Procesos: Estrategia De

ESTRATEGIA EN ingeniería DE

PROCESOS D.

F.

Rudd

•

Ch.CWatson

estrategia

en ingeniería

de procesos

Libre

t¿^go,

Dale

Rudd

F.

Charles C.

Watson

Departamento de Ingeniería Química. Universidad de Wisconsin, Madison, Wlsconsin

estrategia

en ingeniería

de procesos Versión españolo de

José Costa López Catedrático de Química Técnica de lo Facultad de Ciencias Químicas de la Universidad de Barcelona

con

la

coíaboración de

José

L.

Sotelo

Profesor Agregodo de Ingeniería Química de lo Facultod de Ciencias Químicas de la Universidad Complutense de Madrid

TEMAS SELECTOS DE química

Ihambra

Edición original:

STRATEGY OF PROCESS ENGINEERING Authorized translation from English language edition published by John Wiley & Sons, Inc., New York.

©

Copyright 1968 by John Wiley & Sons, Inc. Al Rights Reservad. I

Primera edición española, 1976

©

EDITORIAL ALHAMBRA.

S. A.

R. E. 182

Madrid-I. Claudio Coello, 76

Delegaciones: Barcelona-8. Enrique Granados, 61 Bllbao-14. Doctor Albiñana, 12 La Coruña. Pasadizo de Pernas, 13 Málaga. La Regente, 5 Sevilla-12. Reina Mercedes, 35 Valencia-3. Cabiilers, 5

México Editia Mexicana, S. A. México-6, D.F. Lucerna, 84

Apartado 61

-

-

105

261

Rep. Argentina Editorial Siluetas, S. A.

Buenos Alres-1201. Bartolomé Mitre, 3745/49 Perú Editia Peruana, S. R. Ltda.

Lima. José Díaz, 208 n c

09140030

ISBN 84-205-0307-X

ISBN 471-74455-7, John Wiley & Sons, Nueva York, edición original. Depósito

legal:

Inc.,

M. 31145-1976

Impreso en España - Printed

Spain

in

Selecciones Gráficas

-

Carretera de Irún, km. 11,500 -Madrid (1976)

Al Departamento de Ingeniería Química de la Universidad de Wisconsin, con el deseo de que se mantenga su estimulante ambiente.

índice general

Capítulos

Páginas

Prólogo

xi

Introducción

1

1

Alcance de este a lo específico,

ciones finales,

PRIMERA PARTE

La

2

síntesis

í 5.

Una

tecnología arrolladora, 2. De lo primitivo Los obstáculos a lo largo del camino, 7. Observa-

libro, 1

1.

9.

— LA

CREACIÓN Y VALORACIÓN DE ALTERNATIVAS

de alternativas plausibles

La creación de alternativas, Los problemas específicos, alternativas,

20.

Observaciones finales, 35.

La estructura de Un sistema y

3

13

Definición del problema primitivo, 15. 17. Análisis y selección preliminar de las Fuentes habituales de información retrospectiva, 30. 13.

Bibliografía,

36.

Ejercicios,

37.

los sistemas

40

subsistemas, 40. Interacción de sistemas, 41. Grados de libertad en un sistema, 43. Grados de libertad de un cambiador de calor, 47. Inversión del flujo de información, 50. Un algoritmo de selección de variables de diseño, 53. Caldera de equilibrio, 58. Flujo de información a través de subsistemas, 59. Inversión del flujo de información del sistema, 63. Efectos estructurales de la selección de variables de diseño, 65. Recirculación persistente, 69. Cálculos de recirculación, 76.

4

]

sus

Conclusiones finales, 78. Bibliografía, 81. Ejercicios, 82.

Criterios económicos de diseño

94

Definición de los términos usados en estudios de rentabilidad, 95. El valor actual del dinero futuro, 100. Competencia por un capital, 102. Evolución de un criterio de diseño, 105. Cómputo del riesgo, 108. Diseño de un sistema de intercambio de calor, 110. Los efectos de la limitación del capital, 115. Colocación de aislamiento en una refinería, 118. Resumen de criterios industriales de diseño, 121. Estimación de la vida económica de un proceso, 122. Observaciones Introducción,

finales,

®

126.

94.

Bibliografía,

127.

Ejercicios,

128.

Estimación de costes

136

Introducción, 136. Estimación del inmovilizado necesario para los elementos principales del equipo, 139. Método de estimación factorial, 148. Inmovilizado para servicios auxiliares, 153. Estimación de Vil

índice general

VIH

Páginas

Capítulos

los costes de fabricación, 155. Ecuaciones de coste para la optimación, 162. Observaciones finales, 167. Bibliografía, 167. Ejercicios, 168.

SEGUNDA PARTE

6

— OPTIMACION

Investigación de las condiciones óptimas

179

Cálculo diferencial, 179. Necesidad de métodos de investigación, 181. Búsqueda del valor óptimo de una única variable de diseño, 182. Eliminación de regiones, 186. Investigación mediante la sección áurea, 189. Determinación del tiempo óptimo de operación en un proceso discontinuo, 191. Caso de funciones multimodales, 193. Investigación sobre múltiples variables de diseño, 194. Optimación de un sistema de refrigeración, 201. Observaciones finales, 209. Bibliografía,

7

Ejercicios,

210.

Programación

211.

220

lineal

Introducción, 220. Problemas de transporte, 221. Propiedad especial de los puntos extremos, 227. El algoritmo simplex, 229. Programación de una refinería de petróleo, 235. Observaciones finales, 240. Bibliografía,

8

Ejercicios,

241.

241.

Suboptimación de sistemas con estructura

247

acíclica

Principio de optimidad, 247. Programación dinámica-secuencia de suboptimaciones, 251. Distribución del disolvente en un sistema de extracción simple repetida, 256. Optimación de un sistema más complejo, 265. Comparación entre la investigación directa y la programación

dinámica, cicios,

9

280.

Observaciones

finales,

282.

Bibliografía,

283.

Ejer-

284.

Estrategias de optimación de macrosistemas

291

La búsqueda de una estrategia para macrosistemas, 292. Sensibilidad y problema dominante, 293. Ataque de estructuras acíclicas más complejas, 299. Estrategia de combinación de etapas, 303. Concepto de variable de estado cortante, 308. Resumen de las reglas empíricas, 311. Una aplicación de los métodos de optimación para macrosistemas, 314. Optimación de un proceso de fabricación de ácido sulfúrico, 318. Observaciones finales, 325. Bibliografía, 325. Ejercicios, 326.

10

Ataque a diversos niveles de problemas

Un

muy

complejos

de grandes sistemas, 329. El sistema y sus subsistemas, 331. Suboptimación y cooperación forzada entre los equipos, 333. Una aplicación del método de dos niveles, 336. Optimación de un proceso Thermofor de craqueo catalítico, 341. Sistema Symros para planificar las operaciones de varias refinerías, 347. Observaciones

dilema en

finales,

356.

el

estudio

Bibliografía,

356.

329

)

índice

general

IX

Capítulos

Páginas

TERCERA PARTE 11

Adaptación a

— INGENIERÍA

EN PRESENCIA DE INCERTIDUMBRE

los desarrollos futuros

Anticipación

futuro,

361

una demanda prevista lineal, 365. Demanda inicial no nula, 369. Adaptación a la demanda de fertilizantes en Islandia (1950), 371. Dimensionado de nuevas plantas químicas en una economía dinámica, 374. Sensibilidad paramétrica, 378. Un efecto curioso de la naturaleza humana, 380. Observaciones finales,

12

381.

al

Bibliografía,

Consideración de

la

361.

381.

A.daptación

Ejercicios,

a

382.

incertidumbre en los datos

387

Diseño de ingeniería conservativo, 387. Propagación de la incertidumbre, 391. El problema de la toma de decisión: un sencillo ejemplo, 399. El criterio del valor esperado, 405. Dimensionado de un lecho catalítico, 406. Sobredimensionado de una coliunna de destilación, 409. Diseño de un reactor agitado, 413. Un análisis del factor del

riesgo,

cicios,

13

418.

Consideraciones finales, 420.

Bibliografía,

422.

Ejer-

423.

Tolerancia a los fallos

428

Introducción, 428. Resultados catastróficos provocados por causas nimias, 429. Revisión preliminar del diagrama de flujo, 432. Seguridad en condiciones extremas, 438. Seguridad basada en una distribución adecuada, 445. Teoría de la confiabilidad, 448. Repetición óptima de un reactor intermedio, 450. Un ejemplo de una unidad de reserva redundante, 452. Estudios teóricos sobre la propagación de desastres, 454. Observaciones finales, 458. Bibliografía, 459. Ejercicios, 460.

14

Ingeniería en presencia de variaciones

466

La variabilidad, antagonista permanente, 466. Efecto del almacenamiento sobre un suministro pulsante, 469. Análisis mediante la teoría de colas, 474. Variaciones internas en un sistema, 481. Utilización económicamente óptima, 487. Adaptación a un simiinistro de energía variable, 487. Alimentación paramétrica de procesos, 491. Mezclado de cargas con variaciones de calidad al azar, 493. Suavización de variaciones escalonadas periódicas, 498. El tanque amortiguador continuo, 499. Observaciones finales, 502.

15

Bibliografía,

502.

Ejercicios,

503.

Simulación

511

Un

equilibrio entre la conveniencia y la realidad, 511. Simulación de un sistema de distribución de agua contra incendios, 512. El problema de atraque de petroleros en una refinería Esso, 516. Un problema de mezcla, 519. Simuladores industriales, 524. Teoría de la simulación de Monte Cario, 531. Lenguajes de simulación, 533. Bibliografía, 535. Ejercicios, 536.

índice de autores

541

índice de materias

544

PROLOGO

En la década de los años cincuenta se lograron grandes avances en los métodos de diseño y operación de procesos en ciertos sectores de la industria. Sin duda, puede asegurarse que en el futuro se continuarán haciendo nuevos progresos. Así, problemas de ingeniería de procesos, que hasta hace poco tiempo se consideraban insolubles, se tratan hoy de forma rutinaria como parte del trabajo habitual en la industria de procesos, mejorando así en gran manera su eficiencia. Prácticamente todas las actividades del ingeniero de procesos se han examinado con sentido crítico, tratando de desarrollar continuamente nuevas estrategias. Un ejemplo evidente de los beneficios que pueden obtenerse si se logra conjugar con éxito la teoría y la práctica lo constituye el problema de la determinación de las condiciones óptiynas de operación de una refinería de petróleo, problema que hace tan sólo algunos años era irresoluble. La introducción de la teoría de la programación lineal facilitó los medios para su solución de tal manera que en la actualidad prácticajnente todas las refinerías se optiynan parcialmente mediante programas lineales. De este modo, el advenimiento de esta útil teoría ha alterado y claríficado nuestra manera de pensar. Esta es una pequeña muestra de la multitud de procedimientos de la ingeniería de procesos que han sido ampliamente mejorados en los últimos años. En este texto intentaremos presentar una introducción equilibrada a la Estrategia de la Ingeniería de Procesos, proporcionando por una parte una visión industrial práctica y por otra los fundamentos de los procediynientos para mejorar las situaciones reales. De esta forma, el libro será útil tanto para el estudiante de ingeniería, al que servirá como punto de partida en su iniciación industrial, como al ingeniero experimentado, para continuar su formación. Los capítidos del libro se dividen en tres partes, que cubren los tres tipos principales de problemas de ingeniería de procesos. La primera parte. La creación y valoración de alternativas, considera todos los tópicos relacionados con la transformación de un problema de proceso vagamente definido en esquemas concretos que pueden perfeccionarse posteriormente hasta convertirse en eficaces sistemas comerciaXI

PROLOGO

XII

les.

La segunda

parte, Optimación, explica los

métodos existentes para

ajustar el diseño de un sistema específico a su modo de operación más eficaz. Por último, la tercera parte. Ingeniería en presencia de incertidumbre, desarrolla los procedimientos disponibles para adaptarse

a la persistente falta de la información necesaria para llegar al diseño óptimo. Durante los cinco años invertidos en la preparación de esta obra, que incluyeron la elaboración de unas notas de clase con el mismo título en agosto de 1966, se ha mantenido un estrecho contacto con ingenieros dedicados tanto a la enseñanza como a la práctica industrial, con el fin de disponer de un material útil en los aspectos pedagógico y profesional. El texto fue utilizado en diversas fases de su desarrollo en clases universitarias por los profesores:

WooDS, Universidad de McMaster, Lederman, Instituto Politécnico de Brooklyn, M. C. MoLSTAD, Universidad de Pennsylvania, Estado de Nueva York, J. A. Bergantz, Universidad del D. R.

P.

B,

Buffalo, y G. H. Geiger, Departamento de Minerales e Ingeniería de Metales de la Universidad de Wisconsin.

También lo hemos utilizado personalmente durante varios años en cursos para graduados sobre Diseño y Aspectos Avanzados de Ingeniería Química. La

relación con la industria se mantuvo, por

una

parte,

a través de

cursos de corta duración impartidos a las secciones de diseño de procesos de las siguientes compañías:

The Union Carbide Corporation, The Humble OH and Refining Company, Esso Research and Engineering, y Mobil Research and Development Corporation. Asimismo, también se efectuaron otros contactos de carácter más informal; en tal sentido deseamos agradecer las valiosas sugerencias hechas por A. H. Masso, J. W. Hackney, R. D. Stief, R. C. WahrMUND, A. S. Foss, C. J. KiNG, P. T. Shannon, L. B. Koppel, G. L. Glahn. N. Cart y W. N. Zartman. Tal vez la audiencia más numerosa de este texto se ha encontrado en el tradicional curso de diseño avanzado. Los alumnos lo utilizaron como base de operaciones para atacar problemas prácticos de diseño, consiguiendo de este modo a?npliar sus conocimientos en el campo de la estrategia de la ingeniería de procesos. Así, el curso se orientó E.

PROLOGO

XIII

como un

laboratorio de diseño, asignándose a cada estudiante como trabajo el proyecto completo de pequeños sistemas de proceso. Durante el desarrollo del curso se realizaban frecuentes comentarios sobre los distintos capítulos, a medida que los alumnos encontraban los aspectos relacionados con los mismos en su labor. Sin embargo, el libro tainbién podría utilizarse como introducción previa a un Qurso de proyectos. Los pequeños problemas propuestos al final de cada capítulo tienen esta finalidad. En cuanto a los ingenieros que desarrollen su actividad en la industria, y que por tanto no requieren una introducción formal a los problejnas industriales reales, y a los graduados que deseen iniciarse por sí mismos en la estrategia de la ingeniería de procesos, es aconsejable que sigan el texto simultaneando la lectura con la realización

de los

ejercicios.

Por último, consideramos que en su forma actual esta obra permitirá en el futuro al estudiante iniciarse en la ingeniería de procesos, aunque, indudablemente, se conseguirán nuevos avances en este campo.

Dale F. Rudd Charles C. Watson.

CAPITULO

INTRODUCCIÓN

Este primer capítulo constituye una introducción

al

campo de

la

ingeniería de procesos y proporciona una visión de conjunto del resto de esta obra. El ingeniero de procesos tiene la responsabilidad de crear

sistemas de proceso que transformen económicamente materias primas, energía y experiencia («know-how») en productos útiles. Se describirán los problemas que se presentan durante el diseño de sistemas de proceso comerciales y se discutirán los razonamientos necesarios para su solución óptima.

Problema

típico

Existe una demanda mensual de varios cientos de miles de kilogramos de fenobarbital para utilizar como sedante. ¿Cómo puede desarrollar un grupo de diseño las especificaciones para un proceso rentable de fabricación de este producto? Este es el tipo de problemas que atrae la atención del ingeniero de procesos.

1.1.

ALCANCE DE ESTE LIBRO

Nos proponemos examinar los métodos que conducen a la creación de sistemas de proceso comerciales. Esta actividad es una de las más responsables y competitivas en la industria, y la salud económica de una parte importante de nuestra sociedad depende de la habilidad del diseñador de procesos. Un sistema de proceso es una instalación que efectúa la transformación de materias mediante reacciones químicas, cambios de fase, calefacción y enfriamiento, aglomeraciones, reducciones de tamaño, separaciones, extracciones, combustiones, etc. Por ejemplo, por medio de sistemas de proceso adecuadamente diseñados se puede:

agua y energía eléctrica en fertilizantes. b) Fabricar ácido sulfúrico a partir de azufre, aire y agua para satisfacer las necesidades de la industria. a)

Transformar

aire,

INTRODUCCIÓN

c) Refinar crudos de petróleo y obtener así muchos productos que nuestra sociedad moderna demanda. d) Extraer magnesio en forma rentable del agua de mar. Producir en grandes cantidades vacuna antipoliomielítica. e) f)

Obtener acero inoxidable a partir de restos de acero y otros

materiales.

Los sistemas de proceso constituyen la columna vertebral de nuessociedad industrial moderna. Aproximadamente la mitad de las quinientas mayores compañías de Estados Unidos comercian con algún tipo de proceso. La compañía Du Pont, una de las mayores de la industria química, suministra menos del 8 por 100 del mercado químico, y, no obstante, tiene ventas anuales que se expresan en miles de millones de dólares. Que la sociedad moderna depende de la producción de sistemas de proceso resulta evidente sin más que considerar que el norteamericano medio consume anualmente, en forma de alimentos, productos farmacéuticos, fibras, fertilizantes y otros productos manufacturados cerca de 30 kg de amoniaco, 30 kg de sosa cáustica, 40 kg de cloro y 100 kg de ácido sulfúrico. Se ha dicho también que el 20 por 100 del producto nacional bruto puede atribuirse a aquella parte de la ingeniería de procesos que implica fenómenos catalíticos. El creador y conservador de los sistemas de proceso que sostienen este gran sector de nuestra economía es, en la mayoría de las ocasiones, el ingeniero químico o metalúrgico. Tan pronto como se prevé la necesidad de un proceso, éste debe iniciar su trabajo, siendo tra

responsable de la preparación de las especificaciones completas para un sistema de fabricación que sea capaz de satisfacer lo más económicamente posible aquella necesidad. Un ingeniero de diseño hábil puede necesitar solamente una semana para diseñar un pequeño sistema de procesos, mientras que un equipo de ingenieros puede invertir un año para diseñar un gran sistema, por ejemplo, para la fabricación de un nuevo plástico. En ambos casos, prescindiendo del tamaño del sistema a diseñar, el mecanismo mental para su desarrollo es similar.

1.2.

UNA tecnología ARROLLADORA

El ingeniero de procesos se encuentra situado entre una tecnología arrolladora y una obsolescencia económica. En efecto, los sistemas son perecederos, por lo que el tiempo tiene un papel importante en la determinación de su éxito. Por un lado, si la etapa de planificación

UNA tecnología ARROLLADA

de un proceso resulta excesivamente larga, éste quedará anticuado antes de que alcance la etapa de producción, y la necesidad para la que fue diseñado puede haber sido satisfecha por algún otro procedimiento o por un competidor. Por otro, un proceso diseñado apresuradamente puede no ser capaz de satisfacer la necesidad o puede no ser lo suficientemente eficaz para sobrevivir a la competencia económica. Esta posición peculiar en la que se encuentra el diseñador de procesos determina los métodos y conocimientos útiles para que pueda desarrollar con éxito su actividad. La presión constante para obtener beneficios de los avances de la ciencia en forma de nueva tecnología y nuevos productos obliga al ingeniero a trabajar por delante de las ciencias básicas. Por ejemplo, los procesos para recuperación de magnesio del agua de mar se diseñaron y se pusieron en marcha en forma rentable bastante antes de que se conociesen todos los detalles científicos de los fenómenos que tienen lugar en ellos. Tal situación obliga al ingeniero a aceptar los riesgos asociados con una información inadecuada o incompleta. El deseo de reducir el tiempo que ha de transcurrir entre el descubrimiento inicial en una investigación y su comercialización es enorme, puesto que simplemente el ahorro de un año puede producir beneficios que se miden en millones de dólares. La figura 1 muestra la evolución con el tiempo de la comercialización de un proceso para la fabricación de «Kapton», película poliimídica utilizada para aislamientos eléctricos, ropa incombustible, circuitos impresos, cintas magnéticas y sensibles a la presión, y otros productos especiales. No habían transcurrido aún cinco años desde que «Kapton» fuera desarrollado en el laboratorio cuando se puso en marcha el primer proceso comercial. Para completar este rápido programa fue necesario iniciar el desarrollo y diseño del proceso bastante antes de que se evaluase el mercado potencial, e incluso antes de que el producto estuviese completamente acabado. El proceso mismo hubo de diseñarse parcialmente antes de que se determinase totalmente el sistema que se iba a utilizar, y la construcción de la planta comenzó cuando el proceso sólo estaba parcialmente diseñado. Si cada uno de estos pasos no se hubiese iniciado hasta que toda la información necesaria hubiera estado disponible, la escala de tiempo se habría alargado desde poco menos de cinco años a algo más de nueve. Esto habría costado al fabricante millones de dólares en pérdidas de beneficios y al consumidor inconvenientes por la falta del producto. La posibilidad de tales resultados beneficiosos en un proyecto de ingeniería motiva precisamente el estudio de la estrategia de la ingeniería de procesos. Parece que esta componente de incertidumbre, acoplada con la responsabilidad social por todas las consecuencias del sistema proINGENIERIA DE PROCESOS.

2

INTRODUCCIÓN

puesto, es una condición normal o sistemática de la ingeniería. Además, es previsible que esta condición persista indefinidamente, pues está causada por la impaciencia del hombre y por su inclinación a emprender rápidamente la aplicación de sus descubrimientos.

100

Construcción

1959 FiG.

1.

1960

Desarrollo

«Kapton»,

película

1961

con

el

1962

tiempo

poliimídica

(de

Nemours and

el

al

1964

1963

1966

1965

de un proceso para la manufactura «This Is Du Pont», E. I. Du Pont

de

De

Co., 1966).

La estrategia de la ingeniería de procesos ayuda a utilizar mejor escaso tiempo disponible durante el diseño de un proceso y ayuda ingeniero a tomar decisiones críticas basadas en una información

limitada.

La ingeniería de procesos continúa actuando una vez que se ha el diseño y la construcción de una nueva planta; puesta

completado en marcha

ésta,

los ingenieros de proceso

destinados en

el

departa-

mento de operación, o asignados como consultores por un grupo de servicio técnico, realizan un programa de ajuste del proceso para asegurar las mejores condiciones de operación Tales ajustes implican normalmente el rediseño de partes del mismo para mejorar la calidad y la cantidad de la producción. Por tanto, muchas de las estrategias de la ingeniería de procesos son aplicables tanto en producción como

en diseño.

DE LO PRIMITIVO A LO ESPECIFICO

DE LO PRIMITIVO A LO ESPECIFICO

1.3.

Una

vez descrito

ambiente en que

el ingeniero debe trabajar, que conducen a la creación de un sistema de procesos. En el apartado 1.4 se examinarán los obstáculos que impiden la creación de un sistema óptimo, y el resto del texto tratará de las formas y medios de salvar estos obstáculos. Cada sistema de procesos empieza como un problema primitivo. Un problema primitivo es la declaración de una necesidad definida vagamente, tal como: el

se esquematizarán los procesos mentales

Existe una necesidad local de oxígeno. el valle del Atlo Mississippi hay escasez de fertilizante nitrogenado. El coste del hidrógeno es demasiado elevado en nuestra planta. Los gases salientes por la chimenea de la planta de vapor contaminan la atmósfera. ¿Qué se puede hacer con todo este azufre? El mineral de hierro de Wisconsin, abundante pero de baja concentración, requiere un tratamiento antes de que pueda utilizarse en

En

una

acería.

arenas bituminosas de Athabasca constituyen una enorme fuente de hidrocarburos si se pudiesen beneficiar económicamente *.

Las

Estos problemas primitivos pueden considerarse como expresiones del vacío existente entre las materias primas disponibles, la energía y la experiencia («know-how») y las necesidades locales de la sociedad.

En un

intento de llenar este vacío,

ginal.

En

Por ejemplo, el

valle

el

el

pueda satisfacer problema primitivo:

específicos cuya solución

ingeniero busca problemas problema primitivo ori-

el

del Alto Mississippi hay una carestía de fertilizante

nitrogenado.

puede resolverse mediante

la

solución de los problemas específicos:

Diseñar un sistema de procesos para sintetizar nitrato amónico y urea en forma granular en el norte de Illinois. Enviar amoniaco líquido desde un complejo químico de fabricación en la costa del Golfo hasta el río Mississippi, y almacenar el amoniaco * Véase: 42-43 (1967).

«Tar Sands Yield to Technology», Chem. Eng. Progr.,

11,

63,

INTRODUCCIÓN

en un tanque especialmente diseñado para su distribución posterior a la comunidad agrícola. Convertir el amoniaco expedido desde la costa del Golfo en urea o nitrato amónico para disponer del fertilizante en una forma sólida en lugar del amoniaco puro licuado. En vez de almacenar el amoniaco líquido, que hierve a — 33,3 °C a presión atmosférica, diseñar un sistema que convierta el amoniaco en una solución acuosa que se aplique directamente como fertilizante líquido. ellos, o de muchos otros problemas puede satisfacer la necesidad local de fertilizante nitrogenado. Sin embargo, el ingeniero debe saber cuál de estos problemas específicos, resuelto, satisfará mejor el problema primitivo. En esto consiste el dilema básico de la ingeniería de procesos. ¿Cómo se puede saber que se ha creado el mejor problema específico? ¿Cómo se puede asegurar que se está considerando el problema específico adecuado durante el diseño del proceso? Saber cómo crear el problema adecuado a resolver es tan importante como ser capaz de hallar su solución y, en muchas situaciones, incluso más. Esta síntesis de problemas alternativos plausibles es el primero y más crítico paso que el ingeniero da hacia la solución de un problema primitivo. Las alternativas se seleccionan entonces cuidadosamente, quedando sólo aquellos problemas específicos más prometedores. En áreas bien establecidas de la tecnología, puede disponerse en el mercado de soluciones a problemas específicos de procesos. Diseños para procesos normalizados tales como la manufactura de ácido sulfúrico, amoniaco, gases inertes, vapor y agua desionizada, por citar algunos, están disponibles sin más que establecer el correspondiente contrato con el vendedor de la licencia. Estos procesos disponibles en el mercado pueden considerarse como elementos de la tecnología actual, que junto con las bombas, cambiadores de calor, compresores, columnas de destilación, etc, constituyen los componentes que el ingeniero de procesos utiliza para construir la solución a un problema de procesos específico. Un sistema puede formarse con estos componentes, ensamblados por el ingeniero para resolver lo mejor posible el problema específico. Una vez sintetizado el concepto de un sistema, queda entonces la tarea no menos compleja de establecer el detalle del diseño que proporcionará una fabricación segura y económica. Las herramientas a utilizar son las de las ciencias de la ingeniería, la economía y las matemáticas. Los balances de materia y energía establecen las necesidades de materias primas, energía, agua de refrigeración, etc., para

La solución de cualquiera de

específicos,

LOS OBSTÁCULOS A LO LARGO DEL CAMINO

el proceso. La termodinámica proporciona la solución de los problemas de equilibrios líquido-vapor y químico, y la de los de compresión y licuefacción entre otros. Los principios de las operaciones básicas y de los fenómenos de transporte se emplean para calcular de forma precisa elementos del proceso, en tanto que los métodos del control y dinámica de procesos aseguran su buen funcionamiento. El ingeniero debe apoyarse así en una amplia variedad de campos del conocimiento, bien a través de su propia competencia o mediante consulta con expertos, para materializar el problema específico en una solución

concreta.

Resultan entonces las especificaciones detalladas de un sistema de procesos, que se espera proporcionarán una solución satisfactoria al problema primitivo. Los ingenieros que hicieron el diseño de un proceso se contratan con frecuencia para supervisar la construcción, puesta en marcha y funcionamiento, aprovechando así íntimo del proceso que solamente ellos poseen.

1.4.

el

conocimiento

LOS OBSTÁCULOS A LO LARGO DEL CAMINO

Se ha esquematizado brevemente el desarrollo de una solución a un problema de procesos primitivo; si no existiesen grandes obstáculos a lo largo del camino hacia el sistema óptimo, no habría necesidad de considerar un estudio serio de la estrategia de la ingeniería de procesos. Sin embargo, pueden aparecer situaciones sumamente complejas, de tal modo que la aplicación directa y no planificada de los principios de la ciencia, economía y matemáticas a los problemas de procesos conducirá a dificultades innecesarias. Un examen de los obstáculos con los que el ingeniero debe competir permite ver que ciertas facultades concretas adquieren gran valor; así ocurre, por ejemplo, con la capacidad para realizar la síntesis, análisis u optimación de un proceso o para tomar una decisión frente a la incertidumbre. Todas ellas deben formar parte de la habilidad de un buen ingeniero.

La creación y valoración de

alternativas (primera parte). Para salobstáculo de la falta de problemas específicos que resolver, es preciso un elevado grado de habilidad inventiva y creadora. La necesidad de sintetizar nuevas situaciones y valorar rápidamente su potencial aparece en todas las fases de la ingeniería de procesos. La capacidad para ello se consigue mediante la experiencia en la resolución de problemas, de la misma forma que la habilidad física, por

var

el serio

ejemplo, para jugar

al

tenis,

se

puede desarrollar mediante instruc-

INTRODUCCIÓN

acondicionamiento y práctica, es decir, mediante un entrenamiento completo. ción,

Optimación (segunda parte). Un cálculo sencillo pone de maniproblemas que aparecen cuando un ingeniero intenta ajustar el diseño de un proceso a su forma más económica. Supóngase que se pueden modificar diez variables para lograr la economía de las operaciones; por ejemplo, las variables pueden ser el número de pisos de una columna de destilación, el área de una superficie de transmisión de calor, o el tiempo de residencia en un reactor. Además, supóngase que el ingeniero desea seleccionar uno entre diez valores posibles para cada variable. Existen un total de 10'° combinaciones diferentes de los valores de estas diez variables de diseño; el problema de encontrar el diseño óptimo es abrumador. Incluso un ordenador de elevada velocidad sería de poca utilidad si se sigue un método al azar, ya que aun cuando pudiese evaluar las alternativas a la velocidad de un diseño por segundo, precisaría 10'° seg, es decir, del orden de ¡trescientos años! para completar el cálculo. Un proceso industrial, como una refinería de petróleo, puede implicar problemas de optimación mucho más complejos que este ejemplo. Los métodos de optimación proporcionan medios eficaces y sistemáticos para salvar el enorme obstáculo de un número abrumador de fiesto los serios

alternativas.

Ingeniería en presencia de incertidumbre (tercera parte). Aun cuando en muchos casos puede sintetizarse el concepto de proceso óptimo y establecerse un método para efectuar su diseño, generalmente es imposible llegar directamente a él. Existen grandes vacíos en la información requerida para establecer el diseño óptimo. Así, por ejemplo, surgen incógnitas como: ¿Aparecerán cambios futuros en la eco-

nomía y en enormemente

la la

demanda de

los

servicios

del proceso,

utilidad del diseño propuesto?

;

reduciéndose

¿cómo puede

efec-

tuarse el diseño de un componente como una columna de destilación, por ejemplo, cuando los datos disponibles sobre eficacias de piso pue¿qué le ocurre al proceso si, den tener un error del 20 por 100? por azar, se opera inadecuadamente o si estalla un recipiente a presión?; ¿qué influencia tendrá la llegada irregular de materias primas ;

proceso? El ingeniero debe procurar que el sistema posea algún grado de inmunidad respecto a factores que son imprevisibles o sobre los que no dispone de suficiente información. al

OBSERVACIONES FINALES

1.5.

En

OBSERVACIONES FINALES

examinarán los tipos de razonamiento para salvar los tres obstáculos discutidos en el apartado 1.4, Algunos de los métodos que se tratarán están muy organizados y bien desarrollados, como aquéllos que tienen sus orígenes en la teoría matemática de la optimación. Otras áreas están definidas con menor nitidez y se traducen en procedimientos rudimentarios, que requieren más de la intuición que del rigor científico; la síntesis inicial del problema es un buen ejemplo de ello. Otras áreas están todavía en un estado de transición entre lo empírico y lo científico, como la seguridad de procesos y el diseño con datos incompletos. El que esta variedad heterogénea de conocimientos deba definirse para resolver los problemas de la ingeniería de procesos atestigua la naturaleza dinámica y vital de este campo de la ingeniería. Para terminar este capítulo de introducción, debe señalarse que nuestra atención se centrará más sobre las formas de razonamiento que pueden conducir a planes de acción, que en los medios para desarrollarlos. Por ejemplo, un problema de ejecución de un plan de acción puede ser el diseño de un condensador para licuar el 20 por 100 de una corriente gaseosa de un hidrocarburo. En este caso nuestra atención se centrará en el problema de determinar si la licuefacción del 20 por 100 de la corriente de vapor es el plan de acción óptimo a ejecutar. El desarrollo de un plan bien definido cae dentro del dominio del diseño de equipo de proceso, materia sobre la que se ha escrito mucho y sobre la que en esta obra no se pretende insistir. los capítulos siguientes se

requeridos

PRIMERA PARTE

LA CREACIÓN Y VALORACIÓN DE ALTERNATIVAS

Esta primera parte está constituida por una serie de cuatro capítulos en los se analizan las actividades mentales que conducen a la creación de procesos específicos.

que

Capítulo 2. La síntesis de alternativas plausibles trata de las habilidades sobre las que debe apoyarse toda la ingeniería. Las ciencias de la ingeniería sólo tienen utilidad en problemas bien definidos, por lo que la creación de problemas adecuados ha de ser el primer paso para su planteamien-

creativas

to y resolución.

Capítulo 3. La estructura de los sistemas trata la identificación de los grados de libertad que existen en un proceso propuesto. Un examen cuidadoso de la estructura del problema puede facilitar enormemente su valoración. Capítulo 4. Criterios económicos de diseño contiene los principios económicos que permiten al ingeniero utilizar inteligentemente los grados de libertad de un diseño dado con objeto de obtener el proceso más útil. En tal sentido se tratará

con detenimiento

lo

que

significa el proceso

más

útil.

Capítulo 5. Estimación de costes establece la conexión entre los detalles técnicos del sistema propuesto y los criterios económicos de diseño que definen los objetivos

que

se

desean alcanzar.

CAPITULO

LA síntesis de ALTERNATIVAS PLAUSIBLES

La etapa más importante en la ingeniería de procesos, la creación de alternativas de procesos plausibles, es precisamente aquella sobre la que sólo pueden ofrecerse directrices difusas al que se inicia en ella, de tal modo que el ingeniero debe confiar en gran parte en sus propias habilidades creativas y experiencia práctica. Dado un problema primitivo, ha de crear varios problemas específicos cuya solución sea una respuesta satisfactoria al mismo. Este paso inicial es de importancia fundamental, puesto que los métodos de análisis de la ingeniería y de la optimación sólo pueden manipular esquemas de procesos definidos. Se debe tener la seguridad de que las alternativas de procesos específicos creadas pueden transformar el problema primitivo en una solución práctica.

Problema

típico

Existe una necesidad local de 10 000 ton de nitrato amónico en forma de disolución para fines agrícolas. ¿Cómo pueden crearse algunos métodos plausibles que satisfagan el problema primitivo, como un primer paso hacia la ingeniería de un sistema comercial?

2.1.

Una

LA CREACIÓN DE ALTERNATIVAS

receta para asar

mapache de un

libro

Inglaterra empieza con el característico sentido

de cocina de Nueva

común yanqui:

«Pri-

mero coger un mapache.» El ingeniero de procesos se encuentra frente a una situación similar cuando se aventura en campos para los que no hay establecida una tecnología o en los que sospecha que la existente no es la mejor alternativa para la solución de su problema de procesos. En esta situación, el ingeniero, en primer lugar, debe «coger» un sistema de procesos. La síntesis de alternativas de procesos nuevos y originales requiere habilidades creativas e inventivas que no se pueden conseguir mediante el solo estudio de la ciencia y las matemáticas. No obstante, aunque 13

14

LA síntesis de ALTERNATIVAS PLAUSIBLES

suficiente, es necesario un conocimiento de estos campos análogos. Estas dotes creativas se adquieren o, como mínimo, se desarrollan mediante la práctica. Por esta razón es importante que el que se inicia en la ingeniería de procesos se ejercite en una variedad de problemas prácticos, como los que se incluyen al final de este capítulo. Sin embargo, deberá tenerse en cuenta que las ideas útiles sólo pueden provenir de mentes bien preparadas, y que incluso el ingeniero experimentado deberá practicar antes de intentar crear alternativas

no

Recepción

del

problema primitivo

Retroalimentación correctiva

consecuencia de la comparación inicial de hecho

-

Retroalimentación correctiva >- consecuencia de los estudios previos

Problemas específicos más prometedores

-

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA PRIMITIVO

15

plausibles para la solución de un nuevo problema. La bibliografía contiene información abundante que, combinada con la información privada disponible en un grupo científico o de ingeniería y con el entrenamiento profesional del ingeniero, proporciona la base para estas incursiones creativas. En este capítulo se intenta proporcionar al lector que se inicia en la ingeniería de procesos algunos de los conceptos sobre los que puede empezar a construir su propia experiencia en la creación de alternativas plausibles.

Las etapas a seguir,

tal

como

se indica en la figura

2,

son:

Definición del problema primitivo. Se establece cuál es la necesidad que precisa la atención del ingeniero.

Reunión de hechos ajiálogos. Se revisa la situación junto con otras directamente relacionadas, y se obtiene la pertinente información científica, técnica y comercial. Creación de problemas específicos. Se proyectan diversos probleespecíficos cuya solución puede satisfacer el problema primitivo.

mas

Análisis de los problemas específicos. Se ensayan los problemas específicos propuestos respecto a defectos manifiestos sobre su lógica, coste y seguridad.

Realización de una solución. Se realiza la selección detallada del equipo y se determinan las condiciones de operación requeridas para obtener una solución óptima de los problemas específicos más prometedores.

2.2.

DEFINICIÓN DEL PROBLEMA PRIMITIVO

Los problemas asignados a un ingeniero de procesos rara vez tola forma de un sistema de proceso específico listo para ser diseñado. Por el contrario, es frecuente que se presenten como una manifestación poco definida de una necesidad, a la que denominaremos problema primitivo. A continuación se examina la naturaleza de un problema primitivo típico, mostrando cómo debe alterarse y redefinirse cuando el ingeniero intenta, con la cooperación del equipo en que se integra, determinar los problemas de ingeniería específicos adecuados sobre los que localizar la atención. Considérese el siguiente problema primitivo. En cierta zona se prevé una expansión local de la actividad agrícola, que sugiere un mercado potencial para los productos químicos relacionados con ella. Evidentemente, éste es un problema de ingeniería poco definido y pri-

man

LA síntesis de ALTERNATIVAS PLAUSIBLES

jg

y deben reunirse hechos análogos para definir el problema estudio detallado de las circunstancias que rodean este problema, se podría quizá formular el siguiente problema primitivo modificado. Se prevé una necesidad local de 10 000 ton por año de fertilizante nitrogenado; se dispone ya de los componentes potásicos y fosforados de un fertilizante bien equilibrado en forma de solución acuosa. Estudios posteriores del problema primitivo pueden conducir a la siguiente modificación. Debe emprenderse una investigación de los métodos de producción de 10 000 ton por año de nitrógeno en forma de disolución acuosa de nitrato amónico, para mezclarlo con las disoluciones de fertilizantes ya existentes. Estas modificaciones del problema primitivo normalmente tienen lugar cuando el grupo de ingeniería intenta conjugar sus ideas con las necesidades de la sociedad. Si ello parece viable y práctico, entonces se han creado problemas de ingeniería específicos. Los procesos ideados que originan una redefinición del problema primitivo corresponden al primer trazo de retroalimentación en la figura 2. Esta clase de actividad mental puede producirse durante las reuniones con la dirección técnica del grupo de ingenieros, con los directores comercial y técnico de la compañía, receptora en potencia de los servicios de ingeniería, y con otras personas que puedan poseer conocimientos especiales adecuados. Debe tratar de adquirirse la siguiente información: mitivo,

más claramente. Después de un

Las circunstancias peculiares que rodean al problema primiexiste un problema general de ingeniería de procesos al que pueda aplicarse una solución normalizada. Cada problema está rodeado por circunstancias peculiares que deben sopesarse y utilizarse, si bien con frecuencia pueden quedar ignoradas por un observador poco meticuloso. Deben conocerse las razones exactas del origen del problema 1.

tivo.

No

primitivo y las modificaciones permitidas para conseguir la definición de una solución satisfactoria. Es preciso determinar la disponibilidad de agua, energía, terreno, materias primas y talento humano, así como valorar la capacidad del sistema local del transporte de carreteras, ferrocarriles, barcazas, etc., y las especificaciones locales de seguridad

y contaminación. Deben explorarse los mercados posibles para subproductos, ya que con frecuencia un proceso que satisface una necesidad particular se financia parcialmente mediante la venta de energía o subproductos. Además, ha de conocerse la estructura económica general en la que se integrará el proceso en cuestión, y deben predecirse, en la medida de lo posible, las tendencias evolutivas de la misma.

LOS PROBLEMAS ESPECÍFICOS

X7

2. Información técnica. Debe disponerse de las propiedades químicas y físicas de todos los materiales que pueden intervenir en la solución del problema primitivo. Debe prestarse atención particular a las transformaciones químicas y físicas que experimentan aquéllos, ya que constituyen la base de los procesos y pueden dar origen incluso a accidentes mediante la generación de materias tóxicas o explosivas. También es preciso familiarizarse con el equipo y los procesos convencionales disponibles en el mercado para llevar a cabo estas transformaciones. Si ha de desarrollarse una nueva tecnología, no se dispondrá con frecuencia de los datos químicos y físicos; muchas veces estos datos pueden estimarse con precisión suficiente mediante correlaciones generales o métodos de predicción (se discutirán en el apartado 2.5).

2.3.

LOS PROBLEMAS ESPECÍFICOS

Con toda esta información, el ingeniero empieza a trazarse un plan de acción y se crea una variedad de problemas específicos cuyas soluciones podrían resolver plausiblemente el problema primitivo. El éxito de un proyecto de ingeniería depende críticamente de la calidad y variedad de los problemas específicos creados. continuación se exponen varias alternativas de los problemas específicos plausibles para el problema primitivo del fertilizante.

A

Alternativa 1. Puede comprarse la disolución de nitrato amónico a cualquier centro de fabricación distante y enviarla a un lugar próximo al centro agrícola, donde se acumularía para su distribución local. En este caso el problema se reduciría al diseño de los depósitos necesarios para almacenar la disolución. Si los problemas de transporte

y almacenaje encuentran una solución económica, podría resolverse de esta forma el problema primitivo. Alternativa 2. En lugar de pagar los costes de envío del agua contenida en la disolución, puede comprarse el nitrato amónico sólido y diseñar un almacén y un dispositivo para disolverlo y preparar la disolución, utilizando fuentes de agua y energía locales.

Se ha observado que se dispone de un suminisPor tanto, quizá se podría comprar amoniaco a alguna empresa y enviarlo en camiones cisterna a una planta próxima al lugar de consumo, donde se haría reaccionar con el ácido nítrico, ajustándose a continuación la concentración de la solución resultante a la calidad deseada. Alternativa

3.

tro local de ácido nítrico.

LA síntesis DE ALTERNATIVAS PLAUSIBLES

18

Alternativa 4. Desarrollando la alternativa 3, podría lograrse un considerable ahorro de capital inmovilizado si la reacción entre el amoniaco y el ácido nítrico se realiza en los mismos camiones cisterna que se utilizan para transportar estas materias primas. Por ejemplo, se puede bombear lentamente el amoniaco desde su camión cisterna al que contiene el ácido nítrico, diseñándose algún tipo de cambiador de calor para eliminar los calores de disolución y partir de un camión cisterna de amoniaco y uno de ácido reacción. nítrico, se obtendrían, listos para su envío, dos camiones cisterna

A

de cer

fertilizante. Si esta alternativa es

técnicamente posible, puede ofre-

ventajas económicas.

Alternativa 5. Puede existir una demanda suficiente de amoniaco para justificar la instalación de una planta que lo produzca para hacerlo reaccionar con el ácido nítrico disponible y para vender el amoniaco sobrante, también para su uso como fertilizante. Existen procesos disponibles para la fabricación de amoniaco a partir de nitrógeno e hidrógeno; por ello, el diseño de procesos para separar nitrógeno del aire y para obtener hidrógeno a partir de agua, o de algún hidrocarburo como el metano, probablemente formaría parte de esta alternativa.

ha de diseñarse un proceso para fabricar amono utilizar el ácido nítrico disponible, sino fabricarlo a partir del amoniaco sobrante. De esta forma puede proyectarse un proceso de mayor capacidad para la síntesis de amoniaco y obtener así un ahorro en su coste unitario por economía de escala. Este ahorro puede ser suficiente para justificar la no utilización del ácido nítrico local, que ha de comprarse y que tal vez no esté disponible en años futuros. Presenta además la ventaja de tener un control completo sobre las fuentes de materia prima. Alternativa

6.

Si

niaco, quizá interese

Evidentemente, estas seis alternativas sólo son algunos ejemplos las más numerosas que deberían proponerse antes que pueda considerarse que se dispone de una base apropiada sobre la que iniciar la ingeniería de un proceso. Es evidente también que estos conceptos iniciales sólo se han de considerar como posibles y potencialmente interesantes, y que sólo después de un intenso esfuerzo de ingeniería podrá calibrarse exactamente la calidad de las alternativas. Las alternativas defectuosas deben eliminarse rápidamente para no desperdiciar trabajo en esquemas que probablemente no se traducirán en un sistema comercial. Aquí radica una de las dificultades más críticas de la ingeniería de procesos. Por un lado, no se puede disponer de todo el tiempo necesario para entrar en los detalles y

de

LOS PROBLEMAS ESPECÍFICOS

El

19

problema primitivo

10 000 ton/año

de nitrógeno en forma de nitrato

amónico

Alternativa 2

Nitrato

amónico sólido

Almacenado

Descarga

Almacenado

Disolución

de sólidos

de disolución

Agua Carga 10000 ton /año de nitrógeno

-¿1=^ Alternativa 5

para el consumidor en forma de disolución acuosa

Energía eléctrica

^"^ -,

!

]

Metano

Separación de nitrógeno

'''2

Amoniaco en exceso

|

Síntesis

Almacenado

de amoniaco

de amoníaco

ton/año de nitrógeno

10 000

como disolución

Hidro-

acuosa

craqueo Reactor

Vapor

y concentración de nitrato

Almacenado de disolución

amónico Acido nítrico disponible localmente

FiG.

3.

Un

problema primitivo y dos alternativas

específicas.

valorar adecuadamente la bondad de todas las alternativas que resuelven un problema dado. Por otro, no se puede limitar la atención a una o varias de las alternativas sin efectuar previamente una valoración detallada de todas ellas. Existe el enorme riesgo de eliminar el concepto óptimo junto con otros de dudosa viabilidad. En esta etapa de la ingeniería de procesos, los problemas específicos tienen la forma de un esquema (diagrama de flujo), como se muestra, por ejemplo, en la figura 3 para las anteriores alternativas 2 y 5. INGENIERÍA DE PROCESOS.

3

LA síntesis de alternativas plausibles

20

2.4.

ANÁLISIS Y SELECCIÓN PRELIMINAR DE LAS ALTERNATIVAS

Evidentemente, la creación de alternativas de proceso conduciría a una gran variedad de posibles problemas de ingeniería de concepto y de detalle. Sin embargo, es imposible realizar el diseño completo de cada alternativa para hacer luego una comparación detallada entre ellas. El diseño de un proceso exige en general un esfuerzo considerable, que no puede desperdiciarse en alternativas que son defectuosas y no pueden transformarse en sistemas comerciales. En este apartado se mostrará cómo deben analizarse las varias alternativas posibles para eliminar aquellas que son menos prometedoras. Este análisis preliminar, tamizado, es de importancia crítica, ya que sólo las alternativas que lo superan son candidatas para el sistema de procesos final. Por una parte, existe el peligro de que un sistema inferior sobreviva y sólo sea detectado después que se haya invertido en él un gran esfuerzo de ingeniería. Por otra, puede suceder que el sistema óptimo se elimine inadvertidamente. Durante el análisis preliminar, el ingeniero se plantea las siguientes cuestiones sobre cada alternativa:

¿Es ilógico el concepto? Un problema de procesos específico 1. puede violar el sentido común o los principios científicos. Por ejemplo, un concepto de procesos será rechazado si se demuestra que viola una ley de la termodinámica. ¿Puede demostrarse que el concepto elaborado es inferior a de las alternativas sugeridas? Puede utilizarse con frecuencia una comparación por parejas de todas las alternativas para su selección. Por ejemplo, supóngase que dos esquemas de procesos alternativos difieren sólo en el método de obtener hidrógeno; uno utiliza la electrólisis del agua y el otro el craqueo térmico del metano. Con la estructura económica actual (1968) en los Estados Unidos se sabe que el craqueo térmico del metano resulta más conveniente. Por tanto, la alternativa que implica la electrólisis de agua se eliminará, puesto que es necesariamente inferior a la otra. Sin embargo, esto no implica que posteriormente no se elimine la elegida por algún 2.

otra

defecto diferente.

¿Puede demostrarse que el concepto elaborado es equivalente 3. o inferior a un esquema de procesos ya conocido que a su vez es inferior a otros? Se sabe que algunos sistemas de proceso son inferiores respecto a otros; con frecuencia el ingeniero puede eliminar algunas alternativas demostrando que son equivalentes o peores que

ANÁLISIS Y SELECCIÓN PRELIMINAR DE LAS ALTERNATIVAS

aquéllos.

21

Repetidamente esta comparación se lleva a cabo tratando la superioridad de la tecnología establecida.

de demostrar

¿Puede demostrarse que el concepto requerirá una gran extra4. polación técnica o económica de la tecnología existente, implicando por tanto un riesgo demasiado elevado? Un concepto de procesos que implique el uso de un cambiador de calor a 2 200 °C puede rechazarse por ser una extrapolación demasiado grande respecto a la tecnología actual, puesto que no resulta seguro, con los conocimientos y materiales disponibles, que un cambiador de este tipo operara en condiciones comerciales a tales niveles térmicos. Si se demuestra que las ventajas económicas derivadas del uso de este concepto son suficientemente grandes, sería aconsejable un estudio experimental a pequeña escala antes de que pudiera tomarse una decisión categórica sobre su viabilidad.

¿Es inseguro el concepto? En cierta ocasión se rechazó un 5. proceso para la manufactura de nitroglicerina en forma de emulsión a pesar de las posibles ventajas económicas, pues se pensó que el proceso era inseguro. Por la misma razón, en Islandia se diseñó hacia 1950 una planta de fertilizante utilizando un proceso de cristalización para la manufactura de nitrato amónico sólido en lugar del entonces nuevo proceso de aglomeración (pelletización). Una vez que se ha demostrado que este proceso es relativamente seguro, es muy probable que si el análisis preliminar hubiera de realizarse hoy día, el proceso de cristalización se eliminaría por ser inferior al nuevo método. ¿El concepto sugiere otra alternativa mejor? Una alternativa 6. dada puede rechazarse cuando su examen sugiere una modificación que conduce a un concepto mejor.

¿El concepto implica competencia técnica especial que nuestro 7. grupo no posee o que no puede adquirir a través de los canales comerciales normales? Por ejemplo, una firma de ingeniería puede rechazar un concepto de procesos que implica el uso de un reactor de chorro de plasma para fijar el nitrógeno, ya que esta tecnología particular rebasa la competencia de sus ingenieros y no es probable que pueda adquirirla mediante consulta con expertos en esta técnica.

Evidentemente, éstos son tan sólo algunos de los métodos utilizados para analizar las alternativas inferiores *. De hecho, la creación * Es de esperar que las teorías modernas de discriminación de modelos puedan proporcionar al ingeniero métodos cuantitativos útiles para llevar a cabo eficazmente el análisis, selección y modificación de las alternativas. Véase, por ejemplo, G. E. P. Box y W. J. Hill: «Discrimination Among Mechanistic Models», Technometrics, 1, 7 (1965).

LA síntesis de alternativas plausibles

22

análisis preliminar de alternativas tiene lugar con frecuencia simultáneamente. Se ilustrará esto esquematizando el diseño de un dispositivo de almacenaje de amoniaco.

y

Ejemplo: Almacenaje de 60 000 ton de amoniaco Se ha contratado a la división de ingeniería de una empresa de para que investigue la forma de almacenar 60 000 ton de amoniaco, que se acumularán cada año, para vender en pequeñas continuación se resume cantidades a la comunidad agrícola local. una parte de la discusión en la que se trata de obtener la solución a este problema. diseño

A

Ingeniero

1

:

Ingeniero 2

:

Ingeniero

:

1

El amoniaco es un vapor en condiciones normales, y se puede almacenar en grandes gasómetros en la misma forma que se almacenaba no hace muchos años el gas ciudad.

¿Cuánto espacio esta forma?

se

requiere

para

almacenar

el

amoniaco de

El volumen del émioniaco a temperatura y presión normales es

aproximadamente

y=(60 000

ton) (1000 kg/ton)(l/17

(22,4

Ingeniero 2:

Un

m3/mol kg)

recipiente de almacenaje de incluso 25

diámetro

no

tiene

suficiente

mol kg/kg)

^ 8 X W m\

capacidad.

m

de alto y

¡Esta

1

km

alternativa

de

no

sirve

Ingeniero

'

1

:

Otras alternativas pueden consistir en su almacenaje en estado líquido o sólido. El amoniaco puede almacenarse como:

Un Un

líquido a temperatura ambiente a su presión de vapor, líquido a presión atmosférica, enfriándolo a su punto de

ebullición normal.

Una disolución en algún disolvente, por ejemplo, agua, que disminuya su presión de vapor y permita utilizar un recipiente menos complicado. Un compuesto sólido del que pueda recuperarse el gas amoniaco cuando se necesite, por ejemplo, por simple calefacción. Amoniaco

sólido

a

presión

atmosférica,

Otra alternativa consiste en cambiar

bajo

refrigeración.

problema inicial y suministrar al consumidor algo diferente de amoniaco. Por ejemplo, el consumidor quizá podría utilizar una disolución de amoniaco como fertilizante, o quizá el nitrógeno podría suministrarse en forma de otro compuesto, como urea sólida. De este modo se eludiría el problema de almacenamiento anterior. el

ANÁLISIS Y SELECCIÓN PRELIMINAR DE LAS ALTERNATIVAS

23

Ingeniero 2: Limitando la atención al almacenaje de amoniaco puro, ¿cuál de las dos fases, sólida o líquida, parece más fácil de conservar? Ingeniero

1

:

La presión de vapor del amoniaco líquido no temperaturas bajas,

Amoniaco Presión de vapor

líquido

es

excesiva

a

24

LA síntesis de ALTERNATIVAS PLAUSIBLES

Transmisión de calor

Espesor de aislante,

m

al

tanque

ANÁLISIS Y SELECCIÓN PRELIMINAR DE LAS ALTERNATIVAS

25

Los gases licuados del petróleo se almacenan con frecuencia bajo presión. ¿A qué conduciría el uso de este sistema? ¿El coste de almacenaje es mayor que el valor del amoniaco? ¿Cómo se transferiría el amoniaco desde el depósito hasta

consumidores? ¿Podría representar un peligro la presencia de tal cantidad de producto para la comunidad de los alrededores en caso de tornado, huracán o terremoto? No podemos hacer peligrar la seguridad de la comunidad.

los vehículos de los

Autor

Como

:

consecuencia de

la

creación, análisis y selección de estas

una solución razonable al problema. Abandonamos en este punto al grupo de ingeniería para volver posteriormente cuando estén presentando su informe a la dirección.

alternativas,

Ingeniero

1

:

surgirá

Nuestro grupo de ingeniería sugiere, después de consideraciones cuidadosas, que se almacene el amoniaco líquido en dos tanques de 30 000 ton de chapa de acero ASTM A-201, aislados con 6 pulgadas de fibra de vidrio y dotado de un ciclo simple de refrigeración (Fig. 4) para recuperar las pérdidas de vapor. Se ha ideado un sistema de purga durante la puesta en marcha que eliminará el peligro de explosión durante el llenado. Se han hecho las provisiones adecuadas para la carga y descarga, y se han incluido suficientes sistemas de seguridad frente a las causas de desastre que se pueden prever. Los tanques y el equipo costarán entre 1,5 y 2 millones de dólares, es decir, aproximadamente 30 dólares por tonelada de capacidad. Se espera un coste de operación de 4 dólares por año por tonelada de amoniaco almacenado.

Comentario del autor. La conversación anterior, aunque imaginaria en detalle, es verídica en su conjunto. La materialización de tales deliberaciones puede contemplarse actualmente en las nuevas plantas de amoniaco fertilizante dispuestas a lo largo de los Estados Unidos, en forma de grandes tanques de almacenaje aislados para amoniaco líquido

*.

Ejemplo: Desarrollo de un proceso de separación

A

la creación, análisis y selección de plausibles mediante el desarrollo de un proceso para parar hexano de aceite de cacahuete. Esta sección se basa en notas de clase del profesor D. R. Woods de la Universidad McMaster, Hamilton, Ontario.

continuación se ilustrará

ternativas

*

Véase

F. L.

Applegate

:

Chem. Eng.

Progr.,

1,

61 (1965).

al-

se-

las

de

LA síntesis de ALTERNATIVAS PLAUSIBLES

26

Compresores

Vapor procedente de los tanques almacén

Condensadores

Tanques de almacenamiento de amoniaco líquido

FiG. 4.

Sistema para almacenamiento a presión atmosférica de amoniaco.

ANÁLISIS Y SELECCIÓN PRELIMINAR DE LAS ALTERNATIVAS

27

Problema.

Diez toneladas por hora de miscela (15 por 100 en peso de abandonan una planta de procesado de cacahuete a 35 °C. Es necesario preparar un esquema de proceso que pueda separar el hexano del aceite de modo que éste contenga finalmente menos del 0,01 por 100 de hexano y que la temperatura nunca exceda los 80 °C. aceite de cacahuete en hexano)

Proceso mental en acción. Se esquematizará ahora el desarrollo de un proceso que pueda realizar la tarea. El ingeniero i está a cargo del proyecto y ad es un segundo ingeniero que actuará como abogado del diablo. ad: I

:

¿Cómo

ad: ¿Qué I

:

ad:

puede separar

se

Yo comenzaría por

el

el

hexano del aceite de cacahuete?

proceso que parece más económico

hace a usted suponer que

le

la destilación es

:

por destilación.

adecuada?

La presión de vapor del aceite de cacahuete es muy pequeña debido a su peso molecular, mientras que el hexano es ligero y volátil. ¿Cuáles son las restricciones sobre la concentración y temperatura? La presión de vapor del hexano en una solución conteniendo 0,01 por 100 de hexano en aceite de cacahuete a 80 °C es sólo 0,6 Hg. Normalmente, incluso las torres de destilación a vacío no operan a presiones menores de 100 mmHg.

mm

I

:

Yo puedo manejar

el problema teniendo en cuenta la diferencia entre la presión de la torre y la presión de vapor utilizando algún gas inerte como, por ejemplo, vapor de agua. Este es el principio del arrastre con vapor de agua. La cantidad de éste requerida para llevar a cabo la separación puede estimarse por

moles de vapor de agua/mol de hexano = (p — 0,6 siendo p

ad: I

:

¿Cómo

la

mm Hg)/0,6 mmHg

presión de la torre.

elegiría la presión

de

la torre?

condensar el hexano a vacío, su presión en el condensador debe que condense sobre la superficie de transmisión de calor. Se dispone de agua de refrigeración a 25 °C y el punto de rocío del hexano se encuentra por encima de esta temperatura para presiones superiores a 150 mmHg. Por tanto, podré condensar el hexano utilizando el agua de refrigeración disponible si el condensador opera a 150 mmHg, valor que, al encontrarse éste conectado a la torre, puede constituir una estimación de su presión de operación. Si decido

ser tal

ad: La presión que usted cita es un límite inferior, puesto que teóricamente se puede llevar a cabo la separación a cualquier presión suministrando, simplemente, suficiente inerte. ¿Cómo estimaría la presión máxima de trabajo utilizando vapor de agua como inerte? i:

de agua ha de actuar como un gas inerte, no debe condensar de destilación. La temperatura durante la separación no ha de exceder de 80 °C y a 400 el vapor de agua condensa a 85 °C. Esto Si el vapor

en

la torre

mmHg

LA síntesis de ALTERNATIVAS PLAUSIBLES

28

sugiere que la torre de destilación deberá operar a alguna presión com-

prendida en

intervalo de 150 a 400

el

De acuerdo con

mm Hg. mm

argumento, fije la presión de la columna en 200 Hg y suponga que ésta pueda diseñarse. ¿Qué otros problemas se presentan? el

Se necesitará un condensador para condensar el hexano a vacío, un eyector de vapor de agua para mantener éste y, finalmente, podría utilizarse un decantador para separar el condensado hexano-agua, puesto que ambos componentes son inmiscibles. En la figura 5 se muestra el posible sistema de proceso. Vapor

Eyector

Mlscela alimento

Condensador Cierre

barométrico

Decantador

Vapor

->- Hexano

->- Aceite

Agua Calefacción por vapor

FiG.

Usted esboza

el

diseño de

la

5.

torre de destilación fijando la atención tan

sólo en conseguir la reducción de la concentración de hexano a 0,01 por 100, pero el alimento tiene el 85 por 100 de hexano. Esto es un gran olvido y yo

dudo que un sistema diseñado considerando límites

pueda

ser eficiente.

Contemple

el

sólo

una de sus condiciones

otro extremo.

No hay

ningún problema en eliminar parte del hexano del aceite de cael punto de ebullición del hexano puro está por debajo de 80 °C a 1 atm de presión. Esto sugiere que la carga a la columna de vacío podría reducirse mediante una vaporización súbita del hexano a presión atmosférica o a presiones ligeramente inferiores. cahuete

:

En efecto, ésta es una alternativa interesante. Los cálculos de equilibrio vapor-líquido indican que una vaporización súbita de la disolución de aceite de cacahuete-hexano a 75 °C y 1 atm eliminaría Hg el 98 por 100. °C y 300

y a 75

el

85 por 100 del hexano,

mm

Los procesos alternativos mostrados en las figuras 6 y 7 deben ser bastante superiores a nuestra alternativa inicial de la figura 5.

ANÁLISIS Y SELECCIÓN PRELIMINAR DE LAS ALTERNATIVAS

29

Vapor

'l^exano -<-

Depósito de vaporización súbita

Miscela alimento

>- Hexano Vapor de calefacción

^apor

y Agua FiG. 6.

Vapor

Hexano-*

Decantador

->- Hexano

Agua FlG.

D

:

I

:

7.

Regresemos al principio de este programa de desarrollo del proceso, cuando usted fijó la presión de funcionamiento de la columna de vacío diciendo: «Si yo elijo condensar la mezcla hexano-vapor de agua a vacío.» Este aserto ha polarizado toda nuestra atención hacia la operación con condensadores a vacío. ¿Podríamos colocar el eyector de vapor antes del condensador y condensar así a continuación el hexano a presión atmosférica? Esta es una entre otras muchas cuestiones que habrían de contestarse antes de que yo quede satisfecho. Evidentemente podríamos alargar nuestra discusión con centenares de pequeñas modificaciones, aunque la cuestión principal a contestar es ¿Cuál es el sistema que realiza el trabajo y lo hace en la forma más económica posible?

LA

30

síntesis

de alternativas plausibles

Comentario del autor. En esta sección se ha descrito la elaboración del primer paso para el desarrollo de un proceso comercial, la creación de alternativas plausibles. Sin embargo, tras esta primera etapa, resulta imposible ir más lejos mientras no se disponga de técnicas de ingeniería de procesos más cuantitativas.

2.5.

FUENTES HABITUALES DE INFORMACIÓN RETROSPECTIVA

En este apartado se da una breve perspectiva de las fuentes de información retrospectiva a las que normalmente acude el ingeniero de procesos. En los capítulos siguientes se indican otras fuentes más detalladas. Parte de la información proviene de fuentes públicas, mientras que otras son privadas y se encuentran sólo disponibles dentro de una firma particular. Las fuentes privadas de información constituyen parte de la experiencia («know-how») de una firma de ingeniería, que puede situarla en una mejor posición frente a la competencia y son generalmente inasequibles por ello a personas ajenas a la misma. Fuentes privadas de información El archivo del proyecto. El archivo del proyecto deberá cona) tener toda la correspondencia que condujo a la formación del problema primitivo. De él se obtienen con frecuencia datos valiosos relativos a las circunstancias peculiares que rodean al problema. Además, habitualmente están reseñadas en la citada correspondencia otras informaciones posteriores que pueden resultar vitales. b)

El archivo de informes de la compañía.

Una compañía

malmente desarrolla su actividad en diversas áreas

nor-

específicas de la

y almacena información especial como informes de la compañía que son propiedad privada de la misma. Se incluyen aquí informes de investigación, informes de diseño, informes de operación y recopilaciones de datos especiales. ingeniería,

El cuestionario de diseño. Normalmente, se rellenan formutanto por parte del ingeniero como por el cliente, concernientes a la naturaleza del sistema en que el proceso debe integrarse. La figura 8 muestra parte de los datos solicitados en tal sentido por la Universal Oil Products Company, una firma de ingeniería especializada en el diseño de sistemas de proceso. c)

larios

d)

donde

especiales,

Visita del lugar. se localiza el

Con

frecuencia

el

ingeniero visitará el lugar

problema primitivo, intentando detectar caracte-

FUENTES HABITUALES DE INFORMACIÓN RETROSPECTIVA

rísticas

que pueden haberse omitido en

los

31

métodos más formales de

recogida de datos. e) Contacto personal. Para el ingeniero resulta esencial examinar personalmente todas las evidencias conducentes al problema, de modo que pueda decidir por sí mismo cuál es realmente la situación. Por tanto, puede considerar necesario entrevistarse con funcionarios públicos, proveedores, ingenieros de ventas, clientes, otros ingenieros de procesos, operadores de planta, químicos, investigadores, etc.

Fuentes públicas de información

La creciente bibliografía disponible es potencialmente una fuente de vital información en el diseño de procesos; sin embargo, resulta cada vez más difícil explorar con eficacia áreas específicas de información, y valorar la precisión de los datos encontrados. Por ejemplo, hasta hace muy poco podían encontrarse errores significativos en la presión de vapor de hidrocarburos ligeros en algunas tablas de propiedades físicas. Los errores originales se produjeron hace cincuenta años. En el futuro, la ciencia de la localización de la información desempeñará un papel a)

significativo.

Sistemas de procesos existentes.

Ocasionalmente, se hacen re-

copilaciones de sistemas de proceso que están disponibles mediante compra o licencia. Sirva como ejemplo la revisión anual de procesos

petroleoquímicos publicada por Hydrocarbon Processing, que proporciona un diagrama de flujo y una descripción breve de las características de los procesos. Véanse también los diagramas de flujo de procesos incluidos en páginas especiales de cada número de Chemical Engineering. Los anuncios que se incluyen en cualquier número de las revistas comerciales y los recopilados en el Chemical Engineering Catalog pueden iniciar contactos útiles con los vendedores de procesos. El Thonias' Register of American Manufactures proporciona una lista exhaustiva de los fabricantes de toda clase de productos

manufacturados. b) cas.

Recopilaciones y correlaciones de propiedades físicas y químilas fuentes disponibles sobre datos de los materiales

Algunas de

The International Critical Tables, The Chemical The Handbook of Chemistry and Physics, The Chemical Rubber Handbook y The Merck Index. Se han hecho muchos estudios relacionando las propiedades físicas químicas de las sustancias con parámetros convenientes sobre una y base empírica o teórica. Alguna de estas correlaciones aparecen en son las siguientes:

Engineer's Handbook,

LA síntesis de ALTERNATIVAS PLAUSIBLES

32

N.

%i

PRDCIESS JO

ALGONOUIN nOAD

•

DIVISIÓN

DES PLAINES, ILLINOIS «OOH

ESPECIFICACIÓN DEL PROYECTO

K)

DATOS BÁSICOS PARA

EL DISEÑO DE INGENIERÍA

—

—REV.

102

HOJA

DE

POR

APROB

FECHA

INFORMACIÓN PARA DISEÑO DE EOUlPO

INSTRUMENTOS 1.

¿El

panel de control será gráfico?

2:

¿El

panel de control será semigráfico?

3.

¿El

panel de control no será gráfico?

4.

¿Los instrumentos serán de tamaño reducido?

5.

¿Se montará

5.

¿Los instrumentos serán electrónicos?

7.

¿Se operarán

el

indicador de temperatura múltiple sobre una consola?

O 8.

las válvulas

¿Se instalará únicamente operación?

de control neumáticamente?

la

instrumentación mínima necesaria para

la

9.

Si la instrumentación no va a ser la mínima:

9.1.

¿Se medirán todas

las

corrientes de alimentación y producto del

proceso con registros de flujo?

9.2.

¿Los registros de flujo de

las corrientes

alimento y producto serán

además totalizadores?

9.3.

¿En

qué

extensión

se

medirán

las

corrientes

del

proceso

con

registros de flujo?

9.4.

¿En qué extensión se dispondrán medidores' de temperatura en los cambiadores de calor para determinar su rendimiento?

9.5.

Si los cambiadores de calor se van a equipar con medidores de temperatura para determinar su rendimiento, indiquese el instrumento que se utilizará para la medida

o

FUENTES HABITUALES DE INFORMACIÓN RETROSPECTIVA

33

N.

%i

PRDCESS 30

n

n

O

ALGONOUIN HO-D

DIVISIÓN

OES PLAINES ILLINOIS 60016

ESPECIFICACIÓN DEL PROYECTO DATOS BÁSICOS PARA

EL

DISEÑO DE INGENIERÍA

LA síntesis de alternativas plausibles

34

forma de libros de

texto,

como

por Reíd y Sherwood, The McGraw-Hill, Nueva York, 1967;

el escrito

Properties of Gases and Liquids, como programas de ordenadores, tion of Physical Properties» del de uso interno en compañías.

tal como «The Computer EstimaAIChE, o bien como documentos

Datos del fabricante. Los fabricantes de algunos productos c) químicos preparan folletos sobre sus datos físicos y químicos, toxicidad, peligros de explosión y fuego y métodos seguros para su manejo y almacenaje. Incluso algunos folletos sugieren de forma autorizada aplicaciones y usos especiales para los productos químicos. Varias organizaciones ofrecen inford) Datos sobre seguridad. mación sobre seguridad. Por ejemplo, el AIChE tiene varias publicaciones sobre seguridad en plantas de aire y de amoniaco, y The National Fire Protection Association posee también publicaciones interesantes. Con frecuencia se imponen normas y leyes, tales como las especificaciones ASTM para materiales de construcción, las normas AISC y AWS para diseño estructural seguro, las normas ASME para recipientes a presión no sometidos a fuego directo y las normas ASA para tuberías a presión (en el capítulo 13 se dan algunos detalles sobre

ellas).

Datos económicos y comerciales. Estos datos están disponiuna serie de fuentes, como The Chemical Business Handbook y The Chemical Statistics Handbook. El Chemical and Engineering News publica trimestralmente los precios de los productos químicos más corrientes. Datos de costes aparecen en diversas publicaciones comerciales, como OH, Paint and Drug Repórter y OH and Gas Journal. e)

bles en

Normas y reglameny locales pueden fijar los límites permitidos para el diseño de sistemas de transporte y plantas de fabricación en aquellos casos en que la seguridad pública puede ser afectada. Con frecuencia las normas de las organizaciones técnicas nacionales son adoptadas total o parcialmente en estos reglamentos legalmente oblif)

tos

Normas y reglamentos gubernamentales.

federales,

estatales

gatorios.

En resumen, existen gran cantidad de datos con los que el ingeniero debe familiarizarse y que se necesitan para poder definir más claramente el problema primitivo que se le haya asignado.

OBSERVACIONES FINALES

2.6.

35

OBSERVACIONES FINALES

Se han descrito las facultades creativas sobre las que se ha fundado nuestra economía industrial moderna. En los primeros tiempos de la industria química y metalúrgica bastaba simplemente crear una sola solución plausible a un problema de procesos, ya que los márgenes de beneficio eran elevados y casi cualquier proceso capaz de funcionar era útil y rentable. Esta no es la situación actual, excepto en algunas áreas, como la fabricación de algunos productos farmacéuticos, donde los costos de investigación, desarrollo y mercado superan a los costes de fabricación. La fuerte competencia actual y el grado de perfección técnica alcanzado requiere que la solución a un problema de procesos se aproxime lo más posible a la óptima. La ingeniería de estas excelentes soluciones requeridas para problemas difíciles dentro de un tiempo limitado ha forzado a la industria a exigir nuevos desarrollos de investigación teórica y práctica a medida que éstos se van creando; de hecho, la industria de procesos ha provocado el desarrollo de muchas áreas de las matemáticas y de la ciencia.

Se ha indicado el importante papel desarrollado por el ingeniero actuando como «operador» sobre el problema primitivo para producir tareas de ingeniería en forma de problemas específicos. Es natural

cómo podría realizarse del modo más eficaz posible esta labor creativa del ingeniero de procesos. Sobre este tema se ha escrito bastante, habiéndose propuesto técnicas más o menos ritualizadas, como la interacción de grupos, algunas veces llamada «tormenta de cerebros» («brain storming»), que pretende aumentar la producción creativa del equipo de ingenieros. Estas tácticas organizadas tienen preguntarse

ciertamente aplicaciones útiles, al menos en la generación de materia prima para el pensamiento creativo, y reducen la posibilidad de que pueda ignorarse alguna aproximación al problema potencialmente atractiva. Sin embargo, ya hace mucho tiempo que se vienen celebrando sesiones informales de pensamiento en grupo análogas, si bien hasta ahora el grupo que en definitiva hace progresar de forma efectiva una buena idea para la solución de un problema está formado por un individuo solamente: el ingeniero que ha de luchar con el vacío existente entre el resultado deseado y las técnicas disponibles. El sistema de patentes reconoce el derecho de propiedad que el individuo puede tener sobre su concepto para la solución de un problema, demostrando así la efectividad del esfuerzo individual. Deberá advertirse que el objetivo principal del ingeniero de procesos es conseguir la solución más satisfactoria y económica al proINGENIERIA DE PROCESOS.

4

LA síntesis de alternativas plausibles

36

blema primitivo, incluya o no ideas propias patentables. La solución óptima puede así utilizar o adaptar ideas de otros que se encuentren disponibles en forma de equipo comercial, diseños patentados y serde ingeniería de especialistas. El acto creativo se convierte entonces en la síntesis de un sistema nuevo y útil a partir de los elementos ya existentes. Como resumen, se debe concluir que no parece existir un procedimiento automático de esfuerzo de grupo para la creación de conceptos de procesos. Se recomienda que el principiante inicie sus excursiones creativas con los problemas primitivos indicados al final de este capítulo, recordando que sólo tras un periodo prolongado de aprendizaje conseguirá adquirir gran experiencia para la resolución de problemas de proceso. vicios

Bibliografía

Para mejorar la técnica de resolución de problemas bien definidos, deberán estudiarse los libros clásicos de Polya. G. Polya: How to Solve It. Anchor, Doubleday, Nueva York, 1957. G. Polya: Mathematical Discovery. Vol. 1, 1962; vol. 1965; Wiley, Nueva York.

Para más detalles sobre

diseño de procesos, véase:

la práctica del

Sherwood: A Course in Process Design. MIT Press, 1963. M. S. Peters y K. D. Timmerhaus Plant Design and Economics for Chemical Engineers. McGraw-Hill, Nueva York, 1968. F. C. ViLBRANDT y C. E. Dryden: Chemical Engineering Plant Design. McGraw-Hill, Nueva York, 1959. Chemical Process Economics. Wiley, Nueva York, 1958. J. Happel H. F. Rase y M. H. Barrow Project Engineering of Process Plants. Wiley, Nueva York, 1957. T. K.

:

:

:

Se han desarrollado métodos para

la

síntesis

sistemática de diseños:

Rudd: «The Synthesis of Process Designs, I. Elementary position Principie», AIChEJ, 14 (1968). A. H. Masso y D. F. Rudd: «The Synthesis of Process Designs, ristic Structuring», AIChEJ, 14 (1968).

D. F.

Una

excelente discusión del conjunto de ideas que conducen a

DescomII.

Heu-

un proceso

se presenta en:

H. K. Eckert y G. A. Caín: Eng. Progr., 3, 60 (1964).

«Profile of a Profitable Project»,

Chem.

EJERCICIOS

37

EJERCICIOS Prepárense

soluciones

plausibles

a

los

siguientes

problemas

de

procesos

primitivos. Las soluciones deberán tener la forma de un diagrama de flujo del proceso, como el de la figura 5, en el que se indiquen las materias primas

necesarias y los 1.

elementos importantes del equipo.

Prepárese un esquema del diagrama de flujo de un proceso para la desalación de agua de mar mediante congelación selectiva. El agua de mar se congelará parcialmente, lavándose el hielo resultante hasta que quede libre de agua salina y fundiéndose a continuación para producir agua potable. Identifiqúese el equipo y las operaciones principales necesarias para el sistema propuesto. ¿Qué fuente de energía ha de utilizarse?, ¿qué dificultades técnicas pueden esperarse?

2.

¿Podría modificarse el sistema propuesto en el problema anterior para mejorar la economía, por ejemplo, utilizando el contenido calorífico del agua de mar entrante para fundir el hielo? ¿Cómo puede utilizarse el calor latente de fusión? Háganse tres modificaciones importantes al sistema original que puedan mejorar su eficacia.

3.

El

butano hierve a una temperatura ligeramente inferior del agua. Esquematícese un proceso para selectiva de agua de mar basado en este hecho.

al

solidificación

4.

punto de

congelación

En vez de

utilizar la congelación para llevar a cabo la eliminación de la considérese el extremo opuesto, la ebullición. Prepárese un diagrama de flujo preliminar para un sistema de procesos que pueda desalar agua de mar mediante la ebullición del agua y condensación de los vapores. ¿Puede perturbar la formación de costras en las superficies de transmisión de calor? ¿Podrían eliminarse completamente las convencionales superficies de transmisión de calor, por ejemplo, introduciendo vapor de agua directo en la salmuera? ¿Podría conseguirse el calor necesario sal,

a partir

de

la

misma agua de mar y eliminar

así la

necesidad de vapor

de agua? 5.

Háganse

tres

modificaciones

importantes

en

el

proceso

de

desalación

anterior para mejorar la economía de la operación. Incluyase en una de ellas dispositivos para recoger la energía solar para precalentar el agua de mar. Si la constante solar es 1 000 kcal/h m^, ¿cuál es el orden de magnitud del área de dichos dispositivos necesaria para precalentar el

agua de mar 12 «C en una planta que ha de tratar 400 000 litros/día? ¿Es esto razonable? 6.

Proyéctese un proceso para separar continuamente azúcar de remolacha molida mediante extracción con disolventes. El azúcar ha de prepa-

en forma cabe hacer con

rarse

cristalina.

¿Qué disolvente puede recomendarse?

¿Qué

pulpa y disolvente residuales? ¿Qué fuente de energía puede utilizarse? ¿Qué elementos importantes de equipo de procesos se la

LA SÍNTESIS DE ALTERNATIVAS PLAUSIBLES

38

necesitarán? Efectúese de azúcar. 7.

Cuando

se

craquea

el

diseño para una planta que procese 55 ton/día

térmicamente

siguiente composición

Componente

butano

resulta

un

producto

de

la

EJERCICIOS

12.

39

de tamaño para el coque disponible en idéense dos diagramas de flujo para conseguir la distribución deseada para el alimento del horno alto que se indica a continuación. (Para información de las operaciones de trituración y tamizado, véase Chemical Engineers Handbook, Perry, ed., McGraw-Hill,

Dada

la

siguiente

una acería

distribución

integral,

Nueva York,

1963.)

Distribución inicial

CAPITULO

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

En el capítulo anterior se expusieron los principios que conducen a la creación de sistemas de equipo para realizar un determinado proceso. Se empezará ahora a construir la estructura que permitirá ajustar los detalles técnicos de un diseño para encontrar el proceso más útil. En cada caso aparecerán algunas variables de diseño libres, que están a disposición del ingeniero, y que han de ajustarse para acomodar el proceso a las necesidades del mismo. Sin embargo, para hacer uso de esta libertad, es necesario penetrar en la estructura del flujo de información de las ecuaciones de diseño que describen un proceso; si esto se consigue, pueden obtenerse simplificaciones importantes. Problema

típico

Un grupo de diseño está iniciando la optimación detallada del diseño de una refinería, para determinar las mejores distribuciones de caudales, temperaturas, presiones y productos. El sistema consiste en una serie de procesos en los que intervienen veinte componentes, y existen veinte relaciones de diseño, numerosas limitaciones en las temperaturas, presiones y caudales, y, aproximadamente, un centenar de variables. La información acerca del sistema consiste en las ecuaciones de diseño, tablas de rendimiento, un diagrama de flujo del proceso, subrutinas de ordenador y datos económicos. ¿Cómo puede organizarse este problema y reducirse a algo definido y manejable?

3.1.

UN SISTEMA Y SUS SUBSISTEMAS

La estructura modular de un sistema de procesos es su caracmás obvia. Sistemas grandes consisten en un número de com-

terística

ponentes o subsistemas fácilmente identificables, tales como calderas, plantas de ácido, secadores, depósitos, cambiadores de calor, evaporadores, torres de extracción, etc., que interaccionan unos con otros para realizar en conjunto una función más completa. Estos sistemas no son exactamente aglomerados de componentes que operan entre 40

INTERACCIÓN DE SISTEMAS

4I

forma prevista. Antes bien, entre ellos modo que el rendimiento de cada componente depende intensamente de otros, y el rendimiento conjunto del sistema puede ser mayor que la suma estricta de los rendimientos de las partes que lo componen. Precisamente la utilidad de los grandes sistemas nace de estas interacciones. Por ejemplo, si se hace que la corriente producto de un proceso intercambie calor con su alimento, puede aumentar sustancialmente la eficacia del sistema. Sin embargo, las interacciones son una espada de doble filo, ya que confunden al ingeniero, introduciendo considerables dificultades, tanto en el análisis del proceso durante su diseño como en su control durante el funcionamiento. Una optimación al azar de un proceso con interacciones puede abrumar completamente al ingeniero y a su equipo de cálculo. Un instrumento útil para abordar los grandes problemas de ingeniería parece ser la estructura del flujo de información. La información pasa de un componente a otro dentro de un sistema de procesos a través de variables comunes a ambos, siendo la salida de un componente una entrada de otros. Esta transferencia delinea una estructura de flujo de información del sistema que proporciona un esqueleto sobre el que puede organizarse una ordenada estrategia de cálculo. En este capítulo se mostrará cómo identificar el problema básico o núcleo que debe resolverse para especificar el diseño óptimo del sistema. Una vez se ha identificado dicho núcleo, puede aplicarse al problema la estrategia apropiada de optimación. SÍ

independientemente en

la

se producen interacciones críticas de tal

3.2.

INTERACCIÓN DE SISTEMAS

Para ilustrar los efectos de las interacciones en un sistema, se considerarán dos unidades de proceso: un cambiador de calor y un reactor catalítico. El reactor y el cambiador operan normalmente cuando están separados (como se indica en la Fig. 9). Supóngase ahora que se conecta el cambiador de calor al reactor para recuperar el calor perdido en la corriente producto, precalentando la corriente alimento (Fig. 10). La temperatura de la corriente que abandona el reactor es igual a la temperatura de la corriente que entra en el cambiador por ser ambas variables idénticas. Lo mismo ocurre con la corriente de salida del cambiador y la de entrada al reactor. Representando las curvas de comportamiento para los dos componentes en el mismo gráfico se observa que hay tres puntos que satisfacen esta condición. El punto de operación superior (sistema en ignición) y el inferior (sistema extinguido) pueden ser estables, en el sentido de que tras cualquier

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

42

Producto

Ignición del reactor

3

Alimento 1

Ti Reactor

Fluido caliente

2

Fluido

T2

Cambiador de calor

Y FiG. 9.

Ti

Comportamiento individual de dos subsistemas.

perturbación pequeña, el sistema volverá espontáneamente al estado inicial. Sin embargo, el punto medio es inestable y el sistema no se mantendrá nunca en tales condiciones de operación *. Queda así patente que un sistema presenta sus propias individualidades, pudiendo manifestarse en él características que no son obvias en sus partes componentes. El reactor aislado no puede operar en estado de ignición con alimento frío, pero sí unido al cambiador de calor, que hace accesible el punto de operación superior. El ajuste de un sistema de este tipo para el mejor desarrollo del proceso deberá realizarse cuidadosamente, utilizando los principios que se expondrán en el presente capítulo. * Véase, por ejemplo, H. Kramers y K. R. Westerterp Elements of Chemical Reactor Design and Operation, cap. IV. Academic Press, Nueva York, :

1963.

GRADOS DE LIBERTAD EN UN SISTEMA

43

Cambiador de calor

Alimento

T2

Ti FiG.

3.3.

10.

Comportamiento del sistema.

GRADOS DE LIBERTAD EN UN SISTEMA

Se iniciará ahora la disección sistemática de los sistemas de proceso para revelar un esqueleto fundamental sobre el que pueda basarse la estrategia para su optimación. En la mayoría de los diseños quedan inicialmente sin especificar los valores de algunas de las variables, que pueden fijarse libremente para conseguir un proceso más eficaz. El primer problema en un

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

44

diseño es identificar estas variables de diseño libres, cuyo número representa los grados de libertad económicos. Para ello se comenzará por tabular las variables que intervienen en el diseño para cada unidad del proceso y las relaciones que las conectan. El comportamiento de cada componente puede describirse aproximadamente mediante ecuaciones, programas de ordenador, recomendaciones de los fabricantes, tablas y gráficas, datos de planta piloto para cambio de escala, consejo de un ingeniero experimentado, o cualquier combinación y número de fuentes de información. Todos estos elementos de información acerca de la naturaleza de los componentes se denominan relaciones de diseño del sistema. Las relaciones de diseño consisten, pues, en fuentes de información acerca del sistema, que se refieren a variables, Xy (tamaño del equipo, condiciones de operación, condiciones de las corrientes de unión, etc.). Las relaciones de diseño deben ser fuentes independientes de información, por lo que deberá eliminarse del conjunto de ecuaciones cualquier relación que pueda derivarse de otras.

M

Caso

I:

Contradicción,

N

yV>M

Cuando hay más

relaciones de diseño independientes que variaproblema de diseño no está bien formulado y generalmente no es posible encontrar valores para todas las variables que satisfagan las relaciones de diseño. La formulación matemática, la naturaleza física del problema, o ambas, son sospechosas. bles,

el

FiG. 11.

Equipo de mezcla componente de un sistema de proceso

más complejo.

Como un ejemplo trivial considérese el problema de mezclado de dos corrientes en un mezclador para obtener una tercera corriente, como se muestra en la figura IL

GRADOS DE LIBERTAD EN UN SISTEMA

45

Un

balance de materias alrededor del mezclador proporciona:

1.

A + B = C.

La calidad de 2.

la

mezcla, K, se define

como

la

razón de

fi

a

A:

K = B¡A.

Ahora bien, s\ A, C y K están especificados por formar parte mezclador de un sistema mayor, por ejemplo:

el

3.

A = 1000

kg/h,

4.

C = 2 000

kg/h,

5.

i<:=4,0,

número de

M =4

relaciones de diseño es

C

N>'M. No

^ = 5,

y

el

número de

el

variables,

encontrar un valor no especificada, que satisfaga todas las condiciones del problema. El problema no está bien formulado. (A, B, para B, variable

Caso

y K);

Ninguna

11:

libertad,

es

posible

N=M

Cuando hay tantas relaciones de diseño como variables en un problema bien formulado, no existe ninguna libertad en la selección de los valores de las variables. Sólo ciertos valores definidos de las variables satisfacen las relaciones de diseño. Por ejemplo, si en el problema anterior de mezclado cifica C, el

número de

3.

A + B = C, K = B/A, A = 1000,

4.

ÍC

1.

2.

no

se espe-

N=4:

= 4,0 variables (A, B,C, K), M=4. Los valores de las están fijados por la solución de la relación de 000 y C = 5 000, y no existe libertad para que B y

iguala al

número de

restantes

variables

diseño en

C tomen

relaciones de diseño,

£=4

otros valores. En los casos I y II no hay posibilidades de optimación, puesto que no existen condiciones alternativas en el proceso para elegir en-

tre ellas.

LA

46

Caso

III:

ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

Grados de libertad,

N<:M

Cuando un problema de diseño bien formulado contiene más

va-

que relaciones de diseño, existen en él algunas variables cuyos valores no están especificados, y pueden tomar diferentes valores, ofreciendo así una gama de condiciones de operación posibles. La existencia de estas alternativas es la característica esencial de un problema de optimación. Así, si en el ejemplo de mezclado no se especifica la calidad de = 4. Existen varios valores de B, la mezcla, K, entonces N = 3 y K y C que satisfacen las re,laciones de diseño, dejando libertad al proyectista para elegir los que considere más convenientes. Esta libertad podría utilizarse para obtener una finalidad óptima, como «mezclar las corrientes para maximizar la diferencia entre el valor de la mezcla y el coste de las materias primas A y 5». En general, el número de grados de libertad es igual a la diferencia entre el número de variables pertinentes y el número de relacio— N. Entonces F variables del nes de diseño independientes, F = sistema (x) pueden elegirse como variables de diseño (d), cuyos valores se fijan libremente, siendo las restantes variables de estado y designándose por {s). Una vez el ingeniero ha asignado valores específicos a las variables de diseño, los valores de las variables de estado se obtienen mediante la solución de las relaciones de diseño. Las relaciones de diseño toman la forma simbólica riables

M

M

Udi,s,) ¿

= 1,

k=

número de

2, ...,iV

j^l,2,

...,F =

l,2, ...,N

=

M~N

[3.1]

relaciones de diseño;

grados de libertad; número de variables de diseño independientes;

número de

las

variables

de

estado

de-

pendientes.

La expresión de los grados de libertad de procesos que implique un total de de diseño independientes:

F = M-N

F

M

en un problema de diseño variables

y

N

relaciones

[3.2]

es idéntica conceptualmente a la regla de las fases debida a Willard GiBBS utilizada en termodinámica. La regla de Gibbs establece que el

GRADOS DE LIBERTAD DE UN CAMBIADOR DE CALOR

número de grados

P

ponentes en

intensivos de libertad

F

47

de un sistema de

C

com-

fases en equilibrio es:

F = C + 2-P.

[3.3]

La

regla de Gibbs está restringida al equilibrio termodinámico en diseño de procesos se deben encontrar los grados de libertad para cada caso específico, ya que cada diseño es con frecuencia un caso ;

el

único.

^

En un problema

práctico los grados de libertad se

consumen de

dos maneras:

A

y

1. ciertas variables se les asignan valores definidos que proporcionan una conexión entre el proceso y los alrededores. Por ejemplo, la temperatura del fluido refrigerante requerida para un proceso puede fijarse como la temperatura del fluido de refrigeración dis-

ponible.

V

2. Los grados de libertad restantes se consumen en la selección de variables que, ajustadas, maximizarán el beneficio del sistema. El diseñador puede tener libertad para ajustar, por ejemplo, sólo dos variables, el volumen del reactor y su temperatura de operación, para conseguir la operación más rentable de un reactor químico. Estas variables se denominan arados económicos de libertad.

3.4.

En

la

GRADOS DE LIBERTAD DE UN CAMBIADOR DE CALOR

figura

cambiador de

12

se

calor.

En

3

/ Fluido

FiG. 12.

muestra un diagrama esquematizado de un existen trece variables fundamentales:

él

frío

Cambiador de

calor en contracorriente.

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

48

K, tipo de cambiador de calor (tubo con en contracorriente, flujo en paralelo, etc.);

1.

flujo

2.

Q

aletas,

doble tubo,

calor transferido;

área de intercambio;

3.

coeficiente global de transmisión de calor;

caudales másicos 4^ los fluidos;

temperaturas

13.

(Aí)nii

media logarítmica de

la diferencia

de temperaturas.

El número de relaciones de diseño entre ellas es siete: 1.

Q = UA{M)^x

2.

(Aí)mi=—

definición del coeficiente de transmisión de calor;

—

——

(^1

- ^4)

definición de la la diferencia

conservación de la masa;

media logarítmica de de temperaturas;

GRADOS DE LIBERTAD DE UN CAMBIADOR DE CALOR

49

una economía, consumiendo y permitiendo la solución de las ecuaciones de diseño para obtener las otras variables de interés, entre ellas el área del cambiador de calor. ajustarse por el diseñador para obtener

los grados restantes de libertad

Variables especificadas por procesos colindantes

Wi

Algunas de

las variables calculadas

A =^Q

Tipo de cambiador

Variables libres a

FiG. 13.

Diagrama de

flujo

fijar

de información para

por el proyectista

el

cambiador de

calor.

Esta dirección de cálculo puede representarse por el diagrama de de información mostrado en la figura 13. Las variables especificadas externamente, Wi, tu ti y t^ se indican por trazos cruzados sobre las flechas; las variables de diseño, W3 y K, por flechas con la cabeza completa, y las variables dependientes calculadas, por flechas con media cabeza. Este diagrama resume el flujo de información a través de las ecuaciones que describen el funcionamiento del cambiador de calor. flujo

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

50

3.5.

En

INVERSIÓN DEL FLUJO DE INFORMACIÓN

una nueva selección de las vaproduce una inversión del flujo de información a través del componente en estudio, y que estas inversiones influyen sobre esta sección se demostrará que

riables de diseño

Disolvente extractor puro, A ó B

W

Alimento

O

kg/h

kg/h

kg de soluto

kg de disolvente

Fase extracto

Mezclador

INVERSIÓN DEL FLUJO DE INFORMACIÓN

tractor y el tipo de disolvente que nómico para el extractor.

Maximizar

maximiza

el siguiente

[(valor del soluto extraído)

(tipo de disolvente)

5I

- (coste

objetivo eco-

del disolvente

eXtraCtOr)!

(caudal de disolvente)

máx

[CeQ(Xf-Xo)-C,,W]

[3.4]

(s=A ó B)(W)

donde C^ es el valor unitario del soluto en la fase extracto y unitario del disolvente extractor.

C^

Las ecuaciones de diseño para esta unidad son, utilizando menclatura habitual,

QXf = QXo+WYo <^(Xo,

Yo)=0

balance de soluto, y

Q

y

coste

la no-

[3.5]

relación de equilibrio entre las fases: depende del disolvente

seleccionado,

donde

el

[3.6]

X/, las condiciones del alimento, se especifican

en la de-

finición del problema.

A

Por tanto, si se especificase el tipo de disolvente (5 = ó B) y un valor del caudal de disolvente extractor W, se podrían calcular las restantes variables; en este caso, mediante la solución simultánea del balance de materias y la ecuación de equilibrio. En la figura 15, a se ilustra sobre un diagrama de bloques el flujo de información para esta unidad de extracción. Este problema de optimación de tractor tiene dos grados económicos de libertad.

un ex-

Sin embargo, obsérvese que si se hubiese elegido para especificar variable de diseño la concentración de salida deseada Xq, en

como

vez del caudal de disolvente extractor, el cálculo sería mucho más Se podría determinar primero la concentración de equilibrio en la fase extracto. Yo, mediante el diagrama de equilibrio, y entonces resolver directamente el balance de materias para obtener el caudal de disolvente extractor, W. Esta inversión del flujo de información simplifica los cálculos del proceso, permitiendo reunir el mismo tipo de información sobre el funcionamiento del extractor a través de las ecuaciones de diseño por pasos, evitando la solución simultánea de las ecuaciones necesarias en el caso inicial de flujo de información, más complicado. fácil.

ingeniería de procesos.

5

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

52

En

la

figura

15

se

observa que existen tres posibles direcciones

del flujo de información en este cálculo, dos de ellas de dificultad equidifícil. Es de esperar además problema de optimación que se plantea en la ecuación [3.7] sea mucho más simple que el propuesto inicialmente en la ecua-

valente y una que es innecesariamente

que

el

Dificultad relativa

Xo a)

W

-^Yo

-^ b)

W

-^Yo

Xo

-^

S c)

W

Yo

-^Xo

Yo

-^

Xo

^S

d)

W

Cálculo Imposible

e)

W Yo

> >

^ »^

S y*

FiG. 15. Inversión del flujo de información para el extractor. Regla práctica: Deberán elegirse como variables de diseño aquellas que supongan la elección entre varias alternativas discretas. Así, en este caso, el tipo de disolvente (A ó B).

5=

UN ALGORITMO DE SELECCIÓN DE VARIABLES DE DISEÑO

53

ción [3.4], en particular debido a que el intervalo posible de variación de la variable de diseño está limitado en la nueva formulación. Esto sugiere las ventajas que se obtendrían en procesos más complicados con una simple reordenación de los cálculos:

[CeQiXf - Xo) - C^W],

máx {S

=A

[3.7]

ó B)(X„)

donde O

< Xo < Xf.

Obsérvese también que ciertas inversiones del flujo de información a través del sistema no son posibles. Por ejemplo, no se pueden seleccionar valores arbitrarios de la concentración de salida Xo y del caudal de disolvente extractor y calcular el tipo de disolvente que ha de utilizarse; la tecnología está limitada en este caso a uno de los disolventes A ó B. Esta inversión es imposible tanto desde el punto de vista técnico como en lo que respecta al cálculo. Esto sugiere una regla intuitiva: normalmente, cuando una variable implica la elección entre un número discreto de alternativas, es aconsejable seleccionarla como variable de diseño. Adviértase, además, que se ha adscrito una dificultad relativa de cálculo para cada una de las tres posibles direcciones del flujo de información. Se basa en que, en general, la dificultad de resolver un conjunto de ecuaciones aumenta proporcionalmente con el cubo del número de ellas que deben manejarse simultáneamente. Por consiguiente, los cálculos requeridos para completar el flujo de información de la figura 15, a, que implican la solución de dos ecuaciones simultáneas, serán cuatro veces más laboriosos que los cálculos para los otros dos casos, que implican la solución de las ecuaciones una

W

a

una

(2^

3.6.

En

comparado con

1

+

1).

UN ALGORITMO DE SELECCIÓN DE VARIABLES DE DISEÑO

los ejemplos precedentes, el

número de grados de

libertad en

un

diseño, las mejores variables de diseño para consumir estos grados de libertad y la estructura resultante del flujo de información se

obtuvieron por simple inspección del problema. Cuando los procesos son más complicados, tal análisis resulta imposible y debe utilizarse

un método más sistemático.

En el ejemplo del extractor, considerado en el apartado anterior, había que resolver dos ecuaciones para hallar dos variables de estado.

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

54

El número de formas diferentes en que pueden ordenarse para su solución las ecuaciones de diseño del extractor es (2!)^ =4, valor adecuado para una manipulación directa no sistemática. Supóngase, en cambio, que un proceso se describe por un centenar de ecuaciones que han de resolverse para evaluar un centenar de variables de estado. Solamente el problema de la disposición de las ecuaciones y variables en el orden adecuado para obtener la solución es abrumador, ya que hay (100!)2 = 10^°" maneras de ordenar un centenar de ecuaciones y un centenar de variables. Afortunadamente, se han desarrollado algunos algoritmos de selección de variables de diseño muy sencillos para salvar estos graves problemas de combinatoria, que constituyen ahora parte de la práctica industrial. Es ya habitual, especialmente en las grandes compañías petrolíferas y químicas, someter los nuevos diseños al ordenador para su disección mediante los métodos que se discutirán a continuación. Estos métodos son también muy útiles como una ajoida para el cálculo manual. Para ello es conveniente preparar un cuadro que describa la estructura de las ecuaciones de diseño que han de diseccionarse. Se denomina ordenación o distribución estructural, correspondiendo sus columnas a todas las variables que participan en el diseño, y las filas siempre que una a todas las ecuaciones de diseño. Se coloca una variable aparece en una ecuación. En la figura 16 se muestra la distribución estructural para el cambiador de calor del apartado 3.4.

X

En

la figura 16 se

han

fijado cuatro variables:

Wi = 1 000 íi

kg/h,

= 80°C,

Í2=40°C, Í3

= 20°C,

para determinar el cambiador de calor necesario para el intercambio que se desea efectuar, y se ha seleccionado la variable K, tipo de cambiador de calor a utilizar, como una variable de diseño libre. Esta última selección se basa en la regla intuitiva que se dedujo en el apartado 3.5 concerniente a las variables de valores discretos. Se tratará ahora de seleccionar sistemáticamente la variable de diseño que consumirá el único grado de libertad restante. Con este fin, se ha propuesto el siguiente algoritmo *.

W.

Lee,

J.

H. Christensen y D. F. Rudd:

AlChEJ,

6,

12

(1966).

UN ALGORITMO DE SELECCIÓN DE VARIABLES DE DISEÑO

55

Variables

K

U

(^

W2

W:í

W^

@@@

'4

(Ai),

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

56

I

U

Wi

W3

W4 •X-

"7"

X X

X

X X ")'-

-X-

FiG. 18.

X

X

-^ -^

-^

Segunda etapa.

Las variables restantes son las de diseño que resultan al ordenar resolución de las ecuaciones, adoptando como orden de precedencia de la misma el inverso del seguido en su eliminación. Si este algoritmo no conduce a la eliminación de todas las ecuaciones, se ha detectado un lazo de recirculación que no puede suprimirse simplemente mediante la selección adecuada de las variables

la

W2

W3

Wa

'.(r

^

^Z-

X

^ FiG. 19.

Tercera etapa.

)e

UN ALGORITMO DE SELECCIÓN DE VARIABLES DE DISEÑO

57

de diseño y que hace necesario resolver simultánea en lugar de secuencialmente algunas de las ecuaciones, pese a las ventajas que esto supone. En las figuras 17, 18, 19 y 20 se ha aplicado este sencillo algoritmo a la figura 16.

W'^ -^(r

FiG. 20.

En

la figura 21 se

Si se selecciona Wt,

muestra

como

el

Cuarta etapa.

orden de precedencia de los cálculos.

variable de diseño,

como

prescribe el algo-

ecuaciones de diseño pueden resolverse individualmente en el orden de precedencia indicado: la última etapa conduce al cálculo del área del cambiador de calor. ritmo,

las

siete

^A

Fio. 21.

Orden de precedencia

del cálculo.

Es interesante advertir que el área del cambiador de calor no sería recomendable como variable de diseño, ya que su uso como tal en este problema obligaría al ingeniero a un cálculo innecesariamente difícil en el que las relaciones de diseño habrían de examinarse simultáneamente.

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

58

3.7.

CALDERA DE EQUILIBRIO

A

continuación se ilustra el cálculo de los grados de libertad existentes en la caldera de equilibrio mostrada en la figura 22. La corriente alimento líquida entra a una presión y temperatura no especificadas, conteniendo C componentes. Se añade calor a la caldera se elimina del condensador si el alimento fuera vapor) para conseguir la vaporización parcial del líquido (o condensación del vapor), extrayendo de ella el líquido y el vapor producidos. La caldera ha de trabajar a una presión y temperatura todavía no especificadas, Ps (o

y

Ts,

que son

las

mismas de

las corrientes

de

salida.

Producto líquido

FiG. 22.

Caldera de equilibrio.

Para determinar el número de grados de libertad se enumerarán primero las variables. Número de variables

Alimento:

caudal de cada componente, temperatura, presión y entalpia

Vapor:

caudal de cada componente, entalpia.

Líquido:

caudal de cada componente, entalpia.

Caldera:

temperatura y presión caudal de entrada de calor

Caldera:

Total

C+3

3C + 8

FLUJO DE INFORMACIÓN A TRAVÉS DE SUBSISTEMAS

A

59

continuación se enumeran las relaciones entre las variables.

Número de

relaciones

* la temperatura, presión y composición cualquier calcular de corriente, se puede su entalpia por métodos termodinámicos. Esto es equivalente a una ecuación para cada una

Dada

de

las tres corrientes.

Para una temperatura y presión dadas en la caldera, se pueden calcular las composiciones del vapor y del líquido; existe una relación de equilibrio entre la fase vapor y la líquida para cada componente. Balances de materia alrededor de la caldera para cada componente

C

Balance de energía alrededor de

1

la caldera

Total

Grados

totales de libertad,

2C + 4

F = (3C + 8)-(2C + 4) = C + 4.

Por ejemplo, si se especifican los caudales de cada componente que entran al sistema (C variables) y se conocen la temperatura y presión del alimento, quedan libres un total de (C + 4)-(C + 2) = 2 variables. El diseñador puede modificar la presión en la caldera y el caudal de adición de calor hasta conseguir la separación de los componentes de forma económicamente óptima.

3.8.

FLUJO DE INFORMACIÓN A TRAVÉS DE SUBSISTEMAS

Estudiados ya la estimación de los grados de libertad y el flujo de información a través de las ecuaciones de diseño en algunos componentes elementales de un proceso, se pasará a considerar a continuación el problema del flujo de información del sistema en conjunto. Para ilustrar los efectos que pueden aparecer cuando se conectan componentes para formar un sistema, se considerará el proceso mostrado en la figura 23, consistente en un cambiador de calor, un ex-

*

de

La demostración de la consistencia de estos razonamientos es la regla de Gibbs para sistemas en equilibrio termodinámico, y constituye

las fases

un excelente

ejercicio.

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

60 Disolvente extractor puro (30 °C)

Cambiador

i

de calor

Recicto

de disolvente extractor

Agua

fría (20 °C)

Producto

Disolvente extract'or (30 °C)

Mezclador Fase extracto

Sedimentador

Caldera

Calor

Disolución alimento a

Fase refinado. (a desagüe)

extraer

FiG. 23.

tractor y separadas.

Diagrama de

flujo

de un proceso.

una caldera, todos analizados previamente como unidades

Un disolvente alimento conteniendo un soluto entra a la sección de mezclado de la unidad de extracción junto con una corriente separada de disolvente extractor. El caudal de alimento y la concentración de soluto están especificados por el planteamiento del problema. Cuando esta mezcla alcanza el equilibrio, se alimenta al sedimentador, del que se elimina el disolvente alimento residual por un vertedero y el disolvente extractor rico en soluto entra en la caldera para su concentración. Este extractor opera a temperatura ambiente y requiere disolvente extractor frío. La fase vapor rica en soluto procedente de la parte superior de la caldera es el producto del sistema, y la fase rica en disolvente extractor se recircula al mezclador

FLUJO DE INFORMACIÓN A TRAVÉS DE SUBSISTEMAS

61

desde su base. Esta comente debe enfriarse a 30 °C antes de entrar en el mezclador. Se añade disolvente puro adicional para reponer cualquier pérdida de disolvente en la corriente producto. Supóngase que el estudio se limita a un disolvente extractor determinado.

Alimento

Qf.

A

la

caldera

Qf Xo (a)

"fi

Del extractor

JJ

W. Yq

Tg

'

T P

Qs

Al cambiador

-^ Caudal "*~

y composición del producto

Adición de calor y "s presión de operación

(b)

Temperatura del refrigerante. 20 'C

Temperatura del disolvente requerida, 30°C _i_

W„

H

Área del cambiador de calor

De

caldera

la

jf

TI|t

e Caudal de refrigerante

ipo de

cambiador

(c)

Wm— Caudal

de disolvente puro

M

W

W¿

De

la

caldera

Al extractor

(d)

Flujo de información a través de los componentes

a) Extractor de libertad b) Caldera 4 grados locales de libertad c) Cambiador de calor: 4 grados locales de libertad; d) Preparación del disolvente extractor: 2 grados locales de libertad.

FiG. 24. 1

grado

local

;

:

:

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

62

Se mostrará ahora cómo se puede construir la estructura del flujo de información del sistema a partir de la estructura de los diversos bloques o subsistemas que la componen y las condiciones especiales que imponen en su operación. Extractor. En la figura 24, a se muestra el diagrama de flujo de información para esta unidad con las variables especificadas indicadas con un trazo que cruza sus flechas representativas.

Caldera.

A

la caldera

entran dos componentes,

el

disolvente ex-

tractor y el soluto recuperado. Se conoce la temperatura y la presión de este alimento, puesto que proviene del extractor como un líquido

en las condiciones del ambiente. Por tanto, hay dos grados de libertad por ejemplo, en la figura 24, b, la presión de operación en la caldera y el caudal de suministro de calor. El residuo es esencialmente disolvente extractor puro. ;

calor. Hay dos condiciones impuestas exteriormente cambiador: la temperatura del refrigerante, fijada en 20 °C, y la temperatura de la corriente de salida del cambiador, que debe ser 30 °C, tal como se muestra en la figura 24, c.

Cambiador de

en

el

Reposición de disolvente. Se necesita un bloque adicional para tener en cuenta la reposición de disolvente. Si se especifica la cantidad de disolvente fresco y la cantidad de disolvente que proviene del

cambiador es inmediato va hacia

En

el

cálculo del caudal total de disolvente que

el extractor.

la figura 25 se

muestra

la estructura del flujo

cómo

de información

ha dejado fuera del lazo de recirculación el cambiador de calor. Esto se debe a que la única condición que debe satisfacer éste es que la temperatura de la corriente de salida sea 30 °C, no teniendo repercusión sobre el resto del sistema la forma en que se realice tal operación, es decir, la información del diseño del cambiador no afecta al extractor. La conexión de los componentes consume grados de libertad; mientras la suma de los grados locales de libertad para los componentes es 1 + 4 + + 4 + 2 = 11, sus grados económicos de libertad son 5. En general, el número de grados de libertad para un sistema es igual a la suma de los grados de libertad de sus componentes F¿ menos el número de relaciones de conexión necesarias para ensamblar el sistema total: resultante para todo el sistema. Adviértase

Fs=/

F¿ —

número de

se

relaciones de conexión.

[3.8]

INVERSIÓN DEL FLUJO DE INFORMACIÓN DEL SISTEMA

63

En la figura 25 hay seis relaciones de conexión que establecen la igualdad de las entradas de un componente con las salidas de los adyacentes, con lo que Fs = ll — 6 = 5. f=20°C

f

Wx.

= 30°C

A^ Caudal de rerrigerante

M

Tipo de cambiador

W

Wj,

w Xp-^ Yo

P Qs^s

Qs.

T

Xo FiG. 25.

3.9.

Flujo de información del sistema.

INVERSIÓN DEL FLUJO DE INFORMACIÓN DEL SISTEMA

cómo la inversión del flujo de inforextractor simplificaba el análisis de dicha unidad. Ahora se considerará la inversión de la información a nivel de sistemas. Adviértase en la figura 25 cómo la información sobre una variación de la cantidad de disolvente puro añadido a la corriente de recirculación pasa al extractor, a la caldera, al cambiador de calor, e incluso retoma al lugar de la variación. Una recirculación compleja de la información requiere que se consideren simultáneamente todas las unidades cuando se están estudiando modificaciones de diseño en una unidad determinada, lo que constituye una situación molesta. ¿Es in-

En

el

apartado 3.5 se expuso

mación en

evitable?

el

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

64

Supóngase que se seleccionan como variables de diseño independientes los dos parámetros y W^. Esto requeriría inversiones de la información en el extractor. Esta inversión pasaría al bloque de reposición de alimento. La inversión de Wb requeriría una inversión en la caldera; con ello, quizá, se podría calcular el caudal de adición de calor Qs para conseguir el caudal de disolvente extractor deseado Wfi. En la figura 26 se muestra un nuevo diagrama de flujo de información.

W

1 H i

M

Wb

\W\ Yo

FiG. 26.

Reselección de

las variables

de diseño.

Adviértase cómo ahora, en teoría, las unidades pueden calcularse en cuenta la recirculación, en el orden de precedencia:

sin tener 1.

Extractor,

2.

Bloque de reposición,

3.

Caldera,

4.

Cambiador.

Una reselección de las variables independientes de diseño ha modificado la dirección del flujo de información y ha reducido el número de unidades que deben considerarse simultáneamente durante

SELECCIÓN DE VARIABLES DE DISEÑO

la

55

evaluación de un diseño particular, lo que constituye una situación

favorable.

Puede ocurrir que esta inversión, una de las varias posibles, no pueda efectuarse por implicar un flujo de información imposible a través de algún componente. Por ejemplo, ¿podrá calcularse el caudal de adición de calor requerido para generar un caudal de vapor de cabeza determinado a partir de un alimento a la caldera fijo? Si la respuesta es negativa, la inversión mostrada en la figura 26 no puede resolverse. A continuación se presentará un método sencillo para seleccionar las variables de diseño que incorpora la consideración parcial de las inversiones de información permitidas a nivel de unidad.

3.10.

EFECTOS ESTRUCTURALES DE LA SELECCIÓN DE VARIABLES DE DISEÑO

Algunas características aparentemente menores en la estructura un proceso pueden ser una fuente de dificultades para el ingeniero de diseño. Por ejemplo, un lazo de recirculación que conecta el final de un proceso con su comienzo puede obligar a emprender cálculos iterativos para cerrar los balances de materia y energía. Sin dicho lazo, éstos pueden calcularse componente a componente en un solo recorrido a través del sistema. Afortunadamente, el ingeniero de procesos no está a completa merced de cualquier estructura particular de flujo de información, ya que mediante una reselección de las variables de diseño puede modificarla adecuadamente. Se ilustrará este razonamiento considerando el proceso cuya estructura de flujo de información se muestra en la figura 27 y ampliando los conceptos del apartado 3.6. Las variables de diseño en este sistema se indican mediante flechas con su cabeza completa: pueden considerarse como información para el sistema, procedente del ingeniero de procesos. Las flechas con media cabeza indican variables de estado. Por ejemplo, el componente A tiene dos variables de entrada, una es variable de diseño, cuyo valor viene asignado por el ingeniero de procesos, y la otra es una variable de estado, procedente del componente G. Una vez se conocen los valores de estas variables de entrada, se pueden resolver las ecuaciones y calcular las dos variables de salida, pasando la información a los componentes B y D. E\ número de flechas de entrada a un componente es igual a los grados locales de libertad del mismo, número que se conserva durante las manipulaciones subsiguientes. Supóngase ahora que se han especificado por el ingeniero los valores de las variables de diseño y que han de calcularse las variables del flujo de información de

66

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

de estado. La estructura mostrada en la figura 27 es realmente difícil, ya que las ecuaciones de diseño para el sistema completo deben resolverse simultáneamente cuando se cambia el valor de cualquier variable de diseño. Los lazos de recirculación dentro del sistema son el origen de esta dificultad.

SELECCIÓN DE VARIABLES DE DISEÑO

67

La figura 28 representa la aplicación de la etapa 1 a nuestro ejemAdviértase que se han asignado previamente algunas variables de diseño a las etapas A y E; éstas pueden ser variables altamente restringidas, sobre las que se ha de ejercer un control riguroso, o bien variables que implican una elección entre alternativas discretas. El algoritmo permite cualquier preselección de variables de diseño que plo.

-^ \A. 2

B, 2

C, 2

E, 2

F, 3

Preferidas como variable de diseño por el ingeniero

\ D. 2

\^-

G, 3

FiG. 28.

Gráfico no direccional con indicación de los grauos locales

de libertad

fijos.

desee. La figura 29 muestra los resultados de dos pasos de las etapas 2 y 3 obtenidos al establecer las variables de salida para cada componente. Adviértase que en algunos casos se eligió la dirección del flujo de información entre varias alternativas posibles. Esto permite al ingeniero asignar direcciones preferidas al flujo de información, aplicando su perspicacia a la estructura, y favoreciendo así direcciones fáciles del flujo de información a través de determinados bloques. Asimismo, hay varios conjuntos de variables de diseño que eliminan los lazos de recirculación. La figura 30 muestra el flujo de información para la nueva disposición de las variables de diseño. Simplemente transformando algunas variables de estado en variables de diseño se han eliminado los lazos de recirculación. Por ejemplo, se pueden iniciar los cálculos especificando los valores de las dos variables (ahora variables de diseño) que conectan los componentes C y F y deduciendo a partir de ellas el se

ingeniería DE PROCESOS.

6

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

68

valor de la variable que conecta la unidad C a la unidad B. Una vez resuelta la otra entrada de B por el diseño del componente A, se puede calcular la salida de B, y así sucesivamente a través de todo el Paso

1

A, 2

\B. 2

C, 2

D. 2

E. 2

F, 3

\

G, 3

Paso 2

/

X^ 1.4,

2

C, 2

\ E, 2

Y FiG. 29.

En

/ F, 3

/

Aplicación de las etapas 2 y

3.

30 se muestra el orden de precedencia de estos que el ingeniero no necesita considerar cada vez más que un componente. La inversión de los papeles de variables de estado y de diseño conduce con frecuencia a problemas de bastante menor dificultad que el problema original. La manipulación de la estructura del flujo de información es la base de algunos de los métodos más poderosos de optimación, presentados en los capítulos 9 y 10. sistema.

la figura

cálculos, indicando

RECIRCULACION PERSISTENTE

69

0;den de precedencia del sistema

T iD

n

T

TI E

U 1

T 1 FiG.

30.

Flujo

de

información resultante tras de variables de diseño.

3.11.

En muchos

una nueva asignación

RECIRCULACION PERSISTENTE

procesos químicos es imposible eliminar todas las resimplemente por selección cuidadosa de las variables de diseño independientes, bien porque las variables de diseño no son suficientemente numerosas y las inversiones del flujo de información requeridas son difíciles de realizar, o bien porque las conexiones deseadas entre los componentes del proceso son excesivas. En dichas situaciones se deben calcular todas las variables comprendidas en los lazos de recirculación simultáneamente: es imposible llegar a encontrar un orden de precedencia para resolver el sistema. La recirculación persistente se detecta en los algoritmos de selección de variables de diseño, cuando ésta finaliza antes de que todas las unidades o ecuaciones se hayan eliminado. Por ejemplo, en la figura 31 la selección de las variables de diseño mediante el algoritmo circulaciones

70

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

hayan eliminado todas las puesto que no existen variables que aparezcan en una sola de ellas. Esto indica que las ecuaciones de diseño representadas por dicha figura no pueden resolverse sucesivamente y que la recircudel apartado 3.6 concluye antes de que se

ecuaciones,

lación persiste.

RECIRCULACION PERSISTENTE

71

SU cálculo. Así, la eliminación de la ecuación 1 proporciona la subestructura de la figura 32, cuya solución se ordena mediante el algoritmo de selección de variables de diseño.

Xi

X

^3

X4

Xs

Xe

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

72

puestos son suficientemente diferentes, no se ha conseguido la convergencia y se tantearán nuevos valores para los mismos. Este cálculo iterativo de la recirculación se continúa hasta que se consigue la coincidencia deseada entre los valores supuestos y calculados para dicha corriente. Una aproximación cuidadosa en dichos cálculos es de suma importancia en problemas industriales complejos. .

Valor supuesto X¿

FiG. 33.

Interacción sobre una corriente de recirculación. X3, X5, variables de diseño; Xg, variable de recirculación.

La primera etapa en un problema complejo de recirculación im-

más sencillo de corrientes de recircuObsérvese en la figura 34 que incluso en procesos bastante simples se presentan varios conjuntos diferentes de corrientes de recirculación. El conjunto más sencillo se define como aquél que implica el número mínimo de corrientes: caso II en la figura 34. Este conjunto requiere suponer los valores de un número mínimo de corrientes durante los cálculos de recirculación y, por tanto, se facilitan los plica la detección del conjunto lación.

cálculos iterativos. Con frecuencia es extremadamente difícil detectar el conjunto de recirculación más sencillo en un sistema mediante simple inspección, pero se han desarrollado recientemente algunos algoritmos elementales para ayudar al ingeniero *. Se mostrará ahora cómo puede detectarse fácilmente el conjunto de recirculación más sencillo utilizando estos algoritmos. Se comienza por trazar todos los ciclos del sistema y por construir un cuadro de ciclos. Steward ** y Norman *** siguieron proce*

**

***

W. Lee V

D. F, Rudd: AIChEJ. Noviembre 1966. D. V. Steward: /. SIAM Numer Anal, Ser. B, 2, 2 (1965). R. Norman: AIChEJ. Mayo 1965.

RECIRCULACION PERSISTENTE

73

dimientos sistemáticos para la detección de ciclos en un proceso complejo, cuando su simple trazado llega a ser enojoso. Las filas en el cuadro de ciclos corresponden a los ciclos, y las columnas corresponden a las corrientes. Aparece una entrada siempre que una

La estructura de los sistemas

74

un ciclo. En la figura 35 se muestra la tabla de ciclos para un proceso dado. Adviértase que aparecen varias corrientes en más de un ciclo: seleccionando adecuadamente dichas corrientes

corriente interviene en

se

pueden destruir varios Sistema muestra

ciclos.

RECIRCULACION PERSISTENTE

una columna de la tabla de ciclos está contenida en c.Xrl^.f'Z^'^''^ otra SI seleccionando la variable correspondiente a ésta como corriente

de recirculación, se eliminan todos los ciclos en que aparece primera. Por ejemplo, en la figura 35 las columnas 5, y ^3 esta^n contenidas en la columna S^; las columnas la

S, y S,, en la columna S Es obvio que no deb'lría escogerse Tcomc; corriente de recirculacion para romper el ciclo C, ya que seleccionando 62 se rompe tanto el ciclo A como el •

y

la

columna

S,,

en

la S,.

C. Esta menor eficiencia al '" '^'^""^" ^ ^°^^^ í^^ ^°l"^n^s contenidas !n en 'íi'°"'/r^'°T'"'' e la, debiendo descartarse todas como posibles corrientes de recirculacion.

Una

vez eliminadas de esta manera las columnas contenidas en de ciclos a las columnas restantes se las denomina independzentes. En la figura 36 se ve cómo la eliminación de las coto-

f\

S2

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

76

3.12.

CÁLCULOS DE RECIRCULACION

En las secciones anteriores se han desarrollado métodos para la organización del análisis de sistemas de procesos complejos de modo que el ingeniero no necesita implicarse en cálculos innecesarios para determinar simplemente cómo pueden propagarse a través del sistema variaciones en el diseño de alguno de sus elementos. En muchos procesos no será posible colocar por orden de precedencia las ecuaciones de diseño, y persistirán lazos de recirculación; por consiguiente, será preciso efectuar algún tipo de cálculos iterativos para resolver aquéllas. En general, estos cálculos presentan dificultades, por lo que a continuación se resaltarán los problemas de convergencia que pueden surgir en su solución. fiecircLJiación

de alimento

Alimento fresco 1

->4 Producto puro

FiG. 37.

Un

sistema reactor-separador.

Considérese el sencillo problema consistente en calcular numéricamente el lazo de recirculación del sistema reactor-separador mostrado en la figura 37. El alimento entra al proceso y se mezcla con la recirculación del alimento no reaccionado. Esta corriente entra al reactor, donde se convierte parcialmente en producto (en este caso un 50 por 100 de conversión) y pasa a continuación al separador, del que salen la corriente de recirculación de alimento no reaccionado y la corriente producto. Las ecuaciones que describen el proceso son:

3.

A3 = 0,5A2 Ai=As A2=Ai + A5

4.

Al =

1.

2.

donde

A

1

000

indica

(50 por 100 de conversión en el reactor), (se recircula

todo

el

(mezcla de las corrientes de recirculación y mento), (cantidad alimentada

el

alimento no reaccionado),

al

sistema),

caudal expresado en kilogramos por hora.

ali-

CÁLCULOS DE RECIRCULACION

Suponer

Suponer

/\,

/\¿

Resolver la ecuación 3 para obtener ¿A.

Resolver la ecuación para obtener A,

Resolver la ecuación 2 para obtener A,

Resolver la ecuación 2 para obtener A.

Resolver la ecuación 1 para obtener un nuevo

Resolver la ecuación 3 para obtener un nuevo valor «mejorado» de ¿A,

valor «mejorado» de

A-,

la

1

Repetir hasta conseguir

Repetir hasta conseguir

FiG. 38.

77

la convergencia

convergencia

Dos

estrategias para el cálculo de una recirculación. La corriente de recirculación se rompe suponiendo un valor para A2-

Este problema se puede resolver analíticamente, obteniéndose A2 = 2 000, A3 = A5 = 1000, pero en un caso más complicado deberá utilizarse un método iterativo de aproximaciones sucesivas. Sin embargo, se utilizará este sencillo ejemplo para ilustrar la importancia de una estrategia de cálculo adecuada en dichos casos. Considérense las dos estrategias razonables mostradas en la figura 38, que surgen de un estudio de la estructura de las ecuaciones, implicando las

Estrategia

Estrategia

2

3

Número de FiG. 39.

II

I

4

5

iteración

Propiedades de convergencia de

las estrategias I

y

II.

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

78

dos una «rotura» de valor de Ai para

de recirculación (es decir, se supone seguida por la sustitución sucesiva del valor fijado para la variable «rota» en la secuencia de cálculo. La figura 39 muestra los resultados de estos dos métodos de cálculo: uno converge; el otro diverge. La única diferencia entre los dos es la dirección del cálculo. Los problemas de rapidez de convergencia de los cálculos de recirculación, o de su divergencia, se presentan repetidas veces en la industria. Una gran compañía habrá programado generalmente en el ordenador diversos esquemas para acelerar la convergencia de recirculaciones, y será necesario determinar empíricamente la mejor aproximación para un tipo determinado de problemas; por ejemplo, los de diseño que implican sistemas con unidades de vaporización súbita. En este libro no se profundizará en estos métodos. el

la corriente

iniciar

3.13.

los cálculos),

CONCLUSIONES FINALES

Entre los conceptos básicos introducidos en este capítulo, el más importante es la existencia de un cierto número de grados de libertad en el diseño de un proceso propuesto. El diseñador utiliza esta libertad para ajusfar los detalles que se acomodan mejor al criterio de diseño económico. Se ha mostrado que puede alterarse el aspecto global de un problema de diseño mediante una selección cuidadosa de las variables, y que la valoración de sus detalles técnicos puede efectuarse mucho más fácilmente si se realizan algunas pequeñas previsiones. Se debe señalar que la determinación de las variables, ecuaciones de diseño y estructuras del flujo de información no es una tarea sencilla en problemas de diseño industrial, y se requiere un considerable trabajo fundamental antes de conseguir revelar la anatomía de un problema. El ingeniero no conoce inicialmente cuáles son las ecuaciones de diseño, cuáles las variables importantes, o cuál es la estructura del sistema deseado; sólo dispone de una representación verbal del problema. Esto le fuerza a considerar los siguientes factores prácticos :

Variables ocultas y dominantes. Por ejemplo, con frecuencia es necesario considerar sólo los componentes clave en cálculos de destilación y no tener en cuenta Jas trazas de impurezas como variables. Sin estos compromisos prácticos, los cálculos en este tipo de problemas podrían alargarse mucho y consumir un tiempo excesivo. Sin embargo, por otra parte, trazas de algunos compuestos pueden tener un efecto adverso sobre la purificación bacteriana del residuo de un proceso, con miras a la disminución de la polución; en tal caso, la

CONCLUSIONES FINALES

79

presencia de estas trazas que fue olvidada premeditamente en la desdominante en la resolución del problema. Las variables no sólo pueden olvidarse inadvertidamente, sino que pueden desconocerse completamente. Muchas veces se ha diseñado, construido y puesto en funcionamiento un proceso, y existe un factor desconocido que desempeña un papel importante. Un diseñador puede «olvidarse», o quizá desconocer, que 0,2 por 100 de NO2 en el gas de síntesis de un convertidor de amoniaco envenenará el catalizador. Esta variable olvidada podría ser la causa del fallo de algún gran proyecto. Por otro lado, las relaciones de diseño pueden ser sumamente sensibles a cambios en una variable. Por ejemplo, si se diseña un reactor para operar cerca del punto de ignición, una variación en el caudal del alimento del reactor puede extinguir la reacción en el mismo, causando la interrupción del proceso. No es deseable esta sensibilidad excesiva, ya que puede indicar una incertidumbre en el proceso o una formulación inadecuada de las relaciones de diseño. Estos juicios sobre la valoración de la importancia relativa de las variables (juicios que bien pueden ser el factor clave en la obtención de una solución para un problema) no pueden establecerse con frecuencia de forma inmediata al iniciar el planteamiento de las ecuaciones y variables y sólo aparecen posteriormente, cuando se ha adquirido alguna experiencia acerca del problema particular que se está tratando. Se resalta aquí esta dificultad de modo que el ingeniero pueda apreciar más ampliamente las complicaciones que pueden apatilación llega a ser

recer.

La presencia de limitaciones. Las ecuaciones de diseño pueden considerarse como requisitos que deben cumplir los valores de las variables. Solamente algunos valores muy definidos de las mismas satisfarán los objetivos del proceso, además de cumplir las ecuaciones de diseño.

Con frecuencia aparecen restricciones o limitaciones en forma de desigualdades que limitan el intervalo de variación de las variables. Por ejemplo, las fracciones másicas deben estar comprendidas entre cero y uno, las presiones no pueden exceder el límite de ruptura de un recipiente, las temperaturas han de restringirse para evitar la solidificación de un fluido en una conducción. Las especificaciones de un producto son también una forma de limitación. Estas restricciones pueden expresarse como

donde g^ y g* son gida

g.

los límites

del

intervalo de la

relación

restrin-

80

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

Para la determinación de los grados de libertad en un problema de diseño, pueden ignorarse estas limitaciones, ya que no imponen requisitos estrictos sobre si una variable puede o no manipularse. Simplemente limitan su intervalo de variación posible, es decir, los valores numéricos que puede asumir. Sin embargo, las restricciones proporcionan un criterio respecto a la estrategia a seguir para la selección de las variables de diseño. Recuérdese que las variables de diseño son aquellas que han de fijarse, y las variables de estado las que se determinan mediante la solución de las ecuaciones de diseño. Puesto que deben satisfacerse las restricciones, cuando sea posible es aconsejable utilizar como variables de diseño aquellas que presenten un menor intervalo de variación, ya que así, durante la optimación, son menos los valores que se le pueden asignar. Por ejemplo, si la temperatura de reacción en un proceso está limitada a un intervalo de 10 °C, puede ser adecuado utilizar esta variable como una variable de diseño, probando temperaturas diferentes hasta que se alcance un rendimiento óptimo del reactor. Si, por el contrario, se hubiese considerado esta temperatura como variable de estado, una vez resueltas las ecuaciones de diseño sería preciso comprobar si el valor obtenido satisfacía la restricción. Así, pues, la regla intuitiva general a seguir es: siempre que sea posible, las variables de diseño deberán ser aquellas más restringidas o limitadas. Factores de preferencia. Las restricciones introducidas en el epígrafe anterior permiten alguna libertad de movimiento de las variables,

pero no pueden violarse. Existen otras limitaciones menos exigentes que pueden incumplirse si fuese necesario. Son los factores de preferencia, que no pueden expresarse fácilmente en forma cuantitativa, apareciendo en el problema de diseño de una forma subjetiva. Los factores de preferencia tienden a forzar el diseño hacia aquel sistema que tiene el «aspecto adecuado», es decir, que causa buena impresión respecto a una facilidad de manejo, compacidad, accesibilidad para servicio y reparación, y otras cualidades similares. Un diseño que exige una pieza del equipo delicada, implica una red de tuberías excesivamente compleja o requiere algo no usual, puede rechazarse porque presenta algún aspecto incómodo. Estas limitaciones de preferencia pueden no atenderse si se demuestra que su cumplimiento se traduce en otras desventajas que superan a los inconvenientes iniciales.

bibliografía

g]_

Bibliografía

Un

pionero sobre

artículo

el

de los grados de libertad es

análisis

E. R. GiLLiLAND y C. E. Reed: «Degrees of Absorption and Rectification Columns», (1942).

Un

análisis

Freedom

trabajos

P.

in Separation Processes»,

sobre análisis de grados de libertad:

Morse:

L.

Multicomponent

completo de varios componentes de proceso se encuentra en

M. Kwauk: «a System for Counting Variables AIChEJ, 2, 2 (1956).

Más

in

Eng. Chem., 34, 551

Ind.

Ind. Eng. Chem.. 43,

1863 (1951).

M. O. Larian: Petrol. Refiner, 32, 219 (1953). L. Bertrand y J. B. Jones: Chem. Eng., 68, 139 (1961). B. D. Smith The Design of Equilibrium Stage Processes. McGraw-Hill, Nueva York, 1963. P. FoLDEs e I. Nagy: Periódica Polytech. Chem. Eng., 2, 10. Budapest, :

1966.

G.

M. Howard:

Ind. Eng. Chem., Fundamentáis,

1,

6

(1967).

Un excelente libro de texto sobre modelos matemáticos y estructura de las ecuaciones de diseño es D.

M. HiMMELBLAU y K. B. Bischoff: Process Analysis and Simulation. Wiley, Nueva York, 1968.

Véase también: R.

G. E. Franks Mathematical Wiley, Nueva York, 1967. :

Las referencias básicas en ción son

la

Modeling

in

Chemical Engineering.

teoría de la estructura del flujo de informa-

D. V. Steward: «On an Approach to Techniques for the Analysis of the Structure of Large Systems of Equations», SIAM Review, 4, 4 (1962).

D.

V. /.

Steward:

SIAM

«Partitioning

and

Niimer. Anal., Ser. B,

2,

Tearing Systems 2 (1956).

of

Equations»,

El análisis de la estructura del flujo de información constituye la base para el desarrollo de programas de ordenador para el análisis automático de procesos complejos, tal como se indica en R.

W. H. Sargent

y A.

W. Westerberg:

Trans. Inst.

Chem.

Engrs., 42.

Londres, 1964.

Más

trabajos en esta área se encuentran en

W. Lee, J. H. Christensen y D. F. Rudd: AIChEJ., W. Lee y D. F. Rudd: AIChEJ., 6, 12 (1966). J.

H. Christensen y D. F. Rudd:

6,

AIChEJ., 14 (1968).

12

(1966).

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

82

Para información sobre cálculos de procesos industriales véase, por ejemplo

En

L. Norman: Chem. Eng. M. Rosen: Chem. Eng. Progr., 10, 58

A. E. Ravicz y R.

Progr., 5,

E.

(1962).

las siguientes

de ordenadores para

60

(1964).

obras se han publicado los progresos realizados en el uso el análisis de sistemas:

Shannon, a. i. Johnson, C. M. Crowe, T. W. Hoffman, A. E. HaMiELEC y D. R. WooDs: Chem. Eng. Progr., 6, 62 (1966). Chemical Plant Simulation. Wiley, Nueva York C. M. Crowe y cois. P. T.

:

(en prensa).

EJERCICIOS 1.

Para enfriar una corriente de proceso se utiliza como refrigerante un líquido en ebullición en el siguiente cambiador de calor (véase Fig. 40),

^ Vapor Fluido caliente

j.

Fluido frío

ti

W

Refrigerante

FlG. 40.

donde

las variables

son:

caliente, Fi, kg/h Calor específico del fluido, Cp, kcal/kg

Caudal del fluido

Temperatura de entrada, t\, K Temperatura de salida, tj, K Caudal de refrigerante, W, kg/h Calor de vaporización, X, kcal/kg Temperatura de ebullición, í^, K Área de transmisión de calor. A, m^ Coeficiente global de transmisión de

En

este

a)

Dedúzcanse

problema

se

las

conocen

los valores

calor,

Fi(íi-Í2)Cp = XW

=

U, kcal/h °C

de estas variables.

ecuaciones de diseño

(Ar)inl

K

Í1-Í2

ln[(íi-í /Í2-í^)]

m^

EJERCICIOS

b)

c)

83

¿Cuántos grados de libertad existen en este diseño? ¿Qué variables de diseño se deberían recomendar? quiere

Si

se

Fi

= 500

¿Qué

kg/h

que y

íi

K con las condiciones del ¿2 = 400 = 450 K. ¿Cuántos grados de libertad

alimento existen?

de diseño deberían sugerirse?

variables

Ha

de utilizarse un reactor de mezcla perfecta, continuo, adiabático, para llevar a cabo la reacción química de primer orden A —> B. La química-física de la reacción está estudiada y se dispone de los siguientes datos Calor de reacción. A//, kcal/kg Calor específico, Cp, kcal/kg K Constante de velocidad de reacción, Energía de activación, EjR, K a)

Dedúzcanse

las

ecuaciones

siguientes

k,

de

1/seg

diseño

para

el

reactor

(véase Fig. 41).

FqAo = FoAi + VAifc e-E/«í.

Ao-Ai = Bi-5o FQCpto=VAik e-EIRu

Fo Reactor

^H + FfjCph

Fo Ax "fíi

fío

FiG. 41.

Las variables se definen

como

Caudal de alimento, Fq, kg/h Composiciones, Aq, Ai, kg A/kg So, Bi,

kgB/kg

Temperaturas, to, ti, K Capacidad del reactor, V, kg b)

Si el reactor ha de recibir alimento a to=350 K, con Ao = 0,20 y Bq = 0,00, ¿cuántos grados económicos de libertad existen? ¿Qué variables de diseño deberían sugerirse? ¿Qué parámetros de recircu-

lación existen? c)

varía el problema si se impone como condición adicional que composición del producto sea Bi = 0,10?

¿Cómo la

ingeniería de procesos.

7

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

84 3.

el producto del reactor del problema 2 tenga urla composición fija Bi = 0,10 kgB/kg. Esto se consigue controlando la temperatura de reacción con una refrigeración exterior de parte de la mezcla reaccionante que vuelve ai reactor. En la figura 42 se muestra el proceso

Se requiere que

que

se

ha formado uniendo

componentes de

los

los

problemas

1

y

2.

fo=500 kg/h ío=350

K

^Bi = 0.10

= 0,20 5o = 0,00

>\o

Refrigerante

FiG. 42.

de

alrededor

a)

Modifiqúese

b)

blema 2 para incluir las contribuciones de la corriente que pasa a través del cambiador de calor, ¿Cuántos grados de libertad existen? ¿Qué variables de diseño de-

c)

berían sugerirse? ¿Qué ocurre si la

el

balance

energía

bomba de

cambiador tiene capacidad de calor es A = 50 m^?

fija

del

reactor

del

pro-

recirculación situada en el circuito del Fi

= 500

kg/h y

el

área del cambiador

Para conseguir la composición de producto requerida, además de controlar la temperatura, se mezcla el producto de salida del reactor con B puro, como se muestra en la figura 43. Fi kg/h

Puro B

B =0.10 Fo=500 kg/h fo=350 Ao = 0,20

K

^0 = 0,00

FiG. 43.

EJERCICIOS

g5

a)

¿Cuántos grados de libertad existen en este diseño? ¿Qué variables de diseño deberían sugerirse?

b)

Supóngase que han de utilizarse un cambiador de calor y un reactor con A = 50 m^ y y = 300 kg de capacidad, respectivamente. ¿Qué variables de diseño deberían recomendarse? disponibles

Para

aumentar

sistemas a)

la

complejos

economía de los procesos de cambiadores de calor.

se

usan

frecuentemente

¿Cuántos grados de libertad existen en las ecuaciones de diseño del cambiador de calor único mostrado en la figura 44?

¿3°C,vy3kg/h

¿2

<

WA W

h'^C,W, kg/h

^U C>=10A(Ar)ml
= Wi(f2-í,)

(Ar)ml =

(Í2-Í3)-(Í4-íl)

FiG. 44.

b)

Utilizando el método resumido en la ecuación [3.8], determínense grados de libertad del sistema de intercambio de calor en el proceso de reacción mostrado en la figura 45.

los

c)

Selecciónense las variables de diseño.

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

86

^=200"C

50 "C FiG. 45.

6.

Ha

de licuarse un vapor saturado puro por compresión y enfriamiento. Supóngase que se dispone de los datos termodinámicos vapor-líquido en forma del diagrama temperatura-entropía (véase Fig. 46).

Pj— 1 atm

S FiG. 46.

EJERCICIOS

87

Suponiendo compresión ideal isentrópica a)

Calcúlense los grados totales de libertad del sistema con y la válvula B cerrada. Sugiéranse variables de diseño aconsejables.

la

válvula

A

abierta b)

Dedúzcanse los grados de libertad del sistema descrito en la figura 46 si en la expansión ha de producirse una mezcla de vapor y líquido a 1 atm (puntos 1 y 6 en el diagrama t—S). En este caso, las válvulas A y B están parcialmente cerradas. 8.

El ciclo de compresión de vapor se utiliza con frecuencia en los procesos de purificación de agua. Para ello se hace hervir agua fría utilizando como medio de calefacción el vapor de agua producido comprimido, tal como se muestra en la figura 47. Vapor

101 "C

1

atm

101 <:C

Descarga de agua

Condensado 105°C 3800 l/h FiG. 47.

Caldera de compresión de vapor.

A partir de los datos dados en la figura y en las tablas de vapor de agua, calcúlese la cantidad de energía que debe suministrarse mediante el compresor y la cantidad de agua que se obtiene. Si el coeficiente global de transmisión de calor para el condensador es 500 kcal/h m^ °C, calcúlese el área de transmisión requerida. Para conseguir economía en la compresión de vapor es deseable recuperar el calor del vapor condensado precalentando el agua de alimentación a la caldera. ¿Cuántos grados de libertad adicionales aparecen en el diseño mostrado en la figura 48 respecto al diseño de la figura 47?

La estructura de los sistemas

Agua de mar /-^ 27°C / < /

<

EJERCICIOS

13.

89

En

este problema se sintetizarán diversos sistemas (alternativos), se seleccionarán las variables de diseño más adecuadas, se ordenarán los cálculos y se estimará el beneficio bruto para cada conjunto de condiciones operativas planteado. Esta última etapa sólo podría realizarse de forma completa conociendo los métodos de estimación de costes, que se esta-

aquí se han incluido los valores de los costes enunciado del problema. Ha de diseñarse un sistema de proceso para tratar 20 000 kg/h de un disolvente 5 que contiene 0,20 kg de soluto 5 por kilogramo de S. El disolvente S puede venderse a 14 ptas./kg, independientemente de su contenido en soluto. Sin embargo, el soluto í vale 140 ptas./kg cuando se encuentra en disolución con el disolvente extractor W. Se desea obtener un extracto con una concentración de 0,80 kg de s por kilogramo de W. El disolvente extractor cuesta 100 ptas./kg, y se dispone de él en cantidades ilimitadas. Todas las materias se encuentran

blecen en

como

el

parte

capítulo 5;

del

W

a

21 °C. Se dispone de los sistema de proceso

siguientes

elementos para

la

síntesis

del

mejor

La transferencia del soluto s del disolvente 5 al disolpuede llevarse a cabo en extractores de etapas de equilibrio que pueden trabajar hasta una capacidad máxima de 5 000 kg/h (véase Extractores.

vente

W

Fig. 50).

FiG. 50.

Distribución de soluto entre las fases 1,8

íe-28 60

W

i/g y x^ son los kilogramos de 5 por kilogramo de y 5, respectivamente, en equilibrio a í^ °C. Esta expresión es válida hasta íe = 90°C, por encima de la cual el extractor no puede funcionar.

donde

Balance de materias (soluto)

Wyi+Sxo=Wy^+SXe Balance de energía

Wíi+Sío = (W + S)íe Coste de amortización

la

del

El coste total de la extracción, incluida equipo y los costes de operación, es

extracción.

C= 35 + 14-5

ptas./h.

la

LA ESTRUCTURA DE

90 Separadores.

Una

LOS SISTEMAS

disolución de í en

un separador de disolvente (véase

Fig.

W

51).

puede concentrarse mediante El separador puede producir

W3, r3=120"C

A

^h y\, U

^Wj.

?/2

= 0,80

kg 5/kW

—O

Fig. 51.

un máximo de

2 500 kg/h de ecuaciones de diseño son

W

puro a una temperatura de 120 "C. Las

Balance de materias

Wiyi = W2 0,80 Coste de separación I

Cs= 14+

~

218-1,8

í

íi

\ j

14

Wi

ptas./h

Calentadores. Se puede calentar cualquier corriente de F kilogramos por hora, con un caudal de calor inferior a C>h = 250 000 kcal/h, mediante el calentador mostrado en la figura 52.

F, ¿o-

-i>í", tx

Fig. 52.

Balance de energía FtoCp + OH = FtyCp

C„=l Coste de calefacción C//

= 400

ptas./106 kcal

de

Qh

EJERCICIOS

Refrigerantes.

mos por

hora,

91

Se puede enfriar cualquier corriente de F kilogracon un caudal de calor inferior a C*c=10 000 kcal/h

(véase Fig. 53).

F,to

C>i

C

-l>i^,

íi

V Qc Fig. 53.

Balance de energía FtoCp — Qc=FtiCp

Cp=l Coste de refrigeración

Cc=120 Cambiadores

de

calor.

Se

ptas./106 kcal.

pueden

utilizar

cambiadores

de

calor

para transmitir calor desde cualquier fluido caliente con un caudal Fj a cualquier fluido refrigerante con un caudal F2 (véase Fig. 54). F2,t2

FiJi

Í>Fi,f3

í> Fo,

fi

Fig. 5^.

Balances de energía

Q = Fi{ti-ti)Cp Cp=l

kcal/h

Fiíi+F2f2 = F,Í3 + F2Í4

Ecuación de diseño del área del cambiador C> = 50

•

A(íi

— Í2),

donde

A

es el área

en metros cuadrados.

Coste del cambiador de calor. El coste de un céimbiador de calor con su área por la siguiente ecuación

está relacionado

Cx = 4,2 Al/2

ptas./h

LA ESTRUCTURA DE LOS SISTEMAS

92

Suponiendo que se dispone de cualquier número de elementos de equipo normalizados, desarróllense alternativas de diseño, reúnanse las ecuaciones de diseño para cada una de ellas y selecciónense las variables de diseño, así como los valores razonables para las mismas. Calcúlese a continuación el beneficio bruto de los procesos propuestos.

un sistema consistente en extractores y separadores en

Sintetícese

a)

paralelo

sin

Sintetícese

b)

calefacción

ni

enfriamiento.

un sistema múltiple de extractores-sedimentadores en con-

tracorriente.

Introdúzcanse los calentadores, refrigerantes y cambiadores de calor para aprovechar las ventajas de una mejor extracción a temperaturas superiores.

c)

necesarios

14.

Un

alimento de composición dada puede dividirse en dos fases siempre la temperatura de destilación súbita T se encuentre entre las temperaturas de burbuja T^ y de rocío T^ del alimento, calculadas a la presión a que se realiza la separación, P. Para un alimento binario, se considerará el sistema mostrado en la figura 55.

que

F moles X,

X2F

V

moles h-i

L

moles h~^

h~i

P,T

fracción molar

de los componentes 1 y 2

X2L FiG. 55.

A

continuación se indican los balances de materia y

las

relaciones

de

equilibrio

F = V+L XifF = YivV + XilL

X2fF=Y2vV+X2lL XiF + Xip = = Y2VIX2L

Yiv-^Yjv—^

K.\

— YwlX\L

Supóngase que en una situación dada se han fijado T y P.

Xif,

K,

1

K, = K,{T,P) K2 = KiT,P) los

valores F,

EJERCICIOS

a)

93

grados de libertad en la determinación de las restantes En caso afirmativo, ¿cuántos? Sean por ejemplo 3 los grados de libertad encontrados en la parte a). ¿Existen

variables? b)

¿Qué B.

significa este resultado?

Supóngase que en otras circunstancias sólo se especifican ¿Existen grados de libertad en la determinación de las

En

variables? C.

caso

F

y Xjf. restantes

¿cuántos?

afirmativo,

Considérense los efectos térmicos asociados con este proceso de separación en el caso en que se especifiquen tanto F y Xjf como la temperatura del alimento, Tp y su presión Pp. Las entalpias del alimento, vapor producido y líquido residual, son Hp, Hy y Hl, respectivamente. En tal caso

Hp=^ HpiTp, Pp,

Xjf).

Hv=Hv(T,P,Yiv).

Hl = Hl(T,P,Xil)P5 = Presión del alimento. 7^= Temperatura del alimento. Si

entalpias

las

se

refieren

a

unidades molares,

el

balance

de

energía será

Q + FHf=VHv + LHl, donde

Q

es la

cantidad de calor introducida

al

sistema por unidad

de tiempo. a)

b) c)

¿Por qué puede requerir el sistema un aporte de calor? ¿Cuántos grados de libertad existen en este caso? Si el componente 2 es relativamente poco volátil, puede suponerse que Y2v=0, con lo que los balances de materia, relación de equilibrio y balance de energía se reducen a

F= V+L X,pF = V + XilL X2pF

X2lL

Xif + X2F = 1 XiL + X2L=l

K^

= llXiL

Ki=K,{T,P)

Q + FHp = VHy -f LHi^ Hp = /íf Tp, Pp, Xip) Hv = Hv(T,P) Hl = H¿T,P,X,j} (

el número de grados de libertad y, caso de ser positivo, seleccionar las variables de diseño e indicar el orden de precedencia de los cálculos así como el procedimiento utilizado para ello. Supóngase que en la parte c) se han obtenido 3 grados de libertad

Determinar

d)

y que se ha establecido el orden de precedencia de los cálculos seleccionando T, P y X^. Indíquense los intervalos dentro de los cuales es previsible que deben encontrarse estas variables.

CAPITULO

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

Una vez establecida la existencia de grados económicos de libertad en el diseño de un proceso, se delimitarán ahora criterios de diseño que conduzcan a la determinación de estas variables libres y que ayuden a la selección entre las posibles alternativas. Muy frecuentemente el criterio de selección se traduce en la pregunta siguiente: ¿Cuál de las alternativas viables es previsible que mejore más el estado financiero de la firma en un futuro razonablemente próximo? Para responder a la pregunta se requiere la comprensión de los principios básicos de la Economía, tema al que se dedica este capítulo. Problema

típico

proceder al aislamiento de temperatura en un proceso químico. Siendo este capital disponible insuficiente para satisfacer todas las demandas de aislamiento, ¿cuál es el mejor modo de aislar los componentes utilizando este capital limitado? Se

ciertos

dispone

de

10 000

dólares

componentes que operan a

4.1.

para

alta

INTRODUCCIÓN

La exploración preliminar de las alternativas de un proceso se basa frecuentemente en un análisis aproximado de las mismas que procura descubrir sus puntos débiles fundamentales. No obstante, cuando se centra la atención en las alternativas más plausibles, se requiere precisión: los simples principios de la inspección previa resultan demasiado cualitativos para su análisis. El ingeniero debe definir el entorno económico en que funcionará el proceso y establecer un criterio que, seguido durante el diseño, pueda conducir al proceso económicamente óptimo. Aquí aparece un dilema fundamental. Por un lado, es evidente que el proyecto en cuestión requerirá una conjunción de recursos en forma de inversión de capital y de talento, por lo que afectará a todas las demás actividades de la empresa. Siendo así, la ingeniería

TÉRMINOS USADOS EN ESTUDIOS DE RENTABILIDAD

95

de un proceso determinado no puede realizarse con completa exactitud no se consideran simultáneamente todos los demás proyectos en

si

curso. Por otro lado,

este problema es tan extremadamente largo y complejo que no puede ser manipulado en conjunto y debe descomponerse en otros problemas aproximados más pequeños y más simples que puedan resolverse en un periodo razonable de tiempo y con un consumo moderado de esfuerzo. La resolución de este dilema ha requerido el desarrollo de los criterios económicos de diseño para su aplicación a un proyecto dado. Sin embargo, antes de que se pueda emprender el examen de los principios que gobiernan los criterios de diseño, es necesario conocer los conceptos y términos básicos usados en estudios de rentabilidad. ello se dedican los dos apartados siguientes. Después se muestra cómo aparecen los criterios de diseño como soluciones aproximadas de un problema de inversión de capital extremadamente complejo. A continuación se analiza cómo se alteran los criterios de diseño si se limita el capital disponible, y cómo aparecen otros criterios si se modifican los objetivos de la empresa a largo plazo.

A

4.2.

DEFINICIÓN DE LOS TÉRMINOS USADOS EN ESTUDIOS DE RENTABILIDAD

En este apartado se definirán los términos que intervienen en la estimación del valor económico de un sistema propuesto. La figura 56 ilustra los símbolos que se manejarán. Capital fijo invertido, I. El capital total / puede dividirse según grado de riesgo en tres partes: el capital inmovilizado en el área de proceso Ip, el invertido en servicios auxiliares I^ y el destinado a el

capital circulante

Iw

¿=If + Ií + Iw riesgo decreciente

[4.1]

-^

Todas ellas son cantidades fijas de dinero que se invierten y arriesgan en interés del sistema propuesto. El capital / se mide en unidades monetarias (dólares, pesetas, etc.), y no debe confundirse con los costes de operación, que tienen dimensiones de unidades monetarias por año. Capital inmovilizado, Ip. Es el capital invertido en todo el equipo situado dentro de los límites del área de proceso. El área de proceso es generalmente una zona de la planta en la que se llevan a cabo las operaciones específicas del mismo, distinguiéndose de otras áreas de servicios generales, tales como almacenamiento, pesaje, distribución o

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

96

S

/^

">

Ventas

Capital

inmovilizado

c Coste de

V_

R Beneficio

fabricación

bruto

el

">

k_

Recuperación del capital

{R-dl]t Impuestos

\7 Capital invertido /

pesetas

FiG. 56.

Nuevo

capital creado P pesetas /año

Flujo del dinero asociado a

un proceso.

producción de vapor. Normalmente, el término se refiere a una sala~^ o zona específica de un edificio, o a una superficie de terreno ocupada \ por el proceso en cuestión. Las inversiones en bienes de equipo del área de proceso presentan el mayor grado de riesgo, porque si, por cualquier causa, el sistema debe cesar la producción bruscamente, por ejemplo, si los cambios del mercado hacen que en lo sucesivo la operación deje de ser rentable, este capital sólo puede recuperarse par-

\

cialmente.

Capital para servicios auxiliares, 7^. Los elementos tales como ge-^ neradores de vapor, depósitos de combustible, servicios de protección contra incendios, están situados comúnmente fuera del área de proceso y en general son utilizados simultáneamente por diversos siste'

TÉRMINOS USADOS EN ESTUDIOS DE RENTABILIDAD

97

mas de proceso que forman

parte de un gran complejo. Cada sistema que requiere estos servicios auxiliares debe pagar una fracción de su coste.

La estimación de este coste puede hacerse de diversas formas. En muchos casos, los servicios auxiliares tendrán un uso continuo para otros procesos. El sistema que se está diseñando en este momento puede entonces ser recargado en una cuota o precio interno anual para los servicios que requiera, en proporción a las cantidades totales específicas consumidas; en este caso, el total invertido en equipo para producir estos servicios auxiliares no se considera como capital arriesgado en este proyecto. Cuando el consumo específico no puede determinarse fácilmente, como ocurre con la protección contra incendios, el sistema puede ser recargado en una cuota fija para servicios auxiliares, que puede estimarse como una fracción del valor del inmovilizado. El uso de esta cuota fija o precio interno se considera que forma parte de los costes de operación, que se discuten más adelante.

Capital circulante, I^. Es el capital invertido en el sistema, en forma de dinero efectivo, para prevenir gastos de operación y mantenereT almacén de materias primas y productos. Normalmente, se requiere que el sistema disponga de materias primas, productos y dinero efectivo suficientes para la operación de un mes como prevención frente a imprevistos. Tomando un ejemplo extremo: los molinos de taconita del norte de Minnesota deben almacenar la producción total de mineral de hierro enriquecido de todo el invierno hasta que el

lago Superior se abre a la navegación en primavera.

En

tales con-

una cuota por el uso de este capital circulante, pues si no, aunque éste es completamente realizable, el proceso puede hacerse antieconómico y ser abandonado. diciones, el sistema debe ser recargado en

Costes de producción, C. Los costes de producción, C, que sirven para mantener en funcionamiento el sistema en la forma prevista, tienen las dimensiones de dólares por año y pueden dividirse, aproximadamente, en términos proporcionales al capital inmovilizado, Fj, al volumen de producción, Fq, y a la mano de obra, F¿.

C=Fj + Fq + Fl

[4.2]

Término proporcional al inmovilizado, Fj — a'Ip. Los factores que son normalmente independientes del volumen de producción, y que pueden tomarse como proporcionales al capital movilizado en la planta, son los siguientes:

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

98

Mantenimiento: Mano de obra y materiales (parte de los gastos de mantenimiento que es independiente del volumen de producción). Impuestos sobre la propiedad.

\

Seguros.

Gastos de seguridad: Protección contra incendios, vigilancia,

meros

generales:

Servicios tes, ,

(

pri-

auxilios, etc.

Laboratorio,

vías

de

circulación,

transpor-

etc.

administrativos:

Servicios

Oficinas,

servicio

contabilidad,

jurídi-

—

co, etc.

Algunos de estos costes podrían un proceso dado sobre otras bases

ser fijados por los contables para

tales como la mano de obra dide producción, la inversión total o las ventas. El uso del coste de la mano de obra como base para expresar estos costes adicionales es arriesgado, especialmente si se considera la creciente automación de la industria. Para el ingeniero resulta más simple y más útil expresar todos estos costes como fracciones del inmovilizado de la planta necesaria para el proceso propuesto. Sea a

recta, los costes totales

la fracción

de inmovilizado que representa estos costes.

proporcionales al volumen de producción, FQ = bQ. Ciertos costes dependen directamente de la velocidad con que el producto es fabricado por el sistema, Q unidades por año. Si Qd re-

Términos

presenta la capacidad de diseño,

^ = Q¡Qd

recibe el

nombre de

coefi-

ciente de utilización, e indica la fracción de la capacidad instalada que realmente se produce. Una vez construida la planta, se encuentra frecuentemente que la capacidad real es sustancialmente diferente, mayor o menor, que la capacidad de diseño Qd- Ahora bien, durante

periodo de diseño y desarrollo, el único valor utilizable como capacidad de la planta es, sin duda, Qd- Los factores proporcionales al volumen de producción son el

Costes de las materias primas. Costes de los servicios generales: Energía eléctrica, combustible, agua de refrigeración, agua de proceso, vapor, etc. Costes de mantenimiento motivados por el funcionamiento. Productos químicos, catalizadores y materias consumidas en la fabricación, distintos de las materias primas. Costes de almacenamiento y expedición, control de calidad y análisis

rutinarios, regalías (royalties)

y patentes.

Sea b el factor por el que hay que multiplicar producción para obtener estos costes.

el

volumen de

TÉRMINOS USADOS EN ESTUDIOS DE RENTABILIDAD

99

Términos proporcionales a la mano de obra, Fl = cL. Únicamente tomaremos como proporcionales a la mano de obra L hombres-hora

—

—

aquellos costes directamente relacionados con por año miento del personal que interviene en la operación:

Mano

el

manteni-

de obra directa.

Gerencia. Gastos adicionales:

Vacaciones pagadas, seguridad

social, etc.

Evidentemente, algunos factores pueden incluirse en una u otra categoría con análoga exactitud, pero lo importante es que queden incluidos en alguna de ellas. El beneficio bruto anual, R, pesetas/año *, es la difeBeneficios. rencia entre el ingreso neto por las ventas anuales, S (lo recibido por ventas menos los costes de distribución, venta y promoción), y los costes de fabricación anuales,

C

R = S-C, donde

[4.3]

C = aIp + bQ + cL.

Los beneficios netos anuales, P, pesetas/año, cantidad que resta del beneficio bruto después de deducir la amortización y los impuestos, es decir, se definen

como

la

P=R-eIp-{R- dh)

t,

[4.4]

donde

e= factor

anual de desvalorización calculado para recuperar la inversión hecha en inmovilizado (amortización),

íí

= factor la

í

anual de pérdida de valor del inmovilizado señalado por hacienda estatal a efectos de la evaluación de los impuestos,

= impuestos,

pesetas/peseta percibida.

Se supone aquí que el coste de los servicios auxiliares está incluido en uno de los términos que comprenden los factores a y b, y por ello la partida /^, capital para servicios auxiliares, no aparece explícitamente en la ecuación. Para amortización lineal e = l¡n, siendo n = vida esperada para el proyecto. Este procedimiento equivale a retener en una cuenta de reserva sin interés una parte de los beneficios del proyecto que es suN. del T.: En el texto se utilizarán indistintamente como unidades monedólares y pesetas, conservándose la primera en los ejemplos numéricos válidos sólo para la situación económica existente en Estados Unidos. *

tarias

INGENIERÍA DE PROCESOS.

8

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

100

cabo de los n años. hecho, el capital apartado de esta forma se reinvierte en otras operaciones de la empresa, pero el proyecto en cuestión no es favorecido por las posibles ganancias que se obtengan en las mismas, que quedan absorbidas por los beneficios globales de aquélla. ficiente para recuperar el capital inmovilizado al

De

Un modo de actuación más favorable para el proyecto es el método del fondo de amortización, que consiste en crear un fondo de ahorro cuyo rédito, i, es la rentabilidad media real de obtención de beneficios para todas las operaciones de la compañía. Se requiere entonces para la amortización una anualidad inferior a la anterior, a la que corresponde un valor e: 1

exp {in) —

[4.5] 1

n

En el apartado 4.3 se presenta una breve discusión sobre el interés compuesto, que mostrará cómo se obtiene la ecuación [4.5]. El gobierno dicta una serie de normas de amortización compleja que tienen en cuenta la obsolescencia del equipo y la desaparición del inmovilizado. Este no es lugar para entrar en la discusión de estos detalles de contabilidad, y por simplicidad se prefiere usar el factor d, de amortización constante, en los ejemplos ilustrativos, teniendo muy en cuenta que esto es sólo una aproximación a la realidad. El hecho de que el impuesto sobre sociedades t sea del orden del 50 por 100 de los beneficios netos es una razón poderosa para tratar de utilizar la norma de amortización óptima entre las legalmente disponibles.

4.3.

EL

VALOR ACTUAL DEL DINERO FUTURO

La vida de un sistema de procesos se extiende necesariamente en con inversiones planificadas para expansiones, rentabilidades cambiantes y un futuro económico generalmente variable. Para poder comparar adecuadamente alternativas de procesos que presen-

el

futuro,

tan diferentes flujos de dinero a lo largo de sus vidas previstas, el dinero futuro debe referirse a una base estándar. El momento actual es una base comúnmente usada para la mayoría de las comparaciones, en cuyo caso el valor de las unidades monetarias se denomina valor presente o actual.

Sea S{d)

la

cantidad de dinero de un fondo en

el

tiempo

6,

e

i,

pesetas/(peseta • año), el interés compuesto que se acredita a dicho capi-

EL VALOR ACTUAL DEL DINERO FUTURO

.^

"'

el'iondo"serr'''°'""°

*""P°

''^'

'^

™'^'='°" experimentada por

dS^iSde. La cantidad

total

de dinero S(«) en que se habrá transformado

5(0)

.^3

[4 5J

í^'"''"^

= 5(0) e--^.

al

f4 7j

denomina

yí7/or actual de las 5(0) pesetas aue existirán en el f(^^,^^ fondo al cabo de 6 años. El valor actual puede enten'

'' '""° ^^'> ^"^ ^^^^ -^ co'nfíada a ^Z:TVl^ T'^'^''? P^'f ^^"""'^^^ ^^^ necesidades futuras

un

''^

de diner 5(0). dinero 5rr Es F ^conveniente utilizar para i el valor medio deducido en operaciones anteriores para la rentabilidad de la empresa que permite defmir así el valor del dinero en función de una ?nv;r inversión Jon hbre de nesgo dentro de la firma (tabla 1).

Tabla

Valores experimentales de la rentabilidad del capital de nesgo para industrias de proceso

1.

^^^libre

Industria

Rentabilidad i(SI$-año)

Celulosa y papel,

caucho 0,08-0,10

Fibras sintéticas,

productos químicos y petróleos

Drogas y productos farmacéuticos, industria extractiva y minería

tinu^a tmua

a'^'un'' n-tí^n'^S a un ritmo de

0,11-0,13

|

0,16-0 18

^^í^^^^^^^o se efectúan ingresos de forma conpesetas/año, el cambio que experimenta será:

M

dS = Mdd + iSdd. Si 5(0)

= 0.

el

capital

que se ha acumulado en d años es

|-4

8j

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

102

Por tanto, si se desean acumular / pesetas en n años mediante pagos iguales de M. = el pesetas por año, éstos ascenderán a:

M = e/ = exp (m) —

.

[4.9]

1

Esta ecuación se utilizó anteriormente para calcular de amortización (Ec. [4.5]).

la

velocidad

Ejemplo: Supóngase que se tiene que escoger entre un reactor de acero ordique costará 10 000 dólares y que requerirá un mantenimiento promedio del 5 por 100 del capital inmovilizado inicial por año, y un reactor de acero inoxidable, que costará 30 000 dólares, al que puede asignársele duración indefinida, no requerirá mantenimiento apreciable y tendrá un valor residual de 6 000 dólares después de seis años de servicio. Las diferentes especificaciones de los costes para estas dos alternativas complican la comparación en función del grado de riesgo del proyecto principal. En este ejemplo se supone que el proyecto principal funciona satisfactoriamente y que el riesgo no existe. Haciendo uso de la hipótesis, bastante real, de que el remanente de las operaciones de la compañía se encuentra en un «banco» que no da beneficios, y que fija el valor interno del rédito para esta firma en i, rentabilidad media de la misma, se puede calcular fácilmente el valor actual para ambas alternativas durante seis años de servicio, es decir, la cantidad de dinero, en el tiempo cero, que costaría el contrato de servicio durante seis años para cada uno de los tipos de reactor. Para los cálculos (véase tabla 2) se ha supuesto que la compañía renta un 15 por 100 del inmovilizado por año. nario,

4.4.

COMPETENCIA POR UN CAPITAL

Definidos los términos que se usarán en los estudios sobre la rende un proceso, se utilizarán ahora para mostrar cómo la competencia por un capital determina el criterio que debe seguir el ingeniero para diseñar un sistema útil. Para facilitar la comprensión de las ideas, se empezará por discutir la competencia para conseguir capital entre un conjunto de proyectos distintos, cada uno de los cuales se puede suponer que es el condiseño tecnológicamente óptimo para el capital que requiere. tinuación, se extenderán estas ideas al diseño detallado de un proyecto único, mostrando cómo se encuentra el diseño óptimo. tabilidad

A

COMPETENCIA POR UN CAPITAL

Tabla

2

103

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

104

FiG. 57.

La empresa como banco para

la

inversión de capitales.

yectos dentro de sus límites, tales como mejoras y expansiones de los procesos ya existentes o la creación de otros nuevos sistemas. Cada uno de estos proyectos se supone que da unos beneficios conocidos, en función del capital invertido. Se representarán éstos por Pk(Ik) para el proyecto /
máx

y PkQk)-

[4.10]

* Se puede suponer que la firma procura maximizar el valor actual de todos los beneficios devengados en los próximos cinco, diez o veinte años. Los desarrollos en este capítulo pueden realizarse para cualquier objetivo que la firma desee para seleccionar su política de inversiones, y que conducirán a los diferentes criterios de diseño económicos para proyectos individuales.

EVOLUCIÓN DE UN CRITERIO DE DISEÑO

105

Ahora

bien, en la práctica este problema general de asignación de no tiene solución exacta, porque se requeriría un conocimiento detallado de todas las facetas de una empresa grande y compleja, que, a su vez, se relaciona e interacciona con el mundo de las finanzas y con la ingeniería de procesos, lo que hace que el parámetro K tome valores elevados. Resulta imposible, por ejemplo, para una gran compañía de Texas situada en la costa del Golfo considerar detalladamente qué parte de su capital que se va a invertir en una nueva refinería de muchos

capitales

de dólares daría mayor rentabilidad si se utilizase para tanques de almacenamiento de metano líquido de su filial de Chicago. El caso inverso también es cierto; resulta imposible que un ingeniero que ha sido asignado a un proyecto relativamente pequeño, como puede ser el aislamiento de un depósito de almacenamiento, esté informado de todas las disponibilidades de capital existentes para el proyecto dentro de la compañía. Con todo, resulta de gran utilidad este conocimiento global y la cooperación entre los diversos proyectos de la empresa. Por consiguiente, una solución práctica para cualquier problema requiere que el área a estudiar sea suficientemente pequeña. Pero el simple hecho de aislar esta zona violenta y distorsiona el cuadro general de competencia libre por capital entre todas las partes de todos los proyectos; es decir, resulta imposible optimar completamente una porción cualquiera de un proceso o una parte determinada de los intereses de una firma; el diseñador sólo puede aproximarse a la situación óptima incluyendo gradualmente en el estudio partes cada vez más extensas de los dominios de interés de la empresa. Evidentemente, la inversión de capital en un proyecto (y de modo análogo la optimación de los sistemas de procesos) requiere un compromiso entre la solución fácil del problema pequeño, pero forzosamente incompleto, y la del problema amplio y real, pero prácticamente insoluble. Los métodos de optimación que se discuten en los capítulos 6 a 10 intentan resolver este dilema.

millones

aislar los

4.5.

EVOLUCIÓN DE UN CRITERIO DE DISEÑO

En la figura 58 se muestra una simplificación del problema riguroso de inversión de capital detallado en la figura 57. En este caso sólo se han conservado inalterados los proyectos de especial interés inmediato, agrupándose los restantes en un ancho, ilimitado y amorfo proyecto denominado «otros intereses de la empresa». Se

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

106

supone que la capacidad de producción de beneficios de este amplio proyecto determina el interés del dinero en la firma, y que los proyectos seleccionados deben competir con él por el capital.

FiG.

58.

Aislamiento de varios proyectos de los restantes intereses de la empresa.

Esto reduce el problema y complicado, que era

inicial

de capitales, prohibitivamente am-

plio

max [2p.(w], donde K cho más

incluía todas las oportunidades de la firma, al

[4.11]

problema mu-

sencillo

max ix[^p,.a/)+^(/..x-2^/)]'

donde

;'

[4.12]

incluye sólo aquellos proyectos de especial interés.

En la ecuación [4.12] el sumatorio situado a la izquierda representa el beneficio a conseguir con la inversión del capital en los proyectos de interés especial, y el término de la derecha, el beneficio que

EVOLUCIÓN DE UN CRITERIO DE DISEÑO

107

se obtendrá invirtiendo el capital restante en los otros intereses de la empresa con una rentabilidad de i pesetas por año y peseta invertida. El término I^¿x representa el capital total disponible para la inversión. Con ciertas condiciones, este problema aproximado de optimación admite una solución particularmente simple. La ecuación [4.12] puede escribirse

como

máx I

2

[Pjilf)

- 27y]

+ z-U„

[4.13]

I

sujeta a la restricción

Y^i^^h

[4.14]

Ahora bien, en la anterior expresión, la maximización puede ser realizada en el interior del sumatorio, término a término,

2

máx

[P,(7y)

- ilj]

I

+ iU^

[4.15]

I

siempre que el valor de /y obtenido por las maximizaciones individua(que se indicará aquí por /*) no viole la restricción de limitación de capital (Ec. [4.14]). Por tanto, si un proyecto dado va a participar en los objetivos económicos globales de la empresa, en la forma que define en la ecuación [4.10], el criterio de diseño para este proyecto debe comprender la maximización del beneficio neto a obtener menos una carga debida al capital arriesgado. El sencillo criterio de diseño se indica en la ecuación [4.16],

les

máx(P-iI).

[4.16]

En ella se ve claramente que si la expresión a maximizar de la ecuación [4.16] es negativa para todas las inversiones I, se alcanzará máximo cuando 7 = 0. Es decir, puede establecerse como criterio que no debe arriesgarse dinero en un proyecto cuya rentabilidad Pjl sea menor que el valor medio i de la firma. La ecuación [4.17] debe ser satisfecha por todo diseño candidato a ser económicamente óptimo, el

y>¿.

[4.17]

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

108

En la

la

ecuación [4.16] se alcanza

máximo cuando

el

expresión a maximizar con respecto

Esto conduce ción

al

criterio

al

capital

la

derivada de

invertido es cero.

de diseño del inmovilizado marginal (ecua-

[4.18]),

^

= i,

[4.18]

que establece que se debe J n]¿jgjJjui.xaj?itaL basta que un nuevo incredel capital invertido produzca benefi cios con un ritmo i^ual a la _rentabilidad media de la firma. En resumen, estos tres criterios están basados en los supuestos

mento

siguientes

máximo

a)

La empresa intenta conseguir

b)

Hay abundancia

c)

Existe capital suficiente para cada proyecto.

d)

Las inversiones están libres de riesgo.

el

beneficio posible.

de oportunidades disponibles para que tienden a determinar el interés del dinero.

Se ha contemplado así

el

la

empresa,

origen y las limitaciones de los diversos

objetivos hacia los que deben tender los ingenieros. Desafortunada-

mente, las restricciones indicadas antes son demasiado grandes para que correspondan a situaciones industriales reales; a medida que estas hipótesis desaparecen, los criterios de

diseño se modifican para

forzar al proceso a acomodarse a situaciones

más

realistas.

A

conti-

nuación se eliminará en primer lugar la simplificación hecha sobre ausencia del riesgo en las inversiones.

4.6.

Es evidente micamente más deben aparecer póngase que a

la

COMPUTO DEL RIESGO

que ciertas actividades industriales presentan econóy que en cualquier criterio decisivo correcciones que consideren dicha incertidumbre. Sucada proyecto se le exige la suscripción de una «póliza de seguro» que garantice los beneficios previstos, y que la prima a pagar es proporcional al capital que se va a arriesgar y dependiente del grado de riesgo que lleve consigo el proyecto. riesgos que otras,

«Prima de seguro»

=/z/7r,

pesetas/año.

[4.19]

COMPUTO DEL RIESGO

^09

Para simplificar se ha supuesto que los capitales circulante y para servicios auxiliares, /^ e I^, carecen de riesgo. El grado de riesgo, pesetas/ípeseta año), dependerá de la fracción del capital inmovilizado que podría recuperarse si el proyecto terminara de modo distinto al esperado, de la incertidumbre de los pronósticos técnicos y económicos y del grado general de riesgo que lleva con•

sigo la inversión.

Esta prima se resta entonces de los beneficios netos que se prevé obtendrán del proyecto, llegándose así al siguiente criterio de diseño, los beneficios del riesgo, definido por primera vez por Happel, se

máx

[P -

{i

+ h)lF- iilw + Ij,)l

[4.20]

donde. f,„ = ¿ + /z es la rentabilidad mínima aceptable para este proyecto determinado, considerando el riesgo que implica. Obsérvese que el uso del grado de riesgo h no es más que una corrección debida a la incertidumbre. Se pueden suscribir pólizas de seguros para cubrir ciertos riesgos físicos,

como

incendios, explosiones

y huracanes; sin embargo, la mayoría de los riesgos económicos en general no pueden ser asegurados, y la compañía se ve obligada a cubrir sus propias pérdidas. El concepto de una póliza de seguros es entonces un artificio para considerar

el principio general de los neque establece que ciertas actividades deben ofrecer mayores beneficios aparentes que otras antes de que puedan ser emprendidas. La rentabilidad mínima aceptable i„, = i + h es entonces la corrección de la incertidumbre; mientras no se penetre más profundamente en la teoría de la ingeniería en presencia de incertidumbre en los capítulos 11 al 15, se utilizará el valor de h estimado intuitivamente para deducir la rentabilidad práctica. En la tabla 3 se muestran valores típicos de la rentabilidad mínima aceptable en industrias con diversos

gocios,

grados de riesgo.

Los y y

de diseño correspondientes a en presencia de riesgo se reflejan en

criterios

[4.18]

las las

ecuaciones [4.17] ecuaciones [4.21]

[4.22]:

P-í(Iw + Ia)

dP

>

= lm-

in

[4.21]

[4.22]

dh La ecuación riesgo,

porque centra la atención en el proceso según los beneficios recibidos de los ca-

[4.21] es interesante

recargando

el

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

lio

Tabla

3.

Valores típicos del factor de compensación del riesgo

Tipo de proyecto

h = ir„ — i $/$-año

Riesgo elevado. Proyectos que implican considerable novedad o basados en datos inciertos sobre ventas, productos o materias primas ...

0,20-1 ó superior

Riesgo moderado. Proyectos algo apartados del campo habitual de actividad o proyectos y procesos nuevos que no se han investigado ampliamente

0,10-0,20

Riesgo promedio. Proyectos incluidos en el campo habitual de operaciones, pero con algún aspecto nuevo o una información indefinida sobre el mercado

0,05-0,10

Riesgo reducido. Expansión de operaciones tentes en un mercado conocido

0,01-0,05

exis-

Riego casi nulo. Reducción de coste de procesos en funcionamiento situados en un entorno 0,00-0,01

estable

pítales circulante

y

auxiliar

con una cantidad suficiente para financiar

éstos completamente. Así, la rentabilidad modificada [P

- z(/w + ^a)]/^f

una medida más precisa de los beneficios que han de obtenerse del capital arriesgado que la rentabilidad directa definida de forma

es

análoga a la ecuación

4.7.

En

[4.16],

es decir, P¡(If + Iw + Ía)-

DISEÑO DE UN SISTEMA DE INTERCAMBIO DE CALOR

este apartado se muestra

cómo pueden

utilizarse los principios

desarrollados anteriormente para realizar el diseño de un sistema de intercambio de calor en una columna de destilación utilizada para la recuperación de etanol. Se ilustra también la relación entre beneficio y capital, interpretando la información acumulada durante los cálculos

de diseño. El sistema que se considera se muestra en la figura 59. Todo él se encuentra en fase de planificación y no se ha instalado ningún aparato.

DISEÑO DE UN SISTEMA DE INTERCAMBIO DE CALOR

111

Por tanto, para cada disposición de

los cambiadores se puede calcular capacidad de intercambio de calor requerida y, en consecuencia, el capital inmovilizado. Se presentan a continuación sólo los resultados de algunos cálculos para ilustrar cómo pueden utilizarse los prinla

Alimento. 15=0

Agua de refrigeración

*" Destilado

>- Al desagüe

Columna de destilación y sistema de transmisión de calor asociado. FiG. 59. Nota: La precalefacción del alimento antes de su entrada a la columna por intercambio con las corrientes de vapor procedente de la cabeza y con el residuo de la base fue motivada por la experiencia. En general, las rutas del flujo constituyen un parámetro de diseño que adopta tantos valores discretos como esquemas

posibles.

cipios presentados en este capítulo para deducir el sistema óptimo. Se supone que este sistema debe integrarse en un conjunto que exige una recuperación mínima anual del inmovilizado del 20 por 100 (í„,

= 0,20). El beneficio relativo hP para este sistema respecto a un diseño

de referencia puede calcularse mediante la ecuación:

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

112

donde

Cs= coste de vapor, dólares/año, Ce = coste del agua de refrigeración, dólares/año, /= 0,30 = suma de factores para mantenimiento, la

propiedad, seguros, depreciación,

7= inmovilizado en

etc.,

impuesto sobre

dólares/(dólar año), •

los cambiadores, dólares,

O = impuestos, 0,50 dólares/dólar, 7 z

= índice = índice

í= índice

del sistema ensayado, del cambiador,

y

del sistema de referencia.

La tabla 4 resume diversas situaciones de diseño obtenidas asignando valores a las temperaturas intermedias Ti y Ti, y calculando los inmovilizados en cambiadores y los costes de operación en forma de agua de refrigeración y vapor. El caso A se toma como «diseño de referencia»; en él no se incluyen los cambiadores de calor X-2 y X-4 adicionales, para economizar vapor y agua de refrigeración.

En la figura 60 se representan los beneficios relativos frente al inmovilizado relativo, quedando patentes las «zonas estratégicas de diseño». Este gráfico indica que existe una envolvente de diseños superiores definida por los diseños que poseen la máxima velocidad de obtención de beneficios para un inmovilizado dado. Cualquier diseño que quede situado por debajo de esta envolvente no podrá formar parte del esquema de proceso óptimo. Centrando la atención en el conjunto de diseños que definen la envolvente, se encontrará el óptimo haciendo uso del siguiente criterio: dP di

Para mayor claridad en

presentación sólo se reseñan algunos de forma indicada en la tabla 4. En este tipo de análisis será necesario generalmente hacer uso de un número limitado de casos discretos, puesto que las soluciones analíticas suelen ser inaccesibles. El campo cubierto por los casos estudiados se muestra más claramente expresando las temperaturas intermedias Ti y Ti, y el inmovilizado individual para los cambiadores, 7i, li, h e I4, así como el inmovilizado total en éstos respecto al caso de referencia A. El beneficio, calculado a partir de los costes de calefacción y de los costes fijos del inmovilizado, se presenta asimismo respecto al caso de referencia A. la

los casos de la serie continua posible, en la

oo o o oo o o 00 I— o
O o oo m

00

oo oo o o L^ rf oo

O

oooo

o o o oo oo o Os VO lA I—

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

114

1,500

Pendlente

=

= / =0,20 di

'"

1,000

500

4,000

2,000 Inmovilizado relativo

FiG. 60.

«/

6,000

(dólares]

Representación gráfica beneficio-capital para

el

cambiador de

calor.

Puede observarse que los casos C, E, f e I quedan situados claramente por debajo de la envolvente de diseños superiores y deben rechazarse. El máximo beneficio del riesgo se consigue cuando dP¡dI = i,n. El caso G resulta ser el mejor de los estudiados, pero la zona sin puntos experimentales situada entre los diseños G y /í sugiere la conveniencia de estudiar algún otro caso intermedio. Se ha justificado así claramente la eliminación de los casos inferiores y la selección del mejor entre los analizados, a la vez que se ha sugerido una modificación en el diseño que puede conducir a una situación aún más beneficiosa. La gráfica de la figura 61 que presenta los beneficios del riesgo relativos

frente

al

inmovilizado

relativo

ilustra

otra

presentación

alternativa de los datos económicos basándose en el siguiente criterio,

equivalente al anterior:

máx (8P - i^ 87). También de consideradas.

este

modo

resulta ser

G

la

mejor entre

las alternativas

LOS EFECTOS DE LA LIMITACIÓN DEL CAPITAL

1,000

115

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

Ug condición sujeta a

la restricción:

[4.24]

^//^/n,áx.

Pero ahora

demanda para

la

el capital 7/

obtenida a partir del

cri-

terio de inversión utilizado previamente, ecuación [4.25],

máx

{[?,(/,)

-zV,]},

[4.25]

excede las disponibilidades de capital. Se debe llegar así a diversas inversiones de compromiso los proyectos se interfieren unos con otros económicamente. Una solución aproximada a este problema consiste en asignar un factor de limitación X al interés del dinero dentro de la empresa, con lo que el problema inicial de optimación se modifica incluyendo ;

este factor:

máx [ '

2

[P,{I¡)

- (i^j + \) 7y] + (i + X) 7n,.x

[4.26] I

i

Se ha de buscar entonces el valor de X que conduce a una demanda de capital situada dentro de las disponibilidades del mismo. Es decir, los proyectos individuales se desarrollan tratando de conseguir unos beneficios del riesgo modificados máximos; todos los proyectos que en tales condiciones requieren un capital 7, = O son eliminados: máx[P,(7y)-(¿^;

+ X)7,]

[4.27]

Las demandas de capital dependen entonces del valor de

X,

/KA),

debiendo obtenerse un valor de X que satisfaga

la

restricción

del

capital limitado:

Y^nW^Imé..

[4.28]

El factor de limitación X es un multiplicador de Lagrcmge, importante instrumento en la teoría de la optimación. Este no es lugar de desarrollar esta teoría, porque la interpretación de X como un factor

LOS EFECTOS DE LA LIMITACIÓN DEL CAPITAL

117

de limitación da una justificación intuitiva del método seguido, suficiente para nuestras necesidades actuales *. El tratamiento para el caso de proyectos prioritarios es similar al anterior, excepto que habrá de existir una inversión mínima que les debe ser aplicada de cualquier modo. Es decir, a un proyecto priori-

no puede asignársele un capital cero, aun cuando cualquier inversión finita diera por resultado unos beneficios del riesgo nega-

tario

La inversión mínima admitida es aquella cantidad de capital requerida para satisfacer dicho servicio.

tivos.

Proyecto rechazado ci.'ando capital es limitado

el

FiG. 62.

Dos proyectos que compiten para conseguir

capital.

La mayor capacidad de inversión en el caso de capital sin limitación respecto a la correspondiente al uso óptimo de un capital limitado puede mostrarse gráficamente. Si el factor de limitación aumenta, la demanda de capital disminuye hasta que se satisface la restricción de capital limitado. De este modo, si para algún proyecto P/7 llega a ser menor que f,„ + A, este proyecto debe eliminarse, suministrando

más

capital a los otros proyectos, tal

como

se

muestra en

la figura 62.

* El uso correcto del factor de limitación requiere que el problema satisfaga las condiciones de Kuhn-Tucker. Véase W. H. Kuhn y A. W. Tucker: «Non-linear Programming», Proc. of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability, Univ. of California Press, 1951.

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

118

4.9.

COLOCACIÓN DE AISLAMIENTO EN UNA REFINERÍA

Se ilustra a continuación el uso de un factor de limitación como la asignación óptima de un capital limitado para aislar elementos de una refinería. Se debe aplicar aislamiento en ciertas zonas de una refinería de petróleo para reducir las costosas pérdidas de calor. Supóngase que:

medio para

1. Se pueden calcular las pérdidas de calor de la refinería para cualquier distribución dada del aislamiento.

2. Se pueden mantenimiento.

estimar

los

costes

de aislamiento,

instalación

y

3. Se puede evaluar el coste de las pérdidas de calor igualándolo al valor del calor en la refinería en forma de vapor de calefacción.

El beneficio neto conseguido mediante la inversión de 7 dólapuede ser aproximado a P dólares/año, igual a la economía anual en calor menos los costes anuales de la inversión en aislamiento. Los resultados de tales cálculos se presentan en la tabla 5. 4.

res en aislamiento

La instalación de aislamiento en esta refinería es una inverrelativamente segura, y se puede estimar que su rentabilidad deberá ser del 20 por 100, 5.

sión

í;^

Tabla

5.

= 0,20.

Beneficios netos conseguidos aislando ciertos elementos

de una refinería

COLOCACIÓN DE AISLAMIENTO EN UNA REFINERÍA

¿Cuánto los casos:

capital 1)

119

debe invertirse en aislamiento y en qué forma, en disponible sin limitación, y 2) capital limitado

capital

de 10 000 dólares? Solución. En el caso de capital ilimitado, se intentará conseguir para cada proyecto los máximos beneficios del riesgo, como se indica en la tabla 6.

Tabla

6.

Beneficios del riesgo

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

120

Tabla

7

RESUMEN DE CRITERIOS INDUSTRIALES DE DISEÑO

4.10.

121

RESUMEN DE CRITERIOS INDUSTRIALES DE DISEÑO

apartados anteriores se ha mostrado cómo se desarrollan de diseño a partir de un análisis simplificado de un problema de inversión de capital planteado a una empresa.

En

los

los siguientes criterios

Beneficios del riesgo

V = P-i{h,^h)-iJr

[4.29]

Rentabilidad modificada

P-i(Iw + Id

^im

[4.30J

Rentabilidad marginal

dP [4.31]

dh También se ha indicado cómo podían modificarse estos criterios para tener en cuenta otros factores, como la limitación de capital. Este análisis ha definido los principios básicos que conducen a criterios de diseño válidos y útiles. Sin embargo, el ingeniero encontrará otros criterios que difieren en algunos detalles de los desarrollados aquí. En lugar de ilustrar los principios que conducen a estos nuevos criterios, simplemente se describirá su forma. Los criterios pueden surgir como consecuencia de intentos válidos de simplificar otros problemas de inversión de capital o pueden representar simplemente una aproximación grosera a la realidad, y sólo deben utilizarse en aplicaciones económicas muy limitadas. Métodos basados en

El beneficio total del general y sofisticado de los que se usan comúnmente, y se obtiene calculando el valor actual de los beneficios del riesgo que se irán acumulando por el proyecto durante su vida prevista: los beneficios totales.

riesgo es el criterio de diseño

más

W=

Ve-^^ de. vida prevista

La maximización

del beneficio total del riesgo para

tenderá a maximizar los entorno incierto.

beneficios

futuros

de

la

un proyecto

empresa en un

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

122

El valor actual es un concepto similar, pero no descuenta ninguna cantidad en concepto de impuestos o por el riesgo, utilizándose habitualmente para la selección de detalles de diseño en los que estos factores no son importantes.

Métodos basados en la recuperación del inmovilizado. En la industria se utilizan varias modificaciones del criterio básico, ecuación [4.30], que se resumen en la tabla 8. Sólo pueden ser usados como indicativos de la calidad de los proyectos y no como criterio de diseño a maximizar.

Métodos basados en

el tiempo de recuperación o de vencimienEl inverso de la velocidad de recuperación del inmovilizado tiene dimensiones de años, y se usa frecuentemente como medida del tiempo que se tardará en recuperar el inmovilizado mediante los beneficios devengados por el proyecto. El más común de estos métodos se define por T = Ip/R, que recibe el nombre de tiempo de recuperación o de vencimiento. Otros criterios de tiempo similares se conocen to.

por el mismo nombre y se mencionan en la tabla 8. Normalmente, son una indicación de la calidad del proyecto global, pero no pueden utilizarse como criterio de diseño detallado.

4.11.

ESTIMACIÓN DE LA VIDA ECONÓMICA DE UN PROCESO

En este apartado se aplican los sencillos principios económicos discutidos anteriormente al problema de la estimación de la vida económica de un proceso cuando éste

se encuentra

en fase de planificade los criterios generales de diseño desarrollados y se recalcará la necesidad de un análisis económico diferente para cada nueva situación de diseño. Una aplicación directa e irreflexiva de, por ejemplo, el criterio del máximo beneficio del riesgo puede no ser apropiada, aun cuando el modo de pensar que conduce a este criterio pueda ser totalmente ción.

De

este

modo

en

se hará hincapié

las limitaciones

válido.

Se analizará a continuación cómo hará frente al futuro un proceso con un inmovilizado de If dólares, si actualmente puede predecirse que: 1. La vida física del equipo, p años, es mayor que nómica del proyecto, n años.

2.

la

El interés de la compañía es

i

la vida eco-

dólares/(dólar • año).

3. Los ingresos por ventas del proceso disminuirán a medida que competencia se introduzca en el mercado según S = Soexp(-kd).

Tabla

Algunos

8.

criterios

económicos seguidos en

la

industria

*

Comentarios

MÉTODOS BASADOS EN LOS BENEFICIOS TOTALES

(dólares)

Valor actual:

Valor actual de todos los beneficios futuros menos los capitales inmovilizados. La maximización del valor actual hará máximos los beneficios de la empresa si el entorno comercial no es incierto.

Valor del riesgo:

Valor

actual

modo

se

de

beneficios

los

del

En

riesgo.

cierto

de un valor actual corregido por la incertidumbre. Es el criterio más adecuado para propósitos de diseño. trata

MÉTODOS BASADOS EN LA RAZÓN BENEFICIOS ANUALES A CAPITAL INMOVILIZADO (dólares/dólar año) •

Recuperación del capital ingenieros,

los

Rentabilidad

original.

(también llamado método de

método

Du

Pont, método de operadores, rentabilidad capitalizada).

Razón

porcentual

medio anual durante para el proyecto a la suma de los capitales inmovilizado y circudel beneficio

vida

la

prevista

lante iniciales.

Recuperación del inmovilizado medio. Rentabilidad contable (también llamado método de

Razón

los contables)

la

medio anual durante proyecto a la suma de los capitales inmovilizado no amortizado y circulante promedios para el mismo. vida

del beneficio del

Rentabilidad intrínseca

(también

llamado

índice

de

descontado, velocidad interna de recuperación, método de los valor

rentabilidad,

Calcula

el

interés

capitales

los

con que son recuperados

equivalente

invertidos

por los beneficios del proyecto.

inversionistas)

MÉTODOS BASADOS EN EL TIEMPO NECESARIO PARA RECUPERAR EL INMOVILIZADO (años)

Tiempo de recuperación simple (también llamado periodo de vencimiento, periodo de devolución, periodo de recuperación de caja)

Razón del capital inmovilizado original a suma de los beneficios anuales y de

la

la

amortización simple.

Tiempo de recuperación compuesto Razón (también llamado periodo de recuperación de caja)

y * 4.^

Basado en

ed.,

págs.

la

tabla

del capital original

reses a la

26-27

26-35, McGraw-Hill,

la

suma de

más

sus inte-

los beneficios anuales

amortización simple.

de Perry's Chemical Engineers Handbook, Nueva York, 1963.

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

124

4. Los costes de fabricación permanecerán constantes durante la vida económica del proceso, excepto la variación debida a la inflación, que se produce con una velocidad / para todos los valores, excepto los créditos de pago, que son fijados por decreto gubernamental. 5.

El valor residual del proceso será cero.

6.

En

el

proceso debe invertirse un total de 7^^ dólares pero esta cantidad es recuperable.

como

ca-

pital circulante,

¿Cuál es la vida óptima o económica, n* años, para este proceso, suponiendo que la inversión de 7^ dólares no se ha efectuado todavía y que todo el proyecto está en fase de planificación? Esta es una pregunta importante, pues la vida económica de un proyecto figura como variable en los cálculos en que se basan los criterios de diseño. Este es un ejemplo muy simple del problema económico más complejo que se da en la práctica, y que se discute en el capítulo 11. La ecuación [4.32] suministra el valor actual que puede atribuirse a las actividades de este proyecto durante su vida económica de n años:

W=

Cn

[

(Soe-''-Co)e¡' (l-t)e-'^

-^0

-'o

^

1

-^e-'^dS

dd+

r

hlpe-^^-'^^de

[4.32]

Ahora se discutirán los razonamientos que conducen a la formulación de cada término. La primera integral representa el valor actual de todos los beneficios brutos derivados del proceso, una vez deducidos segundo término son las tasas de amortización acepGobierno para la depreciación del equipo. Nótese que este término se refiere a r años, periodo de tiempo aprobado por el Gobierno y no relacionado con la vida económica del proceso. Una formulación alternativa puede consistir en aplicar la amortización sólo durante la vida económica del proyecto, y entonces incluir un térlos impuestos. El

tadas por

el

mino de «pérdidas disponibles» de (l-nlrílp-te-'" hasta

el

final

del

proyecto. El tercer término de la ecuación representa la acumulación de la amortización reservada para remplazar el equipo después de n años. Como el equipo no será sustituido hasta que se sobrepase la vida económica del proceso, es necesario colocar el inmovilizado If en los bancos de la empresa. El cuarto término representa las ga-

ESTIMACIÓN DE LA VIDA ECONÓMICA DE UN PROCESO

125

nancias que la inversión de Ip + Iw dólares habrían proporcionado en otras actividades de la empresa y que no se han conseguido al ser utilizadas en el proyecto. Finalmente, el último término es el valor actual de la contribución del factor de riesgo, que debe ser sustraído empíricamente de los beneficios para tener en cuenta las incertidumbres inherentes a cualquier proyecto en fase de planificación. Esta contribución cubre también el riesgo debido a la utilización de capital para equipo que no tiene valor residual. Para encontrar la vida económica del proyecto, se calculará el tiempo que conduce a un valor máximo de los beneficios del riesgo expresados por la ecuación [4.32]. Derivando esta expresión respecto a n e igualando el resultado a cero, resulta la condición necesaria siguiente para la vida económica óptima:

n*=iln k

Por ejemplo,

"^^^

r

^1

[4.33]

Lco(i-í) + a.-/)/f-(¿-;)/wJ

si

= 500 000

S

Zu.- 100 000

$

5o = 2 000 000

S/año

Zf

A:

=0,20

1/año

C = 1000 000 í = 0,05

S/año $/$

¿„,=0,35

$/$-año

= 0,15 = 0,05

$/$-año

2

7

$/$-año

se obtiene

10 años.

^

71

- '^iioSl- O^^^cü^.

Así, pues, según esta predicción, la vida óptima del proceso parece ser diez años. Esta información debe introducirse a continuación en los criterios de diseño que han de seguirse para desarrollar el proceso óptimo. Se ha subrayado en este ejemplo una desviación muy simple del estudio básico de rentabilidad que debe efectuarse sobre un proyecto propuesto. El propósito ha sido simplemente puntualizar la necesidad de un estudio más detallado y exacto de su economía y centrar la atención especialmente sobre el hecho de que cualquier método de

126

análisis tisfacer

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

económico es sólo indicativo, y puede ser alterado para salas condiciones especiales que se presentan en cada nuevo

proceso.

4.12.

OBSERVACIONES FINALES

Hay diversos puntos referentes a los principios que conducen a la evolución de los criterios de diseño económico que merecen ser destacados. En primer lugar, estos criterios surgen como guías para la solución aproximada de los excesivamente detallados, complejos e irresolubles problemas de colocación de capitales con que se encuentra una firma en cualquier fase de sus actividades. El ingeniero no puede quedar inmerso en el seno de estos detalles y por ello se trata de condensar los rasgos esenciales de las amplias actividades de la empresa en un parámetro único i, la rentabilidad media previsible del capital invertido en todas ellas. Esta simplificación facilita la descomposición del complejo problema en otros aproximados y más fácilmente resolubles, y conduce directamente a los criterios elementales utilizados para situar el diseño de un proceso propuesto dentro de los amplios fines de la empresa. Por otra parte, el panorama de un futuro incierto confunde al diseñador de procesos, y obliga a introducir un segundo parámetro h, el factor de riesgo. Esto conduce a la definición de la rentabilidad mínima aceptable im, usada como correctivo, modificando los criterios de diseño para tener en cuenta el riesgo de un futuro económico y técnico incierto. Mientras el primer parámetro i puede ser estimado a partir de la rentabilidad obtenida por los capitales invertidos anteriormente en la empresa, la estimación de la rentabilidad mínima aceptable debe incluir necesariamente una mayor especulación y, por tanto, menos precisión. Así, este concepto tiene una base menos sólida que los conceptos que conducen a la descomposición del problema de colocación inicial de capitales, si bien en un criterio de diseño debe incluirse siempre una corrección debida al riesgo. Finalmente, los criterios de diseño deben ser modificados ulteriormente para tener en cuenta la restricción de capital a invertir limitado, restricción que se presenta frecuentemente en el área de la ingeniería técnicamente activa. Se vio cómo el factor de limitación se introducía como parámetro para ayudar a la solución de diversos problemas. Se debe recalcar que se han desarrollado sólo los conceptos más elementales, y el ingeniero se encontrará con otros muchos criterios de diseño que reflejan, tanto análisis más detallados de situaciones

bibliografía

127

económicas especiales, como ideas erróneas que se han mantenido a través de los años por falta de análisis críticos adecuados. Los criterios económicos de diseño facilitarán así al ingeniero una base sólida en el campo del diseño. En determinadas situaciones estos simples criterios no serán suficientemente detallados para conducir al diseño adecuado de un sistema, y será necesario profundizar más en los fenómenos fundamentales que pueden enmascarar la deducción del diseño óptimo. Esto lleva al estudio de algunos de los más fascinantes métodos de la ingeniería de procesos, que caen en las amplias áreas de: 1) el análisis de los efectos de incertidumbre en el diseño de sistemas, y 2) el análisis de problemas que comprenden un número abrumador de alternativas y detalles. Ambas materias se estudian en últimos capítulos de este libro.

Bibliografía Para sucesivos estudios sobre los principios del análisis económico véase

W.

Baumol

Economic Theory and Operations Analysis. PrenticeEnglewood Cliffs, N. J., 1961. H. BiERMAN y S. Smidt: The Capital Budgeting Decisión. Macmillan. Nueva York, 1966. Quantitative Decisión Procedures in ManaC. R. Carr y C. W. Howe gement and Economics. McGraw-Hill, Nueva York, 1964. J.

:

Hall,

:

Los siguientes artículos ofrecen diversos puntos de vista industriales sobre de diseño.

los criterios

R. Earley: «How Process Companies Evalúate Capital Investments», Chem. Eng., marzo 30, 1964. D. P. Herrón: «Comparing Investment Evaluation Methods», Chem.

W.

Eng., enero 30, 1967.

M. SouDERS «Engineering Economy», Chem. Eng. Progr., marzo 1966. R. M. Adelson: «Criteria for Capital Investment, an Approach Through Decisión Theory», Operational Research Quarterly, marzo 1965. :

Véase también: J.

M.

Happel: Chemical Process Economics. Wiley, Nueva York, 1958. Plant Design and Economics for CheS. Peters y K. Timmerhaus mical Engineers. McGraw-Hill, Nueva York, 1968. :

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

128

EJERCICIOS Los ejercicios 1 a 11 están pensados para familiarizar al estudiante con contenido de este capítulo, y no introducen nuevas ideas. Frecuentemente el enunciado de algún problema no contendrá datos suficientes y será necesario referirse al texto para obtener datos razonables, como, por ejemplo, la rentabilidad mínima aceptable para un proyecto. De este modo la selección de datos adecuados para su uso en la solución de un problema forma parte del proceso de familiarización. Los problemas restantes contienen ampliaciones del contenido del capítulo. el

1.

Se dispone de los siguientes datos de coste para un proceso para la fabricación de 20 000 ton por año de ciclohexano por hidrogenación de benceno. ¿Puede ser este proceso una solución beneficiosa para una empresa desde los puntos de vista económico y de ingeniería?

Ingreso por ventas

1

Costes de fabricación

1

Inmovilizado total

900 000 $/año 700 000 $/año 450 000 $/año

Vida económica del proyecto

2.

seis

años

Se proyecta una nueva planta para fabricar 60 000 ton/año de acetileno y 90 000 ton/año de etileno a partir de naftas ligeras. Basándose en los datos de costes que se indican, a)

Estimar

gramo

el

si

coste del etileno-acetileno en centavos de dólar por kilo-

no

se hace

ninguna restricción sobre

el

riesgo o los bene-

ficios.

b)

Estimar capital

el coste del producto si el proyecto debe financiarse con de una empresa que impone una restricción sobre el riesgo.

Datos de

la

EJERCICIOS

¿Puede usted escoger entre de

las

los

129

dos proyectos siguientes? ¿La magnitud

inversiones propuestas sugiere realizar posteriores estudios sobre

la situación general

Proyecto

de

las inversiones

de

la

compañía?

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

130

seis años? ¿y si la vida proyectada es de tres años y se espera que haya una inflación anual del 5 por 100? Discutir en qué medida afectará el grado de riesgo del proyecto a estas conclusiones. ;

6.

Para evitar obturaciones de hielo en una torre de destilación de aire ha sido necesario instalar una serie de secadores para eliminar la humedad del gas alimento. El sistema de secado costará 9 200 dólares y supondrá un ahorro de 4 800 dólares al año en consumo de metanol, que se utilizaba hasta ahora como fundente. Sin embargo, si el tamaño del secador se incrementa, requiriendo un inmovilizado de 16 500 dólares, podrá eliminar del alimento sulfuro de hidrógeno y dióxido de carbono, además de la humedad, lo que permitiría suprimir una unidad de absorción por álcali que se utilizaba anteriormente para retener estos componentes después de la destilación. La economía adicional previsible con la eliminación del dióxido de carbono y del sulfuro de hidrógeno asciende a un total de 6 000 dólares al año. Si la empresa exige una rentabilidad mínima del 15 por 100 por año en ambos proyectos, devenga un 10 por 100 anual en el conjunto de sus actividades y la vida económica previsible para este proyecto de destilación es cinco años. ¿Qué sistema resulta más adecuado para secar el alimento?

7.

Se ha sugerido la utilización de instrum.entación adicional para determinar con mayor precisión el número de octano de las gasolinas que se preparan en un sistema de mezcla en línea. Se requiere que cualquier inversión rente al menos 15 por 100 al año. El capital necesario para adquirir la instrumentación asciende a un total de 70 000 dólares el funcionamiento del sistema costará 6 000 dólares al año y se espera un ahorro de 30 000 dólares al año en consumo de plomo tetraetilo durante la mezcla, debido a la medida más precisa del número de octanos. Los factores de depreciación d y I son el 10 por 100 por año, y los impuestos suponen el 50 por 100. ¿Debe instalarse la instrumentación? ;

8.

Cuando

ha de promocionar un nuevo producto, debe decidirse si el de almacén terminal ha de construirse inmediatamente, o bien si la instalación puede posponerse hasta que el mercado del producto haya crecido suficientemente. Determinar el momento más adecuado para la construcción del servicio de almacenaje para el siguiente proyecto, minimizando el coste del terminal durante los quince años de vida previstos para la fabricación de este producto. se

servicio

El mercado parte de cero y crece a razón de 8 000 barriles al año hasta que se consigue una demanda máxima de 40 000 barriles al año.

periodo que la empresa decida no construir el termiuna cantidad anual de 1 250 dólares y 0,10 dólares al año por barril almacenado. Un tanque de almacenaje de 40 000 barriles de capacidad costará 25 000 dólares, no tendrá valor residual al acabar los quince años

Durante

el

nal deberá abonar por este concepto

proyecto,

del

su

y

coste

de

operación

puede

considerarse

despre-

ciable.

La empresa renta en conjunto en sus inversiones 16 por 100 por año, el coste del tanque puede amortizarse en veinte años a efectos por 50 por 100.

tributarios, al

9.

amortización

uniforme,

los

y

impuestos

ascienden

construcción de un tanque de almacenaje debe tomarse una si debe tener techo cónico fijo o flotante. El techo fijo cuesta 20 000 dólares, pero las pérdidas de vapor ascienden a 5 000 dólares al año. El techo flotante cuesta 40 000 dólares y eliminará las pérdidas de vapor. ¿Qué techo deberá ser instalado si el tanque durará quince años, la firma renta en conjunto un 10 por 100 del capital invertido por año y los impuestos son del 50 por 100?

Durante

la

decisión sobre

10.

Un

proceso cuya inversión inicial fue 10^ dólares ha funcionado con durante un año: la previsión del incremento de ventas justifica ahora doblar su capacidad. Se estima una vida adicional de n = 4 años la rentabilidad mínima los impuestos son 0,5 $/$ para el proyecto aceptable para el nuevo capital invertido es 0,15. Deben examinarse tres casos: éxito

;

;

A)

Mantener

la planta inicial (/), /f

B)

Mantener

la planta inicial

/

= (1,0)

(lO^) dólares.

y construir una nueva,

//,

de

la

misma

capacidad, con un inmovilizado adicional Zf //=(0, 8)(106) dólares.

C)

Suprimir (/) (sin valor residual) y reemplazarla con una nueva unidad de doble tamaño, de Zf ///=(1, 2)(106) dólares.

Suponer amortización

como

lineal

de 25 por 100 por año, tanto para impuestos

para los beneficios.

Previsión de ventas para A):

Sa = (1,00)(106) $/año. Previsión de ventas para B) y C):

Sb = Sc = (2,00)

(106)

$/año.

B), (1,07) (106)

$/año;

Gastos de fabricación para A), (0,65-106) $/año;

Comparar

los

beneficios

del

riesgo,

atribuyendo

C), (0,84) (106) $/año. la

amortización

y

la

a las nuevas inversiones. Esto puede hacerse debido a que los (1,0) (106) dólares iniciahnente invertidos en la unidad I se considera que ya han sido amortizados y, por tanto, no

rentabilidad

mínima solamente

tienen que recuperarse o producir beneficios. Para hacer una comparación más general de las estrategias de inversión cuando parte de la instalación se encuentra ya construida con un capital inmovilizado fijo, se podrá seguir el procedimiento ilustrado ingeniería de procesos.

10

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

132

en este caso es un gráfico, aunque en general sea numérico). El valor de Ipi en cada caso sería sólo el nuevo inmovilizado, y V,, el incremento en beneficios del riesgo resultante de en

la

un

análisis

la

11.

figura 61 (que

nueva inversión.

S. Burean of Mines ha estudiado el proceso Bayer para la producción de AI2O3 puro a partir de menas de alúmina hidratada. Para una planta cuya producción sea de 1 000 ton/día de alúmina, se han estimado los siguientes datos de costes:

El U.

Dólares

Inversión de capital: Trituración y

digestión

2 208 700 4 614 000 13 628 100

Clasificación

Precipitación

y calcinación Recuperación del reactivo usado y calcinación de caliza Planta de vapor

2 565 000 3

093 600 744 000

generales Costes de construcción, incluyendo imprevistos, intereses de empréstitos para la construcción, etc.

13 862 600

Total inmovilizado

7^=45 716 000

Servicios

5

Dólares

Capital circulante

Materias primas y repuestos Reservas de producto Ventas pendientes de cobro Disponible en caja y banco

706 398 398 048

1 1

1

Total

Iw=4

900 800 800 400

552 900

Los costes de fabricación anuales estimados pueden resumirse como sigue;

Dólaresjaño

Costes de fabricación

Materias primas

8

Servicios

2 016 600

Mano

de obra Mantenimiento

1

Suministros Costes indirectos Costes fijos (limpieza, seguros)

1

Total

Precio de venta de

la

alúmina: 0,075 $/kg.

310 400

929 150 172 040 879

800 800 600 300 200

C= 14 499 700

EJERCICIOS

133

Suponiendo que la vida del proyecto es de veinte años, sin ventas durante primero pero con ventas constantes durante los diecinueve restantes, calcular los beneficios del riesgo. Suponer que el proceso es tecnológicamente perfecto y que la compañía propietaria tiene una diversidad de intereses, con una rentabilidad bruta media de un 10 por 100. Tómense unos impuestos del 50 por 100, y la amortización, a efectos del pago de el

impuestos, supóngase lineal durante diez años. 12.

Se dispone de una mina subterránea que puede ser explotada, estimándose que las ventas de mineral podrán ser 500 000 dólares al año. El coste de explotación es 2 000 000 de dólares y el capital circulante utilizado, 200 000. Su vida se estima en veinte años. Para tener en cuenta el grado de riesgo, puede incluirse la posibilidad de agotamiento de la mina hacia la mitad de las ventas. Por otra parte, la empresa puede adquirir la misma cantidad de mineral de otra procedencia (idéntico en cuanto a su contenido en metal) a 600 000 dólares al año, pudiendo establecerse un contrato que garantice el suministro durante veinte años. Si el capital invertido por la compañía renta un 10 por 100 por año, ¿es preferible seguir adelante con la explotación o firmar el contrato?

13.

Una empresa ha el

decidido colocar capitales en proyectos de tal modo que crecimiento de la empresa sea máximo. Un criterio de crecimiento

máximo

es

áx[^(/y + 5pj. donde

que se va a hacer inmediatamente en el protodos los beneficios que rentará esta inversión. Los beneficios se reinvertirán en las actividades de la empresa y se contabilizarán continuamente, con una rentabilidad media para la empresa de i $/$-año. La función a maximizar en el criterio anterior puede interpretarse como el capital invertido en todos los proyectos más el total de beneficios resultantes de estas inversiones.

yecto

a)

es la inversión

Ij

;',

y

S'j

el

valor actual de

Demostrar que

el

total

de dinero contabilizado para

S = ^-{eiT-l),

siendo Pj b)

S'j

es

el

el

beneficio neto del proyecto

valor actual de

Sj.

Demostrar

/.

la

S'=—^{\-eiT) i

igualdad

el

año T

es

CRITERIOS ECONÓMICOS DE DISEÑO

134 c)

Demostrar que

el

cuando T

es

de distribución de capitales de la empresa caso de planificación a largo plazo (o sea,

criterio

se reduce al siguiente,

muy

en

el

grande).

max

[E('<-^

todos los proyectos

d)

problema de colocación de capitales de la empresa no puede en conjunto, porque necesariamente requiere el análisis simultáneo de gran número de proyectos ;. Aíslese un proyecto, que denominaremos k, de este complejo problema de distribución y El

estudiarse

considérense todos los demás proyectos

como

las

restantes activida-

des de la empresa, que tienen una rentabilidad de

i

$/$-año. ¿Qué

de diseño indica que este proyecto deba integrarse en actividades de la empresa?

criterio

Respuesta: Para

el

las

proyecto k

máx P dP

=0

di 14.

Una empresa de posible. Se

estable,

desea

tal

establece

en un campo de fabricación poco

capital

invertir

modo que

recupere

entonces

el

inmovilizado del

siguiente

el

criterio

modo más de

rápido

colocación

de

capitales

min todos los

il^'Y

proyectos

siendo

T,-

los

años necesarios para recuperar

los beneficios netos del proyecto a)

Si los beneficios netos

de

la

para

el

inmovilizado

Ij

mediante

;.

de un proyecto se reinvierten en actividades el tiempo de recuperación

empresa, deducir una expresión para el

proyecto

;'.

Respuesta:

r,=

— In i

b)

¿Qué

criterio

1+-

-1

Rj{\-t) + dl^

económico de diseño para el proceso k indicará que de colocación de capitales de la empresa?

éste se ajusta al criterio

EJERCICIOS

135

Sugerencia: Mostrar que el tiempo de recuperación del inmovilizado invertido en el conjunto de actividades de la empresa es 1

(empresa)

Respuesta: mín

T^

= — In 1+-

sujeto

a

la

1-í)

J

condición

7'"('^T^) excelente artículo, Westbrook y Aris demostraron cómo puede un reactor usando un calculador digital de alta velocidad *. Localizar este artículo y determinar los objetivos de la empresa a los que se ajustará un reactor diseñado mediante este programa de calculador.

En un

15.

diseñarse

*

Chem.,

G. T. 3,

53

Westbrook v (1961).

R.

Aris:

«Chemical Reactor Design», Ind. Eng.

CAPITULO

ESTIMACIÓN DE COSTES

En

que queda entre la síntesis de comienzo de su optimación, me-

este capítulo se llena el vacío

un concepto para un proceso y

el

diante las ecuaciones de coste que relacionan las variables de diseño con los parámetros económicos que intervienen en el mismo. Así, los cambios propuestos en el diseño pueden valorarse inmediatamente, iniciándose a continuación la optimación del proceso.

Problema

típico

Un estudio de la estructura del flujo de información de las ecuaciones de diseño para un cambiador de calor indica que hay un grado económico de libertad, que se consumirá fijando como variable de diseño el caudal con que el agua de refrigeración ha de bombearse al cambiador. ¿Cómo se reflejan los cambios introducidos en el caudal de agua de refrigeración en el inmovilizado y en los costes de operación del cambiador de calor?

5.1.

INTRODUCCIÓN

En el capítulo 2, Síntesis de alternativas plausibles, se señalaron métodos para la transformación de un problema primitivo en un problema específico de diseño de procesos. En el capítulo 3, se observó que existe amplia libertad para la especificación de los detalles técnicos de un proceso, y que esta libertad se concreta en la existencia de diseño sobre las que el ingeniero tiene control. capítulo 4, Criterios económicos de diseño, se estableció que la utilidad de un proceso propuesto puede valorarse una vez se han de

variables

En

el

estimado ciertos parámetros, tales como las necesidades de inmovio los costes de fabricación. Falta únicamente por averiguar cómo afectan los cambios propuestos por los criterios de diseño sobre las variables de diseño en la economía del proceso, pues, conseguido esto con suficiente precisión, sus valores

lizado, los ingresos por ventas

136

INTRODUCCIÓN

137

podrán ajustarse para llegar a obtener un proceso más útil. El vacío que queda se llena ahora con el desarrollo de las ecuaciones de costes. La figura 63 muestra el flujo de información que resulta al modificar las variables de diseño. El cambio es acusado primeramente por las ecuaciones de diseño, al variar las condiciones en las que ha de operar el proceso. El cambio en las variables de diseño y los subsiguientes en las variables de estado se reflejan a continuación en Variables de diseño

Ecuaciones de diseño Capítulo 3

d

Variables de estado

Estimación de costes Capítulo 5

Parámetros económicos

I,C,S

la

Estudio de rentabilidad

Capitulo 4

Optimación Capítulos

6.

7,

8, 9,

10

Criterio de diseño

U

FiG. 63.

Flujo de información en la optimación de

un

diseño.

ecuaciones de costes, que conducen a las inversiones requeridas por el proceso, ingresos por ventas, costes de fabricación, etc. Esta información pasa entonces a los criterios económicos de diseño, valorándose la utilidad del cambio propuesto en las variables. Basándose en los resultados obtenidos, pueden decidirse sucesivos cambios en el diseño; esto conduce a los métodos de optimación de procesos, que serán desarrollados en la segunda parte de este libro. Debe distinguirse claramente entre los costes detallados, calculados para la construcción de la planta, y los costes aproximados, estimados para la optimación del diseño. Los primeros se evalúan normalmente por especialistas en un departamento de estimación de costes. Este grupo parte de las previsiones y especificaciones de un sistema

las

ESTIMACIÓN DE COSTES

138

realiza las evaluaciones de costes a efectos de solicitar o juzgar ofertas de construcción. Tales estimaciones son por lo común relativamente precisas, basadas en el diseño detallado de los tanques y de las tuberías necesarias, de los edificios proyectados, en la instrumentación completamente especificada, etc. En general, la ingeniería del proceso debe estar terminada antes de que se pueda hacer una estimación detallada de costes. Para ser realmente útil en la optim.ación de un sistema aún no existente, la estimación de sus costes no puede basarse en los detalles del diseño propuesto. De hecho, en este caso los métodos de estimación pueden basarse sólo en los elementos principales del proceso, en sus aspectos generales y en variables de diseño importantes: por ejemplo, dada la localización de un sistema propuesto, una ligera idea de su diagrama de flujo, una lista de los elementos principales del equipo de proceso y su tamaño aproximado y someras indicaciones sobre las necesidades previstas de vapor, agua, electricidad, etc., el ingeniero competente puede, en casos favorables, estimar el inmovilizado y los costes de operación del proceso con un error probable menor del 15 por 100 *. Esta precisión puede ser suficiente para permitir el ajuste de las variables de diseño fundamentales durante las optimaciones preliminares. Además, en la práctica existen numerosas situaciones en las que la obtención de conclusiones más avanzadas sobre los datos de costes requiere un consumo excesivo de tiempo, por lo que el diseñador debe contentarse con este nivel de precisión. Durante el estudio de este capítulo, deben tenerse presentes las siguientes consideraciones

completamente diseñado y

1.

2.

La estimación rápida del inmovilizado y de los costes de fabricación para un proceso durante los estudios iniciales de diseño es un área crítica de la ingeniería de procesos. La incertidumbre en incertidumbre en

3.

4.

la

la estimación de costes se traduce en optimación del proceso.

Con frecuencia, para reducir el trabajo y el tiempo de evaluación de diversas estimaciones, es posible aproximar los datos de coste mediante correlaciones que proporcionan suficiente precisión para las fases iniciales del diseño. Es necesario que en el futuro se perfeccionen métodos de estimación de costes adecuados a las necesidades de las diversas fases del desarrollo del diseño.

*

J.

W. Hackney: Control and Management

Nueva York,

1965.

of Capital Projects.

Wiley,

ESTIMACIÓN DEL INMOVILIZADO

5.2.

139

ESTIMACIÓN DEL INMOVILIZADO NECESARIO PARA LOS ELEMENTOS PRINCIPALES DEL EQUIPO

La estimación del inmovilizado requerido suele realizarse con frecuencia por el siguiente procedimiento: primeramente se construye una lista con los elementos principales del equipo de proceso necesarios, así como su capacidad estimada; la lista ha de incluir entre otros, tanques, cambiadores de calor, bombas, filtros y secadores, pero no comprenderá partidas tales como aislamientos, sistema eléctrico, estructuras metálicas y tuberías que no dependen directamente del tipo de proceso. Una vez preparada, se estima el coste requerido para cada elemento de la lista; esta operación constituye el punto de partida del método de estimación factorial de los costes. En este apartado se discuten métodos para obtener estimaciones rápidas y precisas de los costes de los elementos principales del equipo, y, posteriormente, en el apartado 5.3, se muestra cómo puede extenderse esta informa^ción a la estimación del coste completo del sistema. El diseñador de procesos hace extenso uso de correlaciones para inmovilizado del equipo de proceso, en las que éste se representa, generalmente en coordenadas logarítmicas, frente a uno o varios parámetros de capacidad. Por ejemplo, el coste instalado de las bombas centrífugas de acero inoxidable con presiones de descarga superiores a 8 kg/cm-, con un tipo determinado de cierre metálico, suele relacionarse con la capacidad máxima de bombeo en litros por minuto. El coste de bombas con otros tipos de cierre, otras presiones de descarga y fabricadas con otros materiales se representarán con líneas similares en la misma gráfica. Sin embargo, la variable apropiada para correlacionar el coste de compresores de alta presión es la potencia en el eje, mientras que para turbosoplantes de baja -presión'B y €cro, resulta más adecuado el caudal volumétrico máximo. veces puede ser necesario hacer uso de más de una variable para obtener una el

A

correlación satisfactoria.

La figura 64 muestra correlaciones típicas que el ingeniero de procesos puede usar para obtener una rápida estimación del coste de los elementos principales del equipo. De la experiencia adquirida por una empresa de ingeniería se obtienen diversas correlaciones que forman parte frecuentemente de la información privada de la empresa. Por

otra parte, en la bibliografía se publican frecuentemente correlaciones similares, como los ejemplos citados al final de este capítulo. a

Como muchos datos de costes se han podido correlacionar frente un parámetro de capacidad en papel doble-logarítmico, es práctica

ESTIMACIÓN DE COSTES

140

• Simple O

etapa 3 500 rpm

Múltiples etapas 1750 rpm

100

mmHg

mmHg

25

25

mmHg

J L 5 10 Capacidad {piesVmin)-iO

100

50 -

(a)

12

5

10

50

20

Capacidad (p¡es"'/min)-10

-

(h)

FiG. 64. Página de un libro de estimación de costes, (a) Ventiladores de flujo radial para tres presiones, (b) Soplantes rotativas de desplazamiento positivo para presiones entre 0,2 y 0,8 atm. *

costes.

Véase

la tabla 9

para las correlaciones relativas a la estimación de estos

ESTIMACIÓN DEL INMOVILIZADO

habitual tencial

de costes en forma de una ecuación po-

datos

presentar

141

r

:

I=Ib[-^)

[5.1]

\

(1)"J ,

donde

/ es el inmovilizado estimado necesario para un elemento del equipo de capacidad Q, Ib es el inmovilizado de referencia conocido, para un elemento con capacidad Qb, y es la pendiente de la línea de correlación en la representación doble logarítmica. Debe fijarse claramente el intervalo de capacidades en el que resultan válidas estas correlaciones de coste de equipo y otras similares. En efecto, el límite inferior debe coincidir con la capacidad de las unidades comerciales de menor tamaño. Si se extienden a tamaños más pequeños, la línea de correlación tiende a hacerse horizontal a partir del citado límite. En el límite superior se alcanza la capacidad máxima con que puede construirse la unidad; si se desean capacidades superiores, debe aumentarse el número de unidades. La línea de costes tiende entonces a adquirir una pendiente de 45° en la repre-

M

sentación logarítmica. Bauman * presenta correlaciones de costes para un gran número de elementos de equipo de proceso; algunas de ellas se reseñan en la tabla 9, en la que se tabulan el parámetro de correlación Q, el tamaño básico Qb, el inmovilizado básico Ib, el campo de validez de la estimación y el exponente M. Nótese que el factor varía generalmente en el intervalo

M

O^M^l.

Ejemplo: Estimar el coste de un cristalizador que permita gran crecimiento de cristales para procesar 20 ton de material por día. La tabla 9 contiene todos los datos básicos necesarios para hacer la estimación: ( Q \^ /=/b(-^— j =22100

Aunque para un

estudio

/20\°'6^ í

—

j

=33 500

dólares (1961)

económico previo resulta

satisfactorio

aproximados, debe procurarse que las correlaciones que se manejen no introduzcan errores considerables, fácilmente evitables. Así, es aconsejable analizar el origen de las informaciones de costes en las que se basan. utilizar costes

*

dustry. C. E.

H. C. Bauman Fundamentáis of Cost Engineering in the Chemical InReinhold, Nueva York, 1964. Véase también: M. D. Winfield y Dryden: Chem. Eng. Diciembre 24, 1962. :

ESTIMACIÓN DE COSTES

142

Tabla

9.

Correlaciones típicas para

Tamaño, Qg

Aparato

Soplantes 0,1

0,5

>r^

atm atm

Caldera

para

2 m^/min 40

aprovechar

500 kg vapor/h

calor residual

2 000 kg/h

Centrífuga

Acero al carbono Acero inoxidable

cesta de

1

m

1

Compresor de aire accionado por turbina de vapor

240

Cinta transportadora

18

HP m2

Cristalizador (tipo crecimiento)

10 ton/día

Secadores

m2 m2 1,5 m2

Cilindro (atm) Cilindro (vacío) Tornillo sin fin

5 3

Evaporadores Película descendente

6

m2 m2 m2 m2

Filtro prensa

1

m2

Cambiadores de calor Carcasa y tubos Tubo con aletas

5

0,3

0,8 3

Placas Calderín^ _Jí~>-n5*^'^

Caldera (encamisada) Fundición Vitrificada

Mezclador (hélice marina)

,

m

el coste

de equipo

ESTIMACIÓN DEL INMOVILIZADO

Tabla

Aparato

9.

(Cont.)

143

144

ESTIMACIÓN DE COSTES

En este caso, por tanto, se habría cometido un error susdurante el análisis que condujo a la selección de este componente si se hubiese omitido esta partida en el cálculo. De cualquier modo, es importante destacar las bases utilizadas para la estimación de los costes de equipo, factor que frecuentemente no se muestra con claridad en las correlaciones publicadas. Los precios de aparatos nuevos se encuentran normalmente por uno de estos dos caminos: cío F.O.B. tancial

Aparatos de diseño normalizado. Los precios de pequeños elementos que pueden almacenarse en reserva, o los de otros elementos mayores, que pueden existir sólo como planos, se encuentran a veces tabulados en catálogos o en

de precios especiales. Sin embargo, un número de factores de descuento, que no son conocidos generalmente por un observador circunstancial, y que pueden, en conjunto, alcanzar la mitad de los precios indicados. Dependen, entre otras cosas, del volumen de nego-.>^ cios pasados y futuros entre el vendedor y el comprador, y constituyen una fuente de incertidumbre que complica la evaluación. estos precios están

listas

comúnmente

sujetos a

Aparatos de diseño especial. Cuando el elemento requiere un diseño especial y no se encuentra disponible en el mercado, debe hacerse una consulta al fabricante o suministrador; éste proporcionará un presupuesto, que puede ser una simple carta o un documento más formal, especificando el coste de los elementos y servicios a proporcionar, el plazo de entrega, garantías y todas las condiciones de la venta propuesta. El precio indicado es normalmente válido durante treinta días y recibe el nombre de «precio de la empresa», y el presupuesto puede incluir una cláusula de modificación que establezca un aumento automático de precio a causa de posibles incrementos en los costes de materias primas o mano de obra que se produzcan antes del envío.

En resumen, como las correlaciones de costes son un compromiso práctico que proporciona rápidamente estimaciones de costes aproximados,

el ingeniero debe conocer las fuentes de los datos usados en construcción de estas correlaciones. Asimismo puede solicitar presupuestos seguros de empresas para reducir la incertidumbre de los costes de los elementos mayores de diseño especial, a pesar del tiempo y molestias necesarios para obtener estos documentos. Los aspectos económicos relacionados con el aumento en la precisión de las estimaciones de coste forman parte de un campo en desarrollo que será discutido en el capítulo 12, Consideración de las incertidumbre s en

la

los datos.

ESTIMACIÓN DEL INMOVILIZADO

145

Además de las correlaciones de los costes de inmovilizado de los elementos principales del equipo de proceso, se han preparado también otras para el inmovilizado de sistemas de proceso completos, como las que se muestran en la tabla 10. Estas correlaciones tienen probablemente un error mayor de ± 30 por 100, por lo que deben usarse.' ' sólo durante la elección económica de alternativas preliminares. f-

Todas

estas correlaciones

han dado origen a

la

denominada «regla ]

Obsérvese que mientras en la tabla 9 el expopara elementos de equipo individuales varía ampliamente, en la tabla 10 el exponente se mantiene aproximadamente alrededor = 0,60. Esta observación empírica se utiliza en las fases prelide minares de diseño de ingeniería de procesos y tiene una interesante explicación. Como se ha indicado anteriormente, los costes de la mayor parte del equipo individual, como tanques, reactores, bombas, filtros, etc., varían exponencialmente con la capacidad, oscilando el exponente entre 0,30 y 0,90. Cuando la capacidad de la planta aumenta, uno o algunos de los componentes principales puede alcanzar su tamaño comercial máximo, y a partir de entonces su contribución a los costes totales de la planta será directamente proporcional a su capacidad. Sin embargo, los restantes costes, para tuberías, tendido eléctrico, cimientos, vías de comunicación, edificios, etc., continuarán aumentando menos que proporcionalmente con aquélla. Así, es posible que el coste total de la planta varíe como promedio con la potencia 0,6 de la capacidad, en un amplio intervalo de valores de ésta, para distintos procesos. No obstante, examinando los datos de coste con mayor detalle, se encontrará que el mejor exponente para la variación del inmovilizado de la planta con la capacidad dependerá en \_,cada caso del proceso que se considere (véase tabla 10). Xa regla de los seis décimos explica por qué interesa económicamente diseñar sistemas de procesos de gran tamaño, puesto que la inversión por unidad de capacidad disminuye a medida que ésta aumenta, siempre que se consiga el aumento sin requerir la duplicación completa de los componentes. Debe observarse, sin embargo, que esta ventaja económica aparente de las grandes unidades de proceso está contrarrestada por las mayores pérdidas que se producen cuando el proceso para, debido a un fallo en un componente. Este tema se discute en el capítulo 13, Tolerancia a los fallos.

de los nente

seis décimosy>.

M

M

M

.

/

M

JÍQ^Jiy^-<.^cJLe^

/

Tabla

Planta

10.

Coste de plantas de proceso completas

*

ESTIMACIÓN DEL INMOVILIZADO

147

Ejemplo: ¿Qué inmovilizado

se requiere para construir

un proceso para

fa-

bricar 30 ton/día de ácido cianhídrico? La tabla 10 proporciona los datos para la siguiente ecuación estimativa del coste: 7

=1

800 000

Í—V ^3 100000

dólares (1962),

con un error probable superior al 30 por 100 que, sin embargo, puede ser suficiente para desechar en un primer análisis algunas alternativas.

Ejemplo:

¿Qué incremento del inmovilizado se puede prever si se dobla capacidad de diseño de un proceso comercial propuesto?

h

la

0,6

= 1,5.

h Los datos de coste se basan en el valor del dinero en un cierto año indicado, por lo que se requiere un índice de precios para comparar costes referidos a distintas bases. El uso de índices de precios para expresar el cambiante poder adquisitivo del dinero data de 1913, cuando el Engineering News Record Magazine empezó a publicar el índice de Costes ENR, que es la media ponderada de los precios de acero, madera y cemento

1950 FiG. 65. ingeniería de procesos.

1955

1960

índices de costes. Base: 11

1965

1957-1959=100.

ESTIMACIÓN DE COSTES

148

la mano de obra. Desde entonces se han establecido otros índices, como el índice Marshall y Stevens, el índice de Refinerías Nelson, el índice de costes de la revista Chemical Engineeñng, el índice de Boeck y el índice del Burean of Labor Statistics. Entre ellos, resultan más adecuados para la ingeniería de procesos los índices de coste de equipo Marshall-Stevens, el índice Nelson y el índice de coste de plantas de Chemical Engineering. Estos índices dan la relación de los costes de diversos elementos en una L iecha dada respecto a su coste en una fecha base, que permite efectuar interpolaciones y extrapolaciones en el tiempo. La figura 65 muestra el índice ENR, el índice Marshall-Stevens para costes de equipo y el índice de coste de plantas de Chemical Engineering, tomados con la base de referencia común 100 para 1957-59.

y del coste medio de

5.3.

MÉTODO DE ESTIMACIÓN FACTORIAL

El método de estimación factorial del coste de sistemas de proceso permite evaluar el inmovilizado de un sistema completo a partir de los costes obtenidos para los elementos principales del equipo. Los costes que se obtienen por este método se utilizan habitualmente para desarrollar las ecuaciones de coste necesarias para optimar los detalles de un proceso propuesto, resultando, además, generalmente más precisos que los deducidos a partir de los datos análogos a los de la tabla 10.

El punto de partida del método factorial de estimación es la evaluación del inmovilizado necesario para los elementos principales del equipo de proceso, que se designará por 1e (véase la tabla 11).

Tabla 11 Aparatos principales del equipo de proceso

MÉTODO DE ESTIMACIÓN FACTORIAL

149

Se ha observado que los costes de otros elementos esenciales, necesarios para completar el sistema de proceso, pueden correlacionarse con el inmovilizado requerido para los elementos principales del equipo, y que el inmovilizado global puede estimarse aplicando factores experimentales a este inmovilizado base, /g. Se obtiene así la siguiente ecuación de estimación factorial [5.2], en la que los factores experimentales, /, se obtienen analizando datos de muchos sistemas

de procesos similares:

h=[lE+[j^filE)]fl

7^= inmovilizado para

el

[5.2]

sistema completo,

/£ = inmovilizado para los elementos /, = factores multiplicadores para la

principales,

estimación de costes de tu-

berías, instrumentación, edificios, etc., f/

= factor

multiplicador para la estimación de gastos indirectos ingeniería, costes de contratación, con-

como honorarios de tingencias, etc.

La tabla 12 se ha tomado de un estudio pionero de Chilton * y puede considerarse como una muestra representativa de los datos que pueden acumularse a partir del análisis de procesos existentes. El método factorial de estimación fue iniciado por Lang **, en 1947, analizando más de una docena de procesos ya instalados. Posteriormente, se han efectuado estudios similares, destacando por su amplitud el debido a Arnold y Chilton***, que analizaron 156 proyectos durante el desarrollo del índice del coste de plantas de la revista Chemical Engineering. El factor de proporcionalidad entre el coste instalado (o, frecuentemente, el coste sin instalar) de los elementos principales del equipo de proceso y el inmovilizado total se ha denominado factor de

Lang

Íl:

,

lF

*

** ***

C. H. Chilton:

= fLlE

Chem. Eng., junio 1949.

Lang: Chem. Eng., octubre 1947. T. H. Arnold y C. H. Chilton: Chem. Eng., febrero 1963. H.

J.

Tabla

12.

Factores para estimar el coste total de la planta

COSTE DEL EQUIPO DE PROCESO INSTALADO

/^

FACTORES EXPERIMENTALES COMO FRACCIÓN DE /^ Tuberías de proceso

f\

Proceso de sólidos Proceso mixto Proceso de fluidos

0,07-0,10 0,10-0,30 0,30-0,60

Instrumentación

fz

Control poco automatizado Control parcialmente automatizado Control complejo, centralizado

0,02-0,05 0,05-0,10 0,10-0,15

Edificios de fabricación

f^

Construcción abierta Construcción semiabierta Construcción cerrada

0,05-0,20

0,20-0,60 0,60-1,00

Plantas de servicios

fu

Escasa adición a las existentes Adición considerable a las existentes Plantas de servicios totalmente nuevas

0,00-0,05 0,05-0,25 0,25-1,00

Conexiones entre unidades

fs

Entre las unidades de servicios Entre unidades de proceso separadas Entre unidades de proceso dispersas

COSTE FÍSICO TOTAL

0,00-0,05

0,05-0,15 0,15-0,25

I^

FACTORES EXPERIMENTALES COMO FRACCIÓN DEL COSTE FÍSICO Ingeniería y construcción

{

1

+

I")

MÉTODO DE ESTIMACIÓN FACTORIAL

\

151

Una inspección de los datos de los factores experimentales indica que el factor de Lang para un proceso ordinario es del orden de fí, ^=^ 3. Es interesante señalar que el inmovilizado invertido en los elementos principales del proceso asciende tan sólo a un medio, un tercio o incluso un cuarto del inmovilizado total, dependiendo de la naturaleza del proceso. El ingeniero experimentado puede así efectuar una estimación del

inmovilizado necesario para un nuevo proceso con un error probable del 10 al 15 por 100, seleccionando cuidadosamente los factores experimentales adecuados dentro de los límites dados. La tabla 13 mues/ «—tra una división similar de los costes de procesos, que también se utilizará para la estimación de costes con miras a su optimación (apartado 5.6). Es razonable suponer que la precisión de la estimación factorial puede incrementarse significativamente incluyendo más detalles en la /

Tabla

13.

Factores experimentales típicos para sistemas de proceso

en

los

que predominan fluidos

*

COSTE DEL EQUIPO PRINCIPAL SIN INSTALAR

/£

COSTES DIRECTOS ADICIONALES COMO FRACCIÓN DE Ie

Mano de obra para Aislamiento

la instalación del

equipo principal

0,10-0,20 0,10-0,25

Conducciones (acero Cimientos

al

carbono)

0,50-1,00 0,03-0,13

Edificios

0,07 0,05 0,06-0,10 0,07-0,15

Estructuras Protección contra incendios Instalación eléctrica Pintura y limpieza

0,06-0,10 Ifi

COSTE DIRECTO TOTAL

1,09-2,05

(l-|-Sf,)/£

COSTES INDIRECTOS COMO FRACCIÓN DE LOS COSTES DIRECTOS Gastos generales, Gerencia Servicios técnicos, honorarios de ingeniería Imprevistos

0,30 0,13 0,13

f/=H- 0,56 = 1,56 COSTE TOTAL *

//r

Adaptado de

York, 1958.

= íl -|-5;/,)f//£ = (3,l-4,8)/£ J.

Happel:

Chemical Process Economics. Wiley, Nueva

ESTIMACIÓN DE COSTES

152

proceso en sus elementos principales. Por ejemplo, *, de la American Cyanamid Company, ha desarrollado ecuaciones especiales para estimar, a partir del coste de una planta dada, el de: división

del

H. C. Bauman

1.

Una nueva

planta de la

misma capacidad en un nuevo empla-

zamiento. 2.

Una nueva

3.

Una nueva

planta similar de distinta capacidad con el mismo número de unidades de proceso en un nuevo emplazamiento.

planta similar de distinta capacidad con múltiplos de las unidades de proceso originales en un nuevo emplazamiento.

HiRscH y Glazier ** modificaron el método original de Lang incluyendo factores especiales para columnas de

del

factor

fracciona-

miento, tanques a presión, cambiadores de calor y evaporadores, entre otros, para obtener una estimación de los costes más precisa. Posteriormente, R. M. Wadell *** introdujo un método denominado

«estimación por expansión» que es una variante del método factorial de estimación.

En resumen, la ecuación [5.2] resulta adecuada, dentro de los limitados propósitos de este texto, para una rápida estimación del inmovilizado requerido en un sistema de procesos. Sin embargo, se debe tener presente que se han desarrollado métodos de estimación más elaborados para fines especiales y que pueden resultar necesarios en determinados problemas de diseño de procesos.

Ejemplo:

Como

ejemplo sencillo del método factorial de estimación, se pre-

senta un análisis aproximado de los costes de la unidad de síntesis de amoniaco representada en la figura 66, para una producción de

30 ton de amoniaco por día. Los detalles se resumen en la tabla 14. * H. C. Bauman: Fundamentáis of Cost Engineering in the Chemical Industry. Reinhold, Nueva York, 1964. ** I. H. HiRSCH y E. M. Glazier: Chem. Eng., 12, 56 (1960). *** R. M. Waddell: Chem. Eng. Progr., 57 (1961).

INMOBILIZADO PARA SERVICIOS AUXILIARES

153

Así, el inmovilizado necesario en la sección del convertidor (figura 66), se estima en 1 millón de dólares (1961). Es interesante comparar este valor estimado por el método factorial con el obtenido

NH. Producto'*

FiG. 66.

Unidad de

síntesis

de amoniaco.

para una planta completa de amoniaco a partir de los datos del cuadro 10:

h=

30 3

000 000 = 1 500 000 dólares.

100

El resultado es muy razonable, pues restan 500 000 dólares para la preparación del gas de síntesis (N2 y H2).

5.4.

INMOVILIZADO PARA SERVICIOS AUXILIARES

El método de estimación de costes descrito anteriormente conduce a un valor aproximado del inmovilizado Zp en el área de proceso. Frecuentemente no se contabilizan dentro de él las inversiones en sistemas y servicios auxiliares, 1a, como las instalaciones para generación y distribución de servicios (vapor, etc.), laboratorios, talleres de maquinaria, servicios del personal y otros. Estos costes pueden ser importantes y deben tenerse en cuenta al evaluar cualquier proyecto

propuesto.

Tabla 14

ESTIMACIÓN DE LOS COSTES DE FABRICACIÓN

I55

Cuando estos servicios auxiliares tienen uso general y continuado en otros sistemas de proceso integrados en un complejo industrial, la contabilización se hace más correctamente cargando el proyecto considerado con un precio de venta interior, basado en la porción de servicio que se consumirá. Si no puede medirse el consumo exacto, el servicio se puede contabilizar mediante un factor global, usualmente una retribución anual proporcional a /f. En una situación diferente se encuentran aquellas plantas aisladas de todo complejo industrial, que deben instalar todos los servicios auxiliares para su uso exclusivo. En este caso, el «área de proceso» debe extenderse hasta incluir los sistemas de servicios auxiliares completos cuyos inmovilizados formarán parte así de Zf. Por ejemplo, una planta de amoniaco puede diseñarse para ser incluida en un amplio complejo químico, del que puede conseguir hidrógeno, nitrógeno, energía eléctrica, vapor y agua de refrigeración a precios adecuados. En este caso, el capital fijo que se arriesga en el proyecto incluye sólo el inmovilizado de la planta de amoniaco. Sin embargo, si esta misma planta hubiera de emplazarse en una zona aislada en la que no se dispone de servicios auxiliares, el capital inmovilizado incluiría la inversión en la planta de amoniaco y además una inversión considerable en una planta de hidrógeno, una planta de nitrógeno, calderas de vapor, estación de generación de energía eléctrica, un sistema de agua de refrigeración y, quizá, incluso viviendas para los trabajadores y sus familias. La tabla 15 da una idea aproximada de la fracción de los costes totales de una planta que hay que contabilizar para la instalación completa de los diversos servicios auxiliares o para una ampliación sustancial de las ya existentes.

5.5.

ESTIMACIÓN DE LOS COSTES DE FABRICACIÓN

Los métodos presentados en

los apartados precedentes permiten al inmovilizado necesario para construir un proceso. También debe disponer de procedimientos para estimar su coste de fabricación, C. Como se recordará, en el capítulo 4 estos costes se dividieron en términos proporcionales al inmovilizado del sistema I, a su volumen de producción Q y a \a mano de obra L, respectiva-

ingeniero

mente

estimar

el

:

C = aI + bQ + cL. Se centrará ahora factores.

la

atención sobre los métodos para estimar estos

ESTIMACIÓN DE COSTES

156

Tabla

15.

Valores típicos de los costes de los servicios auxiliares expresados del coste total de la planta instalada (plantas aisladas o grandes adiciones de servicios) *

como porcentaje

ESTIMACIÓN DE LOS COSTES DE FABRICACIÓN

Tabla

16.

Costes indirectos que intervienen en el coste de fabricación

Partida

157

ESTIMACIÓN DE COSTES

158

Tabla

17.

Consumo aproximado de durante

Proceso

la

electricidad, vapor y agua de proceso manufactura de diversos productos *

ESTIMACIÓN DE LOS COSTES DE FABRICACIÓN

Tabla

18.

Servicio

Vapor

Coste de servicios generales

Coste

159

/^Í^JuiTIr/

ESTIMACIÓN DE COSTES

160

Tabla

19.

Distancias

Medio de envío

medias diarias recorridas y coste del transporte de productos químicos a granel

ESTIMACIÓN DE LOS COSTES DE FABRICACIÓN

161

Se dan a continuación los valores razonables de los diversos parámetros económicos que se utilizarán:

Amortización

e

Factor de depreciación a efectos de impuestos

¿^

Impuestos lo

que

í

la anterior

$/$-año

d = 0,lO $/$-año

Rentabilidad

Con

= 0,10

= 0,20 = 0,50

S/$-año $/$

expresión se simplifica a

C + 0,57 El problema se ha reducido así a estimar el inmovilizado requerido en la planta de oxígeno, I, y los costes de fabricación, C.

te

Inmovilizado. La tabla 10 proporciona datos para estimar el cosaproximado del inmovilizado de una planta completa de oxígeno: /

/

30

\

0.56

= 430000Í— j

=540 000

$ (1962).

Costes de fabricación. La tabla 16 indica que los costes de fabricación que son proporcionales al inmovilizado ascienden aproximadamente al 15 por 100 de éste por año: a/ = (0,15 $/$-año)(540 000)

= 81000

$/año.

Los términos proporcionales a volumen de producción incluyen el consumo de electricidad, vapor y agua, factores que pueden estimarse con las tablas 17 y 18: Electricidad:

Vapor:

(0,485

kWh

(2,2 kg/kg) (1,1

Agua: (1091 kg)

$/kg) (0,01

$/kWh) =0,00485

$/kg

=0,00242

$/kg

= 0,000545

$/kg

= 0,0078

$/kg

$/ton)

(0,005 $/m^)

¿ y,

por tanto, ¿C> =(0,0078 $/kg)(l,1.107 kg/año)

= 85

800 $/año.

Los costes de fabricación proporcionales a la mano de obra pueden estimarse como 10 por 100 de los costes de fabricación totales. Así:

cL=-^{aI + bQ) = lS530

$/año.

ESTIMACIÓN DE COSTES

162

El precio del oxígeno resulta ser:

p= ^

185 330

+ 0,5.(540 000)

= 0,041

$/kg.

1,1.10^

Debe notarse que en muchas ocasiones

el

«coste» de

un producto

de fabricación», tal como se han definido aquí, y no comprende una adecuada valoración de los costes del caincluye sólo

los

«costes

pital arriesgado.

5.6.

En

este

coste para

trado en

la

ECUACIONES DE COSTE PARA LA OPTIMACION

apartado se desarrollarán con detalle las ecuaciones de diseño del cambiador de calor de carcasa y tubos, mosfigura 67, que se usará como refrigerante para reducir la

el

yy kg/h

16oC

450 kg/h 93 °C

450 kg/h 38 °C

Cambiador de calor

¥ FiG. 67.

Refrigerante.

temperatura de 450 kg/h de un fluido de 93 a 38 °C, usando agua de refrigeración disponible a 16 °C. Puede deducirse una dependencia directa entre la única variable de diseño económico, el caudal de rekg/h, y el criterio económico de diseño, el beneficio frigerante, del riesgo, Y dólares por año. Se mostrará cómo interaccionan las ecuaciones de diseño y las ecuaciones de costes. Este tipo de análisis debe realizarse en cada parte del sistema de proceso antes de que

W

pueda

iniciarse su

optimación conjunta.

ECUACIONES DE COSTE PARA LA OPTIMACION

163

Ecuaciones de costes. El inmovilizado de un cambiador de carcasa y tubos se correlaciona con la superficie de transmisión de calor, m^, en la forma indicada en la tabla 9:

A

/£

para 5

^ A ^ 25

La tabla

13

= 1350Í— j

dólares,

[5.4]

m^.

puede

utilizarse

para estimar los siguientes factores

experimentales

= 0,15 = ^3 = 0,50 = 0,08 f4

Coste de instalación

/^i

Aislamiento (no)

/^2

Tuberías

Cimientos Estructuras (no)

/s=0

= = h Q /8 = 0»08

de incendios (no)

Protección

^6

Sistema eléctrico (no) Pintura y limpieza

Costes directos totales (1+X/¿)

= 1,81

Costes indirectos

de ingeniería y contratistas

fi

= 0,20

Honorarios de ingeniería (utilizándose un diseño normalizado)

/2

= 0,05

Beneficios

Contingencias

(no

suelen

presentarse

problemas imprevistos en elementos de equipo normalizado)

^3 = 0,05 = 1 + 0,30 = 1,30 //

Costes totales

Por tanto, la ecuación [5.5] da una estimación inmovilizado necesario para el cambiador de calor:

/f

INGENIERÍA DE PROCESOS.

12

= 3 200Í— j

dólares.

más completa

del

[5.5]

ESTIMACIÓN DE COSTES

154

este momento los factores multiplicadodesarrolló para obtener los costes totales del equipo

Es interesante apuntar en res

que

Hand

*

instalado, a partir de sus costes, situado en la planta, sin instalar.

Elementos

ECUACIONES DE COSTE PARA LA OPTIMACION

165

El criterio de diseño para el cambiador debe maximización de los beneficios del riesgo:

Criterio de diseño. incluir la

máx [R-iR- dlp) t-elp- ijp],

[5.6]

donde R = S-C. S es constante, pues la temperatura de salida y el caudal en el cambiador están especificados; por tanto, el problema se reduce a una minimización de costes:

mín [C + {-C- dlp)

t-\-elp

+ ij^],

(W)

y

si

e = 0,05 $/$-año

íf=0,10 $/$-año

= 0,10 í = 0,50

f^

el criterio

$/$-año $/$

de diseño se convierte finalmente en:

mín(0,5C + 0,10/f).

[5.7]

(W)

Ecuaciones de diseño. Ligado ya el criterio de diseño con las vaprincipales del proceso mediante las ecuaciones de costes, queda finalmente el problema de relacionar el área del cambiador de calor con la variable de diseño única, el caudal de refrigerante W; éste se resuelve aplicando las ecuaciones de diseño previamente obtenidas (Fig. 21), en las que Cp=\ kcal/kg°C. La figura 68 ilustra el flujo de información que descubre la estructura del problema de diseño del refrigerante. Una trama similar de flujo de información resultará del estudio detallado de las ecuaciones de diseño, estimaciones de costes y criterios de diseño para cada uno de los distintos componentes que constituyen un sistema de proceso industrial. Se puede visualizar así el problema de optimación completo de un amplio proceso, como una refinería de petróleo que contiene cientos de componentes, como una telaraña compleja que debe ser cuidadosamente desmenuzada para que pueda alcanzarse el diseño óptimo sin implicar problemas innecesariamente difíciles. La segunda parte de este texto contiene un conjunto de capítulos sobre optimación, es decir, sobre la estrategia para obtener la mayor información de un problema complejo con el menor consumo de esfuerzo. riables

ESTIMACIÓN DE COSTES

166

El uso de esta estrategia para desenredar la trama del flujo de información puede conducir a reducciones importantes en la dificultad del

problema. Variable

de diseño

W

kg/h

Ecuaciones de diseño

^

Ecuaciones de coste

^;^^?^^^smss?i;?;^^?v^

^^^^^^^

x\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\xx\\vS«'

C=

4,32

X 10"^

W+ 0,02Ip

m

$/año

Criterio de diseño

Valoración de los efectos de la variable de diseño en S/año

FiG. 68.

Flujo de información a través del diseño.

:í

OBSERVACIONES FINALES

5.7.

167

OBSERVACIONES FINALES

Concluye así una discusión elemental de los métodos que transforman un problema primitivo en un problema específico y bien definido de ingeniería. El desarrollo de las estimaciones de costes es el último eslabón para la definición de problemas específicos. Hay diversas observaciones que deben hacerse en este punto. En primer lugar, los datos de coste no son estáticos, cambian con el tiempo y el lugar, en contraste con las propiedades físicas, que son invariables y constantes. Por otra parte, los índices generales de costes citados no son lo suficientemente representativos como para acusar alteraciones en los costes de bienes de equipo, ya que, por ejemplo, la competencia en un área dada del diseño puede obligar a los costes de un elemento determinado a bajar, aun cuando los costes medios generales están experimentando una tendencia al alza. Además, hay otras consideraciones que no han sido mencionadas hasta ahora en esta introducción elemental a la estimación, como, por ejemplo, el uso de factores de localización para contabilizar los cambios en los costes según la localización geográfica. La estimación de costes se ha especializado de tal modo que las grandes oficinas de diseño requerirán en el futuro especialistas llamados ingenieros de costes para trabajar con los ingenieros de procesos y suministrar así una base económica de diseño realista. En el capítulo 11, Adaptación a los desarrollos futuros, y en el capítulo 12, Consideración de las incertidiimbres en los datos, se desarrollarán algunas ampliaciones de estas breves ideas.

Bibliografía Existen diversos libros que tratan sobre

el

problema de

la

estimación de

costes.

Fundamentáis of Cost Engineering in the Chemical H. Carl Bauman Industry. Reinhold. Nueva York, 1964. Cecil H. Chilton, ed. Cost Engineering in the Process Industries. McGraw-HilI. Nueva York, 1960. O. T. ZiMMERMAN e I. Lavine Cost Engineering, Industrial Research Services, Dover, NH, 1950. R. Aries y R. Newton Chemical Engineering Cost Estimation, McGrawHill. Nueva York, 1955. W. Hackney: Control and Management of Capital Projects, Wiley. J. Nueva York, 1965. C. E. Dryden y R. H. Furlow Chemical Engineering Costs, Ohio State :

:

:

:

:

University, 1966.

ESTIMACIÓN DE COSTES

168

Datos de costes de plantas y equipos aparecen con frecuencia en revistas Engineering, Hydrocarbon Processing, Cost Engineering Quarterly y otras publicaciones profesionales y comerciales. Una fuente general es:

como Chemical S.

Katell, H. H. Faber y J. W. Douglas: «Bibliography of Investment and Operating Costs for Chemical and Petroleum Plants», publicación resumen anual del Burean of Mines and American Association of Cost Engineers. Véanse, asimismo, listas similares, como la del U. S. Bureau of Mines Circulars, desde 1949 en adelante.

Para tener algunas indicaciones sobre los trabajos publicados en el campo general de la estimación de costes, se aconseja estudiar los siguientes artículos: A. Miller: oNew Cost Factors Give Quick Accurate Estimates», Chem. Eng., sept. 13, 1965. H. E. Mills: a Costs of Process Equipment», Chem. Eng., marzo 16, C.

1964.

Weinberger: «How to Estímate Required Investment», Chem. J. Eng., noviembre 25, 1963. A. J. Weinberger: «Calculating Manufacturing Costs», Chem. Eng., diciembre 23, 1963. F. C. Zernik y R. L. Buchanan: «Generalized Correlation of Process Investment», Chem. Eng. Progr., 2, 59 (1963). A.

Westbrook y Aris presentan un excelente ejemplo del desarrollo de las ecuaciones de coste para el diseño de un reactor. Westbrook y

G. T.

Chem.,

3,

R. Aris: «Chemical Reactor Design», Ind. Eng. 53, 182-183 (1961).

EJERCICIOS Estimar

1.

a)

b)

el

coste actual de los siguientes elementos de

un proceso.

Un

compresor de aire de 500 HP. Secador de tornillo sin fin de 18 m^ de superficie de transmisión de

calor. c)

Un

d)

Una unidad de

e)

Un

En

2.

la

calderín con 40 m^ de superficie de transmisión de calor. 18°C. refrigeración de 1000 ton de carga a

reactor vitrificado

—

de 400

litros.

tabla 20 se muestran los datos publicados por Garrett y Rosenel coste de cristalizadores *. Desarrollar una ecuación de costes

BAUM sobre

para obtener rápidamente una estimación aproximada del coste de cristalizadores durante las etapas preliminares del diseño de procesos. ¿Qué tanto por ciento de precisión puede asignarse a la ecuación de estimación de coste resultante? ¿Cómo se compara con los datos contenidos en la tabla 10 para este tipo de aparatos? ¿Cómo influye el material de construcción en el coste? ¿Y la capacidad? ¿Y el tamaño de los cristales?

*

D. E. Garrett y G. P. Rosenbaum:

Chem. Eng., agosto

1958.

Tabla

20.

Costes de cristalizadores de circulación forzada

Tipo general y descripción

Capacidad tonldía

Coste Tamaño de cristales total FOB

Mesh

$ (1958)

Instru-

mentación

$ (1958)

Tipo Oslo 15

Evaporador-cristalizador de dos etapas, acero suave Evaporador-cristalizador de una etapa, acero suave Cristalizador por enfriamiento de dos etapas, acero suave Cristalizador de vacío de tres etapas, acero suave Cristalizador de vacío de tres etapas. Acero inoxidable 316 Cristalizador de tres etapas: primera: cristalización a vacío; segunda y tercera, refrigeración por amoniaco. Acero inoxidable 304

10

85

60%+ 90%+

50 50

Grande

50%+

22 000

4 400

22 500

10 000

100 000

40

95% +100 235

95%+

50

100 000

235

95%+

50

210 000

520

90%+

40

343 000

390

98%+

80

143 000

390

98%+

80

200 000

390

98%+

30

159 000

390

98%+

30

205 000

130

98%+

80

68 000

Tipo Pachuca Cristalizador de vacío de tres etapas, recubierto de caucho Cristalizador de vacío de tres etapas. Acero inoxidable 316 Cristalizador de vacío de tres etapas, recubierto de caucho Cristalizador de vacío de tres etapas. Acero inoxidable 316 Cristalizador de vacío de tres etapas. Acero inoxidable 316

Convencional, circulación forzada Cristalizador de vacío de una etapa. Acero suave Cristalizador por enfriamiento de dos etapas. Fundición Cristalizador de vacío de una etapa. Recubierto de caucho Cristalizador de tres etapas.

31000

30

80

95% +100

50 000

120

90% +100

43 000

154 000

550

Acero suave Evaporador-cristalizador de triple efecto. Acero suave Intercambiadores de acero inoxidable Evaporador-cristalizador de cuádruple efecto. Acero con intercambiadores de acero inoxidable

900 000

5

000

1

5

000

2 700 000

1500

ESTIMACIÓN DE COSTES

170

Se ha observado que el coste de cierto tipo de tanques de proceso es directamente proporcional a su peso. Si el tanque es de paredes delgadas relacionará el coste del tanque con su y esférico, ¿qué exponente volumen? ¿Cómo puede relacionarse con el exponente dado en la tabla 9?

M

21 se muestran los datos reales utilizados por Lang en 1947 los factores experimentales para la estimación de los costes de proceso. Preparar una tabla de estimación factorial similar a la tabla 13 a partir de estos datos. Evaluar la precisión de los factores obtenidos. ¿Dentro de qué limites de confianza puede predecirse el factor

En

la tabla

para

desarrollar

de Lang para un nuevo proceso a partir de estos datos? ¿Es razonable expresar el factor de Lang con tres cifras significativas, como se hace frecuentemente en la bibliografía? Se encuentra en fase de diseño el proceso mostrado en la figura 69. Estiel coste de los elementos principales del equipo y el inmovilizado total requerido por el sistema. Se trata de un proceso convencional que opera a baja temperatura y requiere una instrumentación moderada.

mar

Alimento

cr

^

Bomba

Cambiador de M calor de tubos prolongados con 1 aletas de 14 m-

de alimentación, 20

HP

i

Cristalizador 20 ton/día

prensa de 9 m-

Filtro

Bomba

O Bomba 10 HP

FiG. 69.

A

partir de los datos de las tablas 10 y 17, estimar el coste de fabricación de ácido sulfúrico, en dólares por kilogramo: 1) en una planta de 100 ton/día por el método de contacto, y 2) en una planta de 50 ton/día. Se dispone de azufre a 24 dólares la tonelada. Otros datos necesarios se encontrarán en el texto. El precio actual del ácido sulfúrico en el mercado es de 25 dólares la tonelada. Compárese esta cifra con el valor obtenido.

ESTIMACIÓN DE COSTES

172 7.

El proceso de destilación mostrado en la figura 70 ha sido sugerido como solución al problema primitivo 14 del capítulo 2. Han de concentrarse 5 800 kg/h de mezcla de amoniaco y vapor de agua con 5 por 100 del primero hasta obtener una disolución de amoniaco al 20 por 100.

Estimar el inmovilizado total requerido para este diseño. Estimar los costes de fabricación. Si el producto tiene un precio de 50 dólares la tonelada de NH3,

a)

b) c)

estimar la rentabilidad del proceso. 4 500000 kcal/ti a 0,8 S/10' kcal

Condensador, 180 mde superficie

1

500 kg/h 0,20

Columna de 1

NH

destilación;

de diámetro,

m

de altura.^.^.^»^ 2.50 5 platos

5800 kg/h Fracción másica

de

m

0,05

NH,

r¡ r\ f / .

.

>.

Caldera.

4 300 kg/h 0,00075 NH,

4 m- de superficie

?'>

4 200 000 kcal/h;

vapor a 2

S/IO*- kcal

FiG. 70.

Un

residuo acuoso industrial de 4 500 kg/h contiene 0,2 kg de ácido benzoico por 100 kg de agua. Se propone recuperar el ácido benzoico extrayéndolo con benceno. El benceno se recupera por evaporación y condensación. El proceso propuesto se muestra en la figura 71. Extractor:

Está

constituido

por un sistema mezclador-sedimentador

que requiere una bomba mezcladora de 20 HP. Debe tener un volumen suficiente para asegurar un tiempo de residencia de cinco minutos, basado en el caudal total de fluido de entrada. Debe usarse un tanque de acero al carbono. El ácido benzoico se distribuye entre la fase

EJERCICIOS

173

acuosa y la fase bencénica según la ley de reparto y = 4x, siendo y = kilogramos de ácido benzoico por kilogramo de benceno, y a: = kilogramos de ácido benzoico por kilogramo de agua. El benceno es soluble en la fase acuosa en una proporción de 0,07 kg de benceno/100 kg de agua.

Sedimentador

Evaporador

B+F Vapor Disolución de ácido benzoico a almacén (0,85 S/kg de ácido, en disolución al 10 por 100 en benceno)

Benceno de reposición 0,02 $/kg

FiG. 71.

Evaporador: El benceno (punto de ebullición 80 °C y calor de vapo100 kcal/kg) se evapora en un evaporador de película descendente a 1 atm, utilizando como agente de calefacción vapor a 150 °C. El coeficiente global de transmisión de calor es de 500 kcal/hm2°C. rización

Condensador: Los vapores de benceno puro se condensan en un cambiador de calor de carcasa y tubos usando agua de refrigeración a 16 °C, que puede calentarse hasta 32 °C. El coeficiente global de transmisión de calor es 500 kcal/h m^ °C, El condensado se enfría hasta 27 «C en un cambiador de carcasa y tubos con un coeficiente de transmisión de calor C/=100 kcal/h m2«C. a)

Desarrollar

las

ecuaciones

de diseño para

el

proceso y determinar

estructura del flujo de información. Estimar los costes de fabricación y el inmovilizado en función de las variables de diseño y de estado. la

b) c)

Estimar la rentabilidad del proceso si se hacen circular 450 kg/h de benceno. Repetir el cálculo para 4 500 y 9 200 kg/h de benceno.

Se ha de hacer un estudio para encontrar el tamaño óptimo de un cambiador para intercambiar calor entre una corriente de producto a la salida de un reactor y la corriente de alimentación del mismo. La planta existe ya y actualmente tiene instalados cambiadores de calor

O "2

ÓU

^

o o .

Í3

2i

o

S

5-

fi rt O)

2 1/5

(U

C 3

^OJ

3 C


o

o

'3

-o

-=.

"

r¿3

W

O)

p<

£2

2 o

(U

«

'o

S 3

as

ií "D

£

O)

O)

O

(U

rt

"O

— cg

íq

C

'"3

1—1

.

<"

ir;

c S o S Oí c w >
O w ni.

73

> «1

c

o G Í3

o

Oí

o

-o

D

ESTIMACIÓN DE COSTES

176

el alimento y enfriar el producto, por lo que modificación propuesta. Desarrollar una ecuación de costes que contenga la variable A, área de transmisión de calor, del cambiador propuesto y que muestre cómo varía el beneficio del riesgo de la unidad de proceso con A permitiendo localizar su valor óptimo. Recordar que el coste pagado por un cambiador de calor en fábrica, sin instalar, debe aumentarse con un factor apropiado para obtener la necesidad real de inmovilizado y los costes de operación de la unidad. Téngase presente que la solución óptima puede ser, también, ¡no instalar el cambiador!

adecuados para precalentar

no

10.

es

la

En un

cierto proceso se obtiene un gas de chimenea con caudal y composición variables. Contiene CIH en proporción no inferior a 2 por 100 en volumen. En el proceso se consume actualmente CIH procedente de ácido clorhídrico concentrado que se diluye para su uso al 20 por 100. El ácido concentrado cuesta 0,04 dólares el kilogramo. a)

Sintetizar

b)

c)

un sistema de proceso para aprovechar

el

ácido contenido

gas de chimenea. Suponiendo que el gas

en

11.

imprescindible

el

de chimenea contiene 450 kg/día de CIH, estimar el inmovilizado necesario y los costes de operación del proceso. ¿Sería aconsejable arriesgar el capital necesario para este proceso?

En

la figura 72 se muestra el diagrama de flujo del proceso seguido en planta de concentración de mineral de hierro de Lac Jeannine. La planta puede tratar 8 800 ton/h de mineral, produciendo 2 600 ton/h de

la

concentrado de alta calidad. a)

b) c)

d)

Basándose en esta información, en el diagrama de flujo y en los datos disponibles en este texto y en otros dedicados a la estimación de costes, evaluar el capital irunovilizado necesario para los elementos principales del equipo. Estimar el capital inmovilizado total del sistema. Estimar los costes de operación en dólares por tonelada de concentrado. ¿Constituye este sistema un objetivo adecuado para una empresa dedicada a la inversión de capitales?

SEGUNDA PARTE

OPTIMACION

Esta segunda parte comprende una serie de cinco capítulos en los que se discuten métodos para ajustar un diseño específico a sus condiciones óptimas. El

capítulo

6,

Investigación de las condiciones óptimas, trata sobre los la investigación numérica hacia los valores óptimos de diseño en sistemas que presentan un número reducido de

métodos para conducir variables de grados de libertad.

las

Programación lineal, estudia un método específico de invesde gran utilidad para la solución de problemas lineales de optimación. La mayoría de las refinerías de petróleo se programan mediante la solución de enormes problemas de programación lineal. El capítulo

tigación

7,

directa

El capítulo 8, Suboptimación de sistemas con estructura acíclica, es una introducción a la programación dinámica. Utilizando este método es posible dividir un extenso problema de optimación acíclico en partes menores para su suboptimación. El capítulo 9, Estrategias de optimación de macro sistemas, trata los métodos para abordar el ataque de problemas de diseño complejos que contienen recirculaciones persistentes. Este tipo de problemas aparece con bastante frecuencia en el diseño de procesos químicos.

El capítulo 10, Estudio a diversos niveles de problemas muy complejos, muestra los fundamentos de los métodos de optimación, actualmente en desarrollo, que posibilitan el análisis de problemas extremadamente complicados que aparecen, por ejemplo, en el diseño de sistemas de procesos integrados. Estos problemas son demasiado grandes para resolverlos por los métodos ordinarios. 177

CAPITULO

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

En este primer capítulo de los dedicados a la estrategia de la optimación, se limitará la atención principalmente a los sistemas o subsistemas que presentan uno o un reducido número de grados de libertad. Una estrategia adecuada para localizar el nivel óptimo de operación exige con frecuencia realizar una serie de experimentos numéricos bien planeados; esta aproximación se denomina investigación directa. Las técnicas de la investigación directa son las herramientas básicas de la teoría de la optimación y desempeñan también un importante papel en la estrategia de optimación de grandes sistemas. Por tanto, este capítulo, aunque importante por sí mismo, contiene los fundamentos esenciales para

Problema

los siguientes.

típico

sistema propuesto de reacción-separación presenta un grado de libertad: la conversión en el reactor. Si se elige un reactor barato y sencillo con baja conversión, se necesitará un separador de producto complicado y costoso. Por otro lado, el uso de un reactor más perfecto pero de mayor precio conduce a una conversión elevada; con ello se reduce la carga del separador, y, por tanto, su coste. ¿Cómo puede encontrarse con el mínimo esfuerzo la conversión de compromiso que minimiza el coste del sistema total?

Un

principal

6.1.

CALCULO DIFERENCIAL

cálculo diferencial proporciona un procedimiento formal para un valor extremo de la función objetivo de diseño ^ consiste simplemente en derivar U(d), función objetivo, con respecto a d, variable de diseño; se iguala la derivada a cero y se resuelve la ecuación resultante, deduciéndose el valor de d*. En resumen, las condi-

El

localizar

;

t Véase H. Hancock: Theory of Máxima and Mínima. Dover Pub., Nueva York, 1960, para un estudio completo del uso del cálculo diferencial en optimación.

179

INGENIERÍA DE PROCESOS.

13

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

IgQ

cienes necesarias y suficientes para localizar un extremo en la región

a

-^d


U(d) debe ser continua para

a^d^b.

U(d) debe ser derivable para a <^ d
esta

derivada no nula es positiva,

es negativa, el

el

extremo es un mínimo;

extremo es un máximo.

Ejemplo Se desea diseñar un depósito cilindrico que debe tener un volucoste mínimo; Cs es el coste de la pared lateral, pesetas por metro cuadrado, y Cj y Cb el coste del techo y de la base, respectivamente, en las mismas unidades. Se procederá del siguiente modo:

men V con un

El coste total es

Ct — c^nDH + {cb + Ct)

4

'

donde

V=4

D — diámetro

H = altura Sustituyendo obtiene

el

valor de

H

en ,

Ct = Cs^

el

coste total en función de

—y +

,

7rD2

,

{cb

+ Ct) —t-

Derivando con respecto a D, variable de diseño

dCr

4csV

dD

.

^^

D2

,

""

o bien, Cs

8V

D3: (Cg

+ Cr)

TT

TJ-D

2

libre, .

D

y V, se

NECESIDAD DE MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN

Igl

Sustituyendo ahora el volumen en función de D y H, se deduce la expresión para la razón diámetro/altura de coste mínimo:

siguiente

^ = -^í^ H Cb

Por consiguiente, mismo,

si

el

+

[6.1]

Ct

coste de los laterales, techo y base fuese

el

H Si el depósito

mo

no posee techo, y

los laterales

y

la

base tienen

el

mis-

coste,

H Y, finalmente, si requiriese unos cimientos complicados o fuese caro, de forma que Cs = Ct,

H~

pero

Cb

el

terreno

= 2ct

3

Es evidente que la ecuación [6.1] explica, al menos parcialmente, variedad de formas de los recipientes de almacenamiento utilizados en los complejos industriales *.

la

NECESIDAD DE MÉTODOS DE INVESTIGACIÓN

6.2.

El método clásico de localización del extremo de una función de forma analítica tiene un valor limitado en la mayoría de los problemas de diseño, puesto que su uso queda restringido a funciones fáciles de manipular. Las funciones que aparecen en el diseño de proce*

Véase

L,

E.

Brownell y E. H. Young: Process Equipment Design: Nueva York, 1959, para un estudio detallado del diseño

Vessel Design. Wiley,

de recipientes.

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

182

SOS no son precisamente las que aparecen en los libros de texto de matemáticas, sino que con frecuencia se presentan en forma tabular, son discontinuas, o exhiben otras características que impiden su derivación analítica.

Afortunadamente, existen algunos métodos numéricos de investigación bastante eficientes que pueden utilizarse para obtener el óptimo en problemas que implican una o un número reducido de variables de diseño. Existen realmente dos problemas de optimación a considerar: la optimación del proceso y la optimación del método para optimar el proceso. Se pueden localizar las condiciones de óptimo mediante cualquier método razonable, pero la cuestión importante a considerar es: «¿Qué método de optimación resulta más eficaz para el ingeniero?» Es ésta una cuestión crítica en la ingeniería de procesos, puesto que incluso los diseños más sencillos pueden implicar fácilmente un esfuerzo de cálculo considerable. Existen dos razones para considerar los problemas con número reducido de grados de libertad: en primer lugar, son numerosos los pequeños procesos de importancia industrial que presentan esta circunstancia. La segunda razón es que los grandes sistemas de procesos están compuestos por varias unidades más reducidas, y los métodos que se siguen para su optimación implican con frecuencia la división en componentes más pequeños, que pueden entonces atacarse por los métodos que se indican en este capítulo. Así, pues, los métodos de investigación que se presentan a continuación son útiles para problemas que implican pocos grados de libertad.

6.3.

BÚSQUEDA DEL VALOR

OPTI/V.O DE

UNA ÚNICA

VARIABLE DE DISEÑO El problema más sencillo, y, por tanto, el más adecuado para comenzar, es el ajuste de una única variable de diseño. Su valor óptimo puede determinarse, con frecuencia rápidamente, utilizando los métodos basados en el concepto de eliminación de regiones. Como se verá, uno de ellos, la investigación mediante la sección áurea, resultará el más eficaz para aislar un óptimo, si se sabe que existe solamente un óptimo relativo; también existen otros métodos ligeramente menos eficaces, pero bastante más sencillos. Se procederá ahora a exponer los fundamentos de su desarrollo. El intervalo de valores para los que puede optimarse una variable de diseño está casi siempre limitado en los problemas prácticos. El área de un cambiador de calor, por ejemplo, no puede ser menor que

BÚSQUEDA DEL VALOR ÓPTIMO

183

cero ni tampoco excesivamente grande. Las fracciones másicas están comprendidas en el intervalo de cero a uno, las presiones deben permanecer dentro de los límites de seguridad y las conversiones varían entre O y 100 por 100. El problema consiste, pues, en encontrar el valor de la variable de diseño situada dentro de estos límites que proporciona una función objetivo U óptima.

Para ilustrar esto, se considerará el cálculo del diámetro óptimo de una columna de absorción de gases. La columna debe procesar un caudal fijo de una corriente gaseosa para eliminar un componente gaseoso soluble mediante absorción en una fase líquida. Aumentando

Diámetro de

FiG. 73.

la

torre

Optimación de una torre de absorción.

diámetro de la torre disminuye la velocidad del gas en el lecho, reduciéndose la pérdida de presión y, por tanto, los costes de bombeo. Ahora bien, una columna de diámetro grande es más costosa de construir. Debe llegarse, por tanto, a un compromiso entre los costes de bombeo y los de construcción para disminuir los costes de opeel

ración.

Además, Cuando éste

limitaciones sobre el diámetro de la columna. demasiado pequeño, se produce el anegamiento y el líquido es arrastrado con la corriente gaseosa haciendo imposible la operación. Tampoco resulta viable construir una columna de diámetro excesivamente grande, debido a los problemas de distribución de líquido. En la figura 74 se muestran estos factores. Con esta situación de costes resulta evidente que debe seleccionarse el diámetro de la columna más pequeño posible compatible con la limitación de anegamiento. Sin embargo, en la práctica real, se recomendará un diámetro algo mayor para permitir variaciones en la existen es

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

184

capacidad operativa de

la

columna y protegerla frente a

los errores

e incertidumbres que siempre se presentan en el diseño, de acuerdo

con los conceptos que se desarrollan en la tercera parte de este libro. Es conveniente en este punto discutir las formas más corrientes de la función objetivo, ya que, cuando se cumplen ciertas propiedades, el óptimo puede aislarse muy fácilmente sin necesidad de investigar el intervalo completo de variación. Si la función objetivo es una función lineal de las variables de diseño, el óptimo deberá encontrarse siempre en uno de los límites (véase Fig. 74). También cuando la función no es lineal el óptimo pue-

Funclón objetivo

U

a maximlzar

Variable de diseño

FiG. 74.

de cumplir esta vestigar primero propiedad de las lineal, poderoso tulo

condición, de los valores

Función

lineal.

modo que una

de

la

el

estrategia obvia será in-

función en los límites. Esta simple

funciones objetivo lineales conduce a la programación

método de optimación que

se discutirá en

el

capí-

7.

Existe otra razón,

incluso

condiciones de contorno:

más importante, para

la naturaleza

de

la

investigar estas

función objetivo en

el

completamente diferente de la que presenta en los puntos interiores de la región. Por ejemplo, considérese el proceso mostrado en la figura 75, que consiste en un reactor y un separador. La variable de diseño a ajustar es el grado de conversión de la reacción. En el caso de reacción completa no se necesita separador y, por tanto, su coste de construcción será nulo; sin embargo, cuando en el producto del reactor queda límite

puede

ser

BÚSQUEDA DEL VALOR ÓPTIMO

185

algo de reaccionante, debe utilizarse el separador e incluirse su coste.

Esto produce una discontinuidad que conduciría a un óptimo falso si se seleccionase un diseño sin haber investigado por separado las condiciones límites. Recirculación

Producto puro

Alimento Separador

Óptimo verdadero (no separador]

Conversión de

FiG. 75.

la

reacción

Diseño óptimo sobre

100$

el límite del intervalo.

La función objetivo puede ser unimodal, es decir, presentar un único óptimo relativo, en cuyo caso las posibles soluciones de diseño empeoran progresivamente al apartarse de las condiciones que lo caEstas funciones surgen con frecuencia en los problemas de ingeniería, y permiten obtener el óptimo con bastante rapidez aplicando el método de la eliminación de regiones, que se estudia a continuación. En la figura 76 se representan diversas funciones unimodales y no unimodales.

racterizan.

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

186

Funciones unimodales

U

Función no unímodat

d FiG. 76.

6.4.

ELIMINACIÓN DE REGIONES

La eliminación de región es un método muy eficaz para aislar el óptimo de una función que se sabe es unimodal. Supóngase que se desean aislar las condiciones óptimas en una región más pequeña que el intervalo original, definido por las restricciones o límites. Se comienza por efectuar el cálculo para dos valores de la variable de diseño comprendidos dentro de la región inicial (véase Fig. 77) y se examinan los resultados. En la figura se observa que el valor de la variable de diseño situada más a la derecha proporciona un valor superior de la función objetivo. Por tanto, si la función es unimodal, el óptimo deberá encontrarse a la derecha del valor de la variable de diseño situado más a la izquierda. Así, pues, la zona comprendida a la izquierda de este

ELIMINACIÓN DE REGIONES

187

Último podrá eliminarse para un estudio posterior. Este procedimiento se repite en la región restante hasta que se aisla el óptimo en una zona del tamaño deseado.

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

188

FiG. 79.

Una

situación favorable.

Así, pues, en general, al final de la primera etapa quedaría la región aislada, más pequeña, con sus valores extremos y central calculados. Bastaría, pues, obtener dos nuevos puntos a distancias un cuarto y tres cuartos de la anchura total de la nueva región para poder repetir el proceso y reducir nuevamente ésta, al menos, a su mitad. Este modelo de investigación se resume en la tabla 22.

Tabla 22 Etapa

número

INVESTIGACIÓN MEDIANTE LA SECCIÓN ÁUREA

189

óptimo en una zona 0,1 por 100 un total de N = 23 puntos de investigación. El modelo de investigación que se discutirá a continuación es más eficaz que este sencillo modelo de cinco puntos. Por ejemplo,

de

la

primitiva,

6.5.

si

se desea aislar el

A = 10"\

se necesitarán

INVESTIGACIÓN MEDIANTE LA SECCIÓN ÁUREA

La disposición simétrica de los puntos de investigación (Fig. 80) conduce a un método de investigación más eficaz, denominado investigación mediante la sección áurea *. Este método resulta el más adecuado para la mayoría de los problemas prácticos. Existe un esquema óptimo conocido como investigación mediante la Serie de Fibonacci **,

U

->

z

u

l-l

^

',2

I o

Fig. 80.

/

Disposición simétrica de los puntos de investigación.

pero es más complicado y sólo ligeramente más efectivo que la investigación mediante la sección áurea, por lo que no se discutirá en este texto.

Supóngase que se sitúan dos puntos de investigación a una distanno determinada / de cada uno de los extremos de la región

cia todavía

de interés.

A

partir de ellos puede eliminarse ya una de las zonas en que queda dividida la región. Se desea colocar estos primeros puntos de modo *

La sección áurea, una razón

Z

= 0,618,

tenía

un significado místico para

los antiguos. Los templos griegos se diseñaron con esta razón de dimensiones, experimento ya que se consideraba que era la más placentera a la vista. interesante para los amantes de la naturaleza consiste en medir la distancia entre una rama de un árbol con respecto a su subrama principal, entre esta subrama y la siguiente, y así sucesivamente. Se afirma que la razón de estas distancias da como promedio la sección áurea si se seleccionan las ramas cuida-

Un

dosamente. ** «Sequential Minimax Search for a Máximum», Math. Soc, 4 J. Kiefer: (1953): S. M. Johnson: «Optimal Search for a Máximum if Fibonaccian», Rand Corp. Report, pág. 856 (1956).

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

190

el restante, una vez que se ha eliminado la primera zona, se encuentre situado a una distancia del extremo primitivo de la región igual a una fracción I del intervalo residual. Esto conduce a la relación

que

/

=

0,618.

De este modo, situando los dos primeros puntos a una distancia de los extremos igual a 0,618 de la amplitud del intervalo original, se asegura la simetría. Cada nuevo punto reduce la región en una fracción 0,618 (véase tabla 23). En la tabla 24 se muestra la eficacia del método. Tabla 23 Etapa

número

Cálculos nuevos necesarios

Número

N=l + m A = Í0,618F

total

de cálculos

N=\+-

2

(0,618)

3

(0,618)2

4

(0,618)3

L-

logA log 0,618

Tabla 24

Región aislada para el óptimo

(0,618)'"

DETERMINACIÓN DEL TIEMPO ÓPTIMO DE OPERACIÓN

6.6.

191

DETERMINACIÓN DEL TIEMPO ÓPTIMO DE OPERACIÓN EN UN PROCESO DISCONTINUO

mostrará ahora la aplicación del método de eliminación de la optimación del proceso discontinuo de la figura 81, consistente en un reactor y un separador que operan en serie. Un ciclo comienza cuando se coloca una carga en el reactor. Después de un Se

región a

Producto

Alimento parcialmeníe Reactc convertido

Residuo -^-

2

4

Tiempo de reacción, días

500

S por carga

kg alimento

FiG. 81.

Sistema discontinuo reactor-separador.

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

192

periodo de T días, la carga parcialmente reaccionada se transfiere al separador donde se extrae el producto. La cantidad de producto en la carga parcialmente convertida dekilogramos de pende del tiempo de reacción, T, y se expresa como producto por kilogramo de carga. El coste de separación por operadel producto en la carga parción depende de la fracción másica cialmente convertida. El coste de operación del reactor es 100 dólares/día. El valor del producto es 2 dólares por kilogramo. El reactor tiene capacidad para 1 000 kg de material. Los costes y el tiempo perdidos durante el periodo de llenado del reactor son despreciables. ¿Cuál es el tiempo de operación discontinua T que maximiza el beneficio bruto R del proceso?

X

X

R=

Y

[(2,00)

Operaciones/unidad S/kg de producto de tiempo

(lOOOX) kg de producto por operación

-

loor

]

Coste de operación del reactor

Solución: Se puede investigar bien T, tiempo de reacción, o bien X, conversión. Esta última variable parece más útil, puesto que su valor queda limitado entre O y 1. Utilizando la sección áurea, se puede aislar la conversión óptima dentro de un intervalo de 10 por 100 en seis ensayos y dentro de 1 por 100 en once (véase tabla 24). En la tabla 25 se han resumido los siete primeros tanteos. El óptimo se ha aislado en siete cálculos en una región 0,418 :^X^ < 0,472, con un beneficio de 530 dólares/día, como mínimo.

la

Tabla 25 Ensayo

CASO DE FUNCIONES MULTIMODALES

193

CASO DE FUNCIONES MULTIMODALES

6.7.

Los métodos de eliminación de región se basan en la hipótesis de que las funciones que se están investigando son unimodales. Afortunadamente, ésta parece ser generalmente la situación, en especial en intervalos reducidos de valores de la variable de diseño. Sin embargo, se deben tomar precauciones si se piensa que la función puede tener más de un máximo o mínimo, como se observa en la figura 82. Óptimo verdadero suprimido

FiG. 82.

al

eliminar una región

Posibilidad de error con una función multimodal.

La Única manera realmente segura para localizar el óptimo verdadero supone una investigación exhaustiva, en la que cada punto sea un candidato posible para el óptimo. Por ejemplo, si se desea aislar el óptimo de una función U(d) en una fracción A del intervalo original de la variable de diseño, a <: d -< b, se deberían hacer cálculos para

d = a,a-\ utilizando

un

total

—

2A

(b-á),

de f2/A) +

1

a

+ -—— (Z?-a).

puntos de investigación. Esta investi-

gación exhaustiva es extremadamente ineficaz, requiriendo, por ejemplo, 20 001 cálculos para aislar el extremo en A = 10"'', mientras que la investigación con la sección áurea, que en este caso resultaría más insegura, requeriría solamente 20.

Cuando se sospecha la presencia de diversos valores extremos, debe efectuarse primeramente una exploración dividiendo todo el intervalo en partes iguales para aislar el óptimo en una zona más pequeña, dentro de la cual puede ya resultar seguro utilizar un método

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

194

de eliminación de regiones. Por ejemplo, K puntos de investigación puntos de investigación utiliexhaustiva preliminar seguidos por zando el método de la sección áurea, aislarían el óptimo en una zona

N

^

K-\

(0,618)^-1

Esta estrategia de compromiso sería más segura pero menos eficaz la eliminación de regiones pura y resultaría más peligrosa pero más eficaz que una simple investigación exhaustiva, quedando determinado el grado de compromiso por los valores relativos de K y N.

que

6.8.

INVESTIGACIÓN SOBRE MÚLTIPLES VARIABLES DE DISEÑO

Las estrategias de investigación para una sola variable se encuenbastante desarrolladas y no se presentan en general grandes dificultades en su aplicación a problemas de diseño. Sin embargo, esta situación afortunada no se presenta cuando existe más de un grado de libertad. La investigación sobre múltiples variables es enormemente más complicada que la investigación para una sola, principalmente debido a que: tran

a)

b)

La hipótesis de unimodalidad No existen a priori medidas

es

menos

sencillas

plausible.

de

la eficacia

de

la in-

vestigación. c)

El cuadro completo de los problemas de cálculo puede

ser

abrumador. Puesto que no se ha descubierto ningún método que sea idóneo para llevar a cabo una investigación directa con múltiples variables y ya que la eficacia de cualquier plan de investigación depende de las características particulares de la superficie que se está investigando, se han sugerido gran número de métodos para el análisis de múltiples variables, cada uno con argumentos favorables. El ingeniero deberá seleccionar para su propósito el método más sencillo posible, es decir, el que requiera el mínimo de cálculos y manipulaciones con las ecuaciones de diseño y la función objetivo. El método de investigación más sencillo posible es el seccionamiento o plan de investigación de una variable por etapa *. En esta * M. Friedman y L. S. Savage McGraw-Hill, Nueva York, 1947.

:

Selected Techniques of Statistical Análysis,

INVESTIGACIÓN SOBRE MÚLTIPLES VARIABLES DE DISEÑO

195

estrategia se fijan todas las variables de diseño, excepto una, en valores razonables, ajustándose a continuación esta última de forma que optimice la función objetivo. Cuando se ha alcanzado este óptimo se fija la variable libre en el valor correspondiente a dicho punto y se selecciona otra para su análisis. Este modelo de investigación de una sola variable se repite de una manera cíclica a través de todas las variables hasta que no se consiga una mejora ulterior. Si los contornos de la función objetivo que se está investigando son convexos, el método de seccionamiento convergerá al óptimo en F tanteos de investigación de una sola variable, siendo F el número de variables de diseño que se están investigando (Fig. 83). local,

FiG. 83.

Seccionado de un problema de dos variables.

Puesto que una investigación de una sola variable razonablemente precisa puede implicar 10 exploraciones, el método de seccionamiento implicaría 10 F ensayos en las condiciones de investigación ideales

mencionadas anteriormente. Cuando los contornos no son convexos, la convergencia puede requerir más de F investigaciones de una sola variable, tal como se muestra en la figura 84. En problemas de ingeniería, tales distorsiones de los contornos de la función objetivo se producen hasta tal extremo que este sencillo método de investigación de una sola variable por paso converge extremadamente despacio, y puede llegar incluso a no converger, hacia el óptimo *. En resumen, el más sencillo de todos los planes

*

D.

J.

de investigación de múltiples variables, Wilde:

el

Optimun Seeking Methods. Prentice

1964. Secc. 5.01. INGENIERÍA DE PROCESOS.

14

método de Hall,

seccio-

Nueva York,

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

196

namiento, no es aconsejable en problemas prácticos de ingeniería, ya que puede exigir un número excesivamente grande de tanteos para alcanzar el óptimo. Se ha sugerido que la investigación debería proceder en la dirección del ascenso fjiás escarpado, o de la máxima pendiente que es perpendicular a las líneas de contorno locales, en vez de hacerlo a lo largo de las líneas perpendiculares a los ejes coordenados *.

Contornos distorsionados

Comienzo

d2

FiG. 84.

Ascenso hacia

el valor

óptimo.

Por consiguiente, en principio deben efectuarse algunas exploraciones locales para estimar esta dirección de máxima pendiente. Una vez localizada, se hace una investigación a lo largo de ella hasta que se alcanza un óptimo local. Entonces se repite el ciclo localizando una nueva dirección, tal como se muestra en la figura 85, para el caso de dos variables de diseño. La dirección en la que la función objetivo varía más rápidamente a partir de algún diseño base inicial puede estimarse con bastante sencillez en el caso de un número reducido de variables de diseño mediante un análisis de los resultados de exploraciones locales. Considérese el caso de un diseño con dos variables en el que se ha calculado la función objetivo en un punto base, y en otros dos en los que se modifica, respectivamente, cada una de las dos variables.

Uo=Uid,„d2,)

diseño base variable

Uo+^U2=Uid,„d2, + Ad2) *

cfj

perturbada

variable dz perturbada

G. E. P. Box y K, B. Wilson: «On the Experimental Attainment of Conditions», /. Royal Stat. Soc, B13, 1 (1951).

Optimum

INVESTIGACIÓN SOBRE MÚLTIPLES VARIABLES DE DISEÑO

197

Si se traza un plano que pase a través de estos tres puntos, se obtiene una relación lineal aproximada entre la función objetivo y las

variables de diseño,

MJx

AC/,

Adi

¡xdi

Ahora bien, utilizando esta relación aproximada se puede pregun¿Qué cambio en dy y di haría variar más rápidamente Ul Si se

tar:

Óptimo

dz

FiG. 85.

Método de

la

máxima

pendiente.

la «distancia» producida por cualquier cambio de diseño que implique la manipulación simultánea de las dos variables por:

mide

r=^J{d,-d,,f + {d^-d^,)^ en

se desea encontrar entonces la dirección

máxima en

la

que un cambio en

r

función objetivo. Esta dirección es perpendicular a la tangente al contorno obtenida derivando la función igualando la derivada a cero. objetivo aproximada con respecto

produce

la variación

la

are

o

d(JU-U,)

At/i

d{d,-dO

dr

Adi

dr

bien, después de algunas

^iZ^= di

- í?2o

^:^J^(^2-^_n

pequeñas transformaciones,

(^)/í^) ^pendiente \

Aííi / /

dr

Ac?2

V Ac?2 /

más

de

la línea

escarpada.

de variación

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

198

Por consiguiente, mediante un análisis de las exploraciones locales alrededor de un diseño base, se ha encontrado una dirección de variación más pronunciada, con lo que puede limitarse entonces la investigación a una línea a lo largo de dicha dirección hasta que se encuentre un nuevo diseño base mejorable. Se vuelve entonces a buscar para este nuevo diseño la dirección de variación más escarpada, y se localiza una nueva línea de investigación. Este procedimiento se repite hasta que se alcanza el diseño óptimo. Se han sugerido varios métodos en los últimos años para mejorar la

eficacia

de

la

optimación

analizado críticamente los

por

investigación

más prometedores

directa,

habiéndose

*.

Cada uno de ellos puede presentar ciertas características deseables ingeniero de procesos, tal como facilidad de ejecución o velocidad de convergencia para cierto tipo de problemas; pero también cada al

uno posee

ciertas características no deseables, como incapacidad de resolver las discontinuidades, que parecen ser bastante frecuentes en los problemas de procesos. No existe un método de investigación directa idóneo con carácter general, si bien, a efectos de uso en este

tomará como método estándar el de investigación lógica que y que es un compromiso práctico entre los métodos que son extremadamente fáciles de desarrollar, pero de convergencia lenta, y los que convergen rápidamente, pero son complicados en su ejecución. Los diversos métodos de investigación sobre múltiples variables mencionados anteriormente basan su eficacia en una reducción del problema a una investigación de una sola variable a lo largo de una línea que se piensa pasa cerca del óptimo. Estos métodos intentan aprovecharse de la geometría de la función objetivo encontrando pendientes o direcciones locales de ascenso. Hooke y Jeeves ** describen un plan de investigación lógico que reúne muchas de las propiedades deseadas por los ingenieros de procesos; a saber, fácil de poner en marcha sin exigir la determinación directa de pendientes o direcciones y una rapidez relativa para converger en problemas de optimación texto, se

se discute a continuación

de procesos.

Una investigación lógica comienza con una hipótesis inicial para mejor diseño. Se establece entonces un incremento de investigación, por ejemplo, un 5 ó un 10 por 100 del intervalo de variación de cada una de las variables de diseño, modificándose éstas por turno en su el

* Véase, por ejemplo, A. León: «A Comparison of Eight Known Optimizing Procedures», Space Sciences Laboratory, University of California, Ber-

keley, agosto 1964. ** R. Hooke y T. Statistical

Problems»,

A. Jeeves: «Direct Search Solution of Numerical and Assoc. Comp. Mach., 2, 8 (1961).

/.

INVESTIGACIÓN SOBRE MÚLTIPLES VARIABLES DE DISEÑO

199

correspondiente incremento. Si esta exploración local se traduce en un diseño mejorado, éste pasa a denominarse «el mejor diseño», y la conjetura inicial se convertirá en «el mejor diseño precedente». continuación, en lugar de repetir estas exploraciones locales de las variables de diseño, se efectúa un cambio en el modelo inicial. Esta transformación se basa en suponer que las variaciones en el diseño

A

Comienzo: Hipótesis inicial sobre el mejor diseño

Inicialmente,

¿Se hizo algún cambio permanente

Cambios

mejor diseño y el precedente son Idénticos

el

exploratorios

en

el

en

diseño

el la

diseño durante exploración? Sí

Cambios en el modelo de diseño

No

¿El incremento de exploración del diseño es suficientemente

pequeño? sr

No Fin:

Diseño Disminuir los cambios introducidos en el diseño durante la exploracióa

FiG. 86.

suficientemente

óptimo

Plan lógico de investigación.

se han introducido durante la fase de exploración, repetidas, pueden conducir a una situación aún mejor. Cada variable de diseño se cambia directamente en la cantidad en que fue modificada en el último ciclo de exploración. Si esta variación se traduce en un mejor diseño, la hipótesis fue correcta; en caso contrario, no lo fue, y deberán efectuarse más exploraciones locales conservativas hasta que se establezca un modelo válido de variación de las variables de diseño.

que

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

200

En la figura 86 se esquematiza una estrategia para efectuar exploraciones locales alrededor de un diseño base que conduce al movimiento del modelo hacia el diseño óptimo, detallándose en la figura 87 la exploración local, y en la 88, los cambios del modelo. Como tanto los cambios exploratorios individuales como los de conjunto se la exploración atención focalizada mejor diseño en curso

Iniciación de

con

en

la

el

Efectuar lo que sigue con cada Variable de diseño por turno

Incrementar

¿Mejora

I

la

variable

~n

de diseño

el

diseño?

No

Disminuir

la

variable de diseño

¿Mejora

el

diseño?

No

Sí

Sí

Incorporar el cambio en mejor diseño en curso

el

No se hace cambio permanente sobre esta variable de diseño

Fin de la -^exploración sobre

el

<-

diseño en curso

FiG. 87.

Cambios de

los diseños exploratorios.

traducen en un nuevo diseño, éste será el óptimo para los intervalos de las variables de diseño que se han estudiado durante la exploración; o bien se ha encontrado el óptimo absoluto o bien una prolongación de la exploración conduciría finalmente a centrarse sobre él. En el próximo apartado se ilustra el uso de este tipo de estrategia de investigación lógica.

OPTIMACION DE UN SISTEMA DE REFI^IGERACION

Iniciación

con

la

atención

focalizada sobre el mejor diseño actual y el precedente

201

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMA"^

202

corriente caliente ha de enfriarse en tres cambiadores de calor disserie. La corriente caliente circulará por uno de los lados de la superficie de intercambio, mientras que el fluido refrigerante en ebullición lo hará por el otro. En cada etapa se conocen las temperaturas a las que hierven los líquidos refrigerantes, con lo que el caudal de transmisión de calor queda determinado exclusivamente por

puestos en

Adición de refrigerante líquido

W, kg/h luido caliente

W, kg/h

OPTIMACION DE UN SISTEMA DE REFRIGERACIÓN

Tabla

Símbolo

26.

Datos para

el

sistema

203

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

204

Tabla

27.

Estructura de

las

ecuaciones de diseño para

Ai

(Aí)^i

la

etapa

F

Cp

í

= l,2

Variable

Qi

Ecuación

(1)

Ui

í¿_i

ti

Ti

k

Wi

OPTIMACION DE UN SISTEMA DE REFRIGERACIÓN

205

En la tabla 28 se advierte que hay varias maneras de aplicar algoritmo de selección de variables de diseño; las distintas posibilidades se han resumido en la tabla 28. Debe seleccionarse, pues, una entre las variables de diseño factibles. ¿Cuál de las tres posibles variables de diseño indicadas en la tabla 29 debe elegirse, atendiendo a otras razones que el orden de precedencia? el

Tabla

29.

Varios órdenes de supresión de ecuación en la tabla 28

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

206

las tres posibles variables de diseño W„ í¿ estructuralmente equivalentes, f, parece ser la mejor, puesto que los límites máximos de variación están más claramente definidos. La figura 90 muestra el orden de precedencia.

Por consiguiente, de

o

Qi,

Variable de diseño

FiG. 90.

Orden de precedencia dentro de

las

etapas

1

ó

2.

es un caso especial, puesto que la temperatura de especificada en Í3 = - 56 °C, con lo que se consume su único grado de libertad. En la tabla 30 se muestra la disposición estructural que ha de ordenarse; en la tabla 31 se resume la apli-

La tercera etapa

salida

está

Tabla

30.

Ecuación

Distribución estructural para la etapa 3

OPTIMACION DE UN SISTEMA DE REFRIGERACIÓN

207

cación del algoritmo de ordenación del apartado 3.6 y, por último, en la figura 91 se indica el orden de precedencia a seguir. t.=

FiG. 91.

-56°C

Orden de precedencia de ecuaciones para

la

etapa

3.

En la figura 92 se muestra el orden de precedencia para el cálculo completo del sistema. Hay dos variables de diseño a ajustar, íi y tj] el orden de cálculo esquematizado en la figura 92 permite la determinación de Al, Wi, Al, W2, A3 y VV^3, manejando cada vez sólo una ecuación.

Así,

ilustran

se

los

principios explicados para el

plantea-

miento del problema en un conjunto bastante sencillo de ecuaciones. Este tipo de análisis preliminar ahorra normalmente cantidades apreciables de tiempo de cálculo. Establecidas ya las temperaturas intermedias como variables razonables de diseño, la investigación lógica de las condiciones óptimas í.-C

-56'C

í,=

í,<'C

t f„=:10oC: -¡

Fig. 89 I

Wx

Ax

^r'

1

I

1

Fig. 89 I

W2

W3

A2

M

Ecuaciones de coste

C%I\\T

Fig. 92.

Orden completo de precedencia para

los cálculos del sistema.

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

208

la selección de un diseño base, que se irá mejorando modificar sucesivamente los valores de las variables. Se puede seleccionar arbitrariamente como diseño base el punto medio de los intervalos de variación, y como incremento inicial de investigación un 20 por 100 de su amplitud.

comienza con al

^

...

,

Intervalo

Variable íi

r^.

°C

10 a 10 a

Í2

La tabla 32 resume

Incremento de

,

investigación

- 4 -15

- 18 -40

la

~

^^^^^^ ^«^^

^^ variación

iniciación

5,6

10

de una investigación lógica de

las condiciones de diseño óptimo.

Tabla

ti,

—

Resumen de

32.

"C

Í2,

Comienzo de 1,6

-9,5

— —

la

exploración con Aíi = 5,6°C y

—

9,5

-25

Intento de

— 26

-35

5,06

Éxito Viola la restricción íi>Í2 Éxito

5,00 el

Nueva exploración

Aí2=10°C Fallo

modelo Éxito

4,98

un segundo cambio en

—55

condiciones óptimas

5,18

—

5

Intento de cambio en

las

Caso base

5,13

-15 -15

9,5

-15

para

C, $/h

°C

-15

3,8

la investigación

—

el

modelo Viola las restricciones íi> — 18 y Í2>-40

OBSERVACIONES FINALES

209

OBSERVACIONES FINALES

6.10.

La investigación directa se desarrolla suponiendo que la única fuende información del sistema se obtiene por cálculo directo. Este método resulta eficaz sólo cuando el número de variables de diseño es reducido. La cantidad de evaluaciones necesarias de la función en la investigación para localizar el óptimo aumenta rápidamente cuando crece el número de aquéllas. El punto en que el número de cálculos necesarios se hace prácticamente inasequible se alcanza con frecuencia (Fig. 93) y hay que contentarse con una optimación parcial, a menos que se encuentren otros métodos de optimación más eficaces. te

Investigación directa

Número de ensayos para localizar el

óptimo

Previsible para una -

Número de

— ~"

____- técnica especialmente ""

diseñada para el proceso

variables de diseño

FiG. 93.

El incremento de la labor de cálculo al crecer el número de variables de diseño depende considerablemente del plan de investigación seguido, así como de la naturaleza de los problemas que se estén resolviendo.

De todos modos,

aumento de

la dificultad

existe

una relación aproximada entre

en la investigación y

el

número de

el

variables:

Wos = a(br.

[6.2]

Wds es el número de tanteos requeridos para aislar el óptimo a y b son parámetros que pueden tomar valores comprendidos entre 2 y 10, y iV es el número de variables que se está investigando. Por tanto, si una investigación de una sola variable necesita diez tanteos, se puede esperar que una investigación similar de tres variables necesite del orden de 3(3)^ 5==* 80 tanteos, si a = b = 3. Estos argumentos someros sobre el cálculo desempeñan un importante papel en la evaluación de los programas de optimación. ;

W^

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

210

En la bibliografía de este capítulo se citan varios métodos de investigación pertenecientes a la clase denominada «investigación a ciegas». En los capítulos que siguen se muestra cómo puede reducirse enormemente el trabajo de optimación teniendo en cuenta las propiedades especiales de ciertos tipos de problemas.

Bibliografía

Los dos libros siguientes son las fuentes primarias de información sobre uso del cálculo analítico y de la investigación directa en optimación.

el

Theory of Máxima and Mínima. Dover Pub., Nueva York,

H. Hancock: 1960.

D.

J.

W^iLDE Optimum N. J., 1964. :

Seeking

Methods.

Prentice-Hall,

Englewood

Cliffs.

Una excelente introducción a muchos métodos de optimación ha sido presentada por BoAZ. A. H. BoAZ: 10,

«What

is

Optimization All About», Chem. Eng., diciembre

1962.

A. H. BoAZ:

«How

to

Use Lagrange

Multipliers»,

Chem.

Eng., enero

7,

1963.

A. H. BoAz: «How Search Methods Lócate Optimum in Univariate Problem», Chem. Eng., febrero 4, 1963. A. H. BoAZ «Optimizing Multivariable Functions», Chem. Eng., marzo 4, :

1963.

A. H. BoAz: «Optimization via Linear and Dynamic Programming», Chem. Eng., abril, 1963.

Otros métodos de investigación se encuentran en

M. R. Hestenes y Std.,

R. A.

48

E. Stiefel:

«Conjúgate Gradient»,

/.

Res. Nat. Bur.

(1952).

Mugele

:

Poorman's Optimizer, Proc. Western Joint Computer Con-

ference, 1962.

D. Powell: «Powell's Method», Computer Journal, 5, 2 (1962). Rosen: «Gradient Projection», SIAMJ, 8 (1960); 9 (1962). H. H. Rosenbrock: «Rotating Coordinates», Computer Journal, 3, 3

M. J.

J.

B.

(1960).

Wilde: «Gradient Free Search», A.I.Ch.E.J., 9, 2 (1963). J. H. E. Zellnik, N. E. Sondar y R. S. Davis: «Gradient Search», Chem. Eng. Progr., 58, 3 (1962).

D.

Para algunas aplicaciones en ingeniería de procesos, véanse D. M. Himmelblau: «Process Optimization by Search Techniques», Ind. Eng. Chem., Fundamentáis, 4, 2 (1963). R. A. Koble y H. W. Goard: «Optimizing a Filter Cake Washing Circuit», Chem. Eng. Progr., 12, 58 (1962).

EJERCICIOS

211

HviSDOS: «Optimizing Oxygen Recovery in Low Temperature DisChem. Eng. Progr., 11, 60 (1964). «Optimization of Operating ConD. H. MooRHEAD y D. M. Himmelblau ditions in a Packed Liquid-Liquid Extraction Tower», Ind. Eng. Chem., Fundamentáis, 1, 1 (1962). L. A. Reed y W. F. Stevens: «Optimal Design of a Continuous StirredTank Reactor by a Gradient Method», Can. J. Chem. Eng., agosto L.

J.

tillation»,

:

1963.

EJERCICIOS los más grandes fabricantes nacionales de productos químicos almacena «pellets» de polietileno en recipientes cilindricos de 40 m^ con base de altura. de diámetro y 7 cónica de 60°, de 3 Suponiendo que el coste por unidad de área, Cj-, para la parte superior plana y la base cónica es n veces el de los laterales cilindricos, Cs, dedúzcase una expresión para las dimensiones de coste mínimo de tales compárense las dimenrecipientes. En la práctica, n es del orden de dos

Uno de

m

m

:

siones

reales

con

las

óptimas calculadas.

Respuesta 3

= Volumen -

5,8

2.

n

de diseñarse un tanque de almacenamiento para una disolución de al 50 por 100, de peso específico 1 525 a 20 °C. La base, placa de espesor, descansa sobre un cimiento de hormigón, y costará de 5 (incluido el hormigón) 90 dólares por metro cuadrado. La parte superior es una cubierta de 3 mm, con un coste de 33 dólares por metro cuade la pared lateral cilindrica, con un valor drado. El espesor, í mínimo de 5 mm, dependerá de la presión hidrostática, de acuerdo con la ecuación:

Ha

NaOH

mm

mm

PD

500

t=

,

S

donde 5 = 850 kg/cm2, tensión máxima permisible

P = Presión, kg/cm^

D = Diámetro El coste de

la

del tanque,

pared lateral es 220

Determínense analíticamente para almacenar: a)

b)

m

27 000 litros de NaOH. 2 700 m^ de NaOH.

ingeniería de procesos.

15

la

-í

$/m2.

geometría y

el

coste del tanque óptimo

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

212 3,

Averiguar el razonamiento erróneo en el siguiente análisis que conduciría, de ser cierto, al recipiente de presión de mínimo coste. Se desea almacenar Wc kilogramos de gas metano en un recipiente a presión, de diámetro D, longitud L y espesor t. El espesor necesario en un recipiente de pared delgada para contener un material a presión P viene dado por 500

t= donde S

es

la

—PD ^,

máxima permitida para

tensión

Supóngase que el metano sigue temperatura del almacenamiento.

la

ción.

P

el

material de construc-

ley de los gases perfectos a la

=RT,

Pg siendo pc la densidad del gas. Por consiguiente, dimensiones del recipiente y la presión será:

la

restricción sobre las

/ 7rD2

-r-^

y^G-ypG= Supóngase ahora que

RT

coste del recipiente es directamente proporcio-

el

Wy

nal al peso del material

utilizado en su construcción y que se desea

minimizar este peso 2itD'~

y^v=Pv ( ttDL+

[

donde p,, es la densidad del material de construcción. La longitud L puede eliminarse de la anterior ecuación utilizando como condición que el recipiente ha de almacenar Wq kilogramos de metano.

W,

(ttD)

500

—

i

PD

+-

P77D2/4

\

Se trata de un problema de minimización que implica dos variables y P, que ha de resolverse igualando a cero las derivadas parciales de función objetivo respecto a ellas.

5Wv = Pv OD

—

¡Esto

conduce a

7507rPD2

D = 0!

dW^

=

dP

S ¿Cuál es

la

= Pv

250itD^

D la

=

s

causa?

almacenamiento de gases licuados, las pérdidas de vapor pueden Determínese una expresión para el espesor adecuado de aislamiento en un tanque de almacenamiento esférico que contiene un

En

ser

el

críticas.

EJERCICIOS

213

gas licuado con un punto de ebullición situado por debajo de la temperatura ambiente. Deberá hacerse un balance entre el coste del aislamiento y el coste de las pérdidas de vapor.

Datos

Punto de ebullición del líquido Temperatura ambiente Coste de amortización del aislamiento Coste de

las

Volumen de

pérdidas de vapor líquido almacenado

Calor de vaporización del líquido

Conductividad térmica del aislante

tb

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

214 6.

Se ha propuesto recuperar el soluto valioso contenido en una corriente residual de su disolvente portador mediante una extracción discontinua de equilibrio con un disolvente de lavado. 5 kilogramos de disolvente portador, o disolvente del refinado, conteniendo Xq kilogramos de soluto por kilogramo de disolvente, se colocarán en un recipiente, añadiéndosele Wi kilogramos de disolvente de lavado, inmiscible con él. Una vez se han mezclado bien los dos disolventes y que el soluto se ha distribuido entre las dos fases (de acuerdo con la expresión lineal de equilibrio Y=aX, donde Y son los kilogramos de soluto por kilogramo de disolvente extractor que se encuentran en equilibrio con una concentración X kilogramos de soluto por kilogramo de disolvente del refinado), se dejan decantar las dos fases y se extrae la fase del disolvente de lavado con el producto valioso. a)

Dedúzcase la siguiente expresión para X,-, concentración de soluto en el disolvente portador o del refinado S después de una serie de lavados con Wj, W2, W3, ..., W,- kilogramos de disolvente extractor.

^\l+aWils) [l+aW W2ISJ

'

b)

\l+ocWilS

Supóngase que se desea maximizar la diferencia entre el valor del producto extraído y los costes asignados para el disolvente extractor utilizado y para la mano de obra necesaria en cada operación.

máx[ci(Xo-Xjv)-C2(Wi

+ W2+...+W„)-C3N]

función objetivo son el valor del soluto cantidades diferentes de disolvente utililavados, respectivamente. zado y el coste de operación para los Demuéstrese que deberán utilizarse cantidades iguales de disolvente en todas las etapas.

Los tres términos

de

la

extraído, el coste de las

N

N

Wi = W2=... = Wfj

a

Sugerencia. Derívese la función objetivo primero con respecto y a continuación con respecto a W¿ e iguálense los resultados

Wk

cero. Se demuestra con ello que Wk=Wl, y que K y L pueden tomar cualquier valor 1, 2, 3, ..., N, es decir, en la solución óptima deben hacerse adiciones iguales de disolvente extractor en todas las

a

etapas.

7.

c)

Aprovechando el resultado de la parte b), dedúzcase una expresión para W*, cantidad óptima de disolvente extractor a utilizar en cada operación de extracción para un número determinado de etapas N.

d)

Determínese N*, número óptimo de operaciones de extracción.

Ha

de utilizarse

un gas de chimenea procedente de evaporar agua de una salmuera diluida (Fig. 95). El gas de chimenea calienta un lecho de guijarros. Se introduce entonces

un horno

alto

el

calor residual de

para

EJERCICIOS

215

salmuera y el calor acumulado en los guijarros hace hervir el agua. Se desea determinar la temperatura a la cual deben calentarse los guijarros con objeto de conseguir un caudal máximo de eliminación de agua.

la

Ciclo de enfriamiento O

Ciclo de regeneración 0^, h

>

Gas de chimenea

.

h

Vapor

Salmuera Salmuera

FiG. 95.

Datos. El tiempo para calentar el lecho mediante viene expresado aproximadamente por

el

gas de chimenea

fTh-To\ donde T/

= Temperatura

ro= Temperatura 7/2

del gas de chimenea. del lecho después del enfriamiento.

= Temperatura

máxima

a la

que

se calienta el lecho.

Se ha observado que el tiempo necesario para el enfriamiento es relativamente independiente de la temperatura del lecho.

Respuesta

Tu =

Tf + 1

(Z)

ToVAIdg

+ ^^Aie.

La productividad de un catalizador en un reactor disminuye con el tiempo debido a los depósitos de carbón, por lo que es necesario volver a cargar el reactor con catalizador fresco después de un periodo determinado de tiempo. Determínese el intervalo óptimo de uso de un catalizador a partir de los siguientes datos: Productividad del catalizador P (pesetas de producto por hora) al cabo de 6 horas = Poe-'^^. Coste de la carga del catalizador pesetas por carga. El tiempo de producción perdido durante la carga es despreciable.

C=

Respuesta

C

= -e*

1

e-«»*

+—

En

las

- e-'^^*)

en azufre del gasoil por hidroconvirtiéndolo en sulfuro de hidrógeno y sepa-

refinerías se reduce el contenido

desulfuración, es decir,

(1

a

Pq

rándolo a continuación (véase Fig.

96).

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

216 El

azufre

actúa

como un veneno permanente para

catalizador

el

por lo que la instalación de una unidad de desulfuración está justificada económicamente, sobre todo por el aumento que se consigue para la vida del catalizador. Sin embargo, la utilizado en el craqueo de gas

4

2

oil,

8

6

10

12

14

16

18

2C

S, tanto por ciento de azufre en el alimento al reactor de craqueo

96. Temperatura y presión del reactor de desulfuración necesarias para obtener un porcentaje dado de azufre en el alimento de la unidad de craqueo.

FiG.

eliminación total del azufre requiere temperaturas y presiones de operación elevadas en el reactor de desulfuración y sistemas de eliminación de sulfuro de hidrógeno más grandes. Se dispone de los siguientes datos empíricos

Costes de operación del reactor de desulfuración

C¿ = 4,0- IO-^Jq + io-zPq

centavos por barril de gas

oil

Coste de eliminación del sulfuro de hidrógeno producido C,¡

Coste

de

= 0,5

5

sustitución

Cc=3,0 5

10.

del

catalizador

para

el

al

oil

reactor

centavos por barril de gas

el contenido de azufre del alimento que conduce a un coste mínimo.

Calcular catalítico

centavos por barril de gas

de

craqueo

oil

reactor de

craqueo

Se extrae una corriente lateral de una fracción de aceite pesado de una columna de destilación a 232 °C con un caudal de 140 000 kg/h. La corriente se enfría con agua y se envía a almacenamiento. Un opera-

EJERCICIOS

217

dor sugiere que debería instalarse un cambiador de calor y utilizar la fracción caliente para precalentar el petróleo crudo que entra al proceso con un caudal de 270 000 kg/h. ¿Deberá realizarse el proyecto? ¿Cuál es el área de cambiador de calor que debería instalarse? Datos:

Valor del calor en el proceso: 48 ptas./lO^ kcal. Capacidad calorífica de los fluidos: 0,50 kcal/kg °C. 290 kcal/(h m^ ^Q, constante Coeficiente de transmisión del calor para todo el cambiador. Coste del cambiador de calor sin instalar: :

/Am2\o.8 ptas.

/f=2-106

360

\

'

Rentabilidad mínima aceptable respecto

al

capital

invertido

:

0,20

ptas./(pta. año).

a)

el área de cambiador de calor necesario para enfriar la de petróleo caliente a 175 "C, el valor del calor recuperado en el crudo y el inmovilizado requerido para el cambiador de calor. Supóngase que el coste del cambiador de calor instalado es 2,5 veces su coste sin instalar.

Calcúlese

fracción

b)

11.

Selecciónese la variable de diseño solución más económica.

Ha de caudal

más adecuada para encontrar

la

mar desde 3,5 a 7 por 100 en sales, con un de 45 000 kg/h, en un sistema de evaporación de dos efectos

concentrarse agua de

(véase Fig. 97).

Se dispone de vapor de agua a

121 °C, y

el

agua de mar entrará que ensuciarían la

a 43 "C. Para evitar la formación de depósitos salinos

Condensador

Vapor

Vq

Jo=121"C

= 45 000 kíí/h ro = 43'^'C

1-0

Evaporador

1

Evaporador 2

FiG. 97.

INVESTIGACIÓN DE LAS CONDICIONES ÓPTIMAS

218

superficie de transmisión de calor, ha de mantenerse la temperatura en

esto puede lograrse dotando de suficiente última etapa en 46 °C área de intercambio de calor al condensador de vapor. Se supone que las pérdidas de calor y la elevación del punto de ebullición son despreciables, y los coeficientes globales de transmisión de calor son constantes. Determínense las áreas de la superficie de la transmisión de calor para los dos evaporadores que minimizan el consumo de vapor. Las ecuaciones de diseño para la etapa ¿,¿=1,2 son:

la

;

balance de energía balance de materia área de transmisión de calor

Ai

U{Ti_i-Ti)

Cp=l kcal/kg°C \=556 kcal/kg C/=490 kcal/(hm2«C) 12.

Repítase

el

problema anterior para un sistema de evaporación en contra-

corriente. ¿Cuál de las dos alternativas, en paralelo o en contracorriente, es

óptima

de

acuerdo

con

el

criterio

de

consumo mínimo de vapor

(véase Fig. 98)?

T=121"C

¿ = 45 000 kg/h

7 = 43

'^C

demostrar, sin necesidad de efectuar ningún cálculo, que un sistema de evaporación de tres efectos será como mínimo tan económico respecto al consumo de vapor como un sistema análogo de dos? Compruébese para el caso tratado en el problema 11, optimando un proceso de tres etapas en paralelo.

13.

¿Puede

14.

Optímese un sistema de evaporación de tres efectos en contracorriente similar al sistema del problema 12. ¿Cuál de los cuatro sistemas propuestos para la concentración de agua de mar es más económico con respecto al consumo de vapor?

EJERCICIOS

15.

219

La minimización del consumo de vapor no es un criterio de diseño válido debido a que no tiene en cuenta los costes del agua de refrigeración y la inversión en el equipo de procesos. Se puede intentar soslayar esta deficiencia estimando el coste de los evaporadores, del condensador y del agua de refrigeración para los diseños que requieren un consumo de vapor de agua mínimo, y calcular así un beneficio del riesgo. El diseño que proporciona el mayor beneficio del riesgo deberá seleccionarse entonces como óptimo. Demuéstrese por qué es erróneo este razonamiento.

CAPITULO

PROGRAMACIÓN LINEAL

El término programación lineal se relaciona con un numeroso e importante grupo de problemas de optimación que implican funciones objetivo lineales sujetas a restricciones lineales. Estos problemas aparecen con frecuencia en la ingeniería de procesos; por ejemplo, en la programación de las operaciones de una refinería de petróleo. Los métodos de investigación directa de programación lineal son tan eficaces y útiles que en el curso normal de la actividad industrial se resuelven problemas que implican hasta 25 000 variables.

Problema

típico

Los ingenieros de una compañía de petróleo desean mezclar varias fracciones: productos alquilados, isopentano, gasolina directa, etc., para obtener ciertos productos comerciales: gasolina de aviación, gasolina para automóviles y combustible para reactores, entre otros. Si se

conocen

productos,

los costes

¿cómo

y

propiedades

las

físicas

de los componentes y

se deberían mezclar para obtener los productos

más

económicos?

7.1.

INTRODUCCIÓN

problema general de programación lineal puede establecerse dando un conjunto de m ecuaciones y ¡o desigualdades lineales que implican n variables, encuéntrense los valores no negativos de éstas que satisfacen las ecuaciones y desigualdades y además maximizan o minimizan una junción objetivo lineal. El

así:

En

este capítulo se verá

cómo surgen

estos problemas en ingeniería

y cómo pueden resolverse de forma eficaz. En primer lugar, se analizará un tipo especial de problemas de programación lineal denominados problemas de transporte y se desarrollará un método de solución conocido como método de la pasarela («stepping stone»). Con la experiencia adquirida se introducirá el método simplex para resolver de forma más general problemas de programación lineal. 220

PROBLEMAS DE TRANSPORTE

221

Estos métodos de investigación directa son tan eficaces que el cuede botella de su solución no reside en los procedimientos necesarios para ello, sino más bien en la obtención y puesta al día de los datos económicos y físicos requeridos para definir el problema de optimación industrial y en la transformación de éste en una forma matemática lineal. Si esta situación se presentase en todas las facetas restantes de la ingeniería de procesos, el ingeniero podría fijar su atención en todos los problemas técnicos y económicos de diseño sin la preocupación constante de haber formulado problemas matemáticos que son demasiado difíciles de resolver. Desgraciadamente, las matemáticas han alcanzado este nivel ideal de utilidad quizá solamente en el área de la programación lineal. llo

7.2.

PROBLEMAS DE TRANSPORTE

Se presentará ahora el problema de transporte propuesto primero por HiTCHCOCK * en 1941 y su solución por el método de la pasarela introducido por Charnes y Cooper** en 1954. Aunque este procedimiento es aplicable al diseño de equipos de proceso, sus fundamentos se comprenden mejor con este ejemplo del problema de transporte; a medida que se vaya desarrollando quedará patente su posible aplicación en los problemas de diseño. Supóngase que hay que resolver el problema de la expedición de diez barcazas desde tres puntos de origen A, B y C hasta cuatro puntos de destino I, II, III y IV. El número de barcazas disponibles y requeridas en cada punto viene dado en el siguiente cuadro, junto con el coste de transporte para cada ruta.

Destino

PROGRAMACIÓN LINEAL

222

tos es de 1 000 dólares por barcaza. Se desea, pues, encontrar la distribución de barcazas que conduce a un coste total mínimo. El problema de transporte es un caso especial del problema de

programación lineal. Sea x¡j el número de barcazas que se expiden desde un punto de origen, i, a un punto de destino, /, c,, el coste de transporte por barcaza para dicha ruta, «, las barcazas disponibles en i, y Z?, las barcazas que se necesitan en /. Este problema de transporte puede escribirse entonces como

mm [E

t^-1'

I'""']

(X....)

sujeto a las siguientes condiciones:

y

Xij^O,

para todo

i

Xij

=

b¡,

para todo

;

Xij

=

üi,

para todo

i

y

/

i

y

problema de optimación lineal sujeto a restricciones lineales. La primera etapa en el plan de optimación puede ser determinar una distribución cuyo coste sea razonablemente bajo, expidiendo primero las barcazas de coste menor. Por ejemplo, el coste de transporte entre los puntos A y I es el menor, 700 dólares por barcaza; se puede expedir una barcaza quedando el problema reducido a

PROBLEMAS DE TRANSPORTE

223

Siguiendo este plan de expedición de las barcazas de coste menor en primer lugar, se obtiene la siguiente distribución posible * de barcazas con un coste total de II 800 dólares. Ahora bien, ¿es la óptima?

114 1112 II

I

III

IV 4

A

5

S

3

C

1

3

2

modo de optimar cualquier solución podos condiciones siguientes:

Se presentará ahora un sible

que satisfaga

las

— No han de número siendo n más de n + 7n-l número de puntos de destino. de puntos de origen y m — Es imposible modificar cualquier distribución individual camrutas,

utilizarse

el

el

sin

biar las rutas utilizadas o violar las restricciones de las colum-

nas o

filas.

Este es

el

concepto de independencia de

la

solución

posible.

Adviértase que la distribución anterior posible de barcazas satisface estas condiciones. El método general indicado para obtener una distribución inicial de barcazas viable distribuyendo en primer lugar todas las posibles sobre la ruta de coste mínimo proporcionará una solución independiente. Puede demostrarse también que la distribución

óptima de barcazas deberá ser una solución posible independiente. Por consiguiente, estas dos restricciones en el ensayo de optimación no limitan de ningún modo su utilidad. En el ensayo de optimación se definen unos costes ficticios de transporte Ci + d¡ para cada ruta utilizada en una solución posible. En primer lugar, se definirán estos costes y a continuación se demostrará cómo se utilizan en la investigación de una distribución óptima. Los costes ficticios c, se añaden a cada fila en el esquema de distribución, y los dj a cada columna. Los valores numéricos se ajustan entonces de modo que se cumpla: c¿

+

dj

= Cij

para cada ruta utilizada en la solución posible, siendo c,/ el coste real de transporte. Esto se consigue definiendo algún c, como cero y dedu-

*

Una

faciendo

las

solución posible es aquélla en que las barcazas se disponen satisrestricciones, pero no necesariamente con un coste total mínimo.

224

PROGRAMACIÓN LINEAL

ciendo los restantes costes ficticios a partir de éste, ilustra a continuación para la solución posible anterior:

tal

como

se

PROBLEMAS DE TRANSPORTE

Se tratará

A B

225

PROGRAMACIÓN LINEAL

226

Existen técnicas especiales para determinar exactamente cómo deberá hacerse esta transferencia alrededor de un ciclo, pero en los pequeños problemas que se discuten a continuación no se precisa su uso. Sin embargo, estas técnicas facilitan la solución en problemas de mayor envergadura: el lector puede acudir a la discusión presentada por Hadley * en su texto. continuación, se comprueba si esta solución mejorada es óptima:

A

Construcción de los costes ficticios

PROPIEDAD ESPECIAL DE LOS PUNTOS EXTREMOS

227

que se expone en el siguiente apartado sólo en el detalle, no en sus fundamentos. Para utilizar el método simplex no se precisan matemáticas sofisticadas, ya que consiste en una simple rutina.

7.3.

PROPIEDAD ESPECIAL DE LOS PUNTOS EXTREMOS

En este apartado se demostrará que la solución de un problema de optimación lineal se encuentra siempre sobre uno de los puntos característicos denominados puntos extremos. Los puntos extremos están definidos por las restricciones del problema, y su número es relativamente reducido. Los algoritmos de programación lineal como el método simplex basan precisamente su eficacia en limitar la investigación a los puntos extremos. Supóngase que se desean mezclar tres metales A, B y C, para obtener 10 ton de una aleación. Esta ha de satisfacer algunas especificaciones. Por ejemplo, debe contener como mínimo 25 por 100 de plomo, 20 por 100 de cinc y no más de 50 por 100 de estaño. En la tabla 33 se muestran las composiciones y costes de los tres metales. Tabla 33

Metal

PROGRAMACIÓN LINEAL

228

Las restricciones son:

Plomo:

0,Ixa 0,3a:^

Estaño:

Cinc:

+ 0,Ixb + [10 - (x^ + Xb)] + 0,3xb<1,5

+ 0,3xb + [10-(xa + Xb)] 0,5x^ + 0,3^5^1,0

0,Ixa

0,Sxa + 0,6xb

0,4

^ 10(0,?5)

,

[7.4]

0,6

^ 10(0,2) = 2,0

B y C que forman una

^10(0,50) [7.5], [7.6]

aleación que cumple que constituyen una solución posible del problema de mezclado. En la figura 99 se muestra la región de soluciones posibles. Adviértanse los cuatro puntos situados en los vértices del polígono que la delimita. Estos son los puntos extremos, uno de los cuales corresponde a la mezcla de coste mínimo.

Las cantidades de A,

las tres especificaciones se dice

X^.ton 10

Restricción^ del cinc

\

^

\ \..^

Restricción

del estaño

FiG. 99.

,

EL ALGORITMO SIMPLEX

229

La función de coste: Coste = 3 O 000 -

1

óOOx^ -

1

OOOxb

una recta de pendiente S= - 10/16. La mezcla de coste mínimo se obtiene cuando ^^ = 10 ton, Xb = y Xc=0; pero esta solución «o es posible, puesto que se violan las restricciones. Se observa que la mezcla posible de coste mínimo se obtiene en el punto extremo 1, con Xa^S ton, Xb = y Xc = 5 ton. es

En general, para cualquier coste de los tres metales, se necesita investigar solamente estos cuatro puntos extremos. Por consiguiente, si se dispone de un método para detectarlos, se simplificará enormela investigación de una solución de ción lineal.

mente

7.4.

EL

un problema de programa-

ALGORITMO SIMPLEX

La aproximación geométrica del apartado anterior sólo es útil pedagógicamente para mostrar que la solución debe encontrarse sobre un punto extremo. Se requiere un método no geométrico para problemas que contengan más de una pareja de variables. La técnica simplex ofrece una aproximación de este tipo. La técnica simplex desarrollada por Dantzig * en 1947 implica manipulaciones no muy diferentes en conjunto de las desarrolladas en el apartado 7.2 para la solución de problemas de transporte. Esta técnica se ha programado prácticamente para cualquier tipo de ordenador digital y domina el campo de la programación lineal. Se presentará mediante un ejemplo sencillo que manipula restricciones en. forma de desigualdades como las mostradas en la ecuación [7.7]:

máx (cyXi + C2X2

. . .

c„x„)

sujeto a

afi^O;

X2^0;

...a:„^0

anXi + ai2X2+ ...ai„x„^bi a2iXi

*

T. C.

+ a22X2+ ...a2nXn^b2

[7. 7]

G. Dantzig: Activity Analysis óf Production and Allocation, cap. XXI. ed., Wiley, Nueva York, 1951.

Koopman,

EL ALGORITMO SIMPLEX

donde

bi,

ecuación

mación

A

¿2.

..., b„^ no pueden ser negativos. Adviértase que la no es sino una forma del problema general de progra-

bi,

[7.7]

lineal establecido

modo

231

en

el

apartado

de ejemplo se resolverá

el

7.1.

siguiente problema trivial,

máx (6a:i + 4^2) sujeto a X\f X2

^V

2^:1+4:^2^14

[7.8]

6.ri^3x2^11 Las

seis etapas del

Etapu

1.

algoritmo simplex son:

Convertir las desigualdades en igualdades introduciendo variables suplementarias o de holgura no negativas apropiadas y disponer el problema completo en la forma tabular indicada en la tabla 34.

Ejemplo: Las ecuaciones [7.8] se transforman en igualdades introduciendo dos variables suplementarias x^ y X4. 2xi

+ 4^2 + X3 = 14

6x1 i-3x2

En

la tabla

+ Xi = \\

35 se muestra la forma tabular.

Tabla 35 Conjunto básico Ci

PROGRAMACIÓN LINEAL

232

Etapa

2.

Extraer una solución posible e insertarla como una segunda fila debajo del cuadro. Una solución posible obvia será aquella que implicase solamente las variables cuyas columnas contienen un (1) y el resto (0), siendo la solución el valor de b en la fila donde aparece el único valor no nulo. Las variables que constituyen esta solución posible se denominan conjunto básico y se anotarán en las dos columnas situadas a la izquierda del cuadro.

Ejemplo: La solución posible cqrrespondp

FiG. 100.

Etapa

3.

Xi

= 0,

.T2

= 0,

a:3

= 14

y'.r4==ll

de

la

tabla 35

origen en la figura 100.

al

Progreso de

la

investigación directa.

Se prueba ahora si la solución posible es óptima. Se analiza cada variable que no forma parte de la solución posible anterior calculando

:

uno o varios A¡ son positivos, uno o varios Ay<0 para todo j, método simplex termina.

Si

la

Si

se

solución posible no es óptima. ha encontrado la solución y el

EL ALGORITMO SIMPLEX

l¡

233

Ejemplo:

En

suma de los. productos primera y tercera columnas del cuadro completo, del coste indicado debajo de la tercera columna: la tabla

35,

Aj se calcula restando la

de los elementos de

la

0x2 = 0x6 = Suma

=0

A=6-0=6 A2 se calcula de manera similar. Existen dos A/ mayores que 0: Ai A2=4. La solución, por tanto, no es óptima.

Etapa

Se selecciona

4.

las

variables

= 6,

con Ay máximo para sustituir a alguna de la solución. La variable que debe que posea un valor de £»,/fl,e mínimo, indi-

la variable

que

constituían

abandonar ésta es la cando por e la variable entrante.

Ejemplo: La Etapa

variable Xi entrará en la solución y la variable x^ la abandonará.

5.

modifica ahora de modo que la variable que entra en la forma indicada, presentando un 1 en la fila de la variable de salida y O en las demás. Esto se consigue manipulando las filas de la tabla, multiplicándolas por constantes y/o

La tabla se

se

caracterice

restándolas entre

sí.

Tabla 36

Ci

PRCX5RAMACION LINEAL

234

Ejemplo: La segunda

un

1

en

de coeficientes se divide por 6 hasta conseguir restándose a continuación el duplo de la fila primera para eliminar el 2 de la posición 1,1. Se ob-

fila

la posición 2,1,

resultante de la tiene así la tabla 36.

Etapa

6.

Se vuelve a la etapa 3 y se continúa hasta que óptima.

la

solución resulte

Ejemplo:

En la tabla 36 se encuentra un Ay mayor que cero, por lo que solución no es óptima, debiendo introducirse la variable Xi en la solución. La etapa 4 indica que la variable Xi la ha de abandonar, y la etapa 5 conduce a la tabla 37, que resulta óptima con ari = 31/9 y

la

x^^\¡^.

Tabla 37

Ci

PROGRAMACIÓN DE UNA REFINERÍA DE PETRÓLEO

235

No

es raro encontrar problemas simplex que presentan varios centenares de limitaciones, e incluso un número mayor de variables durante la optimación de procesos industriales.

7.5.

PROGRAMACIÓN DE UNA REFINERÍA DE PETRÓLEO

El ingeniero de procesos tiene solamente un interés secundario en los aspectos

matemáticos de

la

programación

lineal.

El problema básico de la aplicación de la programación lineal radica más bien en su formulación que en la solución del mismo. Se

examinará ahora esta dificultad considerando un problema de optimación en la programación de una refinería. Cualquier intento para definir de una manera real la operación de una gran refinería de petróleo puede conducir fácilmente a cien e incluso quinientas ecuaciones de limitación la formulación de un problema de tal magnitud, y con mayor razón su solución, sólo debería intentarse si se esperasen beneficios considerables. Sin embargo, en un problema industrial de este tipo, el incremento que se produce en los beneficios al mejorar la eficacia de la operación puede ascender a millones de pesetas por año. Se presentará ahora una versión extremadamente simplificada de un problema de programación de una refinería para exponer los principios del análisis. Los datos para el planteamiento de este ejemplo se han extraído del libro de Hadley *, y de las monografías de Manne ** y SyMONDS ***. La figura 101 presenta un esquema de una refinería de petróleo semejante al problema que se va a examinar. La destilación atmosférica del crudo de petróleo produce una serie de fracciones tales como naftas, gasóleos y residuos. Estas fracciones de petróleo pueden mezclarse directamente entre sí para formar productos que van desde la gasolina de aviación hasta los fuel oil, o bien pueden sufrir alguna transformación antes de mezclarse. Así, los gasóleos pueden enviarse a una unidad de craqueo para romper los hidrocarburos de cadena larga, y las naftas pueden reformarse para mejorar sus propiedades de combustión. En un problema real de una refinería habrá centenares de corrientes en lugar de las escasas representadas en la figura 101. ;

*

G.

Hadley op. cit. Manne: Scheduling :

of Petroleum Refinery Operations. Harvard Harvard University Press, 1956. *** G. H. Symonds: Linear Programming: The Solution of Refinery Problems. Esso Standard Oil Company. Nueva York, 1955,

**

A.

Economic

Studies, vol.

48.

PROGRAMACIÓN LINEAL

236

Una refinería real puede utilizar hasta una docena, o incluso más, de crudos de petróleo diferentes, pero se supondrá, en este caso, que solamente se dispone de dos, de diferente composición química. La refinería puede recibir como máximo Zj y Z^ barriles por día de cada uno de ellos; se denominará por x^ y X2 las cantidades óptimas de

^^^^^^'^ Reformado

'

Nafta ,

Combustibles de motor >-

Gasolina

Gasóleo

7~} de craqueo ^

Craqueo Fracción

Combustible

pesada

para reactores

>

^ ^

Residuo

Proceso

>x\para aceitesk ;^^\\ lubricantes s\\

Fuei oil

Aceites lubricantes

FiG. 101.

Diagrama de bloques de una

refinería de petróleo.

ambos a utilizar en la refinería. Por consiguiente, aparecen ya las guientes limitaciones:

Si la

tada de

si-

columna de destilación del crudo tiene una capacidad limibarriles por día, debe imponerse la siguiente restricción:

A

x^^X2-^A La corriente de nafta producida por la destilación del crudo connaftas ligeras, medias y pesadas. Supóngase que un barril de crudo i produce aj, barriles de nafta ligera, ar, de nafta media y «3, de tiene

nafta pesada. Por consiguiente,

si

se

producen

z/j,

2/2

e

j/3

barriles por

PROGRAMACIÓN DE UNA REFINERÍA DE PETRÓLEO

día

de

las fracciones

237

de nafta respectivas,- pueden plantearse las tres

ecuaciones siguientes

y2 = a2iXi

+ a22X2

Cada corriente de nafta se divide en dos partes: una para mezclas de gasolina y otra para reformado. Sean y'l los barriles por día de nafta / que se envían al mezclado e yj los que se envían al reformado:

yi=yi+y[ yi=yl+yi y¡=yt+yl La destilación del crudo produce también aceites; un aceite ligero (1) y un aceite pesado (2). Un barril del crudo i produce bu de aceite ligero

y

día del aceite

de aceite pesado; si u'l y u'j son los barriles por que se envían al mezclado de fuel oil y al craqueo,

¿>2i

;

respectivamente, entonces ü^

+ tí'{= biiXi + b2iX2

Se supondrá que por la base de la columna de destilación de crudo se extrae una corriente de composición única; si un barril del crudo i produce di barriles de residuo y diariamente se envían v^ barriles de éste al procesado de aceites lubricantes y v'' barriles al mezclado de fuel oil, el balance de materias para la corriente de la base o residuo conduce a ü" ~v''

= dxXx + C/2X2

Se considerará ahora el reactor de reformado. Sea barriles por día que pueden procesarse en

máximo de

un

el

él;

número entonces

de nafta / se transforma en f, barriles de gasolina producción diaria de la unidad de reformado son barriles de gasolina, se puede plantear el siguiente balance: Si

reformada, IV

B

barril

y

la

^Hiy'v-^hyV+hy'i

PROGRAMACIÓN LINEAL

238

Se examinará ahora la operación de craqueo. Si un barril del aceise craquea dando g, barriles de gasolina de craqueo y h¡ de aceites y la producción diaria de la unidad son r barriles por día de gasolina de craqueo y s de aceites, se pueden plantear las siguientes ecuaciones te

/

:

s

Además, por

día,

si

la

= hiUl + hzul

capacidad de

la

unidad de craqueo son

D

barriles

entonces ni

+ w^

^D

En la unidad de procesado de aceites lubricantes un barril del residuo de la columna produce k de aceite y la capacidad de la unidad es E barriles por día. Por tanto, si q es la producción de aceites lubricantes expresada en barriles por día, q

mo

= kv''

Supóngase, además, que la refinería debe suministrar como míniS barriles por día de aceite lubricante a sus subsidiarias:

Se pasará ahora a la operación de mezclado, examinándose las restricciones de calidad de los productos finales. Supóngase que para cada gasolina existe sólo una única restricción; las gasolinas de aviación, «super» y normal deben tener, como mínimo, los números de octapi, Pz y p?. Sea 77i" los números de octano de las tres naftas procedentes de la destilación del crudo, w^ el de la gasolina reformada, y rtic el de la gasolina de craqueo. Si estos números de octano se pueden mezclar linealmente *, y si w", w^, lo'', r", r" y r'' son los barriles por día de gasolina reformada y de gasolina de craqueo mezclados en las gasolinas de aviación, «super» y normal, respectivamente, se pueden plantear las siguientes ecuaciones:

no

w^io" -^ iv" +

*

Esto no es generalmente exacto

amplio, ya que

el

un procedimiento

el

intervalo de composiciones es

muy

no lineal. Sin embargo, puede utilizarse utilizando un número de octano de «mezclado»

mezclado puede iterativo

si

w''

ser

que se define para poder mezclar linealmente en

las

proximidades del óptimo.

PROGRAMACIÓN DE UNA REFINERÍA DE PETRÓLEO

á,

239

Las producciones de gasolina de aviación «super» y normal son de r barriles por día, respectivamente; por tanto,

p y

fl

= z^" + r^ +

z/^"^

+ z/^" + yl"

p = wP + r'' + y\'' + z/^p + yl" f

donde

= w'+r'+y\' + y^ + yf

son los barriles por día de

; que han de mezclarse de aviación, «super» y normal). A su vez, las distintas fracciones de nafta destinadas a mezcla deben satisfacer las siguientes ecuaciones:

en

z/^^

la gasolina,

y k = a,

p,

la nafta

r (gasolina

Z/^

= Z/f + Z/^P + Z/f

z/^

= z/f + z/^p +

z/3^'-

Las limitaciones del número de octano pueden escribirse en

la

siguiente forma:

^ u>a^nr + r^TTic + m'j'z/^" + m^z/^" + PPp ^ Wp7nr + rpille + rre^\^ + Trqy\p m^z/*^ fpr < Wrnir + Vr^ic + m^z/^'' + m'^'z/f + ápa

Tn'¡y'¡''

-f

7n'¡y':''

Además de pueden

las limitaciones del

número de octano de

las gasolinas

producidas; por ejemplo, solamente una cantidad limitada de la gasolina de aviación puede encontrar un mercado. También habrá límites en la presión de vapor, intervalo de ebullición, contenido de aromáticos, y contenido de azufre en alguno o en todos los productos. Puede también ser preciso mezclar plomo tetraetilo para mejorar las calidades antidetonantes de los combustibles para motor. No se detallará la formulación de las limitaciones adicionales anteriores ni se analizará el problema de mezclado de los fuel oil. Bastará decir que el problema de programación de una gran refinería puede plantearse en forma de un gran conjunto de ecuaciones y desigualdades lineales. Estas ecuaciones implican una gama extensa de variables que describen el flujo de las fracciones de petróleo a través de la existir otras respecto a las cantidades

refinería.

A

continuación, se introducen los factores económicos para delimide forma detallada el problema de optimación. Se requieren los datos de precios de venta para todos los productos de la refinería,

tar

PROGRAMACIÓN LINEAL

240

coste de los crudos de petróleo y coste de proceso de un barril de materia prima en cada una de las unidades. partir de estos datos, se puede plantear una función objetiva de beneficios lineal que implicará prácticamente todas las variables. Resulta evidente que la formulación de un problema de programación lineal industrial requiere un esfuerzo considerable y experiencia técnica («know-how») por parte del ingeniero, y tener acceso a una cantidad enorme de datos económicos y técnicos. Estos son los obstáculos que deben salvarse. No es infrecuente que se desconozcan algunos de los parámetros (por ejemplo, los a^ barriles de nafta pesada que se producirían a partir de un barril de crudo de petróleo), con lo que una parte del problema de programación lineal ha de consistir entonces en la recogida de datos experimentales de rendi-

A

miento en la planta. Sin embargo, todo este esfuerzo parece ser útil, puesto que casi todas las principales refinerías están programadas por este procedimiento. Por esta razón se ha elegido este ejemplo de optimación de una refinería de petróleo para ilustrar los principios de la formulación del problema.

7.6.

OBSERVACIONES FINALES

Para concluir esta breve introducción a la programación lineal, una observación que no resulta evidente sobre el método seguido al presentar el algoritmo simplex de investigación directa. El método simplex se deduce a partir de la moderna teoría del álgebra lineal, sin la cual es dudoso que hubiera podido desarrollarse un método eficaz para la resolución de estos problemas. En el método simplex se aprecia el tremendo impacto que la teoría matemática rigurosa puede hacer sobre problemas eminentemente prácticos, tales como el funcionamiento de las refinerías de petróleo. Nada hay tan práctico como una buena teoría, y resulta muy aconsejable para un ingeniero mantener el contacto con ambos campos, la teoría y la práctica, ya que la unión de los dos proporciona, con frecuencia, resultados pasmosos. Evidentemente, esta discusión de la programación lineal ha sido solamente sugestiva, por lo que es de gran interés estudiar la enorme se debe hacer

A

continuación se ofrece una introducción a dicha literatura a través de la siguiente breve lista de

literatura existente sobre esta materia.

referencias.

bibliografía

241

Bibliografía Existen varios libros de texto excelentes sobre programación lineal.

G. Hadley: Linear Programming. Addison-Wesley, Reading, Mass., 1962. Linear Programming and Extensions. Princeton University G. Dantzig Press, Princeton, N, J., 1963. S. I. Glass: Linear Programming. McGraw-Hill, Nueva York, 1958. S. Vajda: Readings in Linear Progrqmrning. Wiley, Nueva York, 1958. :

EJERCICIOS 1.

Resuélvase el siguiente problema de transporte mediante el método de la pasarela después de haber establecido una primera solución posible eligiendo las rutas de menor coste. Se presenta una degeneración en la que el + n—1. Esto no número de rutas utilizadas llega a ser menor que ofrece dificultad si se aplica el método indicado en la nota del pie de la página 224.

m

2

100

Origen^

6

1

Respuesta

7

6

1

2

4

3

12

PROGRAMACIÓN LINEAL

242

ruta tantas unidades como sea posible. Si se ha satisfecho la demanda de dicha columna, pásese a la siguiente, seleccionando en ella de nuevo la ruta de coste mínimo. Si se consumen en la operación anterior las partidas existentes en un punto de origen, se selecciona la ruta que sigue en coste sobre la misma columna asignándole partidas; se repite el método sucesivamente hasta que se satisface la demanda del punto de destino que representa la columna. esta

Respuesta 2

2

:

solución posible inicial

4

3

12

EJERCICIOS

243

atención bien sobre una fila o sobre una columna. Sobre ella se fija en primer lugar la ruta de menor coste, repitiendo la operación hasta que se complete la solución posible inicial.

Respuesta 2

2

:

solución posible inicial

4

3

12

PROGRAMACIÓN LINEAL

244 5.

El siguiente problema de transporte se distingue por existir más unidades en los puntos de origen que las requeridas en los puntos de destino. Por tanto, algunas no serán transportadas. Los métodos sencillos de solución no se pueden aplicar directamente al problema en su forma presente.

Destino 5

3

2

$100 Origen

2

7

Muéstrese cómo puede alterarse el problema para que pueda aplicarse el sencillo método de la pasarela. Para ello se introduce un destino ficticio que demande las unidades en exceso, asignándose al mismo costes de transporte iguales a cero. Resuelto el nuevo problema, las unidades que se transportaron al destino ficticio serán las que deberán permanecer en sus puntos reales de partida. 6.

Resuélvase el siguiente problema de programación lineal mediante el método simplex y trácese el progreso de la iteración en un gráfico donde se indiquen las restricciones.

EJERCICIOS

245

también existen restricciones sobre la cantidad máxima de ducto que puede venderse. Las limitaciones son Disponibilidad de crudo

O^A^lOO Mbps 0^5^100 0
Mercado de productos

0^G^170

cada

pro-

(miles de barriles por semana)

0^1^20 0^F<85 Se dispone también de los datos de conversión de un crudo de petróleo determinado en los distintos productos, el coste de operación de la refinería y el valor de los productos finales. Barriles de productos obtenidos

por barril de crudo

Valor del producto,

D Productos

G

H L

Coste de operación $/barril de crudo

0,6

$/barril

PRCXSRAMACION LINEAL

246

Se dispone de diez crudos de petróleo en cantidades comprendidas 10 000 y 30 000 barriles por día de cada uno, con una cantidad total de 200 000 barriles por día. Tres refinerías X, Y y Z requieren una cantidad total de 180 000 barriles por día. Es decir, del crudo total disponible quedarán sin procesar 20 000 barriles por día. Una de las refinerías está capacitada para procesar crudo de petróleo según dos procedimientos Xj y X2 con diferentes eficacias. Se conoce el beneficio o pérdida netos por barril de cada tipo de crudo de petróleo procesado en cada refinería. Asígnense los crudos de petróleo a las refinerías de

entre

modo que

{«

se

obtenga un beneficio máximo.

CAPITULO

8

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

La programación dinámica es una estrategia que permite la descomposición de grandes problemas de optimación, que no presentan recirculación en una secuencia de problemas de suboptimación más sencillos. Con ciertas condiciones, la suboptimación de pequeñas partes del problema conduce a reducciones del orden de magnitud en la dificultad de la optimación. Además, este procedimiento es la base de los métodos de optimación más avanzados, que se presentarán en los capítulos 9

Problema

la

y

10.

típico

¿Cómo puede optimarse el siguiente sistema de procesos fijando atención cada vez sobre una sola variable de diseño? •*

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

248

programación lineal proviene de la propiedad especial de los problemas de optimación lineales: el óptimo debe estar situado en un punto extremo definido por las restricciones del problema. En este capítulo se examina la programación dinámica, método de optimación basado en una propiedad estructural especial de los sistemas sin re-

la

circulación.

Se dice que un sistema tiene una estructura serial o acíclica cuando su estructura del flujo de información posee comienzo y fin y no presenta recirculación. En estos sistemas, una variación en un determinado componente solamente puede influir en los que le siguen. Esta es la propiedad especial de los sistemas acíclicos que confiere su gran eficacia a la programación dinámica. principios de 1950, Richard Bellman estableció el principio de optimidad:

A

Un

sistema acíclico es óptimo cuando todos sus componentes finasuboptimados respecto al alimento que reciben de los componentes precedentes en el flujo de información. les están

En

su forma general,

el principio y los adjetivos «precedentes» y y aguas abajo, respectivamente) se refieren al de información del diseño que se discutió en el capítulo 3, que

«finales» (aguas arriba flujo

puede

diferir

de

la dirección del flujo

de materias en

el

diagrama del

proceso.

En resumen, el principio indica que se debe obtener la mejor situación posible desde cualquier punto del sistema hasta su extremo final. En la figura 102 se ilustra este principio considerando cada vez un mayor número de elementos como componentes

«finales».

En cada

éstos han de diseñarse para una función objetivo combinada máxima, es decir, suboptimarse con respecto al alimento que reciben de los componentes precedentes. caso,

Es importante comprender que la suboptimación solamente se puede al grupo final de componentes de un sistema. Por ejemplo, supóngase que se intenta separar el cambiador de calor de agua en ebullición situado en el interior del sistema mostrado en la figura 103 para suboptimar su diseño basándose en su propia contribución directa aplicar

a la rentabilidad del sistema. El criterio de diseño podría ejemplo

Maximizar

(valor del vapor de agua -costes fijos

ser,

por

y de operación)

(área)

La

No existe forma sencilla de incluir los una variación en el diseño de este componente interior sooperación de los componentes posteriores en los que influye.

dificultad es evidente.

efectos de

bre

la

PRINCIPIO DE OPTIMIDAD

249

Problema original: estructura acíclica

El

principio de optimidad aplicado

al

último componente

Aplicado a los dos últimos componentes

Aplicado a los tres últimos componentes

Aplicado a los cuatro últimos componentes

FiG. 102.

El principio de optimidad

:

una guía para

la

suboptimación.

Así, en este ejemplo, el cambiador de calor afecta considerablemente a la operación de la columna de destilación. Podrían así aceptarse pér-

didas económicas en el cambiador siempre que fueran compensadas por ganancias en la columna posterior. Solamente puede suboptimarse, pues, el componente final, ya que solamente en tal caso no existe ningún componente posterior que pueda ser afectado desfavorablemente por las variaciones de aquél.

250

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

FiG. 103.

Suboptimación inadecuada de un componente

interior.

PROGRAMACIÓN DINÁMICA-SECUENCIA DE SUBOPTIMACIONES

8.2.

251

PROGRAMACIÓN DINÁMICA-SECUENCIA DE SUBOPTIMACIONES

Se mostrará ahora cómo conduce el principio de optimidad a la suboptimación secnencial de un número progresivo de componentes finales, es decir, a la estrategia denominada programación dinámica. La figura 104 define la notación; adviértase cómo los componentes se han numerado en orden inverso para simplificar los problemas de nomenclatura al tratar primeramente los componentes finales. S,\r

';+!.

i-1

di Para

el

componente

'i-l

di-l

/

Función objetivo

Ui(si + i,d¡,si)

ecuación de diseño

fi(si+hd¡,si)

=

Variable de estado

Variable de diseño

Variable cuyo valor está fijado

Variable que adopta un valor entre varios posibles durante la suboptimación

FiG. 104.

Notación para

la

introducción de

la

programación dinámica.

La programación dinámica comienza con la suboptimación del componente final, indicado con el número L Esto implica la solución del problema

máx

[Ui

(52, £?i)]

=máxi

(Sa)

El mejor valor de la variable de diseño, valor del máximo de la función objetivo C/j, penden de la condición del alimento que recibe del precedente (es decir, de S2). Esta carse simbólicamente por d* (S2) y máxj (52).

indicado como d*, y el indicado como máxj, deeste último componente

dependencia puede indiPuesto que el valor par-

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

252

de ^2, que se obtendrá después que los componentes precedenhayan optimado, no se conocerá en este momento, este problema inicial de suboptimación debe resolverse para un intervalo de valores posibles de 52; en la figura 105 se indican los resultados. Esta figura contiene un resumen completo de las suboptimaciones de la etapa 1, por lo que no parece necesario estudiarlas con mayor ticular

tes se

detalle. Primer problema de suboptimación

Max

[í/i(s2, di, Si)]

idi)

Max

FiG. 105.

Resumen de

la

suboptimación del último componente.

PROGRAMACIÓN DINÁMICA-SECUENCIA DE SUBOPTIMACÍONES

253

Segundo problema de suboptimación

FiG. 106.

Resumen de

la

suboptimación de

los

dos últimos componentes.

El siguiente paso en la estrategia de suboptimación consiste en desplazarse hacia el principio de la cadena, incluyendo como finales los dos últimos componentes. El principio de optimidad establece que las variables de diseño dy y di deben ajustarse de modo que estas dos etapas juntas sean óptimas con respecto al alimento que ambas reciben en conjunto de las precedentes, tal como se muestra en la figura 106.

Es

decir,

máx

[C/2(53, d2)

+

C/i(52, í/j)]

=máx2

(Sj).

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

254

mo

Ahora bien, en tal situación se conoce todo acerca del diseño óptidel componente 1, información que está contenida en el gráfico

de máxi

(52).

Entonces, puede sustituirse el valor de Ui para dar la al problema de suboptimación de los dos últimos

forma componentes siguiente

máx

[UziSi, dz)

+ máxi

(52)].

Adviértase que esta simple maniobra ha permitido reducir

el

nú-

mero de variables a considerar durante la maximización de dos (di y ¿^2) a una (dz). La referencia al componente 1 se efectúa ahora a través del gráfico máxi (52) en lugar de a través de un problema de maximización ordinario.

De nuevo no se conoce en este caso el valor de la variable de estado S3, que pasa la información a los componentes finales desde los precedentes, puesto que éstos no se han optimado todavía. Por tanto, se considerará un intervalo de valores de 53, tal como se muestra en la figura 106, que resume la suboptimación de los dos últimos componentes junto con la figura 105. Supóngase que esta secuencia de suboptimación se ha desarrollado hasta incluir ¿ - 1 componentes, y que la siguiente etapa consiste en suboptimar los i últimos componentes:

máx

(C/,

+

t/¿_i

+

...C/i)

= máx¿.

{d.d._,...d,}

Puesto que en este momento se han suboptimado ya los ponentes finales, se dispone de la función

máx

(C/;_i

...

C/i)

¿

-

1

com-

= máx¿_i,

{d._,...d,}

que, por tanto, podría utilizarse para reducir la dimensionalidad del i a

problema de suboptimación del componente

máx

[U¡

+ máx,_i

(5,)],

prolas ecuaciones de diseño para la etapa ¿, /,(5,+i, 5„ (¿/) = porcionan la unión entre di y Si. Se advertirá de nuevo que se ha reducido un problema de optimación f-dimensional a otro unidimensional mediante el resumen en un solo término de las soluciones al problema de la suboptimación de los componentes posteriores al considerado. En la figura 107 se muestra esta estrategia de suboptimación secuencial de la programación di-

donde

PROGRAMACIÓN DINÁMICA-SECUENCIA DE SUBOPTIMACIONES

Etapa

1

Maxjv_

Etapa

N

,.„..^-^ FiG. 107.

TV

A^-

1

iV-2

N-3

=r^ ^^

Programación dinámica. Secuencia de suboptimaciones.

255

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

256

námica. Nótese que las variables de diseño se analizan una por una,

no simultáneamente.

Una vez que se ha alcanzado la etapa N, la optimación se completa y solamente resta repasar las etapas recorridas a través de las tablas o de las figuras para reunir el conjunto completo de los valores d* óptimos para el sistema.

8.3.

Se ilustrará

DISTRIBUCIÓN DEL DISOLVENTE EN UN SISTEMA DE EXTRACCIÓN SIMPLE REPETIDA * la

programación dinámica considerando

el

problema de

distribución de un disolvente de coste elevado en el sistema de extracción simple repetida (corrientes cruzadas) de tres etapas mostrado en la figura 108. Un disolvente portador o disolvente del refinado contiene un soluto valioso en concentración Xf = 0,20 kg de soluto por kilogramo de disolvente; la disolución se ha de procesar con caudal Q = 500 kg de disolvente refinado por hora. La extracción se efectuará en el sistema citado mediante un disolvente de lavado o disolvente extractor, inmiscible con el disolvente del refinado. En un primer extractor, se mezcla una cierta cantidad de disolvente extractor y la fase refinado y, a continuación, se separan, una vez alcanzada la distribución de equilibrio del soluto entre las dos fases. La fase refinado se envía a un segundo extractor, situado a continuación («aguas abajo»), para un nuevo proceso de extracción, en tanto que la fase del disolvente extractor (extracto) conteniendo parte del soluto se considera como el producto valioso obtenido en la primera

unidad.

Se desea determinar la distribución del disolvente extractor que la siguiente función objetivo económica:

maximiza

3

\Q(x,-x,)-kyWi]

máx

(w,,w,,w..) L *

•*

•*

^^

[8.1]

J

1=1

El término Q(xp-Xo) representa los kilogramos de soluto eliminados por hora del disolvente del refinado; 2^i ^^ cantidad total del disolvente extractor utilizado por hora para conseguir ese caudal de eliminación de soluto, y X el coste de la unidad de masa de disolvente extractor dividido por el valor de la misma unidad de soluto extraído (X = 0,05 en este ejemplo). * R. Aris, D, F. Rudd y N. R. Amundson: Extraction», Chem. Eng. Sel, 12, 88 (1960).

«On Optimum Cross-Current

DISTRIBUCIÓN DEL DISOLVENTE EN UN SISTEMA

257

La primera etapa en el análisis de cualquier problema de optimación consiste en el establecimiento de las relaciones de diseño que describen el rendimiento de cada unidad del sistema. Extractor típico. Etapa 2

Disolvente extractor puro M/.,

Disolvente de fase refinado

O

kg/h

Fase refinado, kg/h

O la

X,

kg soluto/kg disolvente

l
X, kg soluto/kg disolvente

Fase extracto VV, kg/h y,

kg soluto/kg disolvente

Estructura del sistema

Wo

Wii

Wi

A>=0.20-|X3

FiG. 108.

X2

Sistema de extracción simple repetida.

XI

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

258

Balance de materia alrededor del extractor

i

Disolvente del refinado: C^ent

= C^sal = Q

Consecuencia de la inmiscibilidad de los disolventes

Disolvente extractor:

Soluto:

QXi^,=QXi + Wyi.

[8.2]

Relación de equilibrio entre las fases que abandonan una etapa (f>(Xi,yd

=

(véase Fig. 109).

0,10 Composición de la fase refinado, x

FiG. 109.

[8.3]

0,20

Datos de equilibrio.

Por consiguiente, para cada extractor se tienen dos ecuaciones in(el balance de soluto y la relación de equilibrio) y cinco variables (P, W, x,+i, x„ 2/¿)- Los grados locales de libertad son 5-2 = 3. dependientes

Cuando

los extractores están conectados entre sí para constituir el sistema en estudio, Q estará especificado en cada etapa por el caudal de proceso requerido (en este caso C> = 500 kg de disolvente de refinado por hora), y la concentración de soluto de la fase del refinado a la entrada de la misma, a:¿+i, estará determinada por las condicio-

DISTRIBUCIÓN DEL DISOLVENTE EN UN SISTEMA

259

nes de salida del elemento precedente. Por consiguiente, se consumen dos grados de libertad, y solamente queda una variable de diseño económica para cada etapa, que puede ser precisamente el caudal de disolvente extractor, W¿. En la figura 108 puede apreciarse que la estructura del flujo de información tiene forma acíclica. Etapa

1.

Suboptimación del extractor

1.

La programación dinámica se de

la

ce

que

estrucutra,

extractor

1.

inicia

El

considerando la etapa final de optimidad estable-

principio

Para cualquier composición del soluto en bida del

extractor

W*

con un caudal para el mismo.

2,

el

disolvente

que maximice

El problema de suboptimación

la

fase refinado reci-

debe añadirse al 1 función objetivo económica

extractor la

es,

por tanto,

máXi = máx[Q{xi — xi)-KW{\

[8.4]

donde Qx2 = Qxx + Wiy^ <}>(xi, iji)

^ = 500

=

(véase Fig. 109)

kg por hora

X=0,05 a:2= valor especificado durante la

programación dinámica

Obsérvese que este problema de investigación de una sola variarequiere la solución de dos ecuaciones simultáneas para obtener Xi e i/i. Sin embargo, si en vez de investigar la variable Wi analizásemos Xi, el problema se reduciría a: ble

máxi = máx [Q(x2 -x{)-\Wi]

[8.5]

y de (f>(xi,yO=0

puede obtenerse

yj

directamente.

Una vez conocido

yj.

la

ecuación

Q(X2-Xi)

W,=2/1

permite deducir inmediatamente el valor de Wp Es nueva selección de la variable de diseño ha simplificado INGENIERÍA DE PROCESOS.

18

decir,

una

el cálculo.

260

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

Además,

esta

situación

muy

nueva variable está limitada al intervalo 0<:a:i<:a:2, útil en una investigación directa. Esta es una aplicación de los principios de selección de variable de diseño mencionados anteriormente, en el capítulo 3.

Tabla

38.

Ejemplo

típico

de suboptimación del extractor

a:2=0,10

^1

1

DISTRIBUCIÓN DEL DISOLVENTE EN UN SISTEMA

Tabla

Xl

39.

Distribuciones óptimas para el extractor 1

de disolvente

261

262

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

Tabla

40.

Ejemplo

típico a:3

X2

de suboptimación del extractor 2

= 0,20

DISTRIBUCIÓN DEL DISOLVENTE EN UN SISTEMA

Etapa

3.

Optimación del sistema de Llega así

el

263

tres extractores

momento de

considerar el problema de optimación

en conjunto

máx

[0(Xf-xi)-k{Wi

+ W2 + Wi)]

que se reduce al siguiente problema, aprovechando contenida en la tabla 41.

máx


[Qixp - X3) - X W3

[8.8]

la

información

+ máX2(ar3)]

[8.9]

=

Qxp = Qxi + Wiyi C>

= 500,

\

= 0,05

y

Xf = 0,20.

La solución por investigación directa de este problema de mación de una sola variable se resume en la tabla 42.

Tabla

42.

Investigación directa para la distribución el extractor 3

óptima de disolvente en

Xi

opti-

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

264

Por consiguiente, en resumen,

la

distribución óptima del disol-

vente es

Wi=130 kg W2=142 kg Wi=325 kg cómo

por hora

por hora por hora

necesidad de investigar las problema original de optimación de tres variables se ha transformado así en una secuencia de problemas de una sola variable. Puesto que los problemas de

Adviértase

se

ha eludido

diferentes variables simultáneamente:

la

el

investigación de una sola variable son de solución particularmente sencilla,

parece deseable esta transformación. Sin embargo,

Disolvente extractor

Disolvente

de

la fase refinado

3

Disolvente extractor más soluto

el

mé-

OPTIMACION DE UN SISTEMA MAS COMPLEJO

265

de circulación simple del disolvente extractor, pueden haberse excluido muy bien otros conceptos superiores; por ejemplo, considérese el sistema de extracción en contracorriente mostrado en la figura 110; el disolvente extractor que abandona el extractor 1 se hace circular en contracorriente con el disolvente del refinado hasta la etapa 3. Esto conduce a un problema de optimación de una sola variable libre, el caudal de disolvente extractor. El problema de optimación es

máx[Q(xF-xi)-kW]

[8.10]

{W} sujeto

a

los

balances de materia alrededor de cada etapa y a la Con frecuencia la extracción

relación de equilibrio entre las fases.

en contracorriente es superior a la extracción simple repetida. Esto ilustra un punto anteriormente señalado en el texto: que existen dos planos de optimación; el matemático y el innovativo. La programación dinámica es un ejemplo de optimación matemática; la consideración de los distintos conceptos (extracción simple repetida o en contracorriente) es un ejemplo de optimación innovativa. Los dos puntos de vista deberán considerarse durante la ingeniería de procesos.

8.4.

OPTIMACIÓN DE UN SISTEMA MAS COMPLEJO

*

En este apartado se ilustrará nuevamente la programación dinámica optimando el sistema de proceso químico mostrado en la figura 111. Este problema particular ha sido resuelto en detalle por MiTTEN y Nemhauser, mostrándose a continuación cómo se puede esbozar una aproximación al diseño óptimo. Una comparación de esta solución aproximada con la solución detallada de Mitten y Nemhauser proporciona luz sobre la sensibilidad de la programación dinámica respecto a los intervalos de las diversas variables de estado del sistema. El sistema de proceso en estudio ha de recibir 50 000 kg por año de materias primas, que se mezclarán, calentarán y pondrán en contacto con un catalizador, generándose de este modo una mezcla de producto valioso y materia prima no reaccionada de la que deben separarse como mínimo 15 000 kg por año de producto puro. Las alternativas del proceso son las siguientes: * L. G. Mitten y G. H. Nemhauser: Eng. Progr., enero 1963.

«Multistage Optimization», Chem.

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

266

1.

2.

3.

4. 5.

6. 7.

Tipo de mezclador (mezclador A, B ó C). Grado de mezcla (1,0; 0,8; 0,6; 0,5). Temperatura a la que se calienta la mezcla (350, 375, 400 y 425 °C). Tipo de reactor principal (reactor 7^, Ib ó Ic). Catalizador contenido en el mismo (catalizador 1 ó 2). Tipo de reactor secundario (reactor 7/^, 77^ o ninguno). Tipo de separador (un separador grande o dos separadores pequeños). Diagrama de

flujo del

proceso

Precalentador

Materia prima

Separador de producto

Residuo

Flujo de Información

50 000

Tipo de

Tipo de

mezclador

catalizador

kg/año

Grado de mezcla

Grado de mezcla

Temperatura

Temperatura

Conversión

Tipo de reactor

Cantidad de producto

Conversión Tipo de separador |

Fio. 111.

Tipo de reactor

Sistema de proceso.

OPTIMACION DE UN SISTEMA MAS COMPLEJO

267

Existe un total de (3)(4)(4)(3)(2)(3)(2) = 1 728 formas diferentes de desarrollar este sistema de procesos; con la programación dinámica se encontrará el método óptimo investigando el equivalente a menos

de quince posibilidades. Se presentará ahora una descripción más detallada de cada uno de los componentes de este sistema. Se dispone de tres tipos de mezcladores A,

Mezclador.

La

B y

C.

tabla 43 contiene la inversión inicial para cada mezclador, y los costes de operación anuales requeridos para llevar a cabo un grado determinado de mezclado. Puede seleccionarse libremente el tipo de

mezclador y

el

grado de mezcla a conseguir en

Tabla

43.

Datos sobre

la

el

mismo.

operación de mezcla

268

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

Precálentador. La facilidad con que puede calentarse la mezcla para un tipo dado de cambiador depende de su grado de mezcla. Para elevar la temperatura hasta 375 " como máximo pueden utilizarse aparatos normalizados; por el contrario, si el ingeniero eligiese temperaturas de salida más elevadas para la mezcla que abandona el calentador, se requeriría un aparato de diseño especial más costoso. La tabla 44 contiene los datos necesarios sobre los rendimientos y costes del calentador.

Reactor primario. Las materias primas mezcladas y calientes se ponen en contacto con un catalizador para efectuar su transformación parcial al producto deseado. La conversión conseguida depende del tipo del reactor y del tipo de catalizador, así como de la temperatura a que entren las materias primas en el reactor. El grado de mezcla no es una variable significativa a estas temperaturas elevadas. La tabla 45 describe los distintos modos alternativos de reacción y la 46 contiene los datos económicos pertinentes. Tabla Temperatura

45.

Conversión en

el reactor

primario

OPTIMACION DE UN SISTEMA MAS COMPLEJO

269

Reactor secundario. Si la conversión lograda en el reactor principueden utilizarse uno o dos reactores secundarios para efectuar una posterior reacción. La tabla 47 contiene los datos sobre el grado de conversión del producto que abandona cada uno de los reactores secundarios en función del grado de conversión del alimento procedente del reactor principal. pal es insuficiente,

La tabla 48 contiene

Tabla Conversión en

47.

el

reactor primario

los datos

Conversión a

económicos pertinentes.

la salida

del reactor secundario

270

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

Tabla

49.

Costes de separación

OPTIMACION DE UN SISTEMA MAS COMPLEJO

271

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

272

que teniendo en cuenta

el

entorno económico en

el

que este sistema

particular debe integrarse, se reduce a:

V = 0A(S-C-0,2D, donde S son los ingresos por ventas (dólares por año), C los costes de fabricación (dólares por año) e 7 la inversión total en dólares. De este modo, el problema está ahora completamente definido y se puede iniciar su solución seleccionando entre los numerosos diseños alternativos. Se considerarán primero los resultados que se obtienen para un conjunto cualquiera de las variables de diseño que se resumen en la tabla 51. Existen aproximadamente mil setecientas alternativas de diseño similares a la indicada, por lo que una estrategia de tanteo quedaría lejos de ser eficaz. Se debe refinar el método de selección aprovechando la estructura acíclica de este sistema. Se utilizará la programación dinámica con un conjunto reducido de valores de las variables de estado durante la suboptimación. Se obtiene así una solución óptima aproximada para el diseño, que se comparará posteriormente con la solución mucho más exacta de Mitten y Nemhauser. Etapa

1.

Diseño del separador El principio de optimidad indica que la última etapa, el sepadebe ser óptima respecto al alimento que recibe del componente precedente. Es decir, el separador que maximice Vs = 0,4 (S 0,2/s) para una conversión determinada en el alimento que procede del reactor secundario, será óptimo. Un análisis rápido de la tabla 49 indica que el uso de dos separadores pequeños minimiza Cs + 0,2Is para una conversión del alimento igual o superior al 45 por 100, mientras que un solo separador grande resulta más rador,

— C—

Tabla

52.

Resumen de

OPTIMACION DE UN SISTEMA MAS COMPLEJO

273

los demás casos. Este hecho proporcionará un criterio válido para obtener el diseño óptimo para un alimento determinado. Puesto que la conversión del alimento es desconocida, deberán suponerse distintos valores para cubrir un intervalo razonable que

adecuado en

diseño de esta última unidad. En este caso se han selec30, 60 y 90 por 100. La tabla 52 resume los cálculos de optimación, que se presentan gráficamente

resuma

cionado

en

el

como conversiones

la figura

112.

60 000

o

50 000

Solución exacta. de Mitten y Nemhauser

40 000

Dos separadores

30 000 60

90

120

Porcentaje de conversión en el alimento procedente del reactor secundario, s,

FiG. 112.

Etapa

2.

Diseño aproximado del separador.

Diseño del reactor secundario

el

El reactor secundario debe seleccionarse de forma que maximice beneficio del riesgo del subsistema separador-reactor secundario máxi — 0,4(Cc + 0,2/c). La figura 112 constituye la fuente de in-

V=

60000

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

274

Tabla

53.

OPTIMACION DE UN SISTEMA MAS COMPLEJO

50 000 1

1

Reactor

40 000

30 000

Ig

275

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

276

Etapa

4.

Diseño del precalentador El precalentador debe diseñarse de forma que maximice el benedel riesgo para el subsistema precalentador-reactor primarioreactor secundario-separador

ficio

V = máxj - 0,4 (Ch + 0,2///) la fuente de información del diseño primario-reactor secundario-separador. Los cálculos que conducen al diseño del precalentador están contenidos en la tabla 55 y el diseño óptimo se resume en la figura 115. El grado de mezcla del alimento procedente del mezclador se ha tomado como 0,5 y 0,8 para abarcar un intervalo razonable de la variable de estado de entrada de este subsistema.

La figura 114 constituye

del

Tabla

55.

Resumen de

S5

Grado de mezcla del alimento procedente del

mezclador

subsistema

reactor

los

cálculos que conducen reactor primario

al

diseño óptímo del

OPTiyviAClON DE

UN SISTEMA MAS COMPLEJO

1

40000

30 000

1

277

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

278

Etapa

6.

Recopilación de

La

etapa

consiste en

la

final

solución óptima

en

diseño aproximados guiente modo

de

esta

estrategia

de

optimación

aproximada

recopilar la solución óptima a partir de los conjuntos

esbozados

para

cada

subsistema

del

si-

el diseño óptimo para el mezclador operando con un grado de mezcla 1,0. b) Para este valor del grado de mezcla en la figura 115 se observa que el mejor diseño de calentador implica calentar la mezcla hasta 425 °C, aproximadamente. La figura 114 muestra que para una temperatura de entrac) da de 425 °C, el diseño más adecuado del reactor primario consiste en la combinación reactor iB-catalizador 2. Sin embargo, sería conveniente obtener mayor información sobre el comportamiento de esta unidad a temperaturas de entrada próximas a 425 °C, para completar la figura 114, ya que, con los datos existentes, la extrapolación de este diseño puede resultar peligrosa. No obstante, en este caso se utilizará el diseño indicado. d) La tabla 45 refleja que la corriente de salida de un reactor tipo Ib con catalizador 2, cuyo alimento se introduce a 425 °C, alcanzará una conversión de 45 por 100. En tales condiciones, la figura 113 indica que el diseño óptimo del reactor secundario podría consistir en el tipo 11^, o bien no poner ningún reactor. Un cálculo rápido sobre la tabla 53 para una conversión de 45 por 100 demuestra que resulta más aconsejable no poner ningún reactor secundario. La corriente de salida del reactor primario pasa entonces e) directamente al separador con una conversión del 45 por 100. De la figura 112 se deduce que en tales circunstancias deben utilizarse dos separadores en esta unidad.

a)

La tabla 56 indica que

está constituido por el tipo C,

la tabla 57 se muestra un resumen completo del diseño óptiaproximado y del obtenido por Mitten y Nemhauser, indicado

En

mo

paréntesis. Adviértase cómo el diseño tomado al azar como ejemplo en la tabla 51 proporciona un beneficio del riesgo de 7 200 dólares por año para un capital inmovilizado de 170 000 dólares; el diseño óptimo aproximado conduce a un beneficio del riesgo de 10 600 dólares por año con un capital de 80 000 dólares y, por último, el diseño óptimo riguroso reporta unos beneficios del riesgo de 14 100 dólares por año para un capital de 93 000 dólares. Recuérdese que el beneficio del riesgo representa el beneficio adicional que se obtiene sobre el que se alcanzaría si el capital se hubiese invertido en otras actividades de la compañía. Por tanto, los intereses del riesgo adicionales que se obtienen en cada uno de los tres diseños anterio-

entre

OPTIMACION DE UN SISTEMA MAS COMPLEJO

Tabla

57.

del diseño óptimo aproximado exactamente por Mitten y Nemhauser *

Comparación

Componente alimentado

279

y

del

evaluado

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

280

de 10 600 dólares por año para el diseño aproximado y el valor de máxs, 17 200 dólares por año, que es consecuencia tanto de los errores de interpolación que se van acumulando como de la incapacidad para distinguir el mejor diseño entre los posibles de forma precisa durante la recopilación del plan óptimo [por ejemplo, en la etapa 6, c)]. En cualquier caso, una investigación completa y exhaustiva de todas las alternativas de diseño hubiese requerido el análisis de, aproximadamente, 1 700 casos distintos, mientras que la solución exacta obtenida por Mitten y Nemhauser por programación dinámica precisa tan sólo el análisis del equivalente a quince diseños, y el procedimiento aproximado que se acaba de presentar, aún menos.

8.5.

COMPARACIÓN ENTRE LA INVESTIGACIÓN DIRECTA Y LA PROGRAMACIÓN DINÁMICA

¿Cuándo compensa aprovechar la estructura en serie de un problema de optimación y aplicar la programación dinámica? Esta pregunta surge lógicamente como consecuencia de que esta estrategia de optimación requiere investigar un intervalo de variables de estado del sistema y resolver un gran número de problemas de suboptimación que no forman parte del esquema óptimo, con el consiguiente consumo de esfuerzo. Por otro lado, la programación dinámica reduce el número de variables que deben investigarse simultáneamente, lo que representa una situación favorable. ¿En qué condiciones las ventajas superan a los inconvenientes? Para dar una respuesta parcial a esta cuestión se considerará un sistema formado por elementos que posee D variables de diseño por etapa y S variables de estado conectándolas entre sí, que se analizan en conjunto por programación dinámica y aisladamente por in-

N

vestigación directa.

La investigación directa de las DN variables de diseño puede clacomo un problema de optimación DN dimensional. Por su parte, la programación dinámica reduce el problema de in-

sificarse

D

dimensiones; sin embargo, en cada elemento del sistotal de C^ combinaciones de las variables de estado, siendo C el número de puntos a analizar para cubrir adecuadamente el intervalo de variación de cada una de las S variables de estado. Por consiguiente, cada una de las iV - 1 primeras etapas de la programación dinámica implica una investigación de (C)^D dimensiones. Para el último elemento a optimar se conocen los vavestigación a

tema deben considerarse un

COMPARACIÓN ENTRE INVESTIGACIÓN DIRECTA Y PROGRAMACIÓN DINÁMICA

lores de las variables de estado de entrada, por lo dimensional. una investigación En resumen, si se decide tratar este problema

281

que sólo requiere

D

como un sistema óptimo implicaría 1 + (iV - 1) (C)^ investigaciones D dimensionales: programación dinámica. Si, por el contrario, el problema se considera como una serie de elementos individuales, la localización requeriría una investigación acíclico,

ND

la

localización

dimensional:

del

investigación directa.

La selección entre estas dos alternativas precisa un conocimiento de la rapidez con que aumenta el trabajo de investigación directa con el número de variables que se están explorando, variación que depende tanto de la naturaleza de las superficies que se analizan como de investigación directa utilizada. Sin embargo, como ejemplo, supóngase que el número de evaluaciones de la función objetivo requeridas para localizar el óptimo por investigación directa, Wsd> aumenta con el número de variables

de

la estrategia particular

ND

según

la

ecuación

[6.2]:

Si consideramos ahora que con un conjunto de diez valores se cubre satisfactoriamente el intervalo de variación de cada variable de

estado, es decir,

C=10, el

número de evaluaciones de

la

función a realizar durante la progra-

mación dinámica será

Wop = [l + iN-l)ilOr]3(5r.

,

La razón Wasl^^DP es una medida de las ventajas relativas de una aproximación respecto a la otra; en la tabla 58 se ha calculado esta razón para diversos valores típicos de los parámetros:

N

número de componentes, número de variables de diseño por componente, S número de variables de estado entre dos componentes.

D

Puede observarse cómo la programación dinámica resulta muy favorecida en sistemas con gran número de componentes y pocas variables de estado entre ellos. En general, no deberá aplicarse la programación dinámica a problemas que impliquen escasos componentes o que requieran muchas variables de estado para conectarlos, aun

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

282

Tabla

Comparación entre

58.

la

programación dinámica y

la

investigación directa

Trabajo necesario para la investigación directa/Trabajo necesario para la programación dinámica

Número de componentes

Número de

varia-

bles de estado entre los

componentes

D = \, *

es decir, sólo

una variable de diseño por etapa

Las zonas rayadas indican que

la

programación dinámica resulta favo-

recida.

cuando

estructura sea acíclica. Sin embargo, debe recordarse que cuando todas las optimaciones han de realizarse por investigación directa; en efecto, si el problema de suboptimación pudiese resolverse fácilmente, como sucede la

esta afirmación general es válida solamente

con algunos de los problemas propuestos al final del capítulo, podrían atacarse eficazmente por programación dinámica sistemas de tan sólo dos etapas.

8.6.

OBSERVACIONES FINALES

Se ha presentado de forma sencilla la teoría de la programación dinámica prescindiendo de los refinamientos que pueden reducir posteriormente el trabajo de optimación de procesos que presenten estructura acíclica. Como resumen de este capítulo merecen resaltarse los siguientes aspectos: 1. La programación dinámica es más bien una estrategia de optimación que una rutina de cálculo, al contrario de lo que sucede con la investigación directa o la programación lineal. De hecho, los mé-

bibliografía

283

todos de investigación directa se utilizan para resolver los problemas de suboptimación que aparecen durante la programación dinámica: ésta es más un modo de razonar que un método de cálculo.

Para poder suboptimar

2.

el

sistema considerando cada vez sola-

mente partes del conjunto total, debe pagarse como precio la necesidad de enmarcar el problema como parte de un conjunto más amplio, que supone analizar un intervalo de condiciones de alimentación para cada problema de suboptimación. En ciertas condiciones, este precio puede ser demasiado elevado y, por consiguiente, antes de iniciar los cálculos, deberá hacerse una estimación del trabajo necesario para la optimación por un procedimiento análogo al seguido en el apartado 8.5. 3. El especialista en programación dinámica utiliza el principio de optimidad como base de operaciones, intentando construir métodos más eficaces a partir de la teoría elemental de la programación dinámica, haciendo simplificaciones de cálculo tales como utilizar una red de valores durante la suboptimación para llegar a una solución aproximada que posteriormente se purifica, tal como se hizo en el apartado 8.4. Finalmente, se debe señalar que se han desarrollado con fines especiales otros métodos para la optimación de procesos con estructura acíclica, tales como el principio del máximo de Pontryagin. Aunque es indudable que estos métodos resultan de gran utilidad para el ingeniero de procesos, no constituyen parte de lo que puede denominarse teoría elemental de la optimación, y, por tanto, no se discutirán en este texto. En la bibliografía que sigue se remite al lector a otras fuentes de información especializadas sobre estos temas.

Bibliografía

Con

fines históricos,

se

debe considerar

la

referencia básica sobre progra-

mación dinámica R.

Bellman: Dynamic Programming. Princeton University ceton, N.

Actualmente

se

J.,

Press,

Prin-

1957.

dispone de varios textos a nivel de introducción,

como

G. H. Nemhauser Introduction to Dynamic Programming. Wiley. Nueva York, 1966. Discrete Dynamic Programming, Blaisdell. Nueva York, 1961. R. Aris Dynamic Programming in Chemical Engineering and S. M. RoBERTs: Process Control. Academic Press. Nueva York, 1964. R. A. Howard: Dynamic Programming and Markov Processes. Wiley. Nueva York, 1960. :

:

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRIXTURA ACICLICA

284

La siguiente obra proporciona numerosas básica de la programación dinámica R.

Bellman y

S.

E.

Dreyfus

:

ideas

para

completar la teoría

Applied Dynamic Programming. Princeton

University Press, Princeton, N.

1962.

J.,

El siguiente texto es un estudio avanzado sobre al diseño de reactores

la

aplicación de la pro-

gramación dinámica

The Optimal Design Nueva York, 1961.

R. Aris

:

of Chemical Reactors.

Academic

El principio del máximo de Prontryagin permite resolver de rente problemas de optimación de sistemas acíclicos:

Press.

un modo

dife-

The MathemaPoNTRYAGíN, BoLTYAMSKii, Gamkrelidze y MiSHCHENKO tical Theory of Optimal Processes. Interscience. Nueva York, 1962. :

Varios ejemplos sobre tran en:

Fan y C. York, 1964.

L. T. L. T.

Fan

:

S.

la

Wang

aplicación del principio del

:

The Discrete Máximum

The Continuous Máximum

máximo

se

encuen-

Principie. Wiley.

Principie. Wiley.

Nueva

Nueva York,

1966.

EJERCICIOS 1.

siguiente problema de transporte presenta un sencillo ejercicio de suboptimación Ha de enviarse una carga de cierto material desde el punto A al punto B por la trayectoria de coste mínimo a través de la red de rutas posibles mostrada en la figura 116.

El

:

FiG. 116.

El coste de transporte entre cada dos nudos de la red está indicado sobre la línea de unión correspondiente. Por ejemplo, el coste de la ruta superior es 17 + 4-1-37-1-20 = 78. Encuéntrese la ruta de coste mínimo aplicando la estrategia de suboptimación de derecha a izquierda

EJERCICIOS

285

través de la red de rutas, calculando en cada fase el coste mínimo necesario para desplazarse desde un punto dado al punto B. De este modo sólo se considera cada vez una fracción de las rutas necesarias. a

G. Nemhauser * sugiere el siguiente problema a resolver por programación dinámica. Han de separarse cuatro tamaños de carbón en una

operación de tamizado en tres etapas (véase Fig. 117). El alimento, conteniendo todos los tamaños de carbón, se coloca en el tamiz de mayor tamaño, que elimina el carbón de tamaño 4 y deja pasar al siguiente los el segundo tamiz elimina el tamaños inferiores restantes, 3, 2 y 1 tamaño 3, llegando el resto del carbón al tamiz final, que retiene el tamaño 2. Sin embargo, con el producto de cada tamiz se arrastra una cierta cantidad de carbón de tamaños inferiores; por ejemplo, el producto de tamaño nominal 4 contiene carbón de tamaños 3, 2 y 1. ;

Carbón de tamaños

1, 2, 3,

4

-^

Producto de tamaño nominal 4, 1 S/ton

Tamiz de tamaño 4

Tamaños

1,

2 y ?

->-

Producto de tamaño nominal 3, 3 S/ton

-^

Producto de tamaño nominal 2, 5 S/ton

Tamiz de tamaño 3

Tamaños

1

y 2

Tamiz de tamaño 2

4

Producto de tamaño nominal 1, 8 S/ton

FiG. 117.

La cantidad de estos productos arrastrados con cada fracción puede modificando la operación del tamiz. La cantidad de producto de tamaño inferior que pasa al siguiente tamiz viene dado por la siguiente

alterarse

relación

Cantidad de producto de tamaño inferior que pasa al siguiente tamiz = a,- (cantidad de producto de tamaño inferior que entra al tamiz i)

* G. Nemhauser; York, 1966.

Introduction to Dynamic Programming, Wiley. Nueva

SUBOPTIMACION DE SISTEAAAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

286

donde

a,

0<:a
es

un parámetro que depende

ción del tamiz. El coste de separación en

el

tamiz

i

del

modo de

opera-

viene dado por

Coste de separación = (cantidad que entra en

el

tamiz

i)

1

kiln

1-a, donde ki=l,5 dólares/ton A:3=l,0 dólares/ton k2 Si el

= 0,5

dólares/ton

carbón alimento contiene 1

ton de carbón de tamaño 4;

3

ton de carbón de tamaño 3;

1

ton de carbón de tamaño 2;

4 ton de carbón de tamaño

1,

determinar los niveles de operación para cada tamiz, es decir, los valores de ai, ai y «2 que maximizan el beneficio del sistema. Se ha ideado un proceso de dos etapas para convertir 1 000 kg/h de una materia prima A en un producto P. La primera etapa consiste en un reactor químico en el que A se convierte en P. La conversión c de A en P se ha correlacionado con la cantidad de calor añadida al reactor, q, kilocaloría por kilogramo de A alimentado. La segunda etapa es un extractor en el que P se recupera de su mezcla con A mediante un disolvente S insoluble en A. Un estudio económico de este proceso proporciona una función objetivo de diseño que incluye términos referentes al valor del producto, al coste del disolvente y al coste de adición de calor, tal como se muestra en la figura 118. a)

b)

¿Cuántos grados de libertad existen en este diseño? Demuéstrese que este problema de optimación presenta estructura acíclica. Suboptímese el extractor determinando el caudal de adición de disolvente que maximiza la diferencia entre el valor del producto y el coste de disolvente para una conversión dada. Respuesta

-i c)

Apliqúese

el

principio de optimidad y los resultados de la suboptirealizar una investigación directa sobre

mación del extractor para la

l-c\ Vc{l-c)—

conversión del reactor.

EJERCICIOS

287

Proceso

kg

F=l

A

000 kg Alh

Ecuaciones de diseño

Balance de materias

Fc = Sy + F{l-c)x Equilibrio

y = 2,0x

100

200

q kcal/kg

300

A

Criterio de diseño

Max

(0,10Si/- 0,055 -0,25q) FiG. 118.

4.

este problema se puede identificar una estructura del flujo de información en serie y conseguir su descomposición en dos partes utilizando el principio de optimidad. Una de ellas toma una forma análoga al problema de transporte, ya estudiado anteriormente, y puede suboptimarse por separado. Conseguido esto, puede construirse una estrategia de optimación expresa para el sistema global, constituyendo el problema

En

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

288

de transporte una parte subordinada de la misma. También cómo pueden adaptarse diversos métodos de optimación a las ticas de un problema determinado.

se

ilustra

caracterís-

Dos

refinerías han de suministrar producto a seis estaciones termiLas refinerías se programarán tanto para satisfacer las demandas de las terminales como para conseguir simultáneamente unos costes de fabricación más transporte mínimos. Los datos se han dispuesto en la tabla 59. Por ejemplo, la terminal II requiere 50 000 barriles de producto por semana, y los costes de transporte desde la refinería A hasta ella son 7,50 pesetas por barril; si la refinería A produce 500 000 barriles por semana, los costes de fabricación son 50 pesetas por barril. ¿Cómo habrá de repartirse la producción entre las dos refinerías? nales.

a)

de información puede representarse mediante con un problema de optimación de fabricación que proporcione información a un problema de transporte. Apli-

Muéstrese que

el

una estructura en

flujo

serie

Tabla 59 Costes de transporte (pesetas por barril)

Terminal

EJERCICIOS

289

cando el principio de optimidad, demuéstrese que el problema de transporte puede suboptimarse para cualquier programa determinado de fabricación. b)

Para ilustrar cómo se realiza esta suboptimación, utilícese el método de la pasarela estudiado en el capítulo 7, para deducir el coste mínimo total de suministro a las terminales en el caso que las refinerías se distribuyan la producción equitativamente.

c)

Desarróllese con detalle una estrategia que siga para abordar el problema de fabricación

Establecer un programa de fabricación

Suboptimar

el

problema

de transporte

el

siguiente

modelo

SUBOPTIMACION DE SISTEMAS CON ESTRUCTURA ACICLICA

290 6.

Converse * aplicó una técnica flexible basada en el principio de optimidad para obtener la solución del problema anterior de extracción en contracorriente. Consiste en seleccionar una distribución base y calcular concentraciones intermedias correspondientes. A continuación se la suboptimación suponiendo inicialmente que las concentraciones del alimento son las del conjunto base. Después de leer el artículo citado, compárese la programación dinámica ordinaria y el método de Converse. ¿Qué problemas de convergencia pueden aparecer? las

realiza

7.

La información acumulada durante la suboptimación de un problema puede ser de gran utilidad en la solución de otros similares. Considérese el sistema de cinco etapas representado en la figura 111 y supóngase que se dispone ahora de un mezclador con las siguientes características de coste: Capital

Costes de operación, $laño

inmovilizado

^

,

,

Grado de mezcla ($)

000

5

1,0

0,8

2 000

2 000

0,6 2 000

0,5

500

Determínese el diseño del proceso completo que tiene en cuenta la mejor disponibilidad de este mezclador. No es necesario resolver todos los problemas de suboptimación anejos debido a que durante la optimación del proceso que se realizó sin considerar este mezclador se acumuló suficiente información. ¿En qué proporción se ampliaría el problema si se dispusiera de un tercer separador? ¿Y si se descubriese un nuevo catalizador para el reactor primario? 8.

Este problema muestra cómo puede establecerse, mediante el principio de optimidad, un plan de optimación híbrido para obtener con rapidez una solución adecuada al problema de extracción en contracorriente presentado en el apartado 8.3. Adviértase en la figura 109 que la curva de equilibrio es lineal para valores de la concentración x iguales o inferiores a 0,08 recuérdese también que en el problema 6 del capítulo 6 se ha demostrado que cuando se produce tal circunstancia puede obtenerse la solución de forma analítica; los problemas de suboptimación a resolver para concentraciones reducidas de alimento resultan particularmente ;

sencillos. a)

b)

Obténgase la distribución óptima de disolvente en el sistema de tres etapas del apartado 8.3 si X^ = 0,10, efectuando una investigación directa sobre la distribución de disolvente solamente en la primera etapa y aplicando el principio de optimidad para aprovechar la solución analítica en la suboptimación de las otras dos etapas finales. ¿Para qué concentraciones de alimento cabe pensar que dejará de este procedimiento híbrido de optimación?

ser aplicable

A. Converse: Chem. Eng. Prog., Symp.

Ser., 46,

59

(1963).

CAPITULO

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

Los métodos de optimación del cálculo diferencial, de la investigación directa y de las programaciones lineal y dinámica ofrecen eficaces aproximaciones a una amplia variedad de problemas de optimación. Desafortunadamente, el proceso químico en su forma original es con frecuencia tan intrincado que resulta inatacable por estos poderosos métodos. Su intenso carácter no lineal impide el uso del cálculo diferencial y de la programación lineal; las recirculaciones que aparecen invalidan la aproximación de la programación dinámica, mientras que la investigación directa es ineficaz para problemas con un gran número de grados de libertad. En este capítulo se presentan algunas estrategias de optimación de macrosistemas que se han desarrollado para manejar problemas complejos de diseño de procesos industriales. Sin duda, estos métodos y los que de ellos deriven formarán parte pronto

de

la práctica industrial.

>

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

292

Problema

típico

Un grupo de diseño se enfrenta al problema de fijar los detalles de un proceso con la siguiente estructura dominante de flujo de información. ¿Cómo puede proceder? 9.1.

LA BÚSQUEDA DE UNA ESTRATEGIA PARA MACROSISTEMAS

Las habilidades intuitivas del ingeniero experimentado pueden ser extremadamente efectivas, en cuanto que puede «presentir» aproximaciones razonables a los problemas abrumadoramente grandes y complicados. Se hacen simplificaciones, se ignoran ciertos detalles, se aisla el problema principal, se definen subproblemas, se fijan variables de diseño secundarias en valores arbitrarios razonables, se suponen soluciones parciales de tanteo basadas en la experiencia y se prueban otros métodos poco definidos, pero sumamente efectivos. En tal sentido, los matemáticos deben idear nuevas técnicas eficaces, aunque sean

muy

heurísticas

especializadas. Desafortunadamente, si todas estas técnicas no experimentasen una formalización, permanecerían in-

accesibles para la mayor parte de los especialistas en la resolución de estos problemas. El principio de optimidad surgió para establecer una guía a la optimación mediante la formalización matemática del sentido común. Sin

duda, la atención que se ha prestado a la programación dinámica (con esperanza de que esta técnica y la suboptimación fueran las precursoras de un grupo mayor que permitiese una comprensión más clara de la aproximación heurística por parte del experto dedicado a la solución de este tipo de problemas) ha sido mayor que la que justifica hasta ahora sus ventajas en el cálculo. Aunque tal esperanza no se ha materializado y estas técnicas permanecen aún en el centro de la investigación actual, se han conseguido algunos progresos reales. En este capítulo se desea informar al lector sobre algunos aspectos de estos métodos. Primeramente, se tratará el problema de la sensibilidad, mostrando cómo deben ensayarse las variables de diseño para aislar el problema contidominante, suprimiendo los detalles de menor importancia. nuación se estudiará con mayor atención el concepto de inversión del flujo de información. Posteriormente, se discute la estrategia de combinación de componentes para reducir el trabajo de optimación, siguiendo una introducción a la estrategia para la ruptura de ciclos. Por último, se presentan algunas reglas prácticas para abordar macro-

la

A

sistemas.

Resultaría de gran interés revisar la literatura aparecida desde hace algunos años sobre este tema para observar el progreso realizado

SENSIBILIDAD Y PROBLEMA DOMINANTE

293

en este activo campo de investigación. Indudablemente, aparecerán nuevos métodos de análisis, incluso antes de que este libro se imprima. El tiempo posee la frustrante propiedad de hacer que lo que hoy resulta un rompecabezas parezca trivial en un futuro inmediato. Este capítulo es un resumen del progreso experimentado en este campo.

9.2.

SENSIBILIDAD

Y PROBLEMA DOMINANTE

En este apartado se indicará cómo se deben detectar, bien numérica o empíricamente, las variables de diseño y la estructura del flujo de información dominantes para eliminar los detalles superfinos que acompañan a cada problema general. Una vez se ha identificado el problema principal, la solución puede ser «refinada» incluyendo de forma sistemática todos los detalles que se consideren necesarios. Con frecuencia, considerando las incertidumbres que rodean los datos, sólo resulta justificado el análisis rápido de las principales características de un diseño. En un análisis de sensibilidad se selecciona algún diseño base razonable, modificándose sucesivamente cada variable de diseño y cada variable de entrada en una cierta fracción del intervalo de variación máxima permitida. Las variaciones resultantes en la función objetivo y en las variables de salida revelan la importancia de cada variable ensayada. Las variables para las que el sistema parece ser más insensible se fijan en valores razonables, y la atención se localiza entonces en las variables de diseño más relevantes. Una vez se ha resuelto el problema dominante, implicando solamente estas variables de diseño importantes, se realiza un nuevo ensayo de sensibilidad para observar si algunas de las variables secundarias adquieren importancia cerca del óptimo encontrado. El análisis que se describirá es muy similar a las técnicas de investigación directa multidimensional descritas en el capítulo 6. Milton D. Marks en Sensitivity of a Steam-Methane Reformer * analizó la sensibilidad de las ecuaciones de diseño para un reactor industrial de reformado de metano con vapor de agua, identificando una relación de diseño dominante que es suficientemente precisa para estudios preliminares de diseño y sorprendentemente sencilla. Se utilizará aquí como un ejemplo de cómo debe eliminarse el detalle superfino en estudios de sistemas. El reactor primario de reformado de metano con vapor de agua genera hidrógeno a partir de hidrocarburos ligeros. Aunque pueden utilizarse muchos aléanos, cicloalcanos, alquenos y aromáticos como materias primas de la molécula de hidrógeno, en este caso se utilizará

y resuelto

Milton D. Marks: Chem.

Eng., Report 750, Univ. de Wisc, abril 1966.

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

294

como alimento del reactor del reformado en estudio gas natural conteniendo un 93 por 100 de metano. Las reacciones de reformado de metano son: Calor +

CH4 + H2O CO + H2O

^ CO + 3H2 7±

CO2 + H2 + calor

Reformado de metano Conversión del gas de agua

El equilibrio es función de la temperatura, la presión y la composición de los reactantes iniciales. Cualitativamente, el equilibrio de reformado de metano está favorecido a temperaturas elevadas, presiones bajas y por un exceso de vapor de agua. Por su parte, el equilibrio de la reacción de conversión del gas de agua está favorecido a temperaturas bajas y por un exceso de vapor de agua. En principio cabría, pues, pensar que el sistema debería funcionar a bajas presiones. Sin embargo, resulta más económico operar a alta presión con valores de la razón de vapor de agua a metano y de la temperatura también elevados. Las relaciones de equilibrio para estas reacciones son:

(CO)(H2)V

^ "'

(CH4)(H20)

(C02)(H2)

^ ''

(C0)(H20)

siendo las constantes de equilibrio Kp, y /Cp, función de la temperatura. Si se definen las siguientes variables y se sustituyen en las relaciones de equilibrio, resulta un conjunto de relaciones de diseño del sistema:

A = moles

de CH4 de 5 = moles de H2O de

C = moles Domóles £ = moles S = moles X = moles

entrada entrada de CO de entrada de H2 de entrada de CO2 de entrada totales de entrada de agua que reaccionan en

de reformado y = moles de agua que reaccionan en de conversión de gas de agua p = presión, atmósferas Te = temperatura de equilibrio, °F

K

iC + X-Y)(D + 3X+Y)'p^ "'

Kp^

=

(A-X)(5-X-y)(5-2X)2 (E+Y)(D + 3X+Y) (,C

+ X-Y)iB-X-Y)

la

reacción

la

reacción

SENSIBILIDAD Y PROBLEMA DOMINANTE

se

La dependencia de puede expresar por

las

constantes de equilibrio de la temperatura

K,^a[\n(T,)] + b\\niT,)f +

donde

a,

295

c,

b y c son constantes empíricas que permiten ajustar los da-

tos experimentales de reacción. Se supone que el sistema alcanza en

reactor las condiciones de equilibrio correspondientes a una temperatura de 50 °F (28 °C), inferior a la temperatura real del mismo, T

el

Te=T- 50 °F Por tanto, se dispone de un conjunto complejo de ecuaciones de diseño que permite una estimación de la producción de hidrógeno, dadas la composición de alimento, la temperatura y la presión de operación. El alimento puede contener también diversas cantidades de monóxido de carbono, dióxido de carbono, hidrógeno, nitrógeno y oxígeno aportadas por la corriente de reciclo procedente del sistema al que sirve el reactor de reformado de vapor de agua-metano. Mediante un análisis de sensibilidad de este componente de proceso, Marks demostró que estas relaciones de diseño complejas están, de hecho, dominadas por otra mucho más sencilla si el alimento está constituido simplemente por mezcla metano-vapor de agua, y puso de manifiesto que es aproximadamente válida para otras composiciones del alimento. Se calculó el porcentaje de hidrógeno en la corriente producto para un total de 96 valores diferentes de R^m (razón vapor de agua a metano), p (presión de operación) y Te (temperatura de equilibrio) en los intervalos:

Vapor de agua/metano Presión

Temperatura

Un

análisis estadístico

= 3-6 = p 300-600 psia (21-42 atm) T^ = 1 050-1 550 °F (565-840 °C)

i?^„,

de estos datos condujo a

la

siguiente re-

lación de diseño simplificada: . ij ^ (Porcentaje Hz)^ •

(^^)'''

•

«^

(

- 0'045i?.. + 0, 00158p- 10,17) [9.1]

V

En la figura 119 se compara el porcentaje de hidrógeno calculado por la relación sencilla anterior con el calculado por las relaciones

296

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

Porcentaje de H, a partir de la relación de diseño detallada

FlG, 119.

Precisión de la relación de diseño dominante.

de diseño detalladas, mostrando que aquélla se cumple mente en la región

p= 350-600 Te=

1

satisfactoria-

psia (25-42 atm)

050-1 400 °F (565-760 "C).

La tabla 60 resume los efectos de otros componentes en el alimento, indicando, asimismo, el intervalo de validez de esta ecuación de diseño aproximada. La figura 120 muestra el flujo de información dominante para el proceso de reformado de metano con vapor de agua, indicando que su representación inicial fue demasiado detallada y que conduciría innecesariamente a un diagrama de flujo de información excesivamente complejo para el sistema global del que aquel proceso es un componente.

SENSIBILIDAD Y PROBLEMA DOMINANTE

Tabla 60

Caso base

297

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

298

cuando el diseño del sistema en que está incluida tal columna se encuentra aún en la etapa de planificación, de modo que la condición del alimento a la columna no se ha determinado todavía con detalle. En este caso, resulta perfectamente adecuada una ecuación de diseño empírica sencilla, aunque sólo sea aproximada. Así, es práctica cada vez más frecuente programar un ordenador de modo que, a partir de los datos proporcionados por subrutinas de

Estructura detallada de

°'u

la

información

ATAQUE DE ESTRUCTURAS ACICLICAS MAS COMPLEJAS

299

diseño precisas, confeccione para su uso interno las relaciones aproximadas antes citadas. Por ejemplo, R. Cavett, de la compañía Puré Oil, describe el éxito obtenido con un programa de ordenador para diseño de operaciones de destilación súbita de hidrocarburos en el que, tras algunas etapas iniciales de cálculos detallados con recirculación con las ecuaciones termodinámicas exactas, se sustituyen éstas por relaciones empíricas (que se confeccionan a partir de los resultados iniciales con las ecuaciones exactas) para acelerar la convergencia. Una vez conseguida la convergencia deseada, se utilizan de nuevo las ecuaciones exactas para el ajuste fino de la solución. El uso de la relación de diseño simplificada que contiene sólo las variables dominantes tiende a reducir las dificultades de inversión del flujo de información a través de una unidad de proceso. Por ejemplo, resulta sencillo especificar el porcentaje de hidrógeno, la razón de vapor de agua a metano y la presión de operación en la ecuación [9.1] y calcular con ella la temperatura de operación. Esta inversión del flujo de información puede ser excesivamente difícil en el caso de ecuaciones de diseño más detalladas. Más adelante se verán las implicaciones a que conduce la comodidad de invertir el flujo

de información.

9.3.

ATAQUE DE ESTRUCTURAS ACICLICAS MAS COMPLEJAS

Hasta ahora se ha centrado la atención en los problemas de optimación acíclicos de valor inicial estudiados en el capítulo 8; a continuación, se extenderá este análisis para incluir otras estructuras en serie.

En primer lugar, se hará una breve discusión del flujo de información. Las flechas que salen de un bloque del diagrama de flujo de información indican variables dependientes, cuyos valores se determinan una vez que se han especificado los valores de todas las flechas de entrada. El número de variables independientes debe permanecer constante durante cualquier manipulación que se efectúe sobre la estructura, puesto que dicho número es igual a los grados locales de libertad. Por ejemplo, en la figura 121 se especifica el valor de la variable de salida; esto equivale a transformar una variable dependiente en una variable independiente, es decir, en una variable que proporciona información al elemento, y, por tanto, se invierte el flujo de información. Ahora bien, todas las variables asociadas con este componente no pueden ser independientes, puesto que deben satisfacerse las relaciones de diseño. Se debe invertir la dirección de una variable, bien de estado de entrada o de diseño, para mantener el número de va-

300

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE AMCROSISTEMAS

de salida. Estas operaciones se denominan, respectivamente, inversión de estado e inversión de decisión. En muchas situaciones prácticas, estas inversiones son enormemente difíciles o incluso imposibles de realizar. En tales casos será necesario conservar la estructura original. Sin embargo, se supondrá en lo que sigue que estas riables

inversiones son viables.

Salida especificada

T Inversión de estado

Invers

ATAQUE DE ESTRUCTURAS ACICLICAS MAS COMPLEJAS

301

Estrategia para un problema acíclico de valor terminal

Inversióa de decisión: conduce a un problema de valor inicial

>

4

^

3

»-

^

2

Inversión de estado seguida por una inversión de decisión en aparece un problema acíclico ramificado

>-

4

^

3

^

—

2

1

el

1

—

componente

2;

-*

r

Inversión de estado repetida seguida por una inversión de decisión en conduce de niievo a un problema de valor inicial

FiG. 122.

la

etapa 4;

Inversiones en un problema de valor terminal.

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEAAAS

302

Una estructura ramificada divergente de valor inicial puede manejarse con bastante facilidad mediante programación dinámica ordinaria, tal como muestra la figura 123. Se inicia la suboptimación en los elementos finales de ambas ramas y se continúa hasta la unión. El problema de suboptimación en la unión es diferente a los tratados

Optimación de una estructura ramificada divergente de valor

FiG. 123.

inicial-

hasta ahora, puesto que ambas ramas deben incluirse como contribución de componentes finales. En cuanto a los elementos que preceden a la unión, se utiliza la programación dinámica en la forma habitual.

máx^ = máx [U^ + máx^

(s\)

+ máx^

(5 0]

{dA}

La estructura ramificada convergente mostrada en la figura 124 puede transformarse en una forma acíclica ordinaria mediante un reajuste de las variables de diseño seguido de sendas inversiones de decisión y de estado; tampoco ofrece gran dificultad. Adviértase que estas manipulaciones estructurales son

das en

el

capítulo

muy

semejantes a las efectua-

3.

Resumiendo, mediante el uso de las inversiones de decisión o de estado es posible alterar significativamente la estructura de un problema de optimación, y, puesto que el concepto de suboptimación depende de ciertas características estructurales, ofrece ventajas de gran interés para la resolución de estos problemas.

ESTRATEGIAS DE COMBINACIÓN DE ETAPAS

303

T

t

T T T

r

Nueva variable de diseño

-^

r

1

1

FiG. 124.

9.4.

Inversión de una rama convergente.

ESTRATEGIA DE COMBINACIÓN DE ETAPAS

Una vez conocida la estructura dominante del flujo de información para cada componente del sistema, la atención debe centrarse sobre todo el conjunto. Las ideas que se presentan a continuación se han adaptado del trabajo de D. J. Wilde, de la Universidad de Stanford; R. Aris, de la Universidad de Minnesota, y G. L. NemHAUSER, de

En

la

Universidad Johns Hopkins

*.

capítulo 8 se vio que, bajo ciertas circunstancias, era aconun sistema acíclico como una agrupación de etapas individuales, aplicándole el principio de optimidad. Por el contrario, en otros casos resultaba más útil combinar todas las etapas en una sola, más grande, y optimarla por investigación directa. En este aparel

sejable considerar

tado se penetrará más en este concepto de combinación de etapas, *

D.

J.

R. Aris, G. L.

Nemhauser y D.

Wilde: Chem. Eng.

Progr.,

3,

].

Wilde: AJ.Ch.EJ.,

61 (1965).

10, 913 (1964);

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

304

desarrollando estrategias que en ocasiones tienen mayor eficacia que

métodos extremos anteriores. Considérese el sistema de tres etapas mostrado en la figura 125, con un determinado número de variables de estado y de diseño en cada etapa. Este sistema puede formar parte a su vez de algún macrosistema mayor.

los dos

S2

S3

MA>^

>^

iV J,

>i

Dx

Di

Di FiG. 125,

Estructura acíclica de tres etapas.

Existen cuatro posibilidades de optimación evidentes: 1.

Combinar

las

tres etapas

en una sola mayor y utilizar la

in-

vestigación directa. 2. Considerar las etapas separadamente y aplicar la programación dinámica. 3.

Combinar

las etapas 2

la

programación dinámica

la

programación dinámica

4.

Combinar

al

las etapas 1 al

y 3 en una sola, más grande, y aplicar sistema de dos etapas resultante. y 2 en una sola, sistema resultante.

más

grande,

y

aplicar

En el capítulo 6 se vio cómo el trabajo necesario para una investigación directa tiende a aumentar exponencialmente con el número de variables que se están analizando:

D

Wj,s = a{br, los coeficientes a y b dependen del método particular de investigación directa seguido y de la dificultad de la función que se está analizando. Generalmente, el parámetro de mayor interés en este estudio, b, está comprendido entre dos y diez. En el capítulo 8 se introdujo el artificio consistente en fijar el valor de una variable de estado de entrada en uno de los c valores diferentes que puede adoptar y mantenerlo constante durante la suboptimación de las etapas posteriores; el parámetro c tiene un valor

donde

comprendido frecuentemente entre dos y

diez.

ESTRATEGIAS DE COMBINACIÓN DE ETAPAS

305

Se evaluará a continuación la eficacia de optimación de los cuatro planes en función de los parámetros a, b y c, y del número y tipo de variables implicadas. El número de cálculos necesarios en cada uno de ellos será, según se

ha

visto:

Plan

1.

Investigación directa

Plan

2.

Programación dinámica ordinaria

W2 = o[(6p, + {c)s,(b)D^ + (c)S2Íbm Plan

3.

[9.2]

Plan híbrido

W3 = alib^i+D, + (c)S2(5)D,] Plan

4.

Plan híbrido W4=a[(6)D3 + (c)53(Z;)Dj+D,]

bien, resulta bastante difícil en un caso como éste deducir generales sobre la situación más adecuada a partir de estas ecuaciones. Sin embargo, pueden deducirse algunas reglas empíricas aproximadas de gran interés considerando varias situaciones límites.

Ahora

reglas

Caso A: &

«* c

»

1

Supóngase que para abarcar el intervalo de variación de una vade estado durante una suboptimación se precisa un gran número de puntos y, además, que el trabajo de investigación directa depende en gran manera del número de variables que se están investigando. En tal situación, el trabajo de optimación expresado por las ecuaciones [9.2] dependerá fundamentalmente de los términos de exponente más elevado. Sustituyendo c por b, estas ecuaciones pueden

riable

simplificarse a:

W2

« a[(br^ + (5)^3+0. + (¿)Sa+^i] 3j

W4«a[(W + (fe)W°.] además de las condiciones anteriores, en este caso se cumpliese que Di=D2 = Di = S2 = Si, los planes 2 y 3 serían los más favorecidos, pues poseen su exponente más elevado de b menor que los restantes Si,

ESTRATEGIAS DE OPTIAAACION DE MACROSISTEMAS

306 planes.

Entre estos dos,

Sin embargo,

si

el

3

el más adecuado. mucho mayor que los restan-

parece en principio

^2 fuese, por ejemplo,

tes, que se mantienen constantes entre sí, los planes 1 y 4 serían ahora los mejores (el 1 sería a su vez superior al 4 si, caso de no ser D3). iguales los exponentes S^ y D3, se cumpliese que S3 La figura 126 ilustra la aplicación de estos principios a diferentes sistemas de tres etapas, mostrando distintas estrategias de combina-

>

ción entre

ellas.

w

t

r

T T

r

1

ESTRATEGIAS DE COMBINACIÓN DE ETAPAS

307

En la figura 127 se muestran las combinaciones de etapas que conducen en esta situación al trabajo mínimo de optimación. Obsérvese cómo

se modifican los distintos planes al pasar de la figura

127, de acuerdo

con

cambios de

126 a

numéricas de las ecuaciones que representan a los distintos métodos de optimación. Así, por ejemplo, en el caso B, en el que se exploran con mayor facilidad las variables de estado, se favorece un fraccionamiento del sistema en subsistemas más reducidos.

la

a)

los

las constantes

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

308

pueden resultar también engañosas en situaciones anómalas. Será necesario, pues, realizar una rápida valoración de cada problema de diseño que se plantee para poder establecer la estrategia de combinación de etapas más adecuada. Al final del capítulo se ilustran estos conceptos con varios problemas.

9.5.

CONCEPTO DE VARIABLE DE ESTADO CORTANTE

Supóngase ahora que la estructura dominante que aparece después de un ensayo de sensibilidad contiene un lazo de recirculación, como ocurre, por ejemplo, en la figura 128. Esta estructura es acíclica, si se exceptúa la única variable de estado recirculada.

I

CONCEPTO DE VARIABLE DE ESTADO CORTANTE

tintas

3Q9

funciones objetivo óptimas parciales, determinadas para cada

uno de

aquéllos, máXsistema

= Hláx [máX (QinterioJ

[9.6]

{C}

Puede comprobarse que la aplicación directa del algoritmo de selección de variables de diseño del capítulo 3 conduce también a esta solución. Por consiguiente, una estrategia para atacar problemas de recirculación puede implicar las siguientes etapas: 1.

Fijar el valor de la variable

2.

Resolver obtener

3.

Investigar

el

de estado de recirculación C.

problema de estructura

distintos valores de

máX

C

[máXinterior

acíclica

resultante

para

para conseguir

iQ]

{c}

Para cada uno de los valores citados se efectuarían las etapas 1 y 2. Las condiciones para las que esta estrategia de variable de estado cortante resulta superior, por ejemplo, a la investigación directa, se pueden determinar con bastante facilidad para cualquier situación concreta de recirculación. A continuación se ilustra el procedimiento a seguir analizando como caso especial un sistema en el que existe tan sólo una variable de estado y una de diseño por etapa, situación en la que, una vez rota la recirculación, el problema interior se reduce a una estructura acíclica sencilla, tal como se muestra en la figura

128.

En

la figura 129 se representa la estructura del problema anterior y una combinación de etapas razonable. Las etapas 2ylyiVy(iV-l) se combinan siguiendo la regla empírica sobre combinación de etapas, apartado 9.4; por tanto, la discusión que sigue se limitará a aquellos sistemas para los que dicha regla es válida:

w,^,„,^,=a[(by+(cy(N-3)(by] El trabajo requerido para investigar la variable de estado cortante Por consiguiente, el trabajo total de optimación correspondiente a esta estrategia será: es a{b).

Wcs^d'libf + cb'iN-S)]

[9.7]

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

310

Rotura de la recircuiación

FiG.

129.

Combinación de etapas para

Comparando

el

sistema con recirculación cortada.

esta expresión con la correspondiente a la investiga-

ción directa:

Wus = a{br deduce que, en el caso bastante razonable de que a = 2, b = 5 y c = 8, estrategia de variable de estado cortante resultará más adecuada siempre que N^5. La tabla 61 resume los cálculos que han conduse

la

cido a esta conclusión.

Tabla 61. Comparación entre las estrategias de rotura de variable de estado y de investigación directa

N

RESUMEN DE LAS REGLAS EMPÍRICAS

311

Esta regla sobre la recirculación tiene particular interés para los ingenieros químicos, ya que los sistemas de procesos químicos contienen con frecuencia lazos de recirculación pequeños, con un número reducido de variables de diseño, de tal manera que la aproximación más adecuada para abordarlos sería, según se ha visto, la investigación directa *. En cuanto a los lazos de recirculación complejos, pueden fraccionarse con frecuencia en varias porciones, seleccionando como variable de estado cortante una de las variables que enlace a dos etapas entre sí (véase la Fig. 130). En el apartado 9.3 se vio que una estructura acíclica de ramas divergentes se suboptima con relativa facilidad. Por tanto, siempre que sea posible la rotura de una recirculación, deberá tratarse de generar un problema interior de ramas divergentes. En tal sentido, se aconseja que:

— La

estado sea una entrada de una etapa con múltiples de entrada. Cuando exista posibilidad de elección, es preferible situar las etapas más difíciles al principio de una estructura acíclica, ya que durante la suboptimación se calculan una sola vez, con variables de entrada conocidas.

de

variable

variables de estado

En

figura

la

130

se

ilustra

gráficamente

la

aplicación

de

esta

regla.

9.6.

RESUMEN DE LAS REGLAS EMPÍRICAS

ha puesto de manifiesto cómo pueden problemas de optimación de difícil desenlace, mediante una interpretación adecuada de su estructura del flujo de información. La experiencia adquirida puede reflejarse en las seis reglas que se resumen a continuación y que permiten simplificar problemas de gran envergadura:

En

los últimos capítulos se

manejarse

Regla

1.

Variables de salida fijadas

«Cualquier variable de salida fijada deberá transformarse en vamediante una inversión de estado o de decisión.» Este concepto de inversión del flujo de información se introdujo ya en el capítulo 3.

riable de entrada

Para resolver el problema de extracción en contracorriente del apartaen presencia de recirculación por el método de la variable de estado cortante, véase E. M. Rosen: Chem. Eng. ScL, 19, 999 (1964). *

do

3.3

RESUMEN DE LAS REGLAS EMPÍRICAS

Regla 2.

313

Etapas irrelevantes «Si una etapa no posee función objetivo definida y todas sus salidas lo son del sistema global, tanto la etapa como sus variables

deberán eliminarse.»

de diseño Estas

sensibilidad

Regla

3.

habrían sido eliminadas durante un análogo al descrito en el apartado 9.2.

etapas

estudio

de

Combinación de etapas «La eliminación de variables de estado de salida por combinación de etapas deberá ensayarse siempre que una etapa posea un número de variables de salida igual o superior al de variables de entrada.

Las etapas que no contengan variables de diseño deberán combinarse con una etapa adyacente. Si son posibles varias situaciones es preferible aquella que elimina mayor número de variables de estado.»

Regla

4.

Lazos de recirculación pequeños «Cualquier lazo con menos de cuatro variables de diseño deberá optimarse simultáneamente respecto a todas las variables (investigación directa).»

Regla

5.

Localización de la variable de estado cortante «Las variables de estado cortantes deberán asignarse siempre a una entrada de una etapa que posea múltiples variables de entrada, y, siempre que sea posible, se tenderá a alcanzar una estructura resultante divergente. Los componentes de mayor dificultad se tratarán de situar al comienzo de las estructuras acíclicas de flujo de la

Regla

6.

información.»

Orden de suboptimación la

«La suboptimación deberá desarrollarse en dirección opuesta a señalada por las flechas correspondientes a las variables de

estado.» Este enunciado no refleja sino el la

programación dinámica en

el

método ya explicado

capítulo

al estudiar

anterior.

El conocimiento de estas reglas empíricas es sólo el comienzo del aprendizaje de estos métodos para macrosistemas, ya que para llegar a dominarlos es preciso una comprensión profunda de su significado.

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

314

9.7.

UNA APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE OPTIMACION PARA MACROSISTEMAS

En este apartado se aplicarán las seis reglas citadas al sistema de procesos cuya estructura del flujo de información se muestra en la figura 131. Debe señalarse que las reglas proporcionan una orientatación sólo aproximada para llegar a sintetizar un plan de optimación, y que permiten suficiente flexibilidad. Esta situación es lógica,

3

r 1

—

11

r

12

10

T

TÍT

13

14

r 1 15

OiHi

T T

FiG. 131.

ya que solamente después de profundizar en los cálculos detallados se dispondrá de suficiente información para poder seleccionar con precisión entre las diversas aproximaciones que puedan plantearse. En nuestro caso, hasta este momento no se han hecho cálculos detallados; tan sólo se desea planear el primer ataque al problema. Regla

1.

Variables de salida prefijadas

Aparecen en

unidades 5, 8 y 11. Para efectuar la inversión que unen las etapas 4-5 y 1-4, así como la variable de diseño que aparece en 1, para satisfacer la variable de salida fijada de la unidad 5. Asimismo, se han efectuado inversiones de decisión en las etapas 8 y 11. Obsérvese cómo existe siempre una cierta flexibilidad para adaptarse a las características técnicas especiales de las unidades, o a la estructura general del las

se seleccionan las variables

sistema que favorece ciertas inversiones.

UNA APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE OPTIMACION PARA MACROSISTEMAS

Regla

2.

315

Etapas irrelevantes Se supone que la estructura del flujo de información describe problema dominante, constituyendo las etapas y corrientes representadas los elementos principales del sistema, tanto desde el punto de vista técnico como económico. Por tanto, en el problema no el

existen

Regla

3.

etapas

irrelevantes.

Combinación de etapas Algunas unidades no contienen variables de diseño, bien inicialmente, bien después de las inversiones requeridas por las variables de salida Ajadas. Así, se combinarán los siguientes grupos de unidades: 7 y 8; 12, 13, 14 y 3; 1 y 2; 11 y 10; 4 y 5 (ya que 5 tiene tantas salidas como entradas). En la fígura 132 se muestra el sistema parcialmente ordenado después de la aplicación de las tres primeras reglas.

FiG. 132.

Regla

4.

Lazos de recirculación

En la fígura 132 existe un lazo que contiene solcimente tres variables de diseño, constituido por los grupos de etapas 1-2, 3-1413-12 y 15-16-6, que puede combinarse en una sola unidad de regla anteriormente

acuerdo con

la

interpretado

con bastante libertad esta

citada.

Es evidente que se ha ya que el lazo en

regla,

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE AAACROSISTEMAS

316

cuestión se encuentra conectado a otro, que implica las unidades 9 y 7-8; en este caso, se ha actuado así al no disponer de reglas acerca de los lazos situados dentro de otros lazos. Una vez que se han combinado estas etapas de la forma indicada, la estructura resultante implica un lazo, cerrado por las unidades 1-2-3-14-13-126-16-15, 9 y 7-8, con varias ramificaciones. El lazo contiene seis variables de diseño.

Regla

5.

Localizacíón de las variables de estado cortantes

Se investigará ahora el lugar dónde deben situarse las variables de estado cortantes en la estructura del lazo. Se observa que si es corta éste entre la etapa 9 y la constituida por los elementos iniciales 1-2-3-14-13-12-6-16-15 y se efectúa en aquélla una inversión de decisión, la estructura resultante será acíclica y las unidades 11-10 y 9 podrán agruparse mediante la regla de combinación de etapas. Resulta así un sencillo sistema compuesto por cuatro subsistemas, con un lazo de recirculación cortado, tal como se representa en la figura 133. Evidentemente, esta rotura del ciclo es tan sólo una de las varias posibles.

UNA APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS DE OPTIMACION PARA MACROSISTEMAS

317

Orden de suboptímación

Regla 6.

Un sistir

procedimiento en:

para

suboptimar

— Especificar un valor de — suboptimación en subsistemas de y — Repetir dos operaciones la

variable

este

puede

sistema

cortante

localizada

con-

en

el

lazo.

Iniciar

la

través

los

las

la

variable

III

subsistema

el

continuando

IV,

a

II.

anteriores con distintos valores de de estado cortante, hasta que el lazo quede sub-

optimado.

— Incluir

el subsistema I como última etapa de suboptimación del conjunto.

Se ha visto así

cómo

la

estructura inicial,

la

figura

secuencia de

131,

contenía

y que después de la aplicación de las reglas para macrosistemas se ha transformado en una estructura de subsistemas detalles innecesarios,

bastante

sencilla.

Situaciones

como

la

explicada

suelen

presentarse

con frecuencia en muchos problemas sumamente complejos. Sin embargo, la estructura final, aunque más sencilla que la inicial, requiere todavía una considerable labor de cálculo antes de llegar al diseño óptimo. Desgraciadamente, esto suele ocurrir también con mucha frecuencia en los problemas que estudia la ingeniería de procesos. Para finalizar la presentación de esta estrategia se considera conveniente recopilar algunas de sus características esenciales:

La

estrategia para macrosistemas descrita permite establecer orden para abordar problemas de gran complejidad; para ello se han aprovechado parcialmente las eficaces técnicas intuitivas de los especialistas en la resolución de estos problemas. 1.

un

cierto

2. Estas técnicas intuitivas quedan reflejadas en las seis reglas empíricas, que permiten en muchos casos lograr una reducción de la complejidad del problema. 3.

Estas reglas son solamente orientativas, dejando

al

diseñador

libertad para aplicar su propia iniciativa. Las inversiones del flujo de información, agrupación de etapas, localización de variables de estado

cortantes, etc., son flexibles. Esta flexibilidad resulta esencial, ya que no debe olvidarse que el análisis del sistema es sólo un aspecto parcial del

problema global;

así,

gracias a esta flexibilidad, otras fa-

problema, como, por ejemplo, un conocimiento profundo de la tecnología de los distintos componentes del sistema podrá apoyar la elección de alguna de las alternativas posibles. cetas

del

4. Estos métodos se deben elaborar dentro de cada bloque del sistema simultáneamente con el análisis detallado de la tecnología.

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

318

Un

estudio que sólo tenga en cuenta las propiedades del sistema será tan incompleto como el que ignore su estructura, centrando la atención exclusivamente en los detalles de los reactores, calderas, hornos y bombas. El análisis de sistemas y la tecnología de sus componentes son como las dos hojas de unas tijeras: uno no es útil sin la otra para seccionar los complejos problemas de la ingeniería de procesos.

9.8.

OPTIMACiON DE UN PROCESO DE FABRICACIÓN DE ACIDO SULFÚRICO *

LowRY y PiKE

ilustraron la aplicación de estas técnicas optimando ecuaciones de diseño de un proceso de fabricación de ácido sulfúrico por el método de contacto. Este apartado se basa exclusivamente en su trabajo. La figura 139 representa el diagrama de flujo simplificado de un proceso de contacto que produce ácido sulfúrico de 98 por 100 y vapor de agua de alta presión. continuación se discute brevemente su tecnología. las

A

Quemador. En un quemador se inyecta azufre fundido a 423 °C para su oxidación a dióxido de azufre, reacción extremadamente rápida por encima de 675 °C. Como agente oxidante se utiliza aire previamente desecado. Las pérdidas de calor en el quemador son despreciables.

Calderas recuperadoras de calor residual. Los gases calientes que abandonan el quemador deben enfriarse para que pueda realizarse con eficacia su posterior oxidación. El enfriamiento se lleva a cabo en una caldera que permite aprovechar el calor contenido por los gases,

generando vapor de agua a 16 kg/cm^ recalentado a 590 °C.

La recuperación de calor en forma de vapor de agua

resulta

muy

debido a los crecientes costes de los combustibles. Una segunda caldera, análoga a la anterior, enfría los gases una vez que se ha producido su oxidación parcial a trióxido de azufre en el primer atractiva

convertidor.

Convertidor. El dióxido de azufre enfriado a la temperatura adecuada se convierte en trióxido en un sistema de convertidores de dos etapas. A medida que la oxidación tiene lugar, la temperatura * I. LowRY y R. W. Pike: «A Dynamic Programming Study of the Contact Process», trabajo presentado en la 61 Reunión Nacional del A.I.Ch.E., febrero 1967.

OPTIMACION DE UN PROCESO DE FABRICACIÓN DE ACIDO SULFÚRICO

319

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

320

a la temperatura de saturación a la presión de 16 kg/cm^ (473 "C), para servir posteriormente como alimento a las calderas recuperadoras de calor.

Temperatura

FiG. 135.

Absorbedor. Los gases que abandonan el economizador se hacen circular en contracorriente con ácido sulfúrico de 98 por 100, que retiene el trióxido de azufre, descargándose los gases residuales a la atmósfera.

Refrigerante de ácido. El ácido que circula a través del absorbedor y del secador se enfría en un cambiador de calor refrigerado con agua.

Secador.

Tiene gran importancia que

mador no contenga agua; por

ello

el

aire utilizado

se elimina la

en

el

que-

humedad atmosfé-

con ácido concentrado. Las ecuaciones de diseño para cada uno de estos componentes del proceso pueden consultarse en la bibliografía original *. La figura 136 muestra el diagrama de flujo de información obtenido por examen de las ecuaciones de diseño. El caudal de azufre en el quemador está fijado en Wf = 5 000 kg/h. El caudal de aire utilizado para la combustión aparece como variable de diseño en el secador, puesto que pasa primero por esta unidad para eliminar su humedad. De este modo, este caudal puede fijarse libremente para conseguir mayor economía en el proceso. También pueden fijarse rica absorbiéndola

IvAN Lowry:

M.

S.

Thesis, Louisiana State University,

1966.

OPTIMACION DE UN PROCESO DE FABRICACIÓN DE ACIDO SULFÚRICO

321

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

322

El lazo que implica el economizador, las calderas y los convertidores puede romperse mediante una estrategia que se discutirá con detalle en el capítulo 10, Ataque a distintos niveles de problemas muy

FiG. 137.

Rotura de

la recirculación

mediante una pequeña estratagema.

complejos; consiste en asignar un precio interno ficticio al agua caliente que abandona el economizador, de tal modo que las calderas deben adquirirla a este precio. Así no es preciso considerar que las calderas son alimentadas por el economizador: puede pensarse que las calderas adquieren agua de una fuente auxiliar, que es suminis-

OPTiMACION DE UN PROCESO DE FABRICACIÓN DE ACIDO SULFÚRICO

323

trada por el economizador. Como se verá, este procedimiento del precio interno resulta muy efectivo, y por el momento se supondrá que constituye una técnica adecuada para este problema. De este modo se llega a la estructura del flujo de información simplificada representada en la figura 137, con un solo lazo principal de recirculación.

En ella, el quemador, los convertidores y el absorbedor no contienen variables de diseño, y deberán, por tanto, combinarse con etapas adyacentes para eliminar tantas variables de estado como sea posiEn la figura 132 se muestra el sistema de cinco etapas resultante. La aplicación del concepto de variable de estado cortante al lazo principal de recirculación requiere que se fijen durante la optimación el caudal y la temperatura del aire seco que se introduce en el quemador. Esto transforma la variable de diseño del secador, W^, en variable de estado, con lo que esta unidad puede combinarse con el subsistema absorbedor-refrigerante de ácido. Puesto que la temperatura del aire seco que se introduce al quemador es conocida durante cada suboptimación, se puede evaluar para cada situación el caudal de agua de refrigeración que se debe alimentar al refrigerante de ácido. Esta variable de diseño se convierte también entonces en variable de estado; con ello, su subsistema absorbedor-refrigerante de ácido-secador queda exento de variables de diseño y debe combinarse con el economizador para eliminar la variable de estado que conecta los dos. Se llega así al problema de optimación de tres etapas mostrado en la figura 138. La optimación del proceso procede a partir de este punto del ble.

siguiente

modo:

1. Se suponen valores razonables para las variables de estado cortantes Wi y T,, caudal y temperatura del aire seco que abandona el secador y entra al quemador.

2. Se suboptima el subsistema economizador-refrigerante de ácido-secador. La variable de diseño utilizada durante la suboptimación fue la temperatura de los gases que abandonan el economizador y no la cantidad de agua fría que se introduce en el mismo, tal como se representa en el diagrama de flujo de información. Se comprobó que de esta forma se simplificaban los cálculos.

3.

Se

combina

a

continuación

el

subsistema

economizador-ab-

sorbedor-refrigerante de ácido-secador con el constituido por el convertidor B-caldera recuperadora de calor 2, procediéndose a la siguiente etapa de la suboptimación secuencial del proceso. En este caso la variable de diseño principal es el caudal de agua enviada a la caldera de recuperación de calor 2. INGENIERÍA DE PROCESOS.

22

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEAAAS

324

Wm

f^^^'^m^mmw^W^^^^^^^^W^-^ :^^:w^^W^ .,

,

,„

Absorbedor

]/

,

>

jílJI

Ti

Refrigerante de ácido

W.

w. 'MI

w^

FiG. 138.

Plan final de optimación, en tres etapas.

4. Se óptima, por último, el sistema en conjunto ajustando el caudal de agua que debe enviarse a la caldera de recuperación de

calor

1.

5.

Se deduce así

el

diseño óptimo del sistema para los valores y temperatura del aire seco. Es

fijados en la etapa 1 para el caudal

necesario

óptimo

ahora

investigar

definitivo.

estas

variables

para

alcanzar

el

diseño

OBSERVACIONES FINALES

325

Hasta aquí se ha esbozado un breve resumen del extenso trabajo LowRY y Pike, con el único fin de relacionar los conceptos incluidos en este capítulo con un problema real. Además de esto, de la

de

experiencia adquirida en este trabajo por los citados autores se extraen otras sustanciosas conclusiones:

— La

de optimación en la forma definitiva que se acaba de el resultado de numerosos ensayos, y comprende una combinación de los métodos que se han estudiado, con una forma definida, y de experiencia, intuición y suerte. estrategia

presentar

fue

— La

adopción de las reglas empíricas puede simplificar la tarea de formulación del problema, aunque es de suma importancia que el diseñador esté familiarizado con la tecnología del proceso en estudio.

9.9.

OBSERVACIONES FINALES

El ingeniero químico práctico se puede beneficiar en gran manera la investigación en las áreas de la optimación y del análisis de sistemas. Debe consultar continuamente la bibliografía y adoptar cualquier método nuevo tan pronto como se demuestre su utilidad. Sin embargo, esto no resulta fácil, ya que la bibliografía incluye con frecuencia desarrollos de interés puramente académico, y tan sólo es-

de

porádicamente surge algún trabajo de reconocido interés práctico. La bibliografía que se cita a continuación se ha seleccionado con el fin de orientar al lector en este área algo confusa, reseñándose únicamente aquellos libros y artículos que describen las estrategias de

mayor

interés para el diseñador.

Bibliografía

Un

artículo básico sobre estos temas es:

R. Aris, G. L. Nemhauser y D. J. Wilde: «Optimization of Multistage Cyclic and Branching Systems by Serial Procedures», AJ.Ch.E.J., 10,

913 (1964).

Un resumen D.

interesante sobre los

Wilde: «Strategies J. Progr., 3, 61 (1965).

Véase también

el capítulo 6

G. Nemhauser: York, 1966.

for

mismos

se presenta en:

Optimizing Macrosystems», Chem. Eng.

de:

Introduction to Dynamic Programming. Wiley, Nueva

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

326

Así como R.

el

capítulo 20 de

Aris

:

Discrete

Dynamic Programming.

Blaisdell,

Waltham, Mass.,

1961.

Por último, se debe señalar que el contenido de este capítulo no una introducción a una extensa zona de optimación, cuyo conjunto

es sino se

des-

cribe en:

D.

J.

WiLDE y R. }. Beightler F oundations Englewood Cliffs, N. J., 1967. :

of Optimization. Prentice-

Hall,

EJERCICIOS 1.

Considérese un problema de optimación acíclico de valor inicial con etapas, cada una de las cuales posee una sola variable de diseño que puede tomar dos valores. Además, cada etapa está conectada a sus alrededores por una variable de estado que puede tomar también dos valores. Este tipo de problemas de optimación puede aparecer en las etapas preliminares de diseño de un proceso.

N

a)

¿Cuántas

alternativas

Respuesta b)

de

diseño

diferentes

existen?

2^.

:

¿Cuántas comparaciones entre alternativas de diseño deben efectuarpara encontrar la solución óptima mediante programación dinámica ordinaria?

se

4N—2.

Respuesta: c)

¿Cuántas comparaciones serán precisas

si

las

etapas del proceso se

combinan alternativamente con su adyacente para formar un sistema de NI2 etapas, al que se aplica la programación dinámica? Respuesta d)

¿Cuántas comparaciones deben realizarse si las etapas se combinan en NjK subsistemas de igual tamaño, que se analizan por programación dinámica? Respuesta

e)

4N — 4.

:

2'<(2Nlk-l).

:

k primeras etapas en un subsistema y déjense las inalteradas. ¿Cuántas alternativas de diseño deben compararse para optimar el proceso mediante programación dinámica?

Combínense

N—k

las

restantes

etapas

Respuesta

:

2'<

+ 4{N-k).

OBSERVACIONES FINALES

f)

Combínense

N—k

últimas

las

etapas

restantes

k

etapas

inalteradas.

327

en un subsistema y déjense las ¿Cuántas comparaciones deben

efectuarse?

Respuesta: g)

De

las

2

diversas

ma, ¿cuál

sería

+ 4 (iV-fc-l) + 2

estrategias la

mejor,

(2)«^.

de optimación sugeridas en este probleel proceso está constituido por diez

si

etapas? el problema 1 considerando que existen S variables de estado conectando entre sí cada pareja de etapas contiguas.

2.

Repítase

3.

Supóngase que el sistema del problema 1 se modifica, de modo que una corriente de recirculación conecte el final del proceso con su comienzo. ¿En qué condiciones debería ensayarse la rotura de la recirculación mediante una reselección de las variables de diseño?

4.

La tabla 61 compara

las

estrategias de optimación de variable

e investigación directa para

constante

un sistema que posee tan sólo una variable

de estado y una de diseño por etapa. A partir de estos resultados se dedujo la regla empírica relativa a los lazos de recirculación pequeños. Dedúzcase una regla similar para la estructura mostrada en la figura 139.

>

ESTRATEGIAS DE OPTIMACION DE MACROSISTEMAS

328

nes más recientes sobre este problema, así

mas de 9.

estructura similar

como

sobre otros macrosiste-

*.

Discútase la relación entre los algoritmos de selección de variables de diseño descritos en el capítulo 3 y los conceptos de variable de estado cortante presentados en este capítulo. ¿Podría conducir la aplicación de los algoritmos de selección de variables de diseño al plan de optimación más simple?

* D. F. RUDD y cois.: «On Optimum Crosscurrent Extraction with Product Recycle», Chem. Eng. Sci., 17, 277-281 (1962); R. Jackson: «Comments on Optimum Crosscurrent Extraction with Product Recycle», Chem. Eng. Sci., 18, 215 (1963).

CAPITULO

10

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

Un

muy

diseño de sistemas de procesos problemas que deben abordarse. Con frecuencia, los problemas son tan grandes que exceden las posibilidades de un solo equipo de ingenieros, haciendo necesario distribuir las responsabilidades del diseño entre varios equipos de expertos más o menos autónomos, que se encargan de sus diversas porciones. ¿De qué modo pueden coordinarse los esfuerzos de estos equipos para que sus diseños se ensamblen y formen un sistema óptimo? De forma similar al capítulo anterior, se discutirán a continuación varios métodos introducidos muy recientemente que pueden evolucionar en el futuro hasta adquirir interés práctico inmediato. surge

dilema

al

Problema

decidir el

debatido en

tamaño de

el

los

típico

Para diseñar un gran complejo de procesos químicos con varias plantas distribuidas a través del país se subdivide en cierto número de subsistemas que comerciarán productos químicos tanto entre ellos como con el exterior. ¿Qué precios deben fijarse entre las plantas del sistema para maximizar la eficacia del conjunto?

10.1.

UN DILEMA EN EL ESTUDIO DE GRANDES SISTEMAS

El ingeniero responsable del diseño de sistemas de procesos muy grandes se encuentra con frecuencia ante el dilema provocado por los problemas inherentes al manejo de un gran número de datos. Existe un límite práctico en el número de detalles que puede elaborar un único grupo de ingenieros, límite que normalmente superan los grandes sistemas de procesos. Por consiguiente, un gran sistema debe fraccionarse necesariamente en varios subsistemas más pequeños, repartiendo la responsabilidad del diseño entre varios grupos de ingeniería diferentes.

Por otra parte, esta distribución modular ha llegado a ser una práctica habitual en la industria y la tecnología, de modo que hoy día se contratan subsistemas completos como, por ejemplo, equipos 329

330

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

de generación de gas inerte, plantas de vapor de agua o de craqueo término de hidrocarburos. Así, vemos cómo la responsabilidad del diseño de una refinería, sistema demasiado grande para que un solo grupo de ingenieros se ocupe de todos sus detalles, se distribuye entre el grupo de diseño de la desulfuración del crudo, el de los sistemas de tratamiento de residuos, el del sistema de fraccionamiento, etc. Sin embargo, al fraccionar un problema de diseño de un gran sistema en varios más reducidos surge un dilema, ya que, por una parte, pueden abordarse los problemas resultantes, por ejemplo, aplicando los métodos para macrosistemas descritos en el capítulo 9, reduciendo así considerablemente su dificultad inicial; pero, por otro lado, la optimación sólo puede lograrse si se permite una interacción libre entre todas las porciones del sistema y sus alrededores. La división del sistema puede suprimir inadvertidamente alguna interacción crítica, de tal manera que la suboptimación del subsistema no conduzca a un diseño global óptimo. En un problema extremadamente grande, el ingeniero se encuentra así entre la necesidad imperiosa de reducir el tamaño de las unidades a estudiar y la evidencia de que una optimación poco cuidada de cualquiera de los subsistemas puede no satisfacer los objetivos óptimos del sistema global. ¿Cómo puede coordinarse la actividad de los equipos responsables de cada subsistema para conseguir los fines propuestos? En primer lugar se discutirá una aproximación en múltiples niveles tal que la responsabilidad de la ingeniería de cada subsistema se asignará a grupos individuales, que denominaremos grupos de nivel I. Estos son responsables únicamente del diseño de su subsistema y no se preocupan, al menos directamente, de los restantes. La responsabilidad del comportamiento global del sistema se delega en un grupo de coordinación, que se dice se encuentra en un nivel IL Este, a su vez, no está obligado a analizar todos los detalles de los subsistemas y se encarga únicamente de asegurar la cooperación de los otros grupos para conseguir la finalidad propuesta. Cada grupo tiene así una parte de la responsabilidad dentro de sus atribuciones, limitadas pero aún considerables. Se describirá a continuación una técnica sugerida por L. Lasdon, del Case Institute of Technology *, para la coordinación de este ataque a dos niveles; la comunicación se mantiene entre ambos mediante parámetros de suministro, demanda y precio. No deberá olvidarse en ningún momento que este procedimiento es tan sólo uno entre los varios posibles, y que el énfasis que se hace sobre él tiene un fin * León Lasdon: «A Multilevel Technique for Optimizationv, Systems Research Center report 5i?C50-C-64-19. Case Institute of Technology, Cleveland, Ohio, 1964.

EL SISTEMA Y SUS SUBSISTEMAS

331

pedagógico, para presentar los diversos razonamientos implicados en este tipo de problemas. En el último apartado de este capítulo se describen otros principios de descomposición más amplios utilizados en SYMROS, programa de computador para la planificación de las actividades de la Shell Oil Company.

10.2.

EL SISTEMA Y SUS SUBSISTEMAS

Se centrará la atención ahora sobre el gran sistema representado en la figura 135. Se aprecia en ella que el sistema se ha dividido en tres subsistemas que interaccionan entre sí a través de las variables de estado s, que pueden ser, por ejemplo, los caudales de los productos intermedios. Los métodos de optimación de macrosistemas descritos en el capítulo 9 pueden haberse utilizado para agrupar el sistema de esta manera, o bien, la estructura puede haber surgido naturalmente como consecuencia lógica de la posición geográfica de los subsistemas.

Como

se trata de seleccionar los diseños detallados de que maximizan la función objetivo del sistema global, U, constituida por las contribuciones Ua, Ub y Uc de los tres subsistemas. La contribución del subsistema A puede ser, por ejemplo, el beneficio obtenido, calculado a partir del valor de los bienes vendidos por él a sus alrededores, de los costes de fabricación y de las cargas correspondientes al capital invertido. En este punto no se asigna ningún coste a las materias o energía obtenidas de o enviadas a cualquier otro subsistema del conjunto, puesto que no existe modo de estimar el valor de tales transferencias entre plantas. Durante la deducción de la función objetivo para cada subsistema se considera así que las transferencias internas se efectúan de forma libre e ilimitada; de este modo, en esta etapa de la optimación, los subsistemas quedan completamente aislados del conjunto. Cada grupo de diseño de nivel I tiene bajo su responsabilidad:

objetivo,

los subsistemas

a)

Las variables de estado

5

que conectan su subsistema con

los restantes.

b) Los detalles de diseño del subsistema, po tiene control total. c) La contribución que en conjunto.

Así, pues, birse

el

el

d,

subsistema hace

al

sobre los que

el

gru-

objetivo del sistema

problema de diseño del sistema global puede

escri-

como

máx

{Ua + Ub + Uc...)

[10.1]

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

332

FiG. 140.

El sistema y sus subsistemas.

con la siguiente asignación de responsabilidades para cada uno de los grupos de los subsistemas:

Función de diseño

Función objetivo

Grupo

Ia'.

UaÍSí, Su

Grupo

IbI

Grupo

le'.

cIa)

fA(Si,Si,dA)=0

Ub(Su

Sz, Cffi)

fB(SuS2,dB)=0

Uc{s2,

Si,

La expresión simplificada ño

del

subsistema

A

fás2,Si,dc)

de)

ÍaÍSí, Si,

engloba todas

dj^

=O

las

=

para la función de diseherramientas que el grupo

SUBOPTIMACION Y COOPERACIÓN FORZADA ENTRE LOS EQUIPOS

333

posee para llevarlo a cabo, es decir, cualquiera de los métodos desen este texto, por ejemplo. Tal relación establece simplemente que para unos valores dados de la variable de estado de entrada Si y del detalle de diseño cÍa, el grupo responsable de esta parte del sistema puede predecir su comportamiento y asignar un valor a la variable de salida, Si. Esto, aparentemente tan sencillo, puede requerir fácilmente el trabajo de un equipo completo de ingenieros a5aidado por una extensa gama de medios de cálculo. critos

10.3.

SUBOPTIMACION Y COOPERACIÓN FORZADA ENTRE LOS EQUIPOS

Es un principio general bien conocido que la optimación individual de cualquier subsistema, realizada sin tener en cuenta las interacciones con otras partes del conjunto, no constituye una estrategia adecuada. Así, un beneficio obtenido optimando por separado un subsistema puede conducir a pérdidas superiores en otras partes del conjunto.

Como consecuencia de ello, durante la optimación de un gran sistema se impone una intensa cooperación entre los distintos grupos de diseño de los subsistemas. Surge así la necesidad de un nuevo grupo de coordinación que asigne objetivos adecuados y que fuerce la cooperación entre los distintos grupos responsables de los subsistemas.

Esta cooperación puede conseguirse obligando a cada subsistema a que compre sus variables de estado de entrada y venda sus variables de estado de salida a otros subsistemas a precios asignados. El grupo coordinador tiene así como misión fijar los precios interiores de estas variables de estado de tal modo que se consiga que los grupos de nivel I cooperen adecuadamente a la resolución del problema del sistema en conjunto, a la vez que lo hacen con sus propios

problemas de suboptimación. Por consiguiente, estando obligados a comprar y vender dentro del sistema, los grupos de nivel I deberán esforzarse en maximizar las nuevas funciones objetivo:

Grupo

I^

Grupo

Ib

Grupo

le'.

:

:

máx (Ua + PiSi - PiSi) máx (Ub + PiSi - P\S\) méx {Uc + PiSi-piS-^

[10.2]

334

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

en las que los precios entre plantas pi, pi y p^ han sido prefijados por el grupo de coordinación de nivel II. Nos detendremos ahora para realizar algunas observaciones. Adviértase que los grupos de nivel I disponen de variables adicionales para manipular durante la suboptimación, concretamente, la magnitud de la variable de estado de entrada solicitada. Por tanto, para unos precios dados, cada subsistema pedirá una cierta cantidad de su

Nivel

II

Grupo de coordinación

Nivel

Expertos en el diseño de subsistemas

FiG. 141.

Estructura de ataque a dos niveles.

variable de estado de entrada, tratando de conseguir su objetivo local

de optimación. Pero esta cantidad solicitada por un subsistema ha de suministrarla otro, desconociéndose todavía los precios que conducen a la igualdad de la oferta y la demanda. Intuitivamente, se comprende que el sistema operará con la máxima eficacia cuando todos los suministros y demandas entre plantas sean iguales. Esto se cumple en numerosos problemas de optimación con ciertas propiedades de continuidad y diferenciabilidad. En ellos, los subproblemas pueden deducirse del lagrangiano del problema ori-

SUBOPTIMACION Y COOPERACIÓN FORZADA ENTRE LOS EQUIPOS

335

pudiendo aplicarse la teoría de los multiplicadores de Lagrange para desarrollar los criterios de diseño durante la suboptimación *. El ataque a diversos niveles puede proceder, pues, del siguiente modo: Los grupos de nivel I inician un diseño base sobre el supuesto de que el suministro entre plantas es libre e ilimitado. El grupo de nivel II compara los suministros y demandas resultantes y trata de fijar unos precios artificiales para las variables de estado entre planginal,

Comienzo

Definición de los objetivos

de

la

suboptimación

Proposición de diseños de tanteo

Datos de suministro y demanda

¿Se ajustan entre sí los diseños ensayados?

Sí

No Ajustar

Fin

de nuevo los precios entre plantas

FiG. 142.

Coordinación de

los

grupos de nivel

I.

que obliguen a los grupos de nivel I a reajustar sus diseños inide modo que las demandas de cada subsistema tiendan a igualar a los suministros de los restantes y viceversa. Los grupos de nivel I se comunican con el grupo de nivel II a través de las variables de suministro y demanda y en sentido inverso el enlace se logra mediante los parámetros de precio, tal como se muestra en las figuras 141 y 142. Al recibir los datos de suministro y demanda, el grupo de coordinación se enfrenta con el problema de determinar los nuevos parátas

ciales

*

Véase,

Method

por

ejemplo,

H.

for Solving Problems of tions Res., 11, 399-417 (1963).

Everett

:

Optimum

«Generalized Lagrange Multiplier Allocation of Resources», Opera-

336

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

metros de precios que tenderán a igualar mejor los suministros y demandas en la siguiente etapa. Los datos tienen la forma:

Demandado por subsistema

las

UNA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE DOS NIVELES

5 000

5 000 S3,

ton/año

5 000

5 000

-íboooo

\

\ 100 000

\ \

\

\ \

\\ \

5 000

337

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

338

esfuerzo de un equipo de especialistas. En este caso, tal información se encuentra ya resumida en la figura, facilidad de la que normalmente no disponen los grupos de diseño de los subsistemas. Se ha preferido hacerlo así para poder focalizar la atención en los métodos de coordinación y suprimir tratamientos con excesivas manipulaciones numéricas.

Preponderancia de un componente dominante. Una aproximación errónea para diseñar este sistema consiste en ceder el control del mismo al subsistema dominante. En este ejemplo el subsistema B tiene un beneficio potencial de 130 000 dólares por año, mientras que los subsistemas A y C sólo alcanzan 50 000 y 120 000, respectivamente. El principio del componente dominante forzaría entonces a los dos últimos subsistemas a satisfacer las demandas del B. Así, el subsistema B solicitaría Si=0 y ^2 = 5 000 ton/año para conseguir su beneficio máximo í/b = 130 000. Para proporcionar el alimento Si = el subsistema A tiene que solicitar un alimento Si = 5 000 del subsistema C. continuación, se resume el diseño del sistema al que se llega considerando el control del componente dominante,

A

Subsistema

A

Demanda

Suministro

Beneficio

UNA APLICACIÓN DEL MÉTODO DE DOS NIVELES

Reacción del nivel

I

339

Cada subsistema responde intentando conseguir máximo beneficio.

:

el

Demanda

Subsistema

A C 11

= 2 500 52 = 5 000 53 =

= 2 500 51 = 52 = 53

B

Reacción del nivel

Suministro 5i

Estos diseños no se complementan entre sí por tanto, no se ha llegado a un óptimo válido.

:

;

Variable

Demanda

Suministro

Si

O

2 500

S2

O

5

Si

2 500

Demanda en exceso

-2 500 -5 000

000

2 500

O

Los precios deben modificarse para anular el exceso de demanda. Utilizando la analogía económica, puede argumentarse que el precio fijado para un producto que presenta un exceso en su demanda es demasiado bajo. El nuevo conjunto de precios refleja esta idea.

p2=-2,

Pi=-1, Reacción del nivel

P3

=l

Los subsistemas están obligados ahora a adquirir las cantidades que soliciten y a vender las que les demanden los restantes subsistemas con arreglo al nuevo esquema de precios impuesto por el nivel 11. Esto conduce a los siguientes

I:

diseños

Subsistema

A B

C ingeniería de procesos.

23

Demanda

Suministro

= 2 500 51 = 1000 52 = 2 000

52=4 000

53

51

53

= 2 500 = 1000

340

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

Reacción del nivel

II

:

La situación ha mejorado con este nuevo esquema, pero todavía existe un exceso de demanda. Variable

Si

Demanda

Suministro

Exceso

OPTIMACION DE UN PROCESO THERMOFOR DE CRAQUEO CATALÍTICO

Si el diseño final se

basa en esta solución aproximada,

34I

el

balance

que corresponde conduce a: Subsistema

Demanda

Suministro

Beneficio

A

53

5i

5i

= 1800 = 3 000 53 = 2000

35 000

B

52

70 000

Beneficio total dólares/año

105 000

C

= 2000 = 1800 52 = 3 000

O

Sin duda existirán otros diseños con mayor beneficio, ya que sólo han realizado tres tanteos y la convergencia se ha logrado solamente de forma aproximada; sin embargo, ha quedado bien demosse

trado cómo resulta esencial la cooperación entre los distintos subsistemas de un sistema. En este caso, el beneficio del subsistema dominante B se ha reducido de su valor máximo, 130 000 dólares por año a 70 000, si bien a cambio se obtiene un mayor beneficio para los subsistemas A y C.

10.5.

OPTIMACION DE UN PROCESO THERMOFOR DE CRAQUEO CATALÍTICO

NúÑEz y Brosilow presentaron un informe sobre la optimación de las ecuaciones de diseño de una de las plantas de craqueo catalítico de la Mobil Oil Company, cuyo diagrama de flujo se muestra en la figura 144, mediante los métodos de ataque a diversos niveles. Este ejemplo se utilizará como enlace entre la ilustración sencilla del apartado 10.4 y los problemas industriales reales. El proceso de craqueo catalítico Airlift Thermofor se utiliza para producir gasolinas de elevada calidad, aumentar la producción de combustibles y reducir la de aceites residuales de calidad inferior. El petróleo precalentado se mezcla con una corriente de recirculación contiy se calienta en un horno hasta la temperatura de craqueo. nuación, la mezcla líquido-vapor se pone en contacto en el reactor de craqueo con un catalizador sólido fluidificado. Los productos gaseosos del reactor se separan por destilación fraccionada. El catalizador pasa por gravedad a un horno, donde se regenera por combustión del coque depositado sobre él. El catalizador pasa entonces a

A

*

lytic

E. NÚÑEZ y C. Brosilow: «Multilevel Optimization Applied to a CataCracking Plant», CIC sesión, octubre 1966.

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

342

Separador

Conducción hermética

Horno

Recirculación

Alimento fresco

^ Aire de

Productos

Columna de fraccionamiento

arrastre

->-Gas residual a

la

chimenea

Horno

^ Refrigerantes

Aire de combustión

Vapor >~

Gas

residual a la

chimenea

Aire de enfriamiento

Corte 2

Aire de elevación

FiG.

144.

Diagrama de

flujo

de un proceso Thermofor.

de

craqueo

catalítico

Airlift

un depósito de elevación, desde el que se transporta, impulsado por aire, hasta un separador, descendiendo a continuación si reactor a través de un largo tubo hermético que impide el paso de gas en sentido

contrario.

Oil Company consideró pertinente simular el comportamiento de este proceso TCC en un computador digital; en este caso, las ecuaciones de diseño toman la forma de subrutinas de computador que describen el rendimiento de las diversas partes del proceso.

La Mobil

OPTIMACION DE UN PROCESO THERMOFOR DE CRAQUEO CATALÍTICO

343

Para ampliar los principios que conducen a la simulación de procesos mediante computadores pueden consultarse los trabajos de Week-

MAN

*

y

Crowe

**,

El problema de optimación consiste en este caso en maximizar la rentabilidad del proceso, que es una función del valor del producto, del coste de la operación y del coste de regeneración del catalizador.

Las principales variables de diseño y su intervalo de va-

riación son las siguientes: Variable

Nomenclatura

344

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

Ps Ll

Pa

TKEl

OPTIMACION DE UN PROCESO THERMOFOR DE CRAQUEO CATALÍTICO

345

Los dos subproblemas que aparecen son:

Subproblema número

Fijados los precios

1.

pi,

pz,

Pi

y

Pa,

maxi-

mizar [Í7i

+ pi(TKRl) + p2(COKEl) -P3(TKL1)-P4(TKE1)]

modificando los valores de RR, TFH, LAT,

TKLI y TKEl

dentro de

los límites

O

< RR < 0,35

250^ TFH ^360

< LAT < 230

50

WETGAS^240 m^NM

UGASO^7 500 495^TCIN^580 Subproblema número

2.

Fijados los precios pu

pz,

Pi

y

p^,

maxi-

mizar [Uz

modificando CAT, de los límites

+ P3(TKL2) + P4(TKE2) - pi(TKR2) - p2(COKE2)]

CAR, PAR, KAR, XTOP, TKR2, C0KE2 50

<

dentro

CAT<540

CAR ^1200 42^ PAR ^100 55 < KAR ^340 0,55^ XTOP ^0,70 TKA < 690 TKC ^ 690 850^

X02 ^ 0,05 XRC < 0,01 Estos problemas de suboptimación fueron resueltos por Núííez y utilizando los métodos de investigación directa descritos en

Brosilow el

capítulo

6.

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

346

Los precios pu

y P4 se ajustaron durante la fase de coordifunción dual y,

p2, Pa

nación minimizando

la

y = Ul + Ul + pi(TKRP - TKR20) + p2(C0KEl° - COKE20)

+ p3(TKL2o - TKLP) + p4(TKE2o - TKEF) El superíndice ° sobre las variables indica los valores óptimos deducidos de los subproblemas. La función dual y se define como la suma de los objetivos de suboptimación, y puede demostrarse que no es inferior al beneficio

óptimo del sistema. La función dual coincide con el beneficio óptimo cuando se ha encontrado un conjunto de precios que igualan suministro y demanda. Puesto que los gradientes de la función dual pueden calcularse fácilmente

como dy

=TKRP-TKR2o

dpi

dy

= COKE10-COKE2o

dpz

dy

= TKL2''-TKLP

0P3

dy

=TKE2''-TKEP

dpA

durante

la

coordinación son aplicables los métodos de investigación

directa basados en ellos.

La tabla 62 muestra la evolución del ajuste de precios. La función dual disminuye a medida que se aproxima a las condiciones del óptimo hasta que se alcanza la iteración 8, en la que se presenta una divergencia, atribuida por Núñez y Brosilow a una suboptimación inadecuada de uno de los equipos de nivel I que hace que el nivel de coordinación reciba una información errónea. No se profundizará más en los detalles de la optimación, presentándose en la tabla 63 los resultados finales. En ella se muestran las condiciones óptimas encontradas por los ingenieros de otras técnicas de optimación y dos deducidos mediante la optimación examinar los precios ficticios que

Mobil Oil Company mediante conjuntos de condiciones posibles

la

a

varios

niveles.

Es interesante

corresponden a estas soluciones.

SISTEMA SYMROS PARA PLANIFICAR LAS OPERACIONES DE VARIAS REFINERÍAS

Tabla para

la

347

Cálculos efectuados aplicando el método de Hooke y Jeeves fase de suboptimación y el método de Fletcher y Powell para la fase de coordinación

62.

Iteración *

348

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEAMS MUY COMPLEJOS

Tabla 63

SISTEMA SYMROS PARA PLANIFICAR LAS OPERACIONES DE VARIAS REFINERÍAS

349

terminal 2

Terminal 3

FiG. 146.

Un

complejo típico de refinerías y transporte de productos petrolíferos.

Resulta evidente que la coordinación de este sistema es un problema extremadamente difícil. Las principales cuestiones que es preciso 1.

resolver son:

¿Cuánto crudo de petróleo debe suministrarse a cada

refi-

nería? 2.

3.

¿Qué criterio debe seguirse para seleccionar los alimentos de cada unidad de proceso en cada refinería? Estos alimentos pueden consistir en crudo de petróleo, alimentos intermedios de otras unidades o corrientes de recirculación. Los alimentos intermedios pueden incluso enviarse de una a otra refinería; por ejemplo, un alimento para reformado catalítico obtenido en la refinería A a partir de un crudo de petróleo dado puede enviarse a la refinería B para un procesado especial. ¿Qué condiciones de proceso deberán mantenerse en cada reAquí se incluirán temperaturas, presiones, caudales

finería?

CQ

es

s

o

V O n ^3

aA

U

Oo O oo o o t^ oo oo o lA o o o I— I—

o lA

'í-

I

.-H


I— I—

I

«¡f i-H

f-H

o ooo Oo Oo tN VO Oo "í-

rA I— t>. VO lA 00 f-H r^ (N lA •-H lA (

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lA o o o oo o I—
o o o o oo

VOOOOOlAOtv.O\rA VOO^lAlA'í-f<^CA

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h. °?

¿

O ooo o oo oo lA LA (N t^ O lA LA .

O OOO LA o
ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

352

de recirculación, velocidades espaciales, actividades del catalizador, etc. 4.

¿Cómo deberán mezclarse los productos de las unidades de proceso para cumplir las especificaciones? ¿Deberán enviarse productos especiales a otra refinería para utilizarlos de modo más

5.

eficaz?

¿Qué terminales deberán disponerse en cada

refinería?

Este

factor dependerá tanto de la disponibilidad y coste del trans-

como de

porte

Todas

la

capacidad de producción de las refinerías.

estas cuestiones se complican

si se considera que: las reen antigüedad y diseño; los costes locales de la mano de obra y de los servicios varían ampliamente; el sistema de transporte es complejo; las demandas de los distintos productos fluctúan y existen diferencias en las disposiciones legales de los distintos go-

finerías difieren

biernos.

Aunque no es necesario remarcarlo, se acaba de esquematizar un problema de gran importancia, pero de resolución extremadamente difícil. La tabla 64 contiene una planificación muy abreviada de la operación diaria del complejo de dos refinerías mostrado en la figura 146.

El programa SYMROS comienza por dar forma numérica a estos problemas de planificación de refinerías, resuelve el problema de optimación y presenta los resultados en una forma útil para los técnicos. Se esquematiza a continuación el método seguido por el programa. Las variables del problema se dividen en dos clases: variables X

y variables Y. 1.

2.

De global.

el

Las variables

tarse mediante

mación

Y representan decisiones clave tales que una vez sistema a un conjunto de problemas lineales.

Las variables

tomadas reducen

este

son las restantes decisiones, que pueden

modo pueden

tra-

lineal.

métodos de la prograsolución de una porción del problema la tabla 65 se muestran las variables Y seleccionadas en

lineal

En

X

métodos de programación

para

aplicarse los eficaces

facilitar la

nuestro problema.

De

las

cinco clases de decisiones mencionadas anteriormente, las un comportamiento no lineal, y por consiguien-

tres primeras implican te

deben

fijarse

como

consideran normalmente

variables

como

Y.

El mezclado y

variables X.

el

transporte se

SISTEMAS SYMROS PARA PLANIFICAR LAS OPERACIONES DE VARIAS REFINERÍAS

Tabla

65.

Variables

Y

seleccionadas

353

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

354

Propiedades de los componentes de cada producto.

Componentes. Envíos entre rías.

Cantidades intercambiadas por las refinerefinerías. Fracciones de cada refinería que pueden mezclarse con las de

las restantes.

Datos para

el

simulador de refinería.

Datos de entrada del simu-

lador. Incluyen los datos iniciales de las variables de operación de la

misma. 100

¡5

80

10 Iteración

FiG. 147.

A

Mejora de

la

número

función objetivo durante

partir de estos datos, el

programa

la

ejecución de

SYMROS

SYMROS.

opera en dos fases:

Fase de planteamiento. Los datos básicos de un problema se plantean y transforman mediante el computador en forma numérica. Esta etapa incluye la entrada de datos, la incorporación de programas de biblioteca almacenados en cinta magnética y la organización y formulación de las restricciones en forma matricial. En esta fase se

deben comprobar y detectar los posibles errores e inconsistencias cometidos en la formulación del problema.

SISTEMA SYMROS PARA PLANIFICAR LAS OPERACIONES DE VARIAS REFINERÍAS

Tabla

66.

Tamaño de

los

modelos de refinería utilizados habitualmente

Modelo de

tres refinerías

Modelo de

refinería única

Refinerías

Rutinas de simulación en la memoria principal

7

3

30

10

6

3

Minutos

por ciclo (IBM 7094) Matrices para subproblemas

Nombre de

la

ma-

355

ATAQUE A DIVERSOS NIVELES DE PROBLEMAS MUY COMPLEJOS

356

10.7.

OBSERVACIONES FINALES

El principal propósito de este capítulo ha sido mostrar al estudioso inicia en las técnicas de optimación los razonamientos necesarios para abordar grandes problemas industriales. Hasta ahora, los problemas prácticos de gran tamaño se optimaban empíricamente descomponiéndolos en subsistemas, sin aprovechar las ventajas de una

que se

base matemática rigurosa. Actualmente, los métodos de optimación están alcanzando ya un grado de perfección que permiten su aplicación a aquellos problemas, proporcionando así soluciones más exactas

y

eficaces.

Es innecesario decir que en este capítulo se ha intentado tan sólo no exhaustivo. Para ampliar su contenido se recomienda

ser sugestivo,

un estudio de

las

siguiente bibliografía.

Bibliografía

Los siguientes artículos tratan sobre los conceptos fundamentales de descomposición, centralización y coordinación:

Arrow

y L. Hurwicz: aDecentralization and Computation in Allocation», en Essays in Economics and Econometrics. (R. Pfouts, ed.) University of North Carolina Press, Chapel Hill. Marschah: «Centralization and Decentralization in Economic Organization», Econometrica, 3, 27 (1959). L. Lasdon y Schoeffler: «Decentralized Plant Control», ISAJ., octubre 1964. C. Brosilow y L. Lasdon: «A Two Level Optimization Technique for Recycle Processes», A.I.Ch.E.-I.Ch.E. Sjonposium Series, 4, Londres, 1965. K.

J.

Resource

Un

trabajo básico sobre la descomposición de procesos se presenta en

R.

Jackson: «Some Algebraic Properties of Optimization Problems Complex Chemical Plants», Chem. Eng. Sci., 19, 19-31 (1964).

in

Los problemas de programación lineal se pueden simplificar por descomposición

:

G. Dantzig y P. Wolfe: o The Descomposition Principie of Linear Programming», Operations Research, 8, 101 (1960). D. J. Wilde: «Production Planning of Large Systems», Chem. Eng. Progr.. 59, 1 (1963).

bibliografía

357

Véase también:

Rosen y J. C. Ornea: «Solution of Nonlinear Programming Problems by Partitioning», Management Sci., 1, 10 (1963). E. Singer: «Simulation and Optimization of Oil Refineries», Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 37, 58, 62-74 (1964). L. K. Kirchmayer: Economic Control of ínter connected Systems. Wiley, J.

B.

Nueva York,

1959. Diakoptics: The Piecewise Solution of Large Scale Systems. MacDonald, Londres, 1963.

G. Kron:

TERCERA PARTE

ingeniería en presencia de incertidumbre

En

las

dos primeras partes de este texto se ha supuesto tácitamente que

se disponía de toda la información necesaria para el diseño del proceso,

y que

obtener el mejor diseño. Desafortunadamente, esto no suele ser cierto, y el ingeniero debe moverse en el ambiente bastante impreciso que se describe en la tercera parte sólo

se

de este

precisaba

analizarla

correctamente

para

llegar

a

libro.

El capítulo 11, Adaptación a los desarrollos futttrps, trata sobre los métodos que permiten determinar las características que ha de presentar un proceso para ajustarse mejor a los cambios futuros. El capítulo 12, Consideración de la incertidumbre en los datos, se refiere técnicas disponibles para efectuar la mejor estimación de los datos de diseño, cuando éstos se encuentran afectados por un cierto error.

a

las

El capítulo 13, Tolerancia a los fallos, considera el fallo total de componentes del sistema y los métodos de diseño que confieren a éste un cierto grado de flexibilidad ante ellos. El capítulo 14, Ingeniería en presencia de variaciones, estudia óptimo de sistemas que operan en un entorno variable.

El capítulo procesos para anteriormente.

15,

el

diseño

Simulación, describe las aplicaciones de la simulación de el tratamiento de las incertidumbres mencionadas

facilitar

359

CAPITULO

11

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

La vida

útil de un proceso se prolonga necesariamente en el fupor tanto, su diseño óptimo debe intentar ajustarse lo mejor posible a él. De la misma forma que cualquier pronóstico es impreciso e incierto, también lo es un diseño óptimo. Aunque hasta ahora nos hemos referido de forma característica a las etapas iniciales de proyectos de fabricación, que pueden incluir la construcción de varios sistemas a lo largo de algunos años, siempre existe en la realidad un grado de compromiso a largo plazo, que trae como consecuencia penalizaciones o pérdidas por errores cometidos en la adaptación al futuro. Se tratará a continuación la determinación del tamaño inicial aconsejable para un sistema de procesos, teniendo en cuenta estos

turo

y,

factores.

Problema

típico

La demanda de fertilizantes en Islandia se ha incrementado progresivamente con el transcurso de los años. ¿Qué etapas iniciales deben recorrerse en un gran proyecto de fabricación para ajustarlo a las

demandas actual y futura?

n.l.

ANTICIPACIÓN AL FUTURO

los proyectos son siempre inciertos e imprepero inevitables, puesto que los procesos deben responder a las demandas futuras. El desconocimiento del futuro es uno de los factores más desconcertantes en la ingeniería de procesos, que oscurece con frecuencia la visión del proceso óptimo. Los efectos de este desconocimiento deben minimizarse de algún modo para clarificar la localización del sistema óptimo, ofreciendo así al ingeniero de diseño un grado de confianza suficiente en los sistemas creados. Una aproximación a este problema supone la elaboración de pronósticos razonables sobre el futuro, seguida de una acomodación a

Los pronósticos en

cisos,

los

mismos.

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

362

Para

ello,

el

ingeniero debe preguntarse:

¿Qué ha sucedido en el pasado? ¿Qué es lo mejor que puede suceder en el futuro? ¿Qué lo peor? ¿Qué es lo que sucederá más probablemente?

En cuanto

a la siguiente pregunta,

¿Qué sucederá en

el

no

existe

una respuesta segura:

futuro?

En este capítulo se centra la atención sobre la acomodación del diseño al pronóstico más probable. En el capítulo 12 se examinarán cuantitativamente los métodos para abordar las incertidumbres en tales previsiones.

Los pronósticos de interés para el ingeniero de proyectos caen dentro de dos grupos principales: pronósticos económicos y pronósticos técnicos o ambientales. Los pronósticos económicos comprenden la predicción de las demandas de mercado y de los precios de materias primas, energía y productos acabados; los costes de mano de obra y su disponibilidad; la competencia en los mercados y su capacidad, etc. Una característica especial de la economía es la presencia de actos o entidades dirigidas, como los competidores, que se orientan siempre en oposición a los fines propios. Por ello, la teoría de los juegos debería representar un papel primordial en la interpretación de los fenómenos económicos. Sin embargo, la matemática de esta teoría no ha progresado aún lo suficiente para ser útil en la interpretación de situaciones industriales *, por lo que el análisis y predicción del comportamiento de estas entidades dirigidas se efectúan habitualmente de modo intuitivo por los entendidos en economía. Aun así, el ingeniero no puede ignorar los pronósticos económicos, ya que debe ajustarse a ellos. Por ejemplo, Pennsalt, importante empresa química, exige que toda asignación de capital superior a cinco millones de pesetas sea precedida por una previsión para diez años del volumen de ventas, de los precios, los costes y las necesidades futuras de capital. Para comprender mejor cómo pueden afectar a la ingeniería de un proceso este tipo de pronósticos económicos, basta considerar los siguientes razonamientos. El precio de venta de un producto o artículo *

No

obstante, véase R. R.

Competitive Situations»,

World

Hughes Petrol.

y

J.

Conf.,

C.

Ornea:

abril

1967.

«Decision-Making in

ANTICIPACIÓN AL FUTURO

353

de consumo no permanecerá estático en el futuro a menos que la capacidad de producción del mismo cambie de forma paralela a la demanda. Un exceso de demanda tiende a aumentar los precios, mientras que el crecimiento de la oferta les impulsa a disminuir. Sin embargo, cuando los márgenes comerciales son altos, debe aumentarse la capacidad a ritmo creciente con el aumento de competidores en el mercado. Como consecuencia, siempre que algún fabricante pueda obtener un beneficio de su capital fabricando un producto con un proceso más moderno, eficaz y de diseño más avanzado, el precio de aquél tenderá a descender con el tiempo. El precio de venta mínimo de un producto es, por tanto, aquel con que el fabricante que posee el proceso más eficaz, tanto desde el punto de vista técnico como económico, puede conseguir un beneficio razonable. De este modo, los precios de venta pueden estimarse con frecuencia como la suma de un precio base F, suficientemente estable, y un margen de beneficio, que desciende al aumentar el número de competidores que intentan adueñarse del mercado. Precio =Aíoe-^«^

+F

^

[11.1]

El precio base se fundamenta, como se ha indicado, en el coste estimado para la planta más eficaz que pueda construirse en el futuro, teniendo en cuenta los posibles cambios tecnológicos, así como la evolución de los costes fijos y de construcción. Se ha comprobado que el precio base suele descender con el tiempo con menor rapidez que el margen de beneficios; así, mientras la variación normal del primero oscila alrededor del 1 al 4 por 100, la del segundo llega
^

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

364

Un

factor importante en el pronóstico técnico radica en la comy preparación de la sociedad técnica, siempre crecientes.

petencia

HiRSCHMANN

* ha cstudiado este aspecto y sugiere que la capacidad Qa de un proceso dado crece con el tiempo según la ecuación

real

empírica

-^ = 1+

(-^-l)[l-exp(-/(:0)]

[11.2]

que Qd representa la capacidad de diseño y C^oo la capacidad Para unidades de craqueo catalítico, Hirschmann obtuvo que QJQd^2 y K = QX Por ejemplo, en 1951, la capacidad de diseño de las unidades de craqueo catalítico instaladas en todo el mundo era de 190 000 m^ por día, mientras que su capacidad real rebasaba los 250 000, es decir, se había incrementado en una tercera parte sobre el valor de diseño. Este aumento de capacidad se debe, fundamentalmente a dos causas: 1) a un ajuste óptimo de las variables de operación, y 2) a una disminución en el número de revisiones y paradas por eliminar, gracias a la experiencia, los cuellos de botella existentes en la planta. La preparación técnica creciente de un grupo de ingenieros influye también sobre los costes de un sistema de procesos, de acuerdo con Hirschmann. Por ejemplo, hace diez años el tiempo necesario para poner en funcionamiento una unidad de craqueo de la refinería de Whiting, de la American Oil Company, se consiguió reducir a la mitad del empleado hasta entonces para ello, disminuyendo de forma paralela la inversión necesaria. Del mismo modo, la refinería de petróleo de Favk^ley, Inglaterra, construida en 1950, podría haberse levantado de nuevo cinco años más tarde con un coste 30 por 100 inferior al original. Por último, la inversión requerida para duplicar en 1955 una planta construida en 1942 fue tan sólo la tercera parte de la inicial, como consecuencia de una técnica cada vez más peren

la

límite.

fecta.

Por consiguiente, el problema básico a estudiar en este capítulo consiste en la determinación del tamaño inicial más adecuado para un sistema de proceso situado en un entorno dinámico desde los puntos de vista técnico y económico. La figura 148 ilustra este problema, mostrando la previsión del mercado futuro para un producto, la capacidad de diseño inicial, su ampliación a causa de la mejor preparación técnica y el programa real de producción del proceso. En sus

*

Eng.,

W.

B,

marzo

Hirschmann: Harvard Business Review, 30, 1964.

1,

42, 125 (1964);

Chem.

ADAPTACIÓN A UNA DEMANDA PREVISTA LINEAL

365

problema se centra en estimar la capacidad de diseño de tal modo que se equilibre económicamente el primer período de infrautilización de la planta, debida a su capacidad máxima

fases iniciales, el inicial

Demanda

prevista

Años, O

FlG. 148,

de producción superior a la demanda, con la mayor economía que se obtiene en el capital inmovilizado por unidad de capacidad si se instala un sistema mayor.

11.2.

ADAPTACIÓN A UNA DEMANDA PREVISTA LINEAL

En este apartado se determinará la capacidad inicial adecuada para un sistema de proceso que ha de satisfacer una demanda conocida que crece linealmente de forma continua, situado en un entorno estático en los restantes aspectos. Se trata de cubrir esta demanda mediante una secuencia de ampliaciones de la planta que se deben realizar de tal modo que conduzcan a un valor mínimo para la suma de todas

las inversiones necesarias.

La situación más simple

se

produce cuando se cumplen

las

si-

guientes premisas:

Debe

satisfacerse en todo

tinuamente de

modo

momento una demanda que

crece con-

lineal:

D^ad

[11.3]

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

366

Las inversiones en la planta inicial y en las ampliaciones futuras siguen la ley de la potencia

'M-tY

'"•"'

El entorno económico y técnico es estático. adelante se tratará este problema de forma más con condiciones más flexibles, resulta instructivo analizar un ejemplo de adaptación razonable a esta situación.

Aunque más

verosímil,

El valor actual de una inversión / a efectuar dentro de 6 años es:

rentabilidad prevista para el capital invertido en empresa. Por tanto, el valor actual de una secuencia de inversiones /y, realizadas en tiempos Qj años, será:

representando

las actividades

i

la

de

la

oo

valor actual

=

V

/yg- "'y

[11-5]

/=i

Nuestro objetivo es, pues, satisfacer la demanda de modo que este valor actual resulte mínimo; la ecuación [11.5] se convierte así en la función objetivo del proyecto, y puede visualizarse como el fondo que debe crearse en el momento presente para financiar todas las inversiones futuras. La figura 149 muestra un conjunto factible de inversiones para solucionar el problema; es factible en el sentido de que satisface la demanda, si bien no lo hace en forma óptima. Obsérvese que el tiempo 0/ en el que debe incorporarse la cantidad adicional Q^ es: y-i

^/=^2^^

[11.6]

Cada vez que la demanda alcanza la capacidad de la planta exismomento, surge de nuevo el mismo problema, a saber,

tente en ese

adaptar la capacidad a una variación lineal que se extiende indefiel tiempo. Si cada vez se presenta el mismo problema, parece lógico que su solución sea también la misma. En consecuencia, el plan de expansión óptimo implica necesariamente ampliaciones de la misma magnitud en todos los casos.

nidamente en

ADAPTACIÓN A UNA DEMANDA PREVISTA LINEAL

El tiempo para la ampliación

/

367

será entonces:

(;-i)C>* e,-

donde Q* representa por determinar.

o

•c

el

tamaño de

la

ampliación

óptimo, todavía

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

368

Diferenciando la ecuación [11.7] respecto a Q e igualando la derivada a cero, se obtiene la siguiente expresión para la ampliación óptima de la planta

iQ*

M(l-^-'QV«).

Q-iQVa^Q

La ecuación [11.8] se ha representado gráficamente en que conduce a algunas conclusiones interesantes.

0,4

la figura 150,

0,8

Factor de escala de costes

FiG. 150.

[11.8]

M

Capacidad inicial para adaptarse a una previsión lineal en circunstancias estáticas.

Se observa que para un valor dado de M, el término Q*i/a es constante. Basándose en esto, puede enunciarse la siguiente regla empírica.

Si puede suponerse que la inversión necesaria para un sistema de procesos aumenta con la capacidad siguiendo la regla de los seis décimos, la capacidad inicial recomendable es, aproximadamente,

Q* =

[11.9]

DEMANDA

INICIAL

NO NULA

359

Conociendo

el origen de esta regla intuitiva se comprende su falta consistencia y su limitado campo de aplicación. Sin embargo, ¿con qué frecuencia se aceptan otras reglas cuyos principios fundamentales resulta imposible analizar, o, quizá, son inexistentes? Obsérvese además en la mencionada figura que cuando tiende a 1 son recomendables ampliaciones cada vez más reducidas. Esto es razonable, ya que si es igual a 1, la construcción de un sistema de mayor capacidad no representa ninguna economía en los costes unitarios. Por el contrario, cuando tiende a cero, las ampliaciones deberían ser más grandes, puesto que en este caso se obtendría una considerable economía por unidad de capacidad al aumentar el tamaño

de

M

M

M

de

la planta. ~

í-r

-

-

i

Ejemplo: Se prevé que la demanda de vapor en un sistema de procesos aumentará en el futuro de forma continua en 9 000 kg/hora cada año. El dinero invertido por la empresa se recupera con una rentabilidad media de 0,20 ptas por año y peseta invertida, y el coste de las calderas instaladas viene expresado por la ecuación:

7=42 000 000

f—^) 45 000./ \

donde

Q

capacidad

'

ptas,

^

es la capacidad, expresada en kilogramos/hora. ¿Cuál es la inicial óptima, según el método propuesto en este apartado?

C?*=— = i

11.3.

^^^^

=45 000 kg/h

0,20

DEMANDA

INICIAL

NO NULA

Frecuentemente, cuando un ingeniero comienza a estudiar un prouna demanda finita de los bienes que proporcionará. Esta demanda podría cubrirse por otros medios, tal como la adquisición del producto en otra fuente más costosa, o bien podría no cubrirse, obstaculizando así posteriores crecimientos de algún complejo. Se considerará ahora el problema de la adaptación de un sistema a una situación en la que existe una demanda inicial, Do, y una variación lineal de la misma con el tiempo ceso, existe ya

D=Do + ae

[11.10]

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

370

Supóngase que inicialmente se pone en funcionamiento un sistema con capacidad Q\> Dq y considérese la situación cuando, transcurrido un tiempo di, 02

= Qi-Do

[11.11]

vaya a construirse un segundo sistema. En ese momento existe una demanda no satisfecha nula, manteniéndose la variación lineal prevista. Es decir, el ingeniero se enfrenta con una situación totalmente análoga a la estudiada en el apartado 11.2 para una demanda inicial nula.

4,0

12,0

8,0

16,0

20,0

Doi/a FiG.

151.

Sobrediseño para una demanda con un valor distinto de cero que crece de forma lineal.

inicial

Por tanto, una vez que la capacidad inicial del sistema iguala a la demanda, el tamaño de las ampliaciones se determinará aplicando la ecuación [11.8] y la figura 150. De este modo, queda fijado el plan de expansión óptimo; debe-

mos

localizar ahora nuestra atención sobre la evaluación de la capacidad inicial óptima para el sistema, Q*. El valor actual de todas las inversiones que se efectuarán en las distintas ampliaciones del sistema viene dado por:

ADAPTACIÓN A LA DEMANDA DE FERTILIZANTES EN ISLANDIA

(1950)

371

El primer término representa la inversión en el proceso inicial de capacidad Qx, y el segundo, el valor actual de todas las expansiones futuras, de acuerdo con la ecuación [11.7]. Igualando a cero la derivada del valor actual, expresado por la ecuación [11.12], respecto a Qi, se obtiene la siguiente expresión para la capacidad inicial óptima: /

n*i

\

^-1

ÍJlÜj

/

o*i

\

^-1

e-Q'V"=í-^— j

e^VQi*)'/'»

[11.13]

Si en la ecuación anterior se define un factor de sobredimensionado {Q*-D^i¡a, y una demanda inicial adimensional, Daija, resta tan sólo un parámetro M, tal como se observa en la figura 151. En el próximo apartado se analiza una aplicación de estos con-

ceptos.

n.4.

ADAPTACIÓN A LA DEMANDA DE FERTILIZANTES EN ISLANDIA (1950) ^

Con los conocimientos expuestos en los apartados anteriores pueden abordarse problemas más realistas para tratar de ajustarse lo mejor posible a los objetivos propuestos. El diseño y construcción del primer complejo para la producción de fertilizantes químicos en Islandia durante la década de los cincuenta constituye un excelente ejemplo real. La demanda de fertilizantes nitrogenados en Islandia se incrementó durante el período 1940-1950 en la forma que se muestra en la figura 152, satisfaciéndose mediante la importación de nitrato amónico de ultramar. Decidida en 1950 la instalación de una planta para la fabricación de este producto en la isla, se planteó el problema de estimar cuál debía ser su capacidad inicial y cómo debían realizarse las

ampliaciones futuras.

la previsión de la demanda futura de fertilizantes. Esto se lograría de forma correcta tras una amplia discusión con los expertos locales en agronomía, consultando estimaciones sobre posibles incrementos en la actividad agrícola, asociados con los aumentos de población. Quizá deberían también estudiarse con tal fin los efectos probables de la entonces recién terminada segunda guerra mundial. Desafortunadamente, la consideración de todos estos factores sobrepasa el alcance de este texto. Suponien-

La primera cuestión a resolver radica en

*

tilizar

Comunicación privada de R. Thordarson, director de Company.

ingeniería de procesos.

25

la

Iceland Fer-

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

372

do por

que en

futuro continuaría la variación lineal de la deel periodo 1940-1950, se dedujo la siguiente expresión para la evolución del consumo de fertilizante: ello

el

manda observada durante

D = 2 700 + 230

ton/año

Do = 2 700 ton/año

[11.14]

a = 23 O ton/año^

= en 1952, momento en que se proyectaba que siendo de producción entrase en funcionamiento. 6000

4000

2000

-

el

sistema

ADAPTACIÓN A LA DEMANDA DE FERTILIZANTES EN ISLANDIA

Por tanto,

la

capacidad

=

recomendada

inicial

Do +

1,4a

2 700

+

(^'"^^

^^^Q>

^5

(1950)

373

sería

400 ton/año

0,12

La primera expansión

del sistema se prevería para

Qx-Dq

2 700 L=_^«12años

e^=-^

a y

la

capacidad aconsejable para

Q* = En

la

ducción

—=

(1964)

230 la expansión, figura

l,0íz

(1,0) (230)

t

0,12

tt::,

=«

1

150, debería ser

900 ton/ano

figura 153 se muestra de forma gráfica este plan de prode fertilizantes para satisfacer las necesidades futuras de

Islandia.

8000

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

374

po? ¿Y para atender

en

suministro de materias priLos métodos para tener en cuenta tales efectos se discuten en los capítulos 12 a 15. Analicemos ahora lo que ocurrió realmente. El gobierno de Islandia autorizó la construcción de una planta de nitrato amónico con capacidad entre 5 000 y 10 000 ton anuales. Basándose en la experiencia, los ingenieros recomendaron la construcción de una instalación para 8 000 ton anuales, con posibilidad de duplicarla en el futuro. Obsérvese en la figura 153 cómo aumentó de forma acusada la demanda de fertilizante cuando se tuvo disponible el producto islandés en 1952. Este hecho inesperado tiene una explicación interesante. Antes de la construcción de la planta, el nitrato amónico se transportaba por vía marítima y los pedidos debían efectuarse con varios meses de adelanto. Era imposible modificar un pedido cuando ya se había cursado y los agricultores tenían que consumir la cantidad de fertilizante considerada inicialmente como necesaria, cualesquiera que fuesen las circunstancias. Sin embargo, una vez que la planta inició su producción, los pedidos de fertilizante podían hacerse en cualquier momento, por lo que se incrementaron considerablemente. Este efecto autocatalítico no ha sido tenido en cuenta al hacer nuestra sencilla

mas o

servicios,

como

las variaciones

el

la energía eléctrica?, etc.

extrapolación.

Este ejemplo ha servido para mostrar cómo se aplican los concepestudiados a un problema práctico de ingeniería, poniendo de manifiesto la importancia fundamental que tiene una comprensión completa de las circunstancias que rodean al problema primitivo original. En el caso descrito, el efecto imprevisto, pero quizá predecible, de autocatálisis invalidó un plan inicial de proceso que bajo los restantes aspectos resultaba viable. Es, pues, evidente que en todos los problemas reales debe efectuarse un análisis detallado y elaborado. tos

11.5.

DIMENSIONADO DE NUEVAS PLANTAS QUÍMICAS EN UNA economía DINÁMICA

Los problemas tratados en los apartados precedentes se han simconsiderablemente para poner de manifiesto los distintos conceptos involucrados en la adaptación al futuro. Las situaciones reales de la ingeniería de procesos rara vez son tan simples. Así, los mercados crecen, los precios bajan, los costes se incrementan, la capacidad de los procesos aumenta como consecuencia del aumento de experiencia del equipo técnico con el tiempo, aunque, por el contrario, los sistemas pierden utilidad debido a la obsolescencia técnica. Incluso la simple hipótesis de que los precios de venta de los plificado

DIMENSIONADO DE NUEVAS PLANTAS QUÍMICAS EN UNA ECONOMÍA DINÁMICA

375

productos y los de adquisición de las materias primas permanecerán inalterados durante la vida prevista para un proceso, representa una considerable simplificación. y. B. Malloy, de Amoco Chemicals Corporade Chicago, han puesto de manifiesto las etapas que deben seguirse en el análisis asociado con cualquier problema industrial. Este apartado se basa fundamentalmente en su trabajo *. Consideremos el siguiente problema: Se desea dimensionar un proceso para producir el monómero base de un plástico que está experimentando un crecimiento muy rápido en su demanda.

W. W. TwADDLE y

tion,

Previsión de mercado. El mercado actual para este producto es de 225 000 ton/año, con un crecimiento anual del 30 por 100. Se espera que la velocidad de crecimiento disminuya al 15 por 100 anual en cuatro años y en un futuro más remoto al 4 por 100.

D = 225

exp {(0,04^)- 1,210[1 -exp f- 0,2150)]}

La participación de la empresa en mente en un 4 por 100, aumentando con de acuerdo con la ecuación siguiente: /

el

mercado

el

tiempo hasta

se

[11.15]

prevé el

= 0,04 + 0,06[l-exp(- 0,2780)]

inicial-

10 por 100

[11.16]

Previsión de precios. El precio base durante los quince años de vida previstos para el proceso se calcula en la tabla 67. La capacidad máxima de una planta es en la actualidad de 99 000 ton/año, esperándose que aumente durante los quince años hasta 450 000 ton/año. Teniendo en cuenta los cambios previstos en el valor de las materias primas, costes, mejoras en los rendimientos, etc., se deduce la siguiente evolución en el precio base:

Precio base

Se supone que

el

= 12,08 exp(- 0,03290)

margen sobre

el

precio

[11.17]

base decrece en

un

18 por 100 anual y que el precio de mercado para el monómero es en el momento actual 51 centavos/kg. Por consiguiente, la variación del precio

puede representarse por Precio, centavos/kg

= 24,41^-0-18^ + 26,59e-o-3299

[l\.\^

descendiendo en quince años de 51 a 17,9 centavos/kg. *

W. W. TwADDLE y J. B. Malloy: «Evaluating and Sizing New Chemical Dynamic Economy», Chem. Eng. Progr., julio 1966.

Plants in a

Tabla 67

Estimación del precio base

Actual

Capacidad de Inmovilizado,

la

planta,

MM

ton/año

$

Costes variables (centavos/kg) Materias primas Otros

Costes fijos (centavos/kg)

*

Mano de

obra Mantenimiento,

seguros e impuestos Comercialización, administración, investigación y desarrollo

Cargas del capital (centavos/kg) 6

por 100 de los costes del capital

DIMENSIONADO DE NUEVAS PLANTAS QUÍMICAS EN UNA ECONOMÍA DINÁMICA

377

Los costes de fabricación variables se estima que decrecerán por debajo del valor inicial, mostrado en la tabla di, 15,7 centavos/kg, de acuerdo con la ecuación Costes variables, centavos/kg =

1 5, 7e-°'°2^29

[11.19]

Capital inmovilizado. Se calculará tomando como base el necesapara una planta de 90 000 ton/año, 40 de dólares, y considerando un exponente para el cambio de escala según la ley de la potencia M=0,65:

MM

rio

/=(40

MM

$) V

^— — 90 000/

[11.20] ^

•

Aumento de capacidad. Se calcula que la capacidad de la planta aumentará con un factor de tiempo K = 0,1 años-^ El coste estimado para este incremento es igual a la mitad del coste medio por tonelada de capacidad anual inicial:

-~- = 1 + 2[1 - exp ( - 0,161)]

[11.21]

Todos estos apartados constituyen una parte esencial de los conceptos que deben manejarse para realizar una previsión realista de cambios futuros.

los

Resultados. La figura 154 muestra el valor actual de los beneficios de sistemas para la producción del monómero de distintas capacidades, calculados despreciando uno o varios de estos factores. De este

modo, puede observarse

frente a los mismos.

no

la sensibilidad del

En resumen,

proceso recomendado son los siguientes:

los resultados

en cuenta ninguna variación futura, el proyecto recon una rentabilidad de 17,2 por 100 al año, para un proceso de 150 000 ton/año. Si en el análisis se considera el descenso del precio de venta, los resultados son poco prometedores, obteniéndose tan sólo 6,8 por 100 al año con el proceso óptimo de 55 000 ton/año. Por el contrario, si además de este factor se considera el incremento de capacidad debido a la experiencia creciente, el tamaño óptimo resulta ser 45 000 ton/año, con una rentabilidad de 9,6 por 100 Si

sulta

al

muy

se tiene

atractivo,

año.

Por último, incluyendo todos los factores, es decir, con el análisis realista, se llegaría a una planta de 44 000 ton/año que proporciona cada año un 7,8 por 100 del capital invertido.

más

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

378

100

Recuperación de 17,2%/ano

Entorno estático

9.6%/año

S

10-

Margen decreciente y experiencia

Margen decreciente, experiencia y ampliación

^

1

Margen decreciente

150

5d Capacidad de

FiG. 154.

La consideración de

los

la

planta,

MM

kg/año

cambios puede tener efectos drásticos.

Este resumen muestra la importancia trascendental que tiene efectuar un estudio completo y detallado del entorno en que se va a integrar un proceso. Si se hubiese construido una planta de 150 000 toneladas al año, admitiendo un entorno invariable, se habría efectuado una inversión de capital que se podía haber aplicado mejor a otros proyectos.

11.6.

SENSIBILIDAD PARAMETRICA

En el diseño de un sistema de procesos se presenta una situación favorable cuando la solución recomendada para la planta inicial es insensible a las posibles fuentes de incertidumbre. Considérese, por ejemplo, la situación representada en la figura 155, en la que la capacidad inicial recomendada resulta casi idéntica para dos previsiones futuras diferentes. En tal caso, puede decidirse el diseño inicial con confianza, ya que tanto los pronósticos futuros más optimistas como los más pesimistas son satisfechos. Cualquier error que pudiera cometerse en la estimación del futuro no afecta a la capacidad inicial del proceso. Por el contrario, si se presenta la situación poco deseable mostrada en la figura 156, en la que la capacidad inicial es extremadamente

SENSIBILIDAD PARAMETRICA

379

sensible al desarrollo futuro de la demanda, ¿cómo se determinaría tamaño inicial óptimo de la instalación? La solución implica nece-

el

sariamente una aproximación análoga a un juego de azar. Se puede Capacidades Iniciales para una previsión dada

Tiempo

FiG. 155.

Una

solución favorable: decisión inicial insensible

al

pronóstico.

estimar la probabilidad con que puede presentarse cada situación y con que debería gravarse al proyecto por la decisión inadecuada correspondiente. Analizando los valores resultantes, el proyectista puede elegir entre diversas decisiones paramétricamente

la tasa (pérdida)

sensibles. Capacidades iniciales para una previsión dada

Pronóstico optimista

Tiempo

FiG. 156.

Una

situación desfavorable: sensibilidad paramétrica.

En este apartado se ha pretendido tan sólo poner de manifiesto cómo puede reconocerse una situación potencialmente peligrosa. El de sistemas de esta índole se discute en en el 15. posteriormente y

análisis racional

lo 12

el

capítu-

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

380

11.7.

La

UN EFECTO CURIOSO DE LA NATURALEZA HUMANA

simplificativa utilizada en algunos tratamientos de que supone que los sucesivos diseños de una planta que se expansiona son idénticos desde el punto de vista técnico, difiriendo sólo en el tamaño global, podría parecer poco realista. En efecto, probablemente se pensará que los datos obtenidos durante la operación de la planta inicial conducirían a un diseño diferente, más perfecto, para la primera expansión, y así sucesivamente. Esto es sin duda una posibilidad; sin embargo, en un mercado que se expansiona y evoluciona con gran rapidez, resulta muy probable que el deseo de seguridad en el éxito comercial de la empresa, muy comprensible, conduzca a la reproducción exacta de un diseño con el que ya se sabe que la planta opera con éxito. El procedimiento lógico, si el tiempo lo permitiese, consistiría en examinar críticamente el diseño del proceso ya existente a la luz de la experiencia adquirida en su operación y de los datos obtenidos, desarrollando a continuación un diseño nuevo y más próximo al óptimo. Si fuese previsible que en el futuro se va a poder efectuar este estudio, deberá tenerse en cuenta tal circunstancia al planificar la distribución temporal de las expansiones. En tal caso, cada unidad en funcionamiento juega el importante papel de unidad piloto de las que le seguirán en el futuro. Aparentemente, puede parecer que un tratamiento que tuviese en cuenta los avances tecnológicos que aparecen normalmente como consecuencia de la experiencia anterior sería más realista que un análisis simplificado. Sin embargo, las limitaciones de tiempo y la naturaleza

hipótesis

este capítulo

humana

tienden,

desafortunadamente, a hacer que, pese a todo,

el

más realista. En efecto, por un comprensible deseo de certidumbre en un campo intrínsecamente incierto, el diseñador tenderá a fijar su atención en que su análisis

más simple parezca ocasionalmente

el

proyecto anterior ha demostrado ya ser útil; considerará así que debe conservarse intacto, «congelado», en cada detalle copiándose en todo en el nuevo diseño, excepto en lo que a la escala se refiere. Sin embargo, en tal situación lo único que puede afirmarse categóricamente es que el sistema es capaz de funcionar con éxito, pero no que lo haga del modo óptimo. A pesar de ello, la familiaridad con sistemas que operan con éxito tiende a frenar la evolución lógica hacia otros sistemas operativos de mayor rendimiento. Contemplemos la situación siguiente. Una empresa de ingeniería tiene que diseñar una planta para satisfacer una demanda creciente durante los próximos cinco años. Construida la instalación, se coméste

OBSERVACIONES FINALES

381

prueba su rendimiento satisfactorio. En el momento de considerar la primera expansión del sistema, aparece una nueva tecnología que probablemente realizará la función deseada con un coste menor. ¿Debe incorporar el proyectista esta nueva técnica en su diseño, o debe rechazarla y continuar con la técnica segura, todavía útil, pero no óptima? Pueden proponerse argumentos válidos que apoyen ambas soluciones, por lo que el diseñador debe evaluar los riesgos implícitos en cada caso. En la práctica, la situación más adecuada quedará siempre entre la solución que se basa en una tecnología completamente estática y la que incluye los métodos teóricamente más avanzados.

n.S.

OBSERVACIONES FINALES

Todas las decisiones relativas al futuro remoto poseen dos aspectos beneficiosos. Primero, los efectos financieros de la incertidumbre existente sobre el futuro se amortiguan por la función exponencial decreciente, e~'^, utilizada para calcular el valor actual. El futuro lejano tiene así una

En segundo

menor

incidencia en la decisión final adoptada.

lugar, mientras en nuestro análisis los planes de expansión

han realizado abarcando hasta el futuro remoto, el compromiso directo del diseño recae solamente en el proyecto de la planta inicial necesaria para la primera etapa del programa de fabricación. Así, antes de iniciar la construcción de las sucesivas ampliaciones, se puede reconsiderar la situación y corregir, al menos parcialmente, los pose

cometidos en las decisiones iniciales. Sin embargo, la adaptación al futuro es uno de los factores que tienden a modelar el diseño inicial de un proceso. También deben incluirse en el mismo otros factores relativos a un entorno variable, a los fallos de partes del sistema y a la incertidumbre existente en los datos básicos, términos que se revisan en los siguientes capítulos del sibles errores

texto.

Bibliografía

La utilización de la curva de variación de capacidad debida a la experiencia y conocimiento técnico se discute en:

W.

B.

mayor

«Profit from the Learning Curve», Harvard Busienero y febrero 1964. Hirschmann: «The Learning Curve», Chem. Eng., marzo 30,

Hirschmann:

ness Review,

W. H. 1964. F.

Andress «The Learning Curve as Business Review, agosto 1960. J.

:

j

Production Tool», Harvard

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

382

Véanse las siguientes referencias, relacionadas con la adaptación a las previsiones para el futuro: «Evaluating and Sizing New Chemical J. B. Malloy: Dynamic Economy», Chem. Eng. Progr., 62 (1966). R. M. Lawless y P. R. Haas: aHow to Determine the Right Size Plant», Harvard Business Review, 40, 3 (1962). R. CoLEMAN y R. York: «Optimum Plant Design for a Growing J.

W. W. TwADDLE y Plants in a

Market», Ind. Eng. Chem., 56, 1 (1964). I. Sajelan y A. V. Cáselo: «Optimum Design Capacity of New Plants», Chem. Eng. Progr., 59 (1963). H. HiNOMOTo: «Capacity Expansión and Probabilistic Growth», ManaD.

gement Science, A.

S.

9,

3

(1965).

Manne: «Capacity Expansión with

Facilities

Improvement», Econometrica, 29, 4 (1961). H. A. Quigley: «Economics of Múltiple Units»

:

under Technological

Chem.

Eng., agosto 29,

1966.

EJERCICIOS 1.

Supóngase que los cambios previsibles en la tecnología y en el entorno económico pueden expresarse por los siguientes factores que multiplican el coste del equipo de un proceso. (Coste de una planta en

el

tiempo

d)

= e-''^e+^^

(Coste en

el

tiempo

cero),

siendo r la reducción anual unitaria de la inversión necesaria para el proceso debida a las mejoras tecnológicas y 5 la velocidad de inflación del dinero que provoca un aumento del capital necesario. Muéstrese cómo pueden modificarse los sencillos análisis descritos en los apartados 11.2 y 11.3 para considerar estos efectos sin más que sustituir la velocidad de recuperación del capital invertido i por i—s + r. 2.

Determinar el tamaño inicial recomendable para una planta de nitrato amónico, la capacidad de la primera ampliación y el momento en que debe efectuarse para las condiciones descritas en el apartado 11.4, considerando además que la inflación incrementa el coste de un proceso químico en un 5 por 100 anual con una tecnología estática, y que el perfeccionamiento de la ingeniería de los procesos de fabricación de nitrato amónico reducirá el coste del equipo necesario en un 10 por 100 anual con una economía estática.

3.

En una

planta petrolífera existe una necesidad inmediata de 100 m^ de de intercambio de calor. Tres años después, cuando se lleve a cabo la expansión proyectada para la planta, se requerirán 400 m^ más. El coste actual de los cambiadores instalados puede evaluarse mediante superficie

correlación 7=350 000 (QllOf'^ pesetas, siendo Q el área de intercambio en metros cuadrados. Si el cambiador se sustituyese tres años después, se economizaría un tercio del coste del equipo original. ¿Cuál de las la

EJERCICIOS

siguientes soluciones resulta

383

más aconsejable para

cubrir la necesidad actual

y futura de superficie de intercambio? Instalar inicialmente un cambiador de 500 m^; instalar inicialmente un cambiador de 100 m^ y sustituirlo al cabo de tres años por otro de 500 m^; instalar inicialmente un cambiador de 100 m^ y adquirir al

cabo de los tres años otro de 400 m-. Resuélvase el problema para situaciones en las que se recupera anualmente 5, 10 y 30 por 100 del capital invertido. Este problema ilustra cómo pueden manejarse situaciones alternativas en un entorno variable mediante el concepto de valor actual introducido en el capítulo 4.

Calanog reunió algunos datos

interesantes sobre las mejoras tecnoconseguidas a lo largo del tiempo en los hornos altos, sistema básico para la producción de hierro. El horno alto se utilizó por vez primera en el siglo xiv; en épocas posteriores, se introdujeron considerables mejoras que aún continúan realizándose en la actualidad. Así, el uso de oxígeno enriquecido, combustibles auxiliares, etc., han contribuido a aumentar la producción de hierro por unidad de volumen de horno desde 1953 en la siguiente proporción

E.

lógicas

Porcentaje de incremento desde 1953

(Producción)

-6

12

27

30

28

32

30

49

62

1954

55

56

57

58

59

60

61

62

(Volumen de horno)

Años

¿Cómo deben

corregirse los datos sobre capital inmovilizado necesapara un horno alto para incluir esta evolución? ¿Cabe esperar que continúe esta tendencia?

rio

proyecto de una ampliación de una planta presenta sobre el de la instalación inicial, requiriéndose un capital inmovilizado por unidad de capacidad más elevado. Supóngase que esta diferencia puede reflejarse en el exponente de la ley de la potencia, siendo Mg el valor para estimar el coste de la planta original y M^ el correspondiente a cualquier expansión. Desarróllese una expresión para evaluar con estas condiciones la capacidad inicial óptima que satisfaga una demanda creciente de forma lineal, siendo constantes todas las condiciones restantes.

Frecuentemente, algunas

el

diferencias

M

D = ae. En

el

plan óptimo, ¿qué ampliaciones de la planta cabe esperar que sean

idénticas?

Supóngase que las diferencias entre el coste del proyecto inicial de una planta y el de las expansiones subsiguientes pueden expresarse en la siguiente forma:

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

384

Tipo de proyecto

Capital necesario

Q \M Diseño

/=/o

inicial

I

I

Qo J Expansiones

-(i)

Desarrollar una expresión para la capacidad inicial óptima para satisfacer

una demanda

lineal

D=ae 7.

La inversión necesaria para un proyecto implica con frecuencia términos que no dependen directamente de la capacidad del sistema, referentes, por ejemplo, a la preparación del solar, edificaciones, carreteras, etc. Diseñar una instalación que cubra una demanda futura que crece de forma lineal D = a6, con las siguientes funciones de coste Tipo de proyecto

Capital necesario

M Diseño

inicial

Adaptar forma

la

(

^=^2

|

~~~

+^i

'-Al)

Expansiones

8.

/=/o

)

~^

'-Mi

M +^3

1

capacidad inicial de una planta a una demanda prevista de

la

D=Do+ad con

la siguiente situación

de costes:

Tipo de proyecto

Diseño

Capital necesario

inicial

^=^o

(

^=^2

I

~~

M +-^1

1

M Expansiones

9.

~^~

1

+^3

Resulta poco realista suponer que puede diseñarse de forma económica una planta de cualquier tamaño; el proyecto sólo resultará eficaz por encima de una capacidad mínima. Incorporar este hecho a los conceptos descritos en este capítulo y diseñar una planta que ciunpla estas condiciones y que sea capaz de cubrir en el futuro una demanda linealmente creciente.

D=ae

EJERCICIOS

con

la

385

situación de costes

-(f) y con la condición ya citada, Q^Qmín> siendo Qjnín la capacidad mínima de la planta que puede construirse de forma rentable. Demostréir que la solución de este problema puede representarse de forma gráfica como se indica en la figura 157.

386

ADAPTACIÓN A LOS DESARROLLOS FUTUROS

Para un horno de

MM

000 kg de capacidad, el coste asciende a 10 de en la calefacción de cada carga. Si se supone que la velocidad de fusión, expresada en kilogramos por hora, es independiente del tamaño del horno, ¿cuál debe ser la capacidad inicial óptima del aparato que ha de instalarse, si tiene que cubrir una demanda inicial de metal de 220 000 kg/año y se prevé un incremento lineal en el consumo de 22 000 kg/año-? ¿Cuál sería el tamaño adecuado para las ampliaciones futuras y en qué momento deberían efectuarse? 5

pesetas, invirtiendo dos horas

CAPITULO

12

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

No

ningún método capaz de predecir situaciones futuras demanda de los servicios de un determinado sistema, una variación en las condiciones ambientales, la velocidad de una reacción química en un reactor en proyecto o la eficacia de un proceso de separación. Habitualmente, los datos y ecuaciones de diseño se encuentran rodeados por una nube de incertidumbre, gran parte de la cual desaparece tan sólo una vez que el sistema ya se encuentra construido y puede observarse su operación, demasiado tarde ya para corregir los errores cometidos durante el diseño. En este capítulo se describe una estrategia para eludir los errores de diseño debidos a

tales

existe

como

la

esta persistente incertidumbre.

Problema

típico

Se desea dimensionar una unidad para recuperar el vapor que se prevé escapará de un tanque de almacenamiento de amoniaco líquido de 60 00 ton de capacidad en proyecto. En tal situación, solamente se puede especular sobre la cantidad real de gas que saldrá del tanque, ya que éste aún no se ha construido. ¿Cómo se puede estimar el tamaño de la unidad de recuperación ignorando en detalle el servicio

que debe realizar?

12.1.

DISEÑO DE ingeniería CONSERVATIVO

El ingeniero de procesos protege los sistemas que proyecta contra de la incertidumbre en los datos de diseño considerando siempre un cierto margen de seguridad. En muchas ocasiones, los componentes de una planta se diseñan premeditadamente para que tengan mayor duración y sean más flexibles y capaces que lo que aconseja la mejor información disponible, para prever la posible influencia de variables desconocidas. Por otra parte, cuando existe incertidumbre sobre algún aspecto crítico de un sistema nuevo, el ingeniero puede decidir no correr el riesgo de construir la planta

los efectos

387

ingeniería de procesos.

26

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

388

recomendando el montaje de una pequeña el comportamiento del sistema, arriesgando un capital mucho menor. La tabla 68 contiene un resumen de la práctica habitual en este campo en relación con el diseño de diversos comercial

directamente,

planta piloto para ensayar

si suele requerirse la experimentación a escala de planta piloto, la razón aconsejable en el cambio de escala y el tanto por ciento de sobredimensionado que se suma usualmente de forma empírica al diseño calculado para considerar la incertidumbre en las características de comportamiento del sistema. Por ejemplo, si se desea diseñar un filtro prensa evaluando el área de filtración adecuada, es preciso efectuar ensayos en planta piloto para determinar la permeabilidad de la torta. Las teorías existentes actualmente tienen suficiente consistencia para permitir la extrapolación hasta caudales cien veces superiores a los utilizados en los experimentos de planta piloto, debiendo sobredimensionarse el aparato en un 11-21 por 100 para prevenir los efectos de posibles errores en los datos básicos o en las ecuaciones.

tipos de aparatos, indicándose

Las bases teóricas de estos factores de sobredimensionado son bastante poco consistentes, debiendo aceptarse más como artículo de fe que como una conclusión científica razonada.

Un error bastante frecuente consiste en considerar que un factor de sobredimensionado * específico para un componente de un proceso es aplicable de modo general a condiciones diferentes de aquellas que inicialmente condujeron a su adopción, incluyendo así este factor una fuente de error para el diseño. Por ejemplo, un reactor que opere satisfactoriamente cuando se diseña con una capacidad 50 por 100 superior a la que se deduce a partir de los mejores datos cinéticos disponibles, puede conducir a un factor de sobredimensionado de 1,5 para todos los reactores que se proyecten en el futuro. Sin embargo, tal factor puede resultar totalmente erróneo para diseñar un reactor en el que se vaya a efectuar otra reacción en una situación económica diferente.

Más

aún, un componente de un proceso no puede diseñarse sin en relación con el sistema en el que ha de integrarse; esto, como indica la tabla 69, ya puede existir una considerable incertidumbre incluso en la definición del problema de procesos. Por ejemplo, cabe esperar que una unidad de separación se diseñará con un factor de sobredimensionado mayor si su efluente es el alimento

contemplar

El factor de sobredimensionado

f

puede definirse como

Capacidad recomendada f-

Capacidad base calculada

Tabla 68. Procedimiento seguido en la práctica ndustrial para el diseño de algunos tipos de aparatos considerando la incertidumbre * i:

Tipo de

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

390

Tabla

69.

Incertídumbre que afecta a la definición económica de un problema de ingeniería de procesos *

Variación probable en pronósticos para plantas con diez años de vida prevista

(%) Coste del capital inmovilizado Duración de la construcción Duración y coste de la puesta en marcha Volumen de ventas Precio del producto Método de amortización Coste de sustitución de equipo y mantenimiento Obsolescencia del proceso o del equipo Tasa de los impuestos Velocidad de la inflación

-10

a

Intereses

Capital circulante Legislación sobre productos Disponibilidad y precio de las materias primas

Competencia Valor residual Beneficio

*

De Bauman

:

Fundamentáis of Cost Engineering

in

the

Chemical In-

dustry.

de un proceso que ha requerido una inversión de muchos millones de dólares que si, por el contrario, simplemente se conduce a una zona de almacenamiento: un defecto en la capacidad de producción de una unidad o proceso determinado provoca un grave disturbio si interfiere en la operación de un gran sistema, en tanto que apenas se aprecia si el producto se conduce a un depósito. El ingeniero intenta siempre alcanzar la situación más ventajosa tras errar tanto por exceso como por defecto, tratando de tomar las decisiones que con mayor probabilidad le llevarán al sistema más útil. Hasta ahora estas correcciones, en las que intervienen términos probabilísticos, se han efectuado de modo intuitivo. No obstante, actualmente se está desarrollando una teoría sobre la toma de decisiones en presencia de incertidumbre cuya aplicación constituye el objetivo principal de este capítulo. Es de esperar que tanto las corre-

PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

391

laciones empíricas existentes para corregir la incertidumbre como la citada teoría en desarrollo contribuirán en conjunto a lograr una aproximación más racional en este área vital de la ingeniería de procesos.

12.2.

PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

Prácticamente, en todos los problemas de proceso existen ciertos elementos de información críticos, en el sentido de que un pequeño cambio en el valor supuesto para un cierto parámetro influye en gran manera sobre la solución del problema. Si la incertidumbre mayor radica precisamente en los valores que se asignan a estas variables, la solución óptima del problema será incierta. Por otra parte, la solución de un problema de proceso puede ser insensible a variaciones amplias de los valores asignados a otras variables que intervienen en los cálculos del diseño y, por tanto, en ellas puede admitirse una

mayor incertidumbre. La sensibilidad de

las ecuaciones de diseño frente a los cambios en los parámetros puede comprobarse incrementando por turno cada uno de ellos y observando el efecto que produce sobre el sistema. Por ejemplo, consideremos una función objetivo, U, que depende en alguna forma compleja de los parámetros Ey, E2, E^, ..., Eu que describen el entorno en el que el proceso se ha de integrar (por ejemplo, la velocidad de una reacción química, la carga de una unidad de refrigeración, la eficacia de piso de una columna de destilación, la velocidad de disminución prevista para el margen de precios, etc.):

U=U(E„E2,E^,...,Ei)

[12.1]

las variables de diseingeniero puede controlar, tales como el tamaño de los recipientes, las áreas de transmisión de calor o el número de pisos de una columna de destilación. Por el momento, se fijarán los valores de estas variables de diseño y se centrará la atención sobre los parámetros ambientales externos, que son los que pre-

La función objetivo también dependerá de

ño,

di,

di,

....

dp,

que

el

sentan incertidumbre. Una vez que se ha calculado un diseño base, suponiendo los valores £], El, £3, ..., El para los parámetros que conducen a un valor de partida de la función objetivo Ü, se incrementa cada parámetro en una pequeña fracción, por ejemplo, el 5 ó 10 por 100, de su intervalo de variación previsto, AEj, A£'2, •••. A^/. Se calcula la repercusión que cada cambio provoca en la función objetivo, definiéndose

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

392

unos coeficientes de sensibilidad Su Si, ..., 5"/ como el cambio producido en la función objetivo al modificar cada parámetro dividido por la variación introducida en éste.

_ ¿1—

S,=

U(E,+AEuE2,É„...,Ei)-Ü

U(F,. F. + AE2,E„...,Ed-U A U(EuE2

[12.2]

A£,

En

el

derivadas diente

límite,

de

la

los coeficientes

función

de sensibilidad se convierten en las respecto al parámetro correspon-

objetivo

:

dEi [12.3]

S2=^ dE2 Sin embargo, desde un punto de vista práctico, la forma de incrementos utilizada en la ecuación [12.2] resulta más adecuada, ya que generalmente resulta imposible diferenciar las complejas ecuaciones que surgen en la ingeniería de procesos. Aquellos parámetros para los que la función objetivo presenta sensibilidad elevada, ya sea positiva o negativa, serán los que pueden facilitar la entrada de incertidumbres en un diseño.

Con

para estimar los efectos de la incertidumbre en una aproximación lineal de las ecuaciones detalladas de diseño. Los parámetros de sensibilidad son precisamente los coeficientes de linealización de las mismas. Así, la ecuación [12.4] frecuencia,

un diseño,

resulta útil aplicar

U Ü=Y,Si{E,-Ed

[12.4]

es una aproximación válida en las cercanías del diseño base, representado por las variables con barra. Al tratar la incertidumbre en los datos de ingeniería y económicos, resulta muy conveniente expresarse en términos de una función de distribución de probabilidad p{E), tal que p{E) dE defina la probabilidad de que E, variable externa en estudio, adquiera un valor

PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

393

E + dE. Así, con esta interpretación de la incertidumbre, el ingeniero puede asignar una función de distribución que decrece rápidamente hacia cero a medida que E se aleja del valor supuesto E, si el parámetro en estudio no está afectado en gran manera por la incertidumbre. Por el contrario, si ésta tiene importancia, la función de distribución tendrá una dispersión mayor. En la figura 158 se representan estos conceptos. comprendido entre E y

P(E) Curva para uric^ .variable £ con incertidumbre reducida

Curva para una variable

f

relativamente incierta

FiG. 158.

La función de distribución como medida de

la

incertidumbre.

El ingeniero tendrá con frecuencia dudas sobre la función de distribución más adecuada que debe asignarse a cada variable, pero probablemente será capaz de fijar el grado de confianza que han de poseer los datos que se van a utilizar en el diseño. Aunque se dispone de considerable información teórica sobre los diferentes métodos que

permiten transformar incertidumbres como las representadas en la tabla 69 en diversas funciones de distribución *, en este texto utilizaremos solamente dos de ellas, muy sencillas, que se muestran en la figura

159, a saber:

Distribución uniforme 1

P(E)

cuando

Eh — El

[12.5]

en los demás casos

O

Véase, por ejemplo,

Jaynes

El^E^Eh

:

Physical Reviews, 108,

185 (1957).

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

394

donde Efí-Ei es el intervalo en que debe encontrarse que presenta la incertidumbre.

la

variable

E

Distribución normal

p{E)

=

g-(£-£)2/2o-2

[12.6]

Ittct

donde É es el valor más probable de E, y cr^, la varianza, magnitud que mide la dispersión de la distribución respecto a E. En una distribución normal, la probabilidad de que E se encuentre dentro de £±cr es 0,68, y dentro de £±2(t es 0,98.

Distribución normal

P(E)

FlG.

159.

Dos funciones de distribución

utilizadas habitualmente para describir la incertidumbre.

A

continuación se ilustrará cómo se propaga la incertidumbre existente en los datos iniciales a través de las ecuaciones de diseño hasta llegar a la función objetivo, ensombreciendo así la visión del

proceso óptimo. La figura 160 muestra la solución de las ecuaciones de diseño para un reactor cuya temperatura se controla mediante un circuito externo que contiene un cambiador de calor que utiliza agua fría como agente de refrigeración. La temperatura de ésta es variable y no puede preverse de forma precisa. Suponiendo que las restantes variables están fijadas en valores razonables, los cambios de la temperatura citada modifican el rendimiento del sistema en la forma mostrada en la figura 160. Consideremos dos situaciones: situación A, en la que el intervalo posible de variación de la temperatura del agua es tal que no afecta sensiblemente al rendimiento, y situación B, en la que éste es sumamente sensible a aquella variable. En la situación A, la función de

PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

395

Rendimiento' en producto, Y

€r

,

Reactor

Agua de

refrigeración (temperatura, 1. incierta)

n Refrigerante

fj 100% Incertldumbre suprimida

Incertidumbre aumentada

A

B

Temperatura del agua de refrigeración, T

FiG. 160.

Propagación de

la

incertidumbre a través de un diseño.

distribución uniforme que describe la incertidumbre en la temperatura del agua de refrigeración se traduce en una distribución prácticamente uniforme que representa la incertidumbre resultante en el rendimiento del producto, sumamente reducida. En el caso B, la distribución inicial uniforme se convierte en una distribución de incertidumbre del rendimiento ampliamente distorsionada, con un intervalo de variación muy expandido. Así, en un caso, la incertidumbre inicial decrece considerablemente, mientras en el otro se exalta. Este ejemplo señala dos fenómenos comunes en el diseño de procesos; primero, la forma de la función de distribución que describe

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

396

incertidumbre se distorsiona al propagarse ésta a través del diseño; segundo, el intervalo de incertidumbre se expande o contrae de acuerdo con la sensibilidad del diseño frente a las variaciones que se producen en los parámetros. El análisis de la propagación de la incertidumbre resulta particularmente sencillo en el caso especial de que las variables externas inciertas Eu E2, ... se encuentren ligadas a la función objetivo U por una relación lineal. Puede demostrarse que si la incertidumbre existente sobre la variable £, viene expresada por una distribución normal con valor medio £, y varianza crj, la incertidumbre en U queda definida también por una distribución normal con valor medio la

Ü = U(É„É2,...)

[12.7]

o-2=2sioi

[12.8]

y varianza

En los casos más frecuentes, cuando la relación entre los parámetros afectados por la incertidumbre y la función objetivo no es lineal, el ensayo de sensibilidad recomendado anteriormente conduce a una aproximación lineal muy útil. Ejemplo: La tabla 70 contiene una estimación de costes para un proceso dado que refleja incertidumbre en el precio de venta, en el volumen anual de ventas y en el capital necesario. ¿Cómo se refleja esta situación en el beneficio neto calculado? El beneficio neto, P dólares/año, ción [12.9]:

viene

expresado por

la

P^(S-C)-iS-C-dr)t-eI = pQ(l - í) - I[e -dt + a(l - 1)] - Qbil - í) - cLil - 1) = pC>(0,50)-7(0,10)-C>(0,ll)-125 000 con

lo

que

la

P-(0,77)

estimación

más

(4 100 000) (0,50)

-125 000 = 782 500

realista para el

- (2 200

mismo

ecua-

[12.9]

será:

000) (0,10)- (4 100 000) (0,11)

-

$ por año.

Estimaremos ahora la incertidumbre probable que rodea a esta Suponiendo que el error que afecta a los valores estimados para el precio de venta, volumen de ventas anuales y capital necesario puede expresarse mediante funciones de distribución normal, con previsión.

PROPAGACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE

Tabla

Precio

Datos económicos

70.

Estimación

Estimación

Estimación

optimista

realista

pesimista

77 cent./kg

88 cent./kg

p

Volumen anual de ventas— C>

a

450 000 kg

C = aI + bQ + cL

Costes de fabricación

donde

5

= 0,10

66 cent./kg

4 100 000 kg

1700 000 $

Capital total—/

397

2 200 000

2 720 000 2 700 000

$

kg $

$/año

Para seguros, mantenimiento, impuestos,

$/$ año

etcétera.

b = 0,22 $/kg cZ,

= 250 000

Para

las

materias primas

mano de

Para operación,

$/año

obra, control de

calidad, etc.

Impuestos

d = 0,lO $/$ año í

= 0,50

Tasa de amortización para impuestos Impuesto sobre sociedades

$/$

el

cálculo de

Recuperación del inmovilizado

£ = 0,10 $/$ año

valor cr^,

cr\

el

capital inmovilizado en

medio coincidente con la previsión más realista y varianzas y a], respectivamente, puede aprovecharse la forma lineal uti-

lizando neto,

Para recuperar el proceso

la

ecuación

[12.8]

para

estimar

la

varianza

del

beneficio

cr-p-.

[12.10]

donde

S,=

dP

dP_

OQ Si

— C^estim. = Pestim.

realista

realista

0>50

— 2,05

0,50

- 0,1 1 = 0,275

•

10

= dP = -0,10

Para alcanzar la solución, resta tan sólo deducir las varianzas de términos a partir de los datos de la tabla 70. Evidentemente,

los tres

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

398

los valores correspondientes a las estimaciones pesimista

y optimista pueden expresarse en función de la varianza de la distribución normal. Por ejemplo, si estos límites se han solicitado con la condición de que exista una probabilidad del 95,4 por 100 de que las variables inciertas queden comprendidas dentro de ellos, tales extremos representarán el duplo de la desviación estándar, normal, ecuación [12.6]:

^=

2o-,

en

la

distribución

estimación optimista - estimación pesimista

^

4

[12.11]

Por tanto,

—~— =

0,88-0,66

(^P=— o-Q=

crj=

5

4

0,055

450 000 - 2 720 000

2 700

000-1700 000 4

= 682 500 = 250 000

con lo que la varianza del beneficio neto calculado, 782 500 dólares por año, será: =(2,05 . 10^)2(0,055)2 + (0,275)2(682 500)^ + ( - 0,10)^(2,5

o-|

=

1,27. 10^0

.

10^)^

+ 3,5.10'° + 6,25. 108=4,83.1010 orp=v/4,83x

1010

= 220 000

$/año.

Por tanto, la incertidumbre en el beneficio neto puede expresarse por una distribución normal con un valor medio de 782 500 dólares por año y 0-^ = 220 000 dólares por año. Como en una distribución normal la probabilidad de que la variable quede dentro de o-p alrededor del valor medio es de 0,68 y dentro de 2o-p, 0,954, puede afirmarse que el beneficio anual se encuentra en el intervalo de

P = 560 000

a 1000 000 de dólares, con un grado de confianza

del 68 por 100,

y

P = 340 000

a 1220 000 dólares, del 95,4 por 100.

En la

el

con un grado de confianza

siguiente apartado se estudiará una cuestión fundamental, decisiones frente a una incertidumbre tan amplia.

toma de

EL PROBLEMA DE LA

12.3.

EL

TOMA DE

DECISIÓN: UN SENCILLO EJEMPLO

399

PROBLEMA DE LA TOMA DE DECISIÓN: UN SENCILLO EJEMPLO

Reflexionemos por un momento sobre cómo pueden tomarse deforma racional en presencia de incertidumbre. Para especificar, pongámonos en el lugar de un empresario que ha conseguido un contrato para pintar varios edificios garantizando, por un año, que la pintura no perderá color. En caso contrario, deberá pintarlos de nuevo sin cargo alguno. El empresario recibirá 500 dólares por el contrato y dispone de tres pinturas diferentes A, B y C, con un coste de 200, 100 y 5 dólares, respectivamente. La pintura A no se decolora nunca, la B lo hace después de doscientos cincuenta días de sol y, por último, la C sólo dura en buen estado expuesta al sol cincuenta días. El coste de la mano de obra es de 200 dólares, cualquiera que sea la pintura uticisiones de

lizada.

Este problema de toma de decisión queda resumido en la matriz de beneficios, tabla 71. Las entradas de la tabla son los beneficios obtenidos utilizando las distintas pinturas con las diferentes condiciones ambientales que pueden experimentarse durante el periodo de garantía. Por ejemplo, si el empresario eligiese la pintura 5 y el primer año se diesen más de doscientos cincuenta días de sol, aquélla fallaría. En tal caso, el beneficio neto sería:

500 dólares contrato

Trabajo

-

inicial

Nueva pintura

5 dólares pintura

dólares

-5

dólares

C

mano de obra

Matriz de beneficios

71.

Número de O

dólares

1- 200

Beneficio neto

Tabla

B mano de obra

100 dólares pintura

-200

<

n

Pintura

A

$100

Pintura

B

200

Pintura

C

295

días

<

50

de

^

n

sol

en

< 250

el

<

próximo año n

^

365

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

400

El contrato no indica cuándo debe efectuarse la repetición del trabajo; por tanto, podrá utilizarse la pintura C con este fin, siempre que falten menos de cincuenta días de sol para la expiración del contrato de garantía y pueda cumplirse así éste, al menos en su letra

ya que no en su

Ahora

espíritu.

¿cómo puede

decidir el empresario la pintura que debe aplicar considerando la incertidumbre existente en la meteorología del año siguiente? Precisa sin duda un criterio de toma de decisión. Consideremos algunos. bien,

(máximo de los mínimos). Para utilizar el buscará en cada fila de la matriz de beneficios

Beneficio (imaximiny) criterio

maximin

se

caso más desfavorable (mínimo beneficio), eligiéndose como situación más adecuada la correspondiente al beneficio máximo de todos el

mínimos de cada una de las filas. Este criterio es pesimista, pero evidentemente protege al responsable de la decisión contra las situaciones más desfavorables que pue-

los

den presentarse. Matriz de beneficios Situación ambiental

50

O

A Decisión

B

C

100

250

Beneficio

365

mimmo

EL PROBLEMA DE LA

TOMA DE

DECISIÓN: UN SENCILLO EJEMPLO

Matriz de diferencias con Situación ambiental

50

O

A Decisión

B

C

195

250

la situación

óptima

Diferencia

365

máxima

401

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

402

correspondiente y se obtiene

suma de

el

los beneficios parciales.

beneficio para cada decisión

como

La decisión que conduzca a un va-

máximo es la óptima según este criterio. El beneficio esperado que se obtiene por este procedimiento representa un valor medio de los correspondientes a un gran número de ensayos.

lor esperado

Matriz de beneficios y valor esperado Beneficio

Situación ambiental

A Decisión

B

C Probabilidad de la condición ambiental

100

esperado

EL PROBLEMA DE LA

TOMA DE

DECISIÓN: UN SENCILLO EJEMPLO

403

Propiedad transitoña. Si Dj es preferible a D2 y D2 a D3, Dj 1. debe considerarse más adecuado que D3. Propiedad dominante. Si en todas las condiciones ambientales D^ son mayores que los correspondientes a los de D2, se preferirá Di a Di. 2.

los beneficios de

Hasta ahora se han utilizado alrededor de una docena de condiciones análogas a las dos explicadas para probar la consistencia interna de un criterio *. Aunque los detalles de tal análisis son bastante tediosos y no se presentarán aquí, sí son interesantes los resultados, en el sentido de que solamente el criterio del valor esperado supera todas las pruebas. De este modo, este criterio, además de ser intuitivamente atractivo, está apoyado en su consistencia interna por razones pura-

mente matemáticas. Interesa en este punto comentar algunos aspectos sobre la exactitud de la matriz de beneficios. Supóngase que el empresario de nuestro ejemplo desea adquirir buena reputación como contratista. Un trabajo de mala calidad, con una pintura que falle al transcurrir justamente un año o poco más, le señalará desfavorablemente, aunque haya satisfecho la letra del contrato, arruinando su reputación y perdiendo futuros negocios. Deberá modificar, pues, su matriz de beneficios para tener en cuenta estos cambios en sus objetivos y en los métodos de

operación. Finalmente, ha de considerarse el concepto de bancarrota del jugador, ya que existe la posibilidad de que una serie desafortunada de fallos improbables pueda aniquilar las reservas de capital de una firma antes de que se alcancen los beneficios esperados a largo plazo. Por ejemplo, supongamos que un inversor planea arriesgar anualmente una fracción / de sus reservas totales, / pesetas, en un proyecto que tiene una probabilidad de éxito de p = 2/3. Si durante ese año el proyecto tiene éxito, la recuperación del capital inmovilizado es igual a la cantidad invertida, If pesetas. Por el contrario, si falla, se pierde el capital invertido. Los beneficios esperados durante un año en este

«juego» ascenderán así a Beneficio esperado =p// -{l-p)fl= \-:r]fl pesetas al año.

Evidentemente, si se siguiese el criterio del máximo beneficio esperado debería arriesgarse todo el capital, /=1, con un valor probable para aquél de (1/3)7 pesetas al año. *

R.

D. Luce y H. Raiffa:

1958. ingeniería de procesos.

27

Games and

Decisions.

Wiley, Nueva York,

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

404

Sin embargo, puede demostrarse que la probabilidad de ruina o bancarrota en este juego es * / 1

probabilidad de

y por tanto,

si la

ruina =

I

i

_. \

j

firma arriesga todo su capital tratando de conseguir bancarrota, tal

máximo beneficio probable, queda expuesta a la como m.uestra la tabla 72. En la misma se observa que el

sólo cuando se una pequeña fracción del capital disponible, por ejemplo la décima parte, es muy pequeña la probabilidad de que se dé tal cir-

arriesga

cunstancia.

Tabla

72.

Efectos de

im

capital limitado sobre la probabilidad

de bancarrota Probabilidad de bancarrota para p = 2/3

Fracción de capital arriesgado

1,0

0,50

0,5

0,25

0,1

0,001

A

la vista de estos razonamientos, es de esperar que el tipo de decisiones que se han de tomar durante el diseño de una acería o de una fábrica de papel (que requieren habitualmente la inversión de cantidades del orden de cien millones de dólares en equipo) diferirán de las que se hagan para otros sistemas más reducidos, que precisan tan sólo una pequeña fracción del capital de la compañía. En el apartado 12.4 se presenta una descripción más formal del criterio del valor esperado, y en las siguientes se muestra cómo pueden aplicarse estos conceptos a los problemas de ingeniería reales. Estas teorías sobre la ingeniería en presencia de incertidumbre descubren la estructura de los factores de sobredimensionado y se utilizarán en unión de las normas prácticas ya establecidas, desarrolladas a partir de la experiencia adquirida por las firmas a través de varios

años de trabajo.

*

Véase, por ejemplo,

Aplication, vol. Yor. 1957.

I,

W. Feller: An Introduction

cap. xiv, sec. 2,

«The

Classical

to Probability and Its Ruin Problem». Wiley, Nueva

EL CRITERIO DEL VALOR ESPERADO

12.4.

EL CRITERIO DEL

405

VALOR ESPERADO

En este apartado se presenta el criterio general del valor esperado para la toma de decisiones en presencia de incertidumbre, entendiendo que se trata de un criterio razonable para la mayor parte de los problemas de diseño en ingeniería. Supongamos que una variable E describe un entorno incierto. Por ejemplo, puede representar la previsión de las demandas futuras sobre los servicios de un sistema, el valor de un parámetro relevante, como la constante de velocidad de una reacción, o cualquier otra variable crítica que afecte al diseño de un sistema. Sea U(D, E) la función objetivo que se obtiene aplicando la deen el entorno E. Esta variable E representa las entradas de cisión la matriz de beneficios descrita en el apartado 12.3. El valor esperado para la función objetivo se define como:

D

Ü{D) = ¡U{D,E)p{E)dE

[12.12]

La decisión que debe adoptarse de acuerdo con este criterio coal valor de D que maximiza el valor previsible de U:

rresponde

máx [Ü{D) = J U{D, E) p(E) dE]

[12.13]

ÍD}

En resumen, el método que se recomienda en principio en este texto para tomar decisiones frente a la incertidumbre en los datos consiste en: 1.

Se calcula el valor de la función objetivo para los diseños correspondientes a cada conjunto de condiciones ambientales posibles.

2.

3.

4.

Se estima la probabilidad que existe de que se presente un conjunto determinado de condiciones.

Se multiplica el valor de las distintas funciones objetivo calculadas en la etapa 1 por la probabilidad correspondiente estimada en la etapa 2, sumando los valores resultantes para todos los casos posibles en un diseño determinado. Se selecciona la opción de diseño que conduce a un valor esperado máximo de la función objetivo.

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

406

12.5.

A

DIMENSIONADO DE UN LECHO CATALÍTICO

continuación se aplica

el

criterio del coste

esperado mínimo a

una situación específica y simplificada, consistente en el dimensionado del lecho catalítico necesario para un reactor cuando se tiene un conocimiento inexacto de la actividad del catalizador utilizado en el mismo. Para ello se intentará detectar una relación fundamental para

el

de sobredimensionado analizando algunas situaciones

factor

simplificadas.

Supongamos que el reactor debe producir Q kilogramos de producto por día para integrarse en un sistema, de tal modo que si se consigue una cantidad mayor no se obtiene un beneficio adicional, mientras que, por el contrario, si la producción resulta inferior es preciso modificar el lecho, con un elevado coste. La única información de confianza disponible sobre la actividad del catalizador es que su valor está comprendido entre A^, y A^ kilogramos de producto por día y por kilogramo de catalizador. El coste del catalizador es Ce dólares por kilogramo, y el coste de la parada necesaria para reconstruir el reactor, caso de no alcanzarse la producción requerida Q, la vista de esta información, ¿cuál es la cantidad del es C5 dólares. catalizador óptima, D? La incertidumbre en la actividad del catalizador puede representarse mediante la función de distribución uniforme, ecuación [12.14]:

A

Ar^A^Ai/ .- -

para

VW-

An-A^, O

y

//

"^

^j2.14]

para cualquier otro valor de

A

los costes son

CcTy

si

BA>'Q

y el funcionamiento es correcto en ensayo o C(X>,A) =

—D

CJ^ + CA-

+C,

si

[12.15] el

primer

DA
y es necesario un nuevo diseño El primer término de la ecuación [12.15] representa el coste del diseño original y los restantes incluyen la penalización Cs correspondiente al diseño inicial inadecuado más el coste del catalizador adicional necesario.

DIMENSIONADO DE UN LECHO CATALÍTICO

El coste esperado

por tanto,

es,

i^ +

C{D)=

407

Cs)

—,+

T-,

—

(CcD)

Nuevo diseño necesario

Éxito en el primer diseño

para

Q ^ El coste

mínimo

Q ^D^-^

[12.16]

cuando

se alcanzará

)^^^) a.a(^.V(— V A„ CAu A„ Ah Ah C^H 2

V

\

V \

[12.17]

I

/

para

Q A

Q A„

La ecuación [12.17] se deduce diferenciando la ecuación [12.16] respecto a e igualando la derivada a cero. Si se considera como base de referencia arbitraria, el valor superior de la actividad del

D

catalizador,

Ah,

puede

definirse

un

como

f=-^

factor

de

sobredimensionado

—

[12.18]

{Q¡Ah)

razón entre la cantidad de catalizador recomendada para kilogramos, y la correspondiente al diseño más optimisQIAii. Sustituyendo este valor en la ecuación [12.17] se obtiene factor de sobredimensionado óptimo:

siendo el ta,

el

/

diseño,

la

D*

'

2

\

V

[12.19]

(COIAu)) iCcQIAu)

para

1

1-A

para los casos restantes

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

408

donde

A=

A// -Ai

representa la incertidumbre relativa en la actividad del catalizador. La ecuación [12.19] se ha representado en la figura 161 y de ella pueden extraerse algunas conclusiones interesantes. El factor óptimo en la región de incertidumbre reducida es / = 1/(1 — A), que corresponde a un sobredimensionado suficiente para cubrir la peor situación posible (equivalente a un criterio minimax de costes). Sin em-

4C (CcQIA.,)

Factor de sobredimensionado

óptimo

1

O FiG. 161.

Efectos de

la

incertidumbre sobre

el

sobredimensionado óptimo.

bargo, cuando la incertidumbre crece es aconsejable arriesgarse a un posible dimensionado insuficiente, que llevaría anejo la penalización con el coste del nuevo diseño, C^, en lugar de gravar al sistema con una cantidad excesiva de catalizador. El valor más aconsejable para f queda fijado por el parámetro Cs/ÍQCcIAh), razón entre la penalización debida a un diseño insuficiente y el coste del catalizador correspondiente al límite superior de actividad. medida que aumenta la citada razón, la situación corresponde a incertidumbres crecientes. Obsérvese que el factor de sobredimensionado f no es una constante para una situación física dada, sino que por el contrario depende en

A

manera de

incertidumbre y de los parámetros económicos es evidente que la costumbre de utilizar un factor constante de sobredimensionado para cualquier caso es errónea, incluso en las situaciones más simples. gran

del sistema.

Con

la

esta perspectiva,

SOBREDIMENSIONADO DE UNA COLUMNA DE DESTILACIÓN

12.6.

409

SOBREDIMENSIONADO DE UNA COLUMNA DE DESTILACIÓN

John Villadsen * resolvió un ejemplo práctico de sobredimensionado estadístico. Para ello investigó los efectos de la incertidumbre sobre el número de pisos aconsejable para una columna de destilación, combinando la experiencia industrial en el diseño de tales aparatos con la teoría del sobredimensionado presentada en los apartados precedentes. A continuación se resume este trabajo. A pesar de ser uno de los componentes de proceso conocido desde hace más tiempo y de haberse estudiado ampliamente, las incertidumbres que afectan al diseño de las columnas de destilación pergrado apreciable. El advenimiento de los amplió las posibilidades de los métodos de diseño, permitiendo la aplicación de algunos de ellos al cálculo de columnas para sistemas multicomponentes, lo que tan sólo unos años antes resultaba imposible por la complejidad de los cálculos necesarios. Sin embargo, al eliminar esta barrera, la atención de los técnicos se ha centrado en la imprecisión que acompaña a los datos básicos que requiere el computador para resolver el problema. En el pasado la precisión de estos datos y la del método de cálculo seguido eran del mismo orden de map.nitud. Actualmente, la precisión numérica de la matemática utilizada excede con mucho a la correspondiente a los datos que se manejan en las ecuaciones. Por ejemplo, las correlaciones de los datos de equilibrio líquidovapor para sistemas multicomponentes, que son imprescindibles para el diseño de columnas, presentan con frecuencia errores del 5 al 10 por 100 en los sistemas químicos bien estudiados. Las correlaciones sobre las eficacias de piso (relacionadas con la velocidad de transferencia de materia entre las fases vapor y líquido sobre cada piso) se desvían, según se ha demostrado, hasta un 20 por 100 de los datos a partir de los que se han obtenido. Aun considerando tan sólo estos dos factores puede imaginarse la incertidumbre que existirá en el diseño de un nuevo tipo de piso que vaya a actuar sobre un sistema sisten en la actualidad en

computadores

poco frecuente

digitales

**.

práctica industrial habitual relacionada con este tema implica número de pisos necesarios para conseguir la separación deseada suponiendo inicialmente que los datos disponibles son totalmente exactos, aplicándose a continuación un factor de sobredi-

Una

el cálculo del

* 750 Report Chemical Engineering Dept. Univ. of J. Villadsen: 1966, y « Transactions Udgivet of Dansk Ingeniorforening», Ingeniar, 8, ** Véase, por ejemplo, J. Villadsen: Brit. Chem. Eng., junio 1966.

Wisc, 1967.

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

410

mensionado para tener en cuenta

los

errores

utilizado frecuentemente para este factor teoría

no

arrastrados.

se sustenta

El

valor

en ninguna

básica.

Una

la columna se ha construido y se encuentra funcioponen de manifiesto las incertidumbres existentes en el diseño. Así, si la columna no es capaz de conseguir la separación deseada en las condiciones de operación normales, puede incremen-

nando,

vez que

se

tarse la razón de reflujo para lograrlo, si bien será a costa de elevar simultáneamente los costes de operación (vapor de calefacción y agua de refrigeración). Si, por el contrario, la columna tiene un número excesivo de pisos, los costes de operación pueden disminuirse algo, pero el capital inmovilizado inicial habrá sido excesivo. Se precisaría, por tanto, un balance económico para llegar a la situación óptima. Una de las mayores incertidumbres en el diseño de estos aparatos radica precisamente en la estimación de las eficacias de los pisos. Las correlaciones existentes para este parámetro son notoriamente reducidas.

El análisis de Villadsen considera que en una situación dada pueel coste anual de separación de una mezcla por destilación (incluyendo la amortización) como función del número de pisos de la columna, de la razón de reflujo y de la eficacia de piso considerada

de evaluarse

:

U{N, R, E) Para un número de pisos dado, modo que conduzca a en los cálculos de diseño, los valores dos por la separación que se desea Esta restricción puede expresarse ajustarse de

[12.20]

la razón de reflujo, R, puede un coste mínimo; sin embargo, de ambas variables están limita-

conseguir. por:

f(N,R,E) =

[12.21]

Por tanto, para unos valores dados del número de pisos y de su razón de reflujo necesaria puede calcularse a partir de la

eficacia, la

ecuación [12.21]:

R = F(N,E)

[12.22]

Si se representa la incertidumbre existente en la eficacia por la función de distribución p(E), el coste esperado es

UiN) =

U(N, F(N, Je

E), E) p(E)

dE

[12.23]

SOBREDIMENSIONADO DE UNA COLUMNA DE DESTILACIÓN

411

y por tanto, el número de pisos aconsejable, considerando la incertidumbre en la eficacia, será aquel que minimice el coste citado, expresado por la ecuación anterior. El factor de sobredimensionado, /, puede definirse en este caso como el número de pisos obtenido por este procedimiento, partido por el que se deduciría si se considerase seguro el valor de la eficacia de piso E. A continuación se dan algunos detalles del desarrollo realizado por ViLLADSEN.

Datos de coste. Los factores que intervienen en la estimación del coste total, ecuación [12.20], incluyen los costes fijos de la columna, la caldera y el condensador, y los costes de operación correspondientes al suministro de vapor de calefacción y agua de refrigeración. Se utilizaron las siguientes correlaciones: Coste

fijo

de

la

columna = Ci (número de

pisos) (diámetro de

la columna)'^2

de

Coste

fijo

Coste

fijo del

=€3

de transmisión de

calor)^4

condensador = C5 (área de transmisión de

calor)^6

la

caldera

(área

Los parámetros C que aparecen en ellas dependen de los materiade construcción y del tipo particular de equipo empleados, y pueden estimarse a partir de los datos de la bibliografía de la forma indicada en el capítulo 5, Estimación de costes.

les

=C^

Coste del agua

(carga térmica del condensador, kcal/año)

Coste del vapor = C8 (carga térmica de

En

los

cálculos

vapor de agua por tonelada.

la caldera,

kcal/año)

numéricos realizados se tomó para el coste del por tonelada, y para el del agua, 0,02 dólares

1,4 dólares

Coste anual total = (costes de operación) + C9 (costes

Al parámetro C9

se le asignaron los valores 0,30, 0,20

fijos)

y 0,13 en

los ejemplos desarrollados.

Ecuaciones de diseño. El procedimiento de cálculo de la columna siguió los principios expuestos por Smoker *, ilustrados en el texto de

Peters

**.

H. Smoker: Trans A.I.Ch.E., 34, 165 (1938). S. Peters: Plant Design and Economics for Chemical Engineers, McGraw-Hill, Nueva York, 1958. *

**

F.

M.

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

412

Las áreas de transmisión de calor se calcularon a partir de las cargas térmicas necesarias para conseguir la separación deseada. Dependen tanto de las temperaturas del vapor y del agua de refrigeración como de los coeficientes globales de transmisión de calor. Se aplicaron las reglas aproximadas, basadas en la experiencia, que aconsejan tomar una diferencia de temperatura en el condensador de 10 °C y una velocidad máxima de paso del vapor por la columna de 0,5 metros por segundo. Los cálculos básicos se desarrollaron Dará una mezcla binaria, variándose como parámetro el grado de separación. Incertidumbre La incertidumbre en la eficacia de piso E se consideró distribuida de modo uniforme alrededor del valor dado por las correlaciones estándar, Eq. El intervalo de incertidumbre es uno de los parámetros de este estudio. .

Intervalo explorado en este estudio. Se calculó el factor de sobrepara situaciones muy variadas tratando de detectar algunas reglas generales. El estudio comprendió los siguientes intervalos para cada uno de los factores:

dimensionado

1.

Eficacia de piso supuesta Eq (0,50, 0,60, 0,70).

2.

Volatilidad relativa de los dos componentes

3.

Fracción del componente más volátil el

(1,5,

2,0,

2,5).

que debe obtenerse en

destilado (0,99, 0,97).

4.

Parámetro de amortización Cg

En

estos valores

(0,30,

0,20,

0,13).

quedan incluidos muchos problemas de destilación

de interés industrial. Resultados. Los resultados obtenidos para varios grados de incertidumbre en la eficacia de piso se representan en la figura 162. Obsérvese que, desde el punto de vista práctico, la incertidumbre citada es la variable dominante, recomendándose el mismo factor de sobredimensionado para diferentes valores de la separación, de la volatilidad relativa y de los parámetros económicos. Por ejemplo, si en los cálculos de una columna se ha llegado a la conclusión de que son necesarios cincuenta pisos para un valor determinado de la eficacia, y se estima que ésta viene afectada por un error del 20 por 100, la figura 162 sugiere un factor de sobredimensionado / = 1,06. Por tanto, se deberá construir la columna con cincuenta y tres pisos.

DISEÑO DE UN REACTOR AGITADO

10

20

30

40

Porcentaje de incertidumbre en

FiG. 162.

la

50

eficacia

Sobredimensionado de columnas de destilación.

DISEÑO DE UN REACTOR AGITADO

12.7.

KiTTRELL y

413

Watson han

diseño de un reactor agitaen presencia de incertidumbre sobre la la reacción química. continuación se ilustrarán nuevamente las aplicaciones del criterio del valor espedo, cuyo

J.

esquema

analizado

muestra en velocidad de

se

el

la figura 163,

KiTTRELL y C. C. W^atson: Chem. Eng. Progr.,

A

abril 1965.

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

414

rado en ingeniería, presentando los resultados alcanzados por estos autores. Recirculado

A

Producto (100

FiG. 163.

R

mol g/hj

Reactor agitado.

Se desean obtener 100 moles g de K por hora a partir de un alimento constituido por una disolución saturada de A (Ao = 0,l moles g/1). La reacción puede representarse por

con una ecuación de velocidad

r=KA donde i
la

[12.24]

concentración de reaccionante en

el

El coste del reaccionante en disolución saturada es

Ca = 0,5 $/molg de

A

DISEÑO DE UN REACTOR AGITADO

415

El coste del reactor, incluyendo la instalación, equipo auxiliar, instrumentación, mano de obra, depreciación, etc., es C¿,

El coste de

componente

A

la

= 0,01

$/(h.l de reactor)

etapa de separación puede equipararse al valor del se recupera para reciclarlo al

no reaccionado que

reactor.

¿Qué tamaño de reactor

(V, litros), caudal de alimento (Fq, moconvertida) deben utilig A/h) y conversión {Xa, fracción de zarse para que la operación tenga un coste mínimo? ¿Qué efecto tiene la incertidumbre en la constante de velocidad de reacción sobre el

A

les

diseño? El coste horario de la operación es: Ci = (volumen de reactor)

(

\

)

(h)

caudal de reaccionante

alimentado C,

Un

al

reactor

+

(volumen de reactor) / coste unitario

\

/

/

\ del reaccionante

\

/

= VC^ + F,Ca

[12.25]

balance de materia alrededor del reactor conduce a:

KA{l-X^) Si se conoce exactamente la constante de velocidad de reacción, coste total mínimo se determina diferenciando el coste total res= 0,2 h"^ se deduce pecto a y e igualando la derivada a cero. Para

el

K

X* = 0,5 F$ = 200 moles g A/h y* = 10 000 1 C = 200 $/h Ahora

bien,

en

la

práctica rara vez se conoce con exactitud la

Supongamos que

existe una incertidumbre sobre y evaluemos el diseño que se adapta mejor a la misma. Dado que es preciso producir 100 moles gramo de producto por hora, el reactor debe operar para alcanzar una conversión X que sa-

citada ella

constante.

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

416

tisfaga tal condición

El coste esperado

con

volumen de reactor evaluado en

el

mínimo

el

diseño.

será

C,(V)

= !C,(V,K)p(K)dK

[12.27]

El primer factor de la expresión subintegral de la ecuación [12.27] representa el coste total necesario para alcanzar una producción de 100 moles de R por hora (FoXa = 100). El segundo es la distribución de probabilidad que expresa la incertidumbre existente sobre la constante de velocidad de reacción. El volumen de reactor V que minimiza este coste será el diseño óptimo para el mismo, teniendo en cuenta la incertidumbre.

400

1

12 14 16 Volumen de diseño,

10

FiG. 164.

Se

efectuaron

dumbre tanto una mal truncada. En

—

18 litros-10'

Coste esperado (AK = 0,075 hr-i).

cálculos

numéricos

considerando

para

la

incerti-

distribución uniforme como una distribución norla figura 164 se muestran los resultados obtenidos

para el coste esperado en función del volumen de diseño en el caso de una distribución uniforme con AjfC = 0,075 h~'. Obsérvese que el coste esperado mínimo se alcanza para V = 11140 1, en lugar de los 10 000 que correspondían a la ausencia de incertidumbre sobre K. Si se define el factor de sobredimensionado como

V f=-

V

[12.28]

10 000

'

DISEÑO DE UN REACTOR AGITADO

417

en este caso se obtiene un valor de 11 140

=

1,114

10 000

Sin embargo,

más

interesante aún que

el valor obtenido para el curva de costes esperados se aplana considerablemente en sus proximidades, de tal manera que cualquier factor comprendido entre 1,0 y 1,4 conduce a valores del coste no muy diferentes del mínimo. Por tanto, en esta situación la eficacia de la operación es, afortunadamente, insensible al valor específico de la incertidumbre. No obstante, no es probable que este hecho

mínimo

resulta

comprobar que

la

represente una regla general.

FiG.

165.

Efectos de

la

incertidumbre sobre

el

factor de sobre-

dimensionado del reactor agitado.

La figura 165 muestra la variación del factor de sobredimensionado en función de la incertidumbre relativa en el valor de la constante específica de velocidad. Se observa en ella que si se utiliza una distribución normal truncada se logra una reducción en la incertidumbre sobre K para valores de K próximos a 0,2 h-^ siendo más probable que aquellos valores más próximos al límite superior de K queden dentro del intervalo de incertidumbre. Esta información adicional conduce a una reducción del factor de sobredimensionado. Puede demostrarse que la distribución uniforme de la incertidumbre representa un grado máximo de ignorancia para un intervalo dado

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

418

de incertidumbre y que la utilización de cualquier otra tribución razonable supone un mayor conocimiento incierto. Por tanto, el factor de sobredimensionado considerando la distribución uniforme proporciona un de los efectos de la incertidumbre.

12.8.

función de disdel parámetro que se deduce límite superior

UN ANÁLISIS DEL FACTOR DEL RIESGO

En los apartados precedentes se han revisado varios ejemplos referentes a la corrección de la incertidumbre en los datos de diseño de componentes de procesos. El factor o grado del riesgo, h, introducido en el capítulo 4 es una corrección empírica de las incertidumbres que rodean a la rentabilidad global de un sistema. Sin embargo, se pueden aplicar los principios de la teoría estadística de la decisión estudio del citado factor, tal como muestra el siguiente ejemplo, artículo publicado por Rudd y Watson *. El factor del riesgo, h dólares/dólar • año, es una corrección sobre la rentabilidad del capital invertido, i dólares/dólar • año, introducida para considerar posibles errores en la estimación de términos tales como los ingresos por ventas, los costes de fabricación, el capital inmovilizado necesario, la vida del proyecto, etc. De este modo, a los proyectos más inciertos y arriesgados se les asigna una rentabilidad mínima aceptable i,„ = i + h más elevada para contrarrestar los efectos de una asignación inadecuada de capital basada en unos datos erróneos. En un principio, la asignación de un valor numérico al factor del riesgo fue un arte empírico, sin ningún fundamento racional, es decir, una situación similar a la existente para el factor de sobredimensionado antes de la introducción del criterio del valor esperado. Resulta considerablemente más sencillo estimar la incertidumbre existente sobre los datos básicos en los que se apoya cualquier estudio de rentabilidad que evaluar con precisión el factor del riesgo que engloba todas las incertidumbres parciales. Si se iguala el criterio del valor esperado de la rentabilidad al correspondiente a esta última magnitud corregida por el riesgo se obtiene: al

resumen de un

Una

1.

el

relación

sencilla

entre

el

factor

correctivo

del

riesgo

y

grado de incertidumbre existente sobre los parámetros económicos.

La confirmación de que

2.

el

aceptable, bien conocido, y el más den en los aspectos esenciales. *

Can.

D. F. J.

Rudd

Chem.

y C. C. Watson: Eng., diciembre 1965.

criterio

moderno

«On

de

la

rentabilidad

mínima

del valor esperado coinci-

Correctives for Project Uncertainty»,

UN ANÁLISIS DEL FACTOR DEL RIESGO

419

A

continuación se resumen los razonamientos seguidos. El beneficio del riesgo se definió en el capítulo 4 como

V = S-C-{S-C-dl)t-el-iJ donde

el

factor correctivo im

¿,„

puede fraccionarse en

— i + h = i+hs + hc + hj + hn + hf

representando los valores h las rentabilidades adicionales debidas a la incertidumbre existente en la estimación de los ingresos por ventas, S, de los costes de fabricación, C, del capital inmovilizado, /, de la vida del proyecto, n, y de la probabilidad de fallo completo, Pf. El criterio del valor esperado que proporciona la misma corrección es:

V = ¡V(E,h = 0)p{E)dE donde E denota los parámetros inciertos en el beneficio del riesgo V(E,h = 0) calculados suponiendo que no existe incertidumbre, es decir, que h = 0. Por ejemplo, si sólo se considera una incertidumbre en el valor de las ventas, tal que éste está comprendido entre Sq-^S y So el beneficio del riesgo esperado es

V=

[S-C-(S-C-dr)t-eI-ir\ ^^

í^"

2AS

Ahora de

la

bien,

criterios deben efectuar la misma corrección por tanto, pueden igualarse conduciendo a una factor del riesgo h y el grado de incertidumbre

ambos

incertidumbre

relación entre el

En

el

y,

caso de incertidumbre en los ingresos por ventas

V = So-C-(So-C-dr)t-eI-(i + hs)I 2AS o bien ,

íIq

— ASq-t) 2/0

INGENIERÍA DE PROCESOS.

28

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

420

Tabla

de

la

Contribuciones de varios tipos de incertidombre a h

73.

Intervalo de incertidumbre

Origen incertidumbre

A5(l-0

— A5

Ingresos por ventas

5o

Coste de fabricación

Cq a Cq + AC

Capital

/o

Vida del proyecto

«Q-Ano

Probabilidad de fallo

a lo

Contribución a h

a 5o

+M a no

Pf

AC(l-í)

hr =

Mie + i-dt) hr-

/2„

hf

=

In

/

An

\

-

= pf

1

1 — exp( — ¿«o) — exp — ¿no + ¿An) (

(5o-Co)(l-í)

una incertidumbre de 50 000 dólares al año en un proyecto que asciende a un millón de dólares puede corregirse de forma apropiada en los estudios de rentabilidad haciendo Así, por ejemplo,

los ingresos por ventas de

(50 000) (1-0,5) Ju (2)

= 0,0125 $/$.año

(1000 000)

La tabla 73 resume

la contribución de otras fuentes de incerti74 ilustra tres situaciones diferentes: un proyecto para reducción de costes de una planta, un proyecto de expansión y un proyecto de una nueva planta. Las rentabilidades mínimas se comparan favorablemente con los valores empíricos presentados en

dumbre y

el

la

tabla

capítulo 4.

12.9.

CONSIDERACIONES FINALES

Existe una tendencia humana natural a ignorar los factores no bien conocidos y a intentar eludir la toma de decisiones basadas en informaciones parciales o conflictivas. Desafortunadamente, en la inge-

CONSIDERACIONES FINALES

Tabla

74.

Varias

421

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

422

Mediante la cooperación de los estadísticos, químicos e ingenieros químicos está desarrollándose con gran rapidez un área conocida con los nombres de diseño experimental, construcción de modelos y discriminación de modelos que ofrece buenas perspectivas para la resolución de los complejos problemas que surgen como consecuencia de la incertidumbre y para la mejora de la calidad de los datos de diseño. En general, el esquema seguido implica el planteamiento de varios modelos rivales para describir la naturaleza del proceso, utilizando los limitados e inciertos datos disponibles. De este modo, a través de esta teoría, es posible determinar los experimentos más adecuados para reducir la incertidumbre y poder discriminar entre los distintos modelos. Es de esperar que dentro de algunos años se hayan marcado las directrices para que el ingeniero pueda examinar mejor los datos disponibles para un diseño, bien a través del cálculo, bien continuación se remediante la experimentación en planta piloto. señan algunos de los trabajos realizados en este sentido.

A

Bibliografía Existen varios libros incertidumbre

que tratan

la

toma de decisiones en presencia de

R. D. Luce y H. Raiffa Games and Decisions. Wiley, Nueva York, 1957. R. Schlaifer: Probability and Statistics for Business Decisions. McGrawHill, Nueva York, 1959. H. Cheroff y L. E. Moses Elementary Decisión Theory. Wiley, Nueva York, 1959. :

:

Véase también D. B. Hertz: «Risk Analysis in Capital Investment», Harvard Business Review, 1, 42, 1964. P. E. Green: «Risk Attitudes and Chemical Investment Decisions», Chem. Eng. Progr., 1, 59 (1963). P. E. Creen: «Decisión Making in Chemical Marketing», Ind. Eng.

Chem.,

9,

54

(1962).

H. M. Hawkins y O. E. Martin: «How to Evalúate Projects», Chem. Eng. Progr., 12, 60 (1964). H. H. IsAACS «Sensitivity of Decisions to Probability Estimations Errors», Operations Res., 11 (1963). P. S. Buckley: «Sizing Process Equipment by Statistical Methods», :

Chem. Eng., 57,

9 (1950).

Puede encontrarse información adicional sobre experimental y la construcción de modelos en:

el

naciente

campo

del diseño

Box y W. G. Hunter: «The Experimental Study of Physical Mechanisms», Technometrics, 1, 7 (1965). W. G. Hunter y A. M. Reiner: «Designs for Discriminating between Two Rival Models», Technometrics, 3, 7 (1965).

G. E. P.

EJERCICIOS

423

«Planning Experiments to Increase G. HuNTER y M. L. Hoff Research Efficiency», Ind. Eng. Chem., 59, 3 (1967). «Model-Building MethodoJ. R, KiTTRELL, R. Mezaki y C. C. Watson logy for Heterogeneous Kinetics», Brit. Chem. Eng., II, 1, 2 (1966). «Reaction Rate Modelling J. R. KiTTRELL, R. Mezaki y C. C. Watson: in Heterogeneous Catalysis», Ind. Eng. Chem., marzo 1967. G. E. P. Box y W. J. Hill: «Discrimination among Mechanistic Models», Technometrics, 1, 9 (1967). W. G. Hunter, J. R. Kittrell y R. Mezaki «Experimental Strategies in Mathematical Modelling», Trans. Brit. Chem. Eng., mayo 1967.

W.

:

:

:

EJERCICIOS 1.

A

un técnico de una empresa se le asigna la responsabilidad de adquirir una gran cantidad de fertilizante para comercializarlo entre los agricultores durante la próxima campaña. La información disponible sobre la demanda del producto permite sólo asegurar que se encuentra comprendida entre D¿=50 000 ton y D// = 150 000 ton. La empresa puede adquirir el fertilizante a granel a Cp=80 dólares la tonelada, vendiéndolo más tarde a los agricultores a ^=110 dólares la tonelada. Sin embargo, si la demanda de los agricultores superase la cantidad adquirida por la empresa, la diferencia habría de satisfacerse comprando la cantidad necesaria a la competencia a C£)=120 dólares la tonelada. Como el precio de venta se mantendría en 110, se produciría una pérdida en esta parte de la operación. A su vez, si al finalizar la campaña quedase fertilizante sin vender podría venderse a los competidores a Cc= 30 dólares la tonelada; en tal caso no se dispone de almacenes para guardarlo durante el invierno. ¿Cuánto fertilizante debe adquirirse para hacer frente a esta demanda incierta?

Respuesta

D*=

DdCp-Cc)+Da{CD-Cp) C¡)

— Cc

ton

Se desea construir una planta para recuperar un componente valioso A de un producto residual. La cantidad de alimento disponible es incierta y puede estar comprendida entre O y 20 000 toneladas de A por año. El capital requerido para la planta es de 10 dólares por tonelada de A recuperada por año, y las cargas totales sobre el capital ascenderán a un 40 por 100 del inmovilizado por año. Los ingresos netos por ventas serán de 12 dólares por tonelada de A recuperada y los costes de operación de 2 dólares por tonelada. ¿Qué capacidad debe recomendarse para la planta? Respuesta:

12 000 toneladas por año.

Se desea diseñar una planta de tratamiento de residuos para recuperar un cierto producto. Se estima que por la venta de éste se obtendrá 1 dólar

CONSIDERACIÓN DE Lk INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

424

por tonelada de residuo. Sin embargo, no se conoce con precisión la cantidad de residuo disponible, oscilando entre 100 y 300 toneladas por día. Si se construyese una planta de capacidad insuficiente, el exceso de residuo se podría vender con un coste de 0,10 dólares por tonelada. El coste de operación es 0,20 dólares por tonelada tratada. El capital necesario para la planta es de un dólar por tonelada de capacidad anual, y los costes anuales asociados con el capital fijo ascienden a 30 centavos por dólar invertido. ¿Qué tamaño debe recomendarse para la planta? 4.

Se proyecta adquirir un producto de consumo estacional para su venta durante un corto periodo de tiempo de fuerte demanda en cada año. El producto puede adquirirse y almacenarse con un coste de C dólares por tonelada. Su precio de venta es de S dólares por tonelada, y una vez transcurrido el periodo de ventas no tiene ningún valor. Tanto el precio de venta, 5, como la demanda D toneladas, no se conocen con exactitud, presentando distribuciones rectangulares: S puede estar comprendido entre 5/ y 5/, dólares por tonelada y D entre D/ y D/, toneladas. ¿Cuántas toneladas de este producto deben contratarse para alcanzar un beneficio

máximo? Respuesta

2aDh-Di) Sh + Si Existe siempre la posibilidad de que un nuevo proyecto pueda fallar por completo. Para considerar este hecho en la tabla 3 se carga empíricamente a cada proyecto totalmente nuevo o que presente un riesgo elevado

con una rentabilidad mínima más elevada. Sea pf la probabilidad estimada de un fallo del proyecto. Si éste tuviera éxito, proporcionaría una renta anual de S—C — (S—C—dI)t—eI—iI dólares, y si falla en la expresión anterior, S — C=0, puesto que no se fabrica ningún producto. Deducir el factor del riesgo hf (ver tabla 73) que debe compensar esta posibilidad de fallo. Deducir los factores del riesgo adecuados para considerar la incertidumbre en los costes de fabricación, capital inmovilizado y vida del proyecto, tal como se ha discutido en el apartado 12.8. Se trabaja en el diseño de una unidad de recuperación de vapor que condensará los vapores que efluirán de un tanque de almacenamiento criogénico en proyecto, con capacidad para 60 000 toneladas de amoniaco líquido. Como el tanque todavía no se ha construido, sólo se puede especular sobre la cantidad de vapor que debe tratar la unidad de recuperación. El depósito se ubicará en una zona aislada, de tal manera que los vapores no recuperados se pueden disipar sin peligro de polución del aire o del agua.

Se estima que el caudal de vapor se encuentra comprendido entre 20 y 80 toneladas de amoniaco por día; el valor del amoniaco recuperado es 80 dólares/tonelada. El capital necesario para la unidad de recuperación

EJERCICIOS

depende de su capacidad y

425

se amortizará

/

Q

= /;

en un 10 por 100 anual. \0,6

Qb /s = 50 000 dólares ^B = 20 ton/día

El coste de operación de la unidad se estima en 5 dólares/tonelada de amoniaco concentrado. ¿Qué tamaño debe recomendarse para la unidad de recuperación, expresado en toneladas de amoniaco condensador por hora?

Ha de

diseñarse un reactor catalítico capaz de preparar el alimento de un proceso con caudal C^ = 300 toneladas por día. En la actualidad, sólo se dispone de una estimación aproximada sobre la actividad real del catalizador en el reactor, debiéndose la imprecisión a los efectos de las canalizaciones, transmisión del calor y distribución de tiempos de residencia dentro del lecho catalítico. Los límites de actividad son A¿=10 toneladas de producto/día por tonelada de catalizador y y4;/ = 30 toneladas de producto/día por tonelada de catalizador. El cosíe del catalizador se estima en

Cr = CbÍ

donde C^ incluye

los

—

j

$/día

costes de operación y la amortización del capital.

Cb= 2 000 Z)b=

$/día

10 toneladas de catalizador

D= toneladas

de catalizador a

utilizar

El exceso de producción sobre 300 toneladas por día puede venderse = 20 dólares/tonelada y, si el reactor fuera inadecuado y no produjese la cantidad requerida, ésta podría completarse adquiriendo producto a Cp=150 dólares/tonelada. a Ce

¿Cuánto catalizador debe colocarse en

el

reactor?

El departamento comercial de una empresa informa al grupo responsable de un proceso que puede venderse en el mercado un producto A en condiciones ventajosas durante un corto periodo de tiempo. Se dispone

equipo necesario para fabricar el producto, precisándose tan sólo el catalizador que conduce selectivamente a A. El grupo de investigación de la empresa ha desarrollado tres catalizadores uno produce sólo A los otros dos dan también B a través de una reacción secundaria. ¿Qué catalizador debe adquirirse, teniendo en cuenta que el departamento comercial no conoce con seguridad el periodo de tiempo durante el que podrá venderse el producto Al del

adquirir

:

;

426

CONSIDERACIÓN DE LA INCERTIDUMBRE EN LOS DATOS

Se dispone de los siguientes datos:

Catalizador

1

Coste, $/kg

Kilogramos de catalizador requeridos para cada 375 kg/h de alimento

EJERCICIOS

427

normales por día es de 1 500 000 dólares, y el valor neto del producto procedente del reactor, una vez descontados el coste del alimento y los costes de fabricación, es de un dólar por barril. Si la planta de hidrógeno, una vez construida, no proporciona la cantidad necesaria, puede ampliarse en un año con un coste de 2 000 000 de dólares para una capacidad de 28 000 m^ normales por día. ¿Qué capacidad debe recomendarse para la planta de hidrógeno que suplemente el suministro interior variable? 11.

La figura 144 resulta útil para determinar la capacidad inicial de una planta que se adapte de forma óptima a un incremento previsto en la demanda. Supóngase ahora que la demanda prevista no se conoce con exactitud, radicando la incertidumbre en el factor a que puede oscilar en el intervalo a — A^a^á + A. Determinar el factor de sobredimensionado f=Q'IQ, que debe utilizarse, siendo Q' la capacidad inicial recomendada en presencia de incertidumbre y C> la correspondiente a una pendiente de variación de la demanda d. Supóngase que después de construida la primera planta desaparece toda la incertidumbre. ¿Puede suponerse que la capacidad inicial y la de las expansiones subsiguientes son iguales?

12.

Determinar el factor de sobredimensionado que debe aplicarse a la figura 145 cuando la demanda inicial se encuentra comprendida en el intervalo Dq— A^Do^Do+A. Se supone que no existe ninguna otra incertidumbre.

CAPITULO

1

3

TOLERANCIA A LOS FALLOS

El devenir de un sistema de procesos no se encuentra nunca libre de perturbaciones y siempre debe esperarse un fallo ocasional en el mismo. El ingeniero de procesos es responsable del diseño de sistemas en los que, si se produce un fallo local, no debe desencadenarse una cadena de sucesos que conduzca a la inutilización de todo el sistema e incluso a un desastre. En este capítulo nos referiremos a la detección de sistemas propensos a sufrir fallos y a la estrategia para eludir tales dificultades. El diseño de cualquier sistema debe realizarse siempre de forma que presente cierta tolerancia ante las situaciones imprevistas.

Problema

típico

Se ha finalizado un diseño preliminar de una planta de purificación de ácido, que presenta buenas perspectivas en cuanto a la completa compatibilidad en todos sus componentes. ¿Puede conducir una operación local deficiente o errónea al fallo de todo el sistema? ¿Cómo pueden detectarse en el diseño tales características?

T3.1.

En

INTRODUCCIÓN

capítulo precedente se han discutido los métodos existentes la incertidumbre que acompaña a las unidades de información críticas en las que ha de basarse un diseño. Un error al estimar un dato impreciso puede conducir a un proceso económicamente deel

para eludir

En este capítulo se tratará un tipo de incertidumbre aún más que puede traducirse en la destrucción total de un sistema diseñado de forma inadecuada y que se manifiesta por el fallo repentino y completo de partes del mismo. Existe todo un espectro de fallos posibles, desde aquellos que tan sólo causan pequeñas disminuciones en la eficacia, a los que conducen a la destrucción violenta del sistema. Así, el fallo de una bomba de alimentación de un reactor puede requerir la parada del ficiente.

crítico,

428

RESULTADOS CATASTRÓFICOS PROVOCADOS POR CAUSAS NIMIAS

429

sistema mientras que una nueva bomba se pone en su lugar, lo que quizá cause solamente un pequeño, aunque costoso, inconveniente. En el otro extremo, un fallo de una bomba puede desencadenar una serie de acontecimientos que lleven directamente a una explosión en el sistema y a una catástrofe de grandes dimensiones. No es accidental que la mayoría de los procesos desarrollados a escala industrial funcionen. Aquellos sistemas en los que la falta de confiabilidad es excesivamente grande nunca alcanzan las etapas de construcción y operación, ya que el ingeniero competente, al igual que el jugador avezado, rara vez se arriesga, a menos que las perspectivas sean claramente favorables. Sin embargo, bajo ciertas condiciones puede ser factible, desde el punto de vista económico, un diseño que contenga un componente que puede fallar siempre que los períodos de operación satisfactoria sean suficientemente rentables y que el fallo no constituya un riesgo para la seguridad. La estrategia para la evaluación de la tolerancia óptima ante un fallo en un diseño implica una mezcla de los siguientes conceptos: 1.

2.

Cada componente

del sistema debe diseñarse con un grado de confianza suficiente para reducir las probabilidades de iniciación de un fallo en el sistema. Si se estima que un componente es propenso a fallar, el sistema debe proyectarse con la flexibilidad necesaria tanto para

minimizar

3.

El

la repercusión propagación.

de

como para

evitar

su

sistema deberá diseñarse para que las consecuencias imprevisibles e incontrolables sean mínimas.

de

posterior

la

avería

fallos

13.2.

RESULTADOS CATASTRÓFICOS PROVOCADC3 POR CAUSAS NIMIAS

Resulta evidente la inestabilidad de un castillo de naipes. La caída de una sola carta provoca un derrumbamiento en cadena que conduce eventualmente a una destrucción total. Sin embargo, algunas gotas de pegamento colocadas estratégicamente, o el cambio de orientación de una carta, pueden aislar las zonas más débiles y prevenir la propagación del fallo a través de todo el sistema, dando cierto grado de estabilidad al conjunto. La inestabilidad también se presenta en sistemas de proceso; a título orientativo citaremos un ejemplo real, el fallo de un reactor de reformado con hidrógeno, y el fuego subsiguiente que se produjo en

TOLERANCIA A LOS FALLOS

430

Whiting, Indiana, en agosto de 1955 *, que fue muy bien estudiado. Un fallo de una válvula, de escasa importancia intrínseca, se propagó provocando un siniestro de mayores consecuencias que dañó una parte considerable de uno de los complejos petrolíferos más importantes de los Estados Unidos. En el momento del fallo inicial, el personal de la planta procedía a poner en marcha la unidad de reformado después de una parada rutinaria de mantenimiento y reparación. El reactor no contenía catalizador y el gas inerte utilizado para calentar el sistema de reciclo se hallaba en contacto con nafta en dos recipientes, el depósito de enfriamiento y el separador, ambos operando a alta presión. El gas inerte se contaminó con pentanos y hexanos, circulando así a través del sistema. Esto no habría representado ningún peligro si no se hubiese producido el fallo de la empaquetadura de una válvula situada en el conducto de reciclo, que permitió la entrada de aire en la instalación.

Seguiremos ahora de

la

propagación de este pequeño

fallo

en

el cierre

la válvula.

A

las

seis

horas y doce minutos de

la

mañana

se produjo

un

fuerte ruido seguido por llamaradas que rodearon al reactor, segunda etapa en la propagación del desastre. Entonces se oyeron dos explo-

siones que parecieron desplazar de sitio el reactor. En ese instante, la carcasa del reactor, de 600 ton, se rompió en trece grandes trozos de 3 a 136 ton, dispersándose los fragmentos en un círculo de 400 de radio. Un fragmento de 60 ton se encontró del centro de la explosión. El separador se fraccionó a su a 350 vez en veintinueve trozos. El daño mecánico en las unidades que rodeaban al reactor, motivado por los fragmentos volantes del mismo, fue reducido y si la propagación del fallo se hubiese detenido en este punto, las pérdidas en el conjunto habrían sido relativamente pequeñas.

m

m

Desgraciadamente, la propagación no finalizó aquí, dañando los fragmentos varias tuberías y depósitos. Gasolina, crudo y otros productos peligrosos se derramaron. Los operarios intentaron desviar su flujo hacia los desagües con diques de arena. En pocos minutos se iniciaron numerosos incendios y un círculo de fuego rodeó una zona de 17,5 acres (11000 m^). Después de dos horas, la zona de fuego se incrementó a 20 acres; a mediodía cubría 42. Se produjeron nuevos incendios y el desbordamiento de tanques, creciendo la superficie afectada a 47 acres a las *

Informe presentado

durante

la

XXXVI

Reunión anual del American

Petroleixm Institute y publicado en Process Safety de Copyright ©, American Oil Company, Chicago, 1966.

J.

C.

Ducommun,

vol.

I,

RESULTADOS CATASTRÓFICOS PROVOCADOS POR CAUSAS NIMIAS

431

cuatro de la tarde. En ese momento resultaba imposible extinguir fuego; tan sólo se podía contener. Un suceso pequeño, un escape de aire, se transformó en un gran desastre. En teoría es posible definir una cadena concreta de fenómenos que conducen directamente a él. ¿Qué error se había cometido en el diseño del sistema para que, con un simple fallo, se produjese tal devastación?

el

1.

La colocación de

la

válvula no era suficientemente segura ni

existían las instrucciones adecuadas para evitar la entrada de aire en los recipientes durante la puesta en marcha, aun cuando los operarios fuesen inexpertos. 2.

El sistema no poseía la flexibilidad suficiente frente al fuego

y las detonaciones que siguieron al fallo de la válvula. La dispersión de los fragmentos propagó el fallo a gran distancia del punto inicial. Sin duda la elasticidad frente a las detonaciones es muy difícil de conseguir en un sistema. Con frecuencia los discos de rotura y las válvulas de seguridad no responden con suficiente rapidez y es difícil predecir la dirección natural de la onda de choque. Evidentemente, eran imprevisibles las direcciones en que se 3. dispersaron los fragmentos; sin embargo, el complejo que rodeaba a la unidad debió diseñarse de modo que la destrucción motivada por este fallo impredecible e incontrolable no fuese tan completa.

¿Por qué se diseñan y construyen sistemas con una estructura tal que permita estas cadenas de sucesos que potencialmente pueden llevar a un fallo catastrófico? La respuesta se obtiene si se considera que su percepción en cada instante no es viable y que la comprensión del comportamiento futuro se diluye a causa de la complejidad del sistema que se proyecta. Muchos de los desastres que se producen podrían predecirse perfectamente antes de ocurrir; sin embargo, en la práctica no se logra hacerlo a tiempo simplemente porque las cadenas de sucesos peligrosos se encuentran profundamente encajadas y ocultas en los miles de fenómenos inocuos que se producen durante la operación normal del sistema. La operación satisfactoria de un sistema durante un cierto periodo de tiempo tiende a sumergirnos en una falsa atmósfera de seguridad. Por el contrario, la proximidad temporal de un desastre en un sistema tiende a señalar los puntos débiles que deben modificarse. Sin embargo, este procedimiento de detectar las cadenas de sucesos peligrosos resulta bastante poco rentable. Un buen ejemplo de una cadena de sucesos improbable pero completamente predecible lo proporciona un desastre que tuvo lugar hace varios años en la costa del

TOLERANCIA A LOS FALLOS

432

Una grúa elevada se utilizaba en una planta para extraer los bloques de tubos de los cambiadores de calor de sus carcasas para someterlos a limpieza. Durante un huracán, los vientos empujaron la grúa, desplazándola sobre sus carriles hasta hacerla saltar un contrafuerte; la grúa cayó sobre una bomba y destrozó una conducción golfo de México.

de butano. Este escapó y explotó, iniciando una cadena de sucesos demasiado complejos de describir. Este siniestro se consideró probablemente como un accidente fortuito, si bien pudo haberse predicho y, por tanto, evitado. De hecho, debió ser evitado. Estas cadenas de sucesos han de detectarse y romperse. Por ejemplo, es práctica habitual aislar físicamente los depósitos de almacenamiento para materiales inflamables de los sistemas de proceso, rodeándolos con diques de tierra, y equipar las conducciones que unen los depósitos con el resto del equipo con las válvulas adecuadas y con sistemas para cortar la propagación de las llamas. También suelen colocarse convencionalmente los componentes que manejan gases explosivos a sotavento de los puntos o zonas fácilmente combustibles. Los discos de presión también se utilizan para romper una serie no deseable de acontecimientos, dirigiendo el contenido de un recipiente hacia una zona libre cuando se produce su rotura debido a un aumento excesivo de la presión en el mismo. El conocimiento actual en este área de la ingeniería de proceso es esencialmente empírico y la teoría que se presenta al final de este capítulo es tan sólo un primer intento de racionalizar la ingeniería de la tolerancia a los fallos.

REVISIÓN PRELIMINAR DEL DIAGRAMA DE FLUJO

13.3.

En

este apartado se analizará la estrategia a seguir para

comprobar

de los componentes u operadores. En este punto, el ingeniero de procesos debe considerar que la naturaleza y el hombre se oponen sistemáticamente al éxito de un sistema. Cada aspecto de éste se debe explorar y filtrar mentalmente para poner de manifiesto sus puntos débiles. El proceso debe ponerse en marcha, operar y detenerse sobre el papel en condila sensibilidad

ciones

muy

de un diseño en estudio frente a los

fallos

dispares.

Considérese el diseño de la planta de purificación de ácido nítrico descrita en la figura 166. El ácido impuro se alimenta desde un depósito (D-101) mediante una bomba controlada automáticamente a una columna de destilación súbita (V-101). La columna se calienta con vapor de agua y la mezcla de vapores que efluye por la parte

Materias primas procedentes de

camiones

Agua de refrigeración

—

120

^ |I| I

Producto

al

Purga de condensado

proceso siguiente

Leyenda: P,

bomba

D, depósito cilindrico

FR, registrador de flujo LG, indicador de nivel

E, cambiador de calor

TI, indicador de temperatura

V, reci-iente

PG, indicador de presión

HLA, alarma de

nivel

LC, control de nivel FiG. 166.

Un

—

>•,

flujo principal ,

de ácido

conexiones de control

sistema propuesto para la purificación de ácido nítrico.

TOLERANCIA A LOS FALLOS

434

superior se condensa (E-101) para dar el ácido nítrico puro que se almacena (D-103) para ser utilizado en otra unidad del sistema de proceso.

En la tabla 75 se describe una parte del procedimiento operativo propuesto. Se desea detectar los componentes del sistema que son sensibles a los fallos de equipo o de operación y modificar el diseño para eliminar toda posibilidad de que se produzca una cadena de sucesos que condujese a la avería total del sistema. Tabla

Procedimiento para

75.

la

puesta en marcha de

un sistema de

purificación de ácido

1.

2.

Comprobar que todas las válvulas se encuentran cerradas, excepto purga situadas sobre D-101, D-102 y D-103. Abrir

válvula

la

de desagüe de V-101 y extraer todo

el

las

residuo

de

que

contiene. 3.

Cerrar la válvula abierta en

4.

Abrir a)

b) c)

d) 5.

2.

La válvula de

salida de D-101. Las válvulas de entrada y salida de P-101. La válvula de entrada del alimento a V-101. La válvula de salida de la parte superior de V-101.

Fijar el

caudal de

bomba P-101 en

la

LG-103 indique que

se

ha alcanzado

2,3

el nivel

por minuto hasta que normal de líquido en V-101.

litros

6.

Parar P-101.

7.

Abrir completamente ración de E-101.

8.

Abrir la válvula de vapor hasta que el caudal marcado en FR-102 sea de 160 kg/h (equivale a un caudal de vapor producido de 135 kg/h).

9.

Extraer los incondensables abriendo la válvula situada sobre condensado.

las válvulas

de entrada y salida del agua de

10.

Cerrar

11.

Cuando TI-101 indique una temperatura de 130

la

la

refrige-

purga de

válvula situada sobre la purga de condensado. °C, abrir las válvulas situa-

das inmediatamente antes y después de la válvula de control automático del nivel. 12.

Conectar la bomba P-101 y poner en marcha nivel, LC-101, y la alarma, HLA-102.

13.

Controlar manualmente el caudal de agua de refrigeración que entra a E-101 manteniendo TI-103 en menos de 38 °C y la temperatura de salida del agua en menos de 55 °C.

el

control automático de

I

REVISIÓN PRELIMINAR DEL DIAGRAMA DE FLUJO

435

Existe un punto débil evidente que el lector descubrirá en cuanto se describa a continuación un hecho que puede presentarse durante la

puesta en marcha.

Supóngase que el sistema de proceso se ha construido y que ha operado con éxito y de forma rentable durante bastante tiempo. De repente llaman por teléfono al ingeniero y se escucha lo siguiente al otro extremo del hilo: ¡Se ha producido una perturbación en el sistema de purificación de ácido! la operación para efectuar algunas pequeñas reparaciones y al arrancar de nuevo se ha producido una explosión que ha llenado el edificio

Hemos parado

con un gas anaranjado acre. Hemos puesto en práctica los dispositivos de emergencia y se ha evacuado la zona afectada. ¿Cuál ha sido la causa de la explosión y qué puede hacerse para evitarla en el futuro?

Se emplaza al lector a que descubra el origen de este incidente. Sin duda, el gas anaranjado es alguna mezcla de óxidos de nitrógeno formados al recalentarse el ácido en el sistema. La explosión se debió probablemente a un exceso de presión en el mismo, y el hecho de que el fallo tuviese lugar durante la puesta en marcha después de efectuar las reparaciones indica que el sistema quizá no había alcanzado aún su régimen estacionario. Como orientación adicional, se sugiere que el fallo pudo ser motivado por el error de un operador, por ejemplo, la manipulación equivocada de una válvula. ¿Cómo puede eliminarse del sistema esta sensibilidad al error de un operador con una sencilla modificación del diseño? No debe olvidarse que la responsabilidad primaria recae sobre el diseñador del proceso; en este caso no consiguió proyectar un sistema seguro desde el punto de vista de los operadores. Se pueden localizar aún otros dos puntos débiles en este diseño. Una norma en la industria del petróleo señala que un proceso debe ser flexible ante un error de operación aislado, pero no es necesario diseñarlo de forma que pueda responder con seguridad ante dos o más fallos simultáneos. Más adelante se considera la probabilidad que

que sucedan fallos de esta índole. Se dispone de una cantidad apreciable de datos empíricos para ser utilizados en la comprobación del diagrama de flujo de un proceso dado. En lo que resta del capítulo se aludirá a ellos y se darán referencias bibliográficas para ampliar este estudio. Armistead * clasifica las causas directas de los accidentes destructivos en la industria del petróleo, principalmente aquellos que

existe de

*

2.^ ed.

G. Armistead, Jr. Safety in Petroleum Refining and Related Industries, Simmonds, Nueva York, 1959.

INGENIERÍA DE PROCESOS.

:

29

TOLERANCIA A LOS FALLOS

436

implican incendios, en orden de severidad del daño causado, en

la

forma siguiente: 1.

Operación errónea o procedimiento inadecuado. Errores en operación de válvulas, apertura o cierre equivocado de válvulas, uso impropio de llamas libres, etc.

la

del equipo. Rotura de tuberías y recipientes, fallos de bombas y maquinaria que se traducen en incendios, etc.

2.

Fallos

3.

Reparación de equipo sin parar la operación. Flujo de fluidos por conducciones desconectadas, rotura de conducciones o accesorios, rotura de equipo bajo presión, etc.

4.

Rayos, tormentas y otros meteoros. Fuego en tanques, inundaciones, hundimiento de depósitos, daño en estructuras y edificios,

5.

etc.

Equipo inadecuado, etc. Resultados imprevistos de nuevas operaciones con el equipo, combustión de elementos eléctricos, etc.

Conociendo ya los tipos de fallos que han tenido consecuencias desastrosas en el pasado, estamos en mejor situación para reducir las posibilidades de que vuelvan a repetirse en un nuevo diseño. HuDSON * sugiere que en un diseño deben comprobarse cuidadosamente

los siguientes puntos:

Zonas de reacción Las reacciones deben producirse en un intervalo estable de composiciones, temperatura y presión. Las reacciones laterales que conduzcan a productos venenosos o explosivos o que pueden producir contaminaciones peligrosas han de

controlarse cuidadosamente. Ha de evitarse una distribución inadecuada de reaccionantes que dé lugar a puntos calientes en el reactor y que se traduzcan en fallos del equipo o que favorezcan reacciones no deseables. Debe disponerse el área de transmisión de calor adecuada tanto para la operación normal como para controlar cualquier desviación motivada por la puesta en marcha, parada o cualquier otra anomalía. Se preverán los depósitos de emergencia, antorchas y sistemas de

purga adecuados para una operación correcta. * W. G. Hudson: «Process Design», en Safety and Accident Protection Chemical Operations, H. H. Fawcett y W. S. WooD, eds. Wiley, Nueva York, 1955.

in

REVISIÓN PRELIMINAR DEL DIAGRAMA DE FLUJO

437

Zonas de separación Los sistemas de trituración, molienda y separación de tamaño producen generalmente polvos, con los peligros subsiguientes de explosión, aceleración de reacciones y daño en los equipos. Los sistemas de destilación están expuestos a perturbaciones debidas a la acumulación de productos peligrosos en las corrientes de reciclo, por polimerización en las calderas o por la vaporización brusca y violenta de agua dejada inadvertidamente en el interior de las columnas. Los sistemas de extracción y absorción pueden contener grandes cantidades de líquidos venenosos o inflamables. Las operaciones de secado suelen implicar riesgos de fuego o explosión a causa de la generación de polvos o vapores.

Manipulación de materiales El diseño adecuado de válvulas y tuberías es de suma importancia. situarse válvulas de seguridad en todas las bombas y compresores de desplazamiento positivo y en cualquier otro punto donde exista posibilidad de aumentos importantes de presión. Deberán también disponerse las facilidades necesarias para aislar los distintos componentes del equipo durante los períodos de puesta en marcha o parada, así como en las situaciones de emergencia. Los transportadores mecánicos suelen generar polvo. Por su parte, los sistemas de transporte neumático que actúen con materiales inflamables operarán con gas inerte a presión para evitar la entrada de aire en el sistema. Asimismo, deberá tenerse en cuenta la recuperación de los finos a la salida del gas protador.

Deben

Zonas de ahnacenamiento El almacenamiento es necesario para dar mayor flexibilidad a los procesos, guardar productos peligrosos o especiales y, en general, para asegurar el normal funcionamiento de cualquier planta. Si el producto que se desea guardar es un sólido inflamable, es preciso disponer atmósferas adecuadas de CO2 o N2. El almacenamiento de líquidos altamente inflamables suele precisar sistemas de barrido de los vapores con gases inertes, buena ventilación y previsiones para el control de los productos derramados; por ejemplo, mediante diques. El almacenamiento de gases presenta los mismos problemas que en el caso de los líquidos, con los peligros adicionales de la posible difusión hasta focos de calor alejados.

TOLERANCIA A LOS FALLOS

438

Todo lo tratado hasta aquí en este apartado se refiere a los métodos existentes para reducir las probabilidades de un fallo. Además de las reglas empíricas presentadas, existe un gran número de códigos y normas de diseño referentes a ciertos campos de la construcción de equipos. Por ejemplo, la American Society of Mechanical Engineers ha publicado unas especificaciones muy detalladas para el diseño seguro de recipientes a presión. Su diseño se considera como una especialidad y se confía con frecuencia a un experto cualificado. Sin embargo, el ingeniero de procesos debe estar familiarizado con las características generales de los códigos, para estar en condiciones de prevenir las alteraciones que puedan debilitar seriamente los recipientes. En este capítulo no podemos extendernos para dar una visión de conjunto de este interesante campo del diseño; sin embargo, al final del mismo se indican algunas referencias que proporcionarán una información más detallada. Desafortunadamente, los fallos se presentan incluso en los sistemas diseñados con mayor cuidado. Por esta razón, el ingeniero debe dar a sus proyectos un grado de inmunidad y tolerancia ante la propagación de un fallo. Este será el objeto del siguiente apartado.

13.4.

SEGURIDAD EN CONDICIONES EXTREMAS

Afortunadamente, un sistema de proceso no es propenso a los desastres en condiciones normales de operación. Tiene gran importancia conseguir cierto grado de inmunidad frente a los desastres en condiciones razonablemente extremas que no forman parte del programa normal de operación. Este doble nivel de seguridad resulta necesario y puede alcanzarse con frecuencia introduciendo en el diseño cambios relativamente simples. Una estrategia habitual supone el ensayo mental de la respuesta de cada componente a unas condiciones ambientes rigurosas para averiguar con certeza qué componentes impedirían la propagación de un siniestro, caso de iniciarse éste. Para ilustrar este procedimiento, examinaremos las Normas Recomendadas por el American Petroleum Institute para el diseño e instalación de sistemas de seguridad que eviten aumentos de presión en equipos de refinerías *. Este documento proporciona valiosos métodos de diseño para localizar los fallos en refinerías que conducen a aumentos de presión en recipientes. La tabla l(i muestra las condiciones extremas que pueden provocar tales efectos e indica los caudales de líquido y vapor que deben *

API RI 520, septiembre de Nueva York.

of Refining,

1960.

American Petroleum

Institute, División

SEGURIDAD EN CONDICIONES EXTREMAS

439

evacuarse de los mismos para prevenir su estallido. Por ejemplo, el punto 15 se refiere a un fallo del suministro de energía a la refinería. En tal caso, si el recipiente que se considera es, por ejemplo, una columna de fraccionamiento, todas las bombas se detendrán y quedará cortado el suministro de agua de refrigeración; por consiguiente, el diseño del dispositivo de seguridad (por ejemplo, un diafragma de rotura) deberá dimensionarse como en el caso 2, fallo del suministro de agua de refrigeración al condensador. Se recomienda, por tanto, disponer lo necesario para evacuar vapor con un caudal igual al total que asciende por la columna menos el que se condensa por la corriente lateral de reflujo. Examinemos ahora en detalle la situación anormal descrita en el caso 14, fuego exterior. Es preciso evaluar la capacidad de evacuación de líquido y vapor que debe presentar el sistema para evitar un aumento excesivo de la presión. La cantidad de calor absorbida por un recipiente en tal situación puede estimarse mediante la ecuación [13.1] (Apart. 6, API RP 520), que compendia numerosos datos obtenidos en condiciones experimentales: C>

= 37 300FA''^

[13.1]

donde

= caudal de calor total recibido por el recipiente, kcal/h, A = superficie total del recipiente expuesta al fuego, m^, F = factor característico de cada instalación (tabla 77). C^

Se recomienda que la superficie expuesta incluya todo lo comprendido en los 8 situados por encima del nivel del fuego, teniendo en cuenta el tipo de recipiente del siguiente modo:

m

1. Recipientes llenos de líquido (por ejemplo, tanques de tratamiento). Se tomará como superficie expuesta toda aquélla que puede ser afectada por un incendio.

Depósitos de amortiguamiento. Operan normalmente llenos 2. hasta su mitad. Por tanto, se tomará como área expuesta el 50 por 100

de

la total.

3. Depósitos de emergencia. Usualmente contienen una cantidad de líquido muy reducida. El área expuesta será proporcional

a

ella.

tienen

Columnas de fraccionamiento. En su operación normal conuna cierta cantidad de líquido en su base y en cada uno de los

pisos.

Parece,

4.

pues,

razonable estimar

el

área expuesta en función

V O-

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.^

W3

SEGURIDAD EN CONDICIONES EXTREMAS

Tabla

77.

Factor ambiental característico

Tipo de instalación

1.

2.

Recipientes sin aislar

Factor

F

*

1,0

Recipientes aislados ** (se dan como ejemplo varios valores arbitrarios de la conductancia expresados en kcal/(hora m^ °C) 20 a) 10 b) •

c)

443

•

0,3

0,15

0,075

5

3.

Recipientes sin aislar, con sistema de pulverización de agua sobre su superficie ***

1,0

4.

Recipientes con accesorios de despresurización y vaciado ****

1,0

5.

Almacenamiento subterráneo

0,0

6.

Almacenamiento sobre

0,03

el

terreno, cubierto de

tierra

Valores sugeridos a partir de las condiciones supuestas informe del API, parte 6.2. Si no se dieran tales circunstancias en el caso que se estudia, debería aplicarse un criterio conservativo, bien seleccionando un factor más elevado, bien procurando los medios para mejorar la protección contra el fuego. ** El aislamiento deberá resistir sin resquebrajarse la incidencia de las llamas sobre él. En los ejemplos se utilizó una diferencia de temperaturas de 900 °C. En la práctica se recomienda que el aislamiento sea capaz de mantener una diferencia de temperatura de 550 °C, debiendo estimarse su conductividad a una temperatura no inferior a la media. *** Véanse las recomendaciones acerca de la aplicación de agua sobre recipientes. **** La disminución de presión proporcionará un factor menor si se efectúa con rapidez, pero este hecho no se tendrá en cuenta si las válvulas de seguridad se dimensionan para operar expuestas *

en

el

al fuego.

de la cantidad de líquido situado en la base y en aquellos pisos comprendidos en la zona de columna que se juzga sería afectada por el fuego. 5. Depósitos de almacenamiento. Se estima su superficie expuesta sobre su contenido promedio. Se tiene así un criterio satisfactorio no sólo por una razón de probabilidad, sino porque siempre se dispone de un factor adicional de seguridad en el tiempo necesa-

TOLERANCIA A LOS FALLOS

444

rio para comunicar a una masa de líquido, generalmente grande, el calor sensible que requiere para alcanzar su punto de ebullición. La cantidad de vapor liberado como consecuencia del incendio y

que debe eliminarse se evalúa entonces mediante

la

ecuación

V.

[13.2]

A en

la

que X es

el calor latente

de vaporización del líquido.

A

la

zona de seguridad •

)fDiafragtna

^Pulverizador

de s^ua. 1

>•

í

de ruptura

>•

Vapor

\,

Alimento'

N.

,

Vapor de agu^ condensado

Producto

Diseño seguro en condiciones

Diseño original: un riesgo en condi-

extremas

ciones extremas

FiG. 167.

Dispositivo para disminución de

la

presión en una columna de butano.

Consideremos como ejemplo un incendio que rodea a la columna de fraccionamiento representada en la figura 167, no provista de aislamiento pero sí de un dispositivo de seguridad que pulveriza agua de sobre su superficie en caso de emergencia. La columna tiene 1,3

m

SEGURIDAD BASADA EN UNA DISTRIBUCIÓN ADECUADA

445

diámetro y se encuentra llena de butano líquido hasta una altura de 6,5 m.

A-(l,3)77(6,5)«26,5 m^

F = 1,0 A = 55,5

kcal/kg a 20 atmósferas

El comentario sobre los sistemas de pulverización de agua que se incluye en las notas situadas al pie de la tabla 77 se refiere a que éstos no disminuyen el caudal de calor recibido, sino que tan sólo contribuyen a evitar que la carcasa metálica del recipiente se debilite a

causa de temperaturas excesivamente

En

altas.

este caso,

(37 300)(l,0)(26,5f82

A

=9

800 kg/h

sumar las cantidades correspondienconceptos de la tabla 76, dependiendo de la naturaleza del sistema. Por ejempo, el incendio podría causar también el fallo del suministro de energía, concepto 15, y con él la supresión de la corriente de agua de refrigeración. Las recomendaciones del API detallan, por tanto, el diseño de los dispositivos para reducir la presión de los componentes de equipo, tales como diafragmas de ruptura, de tal manera que se adapten a los caudales de eliminación de vapor requeridos. No se continuará con este tema puesto que pueden consultarse fácilmente las normas. Es interesante señalar que el diseño de un sistema de conducciones que dirija los vapores y líquidos liberados durante una perturbación en el funcionamiento de un sistema hacia una zona segura, tal como una antorcha, es en sí mismo un extenso problema de diseño. Es decir, los problemas de «diseño seguro» son con frecuencia tan extensos e importantes como los que surgen durante el diseño del este valor habría quizá que

tes a otros

proceso.

13.5.

SEGURIDAD BASADA EN UNA DISTRIBUCIÓN ADECUADA

El ingeniero experto sabe demasiado bien que los planos mejor proyectados son con frecuencia erróneos y que no puede confiarse de forma absoluta en los dispositivos particulares de seguridad, tales como toberas de pulverización de agua o diafragmas de ruptura. El grado final de seguridad se confiere al sistema disponiendo cada com-

TOLERANCIA A LOS FALLOS

446

ponente en el lugar más adecuado, tanto respecto a los que le rodean como en relación a la comunidad próxima a la planta. En este apartado se esquematizarán los métodos utilizados habitualmente en la elección del lugar idóneo para una planta, la distribución de las distintas unidades en la misma y sus detalles, siguiendo la descripción realizada por D. M. Listón * en un artículo del mis-

mo

título.

Los riesgos mayores de las operaciones químicas están relacionados con el fuego, la explosión y los productos tóxicos. Cualquier incidente en el que intervenga alguno o varios de estos factores debe quedar confinado en una zona en la que pueda causar el

mínimo daño.

Las unidades de proceso son las partes más peligrosas de una planta química y deben situarse lejos de sus límites y razonablemente agrupadas. De este modo resulta más fácil aislar una zona peligrosa y reducir el tráfico a su través. Estas unidades deben situarse a sotavento de las concentraciones urbanas y de cualquier fuente posible de fuego, como incineradores, llamas o talleres. Los vientos pueden variar a lo largo del tiempo, por lo que con este fin se utilizará la dirección de los vientos predominantes. De este modo se minimizarán los efectos adversos del escape de productos inflamables o tóxicos. Las plantas de calderas y los talleres de mantenimiento son las zonas más peligrosas frente al fuego; estos últimos a causa de la gran concentración de personal, y por ello deben situarse a barlovento respecto al área de proceso. Lo mismo ocurre con los muelles de carga, puesto que en ellos es fácil que se derramen productos. El sistema de tratamiento de aguas es el fin último de cualquier vertido de la planta, por lo que puede encontrarse tras la zona de proceso en la dirección del viento. Las antorchas y quemadores no pueden colocarse a sotavento de la zona de proceso; sin embargo, durante ciertos periodos anormales, la antorcha puede arrojar gran cantidad de combustibles, por lo que tampoco puede encontrarse a barlovento. Así, pues, la posición de compromiso más adecuada es uno de los laterales de la citada zona respecto a la dirección del viento.

Los tanques de almacenamiento representan una enorme reserva que deben disponerse en una zona adecuada tras y algo lateralmente en relación a la dirección del viento. Existen normas para la disposición de los depósitos **.

energética, por lo el área de proceso

*

tions,

*

D. M. Listón en Safety and Accident Prevention in Chemical Opera5, H. H. Fawcett y W. S. Wood, eds. Wiley, Nueva York, 1965. Véase G. Armistead: op. cit. y el apart. 13.9 de este texto.

cap.

SEGURIDAD BASADA EN UNA DISTRIBUCIÓN ADECUADA

447

Elevación, 250

FiG. 168.

Una

distribución razonable para una planta.

m

TOLERANCIA A LOS FALLOS

448

Cada unidad de proceso debe encontrarse rodeada por carreteras y ser accesible desde varios puntos. Asimismo, existirán varias rutas posibles para la evacuación del personal. Con frecuencia resulta imposible construir la planta en un terreno llano; en tal caso deberán considerarse los detalles topográficos al distribuir las unidades. Así, los líquidos tóxicos o inflamables

no

se

situarán nunca sobre puntos elevados respecto a concentraciones de población o focos en ignición. Si la zona puede quedar inundada, las calderas, subestaciones eléctricas y estaciones de bombeo se situarán en puntos elevados para que en un caso de emergencia sigan funcionando. También puede estudiarse la construcción de un sistema de diques y barreras para prevenir la extensión del fuego de unos lugares de la planta a otros. La figura 168 muestra una distribución razonable de una planta. Dado el carácter de introducción de este apartado no se juzga pertinente exponer otros detalles adicionales. El lector puede dirigirse a las publicaciones reseñadas en la bibliografía de este capítulo para obtener información complementaria. Sin embargo, no debe olvidarse que la seguridad de una planta es un problema de sentido común y experiencia y que las reglas empíricas no son aplicables a situaciones anormales, en las que precisamente resultarían más útiles.

13.6.

teoría de la confiabilidad

con sus vientos que cambian, que se corroen y toda una serie de excepciones a las reglas que perturban el funcionamiento normal de una instalación y realizaremos una breve excursión a través del mundo de las matemáticas, en el que puede suponerse que las reglas se cumplen con absoluta precisión. La comprensión de un mundo idealizado facilita con frecuencia el mejor conocimiento del mundo real, a la vez que se ponen de manifiesto las diferencias existentes

Abandonaremos ahora

válvulas que

se

averian,

la

realidad,

tuberías

entre los dos.

Uno

de los objetivos en esta breve exploración consiste en mosutilizarse la teoría matemática de la probabilidad para conseguir una réplica óptima de los componentes propensos a los fallos *. Aunque esta teoría de la confiabilidad es tan sólo aplicable a ciertos tipos de problemas asociados con los fallos, los procesos mentales implicados son de generalidad suficiente para proporcionar una valiosa «forma de pensar», incluso cuando no pueden matrar

cómo puede

* Para más detalles consúltese D. F. Rudd: «Reliability theory in Chemical System Design», Ind. Eng. Chem., Fundamentáis, 1 (1963).

teoría de la confiabilidad

449

nejarse directamente cifras. La teoría se ha desarrollado ampliamente, se ha aplicado al diseño de cohetes espaciales y sistemas de computación, así como a la industria de procesos.

y

Se comenzará asociando a cada componente de una operación discontinua o por etapas una probabilidad de éxito, un grado de confianza R. Este parámetro es una medida de la probabilidad que tiene el componente en cuestión de completar su misión, por ejemplo, estimada como la fracción de éxitos anteriores:

R=

número de

éxitos anteriores

[13.3]

número de ensayos

anteriores

N

componentes Supongamos que ahora un sistema consiste en conectados en serie y que el fallo de uno de ellos se traduce en el fallo global del sistema. La probabilidad de funcionamiento correcto de todos los componentes es una medida de la confiabilidad del sistema. Suponiendo que todos los componentes fallan de forma independiente :

N

R.= JIRí

[13.4]

i=l

2,

Por ejemplo, si un sistema está formado por tres componentes 1, que han funcionado satisfactoriamente en 1/3, 1/2 y 3/4 de los

3,

casos anteriores,

probabilidad de éxito conjunto es:

la

«-««^''-

(i) (i) (t)

4

El grado de confianza en un sistema cuyos componentes se encuentran dispuestos en serie es siempre inferior o igual que el de cada uno de ellos por separado.

Rs^Ri

[13.5]

donde i indica cualquier componente del sistema. Supóngase ahora que la estructura del sistema cuya confiabilidad en paralelo en lugar de en serie, es decir, tan elementos sólo es preciso que funcione correctamente uno de los para lograr que lo haga todo el sistema. El fallo del sistema requerirá

se desea analizar es

que

se

produzca

simultáneamente

N

el

de los

N

componentes.

Una

estructura de este tipo surge, por ejemplo, siempre que dos bombas alimentan en paralelo a un reactor. Ambas deben fallar para que el reactor deje de funcionar.

TOLERANCIA A LOS FALLOS

450

La probabilidad de

componente

fallo del

i

es:

(l-Ri)

y

la

de los

N

componentes

na-«.) i=í

Por tanto, es decir,

el

la probabilidad de funcionamiento correcto del sistema, grado de confianza en el mismo, será:

N

Rs=^l-]lil-Rd

[13.6]

Si, por ejemplo, se trata de un sistema formado por los tres componentes antes citados, dispuestos en paralelo, el grado de confianza

sería

R, =

n l-(l-R0il-R2)il-R,)-l- (l-y) (l-y) (l-y) = 12

es

El grado de confianza en un sistema con estructura en paralelo igual que el de cualquiera de sus componentes

mayor o

Rs^Ri

[13.7]

el fundamento de la estrategia del diseño redundante, es multiplicación de los componentes propicios al fallo para mejorar la confiabilidad de un sistema. continuación se muestra la aplicación de estas ideas a la estimación del número de unidades que deben repetirse para lograr el funcionamiento económicamente óptimo de un sistema de fabricación de productos químicos.

Este es

decir,

la

A

13.7.

REPETICIÓN ÓPTIMA DE UN REACTOR INTERMEDIO

Supóngase ahora que un reactor discontinuo que se utiliza para un producto químico intermedio muy sensible falla con frecuencia, conduciendo a una calidad para el producto que no cumple las especificaciones y perturbando como consecuencia el funcionamiento de un sistema de mayor envergadura que lo consume. Considérese ahora la posibilidad de instalar varios reactores de tal modo fabricar

REPETICIÓN ÓPTIMA DE UN REACTOR INTERMEDIO

451

simultáneamente varias operaciones con la esperanza se complete satisfactoriamente y asegure el correcto funcionamiento de todo el sistema. Evidentemente se trata de un problema económico, en el que deben contrapesarse el ahorro que se obtiene al disponer de un sistema de mayor confiabilidad y el ca-

que

se

de que

inicien

al

menos una

para adquirir los reactores. coste de un fallo del sistema, es decir, el coste asociado al hecho de no disponer de una carga del producto intermedio cuando el sistema la precisa. Por Cr, pesetas/operación, se representa el coste correspondiente al capital necesario para instalar el reactor y el de los reaccionantes precisos para tratar de generar una carga del producto intermedio. Si se utilizan reactores, el coste del conjunto será: pital necesario

Sea

Cf, pesetas/operación, el

N

Ahora

bien,

el

del conjunto de reactores se producirá sólo

fallo

cuando aquél se dé simultáneamente en todos, de que esto suceda será

es decir, la probabilidad

siendo R el grado de confianza de un reactor aislado. El coste probable de un fallo será, por tanto,

y

el

coste total Ctotai

El

número óptimo de

total respecto a

N

= (l-i?)^Q + NC«

reactores se estimará diferenciando

[13.8] el

coste

e igualando a cero la derivada resultante. Se llega

así a

iní ...

^

(Qln[l/(1-R)]iI ln(l-/?)

Por ejemplo, si el coste de un fallo del sistema es cien veces coste de un reactor,

Cf=lOOCR y

el

grado de confianza en uno de ellos es un medio,

2 INGENIERÍA DE PROCESOS.

30

el

TOLERANCIA A LOS FALLOS

452 el

número óptimo de reactores N'

será:

In (1/100 In 2)

=6

In (1/2)

13.8.

UN EJEMPLO DE UNA UNIDAD DE RESERVA REDUNDANTE

En este apartado se ilustrarán dos nuevos aspectos de estos problemas. Primero se introduce el concepto de unidades de reserva continuación se presentan métodos que posibilitan el redundantes. análisis del grado de confianza de estructuras más complejas que los sencillos conjuntos en serie o en paralelo examinados hasta ahora.

A

Materias primas

^

t Reactor 1

Producto

de

FlG. 169.

el proceso intermitente de cinco etapas mostrado en que produce un reactivo químico muy delicado. Tres materias primas reaccionan en recipientes independientes para dar compuestos intermedios inestables, que a su vez se combinan de modo adecuado en otros reactores hasta formar el producto final. A causa de dificultades de control, se obtienen frecuentemente cargas sin la calidad necesaria, perturbando el comportamiento del sistema. En la tabla 78 se resumen los datos referentes a estos aspectos para los reactores 1, 2 y 3. Este sistema posee una estructura de confiabilidad en serie: el fallo de un reactor conduce al de todo el sistema. El grado de confianza en el sistema inicial, constituido por los reactores citados, será:

Considérese

la

figura

169,

Rs = RiR2R

- (i) (i

=— = 0,134 15

UN EJEMPLO DE UNA UNIDAD DE RESERVA REDUNDANTE

Tabla 78

Reactor

453

TOLERANCIA A LOS FALLOS

454

y el de reserva opera bien conduce al éxito global, en tanto que aquellas en que se produce el fallo simultáneo de dos reactores no permiten alcanzar el objetivo deseado. El grado de confianza del sistema en presencia de un reactor de reserva será la suma de todas las probabilidades falla

Rs = RiRiRi + (l-Ri) RiRíRi + Ri(l- Ri) RsR2 + RiRiil - Ri) Rs =

= R,R2Rs[^-(Ry + R2 + R3)] que aplicada a

los datos

numéricos anteriores conduce a

«-(T)(T)(f)[-(H4)]-La presencia del reactor de reserva incrementará probablemente productividad del sistema en un factor próximo a 2,5 veces. Un análisis económico nos demostrará si este incremento justifica el inmovilizado necesario para el nuevo reactor. la

13.9.

ESTUDIOS TEÓRICOS SOBRE LA PROPAGACIÓN DE DESASTRES

En los apartados precedentes se han estudiado los nibles para determinar las características de diseño de

métodos dispoun proceso que

pueden implicar una tolerancia económicamente óptima ante ciertos tipos de fallos. Como ejemplo se mostrará ahora cómo puede aplicarse un estudio teórico sobre la propagación de desastres a la deducción de los aspectos del diseño que proporcionan mayor flexibilidad ante la propagación de una explosión *. Las teorías sobre la propagación de desastres se encuentran actualmente en sus albores, por lo que tan sólo facilitan una mayor comprensión de ciertos aspectos limitados, aunque importantes, de la susceptibilidad de un sistema frente a

un

siniestro.

Se comenzará por plantear un problema muy simple, el almacenamiento en una estrecha franja de L metros de longitud de Q toneladas de cierto material que puede detonar de forma explosiva. ¿Cuál es la mejor forma de realizarlo? Evidentemente, convendrá dispersar el producto de tal manera que si se produce una detonación se transmita por simpatía a la mínima cantidad posible de aquél. En la figura 170 se ilustra la separa*

A. H.

Masso y

D. F. Rudd:

«Studies in Disaster Propagation», parte I:

«The Propagation of Explosive-Like Violence», Ind. Eng. Chem. Fundamentáis, 7, 131, 1968.

ESTUDIOS TEÓRICOS SOBRE LA PROPAGACIÓN DE DESASTRES

455

ción de las Q toneladas en n depósitos, cada uno de los cuales contendrá Qln toneladas y estará separado de los adyacentes L/(n - 1) metros. El problema, pues, se reduce a encontrar el grado de segregación n que conduce a una extensión mínima de un desastre que se inicie, por ejemplo, en el extremo izquierdo del conjunto. n depósitos separados por

Qjn, toneladas por depósito

Zona de almacenamiento de L metros de longitud FiG. 170.

X./(/>-1),

metros

—

Segregación de un material peligroso.

Antes de continuar este estudio es preciso disponer de información sobre el mecanismo por el que se propaga la explosión de depósito a depósito. Si se produce la detonación del material colocado en la posición i, la probabilidad p,/y de que explote por simpatía el situado en el lugar

7

viene expresada por

Pí/y

MlI

=

/??yBy

'

1

„
[13.10]

en los casos restantes

por unidad de masa cantidad del mismo que detona; R^, la distancia que separa el lugar de la detonación inicial, i, del que puede hacerlo por simpatía, /, y B^ un parámetro que mide la sensibilidad del material almacenado en ; a la detonación por simpatía. Para un tipo determinado de material se conocerán los parámetros K y B. Obsérvese en la ecuación [13.10] que la propagación de una detonación se producirá con certeza total hasta una distancia de separación determinada en cada caso; este valor crítico, R*,, deberá satisfacer:

donde Ki representa del producto

f;

la energía explosiva liberada

C¿, la

p,f,.=

l=K,QV'/(R*fyBi

[13.11]

No deberá almacenarse material alguno a distancia igual o inferior a la crítica, excepto por razones especiales. Retornemos ahora al problema propuesto en la figura 170 y planteemos la siguiente pregunta: ¿En qué condiciones transmitirán todos

TOLERANCIA A LOS FALLOS

456

una detonación que se inicie en el situado en uno de extremos? Existen dos casos límite: n = l, es decir, todo el producto almacenado en un solo depósito, y n = n*, es decir, la división es suficiente para producir un efecto de «mecha», tal que la detonación se transmite de depósito en depósito a través de la zona de almacenamiento. El grado de segregación crítico n* se obtiene a partir de la ecuación [13.11]: los depósitos

los

1

=

K{Qln*fi^ [L/(n*

De

este

modo

se

- l)fB

han deducido dos valores límites entre

debe estar comprendido

el

grado de segregación más seguro, 1

^máx

[13.12]

los

que

n^áx»

[13.13]

A

continuación se tratará de evaluar cuantitativamente este valor óptimo. Para simplificar algo más el problema se considerará que los depósitos se apantallan entre sí de tal modo que la onda explosiva no puede pasar sobre uno de ellos sin dañarlo y afectar a otro situado detrás de él. Los efectos que se producen si se elimina esta restricción han sido estudiados en su trabajo por Masso y Rudd, y no se incluirán aquí.

La probabilidad de propagación definida en la ecuación [13.10] está comprendida entre O y 1 para n^n*, es decir, O^p^l. En la tabla 80 se muestran las posibles cadenas de propagación de la detonación y la probabilidad de producirse que corresponde a cada una.

Tabla

Cadena

80.

Cadenas posibles de detonación

ESTUDIOS TEÓRICOS SOBRE LA PROPAGACIÓN DE DESASTRES

en

457

Así, la cantidad de producto que probablemente estará implicada el desastre será «-1

n

En

la figura 171 se

\

[13.14]

1-p

representa la pérdida relativa de producto que

es previsible se origine en el desastre frente al grado de segregación n,

para una situación en la que el número crítico de depósitos es diez. Obsérvese que esta teoría predice una destrucción mínima cuando el producto se reparte en cinco depósitos, con una pérdida probable de tan sólo la cuarta parte del mismo. A partir de numerosos estudios teóricos se ha enunciado la siguien0.60

0.50

—

0.40

lo

-2

0.30

Pérdida probable

0.20

0.10

3

4

5

6

7

Grado de segregación

FlG. 171.

10

TOLERANCIA A LOS FALLOS

458

un grado de segregación adecuado viene dado por mitad del grado de segregación crítico

te regla práctica: la

«seguro

n* =—

[13.15]

En los párrafos anteriores se ha tratado de mostrar el tipo de razonamientos que proporcionarán un fundamento teórico a los estudios empíricos sobre la propagación de desastres. El trabajo en este campo sólo está comenzando; la teoría de la probabilidad y la simulación de Monte Cario (Cap, 15) serán la base de estas teorías. Para una discusión más amplia de esta sencilla teoría sobre la propagación de detonaciones se recomienda al lector el trabajo de Masso *. En él también se presenta un estudio de los posibles efectos de la dispersión de fragmentos.

13.10.

OBSERVACIONES FINALES

En este capítulo sólo se ha rasgado la superficie exterior del tema para poner de manifiesto algunas consideraciones que han de seguirse para desarrollar sistemas de proceso seguros. Las principales ideas que deben extraerse de él son: 1.

No

puede suponerse nunca que

está libre

de

fallos:

los

el diseño de un proceso dado diseños deben presentar la máxima

flexibilidad frente a ellos.

muy

2.

Existe gran cantidad de información empírica lograr la tolerancia ante los fallos de un diseño.

3.

La teoría de la ingeniería con tolerancia ante los fallos se encuentra aún en su infancia y son necesarios desarrollos importantes en la misma.

útil

para

Debe

señalarse que la teoría de la confiabilidad de los sistemas conmás compleja que la de los intermitentes, puesto que debe incluirse en el análisis la duración de las paradas. En los problemas propuestos a continuación se contempla a los procesos continuos como intermitentes, considerando pequeños periodos de tiempo; es aplicable así la sencilla teoría que se acaba de presentar. El problema 9 del próximo capítulo pueden servir como introducción a los casos más complejos, que requieren el uso de métodos basados en balances de probabilidad.

tinuos es

A. H. Masso, Ph. D. Thesis, University of Wisconsin, Madison, 1968.

i

bibliografía

459

Bibliografía

Los siguientes textos ofrecen una introducción al estudio de los factores que intervienen en el diseño de procesos seguros. H. Fawcett y W. S. Wood: Safety and Accident Prevention in Chemical Operations. Wiley, Nueva York, 1965. G. Armistead, Jr. Safety in Petroleum Refining and Related Industries, 2.^ ed. Simmonds, Nueva York, 1959.

H.

:

J.

C.

DucoMMUN

Process Safety. American Oil Company, Chicago, 1966.

:

Se han publicado a escala nacional ciertos códigos, especificaciones y normas que son utilizados habitualmente en la industria, aun cuando no sean legal-

mente

obligatprios. revisión sobre ellos se encuentra citada anteriormente ; otras fuentes

Una obra

National Fire Codes: Vol.

1,

J. C. Ducommun, Process Safety, particulares muy valiosas son

en

Flammable Liquids; Vol.

2,

Gases; Vol.

3,

Combustible Solids, Dusts and Explosives, National Fire Protection Association.

American Standard Code

for Pressure Piping,

American Society of Me-

chanical Engineers.

de

El siguiente texto se recomienda para posteriores estudios sobre la teoría la confiabilidad I.

Bazovsky Cliffs,

Reliability:

:

N.

J.,

Theory and Practice. Prentice-Hall, Englewood

1961.

Existe la posibilidad de que un sistema sea inestable. Tal situación sólo se ha estudiado de forma adecuada en el caso del diseño de reactores químicos. En tal sentido véase el competente trabajo de Amundson:

Amundson y

N. R.

and

Control»,

Eng.

Sci.

otros: serie

de

«An

Analysis of Chemical Reactor Stability científicos publicados en Chem.

trabajos

En J.

S.

Snyder: «Testing Reactions and Materials for Safety», cap. 19, en and Accident Prevention in Chemical Operations. Wiley,

Safety

Nueva York,

1965.

se estudian métodos para ensayar la seguridad de los productos químicos. Los siguientes artículos

«Process Safety Manual», Chem. Eng. Progr., 8, 62 (1966) y siguientes. Serie de artículos sobre seguridad en plantas piloto, publicados en Chem. Eng. Progr., 11, 63, 49-68 (1967).

son una muestra del tipo de información que se publica en este campo. Para información sobre toxicología, véase

aThreshold Limit Valúes for 1966», American Conference of Industrial Hygienists.

TOLERANCIA A LOS FALLOS

460

EJERCICIOS La entrada accidental de agua en procesos que operan a elevadas temperaturas constituye un riesgo de siniestro, puesto que puede vaporizarse violentamente, expansionando su volumen más de mil veces. La colocación de la válvula de bloqueo accionada por un motor entre el reactor y la columna de fraccionamiento representados en la figura 172 contribuyó a que se produjese un violento accidente en la planta.

Conducción de purga

J

Columna de fraccionamiento

FiG. 172.

Durante la puesta en marcha del proceso, el catalizador, que circulaba a través del reactor, se había calentado a 370 «C, y el aceite que llenaba parcialmente la columna a 240 °C, encontrándose cerrada la válvula de bloqueo. En ese momento se abrió la válvula de purga para extraer el agua que pudiese quedar en el sistema, cerrándose a continuación. Se abrió entonces la válvula de bloqueo, momento en el que, con gran rapidez, se produjo la rotura de la columna, dañándose los pisos, las armaduras y las conducciones internas de la misma. La tubería de purga se había taponado y la conducción vertical situada sobre la válvula de bloqueo se encontraba llena de agua condensada. ¿Cómo puede mejorarse la seguridad del sistema frente a los fallos motivados por esta causa? 2.

Los hidrocarburos

inflamables

se almacenan frecuentemente en forma Las esferas utilizadas como depósito a veces no se encuentran aisladas, pero siempre están equipadas con la instrumentación necesaria para reducir la presión en su interior. Sin embargo, los pilares de sustentación deben estar aislados. ¿Por qué?

líquida

bajo

presión.

EJERCICIOS

3.

461

Sugerir una disposición tridimensional segura para el proceso de purificación de ácido nítrico mostrado en la figura 166. El proceso se construirá al aire libre para abastecer a un sistema de fabricación de explosivos de

gran potencia.

Tabular los aspectos de seguridad más importantes del

proceso. 4.

Se proyecta una secuencia de tres componentes de proceso para fabricar un producto de forma intermitente a partir de una materia prima principal. Otras especies secundarias se preparan expresamente para su uso en el lugar adecuado del proceso (véase Fig. 173).

O

O

O Especie secundaria

Especie secundaria 2

1

Materia prima

-.J

Especie secundarla 3 -^- Producto

2

principal

FiG. 173.

Se dispone de los siguientes datos sobre el beneficio, P, que se alcanza completarse una operación con éxito, el coste de amortización C¿ de los reactores necesarios para fabricar las especies secundarias, los costes de operación Oí y el grado de confianza, 7?,-. al

P= 1 000

Etapa

a)

Demostrar que

dólares por carga

Cj

Oj

Rj

3

10

10

1/3

Etapa 2

5

5

1/2

Etapa

5

5

3/4

si

1

sólo se utiliza

un reactor para cada especie secun-

daria que hay que preparar, el beneficio previsible del sistema es

P/?ii?2^3-

b)

Demostrar que para

si

V

(C,-l-0,)

la

dólares por carga.

se utilizan siete reactores para fabricar la especie 3,

2 y dos para 580 dólares por carga.

tres

= 85

la

1,

el

beneficio previsible se

eleva a

TOLERANCIA A LOS FALLOS

462

La estructura de confiabilidad de este sistema es acíclica y, por tanto, puede deducirse el número óptimo de reactores que deben disponerse para cada especie por programación dinámica. Efectuar el cálculo tomando como variable de estado para la suboptimación la probabilidad que existe de disponer de la cantidad necesaria de alimento.

c)

Supóngase que los reactores del problema 4 que se disponen para preparar una especie dada pueden actuar funcionando uno sólo y quedando los demás en reserva y que los costes de operación se cargan solamente cuando un reactor entra en servicio. Comparar el beneficio previsible deducido con el planteamiento del problema 4 con el que corresponde a la situación presente, si en cada etapa se dispone de dos reactores.

Un

grupo

de

técnicos

es

encargado

de

operación

la

de

una planta

piloto (Fig. 174). Se dispone de la siguiente información sobre los factores

de servicio de cada componente, fracción de tiempo disponible, consi-

Reserva

t.

Í3

Compresor •Producto

I I

Reserva

'4_^

Q-X

aumentación

Válvula

de control

Bomba de I

I

I

GI Reserva

(^ (jr-*

Separador

Reactor

Bomba de recirculación

SI

Válvula

i

de control

'

del nivel

^

L. T^

I

Columna de destilación

I

i

Reserva'

FiG. 174.

J

EJERCICIOS

derando

la

463

reparación necesaria después de cada

fallo,

magnitud compara-

ble al grado de confianza de los sistemas discontinuos.

Componente

Factor de servicio

Coste,

$

Bombas

0,95

2 000

Compresores

0,80

12 000

Válvula de control

0,99

200

El tiempo útil de operación debe ser 2 400 horas. El coste de operación diario asciende a 500 dólares, tanto si la planta funciona como si no. Cada fallo del sistema requiere un día de parada.

¿Cuántos días reales son precisos para completar

a)

el

tiempo de opera-

ción requerido? b)

bomba de reserva (tanto para el para el reciclo), un compresor en paralelo con el previsto inicialmente y válvulas de control de recambio para salvar las contingencias que se presenten. ¿Cuántos días se economizarán con estas adiciones? ¿Resulta útil? Cabe

la

posibilidad de instalar una

alimento fresco

c)

como

¿Qué ocurre si sólo se dispone de capital para instalar las válvulas de control de reserva? ¿Deberían instalarse?

d)

Cabe pensar que sólo debería duplicarse el compresor, puesto que componente con menor grado de confianza. ¿Está justificado

el

es tal

razonamiento? 7.

un polímero existe un filtro en cada de proceso para separar las fases sólida y líquida. El factor de servicio de cada filtro es 0,9 (fracción de tiempo que el filtro funciona). Se estudia la posibilidad de instalar un filtro de reserva con un coste de 60 000 dólares. El coste de una parada durante la operación es de 300 dólares por línea y día y la duración media de las mismas es de un día. Si el filtro debe amortizarse en tres años, ¿debe instalarse o no? Considérese que la situación económica es la típica de una industria

En una una de

planta de purificación de

las tres líneas

química. 8.

planta de producción de plásticos dispone de tres líneas de fabricación independientes, cada una de las cuales consiste en dos reactores en serie de 2 400 kg/h de capacidad (Fig. 175). Existe un séptimo reactor para sustituir a cualquiera dé los seis. Cada reactor funciona como pro-

Una

medio durante un 95 por 100 del tiempo. Cuando la superficie de transmisión de calor de un reactor se recubre de polímero, ha de detenerse su operación para eliminar éste por lavado con un disolvente caliente. Para dejar la superficie completamente libre de polímero esta operación debe

más los periodos correspondientes a los fallos mecánicos al azar conducen al factor de utilización antes citado. Se han propuesto dos soluciones para mejorarlo, ambas con idéntico coste: una, incrementar la capacidad del sistema de disolvente repetirse tres veces. El tiempo necesario para ello

464

TOLERANCIA A LOS FALLOS

para que un reactor dado sólo esté fuera de servicio un 4 por 100 del tiempo (factor de utilización 96 por 100); otra, disponer de un nuevo reactor como reserva adicional. ¿Qué solución conducirá con mayor probabilidad a una capacidad de producción más elevada?

EJERCICIOS

465

Definición de los parámetros L,

m

lado del terreno

A = L-,

área del terreno

nx-

volumen de combustible almacenado

V=Tn} n

número de depósitos

Q = Vln

volumen de un depósito

d=

—L-^

,

m

distancia entre depósitos

Vn F B

fuerza explosiva de la detonación efecto de choque, sobrepresión de la

La fuerza explosiva de una detonación es proporcional combustible que detona.

onda explosiva al

volumen de

FozQ El efecto de choque, B (sobrepresión causada por la detonación), es proporcional a la potencia 1/3 de la fuerza explosiva y decrece con el cuadrado de la distancia al punto de explosión (F)i/3

B

OC

(dy 10.

En

el apartado 13.9, al deducir la pérdida previsible durante la propagación de una explosión a través de una disposición lineal, se supuso que la detonación inicial se producía en el depósito situado en un extremo de la misma. Deducir una expresión para la pérdida previsible cuando la detonación se inicia en el depósito k

0=^

l—pk~l

\

1-p

/

n ¿Para qué posición 11.

inicial

se

produce

I

l-pn-k+l

V

1-p

la

)]

máxima pérdida?

el problema 10 la probabilidad de que se produzca una detonación inicial es la misma para cualquier posición. Deducir la siguiente expresión para la pérdida previsible.

Supóngase que en

0=^ n

1+p \—p

\

2

)

n

)m)

CAPITULO

14

ingeniería en presencia de variaciones

Un proceso debe responder a las desviaciones persistentes y quizá imprevisibles de las condiciones medias, a medida que éstas se van produciendo por modificaciones en los costes de la energía, en las condiciones meteorológicas, en la calidad de las materias primas, en la presión del vapor de agua, etc. Si un sistema se ha diseñado considerando únicamente las condiciones ambientales promedio, tales desviaciones pueden hacer que el sistema sea ineficaz e incluso que no pueda operar. En este capítulo se discutirán los problemas de la ingeniería en presencia de variaciones. Problema

típico

La cantidad de energía eléctrica disponible en horas de consumo reducido para nuestra planta de electrólisis varía a lo largo del día y de la época del año a medida que lo hace el consumo doméstico. ¿Cómo podemos ajustar nuestra operación a este suministro variable? Este problema se presentó durante el diseño de una planta de nitrato amónico en Islandia.

14.1.

LA VARIABILIDAD, ANTAGONISTA PERMANENTE

Es evidente que un proceso debe ser capaz de responder, al medemanda promedio existente para los productos o servicios que proporciona. Imagínese, por ejemplo, la situación que se presentaría si la planta de tratamiento de residuos de una industria papelera

nos, a la

solamente pudiese procesar o almacenar la mitad de los residuos vertidos continuamente por aquélla. Sin embargo, el diseño basado exclusivamente en las condiciones promedio resulta inaceptable, pues cualquier variación sobre ellas podría perturbar seriamente la operación. El ingeniero ha de diseñar sis-

temas

flexibles

que puedan adaptarse a desviaciones razonables de las puesto que éstas suelen ser más la regla que

condiciones medias, la excepción.

466

LA VARIABILIDAD, ANTAGONISTA PERAAANENTE

467

el origen de diversas variaciones que afectan a de proceso y a las que éstos deben responder. Así, parece

Puede enumerarse los sistemas existir

una fuerte correlación entre

los ciclos naturales

y

las variacio-

nes periódicas que afectan a un sistema, incluso cuando su origen no es directamente natural. Los ciclos más importantes de la naturaleza son las variaciones de tiempo, anuales, mensuales y diarias. Además de su influencia directa sobre los sistemas, estos ciclos alteran el nivel de actividad de la comunidad humana a la que abastecen y, por consiguiente, influyen sobre ellos de modo indirecto. Sin duda, un fabricante de anticongelante, de fueloil o de fertilizantes experimentará anualmente uno o varios periodos de intensa demanda para sus productos. Además de estas variaciones, que dependen de forma directa de la meteorología, se producen otras, como cambios estacionales en el coste del gas natural, carbón y energía eléctrica, que reflejan cambios más distantes y oscuros en la actividad de una gran comunidad. La planta de fertilizante de Islandia estudiada anteriormente ofrece un ejemplo sugestivo de estas variaciones indirectas. La producción de hidrógeno por electrólisis en la planta hubo de programarse de acuerdo con un suministro de energía eléctrica residual variable. Reikiavik, ciudad próxima a la planta, tenía prioridad en la demanda de energía, de tal manera que cuando variaba el nivel de actividad en ella a lo largo del día y del año, alterando el consumo de energía, la operación del sistema debía adaptarse al mismo. La omisión de este condicionamiento durante el diseño hubiera sido inexcusable. Esta fluctuación en la disponibilidad de energía se amortiguó disponiendo los depósitos necesarios para almacenar el hidrógeno, que permitiesen acumularlo durante los periodos en que la energía era abundante, para poder consumirlo posteriormente al disminuir la energía disponible para generarlo. De este modo, la parte principal del proceso quedó protegida contra las variaciones drásticas de la energía. Además de las variaciones que tienden a correlacionarse con los ciclos de la naturaleza y los ciclos concomitantes del hombre, existen otras cuyo origen o es poco conocido o se encuentra bajo el control directo del ingeniero.

Por ejemplo, es previsible que las cargas de mineral que llegan a un sistema de tratamiento presenten una calidad variable si el depósito o mina del que se extrae es extenso y variado. Esta fluctuación puede perturbar el funcionamiento del sistema de procesos, obligando a realizar ajustes frecuentes en sus condiciones de operación. Si el crudo de petróleo que alimenta una refinería se recibe mediante petroleros después de un largo viaje por el mar, cabe esperar modificaciones en las fechas de llegada previstas. De hecho, cualquier ingeniería de procesos.

31

ingeniería en presencia de variaciones

45g

sistema de transporte, camión, barcaza, oleoducto o tren, es en potencia una fuente de variaciones. Las variaciones internas de un sistema también pueden alterar su funcionamiento. Por ejemplo, si dentro de un sistema se obtiene uno de los productos intermedios que intervienen en él mediante un proceso discontinuo, un tiempo de síntesis excesivamente largo en una de las cargas puede provocar la detención de todo el conjunto al no

disponer del citado producto. Sin embargo, el ingeniero no se encuentra a completa merced de un entorno fluctuante. Mediante algunos cambios muy sencillos en el diseño puede dotar a un sistema de cierto grado de inmunidad y flexibilidad frente a variaciones relativamente intensas de las condiciones ambientales. De hecho, a veces pueden incluso aprovecharse las variaciones para obtener

un beneficio mayor que

si

la

situación fuese

completamente normal.

Una

solución siempre posible consiste en sobredimensionar el sistema, de modo que pueda absorber todas las variaciones que queden dentro de unos ciertos límites económicos, disipando o rechazando los valores extremos. Un perfeccionamiento adicional puede ser habilitar la capacidad de almacenamiento necesaria para amortiguar los valores extremos que afecten al proceso, hasta un cierto grado justificable económicamente. Aún más, podría diseñarse un proceso costoso de fabricación de múltiples productos de tal manera que pudiera orientarse a nuevas áreas de producción a medida que la demanda lo aconsejase. continuación se atacará este problema de ingeniería en presencia de variaciones discutiendo algunas situaciones industriales típicas en las que la variabilidad es una característica dominante. Ciertos tipos

A

de problemas han sido estudiados extensamente por los matemáticos aplicándoles un amplio tratamiento teórico, como ocurre, por ejemplo, con la teoría de las líneas de espera o teoría de colas. Otros parecen tratarse mejor mediante un análisis intuitivo, bien por no ser suficientemente frecuentes para justificar el desarrollo de una teoría general, bien por ser excesivamente complicados. En este caso nuevamente parece que el sentido común es el arma más eficaz, más importante que la teoría pura. Afortunadamente, es probable que en el futuro los matemáticos continuarán combinando los números exactos

con

el

En

sentido común. este capítulo

no se discutirán

las áreas clásicas del control

dinámica de procesos, puesto que para llevar a buen adecuado sobre ellas se requeriría un texto completo.

fin

y un trabajo

EFECTO DEL ALMACENAMIENTO SOBRE UN SUMINISTRO PULSANTE

14.2.

En

469

EFECTO DEL ALMACENAMIENTO SOBRE UN SUMINISTRO PULSANTE

este apartado se analizará la situación particular

mostrada en en la que una materia prima se recibe en cargas discretas para ser procesada en un sistema. Se ha instalado un depósito de almacenamiento y se desea estudiar el efecto que ejerce sobre la eficacia la figura 177,

del sistema. Suministro variable

ingeniería en presencia de variaciones

470

portan con barcazas, camiones, oleoductos programados o trenes. Cualquier exceso que no pueda almacenarse puede llegar incluso a quemarse en las calderas, haciéndose por consiguiente un uso menos valioso del mismo, si bien no se tira como residuo. Aunque las variaciones industriales son rara vez tan predecibles, un análisis cuidadoso de esta situación ideal aportará considerable luz al caso de problemas reales más complicados.

¿Qué fracción de la materia prima recibida puede alimentarse a nuestro sistema? ¿Cómo amortigua las variaciones el depósito? ¿Con qué frecuencia se rebasa su capacidad? ¿Con qué frecuencia para el sistema por falta de alimento? En una situación dada, ¿cuál es la estrategia óptima en el diseño del almacenamiento?

Cuando

H < C^

no

no

existe

ningún problema en

el

análisis,

haya o

material a me>• C^ no puede absorberse embargo, cuando todo el caudal que llega en cada instante durante la pulsación, de tal modo que si no existiese depósito (H-Q) kilogramos deberían desviarse a otro lugar en cada ciclo. depósito, ya que dida que llega. Sin

el

sistema puede procesar todo

el

H

A

Se puede definir un factor de utilización del suministro, <E>s, como producto recibido que puede procesarse por el sistema. Caso de no existir depósito,

la fracción del

HA-CH-0)A^Q H HA

^

^

Es decir, en tal situación solamente una fracción Q/H del alimento que llega puede utilizarse por el sistema, teniendo que dirigirse la

- Q/H a

través de la línea de rebose. efecto que tiene el almacenamiento sobre la utilización del suministro. Supóngase que se dispone de un depósito de almacenamiento con una capacidad de C kilogramos. Durante horas, la cantidad de material almaceun pulso de llegada, O nado en el depósito, S kilogramos, aumentará hasta que éste se llene, permaneciendo estacionario en tal situación mientras el exceso es evacuado por la línea de rebose. Por consiguiente, en el periodo 0^6
fracción restante

1

Se determinará ahora

el

^6^ A

duce a

dS

^UH-Q) I

O

para

S^C

para

S=C

EFECTO DEL ALMACENAMIENTO SOBRE UN SUMINISTRO PULSANTE

471

Ahora bien, puede establecerse arbitrariamente que la cantidad de materia en el depósito al principio del pulso sea cero, 5(^)=0, puesto que cualquier cantidad que se encontrase en ese momento en aquél no podría procesarse operando de este modo, y, por tanto, si se eliminase no modificaría el comportamiento del sistema. Es decir, caso de conservarse esta cantidad, representaría una masa inerte en el balance de nuestro sencillo problema. La ecuación [14.2] puede integrarse entonces, obteniéndose

SO) válida

cuando

{H-0)e C

(H-Q)e^C

para

[14.3]

para

el resto

0^6^ A. Pulso de llegada

H

A+B

Cantidad en

el

depósito

doA

Pulso

FiG. 178.

al

proceso

Amortiguamiento de un suministro pulsante.

ingeniería en presencia de variaciones

472

El tiempo ^0 para el que deduce del siguiente modo: S(do)

se

rebasa la capacidad del depósito se

= (H-Q)eo = C

o bien

^A

do=

[14.4]

Es decir, el rebose debe tener lugar antes del tiempo A, ya que una vez transcurrido éste, el pulso del suministro se detiene. Ahora bien, se puede argumentar que la capacidad de almacenamiento que sobrepase (H-Q) A kilogramos nunca se utilizaría, y, por tanto, este valor puede considerarse como el límite superior de las capacidades económicamente óptimas, C*,

C*^(H-Q)A

[14.5]

La cantidad de material que se envía a través del rebosadero mientras el depósito se encuentra lleno es

(H-Q) (A -do) Por consiguiente, el factor de utilización del suministro en presencia de almacenamiento es

*.=

J^

[14.6]

H HA donde

C^(H-Q)A La

179 muestra este factor de utilización del suministro la capacidad de almacenamiento prevista, expresada en kilogramos de material recibido durante un pulso. Un pulso kilogramos de materia prima en una carga representa la llegada de aislada (A=0) cada B horas. Ahora se puede definir el factor de utilización del proceso, p, como la fracción de la capacidad de producción máxima, Q{A + B), que se consigue realmente en cada ciclo. Esta capacidad de producción máxima puede no alcanzarse por falta de alimento durante el figura

como una función de

HA

EFECTO DEL ALMACENAMIENTO SOBRE UN SUMINISTRO PULSANTE

s-^

O

/ /

473

ingeniería en presencia de variaciones

474

Se aplazará ahora la discusión de la capacidad de almacenamiento económicamente óptima hasta llegar al apartado 14.5, puesto que las ideas que se expondrán en él son generales para el análisis de cualquier modo de suministro y de almacenamiento. Se tratará allí de deducir la capacidad de almacenamiento que ofrece mayor rentabilidad, comparando el beneficio que se puede obtener mediante su utilización progresiva con los costes necesarios para su adquisición y mantenimiento. Antes de tratar estos aspectos es preciso adquirir primeramente mayor experiencia en la estimación de los factores de utilización.

14.3.

ANÁLISIS MEDIANTE LA TEORÍA DE COLAS

Con frecuencia resulta muy instructivo comparar y contrastar los extremos opuestos, especialmente en aquellas situaciones en las que el análisis requiere el uso de formas de pensamiento nuevas. En el apartado anterior se estudió una forma extrema de variación, el suministro pulsante periódico a un proceso continuo. Ahora se atacará otra situación opuesta: un suministro discontinuo que llega al azar a un sistema también discontinuo que además requiere tiempos de procesado variables asimismo al azar. La nueva forma de pensamiento necesaria para su tratamiento se traduce en la teoría matemática de colas, o teoría estocástica de las líneas de espera. A. E. Erlang, un ingeniero de Copenhague, investigó a principios de este siglo los efectos de las variaciones de la demanda de los servicios telefónicos, así como la influencia de variaciones en la duración de las conversaciones, llegando a desarrollar una teoría que describe los efectos de estas variaciones al azar sobre la eficacia de los servicios telefónicos. Sin embargo, hasta después de la segunda guerra mundial las ideas de Erlang no despertaron el interés general, surgiendo a partir de ellas la teoría de las líneas de espera o teoría de colas.

La

puede facilitar la predicción de los efectos de en la velocidad de llegada de envíos a un determinado servicio y de las que se produzcan en el tiempo de tratamiento o utilización de una partida determinada. Puede comprobarse, pues, que la teoría de colas actúa precisamente sobre los sistemas que operan al azar, contrapuestos al sistema pulsante discutido en el apartado anterior. No se puede intentar aquí la discusión de la teoría de colas en toda su generalidad; su análisis detallado ha completado ya muchos volúmenes del tamaño de este libro. En cambio se centrará la atención teoría de colas

las variaciones al azar

ANÁLISIS MEDIANTE LA TEORÍA DE COLAS

475

primeramente sobre la sencilla situación ilustrada en la figura 181, conun sistema de proceso, un área de almacenamiento en la que pueden esperar N partidas antes de entrar al proceso y un servicio de transporte a través del cual llegan las partidas. El tiempo de procesado de una partida determinada, una vez que se encuentra dispuesta para entrar al proceso, se supone que varía completamente al azar, con un caudal promedio de Q partidas por hora. Los lapsos de tiempo entre las llegadas de los distintos envíos se distribuyen también al azar con un caudal de llegada promedio de Q' partidas por hora. Una partida retiene su identidad durante el proceso y el almacenamiento, es decir, se trata de un sistema discontinuo. Debe advertirse que el caudal promedio Q describe el rendimiento del proceso sólo en el supuesto de que su alimento se consiga sin dificultad; si esto no ocurre, el caudal real será más reducido. Se trata de predecir la sistente en

velocidad real de tratamiento del sistema.

ingeniería en presencia de variaciones

476

que para

d6-^0 conduce

a

dF

= -FX

[14.3]

~de

con F(0) = 1 y F(oo)=0. Por tanto, la solución de para llegadas completamente al azar es F{e) = e-

la distribución F{d)

[14.4]

se denomina función de distribución exponencial o función de Poisson, y que es característica de este tipo de situaciones al azar.

que

a>

ANÁLISIS MEDIANTE LA TEORÍA DE COLAS

477

Aplicando el mismo razonamiento a tiempos de procesado al azar, deduce que la probabilidad de que una operación se complete en un periodo de tiempo dd (suponiendo que una carga esté procesándose en el sistema) es Q dd, donde Q representa el caudal medio de producción del sistema. Hasta ahora se ha definido tan sólo lo que se entiende por llegadas y operaciones al azar; se iniciará ahora el análisis de los efectos de dichas variaciones. Los razonamientos que se seguirán son similares a los que conducen a los balances de materia no estacionarios en el tanque de almacenamiento del apartado anterior. Sin embargo, el tratamiento es ahora un poco más incierto, puesto que se han de manejar necesariamente probabilidades, no magnitudes perfectamente determinadas. se

Llegadas

Sislema vacío

, p„ ''+1

pQ

Sistema lleno

Servicios

FiG.

En

183.

Estados y transiciones posibles.

apartado anterior se representó por 5 la cantidad de material en el depósito de almacenamiento. Se describirá ahora el número de partidas en la línea por P„ probabilidad de que se encuentren i partidas en la línea. Ahora bien, si solamente se permite esperar en la línea partidas (otra más se está procesando), entonces el

existente

N

1 Pi=l

[14.13]

i=0

puesto que

el

sistema ha de encontrarse necesariamente en alguno de

estos estados. Se estudiará ahora qué transiciones individuales pueden hacer que la línea se llene o se vacíe *. Estas transiciones se muestran en la figura 183. Por ejemplo, el estado Pi (dos partidas en el sistema) pue* Se puede reducir el incremento de tiempo durante el que se analiza el sistema hasta un valor tan pequeño que sólo pueda tener lugar un suceso aislado. La ocurrencia simultánea de dos sucesos es un fenómeno de segundo orden que cae fuera de las matemáticas.

ingeniería en presencia de variaciones

478

de alcanzarse tanto si en el sistema hay una partida y llega otra nueva si hay tres y una de ellas comienza a procesarse. Estas transiciones se representan esquemáticamente por Pi^'~^P2 y P2k__^Píí respectivamente. Análogamente, el estado Pj puede desaparecer bien por una nueva llegada o por el comienzo de una operación, transiciones í'i^^^P2''^~^^3- Adviértase que Pq y Pjv+i son casos especia-

como

sistema completamente vacío y completamente lleno, respectivamente. La probabilidad de que una de estas transiciones tengan lugar en el tiempo dd es les:

/

Probabilidad de que exista

\

estado inicial de

Por ejemplo,

la

Probabilidad de que

el \

/

la transición /

\

probabilidad de

la

el

suceso

particular tenga lugar

\

/

transición Pi-'^^^Pa es:

Se requiere ahora que la velocidad de formación de cualquier estado sea igual a la de desaparición durante la operación en condiciones estacionarias. Dicho balance para el estado P; conduce a

= velocidad de Pi_i
velocidad de formación

desaparición

o bien

P., = i',(l.|)-P.-.(|)

Para

¿

= 0,

el

[14.14]

balance se reduce a:

PiQde = PoQ'de o bien

P,=Pní _ Pi = Pof?)

[14.15]

Q Para

i=N+l,

análogamente

P^'de = Pf,^rQde o bien

P,,x-P,(^]

[14.16]

ANÁLISIS MEDIANTE Uk TEORÍA DE COLAS

En

479

general, resolviendo las ecuaciones [14.14], [14,15]

y

[14.16]:

Pi = Po[^)'

[14.17]

Utilizando la ecuación [14.13], la solución general para la probabilidad de que se encuentren i cargas en la línea es:

Se está ahora en situación de calcular los factores de utilización para este sistema. El factor de utilización del suministro,

<[)^,

se define

ción de las cargas llegadas que pueden entrar en

como

la frac-

y esperar tumo para pasar al proceso. Una carga sólo puede entrar en la línea cuando hay menos de iV + 1 cargas en el sistema (línea de espera más proceso). La probabihdad de que se presente esta situación es l-Pjv+j. Por consiguiente, la utilización del suministro viene expresada por la fracción de tiempo que el sistema puede aceptar el material que la

línea

llega,

^. = 1-^*^+1

^ '^^ 1- (^70^+2 Por otra parte, al

el

menos una carga en

ceda es

1— Pq. Por

proceso el

sólo

sistema.

[14.19]

puede funcionar cuando existe La probabilidad de que esto su-

consiguiente, el factor de utilización del proceso

es la fracción de tiempo que éste contiene material para procesar.

í>p=l-Po {Q'IQ)-iQ'¡Q)^^^ ,N+2

[14.20]

íQ'IQ)

Adviértase que en nistro,

para almacenamiento de capacidad
el

límite,

cuando Q'
infinita,

y

^p^Q IQ,

la

suministro disponible.

ingeniería en presencia de variaciones

480

También

que

se observa

si

no

se dispone

almacenamiento (N = 0)

Q

^.

Q'

a>„=

En

la

extremas,

figura

184 se comparan las dos situaciones de variabilidad

llegada de cargas periódicas de material a

un proceso que opera continuamente (Apart. 14.2) y el caso presente de llegada de cargas al azar a un proceso discontinuo con tiempos de operación la

2

3

4

5

6

Unidades de almacenamiento

5 6 3 4 2 Unidades de almacenamiento

o

Llegada periódica de cargas a un proceso continuo

O FiG. 184.

O

Llegada

al

azar de cargas a un proceso discontinuo

al

azar

Factores de utilización para las dos situaciones extremas.

i

VARIACIONES INTERNAS EN UN SISTEMA

4gl

al azar. El sistema discontinuo puede mantener una carga de material en el proceso durante su operación, ventaja que no presenta el proceso continuo. Por ello, se ha corregido la figura de forma que los efectos de la capacidad de almacenamiento sean

distribuidos también

correspondientes en ambas situaciones. Como cabía esperar, la situación al azar es siempre más difícil de manejar que la periódica, más predecible, pudiéndose alcanzar en aquélla los límites superiores de utilización completa del suministro y del proceso si se dispone de una capacidad de almacenamiento suficientemente grande. Hasta aquí se han tratado con bastante amplitud los efectos de variaciones en el suministro y demanda de un sistema. Se pasará ahora a considerar las variaciones internas de un sistema que pueden perturbar su operación.

14.4.

VARIACIONES INTERNAS EN UN SISTEMA

*

Además de las variaciones externas que pueden afectar a la operación de un sistema, aparecen con frecuencia otras internas que también deben compensarse. Este apartado tiene dos propósitos: primero, ilustrar que un diseño basado en unas condiciones de operación promedio puede ser engañoso; segundo, mostrar el uso de los balances de probabilidad para el análisis preliminar de sistemas de proceso. Para ello se tratarán de estimar los efectos de las variaciones en los tiempos de operación de dos procesos que interaccionan en-

tre

sí.

Considérense los dos procesos A y B (Fig. 185) conectados para formar un sistema, de tal manera que el proceso B sigue al proceso A. Los datos de operación para ambos operando cada uno por separado indican que, como promedio, el proceso A elabora C^4 = 0,256 cargas por hora y el B, ^^^ = 0,312 cargas por hora. Sin embargo, por alguna razón desconocida los tiempos de proceso de cada carga varían; en ambos casos esta variación puede aproximarse mediante una función de distribución exponencial. La variación parece ser el azar. En la figura 186 se observa cómo alteran estas variaciones la operación del sistema cuando no se ha previsto almacenamiento intermedio entre los dos procesos. El proceso A se encuentra con frecuencia bloqueado por el B, al no poder descargar su contenido por

* N. H. Smith y D. F. Rudd: «On the Effects of Batch Time Variations on Process Performance», Chem. Eng. Sci., 19 (1964).

ingeniería en presencia de variaciones

482

Proceso A. Datos de operación

Fracción de cargas que precisan un tiempo superior a O h

\

-^-0,256 F{d)=e

:::i

4 d h

0,256 cargas/h

Fracción de cargas que precisan un tiempo superior a O h

^ '!*)

-^y^-^:

^S2

_o .i

"-o

1- CO (S

— == ®

Q.-0

tSi2

ingeniería de procesos.

32

O

ingeniería en presencia de variaciones

484

de los dos procesos por separado. Una tesis de la ingeniería de sistemas propone que la disposición de las unidades de un sistema desempeña un papel tan importante en la determinación de su rendimiento global como las características de cada una de aquéllas por separado. Sin disponer de alguna teoría general, resulta imposible extrapolar a nuevas situaciones, como, por ejemplo, la duplicación del caudal de proceso de la unidad A. Se precisa, por tanto, una teoría que permita la exploración de nuevas situaciones. Considérese, por ejemplo, que se desea deducir una relación entre el caudal promedio del sistema global y los correspondientes a cada uno de los procesos individuales que lo componen, a fin de facilitar la evaluación de las modificaciones del diseño. La probabilidad de que el proceso A complete el tratamiento de una carga en el tiempo dd (suponiendo que está operando) es Qa^O, en el caso de que los tiempos de proceso se encuentren distribuidos al azar. Por su parte, análogamente, la probabilidad correspondiente para el proceso B es Qb dd, también cuando se encuentra operando. Puesto que el producto final se obtiene en el proceso B: (Probabilidad de obtener una carga de producto en tiempo dd

el

\

/

I I

_ ~

I

1

\

/

Probabilidad \ de que el pro- 1 ceso

B

esté

operando

I

/

Probabilidad de que,

/ I

una vez

I el

\

esté

operando

proceso B, finalice una carga en el tiempo dd

miembro es precisamente Qb dd. La primera etapa en un análisis de probabilidad consiste en construir una lista de todos los estados posibles para el sistema. En este caso pueden existir las siguientes alternativas, suponiendo que el El segundo factor del segundo

tiempo necesario para cargar y descargar los procesos es despreciable. Proceso

A

VARIACIONES INTERNAS EN UN SISTEMA

Los balances de probabilidad en los

PoeQa de

PboQb de

Poo

toman

la

forma:

PooíQa + Qb) de

PooQBde=^PoEQAde

POE ^

PooQAde=PBoQBde

Pbo la

tres estados

Probabilidad de formación = Probabilidad de desaparición

Estado

con

485

condición

Poo + PoE + Pbo =

1

Adviértase que cualquiera de las cuatro ecuaciones anteriores puede deducirse a partir de las otras tres. Procesó

A

termina

Proceso B termina

Balance de probabilidad.

FiG. 187.

La probabilidad de encontrar el sistema en cualquiera de los tres estados puede entonces determinarse resolviendo el balance de probabilidad :

1

P

''''

1+QaIQb + QbIQa íQbIQa)

p°^

1

íQaIQb)

p'"^

1+QaIQb + Qb/Qa

/Probabilidad de que \ proceso

B

esté

+ QaIQb + QbIQa

el

^

1

— \Poo + Pbo)='

operando /

1

+ Qa/Qb

+ QaIQb + QbIQa

Por tanto, /Probabilidad de obtener una carga \

de producto en

el

tiempo dO

QBdeil+QAlQB) )

1

+ QaIQb + QbIQa

ingeniería en presencia de variaciones

486

De

aquí, el caudal de producción probable para el sistema será:

^ En

el

I

+ QaIQb + QbIQa

caso particular mostrado en la figura 186: (0,312)(1^0,256/0.312)

^

1

^^

^

+ 0,256/0,312 + 0,312/0,256

Cualquier teoría muestra su utilidad real si permite la extrapolación a regiones nuevas, no ensayadas; la reproducción de los datos conocidos sirve simplemente para comprobarla. Se observa que el problema estudiado, con su planteamiento inicial limitado a diez cargas, sugiere una productividad de 0,20 cargas por hora, y que el análisis de colas conduce a un valor aproximado de 0,15 cargas por hora. ¿Qué aumento de la productividad se conseguiría si se duplica el caudal del proceso A, suponiendo que persisten las situaciones al azar? Para extrapolaciones de este tipo es preciso retornar a la teoría de colas.

La duplicación del caudal de producción de productividad para el sistema de

A

conduciría a una

0,312(1+0,256x2/0,312)

^ ^^

^ ^^^ 1

+ 0,256x2/0,312 + 0,312/0,256x2

con un aumento teórico de 100(0,192-0,153)

25 por 100.

0,153 si no se dispusiera no puede realizarse un análisis económico racional para guiar el diseño de un sistema. Así, en este caso, el cambio en el diseño del proceso A ha de mostrar que su coste es inferior al beneficio obtenido con el incremento de productividad asociado. Podrían considerarse otras modificaciones, tales como:

Esta estimación es completamente inaccesible

de una

teoría,

y

sin

ella

Disponer un almacenamiento intermedio. Utilizar dos procesos

A

Utilizar dos procesos

B

Instalar dos sistemas

para alimentar para

A-B en

productos intermedios.

recibir

al

proceso B.

producto de un proceso A.

paralelo con uso compartido de los, I

á

UTILIZACIÓN ECONÓMICAMENTE ÓPTIMA

4g7

Cualquiera de estas modificaciones puede analizarse mediante el desarrollo de teorías sencillas, de acuerdo con lo indicado en este apartado. Algunas de ellas se presentan como problemas al final de este capítulo.

UTILIZACIÓN ECONÓMICAMENTE ÓPTIMA

14.5.

En los apartados precedentes se ha mostrado cómo pueden estimarse los factores de utilización de un proceso y de su alimento. En este apartado se supone que se ha completado dicho análisis para cualquier variación particular, es decir, que se han estimado las funciones <í>s y «í^p correspondientes. ¿Qué previsión de almacenamiento S conduce a una operación económicamente óptima? Se determinará a continuación la capacidad de almacenamiento S que maximiza la función objetivo económica del proyecto. Por ejemplo, si el beneficio neto que se consigue al elaborar 1 kilogramo de materia prima por el proceso es Pp y el que se deriva de su desvío por la línea de rebose es Pq, el beneficio neto total del sistema será: C>'[<E>,^p+(l-.)Po]

Ahora

bien,

estima mediante

si

la

el capital

que es preciso invertir en

el

sistema se

ecuación de coste Ai

-(a donde 7i es la inversión constante correspondiente a todo el equipo excepto los servicios de almacenamiento, los beneficios del riesgo a maximizar vendrían expresados por:

máx^Q'[^sPp + {l-^s)Po]-'a[h[f-y +Ii

[14.22] I

ecuación en la que el parámetro a representa la fracción del capital invertido a amortizar por unidad de tiempo, englobando intereses y otros conceptos semejantes.

14.6.

ADAPTACIÓN A UN SUMINISTRO DE ENERGÍA VARIABLE

En los apartados anteriores se ha tratado la previsión de almacenamiento suponiendo que los caudales de llegada y de proceso eran conocidos y fijos. Con mucha frecuencia, el diseñador tiene libertad

ingeniería en presencia de variaciones

488

para ajustar el caudal máximo de proceso de tal manera que haga frente de la forma más adecuada a una variación en la entrada. En este apartado se ilustrará este concepto considerando un ejemplo realista.

Las compañías que suministran energía eléctrica a una comunidad deben responder a una demanda variable de su producto. Durante las horas de máxima actividad doméstica, las disponibilidades de generación de energía se utilizan hasta el límite, mientras que durante la noche la demanda queda bastante por debajo de la capacidad de generación. Sin embargo, para las compañías resulta más eficaz hacer funcionar continuamente los generadores, incluso cuando existe poca

demanda de

energía.

suministro de energía en presencia de estas variaciones se siguen habitualmente dos métodos. El primero implica la creación de una demanda artificial de energía, ofreciendo la «sobrante» a la industria a coste reducido. Por ejemplo, Fertilizer Company de Islandia compra energía sobrante para generar hidrógeno mediante electrólisis de agua a la Sog Power Company, que también suministra la mayor parte de la energía a la ciudad de Reikiavik. El sistema de producción de fertilizantes se integra así con la comunidad, formando lo que puede denominarse un macrosistema. El segundo método consiste en almacenar la energía sobrante para su uso posterior en los periodos de m.ayor demanda. Por ejemplo, Union Electric Company, que sirve la zona de Eastern Missouri, rebajó la cima de la montaña Proffit para hacer allí un gran lago artificial. En la base de la montaña se instalaron estaciones de bombeo y de producción de energía y un segundo depósito. Durante la noche se bombeaban millones de toneladas de agua al recipiente superior, utilizando la energía sobrante de bajo coste disponible en otras estaciones generadoras. Durante las horas de máximo consumo se hacía descender el agua desde el lago superior al inferior, generando energía eléctrica. La capacidad de esta enorme batería se estima en 350 000 kW, cargándose durante la noche y descargándose durante el día.

Para

el

En este apartado se mostrará cómo puede utilizarse la energía sobrante variable según se indica en la figura 188, así como los razonamientos que conducen a los sistemas ideados con este fin para amortiguar tales variaciones. Supóngase que en nuestra planta existe una instalación constituida por un lago y una estación generadora de energía, pero que, debido a la escasez de agua en el lago, no puede responder a nuestras demandas de energía. Esta situación fuerza a adquirir energía de la Public Power Company para suplementar esta disponibilidad inadecuada. Public Power Company nos ha ofrecido su energía sobrante a un precio de 0,004 dólares/kWh, siendo el va-

ADAPTACIÓN A UN SUMINISTRO DE ENERGÍA VARIABLE

489

normal durante las horas de máximo consumo 0,012 dólares/kWh. Se desea estudiar la posibilidad de construir una estación de bombeo para llenar nuestro lago por la noche utilizando la energía sobrante, y disminuir así nuestra demanda de energía en las horas de mayor lor

Meses de verano 88 días

N Hora del día

4U

«

o

30

4

8

M.

ingeniería en presencia de variaciones

490

consumo, más de

generación.

cara, al

¿Qué

aprovechar mejor nuestras instalaciones propias tamaño es aconsejable para la estación de

bombeo? En este análisis simple se puede pensar en la estación de bombeo como en un dispositivo que convierte la energía eléctrica sobrante de bajo precio en energía de horas de máximo consumo, más valiosa, el valor general de la energía en nuestra planta igual al coste de esta última. El beneficio del riesgo puede expresarse entonces

siendo

como

V = QaOC^s{C..-Cop)-lh Qo

donde Q„ es la potencia real disponible para el sistema y Q¿ la capacidad de diseño del dispositivo de bombeo (ambas medidas en kilovatios). Cpp y Cop son los costes de la energía en las horas de mayor consumo y fuera de ellas, respectivamente, y a<^s es la fracción de la energía que entra en nuestro sistema como energía sobrante de bajo precio que se transforma en energía durante las horas de mayor consumo, representando el parámetro a un factor de eficacia que tiene en cuenta el consumo de energía para las bombas impulsoras y otros usos. La tabla 81 resume los cálculos que permiten llegar a la selección de un dispositivo para consumir más eficazmente la energía sobrante. La capacidad de diseño de la estación de bombeo, Qd, es la potencia que consume mientras se bombea agua al lago con el caudal máximo. Toda la potencia sobrante que exceda de este valor no puede aprovecharse con este dispositivo. La potencia promedio disponible para el bombeo, <^slQa^ será, por tanto, el valor medio para todo el año que puede utilizarse, cantidad que ha de ser inferior a Qd- Adviértase cómo una estación de bombeo de 36 000 aumenta la potencia disponible en una cantidad relativamente pequeña

kW

Tabla 81 Capacidad de

ALIMENTACIÓN PARAMETRICA DE PROCESOS

491

estación de 30 000 kW, aprovechando solamente el potencia sobrante disponible entre la media noche y las cuatro de la madrugada durante los meses de verano.

respecto

a

la

aumento en

la

14.7.

ALIMENTACIÓN PARAMETRICA DE PROCESOS

Recientemente se ha prestado considerable atención a la posibilidad de aumentar la producción de un proceso haciéndole operar de forma periódica. El término alimentación paramétrica describe este

modo

de operación.

En

la bibliografía

citada

al

final del capítulo *

se

ingeniería en presencia de variaciones

492

Alimentación

MEZCLADO DE CARGAS CON VARIACIONES DE CALIDAD AL AZAR

493

que provoque en el proceso pulsaciones en el suministro, alternativamente por encima y por debajo del valor medio. En la figura 190 se muestra el resultado neto, un aumento en la productividad media del

sistema.

Los efectos de la alimentación o bombeo paramétrico tienden a amortiguarse por las inercias dinámicas de los procesos, de tal modo que una alimentación efectuada con poco cuidado reduce generalmente la eficacia de aquéllos. Por consiguiente, se necesita un estudio detallado de la dinámica del proceso para la aplicación útil del principio que se acaba de presentar en una forma muy simplificada.

14.8.

MEZCLADO DE CARGAS CON VARIACIONES DE CALIDAD AL AZAR

Anteriormente se ha visto cómo la disposición de un sistema de almacenamiento amortigua las variaciones del caudal de materia que pueden perturbar el funcionamiento de un proceso, y cómo puede dimensionarse éste mejor para responder a un suministro variable. Se considerará ahora el problema de amortiguar variaciones de calidad en lugar de variaciones de cantidad. Estas variaciones pueden por ejemplo, en cargas sucesivas de mineral procedentes de un depósito para su tratamiento posterior. Variaciones bastante grandes y frecuentes en la cantidad de mena contenida en el mineral pueden alterar la operación del sistema. Otra fuente frecuente de variaciones de este tipo es un reactor químico discontinuo cuyas sucesivas cargas de producto varían en calidad por razones desconocidas o inevitables. Ahora bien, idealm.ente, el sistema que recibe estas variaciones debería ser insensible a ellas, del mismo modo que un submarino lo es a las olas de la superficie del océano. Sin embargo, si las variaciones alcanzan un nivel crítico, el sistema debe estar provisto de un dispositivo para adaptarlo a este entorno variable, de la misma manera que los giroestabilizadores permiten a los transatlánticos acomodarse a los mares tormentosos. En algunos casos puede ser interesante interponer un sistema de control para proteger el proceso contra estas variaciones externas. Un sistema de este tipo debe ser capaz de analizar rápidamente las corrientes o cargas de aumento y calcular un conjunto óptimo y estable de condiciones de operación para la unidad, incluyendo la proporción adecuada de alimento procedente de las diversas zonas de almacenamiento utilizadas. Un ejemplo es el sistema de mezclado controlado digitalmente que se emplea en las fábricas de cemento para amortiguar las variaciones en el contenido de humedad de la arcilla, y sus efectos subsiguientes. No se profundizará aquí en la teoría de la operación óptima de procesos en presencia de variaciones. surgir,

diferentes regiones que llegan a

ingeniería en presencia de variaciones

494

Con frecuencia, un método más práctico de proteger la unidad de proceso contra estas alteraciones consiste en intercalar un sencillo mezclador sin ningún tipo de control. Esta puede ser además la única acción posible cuando resulta inviable un análisis rápido de los materiales que llegan. El mezclador consiste en un recipiente en el que el material entrante se mezcla con material retenido de las cargas precedentes, de modo que la calidad de la mezcla resultante es un valor medio de la de las diversas cargas que han llegado. De esta forma se tiende a amortiguar y nivelar todas las variaciones. En este apartado se mostrará cómo se puede determinar el tamaño adecuado de un mezclador para reducir variaciones no correlacionadas en la calidad de las cargas. En el apartado 14.9 se analizarán los efectos del mezclado con una variación de la calidad de la carga de tipo opuesto, es decir, periódica. En el capítulo 15, Simulación, se discutirán los problemas de estimación del rendimiento en sistemas de mezclado que operan con programas más sofisticados. Se centrará ahora la atención en una situación similar a la ilustrada en la figura 191, en que sucesivas cargas de material llegan para ser procesadas. Se ha observado que su calidad A varía de acuerdo con un modelo no bien definido, es decir, se trata de una variación al azar no correlacionada: Ai = Á + R¡

[14.23]

Á

representa la calidad promedio en un intervalo grande de A¿, la calidad de la llegada i, y i?¿, su variación al azar respecto a la calidad promedio. El valor medio de todas las variaciones al azar tiende a cero

donde

llegadas;

N

Es práctica común medir el grado de variación por el promedio de los cuadrados de las desviaciones respecto al valor medio, magnitud denominada varianza *, cr^: N

(A-Áy =

m=

lím

^ y. {RÍ)=o-\ 1

[14.24]

=1

Por razones de significación estadística, en la definición de o-^ la suma N — 1 en vez de por N. Sin embargo, para valores grandes de N, R2-»(r2. *

se divide por

i i

MEZCLADO DE CARGAS CON VARIACIONES DE CALIDAD AL AZAR

495

Capacidad del mezclador

C cargas

AI sistema de proceso

Dos modos de

variación de

la

calidad de las cargas

'

Variación escalonada periódica

T3

^

^-L^

L

Variaciones al azar no correlacionadas

FiG.

191.

Amortiguado de

las variaciones

en

la

calidad de cargas sucesivas.

ingeniería en presencia de variaciones

496

Cuanto más pequeña es la varianza menor es la variación respecto al valor medio. El mezclador consiste en un recipiente con capacidad para C cargas. En él se retienen C - 1 cargas de la mezcla precedente para mezclarlas con cada una que llega. Una vez que se han mezclado las C cargas, la cantidad equivalente a una de ellas abandona el mezclador y pasa al proceso. Por consiguiente, la calidad de la mezcla efluente viene expresada por

donde B, es la calidad de la mezcla i; Ai, la de la llegada i, y S¿_i, la de la mezcla precedente retenida en el mezclador. Se desea determinar el efecto del parámetro de diseño C sobre la reducción de la varianza de la calidad conseguida mediante la operación de mezclado.

Aprovechando que

se

promedia

N

N

í=l

í=l

ecuación [14.25], obteniendo

la

^

(C-1)B + A

o bien,

B=Á

[14.26]

Por consiguiente, como cabía esperar, la calidad media del material mezclado es la misma que la del material que llega. Ahora se considerará la varianza de la mezcla respecto a este valor medio, utilizando las ecuaciones [14.25] y [14.26], para un número suficientemente grande de cargas:

^¡ = (Br^^^

[(C-l)(B,.-.-B)-^(A,-A)-j

- C-1

,

(A-Áf

MEZCLADO DE CARGAS CON VARIACIONES DE CALIDAD AL AZAR

497

El primer término de la izquierda es, por definición,

\2

C-1

2

C El segundo es el promedio del producto de dos números al azar no correlacionados, cada uno con un valor medio cero; por tanto, es nulo. El tercer término es, por definición,

2/

De todo

ello se

1

deduce que

o-l

= (rl{

—C-—

+0-^1

)

—

'"\C

J

o bien. 2

CTb

1

1

[14.27] 0-2

2C-1

[14.27] describe el efecto que tiene el mezclador soamplitud de estas variaciones al azar. Adviértase que cuando C = l, cr|/o-^ = l, el mezclador no tiene ninguna influencia. Por otra parte, cuando C es muy grande, o-|/o-^ —> O, el mezclador hace tender las variaciones de calidad a cero. Un mezclador de tamaño C = 5 reduce la varianza en un factor de nueve. Un criterio de diseño para un mezclador de esta clase ha de implicar no sólo la disminución de las variaciones, sino más bien su disminución económica. Es decir, para determinar el valor óptimo del parámetro de mezclado C se deben analizar conjuntamente el coste del mezclador y la pérdida de rentabilidad del sistema provocada por

La ecuación

bre

las

la

variaciones.

si las variaciones de calidad están distribuidas con respecto al valor medio según la función en forma de campana mostrada en la figura 192 y si se impone un límite de control de calidad tal que las cargas que lo sobrepasen requieren un tratamiento especial y costoso, el análisis económico procedería del siguiente modo: Se puede calcular la reducción previsible en la varianza de esta distribu-

Por ejemplo,

ción para cualquier tamaño de mezclador y, por tanto, la reducción fraccional correspondiente en el número de cargas que requieren tratamiento especial. El ahorro resultante en el coste sería el beneficio

ingeniería en presencia de variaciones

498

Capacidad det mezclador

f(B)

B FiG. 192.

límite del control

B

Efecto amortiguador del mezclado.

bruto asociado con el diseño del mezclador, y la inversión necesaria sería precisamente la correspondiente a éste, es decir, el análisis se reduce a un balance económico análogo a los encontrados anterior-

mente repetidas

14.9.

veces.

SUAVIZACION DE VARIACIONES ESCALONADAS PERIÓDICAS

Siempre resulta interesante estudiar situaciones contrapuestas, puesto que, afortunadamente, la realidad suele estar comprendida entre ellas. El extremo opuesto a una variación al azar no correlacionada en la calidad de la carga es una variación escalonada periódica, en la que la calidad de las cargas queda alternativamente por encima y por debajo de la calidad media: Ai = Á +

{-iyD

[14.28]

donde D representa la extensión de la variación, cuyo promedio para un número elevado de ellas es cero. La varianza para un número grande de cargas vale

o^ = (A¿-A)2 = (-l)2'D2=:D2

[14.29]

EL TANQUE AMORTIGUADOR CONTINUO

499

La calidad del material que abandona el mezclador también exhibe una variación escalonada, pero de menor amplitud. Se cumple que Bi

= Bi+2

para todas las

[14.30]

i

Considerando la ecuación [14.25] para dos mezclas sucesivas, y teniendo en cuenta la ecuación [14.30] se puede deducir fácilmente la variación en la calidad de la mezcla

(C-l)5,_i + A + (-l)'D

^

C 5,-1

= (C-l)Bi

+ Á + (-iy-'D

Eliminando B,_i se obtiene B, =

Adviértase que

de

D

a

B=Á

A^^ZRR.

[14.31]

2C-1

y que

el

grado de variación se ha reducido

D/(2C-1).

La varianza de

^ y por consiguiente

calidad de la mezcla vale

la

^

'

^

L

2C-1

J

(2C-iy {2c-iy

produce una reducción en

se

o-B

/

0-2

\2C-1

la

^

^

varianza de

1

[14.33]

la reducción en la varianza para el caso de una variaecuación [14.27], con la correspondiente a la variación periódica. Como era de esperar, ésta se amortigua con mayor facilidad. Así, un mezclador con C = 5 reduce ahora la varianza en un factor de ochenta y uno en lugar del valor nueve hallado para las

Compárese

ción

al

azar,

llegadas al azar.

14.10.

EL

TANQUE AMORTIGUADOR CONTINUO

En los apartados precedentes se ha estudiado la eficacia de los sistemas de almacenamiento y mezclado para proteger a un proceso frente a una variedad de perturbaciones. Se centrará ahora la atención ingeniería de PROCESOS.

33

ingeniería en presencia de variaciones

500

en las

comportamiento de un tanque único utilizado para amortiguar variaciones en la calidad de una corriente continua. Un tanque

el

amortiguador o pulmón es sencillamente un recipiente colocado convenientemente en una conducción que absorbe tanto las variaciones de caudal como las de calidad de la corriente que está siendo transportada.

En este apartado se analizará el comportamiento del tanque mostrado en la figura 193, suponiendo que el caudal no varíe. El material entra en él con un caudal Q litros por hora, se mezcla bien y lo Q ]pm

A

->-C

Cl

O Ipm B FiG. 193.

Un

tanque amortiguador inserto en una corriente continua.

abandona con el mismo caudal. La calidad A del material de llegada varía y se desea estimar la variación de la calidad B del material mezclado. La calidad podría ser, por ejemplo, la concentración de algún componente.

Un

balance de materia no estacionario en

el

tanque conduce a

dB [14.34]

donde el

C

es la capacidad del tanque

y

las calidades

B y

A

varían con

tiempo.

Un

de variación a la entrada que conduce a una solución que ilustra el efecto del tanque es aquella que puede rey presentarse por una sinusoide simple tipo

sencilla

A = Ao sen (w6) donde Aq

es la amplitud

y

t¿'

su frecuencia.

EL TANQUE AMORTIGUADOR CONTINUO

501

Se puede demostrar que la solución de estado estacionario para balance de materia, ecuación [14.34], es también una sinusoide, pero de menor amplitud y desfasada respecto a la inicial: el

B = Bo sen (wd +

(f))

Estos estudios de respuestas de frecuencia se utilizan habitualcontrol, siendo de interés primordial el valor de la razón de amplitudes.

mente en

Bo\l

1

{wCIQf

En la figura 194 se puede observar la eficacia del tanque para amortiguar variaciones de frecuencia elevada. Así, un tanque de 800 li-

0,001 0,01

100

0,1

Reducción de

FiG. 194.

1000

amplitud de una sinusoide.

la

una variación sinusoidal de un ciclo por minuto en la calidad de una corriente de 400 litros por minuto en un factor de dos,

tros reducirá la amplitud de

Bo

A En

la

práctica,

1

rVi +

0,45

[(1)(200)/(100)?

una sinusoide pura no aparecerá probablemente flujo. Por el contrario, se presentarán combi-

en ningún sistema de

INGENIERÍA EN PRESENCIA DE VARIACIONES

502

naciones complejas de cambios escalonados, variaciones al azar y fluctuaciones periódicas. Cualitativamente, el tanque provocará una disminución semejante en las desviaciones a las de este sencillo ejemplo.

14.11.

OBSERVACIONES FINALES

Se ha intentado presentar en este capítulo algunas muestras de la multitud de variaciones que pueden afectar a un sistema de procesos e indicar soluciones válidas para la ingeniería en presencia de las mismas. No es necesario decir que esta presentación ha sido solamente esquemática y sugestiva. El número de problemas existentes es superior al de cualquier conjunto de soluciones que se pueda intentar reunir. Sin embargo, lo que es realmente importante es el tipo de razonamientos implicados, puesto que, afortunadamente, una aproximación adecuada a cualquier problema especial conduciría a una solución razonable. lo largo del capítulo se han tratado de describir, precisamente, aproximaciones adecuadas a algunos tipos de problemas.

A

Bibliografía

Una

introducción excelente a

P.

M. MoRSE

:

Queues,

la teoría

de

Inventories

las líneas

de espera es

and Maintenance

.

Wiley,

Nueva

York, 1958.

También

se incluyen aplicaciones

de

la

misma en:

A. M. Stover:

«Application of Queuing Theory to the Operation and Expansión of a Chemical Plant», Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 42,

59

(1963).

—

D. Birkhahn: «Probability and Reality an Ocean Going Versión», Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 42, 59 (1963). N. H. Smith y D. F. Rudd: «On the Effects of Batch Time Variations on Process Performance», Chem. Eng. Sci., 19 (1964).

P.

La siguiente obra discute los métodos para mejorar la utilización disponibilidades de almacenamiento D.

}.

2,

13 (1967).

La teoría del mezclado se analiza en

S.

las

W^iLDE y U. Passy: «Partial Control of Linear Inventory Systems»,

Chem. Eng.,

R.

de

los

siguientes artículos:

Shinnar: «Sizing of Storage Tanks for Off-grade Material», Ind. Eng. Chem. Process Design Develop., 2, 6 (1967). Katz: «a Statistical Analysis of Certain Mixing Problems», Chem. Eng. Sci., 61, 9 (1958).

í

EJERCICIOS

503

EJERCICIOS 1.

Se dispone continuamente de un alimento con caudal Q kilogramos por hora para utilizarlo principalmente en un proceso discontinuo que trata una carga de B kilogramos cada A horas. Si no se dispone de los 5 kilogramos, el proceso ha de permanecer parado hasta que se acumule la cantidad suficiente. a)

Determinar los factores de utilización del suministro y del proceso en función de C^, A, B y C, siendo C la capacidad en kilogramos de un depósito de almacenamiento existente.

h)

Si el valor del alimento del proceso discontinuo es Cp pesetas por kilogramo, el coste de operación de la línea de rebose es pesetas por kilogramo, y si el coste de almacenamiento es pesetas por

Q

kilogramo almacenado y por hora, determinar cenamiento óptima. 2.

la

Q

capacidad de alma-

Este es un problema sencillo de balance de probabilidades. Un alimento llega en camiones a un proceso que consiste en dos reactores idénticos

uno de ellos capaz de recibir el contenido de un camión. Los camiones llegan al azar con un promedio de Q camiones por día, y los tiempos de operación de los reactores son también al azar, procesando cada uno como promedio Q^ cargas por día. No existe almacenamiento disponible y los camiones que llegan cuando los reactores se encuentran llenos se envían a otro proceso. Suponiendo que el sistema pueda encontrarse en cualquiera de los tres estados: vacío, un reactor operando, dos reactores operando, determinar los factores de utilización del alimento y del proceso. ¿Qué fracción de la capacidad del proceso se utiliza?

e independientes, cada

3.

Se está explotando cobre de una gran mina a lo largo de la cual varía la riqueza del mineral. A continuación se tabulan los análisis de muestras representativas tomadas de cargas de camiones de 100 toneladas al entrar a la máquina trituradora.

Fecha 1/2

Porcentaje de cobre

ingeniería en presencia de variaciones

504

El alimento del circuito de molienda ha de tener una desviación estándar alrededor de la riqueza media inferior a 0,1 por 100. Esta desviación tan pequeña es necesaria para reducir los costes de reactivo en la unidad de flotación. ¿Qué dimensiones debe tener un silo de mineral situado a la salida de la máquina trituradora principal para lograr las especificaciones de riqueza del alimento?

Un

sistema de procesos constituido por dos etapas que opera por cargas afectado por variaciones en el tiempo de operación que provocan bloqueos y paradas. En el texto se dedujo ya la expresión mostrada en la figura 195 para la productividad del sistema en el caso de variaciones en el tiempo de operación completamente al azar y sin ningún almacenamiento intermedio. está

Alimento

B

fácilmente disponible

-> Producto

FiG. 195.

v/sistema

QbÍX+QaIQb) _ _ _ _

H+QaIQb + ObIQa) a)

Un medio de aumentar la productividad del sistema consiste en colocar un depósito intermedio para el producto procedente del proceso A. Dedúzcase una expresión para la productividad del sistema cargas de producto cuando se dispone de almacenamiento para

N

intermedio

(Fig.

196).

Alimento >- Producto

EJERCICIOS

505

productividad del sistema cuando se duplica almacenamiento intermedio (Fig. 197).

el

proceso

A

y no existe

Alimento fácilmente disponible

-^

•

Producto

FlG. 197.

Dedúzcase

c)

(Fig.

la

expresión

correspondiente

si

se

duplica el proceso

B

198).

Alimento fácilmente disponible

Producto

Fig. 198.

d)

Demuéstrese que la duplicación del sistema original conduce a una productividad superior al doble del valor primitivo (Fig. 199).

Fig. 199.

Una

refinería recibe crudo de petróleo en buques que atracan junto al sistema de proceso. Cada tres días llega un petrolero de 80 000 toneladais, pero las condiciones del tiempo trastocan considerablemente esta programación las llegadas presentan una variabilidad al azar y la cifra anterior sólo tiene el significado de un valor medio. Mantener un petrolero anclado, esperando turno para atracar, cuesta C^=300 dólares por hora. Se ha observado también que el tiempo de descarga varía de un petrolero a otro una vez en el muelle, siendo la variación completamente al azar. Supóngase que el coste de operación de uno de los puntos de descarga es proporcional a la velocidad promedio de descarga en el mismo, con una constante de proporcionalidad Cd= 1000 dólares por petrolero y por hora. :

ingeniería en presencia de variaciones

506

Dedúzcase

a)

la siguiente

el número previsible de petroen función del caudal promedio y del caudal promedio de descarga,

expresión para

leros anclados en espera de descargar

de llegada, Qa petroleros por Qd petroleros por día.

N=

día,

-

Qoa-QAlQD) b)

El valor medio del tiempo de espera de cada barco anclado, W, es días. Dedúzcase una expresión para el coste de operación previsible para la descarga, anclaje y atraque, y determínese la velocidad promedio de descarga correspondiente a un coste mínimo.

NIQa

c)

Si la refinería de petróleo que recibe el suministro variable de crudo en este problema puede operar continuamente con un caudal máximo de 80 000 toneladas de crudo cada tres días, ¿qué capacidad deben tener los tanques de almacenamiento para amortiguar las fluctuacio-

nes del suministro? 14.3, considérese que el tiempo de proceso de variar al azar. Demuéstrese por qué no se aplican en este caso las ecuaciones de balance de probabilidad y por qué el análisis de este problema resulta extremadamente difícil utilizando los conceptos sencillos de la teoría de colas. En el siguiente capítulo se mostrará cómo puede salvarse esta dificultad con los métodos de Monte Cario.

En

el

sistema del apartado

es constante, en lugar

7.

Con

frecuencia resulta ventajoso analizar con detalle una representación un problema real complejo, con objeto de conseguir una idea de su estructura y proyectar planes de actuación óptimos. Considérese el problema de dimensionar un sistema de procesos que se ajuste de forma óptima a una variación en dientes de sierra de un suministro de materia idealizada de

o energía

(Fig. 200). Suministro

Tiempo,

FiG. 200.

Una

o

años

variación del suministro en dientes de sierra.

EJERCICIOS

507

Supóngase que cada unidad del suministro utilizada en el sistema proporciona un beneficio de Pp pesetas, y cada unidad no utilizada, Pq pesetas. El capital inmovilizado en las unidades de proceso sigue la conocida ley de la potencia

O

a)

M

\

Demostrar que durante un periodo completo de operación, A + B con una capacidad de diseño comprendida en el intervalo Qh^Qd^Ql' se utilizarán Qa unidades de suministro años,

Qa =

1

{Qd-QlY

2

ÍOh-Ql)

Qd-

(A

+ B)

J

y se perderán

Qh + Ql

b)

Demostrar que

Qd +

1

{Qd-Ql^

2

{Qh-Ql)

(A+B) J

el

beneficio del riesgo para este sistema viene expre-

1

ÍQd-QlY

2

ÍQh-Ql)

sado por

V = Pr

r

Qh+Ql

^

1

{QD-Qtf

Qd-

M

— Un c)

Qd que conduce

la

máximo, obtenida igualando

del riesgo con respecto a

para d)

a un benederivada del beneficio cero se reduce a

capacidad de diseño

Demostrar que ficio del riesgo

Qd

sl

ÍQh-Qd)

/(M)

ÍQh-Ol)

QdÍPp-Po)

la

Kf)

Ql
Considérese ahora la posibilidad de que la capacidad de diseño óptima se encuentre en todo momento por debajo del caudal alimentado Qd<:Ql- Demostrar que en ese caso el beneficio del riesgo es igual a


y que

la

lie capacidad óptima resultante vale

1

i{M)

Qd (Pp-Po) para Qd<^Ql-

ingeniería en presencia de variaciones

508 8.

Ha de

expansionarse una unidad de craqueo con hidrógeno desde la capa18 000 barriles por día. Al mismo tiempo se ha de construir una nueva planta de hidrógeno para incrementar el suministro actual a la misma. El caudal de hidrógeno proporcionado por esta nueva planta sería bastante constante, excepto cuando se pro-

cidad actual de 14 000 a

alguna parada. Sin embargo, el suministro de hidrógeno actual extremas, que se pueden representar bastante bien mediante una función en forma de dientes de sierra, tal como se muestra en la figura 201. La fracción de petróleo alimento, constituida prindujera tiene

variaciones

calidad, de modo que el consumo de alimento lo hace también de una manera pulsante. Esta fluctuación está causada por la inclusión periódica con el fuel oil normal de otro alimento, el sobrante de la fracción utilizada como combustible en los hornos, RFO, que consume gran cantidad de hidrógeno.

cipalmente por fuel

de hidrógeno por

a)

varía en su

oil,

barril

Suponiendo una calidad uniforme del alimento, determinar la nueva planta de hidrógeno.

el

tamaño

razonable para

Respuesta: 0,396 b)

Con

MM

m^

N/día.

suministro de hidrógeno calculado en a), y supuesto consestimar la forma económicamente óptima de introducir el alimento RFO. ¿Está justificado algún tipo de almacenamiento para el

tante,

el

RFO? Respuesta: 64

MB.

En la actualidad existe almacenamiento adecuado para el fuel oil, pero habitualmente se dispone de muy poco para el RFO. El beneficio marginal que se obtiene durante el craqueo del RFO es 2 dólares por barril, y el correspondiente al fuel oil, 0,50 dólares por barril. Costes Planta

de

hidrógeno 7

= 2,13

MM

Vida prevista para Costes de

la

operación:

$

«?H2/10^

planta en proyecto:

Co=C/r + (7,l

Depósitos de almacenamiento para

/r=

m3N/día)0.6.

el

10 años.

$/m3N)C>.

RFO

100 000 (5/100 000 barriles)"» dólares.

Rentabilidad marginal exigida, 0,20 $/año $ invertido.

Consumos de hidrógeno:

b) 9.

= 56 m^N/barriJ. RFO = 84 m^N/barril.

a) fuel oil

Apliqúense los métodos descritos en este capítulo al problema del fallo de equipo en un proceso continuo. Por ejemplo, sea A la bomba que

EJERCICIOS

509

Fuel-oil

Unidad de craqueo con hidrógeno 12000 barriles/día

Expansión 6000 barriles/día

Productos de craqueo

Combustible de hornos sobrante

Nueva planta de hidrógeno

La distribución

se repite con un periodo de cuatro semanas

Tiempo, semanas

Alimentación de combustible de hornos sobrante

10

La distribución se repite con

un

periodo de cuatro semanas

8 Suministro futuro promedio de

6 5000 barriles/día

4 2

oL

12

3

J 4

Tiempo, semanas

Suministro promedio de fuel-oil 12000 barriles/día

FiG. 201.

RFO

510

ingeniería en presencia de variaciones

alimenta regularmente a un sistema y B una bomba de reserva. Supóngase que se producen los siguientes cuatro sucesos al azar, con una frecuencia promedio establecida (sucesos por año) A falla con una velocidad F años-'* A se repara con una velocidad R años-'; B falla con una velocidad F años-'; B se repara con una velocidad R años-'. ¿Cuáles son los cuatro estados en que puede encontrarse el sistema? ¿Cuál es el grado de confianza del sistema, con y sin bomba de reserva? :

CAPITULO

15

SIMULACIÓN

Los problemas de la ingeniería de procesos pueden resultar sumamente complejos si tienen que considerar simultáneamente aspectos

como

la

evolución futura,

componentes y

la

incertidumbre en los datos,

la variabilidad del sistema, tanto interna

el

fallo

como

de

exter-

na, especialmente si deben ser tenidos en cuenta durante el periodo de optimación. Actualmente se dispone de métodos de simulación de procesos que permiten resolver estas situaciones difíciles.

Problema

típico

Un fabricante de productos químicos prevé la necesidad de una modificación frecuente de la capacidad de producción de vapor en su instalación de generación de energía dentro de una gran planta, como consecuencia de las variaciones de fabricación. El entorno de la planta es sumamente complejo, con paradas de las calderas frecuentes y al azar demandas de energía variables, tanto externas como internas, características de rendimiento inciertas, previsiones futuras escasas, etc. ¿Cómo podría efectuar el ingeniero de procesos la simulación de esta situación mediante un ordenador con el fin de llegar a diseñar las modificaciones futuras?

UN EQUILIBRIO ENTRE LA CONVENIENCIA Y LA REALIDAD

15.1.

Se ha sugerido que el mejor consejo para aquellos que intentan emprender una simulación extensa de un problema de procesos es: no LO HAGA, Aunque no estamos en completo acuerdo con este punto de vista extremo, es cierto en parte. Así, podríamos suavizar la respuesta del siguiente modo: «No utilice una técnica compleja e intrincada para resolver problemas que pueden analizarse por métodos

más

simples».

En

efecto, en gran parte de los problemas, el

uso de

una técnica sumamente refinada no conduce necesariamente a mejores resultados;

así,

por ejemplo,

la existencia 511

de incertidumbre sobre

la

SIMULACIÓN

512

evolución futura tenderá a invalidar los resultados de un análisis

muy

detallado.

La simulación supone el cambio de una situación compleja en un modelo más simple y conveniente que puede observarse con libertad sin algunos de los efectos secundarios, irrelevantes y perturbadores, que pueden acompañar al problema original completo. Así, pues, claramente se ve que cada vez que se escribe una ecuación para representar un fenómeno físico, o se realiza un experimento a escala reducida, se está operando implícitamente con un modelo. Sin embargo, esto no supone una simulación en el sentido habitual de la palabra. La simulación consiste generalmente en la programación de la operación dinámica de un sistema complejo para su manejo en un ordenador, y el estudio de la respuesta de la operación simulada frente a una variedad de perturbaciones externas.

En el estudio de la simulación de un sistema debe alcanzarse siempre una situación de compromiso entre su realismo y la facilidad con que puede llevarse a cabo. Así, por ejemplo, es evidente que no debe efectuarse una simulación elaborada de la operación de una refinería con el fin de detectar una condición peligrosa cuando una simple inspección del esquema de proceso previsto permitiría poner de manifiesto la dificultad. Por otra parte, no deberán realizarse simulaciones que desprecien alguna inestabilidad que pueda conducir a la destrucción de la planta. A continuación se ilustrará el concepto de simulación en ingeniería de procesos mediante algunos ejemplos. En primer lugar, se mostrará el uso de un simulador basado en una analogía eléctrica para ensayar el diseño de un sistema de distribución de agua contra incendios. Posteriormente, se aplica la simulación de Monte Cario al diseño de los servicios de muelles de descarga en la refinería de Esso, en Fawley, Inglaterra. Asimismo, se analiza un complejo problema de mezcla por este mismo método. Por último, se discute el programa «Powerfacts» de Dow Chemicals, para la simulación con un computador digital de problemas especiales de gran extensión.

15.2.

el

la

SIMULACIÓN DE UN SISTEMA DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA CONTRA INCENDIOS *

La compañía American Oil, de Whiting, Indiana, informa sobre uso de un simulador basado en una analogía eléctrica para facilitar expansión y el rediseño de los servicios contra incendios de un L.

T.

Wright

:

Hydrocarbon Process.

Petrol. Refiner, 9,

41

(1964).

SIMULACIÓN DE UN SISTEMA DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA CONTRA INCENDIOS

513

complejo químico, que constituye un excelente ejemplo de la aplicación de este método de cálculo a un problema. Un sistema de distribución de agua contra incendios consiste en varias estaciones de bombeo y una red de conducciones y mangueras, que puede haberse desarrollado durante varios años a medida que crecen las necesidades de la planta, hasta llegar a constituir un entramado altamente complejo. Así, la incorporación de una columna de fraccionamiento de crudo en un lugar de la planta, el desguace de una vieja caldera o la instalación de una nueva estación de bombeo en otra zona complicarán el sistema original hasta hacer difícil su comprensión, planteando cuestiones como: ¿Existirá agua suficiente para apagar simultáneamente dos fuegos? ¿Deberán inutilizarse las conducciones antiguas de agua a medida

que se desmontan unidades de la refinería? ¿Qué bombas deberán actuar para extinguir del modo más eficaz un fuego en una zona determinada? ¿Qué bombas de emergencia serán adecuadas si falla la fuente principal de energía? ¿Pueden localizarse las conducciones en mal estado mediante una experimentación muy reducida? ¿Cómo puede entrenarse el equipo de extinción de incendios sin perturbar la operación de

la

refinería?

Los problemas anejos a un sistema de agua de esta índole son su-

mamente enrevesados, ya que normalmente implican

varios kilóme-

tros de tuberías de diversos diámetros, conectadas entre sí en numerosos puntos, alimentadas por bombas distribuidas en toda la planta

y sometidas a demandas variables en distintas zonas de la misma. Para desarrollar un sistema simulador de una instalación de distribución de agua contra incendios se observó que existe una estrecha semejanza entre las ecuaciones que describen: Flujo .turbulento de agua a través de un conducto

^p = a{Ff-^ siendo

Ap = pérdida de

presión,

F = caudal, = constante que depende (3

la

conducción.

de

la

longitud y del diámetro de

SIMULACIÓN

514

Flujo de corriente eléctrica por una bombilla por debajo de incandescencia

la

AV = a'iI)^-<^ siendo

A V = diferencia de /== intensidad a' = constante

por

la

de

potencial, la corriente,

dependiente

de

la

potencia

eléctrica

disipada

bombilla.

Por tanto, si se asocia la diferencia de potencial a la pérdida de presión y la intensidad de la corriente al caudal, una red de bombillas y conducciones eléctricas permitirá simular una red de conducciones hidráulicas. Así, por ejemplo,

De

1

voltio

<~>

1

mA

<--> 5 1/seg

0,1

I

kg/cm^

modo, conectando adecuadamente la red de bombillas en un gran mapa de la refinería puede disponerse de un modelo que permite simular el sistema de distribueste

distintos puntos de enlace sobre

ción el

de agua contra incendios. Las modificaciones propuestas para las bombillas

mismo pueden ensayarse conectando o desconectando

correspondientes.

Las bombas de impulsión pueden simularse mediante baterías o cualquier otra fuente de energía. Por ejemplo, una pila seca unida a una resistencia variable constituye un modelo satisfactorio para una bomba. Este simulador podría utilizar también la señal de un computador analógico para simular una bomba de características no lineales. El flujo de agua a través de una manguera puede simularse co-

punto adecuado del modelo una resistencia. La Ameconstruido un simulador del sistema contra incendios de la refinería de Whiting antes citada que comprende once bombas y, aproximadamente, trescientos segmentos de tubería, interconectados en doscientos puntos. El simulador utiliza quinientas bombillas. Se aplica tanto para los estudios de diseño, operación y mantenimiento como para el entrenamiento del personal. Los equipos contra incendios pueden así ensayar libremente la respuesta del sistema ante varias situaciones de emergencia, adquiriendo experiencia y «palpando» sus posibilidades, que de otra manera sólo se podrían conocer durante un fuego real.

nectando en rican

Oil

el

Company ha

J

1

SIMULACIÓN DE UN SISTEMA DE DISTRIBUCIÓN DE AGUA CONTRA INCENDIOS

Otras aplicaciones de este simulador analógico se deducen del forme de American Oil:

515

in-

Descubrimientos inesperados: Se han puesto de manifiesto varias aplicaciones o aspectos desconocidos en situaciones prácticas de la refinería. Por ejemplo, una de las bombas, colocada en las proximidades de un punto de servicio remoto, estaba unida al sistema principal exclusivamente a través de una conducción muy larga que cruzaba toda la zona de tanques. Sin embargo, la bomba proporcionaba una carga muy elevada, así como una curva carga-capacidad de pendiente muy acusada. Por ello, a pesar de su situación alejada podía contribuir a la extinción de incendios en el núcleo central de la refinería. Estos hechos se han demostrado fácilmente sobre el simulador analógico, pero nunca se habrían detectado sobre el terreno.

En

una antigua conducción de agua de la instalación contra una fuga bajo un tanque. Su reparación habría resultado sumamente costosa. Sin embargo, los estudios analógicos demostraron que esta otra ocasión,

incendios

sufrió

conducción tenía un interés secundario, por lo que se dejó fuera de servicio y no fue sustituida. En un tercer caso, se realizó una prueba en planta del sistema contra incendios en una amplia zona de tanques, abriendo las toberas de pulverización del servicio en un extremo de la planta y midiendo la presión en distintos lugares de la misma (las toberas fijas o montadas sobre mangueras constituyen excelentes medidores de caudal en tales ensayos). Se dedujo así que la red contra incendios de esta zona se encontraba intensamente interconectada, si bien solamente se unía a la red principal de la refinería a través de dos conductos subterráneos. Los resultados del ensayo no concordaron con los proporcionados por la analogía, por lo que se efectuó un nuevo estudio en esta última. Rápidamente se comprobó que la causa de la discrepancia era la perforación de la conducción de suministro situada al oeste en efecto, simulada la perturbación en el esquema analógico, la concordancia con el ensayo real fue completa. Posteriormente, una comprobación sobre el terreno confirmó la ;

avería.

Las útiles conclusiones obtenidas a partir de los estudios analógicos sobre sistemas contra incendios sugieren su ampliación a los sistemas de vapor y agua de proceso, que, probablemente, será sumamente valiosa.

Este

procedimiento

representa

una

batalla

entre

la

capacidad

creativa del ingeniero, que tiende a profundizar en el estudio de las situaciones, y el comportamiento del sistema, que en condiciones

normales se presenta como sumamente razonable y aparentemente sin ninguna dificultad. Es de notar, también, que en este caso la simulación resulta muy real y fácil de manejar. El realismo es consecuencia directa de la estrecha semejanza que existe entre las leyes que gobiernan el comportamiento de las redes de conducciones hidráulicas y eléctricas. Tales semejanzas básicas deben tenerse siempre presentes. INGENIERÍA DE PROCESOS.

34

SIMULACIÓN

516

15.3.

EL

PROBLEMA DE ATRAQUE DE PETROLEROS EN UNA REFINERÍA ESSO

B. D. Dagnall, jefe de operaciones de la sección de investigación en la refinería Esso, de Fawley, Inglaterra, informa sobre el uso de una simulación para dimensionar equipos que satisfagan demandas variables *. Más concretamente, se discute el uso de la simulación por el método de Monte Cario para rediseñar los muelles de atraque de los petroleros que transportan el crudo a la refinería, aportando así un ejemplo real excelente para la exposición de este método. En la citada refinería existen cinco muelles de atraque, de los cuales, en 1963, sólo uno de ellos, el número 5, era capaz de manipular transportes de más de 80 000 ton. Para 1964, las previsiones indicaban la llegada de 118 buques de gran capacidad, es decir, un promedio de uno cada tres días. Se calculó que sería imposible programar las llegadas perfectamente y que algunos grandes barcos deberían esperar anclados hasta que el muelle 5 quedase libre, con un coste de espera de 100 libras por hora y barco. ¿Debería modificarse el muelle 4 mediante un drenaje y la adaptación del sistema de mangueras de carga y descarga, con un coste aproximado de 70 000 libras, para poder descargar también en él buques de gran tonelaje? La solución analítica de este problema resulta imposible debido tanto a que las llegadas son irregulares, ni exactamente periódicas ni puramente al azar, como a que los tiempos de permanencia en el muelle varían de unos barcos a otros. Por ello, no pueden aplicarse los métodos desarrollados en el capítulo 14 para tales situaciones variables. Debe seguirse otro método, probablemente alguno que sea más independiente de manipulaciones matemáticas. ¡Como ha observado acertadamente Melville, existen algunos casos en los que el método más adecuado consiste en un desorden cuidadoso! Se ha comprobado que las llegadas de los petroleros puede aproximarse por una serie de variaciones al azar superpuestas sobre un programa de llegadas regulares. Es decir, la llegada irregular de los barcos puede simularse seleccionando retrasos y adelantos al azar a partir de una muestra típica de las que se han producido en épocas precedentes, con barcos de diferentes tamaños, y aplicándolos a continuación a la distribución programada. Los barcos sólo pueden atracar en el muelle durante la marea alta y con luz solar (es decir, a intervalos aproximados de veinticinco ho-

*

B. D.

Dagnall:

Brit.

Chem. Eng.,

11,

10

(1965).

EL PROBLEMA DE ATRAQUE DE PETROLEROS EN UNA REFINERÍA ESSO

517

ras), y cada barco tarda en descargar más de veinticinco horas y menos de cincuenta. Así, un barco permanecerá en el muelle dos «días» de marea, es decir, cincuenta horas; por tanto, sin gran error puede adoptarse un periodo constante de estancia por barco en el muelle de dos días a efectos de simulación. Deben preverse dos efectos adicionales en el momento en que el muelle 4 se encuentre preparado para acoger grandes petroleros: en primer lugar, el uso del muelle 4 con este fin impide su uso normal para barcos más pequeños; por otra parte, cuando un gran buque llega al muelle 4 el número 3 debe estar libre, para permitir la maniobra de atraque. Puede suponerse que estos efectos son secundarios y que pueden despreciarse durante la simulación; no obstante, para considerar esta interferencia se introducirá un gravamen sobre el nuevo sistema de 15 000 libras por año. La simulación es bastante sencilla y puede realizarse a mano. Los adelantos y retrasos experimentados previamente se introducen por ejemplo en un sombrero y se extraen al azar para modificar el programa previsto. De este modo, para cada barco puede simularse su diagrama de espera y descarga, primero disponiendo sólo del muelle 5 y a continuación de los dos, 4 y 5. En la tabla 82 se muestra una simulación de este tipo. Puede observarse que analizando cuarenta llegadas, la adaptación del muelle 4 ahorra 21 barcos-día de espera, que suponen 62 barcos día por año; así, pues, a 100 libras por hora,

se obtiene:

62 barcos-día

,

.,--

...

„

/j^

j

(100 libras/barco-h) (25 h/dia de marea) = ,

^

,^r-

i

\

ano

= 153

000 libras/año.

Evidentemente, el acondicionamiento del muelle 4 resulta beneficioso, pues la inversión necesaria es tan sólo de 70 000 libras para drenaje, etc., y 15 000 para indemnizar la interferencia con el muelle 3. Este ejemplo constituye una excelente demostración de la simulación por el método Monte Cario. El nombre de esta técnica deriva de los elementos de azar implícitos, esenciales, que son análogos al fundamento de los juegos del famoso Casino de Monte Cario. El problema anterior se ha resuelto manualmente; sin embargo, otras simulaciones de mayor extensión pueden desarrollarse con ayuda de un ordenador. A pesar de todo, incluso un método de análisis tan sencillo y mecánico como el expuesto requiere un fundamento teórico. Por ello, en este capítulo, más adelante, se hará una breve introducción a la teoría de los métodos de Monte Cario. Obsérvese

Tabla

Fechas

82.

Adelantos y retrasos típicos sobre los atraques previstos mostrando la secuencia de llegadas

UN PROBLEAAA DE MEZCLA

que este ejemplo ilustra la solución sencilla de un problema nado con la teoría de colas que no puede lograrse aplicando

519

relacio-

los ba-

lances de probabilidad del capítulo 14.

15.4.

UN PROBLEMA DE MEZCLA*

M. Tayyabkhan y T. C. Richardson, de la Union Carbide Corporation, resolvieron un complejo problema de mezcla por simulación. Se utilizará a continuación este ejemplo como una nueva ilustración del método de Monte Cario. Un complejo químico produce varios componentes que vende a los consumidores en forma de mezclas. Cada una de éstas debe prepararse inmediatamente antes de su envío, transfiriendo la cantidad adecuada de cada componente a un mezclador; la preparación de una mezcla requiere un día. En la tabla 83 se presentan las demandas medias de las cinco mezclas posibles. partir de esta información podría concluirse que el número adecuado de mezcladores sería 13.

A

Tabla

83.

Promedio de pedidos Mezcla

diarios para las mezclas

SIMULACIÓN

520

Tabla

Número de

84.

Distribución de frecuencias de pedidos por día

I

UN PROBLEMA DE MEZCLA

521

Gráfico de sectores con flecha indicadora

35

-

30

-

Histograma de pedidos/día para la mezcla A 34.6

53

25 22,4

20 ?0.3

15 12.9

10

4.6 2.7

0.4

12345678

2.1

Pedidos/día

FiG. 202.

Histograma y gráfico de sectores utilizados para generar diaria de pedidos de una mezcla determinada.

la

distribución

cuado a cada problema mediante técnicas cuyo fundamento no difiere esencialmente del correspondiente al gráfico de sectores utilizado en nuestro ejemplo. La tabla 85 indica los pedidos que corresponden a números distribuidos uniformemente al azar entre el 000 y el 999, mostrando también cómo Duede recuperarse la distribución inicial. De este modo se pueden simular los pedidos correspondientes, por ejemplo, a dos mil días de operación, poniéndose de manifiesto además la aparición de pedidos con retraso. En la tabla 86 se presenta el resultado de tales simulaciones si se dispone de 15 mezcladores. Por ejemplo, se observa que en este caso en un 91,45 por 100 de los días de operación el número total de pedidos (nuevos y pendientes), sería igual o menor que 15 y, por tanto, podrían ser elaborados por el sistema. En la tabla 87 se muestran los límites de operación sin retrasos para diferentes agrupaciones de mezcladores. Se aprecia cómo con trece mezcladores, número que resultaba adecuado anteriormente si el cálculo se basaba en el número promedio de pedidos, el sistema tan sólo posee capacidad suficiente el 38,5 por 100 de los días, experimentando retrasos un 19,0 por 100 de los pedidos. De este modo, la tabla 87 sería el punto de partida para realizar un estudio económico y deducir el número óptimo de mezcladores.

3 o

U V

.2

0

a

UN PROBLEMA DE MEZCLA

Tabla 86. Distribución acumulada de pedidos normales y atrasados por día para 15 mezcladores (muestra de 2000 días). No existe demora el 91,45 por 100 de los días

Número de

523

SIMULACIÓN

524

Estos datos no podrían obtenerse por los procedimientos usuales análisis, siendo imprescindible la simulación para evaluar la influencia de las variaciones. Tayyabkhan y Richardson propusieron las siguientes modificaciones para mejorar el realismo de la simulación:

de

1.

Considerar a

la

incertidumbre en la disponibilidad de materia prima debida de la demanda y a la capacidad de producción

fluctuaciones

las

limitada. 2.

Considerar volúmenes de cada carga y tiempos de mezcla diferentes según el tipo de mezcla.

3.

Considerar variaciones en los periodos de limpieza según de mezclas seguida.

4.

Considerar

una

capacidad

de

almacenamiento

del

la

producto

secuencia

acabado

limitada.

Si todas estas consideraciones se incluyen en el modelo, éste representará, sin duda, de forma más realista a una unidad de fabri-

cación de productos químicos.

Aplicando el método de Monte Cario para la simulación de una unidad de esta índole, pueden despejarse las siguientes incógnitas: 1.

2.

¿Cuál debe ser el balance adecuado entre la capacidad de producción y las necesidades de almacenamiento (de materias primas, productos intermedios y productos acabados)? ¿Y entre el número de mezcladores y esta última magnitud?

¿Cómo

afectan

al

sistema

los

cambios

en

las

características

de

la

demanda? 3.

¿Qué

efecto producirá

15.5.

un incremento en

la

velocidad de mezcla?

SIMULADORES INDUSTRIALES

Las simulaciones desarrolladas en los apartados precedentes son

extremadamente simples: su fin principal ha sido realizar una introducción al tema. Sin embargo, varias grandes empresas industriales han desarrollado simuladores especiales para el análisis de problemas de gran envergadura. Su puesta a punto ha requerido varios hombresaño y muchos miles de dólares; sin embargo, con frecuencia se amortizan por sí mismos con gran rapidez al facilitar considerablemente la

toma de

decisiones.

SIMULADORES INDUSTRIALES

525

No es preciso describir con detalle tales simuladores, puesto que son simplemente reproducciones a mayor escala de los modelos sencillos descritos anteriormente, que suponen ampliaciones más de tamaño que de concepto. No obstante, resulta muy conveniente una breve explicación de sus posibilidades. La Dow Chemical Company, de Midland, Michigan, utiliza regularmente un simulador denominado «Powerfacts», que facilita la planificación de las ampliaciones de sus sistemas de vapor y energía *. El simulador tiene gran interés en este caso, ya que considera de forma aproximada muchas de las fuentes de incertidumbre discutidas en los capítulos previos, tales como las previsiones de los cambios en la demanda; las variaciones diarias, semanales, mensuales y anuales en el sistema; la parada de unidades, ya motivada por fallos inesperados o para el m-antenimiento planificado, y otras varias causas habituales.

La Dow Chemical poseía en la fecha en que puso a punto este simulador en su división de Midland trece turbogeneradores de corriente alterna y catorce calderas, con una capacidad comprendida entre los 4 000 y los 40 000 kW. Este servicio de vapor y energía supone una fracción significativa del capital desembolsado en el complejo químico al que se destina; en consecuencia, tiene un enorme interés determinar la estrategia idónea para su expansión. El combustible primario de la planta es carbón, si bien se utilizan también, en cantidad limitada, gas natural y fueloil. El sistema tiene una conexión a la red que abastece a la comunidad de los alrededores, pudiendo vender o adquirir energía a o desde ella, en extensión limitada, durante los periodos de exceso o defecto de energía, respectivamente. Las calderas y las turbinas sufren periodos de parada significativos, debidos tanto al mantenimiento planificado como a situaciones imprevistas (Fig. 203). Las paradas imprevistas pueden dividirse en dos tipos: forzadas y aplazables; el mantenimiento programado puede dar lugar también a paradas de mayor o menor envergadura. El sistema real no opera en sus condiciones promedio durante la mayor parte del tiempo, ya que es afectado con frecuencia por fallos del equipo y además experimenta desviaciones debidas tanto a las variaciones meteorológicas como a las demandas estacionales para ciertos productos (Fig. 204). Así, se producen frecuentes puestas en fun-

cionamiento de

las calderas

y turbinas de reserva y demandas supe-

* R. E. Jackson, a. J. Klomparens y G. T. Planning», Chem. Engr. Progr., 1, 61 (1965).

Westbrook:

«Long Range

SIMULACIÓN

526

riores a las disponibilidades de energía de la red pública, lo

crementa en conjunto

También

el

la

1.0

0.8

0.6

\

4 6.3

0.2

"S

in-

resulta difícil planificar la adaptación a los incrementos

demanda de estos servicios a medida que químico se expande en un futuro incierto.

futuros de

que

coste anual de la energía.

0,1

-

0.04

—

0.01

el

complejo

SIMULADORES INDUSTRIALES

1

527

r

\

Febrero

Diciembre

Enero

Marzo

Abril

Producción semanal calculada a partir

promedio anual

del

Mayo_

Junio

Julio

Agosto

S

O

J

DE

N

Predicción de

la

F

M

A

L

\

M

J

Julio

demanda de vapor a)

Capacidad instalada

Semanas

Tiempo Perfil típico

de

la

capacidad y demanda de vapor

b)

FiG. 204.

Variación típica en

la

demanda y capacidad de producción de

vapor.

SIMULACIÓN

528

Las alternativas de diseño posibles incluyen: 1.

Una

selección de los tipos de calderas, que comprende desde presión y con elevado

más pequeñas, que operan a baja consumo de combustible, a las de gran sión y consumo reducido.

las

2.

Una

3.

La

capacidad, de alta pre-

selección entre varios tipos de turbinas, desde extracción múltiple a las unidades de condensación.

las

de

planificación temporal de las ampliaciones y sustituciones.

El simulador «Powerfacts» precisa datos sobre las siguientes variables

A.

y parámetros: Especificaciones de la caldera y de la turbina \.

Eficacia, capacidad

2.

Previsión sobre

3.

4. 5.

6. 7.

B.

\.

3.

4.

energía.

Necesidades de mano de obra, combustibles de cada tipo y vapor y energía auxiliares. Constantes de fiabilidad del programa de Monte Cario. Plan anual de mantenimiento previsto. Prioridad de servicio de calderas y turbinas. Fechas de instalación de nuevo equipo en el futuro.

Capital.

Costes unitarios de combutible, mano de obra y mantenimiento. Impuestos e intereses del capital. Si se desea considerar, velocidad de incremento del precio del combutible, de la mano de obra y de los materiales

salida del

cos y técnicos.

A.

y presión de operación.

demanda anual de vapor y

Factores económicos

2.

La

la

de construcción. tipos de resultados: económicontinuación se tabulan estos parámetros de salida.

modelo presenta dos

A

Resultados económicos 1.

2. 3.

4.

Valor Costes Costes Costes

de

la

función

objetivo

para

el

anuales de operación. anuales de combustibles. anuales de la energía adquirida.

periodo simulado.

SIMULADORES INDUSTRIALES

B.

Resultados sobre 1.

2.

3.

el

529

rendimiento del sistema

Producción anual total de vapor y energía. Frecuencia y severidad de los periodos de escasez de vapor y de energía. Frecuencia y coeficiente de utilización de la estación reductora.

4. 5.

6.

Energía adquirida y producida anualmente. Promedio mensual de sobreproducción de vapor. Producción anual y días de operación de cada caldera

y turbina. El diagrama de flujo del simulador «Powerfacts» se muestra en Según el informe de Dow, el simulador es capaz de:

la

figura 205. 1.

demanda

diaria de vapor y energía. Por ejemplo, las de vapor se calculan aplicando factores de ajuste semanales y diarios sobre una previsión anual. Las demandas de vapor a diferentes niveles de presión pueden evaluarse a continuación teniendo en cuenta la distribución actual

Estimar

la

demandas

totales

y prevista. 2.

Estimar el equipo (calderas y turbinas) que se encuentra preparado para entrar en servicio en un día determinado, así como el número de paradas imprevistas o planificadas que pueden producirse en cada unidad del sistema.

3.

Estudiar la demanda de vapor y el estado del equipo cada día, para poder predecir el estado del mismo una o dos semanas después y, así, tomar una decisión razonada sobre las paradas planificadas o aplazables a realizar.

4.

Distribuir

el

equipo disponible para tratar de satisfacer las

existentes y calcular el rendimiento de producción de vapor y energía.

demandas 5.

Calcular los servicios auxiliares requeridos para que

pueda funcionar. Estos

se

el

sistema

manejan del siguiente modo:

Las cantidades necesarias para cada unidad y equipo auxiliar se deducen de la producción bruta de la

Vapor y energía. para

el

planta.

Agua. La materia prima de este sistema es agua tratada, que mezcla con el agua de reciclo y se precalienta hasta la temperatura necesaria en un cambiador de calor. Mediante los balances oportunos se obtiene el factor de utilización del agua, kilogramos de agua alimento por kilogramo de vapor producido. se

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teoría de la simulación de monte garlo

531

Combustible. Mediante balances de energía realizados alrededor de cada unidad se calculan los factores de utilización del combustible, expresados como kilocalorías por cada kilogramo de vapor producido (ó Btu por libra). 6.

registro preciso de costes y producciones. Los costes de los servicios se calculan y simulan a final de cada año a partir de las cifras totales de producción de cada unidad. Los costes de la energía adquirida se calculan mensualmente. La simulación del contrato que regula la compra de energía exige un método bastante complejo. El coste de la

Mantener un

energía es fundamentalmente una función de la cantidad mensual adquirida (kW-h) y de la demanda en exceso (kW) sobre el valor medio de los doce meses precedentes. 7.

Finalmente,

«Powerfacts»

simula las paradas imprevistas de

calderas y turbinas.

«Powerfacts» se ha utilizado ampliamente para planificaciones de capacidad, estudios sobre viabilidad de uso de otros combustibles y determinación del potencial económico necesario para amortiguar las variaciones estacionales de la demanda de vapor almacenando ciertos productos de consumo variable según la época del año. La Dow Chemical Company ha informado que actualmente planea simulaciones similares para otras facetas de sus operaciones. Cabe esperar, pues, que este tipo de análisis sea cada vez más frecuente en la ingeniería de procesos a

medida que

más relacionadas entre

15.6.

las distintas

unidades se encuentran

sí.

teoría de la SIMULACIÓN DE MONTE CARLO

La simulación operacional de un proceso revela sus características probables de comportamiento. La estrategia de su análisis supone la réplica en el simulador de una serie de experimentos cuyos resultados se promedian para deducir una estimación del comportamiento medio o probable. Una cuestión básica a resolver es el número de experimentos que deben efectuarse en el simulador antes de que pueda estimarse su comportamiento promedio con suficiente significación estadística. Si es la desviación estándar de una observación aislada en el simula-

cr

cr/^n representa una estimación de la desviación estándar del promedio de n observaciones. Por tanto, para mejorar la evaluación del comportamiento promedio de un proceso simulado, consiguiendo que su desviación estándar se reduzca a la mitad, será preciso muldor,

INGENIERIA DE PROCESOS.

35

SIMULACIÓN

532 tiplicar

por cuatro

el

número de experimentos,

lo

que puede

llevar a

un consumo excesivo de tiempo y dinero. Sin embargo, es posible incrementar la eficacia de una simulación conaplicando varios métodos que permiten reducir la varianza. tinuación se apuntarán los razonamientos que se aplican con este fin. Supóngase que Üi y Ü2 son dos muestras promedio de la función objetivo que describe el comportamiento de un proceso. Si Üi y Ü2 son los resultados de experimentos efectuados al azar en el simulador, las desviaciones estándar de su suma (L/j + Ü2) y de su diferencia (t7i-í72) son iguales. Sin embargo, esto no es cierto si las dos muestras proceden de una población ordenada. Si existe una correlación positiva entre Üi y Üz, la desviación estándar de su diferencia Üi - Üi será inferior a la correspondiente a la diferencia de muestras al azar, mientras que si la correlación es negativa será la suma la que presenta una desviación estándar inferior. La varianza para una suma y una diferencia de dos variaciones al azar viene dada por las ecuaciones [15.1] y [15.2] en función de la covarianza entre ellas:

A

A

= V(C/i) +

V(t/i

+

C/2)

V(C/i

-

Uz) = V(C/i)

ViUz) + 2 cov

(t/i, t/2)

[15.1]

+ V{U2) - 2 cov

(C/i, t/^)

[15.2]

pueden deducir métodos para me-

partir de estas relaciones, se

jorar la eficacia de las simulaciones de

Monte

Cario.

Obsérvese ahora el error que se cometería en el problema del atraque de los barcos estudiado en un apartado anterior si sólo se considerasen en la simulación las diez primeras arribadas: se deducirían en tal caso diez barcos-día de retraso cuando se utiliza sólo el muelle 5 y sólo dos si se utilizan simultáneamente los muelles 4 y 5. A partir de estos datos se llegaría a un ahorro de: (118)

(10-2)

-

^, = 94

,

barcos-dia por ano

10

preparar el muelle 4 para recibir barcos de gran tonelaje. Por el contrario, analizando 40 muestras se vio que el ahorro era tan sólo de 62 barcos-día por año. Se ve así claramente la dependencia entre al

la

respuesta y

el

método de muestreo.

Hammersley y Morton

* han propuesto el método de muestreo de Variación antitética, que conduce con frecuencia a grandes mejo-

*

J.

M. Hammersley y K. W. Morton: «A New Monte Cario Technique, Camb. Phil. Soc, 52, 449 (1956).

Antithetic Variates», Proc.

LENGUAJES DE SIMULACIÓN

533

ras en la significación estadística del ensayo. Consiste en desarrollar dos simulaciones tales que las variaciones al azar de una se correla-

A

continuación se procionen negativamente con las de la segunda. median los resultados de ambas. Por ejemplo, en el caso del atraque de barcos, una variación antitética de la obtenida anteriormente a partir de cuarenta muestras conduce a un ahorro de 59 barcos-día por año. Por tanto, según este método, el ahorro verdadero es:

'-^^ = 60,5 Un muestreo programado por este procedimiento tiende a reducir periodo que es preciso explorar durante la simulación para obtener resultados significativos. Moy * informa que mediante el método antitético se logran incrementos de más del 70 por 100 en la eficacia del muestreo en problemas de simulación de líneas de espera. Estos últimos ejemplos muestran cómo puede reducirse la varianza del comportamiento medio de los experimentos de un simulador realizando series sucesivas de experimentos correlacionados negativamente. Sin embargo, si el objetivo del análisis es la diferencia entre el comportamiento medio de dos alternativas de proceso, los experimentos correspondientes deberán correlacionarse positivamente. Por ejemplo, en el problema de atraque se impuso el mismo programa de llegadas en las dos situaciones: uno o dos muelles disponibles. De este modo, las simulaciones se correlacionaban positivamente (es decir, los resultados de las mismas series de variaciones al azar) de tal modo que la diferencia entre ellas presenta una varianza reducida. Estos son algunos de los métodos típicos para incrementar la significación estadística de los datos obtenidos en simuladores.

el

15.7.

LENGUAJES DE SIMULACIÓN

Antes de que pudieran desarrollarse programas generales para la simulación de procesos en computador fue necesario construir programas específicos para cada problema de proceso a tratar. En la actualidad gran parte del trabajo preciso para desarrollar una simulación puede aliviarse con ayuda de los lenguajes de simulación que permiten «escribir» el problema para que el ordenador pueda elaborarlo.

* W. A. Moy: «Practical Variance-Reducing Procedures for Simulations», Mgt. Sci. (próximo a aparecer).

Monte Cario

SIMULACIÓN

534

Estos programas ejecutivos se diseñan para proporcionar:

Una

1.

estructura generalizada para producir modelos de simu-

lación.

Una forma

2.

lación en

Un Un

3.

4.

conveniente para transformar un modelo de simu-

un programa de computador.

procedimiento rápido para efectuar cambios en

el

modelo.

sistema flexible para obtener datos útiles de la simulación.

Entre los diversos programas de simulación cuya referencia se al final del capítulo se destacan a continuación los siguientes:

reseña

GPSS

II (General Purpose System 5imulator). Desarrollado por para simular problemas de espera complejos.

IBM

GASP

(General Activity Simulation Program). Desarrollado por la United States Steel Corporation con el fin de simular situaciones tales como la operación de un horno Siemens-Martin, del sistema de transporte de la acería y de la planta de tratamientos térmicos aneja.

GSP

(General 5imulation Program). Desarrollado por la United States Company Ltd. para facilitar el estudio de las plantas de fa-

Steel

bricación.

CSL

(Control and 5imulation Language). Desarrollado por

Kingdom y Esso Petroleum Company

CHEVRON. por

la

IBM

United

Ltd.

Simulador de balances de materia y energía desarrollado

Chevron Research Corporation.

CHIPS (Chemical

JB'ngineering /nformation Processing 5ystem). Desarrollado por Service Bureau Corporation, subsidiaria de IBM.

CHEOPS

(Chemical f'ngineering Optimization 5ystem). Desarrollado por la Shell Oil Company para mejorar la eficacia del diseño de procesos químicos, habiéndose aplicado, por ejemplo, a instalaciones para la manufactura de isopreno, óxido de etileno, poliisopreno, alcohol etílico, etc.

PACER

(Process Assembly Case fvaluator 2?outine). Desarrollado por P. T. Shanon y aplicado recientemente a la simulación de un proceso de ácido sulfúrico y de una planta de estireno.

«Flexible

por

la

Flowsheet». Uno de los programas pioneros desarrollados M. W. Kellog Company.

LENGUAJES DE SIMULACIÓN

535

SPEEDUP

(5imulation Programme for the ¿"conomic ¿'valuation and Design of ?7nsteady-state Processes). Desarrollado expresamente para ordenar problemas de diseño complejos por R. W. H. Sargent y A. W. Westerberg.

PEDLAN

(Process Engineering Design Language). Desarrollado por la

Mobil Oil Company.

La preparación de lenguajes ejecutivos de simulación

es una de avanzadas de desarrollo en que se hallan implicadas la mayor parte de las más importantes compañías de proceso, recomendándose un estudio de la bibliografía citada al final del capítulo, especialmente la introducción escrita por Crowe, Hamielec, HoffMAN, Johnson, Shannon y Woods, Chemical Plant Simulation. las áreas

Bibliografía Las siguientes referencias se sugieren principios y práctica de la simulación.

como

obras de tipo general sobre los

K. D, Tocher: The Art of Simulation. D. Van Nostrand, Princeton, N. J., 1963. Jay Foíirester: Industrial Dynamics. The MIT Press, Cambridge, 1961. Monte Cario Methods. Wiley, J. M. Hammersley y D. C. Handscomb Nueva York, 1964. T. H. Naylor, J. F. Balinty, D. S. Burdick y K. Chu: Computer Simulation Techniques. Wiley, Nueva York, 1966. :

Los fundamentos de

la

simulación de procesos químicos se estudian en:

D. Himmelblau y K. Bischoff: Process Analysis and Simulation. Wiley, Nueva York, 1967. R. G. E. Franks: Mathematical Modeling in Chemical Engineering, Wiley, Nueva York, 1967. C. M. Crowe y cois.: Chemical Plant Simulation. Wiley, Nueva York, 1968.

A. Carlson: Analog Simulation in Chemical Engineering. Wiley, Nueva York, 1967. Finalmente, se reseñan una serie de artículos específicos de gran interés sobre aplicaciones o descripción de progréimas especiales de simulación. D. F. BoYD, H. S. Krasnow y A. C. R. Petit: «Simulation of an Integrated Steel Mili», IBM Systems Journal, 1, III (1964). «Control and Simulation Language», The J. N. BuxTON y J. G. Laski :

E.

Computer Journal, V (1962). Efron y G. Gordon: «A General Purpose

Examples of G.

Gordon: Journal,

I

Its

Application»,

IBM

«A General Purpose (1962).

Digital

Systems Journal, Systems Simulator»,

Simulator and I,

III

IBM

(1964).

Systems

SIMULACIÓN

536 D. H. Kelly y for

J.

W. Buxton: «Monte Code-An

Interpretative

Monte-Cario Simulation», The Computer Journal,

V

Program

(1962).

K. D. Tocher: «A Review of Simulation Languages», Operational Research Quarterly, XVI (1965). D. E. Freeman: «Programming Languages Ease Digital Simulation», Control Engineering, noviembre 1964. E. B. Dahlin y R. N. Linebarger: «Digital Simulation Applied to Paper Machine Dryer Studies», 6th ISA Pulp and Paper Symposiiim,

W.

mayo 1965. L. GoDFREY y

R. D.

Benham: «Analog Simulation 1, 4 (1964).

of Countercurrent

Crystallization Process», Simulation,

H. A. Lindahl: «Improve Refinery Operations with Process Simulation», Chem. Eng. Progr., 4, 61 (1966). N. R. Amundson y A. J. Pontinen: «Multi-Component Distillation Calculations on a Large Digital Computer», Ind. Eng. Chem., 5, 50 (1962).

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P. Emery: «Steady Chem. Engr. Sci., 20 J.

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N. H. Smith y D. F. Rudd: «On the Effects of Batch Time Variations on Process Performance», Chem. Eng. Sci., 19 (1964). P. T. Shannon: «The Integrated Use of the Digital Computer in Chemical Engineering Education», Chem. Eng. Educ. (marzo 1963). P. T. Shannon y cois.: «Computer Simulation of a Sulfuric Acid Plant», Chem. Eng. Progr., 62, 6 (1966). R. W. H. Sargent y A. W. Westerberg: «Speed-up in Chemical Engineering Design», Trans. Inst. Chem. Engrs. (London), 42 (1964). E. Singer: «Simulation and Optimization of Oil Refinery Design», Chem. Eng. Progr., Symp. Ser., 37, 58 (1962). DioN G. Steward: «A Survey of Computer- Aided Chemical Process Design», MIT Electronic Systems Laboratory, abril 1967.

EJERCICIOS refinería recibe crudo en petroleros de 40 000 toneladas con una periodicidad media de un barco cada dos días. Sin embargo, deben preverse adelantos y retrasos sobre las fechas de llegada previstas; es igualmente probable que un barco llegue en la fecha prevista, un día antes o con un día de retraso. Su descarga, por bombeo, a los tanques de almacenamiento dura un día. Los ingenieros de la refinería deben evaluar el número de tanques necesario para prevenir los retrasos que

Una

se produzcan.

El petróleo se procesa en la refinería de forma continua, con un caudal máximo de 22 000 toneladas al día, excepto si se producen paradas imprevistas, en cuyo caso el caudal desciende a 10 000 toneladas al día. Las paradas se producen al azar, con un promedio de una cada quince días de operación, y duran, por término medio, un día. ¿Qué disponibilidades de almacenamiento de crudo deben proveerse?

EJERCICIOS

a)

537

Establecer una simulación operacional de este problema de proceso como intervalo de tiempo un día.

utilizando b)

Simular la operación del proceso durante treinta días y determinar cantidad máxima de crudo que debe almacenarse durante este periodo, así como el exceso de crudo que se encontraría disponible para ser bombeado hacia otra refinería.

la

c)

Desarrollar una simulación que sea variación antitética de la efectuada en b), intercambiando los adelantos y retrasos en el progróuna de llegadas de petroleros. El promedio de las capacidades máximas de almacenamiento deducidas en b) y c) será una estimación más precisa del valor real requerido.

d)

Efectuar un precisión

2.

de

número la

suficiente de simulaciones para estimación hecha en c).

comprobar

la

El proceso descrito en la figura 206 produce una carga de producto por día; si el producto es rico en un cierto componente, puede venderse con un beneficio de 100 dólares por carga; si el contenido es medio, 1 000 dólares por carga, y si es reducido, 300. ->- Elevado

->-

Proceso

Medio

->- Bajo

.

100 S por carga

1

000 S por carga

300 $ por carga

FiG. 206.

Como

promedio, de cada diez cargas resultan seis de alto contenido, tres de bajo. No existe una correlación entre la calidad de cargas sucesivas. Evidentemente, el beneficio previsible para el pro-

una de medio y ceso será: días

365

[(0,6)

(100)+(0,1)

(1

000) + (0,3) (300)] = 91 000 dólares/año.

Sin embargo, resulta posible mezclar una carga de alto contenido con otra de bajo para preparar dos cargas de contenido medio. Esto sugiere la modificación del diseño que muestra la figura 207, que permite almacenar dos de las cargas producidas y mezclarlas, bien entre entre sí, bien con el producto efluente del sistema, con dicho fin. Así, por ejemplo, si se tiene almacenada una carga de alto contenido en el componente citado y la resultante del proceso lo tiene bajo, puede mezclarse inmediatamente con aquélla, proporcionando dos cargas del producto de mejor calidad.

SIMULACIÓN

538

¿Qué cantidad debería y mezcla? Este problema

invertirse

en

tal

sistema de almacenamiento

presenta como característica que antes de poder simulación ha de establecerse una estrategia sobre el funcionamiento del mezclador, no conociéndose inicialmente cuál es la óptima.

iniciar

la

EJERCICIOS

539

El caudal de diseño de la fracción hidrocarbonada es de 13 500 bapor día, consumiendo cada barril 56 m^ normales de hidrógeno. El caudal medio de hidrógeno es 700 000 m^ normales por día. El beneficio obtenido al mejorar la calidad del alimento es de 1 dólar por barril. La fracción de petróleo no alimentada a la unidad de craqueo o se almacena o se vende a una refinería próxima, a su precio de coste. El inmovilizado necesario para el depósito es de 1 dólar por barril de capacidad, y la empresa tiene una estructura económica típica de las compañías de procesos químicos. rriles

Sugerencia. Las variaciones en el caudal de hidrógeno pueden aproximarse considerando que este gas llega por cargas de 1,4-105 m^ N, variando el número de cargas de tal modo que la cantidad total recibida por día oscila entre 2,8 y ll,2'106m3N.

produce una carga de pohmero cada ocho almacena durante dieciocho horas en depósitos intermedios hasta que se conocen los resultados de los ensayos de control de calidad del laboratorio. Aproximadamente, el 80 por 100 de la producción cumple las especificaciones y se transfiere a continuación a los depósitos de expedición o a otras etapas posteriores del proceso. Cuando una carga no satisface todas las condiciones, la preparación de la carga siguiente a la que se está procesando en ese momento puede orientarse para que cubra con creces las especificaciones, de tal modo que pueda mezclarse con aquélla. Una vez comprobada tal circunstancia por el laboratorio, las dos cargas se mezclan en línea, transfiriéndolas simultáneamente al sistema de transporte neumático. En este caso especial se obtiene una carga de doble tamaño. ¿Cuántos depósitos intermedios se precisan en cada uno de los casos que se presentan a continuación?

Una

de

planta

horas.

polietileno

Cada carga

se

Aceptación incondicional de las cargas. En esta situación de que, cuando una carga se encuentra preparada para ser transferida desde el depósito que ocupa, puede ser aceptada por la etapa siguiente, ya sea su expedición ya su posterior procesado.

Caso A.

existe la certeza total

Caso A-1. Aparición ordenada de cargas de baja calidad. Se supone aquí que cada cinco cargas procedentes del proceso de polietileno una no cumple

las especificaciones.

Caso A-2. Aparición al azar de cargas de baja calidad. En este caso se considera que las cargas que no cvmiplen las especificaciones surgen siguiendo una distribución uniforme al azar. Sin embargo, se mantiene la probabilidad de que una carga dada sea defectuosa en el 20 por 100 de los casos.

Caso B. Posible no aceptación de la carga por el sistema situado a la salida de los depósitos. Por último, se tiene en cuenta la hipótesis de una parada imprevista del sistema de procesos situado a continuación de los depósitos. Se supone que debido a un fallo del sistema y a las dificultades de desviación del flujo, existe una cierta probabilidad,

SIMULACIÓN

540

distribuida también al azar, de que una carga no sea aceptada bien para su envío, bien para su ulterior procesado, a pesar de cumplir las especificaciones y encontrarse preparada para su envío desde el depósito. Cuando esto sucede se estima que deben transcurrir siete horas hasta que pueda realizarse la operación.

Otras hipótesis: 1.

2.

todos los depósitos se encuentran ocupados en el momento en que una carga sale del proceso, bien ésta, bien una de las cargas ya almacenada, ha de ser evacuada. La elección adecuada de la carga que debe ser desechada dependerá de la situación existente en ese momento y del caso (A-1, A-2 ó B) considerado. Si

Cuando

3.

y,

de un depósito se efectúa de forma instantánea, o al manera que no surgen problemas de manipulación cuando una carga que ya estaba almacenada debe eliminarse del depósito para dejar lugar a una nueva procedente del proceso. El vaciado

menos de

4.

una carga se considera que ésta no puede por tanto, constituye una pérdida completa.

es preciso desechar

recuperarse

tal

La probabilidad de que una carga de doble tamaño sea aceptada por el proceso subsiguiente es igual que la correspondiente a una carga sencilla.

índice de autores

Adelson, R. M.,

Amundson, N.

Carr, C. R., 127. Caselli, a. V., 382. Cavett, R., 299.

127.

256, 459, 536. 382.

R.,

Andress, F. J., Applegate, F. L.,

Charnes, a., 221. Cheroff, H., 422. Chilton, C. H., 149, 167. Christensen, J. H., 54, 66, 75, Chu, K., 535. Coleman, J. R., 382. Converse, A., 290. Cooper, W. W., 221. Crowe, C. M., 82, 343, 535.

25.

Aries, R. S., 158, 159, 167. Aris, R., 135, 168, 256, 283, 284, 303, 307, 310, 325.

Armistead, Arnold, T.

Arrow, K.

G., H., J.,

Baddour, R. Balinfty,

J.

Jr.,

435, 459.

149. 356.

F., F.,

536. 535.

Barrow, M. H., 36. Bauman, H. C, 141,

Dagnall, B. D., 516. Dahlin, E. B., 536. Dantzig, G., 229, 241, 356.

143, 146, 152, 167,

390.

Baumol, W. J., 127. Bazovsky, i., 459.

Davis, R.

S.,

210.

DOUGLAS, J. W., 168. Dreyfus, S. E., 284. Dryden, C. E., 36, 141,

Beatie, R. D., 389. Beightler, R. J., 326.

Ducommun,

Bellman, R., 248, 283, 284. Benham, R. D., 536. Bertrand, L., 81. Bierman, H., 127. Birkhahn, P. D., 502.

J.

C,

167.

430, 459.

Earley, W. R., 127. EcKERT, H. K., 36. Efron, E., 535. Eldredge, G. G., 348. Emery, J. P.. 536. Erlang, a. E., 474. everett, h., 335.

Bischoff, K. B., 81, 535. BoAZ, A. H., 210. BOLTYAMSKII, 284. Box, G. E. P., 196, 422, 423. BoYD, D. F., 535. Brian, P. L. T., 536.

Brosilow, C, 341, 345, Brownell, L. E., 181. buchanan, r. l., 168. BUCKLEY, P. S., 422. BuRDiCK, D.

BuxTON,

J.

346, 356.

Faber, H. H., 168. Fan, L. T., 201, 284. Fawcett, H. H., 436, 446, 459. Feller, W., 404. Foldes, P., 81. Forrester, Jay, 535. Frantcs, R. G. E., 81, 535. Freeman, D. E., 536. Friedman, M., 194.

S., 535. N., 535, 536.

Caín, G. A., 36.

Calanog, E. 383. Carlson, a., 535.

FuRLOW, R. 541

H., 167.

81.

ÍNDICE DE AUTORES

542

Gamkrelidze, 284. Garret, D. E., 168. GiBBS, W., 46.

Katell, S., 168. Katz, S., 502. Kelly, D. H., 536.

GiLLILAND, E. R., 81. Glass, S. i., 241. Glazier, E. M., 152. GoARD, H. W., 210.

KlEFER,

GODFREY, W.

536. GOODGAME, T. H., 389. GoRDON, G., 535. Green, P. E., 422. L.,

Haas, P. R., 382. Hackney, J. W., 138, 167. Hadley, G., 226, 235, 241. Hamielec, a. E., 82, 535. Hammersley, J. M., 532, 535. Hancock, H., 179, 210. Hand, W. E., 164. Happel, J., 36, 109, 127, 151. Hawkins, H. M., 422. Herrón, D. P., 127. Hertz, D. B., 422. Hestenes, M. R., 210. Hill,

W.

J.,

423.

HiMMELBLAU, D. M., Hinomoto, H., 382. HiRSCH,

J.

H.,

81, 210, 211, 535.

Howard, G. M., 81. HowARD, R. A., 283. HowE, C. W., 127. Hudson, W. G., 436. Hughes, R. R., 362. HuNTER, W. G., 422, 423. HuRwicz, L., 356. L.

J.,

L. K., 357.

KlTTRELL,

R., 413, 423.

J.

Klomparens, a. J., 525. KoBLE, R. A., 210. Kramers, H., 42. Krasnow, H. S., 535. Kron, G., 357. KuHN, W. H., 117. KwAUK, M., 81. Lang, H. Larian,

Lasdon,

J.,

M. L.,

149, 170.

o., 81.

330, 356.

Laski, J. G., 535. Lavine, i., 167. Lawless, R. M., 382. Lee, W., 54, 66, 72, 81.

León, A., 198. Lindahl, H. a., 536. Linebarger, R. N., 536. Listón, D. M., 446. LoNGEAis, B. A., 536.

LowRY,

I.,

318, 320.

Luce, R. D., 403, 422.

152.

Hirschmann, W. B., 364, 381. HiTCHCOCK, F. L., 221. HoFF, M. L., 423. Hoffman, T. W., 82, 535. HooKE, R.. 198, 201.

HviSDOs,

189.

J.,

KiRCHMAYER,

211.

IsAAcs, H. H., 422.

JACKSON, R. E., 327, 328, 356, 525. JAYNES, 393. Jeeves, T. a., 198, 201. Johnson, A. 1., 82, 535. lOHNSON, S. M., 189. Jones, J. B., 81.

Malloy, J. B., 375, 382. Manchanda, K. D., 297. Manne, a. S., 235, 382. Marks, M. D., 293, 295. Marschah, 356. Martin, O.

E.,

422.

Masso, a.

H., 36, 454, 456, 458. Melville, H., 516. Mezaki, R., 423. Michel, L., 389. Miller, C. a., 168. Mills, H. E., 168. Mishchenko, 284. MiTTEN, L. G., 265, 278, 280. Moorhead, D. H., 211. MoRSE, P. L., 81. MoRSE, P. M., 502. MoRTON, K. W., 532.

MosES, L. E., 422. MoY, W. A., 533. Mugele, R. a., 210. Nagy, i., 81. Naylor, T. H., 535.

I

índice de autores

Nemhauser, G.

H., 265, 278, 280, 283, 285, 303, 307, 310, 325. Newton, R. D., 158, 159, 167. Norman, R. L., 72, 82. NÚÑEZ, E., 341, 345, 346.

Ornea, ]. C, 348, 357, 362. Passy, U., 502. Peters, M. S., 36, 127, 411. Petit, a. C. R., 535. PiKE, R. W., 318. POLYA, G., 36. Pontinen, a. J., 536. Pontryagin, L. S., 284.

Powell, M.

J.

Tayyabkhan, M., 519, 524. Thordarson, R., 371. TlMMERHAUS, K. D., 36, 127. Tocher, K. D., 535, 536. TucKER, a. W., 117. TwADDLE, W. W., 375, 382.

D., 210.

Raiffa, H., 403, 422. Rase, H. F., 36. Ravicz, a. E., 82.

Vajda,

Reíd, R. C, 34. Reiner, a. M., 422. Reinfeld, N. V., 242.

Rosenbaum, G. P., 168. Rosenbrock, H. H., 210. RuDD. D. F., 36, 54, 66,

72,

454,

75,

456,

Sanders, D., 385. Sargent, R. W. H., 75, 81, 536. Satelan, D. i., 382. Savage, L. S., 194. Schlaifer, R., 422. Schoeffler, 356. Shannon, P. T., 82, 535, 536.

Shaw, M. J., 297. Sherwood, T. K.,

241.

Waddell, R. M., 152. Wang, C. S., 201, 284. Watson, C. C, 413, 418, Weekman, V., 343.

Richardson, T. €., 519, 524. Roberts, S. M., 283. Rosen, E. M., 82, 311, 355. Rosen, J. B., 210, 357.

448,

S.,

Vilbrandt, F. C, 36. Villadsen, J., 409, 410. Vogel, W. R., 242.

Reed, C. E., 81. Reed, L. a., 211.

418,

Smith, N. H., 481, 502, 536. Smoker, E. H., 411. Snyder, J. S., 459. Sondar, N. E., 210. Souders, M., 127. Stanford, T. i., 297. Stevens, W. F., 211. Steward, D. G., 536. Steward, D. V., 72, 81. Stiefel, E., 210. Stover, a. M., 502. Symonds, G. H., 235, 245.

QuiGLEY, H. A., 382.

256, 328, 502, 536.

543

81,

481,

Weinberger, a. J., 168. Westbrook, G. T., 135, Westerberg, a. W., 75, Westerterp, K. R., 42. Wilde, D.

168, 525. 81, 536.

i., 195, 210, 303, 307, 310, 325, 356, 502. WiLSON, K. B., 196. Winfield, M. D., 141. WOLFE, P., 356. Wood, W. S., 436, 446, 459. WooDS, D. R., 25, 82, 297, 535. Wright, L. T., 512.

York, R., 382. YouNG, E. H.,

181.

34, 36.

Shinnar, R., 502. Singer, E., 357, 536. Smidt, S., 127. Smith, B. D., 81.

423.

Zellnik, H. E., 210. Zernik, F. C., 168. Zimmerman, o. T., 167.

índice de materias

Aceite de cacahuete. Ejemplo de separación de, 25-30. Acido nítrico. Operación segura de una planta de, 432-435. sulfúrico. Optimación del macrosistema constituido por un proceso de fabricación de, 318-325. Aislamiento. Asignación de capital pa-

—

ra,

118-120.

ción de costes de los, 148-153. Confiabilidad. Teoría de la, 448-454. Costes. Correlaciones de, 142, 143, 146. de Chemical Engineering, 148, 149. Ecuaciones de, 162-166. Estimación de, 136-176. Partidas fundamentales de la, 139-147. de fabricación. Definición de, 97,

— — — —

Alimentación paramétrica, 491-493. Alternativas. Generación de, 13-39. Amoniaco. Almacenamiento. Estimación del coste de un sistema de, 152, 153. Síntesis

Componentes clave Método de estima-

98.

Estimación de, 155-162. Criterio(s) económico(s) de diseño, 94135.

— del valor esperado,

de un sistema de, 21-26.

Amortización, 99. Atraque de barcos.

Simulación

del,

516-519.

Desarrollo de un proceso. Diagrama de tiempos, 2, 3. Distribución segura de la planta, 445448.

Bancarrota del jugador, 404.

Dos Caldera

de equilibrio.

405.

Grados de

niveles.

Métodos de optimación

a,

331-341.

li-

bertad, 58, 59.

Cambiador de

calor.

Diseño de, 110Escasez. Factor de, 115-117. Estructura de sistemas, 40-93. Experiencia. Curva de, 363.

115.

Ecuaciones de coste, 162-166. Grados de libertad, 47-49. Capacidad de almacenamiento para amortiguar variaciones, 469-481. inicial de una planta, 361-381. de reducción de presión. Aspectos de seguridad, 438-445. Capital. Competencia por un, 102-105. inmovilizado para servicios auxilia-

Extractor(es). Optimación de un sistema de, por programación dinámi-

— —

ca, 256-265.

— Selección

de las variables de diseño de un, 50-53.

—

res. Definición, 96. Circulante. Capital, 97.

Columna de

destilación.

Factorial. Estimación de costes, 153. Fallo del equipo, 428-465.

Sobredimen-

sionado para considerar

la

dumbre, 409-413. Combinación de etapas durante

Flujo de información en

incertila

148-

el diseño de un cambiador de calor, 166. de un sistema de refrigera-

op-

timación, 303-311.

ción, 205-207. 544

índice de aaaterias

545

Flujo de información. Estructura del, 42-93.

Naturaleza humana.

Función de distribución, como medida de la incertidumbre, 409-413.

Nelson. índice de, 147.

Debilidad de

la,

380, 381.

Oxígeno. Estimación del coste de fa-

Grados de

bricación

libertad, 43-47.

la Ingeniería de pro359-540. índice ENR, 147-148. Información básica, 30-34. retrospectiva. Fuentes de, 30-34. Inicial. Capacidad, de una planta, 361-

Incertidumbre en cesos,

—

381. directa, comparada con programación dinámica, 280-282. Teoría y práctica de la, 181-209.

Investigación la

—

Método

lógica.

de,

198-201.

de,

158.

Planta de fertilizantes en Islandia. Capacidad inicial de una, 371-374. «Powerfacts». Simulador, 524-531. Precedencia. Orden de, 53-93. Precios internos entre plantas en optimación, 333-336. Principio de optimidad, 248.

Problema

específico, 5-7, 17-19. 5-7, 15-17.

— primitivo, — de transporte,

221-227.

Programación dinámica, comparada con investigación directa, 280-282. Teoría y práctica de la, 247-290. Pronóstico en Ingeniería de procesos, 361-365. la

Kapton. Diagrama de tiempos de un proceso de fabricación de, 3, 4.

Puntos extremos en programación

li-

neal, 227, 228.

Lang. Factor de, 149. Libertad. Grados de, 43-47. Lineal. Programación, 220-246. Representación gráfica de la, 228. Líneas de espera. Teoría de las, 474486.

Reactor agitado. Consideración de

—

el

análisis

Macrosistemas. Métodos de optimación

la

de, 291-325.

Máxima

pendiente.

la,

Métodos de optimación. Cálculo

69-78.

Recuperación del inmovilizado, 123. Refinería. Planificación de, por progra-

dife-

mación lineal, 235-240. Reformado de metano. Sensibilidad de una instalación de, 147.

179-181. -Estrategia en macrosistemas, 291-

— múltiples — — Investigación

niveles, 329-357. directa, 181-208.

Programación dinámica, 247-290. lineal, 220-246.

Mezcla. Solución de Monte Cario a un

problema de, 519-524. de la, 493-502.

— Teoría Monte

Cario. Simulación de, 512, 516, 517, 519, 524, 531-533.

Múltiples niveles. Métodos de optimación a, 516-533. variables. Investigación sobre, 329357.

diseño,

196,

rencial,

—

del

optimación del diseño, 308-

311.

Método de

197.

325. a

la

incertidumbre, 413-418. catalítico. Consideración de la incertidumbre, 406-408. Recirculación de información durante

empírica(s) en la optimación de macrosistemas, 311, 313. de los seis décimos, 145.

Regla(s)

— 123. Rentabilidad, — bruta y neta,101, — mínima aceptable, 292-299. 99.

Repetición de reactores, 450-452. Riesgo. Beneficios del, 109. Factor del, 108-110, 418-420. Valor del, 121, 123.

— —

Sección áurea. Investigación mediante la,

189.

índice de materias

546

Seguridad del diseño a partir de un examen del diagrama de flujo, 432438. Sensibilidad. Estudios de, 292-299, 378, 379, 391-398. Servicios auxiliares. Coste de, 153-155. generales. Coste de, 159.

—

Simplex.

Método de programación

li-

Suboptimación, 248-256, 333-336. Sistema para la programación de una refinería, 347-355.

SYMROS.

Tamizado preliminar de

alternativas,

20-30.

Thermofor.

neal, 229-235.

Optimación

del

proceso,

225-230.

Simulación, 511-540. de un sistema contra 512-515.

—

Tiempo de recuperación,

123.

incendios,

Propagación de, 429-432, 454-458. Sistema(s) acíclico(s). Generación y optimación de, 247-290. de,

Valor actual, 100-102, 121, 123. Variables de diseño, 46. de estado, 46. y de diseño, 46. Variaciones. Ingeniería en presencia de,

Sobredimensionado. Teoría y práctica

Vida económica de un proceso, 122-

Siniestros.

— de •

refrigeración.

Optimación

201-208. del, 387-427.

—

466-510. '

126.

x

i