Ringkasan Matematika Sma Un

RINGKASAN MATERI MATEMATIKA SMK TEKNIK By : Syaiful Hamzah Nasutiion, S.Si, S.Pd

EKSPONEN DAN LOGARITMA EKSPONEN

LOGARITMA

ab .ac  abc 2. ab : a c  abc 1.

BILANGAN REAL DAN ARITMATIKA SOSIAL

3. MERASIONALKAN BENTUK

b

ab  a c 1 5.  a b b a 6. a 0  1 4.

a a b  . b c b c b

( a b ) c  a b .c

c a(b c)  2 b c c

c

1. alog b = c berarti ac = b 2. alog b + alog c = alog b.c 3. alog b – alog c = alog

b c

4. alog bn = n. alog b 5. alog a = 1 6. alog 1 = 0 x

7. alog b = A

x

log b log a

b

a

8. lob b. log c = log c ARITMATIKA SOSIAL Laba/Rugi = Harga Jual – Harga Beli Jika Positif berarti Laba, Jika negative berarti Rugi

PERSAMAAN EKSPONEN DAN LOGARITMA af(x) = a g(x) , maka f(x) = g(x) a log f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x)

laba Rugi % Laba = % Rugi = x100% x100% H .Beli H .Beli 100 xH .Jual (Bila mengalami Laba) H. Beli = (100  %laba) H. Beli =

100 xH .Jual (100  %rugi )

(Bila mengalami Rugi)

P1 P  2 H1 H 2

PERBANDINGAN TAK SENILAI P1. H1 = P2. H2

MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT Persamaan Kuadrat yang akarnya α dan β adalah x2 – (α + β)x + α.β = 0

TRIK MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT Misalkan ax2 + bx + c = 0 memiliki akar x1 dan x2 1. Persamaan Kuadrat yang akarnya (x1  n) dan (x2  n) a(x

n)2 + b ((x

n) + c = 0

2. Persamaan Kuadrat yang akarnya nx1 dan nx2 ax2 + bnx + cn2 = 0

PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Bentuk Umum : ax2 + bx + c = 0, dengan a ≠ 0 Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat maka :

x1  x2  PERBANDINGAN SENILAI

MENENTUKAN JENIS AKAR DARI NILAI DISKRIMINAN (D) 1. D = 0, persamaan kuadrat memiliki akar yang sama 2. D > 0, persamaan kuadrat memiliki akar real yang beda 3. D ≥ 0, persamaan kuadrat memiliki akar real 4. D < 0, persamaan kuadrat memiliki akar imajiner

x1.x2 

b c

c a

D = b2 – 4 a c

1 1 b   x1 x2 c x1  x2 

D , x1  x2 a

D = Diskriminan.

3. Persamaan Kuadrat yang akarnya saling berkebalikan cx2 + bn + a = 0

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT ax2 + bx + c < 0 HP : min < x < max 2 ax + bx + c > 0 HP : x < min atau x > max Catatan : 1. Nilai a harus positif 2. Min dan max merupakan akar dari ax2 + bx + c = 0

GRAFIK FUNGSI KUADRAT Grafik Fungsi Kuadrat f(x) = ax2 + bx + c c

Catatan : Terbuka ke atas (a positif) Koordinat titik balik = (xp, yp)

b D , yp = 2a 4a D Nilai minimum = 4a xp =

x1

x2

GRAFIK HIMPUNAN PENYELESAIAN

MENENTUKAN GRADIEN (m) ax + by + c = 0  gradiennya : m =

a b

y = ax + b  gradiennya : m = a Jika diketahui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) maka gradiennya m =

y2  y1 x2  x1

(xp, yp) MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS

(xp, yp) x1

x2

Catatan : Terbuka ke bawah (a negatif) Koordinat titik puncak = (xp, yp)

b D xp = , yp = 2a 4a D Nilai maksimum = 4a

c

(y – y1) = m (x – x1)

HUBUNGAN GRADIEN DARI DUA GARIS 1. Dua garis tegak lurus  m1. m2 = -1 2. Gua garis sejajar  m1 = m2

PROGRAM LINIEAR MENYUSUN PERSAMAAN KUADRAT Misalkan titik puncak (xp, yp) persamaan kuadratnya y = a(x – xp)2 + yp

PERSAMAAN GARIS BENTUK UMUM PERSAMAAN GARIS ax + by + c = 0 atau y = ax + b

MENENTUKAN NILAI OPTIMUM 1. Buat Model matematiikanya. 2. Gambar Grafik 3. Tentukan titik pojok 4. Subtitusi koordinat titik pojok ke persamaan fungsi tujuan. TITIK POJOK Titik Pojok merupakan titik-titik perpotongan garis yang membentuk daerah penyelesaian pada fungsi kendala dalam model matematika

LOGIKA MATEMATIKA Untuk menyelesaikan program liniar, alat yang digunakan adalah system persamaan liniar dua variable. Nilai optimum bias mencakup nilai maksimum dan nilai minimum. Tergantung dari permasalahan

TABEL KEBENARAN P Q B B B S S B S S

PVQ B B B S

PQ B S S S

PQ B S B B

INVERS, KONVERS DAN KONTRAPOSISI Dari pernyataan P  Q dapat dibentuk 1. Invers P  Q adalah : ~P ~ Q 2. Konvers P  Q adalah : Q  P 3. Kontraposisi P  Q adalah : ~Q  ~P

PQ B S S B

PERNYATAAN YANG EKUIVALEN 1. ~(~P)  P 2. ~( (P(x))   ~(P(x)) 3. P  Q = ~P v Q 4. P  Q = ~P  ~Q 5. ~(P  Q) = P  ~Q

ATURAN KUADRAN

MENGKONVERSI KOORDINAT DARI KOORDINAT KARTESIUS KE KUTUB : (X, Y)  (R, ) Kuadran I

Kuadran II

Sin (+)

Modus Ponen

Modus Tolens

P(1) : P  Q P(2) : P Kesimpulan : Q

P(1) : P  Q P(2) : ~Q Kesimpulan : ~P

DARI KOORDINAT KUTUB KE KARTESIUS : (R, )  (X, Y)

α

180 – α

PENARIKAN KESIMPULAN

ALL (+)

Tan (+) 180 + α

R=

Cos (+) 360 – α

P(1) : P  Q P(2) : Q  R Kesimpulan : P  R

2 cos

1

tan

0

1 3 2 1 3 3

2 2 1 2 2 1

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI

y r x cos   r y sin  tan   tan   x cos 

sin  

Demi Sin, Sami cos di Desa Tan

RUMUS TRIGONOMETRI 1. Sin1 A + cos2 A = 1 2. Sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B 3. Sin (A + B) = sin A cos B + cos A sin B 4. Cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B 5. Cos (A + B) = cos A cos B – sin A sin B

tan A  tan B 1  tan A.tan B tan A  tan B 7. Tan (A – B) = 1  tan A.tan B 6. Tan (A + B =

2

3

1 2 3

x 2  y 2 dan Tan  =

ATURAN KOSINUS DAN SINUS

Kuadran IV

Kuadran III

PERBANDINGAN TRIGONOMETRI SUDUT ISTIMEWA 0O 30O 45O 60O Sin 0 1 1 1

Silogisme

x = r cos  dan y = r sin 

90O 1 0 _

Aturan Kosinus a2 = b2 + c2 – 2 bc cos A b2 = a2 + c2 – 2 ac cos B c2 = a2 + b2 – 2 ab cos C

Aturan SInus

a b c   sin A sin B sin C

y x

Jika diketahui dua titik A dan B, maka KONSEP MATRIKS

a b  e dan B =   c d  g

Misalkan diberikan matriks A = 

f h 

DALIL PHYTAGORAS PANJANG ATAU BESAR VEKTOR

dengan k adalah sebarang scalar, maka

a  e b  f   c  g d  h  ae  bg af  bh  A.B=    ce  dg cf  dh  A+B= 

a  e b  f   c  g d  h  ka kb  kA =    kc kd 

| u | = x 2  y2  z 2

c

a

c2 = a2 + b2

| AB | = | B – A |

A–B= 

INVERS MATRIKS A-1 =

BANGUN DATAR DAN BANGUN RUANG

Vektor AB = B – A

1  d b  ad  bc c a 

OPERASI PADA VEKTOR Misal diberikan vektor u = (x, y, z) dan v = (a, b, c) u + v = (x + a, y + b, z + c) u – v = (x – a, y – b, z – c) u.v = ax + by + cz ku = (kx, ky, kz)

b LUAS DAN KELILING BANGUN DATAR 1. PERSEGI PANJANG Luas : p. l Keliling : 2(p + l)

VEKTOR YANG SEGARIS Jika titik A, B, dan C segaris, maka 2. PERSEGI

AB = m BC atau AB = n AC

ad – bc : determinan matriks

Luas : s2 PERSAMAAN MATRIKS A. B = C, maka A = C. B-1 dan B = A-1 C

m A

KONSEP VEKTOR Definisi dan Notasi Vektor adalah besaran yang memiliki besar dan arah. Vektor u dengan komponen x, y, dan z dapat dinyatakan dengan u = (x, y, z) atau u = xi + yj + zk

Keliling : 4s

PEMBAGIAN RUAS GARIS n P

P=

B

mB  nA m n

Luas :

SUDUT ANTARA DUA VEKTOR Cos θ =

3. SEGITIGA

a. b |a||b|

Bila vektor a dan b tegak lurus, maka a.b = 0

1 ct 2

Keliling : a + b + c

4. LINGKARAN

Rumus Bangun Ruang Luas : r2

5. LIMAS DAN BOLA

1. BALOK DAN KUBUS

Keliling : 2r atau d d = 2r 5. JAJARGENJANG Luas : at Keliling : 2(a + b)

Volume Balok L. Permukaan Kubus Volume Kubus L. Permukaan

6. LAYANG-LAYANG

Luas :

1 d1d2 2

: Luas alas x tinggi (p x l x t ) : 2 (p x l + l x t + p x t)

:

L. Permukaan

: 4  r2

Volume Limas

:

: Luas alas x tinggi (s3 ) : 6 s2

2. TABUNG DAN KERUCUT

Keliling : 2(a + b) STATISTIKA 7. TRAPESIUM Luas :

1 (a  b).t 2

Keliling : a + b + c + d Volume Tabung : Luas alas x tinggi ( r2 t ) L. Selimut :2rt L. Permukaan : 2  r (r + t ) L. Permukaan Tanpa Tutup :  r (r + 2t ) 1 1 Luas alas x tinggi (  r2 t ) 3 3

Volume Kerucut

:

L. Selimut L. Permukaan

:rs :  r (r + s )

4 3 r 3

Volume Bola

1 Luas alas x tinggi 3