Matrices Proyecto Gustavo

1. INTRODUCCION

La gran diversidad de necesidades de los ingenieros, en cada uno de los ámbitos requiere emplear técnicas y métodos matemáticos que den una solución rápida y exacta. Una de las herramientas que ha tenido gran aplicación son las matrices, las cuales nos dan una solución óptima a un sistema de ecuaciones lineales previamente obtenidas del planteamiento de un problema. En el siguiente proyecto resaltamos la importancia de las matrices en el campo de la industria. En investigaciones de diferentes tipos se ha demostrado que el estudio de las matrices es útil para obtener los costos y utilidades de negocio. Por este motivo nos proponemos estudiar dicho tema. El presente trabajo muestra un caso práctico relacionado a determinar los costos y utilidades producidos por un restaurante. Para dar solución a nuestro problema, se hará uso de la aplicación de matrices como un sistema lineal; demostrando así su útil aplicación para resolver este problema.

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

1

2.

INDICE:

RESUMEN: ..................................................................................................................................... 3 PROBLEMÁTICA ............................................................................................................................. 4 OBJETIVOS ..................................................................................................................................... 4 HIPÓTESIS: ..................................................................................................................................... 5 MARCO TEÓRICO ........................................................................................................................... 5 Elaboración de gráficos ................................................................................................................ 17 Toma de datos ............................................................................................................................. 18 CONCLUSIONES:........................................................................................................................... 22 RECOMENDACIONES: ................................................................................................................... 24 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS..................................................................................................... 24 ANEXO 1 ...................................................................................................................................... 25

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

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RESUMEN:  El presente trabajo se desarrolla en la empresa “CALDOS JESS”, dedicada a la elaboración de platos de comida. El 8 de octubre del presente año se llevó a cabo una actividad de confraternidad para las empresas de servicio de transporte público, las cuales son: Ícaro S.A, Nuevo California S.A, Los Girasoles S.A. y Esperanza Express S.A.A, de manera que las utilidades de dicha empresa incrementaron. Para ello se realiza un diagnostico matricial de la situación actual de la empresa en base a sus costos de producción y sus ventas totales. Los resultados que se lograron son la identificación de las ganancias del restaurante. 

Pequeña Historia del restaurante “CALDOS JESS”: Comenzó en Abril del 2003, en una pequeña carreta, con el nombre de “JOSMAL”; el cual funcionó solo por 2 años, debido a las bajas utilidades que se obtuvo. Debido a ello la señora, Judith Jessica Martínez Luna (dueña, cocinera y administradora) decidió emprender un próspero negocio en la Av. Nicolas de Pierola #1500 Urbanización Mochica, Trujillo, con N° de R.U.C. 10182113455. Gracias a su esfuerzo salió adelante junto con su familia. Contando con la ayuda de sus hijos, Jordan Jesus Ormeño Martinez y Stacy Cedron Martínez (ayudantes de cocina), y el señor Marcos Calderón Ruiz como administrador.

Como grupo realizamos un análisis de gastos y ventas del restaurante “CALDOS JESS” Para este análisis hemos tenido que visitar el restaurante durante algunos días para la investigación de datos. Por consiguiente, el restaurante “CALDOS JESS “nos proporcionó información acerca del evento realizado para las empresas de transporte público, para lo cual 4 empresas habían solicitado sus servicios (Ícaro S.A, Nuevo California S.A, Los Girasoles S.A. y Esperanza Express S.A.A). Los días en los que hemos ido a visitar el restaurante son los día miércoles 22 y el día jueves 23.

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PROBLEMÁTICA En un restaurante se ofrece diversos platillos, cada platillo tiene un precio pre-establecido. En estas fechas, la empresa “CALDOS JESS” ha recibido las llamadas de 4 diferentes empresas, las cuales solicitaron los servicios de dicho restaurante para proporcionarles un almuerzo. Sabiendo que por cada plato se tiene un costo y se desea obtener utilidades. ¿Cuáles son las perdidas y las ganancias de elaborar dichos pedidos? 

FORMULACION DEL PROBLEMA:

¿Cuáles son los costos que tendrá la empresa para poder cubrir dicho pedido?, Según el precio que se está vendiendo ¿Cuáles serían las utilidades? Para que sus clientes estén satisfechos y no cambien de servicio.

OBJETIVOS GENERAL: 

Calcular los costos de la empresa “CALDOS JESS” aplicando operaciones básicas con matrices para poder determinar si se obtiene utilidades.

ESPECÍFICOS: 

Ordenar los datos en forma matricial y calcular las ganancias o pérdidas utilizando las operaciones con matrices e interpretando los resultados.

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

Demostrar atreves del uso de métodos de solución de matrices el análisis indispensables que debe tener la empresa para no tener pérdidas.



Usar las funciones básicas de sustracción, multiplicación en las matrices.

HIPÓTESIS: Aplicando matrices, lograremos conocer los costos de la empresa, así se conocerá si se obtienen o no utilidades. Y si sus clientes estarán satisfechos con el servicio que se les brindo.

MARCO TEÓRICO HISTORIA DE LAS MATRICES: El primero en usar el término “matriz” fue el matemático inglés James Joseph Sylvester (1814-1897) en 1850, quien definió una matriz como un “oblong arrangement of terms” (arreglo cuadrilongo de términos). A su regreso a Inglaterra en 1851, luego de un periodo migratorio en América, Sylvester establece contacto con Cayley, un joven abogado quien compartía su interés por la Matemática y que pronto se dedicaría exclusivamente a ella. Cayley rápidamente entendería la importancia del concepto de matriz y por el año de 1853 publica una nota en donde aparece por vez primera la inversa de una matriz .Más tarde, en 1858, publica su Memory on the theory of matrices, la cual contiene la primera definición abstracta de matriz y donde se muestra que los arreglos de coeficientes estudiados anteriormente para las formas cuadráticas y las transformaciones lineales son casos especiales de este concepto general. Asimismo, Cayley desarrolla el álgebra matricial definiendo las operaciones básicas de suma, multiplicación y multiplicación por escalares, así como la inversa de una matriz invertible, junto con una construcción de la inversa de una matriz invertible en términos de su determinante y prueba que, en el caso de matrices 2 × 2, una matriz satisface TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

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su propia ecuación característica. Además, señala que tiene chequeado este resultado para matrices 3×3, indicando su demostración, pero afirma: "No he creído necesario para llevar a cabo el trabajo de una demostración formal del teorema en el caso general de una matriz de cualquier grado”. En 1870, el matemático francés Camille Jordan (1838-1922) publica su Trait´e des substitutions et des équations algébriques , en donde estudia una forma canónica para sustituciones lineales sobre cuerpos finitos de orden primo. En este contexto aparece por vez primera lo que hoy conocemos como la forma canónica de Jordan. Arthur Cayley es considerado como el fundador de la teoría de matrices, aunque históricamente fueron los maten áticos chinos los pioneros en esta materia y el término matriz es debido a Sylvester. Uno de los principales méritos de Cayley fue la introducción de las operaciones básicas de suma y multiplicación de matrices, aunque indicios de estas ya aparecen en trabajos anteriores de Euler, Lagrange y Gauss. Cayley probó además que la multiplicación de matrices es asociativa e introduce las potencias de una matriz, así como las matrices simétricas y antisimétricas. Por tanto, siendo fiel a la Historia de la Matemática, Cayley merece ser considerado como el fundador del álgebra de matrices.

Matrices: La determinación de formas para describir situaciones en matemáticas y en economía, conduce al estudio de arreglos rectangulares de números. Por ejemplo, considere el sistema de ecuaciones lineales

3𝑋 [2𝑋 9𝑋

+4𝑌 +𝑌 −6𝑌

+3𝑍 0 −𝑍 0 ] +2𝑍 0

Según Carlos Orihuela Romero (2008, p23) “Si se organiza esta notación, y se mantienen las x en la primera columna, las y en la segunda columna, etcétera; entonces lo que caracteriza a este sistema son los coeficientes numéricos en las ecuaciones, junto con sus posiciones relativas”. Por esta razón, el sistema puede describirse mediante los arreglos rectangulares TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

6

PRODUCTO A MANO DE 10 OBRA MATERIAL 5

3 [2 9

4 4 −6

B

C

12

16

9

7

3 −1] 2

y

0 [0 ] 0

Uno para cada lado de las ecuaciones, cada arreglo se llama matriz (en plural: matrices). Tales arreglos rectangulares se consideran objetos en sí mismos; se acostumbra encerrarlos entre corchetes, y también es común que se utilicen paréntesis. En la representación simbólica de matrices se usarán letras mayúsculas en negritas como A, B, C, etcétera. Según Rafael Robles Arias (2006, P24) “En economía, a menudo resulta conveniente utilizar matrices para formular problemas y desplegar datos.” Por ejemplo, un fabricante que manufactura los productos A, B y C, podría representar las unidades de mano de obra y material necesarios en una semana de producción de estos artículos, como se muestra en la tabla 6.1. De manera más sencilla, estos datos pueden representarse por medio de la matriz

10 A=[ 5

12 9

16 ] 7

Los renglones de una matriz están numerados de manera consecutiva de arriba hacia abajo, y las columnas están numeradas en forma consecutiva de izquierda a derecha. Para la matriz A anterior, se tiene

10 5

A=[

12 19

16 ] 7

Como A tiene dos renglones y tres columnas, se dice que A tiene tamaño 2X3 (se lee “2 por 3”), donde se especifica primero el número de renglones. De manera similar, las matrices TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

7

1 [ B= 5 −3

6 1 5

−2 −4] 0

1 [ C= −3 7

2 4] −8

Tienen tamaños 3x3 y 4x2, respectivamente. Los números de una matriz se conocen como entradas. Para denotar las entradas arbitrarias de una matriz, por ejemplo una de tamaño 2x3, existen dos métodos comunes. Primero, pueden utilizarse letras diferentes:

[

𝑎 𝑑

𝑏 𝑒

𝑐 ] 𝑓

Segundo, puede usarse una sola letra, digamos ha, junto con subíndices dobles apropia- dos para indicar posición: 𝑎11 [𝑎 21

𝑎12 𝑎22

𝑎13 𝑎23 ]

Para la entrada a12 (se lee “a sub uno-dos”, o sólo “a uno-dos”) el primer subíndice, 1, especifica el renglón, y el segundo, 2, la columna en la que aparece la entrada. De manera similar, la entrada a 23 (se lee “a dos-tres”) es la que se encuentra en el segundo renglón y la tercera columna. En general, se dice que el símbolo a ij denota la entrada en el renglón i y en la columna j. Este capítulo centrará su atención en la operación y aplicación de varios tipos de matrices. Para completar, se dará a continuación una definición formal de matriz. El número de entradas de una matriz de m x n es mn. Para ser más breves una matriz de m x n puede denotarse por el símbolo [a ij] mxn, o de manera más simple [aij], donde se entiende que el tamaño es el apropiado para el contexto dado. Esta notación sólo indica qué tipos de símbolos se utilizan para denotar la entrada general. Una matriz que tiene exactamente un renglón, como la matriz de 1 x 4

A=[1

17 12 3]

Se llama vector renglón. Una matriz que consiste en una sola columna, como la matriz de 5 x1

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1 −2 15 9 [ 16 ] Según Amparo Osuna Lucena (2004, P 30) Se llama vector columna. Observe que una matriz es 1 x 1 si y sólo si es al mismo tiempo un vector renglón y un vector columna. Es más seguro tratar a las matrices 1 x 1 como simples números. En otras palabras, puede escribirse [7] = 7, y de manera más general, [a] = a, para cualquier número real a.



TAMAÑO DE UNA MATRIZ:

a. La matriz [1

b. La matriz

2 0] tiene tamaño 1 x 3.

1 [5 9

−6 1 ] tiene tamaño 3 x 2. 4

c. La matriz [7] tiene tamaño 1 x 1.

d. La matriz



1 3 7 −2 4 [9 11 5 6 8] tiene tamaño 3 x5 y 3(5) = 15 entradas. 6 −2 −1 1 1

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES :

a. Construya una matriz columna de tres entradas tal que a 21 = 6 y para los otros casos: ai1=0. Solución: Como a11 =a3l = 0, la matriz es 0 [6 ] 0 b. Si A= [aij] tiene tamaño 3 x 4 y aij = i + j, encuentre A. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

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Solución: Aquí i = 1, 2, 3 y j = 1, 2, 3, 4 y A tiene (3) (4) = 12 entradas. Como a ij = i + j, la entrada en el renglón i y columna j se obtiene al sumar los números i y j. Entonces, a11 = 1+ 1 = 2, a12 = 1 + 2 = 3, a13 = 1 + 3 = 4, etcétera. Por lo tanto, 1+1 [2 + 1 3+1

1+2 2+2 3+2

2 3 1+4 ] [ 2+4 = 3 4 4 5 3+4

1+3 2+3 3+3

4 5 6

5 6] 7

c. Construya la matriz I de 3 x 3, dado que a 11 = a22 = a33 =1 y en cualquier otro caso: aij= 0. Solución: La matriz está dada por

I=

1 [0 0

0 0 1 0] 0 1

SUMA DE MATRICES Considere un comerciante de vehículos para nieve que vende dos modelos: Deluxe y Super. Cada uno está disponible en uno de dos colores, rojo y azul. Suponga que las ventas para enero y febrero están representadas por las siguientes matrices de ventas

Rojo

E=

1 2 [ ] 3 5

Deluxe F=

3 [ 4

Super 1 ] 2

Azul

Cada renglón de E y F proporciona el número de ventas de cada modelo para un color dado. Cada columna proporciona el número de ventas de cada color para un modelo dado. Al sumar las entradas correspondientes en E y F puede obtenerse una matriz que represente las ventas totales para cada modelo y color durante los dos meses. 4 [ 7

3 ] 7

Lo anterior proporciona la oportunidad para introducir la operación de suma de matrices para dos matrices del mismo orden. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

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DEFINICIÓN Si A = [aij] y B =[bij] son matrices de mXn, entonces la suma A+B es la matriz de mXn que se obtiene al sumar las entradas correspondientes de A y B; esto es, A+B =[aij + bij]. Si el tamaño de A es diferente del tamaño de B, entonces A+B no está definida.

Por ejemplo, sean A=

3 [ 2

0 −1

−2 ] 4

Y

5 B= [ 1

−3 2

6] −5

Como A y B son del mismo tamaño (2 x 3), su suma está definida. Se tiene A+B

=

[

3 + 5 0 + (−3) −2 + 6 8 ] =[ 2 + 1 −1 + 2 4 + (−5) 3

−3 1

4 ] −1

Si A, B, C y O tienen el mismo tamaño, entonces las propiedades siguientes se cumplen para la suma de matrices: PROPIEDADES PARA LA SUMA DE MATRICES 1. A +B = B + A (propiedad conmutativa) 2. A + (B + C) = (A + B) + C (propiedad asociativa) 3. A + O = O + A = A (propiedad de identidad)

La propiedad 1 establece que las matrices pueden sumarse en cualquier orden, y la propiedad 2 permite que las matrices se agrupen para la suma. La propiedad 3 establece que la matriz cero desempeña la misma función en la suma de matrices que el número cero en la suma de números reales. Estas propiedades se ilustran en el ejemplo siguiente. Sea: 𝐴=[

1 −2

2 1 ] 0 1

0 B= [ 1

−2 1 −1 0 ] 𝑂= [ C= [ 0 −2 1 0

1 −3

2 ] 1

0 0 ] 0 0

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

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a. Demuestre que A+B=B+A

Solución: 1 A+B = [ −1

3 3 ] −3 2

1 B+A = [ −1

3 −3

3 ] 2

Por lo tanto A+B =B+A

a. Demuestra que A+ (B+C) = (A+B)+C Solución: −2 2 1 −1 ] = [ A+(B+C) =A+ [ 1 −5 2 −1 (A+B) + C =[

1 −1

3 −3

3 −1 ]+𝐶 =[ 2 −1

4 −5

2 ] 3

4 −5

2 ] 3

b. Demuestre que A+O=A Solución: 1 A+O =[ −2

2 0

1 0 0 ]+ [ 1 0 0

0 1 2 ] = [ 0 −2 0

1 ] =A 1

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MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Además de las operaciones de suma de matrices y multiplicación por un escalar, puede definirse el producto AB de las matrices A y B bajo ciertas circunstancias, a saber, que el número de columnas de A sea igual al número de renglones de B. Aunque la siguiente definición de multiplicación de matrices no parece ser muy natural, un estudio más minucioso de las matrices lo convencerá de que esta definición es apropiada y extremadamente práctica para aplicaciones. Observe que la definición es aplicable cuando A es un vector renglón con n entradas y B es un vector columna con n entradas. En este caso A es de 1xn, B es de n x 1 y AB es de 1 x 1. De hecho, De regreso a la definición general, ahora es claro que el número c ij es el producto del i-ésimo renglón de A y la j-ésima columna de B. Esto es muy útil cuando se realizan cálculos reales. Tres puntos concernientes a la definición anterior de AB deben comprenderse en su totalidad. Primero, la condición de que A sea de m x n y B sea de n x p, es equivalen- te a decir que el número de columnas de A debe ser igual al número de renglones de B. Segundo, el producto AB tendrá tantos renglones como A y tantas columnas como B.

Tercero, la definición se refiere al producto AB, en ese orden; A es el factor izquierdo y B el factor derecho. Para AB, se dice que B está premultiplicado por A, o bien, que A está por multiplicado por B. Para aplicar la definición, se encontrará el producto:

AxB

2 [ 1

1 −3

−6 ] = 2

1 [0 −2

0 3 4 2] 1 1

La matriz A tiene tamaño 2 X 3 (m X n) y la matriz B tiene tamaño 3 X 3 (n X p). El número de columnas de A es igual al número de renglones de B (n = 3), de modo que el producto C está definido y será una matriz de 2 X 3 (m X p); esto es,

𝑎11

C = [𝑐 21

𝑎12 𝑐22

𝑎13 𝑐23 ] TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

13

La entrada c11 se obtiene al sumar los productos de cada entrada en el renglón 1 de A por la entrada “correspondiente” en la columna 1 de B. Así,

Entradas del renglón 1 de A

C11= (2)(1) + (1)(0) +(-6)(-2) = 14

Entradas de la columna 1 de B

En este paso, se tiene: 2 [ 1

1 −3

−6 ] 2

1 0 [0 4 −2 1

−3 2] 1

= [

14 𝑐12 𝑐13 ] 𝑐21 𝑐22 𝑐23

Aquí puede verse que c11 es el producto del primer renglón de A y la primera columna de B. De manera similar, para c12, se usan las entradas del renglón 1 de A y las entradas de la columna 2 de B: Entradas del renglón 1 de A

c12 = (2)(0) + (1)(4) + (-6)(1) 5 -2

Columnas del renglón 2 de B

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

14

Ahora se tiene:

[

1 0 [0 4 −2 1

2 1 −6 ] 1 −3 2

−3 2] 1

=

[

14 −2 𝑐13 ] 𝑐21 𝑐22 𝑐23

Para las restantes entradas de AB, se obtiene c13 = (2) (-3)+ (1) (2)+ (-6) (1) = -10 c21 = (1) (1)+ (-3) (0)+ (2) (-2) = -3 c22 = (1) (0)+ (-3) (4)+ (2) (1) = -10 c23 = (1) (-3)+ (-3) (2)+ (2) (1) = -7 Así,

AB

2 [ 1

1 −3

−6 ] 2

1 [0 −2

0 −3 4 2] 1 1

=

[

14 −3

−2 −10 ] −10 −7

Observe que si se invierte el orden de los factores, entonces el producto

BA =

1 [0 −2

0 4 1

−3 2] 1

[

2 1 −6 ] 1 −3 2

No está definido, porque el número de columnas de B no es igual al número de renglones de A. Esto muestra que la multiplicación de matrices no es conmutativa. Es decir, para cualesquier matrices A y B en general AB y BA son diferentes, aun si ambos pro- ductos están definidos, de modo que el orden en el que las matrices estén escritas en un producto es extremadamente importante.

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3. DESARROLLO DEL PROYECTO:

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

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Elaboración de gráficos LOS REQUERIMIENTOS DE CADA COMPAÑÍA PLATOS DE COMIDA

Lomo Saltado

Pollo a la Ceviche Cabrito Plancha

Total

Icaro SA

20

30

15

10

75

Nuevo California S.A

15

40

25

30

110

Los Girasoles S.A

10

15

35

45

105

Esperanza Express S.A.A

30

24

20

20

94

Total

75

109

95

105

El precio de venta de cada plato es el siguiente: Lomo saltado: S/. 10 Pollo a la plancha: S/. 8 Ceviche: S/. 9 Cabrito: S/. 9 Los gastos por plato han sido los siguientes: Lomo saltado: S/. 5.08 Pollo a la plancha: S/. 4.03 Ceviche: S/. 5.09 Cabrito: S/. 4.12 TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

17

Toma de datos cabrito (6 porciones) 1 k de cabrito, en trozos 2 tazas de chicha de jora ** 3 cebollas de rabo, picadas 3 ajíes amarillos frescos, sin venas ni semillas, picados 1/2 taza de culantro, picado Aceite vegetal, la cantidad necesaria 1 cucharada de ajo molido 1 cucharadita de orégano Sal Pimienta arroz yuca frejol total total* plato

pollo a la plancha/1 Pechugas de pollo Lechuga 1 unidad Tomate 1 unidad Zanahoria 1 unidad Aceite de oliva Sal Pimienta arroz papa total * plato

precio S/. 10.00 S/. 1.50 S/. 1.20 S/. 3.00 S/. 0.50 S/. 1.00 S/. 0.75 S/. 0.30 S/. 0.02 S/. 0.10 S/. 3.00 S/. 1.25 S/. 2.10 S/. 24.72 S/. 4.12

precio S/. 1.87 S/. 0.10 S/. 0.42 S/. 0.21 S/. 0.40 S/. 0.01 S/. 0.10 S/. 0.42 S/. 0.50 S/. 4.03

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

18

ceviche (4 porciones) 1 Pizca de Pimienta 1 Kilogramo de Pescado de tu elección 1 Rama de Apio picado ¼ Taza de Taza Cilantro de hoja picada 1 Puñado de Ajos machacados 1 Unidades de Ají 12 Unidades de Limónes 1 Pizca de Sal Camote sancochado 1 Unidades de Maíz tierno sancochado 1 Manojo de Hojas de Lechuga 1 Unidades de Cebolla total total * plato

precio S/. 0.10 S/. 8.00 S/. 0.80 S/. 0.50 S/. 0.75 S/. 1.00 S/. 1.20 S/. 0.20 S/. 3.00 S/. 4.00 S/. 0.40 S/. 0.40 S/. 20.35 S/. 5.09

lomito saltado (2 porciones) bistecks de lomo de res picados 1 cebolla mediana picada en julianas medio pimentón mediano picado en julianas 2 dientes de ajo 1 ají amarillo peruano picado en julianas 1 tomate grande picado en julianas 1/2 kg de papa Varias hojas de perejil 2 cucharadas de vinagre blanco Sal y pimienta arroz total total*plato

precio S/. 3.50 S/. 0.40 S/. 0.50 S/. 0.75 S/. 1.00 S/. 0.50 S/. 1.30 S/. 0.30 S/. 0.50 S/. 0.40 S/. 1.00 S/. 10.15 S/. 5.08

Precio de venta por plato Lomo saltado

S/.

10.00

Pollo a la plancha S/.

8.00

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

19

Ceviche

S/.

9.00

Cabrito

S/.

9.00

Fuente: Judith Jessica Martínez Luna (dueña del restaurante).

3.1.

Elaboración de gráficos Los requerimientos de cada compañía

Precio de venta por plato Lomo saltado

S/.

10.00

Pollo a la plancha S/. Ceviche Cabrito 1.1.

costo de preparacion de cada plato Lomo saltado

S/.

5.08

8.00

Pollo a la plancha

S/.

4.03

S/.

9.00

Ceviche

S/.

5.09

S/.

9.00

Cabrito

S/.

4.12

Planteamiento matemático del problema lomito pollo cev. Cabr. 20 30 15 10 15 40 25 30 [ ] 10 15 35 45 30 24 20 20

Costo S/. 5.08 Lomo saltado Pollo a la plancha [4.03] 5.09 Ceviche cabrito 4.12

X Costo de producción S/. Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D

340.05 [488.25] 474.80 433.32

En esta multiplicación de matrices se determina el costo para producir todos los platos requeridos por cada empresa. TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

20

20 15 [ 10 30

Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D

30 40 15 24

15 25 35 20

10 30 ] 45 20

10.00 [ 8.00 ] 9.00 9.00

Lomo saltado Pollo a la plancha Ceviche Cabrito

X Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D

En esta multiplicación matricial se calcula los ingresos para el restaurante que genera cada empresa.

665.00 [965.00] 940.00 852.00

Calculo de las ganancias para el restaurante “CALDOS JESS”

Ingresos S/. Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D

665.00 [965.00] 940.00 852.00

Costo de producción S/. Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D

340.05 [488.25] 474.80 433.32

Utilidades S/. Empresa A Empresa B Empresa C Empresa D

TOTAL

324.95 [476.75] 465.20 418.68 S/. 1,658.58

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

21

CONCLUSIONES: La empresa “CALDOS JESS” obtiene utilidades después del consumo por las empresas Ícaro SA, Nuevo California SA, Los Girasoles SA y Esperanza Espress SAA, lo cual es el doble de sus gastos de producción. Por tanto, decimos que al restaurante le conviene prestar sus servicios a nivel macro, para que así obtenga bastante utilidades y seguir creciendo financieramente. Pues según el problema propuesto el restaurante había prestado sus servicios a cuatro empresas: A, B, C y D; las cuales habían realizado grandes pedidos. Para ello se tuvo que realizar un presupuesto de costos para que al momento de venderlo a estas 4 corporaciones se pasara a un análisis de ganancias o pérdidas.

UTILIDADES S/. Icaro SA Nuevo California SA

324.95 476.75

Los Girasoles 465.20 Esperanza Express 418.68 SAA Concluimos que la empresa obtiene bastantes utilidades cuando produce pedidos a niveles grandes; por consiguiente le conviene prestar sus servicios en esta modalidad.

INGRESOS INGRESOS

655

Icaro SA

965

940

850

Nuevo Los Girasoles Esperanza California SA Express SAA

3410

Total

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

22

COSTOS COSTOS

1736.42

433.37 Icaro SA

474.8

488.25

Nuevo California Los Girasoles SA

340 Esperanza Express SAA

Total

UTILIDAD UTILIDAD

1685.58

324.95 Icaro SA

476.75

465.2

Nuevo California Los Girasoles SA

418.68 Esperanza Express SAA

Total

TRABAJO DE INVESTIGACIÓN CON MATRICES

23

RECOMENDACIONES: PARA PODER SEGUIR PRESTANDO SERVICIOS DE ESTA MAGNITUD DEBERÍA DE:   

Guardar el formato de costos para futuros eventos Seguir expandiendo su servicio a diferentes empresas para cualquier evento durante todo el año por que les generara más utilidades Analizar constantemente toda la información que se les brindo de acuerdo al análisis y así evalúen sus ganancias con mas precisión

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Haeussler,Jr., Ernest F.;Richard S.PAUL Y Richard J.Wood. Matemáticas para administración y economía. Decimosegunda edición. PEARSON EDUCACIÓN. México, 2008. (Pp.226-277)

2. Luzardo D., Alirio J. Historia del Algebra Lineal hasta los Albores del Siglo XX. Divulgaciones Matemáticas Vol. 14 No. 2(2006). Algebra de matrices.(pp.160-161) [En línea ] Recuperado el 1 de junio de 2015. Disponible en http://www.emis.ams.org/journals/DM/v14-2/art6.pdf 3. F. Granero Rodr´ıguez. Algebra y Geometr´ıa Anal´ıtica ´ . Ed. McGraw-Hill, Madrid, 1985 (234-240)

4. Páez P. Cristhian, Matrices, y Sistemas lineales. Primera edición. Costa Rica, 2013 (Pp.13) 5. Casteleiro Villalba, José Manuel, Las Matrices son fáciles. Primera edición. Madrid, 2010. (Pp.19) https://books.google.com.pe/books?id=mGHAk4n77MgC&printsec=frontcove r&dq=libros+de+multiplicacion+de+matrices&hl=es419&sa=X&redir_esc=y#v=onepage&q&f=false

6. Matrices, matrices y determinantes. Thu, 27 Oct UTC.http://es.calameo.com/read/0009436373a9d5d7b1a50 7. J. de Burgos. Algebra Lineal ´. Ed. McGraw-Hill, Madrid, 1993.(Pg.120-128)

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8. C. Pita Ruiz. Algebra Lineal ´. Ed. McGraw-Hill, Madrid, 1992.(Pg.230-235)

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9. G. Strang. Algebra Lineal y sus aplicaciones ´. Fondo Educativo Interamericano, México, 1986(Pg.14-16)

10. J.R. Torregrosa S´anchez y C. Jordan Lluch. Algebra Lineal y sus aplica- ´ ciones. Serie Schaum. Ed. McGraw-Hill, Madrid, 1987(Pg.342)

ANEXO 1

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