Redes Electricas Ii

REDES ELECTRICAS II

1

TEORÍA DE CIRCUITOS II

1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9

Elementos circuitales lineales. Corriente alterna Análisis de circuitos transitorios Aanálisis de mallas en corriente alterna Transformada de La Place Diagramas de Bode Funciones de transferencia Polos y Ceros Filtros pasivos Filtros activos

2

ANALISIS DE REDES ELECTRICAS LINEALES

OBJETIVO Es el análisis de redes eléctricas lineales constituidas por componentes pasivos RCL y fuentes DC, AC. Un dispositivo lineal es un elemento que tiene una relación lineal de tensión-corriente. Ejemplo el resistor. v = Ri

Componentes lineales :RCL

semiconductores : son alinéales 3

ELEMENTOS DE CIRCUITOS LINEALES

• Resistores

v

i

R

a

b

u = va – vb u = R·i

b

u = va – vb du i = C· dt

b

u = va – vb di u = L· dt

v

u

• Capacidades

v

i

C

a

v

u

• Inductancias

v

i a

L v

u

4

TIPOS DE RESISTENCIAS FIJAS De conglomerado: comúnmente de carbón.

• De película : son de carbón y de película metálica, fina sobre un cerámico, en forma de espiral

• Resistores Bobinados: consiste en devanar un hilo sobre un material resistente a la temperatura

5

RESISTENCIAS VARIABLES Potenciómetro: es un resistor que se comporta como un divisor de tensión. Reóstato: es una resistencia variable Potenciómetro

Reóstato Terminal 1

Terminal central

6

RESISTENCIAS ESPECIALES Fotorresistencias : varia en función de la intensidad de la luz .

to

V

Termistores varían en función de la temperatura

Varistores : varían según la tensión. Se utilizan para protección rápida ante un sobre voltaje 7

CAPACIDAD Y CONDENSADORES • Condensador : dispositivo que almacena carga y energía eléctrica. • Capacidad del condensador  cociente entre carga y voltaje.

Q C V

• Unidad El Faradio

F   C V  • La capacidad depende de la forma, el tamaño y el material del que esta hecho el condensador.

8

CONDENSADOR DE PLACAS PARALELAS

+Q E

d -Q

Diferencia de potencia entre las placas

C

Q A 0  V d

Capacidad = área x permitividad del vacío ε0

9

ALMACENAMIENTO DE ENERGÍA ELÉCTRICA

Energía potencial eléctrica almacenada en el condensador = trabajo realizado para cargarlo. Q dU  V  dQ   dQ C

+Q E

d -Q

Q

Q 1 Q2 1 U    dQ   CV 2 C 2 C 2 0

• U en Joule, C en Faradios, V en Volts • Descarga del condensador  se recupera la energía como trabajo realizado por las fuerzas eléctricas. • El condensador almacena carga y energía.

10

TIPOS DE CONDENSADORES

11

CONDENSADORES ELECTROLITICOS

12

CAMPO MAGNETICO DE UN SOLENOIDE

B  ds  Bl  0 NI  B

0 NI l

En el interior B es intenso y casi uniforme, Las líneas de campo se parecen a las que existen alrededor de un imán de barra, lo que significa que el solenoide tiene polos

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AUTOINDUCCIÓN •

Al cerrar el interruptor, aparece un campo B debido a la corriente I que circula. • El cambio de flujo genera una corriente inducida I que a su vez origina un campo B para oponerse a ese cambio. • El coeficiente de autoinducción depende de las características del conductor. • Unidades =Henrio [ H]

x B

B

I

  LI d dI    L dt dt

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ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICO • Energía magnética almacenada en un inductor cuando la corriente aumenta.

1 2 U  LI 2

15

TIPOS DE INDUCTORES

16

TIPOS DE INDUCTORES CON FERRITA Núcleo de material magnético (ferrita, polvo de hierro, aleaciones férricas amorfas, Fe, Fe Si, etc.)

Devanado o devanados (de hilo de cobre con barniz aislante, pletinas o cintas de cobre, pistas de circuito impreso, etc.) Soporte para albergar el devanado (carrete)

ELEMENTOS DE CIRCUITOS LINEALES II

• Fuentes de voltaje

U0 v

i a

U

• Fuentes de corriente • Tierra

v

| +

b

U0 = vb – va U0 = f(t)

b

u = vb – va I0 = f(t)

0

I0 v

a

I0

v u

V

V

0

0

V0

V0 = 0

18

INDUCTORES EN SERIE Y PARALELO

L: En Series S

Leq   Ls s 1

L. En paralelo

 P 1  Leq     p 1 L p 

1

ONDAS SENOIDALES

20

CORRIENTE ALTERNA LEY DE FARADAY Y LEY DE LENZ

CORRIENTE ALTERNA Suponiendo que la espira gira con velocidad angular constante w . Al cabo de un cierto tiempo t el ángulo que forma el campo magnético y la perpendicular al plano de la espira es w t. El flujo del campo magnético B a través de una espira de área S es

  B.S cos t      B.Ssent t

CORRIENTE ALTERNA

La fem con el tiempo, alcanza su valor máximo en t=p/2 ó 3p/2,

CORRIENTE ALTERNA: TENSION MEDIA

Se llama valor medio de una tensión (o corriente) alterna a la media aritmética de todos los valores instantáneos de tensión ( o corriente), medidos en un cierto intervalo de tiempo. En una corriente alterna sinusoidal, el valor medio durante un período es nulo: en efecto, los valores positivos se compensan con los negativos. Vm = 0

Tension _ Media Vmed

1 T   f (t )dt T 0

CORRIENTE ALTERNA: TENSION MEDIA

En cambio, durante medio periodo, el valor medio es

siendo V0 el valor máximo.

CORRIENTE ALTERNA: TENSION EFICAZ Se llama valor eficaz de una corriente alterna, al valor que tendría una corriente continua que produjera la misma potencia que dicha corriente alterna, al aplicarla sobre una misma resistencia.

Tension _ Eficaz  Veficaz 

I rcm  I ef 

1 T

T

I 0

2 m

T



0

cos t dt  I m 2

f (t ) 2 dt

1 T

T

1 0 2 (1  cos 2t ) dt

ONDAS SENOIDALES

27

CORRIENTE ALTERNA

la potencia eficaz resultará ser:

Es decir que es la mitad de la potencia máxima (o potencia de pico) La tensión o la potencia eficaz, se nombran muchas veces por las letras RMS. O sea, el decir 10 VRMS ó 15 WRMS sifnificarán 10 Volts eficaces ó 15 Watts eficaces, respectivamente.

ANALISIS DE REDES ELECTRICAS LINEALES LEYES DE KIRCHHOFF : 1. Regla de nodos: En todo nodo, la suma de corrientes entrantes es igual a la suma de corrientes salientes. La suma algebraica de las corrientes es igual a 0 (las entrantes son +, y las salientes con −).

i  0 2. Regla de las mallas o redes: En todo circuito cerrado la suma algebraica de las diferencias de potencial eléctrico es igual a 0.

v  0 29

SIMULACION:USO DE SOFTWARE

El software MATLAB, permite realizar cálculos numéricos con vectores y matrices. Este programa es de utilidad para analizar circuitos de corriente continua, tales como análisis nodal y análisis de mallas. La importancia radica en la utilización de matrices y determinantes, y sus métodos de solución como la regla de Crámer y/o la eliminación de Gauss.

30

TRANSITORIOS

Los transitorios de tensión son eventos indeseados de naturaleza momentánea. Muchos de estos transitorios son generados por el mismo usuario, otros son el resultado de descargas atmosféricas en la red primaria y por maniobra de equipos. TRANSITORIOS OSCILATORIOS Estos transitorios duran un ciclo (16.7ms) o más, y tiene frecuencias desde unos pocos cientos de ciclos hasta muchos Mhz.

TRANSITORIOS IMPULSIVOS Estos transitorios duran desde unos pocos microsegundos hasta 200 microsegundos.

31

REGIMEN TRANSITORIO

32

TRANSITORIOS los transitorios son causado por los elementos que almacenan energía eléctrica o Magnética tal como en condensador o una bobina

33

TRANSITORIOS

34

CAUSAS DE LAS SOBRE TENSIONES TRANSITORIAS

35

DESCARGA ELECTRICA Las descargas eléctricas toman la forma de un pulso, que por lo general tiene una intensidad de aproximadamente 2 ms y una reducción de amplitud entre los 10 y los 45 ms. El estándar del IEEE (Institute of Electric and Electronic Engineering) para la onda de rayo se considera como de 8/20 microsegundos. La corriente pico es, en promedio 18 KA debido al primer impulso (descarga)

36

FORMAS DE ONDAS TIPO RAYO Los transitorios de tipo onda de rayo pueden aproximarse por la Diferencia de dos exponenciales, con un ajuste de los parámetros ayb v(t )  Vm (ke t1 /  ke t2 / )  Vm (ke a  ke b )

37

DESCARGAS EN LINEAS DE TRANSMISION Las descargas atmosféricas ocasionan pulsos de gran tensión cuando Se descargan sobre una línea de alta tensión, se propagan como ondas Viajeras en ambas direcciones, po lo que las torres deben estar adecuadamente instaladas para asegurar la conducción del tayo a tierra

38

TENSIÓN EN UNA BOBINA DEL MOTOR

Momento de conmutación: Transitorio de 1700V pico a pico.  40ms después: Transitorio de 1400V pico a pico. Puede Llegar hasta 7 veces la tensión nominal. Por lo expuesto se debe analizar los efectos de los transitorios como aspecto previo antes de analizar los circuitos de corriente alterna en régimen permanente

39

CIRCUITOS RC Y RL Los circuitos de primer orden facilitan el análisis de estos efectos porque contienen componentes que almacena energía (puede ser un condensador o inductor).

v(t )  Vm cos(t   )  ke t /

PROTECCIONES

41

TAREA: INVESTIGAR SUPRESORES DE TRANSITORIOS

Realizar un informe breve adjuntando la fuente sobre los diferentes tipos de supresores de transitorios.. 1. Electrónicos 2. Tubos de descarga de gas. 3. Otros Tipos

42

ANALISIS DE RED CON CIRCUITO CAPACITIVO La fuente VS representa la excitación o entrada al circuito RC que cambia bruscamente de 0 a VS.

43

CIRCUITO RC, RL SERIE DE PRIMER ORDEN

44

RED DE CIRCUITOS RC DE PRIMER ORDEN

La corriente que circula por el circuito es:

Vs  vc q vc vc t i  C   R t t Vs  Vc RC V (t )

Integrando :

 0

vc 1 1 V (t )  t  ln(vc  V ) 0    vc  Vs RC 0 RC t

t

0

 v(t )  Vs  1 t /  ln    t  v ( t )  V  ( V ( 0 )  V ) e , con :   RC S s  RC V (0)  Vs  para : t  0  V (0) para : t  0  v(t )  VS  (V (0)  Vs )e t /

45

RED DE CIRCUITO RC DE PRIMER ORDEN

para : t  0  V (0) para : t  0  v(t )  VS  (V0  Vs )e  / t sin_carga_ inicial : V (0)  0  v(t )  VS (10  e  / t ) La tensión en el condensador tiende al valor de la tensión de la fuente (la salida sigue a la entrada)

46

PROCESO DE CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR Proceso de carga de un condensador

v(t )  VS (10  e  / t )

Proceso de descarga de un condensador

v(t )  Vc e  / t

PROCESO DE DESCARGA DE UN CONDENSADOR. EFECTO EN LA ONDA ALTERNA DE RED La onda de tensión alterna considerado el transitorio de descarga del Del condensado se tiene que la ecuación resultante es:

v(t )  VS e  / t

v(t )  Vm cos(t   )  Vc e

 t /

48

REDES DE CIRCUITOS ELECTRICOS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Estudiaremos las técnicas para lo solución de simples circuitos mediante Ecuaciones diferenciales de primer orden, del tipo:

i a1  a2 i  v (t ) t Donde i es un variable dependiente del tiempo, i “t” es la variable Independiente. Analizar que sucede en el tiempo inicial t=0 y t=infinito.

49

REDES DE CIRCUITOS RL ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN Analicemos el circuito de la fig. inicialmente se conecta el swith a 1 Y luego se pasa a 2. en esas condiciones, según Kirchhoff: i L  Ri  0 t i R  i t L i R i R   t      t i L i L R ln i   t  k L la _ cons tan te _ k  ln k  ln i  ln e i  ke

R  t L

R  t L

 ln k  ln( ke ) 

R  t L

50

DIAGRAMAS DE TIEMPO Evaluación de la constante k En el instante t=0 el inductor tiene una energía almacenada con el Voltaje V:. V V t  0  i(0)    ke0  k  R R R  t V L i  e t 0 R V i  t 0 R

51

DIAGRAMAS DE TIEMPO

Para el tiempo t=T la corriente decrece el 37% del valor inicial

52

EJERCICIOS : CARGA Y DESCARGA DE UN CONDENSADOR Proceso de carga de un condensador

v(t )  VS (10  e  / t )

Proceso de descarga de un condensador

v(t )  Vc e  / t

EJERCICIO EN CLASE

El interruptor del circuito, ha estado cerrado mucho tiempo y se abre en t=0. Calcular v(t) para t=0, y graficar el proceso de descarga.

SOLUCION

El interruptor del circuito, ha estado cerrado mucho tiempo y se abre en t=0. Calcular v(t) para t=0

Mientras el interruptor esta cerrado el condensador esta en proceso de carga, al abrir el interruptor el condensador se descargara a través de las resistencias de 1 y 9 ohms. La solución para t>0 es:

v(t )  V0et /    ReqC El problema se reduce a calcular Vo=v(0) y Req.

Aplicando la formula para un divisor de tensión:

9 v c (0)  x 20  15 93 Calculo de Req: La resistencia equivalente vista desde los terminales del condensador para t>=0 es: Req = 1 + 9 =10Ω :.

  Req .C  10 x 20 x10 3  0.2 s  la _ solucion _ es : v(t )  V0 e t /  15e t / 0.2  v(t )  15e 5t

Grafico del proceso de descarga.

57

EJERCICIO EN CLASE

El interruptor ha estado mucho tiempo en la posición A. en t=0 se mueve a la posición B. Calcular v(t) para t>=0 y su valor en t =1 s. Dibujar la señal que se desarrolla.

SOLUCION El interruptor ha estado mucho tiempo en la posición A. en t=0 se mueve a la posición B. Calcular v(t) para t>=0 y su valor en t =1 s. Dibujar la señal que se desarrolla.

Comenzamos resolviendo para para t<0 con el interruptor en A, aplacando la relación de un divisor de tensión se tiene:

5k v(0)  x 24  15 5k  3k

SOLUCION Para resolver para t>0 con el interruptor en B

La solución buscada tiene la siguiente ecuación

v(t )  Vs  (V0  Vs )e t / para : t  0  V (0)  15 t 1   RC  (4 x10 ).(0.5 x10 )  2seg    0.5  2 para : t  0  v(t )  VS  (V0  Vs )e t /  30  (15  30)e 0.5t  3

v(t )  30  15e

 0.5t

3

Dibujar la señal que se desarrolla.

61

TAREA 1: RED RC Después de pasar mucho tiempo, los dos interruptores del circuito de la figura cambian de estado en t = 0. El interruptor S2 se abre y el interruptor S1 se cierra. Calcular V e I para t >= 0.

62

REDES DE CIRCUITOS ELECTRICOS Analicemos el circuito de la fig. inicialmente se conecta el swith en 1. Aplicando _ analisis _ de _ redes : V  VR  VL  0  V i i V L i i  V  L  Ri  0    i  0  R  L t R R t t R i R i R V R   t ,  integrando :     t  ln( i  )   t  V V L L R 0 L 0 i i R R V   ( i ( t )  )  V V R R ln( i (t )  )  ln( i (0)  )  ln    t V  R R L  (i (0)  )  R   V R R R (i (t )  )  t  t  t V V V V R  e L  (i (t )  )  (i (0)  )e L  i (t )   (i (0)  )e L V R R R R (i (0)  ) R R V V  Lt i (t )   (i (0)  )e R R t

t

63

RESPUESTA TRANSITORIA Y PERMANENTE

R

i (t ) 

V V  ( I 0  )e R R

R  t L

Si la inductancia es grande almacena mucha energía magnética :. i(0) >0

 t V i (t )  (1  e L ) R

Si la inductancia es pequeña almacena poca energía magnética :. i(0)=0 64

TAREA2: CIRCUITOS RL Calcular i(t) inicialmente con interruptor cerrado, y luego abierto. Realizar el análisis y representar utilizando el software MATLAB.

65

TAREA3: CIRCUITOS RL Para el interruptor S1 de la figura se cierra en t = 0 y el interruptor S2 en t = 4 s. Calcular i(t) para t > 0. Determinar el valor de i para t = 2 s y t = 5 s.

66

TAREA5: CIRCUITOS RL Analizar el circuito en las dos condiciones de s1 y s2

67

REDES RC EN CORRIENTE ALTERNA

Determinar la corriente que circula por la malla RC si la tensión es: V(t)= Senwt.

68

Aplicando _ analisis _ de _ mallas : V  VR  VC  0  1 i 1  Ri   idt  Vsent  derivando :  i  cos t  ec(1) C t RC R la _ solucion _ es : i  A cos t  Bsent  ec(2) para _ probar _ reemplazamos _ en _ la _ ec(1) : i   Asent  B cos t  t 1  ( Asent  B cos t )  ( A cos t  Bsent )  V cos t  RC R B A  sent (  A )  cos t (  B  V )  0 RC RC R para _ que _ la _ ecuacion _ sea _ nula _ deben _ ser _ sus _ coeficientes  0 

69

para _ que _ la _ ecuacion _ sea _ nula _ deben _ ser _ sus _ coeficientes  0 

 2 RC 2V CV  A B ;B   B  V  0  A   A  0  1   2 R 2C 2 1   2 R 2C 2 R RC RC  2 RC 2V CV sent cos t  reemplazando _ en _ ec(2) : i  A cos t  Bsent  1   2 R 2C 2 1   2 R 2C 2 1 V 1 V 2C 2 cos t  Rsent ); aplicando _ la _ identidad : (  ) t  Rsen  t  cos ( i 2 2 2 2 2 2 R  1 /  C C 1   R C C 1 1 1  ksen  R  k 2 (cos 2   sen 2 )  2 2  R 2  k 2  2 2  R 2 sea : k cos   C C C V V V cos(t   )  i  2 (k cos  cos t  ksensent )  (cos  cos t  ksensent )  2 2 2 k k R 1/  C

70

i

V

cos(t   )

R 1/  C sen R tag    RC   tag 1RC 1 cos  C V 1 i cos(  t  tag RC ) 2 2 2 R 1/  C 2

2

2

71

V (t )  Vsent V 1 i (t )  cos(  t  tg RC ) 2 2 2 R 1/  C

Como el capacitor se opone a cambios bruscos de voltaje, el voltaje en el capacitor está retrasado con respecto a la corriente en un ¼ de la longitud de onda (90°) . 72

TAREA CALIFICADA: RED RC ALTERNA Analizar el circuito con Matlab cuando k esta abierto y después de un tiempo se cierra. Simular con multisim las ondas de corriente y tensión y el desfase entre las ondas, en los dos casos.

73

TAREA: ANALIZAR EL CIRCUITO RL, CON SEÑAL ALTERNA V (t )  Vm cos t aplicando : K V (t )  VR  VL  IR  L Vm cos t  IR  L i (t ) 

di dt

di dt

 1  L   cos  t  tg   A  2 2 2  R  R  L  Vm

 1  L   cos  t  tg    I cos(t   )  2 2 2 R   R  L  si :   90  aplicando : co( x  y )  cos x cos y  senxseny  i (t )  sent

i (t ) 

Vm

CIRCUITOS DE CA: INDUCTIVO Potencia media cedida por la fuente o disipada por la bobina :  1  L   i (t )  cos t  tg    I cos(t   ) 2 2 2  R  R  L  si :   90  aplicando : co( x  y )  cos x cos y  senxseny  i (t )  I 0 sent Vm

Pm  V0 cos t I 0 sent m  V0 I 0 ( sen2t ) m El valor de 2t oscila dos veces durante cada ciclo y es negativo la mitad del tiempo y positivo la otra mitad. Por lo tanto, en término medio, la potencia media cedida por la fuente o la disipada por la bobina es nula, siempre y cuando la resistencia de la misma sea despreciable. 75

CIRCUITO LC SERIE DE 2DO ORDEN

76

CIRCUITOS RLC 2DO ORDEN

77

CIRCUITO LC Analizar el circuito en las dos condiciones de s1 y s2

78

Suponiendo que estuvo cerrado S1, transcurrido un tiempo se abre S1 y se cierra S2:

nodo :  2VC VC iL  C  iL  iC  0  iL  iC  C t 2 t t malla : V V i i  VC  VL  0  VC  VL  L L  L  L  C L L t t igulando_derivada_de_la_corriente_inductancia:  2VC  2VC VC 1 iL VC  C    C 2 2 LC t L t t

79

La solución de esta ecuación de 2do grado esta dada por :

Vc (t )  Ae s1  Be s2 Las constantes A, B, s1, s2 depende de las condiciones iniciales. la ecuación característica de la ecuación diferencial:  2VC 1 1 2 C  V  ( s  )VC  0 C 2 t LC LC 1 1 )VC  0  s 2   LC LC la _ solucion _ tiene _ dos _ raices _ complejas _ conjugadas : 1 1 s1  j  s2   j LC LC (s 2 

la siguiente solución homogénea

Vc (t )  Ae s1  Be s2  Ae

j

1 t LC

 Be

j

1 t LC

80

CONDICIONES INICIALES para _ t  0 _ setiene :

Vc (0)  Ae

j

1 0 LC

 Be

j

1 0 LC

 A  B

A  B  Vc (0)  ec(1) Suponemos que la corriente inicial en la inductancia es cero iL = 0 :. nodo : iL  iC  0  iL  iC  C VC  j t A B

j 1 Ae LC

1 t LC

VC V i  C  L 0 t t C

j

j 1 Be LC

1 t LC

 j

j 1 Ae LC

1 0 LC

j

j 1 Be LC

1 0 LC

 0

81

Reemplazando en la ec.(1): A  B  VC 0  A 

VC 0 2

Solución final: VC 0 j Vc (t )  e 2

1 t LC

VC 0  j  e 2

1 t LC

VC 0 j  (e 2

1 t LC

e

j

1 t LC

)

Usando la relación de Euler cos x 

e e 2 jx

 jx

 senx 

e e 2 jx

 jx

podemos escribir:   t   t  2 cos  V ( t )  V cos       c C0    LC   LC   Vc (t )  VC 0 cost 

V Vc (t )  C 0 2

1    0 LC 82

La señal es oscilatoria de tipo “no amortiguada”, La frecuencia de oscilación depende de los valores de L y C. La oscilación se mantendrá sin cambiar de amplitud para una inductancia y capacitancia ideal, Vc (t )  VC 0 cost   f 

1 2

LC

La inductancia tiene asociada una resistencia óhmica, a su ves, el condensador se va descargando :. La Onda va disminuyendo su amplitud :. Vc (t )  VC 0 cost e  t / 83

CIRCUITO LC: EJERCICIO EN CLASE Calcular la corriente que circula por la inductancia

84

SOLUCION iL  ic  C

Vc t

 1  reemplazando : Vc (t )  VC 0 cos t  LC  V   1  CVC 0  1  iL  C c  C VC 0 cos t  sen t t t LC  LC   LC  iL  VC 0

C  1  sen t L  LC 

85

CIRCUITO LC: EJERCICIO EN CLASE El voltaje máximo que alcanza el capacitor es 5Volts, y los valores de C=0.1uf, y L =10mH. Calcular la frecuencia de oscilación, y dibujar las ondas de tensión y corriente.

86

SOLUCION El voltaje máximo que alcanza el capacitor es 5Volts, y los valores de C=0.1uf, y L =10mH. Calcular la frecuencia de oscilación, y dibujar las ondas de tensión y corriente. 

1 1 1 10 4  f     1591.54 Hz  3 6 2  LC 2 LC 2 (10 x10 )(0.1x10 )

1 103 T   0.628mS f 1591.54

 1  Vc (t )  VC 0 cos t  LC 

0.1x10 6  1   1  3 iL  5 sen t  5 x 10 sen t    3 10 x10  LC   LC  87

TAREA CALIFICADA : ANALIZAR CON MATLAB Y SIMULAR LA RESPUESTA EN MULTISIM

88

CIRCUITO RLC SERIE DE 2DO ORDEN

89

CIRCUITO RLC SERIE

malla : i 1 VR  VL  VC  VS  iR  L   idt  V t C derivando_respecto_de_i_se_tiene_una_ecuacion homogenea_de_segundo_orden:  2i R i 1   i0 2 t L t LC 90

RED RLC DE SEGUNDO ORDEN

ecuacion_2do_orden_diferencial:  2i R i 1   i0 2 t L t LC las_raices_correspondientes_a_la_ecuacion_caracteristica 2

s1 , s2  

R 1  R      2L  2 L  LC 91

RED RLC RAICES DE LA ECUACION DE SEGUNDO ORDEN 2

2

R 1 1  Rcritica   R  s1 , s2       Rcritica  2 L / C     2L LC  2 L  LC  2L  R R k  Rcritica 2 L / C 1 0  LC R 1 R k0    2 L / C LC 2 L  2i R i 1    s 2  2k0 s  02  0 t L t LC las _ raices _ es _ ahora : 2

R 1 R  R  s1 , s2         2L 2L  2 L  LC

k0 2  02

 k0  0 k 2  1 92

RED RLC : SOLUCION DE LA ECUACION DE SEGUNDO ORDEN

s  2k0 s    0  las _ raices : 2

2 0

s1 , s2  k0  0 k  1 2

la _ solucion _ de _ la _ ecuacion _ es : i  A1e

 s1t

 Ae

 s2t

 A1e

(  k0 0 k 2 1t )

 Ae

(  k0 0 k 2 1s2t )

93

ANALISIS DE LAS RAICES

s1 , s2  k0  0 k 2  1 caso1 : si  k  1  las _ raices _ son _ reales caso2 : si  k  1  las _ raices _ son _ reales _ y _ repetidas caso3 : si  k  1  las _ raices _ son _ complejas _ y _ conjugadas

94

PARÁMETROS DE LA RED RLC

Rcritica  2 L / C  tiene_unidades_de_ohms k

R Rcritica

 relacion_de_amortiguacion_(damping_ratio)

1 0   frecuencia_de_resonancia LC  0 L L 1 Q    factor_sintonia R kR 2k

95

CASO1: RAICES REALES caso : 1  k  1 Q  1  raices _ reales Vc  A1e Vc  e

(  k0 0 k 2 1t )

 k0t

( A1e

0 k 2 1t

 A2 e

(  k0 0 k 2 1t )

 A2 e

0 k 2 1t

)

utilizando_funciones_hiperbolicas: e x  cosh x  senhx e

x

 cosh x  senhx

 

 

2 2  A cosh(  k  1 t )  senh (  k  1t )    0 0  k0t  1 Vc  e   2 2   A2 cosh(0 k  1t )  senh(0 k  1t )   96

RAICES REALES: SOLUCION GENERAL

las _ cons tan tes _ podemos _ escribir _ como : A3  A1  A2 A4  A1  A2



Vc  e  k0t A3 cosh(0 k 2  1t )  A4 senh(0 k 2  1t )



97

CASO 1: RED RLC RESPUESTA CRÍTICAMENTE AMORTIGUADA

s1 , s2  k0  0 k 2  1 si  k  1  las _ raices _ son _ reales

• Las raíces son números reales y de igual valor • El sistema no presenta oscilaciones 98

CASO 2: RAICES REALES REPETIDAS Caso _ 2 : s1 , s2  k0  0 k  1  2

si _ k  1 _ las _ raices _ son _ reales _ y _ repetidas R k  1  relacion_de_amortiguacion_(damping_ratio) Rcritica

0 L

1 1 Q    factor_sintonia R 2k 2 Vc  e

 k0t

( A1e

0 k 2 1

 A2 e

0 k 2 1

)  ( A1  A2 )e  k0t

99

CIRCUITO RLC SERIE RESPUESTA OSCILATORIA NO AMORTIGUADA

s1 , s2  k0  0 k 2  1  k0 si  k  1  las _ raices _ son _ reales _ y _ repetidas

Vc  ( A1  A2 )e  k0t

100

CASO 3: RAICES COMPLEJAS Y CONJUGADAS Caso _ 3 : raices _ complejas _ y _ conjugadas

 k  1  relacion_de_amortiguacion_(damping_ratio) 0 1 Q  1  factor_sintonia 2k las _ raices _ son _ complejas  0 k 2  1   j0 1  k 2  Vc  e

 k0t

( A1e

j0 1 k 2 t

 A2 e

 j0 1 k 2 t

)

usando _ la _ identidadad _ de _ Euler e  jx  cos x  senx  Vc  e  k0t ( A1 cos(0 1  k 2 t )  ( A2 sen(0 1  k 2 t ) 101

CASO 3: SOLUCION GENERAL

Caso : 3 Vc  e  k0t ( A1 cos(0 1  k 2 t )  ( A2 sen(0 1  k 2 t ) las_constantes:A1  A2 : podemos:suponer_como: A1  Asen A2  A cos  aplicamos _ la _ identidad : sen( x  y )  senx cos y  seny cos x Vc  Ae  k0t sen(0 1  k 2 t   )

102

RED RLC RESPUESTA SUBAMORTIGUADA

s1 , s2  k0  0 k 2  1 si  k  1  las _ raices _ son _ complejas _ y _ conjugadas

• Las raíces son complejas. • El sistema presenta un comportamiento oscilatorio amortiguado 103

PARA RAICES COMPLEJAS_ PLANO COMPLEJO “S”

si _ k  1  las _ raices _ se _ pueden _ definir _ como : s1 , s2  k0  0 k 2  1  k0  j0 1  k 2    j donde :   k0

  0 1  k 2

104

PLANO COMPLEJO “S” La posición de las raíces en el plano complejo determina la forma De onda, para “σ1” se tiene las señales w1, w2, w3 son señales oscilatorias no amortiguadas (underdamped), pero si “σ” aumenta mas Negativamente las señales se hacen mas sobre amortiguadas. (overdamped)

Rcritica  2 L / C k

R Rcritica

0 

 damping_ratio

1  frec_resonancia LC

  k0    1 k 2 s1 , s2    j

105

TAREA CALIFICADA : REALIZAR EL ANALISIS EN MATLAB Y SIMULAR LA RESPUESTA EN MULTISIM

106

APLICACIONES: DISEÑO DE LA INTERFAZ MATLAB® SIMULINK GUIDE (Graphical User Interfase Development Environment) es un conjunto de herramientas que extiende por completo el soporte de MATLAB, diseñadas para crear GUIs (Graphical User Interfaces). La interfaz gráfica permite visualizar variables como corrientes, voltaje, par, velocidad de motores de inducción. Permite dar un excelente diagnóstico del motor.

107

CIRCUITO RLC PARALELO DE 2DO ORDEN

108

CIRCUITO RLC PARALELO

• Determinar la corriente y la tensión en el inductor: 1 – Establecemos las condiciones iniciales del sistema. 2 – Determinamos la ecuación que describe el sistema. 3 – resolvemos la ecuación. 4 – Distinguimos las características de operación en función de los parámetros de los elementos del circuito. 109

CIRCUITO RLC PARALELO La caída de tensión es igual en los tres elementos: nodo : iL t v L iL R  iR   R R t v  iL  2 iL C  ic  C  C (L )  LC 2  t t t t  2iL L iL  2 iL L iL 1 1 is  iC  iR  iL  LC 2   iL  2   iL  is t R t t CR t LC LC condiciones_iniciales: iL (t  0)  0 LvL

v(t  0)  0

110

CIRCUITO RLC PARALELO Ecuación diferencial de 2do orden que describe al sistema  2 iL L iL 1 1   i  is L t 2 CR t LC LC

La solución de la ecuación es la suma de la solución homogénea y la particular: La solución particular considera la fuente de corriente Is. La solución homogénea considera Is=0

111

CIRCUITO RLC PARALELO

 2 iL L iL 1 1   iL  is 2 t CR t LC LC La solución es de la forma:

Ecuación homogénea

Ecuación característica

Frecuencia resonancia

Coeficiente amortiguamiento 112

CIRCUITO RLC PARALELO

la_solucion_homogenea:  2 iL L iL 1 s1t s2t   i  0  i  A e  A e L L (hom og ) 1 2 t 2 CR t LC la_solucion_general:  2 iL L iL 1 1 s1t s2t   i  i  i  i  A e  A e L s L ( general ) s 1 2 t 2 CR t LC LC la_ecuacion_caracteristica: s 2  2s   2  0  raices : s1    j  2  02 s2    j  2  02 113

CIRCUITO RLC PARALELO

s1    j    2

2 0

s2    j  2  02 Críticamente amortiguado. S1 y S2 son iguales y reales. No respuesta oscilatoria Sobreamortiguado. S1 y S2 son distintos y reales. No respuesta oscilatoria Subamortiguado. S1 y S2 son complejos. Respuesta oscilatoria 114

CIRCUITO LC PARALELO

En el circuito LC no hay amortiguamiento – Resistencia infinita –  coeficiente de amortiguamiento nulo

115

RESUMEN : RLC RESPUESTA TRANSITORIA

Paralelo

Serie

Críticamente amortiguado Sobre amortiguado

Sub amortiguado Respuesta

TAREA: ANALIZAR LAS REDES DE 2DO ORDEN RCL CON SOFTWARE MATLAB

SIMULAR SIMULINK

117

GRAFICAR LOS RESULTADOS DEL ANALISIS DE CIRCUITOS RCL CON SIMULINK

118

ANÁLISIS DE CIRCUITOS VCA REGIMEN PERMANENTE

CORRIENTE ALTERNA: IMPEDANCIAS, CARGAS

Real

Z: Impedancia Capacitiva Imaginaria

Inductiva

IMPEDANCIA

ONDAS SENOIDALES : EULER

e jt  cos t  jsent V (t )  Vm e

Jt

V (t )  Vm (cos t  j sent ) __ parte _ real  parte _ imaginaria

ONDAS SENOIDALES : CONVERSION A FASORES

Dominio del tiempo

A cos(t   ) Asen(t   )

Dominio de la Frecuencia A   A   

 2

Convertir a fasores

v(t )  24 cos(377t  45º )V  i (t )  12sen(377t  120)A

V  24  45º I  12120º

ONDAS SENOIDALES : CONVERSION

Convertir los fasores:

V  1620º I  10  75º

del dominio de la frecuencia al dominio del tiempo si la frecuencia es de 1k Hz.

v(t )  16 cos( 2000t  20º ) i (t )  10 cos( 2000t  75º )

RELACIONES FASORIALES: CIRCUITO RESISTIVA PURO

V (t )  Vm cos(t   )  Vm e

J (t  )

i(t )  I m cos(t   )  I m e J (t  ) V (t )  Ri (t ) Vm e J (t  )  RI m e J (t  ) Vm e

J

 RI m e

J

Vm  Vm   RI m   R  Im

RELACIONES FASORIALES: CIRCUITO RESISTIVA PURO

126

CONCEPTO DE IMPEDANCIA, Z En general la Z de un elemento, de una rama o de un circuito completo es la relación que existe entre los fasores asociados a la tensión aplicada y la corriente que circula por el elemento, rama o circuito.

V~ V0 e j 0 V0  j Z ~   e j I I0 I 0e Así, para una bobina la Z vale:

V0 0 V0 Z   / 2 I 0   / 2 I 0 En este caso Z no es un fasor ya que no gira con frecuencia angular constante . 127

REPRESENTACIÓN DE FASORES MEDIANTE MAGNITUDES COMPLEJAS. y

j  1

Z r

Z = r (cos  + j sen )

 x

x = r cos  y = r sen 

recuérdese también la formula de Moivre: ej  = cos  + j sen 

Por ello, Z también se expresa como: Z = r ej  = r Suma y Resta:

Z1 = x 1 + j y1 Z2 = x 2 + j y2



Z1±Z2=(x1±x2)+j(y1±y2)

128

EJEMPLO DE DIVISIÓN DE IMPEDANCIAS

Z1 x1  jy1 x2  jy2 ( x1 x2  y1 y2 )  j ( y1 x2  y2 x1 )    Z 2 x2  jy2 x2  jy2 x22  y22

r1e r1 j (1 2 )  r11  r1    1 2   e j2 r2 2 r2 r2e r2 j1

129

CIRCUITO INDUCTIVO PURO: EULER

di VL  L dt Vm e

j (t  )

Vm e j (t  )

d j (t  )  LI m e dt  jLI m e j (t  )



Vm e j  JL I m e j

    V   JLI m

m

 

Vm Z  jL  X L  reactancia_inductiva Im

CIRCUITOS DE CA: INDUCTIVO V (t )  V0 cos(t )

dI (t ) V (t )  L 0 dt dI (t ) V0 cos(t )  L dt V0   I (t )  sent  I 0 cos t   L 2 

XL

V0 V0 I0   L X L

es la reactancia inductiva o impedancia inductiva 131

CIRCUITOS DE CA: INDUCTIVO Como la tensión VL en la bobina se hace máxima antes que la I, se dice que I está retrasada respecto de la tensión aplicada en 90º ó /2 ó un cuarto de periodo, T/4, es decir, NO ESTÁN EN FASE.

V0 T/2 T/4

T

3T/4

I0





 2



132

CIRCUITO CAPACITIVO PURO: EULER i (t )  c

dV dt

I m e j (t  )



d Vm e j (t  ) dt  jcVm e j (t  )

I m e j (t  )  c



 

I m e j  jcVm e j  I m   jcVm   Z

Vm 1 j   Xc    reactancia_capacitiva Im jc c

CIRCUITO CAPACITIVO PURO V (t )  V0 cos(t )

q (t ) V0 cos(t )  C

q(t )  V0C cos t IC

dq (t )   V0C sent dt

I C  I 0 cos(t 



V0 V0 I 0  CV0   1 XC C

2

)

siendo:

1 XC  C

es la reactancia capacitiva ó impedancia capacitiva. 134

CIRCUITO CAPACITIVO PURO Se dice que la intensidad en el condensador respecto de la tensión aplicada adelanta en 90º ó /2 ó un cuarto de periodo, T/4, es decir, NO ESTÁN EN FASE. También se dice que VC está retrasada respecto a la corriente en 90º.

 I0

0

T/2 T/4

 2 V

3T/4



T

135

CIRCUITO AC: RL, DETERMINAR Z Z  R  JX L Z  R 2  X L2 tag 

XL X     tag 1  L  R  R 

       V  I

La corriente se atrasa respecto de la tensión

CIRCUITO AC: RC, DETERMINAR Z Z  R  jX C  X C 

1 c

Z  R 2  X c2  tag  Z  

 Xc   Xc    tag  R  R 

EJERCICIO 1: EN CLASE En el circuito R=20Ω y L=0.06 h, el retraso de la Corriente con respecto a la tención es 80° calcular La velocidad angular “ω”

138

SOLUCION

En el circuito R=20Ω y L=0.06 h, el retraso de la Corriente con respecto a la tención es 80° calcular La velocidad angular “ω” X L L  (0.06)   tag80   R R 20 20 xtag80 20 x5.671    1890.42rad / seg 0.06 0.06 tag 

139

EJERCICIO 2: EN CLASE En el circuito L=0.02 h y la impedancia es 17.85 si la tensión es alterna senoidal , la corriente que circula esta retrasada respecto de la tensión en 63.4° calcular R y ω.

140

SOLUCION

En el circuito L=0.02 h y la impedancia es 17.85 si la tensión es alterna senoidal , la corriente que circula esta retrasada respecto de la tensión en 63.4° calcular R y ω. tag 

XL L L  0.02  tag  R    0.01 R R tag tag 63.4

Z  R 2  X L2  17.85  (0.01 ) 2  (0.02 ) 2 

  800rad / seg R  0.01  0.01x800  8

141

EJERCICIO 3: EN CLASE Hallar la impedancia Z2 en el circuito serie si Z1=5+j8, para la tensión y corriente especificada

142

SOLUCION

Hallar la impedancia Z2 en el circuito serie si Z1=5+j8, para la tensión y corriente especificada

ZT  Z1  Z 2  (5  j8)  Z 2 V 5045   2060  20(cos 60  jsen60)  10  j17.3 I 2.5  15 ZT  10  j17.3  (5  j8)  Z 2  Z 2  5  j9.3

ZT 

143

DIVISOR DE TENSION aplicamos LKV para calcular i

V

ij

 V12  V23  V34  V41  0

LKV : i RA  i RB  i RC  V0  0  i

V0 V  0 RA  RB  RC Rs

Fórmula del divisor de tensión: sirve para calcular la caída de tensión (voltaje) en cada resistencia. VA

RA  V0 RS

VB  VC

RB V0 RS

RC  V0 RS

144

APLICACIONES DEL DIVISOR DE TENSION Dos aplicaciones prácticas son: a) El potenciómetro. Que es un divisor de tensión puramente resistivo

145

EJERCICIO 4: EN CLASE En el circuito divisor de tensión, Vxy=50 VCA, calcular La tensión Vab.

146

SOLUCION En el circuito divisor de tensión, Vxy=50 VCA, calcular La tensión Vab.

ZP 

(20  j 60) xj6 (360  120 j ) x(20  j 66)  (20  j 60)  j 6 (20  j 66) x(20  j 66)

(7200  j 23760  240 j  7920) 720 2  24000 2  ZP   e  5.048e 4756 4756 24000   tag 1 ( )  tag 1 (33.88)  88.31  720 Z p  5.048e88.31 Z T 8.5e 30  5.048e88.31 12.3e 52.4  35.91 Vab  Vxy   50  111 . 5 e ZP 5.048e88.31 5.048e88.31 Vab  111.535.91 147

DIVISOR DE CORRIENTE i  i A  iB  iC  iA 

RP i RA

iB 

RP i RB

iC 

RP i RC

V0 RP

1 1 1 1    RP RA RB RC

Generalizando para muchas resistencias Rk ik 

RP i RK

148

EJERCICIO EN CLASE: DIVISOR DE CORRIENTE Hallar la impedancia Zt del siguiente circuito divisor de corriente

149

SOLUCION

Hallar la impedancia Zt del siguiente circuito divisor de corriente

YP  Y1  Y2  Y3  Y4 1 1 1 j    j 5 5  j8.66 15 10 YP   j 0.2  0.05  j 0.0866  0.067  j 0.1  0.117  j 0.1866 YP 

YP  0.22  58  Z p 

1 1   4.5558 Yp 0.22  58

150

DIAGRAMAS FASORIALES

Se conoce con este nombre a los diagramas donde se muestran los diversos fasores de la red.

R L

v (t) = V0cost C i (t) = Io cos ( t + ) V02  V02R  (V0 L  V0C ) 2 2  1    2 2 2 V0  I 0  R   L    C    

VL VL-VC

VC

v0  VR 151

EJERCICIO EN CLASE: DIAGRAMAS FASORIALES

Determinar los fasores de caída de tensión en cada uno de los componentes de la red, para la tensión y corriente indicada

v(t )  120 cos 1000 t V  I  12  36.87 A

EJERCICIO EN CLASE: DIAGRAMAS FASORIALES

Determinar los fasores de caída de tensión en cada uno de los componentes de la red, para la tensión y corriente indicada v(t )  120 cos 1000 t V  I  12  36.87 A

V R  I . * Z R  12  36.87 x(80º )  96  36.87º V 

V L  I . * Z L  12  36.87 x(1090º )  12053.13º V 

V C  I . * Z C  12  36.87 x(4  90º )  48  126.87º V 

VL

VC

VR

POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA

154

POTENCIA EN CORRIENTE ALTERNA Sabemos ya que las bobinas y condensadores no consumen potencia en un ciclo. Por tanto en un circuito LCR solo se consume potencia en la resistencia. La potencia instantánea cedida a la R es:

P  I R  I 0 cos(t   ) R 2

2

y la potencia promedio en un ciclo es:

1 P T

 I 0

cos(t   ) R dt 2

T

0

Recordando que el valor medio en un ciclo del cuadrado de un seno o de un coseno es 1/2, resulta finalmente:

1 2 P  I 0 R  I ef2 R 2

155

EL TRIÁNGULO DE POTENCIAS

potencia _ activa  P  S cos  potencia _ reactiva  Q  Ssen Factor _ de _ potencia  FP  Cos potencia _ aparente  S  P 2  Q 2

Factor de potencia • El factor de potencia se define como el cociente de la relación de la potencia activa entre la potencia aparente; esto es:

Factor _ de _ potencia P P  S cos   FP   cos  S • Comúnmente, el factor de potencia es un término utilizado para describir la cantidad de energía eléctrica que se ha convertido en trabajo.

Factor de potencia • El valor ideal del factor de potencia es 1, esto indica que toda la energía consumida por los aparatos ha sido transformada en trabajo.

Factor _ de _ potencia _ FP  cos  • Por el contrario, un factor de potencia menor a la unidad significa un mayor consumo de energía necesaria para producir un trabajo útil.

POTENCIA ACTIVA • La potencia activa es la que en el proceso de transformación de la energía eléctrica se aprovecha como trabajo. S= Irms . Vrms

• Unidades: Watts (W)

Potencia _ aparente  S  I rmsVrms potencia _ activa  P  I rmsVrms cos 

Tipos de potencia Potencia reactiva • La potencia reactiva es la encargada de generar el campo magnético que requieren para su funcionamiento los equipos inductivos como los motores y transformadores. • Unidades: VAR

• Símbolo: Q

potencia _ reactiva  Q  I rmsVrms sen

TIPOS DE CARGAS CARGAS RESISTIVAS • En las cargas resistivas como las lámparas incandescentes, el voltaje y la corriente están en fase. • Por lo tanto, • En este caso, se tiene un factor de potencia unitario.  0

TIPOS DE CARGAS CARGAS INDUCTIVAS • En las cargas inductivas como los motores y transformadores, la corriente se encuentra retrasada respecto al voltaje. Por lo tanto, En este caso se tiene un factor de potencia retrasado.

Factor _ de _ potencia FP  cos     0

TIPOS DE CARGAS CAPACITIVAS • En las cargas capacitivas como los condensadores, la corriente se encuentra adelantada respecto al voltaje. • Por lo tanto, • En este caso se tiene un factor de potencia adelantado.

Factor _ de _ potencia FP  cos     0

CÁLCULO DE LOS KVARS DEL CAPACITOR

• De la figura siguiente se tiene:

Qc  QL  Q • Como:

Q  P * Tan

 Qc  P(Tan1  Tan2 )

2

P

1

Q

S2 S1

QL

QC

EL BAJO FACTOR DE POTENCIA Factor de potencia VS ángulo

 V

 0 30 60 90

FP=Cos  1 0.866 0.5 0

1

2 3 I

PROBLEMAS POR BAJO FACTOR DE POTENCIA • Mayor consumo de corriente. • Incremento de la facturación eléctrica por mayor consumo de corriente

• Aumento de las pérdidas en conductores. • Sobrecarga de transformadores, generadores y líneas de distribución. • Incremento de las caídas de voltaje.

COMPENSACIÓN EN GRUPO

Diagrama de conexión

arrancador arrancador

M

M C

EJERCICIO EN CLASE: CALCULO DE POTENCIA Trazar el triangulo de POTENCIAS de un circuito cuya tensión es V=150sen(wt+10) volts y cuya corriente es i=5sen(wt-50) amperios, en forma fasorial.

168

SOLUCION Trazar el triangulo de potencias de un circuito cuya tensión es V=150sen(wt+10)volts y cuya corriente es i=5sen(wt-50) amperios En forma fasorial. Para convertir v=150sen(wt+10) en “fasor” el valor máximo de 150 Lo convertimos en valor eficaz. :. V  (150 / 2 )10 I  (5 / 2 )  50  I *  (5 / 2)50 150 5 S  V .I  ( )10 x( )50  37560  187.5  j 325 2 2

Potencia activa: W=real(V.I*)=187.5 Watts Potencia reactiva: Q=imag(V.I*)=325 VAR – inductivo Potencia Aparente: S=IV.I*I=375 V.A. Volt. Amper 169

EJERCICIOS EN CLASE

170

171

172

173

174

EJEMPLO CARGA CAPACITIVA

175

176

177

178

REDES : MALLAS NODOS

179

ESTRUCTURAS TOPOLÓGICAS COMUNES Las estructuras de redes de aplicación en diferentes circuitos de la ingeniería electrónica tienen nombres especiales: Red T, Red pi, Red Escalera, Red T con Puente, Puente de Wheatstone y la Red Celosía.

180

CLASIFICACIÓN DE LAS REDES ELÉCTRICAS. Las redes pueden clasificarse en planas y no planas dependiendo de si es posible o no dibujar todas sus ramas en un plano sin que se crucen dos o más de ellas.

181

MALLA. En una red se denomina Malla a cualquier trayecto cerrado circuital. Las mallas elementales solo contienen una malla, pero las mallas abiertas o principales contienen mas de una malla elemental. u v

ab

v

a

u

ca

u

v

b

bc

c

uab + ubc + uca = 0

182

NODO La unión de tres o más ramas se denomina Nodo.

v

ia

ib

a

v

b

ic v

c

va = vb = vc ia + ib + ic = 0

183

MÉTODO DE MALLAS. El número de corrientes independientes de una red, que se corresponde con el número de mallas elementales de la misma es igual al número enlaces, el cual está dado por la ecuación:

icorriente  numero _ de _ enlaces E  R  N 1 Donde: E: Número de enlaces N: Número de Nodos. R: Número de Ramas. 184

EJEMPLO

La red de la Figura tiene 13 Ramas y 7 Nodos. :. Aplicando la ecuación el número de Enlaces = 7.

E = R - N + 1 = 13 – 7 + 1 = 7 los elementos E3 y E14 son parte de la misma Rama, identificada como R3, y lo mismo E9 y E15, forman la Rama R9. 185

EJEMPLO

El número de corrientes independientes de la red es también igual a 7:. Hay 7 mallas elementales de la red con sus correspondientes corrientes.

186

ANÁLISIS DE 2 MALLAS

En R3 hay una corriente i3 = i1 - i2. :. V 1 = R 1 x i1 + R 3 x (i 1 - i 2) + R 2 x i 1 -V2 = R 4 x i2 - R 3 x (i 1 - i 2) + R 5 x i 2 :. V 1 = (R 1 + R2 + R 3) i1 - R 2 x i 2 -V2 = - R 2 x i1 + (R 3 + R 4 + R 5) x i 2

187

ANÁLISIS DE 2 MALLAS

Este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas se puede escribir en forma matricial, tal como se indica a continuación:

En general, esta ecuación matricial de dos incógnitas puede escribirse como:

La primera matriz son las fuentes de voltaje de cada malla. El término de la derecha es el producto de una matriz con resistencias y una matriz de las corrientes de malla que constituyen las incógnitas del sistema. 188

ANÁLISIS DE 2 MALLAS

La diagonal de la matriz, contienen las resistencias de cada malla con la resistencia común entre las mallas con signo negativo, y en forma simétrica

189

GENERALIZACION

Estas conclusiones se pueden generalizar a cualquier red plana con n mallas elementales que constan de resistencias y fuentes de voltaje independientes, como la mostrada en la Figura, lo cual da lugar a una ecuación matricial con n incógnitas

se puede escribir directamente la ecuación matricial como: [ V] = [ R ] [ i]

190

GENERALIZACION

Al ubicar las fuentes de voltaje, las resistencias y las corrientes incógnita en esta ecuación matricial se obtiene:

191

GENERALIZACION

Una vez planteada la ecuación matricial, se calcula las corrientes mediante el producto de la matriz inversa de resistencia por la matriz de tensiones:

192

SOLUCION SE APLICA REGLA DE CRAMER

𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑒 Ej. sistema de ecuaciones 2x2: ቊ 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 = 𝑓 𝑒 𝑎 𝑏 𝑥 se representa matricialmente: = 𝑓 𝑦 𝑐 𝑑

Solución matricial: 𝑥=

𝑒 𝑓 𝑎 𝑐

𝑏 𝑑 𝑏 𝑑

=

𝑒𝑑−𝑏𝑓 𝑎𝑑 −𝑏𝑐

𝑦=

𝑎 𝑐 𝑎 𝑐

𝑒 𝑓 𝑏 𝑑

=

𝑎𝑓−𝑒𝑐 𝑎𝑑 −𝑏𝑐

193

MÉTODO DE MALLAS EN DC

Se numeran las mallas, y se asigna a cada malla una corriente denominada corriente de malla, la cual circula en el sentido elegido

194

MÉTODO DE MALLAS Si n es el número de mallas, se construye una matriz cuadrada de resistencias colocando en la diagonal la suma de resistencias de cada malla, y fuera de la diagonal principal las resistencias compartidas por dos mallas adyacentes

195

MÉTODO DE MALLAS Las corrientes de malla se calculan resolviendo la ecuación matricial:

RiM   V  donde las incógnitas son las componentes del vector de las corrientes de malla (iM), dado por

 iM 1    iM    iM 2  i   M3 

196

MÉTODO DE MALLAS Para resolver aplicamos el metodo de Cramer a los determinantes: RA  RB  RC  RC  RB R   RC RC  RD  RE  RE  RB  RE RF  RG  RB

 V1 1   V2  V3

 RC RC  RD  RE  RE

iM 1

 RB  RE RF  RG  RB

1  R

RA  RB  RC 2   RC  RB

iM 2  RA  RB  RC 3   RC  RB

 V1  V2  V3

 RB  RE RF  RG  RB

2 R  RC RC  RD  RE  RE

3 iM 3  R

 V1  V2  V3

197

EJERCICIOS ENCLASE: MÉTODO DE MALLAS Calcular qué corriente circula por cada fuente y determinar la caída de tensión entre A y B.

198

MÉTODO DE MALLAS Establecemos las matrices de resistencias, tensiones, por mallas y luego determinamos la caída de tensión entre A y B. 1.Matriz de resistencias 0  1  4  4   R     4 4  3  8  8   0  8 8  5  10  

2.Matriz de tensiones   5  20    V     16  5    50  20   

:. Ecuación matricial del sistema  5   4  0 

4 15 8

0   iM 1    25       8   iM 2     11  23   iM 3   70 

199

MÉTODO DE MALLAS

Determinantes 5 4 0  R   4 15  8  1037 0  8 23 5  25 0  2   4  11  8  765 0 70 23

iM 1 

 25  4 0 1   11 15  8  5797 70  8 23 5  4  25  3   4 15  11  2890 0  8 70

1  5797   5.59 mA  R 1037

iM 2 

 2  765   0.74 mA  R 1037

iM 3 

 3 2890   2.79 mA  R 1037 200

MÉTODO DE MALLAS Sentido opuesto a iM1 i20V  iM 1  iM 3  5.59  2.79  8.38 mA

Sentido opuesto a iM1

i5V  iM 1  iM 2  5.59   0.74  4.85 mA

i16V  iM 2  0.74 mA i50V  iM 3  2.79 mA VAB  3 iM 2  16  5 iM 3  3  0.74  16  5· 2.79  27.73 V

201

MALLAS EN CORRIENTE ALTERNA

202

MALLAS EN CORRIENTE ALTERNA Calcular las tensiones Vab y Vbc mediante el análisis de mallas Las ecuaciones de malla en forma matricial es (3  j 4)i1  j10(i1  i2 )  10045  (  j10)i2  j10(i2  i1 )  0 ordenando: (3  j14)i1  j10i2 )  10045 (  j10)i1  j 0  0

en_forma_matricial  (3  j14  j10  0   j10  

  i1  10045      0   i2             203

MÉTODO DE MATRICIAL Calcular las tensiones Vab y Vbc mediante el análisis de mallas Las ecuaciones de malla en forma matricial es

Matriz _ impedancias  3  j14  j10  Z     j10 0  

    

Z M  iM   V 

Matriz _ de  tensiones 10045  V    0  

    

Ecuacion _ matricial _ del _ circuito  (3  j14  j10  0   j10  

  i1  10045      0   i2            

204

MÉTODO DE MALLAS EN CORRIENTE ALTERNA 3  j14  10045  j10 0

10045  j10 0 0 i1 

3  j 4  j10  j10 0

0  0 100

i2 

3  j 4  j10  j10 0



1000135  10013 100

:. Las tensiones Vab, Vbc :

Vab  (3  j 4)i1  (3  j 4) x0  0 Vbc  ( j10)i2  (10  90) x(10135)  10045

205

EJERCICIOS Determinar i0 e ig en el circuito de la figura: método de corriente de malla.

206

RESOLVIENDO POR EL MÉTODO DE CORRIENTE DE MALLA.

207

R11 = 2 + 6 + 5; R22 = 6 + 15 + 12 +13 + 20; R33 = 20 + 5 R12 = – 6 = R21 R13 = -5 = R31 R23 = -20 = R32

208

Calculando los determinantes nos queda que: I1 = 12,5 A I2 = 2,5 A I3 = 4,5 A I0 = I3 – I2= 4,5 – 2,5 = 2 A Ig = I1 =12,5 A

209

TAREA RESOLVER POR EL MÉTODO DE MALLAS

210

Tarea 2 : CALCULAR LAS CORRIENTES

211

TRANSFORMACIÓN DELTA-ESTRELLA

212

TRANSFORMACIÓN DELTA-ESTRELLA Un circuito resistivo delta (∆)es una configuración de tres terminales como se muestra en la figura. La figura ilustra un circuito “Y”. Observe que se utilizan subíndices de letra para designar los resistores presentes en el circuito delta y subíndices numéricos para designar los resistores presentes en el circuito Y.

213

TRANSFORMACIÓN DELTA-ESTRELLA Conversión ∆ a Y Es conveniente pensar en la Y colocada dentro de la delta, como se muestra en la figura. Para convertir de delta a Y, se requieren R1, R2 y R3 en función de RA, RB y RC. La regla de conversión es como sigue: Cada resistor localizado en la Y es igual al producto de los resistores incluidos en dos ramas delta adyacentes, dividido entre la suma de los tres resistores en delta.

214

TRANSFORMACIÓN DELTA-ESTRELLA

RA y RC son adyacentes a R1; por consiguiente

Asimismo, RB y RC son adyacentes a R2, por tanto

y RA y RB son adyacentes a R3, por tanto

215

TRANSFORMACIÓN DELTA-ESTRELLA Conversión Y a ∆ Para convertir de Ya delta, RA, RB y RC se requieren en función de R1, R2 y R3. La regla de conversión es la siguiente: Cada resistor incluido en la delta es igual a la suma de todos los posibles productos de resistores Y tomados dos a la vez, y divididos entre el resistor Y opuesto.

216

TRANSFORMACIÓN DELTA-ESTRELLA

R2 es opuesto a RA; por consiguiente,

Asimismo, R1 es opuesto a RB, por tanto

y R3 es opuesto a RC, por tanto

217

CONVERSIÓN D-ESTRELLA

Red delta y su equivalente estrella. RB

RA

R1

R2 R3

RC

R R  R2 R3  R3 R1 RA  1 2 R2

R1 

RA RB RA  RB  RC

R1 R2  R2 R3  R3 R1 R3

R2 

RB RC RA  RB  RC

R R  R2 R3  R3 R1 RC  1 2 R1

R3 

RC RA RA  RB  RC

RB 

218

EJEMPLO

Encuentre Req

R R  R2 R3  R3 R1 RA  1 2 R2

R1 

RA RB RA  RB  RC

R R  R2 R3  R3 R1 RB  1 2 R3

R2 

RB RC RA  RB  RC

R R  R2 R3  R3 R1 RC  1 2 R1

R3 

RC RA RA  RB  RC

Req

219

TAREA

Encuentre Req

R R  R2 R3  R3 R1 RA  1 2 R2

R1 

RA RB RA  RB  RC

R R  R2 R3  R3 R1 RB  1 2 R3

R2 

RB RC RA  RB  RC

R1 R2  R2 R3  R3 R1 R1

R3 

RC RA RA  RB  RC

RC 

Req

220

TEOREMAS DE CIRCUITOS 1. TEOREMA DE THÉVENIN. 2. TEOREMA DE NORTON. 3. SUPERPOSICIÓN 4. TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA.

221

TEOREMA DE THÉVENIN -Ayuda a simplificar los cálculos. Los Teoremas de Thévenin y Norton definen dos circuitos equivalentes y se utilizan si cumplen con las siguientes condiciones: -Es válido en circuitos lineales formados por generadores y resistencias. -Es válido en corriente alterna, circuitos con condensadores y bobinas. -No es valido si hay acoplamientos magnéticos fuera de red. -No es válido en circuitos alineales con diodos o transistores. I A

A

Circuito lineal

+ B

Carga

εTh

RTh

+

Carga

B 222

TEOREMA DE THÉVENIN Thévenin : divide el circuito dos partes. La Red A es equivalente a un circuito formado por una sola Fuente de Voltaje Independiente (VTH) en serie con una resistencia equivalente (RTH).

223

TENSION DE THEVENING VTH VTH es igual al voltaje existente entre los terminales a y b de la Red A cuando la Red B no está conectada a dichos puntos Fig. (a).

224

RESISTENCIA DE CARGA DE THÉVENIN RTH entre a y b es cuando las Fuentes Independientes de la Red A se sustituyen por sus respectivas resistencias internas. Para calcular dicha resistencia se conecta una Fuente de Prueba entre los terminales a y b, la cual puede ser de Voltaje (Vp) el valor de RTH se determina utilizando la siguiente relación:

RTH

VP  IP

225

EJEMPLOS DE APLICACION: TEOREMA DE THÉVENIN se quiere determinar la corriente io en función de la resistencia R0 y de la fuente de voltaje v(t).

226

EJEMPLOS: TEOREMA DE THÉVENIN

En la Figura siguiente se presenta la parte del circuito a la que se le va a calcular el equivalente Thévenin

227

EJEMPLOS: TEOREMA DE THÉVENIN Por R3 no puede circular corriente :. el voltaje entre los puntos a y b es igual al voltaje sobre la resistencia R2. Aplicando un divisor de voltaje a las resistencias R1 y R2 se obtiene:

VTH

R2 2 v(t )  v(t )  v(t )  R1  R2 22 2

228

EJEMPLOS: TEOREMA DE THÉVENIN Para determinar la resistencia equivalente se sustituye la Fuente de Voltaje v(t) por su resistencia interna (un cortocircuito). Cuando se tiene un circuito simple no incluye Fuentes Dependientes, se puede calcular la resistencia equivalente entre los puntos a y b sin necesidad de utilizar una Fuente de Prueba.

R1 R2 2 x2 RTH  R3   1  2 R1  R2 22 229

EJEMPLOS: TEOREMA DE THÉVENIN Una vez calculados los parámetros definidos por el Teorema de Thévenin, se puede establecer el circuito equivalente :

A partir de este circuito se puede obtener:

v(t ) 1 i0   2 RTH  R0  230

TEOREMA DE THÉVENIN Y NORTON

Equivalente de Thévenin Rth

Equivalente de Norton a

a 

Vth



IL RL

IN

R Norton

IL RL





b

b

Vth I Norton  Rth RNorton  RTh

231

TEOREMA DE THÉVENIN: AC

232

EJEMPLOS: TEOREMA DE THÉVENIN: AC Calcular La impedancia, Tensión y máxima potencia según Thevening

233

EJEMPLOS: TEOREMA DE THÉVENIN: AC Impedancia_de_Thevening: 4(8  j 6) Z Th  j 5   2.933  j4.467 4  8  j6 Tension_deThevening : 8  j6 VTh  100  7.454  10.3V 4  8  j6 Impedancia_de_carga : * Z L  Z Th  2.933  j 4.467

Maxima_Potencia 2

Pmax

VTh (7.454) 2    1.184W 4 RTh 4 x 2.933

234

EJEMPLOS: TEOREMA DE THÉVENIN: AC

Respetando las corrientes de mallas asignadas calcular: a) Equivalente de Thévenin en los terminales ab. b) Qué valor de RL se deberá escoger para que se le transfiera la máxima potencia (ab). c) Valor de la MTP.

a)

Hallando VTh LVK:

VTh  3I 2  60  2 I 3  0 VTh  60  3I 2  2 I 3

Malla 1 y Malla 2

SM1

Ecuación de SM1

20  I1  I 2 1) Ecuación Auxiliar

100  60  I 1 (4  5)  I 2 (2  3  1)  I 3 (5  1) 40  9 I 1  6 I 2  6 I 3 2) Malla 3

0  I 3 (5  1  2  8)  I 1 (5)  I 2 (1) 0  5I 1  I 2  16 I 3

3)

 1  1 0   I1  20  9 6  6  I   40   2     5  1 16   I 3   0 

VTh  60  3(8.039)  2(3.235) VTh  42.353V Hallando RTh

I 1  11.96 A I 2  8.039 A I 3  3.235 A

0  15I 1  3I 2  6 I 3  V  3I 1  5I 2  2 I 3 0  6 I 1  2 I 2  16 I 3

I2 

15 0  3 V

6 2

6

16

0

15  3  6 3 5 2  6  2 16

V 

15  6  6 16 744

 V (204)  744

I2  

204 V 744 V   744  I 2 204

Equivalente de Thévenin

1V I 1V   I2

RTh  RTh

RTh 

744  204

Equivalente de Norton 42.353 704 204 I N  11.61A

IN 

Otra forma de hallar la IN es cortocircuitando los terminales

Malla 1 y Malla 2

SM1

Ecuación de SM1

20  I1  I 2

1)

Ecuación Auxiliar

100  60  9 I 1  6 I 2  6 I 3  3I 4 40  9 I 1  6 I 2  6 I 3  3I 4

2)

Malla 3

0  5I1  I 2  16I 3  2 I 4 Malla 4

60  3I 2  2I 3  5I 4 I 4  11.6 A I Norton  11.6 A

4)

3)

Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia (MTP)

Red B

PC arg a  I 2 RL V2 PC arg a  RL 2 ( R  RL ) dPC arg a V 2 ( R  RL ) 2  2V 2 RL ( R  RL ) 0 dRL ( R  RL ) 4 V 2 ( R  RL ) 2  2V 2 RL ( R  RL )

R  RL  2 RL R  2 RL  RL R  RL

Para que exista MTP

R L  RTh 

b)

744  204

c) MTP utilizando equivalente de Thévenin

I

VTh 42.353   5.8 A RTh  RL  744   *2  204 

 744  PMáx  (5.8) 2    204  PMáx  122.9W

Otra forma de hallar la MTP

P  I 2 RL 2

VTh P RL 2 ( RTh  RL ) como : RTh  RL P

VTh

PMáx

2

4 RL

2

(42.353) 2   122.9W 744   4  204  

RL 2

PMáx

V  Th 4 RL

MTP utilizando equivalente de Norton

RL  RN  3.65 Divisor de Corriente

IL  IN

RN  5.81A RN  RL

PMáx  (5.81) 2 (3.65) PMáx  122.9W

TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA

244

TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA

Sistema

Electrónico Lineal

A menudo los sistemas eléctrico son diseñados para proporcionar potencia a una carga como en la figura

245

MÁXIMA TRANSFERENCIA DE POTENCIA El teorema de la máxima transferencia de potencia establece que, dada una fuente, con una resistencia de fuente fija, la resistencia de carga que maximiza la transferencia de potencia es aquella con un valor óhmico igual a la resistencia de fuente.

246

TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA

Si sustituimos la red eléctrica por su equivalente de Thevenin

247

TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA

• Si derivamos la expresión de la potencia respecto de la resistencia de carga e igualamos a cero  la resistencia de carga es igual a la resistencia de Thévenin • Como la segunda derivada es negativa  es un máximo

248

TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA

P

• Gráfica de la transferencia de potencia al variar la resistencia de carga • Podemos ver que el máximo se sitúa en el valor de la resistencia de Théveninn

249

TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA. EJEMPLO

• Averiguar la transferencia de potencia del “puente de Wheatstone” a la resistencia de carga. 250

TEOREMA DE TRANSFERENCIA DE MÁXIMA POTENCIA. EJEMPLO

Con los valores de la resistencia y el voltaje de Thevenin, aplicamos la formula de transferencia de potencia 251

THÉVENIN – NORTON APLICADO A REDES

252

EJEMPLO : CALCULAR THÉVENIN – NORTON Y LA MAXIMA POTENCIA DEL CIRCUITO SIGUIENTE

Respetando las corrientes de mallas asignadas calcular: a) Equivalente de Thévenin en los terminales ab. b) Qué valor de RL se deberá escoger para que se le transfiera la máxima potencia (ab). c) Valor de la MTP.

253

CALCULO DE LA TENSION DE THÉVENIN CALCULO DE VTh

VTh  60  3I 2  2I 3 Malla 1 y Malla 2

20  I1  I 2

1)

Ecuación Auxiliar

100  60  I1 (4  5)  I 2 (2  3  1)  I 3 (5  1) 40  9 I1  6 I 2  6 I 3

2)

Malla 3

0  I 3 (5  1  2  8)  I1 (5)  I 2 (1) 0  5I1  I 2  16 I 3

3)

De las ecuaciones 1 ,2 3

 1  1 0   I1  20  9 6  6  I   40   2     5  1 16   I 3   0  254

CALCULO DE LA TENSION DE THEVENING  1  1 0   I1  20  9 6  6  I   40   2     5  1 16   I 3   0 

I 1  11.96 A I 2  8.039 A I 3  3.235 A

:. La tensión de Thevening VTh  60  3I 2  2 I 3  60  3(8.039)  2(3.235) VTh  42.353V

255

CALCULO DE LA RESISTENCIA INTERNA DE THEVENING Hallando RTh

0  15I 1  3I 2  6 I 3  V  3I 1  5I 2  2 I 3 0  6 I 1  2 I 2  16 I 3

I2 

15 3

0 V

6 2

6 15

0 3

16  6

3 6

5 2

2 16

RTH 

V

15  6  6 16  Vx204   744 744

V 744   I2 204

256

CIRCUITO RQUIVALENTE DE THEVENING

Equivalente de Thevening

CIRCUITO EQUIVALENTE NORTON

42.353 IN  704 204 I N  11.61A

258

CALCULO DEL EQUIVALENTE NORTON Otra forma de hallar la IN es cortocircuitando los terminales Malla 1 y Malla 2 20  I1  I 2

1)

Ecuación Auxiliar 100  60  9 I 1  6 I 2  6 I 3  3I 4 40  9 I 1  6 I 2  6 I 3  3I 4

2)

Malla 3 0  5I1  I 2  16I 3  2 I 4

3)

Malla 4 60  3I 2  2I 3  5I 4

4)

I 4  11.6 A I Norton  11.6 A

259

Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia (MTP)

PC arg a  I 2 RL PC arg a

V2  RL 2 ( R  RL )

dPC arg a V 2 ( R  RL ) 2  2V 2 RL ( R  RL ) 0 dRL ( R  RL ) 4

V 2 ( R  RL ) 2  2V 2 RL ( R  RL ) R  RL  2 RL R  2 RL  RL R  RL

Para que exista MTP 260

Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia (MTP) b)

c) MTP utilizando equivalente de Thévenin

I

VTh 42.353   5.8 A RTh  RL  744   *2  204 

R L  RTh 

744  204

 744  PMáx  (5.8) 2    204  PMáx  122.9W 261

Teorema de la Máxima Transferencia de Potencia (MTP) Otra forma de hallar la MTP

P  I 2 RL 2

VTh P RL 2 ( RTh  RL )

PMáx

como : RTh  RL P

VTh

2

4 RL

2

(42.353) 2   122.9W 744   4  204  

RL 2

PMáx

V  Th 4 RL

MTP utilizando equivalente de Norton

a I N  11.61A

IL RN 

744  204

RL

b

RL  RN  3.65 Divisor de Corriente

IL  IN

RN  5.81A RN  RL

PMáx  (5.81) 2 (3.65) PMáx  122.9W

262

CALCULAR EL EQUIVALENTE DE THÉVENIN DEL PUENTE WHEASTONE

• Puente de Wheatstone: se usa para medir el valor de la resistencia de carga (RL) • Se hace hallando el circuito equivalente de Thevenin que ve RL 263

EQUIVALENTE DE THÉVENIN

Estudiamos el circuito en ausencia de RL Nos interesa hallar VAB = VA-VB 264

EQUIVALENTE DE THÉVENIN

◊ Para hallar el voltaje de Thevenin calculamos el voltaje en circuito abierto ◊ Observemos que lo que tenemos son dos divisores de tensión 265

CALCULAR EL EQUIVALENTE DE NORTON PARA LOS TERMINALES XY

◊ Para hallar la intensidad de Norton calculamos la corriente al cortocircuitar los terminales XY ◊ La resistencia R2 está en paralelo con el cortocircuito así que por ella no pasa ninguna corriente

266

CALCULAR EL EQUIVALENTE DE NORTON PARA LOS TERMINALES XY

Aplicando el método de las mallas:

267

PARA CALCULAR LA RESISTENCIA NORTON

◊ Para calcular la resistencia de Norton: ◊ Se suprime la fuente de intensidad mediante un circuito abierto y la de voltaje mediante un corticircuito. ◊ La resistencia R2 en paralelo con el resto de las resistencias que están en serie. 268

CIRCUITO NORTON COMPLETO

269

TRANSFORMACIÓN DE FUENTES

• Ambos circuitos son equivalentes e intercambiables – Resistencia de Norton = resistencia de Thévenin – Intensidad de Norton = Voltaje de Thévenin / resistencia de Thévenin • La transformación se puede llevar a cabo en ambas direcciones 270

TRANSFORMACIÓN DE FUENTES EJEMPLO 1

Sustitución por el equivalente de Norton

Sustitución por el equivalente de Théveninn

Hallar la intensidad que pasa por la resistencia de 6 ohmios

271

TRANSFORMACIÓN DE FUENTES EJEMPLO 1

Sustitución por el equivalente de Norton • Hallamos la resistencia equivalente • Ahora tenemos una fuente de voltaje en serie con una resistencia • Sustituimos por el equivalente de Norton 272

TRANSFORMACIÓN DE FUENTES EJEMPLO 1

• Al hacer la nueva sustitución nos queda – Dos fuentes de intensidad en paralelo  las sumamos – Tres resistencias en paralelo  divisor de corriente • La resolución es inmediata

273

TRANSFORMADA DE LAPLACE

274

¿POR QUÉ TRANSFORMADA DE LAPLACE?

la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas.

275

TRANSFORMADA DE LAPLACE. • Sea f(t) una función definida para t>0; a la expresión: se le llama Transformada de Laplace de la función f(t), si la integral existe. 

L { f (t )}   e

 st

f (t )dt

0

276

TRANSFORMADA DE LAPLACE DE UNA CONSTANTE • Sea f(t) = c :. la transformada de Laplace para dicha función.   st  b   e  Lim  Lim  st  st L {c}   e cdt  c  c  e dt   b   0 0  b    s  

     0 b

Lim    e  sb  1  Lim   1  c    c    c  b   s  b     s  s

277

TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCIÓN f(t)=eat.





b Lim ( s  a ) t L {e at }   e  st e at dt   e ( s a )t dt  e dt  b0 0 0 b

1 ( s a)t Lim 1   0  e b   s a sa 0

para s>a

278

TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCIÓN f(t)=tn

L

 st

te {t }   e tdt  s 

 

 st

0

L {t

2

0

2  st

t e }   e t dt  s 



1  st 1  st 1   e dt  0   e dt  2 s s 0 s 0  

 st 2

0

0



2t  st 2 2  st   e dt  0   te dt  3 s s 0 s 0    L {t}

279

TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCIÓN f(t)=tn

L {t 3

3  st

t e }   e t dt  s 

 

 st 3

0

n! L {t }  n 1 s

0



3t 2  st 3 2  st 3!  e dt  0   t e dt  4 s s 0 s 0    L { t2 }

n

para n=1,2,3,…

280

EJERCICIO EN CLASE : DEMOSTRAR TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCIÓN COSENO, SENO

s L(cos at )  2 s  a2 a L( senat )  2 s  a2

281

DEMOSTRACION s s2  a2 Demostracion :

L(cos at ) 







1 s 1  L(cos at )   e  st cos atdt  e  st senat    e  st senatdt  L(e  st senat ) a a 0 a 0 0 volviendo _ a _ int egrar _ por _ partes : 





1 s 1 s  L(e senat )   e senatdt   e  st cos at    e  st cos atdt   L(cos at )  a a a 0 a 0 0  st

 st

1 s2 s2 1 L( senat )   2 L( senat )  L( senat )(1  2 )   a a a a 1 a L( senat )  a 2  2 2 s a s 1 2 a

282

EJERCICIO EN CLASE : DEMOSTRAR TRANSFORMADA DE LAPLACE FUNCIÓN Sen2t

  st

L {sin2 t}   e 0



e

 st

sin 2t dt 

sin 2t 2   st   e cos 2t dt 0 s s 0

2  st   e cos 2t dt , s  0 s 0

283

lim est cos 2t  0 , s  0

t 



Transformada de Laplace de sin 2t ↓

  st   2  e cos 2t 2  st     e sin 2t dt  0 s s s  0 

2 4  2  2 L{sin 2t} s s 2 L {sin 2t}  2 ,s0 s 4

284

TABLA TRANSFORMADA DE LAPLACE

285

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

286

TRANSFORMADA INVERSA

• Si F(s) representa la transformada de Laplace de una función f(t), es decir: L {f(t)}=F(s), se dice entonces que f(t) es la transformada de Laplace inversa de F(s) y se escribe: f(t) = L -1{F(s)}.

287

ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS

3.

1

cL

1.

e L at

1

5.

Cos(bt )  L

7.

Cosh(bt )  L

c    s

 1    s  a  

1

 s   2 2  s  b 

1

2.

4.

6.

tn  L

1

Sen(bt )  L

Senh(bt )  L

 n!   n 1  s 

1

 b   2 2  s  b  

1

 b   2 2  s  b 

 s   2 2  s  b 

288

ALGUNAS TRANSFORMADAS INVERSAS 11 

1 L   s  1

n!  t  L  n1  , n  1, 2, 3,  s  n

1

k  sin kt  L  2 2 s  k  1

k  sinh kt  L  2 2 s  k 

1

1  e L   s  a  at

1

s  cos kt  L  2 2 s  k  1

s  cosh kt  L  2 2 s  k  289

HALLAR LAS TRANSFORMADAS INVERSAS DE

(a) L 1 1  (b) L 1 1  5  2  s 

s  7

Solución (a)

1

1  1 1 4!  1 4 L  5  L  5  t  s  4!  s  24

(b)

1  1 1 7  1 L  2 L  2 sin 7t   7 7 s  7 s  7 1

290

L -1 TAMBIÉN ES LINEAL

• Podemso comprobar fácilmente que L 1{F ( s)  G ( s )}  L 1{F ( s )}  L 1{G ( s )}

(1)

291

L -1 TAMBIÉN ES LINEAL 1  2 s  2

 6 L   s 4 

Hallar Solución

1  2 s  2

 6 6  1  2 s L  2 L  2   s 4  s  4 s  4 s  6 1 2 (2)  1  2L  2  L  2  s  4 2 s  4  2 cos 2t  3 sin 2t 292

L -1 TAMBIÉN ES LINEAL 2   s  6s  9 1 L   ( s  1)( s  2)( s  4)  Solución

Hallar

Usando fracciones parciales

s 2  6s  9 ( s  1)( s  2)( s  4) Luego

A B C    s 1 s  2 s  4

s 2  6s  9 (3)  A( s  2)( s  4)  B( s  1)( s  4)  C ( s  1)( s  2) Si ponemos s = 1, 2, −4, entonces 293

L -1 TAMBIÉN ES LINEAL

A  16/5, B  25/6, c  1/30 2   s  6s  9 1 L   ( s  1)( s  2)( s  4) 

16 1 1  25 1 1  1 1 1   L   L   L   5  s  1 6  s  2  30 s  4

16 t 25 2t 1 4t  e  e  e 5 6 30 294

TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA 

L  f ( x )   e  st f ( x )dx  e  st f (t )

 0

 s  e  st f (t )dt

0

0

  f (0)  sL  f (t )  sF ( s )  f (0) 

L  f ´´( x )   e  st f ( x )dx  e  st f (t ) 0

  f (0)  sL  f (t )  s[ sF ( s )  f (0)]  f (0)



 0



 s  e  st f (t )dt 0

 s 2 F ( s )  sf (0)  f (0) 295

TRANSFORMADA DE UNA DERIVADA… • De igual manera se puede demostrar que:

L  f ( x)  s 3 F ( s )  s 2 f (0)  sf (0)  f (0) Si f, f´, f´´,…, f(n-1) son continuas en [0,+Inf) y son de orden exponencial y si f(n)(t) es continua por partes en [0,+Inf), entonces:





L f ( n ) ( x)  s n F ( s )  s n1 f (0)  s n2 f (0)  s n3 f (0)    f ( n1) (0).

296

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Resolver Solución

dy  3 y  13sin 2t , y (0)  6 dt

dy   L    3L { y}  13L {sin 2t}  dt  26 sY ( s)  6  3Y ( s )  2 s 4 26 ( s  3)Y ( s )  6  2 s 4 6 26 6s 2  50 Y ( s)    2 s  3 ( s  3)( s  4) ( s  3)( s 2  4)

(12)

(13)

297

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

6s  50 A Bs  C   2 2 ( s  3)( s  4) s  3 s  4 2

6s 2  50  A( s 2  4)  ( Bs  C )

Podemos hallar A = 8, B = −2, C = 6 Así 6s 2  50 8  2s  6 Y ( s) 





( s  3)( s  4) s  3 s 2  4 s  1 1  1 1 2  y (t )  8L    2L  2   3L  2   s  3 s  4 s  4 2

y(t )  8e3t  2 cos 2t  3sin 2t 298

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES MEDIANTE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE Resolver Solución

y"3 y'2 y  e4t , y(0)  1, y' (0)  5 d 2 y  dy   L  2   3L    2L { y}  L {e4t }  dt   dt 

1 s Y ( s)  sy (0)  y(0)  3[ sY ( s)  y (0)]  2Y ( s)  s4 1 2 ( s  3s  2)Y ( s)  s  2  (14) s4 2

s2 1 s 2  6s  9 Y ( s)  2  2  s  3s  2 ( s  3s  2)( s  4) ( s  1)( s  2)( s  4)

16 t 25 2t 1 4t y (t )  L {Y ( s)}   e  e  e 5 6 30 1

299

APLICACION DE LA TRANSFORMADA DE LA PLACE A CIRCUITOS ELÉCTRICOS CONSTITUIDO POR ELEMENTOS PASIVOS Y FUENTES DE VOLTAJE Y CORRIENTE. Elemento

Voltaje y corriente

Voltaje y carga

Impedancia Admitancia

300

RESISTENCIA

• Resistencia, R • Dominio del tiempo v(t) = R i(t) • Laplace

V(s) = R I(s)

CONDENSADOR

Dominio del tiempo

• Laplace

d v(t) i(t)  C dt

I(s) = s C V(s) – C v(0)

CONDENSADOR

• Reexpresando la anterior ecuación I(s) v(0) V(s)   sC s

• Interpretación: condensador cargado despues de aplicar la señal V(0), luego se desvanece

CONDENSADOR iC(t) +

Dominio del tiempo

vC(t)

C

–

IC(s) + VC(s) –

1/sC + –

v(0) s

IC(s) + VC(s) –

Dominio de la frecuencia

1/sC

Cv(0)

INDUCTOR

• Dominio del tiempo

• Laplace

d i(t) v(t)  L dt

V(s) = s L I(s) – L i(0) • Interpretación: un inductor con condiciones iniciales con una fuente impulsiva de voltaje de valor L·i(0) almacena energia.

INDUCTOR

• Reexpresando la anterior ecuación V(s) i(0) I(s)   sL s

INDUCTOR

+

Dominio del tiempo

vL(t)

iL(0)

L

–

IL(s) +

sL

VL(s)

–

– +

Li(0)

Dominio de la frecuencia

IL(s) + VL(s) –

sL

i(0) s

RESPUESTA A UN IMPULSO Para t < 0, la capacidad C1 está descargada, y la capacidad C2 tiene una tensión V0. por consiguiente V0/s 1/(sC1) R I 1/(sC2 ) La figura muestra el circuito transformado para t > 0, la capacidad será igual a:

SOLUCION

308

APLICACIÓN DE LAPLACE : CIRCUITO RCL En este circuito serie se aplica la Ley de Voltajes de Kirchhoff (LVK) que establece que la suma de voltajes en los elementos que forman una malla es igual a cero.

309

CIRCUITO RCL Sumando los voltajes alrededor de la malla, suponiendo condiciones iniciales nulas e igualando a cero, se obtiene la ecuación diferencial que modela al circuito.

d2 d LC 2 vc (t )  RC vc (t )  vc (t )  v(t ) dt dt Transformando con condiciones iniciales nulas, LCs 2Vc ( s )  RCsVc ( s)  Vc ( s)  V ( s) Despejando el cociente Salida/Entrada 1 Vc ( s) LC  2 V ( s) s  R s  1 L LC

Vc ( s ) 2 1 R 2  2     2 V ( s ) s  s   LC L 310

DIAGRAMA DE BLOQUES DEL CIRCUITO RCL

Vc ( s ) 2 1 R 2  2     2 V ( s ) s  s   LC L

311

TAREA: APLICANDO MALLAS Y LA PLACE DEMOSTRAR

312

ADMITANCIA En este método se emplean los términos de admitancia y se suman las corrientes que inciden en cada nodo del circuito, considerando que las corrientes que salen son positivas y viceversa. La suma de corrientes es igual a cero

313

EJERCICIO El circuito de la figura, en el que la fuente es continua y son datos las características de todos los elementos, ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea obtener iL(t) para t > 0.

314

SOLUCION

315

EJERCICIO2 El circuito de la figura ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición del interruptor. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea obtener iL(t) para t > 0.

316

SOLUCION2

317

EJERCICIO3 El circuito de la figura ha permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de posición de los interruptores. Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se desea obtener i1(t) e i2(t) para t > 0 y los valores iniciales y finales de tales corrientes.

318

SOLUCION3

319

320

RESISTENCIA • Resistencia, R • Dominio del tiempo v(t) = R i(t) • Laplace V(s) = R I(s)

321

CONDENSADOR Dominio del tiempo • Laplace

d v(t) i(t)  C dt I(s) = s C V(s) – C v(0)

Interpretación: un condensador cargado(un condensador con condiciones iniciales no nulas) es equivalente a un condensador no cargado en el instante incial en paralelo con una fuente impulsiva de corriente de valor C·v(0)

322

CONDENSADOR

• Reexpresando la anterior ecuación

I(s) v(0) V(s)   sC s • Interpretación: un condensador cargado(un condensador con condiciones iniciales no nulas) es equivalente a un condensador no cargado en el instante incial en serie con una fuente de voltaje escalón v(0)

323

CONDENSADOR iC(t) +

Dominio del tiempo

vC(t) –

IC(s) + VC(s) –

C

1/sC + –

v(0) s

IC(s) +

1/sC

Cv(0)

VC(s) –

Dominio de la frecuencia 324

INDUCTOR • Dominio del tiempo

• Laplace

d i(t) v(t)  L dt V(s) = s L I(s) – L i(0)

• Interpretación: un inductor con condiciones iniciales no nulas es equivalente a un inductor con condiciones iniciales nulas en serie con una fuente impulsiva de voltaje de valor L·i(0)

325

INDUCTOR

• Reexpresando la anterior ecuación

V(s) i(0) I(s)   sL s • Interpretación: un inductor con condiciones iniciales no nulas es equivalente a un inductor con condiciones iniciales nulas en paralelo con una fuente escalón de corriente de valor i(0)

326

INDUCTOR

+

Dominio del tiempo

vL(t)

+

–

L

–

IL(s) sL

VL(s)

iL(0)

– +

Li(0)

IL(s) + VL(s) –

sL

i(0) s

Dominio de la frecuencia 327

MODELACIÓN MATEMÁTICO DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO

ei (t )  L



di(t ) 1  Ri (t )  i (t )dt dt C



1 i (t )dt  eo (t ) C 328

FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

• La función de transferencia (H(s)) se define como la razón (en el dominio s) de la salida (respuesta del sistema) a la entrada (fuente). • Condiciones iniciales igual a cero. • Si el circuito tiene más de una fuente  superposición • El módulo y la fase de una función de transferencia H(jw) varían con la frecuencia de la entrada sinusoidal. – Representación gráfica de dicha variación (DIAGRAMAS DE BODE) – Comportamiento “selectivo en frecuencias” (FILTROS). 329

LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

• Representa el comportamiento dinámico del proceso • Nos indica como cambia la salida de un proceso ante un cambio en la entrada Y ( s) Cambio en la salida del proceso  X ( s) Cambio en la entrada del proceso Y ( s) Respuesta del proceso  X ( s) Función forzante

• Diagrama de bloques Entrada del proceso (función forzante o estímulo)

Salida del proceso Proceso

(respuesta al estímulo) 330

EL ROL DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE CONVIERTIENDO ECS. DIFERENCIALES A ECS. ALGEBRÁICAS

Circuito eléctrico

di (t ) 1  Ri (t )   i (t )dt dt C Aplicando la transform ada de Laplace

ei (t )  L

1 i (t )dt  eo (t )  C

1 1 I ( s) I ( s )  Eo ( s ) Cs Cs Combinando las ecuaciones (despejand o para I(s)) E i ( s )  LsI ( s )  RI ( s ) 

E i ( s )  LsCsEo ( s )  RCsEo ( s ) 





E i ( s )  Eo ( s ) LCs 2  RCs  1 Eo ( s ) 1  Ei ( s ) LCs 2  RCs  1

1 CsEo ( s) Cs

Función de transferencia

331

LA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA

Diagrama de bloques • Circuito eléctrico Ei(s)

1

Eo(s)

(Voltaje de entrada)

LCs  RCs  1

(Voltaje de salida)

2

20

10

18

9

16

8

14

7

12

6

10

5

8

4

6

3

4

2

2

0

1

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4 4

x 10

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5 332

4 4

x 10

REDES

di L  Ri2  E (t ) dt di2 RC  i2  u1  0 dt

333

REDES

E(t) = 60 V, L = 1 h, R = 50 ohm, C = 10-4 f, i1(0) = i2(0) = 0. Solución Tenemos

di1  50i2  60 dt di 50(104 ) 2  i2  i1  0 dt

di  Ri 2  E (t ) dt Si : E (t )  60V , L  1h, R  50ohm, C  10  4 f , i2 (0)  0  L

di1  50i2  60 dt di 50 x10  4 2  i2  i1  0 dt

Entonces sI1(s) + 50I2(s)= 60/s −200I1(s) + (s + 200)I2(s)= 0

334

REDES

Resolviendo lo anterior:

Así

60s  12000 6 / 5 6/5 60 I1     2 s s  100 ( s  100) 2 s ( s  100) 12000 6/5 6/5 120 I2     2 s s  100 ( s  100) 2 s ( s  100) 6 6 100t 100 t i1 (t )   e  60te 5 5 6 6 100t i2 (t )   e  120te 100t 5 5 335

LAPLACE  CIRCUITO RC Circuito RC

Ecuación diferencial R

e(t)

Laplace

C

v(t)

e( t )  RC

dv  v( t ) dt

v(0)  0

E(s)  RCsV (s)  V(s)  V(s)[1  RCs ]

E (s) V (s)  1  RCs

336

RLC - serie

Condiciones iniciales KVL

V(S) – I(S)R –I(S) LS + LiL(0) – I(S)/CS – vc(0)/S = 0 V(S) + LiL(0)– vc(0)/S = I(S)R + I(S)/CS + I(S) LS V(S) + LiL(0)– vc(0)/S = I(S)[R + 1/CS + LS]=I(S)Z(S) Z ( s )  R  Ls 

1 Cs

337

RLC - PARALELO

I(S) – V(S)/R –V(S)/LS + iL(0)/S – V(S)CS – Cvc(0) = 0 I(S) + iL(0)/S– Cvc(0) = V(S)/R + V(S)/LS + V(S)CS

I(S) + iL(0)/S– Cvc(0) = V(S)[1/R + 1/LS + CS] = V(S)Y(S)

1 1 Y ( s)  Cs   R Ls

338

Ejemplo  impedancia

339

Ejemplo  equivalente Thevenin

:

340

Ejemplo  equivalente Thevenin

1 + 2s 2s 2(1s+1)

341

Ejemplo Dominio del tiempo

Dominio de la frecuencia

Condiciones iniciales nulas  respuesta a la entrada escalón

342

Ejemplo Divisor de tensión

343

Ejemplo

7t)

344

DIAGRAMAS DE BODE

El diagrama de Bode es una forma muy útil de representar la ganancia y la fase de la respuesta de un sistema en función de la frecuencia de la señal de entrada. Normalmente se le llama comportamiento del sistema en el dominio de la frecuencia. Contribuciones de constantes, polos y ceros de distinta naturaleza.

Construcción de diagramas de Bode Diagrama de Bode de H(jw)

|H(jw)| en decibelios

Escala logarítmica

H(jw) en grados ¿Cómo se construye el diagrama de Bode de cualquier función de red?

Construcción de diagramas de Bode Contribución de una constante

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un cero

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un polo

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un cero real

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un polo real

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un ceros complejos conjugados

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de polos complejos conjugados

Construcción de diagramas de Bode Resumen de contribuciones

Ejemplo

Diagramas de Bode

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

Frecuencia (rad/s)

10

10

10

10

10

10

10

Frecuencia (rad/s)

Ejemplo 1

Bode exacto

Constante Polo real

Ejemplo 2

Bode exacto Constante Polo real Polo real Cero real

Ejemplo 3

-20 dB/década

-40 dB/década

Bode exacto Constante Polo Origen Polo real Cero real

-20 dB/década

Ejemplo 4

-20 dB/década Bode exacto Constante Polo real  -10 Polo real  -1, doble Cero origen

-40 dB/década

Ejemplo 5

40 dB/década

Bode exacto Bode asintótico Constante Polo origen, doble Polo real  -100 Cero complejo

Pico resonancia -40 dB/década

Filtros •

Filtro pasa baja: Son aquellos que introducen muy poca atenuación a las frecuencias que son menores que una determinada, llamada frecuencia de corte. Las frecuencias que son mayores que la de corte son atenuadas fuertemente.

•

Filtro pasa alta: Este tipo de filtro atenúa levemente las frecuencias que son mayores que la frecuencia de corte e introducen mucha atenuación a las que son menores que dicha frecuencia.

•

Filtro pasa banda: En este filtro existen dos frecuencias de corte, una inferior y otra superior. Este filtro sólo atenúa grandemente las señales cuya frecuencia sea menor que la frecuencia de corte inferior o aquellas de frecuencia superior a la frecuencia de corte superior. por tanto, sólo permiten el paso de un rango o banda de frecuencias sin atenuar.

•

Filtro elimina banda: Este filtro elimina en su salida todas las señales que tengan una frecuencia comprendida entre una frecuencia de corte inferior y otra de corte superior. Por tanto, estos filtros eliminan una banda completa de frecuencias de las introducidas en su entrada.

Filtros •

Un filtro es un elemento que discrimina una determinada frecuencia o gama de frecuencias de una señal eléctrica que pasa a través de él, pudiendo modificar tanto su amplitud como su fase.

•

Octava: Dos frecuencias están separadas una octava si una de ellas es de valor doble que la otra.

•

Década: Dos frecuencias están separadas una década si una de ellas es de valor diez veces mayor que la otra.

•

Frecuencia de corte: – –

Es la frecuencia para la que la ganancia en tensión del filtro cae de 1 a 0.707(1/ raíz de dos) La ganancia del filtro se reduce en 3dB de la máxima

•

Banda de paso: Es el rango de frecuencias que el filtro deja pasar desde la entrada hasta su salida con una atenuación máxima de 3dB. Toda frecuencia que sufra una atenuación mayor quedaría fuera de la banda pasante o de paso.

•

Banda atenuada: Es el rango de frecuencias que el filtro atenúa más de 3dB.

Filtros pasa baja

Filtros pasa alta

Filtros pasa banda

Filtros • Orden del filtro: – Filtro de primer orden: atenúa 6dB/octava (20dB/década) fuera de la banda de paso. – Filtro de segundo orden: atenúa 12dB/octava (40dB/década) fuera de la banda de paso. – Filtro de tercer orden: atenúa 18dB/octava (60dB/década) fuera de la banda de paso. .......................................................................... – Filtro de orden n: atenúa (6n)dB/octava (20ndB/década) fuera de la banda de paso.

Filtros  circuito RC R

e(t)

C

v(t)

• En el dominio de la frecuencia el circuito es equivalente a un divisor de tensión con dos impedancias. • El valor del voltaje de salida dependerá del valor de la reactancia capacitiva y esta a su vez de la frecuencia de la señal de entrada • A frecuencia altas, la reactancia será baja y la mayoría de la caída de tensión se producirá en la resistencia • A frecuencia bajas, la reactancia será alta y la mayoría de la caída de tensión se producirá en el condensador • El circuito discrimina la frecuencia de la señal de entrada

367

circuito RC Ecuación diferencial R

e(t)

Laplace: E (s) V (s)  1  RCs

C

v(t)

e( t )  RC

dv  v( t ) dt

v(0)  0

E(s)  RCsV (s)  V(s)  V(s)[1  RCs ]

1 H ( s)  1  RCs

s  j

Magnitud de la función de transferencia 368

circuito RC Magnitud de la función de transferencia:

369

circuito RC

Frecuencia de corte • •

Las señales de frecuencia superior a la frecuencia de corte sufren una atenuación superior a 3dB Por ello se dice que este circuito es un filtro que solo deja pasar las frecuencias inferiores a la frecuencia de corte

circuito RC Si tomamos como salida la caída de tensión entre los terminales de la resistencia La magnitud de la función de transferencia

circuito RC

Frecuencia de corte • •

Las señales de frecuencia inferior a la frecuencia de corte sufren una atenuación superior a 3dB Por ello se dice que este circuito es un filtro que solo deja pasar las frecuencias superiores a la frecuencia de corte

RESPUESTA EN FRECUENCIA

373

RESONANCIA EN PARALELO La resonancia es la condición que existe en todo sistema físico cuando una excitación senoidal de amplitud constante produce una respuesta máxima.

Para una red eléctrica la resonancia es la condición que existe cuando la impedancia de entrada de la red es puramente resistiva. Una red está en resonancia cuando el voltaje y la corriente de las terminales de entrada se encuentran en fase.

374

CIRCUITO RESONANTE EN PARALELO

ILC

Y

IL I

R

L

IC C

La frecuencia resonante 0 V

1 LC 1 f0  2 LC

0 

Ys   C 

1 2 RC

s    jd s    jd  s d  02   2

1 1    j  C   R L  

rad/s Hz

Ys  

1 1  sC  R sL s 2  s / RC  1 / LC Ys   C s

La frecuencia resonante natural d

d  02   2

375

PATRÓN DE POLOS Y CEROS

Patrón de polos y ceros para la admitancia

Patrón de polos y ceros para la impedancia

jw0 jwd

w0

jwd

Plano s

Plano s

Y(s)

Z(s)





jwd

jwd

376

RESPUESTA EN FUNCIÓN DE LA FRECUENCIA El máximo ocurre en w0. |I|R

0.707|I|R

IC,0 = IL,0 = j0CRI 1

0

2 377

FACTOR DE CALIDAD Q

Q = factor de Calidad = 2

Q  2

Máxima energía almacenada Energía total perdida por ciclo

wL t   wC t max PRT

it   I m cos 0t

vt   Ri t   RI m cos 0t

1 2 I m2 R 2C wC t   Cv  cos 2 0t 2 2 2 2 2 I RC 1 2 1  t wL t   LiL  L  vdt   m sen 2 0t  2 2  0 2 I m2 R 2C wt   2

PR  12 I m2 R PRT 

1 2 ImR 2 f0

I m2 R 2C / 2 Q0  2 2 2  2f 0 RC  0 RC I m R / 2 f0 Q0  R

C R R   L X C ,0 X L,0 378

OTRAS RELACIONES

Relaciones entre Q0,  y d



 1 1   0 2 RC 2(Q0 / 0C )C 2Q0

 1   d  0 1    2Q0  Entonces

1 1 s RC LC s 2  2s  02

2

s 2  2z0s  02

s2 

z 

 1  0 2Q0

Donde z es el factor de amortiguamiento 379

Variación de los ceros Cuando R>= ½L/C la respuesta del circuito es subamortiguada y  varia de 1/LC hasta 0 y Q0 varia de ½a

Q= R=

j0 jd

Q= ½ R

Los dos ceros de la admitancia se mueven en un círculo cuando R cambia de ½L/C a .

1 L 2 C

0

Y(s)



0 jd j0

380

Ancho de banda El ancho de banda (de media potencia) de un circuito resonante se define como la diferencia de dos frecuencias de media potencia. Si 1 es la frecuencia inferior de mitad de potencia y 2 es la frecuencia superior de mitad de potencia, entonces

  2  1 Los valores los encontramos cuando el voltaje vale 0.707 de su valor máximo. Expresemos ahora el ancho de banda en términos de Q0 y de la frecuencia resonante

381

La admitancia de circuito RLC en paralelo Y

en términos de Q0

Y

1 1    j  C   R  L 

1 1  0CR 0 R    j   R R  0 0 L 

  0   1 Y  1  jQ0    R  0  

o

Para que la magnitud de Y sea 2/R, debemos obtener las frecuencias en las que la parte imaginaria tenga magnitud igual a 1.       Q0  2  0   1 y Q0  1  0   1  0 2   0 1 

Al resolver tenemos

2    1  1    1  0  1     2Q0  2Q0   2    1  1    2  0  1     2Q0  2Q0  

382

La diferencia entre estas expresiones proporciona una formula muy simple para el ancho de banda

0   2  1  Q0 Los circuitos con Q0 mas alta presentan un ancho de banda mas estrecho y tienen una selectividad de frecuencia o calidad superior. También se cumple

02  12 0  12 383

Ejemplo 1 R = 0.500 L = 0.200 C = 0.200  = 5.00 0 = 25.00 d = 24.49 Q0 = 2.50 z = 0.20 1 = 20.50 2 = 30.50 ancho de banda = 10.00

384

Ejemplo 2 R = 1.000 L = 0.200 C = 0.200  = 5.00 0 = 25.00 d = 24.87 Q0 = 5.00 z = 0.10 1 = 22.62 2 = 27.62 ancho de banda = 5.00

385

Aproximaciones para circuitos de alta Q Un circuito de alta Q es un circuito en el cual Q0 es igual o mayor que 5

Dado que Entonces:

0  2Q0

  12 

Y las ubicaciones de los ceros se podrían aproximar por

s1, 2    jd   12   j0 386

jwd

En el circuito de alta Q, Cada frecuencia de media Potencia se ubica aprox. A la mitad del ancho de Banda a partir de la frecuencia resonante

½

j2  j(0 + ½)

jd  j0 j1  j(0 – ½)

s2

Plano s Y(s) 

–½

387

Las ubicaciones de las dos frecuencias de media potencia también se pueden aproximar

1, 2

2    1    1   0 1  1     0  1    2Q  2 Q 2 Q   0 0   0   

o

1, 2  0  12 

s = j s – s2

La admitancia esta dada de manera aproximada por

 j 20 s  s 2  Ys   C  2C s  s 2  j0

s = j0

s2

½ 388

s  s 2  12   j   0  Sustituyendo

   Ys   2C  12  1  j 1 0  2     1 Ys   1  j 1 0  R 2 

La parte imaginaria de esta ecuación vendría siendo el numero de mitades de ancho de banda de resonancia y se abreviaría por medio de N, quedando así: Ys  

1 1  jN  R

donde

  0 N  2

389

La magnitud de la admitancia es

Ys  

1 1  jN R

Y el ángulo estará dado por la tangente inversa

angYs   tan 1 N

390

Resonancia en serie RS

LS

CS

VS

Frecuencia 0 es la frecuencia a la que la parte imaginaria de la frecuencia de entrada se hace cero.

0 s 

1 Ls Cs

El factor de calidad esta dado por

0 s Ls Q0 s  RS 391

Resonancia en serie Las dos frecuencia 1s y 2s se definen como las frecuencias a las cuales la magnitud de la impedancia es 2 la magnitud mínima de la impedancia. Estas también son las frecuencias a las cuales la respuesta de corriente es igual al 70.7 % de la respuesta máxima.    0s   

1s , 2 s  

2

     0s  

 1    1 1    2Q0 s  2Q

1  0 s   s 2

Donde  s es la diferencia entre la frecuencia superior e inferior de la mitad de potencia . Este ancho de banda de la mitad de potencia esta dado por

 s   2  2 

0 s Q0 s 392

Resonancia en serie La impedancia de entrada también puede expresarse en forma aproximada para circuitos con valores altos de Qs.

Z s  Rs 1  jN s   Rs 1  N s2 /_ tan 1 N s Donde

N

  0 s 1 s 2

El circuito resonante en serie se caracteriza por una baja impedancia resonante 393

Resumen ILC

RS IL

I

V

R

L

IC C

Q0  0 RC 

LS

1 2 RC

  0  1 Yp  1  jQ   R  0  

I L  j0   I C  j0   Q0 I j0 

CS

VS

0 L Q0  R R  2L VL  j0   VC  j0   Q0 V  j0     0  Z s  R 1  jQ0     0   

394

Tabla de expresiones Expresiones exactas

0 

Expresiones aproximadas

1 LC

 1   d  02   2  0 1    2Q0  2    1  1    1, 2  0  1   2Q0  2Q0       N 1 0 2

  2  1 

0  2 Q0

Q0 >=5

0.90<= || <=1.10

d = 0

2, 1 = 0  ½ 

2

1 0  1  2  2 1 N Yp   tan 1 N R Z s  R 1  N 2 tan 1 N

395

Tarea Un circuito resonante serie tiene un ancho de banda de 100 Hz y contiene una inductancia de 20 mH y una capacitancia de 2 F. Determine a) f0, b) Q0, c) Zent y d) f2.

796 Hz, 7.96, 12.57 + 0j Omhs, 846 Hz

396

Otras formas resonantes Circuito RLC paralelo más realista y su equivalente para un rango limitado de frecuencias.

R1 Y C

R2

Le

Ce

Re

L

397

La frecuencia angular resonante se encuentra haciendo cero:

 1  1  ImY j  Im  jC  R1  jL   R2 Resolviendo, obtenemos

C

L R12  2 L2

0 

1  R1    LC  L 

2

398

Ejemplo Sean R1 = 2 Ohms, L = 1H, C = 1/8 F y R2 = 3 Ohms. 0 = 8 – 22 = 2 rad/s Y = 1/3 + j2(1/8) + 1/(2 + j(2)(1)) = 1/3 + 1/4 = 0.583 S

Z(2j) = 1/0.583 = 1.714 Ohms Si R1 fuera cero 0 = 2.83 rad/s Z(2.83j) = 1.947/_-13.26° Ohms Frecuencia del máximo m = 3.26 rad/s Z(3.26j) = 1.980/_-21.4° Ohms 399

Grafico de la impedancia del ejemplo 1.980

1.947

1.714

0= 2

2.83 sin R1

3.26 máximo

400

Transformación serie paralelo El factor de calidad Q se puede definir para cualquier frecuencia, no necesariamente la de resonancia.

Puede mostrarse que para las redes serie y paralelo de las figuras el valor de Q esta dado por la expresión correspondiente. Rs

Ys

jXs

Qs = |Xs|/Rs

Yp

Rp

Qp = Rp/|Xp|

jXp

401

Para que las dos redes sean equivalentes se debe cumplir lo siguiente Ys 

R  jX s 1 1 1  s2  Y   j p Rs  jX s Rs  X s2 Rp Xp

Esto se cumple si Rs Xs 1 1  y  Rs2  X s2 R p Rs2  X s2 X p

Dividiendo ambas Rs X p  X s Rp

Las Q’s de las dos redes deben ser iguales Qs = Qp = Q, por tanto R p  Rs (1  Q 2 )  1  X p  X s 1  2   Q  402

Ejemplo En  = 1000 rad/s, encuentre la red paralela equivalente a la red serie R p  Rs (1  Q 2 )  1  X p  X s 1  2   Q 

100 Ohms

Rp = 100 (1 + (8*1000)2/1002) 8H

= 640 kOhms Xp = 8*1000(1 + 1/ ((8*1000)2/1002)) = 8000 = 1000*Lp

Lp = 8 H

403

Ejemplo 2 Suponga una red serie RLC con R = 20 , L = 10 mH y C = 0.01 F. La red es exitada por una fuente de 0.5 V y se desea medir el voltaje en el capacitor con un voltímetro con 100000  de resistencia interna. Antes de conectar 0 = 105 rad/s, Q0 = 50 y VC = 25 V.

El arreglo del capacitor en paralelo con la resistencia del voltímetro es equivalente a un arreglo serie de un capacitor y una resistencia. Para calcular los valores del circuito equivalente se debe suponer que la frecuencia de resonancia es también de 105 rad/s, la Q de la red RC estará dada por Q = Rp/|Xp| = RC = 100 Los elementos equivalentes son Cs = Cp y Rs = Rp/Q = 10  La nueva Q del circuito RLC es 33.3.

El voltaje en el arreglo serie es |VC| = (0.5/30)|10 – j1000| = 16.67 V 404

Tarea Dados una resistencia de 10  en serie con un condensador de 10 F, determinar los dos elementos en el equivalente en paralelo si  = : a) 200, b) 1000, c) 5000 rads/s. Resp. : 50 , 8 F; 1 k , 10 F; 25 k , 10 F Para  = 105 rads/s, hallar el valor eficaz de Q para las redes RC de dos terminales que se muestran en las figuras +---+---+ | | R1 C | | +---+---+

+---R2---+---+ | | R1 C | | +--------+---+

+---+---R2---+---+ | | | R3 R1 C | | | +---+--------+---+

R1 = 4 k, R2 = 10 , R3 = 500 , C = 5F

Resp. : 2, 10, 20 405

Cambio de Escala El Procedimiento de cambio de escala nos permite analizar redes formadas por elementos con valores prácticos haciendo un cambio de escala para permitir cálculos numéricos mas convenientes, tanto en magnitud como en frecuencia.

406

En el siguiente ejemplo los valores poco prácticos de sus elementos nos llevan a la improbable curva de respuesta.

Z

2.5 

½H

2F

407

Cambio de Escala El cambio de escala en magnitud: se define como el proceso por medio del cual la impedancia de una red de dos terminales aumenta por un factor de Km y la frecuencia permanece constante.

408

Cambio de Escala en Magnitud Por consiguiente “la red sufrira un cambio de escala en magnitud por un factor de 2”, esto significa que la impedancia de la nueva red sera el doble de la red original: Los siguientes cambios darán como resultado la red con otra escala en magnitud por el factor Km :

R  Km R L  Km L C

C Km

Cambio de escala en magnitud

409

Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:

Z

Z

2.5 

2F ½H

10–3 F

5 k 1000 H

410

La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en el eje vertical, no es necesario hacer ningún otro cambio en la curva de respuesta anterior.

411

Cambio de Escala en Frecuencia El cambio de escala en frecuencia se define como el proceso por medio del cual la frecuencia a la que ocurre cualquier impedancia aumenta por un factor Kf

Al igual que en el caso anterior “la red sufre un cambio de escala en frecuencia por un factor de 2”.

El cambio de escala se logra cambiando la escala en frecuencia de cada elemento pasivo.

412

Los cambios necesarios en cada elemento pasivo para hacer un cambio de escala en frecuencia por un factor Kf son:

RR

L C

L Kf

Cambio de escala en frecuencia

C Kf

413

Haciendo el cambio del circuito anterior obtenemos:

Z

10–3 F

5 k 1000 H

Z

200 pF

5 k 200 H

414

La curva de respuesta indica que, aparte de un cambio de escala en el eje horizontal, no es necesario hacer ningún otro cambio en la curva de respuesta anterior.

415

Una impedancia dada como función de s también puede cambiar su escala, sea en magnitud o en frecuencia.

Para un cambio de escala en magnitud de Z(s): solo multiplicamos Z(s) por el factor Km . Ejemplo: La impedancia Z´(s) de la red con cambio de escala en magnitud es:

Z´(s)=Km Z(s)

416

Para el cambio de escala en frecuencia: Z´´(s)=Z´

 s  K  f

   

Siempre y cuando Z´´(s) y Z´(s) deben dar valores idénticos de impedancia

Estos dos tipos de cambios de escala también pueden ser realizados a las fuentes dependientes

417

Tarea Un circuito resonante en paralelo tiene una frecuencia de resonancia 2500 rad/s, un ancho de banda de 100 rad/s y una inductancia de 200 mH. Halle el nuevo ancho de banda y capacitancia si se emplea una escala en el circuito en a) la magnitud por un factor de 5; b) la frecuencia por un factor de 5; c) magnitud y la frecuencia por factores de 5.

Una tensión V(s) aplicada a una red dada produce una salida I2(s) = (2s+5)/(3s2 + 4s+ 6)A. Hallar I2(s) si la red tiene una escala en a) frecuencia por un factor de 2; b) magnitud por un factor de 2; c) frecuencia y magnitud por factores de 2; b)

418

Diagramas de Bode Definición: Una magnitud en decibeles se obtiene tomando el logaritmo en base 10 de la magnitud y multiplicando por 20. HdB = 20 log|H(j)| La operación inversa es: |H(j)| = 10(H

/20)

dB

Algunos valores comunes son:

|H(j)| = 1  HdB = 0 dB |H(j)| = 2  HdB = 6 dB |H(j)| = 10  HdB = 20 dB |H(j)| = 10n  HdB = 20n dB

20 log 5 = 20log(10/2) = 20log10 – 20log2 = 20 – 6 = 14 dB 2 20log21/2 = 10x0.3 = 3dB 1/2  3dB 419

Ejemplo Gráfico de Bode para la magnitud de un cero simple

Hs   1 

j 2 H j   1   1 2 a a H dB

HdB = 0 si  << a

s a

j 2  20 log 1   20 log 1  2 a a HdB = 20 log(/a) si  >> a Diagrama de Bode

w = logspace(-2,2,100); a = 1; H = 1 + j*w/a; HdB = 20*log10(abs(H)); semilogx(w,HdB)

420

Gráfico de Bode para la fase de un cero simple

H(s)| = 1 + s/a

ang H(j) = ang(1+j/a) = tan1/a ang H(j) = 0° si  < 0.1a

ang H(j) = 90° si  > 10a Diagrama de Bode

w = logspace(-2,2,100); a = 1; H = 1 + j*w/a; Hang = angle(H); semilogx(w,Hang) axis([0.01,100,0,2.5])

421

1k

20 F

s Vent

4k

+ Vx

+ Vx 200

Vsal 10 nF

5k -

|H(s)| = 2s/(1 + s/10)(1 + s/20000) 2  6 dB s 20 dB/década en 0 1 + s/10  20 dB/década en 10 1 + s/20000  20 dB/década en 20000

40 20

1

101

102

103

104

1 +s/10

105

106

1 +s/20000

cruza por 0 en  = 400,000 w = logspace(-1,6,100); H = -2*j*w./((1 + j*w/10)... .*(1 + j*w/20000)); HdB = 20*log10(abs(H)); semilogx(w,HdB) axis([0.1,10e6,-20,40]) grid 422

H(s)| = 2s/(1 + s/10)(1 + s/20000) 2  6 dB s 20 dB/década en 0 1 + s/10  20 dB/década en 10 1 + s/20000  20 dB/década en 20000

1

101

102

103

104

105

106

-90

w = logspace(-1,6,100); H = -2*j*w./((1 + j*w/10)... .*(1 + j*w/20000)); Hang = atan(imag(H)./real(H))... *180/pi-180; semilogx(w,Hang) grid

423

Algunas consideraciones Un término sn representa una magnitud que pasa por  = 1, con una pendiente de 20n dB/década, la respuesta en fase es un ángulo constante de 90n°.

Un cero múltiple (1+ s/a)n representa la suma de n curvas de respuesta en magnitud o fase de un cero simple. Por tanto se obtiene una respuesta de 0 dB para a. el error es –3n dB en a, y –n dB en 0.5a y 2a. El diagrama de fase es 0° para <0.1a, 90n° para >10a, 45n° para =a, y una línea recta con pendiente de 45n°/década para 0.1a<<10a. El error es 5.71n° en las dos frecuencias.

424

Ejemplo Haga el diagrama de la función H(s) = (1 + s/10)/((1 + s/500)(1 + s/10,000)2) (1+s/10) 30

20 10

1

101

102

103

104

105

1 +s/500 (1 +s/10,000)2 425

Pares complejos conjugados |H(s)| = 1 + 2z(s/0) + (s/0) HdB = 20 log|H(s)| = 20 log|1 + j2z(/0)  (/0)2| Si z = 1 se tiene un cero de segundo orden. Se tiene una asíntota en 0dB y otra que corresponde al término cuadrático de –40 dB/década. Para  =  0 hay que hacer un ajuste, HdB = 20log(2z) Si z = 0.1, HdB = –14 dB. w = logspace(-2,1,100); w0 = 1; zeta = 1; H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -... (w/w0).^2; HdB1 = 20*log10(abs(H1));

z=1 z = 0.5

z = 0.25 z = 0.1 426

ang H(s) = tan1(2z(/0)/(1  (/0)2)) Debajo de  = 0.10 ang H(s) = 0°

Arriba de  = 100 ang H(s) = 180° Para  = 0 ang H(s) = 90° z=1

z = 0.5

w = logspace(-2,2,100); w0 = 1; zeta = 1; H1 = 1 + 2*zeta*j*w/w0 -... (w/w0).^2; Hang1 = angle(H1)*180/pi;

z = 0.25

z = 0.1 427

Ejemplo H(s) = 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2))

w = logspace(-1,3,100); w0 = 100; zeta = 0.1; H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 + ... 2*zeta*j*w/w0 - (w/w0).^2)); HdB = 20*log10(abs(H)); semilogx(w,HdB)

428

Ejemplo ang H(s) =ang( 10s/((1 + s)(1 + 2(0.1)(s/100)+ (s/100)2)))

w = logspace(-1,3,100); w0 = 100; zeta = 0.1; H = 10*j*w./((1+j*w).*(1 +... 2*zeta*j*w/w0 - (w/w0).^2)); Hang = angle(H)*180/pi; semilogx(w,HdB)

429

Tarea Haga el diagrama de Bode de magnitud de H(s) = 1000s2/(s2+5s+100)

430

DIAGRAMAS DE BODE El diagrama de Bode es una forma muy útil de representar la ganancia y la fase de la respuesta de un sistema en función de la frecuencia de la señal de entrada. Normalmente se le llama comportamiento del sistema en el dominio de la frecuencia. Contribuciones de constantes, polos y ceros de distinta naturaleza.

431

BODE: RESPUESTA EN FRECUENCIA

RESPUESTA EN FRECUENCIA

El análisis de respuesta en frecuencia: • Las pruebas de respuesta en frecuencia son fáciles de realizar. • Se pueden determinar fácilmente funciones de transferencia complejas. • Es un método alternativo para el diseño y control de sistemas lineales. • Casi siempre existe una correlación entre la respuesta en frecuencia y la respuesta transitoria en el tiempo.

La respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado estacionario de un sistema ante una entrada senoidal. Un sistema lineal invariante en el tiempo, si es afectado por una entrada senoidal de amplitud R y frecuencia 0, su salida seguirá siendo senoidal de la misma frecuencia 0 pero probablemente con otra magnitud C y fase  r (t )  R sen0t

Sistema

c(t )  C sen (0t   )

Entrada

Salida

t

r (t )  R sen0t c(t )  C sen (0t   )

Figura1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.

Respuesta en frecuencia La transformada de Laplace de la salida del sistema de la figura 1 es:

C ( s )  G ( s ) R( s ) como es un análisis senoidal, se cambia la variable compleja s por

j

C ( j )  G ( j ) R( j ) donde cada componente tiene magnitud y fase, ejemplo

C ( j)  C ( j) C ( j) La relación de la salidaC ( j ) entre la entrada llama función de transferencia senoidal:

R ( j )en el régimen senoidal permanente se

C ( j ) G ( j )  R( j )

Respuesta en frecuencia Gráficas polares

G ( polares j ) al en coordenadas

Es una representación de la magnitud y ángulo de fase de variar el valor de de cero a infinito.  La función de transferencia senoidal puede ser vista: • En su representación de magnitud y fase:

G( j)  G( j) G( j) • En expresarse en términos de sus parte real e imaginaria.

G( j)  ReG( j)  ImG( j) ReG ( j )

Im

 

G ( j )

0

G( j ) 

G( j )

Re

ImG( j )

Figura 2. Gráfica polar de .

G ( j )

Respuesta en frecuencia Ejemplos de gráficas polares: 75 Obtener la gráfica polar de G( s)  s5

j

Solución. Como primer paso se cambia a variable compleja s por

G ( j ) 

75 75  j  5 5  j

El siguiente paso es separar el valor real y el imaginario (solo para facilitar el cálculo). Para esto se multiplica y divide por el complejo conjugado del denominador de

G ( j )

75 5  j 375  j 75 G ( j )    5  j 5  j 25   2

G( j )  ReG( j )  ImG( j ) 

375 25  

2

j

para plasmar este resultado en la gráfica polar, es necesario evaluar

y se tiene

75 25   2 G ( j )

Respuesta en frecuencia en diferentes frecuencias desde frecuencias. Si

  entonces: 0 G ( j 0)  ReG ( j 0)  ImG ( j 0) 

Si

75(0)  j  15 2 2 25  (0) 25  (0)

 5 G ( j5)  ReG ( j5)  ImG ( j5) 

Si

375

  G ( j)  ReG ( j)  ImG ( j) 

Si

  solo para algunas de las . Se evaluarán

hasta 0

  2.88675 G ( j 2.88675 ) 

375

75()  j  0  j0 2 2 25  () 25  () 375

375

75(5)  j  7.5  j 7.5 2 2 25  (5) 25  (5)

75(2.88675 )  j  11.25  j 6.49519 2 2 25  (2.88675 ) 25  (2.88675 )

Respuesta en frecuencia Si

  8.66025 G ( j8.66025 ) 

375 25  (8.66025 )

2

j

75(8.66025 ) 25  (8.66025 )

2

 3.75  j 6.49519

Dependiendo de la experiencia y de lo complicado de la gráfica polar, se necesitarán más o menos frecuencias a evaluar. Im

 

0 Re

Figura 2. Gráfica polar de .

  8.66025

 5

  2.88675

G( s) 

75 s5

Respuesta en frecuencia

Criterio de estabilidad de Nyquist

Respuesta en frecuencia Criterio de estabilidad de Nyquist

Fundamentos: Transformación de contornos en el plano s Suponga que se quiere transformar una serie de valores de s en el plano s, donde todos ellos  forman una trayectoria cerrada o contorno ( ), utilizando la función

F ( s)  2s  1 j

-1

jv

Plano F(s)

Plano s

1



F ( s)  2s  1

-1

1

2

3

u

Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene su representación en el plano F(s). Se evalúan todos los puntos del contorno y se obtiene un contorno en el plano F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva la misma forma que el contorno del plano s, (Transformación conforme). Ambos contornos se consideran que tienen un sentido positivo.

Respuesta en frecuencia Ahora, se transforma el mismo contorno en plano s, utilizando otra función de transformación:

jv

j d -1

c

d

Plano s

a



1

b

s F ( s)  s3

Plano F(s)

a u

c

b

En este caso la transformación es no conforme pero conserva el sentido positivo.

Existe una característica muy interesante que ocurre cuando el contorno del plano s encierra a ceros o polos la función: 1.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en el mismo sentido del contorno en plano s

Respuesta en frecuencia 2.- Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen. jv Plano F(s)

j

a

d -1

d

Plano s



1

b

c

a

s F ( s)  s3

u

b

c

3.- Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la función, el contorno en el plano F(s) encierra al origen en sentido contrario. jv Plano F(s)

j Plano s a

d

a



-3

c

d

b

F ( s) 

s s3

u

b c

Respuesta en frecuencia 4.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un polo de la función, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen. jv Plano F(s)

j a Plano s

d

c



-3

b

d

F ( s) 

s s3

a u

b c

Todos estos resultado son consecuencia del principio del argumento (teorema de Cauchy).

s

Teorema de Cauchy (Principio del argumento). Si un contorno en el plano s rodea Z cero y P polos de F(s) y no pasa a través de ningún polo o cero de F(s) cuando el recorrido es en la dirección del movimiento del reloj a lo largo de contorno, el contorno correspondiente en f el plano F(s), rodea al origen de dicho plano, veces en la misma dirección.

N Z P

Respuesta en frecuencia El criterio de Nyquist Sea la ecuación característica

F ( s )  1  P( s ) 

k in1 ( s  si ) m k 1 ( s  sk )

0

Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F(s) deben de estar localizados en la parte izquierda del plano s. Por tal motivo se escogen un contorno en el plano s que encierre toda la parte derecha s del plano y por medio del teorema de Cauchy se determina que ceros están dentro de . Esto se logra graficando en el plano F(s) y observando el número de rodeos s al origen. f

Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo abierto P(s) por ser relativamente más sencillo, entonces:

F ( s )  1  P( s )



F ' ( s )  F ( s )  1  P( s )

Con este cambio de variables los rodeos se analizan sobre el punto del plano F(s)

( 1  j 0)

Respuesta en frecuencia j

jv

Plano s 

s

F(s)



Plano F(s)

P -1

u

Contorno de Nyquist. Gráfica polar de P(s).

Criterio de estabilidad de Nyquist Un sistema de retroalimentación es estable si y solamente si, el contorno enel P plano P(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el número de polos de P(s) en la parte derecha del plano s es cero. .

Un sistema de control con retroalimentación es estable si y solamente si, en el contorno el  número de rodeosP al punto (-1 +j 0) en el sentido contrario al movimiento del reloj es igual al número de polos de P(s) con partes reales positivas.

Respuesta en frecuencia Estabilidad relativa y criterio de Nyquist

(1  j 0)

El criterio de estabilidad de Nyquist se define en términos del punto polar. La proximidad a ese punto determina la estabilidad relativa de un sistema.

.

en la gráfica

jv

-1

d

u

El margen de ganancia se define como el recíproco de la ganancia frecuencia en que el ángulo de fase alcanza 180°, es decir cuando

GH ( j ) para la v  0.

.

.

El margen de ganancia es el factor por el cual se tendrá que multiplicar la ganancia del sistema para que el lugar geométrico pase a través del punto

( 1  j 0).

.

Margen de ganancia =

1 d

Respuesta en frecuencia Otra medida de la estabilidad relativa es el margen de fase, que se define como el ángulo de GH ( j ) fase que se debe girar el lugar geométrico para que el punto de magnitud unitaria GH ( j)  1 pase a través del punto en el plano

( 1  j 0)

.

GH ( j ).

mf   f

jv

u

-1

GH ( j)  1

Margen de fase (mf

)

Respuesta en frecuencia Ejemplo: Realice la gráfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de:

G( s)  Solución Para realizar el contorno   j

  0   0

primero p se divide el contorno

Plano s

T1



s 

T4

T3

T2

   j

Contorno

s

K s( s  4)( s  5) en cuatro  tramos: s

Tramo 1 (T1). Se evalúa la función desde la frecuencia hasta , (gráfica   0 polar).    Tramo 2 (T2). Desde la frecuencia ala frecuencia j  cambia   jla variable s de la función por . En este caso se j donde representa un radio de valor y einfinito es j una evaluación angular de 90º a -90º.

e

Tramo 3 (T3). Se evalúa la función desde la frecuencia hasta , (espejo  de jla gráfica polar).   0

Respuesta en frecuencia Tramo 4 (T4). Desde la frecuencia ala frecuencia 0 . En este caso se cambia  0 la variable s de la función por donde representa un radio de  valor e j muy pequeño y es una evaluación angular de -90º a 90º. El tramo se e j diseña para rodear a posibles ceros o polos en el origen de la función a evaluar.

T1. Se cambia en la función la variable s por

y se obtiene j la gráfica polar

K K K G( s)   G ( j )   s( s  4)( s  5) j ( j  4)( j  5)  j 3  5 2  4 2  j 20 se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del denominador

G ( j ) 

K



 9 2  j ( 20   2 )

 9  j ( 20   )  9 2  j ( 20   2 ) 2

2

Respuesta en frecuencia (20   2 ) K

 9K

G( j )  4 j 5 2   41  400   41 3  400 Para obtener la gráfica polar se evalúa la ecuación resultante desde

hasta

 

0 G (0) 

 9K (0)4  41(0)2  400

j

( 20  (0)2 ) K (0)5  41(0)3  400 (0)



0

9K  j 400

  G (0) 

 9K 4

2

()  41()  400

j

(20  ()2 ) K 5

3

()  41()  400 ()

 0  j 0

Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar valores muy pequeños para aproximar y valores muy grande   0de paraaproximar cuando 

  .

Respuesta en frecuencia Entonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la gráfica polar. como a la frecuencia valor , el  es final es se tiene  0 que  j la 0 gráfica polar llega a cero por el cuadrante superior izquierdo. Como se inició en el cuadrante inferior izquierdo, existe un cruce por el eje real y su valor se obtiene al igualar a cero la parte imaginaria de la ecuación resultante:

(20   2 ) K 0j 5   41 3  400 0  20   2    20 y esta frecuencia se evalúa en la parte real

 9K Re( )  ( 20 ) 4  41( 20 ) 2  400  1K Re( )  180

jv

 

 K 180

u

 j  0 Figura. Gráfica polar.

Se obtiene otro punto para la gráfica. Con ellos se dibuja de manera aproximada la gráfica polar. (Nota: para una mejor aproximación de la gráfica, se pueden evaluar más frecuencias)

Respuesta en frecuencia T2. Se cambia en la función la variable s por

K G( s)  s( s  4)( s  5)

G ( j ) 



y se  evalúa e j desde 90º a -90º

G ( j ) 

e j ( e j  4)( e j  5)

 j 3   0 e e j ( e j )( e j ) e j 3

K

  j

K

Plano s



s

  0   0



T2    j

Contorno

s

K

Infinito pequeño Infinito pequeño

j 90 El punto el plano s mapea al punto e en  j 3(90F(s) º ) . 90º en 0eelplano 0 j80 El punto e en el plano s mapea al punto 240º F(s). 0elplano j 30 El punto e en el plano s mapea al punto elplano 090º F(s).

.

.

.

en en

Se evalúan todos los puntos posible hasta deducir que el tramo 2 forma en el plano F(s)

Respuesta en frecuencia tres medias vueltas de radio cero empezando en 90º con dirección antihoraria. jv

T3. Es el espejo de la gráfica polar (tramo 1) j

  0

u radio  0

Plano F(s), tramo 2.

jv

    K 180

u

Plano F(s), tramo 2.

T4. Se cambia en la función la variable s por

K G( s)  s( s  4)( s  5)

y se evalúa e j desde -90º a 90º

G (e j ) 

K

e j (e j  4)(e j  5) muy muy pequeño

relativ, grande

Respuesta en frecuencia G (e j ) 

K

e j (4)(5)

  j

Plano s



s



0   0



T2    j

Contorno



 j   e e j

K

90ºel plano s mapea al punto El punto e en elplano F(s). 45ºel plano s mapea al punto El punto e en elplano F(s). j

Plano F(s)



s

P

  0

 j

Contorno

. PTramo 4.

.

.

en e90º en e45º

Respuesta en frecuencia jv

T1

Criterio de Nyquist:

T2

Como el sistema no tiene polos inestables en lazo abierto, para que sea estable se necesita que no haya rodeos al punto -1. Entonces el rango de estabilidad es

T3

T4

  1

u

K  180

 0

0  K  180  j

Figura. Gráfica de Nyquist.

Respuesta en frecuencia

Diagramas de Bode

Respuesta en frecuencia Los diagramas de bode son una representación de la magnitud y fase de una función en estado senoidal permanente al variar la frecuencia de cero a infinito. Sea la ecuación característica

1  G( s) H ( S )  0 Por ser estado senoidal permanente, se cambia s por .

j

Por razones de sencillez se trabaja mejor con el polinomio en lazo abierto.

P( j )  G ( j ) H ( j ) Como la variable s es compleja se tiene magnitud y fase.

G( j) H ( j) G( j) H ( j) Estos valores cambian mientras se varía la frecuencia se hace uso de laG norma ( j )de magnitud:

 la magnitud de . Para graficar

Mag  20 log G( j ) Y el valor del ángulo de fase se obtiene dependiendo del elemento a analizar

,

Respuesta en frecuencia La principal ventaja al usar Bode es que se puede analizar cada elemento de una función de transferencia por separado y el efecto total del sistema, se obtiene simplemente sumando las magnitudes y ángulos de fase de todos ellos.

La ventaja anterior resalta más cuando es necesario agregar otros elementos al sistema. En estos casos para obtener la nueva gráfica de Bode no es necesario recalcular todo el sistema, simplemente se suman a los elementos ya analizados.

Elementos básicos de una función de transferencia 1. 2. 3. 4.

Elementos de valor constante (Ganancia) Elementos integrales y derivativos Elementos de primer orden Elementos cuadráticos

Respuesta en frecuencia 1. Elementos de valor constante (Ganancia)

dB  20 log K

Magnitud en decibelios

  0 2. Elementos derivativos e integrales

Ángulo de fase

( j ) 1



Im



Derivadores



20 log j  20 log  dB

  90

Re

para todo rango de

Integradores

20 log

1  20 log  db j

  90 para todo rango de

 Im

 





Re

Respuesta en frecuencia Si existen más de un derivador o integrador: Derivadores

20 log ( j ) n  20 n log  dB

  90  n Integradores

20 log

1

para todo rango de

 20 n log  db

( j )   90  n n

para todo rango de



Bode Diagram 20

40

0

Magnitude (dB)

60

20

0

-20

-40

-20 270

-60 -90

225

-135

Phase (deg)

Magnitude (dB)

Bode Diagram

Phase (deg)



180 135

-180 -225

90

-270 0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

Respuesta en frecuencia 3. Elementos de primer orden Cero de primer orden

20 log 1  j  20 log 1   2 2 dB

  tan 1  Bode Diagram 40

 1

c  frecuencia de corte 

1

30

20 System: sys Frequency (rad/sec): 1 Magnitude (dB): 3.01

10

0 90

 Phase (deg)

G ( j )  1  j

Magnitude (dB)

De la figura:

45

c 0 -2

10

-1

10

0

10

Frequency (rad/sec)

1

10

2

10

Respuesta en frecuencia Polo de primer orden

20 log

1  20 log 1   2 2 dB 1  j    tan 1  Bode Diagram 0

 1

c  frecuencia de corte 



-20

-30

-40 0

1 Phase (deg)

1 G ( j )  1  j

Magnitude (dB)

De la figura:

System: sys Frequency (rad/sec): 1 Magnitude (dB): -3.01

-10

-45

c -90 -2

10

-1

10

0

10

Frequency (rad/sec)

1

10

2

10

Respuesta en frecuencia 3. Elementos de segundo orden Cuando no se puedan descomponer en dos elementos de primer orden, se normalizan de la siguiente forma:

     G ( j )  1  2z  j    j   n   n  

2 1

  

Ceros de segundo orden 2

    20 log 1  2z  j    j   20 log  n   n 

2

     1  2    2z   n   2 

    2z  n    tan 1  2   1  2   n 

2

c   n

Respuesta en frecuencia Polos de segundo orden

20 log

2

1    1  2z  j     n  

 2        20 log 1    2 z 2   2      2   n  j  n 

    2z  n     tan 1  2   1  2   n 

c   n

Respuesta en frecuencia Ceros de segundo orden Bode Diagram 80

c  n  3

z  1/ 6 s  3s  9 9 z  0 .5

20

-20 180

2

s 2  4.2s  9 G( s)  9 z  0.7

40

0

135

Phase (deg)

G(s) 

Magnitude (dB)

s2  s  9 G( s)  9

60

90 45 0 -1

10

0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

 3

2

10

Respuesta en frecuencia Polos de segundo orden Bode Diagram 20

c  n  3

z  1/ 6 9 G(s)  2 s  3s  9 z  0 .5 9 G( s)  2 s  4.2s  9 z  0.7

Magnitude (dB)

9 s2  s  9

-20 -40 -60 -80 0 -45

Phase (deg)

G( s) 

0

-90 -135 -180 -1

10

0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

 3

2

10

Respuesta en frecuencia Ejemplo: Obtener el diagrama de Bode del sistema

12( s  3) s 2 ( s  5)(s 2  6s  13) Normalizando:

36 1 ( s  1) 65 3 2 s 6 2 1 s ( s  1)(  s  1) 5 13 13

Se tienen 5 elementos, Una constante, un cero en -3, un doble integrador, un polo en -5 y polos cuadráticos. Se buscan la gráfica de Bode de cada uno y después se suman.

Respuesta en frecuencia Aportaciones individuales en magnitud. y ángulo Elementos ind.

Bode Diagram 40

36 / 65

1 s2

Magnitude (dB)

1 s 1 3

20

-40

-80 90

Phase (deg)

2

-20

-60

1 s 1 5 s 6  s 1 13 13

0

0

-90

-180 -1

10

0

1

10

10 Frequency (rad/sec)

2

10

Respuesta en frecuencia Diagrama de Bode (Resultante) Bode Diagram 50

Magnitude (dB)

0 -50 -100 -150 -200 -180

Phase (deg)

-225 -270 -315 -360 -1

10

0

10

1

10

Frequency (rad/sec)

2

10

3

10

Unidad V Funcionamiento de las redes en el campo de la frecuencia

C. R. Lindo Carrión

471

Objetivos Elaborar diagramas de BODE (Magnitud y Fase), considerando los siguientes factores: términos constantes, polos y ceros en el origen y de orden "N", polos y ceros simples, polos y ceros cuadráticos de redes eléctricas. Interpretar diagramas de BODE (Magnitud y Fase), considerando los siguientes factores: términos constantes, polos y ceros en el origen y de orden "N", polos y ceros simples, polos y ceros cuadráticos de redes eléctricas.

Contenido Ejemplo de Respuesta utilizando el diagrama de Bode: Términos constantes, Polo o ceros en el origen de orden 'n' Polo o cero simple, Polos o ceros cuadráticos Circuitos con filtros pasivos

C. R. Lindo Carrión

472

Ejemplo

Genere las gráficas Bode de Magnitud y fase para la siguiente función de transferencia:

10(0.1 j  1) G v ( j )  ( j  1)(0.02 j  1)

Solución Primero convertiremos la función de transferencia de j a s, para identificar cada una de las frecuencias de los ceros y polos

10( s / 10  1) G v ( s)  ( s  1)( s / 50  1) Como podemos observar tenemos 4 factores: Ko = 10, un cero z1 a 10 rad/s, un polo simple p1 a 1 rad/s y otro polo simple p2 a 50 rad/s. Entonces procederemos a graficar cada uno de los factores por separado y luego los sumamos para obtener la gráfica de Bode.

C. R. Lindo Carrión

473

Para el caso de Ko, vamos a determinar |Ko|db,

| K o | dB  20 log 10 10  20 dB Debemos localizar la frecuencia del polo p2 a 50 rad/s, entonces:

l50

50  log 10  0.7 10

Procederemos a dibujar el diagrama de magnitud de la función de transferencia dada

C. R. Lindo Carrión

474

Acá presentamos cada uno de los factores por separado, para el caso de la magnitud,

C. R. Lindo Carrión

475

Acá presentamos la suma de los factores, es decir el diagrama de magnitud.

C. R. Lindo Carrión

476

Acá presentamos cada uno de los factores por separado, para el caso de la fase,

C. R. Lindo Carrión

477

Acá presentamos la suma de los factores, es decir el diagrama de fase.

C. R. Lindo Carrión

478

Ejemplo

Genere las gráficas Bode de Magnitud y fase para la siguiente función de transferencia:

25( j  1) G v ( j )  ( j ) 2 (0.1 j  1)

Solución Primero convertiremos la función de transferencia de j a s, para identificar cada una de las frecuencias de los ceros y polos

G v ( s) 

25( s  1) ( s ) 2 ( s / 10  1)

Como podemos observar tenemos 4 factores: Ko = 25, un cero z1 a 1 rad/s, un polo simple de multiplicidad 2 a p1 a 1 rad/s y otro polo simple p2 a 10 rad/s. Entonces procederemos a graficar cada uno de los factores por separado y luego los sumamos para obtener la gráfica de Bode.

C. R. Lindo Carrión

479

Para el caso de Ko, vamos a determinar |Ko|db,

| K o | dB  20 log 10 25  28 dB Procederemos a dibujar el diagrama de magnitud de la función de transferencia dada

C. R. Lindo Carrión

480

Acá presentamos cada uno de los factores por separado, para el caso de la magnitud,

C. R. Lindo Carrión

481

Acá presentamos la suma de los factores, es decir el diagrama de magnitud.

C. R. Lindo Carrión

482

Acá presentamos cada uno de los factores por separado, para el caso de la fase,

C. R. Lindo Carrión

483

Acá presentamos la suma de los factores, es decir el diagrama de fase.

C. R. Lindo Carrión

484

Filtros Pasivos

Una red de filtros generalmente se diseña para pasar señales con una escala específica de frecuencia y para rechazar o atenuar las señales cuyo espectro de frecuencia esta fuera de esta pasabandas. Los filtros más comunes son filtros pasabajas, que pasan bajas frecuencias y rechazan altas frecuencias; filtros pasaaltas, que pasan altas frecuencias y bloquean frecuencias bajas; filtros pasabandas, que pasan alguna banda particular de frecuencias y rechazan todas las frecuencias fuera de la escala; y filtros de rechazo de bandas, que están diseñados específicamente para rechazar una banda particular de frecuencias y pasar todas las otras frecuencias.

La característica ideal de frecuencia para un filtro pasabajas se muestra en la Figura 9. También se muestra una característica típica o físicamente realizable.

C. R. Lindo Carrión

485

Una red de filtro pasabaja se muestra en la Figura 10. La ganancia de voltaje para la red es:

Vo 1 / sC 1 G v ( s)    V1 R  1 / sC 1  sRC En términos de j es:

G v ( j ) 

1 1 1   1  j RC 1  j /  o 1  j

donde =RC=1/o, constante de tiempo. La característica de amplitud es:

M ( ) 

C. R. Lindo Carrión

1

1  ( ) 

2 1/ 2

486

La característica de fase es: () = - tan-1 Observe que en la frecuencia de corte,  = 1/ y la amplitud es:

1 1  M      2  La frecuencia de corte también se llama comúnmente frecuencia de potencia media. Este nombre se deriva del hecho de que si el voltaje o corriente es 1/2 de su valor máximo, entonces la potencia, que es proporcional al cuadrado del voltaje o corriente, es la mitad de su valor máximo.

La curvas de magnitud y fase se muestran en la siguiente Figura

C. R. Lindo Carrión

487

C. R. Lindo Carrión

488

La característica ideal de frecuencia para un filtro pasaaltas se muestra en la Figura 11. También se muestra una característica típica o físicamente realizable.

Una red de filtro pasaalta se muestra en la Figura 12.

La ganancia de voltaje para la red es:

Vo R sRC G v ( s)    V1 R  1 / sC 1  sRC C. R. Lindo Carrión

489

En términos de j es:

G v ( j ) 

j 1  j

donde =RC=1/o, constante de tiempo. La característica de amplitud es:

M ( ) 



1  ( ) 

2 1/ 2

La característica de fase es: () = /2 - tan-1 La curvas de magnitud y fase se muestran en la siguiente Figura

C. R. Lindo Carrión

490

C. R. Lindo Carrión

491

La característica ideal de frecuencia para un filtro pasabandas se muestra en la Figura 13. También se muestra una característica típica o físicamente realizable.

Una red de filtro pasabanda se muestra en la Figura 14.

La ganancia de voltaje para la red es:

G v ( s) 

Vo R sRC   2 V1 R  sL  1 / sC s LC  sRC  1 C. R. Lindo Carrión

492

En términos de j es:

G v ( j ) 

M ( ) 

La característica de amplitud es:

A bajas frecuencias A altas frecuencias

R jRC  R  j (L  1 / C ) ( j ) 2 LC  jRC  1

M ( ) 

RC

RC (RC ) 2  ( 2 LC  1) 2

0

1 RC R M ( )  2  0  LC L

En la escala de frecuencia media (RC)2 » (2LC-1)2, y de este modo M()  1. Por lo tanto, la característica de frecuencia para este filtro se muestra en la Figura 13. La frecuencia central es o = 1/(LC). En la frecuencia de corte inferior 2LC – 1 = -RC, o

2 

L R

  o2  0

C. R. Lindo Carrión

493

Resolviendo esta expresión para LO, obtenemos

 LO 

 ( R / L)  ( R / L) 2  4 o2 2

En la frecuencia de corte superior 2LC – 1 = +RC, o

  2

L R

  o2  0

Resolviendo esta expresión para HI, obtenemos

 HI 

 ( R / L)  ( R / L) 2  4 o2 2

Por lo tanto, el ancho de banda del filtro es: BW= HI - LO = R/L

C. R. Lindo Carrión

494

La característica ideal de frecuencia para un filtro rechaza banda se muestra en la Figura 15. También se muestra una característica típica o físicamente realizable.

Una red de filtro pasabanda se muestra en la Figura 16.

La ganancia de voltaje para la red es:

Vo sL  1 / sC s 2 LC  1 G v ( s)    2 V1 R  sL  1 / sC s LC  sRC  1 C. R. Lindo Carrión

495

j (L  1 /  C ) G v ( j )  R  j (L  1 /  C )

En términos de j es:

La característica de amplitud es:

A bajas frecuencias A altas frecuencias

M ( ) 

( 2 LC  1) (RC ) 2  ( 2 LC  1) 2

M ( )  1  2 LC M ( )  2 1  LC

En la escala de frecuencia media (RC)2 » (2LC-1)2, y de este modo

1 0 2 (RC )

C. R. Lindo Carrión

496

497

CONSTRUCCIÓN DE DIAGRAMAS DE BODE Diagrama de Bode de H(jw)

|H(jw)| en decibelios

Escala logarítmica

H(jw) en grados ¿Cómo se construye el diagrama de Bode de cualquier función de red? 498

Construcción de diagramas de Bode Contribución de una constante

499

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un cero

500

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un polo

501

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un cero real

502

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un polo real

503

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de un ceros complejos conjugados

504

Construcción de diagramas de Bode Contribuciones de polos complejos conjugados

505

Construcción de diagramas de Bode Resumen de contribuciones

506

Ejemplo

Diagramas de Bode

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

10

Frecuencia (rad/s)

10

10

10

10

10

10

10

Frecuencia (rad/s)

507

EJEMPLO 1

Bode exacto

Constante Polo real

508

Ejemplo 2

Bode exacto Constante Polo real Polo real Cero real

509

Ejemplo 3

-20 dB/década

-40 dB/década

Bode exacto Constante Polo Origen Polo real Cero real

-20 dB/década 510

Ejemplo 4

-20 dB/década Bode exacto Constante Polo real  -10 Polo real  -1, doble Cero origen

-40 dB/década

511

Ejemplo 5

40 dB/década

Bode exacto Bode asintótico Constante Polo origen, doble Polo real  -100 Cero complejo

Pico resonancia -40 dB/década

512

Filtros •

Filtro pasa baja: Son aquellos que introducen muy poca atenuación a las frecuencias que son menores que una determinada, llamada frecuencia de corte. Las frecuencias que son mayores que la de corte son atenuadas fuertemente.

•

Filtro pasa alta: Este tipo de filtro atenúa levemente las frecuencias que son mayores que la frecuencia de corte e introducen mucha atenuación a las que son menores que dicha frecuencia.

•

Filtro pasa banda: En este filtro existen dos frecuencias de corte, una inferior y otra superior. Este filtro sólo atenúa grandemente las señales cuya frecuencia sea menor que la frecuencia de corte inferior o aquellas de frecuencia superior a la frecuencia de corte superior. por tanto, sólo permiten el paso de un rango o banda de frecuencias sin atenuar.

•

Filtro elimina banda: Este filtro elimina en su salida todas las señales que tengan una frecuencia comprendida entre una frecuencia de corte inferior y otra de corte superior. Por tanto, estos filtros eliminan una banda completa de frecuencias de las introducidas en su entrada. 513

Filtros •

Un filtro es un elemento que discrimina una determinada frecuencia o gama de frecuencias de una señal eléctrica que pasa a través de él, pudiendo modificar tanto su amplitud como su fase.

•

Octava: Dos frecuencias están separadas una octava si una de ellas es de valor doble que la otra.

•

Década: Dos frecuencias están separadas una década si una de ellas es de valor diez veces mayor que la otra.

•

Frecuencia de corte: – –

Es la frecuencia para la que la ganancia en tensión del filtro cae de 1 a 0.707(1/ raíz de dos) La ganancia del filtro se reduce en 3dB de la máxima

•

Banda de paso: Es el rango de frecuencias que el filtro deja pasar desde la entrada hasta su salida con una atenuación máxima de 3dB. Toda frecuencia que sufra una atenuación mayor quedaría fuera de la banda pasante o de paso.

•

Banda atenuada: Es el rango de frecuencias que el filtro atenúa más de 3dB.

514

Filtros pasa baja

515

Filtros pasa alta

516

Filtros pasa banda

517

Filtros • Orden del filtro: – Filtro de primer orden: atenúa 6dB/octava (20dB/década) fuera de la banda de paso. – Filtro de segundo orden: atenúa 12dB/octava (40dB/década) fuera de la banda de paso. – Filtro de tercer orden: atenúa 18dB/octava (60dB/década) fuera de la banda de paso. .......................................................................... – Filtro de orden n: atenúa (6n)dB/octava (20ndB/década) fuera de la banda de paso. 518

Filtros  circuito RC R

e(t)

C

v(t)

• En el dominio de la frecuencia el circuito es equivalente a un divisor de tensión con dos impedancias. • El valor del voltaje de salida dependerá del valor de la reactancia capacitiva y esta a su vez de la frecuencia de la señal de entrada • A frecuencia altas, la reactancia será baja y la mayoría de la caída de tensión se producirá en la resistencia • A frecuencia bajas, la reactancia será alta y la mayoría de la caída de tensión se producirá en el condensador • El circuito discrimina la frecuencia de la señal de entrada

519

circuito RC Ecuación diferencial R

e(t)

Laplace: E (s) V (s)  1  RCs

C

v(t)

e( t )  RC

dv  v( t ) dt

v(0)  0

E(s)  RCsV (s)  V(s)  V(s)[1  RCs ]

1 H ( s)  1  RCs

s  j

Magnitud de la función de transferencia 520

circuito RC Magnitud de la función de transferencia:

521

circuito RC

Frecuencia de corte • •

Las señales de frecuencia superior a la frecuencia de corte sufren una atenuación superior a 3dB Por ello se dice que este circuito es un filtro que solo deja pasar las frecuencias inferiores a la frecuencia de corte 522

circuito RC Si tomamos como salida la caída de tensión entre los terminales de la resistencia La magnitud de la función de transferencia

523

circuito RC

Frecuencia de corte • •

Las señales de frecuencia inferior a la frecuencia de corte sufren una atenuación superior a 3dB Por ello se dice que este circuito es un filtro que solo deja pasar las frecuencias superiores a la frecuencia de corte 524

2.3 Filtros Activos -Transformada de Laplace. -Teoremas valor inicial y valor final. -Resistencia, condensador, inductor. -Función de transferencia -Diagramas de Bode -Filtros pasivos. -Filtros Activos,

525

FILTROS ACTIVOS • Basados en AO. • VENTAJAS: – La señal de entrada no se ve atenuada => ganancia. – Flexibilidad en el ajuste de ganancia y frecuencia. – Habilidad de multiplicar funciones de transferencia en cascada => fácil diseño de filtros de orden mayor. – Integración digital: filtros analógicos+circuitos digitales en un mismo CHIP. – Funciones de filtrado. 526

FILTROS ACTIVOS • DESVENTAJAS: – Ancho de banda: los AO tienen un ancho de banda finito que limita las aplicaciones de los filtros al rango de frecuencias audio: entre los 20 y los 20 000 Hz, aproximadamente (el equivalente, casi exacto a 10 octavas). Los filtros pasivos pueden usarse con frecuencias de 500 MHz. – Distorsión: más allá del rango de magnitud aceptado producen distorsiones. – Derivas: sensibles a cambios ambientales, tolerancias de fabricación, … – Requieren fuentes de alimentación.

527

FILTROS ACTIVOS • Las ventajas superan las desventajas en comunicación de voz y transmisión de datos. • Se utilizan: en comunicación y procesamiento de

señales: – Televisión, teléfono, radar, satélites, biomedicina.

• Los filtros pasivos se siguen utilizando. 528

Pasa baja

Filtro elimina banda Fc1

Pasa alta

Fc2

Fc1 < Fc2

529

El Amplificador Operacional en el dominio de la frecuencia

• •

En la red de realimentación se puede incluir, además de resistencias, elementos con reactancia (capacitivas e inductivas) De este modo la ganancia del amplificador es función de la frecuencia de la señal de entrada y el análisis del circuito ha de hacerse en el dominio de la frecuencia

530

integrador

Ganancia =

• • •

En el dominio de la frecuencia vemos que entre la señal de salida y la de entrada hay un desfase de 90º para todas las frecuencias Fijémonos que en corriente continua (frecuencia = cero) la ganancia se hace infinita Esto se explica viendo que en corriente continua el condensador actúa como un circuito abierto y por tanto desaparece el lazo de realimentación. Es decir estamos en lazo abierto

531

Integrador

• El problema de la ruptura del lazo de realimentación en corriente continua lo podemos solucionar añadiendo una resistencia en paralelo con el condensador.

532

Integrador  filtro pasa baja

La ganancia desciende 20dB por década

533

Integrador  filtro pasa baja

Frecuencia de corte El filtro activo tiene ganancia, es decir la banda pasante no solo es atenuada (como en los filtros pasivos) sino que es amplificada

534

Integrador con botón de reset

• Para asegurarnos que el condensador comienza completamente descargado podemos añadirle un botón de reset 535

Diferenciador – filtro activo pasa alta

• La corriente que pasa por el condensador es igual a la corriente que pasa por la resistencia de realimentación • Como vemos el potencial de salida es proporcional a la derivada del potencial de entrada • El amplificador como derivador es muy sensible al ruido 536

Diferenciador – filtro activo pasa alta

o o

Circuito abierto

Cortocircuito

La frecuencia de resonancia hace que la Impedancia sea mínima: 537

Filtro activo pasa banda

• Incluimos en la configuración pasa-alta la realimentación pasa-baja 538

Filtro activo elimina banda Impedancia de un inductor y un condensador en serie

Circuito equivalente para

• •

Para frecuencia cero la reactancia del condensador se hace infinita y por tanto actúa como un circuito abierto Para frecuencia infinita la reactancia del inductor se hace infinita y por tanto actúa como un circuito abierto 539

Filtro activo elimina banda

• La otra frecuencia de interés se produce cuando la impedancia es nula • Esta frecuencia es la frecuencia de resonancia 540

Filtro activo elimina banda

• La salida se atenúa para las frecuencias próximas a la frecuencia de resonancia y se anula completamente para la frecuencia de resonancia 541

Filtro activo elimina banda

Expresión completa de la impedancia 542

Filtro activo elimina banda

Función de transferencia 543

Reproducción con sonido estereofónico Filtro pasa baja

Filtro pasa banda

Filtro pasa alta

544

Filtro activo elimina banda

• • •

La línea de corriente eléctrica es una señal alterna de frecuencia 50 / 60 Hz Por ello las líneas eléctricas producen señales parásitas (ruido) a esas frecuencias Si tenemos un micrófono muy sensible y la presencia cercana de líneas eléctricas se hace necesario utilizar una etapa de filtrado que elimine esa banda de frecuencia 545

Problema

• Hallar la función de transferencia y dibujar el diagrama de Bode 546

Problema

547

Problema

548

Problema

20 dB/década

-20 dB/década

• Cero en el origen • Polo doble  1/RC 549

Unidad V Funcionamiento de las redes en el campo de la frecuencia

Conferencia 2

C. R. Lindo Carrión

550 550

Objetivos Elaborar diagramas de BODE (Magnitud y Fase), considerando los siguientes factores: términos constantes, polos y ceros en el origen y de orden "N", polos y ceros simples, polos y ceros cuadráticos de redes eléctricas. Interpretar diagramas de BODE (Magnitud y Fase), considerando los siguientes factores: términos constantes, polos y ceros en el origen y de orden "N", polos y ceros simples, polos y ceros cuadráticos de redes eléctricas.

Contenido Ejemplo de Respuesta utilizando el diagrama de Bode: Términos constantes, Polo o ceros en el origen de orden 'n' Polo o cero simple, Polos o ceros cuadráticos Circuitos con filtros pasivos

551

Ejemplo

Genere las gráficas Bode de Magnitud y fase para la siguiente función de transferencia:

Solución Primero convertiremos la función de transferencia de j a s, para identificar cada una de las frecuencias de los ceros y polos

Como podemos observar tenemos 4 factores: Ko = 10, un cero z1 a 10 rad/s, un polo simple p1 a 1 rad/s y otro polo simple p2 a 50 rad/s. Entonces procederemos a graficar cada uno de los factores por separado y luego los sumamos para obtener la gráfica de Bode.

552

Para el caso de Ko, vamos a determinar |Ko|db,

Debemos localizar la frecuencia del polo p2 a 50 rad/s, entonces:

Procederemos a dibujar el diagrama de magnitud de la función de transferencia dada

553

Acá presentamos cada uno de los factores por separado, para el caso de la magnitud,

554

Acá presentamos la suma de los factores, es decir el diagrama de magnitud.

555

Acá presentamos cada uno de los factores por separado, para el caso de la fase,

556

Acá presentamos la suma de los factores, es decir el diagrama de fase.

557

Ejemplo

Genere las gráficas Bode de Magnitud y fase para la siguiente función de transferencia:

Solución Primero convertiremos la función de transferencia de j a s, para identificar cada una de las frecuencias de los ceros y polos

Como podemos observar tenemos 4 factores: Ko = 25, un cero z1 a 1 rad/s, un polo simple de multiplicidad 2 a p1 a 1 rad/s y otro polo simple p2 a 10 rad/s. Entonces procederemos a graficar cada uno de los factores por separado y luego los sumamos para obtener la gráfica de Bode.

558

Para el caso de Ko, vamos a determinar |Ko|db,

Procederemos a dibujar el diagrama de magnitud de la función de transferencia dada

559

Acá presentamos cada uno de los factores por separado, para el caso de la magnitud,

560

Acá presentamos la suma de los factores, es decir el diagrama de magnitud.

561

Acá presentamos cada uno de los factores por separado, para el caso de la fase,

562

Acá presentamos la suma de los factores, es decir el diagrama de fase.

563

Filtros Pasivos

Una red de filtros generalmente se diseña para pasar señales con una escala específica de frecuencia y para rechazar o atenuar las señales cuyo espectro de frecuencia esta fuera de esta pasabandas. Los filtros más comunes son filtros pasabajas, que pasan bajas frecuencias y rechazan altas frecuencias; filtros pasaaltas, que pasan altas frecuencias y bloquean frecuencias bajas; filtros pasabandas, que pasan alguna banda particular de frecuencias y rechazan todas las frecuencias fuera de la escala; y filtros de rechazo de bandas, que están diseñados específicamente para rechazar una banda particular de frecuencias y pasar todas las otras frecuencias.

La característica ideal de frecuencia para un filtro pasabajas se muestra en la Figura 9. También se muestra una característica típica o físicamente realizable.

564

Una red de filtro pasabaja se muestra en la Figura 10. La ganancia de voltaje para la red es:

En términos de j es:

donde =RC=1/o, constante de tiempo. La característica de amplitud es:

565

La característica de fase es: () = - tan-1 Observe que en la frecuencia de corte,  = 1/ y la amplitud es:

La frecuencia de corte también se llama comúnmente frecuencia de potencia media. Este nombre se deriva del hecho de que si el voltaje o corriente es 1/2 de su valor máximo, entonces la potencia, que es proporcional al cuadrado del voltaje o corriente, es la mitad de su valor máximo.

La curvas de magnitud y fase se muestran en la siguiente Figura

566

567

La característica ideal de frecuencia para un filtro pasaaltas se muestra en la Figura 11. También se muestra una característica típica o físicamente realizable.

Una red de filtro pasaalta se muestra en la Figura 12.

La ganancia de voltaje para la red es:

568

En términos de j es: donde =RC=1/o, constante de tiempo. La característica de amplitud es:

La característica de fase es: () = /2 - tan-1 La curvas de magnitud y fase se muestran en la siguiente Figura

569

570

La característica ideal de frecuencia para un filtro pasabandas se muestra en la Figura 13. También se muestra una característica típica o físicamente realizable.

Una red de filtro pasabanda se muestra en la Figura 14.

La ganancia de voltaje para la red es:

571

En términos de j es:

La característica de amplitud es:

A bajas frecuencias A altas frecuencias En la escala de frecuencia media (RC)2 » (2LC-1)2, y de este modo M()  1. Por lo tanto, la característica de frecuencia para este filtro se muestra en la Figura 13. La frecuencia central es o = 1/(LC). En la frecuencia de corte inferior 2LC – 1 = -RC, o

572

Resolviendo esta expresión para LO, obtenemos

En la frecuencia de corte superior 2LC – 1 = +RC, o

Resolviendo esta expresión para HI, obtenemos

Por lo tanto, el ancho de banda del filtro es: BW= HI - LO = R/L

573

La característica ideal de frecuencia para un filtro rechaza banda se muestra en la Figura 15. También se muestra una característica típica o físicamente realizable.

Una red de filtro pasabanda se muestra en la Figura 16.

La ganancia de voltaje para la red es:

574

En términos de j es:

La característica de amplitud es:

A bajas frecuencias A altas frecuencias

En la escala de frecuencia media (RC)2 » (2LC-1)2, y de este modo

575

Análise de Resposta em Freqüência 8.1. Introdução 8.2. Diagramas de Bode 8.3. Construção do Diagrama de Bode com o Matlab

Prof. André Marcato

Livro Texto: Engenharia de Controle Moderno – Quarta Edição – Editora Pearson Prentice Hall – Autor: Katsuhiko OGATA 576

Introdução • Resposta em Freqüência: Resposta em regime permanente de um sistema a uma entrada senoidal • Métodos de resposta em freqüência: Varia-se a freqüência do sinal de entrada dentro de um certo intervalo e estuda-se a resposta resultante. • Forma Gráfica:  Diagrama de Bode ou gráfico logarítmico  Diagrama de Nyquist ou diagrama polar  Diagrama do Logaritmo do módulo versus ângulo de fase (carta de Nichols)

Obtenção das Respostas em Regime Permanente às Entradas Senoidais • A resposta em regime permanente da função de transferência de um sistema pode ser obtida diretamente a partir da função de transferência senoidal.

Função de transferência na qual s é substituído por jw, onde w é a freqüência

Sistema Estável, Linear, invariante no tempo

• Se a entrada for um sinal senoidal, a saída em regime permanente também será um sinal senoidal com a mesma freqüência, mas possivelmente o módulo e o ângulo de fase serão diferentes.

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais Objetivo: Mostrar que após esperar até que as condições de regime permanente sejam alcançadas, a resposta em freqüência pode ser calculada substituindo-se s por j na função de transferência. Será mostrado também que a resposta em regime permanente é dada por:

Relação de amplitude entre a saída e a entrada senoidal

Defasagem, ou diferença de fase, entre a entrada senoidal e a saída senoidal

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

Multiplicando os dois lados da igualdade por avaliando no ponto igual s = -j

Repetindo o mesmo procedimento para

e

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

 A amplitude do sinal de saída é dada pelo produto da amplitude do sinal de entrada pelo módulo de G(j)  O ângulo de fase da saída, difere do ângulo de fase da entrada pelo valor de

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

Resposta em Regime Permanente às Entradas Senoidais

Exemplo 8.1.

Exemplo 8.1.

Exemplo 8.1. • Conclusões: – Se  for pequeno: a defasagem da saída será pequena e a amplitude de resposta de saída será K vezes a amplitude da entrada – Se  for grande: a amplitude de resposta (saída) será pequena e quase inversamente proporcional a . A defasagem se aproxima de -90º à medida que  tende a infinito. – Essa é uma rede de atraso de fase.

Exemplo 8.2.

Exemplo 8.2.

Exemplo 8.2.

Diagramas de Bode • Dois gráficos traçados em relação à freqüência em escala logarítmica: – Gráfico do Módulo em dB – Gráfico do ângulo de fase

• Representação padrão do logarítmo do módulo de G(j) – a base do logarítmo é 10: • A unidade da representação do módulo é o decibel (db) • A multiplicação dos módulos pode ser convertida em soma.

594

Fatores Básicos de G(j)H(j) • • • •

Ganho K Fatores integral e derivativo (j)±1 Fatores de primeira ordem (1+jT)±1 Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

• Uma vez familiarizados com a construção dos gráficos logarítmicos destes fatores básicos é possível utilizá-los na construção de um gráfico logarítmico composto por qualquer forma geral de G(j)H(j).

595

O Ganho K • Um número maior que uma unidade possui um valor positivo em decibéis • Um número menor que uma unidade tem valor negativo • A curva do módulo em dB de um ganho constante K é uma reta horizontal de valor 20 log K decibéis • O ângulo de fase do ganho K é zero • O efeito da variação do ganho K na função de transferência é o deslocar para cima ou para baixo a curva de módulo em dB da função de transferência por um valor constante correspondente, sem nenhum efeito na curva de ângulo.

596

Conversão de um Número de dB

597

O Ganho K - Propriedades • Quando um número aumenta de um fator 10, o valor correspondente em dB fica acrescido de 20 • Estendendo a análise:

• O recíproco de um número difere apenas no sinal:

598

Fatores integral e derivativo (j)±1 • O valor de logarítmico de 1/j em decibéis é:

• O ângulo de fase de 1/j decibéis é constante e igual a 90. • No diagrama de Bode as relações entre as freqüências são dadas em termos de oitavas e décadas: – Uma oitava é um intervalo compreendido entre 1 e 21, onde 1 é qualquer valor de freqüência. – Uma década é um intervalo compreendido entre 1 e 101, onde 1 é qualquer valor de freqüência. – Exemplo: a distância horizontal entre =1 e =10 é igual a distância horizontal entre =3 e =30.

599

Gráfico de -20log dB versus  • Em escala logaritmica será uma reta • Localiza-se um ponto (0 dB, =1) • Como a inclinação da reta será -20dB/década (ou -6db/Década)

600

Fatores integral e derivativo

±1 (j)

• De forma análoga, o módulo de j em decibéis é: • O ângulo de fase é 90o • A curva do logarítmo do módulo é uma reta com inclinação de 20db/década

601

Diagrama de Bode de G(j) = 1/j e G(j) = j

602

Fatores integral e derivativo

±1 (j)

• Se a função de transferência possuir o fator (1/j)n ou (j)n , as grandezas logaritmicas se tornarão respectivamente:

Ou • As inclinações passam a ser respectivamente -20n dB/década ou 20n db/década • O ângulo de fase de (1/j)n é igual a -90.n em toda a faixa de freqüência, enquanto que o de (j)n é igual a 90.n em toda a faixa de freqüência.

603

Fatores de primeira ordem (1+jT)±1 • O módulo em dB para o fator de primeira ordem 1/(1+jT) é:

Para baixas freqüências, como  << 1/T

604

Para altas freqüências, como  >>1/T

Fatores de primeira ordem (1+jT)±1 • Para >>1/T, a curva de módulo em dB é então, uma reta com inclinação de -20dB/década (ou -6db/oitava) • A representação logaritmica da curva de resposta em freqüência pode ser aproximada por duas assíntotas

Fatores de primeira ordem (1+jT)±1 Freqüência de canto, ou freqüência de quebra ou mudança de inclinação

606

Fatores de primeira ordem (1+jT)±1

Fatores de primeira ordem (1+jT)±1

Fatores de primeira ordem (1+jT)±1

Fatores de primeira ordem (1+jT)±1 • A FT (1/(1+jT) tem as características de um filtro passa-baixas. • Para freqüências acima e 1/T, o módulo em dB cai rapidamente para o infinito • No filtro passa baixas, a saída pode seguir, com fidelidade, a entrada senoidal para baixas freqüências • Em altas freqüências, a amplitude tende a zero e o ângulo de fase de saída tende a -90º. • Se a entrada tem muitos harmônicos, os componentes de baixa freqüência são reproduzidos com fidelidade na saída, enquanto os componentes de alta freqüência são atenuados na amplitude ou defasados. • Um elemento de primeira ordem fornece uma duplicação na saída somente para fenômenos constantes ou lentamente variáveis.

Fatores de primeira ordem (1+jT)±1

Fatores de primeira ordem (1+jT)±n

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1 • As aproximações assintóticas para as curvas de resposta em freqüência não são precisas para um fator com baixos valores de z. • O módulo e a fase do fator quadrático dependem tanto da freqüência de canto como do coeficiente de amortecimento z.

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

Para baixas freqüências, como  << n

Para altas freqüências, como  >>n

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

Fatores quadráticos [1+2z (j/n)+(j/n)2]±1

Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância Mr

g()

Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância Mr

Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância Mr

Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância Mr

Freqüência de Ressonância r e Pico de Ressonância Mr

Procedimentos Geral para a Construção do Diagrama de Bode • Reescreve-se a função de transferência senoidal G(j)H(j) como produto de fatores básicos. • Identifica-se a freqüência de canto associada a estes fatores básicos • Traça-se as curvas assitóticas com módulo em dB com as inclinações apropriadas entre as freqüências de canto • A curva do ângulo de fase pode ser obtida adicionando-se as curvas de ângulo de fase dos fatores individuais

Exemplo 8.3.

Exemplo 8.3.

Exemplo 8.3.

Exemplo 8.3.

Exemplo 8.3.

Exemplo 8.3.

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

Os valores dos ângulos de fase são menores para o sistema de fase mínima (G1) para todas as freqüências

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima • Para sistemas de fase mínima, as características de módulo e de ângulo de fase estão relacionadas univocamente. – Se a curva de módulo de um sistema for especificada para toda a gama de valores de freqüência de zero a infinito, a curva de ângulo de fase será determinada de forma única e vice-versa – Isto não ocorre para sistemas de fase não-mínima.

Sistemas de Fase Mínima e Não Mínima • Para sistemas de fase mínima: – O ângulo de fase em =∞ torna-se -900(p-q), onde p e q são os graus dos polinômios do numerador e do denominador da função de transferência, respectivamente. – A inclinação da curva de módulo em dB em =∞ é igual a -20(p-q)/década (esta condição vale também para os sistemas de fase não-mínima).

Retardo no Transporte • Tem comportamento de fase não-mínima e apresenta atraso excessivo, sem atenuação nas altas freqüências • Esses retardos de transporte normalmente ocorrem nos sistemas térmicos, hidráulicos e pneumáticos

Retardo no Transporte

Retardo no Transporte

Exemplo 8.4.

Exemplo 8.4.

Exemplo 8.4.

Relacionamento entre o Tipo de Sistema e a Curva do Módulo em dB

Determinação do Erro Estático de Posição

Determinação do Erro Estático de Posição

Determinação do Erro Estático de Velocidade

Determinação do Erro Estático de Posição

Determinação do Erro Estático de Posição

Determinação do Erro Estático de Posição

Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração

Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração

Determinação da Constante do Erro Estático de Aceleração

Construção do Diagrama de Bode com o Matlab

Construção do Diagrama de Bode com o Matlab

Construção do Diagrama de Bode com o Matlab

Exemplo 8.5

Exemplo 8.5.

Exemplo 8.6

Exemplo 8.6

Exemplo 8.6.

Exemplo 8.6.

Exemplo 8.6.

Exemplo 8.6.

Exemplo 8.6.

Exemplo 8.6.

Exemplo 8.6.

Obtenção dos Diagramas de Bode nos Sistemas Definidos no Espaço de Estados

Exemplo 8.7.

CORRIENTE ALTERNA. GENERADORES Una bobina girando en el seno de un campo magnético constante puede generar una corriente alterna.

Posición relativa de la espira respecto al campo

Oscilaciones de la fem y del flujo

675

CORRIENTE ALTERNA- R

La intensidad y la caída de potencial en la resistencia oscilan en fase.

676

CORRIENTE ALTERNA- L

La intensidad y la caída de potencial en la autoinducción oscilan con una diferencia de fase.

Kirchoff

677

CORRIENTE ALTERNA- C

La intensidad y la caída de potencial en el condensador oscilan con una diferencia de fase.

678

CORRIENTE ALTERNA. LRC • Cada uno de los elementos se comporta de forma diferente Intensidad proporcionada por la fuente

Diagrama-resumen de la diferencia de potencial, la intensidad y la potencia en cada uno de los elementos Total LRC 679

RESONANCIA EN UN CIRCUITO RLC EN ALTERNA

• Ecuación de kirchoff del circuito • Ecuación de un MAS forzado con amortiguación

• Solución Impedancia

Resonancia La intensidad es mayor cuando la frecuencia de la fuente coincide con la frecuencia propia del sistema Z es menor  680

Tipos de control de Emuladores de Resistencia: Control por multiplicador ig

vg

Convertidor

CC/CC

Corrección del Factor de Potencia

ig

Vo

k1vg

k2Vo vref1

vref1

vA

Filtro pasa-bajos

vref2 Se implementa un segundo lazo de realimentación que obliga a que la tensión de control vA tenga el valor necesario para que la corriente de entrada suponga el aporte de potencia preciso para tener la tensión deseada en la carga, Vo. El rizado de la tensión de salida se suprime por filtrado

Sistemas de Control y Proceso Adaptativo. Reguladores y Comunicación

682

Controladores y calibración • Para diseñar un controlador las especificaciones no deberían ser más estrictas de lo necesario. • La posterior calibración del controlador ajustará su respuesta si hay cambios en el modelo inicial o en los elementos de la planta. • El método para diseñar un sistema de control dependerá del tipo de sistema y cómo se presenten las especificaciones. 683

Controladores y calibración • Para sistemas con una entrada y una salida, el método más básico es el de estimación y modificación, en el que se diseña un modelo capaz de realizar la tarea adecuada. • En otras ocasiones hay partes del sistema que no se pueden cambiar, sobre las que no se puede actuar, obligando a usar otros modos de modificar o compensar el sistema. • Un primer paso en compensación es la variación de la ganancia en lazo abierto, pero este método no siempre es válido porque tiene limitaciones. En otros casos es necesario introducir redes de compensación. 684

Controladores y calibración Redes de compensación • Redes de compensación: dispositivos introducidos en el sistema para mejorar la estabilidad de un sistema de control. • La compensación de sistemas de control se realiza mayoritariamente mediante una configuración fija en la que el controlador se colocará en un determinado punto del sistema, hablándose de compensación serie, realimentada, o mediante la realimentación de variables de estado, presentando cada una de ellas ventajas e inconvenientes. 685

Controladores y calibración Redes de compensación • Existen tres tipos de redes de compensación en función de las necesidades que se presenten: – Redes de adelanto – Redes de atraso – Redes de atraso adelanto

686

Controladores y calibración Redes de compensación •

Redes de adelanto de fase: son aquellas en las que la salida en estado estable presenta un adelanto de fase con respecto a la entrada. Mejoran la estabilidad del sistema sin variar la exactitud. Aumentan en una unidad el orden del sistema. – El adelanto máximo de fase ɸm vendrá determinado por la tangente a la circunferencia y se producirá para 1

m 

T

– La pendiente de la curva de transferencia es de 6 dB/oct.

687

Controladores y calibración Redes de compensación Eo R2 (1  RCs )  Ei R  R (1  R1R2 Cs) 1 2 R1  R2

R2  1 R1  R2

Eo 1  Ts 1  jT   Ei 1  Ts 1  jT

688

Controladores y calibración Redes de compensación •

Redes de atraso: si la salida en estado estable presenta un atraso con respecto a la entrada. Aumentan en una unidad el orden del sistema. Mejoran la respuesta en estado estable sin modificar la respuesta transitoria. Incrementan en una unidad el orden del sistema. – La pendiente de la curva de transferencia es de -6 dB/oct.

689

Controladores y calibración Redes de compensación Eo R2Cs  1 1  Ts E 1  jT    o  Ei ( R1  R2 )Cs  1 1  Ts Ei 1  jT

T  R2Cs



R1  R2 1 R2

690

Controladores y calibración Redes de compensación •

Redes de atraso-adelanto: son aquellas en las que aparecen tanto un atraso como un adelanto de fase, pero en regiones de frecuencia distintas. El atraso se produce en la zona de baja frecuencia y el adelanto en la zona de alta frecuencia. Aumentan en dos unidades el orden del sistema.

Eo (1  R1C1s )(1  R2C2 s ) (1  T1s )(1  T2 s )   Ei (1  R1C1s )(1  R2C2 s )  R1C2 s  T1  T2   1  s  1  s      

R1C1  T

R2C2  T2

R1C1  R2C2  R1C2  T2 

T1



  1

691

Controladores y calibración Redes de compensación

692

Controladores y calibración Reglas de calibración • Para la calibración de los sistemas de control se utilizan diversos métodos. Entre estos, los más utilizados son el método del lugar de las raíces y el método de la respuesta en frecuencia. • Cada uno de estos métodos se aplicará de forma diferente si se utilizan redes de adelanto, atraso o adelanto-atraso. 693

Controladores y calibración Reglas de calibración Método del lugar de las raíces: • Se denomina lugar de las raíces al lugar geométrico de los polos de G(s) al variar el valor de la ganancia (u otro parámetro del sistema) desde cero hasta infinito o en un margen determinado. • El método del lugar de raíces permite conocer cómo afecta la ganancia en lazo abierto en el comportamiento de un sistema realimentado (estabilidad, oscilaciones, velocidad cuando varia la ganancia). Normalmente se usa solo cuando hay especificaciones de respuesta transitoria. 694

Controladores y calibración Reglas de calibración Método del lugar de las raíces: ejemplo

695

Controladores y calibración Reglas de calibración •

• •

• •

Los polos en lazo cerrado se corresponden con las raíces de la ecuación característica, pero estos polos varían cuando varía la ganancia, por este motivo el cálculo debe repetirse para cualquier cambio en el valor de este parámetro. En 1948 W. R. Evans desarrolló un método para su cálculo que permite dibujar las raíces de la ecuación característica para todos los valores de un parámetro. Se trata de conocer en qué lugar están los polos de la función de transferencia de un sistema en función de un parámetro, generalmente la ganancia. Mediante este método el diseñador puede conocer los efectos que tendrán sobre el sistema la ganancia o la adición de ceros y polos. Básicamente, para calibrar un sistema mediante este método, se vuelven a construir los lugares geométricos de las raíces mediante un compensador de tal forma que se puedan colocar polos dominantes en lazo cerrado en la posición deseada para que el sistema sea estable y cumpla las especificaciones requeridas. La adición de ceros al sistema desplaza los polos en lazo cerrado hacia la izquierda, haciendo el sistema más estable. La adición de polos en lazo abierto empeora la estabilidad al desplazar los polos ya existentes hacia la derecha . La determinación del lugar geométrico de las raíces es una tarea laboriosa. En la actualidad existen programas informáticos que permiten su determinación mediante una programación sencilla, por ejemplo el programa gratuito Scilab . 696

Controladores y calibración Reglas de calibración Siendo un sistema realimentado tal que: C ( s) G( s)  R( s ) 1  G ( s ) H ( s )

para calcular los polos de la función de transferencia el denominador deberá igualarse a cero, con lo que G( s) H ( s)  180º (2k  1); 1  G( s ) H ( s )  0   G( s ) H ( s)  1 

k  0,1,2,3...)

697

Controladores y calibración Reglas de calibración • Para dibujar el lugar geométrico de las raíces hay que seguir las siguientes reglas : 1.- El número de ramas es igual al número de polos de la función de transferencia en lazo abierto. 2.- Cada rama comienza en un polo (ks=0) y termina en un cero (ks=∞). Si el numero de ceros z es inferior al número de polos p, existirán p-z ceros en el infinito, hacia los que irán p-z ramas siguiendo p-z asíntotas. 3.- Los puntos del eje real con un número impar de polos y ceros a su derecha pertenecen al lugar geométrico de las raíces (ks>0), y si es par, al lugar inverso (ks<0), teniendo en cuenta que ambos lugares son simétricos con respecto al eje real . 4.- Las p-z asíntotas se cortan en el punto : 0 

 p  z i

i

pz

698

Controladores y calibración Reglas de calibración 5.- Los ángulos de las asíntotas con el eje real se obtienen mediante las expresiones : ks 0

a 

(2q  1) pz

ks 0

a 

2q pz

siendo q= 0,1,2,..., p-z-1

6.- Los ángulos de salida de los polos y llegada de los ceros se obtienen aplicando el criterio del argumento . Si

Si

k s  0,

k s  0,

p

z

i 1

i 1

 entrada, polo   s  pi   s  zi  (2q  1) p

z

i 1

i 1

 entrada, polo   s  pi   s  zi  2q

z

p

i 1

i 1

 salida, polo   s  zi   s  pi  (2q  1) z

p

i 1

i 1

 salida, polo   s  zi   s  pi  2q

siendo q= 0,1,2,..., p-z-1 699

Controladores y calibración Reglas de calibración 7.- Los puntos de ruptura son aquellos donde los lugares geométricos entre dos polos dejan el eje real y vienen determinados por dk s

ds

0

8.- Los puntos de intersección de los lugares de las raíces con el eje imaginario se calculan aplicando el criterio de Routh a la ecuación característica, o bien sustituyendo s por jω en dicha ecuación y obteniendo los valores de ω y k, igualando partes real e imaginaria a cero. 9.- Se puede calcular la ganancia en cualquier punto del lugar de las raíces aplicando la expresión : p

k

 s p i 1 z

i

 sz j 1

i

700

Controladores y calibración Reglas de calibración • Esta técnica puede adaptarse a otros parámetros diferentes a la ganancia . • Una vez conocido el lugar de las raíces del sistema, se han de tener en cuenta las características de ξ y ωn de respuesta transitoria . • Para que cumpla las especificaciones hay que ver si el lugar de las raíces pasa por los puntos definidos por estos parámetros y, si no lo hacen, hacerlos pasar. Este método solo se emplea cuando se tienen especificaciones de respuesta transitoria . 701

Controladores y calibración Reglas de calibración Método de la respuesta en frecuencia: • Con este método se analiza la respuesta del sistema ante una señal senoidal cuya frecuencia se varía en un determinado margen. Este método suministra información de la respuesta en frecuencia de la planta. • Normalmente se usan los diagramas de Bode y las trazas de Nyquist.

702

Controladores y calibración Reglas de calibración • A partir de los diagramas en función de la frecuencia quedan determinadas una serie de características del sistema. El ajuste del régimen transitorio se realiza por aproximaciones sucesivas. Dependiendo de las características exigidas se utilizará un diagrama u otro. • Estos métodos presentan la ventaja de que no es necesario conocer la función de transferencia de la planta. Además nos proporciona información sobre su respuesta en frecuencia: - Baja frecuencia: da una idea de la exactitud y permite calcular los coeficientes estáticos. - Frecuencias medias: permite conocer la estabilidad, margen de frecuencia, margen de ganancia y respuesta transitoria. - Frecuencias altas: da una idea de la complejidad del sistema. 703

Controladores y calibración Reglas de calibración Diagramas de Bode: Los diagramas de Bode están formados por dos gráficas frente a la frecuencia: el logaritmo de la magnitud de la función de transferencia y el ángulo de fase. • La principal ventaja de la representación logarítmica es que la multiplicación de magnitudes se convierte en suma, por lo que su representación se puede llevar a cabo conociendo como afecta cada uno de los términos de la función de transferencia. Para el caso de los factores integral y de derivada, su representación corresponde a rectas con pendientes de -20 dB/década y 20 dB/década y ángulos de -90º y 90º respectivamente, por lo que analizando cada uno de los términos se puede realizar una representación asintótica de la curva exacta. • Otra de las ventajas es que se puede hacer una representación asintótica en función de la frecuencia. Al trabajar en escala logarítmica se podrá representar toda la gama de frecuencias sin llegar al cero. 704

Controladores y calibración Reglas de calibración • Diagramas de Bode: ejemplo.

705

Controladores y calibración Reglas de calibración • Tipos de factores que pueden aparecer en la representación: - Factor ganancia k: En la curva se representa mediante un valor 20 log│k│ Si k > 0 → ϕ = 0º Si k < 0 → ϕ = -180º - Factor integrador o derivador [jω]±1: su módulo es 20log(ω) Representación 20 dB/dec ó 6 db/oct.

706

Controladores y calibración Reglas de calibración - Factor de primer orden [1+jωT]±1:    20 log 1  0dB 1  jT   20 log 1   2T 2   20 log T 20db / decada    6 dB octava 

El cruce de estas dos rectas se producirá cuando ωT=1 La fase de este factor será:  0  1   arctgT    T    

  0º   45º   90º 707

Controladores y calibración Reglas de calibración 2 1

- Factor cuadrático:

      j   1  j 2 n  n    

realizando operaciones matemáticas se tiene que: Si  1

   20 log 1  0dB  2  40 dB dec   20 log  40 log   2   n n  12 dB oct    n 0dB 

Si   1

   0º    0º     n    90º       180º  708

Controladores y calibración Reglas de calibración • Procedimiento general para representar una curva mediante el diagrama de Bode: 1.- Se descompone la función sinusoidal en factores de los tipos que se han visto anteriormente. 2.- Se ven las distintas frecuencias de corte y se halla la pendiente entre dos frecuencias consecutivas: Si el sistema es de tipo 0 la representación comienza con una recta paralela al eje real. Si el sistema es de tipo 1 comenzará con una recta de pendiente -6 dB/oct hasta llegar a la primera frecuencia de corte. Si el sistema es de grado 2, la pendiente será de -12 dB/oct. 709

Controladores y calibración Reglas de calibración • Ejemplo:

G( s) 

128( 2  s ) s(8  s )(16  4 2 s  s 2 )

Normalizando esta función queda como: s  2  1281    2 2 s2   s   16  8s1    1  s   4 16   8 



j   2  1   2   G ( j )  2 j   2   j   j 1  j     1   8 4     4  

De esta forma, las pulsaciones de corte serán:

3  4;

1  2 2  8  1 2  2 2

 1



G ( j ) dB  20 log 2  6dB

710

Controladores y calibración Reglas de calibración

711

Controladores y calibración Reglas de calibración Diagrama de Nyquist o traza polar: El diagrama de Nyquist o traza polar es una representación de una magnitud de la función de transferencia G(jω) (generalmente la ganancia) con respecto al ángulo de fase de esta magnitud, cuando ω varía desde cero hasta infinito. • Por lo tanto la traza polar es el lugar geométrico de los vectores G j  G j  cuando ω varía desde cero hasta infinito. El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial en lazo abierto con la estabilidad en lazo cerrado. Una ventaja de esta gráfica es que representa las características de la respuesta en frecuencia en el espectro completo. 712

Controladores y calibración Reglas de calibración • Diagrama de Nyquist: ejemplo.

713

Controladores y calibración Reglas de calibración • Cada tipo de factor de la función de transferencia tiene una representación específica : - Factor integrador o derivador [jω]±1: este tipo de factor es un vector de módulo ω sobre el eje imaginario, y sentido positivo o negativo. G  j    90º

1  G   j   90º 714

Controladores y calibración Reglas de calibración - Factor de primer orden [1+jωT]±1: este factor equivale a una recta paralela al eje imaginario y que pasa por el punto ωT del eje real. Cuando está elevado a -1, equivale a una semicircunferencia que comienza en el eje real y termina en 0.   G  1   2T 2 1  jT      arctg T 

 Re  1  Im  T G 1

1  1 G  2 2  1   1  jT    arctg TT  

  0   0º

 G 0       90º 1 G 1 2   T    45º

715

Controladores y calibración Reglas de calibración 2      j   1  j 2 n  n    

1

- Factor cuadrático : su representación comienza en el eje real, corta al eje imaginario en el punto 2ξ y continua con una asíntota para ω=∞. Cuando el factor cuadrático está en el denominador su representación comienza en el eje real, corta al eje imaginario en el punto ξ/2 y termina en (0,0). G 1    1  j 2   j  n  n 

1

   1  j 2  j  n  n 

2

2

  0 2    0º   Re  1     G  2   n     n      90º  Im  2    G  n      180º

1   G 1 G   2   0  2 2        0º 1       2           n    n     G  2        n  2  n    90º    arctg  2     G 0  1           n    180º



716

Controladores y calibración Reglas de calibración • Ejemplo de código usado en Scilab // Diagramas clear z=poly(0,'z'); // vector de tiempo t=0:0.1:32; // //modelo discreto de la planta g=20/(z*z*(z-0.9)); // // //función de transferencia en lazo abierto gla=g;glas=syslin('c',gla); // //función de transferencia en lazo cerrado gu=1;glc=gla/.gu; glcs=syslin('c',glc); // //herramientas de programación xset('window',1) Xname(‘ Análisis de la planta con varias herramientas') // 717

//Respuesta a un escalón unitario //closed loop subplot(2,2,1);xgrid(4) plot2d(t,csim('step',t,glcs),style=2) xtitle('Respuesta a un escalón unitario','tiempo','y(t)') // //Lugar de las raíces subplot(2,2,2);xgrid(4) evans(glas,2.5) sgrid([0.75 0.4],[0.5 0.75],2) // //Diagrama de Nyquist subplot(2,2,3) nyquist(glas) // //Diagramas de Bode subplot(2,2,4) bode(glas,0.001,10) //--------------------------------------------------------

718

Controladores y calibración Reglas de calibración •

Técnicas de compensación de adelanto basadas en el método de la respuesta en frecuencia - A partir del diagrama de Bode se pretende aumentar la fase, mejorando la estabilidad, intentando conseguir que esa máxima fase pase por la pulsación de cruce. Se desplaza la curva hacia arriba para no variar la ganancia a baja frecuencia, para ello se multiplica por un factor 1/α: Eo 1  jT E   o   Ei 1  jT Ei   n

- Se intenta cambiar o modificar la forma de la curva dando un suficiente grado de adelanto para conseguir compensar un excesivo retardo de la fase. Los pasos a seguir son : 1.- Fijar el valor de la ganancia en lazo abierto para alcanzar las especificaciones en cuanto a los coeficientes de error. 2.- Para la K calculada, obtener el margen de fase del sistema sin compensar. 3.- Viendo la diferencia entre el margen de fase pedido y el dado, calcular cual es el adelanto que hay que introducir, calculando ɸmáx . 4.- Calcular el factor de atenuación α. 5.- Ver sobre el sistema no compensado para qué frecuencia existe un nivel de 10logα. Observar donde se va a producir la nueva frecuencia de corte ωn. 719

Controladores y calibración Reglas de calibración • Técnicas de compensación de atraso basadas en el método de la respuesta en frecuencia Habrá que atenuar suficientemente a frecuencias altas, además no interesa que el retardo a frecuencias medias sea muy grande, aproximándose entre sí y al origen las frecuencias de cambio de pendiente. • Los pasos a seguir son : 1.- Calcular la ganancia en lazo abierto para obtener los coeficientes estáticos de error definidos en las características especificadas 2.- Dado el valor de K, y en la red sin compensar, para ese valor de K realizar el diagrama y obtener MG y MF . 3.- Si el sistema descompensado no satisface los requerimientos habrá que encontrar la frecuencia para la cual el ángulo de fase de la función de transferencia en lazo abierto sea igual a -180º más el marge de fase requerido. Posteriormente se bajará la curva para hacer coincidir la frecuencia de cruce con la que se haya obtenido teniendo en cuenta la fase introducida por la red, que tomaremos entre 5⁰ y 12⁰. f    180º  M req  (5º  12º ). f F 4.- Se hará coincidir esa frecuencia con la de cruce de ganancia esto se producirá en la parte derecha de la curva de transferencia de la red. De aquí se obtendrá el valor de β.

Level dBf  20 log  5.- Se tendrá que lograr que la pulsación de corte más grande 1/T se encuentre entre 1 octava a 1 década inferior a la frecuencia obtenida anteriormente .

720

Controladores y calibración Reglas de calibración • Técnicas de compensación de adelanto-atraso basadas en el método de la respuesta en frecuencia • Los pasos a seguir serán : 1.- Se ve la ganancia que debe tener el sistema para calcular los coeficientes estáticos de error. 2.- Se dibuja la ganancia y si se cumplen las especificaciones. 3.- Ver qué red de retardo se necesita, determinando la nueva frecuencia de cruce. 4.- En esta nueva frecuencia de cruce realizar el adelanto de fase. En este tipo de red, una vez definida β, solo habrá que definir la distancia entre frecuencias, es decir, desplazar T1 con respecto de T2 lo que se desee. En todo caso se deberán utilizar constantes de tiempo físicamente realizables . 721

Controladores y calibración Testado funcional • Una vez implementado el sistema de compensación o control es necesario proceder a realizar las pruebas necesarias para comprobar que se cumplen las especificaciones de diseño. Los test a realizar dependerán del tipo de compensador, del tipo de proceso y del tipo de especificaciones.

722

Bibliografía •

K. Ogata, Modern Control Engineering.

Enlaces de interés • • • • • • • • • • • • •

http://www.scilab.org/ http://www.ie.itcr.ac.cr/gaby/Control_Automatico/Presentaciones/12_ControlComp ensadorAtrasoRlocusContinuo_v12s01.pdf http://www.eis.uva.es/~eduzal/icontrol/compen.pdf http://www1.ceit.es/asignaturas/control1/2000feb1.html http://isa.uniovi.es/~chema/regma_archivos/lr.pdf http://isa.uniovi.es/docencia/ra_marina/UCLM_TEMA9.PDF http://iele.edii.uclm.es/Estudios/ITIE/Albacete/Asignaturas/RA_archivos/A_Descar ga/Transparencias/Tema09/Tema09.pdf http://ingenieria.udea.edu.co/~jbuitrago/instrumentacionElectronica/Clases/Clase0 3%20y%2004-Diagrama%20de%20Nyquist-Estabilidad.pdf http://sel.uady.mx/ingenieria/courses/CONI/document/Unidad5/NotasControl_5_Lu garRaices.pdf?cidReq=CONI http://ecee.colorado.edu/copec/book/slides/Ch9slide.pdf http://www.cs.mun.ca/av/old/teaching/cs/notes/rlocus1_quad.pdf

723

TAREA ANALIZAR EL CIRCUITOS R-L: S1, S2 : ON/OFF

724

ECUACION DE CORRIENTE EN REGIMEN TRANSITORIO Y PERMANENTE V (t )  Vm cos t aplicando : K V (t )  VR  VL  IR  L Vm cos t  IR  L i (t ) 

di dt

di dt

 1  L   cos  t  tg   A  2 2 2  R  R  L  Vm

R

V V  Lt i (t )   ( I 0  )e R R

725

Circuitos electrónicos analógicos

Característic as del Amp Op Gain: A = inf Input impedance: zi = inf Output impedance: zo= 0 Differential input: v2(t) – v1(t)

Configuración inversora

Output: vo(t) = A[ v2(t) – v1(t)] Control Systems Engineering, Fourth Edition by Norman S. Nise Copyright © 2004 by John

Figura 2.10 726

Configuración no inversora Función de transferencia A V0 ( s )  A V2 ( s )  V1 ( s )  V2 ( s )  Vi ( s ) Z1 ( s ) V1 ( s )  V0 ( s ) Z1 ( s )  Z 2 ( s ) entonces Z1 ( s )  Z 2 ( s ) V0 ( s )  Vi ( s ) Z1 ( s ) Control Systems Engineering, Fourth Edition by Norman S. Nise Copyright © 2004 by John

Figura 2.12

727

Ejercicio. Obtener la función de transferencia del circuito

Z1 ( s)  Z 2 ( s) V0 ( s)  Vi ( s) Z1 ( s)

Figura 2.13 Control Systems Engineering, Fourth Edition by Norman S. Nise Copyright © 2004 by John Wiley & Sons. All rights

728