Lecturi Grafice

FUNCTII (LECTURI GRAFICE) Reper cartezian, produs cartezian; reprezentarea prin puncte a unui produs cartezian de multimi numerice; conditii algebrice pentru puncte aflate in cadrane. Drepte in plan de forma x=m, sau y=m, mєR. Functia: definitie, exemple, exemple de corespondente care nu sunt functii, modalitati de a descrie o functie, lecturi grafice. Egalitatea a doua functii, imaginea si preimaginea unei multimi printr-o functie, graficul unei functii, restrictii ale unei functii. Compunerea functiilor; exemple pe functii numerice. ¨Definitie:Produsul cartezian dintre 2 multimi A si B se noteaza AxB si este AxB= ¨semnele coordonatelor unui punct in fiecare cadran cadranul I II III IV coordonatele x + + y + + ¨dreapta x=m este verticala iar y=m este orizontala ¨Moduri de a defini o functie : 1) functii definite sintetic adica pentru

se indica pentru fiecare element

elementul acest lucru se poate face cu ajutorul diagramei cu sageti sau cu ajutorul tabelului de valori sau printr-un tablou exemplu

·

Functii numerice (F = ), proprietati ale functiilor numerice introduse prin lecturi grafice: reprezentarea geometrica a graficului, intersectia cu axele de coordonate, rezolvari grafice de ecuatii si inecuatii de forma f(x)=g(x) (≤, <, >,≥ ) : marginire, paritate, imparitate (simetria graficului fata de axa Oy sau origine), simetria graficului fata de drepte de forma x = m, mIR sau fata de puncte oarecare din plan, periodicitate, monotonie.

-diagrama cu sagati aceeasi functie cu tabel de valori x 1 2 3 f(x) 4 4 5 aceeasi functie printr-un tablou 2)functii definite analitic sunt functiile definite printr-una sau mai multe formule exemplu

1) 2)

f(x)=2x+3

Imaginea si preimaginea unei multimi printr-o functie : ¨Def: Fie

,

se numeste imaginea lui A’ prin f si se noteaza f(A’) multimea valorilor pe

care le ia f(x) cand x parcurge A’ noteaza Imf si se citeste imaginea functiei ¨Def: : Fie

in cazul in care A’=A

f(A) se mai

daca x este un element din A astfel incat y=f(x) spunem ca x este o preimagine a lui y

¨Def: Fie

.Se numeste imaginea reciproca a unei parti B’ a lui B , notata

submultimea

lui A formata din acele elemente ale caror imagini prin f apartin lui B’ ¨Def: Fie

,

se numeste restrictia lui f la A’ si se noteaza

functia

prin ¨PROPRIETATILE FUNCTIILOR NUMERICE proprietate interpretarea geometrica functia e marginita daca graficul ei este este marginita daca exista a si b cuprins intre dreptele orizontale y=a si y=b doua numere reale astfel incat

si x)=f(x) si x)=-f(x)

A are propritatea ca atunci . Spunem ca f e functie para daca f(-

graficul functiei este simetric fata de Oy

A are propritatea ca atunci . Spunem ca f e functie para daca f(-

graficul functiei este simetric fata de origine

spunem ca f e periodica graficul unei functii periodice de periada t e sufient sa fie trasat pe un interval de lungime de perioada t daca f(x+t)=f(x) t ,dupa care se repeta . cea mai mica perioada se numeste periada principala graficul functiei privit de la stanga la dreapta spunem ca f e strict crescatoare pe e o curba strict crescatoare A daca atunci graficul functiei privit de la stanga la dreapta spunem ca f e monoton e o curba monoton crescatoare crescatoare pe A daca atunci spunem ca f e strict descrescatoare pe graficul functiei privit de la stanga la dreapta e o curba strict descrescatoare A daca atunci graficul functiei privit de la stanga la dreapta spunem ca f e e o curba monoton descrescatoare monoton descrescatoare pe A daca atunci ¨compunrea functiilor doua functii f si g se pot compune daca avem A B C in acest caz are sens gof:A®C (gof) (x)=g(f(x)) exemplu: 1) f:R®R f(x)=x2-2x+3 g:R®R g(x)=2x-1 (fog)(x)=f(g(x))=g(x)2-2g(x)+3= (2x-1)2-2(2x-1)+3 2) f:R®R (fog)(x)= f(g(x))=

g:R®R g(x)=2x-4 =

=

= (gof)(x)=g(f(x))=2f(x)-4 3) f:R®R

g:R®R

(fog)(x)= f(g(x))= = ¨Proprietatile compunerii: 1) asociativitate (fog)oh=fo(goh) ' f,g,h trei functii ce se pot compune

=

A B C D 2) nu e comutativa fog¹gof 3) elementul neutru este functia identica a multimii A notata 1A:A®A 1A(x)=x fo1A=f 1Bof=f ' f:A®B

Functii compunerea functiilor

imaginea multimii A prin functia f Intersectia 636c29g graficului functiei f cu axa Ox :

Intersectia 636c29g graficului functiei f cu axa Oy:

functie para

functie impara Functia de gradul I

, Graficul este o dreapta

Functia este crescatoare pentru

si descrescatoare pentru

Functia de gradul II

, Graficul este o parabola Daca

parabola are ramurile in sus iar daca

parabola are ramurile in jos.

varful parabolei Daca

functia este

descrescatoare pe

si

crescatoare pe Daca

functia este

crescatoare pe

si

descrescatoare pe Exemple:

1) Calculati

pentru

2) Aratati ca

este functie para

3) Aflati valorile m pentru care

Punem obtinem

conditia

este functie crescatoare

.

Ecuatia atasata

are

radacinile

,

.

Folosind

regula

de

semn

4) Determinati imaginea functiei

,

. Deoarece parabola are ramurile in sus

5) Pentru

calculati

2600 Functii - Exercitii

1.

727e46h

Se considera functia

2.

727e46h

Se considera functia

3.

727e46h

Se considera functia

4.

727e46h

Sa se determine multimea valorilor functiei f.

Sa se determine

Sa se calculeze

Fie functia maxima a functiei f este egala cu 5.

5.

727e46h

Fie

unde m este un numar real nenul. Sa se determine m stiind ca valoarea

functiile

si

Sa

determine

solutia

reala

a

ecuatiei

6.

727e46h

Fie functiile graficelor functiilor f si g.

si

7.

727e46h

8.

727e46h

9.

727e46h Fie functia nenul m stiind ca valoarea minima a functiei este egala cu 1.

Fie functia

Sa se calculeze coordonatele punctulului de intersectie al

. Sa se determine solutiile reale ale inecuatiei

Se considera functia egala cu ordonata.

10. Se considera functia

Sa se determine punctul care apartine graficului functiei f si are abscisa

unde m este un numar real nenul. Sa se determine numarul real

Sa determine solutiile reale ale ecuatiei

11. Se considera functia

Sa se determine numerele reale a si b stiind ca

pentru

12. Se considera functia

13. Se

considera

Sa se calculeze

functiile

si

Sa

determine

solutiile

reale

ecuatiei

14. Sa se determine

, stiind ca reprezentarea grafica a functiei

este tangenta axei Ox.

ale

15. Se considera functia

Sa se calculeze

16. Fie functia

. Sa se determine valorile numarului real m stiind ca

17. Se considera functia

Sa se calculeze

18. Fie functia

. Sa se determine multimea valorilor functiei f.

19. Se considera functia

20. Sa

se

, pentru

determine

Sa se calculeze

,

stiind

ca

abscisa

punctului

.

de

minim

al

graficului

functiei

este egala cu 2.

21. Se considera functia

Sa se calculeze

.

22. Sa se calculeze distanta dintre punctele de intersectie ale reprezentarii grafice a functei

23. Fie functia axa Ox.

cu axa Ox.

. Sa se calculeze distanta dintre punctele determinate de intersectia graficului functiei f cu

24. Se considera functia reprezentarea grafica a functiei f.

Sa se determine punctul de intersectie al dreptei de ecuatie

25. Sa se determine valorile reale ale lui m, stiind ca valoarea minima a functiei

cu

cu

este egala

.

26. Se considera functia

. Sa se calculeze

27. Sa se determine cea mai mica valoare a functiei

28. Se considera functia

29. Se considera functia

30. Se considera functia

31. Se considera functia

.

. Sa se calculeze

.

. Sa se calculeze

.

. Sa se arate ca

. Sa se calculeze

32. Sa se determine functia de gradul al doilea

egala cu

.

.

,

, al carei grafic are abscisa varfului

.

33. Se considera functia

34. Se considera functia

. Sa se calculeze

. Sa se calculeze

.

.

35. Se considera functia

. Sa se calculeze

.

36. Sa se demonstreze ca parabola functiei fi

este situata deasupra axei Ox, oricare ar

.

37. Se considera functia

. Sa se calculeze

38. Se considera functia

cu

.

. Sa se determine numerele reale m pentru care minimul functiei f este egal

.

39. Se considera functia

. Sa se calculeze

40. Se considera functia

.

. Sa se verifice daca punctul

41. Se considera functia

. Sa se rezolve inecuatia

apartine graficului functiei f.

.

42. Se considera functia

. Sa se calculeze

.

43. Se considera functia

. Sa se calculeze

.

44. Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei

45. Se considera functia

.

. Sa se calculeze

46. Se considera functia

.

. Sa se calculeze

47. Se considera functia graficului functiei f.

Sa se determine numerele reale m pentru care punctul

48. Se considera functia apartine graficului functiei f.

49. Se considera functiile graficelor functiilor f si g.

Sa se determine valorile numarului real m pentru care punctul

si

Sa se determine coordonatele punctului de intersectie al

50. Sa se determine functia de gradul al II -lea al carei grafic contine punctele

si

51. Sa se determine valoarea maxima a functiei

52. Sa se determine punctele de intersectie ale graficelor functiilor

53. Sa se determine

54. Sa se determine functia

55. Se considera functia

apartine

astfel incat graficul functiei

si

sa contina punctul

al carei grafic trece prin punctele

. Sa se determine valorile lui x pentru care

si

56. Sa se determine valorile reale ale numarului m stiind ca valoarea minima a functiei cu 2.

este egala

57. Sa se determine domeniul maxim de definitie D al functiei

58. Sa se determine valorile reale nenule ale lui m pentru care graficul functiei axa Ox.

este tangent la

59. Sa se determine valorile reale ale numarului m stiind ca valoarea maxima a functiei egala cu 10.

este

60. Sa se calculeze aria triunghiului determinat de graficul functiei

si axele de coordonate.

61. Sa se determine punctele de intersectie ale graficului functiei

cu axele de coordonate.

62. Sa se determine punctele de intersectie ale graficului functiei

cu axele de coordonate.

63. Sa se determine valorile reale ale lui m pentru care graficul functiei

64. Se considera functia

este tangent la axa Ox.

unde

65. Se considera functia

. Sa se determine a astfel incat minimul functiei f sa fie 1.

. Sa se arate ca varful parabolei asociate functiei are coordonatele egale.

66. Fie functia

Sa se calculeze

67. Sa se determine valoarea maxima a functiei

68. Se considera functia

69. Sa se arate ca,

Sa se calculeze

parabola asociata functiei

70. Se considera functia

71. Se

considera

este situata deasupra axei Ox.

. Sa se calculeze

functiile

definite

.

prin

Sa

se

verifice

relatia

72. Se considera functia

. Sa se arate ca

73. Fie functia relatia

, cu

,

.

. Sa se arate ca solutiile

si

ale ecuatiei

verifica

.

74. Sa se demonstreze ca parabola asociata functiei

75. Se considera functia

76. Sa se arate ca varful parabolei asociate functiei

este tangenta axei Ox.

. Sa se calculeze

.

se afla pe dreapta de ecuatie

.

77. Se considera functia

. Sa se calculeze

78. Se considera functiile

.

si

79. Se considera functia

Sa rezolve ecuatia

. Sa se calculeze produsul

80. Se considera functia 2.

. Sa se determine numarul real m astfel incat minimul functiei sa fie egal cu -

81. Sa se determine coordonatele punctelor de intersectie cu axele de coordonate ale graficului functiei

82. Sa se determine functia si

.

, cu a si b numere reale pentru care

.

83. Se considera functia

. Sa se demonstreze ca

84. Sa se determine punctul de intersectie dintre graficul functiei

85. Se considera functiile daca

86. Se considera functia

.

si axa Oy.

,

, unde a si b sunt numere reale. Sa se arate ca,

atunci f=g.

. Sa se calculeze

87. Se considera functia

88. Sa se determine coordonatele varfului parabolei asociate functiei

. Sa se calculeze

.

.

.