Nakamura Cap. Viii

-......

í

CAPITULO VIII

ANGULOS

8.1 DEFINICIONES. ANGULO ENTRE RECTAS QUE SE CRUZAN: El ánguloentre dos rectasque se cruz~mse define comoel ángulo determinado por una de las rectasy una paralelaa la otra que corte a la primera. . Paraver este ángulo en verdaderamagnitudes neces8fiolograr una vista en que lu dos rectasestén en verdaderamagnitud. ANGULO ENTRE DOS PLANOS: VISTA DE Uamadotambién ángulo diedro. Es CANTO DEL PLANO "p. . el ángulo formado por las interseccionesde los dos planos dados con uno cortante perpendicular a la recta de intersección de estos dos planos. VIST A DE CANTO DEL En la figura 8.1(a) se muestra una PLANO "a" vistaen el espaciodel ángulo diedro formadopor los planos P y Q Yen la X figura 8.1(b) se muestra al plano (a) (b) cortante X en verdadera magnitud. Figura 8.1 En esta vista los planos P y Q caen ;

decanto.

-

ANGULO ENTRE UNA RECTA V UN PLANO:. Se define como el ángulo que forma la recta con su proyección sobre el plano dado. Ver figura 8.1(e) Figura

8. 1(e)

,. PAGINA 223

GEOMETRIA ceSCRlPTIVA

8.2 ANGULa ENTRE DOS RECTAS QUE SE CRUZAN: PRIMER METODO: Sean las rectas que se cruzan AS y CO. Para determinar el ángulo entre estas dos rectas, es necesario que ambas se proyecten en verdadera magnitud. Como primer paso, se toma la verdadera H magnitud y la vista de punta de F CO (en las vistas 1 y 2 respec-

-

tivamente)

.

Cualquier vista que se tome a partir de la vista de punta, dará la verdadera magnitud de CO. Luego, se toma una vista 3 paralela a A282 y aquí las dos rectas estarán en verdadera magnitud, obteniendose el ángulo buscado.

A3

Figura 8.2

SEGUNDO METODO: En la figura 8.3 se han tomado dos rectas, MN y XY. Para hallar el ángulo entre estas rectas, se traza por M una paralela a XY, limitandose el plano MNP. Por definición el ángulo formado. por las rectas dadas es también el ángulo formado . por MP y MN el cual estará en verdadera magnitud, cuando el plano MNP se proyecte del mismo modo.

XH

-HF

N2

.

. XF

Figura 8.3 PAGINA 224

""""

CAPITULO VIII: ANGULOS

,

8.3 ANGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO:

PRIMER METODO: METODO DEL PLANO. Para poder obse'rvar el ángulo de una recta con un plano en su verdadera magnitud, es necesario obtener una vista que proyecte la vista de canto del plano y la verdadera magnitud de la recta. Solamente en esta vista se observará el ángulo en verdadera

magnitud.

,

Sea ASC el plano y 'X:'(la recta. Con el objeto de determinar la vista mencionada deberá tomarse primeramente, la vista de canto del plano y luego la verdadera magnitud (vistas 1 y 2 respectivamente). Cualquier vista auxiliar que se tome a partir de la verdadera magnitud de un plano dará una vista de canto. Luego, se toma la vista 3 paralela a X2Y2,obteniéndose en esta forma I'avista de canto del plano y la verdadera magnitud dela recta, es decir, se tiene el ángulo

buscado.

.

213 A3

C3

Y3 .

H F

AF

Figura 8.4

PAGINA 225

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

SEGUNDO METODO: METODO DE LA RECTA. Consiste en llegar a la vista que muestre el plano de canto y la recta en verdadera

magnitudpor medio del siguienteprocedimiento. . . .S~aASC'el plano y x:f la recta. Se toma una vista l' que muestrela verdadera magnitud de la recta y una vista 2 donde se proyecte de punta. Para determinar la posición de la vista 3 se toma en la vista 1, una recta S1H1contenida en el plano ASC y.paralela a la vista 1-2, de tal manera que B2H2estará en verdadera magnitud y así en la vista 3, SH estará de punta y por lo tanto el plano ASC $e proyectará de,canto. ~or otro lado como en la vista 2 la recta x:f estaba de punta, se proyectará en verdadera magnitud en la vista 3, tográndose en esta forma la vista deseada.

BH

H F ,

A3

8}

Figura 8.5

PAGINA 226

CAPITULO

VIII: ANGULOS

TERCER METODO: METODO DEL ANGULO COMPLEMENTARIO. Si desde un punto de la recta se traza una perpendicular al plano. ésta hará con la recta

dada un ángulo que es el complemento del

ángulo que forman la recta y el plano. . Entonces, si se tiene el plano ASC y la recta XV que se muestran, se traza por X una perpen-

dicular al plano, de acuerdo a los mé!odos ya conocidos. Sea XZ esta perpendicular. Los segmentos XVy XZ forman un plano. que

se proyecta de canto y luego en verdadera magnitud. En esta última vista se apreciará el ángulo que forman entre sí dichos segmentos. Hallandoel complemento. se tendrá el ángulo que forman recta y el plano.

\-\'\ BH

X2

-HF Z2

Figura 8.6

PAGINA22T

GEOMETRIA DESCRIPTIVA.

8.4 ANGULO ENTRE DOS PLANOS: CASO A: SE CONOCE LA RECTA DE INTERSECCION. Sean los planos ASC y ASD que se cortan según la recta AS. Se proyecta a AS en verdadera magnitud y luego de punta. En esta última vista los dos planos se proyectarán de canto y por lo tanto tendremos la verdadera magnitud del ángulo diedro que determinan.

,

C2

A2B2

-HF

CF

Figura 8.7

PAGINA228

CAPITULO

VIII: ANGULOS

(

CASO B: LA UNEA DE INTERSECCION NO SE CONOCE.

Sean los planos dados ASC y MNO.Se tratará de obtener una vista en la cual ambos planosestén de canto. Para ello, primeramentese determina la vista de canto y luego la verdadera magnitud del plano ASC. luego tomamos otra vista auxiliar3. cuya dirección es obtenida de la siguiente manera: De N1 se traza una paralela a fa tínea 1-2 y se

determina Y1, Luego. se halla la proyección N2Y2.LaJínea de referencia 2-3, debara ser perpendicular a ésta y en ella MNO caerá de canto. El plano ASC se proyectará también de canto por estar en verdadera magnitUd en la vista anterior. El ángulo diedro es el ángulo e.

M2

2 3

C3

M3

Figura 8.8.

PAGINA 229

GEOMETRIA

DESCRIPTIVA

PROBLEMAS RESUELTOS: PROBLEMA 1.E!"pleando el método del plano, determinar el ángulo entre el plano ASC yla recta XV. PROBLEMA 2.Empleando el métOdo de la recta. hallar el ángulo entre el plano MNO y la recta KL.

PROBLEMA3.-

'

Determinar 8F. sabiendo que el ángulo entre la recta AS y el plano vertical XYZmide 60°

PROBLEMA4.-

.

Hallarel ángulo diedro formado por las caras ASC y 8CD del tetraedro mostrado. 2

1

,NH

BH

MH

H F

H -F MF

XF

NF

4

'3

AH

BH CH

AH H F

H F

DF

BF

AFO

CF I PAGINA 230

I I I

I

I

r

.....

~ITIJLO

BH

VIII:~GUlOS

SOLUCION DEL PROBLEMA 1:

H F

NH

X3

.

f

SOLÚCION DEL PROBLEMA 2: H F

N3

M2 PAGINA

231

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

)(1

SOLUCION DEL PROBLEMA 3: A

y

z 21

x

8

Si se construye un cono recto, tomando como vértice elcPunto UAU, y que determine el ángulo de 60 con XYZ, el segmento AB deberá ser una generatriz y por lo tanto upu deberá pertenecer a la base del cono. Esta base se ve en verdadera magnitud en la vista 1, aquí se ubica. P1
SOlUCION DEL PROBLEMA 4:

AH

Se toma la verdadera magnitud de .Ia arista SC y luego se .Ie proyecta de punta. En esta última vista se tiene el ángulo diedro pedido.

H F

A2 PAGINA 232

CAPITULO

VIII: ANGULOS

PROBLEMA 5.PH 8H

Por P trazar una recta PO que determine un ángulo de 60° con el plano ASC, sabiendo que el extremo O pertenece a ASC y se encuentra 2.5 cm. debajo de S.

AH

CH

H F

BF

AF

PF

CF

PROBLEMA 6.PH

BH

Por P trazar un segmento con pendiente SOOA,y

que determine un ángulo de 45°

con el plano ASC. Se sabe además que la longitud del segmb.T~Obuscado es d~ 3.2 cm.

-F H

AF

BF

PAGINA 233

~

~

3EOM€"rRiA.

..

DESCRI?Th/A

SOlUCION DEL PROBLEMA 5: Todas Ia$ rectas que pasan por P y hacen un ángulo de 60° con ASC, determinan un cono con vértice P y cuya base es una circunferencia contenida en ASC. En las vistas awdliares 1 y 2 se ha construido este cono. Sabiendo que el punto a deberá estar 2.5 cm. debajo de. B, se le ubica en las vistas 1 y 2 Yluego se traslada a las vistas principales. (Hay dos soluciones) B

1

A

p

e

Hit

BH

-HF AF

CF

PAGINA234

......

CAPITULO

VIII: ANGULOS

SOLUCION DEL PROBLEMA 6: Se determina la vista de canto y la verdadera magnitud del plano ASC. En estas dos vistas se construye un cono con vértice P y cuyas generatrices hacen un ángulo de 45° con el plano ASC. El segmento buscado debe ser, necesariamente, un

segmento PX,cuyo extremo X pertenece a ASC.

-

Enla vista auxiliar 3 se prolonga el segmento P3X3hasta que alcance !a longitud de 3.2 cm, determinándose de este modo el extremo Q. (Hay dos soluciones) p F

A

o SI

8H

82

H F

,e,

PAGINA235

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

PROBLEMA7.Determinar un segmento PO que haga un ángulo de 60° con el plano MNO y

cuyo extremo O pertenezca a MNO y diste 2.7 cm. del vértice N. MH NH OH PH

H F OF

NF

"

MF

PROBLEMA

8.-

C.ompletarla vista horizontaldel segmentoXV, sabiendoque hace un ángulo de 45° con el plano ASO.. XH

BH

-H F

CF

AF

BF

PAGINA 236

~

CAPITULO

VIII: ANGULOS

SOLUCION DEL PROBLEMA 7:

Se halla la vista decanto y la verdad~ra magnitud del plano MNOy en estas vistas se traza el cono con vértice P y cuyas generatrices hacen un ángulo de 60° con el plano MNO.

'

Elsegmento buscado debe ser, necesariamente una generatriz de este cono. Sabiendo que el extremo O pertenece al plano MNOy está a 2.7 cm. del vértice N, se ubica la proyección 02 que luego se traslada a las otras vistas. (Observar que hay dos soluciones) ..

o

N MH

.. M

-H F

OF N2

NF

, 'F

PAGINA

237

GEOMETRIA DESCRIPTivA

SOLUCION DEL PROBLEMA 8:

Se determinan las vistas de canto y de verdadera magnituddel plano ABe;,proyectando también el extremo X. En estas vistas se construye el cono con vértice X y cuyas generatrices hacen un ángulo de 45° con el plano ASC. El segmento XVbuscado es, necesariamente, una generatriz de este cono. También 'XVpertenece a un plano perpendicular al plano frontal de proyección cuya vista de canto coincida con XFYF.La intersección de este plano con el plano ASC es IJ. La intersección de IJ con la base del cono (vista 2) determina un punto O, que es un punto por donde debe pasar el segmento XV. PLANO NORMAL Por lo.tanto, hallando OH, se determina YH. (PERPENDICULAR A F)

AH

H F

PAGINA 238

.......

CAPITULO

VIII: ANGULOS

BH YH

PROBLEMA 9...

Hallarla proyección frontaldel seg-. mento XV sabiendo que hace un ángulo de 600 con el plano ABCy que el extremo X pertenece a este plano. AH

H F

CF

-

AF

AH

PROBLEMA 10...

CH

Sobre la arista AS de la pirámide ABCV, hallar un punto que equidiste de las caras ACVy BCV.

BH H F

BF PAGINA239

GEOMETRIA

DESCRIPTIVA

SOLUCION DEL PROBLEMA 9:

Determinar XFsabiendo que pertenece a ASC. Por este punto se traza un segmento XO de longrtud cuaJquiera. perpendicular a ASC. Por el extremo O. se traza un plano opa perpendicular a XO. El segmento )(Y buscado debe hacer un ángulo de 60° con el plano opa. (Caso resuefto en el problema 8)

AH

-ti F e

OF

2 1

PI

I

PAGINA 240

1

. CAPITULO

VIII: ANGULOS

SOLUCION DEL PROBLEMA 10: El punto buscado pertenece al plano bisectriz del diedro formado por las caras ACV y BCV. .

Este plano bisectriz se traza en la vista auxiliar2, donde las caras mencionadas se

proyectan de canto~ La intersección del plano bisectriz con la arista AS, determina el punto buscado.

AH

VI BH

H F

A2

B2

PAGINA .241

;;¡¡

t

GEOMETRIA

DESCRIPTIVA

PROBLEMA 11.Completar la vista frontal del triángulo ASC. sabiendo que el ángulo ABC mide 30°. BH AH

CH

H ---! F CF

BF

PROBLEMA 12.-

BH

I

ASC es la base de una pirámide ~

I

I I I

.

cuyo vértice es V. Se sabe que los ángulos diedros formados por la base de la pirámide con las caras VASy VBC, rriden 45° y 60° respectivamente y que la arista VB mide 4.0 cm. Compretar las vistas a la pirámide.

AH

CH

-HF AF

CF

BF

PAGINA 242

¡, i f

-L

CAPITULO

VID: ANGULOS

SOLUCION DEL PROBLEMA 11: \

Por B trazar un plano BOP. perpendicular a BC. Si se traza un cono con eje ac y cuyas generatnces hagan un ángulo de 60° 'con el

plano BOP. .ellado AC.buscado tendrá que ser una generatriz de este cono. (Se emplea el procedimiento explicado en el problema 8) '\

PH A 1H

BH

°H CH

-F H

PAGINA243

GEOMETRIA

DESCRIPTIVA

8H

SOLUCION DEL PROBLEMA 12: AH

Se hallala verdadera magnitud de ABC.A partir de esta vista se determina la vista auxiliar3, donde AS se encuentra de punta. En esta vista se toma un ángulo de 450 y se ubica un punto cualquiera X, que pertenecerá a

VH

.H

la cara VAB de la pirámide.

Del mismo modo se toma la vista 4, determinándose un punto Y perteneciente a la cara VBCde al pirámide. La intersección de los planos XABe YBCdetermina una recta lB sobre la cual se encontrará la arista VB. Tomando la V.M.de lBy midíendo sobre ellalos 4.0 cm. se ubica el vértice V buscado.

F

-2

4

X3

A4 A3B3

.

lBS, E' o

C?

tv! 15 PAGINA244

I

'CAPITULO

VIII: ANGULOS

PROBLEMA 13.-

Completar la vista frontal de la pirámideABCV,sabiendo que el ángulo diedro formado por las caras ABVy BCVmide 75°.

8~

CH AH

AF

BF

c,.

PAGINA.245

GEOMETRIA

DESCRIPTIVA

SOLUCION DEL PROBLEMA 13: Si se traza un plano cortante tal como P, pe~ndicular a BV se tendrá sobre él un triángulo XYZ,cuyo ángulo en Y deberá medir 75°. Por otro lado siendo P perpendicular a BV,el segmento XZ. perteneciente a P. será también perpendicular a BV. Por la misma razón WY es"perpendicular a BV. siendo el triángulo BY\N,recto en Y. Hecho este análisis, se toma un punto XH.cualquiera,sobre AHBHy se traza XHZH,que por estar contenida en la base horizon~ ASC,se encuentr:aen verdadera magnitud y por lo tanto, se proyecta perpendicular a BHVH. Con la verdadera magnitud de XZ, se construye el arco capaz de 75°. Trasladando la medida MaM tomada de la vista horizontal, se ubica sobre el arco capaz, al punto Y. Se toma seguidamente la vista auxiliar 1. Sabiendo que BY\Nes recto en Y y que WY= h, se construye en la vista 1 el triángulo BYW.Trasladando el punto Y a la vista frontal. se logra completar la vista frontal de la pirámide.

B

e

H -F.

,

YF

I I I

~F ""'>-

PAGINA 246

x

r

-... CAPITULO

VIII: ANGULOS

PROBLEMAS COMPLEMENTARIOS

PROBLEMA1.Completar la proyección frontal de la pirámide ASCD sabiendo que el ángulo que hace la arista AS con la cara ACD es de 60°.

BH

AH

H F

-, 2

C2 AF

CF

A2

PAGINA 247

GEOMETRIA DESCRIPTIVA

PROBLEMA 2.ASC es la base de una pirámide cuyo vértice es V. Determinar sus proyecciones sabiendo que el ángulo diedro que determina la base con la cara VBC mide 45°, que la altura de la pirámide es de 3.6 cm. y que el lado VC mide 5.5 cm.

AH

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5.6

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A2\ H F AF

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I B2C2 I

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PAGINA 248

,

...

CAPITULO VIII: ANGULOS

PROBLEMA 3.ABCD es la base de. una pirámide cuyo vérticees V. Sabiendoque los ánáJulos

diedros que determinanlas caras VBC, VAD YVCD con la base miden 60 , 600 Y 1200respectivamente,completarlas vistasde la pirámide.

Vii

H F VF

X2Y2

---"'--"'" PAGINA 249

GEOMETRIA DESCRIPTNA

PROBLEMA 4.-

El triángulo ASC mostrado es la base de una pirámide cuyo vértice es V. Determinar las proyecciones de la pirámide sabiendo que su altura es de 3.0 cm. y que las aristas VA y VC. determinan ángulos de 30° y 45° con la base,

respectivamente. BH

"""

,,'"

,," VH .",/

H F

------------.....

PAGINA 250

.

r I CAPITULO

VIII: ANGUlOS

I

I

PROBLEMA 5.-

Completar la proyección frontal de la pirámide VASC sabiendo que al ser cortada por el;lano ASP, se originan sobre él dos rectas que forman entre sí un ángulo de 75 . \

v

BH

P

AH PH A

H F VF AF A2

. . PAGINA 251

GEOMETRIA

DESCRIPTIVA

PROBLEMA 6.Completar la vista frontal de la pirámide ABCV, sabiendo que el ángulo diedro formado por las caras ABV y BVC. mide 90°, Ner problema resuelto N° 13)

81

-*

CH H F

z

VF

8F

PAGINA 252