'a un proceso go, está interesada en un prode Pearle (l976). Véase Diósi naturaleza interesados cn ha(l992), Gisin (l989), Gisin y

Percival (l993).

lO. 1l. l2. l3. l4.

Schródinger (l935a); cf. también NME, pp. 290-296 Véase también Diósi (l989), Ghirard¡ e, a/. (l990a) Zeilinger e, o/. (l988). Weber (l960), Brag¡nski (l977). Sin embargo. Ias motivac¡ones generales dadas en N

propuesta propugnada aqui' (y como se sugiere en Penrose l que apoyan el «cr¡ter¡o de un-gravitón» presentado en NM para hacer las conex¡ones más concretas. l5. Véase Penrose (l99la); también NME pp. 220-22l [

].

6-373]. (l993a).

i'tulo 7, pareceri'an apoyar la

stante más claramente de lo esita investigación adicional 85].

La teoria cuántica y e! cerebro (pp. 368-413) l. 2. 3. 4.

Véase por ejemplo, L¡sboa (l992). French (l940). Gelber (l958), Applewhite (l979), Fuk

i (l976).

Dryl (l974).

Hameroff y Watt (l982). Hameroff (1987). Hameroff 5. Véase Koruga c, a/. (1993), para una referencia accesib

(l99l), para una exposición popular de los fullerenos. 6. Véase Stretton e, a/. (l987). 7. Por ejemplo, el t¡empo de conmutación de Hamerof coincidir con la frecuencia de Fróhlich de aprox¡madamente

988). as clatrinas. y Curl y Smalley

di'meros de tubulina parece Hz. 4). de Deutsch (l99l), pero no

Notas (pp. 28O-440) 45l

apareció cn el artículo publicado. David Deutsch me ha asegurado q.ue la razón por la que eliminó esta partc de la versión final no era que la idea fuera «errónea» s:no qu¬ no era relevante para el propósim concreto de dicho arti-culo. En cualquier caso, para mis propios propósitos, el valor de la idea no consiste en que sea «correcta» dentro de cualquier marco existcnte de gravedad cuántica -puesto que no existe semejante marco consistcnte cn la época actua1-sino que debería ser sugestiva respecto a los desarrollos futuros, ¡como realmente lo es'. Para un enfoque altemativo de la no computabilidad en «computación cuántica» véase Casagnoli e, a/. (l992).

lO. En cualquier caso, nuestras representaciones físicas normales del tiempo no distinguen el «flujo» hacia el futuro de1 «flujo» hacia el pasado. (Sin embargo, debido a la segunda ley de la

termodinámica, la «retrodicción del pasado» Iio es algo que pueda ser conseguido efectivamente por medio de la evolución temporal de ecuaciones dinámicas.) ll. Véase tarnbién Dennett (l99l).

Algunas personas que hayan visto el documental " breve A,'J,o,,'a cJe/ "'empo,.sobre Stephen Hawking y su obra, pueden haber sacado una visión muy curiosa de mis propias opiniones respecto a la relación cntre la consciencia y el flujo del tiempo. Deseo aprovechar esta oportunidad para señalar que esto fue debido a algún cortc muy inoportuno y equi'voco en la secuencia filmada. l2. Para información adicional sobre los twistores, véanse también Penrose y Rindler (l986), Ward y Wells (l990), Bailey y Baston (l990).

8.

¿Co#secwcnc,-cÜ? ®p. 414-443)

l. Véase por ejemplo, Lisboa (l992). 2. Esta idea me fue descrita por Joel de Rosnay. 3. Echo of ihe elephants (BBC, ene{o .\99_3). 4. J/ ,Ae rt,,®ns donJ, com¬ (BBC, septiembre l992). 5. Da,/,-gA, ,obócry (BBC, agosto l993). 6. Uno podri'a especular sobre la ausencia de centriolos en l.as neuronas (cf. p. 385). IJos citoes-

queletos de otros tipos de células individuales parecen reque[ir ccntriolos como sus «centros de, control»; ¡pero los citoesqueletos de las neuronas quizá se someten a una autoridad más global! 7. Marr (l982) y, por ejemplo, Brady (l993). 8. Donaldson (l983); cf. Devlin (l988), capítulo 10, para una exposición no técnica. 9. El «Mundo 3» de Popper contiene constructos mentales con alguna similaridad con aquellos que residirían en cste mundo platónico extendido; vé:se Po.pper y Eccles (l977). Sin embargo, su Mundo 3 no se contempla como algo que tenga una existencia intemporal independiente de nosotros. ni como un mundo subyacente cn la estructura misma de la realidad fi'sica. En consecuencia, su posición es muy diferente del «mundo platónico» bajo consideración aquí. 10. Mostowski (l957) deja claro. en la introducción a su libr.o, que argiimentos tales como los de Gódel no se basan en la cuestión de si pudieran cxistir cuestiones matemáticas abso/w,amen,c indccidibles. La cuestión debe considerarse completamente abicrta, como lo está ahora. hasta que pueda ser demostrada o refutada. ¡Esta cuestión sigue siendo, como las otras dos, una pura cuestión de fe!

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Índice alfabético*

@, vc'a§e puntos de vista Bekenstein-Hawking, fórmula. 448 n. 5 Bell. Jocelyn, 246 Bell, John, 265. 266, 332, 352; ve'c,se ,amb,'e'# desigualdades de Bell ajedrez, 6l-63, 417, 418 aleatoriedad, 4l, l7l, l72, l79, l95-l96. 207, 215; Berger, Robert, 44 en medida cuántica, 224, 234; pseudoalea- Berkeley, obispo, 439 Bemard, Claude, 39l torio, 41, l7l, l72, 179, l86 Bertlmann, calcetines de, 265, 312, 343 algoritmismo, 93 algori,mos, 32-33; aprendizaje, l66-l67, l68; binaria expandida, notación, l33-l34 biológicos, sistemas, 253, 363. 394, 414 cambiante algon-tmicamentc, 93-94; complejidad de, 58, 446 n. 2l; de-abajo-arriba, 33. Bohm, David, 264, 335 6l, 63, l45, l66; de-arriba-abajo. 32, 33, 6l,Bohr, Niels, 236, 328 62, l45, l66-l67; defirición de, 4344, 79; eje- bomt,as, problema de la comprobación de, .\_ Q, ve~ase puntos de vista agua: naturaleza del, 389; estado ordenado «vicinal», 389, 396 Aharonov, Yakir, 333, 4ll

cución de, 57; equivalencia de, l62; genéticos, l45, l68. l70; grado de complícación de, lgl; incognosc¡ble, l57-l60; no válidos, l45, l46, l53; oráculo, 402; validez de, l43, l44, l53-l56; vc'ase ,amó,-én computaciones Almirante, Ignacio, l96. J97

ambiente, factores externos proporcionados por el, l68-l70; vc-as¬ ,amb,'e~« entomo Ammann, Robert, 45. 47 anestésicos generales, 390-39l anudación, 77 Appel, Kemeth, 212i 219 aprendizaje, teori'a dcl, l66

araña, 394 ardillas, 429430

257-258, 286-289

Boole, George, 227 Bose, estadi'stica de, 309 Bose-Einstein. condensación de, 223, 388, 39O, 393

bosones, 308, 309 Brouwer, L. E. J., 102 bucles, ruptura computacional de, 214-216

C, ve'a5e puntos de vista cámara de niebla, 364-365 Cantor, Georg, 89, lO3, l55; ye'asc rc,mb,-e~n continuo, hipótesis del; números ordinales caos, 36, l95-l96, 22l; frontera del, l95, 22l; sistemas caóticos, 36-38, l70, l86, 225, 233 Cardano, Gcrolamo. 267-275, 290; árt,ol de, 268 casus irreducibilis, 2]3, 2J4 «causa», 52 Cavendish, Henry, 243 células: división de las, 380, 38/; eucariotas, 38l, 384, 428; procariotas, 38l

Aristóteles, 227 aritmé[ica, l26-l27 Aspect, Alain, 265, 266, 394, 449 n. 3 astrofi'sica, 250, 252, 253 astronomía, 243 autorreferencia, 208-2l l axiomas, lO4. l49, l50 axiomas, esquemas dc, lO4; de elección. lll, ll6, centriolo, 379, 380-38l, 380, 385 centrosoma. 379, 38o 447n.1 cerebelo, 25, 58, 59. 432 axón, 372, 384, 385

*

Los números en cursiva hacen referencia a las ilustraciones.

470 IJas sombras de la mente cerebro, 59, 60, l43, 222, 224, 234; acción del,computacionales, s¡stemas, 37-38, l95 223; acción cuántica a gran e'scala cn, computaciones de muring, 233. 376 368-372; como un ordenador, 393; fisiolocomunidad, l69; vÉ''as¬ ,amb,'e'n robots gi'a del, 416; marco clásico del, 368-369; mo- conformaciones, 379, 38O, 384 delo computacional del, 253-254; modelos conjuntos estadi'sticos, 250, 252 conexionistas del, 373-374; organización del, conjuntos infinitos, lO3-lO6; diferentes puntos 234-235; partes dcl, involucrados en un esde vista sobre, ll4-ll6; existencia de grandes, 447 n. l; no constructivamente, ll4-ll5 tado consciente, 432; plast¡cidad del. 373, 385; punto de vista dualista, 369; selección conocimiento, 26, 27-28, 9O, 9l, 408, 414, 422; natural en, 374; simulac¡ón del, 225-226, 393 en animales, 67, 429-430; en los sueños, 67; no computacional, 69-70; proceso fi'sico Cerenkov, radiación, 238-239 Chinook, ordenador. 417 como responsable del, 77; significado del, 52-54, 347 Church, Alonzo, 35-36 conos de luz, 237-239, 2j8, 412; evidencia obChurch-Turing, tesis dc, 34-36 servacional para la inclinación de. 243, 2í4; cilios, 377, 378, j78. 384 inclinación de, 237, 240, 24l-242. 24/; inclicírculo unidad, 29l, 2g2 c\toesque\etos, 223, 3T], 378, 379, 379, 380. 386, nación y no computabilidad de los. 245. 405 389-392, 428; centro de control de, 379, 38O; Conrad, Michael. 375 organízac¡ón de, 377-378, 379; y anestésicos, consc¡encia: activa, 54-55, 407; como fenóme39l no emergente. 234-235; comprens¡ón cienti'fica de la, 2l; descripción fi's¡ca, 232, clatrinas, 386, j86, j87. 450 n. 5 427433. 44l; fenómeno de la, 234-235, 244, COBE, satélite, 252 413, 416, 441442; grados de, 429; manifesCohen, Harold, 42l Cohen, Paul J., lll. 447 n. 2 taciones externas de la, 28; matemática, 66-68; naturaleza global de la, 393; pasiva, coherencia cuántica, 37l, 372, 374, 428; a gran 54, 55, 68, 408; s¡gnificado de la, 54-55, 398; escala. 394, 430; dcntro de los microtúbulos, 388-390 y la medida cuántica, 349-350; y tiempo, 405-409 colapso retardado, 449 n. 4 complejidad computacional, l3l-l32, l66, 376 conservación, leyes de la, 449 n. 4 complejos, números, váase númcrós complejos COnSiStenCia, Ve~aLSe SiStema fOrmal coml,licación en demostraciones matemáticas, constructivísta, punto de vista, lO3 212-214 continuo de Cantor, hipótesis del, lll, 447 n. 2 comprensibilidad científica, lsl continuos, parámetros, 39, 233 comprensión: ausencia de, por los ordenadores, contrafácticos, supucstos, 258, 397. 405, 410, 44l 97. 419-420; cualidad mental de la, 90, 393. conversación, 408409 433, 442; significado de la, 52, 53, 55; simu- Conway, John Horton, 225 lacíón de, 56-57; `mlor de la, 420; y la selec- correspondencia, pr¡ncipio de, 296 ción natural, l63-l66 corte diagonal, 89 comprensión matemática, 72-73, 220, 433; in- corteza ccrebral, 58 teligenc¡a artificial para, 22O-, posibilidades Costa de Beauregard, O., 333, 4ll

algori'tmicas (I, IL III) en, l46-i47; relevan- cr¡ptografi'a, ]7l, 415; cuánt¡ca, 415, 424 cia de la, 66-68; s¡mulac¡ón por un algoritcuántica, teori'a, 252, 254, 255, 44l; incomplemo cognoscible, l47-l53; símulación por un ta, 256; princip¡os básicos de, 267-268; realgoritmo no válido, l45-l47, l53-l57 glas básicas de la, 275-277; vé4se ,amb,'én computabilidad, sign¡ficado de la, 77 X, misterios; Z. misterios computabilidad de Ttiring, 40; generalizac¡ón de cuánt¡cos. estados, 278; complemento ortogonal, 304-305; enmarañados, 310, 311; medila, 39-40, 401405 computación, 80-8l; analógica, 384l, 73-75; dición dc, 283; normalizados, 283, 3"; super-

gital, 39, 4l, 73-74; discreta, 39; familias de, 87; grado de compticación de, lOl-lO2, l40; interminables, 8li!3; procedimientos deabajo-arriba, 32-33, 218-219; procedimientos de-arriba-abajo, 32-33, 218-219; s¡gnificado de, 32; validcz de los procedimientos

posición dc, 278-279, 282; ve-asc /amb,'éw estado, vector de cuantificador universal. lO6 cuatro colores, teorema de los, 212, 219 cúbicas, ecuaciones, 269, 27l-274 cuerpo negro, radiación de, 252

de, 87-89, lOl, llO; y fi-sica, 246-254; ve-c,Jc Íc,mb,-¬-n algoritmcE

vista 7, 418

Índice alfabético 471 Davis, Martin, 44

entropía, 232, 25l, 252

De Broglie, Louis, 335

enunc¡ados: LC¿íA`iS`®, lO4, lO5, llO. lll, ll2-l13,

«Deep Thought». ordenador de ajedrez, 62-63,

I22-l23; 0Ü`1®É3¡DDB[=,105, lll, l12, l22-l23;

76, 420 Del Giudice, Emilio, 389 dendritas, 373, 384, 385 densidad, matriz, 336-34l; diagonal, 347-348;

S?l=L-9)@bíatB)LÉíí?`(©,

para el detector, 345-346; para pares EPR, 34l-343; y la regla del módulo al cuadrado,

lO4.

lO5,

110,

lll,

ll2-ll3,

l22-l23 EPR, fenómeno, 255, 264, 310, 3ll, 313-314, 31

316, 390; colapso retardado expl¡cado por, 449 n. 4; y tiempo. 410-413; vc~c,se /amb,-e~H

Z, misterios 349 equ¡libr¡o, estados de, 25l-252 desigualdades de Bell. 265, 267, 314, 343 equil¡br¡o térmico, 25l detcctor, estados del, 310-3ll, 330, 345, 346-, ma- equ¡valencia, principio de, 245 triz densidad para, 345-346 error categorial, 232 detención, problema dc la, 45, 224, 399, 4OI errores, l44, 420', correg¡bles, l56, l57, l87, 227 Deutsch, David. 376, 403, 404-405, 450 n. 9 sistema formal incorporado, l56-l57 `-'+j d¡álogo imaginar¡o, l96-208 escalar hcrmítico, producto, 299-300 d¡ofánticas, ecuaciones, 43-45 espacio de Hilbert, 298-302; cuadrado de la lon-.-

Diofanto de Alejandría, 43, 275

gitud de un vector del, 300; d¡mensiones del, 299; ortogonalidad entre vectores del,

Diósi, L., 354, 359, 365

Dirac, Faul A. M., 236, 276; ecuación de, 276; 300-302; vectores en, 3OO notación estándaLr de «kets» de, 276, 298, 337 espacio-tiempo: bidimensional, 406, 4O6; como +' discretos, parámetros. 233 una lámina elástica, 24l; curvatura de, 236; ~ dispositivos inteligentes, 5l. 414-417 diagramas, 237; geomctri'as, 357, 400; sindivina, intervención, 3l, l60, lsl, 2O7-208, 220 gularidades, 355-356; superposic¡ones de , dodecaedros mágicos, 258-264, 313, 410; expligeometri'as de, 403 cados, 316-320; no coloreabilidad de, espacio vectorial: complejo, 298; reglas algebrai320-32l; superficie esférica circunscrita a, L.aS Para, 298-299 317; vértices antípodas en, 26l, 262 especificabilidad, l59 , Donaldson. Simon K., 438 esp¬jos, 279-28l. 28/, 285, 449 n. 7, 449450 n. Doppler, efccto, 247 9; semiplateados, 279-28l, 28/, 344, 346 dualismo, 369, 370 espi'n: abajo, 293; arriba, 293; de objcto clási-Á-, co, 295-297; descripción de, 289-29O; esta-,; dos del, 339-340, 34l-343; ortogonalidad en- -rtre estados generales de, 32l-325; teori'a cuántica del, 289-297

c, número leal, 292 Eccles, John, 369, 433 Eddington, sir Arthur. 242 Edelman, Gerald. 374 EEG, trazas del, 407

estado, vector de, 278; complemento ortogonal, 304, 3Oj; cuadrado de la longitud de, 300; E¡nstein, Albert, 243, 245, 247, 264, 3ll, 314, evolucionado hacia atrás, 333; evolucionai 332, 412, 437; ve~a5e /c7mZ,,'e~m rclatividad, teo-

ría de la Einstein-Podolsky-Roscn, ve~ase EPR, fcnómeno ejecución, 57 Eker, Artur, 287 elecciones enigmáticas, 424-427 electromagnético, campo, 236, 248 elefames. 429

do hacia adclante, 333; inestable, 359; mezcla probabilística de, 336; normalizado, 283,

3", 302, 337; ortogonalidad, 300-30l; Iealidad de. 332-335; «salto» del, 303-304. 3ll, . 35l: vector «bra», 337-338. 4ll; vec-tor «ket», | 276, 337-338, 4ll; ve-c,sc ,amb,'e'n cuánticos,

Elitzur-Va¡dman. problema de la comprobación

estados; estado R, reducción del vector de estado R, reducción del vector de. 282-286, 297, 298; como proceso real, 326-329, 352; ¡nducida gravitatoriamente, 355-358, 359-367; re-

de bombas de, 257-258; solución al, 286-289 Elkies, Noam, 216 energi'a, 232; autoenergi'a gravitatoria, 364, 365; conservación de la. 354, 365, 413; diferencia de, 363; gravitac¡onal, 360; intervalo de,

presentación en el espacio de Hilbert de, 302-306; ritmo de, 360; ve'ase ,omb,'É''n RO ; estética, 42l, 438 *-afirmaciones, l75, l76, l77-l78, l84-l85, 200 2ll, 225; eliminación de las erróneas,

Elitzur, Avshalom C., 257, 287

371

enmarañamiento

cuántico,

264,

265,

304,

310-315, 319-320, 326, 397

entorno: reducc¡ón por el, 344, 362, 363; s¡mulación del. 42, l69; ve;ase ,a'mb,'c'n ambiente

l87-l90; errores en, l84-l85, l94 i+gi-afirmaciones. lsl. l82, 205-206, 2O9-210; correg¡blesi l94; grado de complicación de, l90-lgl; libres de error, lgl, l92; restricción

a un número finito de, l90-l93

sombras de la mente estrellas de neutrones, 246, 247 Euclides, 95 Euler, Leonhard, 216. 217. 275

J¿=

Everett, interpretac¡ón, yc^ase «muchos un¡versos», puntos de vista de tipo evolución unitaria U, 277-28l, 30l, 308, 329; linealidad, 329; y la noción de probabilidad, 349 cxpertos, sistemas. 424

GÓdel, teore

la incompleción de, 64-65.

78-79, 86

. lO7. lO9-llO, 44O; autorre-

ferencia

; foma fámiliar del, lO6, lO7,

llO

Gódel-Bernay Gódel-Cohe

ma, 447 n. 3 ema, lll-ll2, ll6, 447 n. 2

«gódelizació

, l3l, l33. l65

ll6-ll7; 9' ncs técni 93-94; Q 97-98; Q

lusión 9. 87, 90. l42, l43, o3; 9', ii4; 9**. ii6; 9***, §®, 402; 9*, 402; objec¡ol-lO3, lll-l32; Ql, 92; Q2, 4, 95; Q5, 95; Q6, 96; Q7' Q9, iO2; Qio, iii; Qii, ii3;

Qi2, ii7; i24; Qi7, Goldbach, c Grass¡, Ren Grassmann,

i9; Qi4, i22; Qi5, i23; Qi6, i8, i28; Qi9, i3o; Q2o, i3i de, 82, lO6. 212 5 o de. 308, 309

gravedad, 23 242; com fenómeno la fuerza 239-240, radiación

-245; campos gravitatorios, tura del espacio, 236; como entc, 237, 244; debilidad de atoria, 236; efectos de la, ; lentes grav¡tacionales. 242; toria, 248

gravedad cuá fi'sica, 275-276; papcl de la computación en, putabilida 246-254 grav¡tación c fisicalidad. 222 GRW, esquc fisicalismo, 3l formalismo, lO4-lO5, l22, 440 fotones, 279-28l, 329; absorción de, 284, 285, 362 Habitación C Fredkin, Edward, 26 Haken, Wolf Frege, Gottlob, l54-l55 Hameroff, S Fróhlich, Herbert, 372, 388, 389, 393, 395 448 n. l5 Frye, Roger, 216 Hamilton, J Fuller, Buckminster, 386 Hartle, Jame ful!erenos, 386, 450 n. 5 Hawk¡ng, St funcionalismo, 27, 68 Hebb, Donal Heinsenberg. dumbre de Herón de Ale §, ve-ase Gódel-Tur¡ng, conclusión G (F), lO7 heuri'sticos, Galileo Galilei, 245. 326, 437 Hewish, Ant Hilbert, Davi gas, 252 43-45; vc' gaussiana, función, 353, 354 geometri'a, l27, 220, 438; espacio temporal, 357, Hofstadter, 4OO¡ cuclidiana. l27, 220, 447 n. 6, 448 n. horm¡gas, 6l, l2; no euclidiana. l27 Hulse, Russel Geroch, Robert, 399. 400 Ghirardi, G¡ancarlo, 352, 365 Ghirardi-Rim¡ni-Webcr, esquema, ve'ase GRM, IA, 24-25, l5

55-356, 45l n. 9; no com398400, 403-405 correcta (GCC), 370 2-354, j5j, 356, 365, 413

fases puras, 29l, 298, 302 Feferman. Solomon. l3l Feinstein, Bertram, 408 Fermat, último teorema de, 217 Ferm¡. estadi-stica de, 309 fermiones, 308, 309 Ferro. Scipione del, 27l Feynman, Richard P., l2l. 335, 376 Fibonacci, números de, 38l-382, 384 filosofi'a matemática, 227-228 finitistas, puntos de vista, lO3 finitos, sistemas, 98-lO2 fisii`a: clásica, 233, 276; cuántica, 234; nivel cuántico, 275-278; niveles d¡stintos de acción

esquema girasol, cabezas de, 382. j82

GÓdelTur¡n i46, 400,

la, 33; bl tivos» arti 27; estado

go, juego del, 417. 419 Gódel, Kurt, 64ó5, 78-79, lO9, llO, lll, l97, l98, modelizac

227, 403, 404, 44O; «máquina de demostrar

ta, 234; pr

rgumento de la, 56-57, 68 212, 219 78, 384, 387, 389. 395, 396,

zobispo, 268, 27l 99, 400 W., 343. 45l, n. ll

r, 236; principio de incerti366 , 275 os. l52 46 O4; «décimo problema de», b,-én espacio de Hilbert , l25, 214 249

445 n. lO; aspiraciones de 9; débil, 29, l59; «disposiinteligentes, 414-417; dura, , 59-64; fuerte, 27, l59, l96; iante computación discreientos para la comprensión

pio de, yeJaj'c Heisenberg

Índice a!fabético 473 indeterminación cuántica, 369 inducción matemática, principio de, 85 infinito, 98, 292

infinitos, conjuntos, vc'ase conjuntos infinitos información, onda de, 449 n. 4 inmunológ¡co, s¡stema, 374-375 instantáneo, efecto, 313 inteligenc¡a: artificial, véose IA; dentro de células individuales, 373; significado de la, 52,

ci{a, l33-l4l; grado de complicación de, lOl, l92, 2ll; no correctamente especificada, l36: numeración de, 95, l35-l36; operaciones interminables, 99; robots como, l72; un¡versal, 8O, l34-l35

Markov. A. A., 399 Marshall. Ian, 389

masas: cristalinas, 363; de fluidos, 36l-362; des¡ntegración de, 366; esfér¡ca, 356, jj7, 360 53 matemát¡cas: cuestiones de fundamentos de, ll5; interferencia, fenómenos de, 28l, 28/, 336, 348, fertilidad de las, 438; filosofi'a de las, 227; 36l

intimidad personal, 424 intuicionismo, lO2-lO3, ll2

Joven Cibers¡stema Matemático, l96-l97 Jozsa, Richard, l2l juego, teori'a del, l7l juicio humano, 418, 419 Júpiter, 248

papel en las ciencias físicas, ll5-ll6, 436437; pcrcepción de la verdad en, l62, 440; significado de los conceptos de las, l75 matemáticos: desvaneccn sus creencias de forma gradual, ll9-l22; diferencias entre, ll5ii6.

ii7-ii9

materia. naturaleza de la, 44l Matiyasevich, Yuri, 44 Maxwell, James Clerk, 236, 25I, 252; ecuaciones electromagnéticas de, 412, 437-438

mecánica cuántica, véasc cuántica, teori'a medición, aparatos de, 283. 284, 286 medida, problemadela, 310, 33l, 335, 35l; como el m¡sterio X central de la teori'a cuántica, i 354; no conmutables, 306; nula, 289, 30l. 302, 3ll; pa.rcial, 335; prim¡tiva, 304, 305. 306, 316, 334; «sl'/no», 302-306 medidas, 222, 282, 283; conmutables, 306, 317; sin interacción, 289 Lagrange, Joseph L., 82; teorema de, 82, lO6, mentales, cxperimentos, 264 434, 435 mentalidad, fenómeno de la, 22l-222, 442 lambda, cálculo (^-calculus), 35. l40-l4l mentalismo, 3l, 65 Leonardo da Vinci, 27l «mente»: bases fi'sicas de, 398; concepto de, Libet, Benjamin, 408 54-55, l43, 395; influencia en el comportalibre albedrío. 52, 350, 369, 370, 398, 422; y los

kantiana, visión, 439 Károlyházy, F., 352 Kornhuber, H. H., 407 Koruga, D., 384

experimentos, 407409 li'neas de tipo tiempo, 403; cerradas, 403. 404 Littlewood, J. E., 217

localización de una parti'cula, 297-298 lógica: de primer orden, l26; de segundo orden, l27

Longuet-Higgins, H. Christopher, 42l Lucas, John, 65, ll3, l23 luz: composición de la, 279; velocidad absoluta de la, 238-239; velocidad de la, 238; véase amb,®cJn conos de luz

miento fi'sico de la, 370; modelo para una, 392-398; y las leyes fi'sicas, 23l-232

Mercur¡o, 247, 437 Michell, John, 243 m¡crotúbulos, 378-386; centro organizador de, 379; coherencia cuánt¡ca dentro de los, 388-390; como autómatas celulares, 384, 43l; computación microtubular, 387; oscilaciones cuánticas dentro de los, 395.-396; y consciencia, 390-392 Minkowski, espacio de, 239. 24O misterios, yc~ase X; Z misticismo, 65-66, 70 mitosis, 380, j6/ módulo al cuadrado, regla del, 283, 304-305, 349,

M, mecanismos, l77, l78, 200, 20l m, hipótesis, lsi-l82 353 Mach-Zehnder, intcrferómetro, 28l momento: angular, 289, 312; de una parti'cula, Majorana, Ettore, 294, 295, 32l; estados gene297-298; desl,lazamiento de. 364 i rales de cspi-n de, 317, 32l-325 moralidad. 422, 438 MAP (protci'nas asociadas a los microtúbulos), Moravec, Hans, 26. 49. 386. 387, 448 n. 6 384, 385, 396, j97 Mozart, «dado musical» de, 42l máquina dc Turing, 32, 35, 43, 44, 79-80, 87, 399;ff-operación, lO7, l48 aprend¡zaje por, l73; descripción de, l33-l34; «muchos uníversos», punto de v¡sta de tipo, 256, en el sistema formal, lO7; gódelizante expli'329-33l

"-iz

,

S

--_:._

474 IJas sombras de la mente to, 309-3 entre est platónico de las formas matemáticas. 434, 435, 436, 438, 440; relaciones entre, 435436, oscilaciones 438, 439-440, 442-443

os «estados percibidos», 33l; nerales de espín. 32l-325 as, 395-396, 43l

palabras: pr

de las, 399; significado de

mundos: fis¡co. 434, 435; mental, 433-434, 435;

las, 69 negación. lO4, lO6 neuronas, 24, 58, j9, 223, 372-375, 432, 448 n.paradoja, v l5; como dispositivo amplificador, 398; paralelismo

importancia de los microtúbulos para las, 384; v¬'asc ,amb,'e'Ü redes neurales artifi-

paramecio. Peano, arit Pearle, Phil Penrose, Oli Percival, Ia

onam¡ento paradójico o, 37l 8. j78, 387, 392, 428429 de, lO5, l26, l28

ciales neuro[ransm¡soras, sustancias, 368, 375, 392 neurotransmisores, 223, 369, 373, 374, 384 neutrones, interferenc¡a cuántica en, 36l; vc'osc perihclio, pr /amÓ,'e'Ü estrellas de neutrones perros, 67 Newton. Isaac, 235, 239, 25l, 326, 4ll, 437 ni-sentenci afirmaci nivel clásico, 275, 276. 326 ll3-ll7, nivel cuántico, 275-276, 297, 326; realidad de, el robot, 328

, 450 n. 9 2 6

no localidad cuántica, fenómeno de la, 264, 265,

licación de, l88, 2ll-213 357, 358; constante de, 289, 356, 357; fórmula de, 252, 59; ,iempo de, l58, 359, 407; as o de. 358-359

410, 412

grado d Planck. Ma 358; es 298; ma unidades

núcleo, de una célula. 380, 385 nucleón, 36l números: cuadrados, 80-81; hexagonales, 83-86; naturales, 70-76, 80, l25-l26, 434; primos, plano comp Platón, 66, 95-96; supernaturales, l24, l25 números complejos, 269, 273-274. 412; coc¡en- platonismo,

tes dc pares de, 292; conjugados, 283, 29/, módulo de, 29l; módulos al cuadrado de los, 283; papel en la mecánica cuántica, 275-276, 277; representación geométrica de, 290-29i.

29/ números fin¡tista, teori'a de, l43, l48, l49 números ordinales de Cantor. l30-l3l

observador, estados del, 33O «í2 (-.J», lO7

Podolsky,

poliominos, Popper, Kar Post, Emil, predicados, Pr¡bram, K

primos. ve~ probabilida 338, 339 números cas. 336 matriz

a,-consistencia, v¬'ase sistema formal onda, función de, 278. 298, 299; colapso de la, probabilida 282; de una partícula libre, 352-353; factor proyección, oscilante de, 279-280, 298; ye~c,se ,amó,-e-# proyección cuánticos, estados proyectores, onda piloto, teoría de la, 335 psicología, PSR lgl3 Onnes, Heike Kammcrlingh, 415 248 0nsager, Lars, 372 mPP ®ara t operaciones lógicas, 80 336; co operador sucesor, l26 348; exp oráculo, 401; máquinas oráculo, 400-405

ordenador cuánticoi 415 ordenadores, 23-26; arquitecturas de sistemas, 34; capacidad de jugar, 6l-62, 417-418, 419; creativos, 421422; cn paralelo, 34; en ser¡e,

34; peligros en la tccnologi'a de, 423424; virus en, 425-427

módulo púlsar, 246 puntos de v 22i; ®, 29-30, 370', im

del, 247 l45, i48, 200, 2i4-2i5, 22i;

la verdad matemática de, rtas», l90, 203; creídas por ; «demostraciones» de, 2ll;

90, 29/ 5. 438 70, 422, 434-436, 439 64

3. 45l n. 9 de, lO8, l77 , 389

eros primos , 282-283, 349; clásicas, 336. mo módulos al cuadrado de jos, 283, 286. 349; cuánti40; yéase /amb,'e'n densidad, i'a de, 269, 277 do de, 303, 305 ráfica, 293 9 7 istema pulsar binario, 246-

propósitos prácticos), 332, itutivo de una teori'a física, de R, 343-348; y la regla del rado, 349

9 26, 27, 28. 57-58, l44, l75, 3o, i44, i74, i75, 22i; e, 26, 23, 232; @, 26, 30, l6l, 22l, nes futuras de. 49-50 c, 25, 59

4

Índice alfabético 475 "a% (M), l77-l78

«salto», 30l, 302-303, 304, 3ii, 332, 35i

O (M), l78

Scott, Alwyn, 373 Searle, John, 29, argumento de, 56-57 selección natural, l60-l6l, l63-l68 semántica, l75 Shabbos, interruptor, 287 Shapiro, Irv¡ng, 250 Shor, Peter, 376 «sign¡ficado», 69, l27-l29, l75 simulación de la comprensión matemática, ve'cr5e comprensión ma[emática

"am (M), l82-l83

«qualia», 58, 59, 68 qui'mica, 223, 253, 368 quinaria, cscala, l37

R, ve-a5e estado R, reducción del vector de radiación grav¡tatoria, 248-249 rayos. 299, 300 razonamien[o paradój¡co, l53-l57, 208-2ll

sínapsis, 223, 372-374, 385, 386, 397 realidad virtual, 72-74. 74. l76 sinápticos, espacios, 368, 373, 385 redes neurales artif¡ciales, 33, l67, l70, 373-374, sistema formal, 79, lO4; completo, lO5; cons¡s419 tente, lO5, lO9, llO, l23, l29; equivalencia reducción objetiva, vcJasc RO de un procedimiento algori'tmico, lO8-llO; reduc[io ad absurdum, 94. 95-97 , lZ3, l77 , 2\4-, ctrconsistenc¡a de, lO6-lO7, llO, l29; si'mboobjec¡ones a, lO2-lO3 los de, lO8, l24-l25, l28; «sufic¡entemente refract¡vo, mcdio. 238, 239 extenso», lO6; validez de, l29, l53-l56 reglas de procedimienLo, lO4, l48, l49. l50 SQUIDS (dispositivos superconductores de inrelat¡v¡dad, teoría de la.' especial. 239; general, terferencia cuántica), 364 236, 238, 24/, 246, 247, 248, 249' 355-356' Squires, Ewan, J., 449 n. 4 S[ern-Gerlach, medida de, 294-295. 29J, 322, 324 437, 44l Stoney, George Johnstone, 358 responsabilidad, 5l

rctina, 369 Richard, paradoja de, 208 Riemann, esfera de, 293-294, 293. 32l, 322-323, 325, 412, //2 Rimini, Alberto, 352. 365 Robinson, Julia, 44 RO (reducción obje,iva), 370, 375. 376-377, 392, 394-395. 396, 397-398; escalas involucradas en, 430-432; necesidad de encontrar la teoría fi'sica, 415-416

robots, 29, l59-l60; aprmdizaje de, l70-l72, 214,

sucesos, 237, 2j8; influencia causal de, 237, 2j8; separados por un intervalo de tipo espacio. 238, 2j8, 263-264, 314 superconduct¡vidad, 364, 37l-372, 388, 415 superfluidez. 37l, 388 superposiciones cuánticas. 277; en la función cerebral, 368; lineales, 278, 279, 299 superselección, reglas de, 335

Taniyama, conjetura de, l52

Tartaglia, Nicolo, 269, 270, 27l, 272, 273 Taylor, Joseph, 248, 249, 249 Taylor, K. B., 220 tecnologi'a, 23-24 tensorial, I,roducto, 307, 309, 337 teoremas, l48, l5l, l77, 219; demostración automática de, 219-220; sistcmas automáticos de generar, 220 termodinám¡ca, 252; segunda ley de la, 25l teselación, problema de la, 44, 446, n. l3 tesis de Turing, 35-36 Rosser, J. Barklcy, lO6. llO test de Turing, 29 Russell, Bertrand, lO3, l54, l55 Thébault, V., conjetura de, 220 Russell, paradoja de, lO3, lO4, l54, 210, 447 n. l tiempo meteorológico, 36-38, 350 t¡empo que «fluye», 405-406, 45l n. lO topológ¡ca, problema de la cquivalencia. 399, 400 Sacks, Oliver, 222 trans¡stores, 25 Sajárov. Andréi, 237 «traza, tomar la», operac¡ón matemát¡ca, 337 Schródinger, Erwin. 236, 264, 332 tubulinas, 378, 38j, 432; di-mcros de, 378-379, Schródinger, ecuación de, 278, 297; linealidad 384, 386, 39l, 395, 43l 219; comunidad de. l88, 209-210, 218; con-

cepto de «querer decir» por, l84-l85; conjunto de todas las posibles actividades, l86-l87, l95-l96, 22l; «conocimiento» de ]as verdades matemát¡cas por, 96-97, l73-l75; errores de, l84, l85, 22l; eyolución de, l6O; formas de ev¡tar la contradicción, l80-lsl; «loco», l89; mecanismos que gobiernan el comportamiento dc. l75-l78, l79 Rosen, Nathan, 264

de, 278, 308-309; t'éaLsc ,amb,-¬'m evolución Tur¡ng, Alan, 35, 78i 79, l3l, 384; pensamiento unitar¡a U de, l44; ve-ase íc,mb,-c-n computabilidad de

Schródinger, gato de, 255, 256, 346, 354, 3j5 Schródinger, imagen de, 278

Turing; computaciones de Turing; máquina de Turing; tesis de Turing; test de Turing

h-`-.^>^-

476 I+as sombras de la mente twistores, teoría de, 412, 4/2, 45l n. `l2

U, véa5e evolución unitaria unidades absolutas, 358-359 unitario, vector, 302 universo: big bang como or¡gen del, 25l, 252,

2jj; composición del, 429; modelos no com-

Wang, Hao,

93

Weber, Tullio Werbos, Paul Weyl, tensor Wheeler, Joh W¡gner, Euge «Wigner, ami Wiles, Andre

2 l conforme (WEYL), 242-243 ., 358 P., 346, 350, 436 e». 346 52, 217

X, mistcrios,

-256, 276, 326,' básico, 282

«y» mecánico Yang-Mills, te «yo», 5l-52,

ntico, 306-309 s de tipo, 348 , 422

Z, misterios, 415; esta[us e didas nulas e zii' (Zermeloiii, i22-i23, Zt.J.. l22-l23

257. 326, 409; apl¡caciones de, mental de los, 264-267; me289 kel, sistema formal de), lO4, i65

putables del, 45, 48 universo, estados dcl, 448 n. 5

Vaidman, Lev, 257, 288. 4ll validez. ve~os¬ computación valores propios degenerados, 34l, 347 Van der Waals, fuerza de, 237, 384, 39l, 397 vector, vc'asc estado, vector de; estado R, reducción del vector de; unitario, vector velocidad absolu[a, 238-239 verdad: absoluta, lO5, lll; formal, llO; incuestionable, l74, l83. 219; juicio de, 98; matemática. lO5, lll

«vida, juego de la», 225, 226, 448 n. ls visualización, 70-72; mental, 72-75

Von Neumann, John. 337

ZL--ó, 165

Wald, Robert M., 328

ZF, juego, l2 Zimba, Jason,

8. 32l

IJndice

r- mVl

Prefacio Agradecim¡entos Adver[encias al lector

-

Prólogo

-l¿Por qué necesitamos una nueva fís¡ca para comprender la mente? ` La no computabilidad del pensamiento consciente 1.

Consc¡encia y computación l.l. Mente y ciencia 1.2. ¿Pueden salvar los robots este mundo revuelto? l.3. EI Q, @, C, 9 de la computación y el pensamiento consciente l.4. Fisicalismo frente a mentalismo l.5. Computación: prcx:edimientos de-arriba-abajo y de-abajo-arriba l.6. ¿Viola el punto de vista C la tesis de Church-Turing? l.7. Caos l.8. Computación analógica l.9. ¿Qué tipo de acción podri'a ser no computacional? l.10. ¿Qué pasa con el futuro? l.ll. ¿Pueden los ordenadores tener derechos o responsabilidades? l.l2. «Conocimiento», «comprensión», «consciencia», «inteligencia» l.l3. El argumento de John Searle l.l4. Algunas dificultades del modelo computacional l.l5. ¿Proporcionan las limitaciones actuales de la IA un

argumento a favor de C? El argumento del teorema de GÓdel ¿Platonismo o misticismo? ¿Cuál es la relevancia de la comprensión matemática? ¿Qué tiene que ver el teorema de Gódel con el comportamiento de sentido común? l.20. Visualización mental y realidad virtual l.2l. ¿Es no computacional la imaginación matemática?

l.l6. l.l7. l.l8. l.l9.

F¬ES£: *S= §S3;g:¬C®OeS±=

478 Las sombras de la mente 2.

La argumentación gódeliana 2.l. El teorema de GÓdel y las máquinas de 2.2. Computaciones 2.3. Computaciones interminables 2.4. ¿Cómo decidimos que algunas computa 2.5. Familias de computaciones; la conclusió 2.6. Posibles objeciones técnicas a g 2.7. Algunas consideraciones matemáticas 2.8.

3.

78 78

ing

80 81

83 o ChO O-m t`-r i\o o-m

s no se paran? de GÓdel-Turing

rofundas

---

La condición de cÚ-consistencia

2.9. Sistemas formales y demostración algor 2.lO. Otras posibles objeciones técnicas a 9

ca

Apéndice A. Una máquina de Turing gódeliz

exph'cita

La arguinentación de la no computab¡lidad e matemático 3.1. ¿Qué pensaban GÓdel y Turing? 3.2. ¿Podría un algoritmo no válido simular la comprensión matemática? 3.3. ¿Podri-a un algoritmo cognoscible simu incognosciblemente la comprensión mat 3.4. ¿Utilizan los matemáticos involuntaria no válido? 3.5. ¿Puede un algoritmo ser incognoscible? 3.6. ¿Selecc¡ón natural o un acto de Dios? 3.7. ¿Un algoritmo o muchos? 3.8. Selección natural de matemáticos esoté 3.9. Algoritmos que aprenden 3.10. ¿Puede proporcionar el ambiente un fa algori'tmico? 3.l1. ¿Cómo puede aprender un robot? 3.l2. ¿Puede alcanzar un robot «creencias m 3.l3. Mecanismos subyacentes en la matemát 3.l4. La contradicción básica 3.l5. Formas de evitar la contradicción 3.l6. ¿Necesita el robot creer en M? 3.l7. ¿Errores de robot y «querer decir» de 3.l8. Cómo incorporar aleatoriedad: conjunt

pensamiento

robótica 3.l9. La eliminación de *-afirmaciones err 3.20. Sólo es necesario considerar un númer *m-arirmaciones 3.2l. ¿Adecuar las protecciones? 3.22. ¿Puede el caos salvar el modelo comp

l42 142

nosciblemente 145

tica? e un algoritmo

147 ---

\r)^\C)O\ O ®r)t-O-m\O

extramundanos

externo no

l-+- -t+T-

\C)t` t`o o O Ori`OCxDO'-iÚ

áticas firmes»? del robot

t? e actividad

COCO

-- HLi=

s ito de l90 193

onal de la 195

inario

196

Índice 479 3.24. 3.25. 3.26. 3.27.

¿Hemos estado utilizando un razonamiento paradójico? La complicación en las demostraciones matemáticas Ruptura computacional de bucles ¿Matemáticas computacionales de-arriba-abajo o de-abajo-arriba?

íVCqC\

O--

COC1Ú

3.28. Conclus¡ones

-2¿_Quí rueva física neces¡tamos para comprender la mente? La búsqueda de una fi'sica no computacional de la mente 4.

5.

¿Hay lugar para la merite en la física clásicci? 4.l. La mente y las leyes fi'sicas 4.2. Computabilidad y caos en la fi'sica actual 4.3. Consciencia: ¿física nueva o «fenómeno emergente»? 4.4. La ,'#c/,'#crc,-o'# de Einstein 4.5. Computación y fi'sica

IJa estructura del mundo cuán[ico 5.l. Teori'a cuántica: enigma y paradoja 5.2. El problema de la comprobación de bombas de Elitzur-Vaidman 5.3. Dodecaedros mágicos 5.4. El estatus experimental de los misterios Z de tipo EPR 5.5. La base de la teori'a cuántica: una historia extraordinaria 5.6. Las reglas básicas de la teori'a cuántica 5.7. Evolución unitaria U 5.8. Reducción del vector de estado R 5.9. Soluc¡ón al problema de la comprobación de bombas de Elitzur-Vaidman 5.lO. Teoría cuántica del espi'n; ]a esfera de Riemann 5.ll. La posic¡ón y el momento de una parti'cula 5.l2. El espacio de Hilbert 5.l3. La descripción de R en e] espacio de Hilbert 5.l4. Medidas conmutables 5.l5. El «y» mecano-cuántico 5.l6. Ortogonalidad de estados producto 5.l7. Enmarañamiento cuántico 5.l8. Los dodecaedros mágicos explicados Apéndice B: La no coloreabilidad del dodecaedro Apéndice C: Ortogonalidad entre estados generales de espi'n

6.

T¡eoría cuántica y realidad 6.l. ¿Es R un proceso real? 6.2. Puntos de vista del tipo-muchos-universos

NCqCqN~Ct mnm r ` :r - mÚI®\O

rlC1 ur\n ulV\

257 258

264 267 275 277 282

286 289 297 298 302 306 306 309 310 316

320 321

326 326 329

480 Las somb,üs de la mente r )r )Út¢Ú I®

6.3.

No tomar lÚ) en serio

6.4. 6.5. 6.6. 6.7. 6.8. 6.9. 6.lO.

La mauiz densidad Matrices densidad para pares EPR ¿Una cxplicación PTPP de R? ¿Explica FTPP la regla del módulo al ¿Es la consciencia la que reduce el vect Tomar lÚ) realmente en serio ¿Reducción del vector de cstado induci

r,m mnmr` ®l`r\-r C^®-

rado? e estado?

mmm

gravitatoriamente? 6.ll. Unidades absolutas 6.l2. El nuwo criterio 7 . + La teoría cuántica y el cerebro ^7.1. ¿Acción cuántica a gran escala en la f

7.2. 7.3. 7.4. 7.5. 7.6. 7.7. 7.8. 7.9. 7.lO. 7.ll. 7.l2.

8.

Neuronas, sinapsis y ordenadores Computación cuántica Citoesqueletos y microtúbulos ¿Coherencia cuántica dentro de los mic Microtúbulos y consciencia ¿Modelo para una mente? No computabilidad en gravedad cuánti Máquinas oráculo y leyes físicas No computabilidad en gravedad cuántic El tiempo y las percepciones consciente EPR y tiempo: necesidad de una nueva

«Dispositivos» artificiales inteligentes

8.2.

Cosas que los ordenadores hacen bien,

8.3. Estética, etc. Á:,Í_8.4. Algunos peligros inherentes a la tecno

Lr8.5.

8.6. 8.7.

Las elecciones enigmáticas

¿El fenómeno fi'sico de la consciencia? Tres mundos y tres misterios

Epflogo

Notas Bibliografía I~ndice alfabét¡co

LOa)®

368

n cerebral?

368 372 375

377

bulos?

388

390 392 398

400 403

¬o=:Ú=:?§=Ú§ ¥ÚV¥%S ión del mundo

¿Consecuencias? 8.l.

-nI^

al 'a de ordenadores