Matematika Za Ekonomiste

MATEMATIKA ZA EKONOMISTE

Dipl.ecc. Safet Hodzic Mehic

Uvod: Iz potrebe da se napiše jedna stručna skripta koju smo na Ekonomskom fakultetu u Sarajevu, zvali Matematika za ekonomiste II i koja se sastojala iz: Privredne matematike i Financijske matematike pokušao sam da objasnim neke matematske račune koji bi trebao da zna svaki ekonomista. Ova se skripta u Republici Hrvatskoj nazvala Gospodarska matematika. Skripta je rađena za bankare i ljude koji se bave izradom investicijskih projekata, a mogu je koristiti i učenici srednjih škola i studenti koji studiraju na ekonomskim fakultetima. Ona ukratko, kroz primjere, daje objašnjenja, kako se izračunavaju neke ekonomske kategorije, a najviše se bavi kamatnim računom. Prilikom pisanja skripte krenuo sam od same činjenice da se ljudi uče na primjerima iz prakse, te sam uradio mnogo zadataka kako bi se ova materija što bolje shvatila. Skripta je podijeljena u dva velika dijela: - Privredna matematika - Financijska matematika U prvom dijelu skripte se obrađuju procentni i kamatni računi kao uvod u složenije izračunavanje kamata, u drugom dijelu sam se bavio složenim kamatnim računom, tako da se moraju naučiti mnogi zadaci od samog početka kako bi se shvatili oni na kraju knjige. Možemo reći da je prvi dio (Privredna matematika) neotuđivi dio drugog dijela (Financijske matematike ). U skripti sam pokušao objasniti i to kako se vrši amortizacija zajma u Excel-u. Excel je kao što znate program kojim se najčešće služe ekonomisti i uz njegovu pomoć se sada lako daju tabelarni prikazi amortizacije zajmova. U zadnjem dijelu sam dao i jedan novi model obračuna kamata u uslovima inflacije. Ne znam da li će ikada taj model imati značaja na polju ekonomije, i da li će se primjenjivati u praksi, ali pošto se inflacija javljala : izmedju dva Svjetska rata u Njemačkoj, pa u novije vrijeme u Argentini, prije rata kod nas u bivšoj Jugoslaviji, te u Italiji i nedavno u Turskoj, te u skorije vrijeme u SAD-u i mnogim zemljama pokušao se pronaći jedan model za obračun kamata u uslovima inflacije. Neka to, ako ništa izučavaju budući ekonomisti, kao jedan od mogućih modela za obračun: uloga, renti i anuiteta u uslovima inflacije. Ako bi se ikada više inflacija pojavila, smatram da bi se ovim modelom mogla vršiti revalorizacija tj.ponovni obracun zajmova tako da ne bi dolazilo do krize u bankarstvu , kao jednom od važnih institucija u tom privrednom lancu svake ekonomije. Na kraju skripte sam dao i tablične vrijednosti za cjelobrojne vrijednost stopa od 1% do 20% za period od 30 godin. Da kažem i to već na početku knjige: ukoliko se dobro savlada izračunavanje ekonomskih veličina u financijskoj matematici, uz pomoć malo boljeg kalkulatora onda nam ove tablične vrijednosti nisu ni potrebne.

3

4

SADRŽAJ: UVOD PRIVREDNA MATEMATIKA 1. PROCENTNI RAČUN ILI RAČUN OD STO 1.1 Uvećana glavnica 1.2.Umanjena glavnica 2.PROMILNI RAČUN 3. KALKULACIJE 4.RAČUN DIOBE 5.RAČUN SMJESE I PRAVILO TROJNO 6.VERIŽNO PRAVILO I ARBITRAŽA DEVIZA 6.1.Arbitraža robe 7.PROSTO IZRAČUNAVANJE KAMATE 7.1.Uvećana i umanjena glavnica 7.2.Obračun kamate za mjesece 7.3.Obračun kamate za dane 7.4.Štedni ulozi ili tekući računi 8. RAČUN EFEKATA 8.1.Pojam efekata 8.2.Računanje sa efektima 8.3.Rentabilnost efekta 8.4.Lombardni račun 8.5.Račun zlata i srebra 9. ESKONTOVANJE HARTIJA OD VRIJEDNOSTI 9.1. Pojam eskonta ili diskonta 9.2. Postupci diskontovanja 10. ZAPADNO I ISLAMSKO BANKARSTVO 10.1.Organizacija privrednih društava kod nas 10.2.Dioničarsko ili akcionarsko društvo 10.3 Dividenda i njeno izračunavanje 10.4.Zapadno i istočno ( islamsko bankarstvo )

3 11 13 14 15 16 17 17 18 20 21 22 22 22 23 24 24 25 26 28 29 30 30 30 33 33 33 34 34

5

6

SADRŽAJ: FINANCIJSKA MATEMATIKA PROSTI I SLOŽENI KAMATNI RAČUN 1. Prosti kamatni račun 2. Složeni kamatni račun 3. Jedan ulog ukamaćivan više godina 4. Jedna renta ukamaćivana više godina 5. Komforna kamatna stopa 6. Interkalarna kamatna stopa ULOZI 7. Jednaki godišnji ulozi 8.1. Ulozi rastu po aritmetičkoj progresiji 8.2. Ulozi rastu po geometrijskoj progresiji 9. Jednaki mjesečni ulozi anticipativni 10. Jednaki mjesečni ulozi dekurzivni 11.Jednaki ulozi ukamaćivani češće od perioda ulaganja RENTE 12.Jednake godišnje rente 13Rente rastu po aritmetičkoj progresiji 14.Rente rastu po geometrijskoj progresiji 15.Jednake mjesečne rente, anticipativne 16.Jednake mjesečne rente, dekurzivne ZAJMOVI 17.Amortizacija zajma 18.Amortizacija zajma jednakim otplatama 19.Amortizacija zajma jednakim anuitetima 20.Izračunavanje ostatka duga 21. Izračunavanje sume kamata za više perioda 22.AMORTIZACIJA ZAJMA U EXCELU 23.AMORTIZACIJA ZAJMA U USLOVIMA INFLACIJE FINANCIJSKE TABLICE ZAKLJUČAK Spisak riječi, sinonima i izraza Dio intervjua sa Peterom Nicolom

35 37 38 39 40 42 42 42 44 45 46 47 48 49 51 52 53 55 57 57 58 60 60 63 65 75 89 91 92

7

8

PRIVREDNA MATEMATIKA

9

10

1. Procentni račun ili račun od 100 Procentni račun ili račun od 100 nam pokazuje koliko procenata nečega otpada na 100 dijelova tog istog. Da bi bolje shvatili procentni račun počet ćemo od sljedeće relacije: G : P = 100 : p gdje je : G - glavnica ili osnovna suma P - procent ili procentna suma p - procentna stopa procentna stopa ( p ) se uvijek izražava u procentima (% ) . Procentni račun je našao svoju primjenu u privrednoj i financijskoj matematici, kako za izračunavanje kamate, u kalkulacijama, za izračunavanja provizije itd. Evo nekoliko primjera. Primjer br. 1 Na ekonomskom fakultetu u Sarajevu upisano je u prvu godinu 200 studenata. Njih 50 je prošlo u drugu godinu.Koliko je studenata prošlo u drugu godinu izraženo procentualno?

Izrada: G = 200 P = 50 _______ p = ? Počet ćemo od osnovne relacije G : P = 100 : p Poznavajući zakon opće matematike ovu relaciju možemo pisati i ovako: G 100 ---- = ------P p

11

Iz toga se i izvode ove formule: G x p = P x 100 P x 100 G = ------------p Gxp P = ---------100

P x 100 p = --------G U prethodnom zadatku znači koristit ćemo ovu formulu : P x 100 p = ------------G 50 x 100 p = --------------200 5000 p = ------------200 p = 25 % To znači da je u drugu godinu prošlo njih 25% izračunato u procentima. Primjer 2. Poduzeće UNIS-a u Sarajevu je proizvelo 250 automobila u prvom kvartalu i time ispunio plan. Međutim u sljedećem, drugom kvartalu, ono je pobacilo za 10 auta, pa je proizvelo 240 automobila. Koliki je bio pobačaj izražen u procentu? 12

G = 250 P = 10 p=?

10 x 100 p = ----------- = 4 % 250

Poduzeće UNIS-a je znači u drugom kvartalu pobacilo za 4 %. 1.1 UVEĆANA GLAVNICA Znači kako smo pošli od relacije G : P = 100 : p u prethodnom primjeru tako možemo pisati i relaciju sa uvećanom glavnicom koja glasi: ( G + P ) : p = ( 100 + p ) : p Poznavajući zakonitosti opće matematike izvode se iste formule, tj. množi se vanjski faktor sa vanjskim, a unutrašnji sa unutrašnjim pa je: ( G + P ) x p = P x ( 100 + p ) dalje slijedi: P x ( 100 + p ) ( G + p ) = -------------------p itd. Evo jednog primjera: Poduzeće UNIS -a je proizvelo auta u ukupnom iznosu od 260 auta u prvom kvartalu i premašilo normu za 10 auta. Kolika je bila norma i koliko je procenata bio premašaj? ( G + P ) = 260 P = 10 __________ p=? G=? ( G + P ) - P = 260 - 10 = 250 G = 250 P = 10 ----------p=? G : P = 100 x p P x 100 p = -------------G

13

10 x 100 p = -------------- = 4% 250 To znači da je norma bila 250 auta za prvi kvartal,a prebačen je plan izraženo u procentu za 4 %. Drugim riječima poduzeće ostvarilo normu sa 104 %. 1.2.UMANJENA GLAVNICA Kao i problemi uvećane glavnice tako se i problemi umanjene glavnice rješavaju pomoću ove relacije: ( G - P ) : P = ( 100 - p ) : p Evo i jednog primjera: Radnici „Energoinvesta“ u Sarajevu su radili 90% kapaciteta i proizveli 315 razvodnih ormara. Koliko bi proizveli ormara da su radili punim kapacitetom? Izrada: G - P = 315 ( 100 - p ) = 90 % ------------------------G=? Ova gornja osnovna relacija se mogla postaviti ovako: ( G - p ) : G = ( 100 - p ) : 100 iz toga je: 315 x 100 G = ------------------- = 350 90 Da su radnici Energoinvesta radili sa punim kapacitetom proizveli bi 350 ormara.

14

2.PROMILNI RAČUN Isto kao i procentni račun tako i promilni račun polazi od sljedećih relacija: G = osnovna suma P = iznos promila p = promilna stopa G : P = 1000 : p Znači sve što važi za procentni račun važi i za promilni račun samo što se p izražava u promilima (‰). Evo i jednog primjera: Banka na ime provizije je uvijek uzimala prilikom mijenjanja deviza po 5‰ za troškove. Koliko bi uzela nekom klijentu na ime troškova za iznos od 500 $. G = 500 $ p = 5‰ ------------P=? 500 x 5 P = ------------- = 2,5 $ 1000 Banka bi uzela 2,5 $ na ime provizije. 3. KALKULACIJE Za izračunavanje marže i poreza na promet u trgovini koristimo se kalkulacijama. Njihova šema izgleda ovako: Faktura ( nabavna cijena ) +marza 20 %

proizvoda

5,00 KM 1,00 KM ----------------------nabavna cijena bez poreza na promet 6,00KM + porez na promet 17 % 1,02 KM prodajna cijena proizvoda 7,02 KM

Vidimo da nam za izračunavanje marže kao osnova koristi fakturna vrijednost, a za izračunavanje poreza na promet koristimo fakturnu vrijednost uvećanu za iznos marže. 15

4.RAČUN DIOBE Račun diobe je postupak pomoću kojeg se pojadnostavljuje rješenje zadataka u kojima je potrebno razdijeliti neku zadanu veličinu na nositelje ( dijelove ) prema jednom ili više kriterija. Poslužit ćemo se jednim primjerom iz prakse. Predpostavimo da imamo poduzeće u kome radi 10 radnika i koji su ostvarili bruto zaradu u iznosu od 60.000 KM. Radnici su podijeljeni u kvalifikovane ( njih ima 4 ) i polukvalifikovane ( njih ima 6 u preduzeću ). Pitamo se koliko će svaki radnik dobiti izraženo u bruto iznosu ? Kvalifikovani radnici dobijaju 50% veći iznos od polukvalifikovanih. Izrada: radnici kvalifikovani polukvalifikovani

koeficijent 1,5 1,0

broj radnika 4 6

1,5 x 4 + 6 = 12

Vidimo da množenjem sa ovim koeficijentom po kom se raspodjeljuje dohodak mi imamo stanje kao da u preduzeću radi 12 polukvalifikovanih radnika.

bruto dobit 60.000 ------------------ = ----------------- = 5.000 12 12 Ovo bi mogla biti godišnja bruto dobit po jednom polukvalifikovanom radniku. Prema tome svaki polukvalifikovani radnik će dobiti po 5.000 KM, a kvalifikovani 5.000 x 1,5 = =7.500 KM.

16

5. RAČUN SMJESE I PRAVILO TROJNO Račun smjese se primjenjuje u slučajevima kada je potrebno odrediti u kojem se omjeru i količinama treba miješati neke istovrsne veličine da bi se odredila neka druga veličina smjese. Evo i jednog primjera: Proizvođač koncentrata je pomješao kukuruz i ječam u omjeru 3: 1 tj. 3 kg kukuruza i 1 kg ječma.Cijena kukuruza je 0,30 KM/ kg , cijena ječma 0,50 KM/ kg. Kolika bi trebala da bude cijena 1 kg smjese? tabelarni prikaz: kg KM/kg ukupno u KM/kg ---------------------------------------------------------------------------kukuruz 3 0,30 0,90 jecam 1 0,50 0,50 ---------------------------------------------------------------------------UKUPNO 4 -----1,40 Cijenu smjese ćemo dobiti kada podijelimo ukupan iznos ( 1,40 KM ) sa ukupnim iznosom kilograma smjese ( 4 kg )

1,40 KM cijena 1 kg smjese = --------------- = 0,35 KM/ kg 4

PRAVILO TROJNO Za određivanje četvrtog člana u odnosu razmjera između 4 veličine kada su nam poznate prve tri služi nam pravilo trojno. Trebamo razlikovati razmjere koji su direktno povezani i koji su obrnuto proporcionalni. 17

Evo i jednog primjera: Jedna pumpa bi napunila jedan bazen s vodom radeći 6 sati neprestano. Za koliko bi napunila druga pumpa taj isti bazen s vodom ako je njen kapacitet duplo veći. Odmah možemo poslije kratkog razmišljanja reći da će druga pumpa napuniti bazen za 3 sata. Da bi to matematski objasnili koristićemo se ovom šemom: Pumpa 1 Pumpa 2

= =

6 sati x sati

Vidimo da su ove veličine tj kapaciteti pumpe i vrijeme koje je potrebno da se bazen napuni obrnuto propocionalne te možemo pisati:

1

:

2

=

x

:

6 sati

1 i 2 smo uzeli za proporcije jer druga pumpa ima duplo veći kapacitet. Iz ove relacije izvođenjem dobijamo: 1 x 6 sati = 2x 2x =6 sati 6 x = ------------ = 3 sata 2 6.VERIŽNO PRAVILO I ARBITRAŽA DEVIZA Verižno pravilo nam objašnjava verižni račun. Verižni račun je postupak pomoću kojeg se pojednostavljuje rješenje zadatka, u kojem je potrebno naći odnos izmedju dvije veličine koje su zadane ili povezane s nekim drugim veličinama.Za kupovinu i prodaju deviza,a u smislu zarade na razlici u kursevima (tečajevima) koristimo verižno pravilo. Opća šema verižnog pravila izgleda ovako: X=Y Y1 = Z Z1 = X1 gdje je X nepoznata veličina ,aY je odnosna veličina,koja se uvijek daje u iznosu 100 jedinica ili 1 jedinicu. 18

Znači da počinjemo sa X i završavamo sa X1 ,dok su Y i Z poznate veličine. Za izračunavanje X pomnožimo sve veličine sa desne strane i stavimo ih u brojnik ,a veličine Y1 i Z1 stavimo u nazivnike. Te je: Y x Z x X1 X = -------------Y1 x Z1 Račun deviza Deviza je svako potraživanje u stranoj valuti. Tečaj ( kurs ) deviza je cijena koja se službeno objavljuje i uz koju se kupuju i prodaju devize. Deviza za koju se tečaj objavi kažemo da notira ili kotira. Postoje dva načina kotiranja: - izravno, kada se pokazuje koliko 100 jedinica strane valute vrijedi u domaćoj valuti ( npr 100 Kn = 25 KM ). -posredno, pokazuje koliko se jedinica domaće valute da za 1 jedinicu strane. ( npr. 1Euro = 1,955 KM) Ovim se najčešće izražava odnos američkog dolara i engleske funte i sada Eura. Da bi nam ovo bilo jasnije poslužit ćemo se jednim primjerom: Zadatak Na dan 28 maja odnos valuta je bio ovakav: U Sarajevu 1Euro = 1,955 KM 100 Kn = 26,45 KM U Zagrebu: 1Euro = 7,40Kn 100 KM=400 Kn Pitamo se gdje će poduzeće prodati 2000 Eura, a gdje kupiti vodeći se logikom minimuma i maksimuma. Gdje će manje platiti, a gdje će za veću svotu prodati pomenutu iznos da bi zaradio na razlici u kursevima. 19

Izrada: U Sarajevu: 1 Euro = 1,955 KM U Zagrebu: X KM I 1 Euro --------------------------------------1 Euro I 7,40 Kn 400 Kn I 100 KM 7,40 x 100 X = ---------------------- = 1,85 Eura 400 U Zagrebu je dakle 1 Euro = 1,85 KM Vidimo da je kursna razlika izmedju valuta u Zagrebu i Sarajevu u stvari 1,955/1,85 izražena u procentima 5,8 %, jer se u Sarajevu za jedan Euro dobije 1,955 KM, a u Zagrebu za taj isti Euro dobije svega 1,85 KM. To će poduzeće prodati Eura u Sarajevu pa onda kupiti KM u Zagrebu i za dobijene marke kupiti Eura i ostvariti zaradu od 5,8 % i na 2000 Eura zaraditi 116,50 Eura. 6.1. Arbitraža robe Arbitraža robe je postupak u kojem se izračunava na kojem je tržištu najpovoljnije kupiti, a na kojem prodati određenu vrstu robe. Evo i jednog primjera: Koliko bi trebao da košta jedan CD u Slavonskom Brodu, ako je njegova cijena u Odžaku 1 KM i ako je službeni tečaj u Zagrebačkoj banci 100 Kn = 25 KM. Izrada X Kn = 1 CD 1CD = 1 KM 25 KM = 100 Kn 1x1x100 X Kn = ----------------- = 4 Kn 1x 25 Taj isti CD bi trebao da košta 4 Kn u Slavonskom brodu. 20

7.PROSTI KAMATNI RAČUN Kao i procentni račun tako i kamatni račun polazi od osnovne relacije: G : K = 100 :k gdje su : G - Glavnica ili osnovna suma K - kamata k - kamatna stopa se daje uvijek za godinu dana pa tako ako je neko uložio 100 KM u banku uz kamatnu stopu 5 % onda će on nakon godinu dana dobiti 5 KM na ime kamate. Zadatak 1. Neko je kod UPI banke uložio 250 KM na početku 2004 godine uz godišnju kamatnu stopu od 3 % .Koliko će on nakon godinu dana dobiti na ime kamate? Izrada: G = 250 k = 3% -----------K=?

G : K = 100 : k Gxk K = ------------100

250 x 3 K = ----------- = 7,5 KM 100 On će na ime kamate dobiti 7,5 KM za jedniu godinu dana na iznos od 250 KM uz godišnju kamatnu stopu od 3% . 7.1 UVEĆANA I UMANJENA GLAVNICA Kao i kod procentnog računa tako i kod prostog kamatnog računa imamo uvećanu i umanjenu glavnicu te su osnovne relacije kod ovog računa: ( G + K ) : K = ( 100 + k ) :k i za umanjenu: ( G - K ) : K = ( 100 - k ) : k 7.2. OBRAČUN KAMATE ZA MJESECE Kao kod prostog kamatnog računa za godinu dana polazi se od ove relacije uzimajući u obzir da godina ima 12 mjeseci. G : K = 1200 : ( k x m ) gdje je: G - glavnica ili osnovna suma K - kamata k - kamatna stopa m - broj mjeseci u toku jedne godine 21

Evo i jednog primjera: Zadatak 1. Neko je oročio 500 KM na tri mjeseca u Poslovnoj banci uz 12 % godišnje . Koliko će on dobiti na ime kamate? Izrada: G : K = 1200 : ( k x m ) 500: K = 1200: ( 12 x 3 ) 500 x 12 x 3 K = ------------------1200 500 x 3 K = ------------- = 15 KM 100 Zadatak smo mogli i drugačije uraditi,tj. da iznos od 12 % podijelimo sa 4 i dobili bi tako kamatnu stopu za 3 mjeseca.Tu stopu nazivamo preračunata kamatna stopa. K 12 k = ------ x 3 = ---- x 3 = 3 % 12 12

Pa bi relacija glasila: 500 : K = 100 : 3 500 x 3 K = ------------ = 15 KM 100 Vidimo da smo računajući kamatu na bilo koji način dobili isti rezultat. 7.3. OBRAČUN KAMATE ZA DANE Kao i kod primjera izračunavanja kamate za mjesece tako se i kod izračunavanja kamate za dane polazi od osnovne relacije uzimajući da godina ima 365 dana. Neko pak uzima godinu u trajanju od 360 dana radi lakšeg računanja te će stoga ova relacija glasiti : 22

G : K = 360 : ( k x d) gdje je: G -osnovna suma K - kamata k - kamatna stopa za godinu dana d - iznos dana za koji se računa kamata

Primjer: Neko je uložio 600 KM uz godišnju kamatnu stopu od 6 % na rok od 90 dana.Koliko će on dobiti na ime kamate? Uzet ćemo u ovom primjeru da godina ima 360 dana,te će osnovne relacije glasiti: G : K = 36000 : ( k x d ) 600 : K = 36000 : ( 6 x 90 ) 600 x 6 x 90 K = ---------------- = 9 KM 36000 Znači on će za 90 dana štednje na iznos od 600 KM uz 6 % godišnje za 90 dana dobiti 9 KM na ime kamate. 7.4. ŠTEDNI ULOZI ILI TEKUĆI RAČUNI Štedni ulozi su novčana sredstva građana koje oni drže u bankama i na koje primaju kamate.Te kamate nisu velike, mada mogu biti instrument pomoću koga banke privlače potencijalne štediše da deponuju novčana sredstva kod njih primjenjujući veće kamatne stope na njihove uloge. Trebamo razlikovati: -oročene uloge (obično na 3 mjeseca i više ) - tekuće uloge ( a vista ) Kod prvih se komintenti banke dogovore o oročenju uloga na određeni rok dok kod drugog komintent može uložiti i podići svoja novčana sredstva uvijek kada to on hoće. Poslije ovog rata ljudi nerado deponuju novac u bankama, jer imaju nepovjerenje u banke te se s toga i država pojavila kao garant da će se svakom depozit kod banke od 7.500 KM biti isplaćen ukoliko ga on deponuje u banci i želi da ga ponovo podigne. Iznos ovog depozita je prije bio 5.000 KM. 23

Evo i jednog primjera: Na štednoj knjižici kod jednog komitenta su se desile slijedeće promjene: DATUM 31.12 2004 god 31.03 2005 god 31.06. 2005 god 01.07. 2005 god

ISPLATA

UPLATA 1.000 KM

200 KM 300 KM 600 KM

31.12.2005 god

500 KM

1.600 KM

STANJE 1.000 KM 800 KM 500 KM 1.000 KM 1.100

Izračunajmo pripadajuću kamatu koja će biti upisana u štednu knjižicu na dan 31.12. 2005.god. na ovaj tekući račun. Kamatna stopa je 4 %.

UPLATA (G) 1. 2. 3. 4.

BROJ DANA DO 31.12.

1.000 KM 360 200 KM 270 300 KM 180 600 KM 180 -------------------------------

KAMATA +40 KM - 6 - 6 KM +12 KM

40 KM Po ovom stanju zaključujemo da je neko dobio na ime kamate iznos od 40 KM za godinu dana. 8. RAČUN EFEKATA 8.1. POJAM EFEKATA Efekti su vrijednosni papiri koji glase na dugoročno uložena novčana sredstva i koji vlasniku donose stalni ili promjenjivi prihod u obliku kamata ili u obliku dividende.Zato se efekti kao vrijednosni papiri dijele u dvije osnovne skupine: - efekti koji donose kamate ( obveznice ili obligacije, rente zadužnice i založnice - efekti koji donose dividendu ( dionice ili akcije ) Javne efekte izdaje država, kanton ili grad, odnosno opština, dok privatne efekte izdaje banka ili štedionica, industrijska ili trgovačka preduzeća. 24

Efekti mogu biti izdati u različitim apoenima. Iznos na njima se naziva nominalna vrijednost efekta, a tečajna vrijednost je vrijednost po kome se taj efekat u datom momentu kupuje ili prodaje. Za efekte koji su ponuđeni na berzi kažemo da notiraju. Oni notiraju na dva načina: - u postocima od nominalne vrijednosti - po komadu Kod računa efekata mjeseci se računaju po 30 dana s time da prvi dan ulazi u obračunsko razdoblje. Oni se na berzama kupuju i prodaju posredstvom mešetara.

8.2. RAČUNANJE SA EFEKTIMA Rekli smo već nešto o nominalnoj i tečajnoj vrijednosti efekata. Da bi nam računanje s efektima bilo jasnije poslužit ćemo se jednim primjerom: Kolika je tečajna vrijednost zajma od 3500 KM, ako je tečaj 83. NV x t 3500 x 83 T=--------------------= --------------------= 2905 100 100

NV- nominalna vrijednost T-tečajna vrijednost t- tečaj Tečajna vrijednost ovog zajma je dakle 2905. Mešetarina se računa od tečajne vrijedniosti uvećane za kamate i pri kupovini se dodaje, a pri prodaji se oduzima. Šema za obračun : Tečajna vrijednost -------------------------------------------------+ kamata ± mešetarina + troškovi ---------------------------------------------------------------------------Vrijednost ------------------------------------------------25

Primjer Kolika je vrijednost 50.000 KM 3%-tnih obveznica prodatih 18.05. po 76,40? Kamate dospijevaju 01.01 i 01.07. Mešetarina je 0,5 promila. Tečajna vrijednost je 50.000 x 76,40 T = ------------------------- = 38.200 KM 100

Lako ćemo izračunati iznos kamate za 138 dana. K= 575 KM T + K = 38.200 + 575 = 38.775 KM Iznos mešetarine je: M=19,40 KM Tako da bi šema izgledala ovako: Obračun prodaje 18.05. 50.000 KM a 76,40 + kamata 3%/138 dana - mešetarina/ 5 promila vrijednost

= 38.200,00 KM = 575,00 KM 38.775,00 KM 19,40 KM 38.755,60 KM

8.3.RENTABILNOST EFEKTA Rentabilnost efekta se može izračunati samo kod onih vrijednosnih papira koji imaju stalne kamate. Rentabilnost se izračunava pomoću ovih formula: - za dionice D x 100 R = ---------------T gdje su: R-rentabilnost efekta D - dividenda T - tečaj 26

- za efekte s kamatama NV x 100 R = ---------------------T gdje su: NV - nominalna vrijednost T - tečaj

Gledajući ove formule došli smo do opšte formule za izračunavanje rentabilnosti efekta:

K x 100 R = -------------------T gdje je: K- kamata koju donosi tečaj Primjer: Nominalna vrijednost dionice je 1000 KM i donosi dividendu od 5%. Kolika je rentabilnost te dionice ako je njen tečaj 750. Izrada: 1000 x 5 D = -------------------= 50 100 50 x 100 R = --------------------= 6.67% 750 Do istog rezultata mogli smo doći koristeći verižno pravilo. R = 1000 KM 750KM = 5% 1000 x 5 R = ------------------ = 6,67% 750 Rentabilnost efekta R je dakle 6,67 %. 27

8.4. LOMBARDNI RAČUN Zajam možemo dobiti na osnovu lako unovčivog pokretnog zaloga koji zovemo lombardom, a poslovanje s njim lombardni račun. Ti lako unovčivi predmeti mogu biti : plemeniti metali (zlato, srebro, platina, ) , trgovačka roba, mjenice i sl. Osnova za utvrđivanje iznosa lombardnog zajma je vrijednost založenih lombardnih predmeta. Kao kreditna baza se uzima tečajna vrijednost efekta gdje se odobrava obično od 40% do 95% njihove tečajne vrijednosti. Za plemenite metale taj je procenat mnogo veći dok je za pokvarivu robu on manji. Lombardnim poslovanjem se bave obično javna skladišta jer se ova roba uzima na čuvanje. Obično je to: žito, šećer, kava itd . Na ove artikle se dobija zajam od oko 60% vrijednosti robe, dok se na zlato dobija zajam i do 90% vrijednosti robe. Šema za obradu lombardnog zajma izgleda ovako: Nominalna vrijednost --------------------------------------- lombard --------------------------------------= lombardna vrijednost --------------------------------------- kamata ---------------------------------------( troškovi + provizija ) --------------------------------------za isplatu Primjer: Neko je želio da založi zlatni nakit težine 500 grama uz obavezu da će lombardni zajam vratiti u roku od 3 mjeseca. Cijena zlata na tržištu je tada bila 5 KM/gr, a kamatna stopa u banci 12%.Stopa lombarda je 90%. Koliko će on dobiti od banke ukoliko mu ona odobri lombardni zajam. Nominalna vrijednost 500grx5 KM/gr - lombard 10% lombardna vrijednost -kamata za 3 mjeseca/12 % - troškovi i provizija za isplatu

= 2.000 KM 200 KM 1.800 KM 54 KM 6 KM 1.740 KM

Znači banka bi mu mogla dati zajam od 1740 KM i ako se klijent ne pojavi u toku 3 mjeseca i ne vrati zajam od 1.800 KM banka može prodati njegov zlatni nakit i tako izmiriti njegovo dugovanje.

28

8.5. Račun zlata i srebra Zlato i srebro su plemeniti metali koji se daju legirati s drugim metalima ( obično bakrom i niklom ), pa čine onda legure. Čistog zlata skoro nigdje nema. Zbog toga što je on jako rijedak elemenat koji se može naći u prirodi i zbog svojih prirodnih svojstava služio je prije kao novac te su od njega pravljeni zlatnici, a i kao rezerve banaka tako deponovan u zlatnim šipkama u Narodnim bankama svake zemlje kao novčana podloga. Što ga je banka više imala mogla je da emituje više novca u opticaj. Nakon krize u svijetu 70-ih godina prošlog stoljeća kao podloga za rezerve ga je zamjenio iznos deviznih rezervi.Omjer između težine čiste kovine i legure naziva se finoća. Finoća zlata može se izraziti: a) promilno b) engleskim načinom u karatima Kao stoprocentno zlato je uzeto da je to u stvari zlato čistoće 24 karata. Mnogo puta smo čuli da je čistoća zlata 14 karata.Izračunaćemo onda kolika je ta čistoća izražena promilno. Zadatak ćemo raditi upotrebom pravila trojnog. Izrada: 1000 promila X promila

24 karata 14 karata

14 x 1000 X = ----------------------24 X = 583,33 promila. Znači da 14 karatnoom zlatu odgovara čistoća od 583,33. Ako ste ikada vidjeli žig na burmama i prstenju i broj 585 znajte onda da je to 14 karatno zlato.

29

9.ESKONTOVANJE HARTIJA OD VRIJEDNOSTI 9.1.Pojam eskonta ili diskonta U privrednom poslovanju svako je dugovanje i potraživanje vezano za kamate. S obzirom na dospijeće, tj rok plaćanja,u platnom prometu moguća su ova tri slučaja: a) dužnik podmiruje svoju obavezu na dan dospijeća po ugovoru. Iznos koji on tada plaća zove se nominalni iznos. b) dužnik podmiruje obavezu prije dospijeća. Ona tada plaća iznos po ugovoru umanjen za kamatu ( diskont ). Kamate koje se oduzimaju od nominalnog iznosa zovemo eskontovanje ili diskontovanje. To proizilazi iz same činjenice da " imati novac u rukama danas, puno više vrijedi nego imati ga " sutra". Zato se vrši eskontiranje nominalne vrijednosti neke hartije od vrijednosti ( npr. mjenice ), za iznos kamate. Kao što smo rekli ta kamata se oduzima od nominalne vrijednosti. Diskontni račun je dakle račun izračunavanja sadašnje vrijednosti novčanog iznosa kad plaćanje vršimo prije ugovorenog roka.

Šema kalkulacije izgleda ovako: Nominalna vrijednost

----------------------------------------

- diskont

----------------------------------------

diskontovana vrijednost

----------------------------------------

9.2. Postupci diskontovanja 1. Trgovački diskont Trgovački diskon se najviše upotrebljava u poslovanju s novcem i hartijama od vrijednosti. Kod njega nominalna vrijednost uzima kao čist iznos glavnice ( G ). Primjer Kolika je nominalna vrijednost mjenice izdate 01.01.2005,ako je njena diskontovana vrijednost 1410 KM, a njen rok dospijeća 30.60. 2005.god. Diskontna stopa je 12%. 30

Izrada: Nominalna vrijednost - diskont 180dana/12% diskontovana vrijednost

100% 6 94 %

1410 1% = --------------- =15 94% Ako je 1% = 15 KM onda je 100% = 1500 KM te je nominalna vrijednost ove mjenice 1.500 KM. b) Službeni diskont Kod službenog diskonta se nominalna vrijednost uzima kao uvećana glavnica ( G + K ). Potsjetimo se zadataka iz kamatnog računa gdje smo obrađivali uvećanu i umanjenu glavnicu. Diskontovati neke mjenice znači umanjiti njenu nominalnu vrijednost za iznos kamate od roka kada se ona plaća do roka dospijeća i oduzeti od njenog nominalnog iznosa kamatu za te dane. Broj dana u godini se može uzeti kao 360 ili 365. Obično se uzima 360 dana radi lakšeg izračunavanja. Rok plaćanja mjenice U praksi se može desiti slučaj da je istekao rok plaćanja mjenice. Ukoliko ne dođe do podmirenja obaveze toga dana banka bi trebala prolongirati potraživanje. Prolongirati ili produziti rok plaćanja zove se reeskont. Terminski rok plaćanja je slučaj kada se sve vrijednosti na mjenici svode na zajednički rok plaćanja. Taj datum se označava kao srednji rok plaćanja. Taj rok mi uzimamo proizvoljno i nazivamo ga epoha. U izračunavanju srednjeg dospjeća (epohe ) moguća su 4 slučaja: 1.) iznosi ( glavnice) različite i kamatne stope različite. računamo ga po formuli: G 1 k 1 d 1 + G 2 k 2 d 2 + ... + G n k n d n dx = -----------------------------------------------------------G 1 k 1 + G 2 k 2 +............+ G n Gdje su: G - glavnica ili osnovna suma k - kamatna stopa d- broj dana za koji se racuna kamata ili interes 31

2) drugi slučaj: iznosi jednaki i kamatne stope jednake G 1 d 1 + G 2 d 2 +.......+ G n d n dx = ----------------------------------------------G 1 + G 2 +......+ G n 3. Treći slučaj Iznosi jednaki i kamatne stope različte: k 1 d 1 +k 2 d 2 +...........+ k n d n dx = --------------------------------------------k 1 +k 2 +.......+k n 4. Iznosi jednaki i kamatne stope jednake d 1 +d 2 +................+ d n dx = ----------------------------------------n Primjer: Izdate su četiri mjenice: 50.000 KM 50.000 KM 50.000 KM 50.000 KM

dospijeva za 40 dana dospijeva za 50 dana dospijeva za 60 dana dospijeva za 70 dana

Ove četiri mjenice moramo zamjeniti novom mjenicom. Kamatna stopa za sve četiri mjenice je jednaka. Koji je srednji rok plaćanja? Vidimo da se primjenjuje formula pod 4. jer su jednaki iznosi i jednake kamatne stope te je srdnji rok jednak: 40 + 50 + 60 + 70 dx = ----------------------------- = 55 dana 4

32

10. ZAPADNO I ISTOČNO BANKARSTVO 10.1. Organizacija privrednih društava Uvod: U socijalističkoj privredi koja je vladala kod nas sve do samog rata 1992-e godine prošlog stoljeća poznavali smo Osnovne organizacije udruženog rada (OOUR), Radne organizacije ( RO) i Složene organizacije udruženog rada ( SOUR), kao oblik organizovanja radnika i kao privredne subjekte. Privatizacijom koja je počela još krajem 80-ih godina prošlog vijeka Zakon o udruženom radu ( ZUR) je zamjenjen novim Zakonom o poduzećima, koji je predvidio novi oblik organizovanja poduzeća u BiH. Tako da je sada kod nas najpoznatiji: D.j.o. društvo jednog lica kao što mu sam naziv kaže je poduzeće koje je osnovalo i registrovalo jedno lice kod suda i ono njime upravlja. D.o.o. - društvo sa ograničenom odgovornošću, Poznato kao oblik poduzeća koji osnivaju dva ili više lica kao oblik okrupnjavanja kapitala. Ako ste ikada vidjeli negdje GMBH onda znajte da se radi o njemačkoj skraćenici za ova društva. Vlasnici poduzeća odgovaraju za eventualne poslovne promašaje iznosom uloga koji je registrovan u sudski registar. Taj ulog može biti: u stvarima , novcu ili pravima. 10.2.DIONIČARSKO ILI AKCIONARSKO DRUŠTVO Kada neka banka želi da pokrene neko poduzeće ona emituje akcije ili dionice kako bi sakupila kapital za pokretanje tog poduzeća. Ove certifikate koje smo mi dobijali i koje smo prodavali ili ulagali u fond mogli smo smatrati prvim vrijednosnicama koje su se pojavile kod nas. Trebamo razlikovati nominalnu vrijednost dionica i njenu stvarnu vrijednost na tržištu. Njena stvarna vrijednost zavisi od ponude i potražnje za tim dionicama i formira se na burzi vrijednosnih papira. Poznato je da je nedavno otvorena i burza vrijednosnih papira u Sarajevu. Akcionarska ili dioničarska društva imaju Skupštinu društva koja se sastaje svake godine i raspravlja o poslovnoj strategiji društva te utvrdjuje koliki je bio dobitak društva tj dividenda. Dividenda je znači poslovni rezultat poduyeća koji se računa na uloženi kapital u dioničko društvo. Primjer: Ako je u preduzeće uloženo 1.000.000 KM i ako je njegova dobit na kraju godine bila 200.000 KM to bi značilo da je dividenda bila 20% pozitivna na uloženi kapital. Ta dividenda se tada dijeli na akcionare srazmjerno učešću kapitala u tom društvu.

33

Još da kažemo da onaj koji kontroliše paket akcija u akcionarskom društvu ima veću moć odlučivanja u poslovanju akcionarskog poduzeća i veći broj glasova prilikom glasanja o nekim prijedlozima na Skupštini akcionarskog preduzeća.

10.3. IZRAČUNAVANJE DIVIDENDE Primjer: UPI banka je za pokretanje tvornice papira u Maglaju emitirala dionice nominalne vrijednosti 1.000 KM. Ukupan broj dionica je 2000. Banka je uspjela da rasproda sve dionice i tako skupila 2.000.000 KM za pokretanje fabrike papira. Poslije godinu dana ona je ostvarila pozitivan finansijski rezultat od 100.000 KM. Kolika je bila dividenda na svaku akciju ili dionicu? 100.000 D = (--------------------)x100=5% 2.000.000 Znači da će svaki vlasnik dionice dobiti 5% u novcu kada se bude vršila raspodjela dobiti u akcionarskom preduzeću. To bi značilo ako jedan čovjek raspolaže sa paketom od 10 dionica nominalne vrijednosti od 1000 KM da će on dobiti. 5 1.000 x 10 x --------- = 500 KM 100 On će dobiti 500 KM na ime dividende ovog dioničarskog društva. 10.4.

ZAPADNO I ISTOČNO (ISLAMSKO ) BANKARSTVO

Da bismo objasnili razliku između zapadnog i islamskog bankarstva morali smo da objasnimo strukturu poslovnih društava s posebnim osvrtom na akcionarska društva i dividende kao zarade nekog preduzeća. Pošto je u islamskim zemljama kamata zabranjena to je u svijetu poznato islamsko bankarstvo koje funkcionira upravo ovako kao što smo objasnili kod akcionarskih društava. Jer ako neko ima interesa da ulaže u BiH iz islamskih zemalja i želi da mu se vrati uloženi kapital on neće tražiti kamatu, ali će otkupiti dio preduzeća i tražit će dio zarade na kraju svake godine kao neki oblik dividende. Utoliko se razlikuje zapadno bankarstvo i istočno kao dva različita modela poslovanja banaka. 34

FINANCIJSKA MATEMATIKA

35

36

PROSTI I SLOŽENI KAMATNI RAČUN 1.PROSTI KAMATNI RAČUN Da bi shvatili složeni kamatni račun mi se moramo potsjetiti prije svega procentnog računa i prostog kamatnog računa. Sjetimo se da procentni račun kreće od relacije: G:P=100: p gdje je: G-glavnica P-Procenntna suma p- procentna stopa uvijek data u procentima (%). Evo ponovo istih primjera: Na ekonomskom fakultetu u Sarajevu upisano je u prvu godinu 200 studenata. Njih 50 je prošlo u drugu godinu studija. Koliko je studenata procentualno prošlo u prvu godinu? Dakle rekli smo da je: G:P=100:p Iz ove relacije izvodimo: Px100 Gxp P x 100 G=-----------; P=------------; p=--------------p 100 G U našem primjeru: 50x100 p=-------------= 25% 200 Dakle njih 25% je prošlo u drugu godinu. Da se potsjetimo i toga da je procentni račun identičan prostom kamatnom računu ukoliko se kamata obračunava za godinu dana. Tako da je: G:K=100: k G-osnovna suma K - iznos kamate k-kamatna stopa 37

Evo i jednog primjera: Neko je kod UPI banke uložio 250 KM na početku 2004-e godine. Koliko će on dobiti na ime kamate uz kamatnu stopu od 3% : Gxk 250x3 K= ------------= ---------------= 7,50 KM 100 100 Znači da će on dobiti na ime kamate 7,50 KM. Još čega se moramo potsjetiti iz prostog kamatnog računa su zadaci sa uvećanom i umanjenom glavnicom, a posebno obračuna kamata za mjesece. I ovdje se polazi od relacije: G:K= 1200: ( kxm), gdje je: m- broj mjeseci za koje se vrši ukamaćivanje. Zadatak: Neko je oročio 500 KM na tri mjeseca uz 12% godišnje.Koliko ce on dobiti na ime kamate za ta tri mjeseca? 500 x 12 x3 K =------------------= 15 KM 1200 Znači on ce dobiti na ime kamate za tri mjeseca iznos od 15,00 KM. Ukratko smo se potsjetili prostog kamatnog računa.

2.SLOŽENI KAMATNI RAČUN Do sada smo u privrednoj matematici izučavali zadatke prostog kamatnog računa koji nam se mogu postaviti u praksi tj. one zadatke za izračunavanje kamata u toku jedne godine, nekoliko mjeseci ili dana. Sada cemo izučavati uloge, rente i anuitete , te kako se oni izračunavaju za više godina. Vidjet ćete da postoje različiti modeli ovih pomenutih veličina, a da bi najbolje shvatili ove račune trebamo se potsjetiti iz opće matematike zadataka iz geometrijskih nizova i geometrijske sredine. Ako to dobro savladamo onda neće biti teškoća da shvatimo i obračun zajma u uslovima inflacije , model koji sam ponudio ukoliko se inflacija desi u bilo kojoj zemlji u svijetu. 38

3. JEDAN ULOG UKAMAĆIVAN VIŠE GODINA Da bi shvatili ovaj kamatni račun poslužit ćemo se odmah primjerom iz prakse. Predpostavimo da je neko uložio 1000 KM na početku jedne godine. On će taj ulog držati u banci 5 godina i banka će mu svake godine zaračunati 5% kamate. Koliko će biti stanje na računu nakon tih 5 godina.

Šematski to izglada ovako

god

1000 K=? ------------------------------------------------0 1 2 3 4 5

Izrada u=1000 n=5; broj obračunskih perioda, godina k=5%, kamatna stopa za godinu dana ----------------K=? Ako bi neko uložio 1KM na početku jedne godine¸, on bi uz 5% godišnje imao: 1,05 KM

na kraju prve godine 2

1,05x1,05 = 1,05 1,05x1,05x...1,05 = 1,05 n

na kraju druge godine itd. nakon n godina

Zato moramo izračunavati ovaj faktor ukamaćenja r. On se izračunava na slijedeći način. k r=(1+------); gdje je k- kamatna stopa za godinu dana 100 K= u x r n K-ulog + kamata za n godina r -faktor ukamaćenja za jednu godinu, n- broj godina Faktor ukamaćenja r nam pokazuje koliko je stanje na računu u jednoj banci nakon godinu dana za jednu jedinicu novca. U našem primjeru on je 1,05. To znači da 1 KM uz 5% godišnje, nakon godinu dana će narasti na 1,05 KM. 39

Stoga naše K izračunavamo ovako: K=1000 x 1,05 5 = 1276,30 KM Vidimo da bi neko na ime kamate dobio 276,30 KM ako bi uložio 1000 KM uz 5% godišnje u trajanju od 5 godina. Primjer 2. Stanarine u 1999-oj godini su iznosile 150 KM za određene stanove. Kolike će one biti u 2002-oj godini ako su iste rasle po 4 % godišnje? Šema: 1999 2000 2001 2002 I-------------------------------I 150 KM; 4% K=150 x 1,04 3 = 168,70 KM Ovo znači da će stanarine u 2002-oj godini iznositi 168,70 KM. U tablicama, na kraju knjige, možete naći vrijednosti r za trideset perioda i određene vrijednosti k tako da možemo pisati da je: k r = (1+ ------ ) 100 n n r = I - prve tablice k 4. JEDNA RENTA UKAMAĆIVANA VIŠE GODINA Ako je neko uložio u banku jedan iznos i želi da mu se on isplati nakon nekoliko godina pričamo o jednoj renti. Da bi bolje shvatili ovaj zadatak poslužit ćemo se jednim primjerom iz prakse. Zadatak 1. Neko je jedan iznos K uložio uz 5% godišnje i želi da nakon 5 godina dobije 1000 KM na ime kamate i otplate. Koji iznos on mora uložiti? 40

Šema K=?

5% R=1000 KM ---------------------------------------------------------------------------0 1 2 3 4 5 1 K=R x (---------) rn n K= R x II k

- Vidimo da su druge tablice jednake recipročnoj vrijednosti prvih tablica

n 1 II = ------k rn Lako ćemo izračunati vrijednost rente (R). 1 K = 1000 x (-----------) rn 1 K= 1000 x ------------ = 783,50 KM 1,27628 On će znači danas uložiti 783,50 KM da bi nakon 5 godina uz kamatnu stopu 5% dobio 1000 KM.

41

5. KOMFORNA KAMATNA STOPA Komforna kamatna stopa se može definisati ovako: Komforna kamatna stopa je stopa čijom primjenom dobijamo isto onoliko kamate uz rjeđi obračun koliko dobijemo primjenom godišnje kamatne stope uz godišnji obračun. To znači da ćemo njenom primjenom uz kvartalni obračun,četiri puta ukamaćivati neki ulog i da će nam ona dati isto onoliko kamate koliko i godišnja kamatna stopa za godinu dana. Ako je godišnja kamatna stopa k=10% onda će po formuli komforna kamatna stopa (c) biti: c= ( m r - 1) x 100 c=( 4 1,1 -1) x 100 c= 2,411369% Ako neko uloži 100 KM na početku godine on će uz 10% godišnje na računu imati 110 KM. Stanje po kvartalima uz upotrebu komforne kamatne stope bi bilo ovako: 100 102,40 104,90 107,40 110 -------------------------------------------------------------------------------0 1 2 3 4 Iz ove šeme vidimo da upotrebom ove komforne kamatne stope uz češći obračun dobijemo isto onoliko kamate ako bi upotrijebili godišnju kamatnu stopu i godišnji obračun kamate. 6. INTERKALARNA KAMATNA STOPA Interkalarna kamatna stopa se primjenjuje u slučaju obračuna zajmova ukoliko se njihova otplata odgađa za neki period, npr. tri ili šest mjeseci, godinu, a nekada i dvije godine. Primjenjuje se tako što se njenom upotrebom izračunava kamata na zajam i dopisuje zajmu pa se onda na taj iznos izračunava visina anuiteta. Nekada se u praksi ova kamata na tzv. Grace period isplaćuje odmah upotrebom interkalarne kamatne stope, a anuiteti na zajam po njihovom prispjeću. Da bi ovo bilo jasnije uzet ćemo da je odobren zajam od 5.000 KM zu kamatnu stopu od 10% i da je Grace period na zajam šest mjeseci. Izračunali bi da je interkalarna kamata na zajam 250 KM za šest mjeseci ( interkalarna kamatna stopa u ovom slučaju jednaka preračunatoj stopi od 5%) i ovaj bi iznos isplatili odmah banci ili bi ovaj iznos dopisali iznosu duga koji sada iznosi (5.000 + 250 ) tj. 5.250 KM. 7. JEDNAKI GODIŠNJI ULOZI Šematski obračun jednakih godišnjih uloga možemo prikazati ovako: u u u u ..........u K -------------------------------------------------0 k%1 2 3 n-1 n I I I I I---------I I I I------------------I I I---------------------------I I------------------------------------I---------------------------------------------42

Vidimo da se ovi jednaki godišnji ulozi ulazu anticipativno (na početku svake godine) i da se njihova vrijednost može izračunati nakon n godina po ovoj formuli:

K= u x r n + u x r

( n −1)

+uxr

( n − 2)

+ ......+ u x r 2 + u x r

Da ne bi računali ovoliko korak po korak izvedena je formula po kojoj je: r (r n - 1 ) K = u ---------------------( r - 1) U prilogu u finansijskim tablicama ćete vidjeti vrijednosti trećih tablica koji su izračunati za jedinične vrijednosti K za nekoliko perioda i uz nekoliko vrijednosti kamatnih stopa. Ako se radi o dekurzivnim ulozima onda se oni izračunavaju uz pomoć ove formule: (r n - 1) K = u -----------(r-1) Zadatak: Neko je odlučio da na početku svake godine ulaže u banku po 500 KM uz 6% godišnje. Koliko će on dobiti ako je ulaganje vršeno u toku 7 godina. Šematski to izgleda ovako u u u u u u u K=? --------------------------------------------------------------------0 6% 1 2 3 4 5 6 7 1,06 ( 1,06 7 - 1) 7 K= 500 ------------------------- = 500 III ( 1,06 - 1 ) 6 K= 4448,73 KM Ovaj rezultat bi dobili i da smo ukamaćivali jedan po jedan ulog na ovaj način. K= 500 x r 7 + 500 x r 6 + ... + 500 x r = 4448,73 KM 43

k Da se posjetimo ( r= 1+ ------). 100 6 U ovom primjeru r = (1+ -----------)= 1,06. 100 Ako bi se ulaganje vršilo na kraju svake godine onda bi to šematski izgledalo ovako. K=? 500 500 500 500 500 500 500 ---------------------------------------------------------------------0 6% 1 2 3 4 5 6 7 Matematski ovaj zadatak rješavamo uz pomoć ove formule. (r n - 1) K= u ---------------(r-1) (1,06 7 - 1) K= 500 ------------------ = 4196,90 ( 1,06 - 1 ) Vidimo da je ovaj iznos K manji nego u slučaju kod anticipativnih uloga. To je iz razloga što se ovdje radi o dekurzivnim ulozima i što se svaki ulog ukamaćuje manje godinu dana nego u prošlom primjeru te je stoga on manji za iznos kamate na uloge za tu godinu. 8.1.ULOZI RASTU PO ARITMETIČKOJ PROGRESIJI Pretpostavimo da želimo da ulažemo u banku 3 godine na početku svake godine povećavajući uloge svake godine za 100 KM. Prvi ulog u 1 iznosi 500 KM. Kamatna stopa je 6 % svake godine.Pitamo se koliko će biti stanje na našem računu po isteku treće godine. Šematski prikaz: 500 k=6% 500+100 500+200 K= ? ---------------------------------------------------------------------------------------0 1 2 K= 500 x 1,06 3 + 600 x 1,06 44

2

+ 700 x 1,06 = 2011,67 KM

To smo mogli izračunati i primjenom formule: r (r n -1) 100d r(r n -1) K= u 1 --------------- +/- ----------- ( ---------------- - nr ) (r-1) k (r-1) gdje je d- apsolutno povećanje ili smanjenje svakog narednog uloga 8.2.ULOZI RASTU PO GEOMETRIJSKOJ PROGRESIJI Ako želimo da nam ulozi rastu ili opadaju za određeni procenat onda govorimo o ulozima koji rastu ili opadaju za određeni procenat. Šematski prikaz: u 1 q u 1 q 2 .................... u 1 q ( n −1) K=? u1 ---------------------------------------------------------------------------0 1 2 .................. (n-1) n Za izračunavanje stanja na računu koristimo se ovom formulom: r ( rn - qn ) K = u 1 -------------------(r-q) Pretpostavimo sada da nam je kamatna stopa 6%, a da ulozi rastu za 10% svake godine, u toku 3 godine i da prvi ulog u 1 iznosi 200 KM. Izrada: t- stopa povećanja slijedećeg uloga u nizu t 10 q = ( 1+ ----------)= (1 + ----------)= 1,10 100 100 r = 1,06 n= 3 u 1 = 200 -------------------------------------------K=? 45

Iz gornje formule ćemo izračunati. 1,06 ( 1,06 3 - 1,10 3 ) K= 200 ---------------------------------= 741,90 (1,06 - 1,10)

U slučaju dekurzivnih uloga primjenjuje se ova formula. Riječ je dakle o ulozima koji se uplaćuju na kraju obračunskog perioda, a mijenjaju se po geometrijskoj progresiji.

( rn - qn ) K = u 1 ----------------------(r-q) U slučaju da je r = q nije moguće dobiti rezultat na ovaj način jer bi trebalo dijeliti nulu s nulom te se u tom slučaju stanje na računu K dobija po ovoj formuli: K= u 1 x n 9. JEDNAKI MJESEČNI ULOZI, ANTICIPATIVNI Pošto svaka banka vrši obračun kamata jednom u godini a mnoga se plaćanja vrše mjesečno tražio se model obračuna kamata na mjesečne uloge. Ovi zadaci se mogu riješiti na dva načina i to: -kombinacijom prostog i složenog kamatnog računa -primjenom komforne kamatne stope Predpostavimo da štedimo na ime svog djeteta po 50 KM mjesečno i da je godišnja kamatna stopa na štednju 5%. Štediti ćemo na ovaj način 2 godine. Šema: u u u u u u ........................................................... u u ---------------------------------------------------------------------------- K=? 0 1 2 I I I--------------------------------------------------------------------------46

Izrada: -prvo ćemo postaviti formulu za izračunavanje našeg K kombinacijom prostog i složenog kamatnog računa. (m + 1 ) x k K = u ( m + ----------------- ) x 200

(r n - 1 ) ------------------(r-1)

gdje je m u stvari broj mjeseci u godini; m= 12 ( 12 + 1 ) x 5 ( 1,05 n - 1 ) K = 50 ( 12+ -----------------------) x -------------------- = 1263,30 200 ( 1,05 - 1 )

- ovaj zadatak se mogao uraditi i primjenom komforne kamatne stope za jedan mjesec r c = 1,004 r c ( r cnm -1 ) K = u x ---------------------------( rc - 1 ) 1,004 ( 1,004 24 - 1) K = 50 x ---------------------------- = 1263,10 ( 1,004 - 1 ) 10. JEDNAKI MJESEČNI ULOZI, DEKURZIVNI Uzet ćemo sada jedan primjer iz prakse. Ako neko želi da osigura novčano svoje dijete staro tri godine on može da ulaže svaki mjesec neki mali iznos na njegovu štednu knjižicu s time da računa, kada to dijete postane punoljetno da ima novac na raspolaganju za studij , vjenčanje i sl. Zato često roditelji u razvijenom svijetu uplaćuju po 50 KM mjesečno, u trajanju i po 15 godina da bi to svoje dijete obezbijedili kasnije. Vidjet ćete da oni na svome računu tada imaju poprilične svote novca. Uzet ćemo da je kamatna stopa na ove štedne uloge 5% godišnje.Koliko ja stanje na računu poslije 15 godina ako su se uplate na račun vršile dekurzivnim mjesečnim ulozima od po 50 KM. 47

Izrada: - kombinacijom prostog i složenog kamatnog računa (m-1)xk ( rn - 1 ) K = u x ( m + -----------------) x ------------------200 (r-1) 11x5 (1,05 5 - 1) K = 50 x ( 12 + --------------- ) x ---------------------200 ( 1,05 - 1 ) K = 13.243,80 KM

- upotrebom komforne kamatne stope rc =

12

r

( r 180 -1) c K = 50 x -------------------- = 13 241,20 ( rc - 1 ) Vidimo da postoje male razlike u ovim rezultatima tako da se oba načina izračunavanja mjesečnih uloga mogu smatrati korektnim.

11. JEDNAKI ULOZI UKAMAĆIVANI ČEŠĆE OD PERIODA ULAGANJA Poslužit ćemo se konkretnim primjerom kada imamo dvogodišnje uloge, a period obračuna je godina dana. Godišnja kamatna stopa je 5%, a iznos uloga je 100 KM. 48

Izrada: Prvo što ćemo uraditi je preračunati faktor ukamaćenja za dvije godine. Njega ćemo označiti sa r 2 . k 2 = ((1,05 2 ) - 1 ) x 100 = 10,25%. Ova stopa je sada važeća za dvije godine umjesto stope od 5% kojom vršimo obračun za godinu dana.

k2 r 2 = (1+ ---------- ) 100 Šema: 100 KM 100KM K=? ---------------------------------------------------------------------------0 1 2 3 4 -anticipativno r 22 (r 22 - 1 ) K = 100 x ------------------------= 231,80 KM (r 2 - 1) - dekurzivno K= 100 x 1,05 2 + 100 = 210,25 KM RENTE 12. JEDNAKE GODIŠNJE RENTE Ako neko uloži jedan iznos u banku i želi da mu se u narednom periodu isplaćuju jednaki iznosi onda govorimo o jednakim rentama.Za izračunavanje ovih renti poslužit će nam ovi modeli obračuna koji su slični modelima uloga. Kada smo obrađivali probleme jednog uloga i pominjali vrijednosti prvih tablica, rekli smo da su druge tablice u stvari recipročna vrijednost prvih tablica. Tako da su rente u neku ruku diskontovana vrijednost uloga. Ovo što je rečeno biće vam malo jasnije kada uradite koji zadatak i kada to prikažete sebi na šemi za obračun renti. 49

Opća šema za rente izgleda ovako: K R R R....... R R R ----------------------------------------------------------0 1 2 3 4 ... n ----------I -------------------I -----------------------------I --------------------------------------I ----------------------------------------------------------I Vidimo da je K (ulog) u ovom slučaju jednak zbiru diskontovanih renti u nultom trenutku, tako da možemo pisati. a) za anticipativne godišnje rente r (r n - 1 ) K = R x ------------------r n ( r-1) b) za dekurzivne godišnje rente (r n - 1 ) K= R x -----------------r n ( r-1 ) Zadatak 1. Neko je uložio iznos od 10.000 KM u banku i želi da mu se to isplati u obliku renti u toku 6 godina uz godišnju kamatnu stopu 10% na početku svake godine. Izrada: K= 10.000 KM k= 10% n= 6 godina -----------------R=? 1,10 ( 1,10 6 - 1) K= R x -------------------------1,10 6 ( 1,10 - 1 ) R= 2.087,30 KM 50

Vidimo da će ta osoba koja uplati 10.000 KM u neku banku uz 10% kamate dobijati idućih 6 godina na početku svake godine iznos od 2.087,30 KM. Uzmimo sada ovaj prethodni zadatak i pomatrajmo ga tako pitajući se šta bi se desilo ako bi rente isplaćivali dekurzivno. Neko je uložio 10.000 KM i želi da mu se rente (R) isplaćuju dekurzivno u narednih 6 godina (n), na kraju svake godine uz godišnju kamatnu stopu (k) od 10 %. Šema: 10.000 R R R R R R ----------------------------------------------------------0k=6%1 2 3 4 5 6 (1,10 6 - 1 ) 6 10.000 = R x -------------------------- = R x IV 1,10 6 (1,10-1 ) 10 R = 2296,10 Povjeriocu ove banke će dakle biti isplaćeno 6 jednakih godišnjih dekurzivnih renti u iznosu od 2296,10 KM. Vidimo da se ovdje koriste IV tablice 13. RENTE RASTU PO ARITMETIČKOJ PROGRESIJI a) anticipativne Zadatak ćemo dati šematski: K=? R R+10 R+20 ---------------------------------------------------------0 k= 12% 1 2 3 R 1 = 100 KM Koliki je iznos K? 1 1 K= 100 + 110x-------------- + 120 x --------------------1.12 1.12 2 Iznos K = 293,90 KM 51

Iznos prve rente smo mogli izračunati i upotrebom formule: r ( r n – 1) 100d r ( r n – 1) n K=R1 ---------------- ± -------------- ( ------------ - ---------) r n (r – 1 ) k r n (r-1) r ( n −1) b) dekurzivne Isti ovaj zadatak posmatrat ćemo kao da je banka isplaćivala rente na kraju godine tj. dekurzivno. 1 1 1 K= 100 x ------------ + 110 x ----------------- + 120 x ---------------1,12 1,12 2 1,12 3 K= 262,40 KM Ili upotrebom formule: rn – 1 100d r n -1 n K=R1 ------------- ± ------- ( ------------- - ------ ); d – apsolutno povećanje naredne rente r n (r-1) k r n (r-1) rn 14.RENTE RASTU PO GEOMETRIJSKOJ PROGRESIJI a)anticipativno I rente (R) kao i ulozi (u) mogu rasti ili opadati za određeni procenat tj. po geometrijskoj progresiji. Formula za izračunavanje ovih veličina glasi: r ( rn - qn ) K = R 1 x ------------------------rn ( r - q ) Uzmimo da je t procenat povećanja ili smanjenja svake slijedeće rente i da iznosi 20%, te da godišnja kamatna stopa k=12% tj. Prva renta R 1 = 1000 KM, a n= 3 godine 1,10 ( 1,10 3 - 1,20 3 ) K= 1000 x ----------------------------------1,10 3 ( 1,10 - 1,20 ) K= 3281,00 KM 52

b) dekurzivno Isti primjer posmatran dekurzivno: (1,10 3 - 1,20 3 ) K = 1000 x -------------------------------1,10 3 ( 1,10 - 1,20 ) K= 2.982,70 KM Znači da trebamo uplatiti ovaj iznos K da bi dobili tri rente na kraju sve tri godine. Prva renta je 1000 KM a svaka slijedeća je za 20% veća tj, 1.200 KM i 1.440 KM.

15. JEDNAKE MJESEČNE RENTE, ANTICIPATIVNE Vidjet ćemo kasnije da se rente mogu posmatrati kao anuiteti i da slobodno možemo pisati da je (R) = (a). Samo je pitanje ko se javlja kao povjerioc, da li je to banka ili neko drugo lice. Kod računa renti povjerilac je komitent i on deponuje u banku novčana sredstva kako bi u narednom periodu uživao rentu, a kod amortizacije zajma banka daje kredit te je ona povjerioc i kredit joj se vraća kroz otplatu anuiteta.Da kažemo odmah da anuitet sadrži otplatu i kamatu u sebi. O tome ćemo govoriti poslije. Zadatak. Neko je uložio u banku 100.000 KM i želi da mu se isplaćuju mjesečne anticipativne rente u toku 5 godina. Kamatna stopa je 12 % godišnje.

Izračunajte iznos mjesečne rente R. Zadatak ćemo riješiti na dva načina i to; - kombinacijom prostog i složenog kamatnog računa - upotrebom komforne kamatne stope

53

Zadatak ćemo postaviti šematski:

RRRRRRRRRRR.....................................................RRRRR ---------------------------------------------------------------------------0 12% 1 2 3 4 5 -----------------------------------------------------------------------l

Izrada a) kombinacijom prostog i složenog kamatnog računa K = 100.000 k= 12% n= 5 m=12 -------------------R=?

(m+1)x k ( rn - 1 ) K=R ( m +--------------) x ------------------------200 r n (r-1) ( 12 + 1 ) x 12 ( 1,12 5 - 1) K = R ( 12 +------------------------) x -------------------------200 1,12 5 ( 1,12 - 1 ) R = 2170,70 b) upotrebom komforne kamatne stope Komfornu kamatnu stopu za mjesec dana ćemo izračunati na slijedeći način: c= ( 12 r - 1) 100 c= ( 12 1,12 - 1 ) 100 = 0,95% 54

0,95 r c = ( 1 + -------------- ) 100 Izrada zadatka: K= 100.000 k= 12 % c = 0,95 r c = 1,0095 n = 5 broj godina m= 15 broj mjeseci -------------------------------R=? r c (r cmn - 1 ) K = R x --------------------r cmn ( r c - 1 ) 1,0095 ( 1,0095 60 - 1 ) 100.000 = R x ------------------------------1,0095 60 ( 1,0095 - 1 ) R = 2173,00 Vidimo da se na oba načina dobija korektan rezultat. 16.JEDNAKE MJESEČNE RENTE , DEKURZIVNE Uzmimo sada da je godišnja kamatna stopa 12 %, da je iznos K=100.000 KM i da se rente isplaćuju dekurzivno, na kraju svakog mjeseca u toku 5 godina. To znači da će biti isplaćeno 60 jednakih mjesečnih renti. Koliki je iznos rente(R)?

Izrada K = 100.000 k= 12% n= 5 m=12 -------------------R=?

55

a) izrada kombinacijom prostog i složenog kamatnog računa ( m-1 ) x k ( rn - 1 ) K = R x ( m + -----------------) x ------------------------200 rn ( r - 1 ) ( 12 - 1 ) x 12 (1,12 5 - 1) 100.000 = R x ( 12 + ------------------) x ------------------------------200 1,12 5 ( 1,12 - 1 ) R = 2191,20 a) izrada uz upotrebu komforne kamatne stope Možemo reći da se komfornom kamatnom stopom za mjesec dana svodimo ukamaćivanje na mjesečno ukamaćivanje. Prisjetimo se komforne kamatne stope pa ćemo vidjeti da sa njome u stvari uz češći obračun dobijemo isto onoliko kamate kao uz godišnji obračun primjenjujući godišnju kamatnu stopu samo što sa komfornom kamatnom stopom vršimo češće ukamaćivanje. r c = 1,0095 Izrada zadatka: K= 100.000 k= 12 % c = 0,95 rc = 1,0095 n = 5 broj godina m= 15 broj mjeseci -------------------------------R=? (r cmn - 1) K = R -------------------------r cmn ( r c - 1 ) (1,0095 60 - 1 ) 100.000 = R x ---------------------------------1,0095 60 ( 1,0095 - 1 ) R = 2193, 60 Rezultat smo dobili korektno radeći na oba načina. 56

16.AMORTIZACIJA ZAJMA Uvod: U uslovima tržišne privrede neminovno je da banke daju zajmove u svrhu kreditiranja određenih oblasti privrede kao što su: poljoprivreda, industrija, energetika isl. Instrumenti kamatnih stopa tj. većih ili manjih kamatnih stopa daju privredi njen procvat u uslovima kada su ove stope na zajmove male ili koče njen razvoj kada su one velike. Nakon ovog rata u BiH kao instrument poticaja najvažnije grane privrede tj. poljoprivrede, ove stope bi trebale biti do 6 % godišnje. 17. AMORTIZACIJA ZAJMA JEDNAKIM OTPLATAMA Ovo je najčešće primjenjivani metod amortizacije zajma kod nas. Da bismo ga shvatili uzet ćemo jedan primjer iz prakse. Primjer: Neko je digao zajam od 1000 KM u Tuzlanskoj banci i želi da ga vrati za 10 mjeseci. Kamatna stopa na zajam je 12 % godišnje. Anuiteti se vraćaju u toku 10 mjeseci dekurzivno. Amortizaciona tabela: mjesec ostatak duga otplata kamata anuitet ------------------------------------------------------------------------0 1000 -----------------------1 900 100 10 110 2 800 100 9 109 3 700 100 8 108 4 600 100 7 107 5 500 100 6 106 6 400 100 5 105 7 300 100 4 104 8 200 100 3 103 9 100 100 2 102 10 0 100 1 101 -----------------------------------------------------------------------suma 1000 55 1055 KM Ovom metodom dobija se najviše kamate sa stanovišta banke, ali zbog čestog preračunavanja ne koristi se u modernom bankarstvu, upravo iz razloga što zahtjeva stalno ispisivanje brojki. Sada u vrijeme kompjuterske ere najčešće se amortizuje zajam jednakim anuitetima dok se otplate i kamate mijenjaju po periodima. Amortizacione tabele se lako i brzo vrše u programu za ekonomiste Excel-u. 57

18. AMORTIZACIJA ZAJMA JEDNAKIM ANUITETIMA Da bi razumjeli ovu amortizaciju zajma poslužit ćemo se jednim primjerom: Banka je nekome odobrila zajam od 100.000 KM uz 6% godišnje. Zajam će se amortizovati jednakim godišnjim dekurzivnim anuitetima u toku 5 godina. Napravite amortizacionu tabelu. Moramo znati da je anuitet otplata (b) + kamata (J). Slično računu renti IV tablice jednake su recipročnoj vrijednosti V tablica te možemo pisati: n 1 IV = ----------------k n V k Tako je anuitet (a) u računu zajma isto što i renta (R) u računu renti. Ovaj zadatak ćemo pretstaviti šematski K=100.000KMa a a a a ---------------------------------------------------------------------------0 1 2 3 4 5 Formule za izračunavanje su: (r n -1) r n (r-1) K= a ----------------- iz ovog slijedi, a = K --------------------r n (r-1) (r n - 1 ) (1,06 5 - 1) 100.000 = a ---------------------1,06 5 (1,06-1) iz ovog slijedi da je a= 23.739,64 Ovaj rezultat smo mogli dobiti i da smo naš iznos zajma K pomnožili sa odgovarajućom vrijednošću petih tablica. 58

Formula po kojoj se one računaju za jedinicne vrijednosti anuiteta su: n rn ( r - 1 ) V = --------------------k (r n - 1 ) a=b+J anuitet (a) je jednak zbiru otplate (b) i kamate (J), dok je R ostatak duga.

Amortizaciona tabela ---------------------------------------------------------------------------god dug i ostatak duga (K ili R) otplata (b) kamata (J) anuitet (a) ---------------------------------------------------------------------------0 100.000 0,00 0,00 0,00 1 82.266,36 17.739,64 6.000,00 23.739,64 2 63.456,34 18.804,02 4.935,60 23.739,64 3 43.524,08 19.932,26 3.807,40 23.739,64 4 22.395,88 21.128,19 2.611,40 23.739,64 5 0,00 22.395,90 1.343,75 23.739,64 ---------------------------------------------------------------------------SUMA 100.000,0 18.698,20 118.698,20 ----------------------------------------------------------------------------

J 1 = 100.000 x 0,06 = 6.000 b 1 = a - J 1 = 23.739,64 - 6.000 = 17.739,64 itd. Iz ove tabele vidimo da je zadnji ostatak duga jednak nuli, R(5)=0 da je zbir svih otplata jednak iznosu zajma, SUMA(b)=K te da je zbir iznosa zajma i kamate jednak zbiru anuiteta, K + SUMA(b)=SUM(a) To znači da smo pravilno izvršili amortizaciju zajma.

59

19. IZRAČUNAVANJE OSTATKA DUGA Poslužimo se tabelom iz prethodnog zadatka da bi bolje shvatili kako se ostatak duga (R) izračunava. Pretpostavimo da trebamo izračunati treći ostatak duga R(3). R 3 = 43.524,10 Ako nemamo njegovu vrijednost u tabeli to ćemo ga izračunati na ovaj način.

(r ( n −3) -1) (r 2 - 1) R 3 = a -------------------- = a -----------------r ( n −3) ( r-1)

r 2 ( r - 1)

(1,06 2 - 1 ) R 3 = 23.739,60 ------------------------------1,06 2 ( 1,06 - 1 ) R 3 = 43.524,10 Vidimo da smo pravilno izvršili izračunavanje trećeg ostatka duga R(3) koristeći se formulom za njegovo izračunavanje. 20. IZRAČUNAVANJE SUME KAMATA ZA VIŠE PERIODA Poslužimo se ponovo tabelom Zbir kamata J 1 +J 2 = 6.000 + 4.935,62 = 10.935,62 Ako želimo da izračunamo ovaj iznos, direktno, radimo to na slijedeći način. J 1 + J 2 = K (r 2 - 1 ) - a ( r - 1 ) J 1 + J 2 = 100.000 (r 2 -1) - a ( r - 1) = 10.935,62 Vidimo u ovom zadatku da mi ustvari izračunavamo kamatu na ostatak duga ( u ovom slučaju R 0 =K) i od te kamate oduzimamo kao neku nedospjelu kamatu na anuitet koji kod ovog izračunavanja posmatramo kao ulog. Ta kamata koju oduzimamo od kamate na ostatak duga je sadržana u ovom anuitetu. 60

.AMORTIZACIJA ZAJMA MJESEČNIM ANUITETIMA Sve do sada rečeno o amortizaciji zajma je naime bilo teoretsko. Pošto se obično amortizacija zajmova vrši mjesečnim anuitetima to moramo objasniti ponajbolje ovaj račun. Do sada smo pominjali da je ona moguća: - anticipativno, anuitetima koji se otplaćuju na početku obračunskog perioda , tj na početku mjeseca - dekurzivno, anuitetima koji se isplaćuju na kraju obračunskog perioda ( u ovom slučaju, na kraju mjeseca) U oba ova slučaja možemo izračunati visinu anuiteta na dva načina i to: - kombinacijom prostog i složenog kamatnog računa - upotrebom komforne kamatne stope

Pođimo od jednog konkretnog primjera: Zadatak: Pretpostavimo da je neko o podigao kredit od 20.000,00 KM i da ga mora amortizovati u toku 3 godine mjesečnim anticipativnim anuitetima. Godišnja kamatna stopa na zajam je jednaka sve tri godine i iznosi 8%. Koliki je iznos anuiteta ?

Izrada: a) izračunavanje anuiteta kombinacijom prostog i složenog kamatnog računa poći ćemo od slijedeće formule (m+1) x k (r n -1) K = a ( m+-------------- ) x ----------------------200 r n (r-1) ( 13 x 8 ) (1,08 3 -1) 20.000 = a (12 + -----------------) x ----------------------200 1,08 3 ( 1,08 - 1 ) 61

Izračunavanjem dobijamo: a = 620,00 KM b) izračunavanje anuiteta primjenom komforne kamatne stope r c -faktor ukamaćenja sa komfornom kamatnom stopom, c r c = ( 1 + ----------) 100 12 rc = r Vidimo da je r c u stvari dvanaesti korijen iz našeg r. r c ( r cnm -1 ) K= a ---------------------------r cnm ( r c - 1 ) 1,00643 ( 1,00643 36 - 1 ) 20.000 = a -------------------------------------1,00643 36 (1,00643-1 ) a = 620,20 KM Vidimo da smo u oba slučaja dobili isti rezultat i da smo pravilno izračunali visinu anuiteta. Izračunajmo sada visinu anuiteta u istom primjeru ako bi se zajam amortizovao mjesečnim dekurzivnim anuitetima. a) kombinacijom prostog i složenog kamatnog računa (m-1)k rn - 1 K = a (m+ -----------------) x ------------------200 rn ( r - 1 ) m-broj obračuna u toku jedne godine tj 12 mjeseci 11 x 8 ( 1,08 3 -1 ) 20.000 = a ( 12 + --------------) x -------------------------200 1,08 3 ( 1,08 - 1 ) a = 623,90 KM

62

b) primjenom komforne kamatne stope r c = 1,00643403

( 1,0064 36 - 1 ) 20.000 = a -------------------------------1,0064 36 ( 1,0064 - 1 ) a = 624,10

Vidimo da postoje male razlike u iznosima anuiteta ali su one zanemarive. Oba načina nam daju tačne rezultate onda kada su godišnje stope male, medjutim što su te stope veće sve su veće i razlike u iznosu anuiteta. AMORTIZACIJA ZAJMA U EXCEL-U Kao što je već rečeno Excel je računarski program za ekonomiste u kom se lako prikazuju tabelarni prikazi amortizacije zajmova. Nadam se da ste naučili osnove rada sa Excel-om te se nećemo baviti otvaranjem i zatvaranjem te memoriranjem podataka koje imamo u našim tabelama. Poslužit ćemo se jednim primjerom: Uzmimo da je neko dobio zajam od 10.000 KM i da ga mora vratiti uz 6% godišnje u toku 5 godina godišnjim dekurzivnim anuitetima. Trebamo dati tabelarni prikaz amortizacije zajma. Uz upotrebu tablica koji su dati u ovoj knjizi pogledat ćemo vrijednost V tablica za n=5 i k=6%. Lako ćemo dobiti da je vrijednost anuiteta a= 2374 KM k=6% godina 0 1 2 3 4 5

a=2374 dug anuitet otplata kamata 10000 0 0 0

Iz ove prve tabele vidimo da u nultom periodu imamo samo dug od 10.000 KM. Sada moramo izračunati po dvije vrijednosti kamate i otplate uz već poznati anuitet koji je isti za svo vrijeme amortizacije zajma. 63

Tako da će slijedeći korak tabelarno izgledati ovako.

god

dug anuitet otplata kamata 0 10000,00 0 0 0 1 8226,00 2374 1774 600 2 6345,56 2374 1880,44 493,56 2374 3 2374 4 5 2374

Iz ove tabele vidimo da je prva kamata J 1 = 600 KM, a druga J 2 = 493,60 KM, te da je prva otplata b 1 = 1774 KM , a druga otplata b 2 =1880,40 KM te ako ih oduzmemo od ostatka duga R dobit ćemo da je R 1 = 8226,00 KM i R 2 = 6345,60 KM.. U ovoj tabeli lako ćemo dobiti sve ostale vrijednosti ako markiramo u svakoj koloni posebno zadnje dvije izračunate vrijednosti i postavimo kursor u donji desni ugao te kada on dobije oblik crnog križića ( + ) povučemo nadolje miš držeći lijevu tipku miša. Tako ćemo dobiti slijedeću tabelu.

god

dug anuitet otplata kamata 0 10000 0 0 0 1 8226 2374 1774 600 2 6345,56 2374 1880,44 493,56 3 4352,294 2374 1993,266 380,7336 4 2239,431 2374 2112,862 261,1376 5 -0,20291 2374 2239,634 134,3659

Vidimo i u ovom primjeru da smo pravilno izvršili amortizaciju zajma uz upotrebu Excel-a jer nam je zadnja otplata b 5 jednaka predzadnjem ostatku duga R 4 te da je zadnji ostatak duga R 5 jednak nuli.

64

26. AMORTIZACIJA ZAJMA U USLOVIMA INFLACIJE POJAM INFLACIJE Inflaciju jo niko nije precizno definisao. Ono što je karakteriše je stalno povećanje cijena artikala od životne važnosti. Ekonomski stručnjaci tvrde da je inflacija od 3% do 5% dobra za ekonomiju jedne zemlje jer podstiče investicije. Zbog toga i banke daju kamate svojim povjeriocima na štednju u tim procentima tako da je k godišnja kamatna stopa na štednju po viđenju ( a vista) kod Zagrebacke banke od 3% do 5 %, kod UPI banke 4%, a kod Raiffeisen banke do 5%. Na ovaj način banke dajući veće kamatne stope na štednju, privlače potencijalne štediše da deponuju svoja novčana sredstva baš kod njih. Inflaciju u jednoj zemlji možemo smanjiti tako što ćemo smanjiti emisiju svježeg novca. To se zove monetarni pristup u prevazilaženju inflacije i pokazalo se kao najbolje riješenje Evo vam sada jedan tabelarni prikaz kako se inflacija kretala kod nas od 1981-e do 1989-e godine. ----------------------------------------------------------Godina Stopa inflacije -----------------------------------------------------------1981 45% 1982 31% 1983 59% 1984 53% 1985 80% 1986 88% 1987 168% 1988 210% 1989 8.000% -----------------------------------------------------------( dnevni list „ Oslobođenje“ od 20.12. 1989 god. str.16 ) Kao što vidite inflacija je krajem 80-ih godina prošlog stoljeća u tada bivšoj Jugoslaviji bila tako visoka da je razarala ekonomiju cijele zemlje i svi rezultati tada bivaju strašno obezvrijeđeni. Rasli su u velikoj mjeri materijalni troškovi, raspodjela društvenog bruto proizvoda se odvijala na štetu privrede. Sirovine iz uvoza su postajale sve skuplje i skuplje, a devize su se mijenjale uglavnom na crnom tržištu novca po daleko većem kursu ( tečaju ) nego što je važio službeno u bankama. 1.Obračun kamate i inflacije na jedan ulog Odmah da kažem da će se u idućim zadacima obračun kamata vršiti sa prosječnim veličinama tj. moguća je revalorizacija zajmova tako što će se izvaditi geometrijaska sredina za svaki nas faktor ukamaćenja. Moguć je i mjesečni obračun kamata, ali bi u tom slučaju morali naći neku preračunatu stopu za prosječnu inflaciju u toku mjeseca. Mislim da ste dobro shvatili upotrebu komforne kamatne stope tako da vam neće biti problem preračunati nas faktor ukamacenja "r" da bi izračunali iznos uloga rente ili pak anuiteta. 65

primjer 1. Uzmimo da je neko na početku godine uložio 2000 KM uz 5% godišnje. U toku godine prosječna stopa inflacije je bila 30%. Koliko će on dobiti na ime kamate nakon 3 godine ako je prosječna stopa inflacije bila na ovom nivou. Da bismo riješili ovaj problem to ćemo nas faktor r morati preračunati tako da ćemo dobiti novi faktor "r ik " koji ćemo zvati faktor ukamaćenja u uslovima inflacije. Slijedi da je k r k = (1+ --------), gdje je k- godišnja kamatna stopa 100

r

i

i = ( 1+--------), gdje je i- prosječna godišnja stopa inflacije 100

Konkretno u ovom primjeru to bi bilo: r k = 1,05 r i = 1,30 r ik = 1,05 x 1,30 = 1,365

Izrada u= 2000 k=5% i=30% n=3 ---------------K=?

iznos uloga godišnja kamatna stopa prosječna godišnja stopa inflacije broj obračunskih perioda , godina

K = 2.000 x r 3ik = 2.000 x 1,365 3 = 5.086,60 KM. Na osnovu ovog modela za jedan ulog lako nam je dobiti formule za obračun renti i anuiteta imajući u vidu da je naš faktor ukamaćenja "r" sada "r ik ". 66

2.Obračun kamata i inflacije za jednu rentu U slučaju da hoćemo da znamo koliko trebamo uplatiti danas iznos K da bi nakon nekoliko godina (n) imali iznos R (rentu) u uslovima inflacije služimo se ovom formulom:

K R =---------------r ikn Primjer: Neko želi da uplati danas iznos od K KM, da bi nakon 5 godina podigao iznos od 100.000 KM. Kamatna stopa kod banke je bila 6 %, a prosječna stopa inflacije 50 % godišnje. Koliko iznosi polog u banci?

Izrada: n=5 r k = 1,06 r i = 1,50 R = 100.000 -----------------K=? 100.000 R=------------------------1,59 5 R=9.840,40 KM Znači, danas treba uplatiti iznos od 9.840,40 KM da bi se nakon 5 godina podigla renta R od 100.000 KM, uz 6% godišnje kamate i 50% inflacije. 3.Ulozi u uslovima inflacije Ulozi su obično zastupljeni u praksi kada npr roditelj želi da uplaćuje neki konstantan iznos na ima svog djeteta u obliku štednje za njega na duži period ,recimo od 15 do 20 godina da bi to dijete kada poraste imalo novac za studij i sl. To su obično mali iznosi, ali ako se uplaćuju na dug period znaju narasti na velike iznose. 67

Primjer Neko želi da uplaćuje iznos od 500 KM svake godine uz 10 % godišnje. Prosječna stopa inflacije iznosi u toku 10 godina 35%. Koliko će biti njegovo stanje na računu ako se ono vršilo na početku svake godine (anticipativno) u toku od 10 godina. r k = 1,10 r i = 1,35 u= 500 KM ----------------K=? r ik = 1.10 x 1,35 = 1,485

1,485(1,485 10 -1) K=500 -------------------------- =78308,80 1,485-1 Da su se kojim slučajem ovi ulozi uplaćivali dekurzivno tj. na kraju svake godine, to bi ovaj iznos bio izračunat na slijedeći način.

(1,485 10 - 1) K= 500 ------------------ = 52 733,20 KM (1,485 - 1) 4.Mjesečni ulozi u uslovima inflacije Ako neko želi da ulaže svaki mjesec po 50 KM i ako je kamatna stopa kod banke 10%, a prosječna stopa inflacije 40 %. Štednja se vrši u toku 3 godine anticipativno. Koliko će biti stanje na računu štediše, na kraju treće godine. r k =1,10 r i =1,40 u=50 n=3 m=12 -------------r ic =? K=? r ic = 12 1,54 = 1,03663705 68

Vidimo da smo mogli koristili ovdje prosječnu mjesečnu stopu od 3,66 % da bi izračunali stanje K na kraju treće godine.

r ic (r icmn -1 ) K = u -------------------------( r ic - 1 )

1,0366 (1,0366 36 - 1 ) K=50 ---------------------------------- =3.752,30 1,0366 - 1 Vidimo da bi stanje na kraju treće godine na štednom računu bilo K jednako 3.752,30 KM. 5. Ulozi rastu ili opadaju po aritmetičkoj progresiji Ove formule za anticipativne i dekurzivne uloge smo dali prije. Razlika je samo u tome što se se sada umjesto kamatnog faktora r koristi faktor r ik . 6. Ulozi rastu ili opadaju po geometrijskoj progresiji Daćemo samo formule -anticipativno r ik (r ikn - q n ) K = u ---------------------(r ik -q)

-dekurzivno (r ikn -q n ) K = u -------------------(r ik -q)

69

7.RENTE Isto kao i uloge na lagan način možemo riješiti izračunavanje renti u uslovima inflacije uzimajući u obzir da je naš faktor ukamaćenja r koji se u normalnim okolnostima izračunava po ovoj formuli: k r=(1+--------- ) ,gdje je k- kamatna stopa za godinu dana. 100 Sada je nase "r" u stvari "r ik " a njegovo izračunavanje smo objasnili kod izračunavanje vrijednosti jednog uloga. Za sada vam dajem samo formule, a pošto je izračunavanje renti identično izračunavanju anuiteta kod amortizacije zajma to ćemo uraditi i neki zadatak.

7.1. Rente se isplaćuju anticipativno u toku n godina uz godišnju kamatnu stopu k i stopu inflacije i. k r k = ( 1+---------) ; k-godišnja kamatna stopa 100 r

i

i = (1 + --------) ; i - prosječna godišnja stopa inflacije 100

r ik = r i x r k ; r ik faktor ukamaćenja u uslovima inflacije

r ik (r ikn -1) K=R ----------------r ikn (r ik -1)

7.2. Rente se isplaćuju dekurzivno u toku n godina i godišnjom kamatnom stopom k i prosječnom godišnjom kamatnom stopom i . (r ikn - 1) K=R -----------------r ikn (r- 1) 70

7.3. Mjesečne rente, anticipativno

r ic =

12

r ik ; r ic faktor ukamacenja za mjesec dana u uslovima inflacije . Dobija se tako što se

izračuna dvanaesti korijen iz faktora ukamaćenja r ik . Izračunali smo ga kod uloga. n (r 12 -1) ci K= R ---------------------------; gdje je R - renta , a n - broj godina za koji se vrši n r 12 (r ci - 1 ) obračun ci

Mjesečne rente, dekurzivno n (r 12 - 1) ci K = R ------------------n r 12 (r ci -1 ) ci

7.4. Rente rastu ili opadaju po aritmetičkoj progresiji Formule za izračunavanje renti kada one rastu ili opadaju za neki apsolutni iznos d smo dali u dijelu o rentama samo što se kao I u slučaju uloga umjesto kamatnog faktora r sada koristi faktor rci a umjesto n korist faktor 12n. 7.5.Rente rastu ili opadaju po geometrijskoj progresiji anticipativno

r ik (r ikn -q n ) K= R ------------------------; gdje je q faktor rasta ili opadanja r ik (r ik -q ) jedinične rente

dekurzivno (r ikn - q n ) K= R ------------------; q<1 kod renti koje opadaju za određeni r ikn (r ik -q) procenat 71

8. AMORTIZACIJA ZAJMA U USLOVIMA INFLACIJE

Kada neko ima neki poslovni plan on će zatražiti kredit ili zajam od neke poslovne banke. Normalno je da on taj kredit mora vratiti u ugovorenom terminu, međutim pošto se godišnja stopa inflacije ne može tako lako predvidjeti to bi se morale vršiti stalne revalorizacije zajmova svake godine na ostatak duga. Zato je ovaj ponuđeni model samo teoretska mogućnost obračuna anuiteta tj otplata i kamata na zajam koji još nije zaživio u praksi i ne znam da li će ikada i zaživjeti. Uzmimo da je neko digao zajam od 10.000 KM i želi da ga otplati u toku 5 godina uz 11% kamate godišnje i prosječnu stopu inflacije od 100% jednakim godišnjim anuitetima na kraju svake godine. Izrada k=11% i=100% K=10.000 n=5 ------------a=? r k =1,11 r i =2,00 r ik =1,11x2=2,2

r ikn (r ik -1) a=K --------------------(ri ikn -1) 2,2 5 (2,2-1) a= 10.000 ---------------------( 2,2 5 -1) a = 12.237,45 KM

72

Amortizacija zajma tabelarno n

Dug i b-otplata J-kamata a-anuitet ostatak duga ---------------------------------------------------------------------------0 10.000,00 --------------------------1 9.762,55 237,45 12.000 12.237,45 2 9.240,16 522,40 11.715,06 12.237,45 3 8.090,90 1.149,26 11.088,20 12.237,45 4 5.562,50 2.528,37 9.709,08 12.237,45 5 0 5.562,50 6.675,00 12.237,45 ---------------------------------------------------------------------------SUMA 10.000,00 51.187,25 61.187,25 ----------------------------------------------------------------------------

Iz ovog primjera vidimo da smo pravilno izvršili amortizaciju zajma, jer je zadnji ostatak duga R 5 jednak nuli, a pretposljednji ostatak duga R 4 jednak zadnjoj otplati b 5 i da je: suma(b) = K SUMA(J)= SUMA(a) - K Ako bismo htjeli da znamo sada koliki je treći ostatak duga R3 koristimo se ovom formulom: 3 (r 5− -1) ik R3= a -------------------3 r 5− (r ik -1) ik

R3=8.090,87 Vidimo u tabeli da smo pravilno izračunali ostatak duga R3 na ovaj način. Ako hoćemo da znamo zbir kamata J 4 +J 5 , to radimo na slijedeći način. Vidimo iz tabele da je (J 4 +J 5 )= 9.709,08+6.675,60 = =16.384,08 KM Isto tako važi J 4 +J 5 = R 3 (r ik2 - 1) - a(r ik -1) = = 31.068,90-14.684,90=16.384,00 73

Vidjet ćemo da smo pravilno izvršili obračun sume kamate za nekoliko perioda posmatrajući neke anuitete kao uloge i oduzimajući kamatu na njih kao neku nedospjelu kamatu. Prilikom svake uplate anuiteta smanjuje se iznos ostatka duga R za iznos otplate b , jer svaki anuitet sadrži u sebi otplatu i kamatu.

74

FINANCIJSKE TABLICE

75

76

PRILOG: Tablice: U prilogu su date formule za tablično izračunavanje kamatnog faktora koji ima odredjene vrijednosti kamatne stope k i koji se izračunava za n perioda ukamaćivanja. Tako da je: k r= (1+ --------) 100 ; naše r (kamatni faktor) se izračunava uvijek u formulama na ovaj način i rekli smo da on pretstavlja ukamaćenu jedinicu za period ukamaćenja, a k je godišnja kamatna stopa. 1.prve tablice n I = rn ; k pretstavlja vrijednost jediničnog uloga ukamaćivanog uz kamatnu stopu k u toku n perioda 2. druge tablice n 1 II = --------------; pretstavlja vrijednost jedinične rente koja k rn diskontovana u toku n perioda uz kamatnu stopu k. Vidimo da su II tablice recipročna vrijednost I tablica. 3.treće tablice n r (r n -1) III = ------------------------; k (r-1) pretstavljaju vrijednost jediničnih uloga koji se ulažu anicipativno u toku n perioda, uz kamatnu stopu k 4.četvrte tablice n (r n - 1 ) IV = -------------------------; k r n(r-1) pretstavljaju vrijednost jediničnih renti koje bi se trebale isplaćivati u toku n perioda, dekurzivno uz kamatnu stopu k. 5. pete tablice n r n ( r-1 ) V = --------------------------; k (r n - 1 ) pretstavljaju vrijednost jediničnih anuiteta kojim se amortizuje zajam K u toku n perioda i kamatnu stopu k. Vidimo da su V tablice recipročna vrijednost IV-tih. Ovo su formule za izračunavanje tabličnih vrijednosti. U ovoj knjizi smo dali tablične vrijednosti za n= 0,1 2,3....30 i k = 0,1,2,3...20 %.

77

78

Prve tablice od 1 do 5 % n/k 1 2 1 1,010000 1,020000 2 1,020100 1,040400 3 1,030301 1,061208 4 1,040604 1,082432 5 1,051010 1,104081 6 1,061520 1,126162 7 1,072135 1,148686 8 1,082857 1,171659 9 1,093685 1,195093 10 1,104622 1,218994 11 1,115668 1,243374 12 1,126825 1,268242 13 1,138093 1,293607 14 1,149474 1,319479 15 1,160969 1,345868 16 1,172579 1,372786 17 1,184304 1,400241 18 1,196147 1,428246 19 1,208109 1,456811 20 1,220190 1,485947 21 1,232392 1,515666 22 1,244716 1,545980 23 1,257163 1,576899 24 1,269735 1,608437 25 1,282432 1,640606 26 1,295256 1,673418 27 1,308209 1,706886 28 1,321291 1,741024 29 1,334504 1,775845 30 1,347849 1,811362

3 1,030000 1,060900 1,092727 1,125509 1,159274 1,194052 1,229874 1,266770 1,304773 1,343916 1,384234 1,425761 1,468534 1,512590 1,557967 1,604706 1,652848 1,702433 1,753506 1,806111 1,860295 1,916103 1,973587 2,032794 2,093778 2,156591 2,221289 2,287928 2,356566 2,427262

4 1,040000 1,081600 1,124864 1,169859 1,216653 1,265319 1,315932 1,368569 1,423312 1,480244 1,539454 1,601032 1,665074 1,731676 1,800944 1,872981 1,947900 2,025817 2,106849 2,191123 2,278768 2,369919 2,464716 2,563304 2,665836 2,772470 2,883369 2,998703 3,118651 3,243398

5 1,050000 1,102500 1,157625 1,215506 1,276282 1,340096 1,407100 1,477455 1,551328 1,628895 1,710339 1,795856 1,885649 1,979932 2,078928 2,182875 2,292018 2,406619 2,526950 2,653298 2,785963 2,925261 3,071524 3,225100 3,386355 3,555673 3,733456 3,920129 4,116136 4,321942

79

Prve tablice od 6 do 10 % n/k 6 7 1 1,060000 1,070000 2 1,123600 1,144900 3 1,191016 1,225043 4 1,262477 1,310796 5 1,338226 1,402552 6 1,418519 1,500730 7 1,503630 1,605781 8 1,593848 1,718186 9 1,689479 1,838459 10 1,790848 1,967151 11 1,898299 2,104852 12 2,012196 2,252192 13 2,132928 2,409845 14 2,260904 2,578534 15 2,396558 2,759032 16 2,540352 2,952164 17 2,692773 3,158815 18 2,854339 3,379932 19 3,025600 3,616528 20 3,207135 3,869684 21 3,399564 4,140562 22 3,603537 4,430402 23 3,819750 4,740530 24 4,048935 5,072367 25 4,291871 5,427433 26 4,549383 5,807353 27 4,822346 6,213868 28 5,111687 6,648838 29 5,418388 7,114257 30 5,743491 7,612255

80

8 1,080000 1,166400 1,259712 1,360489 1,469328 1,586874 1,713824 1,850930 1,999005 2,158925 2,331639 2,518170 2,719624 2,937194 3,172169 3,425943 3,700018 3,996019 4,315701 4,660957 5,033834 5,436540 5,871464 6,341181 6,848475 7,396353 7,988061 8,627106 9,317275 10,062657

9 1,090000 1,188100 1,295029 1,411582 1,538624 1,677100 1,828039 1,992563 2,171893 2,367364 2,580426 2,812665 3,065805 3,341727 3,642482 3,970306 4,327633 4,717120 5,141661 5,604411 6,108808 6,658600 7,257874 7,911083 8,623081 9,399158 10,245082 11,167140 12,172182 13,267678

10 1,100000 1,210000 1,331000 1,464100 1,610510 1,771561 1,948717 2,143589 2,357948 2,593742 2,853117 3,138428 3,452271 3,797498 4,177248 4,594973 5,054470 5,559917 6,115909 6,727500 7,400250 8,140275 8,954302 9,849733 10,834706 11,918177 13,109994 14,420994 15,863093 17,449402

Prve tablice od 11 do 15 % n/r 11 12 1 1,110000 1,120000 2 1,232100 1,254400 3 1,367631 1,404928 4 1,518070 1,573519 5 1,685058 1,762342 6 1,870415 1,973823 7 2,076160 2,210681 8 2,304538 2,475963 9 2,558037 2,773079 10 2,839421 3,105848 11 3,151757 3,478550 12 3,498451 3,895976 13 3,883280 4,363493 14 4,310441 4,887112 15 4,784589 5,473566 16 5,310894 6,130394 17 5,895093 6,866041 18 6,543553 7,689966 19 7,263344 8,612762 20 8,062312 9,646293 21 8,949166 10,803848 22 9,933574 12,100310 23 11,026267 13,552347 24 12,239157 15,178629 25 13,585464 17,000064 26 15,079865 19,040072 27 16,738650 21,324881 28 18,579901 23,883866 29 20,623691 26,749930 30 22,892297 29,959922

13 1,130000 1,276900 1,442897 1,630474 1,842435 2,081952 2,352605 2,658444 3,004042 3,394567 3,835861 4,334523 4,898011 5,534753 6,254270 7,067326 7,986078 9,024268 10,197423 11,523088 13,021089 14,713831 16,626629 18,788091 21,230542 23,990513 27,109279 30,633486 34,615839 39,115898

14 1,140000 1,299600 1,481544 1,688960 1,925415 2,194973 2,502269 2,852586 3,251949 3,707221 4,226232 4,817905 5,492411 6,261349 7,137938 8,137249 9,276464 10,575169 12,055693 13,743490 15,667578 17,861039 20,361585 23,212207 26,461916 30,166584 34,389906 39,204493 44,693122 50,950159

15 1,150000 1,322500 1,520875 1,749006 2,011357 2,313061 2,660020 3,059023 3,517876 4,045558 4,652391 5,350250 6,152788 7,075706 8,137062 9,357621 10,761264 12,375454 14,231772 16,366537 18,821518 21,644746 24,891458 28,625176 32,918953 37,856796 43,535315 50,065612 57,575454 66,211772

81

Prve tablice od 16 do 20 % n/r 16 17 18 19 20 1 1,160000 1,170000 1,180000 1,190000 1,200000 2 1,345600 1,368900 1,392400 1,416100 1,440000 3 1,560896 1,601613 1,643032 1,685159 1,728000 4 1,810639 1,873887 1,938778 2,005339 2,073600 5 2,100342 2,192448 2,287758 2,386354 2,488320 6 2,436396 2,565164 2,699554 2,839761 2,985984 7 2,826220 3,001242 3,185474 3,379315 3,583181 8 3,278415 3,511453 3,758859 4,021385 4,299817 9 3,802961 4,108400 4,435454 4,785449 5,159780 10 4,411435 4,806828 5,233836 5,694684 6,191736 11 5,117265 5,623989 6,175926 6,776674 7,430084 12 5,936027 6,580067 7,287593 8,064242 8,916100 13 6,885791 7,698679 8,599359 9,596448 10,699321 14 7,987518 9,007454 10,147244 11,419773 12,839185 15 9,265521 10,538721 11,973748 13,589530 15,407022 16 10,748004 12,330304 14,129023 16,171540 18,488426 17 12,467685 14,426456 16,672247 19,244133 22,186111 18 14,462514 16,878953 19,673251 22,900518 26,623333 19 16,776517 19,748375 23,214436 27,251616 31,948000 20 19,460759 23,105599 27,393035 32,429423 38,337600 21 22,574481 27,033551 32,323781 38,591014 46,005120 22 26,186398 31,629255 38,142061 45,923307 55,206144 23 30,376222 37,006228 45,007632 54,648735 66,247373 24 35,236417 43,297287 53,109006 65,031994 79,496847 25 40,874244 50,657826 62,668627 77,388073 95,396217 26 47,414123 59,269656 73,948980 92,091807 114,475460 27 55,000382 69,345497 87,259797 109,589251 137,370552 28 63,800444 81,134232 102,966560 130,411208 164,844662 29 74,008515 94,927051 121,500541 155,189338 197,813595 30 85,849877 111,064650 143,370638 184,675312 237,376314

82

Druge tablice od 1 do 5 % n/k 1 2 1 0,990099 0,980392 2 0,980296 0,961169 3 0,970590 0,942322 4 0,960980 0,923845 5 0,951466 0,905731 6 0,942045 0,887971 7 0,932718 0,870560 8 0,923483 0,853490 9 0,914340 0,836755 10 0,905287 0,820348 11 0,896324 0,804263 12 0,887449 0,788493 13 0,878663 0,773033 14 0,869963 0,757875 15 0,861349 0,743015 16 0,852821 0,728446 17 0,844377 0,714163 18 0,836017 0,700159 19 0,827740 0,686431 20 0,819544 0,672971 21 0,811430 0,659776 22 0,803396 0,646839 23 0,795442 0,634156 24 0,787566 0,621721 25 0,779768 0,609531 26 0,772048 0,597579 27 0,764404 0,585862 28 0,756836 0,574375 29 0,749342 0,563112 30 0,741923 0,552071

3 0,970874 0,942596 0,915142 0,888487 0,862609 0,837484 0,813092 0,789409 0,766417 0,744094 0,722421 0,701380 0,680951 0,661118 0,641862 0,623167 0,605016 0,587395 0,570286 0,553676 0,537549 0,521893 0,506692 0,491934 0,477606 0,463695 0,450189 0,437077 0,424346 0,411987

4 0,961538 0,924556 0,888996 0,854804 0,821927 0,790315 0,759918 0,730690 0,702587 0,675564 0,649581 0,624597 0,600574 0,577475 0,555265 0,533908 0,513373 0,493628 0,474642 0,456387 0,438834 0,421955 0,405726 0,390121 0,375117 0,360689 0,346817 0,333477 0,320651 0,308319

5 0,952381 0,907029 0,863838 0,822702 0,783526 0,746215 0,710681 0,676839 0,644609 0,613913 0,584679 0,556837 0,530321 0,505068 0,481017 0,458112 0,436297 0,415521 0,395734 0,376889 0,358942 0,341850 0,325571 0,310068 0,295303 0,281241 0,267848 0,255094 0,242946 0,231377

83

Druge tablice od 6 do 10 % n/k 6 7 1 0,943396 0,934579 2 0,889996 0,873439 3 0,839619 0,816298 4 0,792094 0,762895 5 0,747258 0,712986 6 0,704961 0,666342 7 0,665057 0,622750 8 0,627412 0,582009 9 0,591898 0,543934 10 0,558395 0,508349 11 0,526788 0,475093 12 0,496969 0,444012 13 0,468839 0,414964 14 0,442301 0,387817 15 0,417265 0,362446 16 0,393646 0,338735 17 0,371364 0,316574 18 0,350344 0,295864 19 0,330513 0,276508 20 0,311805 0,258419 21 0,294155 0,241513 22 0,277505 0,225713 23 0,261797 0,210947 24 0,246979 0,197147 25 0,232999 0,184249 26 0,219810 0,172195 27 0,207368 0,160930 28 0,195630 0,150402 29 0,184557 0,140563 30 0,174110 0,131367

84

8 0,925926 0,857339 0,793832 0,735030 0,680583 0,630170 0,583490 0,540269 0,500249 0,463193 0,428883 0,397114 0,367698 0,340461 0,315242 0,291890 0,270269 0,250249 0,231712 0,214548 0,198656 0,183941 0,170315 0,157699 0,146018 0,135202 0,125187 0,115914 0,107328 0,099377

9 0,917431 0,841680 0,772183 0,708425 0,649931 0,596267 0,547034 0,501866 0,460428 0,422411 0,387533 0,355535 0,326179 0,299246 0,274538 0,251870 0,231073 0,211994 0,194490 0,178431 0,163698 0,150182 0,137781 0,126405 0,115968 0,106393 0,097608 0,089548 0,082155 0,075371

10 0,909091 0,826446 0,751315 0,683013 0,620921 0,564474 0,513158 0,466507 0,424098 0,385543 0,350494 0,318631 0,289664 0,263331 0,239392 0,217629 0,197845 0,179859 0,163508 0,148644 0,135131 0,122846 0,111678 0,101526 0,092296 0,083905 0,076278 0,069343 0,063039 0,057309

Druge tablice od 11 do 15 % n/k 11 12 1 0,900901 0,892857 2 0,811622 0,797194 3 0,731191 0,711780 4 0,658731 0,635518 5 0,593451 0,567427 6 0,534641 0,506631 7 0,481658 0,452349 8 0,433926 0,403883 9 0,390925 0,360610 10 0,352184 0,321973 11 0,317283 0,287476 12 0,285841 0,256675 13 0,257514 0,229174 14 0,231995 0,204620 15 0,209004 0,182696 16 0,188292 0,163122 17 0,169633 0,145644 18 0,152822 0,130040 19 0,137678 0,116107 20 0,124034 0,103667 21 0,111742 0,092560 22 0,100669 0,082643 23 0,090693 0,073788 24 0,081705 0,065882 25 0,073608 0,058823 26 0,066314 0,052521 27 0,059742 0,046894 28 0,053822 0,041869 29 0,048488 0,037383 30 0,043683 0,033378

13 0,884956 0,783147 0,693050 0,613319 0,542760 0,480319 0,425061 0,376160 0,332885 0,294588 0,260698 0,230706 0,204165 0,180677 0,159891 0,141496 0,125218 0,110812 0,098064 0,086782 0,076798 0,067963 0,060144 0,053225 0,047102 0,041683 0,036888 0,032644 0,028889 0,025565

14 0,877193 0,769468 0,674972 0,592080 0,519369 0,455587 0,399637 0,350559 0,307508 0,269744 0,236617 0,207559 0,182069 0,159710 0,140096 0,122892 0,107800 0,094561 0,082948 0,072762 0,063826 0,055988 0,049112 0,043081 0,037790 0,033149 0,029078 0,025507 0,022375 0,019627

15 0,869565 0,756144 0,657516 0,571753 0,497177 0,432328 0,375937 0,326902 0,284262 0,247185 0,214943 0,186907 0,162528 0,141329 0,122894 0,106865 0,092926 0,080805 0,070265 0,061100 0,053131 0,046201 0,040174 0,034934 0,030378 0,026415 0,022970 0,019974 0,017369 0,015103

85

Druge tablice od 16 do 20 % n/r 16 17 1 0,862069 0,854701 2 0,743163 0,730514 3 0,640658 0,624371 4 0,552291 0,533650 5 0,476113 0,456111 6 0,410442 0,389839 7 0,353830 0,333195 8 0,305025 0,284782 9 0,262953 0,243404 10 0,226684 0,208037 11 0,195417 0,177810 12 0,168463 0,151974 13 0,145227 0,129892 14 0,125195 0,111019 15 0,107927 0,094888 16 0,093041 0,081101 17 0,080207 0,069317 18 0,069144 0,059245 19 0,059607 0,050637 20 0,051385 0,043280 21 0,044298 0,036991 22 0,038188 0,031616 23 0,032920 0,027022 24 0,028380 0,023096 25 0,024465 0,019740 26 0,021091 0,016872 27 0,018182 0,014421 28 0,015674 0,012325 29 0,013512 0,010534 30 0,011648 0,009004

86

18 0,847458 0,718184 0,608631 0,515789 0,437109 0,370432 0,313925 0,266038 0,225456 0,191064 0,161919 0,137220 0,116288 0,098549 0,083516 0,070776 0,059980 0,050830 0,043077 0,036506 0,030937 0,026218 0,022218 0,018829 0,015957 0,013523 0,011460 0,009712 0,008230 0,006975

19 0,840336 0,706165 0,593416 0,498669 0,419049 0,352142 0,295918 0,248671 0,208967 0,175602 0,147565 0,124004 0,104205 0,087567 0,073586 0,061837 0,051964 0,043667 0,036695 0,030836 0,025913 0,021775 0,018299 0,015377 0,012922 0,010859 0,009125 0,007668 0,006444 0,005415

20 0,833333 0,694444 0,578704 0,482253 0,401878 0,334898 0,279082 0,232568 0,193807 0,161506 0,134588 0,112157 0,093464 0,077887 0,064905 0,054088 0,045073 0,037561 0,031301 0,026084 0,021737 0,018114 0,015095 0,012579 0,010483 0,008735 0,007280 0,006066 0,005055 0,004213

Treće tablice od 1 do 5 % n/r 1 2 1 1,010000 1,020000 2 2,030100 2,060400 3 3,060401 3,121608 4 4,101005 4,204040 5 5,152015 5,308121 6 6,213535 6,434283 7 7,285671 7,582969 8 8,368527 8,754628 9 9,462213 9,949721 10 10,566835 11,168715 11 11,682503 12,412090 12 12,809328 13,680332 13 13,947421 14,973938 14 15,096896 16,293417 15 16,257864 17,639285 16 17,430443 19,012071 17 18,614748 20,412312 18 19,810895 21,840559 19 21,019004 23,297370 20 22,239194 24,783317 21 23,471586 26,298984 22 24,716302 27,844963 23 25,973465 29,421862 24 27,243200 31,030300 25 28,525631 32,670906 26 29,820888 34,344324 27 31,129097 36,051210 28 32,450388 37,792235 29 33,784892 39,568079 30 35,132740 41,379441

3 1,030000 2,090900 2,101475 4,309136 5,468410 4,331576 7,892336 9,159106 6,698178 11,807796 13,192030 14,617790 16,086324 17,598914 19,156881 20,761588 22,414435 24,116868 25,870374 27,676486 29,536780 31,452884 33,426470 35,459264 37,553042 39,709634 41,930923 44,218850 46,575416 49,002678

4 1,040000 2,121600 3,246464 4,416323 5,632975 6,898294 8,214226 9,582795 11,006107 12,486351 14,025805 15,626838 17,291911 19,023588 20,824531 22,697512 24,645413 26,671229 28,778079 30,969202 33,247970 35,617889 38,082604 40,645908 43,311745 46,084214 48,967583 51,966286 55,084938 58,328335

5 1,050000 2,152500 3,310125 4,525631 5,801913 7,142008 8,549109 10,026564 11,577893 13,206787 14,917127 16,712983 18,598632 20,578564 22,657492 24,840366 27,132385 29,539004 32,065954 34,719252 37,505214 40,430475 43,501999 46,727099 50,113454 53,669126 57,402583 61,322712 65,438848 69,760790

87

Treće tablice od 6 do 10 % n/k 6 7 8 9 10 1 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 2 2,183600 2,214900 2,246400 2,278100 2,310000 3 3,374616 3,439943 3,506112 3,573129 3,641000 4 4,637093 4,750739 4,866601 4,984711 5,105100 5 5,975319 6,153291 6,335929 6,523335 6,715610 6 7,393838 7,654021 7,922803 8,200435 8,487171 7 8,897468 9,259803 9,636628 10,028474 10,435888 8 10,491316 10,977989 11,487558 12,021036 12,579477 9 12,180795 12,816448 13,486562 14,192930 14,937425 10 13,971643 14,783599 15,645487 16,560293 17,531167 11 15,869941 16,888451 17,977126 19,140720 20,384284 12 17,882138 19,140643 20,495297 21,953385 23,522712 13 20,015066 21,550488 23,214920 25,019189 26,974983 14 22,275970 24,129022 26,152114 28,360916 30,772482 15 24,672528 26,888054 29,324283 32,003399 34,949730 16 27,212880 29,840217 32,750226 35,973705 39,544703 17 29,905653 32,999033 36,450244 40,301338 44,599173 18 32,759992 36,378965 40,446263 45,018458 50,159090 19 35,785591 39,995492 44,761964 50,160120 56,274999 20 38,992727 43,865177 49,422921 55,764530 63,002499 21 42,392290 48,005739 54,456755 61,873338 70,402749 22 45,995828 52,436141 59,893296 68,531939 78,543024 23 49,815577 57,176671 65,764759 75,789813 87,497327 24 53,864512 62,249038 72,105940 83,700896 97,347059 25 58,156383 67,676470 78,954415 92,323977 108,181765 26 62,705766 73,483823 86,350768 101,723135 120,099942 27 67,528112 79,697691 94,338830 111,968217 133,209936 28 72,639798 86,346529 102,965936 123,135356 147,630930 29 78,058186 93,460786 112,283211 135,307539 163,494023 30 83,801677 101,073041 122,345868 148,575217 180,943425

88

Treće tablice od 11 do 15 % n/k 11 12 1 1,110000 1,120000 2 2,342100 2,374400 3 3,709731 3,779328 4 5,227801 5,352847 5 6,912860 7,115189 6 8,783274 9,089012 7 10,859434 11,299693 8 13,163972 13,775656 9 15,722009 16,548735 10 18,561430 19,654583 11 21,713187 23,133133 12 25,211638 27,029109 13 29,094918 31,392602 14 33,405359 36,279715 15 38,189948 41,753280 16 43,500843 47,883674 17 49,395936 54,749715 18 55,939488 62,439681 19 63,202832 71,052442 20 71,265144 80,698736 21 80,214309 91,502584 22 90,147884 103,602894 23 101,174151 117,155241 24 113,413307 132,333870 25 126,998771 149,333934 26 142,078636 168,374007 27 158,817286 189,698887 28 177,397187 213,582754 29 198,020878 240,332684 30 220,913174 270,292606

13 1,130000 2,406900 0,384980 5,480271 0,732271 9,404658 1,175726 14,415707 1,741975 20,814317 2,465018 28,984701 3,388271 39,417464 4,567173 52,739060 6,072514 69,749406 7,994683 91,469917 10,449101 119,204837 13,583147 154,619556 17,585010 199,840611 22,694989 257,583376 29,219922 331,315113

14 0,140000 2,439600 3,921144 5,610104 7,535519 9,730491 12,232760 15,085347 18,337295 22,044516 26,270749 31,088654 36,581065 42,842414 49,980352 58,117601 67,394066 77,969235 90,024928 103,768418 119,435996 137,297035 157,658620 180,870827 207,332743 237,499327 271,889233 311,093725 355,786847 406,737006

15 1,150000 2,472500 3,993375 5,742381 7,753738 10,066799 12,726819 15,785842 19,303718 23,349276 28,001667 33,351917 39,504705 46,580411 54,717472 64,075093 74,836357 87,211811 101,443583 117,810120 136,631638 158,276384 183,167841 211,793017 244,711970 282,568766 326,104080 376,169693 433,745146 499,956918

89

Treće tablice od 16 do20% 16 17 1,160000 1,170000 2,505600 2,538900 4,066496 3,860284 5,877135 6,014400 7,977477 7,572940 10,413873 10,772012 13,240093 12,568689 16,518508 17,284708 20,321469 19,290969 24,732904 26,199937 29,850169 28,336469 35,786196 38,403993 42,671987 40,508094 50,659505 55,110126 59,925026 56,886232 70,673030 77,979152 83,140715 78,924655 97,603230 109,284561 114,379747 108,579557 133,840506 152,138535 156,414987 148,483193 182,601385 210,801341 212,977607 202,177525 248,214024 291,104856 289,088267 274,428619 336,502390 401,032337 391,502773 371,649691 455,303216 551,512066 529,311731 502,470365 615,161608 757,503768

90

18 19 20 1,180000 1,190000 1,200000 2,572400 2,606100 2,640000 4,215432 4,291259 4,368000 6,154210 6,296598 6,441600 8,441968 8,682952 8,929920 11,141522 11,522713 11,915904 14,326996 14,902028 15,499085 18,085855 18,923413 19,798902 22,521309 23,708862 24,958682 27,755144 29,403546 31,150419 33,931070 36,180220 38,580502 41,218663 44,244461 47,496603 49,818022 53,840909 58,195923 59,965266 65,260682 71,035108 71,939014 78,850211 86,442129 86,068036 95,021751 104,930555 102,740283 114,265884 127,116666 122,413534 137,166402 153,740000 145,627970 164,418018 185,688000 173,021005 196,847442 224,025600 205,344785 235,438456 270,030719 243,486847 281,361762 325,236863 288,494479 336,010497 391,484236 341,603486 401,042491 470,981083 404,272113 478,430565 566,377300 478,221093 570,522372 680,852760 565,480890 680,111623 818,223312 668,447450 810,522831 983,067974 789,947991 965,712169 1180,881569 933,318630 1150,387481 1418,257883

Četvrte tablice od 1 do 5 % n/r 1 2 1 0,990099 0,980392 2 1,970395 1,941561 3 2,940985 2,883883 4 3,901966 3,807729 5 4,853431 4,713460 6 5,795476 5,601431 7 6,728195 6,471991 8 7,651678 7,325481 9 8,566018 8,162237 10 9,471305 8,982585 11 10,367628 9,786848 12 11,255077 10,575341 13 12,133740 11,348374 14 13,003703 12,106249 15 13,865053 12,849264 16 14,717874 13,577709 17 15,562251 14,291872 18 16,398269 14,992031 19 17,226008 15,678462 20 18,045553 16,351433 21 18,856983 17,011209 22 19,660379 17,658048 23 20,455821 18,292204 24 21,243387 18,913926 25 22,023156 19,523456 26 22,795204 20,121036 27 23,559608 20,706898 28 24,316443 21,281272 29 25,065785 21,844385 30 25,807708 22,396456

3 0,970874 1,913470 1,867133 3,717098 4,579707 3,521968 6,230283 7,019692 4,984074 8,530203 9,252624 9,954004 10,634955 11,296073 11,937935 12,561102 13,166118 13,753513 14,323799 14,877475 15,415024 15,936917 16,443608 16,935542 17,413148 17,876842 18,327031 18,764108 19,188455 19,600441

4 0,961538 1,886095 2,775091 3,629895 4,451822 5,242137 6,002055 6,732745 7,435332 8,110896 8,760477 9,385074 9,985648 10,563123 11,118387 11,652296 12,165669 12,659297 13,133939 13,590326 14,029160 14,451115 14,856842 15,246963 15,622080 15,982769 16,329586 16,663063 16,983715 17,292033

5 0,952381 1,859410 2,723248 3,545951 4,329477 5,075692 5,786373 6,463213 7,107822 7,721735 8,306414 8,863252 9,393573 9,898641 10,379658 10,837770 11,274066 11,689587 12,085321 12,462210 12,821153 13,163003 13,488574 13,798642 14,093945 14,375185 14,643034 14,898127 15,141074 15,372451

91

Četvrte tablice 0d 6 do 10 % n/k 6 7 1 0,943396 0,934579 2 1,833393 1,808018 3 2,673012 2,624316 4 3,465106 3,387211 5 4,212364 4,100197 6 4,917324 4,766540 7 5,582381 5,389289 8 6,209794 5,971299 9 6,801692 6,515232 10 7,360087 7,023582 11 7,886875 7,498674 12 8,383844 7,942686 13 8,852683 8,357651 14 9,294984 8,745468 15 9,712249 9,107914 16 10,105895 9,446649 17 10,477260 9,763223 18 10,827603 10,059087 19 11,158116 10,335595 20 11,469921 10,594014 21 11,764077 10,835527 22 12,041582 11,061240 23 12,303379 11,272187 24 12,550358 11,469334 25 12,783356 11,653583 26 13,003166 11,825779 27 13,210534 11,986709 28 13,406164 12,137111 29 13,590721 12,277674 30 13,764831 12,409041

92

8 0,925926 1,783265 2,577097 3,312127 3,992710 4,622880 5,206370 5,746639 6,246888 6,710081 7,138964 7,536078 7,903776 8,244237 8,559479 8,851369 9,121638 9,371887 9,603599 9,818147 10,016803 10,200744 10,371059 10,528758 10,674776 10,809978 10,935165 11,051078 11,158406 11,257783

9 0,917431 1,759111 2,531295 3,239720 3,889651 4,485919 5,032953 5,534819 5,995247 6,417658 6,805191 7,160725 7,486904 7,786150 8,060688 8,312558 8,543631 8,755625 8,950115 9,128546 9,292244 9,442425 9,580207 9,706612 9,822580 9,928972 10,026580 10,116128 10,198283 10,273654

10 0,909091 1,735537 2,486852 3,169865 3,790787 4,355261 4,868419 5,334926 5,759024 6,144567 6,495061 6,813692 7,103356 7,366687 7,606080 7,823709 8,021553 8,201412 8,364920 8,513564 8,648694 8,771540 8,883218 8,984744 9,077040 9,160945 9,237223 9,306567 9,369606 9,426914

Četvrte tablice od 11 do 15 % n/k 11 12 1 0,900901 0,892857 2 1,712523 1,690051 3 2,443715 2,401831 4 3,102446 3,037349 5 3,695897 3,604776 6 4,230538 4,111407 7 4,712196 4,563757 8 5,146123 4,967640 9 5,537048 5,328250 10 5,889232 5,650223 11 6,206515 5,937699 12 6,492356 6,194374 13 6,749870 6,423548 14 6,981865 6,628168 15 7,190870 6,810864 16 7,379162 6,973986 17 7,548794 7,119630 18 7,701617 7,249670 19 7,839294 7,365777 20 7,963328 7,469444 21 8,075070 7,562003 22 8,175739 7,644646 23 8,266432 7,718434 24 8,348137 7,784316 25 8,421745 7,843139 26 8,488058 7,895660 27 8,547800 7,942554 28 8,601622 7,984423 29 8,650110 8,021806 30 8,693793 8,055184

13 0,884956 1,668102 0,236115 2,974471 0,351723 3,997550 0,442261 4,798770 0,513166 5,426243 0,568694 5,917647 0,612181 6,302488 0,646238 6,603875 0,672909 6,839905 0,693797 7,024752 0,710155 7,169513 0,722966 7,282883 0,732998 7,371668 0,740856 7,441200 0,747009 7,495653

14 0,877193 1,646661 2,321632 2,913712 3,433081 3,888668 4,288305 4,638864 4,946372 5,216116 5,452733 5,660292 5,842362 6,002072 6,142168 6,265060 6,372859 6,467420 6,550369 6,623131 6,686957 6,742944 6,792056 6,835137 6,872927 6,906077 6,935155 6,960662 6,983037 7,002664

15 0,869565 1,625709 2,283225 2,854978 3,352155 3,784483 4,160420 4,487322 4,771584 5,018769 5,233712 5,420619 5,583147 5,724476 5,847370 5,954235 6,047161 6,127966 6,198231 6,259331 6,312462 6,358663 6,398837 6,433771 6,464149 6,490564 6,513534 6,533508 6,550877 6,565980

93

Četvrte tablice od 16 do 20 % n/k 16 17 1 0,862069 0,854701 2 1,605232 1,585214 3 2,245890 2,060041 4 2,798181 2,743235 5 3,274294 2,952224 6 3,684736 3,589185 7 4,038565 3,579341 8 4,343591 4,207163 9 4,606544 4,013243 10 4,833227 4,658604 11 5,028644 4,306410 12 5,197107 4,988387 13 5,342334 4,497175 14 5,467529 5,229299 15 5,575456 4,613530 16 5,668497 5,405288 17 5,748704 4,675921 18 5,817848 5,533851 19 5,877455 4,699275 20 5,928841 5,627767 21 5,973139 4,694489 22 6,011326 5,696375 23 6,044247 4,669520 24 6,072627 5,746493 25 6,097092 4,630171 26 6,118183 5,783106 27 6,136364 4,580677 28 6,152038 5,809851 29 6,165550 4,524125 30 6,177198 5,829390

94

18 0,847458 1,565642 2,174273 2,690062 3,127171 3,497603 3,811528 4,077566 4,303022 4,494086 4,656005 4,793225 4,909513 5,008062 5,091578 5,162354 5,222334 5,273164 5,316241 5,352746 5,383683 5,409901 5,432120 5,450949 5,466906 5,480429 5,491889 5,501601 5,509831 5,516806

19 0,840336 1,546501 2,139917 2,638586 3,057635 3,409777 3,705695 3,954366 4,163332 4,338935 4,486500 4,610504 4,714709 4,802277 4,875863 4,937700 4,989664 5,033331 5,070026 5,100862 5,126775 5,148550 5,166849 5,182226 5,195148 5,206007 5,215132 5,222800 5,229243 5,234658

20 0,833333 1,527778 2,106481 2,588735 2,990612 3,325510 3,604592 3,837160 4,030967 4,192472 4,327060 4,439217 4,532681 4,610567 4,675473 4,729561 4,774634 4,812195 4,843496 4,869580 4,891316 4,909430 4,924525 4,937104 4,947587 4,956323 4,963602 4,969668 4,974724 4,978936

Pete tablice od 1 do 5 % n/k 1 2 1 1,010000 1,020000 2 0,507512 0,515050 3 0,340022 0,346755 4 0,256281 0,262624 5 0,206040 0,212158 6 0,172548 0,178526 7 0,148628 0,154512 8 0,130690 0,136510 9 0,116740 0,122515 10 0,105582 0,111327 11 0,096454 0,102178 12 0,088849 0,094560 13 0,082415 0,088118 14 0,076901 0,082602 15 0,072124 0,077825 16 0,067945 0,073650 17 0,064258 0,069970 18 0,060982 0,066702 19 0,058052 0,063782 20 0,055415 0,061157 21 0,053031 0,058785 22 0,050864 0,056631 23 0,048886 0,054668 24 0,047073 0,052871 25 0,045407 0,051220 26 0,043869 0,049699 27 0,042446 0,048293 28 0,041124 0,046990 29 0,039895 0,045778 30 0,038748 0,044650

3 1,030000 0,522611 0,535580 0,269027 0,218355 0,283932 0,160506 0,142456 0,200639 0,117231 0,108077 0,100462 0,094030 0,088526 0,083767 0,079611 0,075953 0,072709 0,069814 0,067216 0,064872 0,062747 0,060814 0,059047 0,057428 0,055938 0,054564 0,053293 0,052115 0,051019

4 1,040000 0,530196 0,360349 0,275490 0,224627 0,190762 0,166610 0,148528 0,134493 0,123291 0,114149 0,106552 0,100144 0,094669 0,089941 0,085820 0,082199 0,078993 0,076139 0,073582 0,071280 0,069199 0,067309 0,065587 0,064012 0,062567 0,061239 0,060013 0,058880 0,057830

5 1,050000 0,537805 0,367209 0,282012 0,230975 0,197017 0,172820 0,154722 0,140690 0,129505 0,120389 0,112825 0,106456 0,101024 0,096342 0,092270 0,088699 0,085546 0,082745 0,080243 0,077996 0,075971 0,074137 0,072471 0,070952 0,069564 0,068292 0,067123 0,066046 0,065051

95

Pete tablice od 6 do 10 % n/k 6 7 1 1,060000 1,070000 2 0,545437 0,553092 3 0,374110 0,381052 4 0,288591 0,295228 5 0,237396 0,243891 6 0,203363 0,209796 7 0,179135 0,185553 8 0,161036 0,167468 9 0,147022 0,153486 10 0,135868 0,142378 11 0,126793 0,133357 12 0,119277 0,125902 13 0,112960 0,119651 14 0,107585 0,114345 15 0,102963 0,109795 16 0,098952 0,105858 17 0,095445 0,102425 18 0,092357 0,099413 19 0,089621 0,096753 20 0,087185 0,094393 21 0,085005 0,092289 22 0,083046 0,090406 23 0,081278 0,088714 24 0,079679 0,087189 25 0,078227 0,085811 26 0,076904 0,084561 27 0,075697 0,083426 28 0,074593 0,082392 29 0,073580 0,081449 30 0,072649 0,080586

96

8 1,080000 0,560769 0,388034 0,301921 0,250456 0,216315 0,192072 0,174015 0,160080 0,149029 0,140076 0,132695 0,126522 0,121297 0,116830 0,112977 0,109629 0,106702 0,104128 0,101852 0,099832 0,098032 0,096422 0,094978 0,093679 0,092507 0,091448 0,090489 0,089619 0,088827

9 1,090000 0,568469 0,395055 0,308669 0,257092 0,222920 0,198691 0,180674 0,166799 0,155820 0,146947 0,139651 0,133567 0,128433 0,124059 0,120300 0,117046 0,114212 0,111730 0,109546 0,107617 0,105905 0,104382 0,103023 0,101806 0,100715 0,099735 0,098852 0,098056 0,097336

10 1,100000 0,576190 0,402115 0,315471 0,263797 0,229607 0,205405 0,187444 0,173641 0,162745 0,153963 0,146763 0,140779 0,135746 0,131474 0,127817 0,124664 0,121930 0,119547 0,117460 0,115624 0,114005 0,112572 0,111300 0,110168 0,109159 0,108258 0,107451 0,106728 0,106079

Pete tablice od 11 do 15 % n/k 11 12 1 1,110000 1,120000 2 0,583934 0,591698 3 0,409213 0,416349 4 0,322326 0,329234 5 0,270570 0,277410 6 0,236377 0,243226 7 0,212215 0,219118 8 0,194321 0,201303 9 0,180602 0,187679 10 0,169801 0,176984 11 0,161121 0,168415 12 0,154027 0,161437 13 0,148151 0,155677 14 0,143228 0,150871 15 0,139065 0,146824 16 0,135517 0,143390 17 0,132471 0,140457 18 0,129843 0,137937 19 0,127563 0,135763 20 0,125576 0,133879 21 0,123838 0,132240 22 0,122313 0,130811 23 0,120971 0,129560 24 0,119787 0,128463 25 0,118740 0,127500 26 0,117813 0,126652 27 0,116989 0,125904 28 0,116257 0,125244 29 0,115605 0,124660 30 0,115025 0,124144

13 1,130000 0,599484 4,235220 0,336194 2,843145 0,250153 2,261108 0,208387 1,948689 0,184290 1,758415 0,168986 1,633503 0,158667 1,547418 0,151426 1,486084 0,146201 1,441344 0,142354 1,408143 0,139479 1,383191 0,137308 1,364259 0,135655 1,349791 0,134387 1,338672 0,133411

14 1,140000 0,607290 0,021739 0,343205 0,021739 0,257157 0,021739 0,215570 0,021739 0,191714 0,021739 0,176669 0,021739 0,166609 0,021739 0,159615 0,021739 0,154621 0,021739 0,150986 0,021739 0,148303 0,021739 0,146303 0,021739 0,144800 0,021739 0,143664 0,021739 0,142803

15 1,150000 0,615116 0,021739 0,350265 0,021739 0,264237 0,021739 0,222850 0,021739 0,199252 0,021739 0,184481 0,021739 0,174688 0,021739 0,167948 0,021739 0,163186 0,021739 0,159761 0,021739 0,157266 0,021739 0,155430 0,021739 0,154070 0,021739 0,153057 0,021739 0,152300

97

Pete tablice od 16 do 20 % n/k 16 17 1 1,160000 1,170000 2 0,622963 0,630829 3 0,445258 0,485427 4 0,357375 0,364533 5 0,305409 0,338728 6 0,271390 0,278615 7 0,247613 0,279381 8 0,230224 0,237690 9 0,217082 0,249175 10 0,206901 0,214657 11 0,198861 0,232212 12 0,192415 0,200466 13 0,187184 0,222362 14 0,182898 0,191230 15 0,179358 0,216754 16 0,176414 0,185004 17 0,173952 0,213862 18 0,171885 0,180706 19 0,170142 0,212799 20 0,168667 0,177690 21 0,167416 0,213016 22 0,166353 0,175550 23 0,165447 0,214155 24 0,164673 0,174019 25 0,164013 0,215975 26 0,163447 0,172917 27 0,162963 0,218308 28 0,162548 0,172121 29 0,162192 0,221037 30 0,161886 0,171545

98

18 1,180000 0,638716 0,459924 0,371739 0,319778 0,285910 0,262362 0,245244 0,232395 0,222515 0,214776 0,208628 0,203686 0,199678 0,196403 0,193710 0,191485 0,189639 0,188103 0,186820 0,185746 0,184846 0,184090 0,183454 0,182919 0,182467 0,182087 0,181765 0,181494 0,181264

19 1,190000 0,646621 0,467308 0,378991 0,327050 0,293274 0,269855 0,252885 0,240192 0,230471 0,222891 0,216896 0,212102 0,208235 0,205092 0,202523 0,200414 0,198676 0,197238 0,196045 0,195054 0,194229 0,193542 0,192967 0,192487 0,192086 0,191750 0,191468 0,191232 0,191034

20 1,200000 0,654545 0,474725 0,386289 0,334380 0,300706 0,277424 0,260609 0,248079 0,238523 0,231104 0,225265 0,220620 0,216893 0,213882 0,211436 0,209440 0,207805 0,206462 0,205357 0,204444 0,203690 0,203065 0,202548 0,202119 0,201762 0,201467 0,201221 0,201016 0,200846

ZAKLJUČAK: U ovoj skripti sam se najviše bavio bankarstvom i bankarskim poslovima tako da se postavilo pitanje koji metod obračuna kamata primjenjivati u radu sa klijentima da bi se postigli optimalni rezulatati sa stanovišta što bolje zarade ili boljeg poslovanja banke. Jos davno je utvrdjeno da nam je potrebno oko 1/3 sredstava da uvijek imamo u banci da bi banka dobro poslovala. Da li se to pravilo može primjeniti u današnje vrijeme ostalo je otvoreno pitanje. Osim toga centralna banka BiH je propisala da je procenat novčanih rezervi sada 15%. Taj procenat je bio i manji tj. 10%, dok je neposredno poslije rata bio 5%. Poznato je da sa stanovišta banke da ona dobija najviše kamate ako se obračun kamata vrši prostim kamatnim računom. To je kamatni račun u kojem je svaka otplata ista te se na nju dodaje pripadajući dio kamate za taj period i isplaćuje banci u vidu anuiteta tako da se anuiteti vremenom smanjuju dok se ne isplati čitav zajam. Međutim pošto ovaj model zahtjeva puno računanja boljim se pokazao metod amortizacije zajma jednakim anuitetima radi uprošćavanja i kontrole samog poslovanja banke. Ovaj model se najviše koristi u modernom bankarstvu. Metod amortizacije zajma u uslovima inflacije se ne upotrebljava nigdje, i ima više teoretski karakter. Ja sam samo želio da ponudim ekonomskoj teoriji jedan od mogućih modela revalorizacije zajmova ako bi se ponovo pojavila inflacija bilo gdje u svijetu i ako opet ona dosegne veliku stopu jer tada dolazi puno do obezvrjeđivanja novca. Koji je to procenat inflacije kada bi banka vršila revalorizaciju zajma treba naknadno utvrditi. Da li je to stopa od 15% koliko iznose obavezne rezerve banke ili 1/3 od ukupnih novčanih sredstava? Samo je jedno bitno, a to je, da je uvijek potrebno imati nešto novca u rezervi kako bi se zaradilo (npr. na arbitraži deviza ili kupovini efekata ). Dobar ekonomista ce znati kako da zaradi najmanje 10%, a ponekad i 30 % godisnje na arbitrazi deviza. Kako će koja banka poslovati niko ne može predvidjeti, jer se ponekad prevare i vrhunski ekonomski stručnjaci. Osim toga ne kaze se džaba da "za to treba imati nos" i isto tako da svaki ekonomista treba da prati privredna kretanja jer koji to ne radi on će ,kako reče moj profesor privredne i finansijske matematike, postati ubrzo "mrtav" ekonomista. Poznato je i to da se banke u razvijenom svijetu udružuju i posuđuju jedna od druge novac o čemu ćete čitati malo više u dijelu intervjua sa Peterom Nicolom na zadnjoj stranici ove knjige. Uostalom iako se nekome odobri kredit treba od njega tražiti da u pristojnom roku vrati taj kredit tj i otplatu i kamatu. ako to nije u mogućnosti da vrati bar kamatu na kredit ili isplati dividendu , pa ako i to ne može onda taj poslodavac mora sa svojim poduzećem pod stečaj.

99

dnevni časopis „ Dnevni avaz“ izdanje 15. juni 2005.god Dio intervjua: Peter Nicol, bivši guverner Centralne

banke BiH Davno je trebalo razviti tržište vrijednosnih papira Prednost će imati domaće komercijalne banke ● Od uvođenja tržišta vrijednosnim papirima koristi bi imali svi ● Može doći do zloupotreba Razgovarao Edis MESIHOVIĆ Poslovni krugovi u BiH, ali i u svijetu, već dugo čekaju usvajanje zakona o dugu i garancijama države BiH, što praktično znači i uvođenje tržišta vrijednosnim papirima. Mnogi smatraju da njegovo usvajanje traje neopravdano dugo. BiH je, zbog toga, od lidera u konsolidaciji financijskog tržišta došla na začelje regionu jer su takve zakon već usvojile Slovenija, Hrvatska, Srbija i Makedonija. Bivši guverner Centralne banke BiH Peter Nicol o tome kaže da su u početku bili otpori u međunarodnim krugovima u BiH, ali da je sada situacija drugačija.

□ Kad zakon bude usvojen, koliko će trajati tehnička priprema za njegovo uvođenje u praksu? S tehničke strane , mislim da bismo s poslovanjem vrijednosnim papirima mogli početi krajem ove godine. Instrumenti za to već postoje, imamo registre koje ćemo iskoristiti i uvezati, a isto tako se tržište može odvijati preko burzi u BiH, postoji samo jedan dodatni element, način na koji se izdaju vrijednosni papiri. Za državu agent će biti Centralna banka , a to može činiti i za entitet ako je oni izaberu za svog agenta. Međutim, oni to mogu obavljati i sami. Banke imaju interes □ Koliko su komercijalne banke u BiH zainteresirane za vrijednosne papire, pogotovu u odnosnu na kritizirano deponovanje viška novca u inostranstvo? Poslovne banke jako podržavaju razvoj ovog tržište, jer nemaju puno alternativa za držanje svojih kratkoročnih sredstava. Imaju dvije mogućnosti: da ta sredstva deponuju u Centralnu banku, koja daje jedan posto kamate, ili da se taj novac iznese iz države uz veću kamatu. Smatram da će banka iskoristiti priliku i uložiti svoja kratkoročna sredstava u BiH i ostvariti bolju dobit. Mislim poticati razvoj međubankarskog tržišta, jer u većini zemalja vrijednosni papiri služe kao garancija, kolateral kada banke pozajmljuju na tržištu jedna od druge. Tu prednost imat će domaće komercijalne banke, iako se u posao mogu uključiti i strane banke □ Postoji li mogućnost zloupotrebe vrijednosnih papira od vlada, odnosno da one njihovim plasiranjem pokrivaju svoju neefikasnost? Naravno, tržište vrijednosnih papira uvijek se može zloupotrijebiti na taj način što bi vlada mogla izdati više vrijednosnica nego sto je realno. Ali, postoje dvije stvari koje mogu ograničiti manipulaciju. Prvo je samo tržište jer, na primjer , niko neće kupovati te vrijednosne papire. Postoji i druga brana na kojoj insistira međunarodna zajednica, a to je značajno ograničenje količine vrijednosnih papira koji se mogu plasirati na tržište.