Calculo De Las Sombras Aplicando La Derivada ..

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CÁLCULO 1

“AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO”

TÍTULLO:

:

CÁLCULO DE LAS SOMBRAS APLICANDO LA DERIVADA

DOCENTE:  Ing. Castro Limache Lucio INTEGRANTES:     

Ayala Porras Cielo Gaspar Paucar Yoselin Gutarra Cunyas Yubithza Presentacion Poma Ruth Paola Serrano Guzmán Katerim Lorena

SECCIÓN: IBI GRUPO: “C”

HUANCAYO - 2017

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DEDICATORIA

A nuestros profesores por darnos el conocimiento necesario para poder desarrollarnos profesionalmente y lograr nuestros objetivos y a Dios por hacer todo esto posible.

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ÍNDICE Portada Dedicatoria Introducción Capítulo I:  Planteamiento del problema ó proyecto  Objetivo general del problema Capítulo II:  Marco teórico  Antecedentes  Desarrollo del problema Capítulo III:    

Importancia del proyecto Conclusiones Bibliografía Anexos

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INTRODUCCIÓN Es muy grato para nosotras dirigirnos hacia su persona y poder presentarle el trabajo de investigación relacionado en la vida cotidiana, titulado “CÁLCULO DE LA SOMBRA APLICANDO LA DERIVADA “. Para el desarrollo de nuestro proyecto hemos buscado unos antecedentes casi parecidas a nuestro trabajo de investigación como el trabajo de UBA que se denomina: “Las sombras y su relación con la ubicación geográfica” que se trata de un proyecto basada en que se propongan a los alumnos utilizar los modelos teóricos geocéntricos y heliocéntricos para predecir el comportamiento de las sombras en diferentes ubicaciones de la superficie de la Tierra, Pues en el transcurso del semestre de cálculo hemos visto temas de las aplicaciones de las derivadas y en esta oportunidad lo estamos empleando en la vida cotidiana en la rama de la arquitectura e ingeniería, donde aplicaremos las aplicaciones de la derivada como la razón de cambio también usaremos la primitiva de una función. El objetivo de este proyecto es calcular la variación de la longitud y ángulo respecto a la sombra para sí saber dónde es que hay más radiación solar y así beneficie los huertos como así también la ubicación de los ventanales en edificios y viviendas a construir dando a conocer los objetivos generales en nuestro proyecto procuraremos a pasar al desarrollo de nuestro proyecto

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CAPITULO 1 PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Actualmente los seres humanos están entrando en un mundo donde su prioridad es aprovechar los recursos naturales y visto todo ello nuestro proyecto se enfoca en el aprovechamiento de la luz emitida por el Sol, para ello utilizaremos el estudio de la sombra proyectada desde la salida del sol hasta que se oculta específicamente en la región de Junín (Huancayo). Nos basaremos en la longitud de la sombra, espesor y variación del ángulo que se proyecta en el suelo en distintos horarios del día. De esto obtendremos datos donde se proyecta en menor y mayor sombra en los distintos puntos cardinales; por ejemplo, utilizaremos esa información para una mejor orientación de los ventanales en las futuras construcciones y mayor aprovechamiento de cultivos en los viveros, etc. Viendo el problema de la incomodidad en muchas de las personas en la orientación de sus ventanales, su incomodidad se debe a que gracias a la mala orientación de sus ventanas el sol entre directamente hacia sus hogares provocando una incomodidad en sus dueños y no solo vimos ese problema.

OBJETIVO GENERAL - Variación de la longitud de la sombra proyectada por un objeto en un determinado horario. - Variación del ángulo de la sombra proyectada.

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CAPITULO II MARCO TEÓRICO: 2.1 APLICACIÓN DE LA DERIVADA Las derivadas son unas funciones matemáticas que, a partir del siglo XVII, tras los estudios de Isaac Newton y Leibniz, (P., 2000 pág. 564), se dio la solución al cálculo infinitesimal, que se había empezado a estudiar en Grecia clásica, más o menos en el siglo II a C. Pues cada uno de estos autores crearon unos sistemas del cálculo propio. En la actualidad la importancia de las derivadas está en que hoy en día no se sería posible entender el mundo en que vivimos pues simplemente sin la aplicación de estas la mayoría de los cálculos científicos y en casi todo lo que nos rodea, sin embargo, aunque esta no sea un elemento intangible, su valor radica en que desde un punto de vista científico se aplica a numerosas investigaciones importantísimas y de las que sus aplicaciones revierten en la propia sociedad. (Spivak, 1994 pág. 55) Es decir que las derivadas son esenciales para estudios tan importantes como la relatividad, mecánica cuántica, la ingeniería, ecuaciones diferenciales, teoría las funciones, etc. En términos generales la derivada aporta una información concreta, directa y científica a los expertos que les ayuda a modelar o describir la variación, el movimiento, los fenómenos que cambian con el tiempo, lo que se conoce como sistemas dinámicos pues todas estas aplicaciones involucran diversos tipos de variables y campos de estudios en los cuales aparecen el concepto de la variación o cambio instantáneo de una variable respecto a otra. 2.2 LA DERIVADA La derivada es un elemento utilizado en la matemática para calcular respuestas de una función a la que se les están alterando sus valores iníciales. La derivada de una función que está representada gráficamente como una línea recta superpuesta sobre cualquier curva (función) el valor que está pendiente respecto al eje sobre el cual esta siendo estudiada.

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La derivada de una función mide la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambia el valor mide su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local (B., 1984 pág. 359), es decir se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se torna cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una función en un punto dado pues el resultado de un límite y representa de la recta tangente a la gráfica de la función en el punto. 2.3. RAZÓN DE CAMBIO La Razón de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. Por ejemplo: o La distancia la sombra de un objeto o El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,) o La cantidad de dinero en una cuenta en un banco o El volumen de un globo mientras se infla o El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+"t, es el incremento La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente ¡Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad de tiempo) como el límite de esta razón promedio cuando “t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es:

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Lo cual simplemente es la derivada f´(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t) es la derivada

La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con el tiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante. También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así Q es creciente en el instante t si Q es decreciente en el instante t si Gráficamente

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La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente. 2.4. LA PRIMITIVA DE UNA FUNCIÓN Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada pasando por su diferencial y por el proceso de integración no vuelve exactamente a su función original EJEMPLO y=3x”+2x+18 dy/dx=6x+2 dy=6x+2 (dx) Integral=3x”+2x = 3x”+2x+c ANTECEDENTES: Uno de los primeros trabajos relacionados corresponde a CONICET quien realizó la propuesta del movimiento aparente del Sol durante el día en esta actividad se utilizaron y se pusieron en juego para el diseño y armado de una maqueta que represente el movimiento del Sol durante el día en distintos momentos del año. Asimismo, la actividad permite a los alumnos reflexionar sobre lo

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aprendido hasta el momento, a la vez que se sirve de la maqueta para comenzar a imaginar los cambios astronómicos que se suceden a lo largo del año. Imagen 1

FUENTE:https://www.google.com.pe/search?q=variacion+de+la+longitud+de+la+sombra Para dar inicio a esta actividad el docente puede comentar a los alumnos que, juntos, construirán una maqueta para representar en forma simplificada el movimiento del Sol a lo largo del año. Un segundo trabajo de UBA se denomina: “Las sombras y su relación con la ubicación geográfica”. Se trata de un proyecto que se basa en que se proponga a los alumnos que utilicen los modelos teóricos geocéntrico y heliocéntrico para predecir cómo será el comportamiento de las sombras en diferentes ubicaciones de la superficie de la Tierra, ya que es importante alentar a los alumnos les resulte más simple analizar y explicar el comportamiento de las sombras en diferentes latitudes empleando la esfera de telgopor y la fuente de luz, como lo vería un 8 observador ubicado fuera de la Tierra. A eso llamamos un modelo externo.

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CÁLCULO 1 Imagen 2

Fuente:https://www.google.com.pe/search?q=variacion+de+la+longitud+de+la+sombra+proyec to&tbm

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CÁLCULO 1 DESARROLLO DEL PROBLEMA:

1 𝑡2 ( − 720𝑡) 5 2 𝐿(𝑡) 1 𝑡2 − ( − 720𝑡) { 5 2

𝑠𝑖: 𝑠𝑖:

𝑡2 − 720𝑡 ≥ 0 2 𝑡2 − 720𝑡 < 0 2

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1 (𝑡 − 720) 5 𝐿´(𝑡) { 1 − (𝑡 − 720) 5 ∆𝐿 1 = ∆𝑡 5

𝑠𝑖: 𝑡 − 720 ≥ 0 𝑠𝑖: 𝑡 − 720 < 0 ∆𝐿 1 =− ∆𝑡 5

(𝑡 − 720)3 𝜃= 3(60) (𝑡 − 720)2 𝜃´ = 60

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CÁLCULO 1 CAPITULO III

IMPORTACIA DEL PROYECTO  Sabemos que no siempre es sencillo hacer modificaciones a tu casa o departamento para que las condiciones de éste mejoren, pero hay cosas que son indispensables, como es el caso de la iluminación. En estas circunstancias lo primero que pensamos es en lámparas, focos de mayor intensidad o ahorradores y toda suerte de fuentes de luz, dejando de lado la más importante: la luz natural.  Para el medio ambiente, la iluminación natural tiene una gran cantidad de beneficios, uno de ellos es que reduce el consumo energético, minimizado hacia el CO2. Los sistemas de iluminación con luz natural, influyen en la carga térmica del edificio permitiendo un ahorro en la energía para la calefacción. Además, es útil para que los espacios que son reducidos puedan lucir más amplios o limpios.  Para las personas, ayudan a segregar serotonina, por lo que el estado de ánimo mejora; además, los rayos UVA auxilian en la producción de vitamina D, aumentando el calcio en los huesos. Asimismo, la luz es el marcador temporal de nuestro reloj biológico por lo que puede avivar el estado alerta de la gente, mejorar su sueño y en general su rendimiento diario.

CONCLUSIONES:

 Todas las sombras de los objetos expuestos al Sol cambian de posición y de forma a lo largo del día dándose una variación en la distancia de la sombra y el tamaño de la misma, este fenómeno se da gracias al movimiento del sol, el cual con un tiempo determinado hace que la sombra del objeto crezca o decrezca en  En el mismo momento del día, todas las sombras tienen la misma dirección gracias a la rotación de la tierra.  El Sol se mueve en el cielo y este movimiento es el responsable de que las sombras varíen la longitud y la dirección.

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BIBLIOGRAFÍA A. Soler, P. Oteiza. 2013. https://scholar.google.com.pe/scholar?hl=es&as_sdt=0%2C5&q=utilizacion+de+la+luz+del+dia +en+las+ventanas+de+los+edificios&btnG=. [En línea] 20 de 10 de 2013. B., Gerall. 1984. Analisis . Filandelfia : Modern Techniques, 1984. 978-0-471-00005-1. P., Robert. 2000. Diccionario de ciencias . s.l. : Editorial Coplutense, 2000. 84-89784-80-4. Spivak, Michael. 1994. Introduccion al Analisis Matematico . Buenos Aires : Universitaria de Buenos Aires , 1994. 0-201-62907-0.

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CÁLCULO 1 ANEXOS

1)

 En esta imagen se observa cómo se da inicio a este proyecto 2)

 En esta imagen se observa variación de la longitud de la sombra

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3)

 Aquí se ve claramente la variación de la longitud y ángulo de la sombra de la varilla.