Problema Relacionado Con La Dieta

PROBLEMA RELACIONADO CON LA DIETA Mi dieta requiere que todos los alimentos que ingiera pertenezcan a uno de los cuatro “grupos básicos de alimentos” (pastel de chocolate, helado de crema, bebidas carbonatadas y pastel de queso). Por ahora hay los siguientes cuatro alimentos: barras de chocolate, helados de crema de chocolate, bebida de cola y pastel de queso con piña. Cada barra de chocolate cuesta 50 centavos, cada bola de helado de crema de chocolate cuesta 20 centavos, cada botella de bebida de cola cuesta 30 centavos y cada rebanada de pastel de queso con piña cuesta 80 centavos. Todos los días debo ingerir por lo menos 500 calorías, 6 onzas de chocolate, 10 onzas de azúcar y 8 onzas de grasa. El contenido nutricional por unidad de cada alimento se proporciona en la tabla 2. Plantee un modelo de PL que se pueda utilizar para cumplir con mis necesidades nutricionales al mínimo costo. SOLUCION Como siempre, se empieza por establecer las decisiones que se deben tomar: cuanto de cada tipo de alimento se debe consumir por día. Por consiguiente, definimos las variables de decisión: X1=cantidad de barras de chocolate consumida al día X2=cantidad de bolas de helado de chocolate ingeridas al día X3=botellas de bebida de cola tomadas por día X4=rebanadas de pastel de queso con piña consumidas al día Mi objetivo es minimizar el costo de mi dieta. El costo total de cualquier dieta se podría determinar a partir de la siguiente relación: (Costo total de la dieta)= (costo de las barras de chocolate)+ (costo del helado de crema)+ (costo de la bebida de cola)+ (costo del pastel de queso) Para evaluar el costo total de la dieta obsérvese que, por ejemplo, Costo de la bebida de cola= (costo/botella de bebida de cola)*(botellas de bebida de cola consumidas) Costo de la bebida de cola=30*x3 Al aplicar el mismo razonamiento a los otros tres alimentos, se tiene (en centavos)

Costo total de la dieta=50*x1 + 20*x2 + 30*x3 + 80*x4 Por lo tanto, la función objetivo es: Min z=50*x1 + 20*x2 + 30*x3 + 80*x4 Las variables de decisión deben satisfacer las cuatros restricciones siguientes: Restricción 1: El consumo de calorías por día debe ser por lo menos de 500 calorías Restricción 2: El consumo diario de chocolate debe ser por lo menos de 6 onzas Restricción 3: La ingestión diaria de azúcar deber ser por lo menos de 10 onzas Restricción 4: El consumo diario de grasas debe ser de por lo menos 8 onzas Tabla 2 VALORES NUTRICIONALES DE LA DIETA Tipo de alimento Barra de chocolate Helado de crema de chocolate(1 bola) Bebida de cola(1 botella) Pastel de queso con piña (1 rebanada)

Calorías

Chocolate(Onzas) Azúcar(Onzas)

Grasa(Onzas)

400

3

2

2

200

2

2

4

150

0

4

1

500

0

4

5

Téngase en cuenta que: (Consumo diario de calorías)= (calorías en la barra de chocolate)+ (calorías en el helado de chocolate)+ (calorías en la bebida de cola)+ (calorías en el pastel de queso con piña)

Para expresar la restricción 1 en términos de las variables de decisión. Las calorías en las barras de chocolate consumidas se determinan a partir de: Calorías en las barras de chocolate= (calorías/barra de chocolate)* (barras de chocolate consumidas) Calorías en las barras de chocolate= 400*x1 Al aplicar un razonamiento similar a los otros tres alimentos se obtiene Consumo diaria de calorías =400*x1 + 200*x2 + 150*x3 + 500*x4 La restricción 1 se expresa mediante: 400*x1 + 200*x2 + 150*x3 + 500*x4 >= 500 La restricción 2 se expresa mediante: 3*x1 + 2*x2 >= 6 La restricción 3 se expresa mediante: 2*x1 + 2*x2 + 4*x3 + 4*x4 >= 10 La restricción 4 se expresa mediante: 2*x1 + 4*x2 + x3 + 5*x4 >= 8 Por último, se deben cumplir las restricciones del signo: xi >= 0 (i=1, 2, 3,4) Al combinar la función objetivo, las restricciones obtenemos:

Min z= 50*x1 + 20*x2 + 30*x3 + 80*x4 400*x1 + 200*x2 + 150*x3 + 500*x4 >= 500 3*x1 + 2*x2 >= 6 2*x1 + 2*x2 + 4*x3 + 4*x4 >= 10 2*x1 + 4*x2 + x3 + 5*x4 >= 8

La solución óptima para este PL usando el software LINGO es:

Podemos que la solución óptima es: X1=0 ;

X2=3 ;

X3=1 ;

X4=0 ; z=90

Por lo tanto, la dieta de costo mínimo cuesta al día 90 centavos si se toma 3 bolas de helado de crema de chocolate y se toma una botella de bebida de cola.