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Mecánica de Suelos del estado crítico

Vladimir E. Merchán octubre 2017

Índice • Resumen del comportamiento de las arcillas en los ensayos triaxiales • El modelo Cam-clay: formulación teórica • El modelo Cam-clay: predicciones • Estado crítico • Resumen y ejemplos • Arenas • Resistencia: el criterio de Mohr-Coulomb • Resistencia no drenada

4.1

Resumen del comportamiento de arcillas en un ensayo triaxial convencional.

Resumen del comportamiento de arcillas en un ensayo triaxial convencional Fase I: Carga Isotrópica (CD y CU) En estado “virgen” o “normal”, el comportamiento es elastoplástico:

e e    ln p      ln p  v v  de dp    d (ln p )   dv p v  1 e

Durante la descarga o recarga, el comportamiento es elástico:

e e    ln p      ln p  v v  de dp    d (ln p )   dv p v  1 e

Resumen del comportamiento de arcillas en un ensayo triaxial convencional Fase II: Carga desviadora (ensayo CD) q

1. Los estados últimos, a volumen constante, representan una relación lineal entre q y p’ La recta pasa por el origen:

M

q  Mp con M constante

p’

Resumen del comportamiento de arcillas en un ensayo triaxial convencional Fase II: Carga desviadora (ensayo CD) 2. Deformaciones volumétricas durante el desviador (dilatancia): ▪ En una primera fase (elástica), el suelo siempre experimenta una

contracción volumétrica

▪ En una fase posterior (elasto-plástica):

v muy SC

 Si el suelo es NC o poc SC (OCR  1 a 4), se produce una contracción volumétrica

1

 Si el suelo es SC (OCR > 4), se produce una expansión volumétrica NC o poco SC

Resumen del comportamiento de las arcillas en un ensayo triaxial convencional Fase II: Carga desviadora (ensayo CD) q

3. Los estados tensionales en el momento de iniciarse la fluencia, determinan una envolvente cóncava en el espacio (q, p’)

p’

Resumen del comportamiento de las arcillas en un ensayo triaxial convencional Fase II: Carga desviadora (ensayo CD) v

4. Los índices de poros finales, a volumen constante, se situan sobre una recta única, paralela a la línea de compressión normal:

v     ln p

ln p’

Resumen del comportamiento de las arcillas en un ensayo triaxial convencional Fase II: Carga desviadora (ensayo CD) 5. Las ecuaciones

q  Mp  v     ln p definen una “curva de estados críticos” en el espacio (p’, q, v)

Resumen del comportamiento de las arcillas en un ensayo triaxial convencional Fase II: Carga desviadora (ensayo CU) 1. Los estados últimos en tensiones efectivas, a volumen constante, se situan sobre la misma recta en el plano (p’, q) determinada en ensayos CD:

q

M

q  Mp con M constante

p’

Resumen del comportamiento de las arcillas en un ensayo triaxial convencional Fase II: Carga desviadora (ensayo CU) 2. Presiones intersticiales durante el desviador: ▪ En una primera fase (elástica), se generan presiones

de agua positivas ▪ En una fase posterior (elasto-plástica):

pw

NC o poco SC

 Si el suelo es NC o poco SC (OCR  1 a 4), se generan presiones de agua positivas

1

 Si el suelo es SC (OCR > 4), se generan presiones de agua negativas muy SC

Resumen del comportamiento de las arcillas en un ensayo triaxial convencional Fase II: Carga desviadora (ensayo CU) 3. Los índices de poros finales y las presiones efectivas finales, se situan tambien sobre la línea del estado crítico única:

v

v     ln p ln p’

Resumen del comportamiento de las arcillas en un ensayo triaxial convencional Ensayo drenado con trayectorias 3 1  KC  ct. q

Una de estas trayectorias corresponde al ensayo edométrico:

 H  0  KC  K0 Recordar: p’

 3 K0  1

en condiciones de deformación lateral nula

Ensayo drenado con trayectorias 3 1  KC  ct. q Les relaciones de compresión volumétrica (normal) son del tipo:

K0

p, p’ v

Línea de consolidación normal isòtropa

 dv   dp p y, por tanto, son paralelas a la línea de consolidación normal isótropa, y a la línea del estado crítico

Las superfícies de fluencia crecen homotéticamente al acumularse las deformaciones plásticas

K0

ln p’

4.2

El modelo Cam-clay: formulación teórica

Introducción: qué sabemos hasta ahora? Que forma tiene?

• Existe una superfície de fluéncia • Al interior de la superfície de fluéncia, solo ocurren deformaciones elásticas • Si el estado tensional está en la superfície de fluencia, se producen también deformaciones plásticas Cómo se evaluan? • La superfície de fluencia no se mantiene fija durante el proceso de carga

Que magnitud y dirección tienen? Cómo se relacionan con la superfície de fluencia?

Cómo cambia, y de qué variables depende?

Consideraciones previas • El modelo que vamos a construir es un modelo sencillo y poco “refinado” → no reproduce TODOS los aspectos del comportamiento del suelo. • La superfície de fluencia conserva la forma, sólo cambia de tamaño • Los cambios de tamaño de la superfície de fluencia dependen de la deformación volumétrica acumulada: “VOLUMETRIC HARDENING MODEL” • La posición, forma y tamaño de la superfície de fluencia dependen de la historia de carga y descarga previa a que ha estado sometido el suelo.

Consideraciones previas • Se fundamentan en la experiencia del ensayo triaxial convencional, con lo cual sirven las variables en el plano de Cambridge: 1  p  ( 1  2 3 ), 3

 p  1  2 3 ,

q   1   3

2  q  (1   3 ) 3

• Modelo bueno para reproducir ensayos de laboratorio, no tan bueno para reproduir el comportamiento “real” (in situ)

Deformaciones volumétricas: a) elásticas • Suponemos un comportamiento isotrópico y elástico al interior de la superfície de fluencia, y que las deformaciones volumétricas y de corte están desacopladas

  1 K  0  p     q    0 1 3 G      e p e q

• K' = módulo volumétrico y G' = módulo de corte • Ambos expresados en términos de tensiones efectivas • No són constantes

Deformaciones volumétricas: a) elásticas • K' no és constante: K' = K'(p’) • Por tanto:

3(1  2 ) G  K   G ( p ) 2(1   ) 3K   2G      ( p ) 2G   6 K  • Pero: cuanto es la magnitud de K'(p')?

Deformaciones volumétricas: a) elásticas q

yl Todos los puntos dentro de una curva (superfície) de

D B A C p' v

iso-ncl

definida por la curva de descarga – recarga (url)

ncl

url B

fluencia (“yl”) incluso en el límite de su superfície están representados en una proyección en el plano v-p´

A

D

C p'

v vλ

Aquí es muy parecido:

ncl 1

v  v   ln p v  v  ln p

λ

vκ

 e  e0 Cc log 0

Recordemos, en el edómetro:

elasto-plástico (ncl) elástico (url)

url

La relación entre (κ,λ) y (Cs,Cc) es:

κ

Cc =  ln 10;

1 p' = 1

Cs =  ln 10

ln p'

El Cambio de volumen elástico: v   e

Deformación volumétrica elástica:    e p

e Por tanto:  p 

p  p

v e v



 vp

p 

1 vp  p   K    K ( p ) K 

Deformaciones volumétricas: b) plásticas q

L

yl 2

K

yl 1

B A

M p'

v iso-ncl

ncl

K

url 1

Δv

A

url 2

M L

Ensayos triaxiales con arcillas de Winnipeg [Graham et al, 1983]

B p'

v  ve  v p

yl 2 2

ve   (ln p2  ln p1)   ln

yl 1

v

1≡3

y, en el límite:  ve    p

p

1 vp

v

3

ve

v p  v0p

2

v0p  v0 v0e v0  (ln p02   ln p01  )

p'  p2 p01

p1

 p02

v0e   (ln p02   ln p01  )

v

v p  (   )(ln p02   ln p01  ) p  (   )ln 02 p01 

 

v

p2 p1

v p



v e

p1



v0p v en el límite:  v p  (   )  p0  0 p



0

v p2

 p01

 pp

e 0

escala logarítmica (ln)

 p02

p

p     p  v 0  

v

v

 p  p  v pp   v  p 0 

0

Deformación volumètrica total

p0

Deformaciones volumétricas: ejemplo q

yl 2

S

R PQ

P

 ep  

p vp

;  pp  0

yl 1

Q

 pp  (   )  p01

v

 p02

p'

PS

 ep  

p  vp

p0 vp0

(p  0)

 p   ep   pp  0 url 1 url 2

Q

 ep  0

P PR

S R p'

(p  0)

 pp  (   )

(p0  0)

p0 vp0

Deformacions de corte: a) elásticas   e q

q 3G

3(1  2 )  G  K ( p)  3(1  2 ) (1  e) p 2(1  )    G  2(1  )  (1  e) p  K ( p)    2(1  )    q 9(1  2 ) (1  e) p e q

Deformaciones de corte: b) plásticas • Si conocemos la relación qp  pp, entonces qp quedaria determinada, ya que  pp es conocida. • El vector de deformacions plásticas ( pp , qp ) se pueden medir en los ensayos triaxiales cuando se toca la superfície de fluencia.

f ( p, q, p0 )  0

g ( p, q, )  0

Deformaciones de corte: b) plásticas

Arena densa de Ottawa (Poorooshasb et al., 1966, 1967)

ARCILLA: plasticidad asociada ARENA: plasticidad no asociada Arcilla de Winnipeg (Graham et al., 1983)

Formulación del modelo (Cam-clay) • Cálculo de las deformacions en régimen elástico • Superfície de fluencia • Potencial plástico • Ley de endurecimiento • Matriz de rigidez elasto-plástica

Formulación del modelo (Cam-clay) • Cálculo de las deformaciones en régimen elástico

  e p

  p

v p q e  q  3G G' = constante;

κ = constante

Formulación del modelo (Cam-clay) • Superfície de fluencia La superfície de fluencia es una elipse en el plano (p', q), que tiene por ecuación:

( p  p0 2) 2 q2  1 2 2 ( p0 2) ( M p0 2) q 2  M 2 ( pp0  p2 )

f ( p, q, p0 )  q2  M 2 p( p0  p)  0

Formulación del modelo (Cam-clay) • Superfície de fluencia q

 qp

( p  p0 2)2 q2  1 2 2 ( p0 2) ( M p0 2)

M

yl Mp0 2 p0 2

p' p0

 pp

v v

N

iso-ncl

iso-ncl url

url

λ κ

ln p

p' p'=1

Formulación del modelo (Cam-clay) • Superfície de fluencia Haciendo el cambio de variable η = q/p’ la ecuación de la superfície de fluéncia se convierte en:

p M2  2 p0 M   2 Las derivades de la función de fluencia necesarias para formular el modelo són:

(p',q) η

2 2  f   M   2  p0 M  2  2    p M       f 2  2   p M  0  2 2   q M       f p  2  p0  p0

Formulación del modelo (Cam-clay) • Potencial plástico Cam-clay és un modelo de plasticidad asociada; por tanto:

g  f  q  M p( p0  p)  0 2

2

Como una consecuencia de la ley de la fluencia:

g  ijp    ij

g   p  p   p          p   g   q q 

 pp si   M  p  0  q

  pp  0

 pp g p M 2   2   p  q g q 2

Formulación del modelo (Cam-clay) • Ley de endurecimiento Tenemos que

y por tanto:

  p p

    p0 v

p0 vp0  p  p    p0 0 p  q

p0

v   p0   p0   p p

Estas ecuaciones definen el cambio del tamaño de la superfície de fluencia ( p0 ) en función de las deformaciones plásticas acumuladas Sólo dependen de la deformación volumètrica plástica



Formulación del modelo (Cam-clay) • Matriz de rigidez elasto-plástica 2 2  M    d  pp      p  2 2   d  vp ( M   ) 2  q  

2

  dp   4 2    dq  2 2 M  

• Esta relación solo tiene sentido si estamos en régimen elasto-plástico • La matriz de rigidez és simétrica ya que f = g • El determinante de la matriz de rigidez és 0 ya que las deformaciones volumètrica y de corte plásticas estan relacionadas, como hemos visto: p

 p M 2   2  p  q 2

Como lo sabemos?

Deformaciones producidas por una trayectoria de tensiones • • • •

Deducir  ij en función de  ij Sabemos que ε  ε e  ε p Calcular las deformaciones elásticas Comprobar si al aplicar un incremento de tensiones estemos en régimen elástico o elasto-plastico: Calcular

σ

f 0 f 0 f 0

new

σ

old

 σ

y evaluar

 Régimen  elástico: df  0 

  df  0 

f σ

new

y

df 

f  dσ σ

d   0  ε p  0

p Régimen elàstoplàstico: d   0  ε  0

Imposible

Deformaciones producidas por una trayectoria de tensiones q

B A p

p0 A

p0 B  p0 A 

p0 B

ELASTO-PLÀSTICO

Deformaciones producidas por una trayectoria de tensiones q

B A p

p0 B

p0 B  p0 A 

ELÁSTICO

p0 A

4.3

El modelo Cam-clay: predicciones

Ensayo triaxial drenado convencional (CD) • Deformación de corte plástica 2 2  M    d  pp       p 2 2   d  q  vp( M   )  2 

2

   dp 2 4    dq  2 2 M  

 dq  3dp

2 ( M   )  12 d   (   ) dq 4 4 3vp( M   ) 2

2

p q

Si   M 

d qp dq



2

Ensayo triaxial drenado convencional (CD) • Deformación volumétrica plástica

d  pp

(M  )  p d q 2 Si   M 

2

d  pp d

p q

0

2



dv 0 d q

Ley de endurecimiento q

 qp

M

d d p

p

  M  d  pp  0  dp0  0

M

La superfície de fluencia “se infla”

d  0 p p

d p M

d  pp  0 d  pp  0

p  p0

p0 2

d  p p

  vp0

p p

  M  d  pp  0  dp0  0 La superfície de fluencia “se desinfla”

  M  d  pp  0  dp0  0

dp0

La superfície de fluencia se mantiene constante.

Arcillas normalmente consolidadas: ensayo CD q

p’

Arcillas normalmente consolidadas: ensayo CD

Arcillas ligeramente sobreconsolidadas: ensayo CD q

p’

Arcillas ligeramente sobreconsolidadas: ensayo CD

Arcillas muy sobreconsolidadas: ensayo CD q

p’

Arcillas muy sobreconsolidadas: ensayo CD

Ensayo triaxial no drenado convencional (CU) • Ecuación de la trayectoria de tensiones efectivas

 p   pe   pp  0 ENSAYO NO DRENADO

  e p

  p

v p     p0 p  p  v p0





 p p

 p

y

  (   )  p0

 p0 p0

tienen signo diferente

Combinando esta relación con la función de fluencia, se obtiene la ecuación diferencial de la trajectoria de tensiones no drenada:

dp    2   d 2 2 p v M 

Ensayo triaxial no drenado convencional (CU) Integrando, se obtiene la ecuación de la trayectoria de tensiones efectivas: q

 M 2  2   pini  2 2  p  M  ini 

u

q

  



TTE



uini

qini

ini

p, p

p

pini 

pini

p

    1  

  0.2    0.8 

Esta ecuación solo tiene sentido cuando se están produciendo deformaciones volumétricas plásticas



Ensayo triaxial no drenado convencional (CU) p Si   M   p  0  p0  0  p  0

que indica el final de la trayectoria:

Si la trayectoria comienza a la zona elástica,

 pp  0   ep  0  p  0

TTE TTT

La trayectoria no drenada en tensiones efectivas no depende de la trayectoria en totales: és única. A diferentes trayectorias en totales les corresponen diferentes presiones intersticiales generadas



Ensayo triaxial no drenado convencional (CU) • Presión intersticial: parámetro “a” q

 p Definimos: a   q

u u

 p( 0)

u

p

TTT

TTE

 u   p   p   p  a q

q

u

a) Zona elástica:

 p  0 p, p

 p  0  a  0   u   p

b) Suelo deformándose plásticamente:

a

2 (   )  ( M 2   2 )  2 2 (   )

Arcillas normalmente consolidadas: ensayo CU q

TTE TTT

p’

Arcillas normalmente consolidadas: ensayo CU

Arcillas ligeramente sobreconsolidadas: ensayo CU q

TTE

TTT

p’

Arcillas ligeramente sobreconsolidadas: ensayo CU

Arcillas muy sobreconsolidadas: ensayo CU q

TTE

TTT

p’

Arcillas muy sobreconsolidadas: ensayo CU

4.4

Estado Crítico

Estado crítico • Se define estado crítico como aquella combinación de tensiones para la cual la deformación de corte plástica progresa de manera indefinida sin cambios en la tensión efectiva media, la tensión de corte, o el volumen:

p  0;  q Esto sucede cuando:

q  0;  q qcs  cs  M pcs

v 0  q Sempre que se estén produciendo deformaciones plásticas

Estado crítico • Suelos normalmente consolidados o ligeramente sobreconsolidados • La primera fluencia se produce para η<M • Hardening: las superfícies de fluencia se expanden

• Suelos muy sobreconsolidados • La primera fluencia se produce para η>M • Softening: las superfícies de fluencia se contraen

• Línea de estados críticos al plano (p’,q):

qcs  Mpcs

Trayectorias de tensiones efectivas

q

B

yl B

C

R Q yl Q yl R

P

p

TIPOS DE SUELO

A

NC

SC

CD

AB

PQ

CU

AC

PR

Q url

P

iso-ncl

R

csl

TIPOS DE ENSAYOS

v

yl C

A

C B p

Volumen específico en el estado crítico v

Estado crítico (csl):

N

 v

p0 p

vcs     ln pcs Caso general (ncl):





v  N  (   ) ln    ln p

(   ) ln 

p0 M 2   2   p 2



v vcs v v0 1

pcs 

p0 2

p 

elipse

ln p

ln 

ln p

p0

p0



v  N  (   ) ln v

M 2  2



2

  ln p

Volumen específico en el estado crítico v  N  (   ) ln

M 2  2

2

Si η és constante, entonces vλ también és constante: las líneas de compresión son paralelas en el plamo (v,p’)

Línea del estado crítico en el espacio (p',q,v) csl



q p

 csl

p v iso-ncl csl

p

4.5

Resumen y ejemplos

NC

SC

Respuesta cualitativa de las arcillas Punto A: sobre la línea ncl, indica que el suelo está normalmente consolidado

Punto B: sobre la línea url, indica que el suelo está sobreconsolidado La trayectoria drenada para suelos NC y SC és la misma en el espacio (p',q), pero diferente en el espacio (p',v)

pA  pB

La trayectoria no drenada para suelos NC se dirige a la izquierda (el punt A està a la derecha de la csl). Para suelos SC se dirige a la derecha (el punto B está a la izquierda de la csl)

Tendencias

ENSAYO DRENADO (CD)

ENSAYO NO DRENADO (CU)

Ejemplo ENSAYOS TRIAXIALES CON ARCILLA DE WEALD (Bishop y Henkel, 1957)

NC

SC

Ejemplo – suelo NC

2

1

ENSAYO DRENADO (CD)

ENSAYO NO DRENADO (CU)

Ejemplo – suelo SC

4

3

ENSAYO DRENADO (CD)

ENSAYO NO DRENADO (CU)