Matematicacompreensaoepratica7

ÊNIO SILVEIRA

MATEMÁTICA

COMPREENSÃO E PRÁTICA

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MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

ÊNIO SILVEIRA

Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará. Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.

MATEMÁTICA

COMPREENSÃO E PRÁTICA

7

o

ano

Componente curricular: MATEMÁTICA

MANUAL DO PROFESSOR

5a edição São Paulo, 2018

Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria Cecília José Guimarães da Silva Veridiano, de Souza, Maria Marilu JoséMaranho Guimarães Tassetto, de Souza, Romenig MariludaMaranho Silva Ribeiro Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, Romenig Assistência editorial: Jeferson Felixda daSilva Silva,Ribeiro Larissa Calazans Nicoletti Mesquita Assistência editorial: Carla Aparecida Preparação de texto: Mariane Genaro Loge, Cintia Lopes, Márcia Roberta dos Santos Pires Silva,eThais Toldo Antonagi Gerência de da design produção gráfica: Everson de Paula Preparação dede texto: Mariane Genaro Coordenação produção: Patricia Costa Gerência de design e produção Everson de Rodrigues Paula Suporte administrativo editorial:gráfica: Maria de Lourdes Coordenação de produção: Patricia Costa Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Suportegráfico: administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues Projeto Mariza de Souza Porto Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto ProjetoFoto: gráfico: Mariza de Souza Porto DKart/Getty Images Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues Mariza de Souza Porto Coordenação de arte: Wilson Gazzoni José, Agostinho Stephan Zirwes/fStop/Offset EdiçãoFoto: de arte: Elaine Cristina da Silva Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Editoração eletrônica: Teclas Editorial Edição de arte: Elaine Cristina Silva,Boffo, EliazarOtávio Alves Cavalcanti Junior, Paula de Sá Edição de infografia: Luiz Iria, da Priscilla Cohen Belluomini Ilustrações de vinhetas: Shutterstock Editoração eletrônica: Teclas Editorial Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco Ilustrações de vinhetas: Shutterstock Revisão: Ana Cortazzo, Ana Maria C. Tavares, Cárita Negromonte, Cecilia Oku, Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco Fernanda Marcelino, Know-how Editorial Ltda., Mônica Surrage, Renato da Rocha, Revisão: CáritaSam, Negromonte, Know-how Editorial Ltda.Bruno, Viviane Oshima Rita de Cássia Simone Garcia, Thiago Dias, Vânia Coordenação Coordenação de de pesquisa pesquisa iconográfica: iconográfica: Luciano Luciano Baneza Baneza Gabarron Gabarron Pesquisa iconográfica: iconográfica: Carol Carol Bock, Bock, Maria Maria Marques, Marques, Mariana Mariana Alencar Alencar Pesquisa Coordenação Coordenação de de bureau: bureau: Rubens Rubens M. M. Rodrigues Rodrigues Tratamento de de imagens: imagens: Fernando Fernando Bertolo, Bertolo, Joel Joel Aparecido, Aparecido, Luiz Luiz Carlos Carlos Costa, Costa, Tratamento Marina Marina M. M. Buzzinaro Buzzinaro Pré-impressão: Pré-impressão: Alexandre Alexandre Petreca, Petreca, Everton Everton L. L. de de Oliveira, Oliveira, Marcio Marcio H. H. Kamoto, Kamoto, Vitória Vitória Sousa Sousa Coordenação Coordenação de de produção produção industrial: industrial: Wendell Wendell Monteiro Monteiro Impressão Impressão e e acabamento: acabamento:

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silveira, Ênio Matemática : compreensão e prática :/ manual Ênio do Silveira. – /5.Ênio professor ed. Silveira. – São Paulo – 5. :ed. Moderna, – São Paulo 2018.: Moderna, 2018. Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. ano. Componente curricular: Obra em 4 v. do 6o ao 9oMatemática. Componente curricular: Matemática. Bibliografia. Bibliografia. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título. 18-16950 18-16948

CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2018 Impresso no Brasil 1 3

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Sumário Orientações gerais • Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IV • Objetivos gerais da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V • Organização da coleção . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VI • Matemática escolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII • Apresentação da proposta didática e distribuição dos conteúdos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . IX • Quadros de objetos de conhecimento e habilidades do 7o ano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XI • Unidades temáticas de Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI • O trabalho interdisciplinar na escola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII • A utilização da história da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX • As tecnologias e a aprendizagem da Matemática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIX • O papel do erro na aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XX • Avaliação de aprendizagem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXI • Formação do professor — Sugestões de leitura e sites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XXII

Orientações para o desenvolvimento das unidades

Unidade I ........................................................................................................................................................................................................................................................................................ 9 Capítulo 1

Números inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Capítulo 2

Múltiplos e divisores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Capítulo 3

Retas e ângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .56

Unidade II ................................................................................................................................................................................................................................................................................... 91 Capítulo 4

Frações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92

Capítulo 5

Números racionais

Capítulo 6

Linguagem algébrica e regularidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

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107

Unidade III ............................................................................................................................................................................................................................................................................ 163 Capítulo 7

Porcentagem e juro simples

Capítulo 8

Proporcionalidade

Capítulo 9

Transformações geométricas

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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181 205

Unidade IV ...........................................................................................................................................................................................................................................................................228 Capítulo 10

Grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .229

Capítulo 11

Figuras geométricas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

Capítulo 12

Probabilidade e estatística

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

268

III

Orientações gerais

APRESENTAÇÃO Esta coleção tem como objetivo principal servir de apoio didático para suas aulas. No Manual do Professor, você encontra algumas reflexões sobre o processo de ensino e de aprendizagem da Matemática nos Anos Finais do Ensino Fundamental. Observe que falamos "de ensino e de aprendizagem”, separadamente, pois entendemos que são processos que se articulam, mas são distintos: processo de ensino + processo de aprendizagem. Na escola, buscamos sempre que esses dois processos andem juntos, completem-se, e esse pressuposto guia a organização desta coleção. Lembramos você, professor, de que a escolha do livro didático deve ser feita sempre a partir do conhecimento de sua realidade escolar. E, já que escolheu trabalhar com esta coleção, queremos ajudá-lo a atingir seus objetivos didáticos, valorizando sua autonomia didática na organização e gestão de suas aulas. Esta coleção foi reformulada para atender aos requisitos da Base Nacional Comum Curricular (BNCC), abrangendo o desenvolvimento das habilidades tanto nos conteúdos quanto nas atividades e seções complementares. Assim, neste Manual, propomos orientações e ferramentas que visam ajudar no trabalho diário. Tratamos do uso de calculadoras e softwares, mas também do uso de materiais concretos, sempre no intuito de enriquecer a gama de materiais didáticos disponíveis. Procuramos também articular os objetivos gerais da aprendizagem com a ideia de avaliação e os possíveis instrumentos a serem utilizados. Além disso, apresentamos sugestões de leitura que permitirão a você, professor, aprofundar-se em suas reflexões. O professor é o grande mediador na relação entre o aluno e a Matemática escolar: ele planeja, organiza, elabora as situações de aprendizagem e faz a gestão do trabalho, sempre buscando que seus alunos adquiram conhecimentos para serem aplicados em situações presentes e futuras, tanto no âmbito escolar como em sua vida fora dos muros da escola. Não podemos esquecer que o objetivo da aprendizagem escolar é a formação humana integral e que por esse motivo é necessário levar em consideração a vida pessoal e a futura vida profissional dos alunos. Nesse sentido, Ferreira (2006)1 defende que a escola deve promover o desenvolvimento humano, conectando todos os conhecimentos, sejam de ordem cotidiana, sejam de ordem científica. Para construir este Manual do Professor, baseamo-nos nos princípios da Educação Matemática, área que estuda os processos de ensino e de aprendizagem e da Matemática; ou seja, partimos da compreensão de que a Matemática feita pelos matemáticos é diferente da matemática a ser trabalhada na escola. Segundo Fiorentini e Lorenzato (2012)2, os estudos feitos no campo da Educação Matemática têm como perspectiva “o desenvolvimento de conhecimentos e práticas pedagógicas que contribuam para uma formação mais integral, humana e crítica do aluno e do professor” (p. 4). Nesse sentido, esta coleção visa tal formação e considera que não se pode confundir a aplicação de algoritmos com o fazer matemático, pois a Matemática vai muito além. Assim, apresentamos a Matemática escolar de forma que o aluno possa desenvolver as habilidades preconizadas pela BNCC e, por meio delas, aprender a pensar matematicamente, resolver problemas diversos e concluir essa etapa da Educação Básica preparado para continuar seus estudos.

1 FERREIRA, L. R. Matemática escolar: conceitos do cotidiano na vida profissional. ZETETIKÉ, FE/Unicamp, v. 14, n. 26, jul.-dez. 2006. 2 FIORENTINI, D.; LORENZATO, S. Investigação em Educação Matemática: percursos teóricos e metodológicos. 3. ed. Campinas: Editores Associados, 2009.

IV

OBJETIVOS GERAIS DA COLEÇÃO Ao escolher e organizar os conteúdos a serem abordados ao longo dos quatro anos desse ciclo escolar, tivemos a preocupação de proporcionar aos alunos as melhores condições para a construção dos conhecimentos matemáticos esperados para essa faixa de escolaridade. Pautamo-nos nos objetivos, nas competências gerais e específicas e nas habilidades estabelecidos pela Base Nacional Comum Curricular. Destacamos que, de acordo com a BNCC: É imprescindível destacar que as competências gerais da BNCC, apresentadas a seguir, inter-relacionam-se e desdobram-se no tratamento didático proposto para as três etapas da Educação Básica (Educação Infantil, Ensino Fundamental e Ensino Médio), articulando-se na construção de conhecimentos, no desenvolvimento de habilidades e na formação de atitudes e valores.

Competências gerais da Base Nacional Comum Curricular 1. Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. 2. Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. 3. Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. 4. Utilizar diferentes linguagens ‒ verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital ‒, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. 5. Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. 6. Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. 7. Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. 8. Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. 9. Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. 10. Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

V

Além das competências gerais para todas as áreas, a BNCC estabelece as competências específicas para cada área do conhecimento. As de Matemática são: 1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho. 2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. 3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. 4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. 5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. 6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). 7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. 8. Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles. Considerando as competências gerais e específicas da Matemática, as habilidades de Matemática para os Anos Finais do Ensino Fundamental, esperamos, com esta coleção e a parceria com o professor, promover a aprendizagem eficiente da Matemática e contribuir para a formação integral do aluno.

ORGANIZAÇÃO DA COLEÇÃO Esta coleção é organizada em quatro volumes. Cada volume está dividido em quatro unidades, compostas de dois ou mais capítulos. Cada unidade apresenta uma seção de abertura e uma seção de fechamento. A abertura de unidade apresenta a lista dos capítulos que a integram e propõe questões para instigar a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados na unidade. As questões não precisam ser respondidas em um primeiro momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que os alunos reflitam sobre o que aprenderam. A abertura de capítulo propõe a observação e a reflexão de uma situação relacionada ao conteúdo do capítulo por meio de uma imagem e das questões do “É hora de observar e refletir”. Em seguida, o capítulo apresenta a seção “Trocando ideias”. Essa seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer principalmente o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10 da BNCC.

VI

Esse primeiro contato com o conteúdo a ser trabalhado permite ao professor inserir atividades diversas a cada capítulo: pesquisas, jogos, entre outras opções. É também uma oportunidade para desencadear um debate com os alunos, visando identificar os conhecimentos prévios para que estes sejam o ponto de partida para a aquisição de novos saberes. Um exemplo é a abordagem das operações com números naturais: os alunos já possuem algum conhecimento adquirido nos anos anteriores; retomá-los permite ao professor desenvolver um trabalho mais significativo para o aluno. Após a abertura de capítulo e a seção “Trocando ideias”, apresentamos os conteúdos, que são organizados de forma que o aluno aprenda paulatinamente. Nos tópicos, são apresentados definições, propriedades, exemplos e situações que permitem maior detalhamento da exposição do conteúdo; em seguida, há atividades a serem resolvidas pelos alunos. Com diferentes níveis de dificuldade, as atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo e o trabalho com o cálculo mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias, como planilha eletrônica e softwares de construção de gráficos e de geometria dinâmica. O uso de tecnologias é uma prerrogativa do professor e uma realidade no mundo de hoje. É importante que os alunos utilizem essas ferramentas para descobrir estratégias de resolução das atividades propostas distintas daquelas apresentadas na coleção. Valoriza-se, assim, também o desenvolvimento da criatividade e da autonomia, entre outras habilidades e competências. Ao longo do capítulo, também são apresentadas as seções “Lendo e aprendendo”, com o objetivo de enriquecer a aprendizagem, e “Um pouco de história”, que aborda a história da Matemática para contextualizar alguns assuntos. Os capítulos são finalizados com a seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, que tem como objetivo retomar os conceitos e os procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e da elaboração de problemas. Essa seção é composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames e concursos, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até aquele momento. A seção é dividida em três grupos distintos de atividades: "Revisitando", "Aplicando" e "Elaborando". No “Revisitando”, os alunos têm a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Então, se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos, sugira que retomem a explicação e as atividades apresentadas anteriormente no capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. O “Aplicando” traz desafios, questões de concursos e exames, e o “Elaborando” estimula a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo principalmente o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica de Matemática 5 da BNCC. Alguns capítulos apresentam a seção “Resolvendo em equipe”, que destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas, as quais devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favorecer sobretudo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos”, por exemplo. O trabalho em equipe é muito importante sob diversos pontos de vista: permite ao aluno aprender com os colegas, explicitar conhecimentos e dúvidas, facilitando a ação do professor, e validar o raciocínio construído por meio do diálogo com os demais colegas. Além disso, saber trabalhar em equipe é uma competência exigida nas mais diversas profissões de diferentes áreas. Pensando nisso, ao final de cada unidade, encontra-se a seção “É hora de extrapolar”, que propõe um trabalho colaborativo explorando a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final (embalagens, cartazes, obras de arte e revistas), que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.

VII

Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem: • o entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado; • a pesquisa individual ou coletiva; • a elaboração, em grupo, do produto proposto; • a apresentação e exposição do produto; • a reflexão sobre a atuação do grupo e a síntese do trabalho. As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser feitas extraclasse. Será necessário que o professor verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho. A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se o professor preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, deverá atentar para os conhecimentos prévios necessários. Além do Material do Professor impresso, a coleção oferece o Material do Professor – Digital, que apresenta uma proposta para implementar as competências gerais, as competências específicas e as habilidades indicadas na BNCC para os Anos Finais do Ensino Fundamental. Entre outros recursos, esse material oferece ao professor um plano de desenvolvimento voltado à prática pedagógica da sala de aula, abordando atividades recorrentes, subsídios para a gestão da sala de aula, habilidades essenciais, indicações de outras fontes de pesquisa, como livros, sites e artigos científicos, para aprimorar a atuação do professor, entre outras sugestões. Apresenta ainda um projeto integrador para ser desenvolvido em quatro etapas, uma para cada bimestre, sequências didáticas com planos aula a aula, propostas de acompanhamento de aprendizagem bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e fichas para acompanhamento de aprendizagem dos alunos. Além disso, há o material digital audiovisual, que favorece a compreensão do conteúdo. Ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, indicaremos a possibilidade de uso dos recursos do Material do Professor – Digital.

MATEMÁTICA ESCOLAR Usualmente lemos ou escutamos frases como “aprender Matemática é importante para o desenvolvimento do raciocínio”, e outras com os mesmos pressupostos. Realmente, essa é uma verdade que, para ser compreendida, precisa ser bem analisada. Em sua pesquisa, Maciel (2009)3 comprova a importância da Matemática na formação do cidadão. A autora afirma: Desse estudo concluiu-se que o ensino da Matemática é um dos elementos fundamentais para a formação social e intelectual do aluno, fazendo deste um ser humano dotado de conhecimento, possuidor da capacidade de evoluir culturalmente, se tratando de um cidadão apto e preparado para lidar com as mudanças da sociedade. Assim sendo imprescindível o desenvolvimento da autonomia, da criticidade, da criatividade e da capacidade de argumentação, assim se comprovou a importância do ensino da Matemática como componente curricular. (p. 1) A Matemática escolar difere da Matemática acadêmica pelo grau de profundidade da abordagem: a Matemática feita pelos matemáticos tem características que não são adequadas às atividades para descoberta e aprendizagem. O conhecimento matemático passa, assim, por transformações que resultam em um conjunto de saberes escolares, acessíveis aos alunos. É o que Chevallard (1991)4 chama de transposição didática: toda transformação sofrida por um saber para que este se adapte a uma instituição (nesse caso, a escola). 3 MACIEL, M. V. A importância do ensino da Matemática na formação do cidadão. Revista da Graduação. EdiPUCRS, 2009. Disponível em: . Acesso em: 21 ago. 2018. 4 CHEVALLARD, Y.; JOHSUA, M-A. La transposition didactique. Grenoble: La Pensée Sauvage-Éditions, 1991.

VIII VIII

Tais transformações são demandadas e trabalhadas pelos que concebem currículos e propostas curriculares, pelas instituições de ensino, pelos autores de livros didáticos, pela sociedade, pelos pais etc. Os resultados são apresentados nas propostas curriculares, nos livros didáticos, e são trabalhados pelos professores em sala de aula, completando o ciclo de transformações: de saber científico a saber ensinado. Os conteúdos abordados nesta coleção encaixam-se nessa perspectiva: fazem parte do conjunto de conteúdos da Matemática escolar, da Matemática a ser aprendida pelos alunos durante sua escolaridade, sem perder de vista o saber de referência, ou seja, a Matemática em sua dimensão de saber científico.

APRESENTAÇÃO DA PROPOSTA DIDÁTICA E DISTRIBUIÇÃO DOS CONTEÚDOS A Matemática trabalhada no Ensino Fundamental não tem um fim em si mesma; além de aprofundar e sistematizar aprendizagens anteriores, abre as portas para novas aprendizagens, considerando as diversas áreas do saber, contribuindo para o desenvolvimento intelectual do aluno. O conhecimento matemático é, assim, o objeto de estudo nas aulas de Matemática, para que possa ser a ferramenta de trabalho tanto na resolução de problemas matemáticos como na aquisição de novos conhecimentos oriundos tanto da ciência como do cotidiano. Nesta coleção, a seleção dos conteúdos foi feita nessa perspectiva, e as abordagens propostas pressupõem o desenvolvimento de atitudes adequadas à formação do aluno. Escolhemos abordar conceitos e procedimentos (seleção e abordagem) tanto para aprofundar e retomar os conhecimentos prévios dos alunos quanto para iniciar a aquisição de novos conhecimentos a serem consolidados em anos posteriores de escolaridade. O professor pode acrescentar atividades, questionamentos, de modo a atender às especificidades de seus alunos: o livro didático nunca pode ser uma amarra para o professor, mas deve ser um facilitador de seu trabalho. O Manual do Professor traz sugestões que o professor poderá ou não utilizar, sempre a partir do conhecimento de seus alunos e do currículo da escola. A busca é e será sempre por um aprendizado não mecanizado, que permita a construção de significados e, portanto, de articulações entre conteúdos, áreas da Matemática e de outras áreas do conhecimento. A distribuição do conteúdo desta coleção foi pensada com o intuito de favorecer o desenvolvimento das competências e habilidades da BNCC, tomando como princípio a importância da formação cidadã e integral dos estudantes. Para isso, sugere-se que cada unidade, composta por dois ou mais capítulos, seja trabalhada ao longo de um bimestre. No entanto, o professor, sempre que achar necessário, deverá fazer adaptações para adequar a estrutura proposta na coleção à realidade de suas turmas. Os quadros a seguir apresentam uma visão geral sobre como as habilidades foram desenvolvidas em cada unidade, capítulo a capítulo, nos quatro volumes referentes aos Anos Finais do Ensino Fundamental. 6o ano Unidades

I

II

III

IV

Capítulos

Habilidades

1

Números naturais e sistemas de numeração

EF06MA01 e EF06MA02

2

Operações com números naturais

EF06MA03 e EF06MA12

3

Figuras geométricas espaciais

EF06MA17 e EF06MA18

4

Igualdades e desigualdades

EF06MA14

5

Múltiplos e divisores

EF06MA04, EF06MA05 e EF06MA06

6

Frações

EF06MA07, EF06MA09, EF06MA10 e EF06MA15

7

Números decimais

EF06MA01, EF06MA08 e EF06MA11

8

Porcentagem

EF06MA13

9

Figuras geométricas planas

EF06MA18, EF06MA19, EF06MA20, EF06MA22, EF06MA25, EF06MA26 e EF06MA27

10 Ampliação e redução de figuras

EF06MA16, EF06MA21 e EF06MA23

11 Grandezas e medidas

EF06MA24, EF06MA28 e EF06MA29

12 Probabilidade e estatística

EF06MA30, EF06MA31, EF06MA32, EF06MA33 e EF06MA34

IX IX

7o ano Unidades

I

II

III

IV

Capítulos

Habilidades

1

Números inteiros

EF07MA03 e EF07MA04

2

Múltiplos e divisores

EF07MA01

3

Retas e ângulos

EF07MA23

4

Frações

EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08 e EF07MA09

5

Números racionais

EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12

6

Linguagem algébrica e regularidades

EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA18

7

Porcentagem e juro simples

EF07MA02

8

Proporcionalidade

EF07MA09, EF07MA13 e EF07MA17

9

Transformações geométricas

EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21

10 Grandezas e medidas

EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32

11 Figuras geométricas planas

EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF07MA27, EF07MA28 e EF07MA33

12 Probabilidade e estatística

EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37

8o ano Unidades

I

II

III

IV

X

Capítulos

Habilidades

1

Conjuntos numéricos

EF08MA04, EF08MA05 e EF08MA11

2

Potenciação e radiciação

EF08MA01 e EF08MA02

3

Sistemas de equações do 1o grau

EF08MA06, EF08MA07 e EF08MA08

4

Ângulos e transformações geométricas

EF08MA15, EF08MA17 e EF08MA18

5

Polígonos

EF08MA15 e EF08MA16

6

Probabilidade

EF08MA03 e EF08MA22

7

Triângulos e quadriláteros

EF08MA10 e EF08MA14

8

Área, volume e capacidade

EF08MA06, EF08MA19, EF08MA20 e EF08MA21

9

Equações do 2o grau

EF08MA06 e EF08MA09

10 Grandezas e proporcionalidade

EF08MA12 e EF08MA13

11 Medidas de tendência central e pesquisa estatística

EF08MA25, EF08MA26 e EF08MA27

12 Gráficos estatísticos

EF08MA23, EF08MA24 e EF08MA27

9o ano Unidades

I

II

III

IV

Capítulos

Habilidades

1

Potenciação e radiciação com números reais

EF09MA01, EF09MA02, EF09MA03, EF09MA04 e EF09MA18

2

Matemática financeira

EF09MA05

3

Segmentos proporcionais e semelhança

EF09MA10, EF09MA12 e EF09MA14

4

Fatoração e equações do 2o grau

EF09MA09

5

Função afim

EF09MA06, EF09MA07 e EF09MA08

6

Função quadrática

EF09MA06

7

Relações métricas no triângulo retângulo

EF09MA13, EF09MA14 e EF09MA16

8

Circunferência, arcos e ângulos

EF09MA11

9

Polígonos regulares

EF09MA15

10 Vistas ortogonais e volumes

EF09MA17 e EF09MA19

11 Construção de gráficos estatísticos

EF09MA21 e EF09MA22

12 Probabilidade e estatística

EF09MA20 e EF09MA23

QUADROS DE OBJETOS DE CONHECIMENTO E HABILIDADES DO 7o ANO Na sequência, focamos o quadro do 7 o ano, estabelecendo relações entre alguns objetos de conhecimento trabalhados nesse ano com objetos de anos anteriores ou posteriores, indicados após cada quadro de cada unidade, por meio de números. As competências serão indicadas ao longo das orientações específicas para o desenvolvimento das unidades, assim como as sugestões de trabalho interdisciplinar, de leitura, de vídeo, de atividade extra etc. Unidade I (1o bimestre) Capítulos 1 Números inteiros

Unidades temáticas da BNCC

Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados

Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido

Números

Números inteiros: usos, história, ordenação, associação com pontos da reta numérica e operações. (1)

(EF07MA03) Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta numérica e utilizá-los em situações que envolvam adição e subtração. (EF07MA04) Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

2 Múltiplos e divisores

Números

Múltiplos e divisores de um número natural. (2)

(EF07MA01) Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo incluir máximo divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

XI

Capítulos

Unidades temáticas da BNCC

Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados

Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido

Geometria

Relações entre os ângulos formados por retas paralelas intersectadas por uma transversal. (3)

(EF07MA23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.

3 Retas e ângulos

(1) • Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal – 6o ano. • Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números naturais – 6o ano. • Notação científica – 8o ano. • Potenciação e radiciação – 8o ano. (2) • Múltiplos e divisores de um número natural – 6o ano. • Números primos e compostos – 6o ano. (3) • Construção de retas paralelas e perpendiculares, fazendo uso de réguas, esquadros e softwares – 6o ano. • Ângulos: noção, usos e medida – 6o ano. • Construções geométricas: ângulos de 90°, 60°, 45° e 30° e polígonos regulares – 8o ano.

Unidade II (2o bimestre) Capítulos 4 Frações

Unidades temáticas da BNCC Números

Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. (4)

Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido (EF07MA05) Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos. (EF07MA06) Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos. (EF07MA07) Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. (EF07MA08) Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. (EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a 2 fração 3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

5 Números racionais

Números

Números racionais na representação fracionária e na decimal: usos, ordenação e associação com pontos da reta numérica e operações. (5)

(EF07MA10) Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. (EF07MA11) Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias. (EF07MA12) Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

6 Linguagem algébrica e regularidades

XII

Álgebra

Linguagem algébrica: variável e incógnita. (6)

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. (EF07MA14) Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. (EF07MA15) Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

Capítulos

Unidades temáticas da BNCC

Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados

Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido

Equivalência de expressões algébricas: identificação da regularidade de uma sequência numérica. (7)

(EF07MA16) Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes. (EF07MA18) Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1 o grau, redutíveis à forma ax 1 b 5 c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

Equações polinomiais do 1o grau. (8)

(4) e (10) • Frações: significados (parte/todo, quociente), equivalência, comparação, adição e subtração; cálculo da fração de um número natural; adição e subtração de frações – 6o ano. • Problemas que tratam da partição de um todo em duas partes desiguais, envolvendo razões entre as partes e entre uma das partes e o todo – 6o ano. (5) • Sistema de numeração decimal: características, leitura, escrita e comparação de números naturais e de números racionais representados na forma decimal – 6o ano. • Operações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação) com números racionais – 6o ano. • Potenciação e radiciação – 8o ano. • Dízimas periódicas: fração geratriz – 8o ano. (6) e (11) • Propriedades da igualdade – 6o ano. • Valor numérico de expressões algébricas – 8o ano. • Sequências recursivas e não recursivas – 8o ano. (7) • Propriedades da igualdade – 6o ano. • Sequências recursivas e não recursivas – 8o ano. (8) • Propriedades da igualdade – 6o ano. • Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano. • Sistema de equações polinomiais de 1o grau: resolução algébrica e representação no plano cartesiano – 8o ano. • Equação polinomial de 2o grau do tipo ax2 5 b – 8o ano.

Unidade III (3o bimestre) Unidades temáticas da BNCC

Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados

Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido

7 Porcentagem e juro simples

Números

Cálculo de porcentagens e de acréscimos e decréscimos simples. (9)

(EF07MA02) Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto de educação financeira, entre outros.

8 Proporcionalidade

Números

Fração e seus significados: como parte de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. (10)

(EF07MA09) Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a 2 fração 3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

Álgebra

Linguagem algébrica: variável e incógnita. (11)

(EF07MA13) Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita.

Problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais. (12)

(EF07MA17) Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

Transformações geométricas de polígonos no plano cartesiano: multiplicação das coordenadas por um número inteiro e obtenção de simétricos em relação aos eixos e à origem. (13)

(EF07MA19) Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro.

Capítulos

9 Transformações geométricas

Geometria

(EF07MA20) Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

XIII

Capítulos

Unidades temáticas da BNCC

Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados

Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido

Simetrias de translação, rotação e reflexão. (14)

(EF07MA21) Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

(9) • Cálculo de porcentagens por meio de estratégias diversas, sem fazer uso da “regra de três” – 6o ano. • Porcentagens – 7o ano. (12) • Grandezas diretamente proporcionais – 5o ano. • Perímetro de um quadrado como grandeza proporcional à medida do lado – 6o ano. • Linguagem algébrica: variável e incógnita – 7o ano. • Variação de grandezas: diretamente proporcionais, inversamente proporcionais ou não proporcionais – 8o ano. (13) e (14) • Plano cartesiano: associação dos vértices de um polígono a pares ordenados – 6o ano. • Transformações geométricas: simetrias de translação, reflexão e rotação – 8o ano.

Unidade IV (4o bimestre) Capítulos 10 Grandezas e medidas

Unidades temáticas da BNCC

Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados

Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido

Grandezas e medidas

Problemas envolvendo medidas de diversas grandezas. (15)

(EF07MA29) Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações cotidianas ou de outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada. (EF07MA30) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico). (EF07MA31) Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros.

Cálculo de volume de blocos retangulares, utilizando unidades de medida padronizadas mais usuais. (16) Equivalência de área de figuras planas: cálculo de áreas de figuras que podem ser decompostas por outras, cujas áreas podem ser facilmente determinadas, como triângulos e quadriláteros. (17) 11 Figuras geométricas planas

Geometria

A circunferência como lugar geométrico. (18)

Triângulos: construção, condição de existência e soma das medidas dos ângulos internos. (19)

Polígonos regulares: quadrado e triângulo equilátero. (20)

XIV

(EF07MA32) Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas. (EF07MA22) Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes. (EF07MA24) Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. (EF07MA25) Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas. (EF07MA26) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados. (EF07MA27) Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

Capítulos

Unidades temáticas da BNCC

Objetos de conhecimento da BNCC correlacionados

Habilidades da BNCC cujo desenvolvimento é favorecido (EF07MA28) Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado.

12 Probabilidade e estatística

Grandezas e medidas

Medida do comprimento da circunferência. (21)

(EF07MA33) Estabelecer o número s como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

Probabilidade e estatística

Experimentos aleatórios: espaço amostral e estimativa de probabilidade por meio de frequência de ocorrências. (22)

(EF07MA34) Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por meio de frequência de ocorrências.

Estatística: média e amplitude de um conjunto de dados. (23)

(EF07MA35) Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

Pesquisa amostral e pesquisa censitária.

(EF07MA36) Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

Planejamento de pesquisa, coleta e organização dos dados, construção de tabelas e gráficos e interpretação das informações. (24) Gráficos de setores: interpretação, pertinência e construção para representar conjunto de dados. (25)

(EF07MA37) Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

(15) • Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume – 6o ano. (16) • Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume – 6o ano. • Volume de cilindro reto – 8o ano. • Medidas de capacidade – 8o ano. (17) e (21) • Problemas sobre medidas envolvendo grandezas como comprimento, massa, tempo, temperatura, área, capacidade e volume – 6o ano. • Área de figuras planas – 8o ano. • Área do círculo e comprimento de sua circunferência – 8o ano. (18) • Medida do comprimento da circunferência – 7o ano. • Área do círculo e comprimento de sua circunferência – 8o ano. (19) e (20) • Polígonos: classificações quanto ao número de vértices, às medidas de lados e ângulos e ao paralelismo e perpendicularismo dos lados – 6o ano. • Congruência de triângulos e demonstrações de propriedades de quadriláteros – 8o ano. (22) • Cálculo de probabilidade como a razão entre o número de resultados favoráveis e o total de resultados possíveis em um espaço amostral equiprovável – 6o ano. • Cálculo de probabilidade por meio de muitas repetições de um experimento (frequências de ocorrências e probabilidade frequentista) – 6o ano. • Princípio multiplicativo da contagem – 8o ano. • Soma das probabilidades de todos os elementos de um espaço amostral – 8o ano. (23) • Medidas de tendência central e de dispersão – 8o ano. (24) • Coleta de dados, organização e registro. Construção de diferentes tipos de gráficos para representá-los e interpretação das informações – 6o ano. • Pesquisas censitária ou amostral – 8o ano. • Planejamento e execução de pesquisa amostral – 8o ano. (25) • Diferentes tipos de representação de informações: gráficos e fluxogramas – 6o ano. • Gráficos de barras, colunas, linhas ou setores e seus elementos constitutivos e adequação para determinado conjunto de dados – 8o ano.

XV

UNIDADES TEMÁTICAS DE MATEMÁTICA No que se refere aos conteúdos relacionados à unidade temática Números, espera-se que o aluno perceba seus diferentes usos e significados ao longo de sua escolaridade, ampliando o conhecimento construído em anos anteriores. As operações e suas propriedades são trabalhadas de forma gradativa, a cada conjunto numérico abordado: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais. A apresentação dos conteúdos se inicia com a abordagem dos sistemas de numeração, para depois apresentar o sistema de numeração decimal e o conjunto dos números naturais. A partir daí, apresentam-se os demais conteúdos, sistematicamente e sem que cada tópico ou capítulo esgote o conteúdo. O objetivo principal é a atribuição de significados: o cálculo é importante, mas a compreensão dos resultados obtidos na resolução de um problema, ou mesmo ao final de um procedimento, deve ser a meta principal do processo de ensino e de aprendizagem. Nossa opção pela atribuição de significados se reflete não apenas ao longo dos capítulos, mas também nas orientações didáticas presentes na parte específica deste Manual. Ao longo dos Anos Finais do Ensino Fundamental, a Álgebra privilegia o desenvolvimento dos processos de abstração e de generalização. Nesse aspecto, destaca-se a importância de que o ensino dos conteúdos dessa unidade temática não se limite à repetição de algoritmos. É necessário que o aluno desenvolva ferramentas para resolver problemas. Por isso, os exercícios de fixação são importantes, mas não devem se constituir em abordagem principal. O desenvolvimento do pensamento algébrico iniciado nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental deve ser retomado e aprofundado nos Anos Finais. De acordo com a BNCC: Nessa fase, os alunos devem compreender os diferentes significados das variáveis numéricas em uma expressão, estabelecer uma generalização de uma propriedade, investigar a regularidade de uma sequência numérica, indicar um valor desconhecido em uma sentença algébrica e estabelecer a variação entre duas grandezas. É necessário, portanto, que os alunos estabeleçam conexões entre variável e função e entre incógnita e equação. As técnicas de resolução de equações e inequações, inclusive no plano cartesiano, devem ser desenvolvidas como uma maneira de representar e resolver determinados tipos de problema, e não como objetos de estudo em si mesmos. Outro aspecto a ser considerado é que a aprendizagem de Álgebra, como também aquelas relacionadas a outros campos da Matemática (Números, Geometria e Probabilidade e estatística), podem contribuir para o desenvolvimento do pensamento computacional dos alunos, tendo em vista que eles precisam ser capazes de traduzir uma situação dada em outras linguagens, como transformar situações-problema, apresentadas em língua materna, em fórmulas, tabelas e gráficos e vice-versa. A percepção de padrões contribui bastante para a compreensão dos procedimentos, por exemplo, para a operação entre monômios, entre polinômios, para o desenvolvimento de expressões algébricas, para o trabalho com as funções: a introdução das letras como variável, como incógnita ou como símbolo pode ser trabalhada a partir da observação de padrões, antes que se apresentem os algoritmos. A utilização de calculadoras, planilhas eletrônicas e softwares para o ensino da Matemática também favorece a construção de significados; a construção de gráficos, por exemplo, pode ser extremamente favorecida pelo uso de ambiente computacional. O papel da Geometria é fundamental na construção do conhecimento matemático pelo aluno. O conhecimento nessa área é trabalhado desde os primeiros anos de escolaridade e se aprofunda nos Anos Finais do Ensino Fundamental, em uma articulação desejável entre a Geometria plana e a Geometria

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espacial. A utilização de softwares livres de geometria dinâmica (iGeom e GeoGebra, por exemplo) e de materiais concretos facilita a compreensão por meio da visualização e da manipulação das figuras geométricas, permitindo avançar no estudo do espaço, das formas, das grandezas relacionadas e suas medidas. As construções com régua e compasso ampliam e aprofundam as relações construídas pelos alunos. Nesse contexto, insere-se a abordagem das transformações geométricas, do estudo das vistas e da percepção espacial, dos deslocamentos no plano e no sistema cartesiano. A resolução de problemas é um cenário potencial para essa abordagem. Os primeiros passos na argumentação e na demonstração são dados também nesse cenário da Geometria. No entanto, deve-se evitar nessa fase de escolaridade o excesso de formalização. Isso porque a construção do pensamento geométrico é um processo não linear, que está em constante desenvolvimento ao longo da vida escolar do aluno. O campo designado por Probabilidade e estatística é bastante propício ao desenvolvimento de atividades lúdicas e de atividades que trabalhem com a criticidade dos alunos: são trabalhadas no Ensino Fundamental algumas ferramentas que auxiliam na compreensão de notícias, de dados fornecidos pelas diversas mídias, de dados referentes à vida cotidiana pessoal do aluno e da família. Amplia-se, assim, um cenário de construção da cidadania. A coleta de dados e sua organização em tabelas e gráficos são uma etapa anunciada pelas pesquisas na área como fundamental para que os alunos aprendam a mobilizar correta e adequadamente seus conhecimentos para a análise estatística desses dados coletados. O objetivo será sempre responder a um questionamento por meio da análise desses dados. Aprofunda-se também a discussão que permite distinguir o aleatório do determinístico. Nesse sentido, o estudo da probabilidade por meio de experimentações e simulações é bastante favorecido. O professor tem a possibilidade de utilizar tanto materiais concretos (jogos ou materiais construídos com os alunos, que possam ser utilizados para a realização de sorteios aleatórios e simulações) como softwares livres (por exemplo, o GeoGebra). O objetivo deve ser a construção de estimativas plausíveis para resultados de experimentos aleatórios. A leitura estatística e probabilística dos fatos que nos cercam fornece importantes elementos para decisões no campo pessoal, nutricional, de investimentos, de segurança, de confiabilidade em processos de qualidade, em processos de pesquisa de opinião, entre muitas outras. A percepção e a apreensão da variação dos dados coletados nos diversos contextos que se quer analisar são objetivos centrais no estudo dos conteúdos ligados ao tratamento da informação. Os conteúdos relacionados à unidade temática Grandezas e medidas podem ser abordados em articulação com as demais unidades temáticas da Matemática escolar. Contextos ligados ao cotidiano do aluno fornecem elementos para que o professor possa trabalhar tais conteúdos em sala de aula, sem desvincular a Matemática da realidade do aluno. A compreensão das diversas grandezas e das medidas que se associam, destacando a discussão sobre as mudanças de unidades e os efeitos de tais mudanças na análise dos resultados observados na resolução das atividades propostas, é fundamental para a aprendizagem conceitual da Matemática. Nesse sentido, destaca-se o papel do trabalho com os instrumentos de medida. Sobre o estudo de Grandezas e medidas, a BNCC aponta: As medidas quantificam grandezas do mundo físico e são fundamentais para a compreensão da realidade. Assim, a unidade temática Grandezas e medidas, ao propor o estudo das medidas e das relações entre elas ‒ ou seja, das relações métricas ‒, favorece a integração da Matemática a outras áreas de conhecimento, como Ciências (densidade, grandezas e escalas do Sistema Solar, energia elétrica etc.) ou Geografia (coordenadas geográficas, densidade demográfica, escalas de mapas e guias etc.). Essa unidade temática contribui ainda para a consolidação e ampliação da noção de número, a aplicação de noções geométricas e a construção do pensamento algébrico.

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O TRABALHO INTERDISCIPLINAR NA ESCOLA No vasto panorama do processo de ensino-aprendizagem, a aquisição de conhecimentos de Matemática não deve se restringir a esse componente curricular, mas abranger outros componentes curriculares. Então, o ensino só será completo se, no planejamento anual, houver previsão de propostas de trabalhos interdisciplinares na escola. Partindo da atual organização do currículo escolar em diferentes componentes curriculares, como Língua Portuguesa, Matemática, Geografia, História, Ciências, Arte, entre outros, a interdisciplinaridade na Educação deve levar em conta uma abordagem que supere a fragmentação do saber escolar, muitas vezes trabalhado de modo excessivamente compartimentado e, por isso, distante da realidade dos alunos. O pesquisador Hilton Japiassu afirma que a interdisciplinaridade absorve os produtos dos diversos componentes curriculares, “tomando-lhes de empréstimo esquemas conceituais de análise a fim de fazê-los se integrar, depois de havê-los comparado e julgado”5. Essa formulação, embora tenha em vista especificamente o saber acadêmico, cujo processo de disciplinarização responde a questões de natureza diversa da organização disciplinar do currículo escolar, não deixa de ser pertinente à aplicação de propostas interdisciplinares, que têm sido um desafio aos educadores. Quando o aluno se defronta com um problema, o conhecimento adquirido previamente acerca da situação apresentada não se limita à abordagem unicamente disciplinar, mas ultrapassa-a. Maingain e Dufour6 observam que o conhecimento é global, pautado em multidimensões, que não necessariamente se restringem às áreas disciplinares, entretanto, um campo disciplinar oferece as sistematizações necessárias. A combinação das multidimensões e das sistematizações constrói representações de uma situação particular, sendo, portanto, compreendida como uma perspectiva interdisciplinar. Em outras palavras, pensar a interdisciplinaridade na Educação Básica significa estabelecer relações entre as diferentes disciplinas para além da mera justaposição, mas aquém de uma fusão e, consequentemente, da desintegração do saber disciplinar. Assim, nesta coleção, são favorecidas as situações de aprendizagem que, para além dos limites de cada componente curricular, incentivam a participação social, a cooperação, a tomada de decisões e a escolha de procedimentos. É uma proposta pensada para a ação do professor em sala de aula e para a ação do aluno tanto no ambiente escolar quanto no convívio social. Nesse sentido, a postura do professor é fundamental para que o trabalho interdisciplinar seja desenvolvido de forma consistente e significativa. Cabe aqui uma reflexão, de acordo com o professor Nilbo Ribeiro Nogueira7: Uma atitude interdisciplinar É importante refletir sobre a postura do professor, pois é ela que norteará os trabalhos de caráter interdisciplinar. Acreditamos que não basta apenas ter vontade de praticar a interdisciplinaridade; deve haver uma vontade política que vai além do discurso e assume uma atitude interdisciplinar. "... uma atitude diante de alternativas para conhecer mais e melhor, atitude de espera ante os atos consumados, atitude de reciprocidade que impele à troca, que impele ao diálogo ‒ ao diálogo com pares idênticos, com pares anônimos ou consigo mesmo ‒ atitude de humildade diante da limitação do próprio saber, atitude de perplexidade ante a possibilidade de desvendar novos saberes, atitude de desafio ‒ desafio perante o novo, desafio em redimensionar o velho ‒, atitude de envolvimento e comprometimento com as pessoas neles envolvidas, atitude, pois, de compromisso em construir sempre da melhor forma possível, atitude de responsabilidade, mas, sobretudo, de alegria, de revelação, de encontro, enfim, de vida.” (FAZENDA, 1998, p. 82) 5 JAPIASSU, Hilton. Interdisciplinaridade e patologia do saber. Rio de Janeiro: Imago, 1976. p. 32. 6 MAINGAIN, Alain; DUFOUR, Barbara. Abordagens didáticas da interdisciplinaridade. Lisboa: Instituto Piaget, 2002. 7 NOGUEIRA, Nilbo Ribeiro. Pedagogia dos projetos: uma jornada interdisciplinar rumo ao desenvolvimento das múltiplas inteligências. 7. ed. São Paulo: Érica, 2010.

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Tal atitude ainda exigirá romper com velhos paradigmas, acreditar no novo, conceber a hipótese de que o aprendiz é possuidor de um espectro de competências ávidas a serem desenvolvidas, e que apenas ministrando 100% de um determinado conteúdo não garantirá os estímulos, as ações, as vivências, a interação social e todos os demais fatores essenciais à construção do conhecimento. Por outro lado, a postura e a atitude interdisciplinar podem garantir uma atuação mediadora do professor que, tal qual um facilitador, busca o foco de interesse, facilita o acesso aos materiais de pesquisa, indaga mais do que responde, promove discussões etc., sempre preocupado mais com o processo do que com o produto, garantindo o sucesso do processo de aprendizagem. Esta não pode e nem deve ser uma postura de um único professor. A grande dificuldade reside em disseminá-la por toda a equipe, evitando desta forma a desuniformidade das ações, que ora podem surgir de forma disciplinar e [ora] compartimentada em alguns professores, comprometendo o desenrolar do processo interdisciplinar. A equipe deve possuir perfeito canal de comunicação. A regra decisória passa a ser o consenso, já que desta forma pode-se cobrar o comprometimento; há de se estabelecer divisões de tarefas e equidade nas informações tanto de ordem procedimental como de resultados. Desta forma, só é possível pensar em interdisciplinaridade quando se possui uma equipe comprometida, bem diferente dos grupos de sujeitos isolados, que preocupam-se no máximo com o produto mensurável, demonstrado nas avaliações de caráter quantitativo. Conforme exposto pelo autor, o trabalho interdisciplinar só é efetivo se for desenvolvido em conjunto, por uma equipe comprometida de professores e com o apoio da escola. Além disso, os professores, mediadores do trabalho interdisciplinar, devem se preocupar mais com o processo do que com o produto. Para auxiliar nesse processo, esta coleção sugere possibilidades de trabalhos interdisciplinares ao longo das orientações específicas, mas é importante ressaltar que compete a cada escola e a cada equipe de profissionais definir o projeto que será desenvolvido de acordo com sua realidade. Nesse sentido, cabe a reflexão e a discussão coletiva para que se realize um trabalho interdisciplinar consistente e coerente com a proposta da escola e que seja enriquecedor para o aluno.

A UTILIZAÇÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA A abordagem de episódios da história da Matemática permite aos alunos a percepção de que a Matemática não é uma ciência pronta e acabada. Ela se desenvolveu (e se desenvolve) ao longo do tempo. Textos breves que trazem informações sobre fatos e pessoas ligadas ao seu desenvolvimento permitem ao professor promover discussões e sugerir pesquisas aos alunos, com o objetivo de ampliar os horizontes da aprendizagem matemática. No estudo de conteúdos da Geometria, por exemplo, o trabalho com pesquisas que permitam conhecer elementos sobre sua história, sobre os locais onde a Geometria se desenvolveu, sobre as características sociais e geográficas desses locais, pode contribuir para a compreensão do contexto no qual o objeto matemático em estudo se desenvolveu. A aprendizagem matemática tem, assim, como ferramenta didática disponível a história da Matemática, junto à resolução de problemas e à modelagem. Não cabe ao livro didático fazer um estudo aprofundado da história, mas, sim, promover elementos que servirão como ponto de partida para complementação e o aprofundamento dos conteúdos abordados.

AS TECNOLOGIAS E A APRENDIZAGEM DA MATEMÁTICA A utilização das diversas tecnologias de aprendizagem na aula de Matemática permite uma expansão das oportunidades de aquisição de conhecimento – por exemplo, a calculadora e os softwares para aprendizagem da Matemática, que permitem a ampliação na busca de novas estratégias para resolução de problemas. Sobre esse assunto, discorre Aguiar (2008),8 A utilização e a exploração de aplicativos e/ou softwares computacionais em Matemática podem desafiar o aluno a pensar sobre o que está sendo feito e, ao mesmo tempo, levá-lo a articular os significados e as conjecturas sobre os meios utilizados e os resultados obtidos, conduzindo-o a uma mudança de paradigma com relação ao estudo, na qual as propriedades matemáticas, as técnicas, as ideias e as heurísticas passem a ser objeto de estudo. (p. 64) 8 AGUIAR, E. V. B. As novas tecnologias e o ensino-aprendizagem. VÉRTICES, v. 10, n. 1/3, jan./dez. 2008. Disponível em: . Acesso em: 21 ago. 2018.

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A prontidão para a atuação profissional compreende o conhecimento de diversas tecnologias e linguagens, e a escola é um dos ambientes mais propícios para a construção de tal conhecimento. Não cabe ao Ensino Fundamental o preparo de mão de obra especializada. No entanto, em uma época em que as tecnologias digitais estão mais acessíveis, haja vista a quantidade de telefones celulares no Brasil, a escola não pode ficar alheia a essa realidade, deixando de instrumentalizar os alunos para o uso dessas tecnologias, especialmente para que conheçam os bons e os maus usos delas e se previnam.

O PAPEL DO ERRO NA APRENDIZAGEM O erro tem papel fundamental na vida de qualquer pessoa. Todos sabemos disso, no entanto, na aprendizagem escolar, o erro muitas vezes é motivo de frustração e angústia, levando muitos alunos a desistirem da escola por se sentirem incapazes. A pesquisadora e professora norte-americana Jo Boaler discorre sobre a importância do erro ‒ tanto na escola quanto na vida ‒ na obra Mentalidades matemáticas (Porto Alegre: Penso, 2018), da qual destacamos os trechos a seguir. [...] Carol Dweck reuniu-se com os professores e disse algo que os impressionou: "Toda vez que um aluno comete um erro de matemática, ele cria uma sinapse". Houve um audível suspiro na sala, enquanto os professores se davam conta da importância dessa declaração. Uma razão pela qual essa declaração é tão importante é que ela atesta o imenso poder e valor dos erros, embora os estudantes sempre pensem que cometer erros significa não ser uma "pessoa de matemática", ou pior, não ser inteligente. Muitos bons professores disseram a seus alunos durante anos que erros são úteis e mostram que estamos aprendendo, mas as novas evidências sobre o cérebro revelam algo mais significativo. O psicólogo Jason Moser estudou os mecanismos neurais que operam nos cérebros das pessoas quando elas cometem erros [...] Jason e seu grupo descobriram uma coisa fascinante. Quando cometemos um erro, o cérebro tem duas possíveis respostas. A primeira, chamada de negatividade relacionada ao erro (NRE), é um aumento da atividade elétrica quando o cérebro experimenta o conflito entre uma resposta correta e um erro. O interessante é que essa atividade cerebral ocorre quer a pessoa saiba que cometeu um erro ou não. A segunda resposta, chamada de Pe [atividade elétrica], é um sinal cerebral que reflete atenção consciente a erros. Isso acontece quando existe consciência de que um erro foi cometido e a atenção consciente é dada a ele. Quando eu disse aos professores que erros causam disparos no cérebro e fazem com que ele cresça, eles argumentaram: "Com certeza isso acontece somente se os estudantes corrigem seu erro e continuam a resolver o problema". Mas esse não é o caso. Na verdade, o estudo de Moser mostra que nós nem sequer precisamos estar conscientes de que cometemos um erro para que ocorram disparos cerebrais. Quando professores me perguntam como isso é possível, respondo que o melhor raciocínio de que dispomos sobre tal assunto agora é que o cérebro dispara e cresce quando cometemos um erro, mesmo que não estejamos conscientes disso, porque é um momento de dificuldade; o cérebro é desafiado e, nesse momento, ele cresce. [...] O poder dos erros é uma informação crucial, pois crianças e adultos, em toda parte, com frequência se sentem péssimos quando cometem um erro matemático. Eles pensam que isso significa que não são pessoas aptas para a matemática, porque foram educados em uma cultura do desempenho [...], na qual erros não são valorizados – ou pior – são punidos. Considerando o exposto, como educadores, podemos refletir sobre algumas questões: • o erro deve ser encarado com naturalidade e incentivo para o acerto, para que o sentimento de frustração e de desalento dê lugar ao de satisfação pelo aprender; • a exposição dos erros pode proporcionar produtivos momentos de aprendizagem e ser feita pelos alunos para que juntos os compreendam e encontrem caminhos para o acerto; • atividades desafiadoras e reflexivas devem fazer parte do dia a dia da sala de aula, em lugar das atividades que induzam ao acerto pela sua simplicidade. Adotar essas práticas pode ser proveitoso para os alunos, para os professores e para os responsáveis, que muitas vezes veem a aprendizagem dos filhos apenas pelo viés dos acertos e das notas.

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AVALIAÇÃO DE APRENDIZAGEM A avaliação é um momento fundamental no processo de ensino. Ela é um instrumento norteador do trabalho docente: “O que avaliar? Como avaliar?”. Esses questionamentos permitem ao professor identificar possíveis dificuldades dos alunos, podendo construir atividades para sua superação. A avaliação permite rever e redesenhar os caminhos para que a aprendizagem seja alcançada ‒ e não vamos confundir a atribuição de uma nota com o acompanhamento do processo de aprendizagem visado. Para avaliar, é necessário conhecer os alunos e suas características relativas à aprendizagem matemática. É preciso identificar elementos que permitam ao professor estabelecer e reavaliar metas, processos, planejar atividades adequadas para a introdução, para o aprofundamento e para a avaliação da aprendizagem desses alunos. Cada um deles tem seu próprio ritmo, que deve ser considerado: o tempo didático e o tempo cronológico não correm da mesma forma, o que muitas vezes explica as dificuldades detectadas. Não se trata de individualizar o ensino, mas de buscar as melhores formas de fazer a gestão das situações de aprendizagem e, em paralelo, das situações de avaliação. Estas acontecem continuamente, a cada aula, a cada momento. Vários são os instrumentos que permitem ao professor obter as informações necessárias para o melhor planejamento, assim como atender à necessidade de quantificação da aprendizagem: atribuir uma nota ou um conceito. Destaca-se a importância da utilização de vários instrumentos simultaneamente, de forma a melhorar as oportunidades para que o aluno mostre efetivamente o que aprendeu (ou o que não aprendeu e precisa ser retomado pelo professor). Por exemplo: provas, relatórios, autoavaliação, trabalhos em equipe, participação em discussões orais, abertura para expor suas dúvidas e, especialmente, a possibilidade de discutir seus erros, compreender por que errou e corrigi-los. Cabe ao professor, a partir do conhecimento de suas turmas, escolher os instrumentos mais adequados aos objetivos fixados em seu plano de ensino. Algumas dessas medidas são subjetivas, mas os critérios utilizados devem ser explicitados aos alunos. Destaca-se a necessidade de não limitar a avaliação aos aspectos cognitivos, uma vez que a formação do aluno deve ser a mais completa: aspectos comportamentais, atitudinais, também devem ser considerados. Lembramos que um objetivo a ser fixado é o de uma educação democrática, inclusiva, e a avaliação tem papel fundamental nesse processo. Para a elaboração do plano de avaliação, devem-se considerar os objetivos propostos em cada um dos níveis de escolaridade. Uma listagem desses objetivos permite sua operacionalização, e, a partir daí, escolhem-se os melhores instrumentos. Veja a seguir uma sugestão de listagem que considera não apenas os aspectos cognitivos específicos, mas também os atitudinais. Observe que a construção da autonomia é um objetivo perene, que acompanha toda a formação do aluno. Meu aluno é capaz de: • “enfrentar” a resolução do problema; • entender o contexto das atividades propostas; • • • • • •

compreender o texto das atividades propostas; explicitar o problema com suas palavras; selecionar dados da questão de forma autônoma; resolver o problema; verificar se a solução é adequada; fazer uso adequado de calculadora e outros materiais de forma a buscar soluções para o que é proposto de forma autônoma; • trabalhar em grupo de forma colaborativa; • trabalhar individualmente com autonomia; • utilizar corretamente a linguagem matemática. Para ajudar o professor no processo de avaliação contínua dos alunos, o Material do Professor ‒ Digital traz sequências didáticas relacionadas aos conteúdos bimestrais da coleção, com organização aula a aula, oferecendo uma ficha de autoavaliação para o aluno. Além disso, esse material traz avaliações bimestrais com gabarito comentado, grade de correção e ficha para acompanhamento de aprendizagem dos alunos.

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FORMAÇÃO DO PROFESSOR – SUGESTÕES DE LEITURA E SITES A. Sugestões de leitura BARBEIRO, Eulália da Conceição. A aprendizagem das equações do 1o grau a uma incógnita: uma análise dos erros e das dificuldades de alunos de 7o ano de escolaridade. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. BERNAL, Márcia Maria. Estudo do objeto proporção: elementos de sua organização matemática como objeto a ensinar e como objeto ensinado. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. BOALER, Jo. Mentalidades matemáticas . Porto Alegre: Penso, 2018. BORRALHO, A.; BARBOSA, Elsa. Exploração de padrões e pensamento algébrico. Disponível em: . Acesso em: 23 out. 2018.> _______. CABRITA, I.; PALHARES, P.; VALE, I. Os padrões no ensino e aprendizagem da Álgebra. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. BRANCO, Neusa Cristina Vicente. O estudo de padrões e regularidades no desenvolvimento do pensamento algébrico. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. BRASIL. Base Nacional Comum Curricular ‒ versão final. Brasília: MEC, 2017. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. CAMPOS, Tania M. M.; SOUZA, Vera Helena G. de. Resolução de desigualdades com uma incógnita: uma análise de erros. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. COLLARES, Bruno Marques; LIMA, Diego Fontoura. Por que inverter o sinal da desigualdade em uma inequação? Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. GROENWALD, Claudia Lisete Oliveira. Pensamento aritmético e pensamento algébrico no Ensino Fundamental. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. HUMMES, Viviane Beatriz; NOTARE, Marcia Rodrigues. Aprendizagem significativa de equações do 1 o grau: um estudo de caso com alunos do sétimo ano do Ensino Fundamental. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. LIMA, Duílio Tavares de. Fichas temáticas: resolvendo equações do 1o grau. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. LOPES, Celi Aparecida Espasadin; MEIRELLES, Elaine. O desenvolvimento da Probabilidade e da Estatística. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018 MAGALHÃES, Adil Ferreira. Uma sequência de atividades para ensinar (e aprender) inequações. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. MARTINI, Grasiela. Estratégias de trabalho para a aprendizagem de operações com números inteiros. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018.

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MATA-PEREIRA, Joana; PONTE, João Pedro da. Desenvolvendo o raciocínio matemático: generalização e justificação no estudo das inequações. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. MEGID, M. A. Construindo Matemática na sala de aula: uma experiência com os números inteiros. In: FIORENTINI, D. & MIORIM, M. A. (Org.) Por trás da porta, que Matemática acontece? Campinas: Unicamp; Cempem, 2001. MENEGAT, Maristela Ferrari. Uma nova forma de ensinar razão e proporcionalidade. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. MIYASAKI, Dirce Mayumi. Modelagem matemática e educação ambiental: possibilidades para o Ensino Fundamental. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. NOGUEIRA Júnior, Dárcio Costa. Ensino de razão e proporção na perspectiva curricular da rede. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. ROCHA Neto, Francisco Tavares da Rocha. Dificuldades na aprendizagem operatória de números inteiros no Ensino Fundamental. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. SCHMITIZ, Ilda; SCHNEIDER, Deborah Sandra Leal Guimarães. A leitura de mundo através da estocástica: um olhar crítico da realidade, através da mídia e das tecnologias. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. SILVA, Ana Claudia da. Dificuldades de aprendizagem na resolução de problemas envolvendo equações do 1o grau. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. SILVA, Maria José Ferreira da. As concepções de números fracionários. Disponível em: . Acesso em: 16 ago. 2018. B. Sites ‒ Acessos em: 16 ago. 2018. • Sociedade Brasileira de Educação Matemática (SBEM): . • Sociedade Brasileira de Matemática (SBM): . • Portal do Professor – MEC: . • Centro de Referência em Educação Mário Covas: . C. Laboratórios de Educação Matemática ‒ Acessos em: 16 ago. 2018. • LEDUM – Laboratório de Educação Matemática (UFC): . • LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (Unesp – Rio Claro): . • LEM – Laboratório de Ensino de Matemática (USP): . • Laboratório de Matemática (Faculdade de Educação – USP): . • LEMAT – Laboratório de Educação Matemática (UFG): . • Laboratório virtual de Matemática (Unijuí – RS): . Além desses links, diversas revistas sobre o ensino e a aprendizagem da Matemática estão disponíveis para acesso livre, on-line. Por exemplo, o Portal do Professor (MEC) permite acessar artigos, livros, periódicos, entre outros recursos. Basta buscar por publicações relativas à Matemática, e o professor obterá como resultado diversos links para ajudá-lo com materiais, leituras etc. O site da SBEM dará acesso à Educação Matemática em Revista (disponível em: ; acesso em: 16 ago. 2018), contendo artigos destinados ao professor que ensina Matemática nos diversos níveis de escolaridade. Também dará acesso ao anúncio dos eventos organizados. Já o site da SBM dará acesso ao link para a Revista do Professor de Matemática (disponível em: ; acesso em: 16 ago. 2018), para a revista Professor de Matemática OnLine (disponível em: ; acesso em: 16 ago. 2018) e outras publicações.

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XXIV ADILSON SECCO

ÊNIO SILVEIRA

Engenheiro mecânico pela Universidade Federal do Ceará. Engenheiro eletricista pela Universidade de Fortaleza. Diretor de escola particular. Autor de obras didáticas de Matemática.

MATEMÁTICA

COMPREENSÃO E PRÁTICA

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ano

Componente curricular: MATEMÁTICA

5a edição São Paulo, 2018

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Coordenação editorial: Fabio Martins de Leonardo Edição de texto: Ana Paula Souza Nani, Daniel Vitor Casartelli Santos, Maria Cecília da Silva Veridiano, Maria José Guimarães de Souza, Marilu Maranho Tassetto, Renata Martins Fortes Gonçalves, Romenig da Silva Ribeiro Assistência editorial: Alexandre da Silva Sanchez, Jeferson Felix da Silva, Larissa Calazans Nicoletti Mesquita Preparação de texto: Mariane Genaro Gerência de design e produção gráfica: Everson de Paula Coordenação de produção: Patricia Costa Suporte administrativo editorial: Maria de Lourdes Rodrigues Coordenação de design e projetos visuais: Marta Cerqueira Leite Projeto gráfico: Mariza de Souza Porto Capa: Bruno Tonel, Douglas Rodrigues José, Mariza de Souza Porto Foto: DKart/Getty Images Coordenação de arte: Wilson Gazzoni Agostinho Edição de arte: Elaine Cristina da Silva, Eliazar Alves Cavalcanti Junior, Paula de Sá Belluomini Editoração eletrônica: Teclas Editorial Edição de infografia: Luiz Iria, Priscilla Boffo, Otávio Cohen Ilustrações de vinhetas: Shutterstock Coordenação de revisão: Maristela S. Carrasco Revisão: Beatriz Rocha, Cárita Negromonte, Leila dos Santos, Lilian Vismari, Luísa Munhoz, Renato da Rocha, Rita de Cássia Sam, Simone Garcia, Viviane Oshima Coordenação de pesquisa iconográfica: Luciano Baneza Gabarron Pesquisa iconográfica: Carol Bock, Maria Marques, Mariana Alencar Coordenação de bureau: Rubens M. Rodrigues Tratamento de imagens: Fernando Bertolo, Joel Aparecido, Luiz Carlos Costa, Marina M. Buzzinaro Pré-impressão: Alexandre Petreca, Everton L. de Oliveira, Marcio H. Kamoto, Vitória Sousa Coordenação de produção industrial: Wendell Monteiro Impressão e acabamento:

Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Câmara Brasileira do Livro, SP, Brasil) Silveira, Ênio Matemática : compreensão e prática / Ênio Silveira. – 5. ed. – São Paulo : Moderna, 2018. Obra em 4 v. para alunos do 6o ao 9o ano. Componente curricular: Matemática. Bibliografia. 1. Matemática (Ensino fundamental) I. Título.

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CDD-372.7

Índices para catálogo sistemático: 1. Matemática : Ensino fundamental 372.7 Maria Alice Ferreira – Bibliotecária – CRB-8/7964 Reprodução proibida. Art. 184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998. Todos os direitos reservados EDITORA MODERNA LTDA. Rua Padre Adelino, 758 – Belenzinho São Paulo – SP – Brasil – CEP 03303-904 Vendas e Atendimento: Tel. (0_ _11) 2602-5510 Fax (0_ _11) 2790-1501 www.moderna.com.br 2018 Impresso no Brasil 1 3

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7

9 10 8

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Apresentação Caro aluno, Ideias, por mais brilhantes e elaboradas que sejam, só adquirem sentido maior quando encontram aplicação no dia a dia.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A Matemática jamais deve ser vista como problema, mas sim como solução. Ela nos conduz por caminhos aparentemente tortuosos ou inacessíveis, abrindo atalhos, encurtando distâncias e superando obstáculos cotidianos ou científicos. Com as situações apresentadas neste livro, você adquirirá conhecimentos que ajudarão no desenvolvimento da sua formação escolar, pessoal e profissional. Em cada página estudada, tarefa resolvida ou atividade solucionada, você perceberá que a Matemática é uma ferramenta poderosa que pode ajudá-lo a resolver muitos problemas. O autor

Aos meus pais, Isaías e Maria Amélia (in memoriam)

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Estrutura das unidades Cada volume desta coleção está dividido em quatro unidades, que são formadas por capítulos, organizadas de acordo com esta estrutura:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

UNIDADE

Abertura de unidade Apresenta o título dos capítulos que integram a unidade e propõe questões sobre os assuntos que serão estudados.

Nesta unidade você vai estudar Capítulo 1 Números inteiros Capítulo 2 Múltiplos e divisores Capítulo 3 Retas e ângulos

Trocando ideias Incentiva o diálogo sobre assuntos do capítulo.

É hora de começar 1 Como você representaria uma temperatura muito baixa, que fosse menor que 0 °C? 2 O que são múltiplos? Quais são os múltiplos de 13? 3 Explique com suas palavras o que são retas paralelas.

CAPÍTULO

1

Números inteiros

Trocando ideias Reúna-se em grupos com quatro integrantes para realizar o experimento proposto e, com a ajuda da Estatística, responder às perguntas. Vocês precisam providenciar os seguintes materiais: um lápis de cor laranja e um azul, duas folhas de papel sulfite e uma tesoura com pontas arredondadas. Agora, sigam os passos abaixo. Passo 1: Em uma folha de papel sulfite, desenhem um retângulo com as seguintes dimensões: 20 cm e 14 cm. Passo 2: No retângulo obtido no passo 1, dois integrantes do grupo devem desenhar, aleatoriamente, bolinhas laranja, sem a preocupação de contá-las. Os outros dois integrantes fazem o mesmo procedimento, mas devem desenhar bolinhas azuis no retângulo.

Em 28 de dezembro de 2016, os termômetros marcaram de 35 a 36 graus Celsius na região portuária do Rio de Janeiro (RJ). De acordo com os órgãos oficiais de controle do clima, a sensação térmica estava acima de 40 graus Celsius.

Passo 4: Coloquem o furo ao acaso sobre o retângulo com as bolinhas azuis e laranja e anotem: total de bolinhas laranja; total de bolinhas azuis; total de bolinhas.

MARILIA SUTIL/FUTURA PRESS

Observe nos termômetros o registro da temperatura nas cidades de Urupema (SC) e do Rio de Janeiro (RJ). Qual é o significado da temperatura 25 °C, registrada em Urupema? O que indica o sinal de menos na frente do número 5?

LUIZ SOUZA/NURPHOTO/GETTY IMAGES

O conteúdo é apresentado em linguagem clara e direta.

folha de papel sulfite

4 cm 4 cm

Nesse caso, temos 10 bolinhas no total, sendo 7 laranja e 3 azuis.

A vasta extensão territorial é um dos fatores que faz com que o Brasil tenha clima diversificado, apresentando uma grande variação de temperatura.

14 cm

20 cm

Exemplo de construção após os passos 1 e 2.

Repitam esse passo três vezes, sempre em posições diferentes.

É hora de observar e refletir

Apresentação do conteúdo

45

Passo 3: Em outra folha de sulfite, tracem um quadrado com 4 cm de lado. Recortem-no, deixando a folha com um furo.

folha de papel sulfite

Esta atividade foi baseada no livro Pra que serve a Matemática?: Estatística, de Imenes, Jakubo e Lellis. 4. ed. São Paulo: Atual, 2011. p. 27-29.

Sem contar as bolinhas uma a uma, responda: qual é, aproximadamente, a porcentagem de bolinhas laranja e a porcentagem de bolinhas azuis? De acordo com a questão anterior, que características pretendemos conhecer? Para conhecer e determinar as características de uma população, podemos analisar uma pequena parte dela, chamada de amostra. Nesse caso, o que estamos considerando população e amostra para fazer a análise das cores das bolinhas?

Podemos afirmar que a diferença entre as temperaturas registradas nas duas cidades é superior a 35 graus Celsius?

Neste capítulo, você vai ampliar os conhecimentos sobre Probabilidade e estatística e estudar, por exemplo, população e amostra, conceitos importantes em uma pesquisa estatística.

Termômetro registra temperatura mínima de 25 ºC em Urupema (SC), na manhã do dia 23 de maio de 2018.

10

269

ATIVIDADES 1

número inteiro

ALEX KOCH/ALAMY/ FOTOARENA

Uma fita bem esticada lembra parte de uma reta. Já vimos que, do estudo da potenciação com números naturais, a potência é um produto de fatores iguais à base. Observe o exemplo: 25 5 2 8 2 8 2 8 2 8 2 5 32 base

5 fatores iguais a 2

potência

A

B

reta r ou AB • (15)3 5 (15) 8 (15) 8 (15) 5 1125

r

3 • A(23) 5 (23) 8 (23) 8 (23) Os pontos e B pertencem à reta r . 5 227

• (15)1 5 15 • (23)1 5 23

O A

B

r

A

B

Se não colocarmos os parênteses, o expoente é aplicado somente à base. Observe: r : semirreta de origem O que passa pelo ponto B. Também 2

Calcule: (21) 8 (21) 8 (21) 8 ... 8 (21)

4

Observe o esquema abaixo.

30 fatores

Avô Pai

• 232 B5 2(3)2 5 2(3 8r23) 5 29 podemos indicar como: OB (lemos: “semirreta OB ”).

Avó

Avô

Pessoa Mãe

Avó

5

r2

3 Ao escrever uma potência com base negativa, sempre utilizamos os parênteses.OVeja o exemplo: r1: semirreta de origem O que passa pelo ponto A. Também 2 5 (23) 8 (23) 5 19 podemos indicar como: OA (lemos: “semirreta OA”). A • (23)

7

Quantos bisavós cada pessoa tem? E quantos trisavós? Dê as respostas na forma de potência.

GEORGE TUTUMI

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

58

r1

r1

O

(2 2 4)3 b) * 3 2 2 43

• Agora, responda: sendo a e b números inteiros e n um número natural maior que 1, é possível dizer que (a 1 b)n 5 an 1 bn ou que (a 2 b)n 5 an 2 bn?

3

Será que eu consigo calcular essas duas potências?

O que você acha? 2 O Toda potência zero que temrum inteiroem O, que passam O ponto divide a retader expoente em duas semirretas, e número r2 , de origem pelos 1 não nulo como base éAigual Veja os exemplos: pontos A e B, respectivamente. retaar 1. é chamada de reta suporte das semirretas r1 e r2. • (15)0 5 11 O • (23)0 5 11

Atividades

Com um colega, calcule. (5 1 3)2 a) * 2 5 1 32

Considerando a potenciação em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural, responda às questões. a) Quando a base é um número inteiro positivo, qual é o sinal da potência? b) Quando a base é um número inteiro negativo, qual é o sinal da potência?

Bisavós

Espera-se que os alunos cheguem à conclusão de que 01 é igual a 0 e que 00 é impossível de calcular, já que toda potência de expoente zero

Semirreta e segmento de reta Observações

Considere a reta r e os pontos A, B e O1indicados: 1 Toda potência de expoente que tem um número inteiro tem que ter base não nula, ou seja, diferente de zero. como base é igual à própria base. Veja os exemplos:

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Exemplos

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2

LUIZ RUBIO

2 do slackline. Fita usada na prática • (15) 5 (15) 8 (15) 5 125

(22) a5representação (22) 8 (22) 8 (22) 8 (22)reta 5 116 Observe •abaixo de uma r. Ela é formada por infinitos pontos distintos, entre os quais destacamos os pontos A e B. Se o expoente for um número ímpar, a potência terá o mesmo sinal da base.

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Se o expoente for um número par, a potência será um número inteiro positivo. Exemplos

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

No estudo da potenciação em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural, vale a mesma ideia, ressaltando os cuidados que devemos ter com os sinais, como veremos a seguir.

Faça as atividades no caderno.

Calcule as potências. a) (12)3 b) (27)4 c) (29)3 d) (13)2 e) (217)0 f) (211)2 g) (235)1 h) (21)3 i) (11 992)0

Calcule o valor das expressões, sabendo que devemos obrigatoriamente calcular as potenciações antes das multiplicações e das divisões. a) (24) 2 [(28) 9 (12)]2 2 6 b) (120) 9 (21)4 2 22 1 (22)5 9 (12)4 2 50 c) (2576) 9 (212)2 2 (2125) 9 (25)2

Lúcio escreveu sua idade na primeira linha de uma folha de caderno. Na linha seguinte, ele escreveu uma  subtração de dois números inteiros cuja diferença era sua idade. Na linha seguinte, substituiu esses dois números, respectivamente, por uma multiplicação de outros três números inteiros e por uma divisão do quadrado de um número inteiro pelo triplo de outro. Na linha seguinte, substituiu o primeiro número da linha anterior por uma subtração e o segundo por uma adição. Assim, ele obteve uma expressão numérica, sabendo antecipadamente seu valor. Veja o que ele fez:

GEORGE TUTUMI

Retas 1 7 Potenciação em que a base é um

expoente

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Propõe a observação e a reflexão de uma situação relacionada ao conteúdo do capítulo.

Observação: Vocês devem tomar cuidado para que as bolinhas laranja e azuis fiquem espalhadas de maneira uniforme, ou seja, não deve haver uma concentração de bolinhas de uma única cor.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

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Abertura de capítulo

15 5 5 24 2 9 5 5 (22) 8 4 8 (23) 2 [92 9 (3 8 3)] 5 5 (11 2 13) 8 (28 1 12) 8 (23) 2 [92 9 (3 8 3)] a) Calcule mentalmente o valor da expressão de Lúcio. b) Invente duas expressões com cinco operações diferentes com números inteiros e troque-as com as de um colega, sem que ele saiba o número que você pensou, para que cada um calcule o valor das expressões do outro. Depois, destroquem as expressões para corrigi-las.

34

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4 Qual é a medida do ângulo formado entre duas retas perpendiculares?

Com diferentes níveis de dificuldade, algumas atividades estimulam a discussão, a reflexão e a resolução em grupo, o trabalho com cálculo mental e promovem o uso da calculadora e de outras tecnologias, como planilha eletrônica e softwares de construção de gráficos e de geometria dinâmica.

35

Ícones utilizados na obra

Dupla

Grupo

Cálculo mental

Calculadora

Tecnologia

4

PDF-002-008-MCP7-Iniciais-G20.indd 4

4

10/1/18 10:40

Seção que complementa e enriquece o conteúdo principal.

meios

1 dos camelos para o filho mais moço.3 27 Por exemplo, na proporção 5 , os extremos são 3 e 36, e os meios, 4 e 27. 9 4 36 Nenhuma das divisões de 35 por 2, 3 e 9 era exata, e o problema tornou-se difícil de resolver. Até que um sábio propôs doar seu camelo aos irmãos para facilitar a divisão. Em troca, ele pediu que lhe dessem os camelos que sobrassem. Os filhos concordaram e, assim, passou a haver Lendo e aprendendo 36 camelos para dividir. 36 • O filho mais velho recebeu: 5 18 18 camelos 2

GEORGE TUTUMI

Nessa situação, a fração como operador aparece como uma porcentagem da quantidade de alunos. Precisamos calcular quanto é 40% de 500, assim:

tovelo e a ponta da mão e da altura 1 do corpo estão na razão . 4

40 500 3 500 5 40 3 5 40 3 5 5 200 100 100 Portanto, constatamos que 200 alunos preferem maçã a outras frutas.

ATIVIDADES

Nas duas situações apresentadas, as frações foram utilizadas como um fator multiplicativo. No caso do preço a ser pago pelo bolo, o uso das frações permitiu obter o valor final do pedaço que Lucinda compraria. No caso da fruta predileta dos alunos, o uso das frações permitiu calcular quantos alunos preferem maçã a outras frutas.

2

Um pacote de arroz tem 5 kg. Para um 3 churrasco serão preparados desse 2 5 4 da Se de 21 vale 6, por quanto deve-se Homem vitruviano (1490), de Leonardo 7 pacote. Quantos quilogramas de arroz se-sobre papel, Vinci. Lápis e tinta 34 cm 3 24 cm. multiplicar 6 para obter 21? rão utilizados?

4

Observe as figuras abaixo e responda às questões. 3 cm

1 cm

2

3

Escreva, no caderno, como se leem as proporções, identificando os meios e os extremos de cada uma delas. 3 9 7 14 b) 5 a) 5 5 15 8 16

6 cm 2 cm

a) Qual é a razão entre as medidas da largura dos dois retângulos? b) Qual é a razão entre as medidas do comprimento dos dois retângulos? c) Podemos afirmar que as medidas correspondentes das figuras são proporcionais? Justifique sua resposta.

Observe as razões: 1,5 3,5

20,1 33,5

3 5

2 3

2,5 3,75

3 7

Propriedade fundamental das proporções

Em uma receita de bolo, são necessários 4 ovos. No entanto, na geladeira de José há apenas 3. Por quanto ele deve multiplicar os outros ingredientes da receita para que consiga fazer um bolo menor?

Para responder a essa questão, vamos indicar por x a medida do comprimento real; portanto, x é diferente de 0. Assim, podemos escrever a seguinte proporção: medida da miniatura

comprimento da miniatura

56 1 5 x 65

medida real

102

XAVI

Faça as atividades no caderno.

8 2 Por que podemos afirmar que e 7 28 formam uma proporção?

A nau Santa Maria era uma das embarcações da esquadra comandada por Cristóvão Colombo (1451—1506) na viagem em que os europeus chegaram ao continente americano, em 1492. Em um museu, há uma miniatura dessa nau com 56 cm de comprimento. Sabendo que 1 cm na miniatura correspondem a 65 cm na embarcação real, qual era a medida do comprimento real da embarcação?

Faça as atividades no caderno.

Pedro tem 144leonardo-da-vinci-o-homem-vitruviano/>. figurinhas para colar em 3 1 Acesso em: 4 set. 2018. um álbum de futebol. Se delas são 3 repetidas, quantas são inéditas?

ATIVIDADES 1

Indique os pares de razões que formam proporções.

Dados obtidos em:
1

Em ambos os casos, partimos de uma situação inicial e observamos a resposta, depois da operação, como uma situação final.

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1 1 1 17 1 altura do1corpo na arazão, , é igual Isso ocorreu porque 1 estão 2 3 9 18 1 isto é, as medidas são iguais; 18 que é menor que uma unidade, ou seja, , que 18 as medidas da distância entre o corepresenta a herança a ser dividida.

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Situação 2 O jornal da escola em que João estuda publicou uma pesquisa sobre as frutas preferidas dos alunos. Se a escola de João tem 500 alunos, quantos são os que preferem maçã?

Homem vitruviano

Com o total de 36 camelos, constatamos que os filhos e o sábio ficaram satisfeitos, já que Observe algumas dessas proporções: os primeiros conseguiram dividir exatamente a herança e o segundo ficou com dois camelos. 1 as medidas da face (do queixo ao topo da testa) e da altura do corpo estão na razão ; 10 Mas por que, mesmo com a divisão exata da herança, sobraram camelos o sábio? asdois medidas dospara braços abertos e da

Caricatura de Eudoxo de Cnido.

Dados obtidos em: Carl Benjamin Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974. p. 34, 61, 66.

36 5 12 12 camelos • O filho do meio recebeu: 3 O desenho Homem vitruviano, de Leonardo da Vinci (1452-1519), que traz as propor36 ções dorecebeu: corpo humano, -se nos estudos do arquiteto romano Marcus Vitruvius 5 4 baseou 4 camelos • O filho mais novo 9 a.C.). Esse desenho representa uma figura humana de proporções Pollio (70  a.C.-25  perfeitas, inserida em um34círculo e em formas geométricas Feita a partilha, os filhos receberam camelos (18 um 1 12quadrado, 1 4) e o sábio teve de volta seuconsideradas perfeitas. O um umbigo demarca o centro do o círculo. camelo e ainda recebeu mais que sobrou. Dessa forma, problema foi solucionado.

EDUARDO FRANCISCO

60 2 3 60 5 2 3 5 2 3 20 5 40 3 3 2 Portanto, Lucinda pagará R$ 40,00 por do bolo. 3

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a fração como um operador, assim:

comprimento real

103

186

Texto que aborda a história da Matemática para contextualizar alguns assuntos.

Eudoxo de Cnido, discípulo de Platão, matemático e filósofo grego que viveu entre 408 a.C. e 355 a.C., deu nova definição para os teoremas relacionados a proporções. Essa definição foi exposta no Livro V de Os elementos, de Euclides (330 a.C.-?), e é a que conhecemos e usamos hoje em dia.

•

2 Sabendo que um bolo de laranja custa R$ 60,00, se Lucinda quer comprar do bolo, quanto 3 vai pagar? 2 de R$ 60,00. Para isso, Para determinar o valor que Lucinda pagará, temos de calcular 3 1 podemos calcular de R$ 60,00 e tomar o dobro desse valor. No entanto, podemos representar 3

Um pouco de história

A ideia de proporção é atribuída a Pitágoras (c. 580 a.C.-500 a.C.), embora haja dúvida sobre isso. Na Antiguidade, o estudo das proporções presumivelmente fazia parte da Aritmética ou da teoria pitagórica dos números.

Os termos uma proporção são assim denominados: Nesse problema, umadeherança correspondente a 35 camelos foi deixada para três filhos. A divisão da herança deveria ser feita desta maneira: extremos 1 meio extremo • dos camelos para o filho mais velho; a c 2 ou a 9 b5c 9 d 5 b d 1 meio extremo meio; • dos camelos para o filho do 3

Agora, veja a ideia de fração como operador em outras situações.

Situação 1

Surgimento dos conceitos de proporção

Um problema famoso: a divisão dos camelos

Dados quatro números não nulos, a, b, c e d, nessa ordem, dizemos que eles formam uma a c do livro O homem que calculava, de Malba Tahan Um dosproporção mais famosos quandodesafios (lemos: “a está para b, assim como c está para d ” ). 5 b Mello d e Souza), é o problema dos camelos. (pseudô nimo de Júlio César de

1 de 80, dividindo 80 por 4: 80 9 4 5 20 4 multiplicamos a quarta parte de 80 por 3 9 3 3 20 5 60 3 Assim, temos que de 80 é 60. 4 3 9 80 5 60(lemos: “três quartos de Também podemos representar essa operação como 4 oitenta é igual a sessenta”). primeiro, podemos calcular

Um pouco de história

do latim proportionis, significa “uma relação entre as partes de

uma grandeza”.

Lendo e aprendendo

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Lendo e aprendendo A palavra “proporção”,

A ideia de operador

Vamos relembrar o cálculo da fração de uma quantidade. 3 Para isso, vamos determinar de 80: 4

GALLERIA DELL’ ACCADEMIA, VENICE, ITÁLIA.

4

187

Resolvendo em equipe

Atividades diversificadas que abordam o conteúdo apresentado no capítulo. A seção é composta dos itens: • Revisitando: promove a revisão de conteúdos. • Aplicando: traz desafios, questões de concursos e exames. • Elaborando: estimula a criatividade e a elaboração de questões. Trabalhando os conhecimentos adquiridos

4

Revisitando Reescreva as frases a seguir em seu caderno, substituindo cada quadro abaixo.

por uma das expressões do

24

19 de

9.61

l e Lei

Cód

84 do

No caderno, indique as sentenças verdadeiras.

GEORGE TUTUMI

3 6

12 12

Resolução Apresentação

• Forme grupo com a quantidade de integrantes orientada pelo professor. • Converse com os colegas como organizar os montes de cartas. • Todos os integrantes devem ordenar as cartas pelo menos uma vez, aplicando o algoritmo de ordenação. Um integrante do grupo deve anotar as frações ordenadas dos demais colegas.

• Cada integrante do grupo conseguiu a mesma ordem de cartas? • A ordem que conseguiram está correta? Por quê?

• Discuta com os colegas se existem outras formas de ordenar as cartas. Se descobrirem mais alguma, apresentem para a turma.

a

158

É hora de extrapolar Atividade em grupo proposta como fechamento da unidade. Explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de um produto final, que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar.

É hora de extrapolar

Atletas carregam a bandeira oficial dos Jogos Paralímpicos durante a cerimônia de abertura, Roma (Itália), 1960.

Kathleen Comley, da Grã-Bretanha, concorre na categoria de tiro com arco e flecha, nos Jogos Paralímpicos, em 1960. Cerca de 400 atletas de 22 nações participaram dos jogos.

Etapa 2: Análise de dados das Paralimpíadas de 2016.

2. A tabela a seguir mostra o número de atletas das três maiores delegações e o total de atletas que participaram das Paralimpíadas, no Rio de Janeiro, em 2016. Analisem os dados e respondam às questões. Distribuição de atletas participantes das Paralimpíadas do Rio de Janeiro em 2016 País

KEYSTONE/HULTON ARCHIVE/GETTY IMAGES

AP PHOTO/GLOW IMAGES

WALTER ATTENNI/AP PHOTO/GLOW IMAGES

9.610 de 19 Penal e Lei

20

idades do pai

Atletas Homens

Mulheres 102

Total

Brasil

184

China

161

146

Estados Unidos

154

124

278

Todos

2657

1671

4328

286 307

Dados disponíveis em: . Acesso em: 6 set. 2018.

a) É correto afirmar que os atletas brasileiros correspondem a mais de 10% do total de atletas que participaram das Paralimpíadas? Como verificar sem realizar contas armadas ou utilizar calculadora? b) A distribuição entre homens e mulheres na delegação brasileira é mais ou menos equilibrada que a distribuição geral (de todos os países juntos)? Descrevam o processo realizado para determinar esta resposta.

Equipe italiana na vila olímpica antes do início dos primeiros Jogos Paralímpicos, em Roma (Itália), 1960.

c) Que país teve o maior equilíbrio na participação de atletas homens e mulheres nas Paralimpíadas de 2016, dentre os citados na tabela?

Objetivos: Analisar o conceito envolvido nos emblemas dos Jogos Olímpicos e Paralímpicos de 2020, analisar dados sobre a Paralímpiada de 2016, pesquisar sobre esporte paralímpico e produzir vídeos que serão apresentados para a comunidade escolar.

3. Daniel Dias conquistou sua 24a medalha paralímpica nos Jogos do Rio de Janeiro, no dia 17 de setembro de 2016, tornando-se o maior medalhista de natação masculina da história das Paralimpíadas. Na prova de 50 metros de nado livre, o atleta levou 32,78 segundos para completá-la e, na prova de 200 metros de nado livre, foram necessários 2 minutos e 27,88 segundos, ganhando medalhas pelo desempenho em ambas as provas. a) Se o nadador nadasse 200 metros nado livre com a velocidade média que atingiu na prova de 50 metros nado livre, quanto tempo ele levaria para completar os 200 metros?

Etapa 1: Pesquisa e análise sobre os emblemas das Olimpíadas e das Paralimpíadas de 2020.

1. Reúnam-se em grupos. Observem os emblemas dos Jogos Olímpicos e Paralímpicos de 2020, que acontecerão em Tóquio, no Japão.

WOLFGANG KUMM/PICTURE-ALLIANCE/ DPA/AP PHOTO/GLOW IMAGES

y

1 12

104

mosaicos é um construir esses A regra parainicialmente, formamos do por a seguinte: 1 azulejo branco cerca e do filho? quadra­ quadrado com ; em seguida, outro do de azulejos azuis4 azulejos brancos cerca uras cobra ente. Mold com & sivam do, este loja Telas ; e assim suces rado de tela, (Enem) A de mosaicos azulejos azuis metro quad mais ncia por ura, respon­ 20  reais r de mold do a sequê Faça as atividades no caderno. metro linea Consideran crescente de azulejos, 15 reais por de entrega de 10 reais. com número te­ no. o mo­ uma taxa fixa a encomendar da em seu cader os terá o 15 plástica precis suficientes para Uma artista azulejos branc a essa loja, 50  cm). a) Quantos sequência? las e molduras gulares (25  cm # o saico dessa retan terá o n­ésim da encomen­ 8 quadros jos brancos azuleSABE fez uma segun gulares O Quan QUEtos VOCÊ SOBRE AS PARALIMPÍADAS?  b) ncia? Em seguida, para 8 quadros retan da en­ sequê o i­ mosaico dessa da, mas agora m). O valor da segun terá o 20 mosa azulejos azuis Os Jogostos Paralímpicos são o maior evento esportivo do mundo envolvendo atletas com deficiências. (50 cm # 100 c c) Quan en­ sequência? o A primeira das Paralimpíadas ocorreu em Londres, em 1960, com cerca de 400 atletas. comenda será: co dessaedição primeira encom terá o n­ésim azuis do valor da largura dos qua­ Em 2016,tos os jogos foram realizados no Rio de Janeiro. Mais de 4 mil atletas participaram do evento, azulejos a) o dobro d) Quan o esporte, ncia? a altura e a sequê celebrando a superação e a diversidade. da, porque mosaico dessa ira enco­ dros dobraram. prime da que o valor . b) maior do não o dobro mas FIO a, enco­ DESA ro é 19. mend da primeira dos de um núme e do valor ruplo do três algarismos a largura c) a metad A soma dos das dezenas é o quád das uni­ e a altura e menda, porqu ram. O algarismo centenas, e o algarismo dezenas. enco­ as quadros dobra algarismo das cutivo do algarismo d da primeira que o valor dades é o conse ro? d) menor do não a metade. núme menda, mas Qual é esse ira encomenda, prime da o. valor 159 o mesm e) igual ao de entrega será porque o custo

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x x

7 12

• Embaralhe as cartas e coloque-as na mesa com os números voltados para baixo.

Verificação

O

CHIY

UDIO

CLÁ

CHIYO

de 1998. de fevereiro

de 1998.

de 19 de fevereiro

e Lei 9.610

BARATA

b BARATA

Código Penal

RONALDO

x

RONALDO

Art.184 do E CASAGRA GUILHERM

h

ADILSON

SECCO

160

o proibida.

é, pai e seu filhoera pai idades de um A soma das Há 12 anos, a idade do idade a hoje, 72 anos.idade do filho. Qual é sete vezes a hoje? de cada um i bananas. , laranjas e menino e fique ro de peras cesto, há peras jas a cada cinco laran dado e três 17 Em um são 96 frutas. O núme de 13 Dei com jas. Se tivess e o número Ao todo, com 20 laran menino, teria ficado de laranjas, peras cada laranjas e é o triplo do tos meninos? laranjas a igual ao de há de cada tipo? Havia quan bananas é frutas ­ tas oito laranjas. distri reunidas. Quan música, foramseguin­ concurso de ios da 14 Em um $ 6 600,00 em prêm ado recebeu buídos R FIO segundo coloc$ 1 200,00; o ­ DESA o repre ira: R te mane algébrica quea porta terceiro mais ro mais a a expressão o dobro do eu o triplo do tercei iro Determine da frente da casa (exclu primeiro recebQuanto recebeu o prime senta a área R$  1 800,00. e a janela). colocado?

12

Repr oduç

GUILHERME CASAGRANDI

d) 54 2 3 5 50 1 1 no livro!

3 4

CLÁUDIO

Lembre-se:

5 6

• Leia novamente a seção “Trocando ideias” e anote o que considerar relevante para ajudá-lo na ordenação das cartas.

ão proib

ida.

Art.1

c) 2 2 1 % 0 1 3

a) 2 1 14 5 24 b) 3 2 2 , 2 1 8 3

Reproduçã

CLÁUDIO

CHIYO

11

2

va escre Teca tem 32 anos. Escreva no caderno uma Não expressão algébrica que represente a idade ns éx um número d) o produto de um número pela sua sétique ela teve hárox de anos, sendo home tria, o núme natural. ma parte; indús fos­ 15 Em uma3 mulheres. Se número de aéreo está ofe­ ­ igual a 5 do de transporte 3 156 ns, o núme home da 20 Uma empresa valor mais do número sem admitidos os ficaria igual ao quan­ desconto de 10 onári eres e recendo um 0 pela pas­ ro de funci Quantas mulh pagou R$ 210,0 da de funcionárias. lham na fábrica? passagem. Máriodesconto. Qual é o valor traba ns tos home sagem, já com desconto? um pensasse em passagem sem que pediu a Fábio da, efetuasse estas 16 Érica por 3; em segui multiplique número e, adicione 8; número pensado; operações: o nú­ adicione o subtraia  4;  adicione 2; e subtraia opera­ 4; no dessas divida por do. Ao térmi alguma mero pensa que Fábio dissesse obti­ ado antes “O result ções, e exclamou: u a tal coisa, Érica que como Érica chego do é 7”. Expli conclusão.

c) a décima parte de um número;

o proibida.

b) a sexta parte de um número;

Reproduçã

Escreva uma expressão algébrica para representar: a) a soma de sete com o quádruplo de um número;

Código Art.184 do

1

igo Pena

Aplicando

3 12

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Qual é a diferença entre as duas formas algébricas que podemos utilizar para descrever uma sequência numérica?

0 de

Explique com suas palavras a diferença entre variável e incógnita. Quantas formas foram apresentadas para descrever uma sequência numérica? Quais são elas?

8

1 2

1 3

A.RICARDO/SHUTTERSTOCK

Como são denominadas as equações que têm a mesma raiz em um mesmo conjunto universo?

6 7

2 3

O integrante responsável por ordenar as cartas não poderá ver a carta, mas poderá mostrá-la para a equipe e fazer a pergunta: “O número desta carta é menor, maior ou igual ao número da que está no topo das cartas ordenadas?”. O restante da equipe deve responder à pergunta, sem dizer o valor da carta.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

13 x 155 2 2

Interpretação e identificação dos dados

24x 1 8 5 24

Plano de resolução

25x 2 10 5 5

CO

7x 2 8 5 13

Faça as atividades no caderno.

O número é maior, menor ou igual ao do topo?

Para a confecção das cartas, dividam uma folha de papel em 10 retângulos. Em cada carta, escrevam uma fração equivalente, com denominador 12, às frações abaixo:

SEC

D

SON

C

ADIL

B

CLÁUDIO CHIYO

5

A

.

Das equações abaixo, três têm raiz igual a 3. Identifique-as no caderno.

de 1998

Explique o que é uma equação. Em seguida, dê um exemplo de equação, identificando sua incógnita.

4

Resolvendo em equipe Partindo do algoritmo de ordenação visto na seção “Trocando ideias”, ordenem 10 cartas numeradas. Mas há um detalhe: quem for ordenar não poderá ver as cartas!

reiro

Explique o que significa reduzir termos semelhantes.

3

Em se 8 Determine a solução da equação sequ u cadern 1 1 ência o, numé relacion 2 4 (x 2 2) 5 2x 2 3 para: a) a e as rica. n 5 2n leis de b) a forma a) U 5 b; n 5 3n ção qub) U 5 B. c) a Lemb e dão re-se n 5 3n Não orige 11 d) a escre : va no 9 Calcule o valor de m, considerandomaao equação n 5 2n s seis livro! 25 (m 2 2) 8 x 1 2x 1 4i) 8 a(m 2 5) 5 0, emprimeiros Numa n 5 a termo que x é igual a 2. planil ii) a n2 1 s de 1 3, a ha uma n 5 a a) Qual é a forma mais simples deelerepre1 5 4 trônic iii) a n2 1 e 1 n. 2, a n 5 2 1 sentar o número que saiu da máquina? a, for 10 Sabendo que U 5 B, 3 ano caderno am ins 1 5 2, iv)determine n a n2 , a . A3 eri 5 1 1 n o valor dasdeasx em cada equação. an b) Nessa situação, se o número 30 for inse1 5 2, n. 2 1 1 3, 1 a1 5 3 segu3int x es 2x rido na máquina, que número sairá? A 1 3, n . 2 5 a) infor B 5 ƒx 4 =(A 20 maçõ 1 2 1 es: C 1–A Emretangular 5 (Enem) Um forro de tecido traz1 3 seu ca xD 1 3 2)*(A1–A2) x 4 dern de que em sua etiqueta a informação enco-0 b) 1 5 26 E 2 o, lis5 4 2 (Enem lavagem te os lherá após a primeira mantendo, F 6 quatr ) O nú passa entretanto, seu formato. Ame figura a seguir o próx c) 2x 1 15x 2 1 5 1 ro me imos 5 na 34 50 dooriginais 20 3 mostra as medidas forro nsal e o termo 0; em s segudo de pa int s es ma de tamanho doQuencolhimento (x ) no comssage cond antas rço, 4x 2 1 ssa2se 2x 1 1 quên 5 000. ições: em ns d) de um2 primento ea) (y ) na pa largura. ssage A36 expressão 3 cia. Esse 38 00 foram padrão janeiro, a determi algébrica b) que representa ansárea do forro 0 for3am x nada 40 50 de cre x 2 após ser lavado é 0(5 2 x ) 8 (3 2 y ). vendidas 1ve 5 24em por es e) scim 5 ento 3ndidas presa aé 33 se ma rea Elab c) 41 sa empre ntém 000 passa aumento oran sa em 000 para do gens u no julho d) 42DESAFIO do an os mese ; em fev ano 00 0 s subs 1 ere o passa 3 Elabo eque iro, ? ntes. Observe a figura abaixo e determine a exprese) 48 do de pe re em se u são algébrica da capacidade de um00freezer de 0 paga ssoas de caderno y r por verá dimensões externas a, b e h e paredes com Ao rec um ing compx uma ativid espessura e. voco eber a res resso na arecer. O ade sobre s, se 2 2e) 8 (b 2 2e) 8 (h 2 2e) exist 5 olução do entrada evento de (aum even irem. e 2 . Troqu ve to am Elabo condições, a área perdidaigo Nessas do forro, e a ati ter um em qu , dê re um e um cu um ret vidad quana primeira após lavagem, será expressa por: a qu a qu e e co sto pa orno do pr tidade de estão qu ser fei antidade a res m um amra a) 2xy d) 25y 2 3x peito Lembre-se: igo eva notolivro! e as desconh a ele imeiro grapatas de um e envo da resescre Não b) 15 qu 2e3x e) 5y a1for3x 2lvaxya qu posta resolva a pessoas ecida resolv u. Troqu deve qu dele, a a qu e sua atimiga (seis antidad m c) 15 2 5y ind e ele e de patas e você vidad 3 3 , 11, 23, ...),icando propôs. criou e com ). Ela de patas , os eq 2 de 26, um concia ve . (23, uí7 a um se 6 Reduza os termos semelhantes. a 1, a 3, a 4 aras nh 21 Da sequêhlega, res r res olv termo osida ver­ olvno cader a) 6x 1 5y 2 branc (2x 1as3y)e 2 8y a a ati por me a (oito pa anote em seu io de vidad a contém bolasé 65, e o número tas) 3 sacol b) de um e e . 6ab 2 2b 1 4a 2 6b 1 ab bolas a 18 Uma e qu a a 5 CrOie total e eleiros equa 5 do de bolas a prime melhas. çã seis criou c) a0,7x 2 0,5ya 1 0,3x 2 1,4y 1 y recur um b caderno os r. igual e peçao siva.asatiévid branc va em seu ade 8 a segui bolas de bolas de 2 22 Escre A ati 2 (3a 1en 2bvo2 5a) 8b a) Ela d) 7a sequências tidade quan é avid termos das ade de lvendo bo . Qual re um vermelhas 15 ve co sequên de a) a n 5 2n nter 157 as?ssa sequ a sequên branc 2 b) Ela du cias ência n cia respondaas parte num éra n 5 n n1 bo . çafilhodaend s. b) ica s de umoapai dizPeao que oreque a seu o os cin sc lei 5 lis rve rit a c) n amigo co pr n 1 1 as po 19 Obse mentão.te os se de form imeir r um qu e os is à quest a lei os e azuis, termo primeir ação recur e encontr os termo de fo s os os e a lei s, jos quadrados branc 2 s, ap siva rmaç m mo azulese ontan termos é e nho, construímo ão 23gu Comde formesm tama da se entre str Hoje sua idade 7 o do ev ar e a ati do mação qu entu 5 anos, na qu a lei de ais eq ência. Vetodos vidadmosaicos: da minha; há for al pe 1 seguintes e uívo nsou mação era 6 . cos. rifique se a um am . igo o am igo en , pedind contro o a ele u corre taReprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) Termos algébricos que têm a mesma parte literal são chamados . b) Uma expressão matemática formada por números e letras ou somente por letras é chamada de . c) é cada uma das parcelas de uma expressão algébrica. d) é o resultado das operações efetuadas em uma expressão algébrica após a substituição das variáveis por números.

feve

Valor numérico

Sabendo que U 5 B, resolva as equações. a) 2x 1 (9 2 x) 5 8 2 (3x 2 6) b) 8 8 (2x 2 1) 5 6 8 (5x 2 2) 2 10 c) y 2 [y 2 (2 2 y) 2 1] 1 4 5 2(23 2 y) d) 2 8 (x 2 2) 2 3 8 (1 2 x) 5 20 2 (x 2 4)

…

termo algébrico

7

JOSÉ LUÍS JUHAS

expressão algébrica termos semelhantes

Paulo criou uma máquina de operações matemáticas. Na situação abaixo, ele programou a máquina para receber um número n e devolver um número repre7n 1 12 2 n. sentado por 2

GUILHERME CASAGRANDI

1

Atividade em grupo que explora a análise e o desenvolvimento de estratégias para a resolução de problemas.

Lembre-se: Não escreva no livro!

Faça as atividades no caderno.

NDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

b) O tempo obtido no item a corresponde ao tempo de prova que o atleta obteve nos 200 metros nado livre nos Jogos Paralímpicos de 2016? Por que vocês acham que isso ocorreu?

Agora, pesquisem na internet qual foi o conceito envolvido na criação dos emblemas e analisem a estrutura deles, respondendo às questões: a) Que relação existe entre as composições de retângulos nos dois emblemas e que mensagem essa composição tem intenção de passar? b) Existe algum tipo de simetria nesses símbolos? Se sim, qual? c) Vocês concordam com a afirmação “Diversidade torna o mundo um lugar vibrante”, que faz parte das explicações sobre as concepções dos emblemas? Justifiquem a resposta.

Daniel Dias participou de nove provas nas Paralímpiadas do Rio, conquistando quatro medalhas de ouro, três de prata e duas de bronze.

225

226

5

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5

Sumário UNIDADE

CAPÍTULO 1 – Números inteiros 1.

Os números inteiros ........................................... 12

1.

56

Retas .................................................................... 58 Semirreta e segmento de reta ............................ 58

2.

2.

Comparação de números inteiros ................... 21

3.

3.

Adição de números inteiros ............................. 22 Propriedades da adição de números inteiros ...... 24

Como medir um ângulo utilizando o transferidor .... 64

5.

Posições relativas entre duas retas ...................... 59

O ângulo e seus elementos ............................. 61 Medida de ângulo ............................................. 63 Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso ............. 65

Subtração de números inteiros ....................... 26

Construção de um ângulo com o transferidor ......... 65

Expressões numéricas com adições e subtrações ..... 28

Construção de alguns ângulos com um

Multiplicação de números inteiros ................. 29

par de esquadros ................................................. 66

Propriedades da multiplicação de números inteiros .................................................. 30

Transformação de unidades ................................... 68

Determinando a medida de um ângulo .............. 66

6.

Divisão exata de números inteiros ................. 32

7.

Potenciação em que a base é um número inteiro ................................................... 34

Adição .................................................................. 69

8.

Raiz quadrada exata de números inteiros ....... 36

Multiplicação ........................................................ 71

Expressões numéricas com números inteiros ..................................................................... 37

Divisão .................................................................. 71

4.

Operações com medidas de ângulos ............. 69 Subtração .............................................................. 70

5.

Ângulos congruentes ........................................ 72

Resolvendo em equipe ............................................ 38

Construção, com régua e compasso, de um

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........ 39

ângulo congruente a outro ângulo dado ............. 73

CAPÍTULO 2 – Múltiplos e divisores

43

6.

Ângulos adjacentes ........................................... 74

7.

Ângulos complementares ................................ 75

8.

Ângulos suplementares .................................... 76

1.

Retomando múltiplos e divisores de números naturais .............................................. 45

2.

Múltiplos e divisores de um número inteiro ................................................................... 46

9.

Problemas envolvendo múltiplos e divisores .......................................................... 47 Máximo divisor comum ......................................... 47 Mínimo múltiplo comum ..................................... 50

10. Ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal .......................................... 79

Resolvendo em equipe ............................................ 53 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........ 54

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ........ 85 É hora de extrapolar ................................................ 89

3.

6

CAPÍTULO 3 – Retas e ângulos

Representação dos números inteiros na reta numérica .................................................... 18 Módulo de um número inteiro ............................ 19 Números opostos ou simétricos ............................ 20

4.

6

10

Ângulos opostos pelo vértice .......................... 77 Propriedade dos ângulos opostos pelo vértice .... 78

Relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal ...... 81

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

I

UNIDADE

II

CAPÍTULO 4 – Frações

92

Raiz quadrada de números racionais ........... 124

1.

A ideia de parte de um inteiro ........................ 95

Expressões numéricas com números racionais .............................................. 126

2.

A ideia de quociente ......................................... 99

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 127

3.

A ideia de razão ............................................... 100

4.

A ideia de operador ........................................ 102

Resolvendo em equipe .......................................... 104 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 105

CAPÍTULO 5 – Números racionais 1. Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

7.

CAPÍTULO 6 – Linguagem algébrica e regularidades 1.

Expressões algébricas ..................................... 133 Valor numérico de uma expressão algébrica ..... 134 Termos algébricos ................................................. 137 Adição e multiplicação de termos algébricos ...... 137

107

Os números racionais ..................................... 109

131

2.

Equações ........................................................... 140 Raiz de uma equação ........................................... 141 Resolução de equações do 1° grau com uma incógnita ................................................................ 143

Representação dos números racionais na reta numérica .................................................. 111 Módulo de um número racional ........................ 112 Oposto ou simétrico de um número racional .... 113

3.

2.

Comparação de números racionais .............. 114

4.

3.

Adição e subtração de números racionais ..... 115

4.

Multiplicação de números racionais ............. 117

5.

Divisão de números racionais ....................... 120

6.

Potenciação de números racionais ............... 122

Resolução de problemas ................................ 146 Sequências ....................................................... 149 Sequências numéricas .......................................... 149 Lei de formação de uma sequência numérica ..... 150 Sequências numéricas em planilhas eletrônicas ......... 154

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 156 É hora de extrapolar .............................................. 161

UNIDADE

III

CAPÍTULO 7 – Porcentagem e juro simples

Regra de três simples ........................................... 199

164

1.

Porcentagem .................................................... 166

2.

Cálculo de acréscimos e descontos .............. 171 Acréscimos ............................................................. 171 Descontos .............................................................. 172

3.

Juro simples ...................................................... 174 Capital e montante ............................................... 174

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 202

CAPÍTULO 9 – Transformações geométricas 1.

CAPÍTULO 8 – Proporcionalidade 1. 2.

3.

2.

Representação de um polígono no plano cartesiano ......................................................... 214 Os quadrantes do plano cartesiano ................... 214 O polígono no plano cartesiano ......................... 215

3.

Transformações geométricas no plano cartesiano ......................................................... 216 Ampliação .......................................................... 217

181

Razão ................................................................. 183 Proporção .......................................................... 185 Propriedade fundamental das proporções ........ 187 Sequências de números diretamente proporcionais ...................................................... 190 Sequências de números inversamente proporcionais ...................................................... 193

Grandezas e proporcionalidade .................... 195 Grandezas diretamente proporcionais ............... 195 Grandezas inversamente proporcionais ............. 197

Isometrias ......................................................... 207 207 208 209 212

Translação ........................................................... Rotação ............................................................... Reflexão ............................................................. Construções de figuras simétricas ......................

Resolvendo em equipe .......................................... 176 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 177

205

Simetria em relação à origem do plano cartesiano ................................................. 218 Simetria em relação aos eixos do plano cartesiano ................................................. 219

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 223 É hora de extrapolar .............................................. 225 7

7

UNIDADE

IV

CAPÍTULO 10 – Grandezas e medidas

2.

Polígonos ...........................................................255 Elementos de um polígono .................................255

229

Soma das medidas dos ângulos internos

1.

Situações que envolvem medições .............. 231

de um polígono .................................................. 256

2.

Área ................................................................... 235

Polígono regular ................................................. 257

Área de polígonos .............................................. 237 Área de um paralelogramo ................................ 238

Construção de triângulos .................................... 260

Área de um triângulo ......................................... 238

Desigualdade triangular ....................................... 263

Área de um trapézio .......................................... 239

Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 265

Volume de um paralelepípedo reto-retângulo ... 242 Volume de um cubo ........................................... 243

Resolvendo em equipe ......................................... 245 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 246

CAPÍTULO 11 – Figuras geométricas planas 1.

1.

268

Probabilidade ................................................... 270 Cálculo de probabilidades ................................... 271

Pesquisa estatística ......................................... 273

249

População e amostra ......................................... 275

Circunferência e círculo .................................. 251 Circunferência ..................................................... 251

Médias ................................................................ 282

com compasso ..................................................... 251 Circunferência como lugar geométrico .............. 252 Perímetro ou comprimento de uma circunferência ... 253 Círculo ................................................................. 254

8

CAPÍTULO 12 – Probabilidade e estatística

2.

Construção de uma circunferência

8

Triângulo ........................................................... 259 Principais elementos de um triângulo ............... 259

Área de um losango ........................................... 239

4.

3.

Área de um retângulo ........................................ 237

Gráficos ............................................................... 279

Resolvendo em equipe ......................................... 288 Trabalhando os conhecimentos adquiridos ...... 289 É hora de extrapolar .............................................. 292 Respostas ................................................................. 294 Bibliografia .............................................................. 304

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3.

• Esta unidade visa ao de­ senvolvimento das habili­ dades relacionadas às unida­ des temáticas Números (capítulos 1 e 2) e Geometria (capítulo 3). Provavelmente os alunos já tiveram contato em suas experiências diá­ rias, ou nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, com alguns dos conteúdos traba­ lhados nesta unidade, então leve em consideração aquilo que eles já sabem a respeito do assunto. • O objetivo das questões do “É hora de começar” é instigar a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados nos capítu­ los que integram a unidade. As questões não preci­ sam ser respondidas neste momento, mas sugerimos retomá­las no final do estudo da unidade para que os alu­ nos reflitam sobre o que aprenderam.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

UNIDADE

Nesta unidade você vai estudar Capítulo 1 Números inteiros Capítulo 2 Múltiplos e divisores Capítulo 3 Retas e ângulos

É hora de começar 1 Como você representaria uma temperatura muito baixa, que fosse menor que 0 °C? 2 O que são múltiplos? Quais são os múltiplos de 13? 3 Explique com suas palavras o que são retas paralelas. 4 Qual é a medida do ângulo formado entre duas retas perpendiculares?

Veja plano de desenvolvimento e projeto integrador no Material do Professor – Digital. PDF-010-042-MCP7-C01-G20.indd 9

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9

Objetivos • Ampliar o conceito de número pela incorporação dos números inteiros, relacionando-os com situações do cotidiano. • Comparar, ordenar e localizar números inteiros na reta numérica. • Compreender o conceito de módulo e de números opostos ou simétricos de número inteiro, relacionando-os à reta numérica. • Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

CAPÍTULO

1

Números inteiros

Em 28 de dezembro de 2016, os termômetros marcaram de 35 a 36 graus Celsius na região portuária do Rio de Janeiro (RJ). De acordo com os órgãos oficiais de controle do clima, a sensação térmica estava acima de 40 graus Celsius.

Habilidades da BNCC

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA03 e EF07MA04 da BNCC.

É hora de observar e refletir

A vasta extensão territorial é um dos fatores que faz com que o Brasil tenha clima diversificado, apresentando uma grande variação de temperatura. Observe nos termômetros o registro da temperatura nas cidades de Urupema (SC) e do Rio de Janeiro (RJ). Qual é o significado da temperatura 25 °C, registrada em Urupema? O que indica o sinal de menos na frente do número 5?

MARILIA SUTIL/FUTURA PRESS

É hora de observar e refletir

LUIZ SOUZA/NURPHOTO/GETTY IMAGES

• Nas fotos apresentadas nesta abertura, os alunos poderão verificar uma situação que apresenta um número negativo para indicar uma temperatura abaixo de 0 °C (25 °C) em contraposição com um termômetro indicando uma temperatura acima de 0 °C (35 °C). • Explique aos alunos que 0° C indica a temperatura em que a água muda seu estado de líquido para sólido, ou seja, quando a água transforma-se em gelo. Para temperaturas mais baixas que essa, utilizamos números negativos. • Espera-se que os alunos percebam que os números negativos surgiram da necessidade de contemplar situações que não era possível com a utilização dos números naturais. • No exemplo apresentado na foto com o termômetro de Urupema (SC), podemos ler a temperatura como “cinco graus negativos” ou “cinco graus abaixo de zero”.

Podemos afirmar que a diferença entre as temperaturas registradas nas duas cidades é superior a 35 graus Celsius? Exemplo de resposta: É uma temperatura menor que zero; um termômetro marca temperatura abaixo de zero como negativa e acima de zero como positiva. O sinal de menos é usado para indicar Termômetro registra temperatura que o número é menor que zero.

mínima de 25 ºC em Urupema (SC), na manhã do dia 23 de maio de 2018.

Sim, pois a diferença entre as duas temperaturas é igual a 40 graus Celsius.

10

EF07MA03: Comparar e ordenar números inteiros em diferentes contextos, incluindo o histórico, associá-los a pontos da reta situações que envolvam adição e subtração. EF07MA04: Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

PDF-010-042-MCP7-C01-G20.indd 10 numérica e utilizá-los em

10

9/21/18 14:27

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; caso necessário, solicite a eles que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 8, 9 e 10. • Questione os alunos sobre outras situações que envolvam números negativos, tais como: saldos bancários, painéis de elevadores, indicação de altitudes ou profundidades etc.

Trocando ideias No Brasil, a unidade de temperatura que usamos é o grau Celsius (°C). Observe, a seguir, a temperatura registrada em três municípios brasileiros em datas diferentes.

30 C

-4 C

Monte Verde (MG)

o

Centro histórico de João Pessoa (PB), em novembro de 2015.

Geada em Monte Verde (MG), em junho de 2016.

Goiânia (GO)

24 C o

JOÃO PRUDENTE/PULSAR IMAGENS

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

DIEGOGRANDI/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES

o

RICARDO COZZO

João Pessoa (PB)

Parque Lago das Rosas em Goiânia (GO), em março de 2015.

Em qual dos três municípios foi registrada a temperatura mais alta?Em João Pessoa: 30 °C, ou trinta graus Celsius.

Na temperatura registrada em Monte Verde (MG), o que indica que ela estava abaixo sinal negativo, antes do número 4, indica uma temperatura de zero grau Celsius? O abaixo de zero (24 °C).

Os números naturais não são suficientes para representar algumas situações. No caso de temperaturas, altitudes e saldos bancários, por exemplo, muitas vezes precisamos utilizar números menores que zero, chamados números negativos. Os números negativos reunidos com os números naturais, que você já conhece, formam o conjunto dos números inteiros, que estudaremos neste capítulo.

11

Competência geral 8: Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade hu9/21/18 14:27 suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

PDF-010-042-MCP7-C01-G20.indd 11 mana e reconhecendo

11

1

Os números inteiros

OC

A

NI E

Estação Comandante Ferraz, em 2018.

3.310 km

A. BAZHEV/SPUTNIK/AFP

CO

SERGIO HANQUET/BIOSPHOTO/GETTY IMAGES

N

PA

A

EA

O

Estação Vostok, em 1964.

No texto, verificamos a expressão “abaixo de 5 °C” e as medidas: 0 ºC, 240 ºC, 268 ºC, 289,2 ºC, 26 ºC e 229 ºC. A expressão “abaixo de 5 °C ” se refere a todas as temperaturas menores que 5 °C. Se considerarmos apenas as temperaturas com valores inteiros, teremos: 4 °C, 3 °C, 2 °C, 1 °C, 0 °C, 21 °C, 22 °C, 23 °C, … Os números 21, 22, 23, ... são chamados números negativos. Lemos: “menos um”, “menos dois”, “menos três” e assim por diante.

• Além de Zahl significar “número” em alemão, alguns textos atribuem o uso da letra Z para representar o conjunto dos números inteiros por ser a primeira letra do sobrenome do matemático alemão Ernst Zermelo, que se dedicou ao estudo desses números.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

AM ÉR ICA

CÍFI

OC

ANTÁRTICA POLO SUL

BRASIL. Ministério do Meio Ambiente. O Brasil e o meio ambiente antártico. Brasília, 2007.

A Estação Comandante Ferraz foi instalada na Antártica em 1984, em uma região que mantém a temperatura, normalmente, abaixo de 5 °C. Já a Estação Vostok, que funciona desde 1957, está localizada numa região muito mais fria.

ÁFR ICA O ÍNDICO AN CE O

A Antártica é o continente mais frio do planeta. A temperatura [...] na época mais quente do ano varia de 0 ºC a 240 ºC à medida que se distancia do litoral. No inverno, a média é de 268 ºC no interior, onde foi registrada a menor temperatura do planeta: 289,2 ºC, na Estação Russa Vostok. Na costa, a média, no inverno, varia entre 26 ºC e 229 ºC.

O EAN OC ÂNTICO L AT

ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

Leia o texto a seguir.

...,

26,

25,

24,

23,

22,

21,

0,

11,

12,

números negativos

13,

14,

15,

16,

...

números positivos

Observe que o número zero não é positivo nem negativo. Agora, veja a representação do conjunto de números abaixo.

GUILHERME CASAGRANDI

O número zero serve como referência na classificação dos números em positivos ou negativos.

b 5 {..., 25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14, 15, ...} Esse conjunto é chamado de conjunto dos números inteiros, representado pelo símbolo b, originário da palavra Zahl, que, em alemão, significa “número”. As reticências são utilizadas para indicar que o conjunto dos números inteiros é infinito nos dois sentidos: no dos números positivos e no dos números negativos. 12

Sugestão de trabalho interdisciplinar • Em conjunto com o professor de Geografia, solicite aos alunos uma pesquisa sobre os locais onde podemos encontrar as mais altas ou as mais baixas temperaturas do planeta, ou mesmo, em âmbito nacional, identificando as variações térmicas entre as diferentes capitais brasileiras, nas diferentes estações do ano.

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12

9/25/18 10:06

• O tópico “Transações bancárias” inicia a discussão sobre operações de adição e subtração com números inteiros, favorecendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA04. • Proponha aos alunos que conversem sobre o significado de alguns termos utilizados nesses tipos de transações:

Um pouco de história

Fonte: Karl B. Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher, 1974. p. 160 e 206.

§ Saque: retirada de uma certa importância da conta bancária. § Débito: quando se retira um valor da conta bancária, podendo ser uma transferência de valores para outra conta bancária, pagamento de faturas (água, energia elétrica etc.), pagamento de tarifas bancárias, entre outros. § Crédito: quando se deposita uma importância na conta bancária, podendo ser um depósito em espécie na agência bancária, uma transferência entre contas, entre outros. § Saldo: diferença entre o total de créditos e o total de débitos lançados em uma conta bancária.

GEORGE TUTUMI

A noção de número negativo levou muito tempo para se estabelecer na história da Matemática. Passaram mais de 1 000 anos entre a aparição dos números negativos e sua utilização. Na Antiguidade, os hindus já discutiam a existência dos números negativos. Eles criaram um tipo de símbolo para representar dívidas, o qual, posteriormente, chamaríamos de negativo. O primeiro registro explícito de números negativos foi feito em 628 d.C. pelo matemático hindu Brahmagupta (598-670). Em 1489, Johann Widman (1460-1498) publicou uma Aritmética comercial, Rechnung auf allen Kaufmannschaft, o mais antigo livro em que os sinais 1 e 2 foram registrados. Em 1544, Michael Stifel (1487-1567) publicou Arithmetica integra, a mais importante obra alemã sobre Álgebra do século XVI, cujo aspecto mais relevante é o tratamento dos números negativos, dos radicais e da potência. Stifel chamava os números negativos de “números absurdos”.

Agora, acompanhe três situações em que os números negativos são utilizados. Transações bancárias Observe a reprodução de um extrato bancário. ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A origem dos números negativos

Comente com os alunos que o saldo negativo ocorre quando o débito é maior que o crédito. Nesse caso, alguns bancos oferecem crédito ao cliente, porém cobram por esse empréstimo, que são chamados juros.

Extrato bancário é um relatório que contém informações sobre a movimentação e o saldo de uma conta bancária.

Os valores negativos nos extratos bancários correspondem aos débitos e são representados com o sinal de menos à direita. Nesse exemplo, os débitos no extrato são: transferência de dinheiro (TRANSF) para outra conta, pagamento (PAGTO) de uma conta, uso do cartão (GASTO C DÉBITO), cheque (CHQ) compensado e saque. Esses valores são subtraídos do saldo da conta bancária, fazendo-o diminuir. Observe que, no dia 15, o saldo era de R$ 1 661,00 e, no dia 25, R$ 115,00. A expressão “saldo negativo” é utilizada quando debitamos da conta um valor maior que o saldo existente, ou seja, um valor maior que aquele de que dispomos em conta. 13

EF07MA04: Resolver e elaborar problemas que envolvam operações com números inteiros.

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9/21/18 14:27

13

• Pergunte aos alunos como pode ser feito o desempate caso dois ou mais times estejam com o mesmo número de pontos na tabela de um determinado campeonato de futebol.

Saldo de gols Observe a seguir a classificação de alguns times no Campeonato Brasileiro de Futebol da série A em 2017.

Classificação

Clube

Pontos

Gols pró

Gols contra

Saldo de gols

1o

Corinthians

72

50

30

20

2o

Palmeiras

63

61

45

16

3

Santos

63

42

32

10

Grêmio

62

55

36

19

17

Coritiba

43

42

51

29

18o

Avaí

43

29

48

219

19

Ponte Preta

39

37

52

215

20

Atlético Goianiense

36

38

56

218

o

4

o o

o o

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Campeonato Brasileiro de Futebol da Série A – 2017

Dados obtidos em: . Acesso em: 11 jul. 2018.

O número que representa o saldo de gols é obtido pela diferença entre o número de gols pró (gols feitos) e o número de gols contra (gols sofridos) de cada time. Observe que o saldo de gols de alguns times é negativo. Isso ocorre porque o número de gols pró é menor que o número de gols contra. Altitudes Associa-se o nível do mar à altitude zero. Acima do nível do mar, a altitude é positiva; abaixo do nível do mar, a altitude é negativa. O Cristo Redentor (RJ) é um monumento situado no topo do Morro do Corcovado, a 709 metros acima do nível do mar. Sua altitude pode ser indicada por 1709  m (lemos: “mais setecentos e nove metros”).

GEORGE TUTUMI

O poço pioneiro de extração de petróleo da Bacia de Campos (RJ) foi o de Garoupa, a 100  metros abaixo  do nível do mar. Sua altitude pode ser indicada por 2100 m (lemos: “menos cem metros”).

1709 m

Converse com os alunos que a imagem é ilustrativa, com cores-fantasia e não foi apresentada em escala de tamanho.

nível do mar 2100 m

14

Sugestão de atividade extra • Explore curiosidades referentes a situações envolvendo altitude e profundidade. Peça aos alunos que realizem uma pesquisa, em livros ou sites especializados, de modo a responder perguntas como: Quais problemas um ser humano pode enfrentar se estiver a uma altitude superior a 3 000 metros? E a 200 metros de profundidade? Qual seria um limite seguro para a prática de mergulho?

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14

10/14/18 08:59

6. Exemplo de resposta: “Carlos olhou o extrato de sua conta e descobriu que estava com saldo negativo de 53 reais. Quanto ele tem de depositar para ficar com saldo zero na conta?” (Resposta: 53 reais)

ATIVIDADES

5

Observe os números a seguir. 17

23 29

14 0

118 125

176

236

Agora, responda: 17, 14, 118, a) Quais deles são positivos? 176, 125 b) Quais são negativos? 23, 29, 236 c) O número zero é positivo ou negativo? Não é positivo nem negativo.

2

Represente, com números inteiros, cada uma das situações a seguir.

Saldo Crédito Débito Dia anterior

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) Débito de R$ 3 000,00. 2R$ 3 000,00

21/1

b) Lucro de R$ 1 200,00. 1R$ 1 200,00 c) Elevação de 2 300 m. 12 300 m d) Depressão de 500 m. 2500 m

22/1 23/1

3

Letícia pegou o elevador no 3o subsolo e subiu até o 10o andar. Quantos andares ela percorreu? 13 andares

4

Observe a classificação das seleções da América do Sul nas eliminatórias para a Copa do Mundo da Fifa 2018 e escreva no caderno os números inteiros que representam o saldo de gols de cada seleção.

6

7

1 Brasil

41

11

32

20

3o Argentina

19

16

3

4o Colômbia

21

19

2

5o Peru

27

26

1

6o Chile

26

7o Paraguai

19

27 21 25 26

8 Equador

26

9o Bolívia

16

29 23 38 222

19

35 216

o

10o Venezuela

Dados obtidos em: . Acesso em: 6 set. 2018.

Saldo

R$ 780,00 R$ 780,00

R$ 780,00 R$ 180,00 R$ 960,00

R$ 960,00 R$ 300,00 R$ 660,00

Crie um problema que contenha as pa­ lavras “extrato” e “saldo negativo”. Em seguida, troque com um colega e resolva o problema que ele criou. Por fim, conver­ sem sobre os resultados obtidos. O gráfico a seguir representa o desem­ penho de uma microempresa durante seis meses.

Saldo 50 25 0

30

2 Uruguai o

R$ 1 560,00

DESEMPENHO (em milhares de reais)

Eliminatórias da Copa do Mundo da Fifa 2018 Seleção Gols pró Gols contra o

Em 20/1, o saldo da conta bancária de Roberta era R$  1 560,00. Nos três dias seguintes, ela efetuou estas operações financeiras: retirou a metade do saldo; • em 21/1 depositou R$ 180,00; • em 22/1 retirou R$ 300,00. • em 23/1 Copie no caderno o quadro abaixo subs­ tituindo cada de acordo com as opera­ ções financeiras efetuadas.

mar.

jan.

250

10

abr.

fev.

225

12

40

35

25

maio

GUILHERME CASAGRANDI

1

Faça as atividades no caderno.

jun. Mês

225 240

Dados obtidos pela microempresa.

a) Em que mês o prejuízo foi de 40 mil reais? fevereiro b) Qual foi o saldo do mês de março? 35 mil reais c) Durante esses seis meses, a microem­ presa teve lucro ou prejuízo? De quanto?

• É conveniente discutir e sanar eventuais dúvidas sobre o significado de palavras como “saldo”, “saque”, “depósito”, “extrato”, “lucro”, entre outras, estimulando a compreensão de expressões usadas em situações diárias. • A atividade 7 envolve leitura e interpretação de um gráfico de barras verticais. Os gráficos auxiliam no tratamento de informações e estão presentes no cotidiano dos alunos. Por esse motivo, saber lê-los e interpretá-los contribui para a formação deles como cidadãos. Auxilie na identificação do que representam os dados do eixo horizontal e do eixo vertical e o significado das barras com valores negativos. Espera-se que os alunos verifiquem que essas barras representam os meses em que a empresa obteve prejuízo. Pode também solicitar que identifiquem o mês em que a microempresa teve maior lucro ou maior prejuízo. • Os alunos podem apresentar dificuldades durante a interpretação e a resolução da atividade 8. Uma sugestão para sanar eventuais dúvidas é solicitar que façam o esboço de um termômetro e sua graduação. A visualização das graduações das temperaturas no termômetro auxiliará na contagem das unidades entre 22 °C e 28 °C.

lucro; 45 mil reais

8

Certo dia, Emília viajou de Berlim (Ale­ manha) para Berna (Suíça). Quando saiu de Berlim, a temperatura era de 22 °C e, ao chegar a Berna, a temperatura era de 28  °C. Em que cidade estava mais frio: Berlim ou Berna? Berna 15

15

Lendo e aprendendo • Alguns dados apresentados no infográfico não são consensuais nas inúmeras fontes existentes. Também podem sofrer alterações em função de novas pesquisas ou da quebra de recordes.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Lendo e aprendendo: Nas profundezas do mar

Para filmar um documentário em 3-D, o diretor de cinema James Cameron desceu ao ponto mais profundo do Oceano Pacífico, a Fossa das Marianas. Para isso, ele usou o minissubmarino DeepSea Challenger. Esse nome foi dado ao veículo em homenagem ao abismo de Challenger, o ponto mais profundo da Fossa das Marianas.

16

PDF-010-042-MCP7-C01-G20.indd 16

16

9/21/18 14:27

O monte Everest, situado entre o Nepal e o Tibete, a 8 848 metros acima do nível do mar, é o ponto mais alto do mundo. Já o mais profundo do mundo, como vimos ao lado, é o da Fossa das Marianas, a 10 920  metros abaixo do nível do mar. Pense em como você poderia representar essas duas medidas. 18 848; 210 920

NILSON CARDOSO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Comente com os alunos que, de modo geral, os números inteiros negativos estão sempre relacionados a certas expressões, como “abaixo de”, “à esquerda de”, entre outras; assim como os números positivos estão relacionados às situações opostas, como “acima de”, “à direita de”, entre outras.

17

Material Digital Audiovisual • Video: O pinguim-imperador

Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual

• Espera-se que os alunos usem sinais diferentes para representar as duas medidas solicitadas: 18 848 m e 9/25/18 10:06 210 920 m.

PDF-010-042-MCP7-C01-G20.indd 17

17

• Pode-se enriquecer o conteúdo expondo que um ponto associado a um número inteiro na reta também é chamado de imagem geométrica. Por exemplo, na reta numérica apresentada no texto, o ponto A é imagem geométrica de 11, assim como H é a imagem geométrica de 23. Podemos dizer ainda que 11 é a abscissa do ponto A e que 23 é a abscissa do ponto H.

Representação dos números inteiros na reta numérica Podemos representar os números inteiros em uma reta numérica. Para isso, traçamos uma reta r e sobre ela marcamos o ponto O, chamado origem, que corresponde ao número zero. Usando a mesma unidade de comprimento, assinalamos pontos consecutivos à direita da origem e, para cada ponto, fazemos corresponder um número inteiro positivo. Veja: O

A

B

C

D

E

0

+1

+2

+3

+4

+5

r

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Repetimos esse procedimento para representar pontos situados à esquerda da origem, aos quais fazemos corresponder os números inteiros negativos.

J

I

H

G

F

O

–5

–4

–3

–2

–1

0

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe:

r

Podemos reunir em uma só reta numérica os números inteiros positivos e os negativos. J

I

H

G

F

O

A

B

C

–5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

sentido negativo

D

E

+4

+5

r

sentido positivo

Dessa forma, estabelecemos uma correspondência entre os números inteiros e os pontos marcados na reta. Espera-se que os alunos percebam que, repetindo o procedimento, representaríamos os pontos situados abaixo da origem na reta r, aos quais corresponderiam os números inteiros negativos.

Se traçássemos uma reta r na vertical, marcando o ponto O (origem), correspondente ao zero, poderíamos, usando a mesma unidade de comprimento, assinalar pontos consecutivos acima da origem e, a cada ponto, associar um número inteiro positivo. Agora, como poderíamos representar os pontos correspondentes aos números negativos?

Observações

2 Os números positivos podem ser escritos sem o sinal 1. Por exemplo: • 15 5 5 • 13 564 5 3 564 3 Cada número inteiro está associado a um único ponto da reta, mas nem todo ponto da reta está associado a um número inteiro.

GEORGE TUTUMI

1 A reta numérica não precisa ser representada necessariamente na posição horizontal.

18

• Comente com os alunos que os pontos da reta numérica que não estão associados a um número inteiro estão associados a outros números. Esses números pertencem a conjuntos numéricos que serão estudados mais adiante.

PDF-010-042-MCP7-C01-G20.indd 18

18

9/21/18 14:27

C A 26 25 24 23 22 21

D B 0 11 12 13 14 15 16

r

GUILHERME CASAGRANDI

2.

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

Observe a reta numérica e responda às questões.

–6

B

–5 –4

–3 –2

–1

C 0

D

Um ponto é deslocado, a partir do zero, seis unidades sobre uma reta numérica no sentido positivo e, em seguida, 10 unidades no sentido negativo. Determine o número inteiro correspondente ao ponto após esse percurso. 24

5

Em um dia de muito frio na cidade de São Joaquim  (RS), a temperatura esteve em 21 °C. À  noite, ela chegou a 26 °C. Do dia para a noite, a temperatura diminuiu quantos graus Celsius? 5 °C

E

+1 +2 +3 +4 +5 +6 r

a) Que número corresponde ao ponto B ? 21 b) Qual é o ponto correspondente ao número 24? ponto A c) Qual é o ponto correspondente ao número 15? ponto D ponto C d) Qual é o ponto que corresponde a 12? e) O ponto E corresponde a que número?

DIONATA COSTA/JORNAL FOLHA DA CIDADE

A

4

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

16

2

Desenhe uma reta para representar números inteiros e, depois, localize nela os pontos: a) A, que corresponde a 23; b) C, que corresponde a 25; c) B, que corresponde a 15; d) D, que corresponde a 0.

3

Trace uma reta numérica e represente nela os números inteiros maiores ou iguais a 22 e menores que 5. 22 21

0 11 12 13 14

Neve em São Joaquim (RS), 2017.

r

Módulo de um número inteiro A distância de um ponto na reta numérica até a origem O é chamada de módulo ou valor absoluto do número associado a esse ponto. Representamos o módulo de um número colocando-o entre duas barras verticais: | |. Exemplos

• A distância do ponto A à origem O é 4 unidades. A –7

–6

–5

–4

O

4 unidades –3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

r

O módulo de 24 é 4. Indicamos: |24| 5 4 (lemos: “módulo de menos quatro é igual a quatro”) • A distância do ponto B à origem O é 6 unidades. O –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

B

6 unidades +1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

r

O módulo de 16 é 6. Indicamos: |16| 5 6 (lemos: “módulo de mais seis é igual a seis”)

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

GUILHERME CASAGRANDI

1

• As atividades 2 e 3 têm o objetivo de estimular o aluno a fazer a conversão do registro em linguagem materna para o registro gráfico. O caminho inverso também pode ser estimulado. Para isso proponha aos alunos que desenvolvam algum tipo de descrição para os números localizados na reta numérica. Por exemplo, represente em uma reta numérica os pontos correspondentes aos números inteiros 10, 11, 12, 13, ..., 19 e 20 e, em seguida, proponha que escrevam no caderno uma frase associada a essa representação. Nesse caso, um exemplo de resposta seria: “Números inteiros maiores que 9 e menores ou iguais a 20”.

19

19

• O módulo de zero é zero. Assim: |0| 5 0 • |210| 5 10 (lemos: “módulo de menos dez é igual a dez”) • | 9 | 5 9 (lemos: “módulo de nove é igual a nove”) • |15| 5 5 (lemos: “módulo de mais cinco é igual a cinco”)

A –4

O

4 unidades –3

–2

–1

0

B

4 unidades +1

+2

+3

+4

r

Os pontos A e B ocupam posições simétricas em relação à origem, pois estão à mesma distância da origem e se localizam em lados opostos. Assim, podemos dizer que 24 e 4 são números opostos ou simétricos. Exemplos

• 15 é o oposto ou simétrico de 215, pois 15 5 2(215). • 217 é o oposto ou simétrico de 17, pois 217 5 2(117). • 10 é o oposto ou simétrico de 210, pois 10 5 2(210). • 21 000 é o oposto ou simétrico de 11 000, pois 21 000 5 2(11 000).

ATIVIDADES

20

Faça as atividades no caderno.

1

Determine: a) o oposto de 26; 16 b) o oposto de 100; 2100 c) o oposto de 27 ; 17 d) o oposto de 8. 28

2

Escreva no caderno o valor absoluto de: a) 113 13 c) 221 21 b) 150 50 d) 2116 116

3

Determine. a) |216| 16 b) |220| 20 c) |135| 35 d) |21| 1

e) f) g) h

|0| 0 |214| 14 |1239| 239 |2524| 524

4

Responda às questões. a) Qual é o módulo de 213? 13 b) Qual é o oposto de 2318? 1318 c) Quais são os números inteiros que têm valor absoluto igual a 17? 117 e 217

5

Quantos números inteiros apresentam: a) módulo menor que zero? nenhum b) módulo igual a zero? um número, o próprio zero c) módulo maior que zero? infinitos

6

Complete a frase, tornando­a verdadeira. O oposto de  é menor que zero. • Que tipo de número pode ser usado para completar essa frase? Converse com o professor e os colegas.

Espera-se que os alunos percebam que qualquer número inteiro positivo pode ser usado para completar a frase.

• Nas atividades de 1 a 6 o uso da reta numérica pode auxiliar os alunos na visualização das unidades de medidas necessárias para determinar o valor do módulo ou do simétrico de um número inteiro.

20

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe os pontos A e B localizados na reta numérica, que representam os números 24 e 4, respectivamente.

GUILHERME CASAGRANDI

Números opostos ou simétricos

• É importante os alunos compreenderem que os números inteiros negativos podem ser conceituados a partir da ideia de simetria em relação aos números inteiros positivos na reta numérica. Por esse motivo chamamos os números 24 e 4 de números simétricos (ou opostos), pois o ponto A é simétrico ao ponto B e em relação à origem da reta.

2

Comparação de números inteiros

Ricardo olhou a temperatura no termômetro em dois dias diferentes e teve uma dúvida:

Para responder à dúvida de Ricardo, precisamos determinar qual dos números é maior: 24 ou 3. Para compará-los, podemos utilizar a reta numérica, marcando os pontos associados a esses números. Veja: –7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

r

O número 24 é menor que 3, pois o ponto que o representa está localizado à esquerda do que representa o 3 na reta numérica. Indicamos: 24 , 3 (lemos: “menos quatro é menor que três”) Agora, vamos comparar os números 22 e 25. Veja a representação na reta numérica.

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Que frio!

ILUSTRAÇÕES: ROBERTO ZOELLNER

Hoje parece mais frio. Mas a temperatura 24 °C é maior ou menor que 3 °C?

• Para explorar o tópico “Comparação de números inteiros”, é interessante que o aluno já tenha se apropriado da compreensão da associação dos números com pontos da reta numérica auxiliando no estudo do tema. Normalmente os alunos não apresentam dificuldades na comparação de números inteiros positivos, porém na comparação de números negativos é muito frequente que digam que, por exemplo, 26 é maior que 22. Isso ocorre por se aterem ao valor absoluto do número. Por esse motivo, devido ao apelo visual, é importante estimulá-los a recorrer, sempre que necessário, à representação da reta numérica ao fazer comparações entre esses tipos de números. Outro modo de auxiliar os alunos na compreensão do conteúdo é utilizar como ferramenta o termômetro e propor os seguintes questionamentos: Qual temperatura é mais fria, 21 °C ou 29 °C? E entre 0 °C ou 27 °C?

r

O ponto que representa o 22 está localizado à direita do ponto que representa o 25. Logo, 22 é maior que 25. Indicamos: 22 . 25 (lemos: “menos dois é maior que menos cinco”) Dados dois números inteiros quaisquer, o maior deles será aquele cujo ponto que o representa estiver à direita do ponto que representa o outro na reta numérica. Observações

1 De maneira geral: • qualquer número negativo é menor que zero; • qualquer número positivo é maior que zero; • todo número positivo é maior que qualquer número negativo. 2 Dado um número inteiro qualquer representado por um ponto na reta numérica, o ponto “vizinho” à sua direita representa seu sucessor, e o ponto “vizinho” à sua esquerda representa seu antecessor. 21

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21

1.

26

24

22 21

0

2

3

LUIZ RUBIO

7

ATIVIDADES

2

Escreva no caderno os números inteiros abaixo, em ordem decrescente, usando o sinal .. 7 . 6 . 3 . 0 . 21 . 24 . 28 24, 7, 28, 3, 21, 0, 6

3

Usando os sinais . ou ,, faça a compa­ ração entre os seguintes pares de núme­ ros inteiros: a) 13 12 13 . 12 e) 12 0 12 . 0 b) 25 26 25 . 26 f) 22 21 22 , 21 c) 24 1424 , 14 g) 23 24 23 . 24 d) 0 21 0 . 21 h) 0 210 0 . 210

4

• É recomendável, ao trabalhar adições com números inteiros, explorar a ideia de que, quando juntamos dois prejuízos, obtemos um prejuízo; quando juntamos dois lucros, obtemos um lucro; e, quando juntamos um prejuízo com um lucro, o resultado dependerá do valor absoluto de cada um. Incentive os alunos a estimar resultados antecipando se o sinal da operação será positivo ou negativo. Trata-se de uma maneira de associar estimativas a técnicas de cálculo. Aproveite a oportunidade e converse sobre as vantagens de fazer previsões de resultados e o quanto isso é usado em situações do cotidiano.

Represente os números abaixo em uma reta numérica: 21, 3, 24, 7, 0, 22, 26, 2 Agora, responda às questões. a) Qual é o maior desses números? 7 b) Qual é o menor desses números? 26 c) Qual é o número inteiro situado entre 24 e 22? 23

3

c) os três primeiros números inteiros menores que 11; 0, 21 e 22 d) o número inteiro sucessor de 213. 212 5

Imaginando que Pitágoras tenha nascido no ano 580 a.C. e Tales de Mileto, no ano 624 a.C., pergunta­se: a) Quem nasceu primeiro? Tales de Mileto b) Qual era a diferença de idade entre esses dois homens? 44 anos

ILUSTRAÇÕES: XAVI

1

Faça as atividades no caderno.

Ilustração de Pitágoras, que foi um filósofo e matemático grego.

6

Determine: a) o número inteiro antecessor de 29; 210 b) o número inteiro sucessor de 214; 213

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Na atividade 5, os alunos terão que trabalhar com datas referentes a fatos ocorridos antes do nascimento de Cristo (a.C.). Em diversas situações do cotidiano, especialmente, nas aulas de História, por exemplo, eles precisarão lidar com datas expressas dessa forma e estabelecer comparações entre elas. Comente que atualmente o calendário utilizado por nós é chamado de gregoriano e que adota o ano de nascimento de Cristo como ano 1. Os anos antes de Cristo são indicados por a.C., e os depois de Cristo por d.C. A representação gráfica pode auxiliar na compreensão desse tipo de atividade.

Ilustração de Tales, que foi um sábio da Grécia antiga.

Responda às questões. a) Qual é o maior número inteiro menor que 250? 251 b) Qual é o menor inteiro de três algarismos? 2999

Adição de números inteiros

Observe as situações a seguir.

Situação 1 Ana estava com alguns problemas financeiros. Mesmo com o saldo da conta bancária em R$ 200,00 negativos, ela fez uma retirada de R$ 400,00. Qual o saldo da conta de Ana após a retirada? Pelos dados do enunciado, temos: • saldo inicial: 2200

• retirada: 2400

Para responder à pergunta, podemos fazer: (2200) 1 (2400) 5 2600 – 400 – 600

– 500

– 400

– 300

– 200

– 100

0

+100

+200

+300

+400

LUIZ RUBIO

Observe a representação dessa operação na reta numérica:

Portanto, Ana ficou com R$ 600,00 de saldo negativo em sua conta. 22

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22

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• Sugira aos alunos que resolvam as operações mostradas nos exemplos com o auxílio da reta numérica. Em adições cujas parcelas têm o mesmo sinal, adicionamos os valores absolutos dessas parcelas e mantemos o sinal. Exemplos

• (210) 1 (217) 5 227

• (285) 1 (215) 5 2100

• (110) 1 (113) 5 123

• (270) 1 (290) 5 2160

Situação 2 O saldo da conta bancária de Ronaldo era R$ 300,00. Sabendo que Ronaldo fez uma retirada de R$ 200,00, com quantos reais ficou o saldo da conta? Pelos dados do enunciado, temos: • saldo inicial: 1300 • retirada: 2200 Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para responder à pergunta, podemos fazer: (1300) 1 (2200) 5 1100 Observe a representação dessa adição na reta numérica: – 200 – 600

– 500

– 400

– 300

– 200

– 100

0

+100

+200

+300

+400

Portanto, Ronaldo ficou com R$ 100,00 de saldo positivo na conta.

Situação 3 O saldo bancário da conta de Liana em 4 de outubro era R$ 350,00 negativos. No dia seguinte, ela fez um depósito de R$ 600,00 em sua conta bancária. Após esse depósito, com que saldo ficou a conta de Liana? Pelos dados do enunciado, temos: • saldo inicial: 2350 • depósito: 1600 Para responder à pergunta, podemos fazer: (2350) 1 (1600) 5 1250

+ 600 – 600

– 500

– 400 – 300 – 330

– 200

– 100

Portanto, a conta de Liana ficou com saldo de R$ 250,00.

0

+100

+200 +300 + 250

+400

Quando junto dois prejuízos, obtenho um prejuízo. Quando junto dois lucros, obtenho um lucro. Quando junto um prejuízo com um lucro... aí depende do valor absoluto de cada um.

GEORGE TUTUMI

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Observe a representação dessa adição na reta numérica:

23

23

Em adições cujas parcelas têm sinais contrários, subtraímos os valores absolutos dessas parcelas e mantemos o sinal do número de maior valor absoluto. Exemplos

• Explique aos alunos que essas propriedades podem ser demonstradas matematicamente, mas que não serão feitas neste momento, e que neste livro apresentamos apenas exemplos de verificação.

• (25) 1 (17) 5 12

• (235) 1 (120) 5 215

• (110) 1 (213) 5 23

• (150) 1 (290) 5 240

Propriedades da adição de números inteiros As propriedades que veremos a seguir podem simplificar os cálculos com números inteiros.

Propriedade comutativa Em uma adição com números inteiros, a ordem das parcelas não altera a soma. • (26) 1 (15) 5 21 e (15) 1 (26) 5 21

• (219) 1 (28) 5 227 e (28) 1 (219) 5 227

Propriedade associativa Em uma adição de números inteiros com mais de duas parcelas, podemos associar essas parcelas de diferentes maneiras sem alterar a soma. Exemplos

• [(23) 1 (15)] 1 (14) 5 (12) 1 (14) 5 16 (23) 1 [(15) 1 (14)] 5 (23) 1 (19) 5 16 • [(131) 1 (29)] 1 (223) 5 (122) 1 (223) 5 21 (131) 1 [(29) 1 (223)] 5 (131) 1 (232) 5 21

Elemento neutro Em uma adição com duas parcelas em que uma delas é zero, o resultado é igual à outra parcela. O zero é o elemento neutro da adição. Exemplos

• (16) 1 0 5 0 1 (16) 5 16

• (25) 1 0 5 0 1 (25) 5 25

Elemento oposto Em uma adição em que as duas parcelas são números opostos, a soma é zero. Exemplos

• (27) 1 (17) 5 0 24

24

• (126) 1 (226) 5 0

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exemplos

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

Calcule. a) (15) 1 (13) 18 b) (27) 1 (210) 217

c) 0 1 (28) 28 d) (15) 1 (220)

215

e) (240) 1 (113) 227 f) (28) 1 (217) 225

2

Uma pessoa tinha saldo positivo de R$ 600,00 em sua conta bancária. Sabendo que ela retirou R$ 1 000,00, o saldo passou a ser positivo ou negativo? Qual é o novo saldo da conta?

3

Um avião está a uma altitude de 8 000  m. Se ele subir 3 000  m e, em seguida, descer 4 500 m, qual será sua altitude após a descida? 6 500 m

4

Nas quatro primeiras semanas de fevereiro, a empresa Gama apresentou o seguinte demonstrativo.

negativo; 2R$ 400,00

1a semana

lucro

2 semana

prejuízo

R$ 1 329,00

3a semana

lucro

R$ 2 400,00

4a semana

prejuízo

R$ 4 260,00

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a

R$ 5 680,00

a) Qual foi o saldo final da empresa no período considerado? R$ 2 491,00 b) Devemos representar o saldo por um número positivo ou negativo? positivo 5

Elabore um problema cujo resultado seja 225. Junte-se a um colega e verifiquem se os problemas estão corretos. Exemplo de resposta: “No último campeonato, meu time marcou 3 gols e

6

Escreva no caderno as propriedades utilizadas em cada caso. a) (135) 1 0 5 0 1 (135) 5 135 elemento neutro e comutativa b) (18) 1 (29) 5 (29) 1 (18) comutativa c) (16) 1 (26) 5 0 elemento oposto d) [(23) 1 (28)] 1 (12) 5 (23) 1 [(28) 1 (12)] associativa

7

Observe como Rita, Maísa e Ilda calcularam o valor da expressão: (214) 1 (28) 1 (243) 1 0 1 22 1 8 1 43 1 14

sofreu 28. Qual foi o saldo de gols do meu time?”

• Na atividade 7, proponha aos alunos que identifiquem, nos procedimentos apresentados por Rita, Maísa e Ilda, qual foi a propriedade utilizada em cada resolução. Em seguida, chame a atenção deles para o fato de que conhecer as propriedades das operações pode facilitar e agilizar a realização dos cálculos de um problema.

Cálculo de Maísa (214) 1 (28) 1 (243) 1 0 1 22 1 8 1 43 1 14 5 5 (265) 1 0 1 87 5 5 (265) 1 87 5 22

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Cálculo de Rita (214) 1 (28) 1 (243) 1 0 1 22 1 8 1 43 1 14 5 5 (222) 1 (243) 1 0 1 22 1 8 1 43 1 14 5 5 (265) 1 0 1 22 1 8 1 43 1 14 5 5 (265) 1 22 1 8 1 43 1 14 5 5 (243) 1 8 1 43 1 14 5 5 (235) 1 43 1 14 5 5 8 1 14 5 22

25

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25

Lembre-se: Não escreva no livro!

Cálculo de Ilda (214) 1 (28) 1 (243) 1 0 1 221 8 1 43 1 14 5

a) Alguma delas errou o cálculo? não b) Qual delas fez um procedimento mais prático? Por quê? c) Use um dos procedimentos anteriores para calcular: (218) 1 101 1 9 1 (2101) 1 (238) 1 22 1 18 1 38 31

4

Subtração de números inteiros Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Ao trabalhar a subtração de números inteiros, é fundamental diferenciar o sinal do número e o sinal da operação, indicados pelo símbolo “2”. Essa diferenciação é o primeiro passo para que os alunos compreendam como essas subtrações são efetuadas e em que situações podem ser utilizadas. • No trabalho com números negativos, é importante que o aluno entenda que toda subtração pode ser transformada em uma soma adicionando-se o primeiro número ao oposto do segundo. • Se achar necessário, aprofunde a discussão sobre os sinais, comparando as seguintes sentenças: (21) 2 (13) 5 24 (21) 1 (23) 5 24 Em seguida, chame a atenção dos alunos para o fato de que, apesar de as duas sentenças apresentarem o mesmo resultado, na segunda, o sinal que aparece antes do 3 não é o operador de subtração, mas sim o indicador de que o 3 é um número negativo.

Espera-se que os alunos respondam que foi Ilda, porque ela aplicou a propriedade do elemento oposto.

ADILSON SECCO

5 0 1 0 1 0 1 0 1 22 5 22

Observe na tabela a seguir a classificação de algumas seleções mundiais nas eliminatórias para a Copa do Mundo da Fifa de 2018. Eliminatórias da Copa do Mundo da Fifa 2018 Classificação

Seleção

Gols pró

Gols contra

Saldo de gols

2

Uruguai

32

20

12

4o

Colômbia

21

19

2

o

6

Chile

26

27

21

7o

Paraguai

19

25

26

o

Dados obtidos em: . Acesso em: 11 jul. 2018.

Qual foi a diferença entre o saldo de gols do Uruguai e o do Chile? Segundo a tabela, temos: • saldo de gols do Uruguai: 112 • saldo de gols do Chile: 21

–5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

+8

+9

+10

+11

+12

+13

r

LUIZ RUBIO

Localizando os pontos correspondentes aos números 112 e 21 na reta numérica, temos:

A diferença entre o saldo de gols do Uruguai e o do Chile pode ser assim calculada: (112) 2 (21) Observe que 2(21) é o simétrico do número 21, ou seja, é igual a 11. Assim: 2(21) 5 11

(112) 2 (21) 5 (112) 1 1 5 113 Portanto, a diferença entre o saldo de gols do Uruguai e o do Chile foi de 13 gols. 26

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26

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Quantos gols faltavam para o Paraguai alcançar o saldo de gols da Colômbia? Segundo a tabela, temos: • saldo de gols do Paraguai: 26 • saldo de gols da Colômbia: 12 Localizando os pontos correspondentes aos números 26 e 12 na reta numérica, temos:

– 10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

r

+7

A diferença entre o saldo de gols do Paraguai e o da Colômbia pode ser assim calculada: (26) 2 (12) Observe que 2(12) é o simétrico do número 12, ou seja, é igual a 22 . Assim: 2(12) 5 22

Portanto, a diferença entre o saldo de gols do Paraguai e o da Colômbia foi de 28, ou seja, faltavam 8 gols para o Paraguai alcançar o saldo de gols da Colômbia. Qual foi a diferença entre o saldo de gols do Chile e o do Paraguai? Segundo a tabela, temos: • saldo de gols do Chile: 21 • saldo de gols do Paraguai: 26 Localizando os pontos correspondentes aos números 21 e 26 na reta numérica, temos:

– 10

–9

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

0

+1

+2

+3

+4

+5

+6

+7

r

A diferença entre o saldo de gols do Chile e o do Paraguai pode ser assim calculada: (21) 2 (26) Observe que 2(26) é o simétrico do número 26, ou seja, é igual a 16. Assim: 2(26) 5 16

(21) 2 (26) 5 (21) 1 6 5 15 Portanto, a diferença entre o saldo de gols do Chile e o do Paraguai foi de 5 gols. Observações

1 Podemos eliminar os parênteses no registro e no cálculo de adições e de subtrações com números inteiros. Veja como: • Quando, antes dos parênteses, o sinal for “1” (que pode não estar explícito, ou seja, pode não aparecer), mantemos os sinais dos números que estão no interior dos parênteses. Observe os exemplos: 1(16) 5 16 5 6 1(215) 5 215 (228) 5 228 (110) 5 110 5 10 • Quando o sinal que antecede os parênteses for “2”, trocamos os sinais dos números que estão no interior dos parênteses. Observe os exemplos: 2(17) 5 27 2(25) 5 15 5 5 2(6) 5 26 2(28) 5 18 5 8

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

(26) 2 (12) 5 (26) 2 2 5 28

27

Sugestão de leitura para o aluno A invenção dos números, Oscar Guelli. São Paulo: Ática, 1998. Nessa obra, o autor apresenta a interessante história do aparecimento dos números, desde os primeiros registros, com o uso dos dedos, passando pelos nós em cordões, até chegar ao surgimento dos algarismos. O livro também aborda os diferentes conjuntos de números.

27

2 O registro e o cálculo das adições e das subtrações com números inteiros podem ser simplificados quando eliminamos os parênteses. Veja os exemplos: • (18) 2 (14) 5 (18) 24 5 14, ou 8 2 4 5 4 • (13) 1 (14) 5 17, ou 3 1 4 5 7 (15) 1 (22) 5 13, ou 5 2 2 5 3 • (29) 2 (25) 5 (29) 15 5 24, ou 29 1 5 5 24 • • (15) 2 (23) 5 (15) 13 5 8, ou 5 1 3 5 8 • (27) 1 (14) 5 23, ou 27 1 4 5 23 • (23) 1 (210) 5 213, ou 23 2 10 5 213 • (26) 2 (14) 5 (26) 2 4 5 210, ou 26 2 4 5 210

Expressões numéricas com adições e subtrações Observe formas diferentes de calcular o valor da expressão (28) 1 (110) 2 (23) 1 (24): Escrevemos as subtrações na forma de adição e calculamos as adições na ordem em que aparecem.

(28) 1 (110) 2 (23) 1 (24) 5 5 (28) 1 (110) 1 3 1 (24) 5 5 (15) 1 (24) 5 5 (11) 5 1

Eliminamos todos os parênteses antes de iniciar os cálculos. Veja dois modos de resolver: (28) 1 (110) 2 (23) 1 (24) 5

(28) 1 (110) 2 (23) 1 (24) 5

5 28 1 10 1 3 2 4 5

5 28 1 10 1 3 2 4 5

5 12 1 3 2 4 5

5 28 2 4 1 10 1 3 5

5 15 2 4 5

5 212 1 13 5

5 11 5 1

5 11 5 1

Nesse cálculo, as operações foram feitas na ordem em que apareceram.

• Comente com os alunos que o procedimento para eliminar colchetes ou chaves é o mesmo que adotamos para os parênteses.

ou

Nesse caso, agrupamos os números positivos e os números negativos antes de efetuar as operações.

Agora, veja exemplos das expressões com os sinais de associação, que devem ser eliminados nesta ordem: parênteses, colchetes e chaves. Exemplos

• 26 2 [16 2 (25 2 7)] 5

• 20 1 {25 2 [4 2 (2 2 7)] 2 10} 5

5 26 2 [16 2 (212)] 5

5 20 1 {25 2 [4 2 (25)] 2 10} 5

5 26 2 [16 1 12] 5

5 20 1 {25 2 [4 1 5] 2 10} 5

5 26 2 28 5

5 20 1 {25 2 9 2 10} 5

5 22

5 20 2 24 5 5 24

28

28

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5 (12) 1 (13) 1 (24) 5

Faça as atividades no caderno.

1

Efetue. a) (28) 2 (17) 215 d) (23) 2 (17) 210 b) (230) 2 (170) e) (110) 2 (130) 220 2100 c) (272) 2 (130) f) (180) 2 (215) 195

6

2

Calcule. a) (2650) 2 (1300) 2950 b) (2850) 2 (2850) 0 c) (11 300) 2 (21 100) 12 400

7

A temperatura em uma cidade pela manhã era 18 °C. À noite, ela caiu para 25  °C. Qual é a diferença, em grau Celsius, entre as temperaturas registradas nesses dois momentos? 23 ºC

3

Carlos aprendeu que, na calculadora, ao digitar a tecla  após um número, ela atribui um valor negativo a esse número. Observe as teclas que ele digitou:

8

Podemos obter o saldo da balança comercial de um país, em determina­ do ano, calculando a diferença entre a quantia recebida com as exportações e a quantia  gasta com as importações. Suponha que o Brasil, em determina­ do ano, tenha recebido 160 bilhões de dólares com as exportações e tenha gastado 120  bilhões de dólares com as importações. De quanto foi o saldo da balança comercial do Brasil nesse deter­ minado ano?

1

0





1

5



1119

GEORGE TUTUMI

GUILHERME CASAGRANDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2102



a) Usando uma calculadora, responda: qual foi o resultado que Carlos obteve na calculadora? 5 b) No caderno, escreva a expressão e resolva­a, verificando o resultado ob­ tido no item a. 210 1 15 5 5 4

Calcule. a) (18) 1 (27) 1 (23) 22 b) (12) 2 (15) 2 (13) 26 c) (110) 2 (220) 2 (130) 0

5

Calcule o valor das expressões. a) 276 2 (7 2 18) 1 [70 2 (49 2 81)] 137 b) {[(73 2 64) 1 20] 2 (40 2 31)} 1 (23)

117

5

Determine o valor de cada . a) 1 (28) 2 (23) 5 17 112 b) (18) 2 (2 ) 1 (23) 5 25 210 c) (148) 2 (236) 1 (240) 2 (1 ) 5 275

40 bilhões de dólares (saldo positivo)

Multiplicação de números inteiros

Já vimos que 4 8 3 5 3 1 3 1 3 1 3 5 12. Observe alguns exemplos de multiplicação com números inteiros em que o primeiro número é positivo. (14) 8 (13) 5 4 8 (13) 5 (13) 1 (13) 1 (13) 1 (13) 5 112 (13) 8 (22) 5 3 8 (22) 5 (22) 1 (22) 1 (22) 5 26 Agora, observe alguns exemplos em que o primeiro número é negativo. (24) 8 (13) 5 2(14) 8 (13) 5 2[4 8 (13)] 5 2[(13) 1 (13) 1 (13) 1 (13)] 5 2[112] 5 212 (23) 8 (22) 5 2(13) 8 (22) 5 2[3 8 (22)] 5 2[(22) 1 (22) 1 (22)] 5 2[26] 5 16 29

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29

GUILHERME CASAGRANDI

ATIVIDADES

• Antes de solicitar a resolução das atividades, chame a atenção dos alunos para os dois principais pontos que devem ser compreendidos para resolver expressões numéricas: a ordem em que operações aparecem e a ordem de eliminação dos parênteses, colchetes e chaves. • A atividade 3 exige uma calculadora que possua a tecla 12 . Explique que essa tecla muda o sinal do número que foi digitado antes, ou seja, modifica o número para o oposto do número que está no visor. Portanto, é conveniente pedir aos alunos que digitem e analisem alguns valores antes de realizar a atividade. • Situações como a apresentada na atividade 8, que trata da noção de balança comercial, devem ser frequentemente exploradas, porque contribuem para a formação do aluno como cidadão, capacitando-o a interpretar e analisar informações amplamente veiculadas pelos meios de comunicação. Por essa mesma razão, problemas envolvendo interpretação de gráficos e de tabelas também devem ser propostos sempre que possível.

• Ao trabalhar multiplicações com números inteiros, é importante usar exemplos que permitam aos alunos compreender o fundamento das regras de sinais para evitar que sejam memorizadas sem qualquer significado. A compreensão efetiva dessas regras é fundamental para que assimilem também o comportamento dos sinais em uma divisão de números inteiros, uma vez que é a operação inversa da multiplicação. Portanto, não fará sentido indicar, logo de início, que as regras de sinais para multiplicação e divisão são as mesmas. Essa deverá ser a conclusão final dos alunos.

Lembre-se: Não escreva no livro!

De forma geral, podemos descrever a multiplicação com números inteiros em dois casos: Em multiplicações de dois números inteiros de mesmo sinal, o resultado é um número positivo. Exemplos

• (14) 8 (15) 5 120

E se um dos fatores for zero?

• (26) 8 (27) 5 142

GEORGE TUTUMI

• (211) 8 (211) 5 121 Em multiplicações de dois números inteiros de sinais diferentes, o resultado é um número negativo.

• (19) 8 (25) 5 245 • (26) 8 (17) 5 242 • (24) 8 (16) 5 24 8 6 5 224

Caso os alunos não percebam, diga a eles que qualquer número inteiro multiplicado por zero resulta em zero.

Observe outros exemplos: (13) 8 (25) 8 (26) 5 [3 8 (25)] 8 (26) 5 (215) 8 (26) 5 190 (15) 8 (18) 8 (211) 5 [5 8 8] 8 (211) 5 40 8 (211) 5 2440

Propriedades da multiplicação de números inteiros As propriedades que veremos a seguir podem simplificar os cálculos com números inteiros.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exemplos

Propriedade comutativa Em uma multiplicação de dois ou mais números inteiros, a ordem dos fatores não altera o produto. Exemplos

• (14) 8 (25) 5 220 (25) 8 (14) 5 220 • (211) 8 (23) 5 133 (23) 8 (211) 5 133 • (29) 8 (12) 8 (25) 5 190 (25) 8 (29) 8 (12) 5 190 (12) 8 (25) 8 (29) 5 190 (29) 8 (25) 8 (12) 5 190 30

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30

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Propriedade associativa Em uma multiplicação de três ou mais números inteiros, podemos associar esses números de maneiras diferentes sem alterar o produto. Exemplos

• [(24) 8 (13)] 8 (25) 5 (212) 8 (25) 5 160 (24) 8 [(13) 8 (25)] 5 (24) 8 (215) 5 160 • [(17) 8 (27)] 8 (13) 5 (249) 8 (13) 5 2147 (17) 8 [(27) 8 (13)] 5 (17) 8 (221) 5 2147

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Elemento neutro Em uma multiplicação de dois números inteiros em que um deles é igual a 1, o resultado é igual ao outro número inteiro. O número 11 é o elemento neutro da multiplicação. Exemplos

• (18) 8 (11) 5 (11) 8 (18) 5 18

• (11) 8 (262) 5 (262) 8 (11) 5 262

Propriedade distributiva

• Mostre aos alunos as multiplicações propostas nos exemplos da propriedade distributiva, de forma que eles possam comparar os cálculos. A princípio, faça sem aplicar a propriedade distributiva, respeitando as operações entre os colchetes e depois as multiplicações. Em seguida, realize os cálculos aplicando a propriedade. Comente com os alunos que aplicar a propriedade distributiva pode ser um facilitador em várias situações, incluindo a realização de cálculos mentais.

O produto da multiplicação de um número inteiro pela soma (ou pela diferença) de outros números pode ser obtido multiplicando o primeiro número por cada uma das parcelas e adicionando (ou subtraindo) os resultados obtidos. Exemplos

• (14) 8 [(23) 1 (12)] 5 (14) 8 (23) 1 (14) 8 (12) 5 (212) 1 (18) 5 24

• (25) 8 [(22) 2 (14)] 5 (25) 8 (22) 2 (25) 8 (14) 5 (110) 2 (220) 5 1 10 1 20 5 30 Observação

A propriedade distributiva pode ser empregada para o cálculo mental de um produto. Exemplo:

(24) 8 (1312) 5 (24) 8 (300 1 10 1 2) 5 5 (24) 8 (1300) 1 (24) 8 (110) 1 (24) 8 (12) 5 5 (21 200) 1 (240) 1 (28) 5 21 248 31

31

ATIVIDADES 1

4. Não, porque, ao multiplicar um número por (21) por qualquer número inteiro não nulo, o produto será o oposto desse número. Faça as atividades no caderno.

Calcule os produtos. a) (111) 8 (13) 133 b) (21) 8 (25) 15 c) (19) 8 (27) 263 d) (27) 8 (27) 49 e) 0 8 (210) 0 f) (211) 8 (17) 277 g) (212) 8 (123) 2276 h) (216) 8 (26) 196 i) (212) 8 (12) 2144 j) (220) 8 (115) 2300

2

Para cada item, obtenha mentalmente o sinal do resultado e escreva­o no caderno. Em seguida, calcule os produtos. a) (27) 8 (28) 8 (13) 1168 b) (24) 8 (12) 8 (211) 188 c) (17) 8 (12) 8 (13) 8 (21) 242 d) (14) 8 (27) 8 (19) 8 (211) 12 772 e) (18) 8 (26) 8 (25) 8 (13) 8 (12) 11 440 f) (25) 8 (26) 8 (23) 8 (22) 8 (21) 2180

3

Calcule o produto dos quatro maiores números inteiros negativos. 124

4

Podemos afirmar que o elemento neutro da multiplicação dos números inteiros é o 21? Justifique sua resposta.

5

6

Calcule o produto da soma dos núme­ ros 29, 16, 22, 18 e 215 pelo simétrico da diferença entre 26 e 23. 236 Escreva no caderno a propriedade aplica­ da em cada caso. a) 2 8 [(119) 8 (24)] 5 [2 8 (119)] 8 (24) associativa b) (22) 8 (13) 5 (13) 8 (22) comutativa c) (27) 8 (11) 5 (11) 8 (27) 5 27 elemento neutro d) 25 8 (4 1 2) 5 25 8 4 1 (25) 8 2 distributiva

7

Aplique a propriedade distributiva para calcular o resultado de cada item. a) (23) 8 (220 1 7) 39 c) 2 8 (27 1 5) 24 b) (25 2 18) 8 (25) 235 d) (8 2 3) 8 (24) 220

8

Existem 12  multiplicações de números inteiros que têm como produto 12. Uma delas é 3 8 4; outra é 4 8 3. Quais são as demais?

9

Aplique a propriedade distributiva para calcular mentalmente o produto de (27) 8 421. 2 947

10

Calcule o valor de cada expressão numérica, sabendo que as multiplicações devem ser feitas antes das adições e subtrações. a) 230 2 5 8 [(21) 8 (15 2 3 8 6) 1 9 2 3 8 4] 230 b) 25 1 [(220) 8 (215 1 30) 8 (21)] 1295 c) 18 1 4 8 [26 2 4 8 (25 1 6)] 222

8. 1 8 12; 12 8 1; 2 8 6; 6 8 2; 21 8 (212); 212 8 (21); 22 8 (26); 26 8 (22); 23 8 (24); 24 8 (23)

6

Divisão exata de números inteiros

A divisão exata é a operação inversa da multiplicação. Em uma divisão exata, o quociente é o número que, multiplicado pelo divisor, tem como resultado o dividendo. Observe os exemplos: 20 9 5 5 4, porque 4 8 5 5 20 7,2 9 2,4 5 3, porque 3 8 2,4 5 7,2 Essa mesma ideia pode ser aplicada a divisões com números inteiros. Veja: (130) 9 (16) 5 15, porque (15) 8 (16) 5 130 (130) 9 (26) 5 25, porque (25) 8 (26) 5 130 (230) 9 (26) 5 15, porque (15) 8 (26) 5 230 (230) 9 (16) 5 25, porque (25) 8 (16) 5 230 32

32

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Na atividade 2, é importante explicar aos alunos que, dependendo da maneira como associamos os fatores, os cálculos com números inteiros tornam-se mais simples, portanto o uso das propriedades da multiplicação como estratégia nos cálculos mentais pode desenvolver esquemas que ampliem o repertório para a realização dos cálculos. • Na atividade 3, é conveniente usar da reta numérica para ilustrar quais são os quatro maiores números negativos. É uma boa oportunidade para a retomada de assuntos abordados anteriormente, tal como a comparação entre números inteiros. • O cálculo mental auxilia na compreensão do sistema de numeração e as propriedades das operações, portanto, na atividade 9, caso os alunos apresentem dificuldades, recomende a eles que realizem os cálculos em etapas. A princípio, eles podem decompor mentalmente o número 421 (400 1 20 1 1), para somente então aplicar a propriedade distributiva.

De forma geral, podemos observar a divisão com números inteiros em dois casos:

Lembre-se de que nunca podemos dividir por zero.

Em uma divisão, se o dividendo e o divisor tiverem os mesmos sinais, o quociente será um número positivo.

• (260) 9 (210) 5 16

GEORGE TUTUMI

Exemplos

• (132) 9 (18) 5 14

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Em uma divisão, se o dividendo e o divisor tiverem os sinais contrários, o quociente será um número negativo. Exemplos

• (2100) 9 (120) 5 25

• (120) 9 (210) 5 22

ATIVIDADES 1

2

3

Calcule o resultado das operações. a) (16) 9 (13) 12 b) (110) 9 (25) 22 c) (232) 9 (24) 18 d) (21) 9 (11) 21 e) 0 9 (21) 0 f) (263) 9 (221) 13 g) (11 296) 9 (248) 227 Qual é o sinal do quociente quando o di­ videndo e o divisor: a) são positivos? positivo b) são negativos? positivo c) têm sinais contrários? negativo

4

Calcule o valor de cada expressão. Lembre­se de que se deve calcular o resul­ tado das operações dos parênteses antes de dividir. a) (16 2 30 1 48) 9 (22) 217 b) (215 1 20 1 40) 9 (15) 19 c) (25 1 7 2 35) 9 (211) 13

5

Escreva, no caderno, valor de cada . a) 9 (25) 5 8 240 b) (230) 9 5 26 5 c) 9 (27) 5 0 0 d) (220) 9 5 21 20

6

Calcule o valor das expressões. a) 22 1 {21 1 [5 2 3 8 (10 1 1) 9 3] 2 5 8 7} 244 b) 25 2 [3 8 (7 2 5 2 3) 2 22 9 11] 0 c) 2 2 (5 8 10 1 6) 2 5 8 20 9 (217 1 13) 229 d) 3 2 {30 9 5 2 [27 8 (5 2 2) 1 3] 9 6} 26

7

Determine o quociente entre dois nú­ meros inteiros não nulos quando esses números são: a) iguais; 1 b) opostos. 21

Calcule mentalmente: a) b) c) d) e)

o dobro de 12; 24 a metade de 238; 219 o oposto do dobro de 15; 230 a metade do oposto de 260; 30 a terça parte de 236. 212

• A atividade 3 apresenta uma boa oportunidade para reforçar a relação existente entre a língua materna e a linguagem matemática. Se achar conveniente, retome o significado de “dobro”, “triplo”, “quádruplo”, “terço”, “quarto”, entre outros termos, antes de iniciar a atividade.

Faça as atividades no caderno.

33

Sugestão de atividade extra 9/21/18 14:28 • Para consolidar a aprendizagem das quatro operações com números inteiros, proponha o jogo O bingo dos números inteiros, do portal Dia a Dia Educação. Disponível em: . Acesso em: 2 out. 2018.

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33

• As regras para a potenciação em que a base é um número inteiro, bem como as propriedades dessa operação, devem ser justificadas a partir da própria definição de potenciação (multiplicação de fatores iguais).

7

Potenciação em que a base é um número inteiro

Já vimos que, do estudo da potenciação com números naturais, a potência é um produto de fatores iguais à base. Observe o exemplo: expoente

2 5 2 8 2 8 2 8 2 8 2 5 32 5

base

5 fatores iguais a 2

potência

No estudo da potenciação em que a base é um número inteiro e o expoente é um número natural, vale a mesma ideia, ressaltando os cuidados que devemos ter com os sinais, como veremos a seguir. Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Se o expoente for um número par, a potência será um número inteiro positivo. Exemplos

• (15)2 5 (15) 8 (15) 5 125 • (22)4 5 (22) 8 (22) 8 (22) 8 (22) 5 116 Se o expoente for um número ímpar, a potência terá o mesmo sinal da base. Exemplos

• (15)3 5 (15) 8 (15) 8 (15) 5 1125 • (23)3 5 (23) 8 (23) 8 (23) 5 227 Espera-se que os alunos cheguem à conclusão de que 01 é igual a 0 e Observações que 00 é impossível de calcular, já que toda potência de expoente zero 1 Toda potência de expoente 1 que tem um número inteiro tem que ter base não nula, ou seja, diferente de zero. como base é igual à própria base. Veja os exemplos:

• (15)1 5 15 • (23)1 5 23 2 Toda potência de expoente zero que tem um número inteiro não nulo como base é igual a 1. Veja os exemplos:

Será que eu consigo calcular essas duas potências? O que você acha?

• (15)0 5 11 • (23)0 5 11

• (23)2 5 (23) 8 (23) 5 19 Se não colocarmos os parênteses, o expoente é aplicado somente à base. Observe:

GEORGE TUTUMI

3 Ao escrever uma potência com base negativa, sempre utilizamos os parênteses. Veja o exemplo:

• 232 5 2(3)2 5 2(3 8 3) 5 29

Veja sequência didática 1 do 1o bimestre do Material do Professor – Digital.

34

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34

9/21/18 14:28

ATIVIDADES Calcule as potências. a) (12)3 18 b) (27)4 12 401 c) (29)3 2729 d) (13)2 19 e) (217)0 11 f) (211)2 1121 g) (235)1 235 h) (21)3 21 i) (11 992)0 1

6

Calcule: (21) 8 (21) 8 (21) 8 ... 8 (21)

11

30 fatores

Observe o esquema abaixo. Avô Pai

LUIZ RUBIO

Avó

Avô

Pessoa Mãe

Avó

Quantos bisavós cada pessoa tem? E quantos trisavós? Dê as respostas na forma de potência. bisavós: 23 5 8; trisavós: 24 5 16 Calcule o valor das expressões, sabendo que devemos obrigatoriamente calcular as potenciações antes das multiplicações e das divisões. a) (24) 2 [(28) 9 (12)]2 2 6 226 b) (120) 9 (21)4 2 22 1 (22)5 9 (12)4 2 50 13 c) (2576) 9 (212)2 2 (2125) 9 (25)2 11

28 256

Lúcio escreveu sua idade na primeira linha de uma folha de caderno. Na linha seguinte, ele escreveu uma  subtração de dois números inteiros cuja diferença era sua idade. Na linha seguinte, substi­ tuiu esses dois números, respectivamen­ te, por uma multiplicação de outros três números inteiros e por uma divisão do quadrado de um número inteiro pe­ lo triplo de outro. Na linha se­ guinte, substituiu o primeiro número da linha anterior por uma subtração e o segundo por uma adição. Assim, ele obteve uma expressão numérica, sabendo antecipadamente seu valor. Veja o que ele fez: 15 5 5 24 2 9 5 5 (22) 8 4 8 (23) 2 [92 9 (3 8 3)] 5 5 (11 2 13) 8 (28 1 12) 8 (23) 2 [92 9 (3 8 3)] a) Calcule mentalmente o valor da ex­ pressão de Lúcio. 15 b) Invente duas expressões com cinco operações diferentes com números inteiros e troque­as com as de um colega, sem que ele saiba o número que você pensou, para que cada um calcule o valor das expressões do outro. Depois, destroquem as expressões para corrigi­las. Resposta pessoal.

2. a) Positivo, independentemente de o expoente ser par ou ímpar. b) Positivo, se o expoente for par, e negativo, se o expoente for ímpar.

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34

(2 2 4)3 b) * 3 2 2 43

GEORGE TUTUMI

7

3

5

64

• Agora, responda: sendo a e b números in­ teiros e n um número natural maior que 1, é possível dizer que (a 1 b)n 5 an 1 bn ou que (a 2 b)n 5 an 2 bn? não

Considerando a potenciação em que a ba­ se é um número inteiro e o expoente é um número natural, responda às questões. a) Quando a base é um número inteiro positivo, qual é o sinal da potência? b) Quando a base é um número inteiro negativo, qual é o sinal da potência?

4

Com um colega, calcule. (5 1 3)2 a) * 2 5 1 32

2

Bisavós

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

Faça as atividades no caderno.

35

• Caso considere conveniente, organize os alunos em duplas ou trios e promova uma gincana utilizando o item b da atividade 7 como modelo.

9/21/18 14:28

35

8

Raiz quadrada exata de números inteiros

Consideremos a seguinte pergunta: Qual é o número cujo quadrado é 25? Pela potenciação, podemos observar que: (25)2 5 (25) 3 (25) 5 25 (15)2 5 (15) 3 (15) 5 25 Portanto, temos duas soluções: 25 e 15. Agora, vamos calcular utilizando a radiciação, representada pelo símbolo

.

Essa operação nos permite determinar a raiz quadrada de um número. Observe o cálculo da raiz quadrada de 25. radical 2

25 5 5

Lemos: “raiz quadrada de vinte e cinco é igual a cinco”

radicando raiz

Então, também podemos dizer que 2 25 5 25? Não. Embora (25)2 5 25 e (15)2 5 25, é definido que a raiz quadrada é única e não negativa. Portanto, apenas o 15 é considerado raiz quadrada de 25. Assim, 2 25 5 5, pois 52 5 25.

Não negativa: que pertence ao conjunto dos números inteiros positivos incluindo o zero: {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} (conjunto dos números naturais).

O oposto do número 2 25 é 22 25 . Então: 22 25 5 25

• Comente com os alunos que, para simplificar a escrita da raiz quadrada, não é necessário escrever o índice 2 no radical. • Comente com os alunos que um número quadrado perfeito pode ser identificado por dois métodos diferentes: o geométrico e o da fatoração. No método geométrico, os alunos devem perceber que todos os quadrados perfeitos são resultados do cálculo da área de quadrados. Desenhe alguns quadrados de medidas de lados 1, 2, 3, e assim sucessivamente, e proponha aos alunos calcularem as áreas desses quadrados formando a sequência dos números 1, 4, 9, 16, 25, ... No método da fatoração, se todos os fatores apresentarem expoente par, o número que está sendo decomposto será um quadrado perfeito.

Assim, quando o radical é precedido do sinal negativo, indicamos o oposto da raiz quadrada. Exemplos

• Como 2 16 5 4 e o oposto do número 2 16 é 22 16 , então: 22 16 5 24 • Como 2 100 5 10 e o oposto de 2 100 é 22 100 , então: 22 100 5 210 Observações

1 Quando o índice da raiz é 2, podemos omiti-lo. Assim: 2 25 5 25 ; 2 16 5 16. 2 A raiz quadrada de zero é zero: 0 5 0, pois 02 5 0. 3 Chamamos de números inteiros quadrados perfeitos aqueles que podem ser escritos como potência de base inteira e expoente 2. Os números 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49 e 64 são exemplos de números inteiros quadrados perfeitos. A raiz quadrada de um número que não é número inteiro quadrado perfeito não é um número inteiro. Por exemplo, 5 não é número inteiro, pois 5 não é um número inteiro quadrado perfeito. 4 A raiz quadrada de um número inteiro negativo não é um número inteiro, pois o quadrado de um número inteiro nunca é negativo. Logo, não existe número inteiro cujo quadrado seja, por exemplo, o número 225. Veja que 225 não é um número inteiro, mas 2 25 é um número inteiro: 2 25 5 25 36

Sugestão de leitura • O site Clubes de Matemática da OBMEP, no texto Sala de Estudo: Quadrados perfeitos, disponibiliza dois estudos interessantes sobre outras propriedades dos números quadrados perfeitos. Disponível em: . Acesso em: 2 out. 2018.

36

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

índice da raiz

Expressões numéricas com números inteiros Nas expressões numéricas envolvendo operações com números inteiros, as operações devem ser efetuadas na seguinte ordem: 1o) potenciações e radiciações (na ordem em que aparecem); 2o) multiplicações e divisões (na ordem em que aparecem); 3o) adições e subtrações (na ordem em que aparecem). Para os sinais de associação, também seguimos uma ordem: parênteses (), colchetes [] e, por último, chaves { }. Exemplos

• 6 2 (:` 25 2 49 j 8 32 2 6 8 4D 9 22 5

• ((22 1 8)2 2 3 8 :` 16 1 4 j 9 3D2 9 (25) 5

2

5 &(16)2 2 3 8 8(4 1 2) 9 3B0 9 (25) 5

5 6 2 '9(5 2 7)2 8 32 2 6 8 4C 9 21 5

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5 $136 2 3 8 [6 9 3]. 9 (25) 5

5 6 2 '9(22)2 8 32 2 6 8 4C 9 21 5

5 #136 2 3 8 2- 9 (25) 5 5 #36 2 6- 9 (25) 5 5 30 9 (25) 5 5 26

5 6 2 &84 8 32 2 6 8 4B 9 20 5 5 6 2 %74 8 9 2 6 8 4A 9 2/ 5 5 6 2 %736 2 24A 9 2/ 5

5 6 2 $12 9 2. 5 6 2 6 5 0

ATIVIDADES 1

2

6

Determine. a) 36 6 b)

0

0

c) 2 196

214

d) 2 100

210

3

4

5

25

Qual é o valor d expressão?

a) &8 49 1 (24 2 1)B 8 64 0 1 1 024

208

A área de um terreno com forma quadrada é 400 m2. Qual é a medida, em metro, do lado desse terreno? 20 m Determine o valor da raiz quadrada.

Com um colega, calculem e observem a diferença entre os resultados das expressões em cada item. a) *

Calcule o valor das expressões. a) 81 2 100 1 64 7 b) 2 36 2 121 1 64 29 c) 1 1 4 1 9 1 16 1 49 1 64

• Atividades como a 7 não são incomuns para os alunos, uma vez que muitos deles já tiveram contato com esse tipo de jogo que estimula o raciocínio lógico, parecido com um quebra-cabeça de números. Alerte os alunos para ficarem atentos aos sinais dos números necessários para obter o produto igual ao número positivo 8 000.

Faça as atividades no caderno.

b) *

16 1 9 5 16 1 9 7

100 2 36 8 100 2 36 4

• Agora, respondam: a raiz quadrada da soma de dois números é igual à soma das raízes quadradas de cada um desses números? não 7

Junte-se a um colega, copiem no caderno o quadro abaixo e completem-no, sabendo que o produto dos números de cada linha vertical, de cada linha horizontal e das duas diagonais é igual a 8 000. 210

28

2200 4

100 20

250

22 240

(22) 8 (14)2 8 (28) 16 37

Sugestão de atividade extra • Os quadrados mágicos constituem uma ferramenta de aprendizagem para o desenvolvimento do raciocínio lógico dos alunos, contribuindo para a formação do senso de organização e estratégia de cálculo na busca de resultados predeterminados. Essa ferramenta de trabalho pode ser facilmente encontrada na internet, assim como diferentes jogos com essa temática. Um exemplo de jogo é o Quadrado mágico aditivo do portal M3 Matemática Multimídia, que, apesar de ser uma atividade proposta para o Ensino Médio, pode ser adaptado para a faixa etária em questão. Disponível em: . Acesso em: 2 out. 2018.

37

Resolvendo em equipe • Essa seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” deste ou de outros capítulos, por exemplo. • O esquema de resolução apresentado pode ser explorado constantemente durante as aulas, e não apenas nesta situação. É importante que o aluno, individual ou coletivamente, tenha clareza a respeito de como proceder para interpretar, resolver e verificar a validade da solução de um problema matemático. • Auxilie os alunos solicitando que, a princípio, descubram qual a diferença de horários  entre as cidades  A e B.  O problema nos informa que um executivo sai de  A  às 15 h e, 6 horas depois, chega à cidade B às 18 h (horário local de B). Ou seja, após 6 horas, são 21 h (15 1 6) em A e 18 h em B, como já informado. Logo, temos uma diferença de 3 horas. Agora, precisamos determinar a que horas ele deve sair de B para chegar em A às 13 h. Ora, quando for 13 h em A, serão 10 h em B; logo, deve-se sair 6 horas  antes (tempo de viagem) das 10 h; portanto, 4 h (10 2 6).

Ver descrição das competências gerais 9 e 10 na página 11. Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva.

38

Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

(Enem) Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6  horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15 h e chega à cidade B às 18 h (respectivos horários locais). Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13 h do dia seguinte (horário local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s) alternativa d b) 10 h

c) 7 h

d) 4 h

e) 1 h

• Leia o enunciado da questão e verifique se o horário da cidade B está adiantado ou atrasado em relação ao da cidade A. O horário da cidade B está com 3 horas de atraso em relação ao da cidade A.

• Responda: I. Em uma viagem rotineira, quando o avião chega a B, que horas são na cidade A? 21 h II. Se o avião chegou às 18 horas a B, qual é a diferença de horário entre as cidades A e B? 3 horas

• Considerando as informações fornecidas pelo enunciado, elabore um esquema que represente um possível processo de resolução do problema. Resposta pessoal.

• Você deverá apresentar seu plano de resolução para os colegas, e eles farão o mesmo com você. Escolham uma das resoluções para apresentar à classe. • Discutam as diferenças e as semelhanças entre os planos escolhidos e, com base na análise das estratégias, partam para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual no caderno.

Verificação

Resposta pessoal. Espera-se que o aluno determine que, se o executivo precisa estar às 13 horas na cidade A, os relógios em B estarão marcando 10 horas (3 horas a menos). Como o voo dura 6 horas, é preciso, então, sair às 4 horas.

• Releiam o problema e verifiquem se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.

Apresentação

Resolução

• Junte-se a dois colegas.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Plano de resolução

Interpretação e identificação dos dados

a) 16 h

• Façam uma pesquisa sobre os fusos horários. Em seguida, confeccionem um cartaz explicando o tema estudado e propondo desafios para os colegas. O estudo dos fusos horários pode ser feito em parceria com o professor de Geografia.

38

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

PDF-010-042-MCP7-C01-G20.indd 38 reflexão, a análise crítica,

9/25/18 10:07

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Revisitando 1

b) Em uma potenciação de base negativa e expoente ímpar, o resultado será (positivo/negativo). negativo c) No conjunto dos números inteiros (existe/não existe) raiz quadrada de número negativo. não existe

Neste capítulo, são abordados os números inteiros. Cite algumas situações cotidianas nas quais é possível encontrar esses números. Resposta pessoal. Alguns exemplos: Escreva no caderno como comparar: • um número negativo e zero;

Zero é maior que qualquer número negativo.

• um número positivo e zero; Zero é menor que qualquer número positivo. • dois números positivos; Será maior o número positivo de maior módulo. • dois números negativos.

4

Em uma expressão numérica, qual deve ser a ordem de resolução das operações?

5

Reescreva as afirmações incorretas, corrigindo-as. a) No conjunto dos números inteiros, existe o elemento neutro da multiplicação e ele é 11. b) No conjunto dos números inteiros, existe o elemento neutro da divisão e ele é 11. c) No conjunto dos números inteiros, existe o elemento neutro da subtração e ele é 21.

Será maior o número negativo de menor módulo.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

No caderno, reescreva as frases abaixo, completando cada com a palavra ou expressão adequada, escolhida entre as possibi lidades dadas. a) Na multiplicação de números inteiros de mesmo sinal, o produto será (positivo/negativo). positivo

Aplicando 1

Faça as atividades no caderno.

5. b) No conjunto dos números inteiros, não se define o elemento neutro da divisão. c) No conjunto dos números inteiros, não se define o elemento neutro da subtração.

temperatura, saldo de gols, fuso horário, entre outros.

2

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo questões de exames, cuidadosamente escolhidas para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

Revisitando • Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um caminho para a compreensão. • Na atividade 4, caso apareçam os sinais de parênteses, colchetes e chaves nas expressões numéricas, eles devem ser eliminados na seguinte ordem: primeiro os parênteses, depois os colchetes e por último as chaves.

4. Devem-se efetuar, inicialmente, as potenciações e as radiciações na ordem em que aparecem; depois, as multiplicações e as divisões na ordem em que aparecem; em seguida, as adições e as subtrações, também na ordem em que aparecem.

A Terra é dividida pelos meridianos em 24  fusos horários. Sabendo que em Buenos Aires os relógios marcam 3 horas a menos que em Greenwich (Meridiano Zero) e em Nova Délhi, 5 horas e 30 minutos a mais, pergunta-se: Quando é meio-dia em Buenos Aires, qual é a hora local em Nova Délhi? 20 h 30 min 150º 120º

90º

60º

30º

0º

30º

60º

90º

120º

150º 80º

OCEANO GLACIAL ÁRTICO

AMÉRICA DO NORTE

EUROPA

Nova Délhi

OCEANO

PACÍFICO

MERIDIANO DE GREENWICH

EQUADOR

AMÉRICA DO SUL

PACÍFICO

Buenos Aires

–8

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–1

Aplicando

TRÓPICO DE CÂNCER

OCEANO

ÁFRICA

OCEANO

–12 –11 –10 –9

40º

a dat

AMÉRICA CENTRAL ATLÂNTICO

Lin ha

ÁSIA

ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

ta da

e al d ion ac rn te in

Linha int ern ac io na ld e

CÍRCULO POLAR ÁRTICO

0º

OCEANIA

OCEANO ÍNDICO

TRÓPICO DE CAPRICÓRNIO

40º

0

+1

+2 +3

+4

+5 +6

+7

+8

+9 +10 +11 +12

CÍRCULO POLAR ANTÁRTICO

NO

N

• A atividade 1 pode ser uma boa oportunidade para um trabalho interdisciplinar entre Matemática e Geografia, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 1 e 6 ao valorizar as diversidades de saberes para explicar a realidade.

NE

O

L

SO

SE S

Países com hora oficial fracionada

2.800 km

Elaborado a partir de: Graça Maria Lemos Ferreira. Moderno atlas geográfico. 6. ed. São Paulo: Moderna, 2016. p. 19. 39

Competência geral 6: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e10/11/18 ao seu09:27 projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

PDF-009-042-MCP7-C01-G20.indd 39 lhe possibilitem

Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

39

4. Data Saldo (em R$) Operação (em R$) Saldo (em R$)

2

1540,00 1340,00 1880,00 1240,00

1880,00 1240,00 1120,00

2640,00 2120,00

Observe a altitude dos pontos A, B, C e D em relação ao nível do mar e escreva essas altitudes utilizando números inteiros.

2 340 m

3

4

T

P2

Uma equipe de Fórmula 1 avisa seu piloto, que está em segundo lugar na prova, que ele está 8 segundos à frente do  terceiro colocado e 12 segundos atrás do primeiro co­ locado. Quantos segundos à frente do terceiro colocado está o líder da prova? 20 segundos

8

No caderno, copie o quadro substituindo . corretamente cada

825 m

A 5 23 195 m B 5 2825 m C 5 12 340 m D 5 15 895 m

3 195 m

P1

7

Nível do mar

No quadro de comando de um elevador, há botões correspondentes aos seis andares (P1, P2, P3, P4, P5 e P6), ao térreo (T ), à cobertura (Co ) e ao subsolo (SS ). Trace uma reta numérica para representar de maneira ordenada esse quadro de comando. SS

Responda às questões no caderno. a) A temperatura de um termômetro que está marcando 25 °C deve subir quantos graus Celsius para atingir 122 °C? 27 °C b) Qual é o número inteiro sucessor de 29? 28 c) Qual é o número inteiro antecessor de 215? 216 d) Qual é o maior número inteiro não positivo? zero e) Quais são os três primeiros números inteiros maiores que 27? 26, 25, 24 21 f) Qual é o maior número inteiro negativo? g) Qual é o menor número inteiro positivo?

C

0m

A

6

D

5 895 m

B

Lembre-se: Não escreva no livro!

P3

P4

P5

P6

Co

11

No dia 10/1, o saldo da conta bancária de Karine era R$ 540,00. Nos três dias seguin­ tes, ela efetuou estas operações: • 11/1 depositou R$ 340,00; • 12/1 sacou R$ 640,00; • 13/1

retirou a metade do saldo.

Qual era o saldo de Karine no dia 13/1 após a última operação? Faça um quadro que mostre a sequência de operações ocorridas nesses três dias. R$ 120,00 5

Observe a figura abaixo e determine, no caderno, a diferença entre as altitudes do avião e do submarino. 1 200 m

ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI

altitude: 11 000 m

40

7

213

221

210

y

29

29

44

20

z

24

48

233

47

x1y2z

nível do mar: 0 m altitude: 2200 m

x2z x2z1y

Se achar necessário, diga aos alunos que a ilustração não foi representada em escala de tamanho.

PDF-010-042-MCP7-C01-G20.indd 40

40

x

56 2

232

11

261

2

232

237

12 56

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

10/1 11/1 12/1 13/1

LUIZ RUBIO

• Explorar com cuidado a atividade 8, porque inicia-se o desenvolvimento da atribuição de valores para determinada variável, ideia que será fundamental para pensamento algébrico e que será retomada e aprofundada no capítulo 6. Deve ficar claro para os alunos que o valor numérico das expressões x 1 y 2 z, x 2 z e x 2 z 1 y depende dos valores atribuídos às variáveis x, y e z.

257 237

9/21/18 14:28

• Complementando a atividade 9, solicite aos alunos que se organizem em pequenos grupos (3 ou 4 integrantes) e realizem uma pesquisa sobre a vida e os principais feitos de Alexandre Magno, favorecendo a interdisciplinaridade com História e o desenvolvimento das competências gerais 6 e 10.

Lembre-se: Não escreva no livro!

9

Alexandre Magno, um dos principais conquistadores da história, nasceu em 356 a.C. e morreu em 323 a.C. Quantos anos ele tinha quando morreu? 33 anos

10

Em Marselha, na França, no laboratório da Companhia Marítima de Especialistas, três mergulhadores franceses bateram o recorde mundial de profundidade em mergulho simulado. Zona noturna

Laboratório de mergulho

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

14

Zona sanitária

Partindo da pressão de 26 atmosferas (unidade de medida de pressão), foi efetuado o seguinte procedimento: 1a etapa: elevou-se a pressão inicial de 20  atmosferas e, depois, retirou-se a metade desse acréscimo; 2a etapa: elevou-se a pressão atingida na primeira etapa mais 30 atmosferas e, depois, retirou-se a metade desse acréscimo; 3a etapa: elevou-se a pressão atingida na segunda etapa mais 40 atmosferas e, depois, retirou-se a metade desse acréscimo. Escreva no caderno, na forma de adição e de subtração de números inteiros, todo o procedimento e forneça a pressão final atingida.

12

Calcule os quocientes. a) (1160) 9 (21) 2160 b) (21 100) 9 (250) 122 c) (2144) 9 (112) 212 d) (2625) 9 (225) 125

Aconcágua 6 962 m Monte Branco 4 807 m 4 000 m Torre Eiffel 324 m 0

–4 000 m Ponto mais profundo do –7 725 m Oceano Índico –8 000 m Depressão de –8 513 m Tuscarora

LUIZ RUBIO

Em seu caderno, reescreva as igualdades 15 abaixo substituindo cada por um número 14. inteiro. Everest 8 848 m a) 8 (14) 5 (28) 8 (29) 118 8 000 m 8 [(18) 2 (17)] 5 25 25 c) 5 8 ( 2 7) 5 240 21

10

0

6

2

22

26

8

O Monte Branco tem altura de 4 807 m;  o Everest, de 8 848 m; o Aconcágua, de 6 962 m; e a Torre Eiffel, de 324 m. A depressão de Tuscarora, no Oceano Pacífico, está a 8 513 m de profundidade, e o Oceano Índico, em seu ponto mais profundo, atinge a marca de 7 725 m. Represente sobre uma reta vertical essas diferentes informações. (Sugestão: para cada 1 000 m, utilize 1 cm.)

Monte Everest, na cordilheira do Himalaia o ponto mais alto do planeta, 2010.

(26 1 20 2 10 1 30 2 15 1 40 2 20); 71 atmosferas

b)

24

4

Piscina

11

No caderno, copie e complete o quadrado , de mágico abaixo substituindo cada modo que todas as linhas, colunas e diagonais tenham a mesma soma.

FOTO: GALYNA ANDRUSHKO/SHUTTERSTOCK MAPA: ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

GUILHERME CASAGRANDI

Zona diurna

13

O quadro abaixo mostra a temperatura média, em dois meses do ano, de quatro cidades. Copie o quadro no caderno pelo módulo da substituindo cada diferença entre as temperaturas registradas nos dois meses. Paris Montreal Sidney Moscou (França) (Canadá) (Austrália) (Rússia)

Janeiro

3 °C

27 °C

18 °C

25 °C

Julho

19 °C

18 °C

4 °C

14 °C

Diferença

116 °C

125 °C

114 °C 119 °C

41

Competência geral 6: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e9/25/18 ao seu10:07 projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

PDF-010-042-MCP7-C01-G20.indd 41 lhe possibilitem

41

Elaborando • Essa seção incentiva a ela­ boração de questões pelos alunos, favorecendo o de­ senvolvimento das compe­ tências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica 5. • Exemplos de resposta:

18

Toni pensou em um número inteiro, multi­ plicou­o por 4 e somou­o ao seu triplo, ob­ tendo 284. Qual é o sucessor do número pensado? 211 Sofia e Virgínia estão jogando com dois dados: um vermelho e outro amarelo. Cada uma delas iniciou o jogo com 20 pontos e, a cada jogada, adiciona os pontos obtidos no dado amarelo e subtrai os pontos obtidos no dado vermelho. A imagem abaixo represen­ ta o primeiro lance de Sofia.

a) Com quantos pontos ficou Sofia após esse lance? 18 b) Virgínia, após seu primeiro lance, acumu­ lou 24 pontos. Indique duas formas pelas quais ela pode ter obtido essa pontuação.dados amarelo e vermelho com 6 e 2 ou 5 e 1 pontos, respectivamente c) Partindo de 20 pontos, após três lances, qual é o máximo de pontos que Sofia ou Virgínia podem obter? 35 19

(Enem) Neste modelo de termômetro [veja a seguir], os filetes na cor preta registram as temperaturas mínima e máxima do dia anterior e os filetes na cor cinza registram a temperatura ambiente atual, ou seja, no momento da leitura do termômetro.

–30

50

–20

40

–10

30

0

20

10

10

20

0

30

–10

40

–20

50

–30

Por isso ele tem duas colunas. Na da esquer­ da, os números estão em ordem crescente, de cima para baixo, de 230 °C até 50 °C. Na coluna da direita, os números estão ordenados de forma crescente, de baixo para cima, de 230 °C até 50 °C. A leitura é feita da seguinte maneira: • a temperatura mínima é indicada pelo nível inferior do filete preto na coluna da esquerda; • a temperatura máxima é indicada pelo nível inferior do filete preto na coluna da direita; • a temperatura atual é indicada pelo nível superior dos filetes cinza nas duas colunas. Qual é a temperatura máxima mais aproxi­ mada registrada nesse termômetro?alternativa e a) 5 °C c) 13 °C e) 19 °C b) 7 °C d) 15 °C

Elaborando No caderno, elabore um problema que possa ser resolvido com a sequência de operações: 2 3 (250) 1 60 Depois, troque de caderno com um colega e resolva o problema criado por ele. O colega resolveu corretamente o seu problema? Qual é a solução do problema? Respostas pessoais.

42

Competência específica 5: Uti­ lizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecno­ logias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validan­ do estratégias e resultados.

42

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver pro­ blemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual­motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

17

Calcule o valor das expressões. a) 2{115 2 [(24 1 20) 2 20] 2 17} 22 b) 3 8 (24) 1 (25) 8 (26) 8 (22) 1 1 (24) 8 (27) 244 c) 2 1 {5 8 [(6 2 4 9 2)2 2 15]4 2 3}3 10 d) (7 2 6)3 2 [4 2 (52 2 22) 8 7] 144

ADILSON SECCO

16

PHOTODISC/GETTY IMAGES

§ “Um submarino de 50 me­ tros de comprimento esta­ va parado no nível do mar. Então, desceu o dobro do seu comprimento e, em seguida, subiu 60 metros. Em qual profundidade se encontra o submarino?” (Resposta: 40 metros abaixo do nível do mar ou 240 m); § “Paulo tinha saldo zero em sua conta corrente, mas teve que fazer duas transferências de 50 reais e, em seguida, recebeu uma transferência no valor de 60 reais. Qual é o saldo atual da conta de Paulo?” (Resposta: Saldo negativo de 40 reais).

Lembre-se: Não escreva no livro!

Objetivos • Relembrar a ideia de múltiplos e divisores de números naturais. • Compreender a ideia de múltiplos e divisores de números inteiros. • Determinar o mmc e o mdc de números inteiros. • Resolver problemas que envolvam múltiplos e divisores.

CAPÍTULO

2

Múltiplos e divisores

Habilidade da BNCC • Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento da seguinte habilidade da BNCC: EF07MA01.

É hora de observar e refletir • Aproveite o tema da abertura para discutir o que os alunos entendem por mobilidade urbana e o que pensam sobre o uso de bicicletas como meio de locomoção. • Pergunte se já utilizaram uma ciclovia e, em caso afirmativo, como foi a experiência que tiveram. Comente sobre a importância de ciclistas, motoristas e pedestres manterem um comportamento de respeito às leis de trânsito visando à segurança de todos. Peça aos alunos que elenquem quais atitudes devem ser tomadas para evitar acidentes.

É hora de observar e refletir

Sugestão de leitura • Os textos “15 recomendações simples para pedalar com mais segurança”, de Willian Cruz, e a “Cartilha do ciclista”, da Prefeitura de São Paulo, ajudarão na discussão a respeito de comportamento seguro do ciclista urbano. Disponíveis em: e . Acessos em: 5 set. 2018.

ANDRE LUIZ MOREIRA/SHUTTERSTOCK

A criação de ciclovias nas cidades tem o objetivo de aumentar a segurança dos ciclistas. Com a sinalização correta, e sendo respeitada por todos, as ciclovias permitem que ciclistas, pedestres e motoristas circulem juntos nas áreas urbanas, evitando acidentes. Um dos desafios dos engenheiros de tráfico é organizar a sinalização dos semáforos, garantindo melhor mobilidade a todos independentemente do meio de locomoção escolhido. Para você, quais são as vantagens e as desvantagens de uma ciclovia ser criada em uma avenida movimentada? Resposta pessoal.

Ciclovia da Avenida Paulista, São Paulo (SP), 2015.

Que outras medidas podem ser adotadas para contribuir para a mobilidade e a segurança da população nas cidades? Resposta pessoal.

43

EF07MA01: Resolver e elaborar problemas com números naturais, envolvendo as noções de divisor e de múltiplo, podendo 9/21/18 15:49 divisor comum ou mínimo múltiplo comum, por meio de estratégias diversas, sem a aplicação de algoritmos.

PDF-043-055-MCP7-C02-G20.indd 43 incluir máximo

43

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre um dos assuntos que serão desenvolvidos no capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se achar necessário, solicite que respondam à questão por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 9 e 10. • Peça aos alunos que pesquisem o significado da palavra “órbita”. Segundo o dicionário eletrônico Houaiss, órbita é a “trajetória descrita por um astro em torno de outro”. • Indague que idade os alunos terão nas próximas três vezes em que o cometa passar próximo da Terra, perguntando a eles quais serão os próximos três anos em que o cometa poderá ser visto se a previsão de passar próximo da Terra mudar de 6 para 8 anos.

Trocando ideias A professora de Ciências de Camila comentou com a turma que um novo cometa havia sido descoberto pela Agência Espacial Europeia e que havia passado próximo à Terra no mês de maio.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Se esse novo cometa mantiver a mesma órbita, é possível que seja visto a olho nu a cada 6 anos.

ENÁGIO COELHO

Se o cometa mantiver a previsão de passar próximo da Terra a cada 6 anos, quais serão os próximos três anos em que ele poderá ser visto? 2024, 2030 e 2036 Neste capítulo, vamos retomar os conceitos de múltiplos e divisores e aplicá-los em situações-problema.

44

Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

PDF-043-055-MCP7-C02-G20.indd 44 o respeito ao outro e aos

44

9/21/18 15:49

1

Retomando múltiplos e divisores de números naturais

Um ano é o tempo que a Terra leva para dar uma volta completa em torno do Sol. Esse tempo tem duração de 365 dias, 5 horas, 48 minutos e 47 segundos. Para acertar o calendário, foi criado o ano bissexto, que tem 366 dias e ocorre a cada 4 anos. No ano bissexto, um dia é acrescentado ao mês de fevereiro, que fica com 29 dias. Veja a seguir alguns anos bissextos. 2020

2024

2028

2032

2036

2040

Observe que os números que representam esses anos são múltiplos de 4: 2 024 5 506 3 4

2 028 5 507 3 4

2 032 5 508 3 4

2 036 5 509 3 4

2 040 5 510 3 4

Múltiplo de um número natural a é o produto de a por um número natural qualquer. Podemos dizer também que os números que representam esses anos são divisíveis por 4, ou seja, ao dividi-los por 4, o resto da divisão é zero. Veja: 2 020 4 4 5 505

2 024 4 4 5 506

2 028 4 4 5 507

2 032 4 4 5 508

2 036 4 4 5 509

2 040 4 4 5 510

Divisor de um número natural a é todo número diferente de zero que, ao dividir a, resulta em uma divisão exata.

Sugestão de atividade extra • Depois de explorar este tópico organize os alunos em duplas e proponha o seguinte desafio: elaborem um esquema pelo qual seja possível verificar se um ano é bissexto. Em seguida, eles devem testá-lo com, pelo menos, 2 números. Exemplo de esquema para verificar se um ano é bissexto:

Para que um ano seja bissexto, não basta que o número que o representa seja múltiplo de 4 (ou divisível por 4), ele também não pode ser múltiplo de 100, pois, caso ele seja divisível por 4 e por 100, é preciso que também seja divisível por 400. Observe os exemplos abaixo. 1 996

1 986

• É divisível por 4.

• Não é divisível por 4.

• Não é divisível por 100, então não precisamos verificar se é divisível por 400.

Portanto, 1986 não é um ano bissexto.

Portanto, 1996 é um ano bissexto. 2 100

2 000

• É divisível por 4.

• É divisível por 4.

• É divisível por 100, então precisamos verificar se é divisível por 400.

• É divisível por 100, então precisamos verificar se é divisível por 400.

• Não é divisível por 400.

• É divisível por 400.

Portanto, 2100 não é um ano bissexto.

Início É divisível por 4? sim não

não Não é bissexto.

É divisível por 100? É bissexto. sim

Portanto, 2000 é um ano bissexto. 45

sim

É divisível por 400?

não

Pronto!

45

ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2 020 5 505 3 4

• Caso os alunos encontrem dificuldades para entender o quadro apresentado, explique que os números foram obtidos pela multiplicação dos valores da coluna da esquerda pelos da primeira linha.

2

Múltiplos e divisores de um número inteiro

Como vimos no capítulo anterior, os números inteiros são expressos pelo conjunto: b 5 {..., 25, 24, 23, 22, 21, 0, 11, 12, 13, 14, 15, ...} Vamos ampliar a ideia de múltiplos e divisores de um número natural incluindo os números inteiros. Observe o quadro abaixo: # 3

24

23

22

21

0

11

12

13

14

212

29

26

23

0

13

16

19

112

12

248

236

224

212

0

112

124

136

148

225

100

75

50

25

0

225

250

275

2100 Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe que: 23 é múltiplo de 3, pois: 3 3 (21) 5 23 236 é múltiplo de 12, pois: 12 3 (23) 5 236 2100 é múltiplo de 225, pois: 225 3 (14) 5 2100 23 é divisor de 75, pois: 225 8 (23) = 75 24 é divisor de 48, pois: 12 8 (24) = 248 Veja a sequência dos múltiplos e a sequência dos divisores de alguns números inteiros: Múltiplos de 2: ..., 28, 26, 24,22, 0, 2, 4, 6, 8, ... Múltiplos de 21: ..., 284, 263, 242, 221, 0, 21, 42, 63, 84, ... Múltiplos de 213: ..., 252, 239, 226, 213, 0, 13, 26, 39, 52, ... Divisores de 12: 212, 26, 23, 22, 21, 1, 2, 3, 6 e 12

As reticências indicam que a sequência não tem começo nem fim.

Divisores de 224: 224, 212, 28, 26, 24, 23, 22, 21, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 Divisores de 18: 218, 29, 26, 23, 22, 21, 1, 2, 3, 6, 9 e 18

Para saber se um número é múltiplo ou divisor de outro, basta verificar se a divisão é exata, ou seja, se o resto da divisão é zero. Observe os exemplos abaixo.

24 é divisor de 270? Não, pois 270 dividido por 24 resulta em quociente 267 e resto 2. 15 é divisor de 2435? Sim, pois 2435 dividido por 15 resulta em quociente 229 e resto 0.

ENÁGIO COELHO

2330 é múltiplo de 11? Sim, pois 2330 dividido por 11 resulta em quociente 230 e resto 0.

101 é múltiplo de 210? Não, pois 2101 dividido por 210 resulta em quociente 10 e resto 1. 46

Sugestão de atividade extra • Peça aos alunos que expliquem por escrito, com suas palavras, o que é um múltiplo e, em seguida, deem um exemplo e um contraexemplo de múltiplo, diferentes dos citados no livro.

PDF-043-055-MCP7-C02-G20.indd 46

46

9/21/18 15:49

Observações

1. Todos os números inteiros são múltiplos de 1. 2. O número zero é múltiplo de todos os números inteiros e não é divisor de nenhum. 3. O número 1 é um divisor universal, ou seja, ele divide todos os números inteiros.

ATIVIDADES 1

Escreva cinco múltiplos inteiros do número 3 que sejam:

Exemplo de resposta: 23, 26, 29, 212, 215

a) negativos.

2

ƒ 1822 não é bissexto, pois 1 822 não é divisível por 4 (item a). ƒ 1900 não é bissexto, pois 1 900 é divisível por 4 e por 100, mas não é divisível por 400 (item b). ƒ 2000 é bissexto, pois 2000 é divisível por 4, por 100 e por 400 (item c). ƒ 2118 não é bissexto, pois 2118 não é divisível por 4 (item d).

Exemplo de resposta:

b) maiores que 230 e menores que 20. 224, 218, 6, 12, 15, 18

Verifique qual dos anos a seguir é bissexto. alternativa c a) 1822 b) 1900 c) 2000 Analise as afirmações e corrija as falsas no caderno.

d) 2118

a) 26 tem 8 divisores inteiros. verdadeira b) O zero não é divisor de nenhum número. verdadeira correção: “Todos os números c) Todos os números inteiros são múltiplos de 21. Possível inteiros negativos são múltiplos de 21”.

d) 1 é o menor divisor natural de 23. verdadeira e) 21 é o menor divisor inteiro de 23. Possível correção: “23 é o menor divisor inteiro de 23”.

3

• No item a da atividade 3, solicite aos alunos que in­ diquem quais são os 8 divi­ sores inteiros de 26: 26, 23, 22, 21, 1, 2, 3 e 6.

Problemas envolvendo múltiplos e divisores

Máximo divisor comum Os alunos das turmas A, B e C do 1o ano vão participar de uma gincana. Para essa competição, cada equipe será formada por um ou mais alunos de uma mesma turma com a mesma quantidade de participantes. Qual é o maior número de alunos por equipe? Quantas equipes haverá em cada turma?

GEORGE TUTUMI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

• Solicite aos alunos que justifiquem a resposta da atividade 2, assim:

Faça as atividades no caderno.

47

47

• Solicite aos alunos que calculem o máximo divisor comum dos números 9 e 10, ou seja, mdc (9, 10) 5 5 1. Então, explique que o mdc de números primos entre si será sempre 1. Caso seja necessário, relembre com eles o conceito de números primos entre si e peça que determinem o mdc de dois números primos quaisquer.

Veja no quadro a seguir a quantidade de alunos de cada uma das turmas do 1o ano. Turma

A

B

C

Quantidade de alunos

18

24

36

Observe que os 18 alunos do 1o A podem ser divididos em equipes de 1, 2, 3, 6, 9 ou 18 participantes. Os números 1, 2, 3, 6, 9 e 18 são os divisores de 18. Os 24 alunos do 1o B podem ser divididos em equipes de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 ou 24 participantes. Os números 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 são os divisores de 24. Os 36 alunos do 1o C podem ser divididos em equipes de 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 ou 36 participantes. Percebemos que as equipes com a mesma quantidade de alunos, nas três turmas, são as que têm 1, 2, 3 ou 6 participantes. Os números 1, 2, 3 e 6 são os divisores comuns de 18, 24 e 36. Como queremos que os grupos tenham o maior número possível de alunos, concluímos que cada equipe deverá ter 6 participantes. Esse número é o máximo divisor comum (mdc) de 18, 24 e 36, que indicamos por: mdc (18, 24, 36) 5 6 Assim, cada equipe terá 6 participantes: o 1o A terá 3 equipes; o 1o B, 4 equipes; o 1o C, 6 equipes. Podemos obter o mdc de dois ou mais números naturais conhecendo seus divisores, como na situação anterior. Veja agora como calcular o mdc por meio da decomposição em fatores primos, por exemplo, dos números 120 e 200. 120 2

200 2

60 2

100 2

30 2

50 2

15 3

25 5

5 5

5 5

1 2 8385 3

1 23 8 52

A seguir, destacamos os fatores primos comuns a 120 e 200: 120 5 2 8 2 8 2 8 3 8 5 200 5 2 8 2 8 2 8 5 8 5 O mdc será o produto desses fatores comuns: mdc (120, 200) 5 2 8 2 8 2 8 5 5 40 48

48

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Os números 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 e 36 são os divisores de 36.

No caso de os números serem escritos na forma fatorada, usando potências, o mdc será o produto dos fatores comuns, cada um deles elevado ao menor expoente, porque o menor expoente indica a quantidade de fatores comuns. Veja: 120 5 23 8 31 8 51 200 5 23 8 52 Os menores expoentes dos fatores comuns 2 e 5 são 3 e 1, respectivamente. Logo: mdc (120, 200) 5 23 8 51 5 40

• Se necessário, conduza a verificação do exemplo citado na observação, em que duplicando os números naturais o mdc também duplica. Amplie a situação e peça aos alunos que verifiquem se divindo os números o mdc também será dividido.

Observação

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Seja mdc (18, 12) 5 6. Multiplicando 18 e 12 por 2, temos: mdc (36, 24) 5 12 (o mdc também ficou duplicado)

ATIVIDADES 1

2

3

4

Faça Façaas asatividades atividadesno nocaderno. caderno

5 Dados os números 24 e 40, determine: a) os divisores de 24; 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 b) os divisores de 40; 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40 c) os divisores comuns de 24 e 40; 1, 2, 4 e 8 d) o maior divisor comum de 24 e 40. 8 6

Escreva alguns pares de números naturais diferentes de zero de modo que um seja divisor do outro. Troque os números que você escreveu pelos escolhidos por um colega. Cada um deve calcular o mdc dos números dos pares escritos pelo colega. Depois comparem cada mdc obtido com os números do respectivo par. Que conclusão vocês podem obter dessa comparação? Espera-se que os

7

alunos concluam que o mdc dos números é igual àquele que é o divisor do outro.

Calcule mentalmente o mdc dos números abaixo. a) 50 e 100 50 b) 16 e 80 16 c) 72 e 216 72 d) 20 e 100 20 Dados os números na forma fatorada 23 8 3 8 52, 2 8 32 8 7 e 24 8 33 8 5, calcule o mdc deles. 6

Peça aos alunos que façam a verificação desse resultado.

18, 12, 2 9, 6, 2 9, 3, 3 3, 1, 3 1, 1, mdc (18, 12) 5 6

Calcule, pela decomposição em fatores primos, o mdc dos números abaixo. a) 40 e 64 8 c) 40, 70 e 90 10 b) 80, 100 e 120 20 d) 576 e 96 96 Quando o máximo divisor comum de dois ou mais números for igual a 1, esses números são primos entre si. Agora, verifique se os números a seguir são primos entre si.a) Sim, porque mdc (4, 5) 5 1. b) Sim, pois mdc (16, 25) 5 1. a) 4 e 5 c) 15 e 21 b) 16 e 25 d) 18 e 42

36, 18, 9, 9, 3, 1,

c) Não, porque mdc (15 e 21) 5 3. d) Não, porque mdc (18 e 42) 5 6.

Junte-se a um colega e respondam às seguintes questões: a) Qual é o mdc de dois números consecutivos diferentes de zero? 1 b) Qual é o mdc de dois números quadrados perfeitos consecutivos não nulos? 1

8

Dois números primos entre si são multiplicados por 28. Qual é o mdc dos dois produtos obtidos? 28

9

O mdc de dois números é 18. Se dividirmos cada um deles por 3, qual será o mdc dos novos números? 6

24, 12, 6, 3, 1, 1

2 2 2 3 3

mdc (36, 24) 5 12 9, 6, 2 9, 3, 3 3, 1, 3 1, 1 mdc (9, 6) 5 3

49

49

Mínimo múltiplo comum

Os telefones foram colocados nos quilômetros 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69 e 72. Os números 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42, 45, 48, 51, 54, 57, 60, 63, 66, 69 e 72 são múltiplos de 3. As câmeras serão colocadas nos quilômetros 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 e 72. Os números 0, 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64 e 72 são múltiplos de 8. Observe que há telefone e também câmera nos quilômetros 0, 24, 48 e 72. Os números 0, 24, 48 e 72 são os múltiplos comuns de 3 e de 8 menores ou iguais a 72. Logo, 24 é o menor número diferente de zero que é múltiplo comum de 3 e de 8. Esse número é o mínimo múltiplo comum (mmc) de 3 e de 8, que indicamos por: mmc (3, 8) 5 24 Assim, nesse trecho da rodovia, a cada intervalo de 24 quilômetros foram instalados, simultaneamente, um telefone de emergência e uma câmera de monitoração. Podemos obter o mmc de dois ou mais números naturais conhecendo seus múltiplos, como na situação acima. Veja agora como calcular o mmc por meio da decomposição em fatores primos dos números 180 e 350. 180 2

350 2

90 2

175 5

45 3

35 5

15 3

7 7

5 5

1 2 8 52 8 7

1 2 83 85 2

Veja sequência didática 2 do 1o bimestre no Material do Professor – Digital.

50

50

2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

GEORGE TUTUMI

Em um trecho de 72 quilômetros de uma rodovia, a partir do quilômetro zero, foram colocados, a cada intervalo de 3 quilômetros, um telefone de emergência e, a cada intervalo de 8 quilômetros, uma torre com câmera de monitoração. Em quais quilômetros dessa rodovia foram colocados, simultaneamente, telefone e câmera?

• Comente com os alunos que o emprego do mmc é útil na adição ou na subtração de frações com denominadores diferentes para determinar frações equivalentes que tenham o mesmo denominador.

A seguir, destacamos os fatores primos comuns a 180 e 350: 180 5 2 8 2 8 3 8 3 8 5 350 5 2 8 5 8 5 8 7 O mmc é dado pelo produto dos fatores primos comuns pelos fatores primos não comuns. Logo, mmc (180, 350) 5 2 8 5 8 2 8 3 8 3 8 5 8 7 5 22 8 32 8 52 8 7 5 6 300. fatores primos comuns

fatores primos não comuns

Podemos também calcular o mmc de dois ou mais números naturais decompondo-os simultaneamente em fatores primos.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Vamos calcular o mmc de 180 e 350 pela decomposição simultânea em fatores primos. 180, 350

2

Dividimos ambos os números.

90, 175

2

Dividimos apenas o número 90.

45, 175

3

Dividimos apenas o número 45.

15, 175

3

Dividimos apenas o número 15.

5, 175

5

Dividimos ambos os números.

1, 35

5

Dividimos apenas o número 35.

1,

7

7

1,

1

2 8 3 8 52 8 7

Dividimos apenas o número 7. 2

2

O mmc de 180 e 350 será o produto dos fatores primos encontrados. Logo, mmc (180, 350) 5 22 8 32 8 52 8 71 5 6 300. O cálculo do mmc de três números é feito de maneira semelhante ao do mmc de dois números: pela decomposição em separado ou pela decomposição simultânea. Observe o exemplo para mmc (12, 18, 30) com a decomposição em separado: 12 2

18 2

30 2

6 2

9 3

15 3

3 3

3 3

1 2 83

1 283

2

5 5 2

1 28385

mmc (12, 18, 30) 5 22 8 32 8 5 5 180 E, agora, com a decomposição simultânea: 12, 18, 30

2

Dividimos todos os números.

6, 9, 15

2

Dividimos apenas o 6.

3, 9, 15

3

Dividimos todos os números.

1, 3, 5

3

Dividimos apenas o 3.

1, 1, 5

5

Dividimos apenas o 5.

1, 1, 1

282838385

mmc (12, 18, 30) 5 22 8 32 8 5 5 180 51

51

8. Espera-se que os alunos concluam que o produto dos números e o produto do mdc com o mmc desses números são iguais. Explique aos alunos que os matemáticos demonstraram essa relação para qualquer par de números naturais. Diga ainda que devem levar em consideração esse fato para resolver a atividade 10.

ATIVIDADES

Determine: a) os múltiplos de 15; 0, 15, 30, 45, 60, ... b) os múltiplos de 20; 0, 20, 40, 60, 80, ... c) os múltiplos comuns de 15 e 20;

0, 60, 120, 180, 240, ...

d) o menor múltiplo comum de 15 e 20, excluído o zero. 60 Escreva alguns pares de números naturais diferentes de zero de modo que um seja divisor do outro. Troque os números que você escreveu pelos escolhidos por um colega. Cada um deve calcular o mmc dos números dos pares escritos pelo colega. Depois comparem cada mmc obtido com os números do respectivo par. Que conclusão vocês podem obter dessa que os alunos concluam comparação? Espera-se que o mmc dos números é igual àquele que é o múltiplo do outro.

3

Calcule mentalmente o mmc de: a) 2 e 6; 6 c) 15 e 45; 45 b) 10 e 20; 20 d) 50 e 100. 100

4

Calcule o mmc dos números: 840 23 8 3 8 5

5

6

52

52

23 8 5 8 7

9

180, 3, 60 e 180

b) 48 e 16

768, 16, 48 e 768

1 331, 11, 121 e 1 331

d) 36 e 49

1 764, 1, 1 764 e 1 764

10

O mdc de dois números é 24, o mmc entre eles é 504, e um dos números é 168. Calcule o outro número. 72

11

O cometa 41P/TGK passa próximo à órbita da Terra a cada 5 anos e meio. A última vez em que ele passou pelo nosso planeta foi em abril de 2017. CHIS SCHUR

2

Destroquem para conferir os cálculos. Para cada par de números escritos, comparem o primeiro com o último dos números calculados. Discutam entre si e respondam: qual é a relação entre o produto dos números e o produto do mdc com o mmc desses números? Para cada par de números dados abaixo, calcule o produto dos números, o mdc e o mmc deles e o produto do mdc com o mmc obtidos. a) 12 e 15 c) 11 e 121

2838587 cometa 41P/TGK

Determine, pela decomposição em fatores primos, o mmc de: a) 18, 27 e 45; 270 c) 120, 132 e 20; 1 320 b) 18, 30 e 48; 720 d) 150, 300 e 375. 1 500 Junte-se a um colega, escolham alguns pares de números primos entre si e determinem o mmc de cada par. Depois, respondam: qual é o mmc de dois números primos entre si? o produto desses números

7

Usando o processo da decomposição simultânea em fatores primos, determine o mínimo múltiplo comum dos números abaixo. a) 90 e 120 360 c) 120, 300 e 450 1 800 b) 45, 54 e 72 1 080 d) 20, 40, 50 e 200 200

8

Escreva alguns pares de números naturais diferentes de zero. Troque-os com um colega para que cada um de vocês calcule o produto dos números do par, o mdc e o mmc deles e o produto do mdc com o mmc obtidos.

Em 14 de março de 2017, duas semanas antes da aproximação mais próxima da Terra, o cometa 41P/TGK desliza sobre a galáxia NGC 3198.

• O cometa passará próximo à órbita da Terra em outubro de 2034? E em abril de 2057? sim; não 12

Em uma grande metrópole, foi feito um estudo sobre o intervalo de tempo entre as luzes vermelha, amarela e verde dos semáforos para melhorar o tráfego da cidade. A companhia de engenharia de tráfego propôs alterações nos intervalos de tempo de três semáforos consecutivos, A, B e C. O semáforo A ficaria verde a cada 40 segundos; o semáforo B, a cada 50 segundos, e o semáforo C, a cada 60 segundos. Às 18 horas, os três semáforos ficaram verdes ao mesmo tempo. A que horas isso ocorrerá novamente?

18h10

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

Faça Façaas asatividades atividadesno nocaderno. caderno

Resolvendo em equipe

Resolvendo em equipe

• A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” desse ou de outros capítulos, por exemplo.

Faça a atividade no caderno.

(Enem) O gerente de um cinema fornece anualmente ingressos  gratuitos para escolas. Este ano serão distribuídos 400  ingressos para uma sessão vespertina e 320 ingressos para  uma sessão noturna de um mesmo filme. Várias escolas  podem ser escolhidas para receberem ingressos. Há alguns critérios para a distribuição dos ingressos: 1) cada escola deverá receber ingressos para uma única sessão; 2) todas as escolas contempladas deverão receber o mesmo número de ingressos; 3) não haverá sobra de ingressos (ou seja, todos os ingressos serão distribuídos). O número mínimo de escolas que podem ser escolhidas para obter ingressos, segundo os critérios estabelecidos, é d) 40

e) 80

Interpretação e identificação dos dados

c) 9

Plano de resolução

b) 4

• Observe que cada escola deve receber a mesma quantidade de ingressos, ou seja, o número de ingressos de cada escola deve dividir, ao mesmo tempo, o número 400 e o número 320, e esse número deve ser o maior valor possível.

• Considerando as informações do enunciado, elabore etapas para resolver o problema.

Resolução

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) 2

• Com um colega, apresente seu plano de resolução. • Discutam as diferenças e semelhanças entre os planos e verifiquem as melhores estratégias. • Em conjunto, resolvam o problema, fazendo as anotações individuais no caderno.

Verificação

• Considerando a resposta encontrada, verifique se ela satisfaz as condições determinadas no enunciado.

Apresentação

Espera-se que o aluno determine que cada escola receberá 80 ingressos de apenas uma sessão. Assim, 5 escolas receberão 80 ingressos para assistir à sessão vespertina e 4 escolas receberão 80 ingressos para assistir à sessão noturna, totalizando 9 escolas.

• Proponha um novo problema alterando a quantidade de ingressos oferecidos.

53

Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, 9/21/18 15:49 com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

PDF-043-055-MCP7-C02-G20.indd 53 tomando decisões

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

53

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, estimulando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É possível encontrar atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames, as quais foram cuidadosamente escolhidas para que os alunos consigam resolvê-las com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Faça as atividades no caderno.

Revisitando 1

Reescreva as frases no caderno escolhendo, entre as palavras sugeridas, a adequada. a) (Múltiplo/Divisor) de um número inteiro é o produto desse número por um número inteiro qualquer. Múltiplo. b) (Múltiplo/Divisor) de um número inteiro é todo número diferente de zero que, ao dividir outro, resulta em uma divisão exata. Divisor. c) O (mdc/mmc) dos números 10, 12 e 15 é 60. mmc d) O (mdc/mmc) dos números 9, 12 e 18 é 3. mdc

2

O ano em que você nasceu foi bissexto? Explique sua resposta. Resposta pessoal.

Aplicando

54

1

Para uma sessão de teatro, os espectadores se organizaram em filas. Se contarmos de 3 em 3, sobram 2 pessoas; se contarmos de 5 em 5 sobram 3 pessoas. Sabendo que eram mais que 25 e menos que 50 pessoas, quantas pessoas há na fila? 38 pessoas

2

Um jogo é composto de 21 cartas e 18 fichas. Todas as cartas e fichas devem ser distribuídas sem que haja sobras, de modo que cada jogador receba a mesma quantidade de cartas e a mesma quantidade de fichas. a) É possível que 3 pessoas participem desse jogo? E 6? Justifique sua resposta. b) Para que 5 pessoas possam jogar, qual é o número mínimo de cartas e de fichas a mais que o jogo deve ter, sabendo que sempre deve ser possível haver três jogadores? mais 9 cartas; mais 12 fichas

3

Júlio e Daniele jogam futebol. No mês de novembro, ele jogou nos dias ímpares e ela, nos dias múltiplos de 3. Em quais dias do mês eles jogaram juntos? nos dias 3, 9, 15,

4

Luciana quer organizar 40 livros infantis em pilhas contendo a mesma quantidade de livros em cada uma. De que formas ela poderá organizar esses livros?

5

Os jogos olímpicos acontecem de 4 em 4 anos. Sabendo que em 2016 os jogos aconteceram no Rio de Janeiro, responda às questões a seguir.

21 e 27

a) Quando ocorrerão os próximos três jogos olímpicos? 2020, 2024 e 2028 b) O que esses números têm em comum? Responda com base no que você aprendeu neste capítulo.

Esses números (2016, 2020, 2024 e 2028) são divisíveis por 4.

6

Flávio está guardando moedas num cofrinho para comprar um presente de aniversário para seu pai. O cofre tem menos de 170 e mais de 150 moedas. Organizando essas moedas em grupos de 2, sobra 1 moeda; organizando-as em grupos de 3, não sobram moedas; e, organizando as moedas em grupos de 11, também não sobram moedas. Quantas moedas Flávio tem? 165 moedas

7

Dois semáforos consecutivos de uma avenida são programados para abrir e fechar de forma a melhorar o tráfego em horários de pico. O primeiro semáforo acende a luz vermelha a cada 90 segundos e o segundo semáforo, a cada 120 segundos. Num determinado momento, os dois acendem as luzes vermelhas simultaneamente. A próxima vez em que isso acontecerá será daqui a: alternativa a a) 6 minutos c) 9 minutos b) 8 minutos d) 12 minutos

4. 1 pilha de 40 livros; 2 pilhas de 20 livros; 4 pilhas de 10 livros; 5 pilhas de 8 livros; 8 pilhas de 5 livros; 10 pilhas de 4 livros; 20 pilhas de 2 livros; e 40 pilhas de 1 livro.

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54

2. a) É possível que 3 pessoas joguem, pois 21 e 18 são divisíveis por 3, mas 6 pessoas não, pois 21 não é divisível por 6. RVLSOFT/SHUTTERSTOCK

• A seção representa uma oportunidade para os alunos verificarem os conhecimentos consolidados. Se tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados, sugira que retomem as páginas do capítulo e procurem esclarecer as dúvidas. Incentive que busquem esclarecimentos em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Revisitando

9/21/18 15:49

• Peça aos alunos que, em dupla, reescrevam e resolvam o problema proposto no Desafio, alterando a quantidade de alunos de acordo com sua turma.

Lembre-se:

8

Júlia trabalha em uma empresa que tem filiais em três cidades: A, B e C. Ela visita a filial na cidade A a cada 10 dias; na cidade B a cada 30 dias e na cidade C a cada 50 dias. Em março, ela precisou visitar as três filiais. Em que mês isso ocorrerá novamente? agosto

9

(UPE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma caminhada de duas horas em uma pista circular. Rebeca gasta 18 minutos para completar uma volta, e Neto, 12 minutos para completar a volta. Se eles partem do mesmo ponto P da pista e caminham em sentidos opostos, pode-se afirmar que o número de vezes que o casal se encontra no ponto P é: alternativa c a) 01 c) 03 e) 05 b) 02 d) 04

de 40 tábuas de 540 cm, 30 de 810 cm e 10 de 1 080 cm, todas de mesma largura e espessura. Ele pediu a um carpinteiro que cortasse as tábuas em pedaços de mesmo comprimento, sem deixar sobras, e de modo que as novas peças ficassem com o maior tamanho possível, mas de comprimento menor que 2 m. Atendendo o pedido do arquiteto, o carpinteiro deverá produzir: alternativa e a) 105 peças. d) 243 peças. b) 120 peças. e) 420 peças. c) 210 peças. DESAFIO

10 0 (Enem) Um arquiteto está reformando

uma casa. De modo a contribuir com o meio ambiente, decide reaproveitar tábuas de madeira retiradas da casa. Ele dispõe

(OBM) Uma professora tem 237 balas para dar a seus 31 alunos. Qual é o número mínimo de balas a mais que ela precisa conseguir para que todos os alunos recebam a mesma quantidade de balas, sem sobrar nenhuma para ela? a) 11 c) 21 e) 31 b) 20 d) 41 alternativa a

Elaborando

Elaborando Junte-se a um colega e leiam a situação a seguir. Ricardo trabalha em uma agência de viagens de turismo. Ele vende pacotes de viagem de navio para uma empresa internacional que tem três embarcações. Os clientes que compram os pacotes podem pedir a troca de navio, mas apenas quando os três estão ancorados no porto no mesmo dia. Os percursos e o tempo para as viagens variam. O navio A faz viagens de 12 dias, o navio B faz viagens de 15 dias e o navio C, de 10 dias. Alguns clientes, depois de comprar o pacote de viagem, pediram a troca de navio.

ENÁGIO COELHO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Não escreva no livro!

• A seção incentiva a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica 5. • Exemplo de resposta: supondo que os três navios tenham zarpado hoje, quando estarão novamente ancorados ao mesmo tempo no porto? (Resposta: Após 60 dias (mmc (10, 12, 15) 5 60).)

• Com base na situação descrita, elaborem uma questão que tenha como resposta o mínimo múltiplo comum dos números citados. Resposta pessoal. 55

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a 9/21/18 15:49 crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

PDF-043-055-MCP7-C02-G20.indd 55 reflexão, a análise

55

Objetivos • Construir retas paralelas usando régua e esquadro. • Identificar ângulos nulos, rasos, de meia-volta e uma volta. • Medir e construir ângulos utilizando um transferidor e o par de esquadros. • Efetuar transformações de unidade de medidas de ângulos. • Identificar e construir com régua e compasso ângulos congruentes a um ângulo dado. • Identificar ângulos adjacentes, complementares e suplementares. • Identificar ângulos opostos pelo vértice e compreender suas propriedades. • Identificar e relacionar ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

CAPÍTULO

3

Retas e ângulos

W b

W a

Habilidades da BNCC • Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA23 da BNCC. • Neste capítulo, vamos rever e aprofundar alguns conceitos relacionados às retas, ângulo, resolver problemas envolvendo ângulos complementares, suplementares e opostos pelo vértice, além de verificar algumas relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal.

A London Eye é uma roda-gigante de observação. As cabines envidraçadas permitem visão panorâmica da metrópole, Londres (Inglaterra), 2016.

É hora de observar e refletir

56

É hora de observar e refletir TRACEY WHITEFOOT/ALAMY/FOTOARENA

• Com base na foto de abertura, peça aos alunos que indiquem os elementos de um ângulo. Os diversos aros que compõem a roda-gigante dão a ideia de um conjunto de ângulos que, juntos, formam um ângulo de volta inteira (360º). • Na primeira questão, a ideia é que os alunos não utilizem ainda o transferidor, mas sim que observem a posição das semirretas dos ângulos em relação à roda-gigante. • Para a segunda questão, retome com os alunos, se necessário, o uso do transferidor.

À beira do rio Tâmisa, em Londres, foi construída a London Eye, também conhecida como Millennium Wheel (Roda do Milênio). Trata-se de uma roda-gigante composta de 32 cabines que faz a volta completa em 30 minutos. Essa atração turística recebe uma média de 15 000 visitantes por dia. Com base na marcação feita na imagem, responda às questões.

V?8 V cabe quantas vezes no ângulo b O ângulo a

V indicados na figura. Os ângulos aV e b V juntos Veb Com um transferidor, determine a medida dos ângulos a V U formam um ângulo reto, agudo ou obtuso? a mede 80º e b mede 10°; ângulo reto

56

EF07MA23: Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd softwares de geometria56dinâmica.

9/25/18 10:55

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 1 e 2. • Sonde o conhecimento prévio dos alunos no que se refere à classificação de ângulos quanto à sua medida (reto, agudo e obtuso) e se já apresentam familiaridade com o uso do transferidor. Esse conhecimento é muito importante para o planejamento das próximas aulas. • É fundamental que, em diversas situações, os alunos sejam incentivados a observar ângulos, como nos diversos objetos que fazem parte do dia a dia deles (carteiras, livros, tesouras etc.)

Trocando ideias

FOTO: MASUTI/SHUTTERSTOCK. ILUSTRAÇÃO: LUIZ RUBIO

Com seus colegas, observe o ângulo destacado em cada foto.

W b

Destaque do ângulo formado por uma das asas do avião em relação à fuselagem.

cU

FOTO: R. GINO SANTA MARIA/SHUTTERSTOCK. ILUSTRAÇÃO: LUIZ RUBIO

Na foto acima, o destaque mostra o ângulo formado pela inclinação do avião em relação à pista do aeroporto. FOTO: COSTAZZURRA/SHUTTERSTOCK. ILUSTRAÇÃO: LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

W a

Sugestão de atividade • Para rever os conceitos relacionados ao conteúdo sobre ângulos, escreva no quadro de giz as classificações dos ângulos quanto às medidas e peça aos alunos que as expliquem. Coloque os termos: ângulo nulo, agudo, obtuso, ângulo reto, ângulo raso e ângulo de uma volta, que foram objetos de estudo nos anos anteriores.

O ângulo destacado indica um giro do avião em relação à linha do horizonte.

Como podemos representar a linha do horizonte? por uma reta b Entre os ângulos destacados, qual ângulo é obtuso? V

Se o avião estivesse com as asas paralelas à linha do horizonte, qual seria a medida do ângulo cU? 0° Neste capítulo, vamos estudar as retas e os ângulos, retomando definições e relações já vistos em anos anteriores e conhecendo as relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

57

Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade9/25/18 justa,10:55 democrática e inclusiva. Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd e digital para57entender

57

• Para o desenvolvimento deste capítulo, é essencial que sempre estejam disponíveis réguas, transferidores, esquadros e compassos, se possível, em quantidade suficiente, pois são propostas diversas atividades que utilizam esses materiais. É importante também justificar as construções realizadas à luz dos conceitos trabalhados, pois isso poderá ajudar os alunos a atribuir significado aos procedimentos que devem ser seguidos em cada uma das construções. • Oriente os alunos a verificar se o compasso a ser usado está com a ponta adequada. A ponta do grafite (ponta molhada) deve estar paralela à ponta-seca, com o chanfro para fora. O chanfro, por sua vez, pode ser feito com uma lixa de unha. Esse cuidado garante um traçado mais eficiente, minimizando as dificuldades apresentadas pelos alunos no uso desse material. • Comente com os alunos que dentre as notações utilizadas para a reta r, poderíamos também incluir BA. • No item “Semirreta e segmento de reta”, comente com os alunos sobre todas as semirretas que poderíamos formar, de maneira a intensificar o uso das notações.

1

Retas

Fita usada na prática do slackline.

Observe abaixo a representação de uma reta r. Ela é formada por infinitos pontos distintos, entre os quais destacamos os pontos A e B. A

B reta r ou AB

r

Os pontos A e B pertencem à reta r .

Semirreta e segmento de reta Considere a reta r e os pontos A, B e O indicados: O A

B

r

O ponto O divide a reta r em duas semirretas, r1 e r2 , de origem em O, que passam pelos pontos A e B, respectivamente. A reta r é chamada de reta suporte das semirretas r1 e r2.

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

O

58

58

r1

A

B

O r1

A

O B

r2

r2

r1: semirreta de origem O que passa pelo ponto A. Também podemos indicar como: OA (lemos: “semirreta OA”). r2: semirreta de origem O que passa pelo ponto B. Também podemos indicar como: OB (lemos: “semirreta OB ”).

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

ALEX KOCH/ALAMY/ FOTOARENA

Uma fita bem esticada lembra parte de uma reta.

• Explique aos alunos que poderíamos usar a notação BA para o mesmo segmento AB. • Se julgar pertinente, comente sobre a existência de retas reversas, para convidá-los a pensar em retas que estejam em planos diferentes.

Lembre-se: Não escreva no livro!

Considere, novamente, a reta r e os pontos A e B, distintos, pertencentes a r : A

r

B

Chamamos de segmento de reta a parte da reta compreendida entre dois de seus pontos, incluindo esses pontos. Denominamos, nesse caso, os pontos A e B de extremidades de AB (lemos: “segmento de reta AB ”). A reta r é chamada de reta suporte desse segmento. A

B

Segmento de reta de extremidades A e B `AB j.

Posições relativas entre duas retas Duas ou mais retas contidas em um mesmo plano podem ser classificadas em:

s

α

r

r

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

retas concorrentes — quando possuem um único ponto em comum.

retas paralelas — quando não possuem pontos em comum;

α

O s

Indica-se: r /s (lemos: “r é paralela a s”).

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R.

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G

Al

R.

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i rV

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v Tra

DIGITALGLOBE/GOOGLE EARTH PRO 2018

As ruas de uma cidade podem lembrar retas paralelas ou retas concorrentes. Observe a imagem captada por um satélite de parte do município de Belém (PA), situada na região Norte do Brasil, em 2018. Você consegue identificar ruas que são paralelas em alguns trechos? E ruas que se cruzam? Resposta pessoal.

9/25/18 10:55

59

Observação

Retas concorrentes que formam quatro ângulos de 90° são chamadas retas perpendiculares. r

Indica-se: r t s (lemos: “r é perpendicular a s ”).

s

Construção de retas paralelas com régua e esquadro Observe como podemos construir retas paralelas usando uma régua e um esquadro. r

r

r

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

r /s

1

Faça as atividades no caderno.

Na figura abaixo, as retas a, b, c e d são retas suportes dos lados do paralelogramo MNOP. α b

M

N

P

O

c d LUIZ RUBIO

a

e

Observe a figura e identifique no caderno: a) dois pares de retas paralelas; a e b; c e d b) dois pares de retas concorrentes. Exemplo de resposta: a e c; b e e 2

Desenhe, no caderno, uma reta r e um ponto P externo a essa reta. Com uma régua e um esquadro, trace uma reta s paralela à r pelo ponto P.

3

Desenhe, no caderno, uma reta r e, com um compasso, trace uma reta s paralela à r.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

s

ATIVIDADES

60

60

α sinal indicativo de ângulo reto (90°)

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

• Comente que, na construção de retas paralelas, pode-se utilizar, além da régua e do esquadro, conforme sugerido, o par de esquadros. • Nas atividades, oriente os alunos a serem precisos com os traçados. • Para resolver a atividade 2, trace a reta r e marque o ponto P externo à reta. Apoie a régua na reta r e, com o auxílio do esquadro, encostado na régua (conforme mostra a figura do tópico “Construção de retas paralelas com régua e esquadro”), deslize o esquadro até o encontro do ponto P. Trace a nova reta que passa pelo ponto P, a qual chamaremos de s. A reta s é paralela à reta r. • Na atividade 3 podemos fazer o seguinte: trace uma reta r qualquer e determine um ponto A que esteja fora dessa reta. Com a ponta-seca do compasso no ponto A, traçamos um arco de circunferência que intersecte a reta r em um ponto, que chamaremos de ponto D. Ainda com a ponta-seca do compasso, agora em D, traçamos, sem alterar a abertura do compasso, um arco de circunferência que intersecte a reta r novamente em outro ponto, que chamaremos de ponto C. Agora, com a ponta-seca em D e a abertura do compasso com a mesma medida do segmento AC, traçamos um novo arco de circunferência que intersecte o segmento AD em um ponto, que chamaremos de ponto B. Por fim, traçamos a reta que passa pelos pontos A e B, que chamaremos de reta s. A reta s é paralela à r.

2

• Antes de explorar este tópico, é interessante deixar que os alunos tragam seus conhecimentos, uma vez que este assunto já foi parcialmente visto no 6o ano. • Chame a atenção para as notações de ângulo e de semirreta. Apesar de não ser fundamental, é importante que os alunos reconheçam as diferenças. Ajude-os a perceber que para os ângulos é utilizada uma notação de uma ou três letras, nunca duas; já para retas, segmentos de retas e semirretas, sempre duas letras. É comum algum aluno achar que é permitido o uso de três letras para representações de retas ou partes de retas.

O ângulo e seus elementos

Povos antigos, como os egípcios, babilônios, hindus e chineses, já conheciam as figuras geométricas e tinham uma noção de ângulo. Esses conhecimentos eram utilizados principalmente na Astronomia e na Arquitetura para determinar áreas e distâncias.

PICTURE-ALLIANCE/ZB/AGB PHOTO LIBRARY

aV

V b

A 50 metros, vire à esquerda.

10:02

50 m

Barco Viking em parque de diversões na Alemanha, 2003. V. Destacamos os ângulos aV e b No cruzamento das ruas, V e cU. destacamos os ângulos aV, b

170 m

Av. São José

^ a

^ c

^ b Chegada:

10:08

50 km/h

ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Aplicações dos conceitos de ângulo estão presentes, hoje, na Engenharia Civil (na construção de estradas, rampas), nos transportes (em rotas de orientação), em máquinas, nos projetos espaciais (como em lançamento de foguetes), nas cartas geográficas (nos meridianos e paralelos da Terra), entre outros usos. Observe os exemplos a seguir, em que destacamos os ângulos em um brinquedo de parque de diversões e em uma rota de GPS no smartphone.

A

A

O O

B

B

GUILHERME CASAGRANDI

Traçando duas semirretas de mesma origem, determinamos, em um plano, duas regiões. Cada uma dessas regiões, incluindo as semirretas, é chamada de ângulo. Veja:

As semirretas OA e OB de origem no ponto O e os dois ângulos.

Ângulo é a união de duas semirretas de mesma origem, com uma das regiões do plano limitada por elas. 61

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9/21/18 18:31

61

Os lados de um ângulo são as semirretas que o determinam, e o vértice é a origem comum dessas semirretas. W , BOA W ou O W. O ângulo de vértice O e lados OA e OB é indicado por: AOB

W AOB

A lado

A letra que corresponde ao vértice deve ficar entre as outras duas.

vértice O

lado

lemos: “ângulo AOB “.

B

Agora, observe dois casos em que duas semirretas de mesma origem estão contidas em uma mesma reta.

O

A

O

B

A

ângulo nulo

B

ângulo de uma volta

As semirretas OA e OB têm sentidos opostos. Temos um ângulo raso ou ângulo de meia-volta (180°).

A

O

B

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

As semirretas OA e OB são coincidentes. Temos um ângulo nulo (0°) e um ângulo de uma volta (360°).

No caderno, indique, para cada item, o ângulo, seu vértice e seus lados.

W ou BO W A, vértice: O, lados: OA e OB ângulo: AOB

a)

A

W ou CB W A, vértice: B, lados: BA e BC ângulo: ABC

c)

A

O B

W ou TSR W , vértice: S, ladqs: SR e ST ângulo: RST

b)

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

C

d)

R S

2

B

W ou RQP W , vértice: Q, lados: QP e QR ângulo: PQR

T

P

Q

R

Desenhe um ângulo raso e um nulo. Em seguida, observe os lados dos ângulos e responda: a) São semirretas? sim b) Estão contidos em uma mesma reta? sim c) São coincidentes? Os lados do ângulo raso não são coincidentes; já os lados do ângulo nulo são.

62

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62

9/21/18 18:31

3

Medida de ângulo

Ao medir um ângulo, consideramos a abertura entre seus lados. Podemos utilizar como unidade de medida de ângulo o grau.

A

B

O ângulo de ângulo de1º 1°

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

JAVIER JAIME

ângulo de uma volta (360°)

Para medir ângulos, podemos utilizar o transferidor, que já vem graduado de 1° em 1°. Observe as fotos ao lado.

centro

JACEK/KINO

O

LUIZ RUBIO

Se dividirmos um ângulo de uma volta em 360 partes iguais, determinamos 360 ângulos medindo 1 grau (1°).

• É fundamental que os alunos efetuem medições e construam ângulos utilizando um transferidor. Chame a atenção deles para o fato de que o transferidor é graduado nos dois sentidos e que, por esse motivo, é importante prestar atenção no sentido com o qual querem identificar o ângulo. • Comente com os alunos que o sistema de medidas de ângulo é sexagesimal, assim como o sistema horário.

centro

transferidor de 180°

Os submúltiplos do grau são o minuto e o segundo.

transferidor de 360°

Um grau corresponde a 60 minutos.

Um minuto corresponde a 60 segundos.

1° 5 60’

1’ 5 60’’

Lendo e aprendendo

O windsurf é um esporte olímpico praticado no mar, seja com ondas grandes, seja com pouca ondulação. As competições incluem várias modalidades, desde as mais radicais até as mais tradicionais.

CLEISON SILVA

Uma manobra de 180° no windsurf

• Peça aos alunos que digam quantos graus tem o ângulo de uma volta. Para ajudá-los nesse raciocínio, cite alguns esportes em que há a presença de giros de uma volta, como o skate e a ginástica artística.

Na modalidade aerial Jibe, o velejador salta sem tirar os pés das alças, gira a prancha 180° e vira a vela no ar. • Em quais outros esportes as manobras levam o nome do giro executado? Resposta pessoal.

Montagem com fotos sequenciais que reproduz o giro de 180º em manobra de windsurf, em Jericoacoara (CE), em 2012.

63

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63

• Para ajudar os alunos quanto ao uso do transferidor, oriente-os a imaginar a colocação de um alfinete no centro do transferidor. Esse alfinete deve ser sempre fixado no vértice do ângulo, sendo possível somente girar o instrumento.

Como medir um ângulo utilizando o transferidor W qualquer utilizando o transferidor, usamos o seguinte procedimento: Para medir um ângulo AOB

1o) O centro marcado no transferidor deve ser colocado sobre o vértice do ângulo (ponto O). 2o) A linha do transferidor, que passa pelo centro e pelo zero, deve estar sobre um dos lados W (por exemplo, semirreta OA). que formam o ângulo AOB 3o) Verificamos a medida do ângulo na escala graduada por onde passa o outro lado (semirreta OB).

ILUSTRAÇÕES: NILSON CARDOSO

B

A

B

W O A medida de AOB é 30°.

W ) 5 30° Indicamos: med(AOB

A

O

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

W é 60°. A medida de AOB W ) 5 60° Indicamos: med(AOB

CRÉDITOS DAS FOTOS: 1. SM/SCIENCE & SOCIETY PICTURE LIBRARY/AGE FOTOSTOCK/EASYPIX BRASIL; 2. SERGEY MELNIKOV/SHUTTERSTOCK; 3. ORONOZ/ALBUM/SUPERSTOCK/AGB PHOTO LIBRARY; 4. DE AGOSTINI/A. DAGLI ORTI/ AGE FOTOSTOCK/EASYPIX BRASIL – CIVICO MUSEO NAVALE DIDATTICO, MILAN; 5. VRIHU/SHUTTERSTOCK

Observe as indicações de algumas medidas de ângulos: 30°

lemos: “trinta graus”.

45° 50’

lemos: “quarenta e cinco graus e cinquenta minutos”.

30° 48’ 36”

lemos: “trinta graus, quarenta e oito minutos e trinta e seis segundos”.

Lendo e aprendendo Instrumentos de navegação A navegação é uma das atividades humanas mais antigas, praticada desde os povos ancestrais. Com o passar do tempo, com o uso de instrumentos náuticos, para guiar as navegações, e com a melhora das embarcações, as distâncias navegadas se tornaram mais longas, já que antes procuravam-se navegar sem perder as terras de vista. Graças a esses avanços, na Europa, o século XV ficou conhecido como o século das grandes navegações. Alguns dos instrumentos criados foram o quadrante náutico (1), o astrolábio (2) e a balestilha (3). Mais tarde, surgiram o octante (4) e o sextante (5). Todos eles serviam para medir ângulos, os dois últimos de forma mais precisa que os primeiros. Hoje, há instrumentos mais precisos para a navegação, como o radar e o GPS.

1

2

3

4

5

64

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64

9/21/18 18:32

Ângulo reto, ângulo agudo e ângulo obtuso Um ângulo pode ser classificado quanto à sua medida em: reto, agudo ou obtuso. Ângulo reto: é aquele que tem medida igual a 90°. A sinal indicativo de ângulo reto

O

W é reto. O ângulo AOB

B

Ângulo agudo: é o ângulo que tem medida maior que 0° e menor que 90°. C

WD é agudo. O ângulo CO D

O

Ângulo obtuso: é o ângulo que tem medida maior que 90° e menor que 180°.

E

135°

O

WF é obtuso. O ângulo EO F

Construção de um ângulo com o transferidor Observe a sequência utilizada na construção de um ângulo de 50°. 1o) Traçamos uma semirreta AB .

2o) Colocamos o centro indicado no transferidor sobre o ponto A e a linha que contém o centro e o zero sobre a semirreta AB . Depois, marcamos o ponto C, correspondente à medida de 50°. 100 90 110

60

C

C

50

180 170 160 15 0

20

B

70

30

A

80

40

14 0

0 13

0 12

3o) Traçamos com a régua a semirreta AC , obtendo, asWC , sim, o ângulo BA que mede 50°.

10

50°

0

centro

A

B

A

B

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

30°

65

Sugestão de atividade extra 9/25/18 10:55 • Escreva as medidas de alguns ângulos no quadro de giz e peça que os alunos realizem a construção destes ângulos no caderno.

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65

• Comente com os alunos o nome dos esquadros (esquadro de 45° e esquadro de 30°). E indique para eles qual é qual, com auxílio das imagens apresentadas.

Construção de alguns ângulos com um par de esquadros Podemos usar um par de esquadros para construir alguns ângulos. Em um dos esquadros, encontramos um  ângulo de 90° e dois ângulos de 45° e, no outro esquadro, ângulos de 30°, 60° e 90°. Veja:

45°

60°

45°

90°

LÓPEZ BALABASQUER

30°

90°

30° 1 45° 5 75°

45° 2 30° 5 15°

45º 30º

45º 30º

Determinando a medida de um ângulo

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Utilizando as medidas dos ângulos dos esquadros, conseguimos traçar alguns ângulos, entre eles, os ângulos de 30°, 45°, 60° e 90°. Para traçar outros ângulos, podemos adicionar ou subtrair essas medidas. Observe os exemplos a seguir.

Observe a figura a seguir.

B

105°

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

A

O

C

W , ou seja, med(AOB W ). Agora, vamos determinar a medida do ângulo AOB W ) 5 105° Pela figura, sabemos que: med(BOC

W ) é 180°, pois AOC W é um ângulo raso, então: Como med(AOC W ) 5 180° 2 105° 5 75° med(AOB W é 75°. Logo, a medida do ângulo AOB

66

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66

9/25/18 10:55

b)

A

C

65o

c)

150o

180o D

E

F

O

D

1

Escreva, no caderno, as medidas de ângulos usando os símbolos de grau, minuto e segundo. a) 60 graus 60° b) 90 graus 90° c) 102 graus e 35 minutos 102° 35’ d) 110 graus, 32 minutos e 48 segundos

5

2

Observe a figura abaixo e indique os pares de retas perpendiculares.

Com o auxílio de uma régua e um transferidor, construa, no caderno, os ângulos pedidos e, depois, classifique-os em agudo, obtuso, reto ou raso. V de 65° agudo a) ângulo AOB X de 150° obtuso b) ângulo MNP V c) ângulo COD de 90° reto W de 180° raso d) ângulo DEF

6

Com um par de esquadros, trace um ângulo de: a) 105° c) 120° e) 165° b) 150° d) 135° f) 15°

7

Um hexágono regular é uma figura formada por seis lados de medidas iguais e seis ângulos internos de medida igual a 120°, conforme a figura abaixo.

O

B

110° 32’ 48”

u

v

rev ues uet

r

s t

3

Determine as medidas dos ângulos representados abaixo. C

30° 50°

VC ) 20° c) med(DO VD) 70° d) med(GO

1,5 cm

F

VD) e) med(AO VE ) f) med(AO

VF ) g) med(CO VG) h) med(AO

G

1,5 cm

b)

60°

N

110° S

A

B

C

U

T

8

120º

120º

1,5 cm

(Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a: alternativa d a) uma volta completa. b) uma volta e meia. c) duas voltas completas. d) duas voltas e meia. e) cinco voltas completas.

6. f) No item f, peça aos alunos que façam uma subtração diferente da que está no tópico “Como construir alguns ângulos com um par de esquadros”.

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120º

160°

I

d)

1,5 cm

No caderno, com o auxílio de uma régua e um transferidor, construa um hexágono regular com 3 cm de lado.

110°

O

40°

120º

1,5 cm

90°

M H

120º 120º

Com um transferidor, meça e registre no caderno a medida de cada um dos ângulos. a) 45° c) 100° G

ƒ No item a, basta juntar o ângulo de 45° de um dos esquadros com o ângulo de 60° do outro. ƒ No item b, basta juntar o ângulo de 90° de um dos esquadros com o de 60° do outro. ƒ No item c, basta juntar o ângulo de 90° de um dos esquadros com o de 30° do outro. ƒ No item d, basta juntar o ângulo de 90° de um dos esquadros com o ângulo de 45° do outro. ƒ No item e, basta tomar o ângulo de 120° já obtido no item c e acrescentar a medida do ângulo de 45°. ƒ No item f, basta marcar o ângulo de 45° e interno a ele o de 30°, a diferença será 15°.

1,5 cm

10 0 20

O

Faça as atividades no caderno.

E

30

V ) a) med(GOF V ) b) med(GOE

4

P

D

0 90 80 7 0 6 10 10 01 0 12 50 0 13

40

A

180 170 1 60 1 50 14 0

B

N

GUILHERME CASAGRANDI

ATIVIDADES

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

d)

M

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

5. a)

• Na atividade 4, se julgar oportuno, peça aos alunos que, numa folha vegetal, reproduzam os ângulos, para poderem prolongar os seus lados. • Para resolver a atividade 6, devemos ter em mente que o esquadro de 45° possui dois ângulos de 45° e um de 90°; e o esquadro de 30° possui um ângulo de 30°, um de 60° e um de 90°. Assim, para construirmos os ângulos solicitados, basta juntar as medidas apropriadas.

• Para resolver a atividade 7, podemos utilizar o mesmo raciocínio da construção do ângulo de 120° (item c da atividade 6) e demarcar os segmentos com medidas de 1,5 cm. Dessa forma faremos a construção do hexágono conforme solicitado. • Na atividade 8, mostre aos alunos que: 900° 5 360° 1 360° 1 180°

67

9/25/18 10:55

67

• Se achar conveniente, para explicar a conversão de grau para minuto, aumente gradativamente as quantidades em graus para transformar em minutos, ou seja, vá induzindo o aumento até que se chegue à conclusão de que, para essa conversão, basta multiplicar por 60. O mesmo pode ser feito na conversão de minutos para segundos. • Comente que a conversão de segundos para graus normalmente é feita convertendo primeiro os segundos para minutos; então, os minutos resultantes, se mais de 60, para graus. Não costumamos fazer a conversão direta de segundos para graus, mesmo sendo possível. Caso considere interessante, explique que 1° equivale a 3 600”, já que é comum os alunos acharem que, de graus para minutos, podem multiplicar por 120, o que é um erro. • Explique, as conversões quando a medida, em grau, apresenta parte decimal. Mostre que a multiplicação por 60 continua valendo. Chame a atenção para o fato de que 0,5° não é 50’, e sim 30’, e sobre a possiblidade de utilizar números decimais na representação de medidas em graus. Por exemplo, 45° 30” equivale a 45,5°.

Transformação de unidades Vimos que o grau é uma unidade de medida de ângulo, sendo o minuto e o segundo seus submúltiplos. E, ainda, vimos que 1 grau equivale a 60 minutos e 1 minuto equivale a 60 segundos.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1’ 5 60”

Agora, observe, nos exemplos a seguir, como efetuar transformações de unidades de medida de ângulo. 30° em minutos

5° 35’ em minutos

30° 5 30 8 1° 5 30 8 60’ 5 1 800’

5° 5 5 8 1° 5 5 8 60’ 5 300’

Logo: 30° 5 1 800’

300’ 1 35’ 5 335’ Logo: 5° 35’ 5 335’

3° 35’ em segundos 3° 5 3 8 1° 5 3 8 60’ 5 180’ 180’ 1 35’ 5 215’

2° 20’ 40” em segundos

215’ = 215 8 1’ = 215 8 60” 5 12 900”

2° 5 2 8 1° 5 2 8 60’ 5 120’

Logo: 3° 35’ 5 12 900”

120’ 1 20’ 5 140’ 140’ = 140 8 1’ = 140’ 5 140 8 60” 5 8 400”

130’ em grau e minuto 130’

60

10’

2°

Logo: 130’ 5 2° 10’ 150” em minuto e segundo 150”

60

30”

2’

Logo: 150” 5 2’ 30” 68

68

GEORGE TUTUMI

1° 5 60’

8 400” 1 40” 5 8 440” Logo: 2° 20’ 40” 5 8 440”

26 138” em grau, minuto e segundo 26 138”

60

213

435’

338 38” Logo: 26 138” 5 7° 15’ 38”

435’

60

15’

7°

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

Transforme as medidas indicadas de acordo com o pedido de cada item: a) 27° em minuto; 1 620’ b) 13° 13’ 13” em segundo; 47 593” c) 12° 57’ em minuto; 777’ d) 213’ em grau e minuto; 3° e 33’ e) 36° em segundo; 129 600” f) 310’ em grau e minuto; 5° 10’ g) 17° 12’ em segundo; 61 920” h) 214 317” em grau, minuto e segundo.

4

Observe este veículo.

O veículo elétrico de duas rodas, ao lado, é um meio de transporte que funciona com o equilíbrio do condutor.

Na posição de descanso, o eixo vertical forma um ângulo correspondente a 112% de um ângulo reto, em relação à base. Descubra a medida desse ângulo, em grau e minuto. 100,8° 5 100° 48’

Operações com medidas de ângulos

Vamos analisar algumas situações que envolvem operações com medidas de ângulos.

Adição

W e BOC W conforme a ilustração ao lado. Pedro traçou os ângulos AOB W ? Qual é a medida do ângulo AOC

C

Para responder a essa pergunta, devemos adicionar as medidas W e BOC W . Veja: dos ângulos AOB

45º 30'

W k 5 30° 18’ 1 45° 30’ med aAOC 30° 18’ 1 45° 30’

LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

59° 31’ 57”

2

RISTESKI GOCE/SHUTTERSTOCK

1

• Na atividade 2, retome a explicação da conversão de números decimais em grau, minuto e segundo. Se julgar interessante, proponha outras conversões de medidas em grau com números decimais para minutos e segundos.

B

30º 18' O

A

75° 48’ Observe que adicionamos minutos com minutos e graus com graus. W é 75° 48’. Portanto, a medida do ângulo AOC

Agora, veja outro exemplo. 10° 36’ 30” 1 23° 45’ 50”

Nesse caso, adicionamos segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. 10° 36’ 30” 1 23° 45’ 50” 33° 81’ 80”

Se 1’ 5 60”, então 80” 5 1’ 20”; assim: 33° 81’ 80” 5 33° 82’ 20” Se 1º 5 60’, então 82’ 5 1° 22’; assim: 33° 82’ 20” 5 34° 22’ 20” 69

• Após a explicação deste tópico, dê um exemplo de adição com medidas de ângulos no qual, ao adicionar os minutos (ou os segundos), ocorra a necessidade de reagrupamento, para chamar a atenção em relação 9/25/18 a esse10:55 cuidado. É muito comum os alunos terem dúvidas ou se confundirem nesse tipo de adição.

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69

Subtração Observe a ilustração ao lado. Qual é a diferença entre as medidas W e AOB W ? dos ângulos BOC

C

Para responder a essa pergunta, devemos subtrair 30° 18’ de 45° 30’. Veja: W k 2 medaAO WB k 5 45° 30’ 2 30° 18’ medaBOC

45º 30'

45° 30’

B

30º 18'

2 30° 18’

A

O

15° 12’ Observe que subtraímos minutos de minutos e graus de graus. W e AOB W é 15° 12’. Portanto, a diferença entre as medidas dos ângulos BOC 80° 48’ 30” 2 70° 58’ 55” Nesse caso, podemos trocar graus por minutos e minutos por segundos para poder efetuar a subtração. Observe que: 80° 48’ 30” Assim: 79° 107’ 90”

80° 47’ 90”

5

5

Retiramos 1’ dos 48’ e adicionamos 60” aos 30” já existentes.

79° 107’ 90” Retiramos 1° dos 80° e adicionamos 60’ aos 47’ já existentes.

2 70° 58’ 55” 9° 49’ 35” Portanto: 80° 48’ 30” 2 70° 58’ 55” 5 9° 49’ 35”

• Na atividade 2, item d, a operação a ser feita é 180° 2 133° 30’.

ATIVIDADES 1

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

2

70

70

Efetue os cálculos. a) 25° 12’ 1 37° 20’ 62° 32’ b) 86° 52’ 50” 1 39° 43’ 20” 126° 36’ 10” c) 45° 12’ 37” 1 47° 49’ 38” 93° 2’ 15” d) 42° 30’ 1 47° 30’ 90°

Faça as atividades no caderno.

e) f) g) h)

75° 21’ 2 49° 33’ 25° 48’ 47° 39’ 25” 2 29° 31’ 45” 18° 7’ 40” 80° 49’ 32” 2 73° 51’ 46” 6° 57’ 46” 90° 2 35° 49’ 46” 54° 10’ 14”

Observe a figura ao lado e, depois, responda às questões.

V ? 158° 45’ 20” a) Qual é a medida do ângulo AOC V ? 133° 30’ b) Qual é a medida do ângulo BOD V ? 180° c) Qual é a medida do ângulo AOD V , d) Qual é a medida do ângulo AOE V ) 5 133° 30’? 46° 30’ se med( EOD

B C

112º 15' 20" 46º 30'

21º 14' 40" D

A

O

E

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Agora, veja outro exemplo.

• Chame a atenção dos alunos para o fato de que a tabuada do 60 é a tabuada do 6 multiplicada por 10.

Multiplicação Para multiplicar um número natural pela medida de um ângulo, devemos multiplicar esse número pelos segundos, pelos minutos e pelos graus dessa medida. Depois, se necessário, devemos fazer as transformações de unidades. Veja os exemplos a seguir: 4 8 (15° 12’ 10”)

5 8 (12° 36’ 40”)

15° 12’ 10” 4

#

60° 48’ 40”

12° 36’ 40” 5

#

60° 180’ 200” 60° 183’ 20” 63° 3’

20”

Como 200” 5 3’ 20”, adicionamos 3’ aos 180’ já existentes. Como 183’ 5 3° 3’, adicionamos 3° aos 60° já existentes.

• Comente com os alunos que a divisão de medidas de ângulos pode ser pensada como se fossem três divisões feitas sucessivamente.

Alberto quer saber a medida do ângulo formado por dois raios consecutivos da roda da frente de sua bicicleta, mas ele não dispõe de um transferidor. Como ele poderia fazer para determinar essa medida? A roda da frente é dividida em 20 ângulos de mesma medida; logo, a medida do ângulo formado por dois raios consecutivos é determinada pelo quociente de 360° por 20. Então: 360°

20

160

18°

BMW GROUP BRASIL

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Divisão

0 raio da roda

Logo, cada ângulo da roda da frente da bicicleta de Alberto, formado por dois raios consecutivos, mede 18°. Para dividir a medida de um ângulo por um número natural, devemos dividir inicialmente os graus, depois os minutos e por fim os segundos da medida por esse número. Quando necessário, devemos fazer as transformações de unidades. Veja os exemplos a seguir. (40° 20’) 9 2

(45° 20’ 16”) 9 4

40° 20’ 2

45°

0

0 20° 10’

1°

20’ 16” 1 60’

0

4 11° 20’ 4”

80’ 0 71

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9/21/18 18:32

71

(50° 17’ 30”) 9 6 2°

17’ 1 120’

30” 1 300”

137’

330”

6

13°

8° 22’ 55”

1°

0

5’

32’ 1 60’

1 120”

92’

153”

• Na explicação de ângulos congruentes, relembre com os alunos o símbolo de congruência adotado nesta obra: & Ainda na explicação de congruência, comente que esse termo pode ser utilizado para indicar a congruência de outras figuras, como a congruência de triângulos.

d) A metade de 97°. 48° 30’ e) A terça parte de 98° 54’. 32° 58’ f) A quarta parte de 60° 40’ 20”. 15° 10’ 5” 3

Observe a figura e efetue os cálculos no caderno. C B 99º 20' 40" 44º 19' 20" D

Calcule. a) O triplo de 47° 29’. 142° 27’ b) O quádruplo de 23° 19’ 15”. 93° 17’ c) O sêxtuplo de 20° 15’ 20”. 121° 32’

5

4° 30’ 51”

Faça as atividades no caderno.

Efetue os cálculos. a) 6 8 (45° 12’) 271° 12’ b) 4 8 (12° 30’) 50° c) 7 8 (1° 10’ 13”) 8° 11’ 31” d) 5 8 (45° 12’ 56”) 226° 4’ 40” e) 8 8 (25° 20’ 20”) 202° 42’ 40” f) 98° 56’ 9 2 49° 28’ g) 15° 9 8 1° 52’ 30” h) 84° 40’ 20” 9 2 42° 20’ 10” i) 39° 11’ 40” 9 2 19° 35’ 50” j) 42° 35’ 20” 9 8 5° 19’ 25”

2

3

0

2’

ATIVIDADES 1

33”

a) b) c) d)

36º 20' A

O

V )94 med(AOB V ) 2 8 med(BOC V 3 8 med(COD) V )98 med(AOC

9° 5’ 198° 41’ 20” 132° 58’ 16° 57’ 35”

Ângulos congruentes

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

50°

(13° 32’ 33”) 9 3

Observe os ângulos abaixo. C B

O 30° A

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

W ) 5 30° med(AOB

30°

O

D

W ) 5 30° med(COD

W e COD W têm a mesma medida. Dizemos, então, que AOB W e COD W são ânguVerifique que AOB W W los congruentes e indicamos: AOB & COD Ângulos congruentes são aqueles que têm a mesma medida.

72

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 72

72

9/21/18 18:32

• Na construção de ângulos congruentes com régua e compasso, pergunte aos alunos os diferentes usos do compasso. Comumente, eles o conhecem como um instrumento para traçar circunferências. Explique, então, que o compasso também é usado para transportar segmentos e que agora eles verão como transportar ângulos.

Construção, com régua e compasso, de um ângulo congruente a outro ângulo dado E

W, W , vamos construir o ângulo GHI Dado o ângulo EOF congruente a ele. Observe os passos a seguir.

O

F

W , centramos o compasso em O e, com 2o) No ângulo EOF uma abertura qualquer, determinamos os pontos M e N sobre as semirretas OE e OF , respectivamente.

1o) Traçamos uma semirreta r de origem H.

M

r

E

O N

3o) Com a mesma abertura anterior, centramos o compasso em H e traçamos um arco determinando o ponto I sobre r.

F

4o) Em seguida, centramos o compasso em I e, com abertura igual à distância entre M e N, traçamos um novo arco determinando o ponto G, como mostra a figura. Traçamos a semirreta HG, obtendo, assim, o W. ângulo GHI G

H

H

I

I

r

r

ATIVIDADES 1

Com o auxílio de um transferidor, determine a medida dos ângulos da figura ao lado. Depois, indique os ângulos congruentes. V 30° V 35° f) FOG a) AOB

V b) BOC V c) COD V d) DOE V e) EOF

50° 30° 50° 35°

• Na atividade 1, se necessário, peça que reproduzam a figura em papel vegetal a fim de prolongar os lados dos ângulos, facilitando o uso do transferidor para a medição dos ângulos.

Faça as atividades no caderno.

V 80° g) AOC V 160° h) EOA V 115° i) FOC V j) EOB

130°

W & COD W AOB W & DOE W BOC W & FOG W EOF E

D

C

B O

F

A G

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

H

73

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9/25/18 11:11

73

• Nas atividades 2, 3 e 4, peça aos alunos que reproduzam as figuras em papel vegetal ou outro papel, para que possam fazer marcações nas figuras. • Na atividade 2, para consW contruir um ângulo EDF X gruente a BAC trace uma semirreta DE ; posicione a ponta seca do compasso em A e faça um arco de circunferência que intersecte os segmentos AC e AB (essas intersecções serão chamadas de P1 e Q1 respectivamente); com a mesma abertura do compasso, posicione a ponta seca em D e trace um arco de circunferência que intersecte a semirreta DE no ponto que chamaremos de P2; deixe a abertura do compasso com a mesma distância de P1 e Q1 e trace um novo arco de circunferência com a ponta seca em P2 de modo que intersecte o arco traçado anteriormente no ponto que chamaremos de Q2; por fim, trace uma semirreta com origem em D e que passe por Q2 (essa semirreta será congruente a DF que procuramos). Dessa W é conforma, o ângulo EDF XC . gruente ao ângulo BA Para a outra congruência solicitada e para a resolução da atividade 4, basta seguir o algoritmo de maneira análoga. • Na atividade 3, lembre os alunos de que triângulo isósceles é aquele que possui dois lados congruentes.

Lembre-se: Não escreva no livro!

2

Observe a figura e, utilizando régua e comW congruente passo, construa um ângulo EDF W W V . a BAC e um ângulo DFE congruente a ACB

5

Com o auxílio de um transferidor, determine no caderno os pares de ângulos congruentes.

A

S

R

V

T C

B

3

T

S

Verifique, com um transferidor, se o triângulo ABC é um triângulo isósceles. A

WT & POQ W SV W W & KY WZ RST & NOM

N

Sim, o triângulo ABC é isósceles.

O

R

Q

P M

6

Construa, com o transferidor, um ânguV obtuso. Em seguida, utilizando rélo POQ W gua e compasso, construa um ângulo BAC V congruente a POQ.

K

Z

Q

P Y

Ângulos adjacentes

W , COB W e AOB W . Observe na figura ao lado os ângulos AOC

W e COB W têm em comum apenas um lado (OC ). Os ângulos AOC W e COB W são ângulos adjacentes. Os ângulos AOC W é igual à soma das medidas Observe que a medida de AOB W W de AOC e COB . W ) 5 med(AOC W ) 1 med(COB W ) med(AOB

A

C O

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

4

O

C

B

B

Ângulos adjacentes são aqueles que têm um lado comum, mas não têm pontos internos comuns. Observação

Retas concorrentes determinam ângulos adjacentes. Veja:

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

D

A

O C

B

W W e BOC AOB W W e COD BOC

W W e DOA COD W W DOA e AOB

São pares de ângulos adjacentes.

74

• Antes de iniciar o tópico “Ângulos adjacentes”, peça aos alunos que busquem no dicionário o significado da palavra “adjacente”.

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74

9/25/18 11:11

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

Observe a figura abaixo e indique pares de ângulos adjacentes.

3

Exemplos de resposta: W e BOC W , AOB W W BOC e COD, W e DOE W , COD

Determine: VB sabendo que a a) a medida do ângulo AO VE ) 5 27° e med(EO VB ) 5 23°; med(AO 50°

D

E

W e DOE W , AOD W e COD W , AOC W e COE W . AOC

2

• Na atividade 1, reproduza a imagem no quadro de giz e destaque cada região angular com cores diferentes, verificando com os alunos que quando os ângulos são adjacentes as cores não se sobrepõem. • Na atividade 3, sugira aos alunos que esbocem as figuras no caderno a fim de que indiquem as medidas dadas.

C A

B

E A

O

B

O

Observe a figura seguinte e indique: VB; a) dois ângulos adjacentes ao ângulo AO V . b) dois ângulos adjacentes ao ângulo DOE

V sabendo que a b) a medida do ângulo EOD V ) 5 75° e med(COE V ) 5 38°. 37° med(COD

C

C E

O

E

B

F

7

D

O

A

W e COB W ; b) DOB W e AOE W Exemplos de resposta: a) AOF

Ângulos complementares

W e BOC W na figura ao lado. Observe os ângulos AOB

C

W ) 1 med(BOC W ) 5 90° med(AOB

W e BOC W são ângulos complementares. Dizemos que AOB

60°

B 30°

A

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D

O

Dois ângulos são complementares quando a soma de suas medidas é 90°.

GEORGE TUTUMI

Podemos dizer, então, que o ângulo de 30° é o complemento do ângulo de 60°, e vice-versa.

75

W e BOC W são ângulos adjacentes e ângulos complementares, e que podem ser • Comente que os ângulos AOB 9/25/18 11:12 chamados de ângulos adjacentes complementares.

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75

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

Determine a medida do complemento de cada um dos ângulos cuja medida está abaixo. a) 76° 14° b) 0° 90° c) 38° 52° d) 90° 0° e) 36° 48’ 53° 12’ f) 82° 50’ 7° 10’

2

Com régua e transferidor, desenhe um triângulo retângulo qualquer. Em seguida, meça os ângulos agudos desse triângulo. Os ângulos agudos são ângulos complementares? Sim, são complementares.

8

3

V . Calcule a medida do ângulo BOC C

WC) 5 22° med(BO

B

68° A O

4

Dois ângulos são adjacentes complementares, e um deles mede 78°. Determine a medida do outro ângulo. 12°

5

Dois ângulos são adjacentes complementares, e um deles mede 48° 36’ 28”. Calcule a medida do outro ângulo. 41° 23’ 32”

Ângulos suplementares

W e BOC W e DEF W e HIUJ nas figuras abaixo. Observe os pares de ângulos AOB E 150°

B

138º

30° C

O

F H 42º

D

I

A

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Na atividade 2, comente que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180°, assunto já visto no 6o ano. Esta atividade dialoga com o conhecimento específico EF07MA24, que será aprofundado no capítulo 11. Como um triângulo retângulo possui um ângulo reto, basta traçar um segmento AB qualquer e, com o centro do transferidor em A, marcar o ponto C2 correspondente a 90°. Em seguida, trace o segmento AC (o qual deve passar por C2) e, por fim, trace o segmento CB . Agora, com o auxílio do transferidor, determinamos as medidas dos ângulos VA e AC WB, na qual verifiCB camos que a soma de suas medidas resulta em 90° (ângulos complementares).

J

W e HIUJ são ângulos suplementares. Além disso, DEF

• Comente que os ângulos W e BOC W são ânguAOB los adjacentes e ângulos suplementares, podendo ser chamados de ângulos adjacentes suplementares. ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Dois ângulos são suplementares quando a soma de suas medidas é 180°.

GEORGE TUTUMI

W ) 1 med(HIUJ ) 5 180° W ) 1 med(BOC W ) 5 180° e med(DEF med(AOB W e BOC W são ângulos suplementares. Dizemos que AOB

Por exemplo, podemos dizer que o ângulo de 30° é o suplemento do ângulo de 150° e vice-versa. E também que o ângulo de 138° é o suplemento do ângulo de 42° e vice-versa.

76

EF07MA24: Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd dos lados e verificar que76a

76

9/25/18 11:12

ATIVIDADES

Faça Façaas asatividades atividadesno nocaderno. caderno

Calcule a medida do suplemento de cada ângulo cuja medida está abaixo. a) 76° 104° b) 30° 150° c) 0° 180° d) 136° 48’ 43° 12’ e) 82° 48’ 97° 12’ f) 29° 45’ 35” 150° 14’ 25” g) 45° 27’ 30’’ 134° 32’ 30’’ h) 90° 30’’ 89° 30’

9

2

3

Dois ângulos são adjacentes suplementares, e um deles mede 106°. Determine a medida do outro ângulo. 74°

V . Calcule a medida do ângulo BOC

WC) 5 50° med(BO

B

130°

C

O

A

• Se achar oportuno, retome o conceito de retas concorrentes antes de iniciar o tópico de “Ângulos opostos pelo vértice”.

Ângulos opostos pelo vértice

No destaque da foto ao lado, podemos observar elementos que lembram retas que se cruzam formando quatro ângulos. W e COD W formados pelas retas Observe, agora, os ângulos AOB concorrentes CA e DB que se interceptam no ponto O.

STEVE PEPPLE/SHUTTERSTOCK

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

• Nas atividades, se necessário, retome a subtração de ângulos. • Chame a atenção para o fato de que na atividade 3 não se deve fazer uso do transferidor.

A

D

O C

B

W e COD W têm o mesmo vértice, que é o ponto O, Os ângulos AOB W ) são opostas, e as semirretas OA e OB (lados do ângulo AOB W ). respectivamente, às semirretas OC e OD (lados do ângulo COD

W e COD W são ângulos opostos pelo vértice (indicamos o.p.v.). Nesse caso, dizemos que AOB

W e COB W . Esses ângulos Verifique que as retas CA e DB também definem os ângulos DOA têm o vértice O em comum, e as semirretas OD e OA são opostas, respectivamente, às semirW e COB W também são opostos pelo vértice. retas OB e OC . Então, os ângulos DOA

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados de um deles são semirretas opostas aos lados do outro.

77

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9/21/18 18:32

77

• Se julgar conveniente, refaça, no quadro de giz, a demonstração de que ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

Propriedade dos ângulos opostos pelo vértice Observe a figura a seguir. A

D O

B

C

Sabemos que: W ) 1 med(AOD W ) 5 180° med(AOB

ângulos adjacentes suplementares

W ) 1 med(AOD W ) 5 180° ângulos adjacentes suplementares med(COD W W W W ) Então: med(AOB ) 1 med(AOD ) 5 med(COD )1 med(AOD

W ) 5 med(COD W ) Logo: med(AOB W W Os ângulos AOB e COD têm a mesma medida e são opostos pelo vértice (o.p.v.). De maneira Dois ângulos opostos pelo vértice têm mesma medida.

Exemplo

WF são W e EO Observe que na figura ao lado os ângulos AOB opostos pelo vértice. Utilizando a propriedade dos ângulos opostos pelo vértice, podemos determinar o valor do . Assim:

A E

O

B

+ 5°

1 5° 5 35°

F

1 5° 2 5° 5 35° 2 5° 5 30°

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

Observe a figura e determine três pares de ângulos opostos pelo vértice e três pares de ângulos adjacentes suplementares. C

D

E

O F

2

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

• Na atividade 1, relembre que, quando dizemos ânW , nos referimos gulo DOE ao menor ângulo formado pelas semirretas OD e OE . • Na atividade 2, a sentença do item a é a única que está errada; uma maneira de mostrar que ela é falha seria dar um contraexemplo, ou seja, um caso em que ângulos opostos pelo vértice seriam suplementares. Para isso, basta tomar ângulos opostos pelo vértice que tenham medida 90°.

3

Determine o valor do a)

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

análoga, podemos verificar que med(AÔD) = med(CÔB), e estes ângulos também são o.p.v.

nas figuras abaixo. 150°

5 60°

B A

Reescreva, no caderno, as sentenças verdadeiras. a) Dois ângulos opostos pelo vértice nunca são suplementares. b) Dois ângulos adjacentes e suplementares formam um ângulo raso. c) O suplemento de um ângulo reto é um ângulo reto. alternativas b, c

90° +

b) 5 50° 80°

+ 30°

1. Exemplos de resposta: ângulos o.p.v.: W W W W W W W W W W W W 78 DOE e BO A, EOF e COB, DOC e FO A; ângulos suplementares: DOE e EO A, COB e BOF , FO A e AOC

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78

9/25/18 11:12

10 Ângulos formados por duas retas cortadas por uma transversal

Como todos eles se cruzam com alguns outros lápis, podemos dizer que eles são concorrentes. Observe que o lápis de cor laranja cruza os lápis nas cores rosa, verde e marrom-claro em lugares diferentes; dizemos que o lápis laranja é transversal aos lápis rosa, verde e marrom-claro. Toda reta transversal corta duas ou mais retas em pontos distintos. No encontro das duas retas com a transversal, ficam determinados oito ângulos com vértices nos pontos de intersecção. Veja um exemplo abaixo, em que t é transversal às retas r e s. t ^ b

^ a

r ^ c

^ d

^ f

^ e ^ h

g^

s

De acordo com a posição que ocupam, esses ângulos são classificados, dois a dois, com nomes especiais. Ângulos alternos internos t

• cU e eV VeV f •d

t ^ c

r

r ^ d

^ e s

^ f s

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

OLEGGANKO/SHUTTERSTOCK

Os lápis coloridos a seguir nos dão a ideia de partes de retas.

• Desenhe no quadro de giz duas retas cortadas por uma transversal. Identifique os ângulos formados e peça aos alunos que respondam se eles são alternos internos.

79

79

• Durante a explicação, se julgar oportuno, comente os significados dos nomes através da decomposição das palavras, facilitando a compreensão e a identificação dos ângulos classificados. Por exemplo, externos porque são os ângulos de “fora”, alternos porque são de “lados diferentes” etc.

Ângulos alternos externos t

t

^ a

V Veg •a V V •b eh

r

^ g

s

^ b

r

s

^ h

Ângulos correspondentes t r

VeV f •b

^ b

r ^ f

^ e s

s

t

t

V • cU e g

r

^ c

Veh V •d

r ^ d

^ g

s

s

^ h

Ângulos colaterais externos t

t

V Veh •a Veg V •b

^ a

r

^ b

^ g

s

^ h

r

s

Ângulos colaterais internos t

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

t

80

80

• cU e V f V • d e eV

r

r

^ c

^ d

^ f s

^ e s

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

V e eV •a

t

^ a

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

Agora, responda, no caderno, às questões.

Na figura abaixo, a reta t é transversal às retas r e s.

a 5 c 5 e 5 g 5 60°; b 5 d 5 f 5 h 5 120°

b) Nesse caso, os ângulos correspondentes têm a mesma medida? sim

^ b

c) Nesse caso, os ângulos alternos têm a mesma medida? sim

^ a

d) Nesse caso, qual é a relação entre os ângulos colaterais? São suplementares.

r

3

^ b 120°

a^ ^

120° d s

c^

60°

60° e^ 120°

Av. Matemática

GUILHERME CASAGRANDI

60° r

s

Com o auxílio de um transferidor, meça os ângulos formados.

ia

afia

Observe a representação de um bairro com algumas ruas destacadas.

R. G eogr

2

LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

s

Agora, identifique: a) dois ângulos opostos pelo vértice; cV e Ua b) dois ângulos alternos internos; Vn e Ua c) dois ângulos correspondentes; cV e Vn d) dois ângulos colaterais externos; cV e X m b eX m e) dois ângulos alternos externos. V

iência

^ n

R. C

GUILHERME CASAGRANDI

^ c

^ m

a) Quais deles têm a mesma medida?

t

R. H istór

1

• Na atividade 2, comente que a validade dos itens b, c e d é verificada em função do paralelismo entre as retas r e s. Esta atividade introduz o próximo assunto: relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal.

Representação esquemática de um bairro.

^ 120° f

^ h

Considerando as ruas destacadas, qual é o nome da via transversal às ruas Geografia, História e Ciências? Av. Matemática

r/s

g^

60° t

Relações entre os ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal Ângulos correspondentes Considere as retas r e s paralelas entre si e uma transversal t que as intercepta, conforme a figura abaixo. t

^ b

V são correspondentes. Veb Os ângulos a

r

r/s s

t : transversal

GUILHERME CASAGRANDI

^ a

81

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10/9/18 14:08

81

• Comente com os alunos que o decalque que Júlio fez é uma verificação, e não uma demonstração. • Na demonstração da rela­ ção dos ângulos alternos in­ ternos e ângulos alternos externos foi utilizada a pro­ priedade transitiva da con­ gruência, segundo a qual: Veb V & cU ] a U&b U & cU se a

Agora, observe o procedimento realizado por Júlio. Júlio usou um papel vegetal e fez um decalque V. do ângulo a

V Depois, colocou o decalque sobre o ângulo b e percebeu que os dois possuem a mesma abertura. t

^ a

^ b

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

a^

r

^ b

s

r

s

V são congruentes. Veb Com a sobreposicão, é possível perceber que os ângulos a Duas retas paralelas, cortadas por uma transversal, determinam ângulos correspon­ dentes congruentes. A recíproca também é verdadeira: se os ângulos correspondentes forem congruentes, as retas r e s serão paralelas.

Ângulos alternos internos e ângulos alternos externos

V são ângulos alternos internos. Observe a figura a seguir, em que os ângulos cU e b t ^ a ^ c

r ^ b s

Sendo r/s, temos: V, pois são ângulos correspondentes; V&b •a

V, pois são ângulos o.p.v. • cU & a V. Logo, podemos afirmar que cU & b

V e cU são ângulos alternos externos. Agora, veja a figura a seguir, em que os ângulos a t ^ a r ^ b ^ c

s

Sendo r/s, temos: V, pois são ângulos correspondentes; V&b •a V, pois são ângulos o.p.v. • cU & b

V. Logo, podemos afirmar que cU & a

Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos alternos (internos ou externos) congruentes. 82

82

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

t

Material Digital Audiovisual • Vídeo: Aviação e a Matemática

Ângulos colaterais internos e ângulos colaterais externos

V e cU são colaterais internos. Observe a figura a seguir, em que os ângulos a

Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual

t

r

^ a ^ b

^ c s

Sendo r/s, temos: V, pois são ângulos alternos internos; V&b •a V ) 1 med(cU ) = 180º, pois são ângulos adjacentes suplementares. • med(b

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

V e cU são suplementares. Logo, podemos afirmar que a

V e cU são colaterais externos. Agora, de acordo com a figura a seguir, temos que os ângulos a t ^ a

r ^ b s

^ c

Sendo r/s, temos: V, pois são ângulos correspondentes; V&b •a

V ) 1 med(cU ) 5 180º, pois são ângulos adjacentes suplementares. • med(b V ) 1 med(cU ) 5 180º. Logo, podemos afirmar que med(a Duas retas paralelas, interceptadas por uma transversal, determinam ângulos colaterais (internos ou externos) suplementares.

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno. a 5 70 , b 5 70o, c 5 40o e d 5 140o o

Podemos afirmar que as retas r e s são paralelas? Por quê? r 0

1

s 2

3

60°

4

5

6

7

8

9

Na figura abaixo, r e s são paralelas e t e u são transversais. Qual a medida dos ângulos aU, bU, cT e dU?

10 11 12

r ^ a

60°

40° ^ b 70°

t

Sim, pois os ângulos formados pelas retas r e s com a régua colocada na transversal têm a mesma medida. São ângulos correspondentes.

^ c

^ d

s u

ILUSTRAÇÕES:ADILSON SECCO

1

2

83

Veja a sequência didática 3 do 1o bimestre no Material do Professor – Digital.

• Após os alunos resolverem a atividade 1, questione-os: “Se um dos esquadros fosse de 45°, as retas ainda 9/25/18 11:12 seriam paralelas?”. • Na atividade 2 peça aos alunos que reproduzam a figura no caderno para marcar os ângulos. Um caminho possível para a resolução seria marcar o correspondente de 70° no cruzamento das retas r e t, e a partir daí concluir que 70° 1 40º 1 b 5 180º, determinando o valor de b.

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd 83

83

3

Sendo r /s, determine a medida dos ângulos aU, bU e cT em grau. a) b)

t 134°

a 5 60° b 5 120°

^ b

^ c

60° ^ a

a 5 46° b 5 46° c 5 134°

r

s

s

r

4

^ b

t

^ a

Na figura abaixo, as retas u, v e w são paralelas cortadas por uma transversal t. Determine, em grau, a medida dos ângulos xV, yV e zU. t x 5 50o, y 5 50o e z 5 130o

u ^ z

v 50° w ^ y

^ x

5

^ Sabendo que as retas r e s são paralelas, determine as medidas dos ângulos x^ e y. a)

b)

x 5 45o, y 5 40o ^ x

r

50° 38°

^ x

85°

^ y

^ y 40°

6

s

r

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• A atividade 5 tem como objetivo ajudar o aluno a compreender a possibilidade de incluir uma reta paralela auxiliar. Comente com os alunos que normalmente essa reta paralela é oculta.

x 5 130o, y 5 88o

s

As retas u, r e s são paralelas cortadas por uma transversal t. Qual a medida dos ângulos xV e yV?

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

u

^ x

r

s

^ y

x 5 50o, y 5 130o 50°

t

84

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84

9/21/18 18:32

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios, questões de exames e concursos, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até aquele momento.

Faça as atividades no caderno Faça as atividades no caderno.

Revisitando 1

Reescreva as frases abaixo no caderno, trocando o pelo termo adequado. • Retas paralelas (possuem/não possuem) um ponto em comum. não possuem • Retas concorrentes (possuem/não possuem) um ponto em comum. possuem

2

No quadro abaixo, estão escritas algumas palavras. Selecione e escreva, no caderno, as palavras relacionadas aos elementos de um ângulo. vértice, lado, semirreta

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

vértice

aresta

face

3

Explique a relação entre grau, minuto e segundo.

4

Relacione os itens do quadro 1 com os do quadro 2.

lado

semirreta

Revisitando • Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. • Na atividade 4, como curiosidade, comente que dois ângulos cuja soma das medidas resulta em 360° são chamados de ângulos replementares. • Na atividade 5, solicite aos alunos que determinem as WC medidas dos ângulos BO W W W e AO D. Como AO D e BO D são ângulos suplementares, WC e AOC W ,e assim como BO WC e AO WD são o.p.v., então: BO W B C) C 5 med(AO B WD) C 5 150°. med(BO

1 grau corresponde a 60 minutos, e 1 minuto corresponde a 60 segundos. I – C; II – A; III – E; IV – B e V – D.

1

I. Ângulo reto

II. Ângulo agudo

IV. Ângulos complementares

III. Ângulo obtuso

V. Ângulos suplementares

2

A. Medida menor que 90°. D. Dois ângulos cuja soma das medidas é 180°. B. Dois ângulos cuja soma das medidas é 90°. E. Medida maior que 90° e menor que 180°. C. Aquele que mede 90°. 5

A figura abaixo mostra duas retas concorrentes no ponto O. É possível saber a medida do VD? Justifique. Sim, med(BO WD) 5 30º, pois BO WD e AO WC são o.p.v. ângulo BO B C O 30° D A

Na figura ao lado, as retas r e s cortadas por uma transversal t formam 8 ângulos. Quais são os pares de ângulos correspondentes, alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos? Se r e s fossem paralelas, quais ângulos seriam congruentes e quais seriam suplementares?

WeV VeW a eV e, d h, V b e fT, c g; ângulos correspondentes: U W e fT, c VeV e ; alternos externos: V b eV h, alternos internos: d WeV V e fT; e colaterais U a eW g ; colaterais internos: d e, c a eV h, V b eW g . Se r e s fossem retas paralelas, externos: U os ângulos correspondentes e alternos (internos e externos) seriam congruentes, e os ângulos colaterais (internos e externos) seriam suplementares.

t ^ a

^ b

^ d

^ c

^ f ^ g

r

s ^ e ^ h

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

6

85

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9/25/18 11:13

85

Aplicando Lembre-se: Não escreva no livro!

Aplicando

triângulo equilátero

Observe o ângulo aU indicado na imagem e, com o auxílio de um transferidor, determine sua medida aproximada, em grau. 40° BUTEO/SHUTTERSTOCK

6

Av. Gira fa

R. C ame lo

Av. Hip opó tam o

R. Ja caré

Av. Elef ante

R. Z ebra

R. C apiv ara

W a

R. C obr a

Representação esquemática de parte de um bairro.

Quantos graus tem cada uma dessas medidas de ângulo? a) 60’ 1° b) 600’ 10° c) 180’ 3° d) 3 600” 1°

4

Quantos minutos tem cada uma destas medidas de ângulo? a) 57° 3 420’ b) 120° 37’ 7 237’ c) 49° 35’ 2 975’ d) 95° 35’ 5 735’

(Saresp) Para ir de casa ao trabalho ou para voltar, Letícia usa os percursos A, B ou C, indicados no mapa abaixo. Ela nunca vai e volta pelo mesmo percurso. Hoje, na ida, fez um ângulo reto e outro menor que o reto e, na volta, fez dois ângulos maiores que o reto.

72 000’’

3o) Girar 120° à direita e caminhar mais 5 passos.

R. Teerã

Letícia

XI

rá Co rro e B C R. C o Filh Av. de Pe. An Per dra eir de a

Av. Qu eiro z

XI

2 ) Girar 120° à direita e caminhar mais 5 passos. o

R. Pio

es en ma ióg Li . D de Av eiro Rib

Paulinho brinca com seu robô, que funciona por controle remoto. O menino transmite ao robô os seguintes comandos: 1o) Caminhar 5 passos para a frente.

86

8

Av. Prof. Fonseca Rodrigues Parque Villa-Lobos

A

er alt Gu ão .S Av

Quantos segundos correspondem a 20°?

Adapte os comandos da atividade 5 e refaça-a utilizando um software de programação visual.

io R. P

3

7

R. Schilling

2

Ponte de la Mujer: obra do arquiteto espanhol Santiago Calatrava, situada sobre o rio Puerto Madero, em Buenos Aires, Argentina, em 2009.

R. H eit or Pe nt ea do

ADILSON SECCO

• Com base no esquema, cite um par de ruas ou avenidas que são paralelas e outro que são perpendiculares entre si.

5

Praça do Pôr do sol Av. Diógenes Ribeiro de Lima Praça Panamericana

Shopping Villa-Lobos

Os caminhos de ida e de volta de Letícia hoje, nessa ordem, foram: alternativa b a) A e C. c) B e C. b) A e B. d) C e A.

1. Exemplo de resposta: paralelas: Avenida Elefante e Rua Jacaré perpendiculares: Avenida Hipopótamo e Rua Jacaré

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86

Faça um desenho do trajeto do robô, representando cada passo por 1 cm. Qual a figura formada pelo trajeto do robô?

Gilberto representou parte do bairro onde mora indicando algumas ruas e avenidas. É possível identificar no esquema ruas paralelas e ruas perpendiculares entre si. ADILSON SECCO

1

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Ao trabalhar com essas atividades, incentive os alunos a sempre identificar quais conceitos foram mobilizados para a resolução de cada uma das atividades. Proponha, sempre que possível, que compartilhem respostas e estratégias com os colegas, para que percebam que não há uma única maneira de resolver as atividades propostas e também para que possam ampliar o repertório. • A atividade 1 trabalha com o detalhe de uma página de um guia de ruas. Atividades como essa buscam aproximar os conceitos estudados da realidade dos alunos e podem ser propostas com maior frequência. • Na atividade 2 comente que 1° corresponde a 3 600''. • Em todas as atividades que envolvem medições com o transferidor, oriente-os a reproduzir as figuras em papel vegetal para que se possa prolongar os lados dos ângulos. • Para a atividade 7, sugerimos a utilização do Tucaprog, um software de programação visual, disponível em: . Acesso em: 4 out. 2018.

9/25/18 11:13

• Na atividade 9, se julgar necessário, explique o que significa girar no sentido horário e no sentido anti-horário.

Lembre-se: Não escreva no livro!

(Enem) As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeça que está sendo montado. Observe que as peças são quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura  A e 8 peças no tabuleiro  da  figura  B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos. alternativa c figura B

Qual é a medida do complemento do ângulo 46° 47’ 23” que mede 43° 12’ 37”?

13

Dois ângulos opostos pelo vértice são: alternativa c a) complementares. b) rasos. c) congruentes. d) suplementares.

14

Na foto abaixo, há alguns ângulos destacados. Cite pares de ângulos que são correspondentes, alternos internos, alternos externos, colaterais internos e colaterais externos.

peça 2

É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça: a) 1 após girá-la 90° no sentido horário. b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. d) 2 após girá-la 180° no sentido horário. e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário. 10

11

Efetue as operações. a) 45° 12’ 47” 1 47° 49’ 48” 93° 2’ 35’’ b) 45° 20’ 20” 2 37° 47’ 28” 7° 32’ 52’’ c) 5 8 (13° 18’ 20”) 66° 31’ 40’’ d) (49° 27’) 4 2 24° 43’ 30’’ (Obmep) Na figura dada, ABOD e BBOY são ângulos retos e a medida de DBOY está entre 40o e 50o. Além disso, os pontos C e Y estão sobre a reta r, enquanto D e E estão sobre a reta s. O possível valor para a medida de ABOC está entre alternativa b

1 2 4

3 5

6 7

8 9

DESAFIO

A figura abaixo representa o piso de uma sala. O mosaico é formado por quadrados e octógonos regulares (os lados têm a mesma medida e os ângulos internos são congruentes). Calcule, em grau, a medida dos ângulos internos do octógono regular. 135° ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

peça 1

30o e 40o; 40o e 50o; 50o e 60o; 40o e 60o ou não pode ser determinado.

12

GUILHERME CASAGRANDI

figura A

a) b) c) d) e)

FOTO: JANELLE LUGGE/SHUTTERSTOCK/ ILUSTRAÇÃO: ADILSON SECCO

9

A D

C

O E

s

Y r

B

14. Exemplo de resposta: correspondentes: 1 e 2, alternos internos: 5 e 8, alternos externos: 4 e 9, colaterais internos: 5 e 7, colaterais externos: 2 e 5

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• No Desafio, oriente os alunos a escreverem uma sentença matemática considerando x o número a ser determinado. Lembre-os de que, para formar o piso, a soma das medidas dos ângulos internos dos polígonos (2 octógonos e 1 quadrado) deve ser 360°.

87

9/25/18 11:13

87

Elaborando Lembre-se: Não escreva no livro!

Elaborando 1

Usando um software de geometria dinâmica, podemos investigar muitas relações geométricas. A vantagem de fazer investigações com esse tipo de ferramenta é que, com uma única construção, é possível explorar diferentes configurações. Junte-se a um colega e sigam as instruções abaixo. Vamos explorar as relações entre os ângulos formados por uma transversal cortando duas retas paralelas. I. II. III. IV.

Construir uma reta AB . Construir uma reta CD , paralela à reta AB . Construir uma reta EF , transversal às retas paralelas. Marcar as intersecções M e N entre as retas paralelas e a transversal.

a) Qual das figuras a seguir está correta com relação às instruções dadas? Espera-se que os alunos percebam que as duas figuras estão corretas.

B

B

D

M A

E

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

E

ADILSON SECCO

• A seção incentiva a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 5 da competência específica 5. • Indique um software de geometria dinâmica e auxilie os alunos mostrando suas principais ferramentas e seu funcionamento, como o Geogebra e o iGeom. • Traçar as duas retas paralelas e uma reta t, transversal, e verificar o que ocorre com os ângulos formados quando essa reta t é movimentada faz os alunos visualizarem que os ângulos correspondentes, assim como os alternos (internos e externos), são congruentes e que os ângulos colaterais (internos e externos) são suplementares. Verificar propriedades matemáticas por meio da experimentação ou simulação contribui para que os alunos se convençam da validade das mesmas. • Comente com os alunos que nem todos os pontos podem ser movimentados. De modo geral, aqueles resultantes de intersecções não são móveis.

M N

D

F

N C A C F

figura 1

figura 2

B b) Com a ferramenta de medida de ângulos do software, meçam os 8 ângulos formados (AME, B B, BM B N, NM B A, CN B M, MN B D, DN B F e FN B C). EM c) Observem as medidas dos ângulos alternos internos, alternos externos e correspondentes. Que relação vocês verificam? Os ângulos alternos internos são congruentes, os ângulos alternos externos são congruentes e os ângulos correspondentes também são congruentes.

d) Agora, movimentem a construção pelos “pontos móveis” modificando a configuração inicial. Nessa nova configuração, a relação observada se mantém? Sim, os novos ângulos formados mantêm a relação de congruência.

e) Observem agora os ângulos colaterais internos e externos em diversas configurações. É possível verificar alguma relação? Se sim, qual? Sim, eles são suplementares. 2

Para realizar essa atividade, utilize um par de esquadros e um transferidor. Resposta pessoal. a) No caderno, construa duas retas paralelas cortadas por uma transversal e elabore duas questões que podem ser respondidas observando a figura construída. b) Troque de caderno com um colega e responda às questões criadas por ele. c) Analise as respostas do colega e dê um retorno a ele, dizendo o que ele respondeu corretamente e onde ele se equivocou.

Ver descrição da competência geral 2 na página 57. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

88

88

Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, signifidiversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

PDF-056-090-MCP7-C03-G20.indd cativa, reflexiva e ética 88 nas

9/25/18 11:13

É hora de extrapolar

É hora de extrapolar

• A seção propõe o fechamento da unidade por meio de um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de cartazes, que serão compartilhados com a comunidade escolar. • Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:

Faça as atividades no caderno.

VOCÊ CONSIDERA SUA ALIMENTAÇÃO SAUDÁVEL?  Uma boa nutrição é fundamental para a saúde, o bem-estar e a qualidade de vida de todos. É importante escolher os alimentos que serão consumidos de forma consciente e equilibrada. Na adolescência, os bons hábitos alimentares são essenciais para o desenvolvimento físico e mental, além de contribuírem para uma vida adulta saudável. Assim, nessa fase, alimentar-se bem deve ser prioridade. Objetivos: Pesquisar sobre a composição e os hábitos de uma alimentação saudável, elaborar cartazes com informações e incentivos e realizar campanha na comunidade escolar para a promoção do consumo de alimentos saudáveis.

ƒ Entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado. ƒ Pesquisa coletiva. ƒ Elaboração, em grupo, do produto proposto. ƒ Apresentação e exposição dos cartazes. ƒ Reflexão e síntese do trabalho.

Etapa 1: Pesquisa sobre a composição e os hábitos de uma alimentação saudável

2. Pesquisem, em sites, livros especializados sobre alimentação ou nutrição ou em revistas sobre saúde, o que constitui uma alimentação saudável. A pesquisa deve contemplar tipos de nutriente que devem ser consumidos, quantidades necessárias, alimentos que fornecem esses nutrientes e hábitos que devem ser adotados. 3. Comparem o resultado da pesquisa feita na atividade 2 com a lista elaborada na atividade 1. Respostas a) Alguma informação obtida na pesquisa não estava na lista das ideias iniciais? Se sim, qual(is)? pessoais. b) Algum item da lista das ideias iniciais não pode ser considerado parte de bons hábitos alimentares? Resposta pessoal.

4. A Pesquisa Nacional de Saúde do Escolar (PeNSE), que teve a sua terceira edição em 2015, traz dados sobre diversos aspectos da saúde dos adolescentes brasileiros, sendo um deles estudado aqui: os hábitos alimentares. Observem o gráfico a seguir. Analisem o gráfico e façam o que se pede. a) Nessa pesquisa, os alimentos considerados marcadores de alimentação não saudável são: • salgados fritos: coxinha de galinha, quibe, pastel, acarajé, batata frita (exceto batata de pacote); • guloseimas: doces em geral, como balas, chocolates, chicletes, bombons e pirulitos; • refrigerantes; • alimentos ultraprocessados: hambúrguer, presunto, mortadela, salame, linguiça, salsicha, macarrão instantâneo, salgadinho de pacote, biscoitos salgados. Pesquisem o motivo pelo qual esses alimentos são considerados não saudáveis, destacando o que acontece em caso de consumo excessivo. b) Muitas pessoas consomem os alimentos listados no item a em excesso mesmo sabendo que são considerados não saudáveis. Por que isso acontece? Resposta pessoal.

PORCENTAGEM DE ESTUDANTES DO 9º- ANO QUE CONSOMEM ALIMENTOS COM MARCADORES DE ALIMENTAÇÃO SAUDÁVEL E NÃO SAUDÁVEL (Brasil – 2015) 70% 60,7% 60%

ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1. Reúna-se em grupo e anotem, em uma lista, as ideias iniciais do que vocês consideram ser hábitos alimentares saudáveis. Resposta pessoal.

50% 40% 30% 20%

13,7%

10% 0%

s s s s s os ijão ume esca do ma rante frit Fe ssa s sei g fr e e os o s l g c Le i d a u t fr ro do G lga Re Fru rap lga Sa Ult sa MAS (marcadores de alimentação saudável) MANS (marcadores de alimentação não saudável)

Dados obtidos em: . Acesso em: 3 set. 2018.

Etapa 2: Pesquisa e análise de dados sobre a conservação de alimentos

5. Além da escolha de alimentos, é importante que eles sejam conservados e preparados de modo correto. O resfriamento e o congelamento são formas muito utilizadas para aumentar o tempo de conservação dos alimentos. 89

Competência específica 4: Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência específica 8: Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

As etapas de pesquisa e elaboração do produto podem ser realizadas extraclasse. Verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho. • A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 4, 7 e 9 e das competências específicas 4, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimentos prévios necessários. • Solicite aos alunos que reflitam sobre a pergunta que dá título à seção e a respondam com “sim”, “mais ou menos” e “não”, e represente graficamente as respostas da turma. Essa poderá ser uma boa oportunidade para discutir qual é o tipo de gráfico mais adequado para representar a situação. • Amplie a discussão sobre o item b, da atividade 4, promovendo a compreensão de que muitos dos elementos presentes nos alimentos não saudáveis causam a sensação de prazer e que podem ser consumidos sem comprometer a saúde – sem ser em excesso.

89

• Verifique se os alunos já haviam reparado que a parte inferior interna da geladeira tem temperatura mais elevada que a parte superior e, por isso, os hortifrútis costumam ficar embaixo. • Considerando a ilustração a seguir, temos que para o item a, da atividade 6: a 5 90°, ângulo reto; d 5 180°, ângulo raso; D 5 45°, ângulo agudo; f 5 45°, ângulo agudo.

Lembre-se: Não escreva no livro!

a) Pesquisem os motivos pelos quais o resfriamento e o congelamento ajudam a conservar os alimentos. b) Observem a tabela a seguir.

Temperaturas para armazenagem de produtos Tipo de armazenagem Tipo de alimento Temperatura Congelamento Qualquer alimento Menor ou igual a –18 °C Hortifrúti, leite e derivados Até 10 °C Refrigeração Carne Até 4 °C Pescados Até 2 °C

congelados

Etapa 3: Elaboração de cartazes

a

Legumes b e verduras

γ δ

pescados

224 222 220 218 216 214 212 210 28 26 24 22 0

Proteína animal

Proteína vegetal

• Se achar conveniente, essa campanha pode ser divulgada de modo digital. Explore com os alunos as possibilidades de divulgação digital que eles conhecem e eleja um meio para a exposição dos materiais produzidos por eles. • Ao término das atividades propostas, repita a pergunta “Você considera sua alimentação saudável?” para verificar se os resultados permaneceram ou se os alunos mudaram de opinião sobre a própria alimentação após as informações que coletaram; então, monte outro gráfico comparando-o com o feito inicialmente. Peça aos alunos que compartilhem suas aprendizagens. • Para consolidar o estudo da unidade, releia e refaça coletivamente as atividades do “Revisitando” e as questões da abertura de unidade.

2 4 carne

6

8

10 12

6. Analisem as imagens a seguir, que mostram como devem ser as proporções entre os alimentos em uma refeição considerada saudável.

Fruta

ILUSTRAÇÕES: BENTINHO

ADILSON SECCO

Carboidratos

Carboidratos Legumes e verduras

Proteína animal Proteína vegetal

Fonte: . Acesso em: 25 ago. 2018.

a) Considerando que “legumes e verduras” devem corresponder à metade da área do prato, “carboidratos”, a um quarto da área do prato, e as “proteínas animal e vegetal”, a um oitavo cada, determinem a medida dos ângulos centrais que correspondem a cada um desses setores e classifiquem-nos em agudo, reto, obtuso ou raso. b) Acessem o site Prato Legal e explorem a ferramenta Crie seu prato legal (disponível em: ; acesso em: 3 set. 2018). Montem diferentes pratos e observem as informações nutricionais fornecidas pela ferramenta. c) Escolham um ou dois pratos montados no item b e o(s) reproduzam em um cartaz utilizando régua, compasso e transferidor. Preencham os setores com imagens dos alimentos e coloquem informações sobre a composição escolhida (o que determina que essa composição seja interessante e saudável) e como incentivar as pessoas a buscar uma alimentação equilibrada.

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Agora, representem as temperaturas em uma reta numérica, indicando os intervalos correspondentes a cada tipo de alimento e considerando que os alimentos refrigerados ficam a hortifruti, leite e derivados temperaturas maiores que 0 °C.

ADILSON SECCO

Dados obtidos em: . Acesso em: 25 ago. 2018.

Etapa 4: Campanha pela promoção de alimentos saudáveis 7. Disponibilizem os cartazes criados na etapa anterior para que a turma analise a escolha dos alimentos e opinem a respeito das informações apresentadas. 8. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.  9. Depois dos ajustes necessários, criem um título para uma campanha pela promoção da alimentação saudável na escola e façam uma exposição dos cartazes para a comunidade escolar. Etapa 5: Síntese do trabalho realizado Respostas pessoais. 10. Algumas questões devem ser discutidas: a) Após a realização das pesquisas, vocês pretendem fazer alguma mudança em seus hábitos alimentares? Se sim, qual(is)? Se não, por quê? b) Você acredita que uma campanha pode contribuir para que as pessoas busquem hábitos alimentares mais saudáveis? 11. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4. 90

Veja proposta de avaliação de aprendizagem no Material do Professor – Digital.

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Sugestão de leitura • A Pesquisa Nacional de Saúde Escolar, realizada em 2015, pelo IBGE em convênio com o Ministério da Saúde, com o apoio do Ministério da Educação, apresenta comentários analíticos sobre a realidade local e a situação da saúde dos escolares, a partir de duas amostras investigadas. Disponível em: . Acesso em: 3 out. 2018.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

UNIDADE

• Esta unidade explora o desenvolvimento de habilidades das unidades temáticas Números (capítulos 4 e 5) e Álgebra (capítulo 6). • Provavelmente os alunos já tiveram contato em suas experiências diárias, ou nos anos anteriores, com alguns dos conteúdos trabalhados nesta unidade; então, leve em consideração aquilo que eles já sabem a respeito do assunto. • O objetivo das questões do “É hora de começar” é instigar a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados nos capítulos que integram a unidade. As questões não precisam ser respondidas neste momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que os alunos reflitam sobre o que aprenderam.

II

Nesta unidade você vai estudar Capítulo 4 Frações Capítulo 5 Números racionais Capítulo 6 Linguagem algébrica e regularidades

É hora de começar 1 Em que situações as frações podem representar ideia de razão? 2 Que tipos de problema os números racionais nos ajudam a resolver? 3 Você conhece alguma sequência numérica? Qual?

Veja plano de desenvolvimento e projeto integrador no Material do Professor – Digital. PDF-091-106-MCP7-C04-G20.indd 91

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Objetivos • Compreender que a fração pode ser utilizada para representar a parte de um inteiro, um quociente, uma razão e um operador. • Comparar e ordenar frações. • Resolver problemas utilizando diferentes algoritmos.

CAPÍTULO

4

Habilidades da BNCC

Frações

COMO LAVAR A ROUPA?

• Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA05, EF07MA06, EF07MA07, EF07MA08 e EF07MA09.

Para que a tarefa seja realizada de maneira rápida e efetiva, é preciso fazer um planejamento de cada etapa. Ao pensar no processo que envolve a atividade cotidiana de lavar a roupa, você está trabalhando o pensamento computacional. Mesmo sem perceber, utiliza algoritmos para resolver problemas, organizar itens e economizar tempo e recursos.

• Neste capítulo, abordaremos as frações e seus significados. Entender seu conceito e seus diferentes significados é de fundamental importância para um conhecimento sólido que dará suporte para os demais anos de estudo. Neste momento, abordaremos a compreensão da fração como representação de parte de inteiros, como resultado de uma divisão, como razão e como operador.

1

2

Análise da roupa

Identifique a quantidade de peças sujas e os diferentes tipos: roupas de cama e banho (lençóis, fronhas e toalhas), de academia, do trabalho, de sair, entre outros. Nesse momento, ao analisar o problema a ser resolvido, você está trabalhando o conceito de decomposição.

Separação

Reconheça os padrões e divida os grupos de roupas para organizar a lavagem. Separe, em pilhas, peças claras, de cores escuras e coloridas, para que, durante a lavagem, elas não manchem. Também vale lavar separadamente as roupas mais delicadas e as mais pesadas.

Remova quaisquer ornamentos, decorações, broches ou fivelas que possam fazer buracos ou danificar outras peças.

Vire os bolsos do avesso para tirar a sujeira.

Roupas coloridas

Feche os zíperes, enganche todos os ganchos e abotoe todos os botões.

Roupas escuras Roupas claras

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EF07MA05: Resolver um mesmo problema utilizando diferentes algoritmos. EF07MA06: Reconhecer que as resoluções de um grupo de problemas que têm a mesma estrutura podem ser obtidas utilizando os mesmos procedimentos. EF07MA07: Representar por meio de um fluxograma os passos utilizados para resolver um grupo de problemas. EF07MA08: Comparar e ordenar frações associadas às ideias de partes de inteiros, resultado da divisão, razão e operador. EF07MA09: Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2/3 para expressar a razão de duas partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

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É hora de observar e refletir

3

• Proponha aos alunos que montem um algoritmo para calçar um par de meias, por exemplo. Um passo a passo possível pode ser: 1. abre-se a gaveta; 2. escolhe-se um par de meias; 3. fecha-se a gaveta; 4. desenrola-se as meias; 5. calça-se uma meia no pé direito; 6. calça-se a outra meia no pé esquerdo. A ideia é que os alunos realizem a atividade individualmente, para que depois se faça a resolução coletiva. É provável que eles não incluam o “abrir e fechar da gaveta”, sendo essa a oportunidade de comentar sobre a necessidade de fornecer instruções precisas.

Sabão e amaciante

A quantidade dos produtos varia de acordo com o nível de sujeira das roupas e da capacidade da máquina de lavar. Entre as roupas brancas, separe as mais sujas para utilizar um removedor de manchas ou deixá-las de molho antes da lavagem. Qual é a medida? Para uma máquina de 9 kg ou mais podemos usar, por exemplo: • Detergente em pó: 1 copo americano* • Detergente líquido: 1+ 1 tampa 2 • Amaciante: 3 de tampa 4 * copo americano de 200 mc

Detergente em pó Detergente líquido

Amaciante

4

Organização da sequência

A lavagem dos grupos de roupa devem seguir uma ordem. Devem-se levar em consideração algumas variáveis: o tempo de lavagem, o espaço para estender as peças e o tempo de secagem. Assim, é possível saber quantos grupos podemos lavar em sequência até que o varal fique cheio. Isso é o que o pensamento computacional chama de separar a tarefa por etapas e decidir a ordem de realização mais eficiente para elas. Por exemplo: Sábado 1. Roupas íntimas, que secam mais rápido 2. Roupas brancas 3. Roupas coloridas 4. Roupas escuras

Domingo 5. Peças maiores, como lençóis e toalhas, que levam mais tempo para secar e ocupam mais espaço no varal

É hora de observar e refletir

Você consegue pensar em mais alguma situação do dia a dia em que há um algoritmo presente?

Fonte: Google. Computational Thinking for Educator. Disponível em: ; Paulo Blikstein. O pensamento computacional e a reinvenção do computador na educação. Disponível em: ; Daiane Andrade. Proposta de atividades para o desenvolvimento do pensamento computacional no Ensino Fundamental. Disponível em: ; Sérgio Crespo. O pensamento computacional e suas implicações no ensino de computação e demais áreas. Disponível em: . Acessos em: 29 ago. 2018.

ILUSTRAÇÃO: GIL TOKIO

Um produto da aplicação do pensamento computacional na resolução de problemas é um algoritmo. Um algoritmo é uma sequência finita e bem definida de passos que nos ajudam a resolver um problema ou realizar uma tarefa. Em Matemática, executamos algoritmos em muitos momentos, como ao armar e efetuar uma conta ou ao fazer uma construção geométrica com régua e compasso. Entretanto, assim como o infográfico ilustra, o pensamento computacional pode nos ajudar em diversas atividades do dia a dia, como lavar roupa, por exemplo. Resposta pessoal.

93

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93

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2 e 4 e das competências específicas 6 e 8. • Nesta atividade, há uma sequência de passos a serem realizados para obter a ordenação das cartas numeradas; portanto, trata-se de um algoritmo de ordenação. É importante que os alunos compreendam esse algoritmo, pois ele será utilizado na seção “Resolvendo em equipe” da página 104. • Como sugestão, para explorar a atividade, leve dois baralhos completos, retire os coringas, separe cada baralho pelos naipes (ouros, paus, copas e espadas), atribua valor para as cartas especiais (A vale 1, J vale 11, Q vale 12 e K vale 13). Separe os alunos em 8 grupos e distribua os montes obtidos, solicitando a eles que os ordenem utilizando o algoritmo de ordenação apresentado.

Trocando ideias No cotidiano, muitas vezes temos que fazer uma ordenação, tarefa que envolve comparar e decidir se um elemento vem antes ou depois de outro. A ideia de ordem aparece, por exemplo, na classificação de vencedores de uma prova de atletismo, na agenda de contatos do celular, entre outras situações. Existem muitas estratégias de ordenação, e uma delas é a ordenação por seleção. Considere que você tenha que ordenar várias cartas numeradas. Um dos montes, formado por cartas que não estão ordenadas, será chamado de Y e o outro, que será formado a partir da transferência sucessiva das cartas de Y, será chamado de X. Veja o esquema da estratégia e leia a descrição a seguir: início

A

sim

ii

ADILSON SECCO

i

iii

fim

A. Há cartas no monte Y? • Se sim, então: i) considere o número da primeira carta do monte Y como o de maior valor, transferindo essa carta para o monte X; ii) procure em Y uma carta cujo número seja maior que o da carta do topo de X e, se encontrar, troque-as de monte. Repita esse procedimento até conferir todas as cartas de Y; iii) volte em A. • Se não há mais cartas em Y: Conclui-se que só o monte X contêm cartas e que estas que estão ordenadas. É possível usar esse método para ordenar frações de denominadores iguais ou diferentes? Sim, mas, se os denominadores forem diferentes, precisaremos igualá-los por meio de frações equivalentes.

Sugestões de atividade extra • Peça aos alunos que façam um fluxograma de uma tarefa cotidiana. Se julgar interessante, crie painéis e exponha para a sala.

Neste capítulo, aprofundaremos as ideias relacionadas ao conceito de fração e veremos como ordenar frações aplicando essa ideia na atividade proposta na seção “Resolvendo em equipe”, no final do capítulo.

94

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

não

1

• Antes de iniciar a explicação do conteúdo, relembre o nome das partes de uma fração (numerador e denominador). Se julgar interessante, relembre também a leitura das frações de acordo com os denominadores. • Comente com os alunos que as partes do todo devem ser sempre equivalentes, ou seja, devem ser do mesmo tamanho.

A ideia de parte de um inteiro

Neste capítulo, vamos retomar e estudar algumas ideias associadas às frações.

O comprimento 1 do lápis é do 3 comprimento do caderno.

1 3

Lemos: “um terço”.

2 (lemos: “dois quintos”). 5 Essa fração indica que o inteiro foi dividido em 5 partes iguais e que consideramos 2 dessas 5 partes. Agora, vamos analisar a fração

Usamos denominador para indicar em quantas partes de mesmo tamanho um inteiro foi dividido, e numerador para indicar quantas partes do inteiro nos interessam, ou seja, na 2 fração , o 5 é o denominador e o 2 é o numerador. 5 2 Podemos representar a fração de várias formas. Veja dois exemplos: 5 1 — 5 1 — 5

1 — 5

1 — 5

1 — 5

1 — 5

O inteiro foi representado pelo retângulo, que foi divididos em 5 partes equivalentes entre si. As partes que interessavam do inteiro foram coloridas de azul (2 das 5 partes).

1 — 5

1 — 5

1 — 5

1 — 5

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

GEORGE TUTUMI

Uma fração pode representar a ideia de parte de um inteiro. Observando a situação a seguir, temos que o comprimento de três lápis equivalem ao comprimento do caderno. Assim:

O inteiro foi representado pelo círculo, que foi divididos em 5 partes iguais. Assim, 2 das 5 partes foram coloridas de verde.

Podemos usar as frações para representar partes de inteiros de diferentes tipos. Acompanhe as situações a seguir e veja alguns exemplos. 95

Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). Competência específica 8: Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

95

• Comente que quando a fração está relacionada à parte de um todo, esse todo pode ser, por exemplo, uma quantidade de maçãs, como na situação 1, pode ser uma ou duas pizzas, como na situação 2, ou também pode ser os alunos de uma sala de aula ou os animais de um zoológico etc.

Situação 1 2 de 15 maçãs. Quantas maçãs Gabriela irá escolher? 5

ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI

Em vez de uma única maçã, nessa situação o inteiro será representado pelo total de maçãs. 2 Para considerar dessas maçãs, podemos, por exemplo, selecionar duas das cinco colunas de 5 maçãs, como indicado a seguir.

Poderíamos selecionar

2 das maçãs mesmo que não estejam organizadas em colunas. Veja: 5

Portanto, Gabriela irá escolher 6 maçãs (

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Gabriela tem que escolher

2 de 15 maçãs). 5

Situação 2

ADILSON SECCO

1 Vamos considerar que uma pizza foi dividida em 8 pedaços equivalentes entre si e que 4 foi consumido. Veja como podemos representar essa situação:

1 2 5 4 8

Nesse caso, o inteiro é considerado como uma pizza. 96

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96

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a seguinte possibilidade de representação.

1 foi consumido. Assim, temos 4

1 4 5 4 16

ADILSON SECCO

Agora, vamos considerar o inteiro como duas pizzas das quais

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe que, dependendo do inteiro escolhido, a quantidade de pedaços de pizza con1 1 sumidas indicada por pode variar. No caso em que o inteiro é uma pizza, desse inteiro é 4 4 1 equivalente a 2 pedaços. Já no caso em que o inteiro são duas pizzas, desse inteiro equivale 4 a 4 pedaços.

• Se adotarmos duas pizzas 1 como inteiro, a fração , 4 que representa a quantidade de pedaços de pizza consumidos, equivale a 4 pedaços, pois o inteiro, nesse caso, é representado por 16 pedaços. Porém, se adotarmos o inteiro como três pizzas, essa fração equivale a 6 pedaços, pois, nesse caso, o inteiro é representado por 24 pedaços. Chame a atenção dos alunos para o fato de que a representação da quantidade de pedaços de pizza consumidos decorre da escolha do inteiro e de quantas partes esse inteiro foi dividido.

Situação 3 Leia as adivinhas a seguir e tente descobrir a que se referem. Um palácio tem doze damas, Cada dama tem quatro quartos, Todas elas usam meias E nenhuma usa sapato. o relógio analógico Tem folhas e não é planta, Tem lombo e anda de capa O estudante que o abandona Da nota má não escapa. o livro Responda depressa Não seja bocó, Está no pomar E no seu paletó.

a manga

Essas adivinhas vão compor uma página de um livro de brincadeiras; por isso, vamos considerá-las como o inteiro. Temos 12 frases distribuídas em 3 adivinhas. Podemos dizer que cada adivinha corresponde 1 a do total de frases, pois cada uma delas tem 4 frases. 3 Com base nas situações apresentadas, podemos concluir que é necessário conhecer o inteiro para encontrar uma forma adequada de dividi-lo. Assim, podemos representar a quantidade de partes do inteiro que nos interessam usando uma fração. 97

97

Sugestão de atividade extra • Faça um levantamento de lendas, mitos, canções infantis, quadrinhas e adi­ vinhas lembrados ao longo de uma aula. Com a ajuda dos alunos, selecione alguns textos e faça uma atividade similar à proposta na situa­ ção 3 (página 97): contar frases ou versos e represen­ tá­los na forma de fração. Oriente os alunos a montar um painel com as adivinhas para que fique exposto à comunidade escolar. Esse tipo de atividade favo­ rece o desenvolvimento da competência geral 3.

Quadrinhas e advinhas

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

Observe as imagens e as duas indicações de inteiro em cada item. A seguir, escreva no caderno a fração que representa cada indicação. a) Cada barra de chocolate é formada por 9 pequenos retângulos de mesmo tamanho.

• Considerando duas barras de chocolate como o inteiro, qual fração representa a quantidade de chocolate da ilustração? 5 (ou fração equivalente) 6 • Considerando quatro barras de chocolate como o inteiro, qual fração representa a quantidade de chocolate da ilustração? 5 (ou fração equivalente) 12 b) Cada copo representado a seguir foi marcado e dividido em 4 partes iguais, que indicam o mesmo volume de líquido.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Você deve se lembrar de algumas brincadeiras e cantigas de roda, mesmo que não brinque mais. Ou de lendas como a da mula sem cabeça, a do saci, do boitatá, de lobisomens e bruxas, entre outras. Talvez você tenha lido essas lendas em livros, em histórias em quadrinhos ou, até mesmo, visto em encenações. Mas há muitas histórias, lendas, mitos, canções que chegaram até nós porque foram passadas de uma pessoa para outra, ao longo do tempo, antes que alguém as registrasse em um livro. Isso significa que a palavra falada veio muito antes que a palavra escrita. A cultura oral, que também chamamos de tradições orais, caracte riza o povo de um país, pois identifica as pessoas do meio e com o lugar onde nasceram. As quadrinhas e adivinhas também fazem parte dessa tradição oral.

6 (ou fração equivalente) 8

ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI

• No item a da atividade 1, para resolver o primeiro item, pode­se pensar em quantas partes iguais à re­ tirada conseguimos com as duas barras, obtendo então o valor 6. Como 5 dessas partes estão representadas, 5 temos a fração . 6 • Na atividade 2, item b, 4 partes correspondem a 8 1 ; logo, ou 1 inteiro seria 8 8 representado por 8 3 4 partes, ou seja, 32 partes. Como cada círculo é composto de 8 partes, precisamos de 4 cír­ culos, ou seja, o inteiro será representado por 4 círculos.

Lendo e aprendendo

• Se o inteiro considerado for dois copos, qual fração representa a quantidade de água da ilustração? • Se o inteiro for três copos, qual fração representa a quantidade de água da ilustração? 6 (ou fração equivalente) 12

Com base na representação a seguir, responda às questões no caderno. ADILSON SECCO

2

1 do inteiro? 2 O inteiro é um círculo. 1 b) Qual seria o inteiro se a área laranja correspondesse a dele? 8 O inteiro seriam 4 círculos. a) Qual é o inteiro se a área laranja corresponde a

98

Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar produção artístico­cultural.

PDF-091-106-MCP7-C04-G20.indd 98 da de práticas diversificadas

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2

• Pergunte aos alunos o que aconteceria se houvesse 42 cartas para serem distribuídas entre 5 crianças. Faria sentido dizer que 42 cada criança receberia 5 de cartas? Nesse caso, seria necessário tirar 2 cartas do monte para distribuí-las igualmente, pois 42 dividido por 5 tem resto 2 e não podemos distribuir 2 cartas para 5 pessoas, já que, nesse caso, não podemos recortar as cartas.

A ideia de quociente

Além da ideia de parte de um inteiro, as frações podem representar um quociente, ou seja, o resultado de uma divisão. Acompanhe as situações a seguir.

Situação 1 São 40 cartas para distribuir entre a gente.

Carolina tem 40 cartas para distribuir entre ela e seus amigos. Como são 5 pessoas, podemos 40 representar a quantidade que cada um vai receber como: 40 9 5 5 5 40 Nesse caso, o número fracionário indica que cada amigo vai receber 8 cartas para iniciar 5 esse jogo.

Situação 2 Fabrício foi passar o fim de semana com os amigos no sítio de sua avó Vera. Ela estava mostrando o pomar para as crianças e colheu 3 laranjas maduras para dividir entre Fabrício e seus 3 amigos. Nessa situação, a ideia de quociente se dá pela divisão das 3 laranjas entre as 4 crianças. 3 Podemos representar essa divisão como: 3 9 4 5 . 4 Isso significa que, se Vera dividir cada uma das laranjas em 4 pedaços, cada criança receberá 3 pedaços. Nas duas situações, podemos associar a fração com a operação de divisão, pois estão relacionadas à distribuição de cartas ou de laranjas. Na primeira situação, a divisão resultou em um número natural e cada jogador recebeu a mesma quantidade de cartas. Na segunda situação, a divisão das laranjas resultou em um número fracionário, então cada criança recebeu parte de cada uma das laranjas, mas todas as crianças receberam a mesma quantidade de laranja.

ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Carolina e seus amigos estão começando um jogo de aventura.

99

99

ATIVIDADES 1

Além de laranjeiras, Vera, a avó de Fabrício, tem jabuticabeiras no sítio. Para o lanche da tarde, ela colheu 28 jabuticabas para distribuir entre as 4 crianças. Que fração representa a distribuição das jabuticabas? Quantas jabuticabas cada criança vai receber?

Faça as atividades no caderno.

3

Luís ganhou um novo videogame de sua tia. Como ele tinha muitos jogos do videogame antigo, resolveu presentear alguns amigos que tinham o mesmo videogame. Luís tinha 21 jogos e queria dar 4 jogos para cada amigo. Responda no caderno: • Que fração representa a distribuição dos jogos? 21 4 • Quantos amigos Luís pode presentear? 5

4

Ana Lúcia tem dois irmãos e duas irmãs. Nos fins de semana, eles podem comer um pouco de chocolate. Seus pais compram, geralmente, três barras para dividir entre os cinco. Qual fração representa a distribuição das barras de chocolate? Faça um esquema para representar que parte das barras de chocolate cada irmão recebe.

28 (ou fração equivalente); 7 jabuticabas 4

2

A mãe de Jorge encontrou uma coleção de bolinhas de gude que ela juntou quando era criança e com a qual brincava com seus amigos. Ela resolveu distribuir as 25 bolinhas entre Jorge e mais duas amigas. • Que fração representa a distribuição das bolinhas de gude? 25 3 • Sobraram bolinhas? Como você faria a distribuição?

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Na atividade 1, se julgar interessante, comente que a fração resultante representa um número natural, nesse caso, o 7. • No segundo item da atividade 2, comente que, para ser possível fazer a divisão sem sobrar bolinhas, o numerador deve ser múltiplo do denominador, e isso seria possível retirando-se uma bolinha, ou seja, com 24 bolinhas. • Peça aos alunos que desenhem, no caderno, as divisões das três barras de chocolate da atividade 4. Chame a atenção para o fato de que apesar de 3 não ser divisível por 5, é possível dividir cada uma das barras em 5 pedaços, obtendo 15 partes iguais.

Sobrou 1 bolinha; 8 bolinhas para cada criança. 3 1 4. ; cada irmão recebe o equivalente a 3 pedaços, cujo tamanho é de da barra de chocolate. 5 5

3

• Nesse tópico, comente que a ideia de fração como comparação é o que chamamos de razão, ou seja, uma relação expressa na forma de fração. Na situação 1, seu uso foi na proporção; na situação 2, em probabilidade; e, na situação 3, em velocidade. Outro uso bastante comum é no trabalho com escalas, conteúdo que será formalizado no 9o ano.

A ideia de razão

Até aqui vimos as ideias de frações para representar a parte de um inteiro ou indicar um quociente. Além dessas ideias, as frações também podem indicar uma razão. Veja as situações a seguir.

Situação 1 A professora de Ana Paula dividiu a turma em grupos de 5 alunos e propôs que fizessem uma maquete da cidade. O grupo de Ana Paula é composto de 2 meninas e 3 meninos. A razão entre as quantidades de meninas e meninos é de 2 meninas para 3 meninos. Podemos 2 representar essa razão como (lemos: “dois para três ou dois em três”). 3

É comum, em jogos de tabuleiro, encontrar dados com mais de seis faces. Carolina tem um jogo de aventura e, nesse jogo, há um dado com oito faces numeradas de 1 a 8, que lembra um octaedro. Ao jogar um dado de seis faces, a chance de sair o número 2 na face de cima, por exemplo, é de 1 em 6. Afinal, o dado tem 6 faces. Mas no dado de Carolina a chance de sair o número 2 é de 1 em 8. Podemos 1 1 (lemos: representar essas razões como (lemos: “uma em seis”) e 6 8 “uma em oito”). 100

100

GEORGE TUTUMI

Situação 2

JALES VALQUER/FOTOARENA

Situação 3 A razão da distância percorrida por um carro pelo tempo que ele levou para percorrer essa distância fornece a sua velocidade média. É comum encontrar nas ruas ou nas estradas placas que informam a velocidade máxima que um veículo pode atingir naquela via.

Uma propriedade interessante das razões é a possibilidade de obter, por meio da equivalência de frações, valores desconhecidos.

ATIVIDADES A lista de ingredientes a seguir faz parte da receita de bolo de fubá cremoso de Joaquim. Ingredientes 3 ovos 4 xícaras (chá) de leite 3 xícaras (chá) de açúcar 1 1 xícara (chá) de farinha de trigo 2 1 1 xícara (chá) de fubá 2 2 colheres (sopa) de margarina 100 g de queijo ralado 1 colher de fermento em pó

• A atividade 1 utiliza a associação entre razão e fração tanto para expressar duas partes de uma mesma grandeza ou duas partes de grandezas diferentes, como nos itens a e b, expressando 3 xícaras de açúcar para 4 xícaras de leite e 3 ovos para cada 100 gramas de queijo, respectivamente. • Na atividade 2, chame a atenção dos alunos para a pergunta do problema, representando a razão com palavras:

2

Responda no caderno. a) Qual é a razão de xícaras de açúcar para xícaras de leite? 3 4 b) Qual é a razão do número de ovos para a quantidade, em gramas, de queijo ralado? 3 100 c) Se a receita fosse utilizada para fazer mais de um bolo e 9 ovos fossem utilizados, qual seria a quantidade de queijo para o preparo dos bolos? 300 g

Cláudia adora jogos de corrida e jogos de aventura. Ela tem, no celular, 14 jogos, dos quais 9 são de corrida e os demais, de aventura. GEORGE TUTUMI

1

A placa com fundo amarelo adverte os motoristas da presença de estudantes circulando nas proximidades. Nessas circunstâncias, a velocidade máxima permitida deve ser de 30 km/h.

Faça as atividades no caderno.

DIOGOPPR/SHUTTERSTOCK

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Por exemplo, se um automóvel percorreu 60 km em 2 horas, 60 km a razão entre a distância e o tempo pode ser dada por . 2h 60 Podemos simplificar a fração dividindo o numerador e o deno2 30 . minador por 2, obtendo a fração 1 Assim, um carro que desenvolve uma velocidade de 30 km/h percorre uma distância equivalente a 30 km em 1 hora. Dessa forma, utilizando essa razão, podemos descobrir a distância percorrida pelo carro. Por exemplo, em 4 horas será percorrido 120 km.

• Aproveite a situação e pergunte aos alunos: “Se em 1 hora o veículo percorre 30 km, em 4 horas quanto ele percorrerá?”. Espera-se que os alunos percebam que o veículo deverá percorrer o quádruplo de 30 km, ou seja, 120 km.

• Qual é a razão do número de jogos de aventura para o número de jogos de corrida? 5 9

3

No final do ano, no prédio em que Carlos mora, haverá um sorteio entre 44 apartamentos para a utilização do salão de festas. Se Carlos e sua prima moram no mesmo prédio, mas em apartamentos diferentes, escreva, no caderno, a razão que representa a chance de a família de Carlos ter acesso ao salão de festas no final do ano. 2 ou 1 44

4

número de jogos de aventura . número de jogos de corrida Comente que a ordem é importante: número de jogos de aventura número de jogos de corrida é diferente de número de jogos de corrida . número de jogos de aventura

22

A velocidade média de um corredor de elite de maratonas é de 20 km/h. Se uma prova de maratona tem aproximadamente 40 km, qual é o tempo que um corredor leva, em média, para concluí-la? 2 h

101

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101

• Neste tópico, a intenção 3 de 80 é o é mostrar que 4 1 mesmo que 3 vezes de 80. 4 • Na situação 1, comente que 2 de 60 corresponde ao do3 1 de 60. E que, na bro de 3 40 de 500 é o situação 2, 100 mesmo que 40 vezes a centésima parte de 500. Conversar sobre as diversas formas de se referir a esses enunciados pode enriquecer o vocabulário matemático dos alunos.

4

A ideia de operador

Vamos relembrar o cálculo da fração de uma quantidade. 3 Para isso, vamos determinar de 80: 4 1 primeiro, podemos calcular de 80, dividindo 80 por 4: 80 9 4 5 20 4 multiplicamos a quarta parte de 80 por 3 9 3 3 20 5 60 3 Assim, temos que de 80 é 60. 4 3 9 80 5 60(lemos: “três quartos de Também podemos representar essa operação como 4 oitenta é igual a sessenta”). Agora, veja a ideia de fração como operador em outras situações.

2 Sabendo que um bolo de laranja custa R$ 60,00, se Lucinda quer comprar do bolo, quanto 3 vai pagar? 2 de R$ 60,00. Para isso, Para determinar o valor que Lucinda pagará, temos de calcular 3 1 podemos calcular de R$ 60,00 e tomar o dobro desse valor. No entanto, podemos representar 3 a fração como um operador, assim: 60 2 3 60 5 2 3 5 2 3 20 5 40 3 3 2 Portanto, Lucinda pagará R$ 40,00 por do bolo. 3

O jornal da escola em que João estuda publicou uma pesquisa sobre as frutas preferidas dos alunos. Se a escola de João tem 500 alunos, quantos são os que preferem maçã? Nessa situação, a fração como operador aparece como uma porcentagem da quantidade de alunos. Precisamos calcular quanto é 40% de 500, assim:

GEORGE TUTUMI

Situação 2

40 500 3 500 5 40 3 5 40 3 5 5 200 100 100 Portanto, constatamos que 200 alunos preferem maçã a outras frutas. Nas duas situações apresentadas, as frações foram utilizadas como um fator multiplicativo. No caso do preço a ser pago pelo bolo, o uso das frações permitiu obter o valor final do pedaço que Lucinda compraria. No caso da fruta predileta dos alunos, o uso das frações permitiu calcular quantos alunos preferem maçã a outras frutas. Em ambos os casos, partimos de uma situação inicial e observamos a resposta, depois da operação, como uma situação final. 102

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Situação 1

Lendo e aprendendo • Esta seção dialoga com a competência específica 2, que se refere ao desenvolvimento do raciocínio lógico e investigativo para compreender questões do mundo. O site oficial de Malba Tahan (disponível em: ; acesso em: 4 out. 2018) traz diversas informações e curiosidades sobre o autor e outros títulos de sua obra.

Lendo e aprendendo Um problema famoso: a divisão dos camelos Um dos mais famosos desafios do livro O homem que calculava, de Malba Tahan (pseudô nimo de Júlio César de Mello e Souza), é o problema dos camelos.

Sugestão de leitura para o aluno • Recomenda-se a leitura dos livros de Malba Tahan, entre eles O homem que calculava e Matemática divertida e curiosa. O primeiro, além de trazer questões matemáticas, propicia o contato com a cultura árabe.

Nenhuma das divisões de 35 por 2, 3 e 9 era exata, e o problema tornou-se difícil de resolver. Até que um sábio propôs doar seu camelo aos irmãos para facilitar a divisão. Em troca, ele pediu que lhe dessem os camelos que sobrassem. Os filhos concordaram e, assim, passou a haver 36 camelos para dividir. 36 • O filho mais velho recebeu: 5 18 18 camelos 2 36 5 12 12 camelos • O filho do meio recebeu: 3 36 54 4 camelos • O filho mais novo recebeu: 9 Feita a partilha, os filhos receberam 34 camelos (18 1 12 1 4) e o sábio teve de volta seu camelo e ainda recebeu mais um que sobrou. Dessa forma, o problema foi solucionado. Com o total de 36 camelos, constatamos que os filhos e o sábio ficaram satisfeitos, já que os primeiros conseguiram dividir exatamente a herança e o segundo ficou com dois camelos. Mas por que, mesmo com a divisão exata da herança, sobraram dois camelos para o sábio? 1 1 1 17 , 1 1 é igual a 2 3 9 18 18 que é menor que uma unidade, ou seja, , que 18 representa a herança a ser dividida. Isso ocorreu porque

ATIVIDADES 1

Pedro tem 144 figurinhas para colar em 1 um álbum de futebol. Se delas são 3 repetidas, quantas são inéditas? 96 figurinhas

2

Um pacote de arroz tem 5 kg. Para um 3 churrasco serão preparados desse 5 pacote. Quantos quilogramas de arroz serão utilizados? 3 kg

EDUARDO FRANCISCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Nesse problema, uma herança correspondente a 35 camelos foi deixada para três filhos. A divisão da herança deveria ser feita desta maneira: 1 • dos camelos para o filho mais velho; 2 1 • dos camelos para o filho do meio; 3 1 • dos camelos para o filho mais moço. 9

• Na atividade 2, comente 3 que queremos obter de 5 5 kg, o que corresponde ao 1 triplo de de 5 kg. 5 • Na atividade 4, comente 7 2 que as frações e são 7 2 inversas.

Faça as atividades no caderno.

3

Em uma receita de bolo, são necessários 4 ovos. No entanto, na geladeira de José há apenas 3. Por quanto ele deve multiplicar os outros ingredientes da receita para que consiga fazer um bolo menor? 3 4

4

2 de 21 vale 6, por quanto deve-se 7 multiplicar 6 para obter 21? 72

Se

103

Veja sequência didática 1 do 2o bimestre do Material do Professor – Digital.

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos 9/25/18 14:34 aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

PDF-091-106-MCP7-C04-G20.indd convincentes,103 recorrendo

103

Resolvendo em equipe

Resolvendo em equipe

GEORGE TUTUMI

Para a confecção das cartas, dividam uma folha de papel em 10 retângulos. Em cada carta, escrevam uma fração equivalente, com denominador 12, às frações abaixo: 8 2 12 3

4 1 12 3

6 1 12 2

3 12

10 5 12 6

9 3 12 4

7 12

1 12

6 3 12 6

12 12

Plano de resolução

Interpretação e identificação dos dados

O integrante responsável por ordenar as cartas não poderá ver a carta, mas poderá mostrá-la para a equipe e fazer a pergunta: “O número desta carta é menor, maior ou igual ao número da que está no topo das cartas ordenadas?”. O restante da equipe deve responder à pergunta, sem dizer o valor da carta.

• Leia novamente a seção “Trocando ideias” e anote o que considerar relevante para ajudá-lo na ordenação das cartas.

Ter o esquema do algoritmo pode ajudar os alunos a relembrar os passos para ordenar as cartas.

• Forme grupo com a quantidade de integrantes orientada pelo professor. • Embaralhe as cartas e coloque-as na mesa com os números voltados para baixo. • Converse com os colegas como organizar os montes de cartas.

Resolução

• Todos os integrantes devem ordenar as cartas pelo menos uma vez, aplicando o algoritmo de ordenação. Um integrante do grupo deve anotar as frações ordenadas dos demais colegas.

Verificação

Na seção “Trocando ideias”, há a sugestão de nomear os montes de cartas para que lembrem qual está ordenado e qual não está.

• Cada integrante do grupo conseguiu a mesma ordem de cartas? Resposta pessoal. • A ordem que conseguiram está correta? Por quê?

• Discuta com os colegas se existem outras formas de ordenar as cartas. Se descobrirem mais alguma, apresentem para a turma. Resposta pessoal.

Se todos seguiram corretamente o algoritmo, as frações devem estar nesta ordem: 1 3 4 6 6 7 8 9 10 12 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12

104

Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

PDF-091-106-MCP7-C04-G20.indd 104 e digital –, bem como conhecimentos

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Partindo do algoritmo de ordenação visto na seção “Trocando ideias”, ordenem 10 cartas numeradas. Mas há um detalhe: quem for ordenar não poderá ver as cartas!

Faça as atividades no caderno.

O número é maior, menor ou igual ao do topo?

Apresentação

• A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 4 e 9 e das competências específicas 2, 5 e 6, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” deste ou de outros capítulos, por exemplo. • Se necessário, relembre como obter frações equivalentes já sendo conhecidos os denominadores. • Uma opção para a atividade é enfileirar as cartas com a frente voltada para baixo. O ordenador mostra a primeira carta ao grupo e, em seguida, vai mostrando as outras uma a uma. Se as cartas mostradas forem menores que a primeira, ele as trocará de lugar. • Comente com os alunos que o ordenador não teve a necessidade de saber os valores das cartas para ordená-las, mas precisou saber compará-las. Comente também que esse tipo de algoritmo é usado em linguagem de programação. • Se julgar conveniente, escolha alguns grupos para comentarem sobre as dificuldades encontradas e sobre as experiências na tarefa de ordenação. • Comente com os alunos que esse algoritmo é capaz de resolver uma classe de problemas que possuem a mesma estrutura e não apenas um problema específico. Entretanto, um mesmo problema pode ser resolvido por meio de diferentes algoritmos. Se julgar oportuno, peça aos alunos que pesquisem sobre algoritmos de ordenação.

9/25/18 14:34

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo questões de exames, cuidadosamente escolhidas para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

Faça as atividades no caderno.

Revisitando 1

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

Responda no caderno: quais são as ideias associadas às frações vistas no capítulo?

parte de um inteiro, quociente, razão e operador

Copie as frases a seguir no caderno completando-as. a) Conhecer o  é importante para saber como  em partes  entre si, permitindo a contagem dessas partes. inteiro (ou todo); dividi-lo (dividir); equivalentes (ou iguais) 4 b) Quando afirmamos que 4 em 10 alunos de uma escola são meninos, a representação 10 transmite a ideia de . razão

Revisitando • Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão.

“1 do tanque de gasolina de um carro é equivalente a 15 litros de combustíc) Na afirmação 4 1 vel”, a fração representa um . operador 4 18 traz a ideia de . quociente d) Ao distribuir 18 doces entre 3 crianças, a representação 3 Aplicando 1

A receita pede que se utilizem 3 xícaras de farinha trigo, mas o pai de Cristina colocou 5 xícaras. Por qual número os outros ingredientes precisam ser multiplicados para que a receita dê certo? 5

Luísa fez um esboço da bandeira do Brasil Luísa estiver considerando que no caderno. Se o inteiro é a quantidade de cores

usadas no esboço de sua bandeira, ela está certa.

Aplicando

3

5

Escreva no caderno a razão entre as maçãs que não têm folha no caule para aquelas que têm folha. 6 9

1 é 3 amarela. Luísa pode estar certa? Explique no caderno.

Ao observar o desenho, afirmou que

Um estacionamento tem capacidade de acomodar 200 automóveis em 8 fileiras. Que fração representa a quantidade de automóveis por fileiras? Quantos automóveis existirão por fileira? 200 ; 25 automóveis por 8

3

4

fileira.

Se três tortas redondas forem divididas em 5 partes iguais cada uma, quantas pessoas poderão receber 1 pedaço de torta?

15 pessoas

O pai de Cristina estava preparando um bolo para o café da tarde, mas ficou sabendo que Cristina levaria alguns amigos para sua casa.

3 de 42 resulta em 18, por qual número 7 7 devemos multiplicar 18 para obter 42? 3

6

Se

7

Uma mala custa R$ 280,00. Paulo pediu um desconto e o dono da loja ofereceu 15% de desconto no valor da mala. a) Escreva no caderno a expressão que permite calcular o valor do desconto. 15 3 280 100 b) De quanto será o desconto? R$ 42,00

ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI

2

• Na atividade 1, a afirmação pode ser considerada falsa se tomarmos como inteiro a área da figura. Mesmo sem realizar cálculos, podemos 1 constatar visualmente que 3 da figura não é amarela. • Na atividade 7, 15% de 280 é equivalente a determinar 15 vezes a centésima parte de 280. Peça aos alunos que calculem mentalmente essa divisão. O foco dessa atividade não é verificar se eles sabem ou não dividir, mas sim reconhecer a fração como parte de um todo.

105

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos 9/25/18 14:34 aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados).

PDF-091-106-MCP7-C04-G20.indd convincentes,105 recorrendo

105

Elaborando Lembre-se: Não escreva no livro!

Fernanda levou os filhos para visitar a avó em outra cidade. Eles foram de carro e percorreram dois trechos com velocidades diferentes. No primeiro trecho, a velocidade máxima permitida era 80 km/h e a distância percorrida foi 80 km. No segundo trecho, a velocidade máxima permitida era 120 km/h e a distância percorrida foi 60 km. Se Fernanda manteve sempre a velocidade máxima permitida para cada trecho, qual foi o tempo necessário para percorrê-los?

10

Entraram 12 pessoas no elevador, das quais 8 são mulheres e 4 são homens. Que fração a quantidade de homens representa do total de pessoas? E do total de mulheres?

4 4 (ou fração equivalente); (ou fração equivalente) 12 8

11

(Obmep) A capacidade do tanque de gasolina do carro de João é de 50 litros. As figuras mostram o medidor de gasolina do carro no momento da partida e no momento da chegada de uma viagem feita por João.

alternativa c

9

7 4 h d) h a) 10 2 5 14 b) e) h h 10 2 3 c) h 2 (Obmep) Os pontos destacados nos quadrados abaixo são pontos médios dos lados.

Quantos desses quadrados têm área som1 breada igual a de sua área? alternativa e 4 a) 0 c) 2 e) 4 b) 1 d) 3

1 3 1 — — — 2 4 4 Vazio Cheio

1 3 1 — — — 2 4 4 Vazio Cheio

Partida

Chegada

Quantos litros de gasolina João gastou nessa viagem? alternativa d a) 10 c) 18 e) 30 b) 15 d) 25 12

Em uma turma de 7o ano, 24 alunos são des1 tros e dos alunos são canhotos. Quantos 7 alunos tem a turma? 28 alunos

13

Se

14

Um trem viaja com velocidade constante de 40 km/h. Em quanto tempo ele percorrerá 160 km? 4 horas

15

Um carro, em 5 horas, percorre a distância de 450 km. Qual é a velocidade média desse veículo? 90 km/h

5 4 de um número é 35, quanto é desse 6 7 número? 24

Elaborando 1

Crie uma situação-problema sobre um veículo que precisa percorrer uma estrada de alguns quilômetros. A pergunta pode ser a respeito da velocidade desenvolvida pelo veículo ou do tempo necessário para percorrer a distância a uma dada velocidade. Lembre-se de que é preciso respeitar as leis de trânsito. Se necessário, peça ajuda ao professor para verificar se a velocidade está muito alta. Entregue seu problema a um colega para que ele resolva.

2

Crie uma situação-problema sobre um produto que seja comprado com desconto sobre o preço de venda. Peça a um colega que resolva a questão. Resposta pessoal.

Resposta pessoal.

106

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

8

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

• A seção incentiva a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 2 e 9 e da competência específica 5. • É interessante que ao final haja um compartilhamento das estratégias adotadas por cada aluno na resolução das atividades. • Na atividade 1, os alunos poderão criar uma situação como: “No planejamento das férias da família Souza, Luiz calculou que, a uma velocidade constante, a viagem de 270 quilômetros levaria 3 horas. Qual foi a velocidade desenvolvida pelo veículo?” (Resposta: 90 km em cada hora.) • Na atividade 2, os alunos poderão criar uma situação como: “Um comerciante resolveu fazer uma grande liquidação de inverno vendendo cada blusa de lã por R$ 30,00, porém, se o cliente levasse 5 blusas, teria um desconto de 20% no valor da compra. Para aproveitar os preços, Marília resolveu presentear a família inteira comprando uma blusa para cada. Quanto ela pagou por 15 blusas de lã?” (Resposta: R$ 360,00.)

Objetivos • Ampliar o conceito de número, incorporando ao conjunto dos números inteiros os números racionais positivos e negativos. • Localizar números racionais na reta numérica. • Comparar e ordenar números racionais. • Compreender o conceito de módulo de um número racional, relacionando-o à distância de um ponto da reta numérica até a origem. • Reconhecer os números racionais opostos ou simétricos, relacionando-os a pontos da reta numérica. • Resolver e elaborar problemas envolvendo as operações com números racionais.

CAPÍTULO

5

Números racionais

Habilidades da BNCC • Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das habilidades EF07MA10, EF07MA11 e EF07MA12 da BNCC.

É hora de observar e refletir

• Neste capítulo, trabalharemos com as diversas formas de representação dos números racionais (frações, decimais e porcentagem), as operações com esses números e a resolução de problemas. • Em relação à concepção de fração, adquirida pelos alunos em anos anteriores, cabe, nesse momento, estabelecer a equivalência entre as ideias de relação parte (numerador) e todo (denominador) e de quociente.

Entrada da cidade de Campos do Jordão, na Serra da Mantiqueira (SP), 2017.

Campos do Jordão, também conhecida como a Suíça brasileira, é um município do estado de São Paulo. Localiza-se na Serra da Mantiqueira, a 180 quilômetros da cidade de São Paulo, em uma altitude de 1 628 metros. Tem uma área de 289,5 quilômetros quadrados e uma população de aproximadamente 51 000 habitantes. Seu clima é subtropical, com temperatura amena no verão, em torno de 22 oC; no inverno, já chegou a atingir 25,7 °C. A cidade recebe, por ano, cerca de 3,5 milhões de turistas; a maior parte de sua receita é proveniente do turismo, e seu índice de desenvolvimento humano municipal (IDH–M) é alto: 0,749.

Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) É um índice utilizado pelo Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (Pnud) com o intuito de avaliar as condições de vida da população. O IDH é calculado considerando o índice de esperança de vida ao nascer, a média dos anos de estudo da população acima de 25 anos, a expectativa de anos de escolaridade e o Rendimento Nacional Bruto (RNB) per capita.

É hora de observar e refletir CRISTIANO TOMAZ/FOLHAPRESS

Classifique em natural e/ou inteiro cada número que aparece no texto acima. números naturais e inteiros: 180, 1 628, 51 000 e 22; números sem classificação: 289,5; 25,7; 3,5 e 0,749 Todos os números apresentados puderam ser classificados? Não; os números 289,5; 25,7; 3,5 e 0,749 não podem ser classificados em naturais e/ou em inteiros, pois são números racionais.

107

EF07MA10: Comparar e ordenar números racionais em diferentes contextos e associá-los a pontos da reta numérica. 9/25/18 15:43 EF07MA11: Compreender e utilizar a multiplicação e a divisão de números racionais, a relação entre elas e suas propriedades operatórias. EF07MA12: Resolver e elaborar problemas que envolvam as operações com números racionais.

• A situação de abertura introduz elementos do novo conjunto numérico a ser estudado, os números racionais, e retoma elementos de conjuntos numéricos já estudados anteriormente (inteiros e naturais). • Comente com os alunos que o IDH será objeto de estudo na seção “É hora de extrapolar” desta unidade (páginas 161 e 162).

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107

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se julgar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. Essa seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2 e 4. • Proponha aos alunos que deem exemplos de situações em que a utilização dos números naturais, dos números inteiros e dos números fracionários positivos não é suficiente para representar uma situação do cotidiano. Isso permitirá inferir quais são os tipos de números que os alunos conhecem. • Se julgar conveniente, explique que cada divisão dos copos graduados ilustrados 1 equivale a do conteúdo. 8 • Após a sondagem inicial, se julgar oportuno, retome alguns pontos a respeito dos números fracionários, como a noção de fração, a comparação de números fracionários, a escrita de números decimais na forma fracionária e seu inverso, e ainda as principais operações com frações. Essas ideias são fundamentais e os alunos devem mobilizá-las sempre que necessário.

Trocando ideias

Qual é a temperatura do refrigerador ? 13,5 °C

BENTINHO

A receita de um bolo indica as quantidades de cada ingrediente a serem utilizadas.

Açúcar

Óleo

Farinha

Farinha

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

MARIAIT/SHUTTERSTOCK

Com os colegas, observem as situações a seguir e respondam às questões.

Que fração indica quanto falta para completar o copo graduado com açúcar? 41 ou 82 Que frações representam a quantidade de farinha em cada copo graduado? É possível transferir toda a farinha de um copo para o outro? 85 e 83 ; sim, é possível,pois: 85 1 83 5 88 5 1

Já vimos os números naturais e os números inteiros. Agora, neste capítulo, vamos estudar os números racionais e suas operações. Os números apresentados na abertura e nas situações retratadas acima são exemplos de números racionais.

108

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo.

PDF-107-130-MCP7-C05-G20.indd 108 reflexão, a análise crítica,

108

9/21/18 18:49

1

Os números racionais

Lembre aos alunos que todo número natural é um número inteiro.

Todo número inteiro pode ser escrito na forma de fração. Veja os exemplos: 23 5 2

3 1

17 5 1

7 1

05

0 1

Existem números que não são classificados como números inteiros e que podem ser escritos na forma de fração. Observe: 3,5 5

35 10

0,66... 5

2 3

20,75 5 2

Os números que podem ser representados por uma fração

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

inteiros e b % 0, são chamados números racionais.

3 4

a , em que a e b são números b

Esses números formam o conjunto dos  números racionais, representado pela letra B, derivada da palavra quociente. a B 5 ) , sendo a e b números inteiros e b % 03 b Agora, acompanhe algumas situações em que os números racionais são usados. Daniela comeu 0,375 de uma pizza. Quantos pedaços ela comeu?

...

1 (ou 0,125) 8 de uma pizza

3 (ou 0,375) 8 de uma pizza

2 (ou 0,25) 8 de uma pizza

8 (ou 1) de uma pizza 8 (um inteiro)

Portanto, Daniela comeu 3 pedaços de pizza. De acordo com o marcador, qual é a situação do tanque de combustível do automóvel?

Se fôssemos representar o valor do tanque cheio por uma fração, que fração seria?

O tanque de combustível está completo.

Espera-se que os alunos respondam que qualquer fração em que o numerador e o denominador são iguais representa 1 unidade.

ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS

Indica que o tanque de combustível está 1 com metade da capacidade e ou 0,5o. 2

109

Sugestão de livro para o aluno 9/25/18 15:43 • Para ampliar a abordagem do tema, sugerimos o livro Frações e números decimais, de José Jakubovic, Marcelo Cestari Lellis e Luiz Márcio Imenes (São Paulo: Atual, 2002. Coleção Pra que serve Matemática?).

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109

• Ao mostrar que há núme­ ros, como √2, √3, s etc., que não podem ser escritos na forma de fração, é impor­ tante salientar que os valo­ res fornecidos pela calcula­ dora ou pelo computador para cada um desses núme­ ros são uma aproximação, e não o valor exato. Se aquele valor mostrado pela calcula­ dora fosse, de fato, o valor exato do número, então ele poderia ser escrito na forma de fração e seria, portan­ to, racional. Essa reflexão é relevante para que os alu­ nos evitem construir ideias equivocadas a respeito dos números irracionais (que serão estudados posterior­ mente) e não confundam esses números com uma de suas aproximações. • Amplie a atividade 1, pe­ dindo aos alunos que rees­ crevam as frases falsas, corri­ gindo­as.

A temperatura mais baixa verificada no Brasil foi de 214 oC, em Caçador (SC), em 1952; e a mais alta foi de 44,7 oC, em Bom Jesus do Piauí (PI), em 2005. Podemos representar essas temperaturas na forma de fração: 447 14 • 44,7 5 • 214 5 2 1 10 De acordo com o Censo demográfico de 2010, realizado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), 36,2% dos indígenas vivem em área urbana e 63,8%, na área rural. Podemos representar as porcentagens na forma de fração: 36,2 63,8 362 638 • 36,2% 5 5 • 63,8% 5 5 1 000 1 000 100 100 Com as frações, podemos dizer que, de cada 1 000 indígenas, 362 vivem na área urbana, enquanto 638 vivem na área rural. Observação

a , b em que a e b são números inteiros e b % 0. Escritos na forma decimal, eles têm infinitas casas que não são dízimas periódicas, ou seja, não há algarismos que se repetem indefinidamente. Veja alguns exemplos: • 3 5 1,732050807... • s 5 3,141592653... • 2 5 1,414213562...

ƒ 217 é um número inteiro (item b). ƒ 2 é um número racional 5 (item c). ƒ 2 1 é um número racio­ 2 nal (item f). ƒ 24,1 é um número racio­ nal (item h).

• Na atividade 3, os alunos podem obter como respos­ ta qualquer fração equiva­ lente às apresentadas. • As ideias propostas na ativi­ dade 4 contribuem para que os alunos estabeleçam refe­ renciais, como, por exemplo, perceber a densidade entre os números do conjunto dos racionais. Amplie a atividade com o auxílio da reta numé­ rica. Represente­a no quadro de giz e marque os pontos associados aos números 4 e 12 (item a). Em seguida, peça aos alunos que digam todos os números naturais entre 4 e 12 e marque os pontos correspondentes na reta. Faça outra reta numérica para o item b, e peça aos alunos que marquem os pon­ tos associados aos números racionais entre 1 e 2, consta­ tando que há infinitos núme­ ros nesse intervalo.

110

ATIVIDADES 1

2

Reescreva no caderno as afirmações verdadeiras. alternativas verdadeiras a, d, e, g a) 0,3 é um número racional. b) 217 é um número natural. 2 c) é um número inteiro. 5 3 d) 2 é um número racional. 5 e) Zero é um número racional. 1 f) 2 é um número inteiro. 2 g) 10,01 é um número racional. h) 24,1 é um número natural. Escreva no caderno os números racionais abaixo na forma decimal. 1 1 e) 2 20,125 a) 2 20,25 4 8 70 5 1,4 b) f) 2 20,625 50 8 7 27 c) g) 0,07 0,135 100 200 3 36 d) 0,6 h) 2 21,8 5 20

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

3

Escreva no caderno os números racionais na forma de fração. Exemplos de respostas: 64 32 8 2 a) 16,41 10 5 1 5 c) 20,08 2 100 5 2 25 b) 22,252 225 5 2 9 d) 10,54 54 27 100

4

51

1

4

50 100 Responda às questões. a) Quantos números naturais existem entre 4 e 12? 7 b) Quantos números racionais existem entre 1 e 2? infinitos 13 c) O número racional está situado 4 entre quais números naturais? entre 3 e 4 11 d) O número racional 2 está situado 2 entre quais números inteiros? entre 26 e 25

5

Escreva os números na forma de fração irredutível. 7 4 a) 0,8 5 d) 21,4 2 5 171 b) 21,5 2 3 e) 16,84 25 2 c) 8,5 17 f) 23,45 2 69

6

Cite duas situações cotidianas em que você usa a ideia de fração. Resposta pessoal.

2

20

110

1 1 • Como exemplos de respostas para a atividade 6, temos: kg de carne moída, kg de pó de café, 4 2 3 de xícara de leite, entre outras situações. 4

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Existem infinitos números que não são racionais, pois não podem ser escritos na forma

• Antes de iniciar o trabalho de representação dos números racionais na reta numérica, o aluno deve compreender que o conjunto dos números racionais também é utilizado para representar números associados a frações de unidade e que a sua localização na reta numerada ficará entre as marcas dos números inteiros que representam precisamente unidades inteiras. Trabalhar essa representação pode contribuir com a percepção da diferença fundamental entre esses números e os números inteiros: enquanto que entre dois números inteiros consecutivos não há outro número inteiro, entre dois números racionais quaisquer, por menor que seja a diferença entre ambos, sempre há infinitos números racionais. Não é possível, portanto, no conjunto dos números racionais, estabelecer um sucessor ou um antecessor para um de seus elementos. • Se julgar necessário, relembre com os alunos as propriedades de um número misto.

Representação dos números racionais na reta numérica Assim como foi feito para os números naturais e os números inteiros, podemos estabelecer uma correspondência entre os números racionais e os pontos na reta numérica. Observe alguns exemplos a seguir. 1 , por exemplo, está localizado entre os pontos cor3 respondentes aos números 0 e 11. Podemos dividir o segmento entre 0 e 1 em três partes iguais e marcar o ponto A, conforme mostramos abaixo. O ponto que corresponde ao número 1

A 22

21

0

1

11

12

r

1 3

Repare que o ponto A corresponde ao número racional 1

1 . 3

3 7 , que equivale a 21 , está localizado entre os 4 4 pontos correspondentes aos números 22 e 21. Podemos dividir o segmento entre 22 e 21 em quatro partes iguais e marcar o ponto B, conforme mostramos abaixo. O ponto que corresponde ao número 2

B

22 2

2

6 5 2 4 4

21

0

11

12

r

3 7 5 2 1 52 1,75 4 4

Repare que o ponto B corresponde ao número racional 2

7 . 4

4 14 , que equivale a 2 , está localizado entre os 5 5 pontos correspondentes aos números 12 e 13. Podemos dividir o segmento entre 2 e 3 em cinco partes iguais e marcar o ponto C , conforme mostramos abaixo.

O ponto que corresponde ao número

C 21

0

11

12

13 14 4 2 5 5 5

Repare que o ponto C corresponde ao número racional 14 . 5

r

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

2 3

111

111

B

A

–5 –4 –3 –2 –1

ATIVIDADES

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

2

Observe a reta numérica e responda às questões. C 23

E 22

D 21

C

A 0

a) A, que corresponde a 20,6;

B

1

2

3

7 b) B, que corresponde a 2 ; 2 1 c) C, que corresponde a 5 ; 3

r

a) Que ponto está destacado entre os números inteiros 23 e 22? ponto C b) Que ponto tem como correspondente o número 5 ? E qual corresponde ao 2 número 1? ponto B; ponto A c) Que número corresponde ao ponto D ? E ao ponto E ? 2 21 ; 2 32 d) Que número corresponde ao ponto C ? 22

3

3 5 22,75 4

3.

Desenhe uma reta numérica e represente os pontos:

d) D, que corresponde a 5 . 4 Localize na mesma reta numérica o pon3 to M que corresponde a 2 , o ponto N 8 5 que corresponde a e o ponto Q que re7 presenta o número 2.

M 21

3 2 8

N 0

5 1 7

Q 11

12

r

Módulo de um número racional Chamamos de módulo (ou valor absoluto) de um número racional a distância do ponto, que corresponde a esse número, até a origem da reta numérica (ponto que representa o zero). Representamos o módulo de um número colocando-o entre duas barras verticais: | | Exemplos

• Módulo do número racional 1

4. 3 distância 5

22

21

0

4 da unidade 3 11 1 4 3

12

r

4 4 4 4 5 é . Indicamos: 1 3 3 3 3 4 • Módulo do número racional 2 . 3 ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

O módulo de 1

distância 5

22

O módulo de 2

24 3

21

4 da unidade 3

0

11

12

r

4 4 4 4 5 é . Indicamos: 2 3 3 3 3

112

• Como o módulo de um número inteiro foi objeto de estudo no capítulo 1, antes de iniciar a abordagem deste tópico, para um número racional, seria conveniente relembrar com os alunos que o módulo de um número está associado à ideia de distância do ponto associado a esse número até a origem da reta numérica e fazê-los atentar para o fato de que distância é uma medida não negativa.

112

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

D

0 +1 +2 +3 +4 +5 r

GUILHERME CASAGRANDI

2.

GUILHERME CASAGRANDI

• Alguns alunos podem apresentar dificuldade com a representação, na reta numérica, de números racionais na forma de fração, principalmente quando os denominadores dessas frações são diferentes, como no caso da atividade 2. Nesse caso, a passagem da notação fracionária para a notação decimal pode auxiliar a compreensão dos alunos na localização desses números na reta numérica. Nessa etapa, seria conveniente revisar a representação e a interpretação de expressões a do tipo , lembrando que b a é o numerador da fração e b, o denominador. Reforce que é o denominador que indica em quantas partes se deve dividir a unidade, enquanto o numerador determina quantas dessas partes compõem a fração.

Oposto ou simétrico de um número racional

3 da unidade 2 22

2

3 2

21

3 da unidade 2 0

1

1

1

3 2

12

r

GUILHERME CASAGRANDI

3 3 Considere os pontos correspondentes aos números racionais 1 e 2 , situados na reta 2 2 numérica a seguir.

3 3 e 2 correspondem a pontos que estão à mesma distância da 2 2 origem. Esses números são considerados números opostos ou simétricos e, para obtê-los, a partir da origem percorremos a mesma distância em sentidos opostos da reta numérica. Os números racionais 1

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exemplos

• 243 e 2243 são números racionais opostos ou simétricos. • 0,5 e 20,5 são números racionais opostos ou simétricos. 2 2 • 2 e são números racionais opostos ou simétricos. 5 5 7 7 • e2 também são números racionais opostos ou simétricos. 10 10

ATIVIDADES 1

2

4 4 4 51 5 5 5 5 Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

2. Sim. Exemplos de resposta: |23,5 | 5 |13,5 | 5 3,5; |25 | 5 |+5 | 5 5; 2

Determine: a) o valor absoluto de 8; 8 b) o módulo de 2 1 ; 1 7 7 c) o oposto de 22,6; 2,6 13 d) o simétrico de . 2 13 9 9 Dois números diferentes podem ter o mes­ mo módulo? Dê exemplos para justificar sua resposta.

3

Responda às questões a seguir no caderno. a) Qual é o oposto 23? 3 b) Qual é o oposto do oposto de 23? 23

4

Com um colega, analisem as afirmações a seguir e corrijam as falsas no caderno. a) O oposto de um número negativo é um número negativo.

• A atividade 2 deve ser bem compreendida pelos alunos, porque a ideia de que para cada valor de módulo há um par de números opostos associados será mobilizada em diferentes situações durante a trajetória escolar. Pode-se utilizar a ideia de frações equivalentes para mobilizar o entendimento da atividade, como, por -12 e |4|. exemplo: 3 Ambos têm como resultado 4. • Na atividade 6, item d, seria conveniente chamar a atenção dos alunos para o fato de que não há distância negativa, portanto não pode existir um módulo que tenha como resultado um valor negativo.

b) O simétrico de um número positivo é um número negativo. verdadeira c) O oposto do oposto de um número é o próprio número. verdadeira 5

Desenhe uma reta numérica e localize um número racional nessa reta. Peça a um colega que localize o oposto desse nú­ mero na reta. Resposta pessoal.

6

Escreva quais números racionais cada letra representa, considerando o módulo. 4 2 4 ou 1 4 a) R 5 7 7 7 7 2 7 ou 1 7 b) T 5 9 9 9 c) S 5 0,3

|

20,3 ou 10,3

d) V 5 20,75

Não existe número V.

Falsa. Possível correção: “O oposto de um número negativo é um número positivo”.

|

113

113

• O equívoco mais comum que ocorre quando são comparados números racionais na forma fracionária é dizer, 1 por exemplo, que é maior 4 1 que por considerar que 3 4 é maior que 3 ou, ainda, 1 que 5 1,2. Esse tipo de 2 erro indica que o aluno ainda não se apropriou desse conceito matemático. Verifique a necessidade de retomar, a comparação de números fracionários e números inteiros. No caso de dois números racionais escritos na forma de fração, retome, se achar necessário, o conceito de frações equivalentes, associando-o a uma representação visual.

2

Observe os pontos correspondentes a alguns números racionais representados na reta numérica, cuja seta indica a orientação crescente da esquerda para a direita: 23 22,6

22

0

21

2 1–– 5

11

4 1–– 3

12

13 13,5

r

23 , 21 2 .0 5 4 , 3,5 3

4 — 6

Lemos: “menos 3 é menor que menos 1”. Lemos: “dois quintos é maior que zero”. Lemos: “quatro terços é menor que três vírgula cinco”.

Dados dois números racionais quaisquer, o menor deles estará sempre representado por um ponto à esquerda do ponto que representa o maior na reta numérica.

2 e 4 são frações equivalentes. 3 6

3 Agora, como exemplo, vamos comparar os números racionais 21,3 e 2 . 2 1 — 2

2 3 521,5 2

2 — 4 23

1 e 2 são frações equivalentes. 2 4

114

11

r

12

21,3

Observe que 21,5 , 21,3; então, 2

3 , 21,3. 2

ATIVIDADES ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

• Na atividade 1, os alunos podem comparar os números racionais localizando os pontos correspondentes na reta numérica ou, neste caso, reescrevendo as frações, determinando frações equivalentes de mesmo denominador. • Na atividade 3, lembre aos alunos que há outras maneiras de verificar as sentenças, uma delas é dispor os números na reta numérica.

0

21

22

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

1

Utilizando o sinal ,, escreva em ordem crescente os seguintes números racionais: 3 5 10 2 1 , 2 , 1, 1 , 2 5 3 5 52 8 3 10

2

Com o auxílio da reta numérica, escreva os números racionais a seguir em ordem decrescente. Utilize o sinal .. 9 1 4 13, 2 , 0, 2 , 1 5 44 5 9 1

2

3

,2

13 . 1

114

8

5

,1

5

, 1, 1

. 0 .2

5

.2

5

4

3

Verifique as sentenças verdadeiras e corrija as falsas. a) 25,7 , 23,2 verdadeiro b)

2 1 , 5 3

falsa;

c) 0 . 20,15

2 1 . 5 3

verdadeira

3 d) 2 . 20,5 5

falsa; 2

3 , 20,5 5

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Pode-se perceber que o número 22,6 é menor que 22 e maior que 23, pois o ponto correspondente a 22,6 está localizado à esquerda de 22 e à direita de 23 na reta numérica. 2 Analogamente, o número 13,5 é maior que 1 , pois o ponto correspondente a 13,5 está 5 2 localizado à direita do ponto correspondente a 1 na reta numérica. 5 Pode-se fazer outras relações utilizando a simbologia adequada.

2 — 3 ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Comparação de números racionais

3

• Antes de iniciar o trabalho de operações com números racionais, retome, se possível, os principais pontos discutidos no estudo das operações com frações, com números decimais e com números inteiros, enfatizando os fundamentos dessas operações e nunca a memorização de regras e procedimentos.

Adição e subtração de números racionais

Observe as situações a seguir, que envolvem adição e subtração de números racionais.

Situação 1 José verificou que sua conta bancária tinha saldo negativo de R$ 480,50. No dia seguinte, ele movimentou essa conta bancária fazendo pagamentos no valor total de R$  376,25. Após efetuar esses pagamentos, como ficou a conta bancária de José? De acordo com os dados apresentados, podemos representar: • os pagamentos realizados: 2376,25

Para responder à pergunta, podemos realizar o seguinte cálculo:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

(2480,50) 1 (2376,25) 5 2856,75 Portanto, após os pagamentos, a conta bancária de José ficou com saldo negativo de R$ 856,75.

JOSÉ LUÍS JUHAS

• saldo inicial: 2480,50

Situação 2 No início de certa noite, em São Joaquim (SC), foi registrada a temperatura de 27,6 °C. Já no início da manhã seguinte, houve aumento de 5,5 °C na temperatura. Qual foi a tempe­ ratura registrada em São Joaquim no início da manhã? De acordo com os dados do problema, podemos representar: • temperatura no início da noite: 27,6

• elevação da temperatura: 15,5

Para determinar a temperatura no início da manhã, calculamos: (27,6) 1 (15,5) 5 22,1 Portanto, a temperatura registrada em São Joaquim no início da manhã foi de 22,1 °C.

Situação 3 Na 1a etapa de uma expedição submarina, Júlio mergulhou a 220,5 m de profundidade. Durante a 2a etapa, ele desceu mais alguns metros, atingindo 227,3 m de profundidade. Quantos metros Júlio desceu na 2a etapa da expedição? De acordo com os dados apresentados temos: • profundidade atingida ao término da 1a etapa: 220,5 • profundidade atingida ao término da 2a etapa: 227,3 Para responder à pergunta, podemos fazer: (227,3) 2 (220,5) Observe que 2(220,5) é o simétrico do número 220,5; ou seja, é igual a 120,5. Assim: (227,3) 2 (220,5) 5 (227,3) 1 (120,5) 5 26,8 Portanto, Júlio desceu 6,8 m na 2a etapa da expedição. 115

Sugestão de atividade extra 9/25/18 15:44 • Como ferramenta auxiliar para o trabalho com os números racionais, sugerimos as atividades da lista “Números racionais e exercícios” do Portal da Matemática – OBMEP, que traz atividades introdutórias, de fixação, aprofundamento e exames. Se explorados de maneira cuidadosa, crítica e planejada, podem contribuir com a aprendizagem dos alunos. Disponível em: . Acesso em: 5 out. 2018.

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115

GUILHERME CASAGRANDI

Veja outros exemplos de adição e de subtração com números racionais: e1 1 o 2 e2 3 o 5 1 1 1 3 5 1 1 3 5 2 1 3 5 2 1 3 5 1 5 4 4 4 4 4 4 4 2 2 2

e2 3 o 1 e2 2 o 1 e1 5 o 5 2 3 2 2 1 5 5 221 2 4 1 35 5 1 10 5 1 5 7 7 7 14 14 2 2 2 2

ATIVIDADES 1

2

Efetue as adições e as subtrações. 5 12

4 2 b) e2 o 1 e2 o 2 19 c) (15,5) 2 (18,13) 7 6 21 22,63

2 1 a) e2 o 1 e1 o 3 4

Calcule o valor de cada expressão. 3 2 1 4 16 b) 1,7 1 e 2 0,25o 2 a) 2 1 1 7 3 21 3 4

28 15

d) (24,72) 2 (20,28) 24,44

c)

1 4 191 2 e 1 1,2o 1 40 5 5 5

3

Escreva a sequência de teclas que Beatriz deverá apertar em uma calculadora para deter­ minar o valor de (14,2) 2 (23,7). Qual será o resultado? Lembre­se de que empregamos o ponto para indicar a vírgula de um número decimal. 4 . 2 2 3 . 7 1 2 5 ; 7,9

4

Em certo mês, uma cidade do Sul do país teve temperatura máxima de 14,5 °C e temperatura mínima de 22,8 °C. Qual foi a diferença entre as temperaturas máxima e mínima registradas nesse mês, nessa cidade? 17,3 °C

5

Vítor gastou, em maio,

6

O Brasil subiu ao pódio duas vezes na Paralimpíada do Rio de Janeiro, em 2016, na modalidade de salto em distância categoria T11. Silvania Costa Oliveira, medalhista de ouro, alcançou a marca de 4,98 m, e Lorena Salvatini Spoladore, medalhista de bronze, alcançou a marca de 4,71 m. Veja o resultado das 5 melhores marcas na tabela abaixo.

1 1 do seu salário com alimentação e com entretenimento, sobrando­lhe 3 2 ainda R$ 315,00. Qual foi o salário de Vítor nesse mês? R$ 1 890,00

Melhores marcas no salto em distância T11 – Rio de Janeiro (2016) País Brasil

Atleta Silvania Costa Oliveira

Distância (m) 4,98

Costa do Marfim Fatimata Brigitte Diasso

4,89

Brasil

Lorena Salvatini Spoladore

4,71

China

Juntingxian Jia

4,63

Brasil

Thalita Vitoria Simplicio da Silva

4,54

Fonte: Paralimpíada do Rio de Janeiro, 2016.

a) Qual é a diferença, em metro, entre a marca da primeira e a da quinta colocada? 0,44 m b) Sabendo que a distância alcançada pela sexta colocada foi 3 cm menor que a da quinta colocada, qual foi a marca alcançada por ela? 4,51 m 116

• Comente com os alunos que as Olimpíadas e as Paralimpíadas, tema da atividade 6, serão objetos de estudo na seção “É hora de extrapolar” na unidade 3 (páginas 225, 226 e 227), despertando o interesse, a curiosidade e a valorização da saúde física e emocional.

116

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

GUILHERME CASAGRANDI

• No decorrer do capítulo serão propostas atividades que envolvem, ao mesmo tempo, cálculos com números racionais escritos na forma decimal associados à forma fracionária. Esses cálculos devem ser explorados de forma cuidadosa, uma vez que uma simples transferência de característica de um tipo de número não deve se tornar um obstáculo no processo de aprendizagem envolvendo o tema em questão. • Antes de iniciar a resolução da atividade 2, retome com os alunos as regras para resolução de expressões numéricas. Alerte-os de que a eliminação dos parênteses é a primeira operação a ser efetuada na atividade proposta dos itens b e c. Uma sugestão para resolver a atividade é, primeiro, transformar todos os valores para a forma decimal. Para a verificação dos cálculos, peça que efetuem os cálculos novamente transformando os valores para a forma fracionária, finalizando com uma análise e uma comparação dos resultados obtidos em ambos os procedimentos de cálculo. • Antes de propor a atividade 3, explore livremente as teclas de uma calculadora com o objetivo de que todos se familiarizem minimamente com ela. Em seguida, explique que a tecla 12 da calculadora muda o sinal do número que foi digitado anteriormente, ou seja, mostra o oposto do número que está no visor. Portanto, mesmo que não seja necessário o uso de uma calculadora para realização do exercício, é conveniente pedir que os alunos analisem a digitação de alguns valores antes de resolver a atividade.

4

• Antes de utilizar o algoritmo para a multiplicação de números racionais, ressalte aos alunos a resolução da situação 1 por meio da transformação de números decimais em frações. Se julgar conveniente, explore outros exemplos desse tipo com os alunos. • Comente com os alunos que as regras de sinais, bem como as propriedades da multiplicação de números racionais, são as mesmas que foram estudadas no capítulo 1, em multiplicação de números inteiros.

Multiplicação de números racionais

Observe as situações a seguir. JOSÉ LUÍS JUHAS

Situação 1 Rodrigo comprou 2,7 quilogramas de maçã ao preço de R$ 5,90 o quilograma. Quanto ele gastou nessa compra? Para resolver esse problema, podemos efetuar a multiplicação: 2,7 8 5,90 2,7 8 5,90 5

15 930 27 590 5 15,930 5 15,93 8 5 10 100 1000

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Portanto, Rodrigo gastou R$ 15,93 nessa compra. No algoritmo a seguir, que representa o gasto de Rodrigo nessa compra, observe que o número de casas decimais do produto é igual à soma do número de casas decimais dos fatores. 5, 9 0 2, 7

#

fator com 2 casas decimais fator com 1 casa decimal

4 1 3 0 1 1 1 8 0 1 5, 9 3 0

produto com 3 casas decimais (2 1 1 5 3) 15,930 5 15,93

De maneira prática, podemos efetuar a multiplicação de dois ou mais números racionais desconsiderando a vírgula dos fatores. Em seguida, acrescentamos a vírgula ao resultado, de modo que o número de casas decimais do produto seja igual à soma do número de casas decimais dos fatores.

Situação 2 Paula comprou cinco caixas de piso cerâmico, cada uma delas com 3,24 metros quadrados de piso. Calcule o valor total dessa compra, sabendo que o metro quadrado desse piso custa R$ 24,40. Para resolver esse problema, podemos efetuar a multiplicação: 5 8 3,24 8 24,40 5 8 3,24 8 24,40 5

3, 2 4 #

5

1 6, 2 0

2 casas decimais 0 casa decimal 2 casas decimais

5 16,20 8 24,40 5

#

2 4, 4 0

2 casas decimais

1 6, 2 0

2 casas decimais

0 0 0 0 4 8 8 0 1 4 6 4 0 1 2 4 4 0

5 395,28

3 9 5, 2 8 0 0

4 casas decimais 395,2800 5 395,28

Portanto, o valor total da compra é R$ 395,28. 117

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9/25/18 15:44

117

Situação 3 Nilza e Norma fizeram uma dívida de R$ 5 490,00 para repor o estoque da papelaria delas. 2 À Norma coube dessa dívida. Ela pagou com cartão de débito, cuja conta bancária estava com 3 saldo de R$ 3 630,00. Norma tinha dinheiro suficiente para esse pagamento? Como ficou a conta bancária de Norma após o pagamento? Para resolver esse problema, devemos calcular: o valor da dívida que coube à Norma:

1 830

2 8 5 490 5 3 660 13

saldo da conta bancária após o pagamento da dívida: 3 630 2 3 660 5 230

Agora, veja mais alguns exemplos de multiplicação com números racionais. e1 1 o 8 e2 3 o 5 2 3 4 2 8 7

1

1

e2 49 o 8 e2 2 o 8 e1 5 o 5 e1 49 8 2 o 8 e1 5 o 5 e1 7 8 1 o 8 e1 5 o 5 1 7 8 5 5 1 7 7 18 18 10 8 1 18 36 20 10 20 81 7 2 10 8 18

Propriedades da multiplicação de números racionais Dados temos:

a c e , e números racionais, com b % 0, d % 0, f % 0 e k um número racional qualquer, b d f

Comutativa

Associativa

Distributiva da adição

a c c a 3 5 3 b d d b

a c e a c e 8 f 8 p5e 8 o 8 b d b d f f

k 8e

a c a c 1 o5k 8 1k 8 b d b d

ATIVIDADES • A atividade 1 utiliza a calculadora como ferramenta de controle e verificação de resultados, permitindo, assim, que os alunos desenvolvam a autonomia na correção dos cálculos. O uso da calculadora possibilita que o aluno investigue propriedades e verifique possibilidades de manipulação, além de auxiliá-lo na tomada de decisões em diferentes contextos. • Incentive os alunos a utilizar a simplificação nas multiplicações da atividade 2.

118

a a a 8 151 8 5 b b b

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

1

Calcule o valor de cada expressão. Em seguida, confira o resultado utilizando uma calculadora. c) (22,5) 8 30 275 a) (23,85) 8 (12,4) 29,24 b) (11,4) 8 (20,5) 20,7 d) (20,3) 8 (20,01) 0,003

2

Efetue as multiplicações. 4 7 a) e2 o 8 e2 o 5 4 16 4 b) e1 o 8 e2 o 9 81

118

Elemento neutro

5 4 c) e1 o 8 e2 o 8 3

7 5 2

64 729

4 d) e1 o 8 0 5

0

2

5 6

15 e) e2 o 8 1 2 15 11 11 3 18 f) (13) 8 e2 o 8 e1 o 9 6

23

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Portanto, Norma não tinha dinheiro suficiente para esse pagamento. Sua conta ficou com saldo negativo de R$ 30,00.

Lembre-se: Não escreva no livro!

5. b) Resposta pessoal. Espera-se que os alunos tenham percebido que por mais de 0,5 kg de comida Catarina pagaria mais de R$ 16,00; logo, ela fez a melhor opção.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

Isadora vai revestir uma das paredes de seu quarto com um papel decorativo. Essa parede tem 4,35 m de comprimento por 2,80  m de largura. Quantos metros quadrados de papel decorativo serão necessários para cobri-la? 12,18 m2

4

Determine o produto dos números 240 e 20,025. (240) 3 (20,025) 5 1

5

Catarina almoça todos os dias no mesmo restaurante. Ela pode optar por escolher a comida e pesar o prato, pagando R$ 32,00 por quilograma, ou comer à vontade, pagando R$ 14,50. a) Na segunda-feira, ela optou por comer por quilo. A balança indicou 0,350 kg. Quanto Catarina pagou? R$ 11,20 b) Na sexta-feira, ela estava com muita fome e optou por comer à vontade. Para ter certeza de que escolheu a opção mais econômica, decidiu pesar seu prato. A balança marcou 0,525 kg. Você acha que Catarina fez a opção correta? Por quê? Durante a aula de Matemática, a professora Luciana escreveu no quadro uma expressão e pediu aos alunos que a resolvessem. Veja como Isabela e Marcelo resolveram a expressão.

ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS

6

7

Calcule, no caderno, o valor da expressão: e2 3 8 16 1 0,3o 8 e2 3 o 4 81 4

8

9

10

• Antes de iniciar a resolução da atividade 7, retome com os alunos as regras para a resolução de expressões numéricas, e, em seguida, alerte-os para o fato de que o primeiro passo a ser seguido é efetuar as operações dentro dos parênteses, lembrando-os de que as multiplicações prevalecem sobre as adições e as subtrações. • Na atividade 10, comente com os alunos sobre o inverso multiplicativo de um número e sua importância na resolução das divisões de números racionais na forma fracionária, assunto que será explorado no tópico a seguir.

2

41 360

Em uma sessão de cinema foram vendidos 328 ingressos, sendo 80 meias-entradas. Calcule o valor arrecadado nessa sessão, sabendo que o preço do ingresso inteiro custa R$ 16,50. R$ 4 752,00 3 Pedro comprou uma moto. Ele pagou 10 de entrada e dividiu o restante em 20 parcelas iguais de R$ 217,70. Qual foi o valor da moto? R$ 6 220,00 Junte-se a um colega e façam o que se pede. a) Calculem os produtos. 9 2 • e2 o 8 e2 o 9 2

1

15 4 • e1 o 8 e1 o 4 15

1

19 1 • e2 o 8 e2 o 1 19 1 b) Respondam: por que fração devemos 6 multiplicar e2 o para obter 11? 2 65 5 c) Escrevam três frações e troquem entre si. Cada um de vocês deve obter as frações que, multiplicadas pelas frações dadas pelo colega, resultem em 1. Resposta pessoal. a d) Dada a fração , com a e b números b inteiros diferentes de zero, respondam: a por qual fração deve ser multib plicada para que se obtenha 1 como resultado? b a

Embora tenham resolvido de maneiras diferentes, Isabela e Marcelo obtiveram o mesmo resultado. a) Explique, passo a passo, como Isabela resolveu a expressão. Resposta pessoal. b) Quais são as propriedades envolvidas em cada resolução? c) Como você resolveria? Por quê?

9 15 2 4 e) e2 o e e2 o, e1 o e e1 o, 9 2 4 15 e2 1 o e e2 19 o são inversos multipli­ 19 1 cativos, pois o produto deles é 1. Escrevam dois pares de frações que sejam inversos multiplicativos e passem para outra dupla verificar se o produto deles é 1. Resposta pessoal.

Respostas pessoais. 6. b) Isabela resolveu a soma entre parênteses primeiro, multiplicando o 16 . Marcelo utilizou a propriedade distributiva. resultado por 20

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119

9/21/18 18:50

119

• A divisão de números racionais pode não apresentar maiores problemas aos alunos em sua forma fracionária, porém requer uma atenção mais detalhada quando efetuada em sua forma decimal, pois não é incomum que muitos alunos ainda não tenham consolidado o algoritmo da divisão com os números inteiros.

5

Divisão de números racionais

Observe as situações a seguir.

Situação 1 Lúcio comprou 180 bolas de um mesmo modelo para revendê-las em sua loja e pagou R$ 675,00 por essas bolas. No entanto, por causa da concorrência de lojas vizinhas, precisou vendê-las com desconto, de modo que só conseguiu R$ 450,00 por elas. Qual foi o prejuízo de Lúcio em cada bola?

Ou seja, efetuar a divisão: (2225) 9 180 Observe, abaixo, a divisão de 225 por 180: C

D

U

2

2

5

2 1

8

0

4

5

0

2 3

6

0

9

0

0

2 9

0

0

180 1 , 2

5

U, d

c

0 Temos que 225 9 180 5 1,25 e, portanto: (2225) 9 180 5 21,25

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para calcular o prejuízo de Lúcio, devemos resolver a expressão: (450 2 675) 9 180

Logo, o prejuízo de Lúcio foi R$ 1,25 em cada bola.

Situação 2

ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI

Lúcia distribuiu todo o conteúdo de 3  garrafões de 6 20 litros em garrafas com capacidade de de litro, 10 enchendo-as completamente. Quantas garrafas foram utilizadas? Para resolver essa questão, podemos calcular a ex6 pressão: (3 8 20) 9 10 10 6 10 100 60 9 5 60 8 5 5 100 1 10 61 Portanto, foram utilizadas 100 garrafas de

6 de litro. 10

120

• Lembre os alunos de que, para efetuar a operação de divisão de números racionais na sua forma fracionária, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, e, na sua forma decimal, devemos igualar as casas decimais e dividir como se os números fossem inteiros.

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120

9/25/18 15:44

Veja agora mais exemplos de divisões de números racionais na forma de fração.

• Ressalte a importância da utilização das regras para a resolução das expressões numéricas, além da aplicação das simplificações e dos inversos multiplicativos.

2

e1 1 o 9 e2 3 o 5 e1 1 o 8 e2 4 o 5 2 2 4 2 3 3 12 inversos multiplicativos

e1 7 o 9 (14) 5 e1 7 o 8 e1 1 o 5 1 7 5 5 4 20 1

1

e2 2 o 9 e2 8 o 5 e2 2 o 8 e2 3 o 5 1 1 13 48 4 3 3

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

e2 49 o 9 e2 2 o 9 e1 14 o 5 7 5 20 5 >e2

49 o e 7 oH e 5 o 8 2 5 8 1 14 20 2

49

5 e1 51

1

343 o e 5 o 8 1 5 8 40 2 14

49 8 1 49 51 882 16

ATIVIDADES 1

Faça Façaas asatividades atividadesno nocaderno. caderno

Calcule o valor das expressões. Depois, confira o resultado utilizando uma calculadora.

8 4 c) e2 o 9 e2 o 7 7

3 9 d) e2 o 9 e2 o 1 5 15

a) 227,6 9 1,5 218,4 b) (24,9) 9 (20,98) 2

5

b) (116,2) 9 (23,6)

24,5

c) (281,64) 9 (26,5) 12,56 d) (112,6) 9 (20,25) 250,4 3

Efetue as divisões. 3 7 1 21 49 a) e1 o 9 e2 o2 6 b) e1 o 9 e1 o 1 6 7 7 49

4. a) Exemplo de resposta:

3 533256 0,5

5 5 f) e2 o 9 (18)2 16 2

3 128 g) (116) 9 e2 o2 3 8

16 9 3 4 e) e2 o 9 e1 o2 4 h) e2 o 9 (10,1) 26 9 81 5

Calcule. a) (2200) 9 (10,5) 2400

1 2

4

Julgue cada afirmação em verdadeira ou falsa. Dê um exemplo para cada verdadeira e corrija a(s) falsa(s). a) Dividir por 0,5 equivale a multiplicar por 2. b) Para resolver uma multiplicação por 5, pode-se multiplicar por 10 e, em seguida, dividir por 2. 3 c) Multiplicar por equivale a dividir 4 por 0,75. Falsa, pois multiplicar por 3

• A atividade 1 utiliza a calculadora como ferramenta de controle e verificação de resultados e permite, assim, que os alunos desenvolvam a autonomia na correção de seus cálculos. O uso da calculadora permite que o aluno investigue propriedades, verifique possibilidades de manipulação, e o auxilia na tomada de decisões em diferentes contextos.

4 equivale a multiplicar por 0,75. 10 40 4. b) Exemplo de resposta: 4 3 5 5 4 3 d n 5 5 20 2 2 121

121

• A situação apresentada neste tópico exige dos alunos a conversão de registros em língua materna para o numérico. Sempre que possível, explore situações desse tipo, uma vez que esse processo é fundamental em Matemática e, em geral, os alunos apresentam dificuldade em realizá-lo. • Leve os alunos a observar a regularidade das alturas atingidas pela bolinha após cada batida no chão.

6

Potenciação de números racionais

Floc não consegue pegar a bolinha que sua dona deixa cair de uma altura h. Cada vez que a 3 bola toca o chão, ela sobe até da altura anterior. Que fração da altura inicial (h) a bolinha de 5 Floc atingirá após bater pela terceira vez no chão? Escreva essa fração da altura na forma de potência.

h

Altura inicial: h

3

3 27 Peça aos alunos que calculem a potência e o . Eles devem obter . 5 125

Após a 1a batida no chão:

3 3 de h 5 h 5 5

Após a 2a batida no chão:

3 3 3 3 3 de h 5 8 h5e oh 5 5 5 5 5

Após a 3a batida no chão:

3 3 3 e3o 3 3 3 3 de e o h 5 8 h5 8 8 h5e o h 5 5 5 5 5 5 5 5

2

2

2

3

3

3 27 Após a terceira vez que bater no chão, a bolinha atingirá e o 5 da altura inicial. 5 125 Nessa situação, foi possível recordar que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais. Assim, para um número racional a com expoente natural n maior que 1, definimos: a n 5 a 8 a 8 a 8 ... 8 a n fatores

Veja agora alguns exemplos de potências de números racionais. 5

e2 1 o 5 e2 1 o 8 e2 1 o 8 e2 1 o 8 e2 1 o 8 e2 1 o 5 2 1 2 2 2 2 2 2 32 122

122

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

GEORGE TUTUMI

Para resolver o problema, vamos verificar passo a passo as alturas da bolinha.

3

e1 2 o 5 e1 2 o 8 e1 2 o 8 e1 2 o 5 1 8 5 5 5 5 125

(20,4)4 5 (20,4) 8 (20,4) 8 (20,4) 8 (20,4) 5 10,0256 (21,2)2 5 (21,2) 8 (21,2) 5 11,44 Observações

1 Para todo número racional a com expoente 1, temos: a 1 5 a Veja os exemplos: • e2

1

•e

7o 7 52 4 4

1

2o 2 5 5 5

• (20,32)1 5 20,32

• e1

0

2o 51 3

• e2

0

4o 51 5

• (20,47)0 5 1

ATIVIDADES 1

4

b) (0,01)2

1 81 0,0001

17 c) e2 o 20

1 e) e2 o 2

4

f) (1,2)2

1,44

g) 20,51

20,5

1 h) e o 10

1 1 000

1 16

1

3

Sabe-se que a área do quadrado é dada pelo quadrado da medida de seu lado. a) Qual é a área de um quadrado cujo lado mede 4,2 cm? 17,64 cm2 b) Qual é a medida da área de um quadrado cujo lado mede m? m2 c) A área de um quadrado é 144 cm2. Qual é a medida de seu lado? 12 cm Sabendo que a 5 2

A população de um tipo de bactéria aumenta 10% a cada semana, ou seja, 110 11 corresponde a da população ou 100 10 da semana anterior.

0

d) 104 10 000

3

4

Calcule as potências. 1 a) e2 o 3

2

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

2

a) a 1 b

b) (a 1 b)2

13 16 25 16

3 1 e b 5 , calcule: 2 4

KATERYNA KON/SHUTTERSTOCK

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2 Para todo número racional a não nulo, com expoente igual a zero, temos: a 0 5 1 Veja os exemplos:

• A atividade 2 estabelece conexão entre os assuntos potência, radiciação, figura geométrica e área. Seria interessante revisar o cálculo da área de um quadrado antes de solicitar aos alunos que resolvam a atividade. Esta atividade pode servir de introdução para o assunto do tópico “Raiz quadrada de números racionais”. • Para ampliar a abordagem da atividade 4, solicite aos alunos que pesquisem sobre a taxa de crescimento de bactérias.

Ilustração em 3D, em cores fantasia, de bactérias lactobacilos (ampliação de 15 000 vezes). Algumas dessas bactérias são utilizadas na fabricação de produtos lácteos, como o iogurte.

Um biólogo contou 2 000 elementos em uma colônia dessas bactérias. Quantos indivíduos terá a população após três semanas da contagem? 2 662 indivíduos

Material Digital Audiovisual • Videoaula: Matemática com Libras

123

Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual

123

• Explore com os alunos algumas características da raiz quadrada de números racionais. Mostre que a raiz quadrada de um número inteiro positivo sempre será um número menor ou igual a ele, e que nem sempre isso ocorre com um número racional. 1 1 5 ou Por exemplo: 4 2 1 1 5 100 10 • Comente com os alunos que, assim como para os números inteiros, a raiz quadrada é única e não negativa. Então, embora (20,4)2 5 0,16 e (10,4)2 5 0,16, apenas o 10,4 é considerado raiz quadrada de 0,16.

7

Raiz quadrada de números racionais

Observe as situações a seguir.

Situação 1 Um quadrado tem 0,4 dm de medida do lado. Calculando a área desse quadrado, temos: 0,4 dm 8 0,4 dm 5 (0,4 8 0,4) dm2 5 0,16 dm2 O número racional 0,16 é um quadrado perfeito e 0,4 é a raiz quadrada desse número.

0,4 dm

Então: (0,4)2 5 0,16 A raiz quadrada de um número racional quadrado perfeito é o número racional não negativo cujo quadrado é igual ao número dado. Então: 0,16 5 0,4, pois (0,4)2 5 0,16.

Situação 2 Um quadrado tem

3 dm de medida do lado. 5

Calculando a área desse quadrado, temos: 3 3 3 3 9 dm 8 dm 5 e 8 o dm2 5 dm2 5 5 5 5 25

3 dm — 5

9 O número racional é um quadrado perfeito e 25

3 é a raiz quadrada desse número. 5 Ou seja:

9 3 5 5 25 3 dm — 5

Veja outros exemplos: 2

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

1 1 1 1 5 , pois e o 5 . 9 3 3 9

124

124

2

3 9 9 3 . 5 , pois e o 5 4 4 16 16 2

5 25 25 5 . 5 , pois e o 5 8 64 64 8

0,04 5 0,2, pois (0,2)2 5 0,04. 0,36 5 0,6, pois (0,6)2 5 0,36. 0,49 5 0,7, pois (0,7)2 5 0,49.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Chamamos números racionais quadrados perfeitos aqueles que podem ser escritos como potência de base racional e expoente 2.

0,4 dm

• Solicite aos alunos que utilizem uma calculadora para obter as raízes quadradas da segunda observação e que verifiquem a afirmação: “A raiz quadrada de um número que não é quadrado perfeito não é um número racional.” • Muitos alunos, por apresentar dificuldades no algoritmo da radiciação, costumam recorrer à calculadora a fim de agilizar os cálculos. Para minimizar essa situação, se achar oportuno, apresente a técnica de decomposição em fatores primos. Por exemplo, vamos determinar a raiz quadrada do 25 : número 196

Observações

1 A raiz quadrada de números racionais negativos não é um número racional, pois o quadrado de um número racional nunca é negativo. Por exemplo:

1 não é um número racional, pois não existe número racional que, multiplicado por 25 1 . ele mesmo, resulte em 2 25

•

2

Cuidado!

1 é um número racional 64

•2

• 2 0,25 é um número racional

1 1 52 64 8

2

2 0,25 5 2

25 5 52 5 20,5 100 10

2 A raiz quadrada de um número que não é um quadrado perfeito não é um número racional. Veja:

52 25 5 5 2 196 2 3 72 5 5 5 5 14 23 7

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• 2,5 não é um número racional, pois 2,5 não é um racional quadrado perfeito.

36 36 não é um número racional, pois não é um racional quadrado perfeito. 47 47

•

ATIVIDADES

Esse raciocínio pode ser empregado, por exemplo, nos cálculos da atividade 3:

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

A 5 1

Calcule, se possível, as raízes quadradas. a)

100 9

b)

1,96

10 3

e)

1,4

f)

c) 2 0,01 4 25

d) 2

g)

20,1

2 5

h)

4

6,25

2,5 f) Essa raiz 281 quadrada 64 não está definida no 144 12 conjunto dos 0,64 números 0,8 racionais.

5

Qual é o valor das expressões? 4 2 25 25 2 16

a) 351 39 5 20 180

3

b)

9 1 4 0 1 2 9 25 9 36 49 o1 2 e2 81 100

4 9

Junte-se a um colega e desenhem no caderno uma reta numérica, localizando os seguintes números racionais: • A, B e C, sendo: A 5 2,25 , B 5 9 e C 5 20,25 • D, E e F, sendo: D 5 12,25 , E 5 25 e F 5 18,49

6

Identifique os números racionais que não têm raiz quadrada exata. alternativas c, e 13 14 e) a) 81 c) 17 18 169 1 1 b) d) f) 144 64 225 Responda às questões. a) Um quadrado tem área igual a 23,04 m2. Qual é a medida do lado desse quadrado? 4,8 m b) A medida do lado de um quadrado é 25 25  m. Qual é a área desse quadrado? 36 36 c) Qual é o número maior: 40 ou 6,3? 40 d) O número 5 não tem raiz exata. Converse com um colega e respondam: entre quais números inteiros 5 está localizado na reta numérica? 2 e 3

32 8 52 5 22 8 52

5

3 4 8 52 5 22 8 52

5

D 5

A sala da casa de Ronaldo tem a forma de um quadrado com área igual a 24 m2. Calcule, por meio de tentativa, a medida aproximada do lado dessa sala, sabendo que ela se situa entre 4 m e 5 m.

5

1225 5 100

49 7 5 5 3,5 4 2

E 5 18,49 5 5

2 025 5 100 81 9 5 5 4,5 4 2

12,25 5

52 8 72 5 22 8 52

225 5 100 9 3 5 5 1,5 4 2

20,25 5

C 5

m2

2,25 5

1849 5 100

432 43 5 5 4,3 10 102

B

A 0

+1

+2

+3

D

FC +4

E +5

r

ADILSON SECCO

aproximadamente 4,9 m

3.

125

125

• Se achar necessário, ressalte, mais uma vez, para os alunos as regras utilizadas para a resolução de expressões numéricas.

Expressões numéricas com números racionais Na resolução de expressões numéricas envolvendo números racionais, valem os mesmos procedimentos utilizados nas expressões com números inteiros. Observe os exemplos:

p

2

e2 1 o 2 3

2

5

3 1 1 >3 2 2 2 e2 1 o H 5 8 4 4 1 9 2

7 4 2 0,15o 9 (20,2) 5 5e 8 5 14 2

5

3 1 1 >3 4 2 2 e2 1 o H 5 8 4 4 9 2 2

4 alunos essa 2 0,15o 9 (20,2) 5 os 5e expressão 10

5

1 1 >3 1 2 2 e2 o H 5 8 4 4 9 2

5 (0,4 2 0,15) 9 (20,2) 5 transformando

5

1 1 >3 1 2 8 2 e1 oH 5 4 4 4 9

5e

2

7 14 9 2 0,15o 9 (1 2 1,2) 5 5 4

2

1

2

Resolva com numérica

os números decimais em frações.

5 (10,25) 9 (20,2) 5

1 1 =3 1 2 2 G5 8 4 4 4 9 1 1 21 5 2 5 8 42 4 9 1 1 5 2 5 9 8 5

EDUARDO FRANCISCO

5 21,25

5

ATIVIDADES

• Na atividade 3, oriente os alunos a elaborarem expressões mais simples, respeitando as ordens das operações. Somente então, se for o caso, introduza os parênteses, colchetes e chaves, explicando aos alunos que esses símbolos tornam as expressões mais complexas.

3 3 1 8 > 2 e22 1 o H 5 4 16 2

1

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

Calcule o valor numérico de cada expressão. 3 2 a) e22 2 o 8 e2 o 5 4

2

1 1 b) 1 2 e o 9 e 2 1 o 2 3 3

2 2

1 1 c) e5 2 o 9 e 2 2o 2 2 2

1 4 d) 2 11 5 32

55 28

8 9 1 2 52 72 72 72

2

27 20

23 27

3

26

3

Calcule o valor numérico das expressões. 1 1 5 a) 2x 2 9y, sendo: x 5 2 e y 5 2 2 4 3 1 1 61 b) 2x 2 2 4y 1 8, sendo: x 5 2 e y 5 3 8 2 2 2 2 1 277 c) y 2 1 7x, sendo: x 5 d n e y 5 225 5 3 1 4 35 d) 4x 3 1 3y 2, sendo: x 5 e y 5 2 3 6 Junte-se a um colega. Cada um deve elaborar um problema em que seja preciso montar uma expressão numérica para resolvê-lo. Em seguida, troque de problema com o colega para que o resolva. Por fim, corrijam os problemas. Resposta pessoal.

Veja a sequência didática 2 do 2o bimestre no Material do Professor – Digital.

126

126

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

f

7 5 2 0,15 9 (1 2 3 8 0,4) 5 14 4

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo questões de exames e concursos, cuidadosamente escolhidas para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

Faça as atividades no caderno.

Revisitando 1

Neste capítulo, você estudou os números racionais. Cite as duas formas de representá-los.

2

O que é módulo de um número racional?

3

Quantas casas decimais terá o produto de uma multiplicação em que o primeiro fator é 3,456 e o segundo é 1,71? O produto terá cinco casas decimais, pois o número de casas decimais

Os números racionais podem ser representados na forma decimal ou na forma de fração. O módulo ou valor absoluto de um número racional é a distância do ponto, que corresponde a esse número, até a origem da reta numérica.

do produto é igual à soma do número de casas decimais dos fatores.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

4

Você lembra do problema dos camelos, de Malba Tahan? Nesse problema, uma herança correspondente a 35 camelos foi deixada para três filhos. A divisão da herança deveria ser feita da seguinte maneira: 1 1 • dos camelos para o filho mais velho; • dos camelos para o filho do meio; 3 2 1 • dos camelos para o filho mais moço. 9 Para que a divisão fosse exata, um sábio propôs doar seu camelo, e, após a divisão, ele ficaria com os camelos que sobrassem. Assim, com todos satisfeitos com a proposta, o filho mais velho ficou com 18 camelo; o do meio, com 12 camelos; o mais moço, com 4 camelos; e o sábio, com 2 camelos. Qual é a diferença entre a unidade e a soma das frações da herança dos filhos? A quantos camelos corresponde essa diferença? 1 ; a 2 camelos

Revisitando • Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão.

18

Aplicando 4

Escreva os números racionais abaixo na forma de fração. 1 a) 16,8 34 c) 20,02 2 50 5 b) 20,375 2 83 d) 0,07 7

A

100

2

–4

No caderno, trace uma reta numérica e localize:

5

b) 20,05 1 1,4 1 (0,5 8 0,5) c) (20,3) 8

13 1 1 5,4 2 10 20

5 5 5 5 d) e 1 1 o 9 e2 o 8 4 2 8

1,6

–3

Aplicando

D

6

27

–2

PDF-107-130-MCP7-C05-G20.indd 127

–1

B

A 0

+1

+2

C

+2

+3

+4

r

desceu; 6,9 m

118 25

+3

r

ADILSON SECCO

C

+1

Um mergulhador saiu de uma profundidade de 20,6 m para chegar à de 27,5 m. Nesse caso, ele desceu ou subiu? Quantos metros? Podemos afirmar que dividir por 0,125 é o mesmo que multiplicar por 8? Justifique sua resposta. sim; considerando que representa 8

um número racional, temos:

2.

B 0

d) Qual é o ponto que corresponde ao 3 número 2 ? ponto D 4

37 40

5 1 1 2 1 2 5 8

D –1

c) Qual é o número que corresponde ao ponto B ? 1,5

Calcule o valor numérico das expressões. a)

–3 –2

1 a) Que ponto corresponde ao número 13 ? 2 ponto C b) Qual é o número que corresponde ao ponto A? 22,5

a) o ponto A, que corresponde a 10,8; 8 b) o ponto B, que corresponde a 1 ; 3 c) o ponto C, que corresponde a 22,25; 1 d) o ponto D, que corresponde a 2 . 2 3

Observe a reta numérica abaixo e, depois, responda às questões.

GUILHERME CASAGRANDI

1

9

125 5 1000

8

1000 5 1251

88

127

9/25/18 20:28

• A atividade 6 exige que os alunos reflitam e encontrem estratégias para resolvê-la. Após realizarem essa atividade, proponha que compartilhem suas estratégias com os colegas para que possam ampliar o seu repertório.

127

• As atividades 7, 16 e 17 são importantes por explorar a leitura e a interpretação de gráfico ou tabela, essenciais para a formação do aluno como cidadão. Espera-se, com esse tipo de atividade, que o aluno consiga colher dados sobre fatos do cotidiano e que seja capaz de analisar, refletir e fazer previsões a partir das informações que possui.

Lembre-se: Não escreva no livro!

12

Observe o gráfico abaixo, que representa a distribuição dos gastos da família de Ana. LUIZ RUBIO

DISTRIBUIÇÃO DOS GASTOS 1 — 6 1 — 12

1 — 24

1 — 12 ? 1 — 4

Alimentação

Água e luz

Telefone fixo, celular e internet

Aluguel

Outros

Lazer

Vestuário

Educação

Tabuleiro de xadrez.

13

Agora, responda às questões no caderno. a) Que fração do todo representa o gasto da família de Ana com educação? 1 6 b) Os “outros” gastos correspondem a que fração? 1 8

8

Mário e Carlos terminaram uma partida de tênis. Mário acertou 15 dos 20 saques. Carlos, por sua vez, acertou 72% dos saques. Em sua opinião, quem sacou melhor? Que porcentagem dos saques efetuados por Mário representa seus acertos? Mário; 75%

9

Calcule. 2 a) e 1 2 o 5 1 b) e2 o 5

10

11

4

2

9 25

1 625

1 c) e0,3 2 o 2 d) (0,01)3

3

20,008

Calcule o valor das expressões. 2 1 a) 0,4 9 e2 o 2 e2 o 8 0,4 5 2

Dados fornecidos por Ana.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 — 12

OLEKSIY MAKSYMENKO PHOTOGRAPHY/ ALAMY/FOTOARENA

1 — 6

As 64 casas de um tabuleiro de xadrez preenchem uma superfície quadrada de área igual a 1 936 cm2. Qual é a medida do lado de uma das casas desse tabuleiro? 5,5 cm

20,8

3 1 2 b) >e2 o 8 (0,2) 2 H 1 e2 o 8 (20,5) 2 2 3 7 2

14

15

(Enem) Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte. 1,35 máximo

0,000001

1,20

Utilizando uma calculadora, determine a raiz quadrada de 90 com aproximação de duas casas decimais. 9,49

1,00

3 Qual é o número que, dividido por , é 5 5 igual a 2 ? 2 83 8

0,40 mínimo

confortável

0,80

EDUARDO FRANCISCO

7

128

PDF-107-130-MCP7-C05-G20.indd 128

128

9/21/18 18:51

• Veja abaixo a resposta do item c da atividade 17.

Lembre-se: Não escreva no livro!

Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 7 2009 sejam iguais a das importações e 5 exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009? alternativa c a) 600 milhões de dólares. b) 840 milhões de dólares. c) 1,34 bilhão de dólares. d) 1,44 bilhão de dólares. e) 2,00 bilhões de dólares.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá aquele potencial comprador é: alternativa e a) 0,20 m e 1,45 m. d) 0,25 m e 1,30 m. b) 0,20 m e 1,40 m. e) 0,45 m e 1,20 m. c) 0,25 m e 1,35 m. 15

Qual é o perímetro de um terreno quadrado cuja área é 806,56 m2? 113,6 m

16

(Enem) Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008. Entretanto, apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado. O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009. Comércio exterior de petróleo (milhões de metros cúbicos) Ano

Importação

Exportação

2001

24,19

6,43

2002

22,06

13,63

2003

19,96

14,03

2004

26,91

13,39

2005

21,97

15,93

2006

20,91

21,36

2007

25,38

24,45

2008

23,53

25,14

2009*

9,00

11,00

* Valores apurados de janeiro a maio de 2009.

Disponível em: . Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).

Nome

17

Idade Altura Posição (anos) (m)

Deryk E. Ramos

21

1,85 Armador

Larry J. Taylor Jr.

35

1,88

Marcelo T. Huertas

33

1,91 Armador

Leandro M. Barbosa

33

1,94

Ala/ Armador

Anderson F. Varejão

33

2,08

Pivô

Vitor L. Faverani T.

28

2,11

Pivô

Ala/ Armador

A seleção brasileira de basquete disputou as Olimpíadas de 2016, no Rio de Janeiro, mas não foi classificada para a 2a fase. A tabela a seguir apresenta alguns jogadores convocados para o campeonato. Informações sobre jogadores da seleção brasileira de basquete Nome

Idade Altura (anos) (m)

Posição

Marcelo T. Huertas

33

1,91

Armador

Larry J. Taylor Jr.

35

1,88

Ala/Armador

Anderson F. Varejão

33

2,08

Pivô

Vitor L. Faverani T.

28

2,11

Pivô

Deryk E. Ramos

21

1,85

Armador

Leandro M. Barbosa

33

1,94

Ala/Armador

Disponível em: . Acesso em: 16 jul. 2018.

Com base nas informações, responda: a) Qual é o nome do jogador mais alto? Vitor L.Faverani T. b) Em que posição joga o jogador mais baixo? armador c) Reescreva, no caderno, a tabela, ordenando os jogadores por altura, do mais baixo para o mais alto. 129

129

• Na atividade 22, comente com os alunos que o stand up paddle pode ser definido, de forma simplificada, como o surfe praticado em pé e com o uso de remo. • Na atividade 23, utilizar a técnica de decomposição em fatores primos, com o auxílio da calculadora, em vez de tentar descobrir a raiz por tentativa e erro, pode ser uma boa estratégia de cálculo.

Lembre-se: Não escreva no livro!

18

(Enem) A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca de 3 000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, possuem temperatura em torno dos 6 000 K*; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10 000 K. A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes. Estrelas da sequência principal Raio

O5

40 000

5 # 105

40

18

B0

28 000

2 # 104

18

7

B0

9 900

80

3

2,5

G2

5 770

1

1

1

M0

3 480

0,06

0,5

0,6

Temperatura em Kelvin*. Luminosidade, massa e raio tomando o Sol como unidade. * Kelvin: unidade de temperatura no Sistema Internacional de Unidades

Disponível em: . Acesso em: 1o maio 2010 (adaptado).

Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade? alternativa a a) 20 000 vezes a luminosidade do Sol. d) 30 000 vezes a luminosidade do Sol. b) 28 000 vezes a luminosidade do Sol. e) 50 000 vezes a luminosidade do Sol. c) 28 850 vezes a luminosidade do Sol. 19

(OBM) Laurinha tinha em sua carteira somente notas de 10 reais e moedas de 10 centavos. Ela pagou uma conta de 23 reais com a menor quantidade possível de moedas. Quantas moedas ela usou? alternativa e a) 3 c) 10 e) 30 b) 6 d) 23

20

(Obmep) A professora Luísa observou que o número de meninas de sua turma dividido pelo número de meninos dessa mesma turma é 0,48. Qual é o menor número possível de alunos dessa turma? alternativa b a) 24 c) 40 e) 48 b) 37 d) 45

21

Calcule o valor da expressão a seguir. e 2 o 8 (0,01)2 8 0,25 5 0

Elaborando

0,00005

22

Após o término de uma competição de stand up paddle, verificou-se que a prancha de 1” Bruno estava (um quarto de polegada) 4 acima do limite estabelecido nessa com1” petição e que a prancha de Luiz estava 2 (meia polegada) abaixo desse limite. Sabendo que 1” corresponde a 2,54  cm, determine a diferença entre essas duas pranchas, em centímetro. 3 ” 5 1,905 cm

23

Com uma calculadora, porém sem usar a tecla , determine a raiz quadrada de 15 129. Registre no caderno suas tentativas. 123

24

(OBM) Podemos afirmar que 0,12 1 0,22 é igual a: alternativa a 1 1 1 a) c) e) 20 5 2 1 1 b) d) 10 4

4

Elaborando

• A seção incentiva a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 4 e 9 e da competência específica 5.

Reúna-se com um colega e fale três números racionais para que ele coloque no local apropriado de uma reta numérica e, em seguida, verifique o lugar em que ele colocou os pontos. Ele também falará três números para que você faça o mesmo. Em seguida, junte os pontos indicados das duas retas numéricas em apenas uma. Resposta pessoal. 130

130

Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Classe Temperatura Luminosidade Massa espectral

Objetivos • Compreender a ideia de variável e incógnita. • Compreender leis de formação de sequências do tipo recursiva ou não recursiva. • Expressar sequências numéricas algebricamente. • Reconhecer expressões algébricas equivalentes. • Resolver e elaborar problemas que envolvem equações do 1o grau.

CAPÍTULO

6

Linguagem algébrica e regularidades

Habilidades da BNCC

1o mês

(1 casal)

• Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das seguintes habilidades: EF07MA13, EF07MA14, EF07MA15, EF07MA16 e EF07MA18. • Neste capítulo, inicia-se o estudo do cálculo algébrico e do uso das letras para representar quantidades numéricas, contemplando a habilidade EF07MA13, que será retomada e aprofundada no capítulo 8.

2o mês

(1 casal)

3o mês

(2 casais)

4o mês

(3 casais)

5o mês

(5 casais)

É hora de observar e refletir • A abertura traz uma situação da história da Matemática que envolve uma sequência numérica, a sequência de Fibonacci. As questões apresentadas têm o objetivo de fazer com que os alunos percebam o padrão dessa sequência. Espera-se que eles compreendam que, nessa sequência, o termo seguinte é obtido por meio de uma adição dos dois termos anteriores, com exceção dos dois primeiros. Para isso, deverão observar a seguinte regularidade:

Ilustração artística, em cores-fantasia, que representa Fibonacci caminhando próximo à catedral de Pisa, na Itália, e pensando a respeito do problema dos coelhos.

É hora de observar e refletir Leonardo de Pisa, também conhecido como Leonardo Fibonacci, foi um famoso matemático italiano. O pai de Fibonacci era um comerciante em Pisa, o que deu a Leonardo a oportunidade de entrar em contato e aprender sobre a cultura e a matemática de outras regiões, como a do mundo árabe. Durante sua vida, Leonardo resolveu alguns problemas da corte italiana, garantindo-lhe renda para que se dedicasse à matemática. Uma de suas obras mais famosas foi o Liber Abaci (o “livro do Ábaco”), no qual introduz no mundo ocidental os numerais indo-arábicos. A sequência abaixo é citada por Fibonacci em seu livro e ficou muito famosa; inclusive, recebeu o nome dele.

Qual é o próximo número dessa sequência? E o número depois dele? Escreva em seu caderno. 21; 34 No caderno, explique com suas palavras como você descobriu o próximo número. Resposta pessoal.

CARLOS BOURDIEL

(1, 1, 2, 3, 5, 8, 13...) Essa sequência surgiu de um problema proposto por ele que envolvia reprodução de coelhos e consistia no seguinte: “Supondo que um casal de coelhos só se reproduzirá pela primeira vez depois de 2 meses do seu nascimento e gerará um casal de filhotes por mês, quantos casais vão existir ao final de 12 meses?”. Foi a quantidade de casais de coelhos por mês que deu origem à sequência de Fibonacci.

131

ƒ 2 5 1 1 1; ƒ 3 5 1 1 2; ƒ 5 5 2 1 3; ƒ 8 5 3 1 5; e assim por diante.

Concluindo que os próximos termos são: ƒ 21 5 8 1 13 e ƒ 34 5 13 1 21.

EF07MA13: Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, 9/26/18 09:00 da ideia de incógnita. EF07MA14: Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. EF07MA15: Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas. EF07MA16: Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes. EF07MA18: Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax 1 b 5 c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

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131

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-lo oralmente, mas, se achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2 e 9. • Amplie a discussão e pergunte aos alunos qual expressão representa o lucro líquido em um dia em que os ingressos estavam em promoção e foram vendidos pela metade do preço (Resposta: p 3 20 2 25 000).

Trocando ideias Analise a situação a seguir com seus colegas.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Uma companhia teatral organiza diariamente a apresentação de uma peça em uma casa de espetáculos com capacidade para 1 400 pessoas. A infraestrutura da peça e o pagamento dos atores e da equipe custam, diariamente, R$ 25 000,00. O valor do ingresso cobrado na bilheteria é R$ 40,00.

Agora, façam o que se pede. Que expressão numérica representa o lucro em um dia em que 1 200 pessoas foram assistir ao espetáculo? 1 200 3 40 2 25 000 A expressão numérica anterior resulta o valor do lucro obtido com a apresentação. Utilizando uma calculadora, calcule esse valor. 23 000 reais Se representarmos a quantidade de pessoas que foram assistir à peça pela letra p, como poderemos escrever a expressão que resulta o lucro obtido com a apresentação? CLÁUDIO CHIYO

p 3 40 2 25 000

Neste capítulo, vamos estudar sobre a linguagem algébrica na Matemática e como utilizar símbolos para representar valores desconhecidos na resolução de problemas e na representação de regularidades.

132

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

132

Expressões algébricas

No polígono ao lado, as medidas dos lados foram indicadas por x, y, z e m. Podemos representar o perímetro desse polígono pela expressão:

x GUILHERME CASAGRANDI

1

y

x

x1 x1y1z1m

m

z

Uma expressão matemática formada por números e letras ou somente por letras é chamada de expressão algébrica.

• O tabuleiro de xadrez possui o formato de um quadrado, dividido em 64 quadradinhos menores. Na figura a seguir, a medida dos lados do tabuleiro está indicada pela letra a.

a O xadrez é um jogo de tabuleiro para duas pessoas. Pode ser jogado tanto por lazer como em competições.

a

JOSÉ LUÍS JUHAS

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exemplos

A área desse tabuleiro pode ser representada por uma expressão algébrica: a3a

• No tópico “Expressões algébricas”, iniciamos o desenvolvimento da habilidade EF07MA13, na qual os alunos utilizarão letras para representar valores desconhecidos. • Posteriormente, neste capítulo, serão trabalhados adição e multiplicação com termos algébricos. Por esse motivo, optamos por indicar o perímetro do polígono somente por, x 1 x 1 y 1 1 z 1 m. Após trabalhar adição e multiplicação, se considerar adequado, retome o cálculo do perímetro indicando aos alunos que as expressões x 1 x 1 y 1 z 1 m e 2x 1 y 1 z 1 m são equivalentes e representam, portanto, o perímetro desse polígono. • Peça aos alunos que calculem o perímetro do quintal e o perímetro do gramado. (Resposta: perímetro do gramado: 4a, perímetro do quintal: 2b + 2c) Pergunte aos alunos sobre qual é a diferença entre área e perímetro e peça que deem exemplos das unidades de medidas utilizadas em cada um. (Exemplo de resposta: metro (m) para perímetro; metro quadrado (m2) para área.)

• Um quintal de formato retangular tem lados de medidas b e c. Em seu interior, há uma região gramada de forma quadrada de lados medindo a, conforme mostra a figura abaixo. Para determinar a área do piso desse quintal (em bege), podemos subtrair da área total do quintal a área do gramado. Observe: • A área total do quintal é representada por: • A área do gramado é representada por: a 8 a ou a 2 Assim, podemos representar a área desse piso pela seguinte expressão algébrica: b 8 c 2 a 8 a ou bc 2 a 2

c

a

gramado

LUIZ RUBIO

b 8 c ou bc

Material Digital Audiovisual • Vídeo: Linha do tempo da Álgebra

a b

133

Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual

EF07MA13: Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, 9/26/18 09:00 da ideia de incógnita.

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133

Sugestão de atividade extra • Como complemento à atividade 1, peça aos alunos que escrevam, no caderno, por extenso e sem utilizar símbolos as expressões algébricas a seguir: x ƒ 3

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

Representando o número desconhecido por x, temos:

A medida n pode ser escrita com base nas medidas x e y. Usando essas medidas, escreva uma expressão algébrica que represente a medida n. 3y 2 x Um prédio tem nove andares com três janelas em cada andar. Todas as janelas têm um único vidro com comprimento a e largura b. Escreva a expressão algébrica que representa a área total envidraçada de cada andar. ab + ab + ab

4

Observe a representação de um terreno retangular com casa, piscina e gramado. Represente no x caderno, usando expressões algébricas, a área total do terreno, da casa, da piscina e do gramado.

3y x m

x x

3x

n

• Ao trabalhar o valor numérico de uma expressão algébrica, comente com os alunos que o valor da expressão irá variar, conforme modificamos os valores atribuídos a cada letra. Para isso, atribua outros valores, além dos apresentados, para x, y e a na expressão 3x 1 2y 1 a. Depois, peça a eles que determinem o valor numérico da expressão para cada caso.

Valor numérico de uma expressão algébrica

b

c a

casa

a

y

área do terreno: x 8 y área da casa: a 8 a área da piscina: b 8 c área do gramado: x 8 y 2 (a 8 a 1 b 8 c)

Em expressões algébricas, as letras são chamadas de variáveis. Isso significa que o valor de cada letra pode ser substituído por qualquer valor numérico. Por exemplo, vamos considerar a expressão 3x 1 2y 1 a. Se considerarmos que x 5 5, y 5 3 e a 5 2, poderemos determinar o valor da expressão algébrica substituindo as variáveis x, y e a por 5, 3 e 2, respectivamente. Assim: 3x 1 2y 1 a 5 3 8 5 1 2 8 3 1 2 5 23 Para esses números, o valor numérico da expressão 3x 1 2y 1 a é igual a 23. Se considerarmos que x 5 1, y 5 2 e a 5 0, qual será o valor dessa expressão algébrica? 3x 1 2y 1 a 5 3 8 1 1 2 8 2 1 0 5 7 Neste caso, o valor numérico da expressão 3x + 2y + a é igual a 7. Observe que o valor numérico não foi o mesmo, pois mudamos os valores atribuídos às variáveis. Valor numérico é o resultado das operações efetuadas em uma expressão algébrica após a substituição das variáveis por números. Exemplo

b 8h 2 a 2, para a 5 10, b 5 50 e h 5 70: 2 50 8 70 b 8h 3 500 2 a2 5 2 102 5 2 100 5 1 750 2 100 5 1 650 2 2 2

• Vamos determinar o valor numérico da expressão

134

134

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Na figura a seguir, a medida m é equivalente à medida 3x.

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2)

2

a

3

sc in

(Resposta: a terça parte de um número.) ƒ 4x (Resposta: o quádruplo de um número.) 3x ƒ 2 (Resposta: o triplo da metade de um número.) ƒ 2x (Resposta: o oposto de um número.) 1 ƒ x (Resposta: o inverso de um número.) ƒ x2 (Resposta: o quadrado de um número.)

Em seu caderno, escreva a expressão algébrica correspondente a cada item. a) O triplo de um número. 3x b) O quíntuplo de um número. 5x x c) A metade de um número. 2 d) A quarta parte de um número. 4x e) Dois quintos de um número. 2x 5 f) A diferença entre um número e sua terça parte. x 2 3x g) A soma do dobro de um número com sua metade. 2x 1 2x h) A soma de três números consecutivos.

pi

1

O cálculo do valor numérico de expressões algébricas pode nos ajudar na resolução de problemas. Acompanhe as situações a seguir.

Uma fábrica de parafusos tem um custo fixo mensal de R$ 12 000,00, além de R$ 0,20 por peça produzida. Vamos representar o custo mensal por meio de uma expressão algébrica a partir da quantidade de peças produzidas. A quantidade de peças será representada por x. 12 000 1 0,20x

SOMPRAAONG0042/SHUTTERSTOCK

Situação 1

• Continuando o desenvolvimento da habilidade EF07MA13, enfatize que as letras das expressões algébricas apresentadas são variáveis e que o valor numérico das expressões se altera de acordo com os valores atribuídos às variáveis.

Com essa expressão, podemos determinar, por exemplo, o custo para um mês em que a fábrica produzir 10 000 parafusos. 12 000 1 0,20x 5 5 12 000 1 2 000 5 5 14 000 Nesse mês, o custo foi de R$  14 000,00 e foi obtido com base no número de parafusos produzidos.

Situação 2 A locadora de carros Alfa cobra de seus clientes uma taxa de uso diário mais um valor por quilômetro percorrido com o veículo.

JOSÉ LUÍS JUHAS

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5 12 000 1 0,20 3 10 000 5

A taxa cobrada pela locadora é de R$ 110,00 por dia de utilização do automóvel, e o valor cobrado por quilômetro percorrido é de R$ 2,00. Vamos representar um valor desconhecido de quilômetros rodados pela letra n. A expressão algébrica que permite calcular o valor a ser pago por usar o carro por 1 dia é: 110 1 2n Se em um dia de utilização uma pessoa percorrer 60 km, o valor a ser pago à locadora Alfa poderá ser calculado da seguinte forma: 110 1 2n 5 5 110 1 2 3 60 5 5 110 1 120 5 5 230 Em um dia de utilização, percorrendo 60 km, uma pessoa deverá pagar R$ 230,00 à locadora. 135

EF07MA13: Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, 9/21/18 21:02 da ideia de incógnita.

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135

• Após a correção da atividade 4, se julgar conveniente, peça aos alunos que resolvam o problema a seguir: ƒ Uma sala de cinema tem capacidade para 180 pessoas e o preço do ingresso é R$ 30,00. a) Que expressão algébrica representa o total arrecadado em uma sessão? (Resposta: 30x, em que x representa a quantidade de ingressos vendidos.) b) Qual é o total arrecadado se 157 ingressos foram vendidos? (Resposta: 30 3 157 5 4 710) c) Quantos ingressos foram vendidos se foram arrecadados R$ 5 010,00? (Resposta: 5 010 9 30 5 167)

ATIVIDADES 1

Faça Façaas asatividades atividadesno nocaderno. caderno

Copie no caderno o quadro de valores numéricos abaixo substituindo cada pelo número correspondente.

2

Determine o valor numérico da expressão de cada item. b) 2 3 ou 20,03 100

a) x 2 1 2xy 1 y 2, para x 5 21 e y 5 2316 b) x 2y 2 xy 2, para x 5 0,2 e y 5 0,5

3x 2x

2

23 24

0

29

0

29

x3 227

216

0

264

0

24

264 512

23

12

21 216 21

64

9 29

c) x 2 2 y 2, para x 5 3 e y 5 25 216

221

249

27 2343

Paulo comprou 8 metros de fio elétrico por R$ 27,20. a) Quanto custou cada metro desse fio?

R$ 3,40

0

3

4

0

28

1

2x

26

28

0

16

22

4

Em um circo, na apresentação das 22 h, foi vendida uma quantidade a de ingressos para adultos e uma quantidade c de ingressos para crianças.

2

1 2

2

24 8

23

7

6

214

b) Escreva uma expressão algébrica para representar quanto Paulo gastaria para comprar x metro desse fio. 3,4 8 x c) Quanto Paulo gastaria se tivesse comprado 15 metros desse fio? R$ 51,00

AVELINO GUEDES

2x

4

3 7 2 2 2

3

3 22 2 2

x 2

• Para justificar o item d da atividade 5, os alunos poderão determinar a quantidade obtida pelas equipes e, assim, concluir que, se a equipe vermelha arrecadou 120 kg de alimentos, a equipe azul teria arrecadado 140 kg (20 kg a mais) e a equipe verde, 110 kg (10 kg a menos). Desse modo, o total seria de 370 kg de alimentos. Portanto, para um total de 310 kg, a equipe vermelha não poderia arrecadar 120 kg de alimentos. Se considerar adequado, retome essa atividade após trabalhar a resolução de equações, permitindo aos alunos que determinem a quantidade de alimentos arrecadados pela equipe vermelha, para um total de 310 kg de alimentos arrecadados pelas 3 equipes. Ao fazer os cálculos, concluirão que a equipe vermelha deveria arrecadar 100 kg, pois: 3 3 100 1 10 5 310

212

18 21 14 13 27

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

x

a) Que expressão algébrica representa o total arrecadado para a apresentação? 24a 1 12c b) Quantos reais foram arrecadados na apresentação das 22 h, sabendo que a 5 150 e c 5 240? R$ 6 480,00

5

Uma escola promoveu uma campanha de arrecadação de alimentos para serem doados a uma instituição de caridade. Para isso, os alunos foram divididos em 3 equipes: verde, vermelha e azul. A equipe azul arrecadou 20 kg de alimentos a mais que a equipe vermelha. A equipe verde arrecadou 10 kg a menos que a equipe vermelha. a) Representando o total de alimentos arrecadados pela equipe vermelha por x, determine as expressões algébricas que indicam as quantidades arrecadadas pelas outras equipes. Equipe azul: x + 20; equipe verde: x – 10 b) Que expressão algébrica representa o total de alimentos arrecadados pelas equipes? x + x + 20 + x – 10 ou 3x + 10 c) Se a equipe vermelha arrecadou 80 kg de alimentos, quanto cada uma das outras equipes arrecadou? Qual foi o total arrecadado neste caso? Equipe azul: 100 kg; equipe verde: 70 kg; total arrecadado: 250 kg d) Se o total arrecadado fosse de 310 kg, a equipe vermelha poderia ter arrecadado 120 kg de alimentos? Converse com o professor e os colegas sobre como você pensou para responder a essa questão. Não. Resposta pessoal.

136

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136

9/21/18 21:02

• Lembre aos alunos que perímetro corresponde ao comprimento do contorno de uma figura geométrica plana.

Termos algébricos Observe as figuras a seguir.

2 x

a

3y

c

b8c

a2

a

ADILSON SECCO

b

z

b

O perímetro desta figura é igual a:

A área desta figura é igual a:

x 1 3y 1 z 1 2

a2 1 b 8 c

Cada parcela de uma expressão algébrica é denominada termo algébrico. Assim: • a expressão x 1 3y 1 z 1 2 apresenta quatro termos: x, 3y, z e 2; Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• a expressão a 2 1 b 8 c possui dois termos: a 2 e b 8 c. Um termo algébrico é formado por duas partes: a parte numérica, denominada coeficiente, e a parte com letras, denominada parte literal. Exemplos coeficiente: 17 parte literal: a

• 17a

•2

3 2 x y 2

coeficiente: 2

3 2

parte literal: x 2y

• a 2b 3c 4

Sugestão de atividade extra • Peça aos alunos que identifiquem o coeficiente e a parte literal dos termos algébricos a seguir: ƒ 220x (Resposta: coeficiente: 220, parte literal: x) ƒ ab (Resposta: coeficiente: 1; parte literal: ab) xy3 ƒ 3 1 (Resposta: coeficiente: ; 3 3 parte literal: xy ) 3b ƒ 2 3 (Resposta: coeficiente: ; 2 parte literal: b) ƒ 17 (Resposta: coeficiente: 17; parte literal: não tem)

coeficiente: 1 parte literal: a 2b 3c 4

Observação

Um número racional em uma expressão é considerado um termo algébrico sem parte literal. Veja os exemplos. 7 • 5m 2 3 • 3,36ab 1 coeficiente: 23 7 2 coeficiente: parte literal: não tem

2 parte literal: não tem

Adição e multiplicação de termos algébricos Adição algébrica

y

4

GUILHERME CAVALCANTI

8

x

x

4

8 4

CLIVE BRUNSKILL/GETTY IMAGES/AFP

Vamos considerar a figura abaixo, que representa uma quadra de tênis, na qual se tomam como base as dimensões 4 m e 8 m e as variáveis x e y.

8 x x y

8

4

Partida de tênis dos Jogos Olímpicos realizados na cidade do Rio de Janeiro, 2016.

137

137

Sugestão de atividade extra • Peça aos alunos que calculem a seguinte adição algébrica: 2a 1 ab (Resposta: 2a 1 ab) Verifique se eles compreenderam que não podemos agrupar os termos a e ab, pois eles não possuem a mesma parte literal (a % ab).

4

8 x 8x

y

8

4

4

8x x

4y

4y x 8x 8

CLIVE BRUNSKILL/GETTY IMAGES/AFP

Para determinar a expressão que representa a área total da quadra, vamos primeiro encontrar a expressão algébrica da área de cada uma das partes da quadra.

y

8x x 8

4

Adicionando os termos algébricos que representam todas as partes da quadra de tênis, obtemos a expressão algébrica que representa sua área total. Observe:

Para adicionar termos algébricos que possuem a mesma parte literal, devemos adicionar os coeficientes e conservar a parte literal. Exemplos 31457

• 2a 1 5a 5 7a

• 4b 1 5b 2 6b 5 3b

21557

• 3x 1 4x 1 6y 2 10y 5 7x 2 4y

4 1 5 1 (26) 5 3

6 1 (210) 5 24

Multiplicação

2a

3b

2a

A1

A2

2a

3b

A3

A4

3b

2a

3b

Vamos considerar um quadrado de lados medindo 2a 1 3b.

Podemos representar as áreas A1, A2, A3 e A4 pelas seguintes expressões algébricas:

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

2a

138

138

2a

3b

A1

A2

A1 5 2a 8 2a 5 2 8 2 8 a 8 a 5 4a2 3b

A3 2a

A3 5 2a 8 3b 5 2 8 3 8 a 8 b 5 6ab

2a

A2 5 2a 8 3b 5 2 8 3 8 a 8 b 5 6ab A4 3b

3b

A4 5 3b 8 3b 5 3 8 3 8 b 8 b 5 9b2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

4y 1 4y 1 8x 1 8x 1 8x 1 8x 5 8y 1 32x

Para multiplicar dois termos algébricos, devemos: • multiplicar os coeficientes numéricos entre si; • multiplicar as partes literais entre si. Agora, para representar a área total (A) da figura, basta adicionarmos as áreas A1, A2, A3 e A4. Assim: A 5 A1 1 A2 1 A3 1 A4

A1

A2

A3

A4

A 5 4a 1 12ab 1 9b 2

2

ATIVIDADES

(

2

5

)

Determine o resultado das adições algébricas. a) 5a 2 3b 2 (6a 1 a 2 5b) 22a 1 2b y 17 ___ b) 0,8y 2 2,4y 1 y 2 __ 4 2 20 y c) 2x 2 3x 1 5x 2 8x 24x

Leia e faça o que se pede. De acordo com a Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), nos aeroportos do Brasil, as medidas permitidas para uma bagagem de mão devem ser definidas pela companhia aérea, desde que a massa não seja superior a 10 kg.

z

HORIYAN/SHUTTERSTOCK

Calcule as adições algébricas. a) 5x 2 (2x 2 6x 2 8x) 17x x 7y 2 ___ 9x b) 6y 2 5x 2 y 2 __ 2 2 c) 10ab 2 5 1 ab 2 7ab 4ab 2 5

y

3

Calcule as adições algébricas. a) 10k 2 9k 2 (12k 1 3k 2 10k) 24k b) 12y 1 23y 2 13y 2 y 21y c) 8x 2 12x 1 20x 2 32x 216x d) 7y 2 3z 1 (5w 2 w 1 z) 7y 2 2z 1 4w e) 23a 1 32b 2 9a 1 (4c 2 3c 1 a) 15a 1 32b 1 c f) x 1 y 2 3z 2 (4x 2 9y 1 6z)

x

a) Qual é a expressão algébrica que representa o volume da mala acima? xyz b) Se uma bagagem apresenta as dimensões 23 cm # 40 cm # 55 cm, determine seu volume máximo, em centímetro cúbico. 50 600 cm3

23x 1 10y 2 9z

4

Determine os produtos algébricos. a) 22 8 (25x) 10x b) (2xy) 8 (24x 2) 4x3y c) 25 8 (22a) 8 (2b) 20ab d) (25y) 8 (26y) 8 (22) 260y2 e) 7x 8 (22xy) 8 (23y) 42x2y2 1xy 3y ____ 3xy2 ___ 2 f) ____ 8 2 8 24 1a 3b ___ ___ g) 2 8 2 4 2__38 ab h) (26x) 8 (2x) 6x2

( )

6

3y

2x 2x

Espera-se que eles encontrem as seguintes expressões: Área: 2x 3 (2x 1 3y) 5 4x2 1 1 6xy Perímetro: 8x 1 6y

Escreva as expressões algébricas que representam o perímetro e a área da figura abaixo. a

b

x

( )( )

perímetro: 2 8 (a 1 b 1 x) área: (a 1 b) 8 x

x

a

b

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

Faça as atividades no caderno.

• Para a resolução da atividade 5, retome com os alunos o conceito de volume e verifique se eles compreendem a unidade de medida centímetro cúbico (cm3). Caso seja necessário, revise esses conceitos. • Como complemento para a atividade 6, peça aos alunos que escrevam as expressões algébricas que representam a área e o perímetro da figura a seguir:

139

PDF-131-162-MCP7-C06-G20.indd 139

10/14/18 09:05

139

ADILSON SECCO

A 5 4a 2 1 6ab 1 6ab 1 9b 2

• No tópico “Equações” continuamos promovendo o desenvolvimento da habilidade EF07MA13. Nesse ponto, apresentamos a definição de incógnita. É importante estabelecer as diferenças entre os conceitos de incógnita e variável. • Apresentamos exemplos de duas equações com duas incógnitas. O foco do trabalho, neste momento, não será na resolução de equações com essas características, mas é importante que os alunos saibam de sua existência.

2

Equações

Acompanhe as situações a seguir.

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

As balanças de dois pratos estão equilibradas. Veja:

Por meio do equilíbrio das balanças, podemos verificar que: e4

equilibram 10

e que

2

equilibram 6

Considerando que a massa de cada equivale a y quilogramas e a massa de cada a x quilogramas, podemos escrever: 2x 1 4y 5 10y

e

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

equivale

2x 5 6y

Assim, escrevemos duas sentenças matemáticas expressas por igualdades. Em cada uma delas, há dois elementos desconhecidos: x e y. 2 da distância total de uma pista em uma  hora. Faltam 10 km para ela 3 concluir o percurso. Observe no esquema a seguir a representação do problema, em que w, em quilômetro, corresponde ao percurso total.

2 w 3

10 km

WAGNER WILLIAM

Luana percorreu

• Desafie os alunos a descobrir qual é o comprimento total da pista percorrida por Luana. Para isso, eles devem recorrer às próprias estratégias, sem que seja necessária a utilização de equações. Peça que compartilhem as estratégias utilizadas com a turma.

w

2w 1 10 5 w representa a situação. Essa sentença é expressa por 3 uma igualdade e apresenta um elemento desconhecido: w. A sentença matemática

2w 1 10 5 w são exem3 plos de sentenças matemáticas chamadas de equação. As sentenças 2x 1 4y 5 10, 2x 5 6y e

Equação Tem o prefixo equa, que, em latim, quer dizer “igual”.

Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade e apresenta pelo menos um valor desconhecido representado por uma letra denominada incógnita. 140

EF07MA13: Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, incógnita.

PDF-131-162-MCP7-C06-G20.indd diferenciando-a da ideia140de

140

9/21/18 21:02

Exemplos

• 2x 1 8 5 0 é uma equação cuja incógnita é x. • 5y 2 4 5 6y 1 8 é uma equação cuja incógnita é y. • 3a 2 b 2 c 5 0 é uma equação em que as incógnitas são a, b e c.

Cuidado!

Veja alguns exemplos de sentenças matemáticas que não são consideradas equações: • 4 1 8 5 7 1 5, pois não apresenta incógnita. • x 2 5 , 3, pois não é uma igualdade. • 5 % 22, pois não é uma igualdade e não apresenta incógnita.

Agora, vamos considerar a equação 2z 2 8 5 3z 2 10, cuja incógnita é z.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A expressão que está à esquerda do sinal de igualdade denomina-se 1o membro, e a expressão que está à direita denomina-se 2o membro. 2z 2 8 1o membro

5

3z 2 10 2o membro

Quando o maior expoente de uma incógnita em uma equação é 1, a denominamos equação do 1o grau. Exemplos

• 2z 1 1 5 0 é uma equação de 1o grau, pois o expoente da incógnita z é 1. • 3x 2 2 5 5 16x não é uma equação de 1o grau, pois o maior expoente da incógnita x é 2 e, portanto, diferente de 1.

• No tópico “Raiz de uma equação”, iniciamos o trabalho com a habilidade EF07MA18. Os alunos irão resolver problemas envolvendo equações polinomiais do 1o grau.

Raiz de uma equação A incógnita de uma equação pode assumir diversos valores, mas a sentença obtida pode não ser verdadeira para alguns desses valores. Se um desses valores torna a sentença verdadeira, ele é chamado de raiz da equação. Podemos verificar se um número é ou não raiz de uma equação substituindo a incógnita por esse número. Exemplo

• Vamos verificar se o número 2 é raiz das equações 2x 2 3 5 1 e 2x 1 1 5 6.

2x 2 3 5 1

2x 1 1 5 6

2822351

2821156

42351

41156

151

sentença verdadeira

556

sentença falsa

Logo, 2 é raiz da equação 2x 2 3 5 1 , mas não é raiz da equação 2x 1 1 5 6. 141

EF07MA18: Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma ax 1 b 5 c, fazendo uso das propriedades da igualdade.

141

Conjunto universo e solução de uma equação

Marcos, quantos irmãos você tem?

Já sei!

Para representar a fala de Marcos em linguagem matemática, escrevemos: 2x 2 3 5 5 Como x representa a quantidade de irmãos que Marcos tem, a incógnita dessa equação só pode assumir valores naturais. Por isso, nesse caso, U 5 v. Observe que, substituindo x por 4 na equação 2x 2 3 5 5, obtemos uma sentença verdadeira. Como 4 é um número natural, dizemos que 4 é solução dessa equação. A solução de uma equação corresponde apenas aos valores do conjunto universo que tornam a sentença verdadeira.

• Complemente o desenvolvimento da atividade 1, solicitando aos alunos que justifiquem oralmente por que as sentenças dos itens a, b, d e f não são equações do 1o grau.

ATIVIDADES 1

Identifique, no caderno, as sentenças que representam equações do 1o grau. a) 2x 1 5 , 3

ƒ A sentença do item a não é uma igualdade, pois apresenta o símbolo de menor (desigualdade). ƒ No item b, a sentença não possui incógnita. ƒ A sentença do item d não é uma igualdade, pois apresenta o símbolo de diferente (desigualdade). ƒ A sentença do item f não é equação do 1o grau, pois o expoente da incógnita x é diferente de 1.

b) 7 2 3 5 2 1 2 c) 8 5 6y 2 4 2

3

Faça as atividades no caderno.

4

alternativas c, e

d) x 2 1 % 0

1 2 f) 2x 3 5 216 e) 3x 1 7 5

Observe a equação 2y 2 6 5 4 1 y e, depois, responda às questões. a) Qual é o 1o membro? 2y 2 6 b) Qual é o 2o membro? 4 1 y c) Qual é a incógnita dessa equação? y Verifique se o número 2 é raiz das seguintes equações: a) 3x 1 10 5 4x 1 8 sim 5x x 155 2 2 não b) 2 3

Determine mentalmente a solução da equação x 1 7 5 12, considerando o conjunto universo indicado em cada item. a) U 5 {0, 2, 4, 6, ...} não tem solução b) U 5 b

5

5

Determine mentalmente a solução de cada equação sendo U 5 B. a) x 2 8 5 0 8 b)

x 53 4

12

c) 6x 5 218

23

3 3 50 2 4 4 3 1 1 e) x 2 5 4 4

d) x 1

f) x 1 8 5 0

28

142

Sugestão de atividade extra • Organize a turma em duplas e solicite a cada aluno que elabore e escreva algumas equações do 1o grau com uma incógnita, como aquelas apresentadas nas atividades 3 e 4, para que o colega resolva mentalmente. O responsável pela elaboração deve analisar e validar a resposta do colega. A ideia é que façam mais de uma rodada para resolverem mentalmente as equações do 1o grau com uma incógnita.

142

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Considere que eu tenho x irmãos. Se subtrairmos 3 do dobro de x, obtemos 5.

GEORGE TUTUMI

O conjunto universo é formado por todos os valores que uma incógnita pode assumir e é indicado por U. Observe a situação a seguir.

Resolução de equações do 1o grau com uma incógnita Equações equivalentes A balança a seguir está em equilíbrio.

Ao tirar 2 de cada prato, a balança ainda permanecerá em equilíbrio:

Nesse caso, a equação será x 5 2, o que permite concluir que a massa do é de 2 kg. Observe que 2 é raiz das três equações: 3x 1 4 5 2x 1 6 38214528216 6145416 10 5 10

x1456 21456 656

x52 252

Como as equações têm a mesma raiz e o mesmo conjunto solução, U 5 B, dizemos que essas equações são equivalentes. Observe que, para esse caso, podemos escrever a seguinte equação: x1456

Quando duas equações têm o mesmo conjunto universo e as mesmas raízes, elas são chamadas de equações equivalentes.

Princípio aditivo e princípio multiplicativo das igualdades A balança representada abaixo está em equilíbrio. No prato da esquerda, foram colocados 4   de 1 kg cada um e 1 de massa desconhecida. No prato da direita, foram colocados 7   de 1 kg cada um. Qual é a massa de ? Considerando x a massa de cada , em kg, a situação pode ser representada pela equação: x1457 Observe que, se retirarmos 4  

de cada prato, a balança continuará equilibrada. Nesse caso, podemos representar a situação pela equação: x14245724 x5 3

Portanto, cada

tem massa igual a 3 kg.

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Sabendo que a massa de 1 é igual a 1 kg e se considerarmos a massa de 1 igual a x kg, podemos representar a situação com a seguinte equação: 3x 1 4 5 2x 1 6

de cada prato, a Agora, se tirarmos 4 balança ainda continuará em equilíbrio:

143

143

Quando uma mesma quantidade é adicionada (ou subtraída) aos dois membros de uma equação, obtém-se uma equação equivalente à equação dada. Esse é o princípio aditivo das igualdades. Resolvemos a equação x 1 4 5 7 aplicando esse princípio. Agora, acompanhe a situação a seguir. A balança de pratos abaixo está em equilíbrio. No prato da esquerda, foram colocados 3 y quilograma cada um. No prato da direita, foram colocados 15   de 1 kg cada um.

de

Multiplicando ou dividindo os membros de uma equação por um mesmo número diferente de zero, obtemos uma equação equivalente à equação dada. Esse é o princípio multiplicativo das igualdades. 3y 9 3 5 y 15 9 3 5 5 Para resolver a equação 3y 5 15, vamos utilizar o princípio multiplicativo das igualdades, acompanhe: 3y 5 15 3y 15 Dividimos cada membro por 3. 5 3 3 y55 y55 Portanto, cada

tem massa igual a 5 kg.

Para resolver uma equação, aplicamos os princípios aditivo e multiplicativo das igualdades, de modo a obter equações equivalentes mais simples às iniciais, determinando, assim, as soluções da equação. Veja outros exemplos.

• Enfatize a utilização de parênteses para multiplicar por 5 todo o 1o membro da equação.

Vamos resolver a equação e

2x 2 4o 8 5 5 x 8 5 5

2x 2 4 5 x, sendo U 5 b. 5

Multiplicamos os dois membros da equação por 5 (princípio multiplicativo das igualdades).

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3y 5 15

2x 2 20 5 5x 2x 2 20 2 2x 5 5x 2 2x 220 5 3x 220 8

1 1 5 3x 8 3 3

Subtraímos 2x de cada membro da equação (princípio aditivo das igualdades).

Multiplicamos os dois membros da equação por

1 (princípio multiplicativo das igualdades). 3

20 5x 3 20 x 52 3 20 Como 2 não é um número inteiro, dizemos que a equação não tem solução em b. 3

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

2

Observação

20 20 2x Se resolvermos a equação 2 4 5 x, sendo U 5 B, 2 será solução, pois 2 é um 5 3 3 número racional.

144

PDF-131-162-MCP7-C06-G20.indd 144

144

10/8/18 17:53

Vamos resolver a equação

3x x 2 1 5 , sendo U 5 b. 5 2

6x 10 5 Usando frações equivalentes, escrevemos os termos da equação com o mesmo denominador. 2 5x 8 10 10 10 6x 10 5 Multiplicamos os dois membros da equação por 10 (princípio multiplicativo 2 e o 8 10 5 e x 8 o 8 10 das igualdades). 10 10 10 6x 2 10 5 5x 6x 2 10 2 5x 5 5x 2 5x

Subtraímos 5x de cada membro da equação (princípio aditivo das igualdades).

x 2 10 5 0 x 2 10 1 10 5 0 1 10

Adicionamos 10 unidades a cada membro da equação (princípio aditivo das igualdades).

x 5 10 Como 10 é um número inteiro, 10 é a solução dessa equação.

Escreva, no caderno, uma equação equivalente a cada equação e determine o valor de cada incógnita. Considere U 5 B. a) x 1 5 5 21 x 5 16 b) y 2 3 5 100

5

y 5 103

c) x 1 17 5 10 x 5 27 d) x 2 3 5 10 x 5 13 2

A balança a seguir está em equilíbrio. Determine a massa, em quilograma, de tem massa cada , sabendo que cada igual a 200 gramas. 0,05 quilograma

3

4

Resolva as equações e obtenha a solução de cada uma, sabendo que U 5 B. a) 3x 2 9 5 9 x 5 6 b) x 2 5 5 27 x 5 22 c) y 2 6 5 5y 1 8 y 5 2 72 d) 10x 5 20 1 9x x 5 20 Sabendo que U 5 b, resolva as equações. a) 3x 5 245 2 2x x 5 29 b) 6(x 1 3) 2 2(x 2 5) 5 20 x 5 22 c) 218 5 2x 1 15 Não tem solução em b. d) 2(x 2 1) 2 1 5 8 Não tem solução em b.

Sabendo que U 5 B, obtenha o valor da incógnita de cada equação. 2x 1 1 x 52 1 2 5x 2 a) 4 5 4 10 m 7 1 b) 2m 2 2 5 m51 5 10 2 y y 3y c) 1 5 2 6 y 5 272 2 3 4 3y 3 1 d) 2 5 1 2 2y y 5 2 2 4

6

Sabendo que U 5 B, resolva as equações. a) 2(x 1 3) 5 30 x 5 12 b) 8 2 2(x 1 5) 5 5 x 5 2 72 c) 3(y 2 1) 2 4(y 2 2) 5 6 y 5 21 5 d) 2(5y 1 1) 5 27 y 5 2

7

Sabendo que U 5 B, resolva as equações e responda: x é maior ou menor que y ?

Por exemplo, a equação: x 5 25 é equivalente a 2 6x 5 2x 1 200. • Pergunte aos alunos para qual conjunto universo os itens c e d da atividade 4 teriam solução. Espera-se que eles respondam: U 5 B

33 5x 1 2 5 8 x 5 10 e y 5 22; logo, x é 2 4 maior que y. y y 11 5 5 1y 1 3 2 6 GEORGE TUTUMI

1

• Peça aos alunos que escrevam uma equação que represente a situação ilustrada na atividade 2. Depois de resolverem a atividade, peça que elaborem uma equação equivalente à equação inicial.

Faça as atividades no caderno.

LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

ATIVIDADES

145

PDF-131-162-MCP7-C06-G20.indd 145

9/21/18 21:02

145

• Neste tópico, daremos continuidade ao desenvolvimento da habilidade EF07MA18, que se refere à resolução de problemas que possam ser representados por equações do 1o grau, fazendo uso das propriedades da igualdade.

3

Resolução de problemas

Alguns problemas podem ser resolvidos se escrevermos em linguagem matemática as sentenças dadas. Observe a seguir como os problemas foram resolvidos com o uso de equações.

Um terreno retangular tem 144 m de perímetro. O comprimento do terreno tem o triplo da medida de sua largura. Qual a área do terreno?

GUILHERME CASAGRANDI

Situação 1 x

Observe ao lado a representação desse terreno. Considerando que o terreno tem largura de medida x, o seu comprimento é igual a 3x.

3x

x 1 3x 1 x 1 3x 5 144

Então:

8x 5 144

• largura: x 5 18 (18 m)

x5

144 8

x 5 18

• comprimento: 3x 5 3 8 18 5 54 (54 m) • área: (54 8 18) m2 5 972 m2 Portanto, a área do terreno é 972 m2.

Situação 2

7x 1

7 8 4x 5 385 7

RONALDO BARATA

4 Pedro e Ernesto colheram, juntos, 55 laranjas. Pedro colheu da quantidade colhida por 7 Ernesto. Quantas laranjas Pedro colheu? Sendo x a quantidade de laranjas colhidas por Ernesto, a quantidade de laranjas colhidas por 4x . Pedro é igual a 7 Assim: 4x x1 5 55 7 4x ex 1 o 8 7 5 55 8 7 7

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Como o perímetro de um polígono é igual à soma das medidas de seus lados, podemos escrever:

7x 1 4x 5 385 11x 5 385 385 x5 11 x 5 35 Então: • quantidade colhida por Ernesto: x 5 35 5 4 8 35 5 20 • quantidade colhida por Pedro: 71 Portanto, Pedro colheu 20 laranjas. 146

EF07MA18: Resolver e elaborar problemas que possam ser representados por equações polinomiais de 1o grau, redutíveis à forma propriedades da igualdade.

PDF-131-162-MCP7-C06-G20.indd ax 1 b 5 c, fazendo uso146das

146

9/21/18 21:02

Situação 3 4 Alberto verificou que a terça parte do número de livros que possui mais 5 é igual a do total 9 desses livros. Quantos livros Alberto possui? Considerando:

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• número de livros que Alberto possui: y y • terça parte do número de livros: 3 4y 4 • do número de livros: 9 9 Vamos escrever a equação que representa o problema, resolvendo-a: 4y y 155 9 3 4y y f 1 5p 8 9 5 89 9 3 y 98 1 45 5 4y 3 3y 1 45 5 4y 3y 2 4y 5 245 2y 5 245 y 5 45 Logo, Alberto possui 45 livros.

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

1

Qual é o número inteiro que, adicionado ao seu dobro, é igual a 72? 24

8

Qual é o número inteiro cuja soma com seu sucessor é 73? 36

2

O triplo de um número natural, aumentado de 15, é igual a 39. Qual é esse número? 8

9

A soma de quatro números naturais consecutivos é 150. Determine-os. 36, 37, 38 e 39

3

Qual é o número inteiro que, adicionado à sua quarta parte, é igual a 60? 48 2 A diferença entre os de um número 3 racional e sua metade é igual a 10. Qual é esse número? 60

4

5

Ana tem cinco anos a mais que Paula. A soma da idade das duas é 35 anos. Qual é a idade de Ana? 20 anos

6

Lúcio e Cândido têm, juntos, massa de 124 kg. Lúcio tem 16 kg a mais que Cândido. Qual é a massa de cada um deles?

7

Quais são os dois números pares consecutivos cuja soma é 138? 68 e 70

Lúcio: 70 kg; Cândido: 54 kg

10

A soma de dois números inteiros é 103, e a diferença entre o maior e o menor é 23. Quais são esses números? 40 e 63

11

A soma de três números pares consecutivos é 90. Calcule o maior deles. 32

12

Luísa repartiu 460 figurinhas entre André, Breno e Caio, de modo que Breno recebesse o dobro de Caio e André ficasse com 60 figurinhas a mais que Breno. Quantas figurinhas André recebeu? 220 figurinhas

13

Telma comprou uma calça e pagou-a em três prestações. Na primeira prestação, ela pagou a metade do valor da calça, na segunda, a terça parte, e, na última, R$ 10,00. Qual foi o valor da calça? R$ 60,00

147

Sugestão de atividade extra • Após a resolução das atividades propostas, sugira aos alunos que, em duplas, elaborem um problema e, em seguida, o troquem com outra dupla para que ela o resolva.

147

Lembre-se: Não escreva no livro!

14. primeiro: R$ 15 000,00; segundo: R$ 10 000,00; terceiro: R$ 5 000,00

14

Em um campeonato de kitesurf são oferecidos R$  30 000,00 aos três primeiros colocados. O primeiro colocado recebe R$ 10 000,00 a mais que o terceiro. O segundo colocado recebe o dobro da quantia do terceiro. Qual é o prêmio de cada um?

21

x59

FOTOANDREA/SHUTTERSTOCK

x

9 8

13 O kitesurf é praticado com uma prancha e uma pipa, presa ao condutor por meio de cordas.

15

Em uma loja foi vendido um lote de tênis em apenas uma semana. Dois terços deles eram pretos e 72, brancos. Quantos pares de tênis foram vendidos nessa loja na referida semana? 216 pares de tênis

16

Aníbal afirmou: “Daqui a quatro anos, minha idade será o triplo da idade que tinha há 26 anos”. Qual é a idade de Aníbal?

17

Pensei em um número natural, multipliquei por  5, dividi por 4 e subtraí 8, obtendo 12. Em que número pensei? 16

18

O comprimento de um retângulo tem 6 cm a mais que a largura. Seu perímetro é igual ao de um quadrado com 30 cm de lado. Qual é a medida do comprimento do retângulo? 33 cm

19

Um pai tem 40 anos, e seu filho, 10 anos. Quantos anos passarão até que o pai tenha o dobro da idade do filho? 20 anos

20

Um terreno retangular mede 150 m de comprimento. Se o terreno fosse 30 m mais comprido e 20 m mais largo, sua superfície seria 6 600 m2 maior. Qual é a medida da largura do terreno? 100 m

14 10

x22 7

12

x11 6

11

x12

22

Com o auxílio de uma calculadora, descubra o resultado de cada item após digitar as teclas indicadas. a) 5    10 b) 5     15 c) 5      20 d) 5       25 Agora, responda: Qual será o resultado se você digitar 5  e: • a tecla  10 vezes? 50 • a tecla  n vezes? 5n

23

Um apartamento tem área total de 40,5 m2, compreendendo um quarto, um banheiro, um hall, uma cozinha, uma sala e uma varanda. A área do banheiro é o dobro da área do hall, e a área do quarto é o triplo da área do banheiro. Sabendo que a  cozinha e a varanda têm a mesma área e, juntas, têm a mesma área da sala e que a sala tem a mesma área da suíte, determine a área de cada um desses ambientes.

41 anos

150 m ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Em um quadrado mágico, a soma dos números de cada linha, coluna ou diagonal é sempre a mesma. Descubra o valor de x no quadrado mágico abaixo e copie-o no por números. caderno, substituindo os

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Na atividade 22, as etapas apresentadas podem variar de uma calculadora para outra. Oriente os alunos que tiverem calculadoras que funcionem de maneira diferente da indicada.

quarto: 9 m2; banheiro: 3 m2; hall: 1,5 m2; cozinha: 6,75 m2; varanda: 6,75 m2; sala: 13,5 m2

30 m

x

20 m

148

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148

9/26/18 09:01

4

Sequências

CLÁUDIO CHIYO

Nas Olimpíadas Escolares, houve uma prova de corrida de 1 km. Veja a sequência dos seis primeiros colocados.

Classificação dos alunos na prova de 1 km Posição

Corredor

1o

Adriana

2o

Ana

3

Cláudio

4

Márcia

o

5

Daniel

6o

Pedro

o

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

o

Essa sequência traz a lista de corredores com posições bem definidas. Em qualquer sequência, a posição de um elemento a define. Isto é, caso Adriana tivesse cruzado a linha de chegada atrás de Ana, ou seja, se em vez da 1a posição ocupasse a 2a, a sequência dos corredores seria outra. A ideia de sequência aparece em muitas situações do dia a dia, como: a sequência de músicas que tocam numa rádio, a sequência dos números das casas em um dos lados de uma rua, o nome dos alunos na lista de chamada, entre outras. Neste momento, vamos estudar algumas sequências com padrões numéricos.

Sequências numéricas Uma sequência numérica é uma sequência cujos elementos são números e estão escritos numa certa ordem. Ela pode ser finita ou infinita. Se a sequência for infinita, usamos reticências para indicar que ela continua indefinidamente. No caso de ser finita, podemos listar todos os elementos. Exemplos

• (22, 7, 4,

1 , 0, 0, 25) 2

• (0, 1, 0, 1, 0, 1, ...)

sequência finita sequência infinita

• (1, 3, 5, 7, ...)

sequência infinita

• (1, 2, 4, 8, 16)

sequência finita 149

• Após a leitura dos exemplos, questione os alunos se as sequências abaixo são iguais ou diferentes: 9/26/18 09:01 (0, 27, 14, 221, 28) (27, 0, 14, 221, 28) Espera-se que eles argumentem que as sequências são diferentes, pois o 1o e o 2o termos possuem valores trocados.

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149

• Faça as seguintes perguntas aos alunos sobre a representação dos termos de uma sequência: ƒ Qual é a posição do termo a15? (Resposta: 15o termo da sequência.); ƒ Como podemos indicar o vigésimo quarto termo de uma sequência? (Resposta: a24)

Cada um dos elementos da sequência é chamado de termo da sequência. É comum representarmos os termos de uma sequência numérica utilizando a letra a. Para indicar a posição desse termo na sequência, utiliza-se um número inteiro positivo que acompanha a letra a.

• No tópico “Lei de formação de uma sequência numérica”, iniciamos o desenvolvimento da habilidade EF07MA15, em que os alunos serão solicitados a utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas. • Pergunte aos alunos se sequências aleatórias possuem lei de formação. Espera-se que eles respondam que não, pois não é possível prever os termos subsequentes de uma sequência aleatória.

Lei de formação de uma sequência numérica Observe as sequências. 1 , 2 7 , ...) sequência criada aleatoriamente 2 (0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ...) sequência dos múltiplos de 3 (21, 0, 25, 2 ,

Qual é o próximo termo de cada sequência? Para a sequência que foi criada aleatoriamente, não é possível dizer qual é o próximo termo. Já a sequência que é dada pelos múltiplos de 3, conseguimos dizer que o próximo termo é 21.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

CLÁUDIO CHIYO

Por exemplo, na sequência infinita (0, 1, 0, 1, 0, ...) o termo a2 é o 1.

Quando uma sequência é criada a partir de uma regra, essa regra recebe o nome de lei de formação da sequência. A lei de formação de uma sequência numérica pode ser dada ou por extenso ou por meio de uma expressão algébrica. Exemplos

• Sequência infinita dada pelos números primos em ordem crescente: (2, 3, 5, 7, 11, ...) • Sequência infinita dada pela expressão an 5 4n: (4, 8, 12, 16, ...) n51

a1 5 4 8 1 5 4

n52

a2 5 4 8 2 5 8

n53

a3 5 4 8 3 5 12

n54

a4 5 4 8 4 5 16

 150

EF07MA15: Utilizar a simbologia algébrica para expressar regularidades encontradas em sequências numéricas.

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150

9/26/18 09:01

• Sequência infinita dada pela expressão an 5 2n 1 1: (3, 5, 7, 9, ...) n51

a1 5 2 8 1 1 1 5 2 1 1 5 3

n52

a2 5 2 8 2 1 1 5 4 1 1 5 5

n53

a3 5 2 8 3 1 1 5 6 1 1 5 7

n54

a4 5 2 8 4 1 1 5 8 1 1 5 9



Note que as expressões algébricas 4n e 2n 1 1 trazem a variável n, que indica a posição dos termos na sequência. Portanto, o termo está sendo calculado a partir de sua posição. Como exemplo, observe que o 4o termo da sequência dada por an 5 2n 1 1 foi assim calculado: a4 5 2 8 4 1 1 5 8 1 1 5 9 posição

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observação

Dada uma sequência numérica infinita, não podemos dizer qual é o próximo termo sem saber exatamente qual é a lei de formação dessa sequência. Por exemplo, a sequência infinita (1, 3, 5, ...) pode parecer a sequência dos números ímpares, e o próximo termo poderia ser 7. n n3 No entanto, a lei de formação dessa sequência também poderia ser an 5 2 1 n2 1 . Veja: 6 6 13 1 a1 5 2 1 12 1 5 1 6 6 2 23 a2 5 2 1 22 1 5 3 6 6 33 3 a3 5 2 1 32 1 5 5 6 6

Nesse caso, o valor de a4 seria 6.

ATIVIDADES 1

• Se julgar conveniente, solicite aos alunos que escrevam por extenso as leis de formação das sequências da atividade 3. Espera-se que eles respondam:

Faça as atividades no caderno.

Em seu caderno, escreva as sequências dadas por suas propriedades. Se a sequência for infinita, escreva apenas os seis primeiros termos. a) Sequência dos inteiros positivos, pares e menores que 20. (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18) b) Sequência dos inteiros positivos múltiplos de 3. (3, 6, 9, 12, 15, 18, ...) c) Sequência dos inteiros positivos, múltiplos de 5, maiores que 20 e menores que 45. (25, 30, 35, 40) d) Sequência dos inteiros positivos cujo nome começa com a letra “d”.

ƒ A sequência do item a representa a sequência dos inteiros positivos múltiplos de seis. ƒ A sequência do item b representa a sequência dos inteiros maiores do que seis. ƒ A sequência do item c representa a sequência da terça parte dos inteiros positivos.

(2, 10 12, 16, 17, 18, 19, 200, 201...)

2

Escreva em seu caderno os cinco primeiros termos das sequências dadas pelas leis de formação. Considere n um inteiro positivo. 1 a) an 5 3n 2 2 b) an 5 (21)n c) an 5 d) an 5 (n 1 1)(n 2 1) 2n

3

Encontre uma lei de formação que gere os elementos das sequências seguintes. Depois, explique ao professor e aos colegas como você pensou para determinar cada lei. 1 2 4 5 a) (6, 12, 18, 24, 30, 36, ...) b) (7, 8, 9, 10, 11, 12, ...) c) d , , 1, , , 2,...n 3 3 3 3 n a 5 6n a 561 n n

2. a) (1, 4, 7, 10, 13, 16, ...)

n

b) (21, 1, 21, 1, 21, ...)

1 1 1 1 1 1 c) d , , , , , , ...n 2 4 6 8 10 12

an 5

d) (0, 3, 8, 15, 24, ...)

3

151

151

• Em “Lei de formação recursiva” iniciamos o trabalho com a habilidade EF07MA14.

Lei de formação recursiva Outra forma de escrever algebricamente a lei de formação de uma sequência é por meio de uma recursão. A lei de formação recursiva nos dá duas informações: os primeiros termos da sequência e uma expressão algébrica na qual cada termo da sequência depende de seus anteriores. Veja os exemplos a seguir. Vamos determinar os primeiros termos de uma sequência infinita na qual a1 5 1, a2 5 1 e an 5 an 2 1 1 an 2 2, para todo n inteiro e maior que 2. n53

n54

• Para promover o desenvolvimento da habilidade EF07MA16, explore o fato de existirem expressões algébricas distintas que descrevem a mesma sequência numérica. Tais expressões algébricas são chamadas de equivalentes. • Peça aos alunos que exponham outra lei de formação que gere a sequência dos números pares e para classificarem em lei de formação recursiva ou não. Exemplo de resposta: an 5 2 3 n, para todo inteiro n não negativo. Não é uma lei de formação recursiva, pois depende apenas da posição do termo na sequência.

n55 n56

a3 5 a2 1 a1 5 1 1 1 5 2

a4 5 a3 1 a2 5 2 1 1 5 3

a5 5 a4 1 a3 5 3 1 2 5 5

a6 5 a5 1 a4 5 5 1 3 5 8

Essa lei de formação gera a sequência da abertura do capítulo, a sequência de Fibonacci: Vamos determinar o 5o termo de uma sequência infinita que é dada pela seguinte lei de formação: a1 5 0 e an 1 1 5 an 1 2, para todo n inteiro positivo. Antes de determinar a5, devemos encontrar os termos anteriores. Sabemos que a1 é igual a 0.

Vamos determinar a2; para isso, substituímos n por 1 em an 1 1 para obter a2: n51

a1 1 1 5 a1 1 2

a2 5 0 1 2 5 2

Agora, determinamos os próximos termos: n52 n53 n54

a2 1 1 5 a2 1 2

a3 5 2 1 2 5 4

a4 1 1 5 a4 1 2

a5 5 6 1 2 5 8

a3 1 1 5 a3 1 2

a4 5 4 1 2 5 6

Assim, concluímos que a5 5 8.

Essa lei de formação gera a sequência (0, 2, 4, 6, 8, ...), que é a sequência de inteiros pares. Observações

1 Para calcular o n-ésimo termo de uma sequência descrita por uma lei de formação recursiva, precisamos calcular todos os termos anteriores a ele. Por exemplo, para calcular o 5o termo por meio da lei an 1 1 5 an 1 2, adotamos n 5 4. Assim:

a4 1 1 5 a4 1 2, isto é, a5 5 a4 1 2 Porém, a4 5 a3 1 2 e a3 5 a2 1 2. E assim sucessivamente até chegarmos ao 1o termo, que foi definido como 0. 2 Podem existir diferentes leis de formação que geram a mesma sequência. A sequência dos números pares, por exemplo, pode ser gerada tanto pela lei do exemplo dado quanto pela lei de formação que depende da posição do termo na sequência: an 5 2n 2 2, para todo n inteiro positivo. Verifique!

Veja sequência didática 3 do 2o bimestre no Material do Professor – Digital.

152

EF07MA14: Classificar sequências em recursivas e não recursivas, reconhecendo que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura. EF07MA16: Reconhecer se duas expressões algébricas obtidas para descrever a regularidade de uma mesma sequência numérica são ou não equivalentes.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

(1, 1, 2, 3, 5, 8, ...)

• Na seção “Lendo e apren­ dendo”, os alunos deverão reconhecer que o conceito de recursão está presente não apenas na matemática, mas também nas artes e na literatura.

Lendo e aprendendo Recursão na arte e na literatura

PURPLE ANVIL/SHUTTERSTOCK

Além da arte, a ideia de recursão também aparece na literatura. Veja, por exemplo, o poema visual ao lado, no qual a estrutura recursiva de um labirinto serve de suporte para o texto.

Sugestão de trabalho interdisciplinar • Em conjunto com os pro­ fessores de Arte e de Língua Portuguesa, divida a turma em grupos de quatro alunos. Os grupos devem pesquisar exemplos de recursão na literatura e na arte. Orga­ nize os grupos de modo que alguns dediquem seus trabalhos para a arte e outros para a literatura. Cada grupo deve produzir um painel retratando algu­ ma figura ou trecho literário. No fim do trabalho, os painéis devem ser apresentados pe­ los grupos.

ROGER MELLO/COMPANHIA DAS LETRAS

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Veja as bonecas da imagem. Elas são Matrioskas, bonecas russas feitas de madeira que ficam guardadas uma dentro da outra. A ideia de recorrência (recursão) se dá pelo fato de que, quando abrimos uma boneca, há outra menor e seme­ lhante em seu interior. Existem Matrioskas com números impressionantes de camadas de bonecas.

MELLO, Roger. Zubair e os labirintos. São Paulo: Companhia das Letrinhas, 2007.

ATIVIDADES 1

2. a) an 5 3 1 an 2 1, em que a1 5 0, com n inteiro positivo maior que 1. b) an 5 an 2 1 1 1, em que a1 5 0, com n inteiro positivo maior que 1. c) an 5 2an 2 1, em que a1 5 1, com n inteiro positivo maior que 1. d) an 5 2an 2 1, em que a1 5 1, com n inteiro positivo maior que 1. Faça as atividades no caderno.

Em seu caderno, anote os cinco primeiros termos gerados pelas leis de formação seguintes. a) an 5 an 2 1 1 2, em que a1 5 0, com n inteiro positivo maior que 1. b) an 5 an 2 1 1 2, em que a1 5 1, com n inteiro positivo maior que 1. c) an 5 22 3 an 2 1, em que a1 5 21, com n inteiro positivo maior que 1.

1. a) (0, 2, 4, 6, 8, ...)

b) (1, 3, 5, 7, 9, ...)

2

Descreva, em seu caderno, usando uma lei de formação recursiva, cada uma das sequências abaixo. a) (3, 6, 9, 12, 15, ...) b) (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...) c) (1, 21, 1, 21, 1, ...) d) (1, 2, 4, 8, 16, 32, ...)

c) (21, 2, 24, 8, 216, ...) 153

Sugestão de leitura • A ideia de recursão tam­ bém pode ser explorada por meio dos fractais. Se julgar oportuno, apresente aos alunos alguns fractais clássicos, como o triângulo de Sierpinski, a esponja de Menger e a curva de Koch. A tese “Geometria fractal e aplicações”, de Raquel Sofia Rebelo Nunes, traz alguns desses exemplos. Disponível em: . Acesso em: 3 out. 2018.

Sugestão de vídeo 9/26/18 09:01 • O vídeo “Aula 01 – Sequências definidas por recorrência”, do Programa de Iniciação Científica da OBMEP, propõe uma aula expositiva sobre leis de formação recursivas. Disponível em: . Acesso em: 3 out. 2018.

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153

• Visando ao complemento do tópico “Sequências numéricas em planilhas eletrônicas”, peça aos alunos que elaborem no caderno a fórmula de uma sequência cujos valores dos termos dependam de sua posição e, usando uma planilha eletrônica, calculem os 12 primeiros termos e anotem a sequência no caderno.

CLÁUDIO CHIYO

Sequências numéricas em planilhas eletrônicas Com um software de planilha eletrônica, é possível construir sequências numéricas inserindo a lei de formação em suas células. Existem diferentes softwares de planilha eletrônica, mas a maioria tem funcionalidades muito parecidas quando lidamos com a manipulação das células e a inserção de fórmulas. Veja algumas funcionalidades de uma planilha eletrônica. Campo que mostra a célula selecionada. A célula A1 está na coluna A e na linha 1.

C

D

E

F

G

1 2 3 4 5 6

Letras que indicam as colunas da planilha.

Veja como podemos construir, em uma planilha eletrônica, a sequência numérica de Fibonacci. Como vimos anteriormente, essa sequência pode ser dada por meio da seguinte lei de formação: a1 5 a2 5 1 e an 5 an 2 1 1 an 2 2 , para todo n inteiro positivo maior que 2 Inserimos o 1o termo na célula A1 (coluna A e linha 1). Em seguida, inserimos o 2o termo na célula A2 (coluna A e linha 2).

B

A

1o termo 2o termo

ƒx

…

A3 1 2 3 4 6

C

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

B

A Números que indicam as linhas da planilha.

ƒx

…

A1

Campo que mostra a fórmula associada à célula.

D

1 1

SOMA A

ƒx

…

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Agora, vamos indicar na planilha eletrônica o 3º termo, que é dado pela soma dos dois primeiros. Primeiro, selecionamos a célula A3 (coluna A e linha 3). Depois, no campo de fórmula, colocamos um sinal de igual e indicamos quais células devem ser adicionadas. Neste caso, A1 e A2.

B

C

=A1+A2 D

E

F

1 1 2 1 3 =A1+A2 4 5 6

154

Sugestão de vídeo • O vídeo da série “O número de ouro”, da série Arte e Matemática, da TV Cultura, traz a explicação sobre número de ouro e aborda a história de Fibonacci. Disponível em: . Acesso em: 3 out. 2018.

PDF-131-162-MCP7-C06-G20.indd 154

154

9/26/18 09:01

Após a indicação das células que devem ser adicionadas, devemos apertar a tecla Enter para que a soma seja calculada. …

A4

B

A 1 1 2

A vantagem de usar uma planilha eletrônica está na praticidade de determinar os próximos termos, pois agora podemos apenas clicar no quadradinho que fica no canto inferior direito da célula A3 e arrastar para baixo, copiando a fórmula para as células A4, A5, A6 e assim por diante. Quando fazemos isso, definimos que o conteúdo da célula A4 corresponde à soma dos valores das células A2 e A3; o mesmo ocorre para a célula A5, que corresponde à soma das células A3 e A4; e assim sucessivamente. B

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2

B

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9

B

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 2

1 1 2 3 5 8 13 +

Veja que na coluna A apareceu até o 7o termo da sequência. Podemos estender essa técnica indefinidamente na planilha, descobrindo mais termos dessa sequência.

ATIVIDADES 1

Usando um software de planilha eletrônica, construa as sequências seguintes e, em seu caderno, liste os 10 primeiros termos. a) an 5 an 2 1 1 7, em que a1 5 4, com n inteiro positivo maior que 1. (4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67, ...)

b) an 5 (an 2 1) 3 (an 2 2), em que a1 5 1 e a2 5 2, com n inteiro positivo maior que 2.

(1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, 8 192, 2 097 152, 17 179 869 184, ...)

c) an 5 (an 2 1) 3 11, em que a1 5 1, com n inteiro positivo maior que 1.

(1, 11, 121, 1 331, 14 641, 161 051, 1 771 561, 19 487 171, 214 358 881, 2 357 947 691, ...)

Faça as atividades no caderno.

2

Responda no caderno. Respostas pessoais. a) A célula de uma planilha eletrônica tem qual papel quando criamos a sequência numérica: variável ou incógnita? Justifique. b) As fórmulas da atividade 1, inseridas nas células da planilha eletrônica, eram recursivas. É possível criarmos sequências definidas por fórmulas que dependem da posição do termo usando a planilha eletrônica? Justifique.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 2 3 4 5 6 7 8 9

• No item a, da atividade 2, espera-se que os alunos concluam que a célula de uma planilha eletrônica tem o papel de variável, pois aceita qualquer valor para a formação de uma sequência. No item b, espera-se que os alunos justifiquem que será necessário utilizar uma coluna com os valores dos termos da sequência recursiva para realizar os cálculos por meio de uma fórmula em outra coluna.

155

155

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Faça as atividades no caderno.

Revisitando 1

Reescreva as frases a seguir em seu caderno, substituindo cada quadro abaixo. expressão algébrica

termo algébrico

termos semelhantes

Valor numérico

por uma das expressões do

Revisitando • Esta seção representa uma oportunidade para os alunos verificarem os conhecimentos consolidados. Se tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados, sugira que retomem as páginas do capítulo e procurem esclarecer as dúvidas. Incentive que busquem esclarecimentos em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. • Uma possível resposta para a atividade 3 é: Equação é uma sentença matemática expressa por uma igualdade e que apresenta ao menos uma incógnita, que é uma letra representando um valor desconhecido. Exemplo: 2x - 10 = 0, em que x é a incógnita.

Reduzir a um único termo os termos que apresentam a mesma parte literal, adicionando ou subtraindo os coeficientes e mantendo a parte literal.

2

Explique o que significa reduzir termos semelhantes.

3

Explique o que é uma equação. Em seguida, dê um exemplo de equação, identificando sua incógnita. Resposta pessoal.

4

Das equações abaixo, três têm raiz igual a 3. Identifique-as no caderno. A, C e D A

B

C

D

7x 2 8 5 13

25x 2 10 5 5

24x 1 8 5 24

13 x 155 2 2

5

Como são denominadas as equações que têm a mesma raiz em um mesmo conjunto universo? equações equivalentes

6

Explique com suas palavras a diferença entre variável e incógnita. Resposta pessoal.

7

Quantas formas foram apresentadas para descrever uma sequência numérica? Quais são elas? Três formas: por extenso e duas formas

8

Qual é a diferença entre as duas formas algébricas que podemos utilizar para descrever uma sequência numérica?

por meio de expressão algébrica.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

a) Termos algébricos que têm a mesma parte literal são chamados . termos semelhantes b) Uma expressão matemática formada por números e letras ou somente por letras é chamada de . expressão algébrica c) é cada uma das parcelas de uma expressão algébrica. Termo algébrico d) é o resultado das operações efetuadas em uma expressão algébrica após a substituição das variáveis por números. Valor numérico

CLÁUDIO CHIYO

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, estimulando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É possível encontrar atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames cuidadosamente escolhidas para que os alunos consigam resolvê-las a partir dos conhecimentos que detêm até o momento.

Em uma delas, a lei de formação permite que se calcule qualquer termo diretamente, sabendo a sua posição na sequência. A outra forma, a recursiva, define os termos iniciais e determina o valor dos próximos termos da sequência a partir dos termos anteriores.

Aplicando 1

Escreva uma expressão algébrica para representar: a) a soma de sete com o quádruplo de um número; 7 1 4x b) a sexta parte de um número;

x 6

c) a décima parte de um número;

x 10

d) o produto de um número pela sua sétima parte; x 8 x 7

2

3

No caderno, indique as sentenças verdadeiras. alternativas a, b, c, d

a) 2 1 14 5 24

c) 2 2 1 % 0 1 3

b) 3 2 2 , 2 1 8

d) 54 2 3 5 50 1 1

Teca tem 32 anos. Escreva no caderno uma expressão algébrica que represente a idade que ela teve há x anos, sendo x um número natural. 32 2 x

156

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156

9/21/18 21:02

Lembre-se: Não escreva no livro!

4

Paulo criou uma máquina de operações matemáticas. Na situação abaixo, ele programou a máquina para receber um número n e devolver um número repre7n sentado por 1 12 2 n. 2

7

6

JOSÉ LUÍS JUHAS

8

Determine a solução da equação 1 1 2 (x 2 2) 5 2x 2 para: 4 3 a) U 5 b;

Não há solução.

9 5n 1 12 2

a) Qual é a forma mais simples de representar o número que saiu da máquina? b) Nessa situação, se o número 30 for inserido na máquina, que número sairá? 87 5

b) U 5 B.

10 27

Calcule o valor de m, considerando a equação (m 2 2) 8 x 1 2x 1 4 8 (m 2 5) 5 0, em que x é igual a 2. m 5 10 3

10

(Enem) Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x ) no comprimento e (y ) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 2 x ) 8 (3 2 y ).

GUILHERME CASAGRANDI

Sabendo que U 5 B, determine no caderno o valor de x em cada equação. 3 3x 2x x53 2 5 a) 5 4 20 x 13 x b) 1 52 x5 2 3 4 2 15x 2 1 2x 1 c) 1 5 x5 1 3 5 20 3 4x 2 1 22 x 1 1 5 x5 d) 5 16 2 3 x 23 x 1 5 24 x 5 2 51 e) 8 5 3 • Discuta a resolução do Desafio com a turma, chamando atenção para a espessura do freezer, já que alguns alunos podem escrever a expressão algébrica considerando apenas as dimensões externas a, b e h do freezer.

DESAFIO 3 y x 5

Observe a figura abaixo e determine a expressão algébrica da capacidade de um freezer de dimensões externas a, b e h e paredes com espessura e. (a 2 2e) 8 (b 2 2e) 8 (h 2 2e)

e

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) 2xy d) 25y 2 3x b) 15 2 3x e) 5y 1 3x 2 xy alternativa e c) 15 2 5y 6

Reduza os termos semelhantes. a) 6x 1 5y 2 (2x 1 3y) 2 8y 4x 2 6y b) 6ab 2 2b 1 4a 2 6b 1 ab 7ab 1 4a 2 8b c) 0,7x 2 0,5y 1 0,3x 2 1,4y 1 y x 2 0,9y d) 7a 2 (3a 1 2b 2 5a) 2 8b 9a 2 10b

e

h

b

a

GUILHERME CASAGRANDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Sabendo que U 5 B, resolva as equações. a) 2x 1 (9 2 x) 5 8 2 (3x 2 6) x 5 54 b) 8 8 (2x 2 1) 5 6 8 (5x 2 2) 2 10 x 5 1 c) y 2 [y 2 (2 2 y) 2 1] 1 4 5 2(23 2 y) y 5 2 d) 2 8 (x 2 2) 2 3 8 (1 2 x) 5 20 2 (x 2 4) x 5 31

157

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157

Lembre-se: Não escreva no livro!

11

Uma empresa de transporte aéreo está ofe3 do valor da recendo um desconto de 10 passagem. Mário pagou R$ 210,00 pela passagem, já com desconto. Qual é o valor da passagem sem desconto? R$ 300,00

15

Em uma indústria, o número de homens é 3 igual a do número de mulheres. Se fos5 sem admitidos mais 20 homens, o número de funcionários ficaria igual ao número de funcionárias. Quantas mulheres e quantos homens trabalham na fábrica?

17

Em um cesto, há peras, laranjas e bananas. Ao todo, são 96 frutas. O número de peras é o triplo do de laranjas, e o número de bananas é igual ao de laranjas e peras reunidas. Quantas frutas há de cada tipo?

12

A soma das idades de um pai e seu filho é, hoje, 72 anos. Há 12 anos, a idade do pai era sete vezes a idade do filho. Qual é a idade de cada um hoje? pai: 54 anos; filho: 18 anos

13

Dei três laranjas a cada menino e fiquei com 20 laranjas. Se tivesse dado cinco laranjas a cada menino, teria ficado com oito laranjas. Havia quantos meninos? 6 meninos

14

Em um concurso de música, foram distribuídos R$ 6 600,00 em prêmios da seguinte maneira: o segundo colocado recebeu o dobro do terceiro mais R$ 1 200,00; o primeiro recebeu o triplo do terceiro mais R$  1 800,00. Quanto recebeu o primeiro colocado? R$ 3 600,00

RONALDO BARATA

CLÁUDIO CHIYO

Érica pediu a Fábio que pensasse em um número e, em seguida, efetuasse estas operações: adicione 8; multiplique por 3; subtraia  4;  adicione o número pensado; divida por 4; adicione 2; e subtraia o número pensado. Ao término dessas operações, e antes que Fábio dissesse alguma coisa, Érica exclamou: “O resultado obtido é 7”. Explique como Érica chegou a tal conclusão. Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

50 mulheres e 30 homens

16

48 bananas, 12 laranjas e 36 peras

DESAFIO

Determine a expressão algébrica que representa a área da frente da casa (exclua a porta e a janela). a 8 b 1 ah 2 x2 2 xy 2

GUILHERME CASAGRANDI

RONALDO BARATA

h

x

b x x

y a

158

• A seguir, apresentamos a simbologia algébrica para representar as operações mencionadas por Érica, na atividade 16: [(x 1 8) 3 3 2 4 1 x] 9 4 1 2 2 x 5 5 [3x 1 24 2 4 1 x] 9 4 1 2 2 x 5 5 [4x 1 20] 9 4 1 2 2 x 5 5x15122x57

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158

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Lembre-se: Não escreva no livro!

18

19

Uma sacola contém bolas brancas e vermelhas. O total de bolas é 65, e o número 5 do de bolas de bolas brancas é igual a 8 vermelhas. Qual é a quantidade de bolas brancas? 25 bolas brancas

21

7

22

Escreva em seu caderno os seis primeiros termos das sequências a seguir. a) an 5 2n 1 5 (7, 9, 11, 13, 15, 17, ...) b) an 5 n2 1 n (2, 6, 12, 20, 30, 42, ...) n 1 2 3 4 5 6 c) an 5 n 1 1 d 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , ...n

23

Com azulejos quadrados brancos e azuis, todos do mesmo tamanho, construímos os seguintes mosaicos:

Observe o que o pai diz ao filho e responda à questão. 2 7 da minha; há 5 anos, 1 era . 6

ADILSON SECCO

CLÁUDIO CHIYO

Hoje sua idade é

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3 Da sequência (23, 26, 2 , 3 , 11, 23, ...), 7 anote em seu caderno os termos a1, a3, a4 e a5. a1 5 23, a3 5 2 3 , a4 5 3 e a5 5 11.

• Quais são as idades do pai e do filho? pai: 35 anos; filho: 10 anos

20

(Enem) A loja Telas & Molduras cobra 20  reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25  cm # 50  cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm # 100 cm). O valor da segunda encomenda será: alternativa b a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.

A regra para construir esses mosaicos é a seguinte: inicialmente, formamos um quadrado com 1 azulejo branco cercado por azulejos azuis; em seguida, outro quadrado, este com 4 azulejos brancos cercado de azulejos azuis; e assim sucessivamente. Considerando a sequência de mosaicos com número crescente de azulejos, responda em seu caderno. a) Quantos azulejos brancos terá o 15o mosaico dessa sequência? 225 b) Quantos azulejos brancos terá o n-ésimo mosaico dessa sequência? an 5 n2 c) Quantos azulejos azuis terá o 20o mosaico dessa sequência? 84 d) Quantos azulejos azuis terá o n-ésimo mosaico dessa sequência? an 5 4(n 1 1) DESAFIO

A soma dos três algarismos de um número é 19. O algarismo das dezenas é o quádruplo do algarismo das centenas, e o algarismo das unidades é o consecutivo do algarismo das dezenas. Qual é esse número? 289 159

PDF-131-162-MCP7-C06-G20.indd 159

• Explore as estratégias de resolução utilizadas pelos alunos no Desafio. Peça que escrevam expressões algébricas para representar o problema. Sendo a o algarismo das centenas, b, o algarismo das dezenas, e c, o das unidades, temos: a 1 b 1 c 5 19 b543a c5b11 Como b é o quádruplo de a, a só pode admitir 1 e 2 como resposta (já que o algarismo é sempre menor que 9), resultando em 4 e 8, respectivamente, para b. Como c é b 1 1, temos que c é igual a 9, para validar a expressão a 1 b 1 c 5 19. Desse modo, obtemos o número 289.

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159

Elaborando • Esta seção incentiva a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica 5. • Exemplo de atividade que poderá ser elaborada para a atividade 1:

Lembre-se: Não escreva no livro!

Em seu caderno, relacione as leis de formação que dão origem aos seis primeiros termos de uma sequência numérica. a – iii; b – iv; c – i; d – ii i) an 5 an 2 1 1 3, a1 5 4 e n . 1 a) an 5 2n b) an 5 3n ii) an 5 an 2 1 1 2, a1 5 2, n . 1 c) an 5 3n 1 1 iii) an 5 2 3 an 2 1, a1 5 2, n . 1 d) an 5 2n iv) an 5 an 2 1 1 3, a1 5 3, n . 1

25

Numa planilha eletrônica, foram inseridas as seguintes informações: =(A1–A2)*(A1–A2) D

E

F

1 1 0

(1, 1, 0, 1, 1, 0, 1 ...)

(Enem) O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro, foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? alternativa d a) 38 000 c) 41 000 e) 48 000 b) 40 500 d) 42 000

Elaborando Elabore em seu caderno uma atividade sobre um evento em que uma quantidade desconhecida de pessoas deverá comparecer. O evento deve ter um custo para ser feito e as pessoas devem pagar por um ingresso na entrada. Troque a atividade com um amigo e resolva a que ele propôs. Ao receber a resolução do amigo, dê um retorno a respeito da resposta dele, indicando os equívocos, se existirem. Resposta pessoal.

2

Elabore uma questão que envolva a quantidade de patas de uma aranha (oito patas) e a quantidade de patas de uma formiga (seis patas). Ela deve ser resolvida por meio de uma equação do primeiro grau. Troque sua atividade com um colega, resolva a atividade que ele criou e peça a ele que resolva a que você criou. Resposta pessoal. Uma equação possível é 6x 1 8x 5 140.

3

• Como exemplo de resposta para o item a da atividade 3, temos: (3, 7, 11, 15, 19, ...), em

CLÁUDIO CHIYO

1

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

26

Há aranhas e formigas em um terrário, totalizando 140 patas. a) Escreva a equação que representa quantas patas há no terrário. (Resposta: 8 3 a 1 1 6 3 f 5 140, em que a representa o número de aranhas e f, o número de formigas.) b) Resolva a equação obtida no item a. (Resposta: 10 aranhas e 10 formigas, pois: 8 3 10 1 6 3 10 5 5 140)

160

C

Em seu caderno, liste os quatro próximos termos dessa sequência.

• Exemplo de questão que poderá ser elaborada para a atividade 2:

que a1 5 3 e an 5 an 2 1 1 4, para todo n inteiro positivo. E, como exemplo de resposta para o item b da atividade 3, temos: a1 5 1 e an 5 5 3 (an 2 1); para todo n inteiro positivo, então: (1, 5, 25, 125, 625, ...)

B

A

ADILSON SECCO

A3 1 2 3 4

ƒx

…

A prefeitura da cidade organizou um show cujo custo é de R$ 35 000,00 e o preço do ingresso de entrada é R$ 120,00. O local do evento tem capacidade para 900 pessoas. a) Qual é a expressão que representa o valor arrecadado no evento? (Resposta: 120 3 x 2 35 000 5 y, em que x representa a quantidade de ingressos vendidos e y, o valor arrecadado). b) Qual será o valor arrecadado se todos os ingressos forem vendidos? (Resposta: R$ 73 000,00, pois: 120 900 2 2 35 000 5 73 000) c) Quantos ingressos foram vendidos se o valor arrecadado foi de R$ 52 000,00? (Resposta: 725 ingressos, pois: (52 000 1 35 000) 9 120 5 725)

24

Crie uma atividade envolvendo sequências numéricas descritas por uma lei de formação recursiva. A atividade deve conter duas partes. a) Elabore uma sequência dando os cinco primeiros termos, sem mostrar a lei de formação dessa sequência. Peça a seu amigo que encontre a lei de formação na qual pensou. Resposta pessoal. b) Elabore uma lei de formação recursiva e entregue a atividade a um amigo, pedindo a ele que liste os seis primeiros termos da sequência. Verifique se o amigo encontrou corretamente os termos, apontando eventuais equívocos. Resposta pessoal.

160

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

PDF-131-162-MCP7-C06-G20.indd 160a reflexão, a análise crítica,

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É hora de extrapolar

É hora de extrapolar

• A seção propõe o fechamento da unidade por meio de um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração e a apresentação de um jornal, que será compartilhado com a turma ou com a comunidade escolar. • Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:

Faça as atividades no caderno.

VOCÊ JÁ OUVIU FALAR DO IDH? SABE O QUE SIGNIFICA?  Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) é uma medida usada para avaliar as condições de vida de uma população. Conhecer os parâmetros e o cálculo usados para a obtenção desse índice ajuda a compreender como e o que um valor numérico indica sobre o desenvolvimento humano de uma sociedade. Objetivo:  Pesquisar sobre o IDH, analisar os cálculos utilizados para determinar o IDH, produzir uma reportagem sobre o assunto e elaborar e apresentar um jornal.

2. b) Resposta pessoal. Os alunos podem citar indicadores ligados à sustentabilidade/

Etapa 1: Pesquisa sobre o IDH. ecologia, igualdade de gênero, grau de desigualdade social, democracia, acesso à informação, entre outros.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1. Reúna-se em grupo. Pesquisem em sites ou livros especializados sobre IDH, buscando informações a respeito da origem desse índice, dos objetivos, dos significados, dos parâmetros utilizados em seu cálculo, das escalas usadas para a classificação dos países e dos resultados mais recentes. 2. A partir dos resultados obtidos, respondam: Expectativa de vida (ou saúde), a) O IDH é calculado a partir de indicadores em três áreas. Quais são elas? educação e renda. b) Vocês acham que existem outros indicadores que poderiam ou deveriam ser considerados no cálculo para medir o desenvolvimento humano de uma sociedade? Se sim, quais? 3. O Relatório de Desenvolvimento Humano de 2016, publicado pelo Programa das Nações Unidas para o Desenvolvimento (Pnud), apresenta os valores de IDH de 188 países para o ano de 2015. Veja a tabela a seguir com alguns desses dados. Índice de desenvolvimento humano de alguns países e classificação – 2015 Classificação

País

IDH

1o

Noruega

0,949

2o

Áustria

0,939

2

Suíça

0,939

4o

Alemanha

0,926

o

185

Burkina Faso

0,402

186o

Chade

0,396

187o

Níger

0,353

188o

República Centro-Africana

0,352

o

3. b) Não, porque os valores de IDH dos países variam entre 0 e 1 e, nesse caso, 0,597 indica que há uma grande diferença entre os níveis de desenvolvimento humano desses dois países. 976 463 5 ; c) Alemanha: 500 1000 402 201 Burkina Faso: 5 500 1000 Dados disponíveis em: . Acesso em: 31 ago. 2018.

a) Qual é a diferença entre o IDH da Noruega e o IDH da República Centro-Africana? 0,597 b) De acordo com o valor obtido no item a, podemos afirmar que o IDH da Noruega é próximo ao IDH da República Centro-Africana? Por quê? c) Escreva os valores do IDH da Alemanha e de Burkina Faso na forma fracionária. d) Ao escrever o valor do IDH de um país na forma fracionária, o denominador será maior, igual ou menor que o numerador? Por quê? O denominador sempre será maior que o numerador, já que o IDH corresponde a um número entre zero e 1.

Etapa 2: Análise do cálculo utilizado para determinar o IDH de uma localidade.

4. O índice relacionado à educação, um dos aspectos considerados na determinação do IDH (2015), pode ser obtido por meio do seguinte cálculo: ME EE 1 15 18 Ieducação 5 , 2 sendo ME o número médio de anos que os indivíduos frequentam a escola e EE o número esperado de anos que os indivíduos passem na escola. Determine o Ieducação do Brasil em 2015, sabendo que o ME foi de 7,8 e o EE de 15,2. Ieducação 5 0,682 161

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. Competência específica 4: Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes. Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência específica 8: Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

ƒ entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado; ƒ pesquisa coletiva; ƒ elaboração, em grupo, da reportagem; ƒ apresentação e divulgação do jornal; ƒ reflexão e síntese do trabalho.

As etapas de pesquisa e elaboração da reportagem podem ser realizadas extraclasse. Verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho. • A seção também favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 5, 9 e 10 e das competências específicas 2, 4, 5, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados nos capítulos que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se preferir trabalhar as etapas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimentos prévios necessários. • Se achar oportuno, desenvolva este trabalho em parceria com o professor de Geografia. Amplie a discussão sobre o tema, buscando compreender as diferenças entre comparar o desenvolvimento humano dos países usando o PIB e usando o IDH, propondo a investigação e o debate sobre os fatores que permitem o alto desenvolvimento de alguns países e o que causa o baixo desenvolvimento de outros. Ver descrição das competências gerais 2, 4, 9 e 10 nas páginas 132 e 160 e da competência específica 5 na página 160. Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

161

• Sonde os conhecimentos prévios dos alunos sobre o que sabem sobre o IDH. Verifique, também, se eles conhecem outros índices. • Os cálculos apresentados na etapa 2 foram obtidos a partir de relatórios apresentados pelo Programa de desenvolvimento das Nações Unidas (Pnud). Os relatórios estão disponíveis em: e . (acessos em: 10 set. 2018). • Comente com os alunos que o índice de educação corresponde à média aritmética dos índices relacionados ao número médio de anos na escola e ao número esperado de anos na escola. • Se considerar conveniente, explique aos alunos que o índice de renda utiliza um cálculo que eles ainda não aprenderam, o de logaritmo. Você pode fornecer o valor do Irenda do Brasil de 2015, que corresponde a 0,748, para que a turma possa calcular o IDH do Brasil nesse ano. O cálculo a ser efetuado é:

Lembre-se: Não escreva no livro!

5. O índice relacionado à saúde (expectativa de vida), no IDH de 2015, pode ser obtido por meio do seguinte cálculo: EV 2 20 Isaúde 5 , 85 2 20 sendo EV a expectativa de vida do país. Sabendo que o Isaúde do Brasil em 2015 foi de 0,8415, determine a EV do país nesse ano (use uma aproximação com uma casa decimal). 74,7 anos Etapa 3: Elaboração de reportagem sobre o Índice de Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM).

6. Além do IDH dos países, também é possível analisar os índices para os municípios brasileiros. O Atlas do Desenvolvimento Humano no Brasil é um site que abriga diversas informações sobre o desenvolvimento humano no país. Um dos conteúdos explorados pelo Atlas é o ranking do Índice de Desenvolvimento Humano Municipal (IDHM) dos municípios brasileiros. Veja as informações sobre os dois municípios que obtiveram os maiores índices, em 2010:

Posição

Município

IDHM

IDHM renda

IDHM saúde

IDHM educação

1o

São Caetano do Sul (SP)

0,862

0,891

0,887

0,811

2

Águas de São Pedro (SP)

0,854

0,849

0,890

0,825

o

Dados disponíveis em: . Acesso em: 31 ago. 2018.

• Comparem os índices apresentados para São Caetano do Sul e Águas de São Pedro. É correto afirmar que o município que ocupa o 1o lugar obteve índices superiores em todos os quesitos em relação ao município que ocupa o 2o lugar? Não, os índices de saúde e educação de São Caetano do Sul são menores que os respectivos índices apresentados por Águas de São Pedro.

7. Explorem o ranking de IDHM disponível no site Atlas do Desenvolvimento Humano no Brasil, comparando municípios e explorando também o ranking dos estados. Selecionem dois municípios, ou dois estados, e elaborem uma reportagem comparando o IDHM das localidades escolhidas. A reportagem deverá conter: • uma manchete (título); • explicação sobre o IDH (significado, objetivos, indicadores considerados etc.); • estado em que os municípios se localizam ou região em que os estados selecionados se localizam e número de habitantes; • tabela com os valores de IDHM das localidades selecionadas; • comparação e análise dos índices; • imagens do locais selecionados e outras informações que julgarem importantes.

IDH 5 3 Ieducação 3 Isaúde 3 Irenda Para extrair a raiz cúbica, peça aos alunos que utilizem uma calculadora científica ou uma planilha eletrônica. • Para a realização da atividade 7, selecione as localidades que deverão ser analisadas pelos grupos a fim de que não haja informações repetidas no jornal que será elaborado. • Organize os grupos para colaborarem com os outros trabalhos necessários para a produção do jornal: nome do jornal, diagramação e criação ou seleção de imagens.

Etapa 4: Elaboração e apresentação de um jornal.

8. Disponibilizem a reportagem elaborada para que os demais colegas comentem sobre a pertinência da manchete, a clareza das informações e a comparação e análise dos índices das localidades escolhidas. 9. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.  10. Depois dos ajustes necessários, organizem um jornal, digital ou impresso, composto pelas reportagens elaboradas pela turma. Divulguem o jornal para que todos da comunidade escolar tenham acesso às informações. Etapa 5: Síntese do trabalho realizado. Respostas pessoais.

11. Algumas questões que devem ser discutidas: a) Como a pesquisa realizada na etapa 1 ajudou na elaboração da reportagem? b) Quais ações devem ser tomadas para que um país, estado ou município eleve seu IDH? 12. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4. 162

Veja proposta de avaliação de aprendizagem no Material do Professor – Digital.

162

• Para consolidar o estudo da unidade, releia e refaça coletivamente as atividades do “Revisitando” e as questões da abertura de unidade.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

IDHM – 2010

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

UNIDADE

• Nesta unidade os alunos estudarão conteúdo das unidades temáticas Números (capítulos 7 e 8) e Geometria (capítulo 9). Em Números, apresentaremos a porcentagem ou a taxa percentual, o cálculo de acréscimos, descontos e juro simples, além do conceito de proporcionalidade e de grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Em Geometria, os alunos estudarão as simetrias de translação, rotação e reflexão. • O objetivo das questões do “É hora de começar” é instigar a curiosidade dos alunos para os assuntos que serão estudados nos capítulos que integram esta unidade. As questões não precisam ser respondidas nesse momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que os alunos reflitam sobre o que aprenderam.

III

Nesta unidade você vai estudar Capítulo 7 Porcentagem e juro simples Capítulo 8 Proporcionalidade Capítulo 9 Transformações geométricas

É hora de começar 1 Qual é o preço final de um produto que sofre um desconto de 20% seguido de um acréscimo de 25%? 2 Em que situações do dia a dia o conceito de juro é utilizado? 3 Você sabe o que é proporção? Em que situações usamos esse conceito? 4 Em que situações do dia a dia você observa a translação, a rotação e a reflexão?

Veja plano de desenvolvimento e projeto integrador no Material do Professor – Digital. PDF-163-180-MCP7-C07-G20.indd 163

9/26/18 09:26

163

Objetivos • Compreender o conceito de porcentagem. • Aplicar o conceito de porcentagem para resolver problemas. • Calcular acréscimos e descontos. • Entender o conceito de juro simples e aplicá-lo para resolver problemas.

CAPÍTULO

7

Porcentagem e juro simples

Habilidade da BNCC • Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA02 da BNCC. • Em todo o estudo deste capítulo, é recomendável incentivar os alunos a utilizar as diferentes representações de um número racional: forma de fração, forma decimal e de porcentagem, por exem20 = 0,2. Isso plo, 20% = 100 poderá contribuir não somente para a apreensão desse conceito, como também para otimizar os cálculos.

É hora de observar e refletir • Neste capítulo, vamos trabalhar porcentagem, cálculo de descontos e de acréscimos e juro simples. Os questionamentos propostos na abertura permitem a introdução dos conceitos que serão trabalhados.

Exposição de frutas em feira livre. Florianópolis (SC), 2014.

É hora de observar e refletir

J.CASTRO/GETTY IMAGES

As feiras livres existem no Brasil desde o período colonial. De modo geral, elas acontecem ao ar livre, normalmente em periodicidade semanal. Oferecem à população produtos básicos e alimentos, em sua maioria perecíveis. Esse tipo de alimento se deteriora rapidamente; por isso, antes do final da feira, é muito comum os feirantes reduzirem seus preços. Assim, incentivam a compra e reduzem o desperdício dos produtos. Em uma barraca de frutas, cada mamão é vendido a R$ 2,00, mas comprando 3 unidades o consumidor paga R$ 5,00. Nesse caso, o desconto obtido com a compra de 3 mamões é de R$ 1,00. Calcule a porcentagem referente a esse desconto. 16,6% Nessa mesma barraca, às 7 horas, 5 maçãs eram vendidas por R$ 5,00 e, às 12 horas do mesmo dia, a mesma quantidade de maçãs custava R$ 3,00. Determine, em porcentagem, o desconto no preço da maçã obtido por um cliente que deixou de comprar maçãs às 7 horas para comprar às 12 horas. 40%

164

EF07MA02: Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, cálculo mental e calculadora, no contexto da educação financeira, entre outros.

PDF-163-180-MCP7-C07-G20.indd 164 utilizando estratégias pessoais,

164

9/21/18 20:54

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se você achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 9 e 10. • As situações apresentadas contribuem para que os alunos percebam quão presente é o conceito de porcentagem no cotidiano. Proponha que construam coletivamente um mural com recortes de manchetes de jornais ou revistas em que apareçam porcentagens. Em seguida, é possível incentivar uma discussão sobre o significado das porcentagens presentes em cada uma das manchetes. • Ao introduzir as noções de porcentagem e juro, peça aos alunos que busquem a origem desses termos para que possam começar a compreender seus significados.

Trocando ideias

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe algumas situações do dia a dia.

Pesquisem em jornais, revistas, na internet ou em propaganda de lojas algumas situações em que são utilizados juro e porcentagem. Resposta pessoal. Neste capítulo, vamos retomar o estudo de porcentagem e iniciar o estudo de juro.

ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI

O nível do rio diminuiu 3% no último mês.

165

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, 9/21/18 20:54 crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

PDF-163-180-MCP7-C07-G20.indd 165 a reflexão, a análise

165

1

Porcentagem

Observe a situação ao lado. Juliana lembrou que aprendeu, nas aulas de Matemática, que o símbolo % é usado para re­ presentar a porcentagem de um valor e que a ideia de porcentagem consiste em representar partes de um total de 100 partes.

Juliana, 10% do meu salário é guardado em uma poupança para emergências.

CLÁUDIO CHIYO

• Convém chamar a atenção dos alunos para a importância da porcentagem no mercado financeiro, sendo muito utilizada para expressar índices inflacionários e deflacionários, descontos, aumentos, taxas de juros, entre outros. A porcentagem terá participação ativa no capítulo sobre probabilidade e estatística, pois será utilizada nos cálculos de probabilidades dos experimentos aleatórios e na apresentação de dados comparativos e organizacionais, desse modo, colaborando para o desenvolvimento da competência específica de Matemática 3. • Parte da habilidade EF07MA02 começa a ser trabalhada nas situações apresentadas neste tópico, nas quais são apresentados alguns procedimentos para o cálculo de porcentagens em situações do cotidiano. • Na situação 1, é abordada a relação entre a quantidade de proteína contida em um pote de iogurte e a quantidade diária necessária para um adulto. Aproveite a oportunidade para comentar com os alunos que todo produto industrializado, alimento ou bebida, deve conter a tabela de informações nutricionais com as porcentagens de nutrientes, chamada de rotulagem nutricional. Existe uma regulamentação do sistema de rotulagem nutricional da Agência Nacional de Vigilância Sanitária (Anvisa). Mais informações no site da Anvisa, disponíveis em: . Acesso em: 2 set. 2018.

7 5 0,07 5 7% 100

Lemos: “sete por cento”.

17 5 0,17 5 17% 100

Lemos: “dezessete por cento”.

235 5 2,35 5 235% 100

Lemos: “duzentos e trinta e cinco por cento”.

A expressão “por cento” vem do latim per centum, que significa “por um cento”. As expressões 7%, 17% e 235% são chamadas porcentagens ou taxas percentuais. Agora, acompanhe nas situações a seguir algumas aplicações de porcentagem.

Situação 1 Ao ler o rótulo de um iogurte natural, Daniel percebeu que esse alimento supre 13% da necessidade diária de proteínas para um adulto. Sabendo que, em média, um adulto precisa de 90 g de proteínas diárias, quantos gramas de proteína tem esse iogurte? Para determinar a quantidade de proteína desse iogurte, Daniel fez o seguinte cálculo: 13 3 90 5 11,7 13% de 90 5 100 Portanto, esse iogurte contém 11,7 g de proteína.

Situação 2 Um automóvel teve seu preço reduzido em R$ 4 416,00 por uma promoção de fim de ano. Essa redução corresponde a 12% do preço inicial do veículo. Vamos determinar o preço inicial desse automóvel. Representando por x o preço inicial do automóvel, temos: 12% de x 5 4 416 12 8 x 5 4 416 100 12x 5 441 600 x 5 36 800 Portanto, o preço inicial desse automóvel era R$ 36 800,00. 166

EF07MA02: Resolver e elaborar problemas que envolvam porcentagens, como os que lidam com acréscimos e decréscimos simples, utilizando estratégias pessoais, cálculo mental e calculadora, no contexto da educação financeira, entre outros. Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

166

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Veja os exemplos a seguir, que trazem as formas e a leitura de valores que representam par­ tes de um total de 100.

• Sempre que possível, estimule os alunos a fazer cálculo mental, bem como a usar a calculadora para efetuar alguns cálculos de porcentagens. • Se julgar conveniente, motive os alunos a confirmar, no infográfico (no final da página 169), as informações do enunciado da situação 3. • Pergunte aos alunos: “Supondo que fossem 1 000 estudantes entrevistados, quantos responderam ter bebido refrigerante em 5 dias ou mais nos últimos 7 dias?” (Resposta: 200 estudantes). • Ao apresentar a situação 4, incentive os alunos a mobilizar as representações na forma de fração e na forma decimal de uma porcentagem, pois isso poderá contribuir para otimizar os cálculos.

Situação 3 De acordo com a Pesquisa Nacional de Saúde Escolar (PeNSE 2015), realizada pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), dos alunos do Estado da Bahia entrevistados para a pesquisa, aproximadamente 1 em cada 5 estudantes disse ter bebido refrigerante em 5 dias ou mais nos últimos 7 dias. Que porcentagem esses alunos representam em relação ao total de entrevistados? Podemos representar “1 em cada 5 estudantes” pela razão Agora, determinamos a fração equivalente a

Se achar oportuno, relembre com os

1 alunos a ideia de fração como razão, . 5 vista no capítulo 4 ("Frações").

1 com denominador igual a 100. Veja: 5

# 20

20 1 5 5 100

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

# 20

20 1 e são frações equivalentes. 5 100

Portanto, os alunos que beberam refrigerante em 5 dias ou mais nos últimos 7  dias repre­ 20 sentam, aproximadamente, ou 20% dos estudantes da Bahia entrevistados. 100

Situação 4 Observe no quadro abaixo o número de inscritos e o número de aprovados para os cursos de Direito e de Medicina de certa universidade. Direito

Medicina

Inscritos

500

800

Aprovados

60

64

Vamos determinar a taxa percentual de aprovação em cada um desses cursos. Indicamos por x e por y as taxas percentuais procuradas. Assim, temos: Direito: x % de 500 é 60.

Medicina: y % de 800 é 64.

x 8 500 5 60 100

y 8 800 5 64 100

x 8 500 5 60 8 100

y 8 800 5 64 8 100

500x 5 6 000

800y 5 6 400

x5

6 000 5 12 500

Portanto, houve 12% de aprovação para o curso de Direito.

y5

6 400 58 800

Portanto, houve 8% de aprovação para o curso de Medicina. 167

167

• Dedique atenção especial ao infográfico apresentado na situação 5, pois sua compreensão exige que sejam mobilizados os conhecimentos dos alunos referentes à leitura e à interpretação de gráficos e de informações expressas em porcentagem.

Situação 5

Hábitos alimentares Quando inadequados na infância e na adolescência, os hábitos alimentares podem ser fatores de risco para doenças na idade adulta.

Sugestão de trabalho interdisciplinar • Proponha aos alunos que discutam sobre a importância de ter bons hábitos alimentares e sobre as características dos alimentos saudáveis e não saudáveis. Esse pode ser o momento oportuno para planejar uma atividade interdisciplinar com o professor de Ciências sobre alimentação e saúde, colaborando para o desenvolvimento da competência geral 8 e competência específica 7.

A

O que come o jovem brasileiro? O gráfico a seguir apresenta os resultados nacionais da PeNSE 2015.

Frequência

Pesquisa Nacional de Saúde do Escolar (PeNSE 2015) entrevistou mais de 110 mil estudantes do 9o ano do Ensino Fundamental para conhecer seus hábitos alimentares. O tipo de alimento e a frequência de consumo são indicadores da qualidade da alimentação.

Respostas dos estudantes (em %) por alimento e frequência de consumo nos últimos 7 dias

Nenhum dia

10,5%

1 dia 2 dias

6,9% 6,6%

3 dias

8,0%

4 dias

7,3%

18,4% 12,1%

13,7%

11,7%

Em 2015, havia no Brasil cerca de 2,6 milhões de estudantes matriculados em escolas públicas e particulares no 9o ano do Ensino Fundamental. Para avaliar seus hábitos, os pesquisadores entrevistaram uma parcela dessa população – 109 104 alunos – de todos os estados brasileiros.

12,4%

9,2% 5 dias ou mais

9,2%

60,7% 37%

Feijão

Hortaliças

30,9%

Frutas frescas

Alimentos saudáveis

Consumo de feijão Percentual de estudantes que responderam ter consumido feijão em 5 dias ou mais, nos últimos 7 dias, nas regiões brasileiras.

Porcentagem dos estudantes que consumiram feijão em 5 dias ou mais

40%

O consumo de frutas frescas e hortaliças ajuda a prevenir doenças cardiovasculares, diabetes e excesso de gordura. Leite e feijão são outros alimentos saudáveis.

CONSUMO DE FEIJÃO EM 5 DIAS OU MAIS

56,9%

60%

66,3%

70,3%

Média nacional: 60,7% 47,8%

39,3%

20%

Norte

168

13,3%

11,6%

Como foi feita essa pesquisa?

Sugestão de site para pesquisa • Todas as informações sobre a Pesquisa Nacional de Saúde do Escolar (PeNSE) estão no site do IBGE. Disponível em: . Acesso em: 2 set. 2018.

20,5%

Nordeste

Centro-Oeste

Sudeste

Sul

Enquanto 47,8% dos estudantes da região Sul do país consumiram feijão em pelo menos 5 dias na semana, na região Norte, apenas 39,3% tiveram a mesma frequência.

Região

Fonte dos dados do infográfico: Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Pesquisa Nacional de Saúde do Escolar 2015. Rio de Janeiro: IBGE, 2016. Disponível em: . Acesso em: 6 maio 2018.

Competência geral 8: Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões.

168

• Comente com os alunos que, em um infográfico, a explicação é feita por meio de imagens (fotografia, desenho, gráficos, anagramas etc.). Esse recurso é muito utilizado no jornalismo para sintetizar uma notícia ou resumir as informações apresentadas num texto. • Ao interpretar os gráficos de barras, comente com os alunos que as barras podem ser tanto verticais como horizontais e que a posição delas não influencia em nada na informação a ser transmitida por meio desse tipo de gráfico. Comente com os alunos que o gráfico de setores também é muito utilizado para representar dados em porcentagens.

Merenda escolar 87,5% das escolas oferecem comida. No entanto, apenas 41,7% dos estudantes costumam comer a comida da escola. Do total de alunos que comem a merenda escolar, 43,4% são meninos e 40,1% são meninas. Veja no gráfico as diferenças regionais. Porcentagem de alunos que comem a merenda escolar por região

Alimentos que os estudantes consomem na escola 10,9%

17,6% 31,0%

13,0% 16,2%

20,0%

16,5%

16,5%

13,7%

13,1%

Meninos

Meninas

Região do Brasil

12,5% 9,9%

39,6% 31,6%

Norte

8,8%

11,6% 7,0%

27,2%

50,1% 41,0%

Nordeste

40,6%

13,9%

41,7% 31,4%

Sudeste

Salgados fritos

Refrigerante

Guloseimas

38,8% 44,4%

Sul

Alimentos não saudáveis

42,4% 39,6%

Centro-Oeste

Alimentos ricos em açúcares e sódio, como refrigerantes e guloseimas, e ricos em gorduras, como frituras e embutidos, são fatores de risco para doenças crônicas na idade adulta.

0

10

20

30

40

50

Porcentagem de alunos que comem a merenda escolar

Consumo de refrigerantes Média percentual de estudantes que responderam ter consumido refrigerante em 5 dias ou mais, nos últimos 7 dias, por região

26,4% Norte

23,6% Nordeste

32,7% 27,2%

Média nacional

Bahia

29,3%

Centro-Oeste

Sudeste

26,1%

Sul

NO

N

O

NE L SE

SO S

O Estado da Bahia apresentou uma taxa baixa comparada à de outros estados. Aproximadamente 1 em cada 5 estudantes disse ter bebido refrigerantes em 5 dias ou mais nos últimos 7 dias.

840 km

MARIO KANNO

BRASIL – DIVISÃO REGIONAL

Mapa elaborado a partir de: Graça Maria Lemos Ferreira. Moderno atlas geográfico. 6. ed. São Paulo: Moderna, 2016. p. 55. 169

169

ATIVIDADES Em cada item, calcule as porcentagens. a) 20% de 500 laranjas b) 75% de 800 tijolos

540 alunos

2

Um jovem estudante criou um aplicativo para celular que prevê os resultados de um cam­ peonato de futebol. O app analisa as probabilidades dos resultados. De acordo com a empresa responsável pela implantação do aplicativo, a precisão é de 75% dos resultados. Em campeonatos mais fáceis, essa previsão chega a 90%. O Campeonato Brasileiro de Futebol, em 2017, teve 380 jogos. Qual é a média de acerto do aplicativo, considerando que esse não é um campeonato fácil? 285 jogos

3

Especialistas dão dicas de como organizar o orçamento familiar, controlando gastos e guar­ dando dinheiro para emergências e para o futuro. A sugestão é que se anote, em uma planilha, todos os gastos mensais, desde o cafezinho na padaria até a parcela do imóvel próprio. Observe como Laura distribui mensalmente o orçamento de sua família. Orçamento da família de Laura Categoria

Porcentagem do total

Alimentação e despesas diárias

25%

Poupança

10%

Transporte

15%

Outros créditos

15%

Habitação

35% Dados fornecidos por Laura.

ORÇAMENTO DA FAMÍLA DE LAURA 10%

Habitação

15%

35%

Alimentação e despesas diárias Transportes

15%

Outros créditos 25%

Poupança

Dados fornecidos por Laura.

4

6

170

Uma empresa realizou uma promoção ofe­ recendo aos clientes uma quantidade adi­ cional de pó de café em suas embalagens. Essa quantidade foi definida com base em uma porcentagem da quantidade indicada em cada embalagem. Observe o rótulo das embalagens ao lado e responda: qual dos pacotes oferece maior quantidade adicional de pó de café?

GEORGE TUTUMI

a) Considerando que o orçamento da família de Laura é de R$ 3 570,00, qual é o valor destinado à habitação? R$ 1 249,50 b) Pesquise o valor do salário mínimo atual. Supondo que o orçamento da família de Laura seja de 2 salários mínimos, como é a divisão de valores em um mês?

5

O pacote de 400 g oferece 10 g a mais de pó de café adicional que o pacote de 250 g.

Em uma pesquisa, 1 900 pessoas disseram preferir o jornal A, o que corresponde a 38% dos entrevistados. Com o auxílio de uma calculadora, determine quantas pessoas foram entrevistadas? 5 000 entrevistados Aníbal venceu 36 partidas de tênis do total das partidas que disputou. Determine o número de partidas disputadas, sabendo que ele venceu 72% delas. 50 partidas

3. b) As respostas vão variar de acordo com o salário mínimo vigente no ano em que a atividade for realizada. Em 2018, o valor do salário mínimo foi reajustado para R$ 954,00.

PDF-163-180-MCP7-C07-G20.indd 170

170

c) 30% de 1 800 alunos

600 tijolos

100 laranjas

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

ADILSON SECCO

• Durante a resolução das atividades propostas, é de grande valia incentivar os alunos a fazer uma estimativa antes de realizar os cálculos. Isso poderá ajudálos a avaliar se os resultados encontrados são ou não plausíveis. • Nas atividades 1 e 3, é fundamental estimular os alunos a determinar algumas porcentagens mentalmente. Para isso, é importante perceberem que 50% de uma quantidade se refere à metade dessa quantidade, assim como 25% se refere 1 1 , e assim por a , 10% a 4 10 diante. • No item b da atividade 3, os alunos deverão fazer uma pesquisa sobre o valor do salário mínimo atual. Por esse motivo, a resposta dependerá do valor vigente. Pode-se ampliar a atividade perguntando qual foi o percentual de aumento no último período. • Chame a atenção dos alunos para a situação apresentada na atividade 4. Em um primeiro momento, alguns alunos podem achar que a maior quantidade de café está associada à maior porcentagem, mas tal fato não é verdadeiro. Portanto, nessas situações, deverão recorrer aos cálculos para tomarem decisões assertivas.

9/21/18 20:54

• Utilize a atividade 7 para que o aluno compreenda a importância da elaboração de um orçamento familiar com o objetivo de organizar e otimizar a utilização dos recursos financeiros.

Lembre-se: Não escreva no livro!

Uma família dispõe de R$ 4 800,00 para os gastos mensais. Complete o quadro abaixo, que apresenta parte dos gastos mensais dessa família. Tipo de despesa

Alimentação

31,8%

R$ 1 526,40

Energia

4,41%

R$ 211,68

0,58%

R$ 27,84

0,91%

R$ 43,68

Roupas

3,6%

R$ 172,80

Telefone celular

1,3%

R$ 62,40

0,6%

R$ 28,80

Mensalidade de internet Mensalidade de TV por assinatura

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Porcentagem da Valor (em renda mensal reais)

Telefone fixo 8

2

Um provão tinha 80 questões. Sabendo que Angélica acertou 56 questões, qual foi a taxa percentual de acertos dela? 70%

9

Um cientista da computação e empresá­ rio, o estadunidense Alan Estauce, bateu o recorde mundial de queda livre ao despencar de uma altura de 41 419 m. O recorde anterior era do austríaco Felix Baumgartner, que saltou de uma altura de 39 045 m. © 2014 PARAGON SPACE DEVELOPMENT CORPORATION/AFP

7

Alan Estauce em procedimento de pouso. Roswell, Novo México, 2014.

Com o auxílio de uma calculadora, res­ ponda às perguntas a seguir. a) Em quantos metros o novo recorde é superior ao anterior? 2 374 m b) Essa diferença representa, aproxima­ damente, quanto por cento do salto de Felix Baumgartner? aproximadamente 6,1%

• Ao introduzir o estudo do cálculo de acréscimos e descontos, comente com os alunos que esses tópicos serão retomados com aprofundamento nos anos seguintes, sendo parte do estudo de matemática financeira – que é uma ferramenta útil na análise de alternativas na compra e na venda de bens de consumo.

Cálculo de acréscimos e descontos

Agora, vamos aprender a calcular acréscimos e descontos com porcentagem.

Acréscimos Juliana fez uma assinatura mensal de canal de filmes, que custa R$ 12,00 por mês nos três primeiros meses. Após esse período, a assinatura terá um aumento de 15% no valor. Qual será o novo valor da assinatura após o aumento? O aumento na assinatura mensal do canal de filmes corresponde a: 15 8 12 5 0,15 8 12 5 1,80 100 Então, o preço da nova assinatura será: R$ 12,00 1 R$ 1,80 5 R$ 13,80 15% 8 12 5

Há, porém, uma forma de calcular diretamente o novo valor da assinatura já com o aumento. Considerando o valor da assinatura como 100% e o aumento de 15%, podemos afirmar que o valor da nova assinatura corresponde a 115% (100% 1 15%) do valor original da assinatura. Assim: 115 8 12 5 1,15 8 12 5 13,80 115% 8 12 5 100 Portanto, o novo valor da assinatura será R$ 13,80. 171

Sugestão de leitura para o aluno • O prazer das compras: o consumismo no mundo contemporâneo, de Maria Helena Pires Martins. São Paulo: Moderna, 2016. Consumir é uma necessidade. Para nos mantermos vivos, consumimos energia, água e nutrientes. O ser humano, entretanto, consome além das suas necessidades: por desejo, por impulso; o que leva ao consumismo – consumo exagerado de alimentos, roupas e acessórios da moda, aparelhos eletrônicos etc. –, causando um enorme acúmulo de lixo difícil de ser descartado. Além disso, para produzir tantos bens de consumo, a indústria faz uso de quantidades crescentes de matérias-primas, de energia e de água. Como resultado, os recursos naturais estão se esgotando no planeta. O que fazer, então, para nos tornarmos consumidores conscientes?

171

Descontos Um produto custa R$ 150,00. Na compra à vista, há desconto de 10%. Quanto custa esse produto à vista? O desconto nessa compra corresponde a: 10 8 150 5 15 100 Então, o preço do produto à vista será: R$ 150,00 2 R$ 15,00 5 R$ 135,00 10% 8 150 5

Nesse caso, para calcular diretamente o preço do produto já com o desconto, consideramos que o preço original é igual a 100%. Aplicando o desconto de 10%, podemos afirmar, então, que o preço à vista corresponde a 90% (100% 2 10%) do preço original do produto. Assim: 90 8 150 5 0,90 8 150 5 135 100 Portanto, o produto custa R$ 135,00 à vista.

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

Um aparelho de som custa R$  400,00, mas esse valor sofrerá um aumento de 30%. Qual será o novo preço do aparelho de som? R$ 520,00

2

Observe no gráfico a seguir a evolução do salário mínimo e, depois, responda às questões. EVOLUÇÃO DO SALÁRIO MÍNIMO

3

LUIZ RUBIO

1

1 000 900

788

800 Valor (em reais)

• As atividades 1, 2, 4 e 5 apresentam situações que envolvem cálculo de acréscimos com porcentagens. Já as atividades 3, 6 e 7 apresentam situações que envolvem cálculo de descontos com porcentagens. • Utilize a atividade 2 para que o aluno compreenda que o salário mínimo, via de regra, é reajustado anualmente. Solicite que eles pesquisem o valor do salário para os anos posteriores e anteriores aos citados no gráfico da atividade. • A situação proposta na atividade 3 costuma ocorrer em épocas de mudanças de estação em algumas lojas. • Há um incentivo para que o consumidor compre produtos, que muitas vezes, poderiam não ser vendidos de um ano para o outro. Pergunte aos alunos se já compraram produtos que não usaram e acabaram descartados. Aproveite para conversar sobre o consumo consciente, dizendo que todo consumo gera um impacto na economia, na vida do aluno e também na natureza. Por isso, é preciso ter consciência na hora de comprar e de descartar.

678

700 600 500

880

937 954

Resposta pessoal. O valor pago seria R$ 78,40.

4

O aluguel de uma casa é R$ 1 000,00. Nos próximos dois anos, esse aluguel terá dois aumentos: um de 10% e outro de 8%. Qual será o novo aluguel após esses dois aumentos? R$ 1 188,00

5

Uma mercadoria custa R$ 420,00 em uma rede de lojas. Se for paga à vista, haverá desconto de 5%. a) Qual é o valor do desconto? R$ 21,00 b) Quanto custa essa mercadoria, já in­ cluído o desconto? R$ 399,00

6

Em uma superliquidação, após receber um desconto de 25%, paguei R$ 120,00 por uma máquina de calcular. Qual era o preço dessa máquina sem o desconto?

724

622

400 300 200 100 0

2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 Ano

Dados obtidos em: . Acesso em: 3 ago. 2018.

Qual foi o aumento percentual do salário aproximadamente 6,5% mínimo: a) b) aproximadamente 41,5% a) de 2017 em relação a 2016? b) entre os anos de 2012 e 2016?

Ao entrar em uma loja de roupas femininas, Mariane viu uma placa informando que, ao comprar duas peças, o consumidor ganha 12% de desconto na peça de menor valor. Ela decidiu comprar uma blusa no valor de R$ 30,00 e uma bolsa no valor de R$ 55,00. a) Quanto Mariane gastou no total? R$ 81,40 b) Por que você acha que a loja deu des­ conto na peça de menor valor? O que aconteceria se o desconto fosse na peça de maior valor?

R$ 160,00

172

Sugestão de site para pesquisa • Todas as informações relativas ao balanço das negociações dos reajustes salariais, citadas na atividade 2, estão no site do Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos – DIEESE. Disponível em: . Acesso em: 2 set. 2018.

172

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

90% 8 150 5

Lembre-se: Não escreva no livro!

Leia a notícia a seguir.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

CLÁUDIO CHIYO

7

a) O preço da gasolina varia de acordo com a região. Suponha que o preço médio da gasolina seja de R$ 3,499 na região em que Sílvio mora. Aproximando esse valor para R$ 3,50, qual é o novo preço da gasolina? R$ 3,56 b) Reúna­se com um colega e pesquisem o preço dos combustíveis em cinco postos de gaso­ lina na região onde vocês moram. Em seguida, calculem, para a gasolina e para o diesel, o novo valor após o aumento. Resposta pessoal.

Lendo e aprendendo

Lendo e aprendendo • A seção mostra como a calculadora pode ser usada para cálculos de acréscimos ou descontos envolvendo porcentagem. É possível propor alguns problemas aos alunos e solicitar que os resolvam com o auxílio da calculadora para que possam se familiarizar com o equipamento e colocar em prática o que aprenderam, favorecendo, assim, o desenvolvimento da competência específica 5.

Cálculo de desconto ou acréscimo com porcentagem usando a calculadora Para calcular um desconto de 15% na quantia de R$ 1 200,00 utilizando uma calculadora, fazemos: Lembre aos alunos que algumas calculadoras não funcionam da maneira exemplificada. 1

2

0

0

2

1

5

%

5

Podemos usar outra operação. Como descontar 15% corresponde a obter 85% do valor total (100% 2 15% 5 85%), fazemos: 0

.

8

5

3

1

2

0

0

5

Portanto, com desconto de 15%, a quantia será R$ 1 020,00. Um produto custava R$ 90,00. Sabendo que esse valor teve um aumento de 20%, qual é o novo preço desse produto? 0

1

2

0

%

5

Como acrescentar 20% corresponde a obter 120% do valor total (100% 1 20% 5 120%), podemos fazer: 9

0

3

1

.

2

5

Portanto, o novo preço do produto é R$ 108,00.

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

9

173

Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e 9/21/18 20:54 cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

PDF-163-180-MCP7-C07-G20.indd 173 resolver problemas

173

• Ao trabalhar o conceito de juro simples, vale a pena permitir que, durante a resolução das atividades, os alunos troquem informações e analisem as soluções apresentadas pelos colegas, buscando aprimorar as próprias formas de raciocínio. • Comente com os alunos que na prática é mais comum, sobretudo em aplicações financeiras, o uso do sistema de juro composto, assunto que deve ser trabalhado mais adiante.

3

Juro simples

Ana e Luiz vão comprar um tablet. A loja dispõe de diferentes modelos e condições de pagamento. O modelo escolhido por eles custa R$ 2 300,00 à vista ou quatro parcelas iguais de R$ 626,75. Vamos avaliar as duas situações: 1a opção de pagamento: R$ 2 300,00 à vista 2a opção de pagamento: 4 parcelas de R$ 626,75 4 8 R$ 626,75 5 R$ 2 507,00 R$ 2 507,00 2 R$ 2 300,00 5 R$ 207,00 Essa diferença de preço corresponde ao juro, que é uma remuneração cobrada pelo parcelamento da dívida. Portanto, se Ana e Luiz optarem pelo pagamento parcelado, pagarão R$ 207,00 de juro. Podemos determinar a porcentagem de juro sobre o preço à vista, determinando a razão entre o juro cobrado e o preço à vista. 207 5 0,09 5 9% 2 300 O juro de R$ 207,00 corresponde a 9% do preço à vista. Podemos calcular a taxa de juro ao mês no sistema de juro simples; nesse caso, dividimos 9% por 4 (número de parcelas) e obtemos 2,25% de juro ao mês.

Capital e montante

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe a diferença de preço entre as duas opções de pagamento:

Luciana aplicou R$ 500,00 em uma instituição financeira a uma taxa de juro simples de 1% ao mês. Quanto Luciana terá nessa instituição após um ano? Em uma aplicação financeira, o valor aplicado é chamado capital. A remuneração a ser recebida por uma aplicação é chamada juro e a soma do capital com o juro é chamada montante. Na situação de Luciana, o capital é R$ 500,00. O juro mensal corresponde a 1% de R$ 500,00, ou seja, R$ 5,00 por mês, pois:

ILUSTRAÇÕES: CLÁUDIO CHIYO

1% 8 500 5

Veja sequência didática 1 do 3o bimestre no Material do Professor – Digital.

1 8 500 5 5 100

Em 12 meses (um ano), o juro dessa aplicação corresponde a R$ 60,00, já que: 12 8 5 5 60 Então, o montante corresponde a R$ 560,00, pois: 500 1 60 5 560 capital

o, o nvençã Por co l tem ia c r e m mês co no a o se s. 30 dia 360 dia l, ia c r co me

juro 

Portanto, Luciana terá R$ 560,00 nessa instituição financeira após um ano.

174

Sugestão de atividade extra • Após trabalhar com juro simples, selecione algumas matérias de jornal ou revista que contenham informações sobre juro e solicite que as interpretem. Esse pode ser o momento oportuno para avaliar as eventuais dificuldades encontradas e esclarecer as dúvidas.

PDF-163-180-MCP7-C07-G20.indd 174

174

9/26/18 09:26

ATIVIDADES Calcule o juro simples produzido por um capital de R$ 1 200,00, à taxa de 2% ao mês, durante 6 meses. R$ 144,00

2

Que taxa mensal de juro simples faz um capital de R$ 600,00 render R$ 75,00 em 5 meses? 2,5% ao mês

3

Nas vésperas da Copa do Mundo de 2018, com sede na Rússia, uma loja de televiso­ res fez a seguinte promoção: RUSLAN IVANTSOV/SHUTTERSTOCK

1

ENÁGIO COELHO Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Faça as atividades no caderno.

Considerando o sistema de juro simples, responda às perguntas a seguir. a) Caso o consumidor opte por comprar o televisor em 6 vezes fixas, qual será o valor da parcela mensal? R$ 721,00 b) Suponha que você tenha dinheiro para pagar a televisão à vista. O que é mais vantajoso: comprar a televisão à vista ou aplicar o dinheiro em um investimento que rende 1,5% ao mês, retirar após um mês e pagar o valor de R$ 4 326,00 parcelado em 6 vezes? Comprar a televisão à vista.

4

A que taxa de juro simples esteve empre­ gado o capital de R$ 4 000,00 para render, em 3 anos, R$ 1 152,00 de juro simples? 9,6% ao ano

5

Em quanto tempo um capital triplica de valor à taxa de juro simples 20% ao ano? 10 anos

Lendo e aprendendo

Lendo e aprendendo

• É fundamental que, desde os primeiros anos de escolaridade, os alunos sejam apresentados a elementos da Educação financeira, que, assim como a Probabilidade e a Estatística, podem contribuir significativamente para a formação deles como cidadãos.

Economia Diariamente, em jornais e noticiários de TV, há informações com nomes e siglas relacionados ao mundo da economia, como de instituições, índices ou taxas de juros. Conheça alguns deles a seguir. • Banco Central (BC ou Bacen) — institui­ ção responsável pela execução da política financeira do governo. Cuida da emissão de moedas e da fiscalização e controle dos ban­ cos no país. • Comitê de Política Monetária (Copom) — conselho ligado ao Banco Central cuja fun­ ção é estabelecer as diretrizes da política monetária e definir a taxa de juro básica da economia, que serve de referência para os bancos fixarem suas taxas de juro. • Índice Geral de Preços de Mercado (IGP-M) — o IGP­M/GV é calculado mensalmente pela Fundação Getulio Vargas (FGV). • Índice Nacional de Preços ao Consumidor (INPC) — o INPC é calculado mensalmen­ te pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) em algumas regiões

metropolitanas do país. Orienta os reajus­ tes dos salários dos trabalhadores. • Índice de Preços ao Consumidor (IPC) — o IPC é calculado mensalmente pela Fundação Instituto de Pesquisas Econô­ micas (Fipe) e mede a variação de preços para o consumidor na cidade de São Paulo, com base nos gastos de quem ganha de 1 a 20 salários mínimos. • Poupança — é a aplicação mais simples e tra­ dicional. Tem carência de 30 dias e é isenta de imposto de renda. • Ibovespa — é o mais importante indicador do desempenho do mercado de ações bra­ sileiro, pois retrata o comportamento das principais ações negociadas na Bolsa de Valores de São Paulo (Bovespa).

Material Digital Audiovisual • Áudio: À vista tem desconto?

175

Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual

Sugestão de site para pesquisa 9/21/18 20:55 • Mais informações sobre INPC e IPCA encontram-se no site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística – IBGE. Disponível em: . Acesso em: 2 set. 2018.

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175

Resolvendo em equipe • A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas de Matemática 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” deste ou de outros capítulos, por exemplo. • É importante para a resolução do problema apresentado que os alunos façam a leitura atentamente e interpretem as informações contidas no quadro.

Resolvendo em equipe (Enem) De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente:

• 25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes; • 33% são utilizados em descarga de banheiro; • 27% são para cozinhar e beber; • 15% são para demais atividades. No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia. O quadro a seguir mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades.

176

Consumo total de água na atividade (em litros) 24,0

Dar descarga

18,0

Lavar as mãos

3,2

Escovar os dentes

2,4

Beber e cozinhar

22,0

Interpretação e identificação dos dados

Tomar banho

Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo con­ sumo nas demais atividades, então, economi­ zará diariamente, em média, em litros de água, alternativa c

a) 30,0.

d) 130,4.

b) 69,6.

e) 170,0.

c) 100,4.

• Junte­se a três colegas. Analisem as informações do enunciado e anotem aquelas que vocês julgarem relevantes para a resolução do problema. Resposta pessoal. • Considerando que a média do consumo no Brasil é de 200 c por dia, calculem quantos litros de água são gastos, por dia, para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes. 50 c • Segundo o quadro de sugestões de consumo moderado, quantos litros de água seriam necessários, por dia, para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes? • Considerando a quantidade de água consumida para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes, quanto poderia ser economizado se a população adotasse as sugestões de consumo moderado? 20,4 c • Calculem os valores apresentados pela ONU com base no gasto médio de água pelo brasileiro e comparem­nos com os valores sugeridos para um consumo moderado. dar descarga: 33% de 200 c são 66 c; sugestão de redução de consumo: 18 c; economia de 66 2 18 5 48, ou seja: 48 c; beber e cozinhar: 27% de 200 c são 54 c; sugestão de redução de consumo: 22 c; economia de 54 2 22 5 32, ou seja: 32 c

• Elaborem um plano para a execução do processo de resolução.

• Resolvam o problema e façam o registro individual no caderno.

Verificação

Os alunos devem fazer: 20,4 litros 1 48 litros 1 32 litros 5 100,4 litros

• Comparem as respostas obtidas.

Apresentação

Resolução

Plano de resolução

24 c 1 3,2 c 1 2,4 c 5 29,6 c

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Atividade

Sugestão de site para pesquisa • Se possível, apresente aos alunos a estimativa de água consumida no mundo, atualizada em tempo real e comente sobre a importância de se economizar no consumo desse bem. Disponível em: . Acesso em: 2 set. 2018. Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Faça a atividade no caderno.

• Pesquisem informações sobre a crise hídrica e elaborem um cartaz alertan­ do a comunidade escolar sobre a economia e a utilização consciente da água. Para isso, poderão consultar folhetos de campanhas de conscientização nos meios de comunicação.

176

Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

PDF-163-180-MCP7-C07-G20.indd tomando decisões com 176 base

9/26/18 09:27

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Faça as atividades no caderno.

Revisitando Sim. A porcentagem x% é

1

Porcentagem pode ser expressa por uma fração? Explique.

2

Copie no caderno o texto de cada item a seguir, substituindo cada indicadas, de modo a torná­las verdadeiras. multiplicar

dividir

0,85

representada pela fração

1,15

x . 100

por uma das informações 1,6

1,06

a) Uma loja está oferecendo 15% de desconto sobre o preço de todos os produtos. Para encontrar o novo preço, devo o preço antigo por . multiplicar; 0,85 b) Na semana passada, o preço dos combustíveis foi reajustado em 6%. Para encontrar o novo preço, devo o preço antigo por . multiplicar; 1,06 Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

O dono de uma loja de eletrodomésticos decidiu liquidar seu estoque, abaixando os preços das mercadorias em 10%. Porém, como as vendas não atingiram os objetivos esperados, ele resolveu reajustar os preços dos produtos, aumentando­os em 10% do valor da liquidação. Os preços reajustados coincidem com os preços praticados pelo lojista antes da liquidação? Explique sua resposta. Não. Durante a liquidação, o preço dos produtos correspondia a 90% do preço original. Após o reajuste, o preço das mercadorias passou a ser 99% do preço original.

Aplicando 1

Escreva as razões na forma de porcentagem. 5 9 11 55% 125% 90% b) c) a) 20 4 10

6

Um caderno custava R$ 15,00 e passou a custar R$ 24,00. Qual foi a taxa percentual de aumento? 60%

2

Indique a porcentagem que representa cada quantidade em relação ao total indicado. a) 35 de 50 70% b) 18 de 180 10% c) 400 de 500 80% d) 12 de 240 5% e) 85 de 1 000 8,5%

7

Após um aumento de 20%, um livro passou a custar R$ 18,00. Qual era o preço desse livro antes do aumento? R$ 15,00

8

Economizei R$ 40,00 ao obter um desconto de 8% na compra de um terno. Qual era o preço do terno? R$ 500,00

9

No mês de janeiro, Mário atingiu a marca de 2,05 m no salto em altura. Nos meses seguintes, sua melhor marca foi 10% infe­ rior à obtida em janeiro. Qual é a marca mais recente que Mário obteve? 1,845 m

3

4

5

Utilizando uma calculadora, determine: a) 15% de 3 250; 487,5 b) 14,5% de 20 135; 2 919,575 c) 85% de 150 220; 127 687 d) 90,75% de 850 000. 771 375 Em cada item, determine o número, saben­ do que: a) 8% do número é igual a 32; 400 b) 4,5% do número é igual a 18. 400 Determine 0,7% de R$ 4 000,00.

R$ 28,00

10

Ana tem R$ 60,00. Sabendo que 40% dessa quantia corresponde a 30% do que tem sua irmã, quantos reais tem a irmã de Ana?

11

Gustavo comprou uma passagem aérea por R$ 350,00. No dia seguinte, na mesma companhia aérea, o preço da passagem teve um aumento de 22%. Que valor passou a custar a passagem aérea? R$ 427,00

Aplicando

Revisitando • Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. • Na atividade 1, espera-se que os alunos percebam que a ideia da porcentagem é representar partes de um total de 100 partes. Ou seja, o denominador da fração é sempre igual a 100. Por

R$ 80,00

177

PDF-163-180-MCP7-C07-G20.indd 177

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento. • Algumas das atividades propostas incentivam o desenvolvimento da educação financeira.

exemplo, 15% pode ser re15 . presentada por 100 • Para a atividade 3, apresente aos alunos o seguinte exemplo: supondo que o preço de um produto era de R$ 100,00 antes da liquidação. Na liquidação, esse produto passou a custar R$ 90,00 (100 3 0,9 5 90). Com o reajuste de 10%, seu novo preço passou a ser R$ 99,00 (90 3 1,1 5 99).

9/21/18 20:55

• Para a realização das atividades deste tópico, espera-se que os alunos tenham desenvolvido os raciocínios para o cálculo de acréscimos e descontos com porcentagem e juro simples, necessários para resolvê-las. Caso ainda ocorram dúvidas, retome as situações apresentadas durante o capítulo.

177

• Na atividade 14, os alunos devem considerar que os pacientes que não foram curados com o tratamento tradicional correspondem a 60% (100% 2 40%). Desse modo, temos:

12

Após um mês de treinamento, Júlio aumen­ tou em 15% a massa dos halteres. 126,5 kg

12

Sabendo que a massa no início do treina­ mento era 110 kg, determine a nova massa.

13

Os açudes Castanhão e Orós, ambos no leito do rio Jaguaribe, no Ceará, têm, respectivamente, capacidade de 6,7 bilhões e 2,1 bilhões de metros cúbicos de água.

pelo

14

(Enem) Um grupo de pacientes com hepa­ tite C foi submetido a um tratamento tradi­ cional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e sub­ metidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de: alternativa b a) 16% c) 32% e) 64% b) 24% d) 48%

15

Uma corrida de 10 600 m será realizada em duas etapas. Na primeira etapa, serão percorridos 3 710 m. Qual é o percentual da corrida correspondente à segunda etapa? 65%

16

Uma pessoa tomou emprestado de um banco a quantia de R$ 3 000,00, à taxa de 2,8% ao mês. Após um ano, quanto essa pessoa terá de devolver ao banco, supondo que este tra­ balhe no regime de juro simples? R$ 4 008,00

17

Quanto renderá uma aplicação de R$ 2 500,00, durante 1 ano e 4 meses, à taxa de 3,6% ao mês, em regime de juro simples? Qual será o montante (capital inicial 1 juro) ao final do período de aplicação? R$ 1 440,00; R$ 3 940,00

18

A quantia de R$ 500,00, aplicada durante 3 meses, rendeu juro simples de R$ 10,50. Qual foi a taxa mensal da aplicação? 0,7%

19

Um capital de R$ 80 000,00 é aplicado à taxa de 1% ao mês. Quanto esse valor ren­ derá de juro simples após 3 meses? R$ 2 400,00

1 8 60% 8 35% 5 2 1 5 8 0,6 8 0,35 5 2 5 0,105 5 10,5% ƒ Pacientes curados pelo segundo tratamento:

VIKTOR BRAGA

1 8 60% 8 45% 5 2 1 5 8 0,6 8 0,45 5 2 5 0,135 5 13,5% Em relação ao total de pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de: 10,5% 1 13,5% 5 24% (alternativa b). • As atividades 16, 17, 18 e 19 tratam especificamente do tema juro simples. Leve os alunos a estabelecer um padrão de comparação para a evolução do capital inicial como função da taxa de juro e do tempo em situações distintas.

LC MOREIRA/FUTURA PRESS

Açude de Castanhão, Ceará, 2017.

ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI

Açude de Orós, Ceará, 2012.

a) A capacidade do açude Orós corresponde a quanto por cento da capacidade do açude do Castanhão? 31,34% b) Podemos afirmar que a capacidade do 1 açude Orós é inferior a da capacidade 3 do açude Castanhão? Sim, pois é inferior a 33,33%.

178

Sugestão de trabalho interdisciplinar • Aproveite a situação apresentada na atividade 13 e proponha um trabalho interdisciplinar com Geografia, solicitando uma pesquisa sobre a importância desses açudes para a região em que estão localizados.

178

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

ƒ Pacientes curados primeiro tratamento:

Lembre-se: Não escreva no livro!

Lembre-se: Não escreva no livro!

21

Que capital, aplicado à taxa de 0,8% ao mês, durante 7 meses, produz juro simples de R$ 560,00? R$ 10 000,00

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

22

23

24

O gráfico a seguir apresenta o crescimento de meninas cuja análise se dá pelo ponto de intersecção entre o comprimento, em centímetro, e a idade, em mês completo e ano, da criança. 120

(Enem) Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de:alternativa c a) R$ 4 222,22 d) R$ 13 300,00 e) R$ 17 100,00 b) R$ 4 523,80 c) R$ 5 000,00 (Enem) Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado: alternativa c a) insuficiente. d) ótimo. b) regular. e) excelente. c) bom. (Enem) A fim de acompanhar o crescimento da estatura de crianças, foram criadas, pela Organização Mundial da Saúde (OMS), tabelas de altura, também adotadas pelo Ministério da Saúde do Brasil. Além de informar os dados referentes ao índice de crescimento, a tabela traz gráficos com curvas, apresentando padrões de cresci­ mento estipulados pela OMS.

115

p97 p85

110

p50

105

p15

100

p3

ADILSON SECCO

Uma pessoa comprou uma bicicleta de R$ 400,00, que será paga daqui a 4 meses em uma única  parcela, à taxa de juro  simples mensal de 5%. Qual será o valor pago pela bicicleta? R$ 480,00

Comprimento/estatura (cm)

20

95 90 85

80 Meses 2 4 6 8 10 2 4 6 8 10 3 anos 4 anos 5 anos Idade (mês completo e ano)

Disponível em: . Acesso em: 22 out. 2015 (adaptado).

Uma menina aos 3 anos de idade tinha altura de 85 centímetros, e aos 4 anos e 4 meses sua altura chegou a um valor que corresponde a um ponto exatamente sobre a curva p50. Qual foi o aumento percentual da altura dessa menina, descrito com uma casa decimal, no período considerado? alternativa a a) 23,5% c) 19,0% e) 10,0% b) 21,2% d) 11,8%

• No Desafio, os alunos necessitam utilizar da simbologia algébrica para encontrar o valor do salário antes dos aumentos. Uma sugestão de resolução é: se x representa o salário antes do 1o aumento, então, com 15% de aumento, teremos x 1 0,15x, obtendo um valor y de salário. Para o 2o aumento (18%), teremos y 1 0,18y, que resultará no valor 1 628,40 de salário. Assim: x 1 0,15x 5 y (I) y 1 0,18y 5 1 628,40 (II) Resolvendo (II), obteremos: y 5 1 380,00. Para determinar o valor x, que é exatamente a resposta do problema, basta substituir o valor de y em (I); logo, o valor do salário de Bete antes dos aumentos é de R$ 1 200,00. • Esse é um bom momento para retomar com os alunos a primeira pergunta da abertura desta unidade: “Qual é o preço final de um produto que sofre um desconto de 20% seguido de um acréscimo de 25%?”

DESAFIO

Após receber dois aumentos sucessivos de 15% e 18%, Bete passou a receber um salário de R $ 1 628,40. Qual era o salário de Bete antes dos aumentos? R$ 1 200,00 25

(Enem) Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodiesel ao óleo diesel comercializado nos postos. A  exigência é que, a partir de 1o de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodiesel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodiesel, bem como possibilita a redução da importação de diesel de petróleo. Disponível em: . Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado). 179

179

• A atividade 26 apresenta um gráfico de segmentos com informações sobre população economicamente ativa divulgadas pelo IBGE. Informe aos alunos que a população ativa compreende o potencial de mão de obra com que pode contar o setor produtivo, isto é, a população ocupada e a população desocupada, assim definidas:

Lembre-se: Não escreva no livro!

(Enem) O gráfico a seguir mostra a evo­ lução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis regiões metropolitanas pesquisadas.

DESAFIO

POPULAÇÃO ECONOMICAMENTE ATIVA (em mil pessoas) 23500 23300 23020 23100 22900 22811 22959 22741 22700 22500 22300 05 06 07 08 09 10 11 12 02 03 04 05 04/08 01/09

• No Desafio, os alunos terão que analisar cada proposta de renegociação da dívida realizando cálculos de acréscimos, de descontos e de juros, para, enfim, optar pela melhor forma de economia descrita nas alternativas. Esse tipo de atividade contribui para o trabalho com educação financeira.

Fonte: IBGE. Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento, Pesquisa Mensal de Emprego. Disponível em: . Acesso em: 3 ago. 2018.

Elaborando

Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a: alternativa d a) 23 940 d) 23 940 800 b) 32 228 e) 32 228 000 c) 920 800

• A seção incentiva a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10.

ARCO IMAGES GMBH/ ALAMY/FOTOARENA

Em uma reserva ecológica há 100 diamantes­ ­de­gould: • 70% têm a cabeça vermelha (tipo V); • 30% têm a cabeça laranja (tipo L); • 40% dos pássaros tipo V têm a parte frontal superior lilás; • 30% dos pássaros tipo L têm a parte frontal superior lilás. Quantos desses diamantes­ ­de­gould têm a parte frontal superior lilás? 37 Diamante­de­gould é um pássaro muito colorido, originário da Austrália.

(Enem) João deve 12 parcelas de R$  150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofe­ receu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida ime­ diatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia rene­ gociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu­lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria: alternativa e

a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro refe­ rente à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro re­ ferente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro re­ ferente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

26

27

LUIZ RUBIO

ƒ população ocupada – formada pelas pessoas que, em um determinado período de referência, trabalharam ou tinham trabalho, mas não trabalharam (por exemplo, pessoas em férias); ƒ população desocupada – formada pelas pessoas que não tinham trabalho, em um determinado período de referência, mas estavam dispostas a trabalhar, e que para isso tomaram alguma providência efetiva (consultando pessoas, jornais etc.).

Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodiesel ao diesel, serão consumi­ dos 925 milhões de litros de biodiesel no segundo semestre de 2009. Considerando­se essa estimativa, para o mesmo volume da  mistura final diesel/biodiesel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodiesel com a adição de 3%? alternativa d a) 27,75 milhões de litros. b) 37,00 milhões de litros. c) 231,25 milhões de litros. d) 693,75 milhões de litros. e) 888,00 milhões de litros.

Elaborando Reúna­se com um colega e suponha que você seja um vendedor e vai oferecer um produto para esse colega. Ele, como cliente, vai pedir um desconto, em reais, e você deverá dizer qual é a porcentagem do desconto. Em seguida, ele deve calcular qual será o preço final do produto após o desconto. Por fim, verifique se ele fez os cálculos corretamente. Resposta pessoal. Veja plano de desenvolvimento e projeto integrador no Material do Professor – Digital.

180

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

PDF-163-180-MCP7-C07-G20.indd 180 reflexão, a análise crítica,

180

9/21/18 20:55

Objetivos

• Compreender a noção de proporção e identificar os elementos que compõem uma proporção. • Compreender a propriedade fundamental das proporções e saber mobilizá-la para a resolução de problema. • Identificar e compreender quando duas grandezas variáveis e dependentes são diretamente ou inversamente proporcionais e mobilizar os conhecimentos adquiridos para resolver problemas. • Resolver problemas utilizando a regra de três simples.

CAPÍTULO

Proporcionalidade

IVAN CARDOSO/FOTOARENA

8

É hora de observar e refletir

MAQUETE DE BELÉM - FÓRUM LANDI -UFPA

Supondo que a fachada da igreja tenha cerca de 25 m de largura e que na maquete essa fachada tenha 0,1 m ou 10 cm, responda às questões.

É hora de observar e refletir • Investigue se os alunos são capazes de indicar exemplos de situações que envolvam proporcionalidade, como as apresentadas na abertura deste capítulo.

Em quantas vezes, aproximadamente, a fachada foi reduzida para a construção da maquete? 250 vezes Que fração irredutível representa o comprimento da fachada da igreja representada na maquete em rela­ ção ao comprimento da fachada da igreja original? 1 250

• Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das seguintes habilidades da BNCC: EF07MA09, EF07MA13 e EF07MA17. • O conceito de proporcionalidade é um dos conceitos mais importantes dentro do contexto escolar, uma vez que permeia, dentro dos Ensinos Fundamental e Médio, vários conteúdos presentes no ensino da Matemática, bem como fundamenta os estudos de outras disciplinas, como Química, Física, Geografia, Biologia, entre outras. O desenvolvimento do raciocínio proporcional é uma habilidade que deve ser desenvolvida nos alunos para que aprendam a interpretar os fenômenos que são regidos de acordo com as leis da proporcionalidade.

Igreja Nossa Senhora do Carmo, Belém (PA), 2018.

A ideia de proporcionalidade é utilizada em muitas situações. Uma delas é na ampliação ou na redução de objetos. A Igreja do Carmo, localizada em Belém do Pará, é considerada patrimônio histórico, e uma das atividades de comemoração dos 400 anos da cidade foi a construção de uma maquete por alunos de um curso de Arquitetura.

Habilidades da BNCC

Maquete da Igreja Nossa Senhora do Carmo.

181

EF07MA09: Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2 para expressar a razão de duas 9/24/18 16:02 3 partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza. EF07MA13: Compreender a ideia de variável, representada por letra ou símbolo, para expressar relação entre duas grandezas, diferenciando-a da ideia de incógnita. EF07MA17: Resolver e elaborar problemas que envolvam variação de proporcionalidade direta e de proporcionalidade inversa entre duas grandezas, utilizando sentença algébrica para expressar a relação entre elas.

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181

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2 e 9. • A situação apresentada tem por objetivo afastar o aluno de uma abordagem formal, auxiliando-o na formação de um real entendimento sobre a ideia de proporcionalidade. Ao se deparar com um tema de forma contextualizada, os alunos são estimulados a desenvolver a capacidade de interpretar e a resolver problemas sem utilizar a regra de três ou a formalização algébrica, de forma mecânica.

Trocando ideias Com seus colegas, analise a situação a seguir.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

GEORGE TUTUMI

Roberto e Pedro passeiam cada um com seu cachorro. Roberto tem massa de 120 kg, e seu cachorro, de 40 kg. Pedro, por sua vez, tem massa de 48 kg, e seu cachorro, de 16 kg.

Espera-se que os alunos percebam que a relação entre as massas é direta, ou seja, o rapaz com a maior massa tem um cão de maior massa, e o rapaz com a menor massa tem um cão de menor massa; e/ou que as massas dos rapazes equivalem ao triplo da massa dos seus respectivos cachorros.

Que relação podemos observar entre a massa dos rapazes e de seus respectivos cães? 5

Que fração irredutível representa a relação entre as massas de Roberto e de Pedro? 2 Que fração irredutível representa a relação entre as massas do cão de Roberto e do cão de Pedro? 5 2

As frações que utilizamos para comparar as massas dos rapazes e dos cães, na Matemática, recebem o nome de razão. As razões entre as massas dos rapazes e as dos cães são iguais. Veremos que essa igualdade é denominada proporção e nos ajuda a resolver diversos problemas. Neste capítulo, vamos estudar grandezas diretamente proporcionais e grandezas inversamente proporcionais, além de resolver problemas que envolvem esses tipos de grandeza.

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Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

a reflexão, a análise crítica, PDF-181-204-MCP7-C08-G20.indd 182

182

9/26/18 09:47

Razão

A equipe de Basquete Vera Cruz Campinas foi campeã da Liga de Basquete Feminino (LBF) em junho de 2018. O time encerrou o campeonato participando de 25 jogos. No total, fez 1 809 pontos, dos quais 528 correspondem a cestas de 3 pontos, 1 004, a cestas de 2 pontos, e 277, a lances livres.

MAYCON SOLDAN/FOTOARENA

1

• Este tópico visa o desenvolvimento da habilidade EF07MA09. Comente com os alunos que o conceito de razão está relacionado ao quociente entre duas grandezas e que, na Matemática, chamamos de grandezas tudo o que pode ser mensurado; logo, uma razão pode expressar a comparação tanto entre duas partes de mesma grandeza quanto entre duas partes de grandezas diferentes. • Verifique se os alunos percebem que, para determinar uma razão, devemos observar a ordem em que os dados são apresentados. Por

Desse time, 4 jogadoras fizeram 200 ou mais pontos nos 25 jogos. Podemos comparar a participação dessas jogadoras na pontuação do time observando a razão entre a quantidade de pontos de cada uma e o total de pontos que o time fez no campeonato. Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

411 Ariadna: 411 pontos em 1 809 pontos 1 809 268 Patty: 268 pontos em 1 809 pontos 1 809 267 267 pontos em 1 809 pontos Meli Gretter: 1 809 200 200 pontos em 1 809 pontos Babi: 1 809

exemplo: a razão entre 2 e 3 2 é , enquanto a razão entre 3 3 3e2é . 2 • Um aspecto que pode ser explorado refere-se às diferentes formas de representar uma razão. Sendo a razão uma divisão entre duas grandezas, ela pode ser representada de várias formas: número inteiro, fracionário ou decimal. A porcentagem é também uma forma de representar uma razão, que, por comparar um número a 100, auxilia na análise de resultados que podem ser de difícil compreensão se estiverem representados na forma fracionária ou decimal.

Vera Cruz Campinas # Sampaio Basquete (MA), final da Liga de Basquete Feminino, Campinas (SP), 2018.

A razão entre dois números, a e b, com b % 0, nessa ordem, é dada por

a . b

A palavra “razão” tem origem no latim ratio, que significa “divisão”. Podemos expressar a razão na forma de fração, de porcentagem ou de número decimal. Veja outros exemplos: Observe a orientação de uso no rótulo desta garrafa de suco concentrado.

De acordo com a orientação do rótulo, podemos dizer que para cada litro de suco concentrado devem ser colocados 5 c de água na mistura. • A razão entre a quantidade de suco concentrado e GEORGE TUTUMI

a quantidade de água é:

20 1 5 0,20 5 5 20% 5 100

• A razão entre a quantidade de água e a quantidade de suco concentrado é:

5 500 5 5 500% 1 100 183

Sugestão de atividade extra • Proponha que, a partir do número total de alunos da turma, determinem a razão, em porcentagem, entre o número de alunas e o número de alunos da turma, bem como entre o número de alunas (e também de alunos) e o total de alunos da turma. Pode-se solicitar a construção de uma tabela e de um gráfico correspondente. A atividade pode ser ampliada com a coleta de dados referentes a outras turmas de 7o ano da escola.

EF07MA09: Utilizar, na resolução de problemas, a associação entre razão e fração, como a fração 2 para expressar a razão de duas 10/14/18 08:15 3 partes de uma grandeza para três partes da mesma ou três partes de outra grandeza.

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183

• Em virtude de sua ampla utilização nas diversas áreas do conhecimento, algumas razões recebem nomes especiais, como a escala, definida pelo quociente entre o comprimento de uma representação qualquer e o comprimento real correspondente. Outras razões especiais muito comuns no dia a dia são a velocidade média, a densidade demográfica, entre outras. • Comente com os alunos que a razão não possui unidade de medida.

Observe a fala de Jenifer. A razão entre o número de candidatos aprovados e o número de inscritos no concurso de que ela participou é: 9 300

9 300

Uau, o concurso tinha 1 200 inscritos e foram aprovados 300 candidatos!

A razão indica que, em cada grupo de 4 candidatos inscritos, 1 foi aprovado.

JOSÉ LUÍS JUHAS

300 25 1 5 25% 5 5 0,25 5 4 1200 100

E eu fui aprovada!

A razão entre o número de mulheres e o número de convidados é: 9 25

75 75 3 5 75% 5 5 0,75 5 4 100 100 9 25

A razão indica que, em cada grupo de 4 convidados, 3 eram mulheres. Essa razão também pode ser expressa em porcentagem. Se havia 75 mulheres entre 100 convidados, 75% dos convidados eram mulheres.

ATIVIDADES 1

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

De 100 pessoas convidadas para determi­ nada cerimônia, 75 eram mulheres.

Faça as atividades no caderno.

Escreva, no caderno, uma razão para representar cada uma das frases. a) Um corretor de imóveis recebe R$ 5,00 de comissão para cada R$ 100,00 em imóveis vendidos. 5 ou 1 ou 5% 20 100 b) Um time de futebol feminino venceu 15 dos 22 jogos que disputou. 15 22 c) Melissa acertou 17 das 20 questões de uma prova de Matemática. 17 20 d) No Brasil, o combustível usado nos carros movidos a gasolina tem sido, na verdade, um composto em que para 4  litros do combustível há 1 litro de álcool anidro. 1 4

2

Carlos e Antônio brincaram de cobrar pênaltis. Carlos cobrou 8 pênaltis e fez 5 gols. Antônio cobrou 10 pênaltis e fez 7 gols. a) Escreva, na forma de fração irredutível, a razão entre o número de pênaltis cobrados por Carlos e o número de pênaltis cobrados por Antônio. 4 5 b) Escreva, na forma de porcentagem, a razão entre o número de gols feitos e o número de pênaltis cobrados por Antônio. 70% c) Escreva, na forma decimal, a razão entre o número de gols feitos e o número de pênaltis cobrados por Carlos. 0,625

184

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• Na atividade 4, alerte os alunos para o fato de que a razão entre duas grandezas de mesma natureza deve ser realizada com a mesma unidade de medida.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

Em uma classe de 30 alunos, 24 foram aprovados nas provas finais.

Determine a razão entre o número de alunos: a) aprovados e o total de alunos; 45 b) reprovados e o total de alunos; 1 5 c) aprovados e o número de alunos repro­ vados. 4

5

Em uma prova com 80 testes, a razão entre o número de testes que Daniele acertou e o número total de testes foi de 2 para 5. a) Represente essa razão na forma de fração irredutível, de número decimal e de 2 porcentagem. 5 ; 0,4; 40% b) Calcule o número de testes que Daniele acertou. 32 testes

6

Ivan e Sílvio caminham no parque todos os dias. Ontem Ivan caminhou 2 000 metros, e Sílvio, 3 500 metros. Determine a razão entre as distâncias percorridas por Ivan e Sílvio. 4

1

4

Escreva na forma irredutível a razão entre cada par de medidas, na ordem 2 apresentada. 3 1 a) 5 cm e 10 cm 2 c) 7 kg e 10,5 kg b) 200 g e 40 g 5 d) 14 c e 35 c 2

7

7

5

2

Um terreno tem 750 m 2 de área total e 500 m 2 de área construída. Qual é a razão entre a área construída e a área livre? 2

ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS

Lembre-se: Não escreva no livro!

• Pergunte aos alunos: “Como vocês interpretam 1 obtida nesta a razão 4 situação?” Espera-se que

Proporção

Em carros com motor bicombustível, é possível utilizar como combustível uma mistura de etanol e gasolina.

eles respondam que tanto no tanque de 50 c como no de 60 c, para cada 1 litro de etanol colocado, foram colocados 4 litros de gasolina. • Ao definir proporção como uma igualdade entre duas razões, lembre-se de que não basta igualar duas razões quaisquer para obter uma proporção. A construção da noção de proporcionalidade envolve também a capacidade de reconhecer situações em que ela não está presente.

Vamos supor que, no tanque de 50 c de um carro, foram colocados 10 c de etanol e 40 c de gasolina. Já o tanque de 60 c de outro carro foi preenchido com 12 c de etanol e 48 c de gasolina. Observe as razões entre a quantidade de etanol e a de gasolina nos dois tanques: • tanque de 50 c

10 1 5 4 40

• tanque de 60 c

12 1 5 4 48

Verificamos que as duas razões são iguais; nesse caso, dizemos que as duas razões formam 10 12 uma proporção. Essa proporção é assim indicada: 5 40 48 Proporção é uma igualdade entre duas razões. A proporção

10 12 também pode ser indicada assim: 10 9 40 5 12 9 48 5 48 40 185

Sugestão de atividade extra 9/24/18 16:03 • Como ferramenta auxiliar de trabalho no estudo das proporcionalidades, há na internet a atividade intitulada “Gasolina adulterada” em que um usuário descobre que o combustível do posto tem mais etanol na gasolina do que o permitido por lei. No desenvolvimento da atividade, são abordados os conceitos de razão, proporção e porcentagem. Disponível em: . Acesso em: 5 out. 2018.

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185

A palavra “proporção”, do latim proportionis, significa “uma relação entre as partes de uma grandeza”. Dados quatro números não nulos, a, b, c e d, nessa ordem, dizemos que eles formam uma a c proporção quando 5 (lemos: “a está para b, assim como c está para d ” ). b d Os termos de uma proporção são assim denominados:

meio

Por exemplo, na proporção

a c 5 b d

extremos

meio

ou extremo

a 9 b5c 9 d meios

3 27 , os extremos são 3 e 36, e os meios, 4 e 27. 5 4 36

Lendo e aprendendo Homem vitruviano O desenho Homem vitruviano, de Leonardo da Vinci (1452-1519), que traz as proporções do corpo humano, baseou-se nos estudos do arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio (70  a.C.-25  a.C.). Esse desenho representa uma figura humana de proporções perfeitas, inserida em um círculo e em um quadrado, formas geométricas consideradas perfeitas. O umbigo demarca o centro do círculo. Observe algumas dessas proporções:

as medidas dos braços abertos e da 1 altura do corpo estão na razão , 1 isto é, as medidas são iguais; as medidas da distância entre o cotovelo e a ponta da mão e da altura 1 do corpo estão na razão . 4

1 ; 10 GALLERIA DELL’ ACCADEMIA, VENICE, ITÁLIA.

as medidas da face (do queixo ao topo da testa) e da altura do corpo estão na razão

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

extremo

Dados obtidos em: . Acesso em: 4 set. 2018.

Homem vitruviano (1490), de Leonardo da Vinci. Lápis e tinta sobre papel, 34 cm 3 24 cm.

186

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186

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Um pouco de história

Um pouco de história XAVI

Surgimento dos conceitos de proporção A ideia de proporção é atribuída a Pitágoras (c. 580 a.C.­500 a.C.), embora haja dúvida sobre isso. Na Antiguidade, o estudo das proporções presumi­ velmente fazia parte da Aritmética ou da teoria pitagórica dos números. Eudoxo de Cnido, discípulo de Platão, matemático e filósofo grego que viveu entre 408 a.C. e 355 a.C., deu nova definição para os teoremas relacionados a proporções. Essa definição foi exposta no Livro V de Os elementos, de Euclides (330 a.C.­?), e é a que conhecemos e usamos hoje em dia. Caricatura de Eudoxo de Cnido.

Dados obtidos em: Carl Benjamin Boyer. História da Matemática. São Paulo: Edgard Blücher/Edusp, 1974. p. 34, 61, 66.

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

8 2 Por que podemos afirmar que e 7 28 formam uma proporção?

4

Observe as figuras abaixo e responda às questões. 3 cm

Porque existe uma igualdade entre as razões.

1 cm

2

3

Escreva, no caderno, como se leem as proporções, identificando os meios e os extremos de cada uma delas. 3 9 7 14 b) 5 a) 5 5 15 8 16 Observe as razões: 1,5 3,5

3 5

2 3

20,1 33,5

3 7

2,5 3,75

Indique os pares de razões que formam proporções. 1,5 5 3 ; 20,1 5 3 ; 2,5 5 2 3,5

7 33,5

5 3,75

3

6 cm 2 cm

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2. a) três está para cinco assim como nove está para quinze; meios: 5 e 9; extremos: 3 e 15. b) sete está para oito assim como catorze está para dezesseis; meios: 8 e 14; extremos: 7 e 16.

a) Qual é a razão entre as medidas da lar­ gura dos dois retângulos? 1 ou 2 2 1 b) Qual é a razão entre as medidas do comprimento dos dois retângulos? 63 ou 63 c) Podemos afirmar que as medidas cor­ respondentes das figuras são proporcio­ nais? Justifique sua resposta. sim, pois:

Propriedade fundamental das proporções

6 3 2 1 5 ou 5 3 2 6 1

• A situação explorada nesse tópico trabalha com a ideia de escala (1 cm na miniatura corresponde a 65 cm na embarcação real, ou seja, escala de 1 : 65), que será abordada no 9o ano. Nesse momento, o conceito será trabalhado indiretamente.

A nau Santa Maria era uma das embarcações da esquadra comandada por Cristóvão Colombo (1451—1506) na viagem em que os europeus chegaram ao continente americano, em 1492. Em um museu, há uma miniatura dessa nau com 56 cm de comprimento. Sabendo que 1 cm na miniatura correspondem a 65 cm na embarcação real, qual era a medida do comprimento real da embarcação? Para responder a essa questão, vamos indicar por x a medida do comprimento real; portanto, x é diferente de 0. Assim, podemos escrever a seguinte proporção: medida da miniatura

medida real

• É possível solicitar aos alunos que realizem uma pesquisa, na internet ou em livros da biblioteca (se houver uma na escola), a respeito do desenvolvimento da teoria das proporções, visando aprofundar as informações apresentadas. Nessa pesquisa, deve-se dar ênfase especial às contribuições de Eudoxo para o estudo das proporções. A análise da definição de proporção proposta pelo matemático fornecerá elementos que, posteriormente, serão essenciais para que os alunos compreendam a noção de número irracional. • Para as atividades 1 e 3, caso os alunos tenham dúvidas sobre o procedimento para verificar se duas razões formam uma proporção ou não, retome as ideias de simplificação de frações para ajudá-los a responder com mais clareza.

comprimento da miniatura

56 1 5 x 65

comprimento real

187

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187

8x

56 1 5 x 65 56 1 8x5 8x x 65 18 x 5 56 65

8 65

18 x 8 65 5 56 8 65 65

MUSEU MARÍTIMO DE BARCELONA, ESPANHA

Para determinar o valor de x, podemos multiplicar ambos os membros dessa igualdade por x e, em seguida, por 65. Veja: 8x

8 65

1 8 x 5 56 8 65

Miniatura da nau Santa Maria.

x 5 3 640

Ao desenvolver a resolução da proporção desse exemplo, podemos observar que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos: 56 1 5 x 65

]

1 8 x = 56 8 65

Essa observação é válida para toda proporção. Acompanhe a demonstração a seguir. Demonstração a c 5 , em que a, b, c e d representam números racionais não nulos. b d a c 5 b d 8d 8d Como a, b, c e d, representam a c números racionais quaisquer, 8d5 8d b d diferente de zero, essa

• Acompanhe o passo a passo da demonstração com os alunos e reforce que o denominador de uma fração nunca pode ser zero, pois nenhum número é divisível por zero.

propriedade é válida para toda proporção.

a 8d c 8d 5 b d

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Portanto, a medida do comprimento real da embarcação era 3 640 cm ou 36,40 m.

a 8d 5c b

8b

b 8

a 8d 5b 8 c b

8b

JOSÉ LUÍS JUHAS

a 8d 5c 8 1 b

b 3a 3d 5b 8c b 18a 8d5b 8c a 8d5b 8c Em toda proporção, o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja, dados a c a, b, c e d racionais não nulos, com 5 , temos: a 8 d 5 b 8 c b d Denominamos essa propriedade de propriedade fundamental das proporções. 188

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188

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Podemos empregar a propriedade fundamental das proporções para resolver diversos problemas. Exemplos

• Sabendo que 5 está para 8, assim como 15 está para x, qual é o valor de x? Para determinar o valor de x, inicialmente escrevemos a proporção:

5 15 5 x 8 Em seguida, aplicamos a propriedade fundamental das proporções e resolvemos a equação encontrada: 5 8 x 5 8 8 15 5 x = 120

1 5

5x 8

Portanto, o valor de x é 24.

1 1 = 120 8 5 5 120 x= 5 x = 24

8

1 5

NUNO GUIMARÃES/

FRA ME PH OT O/ F

OL HA

S ES PR

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

8

• Pergunte aos alunos se lembram o que indica a unidade de medida dm³. Se não se lembrarem, retome as unidades de medida de volume e de capacidade, explicando que 1 dm³ equivale a 1 litro.

• Em uma salina, de cada 1 000  dm3 de água salgada são retirados 40 dm3 de sal. Para obter 800 dm3 de sal, quantos decímetros cúbicos de água salgada são necessários? A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Então, indicando por x a quantidade de água salgada a ser determinada, podemos escrever a seguinte proporção:

1000 x 5 40 800 Em seguida, aplicamos a propriedade fundamental das proporções e resolvemos a equação encontrada:

8

1 40

40 8 x 5 800 8 1 000

1 1 8 40 8 x 5 8 800 000 40 40 800000 x= 40 x = 20 000

8

Salinas Diamante Branco, Galinhos (RN), 2014. 1 40

Portanto, são necessários 20 000 dm3 de água salgada para obter 800 dm3 de sal.

Observação

Nos problemas resolvidos acima, a letra x representa um valor desconhecido numa igualdade obtida por meio da propriedade fundamental das proporções. Nesse contexto, a letra x assume o papel de incógnita da equação obtida. 189

189

ATIVIDADES 1

2

Aplicando a propriedade fundamental, no caderno, verifique quais dos pares abaixo formam uma proporção. alternativas c, d __1 15 3 ___ 3 __ ___ 2 ___ c) 5 e 30 a) 11 e 44 10 ____ ____ ____ 2 4 4 ___ d) 500 e 200 b) 0,2 e 40 No caderno, determine o valor de x nas proporções. __ _______ 2x 1 1 x ___ 21 21 24 e) 10 5 2___ a) 5 5 35 3 30 __3 90 3x 1 2 ___ ___ ________ 4 40 34 b) __1 5 x 24 f) x 1 3 5 2___ 2___ 25 23 5 0,3 9 __ ___ ____ x 6 c) 13 5 26 18 g) x 5 2__ 20,45 9 0,2 ____ x26 __1 _______ ____ x h) 5 5 200 8 d) 7 5 49 13

Faça as atividades no caderno.

3

Um avião estadunidense foi eleito o avião mais rápido do mundo em 2012, atingindo uma velocidade de 1 115 km/h. Esse avião consome 999  litros de combustível por hora. Calcule o consumo dessa aeronave em 3,5 horas de voo. 3 496,5 litros

4

No caderno, determine o valor de w na __3 proporção w 9 2,5 5 4 9 0,25. 7,5

5

No caderno, determine o valor de k, sabendo que os números 4k 2 1, 50, k 1 5 e 20 formam uma proporção nessa ordem. 9

6

Em um restaurante, de cada dez sucos vendidos seis são de maracujá. Em um domingo, foram vendidos 500 sucos. Quantos sucos de maracujá foram vendidos? 300 sucos de maracujá

7

Um relógio atrasa 5 minutos a cada 8 horas. Quanto tempo ele atrasará em 4 dias?

1 hora

Uma impressora 3–D produz, em 2 horas, 40  bonecos. Em 3  horas, essa mesma impressora produz 60 bonecos, em 4 horas, 80 bonecos, e, em 5 horas, 100 bonecos. Calculando a razão entre o tempo utilizado na produção e o número de bonecos produzidos, observamos uma igualdade. 3 5 2 4 1 5 5 5 5 40 60 80 100 20 Impressão de brinquedo em 3-D utilizando resíduos de plástico reciclado. Almaty, Cazaquistão, 2017.

O quociente dos números da primeira sequência (a dos tempos de produção: 2, 3, 4, 5) pelos números da segunda sequência (a do número de bonecos produzidos: 40, 60, 80, 100) é sempre o mesmo número, que denominamos constante de proporcionalidade. Portanto, dizemos que os números 2, 3, 4 e 5 são diretamente proporcionais aos números 1 40, 60, 80 e 100 e que é a constante de proporcionalidade dessas sequências. Dizemos 20 ainda que o tempo de produção é diretamente proporcional ao número de bonecos produzidos, pois, à medida que aumenta o tempo, a produção de bonecos aumenta na mesma proporção. 190

190

CHOLPAN/SHUTTERSTOCK

Sequências de números diretamente proporcionais

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Caso os alunos apresentem dificuldade na atividade 1, explique que, para verificar se um par de razões representa uma proporção, é necessário que o produto dos seus meios seja igual ao produto dos seus extremos. Dessa forma, analisar se a igualdade que resulta desses produtos é verdadeira ou falsa pode ser uma forma de verificar se um par de razões forma uma proporção. • Caso considere necessário, solicite aos alunos que formem duplas para resolver e discutir a atividade 7.

• Comente com os alunos que não basta que duas grandezas cresçam (ou diminuam) simultaneamente no mesmo sentido para que elas sejam diretamente proporcionais. Para que isso ocorra, é necessário que a razão entre elas seja sempre uma constante. É importante que os alunos entendam que a proporcionalidade direta entre duas grandezas envolve sempre a multiplicação por um fator constante, que recebe o nome de constante de proporcionalidade.

Quando duas sequências de números são diretamente proporcionais, ao dobrar o número de uma delas, o correspondente da outra também dobra; ao reduzir pela metade o número de uma, o correspondente da outra também se reduz pela metade; e assim por diante. Exemplos

• Simone dividiu 30 pitangas entre seus sobrinhos de 2, 3 e 5 anos de idade. Qual foi a quantidade de pitangas que cada um deles recebeu, sabendo que a divisão foi diretamente proporcional à idade de cada sobrinho? Vamos representar por a, b e c, respectivamente, as quantidades de pitangas recebidas pelos sobrinhos de 2, 3 e 5 anos. Assim: quantidade de pitangas recebidas pelo sobrinho de 3 anos quantidade de pitangas recebidas pelo sobrinho de 2 anos

a 1 b 1 c 5 30

quantidade de pitangas recebidas pelo sobrinho de 5 anos

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

As quantidades de pitangas a, b e c são diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5. Então:

a b c 5 5 5k 5 2 3

constante de proporcionalidade

Agora, observe as igualdades:

a 5k 2 a 5 2k (I)

b 5k 3 b 5 3k (II)

c 5k 5 c 5 5k (III)

Substituindo esses valores na equação a 1 b 1 c = 30, obtemos: a 1 b 1 c = 30 2k 1 3k 1 5k = 30 10k = 30 k=3 Então, substituindo k por 3 em I, II e III, obtemos: a = 2k

b 5 3k

c 5 5k

a=283

b5383

c5583

a=6

b59

c 5 15

Assim, dividimos o número 30 em partes diretamente proporcionais a 2, 3 e 5. • Três pessoas associaram­se em uma em­ presa. A primeira investiu inicialmente R$  12 000,00; a segunda, R$  10 000,00; e  a terceira, R$  6 000,00. Sabendo que a sociedade teve lucro de R$  21 000,00 no primeiro ano, o qual deve ser repartido em quantias diretamente proporcionais ao capital inicial investido, quanto deve receber cada sócio?

JOSÉ LUÍS JUHAS

Portanto, os sobrinhos de 2, 3 e 5 anos receberam 6, 9 e 15 pitangas, respectivamente.

Vamos representar por a, b e c as quantias que receberão o primeiro, o segundo e o terceiro sócios. Assim: a 1 b 1 c 5 21 000 191

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191

As quantias que receberão os três sócios deverão ser diretamente proporcionais a 12 000, 10 000 e 6 000, respectivamente. Então:

a b c 5 5 5k 12 000 10 000 6 000 Agora, observe as igualdades:

a 5k 12 000 a 5 12 000k (I)

b 5k 10 000 b 5 10 000k (II)

c 5k 6 000 c 5 6 000k (III)

Substituindo esses valores na equação a 1 b 1 c 5 21 000, obtemos: a 1 b 1 c 5 21 000 12 000k 1 10 000k 1 6 000k 5 21 000 k5 Então, substituindo k por a 5 12 000k a 5 12 000 8

3 4

3 em I, II e III, obtemos: 4 b 5 10 000k

3 4

a 5 9 000

b 5 10 000 8

c 5 6 000k

3 4

c 5 6 000 8

b 5 7 500

3 4

c 5 4 500

Portanto, o primeiro, o segundo e o terceiro sócios receberão R$ 9 000,00, R$ 7 500,00 e R$ 4 500,00, respectivamente.

• Estas atividades têm por objetivo avaliar a capacidade de reconhecer situações que envolvam a proporcionali­ dade direta e sua constante de proporcionalidade. • Na atividade 8, temos que o prêmio total era de R$ 16 200,00 e que o 1o colo­ cado obteve 220 pontos, en­ quanto o 2o, 140. Dessa for­ ma, sendo a o valor recebido pelo 1o colocado e b o valor recebido pelo 2o colocado, temos: a 1 b 5 16 200 220k 1 140k 5 16 200 k 5 45 Dessa forma, o 1o colocado obteve R$ 9 900,00 (45 3 220 5 5 9 900) e o 2o, R$ 6 300,00 (140 3 45 5 6 300).

ATIVIDADES Verifique se os números 15, 20 e 30 são diretamente proporcionais aos números 24, 32 e 48. sim

2

Divida o número 600 em partes dire­ tamente proporcionais a 2, 3 e 5.

120, 180 e 300

3

Divida o número 23,8 em partes direta­ mente proporcionais a 5 e 9. 8,5 e 15,3

4

Os números a, b e c são diretamente pro­ porcionais a 3, 5 e 9, e o fator de propor­ cionalidade é 16. Determine a, b e c.

5

Mário dividiu R$ 60 000,00 entre sua irmã Ana, de 56 anos, e seus sobrinhos Paula, de 24 anos, e Carlos, de 16 anos. Essa divisão foi diretamente proporcio­ nal à idade de cada um deles. Quanto cada um recebeu?

48, 80 e 144

6

Um sítio de 120 hectares foi repartido entre Karine (24 anos), Kátia (26 anos) e Cristina (30  anos) em partes direta­ mente proporcionais à idade de cada uma. Que parte, em hectare, coube a Karine?

7

Uma mistura com 300 mc é formada por duas substâncias, A e B, tomadas em quantidades proporcionais a 3 e 7, res­ pectivamente. Quantos mililitros de cada substância são utilizados para formar a mistura? A: 90 mc; B: 210 mc

8

Um prêmio de R$ 16 200,00 foi dividido em partes proporcionais à quantidade de pontos obtidos pelos dois primeiros colocados em uma competição. O primei­ ro colocado obteve 220 pontos, e o segun­ do, 140 pontos. Quanto recebeu cada um?

36 hectares

5. Ana: R$ 35 000,00; Paula: R$ 15 000,00; Carlos: R$ 10 000,00 192

192

1

Faça as atividades no caderno.

primeiro: R$ 9 900,00; segundo: R$ 6 300,00

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

28 000k 5 21 000

• Converse com os alunos sobre a notação apresentada. Explique que a fração foi escrita dessa forma porque os números 2, 4, 5 e 1 são proporcionais ao inverso de 1 1 1 n , 15 d n, 5 d n e 30 d 15 5 30 1 n. 60 d 60

Sequências de números inversamente proporcionais Observe as sequências de números nos quadros.

30

4

15

5

12

1

60

2 1 30 resulta no produto entre 2 e Porém, a razão entre

GEORGE TUTUMI

2

30, pois: 30 2 523 5 2 3 30 5 60 1 1 30

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Note que: 2 8 30 5 4 8 15 5 5 8 12 5 1 8 60 5 60 O resultado da multiplicação de cada elemento de uma sequência pelo elemento corres­ pondente da outra sequência é igual a 60. Observe que podemos escrever 2 8 30 5 4 8 15 5 5 8 12 5 1 8 60 como igualdades de razões: 5 2 4 1 5 5 5 5 60 1 1 1 1 15 12 30 60 Nesse caso, dizemos que os números 2, 4, 5 e 1 são inversamente proporcionais aos números 30, 15, 12 e 60; e o número 60 é chamado de constante de proporcionalidade. Quando duas sequências de números são inversamente proporcionais, ao dobrar o número de uma delas, o correspondente da outra se reduz pela metade; ao dividir por 3 o número de uma, o correspondente da outra é multiplicado por 3; e assim por diante. Exemplo

• Vamos dividir o número 310 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 5. Representando por a, b e c os números procurados, temos: a 1 b 1 c 5 310 Sabendo que a, b e c são inversamente proporcionais aos números 2, 3 e 5, então:

a b c 5 5 5k 1 1 1 5 2 3

constante de proporcionalidade

Agora, observe as igualdades:

a 5k 1 2 a5

1 k 8k5 2 2

b 5k 1 3 b5

1 k 8k5 3 3

c 5k 1 5 c5

1 k 8k5 5 5 193

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9/24/18 16:03

193

• Estas atividades têm por objetivo avaliar a capacidade de reconhecer situações que envolvam a proporcionalidade inversa e sua constante de proporcionalidade. • Espera-se que os alunos justifiquem a atividade 1, concluindo que: 3 5 3 3 60 5 180 1 60 4 5 4 3 45 5 180 1 45 5 5 5 3 36 5 180 1 36

Substituindo esses valores na equação a 1 b 1 c = 310, obtemos: a 1 b 1 c = 310 k k k 1 1 5 310 5 2 3

e 1 1 1 1 1 o 8 k 5 310 5 2 3

e 15 1 10 1 6 o 8 k 5 310 30 30 30 31 8 k = 310 30 1

30 1 31 30 10 8 8k= 8 310 1 31 1 30 1 31

Portanto, os números 3, 4 e 5 são inversamente proporcionais aos números 60, 45 e 36. • Espera-se que os alunos justifiquem a atividade 2, concluindo que: 10 5 10 3 30 5 300 1 30 8 5 8 3 38 5 304 1 38 6 5 6 3 50 5 300 1 50

k 5 18

k Como b 5 , 1 k k a5 ev5 , 2 3 então b 5 18, a 5 9 e v 5 6.

194

Sabendo que k é igual a 300, obtemos os valores de a, b e c :

a5

1 1 8 k 5 8 300 5 150 2 2

b5

1 1 8 k 5 8 300 5 100 3 3

c5

1 1 8 k 5 8 300 5 60 5 5

Portanto, 150, 100 e 60 são inversamente proporcionais a 2, 3 e 5.

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

1

Verifique se os números 3, 4 e 5 são inver­ samente proporcionais aos números 60, 45 e 36. sim

2

Verifique se os números 10, 8 e 6 são inversamente proporcionais aos números 30, 38 e 50. não

3

A sucessão a, b e c é formada por números inversamente proporcionais a 2, 5 e 7, e o fator de proporcionalidade é 70. Determine a, b e c. a 5 35, b 5 14 e c 5 10

4

Divida o número 340 em partes inversa­ mente proporcionais a 2, 4 e 10.

5

Divida 182 em partes inversamente pro­ 1 1 1 porcionais a , e . 42, 56 e 84 3 4 6

6

Uma herança no valor de R$ 60 000,00 deverá ser dividida em valores inversa­ mente proporcionais às idades de três herdeiros. Sendo 20, 30 e 60 anos a idade de cada um deles, qual o valor recebido por cada um? R$ 30 000,00,

7

Lúcio dividiu 260 laranjas em três caixas, em quantidades inversamente propor­ cionais a 2, 3 e 4. Quantas laranjas foram colocadas em cada caixa? primeira caixa: 120 laranjas; segunda caixa: 80 laranjas; terceira caixa: 60 laranjas

200, 100 e 40

194

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R$ 20 000,00 e R$ 10 000,00

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

k = 300

GEORGE TUTUMI

Portanto, os números 10, 8 e 6 não são inversamente proporcionais aos números 30, 38 e 50. Entretanto, podemos dizer que os números 10 e 6 são inversamente proporcionais aos números 30 e 50. • Na situação da atividade 8, quanto menos faltas, mais livros a pessoa ganha, ou seja, “número de faltas” e “número de livros” são inversamente proporcionais. Assim, considerando b o número de livros que Beto recebeu, a o número de livros que Ana recebeu e v o número de livros que Vera recebeu, temos: b 1 a 1 v 5 33 k k k 1 1 5 33 1 2 3 6k 3k 2k 1 1 5 33 6 6 6 6k 1 3k 1 2k 5 198 11k 5 198

1 8 k = 30 8 10

8

Rosa resolveu dividir 33 livros entre Beto, Ana e Vera em partes inversamen­ te proporcionais às suas faltas à escola durante o mês. Quantos livros recebeu cada um deles, sabendo que Beto, Ana e Vera tiveram uma, duas e três faltas, respectivamente?

Beto: 18 livros; Ana: 9 livros; Vera: 6 livros

9/24/18 16:03

3

• Quando tratamos de proporcionalidade entre grandezas, provavelmente muitos alunos, mesmo sem saber, já possuem um conhecimento intuitivo sobre o tema, devido às suas experiências em situações do dia a dia. Caso julgue conveniente, solicite a eles que listem situações nas quais haja relações de interdependência entre as grandezas, tal como: a nota que eles recebem na prova de Matemática está relacionada ao número de acertos de questões da prova, por exemplo. Esse tipo de atividade pode servir de preparação para o estudo das funções, que serão abordadas no futuro.

Grandezas e proporcionalidade

No dia a dia são comuns situações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Observe os exemplos a seguir. Já em uma corrida de quilômetro contra o relógio, quanto maior a velocidade, menor será o tempo gasto na prova. As grandezas utilizadas, nesse caso, são velocidade e tempo.

Na produção de metais fundidos, como o ferro, utilizam­se fornos para gerar o calor necessário à fusão. Quanto maior o tempo de uso do forno, maior será a produção. As grandezas, nesse caso, são tempo e produção.

RICARDO AZOURY/PULSAR IMAGENS

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ADAM PRETTY/GETTY IMAGES ASIAPAC/ GETTY IMAGES/AFP

Quilômetro contra o relógio Modalidade em que cada ciclista larga sozinho na pista, em intervalos de 90 segundos de di­ ferença em relação aos demais competidores.

Fusão Transformação da matéria do estado sólido para o estado líquido.

Fundição é o processo de obtenção de metal fundido. Volta Redonda (RJ).

A australiana Anna Meares foi a mais rápida do mundo nos 500 m contra o relógio no campeonato mundial, realizado em 2004, em Sydney, Austrália.

Entendemos por grandeza tudo o que pode ser medido ou contado. O comprimento, a superfície, o espaço que um corpo ocupa, a massa, a capacidade, a velocidade, o tempo, a produção e o custo são alguns exemplos de grandeza. Em algumas situações, duas ou mais grandezas podem estar relacionadas. Essa relação pode ser direta ou inversamente proporcional.

Grandezas diretamente proporcionais Vamos, agora, explorar a situação da produção de metais fundidos. Veja no quadro abaixo os dados sobre as grandezas referentes à produção de ferro fundido fornecidos por uma metalúrgica. Tempo (min)

Produção (kg)

5

100

10

200

15

300

20

400

25

500

grandezas

195

195

• Uma das características para que haja proporcionalidade entre duas grandezas é que deve existir um grau de dependência entre elas. Outro aspecto a ser destacado é que, para verificar se uma situação envolve ou não proporcionalidade direta, não basta verificar se as grandezas crescem ou decrescem no mesmo sentido; para que a proporcionalidade seja direta, é preciso que o aumento de uma grandeza seja proporcional ao aumento da outra, ou seja, se uma delas dobrar de valor, a outra também deve dobrar de valor. • É importante também que os alunos atentem para o fato de que, na proporcionalidade direta, a razão entre as grandezas comparadas resulta sempre em um valor constante, que é a constante de proporcionalidade k.

De acordo com os dados, podemos observar que: quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 82

5 min

100 kg

10 min

200 kg

quando triplicamos o tempo, a produção também triplica.

82

83

5 min

100 kg

15 min

300 kg

83

Nesse exemplo, verifique que a razão entre dois valores de uma grandeza (tempo) é igual à razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza (produção). Dizemos, então, que essas grandezas são diretamente proporcionais. Veja:

100 __ 1 ____ 5 300 3

5 100 1 ___ 5 ____ 5 __ 15 300 3

10 __ 1 ___ 5 20 2 200 __ 1 ____ 5 400 2

200 __ 10 ____ 1 ___ 5 5 20 400 2

Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre dois valores quaisquer da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda. Como as grandezas são diretamente proporcionais, podemos escrever proporções e determinar a constante de proporcionalidade. Por exemplo, no caso da metalúrgica podemos obter a seguinte sequência de números diretamente proporcionais: 5 10 15 20 25 30 1 5 5 5 5 5 5 100 200 300 400 500 600 20 Essas proporções nos permitem encontrar uma sentença algébrica que relaciona as duas grandezas. Observe: Vamos escrever uma proporção que relaciona a constante de proporcionalidade com a t razão , em que t representa o tempo (em minuto) e p, a produção de ferro fundido p (em quilograma), supondo ambos sempre diferentes de zero: t 1 5 20 p t (min) p (kg) Pela propriedade fundamental das proporções, temos: 3 20 3 t 5 20 3 3 5 60 p 5 20 3 t Essa sentença algébrica nos permite calcular o valor da produção p para qualquer valor de tempo t e vice-versa. Veja no quadro ao lado como podemos obter o valor de p para um t conhecido.

7

20 3 t 5 20 3 7 5 140

9

20 3 t 5 20 3 9 5 180

50

20 3 t 5 20 3 50 5 1 000

Observação

Note que as letras t e p, na sentença algébrica p 5 20 3 t, têm o papel de variáveis, pois podem assumir qualquer valor possível para as grandezas tempo e produção. Se quisermos calcular o valor da produção a partir do tempo, poderemos fazê-lo para qualquer valor de tempo possível. O mesmo vale se quisermos calcular o valor do tempo a partir de uma produção. 196

• Explique para os alunos que a sentença p 5 20 3 t também poderia ser obtida a partir da aplicação das propriedades multiplicativas das igualdades. Podemos obter tanto t a partir de p quanto p a partir de t. Caso julgue conveniente, comente que, na sentença p 5 20 3 t, o número 20 representa a constante de p proporcionalidade k. Observe: 5 20 5 k (constante) t

196

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5 1 ___ 5 __ 15 3

• No estudo da proporcionalidade inversa, assim como na proporcionalidade direta, a primeira característica a ser observada pelos alunos é se há interdependência entre as grandezas analisadas. Na proporcionalidade inversa, as grandezas variam em sentidos opostos, ou seja, quando uma cresce, a outra decresce e vice-versa. Assim, quando uma grandeza dobra de valor, a outra será reduzida pela metade. • Comente com os alunos que, na proporcionalidade inversa, o produto entre as duas grandezas deve resultar em um valor constante, ou seja, esse valor obtido deve ser sempre o mesmo (constante de proporcionalidade k, com k % 0).

Grandezas inversamente proporcionais Observe a situação a seguir.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Uma ciclista faz um treino para uma prova de 1 000 metros contra o relógio. Mantendo em cada volta uma velocidade constante, ela obtém um tempo correspondente, conforme o quadro abaixo. Velocidade (m/s)

Tempo (s)

5

200

8

125

10

100

16

62,5

20

50

grandezas

Observe que: quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 82

5 m/s

200 s

10 m/s

100 s

92

quando quadruplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 84

5 m/s 20 m/s

200 s 50 s

94

Nesse exemplo, podemos verificar que a razão entre dois valores de uma grandeza (velo­ cidade) é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza (tempo). Dizemos, então, que essas grandezas são inversamente proporcionais. Veja: razão inversa

10 __ 5 ___ 5 16 8

razão inversa

100 __ 8 ____ 5 62,5 5

8 2 ___ 5 __ 20 5

5 125 __ ____ 5 50 2

Duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre dois valores quais­ quer da primeira é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda. Da mesma forma que fizemos com grandezas diretamente proporcionais, podemos escre­ ver proporções com as grandezas inversamente proporcionais, determinando a constante de proporcionalidade. Assim, no exemplo da ciclista, temos: 5 8 10 16 20 5 5 5 5 5 1 000 1 1 1 1 1 200 125 100 62,5 50 197

197

• Explique que a senten­ ça também poderia ser 1000 v 5 , obtida a partir t da aplicação das proprie­ dades multiplicativas das igualdades. Podemos obter tanto v a partir de t quanto t a partir de v. • Comente com os alunos que uma velocidade de 2 000 m/s é quase 6 vezes a velocidade do som. Isso significa que essa velocidade não poderia ser desenvolvida por um ciclista. • Chame a atenção dos alu­ nos para o fato que a noção de proporcionalidade envol­ ve também a capacidade de reconhecer as situações em que ela não está presente. No exemplo apresentado, a altura do aluno está em fun­ ção de sua idade; contudo, essa altura não é diretamen­ te proporcional à sua idade.

Agora, vamos determinar a sentença algébrica que relaciona essas grandezas. Para isso, vamos escrever uma proporção com a constante de proporcionalidade representando o tempo pela letra t (em segundo) e a velocidade pela letra v (em metro por segundo), supondo ambos sempre diferentes de zero: t 5 1 000 1 v 1 000 Pela propriedade fundamental das proporções, temos t 5 . v

2 4 25 2 000

t (s) 1000 1000 5 5 500 v 2 1000 1000 5 5 250 v 4 1000 1000 5 5 40 v 25 1000 1000 5 5 0,5 v 2 000

Há algo estranho na última linha. O que você acha? Converse com um colega sobre os valores encontrados.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

v (m/s)

ENÁGIO COELHO

Essa sentença algébrica nos permite, por exemplo, calcular o tempo t para qualquer valor de velocidade v conhecido. Veja:

Cuidado!

Há situações em que não podemos utilizar a proporcionalidade. Por exemplo: • Um aluno com 10 anos tem 1,50 m de altura. É lógico que, com 20 anos, ele não terá 3,00 m de altura. • Um jogador fez 10 cestas de três pontos em dois jogos. Não podemos garantir que ele fará 20 cestas de três pontos em quatro jogos.

1

Em cada item, classifique as grandezas envolvidas em diretamente ou inversamente proporcionais. a) Distância entre duas cidades e tempo gasto no deslocamento entre elas. diretamente proporcionais b) Número de operários para a construção de um muro e tempo para construí-lo. inversamente proporcionais c) Medida do lado de um quadrado e seu perímetro. diretamente proporcionais d) Tempo para realizar uma terraplenagem (conjunto de operações que preparam um terreno para uma construção) e número de tratores utilizados. inversamente proporcionais e) Área de um retângulo e a medida do seu comprimento, sendo a medida da largura constante. diretamente proporcionais

Faça as atividades no caderno.

f) Área de um gramado (em metro quadrado) e quantidade de água (em litro) necessária para molhá-lo por completo. diretamente proporcionais g) Número de máquinas e tempo necessário para asfaltar um trecho de uma avenida. inversamente proporcionais DELFIM MARTINS/PULSAR IMAGENS

ATIVIDADES

Obra de reurbarnização do Largo da Batata. São Paulo (SP), 2010.

198

• Na atividade 1, nos itens d e g, ressalte aos alunos que a proporcionalidade só existe para quantidades “razoá­ veis” de tratores e máquinas (em comparação com o tamanho do terreno/trecho da estrada). Acima de certo número, os tratores (ou as máquinas) vão se “atrapalhar mutuamente” e a proporcionalidade deixa de existir.

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198

10/11/18 17:01

2. c)

2

Quantidade de canetas 5 10 11 14

Custo (R$) 35 70 77 98

Lembre-se: Não escreva no livro!

c) A produção e o tempo de funcionamento de uma máquina são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? diretamente proporcionais d) Obtenha uma sentença algébrica que relaciona o tempo de funcionamento (t ) e a produção (p) dessa máquina. p 5 200 3 t e) Qual será a produção se a máquina funcionar por 36 h? 7 200 parafusos

Observe as afirmações: • Cinco canetas custam R$ 35,00.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Dez canetas custam R$ 70,00. a) O número de canetas e o respectivo custo são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais? Justifique. b) Encontre uma sentença algébrica que relacione a quantidade (q) e o custo (c) das canetas. c 5 7 3 q c) No caderno, crie um quadro relacionando a quantidade de canetas e o custo delas com as informações fornecidas anteriormente, acrescentando mais duas linhas. Numa delas, calcule o custo de 11 canetas. Na outra, calcule quantas canetas se pode comprar com R$ 98,00. 3

4

Um prêmio de R$ 60 000,00 vai ser dividido entre os funcionários de uma empresa. Observe as afirmações abaixo. • Se houver 24 funcionários, cada um receberá R$ 2 500,00. • Se houver 32 funcionários, cada um receberá R$ 1 875,00. Agora, responda: a) Qual é a razão entre os números de funcionários? __3 4 b) Qual é a razão entre os valores recebidos? __34 c) O número de funcionários e os valores recebidos são grandezas diretamente ou inversamente proporcionais?

5

Choveu em cinco dos dez primeiros dias de março. Com base nesse fato, é possível afirmar que nos próximos 20 dias de março choverá por 10 dias? Justifique sua resposta.

O quadro abaixo mostra a relação entre o tempo de funcionamento de uma máquina e a sua produção. Observe: Tempo

Produção

5 horas

1 000 parafusos

8 horas

1 600 parafusos

a) Qual é a razão entre os valores da primeira grandeza? __58 b) Qual é a razão entre os valores da 5 1 000 5 __ segunda grandeza? _____ 1 600 8 2. a) diretamente proporcionais;

5 35 1 5 5 70 2 10

Regra de três simples

• Estas atividades têm por objetivo avaliar se os alunos reconhecem, entre as diversas situações, se há ou não relação de proporcionalidade entre duas grandezas. • Nas atividades 2 e 3, é importante orientar os alunos que não basta que duas grandezas cresçam ou decresçam juntas para que sejam diretamente proporcionais, ou seja, é preciso que o aumento de uma delas seja proporcional ao aumento da outra. • A proporcionalidade está presente em variados contextos do cotidiano. Na atividade 5, comente com os alunos que não é possível prever se a variação numérica apresentada no problema vai acontecer.

inversamente proporcionais

Não, nada garante essa possibilidade, pois o número de dias em que chove e o número de dias do mês não são direta nem inversamente proporcionais.

Quando um problema tem duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais, podemos resolvê-lo utilizando um procedimento chamado regra de três simples. Observe os exemplos a seguir. Ana comprou 3 cadernos de um mesmo modelo por R$ 36,00. Quanto ela gastaria para comprar 9 cadernos desse modelo?

Como 36 9 3 5 12, cada cadernos custa R$ 12,00. Se eu levar 9 cadernos, então: 12 8 9 5 108. Gastaria R$ 108,00.

JOSÉ LUÍS JUHAS

Veja que Ana resolveu essa questão usando a Aritmética.

199

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10/9/18 16:16

199

• Diga aos alunos que o quadro poderia ser montado também desta forma: 3

9

Preço (em R$)

36

c

Agora, vamos resolver de outro modo usando a Álgebra. Para isso, vamos representar o valor desconhecido (preço total de 9 cadernos) por uma letra, por exemplo o c, e aplicar o fato de que a quantidade desses cadernos e o preço total pago por eles são grandezas diretamente proporcionais.

Podendo montar a proporção da seguinte maneira: 3 9 = c 36 Peça aos alunos que expliquem por que tanto faz montar a proporção assim: 3 9 3 36 = ou = c c 36 9 Eles devem aplicar a propriedade fundamental das proporções, para fazer a verificação. 3 9 ƒ = c 36

Aparentemente, nesse caso, esse procedimento pode parecer menos simples, mas trata-se de um poderoso instrumento de resolução de problemas mais complexos. Para responder à pergunta do problema, montamos inicialmente um quadro. Veja: Quantidade de cadernos

Preço (em R$)

3

36

9

c

As grandezas quantidade de cadernos e preço são diretamente proporcionais. Então, temos a seguinte proporção: 3 36 5 c 9 Agora, aplicamos a propriedade fundamental das proporções e resolvemos a equação. Veja: 3 8 c = 9 8 36

3c 5 9 3 36 c 5 108 3 36 ƒ = c 9 3c 5 36 3 9 c 5 108

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Quantidade de cadernos

3c = 324 324 = 108 3 Portanto, Ana gastaria R$ 108,00 para comprar 9 cadernos. c=

GUILHERME CASAGRANDI

O Maglev (Magnetic levitation transport), trem de levitação magnética, ao se deslocar a uma velocidade média de 400  km/h, faz determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo esse trem faria o mesmo percurso se a velocidade fosse de 480 km/h?

400 km/h

3h

?

480 km/h

Para responder a essa pergunta, construímos inicialmente um quadro, em que x representa o tempo, em hora, gasto pelo trem para cobrir o percurso a uma velocidade de 480 km/h. Velocidade média (km/h) 400

3

480

x

O trem chinês Maglev. Xangai, China, 2016.

200

200

Tempo (h)

JOY

FUL

L/SH

UTT

ERS

TOC

K

• Mostre no quadro de giz como montar esse cálculo de outra forma: 400 480 5 1 1 x 3 400 3 3 5 480 3 x 1200 5 2,5 x5 480

Verifique que, ao dobrar a velocidade média do trem, o tempo utilizado no percurso fi­ cará reduzido à metade, ao triplicar a velocidade média do trem, o tempo utilizado ficará reduzido à terça parte, e assim por diante. Dessa forma, as grandezas velocidade média e tempo são inversamente proporcionais. Então, podemos escrever a proporção: 400 x 5 480 3

Invertemos a razão.

Em seguida, aplicamos a propriedade fundamental das proporções e resolvemos a equação: 480 8 x = 400 8 3 480x = 1 200 x=

1 200 = 2,5 480

ATIVIDADES 1

Três escavadeiras transportam 200 m3 de areia. Para transportar 1 600 m3 de areia, quantas esca­ vadeiras iguais a essas seriam necessárias?

2

Um aparelho em alta velocidade irriga 2 hectares em 40 minutos. Quantos hectares seriam irriga­ dos por esse aparelho em 2 horas, mantendo a velocidade alta? 6 hectares

3

Usando 10 c de óleo de copaíba, árvore nativa da Amazônia, um caminhão com velocidade média de 60 km/h percorre 80 km. Quantos litros seriam utilizados em um percurso de 200 km na mesma velocidade? 25 litros

4

Em uma amostra de 100 g de um minério foi extraído 0,2 g de ouro. Quantos gramas de ouro podem ser extraídos de 1 kg desse minério? 2 gramas

5

O supertrem que liga Londres a Paris, através do Eurotúnel, tem velocidade média de 160 km/h e leva 40 minutos para atravessar o Canal da Mancha. Se aumentasse a velocidade média para 200 km/h, em quanto tempo o trem atravessaria o túnel?

Faça as atividades no caderno. ALEXANDRE CARVALHO/FOTOARENA

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Portanto, o trem faria o mesmo percurso em 2,5 horas (2 horas e 30 minutos) se a veloci­ dade fosse de 480 km/h.

24 escavadeiras

32 minutos

Árvore de copaíba, Poços de Caldas (MG), 2013.

6

Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou uma obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço fosse reduzido para 5 horas por dia, em que prazo essa equipe faria o mesmo trabalho? 32 dias

7

Em uma empresa trabalham 3 telefonistas; cada uma atende, em média, 125 ligações diárias. Aumentando para 5 o número de telefonistas, quantas ligações, em média, cada uma atenderá por dia? 75 ligações 201

Veja sequência didática 2 do 3o bimestre no Material do Professor – Digital.

201

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem por objetivo retomar os conceitos e os procedimentos estudados no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade, por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Faça as atividades no caderno.

Revisitando 1

Responda no caderno. a) Quais são as formas de representar uma razão entre os números a e b? Na forma de fração, de porcentagem ou na forma decimal.

b) Razão e proporção se relacionam? De que maneira?

Revisitando • Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. • Na atividade 4, espera-se que os alunos percebam que duas grandezas são diretamente proporcionais quando a razão entre o valor da primeira grandeza e o valor da segunda resulta em um valor constante e que duas grandezas são inversamente proporcionais quando a razão entre o valor da primeira grandeza e o inverso do valor da segunda é igual a um valor, também constante, chamado de constante de proporcionalidade. • Na atividade 5, os alunos podem apresentar outras respostas, como o crescimento de uma muda de árvore e o tempo de crescimento dessa muda.

Escreva no caderno duas sequências de números diretamente proporcionais e determine o fator de proporcionalidade. Resposta pessoal.

3

Escreva no caderno duas sequências de números inversamente proporcionais e determine o fator de proporcionalidade. Resposta pessoal.

4

Escreva uma estratégia que permita identificar se duas grandezas são diretamente ou inversa­ mente proporcionais. Resposta pessoal.

5

Existem grandezas não proporcionais, como a altura e a massa de uma pessoa. Dê um exemplo de outro par de grandezas não proporcionais. Resposta pessoal. Exemplo de resposta: a quantidade

de gols marcados e o tempo de jogo numa partida de futebol.

Aplicando 1

2

Determine a forma irredutível da razão en­ tre cada par de medidas apresentada, na ordem dada. 1 a) 64 000 kg e 2 t 32 c) 4 cm e 1 m 25 1 b) 5 c e 25 c 5 d) 2 m3 e 8 m3 41 Observe o quadro abaixo. Times

16

Botafogo

14

Vasco

12

5

Em uma viagem entre as cidades de Brasília e Havana, em Cuba, distantes aproximadamente 6 000 km uma da outra, um avião gastou 8 horas. a) Qual foi sua velocidade média? 750 km/h b) Mantendo a velocidade média, quanto tempo o avião gastaria para chegar à Cidade do México, distante, aproxima­ damente, 1 800 km de Havana? 2,4 horas

6

A razão entre o número de médicos e o nú­ ______ 1 mero de habitantes de uma cidade é 3 000 . Determine a população dessa cidade sa­ bendo que há 42 médicos. 126 000 habitantes

7

Um reservatório contém 12 000 litros de água. Um produto químico deve ser mis­ turado à água na razão de uma medida de 40 gramas para cada 320 litros de água. Quantos pacotes de 100 gramas desse produto químico deverão ser adicionados ao reservatório? 15 pacotes

8

Determine a razão entre: a) o número de pontos ganhos pelo Flumi­ nense e pelo Flamengo; 1 2 b) o número de pontos ganhos pelo Bota­ fogo e pelo Vasco; 7 6 c) o número de pontos ganhos pelo Fla­ mengo e pelo terceiro colocado. 4 3

Em um jogo de basquete, Marcelo acertou 20 dos 28 arremessos que fez. Qual foi a razão entre o número de arremessos e o nú­ mero de cestas? 7 5

A população de certo estado é de, aproxi­ madamente, 19 800 000 habitantes, sendo 10 000 000 mulheres. Qual é a razão, apro­ ximada, entre o número de mulheres e o número de habitantes desse estado? 1 2

Pontos ganhos

Flamengo

Fluminense

3

4

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Sim, proporção é uma igualdade entre razões.

2

202

Aplicando

PDF-181-204-MCP7-C08-G20.indd 202

• Na atividade 1, é importante que os alunos, antes de determinar as razões solicitadas para cada par de medidas, realizem a conversão para a mesma unidade de medida quando necessário.

202

9/24/18 16:03

• Na resolução do Desafio, o primeiro passo é encontrar o trajeto mais curto a ser percorrido pelo ônibus, do ponto X até o ponto Y. Serão percorridas 5 quadras, cada uma com 200 metros, totalizando uma distância de 1 000 metros ou 1 km. Então: 40 km 1 km = 1h xh Formada a proporção, somente após a conversão de hora para minuto deve-se aplicar a propriedade fundamental, encontrando, assim, o tempo x, em minuto, necessário para percorrer o trajeto de 1 km. Assim:

Lembre-se: Não escreva no livro!

DESAFIO

Em um canal de televisão, são interca­ lados 25  minutos de programação com 7 minutos de anúncios comerciais. Em um filme de 70  minutos, quantos minutos, aproximadamente, deveriam ser reserva­ dos para os anúncios? 19,6 minutos

13

Dividi R$ 60 000,00 entre meus dois sobri­ nhos em quantias diretamente proporcio­ nais à idade de cada um. Sabendo que o primeiro sobrinho tem 12 anos e o segundo recebeu R$ 12 000,00, determine a idade deste último. 3 anos

14

Certo tipo de concreto é obtido misturando­ ­se uma parte de cimento, três de areia e seis de pedra. Determine a quantidade de areia necessária para produzir 185 cm3 de concreto. 55,5 cm3 Três sócios montaram uma empresa cujo capital inicial foi formado de acordo com o quadro abaixo.

ADILSON SECCO

(Enem) O mapa abaixo representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe­se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.

12

Y

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

X

15

Desconsiderando­se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y? alternativa d a) 25 min c) 2,5 min e) 0,15 min b) 15 min d) 1,5 min 8

9

Determine o valor de A em cada uma das proporções a seguir. 14,4 A 5 12 A 5 a) 10 12 1,5 A A53 5 b) 3 6 3,5 A 5 7 7 5 c) 14 A

11

A

R$ 20 000,00

B

R$ 35 000,00

C

R$ 45 000,00

40x 5 60 60 3 x5 5 5 1,5 min 40 2

C: R$ 18 900,00

16

Se um evento para 10 pessoas custa R $ 1 200,00 e para 15 pessoas custa R$ 1 800,00, encontre uma sentença algé­ brica que relacione o custo c do evento à quantidade q de pessoas. Exemplo de resposta: c 5 120 3 q

17

Uma loja vende doces por quilograma. Márcia comprou 100 g de barrinhas de doce de leite e pagou R$ 8,00. Ana comprou 150 g de chocolate e pagou R$ 12,00. Encontre uma sentença algébrica que relacione o preço p e a massa m de doces escolhidos.

18

Se 15 homens podem fazer um serviço em 40 dias, em quanto tempo o mesmo serviço será feito empregando­se mais 10 homens com o mesmo rendimento dos outros? 24 dias

Determine a medida da altura de Kika e a de Elana, em centímetro, sabendo que a diferença entre as duas medidas é 40 cm e que a razão entre elas é de 7 para 9.

Divida 150 em partes inversamente propor­ cionais a 2 e 3. 90 e 60 7 Determine dois números cuja razão é e 11 cuja soma é 90. 35 e 55

Capital inicial

40 km 1 km 5 60 min x min

A empresa, porém, foi à falência, causan­ do um prejuízo de R$ 42 000,00. Sabendo que esse prejuízo deve ser dividido em quantias diretamente proporcionais ao ca­ pital inicial, calcule a parcela de prejuízo de cada sócio.A: R$ 8 400,00; B: R$ 14 700,00;

140 cm; 180 cm

10

Sócio

40 km 1 km 5 x min 1h

Exemplo de resposta: p 5 0,08 3 m

203

203

Em uma embarcação, havia alimento sufi­ ciente para uma tripulação de 20 homens durante 16  dias. Ao final do sexto dia de viagem, essa embarcação recolheu 5 náu­ fragos. O alimento restante deverá durar quantos dias? 8 dias

21

Doze marujos pintaram o casco de um na­ vio em 4 dias e 4 horas. Quantos marujos, com o mesmo rendimento de trabalho, serão necessários para pintar o mesmo casco em 6 dias e 6 horas? 8 marujos Uma área do tamanho de um campo de futebol (9 000 m2) é desmatada a cada 6 segundos na região amazônica. Em meia hora, quantos hectares são desmatados? (Dado: 1 hectare 5 10 000 m2) 270 hectares

22

ƒ diretamente proporcionais: o custo de um almoço em um restaurante por quilograma e a massa da comida no prato; ƒ inversamente proporcionais: o tempo gasto para pintar uma casa e o número de trabalhadores de mesma eficiência envolvidos no trabalho; ƒ não proporcionais: o tempo de uma partida de basquete e a quantidade de cestas realizadas na partida.

204

O carro­foguete Bloodhound SSC atinge a velocidade de 1 600 km/h. Com essa velo­ cidade constante, em 36 segundos, quantos quilômetros esse veículo se deslocará? 16 km O carro-foguete Bloodhound SSC é movido à turbina de avião com potência equivalente a 80 mil cavalos.

24

Uma estação trata cerca de 30 000 litros de água por segundo. Para evitar riscos de fluorose, a concentração máxima de fluo­ retos na água não deve exceder cerca de 1,5 miligrama por litro de água. A quanti­ dade máxima aceita de fluoretos, no volu­ me de água tratada em uma hora, nessa estação, é: alternativa d a) 1,5 kg c) 4,5 kg e) 96 kg b) 124 kg d) 162 kg

THE BLOODHOUND PROJECT

23

Estação de tratamento de água da Corsan. Santa Maria (RS), 2013.

Elaborando

• Exemplo de respostas da atividade 2: ƒ Para o item a: “Uma costureira comprou 10 metros de tecido e pagou R$ 50,00. Se ela precisar comprar 35 metros para uma produção de roupas, quanto pagará?” (Resposta: R$ 175,00) ƒ Para o item b: ”Se uma torneira, aberta totalmente, enche um balde em 4 minutos, em quanto tempo 2 torneiras com a mesma vazão enchem esse mesmo balde?” (Resposta: 2 minutos)

Não podemos responder, pois as grandezas não são proporcionais.

20

Elaborando • A seção incentiva a criatividade e a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 10 e da competência específica 5. • Na atividade 1, os alunos podem dar como exemplo de grandezas:

Calcule mentalmente. a) Se 3 canetas custam R$ 6,00, qual é o preço de 6 canetas iguais a essas?R$ 12,00 b) Para encher um aquário com água, foram necessárias 12 vasilhas com capacidade de 4 c cada uma. Se forem usadas vasilhas com capacidade de 2 c, quantas serão necessárias para encher o mesmo aquário? 24 vasilhas c) Um jogador de futebol fez 3 gols em 4 jo­ gos. Quantos gols ele fará em 8 jogos? d) Um automóvel percorre 15 km com 1 c de gasolina. Quantos quilômetros esse mesmo automóvel percorrerá com 20 c de gasolina? 300 km e) Em uma noite estrelada, contou­se, a olho nu, 2 mil estrelas no céu. Quantas estrelas será possível contar em 3 noites?

GERSON GERLOFF/PULSAR IMAGENS

19

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

19. c) Não podemos responder, pois as grandezas não são proporcionais.

Lembre-se: Não escreva no livro!

1

Em uma folha, crie uma lista com 10 pares de grandezas diretamente proporcionais, inversa­ mente proporcionais e não proporcionais. Deixe uma linha entre cada par para que um amigo possa anotar se as grandezas são diretamente, inversamente ou não proporcionais.

2

Elabore um problema para cada item a seguir. a) Envolvendo duas grandezas diretamente proporcionais. Resposta pessoal. b) Envolvendo duas grandezas inversamente proporcionais. Resposta pessoal. Agora, troque, um problema de cada vez, com um colega, para que ele o resolva enquanto você resolve o dele. Por fim, analisem as resoluções em conjunto e discutam as estratégias que adotaram para solucionar a questão.

Resposta pessoal.

204

Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, em príncipios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

PDF-181-204-MCP7-C08-G20.indd tomando decisões com 204 base

9/26/18 09:48

Objetivos • Representar um polígono no plano cartesiano. • Realizar transformações de polígonos decorrentes da multiplicação das coordena­ das do vértice por um núme­ ro inteiro. • Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simé­ trico de figuras em relação aos eixos e à origem. • Reconhecer e construir figu­ ras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão.

CAPÍTULO

9

Transformações geométricas

Habilidades da BNCC • Este capítulo foi planeja­ do para favorecer o desen­ volvimento das habilidades EF07MA19, EF07MA20 e EF07MA21.

É hora de observar e refletir

Turistas em frente à muralha da cidade da Babilônia, no Museu Pergamon, Alemanha, 2013.

A Porta de Ishtar foi construída no século VI a.C. Essa construção era a entrada principal da cidade da Babilônia, que se situa onde é hoje o Iraque central. A partir de 1899, arqueólogos iniciaram escavações à procura de vestígios da cidade e encontraram fragmentos da Porta de Ishtar. O portal foi construído de tijolos vidrados e enfeitado com representações de animais. Em 1925, um desses arqueólogos decidiu reconstruir a parte externa da porta. A reconstrução se deu de 1928 a 1930 e tem 14 m de altura e 30 m de comprimento. Hoje é exibida no Museu Pergamon, em Berlim (Alemanha). A Porta de Ishtar foi construída seguindo alguns padrões geométricos. Cite os padrões que você consegue identificar. Resposta pessoal. Você conhece outras construções em que podemos identificar padrões geométricos? Resposta pessoal.

WORLD HISTORY ARCHIVE/ALAMY/FOTOARENA

É hora de observar e refletir

• Nesse momento, não é necessário definir o termo simétrico. Comente sobre os contextos de uso dessa pa­ lavra, por exemplo, quando nos referimos à imagem no espelho, mas deixe que os alunos façam suas próprias reflexões. • A ideia de simetria pode ser percebida tanto nas figu­ ras quanto na própria estru­ tura da porta de Ishtar. • Como a simetria de re­ flexão foi trabalhada no 4o ano dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, su­ gerimos que use a imagem de abertura para verificar o conhecimento prévio dos alunos. Converse com eles sobre quais padrões geo­ métricos conseguem iden­ tificar, como a repetição de figuras geométricas, que representam a simetria de translação, assim como a simetria de reflexão, que pode ser percebida na com­ posição dos animais que adornam a porta.

205

EF07MA19: Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coorde­ nadas de seus vértices por um número inteiro. EF07MA20: Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem. EF07MA21: Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

205

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa en­ tre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Suge­ rimos explorá­la oralmen­ te; se você achar necessá­ rio, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favo­ recer o desenvolvimento das competências gerais 2, 7 e 9. • A atividade envolve a arte do kirigami, com dobradu­ ra e recorte de papel; para realizá­la, solicite com an­ tecedência aos alunos que providenciem tesoura com pontas arredondadas e fo­ lhas de papel colorido, de preferência de espessura fina para facilitar os recor­ tes. Pode ser papel de seda, papéis próprios para origamis ou, até mesmo, folhas de revista. Pelo fato de mui­ tas dessas folhas terem o formato retangular, antes de iniciar a dobradura indi­ cada, oriente­os a obter um recorte quadrado da folha. • Ao responder às questões propostas, os alunos po­ derão utilizar uma lingua­ gem informal para explicar os padrões que percebe­ ram no trabalho realizado. Nesse momento, é impor­ tante avaliar a percepção de cada um.

Trocando ideias Você já ouviu falar em Kirigami?

K

A palavra kiru, em japonês, significa cortar, e gami significa papel. O kirigame, portanto, é uma arte que envolve o corte de papéis dobrados a fim de obter figuras de papel.

ONL YZO IA/ SH UT TE RS TO C

Dobre a folha três vezes, conforme indica a ilustração a seguir.

Depois, faça alguns cortes laterais. Veja um exemplo:

Abra a folha recortada para responder às questões a seguir.

Espera-se que os alunos percebam que cada

Observe a figura obtida, ela tem algum padrão? uma das figuras recortadas se repete e que há figuras congruentes.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Quando dobramos novamente a folha ao meio, o que podemos observar? Ao dobrar a folha

ao meio, espera-se que percebam que os recortes coincidem, ou seja, as figuras recortadas se sobrepõem. O que podemos observar em relação às figuras obtidas em cada recorte? Neste caso, os alunos devem observar que, com os recortes, obtivemos figuras congruentes. Algumas delas foram divididas em duas partes congruentes pela marca do papel. Já as figuras da borda do papel foram refletidas em relação Converse com o professor e os colegas sobre essas observações. à reta que contém a dobra.

Neste capítulo, vamos estudar algumas das características presentes nas figuras obtidas por você e seus colegas, como simetria de reflexão e simetria de rotação. Além disso, estudaremos a representação de polígonos no plano e a simetria de translação.

206

206

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo res­ ponsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo­se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Vamos fazer um kirigami; para isso, você vai precisar de uma folha de papel colorido, de formato quadrado, e de tesoura de pontas arredondadas.

1

Isometrias

Observe a faixa decorativa formada por figuras geométricas que se repetem seguindo uma regularidade. Você consegue identificá-la?

Essa repetição pode ser obtida a partir de transformações geomé­ tricas com figuras do plano. Matematicamente, por meio de transformações geométricas, podemos obter figuras geometricamente iguais ou semelhantes à primeira. Quando a forma e as medidas são preservadas, essas transformações geométricas são chamadas de isometrias.

Isometria do grego isos (igual) 1 metria (medida), mesma medida.

As isometrias (ou simetrias) podem modificar a posição de uma figura no plano, mas produzem sempre figuras que têm a mesma forma e as mesmas medidas, ou seja, produzem figuras congruentes à original. Neste capítulo vamos estudar as simetrias de translação, reflexão e rotação. VLADISLAV GAJIC/SHUTTERSTOCK

Translação A translação é a isometria pela qual a figura é deslocada em determinada direção e sentido, mantendo uma mesma distância entre cada um dos pontos da figura original e o correspondente da figura obtida. Palácio Barberini, localizado em Roma (Itália). Foto de 2016. Observe que as janelas do palácio dão a ideia de translação. Os elementos se repetem, na mesma direção, mantendo a mesma distância entre si.

Observe abaixo onde podemos identificar a translação na sequência de figuras da faixa decorativa. distância

direção e sentido

distância

Observe que a distância é a mesma para todos os pontos correspondentes das figuras.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Considere as figuras ao lado. Observe que elas se repetem ao longo de toda a primeira linha da sequência.

• O tópico “Isometrias”, jun­ tamente com as atividades ligadas a ele, visam ao de­ senvolvimento da habilida­ de EF07MA21. • Enfatize que nem toda si­ metria é reflexão. Desenvolva esse conceito com os alunos a fim de que se apropriem e evitem o senso comum. • É importante que os alu­ nos possam visualizar dife­ rentes imagens e discutir as transformações ocorridas. Se possível, projete imagens (ou reproduza­as no quadro de giz) ou selecione fotos para mostrar aos alunos. • Aproveite o padrão geo­ métrico formado pelas fi­ guras que compõem a faixa decorativa para associá­lo com o conteúdo estudado em sequências numéricas, vistas no capítulo 6 deste volume. Converse com os alunos sobre as regularida­ des que foram observadas e pergunte se eles conseguem determinar a cor da figura conforme a posição que ela ocupa. Eles devem perceber que as figuras que ocupam as posições ímpares são marrons e as que ocupam as posições pares são pretas. • Na translação, localize na foto do Palácio Barberini as duas janelas que estão mar­ cadas e proponha a discus­ são se elas mantêm o mesmo formato e tamanho. Como isso é verdade, trata­se de um caso de simetria. • No caso da translação, comente que o vetor é um segmento de reta orientado que possui direção, sentido e intensidade. A intensidade está relacionada ao tama­ nho do vetor, que muitas vezes chamamos de módulo.

207

EF07MA21: Reconhecer e construir figuras obtidas por simetrias de translação, rotação e reflexão, usando instrumentos de desenho ou softwares de geometria dinâmica e vincular esse estudo a representações planas de obras de arte, elementos arquitetônicos, entre outros.

207

• Nas translações mostra­ das nos exemplos, chame a atenção para a intensidade dos vetores: o tamanho deles está relacionado à distância transladada.

Veja outros exemplos:

• Reforce a ideia de que a rotação também é uma iso­ metria e, consequentemente, imagens rotacionadas per­ manecem com o mesmo for­ mato e tamanho. • Ao abordar rotação, re­ tome a ilustração da faixa decorativa e comente que poderíamos pensar que ela foi construída por meio da rotação em torno do cen­ tro da figura e translações. Mostre que as transforma­ ções se comunicam e que uma figura pode ser cons­ truída por diferentes tipos de transformação.

ROMIRI/SHUTTERSTOCK

Rotação A rotação é a isometria pela qual uma nova figura é obtida a partir de um giro da figura original ao redor de um único ponto fixo. Esse ponto é chamado de centro de rotação. Em uma rotação, o giro pode ser feito no sentido horário ou no sentido anti-horário, segundo certo ângulo. Os desenhos da toalha de crochê nos dão a ideia de rotação. Há um padrão que se repete através de giros em torno de seu centro.

Considere o recorte abaixo. Observe que, se rotacionarmos esse recorte no sentido horário, em torno do ponto A, segundo um ângulo de 90o, formamos o motivo principal da faixa decorativa. A centro de rotação

giro de 90°

giro de 270°

giro de 180°

No exemplo ao lado, a figura 2 foi obtida a partir de um giro de 90° da figura 1, no sentido anti-horário. Observe que o centro de rotação (ponto A) é comum às duas figuras.

A

giro Figura 1 de 90°

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Figura 2

208

208

Agora, no exemplo ao lado, observe que o centro de rotação (ponto B) é externo às duas figuras.

B

Figura 1

giro de 90°

Figura 2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe que essa figura foi transladada 3 quadradinhos verticalmente para baixo, conforme indica a seta.

PELIKH ALEXEY/SHUTTERSTOCK

Reflexão A reflexão é a isometria pela qual uma figura pode ser refletida, num plano, de dois modos: em relação a uma reta e em relação a um ponto. Vamos estudar os dois casos.

As torres Petronas, localizadas em Kuala Lumpur (Malásia), nos dão a ideia de reflexão. Foto de 2018.

• No tópico “Reflexão em relação a uma reta”, comen­ te que a reta pode estar em qualquer lugar do plano. Caso julgue adequada a utilização de uma analo­ gia, exemplifique os efeitos que teríamos vislumbrando uma imagem qualquer num espelho plano posiciona­ do perpendicularmente à reta considerada como eixo de simetria.

A reflexão em relação a uma reta é a isometria que associa cada ponto P a um ponto P ’, no mesmo plano, de modo que P e P ’ estejam a uma mesma distância de uma reta. Chamamos essa reta de eixo de simetria. Considere um detalhe da faixa decorativa (figura 1) e a reta r. A figura 2 é obtida após uma reflexão da figura 1 em relação à reta r. Figura 1

r

Figura 1

r

eixo de simetria

Figura 2

Observe que, se as figuras fossem dobradas na linha do eixo de simetria, as partes correspondentes ficariam sobrepostas. Veja outros exemplos. Exemplo 1

Exemplo 2 r

Exemplo 3 r

r

Perceba que nos exemplos 1 e 3 há, em cada um, duas figuras. Essas figuras não possuem pontos em comum com o eixo de simetria. Dizemos, nesse caso, que as figuras são simétricas em relação à reta r. Já no exemplo 2, há uma única figura que foi dividida em duas partes simétricas pela reta r. Nesse caso, dizemos que a figura apresenta simetria de reflexão.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Reflexão em relação a uma reta

209

Sugestão de atividade extra • Peça aos alunos que montem um painel com os tipos de transformação geométrica, suas características e exemplos.

209

Reflexão em relação a um ponto A reflexão em relação a um ponto O é a isometria que associa P’ cada ponto P a um ponto P’, no mesmo plano, de modo que OP e OP ’ sejam congruentes. O P Na figura ao lado, estão representados o ponto O e o segmento de reta PP ’. Os pontos P e P’ estão a igual distância do ponto O. Dizemos que P’ é simétrico a P, em relação ao ponto O. Chamamos esse ponto O de centro de reflexão.

Lendo e aprendendo

C’

B’

A

Observe que a reflexão em relação a um ponto O é equivalente a uma rotação de centro O e ângulo de 180°.

O

B

C

centro de reflexão

A’

Lendo e aprendendo

• A seção valoriza os conhe­ cimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, colaborando para a compreensão da realidade, valoriza também as diver­ sas manifestações artísticas e culturais, favorecendo o desenvolvimento das com­ petências gerais 1 e 3.

A cerâmica é uma arte e técnica de fabricação de utensílios que tem a argila como principal matéria-prima. A palavra “cerâmica” vem do grego keramikós, que significa “de argila”. Em seu processo de fabricação, a cerâmica é submetida a altas temperaturas, o que a torna muito resistente e faz com que seu uso seja abrangente. Podemos encontrá-la em louças, tijolos, esculturas, revestimentos e até em componentes de foguetes espaciais. A utilização varia do artístico ao industrial, incluindo tecnologias de ponta.

A simetria está presente na forma ou nos desenhos que compõem esses objetos. Identifique-a!

NANTAWAN SAKDIRACHPAIJIT/SHUTTERSTOCK

Nas imagens ao lado, temos exemplos de diferentes objetos de cerâmicas. Neles podemos identificar a aplicação de propriedades matemáticas, como a simetria.

Pote de cerâmica produzido na Tailândia.

Vaso grego antigo.

FERNANDOPODOLSKI/ISTOCK PHOTOS/GETTY IMAGES

Praticada há séculos, com registros de peças encontradas em sítios arqueológicos localizados em uma área ocupada pela cultura Jomon (Japão), datando de 5000 a.C., a cerâmica evoluiu em quase todos os povos ao mesmo tempo e se diversificou de maneira a refletir a cultura local pelas formas, cores e desenhos.

Sugestão de vídeo • Para ampliar o trabalho, su­ gerimos o vídeo “Simetrias” do programa Arte e Matemática, da TV Escola, que trata da simetria presente em diferentes construções, na arte visual, na natureza, na música e na poesia. Disponível em: . Acesso em: 8 ago. 2018.

KAMIRA/SHUTTERSTOCK

A simetria na arte da cerâmica

Cerâmica marajoara, produzida na Ilha de Marajó (AM).

Se achar necessário, diga aos alunos que as imagens não foram apresentadas em escala de tamanho.

210

Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural e digital para entender e explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico­cultural.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Exemplo

ATIVIDADES Figura 1

Figura 2

Observe a imagem e responda.

Figura 1

4

B’

Figura 2

A

Figura 1

Figura 2

A’ A

Figura 1

pontos correspondentes não são iguais.

5

Em uma malha quadriculada, desenhe a figura 1 e a obtida por meio da translação da figura 1 em 7 quadradinhos. A seta indica a direção e o sentido da translação.

Observe as figuras a seguir. r

Figura D

B

C

Figura C

s O

Figura A

Figura B

Figura 1

Qual dessas figuras representa a simétrica da figura A em relação: a) à reta r. figura B b) à reta s. figura D c) ao ponto O. figura C

Observe a obra do artista brasileiro Luiz Sacilotto (1924-2003) e responda à questão.

6

CREATIVE IDEA/SHUTTERSTOCK

Em quais das imagens a seguir podemos identificar simetria de reflexão? Justifique sua resposta. ANAMARQUES/SHUTTERSTOCK

Figura 1

SACILOTTO, Luiz. C0254, têmpera acrílica sobre tela, 60x60 cm, 2002.

Podemos dizer que as figuras amarelas que compõem essa obra são simétricas? Justifique sua resposta.

7

Figura 2

Represente um triângulo retângulo ABC em uma malha quadriculada e uma reta r distante 2 quadradinhos do vértice A. Depois, construa o triângulo A’B’C’ simétrico ao ABC em relação à reta r.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

3

VALTER SACILOTTO - COLEÇÃO PARTICULAR

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

C’

A

r

A figura 2 foi obtida por meio de uma translação da figura 1? Converse com o professor e os colegas para justificar sua resposta. Não, pois as distâncias entre os

2

Represente a figura 1 em uma malha quadriculada. Depois, desenhe a figura obtida por meio da rotação da figura 1, em 90°, no sentido anti-horário, com centro de rotação A. 7. Exemplo de resposta:

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

1

6. Podemos pensar o contorno da figura 1 como um quadrado, e um exemplo de simetria de reflexão seria em relação às retas que contêm as diagonais desse quadrado. Faça as atividades no caderno.

ADILSON SECCO

2.

• Na atividade 1, peça aos alunos que verifiquem as distâncias entre os pontos correspondentes. Espera­se que eles concluam que as distâncias são diferentes; desse modo, a Figura 2 não foi obtida por meio de uma translação, mas por meio de uma reflexão em relação a uma reta. • Sobre a atividade 3, espe­ ra­se que os alunos perce­ bam que uma das figuras amarelas pode ser obtida por meio de uma rotação de 180°, tomando como centro de rotação o ponto de inter­ secção entre as figuras.

3. Exemplo de resposta: Sim. A forma da obra lembra um quadrado. Se dividirmos o quadrado por uma linha horizontal que passa pelos pontos médios dos lados, podemos considerar a parte superior como figura 1. A parte 211 inferior pode ser considerada a figura 2, que é simétrica à figura 1 em relação ao centro desse quadrado.

Sugestão de trabalho interdisciplinar • Em parceria com o professor de Arte, solicite aos alunos que façam uma pesquisa sobre Luiz Sacilotto com o objetivo de encontrar outras obras em que podemos identificar simetria. As obras pesquisadas podem ser reproduzidas pelos alunos ou servir de inspiração para a criação de imagens compostas por simetria.

211

Construções de figuras simétricas Utilizando régua e compasso, vamos construir a figura obtida por meio de uma reflexão em relação a um ponto. A

Considere o triângulo ABC e o ponto O representados ao lado.

B

O C

Para construir a figura simétrica ao triângulo ABC pela reflexão de centro O, devemos seguir os passos seguintes. A

1 ) Com o auxílio de uma régua, trace a semirreta AO . o

B

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O C

2o) Coloque a ponta-seca do compasso em O e abra-o até o ponto A. A

3 ) Mantendo a abertura, gire o compasso e trace um arco que intercepte a semirreta em outro ponto distinto de A. o

B

O C

4o) Nomeie o ponto obtido por A’. O ponto A’ é o simétrico de A pela reflexão de centro em O.

A

B

O

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

C

212

212

A’

5o) Repita os passos anteriores para a construção dos pontos B’ e C’. Una os pontos A’, B’ e C’ para obter o triângulo A’B’C’, que é simétrico ao triângulo ABC pela reflexão de centro em O. A

C’ B’

B

O C

A’

• Na atividade 1, após a construção, solicite a alguns alunos que expliquem como fizeram para construir o primeiro quadrado e como obtiveram seu simétrico em relação à reta r. • Na atividade 2, para a construção do triângulo simétrico por meio de uma translação, os alunos deverão determinar o sentido, a direção e a distância. Nesse momento, se considerar adequado, oriente-os a considerar uma direção paralela a um dos lados e distâncias que podem ser transportadas por um compasso. Veja o passo a passo de um exemplo: 1o) Construir um triângulo ABC qualquer.

3. d) As transformações podem ser feitas em ambos os sentidos (horário ou anti-horário). No sentido horário, para obter F5 podemos rotacionar F1 em 180°; para obter F3, podemos rotacionar F1 em 90°. Já no sentido anti-horário, rotacionamos F1 em 270° para obter F3 e, também, em 180° para obter F5.

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

1

Em seu caderno, construa um quadrado ABCD e um ponto O externo a ele. Depois, construa o quadrado A’B’C’D’ obtido pela reflexão do quadrado ABCD em relação ao ponto O. Resposta pessoal.

2

Usando régua e compasso também é possível construir uma figura simétrica obtida por meio de uma translação. Para construir a figura simétrica, você deve determinar a direção, o sentido e a distância em que a figura será deslocada. Reúna-se com dois colegas e construam um triângulo ABC e seu simétrico A’B’C’ obtido por meio da translação. Depois, escrevam um texto indicando os procedimentos utilizados nessa construção. Resposta pessoal.

Também podemos construir figuras simétricas utilizando softwares de geometria dinâmica. Veja o desafio proposto pela professora de Mariana: Desafio

C

F8

A

F1

3 cm

F2

B 2 cm C

F7

F3

C F6

2o) Determinar a direção, o sentido e distância da translação: paralela ao lado BC (direção), para a direita (sentido), a 5 cm (distância). 3o) Prolongar o lado BC e, com o auxílio de um compasso, com a abertura de 5 cm, a partir do ponto B, marcar o ponto B’ e, a partir do ponto C, marcar o C’.

F4

F5

Veja algumas das ferramentas do software que Mariana utilizou: a) Mariana pode utilizar a ferramenta de construção de polígonos ou a de segmentos de reta combinada com a de construção de ângulos.

α

b) A soma dos ângulos deve ser 360º, os lados devem ter a mesma medida e os ângulos de vértices opostos devem ter a mesma medida.

Construção de polígonos.

Construção de reta e segmento de reta.

Construção de ângulos.

Aplicação de rotação em relação a um ponto.

a) Quais dessas ferramentas Mariana pode utilizar para construir o losango inicial? b) Se ela optar por construir o losango usando as ferramentas de construção de ângulos e de segmentos de reta, que cuidados ela deve tomar para obter um losango? c) A figura final é formada por quantos losangos? 8 losangos d) Qual deve ser o ângulo de rotação e sentido aplicado em F1 para obter a figura 5? E para obter a figura 3? e) Ao usar a ferramenta de aplicação de rotação, Mariana deverá selecionar o losango 1, o ponto C, digitar o ângulo de rotação e indicar o sentido (horário ou anti-horário). Escreva o ângulo de rotação e o sentido que ela deverá indicar ao usar essa ferramenta para obter todos os losangos. Para obter os losangos, seja no sentido horário, seja no anti-horário, a rotação pode ser feita aumentando-se 45° de cada vez. Por exemplo, no sentido horário, obtemos F2 rotacionando F1 em 45º, F3 em 90°, F4 em 135°, F5 em 180°, F6 em 225°, F7 em 270° e F8 em 315°.

A

B

213

C

B’

C’

4o) O ponto A’ será obtido ao traçar arcos de medida iguas às medidas dos lados BA e CA, com centros em B’ e C’, respectivamente. A

B

A’

C

B’

C’

5o) Unindo os pontos, obtemos o triângulo A’B’C’. A

B

A’

C

B’

C’

213

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Usando as ferramentas de um software de geometria dinâmica, obtenha a figura ao lado a partir da aplicação de diferentes rotações em um losango, com centro de rotação em C.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3

2

Representação de um polígono no plano cartesiano y

Já vimos que o plano cartesiano é composto de dois eixos, um horizontal e um vertical, chamados de eixo das abscissas (eixo x) e eixo das ordenadas (eixo y), respectivamente, e que podemos representar um ponto no plano cartesiano utilizando um par ordenado.

eixo das ordenadas (eixo y)

4 P(1, 3)

3 2

eixo das abscissas (eixo x)

1

0

1

2

3

4

x

Assim, o ponto P(1, 3), representado acima, tem abscissa x 5 1 e ordenada y 5 3.

Os quadrantes do plano cartesiano Podemos ampliar os eixos x e y, representando também os números negativos. Assim, os eixos dividem o plano cartesiano em quatro partes que chamamos de quadrantes. • No 1o quadrante, representamos os pontos de coordenadas positivas. • No 2o quadrante, representamos os pontos com abscissa negativa e ordenada positiva. • No 3o quadrante, representamos os pontos de coordenadas negativas. • E, no 4o quadrante, representamos os pontos com abscissa positiva e ordenada negativa. Exemplo y

2º- quadrante B(–1, 3)

1º- quadrante

3

• O ponto B(21, 3) está representado no 2o quadrante, pois tem abscissa negativa (x 5 21 , 0) e ordenada positiva (y 5 3 . 0).

2 A(2, 1)

1

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

–3

214

214

–2

–1

0 –1

C(–2, –2)

3º- quadrante

1

2

3

x

D(2, –1)

–2 –3

• O ponto A(2, 1) está representado no 1o quadrante, pois tem coordenadas positivas (x 5 2 . 0 e y 5 1 . 0).

4º- quadrante

• O ponto C(22, 22) está representado no 3o quadrante, pois tem coordenadas negativas (x 5 y 5 22 , 0). • O ponto D(2, 21) está representado no 4o quadrante, pois tem abscissa positiva (x 5 2 . 0) e ordenada negativa (y 5 21 , 0).

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Relembre, se julgar neces­ sário, que ao representar as coordenadas cartesianas é preciso seguir a ordem (x, y), em que x representa a abscissa e y, a ordenada; por isso também é definido como par ordenado. Retome com mais detalhes a identificação dos pontos no plano cartesiano. Para isso, sugira aos alunos que pensem em deslocamento horizontal e deslocamento vertical, respectivamente. • Comente que o ponto de interseção dos eixos é cha­ mado de origem e suas coor­ denadas são (0, 0). • Explique que a identifica­ ção dos quadrantes do pla­ no cartesiano pode ser feita a partir das coordenadas po­ sitivas, girando em sentido anti­horário.

O polígono no plano cartesiano Podemos representar um polígono no plano cartesiano, associando seus vértices a pares ordenados. Observe, abaixo, a representação do polígono de vértices A(1, 2), B(2, 4), C(4, 2) e D(3, 1). Esta é a representação do quadrilátero ABCD no plano cartesiano.

y B

2

A

C

1

• Para a realização das ativi­ dades, sugira o uso de papel quadriculado; no entanto, é interessante também que o aluno desenvolva a capaci­ dade de esboçar à mão livre, aprimorando a capacidade motora fina. • Na atividade 1, comente com os alunos que os pares ordenados de abscissa 0, ou seja, C e F, estão sobre o eixo das ordenadas, uma vez que não possuem deslocamento horizontal; e que os pares de ordenadas 0, ou seja, B e F, estão sobre o eixo das abs­ cissas, uma vez que não pos­ suem deslocamento vertical. Assim, a localização dos pontos no plano cartesiano ficará da seguinte maneira:

D

1

2

3

4

5

x

ATIVIDADES

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

1

Construa, em seu caderno, um plano cartesiano e marque os seguintes pontos: A(3, 2), B (21, 0), C (0, 23), D (22, 22), E (3, 24), F (0, 0), G (24, 3) e H (3, 22).

2

Quais são as coordenadas dos vértices do trapézio?

A( 21, 2), B(0, 2), C(0, 21) e D(23, 21)

y A

2 B

1

–3 D

–2

–1

0 –1 –2

1 C

x

3. 3o quadrante. Espera-se que os alunos façam a justificativa pelo fato de que as coordenadas de todos os vértices têm ordenadas e abscissas negativas e, desse modo, só podem estar localizadas no terceiro quadrante.

3

Um pentágono com as coordenadas dos vértices R (21, 21), S (22, 21), T (23, 22), U (22, 23) e V (21, 22) está localizado em qual quadrante? É possível justificar sua resposta sem representar esse polígono? Converse com o professor e os colegas.

4

Um triângulo ABC com coordenadas do vértice A (2, 2), B (23, 21) e C (1, 21) passa por quais quadrantes? todos os quadrantes

5

Os pontos A (1, 21) e B (4, 21) são vértices de um quadrado ABCD construído no 4 quadrante. Quais são as outras coordenadas dos vértices desse quadrado? (4, 24) e (1, 24)

6

Em seu caderno, construa um plano cartesiano e represente um hexágono que passe por todos os quadrantes. Resposta pessoal.

o

G

y 3 2 1

A

–4

E

B F –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 x –1 –2 H D –3 C ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

0

CLÁUDIO CHIYO

3

215

• Para a resolução das ati­ vidades 3, 4 e 5, sugira aos alunos que façam a repre­ sentação dos pontos no pla­ no cartesiano. • Uma resposta possível para a atividade 6 é: y 2 G L –3

–2 –1 K

H

1 0 –1

1

2 I

3 x

–2 J

215

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

4

• O tópico “Transformações geométricas no plano carte­ siano” pretende desenvolver as habilidades EF07MA19 e EF07MA20 e, visando ao bom desenvolvimento do conteúdo, é importante que, para o início deste tópico, os alunos não tenham dúvidas quanto à identificação de pontos no plano cartesiano. • Caso considere interessan­ te, reproduza os exemplos no quadro de giz, mostran­ do as coordenadas iniciais, as novas coordenadas e as figuras (ABCD, A’B’C’D’, FGHI, F’G’H’I’). Posterior­ mente, conclua com os alu­ nos as transformações ocor­ ridas: ampliação e simetria em relação à origem, res­ pectivamente. • Na primeira ampliação do losango ABCD (multiplica­ ção das coordenadas dos vértices por 2), comente que as medidas lineares dobra­ ram, mas a área do polígono quadruplicou. A ideia não é aprofundar esse assunto, mas mostrar a conexão en­ tre os conteúdos.

Lembre-se: Não escreva no livro!

3

Transformações geométricas no plano cartesiano

Considere o losango verde, em que as coordenadas de seus vértices são A(1, 1), B(2, 3), C(4, 4) e D(3, 2). Observe que, se multiplicarmos as coordenadas dos vértices desse polígono por 2, obteremos assim os pontos A’(2, 2), B’(4, 6), C’(8, 8) e D’(6, 4), que são as coordenadas dos vértices do losango laranja. Espera-se que os alunos percebam que o losango A’B’C’D’

Qual é a relação entre esses dois losangos? representa uma ampliação do losango ABCD. y

8

8

7

7

6

6

5

5 C

4

0

2

D

A’

1

A 1

D’

3

2 1

B’

4

B

3

C’

2

3

4

5

6

7

8

x

0

1

2

3

4

5

6

7

8

x

y

Agora, considere o quadrilátero FGHI de vértices com coordenadas F(1, 1), G(3, 4), H(4, 4) e I(4, 3). Se multiplicarmos essas coordenadas por 21, obtemos o quadrilátero F’G’H’I’. Qual é a relação entre esses quadriláteros? Espera-se que os alunos percebam

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

H

3

I

2 1

que esses quadriláteros são simétricos.

Vimos nessas situações que, quando multiplicamos as coordenadas dos vértices de um polígono por números inteiros, obtemos um outro polígono, que pode ser simétrico ou não. Vamos estudar esses casos.

G

4

–4

–3

–2

0

–1 F’

F 1

2

3

4

x

–1 –2 –3

I’

H’

G’

–4

216

EF07MA19: Realizar transformações de polígonos representados no plano cartesiano, decorrentes da multiplicação das coordenadas de seus vértices por um número inteiro. EF07MA20: Reconhecer e representar, no plano cartesiano, o simétrico de figuras em relação aos eixos e à origem.

216

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

y

• Chame a atenção dos alu­ nos para o fato de que am­ bas as coordenadas do par ordenado devem ser multi­ plicadas pelo valor escolhido para se obter figuras seme­ lhantes. • Se julgar oportuno, dê exemplos de ampliações de polígonos em que se multi­ plicam as coordenadas dos vértices por números deci­ mais maiores que 1 ou me­ nores que 21 (para que os alunos visualizem também reduções).

Ampliação Considere os losangos ABCD e A’B’C’D’ representados na página anterior. Se medirmos todos os lados e ângulos das duas figuras, vamos verificar que as medidas dos lados do losango A’B’C’D dobraram em relação às medidas do losango ABCD e as medidas dos ângulos internos das duas figuras permaneceram iguais. Assim, concluímos que o losango A’B’C’D’ é uma ampliação do losango ABCD. Agora, observe os trapézios abaixo. O trapézio R’S’T’U’ é uma ampliação do trapézio RSTU, resultado da multiplicação das coordenadas dos vértices R(23, 1), S(22, 2), T(21,2) e U(21,1) por  3. Note que o trapézio R”S”T”U” também é uma ampliação do trapézio RSTU, resultado da multiplicação das coordenadas dos vértices desse trapézio por 22, porém também há uma mudança de quadrante e de sua posição com relação ao eixo x. y T’

6 5

3 S

R –9 –8 –7 –6 –5 –4

–3

ADILSON SECCO

4 U’

R’

T U

–2

2 1

–1 0 –1 –2

1

2

3

4

5

6

x

U” R”

–3 –4

T”

S”

Para ampliar um polígono no plano cartesiano, multiplicamos todas as coordenadas dos vértices desse polígono por um número maior que 1 ou menor que 21.

Ué! Não deu certo... Mas eu multipliquei as coordenadas por números inteiros...

Para obter uma ampliação, é preciso que todas as coordenadas sejam multiplicadas pelo mesmo número.

CLÁUDIO CHIYO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

S’

217

• Explore a situação apresentada e peça aos alunos que localizem o erro cometido pela personagem na ampliação da figura.

217

Simetria em relação à origem do plano cartesiano Observe, abaixo, os pentágonos representados no plano cartesiano. y C

3 B

2 1

–3

–2

0

–1 A’

1

2

3

4

x

–1 B’

D’

E

A

–2 –3

C’

O pentágono azul tem coordenadas dos vértices A(2, 1), B(1, 2), C(2, 3), D(3, 3) e E(4, 1). Se multiplicarmos todas as coordenadas dos vértices desse pentágono por 21, obteremos as coordenadas do pentágono verde: A’(22, 21), B’(21, 22), C’(22, 23), D’(23, 23) e E’(24, 21). Vamos unir, com um segmento de reta, os vértices correspondentes desses polígonos. Observe que todos os segmentos passam pela origem do plano cartesiano — ponto O(0, 0). Além disso, a distância da origem do plano cartesiano ao vértice do pentágono ABCDE é igual à distância da origem do plano cartesiano ao vértice correspondente do outro pentágono A’B’C’D’E’. y C

3

D

B

2 1

E

A

O –4

–3

E’

–2 A’

0

–1 –1 B’ –2

D’

C’

1

2

3

4

x

OA OB OC OD OE

, OA l , OB l , OC l , OD l , OE l

–3

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Concluímos, então, que os pentágonos ABCDE e A’B’C’D’E’ são simétricos em relação à origem do plano cartesiano.

218

218

Para encontrar as coordenadas dos vértices de um polígono simétrico a outro em relação à origem do plano cartesiano, multiplicamos todas as coordenadas dos vértices desse polígono por 21, ou seja, consideramos os opostos das ordenadas e das abscissas. Assim, o simétrico do ponto P(x, y) em relação à origem é o ponto P’(2x, 2y).

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–4 E’

D

Observação

Podemos associar o pentágono A’B’C’D’E’ (verde) à: • reflexão do pentágono ABCDE (azul) em relação à origem do plano cartesiano; • rotação do pentágono ABCDE (azul), em 180° com a origem do eixo como centro de rotação.

Simetria em relação aos eixos do plano cartesiano Simetria em relação ao eixo x

y

3 2 1

–4

–3

–2

Z X

0

–1

–1

1

2

3

4

x

X’ Z’

–2 –3 –4

Y’

No plano cartesiano, para encontrar as coordenadas dos vértices de um polígono simétrico em relação ao eixo x, repetimos as abscissas e consideramos os opostos das ordenadas. Assim, o simétrico do ponto P(x, y) em relação ao eixo x é o ponto P’(x, 2y).

Simetria em relação ao eixo y De maneira análoga, podemos refletir o triângulo XYZ em relação ao eixo y, obtendo o triângulo X”Y”Z”. Esse triângulo tem como coordenadas dos vértices os pontos X ”(21, 1), Y ”(23, 4) e Z ”(24, 2). Nesse caso, as abscissas dos pontos X’’, Y’’ e Z’’ são os simétricos das abscissas dos pontos XYZ, e as ordenadas se repetem.

y Y”

Y

4 3 2

Z” X” –4

–3

–2

–1

1

0

Z X 1

2

3

4

x

–1

No plano cartesiano, para encontrar as coordenadas dos vértices de um polígono simétrico em relação ao eixo y, consideramos os opostos das abscissas e repetimos as ordenadas. Assim, o simétrico do ponto P(x, y) em relação ao eixo y é o ponto P’(2x, y).

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

O triângulo X’Y’Z’ tem como coordenadas dos vértices os pontos X’(1, 21), Y’(3, 24) e Z’(4, 22). Note que as abscissas dos pontos X, Y e Z são iguais às abscissas dos pontos X’, Y’ e Z’ e as ordenadas desses pontos são seus opostos ou simétricos.

Y

4

Observe o triângulo XYZ ao lado. Suas coordenadas dos vértices são X(1, 1), Y(3, 4) e Z(4, 2). Se refletirmos esse triângulo em relação ao eixo x, obteremos o triângulo X ’Y ’Z ’.

219

Sugestão de atividade extra • Antes de iniciar o tópico “Simetria em relação aos eixos do plano cartesiano”, solicite aos alunos que construam, em um papel quadriculado, um plano cartesiano e sugira que façam um desenho simples (uma casa, um carro etc.), a caneta, no 1o quadrante. Depois, peça que dobrem o papel quadriculado no eixo x e transfiram a imagem para o 4o quadrante, contornando o desenho do 1o quadrante, criando uma sombra no 4o quadrante. E, por fim, solicite que marquem três pontos no desenho do 1o quadrante e seus respectivos pontos no 4o quadrante. Pergunte a eles o que perceberam com essa construção. Espera-se que eles notem que se trata de uma reflexão em relação ao eixo x.

219

• Resposta do item d da ati­ vidade 1:

ATIVIDADES 1

y 6

A

5

1

Os alunos devem obter um polígono cujos vértices são:

D

2

3

4

Observe a representação do polígono no plano cartesiano abaixo. Quais são as coordenadas dos vértices do seu simétrico em relação ao eixo y?

5

6

7

y

x

A(3, 5), B(1, 3), C(2, 1), D(4, 1), E(6, 3) e F(4, 3)

a) Quais são as coordenadas dos vértices desse hexágono? b) Ao multiplicar as coordenadas dos vértices desse hexágono por 2, a figura obtida corresponderá a uma ampliação ou será simétrica? a uma ampliação c) Quais as coordenadas do vértice da figura obtida? A’(6, 10), B’(2, 6), C’(4, 2), D’(8, 2), E’(12, 6) e F’(8, 6). d) Represente esses dois hexágonos em um plano cartesiano.

B 2

C

0

A

3

x

• Em cada atividade, você pode dar outros exemplos do que ocorreria com a figu­ ra caso outras multiplicações fossem feitas com os pares ordenados. 2

1

–1

B

4

1

2

–2

G

–3

F

K

L

Q

N

M

P

O

Em seu caderno, construa o triângulo BCD e seu simétrico em relação à origem do plano cartesiano.

C

A

D

1

2

3

4

5

6

7

8

3

Em um plano cartesiano, faça o que se pede. a) Represente um segmento AB de coordenadas A(2, 3) e B(0, 2). b) Construa CD , simétrico de AB em relação ao eixo y, de modo que o ponto C seja simétrico ao ponto A e o ponto D seja simétrico ao ponto B. Quais as coordenadas dos pontos C e D? C(22, 23) e D(0, 24) c) Traçando os segmentos AC e BD obtemos o contorno de um polígono. Que polígono é esse? um retângulo

4 3 2 C 1 B1 2 3 4 x –4 –3 –2 –1 0 B’ –1 C’ –2

3

x

2

C

–3 –4

1

220

D’

B –4

–3

–2

–1

0

1

x

–1 –2

Quais são as coordenadas do triângulo B’C’D’, simétrico ao triângulo BCD? B’ (0, 0), C’ (4, 22) e D’ (2, 24)

220

y

D

4

1

Exemplo de resposta: A(1, 1), B(2, 3) e C(4, 1)

x

H

y

2

4 J

3

0

3

I

Construa um eixo de coordenadas em seu caderno para representar o polígono FGHIJKLMNOPQ e seu simétrico em relação ao eixo y. 5

5

0

–4

O triângulo representado a seguir representa a ampliação do triângulo ABC. Quais são as possíveis coordenadas dos vértices desse triângulo? 6

F’(21, 23), G’(21, 22), H’(22, 22), I’(22, 21), J’(23, 21), K’(23, 22), L’(24, 22), M’(24, 23), N’(23, 23), O’(23, 24), P’(22, 24) e Q’(22, 23)

–1

y

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

1

1

E

2

2

–3 –2 –1 0

F

B

3

y

1

Exemplo de resposta: A(2, 4) e B(0, 2)

4

4

3

d) Usando essa mesma estratégia, quais poderiam ser as coordenadas dos pontos A e B para se obter o contorno de um quadrado?

Considere o hexágono representado a seguir.

• Resposta do item a da ati­ vidade 3: 4

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

y 11 A’ 10 9 8 7 F’ B’ E’ 6 A 5 4 F E 3 B 2 D’ C’ 1 C D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 13 x

• Nas atividades 6 e 8, orien­ te os alunos a identificar primeiro as coordenadas dos polígonos já existentes, fazendo transformações a partir dos pares ordenados.

10. a) Falsa. O triângulo está localizado no 1o e 2o quadrantes. b) Verdadeira. c) Falsa. As coordenadas dos vértices do triângulo simétrico em relação ao eixo y são A’(3, 1), B’(1, 3) e C’(22, 1). d) Verdadeira.

6

Qual das figuras abaixo representa uma simetria, em relação à origem do plano cartesiano, de um quadrado de coordenadas dos vértices A(23, 1), B(22, 3), C(0, 2) e D(21, 0)? alternativa c a)

8

y

4

9 B’

3 C’ 2

0

4o quadrante, 3o quadrante e 1o quadrante, respectivamente

No plano cartesiano abaixo, os triângulos B, C e D são simétricos ao triângulo A, respectivamente, em relação alternativa c 3

A’ D’ 1

2

3

4

2

A

x

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–3

b)

–2

–1

C

1 D’ –2

–1

0

1

a) b) c) d)

–2 C’ –3

B’

1

2

3

x

–2

D

–3

x

–1

A’

0 –1

y

–3

B

1

–1

–4

ƒ Na atividade 6, relembre que, para essa reflexão, bas­ ta considerar pontos com mesmas ordenadas e abscis­ sas opostas. ƒ Na atividade 8, relembre que, para essa reflexão, bas­ ta considerar os opostos das abscissas e das ordenadas dos pares existentes.

y

1

–1

Considere um polígono inteiramente contido no 2o quadrante. Em quais quadrantes estarão, respectivamente, os simétricos em relação à origem do plano cartesiano, em relação ao eixo das abscissas e em relação ao eixo das ordenadas?

ao eixo x, ao eixo y e à origem. ao eixo x, à origem e ao eixo y. ao eixo y, ao eixo x e à origem. ao eixo y, à origem e ao eixo x.

10

c)

y 1 D’ –1

0

1

2

–1

3

4

x

A’

–2 C’ –3

7

B’

Se um triângulo tem dois vértices no eixo y e um vértice no 1 o quadrante, o que acontece ao multiplicarmos as coordenadas desses vértices por 21? Onde ficará o vértice que estava no 1 o quadrante?

O triângulo obtido como resultado é simétrico em relação à origem quando comparado ao triângulo original. O vértice ficará no 3o quadrante.

Com relação ao triângulo de coordenadas dos vértices A(23, 1), B(21, 3) e C (2, 1), classifique as sentenças abaixo em verdadeiras ou falsas, corrigindo as sentenças falsas em seu caderno. a) O triângulo ABC está inteiramente localizado no 2o quadrante do plano cartesiano. b) O triângulo simétrico ao triângulo ABC, em relação ao eixo x, está localizado no 3o e 4o quadrantes. c) O triângulo simétrico ao triângulo ABC, em relação ao eixo y, possui coordenadas dos vértices A’(23, 21), B’(21, 23) e C’(2, 21). d) O triângulo simétrico ao triângulo ABC, em relação à origem do plano cartesiano, possui coordenadas dos vértices A’ (3, 21), B’ (1, 23) e C’ (22, 21).

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

–4

221

221

Lendo e aprendendo • Aproveite a oportunidade para falar sobre a presença de figuras geométricas planas em diversas obras e construções.

Oscar Niemeyer, o gênio das formas

Material Digital Audiovisual • Videoaula: Arte e Matemática

Oscar Ribeiro de Almeida de Niemeyer Soares nasceu no Rio de Janeiro, em 15 de dezembro de 1907, e faleceu na mesma cidade, em 5 de dezembro de 2012. Ele é considerado um dos arquitetos mais influentes do mundo contemporâneo. O “gênio das formas” é reconhecido pela beleza, ousa­ dia e leveza de seus projetos. O Museu de Arte Contemporâ­ nea, no Rio de Janeiro (RJ), o Palácio do Itamaraty, em Brasília (DF), o Museu Oscar Niemeyer, em Curitiba (PR), e o Auditório Ibirapuera, em São Paulo (SP), são marcas de sua genialidade. É possível observar formas que lembram figuras geométri­ Oscar Niemeyer, o arquiteto do cas em obras de Oscar Niemeyer, assim como a simetria em século XX, Rio de Janeiro (RJ), suas construções. Se achar necessário, diga aos alunos que as imagens 15 dez. 2007.

Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual

MÁRCIO MERCANTE/AGÊNCIA O DIA/ESTADÃO CONTEÚDO

Lendo e aprendendo

Museu Oscar Niemeyer O Museu Oscar Niemeyer é formado por dois prédios. O  primeiro foi projetado por Oscar Niemeyer em 1967 e segue o estilo da época. O segundo foi inaugurado em 2002 e, devido ao design do edifício, é conhecido como “Museu do Olho”. Na  fachada lateral, há uma grande estrutura de vidro na qual podem ser observadas formas que lembram paralelogramos. Museu Oscar Niemeyer, em Curitiba (PR), 2017.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Catedral de Brasília, Brasília (DF), 2014.

DADO PHOTOS/SHUTTERSTOCK

O Palácio do Itamaraty, também conhecido como Palácio dos Arcos, é a sede do Ministério das Relações Exteriores do Brasil, situado em Brasília (DF). Foto de 2015.

OSTILL/SHUTTERSTOCK

PAULO BITES/SHUTTERSTOCK

desta página não foram apresentadas em escala de tamanho.

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo questões de exames, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

Faça as atividades no caderno.

1. Isometrias são transformações geométricas que preservam a forma e as dimensões. Foram estudadas as translações, as rotações e as reflexões.

Revisitando

5. Obtemos uma ampliação do polígono original.

1

O que são isometrias? Quais isometrias foram estudadas neste capítulo?

2

O que precisamos definir para transladar uma figura? A direção, o sentido e a distância

3

Quais elementos precisamos conhecer para rotacionar uma figura? O centro de rotação, o

6

Observando as coordenadas dos vértices de um polígono, é possível saber quais são as coordenadas dos vértices dos simétricos

7

em relação aos eixos x e y? Qual é a relação entre as coordenadas? Que resultado obtemos ao multiplicar todas as coordenadas dos vértices de um polígono por 3? O que acontece quando multiplicamos todas as coordenadas dos vértices de um polígono por 21? Qual é a relação entre o eixo de simetria e as figuras (original e refletida)?

5

em que a figura será deslocada.

sentido (horário ou anti-horário) e o ângulo de rotação.

4

Revisitando

Aplicando 1

Responda: Em que quadrante se localizam, respectivamente, os pontos A(21, 21), B (23, 5), C (2, 5) e D (2, 23)? 3o, 2o, 1o e 4o

2

As coordenadas dos vértices A(1, 22) e B (3, 21) formam um dos lados de um losango inteiramente contido no 4o quadrante. Quais são as outras coordenadas dos outros vértices desse losango? C(5, 22) e D(3, 23)

3

4

Ladrilhar uma superfície é preencher todo o plano com um polígono. Utilizando régua e compasso, construa um ladrilho formado por quadrados. O ladrilho final deverá formar um retângulo com 5 quadrados no comprimento e 3 quadrados na altura, totalizando 15 quadrados. Resposta pessoal.

5

O polígono A’B’C’D’E’F’ é simétrico ao polígono ABCDEF em relação: alternativa b

Quais são as coordenadas dos vértices do polígono simétrico ao quadrilá tero ABCD, em relação à origem do plano cartesiano? A’(3, 0), B’(1, 21), C’(0, 23) e D’(0, 0)

y A

2

4 3 C

–5

2

–4

–3

–1

0 –1

D

–3 E‘

–2 D‘

1

–1

0

1

2

3

4

x A‘

B‘

1

x

–3

a) à origem do plano cartesiano. b) ao eixo das abscissas. c) ao eixo das ordenadas.

7. A distância de um ponto da figura original ao eixo de simetria é a mesma que do seu ponto correspondente na figura refletida ao eixo.

• Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. • Na atividade 5, comente que as medidas de cada lado do polígono serão três vezes as medidas de cada lado correspondente do polígono original. • Espera-se que os alunos, na atividade 7, respondam que, a cada ponto P da figura original, podemos associar um ponto P’ na figura refletida, de modo que P e P’ estejam a uma mesma distância do eixo de simetria.

Aplicando

–2

–2 –3

2

–1

F‘

D –2

–4

E

C‘

1

A

3 C

F

y

B

B

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Sim, é possível. Para encontrar a coordenada simétrica 6. Quando multiplicamos todas as coordenadas dos em relação ao eixo x, multiplicamos a ordenada por 21 e vértices de um polígono por 21, obtemos um polígono mantemos a abscissa; em relação ao eixo y, multiplicamos a simétrico em relação à origem do plano cartesiano. abscissa por 21 e mantemos a ordenada.

• Na atividade 2, retome com os alunos que o losango é um quadrilátero com os quatro lados congruentes.

223

223

• Na atividade 6, chame a atenção para o uso do ponto A como referencial. Converse com os alunos sobre uma maneira de raciocinar, pensando primeiro no giro de 180°.

Lembre-se: Não escreva no livro!

7

ILUSTRAÇÕES: CLÁUDIO CHIYO

• A seção incentiva a criatividade, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4 e 10 e da competência específica 5. • Caso os alunos não tenham acesso a um software de geometria dinâmica, a atividade poderá ser realizada utilizando malha quadriculada ou régua e transferidor. • Para a construção com o uso de reflexão, alguns softwares de geometria dinâmica não permitem que façamos reflexão usando como eixo de simetria lados de figuras refletidas. Nesse caso, instrua os alunos a construir uma reta suporte ou utilizar a reflexão em relação a um ponto.

Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360o. A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de alternativa b a) 90o no sentido horário. b) 135o no sentido horário. c) 180o no sentido anti-horário. d) 270o no sentido anti-horário. e) 315o no sentido horário. Para cada uma das situações a seguir, indique o ângulo de rotação e o sentido usados para obter F2. 90°, sentido horário a) F1

F2

b)

F2

F1

45°, sentido anti-horário

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Elaborando

(Enem) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada  O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45o com a linha do horizonte.

Elaborando

As descrições das competências gerais 1, 2, 7 e 9 estão nas páginas 206 e 210. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva.

224

A

• Na construção acima, utilizamos somente rotação, mas é possível construir a mesma figura utilizando somente reflexão. Junte-se a um colega e escrevam um roteiro com os passos que devem ser seguidos para a construção, em um software de geometria dinâmica, usando somente reflexão. Resposta pessoal. 224

Competência geral 6: Valorizar a diversidade de saberes e vivências culturais e apropriar-se de conhecimentos e experiências que lhe possibilitem entender as relações próprias do mundo do trabalho e fazer escolhas alinhadas ao exercício da cidadania e ao seu projeto de vida, com liberdade, autonomia, consciência crítica e responsabilidade. Competência geral 8: Conhecer-se, apreciar-se e cuidar de sua saúde física e emocional, compreendendo-se na diversidade humana e reconhecendo suas emoções e as dos outros, com autocrítica e capacidade para lidar com elas. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

ADILSON SECCO

Com o auxílio de um software de geometria dinâmica, siga as instruções abaixo para construir uma figura como a representada ao lado. B 1. Construa um triângulo equilátero ABC. 2. Rotacione o triângulo ABC, com centro de rotação em A, no sentido C horário e ângulo de 60o. A composição desses dois triângulos formam um losango. 3. Rotacione o losango formado, com centro de rotação em C, no sentido horário e ângulo de 60o. Obteremos um novo losango. 4. Rotacione esse novo losango, com centro em C, no sentido horário e ângulo de 60o. 5. Continue o processo até representar a figura.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

6

É hora de extrapolar

É hora de extrapolar

• A seção propõe o fechamen­ to da unidade por meio de um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comuni­ cação e a elaboração de um vídeo, que será compartilhado com a comunidade escolar. • Com a finalidade de or­ ganizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:

Faça as atividades no caderno.

O QUE VOCÊ SABE SOBRE AS PARALIMPÍADAS? 

Atletas carregam a bandeira oficial dos Jogos Paralímpicos durante a cerimônia de abertura, Roma (Itália), 1960.

Kathleen Comley, da Grã-Bretanha, concorre na categoria de tiro com arco e flecha, nos Jogos Paralímpicos, em 1960. Cerca de 400 atletas de 22 nações participaram dos jogos.

KEYSTONE/HULTON ARCHIVE/GETTY IMAGES

AP PHOTO/GLOW IMAGES

WALTER ATTENNI/AP PHOTO/GLOW IMAGES

Equipe italiana na vila olímpica antes do início dos primeiros Jogos Paralímpicos, em Roma (Itália), 1960.

Objetivos: Analisar o conceito envolvido nos emblemas dos Jogos Olímpicos e Paralímpicos de 2020, analisar dados sobre a Paralímpiada de 2016, pesquisar sobre esporte paralímpico e produzir vídeos que serão apresentados para a comunidade escolar. Etapa 1: Pesquisa e análise sobre os emblemas das Olimpíadas e das Paralimpíadas de 2020.

1. a) Os dois símbolos são formados pelo mesmo número de retângulos para nos lembrar de que todas as pessoas são iguais, e que, independentemente de habilidades ou deficiências, somos unidos em nossa humanidade.

WOLFGANG KUMM/PICTURE-ALLIANCE/ DPA/AP PHOTO/GLOW IMAGES

1. Reúnam-se em grupos. Observem os emblemas dos Jogos Olímpicos e Paralímpicos de 2020, que acontecerão em Tóquio, no Japão.

ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Os Jogos Paralímpicos são o maior evento esportivo do mundo envolvendo atletas com deficiências. A primeira edição das Paralimpíadas ocorreu em Roma, em 1960, com cerca de 400 atletas. Em 2016, os jogos foram realizados no Rio de Janeiro. Mais de 4 mil atletas participaram do evento, celebrando o esporte, a superação e a diversidade.

Agora, pesquisem na internet qual foi o conceito envolvido na criação dos emblemas e analisem a estrutura deles, respondendo às questões: a) Que relação existe entre as composições de retângulos nos dois emblemas e que mensagem essa composição tem intenção de passar? b) Existe algum tipo de simetria nesses símbolos? Se sim, qual? c) Vocês concordam com a afirmação “Diversidade torna o mundo um lugar vibrante”, que faz parte das explicações sobre as concepções dos emblemas? Justifiquem a resposta. Resposta pessoal. 1. b) Sim. O símbolo das Olimpíadas possui simetria de rotação e o das Paralimpíadas, simetria de reflexão.

225

Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Arit­ mética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados. Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

ƒ Entendimento do contex­ to e dos objetivos do traba­ lho a ser realizado. ƒ Pesquisa coletiva. ƒ Elaboração, em grupo, do produto proposto. ƒ Apresentação e exposição do vídeo. ƒ Reflexão e síntese do tra­ balho.

As etapas de pesquisa e pro­ dução do vídeo podem ser realizadas extraclasse. Veri­ fique o perfil dos alunos e oriente­os com relação ao prazo, aos materiais e a ou­ tros aspectos necessários à realização do trabalho. • A seção também favorece o desenvolvimento das com­ petências gerais 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10 e das competências específicas 3, 5, 7 e 8, pro­ curando mobilizar conte­ údos estudados nos capítu­ los que integram a unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os conteúdos, mas, se preferir trabalhar as eta­ pas da seção à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimen­ tos prévios necessários. • Se achar oportuno, traba­ lhe a seção em parceria com o professor de Educação Física. Os alunos podem aprofundar as pesquisas sobre Olimpíadas e Paralimpíadas e discutir so­ bre a importância dos espor­ tes em seus diversos aspectos, como saúde, vida social, di­ versidade cultural etc.

Competência específica 8: In­ teragir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coleti­ vamente no planejamento e de­ senvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

225

226

Etapa 2: Análise de dados das Paralimpíadas de 2016.

2. A tabela a seguir mostra o número de atletas das três maiores delegações e o total de atletas que participaram das Paralimpíadas, no Rio de Janeiro, em 2016. Analisem os dados e respondam às questões. Distribuição de atletas participantes das Paralimpíadas do Rio de Janeiro em 2016 País

Atletas Homens

Mulheres

Total

Brasil

184

102

286

China

161

146

307

Estados Unidos

154

124

278

Todos

2657

1671

4328

a) É correto afirmar que os atletas brasileiros correspondem a mais de 10% do total de atletas que participaram das Paralimpíadas? Como verificar sem realizar contas armadas ou utilizar calculadora? Não; resposta pessoal. b) A distribuição entre homens e mulheres na delegação brasileira é mais ou menos equilibrada que a distribuição geral (de todos os países juntos)? Descrevam o processo realizado para determinar esta resposta. c) Que país teve o maior equilíbrio na participação de atletas homens e mulheres nas Paralimpíadas de 2016, dentre os citados na tabela? A China (52% de homens e 48% de mulheres) teve maior equilíbrio.

Os Estados Unidos tiveram 55% de homens e 45% de mulheres, e o Brasil, 64% de homens e 36% de mulheres.

3. Daniel Dias conquistou sua 24a medalha paralímpica nos Jogos do Rio de Janeiro, no dia 17 de setembro de 2016, tornando-se o maior medalhista de natação masculina da história das Paralimpíadas. Na prova de 50 metros de nado livre, o atleta levou 32,78 segundos para completá-la e, na prova de 200 metros de nado livre, foram necessários 2 minutos e 27,88 segundos, ganhando medalhas pelo desempenho em ambas as provas. a) Se o nadador nadasse 200 metros nado livre com a velocidade média que atingiu na prova de 50 metros nado livre, quanto tempo ele levaria para completar os 200 metros? 2 minutos e 11,12 segundos b) O tempo obtido no item a corresponde ao tempo de prova que o atleta obteve nos 200 metros nado livre nos Jogos Paralímpicos de 2016? Por que vocês acham que isso ocorreu? Não. Daniel Dias participou de nove provas nas Paralímpiadas do Rio, conquistando quatro medalhas de ouro, três de prata e duas de bronze.

226

• No item b da atividade 2, temos que a distribuição da delegação brasileira é menos equilibrada que a distribuição geral. É possível comparar a relação entre homens e mulheres. Observe: ƒ % de homens na delegação brasileira: 184 & 0,64 5 64% ƒ % de homens nas Paralimpíadas: 2657 & 0,61 5 61% 286 4 328 % de mulheres na delegação brasileira: 36% (100% 2 64%) % de mulheres nas Paralimpíadas: 39% (100% 2 61%)

• É interessante discutir com os alunos a necessidade de calcular a relação entre homens e total de atletas, já que apenas os valores absolutos de homens (184 no Brasil e 2 657 no total) seriam insuficientes para responder à questão proposta.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Fonte: Paralimpíada do Rio de Janeiro, 2016.

A.RICARDO/SHUTTERSTOCK

• Acesse o site oficial dos Jogos Olímpicos em Tóquio 2020 (disponível em: , acesso em: 6 set. 2018) e explore com os alunos os materiais sobre o conceito dos emblemas analisados na atividade 1. Há uma explicação sobre a composição dos emblemas nesse site: “Três retângulos de formatos diferentes representam a diversidade. A diversidade torna o mundo um lugar vibrante. Ela nos separa, mas pode nos unir. Com respeito mútuo e apoio, a diversidade se torna união. Esses dois emblemas são feitos com o mesmo número de formas. Eles nos lembram de que todas as pessoas são iguais. Que, independentemente de habilidade ou deficiência, estamos todos unidos em nossa humanidade. A emoção e a excitação dos esportes nos inspiram e fazem com que os corações ao redor do mundo batam juntos como um só. Aí é onde um futuro deslumbrante começa”. • Para facilitar a visualização das simetrias dos emblemas dos Jogos Olímpicos de 2020, os alunos podem explorar imagens impressas desses emblemas. É um bom momento para retomar elementos das simetrias, como ângulo de rotação (120° no caso do emblema das Olímpiadas), centro da rotação e eixo de simetria. Solicite aos alunos que dobrem a imagem do emblema das Paralimpíadas no eixo de simetria e verifiquem que as duas partes ficam, de fato, sobrepostas. • No item a da atividade 2, como 10% de 4 328 corres1 pondem a de 4 328, po10 demos verificar que seriam necessários mais de 432 atletas brasileiros para representar mais de 10% do total, já que a divisão por 10 corresponde a 432,8. O arredondamento pode auxiliar nesse cálculo: 10% de 4 000 resulta em 400, que já é um número maior que o número de atletas brasileiros (400 . 286). Proponha aos grupos que expliquem como fizeram para resolver esta questão elencando as diferentes estratégias no quadro de giz.

• No item b da atividade 3, verifique se os alunos percebem que o tempo utilizado por Daniel Dias na prova de 200 metros, de nado livre, em 2016, é maior que o encontrado no item a. Isso ocorre porque na prova mais longa o atleta nada os 200 metros sem parar, não podendo se recuperar a cada 50 metros. Para evidenciar essa discussão, os alunos podem pensar no tempo de uma corrida de 100 metros em comparação ao tempo de uma maratona de 42 quilômetros. • Para a etapa 3, se houver repetições das modalidades esportivas, converse com os grupos para solicitar que escolham outras a fim de que a pesquisa fique mais abrangente. Caso julgue necessário, proponha um sorteio das modalidades esportivas. • Caso não seja viável a produção de vídeos, peça aos alunos que preparem seminários para apresentar à turma e painéis para exposição à comunidade escolar. Os painéis deverão conter fotos, ilustrações e informações sobre a modalidade escolhida. • Para consolidar o estudo da unidade, releia e refaça coletivamente as atividades do “Revisitando” e as questões da abertura de unidade.

Etapa 3: Pesquisa sobre esportes paralímpicos e planejamento para a produção do vídeo.

4. O quadro a seguir mostra as modalidades esportivas que foram disputadas nos Jogos Paralímpicos do Rio de Janeiro em 2016. Atletismo

Basquetebol

Bocha

Canoagem velocidade

Ciclismo de estrada

Ciclismo de pista

Esgrima

Futebol de 5

Futebol de 7

Goalball

Halterofilismo

Hipismo

Judô

Natação

Remo

Rugby

Tênis de mesa

Tênis

Tiro com arco

Tiro esportivo

Triatlo

Vela

Vôlei sentado

Dados disponíveis em: . Acesso em: 6 set. 2018.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Escolham uma modalidade esportiva e busquem, em sites, revistas ou livros especializados, informações sobre a história dela nos Jogos Paralímpicos, as categorias, as regras, como esse esporte é disputado, curiosidades e a participação brasileira nos jogos de 2016.

5. Com base nas informações obtidas na pesquisa, vocês produzirão um vídeo que apresente informações sobre a modalidade esportiva escolhida. Visando a uma boa etapa de produção do vídeo, é interessante fazer um planejamento. Para isso, vejam as dicas a seguir. • Elaboração do roteiro: produzam um documento com todas as ideias e informações, definindo o que será exposto e orientando a gravação, com a descrição de falas e cenas e prevendo a inserção de imagens. O roteiro determina a hierarquia para as informações. • Distribuição das tarefas: definam os responsáveis pelas etapas da produção do vídeo — pesquisa de imagens, apresentadores (distribuição das falas), escolha dos cenários, gravação (câmera, diretor), edição do vídeo etc. • Duração do vídeo: vídeos com conteúdo extenso (1 ou 2 horas de duração) tendem a dispersar a atenção do espectador. O consumo de conteúdo na internet, por exemplo, é feito, em geral, de maneira rápida e simples. • Local de gravação: escolham um local sem muitos ruídos para realizar a gravação e cuidem para que o áudio das falas seja captado com clareza. Etapa 4: Análise do material de planejamento, produção e exibição dos vídeos.

6. Compartilhem o material elaborado no planejamento da produção do vídeo com a turma para que todos analisem e façam comentários em relação à clareza das informações e das imagens escolhidas. 7. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas.  8. Depois dos ajustes necessários, realizem a gravação e edição do vídeo. 9. Com os vídeos finalizados, organizem uma exibição sobre os esportes paralímpicos para os colegas e a comunidade escolar. Etapa 5: Síntese do trabalho realizado. Respostas pessoais.

10. Algumas questões que devem ser discutidas: a) Quais informações sobre as modalidades esportivas das Paralimpíadas vocês acharam mais interessantes? b) Qual é a importância dos Jogos Paralímpicos? c) Vocês conhecem situações em que as pessoas com deficiência não são incluídas de maneira adequada? Se sim, o que pode ser feito para que isso não ocorra? 11. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4. 227

Veja proposta de avaliação de aprendizagem no Material do Professor – Digital.

• Explore o uso dos décimos e centésimos de segundos que aparecem nas medidas de tempo na atividade 3. Discuta com os alunos o significado dos algarismos nas casas decimais de segundos e a necessidade do uso dessas frações de segundos para a marcação de tempo em vários esportes.

227

UNIDADE

IV

Nesta unidade você vai estudar Capítulo 10 Grandezas e medidas Capítulo 11 Figuras geométricas planas Capítulo 12 Probabilidade e estatística

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Nesta unidade, os alunos vão estudar conteúdos que exploram as unidades temáticas Grandezas e medidas, Geometria e Probabilidade e estatística. Em Grandezas e medidas (capítulo 10), entrarão em contato com diferentes situações cotidianas com o objetivo de perceber que toda medida empírica é aproximada. Além disso, estudarão situações relacionadas ao volume de blocos retangulares e ao cálculo de áreas de diferentes figuras. O comprimento de circunferências e o número π serão explorados junto com o estudo de circunferências em Geometria (capítulo 11). Nessa unidade temática, também irão entrar em contato com as relações entre os ângulos formados por retas paralelas interceptadas por uma transversal, triângulos e polígonos regulares. Por fim, no capítulo 12, teremos conceitos como espaço amostral e o cálculo de probabilidades em eventos aleatórios e os conceitos relacionados à Estatística, como a média aritmética e a amplitude de um conjunto de dados e gráfico de setores. • Em anos anteriores, os alunos já tiveram contato com conteúdos relacionados aos que serão estudados nessa unidade, e, por esse motivo, é importante levar em consideração aquilo que eles já sabem a respeito de cada assunto.

É hora de começar 1 Dê exemplos de situações em que você precisou usar medidas aproximadas. 2 Como você definiria um polígono? Qualquer figura geométrica plana é um polígono? 3 Se duas pessoas querem decidir quem começará um jogo, a escolha de cara ou coroa em um lançamento de moedas é uma opção justa? Por quê?

Veja plano de desenvolvimento e projeto integrador no Material do Professor – Digital.

228

• As questões apresentadas nessa página têm o objetivo de fazer com que os alunos reflitam e tenham curiosidade sobre os assuntos que serão trabalhados nesta unidade. Por esse motivo, não precisam ser respondidas neste momento, mas sugerimos retomá-las no final do estudo da unidade para que eles reflitam sobre o que aprenderam.

PDF-228-248-MCP7-C10-G20.indd 228

228

9/25/18 17:28

Objetivos • Reconhecer que toda medida empírica é aproximada. • Compreender a noção de figuras equivalentes e aplicá-la no cálculo de áreas. • Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. • Calcular a medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico). • Resolver e elaborar problemas que envolvam as grandezas superfície e volume.

CAPÍTULO

10

Grandezas e medidas É hora de observar e refletir Energias limpas se referem às que são renová­ veis e não poluem o meio ambiente. Alguns exem­ plos de energia limpa são eólica, solar e hidráulica. O Complexo Eólico de Osório, localizado no Rio Grande do Sul, tem área equivalente a cerca de 18 207 estádios de futebol e possui 150 aeroge­ radores de 2 MW (megawatts) cada um.

Habilidades da BNCC Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das seguintes habilidades da BNCC: EF07MA29, EF07MA30, EF07MA31 e EF07MA32.

Sabendo que um campo de futebol tem 105 m de comprimento e 68 m de largura, qual é a área aproximada desse complexo, em metro quadrado? 129 997 980 m2 Quantos megawatts são produzidos em todo o complexo? 300 MW

É hora de observar e refletir

ALAN MEZZOMO/MOMENT OPEN/GETTY IMAGES

• Com o objetivo de verificar o conhecimento dos alunos em relação à área de regiões retangulares, foi proposto a eles que determinem a área de um estádio de futebol, para depois encontrar a área aproximada do complexo em metros quadrados. Aproveite esse momento para relembrar que 1 km2 corresponde a 1 000 000 m2 e dizer que a área oficial desse complexo é de 130 km2. Após essa apresentação, comente que, ao relacionar a área do complexo com a de estádios de futebol, apresentou-se uma aproximação, e não a área oficial, mas essa relação permitiu ter uma ideia da extensão do complexo.

Aerogeradores da usina eólica de Osório, Rio Grande do Sul, 2016.

229

EF07MA29: Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações 9/26/18 16:54 outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada. EF07MA30: Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico). EF07MA31: Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. EF07MA32: Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

PDF-228-248-MCP7-C10-G20.indd cotidianas ou229 de

Sugestão de trabalho interdisciplinar • A abertura desse capítulo permite um trabalho interdisciplinar com o professor de Ciências sobre a importância de fontes de energias renováveis, como as usinas eólicas e as solares. Eles devem perceber que as energias renováveis representam verdadeiros benefícios para a natureza, já que contam muitas vezes com baixos custos e, além disso, não necessitam de processos artificiais que resultam em prejuízo para o meio ambiente.

229

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; se achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 1, 2 e 9. • Iniciamos a apresentação destacando que a necessidade de medir é antiga. Aproveite para perguntar aos alunos quais foram as situações em que tiveram a necessidade de medir. • O conceito de área já foi abordado no 6o ano. A noção vista é de que, se considerarmos a área de um quadradinho como unidade de medida, determinamos a área de outras regiões, comparando-as com a unidade de medida estabelecida. Desse modo, espera-se que na primeira questão os alunos respondam que é possível estimar a área da fachada se a compararmos com a área ocupada pelas janelas ou pelas portas. • Para responder à segunda questão, espera-se que os alunos utilizem a comparação entre as áreas das portas ou das janelas com a da fachada. Comente que a área obtida é uma aproximação, mas é suficiente para o pintor determinar a quantidade de tinta que deverá ser adquirida. • Para a terceira questão, os alunos deverão analisar a imagem do menino com os cubos. Usando a mesma analogia da comparação das áreas, deverão comparar as medidas dos cubos e da caixa para concluírem que 8 cubos poderão ser colocados dentro da caixa.

Trocando ideias ZEV RADOVAN/BIBLELANDPICTURES/ALAMY/FOTOARENA – MUSEU METROPOLITANO DE ARTE, NOVA IORQUE

A necessidade de medir comprimen­ tos e de calcular a área de superfícies e o volume de sólidos é bem antiga. No antigo Egito, por exemplo, donos de terras às margens do rio Nilo já pagavam impostos ao faraó pelo uso da terra. O  valor era proporcional à área cultivada. Ainda hoje, deparamos frequente­ mente com situações que exigem o cál­ culo de áreas e volumes. Esticadores de cordas egípcios, os agrimensores da época, cerca de 1400 a.C.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1000 WORDS/SHUTTERSTOCK

Com seus colegas, analise a foto da fachada de uma construção.

Se soubéssemos as medidas das janelas e das portas, seria possível estimar a área dessa fachada? sim

Resposta pessoal.

Agora, considerem a imagem da criança brincando com os cubos. Quantos cubos, no máximo, podem ser colocados na caixa? 8 cubos

ENÁGIO COELHO

Um pintor está numa loja de tintas e precisa saber qual é a área aproximada da fa­ chada da construção para determinar o volume de tinta necessário para pintá­la. Ele não sabe a altura nem a largura da fachada, mas está com a foto acima e conhece as dimensões das janelas (1 m # 1,20 m) e das portas (0,80 m # 2,10 m). Com essas informações, como o pintor poderá fazer uma estimativa da área da fachada? Expliquem como vocês pensaram.

Neste capítulo, vamos estudar como calcular a área de diferentes figuras planas e o volume de blocos retangulares.

230

Competência geral 1: Valorizar e utilizar os conhecimentos historicamente construídos sobre o mundo físico, social, cultural explicar a realidade, continuar aprendendo e colaborar para a construção de uma sociedade justa, democrática e inclusiva. Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

PDF-228-248-MCP7-C10-G20.indd e digital para entender230 e

230

9/25/18 17:28

1

Situações que envolvem medições

Quando fazemos medições usando, por exemplo, uma régua, um transferidor ou um copo graduado, sempre obtemos uma medida aproximada. Independentemente da unidade de medida usada (padronizada ou não padronizada), o resultado de uma medição pode ser influenciado por diferentes motivos. Veja alguns deles: pelo manuseio ou leitura do instrumento utilizado; pelo instrumento de medida, que pode variar de acordo com o fabricante; pela temperatura do ambiente, que pode deformar o objeto a ser medido. Ter consciência desse fato nos ajuda a analisar se a medida obtida, mesmo que aproximada, satisfaz a necessidade imposta pela situação apresentada. Observe os exemplos a seguir.

Rosana decidiu levar o móvel da sala de estar para o quarto do filho. Mas, antes de levar, ela resolveu medir o comprimento do móvel para ver se caberia no local destinado. Como estava sem uma trena, Rosana resol­ veu usar o controle remoto da televisão para isso. Ela também foi ao quarto do filho e mediu o compri­ mento do lugar escolhido. Ao comparar os comprimen­ tos do móvel com o do local destinado a ela, Rosana concluiu que o móvel caberia no quarto do filho.

ILUSTRAÇÕES: ENÁGIO COELHO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Situação 1

Situação 2 Rodrigo vai fazer um churrasco para seus amigos. Como é o primeiro churrasco que organiza, pesquisou a quantidade de carne que deveria comprar. Ele descobriu que um adulto costuma consumir cerca de 400 g de carne nesses eventos. Como 8 adultos participarão do churrasco, Rodrigo decidiu comprar 3 200 g de carne, ou seja, 3,2 kg de carne. Em situações como essa, não precisamos saber a quantidade exata de comida que cada convidado consumirá, mas é importante termos uma referência para que não faltem nem sobrem muitos alimentos. 231

EF07MA29: Resolver e elaborar problemas que envolvam medidas de grandezas inseridos em contextos oriundos de situações 9/26/18 16:55 outras áreas do conhecimento, reconhecendo que toda medida empírica é aproximada.

PDF-228-248-MCP7-C10-G20.indd cotidianas ou231 de

• O tópico “Situações que envolvem medições” tem o objetivo de favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA29 da BNCC. • O texto introdutório chama a atenção dos alunos para os diferentes fatores que podem influenciar na medição de diversas grandezas. Pode-se aproveitar esse momento e solicitar a eles que meçam a largura do quadro de giz com uma régua graduada, anotem o resultado em um papel e entreguem ao professor. Após cada aluno efetuar a medição, passe as medidas encontradas para o quadro de giz. Devido às diferentes réguas utilizadas e ao modo como os alunos realizaram a medição, certamente haverá disparidade nos valores encontrados. Comente que isso ocorreu também em razão das aproximações feitas no processo de medição. • A situação 1 apresenta um problema que pode ser resolvido mesmo não tendo em posse um instrumento padronizado de medida. Neste caso, a comparação com um outro objeto, tomado como unidade de medida, foi suficiente para a resolução. • Na situação 2, foi apresentado um exemplo de estimativa. Se considerar oportuno, comente com os alunos que empresas de eventos, por exemplo, costumam utilizar estratégias como a que foi apresentada para determinar a quantidade de comida e bebida que será servida. • Apresente aos alunos outras situações que podem ser resolvidas por meio da comparação entre medidas. Veja alguns exemplos: ƒ Como podemos saber se a mesa do professor (ou outro objeto da sala) passará pela porta sem a necessidade de ser desmontada? ƒ Como identificar a maior distância entre dois lugares do colégio (exemplo: banheiro e sala da direção) até a sala de aula? ƒ Como determinar se um vasilhame tem maior capacidade que outro?

231

Situação 3 Paulo mediu uma barra com duas réguas: uma centimetrada e outra milimetrada, conforme figura a seguir.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

régua centimetrada

Com a régua centimetrada, Paulo concluiu que o comprimento da barra está entre 8 cm e 9 cm, estando mais próximo de 9 cm. O algarismo que representa a primeira casa depois da vírgula não pode se determinado com precisão, devendo ser estimado. Assim, ele estimou a medida do comprimento em 8,6 cm.

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

régua milimetrada

Com a régua milimetrada, em que cada centímetro é dividido em 10  milímetros, Paulo conclui com maior precisão que o comprimento da barra está entre 8,6 cm e 8,7 cm. Então, estimou o comprimento em 8,65 cm. Observe, agora, que os algarismos 8 e 6 são corretos e o algarismo 5 é duvidoso, pois foi estimado.

Situação 4

ENÁGIO COELHO

Jandira foi contratada para revestir o piso de uma sala. Ao tirar as medidas, ela verificou que a sala tinha aproximadamente 18 m2. Por conta da imprecisão nos instrumentos de medida e dos recortes que serão necessários, ela sabe que é preciso comprar uma quantidade de material superior a 18 m2.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

• Na situação 3, espera-se que os alunos percebam que quanto maior a precisão do instrumento, maior será a precisão da grandeza a ser medida. Aproveite para comentar que há casos em que a precisão em décimos de milímetros não tem importância, mas há casos em que isso é necessário. Para esses casos, dispomos de outros instrumentos de medida, como o micrômetro, que tem precisão na ordem de 0,001 mm.

O piso escolhido pelo cliente de Jandira é vendido em caixas com 3 m2. Como Jandira havia constatado a necessidade de comprar mais de 18 m2, Jandira orientou seu cliente a comprar 7 caixas do piso escolhido e, portanto, 21 m2. 232

PDF-228-248-MCP7-C10-G20.indd 232

232

9/26/18 17:15

ANTONIO MILENA

Lendo e aprendendo

Lendo e aprendendo

“O ano era 1992. O jovem nadador brasileiro Gustavo Borges, então com apenas 19 anos, se preparava para nadar a final dos 100 metros livre ao lado dos atletas mais rápidos do mundo na Olimpíada  de Barcelona, em 1992. Após tocar o fim da piscina, erguer a cabeça e olhar o placar, uma grande decepção tomava conta de Gustavo: [8o] lugar, sendo que seu tempo sequer estava contabilizado. Mal sabia ele, Gustavo Borges na Olimpíada de naquele momento, que havia feito história. Por uma falha no Barcelona em 1992. touchpad da piscina, o placar deixou a cronometragem de Gustavo em branco durante minutos. [...] 40 minutos depois da prova, veio o tempo oficial: 49s43. Gustavo Borges era medalha de prata em Barcelona. ‘A expectativa era ganhar uma medalha. Estava bem treinado e preparado para isso. Na prova, o fator da cronometragem foi terrível. O placar eletrônico não funcionar em uma situação como esta é praticamente inadmissível. Eram quase 12 segundos a mais’, lembra Gustavo Borges, que ainda ganharia mais três medalhas olímpicas: duas em 1996 (de bronze e de prata) e uma em 2000 (de bronze).” Disponível em: . Acesso em: 8 ago. 2018.

• Pesquisem como funciona a marcação de tempo em esportes de velocidade como a natação e o atletismo. Depois, compartilhem as informações obtidas com os colegas e discutam sobre como a tecnologia tem ajudado na precisão dos resultados e nos tira-teimas de disputas profissionais. Resposta pessoal.

ATIVIDADES

2

• Ao trabalhar com a atividade 2, comente com os alunos que pessoas com mais experiência na culinária já têm uma ideia da quantidade de cada ingrediente que corresponde a uma xícara, um copo ou uma colher. Mas, quando não se tem experiência, é importante conhecer a relação desses utensílios com sua capacidade. Desse modo, sugerimos a apresentação dessa relação:

Faça as atividades no caderno.

Supondo que você quisesse medir o tamanho do guarda-roupa do seu quarto para verificar se ele cabe em outro cômodo, mas não tivesse uma régua ou trena, como você poderia fazer essa verificação? Resposta pessoal. Em receitas culinárias é comum que as medidas sejam indicadas em xícaras, copos ou colheres. Veja a seguir a receita de um bolo de fubá em que as medidas de alguns ingredientes são dadas em xícaras de chá. Ingredientes • 2 ovos • 2 xícaras de leite • 2 xícaras de açúcar • 2 xícaras de fubá

DIOGOPPR/SHUTTERSTOCK

1

ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Métrica do esporte: o sistema de contagem de tempo

• Na reportagem apresentada, os alunos conhecerão uma situação real em que a falha em um instrumento de medida poderia ter influenciado o resultado em uma competição esportiva mundial. Além disso, os alunos devem perceber que, em competições como essa, muitas vezes a decisão se dá por centésimos de segundo.

• 2 xícaras de farinha de trigo

ƒ 240 mL 5 1 xícara de chá

• 1 xícara de óleo

ƒ 120 mL 5

• 2 colheres (chá) de fermento em pó

ƒ

a) Sabendo que uma xícara de chá corresponde a aproximadamente 240 mc, meio litro de leite seria suficiente para essa receita? sim b) Mariana resolveu fazer esse bolo e verificou que com 1 kg de açúcar refinado ela poderia fazer 2 receitas e meia. Quantos quilogramas de açúcar refinado, aproximadamente, cabem em uma xícara de chá? 0,2 kg

ƒ ƒ ƒ

1 xícara 2 1 80 mL 5 de xícara 3 1 60 mL 5 de xícara 4 15 mL 5 1 colher de sopa 5 mL 5 1 colher de chá

233

Sugestão de trabalho interdisciplinar 10/14/18 08:24 • O texto e a proposta de pesquisa da seção “Lendo e aprendendo” permitem um trabalho interdisciplinar com o professor de Educação Física sobre o tempo de prova dos atletas em diferentes competições, como a de 100 m na natação. Se considerar adequado, pode-se ampliar a pesquisa para outros esportes em que a medição do tempo, em frações de centésimos de segundo, determina os vencedores.

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233

3

ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

Carlos pretende ir de automóvel de Itapemirim, no Espírito Santo, até Ilhéus, na Bahia. Para calcular o total de combus­ tível, ele pesquisou, na internet, a distân­ cia entre essas cidades. Em um dos sites, ele encontrou 914,8 km de distância por estrada e, no outro, 915 km. BA

6

Para fazer a previsão do tempo são estu­ dados os dados coletados por estações meteorológicas do mundo inteiro. Com base nesse estudo, são feitas previsões de temperaturas mínimas e máximas para determinado período. Respostas pessoais. a) Você já presenciou algum momento em que a temperatura registrada em um local foi maior que a máxima pre­ vista para o dia? E já presenciou algum momento em que a temperatura foi menor que a prevista? b) Em sua opinião, por que as situa­ ções descritas acima podem ocorrer? Converse com o professor e os colegas. c) Faça uma pesquisa sobre as tempe­ raturas máximas e mínimas previstas para determinado dia no município em que mora. Depois, verifique se as temperaturas registradas nesse dia estavam abaixo ou acima, respectiva­ mente, das temperaturas mínimas e máximas previstas.

7

Com os colegas, juntem as réguas de todos os alunos da turma. Depois, esco­ lham um objeto da sala de aula para me­ dir com as diferentes réguas selecionadas.

17º30’ S

OCEANO ATLÂNTICO Belo Horizonte

ES

NO

Vitória Itapemirim RJ

N

NE

O

L

SO

SE S

130 km

40º O

Elaborado com base em: IBGE. Atlas geográfico escolar. Rio de Janeiro: IBGE, 2016. p.94.

a) Se o automóvel de Carlos consome cerca de 11 litros de etanol por quilô­ metro rodado em estradas, determine o consumo aproximado de etanol nesse trajeto. aproximadamente 83,5 c b) A diferença encontrada entre essas dis­ tâncias é muito grande? Justifique. Resposta pessoal. c) Em sua opinião, qual seria o motivo de Carlos ter encontrado valores diferen­ tes para a distância rodoviária entre essas cidades? Resposta pessoal. 4

Júlia trabalha em uma metalúrgica e recebeu as instruções para fazer uma nova peça que será parafusada em um motor. As especificações sobre o tipo de parafuso que seria usado não estavam claras. Júlia verificou que poderia ser um de dois modelos que tinham o mesmo comprimento, mas diâmetros diferentes: 5,4 mm ou 5,3 mm. a) Qual é a diferença entre essas medidas? 0,1 mm b) Em sua opinião, Júlia poderia escolher qualquer uma dessas opções? Por quê?

234

Dê um exemplo de uma situação em que: a) a diferença de 1 c não seja muito signi­ ficativa; Resposta pessoal. b) a diferença de 1 mc seja importante. Resposta pessoal.

Ilhéus

MG

Resposta pessoal.

234

5

Respostas pessoais.

a) Se vocês obtiveram medidas diferen­ tes, quais devem ter sido os motivos? b) Quais são as características comuns e as diferenças entre as réguas usadas? 8

Escolham uma atividade para ser reali­ zada por um colega da turma e, com dois ou mais cronômetros, registrem o tempo que o colega gastou para realizá­la. • Os tempos registrados nos cronômetros foram iguais? Se foram diferentes, quais devem ter sido os motivos? Respostas pessoais.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Ao resolver a atividade 3, o aluno deve perceber que, para o cálculo da quantidade de combustível, os 200 metros de diferença entre as distâncias encontradas não são significativos. Converse sobre os diferentes motivos para que as medidas encontradas fossem diferentes, como: os sites podem ter considerado trajetos diferentes; o ponto de início e o ponto de chegada podem ter sido diferentes; um dos sites arredondou o valor encontrado para 915 km etc. • Na situação apresentada na atividade 4, os alunos devem perceber que a diferença de 0,1 mm é significativa, pois implica o uso de materiais diferentes. • Solicite aos alunos que compartilhem os exemplos da atividade 5, incentivando a socialização das diferentes estratégias de elaboração de problemas. • Para a pesquisa proposta no item c da atividade 6, reserve um dia específico e divida a turma em grupos, para que verifiquem a temperatura registrada em diferentes horários ao longo do dia. A verificação poderá ser realizada em sites específicos ou em termômetros de rua. Após a apresentação dos dados coletados, pode-se propor aos alunos que construam um gráfico de segmentos (ou linha). • Para a realização da atividade 8, caso os alunos não tenham acesso a um cronômetro, sugira o uso de relógios ou de aplicativos de celular para medir o tempo.

2

• No tópico “Área”, trabalharemos com as habilidades EF07MA31 e EF07MA32. Iniciamos esse trabalho relembrando as noções de área e de medida de área que já foram estudadas pelos alunos em outros momentos e, por isso, é importante verificar os conhecimentos prévios dos alunos, checando as dificuldades e sanando possíveis dúvidas. A partir desse panorama inicial, planeje o tratamento que dará ao assunto, visando proporcionar aos alunos uma abordagem desafiadora. • A situação 1 apresenta um modo de calcular a área aproximada de uma região irregular por meio de divisões em quadradinhos de área conhecida. Se considerar adequado, solicite aos alunos que imprimam o mapa do município em que residem para determinar a área aproximada. Depois, peça que comparem a medida obtida com a oficial, que poderá ser encontrada no site do IBGE Cidades (disponível em: , acesso em: 12 set. 2018).

Área

Há situações em que precisamos calcular a área de uma superfície irregular, como a área de um país. Nesses casos, é comum determinar a área aproximada dessa superfície. Atualmente, para esse cálculo, utilizam-se informações obtidas por GPS, mas nem sempre foi assim. Acompanhe o texto a seguir.

Disponível em: . Acesso em: 26 set. 2018.

Observe no texto que o uso de novas tecnologias auxilia no cálculo, de modo a garantir uma melhor aproximação da área correspondente. Mas há casos em que não dispomos dessa tecnologia; para isso, podemos, por exemplo, decompor a superfície em outras. Veja as situações a seguir.

Situação 1 Felipe precisava calcular a área aproximada de um terreno com formato irregular, que estava representado em uma folha de papel quadriculado, conforme mostra a figura ao lado. Cada quadradinho representava 20 m2 do terreno. Veja como ele fez.

Primeiro, ele coloriu alguns quadradinhos de bege e contou a quantidade de quadradinhos inteiros que cobriam a superfície do terreno.

20 quadradinhos bege

Depois, dividiu cada quadradinho da malha em 4 quadradinhos menores, colorindo de amarelo os novos quadradinhos inteiros, conforme esta figura.

14 quadradinhos amarelos

A seguir, novamente dividiu cada quadradinho da malha em 4 quadradinhos menores, colorindo de azul os novos quadradinhos inteiros.

55 quadradinhos azuis

Podemos observar que, após as sucessivas divisões da representação do terreno em quadradinhos menores de área conhecida, Felipe se aproximou da área do terreno.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Área territorial do Brasil aumenta em 890 km2 após atualização do IBGE Rio de Janeiro – O Brasil teve crescimento de 0,01% na sua extensão territorial, de acordo com a atualização da área oficial do país e de estados e municípios publicada hoje (23) pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) no Diário Oficial da União. A nova estimativa de área do país passou a ser 8 515 767, 049 quilômetros quadrados (km2), contra os 8 514 876,599 km2 relativos a 2002, quando o último valor foi publicado. A diferença é de 890,45 quilômetros quadrados.

235

EF07MA31: Estabelecer expressões de cálculo de área de triângulos e de quadriláteros. EF07MA32: Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida de área de figuras planas que podem ser decompostas por quadrados, retângulos e/ou triângulos, utilizando a equivalência entre áreas.

235

• A noção de figuras equivalentes é uma noção importante para o cálculo de áreas. É com ela que a partir da área do retângulo podemos determinar a área de um paralelogramo qualquer, de um triângulo, de um trapézio, de um losango etc. Uma vez bem compreen dida, essa noção pode permitir aos alunos que calculem áreas de figuras planas sem necessariamente recorrer às fórmulas.

Situação 2 Observe que as diferentes figuras representadas a seguir podem ser decompostas em dois triângulos (A e B), um retângulo (D) e um quadrado (C ). B A

A D

D C figura 1

B C

D

A

C

B

figura 2

C

B

D

figura 3

A figura 4

Duas ou mais figuras geométricas são equivalentes quando têm a mesma área.

ATIVIDADES 1

2

Retome a situação 1 apresentada. a) Considerando as divisões feitas por Felipe, qual é a área aproximada do terreno? 538,75 m2 b) O que ele poderia fazer para obter um valor mais próximo da área real desse terreno? Converse com o professor e os colegas sobre isso. Resposta pessoal. Tomando como unidade de área (u2), determine a área das figuras a seguir: a)

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

b)

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

3

Usando jornal, construa uma superfície quadrada com lados de 1 metro de comprimento, ou seja, com 1 m2 de área. Agora, usando essa superfície como unidade de medida, estime a área de sua sala de  aula. Compare sua estimativa com a dos demais colegas da classe.

4

Escolha uma unidade de medida e determine as figuras equivalentes. alternativas b, c, e d) a)

A resposta depende do tamanho da sala.

16 u2

b)

e)

c)

f)

32 u2

236

• Caso os alunos tenham dificuldades na resolução da atividade 4, oriente-os a dividir a figura em quadradinhos menores como os do item b e, em seguida, verificar a equivalência.

236

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Todas essas figuras, embora de formatos diferentes, são compostas pelos polígonos A, B, C e D. Assim, todas elas têm a mesma área, que é igual à soma das áreas desses quatro  polígonos. Dizemos, então, que essas quatro figuras são equivalentes.

3

Área de polígonos

Área de um retângulo Considere o retângulo ABCD com base de medida 6 cm e altura de medida 2 cm. A

1 cm

B

1 cm 2 cm

C

6 cm

Tomando como unidade de área um quadradinho com lado de 1 cm de comprimento, cuja área corresponde a 1 cm2, podemos observar que no retângulo ABCD cabem exatamente 12 quadradinhos. Assim, verificamos que a área do retângulo ABCD é igual a 12 cm2. A área desse retângulo também pode ser obtida da seguinte maneira: A 5 (6 8 2) cm² 5 12 cm² Para um retângulo com base de medida b e altura de medida h, podemos escrever: b

h

Aretângulo 5 b 8 h

h

b

b

medida do comprimento ou da base

h

medida da largura ou da altura

Área de um quadrado O quadrado é um caso particular de retângulo cujos lados são congruentes. Então, podemos representar a área de um quadrado com lado de medida a assim: a

a

Aquadrado 5 a 8 a 5 a2

a

a

a

medida do lado

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

D

• Ao explorar o cálculo da área de um quadrado, destaque que esse quadrilátero é um retângulo “especial”, pois tem dois pares de lados paralelos, quatros ângulos retos e seus quatro lados têm a mesma medida. Assim, o cálculo de sua área segue o que foi estabelecido para o retângulo.

237

• Partindo da área do retângulo e com base na ideia de composição e decomposição de figuras, será trabalhada adiante a área de diferentes figuras planas: paralelogramo, triângulo, trapézio e losango. Antes de iniciar esse trabalho, pode-se propor aos alunos que representem esses polígonos em uma malha quadriculada e, a partir de recortes, tentem compor um retângulo, sem faltar nenhum pedaço do polígono recortado.

237

Sugestão de atividade extra • Um importante recurso para trabalhar com composição e decomposição de figuras planas é o quebra-cabeça tangram. Pode-se sugerir aos alunos que construam um, utilizando uma malha quadriculada, conforme indica o gabarito a seguir.

Área de um paralelogramo Considere o paralelogramo ABCD abaixo, de base DC e altura AH relativa à base DC . A

B

h

D

C

H

b

medida da base

h

medida da altura relativa à base

b

O paralelogramo ABCD pode ser decomposto em dois polígonos que identificaremos por e

II

. Com os polígonos

abaixo.

e

I

II

podemos compor o retângulo ABH'H, conforme ilustração

A

A

B

II

h

B

II

h

I D

I C

H

C6D

H

b

H

b

Observe que o paralelogramo e o retângulo acima são figuras equivalentes e, portanto, têm mesma área. Para um paralelogramo com base de medida b e altura relativa a essa base, de medida h, podemos escrever: Aparalelogramo 5 b 8 h

Área de um triângulo Considere dois triângulos congruentes ABD e CDB, com base de medida b e altura relativa à base de medida h. Justapondo esses dois triângulos, eles formam o paralelogramo ABCD, como mostram as figuras abaixo. b C

B

B

h

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

h

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

A

238

238

D

C

B

h A

D

D b

b

Como os dois triângulos são congruentes, podemos afirmar que a área do triângulo é igual à metade da área do paralelogramo. Portanto, a área de um triângulo é dada por: Atriângulo 5

b 8h 2

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

I

Após a construção, pode-se solicitar aos alunos que componham diferentes figuras, como as ilustradas a seguir.

Área de um trapézio Considere os trapézios congruentes CDEF e FGHC de medidas com base B e b e altura h. Compondo um paralelogramo com esses dois trapézios, temos: E

B

b F

D

C B

C

G

E

h

h

B

b G

F

h D

H b

H b

B

B

medida da base maior

b

medida da base menor

h

medida da altura

Observe que dois trapézios congruentes formam o paralelogramo DEGH com base de medida (B 1 b) e altura, relativa a essa base, de medida h. Portanto, a área de cada um desses trapézios é igual à metade da área do paralelogramo EGHD.

Atrapézio 5

(B 1 b) 8 h 2

Área de um losango Considere o losango EFGH de diagonais com medidas D e d. F

E

G

d

H

D

medida da diagonal maior

d

medida da diagonal menor

D

Construímos o retângulo JKLM cujos lados contêm os vértices do losango EFGH. Veja: J

d

F

K

E

G

M

H

L

D

Observe que o retângulo obtido é formado por oito triângulos congruentes, dos quais quatro deles formam o losango. Assim, a área do losango EFGH corresponde à metade da área do retângulo JKLM. Portanto, a área de um losango é dada por: Alosango 5

D 8d 2

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Portanto, a área de um trapézio é dada por:

239

239

ATIVIDADES

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

1

Determine a área de um retângulo cujas medidas são: 25 cm de comprimento e 12 cm de largura. 300 cm2

8

Em um triângulo, um dos lados mede 14 cm e a altura relativa a esse lado mede 7 cm. Calcule a área desse triângulo.

2

Um retângulo tem 3 600 mm de área e 90  mm de medida de base. Qual é a medida da altura desse retângulo? 40 mm

9

Calcule a área de um quadrado cujo lado mede 3 m. 3 m2

10

3

A área de um retângulo é 30 m2. Aumentando 1 m de cada lado, a área aumenta 12 m2. Quais são as medidas desse retângulo?

Determine a área dos trapézios a seguir, em centímetro quadrado. 6 cm a) 16 cm2

2

49 cm2

2 cm

5me6m

4

ƒ 2 m 3 31 m 5 62 m2 (aumento de 32 m2); ƒ 3 m 3 16 m 5 48 m2 (aumento de 18 m2); ƒ 4 m 3 11 m 5 44 m2 (aumento de 14 m2); ƒ 6 m 3 7 m 5 42 m2 (aumento de 12 m2).

Calcule a área das figuras abaixo, em centímetro quadrado. 15 cm a) 2 cm

12 cm

Logo, as medidas do retângulo são 5 m e 6 m. • Para resolver a atividade 14, os alunos devem relembrar a relação entre as unidades de medida de comprimento (cm e m) ou de área (cm2 e m2). Assim, ao determinar a área de cada ladrilho em metros quadrados, conseguirão calcular a quantidade mínima de ladrilhos necessários para revestir 60 m2 de piso.

500 cm2

40 cm

128 cm2

c) 2 cm

10 cm

15 cm

4 cm

8 cm 4 cm

b)

10 cm

b)

4 cm

72 cm2 10 cm

6 cm

71,75 cm

12 cm

2

14 cm 3,5 cm

11

Calcule a área de um trapézio cujas bases medem 10 m e 13 m e a altura mede 6 m. 2

12

Uma pipa em formato de losango é formada por duas varetas de 42 cm e 30 cm. Determine a área dessa pipa. 630 cm2

13

Determine a área dos losangos a seguir, em centímetro quadrado. b) a) 4 2 cm 2

69 m

3,5 cm

12 cm

32 cm

25 cm2

5

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

6

240

240

Um retângulo tem base de medida 9 cm e altura de medida 4 cm. Qual é a medida do lado de um quadrado equivalente a esse retângulo? 6 cm

10 cm

8 2 cm

Determine a área do paralelogramo a seguir, em milímetro quadrado. 750 mm2

5 cm

15 mm 50 mm

7

14

Determine a área de um triângulo cuja base mede 25 cm e cuja altura mede 12 cm.

150 cm2

No mínimo, quantos ladrilhos de medidas 20 cm de largura e 30 cm de comprimento são necessários para revestir um piso de 60 m2? 1 000 ladrilhos

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Para os alunos que tiverem dificuldades em resolver a atividade 3, oriente-os a escrever diferentes multiplicações que resultem em 30 m2, ou ainda, a representar, em uma malha quadriculada, diferentes retângulos de área igual a 30 m2. Nesse caso, as multiplicações seriam: 1 m 3 30 m; 2 m 3 15 m; 3 m 3 10 m; e 5 m 3 6 m. Após verificar essas possibilidades, os alunos deverão determinar em qual dos casos a área aumentará em 12 m2 quando ampliamos em 1 m cada um dos lados do retângulo. Assim, temos:

15. Exemplo de resposta: 3 cm

6 cm

4 cm

Lembre-se: Não escreva no livro!

ADILSON SECCO

2 cm

15

Desenhe em seu caderno dois retângulos diferentes com 12 cm2 de área.

16

Carla irá trocar o revestimento do piso do quarto de seus dois filhos: Maria e José. Veja, a seguir, as plantas dos dois quartos e determine em qual deles Carla utilizará uma maior quantidade de revestimento.

18

No chão da sala da Matilde há um tapete de formato quadrado. O perímetro do tapete é de 10 m. A área do chão da sala é de 31,6 m2. Calcule a área da parte do chão da sala que está sem tapete. 25,35 m

19

Luciano irá construir uma churrasqueira e uma piscina infantil em seu terreno, conforme indica a figura a seguir.

no quarto de Maria

Quarto de Maria

espaço para a churrasqueira

piscina

5m

5,5 m Quarto de José

1,5 m

6m

Uma empresa fará a reforma de seu pátio externo. Nessa reforma, o revestimento do piso será trocado e serão criadas 6 áreas para jardinagem, conforme a planta a seguir.

4m

a) Qual é a área ocupada destinada para o espaço da churrasqueira? 7,5 m2 b) A piscina ocupará 3 m2. Quais são as possíveis medidas da largura e do comprimento dessa piscina? Exemplo de resposta: 1,5 m e 2 m c) A parte em verde será gramada e a em cinza será revestida de granito. Qual é a área correspondente a esses dois espaços?

3,5 m

17

1,5 m

Área de granito: 10 m2; área gramada: 14,5 m2

20

Pedro dividiu uma folha quadrada de cartolina conforme a figura a seguir.

11 m

18 m

Sabendo que, na planta, o piso foi representado por quadradinhos de mesma medida, determine: a) a área total destinada à jardinagem; 60 m2 b) a área que será revestida por granito, representada pelos quadradinhos em cinza. 138 m2

Sabe-se que: • o quadrado menor (roxo) tem 400 cm2 de área e o maior (laranja) tem 900 cm2 de área; • os dois retângulos (brancos) são equivalentes. a) Determine a área total da folha de cartolina. 2 500 cm2 b) Determine a área de cada um dos retângulos. 600 cm2

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

4m

• Na atividade 15, espera-se que os alunos percebam que é possível representar retângulos de lados medindo 3 cm e 4 cm, 2 cm e 6 cm e 1 cm e 12 cm. • Para determinar as áreas pedidas na atividade 17, espera-se que os alunos utilizem os quadradinhos que representam o piso como apoio. Assim, concluirão que os 4 paralelogramos do jardim têm 3 m de base e 3 m de altura, portanto, têm área de 9 m2. Já os dois retângulos têm 4 m de base e 3 m de altura, logo têm 12 m2 de área. Assim, a área destinada à jardinagem será de: 4 3 9 m2 1 2 3 12 m2 5 36 m2 1 1 24 m2 5 60 m2 Já a área do piso pode ser obtida ao subtrair da área total a área destinada à jardinagem. Assim: 198 m2 2 60 m2 5 138 m2 • Na atividade 20, os alunos deverão determinar inicialmente as medidas correspondentes aos lados dos dois quadrados (roxo e laranja), que são: 20 cm (20 3 20 5 400) e 30 cm (30 3 30 5 900). Logo, as medidas dos retângulos são 20 cm de largura e 30 cm de altura. Portanto, a medida dos lados da cartolina é 50 cm (20 1 30), assim, a área de toda a cartolina será de 2 500 cm2 (50 3 50). Já a área de cada um dos retângulos será de 600 cm2 (20 3 30).

241

241

• O tópico “Volume de um paralelepípedo reto-retângulo” visa ao desenvolvimento da habilidade EF07MA30. • Verifique se os alunos compreendem o conceito de volume como a quantidade de espaço ocupado por um corpo. Além do cálculo do volume, apresentamos as unidades de medida de volume e a relação dessas unidades de medida de volume com o litro (unidade de medida de capacidade).

4

Volume de um paralelepípedo reto-retângulo

Já vimos que a medida do espaço que um bloco ocupa é chamada de volume do bloco. Vamos lembrar como se calcula o volume de um bloco retangular (ou paralelepípedo reto­retângulo). Para isso, analise a situação a seguir. Para determinar o volume do paralelepípedo reto­retângulo cujas medidas são 2  cm de comprimento, 2 cm de largura e 3 cm de altura, podemos utilizar como unidade de volume um cubo com aresta de medida 1 cm, cujo volume é 1 cm3. Observe, ao lado, que o cubo “cabe” exatamente 12 vezes no paralelepípedo. Assim, verificamos que o volume desse paralelepí­ pedo é 12 cm3.

1 cm3

unidade de volume 2 cm

2 cm

Vparalelepípedo 5 (2 3 2 3 3) cm3 5 12 cm3 medida da altura medida da largura medida do comprimento

O volume de um paralelepípedo reto­retângulo é igual ao produto da medida do seu compri­ mento (c) pela medida da sua largura (a) e da sua altura (h). Vparalelepípedo 5 c 8 a 8 h

Exemplos

• Vamos deterninar o volume do paralelepípedo reto­retângulo que tem 4 m de comprimento, 2 m de largura e 3 m de altura.

3m

Vparalelepípedo 5 c 8 a 8 h 5 4 m 8 2 m 8 3 m 5 24 m3

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

• Uma caixa de papelão tem 20 cm de comprimento, 15 cm de largura e 10 cm de altura. Qual é o volume ocupado por um empilhamento formado por 125 caixas como essa?

Veja sequência didática 1 do 4o bimestre do  Material do Professor – Digital.

4m

2m

Vcaixa 5 20 cm 8 15 cm 8 10 cm 5 3 000 cm3

O volume ocupado pelo empilhamento das caixas será dado por: 125 8 3 000 cm3 5 375 000 cm3

242

EF07MA30: Resolver e elaborar problemas de cálculo de medida do volume de blocos retangulares, envolvendo as unidades usuais (metro cúbico, decímetro cúbico e centímetro cúbico).

242

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

3 cm

O volume também pode ser obtido pela multipli­ cação das medidas do comprimento, da largura e da altura do paralelepípedo reto­retângulo:

Volume de um cubo O cubo é um caso particular de paralelepípedo, pois tem todas as arestas com a mesma medida. Assim, para um cubo cuja medida da aresta é a, temos: Vcubo 5 a 8 a 8 a 5 a 3 Exemplo 2,7 cm

Vamos determinar o volume do cubo cuja medida da aresta é 2,7 cm. Vcubo 5 a 3 5 (2,7 cm)3 5 19,683 cm3

2,7 cm

2,7 cm

Observações

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 Lembre-se de que o metro cúbico (m3) é a unidade padrão de medida de volume. Vamos relembrar a relação entre essa unidade de medida e seus múltiplos e submúltiplos: 3 1 000

km

3 1 000

hm

3

9 1 000

3 1 000

dam

3

9 1 000

3 1 000

m

3

9 1 000

3 1 000

dm

3

9 1 000

3 1 000

cm

3

mm3

3

9 1 000

9 1 000

Observe que cada unidade de medida de volume equivale a 1 000 vezes a unidade imediatamente inferior. 2 Como 1 metro é o mesmo que 10 decímetros, podemos dividir um cubo com arestas de 1 metro em 1 000 cubinhos de 1 decímetro cúbico de volume. Assim: 1 m3 5 1 000 dm3

1m

10 dm

1m 1m

1 dm3

10 dm 10 dm

3 Ao encher um recipiente com um líquido, verificamos que ele ocupa toda a forma do recipiente. Por isso, dizemos que a capacidade do recipiente corresponde à quantidade de líquido que é necessária para preenchê-lo. A capacidade de um cubo com arestas de medida 1 decímetro (dm) corresponde a 1 litro. Assim: 1 c 5 1 dm3

1 dm

1 dm

1 dm

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

1c

243

PDF-228-248-MCP7-C10-G20.indd 243

9/26/18 16:59

243

• Na atividade 5, espera-se que os alunos percebam que ao dobrar a medida da aresta de um cubo, seu volume será multiplicado por 8. E ao triplicar, será multiplicado por 27. Neste momento, considere alguns exemplos como justificativa para essas afirmações. Mas, caso considere adequado, faça a seguinte demonstração para os alunos: Considere a como medida da aresta do cubo. Assim, seu volume será: a 3 a 3 a 5 a3 Se dobrarmos a medida da aresta, teremos 2a como nova medida. Desse modo, o novo volume será: 2a 3 2a 3 2a 5 8a3

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

1

Qual é o volume de um cubo com aresta medindo 0,1 m?

2

Calcule o volume dos sólidos abaixo.

0,001 m3

Diga aos alunos que os sólidos não foram representados em escala de tamanho.

c)

a)

80 m3

128 m3 4m

4m

4m 8m

10 m

Agora, se triplicarmos a medida da aresta, teremos 3a como nova medida, e o novo volume será: 3a 3 3a 3 3a 5 27a3

b)

d)

90 cm3

36 m3

6 cm

12 m

3 cm 5 cm 3m

1m

3

Quantos litros de água cabem em um aquário cúbico de 20 cm de aresta? 8 litros

4

Em uma piscina cabem 10 000 litros de água. Sabendo que ela tem 5 metros de comprimento e 2 metros de largura, qual é a profundidade dessa piscina? 1 metro

5

Junte-se a um colega e respondam às questões. Se dobrarmos a medida da aresta de um cubo, o que acontece com o seu volume? E se triplicarmos essa medida? Justifiquem as respostas. O volume é multiplicado por 8; o volume é multiplicado por 27.

Material Digital Audiovisual • Áudio: Quantas demãos?

Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual

244

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

6

Leia o texto a seguir e responda às questões no caderno. Como se mede o índice de chuva? O índice pluviométrico refere-se à quantidade de chuva por metro quadrado em determinado local e em determinado período. O índice é calculado em milímetros. Se dissermos que o índice pluviométrico de um dia, em um certo local, foi de 2 mm, significa que, se tivéssemos nesse local uma caixa aberta, com 1 metro quadrado de base, o nível da água dentro dela teria atingido 2 mm de altura naquele dia. [...] Disponível em: . Acesso em: 11 set. 2018.

a) Considerando a caixa indicada no texto, qual seria o volume ocupado pela água da chuva? 3 0,002 m

b) Quantos litros de água foram coletados nessa caixa? 2 litros

244

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2m

Resolvendo em equipe

Resolvendo em equipe

Faça a atividade no caderno.

(OBM) Esmeralda tem quatro folhas quadradas iguais, de lado 20 cm. Ela cola uma folha sobre a outra, fazendo um vértice da folha de cima coincidir com o centro da folha de baixo, alinhando horizontalmente quatro vértices dessas folhas, conforme figuras 1 e 2. Ela continua fazendo isto, até colar as quatro folhas, de acordo com as figuras 3 e 4. Qual é a área da figura 4? alternativa a figura 2

figura 3

figura 4

b) 1 300 cm2

c) 1 400 cm2

d) 1 500 cm2

e) 1 600 cm2

• Analise as informações do enunciado e anote aquelas que você julgar relevantes para a resolução do problema. Resposta pessoal. • É possível calcular a área do quadrado da figura 1? sim • Na figura 2, a parte sobreposta das folhas corresponde a que fração da área do quadrado? Corresponde a 1 da área do quadrado. 4

Calcule a área do quadrado da figura 1. 400 cm2 2 da área do quadrado; 4 da área do 4 4 Calcule a área da figura 2. 700 cm2 quadrado, ou seja, 1 quadrado. Calcule, nas figuras 3 e 4, a fração da área do quadrado que está sobreposta. Calcule a área das figuras 3 e 4. 1 000 cm2 e 1 200 cm2

Resolução

• • • •

• Forme um trio com dois colegas. • Mostre a eles seu plano de resolução e verifique se há ideias comuns entre vocês. • O trio deverá discutir quais são as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolher um dos planos para a execução do processo de resolução. 1 A figura 4 é composta de 12 partes de área igual a da área do quadrado. Observação 4 Assim: 12 3 100 cm2 5 1 200 cm2 Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual em seus cadernos.

Verificação

Plano de resolução

Interpretação e identificação dos dados

a) 1 200 cm2

• O trio deve reler o problema e verificar se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.

Apresentação

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

LUIZ RUBIO

figura 1

• A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” deste ou de outros capítulos, por exemplo.

• O trio deverá elaborar uma síntese sobre área de figuras planas, contendo fórmulas, exemplos e resolução de problemas. Essa síntese será entregue na forma de um texto. Cada trio deverá, em uma data predeterminada pelo professor, propor à classe um problema sobre área e discuti-lo em seguida.

Organize as apresentações dos grupos e verifique, com antecedência, se os problemas que serão propostos são pertinentes ao conteúdo ministrado.

245

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos 9/26/18 16:59 aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo. Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

PDF-228-248-MCP7-C10-G20.indd convincentes,245 recorrendo

245

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios, questões de exames e concursos, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Faça as atividades no caderno.

Revisitando

2

Revisitando

3

• Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados na seção, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão.

Escreva no caderno três situações do dia a dia em que são feitas medições e cujas medidas obtidas são aproximadas. Resposta pessoal. Complete as frases no caderno. equivalentes quando têm a mesma área. a) Duas ou mais figuras geométricas são quadrado é igual ao quadrado da medida de seu lado. b) A área de um cubo é igual ao cubo de sua aresta. c) O volume de um Escreva no caderno um texto explicando como você faria para calcular a área de um: Resposta pessoal. a) retângulo; b) triângulo; c) trapézio; d) losango.

Aplicando 1

Um quadrado e um triângulo retângulo são figuras equivalentes. Se o lado do quadrado mede 5 cm, quais são as possíveis medidas da base e da altura desse triângulo?

6

A largura de um terreno corresponde ao dobro de seu comprimento. Quais são as medidas desse terreno, sabendo que sua área é de 200 m2? 10 m e 20 m

2

Marcelo está organizando seu aniversário. Para encomendar os salgados, ele está considerando 12 salgados por adulto e 5 salgados por criança. Se ele convidar 50 adultos e 20 crianças, qual é a quantidade mínima de salgados que ele deverá comprar? 700 salgados

7

Um painel retangular tem dimensões 200  cm de largura por 240  cm de comprimento, sendo 30% de sua área ocupada por ilustrações. Qual é a área ocupada pelas ilustrações? 14 400 cm2

8

Uma caixa de papelão tem dimensões internas de 50 cm de comprimento por 32 cm de largura por 40 cm de altura. Qual é o volume dessa caixa de papelão? 64 000 cm3

9

A figura abaixo é um quadrado de 15 cm de lado, em que cada um dos lados é dividido em três partes iguais. Todos os triângulos verdes são isósceles e possuem lados correspondentes de mesma medida. O ponto A, vértice comum a esses triângulos, localiza-se no centro do quadrado. Determine a área correspondente à figura formada pela composição dos 4 triângulos verdes. 100 cm2

3

Exemplo de resposta: 10 cm e 5 cm

O piso de um banheiro tem formato retangular com 1  m de largura e 2 m de comprimento. Deseja-se cobri-lo com cerâmicas quadradas, que têm 20  cm de lado. Qual é a quantidade mínima de cerâmicas para cobrir todo o piso desse banheiro? 50 cerâmicas

4

Sabendo que o quadrado roxo está sobreposto ao quadrado amarelo, formando 4 triângulos amarelos equivalentes, calcule a área do quadrado roxo. 50 u.a. 7

1

1 7

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

7

5 cm

1 1

5

7

Conhecendo a altura de um colega, explique o que você faria para estimar o comprimento e a largura da sala de aula. Resposta pessoal.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

A

5 cm 5 cm

5 cm 5 cm 5 cm

246

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246

9/26/18 16:59

• Na atividade 10, os alunos devem observar que todas as figuras foram divididas em partes iguais. Desse modo, na Figura 2, a área pintada de azul corresponde 1 da figura. Na Figura 3, a 3 2 corresponde a , ou seja, a 6 1 da área total da figura. 3 Na Figura 4, a área pintada de azul corresponde à 2 fração . E, finalmente, na 5 1 Figura 5, corresponde a . 2 Como a pergunta pede a maior fração correspondente à área pintada de azul, 1 temos a fração , que é a 2 maior fração. Esta questão

Lembre-se: Não escreva no livro!

10

(Obmep) Na Figura 1 a área pintada corres1 ponde a da área total. Em qual figura a 4 fração correspondente à área pintada é maior? alternativa e

13

Márcio pegou um bloco de madeira com a forma de um paralelepípedo reto-retângulo para fazer alguns cortes paralelos e obter blocos menores, de mesmo formato. O bloco maior tem 5 m de comprimento, 0,8 m de largura e 0,5 m de altura, como mostra a figura a seguir.

0,5 m

Figura 1

Figura 2 5m

Figura 3

a) b) c) d) e) 11

12

Figura 4

Figura 5

Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5

(Enem) Uma fábrica produz barras de chocolate no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a: alternativa b a) 5 cm b) 6 cm c) 12 cm d) 24 cm e) 25 cm Para armazenar água da chuva e usá-la na irrigação de plantas, Jair construiu um depósito cúbico com arestas medindo 2 m. No momento, o depósito está com metade de sua capacidade cheia de água. Quantos litros de água há nesse depósito? 4 000 litros

Após os cortes, Márcio obteve blocos menores, de 0,25 m de comprimento, 0,2 m de largura e altura de 0,25 m. a) Supondo que não houve perda de material, quantos blocos menores Márcio obteve? 160 blocos menores b) Qual é o volume de cada um desses blocos menores? 0,0125 m³ c) Sabendo que um metro cúbico dessa madeira tem massa de aproximadamente 500 kg, qual é a massa de cada bloco menor? 6,25 kg DESAFIO

O retângulo da figura abaixo foi dividido em 10 quadrados menores. As medidas dos lados de todos os quadrados são os menores números naturais possíveis.

W

X

Y

Z

W

a) Determine as medidas X, Y, Z e W, em cm, 4 cm, 6 cm e 12 cm, centímetro. 3respectivamente 2 b) Calcule a área do retângulo. 300 300cm cm²

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

0,8 m

247

serve para exemplificar que devemos ter cuidado ao comparar frações, pois, entre diferentes figuras, a fração numericamente maior pode não corresponder visualmente à maior área pintada. • Para a resolução do Desafio, pode-se pedir aos alunos que trabalhem em grupos e discutam os resultados obtidos. Essa questão envolve, inicialmente, uma interpretação da situação apresentada e, posteriormente, o desenvolvimento de estratégias para solucioná-la, aspectos importantes da atividade matemática que devem ser sempre valorizados. Para a resolução, os alunos deverão considerar o quadrado maior (lado de medida W) e verificar que a medida é divisível por 2, 3 e 4, conforme indica a ilustração. Como essas medidas correspondem aos menores naturais possíveis, a medida do lado do quadrado maior corresponde ao mmc de 2, 3 e 4, ou seja a 12. Logo, as medidas de X, Y, Z e W, em centímetros, são respectivamente 3 cm, 4 cm, 6 cm e 12 cm.

247

• Na atividade 14, como os materiais são diferentes, os alunos deverão determinar a área correspondente a cada tipo. Espera-se que eles percebam que os triângulos com vértices comuns ao vitral são retângulos e possuem lados de mesma medida, portanto, têm mesma área. A área de cada um desses triângulos é:

Lembre-se: Não escreva no livro!

B

LUIZ RUBIO

0,5 m 3 0,5 m 5 2 2 0,25 m 5 5 0,125 m2 2

A

Como são 4 triângulos, então a área total é de 0,5 m2. A área do losango DPBQ pode ser calculada por:

P

Q

C

D

Nessa figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os 1 segmentos AP e QC medem da medida 4 do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? alternativa b a) R$ 22,50 d) R$ 42,50 e) R$ 45,00 b) R$ 35,00 c) R$ 40,00

0,5 m 3 1 m 0,5 m2 5 5 2 2 5 0,25 m2

Logo, a área da região sombreada é de 0,75 m2, portanto, o gasto de material nesse caso, será de R$ 22,50 (30 3 0,75 5 22,50). Para determinar a área da região clara, basta calcular a diferença entre a área total do vitral e a área da região sombreada: 1 m2 – 0,75 m2 5 0,25 m2 Nesse caso, o gasto com material será de R$ 12,50 (50 3 0,25 5 12,5). Logo, o gasto total com material será de R$ 35,00 (alternativa b). • Na atividade 15, os alunos devem calcular a área de cada ambiente.

15

(Enem) Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedor: modelo A, que consome

1

AII: (14 m 2 8 m) 3 5 m 5 5 6 m 3 5 m 5 30 m2;

I

8m

14 m

IV 7m

4m

5m

Avaliando-se todas as informações, serão necessárias: alternativa c a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B.

30 cm

40 cm

5 2

5 35 m2; Assim, o modelo A será usado nos ambientes II e III e o modelo B, nos ambientes I e IV.

III

Com base na figura abaixo, elabore uma questão. Em seguida, troque de questão com um colega. Ele deverá resolver a sua questão e você a dele. Resposta pessoal.

AIII: (14 m 2 8 m) 3 (9 m 2 5 m) 5 5 6 m 3 4 m 5 24 m2; 2

II

GUILHERME CASAGRANDI

AI: 8 m 3 5 m 5 40 m ;

`4 m 1 6 mj 3 7m

9m

Elaborando

2

AIV:

600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45  m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio).

Junte-se a um colega e elaborem um problema de uma piscina em forma de paralelepípedo com 3 metros de largura e capacidade de 15 000 litros. Resposta pessoal.

248

Elaborando • A seção incentiva a elaboração de questões pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 4 e 10 e da competência específica 5.

248

Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

(Enem) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura abaixo.

GUILHERME CASAGRANDI

14

Objetivos • Construir polígonos e circunferências. • Reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados. • Calcular a medida de ângulos internos de polígonos regulares; estabelecer relações entre os ângulos internos e externos de um polígono. • Reconhecer o número s como a razão entre o comprimento da circunferência e o seu diâmetro.

CAPÍTULO

11

Figuras geométricas planas

Cúpula do planetário de São Petersburgo, Rússia, 2017.

Habilidades da BNCC • Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das habilidades: EF07MA22, EF07MA24, EF07MA25, EF07MA26, EF 07MA27, EF07MA28 e EF07MA33.

É hora de observar e refletir • Comente com os alunos que uma cúpula geodésica é uma estrutura resistente e leve, normalmente composta por triângulos e construída em formato esférico. • Pergunte aos alunos se sabem por que o triângulo é tão utilizado nas construções. Inicie a discussão sobre a rigidez de um triângulo.

Lado de fora do planetário, São Petersburgo, Rússia, 2017.

Os triângulos são empregados em diversos tipos de construção por suas propriedades estruturais. Você já viu alguma construção que utiliza triângulos? Exemplo de resposta: pontes, telhados, portões etc.

ALEKSANDR GAL’PERIN/SPUTNIK/AFP

O maior planetário do mundo, inaugurado em novembro de 2017, está localizado em São Petersburgo, Rússia. O edifício central do planetário é um monumento histórico construído em 1884. A tela de projeção, construída dentro do edifício, tem forma de cúpula geodésica. A cúpula foi construída em madeira em formato de triângulos, possui 37 metros de diâmetro e 18,5 metros de altura.

PETER KOVALEV/TASS/GETTY IMAGES

É hora de observar e refletir

249

EF07MA27: Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos 9/25/18 18:52 de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos. EF07MA28: Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um polígono regular (como quadrado e triângulo equilátero), conhecida a medida de seu lado. EF07MA33: Estabelecer o número π como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e resolver problemas, inclusive os de natureza histórica.

PDF-249-267-MCP7-C11-G20.indd 249 internos e externos

EF07MA22: Construir circunferências, utilizando compasso, reconhecê-las como lugar geométrico e utilizá-las para fazer composições artísticas e resolver problemas que envolvam objetos equidistantes. EF07MA24: Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°. EF07MA25: Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas (telhados, estruturas metálicas e outras) ou nas artes plásticas. EF07MA26: Descrever, por escrito e por meio de um fluxograma, um algoritmo para a construção de um triângulo qualquer, conhecidas as medidas dos três lados.

249

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar uma conversa entre os alunos sobre assuntos do capítulo, mobilizando seus conhecimentos. Sugerimos explorá-la oralmente; caso ache necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento da competência geral 2 e da habilidade EF07MA25. • Para ter um melhor aproveitamento da seção, monte e leve para os alunos manusearem um triângulo e um quadrilátero quaisquer, feitos com varetas e barbante, para que verifiquem a rigidez das estruturas triangulares. Se achar conveniente, leve material (varetas e barbantes, ou blocos de montar) para que eles montem polígonos de diferentes quantidades de lado. Em vez do barbante, pode-se utilizar elásticos de silicone. • Peça aos alunos que verifiquem como deixar um pentágono formado pelas varetas e pinos com uma estrutura mais estável. Espera-se que os alunos cheguem à conclusão de que as estruturas se tornam rígidas pela fixação de uma estrutura na diagonal, formando triângulos.

Trocando ideias As figuras abaixo ilustram estruturas de varetas fixadas com pinos.

JAMES D. MORGAN/GETTY IMAGES

A “rigidez” dos triângulos é responsável por sua frequente utilização nas construções e em estruturas, como pontes e torres.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe que, caso seja exercida certa pressão nessas estruturas, a que tem forma de triângulo não se deforma, mas as que têm forma de quadrilátero e de pentágono podem se deformar e adquirir outras formas. Veja:

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

A ponte da Baía de Sydney liga o centro financeiro da cidade à costa norte, residencial e comercial, Sydney, Austrália, 2018.

Como poderíamos transformar as estruturas com forma de quadrilátero ou de pentágono em estruturas rígidas? Para fixar as estruturas do quadrilátero e do pentágono, é preciso

decompor esses polígonos em triângulos, firmando suas diagonais.

Neste capítulo, vamos estudar as circunferências, os círculos, os ângulos internos dos polígonos e a formação de alguns mosaicos.

250

EF07MA25: Reconhecer a rigidez geométrica dos triângulos e suas aplicações, como na construção de estruturas arquitetônicas e outras) ou nas artes plásticas. Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas.

PDF-249-267-MCP7-C11-G20.indd 250 (telhados, estruturas metálicas

250

9/25/18 18:52

1

Circunferência e círculo WASSILY KANDINSKY – PHILADELPHIA MUSEUM OF ART, ESTADOS UNIDOS

Circunferência Na tela ao lado, o artista russo Wassily Kandinsky faz uma composição com figuras que lembram circunferências, círculos e retas. Circunferência é a figura formada por todos os pontos de um plano que estão à mesma distância de um ponto fixo desse plano. O ponto fixo é chamado centro de circunferência. D

Circles in a circle, de Wassily Kandinsky, 1923.

Na representação ao lado, o ponto O é o centro da circunferência.

B

O A

A, B, C e D são alguns pontos da circunferência. Todo segmento de reta que une o centro O a um ponto qualquer da circunferência é chamado raio. Os segmentos de reta OA , OB e OC , por exemplo, são raios da circunferência.

C

O segmento de reta que tem duas extremidades na circunferência e que passa pelo centro da circunferência é chamado diâmetro. O segmento AB é um diâmetro da circunferência.

Construção de uma circunferência com compasso Para construir uma circunferência utilizando o compasso, precisamos conhecer a medida de seu raio e determinar seu centro. Observe, a seguir, a construção da circunferência de centro O e raio medindo 1,5 cm. 1o) Usando uma régua, abrimos o compasso em 1,5 cm.

2o) Marcamos o centro O e, em seguida, com a ponta-seca no centro O e abertura de 1,5 cm, seguramos a parte superior do compasso e giramos até completar uma volta inteira. O

0

1

2

3

4

5

ILUSTRAÇÕES: NILSON CARDOSO

LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Inicie a explicação de circunferência com uma projeção da obra do artista russo Kandinsky (1866-1944), que era pintor e teórico de arte russa. Comente que ele é um dos 20 artistas mais famosos do século XX e tem esse crédito por ter sido um dos primeiros a trabalhar com arte abstrata. • Reproduza uma circunferência no quadro de giz e peça aos alunos que comentem o que eles sabem a respeito dessa figura geométrica. É provável que eles já conheçam alguns elementos da circunferência, como raio e diâmetro. Peça aos alunos que listem as características das circunferências. Para aprofundar a discussão, compare as características listadas com um polígono qualquer. • Comente que o diâmetro possui o dobro da medida do raio da circunferência. • Se julgar necessário, reveja as notações utilizadas na representação de ângulos, pontos e segmentos de reta, que serão utilizadas ao longo do capítulo.

251

• Relembre, se necessário, o nome das partes do compasso: pino, ponta-seca, ponta molhada e pernas. Comente que o uso do compasso é facilitado se as pontas estiverem alinhadas e a ponta molhada, apontada; a construção é feita com a mão sobre o pino, e não nas pernas do compasso, sendo a perna de apoio a que possui a ponta-seca. Reforce que a qualidade do traçado está relacionada à precisão nas construções. Peça aos alunos, quando forem abrir o compasso no tamanho da medida do raio, que façam marcações para se certificarem de que o grafite está na abertura correta. Se julgar necessário, pratiquem o uso do compasso em uma folha de rascunho.

251

• Reproduza, no quadro de giz ou em um painel de cortiça, a construção de uma circunferência com o auxílio de um barbante, como mostrado nesse tópico. Como ponto fixo para o quadro de giz, utilize uma borracha ou uma ventosa. No entanto, uma opção mais confortável é utilizar o painel de cortiça. • É importante que nesse momento os alunos tenham clareza quanto à definição de circunferência como o lugar geométrico equidistante de um ponto fixo. Explique a eles o que é lugar geométrico, pois a boa compreensão desse conceito os ajudará em estudos futuros – por exemplo, sobre a elipse e a esfera, no Ensino Médio.

Circunferência como lugar geométrico Lucas fixou um lápis a uma das extremidades de um barbante que estava preso a um alfinete fixado em um quadro, como mostra a figura abaixo. Maíra, usando um software de geometria dinâmica, construiu um segmento de reta OA de tamanho fixo.

A

Girando o lápis em torno do alfinete, Lucas traçou o caminho percorrido pelo lápis. Maíra utilizou o software, habilitando a opção de rastrear, e movimentou o ponto A, extremidade móvel do segmento de reta, traçando o caminho percorrido por esse ponto.

A

ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS

0

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

0

Note que as duas situações são equivalentes: ambas traçam o caminho que um ponto percorre ao redor de um centro fixo a uma distância fixa. O caminho traçado é, portanto, o conjunto dos pontos do plano que têm uma propriedade em comum: estão todos a uma mesma distância de um ponto fixo. Em Geometria, costumamos chamar conjuntos de pontos que têm uma ou mais propriedades em comum de lugar geométrico. Circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que estão à mesma distância de um ponto fixo desse plano.

252

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252

9/26/18 19:52

Perímetro ou comprimento de uma circunferência

Lembre-se: Não escreva no livro!

Perímetro é a medida do contorno de uma figura geométrica. Para calcular o perímetro de um quadrilátero, podemos medir os quatro lados com uma régua e adicionamos as medidas obtidas. Para medir o contorno de uma circunferência, podemos, por exemplo, utilizar uma fita métrica ou contorná-la com um fio de barbante e medir seu comprimento.

ILUSTRAÇÕES: JOSÉ LUÍS JUHAS

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe as medidas do contorno de três pratos que Lara e João coletaram.

Se dividirmos cada medida do contorno do prato pela medida de seu diâmetro, obteremos 3,11, 3,15 e 3,15, respectivamente, como valores aproximados, já que as divisões não são exatas. Na verdade, a razão entre o comprimento de qualquer circunferência e a medida de seu diâmetro é uma constante indicada pela letra grega s (pi). Usualmente utilizamos s 5 3,14, mas esse é um valor aproximado.

• O tópico “Perímetro ou comprimento de uma circunferência” e a seção “Um pouco de história” buscam o desenvolvimento da habilidade EF07MA33. • Verifique os conhecimentos prévios dos alunos quanto ao conceito de perímetro, visto em anos anteriores para os polígonos. Provavelmente, os alunos dirão que perímetro é a “soma das medidas dos lados de um polígono”. Neste momento, retome a ideia de que perímetro é o contorno da figura. • Repare que não foi formalizada a fórmula do comprimento da circunferência. O principal a ser entendido nesse momento é que a experimentação em fazer a razão do comprimento pelo diâmetro resultou em aproximadamente 3, ou seja, o comprimento é aproximadamente o triplo do diâmetro. Enfatize que é aproximadamente. • Comente que os resultados obtidos estão relacionados à precisão das medições e que o perímetro da circunferência é conhecido como comprimento da circunferência.

Um pouco de história • Esta seção visa contribuir para o desenvolvimento da competência específica de Matemática 1 da BNCC.

Um pouco de história É provável que os primeiros valores para s foram obtidos por meio de medidas. O papiro de Rhind (documento egípcio escrito por volta de 1650 a.C.) apresenta a razão entre o comprimento e a medida do diâmetro da circunferência como 3,1604, uma aproximação para o número s. Mais tarde, o matemático grego Arquimedes (287-212 a.C.) apresentou um Caricatura de 223 22 Leonhard Euler. e . cálculo para essa razão que resultou em um número entre 71 7 Conta-se que, somente no início do século XV, o matemático britânico Willian Jones adotou a letra grega s para o que hoje chamamos de número pi, por corresponder a letra P, que se refere ao perímetro da circunferência. O uso dessa letra foi popularizado por Leonhard Euler.

XAVI

O número s

Meça o contorno e o diâmetro de um objeto circular (prato, copo, bacia etc.) e determine a razão entre essas medidas. Resposta pessoal. Você obteve um valor próximo a 3,14? Resposta pessoal.

Sugestão de atividade extra • Peça aos alunos que tragam de casa objetos em formato circular (copos, carretéis, pratos de plantas etc.). Organize os alunos em trios e solicite que, com o auxílio de barbantes, meçam o contorno dos objetos. Peça que meçam também o diâmetro, com o auxílio da régua, e, a partir das medidas, executem as razões dos contornos pelos diâmetros.

253

EF07MA33: Estabelecer o número s como a razão entre a medida de uma circunferência e seu diâmetro, para compreender e 9/25/18 18:53 resolver problemas, inclusive os de natureza histórica. Competência específica 1: Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, e é uma ciência viva, que contribui para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções, inclusive com impactos no mundo do trabalho.

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253

reg i ão

Círculo Círculo é uma figura geométrica plana formada por uma circunferência e toda a sua região interna.

ATIVIDADES 6

Na circunferência de centro O, abaixo, destacamos 3 pontos, A, B e C, pertencentes a ela. É correto afirmar que: alternativa b

r 5 1 centímetro d 5 2 centímetros

A

A

B

a) A distância entre os pontos A e C é igual à distância entre os pontos B e C. b) A distância do centro O aos pontos A, B e C são iguais. c) Não podemos afirmar nada sobre as distâncias dos pontos porque não conhecemos suas medidas. d) A distância entre os pontos A e B é a mesma distância entre os pontos O e C.

C

r 5 2 centímetros d 5 4 centímetros

2

Com um compasso, trace uma circunferência de centro O e diâmetro de medida 5 centímetros.

3

Descreva a diferença entre círculo e circunferência.

4

Copie as frases no caderno completando-as. a) O raio de uma circunferência mede 5  centímetros; então, seu diâmetro mede . 10 centímetros b) Uma circunferência com 16  centímetros de diâmetro tem de raio.

7

Uma circunferência cujo raio mede 5 cm tem comprimento aproximadamente igual a: a) 15,7 cm. b) 10 cm. c) 31,4 cm.

8

Em qual das figuras geométricas abaixo todos os seus pontos estão à mesma distância do ponto A? alternativa a c) a) A

alternativa c

8 centímetros

ILUSTRAÇÕES: LUIZ RUBIO

C

O

D B O

5

Círculo de centro O e raio de medida r.

Faça as atividades no caderno.

Com uma régua, determine, em centímetro, a medida do raio e do diâmetro de cada uma das circunferências abaixo e registre.

O

r

Organizem-se em duplas e façam, em uma folha de papel sulfite ou cartolina, uma releitura da obra Circles in a circle, de Kandinsky, que aparece na página 251. A releitura é uma obra nova, inspirada na anterior; nela, podemos dar o nosso toque pessoal. A produção é pessoal.

A

b) A

254

Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural.

254

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

rna

O

3. O círculo tem uma região interna limitada por uma circunferência. A circunferência é apenas uma linha.

• A atividade 5 contribui para o desenvolvimento da competência geral 3, que se refere à valorização de diferentes manifestações artísticas, participando de produção artístico-cultural. • Na atividade 6, não é necessário fazer nenhuma medição para se chegar à alternativa correta. No entanto, pode-se pedir aos alunos que verifiquem com a régua que os pontos A, B e C são equidistantes do centro O.

e int

2

• O assunto do tópico “Polígonos” foi parcialmente trabalhado no 6o ano. Então, inicie a explicação levando em consideração os conhecimentos prévios dos alunos, retomando os conceitos de linha poligonal aberta e fechada, simples e não simples, para então chegar aos polígonos convexos e não convexos. Enfatize que consideraremos o polígono como uma linha poligonal fechada mais a sua região interna.

Polígonos

Polígono é uma linha poligonal fechada simples com sua região interna. Um polígono é convexo quando, ao unir dois pontos quaisquer de sua região interna, obtém-se um segmento integralmente contido nessa região. Caso contrário, o polígono será não convexo.

A

B

polígono convexo

A

B

polígono não convexo

Observação

Quando não houver especificação sobre o tipo, o polígono considerado é convexo.

Elementos de um polígono Podemos identificar os seguintes elementos no polígono ABCDE ao lado: lados: segmentos de reta que formam o contorno do polígono;

E

AB , BC , CD , DE , EA

^ e1

diagonais: segmentos de reta que unem dois vértices não consecutivos; AC , AD , BD , BE , CE

^ b1

^ a

^ d

D

B

^ b

^ e

vértices: pontos de encontro de dois lados consecutivos; A, B, C, D, E

A

^ a1

^ d1

^ c1

^ c

C

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

GEORGE TUTUMI

O mosaico ilustrado abaixo é composto de diversos polígonos convexos que se encaixam perfeitamente, cobrindo toda a área.

• É comum os alunos apresentarem dificuldade na identificação dos ângulos externos de um polígono. Diante disso, comente que o prolongamento feito para determinar e identificar o ângulo externo de um polígono pode se dar por qualquer um dos lados, mas somente um. Chame a atenção para que eles percebam que o ângulo externo não é o ângulo raso formado após o prolongamento realizado.

255

255

ângulos internos: ângulos formados por dois lados consecutivos;

V , cU, dV, eV V, b a

Durante a obra, vamos observar que a, b, c, d e e correspondem às medidas dos W, e V V, d ângulos U a, V b, c e.

ângulos externos: ângulos formados por um lado do polígono e pelo prolongamento do lado consecutivo a ele. V , cU , dV , eV V 1, b a 1 1 1 1

256

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono Para obter a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono, vamos primeiro obter a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo. Considere o triângulo ABC, cujos ângulos internos medem a, b e c. Traçamos uma reta s, paralela à reta suporte do lado AB, passando pelo vértice C. C c

a

s

c1

b

A

B

Nessa figura, podemos notar que: c2 1 c1 1 c 5 180o

Como: c1 5 b (ângulos alternos internos) e

c2 5 a (ângulos alternos internos), temos que:

a 1 b 1 c 5 180o

Então: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é sempre 180°. Agora, observe as figuras abaixo, em que cada polígono foi decomposto em triângulos a partir das diagonais que partem de um vértice. A

B

C

A

256

B

E

D D

Quadrilátero decomposto em 2 triângulos.

C

Pentágono decomposto em 3 triângulos.

Observe que a diagonal AC divide o quadrilátero ABCD em 2 triângulos. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o, a soma das medidas dos ângulos internos de um quadrilátero é 2 3 180o, ou seja, 360o.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

c2

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

• Para a demonstração da soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo, se julgar necessário, retome os conceitos e as propriedades de ângulos alternos internos. • Repare que se partiu da soma das medidas dos ângulos internos do triângulo para introduzir a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer polígono, uma vez que um polígono sempre pode ser dividido em triângulos. • Para introduzir a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer polígono, solicite aos alunos que desenhem um polígono qualquer e, a partir das diagonais, verifiquem a divisão do polígono em triângulos. Peça que destaquem, com cores diferentes, os ângulos internos dos triângulos, averiguando que esses ângulos são formados a partir do vértice do polígono. • Se julgar oportuno, comente que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer polígono é determinada de acordo com a quantidade de triângulos internos possíveis de serem traçados a partir das diagonais de um vértice do polígono. A intenção, neste momento, é fazer com que os alunos compreendam as articulações realizadas para se determinar a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo e não tem o foco da introdução de fórmulas.

Então: A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é sempre 360º. Com o pentágono, a situação é a mesma. As diagonais traçadas, AC e AD , dividem o polígono em 3 triângulos, então a soma das medidas dos ângulos internos do pentágono é 3 3 180o, ou seja, 540o. Observe que, dessa forma, é possível determinar a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer polígono.

Polígono regular

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Um polígono é regular quando todos os seus ângulos internos têm mesma medida e todos os seus lados têm medidas iguais. Dessa forma, o triângulo equilátero é um polígono regular, assim como o quadrado, o pentágono regular, o hexágono regular, entre outros.

Ângulos internos de um polígono regular Já sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180o. Como os ângulos internos de um polígono regular têm a mesma medida, para descobrir a medida do ângulo interno de um triângulo equilátero, dividimos 180o por 3, que resulta em 60o.

60°

60°

60°

• Verifique se todos os alunos compreendem as indicações feitas nos polígonos. Caso seja necessário, explique a eles que símbolos (quantidade de tracinhos ou arcos) iguais indicam a mesma medida. • A partir da introdução do polígono regular, se julgar conveniente, apresente a fórmula da soma das medidas dos ângulos internos do polígono com n lados: Si 5 5 (n 2 2) 3 180º, uma vez que é o produto da quantidade de triângulos formados a partir das diagonais de um dos vértices do polígono multiplicada por 180º (soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo).

Ah! No quadrado é só dividir 360° por 4!

90o

90o

90o

JOSÉ LUÍS JUHAS

90o

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• Se necessário, relembre o o conceito de ângulos suplementares. • No tópico “Construindo mosaicos”, comente que, em outras palavras, a característica que torna possível a construção do mosaico é que a medida do ângulo interno do polígono escolhido deve ser um divisor de 360 ou que 360 deve ser múltiplo da medida do ângulo interno. Lembrando que essa relação só é válida para a construção de mosaicos com um mesmo polígono. Caso queira relacionar polígonos diferentes, a soma das medidas dos ângulos em torno de um mesmo vértice deve ser 360°.

Ângulos externos de um polígono regular Conhecendo o ângulo interno de qualquer polígono, podemos calcular seu ângulo externo.

120° 60°

Veja os ângulos indicados no triângulo equilátero e no quadrado ao lado.

90°

90°

Os ângulos internos e externos dos polígonos são suplementares, ou seja, somam 180°. No lugar do ângulo externo de um quadrado, podemos encaixar outro quadrado, e depois outro e mais outro, de forma que, ao redor de um mesmo vértice, os ângulos internos dos quadrados encaixados somem 360 o, formando assim um mosaico de quadrados.

Os quadrados foram encaixados em torno desse vértice.

Para construir um mosaico, as medidas dos ângulos em torno de um mesmo vértice devem somar 360o.

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

Entre as figuras abaixo, determine as que são polígonos. alternativas a; e a)

3

d)

b)

e) 4

c)

f)

O polígono ao lado é um eneágono (polígono com 9 lados). a) Quantos são seus G ângulos internos? 9 b) Quantos são seus vértices? 9

I

A

H

B C

F

D E

Luana quer construir um hexágono regular com o auxílio de uma régua e um transferidor, mas para isso precisa saber a medida do ângulo interno de um hexágono regular. Responda no caderno: como Luana pode descobrir essa medida?

Resposta pessoal.

5 ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

• As atividades 4 a 6 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA27. • Na atividade 4, Luana pode dividir o hexágono regular em triângulos. Como a soma das medidas dos ângulos internos de cada triângulo é 180º, a soma das medidas dos ângulos internos do hexágono regular, composto de quatro triângulos, é 720º. Como o hexágono regular tem seis ângulos internos com medidas iguais, conclui-se que a medida do ângulo interno de um hexágono regular é igual a 120º. • Para a realização da atividade 6, espera-se que os alunos percebam que a partir de um vértice de um hexágono regular será possível obter o lado de dois outros hexágonos regulares.

258

2

Nos polígonos a seguir, represente os lados, os vértices e as diagonais. a)

A

b)

B

A F

equiláteros para contornar o mesmo vértice.

B

6 D

C

C

E D

2. a) lados: AB , BC , CD , DA; vértices: A, B, C, D; diagonais: AC , BD

É possível construir um mosaico usando somente triângulos equiláteros? Se for possível, quantos triângulos equiláteros são necessários para contornar um mesmo vértice? Sim. São necessários 6 triângulos

Utilize um software de geometria dinâmica para construir um mosaico de hexágonos regulares.

b) lados: AB , BC , CD , DE , EF , FA; vértices: A, B, C, D, E, F; diagonais: AC , AD , AE , BD , BE , BF , CE , CF , DF

EF07MA27: Calcular medidas de ângulos internos de polígonos regulares, sem o uso de fórmulas, e estabelecer relações entre ângulos internos e externos de polígonos, preferencialmente vinculadas à construção de mosaicos e de ladrilhamentos.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Construindo mosaicos

3

• Discuta com os alunos sobre o fato de o triângulo ser um polígono; logo, ele possui todos os elementos que os demais polígonos têm, com a particularidade de não ter diagonais e de a soma das medidas dos ângulos internos ser igual a 180º.

Triângulo REPINA VALERIYA/SHUTTERSTOCK

Triângulo é o polígono de três lados. Podemos usar a notação :ABC para identificar o triângulo com vértices A, B e C. B

A

C

Nesta embarcação, as velas lembram triângulos.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Principais elementos de um triângulo Na figura ao lado, destacamos alguns elementos do triângulo ABC. Vértices: A, B e C

B

^ y

^ B

Lados: AB , AC e BC W, B W e CW Ângulos internos: A

^ x

x, W y e zV Ângulos externos: W

^ A

A

^ C

C ^ z

Observações

W , ABC W e ACB W , respectivamente. W e CW por BAC W, B 1 Podemos representar os ângulos A

2 Na figura acima, os lados AB , AC e BC são, respectivamente, opostos aos vértices C, B e A. 3 O triângulo não possui diagonais. 4 Cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente. W) 1 med(x W) 5 180° med(A

W) 1 med(W y ) 5 180° med(B W V med(C ) 1 med(z ) 5 180°

5 Considerando o :PQR abaixo, veja como podemos indicar as medidas dos seus lados e dos seus ângulos internos. W) 5 p med (P W) 5 q med (Q

q s

P

t

p

r u

R

W) 5 r med (R

6 O perímetro de um triângulo é a soma das medidas de seus lados. No triângulo PQR acima, temos: Perímetro :PQR: PQ 1 PR 1 QR 5 s 1 t 1 u

med (PQ ) 5 PQ 5 s med (PR ) 5 PR 5 u med (QR ) 5 QR 5 t

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Q

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259

• Antes de iniciar o tópico “Construções de triângulos”, ressalte a necessidade de se ter um material de desenho geométrico adequado e organizado, como um compasso com ponta e pernas estáveis. • Caso seja necessário, oriente os alunos sobre como transportar a medida de um segmento de reta com o auxílio do compasso. • Instigue a turma a justificar por que a construção descrita está correta usando o conceito de circunferência como lugar geométrico. Espera-se que os alunos percebam que o vértice A, por ser a intersecção de duas circunferências – a circunferência de centro C e medida de raio y e a circunferência de centro B e medida de raio z – está a uma distância y do ponto C e a uma distância z do ponto B.

Construção de triângulos Agora, vamos ver como construir triângulos utilizando régua e compasso. Observe as três situações a seguir.

1a situação: construir um triângulo conhecendo seus três lados Os lados do triângulo ABC são x, y e z. B

C

x

A

y

A

C

B

z

Para construir o triângulo ABC, realizamos os seguintes passos.

x

B

C

2o) Transportamos agora a medida y do segmento de reta, a partir do ponto C, traçando um arco com o compasso.

x

B

r

3o) Transportamos a medida z do segmento de reta, a partir do ponto B, traçando um arco que cruze o arco traçado no passo anterior, e então marcamos o ponto A, intersecção dos dois arcos.

C

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1o) Traçamos a reta suporte r, marcamos o ponto B em r e, com auxílio de um compasso, transportamos a medida x do segmento de reta, a partir do ponto B, traçando um arco que corta a reta r, e, então, marcamos o ponto C, intersecção da reta r com a marca feita com o compasso.

r

4o) Com uma régua, unimos os pontos A ao B e A ao C, formando um triângulo com as medidas fornecidas.

A y

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

z

260

260

r

A B

B

x

C

r

x

C

• Oriente os alunos sobre como transportar a medida de um ângulo com o auxílio do compasso. • Comente que a construção do ângulo também poderá ser feita com o auxílio do transferidor. Se necessário, relembre como usá-lo. • A partir da construção do triângulo conhecendo dois ângulos e o lado compreendido entre eles, espera-se que os alunos reflitam e concluam que a soma das medidas dos dois ângulos dados não pode ser igual ou maior que 180°.

2a situação: construir um triângulo conhecendo dois ângulos e o lado compreendido entre eles W e CW os ângulos dados do triângulo, e x, a medida do lado Vamos construir o :ABC, sendo B compreendido entre esses ângulos.

x

B

C B

60°

30°

C

1o) Traçamos a reta suporte r, marcamos o ponto B em r e transportamos, com auxílio de um compasso, a medida x do segmento de reta, a partir do ponto B, marcando o ponto C em r.

W, tomando 2o) Transportamos o ângulo B como vértice o ponto B da reta r, determinando a reta s.

x

B

x

B

r

C

r

C

3o) Transportamos o ângulo CW, tomando como vértice o ponto C da reta r, determinando a reta t.

4o) Marcamos o ponto A, intersecção das retas s e t.

t s

60°

30° B

x

C

s

A

r

B

x

C

r

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para construir o triângulo ABC, realizamos os seguintes passos.

261

261

3a situação: construir um triângulo conhecendo dois lados e o ângulo formado por esses lados W é o ângulo formado por As medidas de dois lados conhecidos do triângulo ABC são x e y, e B esses lados.

x

B

C

y

A

B 60° B

1o) Traçamos a reta suporte r, marcamos o ponto B em r e transportamos, com auxílio de um compasso, a medida x do segmento de reta, a partir do ponto B, marcando o ponto C em r.

W, tomando 2o) Transportamos o ângulo B como vértice o ponto B da reta r, determinando a reta s.

x

B

x

B

C

C

r

r

3o) Transportamos a medida y do segmento de reta a partir de B, em s, marcando o ponto A.

4o) Traçamos AC .

s

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

s

A

A

y

y

60° B

x

C

r

B

r x

C

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Sugestão de leitura para o aluno • Brincando com origami: aprendendo com dobraduras, de A. Carlos Gênova. São Paulo: Global, 2005. O origami é uma atividade que estimula o aprendizado de conteúdos da Geometria, como ângulos, polígonos e poliedros. A série de livros do autor visa auxiliar o raciocínio espacial, contribuindo para áreas como arquitetura e desenho industrial.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Para construir o triângulo ABC, realizamos os seguintes passos.

• Para o desenvolvimento do tópico “Desigualdade triangular”, visando a compreensão do conteúdo, disponha para os alunos linha (barbante) e canudos. Peça que, em duplas, recortem pedaços do canudo cujos comprimentos sejam de: 10 cm, 8 cm, 6 cm, 4 cm e 2 cm. Unindo-os, três a três, com a ajuda da linha, solicite aos alunos que verifiquem a possibilidade da construção de triângulos e que expliquem, com suas palavras, quando não foi possível realizar a construção. Caso seja necessário, determine outras medidas. • Se necessário, comente com os alunos que a desigualdade triangular pode ser demonstrada, mas que isso não será feito neste momento, pois será objeto de estudo no Ensino Médio.

Desigualdade triangular Será que sempre é possível construir um triângulo? Observe os exemplos a seguir. Medida dos lados: 10, 8 e 6

Medida dos lados: 10, 6 e 4

Medida dos lados: 10, 6 e 2

É possível.

Não é possível.

Não é possível.

6

8

10

10 6

4

6

2

Para ser possível construir um triângulo, é necessário que a medida do lado maior seja menor que a soma das medidas dos outros dois lados. É o que chamamos de desigualdade triangular. Em um triângulo, a medida de qualquer um dos lados é menor que a soma das medidas dos outros dois lados.

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

Observe a figura abaixo. F

2

No caderno, determine o perímetro dos triângulos com lados cujas medidas são: a) 5 cm, 6 cm e 7 cm 18 cm b) 6 cm, 8 cm, 10 cm 24 cm c) 8 mm, 15 mm, 17 mm 40 mm d) 20 dm, 21 dm, 29 dm 70 dm e) 45 cm, 27 cm, 57 cm 129 cm

3

No caderno, desenhe um triângulo cujos lados meçam: a) 6 cm, 9 cm e 12 cm b) 7 cm, 5 cm, 10 cm c) 4 cm, 2 cm, 5 cm d) 2 cm, 7 cm e 8 cm

4

Reúna-se com um colega, e, no caderno, desenhem um triângulo cujos lados medem 0,09 m, 12 cm e 150 mm. Determinem o perímetro do triângulo construído. 36 cm

x

y

G H

z

No caderno, escreva: a) os vértices do triângulo; b) os lados do triângulo;

F, G e H

FH , FG e HG

c) os ângulos internos do triângulo;

W WeX F, G H

d) os ângulos externos do triângulo; W x, W y eV z W. HG e) o lado oposto ao ângulo F

• As atividades 2, 3 e 4 favorecem o desenvolvimento da habilidade EF07MA24. • Na atividade 4, verifique se os alunos percebem que as unidades de medida usadas são diferentes (metro, centímetro e milímetro) e que para resolver a atividade as medidas precisam estar na mesma unidade.

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

10

263

Veja sequência didática 2 do 4o bimestre no Material do Professor – Digital.

EF07MA24: Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida 10/14/18 08:34 que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

PDF-249-267-MCP7-C11-G20.indd 263 dos lados e verificar

263

• Nas atividades 5, 7 e 8, peça aos alunos que repro­ duzam os segmentos e ân­ gulos no caderno, para rea­ lizar a construção com régua e compasso. • Na atividade 10, peça aos alunos que pensem em cada uma das possibilidades para a medida do maior lado do triângulo. Por exemplo, no item a, se 11 for a medida do maior lado do triân­ gulo em questão, então 11 , 6 1 (medida do 3o lado), portanto, a medida do 3o lado tem que ser maior que 5 cm. Agora, se considerarmos a medida do lado desconhe­ cido como a maior, teremos (medida do 3o lado) , 17.

Lembre-se: Não escreva no livro!

5

Com régua e compasso, reproduza, no V . caderno, o ângulo AOB

8

B

O

Utilizando régua e compasso, construa os triângulos a seguir, sendo conhecidos dois ângulos e o lado compreendido entre eles. a) Dois ângulos:

α 55° A

11 1 6

Concluímos, assim, que a medida do 3o lado deve ser maior que 5 cm e menor que 17 cm.

7

Em cada caso, analise se é possível construir um triângulo com lado BC de 5 cm e com as medidas dos ângulos indicadas. V) 5 110° e med(CV) 5 50° sim a) med(B V) 5 110° e med(CV) 5 70° não b) med(B V) 5 110° e med(CV) 5 90° não c) med(B

45°

Lado compreendido entre os ângulos dados: b) Dois ângulos:

Utilizando régua e compasso, construa no caderno os triângulos a seguir, sendo conhecidos dois lados e o ângulo formado por esses lados. a) Dois lados:

60°

Ângulo formado pelos lados dados: 60°

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

6

Lado compreendido entre os ângulos dados: 50°

9

Em cada caso, analise se é possível construir um triângulo com as medidas dos lados indicadas. a) 6, 10 e 18 não c) 8, 4 e 6 sim b) 3, 10 e 7 não d) 3, 4 e 5 sim

10

Quais são as medidas possíveis para o terceiro lado dos triângulos a seguir? a) Um triângulo possui dois lados que medem 11 cm e 6 ocm.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

b) Dois lados:

Ângulo formado pelos lados dados:

5 cm  medida do 3 lado  17 cm

30°

b) Um triângulo possui dois lados que medem 21 cm e 221 ocm. 200 cm  medida do 3 lado  242 cm

264

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264

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Trabalhando os conhecimentos adquiridos

5. Como sabemos que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180o, dividimos o polígono em triângulos e multiplicamos a quantidade de triângulos obtidos por 180°.

1

Quais elementos precisamos conhecer para construir uma circunferência? o centro e o raio

2

Por que a circunferência é um lugar geométrico? a uma mesma distância de um ponto dado (centro).

3

Qual é o significado do número s?

4

Os polígonos são figuras planas. Porém, no nosso cotidiano, podemos encontrar objetos que possuem vistas que lembram diversos polígonos, como a tela de um computador. Olhe ao seu redor, identifique e escreva em seu caderno cinco objetos cuja forma lembra as figuras planas que vimos neste capítulo. Resposta pessoal.

Exemplo de resposta: Porque todos os seus pontos estão

É a razão entre o comprimento de uma circunferência e seu diâmetro.

5

Como podemos obter a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono?

6

Como calcular a medida do ângulo interno de um polígono regular?

7

Por que não podemos construir um mosaico usando somente pentágonos regulares?

8

O triângulo é uma figura geométrica rígida. Por esse motivo, é bastante usada na engenharia civil e na arquitetura. Observe ao seu redor e escreva exemplos de estruturas compostas por triângulos. Resposta pessoal.

9

Conhecendo as medidas dos lados, em que condições é possível construir um triângulo?

Revisitando • Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Caso tenham alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão.

Dividindo a soma das medidas dos ângulos internos pela quantidade de ângulos do polígono.

Para construir um triângulo, a soma de dois lados quaisquer sempre deve ser maior do que o terceiro lado. 7. Porque para construir um mosaico os ângulos em torno de um mesmo vértice devem somar 360° e cada ângulo interno de um pentágono regular é 108°, sendo impossível obter 360° Aplicando somando apenas ângulos dessa medida.

Aplicando

b) de um ponto externo à circunferência. c) de qualquer outro ponto da circunferência. d) de qualquer ponto interno à circunferência. 3

Observe a representação do bairro em que Carlos, Clara e Luci moram. Sabemos que Clara mora a 150 metros da casa de Carlos e a 250 metros da casa de Luci. Com qual construção geométrica podemos estimar onde Clara mora? alternativa b

ADILSON SECCO

o

a) do centro da circunferência.

Ru aE du ard oF err Luci eir a

d ar ss a

er

Todos os pontos de uma circunferência estão à mesma distância: alternativa a

• Na atividade 1, peça aos alunos para marcarem o centro das circunferências construídas.

Vic Rua E ent du eN

2

Ru a Qu Gab adr riel os

Marque um ponto A e construa várias circunferências, com raio de medida 3 cm, que passem por ele. Que figura geométrica pode ser formada pelos “centros” das circunferências? circunferência

Jos éd aC ruz Sec co

1

Ru ios aL mên s ARr de uiz A e r i t ua Ol ug ár M ive us Pa dos ira to ulo Rua Or n Ru e l l aJ as osé Ca rva Ol Carlos lho ive ira de Ma Ba rro tia s s Ru aJ oaq uim

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Revisitando

Faça as atividades no caderno.

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retomar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução e elaboração de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos as resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

Representação esquemática do bairro.

a) Dois quadrados, um de lado 150 m e outro de lado 250 m. b) Duas circunferências, uma de raio 150 m e outra de raio 250 m. c) Um retângulo com um dos lados medindo 150 m e o outro medindo 250 m. d) Não temos informações suficientes para estimar a localização da casa de Clara. 265

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265

• Na atividade 7, se julgar oportuno, comente que o hexágono regular pode ser dividido em seis triângulos equiláteros. • Para resolver a atividade 8, comente que é necessário saber a medida dos ângulos internos do triângulo. • A atividade 10 contribui para o desenvolvimento da habilidade EF07MA24.

Lembre-se: Não escreva no livro!

4

Uma pista circular tem 100 m de diâmetro. Quantas voltas completas um atleta precisa percorrer nessa pista para correr pelo menos 1 000 metros? 4 voltas

5

Observe o polígono e, em seguida, identifique:

9

I

• No : ADC, da atividade 11, W) 5 50°, pois: temos med(C

^ a1

II

A

a) b) c) d) e)

^ d

^ d1

C

B

^ c1

V) 5 100° (alterAssim, med(B

^ b1

^ b

^ c

W) 5 50°, teremos: 5 180° e med(C V) 1 30° 1 50° 5 180°. med(B

10

a) b) c) d) e)

IV

^ a

D

Portanto, no : BDC, como V) 1 med(D W) 5 W) 1 med(C med(B

III

os lados; AB , BC , CD , DA os vértices; A, B, C, D W V, d b, c os ângulos internos; Ua , V V os ângulos externos; Ua1 , b 1 , cV1 , dW1 as diagonais. AC e BD

6

Qual é o polígono que não tem diagonais?

7

Determine a medida, em grau, do ângulo , sabendo que ABCDEF é um hexágono regular.  5 120°

I e II, apenas. II e III, apenas. I, II e III, apenas. I, II e IV, apenas. I, II, III e IV.

Podemos construir um triângulo de lados 5,5 m, 3 m e 1,5 m? Justifique sua resposta. Não, pois: 5,5 m  3 m 1 1,5 m

11

W é reto. A medida Na figura, o ângulo ADC V é: alternativa b do ângulo CBD C

B 30°

triângulo

A

D

c) 105o d) 110o

e) 120o

DESAFIO

C

E

D

a) 95o b) 100o

B

F

40°

A

a

Calcule a medida do ângulo yV formado pelo prolongamento dos lados AB e DC de um pentágono regular ABCDE. Determine também a medida de xV. x 5 72º y 5 36º

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

8

Em um triângulo, dois ângulos externos medem 110o e 120o. Os ângulos internos  desse triângulo medirão, em grau: alternativa c a) 30o, 60o e 90o b) 80o, 70o e 30o c) 50o, 60o e 70o d) 30o, 110o e 40o e) 50o, 50o e 80o

D

C

E

^ x ^ x A

B

^ y F

266

EF07MA24: Construir triângulos, usando régua e compasso, reconhecer a condição de existência do triângulo quanto à medida dos lados e verificar que a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°.

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Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

W) 5 W) 1 med(X A ) 1 med(C med(D W) 5 180°. 5 90° 1 40° 1 med(C

nativa b). • No Desafio, sabendo que podemos dividir um pentágono regular em três triângulos, temos que a soma das medidas dos ângulos internos será igual a 540° (3 3 180°); assim o ângulo interno de um pentágono regular mede 108° (540° 9 5). VC são ângulos Como W x e AB suplementares, temos que x 5 72°. Assim, y 5 36°, pois: x 1 x 1 y 5 180°.

Com quais dos polígonos regulares abaixo é possível formar um mosaico? alternativa d

Lembre-se: Não escreva no livro!

Débora, enquanto brincava de O mestre mandou em um tanque de areia, recebeu os comandos abaixo para executar e os realizou na ordem apresentada. 1. Caminhe 10 passos para a frente 2. Gire 120o no sentido horário 3. Caminhe 10 passos para a frente 4. Gire 120o no sentido horário 5. Caminhe 10 passos para a frente 6. Gire 120o no sentido horário • A execução dos comandos produziu um rastro na areia que se assemelha a qual construção geométrica? alternativa c a) Não é possível identificar nenhuma figura geométrica. b) Parte de um hexágono regular. c) Triângulo equilátero. • Qual dos esquemas abaixo reflete os comandos dados à Débora? alternativa a a) Repita o bloco abaixo 3 vezes 1 — Caminhe 10 passos 2o — Gire 120o no sentido horário

b) 1o Repita o bloco abaixo 3 vezes Caminhe 10 passos 2 Repita o bloco abaixo 3 vezes o

Gire 120o no sentido horário 13

(OBMEP) Triângulos pequenos e grandes Neste desenho, todos os triângulos são equiláteros. K

E A

D C

T

o

Sendo o perímetro do triângulo AKT igual a 108 cm, calcule o perímetro do triângulo DEC. 9 cm

Elaborando

Elaborando

Muitos artistas fazem uso de ferramentas computacionais para produzir ilustrações. A composição artística abaixo foi construída com auxílio de um software de geometria dinâmica e colorida com auxílio de um editor de imagens. Para essa composição, foram utilizadas 7 circunferências, de mesmo raio, dispostas de maneira a formar esse desenho.

Elabore você também uma composição artística utilizando um software de geometria dinâmica e um editor de imagens para colorir. Em sua composição, você deve usar círculos, circunferências e triângulos equiláteros.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

12

• A seção incentiva a criatividade, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 2 e 4 e da competência específica 5. • Lembre os alunos de que os softwares de geometria dinâmica disponibilizam ferramentas para “esconder“ construções. Assim, é possível deixar a visualização do o desenho mais limpa, não apresentando construções auxiliares.

267

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 4: Utilizar diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

267

Objetivos • Calcular probabilidade e mobilizar os conhecimentos construídos para a resolução de problemas. • Compreender o processo estatístico; planejar e realizar pesquisa. • Ler, interpretar e construir gráficos de setores. • Compreender e calcular a média aritmética simples e a ponderada de um conjunto de dados.

CAPÍTULO

12

Probabilidade e estatística

Habilidades da BNCC • Este capítulo foi planejado para favorecer o desenvolvimento das seguintes habilidades: EF07MA34, EF07MA35, EF07MA36 e EF07MA37. • Os raciocínios estatísticos e probabilísticos são fundamentais para a formação de um cidadão crítico, autônomo e capaz de analisar com precisão e discernimento informações que lhe são apresentadas por meio do tratamento estatístico de um conjunto de dados. O trabalho em que os alunos são levados a desenvolver a capacidade de ler e interpretar tabelas e diferentes tipos de gráficos se torna essencial para que possam compreender dados divulgados pelos meios de comunicação e refletir a respeito deles de forma crítica, favorecendo o desenvolvimento da competência geral 7 e competência específica 4.

Usina Hidrelétrica de Itaipu, uma das maiores geradoras de energia limpa e renovável do planeta. Foto de 2017.

É hora de observar e refletir Segundo o relatório síntese do Balanço Energético Nacional 2017 (ano-base 2016), o consumo de energia elétrica em 2016 teve uma diminuição de 1% em relação ao ano de 2015. A maior parte da energia elétrica consumida no Brasil tem procedência de fontes hidrelétricas, que correspondiam a cerca de 68% em 2016.

GERARD SIOEN/ONLY WORLD/ONLY FRANCE/AFP

• O objetivo das questões é além de iniciar, verificar os conhecimentos prévios dos alunos para a leitura e interpretação de gráficos de setores. Peça a eles que deem exemplos de situações em que tiveram que ler e interpretar informações a partir dos dados apresentados em um gráfico de setores.

ADILSON SECCO

Observe outros dados apresentados no relatório sobre a energia elétrica no Brasil em 2016.

É hora de observar e refletir

FONTE DE GERAÇÃO DE ENERGIA ELÉTRICA NO BRASIL 2016 5,4%

8,2%

9,1% 3,7% 2,6% 2,9%

68,1%

Hidráulica Carvão e derivados Nuclear Derivados de petróleo Gás natural Eólica Biomassa

As informações sobre a geração de energia elétrica produzida no Brasil foram organizadas em um gráfico. Que tipo de gráfico foi utilizado? gráfico de setores Das fontes de geração de energia elétrica apresentadas no gráfico, qual teve a menor participação na geração de energia em 2016? nuclear

Dados obtidos em: . Acesso em: 21 jul. 2018.

268

EF07MA34: Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por

PDF-268-293-MCP7-C12-G20.indd 268 meio de frequência de ocorrências.

268

EF07MA35: Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados. EF07MA36: Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas. EF07MA37: Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização. Competência específica 4: Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

9/25/18 19:53

Trocando ideias • Esta seção foi criada para incentivar e iniciar uma conversa entre os alunos, mobilizando seus conhecimentos, sobre população e amostra, assuntos que serão trabalhos no capítulo. Sugerimos explorá-la oralmente; se achar necessário, solicite que respondam às questões por escrito no caderno. A seção busca favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 7 e 9 e da competência específica de Matemática 2, da BNCC. • O experimento proposto explora intuitivamente a noção de experimento aleatório. Incentive os alunos a compartilhar como pensaram para chegar às respostas.

Trocando ideias Reúna-se em grupos com quatro integrantes para realizar o experimento proposto e, com a ajuda da Estatística, responder às perguntas. Vocês precisam providenciar os seguintes materiais: um lápis de cor laranja e um azul, duas folhas de papel sulfite e uma tesoura com pontas arredondadas. Agora, sigam os passos abaixo. Passo 1: Em uma folha de papel sulfite, desenhem um retângulo com as seguintes dimensões: 20 cm e 14 cm.

Observação: Vocês devem tomar cuidado para que as bolinhas laranja e azuis fiquem espalhadas de maneira uniforme, ou seja, não deve haver uma concentração de bolinhas de uma única cor. Passo 3: Em outra folha de sulfite, tracem um quadrado com 4 cm de lado. Recortem-no, deixando a folha com um furo. Passo 4: Coloquem o furo ao acaso sobre o retângulo com as bolinhas azuis e laranja e anotem: total de bolinhas laranja;

45

14 cm

20 cm folha de papel sulfite

Exemplo de construção após os passos 1 e 2.

total de bolinhas azuis; total de bolinhas. Repitam esse passo três vezes, sempre em posições diferentes. Nesse caso, temos 10 bolinhas no total, sendo 7 laranja e 3 azuis.

4 cm 4 cm

folha de papel sulfite

Esta atividade foi baseada no livro Pra que serve a Matemática?: Estatística, de Imenes, Jakubo e Lellis. 4. ed. São Paulo: Atual, 2011. p. 27-29.

Sem contar as bolinhas uma a uma, responda: qual é, aproximadamente, a porcentagem de bolinhas laranja e a porcentagem de bolinhas azuis? Resposta pessoal.

De acordo com a questão anterior, que características pretendemos conhecer? A relação entre as cores das bolinhas.

Para conhecer e determinar as características de uma população, podemos analisar uma pequena parte dela, chamada de amostra. Nesse caso, o que estamos considerando população e amostra para fazer a análise das cores das bolinhas? População: todas as bolinhas desenhadas no retângulo; amostra: contagem realizada no passo 4.

Neste capítulo, você vai ampliar os conhecimentos sobre Probabilidade e estatística e estudar, por exemplo, população e amostra, conceitos importantes em uma pesquisa estatística.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Passo 2: No retângulo obtido no passo 1, dois integrantes do grupo devem desenhar, aleatoriamente, bolinhas laranja, sem a preocupação de contá-las. Os outros dois integrantes fazem o mesmo procedimento, mas devem desenhar bolinhas azuis no retângulo.

269

Competência geral 2: Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. Competência geral 9: Exercitar a empatia, o diálogo, a resolução de conflitos e a cooperação, fazendo-se respeitar e promovendo o respeito ao outro e aos direitos humanos, com acolhimento e valorização da diversidade de indivíduos e de grupos sociais, seus saberes, identidades, culturas e potencialidades, sem preconceitos de qualquer natureza.

Competência específica 2: Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.

269

1

Probabilidade

Observe as situações a seguir.

Será menino ou menina?

Será que vai fazer sol amanhã?

Ao lançarmos um dado, que número sairá?

Diariamente, tentamos prever acontecimentos que podem interferir de alguma forma em nossa vida. Em alguns casos, essas previsões são meramente intuitivas, mas, em outros, podemos calcular matematicamente as chances de um evento ou fenômeno ocorrer. Esse estudo é chamado Probabilidade. Por não ser possível prever o resultado de um experimento aleatório, procuramos medir as chances, ou seja, determinar a probabilidade de certo resultado ocorrer.

Exemplos

• No lançamento de uma moeda, há duas possibilidades de resultado: cara ou coroa.

ACERVO DO BANCO CENTRAL DO BRASIL

Um experimento aleatório é aquele em que conhecemos os resultados possíveis, mas não podemos assegurar qual será o resultado final. Além disso, o experimento pode ser repetido nas mesmas condições tantas vezes quanto quisermos.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

ILUSTRAÇÕES: EDUARDO FRANCISCO

• Neste tópico, iniciamos o trabalho que visa o desenvolvimento da habilidade EF07MA34. • Se achar necessário, retome com os alunos o significado do termo aleatório, que está associado à dependência de um acontecimento incerto, visto no ano anterior. Para que possam, de fato, compreender a noção de experimento aleatório, é importante que eles tenham a oportunidade de simular experimentos, como lançar uma moeda determinado número de vezes e avaliar a ocorrência de “caras” ou “coroas”, lançar um dado determinado número de vezes e observar a ocorrência de cada face etc. Perguntas sobre a chance de sair “cara” ou “coroa” ao lançar uma moeda ou determinada face de um dado antes de lançá-lo permitem levantar o conhecimento prévio dos alunos.

Como a moeda é simétrica em relação ao seu centro, supomos que a probabilidade de sair cara ou coroa seja igual. 1 Dessa forma, a probabilidade de sair “cara” é ou 50% e a 2 1 de sair “coroa” é ou 50%. 2 • Em uma caixa, há dez bolas idênticas e numeradas de 1 a 10. Quando retiramos, ao acaso, uma bola da caixa, há dez possibilidades de resultado: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 10.

Como a probabilidade de sair qualquer bola é a mesma, concluímos que a probabilidade 1 de sair, por exemplo, a bola 3 é de ou 10%. 10 270

EF07MA34: Planejar e realizar experimentos aleatórios ou simulações que envolvem cálculo de probabilidades ou estimativas por

PDF-268-293-MCP7-C12-G20.indd 270 meio de frequência de ocorrências.

270

9/25/18 19:54

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

1

Cite dois experimentos aleatórios e três não aleatórios.

2

Observe as bandejas A, B e C. De olhos vendados, Luís vai sortear uma bola de uma delas. Então, ele fecha os olhos e escolhe uma, ao acaso. De qual dessas bandejas é mais provável que Luís tire uma bola vermelha? De qual é menos provável? mais provável: C; menos provável: B

Resposta pessoal.

C

3

Se retirarmos uma bola da caixa abaixo, poderemos afirmar seguramente que ela será verde? Por quê? Sim, porque todas as bolas da caixa são verdes.

4

Identifique no caderno cada item a seguir como certo, provável ou impossível. a) Ao lançar um dado numerado de 1 a 6, podemos obter o número 7. impossível b) Ao lançar dois dados, vamos obter dois números diferentes. provável c) Ao lançar dois dados, vamos obter dois números cuja soma varia de 2 até 12. certo

5

Observe as roletas e indique no caderno qual valor é mais provável de obter ao girar a flecha. 1

b) 2

c) 7

4 5

8 4

1 3

10

ILUSTRAÇÕES: GEORGE TUTUMI

B

9

6

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A

a)

• As atividades 2, 3 e 5 apresentam situações representadas por imagens que permitem que os alunos identifiquem os experimentos como certos, mais ou menos prováveis, equiprováveis e impossíveis.

Nenhum, pois as probabilidades são iguais.

Cálculo de probabilidades Camila precisa sortear um funcionário do setor de administração ou contabilidade para ganhar um passeio pago pela empresa. Observe no quadro abaixo a classificação dos funcionários que trabalham nesses setores de acordo com o tempo em que estão na empresa. Tempo em que trabalham na empresa (em ano) Formação

Menos de 5 anos

De 5 a 7 anos

De 7 a 10 anos

Mais de 10 anos

Administração

10

3

1

2

Contabilidade

7

5

3

1 271

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9/25/18 19:54

271

• Convém chamar a atenção dos alunos para que percebam que a probabilidade é a razão que exprime a comparação entre o número de possibilidades favoráveis e o total de possibilidades de ocorrência de um evento. Deve ficar claro para os alunos que, sendo a probabilidade uma razão, ela pode ser representada tanto por uma fração irredutível como por um número decimal ou uma porcentagem. • Destaque que a probabilidade é um número de zero a 1, em que zero diz respeito à impossibilidade de um evento ocorrer, e 1, à certeza de que o evento ocorrerá. Além disso, é de grande valia propor reflexões que levem os alunos a essas conclusões, e não apresentá-las prontas.

Lembre-se: Não escreva no livro!

Podemos calcular a probabilidade de Camila sortear um funcionário com menos de 5 anos trabalhados na empresa. Veja: O total de funcionários que tem menos de 5 anos de trabalho é: 10 1 7 5 17 O total de funcionários dos dois setores: 10 1 7 1 3 1 5 1 1 1 3 1 2 1 1 5 32 Então, a probabilidade de Camila sortear uma pessoa com menos de 5 anos trabalhados 17 na empresa é igual a ou 53,125%. 32 Roberto é colega de Camila e trabalha há mais de 10 anos no setor da contabilidade dessa empresa. Qual é a probabilidade de ele ser o funcionário sorteado? 1 ou 3,125% 32

A probabilidade de determinado resultado em um experimento aleatório é a razão entre o número de possibilidades favoráveis e o número total de possibilidades.

• Um leitor de livros digitais será sorteado entre os 1 000 alunos de uma escola. Há 50 alunos nos terceiros anos e 80 alunos nos sextos anos.

• Ao lançar um dado uma única vez: • qual é a probabilidade de obtermos o número 6? No lançamento de um dado, os resultados possíveis são 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Como o dado é simétrico em relação ao seu centro, a probabilidade de sair qualquer um dos seis resultados possíveis é a mesma. Nesse caso, dizemos que o dado é não viciado e que a chance de 1 sair a face 6 é de 1 em 6. Logo, a probabilidade pode ser expressa pela razão . 6 • qual é a probabilidade de obtermos um número par?

YURCHELLO108/SHUTTERSTOCK

Podemos calcular a probabilidade de o ganhador ser do  3o  ano e a probabilidade de o ganhador ser do 6o ano. 50 , ou 5%, e a probabilidade A probabilidade de que o aluno sorteado seja do 3o ano é 1000 80 de que o aluno sorteado seja do 6o ano é , ou 8%. 1000

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Exemplos

Nesse caso, há três resultados favoráveis (2, 4 ou 6) entre os seis resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5 ou 6). 3 1 ou . Também pode ser expressa por um número 6 2 decimal (0,5) ou por porcentagem (50%).

Portanto, a probabilidade é

• qual é a probabilidade de sair um número maior que 2? Nesse caso, há quatro resultados favoráveis (3, 4, 5 ou 6) entre os seis resultados possíveis (1, 2, 3, 4, 5 ou 6). 4 2 ou . Essa probabilidade também pode ser expressa 6 3 por um número decimal (0,6) ou por porcentagem (aproximadamente 66,67%). Portanto, a probabilidade é

272

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9/25/18 19:54

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno. cara e cara, cara e coroa, coroa e cara ou coroa e coroa;

2

Em um único lançamento de dado, qual é a probabilidade: a) de sair um número ímpar? 63 5 21 b) de sair um número maior que 4? 2 5 1 6 3 c) de sair o número 8? zero

4

Em um único lançamento de duas moedas ao mesmo tempo, quais são os resultados possíveis? Qual é a probabilidade de obter apenas uma “cara”?

5

Qual é a probabilidade de uma bola vermelha ser retirada dessa bandeja? 5 5 1 15

Ao girarmos uma única vez uma roleta como a representada abaixo, qual é a probabilidade de a flecha: a) parar na cor amarela?

3 10

4 2 5 5 10 vermelha? 3 10

3

GEORGE TUTUMI

1

1 2

• As atividades 2 e 5 envolvem situações representadas por imagens por meio das quais os alunos podem obter diretamente a probabilidade desejada. Situações como essas permitem que eles trabalhem de maneira ilustrativa a determinação do número de possibilidades favoráveis e do número total de possibilidades de ocorrência do evento em questão.

b) parar na cor verde?

GUILHERME CASAGRANDI

3

Qual é a probabilidade de, ao retirar, ao acaso, uma única carta de um baralho de 52  cartas, sair um “dois”? (Lembre-se de que em um baralho há 4 “dois” — um de cada naipe: espadas, copas, paus e ouros.) 4 1 5 52 13 PAULO MANZI

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

c) parar na cor

6

Um dado não viciado é lançado 1 200 vezes e a frequência de ocorrências para cada face é mostrada no quadro a seguir. Face

Frequência

1 2 3 4 5 6

189 206 215 196 195 199

a) Qual é a face com maior frequência de ocorrências nessas 1 200 jogadas? E a face com menor frequência? b) Com base nos resultados apresentados, podemos dizer que a probabilidade de obter a face 6, em uma próxima jogada, é maior que a de obter a face 5? Explique.

6. a) maior frequência: face 3; menor frequência: face 1 b) Não, pois o cálculo da probabilidade tem relação com o resultado de um evento (nesse caso, ocorrência da face 6) em 6 possibilidades favoráveis.

2

Pesquisa estatística

A Estatística é o ramo da Matemática que se encarrega de coletar dados sobre determinado assunto, organizá-los e analisá-los. Boa parte das informações divulgadas pelos meios de comunicação provém de pesquisas e estudos estatísticos. Em assuntos tão variados quanto política, turismo, informática, economia, educação, saúde, esporte e agronomia, as representações gráficas podem facilitar a compreensão de determinados aspectos ou particularidades dos objetos em estudo. Observe o exemplo a seguir. 273

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9/26/18 20:30

273

Paralisação dos transportes causa acúmulo de resíduos e evidencia desperdício doméstico.

DANILO SOUZA/ADILSON SECCO

Encare seu lixo e aproveite a crise para mudar hábitos 28 maio 2018 às 18 h 03

Fonte: Mara Gama. Encare seu lixo e aproveite a crise para mudar hábitos. Consumo consciente. Folha de S.Paulo, 28 maio 2018. Disponível em: . Acesso em: 3 jun. 2018.

DOMICÍLIOS POR DESTINO DE LIXO, SEGUNDO AS GRANDES REGIÕES (em %)

Coletado diretamente

NORDESTE 2,4%

16% BRASIL

Queimado (na propriedade)

5,5

5,5

milhões

milhões

1,3%

12,1% 69,5%

Outro destino 7,9% 7,9%

NORTE 10,2%

• Comente com os alunos a importância de cada uma das etapas do processo estatístico, sendo que a coleta de dados, a organização e a apuração dos dados obtidos e a apresentação dos dados por meio de tabelas e gráficos fazem parte da Estatística descritiva, ao passo que a análise e a interpretação dos resultados integram a Estatística inferencial ou indutiva. • Converse com os alunos sobre a definição do objetivo e do planejamento da pesquisa (1a etapa do processo), em que são definidos pontos para o desenvolvimento das demais etapas. Por exemplo: § Como farei a coleta de dados? § Entrevistarei quantas pessoas? § Que tipo de entrevista irei fazer? Presencial, via telefone, via e-mail? § Como será o questionário? Quais questões ele vai ter? Com essas questões eu atinjo o objetivo da pesquisa? § Preciso buscar dados em outras fontes para a análise dos resultados?

1,8%

SUDESTE 0,6%

18,3% 82,9%

69,7%

CENTRO-OESTE 6,1% 1,6% 7,2%

91,6%

SUL 4,1% 8,4%

1,4%

57,8

milhões

85,1%

86,1%

Nota: Domicílios particulares permanentes. Dados obtidos em: IBGE. Diretoria de Pesquisas, Coordenação de Trabalho e Rendimento. Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios Contínua 2017. Disponível em: . Acesso em: 3 jun. 2018.

As informações apresentadas sobre a coleta domiciliar de lixo são resultantes de um processo estatístico, que se baseia em um método de pesquisa. As etapas desse processo são: 1a) 2a) 3a) 4a) 5a)

definição do objetivo e do planejamento da pesquisa; coleta de dados; organização e apuração dos dados obtidos, de acordo com o critério escolhido; apresentação dos dados por meio de tabelas e gráficos; análise dos resultados.

A seguir, vamos estudar alguns tópicos que ajudarão na estruturação das etapas do processo estatístico. 274

PDF-268-293-MCP7-C12-G20.indd 274

274

2,8% 5%

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Coletado em caçamba

9/25/18 19:54

Suponha que estejamos interessados em conhecer a opinião dos torcedores sobre a segurança do principal estádio de uma cidade. Para isso, o objeto do nosso estudo são os torcedores que frequentam o estádio. Eles compõem a população (ou universo estatístico) da nossa pesquisa. Provavelmente, não conseguiríamos ouvir todos os torcedores; seria uma operação difícil, de alto custo e muito lenta. Recorremos, então, a uma amostra — parte representativa do universo estatístico — que possa dar uma ideia da opinião de todos os indivíduos da população. Nesse caso, um grupo de torcedores — homens e mulheres de várias idades — pode ser considerada uma amostra.

DANILO SOUZA

População e amostra

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Pesquisa censitária e pesquisa amostral

• Ao introduzir o conceito de população e amostra e, consequentemente, pesquisa censitária e amostral, iniciamos o desenvolvimento da habilidade EF07MA36, para que o aluno tenha condições de identificar a necessidade da pesquisa ser censitária ou de usar amostra. • Comente com os alunos que, mesmo ao usar uma amostra da população para a pesquisa, ela pode se tornar viciada ou tendenciosa quando essa amostra representa apenas algumas características da população, não sendo possível, assim, a realização da Estatística inferencial.

Quando uma pesquisa é realizada em um universo estatístico, cujo objetivo é levantar as informações de todos os integrantes da população, trata-se de uma pesquisa censitária. Esse tipo de pesquisa possibilita maior precisão na análise sobre a população pesquisada, já que todos participam da pesquisa. No Brasil, uma das pesquisas censitárias mais conhecidas é o Censo demográfico realizado pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que traça o perfil da população brasileira. Muitas vezes, não é possível realizar uma pesquisa censitária por ser inviável o levantamento de informações de todos os integrantes da população. Nesse caso, é realizada uma pesquisa amostral (ou pesquisa por amostragem). Escolhe-se aleatoriamente uma amostra representativa da população, ou seja, a amostra não pode ser tendenciosa, pois invalidará a pesquisa. Pesquisas eleitorais e de satisfação são exemplos de pesquisas por amostragem. Observações

1 O tamanho da amostra e os critérios de escolha dos seus elementos devem ser estudados atentamente para que a pesquisa seja bem-sucedida. 2 Para a realização das coletas de dados, existem, entre outros, os questionários abertos (possibilidades de respostas não limitadas) e os questionários fechados (limitam a possibilidade de resposta em múltipla escolha). A qualidade das questões elaboradas são de fundamental importância para a credibilidade do resultado da pesquisa.

• Exemplos de perguntas em um questionário aberto: Quantos minutos você leva para tomar banho? Quantos copos de água você consome por dia? • Exemplos de perguntas em um questionário fechado: Quantos minutos você leva para tomar banho? a) Menos de 5 minutos. b) De 5 a 8 minutos.

c) Mais de 8 minutos.

Quantos copos de água você consome por dia? a) De 1 a 2 copos. b) De 3 a 6 copos. c) De 7 a 10 copos.

d) Mais de 10 copos. 275

Sugestão de leitura • Apresente aos alunos os questionários do último Censo demográfico. Eles podem servir como modelos e fonte de pesquisa. O próprio site do Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) poderá ser uma referência como fonte de pesquisas. Disponíveis em: ; . Acessos em: 5 out. 2018.

EF07MA36: Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas.

275

Lendo e aprendendo • A seção apresenta informações sobre como são realizadas a pesquisa eleitoral e o Censo demográfico. Aproveite a oportunidade para explorar as características das pesquisas censitárias (Censo demográfico) e das pesquisas amostrais (pesquisa eleitoral), além de retomar as etapas de uma pesquisa estatística em cada um dos casos apresentados. Uma sugestão é apresentar para os alunos as informações do Censo demográfico 2010 (disponível em: , acesso em: 5 out. 2018) e algumas pesquisas eleitorais divulgadas pela mídia.

Lendo e aprendendo Censo demográfico e pesquisas eleitorais Você sabe como são realizados as pesquisas eleitorais e o Censo? Veja nos infográficos a seguir algumas curiosidades sobre essas pesquisas.

CENSO DEMOGRÁFICO O que é Pesquisa realizada de 10 em 10 anos pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) com o objetivo de conhecer características da população brasileira: quantos somos, como somos, onde vivemos e como vivemos. Para que serve Para que tanto os governantes quanto a população em geral conheçam melhor o país, os estados e os municípios, a fim de acompanhar as transformações na ocupação do território e planejar as próximas etapas de desenvolvimento; avaliar, planejar e reivindicar investimentos na economia, em saúde, educação, habitação, transporte, entre outros fatores.

o primeir Ano do alizado: e Censo r 2 187

Ano de pre para o pró visão xim Censo: o 2020

Como é realizado Agentes recenseadores são selecionados com a função de visitar todos os domicílios brasileiros. Esses agentes, identificados com colete, crachá e computador de mão, coletam as informações por meio de entrevista direta com perguntas listadas na forma de questionário.

Como são os questionários aplicados

15 minutos*

Questionário básico: compreende a parte estrutural (saneamento básico, coleta de lixo, energia elétrica) e é aplicado em todos os domicílios brasileiros.

45 minutos*

Questionário por amostragem: mais de 100 perguntas sobre as características das pessoas (idade, sexo, relação de parentesco com os demais moradores etc.), mas nem todas as pessoas respondem a essas questões.

* Tempo médio de realização considerado para uma família de três pessoas.

E se eu não quiser responder

ou responder errado?

Segundo o Decreto no 73.177, de 20 de novembro de 1973, todas as pessoas são obrigadas a responder às questões do Censo, já que as informações coletadas são importantes para o futuro do Brasil. As informações fornecidas são confidenciais e têm fins exclusivamente estatísticos. Caso a pessoa não responda ou forneça informações falsas, deverá pagar uma multa de 10 salários mínimos.

276

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9/25/18 19:54

PESQUISA ELEITORAL O que é Pesquisa realizada por um instituto contratado com o objetivo de sondar as intenções de voto dos eleitores para uma eleição. Para que serve Como fonte significativa de informação, já que seus resultados podem apontar se a estratégia de campanha eleitoral de determinado candidato está produzindo os resultados esperados ou se são necessárias mudanças.

Como é realizada

Definição das características/instrumentos da pesquisa: foco, prazos, conteúdo, abrangência, amostra (tamanho, seleção). As pesquisas são realizadas apenas nos municípios determinados por quem contrata a pesquisa.

Estabelecimento dos instrumentos da pesquisa (questionários, planilhas) e treinamento dos pesquisadores.

Coleta, processamento e análise de dados.

Divulgação dos resultados e acompanhamento de seus desdobramentos.

Há no país mais de 125 milhões de eleitores. Na média, são realizadas 2 500 entrevistas, ou seja, em cada grupo de 50 mil pessoas, apenas um indivíduo é entrevistado. A probabilidade de você ser entrevistado é menor que 0,002%.

Dados obtidos em: e . Acessos em: 17 jul. 2018.

WILSON JUNIOR

Por que eu nunca sou entrevistado?

277

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277

ATIVIDADES

Faça as atividades no caderno.

1

Qual é a diferença entre população e amostra?

2

Em cada item, há um exemplo de população. Escreva no caderno uma amostra referente a cada população de • pessoas que moram no Brasil; • animais; • plantas. Agora, compare a sua resposta com a de um colega. Resposta pessoal.

3

Uma indústria produz 30 000 parafusos diariamente. Para efetuar um processo de controle de qualidade sobre a produção, de cada 100 parafusos, um vai para análise, que determina se o parafuso é perfeito ou defeituoso. IB PHOTOGRAPHY/SHUTTERSTOCK

Resposta pessoal.

Considerando a população de 30 000  parafusos produzidos diariamente nessa indústria, qual é o tamanho da amostra utilizada para a análise? 300 parafusos 4

Explique a seguinte afirmação: Para analisarmos as características de uma população, a pesquisa censitária é mais vantajosa que a pesquisa amostral. Resposta pessoal.

5

Mariana, Cássia e Paula vão realizar uma pesquisa eleitoral na escola em que estudam para analisar as intenções de voto dos alunos do Ensino Fundamental para a presidência do grêmio estudantil. Como a escola possui uma grande quantidade de alunos, eles optaram por uma pesquisa amostral. Para o planejamento da pesquisa, veja as possibilidades de amostra que cada uma apresentou: • Mariana: entrevistar 400 alunos, sendo 200 do período da manhã e os outros 200 do período da tarde; • Cássia: entrevistar 200 alunos, sendo 100 do período da manhã (50 meninos e 50 meninas) e os outros 100 do período da tarde (50 meninos e 50 meninas). Dos 200 alunos, 50 deverão ser do 6o ano, 50, do 7o ano, 50, do 8o ano, e 50, do 9o ano; • Paula: entrevistar todos os alunos do período da manhã. Sabendo que os candidatos são: Ana, estudante do 8o ano no período da manhã, Fábio, estudante do 7o ano no período da manhã, e Juliana, estudante do 8o ano no período da tarde, reúna-se com um colega e analisem qual das propostas de amostra é a mais adequada e representativa para o objetivo da pesquisa. Justifiquem a resposta. Resposta pessoal.

6

O IBGE realiza, de 10 em 10 anos, uma pesquisa censitária chamada Censo. O último censo realizado ocorreu em 2010 com o objetivo de visitar todos os domicílios brasileiros para saber quantos são os brasileiros, quem são, onde estão e como vivem. Sabendo que os recenseadores visitaram 67,6 milhões de residências e que, a cada 10 domicílios visitados, em um eles utilizaram um questionário específico para levantar informações detalhadas para uma amostra, determine quantas residências foram contempladas com esse modelo de questionário. 6 760 000 residências

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• Na atividade 1, espera-se que os alunos entendam população como todos os elementos do objeto de estudo da pesquisa, enquanto que a amostra é parte da população. • Como não foi definido o objetivo da pesquisa na atividade 2, a amostra, nesse caso, poderá ser bem variada. Mas se, por exemplo, o objetivo da pesquisa para a população de animais for analisar a vida marinha, então nossa amostra serão os animais aquáticos. • Na atividade 5, espera-se que os alunos reflitam sobre as etapas iniciais do processo estatístico exploradas no tópico “Pesquisa estatística” antes de analisarem as amostras apresentadas. Verifique se eles percebem que Cássia apresentou um detalhamento maior da amostra, o que pode ser considerado mais representativo, mesmo que Mariana tenha trazido uma proposta com um número maior de entrevistados, enquanto a amostra de Paula poderá ser tendenciosa, já que dois dos candidatos estudam no período da manhã.

278

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Gráficos

Rendimento (em R$)

Em Estatística, o gráfico, assim como a tabela, tem como principal função apresentar os dados de uma pesquisa. A representação gráfica deve ser simples, clara e com informações verdadeiras. Vamos relembrar os tipos de gráRENDIMENTO MÉDIO (EM REAL) DO TRABALHO PRINCIPAL, POR SEXO fico que já estudamos a partir da 2 500 Pesquisa Nacional por Amostra de 2 291,50 2 157,25 2 033,25 Domicílios (PNAD), realizada pelo 2 000 1 883,00 1 752,00 1 950,75 2 057,50 1 596,00 IBGE. Diferentemente do censo, essa 1 826,75 1 680,50 1 500 1 668,25 1 745,50 1 562,50 1 454,00 pesquisa é realizada anualmente. 1 421,00 1 403,00 1 299,50 Observe algumas informações obti1 000 1 177,50 das por meio dessa pesquisa, ana500 lisando um gráfico de segmentos, 0 como o do exemplo ao lado. 2012 2013 2014 2015 2016 2017 Mulheres

Dados obtidos em: . Acesso em: 21 jul. 2018.

Total

Agora, vamos ver um exemplo de gráfico de barras e um de gráfico de barras múltiplas. DISTRIBUIÇÃO DA POPULAÇÃO BRASILEIRA RESIDENTE, SEGUNDO AS GRANDES REGIÕES Sul

14,3 42

Sudeste Região

7,6

Centro-Oeste

27,6

Nordeste 8,5

Norte 0

10

20

30

40

50

Dados obtidos em: . Acesso em: 21 jul. 2018.

Porcentagem do total de habitantes

DOMICÍLIOS, POR POSSE DE AUTOMÓVEL E MOTOCICLETA, SEGUNDO AS GRANDES REGIÕES (EM %) 67,5 58,2

54,9 47,6

22,4 10,8 Brasil

26,9

32,6

27,0 8,6

Norte

29,7

28,2 7,7

Nordeste

Automóvel

16,1 10,6 Sudeste Região Motocicleta

19,6 15,0

Sul Ambos

15,8

Centro-Oeste

Dados obtidos em: . Acesso em: 21 jul. 2018.

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Ano

Homens

• Ao iniciar o estudo de leitura e a interpretação de gráficos, proponha que cada aluno leve para a sala de aula alguma notícia publicada recentemente em jornal, revista ou site que faça uso de dados estatísticos envolvendo gráficos diversos. Aproveite para analisá-las, do ponto de vista estatístico, juntamente com os alunos, levando-os a perceber como atribuir significado aos dados apresentados e como interpretá-los. Esse tipo de atividade contribui para que os alunos analisem e relacionem criticamente os dados apresentados, questionando ou ponderando até mesmo sua veracidade. Interpretar e comparar dados é tão importante quanto organizar e representar uma coleção de dados. Além disso, os alunos são incentivados a perceber a variedade de formas possíveis de apresentar dados tratados estatisticamente e também a função dessas diversas representações, que é a de facilitar a compreensão de determinados aspectos ou particularidades daquilo que está sendo estudado. Dessa forma, essa atividade contribui para o desenvolvimento da competência específica 4. • Ao mostrar os gráficos de barras, comente com os alunos que as barras podem ser tanto verticais como horizontais e que essa posição não influencia na informação a ser transmitida. • Caso considere necessário, diga aos alunos que o gráfico de segmentos geralmente é chamado de “gráfico de linhas”, assim como o gráfico de barras verticais é chamado de “gráfico de colunas”, e o gráfico de barras horizontais, de “gráfico de barras”.

279

Competência específica 4: Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas sociais e culturais, de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes, para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.

279

ADILSON SECCO

Na página 274, também vimos alguns gráficos que trazem informações obtidas pelo PNAD sobre o destino do lixo dos domicílios. Nesse caso, os dados foram apresentados usando o gráfico de setores, como o do exemplo ao lado.

DOMICÍLIOS POR DESTINO DE LIXO – BRASIL (EM %) 1,3% 7,9% 7,9%

82,9%

Coletado diretamente Coletado em caçamba Queimado (na propriedade) Outro destino

Dados obtidos em: . Acesso em: 21 jul. 2018.

A seguir, estudaremos com mais detalhes esse tipo de gráfico.

• Ao iniciar o conteúdo sobre gráfico de setores, convém reler coletivamente a atividade proposta na abertura deste capítulo, para que os alunos possam rever as respostas dadas às questões propostas. • Sempre que possível, explore a utilização de planilhas eletrônicas. Elas possuem ferramentas que permitem a representação dos dados por meio de gráficos de diferentes tipos, favorecendo o desenvolvimento da competência específica 5.

Gráfico de setores TEBNAD/SHU TTERSTOCK

A companhia elétrica de um município fez um levantamento sobre o consumo médio diário de energia elétrica em quilowatts-hora (kWh), segundo as diferentes categorias de consumo. Veja os dados na tabela abaixo. Consumo médio diário de energia elétrica Categorias

Consumo médio diário

Residencial

240 000 kWh

Comercial

288 000 kWh

Industrial

384 000 kWh

Outros

48 000 kWh Linhas de transmissão.

Dados obtidos pela companhia elétrica.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Observe o exemplo a seguir.

Vamos construir um gráfico de setores com os dados apresentados na tabela. É conveniente a utilização do gráfico de setores (ou gráfico circular) para representar graficamente partes de um total (a unidade). O total é representado por um círculo dividido em setores, que são as partes. Inicialmente, determinamos o total, que, nesse caso, corresponde ao consumo médio diário de energia elétrica (em kW) para todas as categorias: 240 000 1 288 000 1 384 000 1 48 000 5 960 000 Depois, determinamos a porcentagem (%) correspondente ao consumo médio diário de energia elétrica para cada uma das categorias. Residencial:

240 000 960 000 5 0,25 5 25%

Industrial:

384 000 960 000 5 0,40 5 40%

Comercial:

288 000 960 000 5 0,30 5 30%

Outros:

48 000 5 0,05 5 5% 960 000

280

Competência específica 5: Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para modelar e sociais e de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e resultados.

PDF-268-293-MCP7-C12-G20.indd 280 resolver problemas cotidianos,

280

9/26/18 20:30

Residencial: 25% de 360° 5 0,25 3 360° 5 90°

Industrial: 40% de 360° 5 0,40 3 360° 5 144°

Comercial: 30% de 360° 5 0,30 3 360° 5 108°

Outros: 5% de 360° 5 0,05 3 360° 5 18°

Indicamos os setores com suas respectivas legendas e, assim, podemos observar com mais facilidade que “industrial” é a categoria que tem o maior consumo médio diário de energia elétrica, com 40%, 15% a mais que a categoria “residencial”.

144° 18° 108°

40% Industrial 5% Outros

30% Comercial

25% Residencial

ATIVIDADES 1

Faça as atividades no caderno.

Observe o gráfico a seguir, que mostra a distribuição dos gastos públicos de determinado país. DISTRIBUIÇÃO DO ORÇAMENTO ENTRE DIVERSOS SETORES

3% 3% 8% 9% 15%

22% 21%

19%

2

90°

CONSUMO MÉDIO DIÁRIO DE ENERGIA ELÉTRICA

Dados obtidos pela companhia elétrica.

LUIZ RUBIO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Finalmente, construímos um círculo de raio qualquer. Com o auxílio de um transferidor, dividimos esse círculo de acordo com os ângulos obtidos.

ILUSTRAÇÕES: GUILHERME CASAGRANDI

Agora, para a construção do gráfico, calculamos o ângulo correspondente a cada setor, sabendo que o ângulo central total correspondente ao círculo mede 360°.

Pagamento de dívidas Saúde e previdência Estados e municípios Educação Infraestrutura Forças Armadas Agricultura Outros

a) Que porcentagem do orçamento é gasto com saúde e previdência? 21% b) Supondo que o orçamento desse país seja de 32 bilhões de dólares, quanto é o gasto com agricultura?

0,96 bilhão de dólares ou 960 milhões de dólares

Dados obtidos pelo Ministério do Planejamento do país.

Os 120 alunos do 8o ano de uma escola foram avaliados em Matemática, e suas notas estão representadas no quadro a seguir, fornecidas pelo diretor da escola. Nota

4

5

6

7

8

9

Número de alunos

10

14

16

40

30

10

NOTAS DOS ALUNOS DO 8° ANO Nota 5 42°

Nota 7 120°

Represente a situação em um gráfico de setores e, depois, responda às questões. a) Qual é a medida do ângulo correspondente ao setor usado para representar o número de alunos que tiraram nota 8? 90° b) Qual é a medida do ângulo para representar os alunos que tiraram nota 5? 42°

48° 30° 90° 30°

Nota 6 Nota 4 Nota 9

Nota 8 Dados fornecidos pelo diretor da escola.

281

Veja sequência didática 3 do 4o bimestre no Material do Professor – Digital.

EF07MA37: Interpretar e analisar dados apresentados em gráfico de setores divulgados pela mídia e compreender quando é possível ou conveniente sua utilização.

281

ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

Observe que a soma das porcentagens é igual a 100% (25% + 30% + 40% + 5% = 100%), representando o todo.

• A indicação do título dos gráficos deve ser incentivada durante as aulas, pois contém informações importantes sobre os dados que estão sendo apresentados, as quais devem ser examinadas com cuidado. • É importante que os alunos saibam trabalhar com porcentagens para a articulação e interpretação dos dados contidos nesse tipo de gráfico. • Comente com os alunos que cada categoria representada no gráfico de setores é proporcional às respectivas medidas dos ângulos, logo 1% no setor do gráfico equivale ao ângulo 3,6º. Se julgar necessário, retome o estudo sobre medida e construção de ângulos com o uso do transferidor. • Ao trabalhar com a construção de gráficos de setores, reforce que a soma das porcentagens de todos os setores do gráfico deve ser 100%. Mostre, ou peça, aos alunos a construção de um gráfico de setores a partir de um conjunto de dados em que a soma das porcentagens seja diferente de 100% ou em situações em que a escolha desse tipo de gráfico não é conveniente, verificando as observações e conclusões dos alunos. • As atividades têm por intenção favorecer o desenvolvimento da habilidade EF07MA37. • Exemplo de gráfico de setores para representar a situação da atividade 2:

Lembre-se: Não escreva no livro!

3

GUILHERME CASAGRANDI

Nos últimos anos, a venda de smartphones, aparelhos de celular com características de computadores, aumentou no Brasil. Veja no gráfico abaixo a distribuição das vendas de uma rede de lojas de acordo com a marca dos aparelhos. DISTRIBUIÇÃO DAS VENDAS DE SMARTPHONES

14,5%

8,4% 10,5%

• Este tópico visa o desenvolvimento da habilidade EF07MA35. • Ao introduzir as noções de média aritmética simples e de média aritmética ponderada, peça aos alunos que busquem outras situações, além das apresentadas no livro, em que cada um desses tipos de média seja utilizado. • Depois de introduzir o conceito de média, comente com os alunos que o uso dessa medida se faz conveniente quando o conjunto de dados não apresenta valores discrepantes, pois, caso contrário, o resultado fornecido pode desencadear conclusões falhas. Para exemplificar, trabalhe o cálculo da média de um conjunto de dados sem valores discrepantes e depois acrescente um valor bem maior ou menor que os demais.

34 700 aparelhos

31,9%

34,7%

a) Em uma venda de 100 000 smartphones, quantos aparelhos eram da marca A? b) Podemos afirmar que a venda dos apare1 lhos da marca A corresponde a mais de 3 das vendas? Justifique sua resposta.

Marca de aparelhos A B C D Outros

Sim;

1 corresponde aproximadamente a 33,3%. 3

Dados fornecidos pela rede de lojas.

Você já deve ter escutado expressões do tipo “média de gols”, “rendimento médio”, “média de preço”, “velocidade média” etc. Muitas vezes, em uma pesquisa que envolve vários dados, podemos sintetizar as informações calculando a média aritmética ou a média aritmética ponderada e utilizar essas medidas para representar o conjunto de dados da pesquisa. Normalmente, quando usamos apenas “média”, estamos nos referindo à média aritmética simples.

Média aritmética simples Acompanhe a situação a seguir. Observe, ao lado, as notas que os alunos da sala de Roberta obtiveram na 1a e na 2a provas de Matemática do ano letivo.

Para calcular a média aritmética (ou média aritmética simples) dessa turma referente à 1a prova, podemos adicionar as notas dos 12 alunos e dividir por 12 o resultado obtido. Veja:

número de alunos

282

EF07MA35: Compreender, em contextos significativos, o significado de média estatística como indicador da tendência de uma pesquisa, calcular seu valor e relacioná-lo, intuitivamente, com a amplitude do conjunto de dados.

EDUARDO FRANCISCO

Qual é a média aritmética das notas dos alunos da sala de Roberta para a 1a prova?

8,0 1 7,0 1 5,0 1 7,5 1 7,0 1 6,2 1 9,9 1 7,6 1 9,4 1 7,8 1 6,5 1 8,1 90,0 5 5 7, 5 12 12

282

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Médias

• Agora, discuta com os alunos os resultados obtidos para os conjuntos de dados sem valores discrepantes e para os conjuntos com valores discrepantes, apontando que a média não deve ser o único indicador considerado para a análise de um conjunto de dados, introduzindo o uso da amplitude e explicando que nos próximos anos eles estudarão outras medidas que auxiliarão na análise: a moda e a mediana.

Agora, observe o cálculo para a média aritmética das notas dos alunos na 2a prova: 7,0 1 7,5 1 8,0 1 7,2 1 7,6 1 7,8 1 7,8 1 7,4 1 7,4 1 7,2 1 7,2 1 7,9 90,0 5 5 7,5 12 12 A média da 1a prova e a média da 2a prova foram 7,5. Além da média, podemos usar outras medidas para analisar o desempenho da turma, uma dessas medidas é a amplitude. Dispersão É quanto a distribuição de dados está espalhada ou concentrada.

A amplitude é determinada pela diferença entre o maior e o menor valor dos dados coletados. Essa é uma medida que permite avaliar a dispersão dos dados. Observe: amplitude das notas obtidas pelos alunos na 1a prova: 2

maior nota (Tatiana)

5,0

5

4,9

8,0

menor nota (Alberto)

maior nota (Alberto)

7,0

2

5

1,0

menor nota (Alessandra)

Com os valores obtidos, podemos afirmar que a notas da 1a prova são mais dispersas quando comparadas às notas da 2a prova.

5,0

5,5

6,0 6,2

6,5

7,0

7,6 7,8 8,0 8,1 7,5

8,5

9,0

9,4 9,5

9,9 10,0

8,5

9,0

9,5

10,0

ILUSTRAÇÕES: ADILSON SECCO

Veja os esquemas abaixo.

notas da 1a prova

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0 7,2 7,4 7,6 7,8 7,9 8,0 7,5 notas da 2a prova

Observe outros exemplos para o cálculo de média. Certo dia, na base brasileira de pesquisa na Antártica Estação Comandante Ferraz, foram registradas a temperatura máxima de 220 °C e a temperatura mínima de 235 °C. Vamos determinar a média entre essas temperaturas. 220 ºC 1 (235 ºC) 255 ºC 5 5 227,5 ºC 2 2 A temperatura de 227,5 °C representa a média das duas temperaturas registradas na Estação Comandante Ferraz nesse dia. Elaborado a partir de: Google Maps. Disponível em: . Acesso em: 27 set. 2018.

ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

9,9

amplitude das notas obtidas pelos alunos na 2a prova:

ANTÁRTICA – ESTAÇÃO COMANDANTE FERRAZ 58º O

62º S

Ilhas Rei George

Estação Comandante Ferraz (Brasil) NO

N

O

NE L SE

SO S 20 km

283

283

• Sempre que possível, explore os recursos digitais além da calculadora. Planilhas eletrônicas e softwares gratuitos possuem ferramentas e recursos que permitem realizar o tratamento estatístico, como é o caso do cálculo da média. • Se julgar oportuno, discuta a questão do consumo com a turma, analisando os gastos mensais, fixos e variáveis de Roberto.

Roberto precisa ter um gasto médio de R$ 4 450,00, pois pretende fazer uma viagem. Caso ele não atenda a essa meta nos próximos meses, não conseguirá realizar o seu objetivo. Observando, no quadro abaixo, os gastos mensais de Roberto nos últimos três meses, será que podemos concluir que ele conseguirá economizar para a viagem?

Item

Mês 1

Mês 2

Mês 3

Celular

R$ 150,00

R$ 150,00

R$ 100,00

Internet

R$ 100,00

R$ 80,00

R$ 80,00

Gás

R$ 10,00

R$ 10,00

R$ 10,00

R$ 1 845,00

R$ 1 500,00

R$ 500,00

Faculdade

R$ 805,00

R$ 805,00

R$ 805,00

Academia

R$ 200,00

R$ 80,00

R$ 80,00

Luz

R$ 200,00

R$ 150,00

R$ 150,00

Condomínio

R$ 607,00

R$ 607,00

R$ 607,00

Plano de saúde

R$ 515,00

R$ 515,00

R$ 515,00

Supermercado

R$ 600,00

R$ 800,00

R$ 590,00

Cartão de crédito

Calculando o gasto de cada mês, temos: • Mês 1: R$ 5 032,00 • Mês 2: R$ 4 697,00 • Mês 3: R$ 3 437,00 Agora, vamos calcular o gasto médio dos últimos 3 meses: 5 032 1 4 697 1 3 437 5 4 388,67 3 Portanto, como R$ 4 388,67 está compatível com o gasto médio estipulado por Roberto, podemos concluir que, se ele mantiver a média nos próximos meses, cumprirá a meta.

ATIVIDADES 1

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

Em uma gincana, a equipe com média aritmética de pontos maior que 60 ganha uma viagem. Veja os pontos de cada equipe: Equipe A: 52,5; 84; 70,8; 39; 60,7

Equipe B: 42; 59,9; 58; 71,6; 70,5

duas ganharam a viagem. A equipe A obteve média igual a) Qual delas ganhou a viagem? As a 61,4 pontos, e a equipe B, média igual a 60,4 pontos. b) Qual equipe obteve o ganho de pontos menos disperso? equipe B

284

284

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Gastos mensais

Lembre-se: Não escreva no livro!

2

Uma loja de carros vendeu o número de veículos indicado na tabela abaixo. Mês

Número de veículos

Janeiro

22

Fevereiro

14

Março

30

Abril

18 EDUARDO FRANCISCO

Dados obtidos pela loja de carros.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Determine o número médio de automóveis vendidos: a) nos dois primeiros meses do ano; 18 b) nos três primeiros meses do ano; 22 c) nesse quadrimestre. 21 3

A tabela abaixo traz dados das quatro últimas partidas de um time de futebol. Partida

Público

Primeira

20 358

Segunda

3 454

Terceira

68 112

Quarta

35 208

Dados obtidos pelo time de futebol.

Com o auxílio de uma calculadora, obtenha a média de público nessas partidas. 31 783 4

espectadores

A tabela abaixo indica os números referentes à exportação de suco de laranja, em tonelada, de 2013 a 2017. Ano

Exportação de suco (em tonelada)

2013

959 000

2014

1 045 000

2015

900 000

2016

1 105 000

2017

1 080 000 Dados obtidos pela exportadora.

Determine, em tonelada, a média anual de exportação de suco nesse período. 5

1 017 800 toneladas

Para a agricultura, colher informações climáticas, sobre a quantidade de chuva, por exemplo, é fundamental. Observe a tabela, a seguir, que traz os dados sobre as precipitações pluviométricas do município de Serrana (SP) de janeiro de 2015 a abril de 2018.

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9/26/18 20:31

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• No item c da atividade 5, espera-se que os alunos observem que a precipitação pluviométrica no mês de julho é nula nos anos de 2016 e 2017. Em 2018, a partir do mês de janeiro, a precipitação vem diminuindo, mostrando uma tendência de que não ocorra chuva no mês de julho, quando comparado com 2016 e 2017.

Lembre-se: Não escreva no livro!

Precipitações pluviométricas do município de Serrana (SP) (em mm) Ano

Jan.

Fev.

Mar.

Abr.

2018 350,1

170,0

125,0

21,0

2017 270,4

63,7

95,6

2016 399,4

267,0

2015

181,2

56,5

Maio

Jun.

Jul.

Ago.

Set.

Out.

Nov.

Dez.

99,2

92,4

1,0

0,0

11,6

39,0

50,3

167,7

134,9

225,2

0,0

81,8

78,3

0,0

51,4

6,8

234,2

196,1

169,6

160,8

33,4

141,8

14,4

7,0

2,0

99,5

93,8

193,7

360,4

Dados obtidos em: . Acesso em: 21 jul. 2018.

a) Qual foi a média de precipitação em Serrana no mês de janeiro, nos anos de 2015 a 2017?

c) Podemos afirmar que a tendência para o mês de julho de 2018 é que não ocorra chuva? Justifique sua resposta. Resposta pessoal.

• É importante que os alunos percebam que o resultado fornecido pela média aritmética ponderada seria o mesmo se fosse usada a média aritmética simples. Para que eles se convençam disso, é recomendado que efetuem o cálculo das duas médias com base no mesmo conjunto de dados. • A média aritmética, simples ou ponderada, caracteriza um conjunto de valores. Mais importante do que o cálculo dessa medida é o trabalho com a interpretação dela como indicador de tendência de uma pesquisa.

Média aritmética ponderada Acompanhe a situação a seguir. Em uma escola, são atribuídos pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente, à 1a, 2a, 3a e 4a etapas, em cada disciplina, para o cálculo da média anual do aluno. Observe o quadro abaixo com as notas de Matemática do aluno Luís Alberto nas quatro etapas. Etapa

Nota

Peso

1a

7

1

2a

8

2

3a

6

3

4a

9

4

Qual foi a média anual de Luís Alberto em Matemática? Podemos obter essa média somando as notas multiplicadas por seus pesos e dividindo o resultado pela soma dos pesos considerados: 7 8 118 8 216 8 319 8 4 7 1 16 1 18 1 36 77 5 5 5 7 ,7 1121314 10 10 Portanto, a média anual de Luís Alberto em Matemática foi 7,7. Observe que, ao atribuir os maiores pesos às provas da 3a e da 4a etapas, deu-se maior importância às últimas provas, embora todas as provas tivessem valor entre 0 e 10. 286

286

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2015: 56,5 mm; 2016: 399,4 mm; 2017: 270,4 mm

b) Com o auxílio de uma calculadora, calcule a média total anual de chuva em Serrana entre 2015 e 2017. 2015: 112,04 mm; 2016: 142,48 mm; 2017: 85,48 mm

Material Digital Audiovisual • Áudio: Média

Exemplo

Observando a distribuição da idade dos seus alunos, a professora Rita montou o quadro abaixo. EDUARDO FRANCISCO

Número de alunos

Idade

5

8 anos

8

9 anos

11

10 anos

Orientações para o professor acompanham o Material Digital Audiovisual

Qual é a média da idade dos alunos da professora Rita? Veja como a professora calculou a média:

Assim, podemos dizer que a idade média dos alunos da professora Rita é 9,25 anos, o que equivale a 9 anos e 3 meses. Nesse exemplo, o maior peso se dá pela frequência de alunos, ou seja, o maior peso é aquele que representa a idade de maior frequência entre os alunos (10 anos).

ATIVIDADES 1

Faça as atividades atividadesno nocaderno. caderno

2

O departamento de esportes de um colégio comprou 6 bolas de futebol, 10 bolas de basquete e 9 bolas de vôlei. AFRICA STUDIO/SHUTTERSTOCK

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

40 + 72 + 110 8 8 5 1 9 8 8 1 10 8 11 222 5 5 5 9,25 5 1 8 1 11 24 24

Bimestre Primeiro Segundo Terceiro Quarto 3

Observe os preços indicados no quadro abaixo e determine o preço médio de uma bola nessa compra. R$ 58,60 Bola

Preço unitário

Observe o quadro abaixo e descubra a nota mínima que Diego deve tirar no quarto bimestre para atingir média final igual a 5,0. 6,5 Peso 1 2 3 4

Nota 6,0 4,5 3,0

Com o auxílio de uma calculadora, calcule a média ponderada da altura de um grupo de 40 alunos usando os dados do quadro. 1,64 m Altura (em metro)

Número de alunos

1,51

2

1,56

5

1,61

11

Vôlei

R$ 45,00

1,66

14

Basquete

R$ 70,00

1,71

5

Futebol

R$ 60,00

1,76

3

287

287

Resolvendo em equipe

Resolvendo em equipe

a) 37

d) 64

b) 45

e) 72

c) 50

LUIZ RUBIO

(OBM) O gráfico ao lado refere-se à prática esportiva dos alunos do 6o ano de uma escola. Nenhum  dos meninos que jogam futebol ou vôlei joga basquete e nenhuma menina que joga basquete ou vôlei joga futebol. Há cinco meninos e três meninas que não praticam nenhum dos três esportes. Pelo menos quantos alunos há no 6o ano? alternativa e

Faça a atividade no caderno.

25 20 15 12 10 8 5 0

futebol

vôlei

Interpretação e identificação dos dados

meninas

• Analise as informações do enunciado e anote aquelas que você julgar relevantes para a resolução do problema. Resposta pessoal. • Monte uma tabela ou um diagrama para relacionar a quantidade de meninos e os esportes praticados. 55 2 x, em que x é o número de meninos que praticam futebol e vôlei. • Faça o mesmo para a quantidade de meninas e os esportes.

Plano de resolução

meninos

basquete

• O número de meninos que praticam futebol e vôlei pode ser no máximo quanto? 10 • Encontre o número máximo de meninas que praticam basquete e vôlei. 8

Resolução

• Forme um trio para a resolução. • Mostre aos colegas seu plano de resolução, veja o deles e verifique se há ideias comuns entre vocês. • O trio deverá discutir quais são as diferenças e as semelhanças de cada plano e escolher um dos planos para a execução do processo de resolução. Observação Resolvam o problema de forma coletiva, mas façam o registro individual em seus cadernos. Resposta pessoal. 55 1 35 2 10 2 8 5 72

Verificação

• O grupo deve reler o problema e verificar se todas as condições do enunciado foram satisfeitas.

Apresentação

35 2 y, em que y é o número de meninas que praticam vôlei e basquete.

• Cada trio deverá apresentar sua estratégia de resolução de forma oral. Os diagramas elaborados na resolução devem ser explicados para a classe. Ao final, todas as estratégias devem ser registradas no caderno.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• A seção destaca as etapas selecionadas para encaminhar a resolução de problemas. Elas devem ser analisadas e discutidas com os alunos. Além de favorecer o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas 2, 3 e 5, a seção permite a transferência de estratégias de resolução para outros contextos e situações, servindo de base para a resolução das atividades do item “Aplicando” da seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” deste ou de outros capítulos, por exemplo. • Comente com os alunos que é muito importante, para a resolução do problema apresentado, que eles façam a leitura atentamente das informações contidas no gráfico de barras duplas, considerando e interpretando todas as informações contidas em seus eixos e legenda.

Compare os diversos diagramas criados pelos alunos, estimulando a diversidade de pensamento entre os grupos.

288

As descrições das competências gerais 2 e 9 e das competências específicas 2 e 5 estão nas páginas 269 e 280. diferentes linguagens – verbal (oral ou visual-motora, como Libras, e escrita), corporal, visual, sonora e digital –, bem como conhecimentos das linguagens artística, matemática e científica, para se expressar e partilhar informações, experiências, ideias e sentimentos em diferentes contextos e produzir sentidos que levem ao entendimento mútuo. Competência geral 10: Agir pessoal e coletivamente com autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões com base em princípios éticos, democráticos, inclusivos, sustentáveis e solidários. Competência específica 3: Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento, sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.

PDF-268-293-MCP7-C12-G20.indd 288 Competência geral 4: Utilizar

288

9/25/18 19:54

Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Faça as atividades no caderno.

Revisitando 1

Explique a que se refere a área da Estatística.

2

O que você entende por experimento aleatório? Dê um exemplo. Resposta pessoal.

3

O que é população em uma pesquisa estatística? Dê exemplos. População (ou universo estatístico)

4

Qual é a diferença entre pesquisa censitária e pesquisa amostral?

5

Copie a frase a seguir no caderno, completando-a. O gráfico de setores é utilizado para representar graficamente

são todos os elementos do objeto do estudo da pesquisa. Exemplo: todos os funcionários de uma empresa.

Revisitando de um

partes

(a unidade).

total

Neste capítulo, você estudou as médias aritméticas simples e ponderada. Qual é a diferença entre elas? A média aritmética ponderada é usada quando são atribuídos pesos diferentes aos valores da grandeza.

Aplicando

4. O objeto da pesquisa censitária é levantar informações de todos os integrantes da população. A pesquisa amostral é realizada em uma amostra aleatória representativa da população.

Em um saco há 25 bolinhas numeradas  de 1 a 25. GEORGE TUTUMI

1

EDUARDO FRANCISCO

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

A média aritmética simples é aquela em que os pesos dos valores da grandeza são iguais a 1.

3 10 11 23 1 24 19 21 16 20 12 5 15 4 25 7 17 6 14 2 8 18 9 22 13

1

Retirando ao acaso uma bola do saco: a) é mais provável que saia um número ímpar ou um número par? ímpar b) qual é a probabilidade de sair um número par? 12

Construa um gráfico de setores identificando os quatro modelos de veículo vendidos por essa concessionária. 4

Márcia construiu a máquina abaixo.

25

Em um baralho, há 52 cartas, sendo 13 cartas de cada naipe (ouros, copas, paus e espadas). Ao retirar uma carta desse baralho, qual é a probabilidade de se obter: 1 5 a) um ouro? 13 52 4 b) um rei? 4 5 1 52

3

Aplicando

13

Uma concessionária vendeu no mês de janeiro as seguintes quantidades de veículos: • Modelo A: 80 unidades • Modelo B: 60 unidades • Modelo C: 40 unidades • Modelo D: 20 unidades

• Exemplo de gráfico para a atividade 3:

EDUARDO FRANCISCO

2

• Esta seção foi criada para que os alunos tenham a oportunidade de verificar os conhecimentos consolidados. Se eles tiverem alguma dúvida em relação aos conteúdos avaliados, sugira que retomem as páginas do capítulo. Incentive-os a buscar a troca de conhecimento em grupo e, caso a dúvida persista, ajude-os a encontrar um bom caminho para a compreensão. • Na atividade 2, espera-se que os alunos percebam que um experimento aleatório é aquele que pode ser repetido inúmeras vezes nas mesmas condições, e em que conhecemos os resultados possíveis, mas não podemos assegurar qual será o resultado final. Exemplo: lançamento de uma moeda.

recipiente A; probabilidade =

UNIDADES DE CARROS VENDIDOS NO MÊS DE JANEIRO, POR MODELO

1 2

Modelo D

a) Se ela introduzir uma bolinha na máquina, em que recipiente é mais provável que a bolinha caia? Por quê? b) Qual é a probabilidade de uma bolinha cair no recipiente C? 1

20

40 Modelo C

80 Modelo A

Modelo B 60

4

289 Dados fornecidos pela concessionária.

PDF-268-293-MCP7-C12-G20.indd 289

9/26/18 20:31

A medida dos ângulos referente a cada setor é: 144° (modelo A), 108° (modelo B), 72° (modelo C) e 36° (modelo D).

289

ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

6

A Estatística é a parte da Matemática que coleta, organiza e analisa dados sobre determinado assunto.

• A seção “Trabalhando os conhecimentos adquiridos” tem como objetivo retornar os conceitos e procedimentos vistos no capítulo, incentivando a revisão, a autoavaliação e a criatividade por meio da resolução de problemas. É composta de atividades de diversos níveis de dificuldade, incluindo desafios e questões de exames, cuidadosamente escolhidas, para que os alunos resolvam com base nos conhecimentos adquiridos até o momento.

• Exemplo de gráfico para a atividade 5:

Lembre-se: Não escreva no livro!

Grupo AB 5% Grupo B 10%

Grupo O 40%

Grupo sanguíneo Frequência

Dados obtidos pela universidade.

6

NÍVEL DE SATISFAÇÃO Ruim ou muito ruim 2,2% Regular

Bom 42,7%

Muito bom 40,5%

A

B

AB

O

45% 10% 5% 40%

8 NÍVEL DE SATISFAÇÃO

45,1 12,7

Regular 5,6

Ruim ou muito ruim 0

10

20

30

40

50

Em%

Disponível em: . Acesso em: 5 set. 2018.

a) Com base nos dados do gráfico, o que podemos afirmar sobre a satisfação dos maioria respondeu “atendeu turistas? A plenamente”. b) Represente no caderno esses dados em um gráfico de setores. 7

290

(Enem) A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.

Produção Emissão de dióxido de carbono (em tonelada) (em partes por milhão – ppm)

36,6

Bom

Número de funcionárias 1 10 3 5 6

Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36, a probabilidade de ela calçar 38 é: alternativa d 5 5 1 1 2 b) c) d) e) a) 3 5 5 7 14

Em 2014, foi realizada a Copa do Mundo de futebol no Brasil. Veja o nível de satisfação dos turistas que visitaram o Brasil para participar desse evento em relação aos aeroportos.

Muito bom

290

Tamanho dos calçados 39 38 37 36 35

Represente esses dados em um gráfico de setores.

• Exemplo de gráfico para o item b da atividade 6:

14,6%

Foi feito um estudo do grupo sanguíneo dos 500 alunos de uma universidade. O resultado obtido foi o seguinte:

(Enem) O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir.

1,1

2,14

1,2

2,30

1,3

2,46

1,4

2,64

1,5

2,83

1,6

3,03

1,7

3,25

1,8

3,48

1,9

3,73

2,0

4,00

Fonte: Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: . Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é: alternativa d a) inferior a 0,18. b) superior a 0,18 e inferior a 0,50. c) superior a 0,50 e inferior a 1,50. d) superior a 1,50 e inferior a 2,80. e) superior a 2,80.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

5

Grupo A 45%

LUIZ RUBIO

ILUSTRAÇÕES: ANDERSON DE ANDRADE PIMENTEL

GRUPO SANGUÍNEO DOS ALUNOS DE UMA UNIVERSIDADE

• Para a realização do Desafio, os alunos poderão utilizar a linguagem algébrica para determinar os números consecutivos da média na sequência dos naturais de 1 a 15. Se for necessário, mostre a representação algébrica de dois números consecutivos: x e x 1 1. Como sugestão de resolução, temos: a soma dos 15 primeiros números naturais é 120 e a soma dos 13 números dada pelo enunciado é 105, em que a diferença entre 120 e 105 é 15. Logo, x 1 (x 1 1) 5 15, então x 5 7 e x 1 1 5 8.

Lembre-se: Não escreva no livro!

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

9

(Enem) A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda. ME

2009 (em milhares de reais)

2010 (em milhares de reais)

2011 (em milhares de reais)

Alfinetes V Balas W Chocolates X Pizzaria Y Tecelagem Z

200 200 250 230 160

220 230 210 230 210

240 200 215 230 245

Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são: alternativa d a) Balas W e Pizzaria Y. b) Chocolates X e Tecelagem Z. c) Pizzaria Y e Alfinetes V. d) Pizzaria Y e Chocolates X. e) Tecelagem Z e Alfinetes V. 10

(Enem) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (Obmep) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da Obmep de 2005 a 2009:

Região

2005 2006 2007 2008 2009

Norte

2%

2%

1%

2%

1%

18%

19%

21%

15%

19%

5%

6%

7%

8%

9%

Sudeste

55%

61%

58%

66%

60%

Sul

21%

12%

13%

9%

11%

Nordeste Centro-Oeste

Disponível em: . Acesso em: abr. 2010 (adaptado).

Em relação às edições de 2005 a 2009 da Obmep, qual é o percentual médio de medalhistas de ouro na região Nordeste? alternativa c a) 14,6% d) 19,0% b) 18,2% e) 21,0% c) 18,4%

Elaborando • A seção incentiva a criatividade e a elaboração de uma pesquisa pelos alunos, favorecendo o desenvolvimento das competências gerais 2, 4, 5, 7, 9 e 10 e das competências específicas 2, 4, 5, 6 e 8. • A atividade busca o desenvolvimento da habilidade EF07MA36.

DESAFIO

(Obmep) Luciano queria calcular a média aritmética dos números naturais de 1 a 15. Ao calcular a soma desses números, ele se esqueceu de somar dois números consecutivos. Após dividir a soma dos treze números por 15, obteve 7 como resultado. Qual é o produto dos números que Luciano se esqueceu de somar? alternativa b a) 30 d) 182 b) 56 e) 210 c) 110

Elaborando Nos exemplos dados neste capítulo, abordamos alguns temas interessantes, como consumo de energia elétrica e coleta de lixo. A partir desses temas, faça, com um colega, o planejamento e a realização de uma pesquisa. Lembre-se das etapas do processo estatístico. 1 . Defina o objetivo da sua pesquisa, ou seja, o que você está investigando. 2. Você precisará fazer uma pesquisa censitária ou amostral? Quem serão seus entrevistados? Como você coletará os dados? Que tipo de questionário elaborará: aberto ou fechado? 3. Se preferir, use uma planilha eletrônica para organizar os dados. Não se esqueça de retomar o objetivo da pesquisa e analisar, na apuração dos dados, se esse objetivo foi cumprido. 4. A apresentação e a análise dos dados deverão ser feitas para os demais colegas da classe. Sob orientação do professor, marquem a data de apresentação. E não se esqueça de que agora você tem mais repertório para a análise dos dados: a média! 291

EF07MA36: Planejar e realizar pesquisa envolvendo tema da realidade social, identificando a necessidade de ser censitária ou de usar amostra, e interpretar os dados para comunicá-los por meio de relatório escrito, tabelas e gráficos, com o apoio de planilhas eletrônicas. As descrições das competências gerais 2, 4, 9 e 10 e das competências específicas 2, 4 e 5 estão nas páginas 269, 280 e 288. Competência geral 5: Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais (incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações, produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria na vida pessoal e coletiva. Competência geral 7: Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Competência específica 6: Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos, como fluxogramas, e dados). Competência específica 8: Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para problemas, de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.

291

É hora de extrapolar • A seção propõe o fechamento da unidade por meio de um trabalho colaborativo que explora a pesquisa, a comunicação e a elaboração de uma maquete, que será compartilhada com a comunidade escolar. • Com a finalidade de organizar o trabalho, a seção é dividida em etapas que promovem:

É hora de extrapolar

Faça as atividades no caderno.

1. c) Provavelmente porque as pessoas com mais idade tiveram mais oportunidades de vivenciar a experiência de visitar um parque nacional.

VOCÊ CONHECE ALGUM PARQUE NACIONAL BRASILEIRO?

O Brasil possui mais de 70 parques nacionais, que exibem deslumbrante natureza. Os parques nacionais, de acordo com a legislação brasileira, têm como objetivo a preservação de ecossistemas naturais de grande relevância ecológica e beleza cênica, possibilitando a realização de pesquisas científicas e o desenvolvimento de atividades de educação e interpretação ambiental, de recreação em contato com a natureza e de turismo ecológico.

§ Entendimento do contexto e dos objetivos do trabalho a ser realizado. § Pesquisa coletiva. § Elaboração, em grupo, da maquete. § Exposição da maquete com as informações. § Reflexão e síntese do trabalho.

Objetivo: Pesquisar e analisar dados sobre parques nacionais brasileiros, analisar a área de um parque nacional, e produzir maquetes de parques nacionais que serão exibidas para a comunidade escolar.

1. Reúna-se em grupo. Leiam as informações sobre parques nacionais que constam na pesquisa Parques do Brasil — Percepções da população (disponível em: , acesso em: 6 set. 2018), realizada em novembro de 2017 pelo Instituto Semeia, e depois respondam às questões propostas. a) A pesquisa realizada é uma pesquisa censitária ou amostral? pesquisa amostral b) Os entrevistados que conheciam o nome de pelo menos um parque nacional representam que porcentagem da população investigada? 96% c) Por que vocês acham que a porcentagem de pessoas com idade entre 56 e 65 anos que já visitaram parque é maior que a porcentagem de jovens com idade entre 16 e 25 anos?

As etapas de pesquisa e elaboração da maquete podem ser realizadas extraclasse. Verifique o perfil dos alunos e oriente-os com relação ao prazo, aos materiais e a outros aspectos necessários à realização do trabalho. • A seção favorece o desenvolvimento das competências gerais 2, 3, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas 2, 4, 5, 6, 7 e 8, procurando mobilizar conteúdos estudados na unidade. Portanto, é recomendável trabalhar a seção depois de estudar os capítulos, mas, se preferir, à medida que os capítulos forem estudados, atente para os conhecimentos prévios necessários. • Se julgar oportuno, trabalhe esta seção em parceria com os professores de Ciências Naturais e de Geografia. Os alunos podem aprofundar as pesquisas sobre o clima das regiões em que se localizam os parques e sobre a biodiversidade desses locais.

2. a) e b) FREQUÊNCIA DE VISITAÇÃO AOS PARQUES (EM %) Vou várias vezes por ano Vou uma vez por ano Vou uma vez a cada dois anos

Intensa 23%

23% (intensa)

23

82,8°

13 23% (média) 10

Fui algumas vezes na vida Fui uma vez na vida

FREQUÊNCIA DE VISITAÇÃO AOS PARQUES

36 54% (esporádica) 18

Esporádica 54%

194,4°

82,8° Média 23%

Dados disponíveis em: . Acesso em: 6 set. 2018.

a) Construam um gráfico de setores considerando as seguintes categorias de visitação: intensa, média e esporádica. b) Calculem as medidas dos ângulos que correspondem a cada um desses setores. Etapa 2: Análise da área do Parque Nacional do Jaú. 3. Leiam o texto a seguir, que traz algumas informações sobre o Parque Nacional do Jaú, localizado no estado do Amazonas. Se achar conveniente, oriente os alunos a usar calculadora para resolver as questões propostas.

O Parque Nacional do Jaú foi criado em 1980 com uma área aproximada de 2 272 000 ha, sendo uma das unidades de conservação mais extensas do Brasil. Uma de suas peculiaridades é o fato de ser a única unidade de conservação do Brasil que protege totalmente a bacia de um rio extenso (aprox. 450 km) e volumoso — o rio Jaú, preservando o ecossistema de águas pretas [...]. Fonte: . Acesso em: 6 set. 2018. 292

As descrições das competências gerais 2, 4, 7, 9 e 10 e das competências específicas 2, 4, 5, 6 e 8 estão nas páginas 269, 279, 280, 288 e 291. Competência geral 3: Valorizar e fruir as diversas manifestações artísticas e culturais, das locais às mundiais, e também participar de práticas diversificadas da produção artístico-cultural. Competência específica 7: Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de indivíduos e de grupos sociais, sem preconceitos de qualquer natureza.

292

ADILSON SECCO

ADILSON SECCO

2. Nessa pesquisa, também se investigou a frequência de visitação aos parques nacionais. O gráfico a seguir mostra a distribuição da frequência entre os 57% que declararam que já visitaram algum parque nacional.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Etapa 1: Análise de dados de uma pesquisa sobre Parques Nacionais realizada em 2017.

• Informações sobre a pesquisa citada na atividade 1:

Lembre-se: Não escreva no livro!

§ Amostra: 815 pessoas entre 16 e 65 anos de 6 cidades: São Paulo (204), Rio de Janeiro (122), Porto Alegre (120), Salvador (128), Manaus (121) e Brasília (120). § 783 entrevistados conheciam o nome de pelo menos um parque nacional; o Parque Nacional da Chapada Diamantina foi o mais citado. § 57% da população investigada declaram já ter visitado um parque nacional. § A distribuição de pessoas que já visitaram algum parque nacional não ocorre de forma uniforme em relação à idade: entre 16 e 25 anos o percentual é 37% e entre 56 e 65 anos, o percentual é 86%.

a) A unidade de medida de área usada no texto é representada pelo “ha”. Que unidade é essa? Qual é a relação entre essa unidade de medida de área e o metro quadrado? b) O Parque do Ibirapuera é um dos mais famosos do país. Está localizado na cidade de São Paulo (SP) e possui uma área de 158 ha. Quantas vezes o Parque Nacional do Jaú é maior que o Parque do Ibirapuera, aproximadamente? 14 380 vezes c) A Fifa, Federação Internacional de Futebol, adota como medida padrão para os campos de futebol os valores de 105 metros por 68 metros. Quantos campos de futebol com essas dimensões caberiam no Parque Nacional do Jaú? 3 182 072 campos de futebol Etapa 3: Produção de uma maquete. 4. O Instituto Chico Mendes de Conservação da Biodiversidade (ICMBio) administra as Unidades de Conservação brasileiras, que incluem os parques nacionais. Acessem a lista de parques que são abertos à visitação no site do Instituto (disponível em: ; acesso em: 6 set. 2018) e escolham um dos parques para ser a temática da pesquisa do grupo, que deve conter as seguintes informações: • ano de criação da unidade de conservação;

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

• área e mapa do parque; • estado(s) em que o parque se localiza; • principais atrações; • exemplos de fauna e flora do parque; • imagens do parque. 5. Agora, vamos produzir a maquete de um parque nacional. • Cada maquete deverá representar o parque selecionado na atividade 4; para isso, analisem a área e o formato do parque e preservem a proporção entre as medidas. • Selecionem os materiais e a quantidade necessária de acordo com a dimensão definida para a maquete. Sejam criativos e reutilizem materiais. • A maquete deverá ser acompanhada de uma ficha com informações sobre o parque, divulgando-o. • Incluam pelo menos três das atrações do parque para serem exibidas na maquete. 6. Façam um planejamento contendo a distribuição das tarefas entre os membros do grupo e uma lista com os materiais necessários. 7. A partir do planejamento elaborado, confeccionem a maquete do parque escolhido cumprindo todos os itens da atividade 5. Etapa 4: Análise e exposição das maquetes confeccionadas. 8. Mostrem a maquete, com a ficha elaborada pelo grupo, para que os demais colegas da turma analisem e façam comentários em relação à clareza das informações, tanto da ficha quanto da maquete, e à escolha das atrações para incentivar a visitação gerada pela maquete. 9. Anotem as dúvidas, as opiniões e as sugestões dos colegas. 10. Depois dos ajustes necessários, organizem uma exposição das maquetes para a comunidade escolar. Etapa 5: Síntese do trabalho realizado. Respostas pessoais. 11. Algumas questões que devem ser discutidas: a) Para a produção da maquete, qual foi a etapa mais trabalhosa? Justifiquem. b) Por que é importante que o governo demarque unidades de conservação? c) Após ver as maquetes da exposição, vocês pretendem visitar algum dos parques exibidos? 12. Redijam um texto que descreva o processo realizado pelo grupo nas etapas 3 e 4. 293

• Faça um levantamento para verificar qual parque foi escolhido por cada grupo. Se houver repetições, converse com eles para solicitar que escolham outro parque a fim de que a pesquisa fique mais abrangente. • Auxilie os alunos a determinar o tamanho do material da base da maquete respeitando as escalas. • Se julgar conveniente, peça aos alunos que elaborem panfletos ou cartazes para divulgar a exposição das maquetes.

• Retome com os alunos os conceitos de pesquisa censitária e amostral, abrindo uma discussão sobre a escolha da amostra na pesquisa citada na atividade 1. Algumas questões que podem nortear essa conversa: “Por que escolheram pessoas de várias cidades e não de apenas uma? Por que não coletaram dados de pessoas de todas as capitais? Por que escolheram indivíduos de idades variadas?”. Discuta também sobre a pertinência da amostra para realização de pesquisas sobre outras temáticas, por exemplo: “Essa amostra serviria para realizar uma pesquisa de intenção de votos para a presidência do país? Por quê?”. • Na atividade 3, o símbolo “ha” representa hectare (1 ha 5 1 hm2 5 10 000 m2). • Verifique se os alunos percebem que comparação pedida no item c da atividade 3 ajuda a dimensionar a área do parque. É provável que ao ler 2 272 000 ha eles entendam que se trata de uma grande área, mas o valor de mais de 3 milhões de campos de futebol torna essa informação mais concreta.

Veja proposta de avaliação de aprendizagem no Material do Professor – Digital.

293

Respostas Página 25 1

Página 15 1

2

a) 17, 14, 118, 176, 125 b) 23, 29, 236 c) Não é positivo nem negativo. a) 2R$ 3 000,00 b) 1R$ 1 200,00 c ) 12 300 m d) 2500 m

3 7

13 andares

8

Berna

a) fevereiro b) 35 mil reais c) lucro; 45 mil reais

2 3 4 6

7

a) 21 b) ponto A c) ponto D

4 5

24

d) ponto C e) 16

5 °C

Página 20 1 2 3

294

a) positivo b) positivo c) negativo

3

a) 24 b) 219 c) 230 d) 30 e) 212

4

a) 217 b) 19 c) 13

5

a) 240 b) 5

c) 0 d) 20

6

a) 244 b) 0

c) 229 d) 26

7

a) 1

b) 21

a) 215 b) 2100 c) 2102

2

a) 2950 b) 0 c) 12 400

3

a) 5 b) 210 1 15 5 5

4

a) 22 b) 26

a) 16 b) 20 c) 35 d) 1

e) 0 f) 14 g) 239 h) 524

a) 112 b) 210 c) 1119

7 8

c) 23 e) 12 . 0 f) 22 , 21 g) 23 . 24 h) 0 . 210

a) 210 b) 213 c) 0, 21 e 22 d) 212 a) Tales de Mileto b) 44 anos a) 251

c) 31

d) 210 e) 220 f) 195

c) 0

1

23 °C 40 bilhões de dólares (saldo positivo)

2

a) 1168 b) 188 c) 242

3 4

5 6

236

7 b) 2999

a) 133 b) 15 c) 263 d) 49

g) 227

1

a) 18 b) 12 401 c) 2729

2

a) Positivo, independentemente de o expoente ser par ou ímpar. b) Positivo, se o expoente for par, e negativo, se o expoente for ímpar.

e) 0 f) 277 g) 2276

h) 196 i) 2144 j) 2300

3 4

11

d) 12 772 e) 11 440 f) 2180

a) 226 b) 13 c) 11

124

6

Não, porque, ao multiplicar (21) por qualquer número inteiro não nulo, o produto será o oposto desse número.

a) 64; 34 b) 28; 256 • não

7

a) 15

a) associativa b) comutativa c) elemento neutro d) distributiva c) 24 d) 220

d) 19 e) 11 f) 1121

g) 235 h) 21 i) 1

bisavós: 23 5 8; trisavós: 24 5 16

5

a) 39 b) 235

d) 21 e) 0 f) 13

Página 35

Página 32

7 . 6 . 3 . 0 . 21 . 24 . 28 a) 13 . 12 b) 25 . 26 c) 24 , 14 d) 0 . 21

b) Ilda

1

6

Página 22

294

2

c) 21 d) 116

a) nenhum b) um número, o próprio zero c) infinitos

6

a) não

a) 12 b) 22 c) 18

a) 13 b) 50

5

5

1

a) 137 b) 117

a) 13 b) 1318 c) 117 e 217

4

Página 33

5

b) 26

b) positivo

a) elemento neutro e comutativa b) comutativa c) elemento oposto d) associativa

c) 17 d) 28

a) 7

b) 1295 c) 222

6 500 m a) R$ 2 491,00

1 8 12; 12 8 1; 2 8 6; 6 8 2; (21) 8 (212); (212) 8 (21); (22) 8 (26); (26) 8 (22); (23) 8 (24); (24) 8 (23)

9 2 947 10 a) 230

negativo; 2R$ 400,00

a) 16 b) 2100

4

1 2 3

d) 215 e) 227 f) 225

Página 29

Página 19 1

8

a) 28 b) 217 c) 28

Página 37 1

a) 6 b) 0

2

a) 7 b) 29 c) 25

c) 214 d) 210

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

CAPÍTULO 1

3 4 5 6

208

Página 49

20 m

1

a) 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24 b) 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20 e 40 c) 1, 2, 4 e 8 d) 8

3

a) 50 b) 16

4 5

6

6

a) Sim, porque mdc (4, 5) 5 1. b) Sim, porque mdc (16, 25) 5 1. c) Não, porque mdc (15 e 21) 5 3. d) Não, porque mdc (18 e 42) 5 6.

7 8 9

a) 1

16 a) 5; 7 • não

b) 8; 4

Página 39 — Trabalhando os conhecimentos adquiridos Aplicando 1 20 h 30 min 2 A 5 23 195 m; B 5 2825 m; C 5 12 340 m; D 5 15 895 m

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

4 5 6

R$ 120,00 1 200 m a) 27 °C b) 28 c) 216 d) zero

e) 26, 25, 24 f) 21 g) 11

7 20 segundos 9 33 anos 10 (26 1 20 2 10 1 30 2 15 1 40 2 20);

1

3

b) 25 c) 1

12 a) 2160 b) 122

c) 212 d) 125

16 a) 22 b) 244 c) 10 d) 144

17 211 18 a) 18 b) Dados amarelo e vermelho com 6 e 2 ou 5 e 1 pontos, respectivamente. c) 35

19 alternativa e

4 5

6 7

9

CAPÍTULO 2

Página 47 1

a) Exemplo de resposta: 23, 26, 29, 212, 215. b) Exemplo de resposta: 224, 218, 6, 12, 15, 18.

2 3

alternativa c a) verdadeira b) verdadeira c) Falsa. Possível correção: “Todos os números inteiros negativos são múltiplos de 21”. d) verdadeira e) Falsa. Possível correção: “23 é o menor divisor inteiro de 23”.

c) 10 d) 96

1 pilha de 40 livros; 2 pilhas de 20 livros; 4 pilhas de 10 livros; 5 pilhas de 8 livros; 8 pilhas de 5 livros; 10 pilhas de 4 livros; 20 pilhas de 2 livros; e 40 pilhas de 1 livro.

5

a) 2 020, 2 024 e 2 028 b) Esses números (2 016, 2 020, 2 024 e 2 028) são divisíveis por 4.

6 165 moedas 7 alternativa a 8 agosto 9 alternativa c 10 alternativa e Desafio: alternativa a

b) 1

CAPÍTULO 3

28 6

Página 52

71 atmosferas

11 a) 118

a) 8 b) 20

c) 72 d) 20

4

a) 0, 15, 30, 45, 60, ... b) 0, 20, 40, 60, 80, ... c) 0, 60, 120, 180, 240, ... d) 60

Página 60 1

Página 62 1

lados: SR e ST W ou C B WA , vértice: B , c) ângulo: ABC lados: BA e BC

840

W ou RQP W , vértice: Q , d) ângulo: PQR

2

o produto desses números

lados: QP e QR a) sim b) sim c) Os lados do ângulo raso não são coincidentes; já os lados do ângulo nulo, são.

a) 360 b) 1 080 c) 1 800 d) 200

Página 67 1

a) 180, 3, 60 e 180 b) 768, 16, 48 e 768 c) 1 331, 11, 121 e 1 331 d) 1 764, 1, 1 764 e 1 764

a) 60° b) 90°

2 3

r e v, u e s, u e t a) 30° b) 50° c) 20° d) 70°

e) 90° f) 110° g) 60° h) 160°

4

a) 45° b) 40°

c) 100° d) 110°

a) agudo

c) reto

b) obtuso

d) raso

10 72 11 sim; não 12 18 h 10 Página 54 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos

5

Aplicando 1 38 pessoas 2 a) É possível que 3 pessoas joguem,

8

3

W ou BO WA , vértice: O , a) ângulo: AOB

lados: OA e OB W ou TSR W , vértice: S , b) ângulo: RST

a) 6 b) 20 c) 45 d) 100 a) 270 b) 720 c) 1 320 d) 1 500

a) a e b; c e d b) Exemplo de resposta: a e c; b e e

c) 102° 35’ d) 110° 32’ 48”

alternativa d

Página 69

pois 21 e 18 são divisíveis por 3, mas 6 pessoas não, pois 21 não é divisível por 6. b) mais 9 cartas; mais 12 fichas

1

a) 1 620’ b) 47 593’’ c) 777’ d) 3° e 33’

e) 129 600’’ f) 5° 10’ g) 61 920’’ h) 59° 31’ 57’’

nos dias 3, 9, 15, 21 e 27

2

100,8° 5 100° 48’

295

295

Respostas

1

2

2

a) 62° 32’ b) 126° 36’ 10” c) 93° 2’ 15” d) 90° e) 25° 48’ f) 18° 7’ 40” g) 6° 57’ 46” h) 54° 10’ 14” a) 158° 45’ 20” b) 133° 30’

3

2

3

1

c) 180° d) 46° 30’

a) 271° 12’ b) 50° c) 8° 11’ 31” d) 226° 4’ 40” e) 202° 42’ 40” f) 49° 28’ g) 1° 52’ 30” h) 42° 20’ 10” i) 19° 35’ 50” j) 5° 19’ 25” a) 142° 27’ b) 93° 17’ c) 121° 32’ d) 48° 30’ e) 32° 58’ f) 15° 10’ 5” a) 9° 5’ b) 198° 41’ 20” c) 132° 58’ d) 16° 57’ 35”

Página 73 1

3 5

a) 30° b) 50° c) 30° d) 50° e) 35° f) 35° g) 80° h) 160° i) 115° j) 130° W & COD W ; BOC W & DOE W ; EOF W & FOG W AOB

1

296

296

2 3 4 5

a) 50°

b) 37°

W & POQ W SVT WM & KYWZ WT & NO RS

W e BOC W , Exemplos de resposta: AOB W e COD W , COD W e DOE W , BOC W e DOE W , AOC W e COD W , AOD W e COE W . AOC

a) 14° b) 90° c) 52°

5

1

6

2 3

d) 0° e) 53° 12’ f) 7° 10’

12°

Aplicando 1

c) 3º e) 97° 12’ f) 150° 14’ 25’’ g) 134° 32’ 30’’ h) 89° 30’’

2

3

2 3

4

a) 3 420’ b) 7 237’ c) 2 975’ d) 5 735’

Exemplos de respostas: W e BOA W , EOF W e ângulos o.p.v.: DOE W , DOC W e FOA W ; COB W e EO WA , ângulos suplementares: DOE

5

triângulo equilátero

6

40º

8

alternativa b

9

alternativa c

10 a) 93° 2’ 35’’ b) 7° 32’ 52’’ c) 66° 31’ 40’’

alternativas b, c

d) 24° 43’ 30’’

5 60° 5 50°

V a) cU e a V ea V b) n V c) cU e n

11 alternativa b 12 46° 47’ 23” X d) cU e m X V em e) b

a) a 5 c 5 e 5 g 5 60° b 5 d 5 f 5 h 5 120° b) sim c) sim d) São suplementares.

13 alternativa c 14 Exemplo de resposta: correspondentes: 1 e 2, alternos internos: 5 e 8, alternos externos: 4 e 9, colaterais internos: 5 e 7, colaterais externos: 2 e 5.

Desafio: 135°

Av. Matemática

Página 83 1

72 000’’

4

W ) 5 50° med(BOC

Página 81 1

d) 1º

3

74°

a) b)

a) 1º b) 10º

W e BOF W , FO WA e AOC W . COB

2 3

paralelas: Avenida Elefante e Rua Jacaré perpendiculares: Avenida Hipopótamo e Rua Jacaré

2

41° 23’ 32”

Página 78 1

x 5 50º, y 5 130º

Página 85 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos

Sim, são complementares. W ) 5 22° med(BOC

a) 104° b) 150° c) 180° d) 43° 12’

a) x 5 45º, y 5 40º b) x 5 130º, y 5 88º

Página 77

Sim, o triângulo ABC é isósceles.

Página 75

WB e AOE W b) DO

Página 76

Página 72 1

Exemplos de resposta: W e COB W a) AOF

Sim, pois os ângulos formados pelas retas r e s com a régua colocada na transversal têm a mesma medida. São ângulos correspondentes.

CAPÍTULO 4

Página 98 1

•

a 5 70º, b 5 70º, c 5 40º e d 5 140º a) a 5 60º b 5 120º b) a 5 46º b 5 46º c 5 134º x 5 50º, y 5 50º e z 5 130º

a) •

b) • •

2

5 (ou fração equivalente) 6 5 (ou fração equivalente) 12 6 (ou fração equivalente) 8 6 (ou fração equivalente) 12

a) O inteiro é um círculo. b) O inteiro seriam 4 círculos.

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Página 70

Página 100 1

2

28 (ou fração equivalente); 4 7 jabuticabas •

25 3

12 13 14 15

• Sobrou 1 bolinha; 8 bolinhas para cada criança.

3

4

21 4 •5 •

3 ; cada irmão recebe o equivalente a 5 1 3 pedaços, cujo tamanho é de . 5

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1

2 3 4

1 2 3

1 2

4

3

4

96 figurinhas 3 kg 3 4 7 2

5

Página 105 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos Aplicando 1 Se Luísa estiver considerando que

o inteiro é a quantidade de cores usadas no esboço de sua bandeira, ela está certa.

2 3 4 5 6 7 8 9

200 ; 25 automóveis por fileira. 8 15 pessoas 5 3 6 9 7 3

15 a) 3 280 100 b) R$ 42,00

11 alternativa d

4 horas

4

a) Falsa. Possível correção: “O oposto de um número negativo é um número positivo”. b) verdadeira c) verdadeira

1

6

alternativas verdadeiras a, d, e, g a) 20,25 b) 1,4 c) 0,07 d) 0,6 e) 20,125 f) 20,625 g) 0,135 h) 21,8 64 32 a) + 5+ 5 10 225 9 b) 54 100 8 2 c) 5100 25 54 27 d) + 5+ 100 50 a) 7 b) infinitos c) entre 3 e 4 d) entre 26 e 25 4 5 3 b) 2 17 c) 2 7 d) 5 171 e) 25 69 f) 20 a) ponto C b) ponto B; ponto A 1 3 c) - ; 2 2 3 d) 22 5 22,75 4

1 2 3

2

a) 8 1 b) 7 c) 2,6 13 d) 9 Sim. Exemplos de resposta: |23,5 | 5 5 |13,5 | 5 3,5; |25 | 5 |15 | 5 5; 4 4 4 2 51 5 5 5 5

5 3 10 2 ,- ,+ ,1,+ 5 5 3 8 9 4 1 13 . + . 0 . - . 5 5 4 a) verdadeiro 1 2 b) falsa; . 5 3 c) verdadeiro 3 d) falsa; - , 20,5 5

-

Página 116 1

2

3 4 5 6

5 12 19 b) 21 c) 22,63 d) 24,44 a) -

16 21 28 b) 15 191 c) 5 a)

7,9 17,3 ºC R$ 1 890,00 a) 0,44 m b) 4,51 m

Página 118 1

a) 29,24 b) 20,7 c) 275 d) 0,003

2

a)

Página 113 1

4 4 ou + 7 7 7 7 b) - ou + 9 9 c) 20,3 ou 1 0,3 d) Não existe número V. a) -

Página 114

a)

Página 112

alternativa c

alternativa e 4 4 10 (ou fração equivalente); (ou 12 8 fração equivalente).

a) 3 b) 23

90 km/h

Página 110

5 9 1 2 ou 44 22 2h

Página 103

3

CAPÍTULO 5

Página 101

3 a) 4 3 b) 100 c) 300 g

28 alunos 24

7 5

64 729 5 c) 6 d) 0 15 e) 11 b) -

f) 23

297

297

Respostas

a) R$ 11,20

7

-

(240) 3 (20,025) 5 1 41 360

8 R$ 4 752,00 9 R$ 6 220,00 10 a) • 1

3

4

Página 125 1

•1 •1 5 b) 6 d)

b a

Página 121 1

a) 218,4 b) 5

2

a) 2400 b) 24,5 c) 12,56 d) 250,4

3

a) b) 1 1 c) 2 d) 1

49 6

9 4 5 f) 16 128 g) 3 h) 26 e) -

4

a) Exemplo de resposta: 3 533256 0,5 b) Exemplo de resposta: 40 10 5 20 4 3 5 5 4 3e o5 2 2 3 c) Falsa, pois multiplicar por equi4 vale a multiplicar por 0,75.

Página 123 1

2

298

298

1 a) 81 b) 0,0001 c) 1 d) 10 000 1 e) 16 f) 1,44 g) 20,5 1 h) 1 000 a) 17,64 cm² b) m² c) 12 cm

13 16 25 b) 16 2 662 indivíduos a)

2

10 3 b) 1,4 c) 20,1 2 d) 5 e) 2,5 f) Essa raiz quadrada não está definida no conjunto dos números racionais. g) 12 h) 0,8 a)

a) 0 351 39 = 180 20 alternativas c, e

d) 27

4

a) ponto C b) 22,5 c) 1,5 d) ponto D

5 6

desceu; 6,9 m

7

125 5 1 000 1 a) 6 1 b) 8

8

Mário; 75%

9

9

b)

4 5

6

a) 4,8 m 25 m² b) 36 c) 40 d) 2 e 3

1

27 20 23 b) 27 c) 26 a) -

d)

2

a) b) c) d)

55 28 5 2 61 8 277 225 35 6

1

3

34 5 3 b) 8 1 c) 50 7 d) 100 37 a) 40 b) 1,6 118 c) 25 a)

1 000 8 125 1

5

38

9 25 1 b) 625 c) 20,008 d) 0,000001 a)

11 -

3 8

12 5,5 cm 13 a) 20,8 b) -

14 15 16 17 18 19 20 21

7 15

alternativa e 113,6 m alternativa c a) Vitor L. Faverani T. b) armador alternativa a alternativa e alternativa b

0,00005 3 ’’ 5 1,905 cm 4 23 123

22

24 alternativa a

Página 127 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos Aplicando

3

10 9,49

aproximadamente 4,9 m

Página 126

sim; considerando que representa um número racional, temos:

CAPÍTULO 6

Página 134 1

Representando o número desconhecido por x, temos: 2x a) 3x e) 5 x b) 5x f) x 2 3 x x c) g) 2x 1 2 2 x d) h) x 1 (x 1 1) 1 (x 1 2) 4

2 3

3y 2 x ab 1 ab 1 ab

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

12,18 m²

3 4 5

4

área do terreno: x 8 y área da casa: a 8 a área da piscina: b 8 c área do gramado: x 8 y 2 (a 8 a 1 b 8 c)

5

Página 136 2

a) 16 b) 2

3 ou 20,03 100

c) 216

3

4 5

a) 24a 1 12c

b) R$ 6 480,00

a) Equipe azul: x 1 20; equipe verde: x 2 10

2 3

b) x 1 x 1 20 1 x 2 10 ou 3x 1 10

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

c) Equipe azul: 100 kg; equipe verde: 70 kg; total arrecadado: 250 kg

Página 139 1

4

a) 17x

9x 2 c) 4ab 2 5 b) 7y 2

2

3

4

a) 22a 1 2b 17 b) 2 y 20 c) 24x a) 24k b) 21y c) 216x d) 7y 2 2z 1 4w e) 15a 1 32b 1 c f) 23x 1 10y 2 9z a) 10x b) 4x³y c) 20ab d) 260y² e) 42x²y² 3xy2 f) 8 3 g) - ab 8 h) 26x²

5

a) xyz b) 50 600 cm³

6

perímetro: 2 3 (a 1 b 1 x) área: (a 1 b) 3 x

Página 142 1 2

alternativas c, e a) 2y 2 6 b) 4 1 y c) y

3

a) sim b) não

4

a) não tem solução

18 33 cm

a) 8 b) 12 c) 23 3 d) 4 e) 1 f) 28

19 20 anos 20 100 m 21 x 5 9 22 a) 10 b) 15 c) 20 d) 25

Página 145 1

a) R$ 3,40 b) y 5 3,4 8 x c) R$ 51,00

b) 5

5

6

7

a) x 5 16 b) y 5 103 c) x 5 27 d) x 5 13

• 5n

23 quarto: 9 m²; banheiro: 3 m²;

0,05 quilograma a) x 5 6 b) x 5 22 7 c) y 5 2 d) x 5 20 a) x 5 29 b) x 5 22 c) Não tem solução em b. d) Não tem solução em b. 1 a) x 5 4 b) m 5 1 c) y 5 272 1 d) y 5 2 a) x 5 12 7 b) x 5 2 c) y 5 21 5 d) y 5 2 33 x5 e y 5 22; logo, x é maior que y. 10

Página 147 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

• 50

hall: 1,5 m²; cozinha: 6,75 m²; varanda: 6,75 m²; sala: 13,5 m²

Página 151 1

c) (25, 30, 35, 40, ...) d) (2, 10, 12, 16, 17, 18, 19, 200, 201, ...)

2

d) (0, 3, 8, 15, 24, ...)

3

a) an 5 6n

b) an 5 6 1 n n c) an 5 3

Página 153 1

a) (0, 2, 4, 6, 8, ...) b) (1, 3, 5, 7, 9, ...)

8

c) (21, 2, 24, 8, 216, ...)

2

60 20 anos

a) an 5 3 1 an 2 1, em que a1 5 0, com n inteiro positivo maior que 1. b) an 5 an 2 1 1 1, em que a1 5 0, com n inteiro positivo maior que 1.

Lúcio: 70 kg; Cândido: 54 kg 68 e 70

c) an 5 2an 2 1, em que a1 5 1, com n inteiro positivo maior que 1.

36 36, 37, 38 e 39

d) an 5 2an 2 1, em que a1 5 1, com n inteiro positivo maior que 1.

40 e 63 32

a) (1, 4, 7, 10, 13, 16, ...) b) (21, 1, 21, 1, 21, ...) 1 1 1 1 1 c) ( , , , , , ...) 2 4 6 8 10

24 48

a) (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18) b) (3, 6, 9, 12, 15, 18, ...)

220 figurinhas

Página 155

R$ 60,00

1

primeiro: R$ 15 000,00; segundo: R$ 10 000,00; terceiro: R$ 5 000,00

15 216 pares de tênis 16 41 anos 17 16

a) (4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67, ...) b) (1, 2, 2, 4, 8, 32, 256, 8 192, 2 097 152, 17 179 869 184, ...) c) (1, 11, 121, 1 331, 14 641, 161 051, 1 771 561, 19 487 171, 214 358 881, 2 357 947 691, ...)

299

299

Respostas 23 a) 225

b) an 5 n² c) 84 d) an 5 4(n 1 1)

Aplicando 1 a) 7 1 4x x 6 x c) 10 b)

x 7 alternativas a, b, c, d

d) x 3

2 3 4 5 6

32 2 x 5n a) 1 12 2 b) 87

R$ 300,00 pai: 54 anos; filho: 18 anos 6 meninos R$ 3 600,00 50 mulheres e 30 homens 5 [3x 1 24 2 4 1 x] 9 4 1 2 2 x 5 5 [4x 1 20] 9 4 1 2 2 x 5 5x15122x57

17 48 bananas, 12 laranjas e 36 peras ah

Desafio: a 3 b 1 2 x² 2 xy 2 18 25 bolas brancas 19 pai: 35 anos; filho: 10 anos 20 alternativa b 3 7 22 a) (7, 9, 11, 13, 15, 17, ...) b) (2, 6, 12, 20, 30, 42, ...) 1 2 3 4 5 6 c) e , , , , , , ...o 2 3 4 5 6 7

21 a1 5 3, a3 5 - , a4 5 3 e a5 5 11.

300

a) 487,5 b) 2 919,575

c) 127 687 d) 771 375

4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

a) 400

b) 400

CAPÍTULO 7

alternativa e

16 [(x 1 8) 3 3 2 4 1 x] 9 4 1 2 2 x 5

300

216, 1 296, ...), cuja lei de formação é dada por a1 5 1 e an 5 6 3 an 2 1, com n inteiro positivo.

26 alternativa d

a) 4x 2 6y b) 7ab 1 4a 2 8b c) x 2 0,9y d) 9a 2 10b 5 7 a) x 5 4 b) x 5 1 c) y 5 2 31 d) x 5 6 8 a) Não há solução. 10 b) 27 10 9 m5 3 10 a) x 5 3 2 b) x 5 3 1 c) x 5 3 5 d) x 5 16 51 e) x 5 8 Desafio: (a 2 2e) 3 (b 2 2e) 3 (h 2 2e)

11 12 13 14 15

Desafio: 289 24 a 2 iii; b 2 iv; c 2 i; d 2 ii 25 Uma sequência possível: (1, 6, 36,

3

Página 170 1

a) 100 laranjas b) 600 tijolos c) 540 alunos

2 3 4

285 jogos

5 6 8 9

5 000 entrevistados

a) R$ 1 249,50 O pacote de 400 g oferece 10 g a mais de café adicional que o pacote de 250 g. 50 partidas 70% a) 2 374 metros b) aproximadamente 6,1%

Página 172 1 2

R$ 520,00

3

a) R$ 81,40 b) O valor pago seria R$ 78,40.

4 5 6 7

R$ 28,00 60% R$ 15,00 R$ 500,00 1,845 m R$ 80,00 427,00 126,5 kg a) 31,34% b) Sim, pois é inferior a 33,33%.

14 alternativa b 15 65% 16 R$ 4 008,00 17 R$ 1 440,00; R$ 3 940,00 18 0,7% 19 R$ 2 400,00 20 R$ 480,00 21 R$ 10 000,00 22 alternativa c 23 alternativa c 24 alternativa a Desafio: R$ 1 200,00 25 alternativa d 26 alternativa d 27 37 Desafio: alternativa e

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

Página 156 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos

a) aproximadamente 6,5% b) aproximadamente 41,5%

R$ 1 188,00 a) R$ 21,00

b) R$ 399,00

CAPÍTULO 8

Página 184 1

R$ 160,00 a) R$ 3,56

Página 175 1

R$ 144,00

2 3

2,5% ao mês

5 1 ou ou 5% 100 20 15 b) 22 17 c) 20 1 d) 4 a)

a) R$ 721,00 b) Comprar a televisão à vista.

2

a)

4 5

b) 70%

4

9,6% ao ano

3

a)

b)

5

10 anos

4 5

4

a)

1 2

Página 177 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos Aplicando 1 a) 90% 2 a) 70%

b) 10% c) 80%

b) 55%

b) 5 a)

6

b) 32 testes 4 7 2

7

2 3 2 d) 5 c)

2 ; 0,4; 40% 5

5 c) 125%

d) 5% e) 8,5%

1 5

c) 0,625 c)

4 1

Página 187 Porque existe uma igualdade entre as razões.

2

a) três está para cinco assim como nove está para quinze; meios: 5 e 9; extremos: 3 e 15

3 4

b) sete está para oito assim como catorze está para dezesseis; meios: 8 e 14; extremos: 7 e 16. 1,5 3 20,1 3 2,5 2 = ; = ; = 3,5 7 33,5 5 3,75 3 1 2 a) ou 2 1 3 6 b) ou 6 3 3 1 2 6 c) sim, pois: 5 ou 5 3 2 6 1

1

2

3

Página 190

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

1 2

alternativas c, d

c) 18

e) 24 34 f) 2 23 g) 20,45

d) 13

h) 8

a) 3 b) 24

3 4 5 6 7

6 7 8

7

8

5

7,5 9 300 sucos de maracujá 1 hora

sim 120, 180 e 300 8,5 e 15,3 48, 80 e 144

a) diretamente proporcionais b) inversamente proporcionais c) diretamente proporcionais d) inversamente proporcionais e) diretamente proporcionais f) diretamente proporcionais g) inversamente proporcionais

Não, nada garante essa possibilidade, pois o número de dias em que chove e o número de dias do mês não são direta nem inversamente proporcionais.

Página 201 1 2 3 4 5 6 7

1

a) 32

2

a)

3

sim

4

não

5

200, 100 e 40 42, 56 e 84 R$ 30 000,00, R$ 20 000,00 e R$ 10 000,00 primeira caixa: 120 laranjas; segunda caixa: 80 laranjas; terceira caixa: 60 laranjas Beto: 18 livros; Ana: 9 livros; Vera: 6 livros

1 2

1 5 7 b) 6 b)

7 5 1 2 a) 750 km/h b) 2,4 horas

1 25 4 c) 3 c)

6 126 000 habitantes 7 15 pacotes Desafio: alternativa d 8 a) A 5 12 b) A 5 3 c) A 5 7

9 140 cm; 180 cm 10 90 e 60 11 35 e 55

d)

1 4

a) R$ 12,00 b) 24 vasilhas c) Não podemos responder, pois as grandezas não são proporcionais. d) 300 km e) Não podemos responder, pois as grandezas não são proporcionais. 8 dias 8 marujos 270 hectares 16 km alternativa d

3

Exemplo de resposta: Sim, a forma da obra lembra um quadrado. Se dividirmos o quadrado por uma linha horizontal que passa pelos pontos médios dos lados, podemos considerar a parte superior como figura 1. A parte inferior pode ser considerada a figura 2, que é simétrica à figura 1 em relação ao centro desse quadrado.

5

a) figura B b) figura D c) figura C

6

figura 1

32 minutos

A: 90 mc; B: 210 mc

24 dias

Não, pois as distâncias entre os pontos correspondentes não são iguais.

2 gramas

Aplicando

Exemplo de resposta: c 5 120 3 q Exemplo de resposta: p 5 0,08 3 m

1

25 litros

75 ligações

55,5 cm³ A: R$ 8 400,00; B: R$ 14 700,00; C: R$ 18 900,00

Página 211

6 hectares

32 dias

19,6 minutos 3 anos

CAPÍTULO 9

24 escavadeiras

36 hectares

a 5 35, b 5 14 e c 5 10

20 21 22 23 24

c) diretamente proporcionais d) p 5 200 3 t e) 7 200 parafusos 3 a) 4 4 b) 3 c) inversamente proporcionais

Página 202 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos

primeiro: R$ 9 900,00; segundo: R$ 6 300,00

16 17 18 19

a) diretamente proporcionais 5 35 1 5 5 10 10 2 b) c 5 7 3 q 5 a) 8 1 000 5 = b) 1 600 8

Ana: R$ 35 000,00; Paula: R$ 15 000,00; Carlos: R$ 10 000,00

Página 194 1 2 3 4 5 6

4

3 496,5 litros

Página 192 1 2 3 4 5

12 13 14 15

Página 198

1

Página 213 3

a) Mariana pode utilizar a ferramenta de construção de polígonos ou de segmentos de reta combinada com a de construção de ângulos. b) A soma das medidas dos ângulos dever ser 360º. Os lados devem ter a mesma medi-da e os ângulos de vértices opostos devem ter a mesma medida. c) 8 losangos d) As transformações podem ser feitas em ambos os sentidos (horário ou anti-horário). No sentido horário, para obter F 5 podemos rotacionar F1 em 180°; para obter F3, podemos rotacionar F1 em 90°. Já no sentido anti-horário, rotacionamos F1 em 270° para obter F3 e, também, em 180° para obter F5.

301

301

Respostas alternativa b

6 7

a) 90°, sentido horário b) 45°, sentido anti-horário

CAPÍTULO 10

Página 233 2

Página 215 2 3 4 5

A (21, 2), B (0, 2), C (0, 21) e D (23, 21) o

3 quadrante todos os quadrantes (4, 24) e (1,24)

Página 220 1

a) A (3, 5), B (1, 3), C (2, 1), D (4, 1), E (6, 3) e F (4, 3) b) a uma ampliação c) A’(6, 10), B ’(2, 6), C ’(4, 2), D ’(8, 2), E ’(12, 6) e F ’(8, 6)

2

Exemplo de resposta: A (1, 1), B (2, 3) e C (4, 1)

3

b) C (22, 23) e D (0, 24) c) um retângulo d) Exemplo de resposta: A(2, 4) e B(0, 2)

4

5 6 7

8

F ’(21, 23), G ’(21, 22), H ’(22, 22), I ’(22, 21), J ’(23, 21), K ’(23, 22), L ’(24, 22), M ’(24, 23), N ’(23, 23), O ’(23, 24), P ’(22, 24) e Q ’(22, 23)

O triângulo obtido como resultado é simétrico em relação à origem quando comparado ao triângulo original. O vértice ficará no 3o quadrante. 4o quadrante, 3o quadrante e 1o quadrante, respectivamente.

9 alternativa c 10 a) Falsa. O triângulo está localizado

no 1o e 2o quadrantes. b) verdadeira c) Falsa. As coordenadas dos vértices do triângulo simétrico em relação ao eixo y são A’(3, 1), B’(1, 3) e C ’(22, 1). d) verdadeira

Página 223 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos Aplicando 1 3o, 2o, 1o e 4o 2 C (5, 22) e D (3, 23) 3 A’(3, 0), B ’(1, 21), C ’(0, 23) e D ’(0, 0) 5 alternativa b 302

302

b) 0,2 kg

3 4

a) aproximadamente 83,5 c a) 0,1 mm

Página 236 1 2 4

a) 538,75 m2 a) 16 u2 b) 32 u2 alternativas b, c, e

Página 240 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

B ’ (0, 0), C ’ (4, 22) e D ’ (2, 24) alternativa c

a) sim

300 cm2 40 mm 5me6m a) 128 cm2 b) 71,75 cm2 6 cm

3 4 5

8 litros

6

a) 0,002 m3 b) 2 litros

150 cm

Aplicando 1 Exemplo de resposta: 10 cm e 5 cm 2 700 salgados 3 50 cerâmicas 4 50 u.a. 6 10 m e 20 m 7 14 400 cm2 8 64 000 cm3 9 100 cm2 10 alternativa e 11 alternativa b 12 4 000 litros 13 a) 160 blocos menores b) 0,0125 m3 c) 6,25 kg

Desafio: a) 3 cm, 4 cm, 6 cm e 12 cm, respectivamente b) 300 cm2

14 alternativa b 15 alternativa c

49 cm2 3 m2 a) 16 cm2 b) 500 cm2 c) 72 cm2

11 69 cm2 12 630 cm2 13 a) 25 cm2 b) 32 cm

2

14 1 000 ladrilhos 16 no quarto de Maria 17 a) 60 m² b) 138 m²

18 25,35 m² 19 a) 7,5 m² b) Exemplo de resposta: 1,5 m e 2 m c) Área de granito: 10 m²; área gramada: 14,5 m²

20 a) 2 500 cm² b) 600 cm²

CAPÍTULO 11

Página 254 1

• r 5 1 centímetro; d 5 2 centímetros

3

O círculo tem uma região interna limitada por uma circunferência. A circunferência é apenas uma linha.

4

a) 10 centímetros b) 8 centímetros

6 7 8

alternativa b

• r 5 2 centímetros; d 5 4 centímetros

1 2

0,001 m3 a) 80 m3 b) 128 m3 c) 90 m3 d) 36 m3

alternativa c alternativa a

Página 258

Página 244 1 2

O volume é multiplicado por 8. O volume é multiplicado por 27.

Página 246 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos

750 mm2 2

1 metro

3

alternativas a, e a) lados: AB , BC , CD e DA; vértices: A , B , C e D; diagonais: AC e BD b) lados: AB , BC , CD , DE , EF e FA; vértices: A , B , C , D , E e F; diagonais: AC , AD , AE , BD , BE , BF , CE , CF e DF a) 9 b) 9

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

e) Para obter os losangos, seja no sentido horário, seja no anti-horário, a rotação pode ser feita aumentando-se 45° de cada vez. Por exemplo, no sentido horário, obtemos F2 rotacionando F1 em 45º, F3 em 90°, F4 em 135°, F5 em 180°, F6 em 225°, F7 em 270° e F8 em 315°.

4

5

Luana pode dividir o hexágono regular em triângulos. Como a soma dos ângulos internos de cada triângulo é 180o, a soma dos ângulos internos do hexágono regular, composto de 4 triângulos, é 720o. Como o hexágono regular têm seis ângulos internos, conclui-se que cada um deles é igual a 120o.

a) F, G e H b) FH , FG e HG WeH W c) FW, G

d) W x, W y e zV e) HG

Reprodução proibida. Art.184 do Código Penal e Lei 9.610 de 19 de fevereiro de 1998.

2

6

9

• alternativa a

13 9 cm

a) 18 cm b) 24 cm c) 40 mm d) 70 dm e) 129 dm a) sim b) não c) não

Página 271 2 3

mais provável: C; menos provável: B

4

a) impossível b) provável c) certo

5

1 2 3

10 a) 5 cm , medida do 3o lado , 17 cm

4

b) 200 cm , medida do 3o lado , 242 cm

Página 265 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos Aplicando 1 circunferência 2 alternativa a 3 alternativa b 4 4 voltas 5 a) AB , BC , CD, DA b) A, B, C, D V V,bb Vb V, cUcc, dV a c)aa

V V ,b VV U V a d11 d)a 11 b11,cc11, d

6 7 8 9

Sim, porque todas as bolas da caixa são verdes.

a) 1 b) Nenhum, pois as probabilidades são iguais. c) 4

5 6

3 1 2 1 a) = b) = c) zero 6 2 6 3 3 3 4 2 = a) b) c) 10 10 10 5 4 1 = 52 13 cara e cara, cara e coroa, coroa e cara 1 ou coroa e coroa; 2 5 1 = 15 3 a) maior frequência: face 3; menor frequência: face 1 b) Não, pois o cálculo da probabilidade tem relação com o resultado de um evento (nesse caso, ocorrência da face 6) em 6 possibilidades favoráveis.

300 parafusos 6 760 000 residências

e) AC e BD

Página 281

triângulo

1

a) 21% b) 0,96 bilhão de dólares ou 960 milhões de dólares

2

a) 90°

a 5 120

o

alternativa c alternativa d

a) As duas ganharam a viagem: a equipe A com média igual a 61,4 pontos e a equipe B com média igual a 60,4 pontos. b) equipe B

2

a) 18 b) 22 c) 21

3

31 783 espectadores

4

1 017 800 toneladas

5

a) 2015: 56,5 mm; 2016: 399,4 mm; 2017: 270,4 mm b) 2015: 112,04 mm; 2016: 142,48 mm; 2017: 85,48 mm

Página 287 1

R$ 58,60

2

6,5

3

1,64 m

Página 289 – Trabalhando os conhecimentos adquiridos Aplicando 1

a) ímpar 12 b) 25

2

a)

13 1 = 52 4

b)

4 1 = 52 13

4

Página 278 3 6

a) 34 700 aparelhos 1 b) Sim; corresponde aproximada3 mente a 33,3%.

Página 284

CAPÍTULO 12

Página 273

a) não b) não c) sim d) sim

b) 42°

3

1

Sim. São necessários 6 triângulos equiláteros para contornar o mesmo vértice.

Página 263 1

10 Não, pois: 5,5 m . 3 m 1 1,5 m 11 alternativa b Desafio: x 5 72o e y 5 36o 12 • alternativa c

1 a) recipiente A; probabilidade 5 2 1 b) 4

6

a) A maioria respondeu “atendeu plenamente”.

7

alternativa d

8

alternativa d

9

alternativa d

10 alternativa c Desafio: alternativa b

303

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ISBN 978-85-16-11370-4

9 788516 113704