Proyecto Parte 1 Ejes

Diseño de Elementos de Máquinas II

MEMORIA DE CÁLCULOS EJES PRESENTACION DEL CASO (PROBLEMA # 26). El eje de la figura es parte de una máquina especial diseñada para recuperar latas de aluminio desechadas. El engrane en B entrega 5 HP a la picadora que corta las latas en piezas pequeñas. La polea en D, para bandas en V, entrega 3HP a un soplador que circula aire por la picadora. La polea E para bandas V entrega 3 HP a un transportador que sube el aluminio picado a un silo. El eje gira a 480 rpm. Toda la potencia entra al eje por la Catarina principal en C. Use acero AISI 1137 OQT 1300 en el eje. Además los elementos B, C, D Y E se mantienen en su posición mediante anillos de retención y cuñas en cuñeros de perfil. El eje debe tener diámetro uniforme, excepto en sus extremos, donde se montaran los cojinetes.

Aclaración: Se consideraron los siguientes parámetros para el diseño:    

Se multiplicaron todas las distancias mostradas por un factor de 25 mm. El módulo métrico es 3.175 mm. El factor de conversión de potencia es 1 𝐻𝑃 = 745.7 𝑊 AISI 1137 OQT 1300

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1) DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE DE: Engrane en el punto B, Catarina en el punto C y polea tanto en D como en E respectivamente.

2) DISTRIBUCIÓN DEL TORQUE (TABLA 1) El Engrane en B entrega 5 HP El Polea en D entrega 3 HP El Polea en E entrega 3 HP La Catarina en C recibe 11 HP i.

𝟑. 𝟕𝟐𝟖𝟓 𝒌𝑾 2.2371 𝑘𝑊 2.2371 𝑘𝑊 8.2027 𝑘𝑊

Cálculo de los Pares Torsionales

𝑇𝐵 =

30 × 3.7285 𝑘𝑊 = 0.0741 𝑘𝑁 − 𝑚 𝜋 × 480 𝑟𝑝𝑚

𝑇𝐷 =

30 × 2.2371 𝑘𝑊 = 0.0445 𝑘𝑁 − 𝑚 𝜋 × 480 𝑟𝑝𝑚

𝑇𝐸 =

30 × 2.2371 𝑘𝑊 = 0.0445 𝑘𝑁 − 𝑚 𝜋 × 480 𝑟𝑝𝑚

Al analizar la Catarina en C, se deben de aplicar todos los 11 HP, y el par torsional correspondiente es: 𝑇𝐶 =

30 × 8.2027 𝑘𝑊 = 0.1631 𝑘𝑁 − 𝑚 𝜋 × 480 𝑟𝑝𝑚

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ii.

A continuación se presenta el Diagrama de Torsión

3) CÁLCULOS DE LAS FUERZAS ACTUANDO SOBRE EL EJE DE TRANSMISIÓN

Calcularemos por separado las fuerzas en cada elemento, e indicaremos las fuerzas componentes que actúan en los planos vertical y horizontal. i.

Fuerza en el Engrane en B

𝑤𝑡 =

2,000 × 𝑇𝐷 𝐷

𝑤𝑡 =

2 × 0.0741 𝑘𝑁 − 𝑚 = 1.9448 𝑘𝑁 → ( 𝑧 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 0.0762 𝑚

𝑤𝑟 = 𝑤𝑡 × tan 20° = 1.9448 𝑘𝑁 ↑ ( 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)

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ii.

Fuerza en la Catarina en C 2 × 𝑇𝐶 𝐹𝐶 = 𝐷 𝐹𝐶 =

2 × 0.1631 𝑘𝑁 − 𝑚 = 1.3048 𝑘𝑁 0.25 𝑚

Sus componentes son: 𝐹𝐶𝑍 = 𝐹𝐶 × sin 15° = 0.3377 𝑘𝑁 ← ( 𝑧 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝐹𝐶𝑌 = 𝐹𝐶 × cos 15° = 1.2603 𝑘𝑁 ↓ ( 𝑦 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) iii.

Fuerza en la polea en D

3 × 𝑇𝐷 𝐷 3 × 0.0445 𝑘𝑁 − 𝑚 𝐹𝐷 = = 1.335 𝑘𝑁 − 𝑚 ↑ ( 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 0.10 𝑚 𝐹𝐷 =

iv.

Fuerza en la polea en E

3 × 𝑇𝐷 𝐷 3 × 0.0445 𝑘𝑁 − 𝑚 𝐹𝐷 = = 1.335 𝑘𝑁 − 𝑚 ↑ ( 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎) 0.10 𝑚 𝐹𝐷 =

Sus componentes son: 𝐹𝐸𝑍 = 𝐹𝐸 × cos 30° = 1.1561 𝑘𝑁 → ( 𝑧 𝑛𝑒𝑔𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎) 𝐹𝐸𝑌 = 𝐹𝐸 × sin 15° = 0.6675 𝑘𝑁 ↑ ( 𝑦 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑎)

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4) CÁLCULO DEL CORTANTE Y MOMENTO FLEXIONANTE En el siguiente esquema se muestran las fuerzas que actúan sobre el eje en cada elemento; así como las reacciones en los rodamientos y los diagramas de fuerza cortante y momento flexionante. Ambos diagramas están para el plano: 𝑥 − 𝑦 𝑌 𝑥 − 𝑧 Respectivamente.

PLANO X-Y

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PLANO X-Z

A partir de los diagramas elaborados se determinan los cortantes y momentos flectores máximos.

i.

Para determinar el cortante máximo se tiene la siguiente expresión:

2 2 𝑉 = √𝑉𝑋𝑌 + 𝑉𝑋𝑍

𝑉𝐴 = √(0.4109)2 + (1.6163)2 = 1.6677 𝑘𝑁 𝑉𝐵 = √(0.7078)2 + (1.9448)2 = 2.0695 𝑘𝑁 𝑉𝐶 = √(1.2603)2 + (0.3377)2 = 1.3047 𝑘𝑁 𝑉𝐷 = √(0.0092)2 + (1.3350)2 = 1.3350 𝑘𝑁 𝑉𝐸 = √(1.1561)2 + (1.0391)2 = 1.5544 𝑘𝑁 𝑉𝐹 = √(1.0391)2 + (1.1469)2 = 1.5476 𝑘𝑁

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ii.

Para determinar el momento flexionante máximo se tiene:

2 2 𝑀 = √𝑀𝑋𝑌 + 𝑀𝑋𝑍

𝑀𝐴 = 0 𝑀𝐵 = √(0.04109)2 + (0.16163)2 = 0.1667 𝑘𝑁 − 𝑚 𝑀𝐶 = √(0.00344)2 + (0.11243)2 = 0.1124 𝑘𝑁 − 𝑚 𝑀𝐷 = √(0.14107)2 + (0.11381)2 = 0.1812 𝑘𝑁 − 𝑚 𝑀𝐸 = √(0.10391)2 + (0.11473)2 = 0.1547 𝑘𝑁 − 𝑚 𝑀𝐹 = 0

5) RESUMEN DE LOS VALORES DE ESFUERZOS ACTUANDO SOBRE EL EJE (TABLA 2).

PUNTOS A B C D E F

𝑽 (𝒌𝑵) 1.6677 2.0695 1.3047 1.3350 1.5544 1.5476

𝑴(𝒌𝑵 − 𝒎) 0 0.1667 0.1124 0.1812 0.1547 0

𝑻(𝒌𝑵 − 𝒎) 0 0.0741 0.1631 0.0445 0.0445 0

6) ESTIMACIÓN DE LA FATIGA Para determinar la estimación a la fatiga utilizamos la siguiente ecuación: 𝑆𝑒 = 𝑆𝑒´ 𝐾𝑎 𝐾𝑏 𝐾𝑐 𝐾𝑑 𝐾𝑒 𝐾𝑓 El material seleccionado será el siguiente (tabla 3). AISI 1137 OQT 1 300 𝑺𝒖𝒕 = 𝟔𝟎𝟎 𝑴𝒑𝒂 𝑑𝑢𝑐𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = 28% 𝑺𝒚 = 𝟒𝟏𝟒 𝑴𝒑𝒂 𝑑𝑢𝑟𝑒𝑧𝑎 = 174 𝐻𝐵

𝑆𝑒´

i. El valor de 𝑆𝑒´ se determina mediante. = 0.5 (𝑆𝑢𝑡 ) = 0.5(600 𝑀𝑝𝑎) = 300 𝑀𝑝𝑎. ii.

Para un material AISI 1137 OQT 1 300 según la tabla de factor de superficie (maquinado) el valor de a y b corresponde a:

𝑎 = 4.51 𝑦 𝑏 = −0.265 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝐾𝑎 = 4.51(600)−0.265 = 0.8278

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iii. iv. v. vi.

Para el factor de tamaño consideramos lo siguiente 𝐾𝑏 = 0.8 El factor de temperatura se considera de un valor de 𝐾𝑑 = 1.01 Dado que es una combinación de cargas, el factor 𝐾𝑐 = 1 Y por último tenemos el factor de confiabilidad que será igual a 𝐾𝑒 = 0.897

Por tanto, sustituyendo en la ecuación de estimación de fatiga tenemos: 𝑆𝑒 = 300𝑀𝑝𝑎 × 0.8278 × 0.8 × 1.01 × 1 × 0.897 = 179.99𝑀𝑝𝑎 7) CÁLCULOS DE LOS DIÁMETROS MÍNIMOS DEL EJE DE TRANSMISIÓN

i. Diámetro en el Punto A El tipo de esfuerzo que surge es un cortante invertido, por tanto tenemos lo siguiente: a. Según la tabla superior de la pág. 13 se tiene: 𝑟⁄𝑑 = 0.02 𝐾𝑓𝑠 = 2.2 𝑁=2 16√3𝐾𝑡 𝑉𝑁

La ecuación a utilizar es la siguiente: 𝐷𝐴 = (

3𝜋 𝑆𝑒

1⁄ 2

)

sustituyendo obtenemos: 16√3𝐾𝑡 𝑉𝑁 𝐷𝐴 = ( ) 3𝜋 𝑆𝑒

ii.

1⁄ 2

16√3 × 2.2 × 2 × 1.6677𝑘𝑁 × 103 𝑁⁄𝑘𝑁 =( ) 3𝜋 179.99 𝑁⁄𝑚𝑚2

1⁄ 2

= 10.9487 𝑚𝑚

Diámetro en el Punto B-E

Según las condiciones del problema el eje debe de tener diámetro uniforme, excepto en sus extremos donde se montaran los cojinetes. Por tal motivo se considera un solo diámetro de 𝐵 − 𝐸. Además se tomó como torque medio y momento de flector alternante el valor correspondiente en el punto D. b. Según la tabla superior de la pág. 13 se tiene: 𝐾𝑓 = 5 𝐾𝑓𝑠 = 3 𝑁=2

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La ecuación a utilizar es la siguiente: 𝐷𝐵−𝐸 = {

16 𝑁 𝜋

𝐾𝑓 ×𝑀𝑎 2

[4 (

𝑆𝑒

𝐾𝑓𝑠 ×𝑇𝑚

) + 3(

𝑆𝑦

1⁄3 2 1⁄2

) ]

}

Sustituyendo obtenemos: 1⁄3 2 1⁄2

2

𝐷𝐵−𝐸

16 × 2 5 × 0.1812 × 106 𝑁 − 𝑚𝑚 3 × 0.0445 × 106 𝑁 − 𝑚𝑚 ={ [4 ( ) + 3 ( ) ] 𝜋 179.99 𝑁⁄𝑚𝑚2 414 𝑁⁄𝑚𝑚2

iii.

}

= 46.8301 𝑚𝑚

Diámetro en el Punto F

c. Según la tabla superior de la pág. 13 se tiene: 𝑟⁄𝑑 = 0.02 𝐾𝑓𝑠 = 2.2 𝑁=2

La ecuación a utilizar es la siguiente: 𝐷𝐴 = ( 16√3𝐾𝑡 𝑉𝑁 𝐷𝐹 = ( ) 3𝜋 𝑆𝑒

1⁄ 2

16√3𝐾𝑡 𝑉𝑁 3𝜋 𝑆𝑒

1⁄ 2

)

sustituyendo obtenemos:

16√3 × 2.2 × 2 × 1.5476𝑘𝑁 × 103 𝑁⁄𝑘𝑁 =( ) 3𝜋 179.99 𝑁⁄𝑚𝑚2

1⁄ 2

= 10.5471 𝑚𝑚

Entonces los diámetros mínimos son: 𝑫𝑨 𝑫𝑩−𝑬 𝑫𝑭

𝟏𝟎. 𝟗𝟒𝟖𝟕 𝒎𝒎 46.8301 𝑚𝑚 10.5471 𝑚𝑚

Finalmente los diámetros tendrán las siguientes medidas: i.

Según la figura estandarizamos el diámetro 𝑫𝑩−𝑬 según tabla tomando su inmediato superior donde resulta de:

𝑫𝑩−𝑬 = 50𝑚𝑚 Entonces las relaciones de diámetros son las siguientes:

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𝑟⁄ = 0.02 𝑑 𝐷 { ⁄ = 1.5 𝑑 𝐾𝑓 = 2.7

Por tanto el valor del diámetro en F es:

𝐷 50 𝑚𝑚 = 1.5 → 𝐷𝐹 = = 33.33 𝑚𝑚 𝑑 1.5 Estandarizamos este valor por tabla obteniendo 𝐷𝐹 = 36 𝑚𝑚. ii.

Ahora determinaremos el valor del diámetro 𝐷𝐴 según la figura presentada y las relaciones de diámetro tenemos:

𝑟⁄ = 0.02 𝑑 { 𝐷⁄ = 1.5 𝑑 𝐾𝑓 = 2.7

Por tanto el valor del diámetro en A es:

𝐷 50 𝑚𝑚 = 1.5 → 𝐷𝐴 = = 33.33 𝑚𝑚 𝑑 1.5 Estandarizamos este valor por tabla obteniendo 𝐷𝐹 = 36 𝑚𝑚 Finalmente los diámetros son: 𝑫𝑨 𝑫𝑩−𝑬 𝑫𝑭

𝟑𝟔 𝒎𝒎 50 𝑚𝑚 36 𝑚𝑚

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