Matriz De Leontief

MATRIZ DE LEONTIEF

ARYA, JAGDISH C. y LARDNER, ROBIN

Análisis de la matriz insumo-producto: El modelo insumo-producto fue introducido por primera vez a finales de los años cuarenta por Leontief, el ganador del premio Nobel en 1973, en un estudio de la economía de Estados Unidos. La principal característica de este modelo es que incorpora las interacciones entre diferentes industrias o sectores que integran la economía. El objetivo del modelo es permitir a los economistas predecir los niveles de producción futuros de cada industria, con el propósito de satisfacer demandas futuras para diversos productos. Tal predicción se complica por las interacciones entre las diferentes industrias, a causa de las cuales un cambio en la demanda de un producto de una industria puede modificar los niveles de producción de otras industrias. Por ejemplo, un incremento en la demanda de automóviles no sólo conducirá a un aumento en los niveles de producción de los fabricantes de automóviles, sino también en los niveles de una variedad de otras industrias en la economía, tales como la industria del acero, la industria de los neumáticos, etc. En el modelo original de Leontief, la economía de Estados Unidos aparece dividida en 500 sectores de este tipo que interactúan entre sí.

Aplicación: Consideremos una economía que conste sólo de dos industrias, P y Q.

Entonces se observa que los insumos totales son de 200 unidades en el caso de P y de 160 unidades para Q. En el modelo se supone que todo lo que se produce se consume, o en otras palabras, la producción de cada industria debe ser igual a la suma de todos los insumos (medidos en las mismas unidades). Así, la producción total de P debe ser de 200 unidades y de 160 unidades en el caso de Q. Ahora observando las dos primeras filas de la tabla. De las 200 unidades producidas por P, 60 son utilizadas por ella misma y 64 por Q. Esto deja 76 unidades disponibles para satisfacer la demanda final; esto es, los bienes que no utilizan internamente las propias industrias productoras. Estos bienes podrían ser utilizados para consumo doméstico, consumo del gobierno o exportación. De manera similar, de las 160 unidades producidas por Q, 100 las utiliza P, 48 no salen de Q y 12 unidades se destinan a satisfacer la demanda final. Suponga que la investigación de mercado predice que en 5 años, la demanda final para P decrecerá de 76 a 70 unidades; mientras que en el caso de Q, se incrementará de 12 a 60 unidades.

La pregunta que surge se refiere a qué tanto debería cada industria ajustar su nivel de producción para satisfacer estas demandas finales proyectadas. Es claro que las dos industrias no operan independientemente una de otra (por ejemplo, la producción total de P depende de la demanda final del producto de Q y viceversa). Por tanto, la producción de una industria está ligada a la producción de la otra industria (u otras industrias). Supongamos que con el propósito de satisfacer las demandas finales proyectadas en 5 años, P debe producir x1 unidades y Q debe producir x2 unidades.

Ahora para que cada una de las industrias pueda obtener su producción total debe consumir productos de su misma industria como la de las otras industrias, además de consumos de otros sectores.

Estas dos ecuaciones se pueden escribir de forma matricial de la siguiente manera:

𝑥1 0.3 0.4 𝑥1 70 = + 𝑥2 0.5 0.3 𝑥2 60 Donde:

X = AX + D

𝑥1 X= 𝑥 2

0.3 0.4 70 ; A= ; D= 0.5 0.3 60

Llamaremos a X la matriz de producción, a D la matriz de demanda y a A la matriz insumo-producto. Los elementos de la matriz A se denominan coeficientes de insumo-producto. En general, 𝑎𝑖𝑗 representa la parte fraccionaria de los insumos de la industria j que son producidos por la industria i. Cada elemento de la matriz de insumo-producto está entre 0 y 1, y la suma de los elementos de cualquier columna nunca es mayor que 1. Observemos que la matriz insumo-producto.

del ejemplo anterior puede obtenerse directamente de la tabla 1 dividiendo cada número en el rectángulo interior de la tabla entre la producción total de la industria que encabeza la columna. Por ejemplo, en la primera columna, encabezada por P, dividimos cada elemento entre 200, que es la producción total de la 60 100 industria P. Así, obtenemos 𝑦 como los elementos de la primera columna de la matriz insumo200 200 producto. La ecuación (1), X AX D, se conoce como ecuación insumo-producto. Para encontrar la matriz de producción X que cumplirá con las demandas finales proyectadas, debemos resolver la ecuación (1) para X.

Tenemos:

X = AX + D luego: X - AX = D Podemos escribir esto como: IX - AX = D o bien (I - A)X = D Tenemos un sistema de ecuaciones lineales cuya matriz de coeficientes es (I - A). Podemos resolver este sistema por medio de la reducción por renglones o de forma alterna utilizando la inversa de la matriz de coeficientes. Suponga que (𝑰 − 𝑨) −1 existe. (𝑰 − 𝑨) −1 (I - A)X = (𝑰 − 𝑨) −1 D X = (𝑰 − 𝑨) −1 D

Concluyendo, la industria P debe producir 251.7 unidades y Q debería producir 265.5 unidades con el objetivo de satisfacer las demandas finales proyectadas en 5 años.

Ejemplo 1: EJEMPLO 1 (Modelo insumo-producto) Suponga que en una economía hipotética con sólo dos industrias, I y II, la interacción entre industrias es como se advierte en la tabla 2. a) Determine la matriz insumo-producto A. b) Obtenga la matriz de producción si las demandas finales cambian a 312 unidades en el caso de la industria I y a 299 unidades para la industria II. c) ¿Cuáles serán entonces los nuevos insumos primarios correspondientes a las dos industrias?

Solución a) Dividiendo la primera columna (encabezada por la industria I) entre la producción total de la industria I, 1200, y la segunda columna (encabezada por la industria II) entre la producción total de la industria II, 1500, obtenemos la matriz insumo-producto A.

b) Si I denota la matriz identidad 2 2, se sigue que:

Si D representa al nuevo vector de demanda, esto es,

D=

312 299

Por consiguiente, la industria I debe producir 1415 unidades y la industria II debe producir 1640 unidades para satisfacer las nuevas demandas finales. c) En el caso de la industria I, deben producirse 240 unidades de insumos primarios para generar una 240

producción total de 1200 unidades. Esto es, los insumos primarios son 1200 =0.2 de la producción total. Así, 0.2 de la nueva producción, 1415, da los nuevos insumos primarios de la industria I. Los insumos primarios de la industria I son 0.2(1415) 283 unidades. En forma análoga, los insumos primarios en el 300 caso de la industria II son 1500 =0.2 de la producción total, de modo que son iguales a 0.2 (1.640) 328 unidades. En consecuencia, los nuevos insumos primarios para las dos industrias serán de 283 y 328 unidades, respectivamente. Podemos resumir estas suposiciones básicas de la siguiente manera: 1. Cada industria o sector de la economía produce un solo bien y no existen dos industrias que produzcan un mismo bien. 2. Para cada industria, el valor total de la producción es igual al valor total de todos los insumos, y toda la producción es consumida por otros sectores productivos o por las demandas finales. 3. La matriz insumo-producto permanece constante en el tiempo considerado. En periodos más largos, los avances tecnológicos provocan cambios en la matriz insumoproducto y esto significa que las predicciones basadas en este modelo sólo serán relativamente confiables a corto plazo.

Ejemplo 2: (Modelo insumo-producto) La interacción entre tres industrias P, Q y R. a) Construya la matriz de insumo-producto. b) Determine las nuevas producciones de P, Q y R si las demandas finales cambian en el futuro a 70, 50 y 120, respectivamente. c) ¿Cuáles serán entonces los insumos primarios para las tres industrias?

a) La matriz insumo-producto:

b) Determine las nuevas producciones de P, Q y R si las demandas finales cambian en el futuro a 70, 50 y 120, respectivamente.

c) ¿Cuáles serán entonces los insumos primarios para las tres industrias? Los insumos primarios para las industrias P, Q Y R son 67.5, 140 y 32.5 respectivamente.