Prijemni Knjiga

мр Зоран Мишковић , др Ивана Ковачевић , др Ана Савић мр Светлана Штрбац - Савић

МАТЕМАТИКА ЗБИРКА РЕШЕНИХ ЗАДАТАКА И ТЕСТОВА СА ПРИЈЕМНИХ ИСПИТА ПЕТО ИЗМЕЊЕНО И ДОПУЊЕНО ИЗДАЊЕ

Висока школа електротехнике и рачунарства Београд 2014.

мр Зоран Мишковић, др Ивана Ковачевић, др Ана Савић, мр Светлана Штрбац – Савић Издавач: Висока школа електротехнике и рачунарства, Београд, Војводе Степе 283. Рецезенти:

Елена Савић, дипломирани математичар, Миомира Мирковић, дипломирани математичар.

Техничка обрада: др Ана Савић Корице: Ненад Толић Сва права су задржана. Није дозвољено да ни један део ове књиге буде снимљен, емитован или репродукован на било који начин, укључујући али не и ограничавајући се на фотокопирање, фотографију, магнетни или било који други вид записа, без претходне писмене дозволе издавача. Сви напори су учињени да се у књизи не појаве грешке. Издавач не може прихватити било какву одговорност за евентуалне грешке у изложеној материји, а такође ни за њихове последице. CIP - Каталогизација у публикацији Народна библиотека Србије, Београд 5 1 ( 0 7 9 .1 ) МАТЕМАТИКА: збирка решених задатака и тестова са пријемних испита / Зоран Мишковић . . . [и др.]. – 5. измењено и допуњено изд. – Београд: Висока школа електротехнике и рачунарства, 2014 (Београд : Школски сервис Гајић). – 304 стр. : граф. прикази, табеле ; 25cm Тираж 100 . – Библиографија : стр. [306]. ISBN 978 - 86 - 7982 - 193 – 5 (брош.) 1 Мишковић, Зоран [аутор], 1949а) Математика - Задаци COBISS.SR - ID 205708812

Наставно веће Високе школе електротехнике и рачунарства одобрило је издавање ове збирке.

ПРЕДГОВОР

Ова збирка је преглед основних знања неопходних за успешно полагање пријемног испита као и за наставак математичког образовања будућих студената Високе школе електротехнике и рачунарства у Београду. Она може бити од користи и будућим студентима високих школа и факултета техничког усмерења. Збирка је подељена на два дела. Први део је методичка збирка задатака са комплетним решењима. На почетку сваке области наведене су дефиниције и формуле неопходне за решавање задатака. У збирци је дат и известан број задатака за самостални рад. У другом делу књиге дати су задаци и решења двадесетосам последњих тестова са пријемних испита на Високој школи електротехнике и рачунарства у Београду.

У Београду, 2014.

Аутори

САДРЖАЈ 1.

Aлгебарски изрази. Полиноми и операције са њима. Разломљени рационални изрази и операције са њима.

2.

Линеарне једначине и неједначине са једном непознатом. Линеарна једначина. Линеарна функција. Системи линеарних једначина. Линеарне неједначине.

3.

Степеновање и кореновање. Појам и особине. Операције са степенима. Операције са коренима.

4.

Квадратне једначине са једном непознатом и квадратна функција. Квадратна једначина. Квадратна функција. Квадратна неједначина. Једначине које се своде на квадратне. Системи квадратних једначина са две непознате. Ирационалне једначине.

5.

Експоненцијална и логаритамска функција. Експоненцијална функција. Експоненцијалне једначине и неједначине. Појам логаритма и основне особине. Логаритамска функција. Логаритамске једначине и неједначине.

6.

Вектори. Појам и операције. Вектор у координатном систему.

7.

Тригонометрија. Тригонометријске функције ма ког угла. Тригонометријске трансформације. Тригонометријске једначине и неједначине. Тригонометријске функције.

8.

Аритметички и геометријски низ. Општи члан и збир првих n чланова низа.

9.

Аналитичка геометрија. Тачка. Права. Круг. Елипса. Хипербола. Парабола.

10.

Тестови са решењима.

МАТЕМАТИКА

AЛГЕБАРСКИ ИЗРАЗИ Полиноми и операције са њима Разломљени рационални изрази и операције са њима  Симболи променљивих и константи су рационални алгебарски изрази.  Ако су P и Q рационални алгебарски изрази, онда су P  Q , P P  Q и ; Q  0 такође рационални алгебарски изрази. Q  Цели рационални алгебарски изрази називају се полиноми.  Комутативни закон сабирања: a  b  b  a ; множења: a  b  b  a .  Асоцијативни закон сабирања:  a  b   c  a   b  c  ; множења  ab  c  a  bc  .  Дистрибутивни закон множења:  a  b  c  ac  bc .

НЕКИ ВАЖНИЈИ ОБРАСЦИ a 2  b2   a  b  a  b  ,

a3  b3   a  b   a 2  ab  b2  ,

 a  b

 a 2  2ab  b2 ,

a3  b3   a  b   a 2  ab  b2  ,

 a 2  2ab  b2 ,

 a  b

 a  b

2

2

 a  b

4

 a  b

4

3

 a3  3a 2b  3ab2  b3 ,

 a 4  4a3b  6a 2b2  4ab3  b4 ,

 a 4  4a3b  6a 2b2  4ab3  b4 .

1

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 7 1  5  7  6  13 1 11 1 6 8 3 1. Израчунати: а)  ; б)  :  ; в) 11 2 32 3 3 12 Решење: 7 1  47 55  40 23 40  5   7  6  13    6 8 3  6 8  3  24 3  460 ;   а) 11 47 47 141 3 12 12 12 б)

1 1 1 1   :  .  2 3 2 3

1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3  :          ; 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 3 2

1 5 1 6  1 1  1 1 3 2 в)    :    2      2. 6 3 3 3 3  2 3 2 3

0,6  0,42 : 0,01    8  1  7  .  2. Израчунати 20% од  75 :    34    12,5 5 25  Решење:   0, 6  0, 42  : 0, 01    8  1  7   75 :    34    12,5 5 25  1, 02 : 0, 01   16 1 7     75 :        18. 34    25 5 25  20  3, 6 . 20% од вредности израза је 18  100

3. Израчунати

1,588  0, 012  :  0,8  0,16   3, 25 :13

Резултат: 6 . 2

1: 0, 25 . 1, 6  0, 625

МАТЕМАТИКА

4. Одредити број такав да 3,6% тог броја износи 3  4, 2 : 0,1 . 1  1: 0,3  2   0,3125 3  Решење: Ако дати израз означимо са M , а тражени број са x , тада се 3, 6  x  M . Израчунајмо задатак своди на решавање једначине 100 најпре вредност израза M . 3  4, 2 : 0,1 3  42 :1 3  42    144 . 3 1   10 7  1: 0,3  2   0,3125     0,3125 3  0,3125 3   3 3 3,6 144 100  x  144  x   x  4000 . Сада је 100 3,6 M

5. Средити полином по растућим степенима 2 x  3x 2  4 x  5 x 2  4  3x  1  x 2 . Решење: 2 x  3x 2  4 x  5 x 2  4  3 x  1  x 2  7 x 2  5 x  3 . 6. Сабрати и помножити полиноме a 2  a  1 и 2a 2  1 . Решење: Сабирањем датих полинома добијамо:  a2  a  1   2a2 1  3a2  a . Множењем датих полинома добијамо:

a

2

 a  1 2a 2  1  2a 4  a 2  2a3  a  2a 2  1 2a 4  2a3  a 2  a  1 . 3

МАТЕМАТИКА

7. Следеће полиноме раставити на чиниоце: а) б) в) г)

a 2  ab ; 2a n1  6a n ; 4ab  12ac  8cd ; 2a  b  xa  b ;

ј) x 2  5x  6 ; к) 2 x 2  7 x  3 ; л) x 3  27 ; љ) x 3  8 ; м) a 2  b 2  a  b ; н) 81a 4  16b4 ; 2 2 њ) 2 x  1  4 x  3 ; о) x 2 y 2  y 2  x 2  1 ;

д) 3m3 x  6m2 x  3mx ; ђ) 4 xx  5  x  5 ; е) 3x  y   ax  ay ; ж) a 3  4a 2  4a  16 ; з) ac  ad  pc  pd ; и) ax 2  bx 2  bx  ax  cx 2  cx ;

п) x 4  4 .

Решење: а) a 2  ab  a  a  b  ; б) 2a n1  6a n  2a n  a  3 ; в) 4ab  12ac  8cd  4  ab  3ac  2cd  ; г) 2  a  b   x  a  b    a  b  2  x  ; д) 3m3 x  6m2 x  3mx  3mx  m2  2m  1  3mx  m  1 ; 2

ђ) 4 x  x  5  x  5  4 x  x  5   x  5   4 x  1 x  5 ; е) 3  x  y   ax  ay  3  x  y   a  x  y    3  a  x  y  ;

ж) a3  4a 2  4a  16  a 2  a  4   4  a  4    a 2  4   a  4  ; з) ac  ad  pc  pd  a  c  d   p  c  d    a  p  c  d  ; и) ax2  bx2  bx  ax  cx2  cx  x2  a  b  c   x  a  b  c   x  x  1 a  b  c  ; ј) x2  5x  6   x  3 x  2  ; к) 2 x2  7 x  3  2 x2  6 x  x  3  2 x  x  3   x  3   2 x  1 x  3 ; л) x3  27   x  3  x 2  3x  9  ; љ) x3  8   x  2   x 2  2 x  4  ;

4

МАТЕМАТИКА

м) a  b  a  b   a  b  a  b    a  b    a  b  1 a  b  ; 2

2

н) 81a 4  16b4   9a 2  4b2  9a 2  4b2    3a2b  3a 2b   9a 2  4b2  ; њ)  2 x  1   4 x  3    2 x  1   4 x  3    2 x  1   4 x  3  2

2

 4  x  2  3x  1 ;

о) x2 y 2  y 2  x 2  1  y 2  x 2  1   x 2  1   x  1 x  1 y  1 y  1 ; п) x 4  4  x 4  4 4 x 2  4 x 2   x 2  2   4 x 2   x 2  2  2 x  x 2  2  2 x  . 2

8. Скратити следеће разломке:

ax  bx ; 2ax  2bx x 2  8 x  16 б) ; xy  4 y а)

д)

x2  9 ; xy  3 y  x  3

5a 2  10ab  5b 2 ; 15a 2  15b 2 a 2 n 1  a 2 n 1 е) . a n 1  a n ђ)

a 2  3a  2 ; a 2  5a  6 x2  4 г) 4 ; x  13x 2  36 в)

Решење: x  a  b 1 ax  bx   , x  0, a  b; а) 2ax  2bx 2 x  a  b  2

x 2  8 x  16  x  4  x4   , y  0, x  4; б) xy  4 y y  x  4 y 2

в)

a 2  3a  2  a  2  a  1 a  1   , a  3, a  2; a 2  5a  6  a  3 a  2  a  3

г)

x2  4 x2  4 1   2 , x  3 , x  2 ; 4 2 2 2 x  13x  36  x  4  x  9  x  9

д)

x 3 ab , a  b ; е) a n  a  1 , a  0, 1 . , x  3 , y  1 ; ђ) 3 a  b y 1 5

МАТЕМАТИКА

9. Одредити најмањи заједнички садржалац полинома: а) a 2  2a , a 2  2a ; б) 3a  3 , 3a  3 , a 2  1; в) x 2  xy , y 2  xy , x 2  2 xy  y 2 ; г) 2a 4  2 , a3  a 2  a  1 , a3  a 2  a  1 . Решење: а) a 2  2a  a  a  2  , a 2  2a  a  a  2  , НЗС: a  a  2  a  2  ; б) 3a  3  3  a  1 , 3a  3  3  a  1 , a 2  1   a  1 a  1 , НЗС: 3  a  1 a  1 ; в) x 2  xy  x  x  y  , y 2  xy  y  y  x  , x 2  2 xy  y 2   x  y  , 2

НЗС: xy  x  y  ; 2

г) 2a 4  2  2  a 4  1  2  a  1 a  1  a 2  1 ,

a3  a 2  a  1  a 2  a  1   a  1   a  1  a 2  1 , a3  a 2  a  1  a 2  a  1   a  1   a  1  a 2  1 ,

НЗС: 2  a  1 a  1  a 2  1 . Упростити следеће изразе: 10.

1 1 3a   ; a  1 . 1  a 1  a 1  a2

Решење: 1 1 3a 1 1 3a      2 1  a 1  a 1  a 1  a 1  a 1  a 1  a  

1  a  1  a   3a a  . 1  a2 1  a 1  a  6

МАТЕМАТИКА

2 x 3x  2 x  1 x 1   2 ; x  1. 3 x 1 x 1 x  x 1 2

11.

Решење: 2 x 3x 2  2 x  1 x 1   2 3 x 1 x 1 x  x 1 2 2 x  x  x  1   3x 2  2 x  1   x  1 x  1   x  1  x 2  x  1



2 x3  2 x 2  2 x  3x 2  2 x  1  x 2  1  x  1  x 2  x  1

2  x3  1 2 x3  2    2.  x  1  x 2  x  1 x3  1 12.

a 2  ax 3b  a a  2x   ;a b, a  x. 2 a  ab  bx  ax 2a  2b 3a  3b

Резултат:

13.

11a  9b  4 x . 6  a  b

a 2  ax ax 2x 3   2  ; x  0 , a  x . 2 3 2 2 a x  x ax  x a  x a  x

Резултат:

6 . ax

4  a2 a ; a  0 , a  2 . 1 1  2 a

4

14.

Решење: 7

МАТЕМАТИКА

 a  2 4  a 2 4a  4  a 2 4  a  a a   2  a  2   2  2  a  . 1 1 a2 a2  2 a 2a 2a 2

a 2  b2  c2 2ab ;a  0,b  0. 2 a  b    c2 4a 2 b 2

1 15.

Резултат: 2ab . 16.

2 1  3  x   x 1 x   1    ; x  2 , x  .    2  x  2   2x 1 2 

Решење:

2 2  3  x   x  1 x  3  x  x  2 2  x  1  x  2 x  1  1       x2 2  2 x  1  x  2   2x 1 2 



1  2 x 2 x 2  2  2 x 2  x   2 x  1 2  x 1     . x2 2  2 x  1 x2 2  2 x  1 2

17.

 x y x y  x y x y    :  ; x  y.  x y x y  x y x y

Решење:

 x  y x  y   x  y x  y   x  y   x  y  x  y   x  y   :  :   x  y  x  y   x  y  x  y   x y x y  x y x y   x  y  x  y  x 2  2 xy  y 2  x 2  2 xy  y 2 2 xy   2  2 . 2 2 2 x  2 xy  y  x  2 xy  y x  y2  x  y  x  y  2

18.

2

 a 2  b2    1 1  a 3  b3   b   :   2  2   2 2  , a, b  0 , a  b .  a   a b  a  b  8

2

2

МАТЕМАТИКА

Решење:  a 2  b2    1 1  a 3  b3   b : 2  2  2  2   a   a b  a  b 



a 2  b 2  ab  b 2  a 2 a 3  b3  : 2 2  2  a a  b2   ab

2 2 a 2  b 2  ab  a  b   a  ab  b   : a a 2b 2 a 2  b 2  ab a 2b 2 ab 2    . a  a  b   a 2  ab  b2  a  b

19.

3 3 2 x 1   1    3  2   x   , x  1 . x 1   x 1 x 1 x  x 1  

Решење: 3 3 2x 1   1    3  2   x   x 1   x 1 x 1 x  x 1  

 1  x  x  1  2 x  1 3 3      x  1  x  1  x 2  x  1 x 2  x  1  x 1   x 2  x  1  3  3  x  1 x 2  x  2 x  1   x 1  x  1  x 2  x  1 

x2  2 x  1 x2  x  1   1.  x  1  x 2  x  1 x  1

20.

 2x   x2  4 y 2  2  4y y   ,  2  : 1  2 2 2 xy  2 y 2   x  4 y2   x  2 xy x  4 y x, y  0 , x  2 y .

Решење: 9

МАТЕМАТИКА

 2x   x2  4 y 2  2  4y y     2  : 1  2 2 2 xy  2 y 2   x  4 y2   x  2 xy x  4 y   x2  4 y 2  x2  4 y 2  2 2x 4y y      : x2  4 y 2  x  x  2 y   x  2 y  x  2 y  y  x  2 y    2 4y 1  2      : 2 2  x  2 y  x  2 y  x  2 y  x  2 y  x  4 y 2  x  2 y   4 y   x  2 y  x2  4 y 2 2x  4 y  4 y  x  2 y x  2 y     . 2 2 2  x  2 y  x  2 y   x  y  1 1    x2  y 2  1 1      :     ; x  0 , y  0 . 21.   xy  x y    xy  x y   x y Резултат:  2 . x  y2 22.

 x 2  xy   y 1 y  2 x2   1  2  ; x, y  0 , x  y .  2 3 2 3 3 2   x x   x y  y x y  y  x  xy  

Резултат:

x 1 . xy

 3 3a 2  3a  3 a 4  a  a  a 2  : 3 ; a  1 . 23.   2 a  1 a  1 a  1 3   1 Резултат: . a 1 1 1  a 2b 2 ab a b :  2 2 ; a  0 , b  0 , a  b . 24. 2 1 1  a  b   3ab a  b  a 3 b3 ab Резултат:  . 2  a  b 10

МАТЕМАТИКА

ЛИНЕАРНЕ ЈЕДНАЧИНЕ И НЕЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ Линеарна једначина  Идентичности су једнакости облика: 2  a  b   a2  2ab  b2 , a  b  b  a , итд.

55,

3  3 ,

 Једначина са једном непознатом је она једнакост у којој се један број, означен словом, сматра непознатом, док се сви остали сматрају познатим.  Пример: Једначина 3x  2  5 за x  1 прелази у идентичност 3 1  2  5 , тј. 5  5 . Та вредност непознате, за коју једначина прелази у идентичност, зове се корен или решење једначине.  Еквивалентне линеарне једначине су оне једначине које имају исто решење. Пример:

Начин решавања једначине 1. Ослобађање од именилаца (множење са 2  3  6 ) 2. Ослобађање од заграда 3. Раздвајање непознатих од познатих 4. Свођење на обема странама 5. Дељење обе стране са коефицијентом непознате

4 x  1 3x  2   x 1 3 2

2  4 x  1  3  3x  2   6  x  1 8x  2  9 x  6  6 x  6 8x  9 x  6 x  6  2  6 7 x  14 14 x 2 7

 Линеарна једначина по x је свака једначина са непознатом x која се еквивалентним трансформацијама своди на једначину облика ax  b , a, b  . То је општи облик линеарне једначине са једном непознатом. 11

МАТЕМАТИКА

 Ако је a  0 , једначина има јединствено решење x 

b . a

 Ако је a  0 и b  0 , једначина постаје 0  x  b , дакле нема решења (једначина је немогућа).  Ако је a  b  0 , једначина постаје 0  x  0 , то значи да је једначина задовољена за свако x , има бесконачно много решења (свако x  је решење).

ЗАДАЦИ Решити следеће једначине: 1.

5  x  2 x    2x . 4 3

Решење: 5  x  2 x    2 x  15  x  2   4 x  24 x 4 3  15 x  4 x  24 x  30  x  6. 2.

 x  1 x  2  0 .

Решење:  x 1 x  2  0  x 1  0  x  2  0  x  1 x  2 . 3. а) 5  3x  1 x  2   0 ;

б)  x  1 x  2  x  3  0 .

1 Резултат: а) x    x  2 ; 3

б) x  1 x  2  x  3 .

4.  2 x  1 x  3   3x  1 2 x  1 . Решење: 12

МАТЕМАТИКА

 2 x  1 x  3   3x  1 2 x  1   2 x  1 x  3   3x  1 2 x  1  0   2 x  1  x  3   3x  1   0   2 x  1 2 x  2   0  2 x  1  0  2 x  2  0  x 

5.

1  x  1. 2

x2  0. 2x 1

Решење: x2 1  0  x  2  0  2x 1  0  x  2  x    x  2 . 2x 1 2 6. а)

x 3 x 1  0 ; б)  0. 6x  9 2x  2

Резултат: а) x  3 ; 7.

б) нема решења.

6 x2  9 3 3 2   . 2 3x  x x 3x  1

Решење: 6 x2  9 3 3 6 x2  9 3 3  2    2  2 3x  x x 3x  1 x  3x  1 x 3x  1

 6 x 2  9  2 x  3x  1  3  3x  1  3x  4 x  12  x  3 , уз услове x  0, x 

8.

1 . 3

x  6 x  5 2 x 2  23x  61   . x 5 x 6 x 2  x  30

Решење: x  6 x  5 2 x 2  23x  61 x  6 x  5 2 x 2  23x  61      0 x 5 x 6 x 2  x  30 x  5 x  6  x  5  x  6 

  x  6    x  5    2 x 2  23x  61  0  21x  0 2

2

 x  0 , уз услове x  5, x  6 . 13

МАТЕМАТИКА

9.

2 x  19 17 3  2  0. 2 5x  5 x  1 1  x

Резултат: x  3 . 10.

x 1 1 x 1 1    . x  1 x 1 x x 1

Резултат: нема решења. Апсолутна вредност

 x , x  0; x   x , x  0. 11.

3x  4   x  4 .

Решење: 4  3x  4 , x  ;   3x  4 , 3x  4  0;  3 3x  4       3x  4  , 3x  4  0.  3x  4 , x  4 .  3  4 За x  имамо: 3x  4   x  4  4x  8  x  2 . 3 4 За x  имамо: 3x  4   x  4  2 x  0  x  0 . 3 Закључујемо да су решења једначине x  0 и x  2 .

12.

x  2  3  2x  6 .

Решење:  x  2 , x  2; x2     x  2 , x  2. За x  2 имамо: x  2  3  2 x  6  x  5  2,   .

1 За x  2 имамо:  x  2  3  2 x  6  3x  1  x    , 2  . 3 14

МАТЕМАТИКА

Закључујемо да je решењe полазне једначине x  5 . 13.

x2 

x2 4  0. 3

Решење:  x  2 , x  2; x2    x  2 , x  2.

x2 4  0  x  4. 3 x2  4  0  x  2 . б) За x  2 имамо  x  2  3 Решења дате неједначине су x  2 и x  4 . а) За x  2 имамо x  2 

14.

3x  2 x  1  x  5  3 .

Решење:

x

 , 1

 1,5

5,  

x 1

-

+

+

1. 2. 1. За x   , 1 једначина се своди на:

+ 3.

x 5

3x  2  x  1  x  5  3  x  1 . x  1 није решење полазне једначине јер не припада интервалу  , 1 .

2. За x   1,5 једначина се своди на 3x  2x  2  x  5  3  x  5 . x  5 није решење полазне једначине јер не припада интервалу  1,5 .

3. За x  5,   једначина се своди на 3x  2x  2  x  5  3  3  3 , значи решење је свако x  5,   . Решење дате једначине је унија решења предходна три случаја. Скуп решења дате једначине је x  5,   . 15

МАТЕМАТИКА

15.

x  1  x 1  4 .

Резултат: x  2 . 16.

x  x  x 1  2 .

Резултат: x  1 . 17.

2x 1  x  3  x  6 .

Решење: По дефиницији апсолутне вредности постоје следећи случајеви. а) За x   , 6  једначина нема решења. б) За x   6, 3 једначина нема решења. 1  в) За x   3,   је 2x 1  x  3  x  6  x  2 . 2   1  г) За x    ,   је 2x  1  x  3  x  6  x  1 .  2 

Дакле, тражена решења су x  2 , x  1. 18.

x 1  2 x  2  3 x  3  4 .

Решење: По дефиницији апсолутне вредности постоје следећи случајеви. а) За x   ,1 једначина нема решења. б) За x  1, 2  је x  1  2   x  2   3   x  3  4  4  4, па је решење x  1, 2  . в) За x   2,3 је x  1  2  x  2   3   x  3  4  x  2 . г) За x  3,   је x  1  2  x  2   3  x  3  4  x  5 . Решење једначине је: x  1, 2

5 . 16

МАТЕМАТИКА

Линеарна функција  Линеарна функција је функција облика y  kx  n ; k , n  . k је коефицијент правца праве, n је одсечак на y оси.  Домен функције је Dx  . n  Нула функције y  0  x   . k  Ако је k  0 функција је строго растућа, ако је k  0 функција је строго опадајућа, а ако је k  0 права је паралелна x оси.  График линеарне функције је права.

ЗАДАЦИ 1. Дата је функција f  x   3x  4 .  1 Наћи: f  0  , f 1 , f  1 , f    .  3

Решење:  1 f  0   3  0  4  4 , f 1  7 , f  1  1, f     3 .  3

2. За које вредности параметра m стално расте?

функција y   m  1 x  2

Решење: Дата функција расте ако је m  1  0 , односно за m  1 . 3. У истом координатном систему нацртати графике функција y  2 x , y  2x  1 и y  2x 1. Решење: Графици датих функција приказани су на слици. 17

МАТЕМАТИКА

Испитати функције и скицирати њихове графике: 4. y 

1 x. 2

Решење: 1. Домен Dx 

.

1 x  0  x  0. 2 3. y  0 за x   , 0  , y  0 за x   0,   . 2. Нула функције y  0 

4. Како је k 

1  0 функција стално расте. 2

На основу испитаних особина дате функције график је приказан на слици.

18

МАТЕМАТИКА

5. y   x  3 . Решење: 1. Домен Dx  . 2. Нула функције y  0   x  3  0  x  3 . 3. Пресек са y осом је тачка  0,3 . 4. y  0 за x   ,3 , y  0 за x   3,   . 5. Како је k  1  0 функција стално опада. На основу испитаних особина дате функције график је приказан на слици.

6. а) y   x  1 ;

б) y  2 x  1 ;

в) y 

1 x4. 2

7. y  x . Решење: График дате функције приказан је на слици.

19

МАТЕМАТИКА

8. y  x  1 . Решење:

 x  1, x  0; y  x 1     x  1, x  0.

9. y  x  1  1 Решење:

, x  1; x y  x  1 1     x  2 , x  1.

20

МАТЕМАТИКА

10.

y  1 x .

11.

y  2 x  1  2 x  1.

12.

y  x  x  3.

13.

y  x  x2 .

Решење:

x

 , 2

 2, 0 

0,  

x

-

-

+

x2

y  2 x  2

+ y2

+ y  2x  2

14.

y  x 1  1 x .

15.

y  2 x  1  1  3x .

16.

y

x  x. x 21

МАТЕМАТИКА

Систем линеарних једначина са две непознате  Системи линеарних једначина са две непознате решавамо методом замене (супституције) или методом супротних коефицијената.

Начин решавања: Метода замене (супституције)

3x  2 y  11 Пример:  10 x  3 y  2

1. Решавање једне једначине (прве) по једној непознатој (по y ), сматрајући другу као познату.

y

2. Смена нађене вредности y у другој једначини.

10 x  3 

11  3x 2

11  3x  2 2

20 x  33  9 x  4 29 x  29 x 1

3. Решавање те једначине са једном непознатом

y

4. Одређивање вредности y из једначине под 1.

11  3 1 8  4 2 2 y4

x 1 , y  4 .

5. Решење система је: 22

МАТЕМАТИКА

Начин решавања: Метода супротних коефицијената

5 x  2 y  26 Пример:  3x  4 y  24

1. Множење прве једначине са 2, а друге са – 1.

10 x  4 y  52    3x  4 y  24

2. Сабирање једначина и решавање добијене једначине са једном непознатом.

10 x  4 y  52  3x  4 y  24 7 x  28 x4

3. Замена добијене вредности у било којој од једначина система и решавање једначине са једном непознатом.

x  4 , y  3.

4. Решење система је:

ЗАДАЦИ Решити следеће системе једначина: 1. 2 x  y  5 , x  3 y  6 . Решење: Систем решавамо методом замене: y  5  2x  2x  y  5  y  5  2x    x  3  5  2 x   6 x  3 y  6 x  3 y  6 

12  4 y  24 4 y  12 y 3

y  5  2x y  1   x3  x  3.  23

МАТЕМАТИКА

2. 2 x  y 15  0 , x  3 y  17  0 . Резултат: x  4 , y  7 . 3.

5x  2 y 7 x  5 y 7 x  2 y 5x  2 y  ,  1. 4 3 3 4

Решење: Систем решавамо методом супротних коефицијената: 5x  2 y 7 x  5 y    3  5 x  2 y   4  7 x  5 y   4 3   7 x  2 y 5x  2 y  4  7 x  2 y   3  5 x  2 y   12   1  3 4 13x  26 y  0  13x  26 y  0  x  2     13x  14 y  12  y  1 y  1.

4.

2x  y 5 x  2 y 7 3x  y 7x  4 y 2  , 1  2. 3 2 6 2 3

Резултат:  x, y   1,1 .

Линеарне неједначине  Линеарне неједначине су облика ax  b  0 , ax  b  0 a , b  и a  0 .

ЗАДАЦИ Решити следеће неједначине: 1. 5 

5  x  1 x 1  2 . 4 8

Решење: 24

ax  b  0 ,

ax  b  0 ,

МАТЕМАТИКА

5  x  1 x 1  2  40  2  x  1  16  5  x  1 4 8  7 x  21  x  3 .

5

2.

2  0. 5 x

Решење: 2  0  5  x  0  x  5  x   ,5 . 5 x 3.

2x  3  1. x 1

Решење: 2x  3 2x  3 2x  3  x 1 x4 1 1  0  0  0. x 1 x 1 x 1 x 1 Први начин решавања: x4 Знак израза прикажимо табелом: x 1

 , 1  1, 4   4,   x 1 x4 x4 x 1

-

+ -

+ +

+

-

+

Дакле, x   1, 4  . Други начин решавања:

x4  0   x  4  0  x  1  0   x  4  0  x  1  0 x 1   x  4  x  1   x  4  x  1  x   x   1, 4   x   1, 4  . 25

МАТЕМАТИКА

4.

3x  7  2. x5

Решење: 3x  7 3x  7 x 3 2 20   0. x5 x5 x5

x x 3 x5 x3 x5

 , 5

 5,3

 3,  

-

+

+ +

+

-

+

1   ,   2  -

 1    ,1  2  + -

1,  

+

-

+

Решење дате неједначине је x   5,3 . 5.

3x  1. x 1

Решење: 3x 3x 2x 1  1 1  0   0. x 1 x 1 x 1

x 2x  1 x 1 2x  1 x 1

1  Решење дате неједначине је x   ,   2 

6.

+ +

1,   .

2a  3  3. 4a

Решење: 5  a  3 2a  3 2a  3 5a  15 a 3 3 3  0  0 0  0. 4a 4a 4a 4a 4a 26

МАТЕМАТИКА

 ,3

 3, 4 

 4,  

+

+ +

+ -

-

+

-

a 3 4a a 3 4a

Решење дате неједначине је a   3, 4  . 7.

2x 1  2. x 1

Решење: 2x 1 2x 1 3 2 20   0  x  1  0  x  1. x 1 x 1 x 1 8. a)

3x  1 1 4 x 2x  ; б)  1 ; в)  3. 2x 1 2 x2 x 1

 1 3 Резултат: a) x    ,  ;  2 4

9.

б) x   , 2 

3,   ;

5 x 4  . x 1 x 1

Решење: 5 x 4 5 x 4 1 x    0 0. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1

x 1 x x 1 1 x x 1

 , 1

 1,1

1,  

+ -

+ +

+

-

+

-

Решење дате неједначине је x   1,1 . 27

в) x  1,3 .

МАТЕМАТИКА

10.

a)

2x  3 1 2x  1  ; б)  2. 5 x 2 x2

11   Резултат: a) x   ,  5 

11.

 5,   ;

б) x   2, .

x2  x  2  0 .

Решење: x2  x  2  0   x  1 x  2   0 .

x x2 x 1 2 x  x2

 , 2

 2,1

1,  

+

+ -

+ + +

1   ,   2  -

 1    , 2  2  +

 2,  

+

-

+

Решење дате неједначине је x   2,1 . 12.

1 

3x  1 1. 2x 1

Решење: Решавамо десну страну неједначине: 3x  1 3x  1 x2 1 1  0   0. 2x 1 2x 1 2x 1

x x2 2x 1 x2 2x 1  1  Решење је x    , 2 .  2 

28

+ +

МАТЕМАТИКА

Решавамо леву страну неједначине:

3x  1 3x  1 5x  1  1  0  0. 2x 1 2x 1 2x 1

x 5x 2x 1 5x 2x 1

1   ,   2  -

 1    ,0  2  +

 0,  

+

-

+

1  Решење је x   ,   2 

+ +

 0,   .

Решење дате неједначине је x   0, 2 . 13.

3 

x 1  5. x 1

3  1   Резултат: x   ,     ,   . 2  2  

14.

x  3  1.

Решење: 1  x  3  1  1  3  x  1  3  2  x  4 . 15.

а) 2 x  3  5 ;

Резултат: а) x   4,1 ;

б) 5 x  3  8 . 11  б) x   ,   5  29

1,   .

МАТЕМАТИКА

СТЕПЕНОВАЊЕ И КОРЕНОВАЊЕ Операције са степенимa. Појам и особине.  Производ n истих чинилаца: a  a  a   a , назива се n - тим степеном броја a и означава се са a n .  a се назива основа (база), a n изложилац (експонент) степена. За a , b 

; a , b  0 ; n , m

важи:

Рачунска радња

n - ти степен броја a

Правило an  a  a  a   a

Степеновање производа

 a  b

Степеновање количника

an a    bn b

Множење степена истих изложилаца

a n  bn   a  b 

n

n

 a  bn n

n

n

n

Дељење степена истих изложилаца Множење степена истих основа Дељење степена истих основа

an  a    bn  b  an  a m  a nm an  a nm m a

Степеновање степена

a   a 

Степен са изложиоцем 0

a0  1

n

Степен са негативним изложиоцем 30

a

n

m

m

n

 a nm

1 a  n,   a b

n

b   a

n

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 1. Извршити назначене операције:  2a5b2    a 2b  . 4

3

Решење:

 2a b    a b  5 2

4

3

2

 24 a 20b8a6b3  16a 26b11 .

2. Израчунати вредности следећих израза: 1

1 а) 3  3    ; 9 2

0

0

1 2  5   2 ; в) 2  2 3   3 1 д) 0,5  0,12  0, 22  3,70 . 2

б) 24  0,14 ;

г) 0,51  0, 252  0,1253  0,06254 ; Решење: 1

1 1 а) 30  32     1  2  9  2 ; 3 9

б) 2  0,1   2  0,1 4

4

4

4

1  0, 2     54  625; 5 4

0

1 1 21 2  5   5 1 2   4  4 7; в) 2 2 3  2  3 3  3  4  3  2 2

1

2

3

 1  1 1  1  г) 0,5 0, 25 0,125 0, 0625          2   4   8   16  2 3 4 24 8 16 66066 ; 1

2

3

д)  0,5   0,1   0, 2  1

2

4

4

2

1

2

2

5 1  2  3, 7           1  10   10   10  0

 2  102  52  1  78 . 31

МАТЕМАТИКА

3. 5  33  7  33  4  33  2   3  4   3  6   3 . 3

3

3

Решење: 3 3 3 5  33  7  33  4  33  2   3  4   3  6   3  2  33  0   3  54 . 3

4. Израчунати n за које је n 105  0,02  0,03 . Решење: n 105  0,02  0,03  n 105  6 104  n  6 104 105  n  60 . 5. Производ 0,04  0,06 написати у облику a 106 , где је a константа коју треба одредити. Решење: 0,04  0,06  0,0024  24 104  24 100 106  2400 106 , па је a  2400 . 6. Израчунати 20% од вредности израза 1

 4  1 2  2 1  2  0, 4   0,5   3   .  

Решење: 1

1

4  4  1 2  2  1 2   1  1 1 2  2  0, 4    0,5   3     2  0, 4     2   3      



  0,5  0, 4    2



1 4



1 2 2

3

1

 0,1  24  32  2  0,1 25  0,1 5  0,5 .

Сада израчунајмо 20% од 0,5:

20 1  0,5   0,5  0,1. 100 5 32

МАТЕМАТИКА

7. Упростити следеће изразе: 3

в)

 a b   1 2

3 4

3

 y 2   x 1  б)  2  :  2  ; x, y  0 ; x   y 

a 3ab2 а) 2 3 3 ; a, b  0 ; 3 ab

3

2

 a b   a b  г)     ; a  b ;  a b   a b 

; a, b  0 ; 1

a 2  b 2  a 2  b 2  д) 1 1   ; a, b  0, a  b ; a  b  ab  ђ)

ab1  a 1b ; a  b , a, b  0 . a 2  2a 1b1  b2

Решење: a 3ab2 32 ab3 9b а) 2 3 3  3 3 2  5 ; 3 ab aab a 3

3

 y 2   x 1  y 6 x3 y 6 y 6 y 6 1 1 б)  2  :  2   6 : 6  6  3  6  3 6  9 ; x y x x x x y x x   y  в)

1 ; a b

г)

12 24

ab ; a b

д)

1 ; ab

a b a 2  b2  ab  a b b a   2 ab ђ) 2 1 1 2 1 2 1 b  2ab  a 2 a  2a b  b   a 2 ab b 2 a 2b 2  a  b  a  b  ab   a  b  ab .  2 a b  a  b 1

1

  3x 3 3  9 x 1 2  x 6 y ; x, y  0 . 8.   2  :  3      5 y   5 y   15  

Резултат: xy . 33

МАТЕМАТИКА





9. a  x a x  1

1

 2  a 2 x  1  a  x  a x  1 ; a  0 , a x  1 . 1

1

Решење: 1 2 1 a x  1  2a x  a x  1  2x   0. a x a x 1 a 1 a x a x  1 a x a2x 1



10.









1 1 1   2 x ; a  0 , a x  1 . x x a 1 2 a 1 2 1  a



Резултат:

11.









a2x  1 . 2  a 2 x  1

 x  1  x   2

0

1  x 2  , x  0,1, 2. 1  2 x 1

Решење:

1 x2 1 1  2 1  x 2  1   2 1 x 1 2 x   x 0  1  x    1   x 2 2 1 2  1  x   1 2x 1  x  x  2   1 x x 2 x  2 x  x  1 x  1 x  1    . 2 x  x  2 x 1 1  x 



12.



2

a x  a x 1 a x  a x  ; a  0 , a x  1 . 2 x x x x a a a a 2

Решење: 1 1  a x 1  ax x x a x  a x 1 a x  a x a a  x   1 1 a 2 x  a x a  ax  2 x a  ax  2 2x a ax 1  a2x  a x 1  a2x ax ax   1  a3 x 1  a 2 x  2a x a2x ax 34

МАТЕМАТИКА

1 a  a 1 ax 1 ax x ax 1 ax 1 a .      2 x x x 2x x 1 a 1 a 1 ax 1 a a  a 1 1 ax a2 x 2x



x















 1  a x 1  a x 4a 2 x   1  a  x a2x       1  2 x   x  ; x 1  a  x a 2 x  1   a a 1   1 a a  0 , a x  1.

13.

Резултат:

a

4 x

 1

2

.

 a  a 1  1 a  a 1  a 1  ;a  0.  : 2 a  a 1  2  1  a 1  aa

14.

Резултат: 1 .

Oперације са коренима

 Свако решење једначине x n  a , a  кореном броја a , тј. n a . 

 a



n

n

n

 a , под условом да постоји

  a , n  2k  1; an     a , n  2k .

35

n

, n

a.

називамо n -тим

МАТЕМАТИКА

За a 

, n , m , p

важи:

Рачунска радња

Правило

n - ти корен броја a Корен производа Корен количника Основне особине корена

n

a

n

a b  n a  n b

n

a na  b nb

n

a  m

Степеновање корена

 a

Кореновање корена

n m

Степени са разломљеним изложиоцем

n

n

m

np

a

mp

n p

 a

m p

 n am

a  nm a

a a m

m n

ЗАДАЦИ 1. Израчунати вредности следећих израза:

4 3  27  4 ; 9

а) б) в) г)





 6

2

 64  4 ;

3 2

6



д)

2 1 

ђ)

 x  3

2

е)



3 2 ;

2 3  2 3

; 2

Решење: 4 3 2 5 а)  27  4    3  2  ; 9 3 3 36

3

2

2 1 ;

 x2 ;

20  14 2  3 20  14 2 .

МАТЕМАТИКА

 6

б)

2

 6 64  42  36  2  4  0 ;

в)



3 2



  3   2 

г)



2 3  2 3

2

3 2 

  2 2

2

 3 2 1;

 2  3  2  3   2 

32

3 6;

д) 1 ; ђ)

 x  3

2



, x  0; 3   x 2  x  3  x  3  2 x , 0  x  3;  3 , x  3. 

е) Како је 2  2



3

 23  12 2  12  2 2  20  14 2 , биће

3

20  14 2  2  2 . Аналогно,

20  14 2  2  2 па је

3

20  14 2  3 20  14 2  2  2  2  2  4 .

3

Рационалисати следеће имениоце: 2. а)

1 ; 5

б)

2 ; 2

Решење: 1 1 5 5 а) ;    5 5 5 5 в)

в)

1 ; 5

1 ; 5 1

б)

2 ; 2 3

в)

3

4 5

22

.

2 2 2 2 2     2; 2 2 2 2

б)

1 1 3 52 3 52 3 52 ; г)     3 5 5 3 5 3 52 3 53

3. а)

г)

3

4 5

22



2 ; 2 1

Решење: 37

4 5

22

г)



4

5

23

5

23



11 . 5 2

4 5 23  2 5 23 . 2

МАТЕМАТИКА

а)

1 1 5 1    5 1 5  1 5 1

б)

2 2 3 2 2 2 3    2 2 3 2 3 2 3 2  3



2



2 3 23

 2

2 2 в) 3 3  2 1 2 1

2   

 2





4.



4

2

 3 2 1

2

 3 2 1

2

 3 2  1   2   2 1

3

1



5 1 5 1 ;  5 1 4



    

2



3

2   

 2   2  1  2  1 2

3

3

3

3

2

4 11 11 г) 4 4 4 5 2 5 2

11

 5

2

3 2 ;

   2 3

5 1

52

5 4



 2   2  1  2  4  5  2 11 5  2  11 5  2    5  2  5  4 5 4 2

3

3

3

4

4

54  54



4

4

2

52





54 .

8 2 .  3 5 2 5

Решење: 8 2 8 3 5 2 2 5      3 5 2 5 3 5 3 5 2  5 2  5

  2  2  5   8 3  5   2  2  5  4 1 9  5 4 5  2  3  5   2  2  5   10 . 



8 3 5

2

2

38

3



2 1 ;

МАТЕМАТИКА



4 12   15 5.     6  2 3 6   6 1



6  11 .

Резултат: 115 . 2

2

 5 3 5 3  5 3 5 3        . 5 3  5 3 5  3   5 3

6.

Резултат: 2 . 7. Поређати по величини бројеве

3 , 3 4 , 4 5 . Објаснити.

Решење: Дате корене сводимо на заједнички, дванаести корен, тј. 12

36 ,

12

44 ,

12

53 или

12

729,

12

256,

12

125 . Значи,

33445.

Обавити назначене операције: 3

8.

x 4 y 2 : 3 xy 2 ; x  0 , y  0 .

Решење: 3



 

x 4 y 2 : 3 xy 2  3 x 4 y 2 : xy 2  3 x3  x . a  3 ab  6 ab2  12 a3b4 ; a , b  0 .

9.

Решење: a  3 ab  6 ab2  12 a3b4  12 a6 a 4b4 a 2b4 a3b4  12 a15b12  ab12 a3  ab 4 a .

10.

a5  3 a 2 :

Резултат: a



9 5





4

1 5



a 7  12 a11 ; a  0 .

a9



1 a 5 a4

. 39

МАТЕМАТИКА 4 6

11.

a5  12 a3  3 8 a9 

12

a ;a 0.

Решење: 4 6

a5  12 a3  3 8 a9 

12

a  24 a5  24 a3  24 a9  24 a  24 a18  4 a3 .

x  3 x  4 x2  3 x2 ; x  0 .

12.

Резултат: x  3 x . 1  2 x  x2 

13.

x5  x 4 1 1  2  4 ; x  1, x  0 . 2 x 1 x x

Решење: x5  x 4 1 1  2 4  2 x 1 x x

1 2 x  x2 

1  x 



3

1  x   2

x 4  x  1 x 2  1  4 x2 1 x

 1 x 1 x .

Упростити следеће изразе: 1 1 2 a   ; a  1, a  0 . a 1 a 1 a 1

14. Решење:





a 1 a  1  2 a 1 1 2 a    a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 

2



15.



a 1



a 1









a 1





2 . a 1

a a b b





a  b a  b



2 b ab  ;a b,a 0,b0. a  b a b 40

МАТЕМАТИКА

Решење: a a b b









a  b a  b

2 b ab  a  b a b



a a  b b  2 b  a  b   ab







a b

a  b a  b

a a  b b  2a b  2b b  a b  b a

 a  b  a  b a a  b  b a  b      a  b  a  b  16.

  a 2  2 1      a  b 





a b



2

 2 ab



a a b b  a b b a



  1. b a  b

a  b a  b a

;a 0,b0.

Резултат: a  b . Израчунати: 1

17.



1



2

 16  2  1 3  8  3 а)   ; б)   ; в)   .  25   27   27 

Решење: 1

16 4  16  2  ; а)    25 5  25 

 8  в)    27 



2 3

 1  б)    27 



1 3

2

1

 27 3  3 27  3 ; 2

2 2  27  3  27   27   3  9     3     3      .  8   8   8   2  4

41



a  b a  b

МАТЕМАТИКА

2

18.

1

1 2  2

 1  0,4   0,54     .   3   



Решење: 1



1

2 2 4 2 2   1    1 2   1  1  21  0, 4   0,54                   3    2 5    2   3   



1



1   24  32 10



1 2

1 а)    16 

19.

25 2 1   . 10 2



3 4



2

1  1 3      0,81 2 ; 8

б) 1000,5  810,25  160,75 .

Решење: 1 а)    16 



3 4



2

1 3 2    1 3  81      0,81 2  161  4  81  3    8  100 

1

 100  2  16  8      81  2 3

3 4

б) 100

0,5

 81

0,25

 16

0,75



1 2

 16    8   109  8  4  109  8  4 94  12 94 ; 4

3

1 2

3

2

1 4

 100  81  16

3 4

 100  81  16  10  3  8  5 . 4

4

3

3

1

 ab  3  a 4  6 b , a  0, b  0 .

20.

Решење: 1

3

 ab 3  a 4  6 b  3 ab  4 a3  6 b  12 a 4b4a9b2  12 a13b6  a12 ab6 . 21.

812

2

81 2

2

. 42

МАТЕМАТИКА

Решење: 812



2

81 2

2

81



1



22



1

81

1 4

 2 2

a b 1 2

a b

1 2



81

81

22.

1 4

a b



1 2

a b

1 2

1  14   81   

2



1 1  . 32 9

; a, b  0, a  b .

Решење: 1 1 1 1  12  12   12  12  2 2 2  a  b  a  b   a  b  a  b 2  a b a b      1  1 1 1 1 1 1 1 a2  b2 a2  b2 a2  b2 a2  b2 1 2

1 2

1 2

1 2

1 2

 a  b  a  b  2a  2 a .

23.

1 a



1 2

1 2

a 1

24.

a



1 2

a a ; a  0 , a 1. a 1

2 . 1 a

Резултат: 1



1 2

1 2

1 2 2

1  a   1  a  2



; a  0.

Решење:

a



1

1 2

1 2 2

1  a   1  a  2

1  a2 1  a2 a a2





1



a  1

1  a2 1 a   1  a2 a

1 a2

 1.

43

 1  a2

МАТЕМАТИКА

25.

Доказати идентитет:

1 x 1 x



1 2



1 2



1 x 1 x



1 2



1 2

1  x 1  2 ; x  0. 1  x 1

КВАДРАТНЕ ЈЕДНАЧИНЕ СА ЈЕДНОМ НЕПОЗНАТОМ И КВАДРАТНА ФУНКЦИЈА Квадратна једначина са једном непознатом  Квадратна једначина је једначина облика ax2  bx  c  0 ; a, b, c  ; a  0 . Једначина

ax2  bx  c  0

Образац за корене (решења)

x1 

ax2  c  0

b  b2  4ac b  b 2  4ac ; x2  2a 2a c c x1  ; x2   a a

ax2  bx  0 x  ax  b   0

b a x1  0 ; x2  0

x1  0 ; x2  

ax 2  0

ЗАДАЦИ Решити квадратне једначине: 1. 4 x2  9  0 . Решење:

4 x2  9  x2 

9 9 3  x1,2    x1,2   . 4 4 2 44

МАТЕМАТИКА

2.

2 2 4 x  x  0. 3 5

Решење: 2 2 4 x  x  0  10 x 2  12 x  0  5 x 2  6 x  0 3 5 6  x  5 x  6   0  x1  0  x2   . 5 3. x2  5x  6  0 . Решење: x2  5x  6  0  x1,2 

  5  

 5

2

 4 1  6

2 1



5  25  24 5  1  2 2

 x1  3  x2  2 .

4. x2  x  2  0 . Решење: x 2  x  2  0  x1,2 

1  1  8 1  3   x1  1  x2  2 . 2 2

5. x2  6 x  58  0 . Решење: x 2  6 x  58  0  x1,2 

6  196 6  14i   x1,2  3  7i . 2 2

6. x2  10 x  25  0 . Решење: x 2  10 x  25  0  x1,2 

10  0  x1  x2  5 . 2 45

МАТЕМАТИКА

7. mx   m  n  x  n  0 ; m  0 . 2

Решење: mx 2   m  n  x  n  0

 x1,2 

mn

m  n

2

 4mn

2m

 x1  1  x2 



mn

m  n 2m

2



m  n  m  n 2m

n . m

8. x2  2ax  a2  b2  0 . Резултат: x1,2  a  bi . 9.

 x  2    2 x  3 2

2

 13  4 x .

Решење: 2 2  x  2    2 x  3  13  4 x  x 2  4 x  4  4 x 2  12 x  9  13  4 x  0  5 x 2  12 x  0  x1  0  x2  

10.

12 . 5

 2 x 15 2 x  7    x  36 x  8  36  0 .

Решење:  2 x  15 2 x  7  x  36  x  8  36  0

 x 2  49  x1,2   49  x1,2  7 . 11.

2 2 2 1 2 17 x  2 x 1 x  5  x2  x  1. 3 9 2 9 18

Решење:

46

МАТЕМАТИКА

2 2 2 1 2 17 x  2 x 1 x  5  x2  x  1 3 9 2 9 18 2 20 3 2 17  x2  x  x  5  x2  x  1 3 9 2 9 18 2 2  12 x  40 x  27 x  90  4 x 17 x  18 9  4 x 2  25 x  36  0  x1  4  x2  . 4 12.

2 x x 2  25 5 5  2   . x  9 x  81 x  9 x  9

Решење: Услов дефинисаности једначине је x  9 . 2x x 2  25 5 5 2x x 2  25 5 5  2       x  9 x  81 x  9 x  9 x  9  x  9  x  9  x  9 x  9

 2 x  x  9    x 2  25   5  x  9   5  x  9   x 2  18 x  65  0  x1  5  x2  13 .

13.

5x 5 4x  5   2 . 2x  x 1 2x  1 x 1 2

Решење:

1 Услов дефинисаности једначине је x  1 и x   . 2 5x 5 4x  5 5x 5 4x  5   2    2 2x  x 1 2x 1 x 1  x  1 2 x  1 2 x  1  x  1 x  1  5 x  x  1  5  x  1 x  1   4 x  5  2 x  1 5  8 x 2  11x  10  0  x1    x2  2 . 8 14.

1

2x 27 6  2  . x  4 2x  7 x  4 2x 1

Решење: 47

МАТЕМАТИКА

Услов дефинисаности једначине је x 

1 и x  4 . 2

2x 27 6 1 1  2   6 x 2  x  1  0  x1   x2   . x  4 2x  7 x  4 2x 1 2 3 1 Због услова задатка решење је само x   . 3 1

15.

2x  m 2x  2. x xm

Решење: Услов дефинисаности једначине је x  0 и x  m . 2x  m 2x   2  2 x 2  mx  m2  0 x xm

m  m 2  8m 2 m  3m  . 4 4 m  3m m  3m m  m  x2   . За m  0 имамо да је x1  4 4 2 За m  0 нема решења.  x1,2 

16.

m x xm 2mx   2 . m  x x  m m  x2

Резултат: За m  0 имамо да је x1,2 



m 1 i 3 2

 . За m  0 нема

решења. 17.

2 x2  5x  3 x  2  0 .

Решење:  x  2 , x  2; x2    x  2 , x  2. За x  2 имамо једначину: 2 x2  5x  3x  6  0  2 x 2  8x  6  0  x1  1  x2  3 . 48

МАТЕМАТИКА

Решење x1  1 не припада интервалу x  2 . За x  2 имамо једначину: 2 x 2  5 x  3x  6  0  2 x 2  2 x  6  0  x1 

1  13 1  13  x2  . 2 2

1  13 не припада интервалу x  2 . 2 1  13 Решења дате једначине су x  3 и x  . 2

Решење x2 

18.

1 Решити једначину  x  1  x  1   . 2

Решење:

 x, x  0; С обзиром да је x   имаћемо следеће случајеве:  x, x  0. а) x  0 : 1 1  x  1  x  1     x  1 x  1   2 2 1 1 1  x 2  1    x 2   x1,2   . 2 2 2 1 Због услова x  0 решење дате једначине је x  . 2 б) x  0 : 1 1 1 2  x  1  x  1     x  1  x  1      x  1   2 2 2 1 1 1 1 2   x  1   x  1    x  1   x  1  . 2 2 2 2 Обе вредности су негативне, па задовољавају услов x  0 . Једначина има следећа три решења: 1 1 1 x1  , x2  1  , x3  1  . 2 2 2 19.

2 x2  5x  2  0 . 49

МАТЕМАТИКА

Решење: 2   5 x  2 , x  5 ; 5x  2   5 x  2 , x  2 .  5 2 За x  имамо једначину 2 x2  5x  2  0 , чија су решења: 5 1 x1  , x2  2 . 2 2 За x  имамо једначину 2 x2  5x  2  0 , чија су решења: 5 5  41 5  41 . x1  , x2  4 4 Решења дате једначине су: 1 5  41 5  41 . x1  , x2  2, x3  , x4  2 4 4 20.

Наћи производ свих реалних решења једначине x2  2 x  3  x  1 .

Решење:

2   x  2 x  3 , x   , 1 3,   ; x  2x  3   2     x  2 x  3 , x   1,3 . а) Ако x   , 1 3,   полазна једначина 2

је

облика

x2  2 x  3  x  1 или x2  3x  4  0 . Оба њена решења x  1 и x  4 задовољавају почетни услов. б) Ако x   1,3 полазна једначина је облика  x2  2 x  3  x  1 или x2  x  2  0 . Њена решења су x  1 и x  2 . Решење x  2 задовољава почетни услов. Дакле решења полазне једначине су x1  1, x2  2 , x3  4 па је вредност траженог производа x1 x2 x3  8 . 50

МАТЕМАТИКА

21.

a) x 2  x  2  0 ;

Резултат: a) x1,2  1;

б) x 2  x  1  0 . б) x1,2 

1  5 . 2

Одређивање природе решења квадратне једначине  Дискриминанта ( D ) једначине ax2  bx  c  0 ; a  0 је     

D  b2  4ac . Природа решења квадратне једначине ax2  bx  c  0 ; a  0 , одређује се у зависности од знака дискриминанте. Ако је D  0 једначина има два различита реална решења. Ако је D  0 једначина има једно двоструко реално решење. Ако је D  0 једначина има један пар коњуговано комплексних решења. Имагинарна јединица: i  1 .

 Примери:  Ако је n 

4  2i , 9a 2  3ai , i 2  1, i3  i , i 4  1 . важи: i 4n  1; i 4n1  i ; i 4n2  1; i 4n3  i .

 Примери неких комплексних бројева: 3  i , 2i 1, a  bi .  Примери коњуговано комплексних бројева: a  bi , 2  5i .

ЗАДАЦИ Не решавајући једначине одредити природу решења датих једначина: 1. 3x2  10 x  3  0 . Решење: D  100  36  64  0 , решења су реална и различита. 51

МАТЕМАТИКА

2. x  6 x  9  0 . 2

Решење: D  36  4  9  0 , једначина има двоструко реално решење. 3. x2  4 x  5  0 . Решење: D  16  20  4  0 , решења су коњуговано комплексни бројеви. 4. Дата је квадратна једначина x2  kx  k  0 . Ако су решења једначине коњуговано комплексна, којем скупу припада параметар k ? Решење: Решења су коњуговано комплексна ако је D  0 , тј. b2  4ac  0 или у овом случају: k 2  4k  0  k   0, 4  . Растављање квадратног тринома на линеарне чиниоце  Квадратни трином је ax2  bx  c ; a  0 .  Ако је D  0 и x1 , x2 су решења квадратне једначине

ax2  bx  c  0 ; a  0 , тада је ax2  bx  c  a  x  x1  x  x2  .

 Ако је D  0 тада је ax2  bx  c истог знака као и a за све вредности x .  Ако је D  0 тада је ax2  bx  c истог знака као и a за све вредности x .  Ако је D  0 и x1  x2 тада ax2  bx  c има: исти знак као и a за x  x1 и x  x2 ; супротан знак знаку коефицијента a за

x1  x  x2 .  Канонски облик квадратног тринома: 2  b  4ac  b 2  2 ax  bx  c  a  x    . 2a  4a 2   52

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ Раставити на линеарне чиниоце следеће квадратне триноме: 1. 12 x2  x  6 . Решење: Решења једначине 12 x2  x  6  0 су x1 

3 2  x2   . 4 3

Дати трином растављамо:

3   2   12 x 2  x  6  12  x    x      4   3   3  2   12  x   x     4 x  3 3x  2  . 4  3  2. а) x2  4 x  3 ;

б) 2 x2  5x  2 .

Резултат: а)  x  1 x  3 ;

б)  x  2 1  2 x  .

Вијетове формуле

 Ако су x1 и x2 решења квадратне једначине

ax2  bx  c  0 ; a  0 тада важе релације: b c x1  x2   , x1  x2  , које се зову Вијетове формуле. a a b c  ax 2  bx  c  0  x 2  x   0  x 2   x1  x2  x  x1 x2  0 . a a

53

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ Саставити бар једну квадратну једначину чија су решења: 1. а) x1  2  x2  5 ; б) x1  1  3i  x2  1  3i ;

в) x1  2  x2 

1 . 2

Решење: а) x2   2  5 x  2  5  0  x 2  7 x  10  0 ; б) x2  1  3i  1  3i  x  1  3i 1  3i   0  x 2  2 x  10  0 ; в) 2 x2  5x  2  0 . 2. Ако су

x1 и

одредити m

x2

решења једначине

x2  2mx  m2  1  0 ,

из релације x12  x22  16 .

Решење: 2 x1  x2  2m , x1  x2  m2  1 ; x12  x2 2   x1  x2   2 x1 x2 ;

 2m

2

 2  m2  1  16  m2  9  m1,2  3 .

3. Ако су x1 и x2 решења једначине x2  x  m  1  0 , одредити m

из релације x13  x23  7 .





Резултат: x13  x23   x1  x2   x1  x2   3x1 x2 ; m  1 . 2

4. Ако су x1 и x2 решења једначине x2  2mx  2  0 , одредити параметар m Резултат: m 

из услова  3x1  1 3x2  1  10 .

3 . 2

5. Израчунати 2 x12  x1 x2  x2 2  x1  2005 , ако су x1 и x2 решења једначине x2  x  2005  0 . 54

МАТЕМАТИКА

Решење: 2 x12  x1 x2  x2 2  x1  2005  x12  2 x1 x2  x2 2  x1 x2  x12  x1  2005

  x1  x2   x1 x2  x12  x1  2005 . 2

x1  x2  1 , x1 x2  2005 и x12  x1  2005  0 јер је x1 решење једначине x2  x  2005  0 . Сада је: 2  1   2005  0  1  2005  2006 . 6. За које реалне вредности параметра k је збир квадрата решења једначине x2  kx  k  2  0 најмањи? Решење: Како је x1  x2  k и x1 x2  k  2 , биће

 x1  x2 

2

 k 2  x12  2 x1 x2  x22  k 2

 x12  x22  k 2  2k  4   k  1  3 . Збир квадрата има најмању вредност ако је k  1. 2

7. За које вредности параметра m једначина  m  5 x2  4mx  m  2  0 има реална решења супротног знака? Решење: Из услова задатка имамо D  0  x1  x2   3m2  7m  10  0  10    m   ,   3 

m2 0 m5

1,  

c 0 a

 m   2,5   m   2,5  .

8. За које вредности параметра k су решења квадратне једначине 4 x2  8kx 12 x  1  0 једнака по апсолутној вредности? Решење: Из услова задатка следи да је x1   x2 , па имамо два случаја: 55

МАТЕМАТИКА

а) x1  x2  D  016  2k  3  16  0   2k  3  1  k  1  k  2 ; 2

2

б) x1   x2  x1  x2  0  2k  3  0  k 

3 . 2

 3  Значи, k  1, , 2  .  2 

Квадратна функција  Функција y  ax2  bx  c ; a  0 назива се квадратна функција.  График квадратне функције је крива која се назива парабола.  Kанонски облик квадратне функције гласи: b  4ac  b2  . y  a x    2a  4a   Домен функције је Dx  . 2

 Нуле функције се добијају решавањем једначине ax2  bx  c  0 . b 4ac  b 2  Тачка T  xT , yT  je теме параболе: xT   , yT  . 2a 4a  Ако је a  0 функција има минимум.  Ако је a  0 функција има максимум.

56

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 1. Дата је функција f  x   3x 2  2 x  4 . Наћи:  1 f  0  , f 1 , f  1 , f    .  2

Решење:  1  23 . f  0   3  02  2  0  4  4 , f 1  5 , f  1  9 , f      2 4

2. Дата је функција f  x   x 2  5x  c . Одредити c 

ако је

f  2   10 . Резултат: c  4 . 3. Одредити екстремне вредности функције f  x   2 x 2  8x  6 . Решење:

a  2  0 ; xmin Tmin  2, 2  .

b 4ac  b2 4  2  6  64   2 ; ymin    2 . 2a 4a 42

4. Одредити екстремне вредности функције f  x    x 2  6 x  5 . Резултат: ymax  3  4 . 5. За коју вредност m минимум једнак 2 ?

функција y  x2  mx  m  1 има

Решење:

4  m  1  m2 yT  2   2  m2  4m  12  0  m1  6  m2  2 . 4 57

МАТЕМАТИКА

6. У квадратној функцији y   m  2  x 2  1  m  x  m одредити m

тако да функција има максимум за x  2 .

Резултат: m  3 . Испитати функције и скицирати графике: 7. y  2 x 2 . Решење: Функција је дефинисана за x  . Нуле функције: y  0 за 2 x 2  0 , тј. x  0 . Дакле нула функције је тачка (0, 0) .

 x   y  0 . Теме функције је тачка T (0,0) . Како је a  2  0 , теме је максимум функције. y расте за x   , 0  , а y опада за x   0,   .

8. y   x 2  4 x . Решење: 58

МАТЕМАТИКА

Функција је дефинисана за x  . Нуле функције: y  0   x2  4 x  0  x   x  4   x  0  x  4 . Дакле нуле функције су тачке (0, 0) и (4, 0) .

y  0 за x   0, 4  , а y  0 за x   ,0 

 4,   .

4   1  0  42 4  4 тј. Теме функције је тачка xT    2 , yT  2   1 4   1 T (2, 4) . Како је a  1  0 , функција има максимум.

y расте за x   , 2  , а y опада за x   2,   .

9. y   x  2  . 2

Решење: Нула функције је тачка  2, 0  . Пресек графика функције са y осом је тачка  0, 4  .

 x   y  0 . Теме функције је тачка T (2,0) . Како је a  1  0 , функција има минимум. y опада за x   , 2  , а y расте за x   2,   .

59

МАТЕМАТИКА

10.

1 11 y   x 2  3x  . 2 2

Решење: Функција нема реалних нула.  x 

 y  0.

11   Пресек графика функције са y осом је тачка  0,   . 2  Теме функције је тачка T  3, 1 .

1 Како је a    0 , функција има максимум. 2 y расте за x   ,3 , а y опада за x   3,   .

60

МАТЕМАТИКА

11.

y  x 2 x . 2

Решење:

 x 2  2 x, x  0; y  x2  2 x   2  x  2 x, x  0.

12.

y  x2  4 x  3 .

Резултат:

13.

y  x  x2  x .

Решење:

x   0,1 ;   x2 , y  x  x2  x   2  x  2 x , x   , 0  1,   .

61

МАТЕМАТИКА

14. 15.

1 а) y   x 2  1 ; 2 2 а) y  x  x ;

б) y  x 2  2 x  1;

в) y 

1 2 3 x x . 2 2

б) y  x  x 2  x .

Квадратне неједначине  Неједначине ax2  bx  c  0 , ax2  bx  c  0 , ax2  bx  c  0 , ax2  bx  c  0 називају се квадратне неједначине.

ЗАДАЦИ Решити неједначинe: 1. x2  2 x  15  0 . Решење: Решења једначине x2  2 x  15  0 су x1  3 и x2  5 . Коришћењем Вијетове формуле растављамо квадратни трином: x2  2 x  15   x  3 x  5 .

x x 3 x5 2 x  2 x  15

 , 5

 5,3

3,  

+

+ -

+ + +

Решење неједначине је x   , 5 62

3,   .

МАТЕМАТИКА

2. 2 x  x  1  0 . 2

Решење: 1  2 x 2  x  1  2  x  1  x     x  1 2 x  1 . 2  1   1  x  ,     ,1 2   2  2x  1 + x 1 2 + 2x  x 1  1  Решење неједначине је x    ,1 .  2  2 3. 2 x  3x  2  0 .

1,   + + +

Решење: 1 1   2 x 2  3x  2  2  x  2   x    0  x   ,   2 2  

 2,   .

4. 2 x2  3x  5  0 . Решење:  D  31  0  a  2  0  x 

 2 x 2  3x  5  0 .

5. 4 x2  12 x  9  0 . Решење: 4 x 2  12 x  9   2 x  3  0 , решење неједначине је x  2

6. x2  7 x  12  0 . Решење: x2  7 x  12  0   x  4  x  3  0  x  3  x  4 . 63

3 . 2

МАТЕМАТИКА

7. x  x  x  1 . 2

Решење: 2   x  x , x   ,0 1,+  ; x2  x   2    x  x , x   0,1 . а) За x   ,0 1,+  неједначина је облика:

x2  x  x  1  x 2  1  0  x   , 1 Уз почетни услов имамо

1,   . x   , 1 1,   .

б) За x   0,1 неједначина је облика  x2  x  x  1  0   x  1  0 која нема решења. 2

Решење полазне једначине је x   , 1

1,   .

x2  5x  6 0. 8. 1 2x Решење:  x  2 x  3  0 . x2  5x  6 0 1  2x 1  2x 1 1   x  ,   , 2  2  2   + 1  2x 2 + + x  5x  6

x2  5x  6 1 2x

+

 2,3  3,  

-

1  Решење неједначине је x   ,  2  2 9. x  1  2 x  0 .

Решење: 2  x   , 1 x 1 , 2 x 1   2    x  1 , x   1,1 . 64

 2,3 .

1,   ;

-

+

+

-

МАТЕМАТИКА

а) За x   , 1

1,  

неједначина постаје





x 2  1  2 x  0  x 2  2 x  1  0  x  1  2 ,1  2 .



Уз почетни услов добијамо x  1, 1  2 . б) За x   1,1 неједначина постаје



 x 2  1  2 x  0  x 2  2 x  1  0  x  , 1  2





  1



2,  .

Уз почетни услов добијамо x  1  2 , 1 . Решење неједначине је x  1  2 ,1 1,1  2  1  2 ,1  2 .



10.



 

x2 1  , x 4 1 x 2

Решење: Како је  x 



.

 1  x4  0 , биће дата неједначина еквивалента са

x4  2 x2  1  0 , односно  x 2  1  0 . 2

Добијена неједначина је задовољена x  11.

Доказати неједнакост

2a  1, a  1  a2

. .

Решење: 2 a 2  1  0 , a 2  2a  1  0   a  1  0 .

Биквадратна једначина  Једначина ax4  bx2  c  0 ; a  0 назива се биквадратна једначина.  Биквадратна једначина се решава сменом x 2  t . 65

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ Решити биквадратне једначине: 1. x4  13x2  36  0 . Решење: У датој једначини x4  13x2  36  0 уводимо смену x 2  t . Биквадратна једначина постаје квадратна по t : t 2  13t  36  0 , чија су решења t1  9 , t2  4 . На основу уведене смене добијамо решења полазне једначине: x1,2  3 , x3,4  2 . 2. x4  5x2  4  0 . Резултат: x1,2  1, x3,4  2 . 3. x4   9  a 2  x2  9a 2  0 ; a 

.

Резултат: x1,2  a , x3,4  3 . 4.

x2 x2  1 3   . x2 1 x2 2

Резултат: x1,2   2 , x3,4  

3 . 3

2

1 1   5. 5  x    16  x    52  0. x x  

Резултат: x1,2  1, x3 

1 1 , x4  . 5 5

66

МАТЕМАТИКА

Системи квадратних једначина са две непознате ЗАДАЦИ Решити системе једначина: 1. x 2  xy  y 2  7 ,

x  y  5. Решење: 2 x 2  xy  y 2  7  x 2  xy  y 2  7  x 2  x  5  x    5  x   7       x y 5  y  5 x  y  5 x 

x2  5x  6  0     x1 , y1    3, 2  ,  x2 , y2    2,3 . y  5 x  2. x 2  y 2  2  xy  2  ,

x y  6. Решење: 2 2 x 2  y 2  2 xy  4  x  y   4  2 x  6   4       x y 6 y  6  x  y  6  x     x1 , y1    4, 2  ,  x2 , y2    2, 4  . 3.

 x  3

2

 y2  2 ,

x  y  3. Резултат:  x1 , y1    2,1 ,  x2 , y2    4, 1 . 4. x 2  y 2  25 ,

x 2  2 y 2  41. 67

МАТЕМАТИКА

Решење: Уводимо смене x 2  u , y 2  v , па се дати систем своди на систем по u и v : u  v  25  u 9   . На основу смена решење је  3 ,  4  . u  2v  41 v  16 5. 5 x 2  6 y 2  111 ,

7 x 2  3 y 2  714 . Решење: Уводимо смену x 2  u , y 2  v , па се дати систем своди на систем по u и v : 5u  6v  111  u  81   . На основу смена решење је  9 ,  7  . 7u  3v  714 v  49  6. x 2  y  23 ,

x 2 y  50 . Решење: Уводимо смену x 2  u ,  y  v и решења полазног система су

 5, 2 ,  i



2, 25 .

Ирационалне једначине  Једначина код које се израз који садржи непознату налази под кореном назива се ирационална једначина.  Једначине се решавају степеновањем. 

n

f  x  g  x  f  x  g n  x ; x 



n

f  x   g  x    g  x   0  f  x   g n  x  ; x  68

; n  2k  1 . ; n  2k 

.

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ Решити следеће једначине: 1.

2 x  5  x  2.

Решење: 2 2 x  5  x  2  x  2  0  4  x  5   x  2   x  2  4 x  20  x 2  4 x  4  x  2  x 2  16  0  x  4 .

2.

4  2x  x 2  x  2 .

Решење: 4  2 x  x2  x  2  x  2  0  4  2 x  x2   x  2  x  3 . 2

3.

x2  x  3  3.

Решење:

x2  x  3  3  x2  x  3  9  x 2  x  12  0  x  3  x  4 . 4.

1 x2  9  x .

Решење:

1  x2  9  x  x2  9  x  1  x  1  x 2  9   x  1  x  1  2 x  10  x  5 . 2

5.

Одредити реална решења једначине

Решење:

2 x2  7  x2  4 .

2 x2  7  x2  4  2 x2  7   x2  4  x2  4  0 2

 2 x 2  7  x 4  8 x 2  16  x  2 69

МАТЕМАТИКА

 x  10 x  9  0  x  2   x 2  1  x 2  9   x  2 4

2

  x  1  x  3  x   , 2 6.

г) 12  x x 2  8  3 ; Резултат: а) x  5 ; г) x  3 ; 7.

x  2  x ; в)

x2  3x  1  7  2 x ; б)

а)

 2,    x  3

 x  3.

2x 2  x  x  2 ;

6  x  x2  x 1.

д)

б) x  2 ; д) x  1 .

в) Нема решења;

x  1  2x  3  1.

Решење: x 1  2x  3  1  x 1  0  2x  3  0  3  x  1  x    x  1  2 2  x  1  2



x 1  2x  3



2

1

 x  1 2 x  3  2 x  3  1

 x  1 2 x  3  3x  3



 x  1  3x  3  0  2

 x  1 2 x  3 

2

  3 x  3 

2

 x  1  x  1  x 2  2 x  3  0  x  1   x  3  x  1  x  1.

8.

x 3  x  2  5.

Решење:

x  3  x  2  5  x  3  x  2   x  3 x 3 2  x  3 2



x3  x 2



2

 25

 x  3 x  2   x  2  25

 x  3 x  2   26  2 x  x  3   x  3 x  2   13  x

 x  3  13  x  0 



 x  3 x  2  

2

 13  x 

2

 x  3  x  13  25 x  175  x  3  x  13  x  7  x  7 . 70

МАТЕМАТИКА

9.

Одредити реална решења једначине

x  4  x  3 1  0 .

Решење: Остављањем на левој страни једначине само квадрирањем једначине добија се једначина нема реалних решења.

x2  5  x 1 .

10.

Резултат: x  3 .

x  5  3  x  1.

11.

Резултат: нема решења.

2x  8  x  5  7 .

12.

Резултат: x  4 .

2x  1  x  5  3  0 .

13.

Резултат: нема решења.

x 2  1  1  x 2  1.

14.

Резултат: нема решења.

4x  5  2x  1  x  1 .

15.

Резултат: x  5 . 16.

3

x  2  3 2  x 1.

Решење: 71

x4 и x  3  3 . То значи да дата

МАТЕМАТИКА 3

x  2  3 2 x 1



3

x2  3 2 x



3

1

 x  2  3  3  x  2   2  x   3  3  x  2  2  x   2  x  1 2

 3  3  x  2  2  x 



2

3



x  2  3 2  x  3

 3 4  x 2  1  4  x 2  1  x 2  5  x1,2   5 . 17.

3

x  3  3 10  x  1 .

Резултат: x1  2, x2  11 .

2x  2 x2 7   . x2 2 x  2 12

18.

Решење:

2x  2  t , добијамо квадратну једначину x2 4 3 12t 2  7t 12  0 чија су решења t1  и t2   . 3 4 3 4 Решење t2    0 па га елиминишемо. Дакле, t  па је: 4 3 2x  2 4 2 x  2 16     x7. x2 3 x2 9 Ако уведемо смену

19.

5

16 x 5 x  1 5   . x 1 16 x 2

Резултат: x1  

20.

1 , x2  2 . 511

а)

3

x  3 3 5 x  2 13   ; 5x  2 x3 6

в)

3

x2  3 x  0 .

б) 2  3 x  5 6 x  18  0 ;

72

МАТЕМАТИКА

30 , x2  5 ; 127 в) x1  0 , x2  1 .

Резултат: a) x1  

б) смена:

6

x  t , x  64 ;

ЕКСПОНЕНЦИЈАЛНА И ЛОГАРИТАМСКА ФУНКЦИЈА Експоненцијална функција  Функција y  a x ; a  0 ; a  1 назива се експоненцијална функција.  Домен функције је Dx  .  Функција нема нула.  Пресек графика функције са y осом је тачка  0,1 .  Знак функције: a x  0 .  Ако је a  1 , функција je строго растућа, а ако је 0  a  1 строго опадајућа.  x оса тј. права y  0 је хоризонтална асимптота функције.

73

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 1 1. Скицирати графике функција y  2 и y    2 координатном систему.

x

x

у истом

Решење:

Испитати функције и скицирати графике: 2. y  3x  1 . Решење: Функција је дефинисана x  . y  0 тј. 3x 1  0  3x  1  x  0 , нула функције је тачка  0, 0  .

y  0 за x   , 0  , а y  0 за x   0,   . Како је a  3  0 , функција стално расте. Права y  1 је хоризонтална асимптота функције.

74

МАТЕМАТИКА x

1 3. y    .  2

Решење:   1 x , x 0;   x  2 1 y    x 2  1  x  2   2 , x  0 . 

4. y  2

x x

.

Решење:

y2

x x

 2 x  x  20  1 , x  0 ;   x x 2x , x  0. 2  2

75

МАТЕМАТИКА

2 , x  1;  1 5. y  2 ,  1  x  1;  2 x , x  1.  x

Решење:

6. y  3x  1 . Решење:

 3x  1 , x  0 ;  3 1 , x  0  y   x   1  x 3  1 , x  0     1 , x  0 .  3  x

x

x

1 1 x x 7. a) y     1 ; б) y     1 ; в) y  2 ; г) y  2 x  2 ;  3 3

д) y  3

x2

. 76

МАТЕМАТИКА

Експоненцијалне једначине  Експоненцијалне једначине су једначине код којих се непозната налази у изложиоцу степена.  a x  b ; a  0 ; a  1; b  0 .  a  a

f  x

 a g  x  f  x   g  x  .

f  x

 c f  x ; a  c  f  x   0 .

ЗАДАЦИ Решити следеће једначине: 1. 2 x  8 . Решење: 2x  23  x  3 .

2. 9



1 x

 3.

Решење:

9



1 x

 3   32 



1 x



 31  3

2 x

 31  

2  1  x  2 . x

x

 1  3.    81 .  27 

Решење: x

4  1  3 x 4 3 x 4    81   3   3  3  3  3x  4  x   . 3  27   4 4.   5

0, 2 x



125 . 64 77

МАТЕМАТИКА

Резултат: x  15 . 5. a x  a  x a3 ; a  0 ; a  1 . Решење: 3 x

1 2

a  a  a  a a  a  a x

x

 x

6.

x

3

x

x

1 2

a

3 x

1 3 3   2 x 2  x  6  0  x  2  x  . 2 x 2

16  8 x .

Резултат: x1, 2    3 7.   7

3 x 7

7    3

8 . 3

7 x 3

.

Решење:

  7 1       3      3x  7  7 x  3  x  1.

3   7

3 x 7

7   3

7 x 3

3 x 7

7   3

7 x 3

7    3

3 x  7

7   3

x

8. 0,125  4

2 x 3

 8    .  2

Решење: 0,125  42 x 3 3

 2 2

x 1 2 2 x 3  23  8    2  1  8  2  2 2

4 x 6

2

5 x 2

2

4 x 9

2

5 x 2

   

x

 4x  9  78

5 x  x  6. 2

7 x 3

МАТЕМАТИКА

9.

2

2 x 1

4

x 1

x 1

8

 64 .

Резултат: x  2 .

0, 2 x 0,5 0, 04 x .  25 5

10.

Резултат: x  1 .

0,5 x  2 2 x1  64  1 . 2

11.

Решење: x2

2 1 0,5  2  64  1     22 x  2  26  20  2 x  2 x 8  20 2 2   x  2 x  8  0  x  2  x  4 .

x2

2 x 1

3x54  7 3x58  162 .

12.

Решење:

3

x 54 2

3

13.

 7  32  3 x 54 2

x 54 2

 36 

 5    3

x 1

 162  3

x 54 2

 7  1    162  9

x  54  6  x  66 . 2

 9    25 

x 2  2 x 11

9

 5   .  3

7 Резултат: x1   , x2  2. 2 14.

2 2 x3  4 x

2

3 x 1

. 79

МАТЕМАТИКА

7 . 2

Резултат: x1, 2  2 

3

15.

3

23

x2 3

x 1

 1,5 .

Решење: 3

3

23 

x2 3

 1,5 

x 1

 x 3

2

3 x 3

2

1

3 3 3

x

3

3 x 0 3 x



3

3 x 3 3

3

2

x

3 x 1 3

2

3 x

 30



x 1  0

 3 x  0  3 x  1  x  0  x  1.

   

16.

 27 

x

x x  4 3

5

4   



x 3

 4 37 .

Решење:

   



5

27



x x  4 3

x2 x  16 3

   

x x  4 3

x x  x x      3   4 3 

 3  4  4 37   35    3  x2 x 

7

 34

7 7      5  16 3  4  3  3 3  34   3  x2 x  7 x 2 x 35         3x 2  16 x  140  0 . 5  16 3  4 16 3 12 Решавањем квадратне једначине добијамо два решења: 14 x1  10, x2   . 3 14 Решење x2   одбацујемо због услова x  0 , тако да полазна 3 једначина има једно решење x  10 . 3 5

80

МАТЕМАТИКА

17.

2 3 x

x 1

 18 .

Решење: 2 x  3x 1  18  2 x  3x  3  18  2 x  3x  6   2  3  6  6 x  61  x  1. x

18.

3x  5x1  45 .

Резултат: x  2 . 19.

2 x  3 x1  52 x1  250 .

Решење: 1 2 x  3x 1  52 x 1  250  2 x  3x   25x  5  250 3 .   2  3  25   150  150 x  1501  x 1. x

20.

4x  4x1  320 .

Решење: 4x  4x1  320  4x  1  4   320  4x  64  4x  43  x  3 . 21.

2  3 x1  4  3 x2  450 .

Резултат: x  4 . 22.

5 x  3  5 x2  140 .

Резултат: x  3 . 23.

2 x  2 x1  2 x2  2 x3  30 .

Решење: 2 x  2 x 1  2 x  2  2 x 3  30  2 x 1  2  22  23   30

 15  2 x  30  2 x  2  x  1. 81

МАТЕМАТИКА

24.

x 1

3 3 x

x 2

3

x 3

3

 3x4  363 .

Решење:  1 1 1 1 3x  3x 1  3x  2  3x 3  3x  4  363  3x 1       363  3 9 27 81   3x  35  x  5 .

25.

1 7 x  2   7 x 1  14  7 x 1  2  7 x  48 . 7

Резултат: x  0 . 26.

10  2 x  4 x  16 .

Решење: 10  2x  4x  16  10  2x  22 x 16  0 . Уведимо смену 2x  t  0 и једначина постаје квадратнa t 2  10t  16  0 . Њена решења су t1  8, t2  2 . Дакле: 2x  8  2x  2  x  3  x  1. 27.

5 x  53x  20 .

Решење: 53  20 ,  5x  t  0   t 2  20t  125  0 x 5 t1  25  t2  5  0  5x  25  x  2 . 5x  53 x  20  5x 

28.

52 x3  2  5 x2  3 .

Резултат: x  2 . 2

29.

1

4x  5 4x  4  0 .

Решење: 82

МАТЕМАТИКА 2

1  1x   1x  x 4  5 4  4  0   4   5 4  4  0 ,  4  t  0      2  t  5t  4  0  t1  4  t2  1 2 x

1 x

1

1

 4x  4  4x  1  Једначина 30.

1 1  1   0  x  1. x x

1  0 нема решења. x

4x2 17  2x4  1  0 .

Решење: 4 x 2  17  2 x 4  1  0

 4 x  42  17  2 x  24  1  0   2 x   2

1 1  17  2 x   1  0 16 16

  2 x   17  2 x  16  0 , 2 x  t  0  t 2  17t  16  0 2

 t1  1  t2  16  2 x  1  2 x  16  2 x  20  2 x  2 4  x  0  x  4 .

31.

52 x1  5x1  250 .

Решење: 2 1 52 x 1  5x 1  250   5x    5x  5  250 , 5 x  t  0 5 2  t  25t  1250  0  t1  50  t2  25

 5x  50  5x  25  x  2 . Једначина 5x  50 нема решења у скупу реалних бројева. 32.

4x

2

2

 9  2x

2

2

 8  0.

Решење: 83

МАТЕМАТИКА

4x

2

2

 9  2x

2

2



 8  0  2x

2

2



2

 9  2x

 t 2  9t  8  0  t1  8  t2  1  2 x

2

2

2

2



 8  0 , 2x

 8  2x

2

2

2

2

t 0



1

 x 2  2  3  x 2  2  0  x 2  1  x 2  2  x1,2  1.

33.

32 x1  20  3 x  3  0 .

Решење:

32 x 1  20  3x  3  0  3   3x   20  3x  3  0 ,  3x  t  0  2

20  364 , како је 364  19 биће 6 t1,2  0 , па закључујемо да једначина нема решења.  3t 2  20t  3  0  t1,2 

34.

9x1  3  3x3  27  3x2  27  0 .

Решење: 9  9x  3  3x  33  27  3x  32  27  0  3  32 x  28  3x  9  0 . Ако уведемо смену 3x  t  0 , једначина постаје квадратна 1 3t 2  28t  9  0 . Њена решења су t1  9 и t2  . Значи, 3 1 3x  9  3x  32  x  2; 3x   3x  31  x  1. 3 35.

За које x је 25 x  124  5

Решење: 25 x  124  5

x

 125  52

Увођењем смене 5

x

x

x

 125 ?

 124  5 x  125  0 .

 t  0 , x  0 , добијамо квадратну једначину

t  124t  125  0 . Њена решења су t1  1 и t2  125 , па имамо два случаја: 2

а) 5 x  1 . Ова једначина нема решење у скупу , јер је 5 б) 5 x  125  5 x  53  x  3  x  9 . Закључујемо да је решење задате једначине x  9 . 84

x

 0.

МАТЕМАТИКА

9  6  24 . x

36.

x

x

Решење: Дељењем једначине са 6 x добијамо: x x 9x 4x 3 2 1  2  x     2    1  0 6x 6 2 3 x x   3  x  3 3     2   1  0 ,     t  0  2 2   2   2  t   1  0  t 2  t  2  0  t1  1  t2  2  0 t x

x

0

3 3 3    1       x  0. 2 2 2

9x  6x  4x0,5 .

37.

Решење: Напишимо дату једначину у облику 9x  6x  40,5  4x и поделимо је са 6 x . x

x

x

3 2 3 Добијамо    1  2    . Уведимо смену:    t  0 . 2 3 2 2 Једначина постаје квадратна t  t  2  0 . Њена решења су t1  1

и t2  2 . x

3 Како је t     0 , елиминишемо решење t1  1 . 2 x

3 1 3 .    2  x log 2  log 2 2  x  log 2 3  1  1  x  2 log 2 3  1 2 38.

64  9 x  84  12 x  27  16 x  0 .

Резултат: x  2 , x  1 . 85

МАТЕМАТИКА

39.

2

2 x 1

 5 6  3 9  0 . x

x

Резултат: x  1, x  0 . 40.

23 x1  1  2 2 x  2 x1 .

Решење: 23 x 1  1  22 x  2 x 1  2  23 x  22 x  2  2 x  1  0 ,  2 x  t  0 

 2t 3  t 2  2t  1  0  2t  t 2  1   t 2  1  0   t  1 t  1 2t  1  0  t1  1  t2  1  0  t3   2x  1  2x  41.

1 2

1  x  0  x  1. 2

2 x4  2 x2  5 x1  3  5 x .

Решење: 2 x  4  2 x  2  5x 1  3  5x  2 x  24  22   5x  5  3 1

x

5 5x 5 5  20  2  8  5  5  2  2  5   x        x  1. 2 2 2 2 x

42.

x

x

x

6 x  6 x1  2 x  2 x1  2 x2 .

Резултат: x  0 . 43.

a) 52 x  7 x  52 x  35  7 x  35  0 ;

Резултат: a) x  0 ;

б) x 

86

3 . 2

б) 4 x  3

2 x 1 2

3

2 x 1 2

 22 x 1 .

МАТЕМАТИКА

Експоненцијалне неједначине  За a  1; a

f  x

 За 0  a  1; a

 a g x  f  x   g  x  . f  x

 a g  x  f  x   g  x  .

ЗАДАЦИ Решити неједначине: 1. 3x1  27 . Решење: 3x1  33  x  1  3  x  4 . 1

2. 2

x 2

 1 x   . 2

Решење: 1

2

x2

1  1 1  1 x x2     2  2 x  x2    x2  0 x x 2

 x  1  0  x  0,  . x2  2 x  1  0   x x 2

3 3.   7

x2  2 x x2

1.

Решење: x2  2 x

x2  2 x

x2  2x 3 x  3  x2 3  1    0       x2 7 7 7  x2  2x  0  x  0  0  x  2 . 2

0

87

МАТЕМАТИКА

1 4.   5

2 x 1 1 x

3

1   . 5

Решење: 2 x 1

3

2x 1 4 x  1  1 x  1      3   0 1 x  4 .   1 x 1 x 5 5

5. 32 x1  32 x2  32 x4  315 . Решење: 1 1 1  32 x 1  32 x 2  32 x 4  315  32 x      315  3 9 81   35  32 x  315  81  32 x  36  x  3 .

6. За које вредности x је 3x

2

 x 6

 1?

Решење: 2 3x  x6  1  x2  x  6  0   x  2  x  3  0  x   2,3 . 7. 0,14 x

2

2 x 2

 0,12 x3 .

Резултат: x  . 8. x3 x1  x x . Решење: Дату неједначину треба решавати у два случаја: а) 0  x  1 ; 1 x3 x 1  x x  3x  1  x  x   . Дакле, нема решења. 2 б) x  1 ; 1 1  x3 x 1  x x  3x  1  x  x   , тј.  x  1  x     x  1. 2 2  88

МАТЕМАТИКА

Појам логаритма и основне особине Појам и својства логаритма  Дефиниција логаритма log a b  x  a x  b ако је a , b , x  , a  0 , a  1, b  0 .  aloga b  b за x , y        

, x 0, y 0. x log a  log a x  log a y . loga xy  loga x  loga y , y s log a x  s log a x ; s  . log a 1  0 , log a a  1 . log c b 1 , . logb a  log a b  log a b log c a 1 log as x  log a x , log a x  log as x s . s log10 x  log x (декадни логаритам). loge x  ln x , e  2,718 (природни логаритам). ЗАДАЦИ

Израчунати: 1. а) log 2 8 ;

б) log 2

1 ; в) log 2 16 ; г) log 1 3 512 . 128 2

Решење: а) log 2 8  log 2 23  3log 2 2  3 1  3 ; 1  log 2 27  7  log 2 2  7 ; б) log 2 128 1 в) log 2 16  log 1 24   4  log 2 2  8  log 2 2  8 ; 1 22 2 89

МАТЕМАТИКА 9 3

г) log 1 512   log 2 2   log 2 2   log 2 23  3log 2 2  3 . 3

3

9

2

2. а) log3 81 ;

б) log0,1 1000 ;

Резултат: а) 4 ;

б) 3 ;

в) log 3 2 16 .

в) 12 .

3. 5log 2 32  4log 1 8  3log3 81 . 2

Решење: 5log 2 32  4log 1 8  3log3 81  5log 2 25  4log 21 23  3log 3 34 2

 5  5log 2 2  4  3log 2 2  3  4log 3 3  25  12  12  49 .

4. 323log3 4 . Решење:

323log3 4  32  33log3 4  32  3log3 4  32  43  3

1 64  64  . 2 3 9

5.  2log5 125  21log2 4  32log3 91 . Решење:  2log5 125  21log2 4  32log3 91  2  3  212  3221  21. 6. log 2  log 2 256  . Решење: log 2  log 2 256   log 2  log 2 28   log 2 8  log 2 23  3 . 7. log 2 16  log 2 8  log 2 4  log 2 2  log 2 1 . Резултат: 0 . 90

МАТЕМАТИКА

8. а) 3

log3 5

б) 10

;

log5

Решење: а) 3log3 5  5 ;

г) 21log2 5 .

в) 9log3 5 ;

;

б) 10log5  5 ;

в) 9log3 5  32log3 5  3log3 5  3log3 25  25 ; 2

г) 21log2 5  2  2log2 5  2  5  10 . 9. 36log6 5  101log2  3log9 36 . Решење: log 2 62

36log6 5  101log 2  3log9 36  62log6 5  10 10 log 2  3 1

1 2 log3 6 2

 6log6 25  10 10log 2  3

3

1  25  10   6  24 . 2

 14  14 log9 4   25log125 8   49log7 2 .  81   Решење: 1   log7 2 4  14  14 log9 4  log 3 23  81 log125 8 log 7 2 2  5 81  25  49   25  7      1 log9 4     814    10.

1   4 4 log7 2  3  2 log5 2    5  7   1  log 22   34  4 32    3     22   4  6  16  22 . 2 

    3 3

11.

 log

3

27

2

log3 2





 5log5 2

3  log 49 5 25  log 4 81 9  log 9 8 4 1

3  5 log16 25  5log5 3

Решење: 91

.



2

 2 2 

 log

3

27



МАТЕМАТИКА

3  log 49 5 25  log 4 81 9  log 9 8 4



1

3  5 log16 25  5log5 3  3log 27 3  49 log5 25   4 log81 9  9 log8 4   3  5log25 16  3 1  1   1   3  log 3 3  49  2 log 5 5    4  log 9 9  9   2 log 2 2  3 3   2   log5 4 35 3 1  98   2  6    132 .  3  43 5

12.



Резултат: 13.



100,5 log10 0,375 10  log 2 0,0625 .

20 . 3

log 5  log 20  log 2 2 .

Решење: log 5  log 20  log 2 2  log 5  log 2 10  log 2 2

 log 5   log 2  log10   log 2 2  log 5   log 2  1  log 2 2  log 5  log 2  log 5  log 2 2  log 2   log 5  log 2   log 5  log 2   log 5  2   log 5  log 2  log10  log 5  log 2  log 5  log 2  5  1.

14.

 log 2

Резултат:

3

1

 log 2 0,75  log16 2

8 . 27

92





3 2

.

МАТЕМАТИКА

15.

Логаритмовати следеће изразе:

а) x  3abc3 ;

б) x 

2a 3a ; в) x  ; г) x  2 bc a b

3

xy 2a . 3d

Решење: а) log x  log3abc3  log3  log a  log b  3log c ; 2a б) log x  log 2  log 2a  log bc 2  log 2  log a  log b  2log c ; bc 3a 1 в) log x  log log 3a  log  a  b    log 3  log a   log  a  b  ; a b 2 г) log x log 3

16.

xy 2a 1  1    log x  log y   log 2log a   log 3  log d  . 3d 3 2 

а) x  3 5a 4b3 ;

б) x 

a3 5 ; 3

в) x 

8a 4 b . c3 17

1 4 1 log 5  log a  log b ; б) 3log a  log 5  log 3 ; 3 3 2 1 1 в) 3log 2  4log a  log b  3log c  log17 . 2 2

Резултат: а)

17.

Одредити x из једначине (антилогаритмовање):

а) log x  log3  log 2  log 6  log5 ;

1 1 б) log x  3log a  log 7  log b  3log c  log8 . 2 2 Решење: а) log x  log3  log 2  log 6  log5  log x  log3  2  log 6  5 6 1 1  log x  log  log x  log  x  . 30 5 5 93

МАТЕМАТИКА

1 1 б) log x  3log a  log 7  log b  3log c  log8 2 2 3  log x  log a  log 7  log b  log c3  log 8  log x  log a 3  7  b  log c3  8  log x  log 18.

a3  7  b a 3  7b  x  . c3  8 8c3

Израчунати log3 2  log 4 3  log5 4  log 6 5 .

Решење:

log3 2  log 4 3  log5 4  log 6 5 

log 2 log 3 log 4 log 5 log 2     . log 3 log 4 log 5 log 6 log 6

Доказати следеће идентитете: 19.

3logb a  2logb

1  logb a . a

Решење:

3logb a  2logb

20.

log a

1  3logb a  2logb a  logb a . a

b a  log a  log 1 x  0 . a bx a

Решење: b a log a  log a  log 1 x  0 a bx a

 log a b  log a a  log a a  log a b  log a x  log a x  0 . 21.

log a x  4log 1 x  log a x5  0 . a

94

МАТЕМАТИКА

Решење: log a x  4 log 1 x  log a x 5 a

 log a x  log a  log a

22.

x 1 5 x x4

1  log a x 5 x4

 log a 1  0 .

Одредити log5 6 ако је log 2  a , log3  b .

Решење: log10 6 log10 3  2 log10 3  log10 2 b  a . log5 6     log10 5 log 10 log10 10  log10 2 1  a 10 2 23.

Одредити log3 5 ако је log6 2  a , log6 5  b .

Решење: log 6 5 log 6 5 log 6 5 b . log3 5     log 6 3 log 6 log 6 6  log 6 2 1  a 6 2 24.

Одредити log35 28 ако је log14 7  a , log14 5  b .

Решење: log 35 28 

log14 28 log14 14  2  log14 35 log14 7  5

14 log14 14  log14 log14 14  log14 2 7   log14 7  log14 5 log14 7  log14 5 

log14 14  log14 14  log14 7 2  a  . log14 7  log14 5 ab 95

МАТЕМАТИКА

25.

Одредити log36 9 ако је log36 8  a .

Решење: Нека је log36 9  x . Из log36 8  a је log 36 2  log 36 9  log 36 8  x  a  log 36 9  8  x  a  log 36 72  x  a  log 36 2  1  x  a 

26.

a 2 1  x  a  x  1 a . 3 3

log122,5 ако је log5  a , log 7  b .

Резултат: 2a  b  1 . 27.

log30 8 ако је log5  a , log3  b .

Резултат: 28.

3 1  a  . 1 b

log 56 ако је log 2  a , log 2 7  b .

Резултат: ab  3a . 29.

5log 20 1. Доказати да је 20log5

Решење:

log5 5log 20 10  10log5log 20    1. 20log5 10log 20 log5 10log 20log5 log 20

96

a , па је: 3

МАТЕМАТИКА

Логаритамска функција  Функција y  log a x a  0 , a  1 функција.  Домен функције: Dx   .

назива се логаритамска

 Нула функције log a x  0  x  1 .  Ако је a  1 , тада је функција строго растућа, а ако је 0  a  1 , тада је функција строго опадајућа.  y оса, тј. права x  0 је вертикална асимптота функције.  Логаритамска и експоненцијална функција су инверзне функције и графици су им симетрични у односу на праву y  x .

ЗАДАЦИ 1. Одредити област дефинисаности функције y  log 2  x 2  2 x  . Решење: x2  2 x  0  x  x  2   0  x   ,0 

 2,   .

2. У истом координатном систему нацртати функције y  log 2 x и

y  2x . Решење: 97

МАТЕМАТИКА

3. У истом координатном систему нацртати функције y  log 2 x и y  log 1 x . 2

Решење:

Испитати и скицирати графике следећих функција: 4. y  log3  x  1 . Решење: Домен функције: x  1  0  x  1  x   1,   . Нуле функције: log3  x  1  0  x  1  1  x  0 .

y  0 за x   1,0  , а y  0 за x   0,   . Како је a  3  1 функција расте. Вертикална асимптота функције је права x  1 . 98

МАТЕМАТИКА

5. y  log 1  x  2  . 2

Решење: Домен функције: x  2  0  x  2  x   2,   . Нула функције: log 1  x  2   0  x  2  1  x  3 . 2

y  0 за x   2,3 , а y  0 за x   3,   . Како је a 

1  1 функција 2

опада. Вертикална асимптота функције је права x  2 .

6. y  log 2 x  2 . Решење: Домен функције: x  0  x   0,   . Нула функције: log 2 x  2  0  log 2 x  2  x  99

1 . 4

МАТЕМАТИКА

 1 1  y  0 за x   0,  , а y  0 за x   ,   .  4 4  Како је a  2  1 функција расте. Вертикална асимптота је права x  0 .

7. y  log 2 x . Решење:

8. y  log 2 x 2 . Решење:

100

МАТЕМАТИКА

9.

б) y  log 1  x  2  ;

а) y  log3  x  2  ;

в) y  log3 x  1 .

2

10.

а) y  log3 x  1 ;

б) y  log3 x .

Логаритамске једначине  Логаритамске једначине су једначине код којих се непозната јавља под знаком логаритма.

ЗАДАЦИ Решити следеће једначине: 1. а) log3 9  x ;

б) log 1  x  1  2 ;

в) log x

3

1  3. 8

Решење: а) 3x  9  3x  32  x  2 ; 2

1 10 1 б)    x  1  x  1  0   x  1  x  1  x  ; 9 9  3 3

1 1 1 в) x3   x  0  x  1  x3     x  0  x  1  x  . 8 2 2

2. log x1 3  2 . Решење: 2  x  1  3  x  1  0  x  1  1  x2  2x  2  0  x  1  x  2  x  1  3 .

3. log3  5  4log3  x  1   2 . Решење: 32  5  4log3  x  1  log3  x  1  1  31  x  1  x  4 . 101

МАТЕМАТИКА

У оваквим сложеним примерима тешко је постављати почетне услове, па је једноставније проверити тачност решења заменом у полазну једначину.





4. log 4 2log3 1  log 2 1  3log3 x   

1 . 2

Резултат: x  3 . 5. log 4 log3 log2 x  0 . Решење: log3 log 2 x  40  log3 log 2 x  1  31  log 2 x  23  x  x  8 . 6. log15 log 4 log3 x  0 . Резултат: x  81. 7. log 2 log 2 x  log 2 3  log 2 4 . Решење: log 2 log 2 x  log 2 3  log 2 4  log 2 log 2 x  log 2 12  log 2 x  12  212  x  x  4096 .

8. log3  x  1  log3  x  3  1 . Решење: log3  x  1 x  3  1  x  1  0  x  3  0   x  1 x  3  3  x  1  x  3  x 2  4 x  0  x  1  x  0  x  4  x  1  x  0 .

9. а) log  x  1,5   log x ; Резултат: а) x 

1 ; 2

б) log 2  3  x   log 2 1  x   3 . б) x  1 . 102

log

10.



  3.

МАТЕМАТИКА

x 1 1

log x  40 3

Решење: Задатак има смисла ако је: x  1  0  x  1  1  0  x  40  0  log 3 x  40  0  x  1  x  1  1  x  40  x  41  x  40  x  41

 x   40, 41

 41,   .

Напишимо дату једначину у облику: log





x  1  1  3log 3 x  40  log





x  1  1  log  x  40 

 x  1  1  x  40  x  1  x  41  x  41  x  1  x 2  82 x  1681  x 2  83x  1680  0  x1  48  x2  35 .

Због услова x  41 само x  48 је решење полазне једначине. 11.

1 log x  8  log  2 x  1  1 . 2

Резултат: x  12 . 12.

xlog x  10000 .

Решење: Логаритмовањем обеју страна дате једначине за основу 10 и уз услов x  0 добијамо: x log x  10000  log x log x  log10000  log x  log x  log104

  log x   4  log x  2  x  100  x  2

13.

xlog x  100 x .

Решење: 103

1 . 100

МАТЕМАТИКА

Логаритмовањем обеју страна дате једначине за основу 10 и уз услов x  0 добијамо: log x  log x  log100  log x   log x   log x  2  0 2

 log x  2  log x  1  x  102

14.

 x  101 .

а) x log x 

x3 ; 100

б) xlog x  1000 x2 . б) x1  1000, x2 

Резултат: а) x1  10, x2  100 ; 15.

1 . 10

log 2  log  4 x2  9   1  log  2 x2  1 .

Решење: log 2  log  4 x  2  9   1  log  2 x  2  1  log 2   4 x  2  9   log10  log  2 x  2  1  log 2   4 x  2  9   log10   2 x  2  1  2   4 x  2  9   10   2 x  2  1 2

2 x  2 

 5  2 x  2  4  0,  2 x  2  t  0  ,

t 2  5t  4  0  t1  4  t2  1.

2x 2  4  2 x 2  1  x  2  2  x  2  0  x  4  x  2 . 16.

log  7  2x   log  5  4 x   log 7  0 .

Резултат: x  2 . 17.

log1 x 3  log1 x 2  0,5  0 .

Решење: 1 3 1 3 log1 x   1  x  1  1  x  0  1  x  2   x  0  x  1 2 2 2 104

МАТЕМАТИКА

 1 x  18.

9  x   ,0  4

 0,1  x  

5 . 4

log9 x  log x2 3  1 .

Решење: Применом формуле logb a 

log c a log c b

дату једначину заменимо

еквивалентним једначинама: log3 x log3 3 log3 x 1  1  1 2 log3 9 log3 x 2 2 log3 x  log32 x  2 log3 x  1  0   log3 x  1  0  log3 x  1  x  3 . 2

19.

log16 x  log 4 x  log 2 x  7 .

Решење: log 24 x  log 22 x  log 2 x  7  x  0

1 1 log 2 x  log 2 x  log 2 x  7  x  0 4 2 7  log 2 x  7  x  0  log 2 x  4  x  0  24  x  x  16 . 4 

20.

log 2 x  log 4 x  log 8 x  11 .

Резултат: x  64 . 21.

log5 x  log

5

x  log 1 x  5 . 25

Решење: Уз услов x  0 имамо: log5 x  log 

5

1 x  log 1 x  5  log5 x  2 log 5 x  log5 x  5 2 25

5 log5 x  5  log 5 x  2  x  25 . 2 105

МАТЕМАТИКА

22.

log 7 2  log 49 x  log 1 3 . 7

1 Резултат: x  . 12 23.

3 log3 x    log32 x  1 .  x

Решење: log 3 x 3  log 3 x x  log 32 x  1  0  x  0  x 

1 3



1 1 1   log 32 x  1  0  x  0  x  log 3 3x log x 3x 3



1 1 1   log 32 x  1  0  x  0  x  log 3 3  log 3 x log x 3  log x x 3



1  1  log 3 x

1 1 log 3 x

1  log 32 x  1  0  x  0  x  . 3 1

Уведемо смену: log3 x  t . 1 1   t 2  1  0 , после сређивања добијамо: 1 1 t 1 t t  t  1 t  2  0  t1  0  t2  1  t3  2 . Према томе: log 3 x  0  log 3 x  1  log 3 x  2

 x  30  x  31  x  32 1  x  1 x  3  x  . 9 24.

1 1 1   2. log x 8 log 2 x 8 log 4 x 8 106

МАТЕМАТИКА

Решење: С обзиром на једнакост logb a 

1 и услове log a b

1 1 , x  имамо: 2 4 1 1 1    2  log8 x  log8 2 x  log8 4 x  2 log x 8 log 2 x 8 log 4 x 8

x  0 , x  1, x 

 log8 8 x3  2  8 x3  82  x3  8  x  2 .

Логаритамске неједначине  За a  1 је log a f  x   log a g  x   f  x   g  x   f  x   0 .  За 0  a  1 је log a f  x   log a g  x   f  x   g  x   g  x   0 .  За a  1 је log a f  x   log a g  x   f  x   g  x   g  x   0 .  За 0  a  1 је log a f  x   log a g  x   f  x   g  x   f  x   0 .

ЗАДАЦИ Решити следеће неједначине: 1. а) log 2 x  0 ;

б) log 2 x  1 ;

г) log 2  x  1  0 .

1 в) log 1 x   ; 2 64

Решење: а) log2 x  0  log2 x  log2 1  x  0  x  1  x  0  x  1 ; 1 1 б) log 2 x  1  log 2 x  log 2 21  x  0  x   x  0  0  x  ; 2 2 1 в) log 1 x    log 1 x  log 1 8  x  0  0  x  8 ; 2 64 64 64 г) x  1,3 .

107

МАТЕМАТИКА

2. log  x  2   log x  0 . Решење: log  x  2   log x  0  log x  x  2   0  x  2  0  x  0





 x  x  2   1  x  2  x  1  2,  .

3. log x 32  5 . Решење: За x  1 имамо: log x 32  5  log x 32  log x x5  32  x5  25  x5  x  2 .

Дакле , 1  x  2 . За 0  x  1 имамо: log x 32  5  log x 32  log x x5  32  x5  25  x5  x  2 .

Значи , x  . Коначно решење добијамо унијом добијених решења: 1  x  2 . 4. log 2

x 1  1. x 1

Решење: x 1 x 1 x 1 x3 log 2 1  2 0   0  x   3, 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 5. log

3x  1  0. 2x 1

Решење: 3x  1 3x  1 3x  1 3x  1 log 00 1 0  1 2x 1 2x 1 2x 1 2x 1 1 1 x2    x   ,    ,    0 2 3 2x 1  

1 1    1  1   x   ,    ,    x    , 2   x   , 2  . 2 3    2  3  108

МАТЕМАТИКА

6. log

x2  1. x

Решење: x2 x2 x2 2  9x  2 log 1  10   10  0   0  x   0,  . x x x x  9 7. log

x 1  0. x2

Решење: x 1 x 1 3 log 0 1  0  x  2  0  x  2 . x2 x2 x2 8. log3  x 2  5x  6   0 .

 5 5   5 5  Резултат: x   , 2   3, . 2   2  

9. log 2  x 2  1  log 2  x  7  . Решење: Како је  x 

 x2  1  0 , биће log 2  x 2  1  log 2  x  7   x  7  0  x 2  1  x  7  x  7  x 2  x  6  0  x   7,    x   , 2   3,    x   7, 2   3,   .

10.

log 0,5 log8

x2  2 x  0. x 3

Решење:

x2  2x x2  2x x2  2x  0  log8 1 8 x 3 x 3 x 3  x   3, 4   6,   .

log 0,5 log8

11.

log 4  x  7   log 2  x  1 . Резултат: x   2,3 . 109

МАТЕМАТИКА

ВЕКТОРИ Појам и операције. Вектор у координатном систему  Вектор a је оријентисана дуж.  Вектор a је одређен интензитетом, правцем и смером.  Два вектора су једнака ако имају исти интензитет, правац и смер.  Интензитет a вектора a је дужина оријентисане дужи која     

представља вектор. Вектор a је супротан вектор вектору a . Нула вектор (који означавамо: 0 ) је вектор чији је интензитет нула, а правац и смер су произвољни. Збир вектора a и b је вектор c  a  b . Сабирање вектора се врши по правилу паралелограма или надовезивањем. Производ вектора a и параметра k је вектор k  a , чији је интензитет k  a , правац једнак правцу вектора a , а смер је исти као вектора a ако је параметар k  0 , а супротан смеру вектора a ако је параметар k  0 .

ЗАДАЦИ 1. Доказати да је збир вектора страница троугла нула вектор. Решење:

AB  BC  CA  AC  CA  0 . 110

МАТЕМАТИКА

2. Доказати да је вектор тежишне дужи троугла ABC , AA1 једнак 1 полу збиру вектора страна AB и AC , тј. AA  AB  AC . 2





Решење:

AA1  AB  BA1 и AA1  AC  CA1 .

 



1 AB  BA1  AC  CA1 , а 2 1 како је BA1  CA1  0 , добијамо AA  AB  AC . 2 Сабирањем ових веза добијамо AA1 



3. Нека су M и N средишта страница AD и BC четвороугла 1 ABCD . Доказати да је MN  AB  DC . 2





Решење:

Из четвороугла ABNM добијамо MN  MA  AB  BN , а из четвороугла DCNM добијамо MN  MD  DC  CN . 111

МАТЕМАТИКА

Пошто су вектори MA и MD , односно BN и CN супротни, имамо да је : MA  MD  0 и BN  CN  0 . Сабирањем прве две везе добијамо: 1 2MN  MA  AB  BN  MD  DC  CN  MN  AB  DC . 2





Вектор у координатном систему

 OA  OB  OC  xi  y j у равни.  OA  xi  y j  zk

у простору.

 Kоординате вектора AB   xB  xA  i   yB  y A  j   zB  z A  k ,

A  xA , y A , z A  , B  xB , yB , zB  .  Интензитет вектора OA  x 2  y 2  z 2 .

ЗАДАЦИ 1. Дати су вектори a   5,3 и b   2, 1 . Одредити векторе a  b , a  b и 2a  3b . 112

МАТЕМАТИКА

Решење: a  b   5,3   2, 1   3, 2  ;

a  b   5,3   2, 1   7, 4  ; 2a  3b  2  5,3  3  2, 1   10,6    6, 3   4,3 . 2. Вектор v   4, 2  разложити по векторима a   2, 1 и

b   4,3 . Одредити коефицијенте разлагања. Решење: v  ka  nb   4, 2  k  2, 1  n  4,3

  4, 2    2k , k    4n,3n   4  2k  4n  2  k  3n  k  10  n  4 ; v  10a  4b .

3. Дати су вектори a   4,1 , b   5, 1 и c   3,5 . Разложити вектор c по векторима a и b . Резултат: c 

28 17 a  b. 9 9

4. Дата су темена четвороугла A  4, 2  , B  5, 5 , C 1,3 и

D  5, 0  . Одредити координате вектора AB , AD , AC , BD и њихове интензитете. Решење:

113

МАТЕМАТИКА

AB   5  4  i   5  2  j  9i  3 j   9, 3 . AD   5  4  i   0  2  j   1 i  2 j   1, 2  . AC   5,5 , BD   10,5 . AB  92   3  81  9  90  3 10 . 2

AD  5 , AC  5 2 , BD  5 5 .

Скаларни производ вектора  Производ a  b  a  b  cos     

 a, b  називамо скаларни производ

вектора a и b . Скаларни производ вектора је број. a  b  0 ако и само ако су вектори a и b узајамно нормални ( a  0 , b  0 ). a  b  b  a закон комутације. k  a b  k  a b  a  k b ; k  .

       a  b   c  a  c  b  c закон дистрибуције. 2

2

 a  a  a тј. a  a .  cos 

 a, b   aa  bb .

prb a 

a b

пројекција вектора a на b .

b

 Скаларни производ у координатама a  b  axbx  a yby  azbz , где је a   ax , a y , az  , b   bx , by , bz  .

114

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 1. Доказати да су дијагонале ромба међусобно нормалне. Решење:

AC  AB  BC , BD  BC  CD  BC  AB ,







AC  BD  AB  BC  BC  AB  2

2

 AB  BC  AB  AB  BC  BC  BC  AB  BC  AB  0 . 2. Одредити скаларни производ вектора a и 2a  b ако је a  2 , b 3 и

 a, b   60 .

Решење:





2

2

a  2a  b  2a  a  b  2 a  a  b  cos 3. Ако је AB  3 , AC  4 ,

 a, b   2  2

2

1  2  3  5 . 2

 AB, AC   30 и ако је тачка M

средиште дужи BC , одредити AM и AM . Решење: 1 AM  AB  AC , 2



2



AM  AM  AM  AM 





 



1 1 AB  AC  AB  AC  25  12 3 , 4 4

1 25  12 3 . 2 115

МАТЕМАТИКА

4. Одредити скаларни производ вектора a   4,1,1 и b   2,3, 1 . Решење: a  b   4,1,1   2,3, 1  4  2  1 3  1  1  10 . 5. Одредити угао између вектора AB и AC , где је A 1,1,1 , B  2, 2,1 , C  2,1, 2  . Решење: AB  1,1,0  , AC  1,0,1 ; AB  AC

cos

 AB , AC  



 AB , AC   3 .

AB  AC



1 1  1  0  0  1 1 1  0  1  0 1 2

2

2

2

2

2



1 1  2 2 2

6. Нека је a   6,1,1 , b   0,3, 1 , c   2,3,5 . Одредити t тако да вектор a  tb буде нормалан на вектор c . Решење: Из услова нормалности вектора следи a  tb  c  0 .





 6,1  3t,1  t    2,3,5  0  12  3 1  3t   5 1  t   0  t  1 . 7. Одредити вектор v   x, y, z  , ако је v  a  1 , v  b  2 и v  c  3 , а дати су вектори a   0,1,1 , b  1, 0,1 , c  1,1, 0  . Решење: v  a   x, y, z    0,1,1  y  z  1 ;

v  b   x, y, z   1,0,1  x  z  2 ; v  c   x, y, z   1,1,0   x  y  3 . Решавањем система једначина добијамо v   2,1, 0  . 116

МАТЕМАТИКА

Векторски производ вектора  Векторски производ вектора a и b означавамо: a  b .  Векторски производ вектора је вектор: a  b  c .  Интензитет вектора c (који је добијен као a  b  c ) је c  a  b  sin a, b , а то је површина паралелограма

 

     

конструисаног над векторима a и b . Правац вектора c једнак је нормали на раван одређеној векторима a и b . Смер се одређује на основу левог (позитиван смер) или десног завртња (негативан смер). a  b  0 ако и само ако су вектори a и b узајамно колинеарни (леже на истој правој). a  b  b  a закон антикомутације. k  a b  k  ab  a k b .

       a  b   c  a  c  b  c , закон дистрибуције.

i

j

k

 Векторски производ у координатама a  b  ax

ay

az ,

bx

by

bz

где је a   ax , a y , az  , b   bx , by , bz  .

ЗАДАЦИ 1. Ако је a  6 , b  3 и Решење:

a  b  a  b  u  a  b  sin

 a, b   6 , израчунати a  b .  a, b   u  18  sin 6  u  9  u , где је u

јединични вектор. 117

МАТЕМАТИКА

2. Израчунати векторски производ вектора a   2,1,3 и

b   2, 7, 1 . Решење: i

j

ab  2 1

k 3 

2 7 1

1

3

7 1

i

2

3

2 1

j

2 1

k  22i  8 j  12k .

2 7

3. Израчунати површину троугла ABC чија су темена A 1,1,1 ,

B  2, 2, 2  и C  4,3,5 . Решење: Површину троугла израчунавамо користећи формулу: 1 P  AB  AC . 2 Координате вектора AB и AC су: AB  1,1,1 , AC   3, 2, 4  . i

j k

AB  AC  1 1 1  3 2 4

1 1 2 4

i

1 1 3 4

j

1 1 3 2

AB  AC  22   1   1  6  P  2

2

k  2i  j  k ;

6 . 2

4. Израчунати површину паралелограма конструисаног над векторима a   2,1, 2  и b   3, 2, 2 . Резултат: P  3 . 118

МАТЕМАТИКА

Мешовити производ вектора





 Мешовити производ вектора a  b  c  a, b, c  .  Мешовити производ вектора је број.  a  b  c  0 ако и само ако су вектори a , b и c компланарни





(леже у истој равни).





 V  a  b  c запремина паралелопипеда над векторима a , b и c . 1 a  b  c запремина тетраедра над векторима a ,  V 6 ax a y  Мешовити производ у координатама  a, b, c   bx by cx c y





b и c.

az bz . cz

ЗАДАЦИ 1. Ако су дати вектори a  1,1,1 , b  1,1, 0  и c  1, 0, 0 , израчунати  a, b, c  . Решење: 1 1 1  a, b, c   1 1 0  1 .   1 0 0

2. Испитати да ли тачке A 1, 2, 1 , B  0,1,5 , C  1, 2,1 , D  2,1,3 припадају истој равни. Решење: 119

МАТЕМАТИКА

Ако тачке A , B , C и D припадају истој равни тада су вектори AB , AC и AD компланарни. Испитајмо да ли су вектори AB , AC и AD компланарни. На основу координата датих тачака проналазимо координате вектора: AB   1, 1,6  , AC   2,0, 2  , AD  1, 1, 4  . Израчунајмо мешовити производ ова три вектора. 1 1 6  AB, AC , AD   2 0 2  0 .   1

1 4

Мешовити производ је једнак нули, значи вектори су компланарни тј. тачке леже у истој равни. 3. Израчунати запремину тетраедра ABCD , где је A  2, 4,5 ,

B  1, 3, 4  , C  5,5, 1 , D 1, 2, 2  . Решење: BC   6,8, 5 , BD   2,1, 2  , BA   3, 1,1 . 6 8 5 1 45 15  BC , BD, BA  2 1 2  45 . V   BC , BD, BA   6  2.   6 3 1 1

4. Израчунати запремину паралелопипеда конструисаног над векторима a   0,1,1 , b  1, 0,1 и c  1,1, 0 . Резултат: V  2 .

120

МАТЕМАТИКА

ТРИГОНОМЕТРИЈА Тригонометријске функције оштрог угла  Основне тригонометријске функције су синус, косинус, тангенс и котангенс. Дефинишимо тригонометријске функције углова у правоуглом троуглу:

a b a b , cos   , tg  , ctg  . c c b a b a b a  sin   , cos   , tg  , ctg  . c c a b  sin  

Мерење углова радијаном  Радијан је централни угао чији је кружни лук једнак полупречнику круга.  Пун угао износи 2 радијана.  1 



rad  0, 017 . 180 180  571744,8 .  1 rad 



121

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 1. Одредити радијанску меру следећих углова:   30 , 90 ,180 . Решење:

  30   

 180

  180   

 30 



180

 6

;   90   

 180

 90 

 2

;

180   .

2. Одредити степену меру следећих углова:  

 5 7 12

,

4

,

6

.

Решење:

180  5 180 5   15 ;       225 ; 12  12 4  4 7 180 7      210 . 6  6





 

Вредности тригонометријских функције за специјалне углове



0

90

180

270

360

0

 2



3 2

2

sin 

0

1

0

1

0

cos

1

0

1

0

1

tg

0



0



0

ctg



(степени)

 (радијани)

0



0 122



30

45

60

 6 1 2

 4

 3

2 2 2 2

3 2 1 2

1

3

1

3 3

3 2 3 3

3

МАТЕМАТИКА

 Напомена:  и  су граничне вредности функција, као на пример: lim tg   , lim ctg   . 



 0

2

Тригонометријске функције комплементних углова  Ако су углови комплементни,     90 , важе следећа правила: sin   cos  90    , tg  ctg  90    , cos   sin  90    ,

ctg  tg  90    .

3. Доказати да је: а) sin 2 10  sin 2 20  sin 2 30  sin 2 60  sin 2 70  sin 2 80  3 ; б) ctg1 ctg2 ctg3

 ctg87 ctg88 ctg89  1 .

Решење: а) sin 2 10  sin 2 20  sin 2 30  sin 2 60  sin 2 70  sin 2 80  sin 2 10  sin 2 20  sin 2 30  sin 2 60  cos 2 20  cos 2 10

1 3   sin 2 10  cos 2 10    sin 2 20  cos 2 20     3 ; 4 4 б) ctg1 ctg2 ctg3  ctg87 ctg88 ctg89  ctg1 ctg2 ctg3  tg45  tg3 tg2 tg1

  ctg1 tg1  ctg2 tg2   4. Ако је     90 онда је

 tg45  1.

sin   cos   tg . Доказати. cos   sin 

Решење: sin   cos  90    2sin    tg . cos   sin  90    2cos  5. Доказати једнакост tgx  tg  90  x   1 за 0  x  90 . 123

МАТЕМАТИКА

Основни тригонометријски идентитети

tg 

sin 2   cos2   1 , ctg 

cos  , sin 

sin  , cos 

tg  ctg  1 .

Изражавање једне тригонометријске функције помоћу других tg

sin   1  cos 2  

1  tg  1 2

cos   1  sin 2  

tg   ctg  

sin  1  sin 2 

1  tg 2 



 

1 1  ctg 2  ctg  1  ctg 2 

, ,

1  cos 2  1  , cos  ctg 

1  sin 2  cos  1   . 2 sin  1  cos  tg 

 Напомена: У свим овим обрасцима од два могућа знака пред кореном треба узети онај који одговара знаку функције за дату вредност угла.  Примери: sin    1  cos2  за 0     ;

sin    1  cos 2  за     2 ;  3 sin  за 0    и     ; tg   2 2 2  1  sin   3 sin     2 итд. за     и tg   2 2  1  sin 2 

124

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 3   1. Ако је    0,  и sin   израчунати остале 5  2 тригонометријске функције. Решење: Изразимо дату тригонометријску функцију помоћу других, водећи рачуна о знаку функције за дату вредност угла. 9 4 cos    1  sin 2    1   . 25 5 4 Како је из услова задатка  оштар угао, добијамо cos   . 5 3 1 4 sin  5 3  . tg    , ctg  tg 3 cos  4 4 5 2. Израчунати вредност израза

2sin   cos  5 , ако је tg  . 5cos   sin  4

Решење:

sin  cos  5  2  1 2sin   cos  2tg  1 6  cos  cos    4  . cos  sin  5 5cos   sin  5  5  tg  25  5 cos  cos  4 2

3. Израчунати вредност израза

sin 3   2cos3  , ако је tg  2 cos3   sin 2  cos 

. Резултат: 2 . 4. Одредити sin  и cos  ако је 2sin   3cos   3 . Решење: 125

МАТЕМАТИКА

Из система једначина 2sin   3cos   3  sin 2   cos2   1 добијамо: 2

3 3  sin   1  cos     1  cos     cos 2   1 2 2  3  sin   1  cos    13cos 2   18cos   5  0 2 12 5    sin   0  cos   1   sin    cos    . 13 13  

Доказати следеће идентитете 5. sin 4   cos2   sin 2   cos2   1 . Решење: sin 4   cos 2   sin 2   cos 2   sin 2   sin 2   cos 2    cos 2   sin 2   cos 2   1.

6.

1  tg 4  tg 2 . 2 2 tg   ctg 

Решење: 1  tg 4 1  tg 4 1  tg 4    tg 2 . tg 4  1 tg 2  ctg 2 tg 2  1 tg 2 tg 2 7.

cos  sin     sin   cos  1  sin   cos   . 2 1  tg  1  ctg 2

Решење: cos  sin    2 1  tg  1  ctg 2

cos  sin   2 sin  cos 2  1 1  cos 2  sin 2  126

МАТЕМАТИКА

cos  sin   2 2 sin   cos  sin   cos 2   cos3   sin 3  3



3

2



  sin   cos   sin 2   sin  cos   cos 2 



  sin   cos  1  sin  cos   .

sin  1  cos   . 1  cos  sin 

8.

Решење: sin  1  cos   1  cos  sin  2 sin   1  cos  1  cos    1  cos   sin  



sin 2   1  cos 2 

1  cos   sin 

  0.

9. а)  sin   cos     sin   cos    2 ; 2

2

б)  tg  ctg    tg  ctg   4 . 2

10.

2

а)

cos3   sin 3   cos   sin  ; 1  sin  cos 

б)

sin  cos  tg 2  1   2 . cos   sin  cos   sin  tg   1

127

МАТЕМАТИКА

Дефиниција тригонометријских функција ма ког угла  Јединични круг са центром у координатном почетку назива се тригонометријски круг.  Уопштени угао     2k ,   0, 2  је угао чији је почетни крак позитивни део x – осе, а крајњи крак оријентисана дуж OA .

 Нека је  произвољан угао. Тригонометријске функције угла  , тј. sin  , cos  , tg и ctg дефинишу се на следећи начин:

 Ордината тачке A је синус угла  , а апсциса косинус угла  .

128

МАТЕМАТИКА

Знак тригонометријских функција углова у квадрантима круга функција sin  cos tg ctg

квадранти II III + – – – – + – +

I + + + +

IV – + – –

 sin      sin  , cos     cos  , tg     tg , ctg     ctg .

 sin  , tg и ctg су непарне функције.  cos  је парна функција. 2 . 2 Периодичност тригонометријских функција

Пример: sin  45    sin 45  

 sin   2k   sin  ; k  ,   0, 2  .  cos   2k   cos .  tg   k   tg .  ctg   k   ctg .  Функције sin  и cos  су периодичне са основном периодом T  2 , а tg и ctg са основном периодом T   . 129

МАТЕМАТИКА

Пример: sin 750  sin  2  360  30   sin 30 

1 . 2

Свођење тригонометријских функција било ког угла на тригонометријске функције оштрог угла  Ако је     2k ,   2  2k тригонометријска функција се не мења, а знак функције одређује се помоћу тригонометријског круга.  3  2k тригонометријска функција се  Ако је    2k ,   2 2 мења у своју кофункцију, а знак функције одређује се помоћу тригонометријског круга.

sin  90      cos 

sin 180     sin 

cos  90     sin 

cos 180      cos 

tg  90     ctg

tg 180      tg

ctg  90     tg

ctg 180     ctg

sin  270      cos 

sin  360      sin 

cos  270      sin 

cos  360      cos 

tg  270     ctg

tg  360      tg

ctg  270     tg

ctg  360     ctg

ЗАДАЦИ 1. Израчунати: sin120 , cos120 , tg120 , ctg120 . Решење: 3 ; 2 1 cos120  cos  90  30    sin 30   ; 2

sin120  sin  90  30   cos 30 

130

МАТЕМАТИКА

tg120  tg  90  30   ctg30   3 ; ctg120  ctg  90  30    tg30  

3 . 3

До решења смо могли доћи и на следећи начин: 3 . sin120  sin 180  60   sin 60  2 Израчунати вредност израза: 2. а) sin  150 ;

б) cos 765 .

Решење:

1 а) sin  150    sin150   sin  90  60    cos 60   ; 2 2 б) cos 765  cos  2  360  45   cos 45  . 2 3. cos  90    sin 180     cos 180    sin  90    . Решење: cos  90    sin 180     cos 180    sin  90   

 sin  sin   cos  cos   cos 2   sin 2   1.

  sin     tg     2  4. .  3  cos     ctg      2  Решење:

  sin     tg     sin   ctg  2    1.  sin   ctg   3  cos     ctg      2  131

МАТЕМАТИКА

3  5  tg    cos1000 2  4  . 5. Израчунати: 5 cos  2  ctg sin170 3 Решење:    3  5   sin tg    cos1000 1   tg      cos  720  280  4  2  4     5   cos  2  ctg sin170 1 ctg  2   sin 180  10  3 3  sin



tg

 4

cos 280





1 cos  270  10 



3  sin10  3. 3  sin10

3 sin10 3 3   sin 3     cos  2    2   6. Доказати  cos  .   3 3  3 tg     cos     2 2          sin     cos     tg     4  4  4   1. 7. Доказати 3  3  sin  cos    2  2  2sin x  sin 2 x 2  3 , ако је x  8. Доказати да је . 2sin x  sin 2 x 3 3  3  9. Ако је     ,  и sin    израчунати остале 5 2   тригонометријске функције. Решење: 9 4  3 cos    1  sin 2    1    , а знајући да је     , 25 5 2  3  4 1 4 sin  3  .  5  ; ctg  добијамо cos    . tg  5 cos   4 4 tg 3 5 ctg

3

sin10



132

 , 

МАТЕМАТИКА

Тригонометријске функције збира и разлике два угла  sin      sin  cos   cos  sin  ;  cos      cos  cos  sin  sin  ;  tg     

tg  tg ctg ctg 1 , ctg      . 1 tg tg ctg  ctg

ЗАДАЦИ 1. Израчунати sin     ако је sin      3     ,  , а    ,  . 2 2 





3 5 , cos    и 5 13



Решење:

cos    1  sin 2    1 

9 4     , а знајући да је    ,   , 25 5 2 

4 добијамо cos    . 5 sin    1  cos 2    1  добијамо sin   

25 12  3   , а знајући да је     , 169 13 2 

 , 

12 . 13

3  5   12  4  33 . sin      sin  cos   cos  sin              5  13   13  5  65

Упростити изразe: sin      cos  sin  . sin      cos  sin  Решење:

2.

133

МАТЕМАТИКА

sin      cos  sin  sin  cos   cos  sin   cos  sin   1. sin      cos  sin  sin  cos   cos  sin   cos  sin 

3. Доказати идентичност

4. Доказати 1  3tg 2 x 

cos  a  b   cos  a  b   ctga  ctgb . cos  a  b   cos  a  b 

4sin  30  x   sin  30  x  . cos 2 x

Решење:

3 1  4  cos 2 x  sin 2 x  2 2 cos x  3sin x 4 4  1  3tg 2 x    2 2 cos x cos x 1  1  3 3 4  cos x  sin x  cos x  sin x  2 2 2  2    2 cos x 4  sin 30 cos x  cos 30 sin x  sin 30 cos x  cos 30 sin x   cos 2 x 4sin  30  x  sin  30  x   . cos 2 x 5. Ако је tg 

  

 4

5 3 , tg  и  ,  оштри углови, доказати да је 11 8

.

Решење: 5 3  tg  tg 11 8 1      . tg       1  tg tg 1  5  3 4 11 8

6. Ако је tg      3 , tg  2 израчунати tg . Резултат:

1 . 7 134

МАТЕМАТИКА

7. Израчунати cos x  cos 120  x   cos  240  x  . Решење: cos x  cos 120  x   cos  240  x   cos x  cos120 cos x  sin120 sin x  cos 240 cos x  sin 240 sin x 1 3 1 3  cos x  cos x  sin x  cos x  sin x  0 . 2 2 2 2 Знајући да је: 1 cos120  cos  90  30    sin 30   ; 2 3 sin120  sin  90  30   cos 30  ; 2 1 cos 240  cos 180  60    cos 60   ; 2 3 sin 240  sin 180  60    sin 60   . 2  2   2  8. Израчунати cos 2 x  cos 2   x   cos 2   x .  3   3  Решење:  2   2  cos 2 x  cos 2   x   cos 2   x  3   3 

2 2 2 2      cos x   cos cos x  sin sin x    cos cos x  sin sin x  3 3 3 3     2

2

 2   1  cos 3  cos    3    cos 3   2        2    3   sin   sin      sin    3 3 3 2   2

 1   1  3 3  cos x    cos x  sin x     cos x  sin x  2 2  2   2  2

135

2

2

МАТЕМАТИКА

1 3 3  cos 2 x  cos 2 x  sin x cos x  sin 2 x  4 2 4 1 3 3  cos 2 x  sin x cos x  sin 2 x 4 2 4 3 3 3 3  cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x  sin 2 x   . 2 2 2 2

Тригонометријске функције удвострученог угла

cos 2  cos2   sin 2  , ctg 2  1 . ctg2  2ctg

sin 2  2sin  cos  , 2tg tg 2  , 1  tg 2

ЗАДАЦИ 1. Израчунати: а) 2sin15 cos15 ;

б) sin

2 ; 3

в) cos2 75  sin 2 75 ;

Решење: а) sin 30 

1   3 ; б) 2sin cos  ; в) 2 3 3 2

cos150  cos 180  30    cos 30  

3 . 2

2. Скратити разломке: а)

sin 55 ; sin110

б)

sin  2sin 2



;

2

Решење: 136

в)

cos 40 . cos 20  sin 20

МАТЕМАТИКА

sin 55 sin 55 1   ; sin110 2sin 55 cos55 2cos55   2sin cos sin  2 2  ctg  ; б)    2 2sin 2 2sin 2 2 2  cos 20  sin 20 cos 20  sin 20 cos 40  в) cos 20  sin 20 cos 20  sin 20  cos 20  sin 20 . а)

3. Израчунати sin 2 , cos 2 , tg2 , ctg2 ако је cos    3  , 2  .  2 

3 и 5

 

Решење:

9 4  3    , а знајући да је    , 2  , добијамо 25 5  2  4 24  4 3 sin    . sin 2  2sin  cos   2       . 5 25  5 5

sin    1 

2

2

7 3  4 cos 2  cos   sin           . 25 5  5 24  sin 2 24 1 7 tg2   25  , ctg2   . cos 2  7 7 tg2 24 25 4 4. Израчунати колико је cos 2x ако је sin x  . 5 Решење: cos 2 x  cos2 x  sin 2 x  1  2sin 2 x, па је 2

2

2

32 7 4 cos 2 x  1  2     1   . 25 25 5 137

МАТЕМАТИКА

5. Упростити изразе:

2sin   sin 2 ; 2sin   sin 2   1  sin   2  1  sin 2 1  cos 2  sin 2 2 . г) ; д) ; ђ) sin   cos  1  cos 2  sin 2 2sin  а)

1  cos 2 ; sin 2

б)

1  cos 2 ; 1  cos 2

в)

Решење:

1  cos 2 sin 2   cos2   cos2   sin 2  2sin 2     tg ; а) sin 2 2sin  cos  2sin  cos 

1  cos 2 sin 2   cos 2   cos2   sin 2  2sin 2   2   tg 2 2 ; б) 2 2 2 2 1  cos 2 sin   cos   cos   sin  2cos  в)

2sin   sin 2 2sin   2sin  cos   2sin   sin 2 2sin   2sin  cos  2  2sin  1  cos   2 cos 2     ctg 2 ; 2sin  1  cos   2sin 2  2 2

1  sin 2 sin 2   cos 2   2sin  cos   г) sin   cos  sin   cos 

 sin   cos    sin   cos 

д)

2

 sin   cos  ;

1  cos 2  sin 2 sin 2   cos 2   cos 2   sin 2   2sin  cos   1  cos 2  sin 2 sin 2   cos 2   cos 2   sin 2   2sin  cos  2sin 2   2sin  cos  2sin   sin   cos      tg ; 2cos 2   2sin  cos  2cos   sin   cos  

138

МАТЕМАТИКА

  1  sin   2  2 2   1  cos 2  2sin   sin  . ђ) 2sin  2sin  2sin  6. Доказати да је

sin 2 x cos x x   tg . 1  cos 2 x 1  cos x 2

Решење: sin 2 x cos x 2sin x cos x cos x sin x     2 1  cos 2 x 1  cos x 2 cos x 1  cos x 1  cos x x x x 2sin cos sin 2 2 2  tg x .  x x 2 2 cos 2 cos 2 2 7. Израчунати tg2 ако је cos   90  

1   , и    ,  . 5 2 

Решење:

1 1 1  cos  90      sin   . 5 5 5 1 sin  1 24 1 24  5   ; cos    1   . tg  cos  24 25 5 24 24  5  24  2   2  24 24 2tg    24  2 24   4 6 . tg2   2 2 1 1  tg  23 23  24  1 1    24  24 

cos   90  

8. Доказати идентичност tg  45  a   tg  45  a   2tg 2a . Решење: 139

МАТЕМАТИКА

tg  45  a   tg  45  a  

tg 45  tg a tg 45  tg a  1  tg 45 tg a 1  tg 45 tg a

1  tg a 1  tg a 1  tg a   1  tg a  4tg a     2 1  tg a 1  tg a 1  tg a 1  tg 2 a 2tg a  2  2tg 2a. 1  tg 2 a 2

2

9. а) Израчунати sin 3x у функцији од sin x ; б) Израчунати cos3x у функцији од cos x . Решење: а) sin 3x  sin  2 x  x   sin 2 x cos x  sin x cos 2 x  2sin x cos2 x  sin x  cos 2 x  sin 2 x 

 2sin x 1  sin 2 x   sin x 1  2sin 2 x   3sin x  4sin 3 x ;

б) cos3x  4cos3 x  3cos x .

Тригонометријске функције половине угла  2sin 2  2cos 2  tg

 2

 2

 2



 1  cos   sin



 1  cos   cos 1  cos  , 1  cos 

ctg

2

 2

 2



1  cos  ; 2



1  cos  ; 2



1  cos  . 1  cos 

 Примери:  1  cos  sin   за 0    2 ; 2 2 2    4 ; 140

sin

 2



1  cos  за 2

МАТЕМАТИКА

tg

tg

 2

 2



1  cos  за 0     и 2    3 ; 1  cos 



1  cos  за     2 и 3    4 итд. 1  cos 

ЗАДАЦИ 1. Израчунати sin

 8

, cos

 8

, tg

 8

.

Решење: sin

cos tg





8

 8

 8

1  cos

4 

2 1  cos



2 2 2





2 2

 4 



2. Израчунати sin а) cos   

1

2 2  1 2 2 ; 2 2

1

2 2  1 2 2 ; 2 2

2 2 2 2   3 2 2  2 2 2 2

 2

, cos

 2

, tg

7   и    ,  ; 25 2 

 2





2 1

2

 2 1.

ако је: б) sin   

4  3  и    , 2  . 5  2 

Решење: а) sin

 2



7 7  1 sin 25  4 , cos   25  3 , tg   2  4. 2 2 5 2 5 2 cos  3 2

1

141

МАТЕМАТИКА

б) cos   1  sin 2   1 

tg

 2



16 3  5  2 5 , cos  ,  , sin  25 5 2 5 2 5

1 . 2

3. Упростити изразе:

1  cos 2 1  cos 2 ; б) ; sin 2 1  cos 2  1  cos 1      8; в) г)  tg   tg    ;  cos  2   4 2 sin 16 1  sin   cos  sin 2 cos   д) ; ђ) . 1  sin   cos  1  cos 2 1  cos  а)

Решење:

1  cos 2 2cos 2  cos     ctg ; а) sin 2 2sin  cos  sin  б)

1  cos 2 2sin 2    tg 2 ; 2 1  cos 2 2cos  1  cos

в) sin

2





8 

16

2sin 2 sin

2

 16  2 ;



16 tg



 tg



1      sin   1  4 2  г)  tg   tg      cos    4 2  cos  1  tg tg   4 2

142

МАТЕМАТИКА



2sin cos

 2

2 

2

cos

 2

 sin

1 1

2 



2 1

sin cos sin cos

 2

 2



2

 2

     cos  sin  sin  cos  2 2  2 2  1;            cos  sin  cos  sin  cos 2  sin 2 2 2  2 2  2







2sin 2  2sin cos 1  sin   cos  2 2 2  д) 1  sin   cos  2 cos 2   2sin  cos  2 2 2    2sin  sin  cos   2 2 2   tg ;    2 2 cos  sin  cos  2 2 2

ђ)

sin 2 cos  2sin  cos  cos     1  cos 2 1  cos  2cos 2  1  cos    2sin cos 2 2  tg  .   2 2 cos 2 2

4. Доказати идентитете: а)

sin   sin 3  2sin  ; 1  cos 2

б) cos 4  4cos 2  3  8cos4  .

143

МАТЕМАТИКА

Трансформација збира и разлике тригонометријских функција у производ и обрнуто  sin   sin   2sin

 

cos

 

; 2 2     cos  cos   cos   2cos , 2 2     cos   cos   2sin sin , 2 2 1  sin  cos    sin      sin      ; 2 1  sin  sin    cos      cos      , 2 1 cos  cos    cos      cos      . 2 Тригонометријске функције угла  као функције од tg

sin  

2 tg 1  tg

 2 , cos  

2 

2

1  tg 2 1  tg

 2 , tg  

2 

2

2 tg 1  tg

 2 

ЗАДАЦИ 1. Доказати идентитет

sin 2  sin 6  tg4 . cos 2  cos 6

Решење: sin 2  sin 6 2sin 4 cos 2   tg4 . cos 2  cos 6 2cos 4 cos 2 144

2 , ctg  2

 

1  tg 2 2 tg





2 .

2

МАТЕМАТИКА

2. Трансформисати у производ: а) sin 2 x cos3x  2sin 2 x sin 3x ; б) sin 25  sin 37  sin 27  sin 35 ; в) sin 20  sin 34  sin 24  sin 30 . Решење: а) sin 2 x cos3x  2sin 2 x sin 3x  2sin x cos x cos3x  2sin 2 x sin 3x  2sin x  cos x cos3x  sin x sin 3x   2sin x cos 4 x . б) sin 25  sin 37  sin 27  sin 35  25  37   25  37   27  35   27  35   2sin   cos    2sin   cos   2 2 2 2          2sin 31 cos  6   2sin 31 cos  4   2sin 31 cos 6  2sin 31 cos 4  2sin 31  cos 6  cos 4  6  4 6  4 cos 2 2  4sin 31 cos 5 cos1 .  2sin 31 2 cos

в) sin 20  sin 34  sin 24  sin 30  2sin 27 cos7  2sin 27 cos3  2sin 27  cos 7  cos3  4sin 27 cos5 cos 2 . 3. Доказати да је: а) sin 20 sin 40 sin 80 

3 ; 8

б) cos10 cos 50 cos 70 

Решење: а) sin 20 sin 40 sin 80 

1  cos 20  cos 60 sin 80 2 145

3 . 8

МАТЕМАТИКА

1  cos 20 sin 80  cos 60 sin 80  2 11 1     sin100  sin 60   sin 80  22 2   1 3   sin100   sin 80  4 2  

 1 3 3   cos10   sin 80   . 4 2  8 4. Доказати идентичност cos 24  cos 48  cos84  cos12  Решење: cos 24  cos 48  cos84  cos12  2 cos 36 cos12  2 cos 48 cos 36  2 cos 36  cos12  cos 48   4 cos 36 sin18 sin 30  2sin18 cos 36 2sin18 cos18 cos 36 cos18 sin 36 cos 36  cos18 1 sin 72 1 2  . sin 72 2 

146

1 . 2

МАТЕМАТИКА

Тригонометријске једначине

 Једначина код које се непозната тригонометријске функције назива једначина.

јавља као аргумент се тригонометријска

 Решити једначину значи одредити све вредности непознате за које је дата једначина задовољена.  Једначина sin x  a има смисла ако и смо ако је 1  a  1 . Тада постоји јединствени угао  , 



 



, чији је синус једнак 2 2 a , тј. sin x  sin  , која има два бесконачна скупа решења xk    2k и xn       2n , k , n  .

 Једначина cos x  a има смисла ако и смо ако је 1  a  1 . Тада постоји јединствени угао  , 0     , чији је косинус једнак a , тј. cos x  cos  , која има два бесконачна скупа решења xk    2k , k  .  Једначина

tgx  a

има

смисла





јединствени угао  , 

 

a 

.

Тада

постоји

, чији је тангенс једнак a , тј. 2 2 tgx  tg , која има једна скуп решења xk    k , k  .

 Једначина ctgx  a има смисла a  . Тада постоји јединствени угао  , 0     , чији је котангенс једнак a , тј. ctgx  ctg , која има једна скуп решења xk    k , k  .

147

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ Решити једначине: 1.

sin x 

3 . 2

Решење: 3    sin x   xk   2k  xn       2n 2 3 3   2  xk   2k  xn   2n ; k , n  . 3 3 2.

  2cos  x    1  0 . 4 

Решење:  1      cos  x     x     2k  xk    2k 4 2 4 3 4 3  7   xk   2k  xn    2n ; k , n  . 12 12 3.

2sin 2 x  sin x  0

Решење: 2sin 2 x  sin x  0  sin x  2sin x  1  0  sin x  0  sin x    xk  k  xn 

4.

7 11  2n  xm   2m ; k , n, m  . 6 6

     sin  x    sin  sin  x   . 2 2 2  

Решење: 148

1 2

МАТЕМАТИКА

          sin  x    sin  sin  x    sin     x    1  sin  x   2 2 2 2      2  1      sin   x   1  sin  x     cos x  1  cos x  cos x  2 2 2    xk  

 3

 2 k ; k  .

 3  ctg   x  2  1. 5. ctgx 3 Решење:  3  ctg   x  2   1  tg 2 x  1  tgx   3  x     k ; k  . k ctgx 3 3 3 6 6.

cos 4 x  sin 4 x 

1 . 2

Решење:

cos 4 x  sin 4 x   2x   7.









1 1 1  cos 2 x  sin 2 x cos 2 x  sin 2 x   cos 2 x  2 2 2

 2k  xk  

3 4 cos x  sin 4 x  1.



6

 k ; k  .

Решење: cos 4 x  sin 4 x  1  cos 4 x  2 cos 2 x sin 2 x  sin 4 x  1  2 cos 2 x sin 2 x   cos 2 x  sin 2 x   1  2 cos 2 x sin 2 x 2

 1  1  2 cos 2 x sin 2 x  2 cos 2 x sin 2 x  0 1 k 2   2cos x sin x   0  sin 2 x  0  2 x  k  xk  ;k . 2 2

149

МАТЕМАТИКА

8.

sin 4 x  cos 4 x 

5   12 6  5  xm   m  xn   n , k , , m, n  . 12 12 Сви добијени случајеви решења могу се заменити  k ,k . скупом решења xk    12 2

Резултат: xk 

9.

 k  xl 

Решити једначину sin 2 x  cos x  0 у интервалу 0,  .

Резултат: x  10.



7 . 8

 2

,x 

 6

,x 

5 . 6

Колики је збир свих решења једначине cos x  6  7cos 2 x на интервалу  0, 20  , а cos x  0 ?

Решење: cos x  6  7 cos 2 x  cos x  6  7  cos 2 x  sin 2 x 

 cos x  6  7 cos 2 x  7 1  cos 2 x   14 cos 2 x  cos x  13  0 13  cos x    cos x  1. 14 Због услова cos x  0 , посматрамо само једначину cos x  1 чије је решење xk  2k , k  . У интервалу  0, 20  су решења x1  2 , x2  4 , x3  6 .

Остала решења су ван овог интервала, па је x1  x2  x3  12 . 11.

sin 7 x  sin 3x .

Решење: 150

МАТЕМАТИКА

Како је sin   sin   2sin

 

 

биће: 2 2 sin 7 x  sin 3 x  sin 7 x  sin 3 x  0  2sin 2 x cos 5 x  0  sin 2 x  0  cos 5 x  0   2 x  k  5 x   m 2 k  m  xk   xm   , k, m  . 2 10 5

12.

cos

sin 3x  sin x .

Решење: sin 3x  sin x  3 x  x  2k   3 x    x    2 x  2 k   4 x    2    2 1  xk  k  xl    xk  k  xl   , k,  . 4 2 4 13.

cos 2 x  sin 2 x  1  cos x  sin x .

Решење: cos 2 x  sin 2 x  1  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x  2 sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x  cos x  sin x  cos x  sin x  2 sin x cos x  2 sin 2 x  0  cos x  sin x   2 sin xcos x  sin x   0  cos x  sin x 1  2 sin x   0  sin x  cos x  0  1  2sin x  0 1  tg x  1  sin x  2   5  xk    k  xl   2l  xm   2m ; k , l , m  . 4 6 6 14.

cos x  cos 2 x  sin 3x .

Решење: 151

МАТЕМАТИКА

cos x  cos 2 x  sin 3x  2sin

3x 3x 3x  x sin     2sin cos 2 2 2  2

3x x 3x 3x 3x  x 3x  sin  2sin cos  0  2sin  sin  cos   0 2 2 2 2 2  2 2  3x x   3x   sin  0  sin  sin     0 2 2 2 2  x   3x  x   3x        2 k 2 2 2  2 2 2  x  2sin cos 0 3 2 2 2 k      x  2sin  x   cos   x   0 3 4  4  2 k     x  sin  x    0  cos  x    0 3 4 4   2 k  3  xk   xn   n  xm   m ; k , n, m  . 3 4 4  2sin

15.

8 cos 2 x  6 sin x  3  0 .

Решење: 8cos2 x  6sin x  3  0  8 1  sin 2 x   6sin x  3  0

 8 sin 2 x  6 sin x  5  0 , (смена sin x  t ) 5 1  8t 2  6t  5  0  t   t   4 2 5 1  sin x   sin x   . 4 2 1 7 11 sin x    xk   2k  xl   2l ; k , l  . 2 6 6 5 Једначина sin x  нема решења. 4 16.

Колико решења једначине 2sin 2 x  3sin x  1  0 припада интервалу  0,   ? 152

МАТЕМАТИКА

Решење: Ако уведемо смену sin x  t једначина постаје квадратна 1 2t 2  3t  1  0 , чија су решења t1  1 и t2  . Значи, 2

sin x  1  xk 



2

 2k ;

1  5  xn   2n  xm   2m , k , n, m  . 2 6 6   5   0,   , три решења дате једначине припадају Како , , 6 2 6 интервалу  0,   . sin x 

17.

2cos2 x  7cos x  3  0 .

Решење: Уводимо смену cos x  t , добијамо квадратну једначину 1 2t 2  7t  3  0 , чија су решења t1  3 и t2  . Заменом у смену 2 1 добијамо: cos x  3  cos x  . 2 1  cos x   xk    2k ; k  . Једначина cos x  3 нема 2 3 решења. 18.

1 sin 2 x  sin 2 x  1 . 2

Решење: 1 sin 2 x  sin 2 x  1  sin 2 x  sin x cos x  sin 2 x  cos 2 x 2  sin x cos x  cos 2 x  0  cos x  sin x  cos x   0

 cos x  0  sin x  cos x  cos x  0  tgx  1  xk 

 2

 k  xn 

 4

 n , k , n  . 153

МАТЕМАТИКА

19.

sin 6 x  sin 4 x  0 .

Решење:

6x  4x 6x  4x cos 0 2 2  2sin 5 x cos x  0  sin 5 x  0  cos x  0

sin 6 x  sin 4 x  0  2sin

 xk  20.

k   xn   n ; k , n  . 5 2

cos3x  cos5x  0 .

Резултат: xk  21.

 8



k   xn   n ; k , n  . 4 2

sin 4 x  cos5x  0 .

Решење:

  sin 4 x  cos 5 x  0  sin 4 x  sin   5 x   0 2  x   9x    2sin    cos     0 2 4  2 4 x   9x    sin     0  cos     0 2 4  2 4 x  9x      k     n 2 4 2 4 2   2n  xk   2k  xn   ; k, n  . 2 6 9

22.

5sin 2 x  3sin x cos x  2cos2 x  0 .

Решење: 5sin 2 x  3sin x cos x  2 cos 2 x  0  5tg 2 x  3tgx  2  0  tgx  1  tgx  

2   2  xk   k  xn  arctg     n ; k , n  . 5 4  5 154

МАТЕМАТИКА

23.

2sin x  5sin x cos x  8cos2 x  2 . 2

Решење: 2sin 2 x  5sin x cos x  8cos 2 x  2

 2sin 2 x  5sin x cos x  8cos 2 x  2sin 2 x  2cos 2 x  4sin 2 x  5sin x cos x  6cos 2 x  0 . Решења једначине су:  3 xk  arctg2  k и xn  arctg     n ; k , n  .  4 24.

sin x cos x  3sin 2 x  4cos2 x  3 .

Резултат: xk  25.

 2

 k  xn  

 4

 n ; k , n  .

sin x  cos x  1 .

Решење:

2 2 2 sin x  cos x  2 2 2   2  cos sin x  sin cos x  4 4 2  2   sin  x    4 2     3  x    2k  x    2n 4 4 4 4

sin x  cos x  1 

 xk  2k  xn  26.



2

 2n ; k , n  .

sin x  3 cos x  2 .

Решење: 155

МАТЕМАТИКА

sin x  3 cos x  2  sin x  tg

 sin x 

sin cos

 sin x cos

 3

 cos x  2

 3  cos x  2



 3

3  sin

 3

cos x  2 cos

 3

    sin  x    1  xk   2k ; k  . 3 6  27.

Решити једначину sin x  3 cos x  1 .

Резултат: xk   28.

 6

 2k , xn 

 2

 2n ; k , n  .

Нека је x0 најмање позитивно решење једначине sin 3x  cos3x  2 . Израчунати tg x0 .

Решење:

  sin 3x  cos 3x  2  sin 3x  sin   3x   2 2 

    cos  3x    2  cos  3 x    1 4 4 4     2 k  3x   2k  xk   , k . 4 12 3  2sin



Дакле, x0 



12

па је



3 6  2  2 3  tg   12 3 2 3 1  cos 1 6 2



1  cos

1

156

2  3  2   2  3  2  3  2

3.

МАТЕМАТИКА

29.

sin 5x cos3x  sin8x cos 6x  0 .

Решење: sin 5 x cos 3x  sin 8 x cos 6 x  0

1 1  sin 8 x  sin 2 x    sin14 x  sin 2 x   0 2 2  sin 8 x  sin14 x  0  2sin 3 x cos11x  0  sin 3 x  0  cos11x  0 k  n  xk   xn   ; k, n  . 3 22 11 2 3x 3x   30. 1  sin 5 x   cos  sin  . 2 2   

Резултат: xk  k , xn 

31.

sin

 8



n ; k, n  . 4

x  cos x  1 . 2

Решење: x x sin  cos x  1  sin  cos x  1  0 2 2 x  sin  1  cos x   0 2 x x sin  2sin 2  0 2 2 x x  sin 1  2sin   0 2 2 x x  sin  0  1  2sin  0 2 2 x x 1  5  sin  0  sin  xk  2k  xm   4m  xn   4n ; 2 2 2 3 3 k , m, n  . 157

МАТЕМАТИКА

32.

cos x  sin 2 x  1 . 2

2

Решење:

cos2 x  sin 2 2 x  1  cos2 x  4sin 2 x cos2 x  cos2 x  sin 2 x  4sin 2 x cos2 x  sin 2 x  0  sin 2 x  4cos 2 x  1  0  sin 2 x  0  4 cos 2 x  1  0  sin x  0   2 cos x  1 2 cos x  1  0  sin x  0  cos x   xk  k  xl  

33.

 3

1 1  cos x   2 2  2   xm  

2  2m , k , , m  . 3

cos 7 x  sin 5x  3cos 5x  sin 7 x  .

Решење: cos 7 x  sin 5 x  3  cos 5 x  sin 7 x  1 1 3 3 cos 7 x  sin 5 x  cos 5 x  sin 7 x 2 2 2 2 1 3 3 1  cos 7 x  sin 7 x  cos 5 x  sin 5 x 2 2 2 2



 sin



cos 7 x  cos



sin 7 x  sin



6 6 3      sin  7 x    sin  5 x    0 6 3         sin  x   cos  6 x    0 4  12  

cos 5 x  cos

      sin  x    0  cos  6 x    0 4  12     n  xk   k  xn   ; k, n  . 12 24 6 158

 3

sin 5 x

МАТЕМАТИКА

Тригонометријске неједначине  Решити тригонометријску неједначину значи наћи све бројеве који је задовољавају.  Неједначина sin x  a . За a  1 решење је ма који реални број, за a  1 нема решења, а за решење је скуп интервала 1  a  1 2k  arcsin a  x    arcsin a  2k .  Неједначина sin x  a . За a  1 нема решења, за a  1 решење је ма који реални број, а за решење је скуп интервала 1  a  1   arcsin a  2k  x    arcsin a  2k .  Неједначина cos x  a . За a  1 решење је ма који реални број, за a  1 нема решења, а за решење је скуп интервала 1  a  1 2k  arccos a  x  arccos a  2k .  Неједначина cos x  a . За a  1 нема решења, за a  1 решење је ма који реални број, а за решење је скуп интервала 1  a  1 arccos a  2k  x    arccos a  2k .  Неједначина tgx  a . a 

решење је k 

 2

 x  arctga  k .

 Неједначина tgx  a . a 

решење је k  arctga  x  k 

159

 2

.

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 1. За које x  0, 2  је задовољена једначина sin x  Решење:

sin x 

2     3   x  0,   , 2  . 2  4  4 

Решити следеће неједначине:

  2. 2sin  3x    1 . 3  Решење:  1   5  sin  3x      2k  3x    2 k 3 2 6 3 6    2k 7 2k   x   ,  ;k . 3 18 3  6 3. 2cos3x  1 . Решење: 160

2 0? 2

МАТЕМАТИКА

1 2 4   2 k  3 x   2k 2 3 3  2 2k 4 2k   xk    ,  ;k . 3 9 3   9

cos 3x  

4. tgx  1  0 . Решење:

   tgx  1  x    k ,  k  ; k  . 2 4 

5. 4sin 2 x  8sin x  3  0 . Решење: Сменом sin x  t добијамо 4t 2  8t  3  0 чија су решења 1 3 t  или t  , односно: 2 2 1     5  sin x   x   2k ,  2k    2k , 2  2k  ; k  . 2 6    6  3 Неједначина sin x  нема решења. 2 6. 2cos2 2 x  cos 2 x 1  0 .

   Резултат: x     k , k   ; k  . 3  3 7. sin x  cos x  0 . Решење:

2 2   sin x  cos x 0  sin x cos  sin cos x 0 2 2 4 4  5     sin  x    0  x    2k ,  2 k  ; k  . 4 4  4 

sin x  cos x  0 

161

МАТЕМАТИКА

8. sin 4 x  cos 4 x 

3 . 2

Решење: 3 3   sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x   2 2 3 3   cos 2 x   cos 2 x   2 2 5 5 5  5    2 k  2 x   2 k  x     k ,  k  ; k  . 6 6 12  12 

sin 4 x  cos 4 x 

9. sin 2 x  cos x . Решење: 2sin x cos x  cos x  0  cos x  2sin x  1  0 1  1    cos x  0  sin x     cos x  0  sin x   2  2  5       xk    2k ,  2k     2k ,  2 k  ; k  . 6 6 2   2 

10.

2 x  . cos     2 2 8

Решење: 2 2  x  3 x    cos       k     k 2 4 2 8 4 2 8 2 7  3   xk    2 k ,  2k  ; k  . 4  4 

11.

а) sin 3x 

3  0; 2

1  б) 2cos  3x    2 . 2  162

МАТЕМАТИКА

  2k 2 2k  Резултат: а) x    ,  ; 3 9 3  9  1  2k  1 2k б) x     ,   3 12 6 3  6 12

12.

x  а) tg     3 ; 2 4

 ;k . 

б) sin x  3 cos x  0 .

3  7  Резултат: а) xk    2 k ,  2 k  ; 2  6  7  4  б) xk    2k ,  2k  ; k  . 3  3 

cos x  sin 2 x  cos2 x .

13.

    Резултат: xk     2k ,  2k  ; k  . 3  3 

Тригонометријске функције Функција y  sin x .  Дефинисана за x  .  Периодична са основном периодом T  2 .  Непарна: sin   x    sin x .  Ограничена: y   1,1 .  Нуле: y  0  xk  k .  Екстреми:

xk 

ymax  1 за xk 

3  2k ; k  . 2

 2

 2k , ymin  1 за

163

МАТЕМАТИКА

Функција y  cos x .

 Дефинисана за x  .  Периодична са основном периодом T  2 .  Парна: cos   x   cos x .  Ограничена: y   1,1 .

 Екстреми: ymax



 k . 2  1 за xk  2k , ymin  1 за

 Нуле: y  0  xk 

xk    2k ; k  .

164

МАТЕМАТИКА

Функција y  tgx .



 k . 2  Периодична са основном периодом T   .  Непарна: tg   x   tg x .  Дефинисана за x 

x

 Неограничена: y   ,   .  Нуле: y  0  xk  k .  Функција стално расте.  Вертикалне асимптоте: xk 

 2

 k ; k  .

Функција y  ctgx .



 k . 2  Периодична са основном периодом T   .  Непарна: ctg   x   ctg x .  Дефинисана за x 

 xk 

 Неограничена: y   ,   .



 k . 2  Функција стално опада.  Вертикалне асимптоте: xk  k ; k  .  Нуле: y  0  xk 

165

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 1.

Одредити периоде следећих функција:

а) y  sin bx ; Решење: 2 а) T  ; b

б) y  cos 4 x ;

б) T 

x в) y  tg . 2

2    ; в) T   2 . 1 4 2 2

Испитати и скицирати графике следећих функција: 2.

  y  2sin  3x   . 2 

Решење:

2 . Ограничена: y   2, 2 . 3    k  Нуле: 2sin  3x    0  3x   k  xk   .. 2 2 6 3  Домен: x  . Периода: T 

166

МАТЕМАТИКА

2k , 2 2 3 3  3 2 2k  2 , 3x    2k  xk   ;k . 2 2 3 3

Екстреми: ymax  2 , 3x 

ymin

3.







 2k  xk 





x  y  3sin    . 2 6

Решење: Домен: x  . Периода: T  4 . Ограничена: y   3,3 .

 x  Нуле: 3sin     0  xk    2k . 3 2 6 8 2  4k , ymin  3 , xk   4k ; k  . Екстреми: ymax  3 , xk  3 3

167

МАТЕМАТИКА

4.

x  y  cos    . 2 3

Решење: Домен: x  . Периода: T  4 . Ограничена: y   1,1 .

 x  Нуле: cos     0  xk    2k . 3 2 3 2 8  4k , ymin  1, xk   4k ; k  . Екстреми: ymax  1, xk  3 3

5.

x y  2cos . 2

8.

  y  2sin  2 x   . 4 

6.

  y  cos  x   . 3 

9.

  y  3cos  2 x   . 3 

7.

  y  sin  x   . 4 

10.

x  y  2cos    . 2 4

168

МАТЕМАТИКА

АРИТМЕТИЧКИ И ГЕОМЕТРИЈСКИ НИЗ

 Аритметички низ је низ бројева таквих да је разлика свака два узастопна члана константа d , коју називамо диференција низа.  Општи члан низа: an  a1   n  1 d , d  0 .  Збир првих n чланова низа: n n Sn  а1  а2   аn   a1  an    2a1   n  1 d  . 2 2  Сваки члан низа је аритметичка средина симетричних чланова. a  an  k an  n k . 2

 Геометријски низ је низ бројева таквих да је количник свака два узастопна члана константа q , коју називамо количник низа.  Општи члан низа: an  a1  q n1 , q  1. .  Збир првих n чланова низа: 1  qn Sn  а1  а2   аn  a1  . 1 q  Сваки члан низа је геометријска средина симетричних чланова. an 2  ank  ank .

169

МАТЕМАТИКА

ЗАДАЦИ 1. Колико чланова аритметичког низа 5, 9, 13, 17, ... треба сабрати да би се добио збир 10877? Решење: У овом аритметичком низу је a1  5 , d  4 . Формула за збир правих n чланова аритметичког низа гласи n Sn   2a1   n  1 d  . Према услову задатка имамо: 2 n 10877   2  5   n  1  4   2n 2  3n  10877  0 2 298  n1    n2  73 . 4 298  тражени број је n  73 . Како n1   4 2. Колики је збир првих пет чланова аритметичке прогресије ако је a2  a7  25 и a6  a3  9 ? Решење: a2  a1  d , a7  a1  6d , a6  a1  5d , a3  a1  2d , добијамо систем линеарних једначина: 2a1  7d  25, d  3. Решење система је  a1 , d    2,3 .

Како је Sn 

n 5 2a1   n  1 d  биће S5   4  4  3  40.  2 2

3. У аритметичком низу дато је: a2  a5  a3  10 и a1  a6  17 . Израчунати збир прва 33 члана  S33  .

Решење: 170

МАТЕМАТИКА

Из датог услова добијамо: a1  d  a1  4d  a1  2d  10  a1  a1  5d  17  a1  3d  10  2a1  5d  17  a1  1  d  3.

n  2a1   n  1 d  за збир првих n чланова 2 33 аритметичког низа добијамо S33   2 1  32  3  1617. 2 На основу формуле Sn 

4. Збир прва три члана геометријске прогресије је 31, а збир првог и трећег члана је 26. Одредити прогресију. Решење: Ако су a1 и q први члан и количник геометријске прогресије, биће

a1  a1q  a1q 2  31 a1  a1q 2  26 . 1  q  q 2 31  . 1  q2 26 1 Из последње једначине је q '  или q ''  5 , па због a1q  5 5 добијамо a '1  25 или a ''1  1 . Одавде је a1q  5 и

5. Одредити аритметичку прогресију ако је збир њених првих n чланова Sn  2n2  3n . Решење: Како је збир првих n чланова аритметичке прогресије Sn  2n2  3n и S1  a1 , S2  a1  a2 , то је: за n  1: S1  a1  2 1  3 1  a1  1 , а за n  2 : S2  a1  a2  2  4  3  2  2. 171

МАТЕМАТИКА

Сада из a1  1 и a1  a2  2 следи a2  3, па је d  a2  a1  4. Тражена аритметичка прогресија је 1, 3 , 7 , 6. Одредити геометријску прогресију код које је збир другог и трећег члана 3, а збир четвртог и петог члана 12. Решење: Из услова задатка имамо да је a1  q  q 2   3  a2  a3  3  a q 1  q   3   13    a4  a5  12  a1q 1  q   12  a1  q 3  q 4   12  

a1q 1  q  1   q  2 . a1q 3 1  q  4

Из q  2 и a1  q  q 2   3 добијамо a1 

3 , односнo низ: 2

3 , 3, 6, 2 Из q  2 и a1  q  q 2   3 добијамо a1 

1 1 , односнo низ: ,1, 2, 4, 2 2

7. У геометријској прогресији је a1  a5  51 и a2  a6  102 . За које n је збир првих n чланова те прогресије 3069? Решење: Користимо формуле an  a1q

n 1

, Sn 

a1  q n  1

, где су a1 , q , an и q 1 S n редом први члан, количник, n -ти члан и збир првих n чланова геометријске прогресије. Сада имамо: 172

МАТЕМАТИКА

a1  a5  51  a2  a6  102  a1  a1q 4  51  a1q  a1q 5  102

 a1 1  q 4   51  a1q 1  q 4   102 

a1q 1  q 4  a1 1  q

4





102 51

 q  2.

Сада из a1 1  q 4   51 и q  2 добијамо a1 1  24   51  17a1  51  a1  3 .

На основу добијених вредности a1  3 , q  2 и дате вредности

Sn  3069 следи 3  2n  1 2 1

 3069  2n  1  1023  2n  1024  2n  210  n  10 .

8. Ако бројеви x , y , z чине геометријску прогресију, тада је

 x  y  z  x  y  z   x2  y 2  z 2 . Доказати. Решење: Ако је q количник геометријске прогресије, онда су чланови те прогресије x , qx , q 2 x , па је:

 x  y  z  x  y  z    x  qx  q 2 x  x  qx  q 2 x   x 2 1  q  q 2 1  q  q 2 



 x 2 1  q 2   q 2 2



 x 2 1  q 2  q 4   x 2  x 2 q 2  x 2 q 4  x 2   xq    xq 2   x 2  y 2  z 2 . 2

2

173

МАТЕМАТИКА

АНАЛИТИЧКА ГЕОМЕТРИЈА Taчка  Дужина дужи AB где је A  xA , y A  , B  xB , yB  :

 xA  xB    yA  yB  . Координате тачке S  xs , ys  која дуж AB 



2

2

AB дели у размери  су:

xA   xB y   yB , ys  A . 1  1   Координате тачке S  xs , ys  , средишта дужи AB : xs 

xA  xB y  yB , ys  A . 2 2  Површина троугла ABC где је A  xA , y A  , B  xB , yB  , xs 

C  xC , yC  је:

xA 1 P  xB 2 xC

yA 1 yB 1 . yC 1

 Координате тежишта троугла ABC : x x x y  yB  yC xT  A B C , yT  A . 3 3

ЗАДАЦИ 1. Израчунати дужину дужи AB ако је дато A  4, 6  и B 1, 2  . Решење:

AB 

 4  1   6  2 2

2

 9  16  25  5 . 174

МАТЕМАТИКА

2. Наћи координате тачке A која дели дуж PQ у размери 3: 2 , ако су дате тачке P  3, 2  и Q  5, 4  . Решење:

3 , па добијамо координате тражене 2 3 3 3   5 2 4 9 2  ,y  2  16 . тачке A  xA , y A  , x A  A 3 3 5 5 1 1 2 2  9 16  Значи A  ,  . 5 6  Коефицијент размере је  

3. Израчунати дужине тежишних дужи троугла ABC , ако су дата темена својим координатама: A  8, 2  , B  0, 4  и C 8, 6  . Решење: Нека је тачка A1 средиште дужи BC : 08 4  6 x1   4 , y1   1, A1  4,1 . 2 2 Дужина тежишне дужи

AA1 

 8  4   2  1 2

2

 144  9  153  3 17 .

На исти начин добијамо: BB1  6 и CC1  15 . 4. Одредити тачку на y оси која је подједнако удаљена од тачака

A  3,1 и B  5, 7  . Решење: Нека је тражена тачка на y оси тачка C  0, yC  .

AC  BC 

 0  3   yC  1 2

2



 0  5   yC  7  2

2

  0  3   yC  1   0  5   yC  7   12 yC  64  yC  2

2

2

2

175

16 . 3

МАТЕМАТИКА

5. Одредити координате тачке на x оси која је подједнако удаљена од тачке A  9, 3 и координатног почетка. Резултат:  5, 0  . 6. Одредити површину троугла са теменима чије су координате A  2,1 , B  2, 3 и C  5, 0  . Решење: 1 P  x1  y2  y3   x2  y3  y1   x3  y1  y2  2 1 1  2   3  0   2  0  1  5 1  3  6  2  20  6 . 2 2 7. Одредити површину троугла ABC и дужину висине из темена C ако су дате координате темена троугла: A  3, 3 , B  3,5 ,

C  2,5 . Решење:

3 3 1 1 P 3 5 1  20 . 2 2 5 1 Дужина странице AB  c 

 3  3   5  3 

Како је површина троугла P 

2

2

 10 .

chC 2P  4. , биће hC  2 c

8. Тачке A  4, 2  , B  2, 4  , C  3, yC  су темена троугла ABC . Одредити yC тако да површина троугла ABC буде 21 . Резултат: yC  6 . 176

МАТЕМАТИКА

Права  Општи (имплицитни) облик једначине праве је: ax  by  c  0 .  Експлицитни облик једначине праве је: y  kx  n ; где је k  tg коефицијент правца праве, а n је одсечак на y оси.  Једначина праве кроз једну тачку A  xA , y A  је:

y  y A  k  x  xA  .  Једначина праве кроз две тачке A  xA , y A  и B  xB , yB  је: y  yA 

yB  y A y  yA коефицијент правца   x  x A  ; где је k  B xB  xA xB  x A

праве.  Сегментни облик једначине праве је:

x y   1. a b

k2  k1 . 1  k1k2  k1  k2 је услов паралелности правих y  k1 x  n1 и y  k2 x  n2 . 1  k1   је услов нормалности правих y  k1 x  n1 и k2 y  k2 x  n2 .

 Угао између правих y  k1 x  n1 и y  k2 x  n2 је: tg 

 Растојање тачке A  xA , y A  од праве ax  by  c  0 је: d

axA  by A  c a 2  b2

.

ЗАДАЦИ 1. Одредити тачке пресека праве 2 x  3 y  12  0 са координатним осама. Решење: За x  0 добијамо y  4 , за y  0 добијамо x  6 . 177

МАТЕМАТИКА

Значи тачке пресека дате праве са координатним осама су  0, 4  и

 6, 0 . 2. Одредити једначину праве која садржи тачку A  2, 1 , а са позитивним делом x осе гради угао  

 6

.

Решење:



3 . 6 3 Тачка A  2, 1 припада правој чију једначину одређујемо, тако да је: 3 y 1   x  2   3x  3 y  3  2 3  0 је једначина тражене 3 праве.

Коефицијент тражене праве је k  tg



3. Одредити тачку пресека правих 2 x  y  3  0 и 3x  y  8  0 . Решење: Пресечна тачка M  x0 , y0  припада обема датим правама, па координате тачке M задовољавају једначине датих правих: 2 x0  y0  3  0 и 3x0  y0  8  0 . Решавањем овог система једначина добија се тачка пресека правих M  1,5 . 4. Одредити једначину праве која садржи тачке A  2, 1 и

B  2,3 . Решење: 3 1 y 1    x  2  y  1    x  2  x  y  1  0 . 2  2 178

МАТЕМАТИКА

5. Одредити једначину праве која садржи координатни почетак и средиште дужи AB  A  4,6  , B 8,8  . Решење: Средиште дужи AB , тачка S има координате: x x y  yB 6  8 4  8 xS  A B   2 , yS  A   7  S  2,7  . 2 2 2 2 70 7   x  0  y  x . Једначина тражене праве OS је: y  0  20 2 6. Темена троугла ABC су A  3, 2  , B  5, 2  и C 1, 0  . Наћи једначине страна и тежишних линија троугла. Решење: AB : 2 x  y  8  0 , AC : x  y  1  0 , BC : x  2 y  1  0 . Нека је тачка A 1 средиште странице BC .

xB  xC 5  1 y  yC 2  0   3 , y A1  B   1  A1  3, 1 . 2 2 2 2 AA1 : x  3 , BB1 : x  y  3  0 , CC1 : y  0 .

xA1 

7. Ако тачке A 1, 2  , B  2,3 и C  4, yC  припадају истој правој, наћи yC . Резултат: yC  5 . 8. Наћи угао између правих y  2 x  5 и y  3x . Решење: y  2 x  5  k1  2 , y  3x  k2  3 . k k 3 2 tg  2 1   1    135 . 1  k1k2 1   2   3 179

МАТЕМАТИКА

9. Наћи угао између правих 3x  y  5  0 и 2 x  y  7  0 . Резултат:   10.



. 4 Одредити једначину праве која пролази кроз тачку A  4, 3

и паралелна је са правом 2 x  3 y  6  0 . Решење:

2 2 . Како су праве паралелне, k2  . 3 3 2 Једначина тражене праве је y  3   x  4   2 x  3 y  17  0 . 3 2 x  3 y  6  0  k1 

11.

Одредити једначину праве која је паралелна са правом y  2 x  5 , и садржи тачку A  1,3 .

Резултат: y  2 x  1 . 12.

Одредити једначину праве која пролази кроз пресек правих 6 x  2 y  1  0 и 4 x  y  3  0 , а нормална је на праву 5x  2 y  6  0 .

Решење: Решавањем система једначина 6 x  2 y  1  0 и 4 x  y  3  0  7  добијамо пресечну тачку   , 11 . Коефицијент правца праве  2  5 5x  2 y  6  0 је k1   . 2 Како су праве нормалне коефицијент правца тражене праве је 1 2 k2    . k1 5 2 7 Једначина тражене праве је: y  11   x    2 x  5 y  48  0 . 5 2

180

МАТЕМАТИКА

13.

Одредити једначину праве која садржи тачку A  5, 1 и

нормална је на правој x  2 y  6  0 . Резултат: 2 x  y  11  0 . 14.

Кроз тачку пресека A правих 2 x  5 y  8  0 и x  3 y  4  0

конструисана је права l која садржи тачку M  5,3 . Одредити једначину праве l . Решење: Тачка пресека правих је A  4, 0  . Једначина праве AM је y  0 

30   x  4  или y  3x  12 . 54

15. Светлосни зрак долази по правој l : x  2 y  3  0 и одбија се од праве p : 2 x  3 y  1  0 . Наћи једначину одбијеног зрака. Решење:

Пресек правих l и p је тачка M 1,1 .

 p, l    n, p   tg  p, l   tg  n, p  . 2 1 2  kn  3  7  3kn  2  k   29 .   3 2  n 2 1 2 1  k p kl 1  kn k p 4 3  2k n 2 1  1  kn 3 2 3 29 n : y  yM  kn  x  xM   y  1    x  1  29 x  2 y  31  0 . 2 k p  kl

kn  k p

181

МАТЕМАТИКА

16.

Наћи тачку на правој p : x  3 y  13  0 чије је растојање од

праве l : x  2 y  3  0 једнако

5.

Решење: Нека је тачка M  x0 , y0  тражено решење. Како тачка M припада правој x  3 y  13  0 , имамо x0  3 y0  13  0 .

17.

5

x0  2 y0  3

 x0  2 y0  3  5 . 5 Решавањем система једначина: x0  3 y0  13  0 и x0  2 y0  3  5 добијамо тачку  4,3 , а система: x0  3 y0  13  0 и x0  2 y0  3  5 добијамо тачку  10,1 . Такође имамо

На правој 3x  y  3  0 наћи тачку најближу тачки

M  2, 1 . Решење: Нека је дата права, а 1 права која садржи тачку M и нормална је на . Тражена тачка S је пресек правих и 1 . Коефицијент правца праве је k  3 , па је коефицијент правца 1 праве 1 : k1   . 3 1 Једначина праве 1 гласи: y  1    x  2  или x  3 y  1  0 . 3 Координате тачке S су одређене решењем система једначина: 3x  y  3  0 , x  3 y  1  0 . S  1, 0  . 18.

Колико је растојање тежишта троугла чија су темена A 1,3 , B  2, 2  и C  3,5 од најмање странице тог троугла?

Резултат:

2. 182

МАТЕМАТИКА

19.

Наћи тачку M која је симетрична са тачком A 8, 9  у

односу на праву која је одређена тачкама B  3, 4  и C  1, 2 . Решење:

2  4  x  3  x  2 y  5  0 . 1  3 Једначина нормале из тачке A на праву BC је n : y  9  2  x  8  2 x  y  25  0 . BC : y  4 

Пресечна тачка правих BC и n је тачка O  9, 7  . Тачка је средиште дужи па AM O x x 8  xM xO  A M  9   xM  10 2 2 y  yM 9  yM yO  A  7   yM  5 . Тражена 2 2 M 10, 5 . 20.

добијамо: и тачка

је:

Одредити тачку A симетричну са тачком B  5,13 у

односу на праву 2 x  3 y  3  0 . Резултат: A 11, 11 . 21. Тачке A  2, 2  , B  4, 2  и C  3,0  су темена троугла. Одредити симетрале страница и центар описаног круга тог троугла.  9 Резултат: x  1 , 2 x  4 y  11  0 , 10 x  4 y  1  0 , 1,  .  4

22.

Наћи једначину праве која пролази кроз пресек праве 3x  2 y  6  0 и ординатне осе, а паралелна је са правом x  2y  5  0 .

Резултат: x  2 y  6  0 . 183

МАТЕМАТИКА

Круг  Једначина круга са центром у тачки C  p, q  , полупречника r је:  x  p    y  q   r 2 . 2

2

d e  x2  y 2  dx  ey  f  0 , p   , q   , r  p 2  q 2  f . 2 2 2  Услов додира круга и праве y  kx  n : r 2 k 2  1   kp  q  n  .





 Једначина тангенте круга у додирној тачки  x0 , y0  :

 x  p  x0  p    y  q  y0  q   r 2 .

ЗАДАЦИ 1.

Одредити координате центра и полупречник круга x 2  y 2  6 x  6 y  15  0 .

Решење: 6 6 p    3 , q    3 , r  9  9  15  3 . 2 2 Једначина кружнице се може написати у облику 2 2  x  3    y  3  3 . 184

МАТЕМАТИКА

2.

Колико је растојање d тачке T  7, 7  од центра круга

x2  y 2  2 x  2 y  98  0 ? Решење: Центар круга има кординате C  1,1 . Тражено растојање d је дужина дужи CT  3.

 7  1   7  1 2

2

 10 .

Одредити тачке у којима круг x2  y 2  x  y  12  0 сече координатне осе.

Решење:

Пресечна тачка са x осом се добија за y  0 , тј. x2  x  12  0  x1  4  x2  3 . Пресечна тачка са y осом се добија за x  0 , тј. y 2  y  12  0  y1  4  y2  3 .

Пресечне тачке имају координате  4,0  ,  3,0  ,  0, 4  ,  0, 3 . 4.

Написати једначину круга који садржи тачке A  1, 3 и B  3, 3 , а центар му припада правој x  y  0 .

Решење: 185

МАТЕМАТИКА

Нека је C  p, q  центар круга.

AC  BC 

 p  1   q  3 2

2

 p  3   q  3  p  1 . p  q  1 , па је C 1,1 . 2



Центар припада датој правој тј.

2

1  1  1  3  20 . 2 2 Једначина траженог круга је  x  1   y  1  20 . 2

Полупречник је r 

5.

2

Написати једначину круга који садржи тачке A  6, 2  и

B  0, 6  , а центар му припада правој 4 x  3 y  6  0 . Резултат: x2  y 2  6 x  4 y  12  0 . 6.

Наћи једначину круга који додирује обе координатне осе и садржи тачку M  2,1 .

Резултат:  x  1   y  1  1 ,  x  5   y  5  25 . 2

7.

2

2

2

Одредити једначину круга чији је центар пресек правих 2 x  y  15  0 и x  3 y  17  0 , а пролази кроз тачку

A  9, 5 . 186

МАТЕМАТИКА

Решење: Пресечну тачку правих, тј. центар круга C  4, 7  добијамо решавањем система једначина 2 x  y  15  0 и x  3 y  17  0 .

 4  9    7  5 2 2 Једначина круга је  x  4    y  7   169 . 2

Полупречник круга је r  AC 

8.

2

 13 .

Испитати узајамни положај праве x  2 y  2  0 и круга

x 2  y 2  6 x  6 y  15  0 . Решење:

C  3, 3 је центар, а r  3 полупречник задатог круга. Растојање d тачке C од праве x  2 y  2  0 износи:

d

3  2   3  2 12   2 

2



5 5



5  5d r. 5

Дакле, права и круг немају заједничких тачака. 9.

Испитати узајамни положај кругова x2  y 2  2 x  6 y  6  0 и

x2  y 2  10 x  8 y  40  0 . Резултат: d  C1 , C2   r1  r2 па дати кругови немају заједничких тачака. 187

МАТЕМАТИКА

10.

Одредити координате тачке M на кругу x2  y 2  6 x  2 y  0 најближе правој 3x  y  12  0 , а затим и растојање тачке M од те праве.

Резултат: M  0, 2  , d  10 . 11.

Одредити параметар k тако да права y  kx додирује круг

x  32  y 2  1. Решење: 2 Услов додира праве и круга је: r 2 k 2  1  kp  q  n . У нашем случају је r  1, p  3 , q  n  0 . Заменом тих вредности у израз за услов додира праве и круга добијамо: 1 2 2 . k 2  1   3k  , 8k 2  1  k 2   k1,2   8 4 12.

Наћи једначину тангенте круга

 x  5   y  5 2

2

 5 која је

паралелна са правом x  2 y  4  0 . Решење:

1 . 2 Из услова паралелности две праве добијамо да је коефицијент 1 правца тангенте такође kt  . Из услова додира имамо: 2 2 5 25 5   n1  0  n2  . n   2 4 2  1 5 1 Тражене једначине тангенти су: y  x  и y  x . 2 2 2 x  2y  4  0  k 

13.

Наћи једначину тангенте круга x2  y 2  4 x  6 y  12  0 која је нормална на дату праву 3x  4 y  10  0 . 188

МАТЕМАТИКА

Резултат: 4 x  3 y  24  0 , 4 x  3 y  26  0 . Написати једначину тангенте круга x 2  y 2  5 која сече праву x  2 y  7  0 под углом од 45 . Решење: 1 Дата права има коефицијент правца k   . Коефицијент правца 2 тражене тангенте је kt . Применом формуле за угао између две 14.

1 2 добијамо k  1 . праве tg45  t kt 3 1 2 Према услову додира, како је p  0 , q  0 , r  5 , имамо kt 

5 2 1 5 2 1  5    1  n2  n1,2   , добијамо две тангенте y  x  3 3 3 9  . 15.

Из тачке C (5,7) ван круга x2  y 2  8x  9  0 конструисане су тангенте на круг. Одредити једначине тангенти и угао под којим се дати круг види из дате тачке.

Решење:

189

МАТЕМАТИКА

x  y  8x  9  0  p  4 , q  0 , r  5 . 2

2





Услов додира је 25 k 2  1   4k  n  . Како тачка C  5, 7  2

припада тангенти имамо везу 7  5k  n . Систем једначина





25 k 2  1   4k  n 

2

и

7  5k  n , даје

4 3 41 13 , k2   , n1  , n2  . Добијамо две тангенте 3 4 3 4 4 41 3 13 чије су једначине y  x  и y   x  . Угао под којим се 3 3 4 4 дати круг види из дате тачке је угао између добјених тангенти. 4 3 1 Како је k1  , k2   , тј. k1   , закључујемо да је угао 3 4 k2 између тангенти прав. решења k1 

16.

Написати једначину круга чији је центар C  0, 5 , а који додирује праву 4 x  3 y  10  0 .

Решење:

4 10 Из 4 x  3 y  10  0 , добијамо k   , n  . 3 3 Како је центар круга C  0, 5 , добијамо p  0 , q  5 . 2

 16   10  Заменом у услов додира добијамо: r   1   5    r  5 . 3 9   2

Једначина круга је x 2   y  5  25 . 2

17.

Написати једначину круга са центром C  5, 4  који додирује споља дати круг x2  y 2  4 x  5  0 .

Решење: Нека је k1 дати круг са центром у тачки C1 полупречника r1 , а k тражени круг са центром у тачки C полупречника r . Трансформишимо једначину датог круга k1 : 190

МАТЕМАТИКА

x  y  4x  5  0  x  4x  4  y2  5  4  0 2

2

2

  x  2   y 2  9   x  2   y 2  32 . 2

2

Закључујемо да је C1  2, 0  и r1  3 . Израчунајмо дужину дужи CC1 :

CC1 

5  2   4  0 2

2

 5 , r  CC1  r1  5  3  2 .

Значи,  x  5   y  4   4 је једначина траженог круга k . 2

18.

2

Наћи једначину тангенте круга описаног око троугла ABC , конструсане у тачки A , ако је A  1,8 , B  3, 4  и C  6, 7  .

Решење: Центар круга је пресечна тачка симетрала дужи AB и BC . Симетрала дужи AB је скуп тачака S  x, y  таквих да је AS  BS , тј.

 x  1   y  8 2

2



 x  3   y  4  2

2

 x  2 y  10  0 .

Слично добијамо симетралу дужи BC : 3x  y  10  0 . Пресек ове две симетрале је центар круга S  2, 4  .

 1  2  8  4 2 2 једначина описаног круга  x  2    y  4   25 . 2

Полупречник круга је r  SA 

2

 5 , па је

Како тачка A припада кругу једначина тангенте по формули гласи:  1  2  x  2   8  4  y  4   25 , тј. 3x  4 y  35  0 .

191

МАТЕМАТИКА

Елипса x2 y 2   1. a 2 b2  Темена елипсе су тачке A1,2  a, 0  и B1,2  0, b  .  Једначина елипсе: b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2 или

 Жиже елипсе су тачке F1,2  c, 0  где је c  a 2  b2 .  Услов додира праве y  kx  n и елипсе је: a 2 k 2  b2  n2 .  Једначина тангенте елипсе у додирној тачки A  xA , y A  :

x  xA y  y A  2  1. a2 b

ЗАДАЦИ 1. Одредити дужине 16 x2  25 y 2  400 .

оса

и

координате

жижа

елипсе

Решење: Трансформацијом елипса постаје

x2 y 2   1 , тј. a  5 , b  4 , па 25 16

су дужине оса 2a  10 , 2b  8 . Како је c  52  42  3 , координате жижа елипсе су F1,2  3, 0  . 192

МАТЕМАТИКА

2. Темена елипсе су тачке B1,2  0, 3 . Растојање између жижа је 8. Одредити једначину те елипсе.

x2 y2 Резултат:   1. 25 9 3. Одредити једначину елипсе која пролази кроз тачке A  3,8 и

B  6, 4  . Решење:

x2 y 2 Једначина тражене елипсе је 2  2  1 , где су a и b непознате. a b 2 3 82   2 1 и Како тачке A и B припадају елипси имамо везе: a2 b 2 2 6 4   1. a 2 b2 Решавањем овог система једначина добијамо a 2  45 , b2  80 , тако да тражена једначина елипсе гласи

x2 y2  1. 45 80

x2 y 2   1 која садржи жижу 64 16 и нормална је на велику осу елипсе.

4. Одредити дужину тетиве елипсе

Резултат: d  4 . 5. За које вредности параметра m је права mx  y  5  0 тангента елипсе 9 x2  16 y 2  144 . Решење:

x2 y 2   1 . Права се може 16 9 написати у облику y  mx  5 . Примењујући услов додира праве Трансформацијом елипса постаје

и елипсе 16  m   9  52 , добијамо m  1 . 2

Постоје две тангенте чије су једначине  x  y  5  0 . 193

МАТЕМАТИКА

6. Написати једначине тангенти елипсе x 2  2 y 2  54 које су нормалне на праву p : x  y  4  0 . Решење: Дата елипса се може написати у облику

x2 y 2   1 , где је 54 27

a 2  54, b2  27 . Како је тангента нормална на дату праву kt  

1  1 . Из услова kp

додира имамо 1 54  27  n2  n  9 . Постоје две тангенте чије су једначине y  x  9 . 7. Написати једначине тангенти елипсе 2 x2  3 y 2  35 које су нормалне на праву p : 3x  8 y  24  0 . Резултат: 8x  3 y  35  0 .

5x  3 y  14  0 и елипсе x  3 y  28 конструисане су тангенте на елипсу. Одредити њихове једначине.

8. У

2

пресечним

тачкама

праве

2

Решење: Пресечне тачке добијамо решавањем система једначина 5x  3 y  14  0 и x 2  3 y 2  28 , тј. A  4, 2  и B 1, 3 . Како добијене тачке припадају елипси можемо користити готови образац за једначине тангенти 4x 2 y x 3y t1 :   1  2 x  3 y  14  0 и t2 :   1  x  9 y  28  0 . 28 28 28 28 3 3 9. Из тачке

A  2, 7 

конструисане су тангенте на елипсу

x2 y 2   1 . Одредити њихове једначине. 100 25 194

МАТЕМАТИКА

Резултат: 3x  8 y  50  0 , 2 x  3 y  25  0 . 10. Написати једначину елипсе ако су познате њене две тангенте x  y  8  0 и x  3 y  16  0 . Решење: Из тангенте x  y  8  0 , тј. y   x  8 , добијамо k  1, n  8 , а из 1 16 друге тангенте k   , n   . Користећи услов додира за прву 3 3 2

 16  тангенту добијамо a  1  b     , а за другу  3 2

2

2

2

2

 1  16  a     b2    .  3 9 Решавањем овог система једначина добијамо a 2  40 , b2  24 . x2 y 2   1. Једначина елипсе гласи 40 24 2

11. Дата је елипса 8x2  18 y 2  144 и права p : 2 x  3 y  15  0 . Одредити на елипси тачку наближу датој правој и тачку најудаљенију од дате праве. Решење: Тражимо додирне тачке тангенти дате елипсе, које су паралелне са 2 датом правом. Коефицијент правца дате праве је k   . 3 2 2 x y   1. Једначина елипсе може се написати у облику: 18 8 2

 2 Из услова додира 18      8  n2 , добијамо n  4 .  3 2 2 Тангенте имају једначине: t1 : y   x  4 , t2 : y   x  4 . 3 3 Додирне тачке су: најближа A  3, 2  и најдаља B  3, 2  . 195

МАТЕМАТИКА

12.

Одредити

заједничке

тангенте

елипси

x2 y 2  1 5 4

и

x2 y 2   1. 4 5 Решење: Тражимо тангенте облика y  kx  n . Из услова додира обе елипсе додијамо систем једначина 5k 2  4  n2 и 4k 2  5  n2 . Њиховим решавањем добијамо k  1, n  3 . Постоје четири заједничке тангенте y   x  3 .

196

МАТЕМАТИКА

Одредити угао под који се секу права x  y  2  0 и елипса

13.

x  3 y 2  12 . 2

Решење: Под углом између праве и елипсе подразумева се угао између праве и тангенте на елипсу у пресечним тачкама праве и елипсе.

Решавањем система једначина x  y  2  0 и x 2  3 y 2  12 добијају се пресечне тачке  0, 2  и  3, 1 . Једначине тангенти на елипсу у овим тачкама гласе y  2 и x y4  0. Коефицијенти праваца ових тангенти су k  0 и k  1 . Како је коефицијент правца дате праве k  1 , закључујемо да права са тангентама заклапа углове од 45 и 90 , а то су углови под којим права сече елипсу.

197

МАТЕМАТИКА

Хипербола x2 y 2   1. a 2 b2  Темена хиперболе су тачке A1,2  a, 0  и B1,2  0, b  .  Једначина хиперболе: b2 x 2  a 2 y 2  a 2b2 или

 Жиже хиперболе су тачке F1,2  c, 0  где је c  a 2  b2 .

b x. a  Услов додира праве y  kx  n и хиперболе: a 2 k 2  b2  n2 .  Асимптоте хиперболе: y  

 Једначина тангенте хиперболе у додирној тачки A  xA , y A  :

x  xA y  y A  2 1. a2 b

ЗАДАЦИ 1. Саставити једначину хиперболе ако је дато растојање између жижа 10, а реална полуоса a  3 . Решење: Жижно растојање је 2c  10 , тј. c  5 . Из једначине 5  32  b2 x2 y 2   1. добијамо b  4 , па једначина хиперболе гласи 9 16 198

МАТЕМАТИКА

2. Одредити полуосе, координате жижа и темена, као и једначине асимптота хиперболе 16 x2  25 y 2  400 . Решење:

x2 y 2  1. Једначина хиперболе постаје 25 16 Полуосе су a  5 , b  4 . Координате жижа: c  52  42  41 , тј





F1,2  41, 0 . Темена су тачке A1,2  5, 0  , B1,2  0, 4  . Једначине

4 асимптота y   x . 5 3. Написати једначину једнакостраничне хиперболе која пролази кроз тачку A 10, 8 . Решење: Тражена хипербола има једначину

x2 y 2   1. a2 a2

102  8 Како тачка A припада хиперболи имамо 2  2  1  a 2  36 , a a 2 2 x y   1. па једначина хиперболе гласи 36 36 2

4. Написати једначину хиперболе која пролази кроз тачке A 4, 5 и B 4 3,5 .



Резултат:







x2 y 2   1. 8 5

5. Одредити једначине правих које пролазе кроз тачку T  2, 5 , а паралелне су са асимптотама хиперболе x 2  4 y 2  4 . Решење: 199

МАТЕМАТИКА

x2 y 2   1 , тј. a 2  4 , b2  1 . Једначина хиперболе постаје 4 1 1 Једначине асимптота хиперболе су y   x . 2 Како су тражене праве паралелне асимптотама, из услова 1 паралелности добијамо k1  k2   . 2 1 Једначине тражених правих су y  5    x  2  , тј. x  2 y  8  0 и 2 x  2y  8  0. 6. Наћи једначину хиперболе чија су темена у жижама елипсе, а x2 y 2   1. жиже у теменима елипсе 16 9 Решење: Из једначине елипсе закључујемо да су темена у тачкама  4, 0  , а









жиже  7, 0 . Како је код хиперболе обрнуто  7, 0 , а  4, 0  , 2

и тражена једначина гласи

2

x y   1. 7 9

7. Наћи једначину тангенте хиперболе x 2  4 y 2  16 у њеној тачки  3 A  5,  .  2 Решење:

200

МАТЕМАТИКА

x2 y 2   1. Једначина хиперболе постаје 16 4 Како тачка A припада хиперболи можемо користити готови 3 y x 5 образац за тангенту, па једначина тангенте гласи  2  1 , тј. 16 4 5x  6 y  16  0 . 8. Наћи једначину тангенте хиперболе x 2  2 y 2  2 у тачки A 1, 0  . Решење:

x2 y 2   1. Једначина хиперболе постаје 2 1 Како тачка A не припада хиперболи морамо да користимо услов додира 2k 2  1  n2 . Како тачка A припада тангенти y  kx  n , тј. k  n . Решавањем система једначина добијамо k  1, n  1, односно две тангенте y  x 1 и y   x  1. 9. Написати једначине тангенти хиперболе 9 x2  4 y 2  32 које су паралелне са правом 9 x  2 y  1  0 . Резултат: 9 x  2 y  16  0 . 201

МАТЕМАТИКА

10. Написати једначине тангенти елипсе 5x 2  7 y 2  13 које су нормалне на праву 7 x  10 y  28  0 . Резултат: 10 x  7 y  13  0 , 10 x  7 y 13  0 .

Парабола  Једначина параболе: y 2  2 px . p   Жижа параболе је тачка F  , 0  , а директриса је права 2  p x . 2  Услов додира праве y  kx  n и параболе: p  2kn .  Једначина тангенте параболе у додирној тачки A  xA , y A  :

yy A  p  x  xA  .

ЗАДАЦИ 1. Одредити координате жиже и једначину директрисе параболе y 2  10 x . Решење: 202

МАТЕМАТИКА

Из једначине параболе добијамо p  5 , па су координате жиже 5 5  F  , 0  , а једначина директрисе x   . 2 2  2. Написати једначину параболе чија је жижа у тачки F  4, 0  . Решење: Из жиже добијамо

p  4  p  8 , па једначина параболе гласи 2

y 2  16 x . 3. Дата је парабола y 2  4 x . Кроз жижу је конструисана права под углом 135 према позитивном делу x осе. Наћи једначину те праве. Решење: Жижа има координате F  1, 0  . Коефицијент правца тражене праве је k  tg135  1 . Једначина праве кроз тачку F гласи y  1 x  1  y   x 1 . 4. Написати једначину параболе чија је тангента права 3x  2 y  3  0 . Решење:

3 3 Тангента се може написати y   x  , одакле видимо да је 2 2 3 3 k  ,n . 2 2  3  3  9 Користећи услов додира p  2       , добијамо једначину  2  2  2 2 параболе y  9 x . 5. Одредити једначину тангенте параболе y 2  15x , ако она гради са позитивним делом x осе угао од 45 . 203

МАТЕМАТИКА

Решење:

15 . Коефицијент правца тангенте је k  tg45  1 . 2 15 15  2 1  n  n  . Из услова додира добијамо n , 2 4 Једначина тангенте параболе гласи 4 x  4 y  15  0 . y 2  15 x  p 

6. Одредити једначину тангенте параболе паралелна са правом 3x  y  4  0 .

y 2  12 x , која је

Резултат: 3x  y  1  0 . 7. Одредити једначину тангенте параболе y 2  4 x у тачкама пресека са правом 2 x  y  4  0 . Резултат: x  y  1  0 , x  2 y  4  0 . 8. Одредити једначине заједничких тангенте параболе y 2  20 x и елипсе 9 x2  16 y 2  144 . Решење:

y 2  20 x  p  10 услов додира за параболу даје 10  2kn  kn  5 . x2 y 2   1 , услов додира за елипсу даје 16k 2  9  n2 . 16 9 204

МАТЕМАТИКА

Решавањем система једначина добијамо k  1 и n  5 , односно две тангенте y  x  5 и y   x  5 . 9. Одредити једначине заједничких тангенти параболе y 2  16 x и хиперболе 3x 2  y 2  12 . Резултат: 2 x  y  2  0 , 2 x  y  2  0 . 10. Одредити једначине заједничких тангенти кривих датих једначинама y 2  8 x и x2  y 2  6 x  4  0 . Решење: Нека је y  kx  n једначина заједничке тангенте дате параболе

y 2  8 x и круга x2  y 2  6 x  4  0 чији су параметри p  4 (за параболу), односно p  3 , q  0 , r 2  5 (координате центра круга

C  p, q  и полупречник круга r ). Из услова додира праве y  kx  n и параболе y 2  2 px : p  2kn и

праве y  kx  n и круга x 2  y 2  r 2 : n2  r 2 1  k 2  добијамо систем једначина:

kn  2 , 4k 2  n2  17  0 . Решења система су:

k1  2 , n1  1; k2  2 , n2  1; k3 

1 1 , n3  4 ; k4   , n4  4 . 2 2

Тражене једначине тангенти су:

y  2 x  1, y  2 x  1, y 

1 1 x4, y   x4. 2 2

205

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 1 1.

  0, 6  0, 42  : 0, 01    8  1  7  . Израчунати  75 :    34    12,5 5 25 

2.

x 3x Доказати једнакост 2cos 2 x  cos x  1  2cos cos . 2 2

3.

Средишта двеју суседних страница квадрата и супротно теме образују троугао. Израчунати површину тако добијеног троугла ако је страница квадрата a .

4.

Решити једначину

5.

Упростити израз

6.

Решити једначину 9x 1  7  4   3x 1  1 .

7.

Дате су тачке A 1,1 , B  3,1 , C 1, 4  . Написати једначину праве

3tg 2 x  4tgx  3  0 .

5 a  3x 1 17 x  25a  2   2 , x  a . 2 3x  3a x  a 2 x  2a 6 x  6a 2

која садржи тачку A и нормална је на правој BC . 8.

Решити неједначину

9.

Решити једначину

10.

x3 2  . 3x  2 3 2 x 2  3x  2  x  2 .

Решити једначину log  2 x  1  log  x 1  log  2 x  4  .

206

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 1   0, 6  0, 42  : 0, 01    8  1  7  1.  75 :    34    12,5 5 25  1, 02 : 0, 01   80 1 7   102 :1   16 5 7     75 :      75 :      34 34   25 25 25     125 5 25   18   75 : 3   18 . 25 2. 2cos2 x  cos x  1  2cos2 x  cos x   cos2 x  sin 2 x 

  cos2 x  sin 2 x   cos x  cos 2 x  cos x  2cos

3x x cos . 2 2

3. Нека су E и F средишта страница BC и CD квадрата ABCD . a Тада је BE  CE  CF  DF  , па је PAEF  PABCD  2  PABE  PECF , 2 3a 2 . јер је ABE  ADF . Значи, PAEF  8 4.

3tg 2 x  4tg x  3  0 . Уведимо смену tg x  t .

Једначина постаје квадратна

3t 2  4t  3  0 .

Њена решења су t  3 и t 

3 . 3

Значи, tg x  3  xk 

5.



 3

 k , tg x 

3  xl    , k , , . 3 6

5 a  3x 1 17 x  25a  2   2 2 3x  3a x  a 2 x  2a 6 x  6a 2 5 a  3x 1 17 x  25a     3  x  a   x  a  x  a  2  x  a  6  x  a  x  a 

10  x  a   6  a  3x   3  x  a   17 x  25a 12 x  12a 2   . 6  x  a  x  a  6  x  a  x  a  x  a 207

6. 9

x 1

 7  4 3

3 

2 x 1

x 1

 1

МАТЕМАТИКА

 7  4  3x 1  4   3x 1   4  3x 1  3  0 2

 3x 1  1  3x 1  3  x  1  0  x  1  1  x  1  x  2.

7. Коефицијент правца праве BC је k BC 

yC  yB 3  . xC  xB 2

Како права n садржи тачку A 1,1 , њена једначина гласи: y  1  kn  x  1 , а како је n  BC , биће kn  

1 2  . k BC 3

Према томе, једначина праве n је: 2 y  1   x  1  3 y  3  2 x  2  2 x  3 y  1  0 . 3 3  x  3  2  3 x  2  x3 2 5  3x   0 0 3x  2 3 3  3x  2  3  3x  2  5  3x   0   5  3x  0  3x  2  0    5  3x  0  3x  2  0  3x  2 5 2 5 2    2 5   x   x      x   x     x    , . 3 3 3 3    3 3

8.

9.

2 x 2  3x  2  x  2  2 x 2  3 x  2   x  2   x  2  0 2

 2 x 2  3x  2  x 2  4 x  4  x  2  x 2  x  2  0  x  2   x  1  x  2   x  2  x  1  x  2. 10. log  2 x  1  log  x 1  log  2 x  4 

 log  2 x  1 x  1  log  2 x  4   2 x  1  0  x  1  0  2 x  4  0 1  x  1  x  2 2 1    2 x 2  5 x  3  0  x  1   x    x  3   x  1  x  3. 2     2 x  1 x  1  2 x  4  x 

208

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 2 sin  x  y   2sin x cos y . cos  x  y   2cos x cos y

1.

Упростити израз

2.

Ако се од

3.

Решити систем једначина: 7x 3  4x 5 3  4  x  54  x  24  x . 2 5 3

4.

У којем многоуглу је број дијагонала три пута већи од броја страница?

5.

  Наћи угао x   0,  , ако је 3sin x  2cos2 x .  2

6.

Решити једначину 5x1  5x  750 .

7.

Израчунати вредност израза 100,5log0,25

8.

Доказати да је збир првих n непарних бројева потпун квадрат.

9. 10.

3 2 неког броја одузме 8 и затим те разлике 4 5 помножи са 2, добије се 3. Одредити непознати број.



10

.

1 3

Израчунати 0,027  2560,75  31  4,50 . За које вредности x је 1  2 x  x 2  5x  1  0 ?

209

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 2 1.

sin  x  y   2sin x cos y cos  x  y   2cos x cos y 

sin x cos y  sin y cos x  2sin x cos y  sin x cos y  sin y cos x  sin x cos y  sin x sin y  2 cos x cos y  cos x cos y  sin x sin y



sin  x  y    tg  x  y  , x  y   k , k  . cos  x  y  2

2. Ако непознати број обележимо са x , добијамо једначину: 2 3 3 32 47   x  8  2  3  x   3  3x  32  15  x  . 5 4 5 5 3  3.

7x 3  4x 5 3  4  x  54  x  24  x 2 5 3  35  5 x  30  6  8 x  40  5 x  60  15 x  24  6 x  13x  39   4 x  36  x  3  x  9  x   3,9  .

4. Ако је n број страница, а d n број дијагонала многоугла:

n  n  3 . На основу услова задатка је dn  3n , односно 2 n  n  3 3n   n2  9n  0  n  9  0  n  0  n  9 , јер n  . 2 Tражени многоугао деветоугао. dn 

5. 3sin x  2cos2 x  3sin x  2 1  sin 2 x   0

 2sin 2 x  3sin x  2  0  sin x 

5  2  , k, l  . 6 6 Једначина sin x  2 нема решења.  xk 



1 1  sin x  2  sin x  2 2

 2k  xl 

210

МАТЕМАТИКА

  Услов задатка је да x   0,  , а једино решење које га задовољава  2    је за k  0 : x0    0,  . 6  2

6. 5x1  5x  750  5x  5  5x  750  6  5x  750  5x  53  x  3. 7. Нека је x  100,5log0,25 10 . 1 1 1 log x   log 0, 25 10  log x  log 10  2 4 2 1 x 1 x  log 10   10  10 2  x  4 . 4 2 4 8. Израчунајмо збир Sn  1  3  5 

  2n  1 .

S n је збир чланова аритметичког низ код кога је a1  1 и an  2n  1 . На основу формуле за збир првих n чланова аритметичког низа добијамо: n n Sn  1  2n  1   2n  n2 . 2 2 

1

3 1  27  3 4 9. 0, 027  2560,75  31  4,50    256  1  3  1000  3 1000 2 10 2 3   44  4    43   68 . 27 3 3 3 

10.

1 3

x 2  5x  1  2 x  1  x 2  5x  1   2 x  1  2 x  1  0 2

 x 2  5 x  1  4 x 2  4 x  1  2 x  1  3x 2  9 x  0  x   x  x  3  0  x 

1 2

1 1   x  0  x  3  x   x  3. 2 2

211

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 3 1

1.

1 2 1 2  Израчунати 20% од     16  2  . 3  2 5 

2.

Ако је f  x  

3.

Колики је збир решења једначине 22 x1  33  2x1  4  0 ?

4.

Решити неједначину log

5.

Ако су

x 1 1 : 3 , израчунати f x  x  1 x 1

x1 и

2

x2

 2 .

x2  1. x

решења једначине

x2  2mx  m2  1  0 ,

одредити m из релације x12  x22  16 . 6.

Решити једначину 3x  4   x  4 .

7.

Колико је растојање

d

тачке T  7, 7  од центра круга

x2  y 2  2 x  2 y  98  0 ? 8.

Одредити сва решења једначине sin 4 x  cos 2 x  0 .

9.

Доказати да су бројеви

2 1 1 1 , , три узастопна члана 2 1 2  2 2

геометријске прогресије. 10.

Решити једначину 2 x  1  x  1 .

212

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 3 Обележимо дати бројни израз са A : 1 54 1 1 1 A  16  32  2   25   5   0,5 , 10 10 10 2 20% A  0,5  0, 2  0,1 .

1.

2.

 x  1 x  1  x 2  x  1 2 x 1 3 f  x  2   x  1   x  1. x  x 1 x2  x  1 За x  2 је: f

 2   2

2

 1  1.

22 x 1  33  2 x 1  4  0  4   2 x   33  2 x  8  0 . 2

3.

Ако уведемо смену 2x  t  0 , дата једначина постаје квадратна 1 4t 2  33t  8  0 . Њена решења су t1  и t2  8 . Значи, 4 1 2 x   2 x  22  x  2 , 2 x  8  2 x  23  x  3 . 4 x2 x2 x2 x2 1 0   10   10 x x x x x2 2  9x  2   10  0   0  x   0,  . x x  9

4.

log

5.

Једнакост x12  x22  16 напишимо у облику  x1  x2   2 x1 x2  16 2

На основу Виjетових правила је: x1  x2  2m и x1 x2  m2  1 и заменом добијамо: 4m2  2m2  2  16 одaкле је m  3. Дата једначина се на основу дефиниције апсолутне вредности разлаже на две једначине: 4 4 3x  4   x  4 за x  или   3x  4    x  4 за x  па је и из 3 3 прве x  2 , а из друге x  0 .

6.

213

МАТЕМАТИКА

x  y  2 x  2 y  98  0   x 2  2 x  1   y 2  2 y  1  100  0

7.

2

2

  x  1   y  1  100, па је C 1, 1 центар и r  10 полупречник круга. 2

2

Сада је d  TC 

 7  1   7   1  2

2

 36  64  10.

sin 4x  cos 2x  0  2sin 2 x cos 2x  cos 2x  0  cos 2 x  2sin 2 x  1  0  cos 2 x  0  2sin 2 x  1  0

8.

 cos 2 x  0  sin 2 x  

5  2m 2 6 6  k  5  xk    xl    l  xm    m , k , l , m  . 4 2 12 12  2x 



1 2

 k  2 x  

Нека је a1 

9.

Како је a2 



 2l  2 x  

2 1 1 1 , a2  , a3  . 2 2 1 2 2

1 1 2 2 2 2    2  2 2  2 2  2 22  2



 2 2  44 2 2 2 22 a22      4 4  2  2

2 1 1   

2 1 1 2 1    2 1 2 2 1 2  1 2 Сада је a22  a1  a3 . a1  a3 

10.

  2  1   

2 1 2

2



2 2 , биће 2



2 1 2

2

и

2

.

2 x  1  x  1  2 x  1  x  1  4  x  1   x  1  x  1  0 2

  x  1  4  x  1  0  x  1   x  1 x  3  0  x  1 2

  x  1  0  x  3  0   x  1   x  1  x  3  x  1  x  1  x  3 . 214

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 4 1. Израчунати: а)  x  2    x  1 3

2

за x  2 ;

1

3

б)  ab  3  a 4  6 b .

2. Хипотенуза правоуглог троугла је c  5 cm , а збир катете и 36 cm . Израчунати дужине њене пројекције на хипотенузу је 5 катета. 3. За које вредности x израз

1 1 је већи од ? x x 1

4. Одредити једначину праве која пролази кроз координатни почетак, а нормална је на правој x  2 y  1  0 .

7 5 1  140  138  :18 30 12  6 5. Израчунати  . 0, 002 6. Колико треба сабрати чланова аритметичке 5 , 9 ,13 ,17 , да би се добио збир 377? 7. Одредити x из једначине x  10

1 2  log16 2

прогресије:

.

8. Решити једначину 2  42 x 17  4x  8  0 . 1  sin x  cos x . x sin 2 10. Ивице правог квадра односе се као 1: 2 : 3 , а запремина тог квадра је 162 cm3 . Колика је површина квадра?

9. Скратити разломак

215

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 4 1. 3 2 а) Ако је f  x    x  2    x  1 биће: f  2    4    1  3

1

3

1

2

1

1

 4  3

3

1



1

 1

2

13



1 65 1   ; 64 64

3

б)  ab  3  a 4  6 b  a 3  b 3  a 4  b 6  a12  b 6  a  12 a  b , a  0 , b  0. 2. Нека је троугао ABC правоугли са правим углом у темену C и нека је D подножје нормале из C на хипотенузу AB  c . Нека је такође: AC  b , BC  a , AD  p. Претпоставимо да је 36 36 b p   b . Како је b2  p  c  b2  5 p . Одавде је p  5 5  36   b2  5   b   b2  5b  36  0   b  9  b  4  .  5  Како је b  0 , биће b  4 cm , па је a  3 cm . 3.

1 1 1    0  x  x  1  0  x   , 1 x x 1 x  x  1

 0,   .

1 4. Коефицијент правца дате праве је k1   . Како је тражена 2 права нормална на дату, из услова нормалности добијамо да је 1 k    2 . Тражена права пролази кроз координатни почетак k1

 0, 0  , па је њена једначина облика:

y  0  2  x  0  y  2 x .

5. Обележимо са A дати бројни израз. 7 5 1  14  25  109  11  6   2    :18 2 : 2   30 12  6  60  6 60  109 A     50 . 2 0, 002 0, 002 1000 216

МАТЕМАТИКА

6. a1  5 , d  4 , Sn  377 , па на основу формуле за збир добијамо

10   n  1  4  n  377   5  2n  2   n  2n2  3n  377  0 . 2 29 Решења ове једначине су: n1   , n2  13 . Како n  , биће 2 n  13 . Значи треба сабрати 13 чланова дате прогресије. 377 

7. x  10

1 2 log16 2

1 log102  log 42 2

 10

1 log100  2log 4 2

 10

 10log100log 4  10log1004  10log 400  20 . 8. Ако уведемо смену 4x  t  0 , дата једначина постаје квадратна 1 2t 2  17t  8  0 . Њена решења су t1  8 и t2  . Значи, 2 3 1 1 4 x  8  22 x  23  x  , 4 x   22 x  21  x   . 2 2 2

x x x 2sin x  sin x  cos x   2sin cos   1  sin x  cos x 2 2 2 2 2 2   9. x x x sin sin sin 2 2 2 x x x   2  sin  cos  , sin  0  xk  2k , k  . 2 2 2  2sin 2

10. Нека су a , b , c дужине ивица правог квадра. Тада је a b c a : b : c  1: 2 : 3 , односно    k . Одавде је 1 2 3 a  k , b  2k , c  3k . Ако је V запремина квадра, биће

V  abc  k  2k  3k  6k 3 , V  162 cm3 , па је 6k 3  162 . Дакле, k 3  27  k  3 , односно a  3 cm , b  6 cm , c  9 cm . Како је површина квадра P  2  ab  bc  ca  , биће P  2 18  54  27   2  99  198 cm2 . 217

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 5 Вредност израза A 

1.

б) 

а) – 0,5 ;

1 ; 3

 2,1  1,965 : 1, 2  0, 045  0, 00325 : 0, 013

в) 6 ;

г) –2 ;

Ако је A  1000,05  810,025  160,75 , B  log 1

2.

8

тада је A  B  C : а)

5 ; 2

б)

1 ; 3

в) 15 ;

Дата је једначина

3.

г) 1,5 ;

1: 0, 25 је: 1, 6  0, 625

д) Не знам. 1 1 , C  log 1 4 4 8

д) Не знам.

a  x a 2  2ax  b2  , a  b . a b a 2  b2

Решење x је: а) a  2b ;

в) a ;

б) b ;

г) b ;

д) Не знам.

Број n целобројних решења једначине 16 x  34 y  7, x, y  је:

4.

а) 1 ;

б) 5 ;

f  x 

5.

а) 2 ;

б)

в) 0 ;

г) 3 ;

д) Не знам.

x 1   1   1 и F  x   f  f    . Колико је F    ? x 1  2   x  2 ; 3

в)

1 ; 2

г) 

1 ; 2

218

д) Не знам.

МАТЕМАТИКА

3 4   , cos b  , a, b   0,  5 5  2 тада вредност cos  a  b  износи:

Ако је sin a 

6.

а) 

1 ; 5

б)

8 ; 5

в)

7 ; 25

г) 1 ;

д) не знам.

Решење x једначине a1 x  a x1  4 a x3  6 a5 x  1 је:

7.

а) –2 ;

б) –1 ;

в) 

1 ; 2

г) 

9 ; 7

д) не знам.

Збир првих n чланова аритметичке прогресије је Sn  3n2  n .

8.

Десети члан a10 је: а) 12 ; Дата

9.

б) 58 ; су

в) 52 ;

три

г) 64 ;

узастопна

д) не знам.

темена

A  0,3 , B  3,5 , C  2,7 

паралелограма ABCD . Координате темена D су : а) (1,5) ;

б) (–1,5) ;

в) (–2 ,4) ;

г) (8,7) ;

д) не знам.

Углови једног четвороугла су у степенима: x , x  20 , x  30 , x  50 . Тај четвороугао је:

10.

а) Делтоид ; б) Трапез ; в) Правоугаоник ; г) Ромб ; д) не знам.

219

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 5

 2,1  1,965 : 1, 2  0, 045 

1: 0, 025 1, 6  0, 625

1.

A

2.

A  102  2   34  4   24  4  10  3  8  15

3, 25 :13 0,135 : 0,054 4 2,5    4  6. 0, 25 1 0, 25 1

1

3

1 4  2 , C  3 , па је A  B  C  15 . B 1 3 2 log 0,5 8 log 0,5

3.

a  x a 2  2ax  b 2    a  x  a  b   a 2  2ax  b2 a  b  a  b  a  b   a 2  ab  ax  bx  a 2  2ax  b 2  bx  ax  b 2  ab   b  a  x  b  b  a   x  b.

4.

Разликa два парна броја је паран, а не непаран број. Једначина нема решења.

5.

3 1 1  1  2  1  F     f  f  2    f   .   f  3  3 1 2  2  2  1 

6.

Како је sin a 

3 4 4 3 , cos b  , биће cos a  , sin b  , па је 5 5 5 5 16 9 25 cos  a  b   cos a  cos b  sin a  sin b    1. 25 25 25

220

МАТЕМАТИКА 1 x

x 3

1 x 

x 1 x 3 5 x   2 4 6

7.

 a  a 1 a x  1 x  3 5x 9  1 x    0 x . 2 4 6 7

8.

Из услова Sn  3n2  n следи S1  a1  4 и S2  a1  a2  14 .

a

 a

x 1

4

6

5x

1

Дакле, a2  10 и d  a2  a1  6 па је a10  a1  9d  4  54  58 . 9.

Нека су  x, y  координате тачке D . Како су праве AB и BC паралелне редом са CD и AD , биће y  yC y  yA 2 k AD  kBC  B  2  kCD  k AB  B  . xB  xC xB  xA 3

2  x  2 , 3 односно 2 x  y  3 и 2 x  3 y  17 . Решење овог система је x  1, y  5 , а то су координате темена D . Једначине правих AD и CD су y  3  2 x и y  7 

10.

Из x  x  20  x  30  x  50  360 добијамо 4 x  260 , тј. x  65 . Углови четвороугла су редом   65 ,   85 ,   95 ,   115. Како је         180 биће дати четвороугао трапез.

221

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 6  1 3  1 1 Aкo je A  1        : 0,4 , тaдa je 0,5% oд A :  2  2  2 3

1.

а)

1 ; 250

б) 

2 ; 25

в) 

Решење једначине 1,2 x 

2.

а) 20 ;

б) 2 ;

в) – 5 ;

Ако је 4096  0,5  4 x

3. а)

2 ; б) 0 ; в) – 2 ; 15 Решење једначине

4.

а)

1 ; 150

1 6

3 ; 20

д) Не знам.

0,18 x  0,05  0,4 x  8,9 је: 0,5

г) 16 ; x

г)

д) Не знам.

, тада је x једнако: г) 

1 ; д) Не знам. 30

log 2 x  2 је: log 4 x  15

9 25 9 25 ; б) ; в) или ; 2 8 2 8

г) 

9 25 или ; д) Не знам. 8 2

Одредити бројеве p и q тако да они буду решења квадратне једначинe x 2  px  q  0 различита од нуле.

5.

а) p  1, q  1 ;

б) p  2 , q  1 ;

г) p  1, q  2 ;

д) Не знам.

222

в) p  1, q  2 ;

МАТЕМАТИКА

Ако се упрости израз:

6.

а)

x x2 1

x2  1 б)  2 ; x 1

;

x 1

x2  x

 , x2 1 x2  2 x  1 в)

2x x2 1

x  1 , добија се:

x2 1 г) 2 ; x 1

;

д) Не знам.

У једначини праве 3x  4 y  s  0 одредити s тако да права

7.

x2  2y 2  1.

буде тангента хиперболе вредности s1  s 2 је: а) 2 ;

б) –2 ;

в) 0 ;

Aкo je sin     

8.

  2 једнако: а) 90 ;

б) 135 ;

г) –1 ;

Збир

добијених

д) Не знам.

1 1   и cos      ,  ,    0,  , тада је 2 2  2

в) 75 ;

г) 0 ;

д) Не знам.

Полупречник основе, висина и изводница (тим редом) праве купе чине аритметичку прогресију. Ако је запремина те купе V  96 cm3 , мерни број површине њеног омотача M у cm2 је:

9.

а) 96 ;

б) 60 ; в) 48 ; г) 16 ; д) Не знам.

Решити систем

10.

y2 y4 x     y  1  2 x  3 . 6 2 3

а) x  3  y  4 ;

б) x  4  y  3 ;

в) x  3  y  3 ;

г) x  1  y  4 ;

д) Не знам.

223

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 6 1 3 5 4 3 5 5 3 25 9  25 16 4 A   :         . 2 2 6 10 4 6 2 4 12 12 12 3 5 1  4 1  1 1 0,5% A  A          . 1000 200  3  50  3  150

1.

Oдговор је в .

0,18 x  0, 05  0, 4 x  8,9 0,5  1, 2 x  2  0,18 x  0, 05  0, 4 x  8,9  1, 2 x  0,36 x  0,1  0, 4 x  8,9 1, 2 x 

2.

 0, 44 x  8,8  x  8,8 : 0, 44  x  20 . Одговор је а .

4096  0,5  4

x

1 6

1

2 x

1 3

12 x 1

 2 2  2 2 1 4 2  12 x  1  2 x   10 x   x  . 3 3 15

3.

x

12 x

2

2 x

1 3

Одговор је а .

log 2 x 2 log  4 x  15

4.

  2 x  0  4 x  15  0  4 x  15  1  log 2 x  2 log  4 x  15  

15 2  x 0  x   x  4  log 2 x  log  4 x  15   4    2  15    x   , 4   4,    2 x   4 x  15  4   

  15    x  , 4 4  

 4,  

9 25   9    x   x    x  . 2 8  2 

Одговор је а . 224

МАТЕМАТИКА

5. Вијетове формуле за дату једначину су x1  x2   p , x1 x2  q , па како је p  x1 , q  x2 , биће p  q   p , pq  q , односно q  2 p , pq  q . Али, p  0, q  0 , па из pq  q следи p  1 . Сада из q  2 p добијамо q  2. Одговор је в . 6. Како је x 2  x , x  2

x 1 x 1 2

x x

, дати израз може се написати у облику: x 1

2



x  2 x 1 2





x  x  1

 x  1 x  1  x  1

2

x x 1 x  x 1 x2  1     2 , x  1. x  1 x  1  x  1 x  1 x 1 2

Одговор је б . 7. Једначина хиперболе x 2  2 y 2  1 може се написати у облику

1 x2 y2   1 , одакле је a 2  1 , b 2  . 1 2 1 2 Експлицитни облик једначине дате праве 3x  4 y  s  0 гласи 3 s 3 s y  x  , одакле је k  , n  . 4 4 4 4 Услов додира праве и хиперболе је a 2 k 2  b 2  n 2 , тј. 2

2

1 s  3      . 2  4  4 Из ове једначине је s  1, па је s1  s2  0 . Одговор је в .

225

МАТЕМАТИКА

8. Како су 

и



оштри углови, из

sin     

1 2

и

   1 следи     ,     . Одавде је   , 2 6 3 4  5   , па је   2   . 12 12

cos     

Одговор је в . 9. Нека су r , H , и s полупречник основе, висина и изводница купе. Према услову задатка r  H  d , H , s  H  d чине аритметичку прогресију. Како је s 2  H 2  r 2 , биће  H  d   H 2   H  d  , тј. 4Hd  H 2 2

2

или H  4d , јер је H  0 . V  96 ,

па

је

1 96  r 2H , 3

тј.

288  H  d 2  4d ,

или

288   3d   4d . 2

Одавде је 36d 3  288  d 3  8  d  2 . Значи, H  8 , r  6 , s  10 , па на основу M  rs добијамо M  60 . Одговор је б .

y2 y4 x     y  1  2 x  3 6 2 3  y  2  3  y  4   2 x  y  1  2 x  3  2 y  2 x  14  y  2 x  2

10.

 2 y  2 x  14  3 y  12  2 y  2 x  14  y  4  x  3  y  4. Одговор је а . 226

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 7 1.

Да ли је 0,3 решење једначине x 3  0,1  x 2  0,02  0 ?

2.

Решити неједначину

3.

Колико је студената пријављено за екскурзију ако би за износ од по 3000 динара по студенту недостајало још 1500 динара за укупан аранжман, а за износ од по 3100 динара било за 1300 динара више од укупне цене?

4. 5.

2x  3  1. x 1

Израчунати cos  a  b  ако је sin a 

3 4   , cos b  , a, b   0,  . 5 5  2

За колико процената треба кориговати промењену цену робе да би се вратила на првобитну вредност ако је претходно извршено: а) повећање за 25% ;

б) смањење за 25% ?

x2  y2 x2 y2   , x, y  0 , x   y . xy xy  y 2 x 2  xy

6.

Упростити израз

7.

x Одредити сва решења једначине sin  cos x  1 . 2

8.

Одредити x из једначине: log x  log 4  2 log 5  log 6  log 15 .

9.

Колики је збир првих пет чланова аритметичке прогресије ако је a2  a7  25 и a6  a3  9 ?

10.

Решити једначину 52 x  2  5 x  1  0 . 227

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 7 Заменом броја 0,3 у датој једначини добија се:

1.

0,33  0,1 0,32  0, 02  0, 027  0,1 0, 09  0, 02  0, 027  0, 009  0, 02  0, 027  0, 029  0, 002  0 што значи да 0,3 није решење дате једначине.

2x  3 2x  3 2x  3  x 1 x4 1 1  0  0  0. x 1 x 1 x 1 x 1

2.

Знак израза

x4 прикажимо табелом: x 1

 , 1  1, 4   4,   x 1 x4 x4 x 1

-

+ -

+ +

+

-

+

дакле, x   1, 4  . 3.

Нека је x број студената, а y цена аранжмана тада је 3000 x + 1500 = y, 3100 x – 1300 = y. Одавде је 100 x + 2800 = 0 , x = 28.

4.

С обзиром да су a и b оштри углови, биће

228

МАТЕМАТИКА 2

9 16 4 3 cos a  1  sin a  1     1    , 25 25 5 5 2

2

16 9 3 4 sin b  1  cos b  1     1    . 25 25 5 5 2

Сада применом формуле cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b

4 4 3 3 16 9   1. добијамо cos  a  b       5 5 5 5 25 25 Нека је K почетна цена.

5.

а) Цена после повећања од 25% је K  25% K  125% K  1, 25K . x  1,25K . Цена после смањења за x% је 1,25K  100 По услову задатка је x x 1,25K   1,25K  K или 1,25   1,25  1 . 100 100 Одавде је x = 20% . б) Цена после смањења од 25% је K  25% K  75% K  0,75 K . x  0,75K . Цена после повећања за x% је 0,75K  100 x x  0,75K  K , тј. 0,75   0,75  1 . Сада је 0,75K  100 100 Одавде је x = 33,33% . 6.

x2  y 2 x2 y2   xy xy  y 2 x 2  xy

x 2  y 2   x  y   x3  y 3  x2  y 2 x2 y2     xy y  x  y x x  y xy  x  y  x3  x 2 y  xy 2  y 3  x3  y 3 x 2 y  xy 2 xy  x  y      1. xy  x  y  xy  x  y  xy  x  y  229

МАТЕМАТИКА

7.

Дату једначину можемо трансформисати:

x x x x x sin  cos 2  sin 2  sin 2  cos 2 2 2 2 2 2 x x x x   2sin 2  sin  0  sin  2sin  1  0 2 2 2 2  x x 1  sin  0  sin  2 2 2 x x  x 5   k    2m    2n 2 2 6 2 6  5  xk  2k  xm   4m  xn   4n ; k , m, n  . 3 3 8.

log x  log 4  log52  log 6  log15

4  52  6 4556 log x  log x  x  40 . 15 35 9.

a2  a1  d , a7  a1  6d , a6  a1  5d , a3  a1  2d , па добијамо систем линеарних једначина: 2a1  7d  25, d  3.

Решење система је  a1 , d    2,3 и S5  10.

5  4  4  3  40. 2

52 x  2  5x  1  0   5x  1  0  5x  1  0  5x  1  x  0 . 2

230

МАТЕМАТИКА

TEСT 8 4

1     3  1 1  4  1. Израчунати вредност израза   :  8      1 . 3  25    16    

2. Упростити израз

x3  y3 2y xy : x2  y2   2 , x  y . x y x  y x  y2





3. Цифра јединица једног двоцифреног броја је за 3 већа од цифре десетица. Ако поделимо тај број збиром његових цифара, добија се количник 3 и остатак 4. Који је то број? 4. Ако је log 3 13  a одредити log 13 39 .

4 . 2 x

5. Решити неједначину x  3 

6. Решити једначину 4 x  5  2 x  24  0 . 7. Решити једначину cos 4 x  sin 4 x  1. 8. Одредити параметар k тако да права y  kx додирује круг

x  32  y 2  1. 9. Решити једначину log5 x  log

5

x  log 1 x  5 . 25

10. Решити једначину

x  3  x  9.

231

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 8 4

1.

1 1       4 4  3 1 1  3 25 1        : 8      1   :    1   16     16 3 25   3  25     

4

4

4

1 1 1          4 4 3 3 1 9 1 25       4         1       1     1   16 25 25     400 25     400        

4

4

1 4    1 4    1 4    4      1    2  4  1   2  1  1.   16      

2.

x3  y 3 2y xy :  x2  y 2    2 x y x  y x  y2 

 x  y   x 2  xy  y 2  x y



1

 x  y  x  y 



2y xy  2 x  y x  y2

x 2  xy  y 2  2 y  x  y   xy x 2  xy  y 2 2y xy      x  y  x  y  x  y x 2  y 2  x  y  x  y  

x 2  xy  y 2  2 xy  2 y 2  xy x 2  y 2  2 1, x   y . x2  y 2 x  y2

3.

Нека су x и y цифра десетица и цифра јединица траженог броја. Његов облик је 10 x  y . Према условима задатка је y  x  3 и 10 x  y  3x  y   4 . Решење овог система једначина је x  2 , y  5 , па је 25 тражени број.

4.

Из log 3 13  a излази редом log

2log3 13  a  log3 13 

 3 2

132  a ,

a 2  log13 3  . 2 a

На основу овог резултата добијамо: 232

МАТЕМАТИКА

log 13 39  log 13 3  13  log 13 3  log 13 13 

2 a2 1  . a a

4 4 4  x  3  0  x  3 0 2 x 2 x x2  x  2 x  1  0 . x2  x  2  0 x2 x2

x3 

5.

x2  x  2 x2 x2  x  2 x2

 , 2

 2,1

1, 2 

 2,  

+ -

-

+ -

+ +

-

+

-

+

Дакле, решење дате неједначине је  2,1 6.

7.

 2,   .

4x  5  2x  24  0 Ако уведемо смену 2x  t  0 дата једначина постаје квадратна t 2  5t  24  0 . Њена решења су t1  8 и t2  3 . Значи, 2x  8  2x  23  x  3 . Једначина 2 x  3 нема решење у скупу реалних бројева. cos4 x  sin 4 x  1  cos 4 x  2 cos 2 x sin 2 x  sin 4 x  1  2 cos 2 x sin 2 x   cos 2 x  sin 2 x   1  2 cos 2 x sin 2 x  1  1  2 cos 2 x sin 2 x 2

 2 cos 2 x sin 2 x  0  2 cos x sin x  0  sin 2 x  0  2 x  k  xk 

k , k . 2

233

МАТЕМАТИКА

Из

8.

услова

x  p 

2

додира

праве

y  kx  n

и

круга

  y  q  r 2 2





r 2 k 2  1  kp  q  n

2

добијамо да је r  1, p  3 , q  n  0 . k 2  1   3k   9k 2  k 2  1  8k 2  1  k   2

9.

Како је logb a  log5 x  log

5

2 . 4

1 биће: log a b

x  log 1 x  5 25

1 1 1 1 1 1    5   5 log x 5 log x 5 log 1 log x 5 1 log 5 2 log x 5 x x 25 2 1 1 2 1 1     5  log x 5   x 2  5  x  25 . log x 5 log x 5 2 log x 5 2

10.

x  3  x  9  x  3  x2  18x  81  x  9  0

 x 2  19 x  84  0  x  9   x  7  x  12   x  9  x  12.

234

МАТЕМАТИКА

TEСT 9 1. Израчунати вредност израза

 7 2 3

   1

3

2 3  3  2

3

.

a  b  2a b  2ab 2. Упростити израз  2   , a  b .  2 2a  2b  a  b a  b a b

3. Решити једначину 1

5  1 5  : 1,7 :  x  3,75    3 . 12  8 3 

4. Одредити све вредности x за које је log 2 5. Решити неједначину

x 1  1. x 1

3x  1. x 1

6. Решити једначину 4  2 2 x  6 x  18  32 x . 7. Решити једначину cos 2 x  sin 2 x  1  cos x  sin x . 8. Испитати узајамни положај праве x  2 y  2  0 и круга

x 2  y 2  6 x  6 y  15  0 . sin 2 x 2cos 2 x 9. Израчунати   sin 2 x . 2 2 tg x ctg x 10. Збир прва три члана аритметичког низа је 36, а збир квадрата та три члана је 482. Одредити низ.

235

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 9

 72

1.

   1

3

2  3  2

3

3

3



 7 1

2   2



8  2. 4

a  b  2a b  2ab   2 2   a  b 2a  2b  a  b a  b  2ab a  b  2a b         a  b  a  b  2  a  b   a  b a  b

2.

4ab   a  b  2a b 4ab  a 2  2ab  b 2 a b       2  a  b  a  b  a  b a  b  a  b  a  b  a  b a  b 2

a 

2

 2ab  b 2   a

a  b a  b

1

3.



2



b a b a b     1 , a  b. a b a b a b a b

5  1 5  : 1, 7 :  x  3, 75    3 12  8 3 

17  17  5 375   25 17 25  17  5 15   : : x     :  x     12  10  3 100   8 12 8  10  3 4 

17  8 17  5 15  34 17  5 15  5 15 17 34  : x     : x    x   : 12  25 10  3 4 75 10  3 4 3 4 10 75 5 15 17 75 5 15 15 5 30 9  x    x   x  x . 3 4 10 34 3 4 4 3 4 2 

4.

x 1 x 1 x 1 1 0  2 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x  3  2 2  0   0. x 1 x 1 x 1

log 2

236

МАТЕМАТИКА

 , 3 x  3 x 1 x  3 x 1

 3, 1  1,  

+ -

-

+

-

+

-

Решење дате неједначине је x   3, 1 .

3x 3x 2x 1  1 1  0   0. x 1 x 1 x 1

5.

2x 1 x 1 2x 1 x 1

1   ,   2  -

 1    ,1  2  + -

1,  

+

-

+

1  Решење дате неједначине је x   ,   2 

1,   .

4  22 x  6 x  18  32 x  4   2 x   2 x  3x  18  3x  2

6.

+ +

2

2

  2 x   2 x  4          18  0.  3    3    x

2 Уводимо смену    t  0 , једначина постаје 4t 2  t  18  0 , чија 3

су решења t1 

9 и t2  2 . 4

x

x

2

2 9 2 2           x  2 . 4 3 3 3

x

2 Једначина    2 нема решења у скупу реалних бројева. 3 237

МАТЕМАТИКА

7.

cos 2 x  sin 2x  1  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x  cos x  sin x

 cos x  sin x  2sin x cos x  2sin 2 x  0   cos x  sin x   2sin x  cos x  sin x   0   cos x  sin x 1  2sin x   0  sin x   cos x  2sin x  1  tg x  1  sin x   xk  

8.

 4

 k  xl 

 6

 2l  xm 

1 2

5  2m , k , l , m  . 6

Једначина круга може се написати у облику 2  x2  6x  9 y2  6 y  9  9  9  15  0   x  3  y  32  3. Тачка S  3,3 је центар, а r  3 је полупречник круга, па је растојање од тачке S до праве x  2 y  2  0 :  3  2   3  2 5 5 d    5  3. 2 5 5 12   2 Права и круг немају заједничких тачака.

9.

10.

sin 2 x 2 cos 2 x sin 2 x 2 cos 2 x 2   sin x    sin 2 x sin 2 x cos 2 x tg 2 x ctg 2 x cos 2 x sin 2 x  cos2 x  2sin 2 x  sin 2 x  cos2 x  sin 2 x  1.

Нека је a средњи члан и d диференција аритметичког низа. Тада су a  d и a  d први и трећи члан. Према услову задатка 2 2 је a  d  a  a  d  36 и  a  d   a 2   a  d   482 . Из првог услова је 3a  36  a  12 , а из другог a 2  2ad  d 2  a 2  a 2  2ad  d 2  482  3a 2  2d 2  482

 2d 2  482  3 144  d 2  25  d  5 . Тада је a1  7 и a1  17 . Дакле, постоје два: 7 ,12 ,17 ,

, односно 17 ,12 , 7 ,

238

МАТЕМАТИКА

TEСT 10   1  1  3   1. Израчунати вредност израза   2 :     8    4    

2. Упростити израз

0 , 25

.

4 1  7a 1  7a 1   ,a . 2 7 49a  1 1  7a 1  7a

3. Решити једначину

4  2x  x 2  x  2 .

4. Решити једначину log 2 x  log 4 x  log 8 x  11 . 5. Решити једначину 8 cos 2 x  6 sin x  3  0 . 6. Шести и петнаести члан аритметичког низа су a6  37 и

a15  100 . Одредити збир првих двадесет чланова тог низа. 7. Квадрат и једнакостранични троугао имају једнаке обиме. Ако је површина троугла 9 3 cm2 , израчунати дијагоналу квадрата.

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 10   1  1 3   1.   2 :     8    4     1 3 4

 2  2  2 1

2.

6

0,25



 2 : 2 1 4 4

  2 

1



2 3

 21 

  2    2 1 3 4

1



1 3 4

: 2 2 6

1 . 2

4 1  7a 1  7a 4 1  7a 1  7a      2 49a  1 1  7a 1  7a  7a  1 7a  1 1  7a 1  7a 239

МАТЕМАТИКА

4  1  7a    7a  1 4  28a 4   .  7a  1 7a  1  7a  1 7a  1 7a  1 2



3.

2

4  2 x  x2  x  2  4  2 x  x2  x2  4 x  4  x  2  0  2 x 2  6 x  0  x  2  x  x  3  0  x  2   x  0  x  3  x  2  x  3.

4. log 2 x  log 4 x  log8 x  11 x  0  log 2 x  log 2 x  log 2 3 x  11

 x  0  log 2 x  x  3 x  11  x  0  log 2 6 x11  11  x0 

11

6

x11  211  x  0  x 6  211  x  26  x  64 .

5. 8cos2 x  6sin x  3  0  8 1  sin 2 x   6sin x  3  0

5 1  sin x   . 4 2 1  5 sin x    xk    2k  xl    2l , k , l  . 2 6 6 5 Једначина sin x  нема решења. 4  8sin 2 x  6sin x  5  0  sin x 

6. Према условима задатка је a1  5d  37 и a1  14d  100 . Решавањем система једначина добијамо да је a1  2 .

S20 

20   2a1  19d   10   4  19  7   1370 . 2

7. Нека су a и b странице квадрата и троугла. Према условима задатка је P  9 3 cm2 и 4a  3b . b2 3 b2 3 , добија се  9 3  b2  36  b  6 и 4 4 9 9 4a  18  a  . Дијагонала квадрата је d  2 cm . 2 2

Како је P 

240

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 11 1. Ако је 0,2  0,008  k  10 5 колико је k ? a) 160 ;

б) 0,04 ;

в) 1,6 ;

г) 0,16 ;

 3 5  5       5 13  7    2. Вредност израза 5  2 6  13     1  :  0, 7 7  32    a)  2 ;

б) 8 ;

в)

3 ; 4

 2

0,75

је:

г) 12 ;

3. Решење једначине 2 sin x  cos x 

a)

д) Не знам.

7 је: 2

 k ; б) k ; в) Нема решења ; г) 2k  1

4. Решење неједначине

д) Не знам.

 2

; д) Не знам.

x 1 x  3 је скуп:  x2 x5

a)  1, 2  5,   ; б)  , 5 ; в)  1, 5 ; г) 2,    ; д) Не знам. 5. Једна од тангенти елипсе 9 x 2  16 y 2  25 паралелна је правој x  y 1  0 : a) 3x  3 y  5  0 ;

б) 12 x  12 y  25  0 ;

в) 12 x  12 y  12  0 ;

г) 8x  8 y  8  0 ;

241

д) Не знам.

МАТЕМАТИКА

6. Решење једначине log x  a) 100, 0,01 ;





г) 1010 ,10 2 ;



5 log x



 4 је пар:



б) 10 3 ,10 4 ;



в) 10 5 ,10 2 ;

д) Не знам.

7. Тетива круга износи 30 cm , а њено растојање од центра је за 9 cm мање од полупречника. Површина тог круга у cm 2 износи: a) 36 ;

б) 81 ;

в) 289 ;

г)

81  ; 16

д) Не знам.

8. Угао  између асимптота хиперболе 3x 2  y 2  3 износи: a) 30 ;

б) 45 ;

в) 90 ;

г) 120 ;

д) Не знам.

9. Дата је квадратна једначина x2  kx  k  0 . Ако су њена решења коњуговано комплексна тада параметар k припада скупу: a)  , 0  4,   ;

б) 0, 4 ;

г)  ,  4 ;

д) Не знам.

в) 4,    ;

10. Запремина правилног тетраедра износи 27 3 . Његова висина H је: a)

6 ; 3

б)

3 ; 3

в)

2 3 ; 3

242

г) 6 ;

д) Не знам.

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 11 1. 0, 2  0,008  k 105  2 101  8 103  k 105  16 1013  k 105

 16 104  k 105  16  k 101  k  16 10  k  160 . Одговор је а .  3 5  5       5 13  7    2. 5  2 6  13     1  :    0, 7 7  32 

0,75

  14 1    13 7     10 13 5 32   2       7 7  13 



  39  25 5    5 13 7     7 13 5 32    2 :       10 7  13  3 4

    2     7 5      32  7 





3 4

3 4

1    16 



3 4

  24 



3 4

 8.

Одговор је б . 3. Ако функција y  sin x има максималну вредност 1, онда функција y  cos x има вредност 0. 7 Највећа вредност израза је 2sin x  cos x  2  , па једначина 2 нема решења. Одговор је в . 4.

x 1 x  3 x 1 x  3  x 1    0  0. x 2 x 5 x 2 x 5  x  2  x  5

243

МАТЕМАТИКА

 x 1 x2 x 5  x 1  x  2  x  5

 , 1

 1, 2 

 2,5

 5,  

+ -

-

+ -

+ +

+

-

+

-

Решење неједначине је скуп  1, 2 

 5,   .

Одговор је а . 5. Коефицијент правца дате праве је k  1 . Тангента елипсе паралелна датој правој има коефицијент правца kt  k  1 . 5 5 Из једначине елипсе 9 x2  16 y 2  25 , добијамо да је a  и b  . 3 4 На основу услова додира праве и елипсе добијамо: 2

2

625 25 2 5 5 n2      1     n2   n1,2   . 144 12  3 4 Једначине тих тангенти су: 12 x  12 y  25  0 и 12 x  12 y  25  0 .

Одговор је б . 6. Ако уведемо смену log x  t , уз услов x  0 добијамо 5 једначину t   4  t 2  4t  5  0  t1  5  t2  1. t log x  5  log x  1  x  105  x  101  x  1010  x  102.





Тражени пар вредности 1010 ,102 . Одговор је г .

244

МАТЕМАТИКА

7. Нека је t  30 cm дужина тетиве, r полупречник круга, а d  r  9 растојање тетиве од центра круга. 2

2

2 t  30  r     d 2  r 2      r  9   r 2  225  r 2  18r  81 2  2   306  18r  0  18r  306  r  17 cm . 2

P  289 cm2 .

Одговор је в . 8. Из једначине хиперболе 3x 2  y 2  3 добијамо a  1 и b  3 . Једначине асимптота хиперболе су y   3 x .

tg  



3  3





1 3   3





3 3   3  3. 1 3

Одавде добијамо да су углови 1  60 и  2  120 . Одговор је г . 9. Да би решења квадратне једначине комплексна мора бити D  b2  4ac  0 . D  k 2  4k  k  k  4  0  k   0, 4  .

била

коњуговано

Одговор је б . 10. Нека је a ивица правилног тетраедра, H његова висина и x растојање подножја висине од темена базе тетраедра. База правилног тетраедра је једнакостранични троугао странице a и висине h , па је подножје висине H тежиште тог једнакостраничног троугла. 245

МАТЕМАТИКА

Одатле је: x 

2 2 a 3 a 3 . h   3 3 2 3 2

a 3 H  a  x  H  a     3  3a 2 6a 2 3H  H 2  a2   H2  a . 9 9 6 2

2

2

2

2

a2  3 H BH a2  3  H . V  4  3 3 12 Запремина датог правилног тетраедра износи 27 3 . 27 3 

a2  3  H  a 2  H  324 , 12

2

 3H  3    H  324  H  216  H  6 .  6 Одговор је г .

246

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 12 2

2

3

3

 1  2  1 1 1. Израчунати вредност израза  5   1   1     .  5  3  4  5  a 2  b2 2. Упростити  1 1  a b 

 a 2  b2     ab 

1

 1 : , a, b  0 , a  b .  3 a  b 

3x 2  7 x  3  1  x .

3. Решити једначину

4. Решити једначину x1log2 x  4 , x  0 , x  1 . 5. Одредити све вредности x за које је sin 6 x  2 sin x cos 5x . 6. Четврти и шести члан геометријског низа су a4  54 и a6  486 . Одредити низ. 7. Одредити површину трапеза чије су основице 16 cm и 44 cm , а краци 17 cm и 25 cm .

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 12  1 1.  5   5

2

3

2

3

 2  1 1  26   1   1         3  4 5  5 

 26     5 

2

2

5  4      3  5

3

2

2

3

5  5 1         3  4  5

3

2 2 3 3 262  43  9 100  5  26  5 4  5    2 2  3 3   . 5 3 5 1 9 9 1 3

1 1 1  a 2  b 2  a 2  b 2  1 a 2 b 2  ab  3  a  b  :  2. 1 1    1 1 a 2  b2 a  b  ab  3  a  b   a b 247

МАТЕМАТИКА

a b 2 2 2 2 3ab  a  b   a  b   3ab  a  b  a b     3. ab a 2  b2  a  b   ab   a 2  b2  ab 2

3.

2

3x2  7 x  3  1  x  3x 2  7 x  3  1  x   1  x  0 2

1 1   2 x2  5x  2  0  x  1   x  2  x    x  1  x  . 2 2 

4. x1log2 x  4  x  0  x  1  log 2 x1log2 x  log 2 4  x  0  x  1  1  log 2 x   log 2 x  log 2 22  x  0  x  1  log 2 2 x  log 2 x  2  0  x  0  x  1. Ако уведемо смену log 2 x  t дата једначина постаје квадратна

t 2  t  2  0 . Њена решења су t1  2 и t2  1 . Значи, 1 log 2 x  2  x  22  x  , log 2 x  1  x  21  x  2 . 4 1  5. sin 6 x  2sin x cos 5 x  sin 6 x  2     sin  x  5 x   sin  x  5 x    2   sin 6 x  sin 6 x  sin  4 x   sin 6 x  sin 6 x  sin 4 x  sin 4 x  0

 4 x  k  xk 

k , k . 4

6. Из a4  a1  q3  54 и a6  a1  q5  486 , добијамо:

a1  q5 486   q 2  9  q1  3  q2  3 . 3 a1  q 54 За q  3 добија се a1  2 и низ је: 2, 6, 18, 54, ... За q  3 добија се a1  18 и низ је: – 18, 54, – 162, ... 7. Нека је h висина трапеза. Обележимо основице трапеза са 248

МАТЕМАТИКА

AB  a  44 cm и CD  b  16 cm , а краке са BC  c  17 cm и AD  d  25 cm . Површину трапеза рачунамо по формули ab P  h . Треба да нађемо висину трапеза h . Из тачке C 2 конструишимо праву p паралелну краку AD  d . Права p сече основицу AB  a у тачки P . Тада је PC  AD  d  25 cm и AP  CD  b  16 cm . Посматрајмо троугао PBC . Странице тог троугла су PC  25 cm , BC  c  17 cm и PB  AB  AP  a  b  44 cm  16 cm  28 cm . Висина ht троугла PBC је у исто време и висина трапеза h . Израчунајмо површину троугла PBC користећи Херонов образац abc P  s  s  a  s  b  s  b  , где је s  полуобим троугла, и 2 a , b , c дужине страница троугла. За троугао PBC имамо: PC  BC  PB 25  17  28 s   35 cm . 2 2 P  35   35  25   35  17    35  28  210 cm2 . PB  ht . 2 Ако у ту формулу заменимо познате вредности добијамо: Са друге стране површина троугла PBC је P 

28  ht  ht  15 cm . Значи h  ht  15 cm . 2 Сада је површина трапеза: 44  16 P 15  450 cm2 . 2 210 

249

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 13 1 1 1 1 1 1 1 1  :  и y   :  . 2 3 2 3 2 3  2 3 Вредност израза x  y je:

1. Дати су изрази x 

a)

7 ; 2

б)

3

2. Ако је A 

a) 3  10 4 ;

12 ; 5

в) 3 ;

г)

19 ; 10

д) Не знам.

1 2  0,008      4 5   log 1000 , тада је 0,8% A : 10 1 5 : 0,2 3

б) 27 106 ;

в) 8  10 5 ;

г)

8  10 6 ; 27

д) Не знам.

3. У продавници је било 6 сандука јабука тежина 15kg , 16 kg , 18kg , 19 kg , 20 kg и 31kg . Два купца су купила 5 сандука, тако да је један узео два пута више јабука него други. Који је сандук остао непродат? a) 16 kg ;

б) 18kg ;

4. Решења неједначине

в) 20 kg ;

г) 31kg ;

2 3  припадају скупу: 2 x  7 3x  1

7  1    1  a)   ,      ,    ; б)  ,    ; 2  3    3 

г) 0,   ;

д) Не знам.

д) Не знам.

250

 7 1 в)  ,   ;  2 3

МАТЕМАТИКА

5. Збир свих решења једначине sin 2 x  cos x  0 за x  0,   је: a)

 ; 2

б)

5 ; 2

в)

3 ; 2

г)

2 ; 3

д) Не знам.

6. Збир прва четири члана аритметичке прогресије је 1 , а збир следећа четири члана је 25 . Колики је збир првих 37 чланова? a) 925 ;

б) 830 ;

в) 300 ;

г)

476 ; 5

д) Не знам.

7. Решење x једначине a1 x  a x1  4 a x3  6 a 5 x  1 је: a) 2 ;

в) 

б)  2 ;

9 ; 7

г) 

1 ; 2

д) Не знам.

8. Једначина заједничке тетиве кружница x 2  y 2  10 и

x 2  y 2  6 x  6 y  2  0 је: a) x  y  2  0 ; г) x  y  2  0 ;

б) x  y  2  0 ; д) Не знам.

в) x  y  2  0 ;

9. Висина трапеза чије су основице 15 cm и 11 cm , а краци 5 cm и 7 cm износи: 3 cm ; 2 д) Не знам.

a)

б)

6 cm ; 6

в) 2 6 cm ;



г)



2 3 cm ; 3

10. Област дефинисаности функције y  log 2 2 x  x 2 a) 0,1  1, 2 ; г) 0, 2 ;

б)  ,1  2,   ; д) Не знам. 251



1

је:

в) 0,   ;

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 13 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 3  :          . 2 3 2 3 2 3 1 3 2 3 3 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 6 9 y  :    :     . 2 3  2 3  2 3 6 2 3 5 10 3 9 24 12 x y     . 2 10 10 5

1. x 

Одговор је б . 8  3  1 2 0, 008     3    4 5 1000  20    log10 1000   log10 103 2. A  1 16 2 5 : 0, 2 : 3 3 10 2  3      8 27 3 10  20   A  27 105.  3  10 . 0,8% A  16 5 8 100  3 1 3

Одговор је б . 3. Из услова задатка је један купац узео два пута више јабука него други, одакле закључујемо да ако саберемо јабуке од обојице добићемо број облика 3  m , m , односно број дељив са три (број је дељив са 3 ако му је збир цифара дељив са 3). Из другог услова да су купци од могућих 6 купили 5 сандука следи да је један сандук остао непродат. Обележимо сандуке на следећи начин: S1  15 kg , S2  16 kg , S3  18 kg , S4  19 kg, S5  20 kg, S6  31 kg . Ако претпоставимо да је остао непродат сандук S1 , то би значило да су купљени сандуци S2 , S3 , S4 , S5 и S6 . Саберимо колико килограма јабука укупно ту има: S2  S3  S4  S5  S6  104 kg . 252

МАТЕМАТИКА

104 није дељив бројем 3, закључујемо да је сандук S1 продат. На исти начин закључујемо да су продати сандуци S2 , S3 , S4 и S6 . Непродат је сандук који има 20 kg јабука односно S5 . Одговор је в . 4.

2 3 2 3 1    0  0. 2 x  7 3x  1 2 x  7 3x  1  2 x  7 3x  1

2x  7 3x  1

7   ,   2  -

 7 1  ,   2 3 + -

 1    ,    3  + +

+

-

+

1

 2 x  7  3x  1

7  1   Из таблице видимо да x   ,     ,   . 2  3   Одговор је а .

5. sin 2 x  cos x  0  2sin x cos x  cos x  0  cos x   2sin x  1  0

 cos x  0  2sin x  1  0  cos x  0  sin x 

5  2m , k , l , m  . 2 6 6 Сва решења једначине sin 2 x  cos x  0 која припадају сегменту  xk 

0 ,  



 k  xl 



1 2

 2l  xm 

су решења која се добијају за k  l  m  0 , а то су

 

, и 2 6

5 . Збир тих решења једначине sin 2 x  cos x  0 за x  0,   је 6   5 3    . 2 6 6 2 Одговор је в . 253

МАТЕМАТИКА

6. a1  a2  a3  a4  1

 a1   a1  d    a1  2d    a1  3d   1  4a1  6d  1

и a5  a6  a7  a8  25

  a1  4d    a1  5d    a1  6d    a1  7d   25  4a1  22d  25 .

Решавањем

система

4a1  6d  1, 4a1  22d  25

једначина

3 . Збир првих 37 чланова аритметичке 2 37  3 прогресије је S37    2   2    37  1    925 . 2  2 добијамо a1  2 и d 

Одговор је а . 1 x

7. a

 a

x 1

 a 4

x 3

x 1 x 3 5 x 1 x    2 4 6

a

 a

1 x

x 1 2

x 3 4

5x 6

1 a a a a 1 x  1 x  3 5x 9  1  1 x    0 x . 2 4 6 7 6

5x

Одговор је в . 8. Решимо систем једначина: x2  y 2  10  x2  y 2  6 x  6 y  2  0 . Одузимањем једначина добијамо једначину x  y  2 . Ова једначина са било којом од датих формира систем једначина. Узмимо: x2  y 2  10 , x  y  2 . Одавде добијамо решења: x1  3 , y1  1 ; x2  1, y2  3 Кружнице имају две заједничке тачке: A  3, 1 и B  1,3 . Једначина тетиве AB је права y   1 

x y 2  0. Одговор је а . 254

3   1   x  3 , или 1  3

МАТЕМАТИКА

9. Нека је h висина трапеза. Обележимо основице трапеза са AB  a  15 cm и CD  b  11 cm , а краке са BC  c  5 cm и AD  d  7 cm . Из тачке C конструишимо праву p паралелну краку AD  d . Права p сече основицу AB  a у тачки P . Тада је PC  AD  d  7 cm и AP  CD  b  11 cm . Посматрајмо троугао PBC . Странице тог троугла су PC  7 cm , BC  c  5 cm и PB  AB  AP  a  b  15 cm 11cm  4 cm . Висина ht троугла PBC је у исто време и висина трапеза h . Израчунајмо површину троугла PBC користећи Херонов образац. PC  BC  PB  8 cm . За троугао PBC имамо да је s  2 P  8  8  7   8  5  8  4   4 6 cm2 . Са друге стране површина троугла PBC је P 

4 6

PB  ht , па је 2

4  ht  ht  2 6 cm . Висина трапеза је 2 6 cm . 2

Одговор је в . 10. log 2  2 x  x2   0  2 x  x2  0  2 x  x 2  1  x  2  x   0   x  1  0  x   0, 2  2

 x  1  x   0, 2   x   0,1

Одговор је а .

255

1, 2  .

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 14





1. Област дефинисаности функције y  log 2  x 2  11x  28 je: a) 4,7;

б) 4,7  ;

в)  4, 7  ;

2. Колико решења има једначина интервалу 0,2  ? a) два;

б) осам;

г) Не знам.

sin 2 x  cos 2 x2  sin 4 x

в) четири;

на

г) Не знам.

 2 4  34  2 1  31 3. Вредност израза  1 1  2 3 1 a) 2 ; б) –2 ; в) ; 2





1

  3  81    1

 2 2





1 2

je:

г) Не знам.

4. Ако тачке A 1, 2  , B  2, k  , C  4,5 припадају истој правој, онда је k једнако: a) 3 ;

б) – 2 ;

в)

1 ; 2

г) Не знам.

1  2 1 5. Aкo je a  0 и a  1 , онда је израз 1   2   2  a a   a  1 идентички једнак изразу: 1 1 а) a ; б) 2 ; в) ; г) Не знам. a a 6. Збир првих n чланова аритметичке прогресије је Sn  2n2  3n . Дванаести члан a12 једнак је: a) 43 ; 7. Једнакост а) x  4 ;

б) 25 ;

в) 34 ;

г) Не знам.

x 2  8x  16  4  x тачна је само за: б) x  4 ;

в) x  256

;

г) Не знам.

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 14 1.  x2  11x  28  0  x2  11x  28  0  x   4,7  . Одговор је б . 2.  sin 2 x cos 2 x   sin 4 xsin 2 2 x 2sin 2 x cos 2 x cos 2 2 x sin 4 x 2

 1  sin 4 x  sin 4 x  sin 4 x 

1 . 2

Сва решења ове једначине су  k 5 l xk   , xl   , k, l  . 24 2 24 2 Решења у интервалу 0,2  су: За k  0 , x 

 24

, за k  1 , x 

 24



 2



13 , 24

25  3 37   , за k  3 , x  . 24 24 24 2 24 5 5  17   За l  0 , x  , за l  1 , x  , 24 24 2 24 5 28 5 3 41     за l  2 , x  , за l  3 , x  . 24 24 24 2 24 Одговор је б . за k  2 , x 



 

1  24  34  22   3.  1 1   21  31   31  81   2 3 

 1 1   16  81  1 1  1 1  14       81  1 1  2 3  3     2 3  

1

 13 1  2  9        36 9   36  Одговор је a .



1 2





1 2

1 2

 2.

257

 65 6 1 1        8  27 5 3 3 



1 2

МАТЕМАТИКА

4. Из A 1, 2  , B  2, k  , C  4,5 је

k AC 

52 3 k 2   1, k AB   k  2  k  2  1  k  3. 4 1 3 2 1

Одговор је a . 1 a 2  2a  1 1 1  2 1  5. 1   2      2. 2 2 2 a  a a   a  1  a  1 a

Одговор је б . 6. Из S n  2n 2  3n добијамо S1  a1  1 , S2  a1  a2  2 , a2  3 . Дакле d  a2  a1  4 , па је a12  a1  11d  43 . Одговор је a . 7.

x 2  8x  16  4  x 

 x  4

2

Одговор је в .

258

 4 x  x4  4 x .

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 15 4

1   4  3   1 1  1. Вредност израза   :  8      1 једнака је: 3  25    16    

а) 4 ;

б) 0 ;

в) 1 ;

г) Не знам.

  a  b 2   a b  a 3  b3 2. Израз   3     : , a, b  0, a  b једнак је:  ab   b a  ab  

а) a  b ;

б)

1 1  ; a b

в)

ab ; ab

г) Не знам.

3. Једна од правих p1 : y   x  7 ; p2 : y   x  4 ; p3 : y  x  4 je тангента круга x 2  2 x  y 2  2 y  6 . Која? a) p1 ;

б) p 2 ;

в) p 3 ;

г) Не знам.

4. Збир S120 првих 120 чланова прогресије 5 , 

5 5 ,0, ,5, 2 2

износи: a) 17250 ;

б) 17200 ;

в) 18000 ;

г) Не знам.

5. Производ свих решења једначине 2 2 x1  33  2 x1  4  0 износи: a) – 6 ;

б) 8 ;

в) 6 ;

259

г) Не знам.

МАТЕМАТИКА

6. Површина правилне тростране призме је P  20 3 cm2 , а основна ивица a  4 cm . Њена запремина једнака је: a) 10 cm3 ;

б) 14 cm3 ;

в) 12 cm3 ;

г) Не знам.

7. Решења једначине 2 sin x  3sin x  1 су: а) x 

 6

в) xk 

 k , k 



б) x 

;

 2k  xl 

2 г) Не знам.

 6

 2l  xm 

k ,k 2

;

5  2m , k , l , m  6

;

РЕШЕЊЕ ТЕСТA 15 4

1 1       4 4  3 1 1  3 3 1     1.   :  8      1        1   16     16 25 25   3  25     

4

4

4

1 1       4 4 9  16 1          2  14  1.    1  1   16  25     24      

Одговор је в .  a  b 2   a b  a3  b3 2.   3     : ab  ab  b a a 2  ab  b 2  a  b  a  b  ab ab     . 2 2 ab ab  a  b   a  ab  b  ab

Одговор је в .

260

МАТЕМАТИКА

3. Из

x 2  2 x  y 2  2 y  6   x  1   y  1  8 , следи да је 2

2

S 1,1 центар и r  8 полупречник круга. Користећи услов додира праве и круга r 2  k 2  1   kp  q  n  , закључујемо да је 2

права p3 тангента круга. Одговор је в .

5 4. У датом низу је a1  5 , a2   , a3  0 , 2 120  5 S120    2  5  119    17250 . 2  2

, d  a2  a1 

5 . 2

Одговор је a .

2x 5. 2  33  2  4  0  2  2  33   4  0 . 2 x Ако уведемо смену 2  t  0 дата једначина постаје квадратна 1 4t 2  33t  8  0 . Њена решења су t1  8 и t2  . 4 1 Значи, 2 x  8  x  3 , 2 x   x  2 . 4 Тражени производ је x1  x2  6 . 2 x 1

x 1

2x

Одговор је a . 6. Како је P  20 3 cm2 , a  4 cm и P  2B  M  2 

a2 3 a2 3  3aH   3aH , биће 4 2

16 3  12 H  H  3 . 2 a2 3 16 3 Сада је V  B  H  H   3  12 . 4 4 20 3 

261

МАТЕМАТИКА

Одговор је в . 7.  2sin x  3 sin x  1  2sin 2 x  3sin x  1  0 . Ако уведемо смену sin x  t дата једначина постаје квадратна. 1 2t 2  3t  1  0 . Њена решења су t1  1 и t2  . 2 Значи, sin x  1  xk  sin x 

 2

 2 k ,

1  5  xl   2l  xm   2m , k , l , m  . 2 6 6

Одговор је в .

262

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 16 1. Ако се странице једнакостраничног троугла површине P  1 cm2 прво смање за 20% , а затим повећају за 20% , онда је површина на овај начин добијеног троугла једнака : а) 0,962 cm2 ;

б) 1 cm2 ;

в) 0,842 cm2 ;



г) Не знам.







2. Број решења једначине log 4  2 x2  log 4  log 5  2 4 x  1 је: а) један ;

б) нема решења ;

в) два ;

г) Не знам.

3. Ако производ бројева 5,4 и 6,3 умањен за 0,02 поделимо производом бројева 7,3 и 0,9 увећаним за 10,43 добијамо: а) 2 ;

б) 1 ;

в) 7 ; г) Не знам.  3  4. Ако је tg      , онда је tg једнако: 4 4  а) 5 ;

б) 7 ;

в) 13 ;

г) Не знам.

5. Колики је број чланова геометријског низа ако је a1  1 , q  2 и

an  4096 ? а) 31 ;

б) 33 ;

в) 13 ;

г) Не знам.

6. Скуп решења неједначине x  3  а)  2,1

 2,   ;

б)  , 2

1, 2 ;

4 је: 2 x в)  2,1 ; г) Не знам.

7. Угао под којим се види круг x 2  y 2  8x  6 y  15  0 из тачке

A 1, 2  ван круга је: а)

  4 ; б) , в)   arctg ; г) Не знам. 3 2 3 263

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 16 1. Страница новог троугла је a1  0,8  a 1, 2  0,96a , па је a12 3 a2 3  0,962   0,962 1  0,962 cm2 . 4 4 Одговор је а . P1 

2. log  4  2 x 2   log 4  log  5  24 x  1

 log  4  2 x  2   log 4   5  24 x  1   4  2 x  2   4   5  24 x  1

 16   4  2 x  4  4   5  x  1 .  2  x Ако уведемо смену 2  t  0 , једначина постаје квадратна t 2  2t  80  0 . Њена решења су t1  10 и t2  8 . Значи, 2x  8  x  3. Једначина 2 x  10 нема решења. Одговор је а . 3.  5, 4  6,3  0,02 : 7,3  0,9  10, 43

  34,02  0,02 : 6,57  10, 43  34 :17  2. Одговор је а .



tg  tg 3  4 3 4. tg        4 4 4  1  tg  tg 4  4tg  4  3  3tg  tg  7 .



Одговор је б .

264

МАТЕМАТИКА

5. Из формуле an  a1q

4096  2

n 1

n 1

добијамо

n 1

 n  13.

2 2 12

Одговор је в . 6. x  3 

 x  2 x  1  0 . 4 x2  x  2  0 2 x x2 x2  , 2

x2 x 1 x2  x  2  x  1

-

 2,1 1, 2   2,   + -

+ + -

+ + +

+ + x2 Решења неједначине припадају скупу  , 2 1, 2  . Одговор је б . 7. Из x2  y 2  8x  6 y  15  0   x  4    y  3  40 следи да је 2

2

S  4, 3 центар и r  40 полупречник круга. Како је SA2  1  4    2  3  50  40 , тачка A је ван 2

2

круга. Тачка A 1, 2  припада тангенти, чија је једначина

y  kx  n , па је 2  k  n  n  2  k. Заменом овог израза у услов додира праве и круга добијамо: 1 2 40  k 2  1   4k  3  k  2   3k 2  10k  3  0  k1  3  k2   . 3 1 3  4 4 3 tg      . Са слике коју бисмо скицирали, 3 3  1 1   3      3 4 може се видети да је угао туп, па је решење   arctg . 3 Одговор је в . 265

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 17  1 3  1 1 1. Aкo je A  1        : 0,4 тада је 0,5% од A :  2  2  2 3 1 2 1 а) ; б)  ; в)  ; г) Не знам. 25 150 250 1 1 2. Ако је A  100 0,5  810, 25  16 0,75 , B  log 1 , C  log 1 , 4 8 8 4 тада је A  B  C једнако:

а)

5 ; 2

б)

1 ; 3

3. Ако је 4096  0,5  4 x

в) 15 ; x

1 6

г) Не знам.

тада је x једнако:

2 ; б) 0 ; в) – 2 ; 15 4. Датa су три узастопна темена а)

г) Не знам.

A  0,3 ,

B  3,5 , C  2, 7 

паралелограма ABCD . Координате темена D су: а) 1,5  ;

б)  1,5 ;

в)  2, 4  ;

г) Не знам.

5. Збир првих n чланова аритметичког низа је S n  3n 2  n . Десети члан a10 низа је: а) 12 ;

б) 58 ;

в) 52 ;

г) Не знам.

1 1   , cos     ,  ,    0,  , 2 2  2 тада је   2 једнако:

6. Ако је sin     

а) 90 ;

б) 135 ;

в) 75 ;

г) Не знам.

a  x a 2  2ax  b2  , a  b је: 7. Решење једначине a b a 2  b2 а) a  2b ;

б) b ;

в) a ; 266

г) Не знам.

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 17 1 3 5 2 3 25 16 4   :       , па је 2 2 6 5 4 12 12 3 0,5  4  1 . 0,5% A       100  3  150

1. A 

Одговор је в . 2. A  100 2  814  16 4  10 2 2  34 4  2 4 4  10  3  8  15 1 1 1 1 B  C  log 1  log 1  log 1   1 , па је A  B  C  15 . 1 4 8 4 8 4 8 log 1 4 8 Одговор је в . 1

1

3. 4096 x  0,5  4

x

3

1 6

1

1

  212   21   22  x

3

x

1 6

 212 x1  2

2 x

1 3

1 2  12 x  1  2 x   x  . 3 15 Одговор је а . 4. Ако је D  x, y  , онда је AB  3,2 , DC   2  x , 7  y  . Како је AB  DC , биће 3  2  x , 2  7  y одакле добијамо

x  1 , y  5 . Kоординате тачке D су  1,5 . Напомена: Задатак се може решити и применом аналитичке геометрије. Одговор је б .

267

МАТЕМАТИКА

5. Из S n  3n  n следи да је S1  a1  4 , S2  a1  a2  14 и a2  10 . Како је a2  a1  d биће d  6 , па је a10  a1  9d  58 . 2

Одговор је б .   6. Ако је  ,    0,  , онда  2 1 sin           30 , 2

cos     

1      60 , 2

одакле добијамо   45 ,   15 , па је   2  75 . Одговор је в . 7. Задатак је решен у тесту 5 као 3. по реду. Одговор је б .

268

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 18 1. Вредност израза

а)

33 ; 2

б)

0,12   0, 4 

0

3

2  2  1 2       3  3  3

33 ; 4

в)

1

једнака је:

50 ; 3

1 3  је скуп: x  1 3x  1 1   1  б)  ,   1,   ; в)   ,1 ; 3   3 

г) Не знам.

2. Решење неједначине  1  а)   ,1 ;  3 

г) Не знам.

3. Вредност израза 101log5  102log20 103log500 припада интервалу: а)  5,5 ;

б)  0,5  ;

в)  5,5 ;

г) Не знам.

4. Ако је ab  0 и a  b израз    a  b 2    a  b  2   a 3  b3   4  1  : има вредност:   ab   ab   ab     a b ab 1 а) ; б) ; в) ; г) Не знам. ab ab ab 5. Збир квадрата решења једначине 9x1  3  3x3  27  3x2  270 је: 28 а) 1 ; б) ; в) 5 ; г) Не знам. 3   6. Решење једначине sin  x    1 које припада интервалу 3   4 , 6  је: а)

7 ; 6

б)

31 ; 6

в)

269

35 ; 6

г) Не знам.

МАТЕМАТИКА

7. Тачка B на правој 2 x  3 y  3  0 најближа тачки A  5,13 је: а) B 1,3 ;

б) B  3,1 ;

в) B  3, 1 ;

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 18 1.

0,12   0, 4  3

0

2  2  1 2       3  3  3

1



100  1 99 99 33    . 8 27 9  3 6 2  3 3 8

Одговор је а . 2.

1 3 4  1     0  x    ,1 . x  1 3x  1  x  1 3x  1  3 

Одговор је в . 3. 101log5  102log20 103log500 10 100 1000 10 100 1000  log5  log 20  log500     5. 10 10 10 5 20 500 Одговор је в .    a  b 2    a  b  2   a 3  b3  4  1  : 4.     ab   ab   ab     2 2 2  a  2ab  b   a  ab  b 2  a  b    3 3 ab ab     a b

a  b  ab

2



a 2  ab  b 2 ab a b   . 2 2 ab  a  b   a  ab  b  ab

Одговор је а . 270

г) Не знам.

МАТЕМАТИКА

3x 5. 9  3  3  27  3  27  0  9  9  3  3  27  27   27  0 9 2x x x 2x x  3  3  81 3  3  3  27  0  3  28  3  9  0 . x 1

x 3

x2

x

x

Ако уведемо смену t  3x , једначина постаје квадратна t 2  28t  9  0 . 1 Њена решења су t1  и t2  9 . 3 1 Значи, 3x   3x  31  x  1, 3x  9  3x  32  x  2 . 3 2 Збир квадрата решења једначине је  1  22  5 . Одговор је в .

  3 7  6. sin  x    1  x    2k  xk   2k  , k  . 3 3 2 6  31 Решење припада интервалу  4 , 6  , па је x  . 6 Одговор је б . 7. Тачку B добићемо у пресеку нормале из тачке A на дату праву 2 2 x  3 y  3  0 . Коефицијент правца дате праве је k  , а 3 1 3 коефицијент правца нормале је kn     . Једначина k 2 нормале кроз тачку A гласи: 3 y  13    x  5  3x  2 y  11  0 . 2 Пресечна тачка B добија се решавањем система једначина: 2 x  3 y  3  0 , 3x  2 y  11  0 . Решење система је: x  3 и y  1 . Координате тачке B су  3,1 . Одговор је б .

271

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 19 1. Скуп решењa неједначине а)  3,   ;

б)  , 5

3x  7  2 је: x5

б) 3 ;

г) Не знам.

2sin 2 x  3sin x  1  0

2. Колико решења једначине интервалу  0,   ? а) 0 ;

в)  5,3 ;

 5,   ;

в) 1 ;

припада

г) Не знам.

3. Решење једначине log3  4 x   3 је: 3

а) x 

2 ; 5

б) x  

1 ; 12

в) x 

1 ; 12

г) Не знам.

 1 3 1 1 4. Ако је A  1        : 0, 4 тада је 0,5% од A једнако:  2 2  2 3

а) 

1 ; 150

б)

1 ; 250

в)

3 ; 20

г) Не знам.

1

a 2  b 2  a 2  b 2  1 , a, b  0 , a  b је: 5. Израз 1 1    : a  b  a  b  3 a  b а)

3 ; ab

б) 3 ;

в)

3ab ; a  b2 2

г) Не знам.

6. Дате су тачке A 1,1 , B  3,1 , C 1, 4  . Једначина праве која садржи тачку A и нормална је на правoj BC гласи: а) 2 x  3 y  1  0 ; б) 2 x  3 y  1  0 ; в) 2 x  3 y  1  0 ; г) Не знам. 272

МАТЕМАТИКА

3 7. Решење једначине   7  3 а)  0,  ;  2

 3 б)  1,  ;  2

3 x 7

7   3

7 x 8

3  в)  , 2  ; 2 

припада интервалу:

г) Не знам.

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 19 1.

3x  7  2  x  5  3x  7 3x  7 x 3 2 2 0 0  0. x5 x5 x5 x5

 , 5  5,3  3,   + x5 x 3 x3 + x5 Решење задате неједначине је скуп  5,3 .

+ + +

Одговор је в . 2. Уведимо смену 2t 2  3t  1  0 .

sin x  t

Њена решења су t1  1 и t2  sin x  1  xk  sin x 

 2

1 . 2

 2 k ,

1  5  xl   2l  xm   2m , k , l , m  . 2 6 6

1) Из скупа xk 

 0,  

и једначина постаје квадратна



2

 2k , k  , решење које припада интервалу

је оно које добијамо за k  0 , а то је x 

273

 2

.

МАТЕМАТИКА

2) Из скупа xl 

 0,  

 6

 2l , l  , решење које припада интервалу

је оно које добијамо за l  0 , а то је x 

3) Из скупа

xm 

5  2m , m  , 6

 6

.

решење које припада

интервалу  0,   је оно које добијамо за m  0 , а то је x  Закључујемо да имамо три решења x 

 2

, x

једначине која припадају интервалу  0,   .

 6

и x

5 . 6

5 задате 6

Одговор је б . 3. log3  4 x   3   4 x    3  x3  3

3

3

1 1  x3  123  x . 3 3 4 12 3

Одговор је в . 4. Задатак је решен у тесту 6 као 1. по реду. Одговор је a . 5. Задатак је решен у тесту 12 као 2. по реду. Одговор је б . 6. Једначина праве кроз тачке B  3,1 и C 1, 4  је

y 1 

4 1 3 11   x  3  y   x  . 1 3 2 2

3 Коефицијент правца праве BC је k BC   . Коефицијент 2 1 2 правца праве која је нормална на праву BC је k    . k BC 3 274

МАТЕМАТИКА

Једначина праве која садржи тачку A 1,1 је

2 2 1 y  1    x  1  y  x   2 x  3 y  1  0 . 3 3 3 Одговор је в .

3 7.   7

3 x 7

7   3

3   7

3 x 7

7 x 8

3   7

3   7

1 7 x 8

3 x 7

  3 1       7    

3   7 3  3x  7  7 x  8  x  . 2

3 x 7

7 x 8

3   7

7 x 8

 3 Решење једначине припада интервалу  1,  .  2

Одговор је б .

275

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 20 1. Вредност израза

 7  3

3 а)  ; 2

2

   1

2  3

3

 2 

3

3

је:

в) 4 ;

б) 2 ;

г) Не знам .

2. У аритметичком низу дато је a2  a5  a3  10 и a1  a6  17 . Збир прва 33 члана износи: а) 1617 ;

б) 1650 ;

3. Вредност израза

а) 1 ;

б)

3333 ; 2

г) Не знам .

x3  y 3 2y xy :  x2  y 2    2 , x   y je: x y x  y x  y2

xy ; x  y2 2

в)

в)

1 ; x y

г) Не знам .

4. Једначина праве која пролази кроз пресек правих 6 x  2 y  1  0 и 4 x  y  3  0 , а нормална је на праву 5x  2 y  6  0 гласи: а) 2 x  5 y  48  0 ;

б) 2 x  5 y  48  0 ;

в) 2 x  5 y  48  0 ;

г) Не знам .

5. Збир решења једначине log10 2  log10  4x2  9   1  log10  2 x2  1 је: а) 2 ;

б) 5 ;

в) 6 ; 276

г) Не знам .

МАТЕМАТИКА

6. Број решења једначине cos 2 x  sin 2x  1  cos x  sin x припадају интервалу  0, 2  једнак је: а) 3 ;

б) 4 ;

в) 2 ;

7. Решење неједначине 1 

г) Не знам .

3x  1  2 је скуп: 2x  1

а)   ,  3

 2,   

;

б)  3, 2  ;

в)   ,  3

2,    ;

г) Не знам .

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 20 1. Задатак је решен у тесту 9 као 1. по реду. Одговор је б . 2. a1  3d  10  2a1  5d  17  a1  1  d  3 33 S33    2 1  32  3  1617 . 2 Одговор је а . 3. Задатак је решен у тесту 8 као 2. по реду. Одговор је а . 4. Решавањем система једначина 6 x  2 y  1  0 и 4 x  y  3  0  7  добијамо пресечну тачку правих A   , 11 .  2  5 Коефицијент правца праве 5x  2 y  6  0 је k1   . 2 277

која

МАТЕМАТИКА

Пошто су праве нормалне, k2 

2 . 5

2 7 Једначина тражене праве је: y  11   x    2 x  5 y  48  0 . 5 2

Одговор је в . 5. log10 2  log  4x2  9   1  log10  2 x2  1

 log10 2   4x2  9   log10 10   2 x2  1 .

Логаритамска једначина своди се на експоненцијалну једначину облика 2   4x 2  9   10   2 x 2  1 . Увођењем смене 2x2  t  0 експоненцијална једначина 22 x2  5  2x2  4  0 своди се на квадратну једначину облика t 2  5t  4  0 , чија су решења t1  4 , t2  1. Тада је

2x 2  4  2 x 2  1  x  2  2  x  2  0  x  4  x  2 . Збир решења задате једначине је: 4  2  6 . Одговор је в . 6. cos 2 x  sin 2x  1  cos x  sin x  cos 2 x  sin 2 x  2sin x cos x  cos 2 x  sin 2 x  cos x  sin x

 2sin 2 x  2sin x cos x  cos x  sin x  2sin x  cos x  sin x    cos x  sin x   0   cos x  sin x  2sin x  1  0  cos x  sin x  0  2sin x  1  0 1  tgx  1  sin x  2  xk  



4

 k  xl 



6

 2l  xm 

5  2m , k , l , m  6

Из првог скупа за k  1 или k  2 добијамо решења 278

3 7 и . 4 4

.

МАТЕМАТИКА

Из другог и трећег скупа за l  m  0 добијамо решења

 5 и . 6 6

Одговор је б . 7. Решимо леву стране неједначине: 3x  1 3x  1 x2 1  1  0  0. 2x 1 2x 1 2x 1

x x2 2x 1 x2 2x 1

1   ,   2  -

 1    , 2  2  +

 2,   

+

-

+

+ -

1   3,   2  -

 1   ,  2  +

-

+

-

+ +

1  Решење је x    ,    2,    . 2  Решимо десну стране неједначине: 3x  1 3x  1 x  3 2 20  0. 2x 1 2x 1 2x 1

x x  3 2x 1 x  3 2x 1

 , 3

 1  Решење је x   , 3   ,   .  2  Пресек решења леве и десне стране неједначине је коначно решење x    ,  3  2,    .

Одговор је а . 279

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 21

 log 2

1. Вредност израза а)

27 ; 8

б)

3

8 ; 27

1

 log 2 0,75  log16 2

в)

2 ; 4





3 2

једнака је:

г) не знам.

2. Збир прва четири члана аритметичког низа је 1 , а збир следећа четири члана једнак је 25 . Збир првих 16 чланова низа износи: а) 150 ;

б) 212 ;

в) 148 ;

г) не знам.

3. Број решења једначине cos x  sin 2 x  0 која припадају    интервалу   ,   једнак је:  2  а) 4 ;

б) 2 ;

в) 3 ;

г) не знам.

4. Једначина круга чији је центар пресек правих 3x  4 y  11  0 и 5x  7 y  50  0 , а полупречник 5 гласи: а)  x  3   y  5  25 ;

б)  x  3   y  5  25 ;

в)  x  3   y  5  25 ;

г) не знам.

2

2

2

2



5. За a  2  3

 a  1 а) 1 ;

1

2



1



и b  2 3



1

2

вредност израза

  b  1 једнака је: 1

б)

3;

6. Решење неједначине

в) 2 ;

г) не знам.

x 1 x  3  је скуп: x x 1 280

МАТЕМАТИКА

а)  1,0 

1,   ; в)  1,0  1,   ;

б)  , 1

 0,1 ;

г) не знам.

3  4, 2 : 0,1 је 15% неког броја. 7  1: 0,3    0,125 3  Тај број једнак је:

7. Вредност израза

а) 240 ;

б) 2400 ;

в) 24 ;

г) не знам.

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 21

1.

 log 2

1

3

 log 2 0, 75  log16 2





3 2

 1  3   log 2  log 24 2  4  log3 2 

1     log 2 3  log 2 3  log 2 4  log 2 2  4   1   2  4 



3 2

9   4



3 2



3 2

1     2 log 2 2  log 2 2  4  

3

 4 2 8    . 27 9

Одговор је б . 2. a1  a2  a3  a4  1,

a5  a6  a7  a8  25 , односно a1  a1  d  a1  2d  a1  3d  1

4a1  6d  1   a1  4d  a1  5d  a1  6d  a1  7d  25 4a1  22d  25. 3 Решавањем овог система добија се a1  2 и d  . 2 Збир првих 16 чланова низа износи 281





3 2

3 2

МАТЕМАТИКА

S16 

16  3  2   2   15    148 . 2 2

Одговор је в . 3. cos x  sin 2 x  0  cos x  2sin x  cos x  0  cos x 1  2sin x   0.

1 Према томе треба решити две једначине cos x  0 и sin x   . 2 Решења једначине cos x  0 су x  а једначине sin x  



2

 k , k  ,

1 7   2 k  и x    2 k . су x  2 6 6

Од свих ових бесконачно много решења само решења  прве једначине и решење 

  и 2 2

 друге једначине припадају 6

   задатом интервалу   ,   . Дакле, тачан одговор је 3 решења.  2 

Одговор је в . 4. Решавањем система једначина 3x  4 y  11  0 и 5x  7 y  50  0 , добијамо центар круга. 3x  4 y  11  0    x  3, y  5 . 5 x  7 y  50  0 Једначина круга гласи  x  3   y  5  25 . 2

2

Одговор је в .



5.  a  1   b  1  2  3 1

1



1

   2 

1

282

1

3



1



1

1

МАТЕМАТИКА 1

1

1

 3 3   3 3   1   1    1    1        2 3   2 3   2 3  2 3  





  



1



2 3 3 3  2 3 3 3 2 3 2 3    1. 3 3 3 3 3 3 3 3





Одговор је а . 6.

x 1 x  3 x 1 x  3 1 x    0  0. x x 1 x x 1 x  x  1

1 x x x 1 1 x 0 x  x  1

   1

 1, 0 

 0,1

1,  

+ -

+ +

+ + +

+ +

+

-

+

-

Водећи рачуна да бројилац разломка може да буде нула, решење је  1,0 1,   . Одговор је в .

42 10 3  4, 2 : 0,1 45 10    360 . 7. 7   10 7  1 1 1: 0,3    0,125     3   3 3 8 8 15 Дакле 360 је 15% неког броја, тј 360  x  , x  2400 . 100 3

Одговор је б .

283

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 22 1. Скуп решењa неједначине а)  3,   ;

б)  , 5

3x  7  2 је: x5

б) 3 ;

г) Не знам.

2sin 2 x  3sin x  1  0

2. Колико решења једначине интервалу  0,   ? а) 0 ;

в)  5,3 ;

 5,   ;

в) 1 ;

припада

г) Не знам.

3. Решење једначине log3  4 x   3 је: 3

а) x 

2 ; 5

б) x  

1 ; 12

в) x 

1 ; 12

г) Не знам.

 1 3 1 1 4. Ако је A  1        : 0, 4 тада је 0,5% од A једнако:  2 2  2 3

а) 

1 ; 150

б)

1 ; 250

в)

3 ; 20

г) Не знам.

1

a 2  b 2  a 2  b 2  1 , a, b  0 , a  b је: 5. Израз 1 1    : a  b  a  b  3 a  b а)

3 ; ab

б) 3 ;

в)

3ab ; a  b2 2

г) Не знам.

6. Дате су тачке A 1,1 , B  3,1 , C 1, 4  . Једначина праве која садржи тачку A и нормална је на правoj BC гласи: а) 2 x  3 y  1  0 ; б) 2 x  3 y  1  0 ; в) 2 x  3 y  1  0 ; г) Не знам. 284

МАТЕМАТИКА

3 7. Решење једначине   7  3 а)  0,  ;  2

 3 б)  1,  ;  2

3 x 7

7   3

7 x 8

3  в)  , 2  ; 2 

припада интервалу:

г) Не знам.

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 22 1.

3x  7  2  x  5  3x  7 3x  7 x 3 2 2 0 0  0. x5 x5 x5 x5

 , 5  5,3  3,   + x5 x 3 x3 + x5 Решење задате неједначине је скуп  5,3 .

+ + +

Одговор је в . 2. Уведимо смену 2t 2  3t  1  0 .

sin x  t

Њена решења су t1  1 и t2  sin x  1  xk  sin x 

 2

1 . 2

 2 k ,

1  5  xl   2l  xm   2m , k , l , m  . 2 6 6

1) Из скупа xk 

 0,  

и једначина постаје квадратна



2

 2k , k  , решење које припада интервалу

је оно које добијамо за k  0 , а то је x  285

 2

.

МАТЕМАТИКА

2) Из скупа xl 

 0,  

 6

 2l , l  , решење које припада интервалу

је оно које добијамо за l  0 , а то је x 

3) Из скупа

xm 

5  2m , m  , 6

 6

.

решење које припада

интервалу  0,   је оно које добијамо за m  0 , а то је x  Закључујемо да имамо три решења x 

 2

, x

једначине која припадају интервалу  0,   .

 6

и x

5 . 6

5 задате 6

Одговор је б . 3. log3  4 x   3   4 x    3  x3  3

3

3

1 1  x3  123  x . 3 3 4 12 3

Одговор је в .

1 3 5 4 3 5 5 3 25 9  25 16 4    . 4. A    :      2 2 6 10 4 6 2 4 12 12 12 3 5 1  4 1  1 1 0,5% A  A          . 1000 200  3  50  3  150 Одговор је a . 1 1 1  a 2  b 2  a 2  b 2  1 a 2 b 2  ab  3  a  b  :  5. 1 1    1 1 a 2  b2 a  b  ab  3  a  b   a b a 2  b2 2 2 2 2 3ab  a  b   a  b   3ab  a  b   ab    3. ab a 2  b2  a  b   ab   a 2  b2  ab 286

МАТЕМАТИКА

Одговор је б . 6. Једначина праве кроз тачке B  3,1 и C 1, 4  је

y 1 

4 1 3 11   x  3  y   x  . 1 3 2 2

3 Коефицијент правца праве BC је k BC   . Коефицијент 2 1 2 правца праве која је нормална на праву BC је k    . k BC 3

Једначина праве која садржи тачку A 1,1 , а нормална је на праву BC гласи 2 2 1 y  1    x  1  y  x   2 x  3 y  1  0 . 3 3 3 Одговор је в .

3 7.   7

3 x 7

7   3

3   7

3 x 7

7 x 8

3   7

3   7

1 7 x 8

3 x 7

  3 1       7    

3   7 3  3x  7  7 x  8  x  . 2

3 x 7

7 x 8

3   7

7 x 8

 3 Решење једначине припада интервалу  1,  .  2

Одговор је б .

287

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 23 1. 5% броја а) 72 ;

3  4, 2 : 0,1 износи: 1  1: 0,3  2   0,3125 3  б) 7, 2 ; в) 144 ; г) не знам.

x2  4  0 једнак је: 3

2. Збир решења једначине x  2  а) 2 ;

б) 6 ;

3. Вредност израза

1 a



1 2

в) 2 ; 1 2



a 1 а)

2 2 ; б) ; a 1 1 a

1 2



г) не знам.

1 2

a a , a  0 , a  1 , је: a 1

в)

2 ; 1 a

4. Решење једначине log5 x  log

г) не знам.

x  log 1 x  5, x  0, је:

5

25

а) 25 ;

б) 5 ;

5. Вредност израза

г) не знам.

в) tg 2 ;

г) не знам.

1  cos 2 је: 1  cos 2 б) tg 2 2 ;

а) ctg 2 ;

в) 2 ;

6. Седамнаести члан a17 аритметичке прогресије чији збир првих

n чланова Sn  2n2  3n износи: а) 63 ;

б) 64 ;

в) 47 ; 288

г) не знам.

МАТЕМАТИКА

7. Дати су вектори a  1,3 и b   1, 2 . Интензитет вектора c  2a  3b износи:

а) 25 ;

б) 6 ;

в) 5 ;

г) не знам.

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 23 1.

3  4, 2 : 0,1 3  42 :1 3  42    144 . 3 1   10 7  1: 0,3  2   0,3125     0,3125 3  0,3125 3   3 3 5 144  7, 2 Сада је 100

Одговор је б . 2.

 x  2 , x  2; x2    x  2 , x  2.

x2 4  0  x  4. 3 x2  4  0  x  2 . б) За x  2 имамо  x  2  3 Решења дате неједначине су x  2 и x  4 . Збир решења је 2. а) За x  2 имамо x  2 

Одговор је в.

3.

1 a 1 2



1 2

a 1



1 2



a a a 1

a 1 1 

1 2

1 1 a a  a  a  1 a 1

1 

1 1  a a a  2 . a 1 1 a

Одговор је б. 289

1   1   a 





a 1  a  a 1

1 a

МАТЕМАТИКА

4. Уз услов x  0 имамо: log5 x  log

5

1 x  log 1 x  5  log5 x  2 log 5 x  log5 x  5 2 25

5 log5 x  5  log 5 x  2  x  25 . 2 Одговор је а. 

5.

1  cos 2 sin 2   cos 2   cos2   sin 2  2sin 2     tg 2 . 1  cos 2 sin 2   cos 2   cos2   sin 2  2cos 2 

Одговор је в. 6. Како је збир првих n чланова аритметичке прогресије Sn  2n2  3n за n  1: S1  a1  2 1  3 1  a1  1 , за n  2 : S2  a1  a2  2  4  3  2  2. Сада из a1  1 и a1  a2  2 следи a2  3, па је d  a2  a1  4.

a17  a1  16d  1  16  4  63 . Одговор је а. 7. c  2a  3b  2 1,3  3  1, 2    2,6    3,6   5,0  . Координате вектора c су c   cx , cy    5, 0  . Интензитет вектора је c  cx 2  cy 2  5 . Одговор је в.

290

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 24 1. Kолико решења једначине sin 4 x  cos 4 x 

 0, 2  ? а) 4 ;

б) 3 ;

в) 2 ;

1 припада интервалу 2

г) не знам.

 3 a 2 a a  a 1   , a  0, a  1 , је: 2. Вредност израза   a  1 a  1  a  a 1 а) 1 ;

б) 5 ;

в)

5 ; a

г) не знам.

3. Збир решења једначине log 2  9x 1  7   2  log 2  3x 1  1 је: а) 4 ;

б) 2 ;

в) 3 ;

г) не знам.

4. Наћи тачку B симетричну тачки A  3, 2  у односу на праву

2 x  y  6  0 . Одговор је: а) B  5, 6  ;

б) B  5, 6  ;

5. Решење неједначине 3  3  а)  ,   2   3 1 в)   ,   ;  2 2

 1    ,   ;  2 

в) B  6, 5 ; г) не знам.

x 1  5 је скуп: x 1 3  1   б)  ,     ,   ; 2  2  

г) не знам.

291

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 24 1. sin 4 x  cos 4 x 

1 2

  sin 2 x  cos 2 x  sin 2 x  cos 2 x    sin 2 x  cos 2 x   2x  

1 2

1 1 1   cos 2 x   cos 2 x   2 2 2

2   2 k  x    k  . 3 3

k  0, x 

 3

4  2 ;x     , два решења. 3 3 3 3  5 k  2, x    2  , једно решење. 3 3 k  1, x 



, једно решење.  

Одговор је а .

 3 a 2 a a  a 1   2.   a  1 a  1  a  a 1  3 a a 1  2 a a 1  a    a 1    a a 1  











3a  3 a  2a  2 a  a 5 a   5. a a

Одговор је б .

292

МАТЕМАТИКА

3. log 2  9x 1  7   2  log 2  3x 1  1 9 x 1  7 9 x 1  7  2   4. 3x 1  1 3x 1  1 Уведимо смену 3x 1  t , па имамо

 log 2

t2  7  4  t 2  4t  3  0, t 1 t  1  t  3. 3x 1  1  x  1  0, x  1, 3x 1  3  x  1  1, x  2. Збир решења je 3.

Одговор је в .

1 4. l : 2 x  y  6  0  y  2 x  6, k  2  kn   . 2 1 Једначина нормале је y  2    x  3  x  2 y  7  0 . 2 Пресек правих 2 x  y  6  0, x  2 y  7  0 je тачка S  1, 4  . Тачка B симетрична сa тачком A у oдносу на S има координате x x 3  xB xS  A B , 1  , xB  5, 2 2 y  yB 2  yB yS  A ,4  , yB  6, то јест B  5, 6  . 2 2 Одговор је a .

293

МАТЕМАТИКА

x 1 x 1 x 1 5  5  3. x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  5x  5 5 5  0  0 x 1 x 1 x 1 4 x  6 3    0  x   ,    1,   . x 1 2  x 1 x 1 x  1  3x  3  3  3 0  0 x 1 x 1 x 1 4x  2  1    0  x   , 1   ,   . x 1  2  Решење je пресек oвих интервала

5. 3 

3  1   x   ,     ,   . 2  2   Одговор је б .

294

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 25 1. Вредност израза а) 2 ;

32  3  12  50  2 је: 8 б) 2 ;

в) 4 ;

г) не знам.

2. У аритметичком низу дато је a2  a5  a3  10 и a1  a6  17 . Збир прва 33 члана износи: а) 1617 ;

3. Вредност израза

а) 1 ;

б) 1650 ;

в)

3333 ; 2

г) не знам.

3sin   cos    ако је tg   7 ,    ,   je: cos   3sin  2  б) 

10 ; 11

в) 

11 ; 10

г) не знам.

4. Збир решења једначине 10  2x  4x  16 је: а) 2 ;

б) 4;

в) 6 ;

5. Датa су три узастопна темена

A  0,3 ,

г) не знам.

B  3,5 , C  2, 7 

паралелограма ABCD .Координате темена D су: а) 1,5  ;

б)  1,5 ;

в)  2, 4  ;

295

г) не знам.

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 25 1.

32  3  12  50  2  4  36  100  2  6  10  2. 8

Одговор је а. 2. a1  3d  10  2a1  5d  17  a1  1  d  3 . 33 S33    2 1  32  3  1617 . 2 Одговор је а. sin  cos  3  3sin   cos  3 tg   1 3   7   1 10 3.  cos  cos     . cos   3sin  cos   3  sin  1  3 tg  1  3   7  11 cos  cos 

Одговор је б. 4. 10  2x  4x  16  10  2x  22 x 16  0 , уводимо смену 2x  t  0 и добијамо квадратну једначину по t : t 2  10t  16  0 . Њена решења су t1  8  t2  2 . Користећи смену добијамо решења дате једначине: 2x  8  2x  2  x  3  x  1. Збир решења је 3  1  4 . Одговор је б. 5. AB  3,2 , DC  2  x,7  y  , а како је AB  DC  3  2  x, 2  7  y одакле добијамо x  1, y  5 .

Kоординате тачке D су  1,5 . Напомена: Задатак се може решити и применом аналитичке геометрије. Одговор је б. 296

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 26 1.

  0, 6  0, 42  : 0, 01    8  1  7  , тада је 5% Ако је A   75 :    34    12,5 5 25  од A једнако: а) 9 ;

2.

4.

a b ; ab

в) 1 ;

а)  1, 2  ; б)  1, 2 

5,   ;

г) не знам.

в)  1, 2 

 5,   ;

г) не знам.

г) не знам.

Збир свих решења једначине sin 2 x  cos x  0 за x  0,   је:

 ; 2

б)

Решења једначине

5 ; 2

в)

3 ; 2

г) не знам.

2 x2  3x  2  x  2 припадају скупу:

б)  , 1

2,   ; в)  1, 2 ;

г) не знам.

Скуп решења једначине 4x2 17  2x4  1  0 је: а) 1,16 ;

7.

ab ; a b

x 1 x  3  је скуп: x 2 x 5

а)  1, 2  ; 6.

б)

Решeње неједначине

а) 5.

в) 18 ;

a  b  2a b  2ab Израз  2 2   , a  b , идентички је   a  b 2a  2b  a  b a  b једнак изразу:

а) 3.

б) 0,9 ;

б) 0, 4 ;

в)  0, 4  ;

г) не знам.

Тачка на правој 3x  y  3  0 најближа тачки A  2, 1 је: а) B  0,3 ;

б) B  1,0  ; 297

в) B 1, 6  ;

г) не знам.

МАТЕМАТИКА

РЕШЕЊЕ ТЕСТА 26 1, 02 : 0, 01   80 1 7   1. A   75 :     34    125 5 25  102 :1   16 5 7     75 :     34   25 25 25   18 18   75 : 3   25   18 , 25 25 5 90 9 18    0,9 . па је 5% A  100 100 10

Одговор је б.  2ab а  b  2a b 2. A      a  b  a  b  2  a  b    a  b  a  b   4ab   a  b  2a b    2  a  b  a  b  a  b a  b 2



4ab  a 2  2ab  b 2 a b   2  a  b  a  b  a  b a  b

a 

2

 2ab  b2  a

 a  b  a  b 2



b a b a b     1. a b a b a b a b

Одговор је в.

x 1 x  3 x 1 x  3    0 x 2 x 5 x 2 x 5 x 2  5 x  x  5   x 2  3x  2 x  6  x  1 x  5   x  2  x  3   0 0  x  2  x  5  x  2  x  5

3.



x2  6 x  5  x2  5x  6 x 1 0 0  x  2  x  5  x  2  x  5 298

МАТЕМАТИКА

 , 1  1, 2   2,5  5,    x 1 x2 x 5 R

+ +

-

+ +

+ + -

x   1, 2    5,   Одговор је б. 4. sin 2x  cos x  0  2sin x cos x  cos x  0

 cos x  2sin x  1  0  cos x  0  2sin x  1  0  cos x  0  sin x  x



 k

2 k , l, m  Z .



1 2

x

 6

 2l



x

5  2m , 6

Сва решења која припадају сегменту  0,   су она која се добијају за k  l  m  0 , а то су

  5

, , . 2 6 6   5 3    5 9 3    . Њихов збир је   2 6 6 6 6 2 Одговор је в. 2 x 2  3x  2  x  2 5.  2 x 2  3x  2  x 2  4 x  4   x x20  2

x20

x  2

  x  1  x  2  

x  2

 x  1  x  2. Одговор је б.

299

МАТЕМАТИКА x 2

x 4

6. 4 17  2  1  0  4 x  42  17  2 x  2 4  1  0 2 1 1   2 x    17  2 x   1  0 16 16   2 x   17  2 x  16  0 {2 x  t  0} 2

 t 2  17t  16  0  t1  1  t2  16  2 x  1  2 x  16  2 x  20  2 x  2 4  x  0  x  4. Одговор је б.

7. Тражена тачка је пресек кроз тачку A и дате праве . 3x  y  3  0   y  3x  3  y  3x  3 , 1 па је коефицијент правца нормале kn   . 3 Једначина нормале кроз тачку A је 1 y   1    x  2  , тј. 3 1 y  1    x  2 . 3 Тражена тачка је пресек правих 3x  y  3  0 , 1 y  1    x  2 . 3 1 Из друге једначине је y  1   x  2  , па заменом у првој 3 1 једначини добијамо 3x  1   x  2   3  0 3  9x  3  x  2  9  0  10 x  10  x  1. Сада је y  3   1  3  0 , па је B  1,0  . Одговор је б. 300

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 27

Решење неједначине

1. a) б) в) г)

2,    1, 2  5,    , 5

x 1 x  3 је скуп:  x 2 x 5

Не знам Одговор је б.

2. a) б) в) г)

  0, 6  0, 42  : 0, 01    8  1  7  . Израчунати  75 :    34    12,5 5 25  18 32 25 9 Не знам

Одговор је а. Збир свих решења једначине sin 2 x  cos x  0 за x  0,   је:

3.

 2 5 б) 2 3 в) 2 г) Не знам а)

Одговор је в. 301

МАТЕМАТИКА

Упростити израз

4.

4 1  7a 1  7a 1   ,a 2 49a  1 1  7a 1  7a 7

4 7a  1 4 б)  7a  1

a) 

в) 7a  1 г) Не знам Одговор је б. У аритметичком низу дато је a2  a5  a3  10 и a1  a6  17 Збир прва 33 члана износи: 3333 а) 2 б) 1650 в) 1617 г) Не знам 5.

Одговор је в

302

МАТЕМАТИКА

ТЕСТ 28 Решити једначину 2 x  1  x  1 .

1.

а) x  3 б) x  1  x  1 в) x  1  x  3 г) Не знам Одговор је в.

  a  b 2   a b  a 3  b3  3     : , a, b  0, a  b једнак је: 2. Израз   ab   b a  ab   а) a  b ab ab 1 1 в)  a b

б)

г) Не знам Одговор је б. Одредити x из једначине: log x  log 4  2 log 5  log 6  log15 .

3.

a) 40 б) 60 в) 30 г) Не знам Одговор је а.

303

МАТЕМАТИКА

Упростити израз

4.

sin  x  y   2sin x cos y . cos  x  y   2cos x cos y

a) tg  x  y  б) tg  x  y  в) ctg  x  y  г) Не знам Одговор је б. x3 2  . 3x  2 3 2 5   a) x   ,    ,   3 3    2 5 б) x   ,   3 3  2 5 в) x    ,   3 3 г) Не знам

5.

Решити неједначину

Одговор је в.

304

ЛИТЕРАТУРА 1. Ж. Ивановић, Л. Милин, Математископ: решени задаци из математике са пријемних и класификационих испита, Научна књига, Београд 1986. 2. Ј. Кечкић, Математика са збирком решених задатака за III разред гимназије, Научна књига, Београд; Завод за уџбенике, Нови Сад. 3. П. Младеновић, С. Огњановић, Припремни задаци за математичка такмичења, Друштво математичара Србије, Београд 1987. 4. С. Огњановић, Ж. Ивановић, Математика 1, Београд 2004. 5. С. Огњановић, Ж. Ивановић, Математика 2, Београд 2004. 6. С. Огњановић, Ж. Ивановић, Математика 3, Београд 2004. 7. С. Огњановић, Ж. Ивановић, Математика 4, Београд 2004. 8. В. Богославов, Збирка решених задатака из математике 1, Завод за уџбенике, Београд 2004. 9. В. Богославов, Збирка решених задатака из математике 2, Завод за уџбенике, Београд 2004. 10. В. Богославов, Збирка решених задатака из математике 3, Завод за уџбенике, Београд 2004. 11. И. Ковачевић, А. Савић, Увод у вишу математику, Виша електротехничка школа, Београд 2005. 12. М. Врзић, З. Мишковић, И. Ковачевић, А. Савић, Збирка решених задатака из математике за полагање пријемних испита у вишим школама, Виша електротехничка школа, Београд 2005.