Nejednakost Kosi

UVOD Brojne sredine i nejednakosti između njih imaju veliku primjenu u matematici i drugim naučnim disciplinama. Dokazivanje nejednakosti predstavlja jednu vrlo zanimljivu oblast matematike. Mnoge nejednakosti se uspješno i jednostavno dokazuju koristeći nejednakost između brojnih sredina. Dokazivanje nejednakosti u matematici je vrlo interesantan i kreativan posao, ali koji je često složen i težak. Pri tome, treba reći da on nema neke univerzalne metode, što taj posao i čini tako teškim. Prilikom dokazivanja nejednakosti dolazi do izražaja bogatstvo ideja i metoda uz predpostavku da se posjeduje solidno znanje iz matematike. No za dokazivanje nejednakosti često koristimo neku od poznatih nejednakosti što nam znatno olakšava posao. Evidentno je da se poznate nejednakosti, poput nejednakosti između brojnih sredina, nejednakost CBS i mnoge druge, veoma uspješno primjenjuju u praksi kod dokazivanja raznih drugih nejednakosti, određivanja ekstremnih vrijednosti funkcija itd.

1.

ALGEBARSKE NEJEDNAKOSTI

1.1. NEJEDNAKOSTI IZMEĐU BROJNIH SREDINA I NJIHOVA PRIMJENA Prvi pojmovi o sredinama potiču vjerovatno još od Pitagorejaca. Oni su vjerovatno znali i za nejednakost 1 √ ab ≤ ( a+b ) ; a , b>0 2

(1)

ali je ovu nejednakost svakako dokazao Euklid. Prvo ćemo definisati osnovne sredine za n pozitivnih realnih brojeva. Definicija 1. Neka je a=( a 1 , … , an ) data n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je harmonijska sredina H n ( a ) brojeva a 1 , … , an definisana izrazom H n ( a )=

n ; 1 1 + …+ a1 an

geometrijska sredina G n (a) brojeva a 1 , … , an definisana izrazom Gn ( a )= √n a 1 ∙ … ∙ an ; aritmetička sredina An ( a ) brojeva a 1 , … , an definisana izrazom An ( a ) =

a1+ …+a n ; n

kvadratna sredina K n ( a) brojeva a 1 , … , an definisana izrazom Kn (a)=

√

a21 +…+ a2n . n

Očigledno, nejednakost (1) predstavlja nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine dvaju pozitivnih realnih brojeva a i b. Sljedeća teorema daje poopštenje te nejednakosti za slučaj n pozitivnih realnih brojeva. Teorema 1. (Nejednakost između aritmetičke i geometrijske sredine) Neka je a data n-torka pozitivnih realnih brojeva. Tada je An ( a)≥ Gn (a) s jednakošću ako i samo ako je a 1=…=an.

(2)

Dokaz 1. Koristićemo matematičku indukciju. Za n=2 nejednakost (2) postaje (1), tj. a1 +a2 ≥ √ a1 a2 , 2 2

što je ekvivalentno sa ( √ a1− √ a2) ≥0. Ova nejednakost je očigledno tačna. U njoj vrijedi znak jednakosti ako i samo ako je a 1=a2. Pretpostavimo da je nejednakost (2) tačna za neko n=k ≥ 2, tj. da vrijedi Ak ≥ G k .

(3)

Tada je na osnovu (3): A≡

1 a k+1+(k−1) A k+1 k ≥ ( a k+1 A k−1 ≡G . ) k+1 k

Kako je Ak + A=

¿

a1 +a2 +…+ ak ak+1 +( k−1) A k+1 + =¿ k k

( k +1 ) A k+1 +(k−1) A k+1 =2 Ak +1 . k

vodeći računa o (1) i (4), imamo 1

1 1 1 Ak +1= ( Ak + A ) ≥ ( A k A ) 2 ≥ ( Gk G ) 2 =( Gkk Gk ) 2 k =¿ 2

k k

¿ ( G a k+1 A

1 k−1 2 k k+1

)

=(G

k+1 k+1

A

1 k−1 2 k k+1

)

.

Dakle, k−1 A2k k+1 ≥ G k+1 k+1 Ak +1 , tj .

Ak +1 ≥ Gk+1 . Ovim je induktivni dokaz završen. Dokažimo da jednakost u (2) nastupa ako i samo ako je a 1=…=an. Ako je a 1=…=an, tada imamo jednakost u (2). Pretpostavimo sada da su bar dva od brojeva a 1=…=an različiti, na primjer a 1 ≠ a2. Tada je a1 +a2 a1+ a2 + + a3 +…+a n a1 +a2 + ⋯+a n 2 2 = ≥ n n

(4)

1

1 a 1+ a2 2 n ≥ a3 ∙ … ∙ an > ( a1 a 2 a 3 ∙ … ∙ an ) n , 2

[( )

]

jer je a1 +a2 > √ a1 a2 , za a 1 ≠ a2 2 Ovim je dokaz završen. Nejednakosti između aritmetičke i geometrijske sredine zvaćemo kratko AG nejednakost. Napomena 1. Da (2) vrijedi izgleda da je prvi dokazao još 1820. godine veliki francuski matematičar A.L.Cauchy (Koši)(21.08.1789.-23.05.1857.). Nejednakost (2) igra veoma važnu ulogu u matematici i ima veliku primjenu. Zato ćemo ovdje ovdje dati još dva dokaza ove nejednakosti.