Mecanica-aplicada-apostila

GERÊNCIA DE ENSINO COORDENADORIA DE RECURSOS DIDÁTICOS

MECÂNICA APLICADA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS

Mecânica CSO-Ifes-55-2009

MECÂNICA APLICADA E RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS JOÃO PAULO BARBOSA

São Mateus, Fevereiro de 2010. CSO-Ifes-55-2009

Mecânica Aplicada e Resistência dos Materiais – IFES – Campus São Mateus – Prof. João Paulo Barbosa

Sumário 1

Sistemas de Unidades ................................................................................... 3 1.1 Sistema Internacional - SI - ............................................................................ 6 1.2 Sistema Inglês ................................................................................................ 6 1.3 Sistema Gravitacional Britânico...................................................................... 7

2

Estática de pontos materiais ...................................................................... 11 2.1 Introdução .................................................................................................... 11 2.2 Força Resultante .......................................................................................... 11 2.3 Forças no Plano ........................................................................................... 11 2.4 Componentes Cartesianas de uma força ..................................................... 12 2.5 Equilíbrio de um ponto material .................................................................... 14

3

Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças ................................... 20 3.1 Classificação das forças atuantes em corpos rígidos................................... 20 3.2 Princípio de transmissibilidade ..................................................................... 21 3.3 Momento de uma força em relação a um ponto ........................................... 22 3.4 Momento de um conjugado .......................................................................... 22 3.5 Conjuntos Equivalentes ................................................................................ 23

4

Equilíbrio de corpos rígidos ....................................................................... 28 4.1 Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões: ................................... 28 4.2 Reações nos Apoios e Conexões. ............................................................... 29

5

Análise das Estruturas ................................................................................ 40 5.1 Análise de Treliças ....................................................................................... 40 5.2 Análise de uma estrutura ............................................................................. 44 5.3 Máquinas ...................................................................................................... 48

6

Centróide e Baricentro ................................................................................ 66 6.1 Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos ............................................ 67

7

Movimento Circular ..................................................................................... 72 7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Velocidade Angular (ω) ............................................................................... 72 Período (T) ................................................................................................... 72 Frequencia (f) ............................................................................................... 72 Rotação (n)................................................................................................... 73 Velocidade Periférica ou Tangencial (v) ....................................................... 73

8

Relação de Transmissão (i) ........................................................................ 75 8.1 Transmissão por Correias ............................................................................ 75 8.2 Transmissão por engrenagens ..................................................................... 76

9

Torção Simples ............................................................................................ 78 9.1 Momento Torçor ou Torque (MT) .................................................................. 78 9.2 Torque nas Transmissões ............................................................................ 79

1

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10 Potência (P) .................................................................................................. 81 10.1 Torque X Potência .................................................................................... 82 10.2 Força Tangencial (FT) ............................................................................... 83 11 Rendimento das Transmissões (η η) ............................................................ 94 11.1 Rendimento das transmissões .................................................................. 94 11.2 Perdas nas Transmissões......................................................................... 95 12 Noções de Resistência dos Materiais .......................................................103 12.1 Introdução ............................................................................................... 103 12.2 Esforços externos ou carregamentos...................................................... 104 12.3 Solicitações Simples ............................................................................... 106 12.4 Solicitações Compostas .......................................................................... 109 12.5 Ensaio de Tração .................................................................................... 110 12.6 Modos de falhas trativas: ........................................................................ 112 12.7 Tensões .................................................................................................. 112 12.8 Módulo de Elasticidade ........................................................................... 113 12.9 Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência: ........... 114 13 Tração e compressão .................................................................................116 13.1 Carregamento Axial ................................................................................ 116 13.2 Deformação sob Carregamento Axial ..................................................... 116 13.3 Tensão Normal σ .................................................................................... 117 13.4 Deformação Longitudinal (ε) ................................................................... 117 13.5 Deformação Transversal (εt) ................................................................... 118 13.6 Estricção ................................................................................................. 118 13.7 Coeficiente de Segurança k .................................................................... 118 14 Flexão ..........................................................................................................124 14.1 Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor...................................... 124 14.2 Tensão de Flexão ................................................................................... 125 15 Torção ..........................................................................................................130 15.1 Transmissão de Potência........................................................................ 130 15.2 Análise das Tensões num Eixo ............................................................... 131 15.3 Deformações nos Eixos de Secção Circular ........................................... 132 15.4 Tensão de Torque................................................................................... 133 15.5 Tensões no Regime Elástico .................................................................. 133 15.6 Modos de Falha Torcionais ..................................................................... 135 15.7 Ângulo de Torção no Regime Elástico .................................................... 140 15.8 Eixos Estaticamente Indeterminados ...................................................... 140 16 Flambagem ..................................................................................................143 16.1 Módulo de Young .................................................................................... 143 16.2 Carga Crítica de Flambagem .................................................................. 143 16.3 Indice de Esbeltez................................................................................... 144 16.4 Flambagem de Colunas .......................................................................... 145 17 Referencias Bibliográficas:........................................................................146

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CAPÍTULO 1 1 Sistemas de Unidades Se o instrumento é utilizado para medir variáveis de processos, convém então mencionar rapidamente sobre sistemas de unidades usados para medir a magnitude de grandezas (as variáveis dos processo mecânicos) e expressá-las como dimensões. Na medida em que ainda há diversos sistemas de unidades utilizados pelo homem, a sua definição e estabelecimento corretos auxiliam no processo de conversão de unidades entre os vários sistemas de unidades disponíveis. Há vários sistemas de unidades em uso nos ambientes industrial, comercial, laboratorial, residencial, etc. Por convenção, há um sistema aceito internacionalmente, estabelecido pela Conferência Geral de Pesos e Medidas (toda a documentação das Conferências é mantida e divulgada pelo Bureau International des Poids et Mesures – BIPM), o Sistema Internacional de Unidades - SI. As unidades básicas do SI, como todos sabemos, são o metro [m], a massa [kg], o segundo [s], o Kelvin [K], o Ampere [A] o mole [mol] e a candela [cd], para as dimensões comprimento, a massa, o tempo, a temperatura, a corrente, a quantidade de matéria e a intensidade luminosa, respectivamente. Todas as outras unidades são chamadas de unidades derivadas (joule [J] para trabalho, watt [W] para potência, etc), pois são definidas em termos das unidades básicas. Atribui valores numéricos específicos para fenômenos físicos observáveis, de maneira que estes possam ser descritos analiticamente. DIMENSÃO quantidade física utilizada para propriedade que pode ser medida ou observada.

definir

qualitativamente

Exemplo: Comprimento [L], Tempo [t], Massa [M], Força [F] e Temperatura [θ]. UNIDADE são nomes arbitrários atribuídos às dimensões. Exemplo: dimensão → comprimento unidades → centímetros, pés, polegadas,

3

uma

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Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades

Assim, a dimensão especifica a magnitude da grandeza (variável do processo) medida de acordo com o sistema de unidades adotado. No SI a unidade da grandeza comprimento é o metro, em outros sistemas de unidade podem ser em a polegada, o centímetro, o kilômetro, a milha, etc. Em várias áreas industriais diferentes sistemas de unidades que misturam unidades do SI, com unidades inglesas e antigas unidades de comércio têm uso corrente. São comumente referidas como Unidades de Engenharia. É o caso, por exemplo, da indústria hidráulica: o diâmetro de tubulações é usualmente referido em polegadas (dimensão típica em uso nos USA e outros países de língua e industrialização de origem inglesa e americana), e o comprimento desta mesma tubulação pode ser referido em metros. Compra-se no comércio, mesmo no Brasil, uma tubulação de PVC de 6 m comprimento e 2” (polegadas) de diâmetro, classe 10 - pressão de trabalho de 10 atm (atmosferas, ou 1.01325 x 106 N/m2). Na indústria do petróleo a produção (a vazão de óleo, volume na unidade de tempo) é medida em barris/dia [bbl/dia].

4

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Grandezas e unidades derivadas de SI – Sistema Internacional de Unidades

O Sistema CGS foi corrente na área da mecânica, e se baseava em três dimensões e suas unidades básicas: o centímetro, o grama e o segundo. Na indústria automobilística de matriz baseada nos USA, todas as dimensões – folgas de válvulas, bitola de parafusos e porcas, tamanho de rodas, etc, têm por base o Sistema Inglês de Unidades. O Sistema Inglês, por sua vez, tem unidades de uso próprio nos USA, que diferem, em valor, de unidades usadas na Inglaterra: o pé inglês é maior que o pé americano, assim como o galão, etc.

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1.1

Sistema Internacional - SI L M t θ

Comprimento Massa Tempo Temperatura

metro quilograma segundo graus Celsius ou Kelvin

m kg s °C ou K

Força: definida pela 2ª Lei de Newton

F = m.a F - força [N]

 m  F = m.a kg 2 = N   s 

m - massa [kg] a - aceleração [m/s2]

1.2

Sistema Inglês L M F t θ

Comprimento Massa Força Tempo Temperatura

Pés libra-massa libra-força Segundo graus Fahrenheit ou Rankine

ft lbm lbf s °F ou °R

Força: é estabelecido como uma quantidade independente definida por procedimento experimental: a força de 1 lbf acelerará a massa de 1 lbm 32,174 pés por segundo ao quadrado. - Ao relacionar força e massa pela lei de Newton, surge uma constante de proporcionalidade, gc: m.a 1lbm.(32,174 ft / s 2 ) F= = = 1lbf gc gc - gc terá as dimensões MLF-1t-2 32,174lbm. ft - para sistema inglês: g c = lbf .s 2 gc tem o mesmo valor numérico que a aceleração da gravidade ao nível do mar, mas não é aceleração da gravidade. Serve para relacionar estas quantidades.

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1.3

Sistema Gravitacional Britânico L M F t θ

Comprimento Massa Força Tempo Temperatura

pés slug libra-força segundo graus Fahrenheit ou Rankine

ft slug lbf s °F ou °R

Outros: - Sistema Técnico de Engenharia: kg, m, s, kgf gc= 9,80665 kg.m/(kgf.s2) -

Sistema CGS: g, cm, s, dina

PESO ≠ MASSA O Peso de um corpo é definido como a força que age no corpo resultante da aceleração da gravidade. Varia com a altitude. Prefixo usados no SI Para facilitar a escrita de grandezas de magnitude muito grande ou muito pequenas, as unidades podem ser acompanhadas de prefixos que designam seus múltiplos e submúltiplos. Prefixos do SI Prefixo exa peta terá giga mega quilo hecto deca deci centi mili micro nano pico femto atto

Símbolo E P T G M k h da d c m µ n p f a

Fator multiplicador 1.000.000.000.000.000.000 1.000.000.000.000.000 1.000.000.000.000 1.000.000.000 1.000.000 1.000 100 10 0,1 0,01 0,001 0,000 001 0,000 000 001 0,000 000 000 001 0,000 000 000 000 001 0,000 000 000 000 000 001

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1) Exercícios: Reescrever as unidades das grandezas como é indicado. a) 20000mm:

m

b) 14000000000 W:

GW

c) 2,75x104Pa:

kPa

d) 0,000055kg:

g

e) 0,00023cm:

µm

f) 250kN:

N

g) 0,0043 MPa:

Pa

h) 0,000025A:

mA

2) Exercícios: Reescrever as unidades das grandezas como é indicado. a) 50000N:

kN

b) 200000MPa:

GPa

c) 75000N:

kN

d) 0,000014kg:

g

e) 0,1x10-3 mm

µm

f) 500 000 000 N/m²

kN/mm²

g) 150km/h:

m/s

h) 20m/s

km/h

i) 30m/s

km/min

j) 120km/h

m/min

k) 50l

m³

l) 100m³

l

m) 200m²

cm²

n) 10pol

cm

o) 100mm

pol

p) 120HP

KW

q) 2000W

CV

r) 50Bar

Psi

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CAPÍTULO 2 2 Estática de pontos materiais 2.1

Introdução

O que é Mecânica? Pode ser definida como a ciência que descreve e prediz as condições de repouso ou movimento de corpos sob ação de forças. Corpos rígidos, deformáveis e fluidos.

2.2

Força Resultante

A somatória das forças que atuam em um dado ponto material é a força resultante. (produz o mesmo efeito que as forças originais)

2.3

Forças no Plano

Uma força representa a ação de um corpo sobre o outro. Ela é caracterizada por seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido. 2ª Lei Newton: F=m.a e no SI (N) Fazendo a regra do Paralelograma. P

A

P

Q

R=P+Q

R

Q

As forças não obedecem às regras de adição definidas na álgebra ou na aritmética. Q P

R

ou R Q

Caso possua mais de um vetor Q

P

S

Q+S P+Q+S

11

P

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2.4

Componentes Cartesianas de uma força

Em muitos problemas é desejável decompor uma força em duas componentes normais uma à outra. y y F F Fy Fy x θ Fx θ o x Fx Fx = F cos θ

e

Fy = F sen θ

F² = Fx²+ Fy² Adição de forças pela soma das componentes segundo x e y. Resultante da soma dos vetores P, Q e S. Teremos as componentes: Rx + Ry; Px + Py ; Qx + Q y ; Sx + Sy. Sendo assim: Aonde:

R x = Px + Q x + Sx

Rx = ΣFx

e

S

S

e

Ry = Py + Qy + Sy

Ry = ΣFy Sy

P

P

Py Sx

A

R

Px A

Q

Ry

Qx Qy

Rx

Q

R² = Rx²+ Ry²

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Exemplo 1: Dois cabos sujeitos a trações conhecidas estão presos ao ponto A. Um terceiro cabo AC é usado para sustentação. Determine a tração em AC sabendo que a resultante das três forças aplicadas em A deve ser vertical. A 10°

25°

12kN=F2 30kN=F1

20 m

F1 = 30 KN F2 = 12 KN Tac= ?

R↨

C

B

15 m

Calculando a distância AC = 25 m. Como é vertical Rx = ΣFx=0 Logo a Resultante é Ry Decompondo os vetores XY F1 = (-30.cos 25°) em x e (-30.sen 25°) em y F2 = (12.sen 10°) em x e (-12.cos 10°) em y TAC = (TAC.sen θ) em x e (-TAC.cos θ) em y (adotado o sentido de

20 θ

25

15

senθ =

15 25

cosθ =

20 25

Rx = ∑ Fx = −30 cos 25° + 12 cos10° + TAC senθ = 0 30 cos 25° - 12 cos 10 = 25,619 sen θ R y = ∑ Fy = −30sen25° + 12sen10° + TAC cosθ

TAC =

Ry = −35,257 KN

13

TAC)

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2.5

Equilíbrio de um ponto material

Quando a resultante de todas as forças que atuam sobre um ponto material é zero, este ponto está em equilíbrio.

R = 0∴

Rx = ∑ Fx = 0

R y = ∑ Fy = 0

100N

100N

Exemplo 2: Como parte do projeto de um novo veleiro deseja-se determinar a força de arrasto a uma dada velocidade. Com esse objetivo, um modelo do casco é colocado em um canal para testes, sendo mantido alinhado com o eixo do canal por meio de três cabos presos a sua proa. Leituras de dinamômetro indicam que, para uma dada velocidade da água, a tração no cabo AB é de 200N e de 300N no cabo AE. Determine a força de arrasto no casco e a tração no cabo AC. 0,45m

2,10m

C

B α

1,2m

β

A

Fluxo

1,2m

AB = 200N AE = 300N Fmastro = ? AC = ?

E

Decompondo os vetores XY TAB

α

TAc

β

A

F TAE

Encontrar α e β 2,1 tgα = = 1,75 1,2 α = 60,26°

e

0,45 = 0,375 1,2 β = 20,56° tgβ =

R = T + TAB + TAC + TAE

Corpo em equilíbrio ∑ Fx = 0

∑F

y

=0

F − TAB senα + TAC senβ = 0

− TAE + TAB cosα + TAC cos β = 0

F = 98,37 N

TAC = 214,5 N 14

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Exemplo 3: A manga A pode deslizar livremente sobre o eixo horizontal, sem atrito. A mola presa à manga tem constante 1751 N/mm e elongação nula quando a manga está diretamente embaixo do suporte B. Determine a intensidade da força P necessária para manter o equilíbrio quando: (a) c= 228 mm e (b) c= 406 mm. C B

305 mm

k = 1751 N/m P=? C = 228 mm A P

L

L0 C

L ² = L0 ² + C ² ⇒ L = 380,8mm ∆x = L − L0 = 75,8mm

F = K ⋅ ∆x = 1751× 75,88 ×10−3 F = 132,72 N

(F: força da mola;

∆x: deslocamento da mola)

D.C.L Equilíbrio → ⊕∑ Fx = 0

F P Fat=0 Μ=0

N

ω

P − F cos θ = 0 C P=F L

15

cosθ =

C L

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Exemplo 4: Caixotes de 30 kg estão suspensos por diversas combinações de corda e roldana. Determine, em cada caso, a tração na corda. (A tração na corda é a mesma dos dois lados da roldana, Veremos isto mais tarde). b)

R T

T

T

T

T

∑F

y

T

T

T

T

=0

R = 2T

∑F

y

=0

2T − P = 0 P T= 2

P

P

c) Roldana B A T T T T

T

T

T T

T’

B T’ T’

T’ = 2T

T C

Roldana C T’ T

T

∑F

y

=0

T '+2T − P = 0 2T + 2T = P P T= 4

P P

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Exercícios: 1) Determine a Força resultante das quatros forças aplicadas na figura abaixo:

a)

b)

2) Determine a Força Resultante das Forças aplicada no desenho abaixo.

a)

b)

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3) Determine o peso máximo do motor que pode ser suportado sem exceder uma força de 450N na corrente AB e de 480N na corrente AC. 4) Uma caixa é erguida com um guincho pelas cordas AB e AC. Cada corda resiste a uma força de tração máxima de 2500 N sem se romper. Se AB permanece sempre horizontal e AC permanece com θ = 30°, determine o peso máximo da caixa para que ela posa ser levantada.

3)

4)

5) João tenta alcançar Maria subindo com velocidade constante por uma corta amarrada no ponto A. Qualquer um dos três segmentos de corda suporta uma força máxima de 2 kN sem se romper. Determine se João, que tem massa de 65 kg, pode subir pela corda. Em caso positivo, verifique se ele, juntamente com Maria, que tem massa de 60 kg, pode descer pela corda com velocidade constante.

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6) Um bloco de 200kg pende de uma pequena polia que pode rolar sobre o cabo ACB. A polia e sua carga são mantidas na posição mostrada abaixo por um segundo cabo DF, paralelo ao trecho CB do cabo. Determine a tração no cabo ACB e no cabo DF. Despreze o raio da polia e a massa dos cabos e da roldana. Adote gravidade 10m/s².

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CAPÍTULO 3 3 Corpos Rígidos: sistemas equivalentes de forças 3.1

Classificação das forças atuantes em corpos rígidos

a) Forças Externas: Representam a ação de outros corpos sobre o corpo rígido considerado. Causarão o movimento (rotação/translação) ou assegurarão a permanência em repouso. b) Forças Internas: Mantém unidas as partículas que formam o corpo rígido. Se o corpo rígido é composto de diversas partes, essa força que mantém estas partes unidas. (Somatório das forças internas é zero) Guindastes:

D

C

E

F

B G

P

Barras: BE , DCEF , ABC.

A

D.C.L. Guindaste (estrutura) TDG

P

A = Ax i + Ay j

Ax A

Ay

∑F

ext

= A + P + T DG = 0

D.C.L. da Barra BE

D.C.L. da Barra ABC

F BE = − F EB

C = C xi + C y j

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FEB

E

Cy

Cx

FBE B FBE

Ax Ay

D.C.L. da Barra DCEF TDE α

3.2

Cy

Cx P

FEB

Princípio de transmissibilidade

Este princípio é definido pelos pontos em que a força pode estar atuando em um corpo, sem que altere o efeito que ela exerce sobre o corpo. Uma força pode atuar em qualquer ponto sobre a sua linha de ação que o efeito causado no corpo será o mesmo.

F A F’ A’

A” F”

F

F

= P R1

P R2

R1

21

R2

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3.3

Momento de uma força em relação a um ponto

Momento é a tendência de giro que uma força aplicada a um ponto tende a outro ponto do corpo. Força no Plano xy F

y A

Fy

y A

α

=

r

r

θ

F α

Fx

θ

x

componentes de

x

F

componentes de

Fx e Fy

dx e dy

Fx = F cos α

d x = r cos θ

Fy = Fsenα

d y = rsenθ

r

Momento de uma força em relação a um ponto é força vezes a distancia da linha de ação da força ao ponto aonde quero calcular o momento. M 0 = Fy d x − Fx d y

3.4

Momento de um conjugado

Duas forças F e –F que tenham o mesmo módulo, linhas de ação paralelas e sentidos opostos formam binários

∑F = 0 ∑M ≠ 0

-F

F

Podemos calcular o momento das duas forças em relação a qualquer ponto do corpo, que o momento sempre será o mesmo. y

y

B

B d

-F

F

-F

F

=

rB rA

A

A x

x

22

No caso de forças binárias, o momento é calculado pela força e a menor distância entre elas. M=F.d

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3.5

Conjuntos Equivalentes

(Os três binários têm o mesmo efeito sobre a caixa)

y M

M

M 150N 0,1m 150N

x

150N 0,1m

100N

150N

0,15m 100N

z

Exemplo 1: Uma força P de 300 N é aplicada ao ponto A da figura. (a) Calcule o momento de P em relação a O utilizando as componentes horizontal e vertical da força. P 30° A

B

120mm

40°

200mm

40° o

P = 300N a) M OP = ? (componentes y e x) a) Px = Psen30 Py = P cos 30 x = 200 cos 40° y = 200sen 40°

M o = − Px . y + p y .x M O = (20527N ⋅ mm)

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Exemplo 2: A força P é aplicada a uma pequena roda que se desloca sobre um cabo ACB. Sabendo que a tração nas duas partes do cabo é de 750N, determine o módulo de P.

A

30°

45°

C

α

P

TABC = 750N P=? TAC = TBC = TABC = 750N D.C.L Roda TBC

TAC

45°

30° α

r TACx r TACy r TBCx r TBCx

P

= TAC cos 30° = TAC sen30° = TBC cos 45° = TBC sen45°

Px = Psenα Py = P cosα

∑F

x

=0

− T AC cos 30 ° + T BC cos 45 ° + Px = 0 Px = 119 ,19 N

∑F

y

=0

T AC sen 30 ° + T BC sen 45 ° − Py = 0 Py = 905 ,33 N

Sendo: Px = 119,19; Py = −905,33 , teremos: P²=Px²=Py² -> P = 913,15N

24

B

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Exercícios: 1) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam sobre o corpo.

2) Determine o Momento das três forças em relação ao ponto A.

3)Determine o momento da força F em relação ao ponto A. θ = 45°.

25

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4) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas mostrados, que atuam sobre o corpo. 5) Determine a intensidade F da força aplicada no cabo da alavanca, de modo que a resultante das três forças passe pelo ponto 0.

4)

5)

6) Determine o momento no ponto A das cargas aplicadas e do momento (conjugado), mostrados, que atuam sobre o suporte vertical. 7) Uma força F e aplicada ao pedal de freio em A. Sabendo que F = 500N, determine o momento de F em relação a B. ( as medidas estão em milímetros).

6)

7)

26

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8) O corpo de 330N é mantido dentro no equilíbrio pelo peso W. E o sistema das polias excedentes B e C tem uma corda é contínua. As duas polias B e C estão presas em A e giram como uma unidade as cordas de A para B e C é prendido às bordas das polias em A. Determine o peso W para o equilíbrio do sistema e Todas as tensões nas demais cordas.

9) Quatro pinos são presos a tábua. Dois barbantes, apoiados nos pinos, são tracionadas. Determine o diâmetro dos pinos sabendo que o momento do binário resultante aplicado à tábua é de 54,8N, anti-horário.

203mm

111N

156N

y A

B

152mm z C

D 156N

111N

27

x

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CAPÍTULO 4 4 Equilíbrio de corpos rígidos 4.1

Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas dimensões:

r

∑ F = 0; r

∑M

O

=0

∑F ( 2) ∑ F

(1)

x

= 0;

y

= 0;

r

(3)

∑M

z

=0

28

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4.2

Reações nos Apoios e Conexões. Vinculo

Reação

Numero de incógnitas

1

1

1

2

3

29

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Exemplo 1: Um tanque cilíndrico de 250 kg tem 2 m de diâmetro e deve galgar uma plataforma de 0,5 m de altura. Um cabo é enrolado no tanque e puxado horizontalmente. Sabendo que o canto A da plataforma é áspero, calcule a força de tração no cabo necessária para levantar o tanque e a reação em A. T

G 0,5m

A

2m P B

- Massa do tanque: 250kg - Canto A é áspero T=? Reação em A = ? ∑ FX = 0 ∑ Fy = 0

R AX − T = 0

− P + R Ay = 0

R AX = T

R Ay = P = mg

r obs: R B = 0 (força T para retirar o tanque do chão )

r M ∑ A =0 T ⋅1,5 − P ⋅ l = 0 P ⋅l T= 1,5

1

0,5

l

30

l = 1² − 0,5²

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Exemplo 2: Determine em A e B quando: (a) α = 0, (b) α = 90 (c) α = 30 . 0,15m A

0,15m 250N

0,2m

B α

∑F

x

=0

RAx + RB cos α = 0

∑F

y

=0

− 250 + R Ay + RB senα = 0 r ∑MA = 0 RB senα ⋅ 0,2 + RB cos α ⋅ 0,2 = 0

31

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Exemplo 3: Sabendo que a tração em todos os pontos da correia é 300N, determine as reações nos apoios A e B, quando: (a) α = 0 (b) α = 90 e (c) α = 30 .

B 50mm

300mm

300N

α

300N

A 250mm

200mm

T = 300N Reações nos apoios A e B para: a) α = 0° b) α = 90° c) α = 30° D.C.L A By

Ay

Bx

α Ax

300N

cos α =

300N

Ax Ay ; senα = A A

Ax Ay

∑F

x

=0

300 − 300 + Ax + Bx = 0 ⇒ Ax = − Bx

∑F

y

=0

Ay + B y = 0 ⇒ Ay = − B y

∑M

A

=0

300 ⋅100 − 300 ⋅ 350 + B y ⋅ 250 − Bx ⋅ 400 = 0 250B y − 400Bx = 75000 Para cada α dado, encontramos os valores das reações

32

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Exemplo 4: Uma haste delgada BC de comprimento e peso P está presa a dois cabos, como se vê. Sabendo que o cabo AB está na horizontal, determine: (a) o ângulo θ que o cabo CD forma com a horizontal e (b) a força de tração em cada cabo.

θ C

l

A

B

40°

a) θ = ? b) TCD = ? e TAB = ? D.C.L. TCD

TCDy

∑F

x

TCDx

TCDx − TAB = 0

∑F l TAB

P

40° lcos40°

TCDx

y

=0

TCDy − P = 0 ⇒ TCDy = P

lsen40°

r ∑MB = 0 −P⋅

=0

l cos 40° − TCDx ⋅ lsen 40° + TCDy ⋅ l cos 40° = 0 2 P ⋅ cos 40° 1 = ⋅ 2 sen 40°

33

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Exemplo 5: Uma barra delgada de comprimento L está apoiada em C e na parede vertical. Ela suporta uma carga P em sua extremidade A. Desprezando o atrito e o peso da barra, determine o ângulo θ correspondente ao equilíbrio. A

P

θ L B

a

D.C.L.

P

B Cx

∑F ∑F

x

= 0 ∴Cx − B = 0

y

= 0∴C y − P = 0

Cy

r B⋅a M ∑ C = 0 ∴ P (Lsen θ − a ) − tgθ = 0 r C ⋅a ∑ M B = 0 ∴ P (lsen θ ) − tgx θ − C y ⋅ a = 0 B ⋅a =0 tgθ B⋅a P ⋅ Lsenθ + − P⋅a = 0 tgθ P ⋅ Lsenθ + P ⋅ Lsenθ − P ⋅ a − P ⋅ a = 0 P (Lsenθ − a ) −

2 P ⋅ Lsenθ = 2 P ⋅ a senθ =

a a ⇒ θ = arcsen  L L

34

(1) ( 2)

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Exemplo 6: Uma barra leve AD suporta uma carga vertical P e esta presa a mangas B e C que deslizam livremente nas hastes. Sabendo que o fio preso em A forma um ângulo α = 30 com a horizontal, determine: (a) a força de tração no fio e (b) as reações em B e C. A 30°

a

B

a

30°

C a

30°

D P

30°

Ax = A cos 30°

A 60° B

P = − Py 60°

C

Bx = Bsen30° By = B cos 30°

P

∑F ∑F

Ay = Asen30°

Cx = Csen30° Cy = C cos 30°

x

= 0 ∴ − A cos 30° + Bsen30° + Csen30° = 0

y

= 0 ∴ − Asen30° + B cos 30° + C cos 30° − P = 0 (2)

∑M

A

=0

B ⋅ sen30° ⋅ a + C ⋅ sen30° ⋅ 2a = 0 ⇒ B = −2C eq (1) − A ⋅ 0,866 − C + C ⋅ 0,5 = 0 ⇒ − A ⋅ 0,866 − C ⋅ 0,5 = 0 A= −

0,5 ⋅C 0,866

35

(1)

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eq (2) 0,5 ⋅ 0,5 ⋅ C − 2 ⋅ C ⋅ 0,866 + C ⋅ 0,866 − P = 0 0,866 P − 0,577C − P = 0 ⇒ C = − 0,577

B=

2P 0,577

A=

0,5 P ⋅ 0,866 0,577

Exercícios: 1) Determine as reações nos apoios em A (rolete) e B (pino) da estrutura.

2) Determine a intensidade das reações na viga em A e B. Despreze a espessura da viga.

36

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3) Determine as componentes horizontal e vertical do pino A e a reação no rolete B, necessárias para treliça. Considere F= 600N.

4) Determine as reações em A e B. A barra tem espessura de 0,1m.

5) A barra uniforme de 30 kg com roldanas nas extremidades está apoiada pelas superfícies horizontal e vertical e pelo arame AC. Calcule a força no arame e as reações contra as roldanas em A e B.

37

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6) Determine as reações em A e B.

7) Determine as reações em A (roletes) e B (pino).

8) O redutor de engrenagens, esta sujeito a dois conjugados, o seu peso de 200 N e a uma força vertical em cada uma das bases A e B. Se a resultante deste sistema de dois conjugados e de três forças for zero, determinar as forças em A e B.

38

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9) Determine as reações em A e B.

39

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CAPÍTULO 5 5 Análise das Estruturas Princípio Básico: 3ª lei de Newton- Estabelece que forças de ação e reação entre corpos em contato, possuem o mesmo módulo, mesma linha de ação e sentidos opostos. Categoria de estruturas: 1) Treliça; 2) Estruturas; 3) Máquinas;

5.1

Análise de Treliças

Treliça: Barra comprimida ou tracionada Método dos Nós Eficaz quando é necessário determinar as forças em todas as barras da treliça. Método das Seções Eficaz quando a força em uma ou poucas barras são desejadas.

40

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5.1.1 Análise das treliças pelo método dos nós. C

1

D

A

Ax

B

1

1 Ay

By

F

F = 1000N Estrutura de 5 barras

∑ F = 0 ∴ A = 0; ∑ Fy = 0∴ Ay + By − F = 0 ⇒ Ay = 500N + ∑ M = 0 ∴ − F ⋅1 + B ⋅ 2 = 0 x

x

A

By =

y

1000 ⇒ By = 500 N 2

F AC

C

FCA

C D

FCD FAD

FDA

Ay

Ax

C

FDC

A

Ax

Nó A:

FBC

A

B

FBD

D

FCB

FDB D

B

F

By

F AC 45º

∑ Fx = 0∴ Ax + F

FAD

AD

FAD = 500 N

∑F

Ay

y

Tração

= 0 ∴ Ay + FAC ⋅ sen 45º = 0

FAC = −707 N

41

+ FAC ⋅ cos 45º = 0

Compressão

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Nó B:

∑F

FBC

y

= 0 ∴ B y + FBC ⋅ sen 45º = 0

FBC = −707 N

45º

FBC

∑F

x

By

∑F

FCD FAD

= 0 ∴ − FBD − FBC ⋅ cos 45º = 0

FBD = 500 N

Nó D:

y

Compressão

Tração

=0

FDC − F = 0 FDC = 1000 N (T )

FBD

∑F

x

=0

FDB − FDA = 0 ⇒ FDB = FDA

F

42

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5.1.2 Análise das treliças pelo método das Seções. 1

1

F1 B

A

1

F3

F2

G

D

F1 = F2 = F3 = 10³N

1

Gx C

Gy

E

Ey

D.C.L. da treliça: ∑ Fx = 0 ∴ G x = 0

∑F

y

⇒ G y = −3000 N

= 0 ∴ − F1 − F2 − F3 + E y + G y = 0

∑M

⊕

G

=0

F1 ⋅ 3 + F2 ⋅ 2 + F3 ⋅1 − E y ⋅1 = 0 E y = 6000 N

F1

B

A

F2 45º

C

F3

FCE

FDB

B

FBD FBE

D

Gx +

GY

FEB FEC

E

E

Ey

Seção 1

∑ Fx = 0 FCE + FBD + FBE ⋅ sen45º = 0

∑F

y

=0

− F1 − F2 − FBE ⋅ cos 45º = 0 ⇒ FBE = ⊕

∑M

B

G

− F2 − F = − 2828,4 N cos 45º

=0

F1 ⋅1 + FCE ⋅1 = 0 FCE = − F1 = − 1000N ∴ FBD = 3000N

43

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5.2 •

Análise de uma estrutura

Treliças ⇒ É uma estrutura com barras retas submetidas a apenas duas forças.

⇒ Vamos considerar agora estruturas que possuem pelo menos uma barra submetida a três ou mais forças.

C F1

F2

β

α

A

B

AC = L1 CB = L2

F1 e F2 atuam no ponto médio de cada barra. D.C.L. da estrutura

F1

F2

Ax

Bx Ay

By

D.C.L. barra AC :

D.C.L. barra CB

Cy

F1

Cy

Cx

Cx

F2

Ax

Bx Ay

By

44

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D.C.L estrutura

∑F

x

= 0 ∴ Ax + B x = 0 ⇒ Ax = − B x

Fy = 0 ∴ Ay + B y − F1 − F2 = 0

⊕ ∑M A = 0 − F1 ⋅

L1 L   cos α − F2  L1 cos α + 2 cos β  + B y ( L1 cos α + L2 cos β ) = 0 2 2  

By =

F1 ⋅ L1 cos α 2 + F2 (L1 cos α + L2 cos β 2)  Com isso teremos, By e Ay L1 ⋅ cos α + L2 cos β 

D.C.L AC

∑F ∑F

x y

  Logo teremos Cx e C y também. = 0 ∴ Ay + C y − F1 = 0

= 0 ∴ Ax + C x = 0

⊕ ∑MC = 0 − Ay ⋅ L1 cosα + Ax ⋅ L1 senα + F1

Ax =

L1 ⋅ cos α = 0 2

Ay ⋅ L1 ⋅ cos α − F1 ⋅ L1 ⋅ cos α 2   Teremos Ax L1 ⋅ senα 

45

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Exemplo 1: Sabendo que a polia tem um raio de 0,5m, determine a componente das reações em A e E.

1m

3m

3m

C 1m

B

D

2m E

Ax

A

700N Ey

Ay

Raio da Polia é 0,5m. Reações “A” e “B”. D.C.L da estrutura

∑F

= 0 ∴ Ax + E x = 0

∑F

= 0 ∴ Ay + E y − 700 = 0 ⇒ Ay = 250 N

x

y

⊕∑MA = 0 E y ⋅ 7 − 700 ⋅ 4,5 = 0 E y = 450 N

46

Ex

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D.C.L (Polia) 700

Dy

Dx

∑F ∑F

x

= 0 ∴ D x = 700 N

y

= 0 ∴ D y = 700 N

∑F ∑F

x

= 0 ∴ Ax + 700 + C x = 0

y

= 0 ∴ Ay + C y = 0 ⇒ C y = −250 N

700

D.C.L (Barra ABC) Cy

Cx 700

Ax Ay

⊕ ∑ MC = 0 + 700 ⋅1 + Ax ⋅ 3 − Ay ⋅ 1 = 0 Ax =

− 700 + 250 ⇒ Ax = − 150 N 3

Logo:

C x = − 550 N E x = 150 N

47

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5.3

Máquinas

• Máquinas são estruturas projetadas para transmitir e modificar forças. Seu principal objetivo é transformar forças de entrada em forças de saída. Exemplo 2:

Analisamos as forças e momentos nas partes separadas ΣF=0; ΣM=0.

48

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Exemplo 3: A tesoura de poda pode ser ajustada apoiando-se o pino A em um dos vários dentes da lâmina ACE. Sabendo que forças verticais de 1500N são necessárias para cortar um ramo, determine o modulo P das forças que devem ser aplicadas nos apoios de mão quando a tesoura está ajustada como ilustrada.

D.C.L(Barra AB)

FAB

13,8 = 40,25º 16,3 = FAB ⋅ cos α = FAB ⋅ 0,76

α = arctg

A

FABX

13,8

α

FABY = FAB ⋅ senα = FAB ⋅ 0,65 B

FBA 16,3

49

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D.C.L (ACE) 35,1

12,5

37,5

E

FC FAB

∑F

y

=0

− FAB ⋅ 0,65 + C y + 1500 = 0

∑F

x

=0

C x + FAB ⋅ 0,76 = 0 ⊕ ∑MC = 0

1500 ⋅ 37,5 + FAB ⋅ 0,76 ⋅12,5 + FAB ⋅ 0,65 ⋅ 35,1 = 0 FAB = −1740N logo Cx = 1323N

C y = −2631N D.C.L (MCD) 87,5

37,5

P

Cy Cx

1500

32,55

Dx Dy

⊕∑MD = 0 P ⋅ 87,5 − 1500 ⋅ 37,5 + C x ⋅ 32,55 = 0 P=

1500 ⋅ 37,5 − 32,55 ⋅ 1323 ⇒ P = 150,7 N 87,5

50

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Exemplo 4: Uma barra uniforme de forma circular está presa por um pino em B e apoiada em uma parede sem atrito em A. determine as reações em A e B.

Ax

r P

2r/π

Bx

By

∑M

B

=0

2π  − Ax ⋅ r + P0  r − r  2π  1  Ax = P r −  r r 

 =0 

∑F

= 0 ⇒ Ax + Bx = 0 ⇒ Bx = −

∑F

= 0 ⇒ By − P = 0 ⇒ By = P

x

y

P 2π  r −  r r 

51

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Exemplo 5: Determine as forças nas barras GJ, GK e IK da treliça.

3

TGk

TGj

θ

J

TIk

3 4

∑M

1

L

=0

− TG j ⋅ 4 + Lx ⋅ 3 = 0 TG j = 30 KN

∑F

x

= 0 ∴ Lx − TG k ⋅ cosθ = 0

TG k = −50 KN D.C.L (estrutura) ∑ML = 0 − Ax ⋅ 9 + 15 ⋅12 + 15 ⋅ 8 + 15 ⋅ 4 = 0 Ax = 10 KN

∑F

x

=0

Ax + Lx = 0 ⇒ Lx = −40 KN

∑F

y

=0

L y − 15 − 15 − 15 ⇒ L y = 45KN

∑F

y

= 0 ∴TG j + TG k ⋅ senθ + TI k + L y = 0 ⇒ TI k = −45kN

52

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Exemplo 6: Usando o método dos nós, determine a força em cada barra da treliça. Indique se cada barra esta tracionada ou comprimida.

D.C.L (Estrutura) ∑MC = 0

1,6 ⋅ 3 + Fx ⋅1,6 = 0 ⇒ Fx = −3KN

∑ F = 0 ∴ C + F = 0 ⇒ C = 3KN ∑ F ∴ −1,6 + C ⇒ C = 1,6 x

x

y

x

y

x

y

Método dos Nós D.C.L (A)

TBA

∑F

TDA

− 1,6 − TDA ⋅ senθ = 0

y

=0

TDA = −3,4 kN 1,6

 0,8   = 28,07  1,5 

θ = arctg

∑F

x

= 0 ∴TBA + TDA ⋅ cos θ = 0

TBA = 3kN

53

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Exemplo 7: Determine a força P que deve ser aplicada ao elo articulado CDE para manter o suporte ABC na posição.

D.C.L (toda estrutura) ∑ME = 0

− Ax ⋅150 − Ay 300 + P ⋅150 + 900 ⋅150 = 0

∑F ∑F

x

= 0 ∴ Ax + E x + P = 0

y

= 0 ∴ Ay + E y − 900 = 0

Ax = −60 D.C.L (ABC) ∑MC = 0

− Ay ⋅ 300 − Ax ⋅ 450 + 900 ⋅150 = 0

∑F ∑F

x

= 0 ∴ Ax + C x = 0

y

= 0 ∴ Ay + C y − 900 = 0

D.C.L (ED) ∑ M D ∴ − E x ⋅150 − E y ⋅ 25 = 0

∑F ∑F

x

= 0 ∴ E x + Dx + P = 0

y

= 0∴ E y + Dy = 0

D.C.L (D.C) ∑MD = 0

C x ⋅150 − C y ⋅ 25 = 0

∑F ∑F

x

= 0 ∴ −C x − D x + P = 0

y

= 0 ∴ −C y − D y = 0

54

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Exercícios: 1) Determine as forças em todas as Barras, e indique se ela esta sofrendo tração ou compressão.

2) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob ação de tração ou compressão. Considere que P1 = P2 = 4 kN.

3) Determine a força em cada barra da treliça e indique se essas barras estão sob tração ou compressão. Considere que P1 = 0 eP2 = 20 kN.

55

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4) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob tração ou compressão.

5) Determine a força em cada barra da treliça. Indique se cada barra esta tracionada ou comprimida. As forças estão em [N].

6) Determine as forças em todas as barras da treliça e indique se eles estão sob tração ou compressão.

56

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7) Determine as forças nas barras BC, HC e HG para a treliça da ponte e indique se eles estão sob tração ou compressão. 8) Determine as forças nas barras GF, CF e CD para a treliça da ponte e indique se eles estão sob tração ou compressão.

7) e 8) 9) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles estão sob tração ou compressão.

10) Determine as forças nas Barras CE, CD e BD, e indique se ela esta sofrendo tração ou compressão.

57

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11) Determine as forças nas barras DF, EF e EG da treliça. As forças estão em [N].

12) Determine as forças nos elementos CE, CD e BD da treliça e indique se eles estão sob tração ou compressão.

13) Calcular a força suportada pela barra BH da treliça, em balanço, carregada.

58

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14) Calcular as forças que atuam nas barras IH, BH e BC da treliça, carregada pelas forças de 40 E 60 kN.

15) Calcular as forças que atuam nas barras CH, CB e GH da treliça em balanço. 16) No guindaste em ponte rolante mostrado, todos os elementos cruzados são barras de amarração esbeltas incapazes de suportar compressão. Determine as forças nos elementos DF e EF e encontre a reação horizontal na treliça em A.

(15)

(16)

17) Calcule a força no elemento HN da treliça carregada.

59

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18) Determine a força no elemento DK da treliça para placas de sinalização carregada.

19) As estruturas articuladas ACE e DFB estão interligadas pelas duas barras articuladas, AB e CD, que se cruzam sem estarem ligadas. Calcular a força que atua em AB.

20) A treliça é composta de triângulos retângulos isósceles. As barras cruzadas nos dois painéis centrais são tirantes esbeltos, incapazes de suportar compressão. Calcular as forças nas barras MN, GM e FN.

60

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21) A treliça suporta uma rampa (mostrada com uma linha tracejada) que se estende de um nível de chegada fixo próximo ao ponto F até um nível de saída fixo perto de J. As cargas mostradas representam o peso da rampa. Determine as forças nos elementos BH e CD e indique se eles estão sob tração ou compressão.

22) Determine as forças nos elementos CD, CF e CG e indique se eles estão sob tração ou compressão.

23) Determine as forças nos elementos DE, EI, FI e HI da treliça do telhado em arco e indique se eles estão sob tração ou compressão.

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24) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para as cargas aplicadas. As duas barras ABC e BD estão ligadas por este pino.

30

25) Determine os componentes horizontal e vertical da força em C exercida pelo elemento ABC sobre o elemento CEF.

26) Determine a maior força P que deve ser aplicada à estrutura, sabendo-se que a maior força resultante em A deve ter intensidade de 2 kN.

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27) Determinar a força suportada pelo pino C da estrutura carregada.

28) Determinar a força suportada pelo pino B da estrutura, para a carga aplicada de 300 kg. As duas polias estão ligadas entre si, formando uma unidade integral.

29) O elevador para carros permite que o carro seja movido para a plataforma, após o que as rodas traseiras são levantadas. Se o carregamento devido a ambas as rodas traseiras vale 6 kN, determine a força no cilindro hidráulico AB. Despreze o peso da plataforma. O elemento BCD é um suporte em ângulo reto preso por pino à plataforma em C.

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30) Uma força de 75 N é aplicada ao cabo OAB do saca-rolha. Determine a força de extração F exercida sobre a rolha.

31) Para a tesoura de poda mostrada, determine a força Q aplicada ao galho circular de 15 mm de diâmetro para uma força de aperto P=200 N.

32) O rebitador é usado para inúmeras operações de junção. Para a posição do cabo dada por α = 10º e um aperto no cabo P = 150 N, calcule a força de aperto C gerada. Observe que os pinos A e D são simétricos em relação à linha de centro horizontal da ferramenta.

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33) Um lingote de aço pesando 40kN é levantado pela tenaz. Determine as forças aplicadas nos pontos C e E da peça BCE.

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CAPÍTULO 6 6 Centróide e Baricentro Baricentro: Centro de Gravidade Centróide: Centro Geométrico P = m ⋅ g = ρ ⋅V ⋅ g = ρ ⋅ t ⋅ A ⋅ g

δ = ρ ⋅g

ρ : densidade da massa específica t : espessura

δ : peso específico

Baricentro Centróide

Madeira

Aço

y

y ∆P

P

x y

x G

x

y

=

z

z

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x

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6.1

Áreas e Linhas - Placas e Arames Compostos

Placas X ∑ Ai = ∑ Xi ⋅ Ai

Arames XLi = ∑ Xi ⋅ Li

Y ∑ Ai = ∑ Y i ⋅ Ai

Y Li = ∑ Y i ⋅ Li

y

A = ∑ Ai

y

A2 A1

C2 A3

C

Y

C1

X

C3 x

x

Alguns centróides são tabelados devidos as suas formas comuns como veremos nas tabelas a seguir.

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Exemplo 1: y

A2

A1

A3

Y = 0 , pois tem o eixo de simetria no eixo x.

x Furo

A1

A2

A3

_

+

i 1 2 3

Xi + +

Ai + + -

XiAi + -

X =

69

∑ XiAi Ai

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Exemplo 2:

y

1 r

L

x

2

i 1

X L 2

2

L+r

Y

L

0

−

2r π

YL

L

XL L² 2

π ⋅r

(L + r ) ⋅ π ⋅ r

− 2r ²

0

X ∑ Li = ∑ XiLi X (L + π ⋅ r ) =

L² + (L + r )π ⋅ r 2

Y=

0 − 2r ² L +π ⋅r

L² + (L + r )π ⋅ r 2 X= L +π ⋅r Exercícios: Determine o centróide da área sombreada em relação aos eixos x e y. a)

b)

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c)

d)

e)

f)

g)

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CAPÍTULO 7 7 Movimento Circular 7.1

Velocidade Angular (ω)

Um ponto material “P”, descrevendo uma trajetória circular de raio “r”, apresenta uma variação angular (∆ϕ) em um determinado intervalo de tempo (∆t). A relação entre a variação angular (∆ϕ) e o intervalo de tempo (∆t) define a velocidade angular do movimento.

ω=

∆ϕ ∆t

Em que: ω = velocidade angular [rad/s] ∆ϕ = variação angular [rad] ∆t = variação de tempo [s]

7.2

Período (T)

É o tempo necessário para que um ponto material "P",movimentando-se em uma trajetória circular de raio "r",complete um ciclo. T =

2π

ω

Em que: T = período [s] ω = velocidade angular [rad/s] π =constante trigonométrica 3,1415...

7.3

Frequencia (f)

É o número de ciclos que um ponto material "P" descreve em um segundo, movimentando-se em trajetória circular de raio "r". A freqüência (f) é o inverso do período (T). f =

1 ω = T 2π

Em que: f = freqüência [Hz] T = período [s] ω = velocidade angular [rad/s] π = constante trigonométrica 3,1415...

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Radiano É o arco de circunferência cuja medida é o raio.

7.4

Rotação (n)

É o número de ciclos que um ponto material "P", movimentando-se em trajetória circular de raio "r", descreve em um minuto. Desta forma,podemos escrever que: Logo: n = 60 f Como f =

ω 60ω 30ω , tem-se n = , portanto: n = 2π 2π π

Em que: n = rotação [rpm] f = freqüência [Hz] ω = velocidade angular [rad/s] π =constante trigonométrica 3,1415...

7.5

Velocidade Periférica ou Tangencial (v)

A velocidade tangencial ou periférica tem como característica a mudança de trajetória a cada instante, porém o seu módulo permanece constante

A relação entre a velocidade tangencial (v) e a velocidade angular (ω) é definida pelo raio da peça. v

ω

= r , portanto: v = ω.r

mas,isolando ω na expressão da rotação,obtém-se: substituindo ω na expressão anterior,obtém-se: Em que: v =velocidade periférica [m/s] π =constante trigonométrica 3,1415... n =rotação [rpm] r =raio [m] ω =velocidade angular [rad/s]

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Exercícios: 1) A roda da figura possui d= 300mm ,gira com velocidade angular (J) = 10π rad/s. Determinar para o movimento da roda: a) Período(T) b) Freqüência (f) c) Rotação(n) d) Velocidade periférica (Vp)

2) O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação n= 1740rpm. Determine as seguintes características de desempenho do motor: a) Velocidade angular (ω) b) Período (T) c) Freqüência (f)

3) O ciclista da figura monta uma bicicleta aro 26 (d=660mm), viajando com um movimento que faz com que as rodas girem com n= 240rpm. Qual a velocidade do ciclista? V[km/h].

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CAPÍTULO 8 8 Relação de Transmissão (i) 8.1

i=

Transmissão por Correias

d 2 ω1 f n M = = 1 = 1 = T2 d1 ω 2 f 2 n2 M T 1

Em que: i = relação de transmissão [adimensional] d1 =diâmetro da polia (1) (menor) [m; ...] d2 =diâmetro da polia (2) (maior) [m; ...] ω1 =velocidade angular (1) [rad/s] ω2 =velocidade angular (2) [rad/s] f1 =freqüência (1) [Hz] f2 =freqüência (2) [Hz] n1 =rotação (1) [rpm] n2 =rotação (2) [rpm] MT1 =torque (1) [N.m] MT2 =torque (2) [N.m]

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Exercício: 1) A transmissão por correias, representada na figura, é composta por duas polias com os seguintes diâmetros respectivamente: polia (1) motora d1 =100mm polia (2) movida d2 =180mm A polia (1) (motora) atua com velocidade angular ω =39π rad/ s. Determinar para transmissão: a) Período da polia (1) (T1) b) Freqüência da polia (1) (f1) c) Rotação da polia (1) (n1) d) Velocidade angular da polia (2) (ω2) e) Freqüência da polia (2) (f2) f) Período da polia (2) (T2) g) Rotação da polia (2) (n2) h) Velocidade periférica da transmissão (v p) i) Relação de transmissão (i)

8.2

Transmissão por engrenagens

Diâmetro primitivo da engrenagem: do= m . z Em que: do - diâmetro primitivo m – módulo da engrenagem z – número de dentes

i=

d o 2 m.z 2 ω1 f1 n1 M T 2 = = = = = d o1 m.z1 ω2 f 2 n2 M T 1

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Observação Para que haja engrenamento entre duas engrenagens, é condição indispensável que os módulos sejam iguais. Portanto:

i=

d o 2 z 2 ω1 f n M = = = 1 = 1 = T2 d o1 z1 ω2 f 2 n2 M T 1

Em que: i – relação de transmissão [adimensional] d01 - diâmetro primitivo do pinhão (1) [m] d02 – diâmetro primitivo da coroa (2) [m] Z1 – número de dentes do pinhão(1) [adimensional] Z2 – número de dentes da coroa (2) [adimensional] ω1 – velocidade angular do pinhão(1) [rad/s] ω2 – velocidade angular da coroa (2) [rad/s] f1 – freqüência do pinhão (1) [Hz] f2 – freqüência da coroa (2)[Hz] n1 – rotação do pinhão(1) [rpm] n2 – rotação da coroa (2) [rpm] MT1 - torque do pinhão (1) [Nm] MT2 – torque da coroa (2) [Nm] REDUTOR DE VELOCIDADE A transmissão será redutora de velocidade quando o pinhão acionara coroa. AMPLlADOR DE VELOCIDADE A transmissão será ampliadora de velocidade quando a coroa acionar o pinhão.

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CAPÍTULO 9 9 Torção Simples Uma peça encontra-se submetida a esforço de torção,quando sofre a ação de um torque (MT) em uma das extremidades e um contratorque (MT) na extremidades oposta.

9.1

Momento Torçor ou Torque (MT)

É definido por meio do produto entre a carga (F) e a distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (ver figura anterior). MT=2F.S Em que: MT- torque (Nm) F – carga aplicada (N) S – distância entre o ponto de aplicação da carga e o centro da seção transversal da peça (m). Exemplo1: Determinar o torque de aperto na chave que movimenta as castanhas na placa do torno. A carga aplicada nas extremidades da haste F=80N. O comprimento da haste é l= 200mm. Resolução: MT=2Fs MT=2.80.100 MT=16000 Nmm MT=16 Nm Exemplo 2: Dada a figura, determinar o torque de aperto (MT) no parafuso da roda do automóvel. A carga aplicada pelo operador em cada braço da chave é F = 120N,e o comprimento dos braços é l=200mm. Resolução: MT=2F.l MT=2.120.200 MT=48000 Nmm MT=48 Nm

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9.2

Torque nas Transmissões

Para as transmissões de movimento, o torque é definido por meio do produto entre a força tangencial (FT) e o raio(r) da peça. MT=F.r Em que: MT- Torque [Nm] FT – Força tangencial [N] r – raio da peça [m] Exemplo 3: A transmissão por correias, representada na figura, é composta pela polia motora (1) que possui diâmetro d1= 100mm e a polia movida (2) que possui diâmetro d2=240mm. A transmissão é acionada por uma força tangencial FT= 600N.

Determinar para transmissão: a) Torque na polia (1) b) Torque na polia (2)

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CAPÍTULO 10 10 Potência (P) Define-se por meio do trabalho realizado na unidade de tempo. Tem-se então:

W-Watt Em que: P – potência [W] FT – força tangencial [N] Vp - velocidade periférica [m/s] No século XVIII ao inventar a máquina a vapor James Watt decidiu demonstrar ao povo inglês quantos cavalos equivalia a sua máquina. Para isso,efetuou a seguinte experiência:

F= Qmáx= 76 kgf Carga máxima que o cavalo elevou com velocidade V= 1m/s. Resultado em: P=F.v P=76kgf. 1m/s P=76kgfm/s

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Como: kgf=9,80665N P=76.9,80665N.1m/s P=745,...Nm/s, a unidade Nm/s = 1W, homenagem a J. Watt, surgiu dessa experiência o HP (horsepower). hp=745,...w – cuja utilização é vedada no SI. Após algum tempo a experiência foi repetida na França constando-se que Q=75kgf. Resultou daí o cv (cavalo vapor) P=F.v P=75kgf. 1m/s P=75kgfm/s Como kgf=9,80665N Conclui-se que: P = 75 . 9,80665Nm/s p=735,5 W temporariamente permitida a utilização no SI. RELAÇÕES IMPORTANTES hp = 745,...W (horse power) – vedada a utilização no SI. cv = 735,5W (cavalo vapor) – permitida temporariamente a utilização no SI. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES hp (horse power)-unidade de potência ultrapassada que não deve ser utilizada. cv (cavalo-vapor) – unidade de potência cuja utilização é admitida temporariamente no SI.

10.1

Torque X Potência

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10.2

Força Tangencial (FT)

Exemplo 1: O elevador da figura encontra-se projetado para transportar carga máxima Cmáx= 7000N (10pessoas). O peso do elevador é Pe=1KN e o contra peso possui a mesma carga Cp=1kN. Determine a potência do motor M para que o elevador se desloque com velocidade constante v=1m/s.

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Exemplo 2: A figura dada representa um servente de pedreiro erguendo uma lata de concreto com peso Pc=200N. A corda e a polia são ideais. A altura da laje é h=8m, o tempo de subida é t= 20s. Determinar a potência útil do trabalho do operador.

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Exemplo 3: Supondo que, no exercício anterior, o operador seja substituído por um motor elétrico com potência P=0,25kW, determinar: a) Velocidade de subida da lata de concreto (v s) b) Tempo de subida da lata (ts)

Exemplo 4: Uma pessoa empurra o carrinho de supermercado, aplicando uma carga F=150N,deslocando-se em um percurso de 42m no tempo de 1minuto. Determinar a potência que movimenta o veículo.

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Exemplo 5: A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico com potência P=5,5kW com rotação n=1720rpm chavetando a polia (1) do sistema. As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: d1=120mm (diâmetro da polia 1) d2=300mm (diâmetro da polia 2) Desprezar as perdas. Determinar para transmissão: a) Velocidade angular da polia 1 (W1) b) Freqüência da polia 1 (f1) c) Torque da polia 1 (MT) I d)Velocidade angular da polia 2 (W2) e)Freqüência da polia 2 (f2) f) Rotação da polia 2 (n2) g)Torque da polia 2 (MT2) h)Relação de transmissão (i) i) Velocidade periférica da transmissão (Vp) j) Força tangencial da transmissão (FT)

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Exemplo 6: A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por intermédio de um motor elétrico que possui potência P=0,75KW e gira com rotação n=1140rpm, acoplado à engrenagem (1) (pinhão). As engrenagens possuem as seguintes características: Pinhão (1)

Coroa (2)

Número de dentes Z1=25 dentes Módulo M=2mm

Número de dentes Z2=47dentes Módulo M=2mm

Desprezando as perdas, determinar para a transmissão: a) Velocidade angular do pinhão 1 (ω1) b) Freqüência do pinhão 1 (f1) c) Torque no pinhão 1 (MT1) d) Velocidade angular da coroa 2(ω2) e) Freqüência da coroa 2 (f2) f) Rotação da coroa 2 (n2) g) Torque na coroa 2 (MT2) h) Relação de transmissão (i) i) Força tangencial da transmissão (FT) j) Velocidade periférica da transmissão (v)

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Exercícios: 1) A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por meio da polia 1 por um motor elétrico com potência P= 7,5kW (P = 10cv) e rotação n=1140rpm. As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros:

d1 = 120mm (diâmetro da polia 1) d2 = 220mm (diâmetro da polia 2) Determinar para transmissão: a) Velocidade angular da polia 1(ω1) b) Freqüência da polia 1 (f1) c) Torque da polia 1 (MT1) d) Velocidade angular da polia 2 (ω2) e) Freqüência da polia 2 (f2) f)Rotação da polia 2 (n2) g) Torque da polia 2(MT2) h) Velocidade periférica da transmissão (v) i) Força tangencial (FT) j) Relação de transmissão (i)

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2) A transmissão por engrenagens, representada na figura, é acionada por meio do pinhão 1 acoplado a um motor elétrico de IV pólos com potência P= 15kW (p=20cv) e rotação n=1720rpm. As características das engrenagens são: Pinhão (engrenagem 1) Coroa (engrenagem 2) Z1=24dentes (número de dentes) Z2=73dentes (número de dentes) m=4mm (módulo) m=4mm (módulo)

Determinar para a transmissão: Engrenagem 1 (pinhão) a) velocidade angular (ω1) b) freqüência (f1) c) torque (MT1)

Engrenagem 2 (coroa) d) velocidade angular (ω2) e) freqüência (f2) f) rotação (n2) g) torque (MT2)

Características da transmissão: h) velocidade periférica (v) i) força tangencial (FT) j) relação de transmissão (i)

3) O motor elétrico da figura possui como característica de desempenho a rotação n= 1500rpm. Determine as seguintes características de desempenho do motor: a) Velocidade angular (ω) b) Período (T) c) Freqüência (f)

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4) A transmissão por correias, representada na figura, é acionada por um motor elétrico com potência P=2,5kW com rotação n=2000rpm chavetando a polia (1) do sistema. As polias possuem respectivamente os seguintes diâmetros: d1=120mm (diâmetro da polia 1) d2=300mm (diâmetro da polia 2) Desprezar as perdas. Determinar para transmissão: a)Freqüência da polia 2 (f2) b) Rotação da polia 2 (n2) c)Torque da polia 2 (MT2) d)Relação de transmissão (i) e) Velocidade tangencial da transmissão (VT) f) Força tangencial da transmissão (FT)

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CAPÍTULO 11 11 Rendimento das Transmissões (η η) Em qualquer tipo de transmissão, é inevitável a perda de potência que ocorre nas engrenagens, mancais, polias, correntes, rodas de atrito, originada pelo atrito entre as superfícies, agitação do oléo lubrificante, escorregamento entre correia e polia,etc. Desta forma, constata-se que a potência de entrada da transmissão é dissipada em parte sob a forma de energia, transformada em calor, resultando a outra parte em potência útil geradora de trabalho. Pe = Pu + Pd Em que: Pe - potência de entrada [W;kW;...] Pu – potência útil [W;kW;...] Pd – potência dissipada [W;kW;...]

11.1

Rendimento das transmissões

Transmissão por parafuso sem fim

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11.2

Perdas nas Transmissões

A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência (P) e rotação (n). As polias possuem os seguintes diâmetros: d1 – diâmetro da polia 1 d2 – diâmetro da polia 2 As engrenagens possuem os seguintes números de dentes: Z1 – número de dentes Z2 – número de dentes Z3 – número de dentes Z4 – número de dentes

da engrenagem 1 da engrenagem 2 da engrenagem 3 da engrenagem 4

Os rendimentos: ηc - rendimento da transmissão por correias ηe - rendimento da transmissão por engrenagens ηm - rendimento do par de mancais

Exemplo 1: Determinar as expressões de: a) Potência útil nas árvores (1, 2 e 3) b) Potência dissipada/estágio c) Rotação das árvores(1, 2 e 3) d) Torque nas árvores(1, 2 e 3) e) Potência útil do sistema f) Potência dissipada do sistema g) Rendimento da transmissão

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Exemplo 2: A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P=5,5kW (P=7,5CV) e rotação n=1740 rpm. As polias possuem os seguintes diâmetros: d1=120mm d2 = 280mm As engrenagens possuem os seguintes números de dentes: Z1= 23 dentes; Z2= 49 dentes; Z3=27 dentes; Z4= 59 dentes Os rendimentos são: ηc = 0,97 (Transmissão por correia em V) ηe = 0,98 (Transmissão/par de engrenagens) ηm = 0,99 (Par de mancais (rolamentos)) Determinar na transmissão: a) Potência últil nas árvores 1, 2 e 3. b) Potência dissipada/estágio c) Rotação das árvores 1, 2 e3. d) Torque nas árvores 1, 2 e 3 e) Potência útil do sistema f) Potência dissipada do sistema g) Rendimento da transmissão

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Exercícios: 1) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico compotência P=3,7kW (p= 5cv) e rotação n=1710rpm. Os diâmetros das polias são: d1=100mm(polia motora) d2= 250mm(polia movida) O número de dentes das engrenagens: Z1= 21dentes; Z2= 57dentes; Z3= 29dentes e Z4= 73dentes Rendimentos dos elementos de transmissão: ηc= 0,97 (transmissão por correias) ηe= 0,98 (transmissão por engrenagens) ηm= 0,99 [par de mancais (rolamentos)] Determinar para transmissão: a) Potência útil nas árvores 1, 2 e 3 b) Potência dissipada/estágio c) Rotação das árvores 1, 2 e 3 d) Torque nas árvores 1, 2 e 3 e) Potência útil do sistema f) Potência dissipada do sistema g) Rendimento da transmissão

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2)

3) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P=5,0kW e rotação n=1500 rpm. As polias possuem os seguintes diâmetros: d1=100mm d2 = 200mm As engrenagens possuem os seguintes números de dentes: Z1= 23 dentes; Z2= 59 dentes; Z3=27 dentes; Z4= 49 dentes Os rendimentos são: ηc = 0,97 (Transmissão por correia em V) ηe = 0,98 (Transmissão/par de engrenagens) ηm = 0,99 (Par de mancais (rolamentos)) Determinar na transmissão: a) Torque na saída do sistema. b) Potência útil do sistema. c) Potência dissipada do sistema. d) Rendimento da transmissão.

100

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4) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P = 5,1 kW e rotação de n=1930 rpm. Os diâmetros das polias são: d1=225mm(polia motora) d2= 450mm(polia movida)

O número de dentes das engrenagens de módulo 2mm: Z1= 23dentes, Z2= 73dentes; Z3= 29dentes, Z4= 57dentes; Z5= 17dentes e Z6= 43dentes

Rendimentos dos elementos de transmissão: ηc= 0,97 (transmissão por correias) ηe= 0,98 (transmissão por engrenagens) ηm= 0,99 [par de mancais (rolamentos)]

Determinar para transmissão: a) Potência útil nos eixos I, II, III e IV; b) Rotação nos eixos I, II, III e IV; c) Torque nos eixos I, II, III e IV; d) Freqüência nos eixos I, II, III e IV; e) Velocidade angular nos eixos I, II, III e IV; f) Velocidade Tangencial de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6); g) Força tangencial da de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6); h) Potência útil do sistema; i) Potência dissipada do sistema; j) Rendimento da transmissão; k) Qual a relação de transmissão do sistema (motor até a saída da transmissão)?

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5) A transmissão da figura é acionada por um motor elétrico com potência P = 9,5 kW e rotação de n=2500 rpm. Os diâmetros das polias são: d1=125mm(polia motora) d2= 400mm(polia movida)

O número de dentes das engrenagens de módulo 2mm: Z1= 17dentes, Z2= 31dentes; Z3= 21dentes, Z4= 47dentes; Z5= 27dentes e Z6= 53dentes

Rendimentos dos elementos de transmissão: ηc= 0,97 (transmissão por correias) ηe= 0,98 (transmissão por engrenagens) ηm= 0,99 [par de mancais (rolamentos)]

Determinar para transmissão: a) Potência útil nos eixos I, II, III e IV; b) Rotação nos eixos I, II, III e IV; c) Torque nos eixos I, II, III e IV; d) Freqüência nos eixos I, II, III e IV; e) Velocidade angular nos eixos I, II, III e IV; f) Velocidade Tangencial de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6); g) Força tangencial da de cada transmissão (da polia 1 para 2, e das engrenagens de 1 para 2, 3 para 4 e 5 para 6); h) Potência útil do sistema; i) Potência dissipada do sistema; j) Rendimento da transmissão; k) Qual a relação de transmissão do sistema (motor até a saída da transmissão)?

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CAPÍTULO 12 12 Noções de Resistência dos Materiais 12.1

Introdução

A Resistência dos materiais é um ramo da mecânica que estuda as relações entre cargas externas aplicadas a um corpo deformável e a intensidade das forças internas que atuam dentro do corpo. Abrangência Cálculo da deformação do corpo Estudo da estabilidade do corpo quando ele está submetido a forças externas. Nomes Mecânica dos materiais e Mecânica dos corpos deformáveis Corpos sólidos considerados: Barras com carregamentos axiais, eixos em torção, vigas em flexão e colunas em compressão.

Por que o entendimento do comportamento mecânico é essencial? Pense nos parafusos que são usados no acoplamento da estrutura apresentada na figura ao lado.

Forças Externas: Força de superfície ou força de corpo. Forças de superfície: Causadas pelo contato direto de um corpo com a superfície de outro ⇒ Força distribuída na área de contato entre os corpos. Caso particular: Carga concentrada Por que? Forças de Corpo: Um corpo exerce uma força sobre outro, sem contato físico direto entre eles. Ex: Efeitos causados pela gravidade da terra…etc

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Os objetivos do estudo da resistência dos materiais são: Analisar o comportamento dos elementos ou estruturas quando estes estão sendo solicitados; Determinar as propriedades dos elementos (dimensões, forma, material) que o fazem ser capaz de resistir à ação destas solicitações; Descobrir as possíveis causas das falhas dos elementos.

12.2

Esforços externos ou carregamentos

Os esforços externos que estão interagindo com o elemento a ser estudado, devem ser determinados com certa exatidão, para que o projeto seja valido. Os esforços externos podem ser divididos em: Forças externas; Momentos externos. Forças externas Quanto ao ponto de aplicação Quanto ao fato de serem ação ou reação Quanto em relação ao eixo Quanto à direção relativa a uma seção Quanto ao tipo de carregamento Força Normal N e Força Cortante Q A força normal N é perpendicular a superfície ou seção, enquanto que a força cortante Q é tangencial a esta superfície ou seção. Momentos externos Momentos de torção Momentos de flexão

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Momento de Flexão O momento fletor tende a encurvar as barras ou eixos

MOMENTO DE TORÇÃO O momento torçor ou torque tende a produzir giro ou deslizamento entre as seções de um eixo.

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SOLICITAÇÕES MECÂNICAS COMBINAÇÃO

12.3

Solicitações Simples

São Cinco os tipos básicos de carregamentos (forças e momentos) que podem submeter os elementos de máquinas. Tração: Cabo de aço; Compressão: Latas de refrigerantes empilhadas; Corte ou cisalhamento: Chapas parafusadas, Corte de chapas (guilhotina); Flexão: Viga ou eixo; Torção: Chave apertando um parafuso. 12.3.1 Tração

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12.3.2 Compressão

12.3.3 Cisalhamento ou corte Cisalhamento ou corte ocorre quando se aplica um esforço tangencial à área da seção transversal da peça de modo a produzir nesta área uma pressão maior que a máxima pressão (tensão admissível) suportada pela peça em questão.

12.3.4 Flexão Flexão quando se aplica um esforço cortante na peça, as fibras superiores da peça serão comprimidas e as fibras inferiores serão tracionadas, ou vice-versa.

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12.3.5 Torção Torção quando atuar um torque em uma de suas extremidades e um contra-torque na extremidade oposta. Assim, tendem a produzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra.

Resumo

108

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12.4

Solicitações Compostas

Combinações das solicitações simples aplicadas em peças e elementos de máquinas. Eixo de transmissão

Barra em forma de L

Elo de corrente

Viga e tirante

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12.5

Ensaio de Tração

12.5.1 Tensão Deformação

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Deformação plástica - dutilidade

111

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12.6

Modos de falhas trativas:

Material Frágil

12.7

Material Dúctil

Tensões

Tensão: Esforço interno distribuído ao longo de uma seção da peça mecânica. Parece Pressão mas não é!!! Tensão Normal: σ = P/A (Força Normal); Tensão Cisalhante: Esforço interno para suportar força de corte ou cisallhamento distribuido ao longo da seção da peça Tensão Cisalhante: τ = Q/A;

112

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12.8

Módulo de Elasticidade

Obs.: È Comum encontrar-se o módulo de elasticidade em Mpa (megapascal)

113

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12.9

Momento de Inércia, Raio de Giração e Módulo de Resistência:

114

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115

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CAPÍTULO 13 13 Tração e compressão 13.1

Carregamento Axial

13.2

Deformação sob Carregamento Axial Da lei de Hooke:

σ = Eε

ε=

σ E

=

P AE

Da definição de extensão:

ε =

δ

L

A deformação é expressa por:

δ =

PL AE

Para variações da área da secção, propriedades e/ ou cargas aplicadas:

PL δ =∑ i i

i Ai Ei

116

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13.3

Tensão Normal σ

Lei de Hooke (cientista inglês – 1678)

13.4

Deformação Longitudinal (ε)

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13.5

Deformação Transversal (εt)

13.6

Estricção

13.7

Coeficiente de Segurança k

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Tensão (pressão) de escoamento : quando se entra na deformação permanente do material que está submetido a esforços de tração ou compressão. Esta situação ocorre após o limite máxima da deformação elástica Tensão de ruptura : quando se excede à máxima tensão (pressão) do material que está submetido a esforços de tração ou compressão. Neste momento ocorre a estricção.

Exemplo 1:

119

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Exemplo 2: A barra rígida BDE rígido é suportada por dois elementos AB e CD. O elemento AB é feito em alumínio (E = 70 GPa) e tem uma área de secção transversal de 500 mm2. O elemento CD é de aço (E = 200 GPa) e tem uma área de secção transversal de 600 mm2. Para uma força de 30 kN aplicada na extremidade da barra BDE, determine o deslocamento: a) do ponto B, b) ponto D, c) ponto E.

Resolução:

121

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Descolamento do ponto D: BB′ BH = DD′ HD 0.514 mm (200 mm ) − x = 0.300 mm x x = 73.7 mm EE′ HE = DD′ HD

δE 0.300 mm

=

(400 + 73.7 )mm 73.7 mm

δ E = 1.928 mm δ E = 1.928 mm ↓

122

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Exercício 1:

Exercício 2:

Exercício 3:

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CAPÍTULO 14 14 Flexão • • • •

Vigas são barras comprimidas e retas com área da seção transversal constante que suporta cargas aplicadas perpendicularmente ao seu eixo longitudinal. Exemplos: Apoio dos pinos de edifícios, tabuleiro de uma ponte ou asa de avião, o eixo de um automóvel, a lança de um guindaste, etc. Vigas desenvolve força cortante e momento fletor que variam de ponto para ponto ao longo do seu eixo. Consideremos elementos retos de seção transversal simétrica, feitos de material homogêneo linear elástico.

São classificadas conforme seus apoios: Viga em balanço ( ou viga engastada): Viga apoiada em apenas uma das extremidades por um apoio do tipo engastado. Viga simplesmente apoiada: Viga apoiada em uma das extremidades por um apoio articulado fixo e na outra por um apoio articulado móvel. Viga apoiada com extremidade em balanço: Viga simples que se prolonga além de um ou dos dois apoios.

14.1

Diagrama de Força Cortante e Momento Fletor

Tipos de Carregamento em uma Viga: o Carga concentrada: quando um carregamento é aplicada sobre uma área muito pequena. o Carga distribuída: quando o carregamento está distribuído pelo eixo da viga, são medidos pela sua intensidade que é expressa em unidades de força por unidade de distancia, por exemplo [N/m]. Podem ser
Carregamento uniformemente distribuído, ou
Carregamento com variação linear. o Binário: é um momento que atua sobre uma força. o Quando uma viga sofre a ação de forças e momentos, são criadas tensões e deformações no seu interior. Para determinar essas tensões e deformações, primeiro devemos encontrar as forças e os momentos internos que atuam nas seções transversais da viga. Sabendo-se calcular o valor do momento fletor e da força cortante nas infinitas seções de uma viga torna-se possível traçar diagramas ou gráficos que representem estes esforços.

124

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A fim de projetar viga adequadamente é necessário determinar o cisalhamento e momento máximos. Convenção de sinais: A força de cisalhamento V e o momento fletor M são positivos no sentido mostrado:

14.2

Tensão de Flexão

A Máxima tensão de flexão (σmax) produzido pelo momento Maximo será inferior à tensão admissível à flexão do material.

σ adm ≥ σ max =

M f .h I

=

Mf W

Mf – Momento fletor máximo (Nmm); h – altura da linha neutra ate a extremidade (mm); I - momento de inércia da secção (mm4); - Tensão normal num ponto na fibra externa (N/mm²);

σ

W – Modulo de Resistencia da transferência ( N/mm).

W=

I h

125

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Exemplo 1: Desenhar os diagramas de força cortante e momento fletor da viga mostrada

126

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Exemplo 2: Momento Fletor e Esforço Cortante

127

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Exercícios: 1) Determine o Momento Fletor Máximo aplicado na viga que será utilizado para calcular a Máxima tensão de flexão (σmax)

2) Determine o Momento Fletor Máximo aplicado na viga que será utilizado para calcular a Máxima tensão de flexão (σmax)

3)

4)

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5)

129

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CAPÍTULO 15 15 Torção Torção refere-se ao giro de uma barra quando carregada por torques que tendem a reproduzir rotação sobre o eixo longitudinal da barra. Exemplos de barras em torção: O Giro de uma chave de fenda, eixos propulsores, brocas de furadeiras, etc.

15.1

Transmissão de Potência

Eixos e tubos com seção transversal circular são, com freqüência, empregados para transmitir potência gerada por maquinas. A potência é transmitida através de um movimento rotatório do eixo e a quantidade de potência transmitida depende do torque e da velocidade de rotação Um problema comum de dimensionamento é determinar o tamanho do eixo de tal forma que ele transmita uma quantidade especifica de potência numa velocidade de rotação especicada sem exceder as tensões admissíveis do material.

130

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15.1.1 Torção em Eixos de Secção Circular

• • •

15.2

A turbina exerce sobre o eixo de transmissão o momento torçor T. O eixo transmite o momento T ao gerador. O gerador reage, exercendo sobre o eixo um momento igual e contrário T’.

Análise das Tensões num Eixo

O momento torçor T tem a mesma intensidade que a soma dos momentos dF, em relação ao centro:

O momento torçor produz tensões tangenciais nas faces perpendiculares ao eixo da barra. Condições de equilíbrio requerem a existência de tensões tangenciais nas duas faces formadas pelos planos que passam pelo eixo. Considerando o eixo constituído por lâminas finas, verifica-se o deslizamento das lâminas devido à aplicação de momentos, com a mesma intensidade e sentidos opostos, nas extremidades da peça.

131

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15.3

Deformações nos Eixos de Secção Circular

O ângulo de torção é proporcional a T e ao comprimento L do eixo: φ ∝T

φ∝L Nos eixos circulares, as secções transversais mantêm-se planas e não se deformam.

A distorção numa barra circular varia linearmente com a distância ao eixo da barra. Lγ = ρφ

γ max

cφ = L

ou e

γ= γ=

ρφ L

ρ c

γ max

132

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15.4

Tensão de Torque

No caso de ter tensão de cisalhamento ( τ max ) produzido pelo torque Maximo será inferior a tensão admissível à torção do material.

τ adm ≥ τ max =

M t .r M t = J W

Mf – Momento fletor máximo (Nmm); r – Raio (mm); J – Momento Polar de inércia da seção (mm4); τ - Tensão cisalhante na fibra externa (N/mm²); W – Modulo de Resistencia da transferência ( N/mm). J r

W=

15.5

Tensões no Regime Elástico

A partir da equação anterior:

Gγ =

ρ c

Gγ max

Aplicando a lei de Hooke, τ = Gγ , vem:

τ=

ρ c

τ max

133

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A tensão tangencial varia linearmente com a distância ao eixo da barra. Recordar que:

T = ∫ ρτ dA =

τ max c

∫ρ

2

dA =

τ max c

J

Fórmulas de torção no regime elástico:

τ max =

Tc J

e

τ=

Tρ J

J = 12 π c 4

(

J = 12 π c24 − c14

134

)

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15.6

Modos de Falha Torcionais

Os materiais ductéis geralmente rompem por tensões tangenciais. Material ductile:

Material frágil:

135

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Exemplo 1:

136

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Exercício de Esforços Internos de Torção Para o carregamento indicado e considerando que os apoios A e B permitem ao eixo girar livremente, represente o diagrama de esforços internos de torção.

137

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Exemplo 2 O eixo circular BC é oco e tem diâmetros de 90mm e 120mm, respectivamente interno e externo. Os eixos AB e CD são maciços, com diâmetro d. Determinar:

a) O valor máximo e mínimo da tensão tangencial no eixo BC; b) O diâmetro necessário nos eixos AB e CD, se a tensão admissível no material for de 65 MPa. Resolução: Considerar secções transversais nos eixos AB e BC, e recorrer ao equilíbrio estático:

∑M

x

= 0 = (6 kN ⋅ m ) − TAB

TAB = 6 kN ⋅ m = TCD

∑M

x

= 0 = (6 kN ⋅ m ) + (14 kN ⋅ m ) − TBC

TBC = 20 kN ⋅ m

138

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Aplicar as fórmulas de torção no regime elástico, para determinar as tensões tangenciais no eixo BC:

J=

π

(c 2

4 2

)

− c14 =

τ max = τ 2 =

[(0.060) − (0.045) ] = 13.92 ×10 2

π

4

4

−6

m4

TBC c2 (20 kN ⋅ m )(0.060 m ) = = 86.2 MPa J 13.92 ×10 −6 m 4 45 mm τ min = 86.2 MPa 60 mm

τ min c1 = τ max c2 τ min = 64.7 MPa

τ max = 86.2 MPa τ min = 64.7 MPa Aplicar a fórmula de torção no regime elástico e determinar o diâmetro necessário:

τ max =

Tc Tc =π 4 J 2 c

− > 65MPa =

6 kN ⋅ m π 3 2 c

c = 38.9 ×10 −3 m d = 2c = 77.8 mm

139

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15.7

Ângulo de Torção no Regime Elástico cφ L Aplicando a Lei de Hooke, τ Tc γ max = max = G JG Igualando as expressões e resolvendo em ordem ao ângulo, TL φ= JG

γ max =

φ=∑ i

15.8

Ti Li J iGi

Eixos Estaticamente Indeterminados

Dadas as dimensões e o momento torçor aplicado, determinar as reacções ao momento em A e B. A partir do diagrama de corpo livre,

TA + TB = 90 lb ⋅ ft Conclui-se que o problema é estaticamente indeterminado. Dividir o eixo em duas secções, as quais devem ter deformações compatíveis,

φ = φ1 + φ2 =

TA L1 TB L2 − =0 J1G J 2G

TB =

L1 J 2 TA L2 J1

Substituir na equação de equilíbrio inicial, TA + 140

L1 J 2 TA = 90 lb ⋅ ft . L2 J1

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Exercícios: 1) Determine qual será a Torção Máxima aplicado no eixo que será utilizado para calcular a Máxima . tensão de cisalhamento (τmax)

a)

b)

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2)

3)

4)

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CAPÍTULO 16 16 Flambagem A flambagem ou encurvadura é um fenômeno que ocorre em peças esbeltas, quando submetidas a um esforço de compressão axial. Acontece quando a peça sofre flexão transversalmente devido à compressão axial. A flambagem é considerada uma instabilidade elástica, assim, a peça pode perder sua estabilidade sem que o material já tenha atingido a sua tensão de escoamento. Este colapso ocorrerá sempre na direção do eixo de menor momento de inércia de sua seção transversal. A tensão crítica para ocorrer a flambagem não depende da tensão de escoamento do material, mas de seu módulo de Young.

16.1

Módulo de Young

O módulo de Young ou módulo de elasticidade é um parâmetro mecânico que proporciona uma medida da rigidez de um material sólido. Obtém-se da razão entre a tensão (ou pressão) exercida e a deformação unitária sofrida pelo material. Isto é,

16.2

Carga Crítica de Flambagem

Pcr - carga crítica de flambagem: faz com que a peça comece a flambar. Equilíbrio estável: P < Pcr - não há flambagem Equilíbrio indiferente: P = Pcr Equilíbrio instável: P > Pcr

143

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Para determinar se uma peça irá sofrer flambagem ou compressão, temos que calcular o seu índice de esbeltez e compará-lo ao índice de esbeltez crítico. Esse índice é padronizado para todos os materiais. Se o índice de esbeltez crítico for maior que o índice de esbeltez padronizado do material, a peça sofre flambagem, se for menor, a peça sofre compressão.

16.3

Indice de Esbeltez

Mede o quão esbelto é um pilar. Ele mede a facilidade ou a dificuldade que um pilar tem de flambar. O índice de esbeltez de uma peça é dado por:

Consideramos uma barra homogênea de comprimento inicial L preso por pinos em ambas as extremidades, à qual é aplicada uma força axial de compressão de módulo P. Supomos que a barra se flexiona formando uma pequena flecha para direita. Esta flexão acarreta que a distância entre as extremidades seja ligeiramente reduzida de L para A. Denotamos então por u(x) a deflexão horizontal da curva central, onde x varia entre 0 e A.

O momento da força P à altura x é dado então por: Da teoria de vigas, sabe-se que o momento fletor se relaciona com o raio de curvatura da barra de seguinte forma:

144

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16.4

Flambagem de Colunas

Carga Excêntrica – Fórmula Secante

M - Momento P - Força Axial e - Excentricidade

O conjugado M sempre irá provocar flexão na coluna;

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17 Referencias Bibliográficas: MELCONIAN, SARKIS. Mecânica técnica e resistência dos materiais. Editora Érica, ISBN-10: 8571946663, 2000. Mecânica Vetorial para Engenheiros : Estática - Ferdinand P. Beer, E. Russell Johnston Jr, Elliot R. Eisenberg e William E. Clausen, 7 Ed. Mc Graw Hill, 2006. Mecânica: Estática - J. L. Merian, L.G. Kraige, 5 Ed. LTC, 2004. Estática; Mecânica para Engenharia – R. C. Hibbeler, 10 Ed. Pearson, 2005. Estática - Arthur P. Boresi, Richard J. Schmidt – 1 Ed. Thomson Learning, 2003. Resistência dos Materiais - E. Russell Johnston, Jr. Ferdinand P. Beer e John T. Dewolf, 4 Ed. Mcgraw Hill, 2007. Resistência dos Materiais - R. C. Hibbeler, 5 Ed. Pearson, 2004. Resistência dos Materiais - Manoel Henrique campos Botelho, 1 Ed. Edgard Blucher, 2008. Mecânica dos Materiais - James M. Gere, 1 Ed. Thomson Learning, 2003.

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Respostas dos Exercícios: Capitulo 2 3)P. max=240N 5)para João subir: AC=377,9 e AB=755,81 para os dois descerem: AC=726,74 e AB=1453,48 6)ABC=1907,5 e DE=309,96 Capitulo 3 1)16,5N 2)Mo= -2579,01 N.m 3)Ma= 1414,20 N.m 4)Ma = 19,90 kN.m 5)f = 160 N 6)Ma = - 16,281kN.m 7)Mb = -457.52 N.mm 8)W = 120 N Capitulo 4 1)A = 7,35 kN e B = 16,65kN 4)A = 11134,10N e B = 12034,81N 5)A = 72,72N e B = 200N 6)A = 5240,80N e B 6535,22N 7)A = 8kN e B = 7,20kN 8)A = 85N e B = 115 N 9) Ax = 296,19N, Bx = - 46,19N e By = 273,20N Capitulo 5 1)AB = 25kN (T), BD = 25kN (T), AC = -35,35kN (C) , BC = 100kN (T) e CD = 106,06kN (C) 2)AB=12kN (T) , ED= -6,96kN (C), EB= -4kN (C), DC= -6,96kN (C), BD= 4kN (T) e BC= 8kN (T) 147

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3)AB= -28,28kN (C), AF= -10kN (C), GB=30kN (T), BC=10kN (T), BF=19,99kN (T), EF=9,99kN (T), EC=20kN (T), ED=10kN (T), CF= -28,28kN (C)e CD= -14,14 (C) 4)EC= 50kN (T) , ED=200kN (T), CD=0, BD=0, EC=50kN (T), BC=0, AC=O E AB=0 5)AC=0, AB=-300N (C), BD= 120N (T), BC= 323,10N (T), CE= -20N (C), CD= 53,85N (T), DF= 160N (T), DE= -53,85N (C), e EF= - 700,11N (C) 6)AC= -282,85kN (C), AB= 200kN (T), CD= -70,71kN (C), CE= -150kN (C), DF=332,85kN (T), DE=150kN (T), BC=0,BD= -282,85kN (C), EF= -235,36kN (C) 7) BC= 20,5kN (T), HC= 12,02kN (T) e HG= -29kN (C) 10)CD=88,38kN (T), BD=125kN (T), CE= -62,50kN (C) 11)DF= -62,50N (C), EF=194,85N (T), e EG= -34,93N (C) 12)BD=87,5kN (T), CD= -17,68kN (C), CE= -75kN (C) 24)Bx= 173,20kN e By= -100kN 25)Cx= -75N e Cy=200N 26)P= 0,742kN 27)Cx=1200N e Cy= 1800N 29) AB= - 15,88kN 30)F= - 226,68N 33)C= 22,8kN, Ex= - 22,8kN e Ey= -20kN Capitulo 6 1) a) X=50mm c)X=66,82 d)X=4,62pol e)X=2,53pol f) X=2a g)X= 2a

e Y= 37,90mm e Y=67,32 e Y=1pol e Y=4,62pol e Y= 0,58a e Y= 2a

Capitulo 7 1) a) T=0,2s; b) f=5Hz; c) n=300rpm; d) v=4,71 m/s 2) a) ω = 58π rad/ s; b) T = 1/29 s ou 0,0345 s; c) f = 29Hz 3) v = 30km/h 148

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Capitulo 8 1) a) T=0,0512s b) f1= 19,5Hz c) n1=1170rpm d) ω2=21,67π rad/s e) f2=10,835Hz f) T2=0,0922s g) n2=650rpm h) v=6,12 m/s i) i=1,8 Capitulo 10 1)

2)

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Capitulo 11 1)

2)

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4) a)PI=4897,53W, PII=4751,58W, PIII= 4609,98W e PIV= 4772,60W b)nI= 965 rpm, nII=304,04rpm, nIII = 154,68rpm e nIV = 61,15rpm c)MTI= 48,46 N.m, MTII=149,23 N.m, MTIII= 284,6 N.m e MTIV= 745,29 N.m c) f1=16,08 Hz, f2=5,06 Hz, f3= 2,58 Hz e f4= 1,01 Hz d) e)WI=32,16 rad/s, WII= 10,12 rad/s, WIII= 5,16 rad/s e WIV=2,02 rad/s f)VTp1/2=3,618m/s, VTe1/2= 0,738 m/s, VTe3/4=0,29 m/s e VTe5/6= 0,086 m/s g)FTI=215,37N, FTII=2044,24N, FTIII= 4992,98N e FTIV=17332,32N h)P util= 4472,60W i)P disc = 627,4W j)η=0,87 (87%) k)i= 31,56 rpm

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