Matematika Za 6.razred Udzbenik

Ђорђе Дyrошија

• Војислав Андриli Вера )ОЦКО8ић • Владимир Мићић

Маl

I Ђорђе Дугошија

• Војислав Андрић Вера ]оцковић • Владимир Мићић

МАТЕМАТИКА за шести разред основне школе

:iЛВОД ~

ЗА У ЏБЕНI1КI:::

R!ЮГРNt ~

РецензеllТИ

др АРИФ 30Л ИЋ МИЛОРАД ВУЈАНИЋ ПЕРА ЦВЕТИНОВИЋ

Уредник ЖАРКО ЈОВИЋ

Одговорни УРСДIIИК CJlОБОДЛНКАРУЖИЧИЋ

3а и з.цана ча

IIРОФ. др РЛДОIJI ЉУШИЋ, директор и Пl анни уреДI IИ К

MI1IHlcтap

rlpOCBCTC

650-02-00309/2008-06

Рсltу6ликс Србије својим решсњем број: од

01. 07. 2008.

године одобрио јс

ollaj

уџ­

БСЈНIК за щща вањс и У l ютребу у шсстом разреду OC H OIНlC ш КОJlС.

ISBN 978-86- 17- 15519-1

Поштовани 'JIJТao'IC! Овај уџбс ни к је н аписан п рема но вом ш\Ста в ном програму предмета "Мате-мати"а за

Ш С-СПI разред

OCIIOII1IC

ШКОЈ1С"

1'1 п реДС1"i1 L!ља

наш е Ilиl)ењс љегове реаЛИЗ'Щl1јс. Настојали

11 задатака наставе MaTeMaTII ' II
смо да IЫ l ме ДОГIРИflссемо ОСТlIаРИВ<\IL>У I1РО I' рамом ПР ОI'II1Са]IИХ циљена

матсмаТI1ке сјеДllњујућн наНЗlлед противуречнс захтеве: квалитет

с једне стране и снособности ] I РОССЧ IЮЈ' ученика с дpy]"(~ странс . Резултат је ]lреЈI Вама ! На­ дамо се да ће њиме CIНI бити за)ЮВОЉНI1:

• Н;Ј.СТ;Ш IШ Ц]1 јер I\обllјају квалитетан модел за припр ему и извођење Н
• род]пеЉI1, уколнко ЖС)lе да ПОМОI"lIУ својој деци у томе. Да

611

се ово оствари)]о ми Со',.!О КОРИСТИJlИ речи, слике и бојс.

Градива је разложеllО на методске јединице сразмерне ШКОЛСКОМ часу . Из}]аlЋЊС почиње

МОТIIЩ]I(lIјом, па иасгаnља кратком

]1

јасном ТСОР ]1јом ИЈlуст рованом нодећнм 1 ']Р]lмсрнма.

ВаЖ l lе стваРII - З
TpOJllla

]1 за6аfmи

Ii

ил устро ване СЛ II КО М.

КОМСlIтари налазе се у руБР ИЦ]1 "Да л и з н ате" . На

I< pajy

су "KO ~I~

п н тања" која не Дозвољаоају Д.I се преко лек ције пређе ПОВРШliQ. ПОТОМ следе

3i1даЩI за веж6с lIа часу и евентуално за домаћll рад. се у пратсћој 3б]1РЦИ од ]1Стих аутора

1'1

6cl1l1

број зада така из ГРilДива Н<1)1<1311

нздаllача, а за оне који желе и МОI"У Щlше спреМШII1

смо посебну Збирку задатака, која се може користити н за додатну настану. У I<омплету се

НаЈlази 11 "ПР И РУ ' IJlИК за наСТ,II.1f1ике" са детаЉJlllјом <\на;IIIЗОМ наставних тема. Зах ваљујемо се свима који су н ам у овом послу rЮМОJ'f1J1: реце н зе н т има д р Л рllфУ 30Јш l'lу, МИJlораду Вујаllнћу и Il ер и ЦвеТl Ш ОЩlћу, раДНЈЩl l ма 3а ВОД(lЗ<1 у uБСНIIКС, y peД Нl'IKY Жарку

JOHIII'IY,

IIлустраторима и слаl'а'lим а.

у Београду, априла

2008. I'OAIIHC

Аутори

1. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ сабираље, одузимање. уређење

1.1. Појам негативног броја. Скуп целих бројева z. Приказивање на бројевној правој у I lpcтxaAlloM разреду упознали смо скуп 11CMO ОlJај скуп проширити уиођењем

No,

кога ЧIIНС ПРIlРОДНIf 6ројСlИ1 1I I Ј ула. Сада

HcraTIIBHllX ItСЛIIХ

бројева

Z.

Ра3ЈIOI';} за ТО IIМ3

много. IlО1'Јlсдајмо ПРI.мере.

Пример

t

Нека је ПDТРОШСНО СЛСКТрll'lIIС енергије за

дннар". Ако СМО уплаТЈ1Ј1И ущшред

1 000

I 500

динара, ЕлеКТРОДИСТрllбуција ће стањс нашег ра"уна за потраUIСЈIУ струју ОЗllаtlНПI бројем

500 ( 1 IРСI'I Л:lћсно 500 ДlIнара). Шта би било да СМО упmlТlННI само 500 дннара? ЂlДa бисмо Е.ЈI СКТРОАilСТРIl6уцијll ДУГQUаЈШ 500 динара, па она нс би МОГII;} овакво стање рз"уна [10110-

во Д3 031Н1ЧН бројем дрУЖJlТИ 311ак

r;

500.

IJсћ мора 11 ЩI нагnаО! да је у питању дуг. 3ато I;е тОм броју при ­

- (MIII/YC) И стаље рачуна записати НОIЩМ бројем lIеlаmllВНIlМ бројем -500.

Пр"мер2 За мереље Te"Нlcpaтypa КОРИСТИ се живин тер­ мометар (сл.

1).

(

Пр и расту темпсратуре ж и ва у те р мометру се

Ш l lр~l , а при mщу скупља, достижући неки 111180 у стубу тсрмомстра. Стуб је у ВИДУ скале, тј. изде­ љен је на једнаке вара

IIPOMCHII

pa:SMaKe,

од којих сваки одго­

тсм п ерат урс за једа н Целз ијусов

сте[ l ен. Бројсм О оз н а ч ена је та ч ка н а стубу кој а ОД['Оllзра ТСМl l ератури МрЗIIС, а бројем

I ОО

Ila

којој вода по ч иље да

,I

"

"

-,

она lIа којој вода [lQчнње да

кључа. Ако се температура спусти ИСПОД нуле,

ЖЩlа ћс IIQкззиоати неку тачку скале са стране супротнс од та'lЗка 0зна'IС I ШХ природним бројевнма. За онис таквих температура ПОГОДНО је пононо у"отреБИТII

Ilel"3TIIBHC

СЈlIIка

I

бројсвс. бројећи колико се цртица (јеДЮIИЧИИХ дужи) Жlша померила испод Т3'lке 0311аЧСllС нулом и придружујући том броју знак ра коју показује тсрмометар прнказ.1Н на слици

- ("минус"). На прим Ср. температу­ 1 113HO(ll - 4 ("MIII-IYC 'ICТllpll").

Као што се IIЗ ОВIIХ []римсра вид и, бројеви које смо ДО сада упозналн нису ДОIЮЉНII да се

опишу неке појаве, па щлаз налазимо у увоlјењу IlеlаmllвЈЈ/lХ целих бројева -1, -2, - 3, .. . Њ "хов ску п оз н а'lrшамо са

Z-. Са

II рИрОI\НИМ б ројеВИМ<1 н нулом

0111 '

" раде ску ' ]

Z

ЦClШХ

бројева:

Z = {.. .,-J,-2, - I,O,I,2,3, .. ·1 Да би сваю , цео број (ос и м IIУЛС) имао з нак, пон скад мо зн а к

+

11

прl l рОДНIIМ бројевима [ ' Р ll д ружује­

( 111IУС), П<1 их називамо и ПОЈIllТiIШНI/ '{ellll 6ројебll . Дакле,

ИТД. Скуп ПО ЗИТИВIНIХ целих бројева 03[[<1'I<1В<1МО са

ПО31IТНВ II С целе б роје ве

11

нулу зовемо

11

Z+. 3<11'0 је z·!

+ 1 ::: 1, +2 = 2, + 3 ::: 3

= N.

Ilенсl(/тUбllll цели бр ојеви.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ НА БРОЈЕВНОЈ ПРАВОЈ ПРl1РОД Н С бројеве н нулу представља}]]] смо тачкама на бројевној ПОJlуправој. ПодсеТl I МО се ка к о је то раl)ено. Н а ПОЛУ'lР'llюј чиј и је поч ета к тач к а О изабрали смо [[ СКУ другу та'[ку

/. Тим та'lкам а 1. Дуж ОЈ назвали смо jegllНu1/l/a gуж. Нска је " ма који природан број. Н<1110сеhи јединичну дуж од тачке О rl - пута, ДОЩIЗИМО 1\0 неке та'lк е А 1I01lуправс којој смо ПРИДРУЖIIJIИ број 11. Тако смо сваком при р одном броју ПРНДРУЖ I IЈ11! 110 ј еД I ЈУ "["а ч ку полуправе ОЈ. I Ј Р"ДР УЖIl11И смо рсдом бројСL!е О и

Термомстарска СК
.,

·0

М

11( - п)

Слика

. )

о

)

1!

2

IblM

о

идеЈУ да н свако,,·' не]'а­

пшном целом броју

I

д р ужимо

О

припада

2

110 Ta
npl! која

f> pojy - 1 IlРНДРУЖIIМО та 'IКУ М та к о да ј е та'! к ... О с рСДl !ште дужн МЈ (З
JI

М каже се да су

CIIMempll'lIlC у односу на тачку О), броју - 2 ПрllДрУЖИМО тачку с нмеТрl1'!НУ та'! КII која је ПР'1 друже на броју 2 ИТД. Негатиш!Ом целом броју - 11, Г lр идрУЖIIМО тачку СIfМСТрНЧllУ Ta' I КI! к оја одговара HpHPOAl!OM броју 11 У односу на та ч ку О. Приметимо да до исте та ч ке долазимо ако од та'lке О с меру ОЦ

/

lIalleceMO 11

пута jeДlIНI1'I ! I Y ДУЖ у

ка О .

Праву ОЈ lIа кој у су lIа ОШlса lll1 начи н "l l а l lесс ,Н1" цели бројеВII на:НlЩI МО 6ројевllп

(KOOpgU -

IШiПн{/) riрllб{/ ИЛ II бројевна оса . 110л управа ОЈ је њена riозmТill811l1 riОЛУОСll, њ ој СIIМ("I'РН'lна 1I 0лупрапа у односу lIa "fачку О је нсlm71Ј/6на ЙОЛУОСll. С м ер од О ка

/

/ је

a03I11ТiIlBall, а смер од

ка О је нсiшТi1l6t1/1 смер н а 6ројевној правој ОЈ. Позипшан сме р на КООРДlill аТlюј []раној

оз н а ч ава се н а њеној СЛ ИЦИ стреm щом. Та ч ка О се наз ива

KoopguHmulII1 Почета/{.

СваКII права може јеуиНII'lис gУЖII

Qoci1latllu бројевltа права избором KoopgultatllHol Qo.tCmKa О, gУЖIl1Н! 11 flозш71IlВllоi смера. CBilKOM целом броју т Шilgа оg10бtlрll m(I
l7i(ј',ка М ,"е бројебllе Пр"ве. Број т UflЗ I1811МО КООР!1и uаl7iа Ша ',ке М

М(m) ('lисаај: М им"

"

Пишемо :

KoopgUHailiy т).

J(oop!JlI1ml7illll Почетак О IIМ" КООр!Јшmтуо. Тачке којима су пр"дружени цели б р ојен и називамо цсло6ројнс тачке бројевнс правс. Сва­ кој целоброј~lOј та'IКI I бројСIШС [ ' ра ве ОД['ова ра

Ta'IHO један

цео број

-

њена КООРДlIнаТ<1.

Пример

3

На 6ројсвној правој (сл,

3)

IШ -

-, ,

1)1/ та '/ кс А (-3) н 8(+5),

!

д<1

" ! 1

,

611 се Н <1 Ш Л <1 та' I К<1 А, једи ­ Л(-Ј) I ( 1) IIII ' IIIY ДУЖ треб<1 " "l l еПI 'I'P" 'I УТ" ОД та ' IЮ~ 0(0) У Ilel'3'1'IIIlI !ОМ смеру, тј, у сме р у од ( 1) К <1 0(0). Та'I "') В до6 11ја с(' н а ll О Ill С ЊСМ јСД IIII И­ 'lI I С ДУЖ II 11(.'1' I lyтa од 1';\'IKe 0 (0) у IЮЗ ИТИU НО М смеру, тј . у сме р у од О к а /.

"

Пример

!

•

1\(5)

СЈ lIIка

3

4

Коју коорg UI/{// ЙУ IIма cl'cgmutU e С gужu АВ у примеру З ? Од та'lк е А до та'l ке В има

8 јеД Иl IИ 'lIlИ Х

дужи у НОЗ И Тlш ном смеру. До с реДИШ'Ј'<1 С l'lма за ­

то

4 ј еДИlНl Ч II С д уж !! у I ЮЗII Т ИlЩО М смеру, Да кл с , СР('Д ИШТ(' С Н 3)1<1 3 1 1 се н а П О3 11 1' I Ш l юј П ОЛ УОС И удаље llО јСДll У ј еД II I IИ'IНУ ДУЖ од ']'<1 '1 К(" 0(0 ), О туда С има коорд ина т у + 1,

Дализнате? НсгаТlшtнl бројСВlI ПОМIIЊУ се у Кини у другом веку пре IIОВ(' ере. у ИllДијll се срсћу у

7.

у ЕI' ИПТУ, В'1II11ЛОНУ

11

у ЕISРОПИ су

веку 1I0ве срс, JI тума'lСIIИ су као "веЩ1'lIIlIа ду]·а".

аНПР l кој Грчкој

11('1'31'1181111

II"CY

II0311аваЮI lIеl'ЗТИ I\НС бројеве.

бројеви коришћеllll МНOI'О КЗС llllје IIСI"О осталll бројСВII, а iЮСТ3Ј1II

су са ЊlIма равноправни тек у

17, веку, када је бројевна ]lOJlYl1palla прошире!!а у 6ројевну

IIpa lsy.

!I Контролна питања ОПII/lII/ скуа ЦСЈ/JlХ бројсва , Како 0311(1'It/(J(lMO СКУII цt.'ЛIlХ бројt.'ва? Како (Џlll1'/fl/ШМО (КУII lIeim1'l1l8HIIX цеЛIIХ бројева? Како ОЗII(I'/а/НlМО скуп /lОЈlltТlIIВЮIХ l{еЛIIХ бројсва? Како сс

09 аРОI/3ВОЉЈ/е аравс ,може l/аараБЩ7111 бројС8Шј арав{/?

Шта јс t10ЗllmIl8(1II, а /lIma IIсlаmllбан СМСР на бројСВl/ој ара80ј? К"ко се CBlIKOM целом броју ГiРЈ/9ружујс оg;ОбаРllју!i(/ та'/к(/ бројС811t' аР(/(lе? Ш та је Koop9l11mt7ia цело6ројнс t7il1чке на бројевној аравој?

Како се записује 9" Шflf/К(I М броје/те аравс 'Iма КООР9111mту т?

Задаци 1.

Који цео број 1Н1jC 1111 11ОЗl1ћll:lан ни негати ­ l:IalI~

2.

,

И ЗД lJоји HC'"UTHIIIIC бројеве И3 скула

10, - 1, 2, - 3, 4, - 51. 11 11

3.

4.

'"

ПРО'Нfтај ТСl\шературе које показују тср­ момС'три IIРlfказан~, на слици

ПРО'lитај координате

4. А, В, С на бра­

Ta'laKa

јеВllој 11равој нриказаној на слици

- ]

- 2

!

11

11

О

!

л

CJJlH(<1 5

-,

I

5.

СJlИК;Ј 4

.)

2

! 1(1 }

С

5.

Њщртај бројСIIНУ IЈра -

I:IУ. Одреди Т<)'IКС М(-5),

њој. Ј(ОЛIIКО јСДlllill' I НИХ дужи су оне динату срс;ншrта дуж!!

MN.

Воз на РСЛUЦllји БеО I' раД- УЖIЩС

6.

налаЗII се у СТ311111Џ1 Ваљево.

Београд

брзином

Kpctle се 45 КlIломстара на ' Iac. Гдс ћс се

IЮЗ налаЗИНI за два '(аса (сл .

90kш

60km

1-1<1

меЬусобllО УЈЏUl,е •• с? Одреди коор ­

Ј

30krH ~V'-

N(+3)

6)

ако нс

мења смер кретаља? l:IalloCllo

Сл ика

6

7.

Колико та' l зка са цедим КООРДIIнатз ­

ма има на бројСВllој

Ј

А(-4 ) и

8.

Дато је Л( - I), дуж~r ЛВ

1'1

8(+3),

С(-4),

rrpaBoj

IIзмсt)у тз'rзкз

8(3)?

D(-7) . Уа""

СО. Која јс дужа?

300

9.

Како

се

нсгативни

бројеШ1

ликом мсрења ВО/\остаја (сл .

ко ристе

при ­

200 ,оо

7)?

11

- ,()() _ _-::--_~

- 200

\ Слllка

7

10.

О 'НП
Jt
скал ll приБЛIIЖНО ВИОIНt= H1I<1HIIHa 11 ду6l11Н." мор;].

5iJOO "ЈОО

~a

~,ю

,/

!'уд .... ,; ,<>ОО

О

- Н""

/

Kor.aOl"'';

2{)оо

~

\

T'P~

\

у

"-..

\.

\

Ј

1"Ј~ДрШIСI10/'.opt.~ ...

- 2000

I~c\

- ЈIЮО

l

/

\

-41)(10 - 5()()(Ј

\

'\

/

/

/

Сре;;;;;;:; "о "01'<' \. UШК
11. Нацртај бројСВIIУ I'IРШЈУ Чltја је јеДIIННЧН<1 ДУ'А( 2 ст. ОбеJlеЖIIII<1 њој 1'a'IKe А (2 ),8(-3), С( О ).

12. Н ацрта} ТСМ ll срату р" у скалу од _700 до 500 11 06елеЖlf lIа њој T<1'IKt= које оДюварају: а) I юрмалној тслеаюј тсмп с ратур и ч о вска; б) тсмпсраТУр l1 зам рза8<1 Ii>а 6еl 1 3 1 1113 ( _600),

13.

ЗГР<1да и ма

28

С ПР
"рсl)с ј СД.НI С llрат 3;1

1О

11

II Р l l зсмље И311ад зсмље и

5

Сl l ра1'о на IIСПОД з('мЈЫ". Лифт

секунди, За које време tlC JlllфТ да СТIII' не са десетОЈ' спрата IЈа

Tpe lНl CllP;1Т IIС IIОД земље~

14.

У току даш lIоДостај се променио од

1.2. Супротни Н е ка ј е

11

- 5 ст

на

+ 17 С [l'.

КОЈJI1КО је tIОР .ICТ.ю воДостај?

бројеви. Апсолутна вредност

" Р IЈродаll број. Бројеви 11 и - 11 'lIш е lIар суйРОill l/llХ бројева. ЊlIма IIрl1 друже не

та чке бројСIIЈ1С праве с иметРИ'lНе су у од нос у на координапllt 1'ЈО'I ('1"<1К. И З ТО I" ра3ЈЮ I'а уз и­ м амо

11 да је

б роју о суп рОТ<1Н 6рој О. Тако СВ<1КИ цео број т Ilм а Ibему СУ "рОТ<1Н број кој"

се обслеж;:ша -т. Та ко јс

- (- 1)

6рој супротан броју

3<1кл.У'l ујсмо да 301 СВ<1КИ цео број т важи:

- (- 11/) = m.

- 1,

дакле, ј ед на к

+ 1.

I-Iа исПl наЧIIН

---

Пример

1

ОУРС(ЈII број супротПI/ броју: а)

2; б) -4; в) - (- 1); 1} -(-(-2)); (Ј) -(-т),

111 €

z.

cynpoT"11 броју 2 је - 2; б ) Број супрОТ<1Н броју -4 је - ( - 4) = 4. 11) Како је -(- 1) = 1, број СУПРО'гаl l 6pojy - (- I) је - 1. г ) CJIII'IНQ -(-(-2») = - 2. па ј е CYllpOT<1H број јеДl-l"К 2. д) Број супротаl l броју - (-111) је - (- (- 111» = - /11.

,,)

Број

Пример

2

КОЛlIIШ су tПп'u.с Л

с.'lI·ласно

(--6)

11

R (+4) У9аЈЬСllе

11 ""HIll Yод реl)ИlЈ ... ња

ти х

09 КООР9111шmНОI 110'lCmK(I?

I.J.'I<1K<1. Ta'IKa

А удаље на ј е

6.

а

Ta'I Ka

В

4 jeJtIlHII' llIe

дужи

ОД КООРДJiН
Растојmье Ј4елuброј1fе Rlачке чија је коорgШllltllа

а(lсолуi1iJlП вре9Ј10ст броја т и ОЗН(Ј',авuмо са

До кл е,

m 90 КООРУШlafllJtОf Uo"etnKt' ЗОбемо

lml,

1- 61 = 6 " 1+41 = 4.

Како ј е КООРДJII-l аТЮI по четак удаље н нула јеДIIШI' II I II Х ДУЖII од caMOI' себе. ваЖII и

I lp ll blCTHMO д'" је

1- 61 = - (- 6). У општем СЛ У ' l ају вреди следеће:

АПсолутна fJреУllост 14елоf броја а, у ОЗIlПЦI'

lal.je број је9нак:

а.

ако је а Позutllttоаu број;

О.

акојеа = О;

-а,

ако је а JlеfаfЛU8П1f број.

ОбраЗЈЈОЖl1 следе llа својства апсол утн их врСДIIО СТ II:

1. За свтт 14ео број

2. Ако је lа I

a.la 1је lIеllеfаmUбаu број.

=О. ОIl!Ја је а = О " обрашно.

3. За Сбаки 14ео број аје

Пример

la[ = [-al.

3

ИзР""у""i

1- 11+ 1 - з1 - 1 +21·

HellocpcAIНlM рачуном наЛ;ЩI МО:

1- I1+ 1-з1-1 +21 = 1 + 3- 2= 2.

101 =о.

Пример

4

Гlopel)aj По веЛIl'Щ/Ш апсолутне вреgllОСiПl 1 бројева: О.

О.со.ор'

- 5. + 6, -2.

101 < 1-21 < 1-51 < 1+61_

ПрllМСТllМО да је сваки ц ео број одређен Сlюјl1М знаком Ј1 св(')јом апсолутном вреДЈ[ошћу.

ПРЈtмер

5

Kojll 'јео број IIMa: а) Одr'ОIЮР: а)

3//(/1>,:

+ 11 mfсо.луl1lну 8pegllocm 3; б) ЈII(/К -

11 (/1lсо.луmll)' 8pegllOCl1l 4?

+3; б) - 4.

flpffMep 6 Ogpcgll све та'II,е на 6ројС8110ј OCll ууаљене трll jcgllНlI'me gУЖII 09 тачке А (- 2),

!

!

(;( -;.)

о

1\(-2)

•

!

ЩI)

Слl l"'!

Т
9

разних cтpalla тачкс А, ОдбројаЩ1IЫ' М трн јеДШШ'IIIС Ј t Уж и од А У flOЗ l l ­ "fIШНОМ, односно JlСI'ЗТIШIIOМ смеру. налазимо трзже Jl С ТЗ'IКС В (1) и С( -5),

ё

Пример 7 /-Iаl'lI све целе бројеве х за које је ]х Ј Задатак ћ смо реШIfТIf одређујућl1

=:

2.

KOOpnlfH(lTC Х СI\ II Х T(l'I(lK(l 1101 бројевној

ПРо1Вој које су од коо р­

ДI111а пIOГ почетка ynaљe tl e ДВС јСДIЩII'IНС ДУЖII. Нарзвно, постојс две такве T3'IKC са раЗll11Х

страна од fl:OopAlrH(lTHOr rЮ'lстка

0(0).

То су тa'IKC А 1 {-2)" А 1 (2), Отуда ХЕ

!

" ,(-1)

! о

I

!

{- 2,2!

'\,(2)

(сл.

10).

-< СЛ II К:11 0

~ Контролна питања Која су уоа цела броја суl1РОiПl/tI ? КОЛIIIШ је -(-нН Какве су I7ln'lке Л (и) 11 в (-

tl) према ma'IКlI О(ОН

Шl7iа је mlсолуffillа врсgllОСlТlцслоr броја?

Kojl/ /COMemplljCКlI СМ"С(Ш I/ма mlСОJlуmна вреуносm L~елоi број(!? Која С80јсmоа I/мtI аllСОJlуmН(l вРСУl/осm ЈјСЛIlХ бројева?

Задаци 1.

]{ојн је број сам сt::би с упротан?

r:v ОДРСДII бројенс -х, ако х Е ~ ОДРСДli 6ројсщ:х, а ко -х Е

4.

Њр''' у "ој:

5. Л!-:ојс

{- 1, 2, - 3, -6, 3\.

1[,2.- 1.-3 1.

1- 41+ 1- 51-1 +91·

lal = 1, KOJIIIKoje I-al?

6.

Кој •• 6ројСIН' имају 'Нlсолут " у вреДНОСТ једш1КУ: а ) О;

7.

ОдреДIt СВС ItCJIC бројеве х за које је:

а) - х = 2;6) - х=

д)

8.

6) 2?

-6; В) - х= О; г) Ixl = 3;

I- xl = 2: 1» ) Ix l = О: е) Ixl = - 1: ж) I-H-x»)1 = 5.

А ко је цео број а: :I) lIо::1НТlш;нt;

6)

негатива н ; в ) jeДElaK IIУJlН, КО\К ;Ш је број - а?

9. ОдреД II коо рд " ";!.тс та ,.а к а А 11 В IIrI CJJ LIЦII 11 .

I t I

I t -2

t

" ~(Oj" од број."" о) 2 " 5: б) - 3 " 4: ,,) -17" - 15 "М, "с!оу '' ' СОЛУ'''' у "ред"ост? Оmкз

11 .

2

А

11

J-lашtШII С ВС 1,~CJlf: бројеве 'шја јс апсолутна

Bp<'AIIOCI':

а)

13;

12. Којl l ЦСЛИ бројСIНt и м ај у :lПсолут"у 11 PCJЏIOCТ м аљу од Tpll?

б) О;

11) - 1.

1.3. Упоређивање целих бројева Температура од

+2

CTCr l CH
ОД О CTCIICIf3. Темнсратура од

-2

+5

СТСПСIIII, а Вlfша ОД TCMТlcpaTYpc

стснена r lИжа је ОД темнературс од

+2

степена, а 1111111;) од

TCM llepaTYpc од -5 стеlIСНИ. Сваки '10311('IIIоаll број 11 "ула (јећи су оу ctfaKof "с(атионо' број" .

09 ува

l/eit/ll1ll61/" броја веliu је Оllај са МOIЬОМ (fQСОЛУ;UНОМ spegl/olllfiy.

Ако је број а I.Ichll ОД број
а

>

а, ОДIЮСIIO ь

< а.

Када је број tI М;1ЊII од броја /Ј, I'IIIII,ICMO: а

Поред З llз ка а

:5 Ь

< УIЮДIIМО 11

3 11<11'

<

и, OAHOCIIQ ь

> а.

:5 .

('IIIIШIМО: ..11 је маше 091Ј Ilли јсунако Ь"). ако је а

<Ь

иЛII а

= Ь.

1JllllleMo, шакоl}с, Ь ~ а ако је (1 :5 Ь . УllорсђИIJ3ЊС целих бројева се може ПРlIказаТII

11

помоћу бројСIJНС Нр.ше.

Смер 09 та'IКС са М(lЊОМ КООР911наmом IШ iПa'!l(l/ с(/ веl/Ом КООр!Јlllmmом је Й03L1111'IОnН. Сло60ДII~1јс рс·,ено, ако је бројСВllа правз "ХОРИЗО lI тална"

11

њен I'1ОЗI11"I18311 смер 113 "деоюј"

страНI1IН\lНјР3, тз'rкз КОР одго-

вара маљсм броју је "лево" о!( та',ке

која

О]1,l·овара

всћсм

!

!

броју.

В(-SI

На пример, в( -5) је "лево" од

Л( - 3)

! о

та'lке Л( -3), тј. смер од В ка А је позитиван. Истовремено је

r

Сл нка

-5 < - 3 (сл. 12).

12

Пример 1 Поређај 110 веJlI/'/lШII бројеве О,

Имамо: - 5 ИС1·0 смо

1, 4, -3, -5.

< -3 < О < I < 4, јер је

MOfJIII

ПРlIказаТII

1-5 1> 1-31 IЈ -3 < О < 1 < 4.

'1<1 6ројсвној правој. Нацртај бројСllllУ ,',раву Jt уверн се да је у -5, -3, О, 1 I! 4 свака "лево" у односу на следећ.)'.

НIIЗУ тачака са координатама

! ;

!

"

,

! 4

Сmјка

13

l3 ажс СЖ'деll <1 I IР;\III I JliI.

1. За Сбака

(Јоа цела броја а 11 Ь

opegu а

iua'lНo

jega/l 09/10С:

< Ьили а = Ь ИЛ.I

Ь

< а.

2. Ако је l' ~ Ь" b ~ с, 01l9а јеа :5; С. 3. Ако је а :5 Ь fI Ь ~ а, 01l9а је а = Ь . Пр во ПР31111 Ј Ю I"Q IЮР " да је једн а од Т:Ј.· ... юl. А(n ) и В(u) "лево" од Д РУ I'е !IЛlI се О ll е rЮКЛ<1 I1<1 ју. I<ако б ll сте "(-'ОМ('1" Рllј( КII 06ј;\( 1II 11111 остала ПР:Ј. IЈ ила ?

~ Контролна питања Kagn

кажемо

Кmщ се

1/(1

ga је је!Ј(Ј1/

цео број ШIIЫI О!Ј !ЈрУТОТ?

број('(Ј ll ој йршюј 'ш iПа l70pegaK l~еЛIIХ бројева?

Кој" својстВ(I IIМ (I Oopeg{/K цеЛI/Х бројева ?

Задаци 1.

I lореl)з; од lIајвеће l' до н ајМ
2.

У II СТ саТI1 у Београду је GIIЈЮ О степеl l Н, у Н OIюм Саду

-2,

у )l ОЗ ШIIЏ I

+2

Н У Ннш у

-3 .

У КОМ I · рад у ј е 6 11Л О најХЈ1 :lд ниј е?

3.

Ста ll И QДJ ·ou a p'ljyIlIl ~I I3 К оо )

4.

«, =, »

ю~међ у број ~щl. тако Д<1 IbllXOU ОДIIO С буде та ча l l:

- 4567 ... - 2987; 6) -39 ... - 96.

Које 1\llфре можемо СIЋ III1Тј1 YMi..'(TO ЗII:lКil " ЩЈ д а lI ejefl l l,JKOC"I"H буду "I"
- 123' < -1235;

б)

- 65'4 > -6534;

В)

- *24 < -324?

(\8 СтаВјl Одl"Ollарајуl"i1l ЗII:lК 11I.'jeJIHaKoCТII IIЗмсЬу: .1. ) -3

11

1-31; 6) -29 11 -

35;

~ у месту А температура је 611М -6, па (е повеlli1Ј1а за 4 стеllеllil. У м('сгу lJ тем пеРilтура је 61111а

+3

C I·eIl CHa, па се (маlЫlJlа 3<1 6 сгспеlll l. У К ОМ месту је сада теМllература Нllж а~

За КОЛIIКО сгеП С IIII ?

7.

Ако је

(/ < ь

и

1, < с,

у пореди

(/ 11

С.

< /Ј следи - (/ > -и и

8.

Г!ОI(;IЖII )(;1 Ш

9.

Да бl l СС уреДll ла 1'10 ВСЛII'II1НИ три цела б роја, КОЈШК О је Ilајм:нм:, упоре l} lIваља I'IОТРI..>() I Ю?

(1

обратно.

10. ПОСМ:1l'раљсм 311<Јка броја {/ закљу'lИ да је 8е l'lи од бројева а и

< Ь. да ли

је обавезно 1а

1< 1ь I~

11 . Ако је

(1

12. Ако је

I(f 1< 1ь 1. да ли је об'ШС3110 (f < Ы

13.

- (1

јеД'lак

1(11.

Навсди l]рlIмере којll IIOTOpl}yjy ОДl"Oвор.

Ил уп р уј заКЉУ'Iil. К при меРlIма.

Ако су х и у 110311'1'И81-1И, а (/11 Ь I lеl>аТИВ~IИ цели бројеl\lI, уПОРСдН:

а)Хllа;

б)ОII -Х;

в)-хиу;

I')х иа;

Д)-ЛII-I-хl,

1.4. Сабирање у скупу Z

r:

Пример 1 ПРI..'ТIIОСТЗIНlМО да дугујемо

3 јабуке.

а) Ако купимо пет јаб ука и !lpaТlIMo ДУ '" остаllе нам А ВС јабуке. Ово ОДl'овара саби рањ у: (-3)+5~2. б) Да смо КУIIltЛII само две јабуке 11 вратили део

nyra, дуl"QllаЈll !

б l lCМО јС1\I I У јзбуку. Дакле:

(-3)+2 ~- ].

I~) Да смо rlOза;мили још

4 јабуке, дут би нам се увСћао (- 3)

Слсдеhи ове I]римере у скупу

Z

+ (-4)

~

1101

7 јаб ука, Дакле:

-7.

УВОДИМО сабирање IIраЩ1)lима:

Нека су 111, IlllрИрОДlll1 бројеви и 111 ~ 1], тада јс:

+ (-11 ) =т - 11, (-,, ) -1- т = т - " . т

(-т ) t

(-11) = -( 111 + 11 ), - ( т - 11). -( т - 11 ).

(-m )+ " 11 + (-т )

САБИРАЊЕ У СКУПУ

ПОМОЋУ БРОЈЕВНЕ ПРАВЕ

Z

Ра ЭМОТР II МО 1IOII01Ю пр"мер

.

динаТНОЈ

.

I l р311ОЈ.

првом

бllрању о}џ'онарао би 110мак од та 'lк е са КООРДинатом "ет

ЈеДIIIIII'IIIИХ

дужи

-3 У

tlOЗИТИllIЮМ смеру до та'lке

са КООРДИl l атом

2

(сл.

).

Ако бисмо своје ДУГОШ-lО

C'I'al l.e

са-

14).

-.

-3 -, • • 1 1 I

Ta'lKOM

I l а коор-

,

о

I u

I1рикаЭаЈ ll '

I

х

•

' ( 1)

СJlика

14

у ДРУl'Oм сабнрању од '1'а"К("

-3

•

помсрили бисмо сс дос

Ј еД НlIII' lне дуж и

У

•

1103 11'1'1113-

-3

-2

I

! l f

О

2

I

I

О

•

х

(( 1)

I !ОМ смеру до тачке са коо р -

ДI1l1~ТОМ

-1 ( сл, 15),

C,I IIKa 15

у трсћ ем Сilбllрању од "3'1кс

-3

-3 -2 i • • • l l

помеРИJlИ бисмо се ' l еТJI-

Рll јеДIIНИ 'lн е дуж., ТIIВlЮМ

смеру

КООРДlшатом

до

-7

у

О

2

I

I

О

IIСI'3 -

ТЗ'lке

(сл,

-I

х

•

10)

са

С;шка

16),

16

Даклс , саб ll рање ЦСJl!!Х б ројева можемо праТ!!ТII I l а 6 ројс шюј пра вој,

3611Р цt'лоl броја а 11 UОЗltmщlltоl 14ело1 броја Ь је број jegllaK КООР9111IUm" тачке gобltјеuе IНIмеРlllьем оу та'!К/! А (а) за Ь је9U1 11l'!IIIlХ gУЖIl у ПОЗIllUIlОUОМ смеру. 3бfip l~еЛОЈ бројtl а ,. lIешtnmmОf •• елоl бројtl Ь је број jeYIНIK Koopgllllamll mil'lKe gобllјеllt'

иомерmым 09 тачке А ((1)

.1(1

IЬ IjegUlIll.Jt//lx gУЖII у неfllШIIIЩОМ смеру.

ЗбllР '4еЛО1 броја а и нуле је број а.

Пример

2

I lзра " у,шј коРltсшеli1t бројеВItУ йраву: а)

в)

(-2) + 3; 6) 3+(-2); 2

·5

,1

! I !

!

о

А

,

О

с

(-2) + (-3); 1) (- 5) +

О.

3

I ! о

СЈlIIка 17

а ) Н а 6ројеВllој правој ОЈ одредимо А

(- 2), од та чке А пом ер " мо се три јСДIIШI'IIIС + 1), Дакле. (- 2) + 3 1, дужине 2 у IIСl'аПllJl-/ОМ смеру 11 добllјамо тачку С( 1) ,

дужи У [Ј ОЗНТIIUlIOМ смеру, Долаз и мо до тачке С(

б ) Од тачкс Лаклс,

3

8(3) IIзнессмо дуж

+ ( - 2)

=

= 1,

В) ОД та ' lке А (- 2) JНIII CCCMO дуж ДУЖИ I I С

3 У IIсt',l'I'ЩIНОМ смеру и ДOll3ЗIIМО до координатом - 5, СТОI'а јс (- 2) + (- 3) = - 5, 1') Остајемо у таЧКI1 'lI1ја је КООРДНllaта - 5, П IIШСМО (-5) + О = - 5,

Како је сваки цео број одреl)с " свој llМ знаком Ilзра'lУlfaМО одреl)у;у ћll му З ll ак

301

саб~IР,lње целих бројева (ј

11

11

11

та'Јке са

arICOJlY-ПIOМ Rредношћу, збllр 6 1 1СМО МОI'ЈН! да

апсолутну вреДl!ОСТ, До сада ypaђeНlI Прllмерll

IlO1'upl)yjy да

Ь Rаже следећа " Р,ННlJliI,

З""к збира је "сти као знак сабllрка који "ма веliу (јQСОЛУШIlУ вре!Јltосm . Ако су сабllрl." "сто . ЗIЩК(I, (Iuсолутltа upegllOCI1l збира је збир tluсолутllllХ Bpegllocm" шБIlР(IКа.

Ако су сабllР'Џl раЭЛ/l'lIIтIlХ ЭllllКООlI, апсолут "а opcg"ocm збира је рtlЭЛlIка ос/н! 11 А'fllье аасолуi1lllС opegllocmll Cllб''Р"ка .

Пример

3

ИЈРll"уuај

<О)

Kop llei11eli ., l/a8cgcHlI Пра8 l/ла:

(-7) + (-15);

б)

(- 7) + 15; 8) 5 + (-7).

а ) Саб l l РЦl1 су IIСТОГ з н а к а . Са б ирак са већ ом a r lConYТ H oM вреДllо ш ћу је ( - 15), те

је З Щ1К зб и ра

(-7) + (- 15)

M II1I YC.

= -22.

А п солутна вредн о ст зб ира је

1- 71

+

1- 151 = 22.

Зато ј е

11 51 > 1-71. А п солут н а вреДllOстзGll рај е 1151- 1-71 = 15 -7 = 8. Зата ј е (-7) + 15= +8. З нак зб llра је М . I Н УС, ј ер је 1- 71> 151. Ап сол утн а в редност зб ~lра ј с 1- 71- 151. Збнр ј е ј еД II <1К - 2. ЗЈТО је 5 + (-7) = - 2.

б) Са G ll р ЦII су раЗЈllI Ч ИТН Х з н а ко ва. Знак збира ј е плус, ј ер је

в)

Пример

4

А ко ј е теМ ll срату ра б.т а ј е - 1 + (+3)

- 1 сте п ен, п а се уве hала за 3 сте п е н а, но в а оред н ост тем пературе се тем пература см ањltла за 2 степ е на , lI о оа тем п ерату ра 611 бllла

= 2 сте п е на . Да - 1 + (-2) = - 3 cтeIJe/ la .

УО IШЈТе н о. ако је н е ка вел и ч ин а б ила описа на цели м бројем а, 113 се проме Вllла за цео б рој Ь. Јьс на н о ва ореД II ОСТ би h с а

+ Ь.

Број Ь се ~IaЗ lIва промена веЛ II'l.mе а.

~ Контролна питања Како се сабирају ц еЛ I/ бројев и ПРIl1,:а ЈlIНU ~m 6ројеоној пра во}? Да л " је збир 9в(/ ц ели броја увек цео број? Какав Ј IIШi. има Ј 6111' !ЈО(l ц ела броја? Колику а псолу т "у opcgHO CiТi IlMa Ј бир {Јва !јела 6роја?

N

Задаци 1.

I I О Il УИ II табел у:

I

+

-3 +5

-5

-6

2

4

3

+1

2.

И зрrl'l Уllај:

а)

2 + (-4) ; (-5) + 6; (- 1) + (-7); О + (-1 0); (- 8) + о.

6) (- 1) + [6 + (- 3)[; [- 2 + (-3)[ + 5; 2 + [( - 5) + (- 1)[ + (+4 ). В) [(-2) + (- 4)[ + [( - 2) - 5[ + (6 - 9). ,-)-2+[-3+(9 - 11 ) [. д) [5 + (-7)[ + [(- 3) + 8[.

3. 4.

Водостај с...l l1е је бliO

]20 ст, а онда се сман.ио за 220 С IП . КО/llII01 је IЮДОСI" .ј сада?

Стаљс тс кућег рач у на је (1 дина ра.

(1)

Колико ће б llЋI СГМЬС ако I1ристигне у Н Jlal'а од

100 ДИ llара ? од 50 Al1ll apa?

б) Колико ће бити ста ње а ко I1РИСТИГllе исплата I~) КО)Ш КО

5.

hc

б lЈТИ стањс ако је са ра ч ун а II СII Jlа ћеtЮ а Д И l lара ?

ОШ Ill.lll бројем

110110 ста њс неке веЛН'lII l l С (/ 4; б) смањ нл а за 6.

а) ПОl.lећала за

6.

Кол ика ј е

IIPOMCH
кој
у стспе НII М
Г---;:;-ОЧСТI!а BpCДl l ocr температуре

7.

8.

9.

+3

+15

о

+ 10

-3

(3)

ако ЈС IЮ КООРДltllЗТ llој

l'IP,lIIoj

l'l решлз lIajKpahllM

8 ( - 3)?

У н едељу је

6) +3

BpeA IIO CT

+1 0

Кол ик о се пом еР lt ла та'lка А lI утем у

крщња

- 2 стспеl l а. У току lIоћl'l се l'IPUMCIIIIJla је TeMllepaTypa 611 11а у I lОнедељак?

TeMllcpaTypa

степ ена. КОll11К
611ла

за: а)

-5

сте пе~НI ;

У току 11 0h и TeMllepaTypa се променила 3<1 - 4 ст епе на, а у току дана за - 1. КОЛИК
10.

И з ра 'lу н ај а) х =

- 19

I.IpeAHOCT 11 у =

шраза (х

8;

6)

+ у) + (- ] 2)

х=

-2

и у=

ако ј е:

+5;

в )х = +2 1 11)' =- 29.

] 1.

Б рој

5

се Ilроменио за

- 7.

Са које СI" ранс

KOopAlllra"r'HOI'

почетка се Щ1)I;J З И тачка 'lНj.1 је

коорДllllата доб l1јени број? Колико је она yAaљc lr a од КОUРД]Ш
12.

Збиру бројева

13.

Који се од бројева и з скупа

14.

П О I IУНИ I lра з н о место бројем а ко је: а)

15.

l-JаПlIIIНI

16.

НаlН lIIlIl К:lО з61 1 Р д ва ј еДII<1. ка саб ~lрка бројеве: а )

- 10

-7 11 - ]3 додај

број

9.

КОЛIIКО до6ија lll !

11. - ], -31

налази

Ila

D + (-3)

месту 3ШI ка О:

- 6+

О

= -9?

= 2; 6 ) -5 + О = 3; В) 3 + 0

к аџ збир д ва ~rсгаПlI!lIа цел а броја .

- 8; 6)

О;

8) 6.

=-5.

1.5. Одузимање целих бројева ОДУ:Ш М il l ье у C K Y Гl Y Z УВОД ИМО пра вилом:

а - Ь = а+(-Ь) . РаЗЛ IIКtI бројева

(1

11 Ь је з бир броја а и броја cyupomHof броју Ь .

Према томе:

3 - 5 = 3 + (- 5) = -2 (- 2) - 1 = (-2)

+ (- 1) = -3

3 - (-4) = 3 + (-( - 4)) =3 + 4 = 7 (- 2) - (-3) = (-2) + (-(-3)) = (-2) + (+ 3) = 1. Р.I3Л ИК У

ьу

(/ -

CJIY'lajy да су а

If Ь IlРИРОДIIII бројеви и а

+с =

Д IIМ<1 К ;\О број С така в ЈЏl је Ь

> Ь, унеЛl I

СМО у пр етходним разре­

а. Ди ли ово свој стно uaжи If даље? Провер~tМО ово на

npllMCpl1Ma:

5 +(-2) = 3

=-2 (-4) + 7 = 3

1 + (-3)

(-3)+ 1 = -2 Све ј еД l l аКОСТl1 су '1';1 '111 (' . С војство важи. Дакле. Ь

+ (" - IJ ) =

а ваЖlt з а све целе бројеве а и Ь .

П Р II ММ IIМО До.l је разл и ка два цела броја унек цео број. Зато к ажемо да је ску п

OAIIOCY ••<1

О ll сра Цllј у одузимаља, што није био случ ај с.1 ску пом

разлога за ПРО lJI и ри ва ње скуп а

Пример

Да

611

qужаll

No У

скуп

N o_ То

Z 3.1Т tюрен

у

ј е још један од

Z.

I

Марко купио ра'lунар оу

300 Е.

400

евра. ПОJ(lјм uо је IIJвесну суму. После КУПОб/Ufе остао је

КОЛI/КО је 1I0вца IIмао MapKO~

Лко ј е Марко II М 010 х ев ра , после куповине имао ј е х евра , вреди јеДllакост х -

400

- 400

ј СД llа 'II1НУ. Н епознату х нала з нмо користећн везе сабираља Дакл е, х

= IОО. Марко ј е имао сто евра.

Пример

2

ТемПература је била

03H
еnра. Како је остао дужа н

- 6 "llеI1С1ll/,

а caqa је

-2

11 ОДузимања: х = 400 + (-300).

сШеЙеll(l. За колико се

npOMel/l/JIar

с.\ Х непознату промену т ем пературе. Тад
(-6)+х=-2. Кор н сте hи везу са 6 11 рањз

11

300

=-300. ДоБИЛII смо једна кост која садржи I I е П03 11 ату Х, дакле

одузимања н ал а з и мо х х = 4.

Дакле, тем п е ратура је порасла

3<1

четири степена.

= -2 - (- 6),

односно:

ff'

Пример 3 Ималtl СМО

70 fJlIHapn. После I1лаћmьа ра'/у/ш осiТiаЛl1 смо 9УЖ/llI fjcCt'm 91/l/nра. КОЛIIIШ је

113flOCllO Pll'fY M?

ОЗ II ;ј'IIIМ О са х ' I споз н ату ВСЛlI'I I Ш У . УСЈЈ ОВИ задатка дај у везу: 70 - х =- I О .

Оданде је -х

70. 1ј. -х

= -] 0 -

= - 80, п а ј е х = 80.

Ра " У " је ~1 3 11ОClЮ осамдесет ди нара.

Пример

4

I(ОЛIIКО су ууаљснс ma' IKC:

а) АН) "ЈЈ(+3 );

6)

А(а), IJ(Ь), а, Ь Е

а)

I-Iа

OCIIOUY

Z?

"

на'Пl н а

!

на

-2

-1

I

А

који СМО УВСЈIII сабирање,

Ta 'IK/! А '1

Irl -IJI

4

"

,

I

О

1,

! IJ

В су удаљене и сто СЛlt ка 18

као

Ta'IK/! · шјс су координате - 4 + 4 =О 11 3 + 4 = 7, дакле 7. 6) Тачке Л(а) (1

I

•

+ ( -а) = 0 и

11 В(Ь) удаљеll е су исто као Ta'IKC '!Иј е су КООРД IIШll'С

Ь+ (-1I ) == Ь-а, ато је

Ib -al .

~ Контролна питања Како се У60!Ј 1I О!ЈУЈIIМflIье у скупу ЦСЛI/Х бројева? дп Ј1 11 је {~ aJJ/IIK{/ уоа Прllроgна броја увек прuроgаll 6рој? Д(/ Л II је РПЈJIIllm ува lџ~л а броја увек цео број? К(IКО се IIзра'IУ'Н/(Ю Рl1сmојање [Јое шачке ( цело6ројНIIМ Koopgllllm7iaM(I на бројСО llој IIРП(Јој?

"

Задаци

Q) И зра'l у"ај: 3 - 5; О - 4; -2 - 7; 3 - 6. {ђ И зра'l у"ај: 1(-3) - 5] - 6; 2 - ]3 - 7]; 4 - 13 -]2 - 5]].

с}) И зра'l у""ј:

CS!J

]-2 - (5 - 8)] - ]9 - (6 - (-2)] .

I1зра'lу " 'ј: -]-2 -

(3 - 6)] + ]3- (5 - 8)] .

o6

ЊР"" у,,"ј,

] - (2 - (3 - (4 - 5»).

КОЛltка је теМГЈсратура <1КО је била +2 СТСПСIIЈ , а онда Оll<\ла за 4 CTel l eJla~

б l(ол lНЮ се добl lје када се ОД збира бројева +5

&

Водаст;!ј С'ШС је био 30 ст, па ј е

0 1]<10

11 -7

одузме Рi1ЗЛIIК::\ бројсnа - 4 11 -3~

10 CIll, заТlIМ I lOрастао 5 (111

11 11:1

крају ОП;Ю 50

СП1, KOJlIlIOI 'jC посл еДЊ II 1I0дocгaj~

9. АРIIСТОТСJI се РОДНО 384. " ОД"IIС, а умро је 322. године " рс 11:1111(' сре. ПIПiН 'ора се род но 570. ГОДИ l lе, а ум ро ј е 500. "ОД III I('. КО је ОД љих дуже Ж I ШСО? 10. JtaTo је

~ 14.

(-1),

1(11 =

11. Акојс

{~

А

ЈЈ (+ 3), С( -4),

], КОЛIIк ој е

Ако ј е

РСЗУJl т атс

(/ > о а 1) < О ,

УIIOРСJlII по ДУЖ~l1Нt IIУЮI ЛВ 11 со.

I-al?

lli та је всћс: зб lЧ' б ројева

YIIOPC/llI

0(-7).

-2

11

-7

НlI И раЗJll t ка пп 6 ројещt ?

jXl t 'YIl<1: -2 - [3 - (- 4)] какав з нак има

(/ -

и

5 - [3 - 9).

Ы

15. Лl<О је Н;lIЮЉУ TCMllcpaTypa - 15.;1 у соби +17 СТt' II Сlt и , за

[(O/IIlKO CTCIICIIJ! јс У собl!

ТОI1 Лl !је~

16. '>IIМ јс: стар 2 700

1'011.11113, осоград

I 200 ГOДIНla ••1 Москва 850 "одн"", У којем веку су

OCIIOII
@ОДРСДII I IСllOз".IТН сабl1рак х такав да је; а) 3 + х = -4; 6) х + 5 = 1,

~ Марко је ДУI'ОIlOЮ 10ЦlI 1О динара. КО}lИко му је динара дао ако IЈОСЛС то['а lоца ду" ује ~ Марку 4 ЩIнара?

@Јуче је теМГlср.пура бllЖt _30 С, а данас је +2 0 С За КОЛIII<О Се CTt:IICI III I IPOMCH l lJla тем, . е р:пура?

@ Сава је ,",М,1n;1 водостај + 123 СПl, КОЛИКО је ОП
® ОД

KOI'

- 12?

броја треба ОДУ:Јети 5 да сс добије -4?

23. KOj l1 број 24,

Clll ?

Кој" број

треба ОДУЗ("ГII ОД -2 да се добllје -5?

Tpl-6a

ОДУЗСТ!I од разлике бројева -5 и 6 д
1.6. Закони сабирања Да III! 113

hc збир Д I~а цела броја остати ИС" И ак о

l' pOMeH II MO редослед са 6 l1ра ка? Прове РII МО

п р и ме ри ма :

+ 6 =2, а тако ђе 6 + (-4 ) = 2. Ј едн акост (- 4) + 6:: 6 + (- 4) ваЖ lt ; (- 5) + 5 :::: О п о п р::Ш ИЛУ којl!М је уведе н о сабирањ е . Такође је 5 + (- 5) (- 5) + 5 = 5+(- 5) .

а ) (- 4) б)

= О, ll3 В :Ј.Ж И

А Д
В ) ((3 + (-4)) + (-5) = 3 + ( (-4) + (-5)); ,-) -( (-3 ) + 5) = - (- 3) - 51 Ра' lун а њ ем доб ијамо:

+ (-5) = (- 1) + (- 5) = - 6 а 3 + (( - 4) + (-5 )) = 3 + (-9) =

В)

(( 3 + (-4))

г)

- « - 3) + 5)

- б,

l1a ј ед на кост

ва жи .

= - (+2) = -2 а -

(- 3) - 5

= 3 - 5 = - 2, па једнако ст ваЖ II .

Н а ооюву ОНIIХ при ме ра и ДС фlllllщнј е сабl'lрањ;t мо гу се II;,\СЛУТИПI З
1. Ако

су

(l

и Ь цеm, бројеви. OHga је и а

2. 3бllР gBa

+Ь

цео број.

супротна броја је "ула, тј. за свако а

+ (-(,) =

(1

е

је:

Z

о.

+ Ь = Ь + а за све а, Ь Е Z. 4. ЗаКОllllсоц uјацuје: (1 + (Ь + с) = (а + Ь) + с за све а, Ь, с Е Z. 3.

3акm, комуl1lаЈ4ије: а

Важе ње за кон а ас оциј а циј е о м о гу ћава да се дефиниш е :lбир в ише целих бр ој е ва. 3б ир три број а а , Ь Ј[ с, У оз наЦII а

3б ир ' I е"ПlрИ број а . у оз наци а

+ Ь + с, дефиниш с се

као (а

+ Ь + с + d. дефННIIШ С се

к ао

+ Ь ) + с или ка о а + ( Ь + с ) . ( а + Ь + с) + d. Н а II СТ И lI а' щн

се ДСфl1НИШ У збирови са Im ш с од ' I е"Г ИРИ саби р ка . 3БО I- важења за кон а КО М yt"а циј е важи и а мо 611рmи II како нама

+ Ь + с =( а + с) + Ь. Стога, рсgослеg Cfl6I/p(//({/ може~

oglooapa.

О ВО 'I ecтo кори стим о 11.<1 л а кш е и з рачунамо IIСЮI з бир.

Пример

1

pa'lYHaMo 10 + [(- 3) + (- 10)1 редоследо м как о је З,II'радам а н аз н а Ч С II О, доб ијам о 10 + 1(-3) + (- 10)1 = 10 + (- 13) = - 3. Ниј е ЛИ лакш с КО РИ СТ ИТИ зако н е са6ИР ,Н Ыl н резултат добllТII о .а ко , 10 + 1(-3) + (-10)[ = 10 + [ (-1 0) + (-3)[ = [10 + (-1 0)[ + (-3) = О - 3 = - 31 Ако

Осо6 Шl У да ј е а

+

(Ь

+ с)

= + Ь + с можемо тумачити као праВИJlО осл об il ђ.ш ,а од З ill' Р ,lД е (1

унута р кој е ј е зб и р , а и с пр ед к ој е је з нак плус. Ако је аре!) з6uром који је у засраgu зltак алус, заrраgu се може брисатfl.

Пример

2 се з(liрngа у /l3рюу:

OC1l060g11

1(-2) + 5Ј + {-7 + 14 +(-6)11. Како је испрсд свих заграда знак плус, 6рисањем до61!јамо редом;

(-2) + 5 + {-7 + 4 + (-6)1 ~ (-2) + 5 + (-7) + 4 + (-6). Шта се ДОI'аl)а кад је IIРСД заградом 311ак минус~

Пример

3

Провери

gn 1111 је: -((-1) + 3) ~ 1 + (-3);

а) б) о)

-( - 4 + (-5)) ~ 4 + 5; - (5 + (-6)) ~ - 5 + 6.

- « -\) + 3) = -2, КО)lllка је и lIрСДIЮСТ десне 1 1 3 11ОС И - (-9) = + 9, и десна исто толико. је јед н ака = \, H дeC~l ajcтaKo ђej eД II 'IKa \.

а) 13рсДl-IOСТ леllе (..'ранс је

6)

Лепа страна

11) Лева страна

стране,

«-\»

Уочаuамо да II
npeg

зб"ром кој" је у за;рnglt минус, заlр"gе се осло6аlЈамо променом знака С811М

ca611p'(I'Ma у"утар

заlраgе:

- (а

+ Ь)

~

(-<.) +

(-Ь).

Пра1ll1JlО изр ... ж.Ш
Пример

4

ОСЛQ60УII се заlраgа у /IЗрtlзу: - 13

+ (-5) 1.

Према нрСТ ХОД tЮМ I lр
-3 + 5.

Ако правило "пред З;l l ·р'ЩОМ минус" IIрочитамо заменом страна једнаКОСПI, доб ија мо

"Ј'l раВИJlО I I ЗIIвајање M~llIyca испред зш'радс" . Ово можемо ИСКОР"СТl1Т11 за сабираље или одузltмање I~СЛIIХ бројева, САодећн их Ilа сабирање илн одуэимањс природних бројева . Ево неКОJlIIКО ЩНlмера којl" ТО потврђују:

-7- 5

~

-(7 + 5)

~

- 12

-7 + 5

~

-(7 - 5)

~

- 2

3 + (- 8)

~

-8

+3 ~ -

(8 -

З) ~

- 5.

Дали знате? ПраUШIa за рад са заградама налазе се и у СI"lхоuима:

"Пред эаградом више, эаграда се брише, Пред заградом маље, IIзстаје мењање!" Бранислав HYI.IIIII" Аутобllоfрафllја Напомена: Због риме су употребљене реЧl1 "више"за плус, а "маље" за реч МIIНУС.

~ Контролна питаља Које С(юјсmо() ,/м(/ју суйРОifi l/11 бројевu?

1«(//::0 IЛ{/Сl/ комуmmТ!IItЈIII I Јако,,?

/«(11(0

[ЛПСI/ nсоцuјпmUбll/Ј закон?

Како се gефrllllllllС збир

mpll Ilсла броја?

К(II(О се gефlllllllНС збир '/сmuрu цела броја?

Може ЛI/ се арl l С(l611рању више целих бројева СЛQ60gНQ бllраmll реgослеg са6l1рmm?

"

Како fлаСЈ/ nрmJ/lЛО ослобађШЬ(l

09 заiрllqс

йрсу којом је Ј/ШК

Како lласl/ Прат/ло осло6а/)ШNI

09 заlраgс преg којом је 31/(/к-1

+1

Задаци 1.

О сло60ДI I се за градз у и з разу. а заТИ .\1 IIЗра 'l у најт ље го ву вред ност 6 11рај у ћll П О ГОД I IQ

редослед саБИ Р
2.

- 1 + [(-3) + 1[; 6 ) 2 -[(- 5) + 2[; 11) -[( -10) - (-8 )[ + [8 + (-10)[ .

ИЗР
.1) ( ]996 + 199R + 2000 + 2002 ) - 1997 - 1999 - 2001 - 2003; 6 ) - 1 + (-2 + (-3 + (-4 + (5)))); 8) (I + 3 + ... + 200 1) + (- 2 - 4 - ... - 2000). 3.

Ако Мар ко зар ади 700 и 600 е вра, па потрош н 900

11 400

4.

Наt1lшНt с ве могуllе н ачине II з ра'IУн<Ш
+ Ь + с.

5.

А к о ј е з бир Два цсла број а једнак нули, да ли с у ТО С У IIРОТНlI бројеllll~

6.

Ослободн се :iа l· рад а у и з ра З llма:

а) г) -

el~ pa, KOIII IKO му је OCTaJ10~

(2 + (- 3)); 6 ) - (3 + (-9)) + (2 + (-5 )) ; В ) 5 + [6 + (3 + (-7))[; [9 - 10 + (2 - 15) [ + [3 - 4 + (8 - 12) [; д) (а + (3 + (-2 )) [ + [- [2 +

7. И з ра', у н ај KOP' I CТC hll заКОllе са6 1 1рања: - 1 + 3

+ (- 4); (2 -5 ) + (-

(- о ) [}.

3) + (-4 );

3 + (2 -5) + }-(6 - 8)}; (- 1) + (-4) + (-5) + (+9).

8.

И з раЧ У IIOlј: а)

1 + 2 + (-3 ) + 4 + 5 + (-6) + 7 + 8 (- 9 );

9. П РОIJСРI1 З
10.

П ове 11 :i
11

= -6,

б)

1 + (-2) + 3 + (- 4) + ... + 200 1 + (-2002).

= - 2, IЈ = 12; б ) (/ = -3.1) = - 4.

Ь

= 4, с = - ]0.

2. ТРОУГАО појам, УГJlОВИ, странице

ГеомеmРllја је

gco

математике у којем се IIзучавају lсомеmРllјске

фl/lуре 11 ЊllХОбl1 09I1ОСII. Сама ре·/ .. теомеmрија" је ТР'Јка1 порекла

..,' ,.. ' >'

11 у превоgу З II(1 'fII »мереље земље", Геомеmрнја је стара 1(0)1111<0 11

љуgска 1I1/б1lлюt1Цllја.

О томе С8сgоче осmmСII

...~­

"ул туре Маја,

О' :'

13абllлоноца, efllnagcKc ПllраЈоfllgс Il 9Р. Прва ca'fYO/llf(l Кlbltlа оТео·

мсmРllјll IIMt1 lтз/ш "Елс,-..tС Н Т И", Написао ју је анmll'lКII мате· MnmHLUlp ЕУКЛlIg IНI преласку 113 lV У ЈП бек аре Н. е. у њој су сабра н а I1 Сllсmем аm1l30аmm сва 31/nња 1/3 теомеmР 'lје

90

mofn gоба. reoMcmpl/jn заснована на lьеlО811М Поса1(ш камn II(1З Il8(1 се еуклщ]ска тсомеmр"ја.

.'!

i

,

Ј

, f

~ ј

ЕУКЛlIg, око

320. 1.

пре lIове ере

Ми

('('

том теомеmР /lјом 11 бавимо.

Још 09 ЕУКЛl/gа nот/I'lе IIgeja ga се теометрuја l13У'шва По ItCI\IIM nраВШlIIма. Проо се уооуе ос­ HOOI/I I feoMemplljcКlI

nojMo8fl (06јекти), п преко 1bllХ сложе1l11јll. 3m71IlM се раЈмmuрају особllне

Пi IlX објеlшi1lа 11 ВеЈе међу IЫlма. То су нскn!) врло јасне особuне UЛII везе, (1n IIХ само IIClшзује­ мо. На nРllмер, Ј" УВ/? раЗЛII.шmе шачке постоји јеун" правtI која их СЙУРЖII . МеljутјlМ, IlIIје СОС УIU!К О'l/lfлеgно. постоје особuне IIЛII 0YI/Q(II ме/ЈУ rеомеmР llјо:ш.1 објскти­ ма које уетаЈЫlllје јЈазмm71рамо ослаЊllјуli1l се lIа веli 110Јнm71е '/Il1 bCI/III(C 11 Лоl/l'lК() расуljl lб(l1ЬС

III/a тај //(/'/111/ се уверавамо у IVllxooy та'lllосm. Тако gOKmyjeMo те ос06111/е IIЛ II ОУНОСС.

2.1. Појам троyrла у IIрСТХОД lIIl М Р;l зредима упознал и смо Щ'КС I'СОМСТР Иј ске Ф IlГУ РС, 1I> 1 1ХОШ1 свој ства ме ђ усобllС од носе (сл .

11

1).

c" J1IK
1

у овој 'ГСМII детаљ н ије ћсмо у"оз нат н једну од најважнијllХ 11 I lаЈЈсдностаВIIIФIХ I'еоме­ тријских фll l'ура

-

ТРОУ I·'IO. У lI ознавањс С lюјстава троугла први је ко рак у I lстраЖlIвању

својстава СЈюже l шјн х фlll ' ура, јер МНО ГС CJlоженије ФИГУРС II мају троуглове као саставне делове.

УО'IИ МО три та'l ке А, В 11 С које нису

јеД ll ој

!Ia

II pa l.lOj . ОНС 011рсђују

mроута0НУ J/lmuју коју ч IlIIе

ДУЖI1 АН, НС 11 СА .

Т роугао АНС ' I ине троуга Оllа ЛlIIНф 11 У~lутраШЊ'1 област одређе ll а том ЛlШllјом.

= с, ВС = = /) су ње l'ове сmрmнще, а ко н векс"" Уl"Лов н

Тачк е Л, В и С су ње l 'ова теМСllа, ДУЖII ЛВ f1

с

И СА

LBAC =

а,

На сJlици

LABC =: 2

~ и LЛСВ

= У су

њеГОВII У'Л0611.

је изаб р а l Ю уобll 'r ајено обележавање

ТРОУ I·Л il. Свако т еме (Н љему rrри п аДШI у пю) троу­ гла налаЗl1 се нас п рам љ ему ОД I'оварајуће ст рашще. СТр'Нllще и угло ви ТРОУ I 'ЈЈа нази вају се ОСНОВ Н И елеме l lТИ троугл а. л

Н ара lНIO да СС тсме " .. , ОДНОС Н О TPOY I',IO може 06е ­

в

лсжаll
CJlIIKa 2

~ Контролна питања Шта је mроуlllOна Лlllшја? ffJlfi(l је mроутао? Да 1111 "CKII О!Ј Уlлооа mроуiЛfl МОЖС бш1111 ОI1РУЖСН? Да ЛlЈ

cmpmllll{C mроуiла МОlу бl/Cfi'1

1/(/

аарuлеЛНIIМ правим?

м Задаци 1. Колико lIајВllше за ј еДШIЧКЈIХ

2.

Ta'ra Ka

могу нм .. тн !\ВС раЗ)JIIЧНТС праlJе?

06елеЖII на уобичајен Н
"

'l'I:,\llell<1

т р оуглоВ
1,

"

л

l'

« 1, Сл"ка

3

А

"

А

3.

I< ој а реч е Н llца је та Ч Jl а ~ а ) Тро у ,-ао прип а да Clla l
4.

I< ол и ко зај еД llИ'IКИХ '1'(1'1:1]«1 МО I 'У НМ;lТИ "'poyr;l o li a линиј а 11 Jl ск а пра ва?

S.

Да ЈЈИ I IOС 1'оји пра ва р кој а н е сад р ж и ниједно тем е " рОУ I ЖI А/3 е " се ч е с а мо стр а lН Щ У лв 1'01' тро у rл а?

6.

Преброј к ол и ко ТРО У I 'ЈЮ llа

II Ma на сва к ој од слика ,

1:><:1 Сл н ка

2.2.

4

Странице троугла

Од т врђеl' п аrm ра направи МОДС!! дужи као тр а ку , облика као на ОIlЩI1 5а. од Tp ll та к ве тра кс, надо всзујућlt ИХ, покуша; да I-Јап равнш модел т роyrла,(3а н адовеЗl шаље 'нюде са I IIIIРО К ОМ I'ла вом,) Да 1IИ ће 1'11 то у век ус пеТII? Пон скад ће успети (01.

KOPIICTI!

56)

а по ­

некаД ltеће (С1l , 5 6), Ово lIам П ОК.lзује да и зм еђ у СТР 'IНЩЈ.а тро у rла постоје неlOl ОДIIОСИ .

б)

Нека су А, В, Стри места (сл,

В)

Оlll ка

6),

5

Путеви Il зме ђу ЊI1 Х су праlЮЛННllјски - АВ , ВС. СА, а дуживе ТlIX путе ва редом с, а, ["I)'Т ј е АВ, па ј е С IIГурво АВ

U.

<

најкра ћll п ут је вс, те важи ВС ~l a 'II1H ј е 11 СА

Од А д о

/3

lI ајк раhи

+ LA. Од В < СА + АВ, На

вс

с

до С

IIСТII

< АВ + в с.

а

Закључ уј емо да можемо IШС"Т II I l сједнакоcrи с < а+I;,

1I < 1)+c

и I; < а+с.

I<ако ј е Аве троу,'ао, важи слсдсће,

л

, СЈ ,"ка 6

Свака Сlllраmща mроуiЛ(l је мања

09 з6"ра

УРУје уве стР(llllще,

Ако је

(/ :5 /), тада IIЗ lIослецње нејецнакости слсди Ь

Ако је

11 > Ь, II З друге неједнакостн след!! (/ - !Ј < с .

Дакл е, ст р:н нща с

Beha је

од раз/tl ,ке сграНIЩ:l

(/1,

-

<с.

а

Ь.

Закљу'. ујемо да важ. , следе l,е.

Свака стР"lllщtl троуlла Betrll је 09 раЗЛl/ке 9Pyfe уве.

ПРIIМСР

I

Да ЛII ПOL'mојll mроуТао чије су сmраlllще

Овакав т роу .'ао

.1 ('

2 kщ 3 km 11 5 km?

1I0стојll, јер је код сваКОl' ТРОУП. :! зб l.р две страlll Щ С је

ШТО Оlще НС важи, јер је

2 km + 3 km :::::

Beh"

од треnе,

5 kl1l.

I{ac ..... jc I'ICMO ноказат\[ да ТРН ДУЖН могу да буду страlllще троугла ако је lIащ.:ћа Mel)y M,IIb
Њllма

Пример

2

у каКБОМ су узајаМIIОМ положају тачке А, В 11 С ако је АВ

K
::::: 4

111, ВС

Ta'IKe А, В

= 7 т

11 АС :::::

8

т?

l' С су теме.ц једног

ТРОУ ·Ћ
ПрllМСр

3

Д{/ Л/l страНlЩС троуlла моју 61111/11 АН

= ВС ::::: 7

(111,

АС ::::: 3 ст?

Како је ~lajBell a Mcl)y Д<1Т1.М дуж ииама маЊ
Пример

4

Да ЛI/ маТу С(lС три (траНIЩС mроуfла 61111/1/

jCgHIIKC?

Да.

TpO Y l'JIOВI' према стра ••'iI I ЗМ;I МОГУ 611ТIi:

-

pa :mOcтp:tL . II' 1I1I1 ( када су све трн странице раЗЛИЧlIте, сл. 7а ) ,

- јеДII:' КОКР:IК11 (када су д ве странице једнаке, сл. 76), - јt'Дllакост р:III11'"НI (ЮЩil су све трн

CTpaHllue ј СД llа Ј{С, СЛ. 7 .~ ) .

ј<'ДII
... pcli..,

страшща Је њс,'ов<1

а)

В)

6)

р а:шострю' "ч ,," троугао

ОЏЮIIIЩ.а

tcд" ~ .ю"ра.,,, троугао

j"J\ I , a ~ OC1'pa " " ";"1 ТРОУ " ао

Сл ll к а

7

~ Контролна питања Кmаш је оунос gУЖI/1/{/ сmрmlll ца mроуiла? Кmащ МОјУ 6ШПII t7iроуfЛО(Ј 1/ према страНllцама? Кtlуа је траум о јСУН(/ КО КРtl к?

Ла дп је ООIOО/Щ(/ jeg lmKoKpaKO I IЩюуfЛll УОСК краћа

og крака IlCmOI

mроуiлn?

м Задаци 1.

Да ли I'IO CTOjl1 т роу '"ао " нје су стра шщс: а )

5 111 , 6 III 11 7 111; 6 ) 3

2.

Д не страНlще ТрОУГЩI су ДУЖ lIн а

ст. У к ој им ,, 1" ра Нlща ма " се H
4

ст 11

5

П1 ,

5 111 11 2 Ill?

T pe lH~ СТ Р <1ШЩс?

3.

Одр t /Џ I Mc~yc o61J11 п оложај б) Л В

4.

= 3 CI11 , В С = 2 С 111;

Д »е стра mще јСД ll з к ок р аКШ ' Т РО У I "'I ;I с у : а) 5 С I11 11 12 с т ; Ь ) 5 С т и 4 с т . И з ра "У ' l ај 06 11.'•., тог

5.

=

T,)'I;lKa А, В и С, ако ј е : а ) ЛВ = 5 С I11, А С 5сm,А С = 3 с т, вс = 4 с т.

l' PO Y" JI3 .

Об им ј сднз к о к ра К О I" ТрОУ l 'Л ;l ј е

10 ст , а ДУЖIIНС ЊСЈ'О ВII Х страНllца су 11 ДУЖ IIН У кра К '1 тOI" т роугла.

Тl I Mt'Tapa . И з рачун ај дуж ~ш у ОС1IО1!ИЦС

ЦСJllI 6 ројС В JI ЦС II ­

2.3. Углови троугла с у

а

в

А

СЈlII ка

8

Прошле године ОЈ.ровераваЛЈЈ смо наДОВСЗIIВ:\ЊСМ углова троугла (сл.

'1',1'[110

8) да је

следеllе твр l)ење .

Збир уlЛОба mроуlла јеу"ак је оаРУJI(еном уlЛу

(180 0).

УВСРIIМО се сад", да то наЖIi за ма који троугао . Н ека је Ане троугао 'ш ј н су УГЛОВII a , ~, у (сл . 9). У TCMCIIY С Н,ЩРТ
одређује ПQJlУllрrlВС СРЈ 11 СР2. УЈ')IОЮI с

LBAC =

о:

и

LЛСРI су тран­

сверЗ<1.1111 [1;1 су јеД113Ю1. ИСТО ваЖ L I и за

р

Р, --т--:--"'--;;-,--'--------

У " ЈIOIIС

LABC = ~ 11 L.BCP2. Збир LACPt, LAC8 и LBCP2 је ОIlРУЖСII угао, па је а + Р +У = 1800,

Р,

Н а основу ОIЮ I' Clюјстна УЈ'ЛО",I 1'РОУ I'Л<1 одмах можемо заКЉУ' l ИТl 1 Д:1 ТРОУl'ао мо­

же да IIма mфJll ш е јед ... . ! IIран IIЛII један туп угао. Занста, када б . 1 троугао имао

Слика

9

ТРОУ1'ЈIOI!И

бар два такв;) У " ЈЈ а, збllР Н>С I'ОВИХ У l'лова

"

л

6110

би већн од

1800

НЛlt јсднакl80 0 , што

према доказаном нијс могуће!

IlpCMa

BPCТl1 Уl'ЛО!lа МОI'У БIНИ :

-

QштрОУl'Ј I И (к,lД<1 су СН<1 три УГЛ<1 Q ШТр<1 , слика

-

праВОУ l'ЛIJ (када је јеД<111 угао п р а в , СЛlf ка

10

-

ТУ IЮУГМt (К:lД<1 је један угао туп, слика

в) ,

10

10

а),

б),

СТР<1lнще праrюуr'лOl' троу гла које припадају краЦИМ:I "paHOI' у.'ла су кnmсmе, а страница Шlспрам темсна правог угла је Хlll70mСllуза.

о)

В)

ТY " O)TII 1I ТР<'У' '3.0

СJII IК
10

Ако су l103 11<11'а доа угла троу гла, треliи МОЖСМО IIзра'IУlli1Пt.

Прим ер

I

КОЛIII\JI је у[ао

mроуlла АВС ако је а

= 540

+ 13 + У = 1800, бић.е У = : 800 -

Како је ct

Пример

r

( а.

u f3 = 360? + (3), У = 1800 - (540 + 360) , У = 900.

2

ДокаЖII 9а бар јеиан У[(l О mроуrла I/uje већи Ако бl1 сва три у.-л а била

Bcl,a

(мања) од

09 600 'Ј иа бар је9аl/ умо I/uje J,lmЫЈ 09 600.

600,

збир тих углова

6110

би всћl1 (ма IЫ1) од

1800,

ШТО IШ; С могућс.

У"ЛОШ1 У I ЮРСД1Нt УI ';Ю ВИМ
На сmЩIi ] 11'0 су УI'; ЮЩ1 (ХI'

131' УI'

Код С II
KOHCl'Py" caTIt

д ва Сlюљашња У I'}l а , 01111

-~. -

су ј ед наКl1 као у" аК РСНI1 УI'; ЮВI1 ( УI = Ђ)

-,.".'

К роз теме В 'I"РОУ I'Л3 Аве нацрТ:lМО Ilра­ IЈУ ш]рал еJII IУ А С (сл.

12). Та

спољаШЊII У I""аО 13 Ј 1101 у гло ве ј е!}2

+!}3=Ј3 Ј '

У ГЛQ U II а и

пр.ша дели

132и 133'

132су ј едиаКlI

.

,:~.

л

па 1( <10

Сл l1к а

11

СЛlIка

12

У I'ЛОВII са lli1раЛСЛ I НlМ краци ма. Н а 11(1'11

на'11I11 је У

= р Ј . П рема томе, 13, = а + у.

с

На ИСТI! на' IИII lIаЖ I! 11 за С Il Ољаш њ t' уг­

у

лове 0.1 11 "УI' Д:lКЛС, та'!Но је cJ1eAel'lc

TBpl)cIVe. Cf10JlJtlllllbIl уиlO mроуfЛtI јеиllак је .Ј6u­ ру 90а ,ы'му IIссусеОlll1

yllla r1lol

mро­

а

А

в

уlла,

Прllм е р

3

Ако су а = 400,

f3 = 600 98(1 ylJia mроуlла Аве, 113ра О lУl/ај ущо r

11 Cll0ЈЫlll/ње yfJi08e. ПровеР1' 9а

ЛlI је СбаКII сйољтllЊI' У/{lО ово' mроуlл а jegHaK Ј61 'РУ 90а њему нссусеун(/ уlJiа. Како ј е 0.+ Р+У = 180 0 ,тојеу =

1800- (а + Р). 3 I1аЧIIУ = 1800_ (400+ 600) = 800, а! 400 = 140 ,РI = 1800 _ 600= 1 20 'УI = 1800_800= 1000. Даље провсравамо, аl = 600 + 800 = 1400'!}1 = 400 + 800 = 1 20 0 ,"УЈ = 400 + 60(1 = 1000. 0

0

= 1800_

С обзи ром да ј с ех l

= ~ + у, то је ех ! > f} и ех l

>

У (зб ир је већи од са6I1 р ка), 3 I1 а'l lI , та чн о је

СЈlсдс !1 с Тlsp~e Ibe, Свак" СUОЉUlШbll утао mроуfла всli" је

r;-

09

'ы!му lIесусеУ"Оl уfла ruроуtЛij,

Пример 4 КОЛ I/ КII је з бир саољm /ll Ы IХ уrло ва mроуiла?

Il a

основу претход н ог добиј а се :

а,

+ р, + у,

~ (У+ Р )

+ (Р

+ а)

+

(а+ Р ) ~ 2 ( а + р+ у) ~ 3600,

З II З'IИ , з6 11 р С ПОЉill,lIЉ I I Х У I'Јю на тро у .-ла је п у н у гао

(3600),

~ Контролна питања Колик/! је збир У/ЛОба mроуlл а? IIIm(ј је сflољmШЫI у/ао mроуlЈ1(I? Какав је ОУНОС СIlОЉlllшьеi 11 ,ь ему cycegHof унуmрmllњеl Уlла mРОУ/Лt/? Какав је ogHOC сfiоља/lllЫ'Т у/ла mРОУlла LI ,ьему lIесусеУllllХ унуmрmШЬ/lХ уlЛОВ(/ mроуfЛ(/ ? КОЛ /lКlI је збllР сi10љmllЊ/lХ УТЛОба mpoyflla?

м Задаци Q И зраЧУllај угао (х ТРОУI'Л
G 3а углове троугла Ане !ЈажJt ~

=

2а и у = 3 Ј3. КОЈ]IIКО степсни

11.\1;1

2

сваК1I од њнх?

@ Израчунај УГJlОШ:" ТРОУ1"1!а који вма СПОЈЫШЈЊС У'"ЛОПС ОД ] 45" 11 1350. 5. Ако У ГЛОВII т роугла Ан е заЈ ЮllOљанају: ех + р = 1200, Р + у = 1300, I\ ОЛIIКО ј е у + ех ?

~eдaH угао пра IЮУГЈЮI' ТРОУГJlа је 350, КОJIIIIЩ је ДРУП I оштар yгao~ 7. КО/ШI\И су угл аВII праIlО У I'ЈIOГ Т РОУI 'lIЗ ако је Il ај м а њи угао ТРI' Ilута м аЊII од IIзјвећег~ 8.

Колико ОI1lТрИХ С IIОЉ
9. Да ли п остој~1 TpoYI'ao са два: а) тупа; б) права угла? Образ}]ожи! 10.

Један угао ТРО У I"л а јс

1'Y11.

К а ,,!!;) су остал а д ва?

11.

До к а ж и да ба р један с п ољашњи угао троугла нн; с м аЊII од

12.

Дока ж и да бар једа н

13.

И эраt l у нај све у глове П Р ll каза ll е lIа сл ицн

CIIOJI>
угао троугла ниј е !Је !'.... од

1200.

1200.

13.

( 50'

ISU'

, Слm.::а

2.4.

13

ОДНОС између страница и утлова троутла

Код једнакокраког троугла нису само једнаки краци

Hel'O

и њима

HaCllpaMHII

УI'ЈЮRl I . У ве р ­

а!Јамо се да, uажи следеhе тврђење.

Наспрам јеУllакuх CmplН/l1I(1I mроуlла "ала­ зе се jegHtlKII уlлови.

Нека су странице АВ 11 АС т роу гла Аве ј ед­

IJaKe и IICKa ј е s симетра}l<1 УI"JШ а. (С1l . 14). Симетријом у ОДЈЮСУ на праву

s,

права АВ

I lрелззи (п ресликава се) у праву Ас, и обра ­ ПIO. 3БОI' АВ

== АС, теме В IIpCJla311 у С, теме С

у В, а тсме А у самог себе. Стога троугао АВС

"' релази у троугао АСВ. а угао

~; ,

. •

_О.

f3 у угао у. Отуда

су ОВИ У ГЛОВII једнаКII 1 1 1Ћр lјС lbС је доказано.

ff'

:,<:

Сл и к а 14

Пример I KOllllкtl су уТllови jegllaKOCmp(IHII'IНOf тРОУГllа?

CB II углови једнакостра llИ'lН ОГ троуl'л а су јед наки. Како је њихов збир 1800, сuаЮI од њих је

60".

е

Пример 2 О

КОЛIIКI/ су у'лови на ОСII081ЩII jegl/aKoKpaKQj mроуiла ако је у[ао ,mсйрам ОСIIОtmце )18 ?

( 1800_ 1180) : 2 = 3]0, Дакле. УГЛОВИ на ОСНОIНtЦи ОВОГ троугла су по

3 10.

КаКlШ су УI'ЈIO IШ 113Cl l paM IIсједнаКIIХ страница TpOYl'Jl a~ О томе можемо рсћll СЈЈедеhе.

HaCnpilM BelJe сmрmllще mроуlЛа Jlалазu се веli" Y/(IO.

Нека је АС ']"
> АВ.

D таква

да

jt' АО = АВ.

У bl3DЛ је LЛВ D

=

LЛD11 У " ,\О

ШЊИ У",IQ троугла ВСО, 11 3 је

Како је Lf3

> LABD,

УО'lltЛlI СМО да

А

Тада између та'!;)к;) А И С 1I0стоји

бllћс

113 OJIII oca

LADB ј е с]"[оља ­ LAOB веhи ОД У I'Ж\ У.

f3 > у. страница т роугла следе

ОДlIOClI углова IfСТО/' тро уп/а. Саl'ледајмо 11 оБР I IУ ­ ТО,

како

из

односа

Уl'llOиа

ТРОУПl а

следе

"

ОДlЮС II

с

CI'paIIIllЏlM3 .

С!lJIка

15

] IРСТllOставимо да за ТрОУl'ЗО лве важи да је Ј3 = 'У. Н
MOP
БНТl1 јеДllаке . Размотримо зашто. Ако сгранице Ь и с IIС

МOI'ЈЮ бипs Ь > с, или Ь < с. Научили смо да 611 IIЭ /) > с СJlедило f:3 > "(, а из Ь < с 6и слеДltЈIO f:3 < у. 06с моt'уhlюстlt сс не слажу с Ilре'тпостаuком да је р =у.

би 6~lJlе једнаке, тада

611

Даклс, <ЈКО не може бити Ь

> с нли IJ < с. мора uаЖНТII Ь =

с. 31 1а'III, Ta'lНO је следеће Тllрl)ење.

Насарам јеу'шкux УIЛOlЈа mроуrлu налазе се је911аке странltце. ДокаЖIfМО да IЈаЖSI It С.JIСДС!1е тврl)ење.

Hm:aptlM веliе! уtЛrl IIlроуfлtl lIалаЗ'1 се IJelitl сmР(lНfща . ПРС'S' IЈОС"гаlН1МО да за троугао Аве важи може 6ити Ь

е

< с нт1

Ь

"3 jl'

f3 > у.

Из претхоДlIИХ тврl)ења је ј.1Cl1O да не

= с, па мора 611ТН тачно да је Ь

> с.

Пркмер3 Поре&ај 110 велltЧUНII YfJJOBe mРОУlЛа Аве чије су "ирШlflце а

Како је Ь

[:-

=4 сщ Ь = 3 СЩ (" =5 ст.

< а < с, на ОСIIОВУ IlреТХОДIIИХ твр !)ења СЛСДII р < а < у.

Пример 4 Поређај По веЈЈII'III1Щ сmрmнще mРОУlла Аве ако је а = 400 11 У=

Иэра'lунај а < Ь,Ь = с.

13, 13 = 1800 -

а

-

у

= 700, lIа је а < Р. Р = у.

700.

На основу прСТХОДllИХ тврђења је

Пример

5

•

Е

Покажи ga је у аравоуrлом mроуrлу хuаоmенуз а најgужа сmрm/llца.

У['зо ОД

"

90° је највећи угао троугла . 3начи, наспрамна страНllца (хипо~

тенуза) дужз је од других двеју страни ц а (катета).

..:атста

СЛlIка

16

~ Контролна питања КаК(lи су међусобно уlЛО811 на основlЩl1 jegH(/KOKpaKor mроуfлаr Какав је mроуlао 'lIIjll су уlЛОВ II lIа jeglloj сmраНlЩII јеgнmшr Какав је О!}1/0С уlЛО(lа наспрам

l/ejeg/laKllx

сmраmща mроуlла?

Какао је oglloc страНllца наспрам 1/ejeglJaK/lx у/лооа mроуfла?

N

Задаци Ј.

Поређај по IJСЛIIЧИlШ странице троугла Аве, ако је

LA = 60°, LB = 50°.

2. УпореДI! углове троугла ' шје су странице {/ = 2 ст, Ь = 5 ст, с = 5 ст.

3.

У јеДН
= 42°.

Да ли је крак тога троугла дужи

од основице?

4.

Ј едан УI'аО прarю)'глог троугла је

45°.

Какав ОДНОС постоји међу страницама?

5. УпореДII странице троугла 'шј!! су СlюљаШЊJl углов!! а l = 120°, ~I = 70°.

6.

Поре l)ај по IlеJlИЧИНИ углове троугла АВС ако је

7.

Упореди странице троугла Чl1ји су У I'ЈЮВИ

8.

Докажи да је подножје п раве р најБЛl!жа

9.

N

T:\'II\II

LA

LA = 120°,

Ь

= 2 сш, с = 3 сш.

= 2LB н LA + LB::; 90°.

нормале " а п раву р н3 тачке М, тачка која је од Свих та'!;}ка

М.

ШТil је већс: АВ или АС (сл .

17)?

06раЗJlОЖИ. А

D

Слик:\

17

"

с

• в

с

D Слика

10.

Нека је Д:\Т мвс 11 нека је 1'а ' [1\3.

D

А, при чему је D иэмеl)у В и С. Ако је

подножје нормале која саДРЖII теме

BD < DC докажн да је АС > АВ

(сл. 18).

18

2.5. Конструкције неких углова Користеh и стеЧ С II О з н аљ(' о Т рОУГЛОR II МЗ, uолюfiу ltIссl7iарn и леЊllра. можемо нацртати (КОllсmруuсаmll) неке у гловс.

КОНСГРУКЦИ) А УГЛА ОД

60 0 СВИ УГЛОН И јСlџщкостраничног тро­ у гл а им ају по 600. да бисмо конст руи ­ сали угао од б ило

с

кој и

600, KOI ICI"PYllcaheMo

ј еД I ШКОС1' Р:II I И' I Ш I

тро­

у ,"а о. П ри том ћ смо I1CI\OP I 1(Тl I ТlI КОН­ струкцију троугла 'I нј с су странице задане. Све три стра ll и це треба да су ј еднаке д атој ДУЖ II а, а КО liCТРУ КЦ ll ја ј е могућ а, је р је 11 \

КОIIСТРУИШСМО дуж ЛlJ јСД Н <1КУ датој

\

дуж и а . Зат и м Оllи ш емо КРУЖIII IIЏ'

\

k(Л, а ) и I( В,

I

1I)

(сл.

19).

О ве " р уж­

н ице се секу. Обележимо са С бllЛО кој у ОД n pcce'IIII I X 1'<1 ' 1<11\(1. Троугао

л

СтIК;}

Аве

19

КОНСТРУКЦИЈА УГЛА од Да

< {/ + а.

61. се

је

LВAC =

јеДll3кострашt'13Н,

па

Је

600.

300

КО ll стру и сао у "'Ю од 300, ДОВОЉНО је конструисаТ LI С lI метралу У I'ла

0)1600, Bet, знате да КО I IСТРУИШСТС симе-г рму угла, П риметш,ю TaKOI)c да се С lI метрала YI'J1a LЛ = 600 како је ПРlIказано на п ретХОдll ој слини П ОКJlЩ l а са О l метралом дуж " ВС,

ILa

се може КО l lСТРУllCати

КО l lстрУllсањсм с и мстралс те ДУЖII (СЈ!. 19).

Пример

1

Ко~/СmРУ/lUЩ Уlао о[) 900. Уг;ю од

900 се може доБИТ II са611 рањем углова оп 600 11300,

I tЛl t КО II СТРУl1сањем с и метрале о п руже н о г угл а.

YpaAlt

ТО

/

/

/

+

45'

самостално .

N

СЛ IIК" 20

re-

Пркмер2 КО1lсmРУЩllII У/ПО

09 75",

ДОВОЉ НО је КОНСl'руисати УЈ'лове од

45" If 300 и сабрати IIX. Конструкцију у гла од 450 мо конструк циј ом симстрме правог Y"}la (сл. 20). 06jacНl! детаље конструкције.

113НОДII­

~ Контролна питања

"

Задаци 1.

Ј{онструиши УГ11О не од 90" 11 750 користећи да је: 180" = 2 . 90" и 750 = 60" + 1 30", 2

3. ЦЕЛИ БРОЈЕВИ МНQжење и дељељ е

3.1. Множење целих бројева Четири дана тсмператур" је опадала по три степен а дн ев н о. Уку п на I1 ромсml темп сратуре ј е:

(-3) + (-3) + (-3 ) + (-3). ТО б н се cKpal;cHo могло н а пи сат и к а о П РОИ ЗВОД 4 . (-3). Дакле:

4· (-3)

= (-3) + (-3) + (-3) + (-3) = -12.

у Q пш тем СЈ I У' l ају, м н оже њ е I1Р l1 РОДНО Г б роја 111 и Н С I';lТI1 IНЮ Г цеЛОI" б рој а

-11, 11

Е

N

У IJОД I1 -

мо као ,, !'I ОНОIJЉС Н О (аби ран,с" :

'" "УТ/I1 '(-n) = (-11) + ... + (- n)

=- (111 ·n).

Ако жеJll1МQ да ca
(-3) . 4 = 4· (-3).

3011'0,

У о пштем случају, за прнродне бројеве т

11 11

I <- т) . /Ј = П . (- т)

=

усвајамо:

- ( т' 11).1

МОЈ'ЛО би се рећll да је овај резултат добијен "НЗДllајањсм 311ака МIIНУС

113 '1IIНlюца

( фактора)" ,

3011'0 је 11:

(-4)(- 3)

=- ( -4) · 3) =-(-(4·3 )) = 4 ·3.

у о пш тем СJlу ' шју. множење Д Ш!. не гати в на цела број а - /11 и - 11 УВОДIIМО п ра в илом:

I (- т)· (-11 ) = С п е циј <1Ј11 Ю за

111

= 1 доб иј амо

За М Н Qжење l~еЛО I' број а II е

Z

(- I ) а

1/1 ' 11 .

I

= -а, за с ва к о а eZ

и нуле важ и : О ·а =а · О = О.

За множење BpeAII:

а) арОllЭбоg gба I~ела броја истих знакова је uозuтиваll '4ео број;

6)

арОll300У ува цела броја разлu·tuCnUХ знакова је

HefamUO(l1l

1(If!O број;

В ) tluсолуmlfа вРСУllосl7l арОIIЗбоgа јеу"ака је арОIIЗ80gу tlQCOJlyтllllX opegllocтll ·IUII"лtll~а .

На ос .юиу OВlIX правила можемо израчунаТJI производ два цела броја одређиваљем њего­ вог 3 1-1аl<
е

Пример

I

ИЈрn"уnај' а ) а)

(-3) ·15; 6) (-4)· (-6). Како су -3 и 15 ра:SЛИЧ IIТОГ з нака , 311<11< П РOlf31юда вредност је 3 . [5 = 45. Производ је з.по једнак - 45 .

ј е минус. Њ еговз апсолутна

б) Како су ' IHНl10Ц~1 истог з нака, знак I I POl13Bona је плус, а апсолутна nрС/ \ IЮСТ је П роизвод је јС;\II
Пример

24 .

24.

2

Ј /pOOCp lI Пiа 'lНОСi1l jegH(lKocmH:

(-2)13(-4)]=[(-2)·31·(-4). Jlева СЈ'Р,шз је :

= 24 .

(- 2) .

13 . (-4) I = (-2 ) . (- 12) =

24. Д еС IЈ а страна је : [( - 2) . 31 . (- 4) = (-6) . (-4)

)еД1ЫКОСТ важи.

Пример

3

ПрооеРl1 /ЈnЖСЈье јеgllllкосПiLI:

(-3) · 1(-2) + БЈ = [(-3)· (-2)1 + 1(-3) · 6Ј ·

= (-3)' 4 = - 12. Десна стр,ша је: (-3) . (-2) + (-3) · 6 = (+6) + (-18) = - 12. Ј ед щкост ј е проверена. Л ева страна је: (~З)·

Знак

1(- 2)

+ 61

када то нс Пр allИ забуну изоастављамо, Н3 Гlример у;чссто

".",

2.

а I IIШ.Ј СМО 2а IIЛII

уместо (ј·и l l11 l11 СМО nь. у раду са целим бројСlIIlма за држ ан (\м о нра\!l1ЈЮ п о коме је множење рад ња 1I111 1 1 С Г реда ("СТ'IРllј а ") од сабl1ра ња 11 одузимаЊ<1. Зато уместо (а . Ь)

+

с Пllш емо а .

iJ +

С. ДРУ ПI М

РС'IИМ<1, <1КО нема зат р~ща, Прll I l зра' [РlаlJа ll, У вреД l lOСТlI израза прво ВРШ I-I МQ Мllожења, а

ПОТОМ сабир ањ а или ОltУЗl1мања .

Пример4

I1зра'IУllај BpegHOC!Тi mраза

(-2) ' (-3) - 5· (-2).

ПР IЮ ра'l ун амо прOi I З IЮДС

(-2)' (-3) = 6 и

Il з раза ј е

6 - (- 10 ) = 16.

Пример

5

s· (-2) = -]0, а затим

11Х ОДУЗlIмамо. ВреД IЮСl'

YjjeplI се ga је:

(-3)· (-2) + (-3) · (+3) = (- 3) ·1(-2) + И з раз lIа левој страни ј ед нак ј с

(- 3)' (+1)

+6 + (-9) = -3.

= -3. Т име ; ejeAI I ;lKOCТ п ро верена.

( +3)Ј.

И з раз Н;I ДСClюј страНII

jeAll aK је

На основу наВСДСIllЈХ при ме ра уочавамо да за множењс целих бројсва взже за"OII11: (I·Ь = Ь·а (ј' (Ь· с)

(/ . (Ь а·

1

=

+ с)

KOMyгaЦl IJa

(а

. Ь) .

= (/ .

с

+ 11

ь

аСОЦIIЈ·ЩIIЈа

•С

дистрибуција у односу н а сабllрање

=а

множењс јСДIIНИЦОМ

а'О = О

множеl l ,(' I I УЛОМ .

Из Ha'IIIHa на који смо дефИНИСали МllQжсње цел и х б ројс ва следе важ ни заКЉУЧIJ,lI. Ако је бар је9а1l О во следи

09 чиНIIЛ(lЦtl је!ЈlIак

f\lt pCKTHO

"ула, ирОll3БО9 је jegHaK /јула.

из дефИ lllщије множеЊ
Ако је UрОЮ6О9 14еЛIIХ бројева jeglltlK нули, 01l9а је бар јева" 09 flllllllЛ1II4а je!]lIaK "УЛlI. Нека је а а

11 h

.

Ь

= О. Ако Iшј еД
IЈСТОI" знака) или неГilпшан ( ако су а

11 Ь

раЗЩI'ШТОГ з н ака). Даклс, бар једа" од ТIIХ

бројева једн ак је н ули.

ЋII<ође, I:Iреди: tlКО је uроиЗдО!Ј !Јд" цела броја U03f1i7lu8aH број,

m" бројеви су "стос 311ака;

ако је uроизвО!Ј !Јва цеЛ(l број(l ш!lаtnив(lll број, ти бројеви су РtlЗЛlltшщоl знака. Да

6"

се у ово уверио ДOl:юљно је да ПРlIмеТltш да нијсдан од 'Iиннлаца не можс

нак НУЛI1 (зашто?)

Пример

Ha1i1l

11

611"1'11

јед­

п р lt меll ИШ наведене закључке.

6

целе бројеве х за које важи: (х -

2 ) . (3

+ х)

= О.

Како је производ једнак нули ако је некн од фактора једнак lIулlt It само тада, мора 61tТ lI: х

Реше ње IlplJe једначине је

@I

2,

- 2 =О

а друге

- 3.

или

па је

3 +х

{2, -31

= О.

скуп CBIIX решења

.

Контролна питања Како се ogpe~yje nрОU3боg неfmUllБНOI цело' броја и прирОВНОI броја? Како се ogpe~yje йроuзвоg gB{/ l/еiаt7.11lбна 14ела броја? Који Јнак има apoU3Bog 90(/ l~ела броја? Колика је (/(1солутllа

opegliocm (1pOU3Boga 90а цела броја?

Ако у uзразу KOjU нема Jarpage имамо с(/бllрmь с 11 МI/ОЖСЊС, која се раgња прво 1IJ8РII/(/ВrI? Који заКО1ll1 8(Јже за множеlЬС цеЛI/Х бројева?

Kaga је йроюооg goa l~ела броја jegНC1K нули?

•

Задаци 1. И З Рil 'IУЩI; I!РС)ЏЮСТ Н : (-2)' 3; 3 · (-4); (-5)' (- 6).

2.

И зра'I У llа; I!РСДIЮCf израза: -4х

3<1

х Е

10, 1, -1, -3}.

3. ИЗР
5.

6.

+ (-3)' (-2)

И зра ч у на;

5· (-4) + (-4)' 3

Изра >Ј унај

2 . (-3) + (- 3

користе lll' закон днс-гр "Б У I { lIјс.

користећи зако н КОМУПll.l.ијс и ДlI стрlIG У Цllјс.

2)' 5

користећи законе комутщнје, асо ц ијације

11

ДII­

стрибуције.

7.

Гlр" l мењују llll за коне М llо жс ња и зраЧУ l l ај:

, ) (- 3)' 4

+ (-3)' (-2) - 2· (-3) + (-6) · 2;

3.'<11< <. > ,~, - 6 . О ~ О;

8. СТ<1Ш [ а)

~ ЩlН

б) 3х- 5х+ 2х; о) -4а

-

3а

+ 7а.

= уместо ~ да се добије Ћ\'llIа рсл.щиј'l:

6)-5·4-0; 8) 7 . (-8) - 7; ,.) (-7)· ( - 8)' (-8); д)

9. 10.

-7· (-7) - о.

НаПlIШl1 као про и з вод зб ир: а) х

+ х + х; 6)

-х -х

-

х; 'Ј) 2х

+ 2х + 3х; 1')

3х

Изра', у нај :

+ 2 + х + 2 + х + 2, ако је х = -3; + 2tl- 3а,акојеа = - 4; /Ј - I + /Ј - 1, ако је Ь = 8.

а} х

6) В)

-а

11 . Иep'''y'' 'i' 3· (-2) - (-5) · 7 + (-3) ' (-4). 12. И з ра
+ (-3)

. (-4).

13. Њ р" 'у " аi' , ) (2 - 6)· (4 -7); 6) (-2)' 5 + (3 - 4)' (5 - 7). 14. Изра' l уmlј : а ) ;.(1-, а ко је х = О; б) х = -3. 15. И з ра'I У I'lај: УЈ ако је у = (3 -5)(2 -3).

16. И з ра'l у "ај: -48· 15. -4 · 5; (_5)2. 17. Реши ј СД ll а
+ 1) = О;

18. ДокаЖ I1 да ј е за сва ЮI цео б рој а, а! = а· а 2': О.

В)

(2 - х), (х+ 5)

=О.

-

2х

-

х.

19.

ДокаЖII IJ раUll л а: а ) ако је а

.Ь>

О, он да је

(а> О и Ь > О)

IIЛИ

(п

<О

11 Ь

(о

<О

1I Ь > О)

< О)

оБР liУI'U;

11

б) ако ј е: (ј'Ь< О , О l ща Је

«(1 > о 20. Hal)11

21.

< О)

и Ь

11)11 1

оБ Р tl yrо.

11

с не целе бројеис х за које Ilажи:

<1)

(-3)х

> О; 6)

5х

У п отреби законс множе ња за упр о шћа вањс н з ра:ы : а ) В ) (-2х)' (- 4у);

,.)

Нађll I IјЮ l1 З ВОД СВIIX I\ СI IИ Х број сва од ] до

23.

ОслоБОД1 1 се З;II' раllа у II з разу - а

24. У П РОСТl1 Il зр а зе: а) 5 а - ба 23х- 1 3

IЈ) 4(-х)

> О.

(-2)' n· (- 3);

б)

-3 · «(1 - 2);

- 6х · (-3х) .

22.

")

< О;

+ 40 + 4х;д)

-ба

- 5.

. (3Ь - 4 с).

+ 2(1 + 5n -

- 4х - ] 2х; В) ]0(1 + - S(-2x+ 4) + 3(7 - 3х).

]Оа; 6) - 9х -8х х+

25.

И з ра ч у на; вредност 11 зра за: 4х

- 2n +

26.

И :i ра'l у "ај uредш)(,:т Il з ра за: 2х

-

[-х

4;

ђ)

бх

-

3а

+ (3х -

+ 4 а за х = - 15

I

5х) за х

27. И зра ' I У l l ај ц реДlIOСТ II з раза: [(а - Ь) - (3 Ь - 2а )] - l а 28.

И зра'lунај »рСД I ЮСТ IIз р а:ia : -3а

29.

И з ра'l Уlщј вред ност и зраза:

-

и

{1

Ь

- 7(1 - 3[,;

= 3.

= - 3. (ь -

tI )1

за

(1 = -3, Ь = - 2.

+ (-1) (13<1 {/ = - 100,

- 2(1 + 3Ь + 5(1 -

7Ь за

{/ = - 3,

Ь

= -5.

3.2. Дељеље целих бројева у CI,у"у IIрИрОДllll Х број е ва операција дсљења је имала СМ I1 С:Ю одређИП<111,<1 једнО!' ,,'11\11110-

ца", к:ща је [10 3 113'1' Д Р У П I Ч 11 1111Ј1<1Ц И ЊНХ О В ЈlРОI1 3ВОД. Так о је

6: 3

= 2, јср ј е 6 = 2·3 ,

П О " СТОМ IlР<1I1И )I У деф lf lll Шl ем о и дељсње у ску п у ItСЈI1t Х бројеllа. Тако до6 l1јамо:

(-6) , 3=-2, је р је

(-2)' 3 = -6.

T'Kol,eje 6, ( - 2) = -3 " (-6) , (-3) = 2, .60" (-2) ' (-3) = 6" 2· (-3) = -6. УО ПШ ТСI I О:

КОЛIl'IIII1К l~еЛОf броја а и I~елоi броја Ь раЗЛIl·шmОf

og "уде је број с maKl16 ga је" = Ь . с.

П I·јШСМО:

с=а:Ь

ИJlII

а

с

=- . 1,

Као што КОJlИ'l l l ltк Дба Л р~l рОДll а броја није увек ПрlfрОД<1 Н б рој. так о

111I К ОЛ НЧIfIl К два це1l а

броја Нllје увек цео број, На пр "мер. 5 : (-2) Нllј е цео б рој, ј ер lIе ПОС1'ој" цео број х т.\кав

да је 5 = ( - 2)х. Ако 611 такав број постојао, било 611 И

151 =1-211 х 1. одаКJlе бисмо заКЉУ'IIIЛlI

да је 1х 1= 5, ШТО Ilије могуће, јер би 1xl био цео број, а ~ то Iщје. 2

2

Ако је КОJlИ'l lНtК цеЛI1Х бројеuа а It Ь. Ь::l: О цео б рој. к ажемо да је Ь gел//Лац броја а 11 Пllшемо

&10. РаЭМОТРIIМО сада проблем изра 'lУllапања КОJlИ ' lНlIка е Ifре'ТТlOставком ЈЏI је с Е

= (/ : Ь дна

цела броја tI 11 Ь. Ь -:1- О п од

Z.

Иза = uсслеДlllаl = Ibllel. најс lel=l lIl. ДаК1Iе: 11, 1

аUсолуiUuа ореУllОСIfl

1(01l1l'IIIIIKa 90а Itела броја јеунака је 1(0ЛlI"''''Ку IIЈ1IХО6/IХ аuеолуm­

IIIlX opcgllocmll. Користе l'! Н I"I pal~ ltJla за знак прои з вода мож е се за КЉУЧ ИТII : ЈllaК КОЛlI'/IIlIка

tI :

Ь је {јлус "ко су бројеВII а 11 Ь исто' ЈШIIUl, (/ MlmyC lIКО су 01/11 суnрmllltо'

ЈIЩКlI ,

ПОСЛСДIbИ закљу 'щ и, омогућа вају да КОЛlI'I НИ К израчунавамо одређlшањем љегове а псо­ лутн е ореД IЮСТ II

ПР Јtмер

11

з нака .

1

Kopl/cmeh" IIJвеуеllе закључке, оуреуи КОЛIlЧНllке (- 12) : (- 4)

КОJlИЧНIIК

(-12) : (-4)

Сл llЧН О,

10: (-2)

Пример

2

КОЛl/КО је О

3601' О

/1

10 : (-2).

има зна к + и апсолугну вредност једнаку ]2, IIa је једнак +3,

"ма Зllак

-

11 апсолутну вр("дност

10: 2,

4 те ИЗIIОСИ

- 5,

: (-2).

= (-2) . О КОЛИ'lIiIIК О : (-2) ј ед нак ј е н ули ,

Важи : КОЛU'IIШI( lIуле IIIЏ'ЛОf броја раЗЛII'lJItllОl

09 нуле је9"ак је "УЛI'.

Да 6 11 СМО из6е l'ЛИ писање преll Jtw е заг рада, када [ III Ш(".\IО сложе llllј е It з разе "рllДржаоамо ДО I'О lюра да су о п ерације М llожења

операција сабl!рања HocтaIHIO а

Пример

+Ь

" ОДУЗ lI мања . : с - (1 . е.

11

И зраз је једнак

- 2 - 1 . (-3)

даље се

дељења IIltшсг реда ("старије") од

На пример, уместо израза а

3

Изра'[унај nРСД l lOСТ И израза:

I[

+ (-10 ): (+2) -

- 2 - (-3) + (-5) -3= -2 +3- 5 - 3 = -7,

3,

+ (IJ : е) -

(d· е) , Пllшемо јед­

Контролна питања Ш та је КОЛII'IНI/К IICJIIIX бројева? Кmm се заUllсујс KQ!lI/'fllll/( целих бројева? Да /111 је КОЈ/II'!I-/II1( ЦСЛI/Х бројеоа уоск цео број?

Кmшв знак uм.n 1<0/1 11 '/11111( ум ,!сла броја? КОЛll1Ш је аI1СОЛУШI/{I 0PC9110CiТI КОЛII'lll/.l ка goa I! СЖI броја?

Kojn је pagIIJu

fi

"старија " уељ сњс IlЛII са6uрmь с?

Задаци Ј.

2.

Њрачу"ај ,

24, (- 8); (-20), (- 5); (-30 ) , 6;

( - Ј5), ( - з).

И з раЧУ'lзј:

2 - 6, (-2) + (- ЈО ) : 5; ( 13 - 4) , (-9) + 8, (-2);

(-2) , (- Ј) - 3: (- Ј ); (8 - Ј 2 ) , (- З - Ј ) + (-2)(-6) , (-4 ).

3.

Да ЛII је

ОбраЗJlОЖИ!

4.

06јаши зашто у с купу

5.

Да ли је број

6.

06разложи зашто је О

7.

У по реДII

8.

Изра ·,унај а )

9.

И зра' l унај:

10.

- 13

деЉIШО са

- 20

- 4?

Z

I lI1 ј (" МО I " ућа деоба: а)

деЈЫШ са: а)

-5;

: (- 3) =

б)

- 4 са 3; 6) - 23

са

4?

О.

(-24 ) : 611 35: (-7). (48 - 57 ) ,9; 6 )

[ Ј5

-

( -З )

. (+4 ) [ : (- 9).

(] - 2 . 5) : (6 - 9) .

Изра
(-6) , (-2 ) +

З·

(-2);

6) (-9) · [( -6) , З [ ; .. ) -2 + [З· (-4) [ , (-2) ; ,., -3· (-4) + 5 - Ј5, (-3); д)

7 · (-2 ) + 27 , (6 - 9 ).

11.

Изра'Ј УН:lј

12.

Изра ' lунај вредност ~I з раза

13.

И З Р;} 'I у нај вредно ст tl з раза (2х

-4· (- 5) - (- 30): 6. Sa -

3Ь: с за

{/

= - 2, Ь = - 5 ~j

+ 3х) : х ако је х = - 30.

( =

-3.

- 4.

14.

Изра'I Уllilј (5х

15,

Изра'lУl l ај вредн ост изра за - 2а: и

16.

ЗаllЈТО IIЗ

17.

ЗаlllТО из

а

/,

- 3х): (- 2 ) ако јех = - 134,

+

(- и ): а,

=О, следи (/ =о 1I Ь "# О, и обраТIIО?

а

- > о , СЛСДII Ь

да су а и Ь НСТOl" знака 11 обратно?

18. За које цслс l~реДIIОСТИ х су lЋ 'IIIС једнаКОСI'Н: а ) х = 19.

ЗаПIЩ,IИ број

25

r; 6) х =:(3,

као ПрОИ З IIОД два једна ка 'IИIIIIOIЏl . Колико

IIMa

рсшсња?

4. ТРОУГАО п одударност, к онструк ц ије. з на чајне тачке

4.1. Подударност троуглова у II Ретходно м Р'I ЗРСДу смо У'LИЛJl О осној СlIметрији. ФИ I' ура 11 II>С llа СЛ lIка д06 1 1јена ПРII ­ МСIIОМ ОС Н С Cl l Meт pHjc могу се довести ( на "ример , прссаuијањем ЩН1l l ра по ОС II СlIметРII ­ је ) до IЮКJl:НI:.ња. њ.

CJIIII1,II ]

М јВ, с ,

ПРИК
којll се ПР"М СНОМ симе­

т риј е у од но су

1101 праву I1реко" IlpaBe р )

р ("пре ­

КЛ
МО I'У до -

A~______~________- ,

веСТII до л оклit l'l it Њ
Ако се је9иа

feOAfemp"jcKa фJlfура Kpemalbl!M (ареIlОlllељем), ар" којем се lIе Melblljy међусобuа раСr7lојШЫl mtl·ItIKa lIа ФШУРII, 90може

,,

u

,

С,

{Јест" уо меlЈусобllОl QОКЛ(/ПtlНЈtI с

gpyfOJlf

(еомеmРllјском

В,

,

"

фшуром,

кажемо !Ј" су те фfl1уре Rogygtl-

Сл llк а

рm!.

1

Дакле, Т РО У I'ЈIOВI1 Аве 11 А ,В , С. су подударни .

ff'

Пример

I

На СЛIЩlf

2

ј е представљено неколико

ТРОУ"ЈIO IЈа, Прекопн рај ове троуглове. п а УТUРДИ да

11 11

се неК II од IbИХ могу довести

до Mcl)ycOG tlOl' rIOК1I:l п ања? ( Да ли су по­

дудаР·НI?)

Ст l КОЈ 2

ТРОУ"З0 Ав е је 1J0дудараll са троyrлом

01 ... 0

MNP,

У ОЗIl3ЦII:

се троу,'ао Аве lIeКl1J1" IIреНОШСlbем може довеСУl1 до поклаlЈаљз са троуrлом

IIРIl 'Iему Т3'1ка А IIрел3ЗII У та'lКУ М, та'lка В У тачку

N

11"3'1К3 е У та'IКУ Р,

MNP,

Самим ']'Io.м

се

покла" l ају одговарајуllС

странице

11 О/џ'ОIЈарајуllИ yrJIOBI1, па важи: ЛВ = MN, I~e = NP, СА = РМ 11 LСЛВ = LPMN, LAIJC = LMNI', LBCA = LNPM

р

Да 611СМО н з6С I'ЈI И недоум ице при одре­ ђ!lва l ЬУ ОЮ'Оllарајуl111Х елемената (сгра­

м

HIIL~a, УI') I00а) подуда р"и х троуглова, 06е­ лежащlМО ОДl'ооарајуhа темена истим ре­

А

"

ДОСЈl едом.

СЛlI ка

Пример

Да Л/l

3

2

0/ mРОУТЛО6U дАве 11 6.KLM

nриказаН/I 'Ia СЛlЩU 4, (/ogygapHII?

О ,т ТРОУГJlОIJИ lIе МОI'У 61IТИ llOдударllll. 1'а0

IIPY" OI'

же

СС

TPOYl'Jta

llOКЈlОlIIlПI

у-

TYII

IIС мо­ ltи

са

једним уl'Jlом ['РВОl' трО­

у"ла ,н.ји су сои УI'ЛООII

1,

OWTpll.

м

1,

" CJlIIK:1 4

Пример

3

к

Да Л/I су mРОУТЛО811 дАве 11 6.KLM nри­ казанu на СЛIЩII

5, UQgygap"lI?

ОВИ ТРОУ " Л01НI имају јСДllакс

pajyhc

м л

OAI'OBa-

(УГJlО IЈИ сп параЛСJlНИМ кра lЈ, И ­

ма) У I 'ЈЮ lJе, али н ису IЮДУДnРII И, је р им од['о ва рајуће страlНЩС . , иеу ј ед ­ l' аКС,

" Сл ика

Даклс, заКЉУ' IИЛИ смо да подударни троyrЛОВI1 имају једнаке стра ll~ЩС

11

у,';ювс. Занимљиво је lIитање да ли IЈажи 11 обрнуто,

варајућllХ стр;Нlllца

1I jeAllaKoCfIl oAl'onapajytlllx

O)JJ'OBapnjyhe елементе Да ЈН1 113 једнакости одго­

углова след !! rюдуда рllоет ТРОУГЛOlЈа?

ОДГOlюр је Iютордаll, I'IРИ томе је довољна једнакост lIека трн пара

1101'1'01,

О СIlСМС'lПIма

.13

oJtroBapajyhltx елсмсI'OIIOPLI у

'Iиј е једнакости ПРОLlзилаЗL! подударlЮCf ТРОУГЛОIЈа се

rrраllll л ltма о подудар110СТlt,

5

с

м Задаци На СЈН1Щ1

1.

У[Ж1,

6

JlреДСТ<1l:1љеН<1 с у ДI:I(! тро ­

које

3<1

в ажи

ОБСЈЮf(11 троугао

На СJl Н Ц 11

2.

7

М ВС

ДРQN..

==

А

PQn,

Слика б

II редсТ
s

ни ТРОУ["ЛО!ЈИ. З<Н1IIШJl ту подударност

КОРI1Стеliи ОЗ Н
р

в

=:. т р

А

С,

с

NE-S ::

l\-ТйЕ

Слика

\.. 65"

3.

ТРОУ1'iЮlllt Аве и А Ј В 1С 1 су подударни .

Према сли ци в

Л,

ДО JlУНИ [[разна места: ,

,

'у

=~ '

)

СЈ IИК
На слици

4.

8,

4_ ,LA]H ICI А 1 С I= _

В,

7

9

представљени су поцудар-

А

D

1-111 троугло ви АВС и ОСЕ . Заокружи слово испред тачн их Ј е дна кости

.,i!)

.

ЛВ

== ОС; (б) ВО == АС в)ВО = ВС;

с

(?) LABC == LDCB; д)

LABC ~ LDBC.

\. 5.

м

] 10"

2

Нека је МВЕ

== ДВЛМ . Према сли ци 10,

до пуни празна места:

BE =~; 40"

А

3 Е

Сликз1 0 ~

В

ВЛ1 ~~;

LВЛМ =~; LЛЕВ~ ~.

Слика 9

4.2. Прво и друто правило о подударности троyrлова СIJ
Mfl смо се

у то у верили кад смо од три дате дужи састављали троутао. Сто ,"а важи прво правило о подударности троyrлова.

Ако су све mр" сmрашще јеУ1l0( mроуfла јеУ1lаке оgfОбllрајуtillМ сmраlllщама

gpyfol

mроуlла, тау" су illll mpoyfJfOfJU поуууарНJI (сл. 11).

с

с

"

л

Л'

Сл и к а 11

Ово правило ""Зllва се кратко ССС (СШР"I/uца-сmранuца-сmрmшца) .

Пример

1

с

Нека је К АВС (сл.

cpeglllume 12). Taga

ОСНО8tще АВ

jegHaKoKpaKoI

mроуrла

је права СК нормална на араву АВ.

ДокаЖII.

УО'ШМQ АЛке и

АК

=

t18KC. Како је

ВК. Такође је СК

Зна' I И,

=

К средиште дужи ЛВ важи А

ск

к

све странице АЛке једнаке су ОДI"О lщра;ућим

страНИ I Џ1 МU МКС, П'" су. по пра lЩJlУ ССС ОВ И "'"рОУГЛО8И

подударни . Из Њl l ХОnС подударности следи да су им наки, па је

L.AKC = LBKC.

" C1I1II
QArOBapajyIllt У1'ЈЈОВИ јед-

Ови УГJlQ8И суупоредни и једнаки, па су Ilрани. Следи, права СК

је нормална на праву ЛВ, што је и требало доказати.

Пример

2

с

Нека су mетllве АВ 1I

CD

кажи уа су У(1I0811 ЛОВ 11

кру,а

K(O,r) јеунаке

(СЛ,

/3),

в

До­

COD јсgllа/Ш,

= CD, ОЛ = ОВ = ОС = OD, АВО It CDO су лодудаРНI1, Из

D

ВаЖlt АВ

па према ССС тро­

УГЛОВ II

подуда рности ових

А

ТРОУ" ЈЈО на "' СДIt да су ЊИХОНI1 одгова рајући углови једна ­ Кlј, Сто,'а јс LЛОВ

= LCOD. СJllIка

]3

ДРУГО ПРАВИЛО О ПОДУДАРНОcrи ТРОУГЛОВА

Лко 96(1 mроуfЛ(l 14M(ljy јСУllаке ао уос оутооuрајуliе сшранrtЦе " ,ыта захоаliснс у/лове (УlЛООС uзмеђу тих СUlраllю~а), mауа су ШII tuроуlЛО611 аоуууар"и .

За МВС и м,н,С, З llамо да је

АВ

= А,В"

АС

(сл.

LB,A,C,

= А,С,

14),

11

LBAC = с

По стојl1 кретање

кој им сс угао ВАС доводи )\0 110-

клапаља са угnом В,А,С,. Тада

l'le се

Л,

та'lка В ПОКЛОПИ1'И са Т3'IКОМ В" а

та'lка С са С,. 3 '1 01'11 1, ПО ЮlO llиће се сва одговарајућа

TCMCI ,a

o ,НlX тро ­

I!,

"

А

углова па ће се ТРОУГJlОВИ 'ЮЮIO­

Слика

ПИТИ. ОДНОСIIО ОIIИ су подудар ни,

14

Ово прав"ло 'l(Jзuва се крашко СУС (сшраНlIца-уlао-сmрmшца),

Пример

3

УШорgLl који

С,

09 mpoylJloea Йрllка­ 15 су йоуууарнu,

с

заllllХ "а СЛIН~и

Подударни

су троуглови

Аве

и

А,8,С"

Tpoyrao A zB2Cz није Ibима I"IОДУ­ дараll, јер угао одређен страницама дужине

4 и 8 није 60",

4 300 л

~

4 650

8

8

А, В

В,

В,

Сл ll ка

15

Пример

,

4

Свака mа"К" CIIмеmрале gУЖll jegHaKo је ygaљella

м

og Kpajlbux

iПачака gУЖII. ДОКnЖlI.

Од прошлс године знамо да је симетрала дужи АВ IIрава која садржи средиште (сл.

s

те дужи и нормална је иа њу

N

16).

л

11

N

Нека је М произвољна тачка симетралс дужи ЛВ. Уочимо

MNM 1I11BNM. MN = MN MNM :: 118NM.

Важи да је

Слика

NA = NB, LANM = LBNM = 900,

зајСДllltчка

страница,

па

по

правltJlу

СУС

слеДII

да

16

је

=ВМ. Да ЛII она једнакост завltси од положаја та'lке м? НараВlЮ да IIС! А да ли ваЖl1 ако је М = М Да, јср јс AN = NB.

Прим ер

ИЗ подударноС1' И ОВИХ троуглова следи да је АМ

5

Нека gУЖII АВ 11 СО щ.щју зајеgmlЧКО среguU/спс

S.

"...-_

ДОКnЖll!Ја је АС = ВО и АС11ВО (сл. 17). ТРОУГЛОНII

ASC 11 BSD су подударни по правилу СУС (AS = BS, CS = DS, LASC = LBSD као унаКРСIIИ). Отуда следи АС = ВО It LCAS :: LDBS. Стога јс и АС11ВО (LCAS 11 LDBS имају паралелне краке ) .

~ Контролна питања К(/9(/ су ива m/юуlЛ(/ пrЩУ!Јарuа? Како 1Ш/('/1 прво ЙР/lб l/ЛО о Како 1л(/си

aogygapllocmtl mроуiЛОба?

gpylo nР(/(Н/ЛО О nogygapllocmll mроуlЛОБU ?

л

_

_ _ _ _= - 11

~ с

Слика

17

м Задаци 1. Да ли су неки Ol( троуглова ПрИК<1заних на С)1ИЦИ 18 подударни?

,)

В)

6)

4/\4

~

4

4

4 Слика

]8

2. Странице М8С су а == 6 СIП, Ь == 7 ст, с:::: 8 сrп . За М]В]С] је познато ll ] == 6 сtп, И1 == 0,7 dш и обим 21 ст. Да }IИ су ОВИ троуглови подударни~ 3. СтраЈ lицеААВС су а == Ь == 7 СIП, с = 4 пп. За APQR важи : р == 7 ст, г = 4 ст, LQPR == LPQK За ASTU важн: s :::: 7 сtп, 1I == 4 СП1, L.STU == L.SUT Који ОД ових TPO)'I"J!Ol3a су 1l0ДУ­ fЩРIIИ?

4.

Нека је АВ т стива круга

K(O,r).

Ако је Т<1'1ка

средиште тетиве АВ, тада је права

S

OS

нормална на прану ЛВ. Докажи.

5.

Нека су K(O,r) и K1 (S,r) кругови јед ­ lIаких полупре'IНИКЈ. Нека је ЛВ

с

тетива круга К, а СО те-тива круга К 1 тако да је

L AOB :::: LCSD. Докажи

да

л\----'7

ј еАВ = со.

6.

На

слици

АС

6)

7.

== ЛD.

LЛСВ

19

је

LВЛС

Докажи да је:

<1)

== LBAD, == ВО;

D

ВС

Слика

= LЛI)В ; в)LЛВС = <"АВО.

В)

9.

LMDA

N јс срсдиште страни ­ DM = DN; 6)LAMD = LCND;

= LNOC

Нека су М 11

N

Докажи да је

M8N:= АВСМ.

Ако су д АВО:=

средишта страница редом АН и НС јСДllакостраничног троугла АВС

11

Затим дu к ажи да је

AN :=

СМ .

СОВ, тада су странице АВ и СО, О~ИХ троугловз llаР3ЛСЛЈ1С, 01\llOСllO

ЛD 11 ВС су такође пзралелпе (сл.

20).

Докажи.

10.

19

Нека је АВСЈ) квадрат . Тачка М је средиште странице АН, Т
цС ВС Нацртај Одl'оварајућу слику, па до к аж и 1«1 је: а)

8.

в

с

L.ЛВD :=

20 је АВ = СО, L.C/JB. До кажи

,) LlЛВО " дСDIJ; б) B)LBAO = <" ОСВ.

АО

С

D

На слици

да је:

= СВ;

/S/

А

в

А

Слика

20

4.3. Треће и четврто правило о подударности троуглова ТРЕЋЕ ПРАВИЛО О ПОДУДАРНОСТ И ТРОУГЛОВА

Ако ум mроуrЛ(l су

JtMujy je9"al\Y йо је!]"у страницу "',. mроуlЛО81l liogygap"ll.

11 jeglluKe IЩ

1bIlMtl шmеfле уlлове. iТiaya

Н е ка 3;1 трОУГЛ ОВt' Аве н А.В,С. ваЖl 1

АВ

=

А.В. rel="nofollow"> LA

= LA .• L B = LB] ( сл. 21 ).

с

С,

Пренесемо МВ С тако да АВ пређе у

г--__._

А.В .• L A У LЛ .• " LB У L 13 .. Тада hCTa 'I Ka С преllи

у тачк у

С •. )Ј,аЮ I С, дАве је

п реМС Ш Т/.:1 1 на М , В,С,. на су ОIlИ п оду­ ;ЩРН Н.

000

арtlбllЛО uаЗIlОU

се

кратко

УСУ СЮIl( а 2 ]

(Уl(lо-сmра" 11 J4a-ylao ).

Пример

1

=8 сm, LCAB = 600. LABC = 400. за М/В/С ј важи: А / ВЈ =8 сщ LC,A/ 8 , = 600, LЛЈВ/С, = 800, За М 2 ВЈ С] важи: А]В ] = 8 С11l, LC~lBl =600, LЛ 2 С2 В 2 = 800, За дАве бажи: АВ

Који

09

ових i1lроуlлова су

Пример

(logygaplIlI?

2

у

Свака mа'IIШ C(~ С/lм еmралс уТла је на jegHaKIIM ра сmо­ јаЊtlма

09

у

,

кр(/кова тот у'ла. м

У IIРСТХОДIIОМ разреду наУ'IИЛlt смо да је симетрала угла хОу права S која садржи теме О и полови угао .<Оу (сл.

22).

о

х

Н ека је М ПРОИЗnОЉIЈа та'lка симетрале yrла хОу и

СЛ lIка

нека су Х 11 У ПОдllожја Iю р мала на ~paKOBe. Уо'шмо

ilOMX LXOY.

11

ilOMY.

Важи да је

LOXM = LOYM = 900, LMOX = LMOY = 1/2 = LYMO, ОМ = ОМ - зај еДНlt'lка ст ран ица, па

а самим ти м и LXМO

УСУ СJlеди да је ilМOX.= ilМOY. И з подударности му, што је

11

требало доказатlt.

OIIlJX

х

22

по п ра в илу

т роуглова заКЉУ 'l ује се да је МХ

=

Н,

JLуж '1нје су крајње тачке средишта две странице

1'РОУI'Л;) lIаЗll8а се среgUШI/(l gуж (среуња Лlllшја) mРОУiЛ(l,

C PCJlI !II" t~ дуж

uш к а

Пример

3

1'а'IК(I Л,је среgtlшшеСiПраНUI~е ВС шроуlла АВС Праве р 11

ва р ааралеJl'/а са АВ и се'/е АС у В,. а права '/а са АС и сече ЛВ у с,

(CJI, 24), Докажu 9а

q саgрже та'l",), Л, тако 9а је пра ­

q је аараJlел-

су тачке

8,11

л

С, сре9Иlllmtl страница ЛС, 09110СIIО АБ, Важи ВА,

:::: А.С, LC.BA 1 :::: LB.A.C, LC.A.B :::: LB,CA.

(yrлови са паралелним крацима), па по праuилу УСУ следи LlВA.C.

=:

А,С. :::: СВ, и ВС, Ю1'1ка

23

дА.СВ"

11,

С,

"

Из ове подударности следи

=Л,В., УО',имодаје В.С, =С,В. (зајед~ LA.B,C, = LЛС,В,. LЛ,С.В. =

стравица),

с

11

LЛВ.С, (УГЛОRИ са паралелним крацима),

Сл ltка

ПО правилу УСУ је дА,В,С, =:дАС 1 В., па следи АС,

24

:::: АјВ, ,АВ, = А,С" Дакле. А,в. ВС, и А.В] = АС., То значи даје ВС. АС" односно да је С 1 средиште страшще АС На исти начин, А.С. = СВ, и А.С. АВ., па је АВ 1 :::: СВ]' односно В. ј е

=

=

=

средиште страllJще лс ДУЖII А]В., В.С] , С.А, су средиш не дужи троугла АВс.

Из г'реТХОДIЮI' разматрањ
краЈја 09 ,ье.

Прнмер4

ИзмеРlIlIШРIIНУ реке ако је IIt:MofylJe уођ"

90 9Pyfe 06(ме, Расl10лажсмо Сl1равом за мереlье

уIлова

и

јllраком

за

мерење

С,

gУЖlIне,

Уочи на другој обали неЮI оријентир С

-

"

истаКIIУТlt објекат (нпр , дрво). Нека је

тачка А В3 првој обали наспрам оријен­

тира С Иза6еРlt l'ачку

8

Измери растојање АВ 11

на IIрвој обали,

LA8C Затим LABC1 =

rюБОДII штап С, тако да је

с

LABC н да су тачке е, А 11 С, 113 једној rlpaBoj. Ширина реке је једнака АС, (а то можеш измерити), јер су ТРОУГЈ10IJИ Аве и Аве" (АВ

СЛI ' к а према УСУ, 1l0дударШI

=ЛВ, LВAC = LBAC1 као прави углови, LABC = LAВC,

по конструкциј't).

25

До сада н.шсдеllа правила о подударНОСI"И троуглова ocтaВJwjy отnорено Пl пањс да )1II I I ;Ј.вање две сграшще и Ако је П03ЩI Т

26 !ЈС

YI'ilO

ВIIДИ се Пр lt щ'р

YI'JIOl

1103-

наспрам једн е од љ и х у ПОТП У Н ОСПI од ређује троугао,

I I ;]спрам Kpal\c ОД

(lJC < АВ), I'AC

TI1X страница,

троугао Нlф' IЮТ IIУ I IO одређен . На СЛIЩII

"роуглови АВС И Ане. им;]ју по

AUC

СТР.НIИЦС једнаке АВ

11

= ВС 1 И :i
нису

IIO)tYltaP II H. С, С

л:L--'---------=~" Сл ll к а

26

ЧЕТВРТО ПРАВИЛО О ПОДУДАРНОСТИ ТРОУГЛОВА

Ако су уве сmР(lIIице

u у(ао

наспрам ууже оу

lIJIlX јеу"о[

шроуlла

jegHtlKU ogfooapajyliuM

сmраllицама 11 уfлу УРУ/О' mроуlла, шауа су 0811 i'llроуrЛО8U аоуууарнu.

000

ираОllllО lIазива и кратко

ССУ (cmpaIlUI(a-сmранul(U-уfаО). С

л~ С, А

", Сл ик а

Пример

27

5

ДокаЖ!I уа у јеунакокраком mроуlЛу М 8С права која cugрЖll Пlеме А и која је lIормална на ОСI/ООIЩII ВС ЙОЛОВIl ту основицу.

Нека је

N

ПОД l южје нормале

113

основицу ВС кој;]

садржи теме А. Т;]Д;] је

ilABN == MCN 110 пра lНlJlу = АС, AN = AN, LANB = LANC као Ilparlll и стога АВ > AN). Одатле следи BN = CN, ШТО је тре­

ССУ (ЛВ

бало докщt;]"ПI.

BL---------~ N----------~'C

Пример

6

ДокаЖII ga ша'lка М, која aplluaga у/лу

LaOb u која је jegllaKo ygaљella og кра­ кова mот у/л а, apllaaga С/lм еmраЛIl то т у/л а ,

----~------------------~~O м

Н е ка су

N

и Р подножја нормала кој е са ­

држе та
bl\1PO

су

подударни по правилу ССУ због : МО

==

0(/

(сл,

29).

Троyrлови LlМNO и

Ь

MN == МР, LMNO = L MPO као прави стога МО > MN. Отуда сл еди L MON == LMOP,

N Сли к а

МО, и

29

што је и т ребал о док азати.

~ Контролна питања Како [ласи mpelle йравuло о п оgуgарН ОСШll mроуfлова? Како iлаСlI цетвр то праВlIЛО о aogygapHocmu mроуtлова?

Да ЛII је mpoyfllO аоmаУIIО ogperyell (/КО су му Познате [Јв е страНИ/је u У;IIО наспрам j eglle оу IblIX? Да ли су поgуgарНII 9ва mроуrла који имају jegH aKc йо gBa оg;оварајућа Уfл а u страНIIЦУ насйрам

j eguof 09 т их УТllова?

м Задаци 1.

D

Н аСЛИ I (~Ј3 0је L А8С =L DВСиВС = Ес. До к ажи да је АС

2.

= DC.

Да ЛlЈ су подударни ТРОУ I 'ЈIOВИ АВС и

с

А 1 В 1 С 1 ако је:

L BAC = L B1A1C 1 = 600, LABC = L A 1B j C 1 = 350,

ВС = А 1 В 1 3.

= 10

cтn?

Да ли су ПО Ј\У1Џ1РН И ТРОУI'ЈIOВИ АВС И А ј В ј С1

ако

ј е:

LBAC L ABC = LA 1B1C 1 = 400,

4.

= LB 1A 1C 1 = 700, ВС =A 1B 1 = 10 сш?

Да )1 И су I!одударни тр о угл ови АВС и А ј В I С ј ако ј е:

L ABC = LC1A jBj 5.

А L:--_-J--~B

=400, ВС =А ј В 1 = 10 сш?

Слика

LBAC = LAjC1B 1

30

= 750,

Провери да ) I И су и ПО ком прав ил у подударни п р авоyrли ТРОУI 'Л ОВИ АВС и АјВ1 С 1

(LC = LC j = 900)

ако ј е :

а ) А С= А 1 С I , ВС = ВјС 1 ; 6) АС

== A 1 C 1 ,AB == АјВ ] ; в) АС = АјС ј , LlIBC = LA 1B 1C j ,

6.

Про~ери да л и су ј{ по ком правилу подударни једн а кокраки Т РОУ ГЛОRИ АВС и (А С

= В С, AIC I = BI C

j )

AI BIC I

ако је:

== A1B 1, L ABC = LА 1 Б1С 1 ; б) АС = A1C 1> LABC == L A 1B1C 1; в)ВС == B1C j > L A CB == LA 1C1 B 1· а ) АБ

7.

На сл ици

31

о) МВС "

8.

AD

= В С 11 ВЈ) == АС Докажи да је:

Н ек а је М средиште странице АВ јеJ\l 'l акостранич 1-101'

троугла АВС Докажи Д'1 ј е

"СМА

9.

је

MAD; 6) "AD8 = "!ЈСА.

= "СМВ = 900.

Наспрам угла од

се

катета

која

300

је

у Тlра~оу]'јIOМ троуглу 11,шази

Једна к а

rlOЈlOlIИIНI

л

Хllпотенузе.

Докажи.

10.

в

~СЛI-Iка

31

ДокаЖI-l да тачка која ј е једнако удаљена од т ачака А ј{ В припада симетрали д уж и АВ .

4.4.

Основне конструкције троyrлова

Цртање I'еометријске фигуре помоћу шестара н лењира за коју су задаl lИ l1еки елемеl1ТИ, назива се КОl/сmрУКЦllја. При конструкцијама је дозвољено :

а) помоћу лењира КОllструисати праву која је одређена двема тачкама; б) помоћу шестара конструисати кружницу познатог центра и полупречника. Ра ниј е смо наУ' IИJ1l1 конструкције симетрала дужи и углова" конструкциј е неких углова. Конструкција неке Ј'еометријске фигуре у математици изводи се у четири корака: Први корак је тражење пута како доћи до решења на основу датих ПОДатака за

"стварање" тражене фигуре. Ради тога се скицира фИI' ура н на њој УО'Је дати еле­ менти .

Затим следи KO//CmpYКl~uja тако што се, на основу изведених заКЉУ'l
Трећи део је утврђивање да је решење (конструисана фЮ'ура) "жељена" фИ1'ура н да садржи све задате елементе .

Четврти корак обухвата утврђивање постојања решења и броја решења у зависности од односа задатих елемената.

Конструкција ТРОУ I'ла када су задати елементи је специјалан случај задатка конструисаља . Основне конструкције троуrлова одговарају правилима подуда рности троyrлова .

11

Пример

I

КОl/сmРУlIlиII iТlpoyTao Аве

'mjc су сmраН1ЩС АС

1/

АВ јеунаке умпllМ gУЖlfма Ь

1/

С,

(l

LA jeg-

на/( !Ј(Щ10М уfЛу а.

H;tjllpc се КОIIСТРУ~lше угао LрЛq HaY'lI1O еll IIроwле године).

једнак датом углу ех (конструкцију уl'Л3 који је јеДllак

датом

Даље, КОIIСТРУ~IШСМО тачке В Ii С 113 ПОllУПРЩIIМ Ар И Ац, такве да је АВ

= с 11 АС =

Ь, ПРСIIОI.IIСЊСМ одговарају­ hих дуж" (сл.

32).

'/

,

с

/,

ТРОУI',Ю Аве I1М" све елсмс­ II Te ј СД IШ КС зада ПIМ, ПО КО II ­

л L-'------">!с-,,-

СТРУК Цll ји.

/'

Са IЏIТ I IМ елеме нт има КО Н -

СТРУ'
СЛlIка 32

мо" једаli троугао. Стога кажемо да задатак има само једно РС III СIbС, IIЛI-I да је РСIIIСЊС jCA I IIICТBe~lO. ЈаСIЮ је да странице Ь и с 1\10"У бити ПРОll3110ЉНО датих дужина, али угао ех мора 611TI1 маЊII од QпружеНОI'. Троуlао је оуреljе" !Јосма сmраиицама и зnxваfiе'lIlМ

Примср

ylllOM.

2

КОII СIllРУ/l/lI/I

mpoyrao Аве чија је сmрmнща АВ јеунmm

уаmој gУЖfl С, LЛ јеунак уаmом У;/lУ

а, Llj јеу"ак у"том у1Лу fЗ, Ако .1АВ С има елементе једнаке д.атим, теме С је пресек полуправнх АС

са Ilсте cтpalrc праве АВ н са њом Е'раде у r'лове а и

дуж АВ, IЮТОМ ове 11ОЛУl r Р~lIJе и да се њ ихов и м пресеком добltјс С (сл,

KOIICTPYIHUC се дуж

1"

ВС које се налазе

/3, То даје ~щеју да се КQriструнше Ilajr-Ipc 33),

АВ јед н а к а датој дуж н с. П ОТОМ се с Here стра н с п р,шс ЛВ КО II СТРУ" Ш У

п олу п р;ше Лр н Нц та к ве да ј е L BAp

= о: 11 LA Bfl = f3 ( п ре н о ш ењ ем YI'JIO I.I;\ к ао У II ретход­

нам п р и меру), Ако се I lOлуп р.ше Ар

11 В(Ј

П рема

КОllCтрукц иј и ,

троугао АВС Ј1ма ЛВ

LA

=а 11 LB = р.

Овом добија

=

с,

се ку, прссс 'Щ У та 'IКУ ОЗ ll а'l 1l са С.

,

КОlн:трукцијом се ТРОУl'ао

ако

се

полуправс Ар и Вц секу,

Оне се секу ако је з6 11р

а

+

Ј3 маЊII од Оllруже ­

IЮГ угла, Рсшење је тада јеДl l нcrВСIЮ,

Троушо је оуређеll јеуиом сmраllицом и са ува uалеlла уlла,

А

,

R

01ll К <1 33

11

Пример

I

KOHCi11PYIIU/JI mРОујnO АВС 'mје су сmраmще АС

II АВ јеунаке

gaillllM gУЖllма Ь

/1 С, а

LA јеу­

ЩIК уаmом уlлу а

Најпре се КЩlструише угао

L.pAq једнак датом YI"J1Y ех (конструкцију УПI
датом Ilаучио сн прошле године). Даље,

конструишемо та ч ке

В и С Ilа IЮЛУПР.ШI\М Ар И

Aq,

такве да је АВ

=

с 11 АС

=

Ь, преношењем одговарају­ ћнх дужн (сл.

32).

'1

,

с

1·

Троугао Аве има све елеме­ нте једнаке задаТI1М, по кон­

струкцијll.

AL - L - - - - - " t l\ -

/'

о

Са датим елементима КОН-

СЛ lIка

струкцијом смо добlfJl1l "са­

32

мо" један троугао. Стога кажемо да задатак има само једно рсшење, или да је решење јединствено. Јасно је да страllице Ь н с M01'y бити произвољно датих дужина, аЛII У" ао ех мора бити маљн од ОПРУЖСIIОГ.

TpoyfQO је оуређен увеМ(I сmраНlщuма и захваliеllUМ УfЛОМ .

Пример

2

KOlfcmpYlltllll mРОујflO Аве 'fllja је сmрmllща АВ јСУflака gашој gУЖII с, LA јеУflflК Уflmом уiлу а,

LB јеУНflК уаmом уlЛу /1

Ако дАВС има елементе једнаке датим, теме С је нресек полуправих АС и ве које се налазе

са исте

CTpalle праве АВ 11 са ЊОМ граде УI'ЛОllе а и ~ . То даје IInejy да се КQlIструише lIајпре

дуж АВ, потом ове гюлуп равс f1 да се ЊИХОЈ311 М пресеком д0611је С (сл. 33). Ј(онструише се дуж ЛВ једнака датој дужи с. Потом се с неге странс IlpaBe ЛВ КОНСТ РУJlШУ

IТОJlупраriС Ар

/1

нам примеру). Л ремз

Bq такве да је L.BAp = ех н L.ABq = ~ (преношењем углова као У !'lретход­ Ако се ПОЈгуправе Ар 11 Bq секу, пресе'lНУ тачку 0знаЧl1 са С.

КОНСТРУКЦllји,

ТРОУI' ао Аве има ЛВ

LA =

аи

= с,

,

LB = р.

.,

Овом конструкцнјом се добија

ТРОУl'ао

ПОЛУ Гlр.ше Ар и

ако

Bq

+

/1

се

секу_

Оllе се секу ако је збир

ех

с

~ мањи од опруже­

ног У I'ла. Решење је таДЈ јеДИНС1'lIСНО.

Троујао је оуређен јеуном crnpaНllЦoM 11 са ова налеСла усла.

л

,"

н

С} IIIК"

33

Пример

3

KOHcmpYllllltl mpoyfao АВС чuје су сmраНlще ВС, СА, ЛВ јеglшке pcgOM gm71IlM gУЖllма а, Ь

11 С,

ари чему је најgужа gуж с.

КОIIСТРУIlШИ дуж АВ јеДllаку дужи С, а затим, КОНСТРУИJUJI КРУЖJlJЩС k(A,b) 11 I(В,а), 'шјll

су центри редом А н В, а полупречници једнаки дужима Ь и (/ (сл, 34), Ако је с

<а+Ь

ове кружюще се секу у двема тачкама које су Сl1метРИ'lне

IlpeMa 1'lpalJoj

АВ.

Нека је С било која од IIресе t НlИХ та 'јака. Према конструкцији, дАВС има

с

стран и це јед н аке датим дужима . Ако

бисмо уместо тачке С изабрали другу Ilресечну TatJKY С 1 кружница I(В,а), троугао АВС 1

k(A,b)

б11О би

и

1,

"

поду ­

даран троуглу АВС Ако је C~ а

+ Ь тражени троугао не 110С­

м

л

в

то)и

Tpoyrao је ogpeljen

са три сmрmшце.

"

/,

(

СЛl1ка

Пример

34

4

КонсmРУIIUЩ 111poylao Аве Чllје су cmpaHllljC АВ u АС јеУllllКС Уlll7iUМ gУЖlIма с 11 Ь, а нак 9(//110М уелу

LC jcg-

r

КОНСТРУИl.1Ш дуж АС једнаку

1,

с

датој дужи Ь, а затим полу­

праву Ср која са полуправом СА

Ј'Ради угао једнак датом

1,

У"ЛУ у. Затим КOIlCтруиши кру­ жннцу угао

k(A,c) .

'1 мањи

Ако је с

>

Ь и

k

од опруженог уг-

ла I1ЛИ ако је с

в

,

= Ь и угао у ош ­

тар, ОlJа кружница са полупра ­

"

вом Ср има једну заједничку

тa'I.KY. Озна'IИМО ту тачку са В (сл.

35).

C IIIIK
По КОllCтрукцнји, тро-

У['<10 АВС има елементе једнаке датим.

Ако је с

=

Ь и У ТУ'I

Yl'ao тада би троугао имао два тупа Уl'Ла

Размотримо шта би 6И1l0 ако је с

< Ь.

1,

,

Ь

,

с

а)

,

~ у

~' с

б)

, с

о)

А

л

А ,

,

р

1,

Ако је у оштар угао круж шща k(A, с) са ПОJlупр а вом Ср може им ати д в е,

СЛlIка

36

jCД~JY или ниј едну зајСДliИЧКУ тачку . зав и сно од дужин е СТРШIIЩС с. Обележимо с а А' подн ожје нор мале из тачке А на IЮJl ун раву Ср.

П ОJlу"рава Ср и К РУЖ llица

k ће

имаТ If:

а) A llC зајСД lI ич ке Ta'IKC, В 1 11 82' ако је АА'

< с (сл .

6) једну зајСД l lИЧКУ Т3'[КУ В (А' = 8) ако је ЛА' I~) lIиј СД~I У заједни чку та чк у а ко ј е ЛА'

36 з );

= с (С1l. 366);

> с (сл. 36»).

у СЛУ'lају да у ниј е оштар така в Tpoyrao не постоји ј ер 6~1 11 угао ~ био туп или пра в ПОI би

l'poYl'ao

имао два ТУllа IIЛИ два права угла.

Н а основу реЗУЈ. тата овог прн мера може ш закључити да goe СiПраllUltе

11 у1ао IШСIlР"М веће

оу tbllX у аоmау"ост" оgређују шроуiа о, што потврђује та'НЮСТ чеТIlРТОГ праllила О поду­ дар llOСТИ ТРОУГЛО IЈа,

Сложе llиј е КО II С1'РУ lщије своде се на и зложене основ н е кон струкције,

~ Контролна питања Шmfl :3II(1'1и у М(l r1lеМ fI!77 IЩU КОflструисати mроуј(lО? Кој и nр н бор користимо за консmруисање?

КОЛIIКО КОР(јКfI I/ма KOIICmpYKlIuja "еке feoMempl/jcKe Фшуре? Д а т l се Удек може консmРУ ll саmll 1I0РМОllО из iПа'lке 1/(1 праву? КfI!)а се !ЈОС КРУЖl/lще !)O!)lIpyjy?

Kaga

nр(/ва 1/ КРУЖlllща нмају !Јве зајеglll/'/ке mа'/ке?

N

Задаци

1. КОllСТРУllШll l'РОУl" Ю Аве ако су IIОЗ~lаТII: =4 ст, р =45°, У = 60"; = 3 С IП, Ь =4 ст, У = 900; о ) (1 = 3 С П1 , С = 5 ст , у =900; г ) (1 = 3 С Пl , Ь = 4 СIП , С = 6 ст.

а) а

б) (Ј

(;i 2. 3. 4.

КОIIСТРУI1ШН ј ед н акок раКIi троугао Аве 'lII ;а је основица Л8 I{О Jl СТРУII ШН јеДl l акок р аки т роу ,'ао

PQR ако је РО = Рп

=4

С I11

11 У = 120°,

= 5 С Пl 11 L P = 22030',

I(OIICТРУИUJl1 јеД ll
750; б)

дато м УI ')l У а.

I{ ОIl СТ Р У IIШ II I 'Р",В ОУ]'ШI троу гао чија је ХЈ IIЮТСIIУ:Щ с I{ОIl СТРУИШН троупю Аве, ако је ЛВ

= 4 с т, АС

= 5 ( 111, а

ю,тета

(/ =

4 ст.

= 5 С I1l И L C =300, I{ОЈЈ 11 КО рсшења нма

З ;Ј /\аПIК~

7.

Дате су [',раца р 11 Т3'lка С В,Ш ње. КОНСТР У Ш1ЈИ н а правој 1'а' l l(е А н Н тако Ан е, LЛ

8.

= 450 1I L H

= 600,

113 је у троу ,'лу

За чюугао Аве су rI03IШ'fН елементи:

а) (Ј = 5 СIl1, а = 600, Р = 450;

б) а = 8 Clп,h = 4 С IП , Р = 300; В ) fI = 8 С П1, h = 4 ст, р = 450;

1') fI = 8 С П' . h = 5 ст, р = 300; 11 = б С IП, iJ = 2,5 СIl1, с = 3 СП1,

д)

Ако јс МОI'ућ с. КО I I СТ Р У ИШ И ТРО У IЋО АВС

9.

За "poYI '(10 Ане Су 1'I031-I (1TH eJICMCIIТ II: (1 ) (/

= 3 С IП , Р = 1350, У = 300;

б) а = 3 СIП, Р = 1200. У = 750;

11 ) {/ = 3 СIl1, р = 60<>, У = 1200, Ако јс могу llС. К ОIIСТ Р У IIIШ1 " POYI'(10 АВС

11

4.5.

Описана и уписана кружница троугла

За КРУЖIIUl4)' која сugржu сва l1leMell" је9"01 mроуrлtl кажемо уа је OIiIlCall" око Шоf троуlла.

Да т! се 01(0

CBaKOI' "ро)' , 'Щ може ОПИС3ТН КРУЖНLща? Одгопор је потврдан.

Нацртај ОШТРОУГJIII ТРОУI'30 АВС КОНС Т РУНШI1 снмстралс ЊСI' ОIНlХ страНIНЏ!, Ако СИ добро IIPT
CI~меUlРШlе cmpal/lH~U mроуtла секу се у јеу"ој m"'ј/Ш

-

аресеЧIIU та"К" је цеlllllар оПисане КРУЖ"UI~е mРОУlЛtJ. у О1Ю можеш и да се увер нш. Две симстралс страница l'РОУ" ЈI З Аве секу се у та'[ЮI О, јер су IIOPM aJТ ll C на

стра Jt1ще које I 'Р~ЩС мањlt У[';IO од ОПРУЖСJlQГ. Како је свак а тачка сим('тралс дужи једнако удаљена ОД крајњих та'lака те дужи, сва три

TCMella

"pec(" II[<1

та'lка О једнако је Уfl<'lЉСН<1 ОД

трОУ I 'Љl, С ТОГ<1 Т<1'1К<1 О ПРllпа/Щ 1-1

CIIMt'-

Тр<1ЛИ треће страшщс ТРОУ"lШ, Кружннца '1И)11 јс IlСIП
0 1111(<137

37).

Пример

1

Нацрmај mУПОУ[ЛIl троуl110, t1{/ консmРУШШI КРУЖIIIЩУ Оflllсану око Ibefa,

rge

се ЩlЛаЈII центар йle кружlltu.е?

Пример

2

f-Iацрm{/ј пра60уtЛII шроуiао, Па кош'mРУIIUI/I Кi'УЖIIIЩУ ОПllсану око њеlа,

l'ge

се ШЫflЗII ченmар те КРУЖlllще?

Цеllmар КРУЖIIUl4f' оiluсаnе око араВОУfлоf mроуlла је среgJlШЈ1Је хuйоmеНУ::Је.

Нек.! је Аве пр.шоу " Лl1 трОУI';Ю и !Н:'ка Хll1]Qтеllузе АВ, Треба ДОЮlзаТJI

jt= S

А

s

средиш1'С

11<1 је BS :::: CS,

Нска јс

А, с реДliште катетс вс. Тада јс М8С, 1'1<1 је А]С :::: А]В.

.6.HA]S

11 ОlеДII

доказаТl l,

SA 1 среДl1Шl13 дуж LSA]C :::: LSA]B :::: 900, Пu праllltJIу СУС је 6CA 1S =: јеДIl
SA 1 11 Ас. SA 1 :::: SA"

ЗШ ЧI1,

с

Л,

в

(л ll ка

38

КРУЖllица која додltрује све три crранице троугла назива се УОllаmа кружtllll~а у mроуlао.

Ilо ка заћсмо да ClИ\ ЮI троугао вма једну уписану кр ужницу .

Сuмеmрале yl1l08a mроуlла секу се у

jegHoj

с

nресе.",а lilачка је цеlliиар уйuсане

ma'fKII -

КРУЖlffще.

Нацрта; т роу,';Ю , КОII СТР У ИШИ с и м страле љего­

\JII Х УГЛ Оllа , п а rtpO l.le pLI ТЗ 'IIЈОСТ овог тврђеља. Мож смо ТО Ii да до кажеМQ,

С II метралс д ва У l'л а т ро у п];) се ку се у таЧКII

S.

С

06 'JliРОМ на 1'0 да јс св ак а та'lка с имстралс угла ј еднако удаље на од кракова угла , прссеЧllа тачка

5 ј еднако

в

л

је удаЉС ll а од све три ст раllИ1lС. Сто га

НРИll ;Щ
је I\CIITap

5

и '11Ijl1 ј с ПОJlупре 'IIIИК јсднак растојан.у

S од

с траlнща , дод ируј е

С Н С Cl'pallLlЦ C т р оу гла, тј . У ЈIИ Сallа ЈС у lы~гa .

И з IIPC1'XOl IIIOJ' се вн д и да ј е це нтар y lНJCa llc КР УЖ IIИl.l,С у век Уll утра шња та '! к а Т РО Уl"Jl а.

Пример

3

Утl!IНl КРУЖНIIIО' У

gatllll i7ipoylao,

Конструк ција ј е приказаllа на претход ној СJ1lЩИ.

~ Контролна питања Може Л II а: око СЩ I ко f mроуfл а оПисати КРУЖНllца? КОЛll КО се КРУЖI/Lщ а може оП исати О КО gаШОf mроуfла? Ка ко се ogpc!l)yje цеll тар КРУЖН llц е ойисане око mроуfл а ? М оже Л II се у (fUIKII mРОУЈаО уmlCаiП u КРУЖlllща ?

КОЛl4КQ се КРУЖlllща може УЈ1l1са ш u у [Јаm ll mРОУј(]О ? Ка ко се Qgpe~yje l~eHmap кружmще уй и сане у шроуmо? Моју Лll се [Јое КРУЖII U /iе ра.ЈЛ/l·mmОf L70ЛУllреЧ НlJка сеll11 у OI/lHe 09 [ј6(' I(Ш ' lке? 061'tl3ЛОЖII

ogfOBOp.

N

Задаци 1. 2.

Дата је КР У ЖН ll ца. К О I I СТ Р У ИШИ њен ЦС ll тар. У та'!ки А дате к р уж нице

k конструиши

T.IIII "C IIТY ( праву којз са К Р УЖ IIJЩО М 111'01 3 ""1'1 НО

ј едну заједни ч к у та', к у ) .

3. Дате су КРУ Ж IIИ I \<1 И њена ta'-lка А. КОII СТ РУИШИ тачку Н та ко д а ј е А Н I I PC'IНlJК т е к ружницс.

4.

За одр е ђи ваље Ј.('Н ТР" кр ужницс ОПII С
6)

С l1м етрале д ве;

11)

С llм етрале тр н страв и це тога ТрОУ I'Л3 .

Зао к руж и СЛО IIO IЈСн ред Т
5.

За одређнвање lј С IПР" кр ужнице УПll саll " у троугао треба КОН СТР У Н С:1ТII н ајЈИнu е : а ) симстралу ј еДIIО] ';

6)

С llметралс ДВ3; В ) оt.\l стралс три УЈ 'ла тога троугла.

ЗаОК РУЖ~1 С1l01l0 И С llред Т;ЈЧНОГ ОДI'ОЈ\ора. 6.

Докажи да Ц С ''I'гар К РУ ЖНIIЦС описан е ОК О ј с}щакокраког т рО У Пl а П р IННЏЏ\ 001 С l1 ме ~ тр щ е ТО '" ТРО У I'ла .

7.

А ко сс це нтр и Оlll1 са ll С 11

YlIlIC
круж нице I1СКОI · троугл а поклаllају, к а ка в Ј С то

троуга о ?

8.

Н е ка је АВ [Iречни к КР УЖ Нltце и С било која њ е Н<1 та 'lка раЗЛИ'I II Тil од А 11 В. Докажи да

ј с LЛ СВ "р ан.

9.

Ако це нтар КР УЖ IIИ ' (С опи сане око Т РОУГЛ<1 ПРИI [
10.

Ак о Ц l lе К РУЖ lllще и м ај у ВIIШС од д ве зајеДIIНЧ К С та 'l ке, до к аж и да сс те К РУЖl lИ ' {С 110клаl l а} у.

4.6.

Ортоцентар троyrла

Дуж '/ија је јеуlltl KpajJblll1la"Ka Шеме ,"роу/ла.11 уруга Uоgножје ЈlOрмuле којl1 сugрЖII то теме 1111 праву

oypelje"y lIасарамиом

сmрumщом

11113118(1 се 811Сllllа

mроуlла.

ВlI с ин а кој а одгова р а страНИЦII а т ро у ,·ла АВС 06слс жа на се н ајчешће са

које ОДГOlшр ају ст раницам а Ь и с са

11", СЛ II '"IО ,

ВlI с ине

'1/, 11 Jl co

Н а цртај ОШТрОУГЛ II , праВОУГЈ111 и ТУПОУГЛ!f троуга о 11 све љихове ви с ин е (сл.

40 ).

Шта запа ­

ж а ш? ПР<1ве кој е садрж е IIIЮ1н е сваког троугла се секу у једној "["(1'[КI1. Да Лli је то случајно? Н нј е , јер IШЖl1 следсће тнрl)СЈЫ:. Праое које саУРЈКе OIlC.llle троугла секу се у јеУJlој та'јК" орmоцеm71ар mроуlла,

-

nресеЧllа

ma'jKt' Jla31l0a

се

Шта IIрllмсћујсш? Ако је

с

ОIlТТРОУГЛII, орто ­

Tpoyr'ao

с

це н тар (Н) ј е Уl1У Т РЈШlhа та'!ка тро ­

В)

угла. Код праВОУ1 "ЈЮI' ТРОУ1'ЛЈ , ТСМС правог угла је истовремено 11 ОРТО 1\сrПЈР (сл .

406).

Ј,.

Ортоцентар ту п о ­

углог троугла је ван троу r ЖI

(сл.

" L

_ _ __

_

С' =f'----'C!;A-----"';.В

/'.

_ _~~ _ _~

"

С

40в). На сли l (и

В'

б) 11 в) приказан ј е

40<1.),

6)

ОРТОI(СlIтар Н, оштроуглог, право ­ уt'ЛОЈ' и тупоуглог троугла .

С=Н

А

н

СЛlIка

40

~ Контролна питања IЈlmа је

(llIClI IIi1

mРОУIЛn?

Ш та је ор то цснт(1Р mРОУlла? ДП ЛII све 811СШlе неКи ј mроуfла А1Оlу 61111111 јСЕЈllnКС?

•

Задаци 1.

За одређИl3ан,(:' ортоцентра ТРОУ1"Ј1<1 ItOтребно је КОJl СТРУИСЈТl1 најв иш е : а) једну ; б) две; в) три висине ТРОУПШ. Зао кружи слово испред та' I IIОI' ОДI ·о вор а.

2.

Конструиши ортоц ента р ј еднакокр аКОl' :

а) оштроуглot' ; 6) туПОУ1"ЈЮt·; в) IIраВОУlлоr"

3.

I3исина АА' оштроуr')IOI' ТРОУ1ЉI Аве ДС) I И угао а lIа два

УГЛОВlI

4.

yl'ml

од

300 11 400.

КОЛ I1КИ СУ

!3 11 у?

Нека су а а)

5.

TpOYl')la.

11

Ь странице, а }Ј," ви сина ТРОУ I "ла АВС дОЮIЖИ да је:

11,-:0; п; 6) }',.:О; Ь.

Дати су к руг пре
11

та ' 1ка е у ТОМ

праву која саД РЖl1 та'!ку С" нормална је

Kpyr·y. KOpl1 CTel1l1 на IIpe' IHIIK АВ.

СlМО лењир, КОН СТРУИШII

4.7. Тежиште троугла Дуж 'lIIја је јеУllfl кр(ljIьа mll'lка Шеме mроу/Ла. а уруси среУlllиmе

1/(1-

cfipllJolm! СllipmllЩС IIаЗll811 се lliеЖlllllНl1 gуж (мсуuја1/а) mроуfла. Нацртај МВС

11

све његове тежи ш не дуж и . Шта запаж.][ II ? ТСЖI1l.IJIIС

дуж,", се секу у једној 1.1'11.:11. Да л и је то случ ајно? Нс, јер ва ЖII

]Ј ,

т

А,

Г,,;.--:::::*:::!:".

л ~С----Сс~·----~"ll

CJlcAclH.'

твр l)С II.с.

•

Слllка

41

ТеЖIIIIl/lе gужu mроуlла секу се у јсуној

ma'IKII - uресе·mа mа'IК(Ј IШЗIl8{1 се ШеЖlllllll/с mроуtла. При томе је 9У)l{ 09 Шемеllа 90 mеЖlНlIm" Уда пута 9У)l({I оу 9УЖII 09 mежmum"

90 cpeglllllma

lIасuраМllе с.-праmще. Провери!

ТСЖIIIIJII
1)

lIaj',cI IJhC са '.,

(1I1IИ 111,,).

11 С обслсж;щају се са /ь 11 {со

ТСЖ l tШТС Т је пресск ТСЖШIJII ИХ дужн .

ТеЖШl,J те, ортоцеl1тар 11 IICHTpl1 О I Јисане Ј1 УПЈкане КРУЖIIНЦС I Ј аЭИJlзју СС Зfl(l ·ltIјне тачке тРОУiЛ(I.

Њщртај Ј'I 06сл сжи теж и ште тро угл а ако је дАве: а) јеДllаКОСТР
@I

6) јед н ако к раКII; В) п ра IlОУ I'ЈJII; 1') ТУ I ЮУI'} I И,

Контролна питања Шта ј(' тежlllllJЩ gуж тРОУlла? Шта је mеЖIIIIIL7iе mроу/Ла? у којој размер" шеЖ/lшiПе

mpoylJla (јеJlи сваку mеЖlIIlIНУ gуж (110; ШРОУ;Jlа?

Шт(/ су Ј на'mјl/ С iI/a"KC mроуlJlа? Да ЛII аосmојlf mроуlао 'lfIјс се све ЈНlI.щјllе тачке П0КJIа(1(/ју?

м Задаци 1.

Да JII" Т('ЖIIШТС ТРОУl'Jlа унск IЈРИ.-Ј;ща унутраШfьој области ТРОУI'ла?

2,

За UДРсl)1111
3.

Нека СУ

1,,, 11 1",

рсдом, випша 1-1 ТСЖl1lllllа дуж које ОДl'оварају С"I'р:\IIIЩII (ј раЗl-Iостра ­

IIН'IIIOI' ОШ ТРОУГЛОI' дАве Тала ј е: а ) ЈI" = 1,,; б) ЈI"

> 1,,;

В)

11" < (",

ЗаОКРУЖII СЈIOIЮ IIспред таЧIIОГ одговора.

4.

Дата су тсм е на Н

11 С 11 цe l-lТap О кружшще ОПllCillIС ОКО l'poYl'Jla Аве Одрсди теме А,

5.

Дата су -''СМ (' lIа Н It С Н тежнште Т троугла АВс. ОДРСД]I ,'с ме А,

6.

Дата СУ ТСМСIЩ В It С И ОРТОЦСlIтар Н троу.'} ] а АНс. Од ред!! тсме Л.

7.

Дата су сред ишта страница троугла. КOIiCТРУllшlt 1I>С I'0 1 1<1 "'·CM e lla.

8.

У ПРОII З IЈОЉ.!Ом троу' "ЈIУ КOIiCтруиш н ортоцентар, тежиште'l HC I IТap ОШlCаllС кр ужlJI.,­

IIC, ПРОI!СР" на тЈ ове тр" з н а'шј н е та'lке ПРJlпанају ~1C'roj правој,

5. РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

5.1.

Скуп рационалних бројева

Q

ПРИКАЗИВАЊЕ РАЦИОНАЛНИХ БРОЈЕВА НА БРО'ЕВНО' ПРАВО'

До сада смо упознали скуп целих бројсna

Z.

Целе бројеве можемо сабирати, ОДУ311мати и

1'"нЮЖI1ТН 11 као резултат добити НСО број. То не важи увек и за дељење. Наш 1(1111. је стога

да НРО1Uиримо скуп Z у (КУII У коме ћс и дељење (осим са НУЛUМ) бити УВСК 113IЮЈ1)ЫПЮ, З
]'апшних цеЈЈИХ бројева проширшН1 у скуп рmломака, тј . бројева облика т (//1 Е N o> 11 Е N).

"

Сваком ра3ЈЈОМКУ ОI(Ј ' оварала је тачно једна 1'<1'11<<1 бројеВIIС пралс, добијена наlIQшељем 111 Ilута П - ТОГ дела јеДИНИ'IЮ:: дуж!!

01 бројеВIIС праве од та'lке 0(0) у смеру 1";1'IKC /(]). Уко­

лико наношење обавимо у негативном смеру, ДОЈН1Зi1МО до тачке којој придружујемо број т

- -

.

суйротан БРОЈУ

111

"

(сл.

1).

ОШ бројеви облика

111

т

или

-

- -

уз има вредности из скупа

N,

чине скуп

Q

•

5 3

К;Ј.д т

rr

11

па

•

11

NI),

•

•

• , -,

2 3

4

,•

• 0 (0)

3

а 11 из ску­

•,

•

3

3

2

Слика

I

рациОllаЛllих бројева.

ПОЗl1ПШНИ разломци ДРУГ;Ј.чијс се називају йозш7i uвнu рmјuонаЛНII броје811, ;Ј. њнхов скуп о:шачава са

Qt-.

ЊИМ;Ј. СУПРОТНII рационални бројеви

бројева, у ознаци

Q-,

а скуп рационалних бројева

Q

'1I1He

ску"

неfаШtlfJНUХ ptЩIЮll(/Лll11Х

је унија скупова

Q+, Q-

Уколико се дељење нриродних бројена ПрОШlfрИ на дељење целих бројева -т п

т

=

=

-п

т

- 111 и

п

т п

IIИ}~ИМО:

рационални бројевu су колuo",иЦIl

Број Р је бројuлац,

{I

q-

110 1"paBIUHfM<1:

(mENo,lIEN),

--п

It НУJle.

р

q

• (1'* О Уба

цела броја р и (Ј.

uмеIIUЛ(//~ рационално' броја рq

Према уведеJlОМ правилу дељења два цела броја, CBJКl1 Р,ЩИО11а)1;11-' број се мож е lIаписати тако да му ИМСНlUl3Ц буде природан број (уз евентуално праширивање разломка са

5

5 -(- 1)

-5

пример. - 2 :::: (- 2) . (-1) = 2 По де фllницији је такође:

-1 ).

Ilа

•

1(1)

• 4

Ј

Пример

I

НаПl11uи рационалне бројеве Одговор:

Пример

-1

2 , -3

и

-2

.

тако ga им IIмеНIIШЩ буgе apllpogaH БРОЈ .

-2 2

3

2

Преgсшавu /Ш бројевl/ој аравој раЦllоналне бројеве:

2

- :;

-4

2

О

з'

3

-3

-3

-3

-4 -3

5 3

-5 ~

3

Да би се ови бројеВЈ! предсТ
~

4 3

2 -3

о ~ о.

2 3

~

-3

бројенној праЈюј, јеДIНI И ' IНУ дуж

I-Ja

01

треба најпре

поделити на три једнака дела, "атнм трећану јеДИНlI' I .' с" дуж и нане"!"1I у ОДI "ОВЈрајућем сме­ ру потребан број пута (сл.

2).

•

•

5 3

•

•

•

-, 1,

4

- "3

•

•

•

O(U)

3

3

•

1 3

• 1(1 )

•4

•

3

СЛlIК;Ј 2

Пример

3

H(/I/lmm бројеве супротне бројевима: То су бројеви:

Пример

1 2

3

3

"

2

3

)

-2

з' 2

4

Да ли су l~еЛIl бројеви раЦllонаЛНII? Како се сваки l~eo број

z

може написати у облику

z

1 ,одговор је

потврда'·Ј .

~ Контролна питања Којll је број СУПр()//l(1I/ раЦlIонал ним броју r

а

= 1)'

а Е Z, Ь Е N?

У Iш,((IОМ (У {/Qлож(/ју та',,\(: IIll 6ројС81/0ј "раној ПРIl9РУЖСI/(: супроm//llМ !)(ЩIIO'IlIЈ1IН1М бројевlfма у Otjl/OCY

'f{I

I\ООР9,/1f(/mllll ПО'IСIlШК?

Задаци 1.

Подсщ, јСНlIlНI 'Ш У дуж ОЈ на · [t''Тири једна ка дсn а 11 оБСЈIСЖl 1

2.

I I РСДСТi1IШ 11<1 бројсвној Ilр;шој бројеве

3.

Одреди броје.!" <:yIIPOT IIC бројевима датим у задатк у

4.

l-IаlНШНl у

3

з

-2

2

,

""
1·(-43 Ј·

б

-3

-2 - 3 2.

I
-5

-6 • - 10 •

- 1

5.2. Рационални бројеви у децималном запису Знамо да се раЗЈЮМ l\ I, .\'IOI'У приказати у дец имаЛllOМ запису, Koj l1 M се 0зна' l i1ЩI К01111КО у раЗJlОМКУ ~j Ma ЦI.:ЛlIХ јСДlIIнща, ЊIIХQВIIХ десетих, стотих , Х ИЉ'l) tIIТIIХ .'ТД. депои •• • ДО ДСЦII ­ М3Л1IОI ' ЗiНlll са Р:13}IOМЮ1 долаЗIIМО деље њем IbС I'OiЮГ 6ројllОltа са II.СI'ОШIМ Ilмеlllюцем, Так о је, Il a II рllмер:

5 2 5 = ],25=] + + . 4 ]0 100 [ЈОС l'УI1<1К дељеља 'I ecтo I lије 1<011;\<1,111, HCI'O се поја вљ ује 1111:1 децимаmНlХ I(Щ!Кlра 1<0jll се

IlеОl'раШI'IС11О понавља. 'l'а;(;\ сс каже да се разломак 11 рl1 Кара који се понавља 3311ЈtСивзлн СМО тако 1111'0 смо И3113Д ЊItХ стз вљали Ц рТI1ЦУ. Тако је, lIа прим С р,

4 1 2 - = 0,1 212 .. ' =0, 12 = 0 + + + 1]

10

]00

] 2 + - + ]000 ]0000

КаС/lllје ['!СТС наУЧIIТI1 да се сва ки де ЦИМilJlIШ nepHOAII'IHIi 6рој може преДСТ3Шtт tl као ра 31Ю;>.I.II(, ПОС'ГУ ll ак одре l}И I1:l1 1.а TOI' разломкз ПРlIказујемо Ila ПРll МСру х ЖС Ilo("м једнаКОСТ l1 са ОдаТ)lе јс 99х

]00

д06 11јз се 10Ох

= 12 и KOlla'lIlO

х

= 12,1212 ... ]2 4 = = -

99

= ]2 + х,

= 0,]2 = 0'12 12""

Mll0-

33

Како се раЦllOllаJ[lIИ 6ројС811 само rю Зll3КУ MOl'y раЗЛИКОВ;\ТII од IЮЗI I 1'IIIJIIIIХ ра3ЈIOмака које стс У'IIIJt1 I у пстом разреду. OНlI се такођс могу nредст:шљати у деЦllмаJlIIОМ заПIfСУ, AOr11l CIIвањ("м 3 11а ка МIШУС з.ll1сгаТlIвне н lтус ( ИЛI1 без ЗIt:1 ка ) З3 П03НТ ЩIII С Р~\цllOllалш' бројеве,

f!

Пример

1

H(~fllllllt( У уе,,"мадном запису РIЩIIОllалне бројеве:

-1 2 - 3 - 5 2 -5 ' 8 ' - 3

К"'КО је I = О, 5 . бllће

- 1

2

UIИ'IIIО:

fi'

2 = -5

2

=

1

= - - =- 0,5. 2 2

4 =- 0,4; 10

-3

3 =- - =- 0,375; 8 8

-5

-3

=

5

3

= 1, 66··· = 1,6.

Пример 2 Наi'iIlШII у оБЛ/lКУ КОЈНI'fllIIка бројеве: а)

<1)

-2,4; 6) -],1212; u) -1, З.

_2'4 =_(2+ ~) =_ 24=_~. 10 10 5 •

6) _ 1,12 12 = _ 11 2 12= _ _28_0 3 10000 22S ' В)

- 1, 3 =-(1+0, 33"').

т.ща је 'Ох

= 3,33 ... = 3

Ставимо х=О,3=О.33···.

+ 0,33 ... = 3 + х.

Отуда је 9х

= 3, а

затим

х=

3

1

9

3

За"Ј'Оје -1,3 = -(1+~)= - ;.

~ Контролна питања Шта је g/!I~IIМlIЛIlIf зm7ис? Да Лll се СбtlКII рm{IЮlшлан број може при казати у gеЦIIМ(/ЛНDМ ЈаЙIlСУ? Како се gОЩIЈI/ !Ја gеt{uмаЛIIОf записа раЦIIОнt/Лно16роја? Како се 113 nep"oglIIIHOI gСI{lIмаЛНОf зайиса може gо6ЩUII 1(01111'11111'11(/1 за11IIС (зm7нс у облику gCJbClfJ(/ - КОЛII'III11Кn)?

tj Задаци 1.

Пр~дстаВII у ДСttималном з.II1ИСУ:

2.

IlРСДСТ;} IНlуо БШlкураЗJlомка:

3.

Да ли сваки Р'ЩlIонала н број има тачно један (јеД II ОЗ Н:I ' I ;}Н) деЦ I IмаJlШI 33ПIIС?

4.

l-I аrн шНl НСI"<1ПШ<111 број КО;II Ilма две IIC)IC јСДlншц е и Tpll (тата дела.

-2

- 0,1; -1,234; -3,01; -0,2; - 1, 23.

5.3. Упоређиваље рационалних бројева Два рационална броја

'"п

р

"

'1

су Јсун(/ка ако ОДl"Oварају истој Т'1'11\11 бројевне I[ ране.

Il pOI~epa једнакости два Р'ЩIIOНа1ll lа броја на овај начин Нllјс IIИМало лака. Зато је ваЖIIО да ЈШ можемо

11

без прсдстанљања ТИХ бројСЩј lIа бројеllllој правој yтBPДlIT~1 да ЛII су

01111

јед ­

И<1К11. OJII'OBOP на 0110 Пlпањс је потврда н . Сет И МО се да се разлаМЦII не мењају ПрОШИрНЩIII.см, тј. множсњсм бројl10ца 11 IIМСlllюца ИСПI М природним бројем. Лако може ш да УО'[ИШ I7раВLlЛО I7РОl/lllРUбmbll вреди 11 3<1 раЦIIО­ IlaЛIIС БРОјсвс .

Ј(а!Ј(' се бројuЛlЩ 11 1lJI.Il'f/IlЛ(Щ Р(ll~1I0llаЛl/оr броји tlОJ\f1l0же UCl1lUM I{СЛIIМ бројем РlIJ }",.,II ­ Шш.f оу "ул е, Рйl4ll0llалиll број се IIС MC'b(l.

ДРУПЈМ РС'lи ма, 6РО)СI\II

р

'1

и ~kP·'1

3<1

k Е Z\jOI

ОДГОllар
~Iаки су.

На ОСIIОIJУ овог праlJ'I)1a ИЗВОДИМО закључак да СУ Дn
На [' Р"МСР,

2 4

It

у општсм случ ај у, ако је

ти Н обратно.

Пример

Зато

р

111

•

- = - ,онда}е

q

1

-2 4 = ? 3 -6 што је (-2)(-6) = 3·4.

3mllmо је

'i

и

Hcr'OI" КОЛНЧНИ'lкоr' записа, и обратно. 3 2 -2·3 -6 су Једнаки, јер jt' - - = - и 3 - 3·2 = - 6 -6 4 4·3 12 -6 6·2 12 MOI'y

довеСТ II до

р

"

Р

q

= Р" ([11

т и

"

=

I1Щ

(/11

11<1 је

mq =

т ЈеДII
"

пр. Може се покзза-

Ypel)cIhc У

,ку н у

Q

YIJOA I IMO СЛ II ЧIIO у ре l}сн.у раЗЈюм.l ка.

Да бисмо

jIlJa раЦIIOI!аЈща броја у " ореДилн 110 ВСЛН'I I1I III, IlрО l 1111рlшаlЫ:М IIХ до ос!Џ!мо lIа 11CTI1 l1PIIPOJIJ1H 11меНИJlац. а заПIМ упоредимо добllјt' l lе бројl1Оне. Bchll ће БНТlI онај број KOjl1 11ма псћll бројнлац. н

а I1РIIМСР, -

2

3

<-

,ЈеРЈС

2

У ОI1ШТСМ СlIу'шју. ако

прОШllрl1 IIХ lIа

ad

bd

2 -4 = 3 6

1..

If

а

су

ис и
.

и

с

"

=

2

11-4 < -3.

6

Al:la р;щнонална броја са ЩJl1РОДII1lМ H ... ,elН!OЦIIMa,

d

т .ща је . -(/ :5 -с

А"о су Р'lIl l юнаmш 6pojCB~1

~3

и

d

. (/ d<" _ иС, 11 о6 ра1'llO.

ако ЈС

rl 11 r1 1 1редста lЏ! .снн

на 6ројевној праоој, OIlA.1 је "

<

'~ ако је

смер од ";I'IКС Л(r,) ка Ta'I КlI 8(r2) ПОЗIIТИllа н , 11 06раТlIO. Апсолутну врсуносm раЦlIош/Лноf броја r, у 0311аЦll1

'1, gСф1ll1/11IIСlt10

1/(/

IICriilll/{/'11II1 К(/О IlIriiO

смо gефlllll l ((lЛII апсолуriiНу (jpeg1loctТf l~eJ/OI броја (стр. /О). ако ј е акој е ако Је

r >О r=O r < О.

3аДРЖ;Нlа су сва ОД р.шије ПОЗllата ClЮЈства апсолутне I:IPCAIIOCТII.

Посебно ИСТl1чемо

да Irll l рсдставља растојање та'lке са КОО РД l tl1
ПРJlмер

2

~ Контролна питања Ка!](/ су glifl/){ЩIIVl/{/ЛlIll броја jegll(/I(a? Кmф се Р(ЩIIVl/(/ЛlIII бројевll упоређују йо беЛII'IIIНU?

Како се БЩЈII

1/(/

бројС61/0ј nрmюј који је рm(l/ОlmЛlI1I БРQј eehll?

111та је апсолутна epegl/ocm рm~I/ОlmЛllоr броја?

Задаци -2 4 I 3 -6 - 2

од 6рој(,II
.

,

1.

I(Oj ll

2.

HO BCJ~II ПРОШIIР"В<1ЉСМ в а ~IC'ПI .'I рирода ll IIМСIIIIJl<Щ бројеве

су Једн ак и .

4.

1101 l У НИ IIра3 1 1а места у jCAII;\Kocrlli\la:

5.

О

=

3

-4

; 6)

-3

-20

=

7

О

:

11) -

О

8

=-

-3

.

I<О)[II КО шеСТl1ll
7.

У пореди раЦllOналне бројеlIС: ;I )

3

11 -

3

;

-5

д)

2

- -1 ;6) _ 2_ 1 2 .,

6.

-4

6

24

I(ојll РШЏ1О11
1')

-з' - 8

-1

11

10 90 6pojcna _ - -, -- . -6 - 100 - 12

УПрUСТl1 заll l lС

2

3

-3

3.

а)

-7

-

3

.

7'

б)

-2

-

-3

; В)

11 -

5

5

-2

-2 11

7

8 '

7-7 - и . -1 '\

8.

П оре l)ај у

9.

ОдреД l 1 шс целе

pacTyl,cM

-1 3 2 -4

l'1ОрСТ Ку 6 ројспс

-5 6 -3

6pojCBt' х такве да је: а)

5

,;

х

15

<

2 3

10. OдpeДlI све целе б ројl.: lIС х T;J Кl IC да је : а)

".

I

х

- - < - < 1; 6) 24

-1

<

I

2х

В)

-')

- <

4

<

-1

1х4

.

Покаж" на "р"мер"":о да је 1 : ='1: l'

12.

1l 0реl)ај IЮ 1I(')1 II'IIIIIИ :

13.

П оређај у опадајуl,с.VI

14.

Уместо

а) -345 е)

- 0,23; - 0 .3; -о , 1; -о,] S. II OpCTKY: - 0,3; -2 I -5; 1,2. S -1 10

* Cf. тако да се добllје ~:I' I I-I:t *--432;6) - 3. 14 $ -5 . 15; В}

3

5

нејСД I l
] 3 4 * - 0,7; 1') -2, 13 * -2 ; д) - * - '

4

5

5'

2

-0,6*- , 3

15, Уместо" II<1IlIШ1l1 oAI'onapajyhe циф ре та к о да се доб нје тачна неједнакост: а)-О, 1 2<-Q,·3;б) -3.54 >-"5 4; 1~)

- -4 <- -* ; 1') -'" >- -3 . 7 7 8 4

5.4. Сабирање и одузимање у скупу Q Лв" РtlЦfJОНlIЛlЩ броја у оБЛIIКУ раЗJIОМКfI CtI611рамо тако 1111110 IIХ UРОlllllр"вmьем уове­ уемо ,т јеунаке

IIMCHllor4e. а затuм gобllјеllе бројllQ1Џ! саберемо.

Зај еднички Јн,I(' Ј III Ј1<Щ IЈ а који ПРОШИРИВ;lн.см fl,ОIJОДНМО рационалне бр ој е в е ј е најчсшћс најмаЊl1 зајед нички С'ЩРЖ.U13Ц апсолутних ВРСДНQ С'ПI ЊIIХUВИХ ИМСIIИ ЈШЈЏl .

Пример

1

и ОДУЗ l1мање уВОДИМО СЈIII'111O одузимању Рi1Зl!ОМ
Два РtЩflO1ltIЛна броја у облику раЗЛОМК(I 09У311мамо Шако ",;по '/Х nРОlll"р •• вmы!м [јооеуемо на исти IIмеllIlЛalС, а зМПuм gобuје1fС бројllОl4С 09У3,\11.'7>l0.

Прltмер

2 5

2

4

20

15 8 - 15 = 20 20

-7 20

7

20

у ствари, одузимањс се С ВОДИ на сабираљ е:

г,

3 ;l II CTi1 .

а

=и

(

CT;}HII M O

с)

+ -d

(јп

',=

(1

iJ

-ис

= м + и('

, 'l

=

=,' с

(

'1"

ада Је

ml +(-uc )

Ь(~ I-=

-

'2

= '1 + (- ,".? ).

', - ГЈ

aJ - ис иЈ

=тЈ - -ис = ап - Ьс , lи!

'Јп

1,,1

.

док Ј е : т, +(-г , )

,ТС IIРalШJlО важи .

И з ведимо 11 "правшто и знвајања минуса":

И м амо:

-(r + r)=_( а + с )= _щl + IJс = -(аЈ + b~) =- ml - bc 1

1

ЬЈ

и('

ЬЈ

b(l

'

=

1IОК ЈС: п - ГI - ГZ=-

'Ј

с

-

=

tf

-п

'Ј

с

= d

-аn

-I)e

1)(1

Даклс, ПРi.1IJIfЛО ваЖII.

СтаlJЉ.lју l1II - Г1 умссто ' 2> добl!јамо - (ГI - Г1) = -ГI+Т1 ' КОРШII 11СЊСМ Н З I~СДСIfIlХ пра lшл а можемо С1611 раПI ( ИЛ II ОДУЗ IIМ.IТII) Р'ЩIIОl l аЈII IС бројевс дате 1\0113'IIIIIM деl\имanШIМ заПИСlIма. IIC в раћајућll IIХ у K01ll I'IIIII'IKC за ш \Сс 11 CllOде l'lll I lзра'lУ l lаllаl l,С I l а ( IЮЗl l ато) саб ирзље или одузима l ье ДСЦIIМ3ЛН() :iадаТlIХ бројсва.

r;

Пример 3 Саберll

- ] ,2311 -0,57.

(- 1,23 )

+ (- (),57)

= -( 1,23 + 0,57) = - 1,8.

Лримср4

СnбеРI/

-2,357 11 ],246.

И зд вајаљсм МИIIУС3 добнјаш:

-2,357 + ] .246 = -(2. 157 - ] .246) = -0,9] 1. у ОIlШТСМ СЛУ'lају: уа б,lCМО сабрали 96а не1ати6на рационална броја. треба (Ја саберемо ,,,,,хов/? аПсо ­

лут"е вреу"осащ и IIспре9 90бијеНОf з бира cl1la6uMo знак м.mус; уа бисмо сабраЛll 9ва броја са разЛU'ШI1lUМ ЗНUl4uма, треба (Ја оу веће аПСОЛУШIIС вреу­ ност" сабира ка оgузмсмо мању 11 IIсареу gобllјеНОf броја ставимо Зllак сабllрка ''''ја је

аfiсолутllQ врсвпосm већај ако треба уи саберемо уоа раЦUОJlQЛ1/а броја, је!}а" у КОЛII'mU1fКОМ, а уру111 у уеIЏIМ(lЛIIОМ

зtlUIIСУ. јеУ(1II 09 .1аПllса I1lреба уа претворимо у ypyfll 11 пр"меllимо јеВ1l0 09 "tlOCgeIlIlX «раоuла .

ri

Лример5 С(ј6еРI/

3

4

11 - ],5.

ПРСТ IJОРШ.LI 1,5 У I\ОJlIIЧlll1'I КlI зап ис

Можеш ра'IУ"""''' 11 Oj~aKO;

3

1,5=

. = 0,75, fla Је: 4

15 3 = . 10 2

-

3 4

Имаш:

+(-1,5)

= -0,75 -1,5 = -(0,75 + 1,5) = -2,25.

~ Контролна питања Кm.:о сабщmмu уо(/ Р/ЩI/QII(IЛlta броја (g(/ffil1 у KOIl II 'IIIII' II,OM 3I1П/lСУ)? Кmm 09У3 111>1(/МО !Јба рmЏ/оIf(ЈЛ/1lI

6poja (gmJm у

"01l 1l'11I1I'I/(OM заПIIСУ)?

Кmш се сабllрају 111111 оgУЗIIМflју рmЏfOlШЛNI/ бројеви gamll у KQltn ' f/fQM gel(IIMflJIl/OM ЈmIllСУ? Кmш се т6ира}у 1/11/1 оgУЗll/oftlју рmЏlVНnЛUIl бројев/l (/КО су 111.'1(11

9(////1/

У 1\01l1l'II/II'//(OM Јапису, (/

9РУIII У geICIIMt!AIIOM Ја/јису?

Задаци 1.

и.~ ра 'l у н ај:;1)

2 -5 1 -3 - ] + 6 ; r.) \) + - ; В ) - + - . ,'; 5 7 7 2 ]0 3

--+ 4

5

-3 5

- +

; б)

6

4

1

-3

4

20

. 11) - +

-7'

2 -7 -3 3 3 7 ; 11) - . 3. И:'\ ра " У' l ај: ;1 ) - ; б) - 9 9 fo R 4 R 4. И3Рi1'IУ'lilј: а ) - 0,34

5. И зра' I У ll ај: а ) -

1 4

+ ] ,25; 6) - 1,54 + (-3 .28); б)

+0,3;

21 -0,3 1+ 99;

6.

Од збllра бројева

7.

ИЗР;I'IУlI
0,3

11

3

1

8

4'

- 3 +4

-

3 R

- 1,7

3.85

+ (-4,24).

0,458- 1,239.

ОДУЗМ II раЗJrl I КУ бројС lJi1

-4

11

.\

- :

- 1

5

7

fi

12

;

В)

9 7

+( -~); и) ~ +( -2~) ;[.)

'6) - 1- + 2 -

6

1 1 -7 12 20

-6,4+(-; )

1

+5 - . 1(,

I

2~

10.

Од зБИ Р:1 б ројСII;!

12.

И ЗР;!' I УI I ;lј ОРСД IЮСТ I lз раза а а)а = -2,5 11

В)

'Ј )

-3

2

4

u= ] ;6) 1

11

3

ОДУ3МI I

+ Ь,

а=- ]

3 4

pa:VJIIKY бројсnа 0,32 и 2,]5.

ако је:

11

5

Ь= - - : 13 )

12

(/ = -5

1

,

11

lJ = 4,5.

13.

ПРОШ:Р II j l'l tн
-

(-Ь)

=(I + Ј), ако је: а)

3

,

а=- - , !Ј= - ;6)

s

s

(1

=-3

]2

11 /,

=-2 ]52 .

3 ] 3 4 14. Изра' I Уl l ај: а ) - 1- - - ;6) 1 - 2 . х 4 7 7

5.5. Закони сабирања рационалних бројева З а сабираљ е Р::Щ I1О Н е I\СЛНХ

1.

6pojc ua:

зб.ip" Рl,злuка уоа Р(ЩIlОlfална броја је рационалаlf број (каже се Зllmооре" у ОУНОСУ

1111 сабира",е

2. ЗIlКОII KOMymQl~"je:"

9" је

11 оgузuмmье);

+ '2 = '2 + ' ,;

4.

= (г l .. (2) + ' .1; 311KOII Сllбирmьа с" нулом : ,+ о = о +, = r;

5.

ЗllКОII супротно' 6ројn:

3. :ЩКОЈ/ t1СOlс.Фщuје:" + ('2 + 'ј)

r

+ (-г) =

(- ,)

+r

=

О;

6. праоum, "ареу заfрауом МIIНУС":

=-/', - '2; ('! + 'Ј) = " - rz - 'з'

- ( ' 1+ ' ! ) " -

Н а I IР И М СР , до к а Ж ll МО закон К ОМУ I'аllиј с:

(1(1 /Је аЈ + Ье t;+d= /u/ + !Jd = ЬЈ = а

с

!Је

+ (1(/ Ье nЈ с (/ /)(/ = М+ЬП =(/+Ь'

] ].1 СJII1 ' 1311 11<1'1 1111 МО ГУ се до каз ат и ~I OCT
ff'

Пример 1 Изра 'lун(/ј:

01) - 3.4 + (- 2,5 - 3, ]);

о)

- 3,4 + (-2,5 - 3,1)

б)

2 (]- + 3) .

- 3

6

4

=-3,4 + (- (2,5 + 3,1)) =- 3,4 -

5,6

=-(3,4 + 5,6) =- 9.

2 9 8 - 2 -9 - 3 1 2 (] 3) 2 ] 3 S 6)3 - 6+ 4 =3-6 - 4 = ]2 - 12-12= ]2 = ]2 =-4'

Ј( о р н ш llе њ см ЕЕ<ШСДС НИХ заКОII
скуп

Q

Пример

2

1 ( 3) 5

Изрп " у,шј: - 12 + - 24 + 36·

1 ( 3) 5 ( 1) ( 3) (5) 1 3 5= 1 3 5) -6-9+10 5 (- "2-

- ] + -2 +3 = - 1+ - 2+ + 3+ - =- 1- -2 - +3+ 246246246 =(-] -2+3)+

4 + 6 =0+

12

=- ]2·

~ Контролна питања KQj/l J(lK(JI//I оаже за cl/611{JmfJe Р(ЩIЮШ/ЛIIIIХ бројС/fП?

"

Задаци 1.

] 11'011('1'11 ДOI JII! је

2.

).1,:1 1111 је

3.

II З Р;I'IУlщј:

0.2 5-

4

5

= -О.!Н

1

4

?

2 3 1 -8 - 4 + 12 3 " 5

а ) преТllараll,('М меШОIIИТl IХ бројева у н сп раllе ра З1Ю МКС ~I б) сабира љ ем r'Юсс6lЮ цел и х, а 1fосеб н о Р;lЗЈЮМЉСIIИ Х аеЈroВrI 1'I I Х бројева. Кuји је ()}( 011;1 /ща 1I0CTyr rKa јеД1IОСТ<Н\I-Iији~

.

23

4.

АКО Ј С а = -

5.

Акој с tl = -l.4.

6.

Дока Ж l1 lIа је

с

4

=-2

2 . . Jt зра'1УШ\ј а + 11 5

+ С, (/ -Ь + С, -а + Ь - с.

Ь =3. IIзра'IУllај (п -Ь) + (Ь - и), а - (Ь + (1), Ь - (/ - Ь. R

(1 > (2'

ако је

(r - (2)

О.

11

обраТ1Ю.

6. ЧЕТВОРОУГАО 6.1. Појам

четвороугла

Подсети се у [ I~T()M разреду СМО научили:

-

фltгуру У равни

'1111[('

праста затворена ШIlНlја

[1

унyrр ашња облuст одређена том линијом;

- МlюгоуГ
МНОГОУI'.ЮНОМ

JlLIIIIIJOM.

('.лик а

1

Слика

2

_ М IIOI" оу!' (ЮН;I Лlillија са три 113ДОВСЗ;lне дужи одреl)ује троу, " ,ю, са 'ICTIII'II дуж н ЧС'rLюроу,'ао, са пст rlcтoyrao ИТД.

Такоl) с СМО IНЩС)llI да је свака затгю рсна изломљена линија саСl';ШЉСII<1 од '1'1'11 дуж" l'I)ОС")";1. ,

те дакле одрсlЈујс један јСДIIJlН троугао . А како је, када З.IТIIОРС IIУ И3i10мљеllУ Ј11 lIнtју чин е IНIШС од TP~[ дужи, lIа НРIIМСР С[СТИРII? Мора ли такиа затворе ll а ЈНlIIнј'l YUCK бllНI проста? Уколико је проста, да ЛН одређује једзн једини 'IL'ТI:Ю-

POYI'
ћи оглед. Од 'IlIршl1(."Г Il:tIrнpa IЈзрежи моделе дужн ра3ЈШ'IIЈТIIХ ДУЖИllа СЛИЦИ

3.

(1

хао IIIТО је ПРlfказано на на Слllка

3

3

2

Слика

4

011(;' "дужи" he.\1O надовезивати чнадама са широком ['Ј1авом та ко да се ДУЖII слоБОдJlО МОI'У ОI(РСЋ'IПI ОКО 'IИОIЏI. На СЛИЦИ 4 приказана је К()]lстрУКЦl1ја једне такве II:iЈюмљсltс

!ЈIIНl1јс састањъ(;'не од ЮlДовезаних дужи чије су дужине редом

3,4, 10 11 2

центиметара.

Може 1111 се ова изламљена линија затворипr, тј. МОЈ"У 1111 јој се почетак 11 крај довести до

lIокл.нrања? Про6ањем се уверавамо да то I lијс МО['уће! Провери ца се ац наДовезаШIХ дужи дужина

која rшје проста (сл .

]2, 10,7

Ii

6

може саставити заТlюрСII<\ 1I1IНllја

5) .

ОД ИСП1Х lIУЖII може се саставити 11 IНlШС IIРО СТИХ затворених линија (сл. 6). ОЈ'лед IЮК
12, 10,611 7. Дакле,

чствороуr'ао 1l11jC јеДИН СТВСliO одређен дужинама својих СТРЈ.I-llща!

'"

"

,

'"

Слнка

5

"

Сл и к а

6

6.2. Врсте четвороyrлова Знамо да се део равни ограlll-tЧСIl простом з аТIJОРСIIQМ

мнаГОУI"аОНQМ линијом од 'IСТИР" дужи на:ШВil ЧСТ1Ю ­ роугао.

На сликама

7

11

8 приказана су два '1СТНОРОУГЈl а оз начена 8, С" Осу темена ' IС1'вороу гла Авео.

саА вео. Та 'Јке А,

Дужи АВ, ВС, СО 1I ОА су сmрmflще ' Iстuороу гл а . Странице ЧСТlЮРОУI"ла које Ilмају зајеДНl'I'IКО теме су

cyceglle, Слика

а које немщу зщсд -

НИ'-II<НХ тачака су н(/сйрамнс.

7

На пример. crраНJlце АО и ЛВ су суседне, а АЈ) н ВС су IIзспрамне.

УГЛDВI1

LBAO,

LAВC,

LBCD" LCDA,

који имају зајеДНl I'lк е та ­

чке са унутрашљом области 'rствороугла су У ГЈЈОВН чствораУI"ла. УГЛQВИ 'Iетнароугла су cycegHI/ 1111IJ IшсйраМНtI [" рсма томе да Шl су I{М темена суседна или несуседна темена tlСТl.lороугла .

ДУЖII (АС И

BD) Чllје су крајње та'lке lI('сусед на темена. су 9/1ја 8).

"

л

10нале четВОРОУ I'I1<1 ABCD (сл.

Ч етвороугао ј (' /(онвексан (ИСПУП 'lен ) ако за било које дне њеl'ОВ('

ОJII ка 8

Ta'IKe дуж

коју

оне одређују, припада 'lеТlЮрО УГЛУ . У супротном. четвороугао је I/с/(онвеК((1/I (удубљен). На пример, четвороугао АВСО ПР~lка зан на сmщи

8

HeKNНI('Kcall (на

Четвороугао

'IlIje

JlpllMep. су

дуж

MN не

7

је конвексан, а на СJll1Ц1'

нрипада том четнороуглу. а тачке М

HacnpaMll e странице

11 N

прнладају).

параЈlеЛllе назива се l7арnлелоiрам (сл.

ПаралеЛOl"рам Чllје су све страшще једнаке на ЗИ IЩ се ром6 (сл .

9 ).

10 ).

ГlаралеJlограм Koj~1 11ма све у гло"е IЈрацс II;lЗНВ<\ се nРОБОУlаOlfll/( (сл.

11).

ПраI:lОУЈ"аОIНIК 'Iнје су све странице једнаке је /(оаураm. ЧеТВОРОУI'ао кој и има један пар паралелних ст раНllца назива се mрnПез (сл . Четворо угао кој"

IIMa

паралело/'рам

СЛJlка

9

12 ).

по два пара суседн их једнаких стран ица назива се уеJlmОIlУ ( сл.

1311 14).

npaBoyraoHllK

ромб Слllка

10

0 1111\01

11

Ст lка

14

Ј1,елтоиДи

траl l ез

Слика

12

СЩlка

13

~ Контролна питања Шта је чеmвороуfllО?

111ma су mемена,

'llта сmрmlllЦС, а uuиа У'ЛОби 'Iсmвороу/Ла?

Које су сусеуне, а које I/nrпрm.f/lС страН1ЩС ' fсmuороу,ла? /11 l7iа су l)lIјаlОl/алс 'IсmIJОјЈvуiла? КаУIl је '1сmвороу,ао

l1lmn је

1(1)/16(,1(((//1,

а Kagll IICKOIl6CK((IU?

паралеЛViрnМ?

ЈЈЈ та је /юм6? ШllIа је ПР(160УfnOlН/К? Шта је KBagpm7i? Шmn је mраПСЈ? Шта је gСЛП/(JIIg?

N

Задаци 1.

На цртај једаl l 'I СТlюрОУ I"ао, 06елеЖ I I ЊС I'О1Щ темеll;) 11 ЩШСДII паро!!с ЊС I'ОIll I.х наСПР;I М­ НIЕХ ст р аница.

2.

Д
OAp('t)yjc

·reTBopoyrao? 3.

Нека је АВСО ' I СТllорОУЈ"ао . Увери се l\јП
AG

ГЈ IIОЛу ­

['раве са почеТНQМ T
садрже нијед но lI.('гово теме, секу у rщрнам броју Т;1чака, до к га полуп р.шс с.\ 1 1O'Ie-г н ОМ таЧКQМ

РОУ I'ла, које

IIC

N

у н утар тог 'I CТ BO­

садржс IIlIједно његово теме, секу у IIсоар ­

нам броју Ћt'I<\K",

4.

КОЛl1 КО на сл иц и

15 IIMa;

а) правоугаQlшка ; б) квадрата, чиј .. су

T('M('l la

"кружићи"~

6.3. Уrлови четвороyrла П Рll Мети мо да се Ч СТlю роу га о јсд­

I!OM ОД св ојих Ila д ва троу гла ,

којим а ј е Т
нала з аједни чка страll11lЏI (сл ,

16 ),

З н ам о да је з бир УГJlОI.I<1 св а ког тро ­ У l'л а

1800,

с

Ј)

A ~l ja l'o ll a; l a разл а ж е

А

л в

Слl l ка

16

"

Ј lосматрајмо 'lеТВОРОУIЋО троугла, Важи

LDAB

A8CD

ш слици

+ LABD + L8DA

+ LCDB = ]800 (збир углова троу,'/Iа

16 и подеJl11МО l'а дијаГОI1
ВСО) ,

Будуhll да ј е

LABC ~ LABD + LDBC, LCDA налщН1МО да је зб' I Р угло ва 'I~П:ЮРОУГЖI LDЛВ

~

LCDB +

LIJDЛ,

ABCD:

+ LA /JC + LBCD + LCDA ~ LDAB + LABD + LDBC + LBCD + LCDB + LBI)A ~ LDAВ + LABD + L IJDЛ + LDBC + LBCD + LCDB = 180" + 1800 = 3600,

Даклс, lIажlt СЈ!сдеliе,

Збир уtЛQба ' /(!Qlаороуlла је 3600,

Пример

I

Три уrлn ',еmбороуfлп IIмају pegoM

80", 65°, 850, КОЛIlКII је ., етарт ., у1ао? Да ЛII је тај ',еmво­

роу1ао КОЈ/оекст/?

Че1'ИРПI У l'ао ItЗIЮСН:

360" - (800

+ 65" + 850)

= 1300,

Ако је CfJ(JKII yl(lO 'lеmООРОУlЛа маљи og 1800. ',етвороу'nо је KOll61'KClIII Како су C IН1 у гло ви 'т етвороугла маЊII од

Пример

HMCllyj

1800, t 1 СТ 1ЮРОУгао јс конвексан.

2

'/сmвороуlnо 'lнјll су СОН услови jegHnKII?

Како је :iб нр СВ II Х углова

3600,

СIЫКИ угао тог чствороугла је прав, Дакле, то је rlpaBoYI'aoНf'K

(и квадрат је IIРШ.iOу,'аон ~,к),

Пример

3

Kog које1 'lеmбороуfЛf/ су H(lC(lpaMHIl уlЛО811 jegllflKII? Ако су lIа спраМ НII УГЛОВII једнаЮI, онда је збир свака два суседна УI'ла једнак да су lIаспраМllе страшще тог 'Iетвороу,'ла паралелllС. Дакле, то мора

611'1'11

1800, Отуда слеДII П<1ралелограм,

У,'ЛОIЩ које образују СТР'lница и "продужетак" љене сусеДllе ст раНllце конвеКСНО l' четво­ РОУI'ла на зltlЈај у се еllOЉЩ/lЊ/l УUlо(m

KOIII)('KCIIOf

чствороугла (сл,

17 ).

СIIОЈIkIШЊI I

угао

конвексноl'

'lствороу["ЈШ

У llоредаl! )е углу 'Iетвороугл:\ са КОЈ И М у

",

IIMa

::sајеДIIIIЧКО теме. Отуда слеД II да је збир С110~

У,

љаШЊ ll Х У I'ЈЮ I~а Ј еднак:

(1800 _

и)

( 1800_0) =

" ",

А ~--г---------------~L,,---L-----

+ (1800 _

Р)

+ ( 1800 -у) +

720 _ ( и+ р +у+ О ) 0

= 3600.

Д:lКЛ С, важи следеhе.

3бllР СПОЈЬаmНЈUХ у/лова КОIl6еКСIlО' ',еmво ­ роуlла је

3600.

С1l 1 11<<1 ]7

!'Ј Контролна питања /(олшm је збир утлmю Ilсm(ЈОроуlл(/?

ОПmШI п70љmllње у/лоос IШ/18ексноf ·/сmвороуfлn? КолаКlI је збнр Сflоља m Њ/lХ У1лова IшнвСIШ/ОI '. еI1i60роуiла?

м Задаци 1.

2.

Ако 'I СТВОјЮУI ' ао Ане/) има: LЛ

= 1200, LH = 400 11 LC = 700, КО)IИКИ је LD~

Ако с у СllOља lЈЈ I ЫI У")Ю IJl\ К ОД теМСIl З А, Н, С KO liHC KCHor ч еТnО РОУI')I ;t

1100'01 700, 1300, ]000,

КОJIIIКL I је сп ољаШЊII уг.1О к од тсме на

3.

У I'IЮ В И тра нсза, којl ! ~l аJlежу на к ра к , СУrl ЛСМС llТ l Ш су. ДокаЖ I I .

4.

ДЩI сусеДllа

5.

[(оји КОIIВСКСIIИ I[СТlюроу ,'ао има спољаll lЊС Y]')loue јСДllаке?

6.

З а У l'ло ве 'I t'творОУ I'ла lIаЖII:

YI'JIa

ТР'lIIеэ а су јед нака

/3

400 11 600.

= 2 а, У

=3 Р 2

AHeD јСДl 1 3ЮI

ре -

D?

К ОJlIIКl I су осталll УI·) ЮI.IJI?

и б

= 2/3.

Колики су У I'ЈЮIlII TO I' 'lстворо-

6.4. Паралелограм -

својства

З н uмо да се ч еТВОРОУ " ао '1l Јјс су н ас прамнс стра lllщt' II
ма исте врсге (о ба Оlllтра, У '"/ЈО Ш!

са

паралелннм

0601 TYll
крацима,

или оба праuа ), док су сус едни УГЛOlJJl наралелограма

од

КОЈИ Х

Је

JCJlUII

Qllпар, а ДРУ"И туп ИЛИ су оба пр ав а. У пето м ра з рс I \У смо

HaY'II1J11j

/Јг-.-----------г-7 С

)ЏI за УГЛОllС са lIаралеЛ НЮ,1 крацима

ваЖII:

-

ако су оба угла оштра

111111

06а туп а, T'IД" су

011 11 јсд­

н аки;

-

ако Ј е Једа в угао оштар . а

JtPyrlI

туп. тада су О Il И

СУ I'lлсме НТН II;

-

А

ако су оба угла IIра!!а, 01 111 су. liapa lH!O , )("1\ 11 (1.101 н

Сл и к а

СУ llm:МСI I ТlШ.

]8

ОдаТЈЈС закљу ч ујсмо слсдећс. Наспрам,," уiловu flflР(Iлелотрама су јеУllакu. а ,уесу"" суuлемеl/lllllU . ВаЖl1

11 СЈн·дсћ е.

tlellltJopoyfao .тји су т/спрам"u УСЛОВIl јеунак" ил" Пак сусеу"" уlловll суПлеме"mllll је ааРllЛеЛОlРам.

311<1 '[ 11, јеД IЫ КО СТ н асп рамннх углова је кара ктеР II СТ I['IIЮ свој ство [[араЛСIl0грама,

Паралсло['рам има н ДРУIЋ СllојСТllа.

Ншюш СбојСl1lв" а"ралеЛОIРtlма су: а) !Ја "ма је9,шке НlIсuраМlfе сmРtlНlще;

6) 9" 8)

"М(I 90е

IlacupaMlle сmраlllще је9наке 11 П(lр(/]lf~Лllе;

9а му се !]llјаrОl/але Полове.

ПРС,\lа праВ IIЛ У УСУ О IIOдударност и ТРОУГ11О ва

у"сри ћ е.\IO се да ва жи С l lOјСТ IЮ наведе но

[IO}, а).

Н ека је

== LACB

ABCD

п арал еЈIOI'р ам. Тада ј е МВС

IIC/JA, јер је АС = СА, L 8A C = L/JCA и = LCA!J. Отуда је АВ = О) 11 ВС = DA, Тим е је

"

с

прво својСТIIО доказано.

YBepl [MO

се да четвороуг;1O чије су наспра .\1Нt"

страН IЩС

jeJlllaKC

л = DA. Тада је мвс == OAI'OIJi'lp<1jyhe стра Н ИI(С jCДllaKe, 3ато је L BAC = LDCA, одакле слеД l1 да је AВlIC/J" ADIIBC. На ОClIOIIУ сл ике 20, pe'IIIM
Н СК<1 ј е АВ

fiCDA,

= CD

мора бllТII паралслограм . Ii

ВС

је р су ~[M с ос

) U III Ka 20

11 CJlL I K:I ] 9

Дуж 'НljJ1 је један крај теме паР'lЛе­ ла['Р.lма, а ДРУПI "подножје" 1l0PM
ДУЖII Il С

I)IICIII I;)

ll:1р3ЛСЛО Гр:1ма јед­

lI:lке су р;)стојању lI;)рал еЛIIII);: пра ­

CJllrK3 21

щrх КОЈе садрже н;)спрамне странице

IlзраЛСlю r'рзмз (СЛ .

21) .

~ Контролна питања КmШ Il {У IIlIСПР(јМIIII У'ЛООII паралеЛOlрама? К{//Щll су cycegl/ll УiЛООIl парал елоfрама?

Kojll ',еIIlООрОУШО IIма fl(lcapaMHe уfлове јеУllаке? Коу KOjcf ',еmвОРОУfла су сусеgШI у/лови суплемснmНII? Какве су IlIIспраМllе сmрmнще Парnлелоlрама? Ко!} које' '1еmоороуfла су / 1(Юlрамне сmраmщс је!}l/(/ке?

Kojl/ '1еmвороуll1О IIMlI !Јое насйрамне сmраl/Lще jegHtlKc

11 Паралелне?

КmШ(Ј је ме1;усобl/l/ оунос !}l/ја10f/аЛll ПllраЛСЛОfР(Ј,ма? КО!} којет 'lетвОРОУfла се !}Ilјаlоналс Полове? Шта су 811СIЩС Пар(/Лелоfрама?

ti

Задаци ~ Ако је ;('''31 1 угао П:ЈР3ЛСJl{)]'Р;Јма 600, одреди ОСТaJlС у,'nоnе. 2.

\i) 4.

J{OJ1lIKO оштр н х УГЛЩlа може Ј (;1 I1 ма I lа р аJlслограм?

3611Р ДЩl lН1СпраМlIа угла паралслогра М
5.

1IОК:ЈЖI I

да је чствороуr ао паралСЛOl'рам ако му се днјаЈ'ОНалс ПОЈЮl)е.

6.

Г!ОК
jCfIl laKC

и

ЦЕНТРAlIНА СИМЕТРИЈА

"' Нека је О IIза6ршш п'.ка. ПРOilзвољној

... ·IКII

М

ПРIЩРУЖIIМО Т:Ј.чку м' ИЗ СЈЈсдсћ" Ila'lIIH: м' је та'IК .. праве

111'11 чему је та'lка О срсднште дужи ММ'.

Ol'vl,

u

Та'IК<1 М' mlЗltвз се CllмеmРII'IЩ/ T;1'IКlI М У односу на Т;I'IКУ О. OBaKrIQ пр"дрУЖlшањс (['IРССЛlIкавање) на­

N

зивамо ЦСIlr7lраЈ1/Ш CIlMcll1pllja. Т'Ј'!К;.! О јс центар CII-

Слика

Ml!mpuje.

Пример

,\ 1'

22

I

Нека је mn'IIШ О пресек [/llјаfОIl/lлtЈ (lаралелофама ма А 11 В У ogHOCY на mil'lКУ О.

Ilpec/1I1Kaj

ABCD. Ogpe[Ju CIIмеl7lри'IНС mа',ке теме/т­

ПРОЮ8ОlЫIУ

m(l'IKY М сmрml/ще АВ у О!)I/ОСУ 1/(/ т(jtll\У

О,

ПОК;IЖНМQ ,{
дарну дуж. Нека су М 11

N нрОl13110ЉJlС тачке, а м' It ЛI' Њllма CLtМСТрИЧЩ' у односу Н3 тачку MNO троугао. ЧетвороУt·зо MNN' М' је паралслограм, јер се њсгоцс дијаго t tале полове. Отуда је MN M'N'. О (сл.

У

ПрС'ТпостаВIIМО да је

22).

=

OIlWTCM слу·taју, свака фttгура сс IIРIIМСIIОМ ЦСlIтраЛIIС cttMeTpttjc !IJ>ССЈlllкаЩI у н.ој подударну jeJtal1 цеllТРалном

фltгуру. Зато су, на прllмер, два УН;Н'lква )' 1'Лil јСЛlta"а (подударна), јер се

СlIмстрнјом (IIСlIтар снметРllје јс з;\једltll·t"о тсмс) пресJtlј"ав;\ на други. ФНI'ура која се ПРИ­

меном HCIITP;l)lItC симстри;с

ItpeCJIIIK;\lIa у саму себе 1I;131ltJа се l!снmрtIЛНОCIIАlеmРII'IIШ фlll'ура.

На

OCHOI:IY НЗllC)l,С!IИХ својстава, t t
~ Контролна питања 06јnт/1 ЦСllтралну шмеmРllју, II1rЛа је слика неке фlliУ1Је ако се

I1PIIMe/llI централна CIIMcmpuja?

Да ЛII је l1(/ралеЛОlрам ЦСIIГЩНlЛIIОCIIмеmРU'lllа фllfура? Ш1Ш/ јс центар СIIАlсmРllје (lараЛСЛVlрама?

м Задаци 7.

Да 1111 је цеНТРаЈIНQСlIмеТРИ'11ta фlн'ура:

.1) дуж; б) полупраВ
8.

Може)lll 1I(.'К;\ Ф11l"ура да има више центара симеТРllје? Н;щеД~t rчmмерс Т
I'YJ};:I, 9.

ако IIХ ИМ3.

ПРССЛlIкај ТРОУI"ао I1р"М С ItОМ ЦСlIтралне СlIмстрнје у ОДНОСу на центар ње l"ОВОI' Оlщ саtЮI' круга,

10,

ПРI l мењују Ј щ ЦС lл"рi1Л1tу једнаке,

CIIMCTpltjy

докажи да су наспрамне страНllце ШlраЛСЈ юr"рама

6.5. Врсте паралелоrрама ПРОУ'IИМО crща врсге 11арапслограма.

ПРАВОУГАОНИК

Подсетимо се ЈЏI је rlpaBoyraOIlHK lIаралелограм 'Н1јн су СН Н УГЛОВIt IIр
611

се УГIIРДИ ­

ло да је НСКII []
ДИ Т И да је један њеl"OН уl"1O

npan. Заиста, н аспраМЈЈН угао је

њему јед н ак, 11<1 је такође прав, као 1I њему CYCCA l1l1 У I 'Л О ВИ

"'~__________~~C

који су м у суплементни. Дакле, ваЖII следеhе тврђсње. l1аралелоtрш.1 коме је jeglfll Уlао прав је аравОУlаОllик.

HaBOA.-IМО Ilска Clюјсгна правоугаО ll ика .

,.,"" - - - - - - - - - " ' - ',"

ПравоуlаОllllК I/ма jeglUlKe УflјllfОllале. ДокаЖIIМQ ОВО тврђен.с . УО ' IIIМО IlравоугаОIlИК (сл.

С1II 1 ка

ABCD

23

23).

Г1Рl l меТIIМО да је дАве Тада је нараВlIO

ВаЖII

Ii

11

АС

== LlBAD,

јер је АВ

= CD,

ВС

= AD

If

LBAD = LABC

( 06а су п рава).

= BD.

следеће својство.

Пuралелосрам 'тје су 9l1ј(1I0нале јеУllаке је

I1P(lBoylUOIIIlK.

Довољно је приметlfТИ да је п оново д.ВАО

==

ссс. Отуда слеДIf

LBAD = LABC.

дАве па ос н ову правила

Но, то су два угла чији је зGllр

1800.

ДаЮlе, сваки од љих је прав. Сто га је АВСО п равоугаOl IllК.

Важно је и слеl{еће својство прагюугаоннка. С;ШКа

Око арmЮУlаmmкu се може оRllCаШu КРУЖНlЩtl . Занста, пресск дијагонала је центар

olJe

ВаЖII

обраТIIО.

11

К РУЖ Нlще (сл.

;eIL liaKo

удаљеll од теме н а праВОУ I'ао ника и

24

011 је

24).

Ако се око 11аралеЛОlрам(, може оиuсаlllu КРУЖIIUl~а. ОЈ/уа је (Нај паралело/рам apaвo ~

yfaollllK. Нека је О '-Iе ll тар кружюще

o rHlCaHe

око паралелограма АВСО.

Ta'I K3

О је

од темена А , Н, С и О, па се н алаЗIf у п ресеку снметрма дијаго н ала АС и нале паралеЛОI'рама полове,

11 BD ј еД II<1к е, 11<1

Ta'l l\a О је уп раво с реДlI ште днјаго н ала. ABCD праВОУ I'30 Н IiК.

је паралелограм

РОМБ

Паралелограм ' I ије су све странице једнаке н азива се ромб. За ромб паЖII следеhе својСТ IЮ. ДuјаfОЈ/але ромба Полове lfJе/оое у;лове и Ifормалне су меljусобllО.

Нека је Е пресек дијаr'онала ромба

ABCD

(сл.

25).

jCAllaKo удаљена BD. Како се Д lljaгo~

Тада су Д llјЩ'о н але АС

Како се 1lI1јагонале полове, б l1l'1е ВЕ = ОЕ. Уз то ј е и ЛВ

= ло 11

'~---o.C

ЛЕ

= ЛЕ, наје МВЕ:МОЕ. Отуда је LВЛЕ = LDAE, [[по ЗIl<1ЧI1 да Дllјаl'онаЈЩ АС I'ЈОЛО IJII угао ВАО . ОCIIМ TOI' a, LAEB = LAED, а како је збир ТИХ Уl"JlOl!а 1800, то су 06а угла п рава. ДаКJIe. д ~tj;l l'Оl l алс су lюр маJlне једна lIа Др)" 'У . На исти н ач и н се доказује да дијШ'Оl l аЈl а

АС ПОЛОВI I

LC, а

днја['онала ВО углове

LB и LD ромба.

л

На ОС II ОПУ О IЮГ својства в иди се да су п раве које сад рже дllја,'о-

11 Слика

25

наJlС ром6а н.СГО 8е осе С II .\1етрије. ВаЖII и CJlсдс ћ с Clюјство.

tJemfJopoyitlO 'mје се glljtlloHtVle 110лове

ft

ме/јусобllО су I/ОРМflЛllе јесте ромб.

Можемо закључ и т и 11 CJlсдсћс. Ромб 'lIIје су gllјlllOlfflле јеОllаке је кваgраш.

~ Контролна питања Шта јс прmюуillОIll/К? НаОС9U нска својства ("јрааОуј(/Оllllка .

Ш m(Ј је ромб?

Какве су g нја;ОН(Јле ромба? К09 којс! '1сmвороуlла се gllјarОlJале i10лове и међусобно су нормалllе? Какве су 9"јаfQнале кваораmа?

м Задаци 1.

Угао између СТР,ШIЩС

11 Jtијагонале пр авоугаоник з је 400. КОЈШКlI је у '· 'Ю IIзм еђу љего ­

ВИХ дија[·О .lала?

2.

КОЛИКО оса С l1мстрије Ш.Ш: а ) квадрат; б) праllо угаОНI1К кој" Нl1је КIJ<щр.iТ; В) ром б којl1

HI1je 3.

КlJадрат?

У "ао II змеђу ст ранице И ДJlјШ'онале Гl равоугаОПl1 ка је

300.

Докажи да је ј еД ll а страlllща

два пута краћа ОД дијагонаЈЈе.

4.

Којн 'leт l.IOpOYI·ao I[ма та чно две осе симетрије?

5.

ПО К
6.

П окажи да је четвороугао "lIје су CI~e ' l еПIР И ст ранице ј ед н аке ромб.

7.

Покажи да ј е

8.

А к о ј е теме Л паралелограма

'IC"TllOpoyrao

чија су т р и yrла п раВ
np
ABCD једнако УДаЈl.е н о ОД " ра ви х ВС 11 CD, да Jl" је ABCD

ром6?

9.

Ако се дllја гон але ч ет вороугла полове If четвороугао ромб,


ПОЛО Dе љего ве УГЈIOВС , докажи да је тај

6.6. Конструкције паралелorрама ] (од конструкција"" чеТВОРОУГЈI;} 1(0 ,\-'(, је ПОЗЩ1Т IIзвестаll број елемената подразум е ва се цртањс 1'01' чствороугла помоllУ шестара

11

Ј l сњира. Број елемената потребних Д
ПУНО одреДII четвороугао варира у заВИСНОСТI! од прсте четuороугла . Зна се да се спаКlI

'rCT1IOpOP";J.O

може разложити

на дrы троуиЈ;1

КОЈН

J[M~1JY Зiljt'ДJlIIЧКУ страшщ}'

11

да су, за

одрсђИНЈње (вакО!' ОД тих троуглова Iн::оm.:оЮIЈ, у ОПIIПСМ случају, тр" податка. За одре ­

t)l1вањс произвољног 'ЈСТlЮРОУГЈ[,1 ј-IСОПХОДIЮ је познавати пет података . За посебне врсте 'IСТIЮРОУГЛQва број потребних IlUдатаКЈ је ман.и .

Пример

1

Консmру"и/II паралело/рпм коме су йознmТlе (Јас сусеуне сmрmllЩС 11 jegall у/ао. Када се паралеllограм раЗЛОЖIf Дllјагоналом која се налази наспрам се од дапн;

CJlCMCrlaTa

LIaTor'

Уј'ла, I3ltдlrMO да

може КОНСТРУl1сати једна ПОЈЮLннrа llаРЈЈlслOt' рама

- Tpoyrao

одређен Датим страНllцама 11 захваћеНIIМ углом, При том је неопход~ю да даП1 угао буде мањи од опружено[' У[ '1I<1.

Тај троу,'ао се КОНСТРУИULе на CTaIТдapдaH наЧIIН тако што се ГlОлаЗII од УЈ'ла датом углу, и одреl)ују на крацима р и

q тачке В

и

D тако да

су дуж и АВ 11

L.pAq jeLIHaKOt· AD jeLIliaKe лаПIМ

'1 __~~_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _~C

L

1,

А

r

., Слика

ЛУЖ1lма. Та'lка ССС конструише као пресек кружница

kr(B, AI))

Т;Ј'lка С постоји и једина ј е уколико је д.I'fИ У " ао мањи од леJlограм, јер су му по конструкцији, наСJlрамне

YI'l1Y.

26

~[kz(D, АВ).

1800, Четвороу ,'ао АВСО је rlapa ст ранице jenllaKe, а L.A је jeLIrraK датом

Задат ак има тачно једно (јединствено) решење.

Пример

2

KOHClllPYlIlII1I flпРtlлело;р(/м коме су 110ЈШНllе l/tIлс Ј, 11

d]l/ jeglla

glljtlfO-

сmрm/ lща а,

Према својСТIЈУ да се Д I!јШ'О ll зле п а рзлелограма ABCD П ОЛО IЈе, III IДИМ О да се од датих елемената може КО I I­

СТРУ I ЮIТI I троугао ЛОВ (О је пресек диј агонала ), ј ер СУ познате све три њеl 'ОlJе Сl'раНllце, КОII С1'РУКЦllј а ј е

MOI'ylla

. 11 3JBe . ћа

када Је

од ДУЖI:! а,

Јl

2

и

Ј,

-

мања од

с

1)

~ " "

Ст ! ка

27

7

збира ДРУI'е ДI)С. Ка , ,,, се I IРJlм ен и с и метрија У односу на О, одрСДlIllемо преостала тсмена С 11 О. Добијен и четвороугао ЛВСD је паралеЈЮI'рам.

Задаци 1.

K O H CТ P Y IIW I I lыраЛ СJlОI'рам к оме су познат е д ве сус еД!I С ст раНJlце 1I д нј;I ГО Jl зла .

2.

KOIILIPYHWII

3.

l{o Hc TpYllum н зраЛ СЛО I' ра м ко м е ј е позната ј ед на ст р:t lllщ а, IlI lCI t ll
нарал еЛО I ' рам коме су поз н ате стра ШЩil, ДИ) iI ГО [1 3Л;l

1I

ј еД;111 УГ;1 0.

II

јеД;НI УIЋО.

4.

К ОII СI' Р У ItШII lIаралеЛ О I' рам коме СУ поз нате дијi.1 l'ОlIале Ii уга о

S.

I{ OH CТ P Y IIU.ILI ро м6 коме ј е flO3 11aтa страница 11 угао ,

6.

I{OH CfPY IHl.III

7.

I{ ОI 1Стр у Ltl.1II1 ромб коме СУ п о з нате дијагонзЈН.' .

8,

I{OIl CTPY"IIIII

113Mel)y

ЊII Х .

к н адр ат а ко м у ј е познап Дllјагонала .

11ЩХlлсло[' рам KOMt' су познат;! среД l1ш та ТРll ј у CTp.IНIНЏI,

6.7. Трапез Ч еТ UОРОУI'
28).

I IUрiUl СЛ Н С стра lНЩС су ОСI/О8 Iщ е, а друге две су "рm(l/

траПС3
1~;lM a

11 331111;1

СС IJI/C//If(/ mРtlаеЈtI. Дуж ина ВlIсин е једнако} ј е

растојаљу IIpallllX које сад р же ОСНОПlще тр з п еза.

СЛl t ка

28

Дуж одређена средиш тима кра ко в а произгюљног трапез а нази~а се среgUШНIJ [јУ)/( ((реуњ{/ линија) трапеза. Важи слсде llе. Сре!1иlll1lа gуж I11раiiеза је паралелна са основш~ама и јеунака iiОЛО(ЈUIlIl IЬUХОбо f збира.

Нека су АВ и СО основице трапе:ы АВСО и нека су Е и

F с редишта

кракова ВС 11

AD.

Н ека права, која садржи тачку Е и која је паралелна са АО сече праве АВ Јј СО редом у тачкама М и

N. Због LMBE = LNCE (као угло ви са паралелним кра ­ цима) 11 LMEB :::: LNEC (к ао унакрсни) биће дМЕВ == t1NEC, па је МЕ NE и ВМ == CN. К ако је AMNO парале­ лограм, то је ЛD = MN, паје и AF = МЕ. Како је и AFIIME, AMEF је паралелограм. Одатле следи да је EFIIAM, а тиме ~I EF1ICO. Како је ОNЕFтакође паралелограм, биће EF = ON == АМ, 11: ВЕ :::: СЕ,

=

2EF == AM +

ОN == ЛМ

+

ОС +

CN=AM +

Слика

ос + МВ ==А 8

2'01

+ со.

~ ( A8 + CD)

1'1':

2

Ако је један крак т р апеза нормалан на ОСНОВИ I\ е, трапез ј е ар(/(юуfЛI/ (сл .

!) г-------;с

30).

У том случај у тај крак

Је Једнак ВИСИНИ трапеза.

Трапез 'шји су краци ј еднаки и нису паралеJlНИ назива

се

mрm1ез (сл . л ~-----------'В

}С[јнакокраКII

3 1).

D г-------, с

Наведимо својства јеД Н;l­ кокраког трапез а .

Слика

30

л'---------' УСлови на основици јеgllакокраКОll7lраuеза

Слика

9' jegllaKU.

31

ДuјаrОllале jeg1laKOKptlKO l mр,mезtl су jeg'ItlKe. Нека је АВСО јед накокраки трапез са једнакнм крацима ВС и АО и краћом ОСТlОВИI \ ОМ СО. Конструишнмо праву која садржи тачку С и која ј е пара -

лелна краку АО. Како она сече прав у СО , сећl1 ће 1I њој паралелну праву АВ. Како је СО

< АВ,

D

пресе'lна "l"a'IKa Е

6иће између А и В. Трапе з АВСО је онда ра3Ј10жен на паралелограм АЕСО и т роугао Еве Троугао ЕВС је ј ед ­ накокрак, је р је ЕС и како је

LBEC

=

= АО = ВС Следи да је LBEC == L EBC, LВЛО, биће LBAD LABC, 'шме је

тв рђење д оказано. Увери се у тачност др уг ог тврђења.

=

"

Е

СЛIIка

32

"

~ Контролна питаља Шта је mраЉ:з? Н1та су QС/ IОб l ще, Шm(l је

(1

щiТiа "Р{Щtl mрnпеза?

cpeg",{/ лmmја

mраi1еза?

Какав је положај среуње Л/llmје mрmlеза прем{/ ОСНО8IЩ(l,\Ш? Колmm је gУЖfl/Ш среуњс Л lllmје raрапсз{/ у 09НОСУ Н(/ основице?

Ако су уlло(щ //(/ ОС/1081ЩII mрапез{/ јеунаки, ImК611 су му краци? Ако су унј(110Ш/ЛС mрапеза јсунаке, К(//(611 су

,\lY Kpm~lI?

Ако су КРfЩII r7iрm7сза јеgllmш, IШК61 1 су му уiЛОБU Н(I ОСНО6lЩU? Ако су gllјfllOlщле mрааСЈа jcgllaKe, IШКВIl су му yf1l0811 на основици?

Задаци 1.

Мт'у ЈТН ОClЮlllще тр
2.

Ако су ДУЖ ~III С ОС l IOВlща трапеза

{/

н Ь (а

>

Ь), а кракова с 11

d

(е ~ а), до к аЖl1 да је

с - (Ј < а-Ь < с+ff.

3.

Да }1II УI 'ЛОВI I на

Bcl10j ос н овици

трап еза морају да буду оштри?

4. Н:Ю'lраМII11 У l'ЛОfШ т ра п еЗ<1 су 600 и 11 0°, КОJlИК II су остали У1'JlОВ I1 ? 5. КОJllIКО ОШТрl1 Х углова може да I1ма тр а l Јез~

6.

Ако су ОСI!ОВIЩС трапсза ДУЖl1не 11 =

5 с П1

и Ь=

3 ст ,

КОЈl lIка је дужнна с редње JlIIНl l je?

7.

ОДРСfЩ 1II1 С l1llУ једнакокрако г т р апеза к оме су осноВlЩС

{/ = 6 ( 111 ,

Ь

= 2 ст,

а У1 ·ао I-Iа

IIсliој ОС I !ОВ I ЩI1 јед н ак 45 •

О

8.

ОДРСДI ! крак јсднакок р акor" "'раl1 сза к о ме су ОС Ј Ю DlЩС а ОСЈЮВlЩ 1 1 jCAJti1K 600.

=5 С111," = 3 (111 ~1 yг~l.O 1 1 а вс ћ ој

6.8. Конструкције трапеза /, Пример

I

КО/IClЙРУI/II/II mрапез кпgй су !Јате њеlОБС ОСНО­

вllце 11, Ь (а

> Ь)

JI краЦ/l с 11 Ј.

Р<1ЗЛОЖ II се ПРОН3IJољан трапсз на паралеЈЮ l 'рам

11 Tpoyr-J.O 1<;10 ШТО је "'ри казано на СЛИЦII

33.

ВIlД" се Д3 се добllјСlНi "РОУI',}О може KOH CTPY II-

саТII, јер су му страmщс а -

Ь, с

СЈIl1 I<;\

11 d познате.

33

ПОТОМ ]' а ДОПУНIIМО паР
Пример

-

Ь, с

11 d М:IlЬ:1

од збllра дру l 'С две.

2

КОllсmРУUШI/ mРllllез каиа су Познате њеfОБС ОПЮ81ще 111/ Ь, бlЮНI(/ 1111 jcgl!H крак (нпр . с) . КОllструltшемо најпре две паР~lЛелне праве

113

растојању јеДН
једној I IР<11.10ј I!з:tберемо тачке Л и В тако да је АН JCAlI
113 тачке

А КОlIстру"шемо КРУЖНlЩУ чији је ПQлупреЧНIIК једнак датОМ краку с. Ако Оllа IIС се'lе ДРУ " У паРаЈlеЈIllУ праву, 3
КРУЖНllце

D

једну од

и друге

lIараЛС'ЛIIС [ I раве, На тој flpaBoj одре­ дllМО та'IКУ С I l а оној ст раНII које је та'lка

IJ,

тако да је

AD

са

1) 1. l: D, г------~<_-.::.....--+-~t<_-

DC једнако

датој ОСНОИIЩII Ь. Према

KOllCTPYKItl ljll,

'It'ТBopoyгao

/,

"

А/ЈСО IIМ" ..... РалеЛНе страНllце 11 пред­ стаВЉ;1

Tpa[ IC3

ако су fl

11

Ь р"зличити .

ЗаЩlТак вма два, једно ИЛИ НII

JeAl10

РСIЈ[ење,

[Ј

"

i\'\

СЛ\iка

N

34

Задаци 1.

1{ 0ltСТР УII Ш II тр;;ш ез ак о су П ОЗ I\ аТII: ОС IЮ IНl uа, УI')IO В II IШ ОС tl О IlII I (Ј I11 IJII CI IH 3.

2.

I(О il СТРУ "Ш II трап ез ак о су поз наТII: основице АВ It СО, крак ВС 11 Д l1 ј а l 'онал а лс.

3.

I(О Il СТ Р У IIШ II тр:ш ез ако су П03 11аТII: ос нО!шца , 06 а кра к а

4.

11 ДI !j.JI'O Jl aJl a.

I(QlК'ГР У IIШII ;сд нак о к ра КII трапсз а к о су 1I0з н аТI1: ма њ;. ОС IЮВЈЩЗ, Щфll'о нала ( 1111 01,

11

В II ­

6.9. Делтоид

"

Четвороугао који има два пара једнаких суседних страlllща Ш311ва се gслt7l0llg (сл.

35,

АВ

= AD 11

СВ

= СО).

Тачке А 11 С су јеIlН<1КО удаљене од тачака В и О те припада­

ју

(IIMCTpaJJlI

дужи ВО . Како је права

KOj
садржи Дllја ­

r"оналу АС Сl1мстрала ДУЖII ВО она полови дијагоналу

BD

л f--+---------;~c

и

на њу)е IЮРМ
Према томе важи СЈЈсдсћс. Дllјаiо"uле KOIfO€KCIIOI gслlliоugfl У.1ајаМIIО су 1I0рмалll€ и

јеуиа оу УllјаlОНflла flолови УРУ'у.

СЮlка

Прсма покаЗ<1НОМ, права која саДрЖI1 једну Дllј3ГОllалу lЏ.'Jlтоида је ЊСI'ОЩl оса

35

симетрије . Отуда следи да су 11 11.11<1 НOlCllpaMH<1 угла !\СЛТQII/tЈ једнака, а Apyr"a

два ПОЛQвљена једном (сuмсmРIIЛf/ОМ) дијЈr"ОНЈЛОМ.

Пример

1

КонсmРУlIиlU gслmОl/g Kaga су Познате lbеТОfiС сmрmнще а 11 Ь (а нала

>

Ь) 11 СllмеmраЛII{/

glljafo-

d.

ОД датих елемената а, Ь и помоhу дијагонале

{I,

(1

треба КОНСТРУllсати ТРОУI' ао, а заТI1М I'а, rrpl1MeHOM СlIмеТРllје

допрrИТI1 до дслтоида.

~ Контролна питања Шта је (ЈС/НЋоuи?

KojlJ

•

пюјст(ю IIЛЩ gелmОl/g?

Задаци 1.

Може лн деЈIТUИД 611ТН неконвсксан?

2.

]{Оl-ЈСТРУНШИ делтонд ако СУ познате обе дијаlОНаЈrе и једна страН11ца.

3.

]{NICТРУИШИ ДСJlТОНД ако СУ познати Уl'лоrщ

4.

КОНСТРУИШИ ДеЈЈТОJlД ако СУ I IOЗН;IТИ У I ';ЮВИ

LA = LC, L.B

LB, L.IJ

11

11 страница АВ .

дl1јаl'ОН
BD

која припада

њеl'Оl1Ој осн симеТрИЈС.

5.

]{ОНСТРУlIllЈИ ДСЈЈТОИД ако СУ ПОЗIЫТИ уr')ЮIIИ

Ibl'I'OBOj

оси Cl1меТРI1Је.

L.B, L.J)

и I.Jlljal"OHaJl<1 АС која не I1Рlll1ада

7. РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ 7.1. Множење и дељење у

5.

разреду смо научил и како се МНQже iI деле раЗЛОМЦI I . Множеље

11

дељење раIЏЮ.' ЗЛ­

III1 Х бројева у КОЛl IЧIIII ЧКQМ запису дефиниш емо на ИСТII НОI'IIIИ. а

с

Ако су Ь

11

d

Р(ЩIIОIIUЛ Н II бројеви,

"

а Ь

mtlqa је:

: с =аЈ d

Ьс

а

с

ь

d

=

ас

bd

(ао!} условом с :# О).

у ствар", ако ДС фИllиш емо реЦUЙРo'l(l/1 број рационално,' броја

d

> деље ље

с

d

раЗЈШ ЧЈ1ТОГ од нул е ка о

се С ВОД И на МIIQжсње AeљeHIIKa са реЦИГlрО'I IЮ М вредношt1У ДСJlllOца.

с

Пример

1 . - ) 4 _ .2 -;

Изра чуна}

ПО дефllНИЦllји, НРОИ 3 ВОД ј е једнак

ПРlIмер

нн 2· (-5)

--4

- )0

2 5

2

Изра',у,mј (- ~ н н ПО дефннициј~1 је

(

-i) (~) =(-i}~

=-

~.

Понекад КОII11'IIII1 К рационалних бројева !шшемо у 06Л1 IК У gBojlfOl разЛQмка (KOJl/l'lHI/Ka):

ОЩl1lде С)IСДII следеће 111'31.111110.

Двој1fl1 р"зломак се IIзра"унаба l11ако IllUio cr "РОIlЗ80У "сfiо/ьalшыlx бројевn" (бројIlОl(11

yeJbellllKll 11 'WCHIIO'(II уеЛllоца) fiоуеЛII аРОllЗВОУОМ "У"уl11раllllbllХ бројrВlI" 11 бројllOl(1I 9СЛllОI(lI) .

(U,\I('/",O.(II

YCJlJellllKl.

ИСТО IIpal!1I!1O је ваЖIIЛО 11 за 11О3НТIШl l е разломке.

Пример

3

3аПl1ШII двојНЈЈ pa3JIO~l aK:

-2

24 9

У оБJIIIКУ разломка. Решење:

-2 3 4 9 у прим еру

1 оба

= (-2)·9 = -1·3 = 3·4

1·2

3 2

'Нl I НIOIЏI су бllла не l'аПlВ н а, а l'IРЩI З IЈОД је био п озитиван. У IIРl1меру

2

деље НII К 11 делнлац су бllЛН разл ичитих знаКОl!:.1, а КОJlИЧIТИК нега тиван. Да ЛlI то ваЖl1 11 У опште", случају? OДl'OH OP је потврдан .

Ако су 9б(l рmЏlOllална броја "сто, ЗНIIКn, IbIlXOB је ПРОII:Јбоg

(11

КОЛII'flmк) fiОЗllllilllUШ . Ако

су Шll6ројебll раЗЛlI'llIfflОf Ј/тка, /ЫIХОб је UрО"3боg (" КОЛII"'/IIК) Hefai1i1l6t11f. ВаЖIl" обрат.

ДОIJОЉIЮ је увеРИПI се да је ( -~ ).~ = -(~.~). з.lIlCта:

I [Рбl а

овоме, до реЗУ"Т
ђујуll11 зщ\к резултата

JI

Мllожећи (делећl1) аПСОJl УГllе tJреД l lOСТИ датих број е ва 110 пр:шltЛУ

МllOже l l,а (дељења ) разломака.

110МI/ОЖII

-3 ,4

11

1,Ј .

311ак прОl13вода је -, јер су бројеНI1 раЗ1НI'IИТОГ знака, а производ аПСОЛУГНIIХ вреДНОСПI је

3,4' ',! = 3,74. 3ато

је резултат множења

-3,74.

Пример

5

ИЗРО"УI/ај ( -~)- (-{), 2). Знак резултата је

+, јер су 'IИНИОI~И

истог знака, а а!lCолутна вредност је:

Да JlИ :-Ја овако уведено мн()жсњс у скупу

Q наже слеJlећи закони:

а ·Ь = Ь·а

КОМУJ1lаiПuвf'ОСШ

а · (Ь ·с ) = (а · Ь) · с

аСОI{ијаiПшmосl1l

УIlСl1lрuбуfflUб1l0Сl1l у оуносу l/а Cflбllрање

а о (Ь+с) = а · Ь+а о (;

множеlье ЈеgllНlщо/tt

10"=(1

ЛЈIfОЖС1Ье нулом,

који су важили за множење у ску пу

Z?

ОД I ОО IЮ Р је потврдан и лако се може доказати.

На пример, докажимо дистрибутивност:

m(р+ :..)= ",(ps+qr)= m(ps+qr) = mps+mqr = mps+ m(jr =mp+mr = 1II.f!..+ 111. r "

(ј

s

I1

qs

"(fJs)

"qs

nqs

пqs

Покушај да докажеш остале законе, тако да они важе у скупу

Пример

IЩ

IIS

"Ц

fI

S

Q.

6

Пронери закон асоцијације на изразу (-~} [!о ~)Ј (

Директни ра'IУН даје вредност

-

3.4)=-23 0-35 =-,25 (- _2)3 .(- -4·5

док је

Резултат је исти у оба случаја. Примећујсw да смо арво скраћl/оалu разломке, па онда множили. Тај редослед радњи упроmћава рад са разломцима.

Коришћсњем наведених зако на могу се уВРОСТИТИ неки и зрази It лакше израчунати ЊИХ()­

....

ва ВредНос

Пример

7

изр." у".ј (- ~); + ~ (- ~) Прим с њ уј ући дlt ст ри6ути в ни закон , израз можемо напи сат и ка о:

H-; - ~] = ~(-I) =-~ Пример

8

ИЗРUЧУlluј -З,4 ' 1,2 + 1,6{- I ~} Како је

- [ 1 = _ ( 1+ 1)= _ 6 = - 1,2, 5 5 5

израз је једнак [(-3,4 ) _ 1,61 . 1,2 = -5 ' 1,2 = -6.

~ Контролна питања К(lКО се множе Р(lЦlIонаЛНII бројеви уаји" у облuку раЗЛОМК(I 11 gСljuмаЛ /fОl заflllса? Како се оуреljујс з нак йроuзвоqа ува раци о нална броја? Како се усљењ е раЦIIОI/аЛI/llМ бројем РlUличиШIIМ оу нуле своуи на множење?

Како се юраЧУl/ава бреgl/осm арОU3боgа Уба раЦUOlIllЛllа броја оqреljивmьем њеlО801 знака 11 аt1солуmне вреу"осmu? Како IШЩ: ЈШШI/II KOMymaIj1lje, асоцијације, gисmрибуцuје, МliOжеlьа јеуиlfицом I1 нулом, Ја Мllожење P(lljllO"/U!"UX бројева?

N

Задаци

(_1)_.

2'

2.

6)

~. (-~) . и) ~ -(-5 ~)_ 45'

5

П ро ве ри 3а КОI I комут.щиј е множења за

5

,

2 (1 =- -

1 2

и Ь =- l - .

3. Прове ри за кове асо цнјације и д истриБУЦ llје множења п рема са611раљу за а Ь =-2

1

3

,11

=- -2 , 5

4.

И зра' IУ ll ај ЧН1 'I ет вртин е од

5.

КојllМ бројем треба П ОМ НОЖИТl I број

6. Kojl l 3 Iј :;н.;

MIIHYC )Џle де веТlI не .

~I Ma КОJllt'ШИК бројева: а)

2 7. И зра'l у нај: а )

-2 . б) 3 '

4

2 да се доБИЈе]? 3 4 5

It

3 . 6) 8 '

3 7

"

1 9

3 ~

1

-

4 2

~ Изра'IУllај:

~,( -o,25); 8

10.

ИзраЧУllај:

11 .

Колика ј е ш еСТН II
1;

(-0, 1),(- 0,00 1); _ 5 -0,4

=( - ~J

.,

1 --,

2(1 2)

@ И зра'I У I Јај: - ] - : - - - . 3 2 3 14.

Може)lll К ОJIII'IН II К д ва раци о н ал на б р оја да буде већ l l од 1I>LI XOBO I' пр о щшода ? I-Iа веД l 1

ILPltMCpC.

7.2. Изрази са рационалним бројевима у (кун у

Q и з водљ иве су с пс 'I СТИРIf ра'l унске Оll ер~щиј с ( и зузета к ј е дељење н уло м ). Зад р­

жа lн:м о 11 старо ПР3 IЩ) Ю по к ом е су множењс и дељеље у 6POj CI!HOM и з разу у к ом е н е м а за -

['раЩI "старије" радље од саGирања 11 одузимања. Н" НрИ МСр, уместо [(- ~). 41+(3 :5) ПII25)

. ] 4 3 5 Iн е м о )('ЈЏlOставно _ _ . _ + : 2 5 4 6

'1 6

и ЩНI 11зра'IУ, I ,ша l l ,У Il ајп ре вршимо М I ЮЖСII, С Н l (сљ е I ЪС, а

IЮ ТОМ сабирање 1I ОJl уз им а ње . Гlо казаћсм о на пр" м срим а ка ко се И З Р.I 'lунана вред н ост CJl(.)iKCНlljIIX и з раза са ра Ц IIонал­ IIII М бројевим а . У КОЛl IКО се у И :i разу користе

1'<131111

з.ЩИ ClI р а ционалн их б рој с ml , треба и х

' IРВО с ве превести у I I (ТИ ( 110 I'од н.нјн ) З <1Ш1С, а 1l0ТО ~1 се 1"10('1'('11('110 ослоБОД IIТII 3
(ра "У IIОМ IIЛ И КОРlIlнћ С II>С М YТ B pl)C HHX закона ) .

Пример

1

ИзРt/'Iун ај

opegllocm

IIJраэ{/:

(2~- O,25}( -~ )-(1 ,5 3

]Ј

4

4

Помоћни рад: 2- = - ;

]],25

2S ] = =]О[)

_ н

]5

1, ;:' = -

] (]

4

3).

3 =

2

Даље ј е :

(2~- O,25)( -n- (] ,503) =( ~] - ~)( -o-(~ ] (] - 2

9

4 3 -5 9

2

3)

_ .- - =

И СТ I1 Il р ll м ер је м огуl'н: ре ШII"'И MaFllIJI

за llltC:

3

2 =2,75, 4

11

на ДРУПI l-I а '1I1I1 , 11ренодс ћи нај пре све број е lЈе у ДС ЦII ­

,

- ~ =- 1, S, па је за дати и зра з јеД II
(2,754),25) , (- ],5)- ( ],5 ·3)1=2,5 , (- ],5 ) - 4,5 = -(2,5 , ],5) - 4,5 = -] ,66 ... -4,5 = --6, ] 6 . А ко р езултат

- 6,166 ...

"уз м ем о " с а бl1JЈО 1<0,'1111<0 I~С IЩ М
КЉ У 'l уј с мо Д3 су Ilзрач у н а нања с а разломцима увек 'Г<1'Ш(l , док изрзчун:шаље с а Р'ЩJl О Н;lЛ­

IIИ М б рој е Юl м а у деЦИМ :lJl1 Ю М запису ( тако I I :lј 'Е с шћ с р аде каJlк улаТОР ' I ) М О " У 6 11 ТII ПРllб­ Jl И Ж II :l .

П ри мер

2 1 3 3 2 (2a - b):c+ - d ,за а = - I - , Ь= , с = -2 4'

И з ра ' I У I~ ај вреД II ОСТ и зраза

R

3

11

d = -0,2.

редом део по део:

Pa 'IYllaMO 211 -

2

Ь = 2 ' ( - 1~ Ј - ~ = - 2 . 181 _ ~ = _ ~I _ ~ = _ 3~; 8 = - ; ~ ,

(2" - b) c=(- :~H-2~)= :~~ = :~~=;;' ~J =~(- I~)= - ~ ~ = KOlla ' [I\O

3 10

(2а _ IJ) :с+ 3 d = ~_ ~= 4 1 0 - 8 1 = 329 = I S9. 2

27

10

270

270

270

~ Контролна питаља Које су све pa'IYI/CKe paglbC и380уљ иве у скуау

Q?

А ко у Зllgа mку lI eMa заiраgа, које су ра 'lунске рауње йр"орu шеl7i l/l lје оу 9РУlIlХ? Како се flзра'lу"авQ opegHocm броје8но l израза у ком е се Kopuci11 e Р/lЗЛlI ·ш m ll з аlll/CII ра цuонал ­ них бројева ?

м Задаци 1.

И з ра 'I У ~laј nрсюlOСТ и з раза :

_ 12 - o,s.(!3

2.

И з ра' l у н ај в рсДlЮСТ из раза: а ) ( а- 2 Ь)

акојс 3.

\: 1).

3 4 3

(1 =_2 1, 3

б) а: Ь

С'l став и 6роје вни и зра з и израчу н а; њего ву

- 121 и 1

ОД збlt ра броје!! а

1,4 0. 5 3

и

2

- -3

+ Ь ) , IJ)

2а

+ 3с :

Ь,

- \, 5

IlpeAHoCT Il peMa СlIсдећ им ис кази ма:

-0.1

3, 5 7 4. 4 13 :- + .4,8 8 3. 9 4

-

26· О , 8 - 20, 44: 2, 8

1

"8

ОДУЗМИ Њ И ХQn з б и р ;

одуз ми мањи од Њ ИХ ј

г) маљи од броје8а _ 4_ н 0 ,5

И з ра 'I У ll ај:

С · (а

- 2, 6 одузм и про и з вод т и х број ев а ;

б ) од КОJlИ' l l l ика бројсrl3 - 24 и

8)

-

Ь =- 1 ,2, с= 0,5 .

а ) ОД ра зл ик с б ројева

4.

: с,

l!Одели Ilсћим од IbIIX.

8. ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНА ЧИНЕ

8.1. Једначине у вези са сабирањем и оДУзимањ ем П ОДСЕТИ С Е У 'I СТО М р аз реду смо ; ед на ' I И l l з ма по н еп оз натој ( променљ ива;) х на зивал и ј ед н акост и које садрже н е позн ату х. С ва ку вредн ост н е поз нате х која дату ј еД II
jelt lla KOCТ, тј . за кој у је л е ва стра н а ј еднакости ј ед н ак а дес н ој , наз ива мо решеlbС ј сд начине.

1-l а rlOмиње м о да се Il с п оз н ата нај 'l с шhе оз н а ч ав а са х, ал и да м ож е б и т и 03113'ICl1 01 н нек и м ДР У I 'ИМ СЛОВОМ .

Пример

1

ЈеД I Ј а кост и 2.х

Пример

- 4 = IО

и

7

+х =

3k - 6 = 2k

3

Б рој

ре шењс ј ед нач »н е х

м е ни б р ој

Број

су Јед н а '!ИIIС са н епоз нато м х.

+ 7, н е l'1Оз н ата је k.

Пример

Пример

+7

2

у ј СД~l а чини

5 је

х

5. добиј е

+ 12 = 17, ј ер је 5 + 12 = 17, тј.

када се уместо II СIЮ 3 11 ате х за ­

се Ta 'lН a б роје виа једнакост.

4

= 4, ј ер је 3 . 3 = 9 ~ 4, а б рој ев и 2 и - 2 јесу решења дате ј СДllа Ч Иll е, ј ер је 2·2 = 4 и (-2) · (-2) = 4.

3

ни је реш ење ; ед наЧ ИlI С Х · х

Пример

5

jeAlla'lII ll3

х

-

х

= - 10 н см а рс щ с ња , јер је, м а

стране јеДllа кост и увек О , а десне

-10.

кол и ка била вредност броја х, вредност леве

3 н а '[И да не

nocrojlt

lI иједа ll број х такав да је х - х

=-10.

Пример

6

4, јер је 6 + (4 + 3) = 13 Jt 9 + 4 = 13. Рсшење датс једначине је и број О, зато што јс 6 + (О + 3) 9 и 9 + О 9. Провером МОЖС .\10 показа Решење јСДllа'lJlllе

1'11

6 + (х + 3)

=9 + х

је број

=

=

да је CllaКlI раЦIюналан број рсшење дате јеДll а ' lIlн е . /еДН
РСI I.l СI

1,3.

+ (/

у 'Јетвртом разреду јеДШ1'lИне облика х рсшаВ3Л11 смо у скупу

N o,

= Ь, х - 11 = Ь ]ј

(/ -

х = /Ј (х је IIС (lОЗ lll1m број),

а у петОМ р,IЗРСДУ У скупу ненегаТИflf!lIХ разломака. /сднаЧlIне

I l аведеШIХ оБЛ lI к а рс ш аВ
1-I с l103 11 аТll саб l l рак смо одређl l 13
При том смо видели да У СКУ I I)' и јеДfl а 'lнна

11 -

Х

Q+ јеДllачина х + (/ = (f < Ь. Сада,

= Ь IleMa реше ња .ш о ј е

ь не.\1а решсња ако је

11 >

Ь. исто тако

када С;<.IO УПОЗ l l ал н СКУII par( I IOII
бројС1l<1 JI ње l'O ва Clюјства, наше )'Ю I 'ућI ЮСТН су з н ат н о всће. Ј СД I l
1 1мају решења.

Q

Пример

7

Ре ши јеуиа'I/lIIУ х

OI3Y једначину

+ 7 = 18.

ус п ешно смо решавали у претходним Р
рак 11 добl lја се када се од збира Б рој

1 1 јесте

одузме ПОЗНGТИ сабирак

ре ш ење Да те јеДll а Ч l l l l С, јер је

Дата јед rr а 't lша у скупу

Пример

18

N

има решсњс,

7.

Дакл е , х

= 18 - 7 = 11.

I 1 + 7 = 18.

Ila IlpeMa

томе има Ј 'а 11 у скупу

Z,

Одно с но

Q.

8

Којll број треба Cl16paтll са

15, 911 611

се gо611ЛО

6?

=6. И У овој јеДI-lа'ItНЩ број х јс НС I'!ОзнаПI 1I ОДУЗ l lМан,а, добllјамо I'а када од з6 1 11':1 6 = 6 - 15 = - 9. 3аКЈЩ'lуј смо да је траЖ С lll1 број - 9.

Ако т ражеН~1 број оБСJlСЖНМО са х. онда ј е

15 + х

са бирак и КО Рll сте t1И всзу нзме l)у са б и раља одузмемо познаТl1 еабl1рак Занета,

15. ДаЮIС,

х

15 + (- 9) = 6.

ОЧНГJlСДНО је да ова јСДН,lчина У СКУПУ ' 11111<1

II"-Iа решење.

N o нема

рсшења, али у скупу

Z,

ОЈЏIOСIIO

Q,

)СДII<1-

ПРlfмер

9

Трmп7iОРllсl7iа је плО/тР(lО У(l Ј(I јеуаlJ уан йооре 110Л(l своје IbЩЈе. Ако је уо а0УНС УЈОјЈflО

3

13 lыltщ колико МУ је оп7lаЛQ уа пооре После Поgне? Лко НС Н ООР ;l.1 1I! д ео Ib и ве 0311;1. ' I I1 М О с а Х , онда је х

+

3

13

=1

у доБТlј е н ој ј еД I Ш 'IIШII II С I10 -

2

зна Т II број х је сабирак и кор"стеl'НI свој ства саби р ања добијамо I'а када од збll ра одузмемо П ОЗЩIТIi саби рак . Дакле,

х

=

]

- -

2 .

да I IOСЛС п од н е п ооре ЈОII I

Пример

7 26

3

13 - 6

= --

13

26

=

7 . 3аКЉУЧ УЈ.е;\ю да Је . "' раКТОР II СТ I I

остало

26

Њ l ше.

10

О!) кој броја mре6(1 оgузеl7i ll број

0,75 ga 611

се gоБLlО број

7 ,

5 Ако траже ~1Н број 03 l1 а чи мо са Х, OIща је х

б РОЈ. х Ј.е ума њеЮIК 11 са

умањио цем

О,

1 · 1 11 С ВОЈ ства

к о р и сте

7 :Ј" = -3 .

Дакле,

х=

4

ч'аЖС Н II број

Пример

- О, 75

7 = 5' У доб иј еllО; ј ед н а Ч lII1II

одуз и м ањ ,\ до

6 11 Ј.а м о

l " а к ада р азл и ку

7 5

I! СIЮЗН
б с ремо

28 + ]5 = 43 = 2 3 . 7 3 + = 5 4 20 20 20

2 3 20

11 4

РеШ/l јеУIl(l'lIlJlУ" 3 - - х

7

= 5.

у датој једн а'III НИ број х је не п оз н ат и ум аЊ I1 Јl аl ~ 11 кор и стс l'lI1 својства одузш.ta ња добl lја ...1O

Ј'а када од умањени ка з4 одузмемо раз.fIИ КУ 5. Да кле, х 7

= 25 _ 5 = 25 7

7

35

= _ ]о = - 13 , 7

7

3

3ак љу "ујем о да је непоз н а ти број - 1- ,

7

• Y6YlIyl\t:. јеДНЈЧШIС rr rrcjcIIrrJ'llIIle трс6;1 реlшшаТl1 у

р,еШ;IIIЈhемо у (кулу раЦIЮIIШ1I1I1Х

IICKOM ДPYI'O~1 скупу.

6pojella ако (е у задатку I lе lIагл.КII да их

Напомена,

4

4 6 рОЈсве ·

у датој ј сднач ини

-

З - - х=5

з - и -х

7 сабиркс, l'lа би сс тада сабирак

-х

-

МО I'ЛИ

смо ЈIOсматраТl1

као

7

х добио као ра$Jlика зби ра

и другог сабирка

5

4

3 . Дакле, 7

4 3 3 = 5 -3 - = 1 ,Како је не познати број х супротан броју-х, то јсх = -1 - , 7 7 7

Три претходна примера практично обухватају спе могуће СЛУ'luјеnе јеДllачина у всзи са сабирањем

11

одузимањем раl~иоваJlflИХ бројсnа, тј, случајеве юща је непознати број х саби ­

рак, умаље ни к или

облика х

+а =

умањилац, Даклс. ~13 датих

Ь, х -" = ь и а

-

npllMepa

видели смо как о ЈЏI се ј СД.l'tа'ЈИне

х = Ь реша вају коришh ељем веза између саб ираља

11 одузи ­

маља, ~I то:

рсшење јеДJlа'щне

х

рещење )еднаЧИllе х

+а

-

а

решсњеједна'lИне а - х

(1

= Ь је број х = Ь -

= Ь је број х = Ь

=

а, ј ер је (Ь

+ а, јер је

а)

-

(Ь

+а

+ а) -

Ь је б рој х = а -Ь, јер је а- (а- Ь)

а

= Ь; = Ь;

= а-а + Ь = Ь,

Контролна питаља Како се решавају

jcgllll'tllfle обли ка х + (1 =

Да Лfl се решавањс jcgNlI'/UHa облика х - а само

jegl1a'/ll1Ie

облика х

+а=

= Ь, а -

Ь, х - а

= Ь (а, Ь Е Q)?

= Ь, а - х = Ь (а, Ь Е Q) може свесiП11 lIа pelllanaIbe

Ы

у чему се разликује реl1lавање јеqначшш Qблика х скуйу

х

+а

= Ь, х -

а

=

Ь. а

-

х

= Ь у скуау No 11 У

Q?

Да Л11 свака

jeg1la'llllla

има решење?

м Задаци 1.

РсшијеДllаЧИllС: а)х+

2008 = 1389;

2.

Марко је ду гова о Јоци

74

nYI'yjc 3.

Марку

37

б)х

-17 = 46; 11)

23 - х

= 67,

Д ИЩlра, Колико новца је Марко вратио ,оци , ако сада Јоца

дина ра?

Јуче је температура била _3 С, а данас је +5 с. За колико се степе ни променила тем ­

0

0

Ј'lература?

4.

Одред и решења ј еДН;1'lина: а)(х -

5.

17) + 25 = - 13;

РСIIIИ једна'/Ине: а)

х

б)

3

+-

4

32- (х - 45) = - 11 ; 2

=- ;

3

В)

7 - ( 19 - x) = -24.

x-

-2

s =-0,45

7

6.

KOJIНKO реше ња имају ј СД I1 3' "III (': а) х - х =-

7.

Одреди број х тако да наРСДl l С јСДll3КОСГИ буду Т
3

4

.1) S - X=9

19

; б) x + x=2.\'~

3 9 6) - "2- х = I,S; и ) s- x=-o,75.

8.

Реши јсдml 'rин е: а) х

9.

I-I а једно м тасу !Јаl'С је

2

3

5

4·

+I =- 2

3 5

б) 3 - -х = 2

.

1(

1 . 11) 4 4· 2

3) = 2 2-

х+l -

4

3"

2 3 - kg, а на д р у ю м kg бра шн а. Колико брашна Tpl-Ua IIРС I-I СПI 5 4

са једног на ДРУП I тас, 03 да тасови буду У ра IIНОТСЖИ?

8.2. Неједначине у вези са сабирањем и одузимањем ПОДСЕТИ СЕ у петОМ разреду СМО IIcjCДIIa'lIlВaыa

110 н еrюз н ;хгој (проме нљ ивај ) х назвали нејеДllакости

које садрже Ilспознату Х. СII<1ка IJРС}1,IIOСТ н еп озн ате х којО1 дату IIС;СДIl3'IIIIIУ rl pCТllapa у Т3'1I I У 6 ројС llll У неједнакост IНIЗИ1l3 се рсшењс Itејеgltцtf/ЩС. Скуп СВИХ ре ш ења I IС;СД I IOlЧ IНI С на:'!"В;] се краћ.е решсњс н ејСД llаЧИII С . Наrr омињемо да се н епозната ~lајчеш l1 е

03H3' 131.I<1 са х, а11l1 да може бити o311a'IcIIOl и li eK~IM

ДРУГИМ СJlО IЮ М .

Пример

1

Н сјСД l1 3КОСТ И х -

Пример

3> 5

и

7

+х <

15 су н ејед на'IИ.I С 110 II СnОЗl l атој х.

2

у нсјсдначини

16 - k:?: 9,

н с п оз н ата је

k.

Пример З

Број 10 је

jCAl10 решсње нејеДIЫ'lине х + 12 > 17. јср јс 10 + 12 :::: 22 > 17. Број (-3) није (- 3) + 12::::

рсшсњс дате нсјеЩlа'IИIIС зато ш то се после заме.lе добија н стачна нсјеДllакост

9 > 17. CКYII СВИХ решења ове IIсјед.lа'lине чине сви рационални 6роје ви Beh~! од 5, јер када јех > 5,онда ј сх+ 12 > 17.

у претхоДlШМ х-

(!

разред и.\1a смо решаваЛlI Jlејед на'lIIн е оБЛЩ'<Ј х

:5" Ь, х - ,, 2: Ь,

(1 - Х

S Ь, а -

+

а

:::;

Ь, х

+

(1

~ Ь,

х ~ Ь, I'де су а 11 Ь бшllt 113 скупа ПрllрОД lIlI Х бројева НЮ! IJен е ­

l'
је постојало само у [lOсеБНIIМ слу '!ај е-

1\11,\1;1. Као код ј('Ј\lIа'lIlна, и код

м\.н·уI1НОСПI су З IЩТНО вспе, ј ер Щ·.\I;lМО

!lejelllla'IHHa !lcjeI\H;I'II IHa У скупу Q

о граlНI' l е ња каракте рllCПI'I IНlХ за ПРСТХ ОД llе снтуацнј('. С ве осоБНII(', заКОШIТОСТI1 11 везе 11 3.\1 еђу саб llрања

11

ОДУЗlfмаља, које смо уо<шml и КОРИСТIIJIII П РlIJlltком решаlЩIЬа

11 l!('јеЮ1:.\'lllна у СКУIlОВИМ:.\

N

11

No, односно Z,

jeJIlla'IIIH:.\

наже 11 у ску в у раЦЈiOlI:.\JllIII Х бројевi3.

IIРJlм е ри кој" С)Јсде Ilлуструју могућс случајеnе. у ре ш .шањ у неј еД llа
IЮlJсћана ; ако П' у збllРУ ј едан саб ир а к смаљуј е , а IIРУI '" оста)е lIепро меЊС"I I , o~lДa се 11 збир см аЊУЈе;

;I КО се у раЗЈ IИЦИ дпа броја YMaJЬelHIK

rlOBeIiaBa,

а умаЊИJI<Щ остаје

IICllpOMell,ell,

онда

се и ра злика повећ.аВ<1; ако се у раЗЛlЩl1 диа броја умаЊ('III I К смањује, а ум аЊИiIaЦ остаје н епро ме ЊС li, онда се и раЗЛllка смањује; ако се у р;1 Зil ~II\И два броја умаЊИЈ1ац повећапа, <1 умањеник остаје ~I епром ење н , аНД;1 се разлика смањ у)е ;

а к о се у ра ЗJII ЩII д ва броја ума ЊШl ац 0l ањ уј е. а ума њ е llИ К остаје lI('пром еље н , OIlДa

се раЗЛИК,1 повећапа.

ЛРffМСР

4

РеllШ Hejegl/a'l!lIlY х

+ 27 > 12.

У IlреТ ХОД JlНМ ра з редима II;1У ' "IJlИ смо да lIејед наЧlm с реllтанамо тако II.IТО прво решимо ОД l"Oварајућу ј еД llа Ч IIll У. х

+ 27 се

Решењс једн а 'l llне х +

27 = 12 ј е х

= 12 -

27

=- 15. ВреДIЮСТ II зраза

по нећава ако се х понећава, п а решењс дате неједна'lине предста вљај у С UlI броје ~

вн iJehll од броја "СКУ! I решења и

15. СКУII решења дпе Il еједнаЧИllе је Н

... ").

= Iх I х Е

Q

11 х>

- 15! .

Скуп решс ља Дате неједна'lИНС, тј. скуп СnJ lХ рационалlНIХ бројева нсliих од

- 15

( Чllта сс

можемо

П Р IIказаП I на бројеlJној пра lюј. ТО ће бити тачк е са раL~ИОll а)l НIIМ КОО РДllнатама на l1Стакнутом

Ite/lY бројевнс

пра ве . У даљем тек сту таквс та 'l ке зваће мо раЦИОН;1Л1IС тачке .

Знак ,,(" KOPIICТlJMO да 0311<1' le11MO да број

• 15 Сл и к а

1

- 15 није у СКУIlУ решеЊ
о

1

Пример

5

Г10лmНIII(l сууа напуњен(/ је млеком. КОЛ lI КО се I/ајвlllllе млека може gOJfllll1u у суу

9(1

млеко нс

ПокuПu, ако кт/II кауа 1/1/80 млека пређе ~ сууа? 9

Ако се тражена К01lИ<1II1I<1 м л ека 06СЛСЖl1 са Х, он да Је х

1

7

2

9

+ :s; - .

решава се тако ННО се најllре реши ОДl'о варајуtы ј една ' IИ IЈа : х

х=

= 14 -

7

9

2

9 = S.КююсеЗби р

18

х

ДобнјС llа lIејеДliа'IИIIa

1 2

7 9·

+- = -

Ње l Ю рс шt"ње је

. кад;'! се са 6 ирак х смаЊУЈе, . pelllCII.a датс + -1 CMaJ I'YJC 2

18

I, сјеДll а ' "lIl е су сви бројсви маlЫ1 ил н једнаки

5

То 3 ~l a'lIt д;.\ СС У суд може IЮЛl t Т II

18

5

II ;'!јш tш е

литара "''lЛ ска.

18

На СJIII'Iан ЩI'ШII реш авамо и а-х

> Ь, сам о

Пример

Pel/ I J/

31131'11

<Ь

и х- а

> Ь, ОДН ОСIIО (/ -

х

< Ь 11

6

IlejegIUl"lINY

Р сшеље

HcjeAHa·tJtllC обл ик а х - а 1.. ~tК 3К8ИХ ш'раНИ'IС I I,;'!.

што сад немамо

3

4

8

5

х-2 - >- 1

. Ј една ч ин е

х

.

3 4 4 3 9 19 -72 + 95 23 . - 2- = - 1 је х=-I - +2 =-- + - = = - ,ЈСр 8 5 58584040

се

I lепо -

умањеll ИК израЧУ I I:111а када се разлика и умаll>/ I лац саберу. Како вредност разлике

х - 2 ~ расте када и х расте, рсшсње дате licjcAll3'IН He је скуп СБИХ бројева већl1Х од 8

23 ,

ТЈ .

W

/~={XIXE Q н x>:~}.

Пример

7

.3а које раЦUOl/(/лне бројеве х је тачн а нејеунакосm Дата IIсједнаЧ f.ll l а у с к у п у

Ме l)упtм, у ску п у

- 23 = - 16, јер

No н сма

Z. OAII QClIO Q,

7-

х ~ 23?

решења.

liИје тако. Ако ре l,щtмо јсднаЧIIНУ

7-

х

= 23, О Il Д
је х

=7

се IIсп ознати умаЉ l1 лац добија када се од ума њеНI1ка одузме РЈЗЩIЮ1. Како

се вредност раЗJIике

7-

х повеhава ако се број х смаљује, решење дате I lејед на чине је свак и

рuционалан број х мањи од -

16. ДиКJIe,

дата неједнакост је та'ша ако је х:5

- 16.

Ску п ре ш ења Дате нејеДllа 'l ине се гр а фИ
- 16

укључујс У

решењс.

Дакле з накс ,,)" и ,,(" КОРltCТИмо ако број нс укључуј смо У решење а знак е

,,1" и ,,{" ако број

УКЉУ'lујсмо У рстсњс.

7 -х =23 16. К ако вред ност израза 7 + (-х) расте када р асте -х, то решењс дате I lсјеДllа'I ИНС је -х > 16. Б рој еви који задо воља вају полазну II сједна'ШIl У су бројеви супро­ тни (симеТРИ 16. ОчитлеДIIО је да су то бројеви који пришщају скупу бројева ма љих од броја - 16 ( п огледај наредне сл и ке). Напомена .

~

Ако број -х посматрамо као са6ирак, О l ща се рсшавањем једнаЧИllе

-

добија да ј е

-

о

о

16

о

решењс

Слика

х =

16

~

16

рс шсњс

110 -х

о

о

о

16

110 Х

2

Пример

Слика

3

8

Реши "l/ejegl/a'l!lHY"

-2

1

2

:5

-х

2

<1 . 3

1 2

у датом З3l'1ИСУ у суштини имамо две нсједнаЧИТlе: -2 - :5: - хИ -х

I'ешимо 11рВО IIсјсдначину јенс јеДl l а 'шн е ЈС х

1 = 2- . 2

-2

Ј

:5

2

-х. Одговарајућа јеЮlа'lина јс

<

2

Ј-.

З

- 2.!. = 2

-х. Решење доби-

Како вредност и зраза -х расте када вредност х опада, то реш ењс

добијенс lIt:,једнаЧIIIIС представљај у св и бројев и мањи од

еЛИ<1110, РСIЈI ,шање IlсједнаЧИl l С

.

ЊСIIО реШСЈI,С Је х

2 = - ] '3 ' Ка ко

-х

<

2

Ј -

3

2

започињемо

решаваlЬСМ

ЈСДII3 'lине

-х = Ј ­

З

вредност израза - хопада када вредност х расте, то решењс

ДРУI'С нсјСIЏI
Дакле, скуп решеља полазне неједначине је и ={х Iх Е Q

~ х :5 2~} .

11 - 1 <

Нuпомињемо и да смо дату нејсдпачину могли реш ит и слично као у претходном примеру,

коришhењем бројевн е праве. Наиме, нсјсднаЧИllама -2 ..!. :5 -х и -х 2

решеља за 'Iредност броја ( -х), приказана на сл ици

4.

< ]2

3

ощовзрају

l ,s~ssst#ШS$~SSSSSS~$' ~ о

_ 22..

1

2

К'ЈКО су вредности бројева (-х) и х симеТРИ'НЈС вредно ст и у односу на та'IКУ О, то су РСЩС Њ З IIсједнаЧИl1a ПО Х, с ве рационалне

су на О, са тачкама на сл ици

1'3'IKC с имстричне,

Слика

4

у одно­

5.

Сll liка5 Дакле. 6ројепи КОЈИ задоuо­ љ.шај у обе н ејед н а' IИIЈ е '1('1111 су на сл ици

0311 3-

6. о

_)2,

2..!.. 2 СЛlН(
~ Контролна питања + а < Ь, х - {/ ~ Ь, {/ - x:s; Ь ( а, Ь Е QH Да /111 се решавање 1/CjCgH{/"U//tI облика х - а > Ь ~J 11 - Х > Ь (а. Ь Е Q) може свести на решавањс HcjegHu tlllHC облика х + а > ь? У 'I СМУ се разликује реuювmье IЈејеgначuна облика х + а :S; Ь, х - а ::; /1, а - х s; Ь У скупу N o 11 У Како се рсшавају нсјсунtI'IIIIIС 06ЛlllШ Х

скуl7у

Q?

Задаци 1.

Реши нсјСД lIзчин е у ску п у р;щионалllИХ бројева: 3) х

2.

+ ] ::;; - 1;

б)

]-

х ~

Реши ~lejeAHa'IIIHc: а)

-

3; 2

3

В) х

- 5 < - 10; 1") I

+х< - ;б) -х

6

+

I

4

Х- Х~-

>-

I

2

23;

• I 'IРИО

д) х

-

х

113 скупу

< 75 .

Q

а за ти м 11 3 СКУ II У

Z.

З.

Одреди све целе броје!!с који су ре ш ења "нсјСДIl3'IИIIС" :

-3

4

1

<х :52 - .

З

5 4.

130достај је

+100

5.

- 120

С!Н.

KOJlltKO

највише мож е да lюрастс водоста) , па да

111."

пређе

ст?

У којим ! "раlшцамз се к:рсliс температура, (1КО је тренут н о +5 С, а TCM I I(' P
по р асте или ЈЏЈ се смањ н за најв и ше Ј оое?

6.

1

РеШl1 нејеДН 3 '1 ШIС: а) - +х :5

4

З

, б) х -

з

5 >- - ; 7 9

В)

1

- -х

5

2:

2 3

. 1" )

2 З

1

<- х < I - .

5

1 1 3 1 1 3 x+ 2 - ;?: I - ; 6) х + - З < - 4 ; В ) 5 - -х :5б . 7 4 5 3 5 4

7.

Рсшн IICjClII 13'IIII1C: а)

8.

Реши ,,1I('j en l l<1'[ IIIIy":

9.

У суду З
- 2 :5 х - 3 S 4.

на колн'шна нс пређе

2

jOl11

дОJ[l1ТИ, Ibl Д3 у" у п -

З3П РСМ IIIЩ суда?

3

8.3. lедначине у вези

са множењем и дељењем

ПОДСЕТИ СЕ

JeAli a'III HC у вези са МI!ОЖ С ЊСМ 11 дељењем решаванс су It У I lреТХОДНIIМ раЗ рСД IIМi1. У четвр ­ ТОМ је то 611Л О У (КУ " ЈУ ['I РИРОДIIИХ бројсиа, а у петом разреду у скуп у ненс гаТlIвшtх раЗJlО­

мака. До рсшеља

jCAlta'HHla

доnаЗIШИ смо КОРllшllсњ с м својстава М I ЮЖСЉ;\

рсшавана су трн оБJIIlка јеДllачина. и то: ах

=

Ь. х: а

11 дељења,

а

= Ь и а : х == Ь. ТО .значи да је IIспознаТJI

број х тражен као '111111111ац, дсљен 11 К И1lИ ДСJlJtлац. Како се рсшанају оне јеЩlаЧIП!С у скупу раl.lионаЛ lJliХ бројсна IlОказаl\смо Ilа слсдеhl1М п римерима .

Пример

1

ОУРСУIl раЦlIоналан број х fl7al\o уа је 3х =

-12.

Непознати број х је ЧИIН1лац ~I доби ј а се тако што се производ '1llшюцем

3. Дакле. х

= (-12) : 3 =- 4, па је тражсни број --4.

-12,

11ОдеМI са lюзнаТIlМ

Пример2

РеШII јtЦ)Нf/'I/IНУ Х = 23 4

8 33

У датој jenlla'IIHIII непознати 6рој је дељеН llК и једнак је I l рОI1ЗВОДу ДСЈЈ lfOlЏ1 11 КОJlI1'I Нl1ка,

ШТО зна'ш дзје х = 2: -( -з8з) = ~I .( -з8з) = HanoMell3. -

дата јСДН<\ ' шна се може посматрати СЈIИ'lIl О Ilрнмеру

··Х ='\: =

311аП1 ' 1II НIIЖ\I.t.ЈСр Је

23

11

4 Х, К,IO I IС П О :i ll<"ll' l l

ПРlIмер

-i.

х.

4., една'lИl lа сада 1]

глаСl1

Х·

1, тј.

х може

6111'11

~I е по -

4 . б· = -8 ,1'13 Ј е тражеНI1 рОЈ 1I 33

-

4

' 1II IlIl1IaJt ,

.

Ј еДва": х

=-

8 4 : =

33 ] Ј

2 3

3 .

.

ОgpeYI/ Р(ЩIIОЩlлml брОЈ х тако !Ја Је

-О,65:х

= 2

3 5

.

l-IеП031131'II број х је деЛI1Ј1ац 11 д06ltја се тако што се деље lllН: х=(-О.6 5),2

3 5

=-

IIOAeJIlI

С3

KOJlII'lIIll KOM,

па је

65 13 65 5 1 ,- =- _ . _ =- - . 100 5 100 13 4

.. Ј Д "кле, 'гр"жеllll б рОЈ ЈС _ . 4

Напомена.

-

..

к о 11 У пр имеру 2, и овде је могуће јеюнl'ШНУ св ести 11<"1 претходно упознзте

0611111<С. Наиме, 113 Clюјстапз раЦ I Ю IН1.JlНи.х бројеВ
(1

= Ь, онда је 11 реЦI1 -

(/ ј еднака реЦlшрочној IlреДIIQСТII број а Ь, па х . j('nl l
след и да се Дата

х

= 5 65 13 Јnn

одакле

Пример РеlUlI

4

jegml'lllJJY

о· х::: - 5.

Леl~;} СГР;}II;} јеЈ\II;}КОСТИ Е1 М;} вредност О без обзир;} Н;} х, јер је О

.

х

= о. ДеСЕ!;} СТР;}ЕI;} јед­

н;}кости им;} вред ност -5. Како лева и десн;} стран а јеДII;}КОСТII IIIfСУ јеДllаке, дат;}

jeJIHa'lIfHa

нема решења.

Лример

РеШ!l

5

jeqll{/'fIIllY

о· х

= о.

За било коју nреДЈIОСТ Ilепоз"ате х лева страна јеДЕlакости

EfMa

вредност о . Десна страllа јед­

ЩIКОСТИ, TaKOI)e I1ма вред~юст о. Следи да је ма који раЦlIоналаll број х рсшење дате

једна'Е.'IЈС.

Лример6 РСIIШ jegllU'IIIHY О: х

= 6.

Лева страва једнакости има вредност О, а дссна страна једнакости има вредност

6.

Како

лева и десна страна једнакости нису једнаке, дата једна'lина нема решења.

Пример

РеlUlI

7

jegll{/tf.my

О: х

= о.

Прво, морамо констатовати да је х 1=- О , јер О ЕI С може бити деJlилац. Друго, за било коју IJРС;ЏЮСТ Ilепо:шзте Х, различиту од нуле, лева cтpalla јеДll3КОСТИ има вредност О, јер је

О: х

= о. ДеСIlt1 Ctpa l-lа једнакости, такође има вред~юст о. Следи )ЏI је ма

који рационалан

број х, ра3ЈЕИЧИТ од о, решењс дате јеДllаЧИIIС .

Претходни ПрЕ1МСрИ обухватају све могуће слу ч ајевс једна'!ина у вези са Мlюжењем

11

деље lьем Рal,~НОII3ЈI НИХ бројева, тј. случајеве када је неПОЗl1аПt број х 'II-Iюtлац, дељеник и деJlИJlац. Даклс, из датих примсра видеШ1 смо како да се јсдна'lИне облика ах и а

К

: х = h, .

ако Је а·

Како је

реll.lа lшју коришћењем веза између множења и дсљења.

Ь а

Како је аh

= Ь, х : а = Ь

=

:а п

.

.

а, то Је решење Једна
=ь

,а:#-

0 6' ,) рОЈ

х

=Ь

а

= h, то је pClJlcIbe једна 'lине х: (/ = Ь, а 1=- О. број х =аll; Ь

(1 : Ь ::: а . ~ = ь (а :#- О, Ь 1=- О) , то је РСlJJеll.С јеДЕ.Ј'ЕИне а : х = h, а -:!- О, Ь 1=- О, број

а

х

= -. ь

r;

Пример 8 · РеШII ЈсgШI ' fllllу

У

3

х

-

4

I

2

=- -1 .

""

даТОЈ

6

" }CAIl3'1If11l1 б рОЈ"3 Х Је 4

" 3х

непознати ума"'С~IIIК, па Је

4

јСllој јСДlliJЧllIIII 3 Х = I , број х је нспознати 'I ИШlла ц 4

б

2

6

до

6и -

3

до611;аыо га тако ШТО ПРОIIЗВОД

3

ПОДСJlIIМО поз н атим 'IИII"ОЦСМ. Дакле,

Пример

11

=- 1 + 1 = - 1+3 =.1 У

1 3 х= - :

3 4

=

] 4

4

3 3

9

.

9

ПутllllК Је"3

пуmn nреmао за

сата. За које време бll прешао преостали {ЈСО nylТia (/1>0 не

2

5

мсња брзину ауmова ња?

Ако тражено орсме обележимо са х, онда је 3 : 2 = 2 : х. Значи да је 3 5 = 2 • ОДНОСНО 5 5 2=3 ,."ражсви б"" рОЈ х Је 2

5 2

х

"=3 2: = 2· 24 = . д аклс, Д;Ј 2 3 3

I l с познати делила ц, па Је х

х

остали део flута IIYТIIltKY треба

4 3

сата ItJш

80

ђс

п ре

п рс-

минута.

~ Контролна питања Како се Р!!lIIшmју jegl/(j llllllc оБЛl/ка ах ДIJ Лll се

= и, х : а = Ь,

(/ : Х = /) ((1,

Ь Е

Q)?

pCllUl Bmvc jeg/l(1 11U1I1/ оБЛ/lка х : а = Ь и (/ : х = Ь (а, Ь Е Q) може свести

jegllll'lIlIIe 06лr / К/l ах

11(/

РСIШl(юње

=Ы

у 'I СМУ се Р(IJЛlIкује РСlllaвоње jeglla'llll/tl 06ЛIIIШ ах

No 11 У скупу Q? ЗmlН1iо l/IIjc MOjY!IC gеЛlll7itl I/УЛОМ?

=1), Х : а = /Ј,

а: х

= /Ј (а, Ь Е

Q)

У скупу

Задаци 1.

РС ШII;СД II
2.

Рсr шtУ СКУ ll уL: Ј1У СКУ lI уQ јеДН3'II I не: з)7х =- 24; 6)х : 9 =-12. в )-3 ] :х = М .

3.

Одр ед и све ц ел е број еве који су РСШ СЊ
4.

А ко је х

* О, РСIIIИ jCJIJl
1 -

:=

-2 ; 6)

+ 35 == 7;

РеШl1 ;('Д II
6.

Од реди рсш с њ а ;('ДII
7.

Зб ир седа м узаСТOIlIlllХ I \('ЛИ Х бројСII;1. је

-7 . О

Q

Производ трн уэаСТОl1ll 3 цела броја је О.

Koj ll

+ 7) := 15; б)

5

7

9

JCI\II
= 1,8;

1

1

Ј

4

- х=-;

х

- ] з = -43; В) 12 - 3х:= 27.

3

. ) Р е ШII)еДН
10. Одреди РСIlЈС I I,З

б ) 6х

1

х

х

5.

9.

4х

4

- 3- <4x s2- . 5 3

3 О -4 ; В ) - == О; [') - == -5·

-2

-:=

х

<1)

1 2 0:х =-5 ; г) -44х = 0.

(х

- 6) : 7 == -4; В ) 12 : (х

+ 5) = --4.

којим б ројев и ма ј е рс '.?

су то бројевн?

6 ) х : -=--; 11)

1

2

5

3

-- :Х= -- ·

6) О,3х : 0,75 == - 2;

11)

1

1

Ј

1

1

Ј

7

4

5

3

5

4

2,4 : 5х = 3,25.

РешијСДllзчш r с: <\) х · 2 -= I - ; б) х: 3 -=-4 - ; в) 5 - ;х = 6 - .

12.

Петар је за КУПОВlIllУ К ЊlIте П ОТРОIlJl Ю Д IЈС треlшн е своје уштсђСШ II I С. К ОJllIК О новца ј е 'I м ао , ако му је Il реостало

12 д инара?

Ј 3. М~lлаl l је rlр О ЧI1Тао 1'I С1" дс встн н а КЊЮ' е

11остало је да

П РОЧIП3 још

80 сrра шща.

КОЛIIКО

с траница 1 1ма та Кlbllга? у нрвом суд у ј е ' l еТ llрИ пута више СОК;\I1СI'О у ЩЈу r ·ом. Ако се ИЗ ПРВОГ суда У д руш пре ­

лиј е] 5 литара сока, у оба суда l'Ie 6нти једнаке коли чине СОКЈ. Оlllања БИЈЮ у I1рIЮМ, а К ОЛIIКО у другом суду?

KOJIIIKO

сока је пре Ilре­

8.4. Неједначине у вези са множењем и дељењем у РСШ<1В3ЊУ I lсјСДЩI 'I IШ :l У ВС311 са МНQжењсм 11 дсл.сњсм КОР'IСТIIМО з аКQ IIIПОСf"

КОЈе

Ilлуструјсмо следе l",,., 11Р 'IМ СРИ.\' :1.

ПРllмер

1

УОСР'I се (јп ((' /jpc(jllocm щрnзп

3 . х 170tJefiaoa "nа" се број х /loo('{1(/(101

Посматрајмо табt:лу

~ 3х

-4 1-31-2 ~ - 12

-9

-6

- 5

-I ·

-3

t

-и о Н-: _2

()

2

2t ~ t 3

6

7

4

3

9

12

И Ј табелс се може УОЧI1ТII Щl када се број х Iюн еh<1В
Устварн,;lкоје XI<x ~ ,oIlJtajc Х 2 - Х 1 >О,пајСII З(х l - х,»О,ОД1l0ClIO 3х 2 - 3х,>0

11

Kmr;I'1110 3x ~ >3х , .

Пример

2 . х смаљује ""(јП се број х ПОllсПаоа?

Уосрu се У(/ се бреgllосm II.Jра.m

2 Посматрајмо табелу х

7

-3

-2

4

3 I -_ ·Х

2

3

7

2

б

Из табеле се 1IIIДИ ДОI K<1JЏl се Ilредност броја х I lОвсћ;1l!а, Qlщ ;t се вредност I1 З Р:l З<1

-2 1

х

(11.1<1-

2 ЊУ}С.

На основу ," РС'fХОДII(\ ЈtОЗ примср" t.югу с е УОЧ Н ТII заКОIIIПОСТ I I:

- ико је и nоз",,,,,,}аlt РU'4110ltuлаfl број. 0" 9" вреУllосm IIЗР(IЗ(' flX pflCllle К"9(1 х расте; - ако је а аОЭllllltuЈaI' рar(1l0uалаll број. 0"9а вре9"0ст Ilэраза ах Оll(l!!а ка!!" х 0Ilа9"; - "ко је а IfcfumU8(1ff број, о,,!!а 8pegHoci1I израза ах ОRl'!!" кауа х расте; - ако је" uсШйlщmн број, О"!!" вреУНОСlll израз" ах расте кауа х оаауа.

re-

Прнмер 3 РсиlII нсјС!}lIП'fIIну-7х

Производ броја

(-7)

< О.

и броја х је негативан, ако и само ако јсх [1О3ИТИ0311 број, па је PCIЏ(']I,e

R = {х I х Е Q 11 Х > ОЈ .

д.\те IIсјсднзчине с куп свих П Q3 11ПШНlIХ бројева, тј.

НсјеДНil ' ННlа се м оже реш нт и н применом УО ' IС НИ Х заКО НИТОСТII . Наиме, рсшсње једнаЧlI lI С

(- 7) = О је број О. Како н еједиаЧl1не је R = јх I х Е Q и х > Of. 7х ::: О, х ::: О:

-

re-

предност израза -7х опада када х расте, ре-шеље дате

Пример 4 PClllllllejegf/(/'lUhy-5х

> -30.

Прво се рсшаВ
= -30 JI добија се да је х =

Ilз раэа -5х расте када х опада, она бива IЈсllа од неједначине ращюнални бројеви мањн ОД

re-

-30

за х

(-30) ; (-5) = 6. Како вредност То з н а ч и )1,<1 су реШС I'!.;} дате

< 6.

6.

Пример 5 које Р(ЩIIОl/аЛllе бројеве х ВilЖII liсјеунакосm

3(1

Рс ш ење

х

1 4

јеДН
, 4 : 1- = - х 4 5

а вредност израза

31 lfлнR = Ј.еrнЈМ
Пример

Pelllll Из

3 4 3

-х

-

-х

4

4 5

-х

Је

3 8

1 4

19 5 8 4

х=-2 - -] - = - - - - =-

95 31 =-2 - 32 32

КаКО

.

опада када х опада, то су решеља дате НСЈеДl-1аЧlIне

Је

6 ро-

{ хIХЕQих<-2 3'} . 32

6 3 4

5 6

7 8

IICjcgH{/'1I1HY - - х+ - >- - ·

3 4

5 6

7 8

- - х+ - =- -

-

3 8

х:] - =-2-

1 3 x: I - <-2 - , 4 8

је

3

7

5

4

8

6

- - Х=- - -

,

Јер

Је

-

3

х

непа:mати сабнрак.

Ј --

iз

-2' -20 41 Х --(- 4241 . -43 4241. -- 4181 -- 2,58· Како = и 24 24 5 + расте када х опада, решењс дате неједнаЧlIне су бројеви 6 =

R={X1XEQ

11

X<2

S }. 1s

Следи

да ј е

4 вредност

мањн од

IIзраза

5 2-, 18

.

ТЈ·

Пример

YoeplI

7

се 9а се epegll0Cl7i Ilзраза ~ смањује Kaga се број х аооећа8а УЗllмајуli1l само Ilејатllвllе х

IJpe!l'lOciТi ll,

Посматрајмо табелу,

-4

х

2

1

х

2

I

-32

f

-2 -1

r,' - '-2

_ 42

3

И З табеле уо ч и да када број х расте узимајуhи н е l'аТИ lще вреДНОСТ II ,

2

Ol1)t3

вредност IIзра3а

Оllада ,

х

Пример

8

Увери се 9(1 се opegllocm /lЗразn

3.. смањује ка9(/ се број х nО8е/т8а УЗ/lмајУ/1II само 1I031111711811е х

6РЩjllOсmll,

1l0CM:lTpajMO табелу, 4

2 3

2

2

Из табеле се ВI1ДIl Д:I к ада број х расте УЗИМ :lј уhи IЮ3НТИ lще нреДIIOСТ I I. О ll да uреД IЮСТ и з раза

2

опада,

х

Пример

9

УверlI се !Ја се 8реу"осm IIзраза

-3

(х ~ О)

1I08еl/(/8(1 КЩЈtI се број х i1О8сlщоа УЗII/t1ају/ill само

х

нејmиlIIJIIС 0РС9110СI17I1 ,

Посматрајмо табелу,

-4

х

- 3 х

3

-

4

-3

1 2

-2

-1

--

3 2

3

6

И з та6Ј1ице закл-.уч уј емо да је претходни заЮ"'У'l ак

''''1'10111,

Пример

10

Увери се иа се opegllOCI71 израза

- 3 (х '#

О) , йовсћава каи{/ се х йовеliав(/ УЗ lIмајуlill тмо ПОЗI/­

х

iП шm е (~peg liocm ll.

По сматрај табелу.

1~% 1-:-1-t-

~ - 3

I

х

4

-3

- 6

- :-

Из табеле закљу"" да се вред н ост израза

-3

(х '1:- О) пов ећ ава када се х пове llава .

х

На основу прет ходних примера се ако је

(f

yo'.a 'laj),

за к онитости : а

Позul7l1l0аll број, вреоност Il3разtl

оuаоа КЩ}II број Х расте УЗЊl,шју'ill

х

CIIMO

ltеlаfflttб ll С врсоносmu; а

ако је а ПОЗllfflиоан број, вреоносm израза

оааоа каоtl број Х pacmf' УЗllлшјуtш

х

само ПОЗflluuоне вреgllОСiПu;

ако је u lIсlаmивцн број, opegllocm израза

"

ойаои

Kagu број х расте узимајуhu

х

само Ilсlar7iщmе ореgllОСiПu;

(lКО је а

IIefllmUBtllI број, Gpegllocm Юрllза

а

опа!ЈU кщ]u број х расте УЗlшајућu

х

само

Пример

йозuтlНmе

opeg1locmll.

11 6

РеUl/IнејеgЩјlјЩIУ

-

> 3. о

х

К ако

.

Је

6

->3>0,

то је х

>

2

О. Р е шен, е једначин е Слнка

х

~ = 3 је х = 6 : 3

= 2, јер је х непознати дешшац. Како вредност израза

х

6 х

расте юща х о пада узимајући само 110ЗIПИВ Н С

ј е ви IIсћн од О

7

11

маљи од

рещења дате неједпаЧИI1С

BpCN!OCTI1, решења д<пе неј еднаЧII н е су бро ­ 2, што се може за llис ати и као R = {х I х Е Q н о < х < 2\ . Скуп приказан је н графИ
Пример

РеиlII

12

IIcjegll(/'I/lIIY

2 х

+

5 3

s

, 2

Дата нејеДIЫ'lина се своди н<\ нејеДН
Из

2:<;; _ 7 < х 6

2

1

5

х

2

3

О , следи да је х < О. ЈедначlНЫ

7

2 х

2 -

опада када х расте, И

7

,О

6

6

има реше ње

"

х =2 : ~ = 2 l- ~ ) = - '; = - ]~ . Како преД~lOст израза

3-

- :<;; - - - = - - - = - _ .

Ilегати ­

- "7

ВlIO је, рещења дате нејеДllаЧИllе су бројеви

IIзмеl}у

- I

5

u

11 О, што се користећи мате -

7

СЛI1f;:а

маТИ'lке симболе може записати: Скуп

peu leIb(\

Пример

..

о

х

R=

{х Iх Е Q

11

8

~ < х < о} .

- 1

Дате нејеl1Њ1 'lине приказан је и графички (сл.

8).

13 4

Реит нејеglltJЧI/НУ 1 > - . х

ЈаClЮ је ;ц је х '" О, јер за х := О нре)IНОСТ израЗ<1

i

не постоји. РешењЈ. J«lТe неједна'l ~lIiе су

х

б

·

.

.

све негативне вредности ) роЈ3 х, Јер Је

1>

О

4 , 4 > - . еднач. ИН<1 1 = х

има рс шењ е х

= 4 : 1 = 4,

х

ј ер се непознати деJlилац добија када се дељеник подеЛII KOJНt'IНl1KOM. Вредност IIзраЗ<1

4

-

ОП<1да ка да х ра -

х

сте lIa скупу ПО;:ШТИI\НИХ бројева, па

с у решења дате нејед нач.ине и броје ­ вl1 х

> 4.

Даклс, скуп свих решења

о

4

са' lt1Њ
4,

тј . PClllCJЪC нејеДН
' Iин е Је

R=

{х I ХЕ Q It Х< О И1l11 х>

41.

9

~ Контролна питања "

Лко је (/ Позитllван Р(ЩIfОIl(/Л(/Н број, luша се УСl/lаоа С(ј врсуtlопиlIма ЩР(јЗ{/ "Х, -ах,

-

н

х

" х

кауn вpCYIlOCiТill броја х расту (Оllllуају)? Како се решmюју IiсјС[ЈНПЧlIl/С облика ах

< Ь,

Ла Л I/ се реuшв{//Ы' uејеgШl'1I1НП облика х :

ах ~ и, ах > Ь, ах ~ ь?

(/ <

/Ј (а, /Ј Е

Q)

може свести 11(1 РСIШ/О(I/ЬС н ејеу­

]

IIII'IШIС - х<Ь?

" Задаци 1.

P CI III1 I l ејt:ДН,I '111f1С:


~ 3.

OJtpeAl1 све

4.

целе 6pojcl\C KOjll су решење "lIcjcJtII:l'III He":

Ре Ш II н ејСД ШI 'II III С: г)

(5 -

х)

13)х:4< -5;[")-х :2 2:-7; д) О- х>6 ; 1»7x - 7x < 17.

: 3 2: - 6;

- 5) s -6; 6) -3(х + 2) 2: 12; -3( х + 1) > -3 ; ђ) 5(2 - х) < ] О .

<1) д)

2(х

3

Одреди р l'ше ња II сј СД II
6.

2

7'

7.

Реши [lс;с;ща'ltl'IС: ;I) ~ х S ~.; б) х ( %) >~; В) ОЛ РСдl l све целе бројсвс којll су ре ш е н,а

]

Ре Ш II ,,1Н.'јСД I I
9.

-

В)

,

,,11('jCIIII
]

3

4

5

4

- < О;

< - 4;

г)

х

2 3

5

4х :5 8.

- 1) : 4

х<- - ; г)

РеШlIнејt'ДЊIЧИ I IС: а ) 5 ·x + 2 -~ 1 - ; б) 2·х-3

7

В ) (3х

-- " х> О-

4

5.

-24 < -

5

2

< - 2х<2

3

4

]

2

5

3

3

]

з'

] 5

9 - <5х::;8.б) 4

<- 4 - ·

2: () .

х

<

]

3

5

4

В) 5 - -3х::;6

.

3 5

х ::;

3

2 .

4

.

-2::; х - 3 ::; 4 . 5

Д;IР ,",О је за 2 са та IIре шао Т РIl 4CTllPTI1HC п уга. Да 11 11 ће, н е мс њајуlllt ТСМIЮ, цео п уг прсћll за ман,е од

3 caTa~

G Одреди реШt'ња I1сјсдна'"lна: а)

6

6) 2+ - < 0 . Х

8.5. Проценти РаЗllQМ[.щма НРИl\
тако

ПРИКi1 за Il С

вањем ДО IЮДIIМQ lI а

ДСЈюле.

разломке

ПрОШllрН­

ИМ С llилац и упоређујемо доби­

II CTII

је н е бројllOЦС. У порсђlШi1Љ С је једноста вније кад раЗЛОМll1t I.Iсћ 'Iмају '.СПI I l меНllлац. У сnaкодневном животу ра:ШQМКС 'IССТО IIзраЖ'I6ЏМО са ИМСI1lIOЦСМ

100.

ОД НОСНО делове ОПl I ­

сујемо бројем СТОТII Х делова ЦСЛИI-lС. СТОТII део ЦСJIIIIIС 11;l311BilMQ IIроценаш и ознаЧ<1В<1МQ "1

Према томе, р

-

%.

процената (111111 р процената ) неке I~CJIIНl C

CJIIIK:!. 10

је за прав о р СТОТIIХ ЊСШI Х делова, тј.

Р P %~ 100

r;-

Пример I ИзраЗII у процеllтима : а)

1 2 . - ; б) 5' 4

В)

Тражи се 3;'L l1paBO да се ра эломци изразе са именноц ('м

100,

ШТО се може ур<ЈДIIТ И проши­

рltеањсм:

о) '~"25~25~25%; 4

4·25

100

б) ~~2'20~ 40 ~40%; 5

5·20

100

3 3 3 - · 100 п ) 1 =1+ = 100%+ -8 - - =]00%+37,5%= ]3 7,5%; 8 8 100 2

2

200

. ]00

3

200

''1 З~3 ' 00 ~iOO~ З %·

Пример

2

Иэра'IУШlј 3% 09 300. Траже се заправо трн стота од ш е. дакле

9.

Три I1роцента од

300.

300

1сдан

100

= 3, а трн croTa је TP~1 IIYТ;'! IНI -

може се добllТИ и директно множсњем:

З%.ЗОО~ НЛlI У деЦl1малllОМ заlll1 СУ:

300

CTOTII I1ЗНОСИ -

3 .300~9, 100

3%·300 = 0,03·300 = 9,00 = 9.

Пример

3

у оаељењу I/М(ј 30 ђака, О(ј тОlа је Треба 1I<1l1н

Пример

40% од 30.

Један 1} <1К ј е

Пример

40% 30 =-

40

100

·30 =- 12.

Дакле, у одсљеll.У 111>1;1.

.

12 деВU)'II1Цi1.

4

у ImЈреуу О(ј

Даље је

То 11:111001

40% (јl'бој'lJlца. КОЈ/I/КО "М(I gсоој'lIlЦn у оасљењу?

40 I}m.:n

1 40

20

;

IIмtI 80(јлrl ·/IIIIХ. Који је iПо ПРOliешнТi?

ра зреда, а

' 8 = 8l )ака Је 40

5

=201%.

100

5

KomlKfI је lI ето цена ро бе mш је за lI.>у nлаh еll nОРСЈ оу 20% који //ЈНОСII 300 евра.

20

ОБСЛСЖ l lМО са х I 1е 1 1У робе, тако је 20%х = 300. х = 300 : 1ОО ' х = 1500 евра.

Пример

6

Це/ш робе Јајеу но са tlоре;ом О(ј 25% I/JНОС1/ Ј2(Ю аЈlllара. КОЈ/lIкtI је цена ро6е беЈ ПОI)еза? Ако је х II(.'ТО IIt~Ha робе, онда је заједно са порезом њсна IIC II
По У СЛО 1lУ З'Щ
';-

! 25%

х

+ 25%х = I OOIИJx + 25%х = 125%х .

= 1 200. ОД
х = 1 200.IОО =960 125

ДИ l iаР'I .

Пример 7 СУlll ењс.А ! IIIЉII6С ;у6е

10%

масс. Оа КОЛLIКО IIIЉll8а се м оже у061111111

I-I ек а ј е х l 1 е ГlO3 11 аТII број КИЈЮI'ра ма. Су ш е њем

l'le

се I1 з гуБН ТII

х - 1 0%х = 90%х Кllлограма. П рt'.\ш услову задатк а , 9О%х =

Дакл е, од

200 kg Ш Љ llllа добl l ће се 180 kg СУВ IIХ ШЉIIВ<1.

180 kg cyo llx

10%.\"

IIIЉII/Ј{/.

Кllлогра м а н остаћ е

180. Одатле је

х =

180· 100

90

= 200.

[=

Пример 8 Роба јс поскупела 3(1

60%. КОЛIlКО ЙРОЦСШlllln треба !Ја iiојефl1l ll/l11 ро6а !Ј" 611 lI,\1ала 110'lс11l1lУ

Ц(~ I/Y? IIека је пр воб итна цена била

+

(1 . ГlO CJJe поскупљења IIClbl је (1

60%а

= 160%(1. Да б" се

враТ llла тl стару це н )" треба IЏI појефтини за хо/!Ј, од 1'01'01, 1ј, за хСИЈ • 160%(1, По уСЛО l lУ треба да буде:

160%(1 = (1.

х% ·

160%(1 -

ОЩlВде ј е, п осле скраћШI<1љ а обеју ст раll<1 са

(/,

ТОК реша llаља је:

1- -

х

100 х

100

=

=

1

1, 6 3 8

х = 37,5.

Дакле, да бll

Пример

11I">la}la

почетн у цеll У. роба треба да lюјсфТИ НII

37,5%,

9

у IIIУ,\11/ IIM(I

98%

Сl1lа6{1Л (l

j(lcelm.

После (e ' fefbll

j(lCCl1fI

ОСI1l(lЛО је

97%

сm(l6ала

j(lccl/(I.

Којll !Јео

шуме је посе'lСI/? Нска је у 110'l ет ку у шум и било укупно т стабала сече- ља било је

98%111

... IICKa

стабал а јассна, а после СС 'l е ll>
је по с еч е но 11 стабала јасена. Пр е

98%111 -

1/.

IlpoucHaT

ја ссна после

СС'l е ња једнак јс ОДI ЮСУ броја СI'абал а ј асе на п осле СС 'ЈС I "а прем а у к у пно м IIРСОСТа}ЮМ броју стабала. дакле:

97% = 98%1/1 - " . 11/ - /1 Одатл е је:

11/·98/100 - 1/

97

100 11/ - 11 97(11/ - 11) = 9811/ - 10011 111

=

311

" = 1 3

111

Дакле, поссч с н а је -rpeћ lНl a III УМС .

~ Контролна питања Ш та је процснот? Како се раЈЛОIo1ЦII IIJРОЖО(lt/ју у nро цеНЙlllма?

Задаци 3 3 ; 6) - ' 5 20'

1.

Израз!! у IIРОЦСII'ГlIма: а)

2.

И Зр''1311

3.

И зра' IУII :lј јt'дан проценат од: а)

4.

И зрачу нај

S.

Реши УСМСIIО КО)IIIКО је:

<1) 1%

6.

";10

В)

5' ,.) 2

,

3

4'

10%

од 20Щ

1 4; 6) 5'2;

од: а )

6) ] 0%

од за? В)

б)

110;

и)

200;

11)

Шта је

8.

1101

2

ОД

40;

Bcl;c: ] 3,5%

28%.

350.

15% од

зоо? г )

40%

В)

од

]5

39

ОД

или

60;

Ј') ЗS од

од

39%

700;1\) 215

80?

д)

[0%

од

O,S? t) 2{)%

ОД IО%?

15%.

нроцеlIат

11

11;1

30 000 јСД Иlнща

IЏ~ I .. a робе?

JtCml робе?

прои звода. Ако је сва КII НСП I шкарт, КОЛIIКИ је

број ис[ [ раПНIIХ јсдиница пронзвол.а?

Прll уuозу робс IЮРСЗ;1

800.

Ако је:

1 400 динара, колика је бруто 2 300 дlНlapa, KOJIIIK<1 је IIСТО

] 'ОДII ШЊС се I'IрО l lЗlJеде

од

од 1 3.Я

б) бруто це.Ја робе

1.

о)

360,7.

НСТО цену робе IIлаћ;Ј се порез од

а) нето I\СII;I робе

Ј

15%; 6) 120%;

И зра :m у Гl рОI\Сlпима:

7.

10.

1, 2

н еск раТlШ ( IIССRОЩЫШ ) разломак: а)

а) 5 од20;б)

9.

3,6

'д) - .

IlJIaha

се царИllа од

25%

увознс це li!:. а заП IМ lIа УЈ\УПIlУ цсну још

4%

['[роме .... Колико укупно проценаТ;1 ОД у воз не ЦС I I С II З НОС!: Д;1жб l l l lе?

Ако сс ј сдн а ст раНlща правоугаоника повсћа за

]0%.

а

ApYI'a :ia 25%. 3..1 J\OlllIKO

п роцс -

1I ;lТa се IТОlJсћа ГlOвршина праnОУI'.юника?

12. Лко се једн а cTpal1 1·1ца [ l раПОУl'аОНlIК
13.

УI'lореД~1

110

IЈСЛНЧИIIИ 1103ИТl1i31IС број!:1Ј!: Х И У ако је

15.5%

број
бро ­

]4.5%

J'I у.

14.

Ако се

([ увсћ
за

50%,

а и смаљи за

50%.

за КОIllIКО "рОЦСl l ата се мсља: а )

(/.

и; б)

-, (1

Ь'

9.ПОВРШИНА ЧЕТВОРОУГЛА И ТРОУГЛА

9.1. Појам

површине. Површина правоyrаоника

Ј еД'lII од lI<1јстаријих Il ро6лсма из којег је и поникла геометрllја јесте проблем Уllореl)нвања зеМЉИШIIИХ lIapl~CJJa по вел ичини. Две по облику ра3ЛН'IIIТС I lарЦСJlС MOI"Y се унореД IIТИ по ВСЛИЧННII, I l a IIРИМ СР, ПО КОЛИ Ч ИIIИ семена потреБНОЈ" за сетву 11<1 ТИМ lIарцелаМ<1, с об­ зи ро м 11<1 ТО да је T
Г!ОВРШИllа фи '"урс је II СНС I "<\ТI IЩIН број ПРИДРУЖСII Фш"урн , тако "а: !ЈОС

nogygllpl/e фиfуре имају јеунаке иОВРIUlте;

"КО се фllfУРtl растаст на уве (или ВlIIlIе) фufуре,

lI,e/la

иовр,,,,mа је јеу"ака

збuру иОВР'lIIl11а Уf'лова; аоорlllUlIfI кваурата ./ија сmраlllща има је9ЈНШ'mу УУЖUIIУ је Ј. Ако нску фl1ГУРУ Р<1Ст
11<1

дело ве

11 од

ЊIIХ С<1СГ<1ВIIМО

APYI'y фш·у р у.

кажемо да је прва

фИI'УР<1 арскројсна у л.РУГУ. Сагласно наведеним нач елима, јасно је да су те две ФIll'Уре јед­ наке

110

ГЮUР "II1I1Н , иако се по 06Л11h.Ј'

Пример

MOI}' потп у но

разликоваТIi.

I

На слици

I

пр" кззаliO је Ilрекрајање

троугла чија је основица дужине правоугаОllИК страшща

1 и 3.

2и

jeAHaKoKp3KOI' 3, у

нисина дужинс

Прскопирај СЛl1КУ на 110-

се6Щ I папир, разреЖl1 троугао ГЮ виси.ни и од до6ијСIII1Х делова Састави нраВОУПlOIIИК.

Једнакост 110 НОВрШИIШ дне фигуре може се УТВРДИП1 И ако се фИI'УРС могу "допунити" фигурама једнаких по­ ВРНlина.

Сли к а

1

Пример

2

Дне фlfl'УРС предстзвљенс 113 СДИЦ1l 2 има ­ ју II СТу поирш и ну, ј ер се са д на правоугла троугла "l lје су катете

3

и два пра­

воугла троугла 'шј е су катсте

2 и 3 '''Ю I'У

ДО П У НIIП1

4х6

11

6

х

до

1

једtlаК~IХ

11

rtраноугаОllика

4,

П ОВРIUI III У нрarюугаОlНtК:I иеh смо одре1)lшаЛlI у 'IС1'ВР1'ОМ разрсду,

Пример

Слик а

2

Слика

3

3

Колшш је 1100рШЩUl IlpnooyfnolJHKn чнје су cyceglJc сmрmнщс 9УЖI/I Ul

2 1/ 3~ Онај IIpauoyraOllllK се може раЗJlОЖIIТН 1I1t'lIIltX KuanpaT;I (СЈI, 3), Њеl ' Оlsа 110вриIIIва је 6 = 2' 3,

Пример

113

6 јсд и-

4

КОЛНК(I Је. 1100PIII I/I/IJ

,,1

I1раооуfnоннкп '1ще су 911МСЮЩС

2

Jenllll lltlHH ка (сл . 4).

кu:щ рат се може раЗЈ Ю ЖJlТlI н а

8

1;>

11 _ ,

4

о вакв и х Гl р.шаУ I'аОIll I ­

3ато је ItoUРШJlна оно" праrЮУ I'аоннка једна ка

СЛ IIК
1

8

јеДIIШI'IНОГ квадрата,

Пример

К

5

'

"

О}lика Је ПОВрШlll13 I l р,ШОУ I'аоника ЧИЈе су димеНЗИЈе

Овај

npaBoyraoHHK

се може разложитlt на

3' 5 = 15

3 2

5~

11 - ,

4

праВОУI'аОЩ I -

ка ДlIмеllзи;а 1 х I rЮUрWlIне 1 (сл, 5), Зато је ње,'ОIJЗ поnр248 ШlIна једнака

1:Ј- ' I , 8

1+-+-+-+---1 СЛl l ка

5

ПРИМС'ТItМО да јС' у сва Tpll "ретходна примера ПОВРШIIН;1 праl10У1'ЗОШ1ка 61111<1 једнака ПРОIIЗIJОДУ дужина ЈЬеГО IН1Х суседних страница , Може се l\окаЗаТI/ да ЩIЖI1 следећс тврђсњс,

ПОIlРIl/IIIШ аРfl80уfаОlllllШ јеОllак" је UРОUЗ80gу уужuна IЫ?IО8"Х СУСС[ЈIIIlХ сmраfllщtl.

Пример

6

КОJIIlка је ПQllРllJl1l1а "р.шоугаоника чије суседне странице имају дужине

1,5 11111 20

ст?

Како су дужине страница изражене ра3JlИЧИТIIМ мерним јеДlllllщама. израЗltмо их најпре у IIСТI1М мерним јеДII~lItцама, на пример у СI11, а =

ПОВРШlfllа је једнака

Р = а ·Ь

1,5m=

150сm; Ь=20ст.

= (] 50 . 20) ст

~ Контролна питања ш l71а је (јовР'IIIII/([ ф/lfуре? Да Лll се П{)скројоње.м }.fel /Jo t10вриlIIl/{/ ф lllур е?

Д(/ /111 jeguaKe фи/уре морају бити [logygopHe? КОЛlIка је t106plllllllti jegllllll'll/OT K8lJgpal71a? Кnко се I13ра 1 IУ"IJ(Ю поврШIIНtI прnвоуltlОНIIКn?

2

= 3 000 ст 2 = 30 dm 2,

м Задаци П о кажи да фи гуре I lредстзм.ене на

1.

слици

6

и м ај у једн аке fювршине.

Да ли nOItYAaplic фИI 'у ре имају једна ке

2.

I I ОВР Ш ИЈ I С? Да ли су фИl 'уре које имају једнаке по ­

3.

ВрШИIIС Уllек Израчунај

4.

11

ПОДУllарне? 06 ра зложи.

riO ВрШlllI У

пра воуrао ника

'!ИЈе СУСС}ЏI С crраmще имају дужи н е

2

ст и

3,5

\.

С ]Н .

б ИзраЧУII.ј ' Ю"рШllIlУ 'IIР'фир"'и, ф''''ур' т, слиКаМ'_

СЛlIка 6

_ ____ _________

5

5 5 2

, r.

5

~

\Ј

и.зр" "у нај поврщин у собе ]]рикаЗ3I1С на СЈВЩИ

8.

7.

Израчунај ПОll рlllllн е ~ш гура предст;шљеНltх Н;)

CJlli K3M3

9

И

BoyraQHOI'

рама

С ПОЉНИ Х

2

ди ­

6

МСl13ија а и Ь, а у н утраН.IЊИХ с и

d.

--

2

10.

8. И зрачунај I ЮU Р ШШIУ Ilpa-

СлИК<:17

\

Слика 8

~ Рсзањем 11 С<1сгављањсм 1 1рекрој : а) троугао у ,ьему jegl/m( I1аралСЈIO I'ра м; 6) трапсз у IbСМУ jegl/flK II зралсло ]'рам;

11 ) lIаралСЛQ " рам у праКОУI'аОIlИК; [.) деЛТОIiД у IIрЗlЮугаОIН1К.

Сл ll ка

10

9.2. Површина паралелограма Нека је садрже

ABCD произвољан паралеЈЈОЈ'рам. Означимо са С' и D' подножја нормала које С, ОДНОСНО D на праву АВ. Докажимо да паралелограм AВCD и ПРЗIЮУI"аоник

DD'CC

имају једнаку површину.

Ако

D' Ilрипадз дужи ЛВ, дуж DD' разлзжс паралелограм ABCD на правоугли трапез D'BCD и правоугли троугао AD'D, а дуж СВ прзвоугаОIlИК DD' С: С на тај исти трапез и праIЮУ"Ј!И троугао ВС С подударан троуглу АО' D. Отуда опи имају једнаке површине.

б)

Слика

10

Ако ниједна од тзчакз С' и О' нс припада дужи ЛВ (као на слици

]06),

паралелО['рам

ABCD

допуљен правоуглим троуглом већ ]"ради

трапез који се може ра3Ј10ЖИТИ

113 правоугаоник DD'C'C и права­

tD~ _ _ _~C

угли троугао АО' D JloдyдapalТ троуглу ВСС Зато паралелограм и право у гаони.к и у ОВОМ случаЈУ имаЈУ исту павршину.

Из навсдсног следи следеће тврђење. ПОбрlllllна паралело/рама је!Јllака је

ПрОll 3 боgу !Јужrша

шеfоое

сmраниЈЏ' " ogfOOllplljyhe оuсиllе, О!ЈНОСНО:

Пример

,

в

CJНIKa

11

еника

12

I

Колика је uовРlllина Пара.лСЛОЈрама чије I/UI~е а

А

== 4

ст U Ь

== 3

cyceglle

cmра­

О

ст образују yfao

09 ЈО ?

Н ајпре одреди висину која ОДI·овара страНИlЏi а. Затим

нацртај висину I<оја садржи теме одговара страници а. Добијаш

оштрим углом од

D

паралслограма и

IlраВОУI'ЛИ троугао с

" '-

300 и хипотеНУЗ0М Ь.

Тај троугао је половина једнакострани'IНОГ троуl·ла ЛDЕ странице Ь. Стога је fНiCИllа IЈ" једнака половини странице Ь. па је ПОВРUJина IlзраЈ1еJlограма: р

=

а

. h/l = 6 ст 2 .

rr-

Пример 2 Ако је Ј(/ паралеЛОIР(//tI ПОЗ/lаmо а, Ь 1/ 11", КVЛI/КО је 11// ГlОВР Шlll 13 l'I аралслогра м а је Р

= (/

-/I а

:::

Ь

-/1".

Из послед ље безе је

Контролна питања Како се ШРfI'IУI/(/(Ј(l ПООРIШ I/IiI !7(/раЛСЛО1/>(/ма?

м Задаци 1.

Израчуна; llOl\РШllН У Iшрзлелограма ако је ДУЖИ l1 3 С1' р ающс!Ј

2.

ПОI I УШI табелу. ПодаЦl1 се односе н а п аралелограм.

--;; 2 т

ь

1,

81ll

2т

I сПl

4dЈП

3.

1, ,

Р

I ЈI1l

1/2 щ 2 12 ст :!.

6 111

2 111 2

8с rn

I

3 111

= 2,4 сщ It

КОJIIн<а је I1ОВрШИ Н3 lIаралеЈ IOЈ 'рама 'Iиј е су страНllце

IIIt Сltllа

11" = 2,[

ст.

-

2 111 1I 4 111,

ако обра зуј у У Ј'ао од

зоо?

4.

ДОК<1ЖII 11'1 је ll:1раЛ('ЛOl'ра м ' Iије су Вlкин е јеДН
- рамб.

(

9.3. Површина троyrла Да бисмо

Il з ра " У I I а1111

Ј']ОВ РШИН У троугл а ,

троу гао се м о же ДО Ј IУ НИЛI гюдудар н им тро­

углом п ола З l lOМ до 1'l зралеЛD грам а ( сл. 13 ). Сто га ј е tlO В рШlIна т роу гла јед нак а П01l08l1 -

'НI П О Вр Ш Нl l е доб llј е н о г п а ралело гра м а,

113

IЈ3 Ж И следсћ е т орђење . Сл ика 13

ПовРllllша mРОУјЈUI јеУlllнm је ПОJlОlJlll1U аРОIIЗlJО(ЈtI !ЈУЖlше je!}l//? IbefOIJC сmР"I/IЩС

11

gуЖШIf? 61"1l1ll! кој" јој оgIОбllрl' . р=

Прltlllер

I

2

(/ · ЈЈ

I

I

b· I,. = ( -11. "2 2 ( =

1

IIЈР(l'lу'/(/ј 1100риll/llУ m/ЮУi,1а ако су gУЖllllf cmpamll~e а = 4 CIII ПОВРШIНIil је р =

'!"

I

2

ogf08f1/)(Jjyf,f? 811С111/С 5 CIII.

{/·JI ;, =10cm 1 .

Прllмср2 Ако је за mроушо Ане ПОЈ / што: а Важи /1 •

Е

/llbOj

1,,,

= Ь . Ј1Ь = 2Р. Отуда,

= 4 ст, а

Ь

= 3 С1Н

11/1(1

=6 СIII, ogpegll 1,/,.

. 1,

1Јь=Ь=8с lП.

Прllмер3 ИЗРО',унај 170вРIIII/IIУ r1равОУ/ЛОf !Тiроуlла ако су gУЖllНС K(IIlierТla 12 ст 11 10 ст.

Н ека су катете ,'роугла 06ележене са (/ ,.. и, тада је ПQВРШllllа: р =

а·и

2

= 60 c m ~ .

!I Контролна питања

(

Како се 1I3prl',Y"/lfm nО/ЈРЈ//шm mроу,ла?

N

Задаци 1.

ПОПУIНI табелу. Г!ОДiЩII се од н осе на троуг.ю.

" ~.s

l1l

ь

/,

8111

2 111

2011

2 dm

-

6

/" ,

l'

I (Јm

1/2 т ! ] 2 СIll ! 2 1112

Cll1

3ш

6Пl

Ј

2.

КОJlШ:
11 4 ст 11

3.

ДОЮIЖII ЩI је "'I'ОУI " ,Ю 'шјс су цвс в исин е јеДН

)'1"<10 1500 ?

Дужине катста праВОУl 'ЈlOl' троугла су

4.

тенузи

5 ....

9,6

12

и

16

ст, Ако је 811C11lla која

OAl'Ol.lapa

Х~lПо­

ст, изра'lунај хипотснуэу,

Докажи да јс збир растојаља IlрОИЗВОЉIIС та ' [ке унутар јС/lнакостраIIИ'IНОI' троугла од љегових страница KOHcтal l TaH и Једнак висини троугла.

6....

У којој размсри среДlfшња дуж дели површину TpOYГJla~

7 ....

У којој размср» теЖИШllа дуж деJlИ rЮОрШИIlУ троугла~

9.4. Површина трапеза 33ЈЈ,аll је трапсз АВСО и СРСДИllll'С Е крака ВС (сл,

]4).

Нека права ОЕ ссче

продужетак ОСlювице лв у тачки

Р,

Тада је МЈЕС == дРЕВ, јер је СЕ

=

= ВЕ. LE LE (као унаКРСIIИ) и LDCE = LFBE.

ПО IЈРШlша

трапеза

АВСО је јеДllака

ПОl.lршини ТРОУГЈlа АОР, ца АР

=

лв

+

ПР

=

АВ

'Hlja је ОСIIОI)И­

+ CD,

а висина

л/----"

која јој одговара једнака Је ВИСИIIИ тра­ псза

11.

г

Односltо:

1

Р(АВСО) ~ Р(АРО) ~ - (а

2

Сл и ка

14

+b)I•.

Тиме је изведен образац за површину трапсза и доказано следеће тврђење,

Пооршuна fllрапеза јеУНtlка је UОЛООUНII ароuзвоgtl збира gУЖIНm OCIIOlIUI{a 11 !ЈУЖШН: БUСЮlе.

Пример

1

КОllика је uоврщина mРtlаеза ако је gУЖII/IU СрС!Јишне gужu

4

ст, а 8исине

3

ст?

Како је дужина средишне дужи трапеза једнака полуз6иру ОСНОВИЦа, површина трапеза је

јеДllака ПРОИЗВОДУ дужина средишне дужи 11 висине, дакле Р

~ Контролна питања Како I.:е тр(/"у"ава површиllа шраi1сза?

= ]2 ст • 2

N

Задаци 1.

И з ра ч у на;

IJOllp l.IJII IIYтра ll сза '1 1[je

су ОСНО IЩI (С а и Ь. а в исин а

1,:

а) (1 = 3 IП , Ь = 5.5 т , '1 = 1,5 т; 6) (/ = 40 с т, Ь = 15 с т , 1, 60 шт.

=

2.

ОCIIовице траll еза су ) t У ЖИIJ
] () ш 2 , а средња л и нија 5 IП , и зрач ун а; в и с ин у ТО " тр.ш еза .

3.

Ако ј е П О ВрШ~lН а т рап сза

4.

А ко ј е површин а ј еДllOГ т ра п сзз 224 сш 2 , а ДУ ЖИllа II.C I'OВlIX ОС IЮ ВIt ЩI 12 С I11 11 16 с т , к олико је растој а њс 11 з м с ђу правих које са држ е ОС IIOI!IЩС~

5.

До к а ж и да обе диј аГ ОIl i1Л С тра пеза дел с lIOНРILНtll у трап сза у истој ра з м с ри .

г

9.5. Површина ч етвороyrла

OдpCJЏlMO најп ре IIОВР 1111111 У l<онвекс нOI" 'Ieт­ lIороу,'ла. Правим које садрже темена и пара ­

JlCJrl IC су дијаГО l-lшr ама одрс ђ еl l је паралело­ [' рам

чиј <\

је

I lO нр ннm а

два

пута

већа

ОД

ПОIJРШl1l1е полазноr' 'I СТ lюроу l'Ла, Зашто?

Зато је

rювр шин а

KOlllleKcHor

чство ро угла

jCAl lilKa ПОЛОВИНII ПОВРШIНIС Il
Сл и ка

15

роугла IJ угао на ОС Н ОНl щlt ј ед нак углу из међу Дl1ја l'о н аJlil, У слу ч ају да су Д II јаl'Оllале нормалне

Ol ll1Call11

паралелограм ј е пр а lЮУ l',Ю IНЈ К, па важи слсдсl1с

т врђе њ е,

ПО6рlUII11а 'Нtl7lвороуfла 'mје су УllјtllОllале IIОРМnЛIIС је:

"ри "(!му су d l и

dz 9УЖ.lНе 9I1ја.онаЛl•.

ОlJај образ.щ иаЖ f1 за

KOl lllCKcaH Дслт о ид

(ч иј е су д ијar'О I~аJlе нормалне), а ТИМС

11

за ромб и

квадрат,

ПОВРШИIIУ ПрОИ ЗВОЉН О I " ' I створоу гл а (па и Мlюгоугла) можемо одредити ~I раЗ)lзгањем

'1'01" 'I етвороугла

на

TPOYI"JlOBe

и саб ираљем ПОВРШlIна тих троуглова,

ПРllмер

1

Иэра'lУII(/ј nOBplII/llIY 'IСКО'ШСКCllоf

'1СШОО­

роуfл(/ 'fllje су gllјаl0lfалс gужmta Ј, 11 Ј1 110Р­ малнс,

Четвороугао

се

може

раЗЛОЖI1Т1-1

на два

троугла са зајСДШI' IКОМ ОСНОIIIЩОМ Ј l

1I

BllClttlaMa чнји је зб н р дужнна једнак Ј 2 ,

Сто .'а је њеЈ'ова rювршина једнака

p = cI,'d! , 2

СЛ I Iка

16

~ Контролна питања Како се юра " Уltaq6(iовРUfllна ',СШООРОУfЛ(/ 'lIIje су gllјllfонале I/ормалне? Ка ко се IIJра ' lу"щm lIовршuн(/ gелШоugа?

Задаци 1,

СреДИ Ш Т<1 ст ра llИl lа М;1 кој е .' чеПЮ РОУ "ла одређују ltaралслогра м Чl lја је II ОИрШ llllа ј сд­ I l aKa IЮЈЮIН НIН П ОВр Ш lIне ч ет вор оу ,'л а , Дока ж н.

2.

I1 з р а ' lун ај Jr ОU РIJlИ!IУ деЛТО l-lда, ако су дужине l( н ј ;lI 'о н а Љl

3.

И зра 'lу н ај II ОВр ШlIlI У ром6а ст ра lllЩС

4.

КОЛ lIка је l !О uршина КЩl1lрата днј аГ О lI:lле

5,

А к о У Ч СТ IlО роу глу ј еДl l а дllјагонала [ЮЈ IOIII-I д р угу д нј
1 сш,

2 CIll

Ii

3 С IП .

ак о му је једа н у " ;ю једн а к

300,

1 dll1~

трОУ ГЛОВ<1 одређе ни х једн ом Д llја ,'он алом 11 страНИЦ<1 м а ч ст вороугла јеД IНI КС, Да Л II 1J:1ЖII If обрнуто?

Резултати, упутства, реllIеЈЬа

1.1. 1.

I ЈУJl~.

1. -1;-3;-5. 3. - - - - :4.

+11; - 3;-5. А(-4); Н(-1); с(,).------------------------

удаљсне су

M(-S)

6.

У Ikо,'р;щ}' ЩЈII УЖ IЩУ, Э3 111lClЮ

7.

Шест.

8.

ЛН >

9.

11

,\1(3)

8 јс.1И1ШЧ IIIIХ

5.

011

ДУЖ I !. СРСДШIlТ<' С ДУЖ1l

КООРДIIIIЗ1У

-1 .

смера кретања.

CI)

Мl'РII:IIIСПlil је l iO(\)!jCII~ у рску 11 ПО7\сл,СIlС1 Il а јГДII;1КС раэмакс . Н}'!Ю~I је O:III;I'll:lla та'!ка 113 IIСТIJII која 111\1'011:11'01 IIOPM
10.

MN 11.\1<1

АllаlI<1 око

+500. I'YIIIIlIK

Јащщн ско море

- 1 200,

ОКО

1 000,

ЦРII() море

КопаОIlИК

-2 5()(),

2

()ОО Пl, Тара

U}(I 'Ollap:ljy 1 500 111,

СРСДО:il'МlЮ .\1()рс

-5 S(){J

IlltlUCM (Јlllжем) воцостају.

Ет!!;]

3 500.

!11.

11. Л(2)

С(О)

11( - 3)

12.

I I I О

- 70 - 60

13.

130.5.

14.

12 С I11.

I

so

36

•

•

1.2. 1,

Jl ym!.

2. 3.

-ХЕ

4.

О.

хе

!1,-2.3,6,-3) 1- 1, -2, +1, +3 1 - - - - - - -- - -- - - - - - - - - - - - - - -

5. 1-01 "" 101'"

1.

6.

а) О:

7.

:Ј )

8.

;1) IН.'Г3ТI1JI:Щ:

9.

А(5), Щ-7).

--

6) 2 11 -2.

-2: 6) 6:

10. 3) 5:

б)

11)

О;

6)

1·) ±3:

д)

I Ю:ШТlШ311;

±2: 1»

О;

е) не ЈЮСl"ојt::

- - - - - - - -- - - - - - - -- - - - - - - - - - ----------

О,

.±5.

11) нулз.

4: 11) -17.

11. з)13, - 13; 6)0: n) 'lIIjt'I13 II.

12. -2. -1,

ж)

1,2.

1.3. 1.

а)5 > 2 > 0 > -3 > -4:

6) 3 - 9 <11 - 12 < 3-(2-7) :

H)4 > 1 > D >- 1 >-3.

'.

- 3<-2 < 0 < +5.

3.

а) б)

4.

-4567 < -2987: - 39 > -96.

з)6,7,8 , 9:

6) 0, 1,2: II} 4, 5, 6, 7, 8, 9.

5. a )-З - 35. 6.

УВ заl ~с.

7.

11 < с

8.

Ако j~ а

9.

Трн .

10.

. h

'I3J8e

<Ь

онда

jt: ј/

,.

-

ь

<О

п а је -(11- Ь)

1(1':11(011>0

11U.ДUРОЈ~llа О, аКОII = О = IIII.

а и -а

JeiI ll"K J~'

_ (1,

ако

(1

<: О

1], Hl1je,jcp jt:-5<- lal - SJ> J- I J. 12.

Hlljc, jcpjcl +21<1-3I012>-3.

13.

а)Х > (I; 6)0 >-х;

1Ij-x < y; '" )Х > {I;

д) --{ј > - Ј-хl ·

> о тј.

-(!

+ь>О

UЮIОСIIO -а

> -Ь.

06ра1'IIО IЮЮlжlt сам.

4.

а)

5.

а ) 1I

100;

!

(1

+ 4,

а

6) б)

(1

-+

(- 50) ;

11)

О.

+ (-6).

6. - 7; - 15: - 13.

7. 6 jeAI " I" ' I IIII ~ ДУЖ !!.

••

а) -7"С:

6)

+ I Ос.

9. _ S°c.

- 23: 6 ) - 9: 11) - 20.

1••

а)

1 1.

11 0 11 6 1юј је 11 :1 flСr.lТll!II юј ГЮJfУОС I I удаљен 2 j CitlIIlII'l IIC дуж н од КОО РДII Ш'ТI IOI' J IO' I ~·TKa .

12. - 11. 13. - 3. 14.

а)

5: 6) 8; 1\) - 8.

- - "15. ' - IО :::: (- 1) 16. ;\) (--4)

-1 (- 9) = (- 2)

+ (--4 );

б)

+ (- 8) :::: (- 3) ·1-(- 7) = ( -4) + ( - 6 ) = t- S) +- (-5)-.- - - - - - - -

U + О: 11) 3 + 3.

1.5. 1. -2:-4; - 9: - 3. 2. - 14: 6; - 2. 3.

О.

4. 5. 5. 3.

7.

(+5 +{- 7») - (-4 - (- 3)) '"' S-7 - (--4+ 3)= - 2 - (-]) - -2+ 1 - - 1.

8. 30 - 10+5 - 50 - -25 9.

ст.

Л РН СТОТСЈI је Ж ШI("О 62 ' "UДIШ С , <1 Illпа['uра 7 0 .

10. IABI = 1(+3) - (-1 )1= 4.I CO I = 1- 7- (-4)1 = 3.IABI > ICOI· 11 .

1-11 1= Inl ""

12.

l'а ЗЈ III К;1 ј е l!c h~l .

1.

13. - 2 - [3 - (-4)1 < 5 14. 11 - 1»

13_-_. '1. _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ __

11.

16.

1'11.'>1 У 7. щ~ку старе ере, l>eo l paJI у 8. веку н . е . , Мос,,"з у 12. lIeKY 11. С.

17.

;. ) х = -4-3.х =-7: б) х =

18.

1 4 ,. lш;\ ра.

19.

За

20.

011 :1.11;\ је :!а

21.

1- 5. x =- 14.

-------

---------------------------

х"'

+

5"С

155 с т.

5 ""- 12.x =- 17.

22.

Од 6ројз

23.

I>lюј

3.

24.

[;рој

- ]4.

~ )- ]

+(-3)+ \ =- 1 + 1 -3 = 0 - 3

---

].

1.6. ].

- 3;

6)2 + 5 -2=2-2 +5 "' 5; 11)

]0-8

+8-](Ј

=

(lO - 10Ј

+ (8 - 8) = О.

2. :1) ( ]996 - 1997) " (1998 - 1999) + (2000- 2(01) + (2002 - 2003) - -4; ---

6) - 1 -2 - 3 - 4 - 5 _ -( 1 + 5) - (2 + 4) - 3 _ _ 15; ----~-----------------

11) ( 1 - 2) + (3 - 4) + ... 1 (1999 - 2000) + 200] = - ] ()()()

+ 600 е 7 (900е +

е

l\ЮI.

-

-

3.

700е

4.

(1, + b) + ':: =( I1+,:)+b =( b+c) 1I, = (lI+II)+ ( = «(+II) + b =«( +b)+II.

S.

Дз.

---

400е)=

+ 200 1 =

1300

- 1300

-

е =Ое

--------

6. з)-2+3; 6)-3+9+2 - 5; IIЈ5 +

6+3 - 7:

г)-9+

]0 - 2+ 15+3- 4 +8 - 12;

11)11 + 3-2 - 2 + 11. 7. - 113+(-4)-2-4 - -2: (2 - SJ + (- 3) + (-1) = -3 -3 - 4:: - 10; 3+(2 - 5)-1 [-(6-8)1=5 -3+2 = 2; (- 1) + (-1) + (-5) + (+9) =- 1 - 4 - 5 + 9 = - 1.

-----------------------

8.

з)9;

9.

3)(I+Ь=

] 0.

2.

- -- - - -- - - -- - - -- - - - - - - - -,------- -

10 = /I + I1;6),,+b= - 7 = II 1

а.

(1 + (11 + .:) - -6+ (4 - 10) - -6 - (, - - 12; (II + /1) + с = (-6 + 4) + (- 10) =-2 - 10 -= - 12; {/+ ( Ь +() = (а 11/) +с.

2.1. 1.

6)(1-2) +(3 - 4) + ... +(200 1 -2002) : -1001.

Ј еЩIУ.

3,

а)

4,

Ниједну, jeAIIY, дне 111111 ОС'С lюна'l l Н) ,\шоro,

5,

I !С,

6,

5; 8; 18,

Та lша Л Р3Rа (С'l е јо щ Н)lН (1'pa НlIЦY АС IШИ СТР:IIIII I1У

IlC

' - - - - - - -- --

2.2. 1,

-:-

а)

+ 6; IIOCТOjll; 6) 5 ::: 3

7<5

2.

11 эм(t,у

Ј.

:1) С 113,\1el)y А 11

4.

(1) СтраН IIЦ(' ТРОУ".1;1 су

I

( nl

t 2; IIC rюстојll,

( ПI .

11 9

8; 6)

С ј(' IЏIJal I Ilр.ше лв.

5

ст,

ст,

12

12

ст, ла је 0611М

29

СIII,

б) П остоје две МОI 'у hIЮСТII:

- стра lllЩС С)'

5.

CТJbll!II!\C СУ

5 ([11, 4 (111," (111, а 0611М је I.~ ст; 5 ( 111, 5 ( 11 1, 4 (111, Ila је u6им 14 (111 ,

П остоје две МOI ')'IiIЮ('I'II:

-

ОСIЮl!1ща

-

О(IIОlllща

4 CJI1,'1 2 (111, ;]

3

(т;

" 1'.11111 rю"

"I':ЩII Щ)

(111.

/,2.з . 1.

u '"

180" -

2.

а ",

45°,[3 = 75", '{ =

3.

У!'iЮНII суа.2 а,

4.

35", 45" 11 100",

5.

а + 13 - ]20", 13 + у - 130", Сабираљсм добија м о Ј3 + ( о: + Ј} + у) - 250" 11 зБОl' 1'01'3 О. + Ј} + 'у ::: 13 = 70", 11 з ПР"<' везе је а ::: 50", а 113 ,~I'yгe у ~ 60". отуд:! о: + Ј} ::: ] ]0".

6.

55".

7.

H .. jll(J1J[ )'....1.0

8.

НзјlllНlIе јСII:III.

9.

Ј lе, јер

--

61\

ОЈ

+

у)

има

- 600,

I!

60~.

- - -- -- -

3 r:t.11зu+ 2 0. + 30.= 180u cJleII II IХ = )(}O,IJ = 60, у=90".

90",

а lIајмаЊJl

з611Р Ibl·I'UL!I! .~ )'гmJllа

3Q".

6110

СреlIЊII

1I\:l;и ОД

180",

11.\1:1 60".

- - -- -- -- - - - - - - - - -- - -

18Qo.

10. О шl'Р".

--

11.

КЗД 6и СНН сrЮJl~1I1Lњ1t YI'IIOIIII 6ШIIL lIеtш ОД

120",

O llДo1

611

"'IIXO II з6 11Р био

lIt:h .. 011 360". (JI1'O нltје

1'3'1110. 12.

Кад""

0 1111

СТlољщltњlt YI'IIO IlIt 61U1II ма"'ll ОД

120",

IIoII ~OII з6111' 6116110 маљ" ОД 360", ШТО Нllјt'т,I'IIIО.

13. о••

. '"

-.

•

2.4. [3 - у>а.

2.

3.

/1

оо

420 =

3aTQ с >

13; "1 = 96~.

а

==

ј/, тј. ОСtlOuJt ца је дужа

4.

Кзтсте С)' јеДI ЩК( Jt

S.

(1 -

600,

СЖ'JI!I (

,..:111,(" ОД

f3 _ 1100, У _

011

КРОЈ":!.

ХlшотеllУ'ЈС.

100,

< (/ < ј).

6.

LA > LC >L /J.

7.

LC> 90" след" LC > LA > LБ.

8.

Нека је N 110Дl lOжје нормале

Зато

113 М

"раве р. У праlЮУI ЈЮМ троуглу нзјllСnll, [Iа је мр

11 < 11 < с.

"ар Jt 1'611ЛО која та'!ка

MNI'

уr,ю

LN = 90"

је

> MN.

"

-------;f------!1~ f>

LЛВD је OIIIТ
9.

КОН3'IIЮ је ЛС

N

l'

Ila је LARCTYll 11 СТОI"З всlill од L IЈСЛ.

> 1\/1.

10. ИЗЖ'l)у та'lака (l)j " (С) IlOCТQjl1 та,!"а /ј' CIIMcтpI"IHa т.1'110I (т у односу на .lраllУ Л1), LDfl' Л = LB 11 L 1Jlf Л као сnољашtМl УП\О dЛВ'С је

uehll

од

LC,

па је

Lli > LC одак",

закључујемо да је

АС > ЛВ.

2.5. C II()JtJt се 113 np06I1(;\I;

1.

а) I1з дзте тачке Р IIраllС р 1l0Дllnl l нормалу

113 /1.

КОIIСt'РУIЩl1ја је Ila (Л НЦII.

6)

KOIIC'I'PY l lcaTII Уј'ао O.'~ ПОЈ IOUIIПI ЊСI'ОUУ

60",

JlU!I\JI!I1Т1I I '~ 11

IIf)!lOBlltly.

l' KOPIICТIITII:

2.

3.

165" =

120" '" 60" + 600; 1350 = 900 + 450; 2250 ", 1800 + 450, 2400 '" 2700 _ 300 = 3 . 90" _ 30"; 3000 '" 3МО _ 600.

-- I80 Q

- 15"=

180 0 _

-

1

2

.зо".

,

- - -- -- - - - - - - - -

3.1. 1.

-6: - 12;30.

2.

-4ХЕ

3.

2- 15-8- 0 + 10 ""- 11.

4.

- 3(4 - 2) =-) ' 2 - -6.

S.

5· (---4) + (--4)' 3 - (-4)5 + (-4)3 - (--4)' 8 - -32.

6.

2(-3) + (- 3·2)5 _ '" 2(-3) + (2' (-3»5 "" = 2· (-3) (1 + 5)

10,--4,4,121.

= -6'6=-36.

7.

01 )-12+6+6- 12 =- 12;

8.

з)-6·0 = 0;

9.

3) 3Х; 6) -3х;

10.

а)3{х+2) --3;

б ){375+2)х - О·х - О;

6) - 5-4 < 0; [I} 7х;

11)7-(-8)<7;

11 )0. д)-7 · (-7»

[')(- 7)(-8»-8;

0.

[' Ј о.

6)-2(1 = 8;

11)2(!Ј - 1 ) _ 14.

11. -6+35+ 12 - 41. 12. -4(1-3)_8. 13.

а)(-4)·(-3) - 1 2;

14.

а) О; б)

--

6)- 10 +(- 1)(-2)--8.

9.

JS. y=(-2)·(- 1) = 2;1 = 8.

16. -48·]5 - - 24' зu _ - 720 -4-5= - 20 (_5)l = 25. 17. а) РСIIJСЊС је 6рој 3; б)ХЕ IO, - JI;

18.

А lщјеа~О.О l џtзјса·а~U.

Лкојеа 19.

20.

I')ХЕ (2, - 5}.

< О,

Зн ак број .. а з)% < 0;

ондајС/Ј '(/ '"

.

Ь је

+ (-)

1111'1"1 <'::0.

31(0 су (/11 Ь IIcтor (cynpoТltOr) ::II I ~ IШ.

6)О < х < II1СМ
II)xe(- 30, - I) u (2,<><» .

----

21. а) 611; 6)6 - 311; lI)8xy; г) 18r. 22. (-I)(- 2)(- 3){-4)(-5) - - 120. 23.

-3(IЬ

+ 4ас.

24. :1) - 9(1; 25.

6) -33х;

11)3'1-211;

[')27(х +I) ;

НЈд - II .:- ]50 - 3 =- 1 53.

26. 2xt-3x=5x =- 15. 27.

311-4Ь - 2а+Ь = fI - 3Ь --3+6-3.

28. -411 _ 400. 29. -+3fl - 4/1 - - ]2+20 - 8.

д)4-1I-Х:

I»х-+

1.

3.2. 1. - 3: 4; - 5: S. 2.

2-(- 3) + (-2) = 3: 2-(- 3) = 5 <): H~ )

+ (-4) =-5 + (- 3) = - 2.

-4 : ( ..... )

3. 11('. 4.

а) Л ко --4 _ 3х. OIща 4 _ 31хl llз l х l " ll je цео б рој , а тиме 1111 Х.

5.

а) Да.

6.

О: (-3) - 0,ј('р;<,0- (-3)· 0.

7.

K:lKQ jC (-24 ) :6 = -4 11 3 5 : ( -7ј =- 5 ТО ј С(-24): 6 > 3 S : (-7).

8.

<1 )- ];

9.

- 9:(- 3) = 3.

[ О,

а)3-6 --3 ;

6)

.иа.

----------------------

6) (1 5+ (2) : (-9) = -3.

----------------------------------

-----

б)

]8:

11)-2 + 6 -' 4;

r ) 12 + 5 - (- 5) - 22;

;1)-1 4 ... (- 9) - -23.

11. 20 + 5 - 25. т

12. - 10

(15 ) : (- 3) - - 15.

13. 5. 14.

134 .

15. -2 - ] : - 3. 16.

C1~'Д II 110 ДСФШ I IЩl lј ll.

17.

Ак о б и (/ I! 1,611)111 ра:-IЛI I 'III 'I'ОГ 3 1 1О1..:а бl1lЮ

18.

a ) x(I-х)-о.хејО.Ј!

[9. 5 · 5

I!IШ

6) .1:(1

"Ь

61. - < U

x )( l + x)- О • ."fE

(- 5)( - 5).

[0, 1,11 .

-----------------

4.1. р

1.

~---~ Q

с

R в

А

4.

а)

5.

ВЕ

6) ")

_ 2;

ВМ

_ 3: L BA M _ 400; LAElj - ] ]0".

4.2. 1.

Ј J()J\YII~PHft су ТРОУI'ЈIOВН 11;\ CJ! IIIHlМa а 11 В)

2.

Д;I.

3.

6/ШС = 6рои ОО IrРЗIIIIЛ}"ССс.

4.

S је среДIIШ'l"l'

--

110

ЩXlIIЉ1 У ссс.

(ЮН!ЩII\С ЛВ јеДIНIК(ЈКР;1КОГ трОУ " lЩ АНО, па је о.'} ..lЛН .

k о

s

А

(ЈА

S.

ЈЈ

= 0I3=5C = S/) :-o ,

LAOJJ '" LCSI), СII<:ДIt МВ() :;;

"

111) IIPallIIJIY СУС

k

6(/)5.

11:1 llOlIУЛЗРllOСl"I' СJlед" АВ

;: С/),

" 6.

с',t'ЮI Н3 ПОДУIЏIРIЮСТII АЛпе., БАНО.

7.

След., 113 IЮJlудаРIЮСТl1 ТрОУГIЮII:\ ЛМD" CN/),

--

---- ----о"':-_ _ _ _---, с

N

л

Н.

АН

~Ь

=

"

м

с

IЈС'

ШV = ВМ

LAlJN = LCRM t1AUN == 6С8М,

311:1.'111, ЛN

= СМ.

ЈЈ

" 9.

11:1 IЮIlУ,'l.аРI I ОС"ПI 6ЛRD 11 6соп следи LAlЮ = LCDH,

lIa

ј<: АН 11 со. TOIKOI)e. LlЮА '" LD8C, I.а је

_--:-:----,л/Ј 11 Вс._ _ _ _----,=,----с::::с:- _ _ _ _=---:: ,---,---_ __ _ 10. Л/ј = С/Ј

C Yl: _ _ __

110 IIJ)(.'THOCТ'IВHII,

~J]eЦI! ДАН/)

;;

6СОВ.

--'Ол.гОl!арајућllх УfЛOl~,"=._

_

Ltl lJD = LCDH

11:1

110 Ilpt-"lю('таIЩII, IЈD

- ОIЈ зај~'llIt11'l"а СТР;lIlIща 'Iа 110

IЮјlу.' \аРН(КТII (!lCI\l1 јСДЊIКО(Т (ЩI'ОI!~рајућIlХ ('l'l'
_

_

L

А ве

4.3. 1.

IЈС _ Ее ло IIIХ"ПЮ(Т
L

АСЈЈ

= L

_L

ОЕС 110 ПI>еfIIО<..,аIЩII ,

йСЕ )' 1!:lI\PCHII,

113110 УСУ слеДI !

6

А8е:=6 йЕСо I1 з ОIЧ" IЮДУЈ1аI' I ЮСТII слr:ДII лс ::::: ос.

Z.

I !С.

3.

Д::I.

4.

На. 6 АНС ==,1 C1II11I 1 110 I l раШIЛУ УСУ

5.

а)

6

Аис:

6

1/J 1C 1 (110

С УС);

6) 6

Ане :

6.

.1)

tJ.

А/ЈС=

l!. A11.I1(.'1 (1 10

УСУ);

6) l!.

Л/Је = 6 "IB1C, (110 УСУ IIJlII 110 СУС);

11)

6 Аllе;;,1

-

--

7.

-

АО

-

А

(L

Ане:

6

А

L

C 1A11I 1• IIС

IJJ 1C1 (111)

ССУ);

==

ЛВ.

11) 6

L

ВСА ;О

Аис:

L A 111 1C 1)

6 A1/J 1C 1 (JlО

УСУ).

A1IitC: 1 ( 110 СУС).

/Је 110 !lр~·I·IЮС"::III1tIt,

110 = Л/ј =

110

ЛС

1IЈ.>~·ПЮСТ~IIЩII,

НА зајеЈ\IIIРIК;I""РЩIII1 IЗ,

11;1 11<.1

ССС СnСЩI МНС;; 6НА/Ј. ]-];Н: IlРIIМ ;щјеДIIИ'lКС ~""Р;\IIIЩС ЛI~ У ОШIМ ЧЮУI'ЈЮН!lма су једнаки

уmОl!1t АО/Ј н /ЈСЛ. ЛМС;;

6

8Мс,

8.

6

9.

111x.'CJНIKaMO IIIХ'СЈIIIIШ у

6

11;1

l!.

L

СМЛ IЕ

L

СМ/Ј jCAIIOIIo:tt 1I YIIOPCдlllI.

6 Alle UCIIO.\1 C II :\IeтplljoM у односу НЗ "рзву СК 6 Л/је се А I/IC

tJ. Al~C == 6 A1HC L IIlI j~'

су

ЛI~ С

=L

Л1ВС ~

А1IА 1 '""

.30", L

6{}"

= A I I~,

11 АII

ЛLJЛ 1 jeJ\ lIilKoC'I'P,lIl1l' lilH, а Ta'IKil С је СР('юшпе cтpa!11I1 \С

ЛЛ 1 • То је

АС = 1 ЛН 2

А,

10.

Н ека је М 6юю која та '!ка за коју ВilЖИ МА

с

М/I. Нска је 11 II ОРМilЛ;1 IIЗ

_

М 11:1 А/I. Прз.,,! 11 (~"It' АН У ЛI.

L MNA '"' LMN/J = 90" МА

МЛ ПО IIрСТI IO(ЂIIЩII,

MN = MN :.... jeItIllI' IK::I c-rР'ШIIЦ::I, IIЗ је 110 ("..СУ MNM :; tJ.IINM. ОI,;1Т11е

с.леДIt Л N

= N8.

/lакле,

саllрЖ l1 ЧХ'llII lIIте Ј\УЖII АНIt 11'::IД1' пран у ,'ао са АН, Ila је

111"lIIa 11 111'.111:1 11

CIIM CTpa ; l ;! ДУЖII Л Н.

,

л

4.4.

" lSiџщ "ример

1.

..)

Z.

о.

3.

В1ЩII IIрltщ::р 1,

4.

11)

2;

6)

I.IIЩllllр'lмер

= Ј] = ( I 80" - 120") : 2 -

1;

11)

I.IIIДИ [Iриме!'

з(r. Лаљс K~O у IIp"Mepy

Угао IIЉIl"!ју KpaKOlm rpuY I'JI;1 је IIЮ" -

6) КОШ:ТР УIIII[1t Y'';IO Ilз.щ·ђу

1')

ВIЩI [ ПРllм ер 3.

2.

2 • 750 = 300.

"paKOlla ТРОУ " ЈIЗ

4;

ДаЈl'" к,ю У IIPI!MCpy

1.

180" - 20., 11<1 дШbl' као у [lрllмеру 1. 3аД,I1"ЗК

lIIe l l.(:' а ко јс' О. ОI I IЛIР У'~Ю'

5.

Са 063111'0:\1 ЩI је

6.

CA - 5с Пl

LЛСр = 30" k (Л, 4 СПl) k СI:'" IЮЛУЩМНУ

MIJ1C 1I

=--=-- -

LC - 90"

КОIICТРУК ЦIФ је K;I{} у Пр ll МСрУ

Ср У ПI'lкама Н .

11 Bl •

<1.

-----'-'----

3(1Ј11П;Ј К ".\Iа 2РСlllСЊ:I:

-

, р

tJ.лн!с.

" с

л

IIM a ре­

7.

с

си j~ IlOрмаll!Ю 11;1 /'. И з Мf)СУI.юАСD је 450 'IЗ IlЩ)С У I.Ю /ЈСЈ) j~ ЈО

О

КОllпрун ш еМl.l l lOр.'oi.IJJУ" IIЗ С 11,1 р. !-{ОРМ;ЏЏ ссчс р у Т<1 " I(" О. КIIIIС1'РУ'l ш е~1O /)СХ

= 45

Q ,

ОСу

= 300

C~ р~зrlllХ СТр<1Н<1 СО.

"

л

р

у

"

8.

а),( =

180° _ (60° + 45 )= 750

,

р

Q

) \аљ.::, као У Щ)IIМСРУ 2. 6)/јС = II "" I!СIII.

LCIJp = 11 =

Јпо

Ј. (С, <1 ст)

k

I IM~ С'l Вр jCДl I Y зај'::ЮIII ·r у T;1'rKY А,

ШI ;I3ЩI'г,II( II,\]:I јсшlO рстсље.

в

с

р

,

1') BC = tl = 8clIl. L C/ip "" 13 '" 45°

k (С, 4 (111). k 'Iсма :lај~'јЏ Нl'ЩХ .:"

IIОJlуrrр'ЩЏМ ЈЈр,

11:1

З'Щ~'fа" 'I<,ма

T'l'\at.:a

prII ICII .C.

1') IЈС = l' :.

LC/lp =

~

8 С11I = .300

"(С5сm)

k С.I

IЮЈI)'I II"III(),\] бр "ма ЩIС зајСДIIII'IН'

Т;,'I",,",I С, 11 Со!. 11 01 !I:щатаl( IIМЗ

JlII:I 1:>I.:IIIC IIo01:

.1tЏЈС 11 LlЛ 2 ВС

д) 11

11'::

> Ь + с. ЋIt.:311 Tpoyr.1O

щктојli

в

с

<Ј.

~\)BC "' (/ = 3cll\ LCBx ~

135" L/3Cy = 30· IJ(шунраllе /3х

11 Су 11 .\I:1ју

л

у

:-Iај"ijllll'IКУ та'IКУ А , па :Ы.'МТ<\К 11ма јејЏЮ реlUење .

с

б) ВС = II '"

3 Cll\

LC/3x '" 120 LiJCy == 75" lТu;lyllpal<e /1.-.: 11

\

U

Су lIе).Јају

.зајеЮII 1 'lКУ ТЈ'lКУ, па задатак нема РСlllењс.

с )

Il)HC = a ; 3 C111 LC1Jx = 60· LBC'y == 120" 1ЮЛУIIР,lве /3.-.: 11 Су су l lараЛСЈIНС, Ila tleMajy 3;lјеДII 11'1 KIIX Т;Ј'I;IК;Ј.

с

н

4.5. 1.

ИзаБС'Рll три Т;РIКС Л, В, С те КРУЖНИЦС.

2.

Тражена т,ШI'еНТЈ јс нормална па ПРС'lIП1Ку те КРУЖl!lще са

3.

KUHCTPYI1UIII центар КРУЖlI1ще ОЛ\IСШIС око ЧЈОУI'Ј(;I Ане KO) Il.\\ 11.\\.1

зајеЮJl1'IКУ

T'I'IKY

А.

Нека је Л та'!ка КРУЖlllfllе k(O,r). ДРУ!";I заје.'lIlИ'lка та'lка IlpalJe ОЛ Ј1 КРУЖI!IЩС' k је тражсна Т:I'lка Н.

4.

6)

5.

СЈ)

6.

l~ellTap опщане КРУЖlllще је ~ајеД IШ'lка

1'
симетр.1Ј1.1 страница I'ОI' трuугла . Дак}\е, НСlIтар је I!

lIа симетраЛI1 ОСIЮВЈlIlе која је оса Сl1мстрнјс јСi\IЩК(Јкр,IКОf троугла.

7.

Тај ТјЮУI'ао је jeJllIaKocтp~IIII'I~II.

8.

H~;.:a j~ О

jCiIllaKOKp'\KII, па су = L ОСЛ, LOBC = LOC/3. Како је з6111' У)'ЈЮIЩ ТРОуј'ла ЛLJС је}щак 180~ ullhc- LОЛС + LOHC + (LOCB + L ОСЛ) = 180", OilaKJle сле}Џ1 LAC13 = L OCA + LOC13 = 900. 11.\ 1 Уf'}ЮВ I1

uCIITap

КРУЖIIJЩС. ТрОУЈ·.' ЮНЈ I ЛОС И ВОС су

[ја ОСНОlНща).Ја једнаКII, LОЛС

9.

l!с .. а l(е llЋlр О "РУ;![III Щ~' оtшс;шс да

0"0 мис IIРIНl~)Ш СТР;ЩIЩ\I АЛ. T~.~~ је ОА = 01Ј. а теме С Ilplll\a"1')"1'11\11111. H~, OCI IOUY :laJ(al'''~ 8. троугао ЛIIС је IIP3IiOY"Jllt са t ll}ЗRlIМ УГIЮ~1 "СК

10. " ..О дБt·

"РУ;![ iIIЩС

IIM:1jy 6:11' трн

3:lјеДШI'I"С та'I"(',

"(' ,.,.'1 ..1.' 111.' MOI'y GIITII 113 јСДltOј

IIР,1I:II.Iј, јер

IIp,lIIa

са " РУЖШIЦОМ МОЖ(' I'матlt lIајUltше две ~jeДlIII'I .. t· та'l .. е. ДаЮtе, зајеДНII'lке тачке су TeMell.! троУI'да

'1Ilje OllllCalle

"РУЖlllще су сте "РУЖIIIIЦt' . Како се ОКО

( 11.1KOr

ТРО}'IЖI може 0 1 1ll(3ПI једна јед\ша

"РУЖIIIЩ
4.6. 1.

2.

б)

,)

6) с

С",Н

1. А

3.

11:1 6

АА '/Ј је

13 = 900 - 30" = 60".

с

".

"

А

~ ~ в

4.

а) 6ВСС ј{'

It]Janoyrml,

ШI је IЈ с

< П. Ilc =

б)tlAССјеIlР:IIIОУI·Л\ I ,Щlјеll~
А

П а .. о јс

1,, <11.

С

LA/JC _ 900

'" = Ьз,,ојс

с

LCAB = 9O" оо

" 5.

I I раll
АС п:че КРУЖIIИI(У

ПраlJt:

AN 11

ВС ({"!е К РУЖ I НЕЦУ

k У м. k У N.

/ЈМ имају зајеltllll'l КУ

Та', ..а С је ОРТОЦСlпар

d

T3'lKY Р.

АВР, па је

II ]Jaвa РС траЖСlta ItОрмwщ. с

А

"

4.7. 1.

jtu.

2.

6)

3.

IJ)

4.

"['{'МС Л М ОЖ'" бити било која тачка КрУЖ НlЩС

k(O,

ОП) p a3/l 11'I IIT;1 од ТЗ ' ј ЗIШ Н 11 С.

"''(--------''1 .. 5.

0111'(','111 V

(СР~'I IIIШТС НС) . На !I (}Л УЩJalюј

DT (щреi\ll

А такn да је АТ

_ 2'1'1).

Л

с

,П

"

I ~

6.

КОIIСТРУ ШLllI IЮр""алу х 113 те;о.Н.Ћа В на нр;шу ен. KUIICТPYIНIНI IlOp.\laJ1y у 1'3 темена С Н3 1 1раиу НН. Те м е Л је зајеДIШ 'IК:I ТЗ',ка 1 1раВЈ!Х х

11

у.

с

7.

IIСЈШ су ДЗ'fС -ј'Ј'IКС Р, О.

R

среДlIшта стрзшща некО!" ТјЈОУI'IШ. КUI IСТРУШ ЩI IIращ' р,

(/. r

које

111'011;13<."

редом КРО:I ,,';]'1К(' /', О, I~ 11 II<1Р,Ш('iIllС су Pl'!lOM IIраШIМ QN, PI~, РО. ТеМ{'Јt
(j}(P(· t)CI!3 зај СI !IIIIЧКIIМ та 'Н,;lма I l р,ll!!1Х р Н (/. 1/1' (. 8.

11 р.

О РТОIIС IIЋ1Р, Т('Ж I I ш н' 11 Щ'lпа р OI!I 1СЗI IС КР У ЖI I III ,с јеюlOГ l'pOY'"1Н\ I lрl l lнщају jCJIIloj I 'Р3 I юј.

5.1. 1.

r

Вщщ

( IIIIKY.

х х

"

х х

2.

I I

3.

4.

I I

I I

- 613 - )12

- 2/4

О

1 -3 -2

, - 3 , 2.

3

1

"

1

2

-5

- 1

3 -6

-- 10 "' - '

2

2

О

- 1

=

-о

5.2. 1.

-O,s: -0.5; 0,75; -0,3.

2.

3.

Јlс, 1t:1 IIРIНIСР 1= 0,9.

4.

- 2,03.

5.3.

2.

3.

4.

4

3

--6

-7

56

3

-3

24

- !!

6.

=

-9

24

- 1 6

-4 24 .

-3 10 90 -6""2; - НЮ= - IО: -12 а)

2 3

5.

, - 12

2

1.

-2 4

-,

---4

-3

7

= ---.:.; 6) 3

- 20

15 2 11)

35

8 - 64 = - 3 24'

- - -- --

I

= --6 =2'

<1) -3: 6)--4 . -2

-

7.

8

>

-2 7

3

7

3

-7

Ј'Ј -4 < - 5 д ) -- 3 = - 3

8. 9.

а)х е ј-2 ,- 1 ,0, Ј !;б)-9:Sх:S

]0.

- -- --

10. a)-2 < х<4.ХЕ 1-1.0, 1. 2,3!:б)ХЕ ! I,2, .. !;IЈ):i(ЮI'

4 х

-1

< - <О мораб l 1Т I IХ < О.

4

11 .

l'аЗМОТрllТII MO I'ylit: :I I'~ I(C

-----

6pojella

(/.

р"

~----

12. -U,3 < -U,23 < -U,1 5 < -U,I, 13.

5

1, 2> -

10

1 2 > - 0,3>- >- , 3 5

14. d) -345 > -432;

6) -3,14 >-5,15; з

11) -5>- 0,7;

") - 2, 13 > - 2,25; д) -

с)

з

5

4 >-- ; ,

2

--{)'6> -

,

з

15,

а) О:

6) 4, 5, 6, 7, 8, 9; 11) 0, 1,2,3;

,,) О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,

'Ј,

5.4. 1.

-3 7

<1) 1: 6)

1 _ , 5

1\)

41

-3'5;

' ._ _ "_)--,, 12=-_6 )

10

- 2<)

,

3.

<1) 1: 6)

4.


5.

l\l 6) - - ;

(1)

-

24

----------

-О,05;

<1)

----

11 )

-Q,781.

"

6.

з

2 г)

- 1+ 3

1 12

20 1

=- 1+

8 - 3+2

8. а ) 1- + : -_ _-,.'! 4 8 9.

-

3

.'!

1

5

5-3 (~

7

'" ; 1\ 11

+5t - =S : 4 . 16 16 16

1

-29

30

30

= - 1+ -= 6) 1-

:; 6

+

.

7

12-10+7

12

12

<) 3 - 12 - 4'

-- - .

В)

- 6,4 - 0,2 '" -6,6,

548 10. ( - 3- I +2+ ') -(0.32 - 2.15)= (Ј -] + -4) +1,83 = ] +0,83= I + RJ- :50+491\ -= - = 274137 =- . 4 3 11 ]2 12 12 Ј СМ) 600 600 300 Ј5О

--~

11.

(~- I~)- l- ~ = ~~ -] - ~ '" -2-2~)O- 5 ==fi. - - - - - - - --

-12.

-

2 5 5 - 15+]0 - 5 -2.5+] =-- + - = - - - = - ; 3 2 3 (, 6

а)

I 16 9 -32+27 -5- +4,5 : - + - = =

11)

3

3

2

ћ

13.

а)

_~ _ (_ ~) = _~+~ = -3;2=_~.

14.

11)

- ] - -=-

3

1

]Ј

2

-])

5

6

5

- = -=-1 : 114888 8

3

4

ЈО

18

8

1

6) I -2-= - =-- = -1 . 777777

5.5.

1. 8 5+(_')= 15 +(_")= -17 3 24 2424 4

5

+- =

- 32+ 15

17

=- - .

382424 2.

Да.

-

-

- 520 - 285+732 = -63 = _ 1 1 .

3.

fiO

6t)

2О

б) ~_~_(4+3)+12+1= _ ~_3+]= _ 2_ ~ + I = --40 - 45+ 1 2 = -n3=_2 1 =_I]. ---

,.

Ј

4534534560

3

---

6 2 3 3 2 - 15+30-1\ 7 7 13 ,1'1- /1+(= - 2 + 1 - 2 = - 2 -+ 1-2- + -- =-3+ .~ =-3+ - = - 2 - 1+ =-2- . 44 5 4252020 2О20 -а

t-IJ - с = -2,75 - 2,5 - 2,4 = - (2,75

-(1" 11- '=- ((/ - /,

-5.

6 Q 2 0 20

(1/ - 11)+(11 - 11) = 0 11 - (11+(/)= -11 =-

+с)

= 7,65.

-'----'-- --

3

8 11- 11 - 11= -<1= 1.4.

(1/1.11, Е N)

6.

'"

+ 2,5 + 2,4) = -7,65.

------

6.2. 1.

I lаспрзмнс СТР;1Ј11ЩС су ЛВ!1 CD, ОI\lЩ(]lО ло

2.

Нс . ВИДI! сд!!ку:

3.

I!

вс.

" м

с л

N

N

м

4.

а) Оц '!t."П!РII ХUРIIЗU!П\IJ IНt' Ј111Ннјс мреже ),\ОЖСМО Iва6раТЈ1 један пар на (ј IIЈЧIШ
6· 10 = 60.

6)

Кв,щрпа формата I х

2х

2

11М<1

има

20

3+

З

= 6.

I

IIма

-1. 3 = 12.

Квџрата формата 3х

Кнадрата фuр .\ыта

3

има

2.

УКУТ11Ю

квадрата.

6.3.

3.

То су УI 'ЛОЩI са 11
5.

Код IlраIJUУ1'аОЮЉ
6.

а

+ 2(:(

а =

,- За

+ 40: == 3f)()O,

360,)3 = 720,"( = 1080,0"'-144".

6.4. 2.

Два I1ЛИ I1l1jC.'I
4.

HrKa је ЛВ = CLJ 11 АН 11 СО. 6ABC ,,=- ACDA

(1 1pCMa СУС, јер је Зато је LВСЛ

L:.1JAC = LDCA абоl' АВ

== LlJЛС, !Ја је НС 11 1\1)

11

11 ст,

ЛВ(1) је IlаРаЈll'lJО1'РЗМ .

"

5.

Ј)

Не",) ј(.' () 111X.'Ct·" Дllј:II'()IIЗ}Н:.

6ЛОЈЈ

с

~--.,,;

== 6COI)

(ло ", со,

110 -=.

ОI·УДоI. L /ЈЛС

=

= LCOD као jt· лв 11 CD.

{ЈО. LЛ08

LfXЛ

11<1

CIII I 'IIIO се доказује да је

Уll а КРШ II)

11 AD II/JC, I] а

"

А

је Л/ЈСf) 11 :'рал ело' ·рам.

6.

Нека;1.' О "IX-'CI.'K Ј('lјЗI'OlШЖ' ll аралI.'JlОI·р3ма Л/ЈСD. Дока;КIIТI,'

L /iA C ",

MOfJ == tJ,.CQJ). KOPllcrehll LAlID == LCnn.

да је

ALJ = СО,

L f)СЛ,

~~~----------------

6) Њlје; 1') !t'cre; I Ј

7.

а) It'CТ'I.';

8.

Може.

9.

КОРIIС1'IIТlI да се lIе l lТРЗЛllOМ симстри;о м ф llгура ' I РСОlIIкана у «'611 IЮi\удаРI ' У, I1 Д3

I la

11рим е !'.

I1pa)l.."l 11

Jl.'cтe; д)

!cerl.'; 1) Није .

рзпаll ,

liе ll тралllO СIIМ t'ТР IIЧIЩ фllгура у односу

10.

jt' IШР'lJIслограм

113 l1јХ'ССК Дllј31·О ll
I{ОРН С'Г IIТII yllyTC1'1I0 IIPCТXOI\ I IOI' 33,'1зтк з,

6.5.

2.

3) 4; 6 ) 2; 11) 2.

3.

Ако

----

- - - - - - -- - - - - - - - - -- - - - - - -

L JMC = 30". 0l1Д3

асл::

60". 11<1 је АС = Z·

вс

'tzj л

4.

IlраIIOУ I·.ЮIIIIК к()јll IIl!јс КII>Щ\ЫТ

S.

I{O!'IIC1'11 А/I = С/Ј II В С= ЛО.

6.

MfJC = i.\Cl )A ( Щ>СМ3 ССС ). &1то је L/JAC = L fХЛ, O/tlIOClIO лn 11 сп.

11 РО:\Н) којll III l јl.' КlIЦрзт.

--~~~------------

С.ЈI II'IIЮ /ЈС 11 ЛD.

7.

"

И '1I.'TI!pT II Y1":lO је "pall. jt·p је :иЈ l lР У " лова 'Iствороугла nYI ' угао.

(

8.

Јесте. АС је Сl1мстрала }'Ш;1

КОРИСПIТII РС:iУЛТilТ :ыдатка

3.

9.

ДUК
3.

BCD.

- - - - : - - -- - -

6.6. 1.

1(00КТРУИС
1,

11

(1,

:i;ПIIМ СР<'ДllШТС

1,

О СТ\ХIIIIЩС ([ И та'!ку ClIMl"I 'pll'IHY Tpt'tkM TCMell}, у OIIIIOCY Ila О. КОН ­

струкција ј<-- MOI'yha ако ј" liajlJo:'Ila 011 ДУЖI1 (/, Ь 11 ({ маља Oil збира A""--"~--"I;-­ ДРУI'<: дне 11 тада има jCAI1lICTBt:11O рсшење.

2.

Помоћу датих елемената 11, ,/, а КОlктруисаТI! дЛНD, а :-I,IТII -'1 теме С.

- ,C

')L>~_ _ _

Ако је' 1/

> (1

ШIII ([

Ако ј" (/

<

задатак може 111\-1<11"\1 ДШl pelll(lI.;1 ИJllt IICM;) }щјСДIIQ PO:III(II,(.

(!

=

11 1I о:

<

90", IJa заД<1 I ;Н, Н('ма jeAI1HcTIICl1O РСШСIЫ',

л."'''----;", ---"~,C,3.

l<ощтруlНllI!

Lu.

са ТСМСIЮМ Л, тачку В!lil јсiЏЮМ ЊСI'OIЮМ краку

тако да је ЛВ

"" "

!1

11pallY

на растојаЊУ}1 ОД тог крака . Те.>.!с

с

D је

flptxeK те Ilpallt· и JIPYIOI" крака УI"Л
1,

л

4.

КОlIструш:ати IIрllО ТрОУI'<Ю са С1lемеflТИМ
5.

КОIlСI'РУI К,l"Г1I I!Р1I0 ТРОУI"ао (;1 crраницаМ;I/I, (ј Jt .'I<1Т1IМ УI'ЛОМ

2

2

11 3МСЬУ ЊИХ.

6.

с

KOPIICТlIТII д
IIOPM;UIHC.

----,-.-сКс,-'-'-стиТlI да СУ f\ијаГОIЩЈГС ром6а узајаМIIО Itо-,,-м-,-,-,-,-,-,-,-л-,-,-,-,-о-,-,-,-,-.-----IL=====~-I( 8.

Нс"" СУ ДСIТ
11<11';1)1('110['1);1,\101 и да је рм 11 АО и NQ 11 AD.

с

6.7. ].

M()IJ т:ща је Tpa r' t·~ rщраж·л:u:.:.,рс,~",~,,~)~,_ ___________

1.

[[р'IМt:1II1Т1I ш:јСДl I ;1КОСТ Т\)()УГЈЈа 1101 ТрUР'Ю на СЛlЩ II.

,. .,f\:\,

~ "

-----,1

3. I" .

<---/

4.

1 21ЈО11 7Н°,

5.

kЮI1l IIJIII IЩ:l .

6.

4

--

7.

СI11.

11 + 2

ј ,. '"

6

1

11 - 2 ст.

8.

КР:I К јо.:

2 С I1l .

3

il ,

6.8. 1.

Kotlcr'[))'IK3TII ocr1OILIII()'. уr'/ЮJlС Ila њој 11 ЩЈ
-~1.

(снс са 'јсте стр.шс I:М;ШЈIIIЩ(') .

~---------D !.:ао ГIJXXCK 111'311<'

f(онструщ:аТ1t 6АIIС, а затим теме

кро.1 С 11:11'3 /1(,'11 110.: са А/lн " р УЖIIIЩС k{C, СО) .

~"

" -- -- - - - - -- - -

3.

KOIIC"lPY II C;ITII М/3с' i1 заТIIМ те ме D као нрес,,:к КРУЖIfIЩ<.·

k(A, ,1)

~.

~~

11 пранс "1'0.1 С 1IаР ;I/lСЈ IЩ' са лв. л

- - -- - - -- - - - - - 4.

Кощ~ТруllсЈТII С/)

11 Ir[}('cclll'

6.9. 1.

Може.

'" 11

11Р;ШУ l1аралелну СО на р ааојан.}",

је С;I кружltlщама

k( С, е) 1I k(O, е) .

(1

IJ

(

2.

,

KOIICТPYIK,'ТlI [lp~lIlOyгaOltн K са страНlIIщма Ј' 1111 "ОIllЮlll~ ОКО

л

H'~'"----1"--'>1.,с

деIlТOIf/tз. И3 срсдltштз 11 јеДl1е њеЈ"ове сграшще Oll l1«(lTII

КРУЖIIIЩУ k(A, 11 ).

,

'-+-/ "

,"

, 3.

КОНСТРУItС;Ј'I ' 11 IlЛШЈ 3 llajyl\1t ЛВ,

11 LЛ.

"

4.

KOlIcтpy" C
5.

КОJlСТРУI ЮIТII дуж АС " 1t.eII Y ClIMl1"PaJl y, УI"л ове

LСЛq : 90 0 _

11

, 1

L8

_____ _________--;__

, ,

LCAp =90o- LD

р

1>

сра:III IIХСТР'Ш
1\

7.1.

,.

2.

" а)

- 2;

б)

-

3 ,О

;11)

-,

25

(-~} (-2~) =+~'~= ~~

(-2~}(-~)=+~ ' ~=:~

3.

(-Н(-'i:)=(-Н(-НН (-, 3' )Ј .(~) = (+'-. '). 3 = 2·'·3 = 7 [( _'-Ј. 5 2 5 3 1 5 ~·3·2

4.

: (-~)~-::~=-~.

,.

Са

6.

Ј)

7.

.. )

3 2

-;

б)

....

- lS8 ,6)

-3 1

(-(), Ј) : ( -О,ОО I)

8.

,

=

1[)

== Ј ОО;

2 5 = --{1,4 = 1. -0.'1 - 0,4

I UOO

9. ( :)(:.(-:))=-;(: -')=_',(_5)= +16. 3

5

4

25

10.11;(_ ') = 5.( _8)= . ]0. " R 4

- - - - - - - -- - - - - -- - -

14 Мо",\: IЈ а I lрll ,ш'р:

..

I I ] ] 1 : = Z, а . ~ = ~ < 2. 5 ]0 5 ]0 50

15. :,) (4 3I-2.2),(1-1 3) = ( ]33_22). (163Ј = (13Ј _151).16Ј = 65-3. 3 3= 326 16 10 )'5 1(, б)

8 - 9 )= (- 1+ 7). (- 1+ 13) -23 - ,О = + 2. (2 157-.].) (13 23 15 23 15 23 3

Ј)

(7 12) 1 35+36 ]42 ' ) ( -2 3 -2,4 ;0.5= - 3 - 5 : 2 =- 15 ·2=- -15 ,

=

.

7.2.

2.

2 16

5

-21:(-1,2)-~5( -2 ~ - ],2) =- ~:( -: )-~{ -~-Л=

6)

= '

3

:

5

+

, 35+]8

6 2

35 53 ]8 30

-- = - +- = 15

(356 + 53) = 1_(35 + 53)= ~ .( I 75+ 1 59) = 334 = 167; 10 6 3 5 6 15 90 45 ')

14

5

56+15

71

о) 2- ( -2 з +1,5: (- 1,2) = - 3 - 4= -~=-12 '

- -- -3.

а) (- Ј] -(-2,бЈ)- [- I.!..)(-2,б)= ( _ ~ + 13)_ 3 , ]3 = ( - 15 + 26)_ 39 = _ 2~ = _ ].] '" -2 4; 2

2

2

5

2 5

10

10

1()

5

5

6) (-2 ~}(~)-( -2~ +~) =-~ 8- (- : + ~)= - 18- -~7 = -18+2~= -16+ ~ =- 15: ;

,'1

3

3 3 _ 1 4 4 =- - ; -0,5 = -:>< - - ; = - 1, 5 2 - 0,1 2

,

0.5; 4 =-5:(- ' )=(-5)(-2)= - 0,1 - 1,5 2

--

Н),

2

4.

3,574,41 335 844135]1

: +

4.Н

8

.

13'

= _ ._ + _ ._ = - +

3.9 4

48 7

39 4

6

13

78

26-0,11-20.44:2,11= 26 . 4 _ 2 044 = 104 _ 5 11 "" I 456 _~ = 945 = 189 = 27 5 280 5 70 70 70 70 14 2 131 z7

.,

. ЗРЗЗ Је , СДН;Ј К

=

:

78

"

2

131

2

7827

131

]31

39·27

1053

8.1. 1.

:.1)x = -6]9:6) >>-63; II)х - --44.

2.

74 + 37 '" ] 11 1I1111:lp:a.

3.

_3+х = 5:х = К с.

4.

Рсщењс је бlюј: а )

5.

-----------------------------

О

- - - -- - - -- - - - - - - - - - - - - - - -

---:-,---:с--::-:-с--:-сс:---

.'1"-:""20.,,___ _____________

- 21" ',), -,8,,8:, ' ,-4 17 Решељеје6рој: (1) -i2;{)) "3 ;11) - 20'

х

6.

-

х

17

= - 19

СllOдll се на jeiIIНIKocт

0 =-

17 i9

,која fIIф.' та'lна, на јеl'\fI~'II1На нема

I)C IJICII,;J;

6)

~I з јед":!',!,,н. х + х = 2х, лобllја се јСЮ1;ЈКОСТ

2.'1: = 2:<, која је таЧll
/НI ГIОllазН;Ј jCДJНI'НlIНI II)l.НI 6есКОIl3Ч I Ю .\IIIОГО ре Щ СIЬ
~---------------------

.

.

7.

/е1ll1al':ОСТ Је та'та ако Је IIреДIIОСТ за х а)

8.

РСI!IСн.с je;\lI;1'1II11C јс; бр!); : а)

4s7 ;6) -3; 11)

- -" =-4 3 '6) 20 20 .

27

51

20 =

11

120 .

--=-----=---- - -- -

7

2О = ]20;1I) 2 '

9.

" ., . . . КОЈУ Тр<:О3 l!рrнети са Једног 11<1 други тас Једн.'К;! х, I1I1IЏI Је Л ,;;О Је. МЈса 'lpallJlI~

3 Једнак . ..< :ю нру

је УМ.IIЫ:ШН:

2

,

--: +х 11

ра3ЛIIКС

4

~ . умаll>lЮltа Х. Д",ШР се

2

2 3 5 + х = ., -

+х+х=

5

Ј

4 •

х

11:1'·' х=

',.

аД.1

7 ,О

kg.

7 Трс.-6а I lреllетll 10 kg 6РЩJll3.

8.2. 1.

а)

R = IxJ хе Q IIx$ - 21; 6) R "-I х I ЛЕ Q

11

х$-21; 1<)

R ,: Iх I ХЕ Q

х<

11

- 51.

" ) К3КО се II~ х

IIсјСДI' :"lI!н е,

- х ~ -23 1106llјз Т;:1'l1l3 IICjl."Jl.1I3KOC1' О ~ -23, што 31Ш'1 11 lIа је C"'Y I. рс,"сн.а (10/l:l:Ш(" '''YII CIIII:I: раl\ltQlI;lJIIIИХ бројева Q; д) 1(;11(0 се 1'3 х - х > 75 1t06l1ја Iн::јСЛII.II;:ОС'Т О > 75,

Kuja 1111;<: т;J'IIНI, ТО д,1r.1 IIсјСд!Ia'IIIIIl
;

2.

I'Сlllсња Н3 '''У'ЈУ Q су CI.!H раl\lЮ!Iа.;11111 "ројски М3Њl1 ОД 6' а "а скупу Z (1111 lјсгаТII""1I 6ројеrщ 11 нула: б) РСIЩ:Il,lI lIа (КУ "}'

Q су (1111

Р,Щ lllш а ' НII број;"ВIL маЊII тј

3, а 4

IШ СКУПУ Z, ellll 110001-;lТIIIIIIII Il~'ЛII

(јројСI!\I 11 НУII;1,

3. 4.

1~ =!-3,-2, - ),o.), п Jl;ПII јСl1о.:

111'06110.:,\1 се М:lтеМ.ПII'IКII~1 јсзиком за пи сује rюмuћу

111.';0:1111:1'111111.' је Х S 220,

5.

I'СIЩ'II.о.:;с 5 - 10 S х S 5

6.

(1)

ШТО :шачи да

+ 10,

IIOIIO("\'
1I000jeAII;I·IIIIIl' -

може Д;I IlOpaC"I'~' НС

12Q + х S 1ОО. l'elllcll.(' до611 ОЈ! 22О (111.

1<111111.'

нпо 31 1:1'111 да је -5"C:S; х S 15"с.

U ={X IX EQ II.'(S - I~};6) U= {XI X E QIIX>-:з}:II)

R={XI.'tE(l\lx :s:- \7s};

" Ј R ={XIXEQ II - 1~<X< -~}. -~----7.

а) R = {XI.'(EQII X~-Fs}:

8.

R=

9.

1 '1 з yC1IOII,i3aJl;1,.K:I је

--

Ixl хЕ

6)

R={XIXEQIIX< - :~};

lI)

и =

!

xlxEQIIX~-

31

20

=- 1

,,)

20

•

Q 11 1 SxS7!. ,

2

+Х S

2

3

"2 . \"де јех KU}]II'IIIH;llIOlle кој'l СО: јОI1J МОЖС ДОД;lтrl, T:lII;ljc х:;

5 (; .

То 3 11 ;1'111 1l:l је

Morylrc

5,

До,'ЏiТlI lI:1jlll\lIl (' (>

,

2

+ х:'>

4

3

rюп е .

8.3. 1. 2.

a)x __ 26;6) x",_84,II)x __ 12;r)x _ O.

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - ---

PClllt'II,,1 Д;lТlI.~

.

)CiIH;I'1I1Ha су : а)

24

- -

7

)ктс њс у СКУНУ 1LеЛlIХ 6роје ll;1, док

; б) - IО8,

11)

31

8

111'11:1 Н трсћа нсмају

То 3 11;1'111 )\;1 С;lМ\Ј

pCUIClbl' У с ку"у

JIPYI";I

;СЈlJl3'ШII;l

11.'.1;1

Z. У скуну Q "IС трн

;C/lI I:I'II1 I1 1: IIM iljy рСlllење.

4 - 4 < - ) 5 < 4.>.:

I

:s 2:з < 4. ТО је - 1 < х <

3.

"ако је

4.

I'СШ('Њ(' јСДIНI'lIIНС је 6рој::I)

5.

РеIllСII,с JCILII;I'lll1le јс 6jJQj: "Ј

-6.

,

1, ;еДlIlIO LlС!lобрuјllО

I'CIIlcll.e је О.

,

2' 6) 2' 11) јеДII:lЧll1lа 1 1e~13 PClllell~l: 1') je; IJt.I'1II113 II С.\13 РСl1lеЊ:l.

7: 6) 5; 8) 5. ~--~~--------------------!'СIUСIIoС јСlLlrз'rl1l r е је 6рој: :1) -2; 6) -22; 11)-8.

7.

Ако је х 11.';M:lЊI' од ТЈщжt:IIIIХ бројСВ:I, Oll}la је., Jlllкле, 7х

+ 2 1 = -7,

jt'II:111 ОII

lIа

jt: .'I: -'" --4.

8.

К;,ко је

9.

3 15 3 :1) х .::: 4: 6) х = - 63 : 11) х = 10'

------'-"'-

'1I.111.lIаlЈ,а

Рt:шењс

12.

Ако јс

;\'AII;)'11111e је

то lюеl'uјс "'Р' 1

--:-~ О: - 1, О, 1; О,

pc'lre,,03; - 2, - 1,

1.2.

1\ ) Х=325'

број: а ј

7

,,' .

б)

7~

-

5

=- 1';

3

s ·'

11)

IО.Ј

135 .

јС :J;I КУIЮIlIlIlУ к,ы,,'е 11О1'рОШIЮ III1С

TpctIlllle Clюје YIIJTel)Clllt ll C, 1 Tpet1lllla. Љ'IVIС, 3 Х = 12, па је х = 36. ТО :111;"111 11.1 ;\. 1k"г.,р имао 36 jЏ.,la lbl.

Ikrap

UCт;Jj'a му је јеДll а

" M~ 18(Ј СТр.lII1Щ.\.

13. '1'3 KIIoIII
cltryp'lO О,

-'1, -5, -2, - 1, О, 1.

48

10 ... јх=-7,2: 6)х=-5:

11 .

+ х + 1 + х + 2 + х , 3 + х + 4 + х , 5 .. 1, , 6 "" -7.

Т раЖС 111I бро;е1l11 су

--'----- --

Ако је У ,lРУro.\. сулу јс х +

40,

15 '"

4х -

а у ДРУ"ОМ

r.1ti1Q х 1I11'J~\P" СОК'" {)fЩ:I јс У 11р1ЮМ бllll0 4х 11111':11'''. I1з УСЛ(II!:t 3;'1\:l1'K:I CJleII II 113 15. I'CIII,II';\II.e/o1 добије", jCIIII:l'1111I l' (Ж'I\III1"јех = 10. То 311:1'111 11,1 jt· У IIp!lllM СУIIУ бlllЮ 10 11I1Т;\Р" с(жа.

8.4. 1.

.I j R =lx!xe OIiX:S 21:

6)R _ lxIX€

O,IX :S 21:

II)R "- lxlxe Qllx < -201;

1-) R = 'Х I х е О 11 x:S 141: л) II сјеШ 1Ј'III11 а IIC.\I 6 "'lје П'Н"':

I

е ) R = Iх х е QI, јер jC.l.1 (11""0 Х, , .1'111<1 IIl'jCIIII;'KOCТ 7х - 7х "" О

--=---=--2,

СКУI1 I:I<:UICII.:I ЩI'I'\' II сјСДI I:l'III11t: јс

R-

I

Iх х е 011 -2:::; х

< f> ], а

< 17.

LIt:Јюr.рџјнп 1:I<:II ICII." IIРIIII ;щају С КУП У

f-2, - 1,0, 1. 2,3,'1, 51 . 3.

:ljN =lxlxe Qllx:S2 1: б)R '"'l х I ХЕ Q,I;("S-6 I; II ) R ::. /xlx e Qllx < -51; I')R -" Ix l xE Ql1x :S23j ; II)U=!.1'I.1'e Ql1x < OI: c)U-=-!хlхе ОI1.1' > ОI.

-----с-:-с-с-

4.

а)и. _ Ixlxe O ll xS OI:

r)R _ 1.1"lx€ Q ----~

5.

11.1" < 01,

~-------

l

:1) u={x .\" E Q 1t x:s:}: 6)

1")

6.

6)R- txlxe QIIX < OJ; 11) и= 1.1'lx E Q1tХ < Щ;

и=

xlx e Ql1-

1

а ) K~KO јс f.I

'

R ={xIX COIlX<-:~}; вј

R={X I X EQ II .1'< _ I:}:

11 <х<='6-!.

10

=1 х IXEQI! _ 49 <.\" s~l тп(у I(ежюрuјllil јХ'ШСЊП IrејеЮlоЈ" lllIе-I,О 11

б ј К:а ко)е f.I :.

2,3, 4, 5,6 11 7.

1

1

xlx€QII-

25

зf

557О :SxS -

12

9

!

то Ч I11;IIU6ројЊI решењоЈ Il сјеДII;l"ЩI С

1.

-4, - 3, - 1, - 1, О. 1,

N '" јх I х Е Q I! -7 :s x :S 231. ~~----~------------3 LlреШ30 'I'р l l 'le'rDpТlllle пута, ТО је:м ;<'11311 сат rllX:III~O 11 IIYТ;!. &1 Tpll СН;I

8.

(кун 1X:I1ICII.;I IH:jciII13'llll le је

9.

Како је Д,LРКtI је ;13 щх:шао

9

611 8

2 (;I'ro!

IIYГ-o!, ШТО

311a' llI

да ће

1\00

пут Ilрећ" за мзље од

3

сат.l .

6)R=JxlxEQII -3<х<0f.

10. :1)n "' !x!xeQII0 < x:S2!;

8.5. 1. 3)

2. а)

3 5

60

'"

100

", ЫЈ%; б)

15%=3:6) 2u

3 15 "" = 15%; 20 100 120

1 2О%=

100

6

= : 5

3.a)l%nlll\OI13I1tJCLII%·110 =

4.

а)

В)

5=

500 100

3 ,.,500%; 1") 2 =2.75=275%; 11) 3,6 =3= 300%. 4 1.2

вј

110 100

= 1,1; 6) 2; [1 )3.5.

0,4: 6) 0.55: 11) 36,67.

- - - - - -- - - -- - - -- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

5. 3) 2; 6) 3: 11) '15: 1) 32:

д}

0,05,

ђ}

0,02.

--6.

а} 25%: 6)

2 = 1 = 5 40 zt) НЮ

7.13,5% · 39 '" 39%· 13.5.

В) 25%; 1-) 5 % ; д)

215", 215% = 26,1175%. 800

8

јед" зк" су.

8. а ) 1 6 10: 6) 2 000.

- - - - - - - -- - - - - -- - - - - - - -

9. НСIlСl lраllШIХ 11~13

10.

6 000, IICJlP311HIIX 24 000.

У нроцеllТII М;t

24000 . 100% = 80%. 30000

(С +25%С) 104% = 125.104%с-== 1З{)%(:. На УIIО:ШУ цеll)' (С) Д:lжбllНС су 30%. 100

1 1.1101<:1 1IOIIpllllll13 је 120%·125% '" 150% а:lре LlOilРШll l tС. ПQlljlllLIIIШ се, JI
13.

15,5%х .:

14. 3)

! 4,5%у

150% (1 .

:=)

У

1.

I

1

,

1

Стара ПОНрlll"ll;! ;ell' Ь. 110113 је 8% [lећа.

> х.

50% 1, _ 75%

IIЬ

_

IIV - 25% '111. За то се (/ . Ь

6) 15()(ЊrI = 3~ =~ +200%
9.1 .

+ 8% 1111.

cMa ll,yjc

, УlJећаllа 200%.

за

25%:

2 · 1(а.

3.

Нс. КОНТР'Шl'имср је на (mщи б, сТр .

4. Р

--

13().

= 2 . 3.5 = 7 сш ?

5.;1) 26; б) 18;

1\)

36 - 12 = 24.

6. 22.

8 . р = п·Ь - .: ·,ј.

9.

а)

6)

,, ,,

/ / -

, ,,

~

г;

,,

/

2

с)

"1

9.2. 2.

г;;-

ь

11"

111.

2 111

{\ ЈП

2tn

О,5

](111

5111

50

{\ СIП

О,) ст

4dl11 2

3.11

1

-'" 3

- 1\1

I 111; Р

4 ml .

т

3т

3

Р

111

4 m2

I drl1

_1m"

1,5

2 12 cm 1

сrп

2

6 "'

т!

--

L.-"LЗ,----"

-,--;-"

4. Ако 11" - ll n, ЈП (). 11" -

Ь

·llb (_

"

_7

р), СЛСЈ\И

(/ _ !I,

,,

-"-

)~

9.3. 1.

"

ь

/'.

1,5 '1'

8111

2m

2Cll1

101

50",

2 dll1

6 "l

4

3

, ,

2

111

"

3

L

2

3 '"

1

3. Ако 11" '" }'I,. 1':1 2 (111 "

3

СIП

1,2

11

Р

/'1,

'"

6т'

1

1 Јт

~

ш!

2

4,,,,

12 с ш !

6111

2 т'

1

'"

2 М , ('" /'), СJlеди а == /Ј.

1(i = <),2·(,с = 20 с П1 .

4. 12·

- - -- -- -

--

5. С ll пј~III'СМ IЏlте та',,,, са теМС lшм а T poyrJ1~ јХIЗЈIOЖllТС ra 1101. Tpll Т РОУ'"Јја '1lIjlt је зfiltр IllШРIШlllа једнак 111)111)1 11111111 јСДllilкостраllll'llюr' 'l'poYI'lla .

-~~

-~~---

6. I : 3. 7. ] : 2.

9.4. 1' ::: ~I+b 11 :: 8,5 .3 = SII1l !; 2 2 2 R 2.111 =

3.11 =

(1 +IЈ

2 /'

=

Ю

2

б) р = 55 2

(ll,;P = m" , = 2 9(}5cI11 2 ,

= 2 1)1.

т

4. 1, =

21' 11+1)

=

2·224 28

= 16011.

- - -- - --

1 5. 1', = 1, ·/), 2

/,

ИСПI РСЗУ!lТ;IТ II
9.5. 1.

1', =

11'(ЛСI));

4

1'1 =

~Р(ЛВС); Р, + 1', = 4I \Р(ЛСV)+Р{А/,iС)] = 4lp(MJCO). 4

о

с.ЛИ'IIЮ

P,+I'~ ""

I

I

с

I'(Л ВСD)== - Р.

•

•

I I Оl!рш,ша Jtu6!,jclloг I!аралслогра ма јСШlзка јс

f-'-""'------'," 2.

/, = l сш Ј .

3.

2

л I

•• 5.

/'.... =

I

2

(1· (1 =

130 == 1)0 Зато

~

I

2

(Im J •

11 , =

(' ( АС/ј) =

I

2

/, ~ .

АС

11, =

I

2

" ЛС

IЈ;,ж" ,,061'11)'1'0: Ако ДI'јаr"Оl шла АС 1I0ЈЮIII' IЮН]ЈI LIIШУ 'lt>lЋОlюугла АВС/),

OIl1\.1

А

--<,'--,-I.,,-'-}--- O

1I0Л Оl!II 11 ДllјаЮНаЈl)' /Ј/).

"

САДРЖАЈ 3

ГlРСЈ\I'ОIЮР

1.

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ (сабирањс. оДузнмаље, уреl)ење)

5

1.1. Појам I I Сl'аТИШIQt ' броја. Скуп целих бројева Z. Приказиваље на бројсвво; правој 5 1.2. Супротн" бројеВII. Апсолyrна ISPCAIIOCT

9

1.3.

Упорс l)lшан.с ЦСЛIIХ бројева

13

1.4.

Сабира!!.с у скупу

15

1.5.

ОДУ311мањс целllХ бројева

Z

19

1.6. 33.KOIIII са61јрања

22

2. ТРОУГАО (11O;aM, УГЛОВН, стр<ннщс)

25

[I ојам ТрОУ"ЈЈ;Ј.

25

2.2.

СграlllЩС троугла

27

2.3.

У]'}ЮIIЈ1

30

2.4.

ОД IЮС 11змсlЈУ crраlllща

2.5.

КOIlCтрукцнје

2.1.

3.

TPOYI'JIil

11

3.2.

33 36

IICKIIX y[')1011<'1

ЦЕЛИ БРОЈЕВИ (М l южење

3.1. М IЮЖСЉС

у,')юва троугла

11

дсљење)

ItCJIIIX бројева

38 38

42

Нсљсљс ЦСJIIIХ бројева

4. ТРОУГАО ( lI oJtYJtapllocт, КШI(ТРУКЦН;С, Зllа ч ајllе Ta'IKC)

46 46

4.2.

Пр во 11 ДРУ"О праВIIЛО о подударНОСТI1 троуглова

4.3. Tpehe 11 'IС'I"ВРТCI правило о подударности троуглова

4.4. OCIIOIIIIC

КОIIСI·РУКltијс троуглов3.

4.5. ОlllICЈllа 11 УIll1С:НtЈ КРУЖlllща троугла

49 53 57 62

4.6.

Ортоцеllтар трОУI·ла

64

4.7.

ТеЖI1ШП: TPOYI·JI<1

66

5.

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

67

5. 1.

Скуп р<ЕI\IЮII<ЕЈIIIИХ бројева

5.2.

Р
69

5.3.

УI)ОРС!)ИIШII.е pal\IIOI13JJIIHX бројеиа

71

Q

67

5.4. СабltР:IIbС 11 ОДУЗlIмање у скупу Q

74

5.5. 3aKOIН! саGИР;IIЫl раЦНOII3ЛНИХ: бројева

77

6.

'IЕТВОРОУГАО

6. 1.

Појам ЧСТIЮРОУI·ла

79 79

6.2. Врсте 'IСТIIОроугл3.

81

6.3. УГЛOlSll 'IC"I UОРОУ I·ла

82

6.4 . ПаралеJIограм - својства

85

6.5. Врсте паралелограмз

88

6 .6. I{онструкције параllслограма

90

6.7.

Трапез

91

6.8. КQIIСТРУКl\ије трапеза

6.9. 7.

94

ДеЈ1ТОIlД

95

РАЦИОНАЛНИ БРОЈЕВИ

96

7.] .

Множењс и дељење

7.2 .

Изрази са ра l\ИОll аЈll lИМ бројевима

96

101

8.ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ

103

8. 1.

l еднзчинс у вези са сабирањем и ОДУЗl1мањем

103

8.2 .

Неједначине у вези са сабира њем и одузимањем

107

8.3 .

kДllаЧИIIС у вези са МllOжељсм н дељељем

112

8.4.

НејСЈ\на'[llне у вези са Мllожењем и дељељем

117

8.5. Проценти

9.

123

ПОВРШИНЕ ЧЕТВОРОУГЛА И ТРОУГЛА

127

9. 1.

Појам ПQвршине. Површина правоугаОllика

127

9.2.

ПОВРШИllа паралелограма

131

9.3. !lollplllIIHa троу r 'ЛЈ

132

9.4. Површина траllеза

134

9 .5.

ПОВрШl1на четвороугла

135

РЕЗУЛТАТИ, УПУТСТВА, РЕШЕЊА

137

Др Ђорђе Дугошија, Војислав Андрић, Вера Јоцковић зред ОСll(овне JIIКОJlС. П рllО НЗД,lн.е,

венац

5, \vw\v.Z
2008.

ЛIIКОUIIИ уреДI!ИК :

ГрафllЧКlI уредник: МИIJ
•

l' Владимир Мllћllћ: Матем атика за 6. ра­

• ИЗllilU,lЧ : Завод мр Tl1jaHa Раl!'tI1ћ.

l'OДlII IC

за уџбе Нl! ке , l:iеограД, Об ll Л IllјСIl

Jlектор: Мирјана M IIJIOIJlellН li.

Дизајн и корице: Бранисл ав СтаНКОlIнћ

дарко ШУШlloар. Корt'КТОрl1: Душанка Торбица, Зорица Ба'lковнћ

БеОI·Р;Щ. ОБIIМ :

2008.

21

штаМllарски табак. Формат :

I·ОДИШ·. ШтампаlloС завршено јула

20,5 2008 . године.

х

265

•

•

И ЛУСТР,Щ l lјс:

Компјутерска nбр,ща: "ЛС ",

СIll. I'УКОПIК пр е,']а т у IllТaMI!Y јуна

Штампа " К УЛТ УРА ", Ба'rки ПСТРОllац

)

1)

\

~"",Q

U~

k. b. ]62\0