Poslovna Matematika

Cyan Magenta Yellow Black

Diplomirao je na Elektrotehničkom fakultetu u Beogradu 1991. godine. Na istom fakultetu je magistrirao 1995. godine i doktorirao 2001. godine. Učesnik je više domaćih i inostranih kongresa i konferencija i ima preko trideset objavljenih radova u domaćim i međunarodnim stručnim publikacijama. Naučni je saradnik Instituta za fiziku i vanredni profesor na Fakultetu za poslovne studije Megatrend univerziteta primenjenih nauka za predmete Poslovna matematika i Poslovna statistika.

ISBN 86-7747-141-3

Prof. dr Dušan Joksimović • POSLOVNA MATEMATIKA

Prof. dr Dušan Joksimović rođen je 1966. godine u Beogradu.

Megatrend univerzitet primenjenih nauka, Beograd, 2004.

Prof. dr Dušan Joksimović

POSLOVNA MATEMATIKA drugo izdanje

Megatrend univerzitet primenjenih nauka Beograd, 2004.

Prof. dr Dušan Joksimović POSLOVNA MATEMATIKA drugo izdanje Recenzenti: Prof. dr Šćepan Ušćumlić, redovni profesor Tehnološko-metalurškog fakulteta u Beogradu Prof. dr Goran Kilibarda, vanredni profesor Tehnološko-metalurškog fakulteta u Beogradu Izdaje i štampa: Megatrend univerzitet primenjenih nauka, Beograd, Makedonska 21 Za izdavača: Nevenka Trifunović, izvršni direktor Lektor: Tatjana Imširagić Tehnički urednik i dizajn korica: Zoran Imširagić Tiraž: 700 primeraka Copyright: © 2004 „Megatrend“ univerzitet primenjenih nauka - Beograd Izdavač zadržava sva prava. Reprodukcija pojedinih delova ili celine ove publikacije nije dozvoljena!

CIP - Katalogizacija u publikaciji Narodna biblioteka Srbije, Beograd 512.6(075.8) 517.3/.(075.8) 51-77:33(075.8) JOKSIMOVIĆ, Dušan Poslovna matematika / Dušan Joksimović. - 2. izd. - Beograd : Megatrend univerzitet primenjenih nauka, 2004 (Beograd : Megatrend univerzitet primenjenih nauka). 196 str. : graf. prikazi ; 24 cm Tiraž 700. - Bibliografija: str. 179 ISBN 86-7747-141-3

ISBN 86-7747-141-3 a) Linearna algebra b) Teorija funkcija c) Privredna matematika COBISS.SR-ID 116824076

Odlukom Komisije za izdavačku delatnost Megatrend univerziteta primenjenih nauka broj 94/35 (27.08.2004.) rukopis je odobren za štampu i upotrebu u nastavi kao udžbenik.

i

Poslovna matematika

SADRŽAJ 1. ELEMENTI ALGEBRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.1. Osnovni pojmovi matematičke logike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 1.2. Skupovi i operacije sa skupovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

2. REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE NEZAVISNO PROMENLJIVE . . . . . .11 2.1. Pojam realne funkcije jedne realno nezavisne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . .11 2.2. Nizovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .14 2.2.1. Operacije sa konvergentnim nizovima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 2.2.2. Broj e (Neperov broj) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18 2.2.3. Numerički redovi kao specijalna vrsta nizova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .20

2.3. Neke osobine funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .23 2.4. Granične vrednosti funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 2.5. Operacije sa graničnim vrednostima funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .33 2.6. Neprekidnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35 2.7. Prvi izvod i diferencijal funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 2.7.1. Geometrijska interpretacija prvog izvoda i diferencijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39 2.7.2. Tablica izvoda nekih elementarnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 2.7.3. Osnovna pravila diferenciranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .41 2.7.4. Izvodi višeg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 2.7.5. Lopitalovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .43 2.7.6. Limesi neodređenih izraza oblika 0·µ, µ - µ, 1µ, 00, µ0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .45 2.7.7 Primena izvoda na ispitivanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .47 2.7.8. Asimptote funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .53 2.7.9. Opšta šema za ispitivanje funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .54

3. FUNKCIJE DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 3.1. Pojam funkcije dve nezavisno promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61 3.2. Granična vrednost i neprekidnost funkcije dve promenljive . . . . . . . . . . . . . . . .62 3.3. Parcijalni izvod i totalni diferencijal funkcije dve promenljive . . . . . . . . . . . . . .62 3.4 Parcijalni izvodi i diferencijali višeg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .65 3.5. Ekstremne vrednosti funkcije dve nezavisne promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . .67

4. INTEGRALI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 4.1. Neodređeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .71 4.1.1. Osnovna svojstva neodređenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72 4.1.2. Tablica osnovnih integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72

ii

Sadržaj 4.1.3. Metodi izračunavanja neodređenog integrala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 4.1.3.1. Metoda dekompozicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 4.1.3.2. Metoda zamene nezavisno promenljive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .73 4.1.3.3. Metoda parcijalne integracije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74 4.1.3.4. Integracija racionalnih funkcija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .74

4.2. Određeni integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 4.2.1 Pojam integralne sume . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .76 4.3. Nesvojstveni integrali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .79 4.3.1. Izračunavanje nesvojstvenih integrala kod kojih interval integracije nije konačan . . . . . . . . . .79 4.3.2. Izračunavanje nesvojstvenih integrala kod kojih je podintegralna funkcija neograničena u nekoj tački intervala integracije. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .80

5. EKONOMSKE FUNKCIJE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 5.1. Funkcija tražnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .81 5.2. Funkcija ponude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82 5.3. Funkcija ukupnih troškova, prosečnih troškova i graničnih troškova . . . . . . . . .83 5.4. Funkcija ukupnog prihoda i graničnog prihoda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .85 5.5. Funkcija dobiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .86 5.6 Elastičnost funkcije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88 5.6.1 Elastičnost funkcije tražnje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .88 5.6.2. Elastičnost funkcije ukupnih troškova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

6. LINEARNA ALGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 6.1. Matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .95 6.2. Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .100 6.2.1. Sarusovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .103 6.3. Inverzna matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104 6.4. Rang matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106 6.5. Sistemi linearnih algebarskih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .108 6.6. Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti i matrica . . . . . .111 6.6.1 Rešavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina pomoću determinanti (Kramerovo pravilo)111 6.6.1.1. Nehomogeni kvadratni sistem linearnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .111 6.6.1.2. Homogeni kvadratni sistem linearnih jednačina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .118

6.6.2. Nalaženje rešenja kvadratnog sistema linearnih jednačina koji ima jedinstveno rešenje pomoću matrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 6.6.3. Nalaženje rešenja sistema m linearnih jednačina sa n nepoznatih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122

7. ELEMENTI FINANSIJSKE MATEMATIKE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 7.1. PROCENTNI RAČUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .125 7.2 KAMATNI RAČUN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .130 7.2.1. Prosti kamatni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .131 7.2.1.1. Neke primene prostog kamatnog računa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .134

7.2.2. Složeni kamatni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143 7.2.2.1. Dekurzivni složeni kamatni račun . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .143

7.3. AMORTIZACIJA KREDITA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .157 7.3.1. Amortizacija kredita jednakim dekurzivnim anuitetima pri godišnjem dekurzivnom kapitalisanju .158

Dodatak – Kamatne (interesne) tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .167 LITERATURA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .179

Poslovna matematika

PREDGOVOR Ovaj udžbenik je namenjen studentima Megatrend univerziteta za izučavanje Poslovne matematike. Sadržaj udžbenika je u skladu sa nastavnim planom i programom predviđenim za predmet Poslovna matematika, koji se pohađa na prvoj godini studija. Način na koji su određene matematičke oblasti obrađene u ovom udžbeniku prilagođen je potrebama studenata kojima matematika nije osnovna oblast istraživanja, već primenjuju određene matematičke metode u raznim ekonometrijskim disciplinama. Izvori pojedinih sadržaja ove knjige nalaze se u naznačenoj literaturi, pa se čitalac u cilju dubljeg proučavanja pojedinih oblasti, upućuje na te radove. Zahvaljujem se recenzentima Prof. dr Šćepanu Ušćumliću i Prof. dr. Goranu Kilibardi koji su svojim sugestijama doprineli podizanju kvaliteta ovog udžbenika. Zahvalan sam i onim čitaocima koji će svojim sugestijama doprineti da eventualno sledeće izdanje bude još bolje.

Beograd, decembar 2002.

Autor

Poslovna matematika

1

1. ELEMENTI ALGEBRE

1.1. Osnovni pojmovi matematičke logike Definicija 1. (sud ili iskaz) Sud (ili iskaz) je afirmativna rečenica koja ima smisla i za koji važe sledeća dva principa: 1. Sud ne može biti istovremeno istinit i neistinit 2. Sud ne može biti ni istinit ni neistinit Polazne sudove ćemo zvati elementarni sudovi i označavati ih malim slovima p, q, r, s.... Osobine sudova istinitost ili neistinitost nazivaju se kratko vrednosti istinitosti i obeležavaju respektivno sa 1 (ili sa Τ , što se čita „TE”) i sa 0 (ili sa ⊥ , što se čita „NE TE”).Inače vrednost istinitosti suda p obeležava se sa τ(p) i čita „tau od p”. Sledeće rečenice su sudovi: Broj 18 je deljiv sa 6. Broj 5 je veći od broja 3. Broj 7 je veći od broja 10. Vrednost istinitosti sudova 1. i 2. je 1, a suda 3. je 0. Primetimo da postoje rečenice koje imaju smisla, ali za koje ne možemo reći ni da su istinite ni da su neistinite. Na primer rečenica „x2=4” je istinita ako je x=2 ili x= -2 a neistinita ako je, ne primer, x=3.

1. Neki elementi opšte algebre

2

Od elementarnih sudova formiraju se takozvani složeni sudovi pomoću logičkih sveza kao što su „i”, “ili”, „ako je...onda je” itd., koje nazivamo logičkim operacijama. Osnovne logičke operacije su: konjunkcija (∧), disjunkcija (∨), ekskluzivna (isključna) disjunkcija ( ∨ ), negacija (¬), implikacija (⇒) i ekvi.− valencija (⇔). Konjunkcija (∧) sudova Sud „p i q” je konjunkcija (ili proizvod) sudova p i q i označava se sa p∧q. Tablica vrednosti istinitosti za konjunkciju je: p q p∧q 1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 0

Dakle, konjunkcija sudova p i q je istinita samo ako su oba suda p i q istiniti. Disjunkcija (∨) sudova Sud „p ili q” je disjunkcija (ili zbir) sudova p i q i označava se sa p∨q. Tablica vrednosti istinitosti za disjunkciju je: p q p∨q 1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

Dakle, disjunkcija sudova p i q je istinita samo ako je istinit bar jedan od sudova p i q .

Poslovna matematika

3

Ekskluzivna (isključna) disjunkcija ( ∨ ) sudova .− Sud „ili p ili q” je ekskluzivna (isključna) disjunkcija sudova p i q i označava se sa p ∨ q. .− Tablica vrednosti istinitosti za isključnu disjunkciju je: p q p ∨ q .− 1 1 0 0

1 0 1 0

0 1 1 0

Dakle, isključna disjunkcija sudova p i q je istinita samo ako je istinit samo jedan od sudova p i q . Negacija (¬) suda Sud „nije p” nazivamo negacijom suda p i označava se sa ¬ p. Tablica vrednosti istinitosti za negaciju je: p ¬p 1 0

0 1

Implikacija (⇒) sudova Implikacija redom sudova p i q je sud: „Ako je p onda je q”.Označava se sa p⇒ q, a netačan je sud jedino ako je p tačan a q netačan sud. U svim ostalim slučajevima implikacija je tačan sud. Sud „ako je p onda je q” ima isto značenje kao sudovi: „ „ „ „ „

Iz p sledi q; p je dovoljan uslov za q; q je potreban uslov za p; p implicira q; p povlači q.

1. Neki elementi opšte algebre

4

Tablica vrednosti istinitosti implikacije je: p q p⇒q 1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 1 1

Primer 1.1.1: Osobe A i B su vlasnici zajedničkog računa. A i B žele da osoba A uradi određeni posao od zajedničkog interesa i da po uspešno obavljenom poslu uzme 30 000 dinara sa zajedničkog računa , kao naknadu za uspešno obavljen posao. Ovaj dogovor su definisali ugovorom koji sadrži sledeču stavku: „Ako osoba A završi posao, ona će uzeti 30 000 dinara sa zajedničkog računa” . Ova stavka ugovora je sud koji je implikacija dva suda i to sud p : „osoba A je završila posao” sud q : „osoba A je uzela 30 000 dinara sa zajedničkog računa” Dakle, stavka ugovora je sud p⇒q , što znači da tako definisan sud dozvoljava da osoba A ne završi posao i da uzme 30 000 dinara sa zajedničkog računa, što verovatno ne odgovara osobi B, jer za p=0 (A nije završio posao) i q=1 (A je uzeo novac sa računa), gore definisani sud „Ako osoba A završi posao, ona će uzeti 30 000 dinara sa zajedničkog računa” je tačan sud, jer je tada p⇒q=1.

Ekvivalencija (⇔) sudova Ekvivalencija redom sudova p i q je sud „p je ako i samo ako je q”. Označava se sa p⇔ q , a tačan je sud samo u slučaju da su p i q istih vrednosti istinitosti. Sud „p je ako i samo ako je q” ima isto značenje kao sudovi: „ „ „

p je ekvivalentno sa q; p je potreban i dovoljan uslov za q; p je logički ravnovaljano sa q.

Poslovna matematika

5

Tablica vrednosti istinitosti ekvivalencije je: p q p⇔q 1 1 0 0

1 0 1 0

1 0 0 1

Primer 1.1.2: Neka je stavka ugovora iz prethodnog primera definisana na sledeći način: „Ako i samo ako osoba A završi posao, ona će uzeti 30 000 dinara sa zajedničkog računa”. Sada je ova stavka ugovora ekvivalencija dva suda i to: sud p : „A je završio posao” sud q : „A je uzeo 30 000 dinara sa zajedničkog računa”. Ovako definisan sud je , za razliku od prethodnog primera, tačan, odnosno istinit, samo ako A završi posao i uzme novac sa računa ili ako ne završi posao i ne uzme novac sa računa, što je u stvari na prvi pogled u redu i za osobu A , kao strane koja želi da uradi posao i da za to dobije određenu sumu novca i za osobu B, koja žele da A uradi odgovarajući posao i da za taj posao dobije 30 000 dinara, i naravno da ako A ne uradi posao ne dobije novac sa računa. Međutim ovako, na prvi pogled, pravilno definisan sud, omogućava da A završi posao i da, pošto je mogućnosti, jer je i sam jedan od vlasnika zajedničkog računa , uzme na primer 100 000 dinara sa računa, jer je tada sud p istinit ( A je završio posao) i sud q je takodje istinit (jer uzevši 100 000 dinara osoba A je ispunila i sud q tj uzeo je 30 000 dinara sa računa), pa je i sud p⇔q istinit. Ovo naravno ne bi odgovaralo osobi B. Pravilno i nedvosmisleno definisana stavka ugovora, koja podjednako štiti i osobu A i osobu B je: „Ako i samo ako osoba A završi posao, ona će uzeti samo 30 000 dinara sa zajedničkog računa” .

Definicija 2. (formula) Svaki konačan sud formiran pomoću konstanata 1 i 0 i elementarnih sudova primenom logičkih operacija ∧, ∨,¬, ⇒, ⇔, naziva se formula ili iskazna formula. Iskazne formule se obično obeležavaju velikim slovima A, B, C, ... . Formula je, na primer , (p∧(q∨r)⇒s)⇔r.

1. Neki elementi opšte algebre

6

Definicija 3. (tautologija) Formula koja za sve vrednosti istinitosti sudova koji ulaze u tu formulu dobija vrednost 1 (odnosno T) naziva se tautologija. Definicija 4. (kontradikcija) Formula koja za sve vrednosti istinitosti sudova koji ulaze u tu formulu dobija vrednost 0 (odnosno ⊥ ) naziva se kontradikcija. Kvantifikatori (kvantori) Simbol ∀ (svaki) naziva se univerzalni kvantifikator, a simbol ∃ (postoji) je tzv. egzistencijalni kvantifikator. Primer 1.1.3. Sud „za svako x važi x2≥0” simbolički se zapisuje (∀x), x2≥0; Sud „postoji x tako da je x<6” simbolički se zapisuje (∃x), x<6; Sud „za svako x postoji bar jedno y tako da je x>y” simbolički se zapisuje (∀x)(∃y), x>y. Primer 1.1.4. Neke važnije tautologije: 1. (p∧q)⇔(q ∧ p); (p∨q)⇔(q∨p); (p⇔q)⇔(q⇔p). (Konjunkcija, disjunkcija i ekvivalencija su komutativne). 2. ((p∧q)∧r)⇔(p∧(q∧r)); ((p∨q)∨r)⇔(p∨(q∨r)); ((p⇔q)⇔r)⇔(p⇔(q⇔r)). (Konjunkcija, disjunkcija i ekvivalencija su asocijativne. ). 3. (p∧p)⇔p; (p∨p)⇔p. (Konjunkcija i disjunkcija su idempotentne) 4. (p∧(q∧r)⇔((p∧q)∧(p∧r)); (p∨(q∨r)⇔((p∨q)∨(p∨r)). (Konjunkcija i disjunkcija su distributivne). 5. (p∧(q∨r)⇔((p∧q)∨ (p∧r)); (p∨(q∧r)⇔((p∨q)∧ (p∨r)). (Konjunkcija je distributivna prema disjunkciji i obratno) 6. (p∧(p∨r)⇔p; (p∨(p∧r)⇔p. (Konjunkcija je apsorptivna prema disjunkciji i obratno)

Poslovna matematika

7

7. ¬(¬p)⇔p. (Negacija je involutivna) 8. ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q); ¬(p∧q)⇔(¬p∨¬q). (De Morganova pravila. ) 9. (p⇒q)⇔(¬q⇒¬p). (Zakon kontrapozicije)

Sve navedene tautologije mogu se dokazati, na primer, pomoću tablica istinitosti. Primera radi, dokažimo tautologiju 8. Dokaz tautologije ¬(p∨q)⇔(¬p∧¬q): p q p∨q ¬(p∨q) ¬p ¬q 1 1 0 0

1 0 1 0

1 1 1 0

0 0 0 1

0 0 1 1

0 1 0 1

¬p∧¬q 0 0 0 1

Kako za sve vrednosti istinitosti sudova p i q , kolona 4 (¬(p∨q)) ima iste vrednosti istinitosti kao i kolona 7 (¬p∧¬q), zaključujemo da je razmatrana formula tautologija.

1.2. Skupovi i operacije sa skupovima Pojam skupa je jedan od osnovnih pojmova matematike koji se ne definiše, već se smatra poznatim. Pod skupom se podrazumeva potpuno određena lista objekata. Skup se obično obeležava velikim slovima A; B; S; X; Y...Objekti koji čine skup nazivaju se elementi skupa (ili članovi skupa) i obeležavaju se malim slovima a, b, c, x, y, ... Ako skup A sačinjavaju elementi a, b, c,..., onda se to označava sa A={a,b,c,...}. Sa A={x⏐F(x)} označava se skup svih elemenata x koji imaju osobinu F(x). Ako je A skup, tada se sa x∈A označava tvrđenje „x je element skupa A”, odnosno „x pripada skupu A” . Negacija ovog iskaza se označava sa x∉A . Skup ne zavisi od poretka kojim su dati njegovi elementi. Tako, na primer, skupovi {a,b,c} i {b,a,c} su jednaki, kao i skupovi {a,a,a,b,c} i {b,c,c,a}.

1. Neki elementi opšte algebre

8

Skup je konačan ako je broj njegovih elemenata konačan. Skup koji ne sadrži nijedan element zove se prazan skup i označava se simbolom ∅. Definicija 1.2.1. (Inkluzija, odnosno podskup) Za skup B kaže se da je sadržan u skupu A, tj. da je B podskup ili deo skupa A, ako i samo ako je svaki element skupa B takođe element skupa A. Činjenica da je B podskup skupa A se označava sa B⊂A ili A⊃B. Dakle, B⊂A⇔(∀x)(x∈B⇒x∈A). Definicija 1.2.2.(Jednakost skupova) Skupovi A i B su jednaki ako i samo ako je B⊂A i A⊂B. Odnosno, A=B ⇔ B⊂A∧A⊂B Definicija 1.2.3. (Unija skupova) Ako su A i B dva skupa, pod unijom (zbirom) skupova A i B (u oznaci A∪B) podrazumeva se skup svih elemenata koji se nalaze bar u jednom od skupova A i B. To znači, A∪B={x⏐x∈A∨x∈B} Definicija 1.2.4. (Presek skupova) Presek (proizvod) skupova A i B ( u oznaci A∩B) je skup svih elemenata koji pripadaju i skupu A i skupu B. Dakle, A∩B={x⏐x∈A∧x∈B} Definicija 1.2.5. (Razlika skupova) Pod razlikom dva skupa A i B (u oznaci A\B) podrazumeva se skup svih elemenata skupa A koji ne pripadaju skupu B. To znači, A\B={x⏐x∈A∧x∉B}

Poslovna matematika

9

Definicija 1.2.6. (Komplement skupa) Ako je A⊂B, pod komplementom skupa A u odnosu na skup B (u oznaci A’) podrazumeva se skup svih elemenata skupa B koji ne pripadaju skupu A. To znači da je A’={x⏐x∉A∧x∈B} Definicija 1.2.7. (Partitivni skup) Partitivni skup skupa A (u oznaci P(A)) je skup svih podskupova skupa A. Za neke skupove, koji su često u upotrebi, usvojene su sledeće oznake: N skup svih prirodnih brojeva; Z skup svih celih brojeva; Q skup svih racionalnih brojeva; R skup svih realnih brojeva; R+ skup svih pozitivnih realnih brojeva; I skup svih iracionalnih brojeva; C skup svih kompleksnih brojeva. Važi sledeće:

N⊂Z⊂Q⊂R; I⊂R; Q∪I=R

Skup realnih brojeva je neograničen, odnosno ne postoje najmanji i najveći realan broj. Zato se uvode dva simbola -∝ (minus beskonačno), i +∝ (plus beskonačno), tako da za svaki realan broj a važi -∝
1. Neki elementi opšte algebre

10

Za svako a iz R je: a+(+∝)=(+∝)+a=+∝ ; a+(-∝)=(-∝)+a=-∝ ; a a = =0 +∝ −∝ .

Ako je a rel="nofollow">0, tada je a•(+∝)=(+∝)•a=+∝ ; a•(-∝)=(-∝)•a=-∝ . Ako je a<0, tada je a•(+∝)=(+∝)•a=-∝ ; a•(-∝)=(-∝)•a=+∝ . Izrazi

0•∝,

∝ , su neodređeni. ∝

Definicija 1.2.8. (Interval realnih brojeva) Skup realnih brojeva x takvih da je a<x
[a,b].

Skup realnih brojeva x takvih da je a≤x≤b zove se segment i označava Definicija 1.2.10. (Poluotvoreni interval realnih brojeva)

Skup realnih brojeva x za koje je a≤x
11

Poslovna matematika

2. REALNE FUNKCIJE JEDNE REALNE NEZAVISNO PROMENLJIVE

2.1. Pojam realne funkcije jedne realno nezavisne promenljive Neka su dati neprazni skupovi X i Y i neka je x elemenat skupa X, a y elemenat skupa Y. Neka je sa f označen način, zakon, ili pravilo kojim se svakom elementu x iz X pridružuje jedan i samo jedan element y iz Y. Tada kažemo da je f preslikavanje skupa X u skup Y. Definicija 2.1.1 (Funkcija jedne nezavisno promenljive) Preslikavanje f skupa X u skup Y po tačno određenom zakonu pridruživanja nazivamo funkcijom iz skupa X u skup Y. Funkciju f simbolički možemo zapisati i na jedan od načina: x→f(x)

ili

f : X→Y

ili

y=f(x).

Pri tome se x naziva nezavisno promenljiva ili argument ili original, a y zavisno promenljiva ili slika. Skup D(f)=X zove se domen ili oblast definisanosti ili skup originala funkcije, a skup R(f)=Y je skup vrednosti ili kodomen ili skup slika funkcije f. Napomenimo da ubuduće nećemo praviti razliku između funkcije i preslikavanja. Za preslikavanje f:X→Y kod koga je R(f)=Y kažemo da je preslikavanje skupa X na skup Y.

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

12

Za preslikavanje f:X→Y kod koga se različitim elementima skupa X pridružuju različiti elementi skupa Y kažemo da je injektivno ili jedan-jedan preslikavanje. Za preslikavanje f:X→Y koje je i jedan-jedan i na kažemo da je obostrano jednoznačno preslikavanje. Ako je oblast definisanosti funkcije skup realnih brojeva R ili neki njegov podskup i ako skup vrednosti funkcije pripada skupu realnih brojeva R ili nekom njegovom podskupu, onda se za takvu funkciju kaže da je realna funkcija realne promenljive. Neka je preslikavanje f:X→Y obostrano jednoznačno. Tada se preslikavanje f -1:Y→X koje svakoj vrednosti argumenta y iz Y dodeljuje vrednost (odnosno sliku) x iz X i to tačno onu za koju je y=f(x), naziva inverzno preslikavanje preslikavanja f. Ovo znači da je

(∀x ∈ D( f ) = X )(f −1 ( f (x )) = x ) (∀y ∈ R( f ) = Y )(f (f −1 (y ))= y ).

Ako se iz jednakosti y=f(x) odredi x, i zatim se zameni sa y, a y se zameni sa x dobija se izraz za inverznu funkciju y=f -1(x). Grafik funkcije f(x) je simetričan sa grafikom funkcije f -1(x) u odnosu na pravu y=x. Primer 2.1.1. Naći inverznu funkciju funkcije y=3x-9 Rešenje: Rešimo po x datu funkciju

x= Zamenom mesta za x i y dobijamo y = f

y +3 3

−1

( x) =

x +3. 3

Složena funkcija h:X→Y ili kompozicija preslikavanja g i f određenih sa g:X→U a f:U→Y je preslikavanje skupa X u skup Y definisano na sledeći način y=h(x)=f(g(x))

Poslovna matematika

13

Primer 2.1.2. Neka je g(x)=3x-2 f(x)=x2+4 Tada je složena funkcija f(g(x))=(3x-2)2+4.

Grafik funkcije f (u pravouglom koordinatnom sistemu x0y) je skup tačaka ravni, čije apscise (osa x) su vrednosti nezavisno promenljive, a ordinate (osa y) su odgovarajuće vrednosti funkcije (slika 1). Sa M(a,b) označavamo tačku u pravouglom koordinatnom sistemu x0y čija je apscisa x=a, a ordinata y=b. (slika 1.) Dakle, grafik funkcije f(x) je skup tačaka (x,f(x)). y

M (a,b)

b

0

y=f(x)

a

x

Slika 1. Grafik funkcije y=f(x) i tačke M(a,b)

Za funkciju y=f(x) kaže se da je data analitički ako je zakon pridruživanja f zadat analitičkim izrazom tj. obrascem (formulom) koji je formiran pomoću operacija koje je u određenom poretku neophodno izvršiti nad argumentom x i realnim brojevima da bi se dobila odgovarajuća vrednost funkcije f(x). 2 Na primer: y = x − 3 x + 4 je analitički zadata funkcija. 2x − 6 Ako je funkcija f data analitički onda je njena oblast definisanosti određena skupom vrednosti nezavisno promenljive x za koje se iz odgovarajućeg analitičkog izraza može odrediti vrednost funkcije y=f(x).

Tako, na primer, oblast definisanosti (skup D(f)=X) za funkciju

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

14

a) y = n p ( x) gde je n paran broj, je skup X={x⏐p(x)≥0} b) y = log a (p(x )) , je skup X={x⏐p(x)>0} c) Ako su X1 i X2 oblasti definisanosti funkcija f1 i f2 onda je oblast definisanosti funkcije y=f1(x)±f2(x) i y= f1(x)• f2(x)skup X=X1∩X2 d) Ako je funkcija y data kao količnik dve funkcije, odnosno f ( x) y= 1 onda je njena oblast definisanosti skup X=(X1∩X2)\X3 f 2 ( x) gde su X1 i X2 oblasti definisanosti funkcija f1 i f2, a X3 skup vrednosti promenljive x za koje je f2(x)=0.

2.2. Nizovi Neka je N skup prirodnih brojeva i R skup realnih brojeva. Definicija 2.2.1. (realni niz) Svako preslikavanje f:N→R zove se realni niz. Dakle, realni niz je funkcija čiji su argumenti prirodni brojevi (odnosno celi pozitivni brojevi 1,2,3, …). Prirodnom broju 1 se pridružuje realan broj x1=f(1), prirodnom broju 2 se pridružuje realan broj x2=f(2),…, prirodnom broju n se pridružuje realan broj xn=f(n), itd. Član xn je opšti član niza. Niz sa opštim članom xn se označava sa {xn}. 7,…).

Na primer sa opštim članom xn=2n-1 je definisan niz {xn}=(1, 3, 5,

Definicija 2.2.2.(ε- okolina) Interval realnih brojeva (a-ε, a+ε) (ε>0) zove se ε okolina tačke (broja) a. Broj ε je poluprečnik ε-okoline broja a.

ε-okolinom tačke +∝ naziva se interval (ε,+∝). ε-okolinom tačke -∝ naziva se interval (-∝,-ε). Dakle, ε okolina tačke a je skup realnih brojeva x za koje je ⏐x-a⏐<ε.

Poslovna matematika

15

ε-okolina tačke +∝ je skup realnih brojeva x, za koje je ε<x, dok je εokolina tačke -∝ skup realnih brojeva x za koje je x<-ε. Definicija 2.2.3. (ograničeni nizovi) Niz {xn} je ograničen sa gornje strane ako postoji broj M takav da je xn≤M za svako n∈N. Broj M zove se gornja granica niza {xn}. Niz {xn} je ograničen sa donje strane ako postoji broj m takav da je m≤ xn za svako n∈N. Broj m zove se donja granica niza {xn}. Niz {xn} je ograničen ako je ograničen i sa gornje i sa donje strane. Najmanja gornja granica niza {xn} zove se supremum, i obeležava sup xn. Najveća donja granica niza {xn} zove se infimum i obeležava inf xn. Definicija 2.2.4. (monotoni nizovi) Ako je xn<xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono rastući. Ako je xn >xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono opadajući. Ako je xn ≤xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono neopadajući. Ako je xn≥xn+1 za svako n∈N, kaže se da je niz {xn} monotono nerastući. Definicija 2.2.5. (konvergentan niz) Niz {xn} je konvergentan i a mu je granična vrednost, ako za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 (određen u zavisnosti od ε), takav da je ⏐xn-a⏐<ε za svako n>n0 Ovo se zapisuje lim x n = a i govori da niz {xn} konvergira ka a, ili da n →∝

xn teži ka a. Definicija 2.2.6. (divergentan niz) Za niz koji nije konvergentan kažemo da je divergentan. Definicija 2.2.7. (divergentnost niza u užem smislu) Kaže se da je niz {xn} divergentan u užem smislu, ako za svaki pozitivan broj M (ma kako veliki) postoji prirodan broj n1, takav da je xn>M za svako n>n1, ili ako za svaki negativan broj N (ma kako veliki po apsolutnoj vrednosti) postoji prirodan broj n2 takav da je xnn2. Kada niz divergira u užem smislu kaže se još da {xn} teži ka +∝ u prvom, odnosno ka -∝ u drugom slučaju.

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

16

Definicija 2.2.8 (divergentnost niza u širem smislu) Za divergentan niz, koji nije divergentan u užem smislu kaže se da je divergentan u širem smislu. Definicija 2.2.9 (nula niz) Konvergentan niz čija je granična vrednost jednaka 0 (nula) zove se nula niz. Teorema 2.2.1. Monoton i ograničen niz je konvergentan. Dokaz: Pretpostavimo da je niz {xn} monotono rastući. Pošto je niz {xn} i ograničen on ima supremum, recimo a. Dokazaćemo da je niz {xn} konvergentan i da mu je a granična vrednost. Kako je a supremum, za svako n∈N važi xn≤a. Takođe, za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da je xn0>a-ε, jer da to nije slučaj a ne bi bio supremum (najmanja gornja granica) već bi to bio broj a-εn0 je xn>xn0>a-ε. Dakle, imamo 0n0) što prema definiciji konvergentnosti znači da je niz {xn} konvergentan i da mu je granična vrednost a. Pretpostavimo da je niz {xn} monotono opadajući.. Pošto je niz {xn} i ograničen on ima infimum, recimo a. Dokazaćemo da je niz {xn} konvergentan i da mu je a granična vrednost. Kako je a infimum, za svako n∈N važi xn≥a. Takođe, za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da je xn0a. Pošto je niz {xn} monotono opadajući važi da za svako n>n0 je xn<xn0n0) što prema definiciji konvergentnosti znači da je niz {xn} konvergentan i da mu je granična vrednost a. Teorema 2.2.2 Ako niz {xn} ima graničnu vrednost ona je jedinstvena, tj ako {xn}→a i {xn}→b, tada je a=b. Dokaz:

Poslovna matematika

17

Pretpostavimo da je a≠b. Neka je ⏐a-b⏐=2ε>0. Uočimo ε okolinu tačaka a i b.Ove dve okoline su disjunktne, odnosno njihov presek je prazan skup. Kako je a granična vrednost niza {xn} u okolini ε okoline tačke a ima beskonačno mnogo članova niza, a to znači da izvan ε okoline tačke b ima beskonačno mnogo članova niza. To znači da b nije granična vrednost niza, što je suprotno pretpostavci. Dakle, mora biti a=b. Teorema 2.2.3. Ako niz {an}→a i niz {cn}→a i ako je an≤bn≤cn tada i niz {bn}→a. Dokaz: Neka je ε>0. Pošto an→a postoji prirodan broj n1 takav da je ⏐an-a⏐<ε za svako n>n1. Takodje, pošto cn→a postoji prirodan broj n2 takav da je ⏐cn-a⏐<ε za svako n>n2. Neka je n0=max(n1,n2). Tada je a-ε
i

a-ε
za svako n rel="nofollow">n0.

Kako je an≤bn≤cn, važi a-ε
za n rel="nofollow">n0

odnosno ⏐bn-a⏐<ε za n>n0.

Dakle, bn→a. Teorema 2.2.4 Niz {xn} je konvergentan ako i samo ako se može napisati u obliku konstante i nula niza. Ta konstanta je granična vrednost niza. Dokaz: 1. Neka je xn=a+bn, gde je {bn} nula niz i a konstanta. Tada je ⏐xn-a⏐=⏐bn⏐ Kako je {bn} nula niz, to za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da je ⏐bn⏐<ε za svako n>n0. Prema tome važi ⏐xn-a⏐<ε za svako n>n0, odnosno xn→a. 2. Iz xn→a, sledi da za svako ε>0 postoji prirodan broj n0 takav da za svako n>n0 važi ⏐xn-a⏐<ε, odnosno ⏐(xn-a)-0⏐<ε, što znači da je {xn-a} nula niz. Stavimo li da je xn-a=bn, imamo da je xn=a+bn, gde je bn nula niz

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

18

2.2.1. Operacije sa konvergentnim nizovima Neke od osnovnih operacija sa konvergentnim nizovim date su u vidu teorema 2.2.1.1. i 2.2.1.2. koje ćemo prihvatiti bez dokazivanja. Teorema 2.2.1.1. Neka su {an} i {bn} konvergentni nizovi čije su granice redom a i b i neka je c proizvoljan realan broj. Tada važi: a) b) c)

{can}→ca; {an±bn}→a±b; {an}•{bn}→a•b;

d)

⎧ an ⎫ a ⎨ ⎬ = , bn≠0, b≠0. ⎩ bn ⎭ b

Teorema 2.2.1.2. Neka je {an} konvergentan niz čija je granica broj a, {bn} divergentan niz u užem smislu čija je granica +∝, i c proizvoljna konstanta Tada važi: a) b) c) d)

{cbn}→+∝ za c>0 i {cbn}→ -∝ za c<0; {an+bn}→+∝; {an -bn}→ -∝; {an}•{bn}→+∝ za a>0 i {an}•{bn}→ -∝ za a<0;

e)

⎧ an ⎫ ⎨ ⎬ → 0 , bn≠0; ⎩ bn ⎭

f)

⎧c⎫ ⎨ ⎬ → 0 , bn≠0. ⎩ bn ⎭

Naravno, analogni rezultati važe za bn→ -∝ . 2.2.2. Broj e (Neperov broj) n

⎛ 1⎞ Teorema 2.2.2.1 Niz {xn} čiji je opšti član x n = ⎜1 + ⎟ je konvergen⎝ n⎠ tan. (Granična vrednost ovog niza označava se sa e i ima vrlo važnu ulogu u matematici)

Poslovna matematika

19

Dokaz: Dokaz ove teoreme ćemo izvesti tako što ćemo pokazati da je niz {xn} monotono rastući, a zatim i da je ograničen sa gornje strane, čime ćemo po teoremi 2.2.1. dokazati i da je konvergentan. n ⎛ 1⎞ Razvijajući po binomnoj formuli izraz ⎜1 + ⎟ dobijamo: ⎝ n⎠ n ⎛ n ⎞ n −i i n (Binomna formula glasi gde je (a + b ) = ∑ ⎜⎜ ⎟⎟ • a • b i =0 ⎝ i ⎠

⎛n⎞ ⎛ n! ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ i ⎠ ⎝ (n − i )!•i! ⎠ n!= n • (n − 1) • (n − 2) • ... • 2 • 1 n 1 n • (n − 1) 1 2 n • (n − 1) • (n − 2) • ... • [n − (n − 1)] 1 n ⎛ 1⎞ • ( ) + ... + •( ) = ⎜1 + ⎟ = 1 + • + 1 n 1• 2 1 • 2 • ... • n n n ⎝ n⎠ 1 1 1 1 2 1+1+ • (1 − ) + • (1 − ) • (1 − ) + ... 1• 2 n 1• 2 • 3 n n 1 n −1 1 2 + • (1 − ) • (1 − ) • ... • (1 − ) 1 • 2 • ... • n n n n n

Odavde sledi da je niz {xn} monotono rastući niz, jer sa povećanjem broja n broj sabiraka (koji su pozitivni) raste, a i sami sabirci rastu jer se povećanjem 1 2 broja n povećavaju i izrazi (1 − ), (1 − ),... itd. n n Pokažimo da je niz {xn} ograničen sa gornje strane (naravno pošto je monotono rastući on je ograničen sa donje strane svojim prvim članom x1=2). Kako je: 1 2 (1 − ) < 1, (1 − ) < 1,  n n očigledno je 1 2 (1 − ) • (1 − ) < 1... n n pa je 1 1 1 1 (1 + ) n < 1 + 1 + + + ... + n 1• 2 1• 2 • 3 1 • 2 • 3 • ... • n

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

20

1 1 < i −1 to je 1 • 2 • 3 • ... • i 2

Kako je

1 1 ⎤ ⎡ 1 1 (1 + ) n < 1 + ⎢1 + + 2 + ... + n −1 ⎥ = 1 + n 2 ⎦ ⎣ 2 2

1 1 − ( )n 2 = 1 + ⎡2 − ( 1 ) n −1 ⎤ < 3 ⎢ ⎥ 1 2 ⎣ ⎦ 1− 2

Dakle, za svako n važi: 2 ≤ x n < 3 odnosno niz {xn} je ograničen i sa donje i sa gornje strane.

Kako je {xn} i monotono rastući, to je prema teoremi 2.2.1. konvergentan.Njegova granična vrednost označava se sa e. Broj e je iracionalan broj. Njegova približna vrednost iznosi e≈2,7182818284 2.2.3. Numerički redovi kao specijalna vrsta nizova Definicija 2.2.3.1 (numerički red) Neka je {an} realan niz. Izraz oblika ∝

∑a

k

= a1 + a 2 + ... + a n + ...

k =1

naziva se numerički red (ili kraće red) sa opštim članom ak . Definicija 2.2.3.2. (parcijalna suma reda) n

Zbir S n = ∑ a k gde n∈N naziva se n-ta parcijalna suma reda k =1

∝

∑a

k

.

k =1

(Napomena: Očigledno je da je i {Sn} takođe realan niz, odnosno nta parcijalna suma numeričkog reda je realan niz). Definicija 2.2.3.3. (konvergentnost, divergentnost reda) ∝

Za red

∑a

k

kažemo da je konvergentan, odnosno divergentan (u užem

k =1

ili širem smislu), ako je niz {Sn}, čiji je opšti član definisan kao n-ta parcijalna su-

Poslovna matematika

21

ma reda, konvergentan, odnosno divergentan (u užem ili širem smislu). Specijalno ako je niz {Sn} konvergentan i ako je lim S n = S , kažemo da zbir (suma) ren →∝

∝

da

∑a k =1

∝

k

iznosi S i pišemo S = ∑ ak . k =1

Sledeću teoremu ćemo prihvatiti bez dokaza. ∝ a n +1 =L. Teorema 2.2.3.1. Neka je ∑ a k numerički red i neka je lim n →∝ a n k =1 Tada važi: a) ako je L<1 onda red konvergira b) ako je L>1 onda red divergira c) ako je L=1 onda red može biti ili konvergentan ili divergentan, odnosno neodređen je u smislu konvergencije.

Jedan od važnijih redova u matematici i ekonomiji je geometrijski red. On se primenjuje u ekonomiji prilikom analize sadašnje vrednosti novca (present value), analize zajmova, složenog kamatnog računa i analize mnogih drugih ekonometrijskih problema. Neke od njih su obrađene u ovom udžbeniku u kasnijim poglavljima. Zbog toga ćemo u sledećem primeru posvetiti pažnju ovom redu. Primer 2.2.3.1. ∝

Dat je geometrijski red u obliku

∑ aq

k −1

= a + aq + aq 2 + ..... gde je a≠0

k =1

a) ispitati konvergenciju ovog reda b) naći n-tu parcijalnu sumu ovog reda c) za slučajeve kada je ovaj red konvergentan naći njegovu sumu. Rešenje: a) Opšti član geometrijskog reda je an=aqn-1 . Dakle važi:

a n +1 aq n lim = lim n −1 = lim q = q n →∝ a n →∝ aq n →∝ n Dakle po teoremi 2.2.3.1. za ⏐q⏐<1 geometrijski red je konvergentan, dok je za ⏐q⏐>1 on divergentan.

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

22

Za q =1 geometrijski red se svodi na

∝

∝

k =1

k =1

∑ a ⋅ 1k −1 = ∑ a = a + a + a.......... .. odakle ∝

sledi da je za q =1 geometrijski red divergentan. ∝

Za q= -1 imamo

∑ a ⋅ (−1)

k −1

= a − a + a − a +  , pa red opet divergira jer je

k =1

S2n=0 i S2n+1=a, tj. lim S 2 n ≠ lim S 2 n +1 . n →∝

n →∝

b) Za n-tu parcijalnu sumu geometrijskog reda Sn važi sledeće: n

S n = ∑ aq n −1 = a + aq + aq 2 + ... + aq n −1 . k =1

Otuda, mnozenjem leve i desne strane poslednje jednakosti sa q imamo q • S n = aq + aq 2 + aq 3 + ... + aq n . Dalje je,

(

)

S n − qS n = a − aq n ⇒ S n • (1 − q ) = a • 1 − q n ,

pa je

1− qn Sn = a • . 1− q c) Za ⏐q⏐<1 važi lim q = 0 (videti zadatak 2.1.8. zbirka zadataka) pa onda važi sledeće: n

n →∝

lim Sn = lim a n →∝

n →∝

1 − qn a = 1− q 1− q

Dakle suma beskonačnog geometrijskog reda iznosi S=

a 1− q .

Poslovna matematika

23

2.3. Neke osobine funkcija Definicija 2.3.1. (nule funkcije) Skup svih vrednosti x iz oblasti definisanosti funkcije y=f(x) za koje je f(x)=0 su nule funkcije. Na grafiku funkcije nule su tačke na x osi u kojima kriva frunkcije seče ili dodiruje x osu.

x

3

2 3 .x

2 .x

1

0

1

2

3

x 3

Slika 2. Grafik funkcije y=x -3x2+2x

Tako, na primer, funkcija y=x3-3x2+2x ima tri nule i to: x1=0, x2=1 i x3=2 (slika 2.). Definicija 2.3.2. (parnost, neparnost) Za funkciju f(x) kažemo da je parna ako za svako x iz oblasti definisanosti važi f(-x)=f(x), a da je neparna ako za svako x iz oblasti definisanosti važi f(-x)= -f(x) Grafik parne funkcije je simetrična u odnosu na y osu, dok je grafik neparne funkcije simetričan u odnosu na koordinatni početak (Slike 3 i 4).

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

24

2 3 .x

3 3

1

1

3

x

Slika 3. Grafik parne funkcije y=-3x2+3x

3 3 .x

1

0

1

x

Slika 4. Grafik neparne funkcije y=-3x3

Definicija 2.3.3. (monotonost funkcije) Funkcija f(x) je monotono rastuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1, x2∈(a,b) važi x1<x2 ⇒

f(x1)
Funkcija f(x) je monotono opadajuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1, x2∈(a,b) važi x1<x2 ⇒

f(x1)>f(x2).

Funkcija f(x) je neopadajuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1, x2∈(a,b) važi x1<x2 ⇒ važi

f(x1)≤f(x2).

Funkcija f(x) je nerastuća u intervalu (a,b) ukoliko za svako x1, x2∈(a,b)

Poslovna matematika

25

x1<x2 ⇒

f(x1)≥f(x2).

Definicija 2.3.4. (ograničenost) Funkcija f(x) je u intervalu (a,b): a) ograničena s gornje strane, ako postoji broj M takav da je za sve vrednosti x∈(a,b) ispunjena nejednakost f(x)≤M b) ograničena s donje strane, ako postoji broj m takav da je za sve vrednosti x∈(a,b) ispunjena nejednakost m≤ f(x) c) ograničena, ako je ograničena i s gornje i s donje strane, tj. postoje brojevi m i M (mogu biti i jednaki), takvi da je za sve vrednosti x∈(a,b) ispunjena nejednakost m≤ f(x)≤M.

2.4. Granične vrednosti funkcija Definicija 2.4.1. (leva granična vrednost funkcije u tački) Broj L je leva granična vrednost funkcije y=f(x), koja je definisana u tačkama x za koje je r<x0 postoji broj δ>0 (koji zavisi od ε) takav da za svako x≠a važi: a-δ<x
⇒

⏐f(x)-L⏐<ε .

U tom slučaju se piše lim f (x ) = L . x→a −

Definicija 2.4.2. (desna granična vrednost funkcije u tački) Broj D je desna granična vrednost funkcije y=f(x), koja je definisana u tačkama x za koje je a<x0 postoji broj δ>0 (koji zavisi od ε) takav da za svako x≠a važi: a<x
⇒

⏐f(x)-D⏐<ε .

U tom slučaju se piše lim f ( x) = D . x→a +

Definicija 2.4.3. (granična vrednost funkcije u tački) Broj G je granična vrednost funkcije y=f(x), definisane u nekoj okolini tačke a (osim možda u samoj tački a), u tački x=a, ako za svako ε rel="nofollow">0 postoji broj δ>0 takav da za svako x≠a važi: a-δ<x
⇒

⏐f(x)-G⏐<ε .

U tom slučaju se piše lim f ( x) = G . x→a

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

26

Geometrijska interpretacija leve i desne granične vrednosti data je na slici 5.

L+ε y=f(x)

f(x1) L L-ε D+ε D f(x2) D-ε

x1

a-δ

a

x2

a+δ

x

Slika 5. Geometrijska interpretacija definicije leve i desne granična vrednosti funkcije y=f(x) u tački x=a

Leva granična vrednost funkcije f(x), kada x teži a, na slici 5., je broj L . Geometrijska interpretacija definicije leve granične vrednosti znači, da ma kako bio uzan pojas ograničen pravama y=L-ε i y=L+ε, tačke grafika funkcije, (osim možda tačke (a,f(a)), leže u unutrašnjosti toga pojasa ako se vrednosti argumenta sadrže u intervalu (a-δ, a). Naravno, analogna je interpretacija za definiciju desne granične vrednosti. Geometrijska interpretacija granične vrednosti data je na slici 6.

Poslovna matematika

27

y

G+ε y=f(x)

f(x) G G-ε

a-δ

a

x

x

a+δ

Slika 6. Geometrijska interpretacija definicije granične vrednosti funkcije y=f(x) u tački x=a

Granična vrednost funkcije f(x), kada x teži a, na slici 6., je broj G. Geometrijska interpretacija definicije granične vrednosti znači, da ma kako bio uzan pojas ograničen pravama y=G-ε i y=G+ε, tačke grafika funkcije, (osim možda tačke (a,f(a)), leže u unutrašnjosti toga pojasa ako se vrednosti argumenta sadrže u intervalu (a-δ, a+δ). Definicija 2.4.4. (beskonačne granične vrednosti kada argument teži konačnom broju) Funkcija f(x) ima u tački a s leva beskonačnu graničnu vrednost +∝, ili -∝ ako je: a) tačka a granična tačka oblasti definisanosti funkcije f(x) b) za proizvoljan unapred dati broj M rel="nofollow">0 postoji broj δ>0 takav da važi i) a-δ<xM, tada kažemo da je lim f ( x) = + ∝ x→a −

ii)

a-δ<x
Funkcija f(x) ima u tački a s desna beskonačnu graničnu vrednost +∝, ili ∝ ako je: a) tačka a granična tačka oblasti definisanosti funkcije f(x) b) za proizvoljan unapred dati broj M rel="nofollow">0 (koliko se hoće veliki) postoji broj δ>0 takav da važi

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

28

i)

a<xM, tada kažemo da je lim f ( x) = + ∝

ii)

a<x
x→a +

x→a +

Funkcija f(x) ima u tački a beskonačnu graničnu vrednost +∝, ili -∝ ako je: a) tačka a granična tačka oblasti definisanosti funkcije f(x) b) za proizvoljan unapred dati broj M rel="nofollow">0 (koliko se hoće veliki) postoji broj δ>0 takav da važi i) a-δ<xM, tada kažemo da je lim f ( x) = + ∝ x→a

a-δ<x
ii)

x→a

Na slici 7. su grafički predstavljenje neke beskonačne granične vrednosti funkcije f(x) kada x teži a. y=f(x)

y

y

y=f(x)

x=a

x

x x=a

b)

a)

Slika 7. Grafički prikaz nekih beskonačnih graničnih vrednosti funkcije f(x) kada x teži broju a

Na slici 7.a) je grafički predstavljena činjenica da je lim f ( x) = + ∝ x→a −

, a da je lim f ( x) = − ∝ , dok je na slici 7.b) x→a +

lim f ( x) = lim f ( x) = lim f ( x) = + ∝ .

x→a −

x→a +

x→a

Poslovna matematika

29

Definicija 2.4.5. (granične vrednosti funkcije kada argument teži ka +∝, ili -∝) Funkcija f(x) teži graničnoj vrednosti G kada: a) x teži +∝ ako za svako ε rel="nofollow">0 postoji pozitivan broj N takav da važi za svako x x>N ⇒ ⏐f(x)-G⏐<ε,

što zapisujemo kao lim f ( x) = G. x→+∝

b) x teži -∝ ako za svako ε>0 postoji pozitivan broj N takav da važi za svako x x<-N ⇒ ⏐f(x)-G⏐<ε, što zapisujemo kao lim f ( x) = G. x → −∝

Funkcija f(x) teži graničnoj vrednosti +∝ kada: a) x teži +∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav da važi za svako x x>N ⇒ f(x)>M, što zapisujemo kao lim f ( x) = + ∝ x→+∝

b) x teži -∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav da važi za svako x što zapisujemo kao lim f ( x) = + ∝ x<-N ⇒ f(x)>M, x → −∝

Funkcija f(x) teži graničnoj vrednosti -∝ kada: a) x teži +∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav da važi za svako x x>N ⇒ f(x)<-M, što zapisujemo kao lim f ( x) = − ∝ x→+∝

b) x teži -∝ ako za svaki pozitivan broj M postoji pozitivan broj N takav da važi za svako x što zapisujemo kao lim f ( x) = − ∝ x<-N ⇒ f(x)<-M, x → −∝

Na slici 8. dat je grafički prikaz nekih graničnih vrednosti funkcije f(x) kada argument teži +∝ ili -∝.

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

30

y

y M y=f(x)

y=f(x)

x

N

x

a)

b)

Slika 8. Grafički prikaz nekih graničnih vrednosti funkcije f(x) kada x teži ±∝

Na slici 8.a) je grafički predstavljena činjenica da je lim f ( x) = N , a da x→+∝

je lim f ( x) = M , dok je na slici 7.b), lim f ( x) = − ∝ a lim f ( x) = + ∝ . x → −∝

x→+∝

x → −∝

Primer 2.4.1. Na osnovu definicije granične vrednosti funkcija pokazati da je: a)

c)

lim(5 x − 4) = 1 x →1

lim

x→+∝

x −1 =1 x +1

b)

d)

x 2 − 25 = 10 x →5 x − 5 1 lim 2 = + ∝ x →0 x

lim

Rešenje: a) Neka je dato ε>0. Važi sledeće:

(5 x − 4) − 1 < ε ⇒ 5 • x − 1 < ε ⇒ x − 1 <

Dakle za

δ =

nejednakost

ε 5

ε imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je ⏐x-1⏐<δ ispunjena 5

(5x − 4)− 1 < ε , što, po definiciji, znači da je zaista

lim(5 x − 4) = 1 . x →1

Poslovna matematika

31

b) Neka je dat ε>0. Važi sledeće:

( x − 5) 2 x 2 − 25 x 2 − 10 x + 25 − 10 < ε ⇒ <ε ⇒ <ε ⇒ x−5 <ε x−5 x−5 x−5 Dakle za

δ = ε imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je ⏐x-5⏐<δ ispunjena

2 2 nejednakost x − 25 − 10 < ε , što, po definiciji, znači da je zaista lim x − 25 = 10. x →5 x − 5 x−5

c) Neka je dat ε>0. Važi sledeće:

x −1 −2 2 2 −1 < ε ⇒ <ε ⇒ < ε ⇒ x > −1 ε x +1 x +1 x +1

Dakle za N = nejednakost

d)

2 − 1 imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je x>N ispunjena ε

x −1 − 1 < ε , što, po definiciji, znači da je zaista lim x − 1 = 1. x→+∝ x + 1 x +1

Neka je dat M>0. Važi sledeće:

1 1 1 > M ⇒ x2 < ⇒ x< 2 M x M

Dakle za

δ =

1 M

njena nejednakost

imaćemo da za sve vrednosti argumenta x za koje je ⏐x-0⏐<δ ispu-

1 1 > M , što, po definiciji, znači da je zaista lim 2 =∝ 2 x →0 x x

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

32

Definicija 2.4.6. (beskonačno velika veličina) Funkcija f(x) naziva se beskonačno velikom veličinom kada x teži broju a, ili kada x teži +∝, ili -∝, ako je lim f ( x) = + ∝ , odnosno, ako je x→a

lim f ( x) = + ∝ ,ili lim f ( x) = + ∝ .

x→+∝

x → −∝

Definicija 2.4.7. (beskonačno mala veličina) Funkcija f(x) naziva se beskonačno malom veličinom (infinitezimalom) kada x teži broju a, ili kada x teži +∝, ili -∝, ako je lim f ( x) = 0 , odnosno, ako je x→a

lim f ( x) = 0 ,ili lim f ( x) = 0 .

x→+∝

x → −∝

Tako, na primer, funkcija f(x)=ax, za a>1 predstavlja beskonačno veliku veličinu kada x→+∝, a beskonačno malu veličinu kada x→ -∝, dok za 00 takav da važi (po definiciji): x − a < δ ⇒ f ( x) > M ⇒

Uzimajući da je ε =

x−a <δ ⇒

1 1 < f ( x) M

1 imamo da važi: M

1 1 < ε što znači da je beskonačno mala veličina u f ( x) f ( x)

okolini tačke x=a. Analogno se dokazuje i drugi deo teoreme.

Poslovna matematika

33

2.5. Operacije sa graničnim vrednostima funkcija Neke od osnovnih operacija sa graničnim vrednostima funkcija date su u vidu teorema 2.5.1. i 2.5.2. 2.5.3. koje ćemo prihvatiti bez dokazivanja. f1 ( x) = a i lim f 2 ( x) = b i gde su a i b koTeorema 2.5.1. Neka je lim x→ p x→ p

načni brojevi i neka je c proizvoljna konstanta. Tada važi: a)

lim c • f1 ( x) = c • a ; x→ p

b)

lim( f1 ( x) ± f 2 ( x)) = a ± b ; x→ p

c)

lim( f1 ( x) • f 2 ( x)) = a • b ;

d)

lim

x→ p

x→ p

f1 ( x) a , = f 2 ( x) b

f2(x)≠0, b≠0.

Teorema 2.5.2. Neka je lim f 1 ( x ) = a i lim f 2 ( x ) = + ∝ gde je a konax→ p x→ p čan broj. Tada važi: a)

lim c • f 2 ( x) = + ∝ gde je c bilo koja konstanta >0, x→ p lim c • f 2 ( x) = − ∝ gde je c bilo koja konstanta <0, x→ p

b) c)

lim( f1 ( x) ± f 2 ( x)) = ± ∝ x→ p

lim( f1 ( x) • f 2 ( x)) = + ∝

za a>0

lim( f1 ( x) • f 2 ( x)) = − ∝

za a<0

x→ p x→ p

d)

lim x→ p

f1 ( x) =0 f 2 ( x)

za a≠0

f 2 ( x) = − ∝ . Analogni rezultati važe za lim x→ p

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

34

Teorema 2.5.3. Ako funkcije f1(x) i f2(x) imaju u tački a jednake granične vrednosti, tj. lim f1 ( x) = lim f 2 ( x) = A x→a

x→a

i ako za sve vrednosti argumenta x u nekoj okolini tačke a važi f1(x)≤f(x)≤f2(x), tada funkcija f(x) ima u tački a graničnu vrednost jednaku A, tj. lim f ( x) = A. x→a

Primer 2.5.1. x

⎛ 1⎞ Naći graničnu vrednost lim ⎜1 + ⎟ . x→±∝ ⎝ x⎠ Rešenje: Neka x→+∝ . Za bilo koju vrednost broja x možemo naći prirodan broj n∈N takav da važi n<x
1 1 1 1 1 1 ⎛ 1⎞ ≥ ≥ ⇒ 1+ ≥ 1+ ≥ 1+ ⇒ ⎜1 + ⎟ n x n +1 n x n +1 ⎝ n ⎠

n +1

x

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ ≥ ⎜1 + ⎟ ≥ ⎜1 + ⎟ x⎠ ⎝ ⎝ n +1⎠

n

i naravno važi da kad x→+∝, tada n→+∝ . Pošto je

⎛ 1⎞ lim⎜1 + ⎟ n →∝ ⎝ n⎠

n +1

n

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ = lim⎜1 + ⎟ • ⎜1 + ⎟ = e • 1 = e n →∝ ⎝ n⎠ ⎝ n⎠ (videti teoremu 2.2.2.1.) i pošto je n +1

1 ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ n 1 ⎞ n +1⎠ ⎛ ⎝ lim⎜1 + ⎟ = lim n →∝ n →∝ 1 ⎝ n +1⎠ 1+ n +1

=

e = e tada je po teoremi 2.5.3. . 1

x

⎛ 1⎞ lim ⎜1 + ⎟ = e x→+∝ x⎠ ⎝ Neka x→ -∝ . Uvedimo smenu t=-(x+1) odakle je x=-(t+1). Kada x→ -∝, tada t→+∝. Sada imamo da je

Poslovna matematika

35

x

1 ⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ lim ⎜1 + ⎟ = lim⎜1 − ⎟ x → −∝ t →∝ x⎠ ⎝ ⎝ t +1⎠

− (t +1)

⎛ t ⎞ = lim⎜ ⎟ t →∝ t + 1 ⎝ ⎠

− (t +1)

⎛ t +1⎞ = lim⎜ ⎟ t →∝ ⎝ t ⎠

(t +1)

⎛ 1⎞ = lim⎜1 + ⎟ t →∝ ⎝ t⎠

t +1

=

t

⎛ 1⎞ ⎛ 1⎞ lim⎜1 + ⎟ • ⎜1 + ⎟ = e • 1 = e t →∝ ⎝ t⎠ ⎝ t⎠

⎛ x→±∝ ⎝

x

Dakle lim ⎜1 +

1⎞ ⎟ =e x⎠

Napomena: x =

1 smenom ovaj limes se transformiše u lim(1 + t )1t = e. t →0 t

2.6. Neprekidnost funkcije Definicija 2.6.1. (neprekidnost funkcije u tački) Funkcija f(x) je neprekidna u tački x=a, ako je granična vrednost funkcije kada x teži a jednaka vrednosti funkcije u tački x=a, tj ako je lim f ( x) = f (a ) . x→a

Neprekidnost funkcije se može izraziti preko priraštaja funkcije i argumenta. Naime, (videti sliku 9.), razlika x-a je priraštaj argumenta i označava se sa ∆x, a razlika f(x)-f(a) je priraštaj funkcije koji odgovara priraštaju argumenta ∆x i obeležava se sa ∆y. Funkcija je neprekidna u tački a, ako priraštaj funkcije teži nuli kada priraštaj argumenta teži nuli. Odnosno ako važi lim ∆y = 0. ∆x →0

y f(x) ∆y f(a) a

∆x

x

x

Slika 9. Grafička predstava priraštaja argumenta i priraštaja funkcije

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

36

2.7. Prvi izvod i diferencijal funkcije Neka je funkcija f(x) definisana u okolini tačke x=a. Definicija 2.7.1. (prvi izvod funkcije u tački) Neka je f: X→Y, i neka je a∈D(f), x∈D(f). Ako se stavi x-a=∆x, a f(x)f(a)=∆y, pri čemu se ∆x naziva priraštaj ili promena argumenta, a ∆y priraštaj ili promena funkcije u tački a, tada se konačna granična vrednost lim x→a

f ( x) − f (a) x−a

naziva izvodom funkcije f(x) u tački a i obeležava sa f’(a). To znači f ( x) − f (a) x−a . Dakle, prvi izvod f′(a) u tački x=a je broj. f ' (a ) = lim x→a

Nije teško uočiti da se prvi izvod funkcije u tački x=a se može izraziti i na sledeći način: f ' (a ) = lim

∆x →0

f (a + ∆x) − f (a ) ∆y = lim ∆ x → 0 ∆x ∆x .

Za funkciju kod koje postoji prvi izvod u tački x=a, kažemo da je diferencijabilna u toj tački. Napomena: Sve tačke x u kojima postoji izvod funkcije f(x) obrazuju izvestan skup S, tako da svakom x∈S odgovara vrednost izvoda f’(x). To znači da f’(x) predstavlja funkciju definisanu na skupu S. Ova se funkcija naziva izvodom funkcije f(x). Definicija 2.7.2. (levi i desni izvod funkcije) Konačna leva granična vrednost f −' = lim f ( x) − f (a ) naziva se levim x→a − x−a izvodom funkcije u tački x=a. Konačna desna granična vrednost f +' = lim f ( x) − f (a ) naziva se dex→a + x−a snim izvodom funkcije u tački x=a. Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tački x=a, tada je f (a ) = f +' (a ) = f ' (a ). ' −

Poslovna matematika

37

Ako je f −' (a ) ≠ f +' (a ) , tada ne postoji prvi izvod funkcije f(x) u tački x=a. Definicija 2.7.3. (diferencijal funkcije) Ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tački x=a, tada se linearna funkcija od x f’(a)•(x-a) naziva diferencijalom funkcije f(x) u tački x=a i obeležava se df(x,a)=f’(a)•(x-a). Kako je za funkciju

f(x)=x, f’(x)=1 za svako x, pa i za x=a, važi:

df(x,a)=dx=1•(x-a)⇒dx=x-a, možemo diferencijal funkcije f(x) obeležavati sa df(x,a)=f’(a)•dx. Definicija 2.7.4. (beskonačni izvodi) Funkcija f(x) ima beskonačan izvod u tački x=a jednak +∝, ili (-∝) ako je f ( x) − f (a) = + ∝ (ili -∝). x→a x−a Analogno se definišu beskonačni jednostrani izvodi. lim

Napomena: Ako funkcija f(x) ima beskonačan izvod u tački x=a, onda ona nije diferencijabilna u toj tački. Teorema 2.7.1. Ako funkcija f(x) ima izvod u tački x=a, tada se priraštaj ove funkcije može predstaviti u obliku f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+w(x)(x-a), gde je w(x) funkcija koja je neprekidna u tački a, i jednaka nuli u toj tački, tj. lim w( x) = w(a ) = 0. x→a

Dokaz:

⎧ f ( x) − f (a) ⎫ − f ' (a ).........x ≠ a ⎪ ⎪ Neka je w( x) = ⎨ x−a ⎬ ⎪⎩0,......................................x = a ⎪⎭

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

38

Onda je: ⎛ f ( x) − f (a) ⎞ − f ' (a) ⎟ = lim w( x) = lim⎜ x→a x→a x−a ⎝ ⎠ ⎛ f ( x) − f (a) ⎞ lim⎜ ⎟ − f ' (a ) = f ' (a ) − f ' (a ) = 0 = w(a ) x→a x−a ⎝ ⎠

Dakle, ovako definisana funkcija w(x) jeste neprekidna, jer je lim w( x) = w(a ) i iz nje neposredno proizlazi relacija x→a

f(x)-f(a)=f’(a)(x-a)+w(x)(x-a). Teorema 2.7.2. Ako funkcija f(x) ima izvod u tački x=a tada je ona neprekidna u toj tački. Dokaz: Iz prethodne teoreme dobijamo sledeće: lim( f ( x) − f (a ) ) = f ' (a ) • lim(x − a )+ lim w( x) • lim(x − a ) = 0 ⇒ lim f ( x) = f (a ) x→a

x→a

x→a

x→a

x→a

čime je dokazana neprekidnost funkcije f(x). Napomena: Obrnuto ne važi, odnosno neprekidna funkcija ne mora biti diferencijabilna. (Na primer funkcija y=⏐x⏐ je neprekidna u tački x=0, ali u toj tački nije diferencijabilna jer su joj levi i desni izvod različiti, levi izvod je jednak -1, a desni je jednak 1).

Poslovna matematika

39

2.7.1. Geometrijska interpretacija prvog izvoda i diferencijala Geometrijsku interpretaciju prvog izvoda i diferencijala ćemo dati analizirajući sliku 10. y N f(x+a) y=f(x) ∆y

Q M dy

f(a)

P a

∆x

x

x

Slika 10. Geometrijska interpretacija prvog izvoda i diferencijala

Količnik priraštaja funkcije i prirašta ja argumenta ∆y je (slika ∆x ==== PN 10.) količnik duži ==== , odnosno tg∠PMN. PM Kada priraštaj argumenta teži nuli, odnosno ∆x→0, sečica MN teži tangenti MQ, pa je prvi izvod funkcije f(x) u tački x=a, dat sa lim ∆y , ∆x →0 ∆x ==== PQ količnik duži ==== , odnosno tg∠PMQ, što predstavlja u stvari PM tangens ugla koga čine tangenta funkcije f(x) u tački x=a i pozitivan smer x-ose. Ovo pak sa svoje strane predstavlja koeficijent pravca tangente u tački x=a.

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

40

Diferencijal funkcije y=f(x) u okolini tačke x=a, dat sa dy=f’(x)(x==== a) je određen (slika 10.) dužinom duži PQ . Zaključujemo da diferencijal dy predstavlja priraštaj ordinate tangente funkcije f(x) u tački x=a. ====

Za priraštaj argumenta funkcije ∆y = PN i diferencijal dy (koji predstavlja priraštaj ordinate tangente funkcije f(x) u tački x=a, odnosno ====

dužinu duži ) PQ važi: ∆y =1 ∆x →0 dy . lim

2.7.2. Tablica izvoda nekih elementarnih funkcija Neka je x nezavisna promenljiva. Važe sledeće formule: 1. (C)’=0 2. (xa)’ =axa-1

gde je C bilo koja konstanta gde a∈R

tako je, na primer

( x) = 21x

'

(x)’=1,

1 ⎛1⎞ ⎜ ⎟ =− 2 x ⎝ x⎠

3. (ax)’=axlna 4.

(log a x )' =

5. (sinx)’=cosx 6. (cosx)’= -sinx 7. (tgx)' = 1 cos 2 x 8.

(ctgx) ' = −

(ex)’=ex

a>0, 1 x ln a

1 sin 2 x

'

,

a>0,

a≠1,

(ln x )' = 1 x

Poslovna matematika

9.

41

(arcsin x) ' =

1 1− x2 1

10. (arccos x ) = − '

11. (arctgx)' =

1− x2

1 1+ x2

12. (arcctgx) ' = −

1 1+ x2

2.7.3. Osnovna pravila diferenciranja Sledećim teoremama data su osnovna pravila diferenciranja. Teorema 2.7.3.1. (izvod zbira (ili razlike) funkcija) Ako je F(x)=c1f1(x)+c2f2(x)+…+cnfn(x), gde su fi(x) diferencijabilne funkcije i ci proizvoljne konstante, onda je ' n ⎛ n ⎞ c f ( x ) = ci f i ' ( x) . ⎜ ⎟ F’(x)=c1f1’(x)+c2f2’(x)+…+cnfn’(x), ili ∑ i i ∑ i =1 ⎝ i =1 ⎠ Primer 2.7.3.1. Naći prvi izvod funkcije y=x3-6x2+3x+2: a)

u proizvoljnoj tački

b)

u tački x=2

Rešenje: a)

(x3-6x2+3x+2)’=3x2-12x+3

b)

prvi izvod funkcije y=x3-6x2+3x+2

u tački x=2 je

3•22-12•2+3=-9

Teorema 2.7.3.2. (izvod proizvoda dve funkcije) Ako su f1(x) i f2(x) diferencijabilne funkcije, tada je i funkcija F(x)=f1(x)•f2(x) diferencijabilna i važi

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

42

F’(x)=f1’(x)•f2(x)+f1(x)•f2’(x). Primer 2.7.3.2. Naći prvi izvod funkcije y=x2ex a)

u proizvoljnoj tački

b)

u tački x=1

Rešenje: a)

(x2ex)’=(x2)’ex+x2(ex)=2xex+x2ex=ex(2x+x2)

b)

prvi izvod funkcije y=x2ex

e1(2+1)=3e

u tački x=1 je

Teorema 2.7.3.3. (izvod količnika dve funkcije) Ako funkcije f(x) i g(x) imaju izvode i ako je g(x)≠0, tada funkcija f ( x) F ( x) = ima izvod koji je jednak g ( x) F ' ( x) =

f ' ( x) g ( x) − f ( x) g ' ( x)

(g ( x) )2

.

Primer2.7.3.3. Naći prvi izvod funkcije y =

ex x2

Rešenje:

⎛ ex ⎜⎜ 2 ⎝x

'

( ) '

( ) = e (x

⎞ ex x2 − ex x2 ⎟⎟ = 2 x2 ⎠

( )

'

x

2

− 2x

x

4

).

Teorema 2.7.3.4. (izvod složene funkcije) Neka je F(x) složena funkcija data sa F(x)=g(f(x)). Ako za funkciju f(x) postoji izvod u tački x, a funkcija g(u) ima izvod u tački u=f(x), tada i funkcija F(x) ima izvod u tački x i on je jednak F’(x)=g’(f(x))•f’(x).

Poslovna matematika

43

Primer 2.7.3.4. Naći izvod funkcije

y=ln(x2-3x+4)

Rešenje:

(ln(x

2

− 3x + 4

)) = '

1 • (2 x − 3) x − 3x + 4 2

Teorema 2.7.3.5. (izvod inverzne funkcije) Ako funkcija f(x) u intervalu (a,b) zadovoljava uslove: 1. ima izvod u tački x∈(a,b), 2. strogo je monotona u intervalu (a,b), 3. njen izvod f’(x)≠0, tada njena inverzna funkcija f-1(x) ima izvod u tački y, koja odgovara tački x, jednak

(f

−1

)

( x) ' =

1 f ' ( x)

2.7.4. Izvodi višeg reda Definicija 2.7.4.1. (izvod n-tog reda) Izvodom n-tog reda, ili n-tim izvodom funkcije f(x) naziva se izvod (n-1)og izvoda funkcije f(x) Za označavanje izvoda višeg reda upotrebljavaju se sledeće oznake: y’, y’’, y’’’, …,y(n) (prvi, drugi, treći, …, n-ti izvod), ili f’(x), f’’(x), f’’’(x),…,, f(n)(x). Na primer :

(x3)’’=(3x2)’=6x.

2.7.5. Lopitalovo pravilo Lopitalovo pravilo ćemo prikazati u vidu dve teoreme koje nećemo dokazivati.

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

44

Teorema 2.7.5.1. (Određivanje limesa neodređenog izraza oblika ) 0 0 Ako funkcije f(x) i g(x) ispunjavaju sledeće uslove 1.

lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x→a

(a∈R ili

x→a

a=+∝ ili

a= -∝);

2. Predstavljaju neprekidne funkcije na izvesnom segmentu koji sadrži tačku a; 3. Za sve tačke segmenta x≠a postoje f’(x) i g’(x); za x≠a 4. g’(x)≠0 , tada je: lim x→a

f ( x) f ' ( x) = lim . x → a g ( x) g ' ( x)

Primer 2.7.5.1. Naći lim x →3

x2 − 9 . x−3

Rešenje: Kako je, lim( x − 9) = lim( x − 3) = 0 traženi limes je oblika 2

x →3

x →3

0 , pa primenivši 0

Teoremu 2.7.5.1 (Lopitalovo pravilo) dobijamo:

(

) '

2x x2 − 9 x2 − 9 lim = lim = lim =6 ' x →3 x − 3 x →3 (x − 3) x →3 1

Teorema 2.7.5.2. (Određivanje limesa neodređenog izraza oblika ∝ ∝ −∝ −∝ ) , , , ∝ −∝ ∝ −∝ Ako funkcije f(x) i g(x) ispunjavaju sledeće uslove 1.

lim f ( x) = lim g ( x) = + ∝ x→a

x→a

(a∈R ili

a=+∝ ili

a= -∝);

2. Predstavljaju neprekidne funkcije na izvesnom segmentu koji sadrži tačku a; 3. Za sve tačke segmenta x≠a postoje f’(x) i g’(x); 4. g’(x)≠0 , za x≠a

Poslovna matematika

45

tada je: lim x→a

f ( x) f ' ( x) = lim . g ( x) x→a g ' ( x)

Primer 2.7.5.2.

ex x→∝ x

Naći lim Rešenje:

Kako je, lim e = lim x =∝ traženi limes je oblika x

x →∝

x →∝

∝ , pa primenivši ∝

Teoremu 2.7.5.2 (Lopitalovo pravilo) dobijamo:

( ) '

ex ex ex lim = lim = =∝ . x →∝ x x →∝ (x )' x →∝ 1

lim

2.7.6. Limesi neodređenih izraza oblika 0•∝, ∝ - ∝, 1∝, 00, ∝0 Svi limesi ovakvog oblika se posle određenih transformacija svode na limese oblika 0 ili ∝ koje smo analizirali u prethodnom poglavlju. 0 ∝ Te transformacije su sledeće: a) limes neodređenog izraza oblika (0•∝) lim f ( x) = 0

Neka je

x→a

f ( x) • g ( x) = lim Tada je lim x→a x→a

Primer 2.7.6.1. Naći lim xe x →∝

−x

.

Rešenje: Ovo je limes oblika ∝•0 pa važi:

a

lim g ( x) =∝ . x→a

g ( x) ⎛ f ( x) ⎛ ∝⎞ 0⎞ oblik ⎟ ⎜ oblik ⎟ = lim ⎜ 1 ⎝ ∝ ⎠ x→a 1 ⎝ 0⎠ f ( x) g ( x)

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

46

lim xe − x = lim x →∝

x →∝

x x 1 1 = lim x = lim x = = 0 x → x →∝ 1 ∝ e e −x e

b) limes neodređenog izraza oblika (∝ - ∝) Neka je lim f ( x) =∝

lim g ( x) =∝ .

a

x→a

x→a

Tada je lim( f ( x) − g ( x)) = lim f ( x) • (1 −

ka

∝ . ∝

x→a

x→a

g ( x) g ( x) ) gde je lim oblix→ a f ( x) f ( x)

g ( x) g ( x) = 1 onda je lim f ( x) • (1 − ) oblika ∝•0, x→a f ( x) x→a f ( x) što smo analizirali pod a).

Ako je lim

c) limes neodređenog izraza oblika (1∝) Neka je lim f ( x) = 1 i f(x)>0

a

x→a

Pošto je f(x)g(x)=eg(x)•lnf(x),

x→a

jer je u=elnu i lnf(x)g(x)=g(x)•lnf(x),

tada je lim f ( x) g ( x ) = lim e g ( x )• x→a

lim g ( x) =∝ .

ln f ( x )

x→a

.

S obzirom da kada je lim f ( x) = 1 ⇒ lim ln f ( x) = 0 , tada je x→a

x→a

lim e g ( x )•ln f ( x ) limes oblika e∝•0, a oblik (∝•0) smo analizirali pod a). x→a

d) limes neodređenog izraza oblika (00) Neka je lim f ( x) = lim g ( x) = 0 x→a

x→a

g(x)

Pošto je f(x)

=e

g(x)•lnf(x)

,

jer je u=elnu i

tada je lim f ( x) g ( x ) = lim e g ( x )• x→a

x→a

ln f ( x )

.

lnf(x)g(x)=g(x)•lnf(x),

Poslovna matematika

47

S obzirom da kada je lim f ( x) = 0 ⇒ lim ln f ( x) = − ∝ , tada je x→a

lim e

g ( x )•ln f ( x )

x→a

x→a

0•(-∝)

, a oblik (0•(-∝)) smo analizirali pod a).

imes oblika e

e) limes neodređenog izraza oblika (∝0) Neka je lim f ( x) =∝

a

x→a

Pošto je f(x)g(x)=eg(x)•lnf(x), jer je da je lim f ( x) g ( x ) = lim e g ( x )• x→a

ln f ( x )

x→a

lim g ( x) = 0 . x→a

u=elnu i

lnf(x)g(x)=g(x)•lnf(x), ta-

.

S obzirom da kada je lim f ( x) =∝⇒ lim ln f ( x) =∝ , tada je x→a

lim e x→a

g ( x )•ln f ( x )

x→a

0•∝

limes oblika e

, a oblik (0•∝) smo analizirali pod a).

2.7.7 Primena izvoda na ispitivanje funkcija Načini primene izvoda na ispitivanje funkcija proizilaze iz sledećih teorema koje ćemo prihvatiti bez dokaza. Teorema 2.7.7.1. (primena izvoda na ispitivanje monotonosti funkcija) Ako funkcija f(x) ima konačan ili beskonačan izvod u intervalu (a,b), tada da bi ona bila a) neopadajuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tački ovog intervala važi f’(x)≥0 b) nerastuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tački ovog intervala važi f’(x)≤ 0 c) monotono rastuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tački ovog intervala važi f’(x)≥0, pri čemu jednakost f’(x)=0 ne može biti ispunjena ni u jednom intervalu unutar intervala (a,b), već može biti ispunjena samo u pojedinim tačkama intervala (a,b) d) monotono opadajuća u tom intervalu potrebno je i dovoljno da u svakoj tački ovog intervala važi f’(x)≤ 0 pri čemu jednakost f’(x)=0 ne može biti ispunjena ni u jednom intervalu unutar intervala (a,b), već može biti ispunjena samo u pojedinim tačkama intervala (a,b)

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

48

Iz teoreme 2.7.7.1. sledi dovoljan uslov monotonosti Ako je u intervalu (a,b) prvi izvod pozitivan tj. f’(x)>0, tada funkcija f(x) raste u tom intervalu, a ako je prvi izvod negativan, tj. f’(x)<0, tada funkcija f(x) opada u tom intervalu. Na slici 11. je prikazana funkcija koja je u intervalu (a,b) neopadajuća i gde je f’(x)≥0 za x∈(a,b) i f’(x)=0 za x∈(c,d) gde je interval (c,d) unutar intervala (a,b), i koja je monotono opadajuća u intervalu (b,f) gde je f’(x)=0 samo u tački x=e gde e∈(b,f).

y

y=f(x)

a

c

d

b

e

f

x

Slika 11. Intervali monotonosti funkcije f(x)

Definicija 2.7.7.1. (tačke lokalnog ekstremuma funkcije, odnosno tačke lokalnog minimuma ili maksimuma funkcije) Funkcija f(x) ima u tački x=a lokalni maksimum jednak f(a), ako postoji interval (c,d) u kome se sadrži tačka x=a, (a∈(c,d)), takav da za svako x∈(c,d) važi f(x)f(a). Tačke lokalnog minimuma ili lokalnog maksimuma za zovu tačke ekstremuma funkcije. Definicija 2.7.7.2.(stacionarne tačke funkcije) Tačka x=a se naziva stacionarnom tačkom funkcije f(x) ako je f’(a)=0, odnosno ako je prvi izvod funkcija f(x) u njoj jednak nuli.

Poslovna matematika

49

Geometrijski, ova definicija znači da je tangenta na grafik funkcije f u tački (a,f(a)) paralelna x-osi. Teorema 2.7.7.2. (potreban uslov za postojanje ekstremuma diferencijabilnih funkcija (veza između tačaka ekstremuma i stacionarnmih tačaka )) Ako tačka x=a predstavlja lokalni ekstremum funkcije f(x) i ako je funkcija f(x) diferencijabilna u tački x=a, tada je ta tačka x=a stacionarna tačka funkcije, odnosno tada je f’(a)=0. Obrnuto ne važi, odnosno stacionarna tačka ne mora biti tačka ekstremuma funkcije f(x). Dakle, potreban uslov da diferencijabilna funkcija f(x) ima u tački x=a lokalni ekstremum je da je f’(a)=0. Teorema 2.7.7.3. (dovoljan uslov za postojanje ekstremuma neprekidnih funkcija) Ako je funkcija f(x) neprekidna u tački x=a i ako je a) levo od tačke a monotono rastuća a desno od tačke a monotono opadajuća onda je tačka x=a, tačka lokalnog maksimuma funkcije b) levo od tačke a monotono opadajuća a desno od tačke a monotono rastuća onda je tačka x=a, tačka lokalnog minimuma funkcije. Jedna od posledica prethodnih teorema je da ako je funkcija diferencijabilna u tački x=a onda a) kada je levo od tačke a prvi izvod veći od nule (f’(x)>0), a desno od tačke a prvi izvod manji od nule (f’(x)<0), tada je tačka x=a tačka lokalnog maksimuma funkcije b) kada je levo od tačke a prvi izvod manji od nule (f’(x)<0), a desno od tačke a prvi izvod veći od nule (f’(x)>0), tada je tačka x=a tačka lokalnog minimuma funkcije. Takođe, posledica prethodnih teorema je i sledeća činjenica: Ako je x=a stacionarna tačka funkcije f(x) tada važi a) ako je

f’’(a)<0,

tada u tački x=a funkcija f(x) ima maksimum

b) ako je

f’’(a)>0,

tada u tački x=a funkcija f(x) ima minimum.

Na slici 11. funkcija f(x) u tački x=b ima ekstremum i to lokalni maksimum i tu je f’(b)=0 (tangenta u tački (b,f(b)) je paralelna sa x-

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

50

osom) a prvi izvod u okolini tačke x=b menja znak od + na -, dok je tačka x=e samo stacionarna tačka funkcije f(x) ( u njoj funkcija nema ni minimuma ni maksimuma) jer važi f’(e)=0 (tangenta u tački (e,f(e)) je paralelna sa x-osom), ali prvi izvod ne menja znak u okolini tačke x=e već je uvek negativan. Na osnovu izloženog mogu se izvesti dva pravila za nalaženje tačaka lokalnog ekstremuma diferencijabilnih funkcija: Prvo pravilo: Prvo je potrebno odrediti stacionarne tačke rešenjem jednačine f’(x)=0. Od nula dobijenih njenim rešenjem treba izdvojiti one koje su realne i u kojima izvod menja znak. Funkcija će imati maksimum u tačkama u kojima izvod menja znak od + na -, a minimum u tačkama u kojima izvod menja znak od - na +. U tačkama u kojima izvod ne menja znak funkcija nema ni maksimuma ni minimuma. Drugo pravilo: Prvo je potrebno odrediti stacionarne tačke rešenjem jednačine f’(x)=0. U svakoj stacionarnoj tački treba izračunati drugi izvod. U stacionarnim tačkama u kojima je drugi izvod negativan funkcija će imati maksimum, a u onim u kojima je drugi izvod pozitivan funkcija će imati minimum. Ako je drugi izvod u stacionarnoj tački jednak nuli, treba nastaviti sa traženjem izvoda višeg reda u toj tački (trećeg, četvrtog, itd) sve do nalaženja prvog od nule različitog izvoda. Ako je taj prvi od nule različit izvod, izvod parnog reda (četvrti, šesti, osmi, itd) tada u toj tački funkcija ima ekstremum i to: f(x) ima maksimum ako je taj parni izvod manji od nule f(x) ima minimum ako je taj parni izvod veći od nule. Ako je taj prvi od nule različit izvod, izvod neparnog reda (treći, peti, sedmi, itd) tada u toj tački funkcija nema ekstremum već: f(x) opada ako je taj neparni izvod manji od nule f(x) raste ako je taj neparni izvod veći od nule.

Poslovna matematika

51

NAPOMENA: U tačkama u kojima prvi izvod ne postoji, odnosno u kojima funkcija nije diferencijabilna, moguće je da funkcija ima ekstremum. Da li su tačke u kojima funkcija nije diferencijabilna tačke ekstremuma funkcije proveravamo na dva načina i to: 1. ako je funkcija u tim tačkama neprekidna primenom dovoljnog uslova za ekstremum neprekidnih funkcija (Teorema 2.7.7.3) 2. ako je u tim tačkama funkcija prekidna direktnom primenom definicije tačaka lokalnog ekstremuma ( Definicija 2.7.7.1) Na slici 12. prikazan je grafik funkcije koja a) u tački a nije diferencijabilna, ali je neprekidna i ima lokalni minimum b) u tački a nije diferencijabilna i prekidna je, ali u njoj ima lokalni maksimum. y

y

f(x)

f(a)

a

x

a)

• y=f(x)

a

x

b) Slika 12. Grafiki funkcije f(x)

Definicija 2.7.7.3. (konveksnost, konkavnost, prevojne tačke) Za funkciju f(x) koja je diferencijabilna u intervalu (a,b) kaže se da je konkavna (ispupčena) u intervalu (a,b) ako se grafik te funkcije u tom intervalu nalazi ispod tangente u bilo kojoj tački tog intervala. Za funkciju f(x) koja je diferencijabilna u intervalu (a,b) kaže se da je konveksna (udubljena) u intervalu (a,b) ako se grafik te funkcije u tom intervalu nalazi iznad tangente u bilo kojoj tački tog intervala. Tačke u kojima funkcija menja konveksitet (prelazi iz konveksne u konkavnu ili obrnuto) su prevojne tačke funkcije.

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

52

y

f(x)

y

x

a) konkavna funkcija

f(x)

b) konveksna funkcija

y

x

f(x)

a

x

c) x=a je tačka prevoja funkcije f(x) Slika 13. Konveksnost, konkavnost, tačka prevoja

Teorema 2.7.7.4. (primena izvoda na određivanje konveksnosti, konkavnosti i prevojnih tačaka funkcije) Ako je f(x) dvaput diferencijabilna funkcija u intervalu (a,b) važi: a) ako je f’’(x)<0 za svako x∈(a,b) onda je f(x) konkavna na (a,b) b) ako je f’’(x)>0 za svako x∈(a,b) onda je f(x) konveksna na (a,b) c) ako je u tački x=a f’’(a)=0 ili

f’’(a) ne postoji i ako

f’’(x) menja znak pri prolasku kroz tačku x=a onda je tačka (a,f(a)) prevojna tačka funkcije.

Poslovna matematika

53

2.7.8. Asimptote funkcija Definicija 2.7.8.1. (asimptota funkcije) Ako se tačka (x, f(x)) neprekidno pomera po grafiku funkcije y=f(x) tako, da bar jedna koordinata (x ili y) teži u beskonačnost (+∝, ili -∝) i ako pri tome udaljenost te tačke od neke prave teži nuli, onda se ta prava naziva asimptotom funkcije f(x). Definicija 2.7.8.2. (vertikalna asimptota) Prava x=a je a) vertikalna asimptota sleva funkcije f(x) ako je lim f ( x) = + ∝ ∨ lim f ( x) = − ∝

x→a −

x→a −

b) vertikalna asimptota sdesna funkcije f(x) ako je lim f ( x) = + ∝ ∨ lim f ( x) = − ∝

x→a +

x→a +

NAPOMENA: Vertikalna asimptota može postojati samo u konačnim graničnim tačkama oblasti definisanosti funkcije. Definicija 2.7.8.3. (kosa asimptota) Prava

y=ax+b

je

a) desna kosa asimptota funkcije f(x) ako je lim

x→+∝

f ( x) = a ∧ lim ( f ( x) − ax ) = b x→+∝ x

b) leva kosa asimptota funkcije f(x) ako je lim

x → −∝

f ( x) = a ∧ lim ( f ( x) − ax ) = b x → −∝ x

Definicija 2.7.8.4. (horizontalna asimptota) Prava y=b a) horizontalna asimptota udesno funkcije f(x) ako je lim f ( x) = b

x→+∝

b)

horizontalna asimptota ulevo funkcije f(x) ako je lim f ( x) = b

x → −∝

je

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

54

Na slici 14. je prikazana funkcija koja ima desnu kosu asimptotu (to je prava y=x), vertikalnu asimptotu sdesna (prava x=a) i horizontalnu asimptotu ulevo (prava y=b). y

prava y=x c

y=(x)

a

b

x

prava y=b

Slika 14. Funkcija f(x) koja ima desnu kosu asimptotu, vertikalnu asimptotu sdesna i horizontalnu asimptotu ulevo

2.7.9. Opšta šema za ispitivanje funkcija Delovi matematičke analize koje smo do sada upoznali omogućavaju da se pomoću grafika prikaže tok funkcije y=f(x). Poželjno je da se prilikom ispitivanja funkcije, odnosno prilikom crtanja njenog grafika, pridržavamo sledeće šeme, koja obuhvata ispitivanje sledećih elemenata: 1. 2. 3. 4.

Utvrditi oblast definisanosti funkcije Odrediti njene nule i tačke prekida Utvrditi eventualnu parnost ili neparnost Odrediti stacionarne tačke i tačke u kojima prvi izvod nije definisan, intervale monotonosti i karakter monotonosti u svakom od ovih intervala, 5. Utvrditi eventualno postojanje tačaka ekstremuma, kao i vrstu ekstremuma (minimum ili maksimum) 6. Odrediti nule drugog izvoda, tačke u kojima drugi izvod nije definisan, intervale konkavnosti i konkveksnosti, prevojne tačke

Poslovna matematika

55

7. Utvrditi eventualno postojanje asimptota, kao i vrstu asimptota 8. Na osnovu ovih podataka nacrtati skicu grafika funkcija f(x) Primer 2.7.9.1.

x

Nacrtati grafik funkcije y =

3

x2 −1

.

Rešenje: 1. (oblast definisanosti) Funkcija y = 3

x 3

x −1

nije definisana u onim tačkama u kojima važe implikacije

2

x 2 − 1 = 0 ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ odnosno u tačkama x =1 i x =-1, pa 1 2

je oblast definisanosti funkcije

x∈(-∝, -1)∪(-1, 1)∪(1, ∝).

2. (nule funkcije i tačke prekida funkcije) Nule funkcije su određene sledećim implikacijama:

y =0⇒

x 3

x2 −1

=0⇒ x=0

Dakle funkcija ima nulu u tački x0=0, a prekidna je u tačkama x1=1 i x2=-1. 3. (parnost, neparnost) Kako je f ( − x) =

(− x) 3

(− x) − 1 2

=−

x 3

x −1 2

= − f ( x) zaključujemo da je funkcija

neparna, odnosno da je njen grafik simetričan u odnosu na koordinatni početak (0,0). 4. (stacionarne tačke, tačke u kojima prvi izvod nije definisan, intervali i karakter monotonosti) Stacionarne tačke dobijamo rešenjem jednačine f’(x)=0. Važi:

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

56

⎛ x ⎜ f ' ( x) = ⎜ 1 ⎜ x2 −1 3 ⎝

(

=

)

'

⎞ ⎟ ⎟ = ⎟ ⎠

(x

2

1 −2 ⎞ ⎛1 − 1 3 − x⎜⎜ x 2 − 1 3 • 2 x ⎟⎟ ⎠= ⎝3 2 x2 −1 3

)

(

(

)

(x

2

)

) (x

−1

(x

2

1 3

)

−1

2

) (x

−1

2 3

2 3

−

)

2x 2 3

(x

)

2

2

−1 3

2

2

−1 3

2x 2 2 3 = x − 3 = 0 ⇒ ⎛⎜ x3 = 3 ⎞⎟ 4 4 ⎜x = − 3⎟ 33 x 2 − 1 ⎝ 4 ⎠ x2 −1 3

x2 −1−

(

(

)

)

Dakle, stacionarne tačke su x3 =

3 i x4 = − 3 .

Prvi izvod nije definisan u tačkama u kojima je

3

(x

2

)

−1

4

= 0 tj. u tačkama x1=1 i x2=-1

odnosno u tačkama u kojima i funkcija nije definisana. Intervale i vrstu monotonosti ćemo odrediti pomoću znaka prvog izvoda, kao što pokazuje sledeća Tabela 1. Da bismo odredili znak prvog izvoda u svakom od bitnih intervala, dovoljno je odrediti znak prvog izvoda u bilo kojoj, po volji odabranoj, tački svakog intervala.

x y’ Zakljuþa k

(-∝, - 3 ) >0 (+)

( − 3 ,−1 ) <0 (-)

funkcija monotono raste

funkcija monotono opada

<0 (-)

(1, 3) <0 (-)

( 3 , ∝) >0 (+)

funkcija monotono opada

funkcija monotono opada

funkcija monotono raste

(−1,1)

Tabela 1.

5. (tačke ekstremuma i vrste ekstremuma) Analizom Tabele 1. zaključujemo da u oblasti gde je funkcija diferencijabilna postoje dve tačke ekstremuma i to za: a)

x3 = − 3 tačka lokalnog maksimuma funkcije jer prvi izvod menja znak od + na -, prilikom prolasku kroz nju. U toj tački funkcija ima vrednost f(-

− 3

3

( )

⎛⎜ − 3 2 − 1⎞⎟ ⎝ ⎠

Dakle, tačka M(-

=−3

3 2

≈ −1,37

3 ,-1,37) je tačka lokalnog maksimuma

3 ) što iznosi .

Poslovna matematika

57

x 4 = 3 tačka lokalnog minimuma funkcije jer prvi izvod menja znak od - na +, pri-

b)

likom prolasku kroz nju. U toj tački funkcija ima vrednost f(

3 3

( )

⎛⎜ 3 2 − 1⎞⎟ ⎝ ⎠

Dakle, tačka N(

=

3 3

2

≈ 1,37

3 ) što iznosi

.

3 ,1.37) je tačka lokalnog minimuma.

U tačkama u kojima prvi izvod nije definisan funkcija nema ekstremuma, jer se te tačke poklapaju sa tačkama u kojima funkcija nije definisana. 6). (nule drugog izvoda, tačke u kojima drugi izvod nije definisan, intervale konkavnosti i konkveksnosti, prevojne tačke) Drugi izvod je:

(

)

(

)

(

)

4 1 ' 4 ⎛ ⎞ 2x • 3 x 2 − 1 3 − 3 • x 2 − 1 3 • 2x • x 2 − 3 2 − 3 6 x x 2 − 1 − 8x x 2 − 3 x ⎟ 3 (y ')' = ⎜⎜ = = = 4 ⎟ 8 7 2 2 ⎜ 3 x2 −1 3 ⎟ 3 3 9 1 9 1 − − x x ⎝ ⎠

(

=

)

2 x(9 − x 2 )

(

)

93 x 2 − 1

7

(

)

(

) ( ( )

)

⎧x = 0 ⎫ ⎪ ⎪ = 0 ⇒ ⎨x = 3 ⎬ ⎪ x = −3⎪ ⎩ ⎭

Dakle, drugi izvod ima nule u tačkama x0=0, x5=3, i x6=-3. Drugi izvod nije definisan u tačkama u kojima je

3

(x

2

)

−1

7

= 0 , odnosno u

x1=1 i x2=-1 tj. u tačkama u kojima i funkcija nije definisana. Intervale konkavnosti o konveksnosti ćemo odrediti pomoću znaka drugog izvoda, kao što pokazuje sledeća Tabela 2. Da bismo odredili znak drugog izvoda u svakom od bitnih intervala, dovoljno je odrediti znak drugog izvoda u bilo kojoj, po volji odabranoj, tački svakog intervala.

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

58

x

(-∝, -3)

(-3, -1)

(-1, 0)

(0, 1)

(1, 3)

(3, ∝)

y’’

>0 (+)

< 0 (-)

>0 (+)

< 0 (-)

>0 (+)

< 0 (-)

Zaključak

funkcija je konveksna

funkcija je konkavna

funkcija je konveksna

funkcija je konkavna

funkcija je konveksna

funkcija je konkavna

Tabela 2.

Dakle prevojne tačke su tačke u kojima je drugi izvod jednak nuli x0=0, x5=3, i x6=-3, kao i tačke u kojima drugi izvod nije definisan x1=1 i x2=-1 (pažnja: u ovim tačkama i funkcija nije definisana). U ovim tačkama u kojima funkcija ima prevoje i u kojima je definisana vrednost funkcije je f(x0=0)=0 (tačka L(0, 0)), f(x5=3)= f(x6=-3)=

3

3 3 = = 1,5 (tačka P(3, 1,5)) 8 2

−3 3 = − = −1,5 (tačka Q(-3, -1,5)) 8 2

3

7. ( asimptote) a) vertikalna asimptota Vertikalna asimptota može (ali ne mora) postojati samo u konačnim tačkama prekida funkcije, odnosno u našem slučaju u tačkama x1=1 i x2=-1.

Poslovna matematika

59

Kako je:

x

lim

(x

2

lim

(x

2

x →1+ 3

x →1− 3

x

)

=−∝

x

(x

2

lim

(x

2

x → −1− 3

=+∝

−1

lim

x → −1+ 3

)

−1

)

=+∝

)

=−∝

−1

x

−1

to su prave x=-1, i x=1 vertikalne asimptote funkcije f(x). b) horizontalna asimptota Kako je

lim

x→+∝ 3

lim

x → −∝ 3

(x (x

x 2

x 2

)

=+∝

)

=−∝

−1 −1

zaključujemo da funkcija nema horizontalnu asimptotu. Ovom tačkom smo istovremeno ispitali i ponašanje funkcije na njenim beskonačnim krajevima oblasti definisanosti. c) kosa asimptota Kako je 3

lim

(x

x →∝

x 2

x

) = lim (x

−1

3

x → −∝

x 2

x

)= 0

−1

zaključujemo da funkcija nema ni desnu ni levu kosu asimptotu. 8. (grafik funkcije) Grafik funkcije je dat na slici 15.

2. Funkcije jedne nezavisne promenljive

60

N(1,73; 1,37)

P(3; 1,5)

3

1.5 x 3 x

2

1

8

7

6

5

4

3

2

1

0 1

2

3

4

5

6

7

8

1.5

3

Q(-3; -1,5)

x

M(-1,73; -1,37) Slika 15. Grafik funkcije

L(0, 0)

61

Poslovna matematika

3. FUNKCIJE DVE NEZAVISNO PROMENLJIVE

3.1. Pojam funkcije dve nezavisno promenljive Definicija 3.1.1. (funkcija dve nezavisno promenljive) Neka su X i Z neprazni skupovi, X⊂R2, Z⊂R , R2=R×R={(x,y)| x∈R ∧y∈R}. Funkcija f:X→Z za svako (x,y)∈X zove se funkcija od dve nezavisno promenljive ili preslikavanje iz skupa X u skup Z. Promenljive x i y nazivaju se nezavisno promenljivim ili argumentima, dok se zavisna promenljiva z naziva vrednost funkcije. Skup X=D(f) ⊂R2 za koje funkcija ima smisla, tj. za koje se može izračunati f(x,y)=z zove se oblast definisanosti, ili domen funkcije f(x,y), a skup Z⊂R kodomen ili skup vrednosti te funkcije. Grafik funkcije z=f(x,y) predstavlja skup tačaka M(x, y, f(x,y)) koji obrazuje jednu površ, pa se analitički izraz z=f(x,y) može interpretirati kao jednačina površi (slika 16). z M

z=f(x,y)

y P(x,y) x

Slika 16. Grafički prikaz površi z=f(x,y)

3. Funkcija dve nezavisne promenljive

62 Primer 3.1.1.

Odrediti oblast definisanosti funkcije z = 1 − x 2 − y 2 . Rešenje: Oblast definisanosti ove funkcije određujemo iz uslova

1− x2 − y2 ≥ 0

tj. iz uslova

x 2 + y 2 ≤ 1 . Otuda zaključujemo da

oblast definisanosti zadate funkcije čine sve tačke koje leže u unutrašnjosti ili na periferiji kruga x2+y2=1.

3.2. Granična vrednost i neprekidnost funkcije dve promenljive Definicija 3.2.1. (granična vrednost u tački) Funkcija z=f(x,y) teži konačnoj graničnoj vrednosti B kad x teži a i y teži b ako za proizvoljno unapred zadato ε>0 postoji broj δ(ε)>0 takav da je ispunjeno sledeće ⏐x-a⏐<δ ∧⏐y-b⏐<δ ⇒⏐f(x,y)-B⏐<ε . f ( x, y ) = B Ovo zapisujemo lim x→a y →b

Definicija 3.2.2. (neprekidnost u tački) Funkcija z=f(x,y) naziva se neprekidnom u tački A(a,b) ako je lim f ( x, y ) = f (a, b). x→a y →b

3.3. Parcijalni izvod i totalni diferencijal funkcije dve promenljive Definicija 3.3.1. (parcijalni izvod u tački) Parcijalnim izvodom prvog reda funkcije f(x,y) po argumentu x u tački A(a,b) naziva se izvod u tački x=a od funkcije f(x,b) i označava se sa ∂f ( A) , odnosno f x' ( A) = ∂x

Poslovna matematika

63

f x' ( A) =

∂f ( A) f ( x, b ) − f ( a , b ) = lim x → a ∂x x−a .

Parcijalnim izvodom prvog reda funkcije f(x,y) po argumentu y u tački A(a,b) naziva se izvod u tački y=b od funkcije f(a,y) i označava se sa ∂f ( A) f y' ( A) = , odnosno ∂y f y' ( A) =

∂f ( A) f ( a, y ) − f ( a, b) = lim y → b ∂y y −b .

Parcijalni izvod u tački je broj. NAPOMENA: Sve tačke (x,y) u kojima postoje parcijalni izvodi po x i po y funkcije f(x,y) obrazuju izvestan skup S, tako da svakom (x,y)∈S odgovara vrednost parcijalnih izvoda fx’(x,y) i fy’(x,y). To znači da fx’(x,y) i fy’(x,y) predstavljaju funkcije definisane na skupu S. Ove se funkcije nazivaju parcijalnim izvodom po x, ili po y. VAŽNO: U praktičnom određivanju parcijalnih izvoda elementarnih funkcija od dva ergumenta postupa se prema opštim pravilima diferenciranja funkcija jednog argumenta, pri čemu se vrednost argumenta, po kome se ne traži parcijalni izvod, smatra konstantnim. Primer 3.3.1. Naći parcijalne izvode po x i po y funkcije z = x 3 y 2 + 2 x − 3 y + 6 a)

u tački A(1,2);

b)

u proizvoljnoj tački (x,y)∈R2.

Rešenje: a)

∂z ( A) = 3 x 2 y 2 + 2 = 3 • 12 • 2 2 + 2 = 14 x =1 ∂x y =2

(

)

∂z ( A) = (2 yx 3 − 3) = 2 • 2 • 13 − 3 = 1 x =1 ∂y y =2

3. Funkcija dve nezavisne promenljive

64 b)

∂z ( x, y ) = 3x 2 y 2 + 2 , ∂x ∂z ( x, y ) = 2 yx 3 − 3 . ∂y Dakle, parcijalni izvodi zadate funkcije u zadatoj tački su brojevi, a parcijalni izvodi funkcije u proizvoljnoj tački su takođe funkcije.

Definicija 3.3.2. (totalni diferencijal) Neka funkcija z=f(x,y) u tački M(x,y) ima parcijalne izvode i neka su oni neprekidni. Tada se izraz dz = df ( x, y ) =

∂z ∂z dx + dy ∂x ∂y

naziva totalni diferencijal funkcije z=f(x,y). Primer 3.3.2. Naći totalni diferencijal funkcije z = x 3 y 2 + 2 x − 3 y + 6 a)

u tački A(1,2)

b)

u proizvoljnoj tački M(x,y)∈R2.

Rešenje: a) Koristeći formulu

dz ( A) =

∂z ( A) ∂z ( A) dx + dy ∂x ∂y

za određivanje totalnog diferencijala funkcije z=f(x,y) u zadatoj tački A dobijamo,

∂z ( A) = 3 x 2 y 2 + 2 = 3 • 12 • 2 2 + 2 = 14 x =1 ∂x y =2

(

)

∂z ( A) = (2 yx 3 − 3) = 2 • 2 • 13 − 3 = 1 x =1 ∂y y =2

Poslovna matematika

65

pa je: dz(A)=14dx+dy b) Očigledno je

dz ( x, y ) =

∂z ( x, y ) ∂z ( x, y ) dx + dy = 3 x 2 y 2 + 2 dx + 2 yx 3 − 3 dy ∂x ∂y

(

) (

)

3.4 Parcijalni izvodi i diferencijali višeg reda Definicija 3.4.1. (parcijalni izvod drugog reda) Parcijalnim izvodima drugog reda funkcije z=f(x,y) nazivamo parcijalne izvode njenih parcijalnih izvoda prvog reda. Od parcijalnih izvoda prvog reda mogu se formirati sledeći parcijalni izvodi drugog reda: ∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z '' ⎜ ⎟ = 2 = f xx (x, y ) ∂x ⎝ ∂x ⎠ ∂x

∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ⎜⎜ ⎟⎟ = 2 = f yy'' (x, y ) ∂y ⎝ ∂y ⎠ ∂y

∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z ⎜⎜ ⎟⎟ = = f yx'' (x, y ) ∂x ⎝ ∂y ⎠ ∂y∂x

∂ ⎛ ∂z ⎞ ∂ 2 z = f xy'' (x, y ) ⎜ ⎟= ∂y ⎝ ∂x ⎠ ∂x∂y

∂2z ∂2z = f yx'' (x, y ) i = f xy'' (x, y ) nazivaju se me∂y∂x ∂x∂y šovitim parcijalnim izvodima drugog reda funkcije z=f(x,y).

Parcijalni izvodi

Od parcijalnih izvoda drugog reda mogu se formirati parcijalni izvodi trećeg reda, itd. NAPOMENA: Ako je funkcija z= f(x,y) dva puta diferencijabilna u tački M(x0,y0) tada je u toj tački fxy’’(x0,y0)=fyx’’(x0,y0). Primer 3.4.1. Naći druge parcijalne izvode funkcije z = x 3 y 2 + 2 x − 3 y + 6 a)

u tački A(1,2)

b)

u proizvoljnoj tački M(x,y)∈R2.

3. Funkcija dve nezavisne promenljive

66 Rešenje: a)

Kako je,

∂z ( x, y ) = 3x 2 y 2 + 2 ∂x

(

⎫ ⎧ ∂ 2 z ( A) = 6 xy 2 = 6 • 1 • 2 2 = 24, ⎪ ⎪ 2 x =1 y =2 ⎪ ⎪ ∂x ⎬. ⎨ ⎪ ∂ ⎛⎜ ∂z ( A) ⎞⎟ = 6 x 2 y = 6 • 12 • 2 = 12⎪ x =1 ⎪ ⎪ ∂y ⎝ ∂x ⎠ y =2 ⎭ ⎩

(

)

to je

)

(

)

Ana log no je

∂z ( x, y ) = 2 yx 3 − 3 ∂y

(

b)

)

⎫ ⎧ ∂ 2 z ( A) 3 3 x 2 2 1 2 , = = • = ⎪ ⎪ 2 x =1 y =2 ⎪ ⎪ ∂y pa je ⎨ ⎬. ⎪ ∂ ⎛⎜ ∂z ( A) ⎞⎟ = 6 yx 2 = 6 • 2 • 12 = 12⎪ ⎪ ⎪ ∂x ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ x =1 y =2 ⎭ ⎩

( ) (

)

Kako je

∂z ( x, y ) = 3 x 2 y 2 + 2 to je ∂x

(

)

⎫ ⎧ ∂ 2 z ( x, y ) = 6 xy 2 , ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ∂x ⎬. ⎨ ⎪ ∂ ⎛⎜ ∂z ( x, y ) ⎞⎟ = 6 x 2 y ⎪ ⎪⎭ ⎪⎩ ∂y ⎝ ∂x ⎠

Ana log no je ∂z ( x, y ) = 2 yx3 − 3 ∂y

(

)

⎫ ⎧ ∂ 2 z ( x, y ) = 2 x3 , ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ∂y pa je ⎨ ⎬. ⎪ ∂ ⎛⎜ ∂z ( x, y ) ⎞⎟ = 6 yx 2 ⎪ ⎪ ⎪ ∂x ⎜⎝ ∂y ⎟⎠ ⎭ ⎩

Primetimo da je i pod a) i pod b) fxy’’=fyx’’

Definicija 3.4.2. (diferencijal drugog reda) Diferencijalom drugog reda funkcije z=f(x,y) nazivamo diferencijal diferencijala prvog reda te funkcije, odnosno d2z=d(dz). Analogno se određuju diferencijali funkcije z višeg reda, odnosno diferencijal n-tog reda je diferencijal (n-1)-og reda funkcije z(x,y), odnosno dnz=d(dn-1z).

Poslovna matematika

67

Važno: Ako funkcija z=f(x,y) ima neprekidne parcijalne izvode drugog reda tada je njen diferencijal drugog reda definisan formulom: d 2z =

∂2z ∂2z ∂2z 2 ( ) dx + 2 dxdy + (dy ) 2 ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

Primer 3.4.2. Naći diferencijal drugog reda funkcije a)

u tački A(1,2)

b)

u proizvoljnoj tački M(x,y)∈R2.

Rešenje: Kako smo u primeru 3.4.1. odredili sve parcijalne izvode drugog reda imamo da je: a)

d 2 z ( A) =

∂ 2 z ( A) ∂ 2 z ( A) ∂ 2 ( A) z 2 2 2 ( ) dx + 2 dxdy + (dy ) 2 = 24(dx ) + 2 • 12dxdy + 2(dy ) ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

b)

d 2z =

∂2z ∂2z ∂2z 2 2 2 ( ) dx + 2 dxdy + (dy ) 2 = 6 xy 2 (dx ) + 2 • 6 x 2 ydxdy + 2 x 3 (dy ) 2 2 ∂x∂y ∂x ∂y

3.5. Ekstremne vrednosti funkcije dve nezavisne promenljive Definicija 3.5.1. (minimum, maksimum) Funkcija f(x,y) ima lokalni maksimum u tački A(a,b) ako je za sve tačke (x,y) dovoljno bliske tački A(a,b) važi f(a,b)>f(x,y). Funkcija f(x,y) ima lokalni minimum u tački A(a,b) ako je za sve tačke (x,y) dovoljno bliske tački A(a,b) važi f(a,b)
3. Funkcija dve nezavisne promenljive

68

Teoreme 3.5.1. (potrebni uslovi za ekstremum) Ako funkcija z=f(x,y) dostiže ekstremum u tački A(a,b), tada su prvi parcijalni izvodi u tački A(a,b) jednaki nuli ili ne postoje. Tačke u kojima su prvi parcijalni izvodi jednaki nuli ili nepostoje su stacionarne tačke te funkcije. Teorema 3.5.2. (dovoljni uslovi za ekstremum) Neka je tačka M(a,b) stacionarna tačka funkcije z=f(x,y). Tada: a) ako je d2f(a,b)<0 onda je f(a,b) maksimum funkcije f(x,y) b) ako je d2f(a,b)>0 onda je f(a,b) minimum funkcije f(x,y) c) ako je d2f(a,b) menja znak pri prolasku kroz (a,b), onda f(a,b) nije ekstrem funkcije f(x,y) Ovi uslovi ekvivalentni su sledećem: Neka je fxx(a,b)=A, fyy(a,b)=C i fxy(a,b)=B. Formirajmo izraz ∆=AC-B2. Tada : a) ako je ∆>0 onda funkcija ima ekstremum u tački M(a,b) i to: maksimum ako je A<0 (ili C<0) minimum ako je A>0 (ili C>0) b) ako je ∆<0 onda funkcija nema ekstremum u tački M(a,b) c) ako je ∆=0 onda pitanje postojanja ekstremuma u tački M(a,b) ostaje otvoreno (potrebna su dalja ispitivanja) Dakle, da bi odredili ekstremum funkcije z=f(x,y) potrebno je prvo odrediti njene stacionarne tačke nalaženjem rešenja sistema jednačina ∂z ∂z = 0∧ = 0 , a zatim za svaku od tih stacionarnih tačaka, primenju∂x ∂y jući teoremu 3.5.2., analizirati izraz ∆=AC-B2.

Poslovna matematika

69

Primer 3.5.1. Naći ekstremume funkcije z = x 3 + 3 xy 2 − 15 x − 12 y. Rešenje:

∂z

∂z

= 0∧ = 0 . Dobijamo sistem jedNađimo stacionarne tačke date funkcije iz uslova ∂x ∂y načina ∂z = 3 x 2 + 3 y 2 − 15 = 0 ⇒ x 2 + y 2 − 5 = 0 ∂x ∂z = 6 xy − 12 = 0 ⇒ xy − 2 = 0 ∂y Ako drugu jednačinu pomnožimo sa 2 i oduzmemo je od prve jednačine dobijamo da je (x-y)2=1⇒ x-y=1∨ x-y = -1⇒x=y+1 ∨ x=y-1. Sada za x=y+1 imamo iz druge jednačine xy=2⇒(y+1)y=2⇒ y=-2∨ y=1 pa vraćajući u x=y+1 dobijamo da su stacionarne tačke M1(-1, -2) i M2 (2, 1). Analogno za x=y-1 dobijamo još dve stacionarne tačke M3 (-2, -1) i M4 (1, 2). Nađimo sada druge parcijalne izvode:

∂2z = 6x = A ∂x 2 ∂2z = 6x = C ∂y 2 ∂2z = 6y = B ∂x∂y Za svaku od stacionarnih tačaka izračunajmo izraz ∆=AC-B2=36x2-36y2=36(x2-y2). a) za M1(-1, -2) ∆=36(1-4)<0 pa u njoj funkcija nema ekstremuma b) za M2 (2, 1) ∆=36(4-1)>0 i A=12>0 pa u njoj funkcija ima lokalni minimum. Taj minimum jednak je vrednosti funkcije za x=2, i y=1 i iznosi zmin=8+6-30-12= -28 c) za M3 (-2, -1) ∆=36(4-1)>0 A=-12<0 pa u njoj funkcija ima lokalni maksimum. Taj maksimum jednak je vrednosti funkcije za x= -2 i y= -1 i iznosi zmax= -8-6+30+12=28 d) za M4 (1, 2) ) ∆=36(1-4)<0 pa u njoj funkcija nema ekstremuma.

3. Funkcija dve nezavisne promenljive

70

Definicija 3.5.2. (uslovni ekstremum) Uslovnim ekstremumom funkcije z=f(x,y) naziva se ekstremum te funkcije uz uslov postojanja zavisnosti između promenljivih x i y, koji je dat jednačinom ϕ(x,y)=0. Da bi našli uslovni ekstremum potrebno je da formiramo takozvanu funkcije Lagranža: F ( x, y ) = f ( x, z ) + λϕ ( x, y ) gde je λ neodređena Lagranžova konstanta. Potrebni uslovi za postojanje uslovnog ekstremuma se svode na sistem od tri jednačine gde su nepoznate x,y,λ, dat sa: ∂F ∂f ∂ϕ = +λ =0 ∂x ∂x ∂x ∂F ∂f ∂ϕ = +λ =0 ∂y ∂y ∂y ϕ ( x, y ) = 0

Iz ovog sistema jednačina određuju se vrednosti x, y, λ, gde odgovarajuće tačke (x,y) predstavljaju potencijalne kandidate za tačke uslovnog ekstremuma. Pitanje o postojanju i karakteru uslovnog ekstremuma u tim tačkama rešava se izračunavanjem znaka drugug diferencijala Lagranžeove funkcije u tim tačkama, gde je drugi diferencijal dat sa: d 2 F ( x, y ) =

∂2F 2 ∂2F ∂2F 2 dx + 2 dxdy + dy ∂x∂y ∂x 2 ∂y 2

pri čemu su diferencijali dx i dy vezani relacijama: dϕ ( x , y ) = 0 ⇒

∂ϕ ∂ϕ dx + dy = 0 i dx2+dy2>0. ∂x ∂y

Ukoliko je: a) d2F<0 onda f(x,y) ima uslovni maksimum u tim tačkama b) d2F>0 onda f(x,y) ima uslovni minimum u tim tačkama c) d2F menja znak pri prolasku kroz te tačke onda one nisu tačke uslovnog ekstremuma

71

Poslovna matematika

4. INTEGRALI 4.1. Neodređeni integral Definicija 4.1.1. (primitivna funkcija zadate funkcije) Primitivnom funkcijom funkcije f(x):X→R naziva se funkcija F(x):X→R, X⊆R, ako ona ima konačan izvod F’(x) za svako x∈X i ako je (∀x∈X) F’(x)=f(x). Naprimer, za funkciju y=2x, primitivna funkcija je F(x)=x2 jer je (x2)’ =2x. Naravno, ako je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x) onda je i (F(x)+C), za bilo koju konstantu C, takođe primitivna funkcija funkcije f(x), jer važi implikacija F(x)’=f(x) ⇒ (F(x)+C)’=f(x) jer je C’=0, gde je C bilo koja konstanta. Štaviše, važi sledeća teorema, koju nećemo dokazivati: Teorema 4.1.1. Ako je F(x) primitivna funkcija funkcije f(x) u nekom intervalu (a,b), tada su sve primitivne funkcije funkcije f(x) na tom intervalu oblika F(x)+C, gde je C bilo koja konstanta. Definicija 4.1.2. (neodređeni integral zadate funkcije) Neodređeni integral funkcije f na intervalu X zove se skup svih primitivnih funkcija funkcije f(x) i obeležava se sa

∫ f ( x)dx , a čita se „neodređeni integral ef od iks de iks”. Izraz f(x)dx zove se podintegralni izraz, a f(x) podintegralna funkcija.

4. Integrali

72

Postupak nalaženja neodređenog integrala funkcije f(x) naziva se integracija funkcije f(x). 4.1.1. Osnovna svojstva neodređenog integrala Osnovna svojstva neodređenog integrala su: 1. 2. 3. 4. 5.

(∫ f ( x)dx ) = f ( x) d (∫ f ( x )dx )= f ( x )dx '

∫ df ( x) = f ( x) + C ∫ Af ( x)dx = A ∫ f ( x)dx ∫ (f ( x) ± f ( x))dx = ∫ f ( x)dx ± ∫ f 1

2

1

4.1.2. Tablica osnovnih integrala 1.

∫ dx = x + C

2.

n ∫ x dx =

3

∫

4. 5. 6. 7.

x n +1 +C n +1

dx = ln x + C x ax x a dx = +C ∫ ln a

za n ≠ −1

(a > 0)

∫ e dx = e + C ∫ cos xdx = sin x + C ∫ sin xdx = − cos x + C x

x

dx

8.

∫ cos

9.

∫ sin

10.

∫1+ x

11.

∫

2

dx 2

= tgx + C

x x

dx

2

= −ctgx + C = arctgx + C

dx 1− x2

= arcsin x + C

2

( x )dx

Poslovna matematika

73

4.1.3. Metodi izračunavanja neodređenog integrala 4.1.3.1. Metoda dekompozicije Ova metoda se zasniva na osobinama 4° i 5° iz tačke 4.1.1. Primer 4.1.3.1. Naći

⎛

∫ ⎜⎝ x

3

+

1 ⎞ + cos x ⎟dx . x ⎠

Rešenje: Direktnom primenom svojstva 5. iz 4.1.1. i tabličnih integrala 2, 3 i 6 iz tablice integrala 4.1.2, dobijamo:

dx x4 ⎛ 3 1 ⎞ 3 x + + cos x dx = x dx + + cos xdx = + ln x + sin x + C ⎜ ⎟ ∫⎝ x ∫ ∫x ∫ 4 ⎠

4.1.3.2. Metoda zamene nezavisno promenljive Ako se promenljiva x u podintegralnom izrazu f(x)dx zameni novom promenljivom t, stavljajući da je x=g(t), gde je g(t) diferencijabilna funkcija koja ima inverznu funkciju t=g-1(x), dobijamo da je:

∫ f ( x)dx = ∫ f ( g (t )) g (t )dt '

jer je

dx = g ' (t )dt.

Naravno, suština ove metode je da se posle uvođenja smene x=g(t) integral pojednostavi. Primer 4.1.3.2. Naći

dx

∫x

a + ln x 2

.

Rešenje: Uvedimo smenu , a 2 + ln x = t ⇒

∫x

dx a + ln x 2

=∫

dt t

−1 2

= ∫ t dt =

t −

dx = dt pa je x

−1 +1 2

1 +1 2

+ C = 2 t + C = 2 a 2 + ln x + C.

4. Integrali

74

4.1.3.3. Metoda parcijalne integracije Ako su u(x) i v(x) diferencijabilne funkcije na skupu X i ako postoji udv tada postoji udv i pri tome je ∫ ∫

∫ udv = uv − ∫ vdu . Naravno, parcijalna integracija ima smisla ukoliko se njenom primenom pojednostavljuje rešavanje polaznog integrala. Primer 4.1.3.3. Naći

∫ xe

x

dx.

Rešenje: Primenjujući parcijalnu integraciju, stavimo u=x, dv=exdx, odakle sledi da je du=dx, a , v =

∫ xe

x

dx = xe x − ∫ e x dx = xe x − e x + C

∫ dv = ∫ e

x

dx = e x pa je:

.

4.1.3.4. Integracija racionalnih funkcija Racionalna funkcija argumenta x može se predstaviti kao količnik dva polinoma: P( x) a 0 x n + a1 x n −1 + ... + a n f ( x) = = Q( x) b0 x m + b1 x m −1 + ... + bm . Ako je m>n, kažemo da se radi o pravoj racionalnoj funkciji, dok ako je m≤n kažemo da je racionalna funkcija neprava. Ako se radi o nepravoj racionalnoj funkciji, tada, deleći brojilac imeniocem po pravilu deljenja polinoma polinomom, tu nepravu racionalnu funkciju možemo predstaviti u obliku zbira polinoma i neke prave racionalne funkcije: R( x) R( x) P( x) = M ( x) + , gde je M(x) polinom, a prava racionalQ( x) Q( x) Q( x) na funkcija. Tako se integracija neprave racionalne funkcije svodi na integraciju polinoma (što je trivijalno) i integraciju prave racionalne funkcije.

Poslovna matematika

75

Neka je f ( x ) =

P( x ) prava racionalna funkcija gde je Q( x )

Q(x)=(x2+p1x+q1)⋅… ⋅(x2+prx+qr)⋅(x-a1)k1⋅ … ⋅(x-al)kl: pri čemu su: x2+pix+qi (i=1,2,…,r) – činioci polinoma Q(x) koji se ne ponavljaju a imaju konjugovano kompleksne korene, ai (i=1,2,…l) – realni koreni polinoma Q(x) čija je višestrukost ki , tada je A x + B1 A x + B2 A x + Br R( x) = 2 1 + 2 2 + ... + 2 r + Q( x) x + p1 x + q1 x + p2 x + q2 x + pr x + qr +

C k1 Dkl C1 C2 D1 D2 + + ... + + ... + + + ... + 2 k 1 2 (x − a1 ) (x − a1 ) (x − al ) (x − al ) (x − a1 ) (x − al )kl

Ai, Bi, Ci… – konstante. Neodređene koeficijente A1, A2,…, Ar, B1, B2,…, Br, C1, C2…, Ck1,…, D1, D2…, Dkl izračunavamo svodeći desnu stranu prethodne jednakosti na zajednički imenilac i izjednačavajući koeficijente uz jednake stepene x-a leve i desne strane dobijene jednakosti. Ovim postupkom se integracija racionalnih funkcija svodi na određivanje integrala jednog polinoma i prostih razlomaka. Primer 4.1.3.4. Naći

xdx

∫ (x − 1)(x + 1)

2

.

Rešenje: x

(x − 1)(x + 1)

2

=

=

B B2 A( x + 1) 2 + B1 ( x − 1)( x + 1) + B2 ( x − 1) A = + 1 + = 2 x − 1 x + 1 ( x + 1) ( x − 1)( x + 1) 2

(A + B1 )x 2 + (2 A + B2 )x + A − B1 − B2 ( x − 1)( x + 1) 2

1 ⎫ ⎧ ⎪A = 4 ⎪ ⎧ A + B1 = 0 ⎫ ⎪ ⎪ 1⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨2 A + B2 = 1 ⎬ ⇒ ⎨ B1 = − ⎬ 4⎪ ⎪ A − B − B = 0⎪ ⎪ 1 2 ⎩ ⎭ ⎪ 1 ⎪ ⎪ B2 = 2 ⎪ ⎩ ⎭

⇒

4. Integrali

76 pa je

xdx

∫ (x − 1)(x + 1)

2

=

=

1 dx 1 dx 1 dx − ∫ + ∫ = ∫ 4 x − 1 4 x + 1 2 (x + 1)2

1 1 1 ln x − 1 − ln x + 1 − + C. 4 4 2(x + 1)

4.2. Određeni integral 4.2.1 Pojam integralne sume Neka je funkcija f(x) definisana i organičena na segmentu [a,b]. Neka je a=x0<x1<…<xn-1<xn=b po volji izabrana podela P tog intervala na n delova (slika 17.) i neka je u svakom pododsečku ove podele izabrana po jedna tačka, tj. neka je u i-tom pododsečku [xi, xi+1]. izabrana tačka ξi za i=0, 1, 2,… , n-1. y

y=f(x)

a=x0 ξ0 x1 ξ1

x2

xi

ξi xi+1 xn-1 ξn-1 b=xn

Slika 17. Analiza pojma integralne sume

Suma Sn =

n −1

∑ f (ξ i ) ⋅ ∆xi ,

i =0

∆xi=xi+1-xi;

i=0, 1, 2, …, (n-1),

x

Poslovna matematika

77

naziva se integralna suma funkcije f(x) koja odgovara podeli P i određenom izboru tačaka ξi. Geometrijski gledano, integralna suma predstavlja sumu površina pravougaonika (slika 17.), čije su dužine stranica ∆xi=xi-xi-1 i f(ξi). Definicija 4.2.1. (određeni integral) Neka je λ dužina najvećeg pododsečka podele P, tj. najveći od brojeva ∆xi=xi+1-xi, i=0, 1, 2, …n-1. Ako postoji granična vrednost integralne sume Sn kada λ teži nuli, i ako je ta granična vrednost jednaka broju I, tj. lim Sn = I λ →0

nezavisno od načina izbora tačaka ξi, tada broj I nazivamo određenim integralom funkcije f na odsečku [a,b] i označavamo sa: b

I= ∫ f ( x)dx a

(čitamo: „integral od a do b ef od iks de iks”.) Za funkciju f(x) kažemo tada da je integrabilna na odsečku [a,b]. Dakle, b

n −1

lim

∑ f (ξ ) ⋅ ∆x = ∫ f ( x )dx

n →∝ λ =max ∆x i →0 i = 0

i

i

a

b

Geometrijski, određeni integral

∫ f ( x)dx

predstavlja površinu ogra-

a

ničenu x-osom, pravama x=a i x=b, i krivom y=f(x) (isprekidano išrafirana oblast na slici 18.).

4. Integrali

78

y

y=f(x)

x=a

x=b

x

b

Slika 18. Geometrijska interpretacija određenog integrala

∫ f ( x)dx a

Za izračunavanje određenog integrala koristi se Njutn-Lajbnicova (Newton-Leibniz) formula, koja glasi: Ako je f(x) definisana i neprekidna funkcija na odsečku [a,b] i ako je F(x) bilo koja njena primitivna funkcija, onda je b

∫ a

b

f ( x)dx = F ( x) | = F (b) − F (a ). a

Iz Njutn-Lajbnicove formule sledi da se izračunavanje određenog integrala funkcije f na odsečku [a,b] sastoji u izračunavanju primitivne funkcije F(x) funkcije f i izračunavanje razlike F(b)-F(a). Primer 4.2.1. 3

Naći

∫x

2

dx.

−2

Rešenje:

x 3 3 33 (− 2 ) 9 − (− 8) 17 . ∫ x dx = 3 −|2 = 3 − 3 = 3 = 3 −2 3

3

2

Poslovna matematika

79

4.3. Nesvojstveni integrali Nesvojstveni integral funkcije f se definiše u slučaju kada interval integracije nije konačan, ili kod koga je podintegralna funkcija neograničena u nekoj tački intervala integracije. 4.3.1. Izračunavanje nesvojstvenih integrala kod kojih interval integracije nije konačan U slučaju nesvojstvenih integrala kod kojih interval integracije nije konačan, važi sledeće: a) ako je funkcija f(x) neprekidna za a≤x<∝, onda važi: ∝

∫ a

b

f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx b →∝

a

b) ako je funkcija f(x) neprekidna za -∝<x≤b, onda važi: b

b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx a → −∝

−∝

a

c) ako je funkcija f(x) neprekidna za -∝<x<∝, onda važi: ∝

b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx b →∝ a → −∝ a

−∝

. Ako su limesi na desnoj strani navedenih jednakosti konačni, kažemo da razmatrani nesvojstveni integral konvergira, dok u suprotnom kažemo da divergira. Primer 4.3.1.1. ∝

Naći

∫e

−x

dx.

0

Rešenje: ∝

b

(

)

(

)

b ⎛ 1 ⎞ −x e − x dx = lim − e − x | = lim − e −b + e 0 = lim⎜ − b + 1⎟ = 0 + 1 = 1 ∫0 e dx = lim ∫ b →∝ b →∝ b b →∝ →∝ 0 ⎝ e ⎠ 0

4. Integrali

80

4.3.2. Izračunavanje nesvojstvenih integrala kod kojih je podintegralna funkcija neograničena u nekoj tački intervala integracije. U slučaju nesvojstvenih integrala kod kojih je podintegralna funkcija neograničena u nekoj tački intervala integracije, važe sledeće jednakosti: a) ako je funkcija f(x) neograničena u tački x=a, onda važi: b

b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx , (ε>0) ε →0

a

a +ε

b) ako je funkcija f(x) neograničena u tački x=b, onda važi: b −ε

b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx , (ε>0) ε →0

a

a

c) ako je funkcija f(x) neograničena u tački c∈(a,b), onda važi: c −ε

b

b

∫ f ( x)dx = lim ∫ f ( x)dx + lim ∫ f ( x)dx , (ε>0). ε →0

a

a

ε →0

c +ε

Ako su limesi na desnoj strani navedenih jednakosti konačni, kažemo da razmatrani nesvojstveni integral konvergira, dok u suprotnom kažemo da divergira. Primer 4.3.2. 1

Naći

dx .

∫x

2

−1

Rešenje: Kako je funkcija f ( x) =

1 neograničena u okolini tačke x=0 koja pripada inx2

tervalu integracije (-1, 1), onda važi: 1

−ε

1

dx dx dx ⎛1 ⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ −ε ⎛ 1 ⎞1 + lim ∫ 2 = lim⎜ − ⎟ | + lim⎜ − ⎟ | = lim⎜ − 1⎟ + lim⎜ − 1⎟ =∝ 2 ∫−1 x 2 = lim ∫ ε →0 ε →0 ε →0 ⎝ x ⎠ −1 ε →0 ⎝ x ⎠ ε ε →0 ⎝ ε ⎠ ε →0 ⎝ ε ⎠ −1 x ε x Dakle, traženi nesvojstveni integral divergira ka +∝.

.

81

Poslovna matematika

5. EKONOMSKE FUNKCIJE

5.1. Funkcija tražnje Tražnja nekog proizvoda na tržištu zavisi od niza faktora: od cene tog proizvoda, cene ostalih proizvoda na tržištu, od standarda potrošača, od navike potrošača za kupovinu tog proizvoda, od ukusa potošača itd. Naravno, nemoguće je obuvatiti sve faktore koji utiču na potražnju nekog proizvoda na tržištu. Istovremeno analiza funkcije tražnje je kvalitetnija ukoliko se ona sprovodi na većem broju parametara koji utiču na nju. Očigledno je da se takva analiza mora vršiti po pravilima analize funkcija više promenljivih. Mi ćemo naše matematičko ispitivanje tražnje svesti na nivo funkcije jedne promenljive, i to na analizu funkcije tražnje nekog proizvoda od njegove cene. U tom smislu obeležimo tražnju nekog proizvoda sa x, a cenu tog proizvoda sa p. Veza između tražnje proizvoda na tržištu i njegove cene je data u vidu neke funkcionalne zavisnostu: x=f1(p). Oblast definisanosti ove funkcije se određuje iz uslova: 1. 2.

p>0 x>0

3.

x’=f1’(p)<0

(cena je naravno uvek pozitivna) (potražnja za nekim proizvodom mora biti pozitivna) (porast cene nekog proizvoda smanjuje njegovu potražnju)

5. Ekonomske funkcije

82

5.2. Funkcija ponude Ponuda jednog proizvoda predstavlja količinu tog proizvoda iznetog na tržište po određenoj ceni. Ponuda jednog proizvoda, takođe zavisi od mnoštva faktora poput troškova proizvodnje, tehnoloških i vremenskih uslova, cene proizvoda itd.. Mi ćemo ponudu posmatrati u zavisnosti od jednog parametra, cene proizvoda. Obeležimo količinu proizvoda koji se nudi sa y,cenu sa p, a zavisnost ponude od potražnje sa y=f2(p). Oblast definisanosti ove funkcije se određuje iz uslova: 1. 2. 3.

p>0 y>0 y’=f2’(p)>0

(cena je naravno uvek pozitivna) (ponuda nekog proizvoda mora biti pozitivna) (porast cene nekog proizvoda stimuliše proizvođača da ga što više nudi tržištu).

Ako su funkcije ponude i tražnje jednog proizvoda određene, onda se može odrediti ravnoteža na tržištu iz uslova y=x, odnosno f1(p)=f2(p). Primer 5.2.1. Odrediti cenu pri kojoj se postiže ravnoteža tražnje i ponude ako je funkcija tražnje x=(p-3)2 a funkcija ponude y=2p-3. Rešenje: Oblast definisanosti funkcije tražnje određujemo iz uslova za koje važi

(p > 0 ∧ x > 0 ∧ x

'

) (

)

< 0 ⇒ p > 0 ∧ (p − 3) > 0 ∧ 2(p − 3) < 0 ⇒ (p > 0 ∧ p ∈ R ∧ p < 3) ⇒ p ∈ (0,3) 2

a oblast definisanosti funkcije ponude iz uslova za koje važe implikacije

(p > 0 ∧ y > 0 ∧ y

'

)

3 ⎛ ⎞ ⎛3 ⎞ > 0 ⇒ (p > 0 ∧ 2 p − 3 > 0 ∧ 2 > 0 ) ⇒ ⎜ p > 0 ∧ p > ∧ p ∈ R ⎟ ⇒ p ∈ ⎜ , ∝ ⎟ 2 ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠

Cena pri kojoj nastupa ravnoteža na tržištu mora biti iz skupa vrednosti za koje je definisana i tražnja i ponuda na tržištu, odnosno iz skupa

(0,3)∩ ⎛⎜ 3 , ∝ ⎞⎟ = ⎛⎜ 3 ,3⎞⎟. ⎝2

⎠

⎝2 ⎠

Poslovna matematika

83

Izjednačavajući funkcije tražnje i ponude dobijamo:

x = y ⇒ (p − 3) = 2 p − 3 ⇒ p 2 − 8 p + 12 = 0 ⇒ p1 = 2 ∨ p 2 = 6. 2

⎛3 ⎞ ⎛3 ⎞ Kako rešenje p2=6 ne pripada intervalu ⎜ ,3 ⎟ , to ga odbacujemo, dok p1 = 2 ∈ ⎜ ,3 ⎟ , 2 ⎝ ⎠ ⎝2 ⎠ pa se, dakle ravnoteža na tržištu postiže za vrednost cene p=2.

5.3. Funkcija ukupnih troškova, prosečnih troškova i graničnih troškova Funkcija ukupnih troškova predstavlja funkcionalnu zavisnost troškova (obeležimo ih sa C) od obima proizvodnje (obeležimo ga sa x), tj C=f3(x) Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova se određuje iz uslova: 1. 2. 3.

x>0 C>0 C’=f3’(x)>0

(obim proizvodnje je naravno uvek pozitivan) (ukupni troškovi proizvodnje su naravno pozitivni) (porast proizvodnje povećava ukupne troškove proizvodnje)

Funkcija prosečnih troškova predstavlja količnik ukupnih troškova i ukup_ ne proizvodnje. Prosečni troškovi se označavaju sa C , tj. _

C=

C x

Oblast definisanosti funkcije prosečnih troškova je određena oblašću definisanosti funkcije ukupnih troškova C. Funkcija graničnih troškova je prvi izvod funkcije ukupnih troškova, odnosno C’. Prema tome C' =

dC C ( x + ∆x) − C ( x) = lim ∆ x → 0 dx ∆x

Za vezu između prosečnih i graničnih troškova važi sledeća teorema. Teorema 5.3.1. Ako prosečni troškovi rastu sa porastom proizvodnje, tada su granični troškovi veći od prosečnih troškova, a ako prosečni troškovi

5. Ekonomske funkcije

84

opadaju s porastom proizvodnje, tada su granični troškovi manji od prosečnih troškova. Dokaz: a) Neka prosečni troškovi rastu sa porastom proizvodnje. Tada važi '

'

_ C' • x − C C ⎛_ ⎞ ⎛C ⎞ ' C > 0 ⇒ > 0 ⇒ > 0 ⇒ C • x − C > 0 ⇒ C ' > ⇒ C ' > C ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ x x2 ⎝x⎠ ⎝ ⎠

odnosno granični troškovi su veći od prosečnih troškova. b) Pretpostavimo da prosečni troškovi opadaju sa porastom proizvodnje. Tada važi '

'

_ C' • x − C C ⎛_ ⎞ ⎛C ⎞ ' < 0 ⇒ C • x − C < 0 ⇒ C ' < ⇒ C < C ⎜C ⎟ < 0 ⇒ ⎜ ⎟ < 0 ⇒ x x2 ⎝x⎠ ⎝ ⎠

odnosno granični troškovi su manji od prosečnih troškova. Primer 5.3.1. Data je funkcija ukupnih troškova C=5x2+320 ( C ukupni troškovi, x obim proizvodnje). Pokazati da su minimalni prosečni troškovi jednaki graničnim troškovima. Rešenje: Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova određujemo iz uslova za koje imamo

(x > 0 ∧ C > 0 ∧ C

'

) (

)

> 0 ⇒ x > 0 ∧ 5 x 2 + 320 > 0 ∧ 10 x > 0 ⇒ (x > 0 ∧ x ∈ R ∧ x > 0 ) ⇒ x ∈ (0, ∝ )

Odredimo obim proizvodnje x za koji su prosečni troškovi minimalni, odnosno odredimo vred_ C nost x za koju funkcija C = ima minimum. Pri tome ćemo koristiti metode ispitivanja funkx cije jedne promenljive. ' _ ⎛_ ⎞ C =0. ⎜ ⎟ Stacionarne tačke funkcije C ( x) dobijamo iz uslova ⎝ ⎠ _

'

C=

'

C 5 x 2 + 320 320 320 320 ⎛_ ⎞ ⎛_ ⎞ = = 5x + ⇒ ⎜C ⎟ = 5 − 2 ⇒ ⎜C ⎟ = 0 ⇒ x2 = ⇒ x1 = 8 ∨ x 2 = −8. x x x 5 x ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Saglasno uslovima za oblasi definisanosti funkcije ukupnih troškova odbacujemo stacionarnu tačku x2=-8 Odredimo da li je stacionarna tačka x=8 tačka ekstremuma, i ispitajmo prirodu tog ekstremuma pomoću znaka drugog izvoda u toj tački. ''

'

_ 320 ⎞ 320 320 ⎛_ ⎞ ⎛ ⎜ C ⎟ = ⎜ 5 − 2 ⎟ = 3 • 3 ⇒ C ' ' (x = 8) = 3 • 3 > 0 , pa prosečni troškovi u tački x=8 x ⎠ x 8 ⎝ ⎠ ⎝

Poslovna matematika

85

320 ⎛_ ⎞ = 80 . imaju minimalnu vrednost koja iznosi ⎜ C ⎟ = 5 • 8 + 8 ⎝ ⎠ nim

Granični troškovi u tački x=8 iznose C ' = 10 x ⇒ C ' ( x = 8) = 80 . Dakle, granični troškovi u tački u kojoj funkcija prosečnih troškova ima minimalnu vrednost su jednaki tim minimalnim prosečnim troškovima.

5.4. Funkcija ukupnog prihoda i graničnog prihoda Funkcija ukupnog prihoda (obeležimo je sa P) predstavlja proizvod količine proizvoda prodatog na tržištu , i cene po kojoj je jedinica proizvoda prodata na tržištu. Količina proizvoda prodatog na tržištu je u stvari funkcija tražnje tog proizvoda x, pa za funkciju ukupnog prihoda važi formula P=p•x. Prema tome ukupan prihod je funkcija dve nezavisne promenljive p i x. Ako je funkcija tražnje za određeni proizvod x=f1(p), onda a) se ukupan prihod može predstaviti kao funkcija jedne promenljive, tj kao funkcija cene, pa je: P=p•f1(p) b) ako funkcija x=f1(p) ima inverznu funkciju p=f1-1(x) tada se ukupan prihod može predstaviti kao funkcija jedne promenljive, tj. kao funkcija količine proizvoda realizovanog na tržištu, pa je: P=x•f1-1(x) Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova je određena oblašću definisanosti funkcije tražnje x=f1(p). Za funkciju graničnih prihoda važi: a) ako je ukupan prihod predstavljen kao funkcija cene, P=p•f1(p), onda je funkcija graničnog prihoda prvi izvod te funkcije , tj. Pp = '

dP dp

b) ako je ukupan prihod predstavljen kao funkcija količine realizovane robe na tržištu, P=x•f1-1(x), onda je funkcija graničnog prihoda prvi izvod te funkcije, tj.

5. Ekonomske funkcije

86

Px = '

dP dx

Primer 5.4.1. Funkcija tražnje je x= -5p+40. Odrediti količinu realizovane robe na tržištu i cenu pri kojima se postiže maksimalan ukupan prihod i odrediti koliko on iznosi? Rešenje: Oblast definisanosti funkcije tražnje određujemo iz uslova za koje imamo:

(p > 0 ∧ x > 0 ∧ x

'

)

< 0 ⇒ (p > 0 ∧ −5 p + 40 > 0 ∧ −5 < 0 ) ⇒ (p > 0 ∧ p < 8 ∧ p ∈ R ) ⇒ p ∈ (0,8)

Ukupan prihod iznosi P=p•x=p•(-5p+40)=-5p2+40p Nađimo maklsimum ukupnog prihoda:

P ' = −10 p + 40 ⇒ ( P ' = 0 ⇒ p = 4) P '' = −10

funkcija u p = 4 ima maksimum.

Pošto tačka p=4 pripada oblasti definisanosti funkcije tražnje, i kako je u njoj prvi izvod ukupnih troškova jednak nuli, a drugi izvod manji od nule, onda je to tačka u kojoj ukupan prihod ima maksimum. Količina robe realizovane na tržištu u toj tački p=4 iznosi x=-5•4+40=20, a vrednost maksimalnog ukupnog prihoda Pmax=4•20=80.

5.5. Funkcija dobiti Funkcija dobiti (obeležimo je sa D) je razlika funkcije ukupnog prihoda i ukupnih troškova D=P-C. Oblast definisanosti funkcije dobiti je određena oblašću definisanosti funkcija ukupnog prihoda i ukupnih troškova. Interval rentabilnosti proizvodnje (x1,x2) određujemo iz uslova D=0 odnosno P=C.

Poslovna matematika

87

Primer 5.5.1. Funkcija ukupnih troškova je C=3x2+25, a funkcija tražnje je x = −

p + 15 . Odrediti: 2

a) proizvodnju i cenu pri kojima se postiže maksimalna dobit i koliko ona iznosi b) proizvodnju pri kojoj je ukupan prihod jednak ukupnim troškovima (gornju i donju granicu rentabilnosti) Rešenje: Oblast definisanosti funkcije tražnje određujemo iz uslova za koje imamo

(p > 0 ∧ x > 0 ∧ x

'

)

p 1 ⎛ ⎞ < 0 ⇒ ⎜ p > 0 ∧ − + 15 > 0 ∧ − < 0 ⎟ ⇒ (p > 0 ∧ p < 30 ∧ p ∈ R ) ⇒ p ∈ (0,30 ). 2 2 ⎝ ⎠

odakle zaključujemo da x∈(0,15). Izrazimo funkciju ukupnog prihoda kao funkciju jedne promenljive i to promenljive x (realizacija robe na tržištu). Imamo:

x=−

p + 15 ⇒ p = −2 x + 30 ⇒ P = p • x = (− 2 x + 30 )• x = −2 x 2 + 30 x 2

pa je dobit D=P-C=-2x2+30x-(3x2+25)=-5x2+30x-25. Odredimo maksimalnu vrednost funkcije dobiti. Važi.

D' = −10 x + 30 ⇒ ( D' = 0 ⇒ x = 3) D' ' = −10 < 0 Pošto je D’’<0 u tački x=3, i tačka x=3 pripada oblasti definisanosti funkcije tražnje, onda zaključujemo da funkcija dobiti ima maksimum za x=3. Dakle, maksimalna dobit iznosi D(3)=-5•32+30•3-25=20. Cena u uslovima maksimalne dobiti je cena koja odgovara proizvodnji od x=3, a to je p=-2•3+30=24 b) Da bi odredili interval rentabilnosti proizvodnje izjednačimo funkciju ukupnog prihoda sa funkcijom ukupnih troškova (ili izjednačimo dobit sa nulom D=0). Otuda imamo D=0 ⇒ -5x2+30x-25=0⇒ x1=1∧ x2=5, pa pošto i x1 i x2 pripadaju oblasti definisanosti (0,15), zaključujemo da je interval rentabilnosti proizvodnje (1, 5), odnosno proizvodnja je rentabilna za x∈(1, 5).

5. Ekonomske funkcije

88

5.6 Elastičnost funkcije Definicija 5.6.1. (elastičnost funkcije) Elastičnost diferencijabilne funkcije y=f(x) u tački x u oznaci Ey,x je: E y,x =

x y' y

Kažemo : a) ako je ⏐Ey,x⏐<1 onda je funkcija f(x) neelastična u tački x b) ako je ⏐Ey,x⏐>1 onda je funkcija f(x) elastična u tački x c) ako je ⏐Ey,x⏐=1 onda funkcija f(x) ima jediničnu elastičnost u tački x 5.6.1 Elastičnost funkcije tražnje S obzirom na definiciju 5.6.1. i na činjenicu da je funkcija tražnje x=f1(p) (odnosno da je tražnja funkcija cene), imamo da je elastičnost funkcije tražnje: E x, p =

p ' x x

Imajući u vidu oblast definisanosti funkcije tražnje (p>0, x>0, x’<0) zaključujemo da je Ex,p<0 pa je za: a) Ex,p∈ (-1,0), tražnja neelastična u tački p b) Ex,p∈ (-∝, -1) tražnja elastična u tački p c) Ex,p=-1 tražnja ima jediničnu elastičnost u tački p Teorema 5.6.1. (veza između elastičnosti funkcije tražnje, i zavisnosti promene ukupnog prihoda od promene cene proizvoda i prodaje proizvoda na tržištu) U oblasti definisanosti funkcije tražnje u kojoj je tražnja neelastična, odnosno Ex,p∈ (-1,0), ukupan prihod opada sa daljom prodajom proizvoda na tržištu, a raste sa porastom cene proizvoda. U oblasti definisanosti funkcije tražnje u kojoj je tražnja elastična, odnosno Ex,p∈ (-∝, -1), ukupan prihod raste sa daljom prodajom proizvoda na tržištu, a opada sa porastom cene proizvoda. U oblasti definisanosti funkcije tražnje u kojoj tražnja ima jediničnu elastičnost, ukupan prihod je konstantan.

Poslovna matematika

89

Dokaz: Funkcija ukupnog prihoda je P=x•p. Važi sledeće: ⎧ dP dp = p+ x• = ⎪ dx ∂P ∂P ⎪ dx dP = dx + dp = pdx + xdp ⇒ ⎨ ∂x ∂p dx ⎪ dP ⎪ dp = p • dp + x = ⎩

⎛ 1 ⎞⎟⎫ p ⎜1 + ⎜ E ⎟⎪⎪ x, p ⎠ ⎝ ⎬ ⎛ p dx ⎞ ⎪ ⎟⎟ = x(1 + E x , p ) ⎪ x⎜⎜1 + x dp ⎠ ⎝ ⎭ ⎛ x dp ⎞ ⎟= p⎜⎜1 + p dx ⎟⎠ ⎝

Imajući u vidu da je p>0, i x>0 imamo: za Ex,p∈ (-1,0), funkcija tražnje je neelastična i važi: ⎛ dP 1 ⎞⎟ < 0 tj. ukupan prihod opada sa povećanjem prodaje pro= p ⎜1 + ⎟ ⎜ dx ⎝ E x, p ⎠

izvoda na tržištu, dP = x(1 + E x , p )> 0 tj. ukupan prihod raste sa porastom cene proizvoda dp

za Ex,p∈ (-∝, -1), funkcija tražnje je elastična i važi: ⎛ dP 1 = p ⎜1 + ⎜ dx ⎝ E x, p voda na tržištu,

⎞ ⎟ > 0 tj. ukupan prihod raste povećanjem prodaje proiz⎟ ⎠

dP = x(1 + E x , p )< 0 tj. ukupan prihod opada sa porastom cene proizvoda. dp

Za Ex,p=-1, funkcija tržanje ima jediničnu elastičnost važi: ⎛ dP 1 ⎞⎟ dP = p ⎜1 + =0∧ = x(1 + E x , p )= 0 tj. ukupan prihod je kon⎜ E ⎟ dx dp x , p ⎝ ⎠ stantan. Primer 5.6.1. Data je funkcija tražnje x=p2e-2p-2. Odrediti cenu za koju tražnja ima jediničnu elastičnost.

5. Ekonomske funkcije

90 Rešenje: Važi da je:

x ' = 2 pe −2 p − 2 + p 2 e −2 p − 2 • (− 2 ) = 2 pe −2 p − 2 (1 − p )

Oblast definisanosti funkcije tražnje nalazimo iz uslova za koje imamo:

(p > 0 ∧ x > 0 ∧ x

'

) (

)

< 0 ⇒ p > 0 ∧ p ∈ R ∧ 2 pe −2 p − 2 (1 − p ) < 0 ⇒ (p > 0 ∧ p ∈ R ∧ 1 − p < 0 ) ⇒

(p > 0 ∧ p ∈ R ∧ p > 1)⇒ p ∈ (1, ∝). Elastičnost funkcije tražnje je:

E x, p =

(

)

p ' p x = 2 − 2 p − 2 • 2 pe − 2 p − 2 (1 − p ) = 2(1 − p ) x p e

Funkcija tražnje ima jedniničnu elastičnost kada je Ex,p= -1, odnosno za 2•(1-p)= -1 tj. za p=

3 2

Kako dobijeno p pripada oblasti definisanosti razmatrane funkcije tražnje, zaključujemo da 3 za cenu p= funkcija tražnje ima jediničnu elastičnost. 2

5.6.2. Elastičnost funkcije ukupnih troškova S obzirom na definiciju 5.6.1. i na činjenicu da je funkcija ukupnih troškova data sa C=f3(x) (odnosno da su ukupni troškovi funkcija obima proizvodnje), _ C C da je funkcija prosečnih troškova data sa = , x imamo da je elastičnost funkcije ukupnih troškova: EC , x =

x ' C' C = _ C C

Imajući u vidu oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova (x>0, C>0, C’>0) zaključujemo da je EC,x>0 pa je: a) EC,x∈ (0, 1), tj. ukupni troškovi su neelastični u tački x, b) EC,x∈ (1, ∝), tj. ukupni troškovi su elastični u tački x, c) EC,x=1, tj. ukupni troškovi imaju jediničnu elastičnost u tački x.

Poslovna matematika

91

Teorema 5.6.2. ( veza između elastičnosti funkcije ukupnih troškova, i uticaja promene proizvodnje na promenu prosečnih troškova) U oblasti definisanosti funkcije ukupnih troškova u kojoj su ukupni troško_ vi neelastični, povećanje proizvodnje utiče na smanjenje prosečnih troškova C . U oblasti definisanosti funkcije ukupnih troškova u kojoj su ukupni _troškovi elastični, povećanje proizvodnje utiče na povećanje prosečnih troškova C . U oblasti definisanosti funkcije ukupnih troškova u kojoj ukupni troškovi imaju jediničnu elastičnost, promena proizvodnje ne utiče na promenu prosečnih _ troškova C . Dokaz: Imajući u vidu da je x>0, C>0 i C’>0 to su: za EC,x<1 ukupni troškovi neelastični, pa iz x ' dC C C <1⇒ < ⇒ xdC < Cdx ⇒ xdC + Cx < Cdx + Cx ⇒ C dx x C + dC C x(C + dC ) < C (x + dx ) ⇒ < x + dx x

EC , x =

sledi da, kada se proizvodnja poveća za dx, a zbog tog povećanja ukupni troC + dC su manji od x + dx prosečnih troškova pre povećanja proizvodnje za dx, (jednakih C ), odnosno, pox _ većanje proizvodnje utiče na smanjenje prosečnih troškova C ;

škovi se povećaju za dC, novi prosečni troškovi koji iznose

za EC,x>1 ukupni troškovi elastični, pa iz x ' dC C > ⇒ xdC > Cdx ⇒ xdC + Cx > Cdx + Cx ⇒ C >1⇒ C dx x C + dC C x(C + dC ) > C (x + dx ) ⇒ > x + dx x

EC , x =

5. Ekonomske funkcije

92

sledi da, kada se proizvodnja poveća za dx, a zbog tog povećanja ukupni troškovi se povećaju za dC, novi prosečni troškovi koji iznose C + dC su veći od x + dx prosečnih troškova pre povećanja proizvodnje za dx, (jednakih C ), odnosno, x _ povećanje proizvodnje utiče na povećanje prosečnih troškova C ; za EC,x=1 ukupni troškovi imaju jediničnu elastičnost, pa iz x ' dC C C =1⇒ = ⇒ xdC = Cdx ⇒ xdC + Cx = Cdx + Cx ⇒ C dx x C + dC C x (C + dC ) = C (x + dx )⇒ = x + dx x

EC , x =

sledi da, kada se proizvodnja poveća za dx, a zbog tog povećanja ukupni troškovi se povećaju za dC, novi prosečni troškovi koji iznose C + dC su jednaki x + dx prosečnim troškovima pre povećanja proizvodnje za dx, (jednakih C ), odnosno, x _

promena proizvodnje ne utiče na promenu prosečnih troškova C . Primer 5.6.2. Ispitati kako povećanje proizvodnje sa nivoa x=3 utiče na prosečne troškove, ako je funkcija ukupnih troškova x

C = 12e 4 . Rešenje: Važi da je: '

x x x ⎛ ⎞ 1 C = ⎜⎜12e 4 ⎟⎟ = 12e 4 • = 3 • e 4 4 ⎝ ⎠ '

Oblast definisanosti funkcije ukupnih troškova dobijamo iz uslova za koje imamo

(x > 0 ∧ C > 0 ∧ C

'

x x ⎛ ⎞ > 0 )⇒ ⎜ x > 0 ∧ 12e 4 > 0 ∧ 3e 4 > 0 ⎟ ⇒ (x > 0 ∧ x ∈ R ∧ x ∈ R ) ⇒ x ∈ (0, ∝ ). ⎝ ⎠

Poslovna matematika

93

Nivo proizvodnje x=3 pripada oblasti definisanosti funkcije ukupnih troškova, x>0. Elastičnost funkcije ukupnih troškova je:

EC , x =

x ' C = C

x

x 12e

x 4

• 3e 4 =

x 4

3 U tački x=3, elastičnost funkcije ukupnih troškova iznosi EC,x= 4 <1, pa po teoremi 5.6.2. zaključujemo da povećanje proizvodnje sa nivoa x=3 utiče na smanjenje prosečnih troškova.

95

Poslovna matematika

6. LINEARNA ALGEBRA

6.1. Matrice Definicija 6.1.1. (matrica) Matrice su šeme realnih brojeva oblika ⎡a11 a12 ... a1n ⎤ ⎥ ⎢ ⎢a 21 a 22 ... a 2 n ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎣a m1 a m 2 ... a mn ⎥⎦

Brojevi aij ((i=1,…,m), (j=1,…,n)) zovu se elementi matrice. Elementi ai1, ai2, …,ain (i=1,…,m) čine i-tu vrstu matrice. Elementi a1j, a2j,…,amj (j=1,…,n) čine j-tu kolonu matrice. Za matricu koja ima m vrsta i n kolona, kaže se da je tipa m×n. Za matricu kod koje je m≠n kažemo da je pravougaona matrica. Za matricu kod koje je broj vrsta jednak broju kolona jednak broju n, kažemo da je kvadratna matrica reda n. Elementi kvadratne matrice n×n (reda n), a11, a22,…,ann čine glavnu dijagonalu matrice.

[ ]

Matrica m×n se ukratko označava sa aij

m ,n

.

6. Linearna algebra

96 Primer 6.1.1.

⎡2 ⎣− 1

1⎤ je pravougaona matrica tipa 2×3. 4⎥⎦

3 0

Matrica A= ⎢

Njen element a23=4.

Definicija 6.1.2. (jednakost matrica) Dve matrice su jednake ako su istog tipa i ako su im odgovarajući elementi jednaki. Naime, ako je

[ ]

A = aij

[ ]

B = bij

i

m,n

A = B ⇔ aij = bij

onda važi: j = 1,..., n .

m,n

i = 1,..., m;

Definicija 6.1.3. (sabiranje matrica)

[]

Zbir dve matrice, istog tipa m×n, ( A = aij

m ,n

,

[]

B = bij

m ,n

),

u oznaci A+B, jeste matrica C=A+B, tipa m×n

[

C = aij + bij

]

m,n

Napomena: Sabiranje matrica je koutativna operacija A+B=B+A Primer 6.1.3.

⎡2 ⎣− 2

Neka je A= ⎢

⎡3 ⎣− 1

A+B= ⎢

5 −2

1⎤ ⎡1 a B= ⎢ ⎥ 2⎦ ⎣1

3 1

2 −3

0⎤ . Tada je 4⎥⎦

1⎤ =B+A 6⎥⎦

Definicija 6.1.4. (množenje matrice brojem)

[ ]

Proizvod matrice A= aij

[ ]m, n = [α ⋅ aij ]m, n .

α ⋅ aij

m,n

i broja α∈R definiše se sa jednakošću

Poslovna matematika

97

Primer 6.1.4.

⎡1 ⎢ Ako je A = − 2 ⎢ ⎢⎣0

6 ⎤ 9 ⎥⎥ . 12⎥⎦

⎡3 ⎢− 6 ⎢ ⎢⎣0

2⎤ 3 ⎥⎥ , tada je 3⋅A = 4⎥⎦

Definicija 6.1.5. (množenje dve matrice)

[ ]

Proizvod matrica A= aij

m,n

[ ]

i B= bij

n, p

, u oznaci A⋅B, ili AB,

[ ]m, p = ⎡⎢ ∑ (aik ⋅ bkj )⎤⎥ n

C = cij

je matrica

⎣⎢k =1

⎦⎥ m, p

Prema tome, element cij obrazuje se na taj način što se elementi i-te vrste matrice A pomnože sa odgovarajućim elementima j-te kolone matrice B i dobijeni proizvodi saberu. Napomena: Množenje matrice nije komutativna operacija tj. ne važi A⋅B=B⋅A Primer 6.1.5.

⎡− 1 2⎤ ⎢ , B= ⎢1 ⎥ 2⎦ ⎢⎣0

−1 1

⎡1 Ako je A= ⎢ ⎣0 ⎡− 2 ⎣1

C=A⋅B= ⎢

0 4

1 7

2 0 2

0 3 2

1 ⎤ 1 ⎥⎥ , tada je −1⎥⎦

−2⎤ −1⎥⎦ , gde je, na primer,

c23=a21⋅b13+a22⋅b23+a23⋅b33=0⋅0+1⋅3+2⋅2=7. Proizvod B⋅A za ove matrice nije definisan.

Definicija 6.1.6. (nula matrica) Matrica čiji su svi elementi nula zove se nula matrica.

6. Linearna algebra

98

Definicija 6.1.7. (trougaona matrica) Kvadratne matrice oblika ⎡a11 0 0 ... 0 ⎤ ⎢a a ...0 ⎥ ⎢ 21 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a n1 a n 2  a nn ⎦

,

⎡a11 a12  a1n ⎤ ⎢0 a  a ⎥ 22 2n ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣0 0  a nn ⎦

zovu se trougaone matrice. Definicija 6.1.8. (dijagonalna matrica) Kvadratna matrica čiji su svi elementi van glavne dijagonale jednaki nuli zove se dijagonalna matrica. Definicija 6.1.9. (skalarna matrica) Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali međusobno jednaki naziva se skalarna matrica. Definicija 6.1.10. (jedinična matrica) Dijagonalna matrica čiji su svi elementi na glavnoj dijagonali jednaki jedinici, naziva se jedinična matrica (ili identična matrica) i obeležava se sa I. Primer 6.1.10.

⎡1 ⎢ Matrica A= 0 ⎢ ⎢⎣0

0 1 0

0⎤ 0⎥⎥ =I 1 ⎥⎦

je jedinična matrica tipa 3×3.

Poslovna matematika

99

Definicija 6.1.11. (transponovana matrica) Transponovana matrica matrice ⎡a11 a12  a1n ⎤ ⎢a a  a ⎥ 2n ⎥ A= ⎢ 21 22 je matrica AT, data sa ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m 2  a mn ⎦ m×n ⎡a11 a 21  a m1 ⎤ ⎢a a  a ⎥ m2 ⎥ T A = ⎢ 12 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣a1n a 2 n  a mn ⎦ n×m

(i-ta vrsta u A je i-ta kolona u AT). Primer 6.1.11.

Ako je

⎡1 ⎣0

A= ⎢

−1 2

3 1

2⎤ , 3 ⎥⎦

onda je

⎡1 ⎢− 1 T ⎢ A= ⎢3 ⎢ ⎣2

0⎤ 2⎥⎥ 1⎥ ⎥ 3⎦

Definicija 6.1.12. (podmatrica (ili submatrica) zadate matrice) Matrica B je podmatrica (submatrica) matrice A ako izostavljanjem nekih vrsta i kolona matrice A možemo dobiti matricu B.

6. Linearna algebra

100

Definicija 6.1.13. (komatrica polja (i, j) matrice A) Neka je A matrica tipa m×n, i neka je 1≤ i≤ m, a 1≤ j≤ n. Pod komatricom polja (i, j) matrice A podrazumevamo njenu podmatricu koja nastaje uklanjanjem i-te vrste i j-te kolone matrice A i obeležavamo je sa Ai,j. Primer 6.1.13. Za matricu

⎡2 A= ⎢4 ⎢ ⎢⎣6

6 8 2

0 2 3

45 9 −6

1 ⎤ −5⎥⎥ , 0 ⎥⎦

komatrica polja (2,4) je:

⎡2 ⎣6

A2,4= ⎢

6 2

0 3

1⎤ 0⎥⎦

6.2. Determinante Svakoj kvadratnoj matrici A dodeljuje se tačno jedan realan broj, koji se označava sa det(A) i koji zovemo determinanta matrice A. Umesto det(A) često pišemo detA, i ako je A= (i,j=1,2,…,n), tada je uobičajena oznaka: ⎛ ⎡a11 a12  a1n ⎤ ⎞ a11 a12  a1n ⎜⎢ ⎥⎟ ⎜ ⎢a21 a22  a2 n ⎥ ⎟ a21 a22  a2 n det⎜ = ⎢ ⎥⎟  ⎜⎢ ⎟ ⎜ ⎢an1 an 2  ann ⎥⎥ ⎟ an1 an 2  ann ⎦⎠ ⎝⎣

Pojam determinante ćemo definisati induktivno po n, gde n označava red matrice, odnosno red determinante. Drugim rečima, prvo ćemo definisati determinantu kvadratne matrice prvog reda, zatim determinantu kvadratne matrice drugog reda, potom determinantu kvadratne matrice trećeg reda. Determinantu reda n ćemo definisati pomoću determinante reda n-1.

Poslovna matematika

101

Definicija 6.2.1. (determinante) Za matricu prvog reda A= [a11 ] važi

detA=a11.

Za matricu drugog reda ⎡a11 A= ⎢ ⎣a 21

a12 ⎤ a 22 ⎥⎦

važi

detA=a11a22-a21a12.

Za matricu trećeg reda ⎡a11 A = ⎢⎢a21 ⎢⎣a31

a12 a22 a32

a13 ⎤ a23 ⎥⎥ a33 ⎥⎦

važi detA=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a11a32a23-a12a21a33 Za matricu reda n i svako i, j (1, 2, … , n) ⎡a11 a1n  a1n ⎤ ⎢a a  a ⎥ 2n ⎥ A= ⎢ 21 22 važi: ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a n1 a n 2  a nn ⎦ n

detA= ∑ aij • (− 1) j =1

i+ j

⋅ det Ai , j

(tada kažemo da je detA razvijena po i-toj vrsti), ili n

detA= ∑ aij • (− 1)i + j ⋅ det Ai , j i =1

(tada kažemo da je detA razvijena po j-toj koloni), gde detAi,j predstavlja determinantu komatrice polja (i, j) matrice A, u oznaci Ai,j, koja je reda n-1, a koja se, da se podsetimo, dobija izostavljanjem i-te vrste i j-te kolone iz matrice A. Izraz (-1)i+j ⋅ detAi,j zovemo kofaktorom (ili minorom) elementa aij (ili polja(i,j)), i označavamo ga sa Aˆ ij .

6. Linearna algebra

102

Aˆ ij = (− 1)i + j ⋅ det Ai , j .

Dakle,

Primer 6.2.1. Date su matrice:

⎡1 A= [3] , B= ⎢ ⎣3

⎡2 2⎤ ⎢ , C= 4 ⎥ ⎢ 4⎦ ⎢⎣3

0 1 1

2 ⎤ 2 ⎥⎥ −1⎥⎦

a)

Odrediti po definiciji determinante matrice A, B, C;

b)

Razvijanjem po prvoj vrsti naći detC.

Rešenje: a) Po definiciji važi: detA=3 detB=1⋅4-2⋅3=4-6=-2 detC=2⋅1⋅(-1)+0⋅2⋅3+4⋅1⋅2-2⋅1⋅3-2⋅2⋅1-0⋅4⋅(-1)=-2+8-6-4=-4 b) Po definiciji razvijanja po prvoj vrsti, imamo:

detC=2×(-1)(1+1)×

1 1

4 2 +0×(-1)(1+2)× 3 −1

4 2 +2×(-1)(1+3)× 3 −1

1 = 1

=2×(-1-2)+0+2×(4-3)=-6+2=-4.

Neke osobine determinanti: a) Determinanta ne menja vrednost ako vrste zamene mesta sa odgovarajućim kolonama. b) Ako dve vrste ili kolone zamene mesta, determinanta menja znak. c) Determinanta se množi brojem tako što se tim brojem pomnože svi elementi jedne vrste (ili jedne kolone);

Poslovna matematika

103

d) Vrednost determinante se ne menja ako se elementi jedne vrste (ili jedne kolone) pomnože nekim brojem i dodaju odgovarajućim elementima neke druge vrste (ili neke druge kolone); e) Ako su elementi jedne vrste (ili kolone) dati u obliku zbira, onda se determinanta može rastaviti na zbir onoliko determinanti koliko ima sabiraka u toj vrsti (ili koloni), dok su ostale vrste (ili kolone) nepromenjene. f) Determinanta je jednaka nuli ako ima dve proporcionalne vrste (ili kolone). g) Determinanta je jednaka nuli ako su svi elementi jedne vrste (ili kolone) jednaki nuli. 6.2.1. Sarusovo pravilo Sarusovo pravilo je praktičan način za određivanje determinante trećeg reda. Ono je dato sledećom šemom:

=αbr+aqγ+pβc-γbp-cqα-rβa

(Sa desne strane date determinante formalno se dopišu prve dve kolone, a zatim se postupi kao što je naznačeno.) Napomena: Sarusovo pravilo važi samo za determinante trećeg reda. Primer 6.2.1.1. Primenom Sarusovog pravila naći determinantu matrice C iz primera 6.2.1. Rešenje:

2 4 detC= 3

0 1 1

2 2 −1

2 4

0 1

3

1

=

=2⋅1⋅(-1)+0⋅2⋅3+2⋅4⋅1-3⋅1⋅2-1⋅2⋅2-(-1)⋅4⋅0= -2+8 -6 -4= -4.

6. Linearna algebra

104

6.3. Inverzna matrica Definicija 6.3.1. (komatrica kvadratne matrice A) Pod komatricom kvadratne matrice A podrazumevamo matricu Aˆ = Aˆ ij , odnosno matricu čiji element na mestu (i, j) predstavlja kofaktor polja (i, j) matrice A.

[ ]

Primer 6.3.1.

⎡2 ⎢ Napisati komatricu matrice C= 4 ⎢ ⎢⎣3

0 1 1

2 ⎤ 2 ⎥⎥ . −1⎥⎦

Rešenje:

[ ]su:

Imajući u vidu definiciju komatrice date matrice, elementi matrice Cˆ = Cˆ ij

1 Cˆ11 = (−1)1+1 ⋅ 1

2 = (−1 − 2) = −3 −1

4 Cˆ12 = (−1)1+ 2 ⋅ 3

2 = −(−4 − 6) = 10 −1

4 Cˆ13 = (−1)1+ 3 ⋅ 3

1 = (4 − 3) = 1 1

0 Cˆ 21 = (−1) 2 +1 ⋅ 1

2 = −(0 − 2 ) = 2 −1

2 Cˆ 22 = (−1) 2 + 2 ⋅ 3

2 = (−2 − 6) = −8 −1

2 Cˆ 23 = (−1) 2 + 3 ⋅ 3

0 = −(2 − 0 ) = −2 1

0 Cˆ 31 = (−1) 3 +1 ⋅ 1

2 = (0 − 2 ) = −2 2

2 Cˆ 32 = (−1) 3 + 2 ⋅ 4

2 = −(4 − 8) = 4 2

2 Cˆ 33 = (−1) 3 + 3 ⋅ 4

0 = (2 − 0 ) = 2 1

Dakle, komatrica matrice C je

Poslovna matematika

105

⎡− 3 Cˆ = ⎢⎢2 ⎢⎣− 2

1 ⎤ −2⎥⎥ 2 ⎥⎦

10 −8 4

Definicija 6.3.2. (adjungovana matrica) Adjungovana matrica kvadratne matrice A je transponovana komatrica matrice A. Označava se sa adjA. Primer 6.3.2.

⎡2 ⎢ Naći adjungovanu matricu matrice C= 4 ⎢ ⎢⎣3

0 1 1

Rešenje:

2 ⎤ 2 ⎥⎥ . −1⎥⎦

Imajući u vidu definiciju 6.2.3. i rešenje primera 6.2.2, zaključujemo da je adjungovana matrica matrice C:

⎡− 3 adjC = Cˆ T = ⎢⎢2 ⎢⎣− 2

10 −8 4

T

1 ⎤ ⎡− 3 ⎥ −2⎥ = ⎢⎢10 ⎢⎣1 2 ⎥⎦

2 −8 −2

−2⎤ 4 ⎥⎥ 2 ⎥⎦

Definicija 6.3.3. (inverzna matrica) Ako je A kvadratna matrica reda n i ako postoji matrica X takva da je X⋅A=A⋅X=I, kažemo da je X inverzna matrica matrice A. Inverzna matrica matrice A obeležava se sa A-1. Definicija 6.3.4. (regularna matrica, singularna matrica) Kvadratna matrica A čija je detA≠0 zove se regularna matrica. Kvadratna matrica A čija je detA=0 zove se singularna matrica. Način nalaženja inverzne matrice date matrice određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati:

6. Linearna algebra

106

Teorema 6.3.3. (egzistencija inverzne matrice) Kvadratna matrica A ima inverznu matricu A-1, ako i samo ako je regularna tj. ako je detA≠0, i tada: 1 A−1 = ⋅ adjA . det A Primer 6.3.3.

⎡2 Naći inverznu matricu matrice C= ⎢4 ⎢ ⎣⎢3

0 1 1

2 ⎤ 2 ⎥⎥ . −1⎦⎥

Rešenje: Imajući u vidu teoremu 6.3.3. i primere 6.2.1.1 i 6.3.2, dobijamo da je inverzna matrica matrice C

C

−1

⎡− 3 1 1 ⎢ = ⋅ adjC = ⋅ 10 det C −4 ⎢ ⎢⎣1

2 −8 −2

−2⎤ 4 ⎥⎥ 2 ⎥⎦

6.4. Rang matrice Pod rangom matrice A podrazumevamo najveći prirodan broj r za koji postoji kvadratna podmatrica M reda r te matrice takva da je detM≠0. Drugim rečima, rang matrice A je najveći red kvadratne regularne podmatrice te matrice. Primer 6.4. Odrediti rang matrice

⎡2 A = ⎢⎢4 ⎢⎣1

1 2 2

−1 −2 3

3⎤ 6 ⎥⎥ 4⎥⎦

Rešenje: Kvadratne podmatrice najvišeg reda koje se mogu obrazovati iz ove matrice jesu podmatrice trećeg reda i ima ih četiri. Zato izračunajmo njihove determinante.

Poslovna matematika

107

2 4

1 2

−1 −2 = 0

2 4

1 2

3 6 =0

2 4

−1 −2

3 6 =0

1

2

3

1

2

4

1

3

4

1 2 2

−1 −2 3

3 6 =0 4

Kako su determinante svih podmatrica trećeg reda jednake nuli, onda je rang matrice A, u oznaci r(A)<3. Pogledajmo sada da li među nekim podmatricama drugog reda postoji podmatrica čija je determinanta različita od nule. Očigledno je da za podmatricu koju dobijamo uklanjanjem druge vrste i treće i četvrte kolone važi

2 1

1 = 3 ≠ 0 , pa je rang matrice A, r(A)=2. 2

Ovakav postupak za određivanje ranga matrice vrlo je glomazan, tako da je u teoriji matrica razvijeno dosta metoda za lakše pronalaženje ranga matrice, koje mi ovde nećemo analizirati. Na ovom nivou, na kome mi izlažemo linearnu algebru, ukazaćemo na jedan, ako ne lakši, onda sistematičniji način određivanja ranga matrice: a) prvo odredimo podmatricu najnižeg reda (naravno reda 1) čija je determinanta različita od nule b) ako je nađena kvadratna podmatrica reda k čija je determinanta različita od nule, tada je potrebno izračunati determinante samo onih podmatrica reda k+1 koje sadrže prethodnu podmatricu reda k. Ako su sve determinante ovako određenih podmatrica reda k+1 jednake nuli, onda je rang matrice A jednak k, tj. r(A)=k. Ako je bar jedna determinanta podmatrica reda k+1 različita od nule, tada ovaj postupak, (postupak pod b)) primenjujemo baš na tu podmatricu reda k+1 čija je determinanta različita od nule. U slučaju razmatranog primera: a) Neka je podmatrica reda 1 čija je determinanta različita od nule podmatrica

6. Linearna algebra

108

[a11 ]= [2]⇒ 2 = 2 ≠ 0 , dakle r(A)≥1 b) Uočimo sada podmatricu drugog reda čija je determinanta različita od nule, a koja sadrži prethodnu podmatricu. Tada imamo: ⎡2 ⎢1 ⎣

1⎤ 2 ⇒ ⎥ 2⎦ 1

1 = 3 , pa je r(A)≥2 2

Izračunajmo sada determinante svih podmatrica trećeg reda koje sadrže prethodnu podmatricu: 2

1

−1

2

1

3

4

2

−2 = 0

4

2

6 =0

1

2

3

1

2

4

Pošto su determinante svih podmatrica trećeg reda koje sadrže prethodnu podmatricu drugog reda jednake nuli, zaključujemo da je rang matrice jednak dva, odnosno r(A)=2.

6.5. Sistemi linearnih algebarskih jednačina Definicija 6.5.1. (sistem linearnih algebarskih jednačina) Pod sistemom od m linearnih algebarskih jednačina sa n nepoznatih podrazumevamo konjunkciju sledećih jednačina a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 . . . am1x1+am2x2+…+amnxn= bm. Jednačinu i∈(1, 2, … , m).

ai1x1+ai2x2+…+ainxn=bi nazivamo i-tom jednačinom,

Nepoznatu

xj nazivamo j-tom nepoznatom, j∈(1, 2, … , n).

Koeficijent

aij uz j-tu nepoznatu u i-toj jednačini zovemo (i, j) -tim koeficijentom.

Koeficijent

bi i-te jednačine zovemo i-tim slobodnim članom.

Poslovna matematika

109

Primer 6.5.1 Sistem linearnih algebarskih jednačina: x+2y-z+4r=-3 3x-y+6z-5r=2 je sistem od dve jednačine sa četiri nepoznate.

Definicija 6.5.2. (homogeni sistem) Sistem linearnih algebarskih jednačina je homogen ako su mu svi slobodni članovi jednaki nuli. Primer 6.5.2. Sistem linearnih jednačina: x+2y-z+4r=0 3x-y+6z-5r=0 je homogen

Definicija 6.5.3. (kvadratni sistem) Sistem linearnih algebarskih jednačina je kvadratni ako mu je broj jednačina jednak broju nepoznatih, odnosno ako je m=n. *Napomena: Ubuduće ćemo umesto sistem linearnih algebarskih jednačina govoriti samo sistem linearnih jednačina. Primer 6.5.2. Sistem linearnih jednačina: x+2y-z+4r=-3 3x-y+6z-5r=2 2x-y+3z =0 3x-z =10 je kvadratni.

6. Linearna algebra

110

Definicija 6.5.4. (skup svih rešenja sistema linearnih jednačina) Pod skupom svih rešenja sistema jednačina određenog definicijom 6.5.1, podrazumevamo skup svih n-torki (x1, x2, …, xn) koje zadovoljavaju svaku od m jednačina koje definišu sistem. Definicija 6.5.5. (protivurečni sistem) Sistem linearnih jednačina je protivurečan ako je skup svih njegovih rešenja prazan skup, odnosno ako ne postoji n-torka (x1, x2, …, xn) koja zadovoljava svaku od m jednačina tog sistema. Definicija 6.5.6. (jedinstveno rešenje sistema jednačina) Sistem linearnih jednačina ima jedinstveno rešenje ako postoji samo jedna n-torka (x1, x2, …, xn) koja zadovoljava svaku od m jednačina tog sistema. Napomena: Broj n-torki (x1, x2, … ,xn) koje zadovoljavaju svaku od m jednačina sistema, predstavlja broj rešenja sistema. Sistem može imati beskonačno mnogo rešenja. Tada kažemo da je sistem neodređen. Definicija 6.5.7. (matrica sistema) Pod matricom sistema linearnih jednačina određenih definicijom 6.4.1. podrazumevamo matricu koeficijenata sistema. Ako matricu sistema obeležimo sa A, očigledno je da je A matrica reda m×n, tj,: ⎡a11 a12  a1n ⎤ ⎢a a  a ⎥ 2n ⎥ A = ⎢ 21 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣a m1 a m 2  a mn ⎦

Definicija 6.5.8. (proširena matrica sistema) Pod proširenom matricom sistema podrazumevamo matricu A’ koja se dobija tako što se matrica sistema proširi slobodnim članovima bi (i=1,2,…,m) na mestu (n+1)-ve kolone. Proširena matrica sistema A’, je očigledno matrica tipa m×(n+1). Dakle:

Poslovna matematika

111

⎡a11 a12  a1n b1 ⎤ ⎢a a  a b ⎥ 2n 2 ⎥ ' A = ⎢ 21 22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m 2  a mn bm ⎦

Postojanje bar jednog rešenja sistema linearnih jednačina određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati, a koja je opšte poznata kao Kroneker-Kapelijeva (Kronecker-Capelli) teorema. Teorema 6.5.1. (Kroneker-Kapelijeva teorema) Sistem linearnih jednačina ima bar jedno rešenje (odnosno nije protivurečan) ako i samo ako je rang matrice sistema jednak rangu proširene matrice sistema, odnosno ako je r(A)=r(A’).

6.6. Rešavanje sistema linearnih jednačina pomoću determinanti i matrica 6.6.1 Rešavanje kvadratnog sistema linearnih jednačina pomoću determinanti (Kramerovo pravilo) 6.6.1.1. Nehomogeni kvadratni sistem linearnih jednačina Nehomogeni kvadratni sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih glasi: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 . . . an1x1+an2x2+…+annxn = bn gde postoji bi≠0 za i=1,2,…,n. Kao što je već kazano, matricu sistema obrazuju koeficijenti sistema i označavamo je sa A. Očigledno, A je kvadratna matrica reda n, tj:

6. Linearna algebra

112

⎡a11 a12  a1n ⎤ ⎢a a  a ⎥ 2n ⎥ A = ⎢ 21 22 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣a n1 a n 2  a nn ⎦

Nazovimo proširenom matricom sistema matricu A’ u kojoj su u prvih n vrsta i n kolona nalaze koeficijenti sistema, a n+1-va kolona je kolona određena slobodnim članovima sistema. Očigledno, proširena matrica sistema A’ je pravougaona matrica reda n×(n+1). To znači: ⎡a11a12  a1n b1 ⎤ ⎢a a  a b ⎥ 2n 2 ⎥ ' A = ⎢ 21 22 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣an1an 2  ann bn ⎦

Nazovimo determinantom sistema determinantu matrice sistema A, odnosno determinantu koju obrazuju koeficijenti sistema i obeležimo je sa ∆. Dakle: a11 a12  a1n

detA= ∆ =

a 21 a 22  a 2 n  a n1 a n 2  a nn

Determinantu koja se dobija iz determinante sistema ∆ tako što se kolona koju obrazuju koeficijenti uz xj (odnosno kolona j-ta) zameni kolonom koju obrazuju slobodni članovi sistema (koeficijenti bj, j=1, 2, … , n), obeležimo sa ∆j . To znači: a11  a1 j −1 b1 a1 j +1  a1n ∆j =

a21  a2 j −1 b2 a2 j +1  a2n  an1  anj −1 bn anj +1  ann

Način rešavanja kvadratnog sistema linearnih jednačina pomoću determinanti (Kramerovo pravilo) određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati.

Poslovna matematika

113

Teorema 6.6.1.1. (Kramerova teorema) Neka je određena determinanta ∆ kvadratnog sistema n linearnih jednačina sa n nepoznatih i neka su određene determinante ∆j koje odgovaraju nepoznatima xj za j=1,2,…,n. Tada važi: a) ako je ∆≠0, sistem ima jedinstveno rešenje i ono se nalazi prema formulama ∆j za j=1,2,…,n xj = ∆ b) ako je ∆=0 i bar jedna od determinanti ∆j≠0 (j=1,2, … ,n) sistem je protivurečan, odnosno nema rešenja c) ako je ∆=∆1=∆2=…=∆n=0 onda 1. ako je rang matrice sistema manji od ranga proširene matrice sistema, odnosno r(A)
2x + 2z = -2 4x + y + 2z = 0 3x + y - z = 5

b)

x+y-z=1 2x + 2y - 2z = 1 x-y+z=1

c)

x+y-z=1

6. Linearna algebra

114 2x + 2y - 2z = 2 x-y+z=1 Rešenje: a) Vrednost determinante sistema je:

2 ∆= 4 3

0 1 1

2 2 = −4 , −1

pa sistem po Kramerovoj teoremi ima jedinstveno rešenje. Nađimo determinante ∆x, ∆y, ∆z.

−2 ∆x = 0 5

0 1 1

2 2 = −4 −1

2 ∆y = 4 3

−2 0 5

2 2 =0 −1

2 ∆z = 4 3

0 1 1

−2 0 =8 5

Jedinstveno rešenje sistema, odnosno vrednosti za nepoznate x, y, z, prema Kramerovoj teoremi je:

x=

y=

z=

∆x − 4 = =1 ∆ −4 ∆y ∆

=

0 =0 −4

∆z 8 = = −2 ∆ −4

Poslovna matematika

115

b) Determinanta sistema je

1 ∆= 2 1

1 2 −1

−1 −2 = 0 1

Pošto je determinanta sistema jednaka nuli, sistem nema jedinstveno rešenje, ali može biti protivurečan (odnosno da nema rešenja) ili neodređen (odnosno da ima više od jednog rešenja). Odredimo determinante ∆x, ∆y, ∆z . Kako je

1 ∆x = 1 1

1 2 −1

−1 −2 = 0 1

1 ∆y = 2 1

1 1 1

−1 −2 = −2, 1

odnosno ∆y≠0, to prema Kramerovoj teoremi zaključujemo da je ovaj sistem protivurečan, odnosno da nema rešenja. c) Determinanta sistema je

1 ∆= 2 1

1 2 −1

−1 −2 = 0 1

Pošto je determinanta sistema jednaka nuli sistem nema jedinstveno rešenje, ali može biti protivurečan (odnosno da nema rešenja) ili neodređen (odnosno da ima više od jednog rešenja). Odredimo determinante ∆x, ∆y, ∆z. Kako je

6. Linearna algebra

116

1 ∆x = 2 1

1 2 −1

−1 −2 = 0 1

1 ∆y = 2 1

1 2 1

−1 −2 = 0 1

1 ∆z = 2 1

1 2

1 2 = 0, 1

−1

odnosno ∆=∆x=∆y=∆z=0, ispitivanje postojanja rešenja nastavljamo korišćenjem pojma ranga matrice sistema (r(A)) i ranga proširene matrice sistema r(A’). Kako je

⎡1 A = ⎢⎢2 ⎢⎣1 sledi da je

1 2 −1

−1⎤ −2⎥⎥ 1 ⎥⎦

,

r(A)<3, jer detA=∆=0.

Očigledno je da za determinantu podmatrice matrice A određenu koeficijentima a11, a12, a31, a32 važi

a11

a12

a31

a32

=

1 1

1 = −2 ≠ 0 −1

,

pa je r(A)=2. S druge strane, proširena matrica A’ je

⎡1 A = ⎢⎢2 ⎢⎣1 '

1

−1

2 −1

−2 1

1⎤ 2⎥⎥ 1 ⎥⎦

Sve njene determinante trećeg reda su jednake nuli (to su u stvari determinante ∆=∆x=∆y=∆z=0), pa je i njen rang r(A’)=2 (ova matrica takodje sadrži determinantu

Poslovna matematika

117

a11

a12

a31

a32

=

1

1

1

−1

= −2 ≠ 0 ).

Kako je r(A)=r(A’)=2, to prema Kramerovoj teoremi sistem je neodređen i svodi se na sistem od dve jednačine sa dve vezane nepoznate, koje određuje determinanta sistema po kojoj smo odredili rang, a treća nepoznata postaje slobodna nepoznata i prebacuje se u kolonu slobodnih članova. Otuda zadati sistem se svodi na sistem: x+y=1+z x - y = 1 – z. Poslednji sistem možemo rešiti na bilo koji način, pa i korišćenjem Kramerovog pravila. Determinante ovog sistema su:

∆=

1 1

1 = −2 −1

∆x =

(1 + z ) 1 = −2 (1 − z ) −1

∆y =

1 1

(1 + z ) (1 − z )

= −2 z.

Dakle, ovaj sistem jednačina je neodređen i ima beskonačno mnogo rešenja, određenih sa:

x=

y=

∆x − 2 = =1 ∆ −2 ∆y ∆

=

− 2z =α −2

z = α , α ∈ R.

6. Linearna algebra

118

6.6.1.2. Homogeni kvadratni sistem linearnih jednačina Homogeni kvadratni sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih glasi: a11x1+a12x2+…+a1nxn=0 a21x1+a22x2+…+a2nxn=0 . . . an1x1+an2x2+…+annxn =0 Homogeni sistem ne može biti protivurečan, jer uvek postoji njegovo trivijalno rešenje: x1=x2=…=xn=0

Otuda iz Kramerove teoreme sledi:

a) ako je ∆≠0, sistem ima jedinstveno rešenje x1=x2=…=xn=0 (trivijalno rešenje); b) ako je ∆=0, sistem je neodređen i rešava se kao nehomogeni sistem u slučaju kada je neodređen. Primer 6.6.1.2. Diskutovati i rešiti homogeni sistem jednačina: x + y + z =0 mx + 4y +z =0 6x + (m+2)y + 2z=0 u zavisnosti od parametra m Rešenje: Da li osim trivijalnog rešenja sistem ima i neko drugo rešenje, zavisi od determinante sistema. Determinanta sistema je

1 ∆= m 6

1 4

1 1 = m 2 − m − 12 .

m+2 2

Ova determinanta je jednaka nuli za m2-m-12=0⇒ m1=-3 ∧ m2=4. Dakle, za m≠ -3 i m ≠4 sistem ima samo trivijalno rešenje. Za m= -3 sistem glasi

Poslovna matematika

119

x + y + z =0 -3x +4y + z =0 6x -y + 2z =0. Očigledno je da je rang matrice ovog sistema jednak r(A)=2. Recimo neka ga određuju koeficijenti

a11

a12

a21

a22

=

1 −3

1 = 7 , pa zadati sistem svodimo na sistem 4

x +y = -z -3x + 4y = -z Kako je:

rešenja sistema glase

x=

∆x =

−z −z

1 = −3 z 4

∆y =

1 −3

−z = −4 z , −z

− 3α , 7

y=

− 4α , 7

z = α ,α ∈ R.

Za m=4, sistem glasi x + y + z =0 4x +4y + z =0 6x + 6y + 2z =0 Očigledno je da je rang matrice ovog sistema jednak r(A)=2, jer je

a12

a13

a 22

a 23

y + z = -x 4y + z = -4x

=

1 4

1 = −3 , pa se zadati sistem svodi na sistem 1

6. Linearna algebra

120 Kako je:

−x − 4x

1 = 3x 1

1

−x

4

−4 x

∆y =

∆z =

= 0,

to su rešenja zadatog sistema: x=α, y=-α, z=0, α∈R.

6.6.2.Nalaženje rešenja kvadratnog sistema linearnih jednačina koji ima jedinstveno rešenje pomoću matrica Neka je X matrica tipa n×1, čiji su elementi nepoznate xi (i=1,2,…,n), tj. ⎡ x1 ⎤ ⎢x ⎥ X = ⎢ 2⎥ , ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn ⎦

a B matrica tipa n×1, čiji su elementi slobodni članovi bi (i=1,2,…,n), tj. ⎡b1 ⎤ ⎢b ⎥ B = ⎢ 2⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣bn ⎦

Kvadratni sistem linearnih jednačina može se napisati u matričnom obliku: A⋅X=B, gde je A već definisana matrica kvadratnog sistema. Ako matrica A ima inverznu matricu, a to će biti ako i samo ako je detA≠0, ova matrična jednačina se može rešiti po X množenjem s leve strane matricom A-1, odnosno inverznom matricom matrice A. Tada je A-1⋅A⋅X=A-1⋅B pa je X= A-1⋅B

jer je A-1⋅A⋅X=I⋅X=X.

Dakle, rešavanje sistema, odnosno nalaženje matrice X, svodi se na: a) nalaženje inverzne matrice A-1 matrice A;

Poslovna matematika

121

b) matrično množenje A-1⋅B. Primer 6.5.2. Naći matričnim metodom rešenja sledećeg kvadratnog sistema linearnih jednačina 2x + 2z = -2 4x + y + 2z = 0 3x + y - z = 5 Rešenje: Ovaj sistem jednačina možemo pomoću matrica napisati u obliku A⋅X=B, gde je

⎡2 A = ⎢⎢4 ⎢⎣3

⎡x ⎤ X = ⎢⎢ y ⎥⎥ ⎢⎣ z ⎥⎦

2 ⎤ 2 ⎥⎥ −1⎥⎦

0 1 1

⎡ − 2⎤ B = ⎢⎢0 ⎥⎥ ⎢⎣5 ⎥⎦

Rešenje ovog sistema jednačina svodi se na pronalaženje matrice X pomoću inverzne matrice A-1, naime važi: A⋅X=B⇒X=A-1⋅B. Matrica A-1 se nalazi na način na koji smo to pokazali u Primeru 6.3.3. i iznosi:

⎡− 3 1⎢ A = − ⎢10 4 ⎢⎣1 −1

⎡− 3 1⎢ 10 A ⋅B= − 4⎢ ⎢⎣1 -1

2 −8 −2

z=-2.

−8 −2

−2⎤ ⎡− 2⎤ ⎡1 ⎤ 4 ⎥⎥ ⋅ ⎢⎢0 ⎥⎥ = ⎢⎢0 ⎥⎥ 2 ⎥⎦ ⎢⎣5 ⎥⎦ ⎢⎣− 2⎥⎦

i rešenje zadatog sistema jednačina je: x=1, y=0,

2

−2⎤ 4 ⎥⎥ , pa je 2 ⎥⎦

6. Linearna algebra

122

6.6.3. Nalaženje rešenja sistema m linearnih jednačina sa n nepoznatih Podsetimo se da sistem m linearnih jednačina sa n nepoznatih glasi: a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1 a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2 . . . am1x1+am2x2+…+amnxn= bm i da je matrica A ovog sistema ⎡a11 a12  a1n ⎤ ⎢a a  a ⎥ 2n ⎥ A = ⎢ 21 22 ⎢ ⎥, ⎢ ⎥ ⎣a m1 a m 2  a mn ⎦

a proširena matrica ⎡a11 a12  a1n b1 ⎤ ⎢a a  a b ⎥ 2n 2 ⎥ ' A = ⎢ 21 22 ⎥. ⎢ ⎥ ⎢ ⎣a m1 a m 2  a mn bm ⎦

Prema Kroneker-Kapelijevoj teoremi, važi sledeće: 1. Ako je rang matrice sistema manji od ranga proširene matrice sistema, r(A)
Poslovna matematika

123

iz početnog sistema m linearnih jednačina izdvajamo podsistem od r linearnih jednačina sa r nepoznatih (ove nepoznate zovemo vezane), određen determinantom reda r koja je različita od nule i pomoću koje smo odredili da je r(A)=r(A’)=r, a ostalih n-r nepoznatih iz tih r jednačina prebacujemo u kolonu slobodnih članova i nazivamo ih slobodne nepoznate. Sada, pošto je determinanta ovog podsistema različita od nule (to je determinanta koja je odredila rang matrice sistema), ovaj podsistem od r vezanih nepoznatih rešavamo, recimo Kramerovim pravilom, ili na neki drugiu način, i dobijemo rešenja u vidu zavisnosti r vezanih nepoznatih od n-r slobodnih nepoznatih.

Poslovna matematika

125

7. ELEMENTI FINANSIJSKE MATEMATIKE

7.1. PROCENTNI RAČUN Korišćenje procentnog računa je u današnje vreme svakodnevna čovekova potreba. Nažalost, nivo poznavanja ovog računa je katastrofalno nizak, pa čak i kod osoba koje se po prirodi svojih delatnosti svakodnevno susreću sa njim. Zbog toga se nadam da će ovo poglavlje pomoći čitaocima ovog udžbenika da jednostavno i uspešno savladaju pravila procentnog računa. Procentni račun, u osnovi, predstavlja načine određivanja zavisnosti sledećih veličina: glavnice, procentne stope i procentnog prinosa. Glavnica je veličina koja služi kao osnovica za koju se izračunavaju povećanja ili smanjenja za zadatu procentnu stopu, odnosno za zadati procenat. Najčešće se obeležava sa G. Procentna stopa predstavlja broj koji pokazuje za koliko se jedinica smanjuje ili povećava glavnica za svakih 100 jedinica te glavnice. Najčešće se obeležava sa p. Procentna stopa se može izražavati i u procentualnom i u decimalnom zapisu. Veza između decimalnog i procentualnog zapisa procentne stope p je:

Naprimer, procentualnom zapisu 64% odgovara decimalni zapis 0,64, procentualnom zapisu 168% odgovara decimalni zapis 1,68, procentualnom zapisu 0,38% odgovara decimalni zapis 0,0038, odnosno decimalnom zapisu 0,28 odgovara procentualni zapis 28%, decimalnom zapisu

7. Elementi finansijske matematike

126

2,45 odgovara procentualni 245%, decimalnom zapisu 0,0042 odgovara procentualni zapis 0,42% i slično. Očigledno je da se prelazak sa jednog na drugi zapis ostvaruje običnim deljenjem, ili množenjem sa brojem 100. VAŽNO: U daljem izlaganju, pod procentnom stopom p podrazumevaćemo njen decimalni zapis, a pod procentnom stopom p% podrazumevaćemo njen procentualni zapis. Procentni prinos predstavlja broj koji pokazuje koliko iznosi p% od neke glavnice G, odnosno, predstavlja iznos koji pokazuje za koliko se ukupno povećala ili smanjila glavnica G prilikom njenog povećanja ili smanjenja za procentnu stopu p. Najčešće se obeležava sa P. Odnos između ove tri veličine određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati. Teorema 7.1.1. (veza između glavnice G, procentne stope p, i procentnog prinosa P) Ako su date veličine G (glavnica), p(procentna stopa) i P (procentualni prinos), onda za njih važi: P=G ⋅ p. Naravno, iz ove relacije vrlo jednostavno zaključujemo da je: G=

P , p

p=

to jest

P . G

Primer 7.1.1.1. Ako je neka veličina porasla od vrednosti 320 na vrednost 384, odrediti: a) koliki su procentni prinos i glavnica b) koliki je procenat povećanja (odnosno za koju procentnu stopu je izvršeno povećanje). Rešenje: a) Prinos za koji se veličina povećala je, naravno, na vrednost veličine, odnosno G=320.

P=384-320=64, a glavnica je počet-

b) Imajući u vidu da je po Teoremi 7.1.1 P=G⋅p, zaključujemo da je:

p=

P 64 = = 0,2 , G 320

pa je povećanje izvršeno za 0,2⋅100%=20%.

Poslovna matematika

127

Primer 7.1.1.2. Koliko je a) 38,5% od 264 b) 268% od 355 c) 0,62% od 2685 Rešenje: a)

G=264, p=

38,5 = 0,385 100

P=G⋅p=264⋅0,385=101,64 b)

G=355, p=

268 = 2,68 100

P=G⋅p=355⋅2,68=951,4

c)

G=2685,

p=

0,62 = 0,0062 100

P=G⋅p=2685⋅0,0062=16,647.

U praksi se procentni račun najčešće koristi u smislu određivanja povećanja ili umanjenja nekih veličina za određeni procenat, pri čemu se dobijaju nove vrednosti tih veličina. Relacije koje važe između početnih vrednosti (glavnice), procentne stope, procentnog prinosa i novih (povećanih ili umanjenih) vrednosti veličina koje se povećavaju ili umanjuju za određeni procenat određuju sledeće teoreme, koje takođe nećemo dokazivati. Teorema 7.1.2. (veza između početne vrednosti neke veličine, nove (povećane ili umanjene) vrednosti te veličine, procentnog prinosa i procentne stope za koju je izvršeno povećanje ili umanjenje početne veličine) Ako se početna vrednost neke veličine (glavnica G) poveća za procenat p, onda procentni prinos usled ovog povećanja iznosi: P=G⋅p, a nova (povećana) vrednost te veličine (obeležimo je sa Gpov) iznosi:

7. Elementi finansijske matematike

128

Gpov=G+P=G+G⋅p=G⋅(1+p). Ako se početna vrednost neke veličine (glavnica G) umanji za procenat p, onda procentni prinos usled ovog umanjenja iznosi P=G⋅p, a nova (umanjena) vrednost te veličine (obeležimo je sa Guma) iznosi Guma=G – P=G – G⋅p=G⋅(1 – p) Primer 7.1.2. Kolika je nova cena nekog proizvoda od 180 din, ako je: a) ona povećana za 26% b) ona umanjena za 26% Rešenje: a) p =

26 = 0,26 100

Na osnovu Teoreme 7.1.2, zaključujemo da je nova cena robe: Gpov=G⋅(1+p)=180⋅(1+0,26)=180⋅1,26=226,8 din. b) p =

26 = 0,26 100

Na osnovu Teoreme 7.1.2, zaključujemo da je nova cena robe: Guma=G⋅(1 – p)=180⋅(1 – 0,26)=180⋅0,74=133,2 din.

Teorema 7.1.3. (višeetapna povećanja ili umanjenja neke veličine) Ako se neka veličina (glavnica) G u toku nekog perioda više puta povećava redom za procentne stope p1, p2, …, pn, onda je nova povećana vrednost te veličine Gpov data sa: Gpov=G⋅(1+p1)⋅(1+p2)⋅…⋅(1+pn) Ako se neka veličina (glavnica) G u toku nekog perioda više puta umanjuje redom za procentne stope p1, p2, …,pn, onda je nova umanjena vrednost te veličine Guma data sa Guma=G⋅(1 - p1)⋅(1 - p2)⋅…⋅(1 - pn).

Poslovna matematika

129

Primer 7.1.3.1. Cena nekog proizvoda od 45 din. je u toku nekog perioda povećavana 5 puta, i to za 12%, 18%, 7%, 4% i 8%. a) Kolika je nova cena proizvoda? b) Za koliko je ukupno procenata izvršeno povećanje osnovne cene? Rešenje: a) Na osnovu teoreme 7.1.3, nova cena proizvoda iznosi: Gpov=45⋅1,12⋅1,18⋅1,07⋅1,04⋅1,08=71,47din b) Kako je Gpov=45⋅1,12⋅1,18⋅1,07⋅1,04⋅1,08=45⋅1,588, odnosno kako je 1,12⋅1,18⋅1,07⋅1,04⋅1,08=1,588, zaključujemo da je u toku ovog perioda početna cena ukupno povećana za 58,8%. VAŽNO: OBRATITI PAŽNJU DA UKUPNO POVEĆANJE PROCENATA NIJE OBIČAN ZBIR PROCENATA ZA KOJE JE IZVRŠAVANO POVEĆAVANJE OSNOVNE CENE U ODREĐENIM PERIODIMA. U našem primeru cena je povećavana pet puta: za 12%, 18%, 7%, 4% i 8%, a ukupno povećanje cene NIJE 12% + 18% + 7% + 4% + 8%=49% već je 58,8%. Primer 7.1.3.2. Cena nekog proizvoda od 45 din. je u toku nekog perioda smanjivana 5 puta, i to za 12%, 18%, 7%, 4% i 8%. a) Kolika je nova cena proizvoda? b) Za koliko je ukupno procenata izvršeno smanjenje osnovne cene? Rešenje: a) Na osnovu teoreme 7.1.3, nova cena proizvoda iznosi: Guma=45⋅(1 – 0,12)⋅(1 – 0,18)⋅(1 – 0,07)⋅(1 – 0,04)⋅(1 – 0,08)= = 45⋅0,88⋅0,82⋅0,93⋅0,96⋅0,92=26,67din. b) Kako je Guma=45⋅0,88⋅0,82⋅0,93⋅0,96⋅0,92=45⋅0,593, odnosno kako je 0,88⋅0,82⋅0,93⋅0,96⋅0,92=0,593=(1 – 0,407), zaključujemo da je u toku ovog perioda početna cena ukupno umanjena za 40,7%.

130

7. Elementi finansijske matematike

VAŽNO: OBRATITI PAŽNJU DA UKUPNO UMANJENJE PROCENATA NIJE OBIČAN ZBIR PROCENATA ZA KOJE JE IZVRŠAVANO UMANJENJE OSNOVNE CENE U ODREĐENIM PERIODIMA. U našem primeru cena je umanjena pet puta za 12%, 18%, 7%, 4% i 8%, a ukupno umanjenje cene NIJE 12% + 18% + 7% + 4% + 8%=49% već je 40,7%. Primer 7.1.3.3. Cena nekog proizvoda od 45 din. je u toku nekog perioda menjana 5 puta, i to povećavana dva puta: za 12% i 18%, a zatim smanjivana tri puta: za 7%, 4% i 8%. a) Kolika je nova cena proizvoda? b) Da li se ovakvim postupkom početna cena povećala ili smanjila, i za koliko je ukupno procenata izvršeno to povećanje (ili smanjenje) osnovne cene? Rešenje: a) Na osnovu teoreme 7.1.3, nova cena proizvoda iznosi: Gnovo=45⋅(1,12)⋅(1,18)⋅(1 – 0,07)⋅(1 – 0,04)⋅(1 – 0,08)= =45⋅1,12⋅1,18⋅0,93⋅0,96⋅0,92=48,85 din. b) Kako je Gnovo=45⋅(1,12)⋅(1,18)⋅(1 – 0,07)⋅(1 – 0,04)⋅(1 – 0,08), odnosno kako je 45⋅1,12⋅1,18⋅0,93⋅0,96⋅0,92=45⋅1,085, zaključujemo da je ovakvim promenama cene ona povećana za 8,5%.

7.2 KAMATNI RAČUN Kamatni račun je račun koji određuje odnose koji se uspostavljaju između dužnika i poverioca. Naime, dužnik pozajmljuje određeni novac od poverioca na određeno vreme i plaća određenu novčanu nadoknadu poveriocu, kao naknadu za korišćenje pozajmljenog novca. Suma koju dužnik pozajmljuje od poverioca naziva se kapital ili glavnica, i najčešće se označava sa K. Iznos koji dužnik godišnje plaća za svakih 100 novčanih jedinica pozajmljenog novca naziva se kamatna stopa ili interesna stopa. Kamatna (interesna) stopa se (isto kao i procentna stopa) može izražavati i u procentualnom i u decimalnom zapisu. Veza između decimalnog i procentualnog zapisa kamatne stope p je ista kao i kod procentne stope, tj:

Poslovna matematika

131

Očigledno je da se prelazak sa jednog na drugi zapis ostvaruje običnim deljenjem ili množenjem sa brojem 100. VAŽNO: U daljem izlaganju pod kamatnom (interesnom) stopom p podrazumevaćemo njen decimalni zapis, a pod kamatnom (interesnom) stopom p% podrazumevaćemo njen procentualni zapis. Ukupna suma koju dužnik isplaćuje poveriocu kao nadoknadu za pozajmljeni novac na određeno vreme, uz kamatnu stopu p, naziva se kamata ili interes, i najčešće se obeležava sa I. Vreme t za koje dužnik koristi novac poverioca, i za koje se i računa kamata, može se dati u godinama (tg), u mesecima (tm) i u danima (td). Ako je vreme za koje se računa kamata dato u danima, onda se ono može računati ili po kalendaru, uz pretpostavku da godina ima 360 ili 365 dana, što se obeležava sa (k,360) ili (k,365), ili uz pretpostavku da svaki mesec ima 30 dana, a godina 360 ili 365 dana, što se obeležava sa (30,360) ili (30,365). Kamatna stopa p se može vremenski menjati i može biti različita za različite iznose glavnice, što je predmet dogovora između dužnika i poverioca. Kamata se izračunava u nekim vremenskim intervalima, koji se određuju dogovorom između dužnika i poverioca. Taj vremenski interval u kome se izračunava kamata zove se obračunski period. Kamata se može računati na istu osnovicu u svim obračunskim periodima i tada se takav račun naziva prosti kamatni račun, a može se računati i tako što se osnovica, na koju se kamata računa u datom obračunskom periodu, uvećava za kamatu iz prethodnog obračunskog perioda i tada se takav račun naziva složeni kamatni račun. 7.2.1. Prosti kamatni račun Prosti kamatni račun je račun koji određuje zavisnosti između kapitala (glavnice) K, interesa (kamate) I, interesne (kamatne) stope p (koja je, da podsetim, data na godišnjem nivou) i vremena za koje se računa kamata t, gde se kamata obračunava uvek na istu osnovicu. Ove zavisnosti određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati.

7. Elementi finansijske matematike

132

Teorema 7.2.1. (osnovna teorema prostog kamatnog računa) Ako je dužnik pozajmio glavnicu K od poverioca pod kamatnom (interesnom) stopom p (decimalni zapis), onda kamata (interes) I koju on mora da plati poveriocu posle vremena t datog u godinama (t=tg) iznosi: I=K⋅p⋅tg a njegov ukupni dug prema poveriocu posle vremena t datog u godinama (t=tg) iznosi K+I, tj K+I=K+ K⋅p⋅tg=K⋅(1+p⋅tg) Ako je vreme t dato u mesecima tm ili u danima td ( pod uslovima (k,360) ili (k,365)) onda važi tg =

I=

t m t d (k ,360) t d (k ,365) pa je kamata I = = 12 360 365

K ⋅ p ⋅ t m K ⋅ p ⋅ t d (k ,360) K ⋅ p ⋅ t d (k ,365) = = 12 360 365 a ukupni dug je naravno K+I

p ⋅ tm ⎞ p ⋅ t d (k ,360) ⎞ p ⋅ t d (k ,365) ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ K + I = K ⋅ ⎜1 + ⎟ = K ⋅ ⎜1 + ⎟ = K ⋅ ⎜1 + ⎟ 12 ⎠ 360 365 ⎝ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ Primer 7.2.1.1. Koliki je interes na 5600 din. sa 20% prostog interesa za vreme od: a) 3 godine b) 2 meseca c) 15 dana (k,360) i (k,365) d) 2 godine i 3 meseca e) 2 godine, 3 meseca i 20 dana (30,360) Rešenje: Imajući u vidu Teoremu 7.2.1, važi sledeće: K=5600

p=

a) t=tg=3, pa je:

p % 20 = = 0,2 100 100

I=Kptg=5600⋅0,2⋅3=3360 din.

Poslovna matematika

b) t=tm=2, pa je:

133

I=

Kpt m 5600 ⋅ 0,2 ⋅ 2 = = 186,67 din. 12 12

c) t=td=15, pa je: za (k,360)

I=

Kpt d 5600 ⋅ 0,2 ⋅ 15 = = 46,67 din. 360 360

za (k,365)

I=

Kpt d 5600 ⋅ 0,2 ⋅15 = = 46,03 din. 365 365

d) Vreme od 2 godine i 3 meseca moramo pretvoriti u mesece, odnosno: t=tm=27, pa je: I=

Kpt m 5600 ⋅ 0,2 ⋅ 27 = = 2520 din. 12 12

e) Vreme od 2 godine 3 meseca i 20 dana moramo pretvoriti u dane, pod uslovom (30,360), tj.: t=td (30,360)=2⋅12⋅30+3⋅30+20=830, pa je:

I=

Kpt d (30,360) 5600 ⋅ 0,2 ⋅ 830 = = 2582,22 din. 360 360

Primer 7.2.1.2. Dužnik je poveriocu vratio dug, zajedno sa glavnicom 10400 dinara, uz kamatnu stopu od 15% za period od dve godine. Kolika je bila glavnica a kolika kamata? Rešenje: Imamo da je p=0,15, t=tg=2, K+I=10400.

I = Kpt g ⇒ K + I = K + Kpt g = K (1 + pt g ) ⇒ K =

Dakle,

K+I 10400 10400 = = = 8000din. 1 + pt g 1 + 0,15 ⋅ 2 1,3

I=Kptg=8000⋅0,15⋅2=2400 din. Znači, glavnica je bila 8000 din., a kamata 2400 din.

7. Elementi finansijske matematike

134 Primer 7.2.1.3.

Po odbijanju 8% kamate za 6 meseci, dužnik je primio 10560 dinara. Koliki je dug, a kolika kamata? Rešenje: Imamo da je p=0,08, t=tm=6 i glavnica umanjena za interes je K-I=10560 din. Dakle,

I=

I=

Kpt m Kpt m pt ⎞ K−I 10560 ⎛ ⇒K−I =K− = K ⎜1 − m ⎟ ⇒ K = = = 11000din., pt 0,08 ⋅ 6 12 12 12 ⎠ ⎝ 1− m 1− 12 12 Kpt m 11000 ⋅ 0,08 ⋅ 6 = = 440din. 12 12

Osnovni dug je 11000 dinara, a umanjen je za kamatu od 440 dinara.

7.2.1.1. Neke primene prostog kamatnog računa 7.2.1.1.1 Terminski račun Često se dešava da je dužnik od poverioca pozajmio više različitih suma (glavnica) pod različitim kamatnim stopama u različitim vremenima i da želi da se u nekom vremenskom trenutku odjednom razduži, i to ili pod istim kamatnim uslovima (kamatnim stopama) pod kojima se zadužio, ili pod nekim novim, sa poveriocem dogovorenim kamatnim uslovima, izraženim preko neke nove srednje kamatne stope ps. Pitanje je kako naći vremenski period (odnosno vremenski trenutak) kada dužnik treba da se razduži, a da ni on ni poverilac ne budu oštećeni. Taj vremenski period se zove srednji rok plaćanja, i način na koji se on nalazi određuje sledeća teorema. Teorema 7.2.1.1.1. (srednji rok plaćanja) Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam sume K1, K2, …, Kn na vremenske periode t1, t2, …, tn, uz kamatne stope p1, p2, …, pn, gde je glavnica Ki pozajmljena na vreme ti pod kamatom pi, tada se ove obaveze mogu odjednom vratiti u vreme ts koje je:

Poslovna matematika

135 n

ts =

a)

∑K

pk t k

k

k =1 n

∑K

za nepromenjene uslove razduživanja, k

pk

k =1

n

ts =

b)

∑ K k pk t k

k =1

za nove, dogovorene uslove razduživanja,

n

ps ⋅ ∑ K k k =1

izražene kroz prosečnu kamatnu stopu ps. NAPOMENA: U ovim formulama vreme tk (k=1,2,…,n) može biti u bilo kojim jedinicama. Banke ga uglavnom koriste u danima. Dokaz: Ukupna kamata dužnika (ukupne obaveze) za pozajmljene iznose Ki, uzete za vremena ti pod kamatnim stopama pi, gde je (i=1,2,…,n), iznose (pod pretpostavkom da je ti dato u godinama, što ne utiče na opštost rezultata): n

K1p1t1+K2p2t2+…+Knpntn= ∑ K k p k t k . k =1

Ako se ove obaveze vraćaju u vreme ts, važi: a) za nepromenjene uslove zaduživanja njihov iznos je: n

n

k =1

k =1

K1p1ts+K2p2ts+…+Knpnts= ∑ K k pk t s = t s ⋅ ∑ K k pk Ove obaveze koje se vraćaju u trenutku ts moraju biti jednake ukupnim obavezama dužnika, jer samo tada ni poverilac ni dužnik neće biti oštećeni. Dakle: n

n

n

∑K k =1

k

p k t k = t s ⋅ ∑ K k pk ⇒ t s = k =1

∑ K k pk t k

k =1 n

.

∑ K k pk

k =1

b) za nove, dogovorene uslove razduživanja, izražene kroz prosečnu kamatnu stopu ps, njihov iznos je: n

n

k =1

k =1

K1psts+K2psts+…+Knpsts= ∑ K k ps t s = t s ⋅ ps ⋅ ∑ K k

7. Elementi finansijske matematike

136

Ove obaveze koje se vraćaju u trenutku ts moraju biti jednake ukupnim obavezama dužnika, jer samo tada ni poverilac ni dužnik neće biti oštećeni. Dakle: n

n

n

∑K

k

k =1

p k t k = t s ⋅ ps ⋅ ∑ K k ⇒ t s = k =1

∑ K k pk t k

k =1

n

ps ⋅ ∑ K k k =1

NAPOMENA: Rok (datum) plaćanja određuje se dodavanjem izračunatog vremena ts onom vremenu od dospeća obračuna u odnosu na koje smo određivali vremena ti (i=1,2,…,n). Taj datum u odnosu na koji smo određivali vremena ti (i=1,2,…,n) naziva se epoha. Najčešće se za epohu uzima prvo dospeće. Primer 7.2.1.1.1. Dužnik treba da plati fakture na sledeće iznose: 10000 din. 1.III.2003. uz kamatnu stopu 6%, 20000 din. 1.V 2003. uz kamatnu stopu 8%, 30000 din. 1.VII 2003. uz kamatnu stopu 12% i 40000 din. 1.IX 2003 uz kamatnu stopu 10%. Dužnik bi hteo da plati ceo dug odjednom, sumom iznosa na fakturama, i to a) pod nepromenjenim uslovima b) uz prosečnu kamatnu stopu od 9%. Izračunati pod a) i b) kada je to moguće učiniti? Rešenje: Uzmimo za epohu datum 1.III 2003. Sada, imajući u vidu Teoremu 7.2.1.1.1, dobijamo a) n

ts =

∑ K k pk t k

k =1 n

∑ K k pk

=

10000 ⋅ 0,06 ⋅ 0 + 20000 ⋅ 0,08 ⋅ 61 + 30000 ⋅ 0,12 ⋅ 122 + 40000 ⋅ 0,10 ⋅ 184 = 10000 ⋅ 0,06 + 20000 ⋅ 0,08 + 30000 ⋅ 0,12 + 40000 ⋅ 0,10

k =1

= 137,45

Ovo znači da se obaveze odjednom mogu izmiriti sumom iznosa na fakturama 138. dana posle datuma epohe, odnosno 138. dana posle 1.III 2003. godine, a to je 16.VII 2003 god.

Poslovna matematika

137

b) n

ts =

∑ K k pk t k

k =1

n

ps ⋅ ∑ K k

=

10000 ⋅ 0,06 ⋅ 0 + 20000 ⋅ 0,08 ⋅ 61 + 30000 ⋅ 0,12 ⋅122 + 40000 ⋅ 0,10 ⋅184 = 0,09 ⋅ (10000 + 20000 + 30000 + 40000)

k =1

= 141,42 Ovo znači da se obaveze odjednom mogu izmiriti sumom iznosa na fakturama 142. dana posle datuma epohe, odnosno 142. dana posle 1.III 2003. godine, a to je 20.VII 2003 god.

Takođe se u praksi često dešava da su dužničko-poverilački odnosi između dva subjekta uzajamni, odnosno da postoje i dugovanja dužnika prema poveriocu, ali i potraživanja od strane dužnika ka poveriocu. Postavlja se pitanje kako odrediti vreme kada se može isplatiti razlika između dugovanja i potraživanja, a da ni dužnik ni poverilac ne budu oštećeni. Ovo vreme se naziva rok salda dugovanja i nalazi se na način koji određuje sledeća teorema. Teorema 7.2.1.1.2. (rok salda dugovanja) Ako su K1, K2, …, Kn novčane obaveze nekog dužnika u terminima t1, t2, …,tn sa kamatnim stopama p1, p2, …,pn respektivno, i ako su njegova potraživanja P1, P2, …, Pm u teminima t10, t20,…, tm0, uz kamatne stope p10, p20,…,pm0 respektivno, tada je saldo dugovanja ts dat sa: m

n

a)

ts =

∑K k =1

k

p k t k − ∑ Pk p k0 t k0 k =1 m

n

∑K k =1

k

p k − ∑ Pk p k0

ts =

poverilačke uslove

k =1

n

b)

za nepromenjene dužničko

m

∑ K k pk t k − ∑ Pk pk0t k0

k =1

k =1 m

⎞ ⎛ p s ⋅ ⎜⎜ ∑ K k − ∑ Pk ⎟⎟ k =1 ⎠ ⎝ k =1 n

za nove, dogovorene uslove razduživanja, izražene kroz prosečnu kamatnu stopu ps.

7. Elementi finansijske matematike

138

m ⎞ ⎛ n ⎜ K − Izraz ⎜ ∑ k ∑ Pk ⎟⎟ je ukupni saldo dugovanja, i obično se obeležava sa S. k =1 ⎠ ⎝ k =1

Dokaz: Ukupne kamatne obaveze dužnika prema poveriocu su jednake kamati koju on duguje poveriocu za pozajmljeni novac, umanjenoj za vrednost kamate koju njemu duguje poverilac na osnovu dužnikovih potraživanja od poverioca. Odnosno, ukupne kamatne obaveze dužnika su: m

n

∑K k =1

k

p k t k − ∑ Pk p k0 t k0 k =1

a) u trenutku ts, kada se dužnik i poverilac razdužuju uz nepromenjene dužničko-poverilačke odnose, kamatne obaveze dužnika moraju biti iste ukupnim (početnim) kamatnim obavezama, jer samo tako ni dužnik ni poverilac neće biti oštećeni. U trenutku ts, kamatne obaveze dužnika su: m m ⎛ n 0 0⎞ ⎜ K p t P p t t K p P p − = ⋅ − ∑ k k s ∑ k k s s ⎜ ∑ k k ∑ k k ⎟⎟. k =1 k =1 k =1 ⎠ ⎝ k =1 n

Dakle, imajući u vidu da ni dužnik ni poverilac ne smeju biti oštećeni, važi: n

m

k =1

k =1

∑ K k pk t k − ∑

⇒ ts =

Pk pk0t k0

n

m

k =1 n

k =1 m

m ⎞ ⎛ n ⎜ = t s ⋅ ⎜ ∑ K k pk − ∑ Pk pk0 ⎟⎟ ⇒ k =1 ⎠ ⎝ k =1

∑ K k pk t k − ∑ Pk pk0t k0 ∑ K k pk − ∑

k =1

k =1

. Pk pk0

b) u trenutku ts, kada se dužnik i poverilac razdužuju uz promenjene dužničko-poverilačke odnose, izražene novom srednjom kamatnom stopom ps, kamatne obaveze dužnika moraju biti iste ukupnim (početnim) kamatnim obavezama, jer samo tako ni dužnik ni poverilac neće biti oštećeni. U trenutku ts kamatne obaveze dužnika su: n

m

k =1

k =1

n

m

⎞

⎝ k =1

k =1

⎠

⎛

∑ K k ps t s − ∑ Pk ps t s = t s ⋅ ps ⋅ ⎜⎜ ∑ K k − ∑ Pk ⎟⎟ = t s ⋅ ps ⋅ S.

Dakle, imajući u vidu da ni dužnik ni poverilac ne smeju biti oštećeni, važi:

Poslovna matematika

139

n

m

k =1

k =1

n

m

⎞

⎝ k =1

k =1

⎠

⎛

∑ K k pk t k − ∑ Pk pk0t k0 = t s ⋅ ps ⋅ ⎜⎜ ∑ K k − ∑ Pk ⎟⎟ ⇒

⇒ ts =

n

m

k =1

k =1

∑ K k pk t k − ∑ Pk pk0t k0 m ⎞ ⎛ n p s ⋅ ⎜⎜ ∑ K k − ∑ Pk ⎟⎟ k =1 ⎠ ⎝ k =1

n

=

m

∑ K k pk t k − ∑ Pk pk0t k0

k =1

k =1

S ⋅ ps

7.2.1.1.2. Eskontovanje U platnom prometu dugovanja i potraživanja (menice, hartije od vrednosti, krediti i sl.), često se planirane obaveze ne izvršavaju u ugovorenim rokovima, već kasnije ili ranije od planiranog. Naravno, mogu nastupiti sledeći slučajevi: a) obaveza se realizuje tačno u roku, pa se onda plaća samo obaveza; b) obaveza se realizuje posle dospeća (kasni), pa se onda ona povećava za interes za period zakašnjenja; c) obaveza se realizuje pre dospeća (ranije), pa se onda ona smanjuje za interes perioda ranije realizacije. Ako je u pitanju realizacija pre dospeća, onda se ova operacija naziva eskontovanje. Interes za koji se obaveza smanjuje, a koji se obračunava od dana preuzimanja obaveze do dana njenog dospeća, naziva se eskont. Umanjena vrednost obaveze za iznos eskonta naziva se eskontovana vrednost. Stopa kojom se računa interes naziva se eskontna stopa. U praksi se koriste dve vrste eskonta, komercijalni i racionalni eskont. 7.2.1.1.2.1. Komercijalni eskont Interes (eskont) izračunat na nominalnu vrednost obaveze (neumanjenu), prostim kamatnim računom od dana eskontovanja do dana dospeća obaveze, naziva se komercijalni eskont i označava sa Ek. Način izračunavanja komercijalno eskontovane vrednosti određuje sledeća teorema.

7. Elementi finansijske matematike

140

Teorema 7.2.1.1.2.1. (komercijalno eskontovana vrednost) Ako je Kn nominalna vrednost obaveze, K0,k komercijalno eskontovana vrednost obaveze u trenutku t=0, d broj dana od dana eskontovanja do dana dospeća obaveze i p eskontna stopa data u decimalnom zapisu, tada je komercijalno eskontovana vrednost K0,k data sa: dp ⎞ ⎛ K 0 , k = K n ⋅ ⎜1 − ⎟ ⎝ 360 ⎠

Dokaz: Dokaz teoreme sledi direktno iz definicije komercijalnog eskonta kao interesa (eskont) izračunatog na nominalnu vrednost obaveze (neumanjenu), prostim kamatnim računom od dana eskontovanja do dana dospeća obaveze. Imajući u vidu pravila prostog kamatnog računa, komercijalni eskont, obeležimo ga sa Ek, iznosi: Ek=

K n dp , 360

a komercijalno eskontovana vrednost je nominalna vrednost obaveze umanjena za iznos komercijalnog eskonta, tj. dp ⎞ ⎛ K 0 , k = K n − E k = K n ⋅ ⎜1 − ⎟. ⎝ 360 ⎠

7.2.1.1.2.2. Racionalni eskont Interes (eskont) izračunat na aktuelnu vrednost obaveze (realnu vrednost obaveze u trenutku eskontovanja), tj. na eskontovanu vrednost obaveze, prostim kamatnim računom od dana eskontovanja do dana dospeća obaveze, naziva se racionalni eskont i označava sa Er. Način izračunavanja racionalno eskontovane vrednosti određuje sledeća teorema. Teorema 7.2.1.1.2.2. (racionalno eskontovana vrednost) Ako je Kn nominalna vrednost obaveze, K0,r racionalno eskontovana vrednost obaveze u trenutku t=0, d broj dana od dana eskontovanja do dana dospeća obaveze i p eskontna stopa data u decimalnom zapisu, tada je racionalno eskontovana vrednost K0,r data sa:

Poslovna matematika

141

K 0,r =

Kn dp ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ ⎝ 360 ⎠ .

Dokaz: Dokaz teoreme sledi direktno iz definicije racionalnog eskonta kao interesa (eskont) izračunatog na eskontovanu vrednost obaveze prostim kamatnim računom od dana eskontovanja do dana dospeća obaveze. Imajući u vidu pravila prostog kamatnog računa, racionalni eskont, obeležimo ga sa Er , iznosi: Er=

K 0, r ⋅ d ⋅ p

, 360 a racionalno eskontovana vrednost je nominalna vrednost obaveze umanjena za iznos racionalnog eskonta, tj.: K 0, r = K n − E r = K n −

K 0, r ⋅ d ⋅ p 360

Kn dp ⎞ ⎛ , ⇒ K 0 , r ⋅ ⎜1 + ⎟ = K n ⇒ K 0, r = dp ⎝ 360 ⎠ 1+ 360

dok je vrednost racionalnog eskonta: Er =

K 0, r ⋅ d ⋅ p 360

=

Kn Kn dp . ⋅ = dp 360 360 1+ 1+ 360 dp

7.2.1.1.2.3. Veza između komercijalnog i racionalnog eskonta Komercijalni i racionalni eskont su nejednaki usled toga što se u komercijalnom eskontu interes računa na nominalnu vrednost, što je sa matematičke strane potpuno neopravdano, jer je nominalna vrednost realno veća od stvarne. Vezu između komercijalnog i racionalnog eskonta određuje sledeća teorema. Teorema 7.2.1.1.2.3. (veza između komercijalnog i racionalnog eskonta) Ako su Ek i Er komercijalni i racionalni eskonti respektivno, izračunati za d – broj dana od dana eskontovanja do dana dospeća, i za eskontovanu stopu p datu u decimalnom zapisu, onda je: pd ⎞ ⎛ E k = ⎜1 + ⎟Er ⎝ 360 ⎠ .

7. Elementi finansijske matematike

142

Dokaz: Kako je Ek=

K n dp , 360

Ek − Er =

a

Er=

K 0, r ⋅ d ⋅ p 360

dp dp ⋅ (K n − K 0, r )= ⋅ Er , 360 360

, sledi da je: jer je K n − K 0, r = Er .

Sada je očigledno da važi: Ek = Er +

dp dp ⎞ ⎛ ⋅ E r = E r ⋅ ⎜1 + ⎟ 360 ⎝ 360 ⎠

Analizirajući rezultat ove teoreme, zaključujemo da je komercijalni eskont uvek veći od racionalnog, odnosno Ek>Er , što sa svoje strane uslovljava da je komercijalna vrednost neke obaveze uvek manja od njene racionalne vrednosti, tako da prilikom otkupljivanja obaveza pre roka kupac obaveza ima interesa da insistira na komercijalnoj vrednosti obaveza, dok to prodavcu ne odgovara. Matematički realna vrednost obaveze je racionalno eskontovana vrednost. Primer 7.2.1.1.2.1. Nominalna vrednost menice je 300000 dinara, sa rokom dospeća 20.III.2003. godine. Izračunati eskontovanu vrednost menice na dan 10.III 2003. godine ako je eskontna stopa 9%. Obračun izvršiti: a) komercijalnim metodom b) racionalnim metodom. Rešenje: Kako je Kn=300000,

d=10,

p=0,09, po prethodnim teoremama sledi da je:

a)

dp ⎞ ⎛ ⎛ 10 ⋅ 0,09 ⎞ = 299250 dinara K 0 , k = K n ⋅ ⎜1 − ⎟ = 300000 ⋅ ⎜1 − ⎟ 360 ⎠ ⎝ ⎝ 360 ⎠

b)

K 0,r =

Kn 300000 = 299251,87 dinara . = 10 ⋅ 0,09 dp ⎞ ⎛ ⎜1 + ⎟ 1+ 360 ⎝ 360 ⎠

Poslovna matematika

143

7.2.2. Složeni kamatni račun Kao što je već rečeno, osnovna razlika između prostog i složenog kamatnog računa je u tome što se kod prostog kamatnog računa kamata u svim obračunskim periodima obračunava na istu sumu (početnu glavnicu), a kod složenog kamatnog računa se u svakom obračunskom periodu kamata računa na sve veću glavnicu, odnosno na glavnicu iz prethodnog perioda uvećanu za iznos kamate iz prethodnog perioda. Zbog ovakvog povećanja glavnice iz perioda u period, veći su iznosi kamate kod složenog kamatnog računa od kamata koje daje prost kamatni račun. U praksi se kamata najčešće obračunava i dodaje kapitalu (kapitališe) godišnje, polugodišnje, kvartalno (tromesečno) i neprekidno uz kamatnu stopu p (decimalni zapis), koja se određuje na godišnjem nivou. Ako se izračunavanje kamate i njeno dodeljivanje kapitalu vrši na kraju svakog obračunskog perioda, tada se takvo računanje kamate naziva dekurzivnim i obeležava se slovom d uz kamatnu stopu, naprimer 5%(d). Ako se izračunavanje kamate i njeno dodeljivanje kapitalu vrši na početku svakog obračunskog perioda (unapred), tada se takvo računanje kamate naziva anticipativnim i obeležava se slovom a uz kamatnu stopu, naprimer 5%(a). Mi ćemo se na ovom kursu baviti samo dekurzivnim složenim kamatnim računom. 7.2.2.1. Dekurzivni složeni kamatni račun Veličine koje figurišu prilikom izračunavanja dekurzivnog složenog kamatnog računa su: K0 – početna vrednost kapitala, odnosno glavnica koju je dužnik pozajmio od poverioca pod određenim kamatnim uslovima; t – vreme na koje je dužnik pozajmio novac, odnosno vreme posle koga se izračunava krajnja vrednost kapitala; Kt – krajnja vrednost kapitala, odnosno zbir glavnice i kamate na tu glavnicu koje dužnik duguje poveriocu posle vremena t; p(d) – dekurzivna interesna (kamatna) stopa na godišnjem nivou (decimalni zapis); m – broj obračunskih perioda u toku jedne godine (ovaj broj je obično ceo broj);

7. Elementi finansijske matematike

144

tm – vreme obračunskog perioda, odnosno vremenski interval obračunavanja kamate i njenog dodavanja kapitalu; l – ukupan broj obračunskih perioda u toku ukupnog vremena t na koje je dužnik pozajmio novac (ovaj broj ne mora biti ceo broj). Naravno, proizvod ukupnog broja obračunskih perioda i vremena obračunskog perioda predstavlja ukupno vreme na koje je dužnik pozajmio novac, odnosno: t = l ⋅ tm, odnosno l =

t tm

.

Takođe, ako je vreme obračunskog perioda (tm) dato u godinama, između broja obračunskih perioda u toku jedne godine (m) i vremena obračunskog perioda datog u godinama (tm) važi sledeća relacija: m ⋅ tm = 1. 7.2.2.1.1. Odnos između krajnje i početne vrednosti kapitala kod složenog kamatnog računa, za date uslove kamaćenja, kada je vreme na koje je dužnik pozajmio novac jednako celom broju obračunskih perioda (l je ceo broj) Odnos između krajnje i početne vrednosti kapitala, pod uslovima navedenim u naslovu, određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati Teorema 7.2.2.1. (složeni kamatni račun, vreme ukamaćivanja je jednako celom broju obračunskih perioda) Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K0 pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m obračunskih perioda, onda posle vremena t koje je jednako l obračunskih perioda, gde je l ceo broj, krajnja vrednost kapitala Kt iznosi: l

p⎞ ⎛ K t = K 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ . ⎝ m⎠

Primena ove teoreme u slučaju kada je kapitalisanje godišnje (m=1), a vreme za koje se računa krajnja vrednost kapitala dato u godinama (t= n godina), daje sledeće: Kn= K0⋅(1+p)n.

Poslovna matematika

145

U slučaju kada se m puta u toku godine vrši kapitalisanje, a vreme za koje se računa krajnja vrednost kapitala je takodje dato u godinama (t=n godina), tada je l=m⋅n pa je: p⎞ ⎛ K mn = K 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠

m⋅n

. n

p% ⎞ ⎛ ⎟ se vrlo često koristi u NAPOMENA: Izraz (1 + p ) = ⎜1 + ⎝ 100 ⎠ složenom kamatnom računu za različite vrednosti p% i n, pa su, zbog njegove lakše i brže primene, izračunate vrednosti tog izraza za razne vrednosti p% i n, i date u vidu tablice I pn % (videti na kraju knjige). n

Recipročna vrednost tabličnih vrednosti tablice I pn % data je u n vidu tablice II p % . Dakle, važi I np% =

1 . II np%

Teorema 7.2.2.1. definiše odnos između pet veličina K0 , Kt , p, m, l. Ako su poznate bilo koje četiri od ovih veličina, onda je uvek moguće izračunati preostalu nepoznatu veličinu jednostavnim rešavanjem jednačine date u Teoremi 7.2.2.1 po toj nepoznatoj veličini. Primer 7.2.2.1.1. Na koju će sumu da naraste suma od 5600 dinara za 4 godine uz 12% godišnje kamate, ako je kapitalisanje a) godišnje b) polugodišnje c) tromesečno d) mesečno. Rešenje: Pošto je K0=5600 din., p=0,12, n= 3 godine, tada po Teoremi 7.2.2.1 važi: a) m = 1 ⇒ K 3 = K 0 ⋅ (1 + 0,12 ) = K 0 ⋅ I12% = 5600 ⋅ 1,4049 = 7867,44din 3

⎛ ⎝

b) m = 2 ⇒ K 2,3 = K 0 ⋅ ⎜1 +

6

3

0,12 ⎞ 6 6 ⎟ = K 0 ⋅ (1 + 0,06 ) = K 0 ⋅ I 6% = 5600 ⋅ 1,4185 = 7943,6din 2 ⎠

7. Elementi finansijske matematike

146

12

⎛ ⎞ 12 12 c) m = 4 ⇒ K 4,3 = K 0 ⋅ ⎜1 + 4 ⎟ = K 0 ⋅ (1 + 0,03) = K 0 ⋅ I 3% = 5600 ⋅ 1,4258 = 7984,48din ⎝ ⎠ 0,12

36

⎛ 0,12 ⎞ 36 36 d) m = 12 ⇒ K12,3 = K 0 ⋅ ⎜1 + 12 ⎟ = K 0 ⋅ (1 + 0,01) = K 0 ⋅ I1% = 5600 ⋅ 1,4308 = 8012,48din. ⎝ ⎠

Primer 7.2.2.1.2. Koji je iznos ukamaćen pre 3 godine uz 8% godišnje kamate i polugodišnje kapitalisanje ako je narastao na 20000 dinara? Rešenje: Sada je krajnja vrednost kapitala Kt=20000 dinara, p=0,08, n=3 godine, pa je: 6

⎛ 0,08 ⎞ 6 6 m = 2 ⇒ K t = K 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ = K 0 ⋅ (1 + 0,04 ) = K 0 ⋅ I 4% ⇒ 2 ⎝ ⎠ K 20000 ⇒ K0 = 6t = = 15806,53din. I 4% 1,2653

Primer 7.2.2.1.3. Za koliko će godina iznos od 3800 dinara sa 6% kamate da naraste na 4543,35 dinara, uz tromesečno kapitalisanje? Rešenje: Sada je Kt=4543,35 dinara, K0=3800 dinara, p=0,06, m=4, pa na osnovu Teoreme 7.2.2.1. važi sledeće:

Kt K K K0 p⎞ p⎞ p⎞ ⎛ ⎛ ⎛ K t = K 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ ⇒ t = ⎜1 + ⎟ ⇒ ln t = l ⋅ ln⎜1 + ⎟ ⇒ l = = p⎞ K0 ⎝ m ⎠ K0 ⎛ ⎝ m⎠ ⎝ m⎠ ln⎜1 + ⎟ ⎝ m⎠ l

4543,35 3800 = 12. = ⎛ 0,06 ⎞ ln⎜1 + ⎟ 4 ⎠ ⎝ ln

l

ln

Poslovna matematika

147

Pošto broj l=12 predstavlja broj obračunskih perioda, vreme t dobijamo kada broj obračunskih perioda pomnožimo sa vremenom obračunskog perioda, tj.: t = l ⋅ tm U ovom slučaju, kapitalisanje je tromesečno (odnosno tm= 3 meseca), pa je: t (u mesecima)=12⋅3 meseci=36 meseci, odnosno u godinama t (u godinama)=3 godine.

7.2.2.1.2. Odnos između krajnje i početne vrednosti kapitala kod složenog kamatnog računa, za date uslove kamaćenja, kada vreme na koje je dužnik pozajmio novac nije jednako celom broju obračunskih perioda (l nije ceo broj) U praksi, vreme na koje je dužnik pozajmio novac često nije jednako celom broju obračunskih perioda (l nije ceo broj). Veza između krajnje i početne vrednosti kapitala se u tom slučaju može odrediti kombinovanjem metode prostog i složenog kamatnog računa (ovo su takozvane metode prekidnog kapitalisanja), kao i metodom neprekidnog (kontinualnog) kapitalisanja. Pre nego što objasnimo ove metode, primetimo da je, u ovom slučaju,

a) količnik l =

t tm

realan broj

⎡t ⎤ b) i da, ako se sa ⎢ ⎥ obeleži ceo deo tog realnog broja, važi: ⎣tm ⎦ ⎡t ⎤ t = ⎢ ⎥ ⋅ t m + tost , ⎣ tm ⎦

gde tost može biti dato: – u danima, obeležavamo ga sa tost (d) – u mesecima, obeležavamo ga sa tost (m) – u godinama, obeležavamo ga sa tost (g). Tako, naprimer, ako je: t=7 godina i 8 meseci (odnosno 92 meseca), a tm=6 meseci, onda je:

7. Elementi finansijske matematike

148

t tm

=

7 ⋅12 + 8 92 = = 15,333 6 6 , ⎡ t ⎤ ⎡ 92 ⎤ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = 15 ⎣tm ⎦ ⎣ 6 ⎦ ,

tost= (92 – 15⋅6) meseci = 2 meseca Metode prekidnog kapitalisanja su: – racionalni metod – komercijalni metod. Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala racionalnom metodom prekidnog kapitalisanja određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati. Teorema 7.2.2.1.2.1. (racionalni metod) Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K0 pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m obračunskih perioda, onda posle vremena t krajnja vrednost kapitala Kt, po racionalnom metodu prekidnog kapitalisanja, iznosi: t

p ⎞t ⎛ K t = K 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ m , gde je tm vreme obračunskog perioda. ⎝ m⎠

Bez obzira što ovu teoremu nećemo dokazivati, napomenimo da je t ona direktna posledica teoreme 7.2.2.1, jer je l = , samo što u ovom tm slučaju taj broj l nije ceo broj. Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala komercijalnim metodom prekidnog kapitalisanja određuje sledeća teorema, koju takođe nećemo dokazivati. Teorema 7.2.2.1.2.2. (komercijalni metod) Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K0 pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz godišnje kapitalisanje u m obračunskih perioda, onda posle vremena t krajnja vrednost kapitala Kt, po komercijalnom metodu prekidnog kapitalisanja, iznosi:

Poslovna matematika

149 ⎡t ⎤

p ⎞⎢t ⎥ ⎛ a) K t = K 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎣ m ⎦ ⋅ (1 + p ⋅ tost ( g ) ) , ako je tost u godinama ⎝ m⎠ ⎡t ⎤

p ⋅ tost (m) ⎞ p ⎞⎢t ⎥ ⎛ ⎛ ⎟ , ako je tost u mesecima b) K t = K 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎣ m ⎦ ⋅ ⎜1 + 12 ⎝ m⎠ ⎝ ⎠ ⎡t ⎤

p ⋅ tost (d ) ⎞ p ⎞⎢t ⎥ ⎛ ⎛ ⎟ , ako je tost u danima, c) K t = K 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎣ m ⎦ ⋅ ⎜1 + 360 ⎠ ⎝ m⎠ ⎝

gde je tm vreme obračunskog perioda. Očigledno je da komercijalna metoda predstavlja kombinovanje složenog i prostog kamatnog računa, na način gde se za deo vremena t koji ⎡t ⎤ predstavlja ceo broj obračunskih perioda ⎢ ⎥ kamata obračunava pra⎣tm ⎦ vilima složenog kamatnog računa, dok se za ostatak vremena tost kamata

obračunava pravilima prostog kamatnog računa. Metod neprekidnog kapitalisanja određuje krajnju vrednost kapitala kao graničnu vrednost krajnje vrednosti kapitala dobijene pomoću metoda racionalnog prekidnog kapitalisanja, kada broj obračunskih perioda u toku jedne godine teži beskonačnosti (m→∞). Način izračunavanja krajnje vrednosti kapitala neprekidnim kapitalisanjem određuje sledeća teorema. Teorema 7.2.2.1.2.3. (neprekidno kapitalisanje) Ako je dužnik uzeo od poverioca na zajam kapital K0 pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), uz uslove neprekidnog kapitalisanja, onda posle vremena t datog u godinama, krajnja vrednost kapitala Kt iznosi: K t = K 0 ⋅ e p ⋅t

7. Elementi finansijske matematike

150

Dokaz: Pošto je vreme t dato u godinama, onda je u formuli za metodu racionalnog prekidnog kapitalisanja i vrednost za tm takođe data u godinama. Za tm dato u godinama, kao što je ranije rečeno, važi: 1 , pa imajući u vidu da metod neprekidnog kapitalim⋅tm = 1⇒ m = tm sanja određuje krajnju vrednost kapitala kao graničnu vrednost krajnje vrednosti kapitala dobijene pomoću metoda racionalnog prekidnog kapitalisanja, kada broj obračunskih perioda u toku jedne godine teži beskonačnosti (m→∞), važi sledeće: t

p ⎞t p⎞ ⎛ ⎛ K t = lim K 0 ⎜1 + ⎟ m = lim K 0 ⎜1 + ⎟ m →∝ m →∝ ⎝ m⎠ ⎝ m⎠

m ⋅t

m⎞ ⎛ ⎜⎛ p⎞p ⎟ = lim K 0 ⎜ ⎜1 + ⎟ ⎟ m →∝ ⎜⎝ m ⎠ ⎟ ⎠ ⎝

p ⋅t

= K 0 e p ⋅t .

Primer 7.2.2.1.2.1. Izračunati na koju će sumu da naraste kapital od 5200 din., za 4 godine i 2 meseca, uz godišnju kamatnu stopu od 6%, uz a) polugodišnje kapitalisanje, koristeći i racionalni i komercijalni metod b) neprekidno kapitalisanje. Rešenje: Imamo de je K0=5200 din, a p=0,06, pa važi: a) Po teoremama 7.2.2.1.2.1. i 7.2.2.1.2.2, Racionalni metod: m=2, t=(4⋅12+2) meseca=50 meseci,

tm=6 meseci,

t

50

p ⎞t ⎛ ⎛ 0,06 ⎞ 6 K t = K 0 ⋅ ⎜1 + ⎟ m = 5200 ⋅ ⎜1 + ⎟ = 6652,36 din. 2 ⎠ ⎝ m⎠ ⎝ Komercijalni metod: m=2, t=(4⋅12+2) meseca=50 meseci,

⎡ t ⎤ ⎡ 50 ⎤ ⎢ ⎥ =⎢ ⎥ =8 ⎣tm ⎦ ⎣ 6 ⎦

tm=6 meseci,

⎡t ⎤ t ost = t − t m ⋅ ⎢ ⎥ = (50 – 6⋅8) meseci = 2 meseca, pa je ⎣ tm ⎦

Poslovna matematika

151 ⎡ t ⎤

p ⎢⎣ t m ⎥⎦ ⎛ p ⋅ t ost (m) ⎞ ⎛ 0,06 ⎞ K t = K 0 ⋅ ⎛⎜1 + ⎞⎟ ⋅ ⎜1 + ⎟ = 5200 ⋅ ⎜1 + ⎟ 2 ⎠ 12 ⎠ ⎝ m⎠ ⎝ ⎝

8

⋅ ⎛⎜1 + ⎝

0,06 ⋅ 2 ⎞ ⎟= 12 ⎠

= 5200 ⋅1,2668 ⋅1,01 = 6653,23 din. Po teoremi 7.2.2.1.2.3, za neprekidno kapitalisanje imamo da je

K t = K 0 ⋅ e p ⋅t t = 4+

gde je t u godinama, što u ovom slučaju daje

2 = 4,167 , 12

pa je

K t = K 0 ⋅ e p ⋅t = 5200 ⋅ e 0,06⋅ 4,167 = 5200 ⋅ e 0, 25 = 5200 ⋅1,284 = 6676,8 din.

7.2.2.1.3. Konformna kamatna stopa Moguće je pokazati da se povećanjem broja kapitalisanja u toku jedne godine (povećanjem m), uz uslov nepromenjenosti kamatne stope p, povećavaju iznosi kamate i iznosi krajnje vrednosti kapitala Kt. Ovu činjenicu zajmodavac (recimo štediša) može iskoristiti tako što bi podizao svoje uloge zajedno sa pripadajućom kamatom ranije od obračunskog perioda, i taj ulog zajedno sa pripadajućom kamatom ponovo pod istim uslovima oročavao. Ponavljanjem ovakvog procesa, štediša bi postigao da mu se glavnica kapitališe više od unapred dogovorenog broja kapitalisanja, i samim tim mnogo više uveća od očekivanog. Ovakve operacije postaju beskorisne ako banka uvede novu kamatnu stopu koja bi, i pored većeg broja kapitalisanja u toku jedne godine, davala za godinu dana iste iznose kamate kao i godišnja kamatna stopa sa jednim kapitalisanjem. Takva kamatna stopa naziva se konformna kamatna stopa, i obeležavamo je sa pk,m (decimalni zapis). Teorema 7.2.2.1.3.1. (konformna kamatna stopa) Konformna kamatna stopa pk,m (decimalni zapis), tj. stopa koja sa m kapitalisanja početnog kapitala K0 u toku godine daje isti iznos krajnje vrednosti kapitala Kt kao i kamatna stopa p sa jednim kapitalisanjem u toku godine, izračunava se po formuli:

7. Elementi finansijske matematike

152

p k ,m = m 1 + p − 1.

Dokaz: Krajnja vrednost početnog kapitala K0 posle jedne godine, sa godišnjim kapitalisanjem kamatnom stopom p je: K t = K 0 ⋅ (1 + p )

, dok krajnja vrednost početnog kapitala K0 posle jedne godine, uz m kapitalisanja u toku jedne godine sa kamatnom stopom pk,m, iznosi K t = K 0 ⋅ (1+ pk , m )m

Iz uslova jednakosti ova dva kapitala, sledi:

(1 + p )

m

k ,m

= 1 + p ⇒ p k ,m = m 1 + p − 1.

Primer 7.2.2.1.3.1. Kolika je tromesečna konformna kamatna stopa pk,m, ako je godišnja kamatna stopa p%=12%? Rešenje: Pod ovim uslovima, važi p=0,12, m=4, pa je po teoremi 7.2.2.1.3.1:

p k ,m = 4 1 + 0,12 − 1 = 0,0287 pa je konformna kamatna stopa 2,87%.

7.2.2.1.4. Račun uloga kod dekurzivnog složenog kamatnog računa Dosadašnja analiza dekurzivnog složenog kamatnog računa podrazumevala je jednokratni početni ulog (početni kapital K0), bez dodatnih ulaganja. Naravno, ovakva situacija je veoma retka, jer se često ukazuje potreba za dodatnim ulaganjima. Dodatna ulaganja mogu biti u istim ili različitim iznosima, u istim ili različitim vremenskim intervalima, koji se mogu poklapati sa vremenskim intervalima kapitalisanja, a mogu biti češći ili ređi od perioda vremena kapitalisanja. 7.2.2.1.4.1. Dodatni ulozi su u istim iznosima i istim vremenskim intervalima, koji se poklapaju sa vremenskim intervalima godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja

Poslovna matematika

153

Ako se dodatni ulozi ulažu u istim iznosima na početku svakog obračunskog perioda (na početku svake godine), onda za takva ulaganja kažemo da su anticipativna. Teorema 7.2.2.1.4.1.1. (anticipativni ulozi koji se poklapaju sa vremenskim intervalima godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja) Ako se početkom svake godine ulaže suma od K dinara, uz godišnju dekurzivnu kamatnu stopu p (decimalni zapis) i godišnje dekurzivno kapitalisanje, onda će stanje ukupnog kapitala Sna za n godina biti: S na = Kr

r n −1 , gde je r=1+p. r −1

Dokaz: Pošto se suma od K dinara ulaže na početku svake godine, to će na kraju nte godine prvi ulog od K dinara da naraste na K⋅(1+p)n=K⋅ rn dinara (odnosno prvi ulog će imati n obračuna), drugi ulog će narasti na K⋅(1+p)n-1=K⋅ rn-1 dinara (imaće n-1 obračuna) i tako redom, sve do poslednjeg uloga, koji će imati samo jedan obračun i koji će da naraste na K⋅(1+p)=K⋅ r dinara. Ukupan kapital nakon ovih n godina je, naravno, suma svih ovih iznosa i on iznosi:

(

)

S na = Kr n + Kr n −1 + ... + Kr = Kr 1 + r + r 2 + ... + r n −1 = Kr

r n −1 jer je r −1

1+r+r2+…+rn-1 suma konačnog geometrijskog reda (videti primer 2.2.3.1.).

r n −1 se naziva faktor dodajnih r −1 uloga i njegova vrednost za dato p% i n se daje u vidu trećih kamatnih tablica

NAPOMENA: Izraz r

III pn % , odnosno III pn % = r

r n −1 , pa je S na = K ⋅ III np % . r −1

Ako se dodatni ulozi ulažu u istim iznosima na kraju svakog obračunskog perioda (na kraju svake godine), onda za takva ulaganja kažemo da su dekurzivna.

7. Elementi finansijske matematike

154

Teorema 7.2.2.1.4.1.2. (dekurzivni ulozi koji se poklapaju sa vremenskim intervalima godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja) Ako se krajem svake godine ulaže suma od K dinara, uz godišnju dekurzivnu kamatnu stopu p (decimalni zapis) i godišnje dekurzivno kapitalisanje, onda će stanje ukupnog kapitala Snd za n godina biti: S nd = K

r n −1 , gde je r=1+p. r −1

Dokaz: Pošto se suma od K dinara ulaže na kraju svake godine, to će na kraju n-te godine prvi ulog od K dinara da naraste na K⋅(1+p)n-1=K⋅ rn-1 dinara (odnosno, prvi ulog će imati n-1 obračuna), drugi ulog će narasti na K⋅(1+p)n-2=K⋅ rn-2 dinara (imaće n-2 obračuna) i tako redom, sve do poslednjeg uloga, koji se neće kapitalisati, odnosno iznosiće K dinara. Ukupan kapital nakon ovih n godina je, naravno, suma svih ovih iznosa i on iznosi:

(

)

S nd = Kr n −1 + Kr n − 2 + ... + K = K 1 + r + r 2 + ... + r n −1 = K

r n −1 jer je r −1

1+r+r2+…+rn-1 suma konačnog geometrijskog reda (videti primer 2.2.3.1.) NAPOMENA: Pošto je

(

)

r n − 1 r n − 1 + r − r r r n −1 − 1 + r − 1 r n −1 − 1 = = =r + 1 = III pn %−1 + 1 r −1 r −1 r −1 r −1 ,

važi da je

(

).

−1 S nd = K ⋅ III np % +1

Primer 7.2.2.1.4.1. Ako se u banku ulaže: a) na početku svake godine b) na kraju svake godine po 20000 dinara, koja će suma biti u banci na kraju treće godine ako je godišnja kamatna stopa 6% i kapitalisanje godišnje? Rešenje: Pošto je

K=20000, p=0,06, r=1,06, n=3, važi sledeće:

a) pošto se radi o anticipativnom ulogu, po teoremi 7.2.2.1.4.1.1. je

Poslovna matematika

S 3a = Kr 3

155

r3 −1 = K ⋅ III 63% = 20000 ⋅ 3,3746 = 67492dinara. r −1

(

)

− 1o dekurzivnom b) pošto se rradi po teoremi S3d = K = K ⋅ III 62% + 1ulogu, = 20000 ⋅ (2,18367.2.2.1.4.1.2. + 1) = 20000 ⋅je 3,1836 = 63672dinara. r −1

7.2.2.1.4.2. Dodatni ulozi su u istim iznosima i ulažu se u istim vremenskim intervalima, m puta u toku godine, uz primenu godišnjeg dekurzivnog kapitalisanja Očigledno je da je u ovom slučaju ulaganje češće od kapitalisanja, (odnosno ulažemo m puta u toku jedne godine, a kapitališemo samo jednom). Međutim, primenom konformne kamatne stope možemo izjednačiti broj kapitalisanja sa brojem ulaganja, i samim tim primeniti formule za izračunavanje ukupnog kapitala iz prethodnog poglavlja. Naime, po Teoremi 7.2.2.1.3.1, konformna kamatna stopa pk ima sa m kapitalisanja u toku godine iste efekte kao i godišnja kamatna stopa p sa jednim kapitalisanjem, naravno uz uslov da je pk , m = m 1 + p − 1.

Primenom konformne kamatne stope, broj kapitalisanja za period od n godina postaje jednak broju ulaganja za taj isti period i, naravno, on iznosi m⋅n, tako da važi sledeća teorema, koju nećemo dokazivati jer je direktna posledica Teorema 7.2.2.1.4.1.1. i 7.2.2.1.4.1.2. Teorema 7.2.2.1.4.2. (ulaganja češća od kapitalisanja) Ako se u istim vremenskim intervalima ulaže ista suma od K dinara m puta u toku godine, po godišnjoj kamatnoj stopi p i godišnjem kapitalisanju, onda stanje ukupnog kapitala posle n godina iznosi: a) za slučaj anticipativnog ulaganja S na = Krk

rkmn − 1 rk − 1

b) za slučaj dekurzivnog ulaganja rkmn − 1 S =K rk − 1 a n

gde je

p k ,m = m 1 + p − 1

a

rk=1+pk,m.

7. Elementi finansijske matematike

156

Primer 7.2.2.1.4.2. Koliko je stanje uloga posle 3 godine, ako se 10000 dinara ulaže u banku a) početkom svakog meseca b) krajem svakog meseca, sa godišnjom kamatnom stopom od 6% i godišnjim kapitalisanjem. Rešenje: U ovom slučaju je m=12, n=3, K=10000, p=0,06, pa je

p k = 12 1 + 0,06 − 1 = 0,00487

,

a) pošto se radi o anticipativnom ulaganju,

S 3a

rkmn − 1 1,00487 36 − 1 = Krk = 10000 ⋅1,00487 = 394355,8 dinara rk − 1 1,00487 − 1

b) pošto se radi o dekurzivnom ulaganju,

S 3d

rkmn − 1 1,00487 36 − 1 =K = 10000 ⋅ = 392444,6 dinara. rk − 1 1,00487 − 1

7.2.2.1.5. Račun uloga kod neprekidnog kapitalisanja Prilikom korišćenja neprekidnog kapitalisanja, mnogi problemi pri izračunavanju se uprošćavaju, a neki od njih gube i smisao, poput, recimo, anticipativnog i dekurzivnog ulaganja. Neprekidno kapitalisanje dosta jednostavno izračunava stanje uloga za slučaj nejednakih uloga u nejednakim vremenskim intervalima ulaganja, što određuje sledeća teorema, koju nećemo dokazivati. Teorema 7.2.2.1.5. (račun uloga pri neprekidnom kapitalisanju) Ako su uložene sume K1, K2, …, Kn u vremenima t1, t2, …, tn, pri neprekidnom kapitalisanju uz godišnju kamatnu stopu p, onda stanje svih uloga u trenutku ts (gde je ti≤ts za i=1,2,…,n) iznosi: n

S t s = ∑ K k e p (t s −tk ) , gde je vreme t dato u godinama. k =1

Vremenski interval ts-tk, k=1,2,…,n predstavlja vremenske razmake od trenutka ulaganja tk do trenutka izračunavanja stanja na računu ts, izražene u godinama.

Poslovna matematika

157

Primer 7.2.2.1.5. Na koji će iznos da naraste ukupni kapital 20. III 2003. godine ako je ulagano: 10000 dinara 15.III 2002. godine, 20000 dinara 25.VI 2002. godine i 15000 dinara 15.II 2003 godine, uz godišnju neprekidnu kamatnu stopu 5%? Rešenje:

Odgovarajući vremenski intervali za svaki od ovih uloga su: prvom 371 dan, odnosno

371 268 = 1,016 godina, drugom 268 dana, odnosno = 0,73 godina, i trećem 34 365 365 dana, odnosno

34 = 0,09 godina, pa prema prethodnoj teoremi ukupni kapital na dan 365

20.III 2003. godine iznosi:

S = 10000e 0 , 05⋅1, 016 + 20000e 0 , 05⋅0 ,73 + 15000e 0 ,05⋅0 ,09 = = 10000 ⋅1,052 + 20000 ⋅1,037 + 15000 ⋅1,005 = = 10520 + 20740 + 15075 = 46335 dinara.

7.3. AMORTIZACIJA KREDITA Pod pojmom amortizacija kredita podrazumevamo vraćanje kredita (zajma) koji je dužnik uzeo od poverioca pod određenim uslovima. Ukupnu sumu koju dužnik duguje poveriocu (glavnica sa pripadajućom kamatom) dužnik vraća u ugovorenom roku kroz određeni broj rata. Iznosi tih rata se nazivaju anuiteti. Obično je vremenski interval otplatnog perioda godina, ili mesec, ali može biti i bilo koji vremenski interval. Anuiteti mogu, ali i ne moraju, biti isti u svim otplatnim periodima. Uobičajeno je da se kamata najčešće otplaćuje zajedno sa glavnicom, ali moguće je ugovarati i drugačije vraćanje kredita. Ako se kamata vraća zajedno sa glavnicom, onda se svaki anuitet sastoji od dela otplate i dela kamate. Mi ćemo u ovom delu obraditi amortizaciju kredita metodom jednakih anuiteta, koji se isplaćuju na kraju obračunskog perioda (dekurzivni anuitet), pri godišnjem dekurzivnom kapitalisanju.

7. Elementi finansijske matematike

158

7.3.1. Amortizacija kredita jednakim dekurzivnim anuitetima pri godišnjem dekurzivnom kapitalisanju Neka je dužnik u početnom trenutku od poverioca uzeo na zajam sumu K0, na n godina, pod godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p (decimalni zapis), i neka su se dužnik i poverilac dogovorili da će dužnik vratiti ukupni dug (glavnica K0 sa pripadajućom kamatom) u n jednakih godišnjih anuiteta a, koje će dužnik isplaćivati na kraju svake godine, odnosno u onim trenucima kada se zaračunava kamata na pozajmljeni iznos. Odgovor na pitanje koliko treba da iznosi anuitet a, daje sledeća teorema. Teorema 7.3.1.1. (veza između anuiteta a, pozajmljenog kapitala K0 i godišnje dekurzivne kamatne stope p) Ako se amortizuje kredit od K0 dinara, sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p i sa n godišnjih jednakih dekurzivnih anuiteta a, onda se anuitet izračunava po formuli: a = K0

r n (r − 1) , gde je r=1+p. r n −1

Dokaz: Radi lakšeg razumevanja problema, analizirajmo sledeći dijagram:

t=0 S 0= K 0

t=1 a S1

t=2 a S2

t=k-1 a Sk-1

t=k a Sk

t=n-1 a Sn-1

t=n a Sn

Na dijagramu je: „ „

sa t=k obeležen kraj k-te godine, kada se isplaćuje k-ti anuitet čija je vrednost a, sa Sk obeleženo stanje duga posle isplate k-tog anuiteta.

Naravno, u početnom trenutku t=0 nema isplate anuiteta i stanje duga je jednako upravo pozajmljenom novcu, odnosno S0=K0. Za stanje duga Sk važi sledeće: t=0:

S0=K0

Poslovna matematika

159

t=1: t=2: t=3:

S1=S0⋅ r - a=K0⋅ r - a S2=S1⋅ r - a=( K0⋅ r - a) ⋅ r - a=K0r2 - a(1+r) S3= S2⋅ r - a=( K0r2 - a(1+r)) ⋅ r - a=K0r3- a(1+r+r2)

t=k:

Sk= Sk-1⋅ r - a=………= K0rk- a(1+r+r2+…+rk-1)

t=n:

Sn= Sn-1⋅ r - a=………= K0rn- a(1+r+r2+…+rn-1)

Naravno, pošto se očekuje da se sa n-tim anuitetom vrati sav dug, stanje duga Sn mora biti jednako nuli, pa dobijamo: Sn= K0rn- a(1+r+r2+…+rn-1)=0⇒ rn −1 r n (r − 1) ⇒ K0r = a ⇒ a = K0 n . r −1 r −1 n

NAPOMENA: Vrednosti izraza

r n (r − 1) r n (r − 1) n obično se daju u vidu tablice V = p% r n −1 r n −1

, pa je a = K 0V pn% . Takođe, uobičajeno je da se recipročna vrednost tablice Vnp% daje u vidu tablice IVnp%, odnosno važi IV pn% =

1 V

n p%

, pa je K0=a⋅IVnp%.

Ako je dekurzivno kapitalisanje m puta godišnje, i plaćanje dekurzivnog anuiteta takođe m puta godišnje, onda je

a = K 0V⎛mp⋅%n ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ m ⎠

, odnosno

K 0 = a ⋅ IV⎛mp⋅%n ⎞ . ⎜ ⎟ ⎝ m ⎠

Ako su dekurzivni anuiteti češći od dekurzivnog kapitalisanja, gde je m broj anuiteta u obračunskom periodu, onda je a = K 0

rkm, m⋅ n (rk , m − 1) rkm, m⋅ n − 1

, odnosno

7. Elementi finansijske matematike

160

K0 = a ⋅

rkm, m⋅ n − 1

rkm, m⋅ n (rk , m − 1)

, gde je rk,m=1+pk,m, a pk,m je konformna kamatna stopa

za period plaćanja anuiteta u odnosu na period kapitalisanja. Primer 7.3.1.1. a) Kredit treba da se otplati za pet godina, jednakim godišnjim anuitetima od 3.000 dinara, uz godišnju kamatnu stopu od 8% i godišnje dekurzivno kapitalisanje. Dužnik i poverilac su se dogovorili da promene uslove otplate i da ovaj kredit dužnik otplati za 3 godine jednakim godišnjim anuitetima, uz godišnje dekurzivno kapitalisanje, sa godišnjom kamatnom stopom od 10%. Koliko iznosi novi anuitet? b) Kredit treba da se otplati za pet godina, jednakim polugodišnjim anuitetima od 3.000 dinara, uz godišnju kamatnu stopu od 8% i polugodišnje dekurzivno kapitalisanje. Dužnik i poverilac su se dogovorili da promene uslove otplate i da ovaj kredit dužnik otplati za 3 godine jednakim polugodišnjim anuitetima, uz polugodišnje dekurzivno kapitalisanje, sa godišnjom kamatnom stopom od 10%. Koliko iznosi novi anuitet? c) Kredit treba da se otplati za pet godina, jednakim polugodišnjim anuitetima od 3.000 dinara, uz godišnju kamatnu stopu od 8% i godišnje dekurzivno kapitalisanje. Dužnik i poverilac su se dogovorili da promene uslove otplate i da ovaj kredit dužnik otplati za 3 godine jednakim polugodišnjim anuitetima, uz godišnje dekurzivno kapitalisanje, sa godišnjom kamatnom stopom od 10%. Koliko iznosi novi anuitet? Rešenje: a) Prvo ćemo odrediti iznos kredita: K0 = a⋅IVnp%= 3000⋅IV58%=3000⋅3,9927=11 978,1 din. Sada na ovaj iznos kredita primenjujemo nove uslove amortizacije i izračunavamo novi anuitet: a = K0⋅Vnp%=11 978,1⋅V310%=11 978,1⋅0,4021=4 816,40 din. b) Prvo ćemo odrediti iznos kredita: n 3000⋅IV104%=3000⋅8,1109=24 332,7 din. K 0 = a ⋅ IV⎛mp⋅% ⎞ = ⎟ ⎜ ⎝ m ⎠

Sada na ovaj iznos kredita primenjujemo nove uslove amortizacije i izračunavamo novi anuitet: n =24 332,7⋅V6 =24 332,7⋅0,1970=4 793,54 din. a = K 0V⎛mp⋅% 5% ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ m ⎠

Poslovna matematika

161

c) Prvo ćemo odrediti konformnu kamatnu stopu pk,m za, u ovom slučaju, m=2 i p=0,08:

p k ,m = m 1 + p − 1 = 1 + 0,08 − 1 = 0,039 ⇒ rk ,m = 1 + 0,039 = 1,039 Iznos kredita je:

K0 = a

rkm, m⋅ n − 1

= 3000

rkm, m⋅ n (rk , m − 1)

1,03910 − 1 1.03910 ⋅ 0,039

= 3000 ⋅ 8,150 = 24450,46 din.

Sada na ovaj iznos kredita primenjujemo nove uslove amortizacije i izračunavamo prvo novu konformnu kamatnu stopu za m=2 i p=0,10, a zatim i novi anuitet:

p k ,m = m 1 + p − 1 = 1 + 0,10 − 1 = 0,049 ⇒ rk ,m = 1 + 0,049 = 1,049 a = K0

rkm, m⋅ n (r − 1) rkm, m⋅ n − 1

= 24450,46

1,049 6 ⋅ 0,049 1,049 6 − 1

= 4802,58 din.

Ovakvim načinom se u k-tom anuitetu, koji iznosi a, istovremeno isplaćuje i deo kamate (obeležimo ga sa ik) i deo otplate glavnice (obeležimo ga sa bk). Dakle, važi: a=bk+ ik za k=1, 2,..., n. Vezu između veličina K0, n, p i bk, ik određuje sledeća teorema. Teorema 7.3.1.2. (veza između pozajmljenog kapitala K0, godišnje dekurzivne kamatne stope p, k-tog anuiteta a i dela kamate ik i glavnice bk isplaćenih u k-tom anuitetu) Ako se kredit od K0 dinara amortizuje sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p i sa n godišnjih jednakih dekurzivnih anuiteta a, onda je otplata dela glavnice bk u k-tom anuitetu data sa: a bk = a⋅r k-n-1= I n −k +1

odnosno, imajući u vidu prethodnu teoremu,

p%

bk = K 0

(r − 1)⋅ r k −1 r n −1

k =1, 2,..., n,

a otplata dela kamate u k-tom anuitetu je data sa: ⎛ 1 ⎞⎟ ⎜ odnosno ik= a⋅ (1 – rk-n-1)=,a ⋅ ⎜1 − n − k +1 ⎟ I p % ⎠ ⎝

7. Elementi finansijske matematike

162

ik = K 0 (r − 1)

gde je

r n − r k −1 k =1, 2,..., n, r n −1

r=1+p.

Dokaz: Koristeći dijagram i oznake iz dokaza prethodne teoreme, zaključujemo sledeće: – na početku k-te godine stanje realnog duga je Sk-1, i taj realni dug na kraju k-te godine, a pre isplate k-tog anuiteta, zbog ukamaćivanja duga naraste na Sk-1⋅ r. Dakle, iznos kamate u toku k-te godine je: ik=Sk-1⋅ r – Sk-1. Prilikom isplate k-tog anuiteta, na kraju k-te godine, koji iznosi a, mi isplaćujemo ovu kamatu ostvarenu u toku k-te godine i jedan deo glavnice bk. Dakle: bk = a – ik = a – (Sk-1⋅ r – Sk-1) = Sk-1 – (Sk-1 ⋅ r – a) = Sk-1 – Sk, jer je

Sk = Sk-1 ⋅ r – a (videti dokaz prethodne teoreme).

Pošto je: Sk = Sk-1 ⋅ r – a i Sk-1 = Sk-2 ⋅ r – a, sledi da je bk = Sk-1 - Sk = Sk-2 ⋅ r – a –( Sk-1 ⋅ r – a) = (Sk-2 – Sk-1) ⋅ r =bk-1 ⋅ r za k = 2,3,..,n. Dakle: bk = bk-1⋅ r

za k=2,3,...,n,

dok je

b1 = S0 – S1 = K0 – (K0 ⋅ r – a) = a – K0 (r-1)=

a- a

⎛ r n − 1⎞ a r n −1 ⎜⎜1 − n ⎟⎟ = n . ( ) r − 1 = a r n (r − 1) r ⎠ r ⎝

Poslovna matematika

163

Sada važi sledeće: a

b1 =

rn b2 = b1r b3 = b2 r = b1r 2  bk = bk −1r = b1r k −1 =

a r

n

r k −1 = a ⋅ r k − n −1.

Pošto je (videti prethodnu teoremu) a = K 0 bk = a ⋅ r k − n −1 = K 0

r n (r − 1) r n −1

⋅ r k − n −1 = K 0

r n (r − 1) , sledi da je: r n −1 (r − 1)r k −1 r n −1

k=1,2,...,n.

Naravno, sada je:

ik = a – bk = a - a⋅ rk-n-1= a⋅ (1- rk-n-1) = K0

(r − 1)(r n − r k −1 ) . (r − 1)r n k − n −1 − r = K 1 0 r n −1 r n −1

(

)

NAPOMENA: Iz prethodne teoreme proizilazi da je odnos između otplata dela glavnice (recimo između k-te i i-te otplate) dat sa bk=bi⋅rk-i=bi⋅Ik-ip% za k>i. Ako je dekurzivno kapitalisanje m puta godišnje i plaćanje dekurzivnog anuiteta takođe m puta godišnje, onda se u formulama dobijenim u prethodnoj teoremi broj n zamenjuje sa brojem m⋅n, a godišnja kamatna stopa p se p zamenjuje sa . m Ako su dekurzivni anuiteti češći od dekurzivnog kapitalisanja, gde je m broj anuiteta u obračunskom periodu, onda se u formulama dobijenim u prethodnoj teoremi broj n zamenjuje brojem m⋅n, a godišnja kamatna stopa p se zamenjuje konformnom kamatnom stopom pk,m.

7. Elementi finansijske matematike

164 Primer 7.3.1.2.

Zajam se otplaćuje 6 godina jednakim polugodišnjim dekurzivnim anuitetima, uz 10% godišnje dekurzivne kamate i polugodišnje dekurzivno kapitalisanje. Peta otplata dela glavnice je 3 000 dinara. Koliko iznosi anuitet a, iznos zajma K0 i ukupno plaćena kamata u toku amortizacije zajma ∑ ik? Rešenje: Iz uslova zadatka važi n=6, m=2, m⋅n=12, p%=10%, p=0,10, p% p = 5%, = 0,05, , b5=3000 din. m m Sada je, imajući u vidu teoremu 7.3.1.2,

a = b5 ⋅ I 512%− 5 +1 = 3000 ⋅ I 58% = 3000 ⋅1,4775 = 4432,5 din. K 0 = a ⋅ IV512 % = 4432,5 ⋅ 8,8633 = 39286,58 din. Ukupna kamata ∑ ik je razlika onog što smo ukupno dali poveriocu (m⋅n⋅a) i onog što smo uzeli od njega (K0). 12

∑ ik = 12 ⋅ 4432,5 − 39286,58 = 13903,42 din.

k =1

Teorema 7.3.1.3. (iznos stanja duga Sk i otplaćenog dela duga Ok, posle isplate k-tog anuiteta) Ako se kredit od K0 dinara amortizuje sa godišnjom dekurzivnom kamatnom stopom p i sa n godišnjih jednakih dekurzivnih anuiteta a, onda stanje duga posle isplate k-tog anuiteta iznosi: Sk = K0

rn − rk n

r −1

=a

r n−k −1 r

n−k

(r − 1)

= a ⋅ IV pn%− k

k=1,2,...,n, dok je iznos dela duga koji je otplaćen k-tim anuitetom: Ok = K 0

rk −1 rn −1

=a

rk −1 r n (r − 1)

gde je, naravno, r=1+ p. Dokaz:

=

a r

(

−1 III kp % n

)

+1 = a ⋅

−1 +1 III kp %

I np %

k=1,2,...,n,

Poslovna matematika

165

Kako je (videti dokaz teoreme 7.3.1.1.) za k=1,2,...,n Sk= K0rk- a(1+r+r2+…+rk-1)⇒ ⇒ Sk = K0r k − a

rk −1 rn −1 k rk −1 rn − rk r n−k − 1 =a n r −a =a n = a n−k = a ⋅ IV pn%− k , 1 − r −1 r (r − 1) r (r − 1) r (r − 1) r

i kako je a = K0

r n (r − 1) n

r −1

onda iz

,

Sk = a

rn − rk n

r (r − 1)

⇒ Sk = K0

rn − rk rn −1

.

Iznos dela duga koji je otplaćen k-tim anuitetom Ok je, naravno, razlika ukupnog duga K0 i stanja duga posle isplate k-tog anuiteta Sk, odnosno: Ok = K 0 − S k = K 0 − K 0 a

r k −1 r n (r − 1)

=

a r

rn − rk r n −1

(

)= a ⋅

−1 III kp % +1 n

= K0

r n −1

=a

r n −1 r k −1

r n (r − 1) r n − 1

=

−1 III kp % +1

I np %

NAPOMENA: S obzirom da je b1 = da važi da je Ok = b1 (III pk %−1 + 1).

r k −1

a (videti teoremu 7.3.1.2.), onrn

Takođe, imajući u vidu rezultate teorema 7.3.1.2. i 7.3.1.3, važi da je ik = S k −1 ⋅ (1 − r ) = S k −1 ⋅ p.

Ako je dekurzivno kapitalisanje m puta godišnje i plaćanje dekurzivnog anuiteta takođe m puta godišnje, onda se u formulama dobijenim u prethodnoj teoremi broj n zamenjuje brojem m⋅n, a godišnja kamatna stopa p se za p menjuje sa . m Ako su dekurzivni anuiteti češći od dekurzivnog kapitalisanja, gde je m broj anuiteta u obračunskom periodu, onda se u formulama dobijenim u prethodnoj teoremi broj n zamenjuje brojem m⋅n, a godišnja kamatna stopa p se zamenjuje konformnom kamatnom stopom pk,m. Primer 7.3.1.3. Zajam se otplaćuje 10 godina jednakim polugodišnjim dekurzivnim anuitetima od 5000 dinara, uz 8% godišnje kamate i polugodišnje dekurzivno kapitalisanje. Odrediti koliko je otplaćeno zajma, počev od osmog zaključno sa dvanaestim anuitetom. Rešenje:

7. Elementi finansijske matematike

166 Iz uslova zadatka je

p% = 4% m

n=10,

m=2,

a=5000 din.,

p = 0,04 m .

Na osnovu teoreme važi sledeće: III 11 +7.3.1.3. 1 14,0258 + 1

O12 = a ⋅

O8 = a ⋅

p%=8%, p=0,08,

4%

I 420%

III 47% + 1 I 420%

= 5000 ⋅

= 5000 ⋅

2,1911

= 34288,26 din

8,2142 + 1 = 21026,42 din, 2,1911

pa je, počev od osmog, zaključno sa dvanaestim anuitetom otplaćeno: O12 – O8 =34288,26 din – 21026,42 din =13261,84 din.

167

Poslovna matematika

DODATAK

KAMATNE (INTERESNE) TABLICE

168

Dodatak – Kamatne (interesne) tablice

Poslovna matematika

169

170

Dodatak – Kamatne (interesne) tablice

Poslovna matematika

171

172

Dodatak – Kamatne (interesne) tablice

Poslovna matematika

173

174

Dodatak – Kamatne (interesne) tablice

Poslovna matematika

175

176

Dodatak – Kamatne (interesne) tablice

Poslovna matematika

177

Poslovna matematika

179

LITERATURA 1. Michael W. Klein, Mathematical Methods for Economics; ADDISON-WESLEY, 2002. 2. Peter Hess, Using Mathematics in Economic Analysis, PRENTICEHALL, 2002. 3. Alpha C. Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics; McGREW-HILL International Edition, 1984. 4. M. Hoy et all., Mathematics for Economics; ADDISON-WESLEY Publishers Limited, 1996. 5. Dr Miodrag Ivović, Finansijska Matematika; Ekonomski fakultet, Beograd, 1999. 6. Dr Rajko Ralević, Matematika za ekonomiste; Naučna knjiga, 1990. 7. Alfred Tarski, Uvod u matematičku logiku i metodologiju matematike, 1973. 8. D. Mihailović, R. R. Janić, Elementi matematičke analize I; Naučna knjiga, 1982. 9. D. Mihailović, D. Tošić, Elementi matematičke analize II; Naučna knjiga, 1983. 10. D. S. Mitrinović, Linearna algebra, polinomi, analitička geometrija; Građevinska knjiga, 1983

Cyan Magenta Yellow Black

Diplomirao je na Elektrotehničkom fakultetu u Beogradu 1991. godine. Na istom fakultetu je magistrirao 1995. godine i doktorirao 2001. godine. Učesnik je više domaćih i inostranih kongresa i konferencija i ima preko trideset objavljenih radova u domaćim i međunarodnim stručnim publikacijama. Naučni je saradnik Instituta za fiziku i vanredni profesor na Fakultetu za poslovne studije Megatrend univerziteta primenjenih nauka za predmete Poslovna matematika i Poslovna statistika.

ISBN 86-7747-141-3

Prof. dr Dušan Joksimović • POSLOVNA MATEMATIKA

Prof. dr Dušan Joksimović rođen je 1966. godine u Beogradu.

Megatrend univerzitet primenjenih nauka, Beograd, 2004.