Libro: Hidraulica De Canales Abiertos Autor: Hubert Chanson

LIBRO: HIDRAULICA DE CANALES ABIERTOS AUTOR: HUBERT CHANSON NOMBRES: Magaly Yohana González largo Daniela Fernanda Martínez Bautista Yurany Andrea Núñez Barrera Marilyn Xiomara Pacheco Bueno

INTRODUCCIÓN El termino hidráulica se relaciona con los principios de mecánica de fluidos a las estructuras de ingeniería del agua y las obras de ingeniería civil y ambiental en especial a las estructuras hidráulicas por ejemplo canales, ríos, presas, embalses y plantas de tratamientos de aguas.

Se consideran canales abiertos a los líquidos que fluyen en una superficie libre. El factor primordial es la localización de la superficie libre la cual se desconoce ante mano (“a priori”). Los principales parámetros en un estudio hidráulico son la geometría del canal, ancho, pendiente rugosidad y las propiedades del fluido fluyendo son: densidad y viscosidad, por último, los parámetros del fluido son: velocidad y profundidad del flujo.

PROPIEDADES DE LOS FLUIDOS: La le dé viscosidad de Newton postula que, para el movimiento paralelo recto de un fluido dado, el esfuerzo tangencial entre dos capas adyacentes es proporcional al gradiente de velocidad en la dirección perpendicular a las capas. 𝑻= 𝝁

𝒅𝒗 𝒅𝒚

T= Esfuerzo cortante entre capas adyacentes del fluido 𝝁 = Viscosidad dinámica del fluido Y= Dirección perpendicular al movimiento del fluido

ESTATICA DE LOS FLUIDOS:

Si se considera un flujo en reposo, la presión en cualquier punto dentro del fluido sigue la ley de pascal. Para cualquier pequeño volumen de control no existe esfuerzo cortante que actué dentro de la superficie de control. Las únicas fuerzas que actúan sobre el volumen de control del fluido son las fuerzas gravitacionales y las de presión.

Ilustración 1 Variación de presión en un fluido estático.

La variación de las regiones en un fluido estático se da de la siguiente manera: 𝒅𝑷 = −𝒑 ∗ 𝒈 𝒅𝒛 P: Presión z: Elevación vertical positiva P: Densidad del fluido g: Constante gravitacional

Para un cuerpo de fluido en reposo con superficie libre y con densidad constante, la variación de presión es igual a: 𝑷(𝒙, 𝒚, 𝒛) = 𝑷𝒂𝒕𝒎 − 𝒑𝒈(𝒁𝒐 + 𝒅))

Patm= Presión atmosférica Zo= Elevación del fondo del embalse d= profundidad del embalse (Zo+d) = Elevación de la superficie libre.

FLUJO EN CANALES ABIERTOS Un canal abierto es una vía de agua, canal o conducto en el cual un líquido fluye con una superficie libre. Estos canales describen el movimiento del fluido y en la mayoría de aplicaciones el líquido es agua y el aire por encima del líquido se encuentra en general en reposo y a una presión atmosférica estándar.

Ilustración 2 Grafica de flujo en canales abiertos. APLICACIONES: El fluido de canales abiertos se encuentra tanto en la naturaleza como en estructuras artificiales, también se observa tanto en escalas pequeñas como en situaciones de gran escala por ejemplo la profundidad del flujo que pueden estar entre unos pocos centímetros en planta de tratamientos de agua hasta más de 10 metros en ríos grandes. La velocidad media del flujo puede variar desde menos de 0,01 m/s en aguas tranquilas a más de 50m/s en vertederos de arta energía o cabeza. El rango total de caudales puede extenderse desde Q~0.001 L/s en plantas químicas a Q>10000 m3/s en ríos grandes o vertederos. ECUACIONES FUNDAMENTALES En el flujo en canales abiertos, la superficie libre se encuentra siempre a una presión absoluta constante (en general presión atmosférica) y la fuerza que dirige el flujo es la gravedad. En la mayoría de situaciones prácticas, los canales abiertos contienen agua. Sin embargo, los principios generales desarrollados para el cálculo del flujo en canales abiertos son aplicables a otros líquidos. Los resultados específicos (resistencia al flujo) se basan primordialmente en datos experimentales obtenidos en lo fundamental con agua. La ley de conservación de la masa establece que la masa dentro de un sistema cerrado permanece constante con el tiempo (sin tener en cuenta los efectos de la relatividad): Ecuación (2.1) Donde M= Masa total

𝑫𝑴 =𝟎 𝑫𝒕

𝑫 𝑫𝒕

= Diferencial absoluto

La ecuacion anterior conduce a la ecuacion de continuidad. La expresión de la segunda ley de movimiento de Newton para un sistema es: ∑𝑭 =

𝑫 (𝑴 ∗ 𝑽) 𝑫𝒕

Ecuación de movimiento (2.2) Donde: ∑ 𝑭 =Resultante de todas las fuerzas externas que actúan sobre el sistema incluyendo las fuerzas de cuerpo tales como la gravedad. V= Velocidad del centro de masa del sistema

𝑉𝑦 + 𝑑𝑉𝑦 y

𝑉𝑥

𝑉𝑥 + 𝑑𝑉𝑥 x 𝑉𝑦

Las ecuaciones (2.1) y (2.2) deben aplicarse a un volumen de control, el cual se define como una región especifica del espacio seleccionado para análisis. En dicha región en el espacio en la cual el fluido entra y sale; la frontera de un volumen de control es su superficie de control. El concepto de volumen de control utilizado en conjunción con la forma diferencial de las ecuaciones de continuidad, momentum y energía, es un sistema abierto. Todas las situaciones de flujo incluyendo los flujos en canales abiertos están sujetas a las siguientes relaciones: 1. Las leyes primera y segunda de la termodinámica 2. La ley de la conservación de la masa (relación de continuidad)

3. La ley del movimiento de Newton 4. Las condiciones de frontera Se pueden aplicar otras relaciones, tales como la ecuación de estado, la ley de viscosidad de Newton.

ECUACIÓN DE CONTINUIDAD El principio de conservación de la masa establece que la masa dentro de un sistema cerrado permanece constante en el tiempo: 𝑫𝑴 𝑫𝒕

𝑫

= 𝑫𝒕 ∫ 𝒙 ∫ 𝒚 ∫ 𝒛 𝝆𝒅𝒙𝒅𝒚𝒅𝒛 = 𝟎 Ecuación (2.3)

Donde: 𝝆 = 𝒅𝒆𝒏𝒔𝒊𝒅𝒂𝒅 𝒅𝒆𝒍 𝒇𝒍𝒖𝒊𝒅𝒐 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒏𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒖𝒏 𝒔𝒊𝒔𝒕𝒆𝒎𝒂 𝒅𝒆 𝒄𝒐𝒐𝒓𝒅𝒆𝒏𝒂𝒅𝒂𝒔 𝒄𝒂𝒓𝒕𝒆𝒔𝒊𝒂𝒏𝒂𝒔

Para un volumen de control infinitesimal la ecuación de continuidad es 𝜕𝜌 + 𝑑𝑖𝑣(𝜌𝑽) = 0 𝜕𝑡 Y en coordenadas cartesianas: 𝜕𝜌 𝜕(𝜌𝑉𝑥 ) 𝜕(𝜌𝑉𝑦 ) 𝜕(𝜌𝑉𝑧 ) + + + =0 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 Donde : 𝑉𝑥¨, 𝑉𝑦, 𝑉𝑧 son los componentes de la velocidad en direcciones x,y,z respectivamente . Para un fluido incompresible (es decir 𝜌 = constante) la ecuación de continuidad se convierte en : 𝑑𝑖𝑣 𝑉 = 0

Y en coordenadas cartesianas:

Ecuación (2.5ª)

Ecuación (2.5b)

𝜕(𝑉𝑥 ) 𝜕(𝑉𝑦 ) 𝜕(𝑉𝑧 ) + + =0 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Para un flujo incompresible (por ejemplo, el flujo de canal abierto) el afluente (es decir, la cantidad de fluido que entra a un volumen de control) es igual al efluente.

APLICACIÓN: si se considera el flujo en un canal abierto que no tenga flujo a través de las paredes laterales y el fondo, la ecuación (2.5) puede integrarse entre dos secciones transversales de áreas 𝐴1 y 𝐴2 lo cual arroja: 𝑄 = ∫ 𝑉 𝑑𝐴 = ∫ 𝑉 𝑑𝐴 𝐴1

𝐴2

Donde : 𝑄 = Caudal total (descarga volumétrica ) La integración de la ecuación lleva a: 𝑄 = 𝑉1 𝐴1 𝐴1 = 𝑉2 𝐴2 Donde: 𝑉1 𝑦 𝑉2= velocidades medias a través de las secciones trasversales 𝐴1 𝑦 𝐴2 respectivamente.

ECUACIÓN DE MOMENTUM La ecuación de Navier -Stokes, el desarrollo de la ecuación par un volumen de control utiliza como base la ley de movimiento de Newton : ∑𝑭 =

𝑫 𝝏 (𝑴 ∗ 𝑽) = (∫ 𝝆𝑽 𝒅 𝑽𝒐𝒍𝒖𝒎𝒆𝒏) + ∫ 𝝆 𝑽𝑽 𝒅 Á𝒓𝒆𝒂 𝑫𝒕 𝝏𝒕 𝑪𝑽 𝑪𝑺

Ecuación 2.6 Donde: VC y SC= Volumen y superficie de control.

En lo básico, establece que el cambio de momentum es igual a la suma de todas las fuerzas aplicadas al volumen de control. Las fuerzas que actúan sobre el volumen de control son: 1.Fuerzas superficiales= Las fuerzas de presión y las fuerzas cortantes que actúan sobre la superficie de control. 2. Fuerzas de volumen = Fuerzas gravitacionales aplicadas en el centro de masa del volumen de control. Para un volumen infinitesimal pequeño la ecuación de momentum, aplicada a la componente 𝑖 de la ecuación vectorial es:

𝜕𝜎𝑖𝑗 𝐷(𝜌𝑉𝑖 𝜕(𝜌𝑉𝑖 ) 𝜕(𝜌𝑉𝑖 ) =( + ∑ 𝑉𝑗 ) = 𝜌𝐹𝑉𝑂𝐿1 + ∑ 𝐷𝑡 𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑗

𝐽

ECUACIÓN 2.7 Donde : D/Dt= Diferencial absoluto o derivada absoluta 𝑽= Componente de la velocidad en la dirección i 𝑭𝑽𝑶𝑳 = Resultante de las fuerzas de volumen (por unidad de volumen) 𝝈𝒊𝒋 = Tensor esfuerzo, los subíndices 𝑖 𝑦 𝑗 se refieren a los componentes en las coordenadas cartesianas, por ejemplo x y y . Si las fuerzas volumétricas 𝑭𝑽𝑶𝑳 se derivan de un potencial U, pueden reescribirse como: 𝑭𝑽𝑶𝑳 = −𝒈𝒓𝒂𝒅 𝑼 por ejemplo las fuerzas gravitacionales 𝑭𝑽𝑶𝑳 = −𝒈𝒓𝒂𝒅 (𝒈𝒛)) . Además, para un fluido newtoniano y una fuerza volumétrica causada por un potencial, la ecuación de momentum se convierte en: 𝐷(𝜌 ∗ 𝑉) = 𝜌𝐹𝑉𝑂𝐿 − 𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑃 + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐 𝐷𝑡

Donde: P= presión

ECUACION 2.8

𝑭𝒗𝒊𝒔𝒄 = Resultante de las fuerzas viscosas por unidad de volumen, que actúan sobre el volumen de control. En coordenadas cartesianas (𝑥. 𝑦. 𝑧)

𝜕(𝜌𝑉𝑥 ) 𝜕(𝜌𝑉𝑥 ) 𝜕𝑃 ( + ∑ 𝑉𝑗 ) = 𝜌𝐹𝑣𝑜𝑙𝑥 − + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥

ECUACIÓN 2.9a

𝑗

(

𝜕(𝜌𝑉𝑦 ) 𝜕(𝜌𝑉𝑦 ) 𝜕𝑃 + ∑ 𝑉𝑗 ) = 𝜌𝐹𝑣𝑜𝑙𝑦 − + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑦

ECUACIÓN 2.9b

𝑗

𝜕(𝜌𝑉𝑧 ) 𝜕(𝜌𝑉𝑧 ) 𝜕𝑃 ( + ∑ 𝑉𝑗 ) = 𝜌𝐹𝑣𝑜𝑙𝑧 − + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑧 𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑗𝑐 𝜕𝑧

ECUACIÓN 2.9c

𝑗

Donde : 𝒋 = Subíndice de los componentes de las coordenadas cartesianas ( es decir 𝑗 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) En la ecuación 2.9 el termino de la izquierda es la suma de la acumulación de momentum

el flujo

𝑉𝜕(𝜌𝑉) 𝜕𝑥

𝜕(𝜌𝑉) 𝜕𝑡

más

el termino de la izquierda es la suma de todas las fuerzas que actúan sobre

el volumen de control: la fuerza de cuerpo (o fuerza volumétrica) que actúa sobre la masa como un todo, y las fuerzas superficiales que actúan sobre la superficie de control. Para el flujo incompresible (𝜌 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ), de un flujo newtoniano con viscosidad constante en todo el volumen de control, la ecuación de movimiento se convierte en: 𝜕𝑉𝑥 𝜕(𝜌𝑉𝑥 ) 𝜕𝑃 𝜌( + ∑ 𝑉𝑗 ) = 𝜌𝐹𝑣𝑜𝑙𝑥 − + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥 𝑗

𝜕𝑉𝑦 𝜕(𝜌𝑉𝑦 ) 𝜕𝑃 𝜌( + ∑ 𝑉𝑗 ) = 𝜌𝐹𝑣𝑜𝑙𝑦 − + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑦 𝜕𝑡 𝜕𝑦𝑗 𝜕𝑦 𝑗

ECUACIÓN 2.10a

ECUACIÓN 2.10b

ECUACIÓN 2.10c

𝜕𝑉𝑧 𝜕(𝜌𝑉𝑧 ) 𝜕𝑃 𝜌( + ∑ 𝑉𝑗 ) = 𝜌𝐹𝑣𝑜𝑙𝑧 − + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑧 𝜕𝑡 𝜕𝑧𝑗 𝜕𝑧 𝑗

Donde:𝜌,la densidad del fluido, se supone constante tanto en el espacio como en el tiempo. Las ecuaciones (2.10) se conocen como la ecuación de Navier -Stokes. Al considerar un flujo bidimensional en el plano (x,y) y para fuerzas gravitacionales , la ecuación se Navier*Stokes se convierte en :

𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑃 𝜌( + 𝑉𝑥 + 𝑉𝑦 ) = 𝜌𝑔 − + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑥 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

𝜌(

𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑃 + 𝑉𝑥 + 𝑉𝑦 − + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑦 ) = 𝜌𝑔 𝜕𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦

ECUACIÓN 2.11a

ECUACIÓN 2.11b

Donde 𝑧 esta alineada a lo largo de la dirección vertical y es positiva hacia arriba. Nótese que las direcciones x y y son perpendiculares una con respecto a la otra y son independientes de (y no necesariamente ortogonales a) la dirección vertical. NOTAS: 1.Para la fuerza de gravedad el potencial de fuerza de volumen U es: 𝒖=𝒈∗𝒙 Donde 𝑔 es el vector de aceleración de la gravedad y 𝑥 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) siendo z la dirección vertical positiva hacia arriba. este planteamiento muestra que el valor de la fuerza gravitacional es igual a: 𝑭𝒗𝒐𝒍 = −𝒈𝒓𝒂𝒅(𝒈𝒛) 2. un fluido newtoniano se caracteriza por una relación lineal entre la magnitud del esfuerzo cortante 𝜏 y la taza de deformación

𝜕𝑉 𝜕𝑦

esfuerzo es: 𝝈𝒊𝒋 = 𝑷𝜹𝒊𝒋 + 𝝉𝒊𝒋 𝝉𝒊𝒋 = −

𝟐𝝁 𝜺𝜹𝒊𝒋 + 𝟐𝝁𝜺𝒊𝒋 𝟑

ecuación 1.1 y el tensor del

Donde : 𝑷 = 𝑃𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 𝑒𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎. 𝝉𝒊𝒋 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚 𝑖 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑛𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑗 𝜹𝒊𝒋 = 𝑒𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑

𝜹𝒊𝒊 𝑦 𝜹𝒊𝒋 = 𝟎(𝑝𝑎𝑟𝑎 𝒊 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝒋)

𝜀𝑖𝑗 = (

𝜕𝑉𝑖 𝜕𝑉𝑗 + ) 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑖

𝑦

𝜀 = 𝑑𝑖𝑣 𝑽 = ∑ 𝑖

𝜕𝑉𝑖 𝜕𝑥𝑖

3. El vector de las fuerzas viscosas es: 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑖 = 𝑑𝑖𝑣 𝜏𝑖 = ∑ 𝑗

𝜕𝑉𝑖𝑗 𝜕𝑥𝑗

Para un flujo incompresible, la ecuación de continuidad da: 𝜀 = 𝑑𝑖𝑣 𝑽 = 0 . La fuerza viscosa por unidad de volumen se convierte es:

𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐𝑖 = ∑ 𝜇 𝑗

𝜕 2 𝑉𝑖 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗

Donde : 𝝁 = 𝑣𝑖𝑠𝑐𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑛á𝑚𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜

Al sustituir las ecuaciones (2.11) se obtiene: ECUACIÓN ORIGINAL DE Navier-Stokes ECUACIÓN (2.12a)

𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑉𝑥 𝜕𝑧 𝜕𝑃 𝜕 2 𝑉𝑖 𝜌( + 𝑉𝑥 + 𝑉𝑦 ) = −𝑝𝑔 − + ∑𝜇 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑗

ECUACIÓN (2.12b)

APLICACIÓN

𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑉𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑃 𝜕 2 𝑉𝑖 𝜌( + 𝑉𝑥 + 𝑉𝑦 − + ∑𝜇 ) = −𝑝𝑔 𝜕𝑡 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝑗 𝜕𝑥𝑗 𝑗

E

Si se considera un flujo en canal abierto en un canal rectangular (figura 2.2) se supone flujo unidimensional, con una distribución de velocidad uniforme, una pendiente del canal constante.𝜃 Y un ancho b de canal constante. la ecuación de Navier Stokes en la dirección s es : 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑧 𝜕𝑃 𝜌 ( + 𝑉 ) = −𝑝𝑔 − + 𝐹𝑣𝑖𝑠𝑐 𝜕𝑡 𝜕𝑠 𝜕𝑠 𝜕𝑠 Donde: 𝑣 = 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑜𝑑𝑎𝑑 𝑎 𝑙𝑜𝑙𝑎𝑟𝑓𝑓𝑜 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 . Al integrar la ecuación de Navier-Stokes sobre el volumen de control, las fuerzas que actúan sobre el volumen de control mostradas en la figura 2.2 en la dirección s son: 𝑑𝑧

 ∫𝐶𝑉 −𝑝𝑔 = +𝑝𝑔𝐴∆𝑆 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 (𝑝𝑒𝑠𝑜) 𝑑𝑠 𝑑𝑃

 ∫𝐶𝑉 − 𝑑𝑠 = 𝑝𝑔𝑑 ∆𝑑𝐵 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑓𝑢𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛 ( 𝑠𝑢𝑝𝑜𝑛𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑠𝑡á𝑡𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ) ∫ 𝐹𝑣𝑖𝑠 = −𝜏𝑜 𝑃𝑤 ∆𝑠 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑟𝑖𝑐𝑐𝑖ó𝑛 (𝑐𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑜𝑛𝑡𝑒𝑟𝑎) 𝐶𝑉

Donde: 𝑨 = 𝑎𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 (𝐴 = 𝐵𝑑 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 ) 𝒅 = 𝑝𝑟𝑜𝑓𝑢𝑛𝑑𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 ∆𝒔 = 𝑙𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙. 𝝉𝟎 = 𝐸𝑠𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑜 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 𝑷𝒘 = 𝑃𝑒𝑟í𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 𝑚𝑜𝑗𝑎𝑑𝑜 . Si se supone un flujo permanente, el cambio de momentum es igual a : ∫ 𝝆𝑽 𝑪𝑽

𝒅𝒗 ∆𝑽 = 𝝆𝑨∆𝒔𝑽 𝒅𝒔 ∆𝒔

Donde: 𝑉 = 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝝆𝑽 = 𝑚𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑢𝑚 𝑝𝑜𝑟 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

APLICACIÓN DE LA ECUACION DE MOMENTUM Considerando un volumen de control arbitrario, es ventajoso seleccionar un volumen con una superficie de control perpendicular a la dirección del flujo denotada como s. Para un flujo permanente e incompresible. La ecuación de momentum arroja: ∑ 𝑭𝒔 = 𝝆𝟐 𝑨𝟐 𝑽𝟐 𝑽𝑺𝟐 − 𝝆𝟏 𝑨𝟏 𝑽𝟏 𝑽𝒔𝟏

ECUACIÓN(2.13ª)

Combinando dichos términos con la ecuación de continuidad para un flujo permanente e incompresible, se obtiene:

Esta ecuación de momentum establece que el cambio en el flujo de momentum es iguala la suma de todas las fuerzas (fuerzas de volumen y de superficie) que actúan sobre el volumen de control. ∑ 𝑭𝒔 = 𝝆𝑸(𝑽𝑺𝟐 − 𝑽𝑺𝟏 )

Ecuación (2.13b)

La ecuación de continuidad y la ecuación de momentum son, respectivamente.

Ecuación (2.14) 𝑽𝟏 𝒅𝟏 𝑩 = 𝑽𝟐 𝒅𝟐 𝑩 𝟏 𝟏 Ecuación (2.15) 𝝆𝑸(𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 ) = ( 𝝆𝒈𝒅𝟐𝟏 − 𝝆𝒈𝒅𝟐𝟐 ) 𝑩 𝟐 𝟐

Donde B es el ancho del canal Q es el caudal total, es decir (Q=VdB)

LA ECUACION DE BERNOULLI La forma local de la ecuación de Bernoulli se puede deducir de la ecuación de Navier (2.10) la cual a lo largo de la línea de corriente se convierte en:

𝒅𝒗

𝒅𝒛

𝒅𝑷

𝝆𝒗 𝒅𝒔 = −𝝆𝒈 𝒅𝒔 − 𝒅𝒔

(2.16)

Donde: V: es la velocidad a lo largo de la línea de corriente S: es la dirección a lo largo de dicha línea, la cual se define como imaginaria. La integración reescrita de la ecuación anterior a lo largo de una línea de corriente arroja: 𝑷

+ 𝒈𝒛 + 𝝆

𝒗𝟐 𝟐

(2.18)

= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆

Cada termino de la ecuación de Bernoulli puede interpretarse por analogía como una forma de energía: 

 

P/ρ es análogo al trabajo de flujo por unidad de masa del fluido en movimiento (trabajo neto hecho por el elemento fluido sobre su alrededor mientras está fluyendo). U=gz es similar a la energía potencial por unidad de masa. 𝒗𝟐 /𝟐 se relaciona con la energía cinética por unidad de masa.

Si no existieran perdidas por fricción, la suma de las energías potencial y cinética y el trabajo de las fuerzas de presión del fluido sería constante.

LA ECUACIÓN DE LA ENERGIA La primera ley de la termodinámica para un sistema establece que la energía neta por ejemplo calor, energía potencial suministrada al sistema es igual al incremento de energía en el sistema más la energía que sale de éste como trabajo hecho: 𝑫𝑬 𝑫𝒕

=

𝚫𝑸𝒉 𝚫𝒕

−

𝚫𝐖𝒕 𝚫𝒕

(2.19)

Donde:   

E es la energía total del sistema ∆Qh es el calor a él transferido ∆W es el trabajo hecho por el sistema

El trabajo hecho por el sistema sobre sus alrededores incluye el trabajo hecho por las fuerzas de presión: Δ𝑊𝑝 = Δ𝑡 ∫ 𝑃𝑣 𝑑𝐴 𝐶𝑆

Y el trabajo hecho por las fuerzas cortantes sobre un eje rotante ∆Ws Para un flujo permanente unidimensional a través de un volumen de control, la primera ley de la termodinámica se convierte en:

𝜟𝑸𝒉 𝑷𝟏 𝑽𝟐𝟏 𝜟𝑾𝒔 𝑷𝟐 𝑽𝟐𝟐 + ( + 𝒈𝒛𝟏 + ) 𝝆𝟏 𝑽𝟏 𝑨𝟏 = + (( + 𝒈𝒛𝟐 + ) 𝝆𝟐 𝑽𝟐 𝑨𝟐 𝜟𝒕 𝝆𝟏 𝟐 𝜟𝒕 𝝆𝟐 𝟐

(2.20)

Donde los subíndices 1 y 2 se refieren a las condiciones de flujo aguas arriba y aguas abajo respectivamente. Debido a que el flujo es permanente, la conservación de la masa implica que: (2.21)

𝝆𝟏 𝑽𝟏 𝑨𝟏 = 𝝆𝟐 𝑽𝟐 𝑨𝟐

Y al dividir la primera ley de la termodinámica por (ρVA) la ecuación de energía en forma diferencial se convierte en:

(2.22)

𝑷 𝒅𝒒𝒉 − 𝒅𝒘𝒔 = 𝒅 ( ) + 𝒈𝒅𝒛 𝝆 + 𝒗𝒅𝒗 + 𝒅𝒆

Donde: e es la energía interna por unidad de masa 𝑞ℎ es el calor añadido al sistema por unidad de masa 𝑊𝑠 es el trabajo (de las fuerzas cortantes) que el sistema hace por unidad de masa.

Para un fluido sin fricción la primera ley de la termodinámica puede escribirse en términos de la entropía S como:

𝟏

(2.23)

𝒅𝒆 = 𝑻𝒅𝑺 − 𝑷𝒅 (𝝆)

La desigualdad de Clausius establece que: 𝑑𝑆 >

𝑑𝑞ℎ 𝑇

Al reemplazar la energía interna por la anterior ecuación y denominar PERDIDAS al término (𝑻𝒅𝑺 − 𝒅𝒒𝒉) , la ecuación de energía se convierte en: 𝒅𝑷

(2.24)

( 𝝆 + 𝒈𝒅𝒛 + 𝒗𝒅𝒗) + 𝒅𝑾𝒔 + 𝒅(𝒑é𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂𝒔) = 𝟎

En ausencia de trabajo hecho por fuerzas cortantes ((𝑾𝒔 = 𝟎) esta ecuación difiere de la diferenciación de la ecuación de Bernoulli (2.17) sólo en el término de pérdidas de energía. Para flujos no permanentes, la ecuación de energía (para dos casos particulares) se convierte en: a) Para un gas perfecto, sin fricción y sin que se añada calor al sistema, la ecuación de energía es: 𝝆𝑪𝒑

𝒅𝑻 𝒅𝑷 = 𝒅𝒕 𝒅𝒕

b) Para un fluido incompresible e indilatable, la ecuación de energía es: 𝝆𝑪𝒑

𝒅𝑻 = 𝜿𝚫𝑻 + 𝚿 + 𝚽 𝒅𝒕

Donde 𝝆𝑪𝒑 es el calor específico a presión constante, 𝜿 es la difusividad térmica, 𝚿 es la densidad volumétrica de calor añadido al sistema y 𝚽 es la tasa de disipación. Si trabaja sobre el fluido dentro del volumen de control (por ejemplo, una bomba) el trabajo hecho por las fuerzas cortantes Ws es negativo.

APLICACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI AL FLUJO EN CANALES ABIERTOS

Se desarrollan aplicaciones de la ecuación de Bernoulli a situaciones de flujo en canales abiertos (ignorando la resistencia al flujo). El fluido no tiene fricción.

Se introduce el concepto de energía específica para flujos de superficie libre y se definen las condiciones de flujo crítico. Se introduce el número de fraude. La ecuación de Bernoulli se deduce de la ecuación de navier – syokes, considerando el flujo a lo largo de una línea de corriente, suponiendo que la fuerza volumétrica potencial es independiente del tiempo, parar un fluido sin fricción e incompresible y para un flujo permanente. Para fuerzas gravitacionales la forma diferencial de la ecuación de Bernoulli es:

( V: velocidad

𝒅𝑷 + 𝒈 𝒅𝒛 + 𝒗𝒅𝒗) = 𝟎 𝒑

g : gravedad z: altitud P:precion P: densidad APLICACIÓN DE LA ECUACION DE BERNOULLI- ENERGIA ESPECIFICA Ecuación de Bernoulli

La ecuación de Bernoulli se obtuvo para el flujo permanente sin fricción de un fluido incompresible. Establece que, a lo largo de una línea de corriente: 𝒗𝟐 𝑷 + 𝒈𝒛 + = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝟐 𝒑 Al dividir por la constante de gravedad: 𝒗𝟐 𝑷 +𝒛+ = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆 𝟐 𝒑𝒈 A lo largo de cualquier línea de corriente la cabeza total se define como:

𝑯=

𝒗𝟐 𝑷 + 𝒈𝒛 + 𝟐 𝒑

El termino (𝑃/(𝑝𝑔) + 𝑧) se conoce a menudo como la cabeza piezométrica. Si la velocidad no es uniforme, la cabeza total H es función de la distancia y desde el canal: 𝑯(𝒚) =

𝒗(𝒚)𝟐 𝑷(𝒚) + 𝒛(𝒚) + 𝟐𝒈 𝒑𝒈

Donde: Y se mide en forma perpendicular al fondo del canal. Suponiendo un gradiente de presión hidrostática, la elevación total (y) y la presión p(𝑦) pueden transformase como: 𝒛(𝒚) = 𝒛𝟎 + 𝒚 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝑷(𝒚) = 𝑷𝒂𝒕𝒎 + 𝒑𝒈 (𝒅 − 𝒚)𝒄𝒐𝒔𝜽 𝜽 =pendiente del canal d= profundidad del flujo Suponiendo una distribución de presiones: 𝑷

(𝒑𝒈 + 𝒛) =

𝑷𝒂𝒕𝒎 𝒑𝒈

+ 𝒛𝟎 + 𝒅 𝒄𝒐𝒔𝜽 cabeza

piezométrica

En una sección transversal dada, a pesar de que la cabeza total varia con respecto a la distancia y desde el fondo del canal, la cabeza piezométrica de u canal abierto es constante si la presión es hidrostática.

APLICACIÓN DE LA ECUACION DE BERNOULLI Distribución hidrostática de presiones en flujo de canal abierto Si no se acelera el flujo la forma diferencia de la ecuación de Bernoulli arroja la siguiente distribución de presiones: 𝒅𝑷 + 𝒈 𝒅𝒛 = 𝟎 𝒑

Ilustración 3 esquema de un canal abierto (a) caso general; (b)flujo en canal empinado

para un canal horizontal tal planteamiento conduce a: 𝑷 = 𝑷𝒂𝒕𝒎 − 𝒑𝒈 (𝒛 − 𝒛𝟎 ) La cual es una nueva forma de escribir la distribución hidrostática de presiones en un fluido estático.

Distribución de presión en flujo en canales abiertos

La distribución hidrostática de presiones es válida para flujo gradualmente variado a lo largo de una pendiente plana. La ecuación anterior no es válida si la aceleración de flujo es importante,

Ilustración 4 flujo en canal abierto en un canal curvo.

Si existe una aceleración marcada perpendicular al flujo. Para el flujo a lo largo de una línea de corriente curva la aceleración centrifuga es igual a: 𝒗𝟐 𝒈𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒇 = ± 𝒓 𝐠 𝐜𝐞𝐧𝐭𝐫𝐢𝐟 : aceleración centrifuga debida a la curvatura de la línea de corriente centrifuga debida a l curvatura de la línea de corriente. r: radio de curvatura de la línea de corriente (+) se utiliza para una curvatura de la línea de corriente, (-) se utiliza para una curva convexa. Si se considera un canal curvo, la presión centrifuga aproximadamente es igual a.

𝒑𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒇 = ±

𝒑𝒗𝟐 𝒅 𝒓

𝒑𝒄𝒆𝒏𝒕𝒓𝒊𝒇 : aumenti de presion debido a la curvatura del fondo del canal. V: velocidad media del flujo

R: radio de curvatura de la batea, (+) se utiliza para una curvatura de frontera cóncava (-) se utiliza para una curvatura convexa Si se considera ahora el flujo en un canal abierto a lo largo de una pendiente empinada 𝜃. La presión en el fondo del canal es (en ausencia de curvatura del canal): 𝑷 = 𝒑𝒂𝒕𝒎 + 𝒑𝒈𝒅 𝒄𝒐𝒔𝜽

d: profundidad del flujo medida perpendicularmente al fondo del canal y 𝜃 es la pendiente del canal. En caso general, la presión en el fondo del canal es igual a:

𝑷 = 𝒑𝒂𝒕𝒎 + 𝒑𝒅 (𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 𝜽: la pendiente del lecho r: radio de curvatura de la brecha

𝒗𝟐 ± ) 𝒓

cabeza total media en el flujo de canal abierto, es conveniente a menudo considerar la cabeza total promediada en la profundidad H; definida como: 𝒅

𝟏 𝒗(𝒚)𝟐 𝑷(𝒚) 𝑯 = ∫( + 𝒛(𝒚) + ) 𝒅𝒚 𝒅 𝟐𝒈 𝒑𝒈 𝟎

Al remplazar P Y z la energía total media se convierte en: 𝑽𝟐 𝒅 𝑽𝟐 𝑯= + 𝒛𝟎 + (𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 ± ) + 𝒑𝒂𝒕𝒎 𝟐𝒈 𝒈 𝒓 𝑧0 : La elevación del fondo y se supone una distribución uniforme de velocidades (es decir, V(y) = V). En hidráulica de canales abiertos, se toma con frecuencia la presión local como la presión relativa a la presión atmosférica 𝑝𝑎𝑡𝑚 y la cabeza total media se rescribe como:

𝑯=

𝑽𝟐 𝒅 𝑽𝟐 + 𝒛𝟎 + (𝒈𝒄𝒐𝒔𝜽 ± ) 𝟐𝒈 𝒈 𝒓

tubo de pitot aparato para medir velocidad del flujo. Alineado a lo largo de una línea de corriente, permite medir la cabeza total H y la cabeza de presión (es decir, z +P/(pg)) denotadas como H1 Y H2.

Ilustración 5 Esquema de un tubo de pitot

Aplicación: transición suave Para este flujo se considera una transición suave ,para flujo permanente, incompresible, sin fricción, entre una sección aguas arriba y sección aguas abajo ,las ecuaciones de continuidad y Bernoulli aplicadas a un flujo en canal abierto se convierten en: 𝒗𝟏 𝑨𝟏= 𝒗𝟐 𝑨𝟐= 𝑸 𝒗𝟐𝟏 𝒗𝟐𝟏 𝒛𝟎𝟏 + 𝒅𝟏 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟏 + = 𝒛𝟎𝟐 + 𝒅𝟐 𝒄𝒐𝒔𝜽𝟐 + 𝟐𝒈 𝟐𝒈 𝒛𝟎𝟏 , 𝒛𝟎𝟐 : elevaciones del fondo 𝒅𝟏 , 𝒅𝟐 : las profundidades del flujo medidas perpendicularmente al fondo de el canal.

Para un canal rectangular, la ecuación de continuidad se convierte en: 𝒗𝟏 𝒅𝟏 𝑩𝟏 = 𝒗𝟐 𝒅𝟐 𝑩𝟐 = 𝑸

Influencia distribuciones de velocidad

de las

Distribución de velocidades La distribución de velocidades en un flujo turbulento completamente desarrollado en un canal abierto está dada por aproximación por la ley de la potencia de prandtl: 𝑣 𝑣𝑚𝑎𝑥

𝑦 1/𝑁 =( ) 𝑑

Donde el exponente 1/N: Varia desde ¼ hasta ½ dependiendo de la fricción en las fronteras y de la forma de la sección transversal. Las formulas de la ley de la potencia de uso más común son la ley de la potencia un sexto (1/6) y la de la ley de la potencia un séptimo (1/7). Coeficiente de velocidad Coeficiente de corrección de momentum Si la distribución de la velocidad no es uniforme a través de la sección transversal, se debe introducir un coeficiente de correlación de momentum si se utiliza la velocidad promedio. El factor de correlación de momentum 𝛽 se define como:

𝜷=

∫ 𝑨 𝒑𝒗𝟐 𝒅𝑨 𝒑 𝒗𝟐 𝑨

V: velocidad media a través de la sección transversal (es decir, v= Q/A). algunas veces, el coeficiente de correlación de momentum se conoce como el coeficiente de Boussinesq.si se considera un flujo permanente en un canal horizontal y se supone una distribución hidrostática de presiones, la ecuación de momentum se reescribe como: 1 1 𝑝𝑄 (𝛽2 𝑉2 − 𝛽1𝑉1 ) = ( 𝑝𝑔𝑑12 𝐵1 ) − ( 𝑝𝑔𝑑22 𝐵2 ) 2 2 Coeficiente de corrección de energía cinetica Si la velocidad varia a través de la sección transversal, la altura de velocidad media 𝑣 2 /(2g), donde el subíndice medio se refiere al valor medio a través de la sección transversal. La relación de estas dos cantidades se conoce como coeficiente de coriolis, denotado como 𝛼 y definid como: 𝛼=

∫ 𝑨 𝒑𝒗𝟑 𝒅𝑨 𝒑 𝒗𝟑 𝑨

Si se reescribe la ecuación de energía en términos de la energía total media, esta última debe transformarse como: 𝑽𝟐 𝐻=𝛼 + 𝒛𝟎 + 𝒅𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐𝒈 Supongo una distribución hidrostática de presiones. Energía especifica 𝑬(𝒚) =

𝑷(𝒚) 𝒗(𝒚)𝟐 + + (𝒛(𝒚) − 𝒛𝟎 ) 𝒑𝒈 𝟐𝒈

la energía especifica media se define como: E=H-𝒛𝟎 La distribución uniforme de velocidades, se obtiene: 𝑽𝟐

E=d+𝟐𝒈 canal plano y distribución hidrostática de presiones para un canal horizontal, la ecuación de Bernoulli implica que la energía especifica es constante, lo cual es cierto solo dentro de las suposiciones de dicha ecuación: es decir, para un flujo incompresible, sin fricción y permanente a lo largo de una línea de corriente.

Para un canal rectangular es conveniente utilizar la ecuación de continuidad y la de energía especifica. Utilizando el Caudal y se obtiene: 𝑸𝟐

E=D+𝟐𝒈𝒅𝟐 𝑩𝟐 Donde B es el ancho de la superficie libre.

Análisis de la energía especifica Profundidad de flujo contra energía especifica En general se estudia como una función de la profundidad de flujo d. es conveniente representar gráficamente d=f(E). En cualquier sección transversal, la energía especifica tiene un valor único. Para un valor duda de energía específica y una tasa de flujo dada, puede existir cero, una o dos posibles profundidades de flujo. Condiciones de flujo critico Para un caudal constante Q y una sección transversal dada, la relación E=f(d) indica la existencia de una energía especifica mínima. Las condiciones de flujo ,(𝑑𝑐 , 𝑦 𝑣𝑐 ,) de tal manera que la energía especifica se anónima, se conoce como condiciones de flujo critico, estas ocurren para:

𝜕𝐸 ( ) 𝜕𝑑 (𝑄

=0 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒)

Las condiciones de flujo crítico pueden expresarse en forma de caudal y la geometría dl canal.

3 𝐸𝑚𝑖𝑛 = 𝑑𝑐 2 3 Q2 dc = √ 2 gB

La energía específica puede reescribirse en términos adimensionales 𝐸 𝑑 1 𝑑𝑐 2 = + ( ) 𝑑𝑐 𝑑𝑐 2 𝑑

Si el flujo es crítico (es decir, la energía especifica es mínima), pequeños cambios en la energía especifica causan grandes cambios en profundidad.

La definición de energía específica y las condiciones de flujo critico se resumen en la siguiente tabla para canales planos con secciones transversales irregulares (Área A) y canales con sección transversal rectangular (ancho B)

1. En un flujo de canales abiertos, el número de Froude se define en forma tal que es igual a 1 para condiciones de flujo crítico. 2. Una expresión adimensional general de energía especifica es: 𝐸 𝑑 1 = (𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝐹𝑟 2 ) 𝑑𝑐 𝑑𝑐 2

Para un canal plano tal expresión se convierte en: 𝐸 𝑑 1 = (1 + 𝐹𝑟 2 ) 𝑑𝑐 𝑑𝑐 2 3. La relación A/B del área de la sección transversal y el ancho de la superficie libre se conoce algunas veces como profundidad media.

APLICACIÓN DE LA ENERGIA ESPECÍFICA Para un flujo sin fricción en un canal horizontal, la energía específica es constante a lo largo del canal. El concepto de energía específica puede utilizarse para predecir el flujo que corre por debajo de una compuerta deslizante como función de la operación de la compuerta. Para una apertura de compuerta dada, ocurre un caudal especifico (q=Q/B) y solo existe una curva de energía especifica/profundidad de flujo.

CAMBIO DE ENERGIA ESPECÍFICA ASOCIADA CON UN CAUDAL FIJO Para una energía especifica tal que E>E min las dos posibles profundidades se conocen como profundidades alternas. Para un flujo rápido (es decir, Fr>1 o d
CASO DE UNA ENERGIA ESPECÍFICA FIJA Para una energía especifica fija E, la relación del caudal contra la profundidad de flujo en un canal rectangular plano es:

𝑄 = 𝐵𝑑√2𝑔(𝐸 − 𝑑)

Donde: D: Profundidad B: Ancho

Para una energía especifica constante, se puede reescribir la ecuación:

𝑄 = 𝐵𝑑√2𝑔(𝐸 − 𝑑)

Para una energía especifica constante, el caudal máximo se obtiene para

𝜕𝑄 𝜕𝑑

=0

es decir: 2𝑔𝐸 − 3𝑔𝑑 √2𝑔(𝐸 − 𝑑)

=0

O 𝐸=

3 𝑑 2

Tal relación entre energía específica y profundidad de flujo se obtiene solo para las condiciones de flujo crítico. El resultado implica que E=Emin y d=dc (profundidad de flujo critico) para Q=Qmax.

LIMITACIONES DE LA ECUACION DE BERNOULLI La aplicación de la ecuación de Bernoulli solo es válida para el rango de las suposiciones hechas (es decir, flujo permanente sin fricción de un fluido incompresible) Para transiciones cortas y suaves las pérdidas de energía son insignificantes y se puede aplicar con bastante exactitud la ecuación de Bernoulli. Entre las transiciones cortas están las compuertas deslizantes o radiales, los vertederos y los escalones.

NUMERO FROUDE El número froude es un numero adimensional proporcional a la raíz cuadrada de la relación de las fuerzas inerciales con respecto al peso del fluido.

𝐹𝑟 =

𝑉 √𝑔𝑑𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐

=√

𝑝𝑉 2 𝐴 𝐹𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎 𝑖𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙 ∝√ 𝑝𝑔𝐴𝐿 𝑝𝑒𝑠𝑜

Donde: Dcarac: es una dimensión característica.

Para flujos en canales abiertos la longitud característica significativa es la profundidad de flujo d. para un canal rectangular, el número de Froude se define como:

𝐹𝑅 =

𝑉 √𝑔𝑑

Canal rectangular.

1. El número de Froude se utiliza para escalar flujos en canales abiertos y flujos de superficie libre. 2. La longitud dcanac es la dimensión geométrica característica: diámetro interno de la tubería para el flujo de tuberías, profundidad de flujo para el flujo en canales abiertos en un canal rectangular, el calado de un buque, el espesor de un hidropatin. Etc. 3. Para un canal con una forma irregular de la sección transversal, el número de Froude se define como: 𝐹𝑟 =

Donde: V: velocidad media del flujo A: área de la sección transversal B: ancho de la superficie libre.

𝑉 √𝑔 𝐴 𝐵

CONDICIONES CRÍTICAS Y CELERIDAD DE ONDA Considerando una onda oscilatoria, la velocidad C o celeridad de ondas con longitud L está dada por: 𝐶2 =

𝑔𝑙 2𝜋𝑑 tanh( ) 2𝜋 𝑙

Para una onda larga de pequeña amplitud: 𝐶 2 = 𝑔𝑑 La celeridad de onda es: 𝐶 = √𝑔𝑑 El número de froude puede reescribirse de forma análoga 𝑉 𝐹𝑟 = 𝐶 Donde: C=√𝑔𝑑= es la celeridad de la onda

ANALOGIA CON EL FLUJO COMPRESIBLE En flujos compresibles, la presión y la densidad del fluido dependen de la magnitud de la velocidad con respecto a la celeridad del sonido en el fluido Sonido. En la siguiente tabla se resumen la analogía formal y los correspondientes parámetros de flujo.

APLICACIÓN: El estudio del flujo supercrítico bidimensional en un canal abierto es muy similar al estudio del flujo supersónico de un gas. FLUJO CRITICO Y CONTROLES OCURRENCIA DEL FLUJO CRITICO-SECCION DE CONTROL Para un flujo en canal abierto, las ecuaciones básicas son la ecuación de continuidad y la ecuación de Bernoulli. La ocurrencia de las condiciones de flujo crítico da una ecuación adicional: 𝑉 = √𝑔𝑑 Canal rectangular plano.

Para un caudal dado, la profundidad de flujo y la velocidad están fijas en la sección de control, independientes de las condiciones de flujo aguas arriba y aguas abajo. Para un caudal rectangular, tal planteamiento arroja: 3

𝑑 = 𝑑𝑐 = √

3

𝑄2 𝑔𝐵 2

𝑉 = 𝑉𝑐 = √𝑔

B: ancho de canal

𝑄 𝐵

Corolario: En una sección de control, el caudal puede calcularse una vez se conozca la profundidad crítica.

CONTROLES AGUAS ARRIBA Y AGUAS ABAJO Un flujo subcritico, una perturbación que viaja con una velocidad C puede moverse aguas arriba y aguas abajo debido a que la celeridad de onda C es mayor que la velocidad de flujo V. Un mecanismo de control puede ejercer su influencia en el flujo aguas arriba del control. Cualquier pequeño cambio en las condiciones de flujo aguas abajo acepta los flujos tranquilos. Por consiguiente los flujos suscriticos se controlan por las condiciones de aguas abajo, lo cual se conoce como como control de flujo aguas abajo. Por el contrario, una perturbación no puede viajar aguas arriba en un flujo supercrítico debido a que la celeridad es menor que la velocidad de flujo. En consecuencia, los flujos supercríticos solo pueden controlarse desde aguas arriba. Todos los flujos rápidos se controlan por condiciones de flujo aguas arriba.

ANALISIS Todos los cálculos de flujos superficiales deben iniciarse en el extremo aguas arriba del canal. Los cálculos de flujo tranquilo se inician en el extremo aguas abajo del canal y se mueven aguas arriba.

APLICACIÓN: INFLUENCIA DEL ANCHO DEL CANAL Para un flujo incompresible en un canal abierto: 𝑉

𝜕𝐴 𝜕𝑉 +𝐴 =0 𝜕𝑠 𝜕𝑠

A: Área de sección trasversal.

Para un canal cpn sección trasversal rectangular:

𝑞

𝜕𝐵 𝜕𝑞 +𝐵 =0 𝜕𝑠 𝜕𝑠

B: Ancho superficie de canal 𝜕𝑑 𝑞 2 𝜕𝑑 𝑞 𝜕𝑑 + 3 + 2 =0 𝜕𝑠 𝑔𝑑 𝜕𝑠 𝑔𝑑 𝜕𝑠

Se introduce el número de Froude y se utiliza la ecuación de continuidad:

(1 − 𝐹𝑟 2 )

𝜕𝑑 𝑑 𝜕𝐵 = 𝐹𝑟 2 𝜕𝑠 𝐵 𝜕𝑠

Con los dos tipos de flujo aguas arriba una constricción lo suficiente severa puede inducir condiciones de flujo critico en la garganta. El ancho característico Bmin del canal para el cual ocurren las condiciones de flujo critico se deduce utilizando la ecuación de Bernoulli. 𝐵𝑚𝑖𝑛 =

𝑄 √ 8 𝑔𝐸𝑖 3 27

Donde: E: Energía especifica aguas arriba

PROPIEDADADES DE CANALES ABIERTOS CON FORMAS COMUNES: PROPIEDADES: En la práctica, los canales naturales o artificiales no tienen secciones transversales regulares. Las formas más comunes de canales artificiales son la circular (es decir, hecha de tuberías) o la trapezoidal.

En la siguiente tabla se resumen las características geométricas de las formas de canales abiertos más comunes:

Para un canal rectangular, la profundidad de flujo crítico es:

3

𝑄2

𝑑𝑐 = √𝑔𝑅2 Canal rectangular CONDICIONES DE FLUJO CRÍTICO Se definen como las condiciones de flujo para las cuales la energía específica media es mínima. En un canal horizontal y suponiendo una distribución hidrostática de las presiones, las condiciones de flujo critico implican 𝐴3 𝑐 𝑄 2 = 𝐵𝑐 𝑔

Donde Ac y Bc son respectivamente, el área de la sección transversal y el ancho de la superficie libre para condiciones de flujo crítico. En la siguiente tabla se resumen los resultados habituales. SIMILITUD Y NUMERO DE FROUDE: APLICACIÓN:

Un canal prototipo tiene 1000m de longitud y 12m de ancho. El canal es rectangular y las condiciones de flujo son: d=3m y Q=15m3/s. ¿Cuál debería ser el tamaño y el caudal para un modelo a escala 1/25 utilizando la similitud de Froude? Solución: En el modelo a escala de 1/25 todas las dimensiones geométricas (incluyendo la profundidad de flujo) son escaladas por un factor de 1/25: Longitud Lmodelo=Prototipo/25 Ancho Modelo=Prototipo/25 Profundidad de flujo modelo=prototipo/25 La velocidad de flujo en el modelo se deduce utilizando una similitud de Froude. La similitud de froude implica que el número de froude es el mismo tanto para el modelo como para el prototipo: Similitud de Froude Frmodelo=Prototipo Esta expresión arroja: Velocidad

Modelo=Prototipo√25

Para el caudal, la ecuación de continuidad Q=Vdb proporciona la relación de escala Caudal

Modelo=Prototipo (25)5/2

Como resultado, las características del modelo son: Longitud Ancho Profundidad de Flujo Velocidad Caudal Similitud de Froude

Lmodelo =40m Modelo= 0.25 modelo =0.12m Modelo=0.083m/s Modelo= 0.0048m3/s Frmodelo=Prototipo=0.077

EJERCICIOS :  EJERCICIO 1

Datos iniciales Trapecio 1

Formulas: 𝑇 = 𝑏 + 2𝑍𝑌 𝐴 = (𝑏 + 𝑍𝑌)𝑦

Trapecio 2

T

5m

T

12.5 m

Y

1m

Y

1m

b

2m

b

10.5 m

n

0.025

n

0.025

S

0.001

S

0.001

𝑃𝑚 = 𝑏 + 2𝑌√1 + 𝑍 2 𝑅= 𝑄=

Solución:

𝐴 𝑃𝑚

2 1 1 𝐴𝑅 3 𝑆 2 𝑛

𝑍=

Trapecio 1

Trapecio 2

𝑇 = 𝑏 + 2𝑍𝑌

𝑇 = 𝑏 + 2𝑍𝑌

𝑇−𝑏 5𝑚−1𝑚 = =2 2𝑌 2∗1𝑚

𝑍=

𝑇 − 𝑏 12.5 𝑚 − 10.5 𝑚 = =1 2𝑌 2∗1𝑚

𝐴1 = (𝑏 + 𝑍𝑌)𝑦

𝐴2 = (𝑏 + 𝑍𝑌)𝑦

𝐴1 = (2 𝑚 + 2 ∗ 1 𝑚) ∗ 1 𝑚

𝐴2 = (10.5𝑚 + 1 ∗ 1𝑚) ∗ 1𝑚

𝐴1 = 4 𝑚2

𝐴2 = 11.5 𝑚2

𝑃𝑚 = 𝑏 + 2𝑌√1 + 𝑍 2

𝑃𝑚 = 𝑏 + 2𝑌√1 + 𝑍 2

𝑃𝑚 = 2 𝑚 + 2 ∗ 1 𝑚√1 + 22

𝑃𝑚 = 10.5 𝑚 + 2 ∗ 1 𝑚√1 + 12

𝑃𝑚 = 6.472 𝑚

𝑃𝑚 = 13.328 𝑚

𝑅=

𝐴 4 𝑚2 = = 0.618 𝑚 𝑃𝑚 6.472 𝑚

𝑄= 𝑄=

𝑅=

2 1 1 𝐴𝑅 3 𝑆 2 𝑛

2 1 1 4 𝑚2 ∗ (0.618 𝑚)3 12 0.025

𝑄 = 116.086 𝑚3 /𝑠

𝐴 11.5 𝑚2 = = 0.862 𝑚 𝑃𝑚 13.328 𝑚

𝑄= 𝑄=

2 1 1 𝐴𝑅 3 𝑆 2 𝑛

2 1 1 11.5 𝑚2 ∗ (0.862 𝑚)3 12 0.025

𝑄 = 416.642 𝑚3 /𝑠

 EJERCICIO 2

L= Y= z= L Y Z AREA PERIMETRO M R HIDRAULICO BASE ESPEJO DE AG

2 2,82842712 1,5 2 0,70710678 1,5 0,75

1,41421356 2 0,70710678 1,5 1,44296465

2,54950976 3,52950976 0,2941742 0,40882863 0,98 1,41421356 3,10132034

TOTAL AREA PERIMETRO M R HIDRAULICO ESPEJO DE AG

4,38592929 12,158039 1,40600567 9,03106781

Datos iniciales:

L Y n S

1.2 m 1.5 0.015 0.001

Formulas: 𝑇 = 𝑏 + 2𝑍𝑌 𝐴 = (𝑏 + 𝑍𝑌)𝑦 𝑃𝑚 = 2𝑌√1 + 𝑍 2 𝑅= 𝑄=

 EJERCICIO 3.

𝐴 𝑃𝑚

2 1 1 𝐴𝑅 3 𝑆 2 𝑛

suponemos un valor para (l) con el fin de hallar (y); en este caso nuestro valor para (l)=4 y un valor de 2 para z, b.

𝐿2 𝐿2 𝑌 = √2( ∗ ) 2 2 𝑌 = 5,6568 3 𝑌 = 4,2426 4 1 𝑌 = 2,8284 2 1 𝑌 = 1,4142 4

𝐴 𝑇𝑅𝐼𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂1 =

𝑏∗ℎ 2

𝐴 𝑇𝑅𝐼𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂1 =

2∗2 2

𝐴 𝑇𝑅𝐼𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂1 = 2

𝐴𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂2 = √𝑏 2 + ℎ2 ∗

√𝑏2 +ℎ2 2

𝐴𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂2 = 2,8284 ∗ 1,4142 𝐴𝑅𝐸𝐶𝑇𝐴𝑁𝐺𝑈𝐿𝑂2 = 4

𝐿 𝑃𝐸𝑅𝐼𝑀𝐸𝑇𝑅𝑂 𝑀𝑂𝐽𝐴𝐷𝑂 = 4𝐿 − (2 ) 2 4 𝑃𝐸𝑅𝐼𝑀𝐸𝑇𝑅𝑂 𝑀𝑂𝐽𝐴𝐷𝑂 = 4 ∗ 4 − (2 ∗ ) 2 𝑃𝐸𝑅𝐼𝑀𝐸𝑇𝑅𝑂 𝑀𝑂𝐽𝐴𝐷𝑂 = 12

1 𝑌 1 2 1 𝐴𝑅𝐸𝐴 𝐻𝐼𝐷𝑅𝐴𝑈𝐿𝐼𝐶𝐴 = [𝑍 ∗ ( 𝑌) ] + 𝑌[𝐵 + (𝑍 ∗ 4 )] 4 4 2 2 𝐴𝑅𝐸𝐴 𝐻𝐼𝐷𝑅𝐴𝑈𝐿𝐼𝐶𝐴 = 4 + 2,4142 𝐴𝑅𝐸𝐴 𝐻𝐼𝐷𝑅𝐴𝑈𝐿𝐼𝐶𝐴 = 6,4142

1 (𝑍 ∗ 𝑌) 4 ] + [2 ( 𝐴𝑅𝐸𝐴 𝐻𝐼𝐷𝑅𝐴𝑈𝐿𝐼𝐶𝐴 )] 𝑅𝐴𝐷𝐼𝑂 𝐻𝐼𝐷𝑅𝐴𝑈𝐿𝐼𝐶𝑂 = [2 𝑃𝐸𝑅𝐼𝑀𝐸𝑇𝑅𝑂 𝑀𝑂𝐽𝐴𝐷𝑂 2√1 + 𝑍 2 𝑅𝐴𝐷𝐼𝑂 𝐻𝐼𝐷𝑅𝐴𝑈𝐿𝐼𝐶𝑂 = 1,2648 + 1,0690 𝑅𝐴𝐷𝐼𝑂 𝐻𝐼𝐷𝑅𝐴𝑈𝐿𝐼𝐶𝑂 = 2,3338

.  EJERCICIO 4

ECUACIONES:

5 1

𝐴 2 1 𝐴3 𝑆 2 𝑸= 𝑅3 𝑆2 = 2 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒅𝒆 𝒎𝒂𝒏𝒏𝒊𝒏𝒈 𝑛 𝑛𝑃𝑚3 Donde : 𝑨 = 𝑧𝑦 2 𝑷 = 2𝑦√1 + 𝑧 2 Entonces: 5 1

𝑸𝟏 =

𝐴13 𝑆 2 2

𝑛𝑃𝑚13 5 1

𝑸𝟐 =

𝐴23 𝑆 2 2

𝑛𝑃𝑚23 Tomamos la condición final: 𝑸𝟐 = 𝟐𝑸𝟏

5 1

5 1

𝐴13 𝑆 2

𝐴23 𝑆 2

2

𝑛𝑃𝑚13

=

2

𝑛𝑃𝑚23

5

𝐴13 2

𝑃𝑚13

5

𝐴23

= 2( 2) 𝑃𝑚23

Para hallar el area del triangulo: 𝑨 = 𝑧𝑦 2 𝑷 = 2𝑦√1 + 𝑧 2  𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∶ 𝟓

𝒁𝟐 𝒀𝟐𝟑 (𝟐𝒀√𝟏 +

𝟐 𝒁𝟐𝟐 )𝟑

= 𝟐(

𝒁𝟏 𝒀𝟐 (𝒁𝒀√𝟏 + 𝒁𝟏)𝟐

𝟓

)¨

𝟓

𝒁𝟏𝟑 𝟐

𝐙𝟑

=𝟐

(𝟏√𝟏 + 𝒁𝟐𝟐 )𝟑

𝐭𝐚𝐧 𝜭 =

𝟐

(𝟐√𝟏 + 𝒁𝟏𝟐 )𝟑 𝒐𝒑 𝒂𝒅𝒚

𝐭𝐚𝐧 𝜭 =

𝒚 𝒛𝒚

𝐭𝐚𝐧 𝜭 =

𝟏 𝒛

𝟏 𝜭 = 𝒕𝒂𝒏−𝟏 ( ) 𝒛

𝟐 𝟑

EJERCICIO 5:

se tiene un canal trapezoidal de 2m de espejo de agua y 0.8 m de ancho de solera,talud z=1 y n=0.025.la capacidad Q=513L /s.calcular cuanto habria que profundizar el canal observando el mismo espejo de agua, y z, para aumentar la capacidad en un 20%

Datos:     

𝑚=𝑧=1 𝑇 = 2𝑚 𝑏1 = 0.8𝑚 𝑏2 = 0.4𝑚 𝑦1 = 0.6𝑚

 𝐻𝑎𝑙𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙 𝐴=

𝑇+𝑏 ∙𝑦 2

𝐴1 =

2 + 0.8 ∙ 0.6 2

𝑨𝟏 = 𝟎. 𝟖𝟒𝒎𝟐

𝑝 = 𝑏 + 2√2 ∙ 𝑦 2 𝑝1 = 0.8 + 2√2 ∙ 0.62 𝒑𝟏 = 𝟏. 𝟖𝟏𝟖𝟐𝟑𝟑𝟕𝟔𝟓  𝑅 = 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 ℎ𝑖𝑑𝑟𝑎𝑢𝑙𝑖𝑐𝑜 𝑅 = 𝐴/𝑃 𝑹𝟏 = 𝟎. 𝟒𝟔𝟏𝟗𝟖𝟔𝟖𝟑  𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑀𝑎𝑛𝑛𝑖𝑛𝑔 ∶

.

1



Condición #1 𝑄 = 𝑛 . 𝐴 . 𝑅 2/3 . 𝑆 1/2



Condición #2 𝑄2 = 1.2𝑄1

 𝐼𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 ∶ 1 1 . 𝐴1 . 𝑅1 2/3 . 𝑆 1/2 = 1.2 . 𝐴2 . 𝑅2 2/3 . 𝑆 1/2 𝑛 𝑛 𝐴1 . 𝑅1 2/3 = 1.2 𝐴2 . 𝑅2 2/3 0.84 ∙

2 0.461986833

0.84 ∙

2/3

2 + 0.4 (2 + 0.4) ∙ 𝑦2 = 1.2 ∙ 𝑦2 . ( ) 2 2(0.4 + 2√2 ∙ 𝑦2 2 )

2 0.461986833

= 1.44𝑦2 . (

2.4𝑦2 2(0.4 + 2√2 ∙ 𝑦2 2 )

𝑦2 = 8

2/3

)