[schaum - Murray.r.spiegel] Calculo Superior

CALCULO $UPERIOR MurroyR.$plegel

cArcuLo

SUPERIOR MurroyR. Spiegel

C AL CUL O

SUP E RIOR

MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D. Prolessor of Mathematics RensselaetPolytechnic Institute

rn-rouccxí¡ y ¡ors¡rc¡ó¡ JBsúsM^Rl,{ C^sr^ño P¡ofesotde ¡laénutticot d. ta Un¡oe$idadd.l yo e.

5íro

D€-r.l

lgo ; ,

q

srsrrlaaoe E

BI ALT O I E C A S ;

McGRAW-HILL

a" |.(

n )s t\

MÉx¡co. . GUATEI¡AI.A. BUEItos AIBES.CARAGAS LIsBoA.MADnIO.IIUEVAYoRK SAIIJUAII. SA{IAFÉ OE8OGOTÁ. SAMIAGO. S¡OPAULO. AUCKLAND . {llÁ¡¡ ¡ Mo ¡nE¡1. NUEVA lotro8Es DELH|. . St|tcApuR SAIFiAr{CtSCO . S|DNEY. ST,LoUIS TO8olfiO

n 61 5 s

CÁLCULOSUPERON Prohib¡dala feproduccióntoial o parclal de esla obfa, por cualqulermodlo, sin autorlzec¡ónescr¡tadel €dltor. O 1901,resp€gtoa la prlmeraodlclón en e3Peñolpor DEFECHOSRESERVADOS DE MEXICO'S.A.d€ GV. MCGBAW.HILL INTERAMERICANA Atlacomulco49$501,Fracc. Ind. San Andrés Aloto 535q) Naucaloan do Juárez. Edo. de Méxlco M¡embrode É o¡mara N*¡onal de le IndustriaEdltorial,RóC.Núm. l89o tsBl{ 970.10.0069x fraducldo de la prlmara€d¡clónen ingló3 ds ADVA]'ICEDCALCULUS Copyrlght@ MCMLXlll,by Mccraw-Hlll,Inc.,U. S, A. tsBN 0-07{91871€

. oe8z653Zto4

1200¡ls67l9 lmprosoen Méfco Esla obra 8e igrm¡nód9 Inprim¡r€n mayod€l 2005 LltográficaIngrern€x CenienoNúm. 162n Col. Grarila Esnoralda D€legaciónláap€lapa 09810México.D.F.

_^+ É-

:

Prlnlgd in M€rdco

Prólogo La denomi¡aciór¡
Tabla de materias

P¡gnb

F¡

I Conjuntos. Números reales.Represcotacióndccimal d€ los nrlmerosrE¡les. geométricade núm€rosrealcs.Operacionescon números Representación reales.Desigua¡dades. Valor absolutode un númeroreal. Exponentes y rai ces.Logaritmos. FundamentosaxioÍ¡áticos del sistemade los númerosreales. Conjuntosde puntos,intervalos.Conjuntosenumerables. Enlomos.Puntos Iímitc. Mayorar¡tes,miüotantcs, extrcmos.Teoremade Bolzeno-Weierstrass. N(¡merosalgcbraicosy númerostrascendentcs. EI sistcmada los números cor¡¡plejos,Forma polar de un número complejo. Inducción ñatemática.

c+ 2

m Funciones.Crafo de una función. Funcionesacotad¿s,Funcioüesmonótonas. Funcionesrecíprocas. Valor€sprincipales.MáxiÍros y minir¡¡os.Tipos de funciooes,Funcionestrascendentes esp€ciales, Límitesde funciones, Limites a derechay a izquicrda. Tcoremasobre ¡imi¡cs. tnñnitos. Limites csfrcciales.Contiriuidad.Conlinüidada Ia derachay a l¡ izquicrda.Contirluidaden un intervalo,Teoremassobrecontinuidad.Funcionescasicontinuas. Continuidad uniforme.

C¡¡1"

3

4l De6nicióodc sucesiói.Límite de una sucesión.Teoremassobrc limitesde Limitesinfinitos.Sucesiones moriótonasacotadas. sucesionesExtremosuDerior y extremoinferior de üna sucesión.Límite sup€rior,limita inferior.Encajesde intervalos.Criterio de convcrgencia de Cauchy.Series.

c+¡

4

tt

Definiciónde derivada.Derivadasa la derechay a la izquierda.Dif€ranciaDiferenciales. bilidad en ün intervalo.Funcióncasidifer€ncieble. Reglasde Derivadassup€riores. derivación.Dcrivadasde las funcioneselementales. Teoremasdel valo. medio.Desarrollos d€ Taylor, Reg¡asde L'H¿rpital.Apli-

C:"

t0

5 Definición de la integral deñnida. Medida nula. Propiedadesde las integrales definidas. Teoremas del valor medio para i¡tcgrales. Integralcs indefinidas. Teorcma fundamenlal del cálculo integral. Int€grales definidas con limites de integración variablcs. Cambio de var¡able de integración. lntegrales de func¡ones especiales.Métodos especialesde integrac¡ón. Integral€s impropias. Mélodos numéricos de cálculo de integralesdefinidas. Aplicaciones.

TABLA DE MATERIAS Pógl¡¡

C¡pftub

ó

DERIVADAS PARCIALES.... . .

...

101

c indcpendiente, Funcionesde dos o más vári8bles.Variablesd€p€ndiente domir|io de l¡na función. Sislemasde coordenadasrcctangulareslridimcnsionales.Entornos.Regiones.Limilcs. L¡mit€srcitcr¡dos.Continüidad.Con_ tin¡¡idad utliforme. Derivadas p¿rciales.Derivadas parcialasde o¡d€n supe_ rior. Dif€renciales.T€oremassobredifcrcnciales.Dilerenciacióndc funcioncs comDuestas.Teoremade Euler sobre funcioneshomoSéneas.Füncionesim' plicitab. Jacobianos. Dcrivadas parcialas con j¿cobiar¡os. Tcorcmas sobrc j¿cobianos.Trarsformaciones.Coordenadascurvilincas. Teoremasdcl valor m¿{io.

Crplob

...

7

134

Vectoresy escalares.Algebra vcctorial. I¡yes del álgcbra v€ctorial. vectores u¡itarios. Vectoresunitários ortoSonalcs.Componentesdc uf¡ vector. Pro_ d¡¡cio escalar.Producto v€ctorial. Productos triPles. AnÁlisis veatorial desd€ un punto de vista axiomático. Funcioncsv€ctoriales.Llmites, continuidád y Cerivadasde funcionesvectori¿lcs.Interpretación gcométric¡ dc l¡ dcrivada vectorial. Gradiente, dive¡8erci¡ y rotor. Fófmulas en quc cntra 9. Inter_ prctación vectorial de los jacobianos. Coordcnadascurvillncas orlogonales. Cradicritc, diverSencia,rotor y laplaciano en coordcnadascurvilir¡css orio_ gonales.Coordcnadascurvilincas €sp€cialas.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS

C¡pft¡¡o

Aplicacionesa la geometria.Derivadasdireccionales.Derivación bajo el sig_ no integral. Integ¡ación bajo el signo inteS¡al. Máximos y mi¡limos. Método de los multiplicadoresde Lagrangepara máximo6y ñl¡imos. Aplic¡cio_ nes a los errores. C¡pttulo

9

INTEGRALES

18t)

Ir¡tegralesdobles. Integralesreiteradas. Integ¡¿lcstriples. Transformaciorcs dc integralesmriltiples.

cr/oro f0

INTEGRALFS CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE

t95

Integrales curvilineas. Notaciónvectorialdc las intcgi¡ales curvilíneas. Cálculo de inteSralescurvilineas.Propicdadcsde ¡as integralescurvilíneas.Curvas simplcs ccrradas. Rcgion€s simple y múltiplement€ conctras.Teorema ue Crcen cn el plano. Condiciones para quc Dna ir¡teg¡al curvi¡inca seá indepcndientedel camino. IÍtegralesda supcrfcic.Tcorcmadc la divergencia. Teoremade Stoles.

crltub ff

2U Convergcnciay divergenciade series.Propicdadcsfund¡mentales de las series. Seriesespeciales.Criterios dc convergariciay divergenciade seriesde constaDtes.Teorcmassobrc senesabsolutamcntcconvergentes.Sucesioncsy scries de funciones. Convergcriciaunifo¡me. Criterios especialespara cor¡verScnciau¡iforÍ¡e dc s€rics.Tco¡emassobacs€¡iesuniformamcntc convergentes.Seriesd€ potencias.TeoreDassobre seriesde potcncias.Oper¿ciones con scriesdc potencias.Desarrollo dc fur¡cioncscn seriesde potencias.AIguras s€ricsdc potenciasimportantes. Temasesp€ciales.

TABLA DE MATERIAS

Púgin¡

ry1 2

2@ Definiciónde integral impropia. Integralesimpropiasde primera especie. Integra¡es impropiasespeciales de primeraespecie. Criteriosde convergencia para integtalesimpropias de primera especie-Integralesimpropias de segunda especie.Valor p¡incipalde Cauchy.Integralesimpropiasespeciales de para integralesimpropiasde sesegundaespecie,Criteriosde convergencia grnda especie.Integralesirnpropiasde lerc€raespecie.Integralesimpropias dep€ndientes de un parámetro.Convergencia uniforme,Criteriosespeciales de codvergencia uoiformede integrales. Teo¡emassobreintegrales uniformemente convergentes.Cálculo de integrales definidas. Transformadasde Laplace. Integrales múltiples imp¡opias.

*1 3

zuNCIONES GAMMAY BETA.... . . . .. . . . .

.........

285

Función gamma. Tabla de valores y grafo de la función gaúma. Fórmula asintóticapara f(r). Algunas relacionesen que entra la función gamma. La función beta. Integrales de Dirichlet.

*1 1

298 Funcionesp€riódicas. Seriesde Fourier.Condiciones de Dirichlet.Funciones imparesy pares.Seriesde Fourie¡ en senoso encosenos.Identidadde Parseval. Derivación e ioteg¡ación de seriesde Fourier. Notación compleja para series de Fourier, Probl€masde cortomo. Funcionesortosonales.

e15

321 La int€gralde Fourier. Formas equivalentes del teoremade la integralde Fourier. Transformadas de Fourier. Ideritidadesde Parsevalpara las integralesde Fourie¡, Teor€made convolución.

ry1 6

331 La integ¡al eliptica incompleta de primera especie.La integral eliptica incompl€tade segundaesp€cie.La integralelipticaincompletade terceraespecie.Forúas de Jacobi de las int€graleselípticas.Inlegralesreduciblesa tipo eliptico.Funcioneselípticasde Jacobi.Transformaciónde Landen.

ry 1 7

345 Funciones. Limitesy continuidad.Derivadas. Ecuaciones deCauchy-fuemann. Integnles. Teorema de Cauchy. Fómulas integrales de Cauchy. Serie de Taylor. Puntossingulares. Polos. Seriede Laurent.Residuos.Teoremadel residuo.Cálculo de intggralesdefinidas.

373

Capítulo 1 Nrúmeros (Erñr6 -tuR üf,ro --.-^

É-d.f'otal €n matemáticasel conc€pto de conjwto, clase o colecciónde objetos que tienen 6peciñcas. Por ejemplo, s€ habla del conjunto de todos los profesoresde la universidad, dc las letrasA, B, C, D, . , . , Z del alfab€to,ctc. Los objetosdel conjuntose llamar.eleIoda parte de un cor¡junto s€ die subconjuntodel co¡rjunto dado, como ,{, r, C que es un de A, B, C, D, . . . , Z. El conjunto que csrecede elementosse llama conjuntoDacío.

IEÍE

IEALES f¡

cooocidoslos tipos de [úme¡os siguientes.

L

nbr¡leg l, 2, 3, 4, . . . , o enterospoJ¡l¡uoJ,que sc emplcan para contar los eleEros de un conjunto.Los símboloshan cambiadocon las épocas,pueslos romanos,por -rG *!¡plo. utilizabar I,II, III, ry, . --.La sumaa + b y el producto¿.ó o ¿ó de dos números E¡¡rales ¿ y ó es tambiénun núm€¡onatural,lo cual se süeleexpresardiciendoque el conFao de núme¡os ¡atural€s es cerrado rcspecl,ode la operación ad¡cióny rcsryto de la opettúD nultiplícación, o que cumple la propiedadde clausuraco¡t ¡esp€ctoa esiasoperaciones.

a

I

os Dag¡tivosy ce¡o, denotadospot -1, -2, -3,. . . y 0, respectivamente, que perril¡¡ ¡esolve¡ecuaciones como ¡ + b = aco¡ay b naturales,qüe llevana la op€racións¡¡Jú .clil o ínoetsade la adición y se cscribe ¡: ¿ - ó. con el carosellamaconjuntode ¡osente¡¿J. El coojuntode los enterospositivosy negativos y'accrbn¿s, nciordes o tales como i, -*, . . . permiten resolver ecuacionescomo = ¿ pata ¿ y á ente¡oscualesquiera br con á + 0, que llevana la opcraciónde d¡uls¡ó¡o rn-r€ úra de la mufuiplicac¡U¡,y seescribe¡ = al b o a + b llamá¡dos. a numeradory b denoninador. El conjunto de los €nteroses ün subconjuntode los ¡úmeros racionales,püeslos enterc correspondena númerosracio¡alescon ó: l.

a

!-aB

ir¡cion¡les tal€s como rt

y o son númerosno racionalcs,es decir, que no se

.4 ,..

pcdcn expresarcomo | (llamadococientede a y bl co¡i a y ¿ enterosy á + 0. El conjunto de tod"oslos núme¡osracionalese irracionalesse llama conjunto de los ú¡e¡os ¡eales. GE¡{TACION

DECIMAL DE LOS NUMEROS REALES

Todo aúmero real se puedc expresaret lorma decimal,por ejemplo,l?/10 = 1,7,91100:0,@, fó e-166óó. . -. Si el númeroes racionalel desarrollodecimaltermina,o si no terminahay una cifra r t¡lo dc cifras del desarrolloque se repilen.como, por ejemplo.en + :0,142857 14285'lI42.... ¡epeI d ric.fo es i¡racional, o.16.= 1,41423...o r : 3,14159..., no puedepresenta$e "opuedeconsiderarun desarrolloo fraccióndecimalcomo infnito, pues ri rFrite. Siemprese .. .. Pa¡a indicar estosdecimalesque se repiten . . . o 1,3749999 '-5E r¡ f,o mismo que 1,37500000 poodremospuntossoble el periodode cifras que se repite,asi + = 0,14t831,+ = 3,1é. ! ttlscos E 6crna decimalutiliza las diez cif¡as 0, l, 2, . . ., 9. Se puedentambiénemplearsistemasde r-¡riir con menoso máscifras,comoel sistemabina o qle soloemplealascifras0 y l, por ejemplo liftás i2 y jjr.

Z

N U ME R OS

lcAP. I

REPRFSENTACTONGEOMETRICA DE NUMf,ROS REALES Es conocida la ¡epresentaciónde los números reales sobre una recta llamada eje rcal, como se ve en la figura. A cada número real corresponde ün punto, y solo uno, de la recta y rccíprocamente; es decir, er(iste ljlla cotrcspondenciabiunitoca enlje el conjunto de los números reales y el de puntos de la ¡ecta, poÍ Io cual los conceptos de punto y de núm€ro se podrán emplear uno por otro.

Fia. l.l

El conjunto de números reales a la derecha del 0 es el llamado conjun¡o de los númercs posítíDos., el conjunto a la izquie¡da del 0 es el conjunto de los númerosnegatíoos,en tanto que el 0 no es positivo n¡ negativo. Entre dos racionalescualesquiera(o irracionales) de la recta hay infrnitos números racionales (e irracionales). Lo cual lleva a deci¡ que el conju¡to de los racionales (o irracionales) es ui conjrúÍo d¿nsoen lodas partes. OPERACIONES CON NUMEROS

REALES

Si L 2. 3.

¿, á, c pertenecenai conjunto R de los ¡eales, a + b y a D p e rte n e c ean,R Ley de clausura a + b :b + a Ley conmutativade la adición a + (b + c J = @ + b )+ c Ley asociativade la adición Ley conmutativade la multiplicación 5. a(bc) = (ab)c Ley asociativade la mültiplicación 6. a (b + c ): a b + a c Ley distributiva ' 7. a + 0 : O + a = a , 1 ,a : a , 1 : t¿ 0 se flama elementoheutrc de la adición, 1 se llama elementoneutrc de la multipucacton. Para todo d existe un número ¡ de R tal que x + a: 0. x se ll^ma s¡mético de a respecto de Ia adición o también opuesto de ¿ y se denota por _¡¡. 9. Pa¡a todo a + 0 existe un número ¡ de R tal que ¿¡: 1. ¡ se lfama simétríco de a rcspectu de la multiplicación o también iñDerso de a y se denota por a-t o lla, 8.

Esto permite operar según las reglas usuales del álgebra. Un cor¡junto como R, cuyos elementos cumplen lo que antecede, se llaña cuerpo. DESIGUALDADES Si¿ - ó es positivo se dice que o es nalor que b o que b es menor que a y se escribea > b o b < a, respectivamente-Si se da tambiéo la posibilidad a = á, se escribe a/ b o b S a. Geométricamente, a > á si el punto del eje real que corresponde a a €stá a la deÍecha del punto que correspolde a ó. E¡eDpf6. 3 <5ó5 > 3. -2< menor que 3. Si l. 2. 3. 4. 5.

-l ó -l

> -2;x S 3 signific¡que¡es un número¡ealquepuedeser3 o

¿r,á y c son números realesdados, O bien a> ó, o bien a: b, obi e ¡ a by b> c es a> c Si ¿> óes a+ c > ó+ c Si a> by t > 0 es ¿c > ¡ ! c Si ¿> by c < 0es uc < b(

Ley de tricotomía Ley de transitividad

NUMEROS

-l E

IDfX¡'fi)

E * t0 i .:

DE UN NUMERO IEAL

rbGolutode un númerc¡eal o, que se denotalal, sedeñnccomo a si a > 0, -¿ si a < 0 A

'-51= s, l+21=2, l-il = I, l-vEl= /t, lol= 0. h.-: = lollüllcl... lr¿l L rl = a ül o labc...ml 1 :- l S'or +lól o lo+b+c+...+ n l= I ¿+ l lb l+ lc l+ . . . + 1 2 ¿ l ¡. r-ü > 'oi- lbl f¡ bcÉ

Y RAICES

ND'¡ES al-

.otre dos puntos (o núme¡osreales)¿ y á del eje real es la - ól : lb - ol.

E ¡ lüc r oa. a. . . a d e ü ¡n ú m c ro re a l d p o rs i m i s m opvecessederi otaporapl l amándosep y ¿ á¿s¿.Se verificanlas reglassiguientes: L.

ae. aa = ae+ e

2-

:-

3.

(ao)' = añ

. (il'= *

= ao-o

y es ge¡e¡alizaciones bls a númerosrealescualesquiera son siempreposiblesmientrasse exfrl-rÉiinporcero.Enparticularparalt2,conp=qyp=0respoctivamentesellegaalasde' ¿ : l, a- e= l l a c . :,Y, sieadop entero positivo, se dice que a es wa taíz p-ésimade ¡f, que se escribe _f J babE¡más de uoa raízpésima real de rV. Por ejemplo,como 22 : 4 y (-2\2 = 4 hay dos E 3I d¡das realesde 4, que son 2 y -2. Es costumbredesignarIa raíz cuadradapositiva por -d"¡ f. Egativa por -./4 = -2. t -: I ¡ ¡r q soa enteros positivos * defrrc a"t4 : XG. -¡qt¡tos f FE

¿: X, I se llama logq tmo de N en base a, lo que se escribep : lo&¡ú. Si a y ¡r' son ! a + l, existesolo un valor leal de p. Se verificanIas reglasque siguen: 1. log. il4N = loc.Ir + lo&N 3.

frl ft¡-

2.

los,K

= log.,ilf - log"N

log.M' = t'log" M

s€ utiliza¡ dos bases:la base¿ = l0 pafa el sistemade kga tmos decimales,aulgar o de ¡:ci:a y b fuse natu¡ala = e:2,'11828... para el sktemanqturalo neperiano.

M¡AXENTOS

AXIOMATICOS DEL SISTEMA DE LOS NUMEROS REALES

E ¡itsma de ¡úmerossepuedeconstruirlógicamentea partir de un conjuntofundamentalde d.r¡oque por lo generalsetomande la experiencia, uüdes <eüdentespor sí mismas)r como los enunl-9, Ésitra 2. I tmaoos los númerosnatu¡al€sy las operaciones de adició[ y multiplicació¡ como dados (si b diia esposiblepa¡tir de másatráscon €l conccptode cbnjunto),seehcuentraque los enunciaH. Figina 2, valen para los números naturales, pero los 7-9 no s€ verifican con ellos. A - d- Ddoc om o ¡e q u i s i to s l o s T y Ss e i n tro d ucrnl osnúmeros-1,-2,-3,...yel 0.Y conel 9 ! los númerosfacionales. -md¡ED ro

NUMEROS

lcAP.r

Se puedendeñnir operacionescon estosnúmerosasi obtenidosadoptandolos axiomas l-6 y el de enunciadostalescomo conjunto de lúmeros esahor¿el de los enteros.Esto lle,v"a demosttaciones (-2X-3) = 6, -(-4) = 4, (0X5): 0, etc, que por lo comúnsedan por ciertosen las matemáticas elcmentales. Se puedeintroducir tambiénel conceptode orden o desigualdadpara los enterosy a partir de éstospara los racionales.Por ejernplo,si ¿, ó, c, d son e¡teros positivos,sedeñnea/ó > c/d si, y solo parecidaspara los númerosnegativos. si, ad > bc, con generalizaciones entreellosselespuede Una vezestablecidos el conjuf¡tode los racionalesy las leyesde desigualdad ordenargeométricamente como puntos del eje real como ya se ha indicado.Se puedemostrarentonnúmerosracionales(como .,á, r, etc.). Estosoúcesque hay puntosde la recta que no representan merosi¡racionalesse-pücdendefinir de variasmaneras,una de las cualesemplcael conceptode co¡tadurasde Dedekind(Problema34); con éstasse puededemostrarque las reglasusualesdel álgebra sc aplican a los númerosirracio¡¡alesy que no hay ya ot¡os númerosreales.

CONJUNTOS DE PUNTOS, INTERVALOS Un conjuntode puntos(númerosreales)del eje real se diceconjuntodepunlosunidiüensional. Ef conjuntode puntosx talesque a S -x S D se llama interúalocerradoy sedenotapor [a, ó]. El c onju n to ¿ < x < ó s € l l a ma i rre ru a l o abi ertoysedenota]a,á[.Losconj untosa< xS byal x< b, denotadoEla, bl y fa, bl, respectivamente, se llama¡ interualossemiabíertos o semicerrados. El símbolox, que pued€representarcualquiernúmeroo punto de un conjunto,se llama variable. Los núm€rosdados ¿ o á se llaman constantes. Eieodo: '

por ]-4,4[ El conjuntode los ¡ talesque lxl < 4, o seá,talesque -4 < x < 4, se representa un intervaloabieno.

El conjunto.x > d se puederepresentar,asimismo,por a < ¡ < oo- Un conjunto semejantese llama inftnalo Winito. Arálogamente,- @ < x < @ rep¡esentatodos los númerosreales¡.

CONJUNTOS ENUMERABLES b¡ünísi suselementosse puedenponeren correspondencla Sedice que un conjuntoes er¡¡me¡¿óle uo¿¿con los núme¡osnatural€s. Eja[plo:

en vista de la corresLos númerosnat¡rralespares2, 4, ó, 8, . . . son un conjuntoenumerable Dondenciabiunivoca, Conjunto dado Nú m e rosn¡l uri rl es

24na t111 7234

Un conjunto se dice Winíto si se puede poner en correspondencia biunivoca con un subconjunto suyo. Si bien un conjunto infinito puede ser enumerable como se ha visto, hay conjuntos infinitos no enume¡ables como es el caso de los números irracionales o el de todos los números reales lProblemas l7-20), El número de elementos de un con-iunto se dice su ¿¡idelo cardi al. Un conjunlo infinitd tiene por ca¡dinal el número No (alef subcero, pdmera letra heb¡ea). El conjunto de los números reales (o cualquier conjunto que se pueda poner en correspondencia biunivoca con éste) tiene por cardinal el número C. llamado cord¡nol del continuo.

c^r. rl

NUMEROS

E\TORNOS EI conjuntode todoslos puntosr talesque lx - al < óconó > 0sellama entorno6 del or¡to a. EI coojuntode los puntos.x talesque0 . lr - ,l aDenque seexcluyer = ¿ sellamaentoino6 rc&ib de a.

ILI¡TOS

LIMITE

* llaña punto límite o punto de acumulaciónde un conjunto de [úmeros un número / tal que todo @rorr¡oó reducidode / contieneelenentosdel conjunto.Es decir,tal que para todo ó > 0, poi peque_ io que sca,se pucdehallar siempreun elemento¡ del conjuntodistinto de /, pero tal que _ : ó. l; ¡ coosiderandovaloresmás y más pequeñosde ó, se ve qu€ deb€habe¡innnitosde taleselemenios¡. Un conjuntofinito no puedetenerpunto limite. Un conjuntoinfinito puedeo rio tenerpunto límitc. Asi, por ejemplo,los ntimerosnaturalesno tienenpunto límite mi€ntrasque el conjuntode los nú_ r¡os racionalestiene infinitos pu[tos limites. Un conjunto que contengatodos sus puntos limit€s sc dice conjuntoceftado.EI conjuntod€ los Eionales no es cerrado,pues,por ejemplo,€l punto lfmite ná no es elementodel conjunto (probleoa 5). En cambio, el conjunto 0 = x = I es gerrado.

VAYORANTES, MINORANTES, EXTREMOS Si para todoslos númerosr de un conjuntoexistcun númeroM tal que¡ = M sedicequeel co¡jü¡to está mayorado y M es tt mayorante.De igual manera, si r ¿ ,r, el conjunto s€ dic€ minorado y ñ es \tD minorunte. Si para todo x se tiene n¡ ! x ! M el conjunto se dicn acotado. Si ¿1 esun númerotal que ningtn elemgntodel conjunto€smayorque ¿L p€ro hay uno al menos que supera¿t - Épara todo € > 0, entoncrs ¿l es cl mínímomayoranteo extremosuperior del cof,jrJnto. Análogame¡¡te, si ningún elementodel conjunto€s menorque ri, lrerohay al menosuno que es inferior añ¡ + € para todo € > 0, ertonces ñ esel máximo minorante o extrcrno infe or del ¿o¡jrrnto,

TEOREMA DE BOLZANO-WEIERSIT.ASS que todo conjuntoinfinito acotadotieneal mcnosun punto límite.Seda una demostraEstablece ción en el Problema23, Capítulo 3.

NUMEROS ALGEBRAICOS Y NUMEROS TRASCENDENTES Un número x, que es soluciónde la ecuaciónalgebraica a $r n + ar x n- t + a2r "- ! + . . .

+ o"-rf

+ o,

=

0

(r)

dondeca t' 0 y a r, ar, - . . , ¿, son enteros y , es entero positivo, el llamado grado de la ecuaciónse llama ntbneroalgebraico. Un núme¡o que no es expresablecomo solución de una ecuación algebraicade coe6cientes ente¡os e llama trascendente. Ejeupfos:

1y J1, C"" soo solucionesde 3¡ - 2 = 0 y dc,r'¡algebraicos.

2:0,

¡esp€cnvamenre, son numcros

Los números z y € son trascendentes,como puede demostrarse. p€ro aún no se ha podido determinar si núme¡os corno en son algebraicoso no. El conjunto de los ¡úmeros algebraicos es inñnito enumerable (Probleña 23), pe¡o el de los trascendenteses un infinito ¡o enumerable.

-

[cA P . ¡

N U ME R OS

EL SISTEMA DE LOS NUMEROS COMPLEJOS paComo no existenúmeroreal ,\ que satisfagala ecuaciónalgebraicarr + I : 0 o ecu¿ciones recidasse introduceel conjunto de los númeroscomplejos. Sepuedeconsidcrarun númerocomplejoen la forpl4 + bi cor,.I y b re¿les,que se llamanpdrl(' y dondei : J'l esla u idu¿it .8l(¡al¡,4.Dos númeroscomrcttl y perlc ¡magi.tr¡u,respectivamente, ple j o s a + b i y .+ r/i s o n i g u a l e s s i ,ysol osi ,a:cyó:d.S epuedenconsi derarl osnúmerosreal cs cono subconjuntode los númeroscomplejoscon á : 0. El númerocomplejo0 + 0¡ correspoldeal númerorcal 0. .o nódulode 4 + ¡t¡ sedeñnecomo la + bil: Ja'z+ ó'. El n¡imeroa - á¡se El ualorahsoluto deñnecomo conjugadocomplejode d + bi. El complejoconjugadodel complejo? se sueledenotar por 2 o zr. El conjuntode los complejosobedecelas.eglasl-9 de la página2 y, por tanto,constituyeun cuerpo. Al haceroperaciones con complejossepuedeoperatcomo en el álgebrade los reales,remplazando entre númeroscomplejos. luego i2 por -1. No se deñnendesigúaldades Desdeel puntode vistade una fundamentación axiomáticade los númeroscomplejosesconveniente tratar un n¡imerocomplejocomo un par ordenado(a, á) de númerosreales4 y á suj€tosa ciertas reglas de operación que resultan equivalentesa lai ya mencionadas.Por ejemplo, se define (a, bl + k, d) = \a + c, b + ti), (a, bl(c,¿) = (ac - bd, ad + bc\, rñ(a,bl = (ma,mb), etc. Se halla el simbolode (0, l). luegoque (a,ó) : all,0) + ó(0,l)y seasociaestocon ¿ + ó¡. siendo¡ €ntonces

FORMA POLAR DE UN NUMERO COMPLEJO Si seeligenejesrealessobredosrectasperpendiculares X'OX y Y'O Y (losejesx y y) comoen la Figura 1-2sepued€entoncassituarcualquierpunto del plaoo determinadopor estasrectasmedianteel par ordenadode números(x, y) o cooúenadasca esiaiasdel punto. En la Fig. 1-2se indicanejemplosde localizaciónde puntos e¡ esta forma en P; 0, R, S y I.

Fl¡. l-t

F|3 l.l

Como u¡ númerocomplejo-r + i se puedeconsiderarcomo un par ordenado(¡,l), se pueden represe.¡tar esosnúme¡oscomo puntosdel plano .r¡ que sellamaráentonces planocomplejoo díagtutn¿t deAry a n dE. n l a F i g . l -3 s eti e n e¡ = pcosó,y: psenddondep: Jx2 + 12 = l -r + a.l y{. l l amado amplitudo orgumento,es el ángulo que la rectaOP forma con el eje positivo de las ,t OX Se s¡gueque z = x + i v: p(cosó+ ¡senó)

t2)

llamadaforma polar del núméro complejo, donde p y d son las llamadascoordenodas polares, A verr;s es cómodo escribir cis ó c¡ vcz dc cos ó + i sen ó.

cat rl

7

NUM EROS

Si z¡ = ¡' + iy' ia puededemostrarquc

= p,(cos.¡¡+ ¿sendr)

ztzz =

y

z! -- **iy¿

=

pr(cos4. + ¿s€nór)

ptb{cos(+,+d.) + ¡sen(+,+ó"))

(3)

= &lcos(4,, ó,) + ¡sen(dr-ó:¿) 3' ) 22 o^'

(¿)

zn =

{p(cosd + tsené)}.

=

p,(cos¿+ + ¡ sennó)

(5)

rÉldo r¡ un númeroreal. La igualdad(5) esel teorctua¿leDe Moivre. Puedeemplearse para determinar hs raicesde los númeroscomplejos.Por ejemplo,si n es un entero positivo, zv. =

{p(c$ + + ¡ senó)}t/,'

(6)

=,,,^1 " "7¿ " (t+).,,*" lt3*-)] r--0,,,r,r,...,,,-, ' n / /) t

\

\

de doodese deduceque hay, en general,,1distintosvalorespara zrl'. Más adelante(Cap. ll) s€ verá que ¿4 = cos d + ¡ sen d siendo¿ : 2,71828-... Esta es la llamadalórnula de Euler,

TNDUCCION MATEMATICA Ef principio de ¡hducc¡ón matemática€s una importantepropiedadde los enterospositivos.Es úril sob¡etodo para demostrarenunciadosen que intervienenenterospositivoscuandose sabe,por .jemplo, que los enunciadosson válidospara n = 1,2,3, pro sesospecha o c¿rrer¡¡¡aque son válidos para todos los enterospositivos.El método consisteen los siguientespasos. l. Verificar el €nunciadopara ¡¡ : I (o para otro e¡t€ro positivo). 2. Suponercierto el enunciadopara ú = k sicndo & un entero positivo. 3. A partir de la suposiciónde 2 sedemuestraque el €nunciadoes válido para ¿ : & + l. Esta es la parte de la dcmostraciónque establecela inducción y puedc ser dificil y hasta imposible. 4. Como el enunciadoes cierto para ¿ = I lpor el primer paso] debc ser cierto [por el paso3] plr^ h : | + | - 2 y, por tanto. para n = 2 + I : 3, etc., y entoncesdcbe s€r cierto para todos los enteros positivos.

Problemasresueltos OPERACIONES CON NUMEROS l.

Si r = 4, ! = 15, z : -3, p = i, q = -tr, y ¡.= l, catcutar (a, t + (A+ z), (b) (t + A) + z, \c) p(ar), (d.) (ptr)l., (e) Í(p + q\. ( al r + la+ z ) = { + [1 5 + (-3 )] = 4 l ' 1 2 = 1 6 (ü) ( r + l/ ) + z = (4 + 1 5 )+ (-3 ) = r9 -3 = 1 6 El que (a) y (ó) s€ar¡igualesilustra la /€J asociatiúa d? lo adicíón.

(c) p(qr)= ${(-*X?)}= (ix-ji) = (}X-ü)= -+ = -y'" td')tpdr= {(iX-¿)Xt)= (-ñX¿)= {-g)rf)= -$ = --.rEl qüc (c) y (d) scan ¡gualesilustre la l¿l asocia.ila de la ñultiplícac¡ó^.

(e)'(p+q\ = a(i-*) = 4(á-¿)= 4(3)= f = 2 Olrrm¡¡r..r: alp+qr: tp+,q = (4Xi)+ (4X-l) = i-á = 8-t la lej distrihutitu.

= 3= 2 apticando

[cAP. ¡

N U ME R OS

7

Explicarpor qué no son núrn".osfot

o

fatlO

¡a) Si se definea/¿ coño el númaro (si existe)tal que óx = a, entonc€s0/0 es el ¡úñero r tal que 0r = 0. a 0/0 no s€ Peroestoesci€rto para lodos los númerosx, y no habicndoun númerox único que represente puedeconsiderarcomo número, (ó) Como en (a) si se d€finel/0 como el númeror (si existe)tal que 0¡ = l, s€ concluyeque tal númerono extste, Por €sto hay que considerarla división por cero como carentede sentido. o2-Ró!A ¡

Ciññli6^r.

¿F414.

¡ t- 5 ¡ 1 6

Fff

= l¡ - 3 ) ( ¡ - 2 t üffi

!-, = :-i

siempreque el factor cancelado(¡ - 3) no seanulo, ¡ + 3 Para

¡ = 3 la fraccióndada no está defrnida. NUMEROS

RACIONALES

E IRRACIONALES

4.

Demostnr que el cuadrado de un entcro impar es impar. Todo impar ti€ne la forña b1 + l. Como (Ztn + l)2 = 4rn2 + 4¡n + I supera en 1 al ente¡o par 4n2 + 4n :2(2rñ'z + 2rr), es impar.

5,

Demostrar que no hay número racional cuyo cuadrado sea 2. Seay'/g un númcro racional cuyo cuadrado sea2 y t¿l que p/g es una fracción in"ducible, oaea, qttep y q no tienen más faclorcs comünes que ll (o seá, que p y { son pümos eñtre si, como se dice). Entonces(p/4)': = 2, p' = 2q2y p' cs pat. segln .l Problema 4, p es par porque si p fuera impar ¡2 sería imp6¡. Asi, ptes, p = tn, Susütuycndop = 2m c¡ p'= 2C resuttaq2 = 2m'. o sea,que 92 es par y g es par. De modo que p y q tienencl factor común 2 contra lo supuestoque no tenian más factorescomunesque :t l. Esta contradiccióo pcrmitc añrmar quc no hay nriñero Écional cuyo cuadrado sca 2.

6.

Mostrar cómo se pueden enconttar números racionales cuyos cuadrados se puedan aproximar a 2 tanto como s€ quie¡a. Limitándos€a considerarsolamentenr¡merosracionalespositivos,por ser (l)'z = 1y (21'.= 4, habrá que escoger números¡acionales entre I y 2, por ejcmplo,l,l, 1,2, 1,3,..., 1,9. Como (1,4)'?: 1,96y (1,5)'= 2,25.se considcrannliÍreros racionalesentre 1,4 y ,.5 como 1,41,1,42, . . . . 1. 49. racionales€ada vez mejoresa 2; asi. por ejemplo, Continuandoasi s€ puedenobteneraproximaciones es rflayor que 2. 11,414213562)'es menor que 2 y 11,,414213563)'z

7.

.+ ar:0 Dada la ec uac ión¿o' x ¡+ ar f , - t +, c o n a o , ¿ 1 , . . . , ¿ ¡ e n t e r o sy a o y a , 1 0 . M o s trar que si la ecuación tiene una raiz 'acioíal plq, entonces p divide a a" y g divide a ao. por C se tiene Como p/q es raiz, sustituyéndola en la €cuacióny m¡.¡ltiplicando aop'+ o b¡en divid¡endo por /.

a tp "- tq + o,'p"'q'*

..

* c,-'pq'-r

o ¡p ,-, _ drp,-,q+ ... + d, ,s,-, _

* a.q'

_+ 4

=

¡

@

l2)

Como el primer miernbrode (2) es entero,tambiénha de s€rloel segundor¡¡ieñbro.Y como p y 4 son primos enlre si, p no divide a / y entonc.sdebed¡vidir a d,. pasándoal segündomiembroel primer términode (,/) y dividiendopor q, se puede De manerasemejante, demostrarque 4 tiene que dividir a ao. E. Demostrar que .r/ 2 + J3 no puede ser racional. ' six:Jt + \JÁ. cntonces al cuadrado, xa - 10,r'?+| =0. .!'?: 5 + 2,JG,x'z- s : zuG y, elevando Las únicasraicesracionalesposiblesde estaecuaciónson 1l s€8únel Probl€ma7. pero éstasno satisfacen la ecuación.De rnodo que ,á + ,,/5, que si satisfacela ecuación,no puedeser racional.

cAP. ll

NUMEROS

9. Demostrarquc cntredos núm *] otro.¡úmero 'acional' si ¿ y ó son,""roo"r"", * - T?t:"t*. a" racional y .st¡á entrc ¿ y ó"oronTl ,-

Paradc¡¡ostrarlosupringasc a < ó. Entoric€s, agregando ¿ a ambosmiembros,2a< o ¡ 6u o.!!!. Análog¡mentc, 2 sumandoó s amtos micrhbros. a+ b< y1j!.¡.

Asi,pucs, ¿ .!.

'

o.

Par¡demostrár Cu"li racionat, sea, = ". l, Enronces.f = l(l.l) = Ih:*gz\ z z\c a,/ 2\,¡z ' qa

2

U= !

)

p, q.¡, r enrcros y q + 0, s + O. "on p'+q¡ -_ '-ñs es un nrim€rorac¡onal. ".,.-

DESIGUALDADES 10. ¿Paraquévaloresde ¡ es ¡ + 3(2_ xr¿4_ lf.

x2

-y + 3(2 - ¡) ¿ 4 _ ¡ si ¡ + 6 _ 3¡ = 4 _ x, 6 _ 2x ¿ 4 _ x, 6 _ 4 ¿ 2x _ ¡, 2 > ¡, cs dccir, ¡ S 2, ¿Para qué valores de ¡ es x2 _ 3x _ 2 < l0 _ 2x.l L¡ dcsigualdedsc vc¡ifica si x ' - gr _Z_r O + 2e

< 0 Esra úrtima d€sisuard¡d * *no* ,.i",,1"",j";;;:'.":,lrun"n",I'-a)("+3) Sil.rt;"Jtk;0.'d*-3.'qcsdecir'¡>4v¡<-3.Perocstocs¿?,por¡ál¿porque¡nopued€sc¡ t u^l: * e sd e c i r, x < 4 .y x> _3. E srocs posi blsi c _3< ¡< 4. :9 r¡+ 3 > 0 , As¡ quc.laOdes¡gu¡ldad sevcrificapa¡acl conjunrodc rodos¡os,.tal.s qu" _3 < x < 4.

12. ttG..O r á20, demost¡ar que|(a + q> JA. Sa llcga

a menudo a tene¡ ün rnétodo d€-d:m!,stáión sunoniendo j\c cl rcsukado es cierto y cfcctuaa¡do operacioncsválidas hasta que sa l¡aga a u oe validez conoc¡da'Inürtiendo cl p.o"ool.upon;"nJo que esto se¡ posibrc) se rieDe," o.,,,o",]l"t[i]''oo En _cstcproblena poriEos dcl *"1.S9 !g.-, obrcnc¡ sucesivamcnlc, + O ¿ Zufat, (a + bf > 4ab, o* 2ab+ ó':¿ 0,." d€cir, (¿

-,r ¿'0,¡"q* 'a'li"in'¡"i¿lt-o."["o.,.,"ga ", "¡."". orromélodo: "t.."utt"ao. como(y';-y'-ó)'= o s€ticncd_2\/;6+b >0 o +(o+¿)=\ñü. Estercsultado!c puedegen r¿ti¿a¡á tú#

¿ !"rr, -Á, dondc¿r. d2,. . . , c. ro¡ núEl primer micmbro sc llarna mediaañrrnética el scgundo fi:r:::: l"S"¡*t ¡niembro ,t ed¡ageoñ¿,¡ícade ! fo s n umclos a r, a 2, . , , , a. ,

t3.

Si ot, a2, - . ., a, y b¡, ó2, . . ., d son realgs cualesquiera s€ ve ¡iñca la desiguoldod de Schuaz

(arh * azbtr... + a,"b,)2= (ei+aZ + ... + alxó?+ ór, +...+ ól) DcmostÉ¡fa.

Para todo real I sc ticr¡e

(o¡r+ó¡). + (a,r+¿r¡+... + (a,r+ ü,F = 0

Dcsarrollardo y reduciendo téminos

ár ^r + 2C^+ 8 r

, . = a i + a : + ... + a :, Entoncd (r) s€ pu€dacsóaibi¡ ^' f

F^

=

o

(r)

B'= bi+b,+...+bi, c = o¡ó¡+ d,ór+ ...+ a,ó.

(r.,

con

'*4:o

o s e a( ^ .9 ' .# -

fr = o

Pcro estaúlüma d.sigualdadcs cicrta par. rodo rcal I _ 9=0, si, y s, "oto {A' A' = dondc rtsulaala deriguatdaddc Schwarzmedi¡t¡tc {2).

o.",

(r) c, =ArE,dc

l0

[cAP. l

N U ME R OS

14. D€most.arque Sea

1

111

t-¡-8 s.=i +++*+

Entonces. Restando.

fs" = *s. =

para todo natural

=

> I.

I

1,1

+ +t+ -+ ,.!. o".

''

s.-

1 - t =S

l

r l a t al o d o r .

EXPONENTES! RAICES Y LOGARITMOS 15. Calcular:

t"rS#=$=r'"=r'=*!-i l o e ,," (?=) e . (d)

ru

-" j ' u' - V 2.6.r0- = l E ¡f= r L u e g o($ ). = ? = t3)"= (i ) ' o ' = -3. =

(ó)

1 /5 : a '

supon¡endoa, ó > 0 y a, b +l .

Se a lo g ..ó =r,l os6d,=A

( lo g .ó ) ( lo g ú o ) = l..

En to n ce s.a .= ó , b t= a Co m o ( o ' ) ' = ¿ a = ¡ t= ¿

y

L=ra. se ti ene 4"=ol

osea.V = | e¡ val or buscado

f6. Si M> 0, y'y'>0 y a > 0, pero¿ + l. demostrar Ou. fog;ff: Sealo&M-x,

= 5' 10 s ó0000u5

lo&M- loC.N.

= y. L\ego ¿ = M, d : N y, por tarito,

lo& ^r

ñ= , "= "4- "

toxf,="-y=toc"M-toe"N

osaa

CONJUNTOS ENUMERABLFS 17. Dcmostrarque el conjunto de los númerosmcionalesentre 0 y I inclusivees e¡umerable. 2, 3, . . . considerando solounavezlasfracciones equiEscríbans€ lodaslasfracciones de denominador valentestalescomo*,l, *, . . . Entonccssc puedcestablecer unacorespondencia biunivocacon los números naturales comosiguc Números racionales o r * Í $ I t * * ...

Núme,os naturaresI g $ I g I t $ g

De modo que el conjunto dc los nr¡merosracionaleseDtrc0 y I inclüsive€s eoumerablcy liene cardinal ño (véas€página4).

II J

18. Si .l y I son dos conjuntos cnumerables, demostrar que el conjunto formado por todos los elementos de A o R (o de ambos) es también enumerable. y los númerosnatürales, Como ,,1cs enumerable hay una correspondcncia biunivocaentresuselementos de modo que se puedendenotarlos elemenlosde / como abaz,a!,,,. AÍálogamentese puedendenotarlos elementosde B como bt,b2,bt... que los elementos C¡3o l: Supóngase de,,l son todosdistintosd€ los de t. Entoncesel conj¡¡ntoda elen¡entos de ,{ o dc , es cnumerablc, puas se pueda estableccrüna co¡¡€spondcnciabiunívoca como sigue: AoB Númerosnaturatcs

üa'b,a,'b'

I

00000 23456

C¡so 2: Si alSunosc¡e¡¡cntosde ,,1y de I son los mismos,se lescuenta solamenteuna vcz como e¡ el Problema f7. Entoncesel conjünto de elcmentosquc pertcr¡ecena A o a B (o ¡ ¿mbos) as eÍumerablc.

cAP. ll

NUMEROS

ll

El conjunaoque consisteen todos los clcrncntosque penenecfi a / o a ¡ (o a ambos)sc t¡amadr.,fi de ,,t y ¿ y se denota po¡ AV B o Nr A + B. El conjunto quc consisteen todos los clemcntosquc Frtancccn a,{ y, sr ll¡m¡ interc¿cciór]. da A y g y sc denota por A^B o por AB. Si A y , son cnumcrabLs,t¿mbién,l ñ, cr €numcrablc. El coDjurito formado por todos los cleñcntd de ,l que |to cstán en , sc csc¡ibeI - ,, Si , asal coniunro quc no estánen 8, t¡mbié¡ puadccscribi¡se, - B = AB.S| Ay Bson cnumar¡bles, de cfcrDentos rembi¡nlo e sA-8 , 19.

Demostra¡ quc el conjunto de todos los números racionales positivos €s clume¡able. Considérensctodos los racion¿l€s¡ > l. A cld¿ ntimaro r¡cional dc ¿3to6sc puda asociat uú, y solo un, n(¡meroracion¿f l/¡ del (0, l ), asto cs, h^y \nu conespondenclo ón¡rt rc¿ cútrc todos ¡os a¡cio¡alcs > I y todos los ¡acionalesd.l (0, l). Como cst últiño €s cnuDc¡¡bL, rc$!n ct problcma 17, sc deduc. quc cl conjunro d. todos los racio¡alcs > I cs cnumcr¡blc. Dcl Problcma l8 se siguc cntoúcasqua cl co¡ju¡to dc todos los rnhncrooracionalcspositivo6¡3 cnume¡¿ble, pues .3tá formddo por los dos coDjunt6 clumc¡abl6 da r¡cio¡alcs atrt¡r O y 1 !' dc los fn¿yorts o iguales a l. A Partir da aqüi se puedcd€ltrostrar quc cl co¡ju¡to da todoa lo! r¡ciotr¿lasc3 c¡turicaablc (ProbLba 59).

2ll.

Demostra¡ que el conjunto de los reales de [0, l] no es enumerablc. Todo rEal de [0, 1] tieDc uD¡ cxprcsión dccimal O,ara, a3 . . . , dondc a¡, ¿2, . . . son cifras cualcsquicra d e las 0 ,1,2 ,...,9. SesupoDequc los oúrúcroscuyacxpEsió¡ cú forma dccinal es6rita, tal co¡¡o 0,?324,seascribco.1324(fff. . . y que lo mismo sÉ'la 0,71239,9'. . . Si todo6 los Ealcs dc [0, l] fomaD conjunaoer¡umarabbsa pucdcr poúc¡ cn corrcs¡ondocia biunívoca coÍ los n¡lmcros Í¡tur¿lcs a!l: I

r't

2

e

0.4¡r ¿¡, @'!@'. . . . 0 ,a " a E r¡rr¿rr .,,

3

e

o d r ¿ r ¿ú¿! ...

0,ü¡ó, ó,6¡ . . . siendoár + ¿rr, br{o"2,b1}a35, balaa,... y oo todo6los¿ s p¡nú dc uDacicrt posicióD !o! 9. Estc númcro, quc pcrta¡occ & [0, l], cs difcGnte da todos los ¡úmcro6 cDumcr¡do! y, por tanto, no rstÁ contado, lo cual cootradicel¡ hipótFis dc quc todos los arimerosdc [Q l] 6tabs¡ iocluidos cD la m¡¡rneracióo. En ürtud dc csta conradiociór se dcducr quc 106rcalcs dc [e l] no rc pucdcn froncr ca com5froúdctrcia biüDlvocacoo los úrlmc¡oc ¡atur¡Ls, as decir, cl cor¡juDtodc los lt¡ñcros rral6 dc [0, t] .oo €s eDumcrablc.

PUNTOS IIMITES, MÁYORANTES Y MINORA¡ITES, TEOREMA DE BOLZAN(}WEIEN.STRASS 21.

,

(a) Demostra¡ quc €l cotrjunto innnito de lumeros l, l, ¡, ¡, . . . es acotado. (ó) Detefminar el e¡tremo superior y el extrcmo inferior dcl conju¡rto, (c) Dcmostrar quc 0 es un putrto líthite del conjunto. (d) ¿Es cerado cl conjunto? (e) ¿Cóuro ilust¡a este c¡njunto el teorama de Bolza¡oWeierstrass ? (a) Como rodos los clcñcntos dcl cotrjunto son mano¡csquc 2 y n¡¡yo.cs qua - I G,o¡ cjcoplol al coDjunto es ¡cotado; 2 cs un !úayofante y -l un minofa¡tc. Se pueden hall¡r mcnor€c meyora¡¡tcs G, por cjcrnplo) y meyorrr ñiio.¡¡tc6 (-|, por ejimplo). (á) Cor¡o ningún clemcnto del co¡junto ca ñ¡yor quc I y como ¡l ñcnos h¡y un clcmento (cl I ) m¿yor que I - c para todo a poditivo, sc ücna qu€ I cs el axt¡cDo supcrior dcl conjuuto. Coño niog¡n elamcnto del conjunto es menor que O y como ¿l mcnos hay un cLmar¡to ¡ncúor quc 0 + c para todo c positivo (siampr! s€ puedccscogprpsra csto el Di¡mc¡o l/¡¡ con ,¡ cntcro posiüvo tDayor quc l/€), sc ticre que 0 cs cl rxtrdúo iúfcrior dcl co¡junto.

t1

lcAP. I

NUMEROS lc,

Sea¡ un elem€nto del conjunlo.como siemprcsepuedchallarün núñero ¡ tal que0 < l-tl < ó paratodo positivoó (por ejemplo,sepuedetomarsiemprepara¡ el númerol/r, siendo/¡ uo ente¡omayorque 1/ó), se vc que 0 es un punto limite dcl conjunto. Es decir, que todo cntomo ó rcducido de 0 tiene siempreelementosdel conjunto por pequeñoqüe s€ lomc ¿ > 0.

\d)

al conjuoto d¡do. El coüjuntono es cerradopuestoque el punto limite 0 no pertene€e

tel

Como el conjuntoes acotadoe infinito deb€lcner al menosun punto limfe, por €l teoremade Bolzanowcicrstrass.Puestoque éstees cl caso aqui, queda¡luslradocl teorema,

NUMEROS

AI,GEBRAICOS

Y TRASCENDENTES

22. Demostrar qte l, un número algebraico. +.,/3 ", =./1 = XZ Ehvando al cubo ambosmiembrosy simplificandore5." , +.r/5. entoncast -,R sulta ¡3 + 9)r - 2 = 3J3G'. + l). Elavandoentoncesal cuadradoambosmiambrosy simplifrc¿rdose tienc x6 - 9x'- 4x' + 27x2+ 3ó¡ - 23 = 0. Co¡¡o estacs una ecuaciónalgcbraicade coeñcientesenterosse sigueq"" l/i. + J1, que es una solución de la misma.es un númeroalgebráico. 23.

Demostrar que el conjunto de los números algebraicos es enumemble. Losnúrueros alg€braicos sonsolucionesde ecuacioDes algebraicasde la formaaof + ar/'t + ... + ¿" = 0, donde¿0,¿¡, . , . , a" soo eit€ros. SeaP = laol+ lr,l +...+ la,l + n. fara todo valordadode Phay soloun númerofrnitode ecuacioncs a¡g€braicesposiblesy, por lanto, solo un número finilo de números algebraicosposibles. quecorresponden Escribicndotodoslos nrlÍrcrosalgcbÍaicos a P : 1,2, 3,4, . . . evitandolas rcpeticiones, resultaque todos s€ pueder¡poner en correspondenci¿bilnlvoca con los númerosnaturales,siendo, por tar¡to, cnumerablcs.

NUMEROS U.

COMPLETOS

Efertlar las operaciones indicadas. { a) ( 4- 2, ( ó) ( - ?+ 3ü

= 4- 2i-

+ ( - 6+ 5i)

= - 7+ 3i - 2 +4 i

- l2- 4i)

( c ) ( 3- 2i) ( 1+ 3i) = 3( 1+ 3¡ ) - 2 i ( r +3 t ,,. "- '

- 5- 5Í 4= -

- 5. r 5i 4+ 3i 4- 3i' 4+ 3i

=

= 4

6 +5 ¡

=

f-5

2 +5 ) i = - 2 +3 i

0 +(

= - 9 +'| i = 3 + 9¡-

2i-6t

3 +9 i - 2 i +6 - 2 0 - 1 5 it 2 0 i+ l 5 ¡ r --16 +3 - -

5 i r {4 +3 't 1' 6 - 9 -

= 9 +7 i

-3 5 + 5 i = 5 (-?+ ¡) = -1 r. - % 2ó T* 5' i - l + (i:)(r)+ (¡'r + (¡1!i

,. i + r' + i ¡+ f+ t' le, ----ll-

l+ i

(/)1 3 -4 i l 1 4 r.3 ' l ,. -'

l1 ll+ 3;

I I 1- 3il

-

l-i

i +1 222

l -rr

vGF+ F4f v14).+ (BI

=

ll- 3i ll- 9¡

l - ai ¡

lr.3il l-Ci¿l

-

lñl

I

l

(5)(5) =

25

= v( or +( - tf = E

25. Si zr y z2 son dos complejos,demostrarqte lzrzrl: lzrllzrl. S e ¿ nz , ¡,+ i c ,, 2 " = r,+i A ,. Lucgo fz ¡a f = | (r, + i y ,)(r,+ i vt | = l ' ,' .-s,u,+ íl r,a,+ ' ,a,tl

. = ft n;- un,r+ t;n* ',u,r - ,fAA+AEiEE+;r¡, = fie+ di\r,. !") = ,/4+7 \/ATú

= l,¡ + iy,l1,,+ i/,1 = l",lIz¡1.

cat. rl ü.

NUMEROS

l3

Re so lve r¡3-2 x- 4= 0. Las posiblesraiccs r.cionares, rcgún€l probrema 7, son +1, 12. 14. Ensayansosc crrcum¡r¡ qr¡c r = 2 6 u¡a raí¿. De modo quc l¿ ccuacióndada sc pucdeescribir (r - 2X_r, + 2.t + 2) = O. Les solucioncsde está @)ac¡ór da Wmdo grudo so|¡' arr+bl¡+c = o son r = --.b!!!t-Adc. - zr{1 4 = - 2! = { = 1 _- 2: h = _lii. 22 2 El conjuntodc soluciones es2. - | + l. - | - ¡.

p,¿ra o,=1, b=2,

c=z

estoda

nonMA PToLARDE If)S NUMEROSCOMPLEJOS 27. Expresaren forma pola¡ (a) 3 + 3i, (b) -L + .t4i, @ -t, (d\ _2 _ 2úi.

nf.l-¡ la, Amplitud ó = 45' - ¡14 radiancs. Móduto p = Jj +V = 31. Entonces, 3 + 3i : p(cos ó + ¡ sc¡ d) = 3\nqos r/a + i sen'¡/4) = 3./i- cis ¡A

(ó) Amplitud ó

- 3,tD e.,t,

= l2O"= 2n/3 radianes.Módulo p =.JI+f , ({]l, = v/a :2. Enronccs, - | + Ji i - 2(cos 243 + i *n 2n/31= 2 cjs 2^13: 2e2.t1.

(c) Ampfitud ó=

180' = r radiaÍes.Módulo p =,14-TÍ + e¡, = l. Entonc€s, -l = I (cosr + i sen ft) = cis z: ?r

(d) Amptilud O = 2# = 4d3 radianes.v|Odtto p =1f 1-2¡4 143y = 4. Enronces, -Z - 4ñ = tlcos 44/3+ ¡ *n 4r/31- 4 cis4n/1- 4e4.rt 28. Calcular(a) (-l + ,6¡)'", (Ol (- t + i)ti3. (¿) Por cl Problema27(ó)y el tcorcmade Dc Moivre. (-1+\f5t.

= lz(cos2?/3+ i sen2 g)lto = 2,o(cos2}"l3 + i s.n20,/B)

= 1024[c@l2t/3 + 6r) + i señ(2'l3+ 8t)) = 1024(c$2n13+ isenz,/g)

= 1024(-l + lV'¿l = -orz + sr¿V5r ( b) - l+ i = Vt(cos135" +is€nt36o) = Vt[cos(1s5. +&.s60o) + t sen(1g60+¿.9600)l Enlonccs.

(-1 + ;¡v, - hr4[""" (Eftrtjjoq) * .*- /rs¡. + e.s6o.\-l Los ¡esultadosfrara * : o. 1.2 son

" \

3

'/l

i/E 1.o" as" + d scn45o), lt(cos 165' + i scn1660), V2icos 285o + i sen2850) Los r€sultadospara k : 1.4,5,6,1, . .. son repelicion€s de los anteriorcs. Estas raiccs complcjas s€ ¡epr€s€ntaogeométricamente en el plano mmplcjo por los puntosPr, Pr, Pr del circülo dc la Figüra l-5.

Ft r-!

,

=

[cAP. I

N U ME R OS

l4 INDUCCION

MATEMATICA

l)(2r+ l) + 32 +4 2 +" '+n 2 : | n ( n + es ciertopara¡: l, pucs l' = á(lxl + lX2'1 + l): I Et enunciado

2 9. Dem os t r ar qt e 12 + 2t

Supóngasecieno para tt - t. Entonces' Ir + 2' + g' + ... + t¿ =

*¡(k + 1)(2t+1)

sumardo (¿ + | )2 a ambosmrcmbros,

+r)+k+rl 1,+s'+3¡+. .+r.,+(¡i+1), = ltl-..,iijilili.l, :',;,;,ff.'i,,ül,l

parat l' quemuestraqueel enunciadoescleno parat = ¿ + l sies cÉrto paran =k Perocomoescierto po_ para entero quc todo = es ci€rto = es decrr' S, 2 + l = para que l:2ypara¡ n l + lo cs sesigue

3).

D€mostrar que ¡" - )¡ €s divisible por ¡ - I para todo ¡ entero posilivo' EI enunciadoes cierlo para /¡ = l. puesxr - vr = x - -y' Supó gaselecielo para; = *, es decir' supóngas€que '/ - I es diüsible por ¡ - )' Considérese + x " t - a " *' ú. + t _ u x +t = *+' - t u

= ¿@-u, + rl* - !'\

El primer término de¡ segundomiembro es divisib¡epor x - / y el s€8undotérmino del s€gundomiembro también lo es por suposición. Asi que -*'r - f*r es divisiblepo¡ ¡ -,} r¡ I - I lo es' goioi""., t' - yt es aitisitL por t 1y 5esigueque r¡ - )¡ €s diüsible por x - /' que x3 - )'3 "o.o Por ¡ - /, ctc también€s divisible 31.

: 2, 3, si x > - l' x I 0' Demostrar la desiguatdadde Beñoutli (l + ¡f > I + nx para n | C > +2x' es ciettoparan:2 p\es (l + x)'1= I +2x + El enunciado Supóngase el enunciadocierto pera n = k, es decir, que (l + r)k > I + 't'¡ t-lutti¡icanao ambos miernbros por I + ¡ (que cs positivo por ser ¡ > -1) s€ üene > 1 +( r c +1 ) , ( 1+ ¡ ¡ , * ' t ( 1+ r ) ( 1 +t r ) = L +l k +l t r +k t ' De modo que el enunciadoes cierto para n = t + I si lo es paÉ t = ¿ " y es entonces Perocomocl enuncradoes cierto pam r = 2, debes€rlotambiénpar¿rt = 2 + l:3' cierto para todo enteromayor o igual qüe 2. Nótesc que cl resultado no es ciirto para ¡: 1. Pcro modifrcandocl eounciadoaí: (l + xf = I + t¡x es c ier t opar an = 1, 2, 3, , . .

PROBLEMAS VARIOS : 32. Demostrarque todo enteropositivoP s€puedeexpresarde maneraúnicaen la fortp' P aoT ! 2 t o l . las d 0 a tzn- + a22- + " + a,, siendo P por 2 sc tienePl2= a'?,-'+ ar2:-'z+ "'+ o^-r + aJ2' Dividiendo Entonces ¿nes€l resto,O o 1, obtenidoal dividirP por 2 y esr¡n¡co. Sea Pr Ia parte enterade P/2. EntoncesPr : ao2'-t + at2'-t + " + a,-¡ DividiendoPr por 2 se ve qu€ di r es el rcsto, 0 o 1, obtenidoal dividir Pr por 2 y es único Continuando de €sta manera se puedcn detcrmi¡ar todas las ¿ como 0 o I y son únic¿s'

33.

Expresar el número 23 en Ia forma del Problema 32. se puededisponerasi: de los coeficientes La det€rminación

2T?! 2)1r 215 2I! 0

ResloI ResloI RcstoI Rcsto0 Reslo I

c.rP. ll

NUMEROS

l5

L os cocñcient .sson 101I l. Pn¡ eb¡ ; 23 = 1 . 2 . +o . 2 t + l . 2 r +1 . 2 +1 . Ef núm€ro l0lll ¡eprcsentaa 23.n el sislernade mtneroc¡ónbinaña o de bose dos,

3{

Dedekind definia ura cortadura,seccióno partición et el canjunto de los númerosracionalescomo una sepa¡ación de todoslos racionalesen dosclaseso conjuntosI, (clasede la izquierda)y R (clase de la derecha) coD las siguicntes propicdades: I. Las clasesno son vacías(es decir, hay al menosun número en cada clase). ll. Todo número racional está en uoa claseo en la otra. III. Todo número de ¿ es mcnor oue todo número de ,R. Demostrarque: (a) No puedehaber un número máximo en ¿ y uno minimo en R.

(¿)

Puede sucederquc en ¿ haya un número máximo y que en -Rno haya n{¡mero mínimo, ¿Qué tipo de ¡rúmero de6ne la cortadu¡a en est€ caso?

(c) Puede ocurrir que en ¿ no haya un número máximo y que en iR haya u-n nrlmero mínimo. ¿Qué tipo de núrnero define la cortadufa en este caso? (d)

Puede sucedcr que en ¿ no haya número máximo y que en R no h¿ya nrimero mlnimo. ¿Qué tipo de número de6ne €n este caso la cortadura?

Sea aclmáx im onúm er or ac ionaldc ¿y ác lm l n i n ¡ o n ¡ l m e r o ¡ a c i o n a l d e R . E n t o ¡ c e s , o b i e n o =ó o bien a < á. No sepuedetencr a : , porquc, por dañnición de la co¡tadura, todo nú¡¡cro de ¿ esm¿ñorque todo númerode R. No puedescr tampoco ¿ < ó, pues,scg'ín el Problcña 9, *(a + á) cs un núme.o racional !¡layor que d (y entoncespertenecea ¡q), pero menor que ó 0 eütoncaspertenecea ¿), y, po¡ definición, un ¡úmero racion¡¡ no puede cstar a h rvz a¡ L ! ai R. lb) Coúo indicación de Ia posibilidad, saa¿ la clas€que contiene€l número i y todos los r¡cionales menores que t, en tanto que R contienc todos los racionalesmayor€squc l. E¡t cstecaso la cortadura dcfnc cl racional !. Un ¡azonamientosemejantecambiándo I por cualquic¡ otro lacional muesfta que cn cstc Aaso la cortadura define un número racioDal. (c)

Como i¡dicación dc la posibilidad, se¡ ¿ la claseque consistem todos los racionalesmenorcsque J mientras quc lRcontienetodos los racional€smayoreso igualesque l. Esta cortadura definc t¿mbién el número racional l. Un ¡azonamientosemejantemu€stra que esta cortadufa sicr¡pre define uf¡ ¡úmcro racional.

(d\

Como indicación de la posibilidad, sea¿ la clas€formade por todos los laciorales negativosy todos los racrorialcspositivos cuyoscuadradosson menoresque 2, en taDto que R seala clasedc todos los positivos de cuadrado mayor quc 2. S€ puedc mostrar que si ¿ es un númcro cu¿lquierade la clase¿ hay siempre un número mayor en la clase¿, en tanto que si ¿ es un ¡rúñero cualquicra de la clasa¡ hay siemprcun número menor en la clase -R (Problcma l0ó,). Una coladurs dc este tipo deñne un númcro irracional. De (ó), (c), (d) sesigueque tod¿ cortaduraen el conjuntode los núme¡osracionales, llamadaco¡¡adura de Dedekind,define un ¡¡ún¡cro racional o u¡ lrtimcro irracional. Empla¡ndo cofadu¡as de Hekind sc puedendefni¡ operaciones{como adición, multiplic¿ción, etc.) con los nrlme¡osi¡racional€s.

l6

[cAP. l

NUMEROS

Problemaspropüestos OPERACIONESCON NUMEROS 35 . D a d o s r= -8 , a = Z ,z = s ,6 = tr

y ó= -| ,

tattzx-útsv+2r\62-z¿, tü H4,

cal cul ar:

{c)H+f

(ú (av ó ): , (d)(a I+ b T+ ó+ U)' (d

Sol. (al2200, (ó) 32, (c) -61141, (d) I 36. Hallar el conjunto dc valoresdc ¡ par¡ los cua¡esson vá¡idaslas ccuaciodcssiguientes.Justi66r todos los pasos en cada caso.

\a ' , a (r-2 1 + 3 (2 ,-1 )) + 2l 2t+ l l = 12(a+ 2)-2 I 1 = 1 ,,. to, ¡:; Z "_2 sot. la')2, (ó)6,-1, (c)-1,1, (d)-+ 37. Demostrarquc =--:=----= + + ;-*::---= - 2) \2 - u^, - !) tt - y^y tt -.)\z--L --

\cl | ¡' + 8r+ 1-t/Tl i i L-' ,t, - 9 *''17=E+É

= r+ t

6

r)

= 0 dando lascondicrones si las hay.

NI'MENOS NACIONAIES E TIRACIONAI,ES

3& Halla¡ fraccioDesdecimalespara (.) +, @ J5. so¡. (¿) 0,4185?1,(b) 2,23fi6'19... 3!r, Mostrarquc una fr¿cciónde denominador17 y de uuúerador1,2,3,...,16 tiene16 cifrascn la palte que se rcpitc e¡ su €rp¡esión decimal.¿Hay slgur¡arcl¡ción entrc los órdcn6 dc las cifras en estasfraccionesdecimales? Deúostra¡ qu. ("1 .f,3, Ql j/f son númcros i¡raciorales. 41. Demostr¡¡ que (.1 .t5 - .{3, lbl J, + J1+ .,/5 son númcros irr¿cionales. 1r- Dctermiuor ur¡ ¡¡¡mero ¡acional positivo cuyo cuadmdo diñcra dc 7 e.r menos de 0,000001. 4.

¡13. D€mostr¡r 44

quc todo número racional sa puede €xp¡€sa¡como fr¿c¡ión decimal periódic¿.

Hallar los valores de ¡ tales que = 0 , \ c t , 1 - 2 b '+4 ( d) 2¡ ' r - 6r ' - 9r + 18 = 0, ( ó) 3 r r +4 ¡ r - 3 5 r +8 sot. (al s,-2,st2 (bl 8t3,-2!.'/'6 (¿) +(6!fi?), +(-5 a v-1?)

¡15. Si

''

oo cs cu¡drado perfecto,demo3trarq]J€a+ bJm=c

= 0.

+ dJn si, y solo si, a= c y b:

d.

¡f6. Dcmosrrar que 1+V5+y't - Lz'/E- 2'/4+ l4\/l - 7 ll - I-Vg + V E DESIGUALDAI'ES 47. Halla¡ el conjunto dc valores de x paaa los cual€s se verifrcá:

a l i + fr > s, (ü )¡(r +2)= 2a,G\lx+ zl< l' - 51, ( d);h, So/ . ( o) 0< r = + ,

¡8. Demostrar(o) |r+ul

( ü) - 6 =r =4 ,

lc\

( ¿ l , >3 ,

- L <" <- *'

" <8 1 2 , = ltl + lyl, (D) lr+?+zl = lrl +lyl + lzl, (c\ l¿-yl

#. o z <- 2 = l"l - lyl.

4!r. Ddnostrar quc para todo real x,!,2, t2 + y2 + 22 > xy + rz + zx. $.

Si ¿' + á2 = | y c2 + d2 = l, dcmost¡ar qte ac + bd S L

51. Si ¡ > 0, d.moslrar que ¡'+r +

para z natural. t * ] "' -t 52. Demostra¡que para todo a + 0, la + I/al¿z, 53. Mostrar que cn la dcsigualdaddc Schwarz(Problema 13) la igu¿ldád cs válida si, y solo si, ¿, = kbn p = 1,2, 3,..-,n, sicndot une constantc, 54. Si ¿r, d2,a! so¡ positivos,demostrarqu€ *lat + a1 + ai Z Jap2a".

c^P. rl

l7

NUMEROS

EXFO¡¡Ei{TES. NAICES Y I.oGAN¡TMOS

(d 4tq'¿,lb)| log¡i€ (rh), ,", sr calcurar \iffi, 5 t.

(d)3-rr{'5, kt l-[).1!- e27r,¡..

Sol. (al 64, (ó) 74, (c) 50.000,ldl l/25. (e) -71t44 Dcmostrar que (¿) lo& ¡//V = lo& M + lo& /Y, (bl lo8- M' - r log. M dando posiblé condicioacs. DcmostIar que óro." = ¿ dar¡do las restriccionessi las hay.

CÍ)NJUNTOS EI\ruMERAEI,ES 5& (a) Demostrarque existauna correspondencia biunivocaentrelos puntosdcl intervalo0 S ¡ S I y los del -5 S x S -3. (ó) ¿Cuál es el núúero cardinalde los conjuntosde (a)? Sol. lb\ C, el cardinaldel conrinuo. !9.

(a) D€mostr¿rque el conjuntodc todoslos númerosracional€s cs enume¡¡ble.(ó) ¿Cuálas cl nrtmcrocardinal d€l conjunto de (a)? Sor. (ó) lto

ú0. Dcmosararque el conjunto dc (¿) ¡os reales, (ó) los irracionales, no es enr¡mer¡blc. 61. La intercecci!ó,tt dc dor co¡juntos ,.t y ,, denotada,¡ n I o ,{4 cs al conjunto dc todos 1o3clamcútosqüc Frtcnccen a / y ,. Deñostrar que si ,l y , son enumcrablcs,tambiéo lo es su i[tcrsacción. 62. Demostrar que un conjunto cnuherable de conjuntos cnumcfablcscs cuumcrablc, 63. Demosrrarque el núñero cardinsl del conjunto de puntos intcriofes d€ un cuedrsdocs iSual al cardin¡l del conjunto de puntosde (d) ur¡ lado, (r) de los cuatro lados.(¿)¿Cuáles el cardinalen estccaso?(d) ¿EsvÁlido para un cubo? Sol. lc) C un resultadocorrespondia¡te PUMOS LIII{TTE. MAYOTANTES Y MINORANTES TEOREMA DE BOLZANGWE|ENSTNASS ó..

D¡doel conjumo I, I,l,0,9, 1,01,0,99,1,001,0,999,... (a) ¿Esacotado?(á) ¿Eiist o los c¡ttloos suF¡ior c infcrior? En caso afrmativo, avcriguarlos. (c) ¿Tienc cl conjunto puntos límit6? Si 106hay, dctcmiD¡¡los. (d) ¿Es ccrradocl conjunto? Sol. (a) Sí, (ó) extremosuperior: l,l, extremoiriferior = 0,9, (c) l, (d) si

65. Dado el conjunto -0,9, 0,9, -0,99, 0,99, -0,99, 0,999responderlas preguntasdcl P.oblcma64. So/. (¿) Sí, (ó) extremosuperior= l, extremoinferior = -1, (.) l, -1, (d) No 66. Dar un ejemplode un conjuntoque (a) tiene 3 puntos limitc, (ó) no tiene puntos lfmitc. ó?. (d) Demostrarque todo pu¡to del intervalo0 < ¡ < I as punto limit€ del mismo. (á) ¿Hay puntos limites qua no esténen el conjuntodc (¿)?Justiñcarla rcspucsts. de (0, l) que ticncndcnomiÍador¡, r = l,2, 3,. . . (¿)¿TieneS 68. ScaS cl conjuntodc los númcrosrácionales puntoslímites?(á) ¿Es S ccrrado? 69. (a) Dar un €jemplo dc un conjunto que tenga puntos limitas sin s€r ¡cotado. (ó) ¿Contr¡dicc csto .l tcorema de Explica¡. Bolz¡ro-Weierstrass? NUMENOS AI,GEENAICI)6 Y TXASCENDENTES 70. Demosrr¿rque Gl

-/a_,/; -ry, v3+v2

\b) \t , | {s r 1fi son númerosalgebraicos.

dc (0, l) no es enumc¡ablc. 71. Dcmostrarque el conjunto de los númerostrasccndcntcs 7¿

alDcmostrar que todo númcÍo racional es algcbmico, pero que no ¡do nrúrneroirrscional cs ¡¡ac¿seriámcütc gcbraico.

NUMEROS COMPLE.¡(N. FORMA FOLAR indicadasr 73. Haccrlas operaciones l0 ,,, /! _r \ ' " , ", 12- ¿il' '"'u+ i/ ' ' - ' l6r 7t l' -' {+3 i'

(o) 2(6-gi) - 3(-2+i) + 6(¿-g), (ó) (s-2t', , / r ( r + ü( 2 +3 ¡ x 4 - 2 i ) ( l+ z i ) '( r - 0 "'

sot. ld.,r-ai, (ó)-e-46¡, G) +-ii,

(d)-t,

(¿)¡?, 0) f-*t

G) ¡+

l8 74

[cAP. I

N U ME R OS

Si z¡ y z, son nrÍneroscoúplcjos demosrrar (¿) lil

) z ,t

= ]4, tz 'l

Ol lzil = l¡,i¡ dandoa¡gunas¡csrr¡ccroncs.

15. Dem os t r ar ( ¿) 1, , + z . l= Pl+ Vl, ( ¿ ) l z ¡ +z i +z r i = k , l +p r l +l z l , @ 1 , ,- z , i = l , , l - P ^ . 76. Hallar todaslas solucioncsd€ 2¡1 - 3¡r - ?-r'- 8i.t 6 = 0. so/. 3, 1, -l 1¡ por los puntosP, y Pr en el diagramade Argand.Construirlos segmentos T'. Se,'n2r y z2 reprcs€ntados OPr y OP2, ¡ partir del origcn O. Mostrar quc :r + :¡ se puedcrepresentarpor cl punto Pr, sicndo OPr la diagonal de un pqralelogramode lados OPt y OP, Esta es la llamada ¡¿g¿adel parulelo{arno dc la adición de números complejos.Por estay ot¡aspropiedsdes, {os númeroscoñplejosse puedenconsiderarcomo ,ectoreseDdos di-

7t. Inte¡pretargeoñétricamcntelas dcsigualdades del Problema75. 7lr. Expresaren forna polar (al 3./4 + 3i, lb) -2 - 2i, lc\ | - J1i, (¿) 5, (¿) - 5¡'.

So/. (¿) 6 cis r/6 lb) zt/i eistula ld 2 cisSrl3 (d) 6 cis 0 f¿) 5 cis 3'l2 t0. Calcular (¿) I2(cos25"+ isen2so)l[5(cos1r0o + is€ntr0o)1, 1a¡ . ' ,r-={!l191-. (3 cisaa")(zcis620)' "' sol (ú) --6\E +6{ti, -2i lb) tl.

Determinartodas las raicesindicadasy representarlas gráficamerile:

tc"tla\/,+ a.\/rü.., (ó)(-1)'., (c)tl6-ir',", tdti,^. S¿ /.

( o ) 2 cisr 5 o , 2 cists5 o . 2ci s25óo ( ó ) ci¡ 3 6 o , cis r 0 8 ó , cis l80o = -1, ci s 2620, ci s B Z4o

(c) It cistto., i? cis2soo,iEcissso. (d) cis22,50,cisl12,60,cjs202,50,cis292,5ó t2.

Denostra. que -t

+.r6i

cs un númcro algebraico.

t3. Si z, = AcjsOty 22 p2 cis dr. demostrar (a)zér: lntcrprctar geométricaf¡¡cnte.

ptprcis(ú + órl,(b)zJz2= lptlprl cis(Ot - OJ

INDUC€ION MATEMATICA Deñostrar: 84. r + 3 + 5 + . . . + (2r - r) = '¿i E5. 111

i 4* tE * d7*

1 = ¡3r + a;= ia ;Tt

6ó. ¿ + { c + d) . r ( a+ z r ¿)+ . . . + [a + ( " - r ) d ]

87,.+.j +r+.4+¡*;*

l Iza + (n-L)d)

*;6T+crr = d*+erq

sl--L¡ dr 1 or l L. 89. 1¡ + 2¡ + 35+ . . . + ?¿3= In\n + lf q) . l( 5) + 2( 5F + 3( 5) ! + . . . + n( 5 ) " - , =

88 . a

9t.

-

"-r

€sdiv r s ible por r + Up a r u n = 1 , 2 , 3 , . . . . (cosó+?sen4)¡ = cos¿9+ isen¿C,i.Sepuededemosrr¿r estosiresun núm€roÉcional?

9J. lr

c os r + c os z r r

+ c os n. ú =

( ¿+ ó¡ = ¡ ( ¿lX"- 2) d o n d e ,C, _

r . - f ', ! 2 ', =4 n , . . .

¿" + " C ¡ d . - r ü + {, a . - , b , + { n - r +l ) _

r#

-

+. C " - , ¿ ü " - r

+ á"

.c.-.. A quiesp' ! : p\p-l r' . 1

y o!

espor definición 1. Esteeseillamadoteorema dd binorrrb. Losco€ficientes ,Co = l, ,Cr =o,^Cr=nln;,1), 2l son los co.ficientes del binonio.,C, se escriber".bté" (r.

c^P. rl }¡OALEMAS

19

NUMEROS

VARIOS

!ló. E (presarlos enterosque siguen(enel sislemadecimal)en el sistemaque seindica: (a) E7 (bir¡ario),(ó) 64 (ternario o d€ basetres). (c) 1736(en¡rio o de bas€nueve).Probar la respuesta. So¿ (a) 10l0lll, (ó) 210!, (¿)2338 Si un nf¡meroes lt|4 er¡ el sistemadc bas€5, ¿c¡5mos€ expresaen el sistemade base (al2, (h) 82 So/. (a) ll000l, (á) 6l

s.

Demostrar que todo número ftcio¡.nl plq entre 0 y I se puede expresaren la foma p_ctttdtt,a,,

i - Tdonde las ¿ sepuedendelerminar univocámentecomo 0 o I y el p¡oc€sopuedeacabar o no. lá repres€ntación j/bm a bina a del númeroracional.lsugere¡¿ia:Multiplicar ambosmiem0,a, a2 . . . a^ . . . se llama entonces bros sucesivamentepor 2 y considérens€los restos,] 9.

ExpresarI en el sisteñade bas€ (¿) 2. (ó) 3, (c) 8, (/) 10. So /. {¿) 0 .l0l0 l0l . . . , ( bl 0, 2 o 0, 2000. - . ,( c ) 0, 525 2 . . . , ( / ) 0 , 6 6 6 ó. .

100. Un númeroen sistemabi¡ario es ll,0l00l. ¿Qüénlim€ro es en sistemadecimal? So/. En bas€5 t0l. ¿En qué sistemade numeració¡es 3 + 4: 12?

so¿ 3,28125

102. En el sistemade base l2 hay que utilizar otros dos simbolos , y e ftara indicar las ((cifrá$ diez y once rcspecel ente¡o5ll0 (sist€madecimal)en base 12. tivamente.Representar

tm.

Hallar un número €cional tuyo desatrollodecimales 1,636363. .

Sol. 2eS I So¿ l E/l l

104 Un número en el sistemade base lO tiene s€iscifras. Si se quita la última cifra y se coloca ant€sde la primeSol. 428571 ra, el nu€vo númeroes un tercio del primero. Hallar estenúmero. 105. MostÍar que los números racionales forñaü un cue¡po. t(b.

Utilizando como axiomaslas relacionesl-9 de la pági¡a 2 demostrarque (a) (-3X0)=0, (ó) (-2X+3)=-6,

(c) (-2X-3) = 6.

t07. (a) Si ¡ es ün racionalde cuadradoinferior a 2, moslrarque x + (2 - ¡'1)/10es un númeromayor con igual propied¡d.(ó) Si ¡ es un racionalde cüadr¿domayo¡ que 2, hallar en funciónde x un númeroracionalde cuadradomayor que 2.

tm.

lluslrar cómo se usaríanlas cortadurasde Dedekindpara d€finir

tolú+fr,

@,'/s-,/i, k) (.ra3x\aa, \d)\fu,/í.

Capítulo2 Funciones,límites y continuidad FUNCTONES Función es una correspondencia entre dos conjuntos, que por ahora serán conjuntos de números rca¡es. Si a cada valor que puede tomar una variable r corresponde uno o más valores de una variable ¡ se dice qlJey esfunción de r y se escribey = f(xl, y: C(,r), .... en donde las letrasl G, ... simbolizari la función en tanto que /(¿), C(a) . . . denotan el ualor de la función en x : a. Ef conjunto de valo¡es que puede tomar .\-se lla'rña dominio de definícíón o simplemente dorrr¿io de la función; ¡ se llama uarioble independientey y varíable dependiente. Si a cada valor de ¡ del dominio de definición corresponde un solo valor de ¡, la función se dice uniforme; si a ciettos valores de .r correspond€ más de un valor de '¡l, la función se dice multiforme. Como una funció¡ multiforme se puede considerar como un conjunto de funciones uniformes, se supondrá que las funciones són uniformes si no se indica otra cosa. EJ.dplo6:

Sia ca d a n ú m e r o €n -l S ¡= I s€ asoci aun número) dado por ¡2, entoncesIa corrcspondencia entre ,t y s2 define una función /que es uniforme. El d o m in io del es -l = ¡= L E I val or de /en .t l o da ) = f(xJ : :('. P or ej empl o, = I- l) ' = I es el val or de l a funci ón en .! = - L fcll A cada fecha I poslerior al año 1800 se puede asocrar un valor P de la población de los Estados Unidos. La correspondenciaentre P y t deñne una función uniforme F y se puede SiJr'' : rconJ > 0, entoncesa cada ¡ correspondendos valores de I. Asique y es una función biforme de ¡. Se la puede considerar como dos funciones uniformes/y I hacrcndo

f@ :.G

v g (. ) :

"Á.

que si bien a vecesuna función sede6nemedianteuna fórmula como en los Ejemplos Obsérvese I y 3, no es precisoque asi sea,como se ve en el Ejemplo2. Por comodidadsesuelehablarde la función/(¡) e¡ vezde la función/ cuyovalor en,t esfr). Pero hay que te¡er en cuenta la distinción.

GRAFO DE UNA FUNCION El grafo de una funciónJ,,: ,f(,x)es una representación visiblede la función y se puedeobtener situandoen un sistemaca¡tesianolos puntosdefinidospor los pa.esde números(,r,l), o sea,[x,lr)]. NJNCIONES ACOTADAS Si existeuna constanteM talgluefk) < M para todo .r en un i¡tervalo (o en otro conjur¡tode números),sedice que¡xJes acotadasuperiormente e¡ al intervalo(o conjunto)y M se dicecotasuperíor de la fuoción.

c^P. 2l

F UNCIONES.L IM IT ES Y C ON TIN U ID A D

2l

Si existeuna constanterr tal que/(¡) ¿ m para todo x sn un intervalosedice quef(x) esacotada inferíormente en el iotervalo y se dice que m es üna cotq inleñor. Si ¡¡t 5 /(¡) 5 M en un inte¡valos€ dice que/(x) cs acoladd.Se sueleindicarque una funciónes acotadaescribiendol/{¡)l < P. E¡cqlc:

t, Ílxl=3 + x esacotada €n -15 ¡S l. Unacotasuperior as4 (o cua¡quicr núm€romayor que4), Una cotainfcriorcs 2 (o cualquier nrlmero¡¡€norquc 2). 2. Ilt) = llx no cs aco¡¡dacn 0 < ¡ < 4, puescligicndo .y suficicntamente cercade cero. dc ñodo queno haycotasuperior. /(¡)se puedehacertangr¡ndecomoscdasac. Sincmbargo,i fo cua¡quier núñcroinferiora l) escotainfcrior.

Si /(¡) tiene cota superior,tiene e.\trcuo supe or: si tiene cota inferio¡, ticir¡eextrcmoinleior. (VéaseCapitulo I para estasdeñniciones.)

FUNCIONES MONOTONAS Sedice que una funciónes rrron¿i lona c¡ecie\tee\ un intervalosi para dos puntoscualesquiera.yr y .r2 del intervalotalesque es -rr < rz, f@t) S /(-r¿). Sill¡,)
< ¡2, entoncesjf(¡)esmonólonadec¡ec ientei siflx tl > Í(r2)

FUNCIONES RBCIPROCAS. VALORES PRINCIPALES Si ¡ es funciónde ¡ dada po¡f¡), entonces¡ es una funciónde y, denotadar = Jf-t0¡), que sc llaúa lunción recíproca. lítercambiando r y / se tendría y : f-t(xl. Si/(r) es uniforme,./- '(r) puedeno serlo,cn cuyo casos€ la puedeconsiderarcomo un conjunto de funcionesuniformescadauna de las cualcssellama ¡an¿. Es conveniente a vcceselegiruoa de estas ñmas, llamada ruma püncipal, y der¡otarla por f- | lxl. En tal caso. el valor de la función recíproca es el flamado ualor principal. F&[]h6:

l¡ función] = s€n.t lleYaa ), = san- I ¡, quecs multilormc.plcs po¡ cada¡ dc - t = ¡ S I haymuchos va¡ores dc,. Restringiendo scn_¡ t a -Í/2 S san_tr S ¡p. porcjcmplo, la función s€convierte en uniformc.En estecasoel valorprincipalde sen-t{-l) - -,r/6.

MAXIMOS Y MINIMOS Si -to es un punto de un intervalotal que/-¡) S./(¡o) [o bienflr) ] /(r¡)] para todo .] del intervalo, entoncessedice que/(-r) tieneun m¡iximoabsolutolo un mínimoabsolulo]en el intervalox : ro de valor/(-ro). Si estoes cierto solament€para ¡ en un entornoó rcducidode xq con ó > 0 [es decir, para todo ,r tal que0 . Ir - tol < ó]. entoncessedicequel/(r) ti€neun má.rimorclotiaolo ui mínimo relaliDo\ei xo.

TIPOS DE FUNCIONES l.

Fu¡cioms Doli¡ómtcrs, que tienen la forma l (s ) = q o s " + o rr" -t+ ..+an-ú+ a^

(r)

y r¡esun €nteropositivollamadogradodel polinomicisi ao I 0, donde¿0,. . ., 4, sonconstantes El teoremafundamentaldel álgebraestablece que toda ecuaciónalgebraica /lx) : 0 tiene al menosuna raiz. De aqui se puededemostrarque si el grado es a la ecuacióntienecxactamente., raices(co¡tandouna de multiplicidad / po¡ ¡ raíces).

22

F UNC ION FS ,LIMITE S Y C ON TIN U ID A I)

[c^P.2

2. Fuciores slgebr¡ic¡q que son las ¡ =./1.!) que s¿tisfacen¡t una ecuaciónde la forma rto (r)u ' + i J r(:tN y" ' t+

.. + D " r(.r)!/ 1 /," (¡) =

0

@\

donde2o(.t)..... /),(-!)son polinomiosen \. Si la función se puedeexpresarcono cocientede dos polinomios.o sea' P(-x)/O(¡)con P(¡) y O(x) polinomios,sellam¡ li¡n¿¡¡int'o.iondlalgchrrt¡ut - cn olro casose dicefuncióni r ¿ohal alg(htti(e. que son las funcionesno algebraicas.es decir' que no satisf¡cen 3. Funcionestrascendentes' de la forma (2) a ecuacioDes Nótesela analogiacon los númerosreales,correspondiendo los polinomiosa los enteros,las funcionesrac¡onales clc. a los númerosracionales. FUNCIONES TRASCENDENTES ESPECIALES Las siguientesse suelenllamar lun(¡on?slt scende¡¡trs rlcnúlules. l.

Fünc¡ónexDo¡enci¡l¡/1¡) = u'. u * 0. l.

Propiedadesen página l.

log,x. r¡ 10. L Esta función y la exponencialson recíproFunción logrriúnica: l1¡): cas. Si ¿¡: c : 2,11828 . . . . llamada ár.r?r¡dtural dt logaritntos,seescribel(.\) : log; ¡ : ln ¡, que es ef ,logr¡,¡rrr¿ ndho'al de .t. Propiedades en página 3.

3. Funcior¡es tr¡gonométric¡s: sen :-=-'x sen.\. cos.r. tq ' \ cos \

cosec¡

I -' sen x

sec.\ :

cos.\ '

col .\ -

La variable.r se cxpresageneral;enteen radianes(7tradianes: de r. sen -\ y cos r están entre I y I inclusive, He aqui algunas propiedades de est¿s funciones: s en2. r + c os 2¡ :

s e n(x t/): c o s (¡ t/): t8 {-.r i ),)::.

I

I + tg2-t:

s e c 2- r -

s e n ¡c o s/ t cos.Y sen/ c o s ¡c o s_t+ senrsen/ ts x + t P v

cos .\' sen -\

l80"¡. Para valoresreales

I + cotz.r:cosec2r s e nl - r i l : -sen,\ cos (-.\) : cos.t tg (--r) :

| + ( ts.( LtsJ

I lq -\

-tg.x

4. Füncio¡es trigonométr¡casreciproc¡s. He aqui una lista de las funciones trigonoméiricas recíprocasy sus valoresprincipales: (¿) , : sen-' x, (-nl2 f y ! nl2) (ó ) Y : q e 5 -' ¡' (0 S /5 ¡) (c) _r,: tg-' x, (-xl2 < I < nl2)

(y' ) l : cosecr¡: sen ¡ l l x, (-nl 2 < y < nl 2l (0 S y 5 ¡) (¿) ): sec-' -x: cos-¡ l /.r. (fl y = cot-' x: ttl 2- tgrr, (0< /< ,t)

5. FuncioneshiperMlic¡s, que se definencomo sigue por funcionesexponenciales: (d)cosccn\' =

1'

scn¡r

=

l c, secnÍ -

l2 cdsh¡

(./) coth¡ =

coshr = i e" h¡

=

¿, ¿* e,+ eae' + e-¿ e,_e4

Algunas propiedadesde estasfuncionesson: c o s h 2 ¡ - s e n h 2 x= I

I - teh2¡:

sechz¡

coth2"r-

I = cosech2Jr

c^P- 2l

23

F UNCIONES,L IM IT ES Y C ON TIN U ID A D

senh(x 1 .y) : s€rh ¡ cosh/ i cosh')rsenh,) cosh(x + ),) : coshx coshI :t se[h ¡ serih] tsh.x + teh v

rsh(x t y) : it

s€nh(-r) : -senh ¡ cosh(-"Y) = cosh¡ tgh (-x) = -tgh r

tc,-hli¿ht

-I 6. Fu¡c¡oo€shfperbólicssrecíprocas. Si ¡ : sen,, / = sen x es la función rcclprcca del seno h¡peúólícode x. Sedan en seguidalos valoresprincipalesde las funcioneshift€rbólicasreciprocas expresadospor logaritmosnaturales,junto con el dominio en que so¡ reales. ( 4) s enr - lr = l n (c * /o " + r¡, to a o o ( b) c os h- , c = l n (¡ | 1 /x r-1 ), x ? l ( c ) t ghr r =

IIMITES

Iln(ff

|, lrl < r

( d)cosech-r' = t.(1 nf,,i a),,to

t¡t ,./

v

( e) sech-' .r = tr,(t ''

* y' rt - t' t

\

/.

), 0 < r I 1

/'

r\

-rf) coth-'r= +r'(H),

I't > r

DE FTJNCTONES

Sea/(x) una función uniformedefioidapara todos los valoresde t en torno a t : ¡o con la poside ble excepciónde x : xo lo sea,en un entornoó reducidode ¡o). Sedice queel número, esel ¡íttl¿fe /(x) cuandox tíendez xo,lo que seescribelirn /(¡) : I si para todo númeropositivo€ (por pequeño quc sea)sepuedehallar un númeropositivofif,or lo generaldependi€¡tede €) tal que l/(x) - /l < e, si€mpreque0
LTMITES A DERECHA Y A IZQUIERDA Al definir el limite no se hizo ninguna¡estricciónsobrela maneracomo habíade tender'r a ¡0. Sueleserconve¡ientehac€resto.Considerando-r y xo como punto sobreel eje real, xs fijo y x móvil, ¡ --+¡o + a xo por la derechao por la izquierda,lo cual s€indicáescribi€ndo ento¡cesx puedeacercarse y ¡ ro-, resp€ctivamente. -Si lim límitesa la dercchay all ll y lim f(x)= lr, 11y /2 sellaman,¡espectivamente, /(¡): ízquierdadef(xl et xo y se lés denotaporl(¡o+) o f(xo + 0)y f(xo-\ o f@o - 0). Las defi¡iciones con e,ó del límite de/(Jr) cuando.x+ xo+ o ¡+ ¡o- son las mismasque para ¡- ¡o, exceptoen que los valores de r se restringen a r > ¡o o a ¡ < .fo, resp€ctlvamente. lim f(x): l. Se tiene'lim "f(¡) = / si, y solo si, lim f(x):

FUNCIONES, LIMITES Y COI{TINUIDAD

lcAP. 2

TEOREMAS SOBRE LIMITES Si lim l(r) = A l.

y

¡im 9(¡) = B,

es

/\ lim(/(r) + e(¡) ) = lim/(r) + lim s(x\ = A+B /\ lim(/(c)-e(r)) ¡+'o

\

= lim /(r) - lim s(o) = A-B

a. rim(l(c)g(rl) = ( ri. l1"l)(ri-s(e)) = ¿a .-ro r-rd \ / \

/, \¡+¡o

= l:141 _B ¿. ,-.. rim{4 g\rl lrm g(rl

/

si 8*0

Resultadosparecidosvalen para límites a la de¡echay a la izquiefda.

INÍINITOS A v€cesocu¡requecuandox xo, /(x) creceo disminuyesin limite. En tal casocs costumbre€scribir lim /(x): +@ o lim f(r)- = -rn, respectivamente. Los Eímbolos+co (escritotambién co) y -@ se leen más infinito (o inÍinitol y menosinÍ¡aito, rcspectivamentc;pero adviélase bien que no sotr números, En lenguajerigurosose dice que lim lx) = o si para c¿danúmeropositivo M se pucdehallar un númeropositivo¿ tq:¡ecn generaláJfinde de ¡r') tal que/(x) > M si€mpreque0 < l¡ - ¡ol <ó. Análogam€nte,se dice que lim /(¡) : - l si para cada núme¡opositivo M s€ pucdehallar un número positivoó tal quc /(¡) < -M siempreque 0 < lx - xol < ó. Observasiones análogasson aplicables€n el caso¡+xo+ o ¡ r ¡o-. Es frecuenteque ocuna examinarel compo¡tamientode uoa funcióo al aume¡tar o disminuir x sin limite. En tales casosse sucleescribir¡' +co (o co) o ¡+ -co, r€spectivamentc. S e d i c e q u e ,!1 _ l ttl = l o f(x )-/c uandox--+ + cosi pa¡atodonrl meroposi ti vo€sepuede hallar un núm€ropositivo¡Í (quedependeen generalde e) tal que l/(r) - /l < e siempreque r > lV. Deñnición análogase puede formular para lim /(x).

LIMITBS ESPECIALES l.

..

sent

lim {l +: I

3.

,.

e ' -7

1

,. 1 - cos, = l rm_ u lim (l + o)v' = e ,.

r-l

Itm-lll F '-r

=l

CONTTNUIDAI) S€a/(¡) definiday uniformepara todos los valoresde x próximosa ¡ = ro, como t¡mbién para ¡ = ¡o (esdecir,en un entornoó de Jr6),La función/(x) sedicecoñtinuoen x = ¡o si lim Í(x\ = f(xo\. Nótcseque esto implica tres condicionespara que /(x) sea conlinua r : "0.'--o "o

FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

CAP- 2]

?t

l. Exislenciade lim /(-r) = /. 2. Existenciade /Ixo), es decir, /.v) debe estar definidaen ¡ : ¡0. 3. t : f ( x o) . De manera equivalente,si jr(¡) es continua en Jo se pu€deexpresares(ehecho en la forma lirn /(x) = /(lim" .r). Ejedp¡D:L Si /tr) =

(t1

."

porele¡emplo deIaÉgina23.lim/lxl: 4.P.rof(2\= 0. entonces, i;,'l, I i t-uegolinl lr) +/(2) y la fi¡nciónno escontinuaen ¡: 2

2. Si/(¡) = I paratodo-y,entonc.js lim /(.\) -f2)

= 4 y /(¡) esconrinua en.r = 2.

Los puntosen que/(.r) deja de sercontinuase llamandiscontinuidades de ¡r) y sedice que¡r) 6 discontinuaen csos puntos. Al construirel grafo de una funcióncontinuael lápiz no se levantadel pap€I,mientrasque para una funcióndiscontinuaestono ¡lcurre,pueshay en generalun saltoen la discontinuidad;desdeluego pe¡o no una definiciónde la continuidado de la csto no es más que una propiedadca¡actcrística, discontinuidad. Ademásde Ia anterior definiciónd€ continuidadsc pu€d€decir que /(x) es continuaen ¡ = .ro si para todo e > 0 se puedehallar un ó > 0 tal que lf(x) - J$o\l < e si lx - xol < ó. Nóiescque esto no es rnásquc la deñ¡ición de lírnite con / = Í¡o) y quita¡do la resricción ¡ + xo.

CONTINUIDAD A LA DERDCHA Y A LA TZQUIERDA Si /(¡) est¡ideñnidasolamentepara ¡ = -ro,la definiciónante¡iorno es aplicable.En tal c¿sose = f(xd, estoes,si fro+) = /(xo). dice que /(-y) es continuq(a la derechalen ¡ : -ro si ,l** Í{xl : (a Análogam€nte, en x /(x): /(xo), esdecir,sif¡o-): /(¡) esconrina la ¡zquierdal -tqsi,h ¡no). Pu€dendarsedefinicionesempleandoe y ó.

CONTINUIDAD EN UN INTERVALO Sediceque una función/(r) es contínuaen un intewalosi es co¡tinua en todo punto del intervalo. En particülar,si fr) estádeñ¡ida en cl inte¡valocerradoa j x ! b o fa, bl, f(xJ es continuaen el paraa < re < ó,,[t. ,ft"l : f(oly,\yf('):f(b). intervalosi, y solo si, lim" /(-r) :lx¡)

TEOXEMAS SOBRE CONTII\IUIDAD Tco¡cma 1. Si /(¡) y g(¡) son continuasen x : xo, tambiénlo son las funciones/(,r) + g('r), l( t\ esteúltimo casosi g(,x¡)I 0. Resultadossemeja¡tesson vá¡idospara /(.r) - g(-y),fx)g(.y) y *'en tr-\, la continuidaden un intervalo. Tcorema2. Son continuasen todo intervalo frnito: (a) los polinomios; (á) s€¡t x y cos -t; (c)o ',a> 0. continuaeny = yoysiyo:fft¡l' Teo¡€m¡3. Si, = /(¡) escontinuaen .r : toysiz = g(J.')es €ntonces la fu¡ción z = g[/(x[, Ilamada función de función * funciórt compuesta'es continua €n x - ¡0. Dicho brevemente: una función conlinua de una función continua es conlinw¿

26

F U N C ION E S .LIMITE S Y C ON TIN U ¡D A D

[cAP.2

Teorem¡4. Si lr') es continuaen un inlervalo cerrado.es acotadaen el intervalo. Teo¡em¡5. Si l"r.) es continuaen .\ = ¡o y./1ro) > 0 [o bien fl.r'o) < 0]. existeun intervalo al que pertenece-r = -\-oen el cual ./(I) > 0 [o bien ,l'(.t] < 0]. creTeo¡em¡6. Si una funciónlri) es continuaen uD inteÍvalo y es monótonaestrictamente la función reciproca/-r(.r) es uniforme,continuay estrictamenle cienteo estrictam€nte decreciente. crecienteo estrictañentedecreciente. Teorem¡7. Si /(n) es continuaen [a, á] y si.f(a) : A y .^bl : B. ehtoncesa todo número C entre.,l y , corresponde un númeroal menosr de [4, á] tal quelr¡ : C. Estecs el llamadoteorc¡nu del úalot intermedio. Tcorem¡ 8. Si /(,\ ) escontinuaen la, bl y si Jla) y l(á) tienensignosopuestos,hay al menosun númeroc parael cual /(c) = 0 con d < c < á. Esto se relacionacon el Teo.ema7. TeoreD¡ 9. Si l.r) es continuaeo un ir¡tervalocerrado./(,r) tiene un máximo M para un valor al menosde .y en el intervaloy un minimo ,n para un valor al menosde ¡-en el iritervalo.Además, f.r) toma todos los valoresenlrem y M pam uno o más valoresde,\: en el intervalo. T€o¡eD¡ 10. Si /(¡) escontiriuaen un intervaloccrradoy si M y m son,respectivamente, el exremo superiory el extremoinferior de /(,r ), existeal menosun valor de ,r en el intervalopara el cual flxl: M o,/(¡) : ¡¡. Este teoremase relacionacon el Teorema9.

FUNCIONF^S CASICONTINU AS o contakua a lro.os en un intcrvaloa f .r ! b si el iúterSedice que una funciónes casicontinua valo sepuedesubdividiren un número6nito de intervalosen cadauno de los cualesla funciónescontinua y tienelímitesfinitosa la derechay a la izquierda.Una funciónsemejante lieDesolamenteun número finito de discontinuidades. Un ejemplode funcióncasicontinuaen ¿ S .y = ó seve gráficam€nte en la Fig. 2-1. Esta funcióntienediscontinuidades en.\¡, -r2,.\! y.\¿.

Fi8.2-r CONTINUIDAD UN¡FORME Sea,f(¡') co¡tinua en un intervalo.Entonces,por deñnición,en cadapunto ¡o del intervaloy para todo c > 0, sepuedehallar un d > 0 (queen generaldependetanto de é como del punto particular-ro) tal que l/(,t) -/(¡o)l < e si I,r - ,tol 0 se puedeencontrarun ¿ > 0 tal que lf*,)/(¡¡)l < r para l-t, - ¡rl
c P. 2l

27

FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

Problem¡s resleltoo DTJNCIONLS f.

Si /(.r) = (-r - 2XE - .r) Frra 2 J .t I E. {c) Hallar f(61y f(-ll. (á) ¿Cuátes el dominio de detnición de /(¡)? (c) Hallar (l - 2tl y dar el dominio de definición.ktl Hana¡filgl'J, !I!gll. (e) Grafo de /(¡). = (6 - 2X8- ó) 4 . 2 : I (r,) "fl6) /(-l ) no csiá deñnido porquc¡¡) lo esrá solam€ntcpdrs 2 S r = E. (b) El conjuntode los r l¡les que 2 S .r = E. (c) 2l{E - (l - 24} = -(l + 2,117 -2tl= llt -2tl+2tl do¡& r 6 i¡l quc 2S | -2rS d@ir , 7t 2S , S -t1 2 . ^l

8, ei

(dt IQt=Q - 2Xr- 3)- 5, lAtQ)) = f(5) = (5 - 2X8- 5)=e. I$l = 9 d. modoquc./[/(5)] : /(9) no esrádcfinido. (e) La t¡bla sigui.ntcda /(¡) Fm v¿rio6valorcsd. .y. 28 45 61A2, 5?, 6 ¡(tl

05 89 8602. 752. 75

S¡tu¡¡ los puntos(2,0), (!, 5), (4, t). (5,9), (6,t). (?, 5). (8, 01, 12,5,2,7s\ (7,5,2,?5r. Esto3 purtoc son solañcntc uno6 pocoo dc lo3 irfnitos puntG d.l grafo que se rru6tr! cn l¡ ¡djunr¡ Fifur¡ 2-2. Elc corjunto dc F¡nlos dcftrc una curva quc cs psrtc dc un¡

l'lr. t l

L

S ea g(x):(r-2[8 --r)par a2< r < 8. ( o) Es r udi8r ladif er c n c i a c n t r c l o s g r a f o s d c B ( ¡ ) y de /(x) del Problema t. (ó) ¿Cuáles son los extremos de g(x)? (c) ¿Alcanza g(¡) su €xtrcmo superior y su extreno inferior para algln valo¡ dc x del dominio de deñnició¡? (d) Respondcr las prrtes (ó) y (c) para la fumión. /(r) dcl Problema l. (a) El lrafo dc a(.r) es el misrno que el dcl Problcms I exc€plo quc los do! puntos (2,0) y (E,0) no crán c.¡ cl de g(¡) po¡quc esta fi¡¡ción no .stá dcfinid¡ cn .t = 2 y -v = t. (á) EI c¡lrer¡o $rpcrio. d. t(.y) er 9; cl inferior ca 0. (c) g(.y)¿lcarzá su axtrcmo supcrix pota .v 5, ¡,cro no alcanzr iü eiitlmo inferioa porquc tro hay valor dc .r dcl dom¡nio dc dcfin¡ció¡ p¡ra cl cual ah) = 0. (d) Como en (ó).1 cxtÉmo supc¡¡orde Í¡) es 9 y .l inferior c6 0i el sup.rior cs ¡cc.siblepoú j = 5 y.l infcrior es ¡cccsiblc por¡ ¡ = 2 y r : t. Ob!érr¿6cqr¡c ü¡¡¡ fu¡rción ootno/(¡) quc ca donr¿¡¡,¿cn uD intcrv¡lo err¡do. ¡¡ca¡za susc¡¡¡d¡¡o6 cn ¡ltún pu¡to dal irterv{lo, pcro una función como l¡ g(.y)quc oo es continua en un itttcrv¿lo ca¡rado pl¡cdc ro alconzal sus el¡rcmos. Problena 34.

3. sea/(.r) =

ll,

si .r es racional

ló: ;; ; ; i.-"J,¡

. (a) Averiguar .f(|t,

truir un graio de /(-r) y c¡pl¡car por qué es ambiguo. =t lal Í&, = I f(-sl f(1,414231= t = O .f(

f(t,4t423t,Ít{:t, ^-5t,

Pr¡esI cs r¡cional pues -5 e¡ racio¡¡l púes 1,41423€s racional p,re".,/2 cs irracio¡al

(bl El gr¡fo sc vc ar la ad.junt¡ FiguÉ 2-1. Por su ap¡riencia sc crce¡i¡ quc hay dos r,,¡lor€sfuncionales0 y I, que corr6por¡den ¡ cada v0lor de r. cr dccir, q¡¡c /(.r) €s multifoame, cuando en aealid¿d ct u¡ifonrE.

e't co¡s-

28 4,

F UNC ION E S .L¡MITE S Y ('ON TIN U ID A ¡)

l ('A P .2

En relerenciacon el Problema l. (r) construir e¡ grafo de l-'(.\1. (bl h¡lldr una expresiónpara ¡ - r J . r ¡ y m os t r ar que / - r ( . ¡ ) n o e s u n i l b r m c . rl .r,)rc \e ('n l ¡ Fi g. 2-: dcl kr ) EI g r a fo d e .r ,- "/( r ) o ¡ :/' Pr o b le m a l( ¿ 1 .Pa r a o b te n e re l 8f¿l i ) de r'= / '{r)no hr}m á s q u e in lcr cr m b i¿ rlo r s e je s.r y ¡. S c obl i cnc el gral i ) quc se ve en la Fig.2{ luego de orienlar los ejes dc I¡ mrncra h a b itu a l. { á ) Se r ie n e .r ,= l.r - l) ( 8 - r ) o r: - tor + 16 + },:0. Por la fórmula r .-

l- .t!r \ -

l0 i

v/i0 0 -¡(16+v)

= s - t/s-

y,

Fis.2-A

L L r e g o ,y = ¡ - ' 1 r ¡ = U = \,5 - ,

En e l g r ¿ ( o .,4 P r e p r e s€ nt¡f = 5+ v'9 - -r. E P representa¡,:5r'9 - .r. A si . para cada val or de .y en 0 S .r S 9. /_'i.{, e\ biforme. Eslo se ve gr¿ficamcnteen que toda reiita paralela a la izquierd¿ de P y a la de¡echa de ,48 corra el grafo en dos puntos. L a s fu n cio n e sS + .,.6 - r y S - .'l I represcntanl as dos,¿r,,¡\ del rl \). E ¡ punto en que se encuentrán fas dos rar¡as (o en e¡ cual ¡ienen el mismo valor) súele llaÍ\atse p¡nto núlrt2l" aqui en (9.5).

5. (.r) Demostrarqueg{¡}: 5 +,6 - r es estnctamente decreciente en 0 5.\ S 9. (á) {,Esmonótonadecreciente en esteintervalolk)i,Poseeg(.x)una reciprocauniformei ( ¿ 1 ) g { .\) e s e sr r icta m e n ted e cr e ci€ntesi g(.r¡)>.q{.y:j p¡rra .,rr < r¡. S i r, < r, l uego 9 - r, > 9 -.t¡. > ; + .,/s - ., to que nuestra quef(.r)es estricramenledecrecien¡e. $: Jg '--t,. 5 * Jt --i ',, lá) Si. pues una función estnckmenE decrecienlees lambién monótona decrecienle.porque si g l.r r ) > gf \, ) tam b ié n g ( .r r ) ¿ g l.\r ) . Pe r o si 8 { .r) es monól o¡¡adecreci ent€. no es necesari amen¡c estri ct¿mente decreci enl c . e s.y S =,6i o. cr"vandoal cuadrado.J = -16+ l 0r'-1¿ = ¡l - 2)(8 -.),) k) Si¡ ,:5 + VEx y r es función unifome de ),. es decir. la función recíproca es uniforme En general. tod¿ función estfictament€decreciente{crecienle)tienc uD, Íeciproca uniformc {\r¿ascTeorema 6. página 26). Los resultadosdc este problema se pucden interpretar gráncamenle con la figura del Problema 4.

6. Construir grafos de las funciones(a) /(¡) tero = .'r.

f ¡ sen1/¡, =lo,

¿> 0,

(ó) /(r):

[.r]:

mayo¡en-

f¿ ¡ ) El Sr a fo se ve e n Ia F ig . 2 - 5 . C omo .¡ sen I/.r = I.ri e¡ grafo cstá enl re r'= .\ y r': -i . Obsérveseqüe /( r ) = 0 si scn f/¡ = 0 o l,i.r = nn. t: l .2.3.4.....cstoes.para \= l l tr. l l 2r. l /3n.... La curva oscil¿ indefinidamenle entre .\ = l/r y .\ = 0.

(¡)

El s r nli)c s t iic Dla Fig. 2, 6.Si r S . \ < 2 . e s[ r ] : l . A s i q u , r f t . 8 l - I . t v / 2 1 : l . [ t . e e e e e= ] t. pero plrir I S .\ < 3. lr'l = l. crc. H¡ry. pucs. r.r//¿ren las abrcrs¡rs enrcra\: cs un¡r [2] - ]. Anrikrgamentc li¡ncióndc l¡rr llxmldl' rr,r,1//¡!r¡.

cAP. 2)

Z

FUNCIONES. LTMITES Y CONT¡NUTDAD

29

(aJ Coostruir,el gnfo de /(x): tg.r. (b) Construir el grafo de tg-t.r. (.) Mostrar gáñcamena pr qué tg-t x cs función multíforme. (d) Indicar valores principales posíblesde tg-l _r. la, Es@Eiro uno d€ tales valo.es principales,calcular tg-r(-l). l) El grafo deÍ¡) = t8 ¡ se ve en la Figur¿2-7.

Fts.l.?

I'lt

2-E

:/-¡0) = tg-t ),. El grafod. /-'(.r) = tg-I.r seobricnecnronc.sperló) Si¡=/(¡) - tg.y, entonccs.r mutandolos ejes¡ y / en cl grafode (¿).El r€sultado,con los ejcsoricntadosen Ia marierahabitual,sc ve en la Figura 2-8. (c) En la Fig. 2-8 dc (¿) toda rectaparalelaa / corta al grafo en infinilos p¡lntos.Asl q¡retg_¡ ¡ es una función Í¡ultiformc dc infi¡itas ramas. {d} Paradefinirtt_ t r como funció¡ uniformesc ve por el graloquc ello solo puedehacers€rcstringicndo su valor a u¡o dc los intcrvalos:-nl2 < tg ' x < ft/2, r/2 < tg-' r,.< 3rl2. ctc. Se coovendrácJl tomar €l primcro para dcfini¡ cl valor principal. Nótesa quc cn cualqrric¡ade cstas ram¡s. tg-r ¡ cs cstricb¡Ícntc caccicntecon rcciproca uniforme, lc ) t8-'(-l)=-trl4cs c lr ¡ nic ov ¡ lor ent r e- nny r ! ¿. os c a , q u c c s c l v a l o r p r i n c i p s l s c g ú n l o c o n v a n i d o en (¿). Mostrar que /(¡)

I

S¡ ), ' =

, f it t = !];-¡:, t+ |

¡ + -1,

es una función irracional algebraica.

v'/\'¿ |

-.' es ("r + lD - t =.4 o, clevando al cuadr¡do,(¡ + l)ry, - 2(¡ + l)v r I - ¡ = 0. x+ I una ecuaciónalScbraica rn / cuyoscoeficientes sor¡polinoñios en ¡. Asi, pues.f.r) es funciónalgcbaa¡ca, si bien no es cl coeicntcdc dos polinomios,por lo quc cs una función irracionalalgebraica. t

Si.f(-y) = cosh x = |1e' + e-'¡, demostrar que se puede elegir como valor principal de la función reciprocacosh-¡¡ = ln (¡ + Jx'zl), ¡'¿ I.

2v¿ zae'+ L = 0, Enloncas.mcdianlcl¿ fórmulá, e' = ^/?Fri Lucgo r = ln ¡y t y'/: t¡. + vf -r sc püedetambi¿nc\cr¡brr Y - y'Y-:-i = lv - {¡=l(Y ) = ---L, \y + {tf -r/ t * , l y '- r = ln (y + V7:-i) cosh-t , = + tn (y + y'yt:-i) o

S¡ / = l(¿.+ ¿-.), ¿L v-ly,=. . Co-"

Toñando el signo + pare dcñnir el valor principa¡y rcmplaz¿¡do/ por ¡ s€ tienecosh_' .r = In {.\ + .t ¿ I para que la función recíproca sc¡ rcal. Ji' - l). s" "l¡g"

IIMTTES (a2 a ;9 10. Si (¿) /(¡) = f¡, (b) /(r) = .{i ' * ' :,demosrra¡quelim /(¡) = 4. l u , r= z

{a) Hay qüc mostra¡ qr¡c ¿ado on e > 0 cualquicr¿ sc pucde hallar t¡n ¿ > 0 (qu€ €n gencral dcpende dc €t t¡¡l

quelr : - 4l < c s i 0 < l r-2 1 < 6 .

30

FUNCIONES, LIMITES Y CONTINUIDAD

ElíjascrS I dc rnodoquc 0< [-

lcAP. 2

2l < I o I <-r <3, x + 2.

Luegolr2- al = l(x-2X¡ + 2)l= l¡- 2llx + 2l < ól.x+ 2l < 5ó.

Tómeseparaó I o bien€/5,scgúrcuál seaelmenorvalor.E ¡toncessetienelxl - 4l < c sieñpreque 0 < I,r - 2l < á y qued¡ demostrado el rcsu¡tado. Es ¡ntcrcsanicconsidcraralgunosv¡lo.€s numéric¡s. S¡, por cFmplo, sa quicrc haccr l¡t - 4l < 0,05, sc pucdcc.cogerps¡a 6 = 6/5 = 0,05/5= 0,01.Pa.avcr que estocs así,nólescque si O < l.r- 2i <0,01. entonc€s1,99 x < 2.01 (x +2\ y entonccs3,9ó01< ¡r < 4,040t, -0,039 <¡r - 4 < O,o,fil y ev! dentementcl¡z-<- 4l < 0,05 (¡, * 4). El quc csrasdcsigualdadesse verifiquen también para ¡ = 2 no es másque coinciderci¡. Si sc quicre haccr l-t' - 4l < ó. sc puedc tomar ó = I con lo que la dcsitüaldad qucdará satisfech¡. (á) No hay difcrencia entre la deñostración para cstecaso y la demostraciónen (¿), pues en ¡mbos casosse cxclula -r = 2.

ll.

Demost¡aroue

. . 211- 611+1 2 +3

1'j|l----F1-

^ = -o.

Hay qucmost.arquc paratodo. < 0 sc puedehallar¿ > o tat que - (-8)l < . l41i-!¡¡+4+-q * si 0 < I.t - ll < ó. como ¡ + I sc puede ?31:-9d{f1l-! - (2t 4'r:g'-- 3X' - 1) ","r;6¡. z]rt - 4xt - 3¡- 3 suprimier¡do cl factorcomttn¡- I + O. Hayquedcmostrar queparatodoa > 0 s€p¡edchallar, > 0talque l2_t3 e¡tonces -4¡t - 3¡ + 5l
¡la_B l -_" =l t2. Sea/(r) x-3' '-", fo. ¡=3

kr) Grafo
lim l(r). k/) Hallarlim l(r).

r - t-

= :-=

( a) Par . ¡ r rel="nofollow"> 3, p¿r u2< 3,

I r - 91

= r.

_ -(r-:3)

_ _r.

Luego cl grafo, que se ve €n la adjunt¡ Figur¡ 2-9, consist€en las ¡ccias/ = l, -r > 3; l, = -1, ¡ < 3 y cl punto (3, 0). (ó) Al tender ¡-3 por la d.recha, /(-r) l, csto €s, = l, como sc ve claramcnteen-cl grafo. Para ftrl ,!g demostraresto hay que hacerver que dado cualquiea . > 0 sc pu€dehall¡r un á > 0 t¡l que l/(¡) - ll <. s i€m pr c que0< , x - l< ¿. Y como¡ > l,/(.r) y - I ¡si la demostr¡cióncon. ¡lr. r.0 sisie eo la trivialidad de que ll - ll < e si 0 <.t I < ó. (.) Al tender.x+ 3 por la izquierda,/(.x) + - l, es decir, = - l. Sc pucdeda. una demostración ,lim_ (ó). como en ^¡) @J Como lir¡¡ -/r{xl + lim /(¡t. lim Í¡) no existe. :-!+

13, Demostrarque lim r sen I /.r : 0'

¡-o HaI que h¡cer vcr, ¡¡cs, que dado cualqoicra > 0 sa pucdehallarunó> O tal quc l.r san l/¡-Ol s i 0< l¡ - 01 < 6. Si 0< lxl <ó, es lx sen t/xl = lxl lsenV¡l S l¡l <ó, puesls.n l/xl S I para todo¡+0. Tomando ¿ = r 6. vc que lr scn l/rl <e si0< lxl <ó, lo quc compLt¡ la dcmostración.


cAP.2l

3l

FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD t

14. Calcular lim ;-.i=r-;:. "' L+e

'-¡+ pa¡ece qtrc llJr cracc indefinidamente, e¡l'crece indcñnidamente. €-tl' ti€nde a Af tender ¡+0+ | + ?-¡l- ti.nde a l; dc ñodo que el limile pedido es 2. P^ra detñost¡ar esta conjetura hay quc moslrar que dado € > 0 s€ puede hallar un , > 0 tal que

..

l * i --z l

si o < ' < ó

=l##l= vfu.-' l,*-"'¿-'l .u 'J-1

1

o

t

"-----r--:>'-, . 1t ' > : - t , ; r

si

/,t

ln( 3- lr ;

\

asi 0 < r <

|

s u p o n r e n d0o< c < : . i ¡ 1 2 7 e ¡r - : _

sa puedc!€r que la conjetu¡aquedademostradasi0 < c < 2. Si a ¿ 2. cuet. i--;; tn vté - tl -r p¿ra todo r > O. quier valor d€ ó > 0 s€rvini,pucs en t¿l caso 7i¡1., ToDándo á:

15. Explicar exactamente qué s€ entiende eot lirn G-5 enunciado.

= có y demostrar la validez de est€

Esto significa que psra todo número positivo M sc puedc cnconlrar ur¡ rúnrcro positivo , (quc dcpende en generalde M) tal que I

o=Ú'

u

si

Para dcr¡ost¡ar esto obs€¡veseOo. Tomando ó : ll.lm

6*i¡ se rh¡c el rcsultado.

0 < l r-l l

¡t

t

<E

si o< ( r - r ) ' < fr o o<1,- 11
sl' = 1. Dar una demostración geométrica de que ' . - ¡ V lim Construir un circulo de c€r¡taoO y radio O,{ - OD = I, co¡¡ro sc vc cr la Fig. 2-10. Tó[i€se un punto I sobrc la prolongación de o/ y un punto C en OD de modo que ,D y ,!C seanpcrpendiculáresa OD. Por geometría se ve qu€

Ió.

Area del ¡rÉngulo OAC < Are¿ dcl scctor O,lD < Arca del triángulo OBD o sca. que

* s € n 0 c o s0 < t0 < tt9 0

Dividiendo por i s€n 0,

^ 0< -1< COS0 s€n t, o bicn

cos u

sen 0 I cos {,- < --;< --U COSU

Al tcnder0-0. cos0- I setienequc lirn

= t.

ff

¡b. r-ro

TEOREMAS SOBRE LIMITFS 17. Si lim /(.r) existe,demostrarque debe s€r único. '

Hay qu. deñoslr¡rquesi

lirn ,(r) = I'

y

lr\6Ílr, = h,

Po¡ hipótcsis.dado un . > 0. se pucdehallar un , > 0 tal quc l l l r' t-L l < ,1 2 l l l " r-L l < .1 2

!i si

o < l r-' d < á 0 < l r-rol < 6

!2

lcAP. 2

FUNCIONES, LIMITES Y CONNNUIDAD

Eotooces,segtir¡la desigualdad 2, Égina 3, + l l (¡)-r,l < ./2 + 42 = e l ¿ ,-¿ !l = ¿ ¡-l (¡)+ ¡1,)-Ll = l ¿,-.f(u)L positivo esdecir,lr¡ - /21esmenorquecualquier queseafyasí,pues,d€b€sercero.Con número c (porpequeño

It.

Si

,lim"

g(x) = t + 0, demost¡arque existeó > 0 tal que

J g (¡)l > ¡Lal P ara 0 < l ,' -rol < 8 comolim g(x)= I sepuede enconrrar ó > 0 tel quelg(")- ¡l < {lal para0< lx-xol <0. Escribiendo s€Iiene I = B-r(r)+r(r), l8l 5 l8-r(,)l + lr(,)l < tlB¡ + lr(,)l o s.a.l8l< llal + p(c)1, dedonde lc(,)l > +181.

t9. Dadoslim /(c) = d

y

que(o,) lim r(r) +C(r)l = A+A, lim g(c) = B, demostrar

=A B , (c (b)-liml(r)s(c) l ¡im+ = | ' ' .-,,g\et

s i a * 0 , (d ¡ lim-@ --! g\x)

ó

.-,o

si B,to.

(¿) Hay quc mostrarque pa¡a cu¡lquicr G> 0 se puedehallar ó > 0 tal ql¡e si l l l l " \ + s l r)) - (Á + B )l < . Mcdiantcla desigualdad 2, p¡¡gina3, setienc l [/(,)+ r(,)l - (á + a )l

0 < l r-zol < 8

=

l l /k)-¿] + [r(' )-a]l = l l l zl - A l + l s(' )-B I Por hipót€sis,dado € > 0 se puedenhallar ór > 0 y J, > 0 talcsquc V @\-A )< .12 l s l r t-B l < ¿2 Lu€gopor (1),(2) y (J), l l Í1 ,' r+t(' rl - (A +8)l

0< Ir-rd < 8, 0 < l t-tol < 8¡

si si

< cl 2* 12

= e

si

(t )

(21

(r)

0< l r-' d< 8

siendo ó el mcno¡ de los ó, y ó2. (ó) Se tienc

lllil s("\ - ABI = | l(úllslqr- Bl + Bfl(r)- All a lf@)llo\ú) - Bl + lBil/(,)-.{l = l¡(,)llsl"t- BI + (lal+ 1)l/(,)- ál

(¿)

Como lir¡ /(¡) = / se puedchal¡arór Él qüc f(¡) -,41 0, se puedc hallar un ¿2>0 tal que b\xJ- Bl<¿/2P pra 0< lx - x ol < ór . como tim /(¡): 0< lx - x 6l < ó3.

..{. dado r > o. s€ puedehaltár ór > 0 tat que l/(,) -¿l

<

ldEfg¡

oara

Aplicsndo éstasen (4) s€ tiene

- ABI . lt(,ts(x,

P.# + 081+ 1).tllEiT-o= .

para0 < lr - -xol< d, siendod el menorde los ór, ó2, ór. con lo quc ¡a demostración quedacompleta. (c) Hay que most.¡r que para cualquier€ > 0 existeun ¿ > 0 tal que

l #- * l= B f L d . .

si

0< l r-' .1 < 6

Por hiÉtcsis, dado € > 0, hay un ór > 0 tal que

le(') - al < üat

st

0 < l r-rol < 6,

( 5)

c^P. 2l

FUNCIONES.LIMITESY CONTINUIDAD = B + 0 se pu€deaveriguarun ó2 > 0 lal que ,lim. c/).l 0 * l8l Entonces,si ó es cl mcnor de los ór y ó, se puedeescribir

Por cl ProblemalE, como

l1

ll

lol¡ ) - al

=

l;O-¡-l

+ B' ,

EfÍtG¡¡ < iEfusÍ

=

que 0< l'-,.1 <6 ' siempre

lo que demuestmel resultado. (d) Por las pa¡tes(¿) y (c),

ri_ 44 = riml{¡}.Je1'J= ri- /k)"liitit '"oc\'t

= A';

=

A

E

Esto también se puedc demostrar directameDrc(Problcma ó9). Lo sre s ult ados ant c f ior es s epuedende m o s t r a r t a m b i é n p a r a r r J o +, . \ +n o - i ¡ r c o , J c +- . a . lvol¿: En la dcmostraciónd€ (¿) s€ han utilizado los resultadosl .\ | - Al < e/2 y lglxl - Bl < ./2 dc maneraquecl resultado6n¿l fuesef(r) + clrl - lA + ,)l < é. DesdelueSola dcmostración seriaigualmcnte ,¿l¡idasi se hubicraemplcado2c (o cualquiermúltiplo positivode €) en vezde €. Una observación s€mejante vale paú las dcmostmcioncsde (á). (.) y (d). ll.

Calcular los llmites sigu¡cntes empleando los teoremas: (-6r) + li4 4 (o) ritl (r'- 6, + 4) = + ]$ lljl "' = l¡ im ¡ ) llim ¡ ) + llim - o) l l i m ') + lim4 =

=

( 2X2) + ( - 6) ( 2) + 4

-a

En la prácticasaomitenlos pasosintcrmedios

,¡r .lJ:t ,¡- Gja?!:l) x'+ 9r-2 '-,

= 'ilS-:!+l= (¡'+ Jr _ln_nt

l¡m

tcr l i g ffi=

' -3 -_

z)

- 2'(-s) - q 2 -4

r -

"-¿-d _

l i m2' + l i ñ,11.i, :!* r¡-! _-¿!

,i:li ¡,

r - !¡ 6 3

por c¡ Problema19.

¡_ ,¡(V 1 + i + 2 )

=

li.:.+

?

!

=

l n6* l ]i ;* l l i i ;

.- .. ,/lTtr-z = .. llil-z (o) ' '/T+n+z I'i¡ ---I'L ---T,,t-1 +h+ , I 4+h-a .. = l¡ m __= - = lr m _- : - = ; - = l .. ("¿ ) r i' ' ' s = .;ai lz

=

s l " .VÉ t

=

1

r

¡_ oV ¿+ Á + z

¡¡¡¡ !!!3 .l i mV E

= 1.0 = 0.

sobrclimilesindiscriminadamcnle Nótes€ en(c),(d)y (e)quesi seaplicanlosteorem¡s scobtie¡cn¡asl¡aÍ|ú.llaslorraas ¡idetenhadas @l@ y 0/0, Para cvitar esto, nótescque en cad¿ caso s€ modiñca la fonna dcl límite en forma ¿propi¿da.P¿ra otros métodosde calcularlímites.véaseCapitulo4. CONTTNUIDAI) 21. Demostrar que /(¡): ¡2 es continua en .r: 2. Mélodo l: Segúne! Problemat0, \t\ ílxl : IIZ\ : 4 y asiÍ¡) cs continuaen ,¡ = 2 M¿'todo2: Hay quedcmostrarquedadoun € > 0 cualquieraexisteuDó > 0 (quedcpendcde G)tal qu. l/(,t) -/(2)l lr'?- +l < e si lx - 2l < ¿. t¿ dcmost¡acióúsigüccl .6qucm¡ d¡do cn cl Problerna10.

=

.

34

F UN C ION E S .LIMITE S Y C ON TIN U ID A D

[ c A P .2

( r senll¿. a 7' 0 ' ' -' no es conri nuaen.\:0. (¿)¿S epuededeñn ir i;.l _i de otra maneral0¡ para que /(.r') seacontinua en -\ : 0? 13.lim /(.r) = 0. Pc.oestelimiteno esigualafo) = 5. de r¡odoque.l¡(,\) k¡, Por el Problema esdiscon-

2 2 . (¿ ) D e mo s traqru e l (r) =

linua en :\': 0.

'-o

(á) Definiendo¡.\)de modo que/(0) =0, la funciónsevuelvecontinua.Po¡ serla funcióntal que se la pued€ hacercontinuaen un punlo simpleñentedefiniéndola adecuadamenle en es€punto,sedicequeel punlo as ufla d¡scont¡nuidadat¡tahle. ,4r _ A$ r_U2+g 23. La función t@) = l? ¿esconrinua en ¡ ? /( I ) no exisle,de modo quelr(-\-)no escontinuaen ¡ = 1. Deñniéndola /(.r) de modoque/(l ) = lifn /.!) = -8 (Problemall). se haceconrinuacn -r = I, es decir, ¡ = I cs una discontinuidadevitable. 24.

Demostra¡ que si Jf(¡) y g(x) son continuas en ¡ : ¡o, también lo son (a) /(.r) + g(.\), fl rr r-=: slxl. (c) si tlx"t + 0. c(.rJ Estosresuhados se sigucninm€diatament€ d. ¡asdemost¡aciones dadasen el Problema19 tomando,{ = y = B(xo)y escribiendo 0 < l.r - xol < ó en la forma lx - x¡l <, para que qucde¡nclui¿lo x= ro, "/Cto) , (b) lql

25.

Demostrar que /(,r) : x es continua en cualquier punto ¡ = -ro. Hayqüedemostrarquedadoun e > 0existeun ó > otalquc f(¡) -/(¡o)l = 1..< esi l.r - r¡l < d. ""1 Tomandoó = É se tienecsic ¡6ultado.

26.

Demostrar que /(¡) = 2¡3 + ¡ es continua efi todo punto r = xo. Com o. y es c ont inuaeot o d o p u n r o ¡ =¡ o ( P r o b l e m a 2 5 ) t a m b i é n l o s o n x . ¡ =r 2 , 1 2 . x : _ r r , 2 r ¡ y , por último. 2-\¡ + ¡ aplicandocl tco.cma(Problema24) que dice que sumasy productosde funcionesconlinuas son funcionescontinuas.

t1

Demostrar que fr)

= f

- 5 p"ru 5 g x j 9, /(-r) es continua €n este inte¡valo. Si xo es un puntocualquiera ralque5
Asi.pues, y - s =z=iiii qr. ¿.i'íJ"n"taconrinuidad def') = _tim.r4- s = o =,r15) -li!n J' v)-r'

Aqui se ha utilizrdo lir¡ V7i- = { üm /(r) = 14(r.) sil(¡) es conrinuaen ¡o. Tambiéns€ puedc dcmos¡rardirectamente aplicandola defnición con c y 6.

a.

Para qué valor€s de.r cn cl dominio de deñnición es continua la función

=

tot ^a

.So¿ Paratodo .r cxceptor = I | (cn quc el dcnominadoresccro)

V*1

(ü) í,) = ##; lcl

s¿¿ Pararodox So/. paralodo x > -tO

ll¡'\ = ---L

vlo+,

ld) Í(r) = 10-r/('-t)' tet ¡(,t =

{á:-""-"1

;:l

problema .tot. Paralodo-{ + I (véas€ 55) par¿ so/. rodo¡. puesrim /(,) = /(3)

==4

a ^d

Si¡ > 0,

l( ¡ ) = =

= o . s i t <0 ,

, ( a ) = 't n '

Asi que /(-r) es continua para lodo ¡ cxcepto¡ = O.

= 2 . E ¡ z =0 , f l z l n o e s t ád e ñ n i d a .

crr. 2l

b,

35

FUNCIONES. LIMITES Y CONTINUIDAD

lí ' l= 1

( '-:8,

¿as

Lg,

.= O

E

Coño cn (/), /(x) es co¡tinua para -y < 0. Entonces,como

.'jf-=ld

=,1¡xr-af =,rim-2 = 2 = t(ol

se sigüequc /Qr) es continua (a la izquierda)en ¡ = 0. De modo que./(¡) cs continu¡ par¡ todo ¡ = 0, e¡to as, en todo p nto de su dominio dc dcfinición.

(á) ¡x)

= ¡ soscc¡ = -1. scn -x

(0

= ¡ cosecx, l(O):

-/(¡)

l.

So¡. Parr todo ¡ erceproO! tn. t2r, 13r,... Como lim .( cos€cx = lim =l..

= t =,ft6l sc ve que/(.x) cs con-

rinuap6mtodox €xcepto fÍ, t2r, ri":"... ¡-.**r'".1"tilfi

OONT¡NUTDAI' lL

UNIFORME

Demost¡ar quc /(r)

= ¡'

es uniformemente continua en 0 < x < l.

Mt{odo I, utiliz¡tdo l¡ dcf¡idón. Hay quedemostmrquedadocualqu¡erc > 0 scF¡cdch¡llar un ó > otal que lx, -.t!l lo¡¡de ó rolo de[Ende de a y na de to con 0 < ¡o < L Si ¡ y ¡o son puntos cualesquierade 0 < ¡ < I,

< esi l.t - x¿l < ó,

l¿.-¡il = lr+ xollx-al < 11+11 lr-r.l = zlx-ql = rp, sevcquelxz- rel <.sil.r-¡ol <ó, Asíque-si lr - x6l< ó scsiguequc lxt - ¡¿l< 2ó.Eligicrúo-,

do ride ód cp en dés ol¡ m c nt ede€y node¡ o. Luego / ( ¡ ) : ¡ ¡ e s u n i f o n ¡ € m c n t e c o n t i n u a c r ¡ 0 <¡
Demostrar que /(¡):

l/x no es uniformemente continua en 0 < ¡ < l.

Mt{odo l: Supóng¿saqüe /(¡) es unifomñamantcco¡¡tinu¡ cr el intervalo d¡do. Entonccr para todo é > 0 dcbe podersch¡llar uD ó, por ejeñplo, .ntr€ 0 y l, t¡l que f(¡) -/Oo)l <esilx-r¡l < , por¡ todo ¡ y ¡o del intcrvalo. .¡trl

s€¡n,=, y

".

=

fil.

Lucgo lr-rl

=

l,

-fftl

=

riE

< ¡.

lr r I lr = Ef¡cambio. l: _ ¿l = l+. l* r l t' (pucsto q u cu < ¿ < I ) ' f 4t tz lo- - i- l Asl, pucs, hay cor¡tr¿dicción y sc dcduce que /(x) = l/¡ no puedc scr unifo¡m€mcnte continla en 0<¡<1 . Mélodo 2: Sceo x6 y x6 + ó dos puntos cualcsquietadc (0, l). Enlorccs,

= 11---l-.l = -.-qlrc¡-n^*t¡l 'l ,.+El ..(r.+ E) | lr¡ sc pucda hac€r mayor quc cualquier nfimero fDsitivo eligiendo ¡o suficient€mentepróximo a O. Luego la funciór no pu€de ser u¡iformementc continua.

[cAP. 2

FUNCIONES. LIMITES Y CONT¡NUIDAD

JO

PROBLEMAS VARIOS 31. Si),: /(¡) es continua en ¡: i(o y z: Clü) es continua enl = lo sicndo yo = /(,x6). demostrar que z = g{/(¡)} es continua cn ¡ = ¡o. se tiene Sea¿(¡) = grlx)]. Como por hipótcsis/(x) y 90,) sori continuasen ro y lo, resfrectivamente.

lim r(y) = r(lün y) = o1n,¡ = Lucgo

rim r(¡)

=

riñ c(l(')l

= ,{tt*

fOl}

slflx"ll

= sll,r')l

= h(xr\

lo que demucstraque A(.r)= gy(x)) es continuaen .n - ¡o.

32.

Demost¡ar el Teorema 8, página 26. que/(¿) < 0 y Supongasc > 0. Como/(¡) €s contiúua,cntoncesd€behab€run intervalo(¿,l¡ + ,,). "/(ó) l¡ > 0 parael cual/(.r) < 0. El conjuntode puntos(d,a + ,) tic¡c un mayoranley. por tanto, un extr€mosup,eriorc. Entonces,Íc) S 0. Perono sc pucdetenerÍc) < 0, porquesi /(r) fueranegativasepodria hallar un inlervaloen to¡nb a c (en el cual hab¡iavaloresmayoresquc a) paracl cual/(¡) < 0; pcro como c es el extremo superior,esto es iñposible. y asi, pues,debe ser/(c) = 0. Si /(¿) > 0 y /(ó) < 0 s€ pucdc .mple!¡r un rszonamien¡o similar.

33. (a) Dada flxl: 2x' - 3x2 + 7x - 10, calcularf(ll y Í(2\. (ó) D€mostrarQuc/(-x) = Q p¿¡¿ algún númeroreal .r tal que | < x < 2. (c) Mostrar cómo sc puedecalcularel valor de ¡ en (ó). tat fItJ = 2(ll' - l(l): + 7rl) - l0 = -4. fl2J = 2(2f - 3(2)':+ 7(2)- l0 - E. tbl Si^¡) cs coniinuaen d t x t b y si I@l y flb) tienensig¡os opueslos,hay entoncesun valor de.r entre d y ó tal quc /(¡) = 0 (Problcma32). Para aplicaresteteoremabast¿vcr que el polinomiodado cs continuocn I 5 ¡ = 2, puesya se ha v is t oc n( ¿) quelr ( l) < O y f ( 2 ) >0 . A s i , p u e s . " ¡ i s t ¿ u n n ú m c r o c e n t r e I y 2 t a l q ü e / l c ) =0 . ( c) /(1.5) = 2(1,5)3 l{1,5}'-r 7(1.5)- l0 = 0,5. Aplicandoentoncesel teoremadc (ó) nuevamente s€ vc quela raiz buscada cstámáscercáde 1,5quede I, pues¡I,s) : 0.5 estáentreI y 1,5y quc<probabl€menleD tienc un valor más próximo a 0 qu€Íl): -4 (éstano cs siampreuna conclusiónválida,pero es intere_ santeen la práctica). que + 7(1,4)- l0: -0,592.s€concluye S€ roma,pues,x: 1,4.Como/(l,4) = 2(1,4f - 3(1,4)'¡ hay una raiz entre 1,4 y 1.5 que cstá probablementc más próxiÍra de 1,5 que de 1,4. SiBuiendode esta mancrase halla que la raiz es 1.46con dos decimalesexactos.

34.

Demostrar el Teorema 10. página 26. Dadoc ualquier c > 0s epue d e h a l l a r n t a l q u e M - f l x l : de modoque ¿ t;:lÑ /¡.r )'.. el Teorema4. Égina 26. Perosi sc suponequeÍt) + M, cnlonccscomo M - Í¡) esconlinua,por hipótes¡s. l: M para un vasedebetenerquc ' M - llx l cs tambÉncontinua.En vistadc estacontradiccióndebes€r¡n) -lor al menosde :r'en €l intervalo. Análogamente se puededemoslrarque exisleun.y en cl intervalotal qüc/(x) = rt (Problema93).

c¡t

2l

F UNCIONES,L IM IT ES Y CON TIN U ID A D

Problem¡s propuestos tt¡cK)NEs 5.

D¿r el domin¡o de defiriiciónpara el cual cada una de las funcionesque siguanes rcal y uniformcl ol ¡/6- z)lZ, + l), lb) lt-21/lr'-4), ( ó) lodo¡ r = 2, 9t. (o) -2=c=3, (dl ,>3 . -2 < r < 2.

L

si /(r) = f$,

(d) log¡o(r' - 3r¡ - 4r + 12). a¡a tcl y'-sen lc , 2ñt l3 l x =l 2 m +l ) r l g , m =O , ! 1 , =2 , . . . ,

r+z,hallar: (c) Úryl(!);

l ¿) ¡ \ t ) + ¡ 14/ r ) ¿ . *0;

(¿ )

U l J{l l ¿l \.

^ T ,h + 0 i

so¡.(¿)i¿ (ó),: o ffi,,,.0,i,2 Ul .+,

rü){/(-})),;(c)!(z,-sti

r,0 !,r,.0,:

@ ,z h , n * o , z

r * -6.2

t-

5i/(¡) =2.r'1,0<-y<2. hallar(a) el extrcmosuperiory (r) .l extrcmoinferiord. Ír). Determinarsi /(-!) alcanzasus extremos. S¿/. (d) 8, lá) 0

I.

Construircl g¡ato de las funcionessiguientes:

z-bl Ul -;

(al l( r ' ) = l¡ 1, - 3= ' = 3 tb ) l\ , ) = z - 8,

-z = " = z

(c)

f o, a< o (c) l(r't = j l' '=o [ 1, ' > o - r , -2 = x á 0 ldl l(rl _ -l | o = rá 2 ", (e') llr) = t ' s € r l / r , E *0 t.

donde[¡l =

m¡yorenrero = 5

/(z) = cosh ¡

1r¡ ¡1r¡ = !9!3

(it t(E)= C=¡G+X;_3' (i)

llr) =

consrruirgrafospa¡alal r2/a2+ r'1ib2= l, (hl x'/a'z ,r¿/h,= l,(clf2 =2pxy ldly= 2¡¿- á. y' constantesdadas.Si J, - Í¡) en cada uno de estoscasos,¡,csuniforrne/(x)?

.I,. sicndo

por qué cos-r ¡ es la) A partir del grafo de rr = cos x construirel de I = cos-r .y. (r) Mostr¡r gráñcamante funciónmultifome. lndicar posiblese¡ecciones dc un valor prjncip¿lde cos-t .r. (.) Mediantelo escogidoen {ó)hallarcos-r(l/2)-cos-'(-ll2).¿Dep€ndeelvalordeestafuncióndcla€leccióndcvalorp.incip¡l?Explic¿r.

al. Hacer las parles la) y (ó) del Problema,[0 p¡ra (a] ) = sec-r r, (ó) /: cot-¡ .( a- Dado el 8.afo de _r.= Jf(r), moslraroimo oblenerel de _y= Jf{dx+ á). siendoa y D constantesdad¿s.Ilustrar el procedimientoobteniendoel grafo d€ (a) /- co s 3.r, {ú ) y = s en ( 5r + it l3} . k l ! = t e f t 1 6 - 2 x ) . ¿.3. Constru¡rgrafos para k¡) ] = ? t't. fb) r. = ln lxl. tc) f : .-l'l sen .r.

u-

Mediantelos valoresprincip¿les.piginas 22 y 23. calcular: ¡,r, -l t¿) s en- ' ( - / 3/ 2 Lf ) se n - ¡ ¡ + c o s = ¡ 5 | (á) r g- ' ( l) - ¡ s ¡ (-l ) s€n-'(cos2).:),0 k) <.\ = (¿ ) c or - ' ( l/ v 6) - c o r-,1 - 1 7 .1 4 ) (/¡r ser-r (cos2.\). nl2 S r ='r23ft/2 (¡) tgh (cosech-r3.r),.r+ 0 (/) c os h- ' v 4 (l) cos(2 tg-r x'¡) Sot. la] - 3 lb', "t2

lcl -rl3 (d) rn (1+ vt)

G) I \fl rtz

¿15.Calcular(¿r) cos{,¡ senh(ln 2)1.(r) cosh ' lcolh (ln l)i.

(s,

rl2 - 2r ... lrl ,u 1n¡ ffi 'n-ttz sot. kn - {2p. (b)tn2

- '. (i) 11+"'

38

FU N C ¡ON B S .LIMITE S Y C ON TIN U ID A D

[ c A P .2

(d) Demostrarquc tg- t x + cot- I ¡ ,¡/2si scco¡vieneen tomarcomovaloresprinc¡palcs Iosde la Égina 22. (ó) ¿Estambi¿nrg-' .r + re-t (t/x) =- n/2? Expticar,

17. Si /(¡) = tg- ' ¡, demostrarqüe l(rl + llul = ,(ft_ ), ,tt. Demoslra¡que tg_r ¿ - tg-¡ ¿ = cot-¡ ó co¡-r ¿. tD.

cstudi¡ndoct c¿so¡).

- L

Demostrarlas identidadcs: (¿) t - fgh'1¡ -_s¿ch2¡, (á) sen 3.r = 3 scn ¡ - 4 sen! r, {c) cos 3¡ = 4 cosr .r _ 3 cos _\. (d) l8h ix = (scnh,\/(l + cosh .t), {?, In lcosecr - cor xl = in llg l-rl. Hallar losnáxinDs y minimos¡clarivosy ¿bso¡utos de (¿)/(.r) = (sen.y)/¡,/(O) = t; (ó)/(.t) = (senr.r)/,rr, ,/(0) = l. Estudiarlos casosclando /(O) no está dcfinidao /(0) estádehniáapero es + l.

LIMITES 51. calcular los límiles siguicntes,aplic¿ndoprimero la definicióny lueSolos tcorcm¿ssobre limilcs:

(a)l'll(¿'-3'+2). rar,ri1,¿\,

G)lF++,

@,t:,:;#,

(")I']i(?l-tfi,

so/.(¿)2, (ü)-+, (c){, (d)_t, At ¡2, 6¡ ¡

O lh"+rg.

( 3x - 1, . < 0 52. Sca /(') =.1 0, (a) CoEs¡¡urr ,=O un grafodcl.r). [ 2r + 6, r > 0 calcular (ó) Ii¡n /(¿), G) (d) (c) (, ,ljT. .tig t('), ,rip- l(c), l¡a t(rt en c?o¿caso. so/. (ü) 9, (c) ^r),_10, (d) 6, (¿) _t, (, no c¡isrc.

jusrificandota respücsta

54

4¿=^Ct) ¡l¿1-'-l(0-l y (¿) C) .f , donde/j) cs t¿ fuÍción det prob. 52. .tjT_ .s¿¿ (o) 2, (ó) 3 (¿) Si /(¡) = * cos l/r, calcular liq /(x) justifcando la respuesra.(ó) ¿Siguesicndo la respucsrade (¿) la mis_ ma si sc considera./(.r) : ¡2 cos l/¡, ¡ + 0, ,|.(0) = 2? Explica¡. Dcmostrarque liq tg-ttc-rl - 0 aplicandola d€ñnició¡.

5ó.

scat(,) =;+i3+,

53. Cahufar

,,/0, t(or=*. catcurar(¿) /(,), (ctl:lt /(,), jusliñ,rimt(,), (ü),¡im-

candofasrcspucstas. Sol. (al t, (b) -1, (c) no eriste. s7. ualtar(c).üT* gráficamente. sol (a) l, (ó) -l 3, Ol .It_ 9. Itustrartasrespucstas

5& L

riq/(¡r)?Exp'icaf ¿cxis'|c :ií'::J1i:":':":::::T,:.::" i,:56 (.)ly'lffi= -., (ó),xm O-o,j= -6, k ]\3#=?.

ó{). Demostra¡ que(o)

= o, ,liñ 10-

(¿)

,!j:-#i

= o.

61. Explicarpor q¡¡é (¿) l¡ñ s€n _yno e¡iste, (ó) Iim ?-r scn ¡ existc. 62. ¡¡ /lr, = 3, + lrl , c.rlcular (c) (ó) (c) lir ?r=;É ,tim /(r), .lim /(r), sot. lal 2, (ó) 1/6, (c) z, (d) 1/6, (¿) no c¡isre

l(r),

(4.üm_

63. si [.r] = mayorenreroS .r, calcular (r¡) (ó) ,u. {, - t'Il}, ,tim_{.r - [rl]. 64. Si lim /(t = ,it, demosr¡ar que (d) : Ar. lb, :rj¡-:/¡H _ 17. ,tim"{f(,1), ¿Quégeneralizaciones parecen vcrdaderas? ¿S" prr.O"na..osr.iri = ¿ si = 8, dcmoslrarquc v .li¡nol(') ,li*^ ,k) ( ¿) . Xm -{ / ( t } - r ( ' ) ) = A- 8, ( b l l i m l d l ( l +b e G r , '-a

/(rl

G) limot(r).

sor (n) 0, (ó) I

= o A +¿ i t d o n d € c , ü = c o n s ¡ a r ¡ r e s .

FUNCTONES, LTMITESy CONTTNUIDAD

c r,2l

39

f.

Si los limites de /(¡). g(-r) y l¡(.r) soo ,4, , y C, resDectiv¿rDeote, demostrar que: (a) li{/(r) + t(r) + h(r)t = A+8+C, (t) lim l(r}r(,) ¡r(r) = ABC. cc^efiiza¡ altoo a.sult¡dos

at

Calcular aplicando los teoremas sobre limites: (

o - ,_ t

o _ .¡ -

l

- a=iffi k) .üTt C#;,)6,_s)------| ¿Arll-, ;;:

(3 t-1X2 ¡ + 3) (ó¡ - sX4, + 5)

I (.. C , -. llml---l .,-ó\t-¡ ,n

Sol. 1a, -812L

tu

-L[

"^ \r+3 '-';:iir-1

(ó) 8/10

2¿ \

(c) 1

cJr /

--!- -

2 \

ldl U32

3t + 5)

lsugerencia: Sea8 + /¡ =.tr)

cot.uto, ti-frT-2. 6.

si lim t(,) = a

t.

oado ri¡4$ts = 1, calcular: s €n3, ,t¿, - , , . - -;-

js

O)l!¡=9!!

y

sot. t/12

= d€mostrar que,limo directamente ll:1"c@l B '. o, B=t

-c o ¡¡ ,-,,. (c, ¡,r1l---

6t-s€n2¡ (€)lllt E;T=ña s9!l!;-!9!!g (4 l¡nl(¡-s) cosec., (, lq

,,..I'n!-l -2cGr+ cor2, (c)

rO !:nEll=lr!-gI¡

sol. (o) a, lbl 0, (c, rl2, (d')-11n. (e)2t7, (l\ t(b, - a'1, (r) -1, (i) 4r' = 1' demostrar s que: l*? (")

!'jl1_=

= ¡-o;

Demostrarque lim /(r) = ¡ .t'd

d.-rt

(ó) li¡n=

a

= lnü,

¿,ó>0;

si. y solo si. lim t(r) =

r-l^

(c) I'q.ls4-s9 = a"

lirn t(r) = ,.

CI)NTII\ruIDAI) 73. Demostrarque/(x) ¡¿ -3x +2I continuaen ¡= 4. ?,t Demostrarqv..f(x): llx es coütinua(al en x=2, (ó) en 1=¡=

3.

75. Estudiar la continüidad de las furciones siguier¡tes€n los puntos que s€ indican:

(o¡l(Q = ff; lbl l(rl = r-lrlt

e+0, tel=oi ,=o t=0

= (c) *=it ^"\

,+2, ttz)=3;e=2

= r¿r¡r"r {ii,"''llíIl, '='

S¿¿ (¿) disconrinua, (á) continua, (c) cootioua, (y') discontinua 7ó. Si [x] = mayor,entero 5.x, estudiarla continuidadd€l(¡)=¡*[¡] (ó )lS¡=2 .

en el inrervalolol l<x<2,

77. Deñostmr que /(¡) = ¡3 es mntinua €n todo int€rvalo frnito. ?& Si /(r)/g(x) y g(x) sot continuas cn ¡ que /(¡) debe ser conti¡ua en ¡ - ¡o, deÍ¡ostrar - ¡o. r ?9. De¡nostra¡ que /()r) (tg- r)lx, fl0\ = I cs continua en ¡ = O. g). Demostrar que un polinomio es contiruo en todo iniervalo fir¡ito. tl.

Si/(¡) y gfx) soÍ polinomios,domosrrarqueJf(r)k(r) escontinuaen cadapunro¡ = ¡o parael cualg(¡o) + 0.

,t0 t2.

[cAP. 2

FUNCIONES. LIMITES Y COI.ITINUIDAD

Dar los puntos dc discontinuidadde las siguientesfuncioncs: l¿l

tlxl

=

-,

t t - z )^\ r _4) ,r+O,Í(0t=0 (bl l(r\ = ,'s.nllt, Sol. (e)E=2,4,

lci) = |t =si64---, s='=6 (d)^'t ,(,) = ---!--.

(¿) hay, (¿) hay, \dl r = 7,16lztttt, lltl6=2mt,

m=0,1,2,--.

CONTINUIDAD UNIFORME t3.

Demostra¡que./(¡) = jr3 esuniformemenlc continuaen (r)0 < ,r < 2, (á)0 É x = 2, (c) todo intervalofinito.

co¡tinua cn 0 < ¡ < @. t¡L Demostrarquc ¡.r) = ,r'] no es u¡¡iformcmente t5. tó.

contiSi a esconstante,demostrarque/(,y) = l/-x'1es(¿)continuaen a <,¡< co sia ¿0, (ó) uniformemente nua en ¿ < ¡ < .o si ¿ > 0, (c) no es uniformemeote continua'en0 < -x < l. continuas€n el mismointervalo,demostrarque lal f(x) ! g(x) f lb) flx)glx) SiÍ.r) y g(-r) son uniform€mente pa¡a/(¡)k()r). son uniform€mente continuasen el inte¡valo.Enunciery demostrarun teoremasemejante

PROBLEXT'ASVAnIO6 t7.

(c, ó)} del teorcmadel Problema3!. Dar u¡a dernostración

It.

(a) Deñostrar quc Ia ecuacióntg x = ¡ tien€ una raiz real positiva €n cada uno de los intervalosr/2 < x < 3rr/2, inl2 < x < 5ft12,5ll12< x < 7n12.... (D)Ilustrarelresultadoanteriorgráficamenteconstruyendolosgrafosdet=fE.Eyday=¡ysituandosusp tos d€ inte¡s€cción. (c) D€terminar el va¡or de la mcnor raiz positiva de tg ;r = x. Sol. lcl 4,49 aproximadamente

t.

Demostrar quc la únic¿ solucióri rcal dc sen r:

q).

-r es .r = 0. (¿) Demostrar qua cos -r cosh ¡ + I = 0 liene inñnitas raices reales. (ó) Demostra¡ que para valores elcvadosde .x las raices son aproxi¡nadamentelas de cos -¡ = 0.

que el. Demosrrar l'¡ "'?1(i'"'

= ,.

92, Suponiendoquc/(¡) escontinuácn x = ¡o y que,f(ro) > 0, dcmost¡arquecxistcun inte¡valo(¡o - h, xo + h, con }| > 0, en el cual /(r) > 0. (vase Teorema 5, pá8ina 26.) [SugErencia: Mostrar qu€ pucdc haccrsc V(x) - /o'dl < y(¡o) y lueso que /(¡) ¿ /(¡o) - Vlxl - f$ oll > V('o) > 0.1 93. (a) f¡emostrar cl Taorema 10, pági¡a 2ó, para el extremo inferior rn (v€s€ Problcma 34). (¿).Demostrar€l Tcorema 9, página2ó, y explicarsu relacióncon el Teorcma10.

Capítulo 3 Sucesiones EINICION

DE SUCNSION

Una función de variableenterapositiva (natural)de¡otada/(r¡) o bien a,, coo r¡ = 1, 2. 3, . . . , [€,ma suce¡ión.Así, pues, una sucesiónes un co¡ju¡to de números ur, u¿, u3, . en ün adeD deñnido (€sto es, en cotespondencia con los números naturales) y construidos de acuerdo ca um ley defnida. Cada númerode la sucesiónesun téminoi u" es el térm¡non-ésimo.La sucesión s^ fhita o infiníta segh que haya o no ur¡ nrlmero finito de términos. La sucesió¡ ur, u2,u., . . . se &ota brevemcntepor {¿"}. qeryb& f. El conjunto denúmcros 2.7, 12,11,, , . ,32 asnnasucrsión finita,el término,ésimoviene d a d op o ¡ = /(r):2 + 5 (n- l \= 5n- 3, n = 1,2,..,,7. ' ¡. 2. El conjuntod€ n{¡mero!l,ll3,l/5,1n,,.. es una sucesión infrnitade términor-ésimo u , = l /(2 n- l ), tt = 1 ,2 ,3 ,... Si no se dice otra cosa,las sucesiones de que aqüí se trata son infinitas. IIIIÁITE DE UNA SUCFSTON Sediceque un númercI esel límitede una sucesióninfnita ar, ¿2,rj, . . . si para todo [timcro positivo e se pucde hallar un ntlmero positivo que dependede € tal que la" - ll < e para todo entero : ¿ ^¡ r > Jv. En tal casose esc¡ibejiT

" q¡eoplo Si u, 3 lln = 13ú+ l )/r, la succsióncs 4,72, 10/3.. . . y s€puedemosirar que lim r, = 3. "rSi el límite de una sucesiónexiste, la sucesiónse dice c¿roergente:si no, * llama diuetgmte. Una s¡cesiónpuedeconverg€rsolamentehaciaur¡ limite, esd€cir,qu€ si el límite existsesú¡ico. Véas€Problema 8. Una mane¡amás i¡ltuitiva, pero menosrigurosa,de expresaresleconceptode limite consisteen decir que una sucesiónar, ar, a.,. . . tiene un límit€ / si los términossucesivos vat quedando((másy máscerca>de /. A menudoseempleacstamaneradc ver para<
y

lim b" = 8, entonces,

1 . t im la" + b, )

= l i mo , * ¡i mb . = á + 8

2 . lim ( 4" - ó, )

= l i mo . - l i m ó ,

= .4 -B 4l

a

SUCESIONES

l c A P .3

3. ri¡n(o,.bJ= (1'a,"¡i¡1iu")= AB lim ¿n = = EA itrr; l':al _

si l i mb,= 8+ 0

'r,

"=o b.

Ii mo l

=

Ar¿0. lim 3 no existe.

Si A=0

¿ = 6. ¡¡¡¡ $ puedco no existir.

l l i m o ,)o

Ae,

para/, : cualquierreal si ,4pexiste.

pa,

parap : cualquierrealsi /r' existe.

6. Iim pn = p'{F.q

LII\4IITS INFINITOS Se escribelim ¿¡ : @ si para todo número positivo M se puedehallar un número positivo lV (qu€dependede Mltal que4" > M paratodon > .¡V.Análogamente, seescribc1im a, : - co si para y'Y todo númeropositivoM se puedehallar un núme¡oposilivo tal que a, < - M para lodo i > M . Téngasemuy en cueniaque co y - @ no son númcrosy quelas sucesiones no soriconverge[tes.La t€rminologíaquo se empleano hacemás que indicar que la sucesióndivergede algú[ modo.

SUCESIONES MONOTONAS ACOTADAS

I

I

Si u, ! M paran : 1,2,3, .. . con M constante(independiente de r), s€diceque la sucesión{¡l"} esnayorada acotadasupeñotmentey qne M es \tn mayoraete,Si !¡" Z rr¡ la sucesió\ es ñiiorada y m es vn minorantet. Si ra g r, I M la sucesiónse diceacotado,loque se indica a menudocon la"l 5 P. Toda sucesión convergentees acotada, pero la recíp¡oca no es necesariamenteciefa. Si ¡¡,+ r ¿ ¿. la sucesió¡ se llama monótonocrecíente:si u"+| > un*.l:lama estrictamenlecreciente. Análogamcnte,si u,* ¡ I l" la suc€sión*, llaña, ,nonótonodecreciente,y si lrnr r < u, es estricta,neñle decfecienle.

I

4l.r¡Dla.

t.

La sucasiónI, I,l, 1,11,l,lll,... es acoladay monótonacreciente.siendoestrictamente crcciantc. 2. La sucrsíónl, - !, I, -1, 1,... esacotadapcro no esmonótd¡¡ani crecienleni decreciente. 3. La s¡¡ccsión- I , - I ,5, - 2, - 2,5, - 3, . . . es monótonadecreciente pcro no es acotada.si bic¡ cs mayorada.

El siguie[teteoremaes fundamentaly serelacionacon cl de Bolzano-Weierstrass (Capítulol, página 5) que se demuestraen el Problema23. Teorco¡. Toda sucesiónmonótona acotada(crecienteo dccreciente)tiene un límite.

EXTREMO SUPERIOR Y EXTREMO INFERIOR DE UNA SUCESION Sed i c eq u eu ¡ n ú m e roI! e s exneryosupei otde una sucesi ó¡ { r,} si r" < M,n= 1,2,3,...y existeal menosun término mayo¡ que l{ - e para todo € > 0. Se d i c e q u e u n n ú me rc ñ e sexttemoi nktordeunasucesi ón{u^l si u,/rh,n:1,2,3,...yexist e al menosun término menor que á + c para todo € > 0. ' Ll¡mábas! cotas supcriorcslos mayoraítcs y cotas infcriorcslos minoranrcscn la antigua Domenct¡tura.(x. de¿t)

cat- 3l

SUCESIONES

43

compáresecon la dcfinicióndc extremossuperio¡e inferior d€ conjuorosde núm€rosen gene¡¿l

t+iñ- 5). I.DIIIE

SUPERIOR, LTMTE INFERIOR

se dice que un númetoI eslimite superior(rirnsupo lim) de ra sucesión si hay inonitostérmi{n"} E de Ia sucesiónmayoresquc I - € y solo un núme¡o nnito de términos mayoii,, qu.7 + ., p"." tJo c lErttvo, sc dice que un número./ es límite üIeriot (rim i¡f o lim de Ia sucesión {,.} si hay inñnitos térmiE de la sucesiónmenoresqueJ + c y solo un núme¡o ñnito de té¡minos menóiesqud _ G,para todo e positivo. Estoslímites corresponden a ros puntos rimitesmínimo y máximodc los conjuntosdc números ca general. Si ha-yinñnitosrérminosde {t¡"} quesuperana todo nr¡meropositivoM sedcñnelim sup _. . {n } = c¿. s¡ hay ir¡fnitos té¡minosde la sucesiónmenoresque -M, siendbM cualqüie¡nr¡meropostivó, seaetoc lim inf {rJ : --. Si l.: co, se define lirn sup {2.} : lim inf {¡"} : o. Si "lim r" : -o, se deñnelim sup {a"} = lim inf {u"} = -co. ,lim Si bien ¡o toda sucesiónacotada es necesariamenteconvergente,siempre tietre un lirn sup y un lim inf ñr¡itos. Una suc¡sión {n } converge si, y solo si, lim sup z, = lim inf ¡, es finito. ENCAJES DE INTERVAIOs Considérese un conjuntode intervalos[a,, ó.], n : 1,2,3,..., tslesque cadainte alo estácon_ rc¡ido en el prec€dentey que lim (a, - b.) = 0. Tales i¡tervalos forman lo que se llama ün €rrcaJe. Se puede demostrar qo. Ji&o encaje de inle¡valos correspondeun nr¡mero real r¡nico, lo cual sc puedeaplicarparademostrarel teoremade Bolzaro-weierstrass dcl capí¡ulo l. (problcmas22 y 23.) CruTERIO DE CONVERGENCIA DE CAUCHY Este c¡iterio enuncia que una sucesión{r4} convergesi, y solam€ntesi, para cada e > 0 s€ puedc cncontra¡un númerolv tal que la, - r,"1< Gpara cualesquiera p, q > .¡V.Estecriterio tienela vlntaja de que no es precisoconocerel limite / para demostrarla converg€ncia,

SERlrs Seaut,uz,u3,. . . u¡a sucesión dada.La nuevasucesión Sr, S2,.Sj,.. . con S r = ?¿ ¡ , S ¿= líJ + u !, S.¡= U tu z + u s ,

,..,

S ,,= ut+ L2+ ur-r...+ r¿a,

,..

siendo, pues, 5,, la n-és¡maswna parcial, suma de los primcros ¿ té¡minos de la sucesión {a"}. La sucesiónS¡, 52, ,93,... se simbolizapor

ut+u¿+ut'+. . . -- i" " qu€ toma €l ¡ombre de sene.Si existe S, : S, la se¡iesedi)-)ono"rr"nr", , suma;e¡ caso ,lim ""su con¿rario se llama üocrgcnte. Un estudio más detenido de las s€riesy otros temas relacionadosco¡ las sucesionesse enc[€ntra en el CaDítuloI l.

44

[C A P 3

SUCESIONES

Problem¡s resueltos SUCESIONES l.

siguientes: Escribir los primeroscinco términos de las sucesiones

.. [zn -rl t"r 1r" + z-J

79

'' i,3,,,!,ú, Tl

,,,{t=su}sa.fr,o,$,u, I (-t)'-'

,.,f

' - ' \ 2. a. 6

fi 1 ' + (d )ti +t+á

.. (',

l(_r).-!,¡.-¡ I

l-]U;:lt!--J

1

!

\

-1

-"-, 2 '2-:! . 1 '2 . a . 6 '2 . 4 . 6 '8 '2 . 4 . 6 . 8 . 1 0

. 2nJ

+i' J)

soi.t' + +1,+ +¡ +t, ++*+ t+ 161, + +l+ á+ 16+il

¡o¡ iT, -¡

Sedc 6ne¡ ! : 1. 2. 3. 4. . , n . defineasimismo 0!: l.

d

_{

cl

Ei' ?j , e! Asi que l!=

l , 3 l = l '2 '3 :

6. 5!:

l '2 '1 '4 '5

= 1 2 0 .e t c .S e

2. Dada la sucesiónl, 16,81, 256,. . . para encontrarel 5." término,¿cuálde las expresiones siguientes s€ debe aplicar: (¿) u, = n'. (b't un: l0n3 - 35n2+ 5on- 242 queconcuerda con los Si t¡. = r'. colonces ¡r = l'= l, ¡¡ = 2a - 16,u.: 3a: 81,u. :4'=256,lo cuatro prir¡¡eros términos dc la succsión.Dc modo que entoncesel 5." término es ¡¿5= 5' = 625. s i¡ ¡ . = lo' ¡ r - 35r ' ?+ 50r - 24, r e s u l t a u , =1 , ¿ r : 1 6 , ü 3 : 8 1 , ¡ . ¡ ¡ : 2 5 6 . q u e c o n c u e r d a ¡ a m b i é n coü los primcroscuatro términosdados; y €ntonc€sel 5.'lérmino s€ria¡¡5: 601. Ambasfórmulasson, pues.cor¡ectás.Estono ignifica sirioque un númerofini¡o de términosde una sucesión ¡o deñúaunivocarncnte el ,¿simo términoy de hechoson posiblesinfinitostérminos,-ésimosdifere¡les. LIIIIITES 3.

DE UNA SUCESION

El lérmino r-ésimo de una suc€siónes ,. =

t#.

(a) Escribir los términos l.', 5.', 10, 100, 1000,

10.000y 100.000en fo¡ma decimal. Conjetúar el limite de esta sucesiónpa¡a + co. (á) Aplicando 't la definición de límite comprobar si la co¡jctura en (¿) es correcta. (a)

n=l

0, 22222...

n :5

0, 56000. . .

¡ =1 0 0,64444...

¿= 100 0 , 7 3 8 2.7. .

¿ = 1000 0 , ? 4 8 R. .r.

t,:10.000 0,74988...

| ¡ = 1 0 0 . 00 0 0.749cR

Una buenaconjeluracs que cl llmite sea0,75000... : i. Nóteseque un posiblelimile solo puedcser grundesde n. aparentepara valoressuficientemente (ó) Hay que mostrarque paracualquierc > 0 (por pequeñoque sea) exist€un núnero ¡t (quedependede €) tal qu€ l¡/" - ll < e para todo n > l'.

Enronces.lfr +i - il = l¡-0,+ol.. a( 4' ! + 6 ) r r t9 - ;'

si

4n+ 6 >

Tomando¡f:1(19/4.-5),sevequclr.r,-ll

¡ffi

<. osea.

f, "'i(*-')

< e paratodoz > ,ry,de modoqueiim-u, = i. locual

completala demostración. Obérves€quc si. = 0,001(por ejemplo).,]V= i(1900014- 5) : | 186.25,lo que s¡8ni6caque todor al dc orden I 186difierenen valor abso¡utode : en ñenos de 0.00| los términosde la sucesiónposteriorcs

c.A"-rl

45

SUCESIONES

q* a Demostrar

Jli F=0

con c+o

y p> 0 constantes.

Hay quc moslra¡ que psra ldo f > 0 hay un número Ahora

(¡ l;l

r.t r-r r':i < ., o sea.r' > : "

sr

pües.de c). se vc Cuc lc{<

5.Demostra¡que l1¡1+;#

^l

/t-r\ut

ror"n¿o

"t(?/

/t)\ú, N=(?,)

. para todo , > /V. lo quc dcmucstÉquc lim kt,)

ldcpcndc.

- O.

=3

qúcp¡r¿todo.> o exisrc Hayquemostrar unnúmcro lv t¡lquc

en,on.' pf,ffi - íl = lqr* *-l-ol. . 9,10. > 713.-6,

¡!(6+ 8.10") > r/.,

01< e para todo rr > ¡v.

t¿l quc lc/t'-

si

- !l . . r"r¡,oao, t lv.

|6t+*+

16T+;Iot

10' > l ( ? / 8 . - 6 )

o

< ', o sc¡'si

¡ >l o g ¡ c ( *0 / 8 . - 5 ) ) =ü

lo quc demueslrala cx¡stenciade At y del linitc dicho. qu ce l v alor deiVant er ior es r eals olam c n t c s i T 3 a - 5 >0 , o s e a , s i 0
se ue cue

tr

¿

t.

liffiif;

tnr

tl

- fl < . naratoaor > o.

a. Explicar con precisiónel signifrcadode (c) lim 3z'-t = o, (b) lim (1- 2z¿)= -€. (a) Si parslodonúmcropositivo¡1s€puedehallaru¡¡númercpositivo .¡V(qued€peode deM) ¡alquca. > M = .. p¡r¿ todo n > /f. sc cscribc * lg ju si (2'!-1)¡os3 > los¡4, o sce.r t f/P#* Encsrccaso,sr.-¡ > r) = / -\ rocó ". (ó) Si para todo nf¡mcro poditivo M sepuedehallar uo núñcro positivo /V {quedependede ¡tl) ¡al quc ¿, < -,t, = -". para todo ,| > /V, s. cscribe ". "ti1 Eri esl. caso. | - 2n < - M si 2¡t - I > M, o s.a. ¡ > rlM + ll = N. Téngase en cuantáquecl empleode las¡otac¡oncscc y -:o pa.alimitesno quieredecird€ nintt¡n m(üo pues :c y _ ic ,o son nl¡meros.EstasnoBcioncssolo indican que lás sucesionas dadasson convergentes. que las succsioncs divafgenen algunamanera.

?. Demostrarque

,lim -/

= 0 si Ixl < l.

Méúodo l. Si,r + Ocl rcsultadocs obvio.Para.Y= Ohayquedemosuarquc dadoun c> 0 €risteun /Ytal que l.\'l ./v. Como lr'l = I,tl'5 e si z lo9'6 lrl < lo9¡6.. Dividiendopor logtr lrl. quc es ncg¡tivo,rcsult¡ , t l9q'",t, - lt lo quc dcmucstrael r€sultadod¡cho. ro8¡olxl Método 2: de B.rr¡oulli lProb. 31. Cap. l)sc ticn. Sca |,tl = !/(l + p), con p > 0. Por la desigualdad lvl = lxl' = ( t + pf < lill

+ np) < c

par ¡ l o d o , > / v

TEONEMASSOBRELIMITES DE SUCESIONES ¿nexiste,cs úrico8. Demostrarqu€ si ,lim Hay quc dcmqstaarquc si lim ¡¡.: /r y lim ¡¡" = lr. es /¡ = /r.

A s i . p u e s l i r n ¡ '=

0'

[cAP. 3

SUCESIONES

46

Por hipó(esis,dado é > 0, existcun /V lal qu€ l¿.-¿¡l
para r>lr/,

l¿.- ¿'l < ¡'

F'a'¡ 'e>IV

l¿'-t'l = l¿¡-ü.+¡..-¡'l á l¡¡-¿'l + lr¿.-¡'l < lt+lr

=

'

cefo,setie¡relr = ,:. qu€sca)y, siendoentonces cstocs,ld - /¡l csmcnorquecualquierpositivoe (porpequ€ño 9. Si lim a,:

A y lim ó" = 8, demostrarque lim (a' + b"l:

A + B'

qucp¡¡¿todo€ > o scpucdc.nco¡trar un]v > 0 tal qu€lk, + ó.) - lA + Btl <. H¡y qucdcmost¡¿¡ p¡ra todo ¡ > /tr. Por la d6iSuald¡d2, pó8ioa3, sc ¡¡cne

l(a,+ü.)-(¿+B)l = l(¿.-Á)+(ü.-a)l = lc.-ál + ló.-tl

(')

Por hipítesis, dado é > 0, existcn /V¡ y lv2 tales que < l. par¿lodo¿>Nr ld.-¡l lü. - al < *. Psr¿todo ¿ > ¡V¡

(r) (r)

Dc (r), (2) y (J) resulta l (c .+ ó J - (A + 41 < * .+ 1. = ' pa¡atodo' t> ¡¡ tomandopara lV al mayo.dc los /V¡ y ,Vr, lo cual dcmuestralo dicho. lO. Demostrarque una sucesióoconvergentees acotada. quccxist.un númeroposirivoP tal que la.l < P frar¡ todot. Dado,lü¡ ¿. =,{ hayqueda¡rost¡ar Sc tienc

lc.l = lc.-i{+l{l Pero,por hipótcsis,cxisteur lV tal que lc, -,tl Ic.l < .+ l ál

= la.-al + lÁl < é par¡ todo r, > lV, estoes, pararodo ¿> ¡V

quela"l< P paratodon si sccligcparaP cl mayorde los númer(x¿¡,42,..., ¿¡, e + l,{1. Sedcduca

ll.

si

que€dsteun núrmero /v tal que l4l > ilrl paratodo ¿ > ¡v. b,: I + o, demostr¿r "lim como8= r-4+ 4, scticnc: (r) lrl Slr-41 + l4). S. puede cnto¡ces clcgi../vtal quel8 - dl = l4 - ,l < llrl psratodo,r > X, pt¡cs,li* b.: B po¡

hipotesis. Luesopor (.,), l8l > 1 2 . Si l i m t.= Ay ::4

'lrl 4 :4

+ lól o bicn l4l > ilal p¡ra rodo¡ > lv. demostrarque l i m orb,: A B .

Sel¡cn€,por cl Problema 10, la.b.- ABI = lo.(ó.-A + a(¿.-¿)l

á ld.lló.-Bl + lallc.-¿l 5 Pló.- al + (lal+ r)lo.- Al

(r)

8, dadoun € > 0, cs posiblehallar/vr y /vr t¡les qüc JiT 4 p¿ratodo¿>¡l' p¡ratodo, > ,V' lo.-Ál . lb.-Bl<# AF]T-U

Pcrocomolim r. =,r y

Port¡nlo, s.gúnQl,la"b, - A8l < *¡ + *e = . pamtodo¡ > lV,sicndoIVcl mayorde los,Vry 2, lo que demuestra el resultado.

c P.3l

sucEsroNEs

r.1 Si limo"=á

47

y tlmü,=I *. O,demosrrar(¿)= 1,.*ü"1 ,1, (D lh ae= #

(a) Hay qüe demostrarquc para todo € > O existe¡V tal quc

.. t*-Él= E#+

¡'3ra Iodo , > /v

(r)

Por hipót6is, d¡do un c > O, €¡isre un /vr t¿l quc lb. _ sl < lEe para todo ,' > .lv!. Asimi$Do, como tilrl, U= B + o exite u; /v2 ü q;; l4l , *l¿j p"- to lv2 (vcasc p¡obtq¡a ll). Luego si lV as cl mayor de los /Vr y .iV¡ sc puadc csc¡ibir (r) como

11 -tl ll 16

+B\ =- lb"-Bl , lBl IóJ ' iEl 'llti

=

'

paratodo > lv "

¡o que concluy€la damostñción. (ó) Po¡ la pañc (¿) y cl hoblcma 12 sc tiene

''*fi

= l*ft'"t) = .'1i*'l*al= = "'É i

Lo cual tambiéosc puc{c danostrardiractamcntc (vé¡scproblcma4¡ la.

l-

Calcular,mediantelos teoremassob¡e límites:

k)lr,"#+#c = !:"#n (ü)

= #++¡= g

=.'*id+ffi) = ]s{###%} .'st#-"+j l,l{#-"+} =:*i#ffi}= _

. 1+ 0+ 0 _ (r+ 0).(1 + 0) -

= .ri¡¡rvifl_rrffi^ r"rrimr.6+r-_v-o ro .'¡ glf = l\rt...,#h l:rtffi" :"o't eomo j-_i

..

= Hffi7

=,

otJlm'rador y denominador son3 v 0, resPectivame¡t€, c¡ límit€¡o eriste. = > n puedehacermayor quc cualquicrnúmeropositivo cliSicído E Z ^t

, > ./v,sepucd€ 6cribir,pucs, l:: LaTf

=_

,, .'n(##)=(rnffi)'=(3)'=ÉÍ

o .sffffi k) ln;+ii$

= :yr/#!#n = g = o

= .r11iifffi

=a

(com'¡rcscconer prob.s.)

SUCESIONESMONOTONAS ACOTADAS 15, Demostrarque la sucesiónd (á) es mayorada, t"r ., .¡noo'i"."ü'::":::il: (d) {¡.¡,}es monótonacrccientc si r.r,*,} u., n:

)h - 1 ,:; ;í

J"ira).es

1,2,3,,... Ahor¡ b¡.o.

monótonacrcciente'

48

lcAP. l

SUCESIONES 2 ( n + 1 \ -7 3 ( n - D +Z

o

=

2n -7 zn+2

2t-5 3n+b

sr'ysorosr'

-2n-7 ¡tn+z

( 2?¿- 5) ( 3n+ 2)= ( 2 " - ? ) ( 3 '¿ +5 ) , 6 ¡ ¿ '- 1 1 ¿ - 1 0 = 6 r ¿-' 1 1 r - 3 5 ,o s c a-,1 0 = - 3 5 ,

qu c

escierto.Asi quc invirtiendolos pasoscon ¡asdesigualdades seve quc {¡¡.} esmonótonacrecicnt€.y cor¡o -10 > -35. la sucesióoes cstrictamcntecr.cientc. pal¿c¿q¡raun mayorantcde la mismaes2 (por ejcmp¡o).para tbl Escribicndoalgunostérminosdc la sucesión, dem os t r ar es r ohay qu c h a c e r v c r q u e ¿ ¡ , 5 2 . S i ( ? ¡ - 7 ) / ( 3 n +2 ) 5 2 , e n t o n c c s 2 n - 7 g t u +4 , o sea, -4n < ll, lo cual ¿J ciefto. Invirtiendolos pasosse demuestra,pues,quc 2 es un mayorante. Comocstásucesión csmonótonacrccieÍlc,cl primerténnino- I esun minor¿nte,cstocs,¡4 > - l,n = l,2, 3, .... CualquicrDúmeromcnor que -l cs lambién un minoranlc. (dl Como la succsióncs hayoraday minorada!cs acotada.Asi, por cjamplo,s€ puedccscribirl¡t,l = 2 par¿ todo r. le) Como toda sucesiónl¡onólona {crecienteo d€crecientc)y acotada tianc un limilc, la succsióndada tiene

un limrte.Encrccto.- . 2r t- 7 .tirnlfr

=

-

2- 7l n

lg:;TZi,

=

;.

16. La fó¡mula r@ur¡€nte¿,+¡ : Jlu,, ur:

I deñne una su@sión{ri}. (¿) Demostrarque lim ¡/i existe.(ó) Hallar este limite. , = t/}tr-' = 3*, t r = \,/gur = g',"'", .... +tt2'-' como se puede dcmoslrar por inducción EI término¿ésir¡¡oestádadopor lt. = }ttz+ttt+ matcmática(Capitulo l). Es obvio quc u"*r > ¡¡,, lueSola succsiónes monótonacrecicntc. Por el Problema14,Capftulo l, x,5 3t = 3. estocs, !" es Í¡ayor¿da.Luego¡¡i es acoiada,ya que cero es un minofante. Existe,pues,un limite ya que la sucesiónes acotaday monótonacrecicntc.

(¿) Los términosde la sucesiónson r!¡ = 1,

(r) Sea¡ eselimite. Como lim u,*, = lim /[ se tenc x:.6iy ¡ = 3. (La otra posibilidad,r:0, s€ excluyeporqu€ ¡¡, = l.) +¡/2" oüo llétodo: - tim 3r-r/2" - a.L-.(r-r/3i = a, = 3 ]nC""'" 17. Verifcar la tabla siguie¡te: S|Eer¡ó¡ 2, 1,0,1,8,l.,?,. . .,2- l?¿-1)110

r, -1 , 1 ,-r,

-1 ,1,-l '

,¡t,

.., (-1 ¡-,

- 3,

14,

- 5, . . . , ( - l ) " 'r , /

It.

Moaóton¡ decrtchí.

Ex¡sae el l¡nitc

No

No

Sí

No

No

No

No

si (o)

s¡

si

No

si (*)

No

No

No

..., (-l )' -' l ( ' ¿+ 1),

0,6,0.6ó.0.óó6, ..., i(l - 1/10.), -1,

Mooótoú¡ crccrc¡¡c

Acot¡d¡

No No

No

1\

D e m o s t¡aq-ru e l i m { 1 + : I = e. n/ " -" \ Por al teorema del bioomio.si , es enteropositivo(véasrProblcma 95, Capitulol). x(n-l ):q' -' t+ r)r. t)i (' t-4r! { l + .r)' = t + n " + " (L:1)' ' + " (' l + ., + Haciendo ¡ = l/'?, ü¡

=

/.

r\"

\

¿,/

tI+- ,

=

tf

r

Írn-D

n

zt

¡ - +-

I

* ... +,{"-l)..(''-n+r) :

=,+,+*(,-*).| -3) ".(,-+x . .*(-)(-i)

('-+)

r r'

c^r- 3l

SUCESIONES

49

Pücstoquc c¡ds término ¡ psrtir del tercero cn la última expresióncs función crecient. de ¡,, s€ sigucque la su. c6ión ¡t es ñonótona cr@iente, Es claro tambi¿Í que / r\' I r + .. . + -i!I I r+: r / ) < I + I + z! + ;i \ --:- 3 t

< r+1+;+++...+fi < r

por cl Problcma 14, Capitulo L y. por tanlo, ticne un limite qu€ sedcnotapor e, constantc Asi, pucs,/. cs acotaday monótonac¡ecient€ cuyo valor cs e - 2,71E28..,.

/

lt

L

-. Demostrarlue lim\l

+;

,\¡ rl J

= e' para cualquicr manerade tgnderx

-

oo (esdeci¡, oo ne-

cesariamcntepor enteros positivos como en el Problerna l8). s i n= m a y o rc n te ro = ¡. c s ,,É ¡s ,* ' ,

(t * " * rI)

Como

= (t -

(t

i )' =

-

l*('.*.)' = .'s('.#)'/ (,.#) = "

i )..

=" .'e('.*)"'= .'s(,-:)1.:)

v s€s¡Euou e c

/ r\. li¡ r ¡ ( 1+ : ) = . , ¡-- \ s/

EXTREIIIO SUPERIO& ETTREMO IMEf,IOR; LIMITE SUPERIO& LMITE INFERIOR 20. Hallar (4) cxtremosup€rior,(¿)crtrcmo inferior, (c) lim sup (im) y (d) lim inf (lim) parala sucesión 2, -2, l, -1, l, -1, l' -1,.... (¿) ext¡€mo supc¡ior: 2, pucs todos los téminos son mcnorcso igualcs a 2, cn ianto que hay al mcnos u¡ término (cl p¡imero) mayor quc 2 - c psÍa todo a > 0. (ó) extremoinfcrior -2, pu€stodoslos términosson mayorc!o igualesque -2, c¡ tanto quea¡ menosun término (cl scgundo) es mcnor que -2 + c para todo a > 0. (c) limsupolim= I, pueshay infinilostérmioosdc la sucesiónm¡yorrs que t - aparatodo€> 0 (todos los I dc la succsión)micntrasqua solamc¡ie ur nr¡mcro6r¡iio dc términosson mayorc! quc I + € par¿ todo €>0(.lp rihc r o) . (¿) liminfolim: hcDoresque -l + a paratodo € > 0 (todos - l, pueshay irfÍitos términosde la sucasión los - I dc l¡ succsión)úicnt¡as qua solo un núme¡o 6nito dc términos son fnc¡or.s que - I - é p¡ra ¡odo . > 0 (el seSundotérmino). 21. Haüa¡ (¿) cl cxtrcmo superior, (ó) cl extremo inferior, (c) el lim sup (liñ¡ y (d) cl lim inf (lim) de las sucesionesdcl Problema 17. Los rlsult¡dos sc v€ri cn l¡ t¡bl¡ siguic¡rta: Süc.dón

Exiremo supcrior

E¡tramo infcrior

lim sup o liñ

lim inf o liú

2, r,s,1,a,\7, ..., 2 - ln- rll10

2

$n

l, -1, 1 , -1 , ..., ( - 1) . - "

I

-l

I

I

-¡

0

0

t

t

+,-*, l' -*, . ..' (-lr-'/(n+1)' 0.6 0,6ó.0,66ó, . . ., l(r - 1/lo'), -1, +2, -3, +{, -6, ..., (-r).'l,

t s¡n

3n

50

lcAP.3

SUCESIONES

ENCAJES

DE INTERVALOS

22. Demostrar que un conjunto de intervalos encajados [¿" ó'], n = l'2,1," mero real.

, determina un nú-

y lim (c, - ó"): 0' ao*r Z a- h,-t = b,. n = 1,2.3. Por definiciórde encajede intcrvalos' y y monótonas crecienley decrecienle' acotadas son Luegoar = a,S b,= bt y las sucesiones {a,} {ó'} y. por tanto. convergenhacia ¿ y á respectivamente, que Para d€mostrarque ¿ : ó obs¿rves€ D-¿ ló - o l

(r) (r)

( ó - ¿ , ) + ( ó " - d ') + ( a '- o ) L ó - ó " 1 + l ó '- o 'i + l c " - a l

= =

Como dado cualquieré > 0, €xisteun ¡{ tál qu€ para lodo ¡¡ > ¡{ ló- b"l < ¿ / 3 ,

l ¿ , - a " l <. / 3 ,

(r ) '

l o " - a l <. / 3

positivoticnequeseró - o = 0, o *z, a : b' número dcñodoquepor (2),ló-al < e.Cono e escualquicr (página5). 23. Demostrarel teoremad€ Bolzano-Weierstrass que el conjuntoacoladodado estácontenidoen el intervaloñnito [¿, b]. Dividaseesteinler' Supóngase valo en dos intervalosiguales.Entonccs,al menosuno de estos.llámescle[¿r, rr] conliencinfinitospuntosde¡ conjunto.Dividicndo[¿r, b¡] en dosintervalosigualesseobtiencolro irtervalo.llámese¡e [o¡, ó2]. queconticnc esteproceso,seobtieneun conjuntode intervalosencajados inñnilospuntosdel co;juntol Conrinuando [o". á']. ¡ = 1. 2, 3, . . . , y t alesque ú- q

= lb - ol/ 2, b, - a , = \ ü -

a ') 1 2= l b - a ) 1 2 ', . . . ,

ü " - o " = l h - d 'l / 2 '

dc lo que se d€duceque lim h" - a,l:o. un punto un númcrorealúnicoquereprcs€nla A esteencajcde intervalos.por el Problema22.lecorresponde Iimite y esto demuestrael teorema.

CRITERIO DE CONVERGENCIA DE CAUCHY ,2¿. Demostrarel criterio de convergenciade Cauchyenunciadoen la página 43. N€ct3 ¡d. un N tal que

que la sucesión{r,l convergehacia/. Ertonccs.dado un c > 0, se puedehallar Supóngase

lu"- ll< É2 p a r a t o d o2 > N Luego,para p > /V y 4 > N se trene

y

l u q - l l <e l 2 p a ? t o d o 4 > ¡ f

1,,'- ,"1= lt""- t) + tt - u4tl= l¡¡,- ¿l+ lt - u; < cl2+.t2 =. p.4 > /Vy todo.>0. Entonces. que lr"-r"l < c paracualesquiera Suffciencir,Supóngase todoslos númerosrrv.4r* r. . . . esránen un intervalofinito. esdecir.el conjuntoesinñnitoy acotado.Luegopor el teorema de Eolz¿rno-Weierstrass existeal rnenosur punto limite a del conjunlo, Si ¿ es e¡ único punro limitc quedademostradoel crilerio y jlT 4 : . SuÉngas€que hay dos puntos limites disl¡ntos.a y á. y que r <, (Fie. l-l). Por definición.de punto limite se tiene u, * al < lh - a)13 par^ in6nitosvalores| luq - bl < lh - alll pa? infinitosvaloresq Entonc€s. como b - a : lb - u4l+ lu4- up)+{xr-a).s€

l b -a l = h -u = l b

," 1+ j u,

u" l + l u"

al

(1) (2) tiene

--¡-'

I

Fis.l-l

{J)

U¡ iliz ando{ / ) y ( 2) en( J ) . s e v c q u e l a , - u " l >\ h - a l i S p a r ^ i n f i n ¡ t ovsa l o r eds e p y t . l o q u ec o n t r a drcefa hipótesis de que ur-url<e paraf.q> Ny paratodo € > 0. Luegohay solamente un puntolímite y el teoremaquedademostrado.

cP.3 l

5l

SUCESIONES

SEruES¡ Zt

Demostra. que la s€rie (llamada Jcrr? Eeométricel

d+ar + a* + " = !cr" -r (a) converge hacia a/(l - ¡) si lrl < l, (ó) dircrgesi S. =

Sc¡

=

r S"

Entorccs.

l¡l > t-

6+ r r + at ' + . . . +a . r '- t +¿ f

d. r + at t +

(1- r)s. = o

Rartando.

o(1 - r')

^

o s¡:¡.que

=

(c) S¡lrl
¡{;

7 oorclProblcña

(ü) S¡ lrl >1,.lim S. noc¡istc(véasc Problema,l4t. 2ó

Demostrar que si una seric éonv€rge, su té¡mino raésimo tierdc a cero nccesariamente, Coño S . = |. ¡+ ¡¿ r+ ...1 ¡,, S .-¡ = ¿ ¡+ r.r+ . ..+ r..-r

scl rcne & = S .-S .-,.

Si l¿ serie convergc h¡ci¿ S, entoncts lim¡¿.

=

27. Demo stra rq ue la s €r ie

=

llr ¡ ( S"- S. - ,

Ifin S.-¡

lim 8 . -

t (-1)"-'

=

1- 1+ l- l+ l- l+ . . .

=

=

S-S

0

diverse.

M¿'¡odo I ¡ lf + 0 r¡o cxislc cfcctiv¡mentc. Entonces,por el P]oblcm¡ 26, la seric no puede convcrger,o sc¡. .!il(quc cs divcrge¡te. Mtlodo 2: l¡.r¡ccsió nde s um aspqr c ialccst l, l- l, l- l+ 1, I - I +| - l , . . . c s d e c ¡ r , Como csta sucesióncarec! da llmita, la serie cs dive¡gente. PNOBLEMAS

1 , 0 .1 , 0 .t , 0 , 1 , . . . .

VARIOS

+ur quclimur+u2+-"' 2t. Si limz" = l, demosrrur - l. n Scu n. = ¿. a ¡. Hayqucd.mo6rr¡rquc

= o s¡

.t* "i"*.::4

astquc

l''+r'+..+i,.1 l - - -- - - - i- In - n -

-

]g

".

= o. S. ricr¡c

lor*¡l+ lü'*¡l+...+lüJ

fu+ú'+..+url

(r)

Como li¡¡ r,. = 0, sepucdcelegi, P de modo que lr.l < ./2 pa¡an > P. Luego

lr'.,1+ l¿'-'l+... + loJ . tt

¿12+¿12+...+¿12 _ (r- Pr,tz a;

Yu cleg¡do P sc puede cl.g¡r /V, dc modo que psra

'|

> IV > e

l o '+ r' + ...+ rd

<

E¡nonces, llev¿ndo(2) y (J) ¡ (r) resulta

+i,"1 .;*; +r,¡+_..' lo¡ lo quc demuestmcl rcsult¿do.

=.

par¿,c>N

(r)

t4

x.

srcEsroNEs

[cAP. ]

Hallar el menor nrlmcro natural ,V tal quc l(3x +2rlbll - 31< e para todo n > lV si (a) € = O,Ot, (ó) c = 0,001,(c) e = 0,0001. S¿,r. (.,) 502, (ó) sm2, (c) 50.002

37. Mediantefa definiciónd€ limite, demostrarque lim (2r¡- llll3n + 4) no puedeser !. 3t. Dcmostrarque no existe

,lim

(-lfr.

39. Dcmostrarqüe si lim l,,l = 0. lim ¡, = 0. ¿Esc¡ert¡rla reciproca? ,10. Si fim n" = /, demostrar(¿) lim cr" c/, dondeces una constante,lbl ím n]: -

/', (c) lim { = loconpna-

ruraf. (d) fim .vF - J t, t ¿ O.

41. Dar u¡a demostracióndirecta dc que li¡í alb^- AIB si lim u,= A y lim b"= B*0, &.

D€mosrrarque (d.) lim 3'/' = 1, (ó) lim (l)"" = 1, (c) tim (*)" = 0.

43. Si ¡> l, d€mostrarque lim ¡'= co, explicandocon precisiónel significadode esle enünciado. 4.

Si lrl > I, demostrarque no existelim ¡i.

,ltt. Calcnlarlos limites siguientcsmediantelos teorcmasaprop¡ados. ....

\E r1-5,,+ 4

(a)rim1:4:-9d

tc, fiÍt ---ñ=.7-

(s) li¡n (y'¿'+a - t)

(ó)rimi/(s - y';xv; + 2)

¿. 10" - 3.10" 1a) rrm ¡;-15;=-¡:l-l!rr:i

0D rim (2' + 3'),^

sot. (4 -a12, lbl -r12, (c,',,/a12, (dl -16' le, W,

A 3

SUCESIONES MONOTONAS ACOTADAS {6. Demostra¡que la sucesióndc término,-ésimou" ,Jan n + | ) {d} es monóronadecreciente, (¿)es mjnorada, (¿) es mayorada,(d) tie¡e un límii€. llr l

:--+ r:-+ . 47. Si r¡. - = .-;-+ l+ r z+n ,tE Si ¡¡,.¡ = Vt=

3+ n

+ - ¡ +n

l, ¡rr = t, demostrarque l¡m

demostrarque iim ú, existey está entre 0 y l.

,,.= i( !+J5.

49. Si a,* t : t(ü^ + p/u,) con p > 0 i r¿¡> 0, demos(rarque lim

4: Ji.

Moslrar cómo se puedc aplicrr csto para delerminar/t. 50. Si ¡r"esmonótonacreciente(o moñótonadecreciente) demostrarqueS/, con S" : ut + u2 +...+ esmonótonacrecient€(o monótonadccreciente). EXTnEMO SUPERIOR, EXT¡EMO INFERIORi LIMITE SUPERIOR, I¡MITE

¡¡,,también

NTERIOR

51, Averiguarel exlremosupeÍior.el exlremo inferior, el lim sup (Ím), el I'm inf (lirn) de las sucesiones:

(¿)-1,',-t,1,...,(-1)./(2'-1),... (ó)t, -¡, f, -8, ..., (-l)"+'(¿+ 1)/(¿ + 2),.. i ' s ¿/ . ( o) + , - 1, 0, 0

( ¿) 1, - 1, 1 , - r

(c)

s i n . s i n . +a , - o

(d)

s i n , 1 , +o , 1

52. Dcmostrarque una succsiónacotada{¡¡.) es convergcntesi, y solo si, lim r¡. = lim ¡r".

c{r. rl

SUCESIONES

55

glEs 3

Hál¡ar la sumad€ la serie 3tt),

St)t. 2

.?, 'l¡'

3. Catcutár

so¿ *

.i f-rl.-yu..

Its Dcmosrrar oue=1= * -rr .z'z.t

| * -L 'a .4 +¡:5 .

=

'

.i"- Tr j

= r . [Sue.:ar + _r = l__*r 1l

¡.

Drcmoslrarque a¡ multiplicar cada término de una serie por una constanteoo nu¡a no s€ attera su converger¡cia o divergencia.

t-

D.mostrarqu e l a s €r iet + |+

j + . . . + 1+ . . , di". r g " . [ S u g e r c n c i S . +1 . a :e a s , = 1 +] +] + Demuéstrese que luego lSr" - S"l > i, en contradiccióncon al crherio de convergencia de Cauchy.]

TX)BLEMAS VARIOS Sl 9.

Si.¡" S u,4b,para todo r' >,¡v, y jiT 4 = = r que j1T L demost¡ar )\U= " Si lim a, : jiT 4 = 0 y 0 esindependienrede ¡, d€mostrárquc lim (a, cos ¡d + á" sen,0) : O.¿Escierto esro si ú dependede ,¡?

o.

sea ¡./":t{l + (- lf } ,

af.

Dcmostrarque (a) lim zrh : l, (á)

n: 1, 2, 3, . . . .

s i s "= ¡ ¿r + t r 2 *. . . - f

u o d c m o s t r aqru e . l i ñ s J r =}.

+ nY, = I con ¿ y p coísrantcs. JIT la

ó¿ Si fim lr,,,lr"l - l'l < I, demostrarque tim '¡. = 0. á1

Si lal < l, demostrarque jirn rr¿¡:

a{

que lim :]:0. Demostrar

O, con / cor$tantcy mayor quc O.

,DI

16. Dcmostrarq* t¡rn ,1"n

lr, - l.

.6. Si {¡/"} es la sucesiónd€ Fibonacci{p¡obtcr¡a34), dcmosr¡arque

= lf

+ ¡¡. ó7. Demostrarque la sucesiónr¡. : (l + Vnf+ | , n = I , 2, 3, . . . cs monótonadecreciente con limite ¿. [Sugercncia: Mostrar que üJr"_ 1 S 1.]

ót

Si ¿" ¿ ó" pará todo , > ¡t y ltm

69, si la,l ¡! lo,l y ji1

"^

}t2 +,r/+

= ,1, lrm á, = ,, demostrarque ,,1¿ ,.

4 : o. demostrarque lim

70.Dcñosrrar *" .tg*( +l+ |+... *i) = " Demostrarquc [a", ó"], siendoa"

-

(t + tlnf y b. = (l + l/¡r+r, cs un cncajcde inrervarosquedeñ¡e cl nri-

Damost¡ar que toda succsión monótora acotada (creci€ntc o decrccicntc) ticDc un limitc.

73. Veriñcar los valores de las siguientesfracciotes continuas:

t"ra+f$+f... (ü)o + I

= *(3+ v-15)

-L -l-... = ó(o+ y'a-+{)

tcr o + fr 4 *!. r l l l ,., \ u ' F l _ l _ 2 =. . .

56

SUCESIONES

74. Exprcsar(o) 1141251,(b) ./3, @ \G,

y

s,i.(')+rr+r++r**;

[cAP. J

(d) 3,14f59 como fr¿ccióncontinua.

atz+ru¡tr++

tot+r,,fff

,,.^ ra, J +

l I I ?+ tst l i

[Sugcrencia: En (á) s¡imescy réstescel nayor entero meno. quc \/f

y'd=r+(y' 5 -1 )=-'1 + ---

r/\\/8.r)

I I z¡¡l +i

I

(o sۇ, l) para obtener

'

tlE -t¡tz

LueSo súmesey reslesecl mayor entero contenido en tJ5 + tyz (o s€a, l) para ooaerier

I = t * = t+ 6/5+ttz = 1+ (ll-1112 ' - V5+ 1 2/({i- r) --l-(o para

Lucgo súmesey résteseel m¿yor cntero contenido en ,,4 + t

sea. 2)

obtener

= z + -= : V 5+r = 2 + (V 5 -l) = 2 + --+ r/(v3- r) N3+ 1\t2 dcspuésde lo cual se presentala Épctición.] it

75, Dada la fraccióncontinuad¡ + ¿" ) 0, cuyo ¡-ésimococienteincompletocs pJg", dcmos;; ;; *+ ' , trar c ilustrar con ejemploslos siguientesenunciados: (d) P. = o,P.-, + P,-t, Q. = o,Q.-¡ -| Q.-r (t) P,Q.-, - P.-,8. = (-1)'-' (a) Los cocientescomplctos sucesivosson altemativamentc ri¡cnorcs y mayorcs qu€ la fracción con¡ioua, (d) Los cocicntes¡ocompletosdc order iñpár son mmores que la fracción, pero son cr€cicntes;los cocientes incompletos de orde[ par son ñayones que l¿ fracción, Fro so¡¡ decrecientes. (e) La fracción continu¡ siemprc converge. 76. (a) Dcmostrarq\resi PJQ,y P"ar/C,+r son dos cocientesincomplctossucesivos de la fraccióncontinuadel Problcm¿?5..n,on"*

lH

-

&l

dos cifras decimalesexactas.

n.

= ,"*,-

: j, .tlt uat". ct primer cocienreincompletode.,/5 con

Sot. lbl 26/15.

y sca {r,} uDa sucesiónral que r,*t lo qu€ se llama €cuacióndc difcrencias - au.*t + bu. c/!.r,a b constantcs, de segundooadenpar¿ 4. (¿) Suponicndo que uDa solución lienc la forma r, = r' con r constanlc, dcmostrar quc r dcbc salisfacerla ecr'J,ació¡ ? - a¡ - ó = 0. {ó) Utilizar (a) psr¡ mostrar que una soluciónde la ccuaciónde difcrcncias(una solucióng€neral)csu, = A¡1 + 8t"2conA y I co¡stantesarbitrarias y donde¡ ! y /? son lasdos sofucionesde ¡2 - ar - b = O,supuestas dife¡entes.{c) En casode que ft = ¡2 en (á) mostra¡que una solución gencral es u, = lA + Bn),"r. Rcsolverlas siguientes dadas:(¿)¡r"+2= !r,+¡ + xi, ¡/r = I, ecuacioncs dc difcrenciassujet¿sa las condiciones ¡2 - I (compar¿r conel Prob.34);(r) r")r = 2u,+t + 3u",ut= 3,u2= 5,(cJu^+2=4u,+t- 4u^,ut= 2,uz = 8. So¿ ( a) Com o en el Pr ob. 3 4 , ( b ) u " : 2 ( 3 f - ¡ +( - l f - ¡ QJ u,- ¡.2'

11 79. (¿) Dcmostrar que el nésimo cocicnt€ incompleto de la fracción continua I + :. :_i

- o-\/-o'-'l r f (1+V-5)'.' , t (1+ V-8," - (r- V-6).J [Sugcrencia: Aplicar Prob..34] (ó) Tomando limites para n t0.

-

ú en lal hallar el valor de ¡a fraccióncontinua.

Hac€r los Probl€mas73(¿l(d) averiguandoprimero e¡ ¡|+simo cocicntcincompleto

cs

Capítulo4 Derivadas DFINICXON DE DEnIV¡DA Sea/(¡) dcñnidaen un frutrtoxo de (a,b). Sedeñnela dcrivadade/(x) en .r : jro como

rp¡ = ml@J$:Jkt

(r)

s¡ eriste dicho Ilmite. También s€ puededeñnir la derivadade ot¡as manerasequivalcntes, como l'(co) =

¡¡¡ Í(4-

[n\

=

- l(ro) lim l(¡o+al)

e,

Se dice quc una fu¡ción es diferenciableen u¡ punto ¡ = ¡o si tiene derivada e¡ esepunto, esto 6' si existe/'(ro). si/(¡) es diferenciableen ¡ = ¡o debe ser continua cn €s€punto, pero li reclproca no es necesariamentecicrta (P¡oblemas 3 y 4). DEnIVADAS A LA DERE|CIIA Y A I.A IZQUIERDA Se deñne la de¡ioadaa Ia detecla de /(x) en .¡ = ¡o como

fi@o) = ,rjT_@,

@

(r)

si estelímite exislc.Nóteseque en estecasoá(:&) solo toma valorespositivosal tendera c€ro. Análogamcnte, la deriuadaa la izquiedo de /(¡) en -r = ¡o es

f:(6"t =

lqqtf)-- i(")

(t)

"\p

si este llmite existe.En est€ caso ¿ toma solo valoresnegativosal tender a cero. Una función /(r) tiene derivadaen ¡: ¡o si, y solo si, /i (fo) = ¿(¡o). DI¡TNENCIABTITDAD EN TJN INIERVALO Si u¡a funció¡ ticne derivada en todo punto de un intervalo, se dice diferenciahleen el intenúlo, En cspecial, si /(x) sc defrneen el intervalo cenado a = ¡ S D. o s€a, [¿, ó], eÍtoÍces/(-r) es dife¡enciableen el intcrvafosi, y solo ri, /'(xo) existeparaiodo xo tal qw a < io <-b y si f',1a¡-yf'_(b¡ existen. Si una función fiene derivada cootinua se dice que es continüqmentediferenciable. FI,JNCIONES CASIDIÍTRENCIALFS Sedice que una funciónes casídiferenciable, dderenciable o r¡o:oso bien lisaa to.os, si en un intervalo¿ S ,y S á es/'(r) casiconti¡ua.En la páEina26 sc da un ejemplode ¡.¡nafuncióncasidiferenciable por su grafo.

[cAP. 4

DERIVADAS

58

INTERPRETACIONGEOMETRICADE LA DERWADA por la cu¡rvaAPQB de la Fig' ¡Ll ' El cocieotede diferencias Sca€l grafo de / : Jf(,t)repres€otado

f@o+ ¡r\ - Í(xol -

QR

F E= - - - - ñ- .' ' .

,-

(5)

"

Ax "' 0' 6l^ p.ndiente de la ¡ecta secanrc qtte pasa por los puntos P I I de la curva' Al tendcr punto P Lueg en el a la curva Ps tangente óa"nt. tiendca volversrla ¡ecú "s"

(6)

, , * lg .+ + *:l( g d = # = tsa

¿t-0

es la pcndientsde la tangentea la curva en el pünto P.

Fl& {.,

La ecuaciónde la rectatangentca la curva), = Jr(¡) cn cl punto de ¡ = ¡o con pendiente/'(xo)cs u - Í@ol =

f(rol(t-rol

(7)

En la Fig. 4-2 s€ ve quc una función pucde ser continua en un punto y, sin embargo, no ser dife¡cnciableen é1.En estccaso,h¿y dos ¡ectastangentescn P r€pres€ntadaspor P¡tl y PiV. Las pcndientés dc cstas tanScntessoo /:(¡o\ y Í'*(xol, respoctivamente,que aquí son dislintas.

DIENENCIAI,FI¡ Sea At = d-r un incrcmento dado a ¡. Entonces, 6y

=

f(x + a,al - l(x)

(8)

e llama inúcmcnto de -l' = f-r). Si/(¡) es continua y tiene primera derivada continua en un i¡tcrvalo'

J!

=

Í'(rlÁ., +.ar

=

f'(xld, +.da

(e)

{ú

59

DERIVADAS

c^t- {l ( + 0 cuando Ax

-

0. La exp¡esión

.lu =

(ro)

l'(r\ dr

lbma diferencialdey o def(xl o pate pr¡hcil¿, de Ay. Nótcseque A¡ f dy en gcneral, Pero si A¡ = d¡ - Fquño, entonc€sdy €s aproximadamente .¡ A/ (ProblemaI I ). dx llamadodderencialde x, y dy Ío E Dco que s€r pequcños nccesi¡fiamente. (8) y (l0l s€ sueleescribir En vista de ¡as defrnicioDes _ lbl f(E + ila -. = .. r 4g = jlT"ft^ ^r\ .Tloor t = t'tt

^i--

"' 0, pues cstos limites soo T.lgas€ presenteque dx y dy no son los límites de Lx y Ay al tender ^¡ a partir dc d¡ por (/0), o
= $ret * ftovt i t. #u@+s(¡))

l'(rl + s'(e)

z. fivot-s(¡))= fin t - ftoet=

f'(x) - s'(t)

t. ftrcnlt

= c ftf el

-- c f'{xl siendo c unaconst¡nrc

a. $ú{ootül = y@\ftsg\+ s@l*Í$\ = /(c)s,(¡)+ s(r\f,(r\ o.

s@\*r'fujt - Í@t*c@)

it Ít@))

-----]d;n'-

ai\i6l

6. Si u = l(u)

con d tt

AÉ

r¿= g(¡), = du du

ñ. 6

s(a)Í'(x\ - f(r) s'(rl - ----Tc('-n-

si g(r) * 0

es -. - d tt - t'tut¿ = Í'ts(rrts'(rl

(12)

Asimismo. si U = f@)

con u = g(Nt\ y ?,= ,¿(o), es dy du dv ily (r3) d¡ d¡r d¿' d¡ Los resultados (l2l y (13) süelen llamarse reglas de derioaciónen cadenade las funciones compuestas. 7.

Si s = Í(r),

es ¡ = l-'(y);

!

tlyltlx

y

díldu

son lalesque

H = #@ g,

Si c=f(¿)

y

s = g (¿ ), s e ti e n e cluld't tlu -

(11)

fA\

(rr)

ñ =1 Ére=v ( it

Se pueden fomular reglas parecidas para los diferenciales.Por ejemplo, dlf(rl + g(xl\ -- d Í(rl + ds@\ = Í'(r\ d't + g'@\ ib = \l'(t)+

¡t(f(a\s(xr) :

s'(e))d'

f(") its(rl + s(tl d'Í(r\ = \f(rl s'(rl + s(rl f(t\)d,

60

DERIVADAS

lcAP. 4

DERWADAS DE LAS FTJNCIONES ELEMENTALFS En lo que siguesesuponeque r,resüna funcióndiferenciable de .r; si I : x, dtldx : 1. Las funciooes ¡ecíprocass€ defnen de acuerdo co¡ los valores principales dados en el Capítu¡o 2.

L.

1

=0

*G)

'1 16. d: cot-'¿¿= -,-in3"

| si?.>1 = t?. 9sec-,¡r 4 f+ ar dr ut/uz-j ] siu<-1

= nu"-'4 z. 9u" dE ar d 'r- Sen?¿ = j::

COS ?¿

du cosude dt¿ - sen¿{ ti¡

=

u.* ,ru A; cotu d

10. ll

14.

Senn ?¿

cogh ?¿ -d.¡

Zt. cltt

S€C lú lE tt¿t.t

= sech2 u# !, en u

22, !qr cott, u =-cosechrir9 af

= r¿cot?l# $.or.. , - cosec

23.

sechu = O4

d. il tog"u

= Y#

24.

z = oqcosech

d,

=

dE

Los'u

d dr

d. '- ln 2¿ =

aE

=

I

lD. -

tP - ' z

1/1__

- sectrl

tgh ¿¿ #

-cosechücothu $|

25. {senh ,, (J

= -}-+ \/l + uz ttz

26. (t:ti 9cosh-'¿

=

zl. !

dt

c os - ' ¿

¿

| du -7¿At

du

i- s en- r z at i

a > o ,a + l

c" lno .alx

?e" at 13.

.. d¿ = _cosec. ¡¿ Ai =

o¡

20. f; coshr = ."nhr¿#

AT

'r- SeC l¿ af

q

rY.

-d u

It

6.

1 d! J - si¿¿>1 18. 9cosec-,¡¡ = = sr ulu2=7 dr I + si.r¿<-1 ddx .!-=

re¡-,t¿ =

i

I

d¡¿

\/ ¿L!- I ar I du ) , - u 'd r

d?¿ 1azttlc

28. +coth-'¡¿ =

I du 1_ 42di'

I

¿ 29. i:- sech-'r¿ = ax

-

1/t=fi _ldu - T+diAi

d¿

dt

atÍ

30. i-cosech-¡ ¡r : dT

r

t,t¿l \r r-"rt - ' du

rÑ "v1-ldu xv¡r:+ I u¡

DERTVADAS SUPERIOTES Si/(r) es difereDciable en u¡ intervalo,su d€rivada/'(¡), ),' o dy/dx cony = /(r), puedeser también diferenciableen el intcrvalo y su derivada se dcnota por f"(x), y" o ,"" h(#)

=

3*

De iguaf modo, si existela ¡-ésimaderivadade./(x), se la denota/")(r), /'' o bien ¿ fr,llamándose o¡de¡ de la derivada.Así, pues,las derivadasde primero, segundo,terce¡,. . , orden son/'(x), /"(.x), f"'(r\, . . .. El cálcülode las derivadassuperioresno es más que la aplicaciónreiteradade las reglasde derivación dadasantes.

cP.4 l

DERIVADAS

6t

IBOREMAS DEL VATÍ)R MEDIO l.

Teore¡r¡ de Rofte. Siflx) es continua€n [a, ó] y difcrenciablcen)a, bly sif(a)=f(b)=0, exisreun punto ( de fa, bl tal que /,({) = 0.

2. Teoreo¡ dcl vdor Dedlo. Si /(x) es continua en [a, ó] y dife¡enciablc en ]a, ó[ cxiste un punto ( de ]a, á[ ral quc

f(b)- t@t = f.(tl

@<1<ü

(rd)

El teorema de Rolle €s un caso espccial de éste para /(a) = = -f(b', O. El teorema_(1ó) s€ puedeescribirdc vari8smanerasdistintas:por cjemplo,si.r y x6 pertcnecen a ]a, á[, f(u)

=

f(ro\ + f,Gr@ - 2:ol

¡

cnrre ¡o y r

(17)

También se puedeescribir (1ó) con ó = a + ¿, cn cuyo c¡so ( = o + 0á, con 0 < 0 < l. 3. Teorco¡ dd vdor_medl0 geúe¡rlLdo (C diy).- Si /(x) y g(r) son continuas cn [a ó] y dife¡rnciables en ]o, ó[, cxiste un punto { dc ]a, á[ tal que

n(q=v6 = f(b\ - f(al

c'(t)

o<é<¿,

(t8)

g(a) + g(b'ty f @1,g'(xl \o nul¿sambas.Nótc¡cqucparacl c.so cspcciat suponiendo g(¡) = ¡ resulta(ró). ,L Teorcu¡ * T.ylg!. Si f)(x) punto e de la, á[ tal quc

es continua cn [a, ó] y difcrcnciablccn la, ó[, existc un

Í(bl = Í(a')+ /'(r¿)(ü-a) -':9#g

*

- ¿)"* *, * l(")(c)-f?

(tel

dondc &, llamado resro, puede escribirse: Reito de hgr

ge:

Rcsto dc C¡üchy¡

D

"" |'

+ r, (¡) (ó _ a)n+ '

-

/rn

_

l,'-',(É) (t,- ¡)'(ü - a)

_

(r+l)t ?¡!

a <{<ü

(90)

q
(21)

Veans€P¡oblcmas26, 8l-84. En ambasformas los valores dc { so¡ en generaldiferentcr. El ¡esultado (r9) sc pued€cscribir de v¡¡i8s otr¡s ma¡eras. Por €jemplo,si ¡ y xo pcrteneccnI ]a, ó[, con la fofma de Iágrang€ dél ¡€sto & s€ ticnc para 6 cntre ¡o y x,

que es ef polinomio de ?aylor con rcsto para f(x\ y siwe para aproximar la función /(x) mcdiante u¡¡ polinomio, siendo .R. el término quc da el error de Ia aproximacün, Si R" = 0 cn (/9) se obtieneuna s€rieque se llama seriede Taylordef(¡) en torno a x = .ro. ,üm Si xo = 0 la s€ri€ se llama de Maclau¡in.Tales series,llamadasdc potencias,co¡yergerieo gcnsral para todos los valores de ¡ dc un cie o intervalo, llamado ¡nterualode com)ergencia, y divergcn para todo oro valor de x exterior a €ste int€rvalo (véas€Capltulo l l para mayoresdetalles). Cuaridose hablc d€l teoremadc Taylor, se suponcque cl rcsto tiene la forma de Lagrangcsi oo s€ dice otra cosa.

62

CAP. 4

DERTVADAS

DFSAf,ROLLOS DE TAYLOR Hc aqui alSunosdesarrollos¡mportantes.El rcsto R, (20) o (21l. ¿'=

l.

,

s r' n¡

l+ :1:+ =

¡ -g!

¡"

2t

#. *o"

3l

¡..

xl

+

* Fl -7t+ ..

r g -r, = ' -f

34

(_l )i -r

¡r'-r

D

(Z;: ITT- + ¡t.

+ Clli$i +n"

c o s=c, -#. . f r-#* 4 . l n(1+') = ,- f+

puede obtenerse en cada caso mediante

... * (* l )' -tr" n

+R.

* t -+. . . . +t rf f i- +n"

p a ratodo.r' E n n,J1| : n" = 0 para -l < r S l . E n 5, Ji m R n:0 = ,x S l . En el CaDítulo ll sc estudiacon más det¿lleestosdesarrollos. En l-3, lim R " :0

-l

par a

RDGLAS DE L'IIOPITAL si lim /(.r) =Ay lim g(x)= By ambos.'{y rsor nuloso amt¡osson infinitos,se dicc que si bien tal terminodel tipo 0/0 o bien colo, respectivamente, ¡ir /Í"1 e, una forma i,tdetcnn¡nada ,-," g(xl puesen generalno hay ningunai¡¡deteminación.Los siguientesteore¡nas,llamalogia es inadecuada, dos ¡"8'r¿Jde L' Hópital, pemiten calcular talcs límites. t.

en el intervalo]a, ó[, exceptoer un punto xo de esteintervaSi/(¡) y g(.r) son diferenciables y si g'(.r) * 0 para ,x + ¡o, entonces lo pos¡blcmenle.

ri. g/if'2 u. /f'l = !-io (.rl

(23)

,-,, glrt

siempreque puedahallarseel segundolimite. En casode que/'(x) y g'(¡) satisfaganlas mismas condicionesque /(¡) y g(¡) el procesose puedereiterar. 2. Si lim" l.y) :

= co, vale también (23). y ,liT" 8(¡) Esto se pucde generalizara los casosen que ¡ --, @ o x + - co y a los en que xo : a o xo : b cuandosolo hay limitesunilaterales ¡+á-. talcscomo paÍa r+a+o Tambiénse puedencalcularlímitesde las formas¡¡d¿tetminadas 0' co, coo,0o, l' e a - co sustituyéndolospor limitesequivalentes a los que seanaplicableslas rcglasanteriores(Problemas33-36). A vecesel cálculode taleslimitcssefacilita por apl¡cacióndcl teoremade Taylor, como en los Prqblemas32 y 36. APLICACIONES l. M¡xinos y mfiimos f'(cn\ =

Supóngaseque en ¡ = ¡0, /(¡) satisfacelas condiciones f"(to)

para P natural (por lo ge¡cral p:

¡t2"-tr1¡¡

=

0

l). Entonces,

(.¡) /(-t) tiene un máximo ¡clativo en ¡ = ¡o si 12")(¡o) < 0 (ó) /(rú) tienc un mínimo relativo en ,t = -ro si /2't(¡o) > 0

v

f'!"(ro\ t O

(24)

G^r. al

DER,IVADAS

63

VeaseProblcma 39. En la pr¿ctica, para hallar los máximos y míoimos ¡elativos de;f(¡) se resuclvela ccuación/'(¡) : 0 pa¡a obtener los pr¡rror c¡ít¡lcorto y lucgo se ¡plic¿ (21) Gniñc¿menteresultala condiciónnecesaria/'(xo)= 0, pucsen un máximoo minimo ¡elativola t¿ngeote a J, = /(x) debe ser paralela al cjc x. Rrzó¡ de v¡¡i¡dór. Sepuedeinterp¡eta¡ dt/dr = Jf'(r) como la ¡azón de variación de ), =Jf(¡) con ¡espscto a r. Si /'(ro) > 0, entonces/ es cr€ci€nteen ¡ : xo; si /'(x6) < 0, cntonc4sJ, es dccrecicnte en .x = ¡o. Vdodd¡d y ¡ce¡er¡dóo. Si s es cl dcspbzamiento instantáneo dc una pa¡tícula a partir dc un puoto O sobrc una r€ctaen cl ticmpo ,, entodces¿r/d, essu oelocidadinúanáaca y d2s/dt2 es st aceleracióninstantánea en el tiemDo ,.

hoblem¡s reseltoc DETWADAS l. Sea l(r) ={},

t * t.

C¿lcularl'(2) conl¿ deñnición.

= ¡i^t@+hr-!(2t = F¡i(i+-t 712¡

= hi.t'h

= lg¡,-, = .

lvor¿r Aplic¡ndo rcgl¡s del cálculo alcmctrtal sc ticrrc

1s-"¡f,1s+"¡ - tB+4*@-'l (3 -rF

(3- rxl) - (3+rx-l) (8-t)'

6 (3-tI

cn todo putrto ¡ a¡ qüc.xúta l¡ dcriv¡d¿. Hacia¡do ¡ = 2 sc cúct¡atrtra.f(2) : 6. Si b¿'¡ rcgla¡ ¡cmcjantcssoD útilcs a rncnudo, hay quc ¡plicarl¡s con cuid¿do (véascProbLm¡ 5). 2. S€a l(r) =tEt-\. t'(5) =

Calcutsr t'(5)

flñ + ": ,l - flSl lim ""-' =

Por l¿s rcgl¡r dcl

lim

con la definición. \19+2h - 3 --

cs/'(') = ftfzr-tl','= cálcufo,

t(2'-lfnh@r-l)

=(2r-l)-'lt. Lü.so

/'(5 )=9 -!/.=*. 3.

Si /(x)

tienc derivada

en ¡ = xo, demostrarquc /(.x) cs continuaen x = ¡o. ¡(,^+ hl - l(..:) -

E¡tonces.

l("+ \-

Iin! /('c + ¡t) - t(¡.) = ¡gel+:j1!).lÍnf,

Í("1 . t,

h+o = ,'('o)'o

pucs/'(r) cxistcpor hipót.sis.Así quc = 0 sca t] = t(.r) lür! t(r.+ [] - t(r.) lrnl /(¡¡+ lo que muastr¡quc/(¡) cs continuscn ¡ - -vo.

= 0

g 4.

[cAP. 1

D E R IV A D A S

scn\k, r+0 l(r) _ [, t= o ' 10,

Se¡

¿Escontinua/(,t) en .r = 0? (ó) ¿Tienederivadaen -r = 0?

\a)

(a) Por el Problema22{á)del Capitulo 2, /(.t) es continuaen r = 0

= l**"i

= f:la'gF

= lse#

(ó)r'(o)- lnfllp

que no existc, de_ Estcejemplomuestraque una función.aun siendocontinuaen un pu¡to, no tiencnecesariamente cierta rivadacn esepunto,cs decir,que Ia recíprocadel teoremadcl Proble¡na3 no esne€esariamente Es posibleconstruirfuncioncscontinuasan todo punto dc un intervaloquc oo ticnc derivadaan ningún punto dcl mismo. (a2<e^1la * ''"' alO s. sea l(r) = ];. ;:ó

(a) ¿Esf(x) diferenciableen -to = 0? (ó) ¿Es/'(x) continua er¡ ¡ = 0?

(a)

/I0) = Irqe\lIa

= rin,r.seni= 0

= I'jlryo#H

en x = 0 y su valor es0' segúnel Problemat3. Capitulo2./(¡) tiene.pucs,derivada(esdifere¡ciable) (ó) Por las rcglas de dcrivación elementales,si -y + 0, ,1 / )/ r\

i'k) = á(¡,scar)

=

'(""lX-+)

1\

/

r\

= ¡'j:(s€n;)+('.";i;o,'r

* (*" j)r',r - -"o"|+ 2¡scnr

/ 1 r\ + 2¡sen:/) no €xistc(pucsliq cos l/¡ no existe)' /'(¡) no puede l':(-*"i scr cor¡tinuaen ¡ = 0 pesca quc existe/'(0). calculandolf'(x)y haciendoluego Estomuestraque ¡o sc puedccalcular/'(0)cn cstecasosimplcmente Solamente cuandola derivadaescor¡iru¿en un punlo ¡ = 0, como cs frecuc¡teen los cursosclcfncntales. de esteprocedimiento la respu€sta corracta.Da la cssualidadqu€ csto sucedepara la mayoía de las fi¡ncioncsquc sc prescntancn el cálculoalemental. corno liq/'(')

6.

=

Dar una definición con de la derivada de /(x) en .Y : -xo. /(¡) tienedcrivada/'(.¡¡) cn .:r= ro si, dado un c > 0, e¡iste un á > 0 ta¡ que

ltet+J@r_/,(r.)l<.

si o
DERIVADAS A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA 7. Seal-\'): I,yl. (¿) Calcularla derivadaa la derechade /(-r) en .r : 0. (ó) Calcularla derivadaa de (a), la izquierdade/(x) en r : 0. (c) ¿Tienefx) derivadaen x - 0? (d) Ilust¡ar lasconclusiones (ó) y (r) con un grafo. ( o)

= ll(o) =,üm ttht=^tto) puc s lÁl: hpar ah> O .

(ó)

it (0) =

E# 1l¡5llE = .'il,^ri--

pues rAr= -¡ pararr< 0.

J-_

=,tif, "ti1-#

=

I

= t

-* = -t "':+_

CAP, 4]

DERIVADAS

tc,

No. La der¡vadaen 0 no exist€si son distintaslas derivadasa la izquierday a la derecha.

ld't

El grafo se ve en la Figum adjunta 4-3. Nótese que las pendientesde las rectasy = x y y = -x son I y -1, rcspectivamente, y reprcsentan las derivadasa la derechay a la izquierda en x = 0. Pero la derivadaen ¡ = 0 üo existe.

ó5

& Demost¡arque /(¡) = x'z es difere¡ciableen 0 S x = 1. Seaxo un puntodel intervalo:0 < ¡o < I. Entonces,

i'(,0) = ri".4se.l-U-l(l4 = ll¡@lff

=

l,q(zr"+¡) = 2,o

En el extremox : 0.

¡itor=,lT,tl'glP

=

En el extremo¡ = l.

r(1) =

^'¡r-?

=

^rjT-T

^t:lLql+a

= ¡iüm ¡ = o =,lT-(2+ñ) = 2

en 0 S.r = l. Sepuedeescribir /(.r) es,pues,diferenciable /,(¡) = 2¡ p.ra rodo¡ de €steintervalo. Es costumbre = f'(0) y f,_(tl = l(l) en €srecaso. escribirJfi(o) 9. Halfar la ecuaciónde la tangentevy=x2 en el punto en que (¿) x= U3, (bl x=1. (a) Porel Problema8, = de la rangeote es "f'(¡o) 2¡0, de modoqulef'lt/3) = 2/3,conlo quela ecuación a - ¡\,t

= l,@o)(, - ,o:)

(r) Como en la pa¡te (¿), y - /(l) : /(lX¡

o

y-+ = i(r-* ), o s € ¡.y = i' -+ - l) o .y - I : 2(.x- l), es decir, ), = 2¡ _ t.

DIFERENCIALES 10. Si s = f(al = x"-6s, vtav

=

l@+!t\

hallar (¿) .!y, (bl dy, (c) ty-tty.

- /(¡)

= {(, + rr)! - 6(c + sr)} * {¡.-6,} =,! + g¡ r t , + g¡ ( t r ) ' + ( r ¡ ) ' _ 6 ¡ _ 6 t , _ r ! + = (Br'_6)-tr + g¡(-t¡)' + (lr)!

6,

lb) dy = wtte principal de Ly = l3x2 - 6) x : (3¡, - 6)dx, pues, por definición, A.x : drObsérveseque Jr'(¡) = 3i - 6 y dy = (3f - 6túc, o se , dr/dx _ 3¡, _ 6. Tengas€sicmprc pre_ sentc que dx y d/. no son n€cesariamentepequeños. (¿) Por (¿) y (bl, Lt - dl = 3x(6x12 + (A¡f = €Ar, donde e = 3¡A¡ + (A¡)2. Nóteseque é + 0 al render

i 0. esto es, O + 0. Luego A.v - dy es un infi ni1# "on ^¡ ^.jr tesimal de orden superior al de (ve¿seproblema g2). ^r dy y Ly wn aproximadamenteiguales. En caso de ser At pequeño, 11. Calcular ./75 aproximadament€ mediant€ difercnciales. Si es pequ€ño f(x + Lx,) - f(xl = /0r) Ár aproximadame¡te. ^¡ ^yj4T Sea /(¡) Ax - {x x !x- rtz 6, (do¡dc ! significa aprcrimadametúeigual al. - i&. Entonces,

l c A P.4

D E R IV A D A S

66

S\x =27 Y a, - -2. rc trenc = !1211-' 41-2J, csroes i /25-s = -2/27 i l n -r-W Lucgol/zs = s-2t21 sca.2926. = 25.05.o sca,quc la aproximación que(2.92ó)r asbaslante buena. Es inleresante obscrvar

REGLAS DE DERIVACION. DERTVACTONDE FIJNCIONES ESPECTALES tt¿.1

(tl\ 12. Demorrarla .fórñula # {/(¡) s

=

son orlerenctao¡es,

f(rl íisg)

que/ v I suponiendo

| s(rl ;iikr.

Por delinición.

o,",t =

!tn,, ch-

-

lim 4f!fIsgl3¡I-4¡JE! A¡ ,.

'

/(¡ + r¡) {s(' + a¡) - c(¡)} + ef¡) (/(' + a¡) - /(r))

*,i'ro:#]

- U",r{*.p}

= tut !ca\ + s@+^4 Ot o rÉtodo: - g(¡), o s€a,/(.x + Ay) = Sca u = /(¡), ,' = 8(¡). Enlonccs,Lu = Í(x + - /(,r) y Á¡, = g(¡ + ^¡) ^¡) 1t+ Ar¿,glr+^"1 =r,+Ai'. Asi.pues ¿ .. {l¡ + at Xl, + au) - l¡r, = ,. ulu et üü - r'ñ- ----- A'^'.'3. . / t 4 ro , \ = = *,9r + "*+ ^, ^x / ^!T'('a'

+ üAü + a¿ao

a,

" 4du

y, por tanto,continua. puesÁu+ 0 conA,r; I y¡ q¡¡¿lJsesupone dif€renciabte f3. Si ) : ciables. ^¡.¡).

¡Ly. tlu suponiendoque y C son diferencon ¡.¡= g{.\l. demostrarQue = "/ ilu d,r ,41

respectivamcn_ Si a ,r s€ da un incrcme¡lo A.r + 0. ¡,¿y y sc incrcmentan en cons€cüenciacn &¡ y ^). te, sicndo (,) tI¿ = s(, + - t(r\ óy = l('.+a¡) - /(ir), ^'l quc p¿r¿A¿+ 0, Ay + 0 Y A&, 0. Obsérvcse Si ar ' ¿0, es c r ibie n d o.

=

:i-fi

s e t i e n e u u e -eo c o n A r ¡ - 0 y

(t)

.rz - 9ru -.¡u

= 0 para valoresde para estosvaloresdc Ar. Entoncesse deSi la (,t) muestraquc - 0 f inec =^¡ 0. ^r. ^r Sededuc equeenam bo s c e s J s . ^ ¡ +0 o b i e n A ¡ ¡ : 0 . s e v e r i f i c a ( 2 ) . D i v i d ¡ e n d o ( 2 ) p o r A . ( +0 yto m a ¡ do el limite cuandoA\ +0, sc tienc ¿t\t = -= .tt

.. al, ¡ tm : a¡-o A¡

dudx = = +

I

-

¡"\ .. /¿u ¡" ||mt-= +.-l ó¡-o\(fi¡ A¡ ^x,/ du du dL

.A r¡ = du ,r, ' J]T"ó, *

..

..

A¿

' ¡; "'lT"' llT.

c^r_ 1l

ta

DERIVADAS

Dadas ${r"nr)

=

v

"os,

= -scnr, ha ar tasfórmutas

fi@osxl

@l*(rc¡) = sec'r,(ó)#t."n-,t= #r".

r"r#rre, = á(#)

- scnt t"orr) "* " $ t*n"l $

=

(co8rxcos r) - (senr)(- senr)

I

;;;

cos" (ü)

Si r' = ¡cn-¡ ¡. es ¡ = scn J,, Derivanoo con rcspcc¡o ¡ ¡..

t =

"*"*

*=

"

i= y -_ cos=

I

Vf _ *",/

,/T=¡

Seh¿supuesto aquíquecl valorp¡incipal_n/2 S sen-r x S ,r¿, sccl¡gcdc modoquccosy po, sa¿r sitivo y ast podcrecribir cos¡ en vezdc cosy = i./a:E . -.r/i -!fi fl

obtenerla fórmula fl,$os,o¡ ble de x-

=

@'>0, a*tl,siendo

Y*

y = ll'll = loa.& Considércse

¡¿una funcióndiferencia-

por deñnición.

t¡. llu+^fl -

¡i- toa.(¿+at) - los.r¿

aü - =::',i;'--^*:'; lF.#.*(+4u) = ]lL 1.".('* f)"""

4

=

=

^rl

Como cl logaritmo cs funQión continu¡, csto se puedc escribi¡

i"o{^u..(' ( A' r 0\ por cf Problcms 19, Capítulo 3, co¡ x: E¡ton@s,por el p¡obl€ms tf, ló.

Calcular dyldx si (a) xyt -3x2:

ú/

-+)'^

} = !rog., tr -

J

u/Lu. *3{toarr)

=

t-

,##

xy * 5, (ó) e¡'+ylnr:cos2x.

(¿) Dcrivando con respocto¡ ¡ con función-de¡ (sr dice c¡lonccs quc / esJi¿¡ciór impll¿ita¿b x, p|¡eatrc *. / pucdc dcspcj¡r ¡ cn funció¡ da ,] sc ticnc

¿) + (yl(r)-6¡ = (¡Xu,)+Q/Xr)+o *gt'u'l - f ta,,l = f f,ut +*g{a) o r,"n (¡Xsl/'¡./,) dondcy'=.¡yld¡. D€spe.,ando, !j,,= (6r - y'+ ltllgrrr_,r. (ó)

¿- G.) + É(yln¡)

Dcspcjando. f7.

=

d¡

(cos2,), ca(ty'+vl +!+

u, = -2,\3+;viT

qtnx¡¡' = _Z *nzx.

+u

Si I = cosh (r, - 3, + l), hallar (al dylttx, (t¡\ dlUlib¿. lo) Se¡ / = coahx, con tr = ,¡-g¡+1. Lücgo dul(tu = *nhu, ilulili = Zr_g, da = dy . d( = (s.nh rrx2, _ g) = (2, _ 3) scnh(r¡ _ g, + l) cr, dt¿ tt¡

y

@# = *(#) = *G""#) = .n¡"#* = tstnhÍX2) + (cosh¿X2r-g)r = 2renh(rr-gr+t) -"r,"(ff)' + (2, _ g)' colh (r¡ _ g, + 1)

68

D E R IV A D A S

l c A P .4

18. Si .r2.r, + ¡3 = 2, hallar (a) y', (b) f" en el punto t, l). (¿) Dcrivando con resp€cto a x, xly' + 2xy+ 3f2l - O y

, ' = # = - j. n 1 r , r t ¿ ¿/- Z x u \ t¿) ," = + (r') = +{ -; ._rt

=

_ (r'+ 3!1ll2ty'+2u)- Qru)Qr+ 6uu', (¡' + 3¡/')' Su s ti tu y c nr= d o7 , U = 7 y U ' = -)r, sc tien€ )," = -i,

""\_

)

TEOREMAS DEL VALOR MEDIO 19. Demostrarcl teoremade Rolle. C|so l /(.y) = 0en [¿. b]. Luego/'(¡) : 0paratodo ¡dela, ó[. C¡so 2: ¡¡) + 0 en [a, ó]. Como Í¡) escontinua,hay püntosen que /(:\-)alcanzasu máximoy su minimo.que (P.oblema14, Capítulo2). s€ llamaránM y n, respectivamente Coño /(¡) * 0, al rüenosuno de los M, ,n no escero. (Fig. 4-4), entonces Si, por ejemplo,M + O y .s Ill) - M l(", f t É, + hl= lt q, ' , .

si r,> o. tu"so4!$IJ(0

=o r

trt .r- Í!{::JQ + [Isi tr.< o, lucgot(t

ret

=o

t(t) > o v

lG$:Jfi ^ri"_

=o

Fi8.l.l

Pero,por hipótesis.]l"(n)ticÍc derivadaen todo punto de ]¿, át. Luegola derivada¿ Ia de¡echa(.¡) debe scr iguala ¡a derivadaa la izquierda(2). lo cual so¡opuedesucedersi son ambascero,en cuyocaso/'(O = 0 corno sc afirmabacn el teorema, Un razonamientoparecidovale püa M :0

20.

y n + O. (¿) Demostrar el teorema del valor medio. (ó) Dar una interpretación geométrica de este teorema. k¡) Dcfinarc FtÍt

- /(d) - r' - ")4!l:lG). ^rt = Enlonces,F(4) 0 Y F(ú) = 0. Además,si /{¡) satisfacelas condicionesde continuidady diferenciabilidad del teorernade Rolle, Fl,r) las satisfacetambién. ADlicandoenloncesel teoremadc Rollc a la función F(.Y)' F' k )

-

/'({)

=

o , ¿
y ¡ ¡ = Nf p ,

(bl SeaACR en ¡a Fig. 4-5 el grafo de ]r(n). Ceométrica, mente,hay un punto 4 ertre, y á en el que la tangente a fa curva en C es paralelaa la cterda AB. Pendienlede ¡a langenre= / (C). ,'\t Pendrente de lz c|,erdaAR Luego( es ral que /'(a) -

Ital

h.

Es interesante obs€rvarque la funciónF(r) en (¿) reprcs€ntala d¡ferenciade las ordenadasde Ia curva ACB y de la cuerda,,18en cada punlo r de ]a, ó[.

.¡

1-t___

nh' - Itul

Fis.t-5

"<¿
cr?- .l L

ó9

DERIVADAS

Comprobar el teorcma del valor medio para /(¡)

= 2x2 - 7x + lO, a = 2, b:

5,

f(21 =4 ,f(51 : 25, f { É) : 41- T. Elt c or c m adc lv elo r m . d i o d i c c q u c 4 ( - 7 =( 2 5 - 4 V 1 5 - 2 1 , o sco, ( - 3,5 y como 2 < { < 5, queda comprobado cl tcorcña.

z

Si /'(x) = 6 en todo punto del intervalo ]a, ó[, dernostrar que Í¡)

es constaote er el intervalo.

Scan l, < x2 dos puntos de ]¿, ó[. Por cl Gorcm¿ dcl valor mcdio, co¡t ¡r < ( < ¡2, /(r, _ t(¡,)

=

l.(t)

=

o

Asl que /(rr) = /(xr) - coÍstant€. De lo quc sc deducqquc ai dos funcioncsl¡cnanl¿ mismadc¡ivada cú todo punto de ]¿,ó[ l¡s funcio¡esdifierenen una cot¡stanL.

¡3. Si /'(¡) > 0 en todo punto del intervalo ]a, ó[, demostrarque /(x) es estrictamente creciente. Scanxr < ¡2 dospuntosde ]¿,r[. Por el tco¡emadcl valormcdio,conxr < 6 < 12,

l !# =r'($ >o L\tegof(x?l > f(xrl para -r2 > -xr y /(¡) cs estrictamcnt€ cr.ci.nt..

u.

que i# ktl Demostrar

a ,r-'ü - tg-¡ n

(á) M o str arque

t**.

(a) ScaÍr)

= tg- I ¡. Como /(¡)

,e-'á.

b-a - l + cl

si a<ü,

i*á.

: U0 + xzly f'(<) por cl tcorrma del valor r¡redio - l/(l + a'¡), sc tic¡rc

r8 -'ü ,: j g ''

=

o< ü

+

Pu cstoq ue g> o,1/ ( 1+ €1)< r / ( 1+ a' ) . Conr o t <0 , r / ( 1 +S ') > i / ( 1 +ü : ) . t g - , ü - r B - 'o 1 r <_ - - - - ¡ - d \_ i-7 t ! ó:

Ent(rnccs.

y multiplicandopor ó - ¿ se tiene e¡ resultado. (¿) Scanó =4/3ya:

*.

l enel resultado de l¡ parta(a). Enronccs, comotg-'l

,r-'i- '*'r. á

o

; +2 s - :

= r/4, se ricne

á. i* *

< tg-¡

25. Demostrar el teorema generalizado del valor m€dio de Cauchy. Cor¡sidércscCkl : f(rl - f(ol - a{g(¡) - g(a)}, con d co¡¡st¡ntc. Entonccs,C(i) satisfac¡ las condicionesdel tcoremade Ro¡le, í /(.x) y g(¡) satisfacenlas condicioncsde contin[idad y difercnciabilidaddel tcorcma de Roffc y si c(at = c(bl - o.l-ar dos úhimascondicioncss. cumplcn.i Aplicardo el teorcma de Roll€, G'(O = 0 pa¡a a < ( < ó, sc ticnc

/'(s) - os'(*) = o como !a afirm¡b¡.

"

¿10 = /(ó)-,f(a) ,'(t) clb')- cla)'

= 4,!.)--l!g¡. c(bt - cla\

a
70

lcAP. 4

DERIVADAS

TEOREMA DE TAYLOR = 1' 2ó. Demostrarel teoremade Taylor con r€sto de Lagrangepara el caso n Hay que deúostrar que . / t r ¡ r+ t ( n ) ( ¿ , - n ) - t l ! ) $ -

/ ( b) =

¿
o'

Seala función /J(¡)

(e')

/(r) - /(¡) - /'(.r) (ó -.I) - (ó - ¡)',{

=

donde ,l cs una cons(antcindeterminada.Íf(¡) resultajustificada si se remPlsz¿¿ Por ¡ en (r) y sc pas¡¡ntodos los t¿rminos ¡l scgundo micl¡bro. Pot (21, Hlb'l = 0. Para tcner I/(a) = 0 hay que tomar .

/(ó)

-

/(o)

"_-- _.- - o- "f-

-

(r)

/'(o)(ó-d)

Suponi€ndoque /(¡) y /(¡) satisfaccnlas condicioncsde continuidad y difcrcnciabilidad dcl teorema de lueSohsy un valor ( cntrc ¿ y ó tsl que }¡'({) = 0. dichascondiciones; Rolte,ertonces/{¡) tambiénsatisface Por (2), H'(x) = -l'tx)(b - xl+2(b- xV y H'Gl= -f'f(l(b - tl + 2lb - CV = o Fn A= Í"G,'r?'! Porq!rc E + ó.) Sustituyendoestevalor de ,l en (J) y d€spejeudo/(r) s. tiene cl resultado(r). par¡ ¡ > l. Por parccido r¿zon¡l¡ie¡¡to se llega a Senerali¿acioncs 27.

(a) Dcmostrar que s c n. t

=

seno + (cosa)(r-o)

-

(seno)-(J-o)¿

-

( c o s É X {- ¿ ) 3

c o¡ < €nt r e4y ¡ . estimar cl er¡or com€tido. (ó) Utilizar la parte (¿) para calcular sensl'y = = = (a) CoD/(¡) scn¡ es/'(r) cos¿ /"(¡) - scn¡, /"'(¡) = -cós x, asi que Jf(¿) = sena, /'(a) = cos ¿r, f"(al - -*n a, f"(él = -cos é. Sustituycndo entoncrs en la fórmula de Taylo¡ con ¡ = 2, es decir,

t-:A{1_r)'

t(¡) =,(¿) + /(o)(.r-')* t9#* cbn a cntre a y¡ sc ti€ne el rcsuhado. (á) Sean¡=

5l'-

5l¡l180 radianesy ¿-

45" = 45rr/l80 radiancs,con lo quc ¡-

¿:

n/10 radi¡ncs.

D. donde por la p¿rtc (¿), por s€r sen 45" = @s 45" = \,f2/2,

sen5Io =

.t; ,6/ =\ _ i¡'fztz[rnor _ (corr)("/so)' * 3l zt ¿-rsoz f

.* = l - {cosf)(;/30)!l . l-'*"ái'"'*'l

El r kr ¡ n b r r lu r o d'l crr(t

. n.nn' "1107 r /'

\'

Con lo que la suma de los tres prim€ros ¡érmiDos,0,777, ticn€ 3 dccimalescractos. Si s€ quiere Dayor exactitud hay que tornar más términos dc la fónhula de Taylor.

28. ( a) Dem os t r ar que ?¡ = I + x + x 2 / 2 1 +. r . / 3 ! +. . . . (ó) Demostrar que ¿, es irracional. (¿) s€a/(¡) = ¿. L¿s d€rivadasdc /(¡) sotr.nto¡rcrstodasitual6 a ¿'. si ¿:0,cs/(0):/'(0) lo que cl teorcmade T¿ylor qüede /d(0) = ¿o = I y,¡".'\i) - l, con

- "'=

(r) c on( enlr e0y x .

r.L

i

DERIVADAS

caP. 1l Sé aR"-

¡¡r¡.\,''

- ?. . tn + tt:

Si. ( > 0,

lR, l . ; :

7I p r o b . 3 0 .C a p . l ) y t i 'n l & l =0 t v é a s €

t ¿ i^¿r , :

tJ'+ | y lif n lR. l = 0, p o r t a d t o .s i x = 0 , l ^ . l Si.y<0, lR"l < * , -0y u, + r r: r-@ Dc ñrodo que para lodo ,x, o saa.para -'o

l i m I n , l =0 .

< r < cc, lim ll.l =0 y sc puedeescribir

€¡ = I + x + x 2 / 2 t+ x t l 3 t +. . .

t2l

cs deci¡, Ia s€rie converga para lodo Jr. (ó) Según(r), hacicndo¡ = I y suponiendo e racionalc iguala la fracciónirreduciblep/q, sicndo/ y gcÍtaros Dositivos.se tiene

"

=

i

= ¡Ír_

llt.f

;!-{,1+lT.i

(r)

0< g< l

EliSiendon > I y mültiplicandoámbosmiembrosde (/) por t!

n ' tc = n tL = r!+ ' i !

(r)

-¡ 1a-* 9L

+| i + ;+ ...

Peroet/\n + 1) es un númcrocntre0 y l, €n tanto qü€ todoslos olros lérminosda (l) son entcrospositipuas,quc. es.racional, se¡legaa la contradicciónde que hay un €ntero¡8uala un númevos.Suponiendo, fo que Ío es entero,y, pof tinto, ? cs iffacional.

REGLA DE L'HOPITAL 29. Demostrar la regla de L'Hópital para el caso de las
¡¡)=/(r)-/('.)=11(.) cQ\

De donde

lim ¿+ .-,¡+ g\,, pt¡e\coll r + ro+, lr ¡o+.

,(¡) - s(zo)

¡ o
c'({)

= ¡t.ffi = .Ir¡,1",@ - '

cl r€sultadopara ¡--¡o-, Con una modincacióndel procedimi€ntoanterior puedeestablcccrse ¡+¡o,

¡r@i

xr

-cD.

(á) S€ suponeque /(¡) y s(¡) so¡ difcrcnciables en ¿ < ¡ < á, y que,lrj:r+ /(¡) =

"o,,li*_

g('):

"o

con

Si ¡r es tal quc a < ¡o < ¡ < ¡r < ó, por el teorcma gencralizadodcl valor madio de Cauchy,

tlÉ\_ l(r,\ s@l- cl'l

Da donde

-

= t,k\ c'lt')

l (s \,t- l l t' l tl l al s(tl 1 - t(r,)ls(rl

¡lr'l =

c@, SufDnierdoahor¿quc

li*

,- ,r .

44= ¿

g \tl

t
e'(t)

l'(¿\ .r - slr'\lslr, s'kl

t-

Í('lU@')

(r)

y c s c r i b i . n dtor ) . n l a f o r m a

. "(\=ffi) H =ee-4(1=f*ffi)

(r)

72

DERTVADAS

[cAp

Se pu€deromar ¡r tan cercanoa xo que l/'(C)/g'(O - ¿l < €. Ma¡¡enieridoxr fijo, s€ ve que

= t

.IT.(#f)

pues,rim+/(¡) =d

v rimtG)=€

Tomando entoncesel límite para ¡ + xo+ en ambos miembros de (2) s€ ve que, como se ¿firmaba,

= ¿ r¡n,t(/1{l t,

ri', 491 t (¡l

.- '0.

'- 'o-

Con modificacionesapropiadas este procedimiento establecetambién el resultado si x ¡+

@, ¡ +

- @.

a2' - 1

'. tt¡ L:*,ffi,

todoslos cuales¡ienenla (forma indeterminada" 0/0

-,

.. 2." ',tI" 1

(") (ü)

-

¡o,

= '

.. -rsenrr ,:i 2r-2

' ' : iz ¡ - 2x + l

xo-, r

ln cos3r '"' ,'iiii ln cos2r'

1 +c o s . ¡

(') l,1x 30.carcufar

-

.. -otcosz¡ ;-i 2

Nr¡o i Aquí seaplica dos vecesIa reglade L'Hopital, ya que la primera aplicaciónda todar,/íalo dorma indet€fmiriadaD0/0 y las condiciories pára la regla de L'Hópital se siguen cuñpliendo, . r' c,

ln co sS, .. lr m r - o + -In co a z,

(- 3 \en 3Í)/i cos 3r) -lr. m ¡ + o + -(-ZsenZt)/(cosZr)

=

=

:ena¡\

/ ..

/ ..

.. 3 senS ¡ coszt ¡-0+ Z \enzt cosi Jt

3 cos2¿\

[,1f- s""E/'\,'.:T. , co"s., /s\ /a\ e \ 2. /

=

3 cos3'\

/ ..

/3\

\,t]T. t corr,/'\t/

4

\2 )

Obsérvesequg €n €l cuaño paso s€ha aprovechadoun teoreúa sobrelímites para simplifrcar los cálculos qu€ siguen. a- 2

^ tR p¡ titn*==;fr!, 3t. Calcular

l-

(ó)Iim¡k-', ("1 ,rjiiiffi,

r o2¡

todoslos cualestienenla (forma ¡nde¡erminadar .c/.o o sepuedenarreglarde modo que ¡a tengan. .. 6 3 = ]h ro, re- = lg m = u"

1o¡r'' ffii

(D )r;mz'e -'= ri *{ (c)

f.

= t' l?

fn tg 2¡

i. .'.1T.

's

32. catcutartirn ¡-0

,. 12 Éec,2r)/t s" - ,.1T,is *"t$t¡E

= l*,' 3 = o rE 2r)

2 sec,2r tg 3¡

,. 3') - ,¡lT.¿seAB. 'e-t

=(.rr-H::#X.'rr.+:+) =(3Xl:r.9*#) ='

tt11 -,=t9 -]t c' In ( l l- r )

Si bien la reglade L'Hópital es aplicableen estecaso,su €mpleose va volviendomásy máscomplicado. Peropor el teoremade Taylor,el limite seobtienerápiday fácilm€nte. (pá8ina62) Sehac€usode los resultados -=r

J:

ú-

- +- , Oj

r-a '¡

- . ! - ? 'A t ', 3

l n ( l +¡ )

= r - ++R r ' 2

73

DER¡VADAS

Gl?. .l EI líñitc busc¿does entoncas

rrl91+ P¡') - (r -,r/l+

(¡

,,_ .:!!, ----|-.ETE-

¡I

=r1'¡ffr$ =¡

Q¡')

Calcular lim ¡'ln r. tn,

= ,ltr. .i = o

= l¡ln .-.+ ttuEste lír¡itc ticnc la dorma irdcterñined¡D 0' cD.En el scgundopaso se ahera la fonna p¿ra quc tomc la dc ó/cD y s€ puedaaplicar la ..81a de L'Hópil.al. =

li¡r r'ln¡

,lt #.'

3a Av€riguarlim (cosx)r/".

:.o Como lim cos ¡ = I y liñ llx2 - @, el límitc toma la dofm¡ indeterminada,t'. ¡-O Sca F(¡) = (cos ¡)r/'r. Entonccs, In f(.t) - (ln cos r)y'1, al quc sc pucdc aplicar la rc8l. d. L'Hópiral. Sc tien. tirn lllglg

.-o

=

tim

tr

(-5.n 3)/(co¡ ') Zt

=

=

Iim =-s€nt

z- ozt

c or ,

lttn .- n

=

-"o1r=

- Z I s et) l a +

Z c Oa,

=

-1Z

Asl quc lim ln F(¡) = -,. Pcrocomocl logaritmoesfuncióncontinua,lim ln ¡(¡) = In (lim F(x)). LucSo = -l

ln(linlFcD

35.

os.aqu.

Itn

rt"l

= l\(cosz)tr"

= ¿-ta

= (d, -

y (D) Iim r'(r). hallar (o) lim f(r) 'rlth, Las for¡nas indctcrminád¿san (¿) y (ó) son, rcspcctivarncnta,cDoy I'.

Si f(r)

ln l.¡t - 6r\ Sea C(¡) = l¡ F(t, = '::-!:------:2. Enlonces,lim Glx) y li|n 6(¡) toman las formesindclcrminadas co/co y 0/0, rcsp€ctiv¿mcnlc,y sr aplica la reSla de L'Hópital. S€ tieDe cntooces

= ¡nil,,-rgj-= .'jni$ = t k) .n-b(?.!s) = J::i"--6,!L! =

Asi que comocn cl Problcma14. lim (e! - 6.r't'

tu IiaE$;-{4 /

=

= -¿

IgH

t

y

c''

= €{ rirq(¿&-5')'/'

t\

3ó. Calcularlinl(sep; - ;ir. s€ ve quc cs ap¡icablcla Est€limite ioma la form. cc - .o. Escribicndo.tti.itc co.o 1,1 fip|, posibles. métodos latrorioso. Hay dos rcgla d. L'Hópital, Fro cllo acsult¿muy M¿{odo l:

El limitc sc pud. cscribir d \ _ . . _ ¡ '- r c n 'z .rim . /x'-sc¡,}/ = \-,. A\ñr; ) ':\__7_

-irnu¿s - - - ;lin -; senr,

=

¿

\t

¡f liñ--i-\ \::¡ se na /

=

1.

Por aplicaciones succsivasde la regla de L'HóPital

74

lcAP. 4

DERIVADAS

='lx?#=yx#

tg

= M¿.todo2:

lir

2-'

2 .n 2t

=

-El-

4 *nzu

-.

i\

21"

=

8 co¡ 2!t

-.

l'll

%

=g I

Por el tcorcma dc Taylor,

r.- ,r - scn', = ri- ts_:_!¿:4&l&])i

l'lii

ilJi

¡f sc¡¡¡

r'(r - x'/61Pr'l'

,. ,'13 + términoscn .\'ov suDea¡orcs .-o r'+ teíhrnoscn.r' y supeflorcs ,. l/3 + términosen r'z y superiores;;a 1+ en .r' y supcnores términos

I 3

PROBI,EMAS VARIOS y y = CU't son difetenciables dos veces,hallar (a'¡ tlyldx, (b) dzyldx2. 37. Si ¡ = "f(t) (a) Denotár¡do con tildeslas dedvedascon rcsp€ctoa ¿ s€ tienc

"# = y# = ffi (D)

;jí

=

d /d t\ dx - t= \dt -, /

|

¿ (ft)\ dt\i6)

=

[ s'lr)l"(t\ - Í'(tts"(t\\

c'(¿)[

3t. sea/(a) =

=

d / ¡'(¿t\ dr\g l.)/ -l -,

{i:'''

[r'(r)]'

J

=

sir'(')+o d /r'c)\ ;¡\gro-.i _ s'(a')

s'(tl f'(l\_;-!'(tl s"(.\

si ,,(r) ,. 0

que(o)l'(o)= o, (b)l-(0)= o. I1l . o"'o*,",

(.') ,i(0) = .ti*.#

= .l.lT,t"';-o = .tS,#

Si á - l/¡/, por Ie rcgl¿ dc L'Hópi¡al sc tierc li¡¡ ¿c-"'

=

lim ¿/.¡'

=

lim 1/2ü.'t

=

0

AnáloSamentc, 0- y u r co por ü + -@, sÉhalla/(0) = 0. Así, pues, c¡rnbiando¡ r 0+ por, I'rP, = l'-(ol - o, y asi /'(0) : o.

(ü)rí(0)=

"'i*aD#

= .'j*"-""'?-'-o = .rif,# = Fg$ = o

por ap¡icacionas sucesiva¡ de dicharegla. Análogamcotc, É(0) = 0 y .rito¡¡ccs/"(0) - 0. En gcnera¡, /',(0) = 0 parar - l, 2, 3,. . . (ProbleñaE9). 39. Sea¡¡) taf que/rv)(x) existcon a S ¡ S, y sugingaseqtef'(x) = f"(x) = /"'(xo) : Q6e¡ a < xs < b. Demost¡arque/(¡) tiene máximo o minimo telativo en xo segúnque/rv)(xo) < 0 o ,f lu'(¡o) rel="nofollow"> 0 respectivamente. Por cl ¡corcma dc Taylor, si { está entre xo y x,

caP.4l

DERTVADAS

75

* re#=d*

t@,= ¡t'.1+ l'l..\('-,ot * rcP

rydÍ¡-eü

= t(r,,)+ry p¡ra todo¡ €n un .ntorno , dexo !c ti€rie/(¡) ¿ /(¡o), dc ñodo quc/(¡) ticne Si /N)(¡o) > 0, cntonces un mirirno rclativoen ¡ = ,yo.An¿logamentc, si /v)(xo) < 0, cntonccsp¡r¡ todo ¡ cn un cntomo, da¡o se ti.¡c f(x) 3 I6ot, de modo quc /(¡) ticne un máximorcl¡tivo ct ¡ : ¡o. ¡'

¿Cuál es la longitud de la escaleramás grande que se puedepasar por la csquina de un coÍ€dor (dimensioncsen la ñgura adjunta) llevándolaparalelamenteal piso? Er la Fig. ,f6 ls longitudde la esc¡lcra/,

es

L= awq+ bc o! r { - 9 ¿ cs máximo cuando = a s, 0 tg 0 - á coscc0cot 0 0 ¿sen¡ 0= ác os ! 0 o t ¿0- W

dllú o sea, sl

-

LuaSo

5 6 O==

con loq ue

.E¡¡lp-' or lr

'

COSeCd=- ó,/!

¿:¿ s c c 0+ ác os ec 0

= lp2¡ t+ b2¡ r f t 2

Gcom¿tricamente,ca cüdcntc que ésta cs la máxima longitud, Fro s. pucdcdeúostrar analític¡mentequed2¿/d02pano:4't tr16i" cs nc8¡tiva (Probldná 88).

ns.a¡

Problem¡s propü€stoc

:?

DERWADAS 41. Medi¡ntcl¡ de6nición,cslcularlas derivadasde las funcionessiguienGs en €l pur¡toquaseindica: (o)(Sr-1rt(2a+gr,t=li (b, .'-3r'+2r-6, sot. l.l r 26, (ü) 2, (o) l, (¿) *

r=2;

lc\ G, t=4;

@ W=7,

x=Z'

¿iL *^ t@'t = ¡:0,

= 11!. o"-o.t.". 1o¡qu€/(¡) cs@ntinuacn ¡ 0, (ó)quc/(¡) ticncd.¡iv¡ds.n {;'*"V'' (d)que/'(¡) .s continua e¡t¡:0.

{g. sca t(r) =

{í:'-'

í!f

. n*n*.

!i /(¡) (¿)€scontinuscn ¡:

o, (ó) ricncdcrivsdaco ¡ = 0.

So¿ (¿) Sl; (á) Sl, 0 tl4

Dar otra dernost¡acióndcl tcorema del Problaúa 3, página 63, ñ€diant€ (dcfnicion€s ., áD.

¡15

Si /(¡) - r¡, moskar quc. /'(.ro) (¿ - lyá = l. - ¿& dcf,cndc del rcsultado l¡rl

¡16. Mcdientc los .esultadoslim (scniy¡ = I, liq (l - cosr)/, : 0, dcmosrrarqu. si J,'(¡) : srn ¡. /(¡o)

= co'. ¡o.

[cAP. 4

DERIVADAS

DEnrv¡rlAs

A L/r DEnEo¡A

y a l,A ¡ZQU|EnDA

47. ua ftt = ¡l¡1. (¿)C.alcular¡a dcrivadaa la derechade /(¡) en ¡ = 0. (ó) Calcularla derivedad€ /(¡) a la izqu¡c¡dacr ¡ : 0. (c) ¿Tiene/(i) dcrivadacn ¡ = 0? (d) llustrar la conclusióncr¡ (¿), (á) y (c) con uri grafo. Sol. (at 0i (ó) 0; (.) Sí. 0 /f8. Estudia¡la (d) continuidady (á) dif€renciabilidad de f(x) - x, sen l/.r.,/(0): sitivo. ¿Quéocu¡re si p es un númrro real cualquiera?

4.

( 1)r

-a s€¿i(") = j;;-3-'

^<-<.

;:;:;.

0, sicndop un núúcro po-

y (¿)diferenciabilidad la (a)continuidad deÍ¡)en 0 = xS4. Estudier

50. Demost¡a.qu. la derivadadc Jr(¡) co ¡:

¡o existesi, y solo si, /l.(-yo): ]fl(.xo).

(¿) Hallar 51. (¿) Demostrarque /(¡) = x3 - x' + 5t - ó es dife.enciable €n ¿ = .r = ó con ¿ y ¿ coDstantes.

ec uac ionc s de¡ as t angeni e s a l a c u ¡ v a ) , =. t r - ¡ i +5 ¡ - 6 e n ¡ : 0 y ¡ - 1 . I l u s t r acr o n u n g I a f o .( c )D cteffiir¡ar cf punto de interseccióo d. las tangentes en (b). (dl H^ll^r f'lx), f"(xl,I"'lx), /t\,lx'), ...y= 6¡ - 7; (c) (1, -1); (d) 3xz - 2x + 5, 6¡ - 2, ó, 0, 0, 0, . . . Sol. lb) y=5x-6,

Explicarclaramentela difcre¡cia cntr€ (¿)/l(ro) y I'ko+),

(bl I'-lxol y l60-

t.

53. Si /(¡) - ¡':|¡|, cstudia¡ la cústcnci¿ dc derivadas succ¡ivasdc /(¡) cn ¡ = 0.

DlrF¡¡NCIAIF¡; 9.

Si y = llr, = e+11', hallar (d) ar, (b, dv, lcr 6y-d],,

(q (Lu - du\|Á,,, (e, dyld...

s{,/. (a}A'-;efu, or(' - i),, n ¿5,@,v#6,e¡r-

u-ax. !. nora:

Si Ír) = ¡¿ + 3¡, halla¡ (a) Ly, (bJdy, (c\ Lr/Lx, \dl dyldx y Gl ( r - dy)l|x, si r = I y Aj - O,Ol. so¿ (¿) 0,0s01, (ó) 0,05, (¿) 5,01, (d) 5, (€) 0,01 56. Mediantc difer€nciales,calcular válorcs aDroximadosde (a) scn31",(ó) h (r,12),(c) 136-. So¿. (¿) 0,515, (bl 0,12, (cl 2,0125 f7.

Si ¡ = sen ¡, calcular la) Lr, lbl dy. (c) Demostrar que (A/ - ¿/)/ -x J 0 coD ^¡

-

0.

REGLAS DE DERIVACION Y FUNCIONES ESPECIALES

st. Demosrrar b) *Uk) + e(¡)) = firc

,*{ #} = ¿¿

6l). Deducirl¿sfórmulas:

rgh* = s""h'" g

61. Calcular kl ft resprincipales.

d.. drctt),

s("\ l'(,) - tlrl s'(E\ , s(r)+0. Íc¡ll'

59. Calcular(a) (r¡ In (¡t - 2¡ + 5)) en¡=1, ; soi. (a)3 ln a, (b)iVT

C) $

$t #uk) - s(xD = ftrct -

+ ftoO,

(ó) {scnl(B' + en'=0. ; "/6)}

@)1"" = o"n" ft, a> 0,a*1,

.- .

(D'

d ¿t ¡¡= cos€cu cot u a;cosec Ei

siendo ¡/ fuÍcióndiferenciable de ^.

q.-'", 1a¡ $cosec-rx.1c¡$**-'",

et usodcvaro@t Ld'cothar, arcndicndo

cAP. 4l

DER¡VADAS

77

62. Si y = .r', calcular dr/¿t. [Sutcrencia: Tomar logarit¡nos ¿ntcs de dcriva¡.]

/ ,., (tía *'-.t_z)vu","

ó3. Si y = {ln (3r + 2)}'* -'a' * o hallar¿t'ld\-€n.\.= 0. '',

Si /.: fr), conu=s(o) y 0- á(r),demos!¡ar *r# ¡endaDles.

Sor. ¡'(l + ln x).

=

qucls y i sondifcsuponicndo

H..#''#

Calcula¡ (¿) dyldx y lbl dzyldxz si xy - lny = l. Sol. (al tll(l - ry), (b) l3t' - 2lV0 - r/)3 sicmFe quc .x),+ I 6.

Si ), = tg ¡, demostúr que y"' = 2(l + y'zl(l + 3t'1.

67. Si ¡:

sec r y.y - tg t, calcul¡r la')dyldx, lb) d'zyldx'1,(cl dty/dxt, en t - n/4.

sot. lotJl, 6t.

Qt -r, (c\ 3J2

4t D.moslrar ou. ' IE

=

-gz/( dry

!-'" precisandolas condicionesde validez \;; ) '

69. EstAble@rlss fórmulas(¿) 7, (ó) l8 y (cl27 de la Égina 60. TDOnXM S DE VAITOR MEDIO 70. Seafl.r) = I - (.x - I F/¡, 0 ! x I 2. (a) Contruir el 8rafo. (ó) Explic¡r fror qué no cs splic¡blc cl tcorcIn¡ d. Rollc ¿ esta fuDción, o sca, que ¡o cxiste un ( pa¡a e¡ que /'({) = 0, 0 < ( < 2. 71. Verificarel tco¡emade Rolle p¡r. f(xl = x2(l - ¡)'?, 0 =.x = l. Dc¡no stra ¡qu c ent r €dos ¡ aí c es r c alc s dc ¿s an ¡ - l h a y a l m c n o s u n a ¡ a i z d c ¿ c o s ¡ =- 1 . f s u g c r a n c i a : Aplicar el teorcÍ¡a de Rolle a la función ¿-' - scn .r.] (¿) Si 0 <¿< á, dcmost¡arquc (l - a/á) < h bla < (bla - l\ (ó) Utilizar cl rcsult¡do de (d) para most¡a¡ quc | < ln 1,2 < I. 74, Dcñost¡a¡ quc (ft/6 + {3/I5)

< s€n- I O,ó< (n/6 + l/El mcdiante €l tcor€ma dc¡ valor mcdio.

75. Deñostra. cl cnunciadodel último párrafo del Problema20(ó). 1t

(a) Si /'(¡) S 0 en todo puito de ]a, ó[ demostrar que /(x) cs monórona decrecienteen ]¿, ó[. (á) ¿En qué condicioneses /(r) cstrictañcnte decrccienteen ]a, ó[?

n.

(a) Demostra¡ que (scn¡)/¡ es estrictañe¡¡tcdecrecientcen ]0, r/2[. (ó) Dcmost¡ar que O S scn.x S 2¡/r pa¡a 0 3x5ft1 2. s enD- s c na = cot {. con { cntre ¿ y ó. *. , _-rrs ó (ó). H¿cicndoo = 0 y b : x cn (a), mostrar qüe é = xl2. ¿Esválido el resuhadosi ¡ < 0? (¿) Dcmostrarque

TEONE[|']IDE TAYIOR qu€ln(l+') 79, (a)Deúostrar

= , t.

lar ln (l,l) y astiñar l¡ cxactitüdalcanzada.

il - t' t t#aF,

(¿)paracalcu0<€
So¿ (ó) 0,09531con un edor menorqüc 2. l0-ó

t0.

Calcular(¿) cos 64e,. lb) tE r 0,2, (.) cosh 1, (d) ¿-or con 3 decimales. Sol (¿) 0,438, (á) 0,197, (c) 1,543, (d) 0,741

tl.

Demostrarel taorena de Taylor con restodc Lágrangcpare (d) n = 2, (bl n = 3, (c)

'|

= cualquiernetural.

ta

[cAP. 4

DERIVADAS

78

Dcducir .l i.sull¡do (21I págin¡ 61, par¡ l¡ forma dc C-auchydcl resto. [SügcrEncis: Aplic¡r el tcorama dc Rollc ¡

,:@P-

G-,,a

Si.ndo ,¡ t¡l que ,{¿} = 0.1 t3.

Dcmostrar quc las fomas dc lagr¡ngp y d€ Cauchy p¡r¿ cl 11310cn cl leorrma de Taylo¡ r€ puedenescribir cn l¡ forma f,.+r(t_ r).lr+¡)(a + rf,) r! rcspcctiv¡mcn¡c, sicndof = á - ¿ y 0 <,

t{

< l.

Escribir:¡do (ó - ¡f,{ cD v.z dcl últ¡mo ]ér¡¡¡ioo(ó - ¡),i cn ls sugcrqria dcl Ptoblc¡tr¡ t2, obtcncr cl tcortm¡ dc T¡ylor con (¿) r.sto dc l¡gr¡ngc, (¿) ¡rsto d. C¡uchy, dando v¡lorcs apropiados ¡ P.

N.ECLA DE L'HOPITAL tll

C¡lcular los limilB siguicntG:

(0 lin! (r/, - crcr)

/c+ 8 \ (rtl li¡¡r r ln\;;i/

0 n'@.-z)t,

U) rim ¡*-

t"t .-ri-(e!Lf)"r' .\ .

(t lim (l - gl.rb

(t) li4 (r/d - cof r)

(o)

, - s c n, ,... r", l¡il ---;r-

(.)

r¡¡l'¡.;;e{#; (c)

.ü¡l!

(rr - 1) tg

"/2

([)

(d) lim r'.-L so¿ (o) t, lb) -1, (c) -ah, (r., .-'t', (ol .t, (pt .

(d) 0,

.liin

r¡h,

,l

.tih-

(r + .¡ + .&)v'

(0 I'¡1!}ff

(p).¡¡ll.(scna)rh' (€)0, Ut l^a12, (r) 6-i (,r)r, (t 0, (r) 1, (t) l, (0 *, (n) 6,

lim (1+ zr)E

PRODI,EMAS VA¡IOS

quc at Dcmo.tra¡

{J;

t7.

. t##

. 1 si o<,<1.

= I\x + 2^x\ - 2f(t + +/(¡)' - flxl, (a) drmostr¡¡ que A{A/(r)} ^r) ^2Í(xl 4! ^x) csa límitc cxisc' (ó) d.ducir una exFGsi¡in p¡r. A'l(¡) coo ,! nalur¡I, (.) most¡e¡ quc f¡mo - 7t'1r¡ "i

si A,T(¡) =/(¡

+

88. complctar ls demostraciónanalitica mcncio¡¿da ¿l fulal dcl Problcmr ¡{). = 0 par¡ t¡ = l' 2' 3' ' ' ' (ó) Escribir la s€riedc Tsylor con rcsto p6r¿cstafunción y dcñostrar quc /(¡) = &. (.) Explicar por qué .R.¡o ticnde a caro co¡t ,' r @ y catudi¡r lss cons@ucnciasdc cstc hecho

t9. (d) si /(¡) cs la función del Problcma 38, d€mostrarque f'(o)

90. Hallar 106máximosy minimos rclativosde /1¡): Sot./(¡) ticrc un mlnimo frlativo .n ¡ - e-r. 9t.

Una pa.tícul¿ se traslada c¡n v€locidadesconsta¡ttcsD¡ y 0i en lo3 olcdios I y II, respoctivamcnto(Fig. +?). Dcmosrrar que p¡ra ir dc P a C cn un tiempo mínimo debc seguir l¡ tr¡ycctoria P.'lO sicndo .'l tal q|tc (scn 0r )/(sen0r) = url¿',

r¡

I

¡., ¡ > 0.

Mcdio ¡

U.d¡o n

¡r. I

nr,Gt

cAP. 4l

19

DERIVADAS

92. Sc dicc quc una uafj.ableú.es infiiitesíña¡ si su limitc es ccro. Dados dos infinilcsimalesd y p, sc dicc que d .s inñnitesimafde orl¿r superior (o del mieno oúen) si lírn qlf : 0 (o lim d/É = , + 0). Dernos¡rarquc frr¿r ¡ + 0, (¿)sÉn':2¡ y (l - cos3¡) soninfinitcsimales dcl mismoorden,(r) (rr - sen!x) cs infinitesii¡¡al de ordeñ superioral del {¡ - In (l + ¡) - I + cos .y}. 93. ¿Por qué no sc pucdc ¿plic¡[ la regla de L'Hópital para demostrar que Iim {-I1J4

(véasePro- O?

blcma 91, Capitulo 2). 94. ¿Sepuedecmplear¡a regladc L'Hópital psra cálcularel limile de la suces¡óD u. = nte-"', n - 1,2,3,,.,? Explicar. 95. Si d cs une raiz ¡proximada dc /(x) = 0, mostrar que, cn EFneral,s€tienemejor aproxim¡ción con ¿ - I@VÍ@I (m¿todode Neutonl. fsugercnci¡; SuÉn8asc que l¿ raiz esa + ,, dc modo que/(¿ + ,) : 0. Aplicar Iucgo el hechodc qu. para ¡ Fqucño. /(¿ + hl = flal + á/(¿) aprox¡hadamentc.l 9ó. Por ¿pficacionessüc€sivasd.l Problcma 95 obtcncr la r¡iz positiva d. (a) x. -2* (á) 5 sco ¡:4¡ con 3 cifias deci¡nales. So¿ (¿) 3,268,(ó) I,l3l 9?. Si D es e¡ olÉrador d/dx tal que Dy = dfldx y úy = d/¿f,

-2x-7

=0,

demostr¡r la fó¡tnula de l¿ibnitz

... + .C,(D.-'i¿XD.tl + ... + tD.o D'(uDt = lD\¿lt + "Ct(D.-' üllD1)l + ¡C!(Dr-'ü)(D.r) + = (l) (P¡oblema siendo.q los cocficientcsbinómicos 95, Capitllo l). 9t

Demostrarque

9.

Si /'(r¡) = /"(ro) - ... -,¡11¡o): 0, pero/"*r\.xo) + 0, estudiarla m¡rcba de /(x) cn cl cntomo de ¡ - xo. El punto ¡o s€ llama en este caso p¿frro de inflexión.

#(rrscn¡)

= (¡r-

r(¿-1))

sen(x+nnlz') -

2n" cotl, + 1r,tLl-

100. Sc¡ /(.y) dos vecls difercnciabl€ en ]a, ó[ y,supóngascqv. Í'(al - f'(bt - 0. Demosrrer qu. c¡isle al mcnos punto qu. un 6 .n l¿, ó[ tal ll@) - /(¿)]. Dar una intcrpretación fisica cn que inte¡vcnll"(éll ¿ tb+ gan Ia velocidad y ¡c¿ler¿ción de una particula.

Capítulo 5 Integrales DEFINICION DE LA INTEGRAL DEFINIDA El conceptode integ¡al definida nacea menudo de la conside¡acióndel área encer¡adapor la curva y: I@J, el eje ¡ y las ordenadaslevantadasen ¡ = ¿ y x: ó (Fig. 5-1).Pero la definiciónse puede dar sin apelar a la geometria. t

r= l @ ,

7l

z_

¿ Er ,¡

f, ,.

6 ,t

t.-.

/ u.-r

F¡8.i.l

Sübdivididoel intervaloa=x=b mediantelos puntosr¡, )b, -.., xn-r eril, subintervalos elegidoarbitrariamente,escójaus€ en cadau¡o de los ouevosintervalos]a, rr[, ]x,, x2l, . , , ,fx^- bl " puntos{r, 12,.-.,4, a¡bitrariamente. Fórmcsela suma f(t,\(a , - a ) + Í (t,) (e,- a) + l (É " )(a3-r, + ... + l (É " )(ó-r" -, Escribi€ndoxo: a, xn= b y x*-

(r)

x¡-r = A¡¡, esto se puedeescribi¡

= É l(É*)(,"-,,-,) iltt )ar"

(2)

Geométricamcnte,esta süma repfesenta el á¡ea total de los rectángulos de la frgura antcrio¡. Sehacecrccerahorael u¡mero de subdiüsiones¿ de tal modo quecadaA-r** 0. Si ¡esultaentoncesque la suma(1) o (2) tiendea un límite que no dependcdel modo de hace¡la subdivisión,estelimite se denota por

f"'il,\',

(r)

que se llama íntegral delinid.adef(xl entre a y b. E¡ estesimbolo, /(x) dn se suelellam.r integrandoy [a, ó] esel ínteftalode integración.A vecgss€dic€ qüe a y ó son los límitesde integración,¿ limite inferior y á limite superior.

r¡-*

cAP. 5l

NTEGRALES

8l

El límite (3) cxistesiemprcquc/(¡) s€acontinua(o bicncasicontinua)an ¿ = ¡ S ó (problcma35). Si cl limitc e¡iste s€dicr que/(x) cs intcgrabl€ cn sentidod€ Ricmann o simplemctlt€¿'rr¿g¡¿le en la, b). Geométricametrte,el valor de €staiDtegraldc6nida represcntael áreaenc€r¡ad¿por la curva y = /(x), d cjc r y las or dc na d a s e n ¡= ¿ y ¡= á s o l a m e n te s i f x))0.S i /(r)€sposi ti vaynegati vadentro dcl idtervalo, la integral deñnida reprcscntala suma algebraicade las áreas por encima y por debajo dcl eje r, tomando como positivas las que quedan po¡ ercima del eje ¡ y como legativas las otras. MEDIDA NT,LA Un conjunto de puntos dcl ejc x se dic€ tener medida nula si la suma de las longitudes dc los intcrvalos que incluyen todos los puntos se pucde hacer a¡bit¡ariamente pequeña(meoor que cualquicr número positivo c). Se pu€dedemostrar (Problcma 6) que todo conjunto €oumcrabledc puntos del cje rral ticnem€didanula. En particular,el conjuntode los númerosraciooalcs,quc cs cnumerable@robleEas l7 y 59, Capítulo 1), tiene medida oula. Un importanteteoremaen la teoría de la integraciónde Riemanocs el siguient€: Tcorcü¡. Si /(x) es acotada en [a, á], entoncesuna condición lec€saria y suñcientepara la exises que cl conjunto de discontinuidades de /(¡) tenga mcdida nula.

tencia ae f'¡1r¡d, J "',

PROPIEDADES DE LAS INTEiCXAT¡S DEF'INIDAS Si /(x) y g(¡) son iotegrsbleser [a, ó], ?h

r.

| {l(r) = s(x)l¿h =

2.

I

e.

I f(x)ita

/'ó

fb

?b

=

A Í(r', d.r

?h

?b

| f(t)dx = | s(r'tdÍ A I

donde,, es una constantecualquicra

f(rl dr

¡.c

=

| Í(r)d,r + | f(rl da

partiendode que¡¡) es integrablcen [a, c] y [c, ó]. 4,

-l

?o

f4

f(r)¡Jr = -l..6 f(r)de =

5.

dx )" I(x)

6.

Sien ¿S r=b,

o m=f(r) = jlt donden n (b -a )

7.

=

fó

)

y M sonconslantes, es

l (x ) d x

=

M(b-a)

S ien ¿ =

t"'fl,tu, = f.' o(a)dx

8-

l,-¡

|

¡ü

= l). r(,\d,l ).

TEOREMAS DEL VAII)R

lf(r)ldx

si o(ü

MD,DTOPANA TNTBCNAI,ES Si /(¡) €s conti¡ua e¡ la,bf hay un punto( cn lc, á[

1. PrlDcr t oreD¡ dcl Yr¡or Ddlo. tal ouc

I.'

f(x) dr

=

(b - a)f(t)

(r)

82

IN TE GR A LE S

[CA P . 5

T€o¡ena gerer¡lh¡do del rdor medio. Si /(.rl y g(-!) son continuas en [a, ó] y g(¡] no cambia de signo en el intervalo,entonceshay un punto { en ]a, á[ tal que (5) lo cual se reducea (l) si g(,Y): l. S€gudo teo¡eD¡ del r¡lor D€dlo de Bomea. si /(r) y g(-y) son continuasen [a, ó] y si g(.y)es una funciónpositivamonótonadecreciente, hay entonccsun punto 4 en ]a, á[ tal que fh

'-

| Í(r')s@)dt

?(

s(a) | f (¡\ dr

(6)

Si g(x) es una función positiva monótonacreciente,hay entoncesun punto { en ]¿, ó[ tal oue

0 ,1, Segudo teoremr geocralizrdo del r¡lor medio. Si /(.r) y g(¡) son continuas en [a, á] y si g(¡) es monótonacrecientco monótona decrecientey no necesariamente positiva siempre, como en 3, hay un punto ( en ]a, ó[ tal que ?h

¡t

/.ó

I l(rrg(")¿, = e(o)| f(r)tu + s(ü) | i(r) d'

(8)

.'|4

Este resultadosiguesiendoválido si se remplazacontinuidadpor integrabilidad. INTEGRALES INDEFINIDAS Sifir) esuna funcióndada,entoncestoda función¡(r) tal que F'(-x)= /(¡) sedicei,¡regrul¡ndef¡nida o antide uadadef(x\, y mejor aún,pr¡müiuodef(x). Es claro que si ¡(x) es una integralindefinida del(x), tambiénlo es f(-r) + c con c constantecualquiera,pues[F(r) + c]' = F'(¡) : ./(x). Así, pues, todaslas intcgralesdefinidasde una funcióndifierenen uDaconstante.Se utiliza a menudoel símbolo lf$)dx pata deootar una integral indeñnidacualquierade /(x). E¡aoDlo:Si F'(r) = ¡2. ¡¡ts.a... ¡(¡) = Jnz¿r = ¡r,/3+ ces unaintegrat indefrnidá o primitivadc ¡2. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CATCULO INTECRAL Si/(.t) escontinuaen [a, á] y F(.t) escualquierfuncióntal que F'(,t) = /(.r) [es decir,F(x) es una integral indefinidao primitiva de lx)], entonces

!^' f {r)o, = r,(ü)- r,(o)

(e)

Esteimportanteteoremapermitecalculariltegralesdefrnidassin apelardirectamentea la deñnición, slemprequc s€ conozcauna integral indefinidade una función. Para cafcufaf c'rt.r, obxrvemos9ue ¡''(r) = rr, F(rt = flS+ J,

Í,' ,,0,

= F{ 2) - F{ ,) = ( ?.") - ( ¡ - ")

c, cntoncestenemos

= 3

Como c desaparecede todos modos. es conveniente escribir más simplemente

=i[ =?-#=i l,'",," a¿

c|r rl

INTECRALES

ETEICIAI.ES E

83

DE¡INIDAS CON I,¡WTES DE INTEGRACION VARIABLES

UDa integral indeñnidase puedeexpresarcomo uf¡a integraldefinidacon'limite superiorvaria6.ribÉ¡rdo

lslta

f noa, = ¡"'f(r\ ¡tÍ + * Í"'rco' = f(al

e¡tonces ouc

c

(10) (11)

Comounaintegraldeñnidadepe¡de solamente delosllmitesde integración sepuedeemplea¡ cualicr c-

variablecomosimbolode inregración. = Por ejemplo, t@)a, = ftOar, J"' [.' rula, !-' r¿zónpor la cual suelcdecirscquc la oa¡iobleesmudq-Sepuedeescribir(r, ), por ejemplo,

ft!"'rav,= ro

(12)

Estosepuedegeneralizar al casoen queseanvariableslos limitesde integracióninferior y superior. Así se tiene

,uro,= ¡t @\#- r@(tt# * t"'i',' ,t r"¡ren ¿ ,- = _l_tt + | --::d¿ drr,

E¡.o¡lo:

scn¡ d(¡) scn =::: __Trt d(rr) :+r _A; _ - _:j: '::- ' d, "

(r3)

2 sen:r - *nt

CAMBIO DE VARIABT,E DE INTBCRACION Si no se encuentrainmediatamenae una determinacióna, f f{r¡ a, expresadapor funciooes puedes€r útil c¿mbiarla variablede ¡ a r po.la t.arríformación¡ = g(¡). El tGoremafuncl€mentales, d¿mental que permite hacer esto se ¡esume en el enunciado

f rcto' = trwuto,too,

1t4l

donde una vcz obtenida Ia integral indeñnida del segundomiembro se remplaza f por su valor en función de x, estoes, por ¡ = g- t(x), supuestauniforme. Esteresultadoes análogoal de la rcgla de derivación cn cadcna (Égina 59). pa¡a integralesdeñnidases El teoremacorrespondiente

t"' ft,10, = !"' ttnroto'rr\0,

(15't

co ng( d) : ay s $l= á ,c s d e c i r,q = g -' (o l ,f= g -t(ó ).E stcr€sul tadoesci c¡tamentevál i dosi /(¡) es contitrua en la, bl y si g(r) es coqtinua y tiene derivadas continuas en d S t S A, INTEGRALES DE FUNCIONES ESPEC¡ALES Los resultadossigui€ntess€ puedcn demostrar derivando ambos lados, con lo cual se tendrá una identidad. En cada c¿so ha de agregaF€ una constante arbitraria c (omitida aquí).

r. !""au = #

z. t!

n*-r

= n¡"1

S. t *nu itu = - cos¡¿

4.

t

cosuilu =

senu

f ry udu = ln lsec?l - ln lcoszl = lnlsen¿l f cotuttu

INTEGRALES [cAp. J

au = In lsec¿+ tg ¿l f s,r.,u

27.

tnltE (u/2+ "/i')l f"o"nuau= ln lcosec a - cotrl h I ts u/21

f a*"u au = 10.

28.

tga

f

sech2 u du =

tgh ¿

f

cos*nzudu=

- ss¿¡,

f

whu

,E *'

secutg uau = aecu

-f'cosech (

tlu

Jñ

eA (¿u

72.

-.

f"o"nu"otuár= - cosec¿

!*a" = fi

18.

coahu au =

18.

au = t cothu t9. au = f aecnu

ToT. ¡.

tn- ' á o - "*- '#

= tnlu+@i@1

,8.Í#a = *,^l#.*t [ ¡d&a, = tw=a

ln cogh ¿ ln Jsenhrl

n

tg- r (scnh¿.)

"

= f n lu ¡ ¡ ¡ t ¡ V¡

s2. Í t/F=d"du = irÉa

rnxrtr u at = - coth-¡ (coshu)

f

-

to'J"ffi

senh&

f '*uou =

u c.othu dt! = -coscch ¡¡

- { ffi == !"o"-,; i " t6j*-,f ,

co¡h ¿

f

Jñ

_ee€hu

* t^#, = jtg-,t,-l*t-,#

a> 0, ara !

f *au

74.

tgh u d?r =

21.

u au = - cotu f cowc2

I1.

20.

22,

f

*{**,i

83.

¿"'(o senóz - b cosüz) f e" v:nbudu -

34.

e"(q co*u.tzb ser-bu) ) e* colbu du =

FsPr:crAr,Es DErNrTcnÁc|oN

|n¡egr¡clóo pol ¡rrhs.

f^"^ -:.

uu- f t,au

r@)0,{,)0, = r(z)c(z) - f r,q,¡01,¡a, :. f

:fl,{:,,ifii"ffiT'lq#m:rltiffm'*ffi #,,1d*::#"H"T;t

2. Fr¡odo¡es

lnfcl¡¡€&

Toda funai¡

P(¡) v o(¡) soqporinomios, n-t*i "n sien." T,::t::"l -que s€puede cscribi¡ comosumadefuncio'es racio¡¡ares de la forma o, *1"\ --4donder = 1,2,3,...que jff""*, sicmpre sepuede¡inteo* o- *" ?L."rTttr do ersradodep(r) inrerior al

EJGüCo f I Ei¡o¡lo:r

3,¿-z

@l@

6 z t - r +2

A = *-'*ia*¡¡*

A .+ B

t#fi.#2r+ 6

3i,trlrT"Tiii su¿rcspotcncias;c-;;;;"#J;.'#;:.?,LH:1".fi í;iif; ;.'#;r.?,:._,ffil{ñrr:,=;:""ol L.'"*o"n** 0" :HirTX#Í:tHffiti#"l,Í

A

INTEGRALES

'I t

rdoo¡h| dc !a¡ ¡ y oB ¡ s€ pueden idtcgrar siempre por funciones clementahfu lcs hacicndola sustituciónEx/2: u (vcaseProblema22),

a

Hry oétodoc cqcclelcs que depcnden de la forma particular dcl integr¿ndo y que se emplcan a menudo (Problemas 23 y 24).

TIEGTAI,ES rÉs

85

IMPROPIAS

S¡ cl intervalo de int€gración [a, ó] no es ñnito o si.¡f(x) no estí dcñnida o no cstá acotada en uno prntos de [a, ó], sedica que Ia ir¡tegral del(r) en esteit|tervalo es una htegrul imp¡opia. Emplea¡opcracionesdc ümitc adccuadass€ pueden deñnir las integrales cn casos semejantes.

E coph 2l

I,'?"

] l ! " t " # F = J i !l,r - ,"1 .=;* ts- ,M ,t2 = = ,n|. = (2-zr.)=- 2

Ej.oplo 3l

Í,*

= :*Í,?

" ¡- , er"Jr ," =

¡r'.. Í,:h

.,jn

.uB

= .'jr.rn,l'= .ri. 1-r,,4.

Comocatalíltútcro cxistc,sadicequel¡ i¡tag¡¿ldivcrge(e3decir,queoo c¡nwrge). he ú

más ejcmplos, véanseP¡oblemas33, ?8-80. Mayor estudio de las integ¡alesimpropias en el Cap! 12.

ETODOS

NTJMEIICT'S DE CAITUI.() DE INTBCNAI,ES DEFINIDAS Existen métodos numéricos para calcular integralss dcñnidas cuando oo se pueden hallar exactaEt!. Lo$ siguieN¡tcs métodos ouméricoscsp€cialess€ b6sancn subdividir el intervalo [a, ó]€n r part€s ides de longitud Ar : á - ¿/¿.Tara eimpliñcar s€ denota/(¿ + /rÁ.r) : /(rr) por ¡, ón t = O, t, 1 . -., ¡- El simbolo * signiñca
fcsb

dc bE t. rfAr|o8. f lt l at

)-

a rl u o + b + y t*

-

" .* u ^ -tY

o

L!íl ut+ a2+ as+ ...+ u,l

(rd)

La interpretación geomé'tricaes cüdente en ta figura d€ la página E0. 2. n€h

tü3b

t{Gdc. ?b

)-

f(rla" -

ff{ao+2v,12u,+. +2v,-t+ u't

Un

que sc oUtitc tomanOoLamedia de las apro¡imaciones en (ró). ceomAricameDtc, equi vale a sustituir la curva ¡ = f(x) por un conjunto de scgmentosde recta qu€ s€ ap¡oximan a ella. 3. RcSl¡ d€ S@0r. /.b

|

Í ( x ) dr

-

l^i@ o + 4 U ,+ 2 A z + 4 u r+ 2 a 4 + 4gt+

... + 2U .-.+ 4A .4+ U ' l

(¡E )

Se obti€rc diüdicndo [a, á] en un nrlmcro par de intervalos iguales, (z cs, pues, par) y aproximando /(x) por una función de scgundo grado que pasa por cada 3 puBtos sucesivos cor¡espondicntes a, xo,xbxz; xIx2,x3i .,.; ¡r_r,¡i_t,¡,. Geométricamente equivale a rcmplazar Ia curva / = /(¡) por un conjunto de a¡cos parabólicos que 8e aproúman a ella. ¿l D iaot.tlr

dc Trylor pucdc utiliz¿rse, a veocs,como co el Problcma 26.

[cAP. 5

INTECRALES

APLICACIONES El podercalcularla integralcomo límitc de una sumapermiter€solvermuchosproblemasfisicos de arcos,momentosde inefcia, o g"o-étri"ot como determinaciónde áreas,volúmenes,Io¡rSitudes ceftros de masa,etc.

Problem¡s r€$eltos DEFI¡üCION DE LA INTEGIAL DEFINIDA l. Si /(x) es continua en [a, ó], demostrarque

,,- b-o + r/" * r.(¡-o)) = j'.:: ¿ , Y ---n -/ "

(o futdn J o t r* t " '

pü.sto que /(¡) es :ontinua, el limire existe independicntemcnledel [iodo de subdivisión (Problema 35). (Fig 5-1, pá9.80), sea1¡ - a + t(, - a)/¡' Dividiendo[a, á] en n partesigüalesdc longitüdA¡ = lb ")h k = 1, 2, . . . , r . Ent oi¡ c es ,

= ¡1iT.á,G.*#) = !"'ro* tsi,i,ra'r-. 2.

Expresar

.-

lii.¡ r \

|tg;¿l(;/

como integral definida.

Sean¿ = 0. ó - I en cl Problemal. E¡tonces, .

.

/r-\

= J. Í@td' .,r:; ¿ /(;) como límite de una sumay utilícese€l resultadopara calcularla integral definida dada. (á) Interp¡etar el resultado geométricamente.

3. (¿) Expresar I

¡'d¡

2, (¿) Si /(¡) = r',6 f(klnl - (k/nlz= k'/n'. Asi qu€por el Problema

= l.'** .'s:.á5

Lo que se pucdeescribir,por el Probl€ma29 del CaPitulo l.

!,,,a, -- t11:(#.#*.. **) = :ll{iu*-s = ]'i4r#d!

= ]*E!.f-!]/")

= i

que €s el limrre pedido. /vora: Aplicando e¡ teo¡cma fundamcnla¡del c.ilculo se observa que

r3l3- 0./3: u3.

(á) El átea encerr¡dapor la curva,:

{. carcufa¡ f r l.:l{;ii

r + liZ+

J.

l*:

ttVtll¿ =

x', el eje ¡ y la recta¡ = I es igual a1

1l ... + f+"1.

El llmit€ s€ pucde escribir 'l I i: rf = 1.::; ' ¿ ir;n lrxil #v"-+ ¡i¿¡;+ - r;r¡"J

=

Í,' ,*

aplicando el Problema 2 y cl teorema fundamental del cálculo.

= rn(l+¡)r; = rn2

G^r. 5l

INTEGRALES

que !l Demostrar Ii-I{r"n1+ -

s€n?l+...- "

tl

¡--tt[

n

E7

* ,.n(a-1)¿} ---' n

r-cosü t

)

Seana = O, D= ,, i(r) = senJfcn el Problemal. Entonces.

.rg,i i ,* * * = !.* n , *

= r-co.¿

y, por t¡nto.

aplicando tim M' ¡-. n

=

1 --c o ! ¿

-

.tn*i-,*"* o

XEDIDA NULA a. Denostrar que un conjuntode pu¡¡to6enumcrablcüene mcdidaoula. Denot¡Ddo cl cor¡junto dc puntos por ¡¡, -r¡, ¡3, ¡., , . . y suponicndo los puntos c¡cerrados, resp€ctiva. mcnte, por intervalos d€ longitudcs mcnolcs qua al2, 44, alg,a/16,. . , , ao¡ c ¡rositivo, ls suma dc las lonEtudcs dc csto6iotllval6 c6mcnorq¡¡cd2 + q4 + 4E +.-. G(co¡a: gAy¡ = lcnet problcma25(a)del Capi_ rulo 3), lo quc p¡ucb¡ que el conjunto tienc mcdid¡ -¡rula,

ITOPEDADES DE LAS INTEGRALESDEFINIDAS 7. (a) Si /(x) escontinuaenla,bf y n < Í(x) < tt4,siendon y M constanües, que demostrar ,n(b- al =

f" ¡O,l*

<

M(b- al

(ó) Inte¡prrtar el resultadode (a) geométricamente. (¿) sc ticn. m . ^r . =

f ( a. lL. ¿ t

M ^h

k =1 , 2 , - . . , r

Sum¡ndo de t y por sar - I ar ar ¡

)

=

( ¡ r - d) + ( r ¡ - r t

+ ... + (t-r._t

$e siguc que

'¿(ü-o)

É .iftr,lo,. É M(ü-o)

P¡s¡ndo al lfnite para r + @ y c¿d¡ A¡¡ 0, sc tic¡¡c el rcault¡do. (ó) Suponi.ndo /(¡) ¿ O y contioua cr¡ [¿, ó] ct g¡¡fo dc h Fig. 5-2 sdjunts muestra qua geométric¡mcnG A..a ABCD S Areabajo y f(xl = At t ABEF as¡o C3, tr(b-d)

=

|

J.

flrr¿"

s

a$-",

Quirandola rcsrricción/r) ¿ 0 !e puedcdar una lnlerprctación sqncjante. El result¡do es vólido t!m_ bier si Í¡) es caliconrinua cr [¿, ó].

=

ó-d

88

INTEGR,ALES la b

quell 8. Demostrar

|

Í(xl d¡l =

t ¿. | Por la dcsigüaldad 2. página3.

¡.b

lcAP. 5

si ¿(b.

¿|o l/(,r)ld¡

t"irtt.ro*¡ = jutrra"'l = juc.rt-. Pasandoal limitc p¡ra

''

J @ y c¡da

9. Demostrarque lim f'" s:lut- d, ¡-- Jo r. +n-

=

^.r¡ -

0. s€ tien€e¡ resultado.

0.

=!,-# =# lf'";+'l = Í"'"1ffi1*

Asique lin I f'"***l .- qlJi ,' +

r¿'

= 0,

I

y s€lreneel rcsuttado buscado.

TEOI.EMAS DEL VALOR MEDTOPARA INTEGRALES f0, (¿) Si /(x) escontinuaen [a, ó], demostrar queexisteu¡ puntod en ]¿,á[ tal que /.6

| ¡g¡ar

=

(D- 4)/(6)

(ól Interpretarg"ométricamJrtc€l rcsultadode (¿). (¿) Cor¡o /(¡) cs continua cn [¿, á] sc pucde¡! hallar consranresr¡ y M t^les qne n = f(xl Á /U, E¡ronccs, por el Problcma ?,

^ = L p != a Como /{,r) es condnua, toma todos los valores entrc ,n y M (Capjruto 2, problcmas 34, 93). y habrá un valor ( tal que

De donde multiplicandopo¡ b - a sc ticne cl resultadopedido. (ó) Si /(¡) = 0 con grafocomocl dc la figuradel Problema7(ó),s€puedeinrerpretar /(r) d, comoet área J. rayadabajo la curvaJ/= /(¡). Geométricamente, estaáreadebeigualarla de un rectángulode basaó - ¿ y altura/({) para algún ( entrc a y b. 'IEOREMA fl.

FTJNDAMf,NTAL

si F(c) =

|

DEL CALCULO

INTEGRAL

f(t) dt con /(x) es continua en [a, ó], demostrar que F'(x) - /(¡).

= t(t) { entre r y r+¡r por el primer tcoremadel valor mcdio para inlegrales(Probl€mal0). Entonces,si ¡ es un punto inrerior ¿ [¿. ó] r'(")

=

tinrnF('+t)-¡(')

=

iim/(t)

=

/(r)

puestoque / es continua_ Si x = ¿ o-r = ó, sautilizanlos límitcsa la derechaoa la izquierda.r€spectivamentc, ycl rcsult¿dosig¡¡c siendoválido tambiénen estescasos.

C^P. 5l

l¿

INTEGRALES

89

Demostrarel teoremafundamentaldel cálculo intcgral, Por cf ProbfemaI l, si f(¡) cs unafunciónalahu¡erucrya den\adacs/(,r), sapuedecscribir F@) =

d.t + c ^tt s¡endor ¡inaconstante (véasc {¡ltimalineadel p¡oblcma22,Caplulo4). f

cor¡¡o¡(¿) = c, sc deduce qu. Ft¡) = f' ¡
Jf' .

o

= r,(ó)- f(¿l

f' ltlo,

J.

at

" ¡1t¡ '

continua en [a, D].

""

Si x es ün punto inlcrior dcl [¿. ó], cnlonces.como en el Problemall, lim F( ' + ¡ )

=

- F( , )

[l(rl

l*

=

o

y F(¡) es co¡tinua. Si¡=ay.r=ó,sautiliz¡nloslimitesaladerechayalaizquierda,r€s¡rcctivamct|tc,paradcmostra¡quc F(¡) cs continue en ¡ = ¿ y ¡ - ó. Otro détodoI Por el Problama I I y el Problema 3, Capilulo 4, sc sig¡¡equc F'(¡) cxiste y que cntonccs¡(¡) dcbc scr continua. CAMBIO l¡f.

DE VARIABLFS

ESPECIAI rS

Y METODOS

DE INTEGRACION

Demost¡ar el ¡csultado (141, p^gna 83, para el cambio de va¡iable de integración. SeanF(¡) = I

Ax)dx

J"

y

O()=

|

Ja'

como,x =s(r). Astrtls'ltrdt, -

Lueso dF = f\xl dx, dG IlsQ)ls'(tldt. Corno dx=glt)dt, s€ sigue que f(xldx = de modo que dF(x) = dcltl, de dond. Flxl=61 ¡¡* ". Ahora cuando-y = a, t = ao Fla\ = C(d) + c.^glt'llg'(ldt Perocomo F(¿) = G(d) = 0. de modoque c 0. Lucgo F(¡) = G(¡). Cono .r = ¿ con ¡ = f, se ticne

= lo,ua,\o'aro, !."too,

como sc buscaba. 15. Calcular

p\ (b)

! )

p +z¡s en (¡,+4¡-o)d¡ O

f cot lln ¡) --o,

Í', 7 L r r * r 7 ¡ r _ r ¡ le)

ol

[

rlh z'1-'dr

,-'

0

("t .ro

!n" {l

':;'- ¿,

_ at

( -Jp:

" \/x2+r+l

Méiodo I I

Sc¿ rr+4 r-6= ¿.

Luegol2t + 4) dr = úa,

1f

1.) scntLdu =

-icosu

( " +2 r t t t = ¡ d ¿

¡ c

=

y l a i n l e g r aet sa h o r a

- )eos (x' + 4' - 6, + c

M¿{odo2: ff

J

(¡ + 2 ) sc n( ¡ ' - 4¡ - 6) dr

(ó) Con ln z = ¿.

=

+ J s en( ¡ ' ¡ 4 ¡ - 6 ) d ( z ¡+ {' - 6 ) =

l.¡¡rlt = ¿u y la integralseconvierlecn

es f

J

c oiz dt ¿ -

lnis en¿l+ ¿

=

¡ n \ e n {l n r ) l ¿ c

- l c o s ( r ¡ +4 ¡ - 6 )

+ c

90

[cAP. t

INTEGRALES (6) Marodo I ¡ d'

(

( d,

J JG + zl(s-

'-,

dr

=Í

J J6:I;-;

r Jd=E;-i

M¡¡ao 2¡ Sc¡ a - & = r. co'no an !l Método t. Par. t = -1, qu. por .l Problema14. d" (' ( ___¿"_ = J-'-¡-1a +2¡s - r¡ J -, {At1 - @-)'

¡=-!:

y p¡ra r=1, r=*.

I rel="nofollow"> modo

=l-#=scr¡-,¡*l ¿ -a2 V26A - t

= scn-¡0.2+ scn-¡0.ó (dt S.. 2t-'=¡.- Lucgo-2r-'ft2)dr -#.f

=dt

y

2-'t,

Eh ¿d¡

=

- ¡r*

= -#,

cor lo qr¡al¡ integr¡lci

ln corh2,-' + o

(¡) Sc¡scn-tr'=r¿.Lucgo = = yl¡ inrcgml .. cntonccs frrrt* ffi | tJ "a" = |tt* o = l(rcn-'4 + c

nr.",*1"tffiar = ¡13¡¡¡-,+¡lú= ¡r*"-'¡f= fr. i

,^ Ú,

f t dt r-: J { l+ r + 1

=

1 ? 2 t +1 - 1 . = | -:ut z J {x '*a +t

=

lf 2 t +1 =¡ : a r - =| " : : z , '\ l r '+t +l

rf d, z ¿ {u , *u *l

= | ? l".+'+ r)-r¡d (' t + ' + l)-+ 1 4 i.l .¿ ,t@+rr.+l

: i

= .¡FA;¡l - ¡rnlc+l+1ftTlf{l

1 quc Mostrar

.,

l +1

rt-tO= 0 ;

= rF V", d" = y'tleCúúr. C- r-t .1, G=ff¡F. p¡r. ¡= 2, ¡¡= rt-t l l { l = rl e, l¡ int€¡¡l scñi cnronccs

C,,. Ji, .d r úr

J. 15+tls¡ "F f?. Ilctcmin¡r

A.

¿4

Ercribasc l¡ intcg.l ¿ = 1 , ¡=

=

),e=#+q",

+ o

=

P¡r¿

¿¡ ¡'r ¡,/f, *¡ I l.t I " J. -F;F;iñr t JÍ*r,4" = l*n"l. = ¡ '

1."

"*-3{W. S.a ¡n, = g, ktxl/' = dy.

S i ¡ =s , y =t ;

si

x =é , t =2 .

l ' 3 =5 l : = 3

Asi Ia iricgr¡l seconvicrta a|r h

c^P. 5l f&

9t

INTECRALES

-1, (b) l = -1. -' p.r, p"rtes,sean, = In x, rJu= x" dr, conlo que¿¡: (d¡)/-r,o - l'tlln+ (o) InreJrrndo Halfar I x"lna dx

si (4) ?t

.

(ü)

-f

=

r-t ln r dr

=

Jú!

C x..t od¡¡ = -:-ln5-J;i1.;

""-J

dt

+c "r l r i-i r'' ' - ("'TlF

= ?r

t'

=

)"'rr,"d,

l). Luego

' ll.' ' -

¡ d(ln¡) J ln

=

.J(ln + c. ')'

f-

19. Hallar

JS¿2'+t

dt.

ScaJZx +1 = * 2x +'l - y1. E tonc.s ¿(: Idl y la integ¡alse vuclveJ3'',d/. lttego dt- dy, u= y/0n 3), y se ticnc Iítctrando por partcs,se¿nu: y, do:ydy;

#*" A).

Hallar

!, r tn@+ si d.r.

Con ¿ = ln(r+3t

¡lú = tdu.

Ltego ú' =

o = f,.

#a,

por partes. o".oao qucinlcgrando

= f;rn1"+ar -+.f {# = f;rn1'+sr - *J('-'.fi)t" J al,t(r+ttdz = f , r , , 1 " +-sir{ ? - * *r t,,+ st} + " = lrn r + ! rn a J'crn(a+a¡aa ! -

Lucgo

Halfarfa

/.

A- 1

) f, -s(z, *d\o''

. Po. Iraftion$ porc¡ales,s€a

6- t G-:TXt;T;i

=

A =S

+

B 2r+6-

MéIú I: Para determinar las constantca,l y 4 multipliqucns€ ambos miembrospor (,r - 3X2,¡ + 5) para obtcDer =

8-,

A( 2r + 6, + Blr - gt

o

6-t

=

64 - 3B + l2A+ B)E

Como éstacs un¿ id€ntidad,5A - 38 = 6, 2A + B = - | y A - tllt,

. l ' o 4 **

= Í#**

tffi*

(r)

I : - l7lll. Entonc€s.

= firo1"-a¡ -finp,+a¡+.

Mtldo

2: D€ns€ a ¡ valorcs apropiados en la identidad (t). Por ej€mplo, haciendo -r = 3 y ¡:

inmedi¡tamentcI : 3lll, B = - l7/ll. ,.

Aa

22. Haffar J 5T#".,

tE)tl2 = u. empleando la sustitución

En l¡ Fig. 5-3 es *ntlz

I

Vl+ Ír

- 5/2 en (r), se tiene

92

IN TE C R A LE S

=

€nronces.cosr

cos',/z - sen'r/2 = l;#.

du = +sec"/ztu

zdu

alr = 2 cos"rl2 dll

o

Asi qüefa iotegra¡s€convierte ,"

t1

l c AP. 5

=

.¡' ;fr"

+ rg-t ul2 + c =

i rg-, (t ts rl2l + c.

carcurar J1!ffidc. Se a ¡ = z- y.

En to nces

, = J,"ffpo" = t""t\+I;!\'a= "Í""rf?.=;*_Í""#"*ntu = -"1"#* = j' /2 - I

o se a .I

o

.r tz

-==J]!! a, Vsenr + Vcos¡

Haciendo,' = n/2-u,

=

¡ '1 2 - 1

I=n'/4.

,/*

que | 24. Demostrar

.

-n rg '1cosY)ll -I

- I -

= ].

seli.ne

fro r';; r ' o Vs €n¡ + V c o s c

(,.

fnn r/"o"s r0 Vcosy + Vseny

/"""' V c o s ¡ + V \ e nr

Luego

r-r

= t''"--!Yt-a, J0 vscnr I vcos¡ + úo",,

r-'V*"' r'o d e d o n d e 2 I= n l2

e

I=

* r'of=,----['::-¿, vcos¡ + vsenr

vsen -ñr l r I

f

=

|

vcosr

,

4.

El mismo mélodo se puede aplicar para demostrar que para lodo valor rea¡ de rr. f,¡ J"

(Problema94).

sen-

sen' x .t cos" ¡ *'

"

-

4

quealgunas definidas sepüeden calculár sinhallarantes y el 23muestran integrales ¡y'ora:Esteproblema indefinidas Iasintegrales correspondientes.

METODOS NUMERICOS PARA CALCULAR INTEGRALES DEFINIDAS .'

.1,

mediante(r) la regla de los trapecios,(ó) la reglade aproximadamente, -+ Simpson,dividieodoel int€rvalo [0, l] en n : 4 partesiguales.

25. Calcular |

seall¡) = l/(l + .y'z).Con la notación de la página ti5. se liene Lx : (b - alln: ll - 0)14 = 0.25. Cons€ r va n d oe n to n c€ s4 d e c¡ mal es,se ti éne:10 =/0)= 1,0000.y' =.^O.25) = 0.9412. r: = /10.50):0,8000. .t!: /( 0 ,? 5 ) = 0 .6 4 0 0 ,y.:fl ):0.5000. (a) La .egla de los trapecios da, pu€s, lr ' ¡ - r 2 r , + 2 t2 + 2.t! +l .l

^-.\ ,¿-¿

0 ?5 ==1t.00u0-

2r0.94r2r

210.8000, i 2r0.ó4u0,+ 0.500; = 0 .7R 28

cP.5 l

INTEORALES

93

(á) L¡ ¡eglsd. Simpcords A¡-

o25

El v¡lor c¡acto 6 fr14* 0,7E54. -lyo +4 yt+2tr+4y . + y . ) - = ( r , m o+ 4( 0, 94t 2) + 2( 0 , 1 0 @ ) +4 ( 0 , 6 4 {n ) +o 'l m }- o , n s 4 . ?|

¡.

(¿) Crfcular

)o

p,

efu

el tcorcma de Taylo¡ y (á) cstinar cl cno¡ mÁ¡imo.

Comocn cl Problems28, Capltulo4, sé eocucot¡aquc

c = L+ Cañbisndo cntonces r por r2,

" + f i + f ; + f .#

.' = 1+c+fi+fi *i*#

o
o
I¡tcgra rdo dc0al,

!,'ca"

=

J'(r*"+$+$*

= r+|+#i

i)*

*¡h+¡fu+r

Dcñodoquc tt = lÍ,'#no,l = f'l#"¡*

*

"

(si.Ídocrcnor n =!,'

= 11618+¡

^4...6¡

= "f,'#* = ¡j¡¡
Ad, ¡rcq cl ccor ra&imo cúnc¡or quco,qD¡, dc Eodo qucGlv¡lor dc l¡ i¡t g¡rl Gal,,tó coúdos dacirD¡lcsGf,rctoc.EDplca¡doñás érüi¡od c¡ cl tcorci¡a dc T¡ylo¡, sc obticúa¡nsyot cf,rctitud.

¡PI¡CACIONES z'.

Hallar (a) el árca y (á) el momenro de ine¡aia cotr ¡esp€ctoal ejc ¡ de la rcgión del plano ry cncc_ rrada Por ¡ = 4 - ¡2 y cl eje x. (a) Subdivld¡lc l¡ r ió¡ .n .Éc{á¡gulo6 como cn l¡ fgu¡¿ dc l¡ pógi¡¿ t0. U¡ Ectá¡gulo cu¿lquicr¡ ic vc e¡ la Fit. 5-4 adju¡t!. Ertonc.s, Arca bulcrd¡

=

l¡a¡ j

t(aJar.

= ¡tm >: ({ -t!) ar¡

= J,c-"1a"= f (á) Suponicndo dcNidad uno, cl momcnto de iÍefcia cao ¡rspacto al cje y dcl Gcdngulo dütcrior ct

CilG¡)A¡r.Lucsp MoDcnto d. i¡crli. =

= jX¡.e6({-t)ar¡ .li¡n> tir(tJ A'¡

= [ _ 3 l - - a t a .= ff

¡t!5-a

94

a.

TNTEGX.ALES

[CAP.5

¿Cuál es la long¡tud del arco de ¡a parábola / = ¡2 desde ¡ = 0 s ¡: =

Longiruddel arco

J.

=

,/, + lttultlzl'dx

J.

l?

\,/l + l2rl dg

= ).'Etzaa, = rJ.,fiTaa" ft-

= +(+'¿Vi+7 + ¡rn1a+y'rT7¡¡l: = +VE+ lh(2+\/6) 29. Hallar el volumenque generala regióndel Problema27 al girar en torno al eje.x. volüürcnbusc¿do=

= ,

,ri- ¡'r¡o,.

['¡e-a'at

= 612'tró

PROBT,EMAS VAnIOS 3lL Si l¡)

y g(¡) son continuas en [a, ó] demostrar la desigtaldadde Schwarzpora inregolet. /

^b

(l

\r

=

t@)s(''td")

\./.

^t

| 1¡1r¡¡"ax|-t' @@l),d"

.,d

,/

Sc ticnc

= a" + z>. tt"ttol a" + r.J. (e(,))'d, = o J. ttt"t + rr(.))'& J. txav J. pare todo valor r€¡l dc l. Luego, por cl Problcma 13 dc¡ Cspltulo l, cÍDlcado

t' =

J.uta|faz,

(r) c¡o

c = J. ttztc@tat

a' = J.utn'a,,

* tica. C2 é 12R2, que cs el csulrado pcdido. f)emostrar el seguodo teorema del valo¡ mcdio expresado por (E), pégina 82, suponieldo tencia y continuidad de g'(¡) en [c, á] adcmás de las otras hipóresis. Sca F(r) =

J.

/(¿)d¿.

la exis-

Inlegrandopor parres

J. "t c@ta"

=

J. ek\t'@* = ,(,) r(,) l: ! o'@tl@aa = s(ó)F(D)dx J. c'l,tF(,t

glxl é mo¡ótoria c¡ecicntc, €3 d€cir, a'G) ¿ 0, Entonc6, poa e¡ primca tcorrma gener¡l¡zadodel v¡lor mcdio para intcgmles (páE¡a t2), se iicnc

Caso I:

= Ftxl ). e'@l dx

rC)J" o'G,tt'

=

F(r)fs(ó)- s(¿)l

dondca cstácn ]a,á{ dc modoquc ) llxl e@tdx =

e(ó)F(ó)- r(r)fr(ó) -r(a)l

=

s(dl F(tl + ,(ó) [¡'(ü) - ¡'({,

=

ool (' t@t d, + stb,)( ¡@t¿, ¿¿ Coso2t glxr as monótonadcc¡ecictte,o se¡, quc a'(¡) S O. I¡ dc¡¡root.¡ción 6 parccida¡ la del Casol.

cAP. 5l l¿

TNTEGRALES

(d) Si /'+¡¡(.r)

95

es continua en [a. ó], demostrar que para .t eo [r¡, ¿],

... ¡ t'"'(a\?-at *1!,'e-O"r*"too,

!(,t = llal+ Í'(d\(,-a,* reP*

(ó) Aplic¿r (a) para obtene¡las formasde Lag¡angey dc Cauchydel rcstodel teorsmade Taylor (página6l ). (Capitulol), el resultado (¿) Por inducción matemát¡ca es válidopará¡ = 0, pues

= ^,)

^ar+

t)d..= t(al+

J.

- t@t+t@r-t(at

^|li

(r)

y suponicndo que lo es pa.¿ ,| = *. ¡ntcgrando por partes y aplicando Y_¡¡L

a t = d .u , ft+ D( tt

=

ü

¿sique u = -ffi,

dú = fr+"lt)d.t

' l:*i1-l$;!-1 . (0dú /ü+¡, fi l.' a - orr,, " ara, = 1. f * - 0k+¡ = r,.','i,;!i,i""'. ffi-+r J'r"_0.,,/o+.,(0dü lo que muestraque el resultadoes válido para ¡¡ = /< + l. De modo que cs válido para todo €ntero ¡r¿0 . del valor mcdio para integrales(págiria82) se tienc, tb) Por el primer teoremageneralizado I

F( r ) c ( r ) d¿ =

J"

F( ( ) | J.

c( 4 d ¿

H¿crendo ¡,(t) = /'""'(0, c10 = f$,

tenlre¿yt

.. oo,,"n.

t'"'-')G' e- tt"dt i. J-. a-u"t'-"at¿' Í. qüe da la lotma dc Lag¡ang¿para el resto [€cuación (20). página 6l]. con ó en vez de x.

con

rg

= lJ!!-Q-@--Ü,

G(¿)= 1,

setiene

= /''. "(l)9:-:!.ll('ro, an l J " f'r"-o"¡,".,,r,,¿, "- ' 'n! '' J"--'

= /¡""(t)('-f)¡('-¿) nl

qüe da la fonña de Caxcáf para el resto lecuación (21l, página ól], con ó en vez de ¡.

33. DemosrrarCu"

..

t^n

't-

=

6. ^lr1 = l z ' * 2), - (2t)' = (r' + 2+ 2" (r' + 2 -2' 1. s . r iene , ,+ 4 = r,+ 4 r' + 4 -¿ r' parciales, Descoñponiendo en fracciones sea 1 A r+B _ , C r+ D 7 r+ 4 - ,r+ 2 r+ Z - ,,-Zr+ z Dedónde1 = (A+ C l r' + (B -2 A+ 2 C + D )r' + (2A -28+ 2C + 2D ), + 28 + 2D y enr onc es A + C = 0 , R -2 4 + 2 C + D = 0 , 2 A -28+ 2C + 2D = 0, 28+ 2D = 1 D€donde A = * ,8 = I, C = -t, D = 1 . Asi .pues. ( dt a+2 u -2 = 1l' - 1( B J 7 + z " ÍZ d ' E) i ;4 ;7 V a' J"'+t )"

= ljinf =

TIÁ

* . áÍ 6#r-, - áÍ #,,

*!tn{,.+2,+2)+l

. *JE=S.r

tg-'t,+r¡ - f t rn r" ' -z r+ z ) + } , s -' 1 ' -r¡ a c

lcAP. 5

INTEGRALES

9ó Entonccs. , . ¡^r

(. t, . t L É ( M '+2 M +2 \ * ! , " _ , , . *, , * ! = ,lIlJ" Jn tc-\u'- r-t +T/ r ¡ 'B v' r ¡' i ¡ ' c -, (M-r)l = á ¿"'+ . dr

Sedenot¡ estc limitc por , que sEllam inte$al improJriade primerq especie.Más adelante,en el Ca' J|o i '+ -L t . pirulo 12. se trala dc estasin¡egralcs.véase tambiénProblcma78.

34. Calcular

,. fi senú'dú '

u1

;:';

Como sc cumplcnlas condicioÍespara la rcgla de L'Hópital, rcsult¿ | lrm --j-

35.

|

scnt'dt =

+ (r')

,. sanrt t|m.-.4U '

=

Demostra¡ que si /1.r) es conrinua en [a.á]

:-l senr¡l ., cl r l ¡m -

,, = l::l

+(a'')

exisre |

3rt cos rt

rr".-

=I

Í$\at

= j ,f(tJ Ar,, con la íotación de la Ég¡na E0.como /(nl escontinua.sepucdenhallarnúmeros " Mr y ¿¡, cxtrcmossuperiorc inferiorde /(.y) en cl intervalo[ri-,. -r¡] de modoquc ,r¡ S ¡.r) 5 Mr. Sc tienc entonc€s S""

¡¡(ó -c ) = ¡ = > ' ¿¡arr = o = > MÁ ' ¡

= S = tt(¡-¿)

(r)

sichdo ,n y M los oatremosinferior y sup.rio. dc /(x) cn [¿, á]. Las sum¡s r y s suclenllsmars€$ña W¿¡ior y wma supet¡or, raspcctivamcnte. Elitiendo ¿hora otra subdivisión de [a, ¿] y consid€.andol¡s sumasinlerior y supcrior corrcspondicntes r'y S' se t€ndrá s '=S

y

S '=t

(21

paradcmostrarlo cua¡bastaclegi. una tercerasubdivisiónmcdiánte¡ospuntosde divisióndc lásdos primeras y co¡siderandolascoÍespondientcs Por cl Ptosubdiv¡siones. sumasinferiory supcnorI y ¡. rcspectivamcntc. blcma E9 se tiene ¡ = ú =? =S '

¡ '=¿ =l =S

(r)

lo cual demuestral2). lassumassuperiorcs dccrecenmo¡óPor (2)es cla¡o tambiénquc el aumcntarel númcrode subdivisioDes Como segln (/)tales su¡Íasson támbiénacotadas, tonamentey las sumasinfcriorcscrccenmonótonamente, sc sigueque ticn.n valoreslimites i y S respcctivañcntc.Por el Problema90, s = S. Para dcmostr¡r quc cxiste la integrales necesariodemostrarque i 5 S. continua.Dado etrionccsun € > 0 Como/(.y) escontinuaco el intervaloc€rrado[¿, ó], cs uniformemcntc sc puede lomar cada Arr dc rnodo que M¡ - ñr < ellb - a). Se deducecnlonccs que

(¡) y c o m oc a d ¡ p o . é n t e sci ss p o s i t i v or . s u l t aS - s m c n o rq u e c Pc r oS- r = ( S- S) + G ; - i) +( i - r ) por {l). Siendo5 - i un númerodc6nido.debes€rcero,estocs,5 = i De modoqu€ los l¡mitesde ¡asluñas y dc las sumasinferiorcsson igualesy quedademostradola ex¡stencia dc Ia integraldefinida. sr¡p€riores

¡ y',-

cP.t

INTEGRALES

97

Problem¡s propuestos I'E¡IN¡CION r'

DE I.A INTECRAL DETINIDA

{¿)ExPrcsarJ t¡dt

como limib de una suma.(á) utilizar cl r.sultadoparecalcularla inregra¡ dcfinidadada.

(c) Intcrpretar geométrica¡úcnte. t

So¿ (r) *

valiéndoscdc la definición,catcutar(¿) f'1rr*r¡rr, J.

- . ( ^nt I :s' Demostra,quc ll:xl/-iT+7-i7'+

-3.

( 7, + 2. + A,+ .. . + r, que lim i*j:r--:-:--:--':: Dcmostrar r _.

al.

Aplic¿ndo la dcfiniciór¡, demostrar que

J.

('pe-rr¡a".

sol. (¿) s, (ó) I

Jt

=

*;i;ii

t.

r I = --+-:i s' ?>-r.

L

¡¡.

p¡

., i|u = .' - ¿..

Haccr d¡r€ct¿mente cl Problema5, aplicandoel Probl.ma 94 dcl Capitulo t,

quc li. {+++ ... + a2. Demostrar r-. |V't¡+1¡ {n +t + -!-} \tr'+r.) .43.Dcmosrrar = tg-l' quc ,i rso. .tl:l.á;¡fxE¡

= ln(r+V2).

PNOHEDADES DE LAS INTEGRALES DE¡INIDAS ¡l..

Dcmostr¡r (d) la Propicdad 2, (ó) la Propicdad 3 dc ls págin¿ tl.

,at si /(¡) cs inres¡¡bleen la, c[ y ]c, á[, deñosrmr quc t.' ¡aó. sií¡f

nO*

=

yg{¡) son inlegrablesei La,bly flx) S g'r;),dcmostraror"

¿ l? . Dcmostrar qu c 1- c olr ¡3& D.mosrrarqu. -

r-r | | "fl"i lJ . r + t

[.'

tAlo

f'^r)a

.t.

* =

[.'ttO*. f

J-

s@l ttl.

= élr W r a0= r = r 12, I ¿rl = h 2 para n. I

n" - | ¡r9. L:,ü¡osrrar que I rú"-'t -A+l d"l= t%. lJ, TEONEIUAS IIEI, VALOR MEDTO PA"RA INTDGRALES l).

M , es n g(x, = .lk) glxl = M ckl

Dcmostraref resultado(5), pá8ina82. [Suger.ncia:Si ñ5l(¡)5 grcse lucgo y aplíquese¡a Propiedad 7, página 82.]

que c stcnvalores(r y(,en05¡= 51, Demostrar f ' gn' ", 04 J, i, +-l

I talesquc =

2 n¡lTlt

=

52. Dcmosrar qua hay un valor < en 0 < ¡ 5 r¡ tal quc f'"-'"o"rd,

¡ scn ¡ '€r = ,.n6.

J.

CAM¡IO

DE VA¡I¡JLE

Y METOÍ'OS ESPBCIALES DE INTPGRACION

g¡ J*c*..'c",ed", At I,'#d,, 53.cafcurar: n Í:,#r.

A\ Í,'#i,

g+ so¿ (¿)1¿*".t+ c, (6t r'tsz, (ct tta, (Q -z cotb,

O fffa* c, (é)¡ bs.

IN TE C R A LE S

98

r' it¡ sa: Mosrrarquc (¿) J" (3+ rr;,)ú-

=

*

".

+ c.

- lnlr + r + V"+2¡+61

sd. F+zt+s

D€mostrar la válidez del método de integración por partcs.

(a) 5E- Calcr.rlar

_[

59. Mostrarque @l

rcos 3'dr, @rÍ !,

,'

iot. (al -2/s, (ü)-t¿-t'({r'+6c'+6,+3)+

'"e-*d.-

c

rs-,r au = ¡!z - { + { ln 2

6 t Í',,/" ' +" + t d, = *. 60.

,/-4:} -= V

+ c, o> o¡' .Vd' -ur + ta' sen-tül o.

5ó. Halkr | --=:::-=. J \,/.' + 2 t+ 6 57

d" ,,¡-¿ _,

= 4"'/,.'=7 t ¡a'tn|r+ y'7E71

que G, ss. Demosrr¿r J '/"'=a'd" \b )J { a r-L rd u

,r, \o) J(

-_ {l -1,,

[ c A P.5

*.} t( H)

(dl Si ¡¡ = /(.r) y ¿:: g(.\-) tienen dcrivadas /r+simas conlinuas, demostrar que ,' f . (-1)'J = Í6'ud, u o "' a r ü''¡-t' - ¡¡'uri -') + u'.¡D "-" I fórnula glrvrat¡zada dc intc|tación por pütes. lbl ¿Qué simpl¡ficaciones se presentan si ¡l("':0? ( c) Ap liq u csc ( a ) p a r a ca lcu l ar ¡t |

6 1 . M o str a r o u e '

Jd

.- -

I

,a ,

S ol . (cJ t'-l 2t'*4a

r'senc dc. =

Discutir.

t-2 -B -.

1¡iI'_tf-+¡,

r lsugerencia: Por fr¿ccionesparciales.suponiendoG T l l 'G i T

rl

=

A ( ¡ +l f - - " +t

B

C x +D -;tTi

y calcufandoA. D, C, D.) quc 62. Derhosrr¿r

o' ('" = -4, y '¿ '_ 1 Jo ¿ - cos¡

METOIX)S ¡ruMERICOS PARA CAI¡UI,IR

"

> t.

INTDGRALES DEFINIDAS

(r) por la reglade trapecios,(ó) por la rcgl¡ de Simpson,toñando t - 4. ComÉrcs€con el valor cxacto.In 2 = 0.6931.

63. Calcular I

Jr

r= t+.

ó4. Por (¿)la reglade trapecios,(á) la reglade S¡mpson..ut"ularf"' ¡ = 0". f0, .... 90' y compara¡con el valor e^ cto Í/4. "j

s€n':xdx medi¡ntelos valoresde sen2¡ en

(ó)la de los trapccios,csto€s (1ó)y (r7)dc la página85. ó5. Demoslrar(¿) la reglade los rectángulos. ó6. Demos(rarla rcgla de Simpson. 67. Calculerpor integraciónnuméricacon 3 decrmales cxacros:(¿) |

ff¡,

Ol I

coshr' dc.

So/. (a) 0,322. (b) I.105 APLICACIONES fA. Hallar(r¡)cláraa,(¿)e¡momentode irerciaconrespecto al eje/de la rcgiónde¡plano¡r cnccrradapor r: 0 = -r = ,r y cf ejc -r, sut'oni€ndodensidaduno. !/l. (al2, (b')tt'. - 4

scnr,

Hallar el momento de inercia con resp€clo al eje .r de la región ancerradapor y = ¡: y .y r', si la densidad es proporcional a ¡a dislancia al eje .r. So¿ jM, cori M = masa de la región,

70.

M o str a r q u e la lo n g itu d d e l arco de rutüari e.r.:

cosh x de .r:0

a x:

l n 2.es i .

cAP- 5l

99

TNTEGR,ALES

?L

Mostra. q¡¡cle longituddc ur eftodel¡ cicloi& x= a(e - s.n0),/ = ¿(l -cosd), (0 S 0 = 2¡)6t¿.

tL

D€rnostrer quc cl árca cnc.Íed¿ por Ia clipse .1/¿¡ + r1/b2 = | as rab.

?3. Haller cl volumcn dc la rcdón obtcnida por revolüción de l¡ curva / = san¡, 0 5 ¡ 5 4 en tomo al aj¿ x. sol ft1n 7a

Demo3trarquc cl ccntrodc m¡sedc l¡ rrgión enccrradapor, = 1F:F,

tl

(a) Si p : /(ó) cs le ccü¡ción de uria curva en polarcs, mostrar quc cl árts crcerrada por cit¡ curva y l¿¡ acctas e=q

y

r o=orcs

¡o¡

(0,,1¿l3t¡).

-a3x3ayelcj.¡6

p'd4, $t Hdlar cl árca cnc.r.ads po. u¡ buclc dc l¿ rerüscata p2 =42C/d,s24.

; J¿.

Sol. (bl az (¿) Dcrnoctrar quc l. fongiM del erco dc la cr¡rva dcl Problana 75(ar.s (" fo¡gitud dc atCDd.l, cadbi& p = ¿(l - cos ó). Sor. (ó) 8¿ ".'

tó

,/p,-i (Á¡6d1.

(ó) Halla¡ t¡

PNOBLEIITAS VAnIOS 77

D€moctmr.l tcoram¡ dcl v¡lor mcdio par¿ las derivadas a pa.tir dcl priñcr teorema dcl v¡lor mcdio par¡ integ¡ales. fsug€rcnci¡: Hág¡sc ,/(x) - ¡'(¡) cn (l), págiÍ¡ tt.]

?& Demostr¡rque 1",,rE

= r, (ü) JJ.,Í,'f, = 6,(c).¡jT. f,"'#,,

Í,"#

= t

y da¡ una irterprct¡ción geométricadc los rcsültados. & f' J, ,lT=¿'

fEstos lir¡it s. quc 6. suclcn ¿*ot

f' dz J, E

¡' d¿ J, É

t

respectivamcnlc' sc llam¡n

htegales ínyopias & segufu ¿Ve.¿ (Problem¿33), pucs los intcg¡¡ndos no son acotadosco cl intcrvdo dc i¡tegr¡ción. Mayor.studio dc iricgr¡16 impropias cn Capitülo l2.l ?9. Demostrarquc

(a) llrn I r-. J.

st carcurar @ Í," #?, Sol. @r+ sv8 tl.

Calcufar

(ó) I ¿xtl¡

d.-,dr

= 4! = 2{,

e, L''' ffid",

(ü) lim | ,-o* J,

---L ,trl2-r\

=

+,

at Í,";kt.

(6) no existe

,!ig, -------

-

c¡ll

*

&!, Demost¡ar tol 9 fttl+l+U @ J,

"*

ii--

-

ttC= 8r'1¡,-i-g,*s¿-2t,

&I

Itcmoclrar cl r!.ulasdo (rr) dc l¡ págin¿ 83.

t4

quc (d Demostrar

tr

J.

VT+s."rd"

tlt. Explica¡ la falacia:t =

Sot. alz,

¡' ¿J_,r+'s

= {,

(ü)

= -J_,il?

ar t.

J"--

(bl ! -

dt

¿i

(" *.eu

J.

= ,/il"b/l

= 1,*-'*.

+ tl.

",*ff;.*

= -r, usando la transfomación ¡ = l/y. Asi,

pu€s,/= 0. Pcro 1= lg-t(t) - tg-¡ (-l) (-¡l4l =,¡/2. De modo que ¡/2:0. - fr14-

quc f'"ya" Deñostra¡ J . { l + r'

= z' cosu.- co6ri.

100

INTECRALES

[cAP. 5

quc rr*l = I I tl x esirracional no es Inlcgrableen scntidodc Ricrnannen t8. Demosrrar [0, l]' tu sr .r cs ractonal En f2). página80, scan Ér,k = 1.2,3, . . ., n primcro pur¡tosrecion¿lcs [Sugerencia.: y lucSopuntosirrac¡o.. nalcs dc subdivisión y cstudiar las suñas infc¡iorcs y supcrioresdel probtcma 35.] Demost¡arel rasult¡do(J) det Probrcma35. [sugcrencia:primcroco¡sidérese el efectode un puntomásde subdivisión so¡amcntc.]

90. En cl Problema35, dcmostrarque.í < 5, lsugcrcr¡cia:Suponcrlo co¡trario y llcgara una contradic.ión.l 91. Si /(¡) escesicontinua c¡ [¿, á], dcmostrarque f'

,rr, O, urrr".lsugerencia:Cubrir cadapunlo de disconai-

nuid¡d con un intervalo y obscrveseque la suúa dc las longiludes d€ tal€s intervalos s€ pucd€hacar arbilrariamentc peque¡ia.Considé¡cscluc8o la difcrencia cnt¡e tas sumassupcrioresc infcrior*.1

sz.si t(x) =

{f"_, [6 r_ l

crrcsurrado.so¿ e 8ñinc¡menlc !,' taro,rnrerp.crar

i}ili,*r^, 1 < r< 2

93. Calcular {r - [r] + +] d, s¡cndo[¡] cl m¿yorcntcrocontcnido.cD x. Intcrprcrarg¡áñcam.ntc el rcsultado. .f sot. ! "n 94. (a) D.rhosrrar qu. (áf Dcr¡fosrrar que 95. D.ños¡.arque 96. Mostrarquc

d,

J*;#*;ü Í,'" #Eq

J^""!9¡3

J" #*

d,

=

=

;

pararodovatorreatdc,r.

"

.rirt. = o,4g?2ap¡o¡imadamenr..

!}7. Mosr¡arquc ( = ' I + co!!' " Jo -41zli'

Capítulo6 Derivadasparciales FUNCIONES DE DOS O MAS VARIABLES Se dice que una variablez esfunciónde dos variablesx y ) si para cada par (,r,t,) existenuno o Eás valoresde z. Estadefiniciónsecorrespond€ con la definicióngeneralde funcióncomo correspondenciae¡¡tredos conjuotos(página20). Ahora los dos conjuntosson (l) un conjuntode pares(¡, /) por un conjr¡lto bidimensionaldel p¡ano ¡],] y (2) un [que se puedenrepresentargeométricamente conjunto de númerosrealesreprcsentadopor la variablez. Se empleanlas notacion€s/(x,.),), ¡(x, J,),etc., para el valor de la función en (¡, /) y se escribe z: f(x, y) z: F(x, y), etc. A vecesse utiliza tambiénla not¿ciónz: z(x,y\, entendieldoen este q¡so que z se usa con dos significadosdiferentes,como función y como variable. Ejeoplo:Sif-r, r) = x2 +2y1,entonces f3, -l)=

(3)'z+2(-1lt:7.

El conceptosegeneralizafácilmente.Asi ¡¿= F(¡,1, z) denotael valor de una funciónen (-x,y, z) [que es un punto d€l espaciotridimensional],etc. VARIABLES DEPENDIENTE E INDEPENDIENTE, DOMINIO DE UNA FUNCION Si z = F(¡, ,l'l z es la uariabledependientey ¡ y .v son las tu¡iables indepexdientes. La función se diceuniformesi a cada par (x,l), para el cual estádefinida,solo corresponde ün valor de :i si hubiere másde un valor de z paraalgúnpar (¡,1),lafunción esmultiformey sepuedeconsidera¡comoformada por va¡iasfuncionesuniformes.Por ello bastacon limitarseal estudiode funcionesu¡iformes: si no se dice otra cosa,se trata de tales funcionesen lo que sigue. El conjuntode paresde valores(puntos),(,t,_y)para los cualesuna funciónestádefinida.sellama dominio de definiciótr o dominio de la función simplemente. Ejeüpfo:Si z: J\ -1P;7,

el domrnioparael cu¡l : esre¿lsecompone delconjuntode punros

(,y,-}')talesque,r'z+,y'? = l. estoes.del conjuntode punlosde un circulocon su inlerior en el planoir, de cenlro(0.0) y dc radio l.

SISTEMAS DE COORDENADAS

RECTANGULARES

TRIDIMENSIONALES

Se tiene utra generalización inmediata de Ia representaciónhabitual para funciones de dos variables en €l plano Jq,, construyendo 3 ejes perpendicularesentre sí (los ejes -\, ), y:) que se cortan en un punto O (origen). Un punto del espaciotridimensional queda representadoentoncespor la terDa (r, y, z), que son las coordenadasdel punto. En este caso, : : /.r. l') [o bien F(-t. ¡, ;) : 0] represe¡ta una superficie, €n general. Ejcdplo: El conjuntod€ puñtos(.y..r.:)talesque:="/l semiesfera de rudio I y centroen (0. 0, 0).

:-iit

la superficie de una - ¡'l comprende

Para funciones de más de dos va¡iables no son ya posibles tales representacio¡esgeométricas, si bien la terminologia se sigue cmpleando. Por ejemplo. (,t. y. z, u,) es un punro en el espaciode 4 dimensiones;ú =f(x,1.:)lo Flx , y , : , a) - 0] r epr es ent aunahiper e s / c r a e n 4 d i m e n s i o n e s a s í , - t 2 +- 1 2 + z2 + w2 = a2 es una esfera de radio a > 0 y ce¡tro en (0,0,0.0).

t0t

lo2

[cAP. 6

DERIVADAS PARCIALES

ENTONNOS El conjunto de puntos (¡, y) talcs que l¡ - rol < ó, ly - yol . ó con ó > O, * llama entoma rectangularó de (¡o,lo); el conjunto 0 < lx - xql . ,, O a l, - /ol < ¿ excluyeel punto (x6,¡6) y se llama entornorcctangularó rcducido de (¡0,l,o). Obs€rvacionessemejantess€ aplican a otfos entornos, por cj€mplo, (¡ - ¡o)2 + (y - yof < 6' cs uo entomo circular ó dc (r¡, ¡¡). Sedice que ün punto (xo, yi espotto llrnite o pünto de au.t tulac¡¿¡,de uo cotrjunto S si todo ento¡no ¡cducido de (¡o, /o) contiene pu¡tos o elementosd€ S. Como en el caso de un conjunto lineal d€ puntos, tdo conjunto inñnito acotado tiene al menosu¡ punto límit€ (leorcmade Bolzano-Weierstrass, páginas 5 y 50). Un conju¡to quc contiene todos sus puntos llmit€s 8€ llama conju\to cerrado.

REGIONDS Un punto P que pertenec.e a un conjunto S se diaehrefior a S si axiste un cntomo ó ¡educido de P cuyos puntos pe¡tencc€ntodos a S. Un punto P quc no perte¡ece a S s€ dice punto exteriar S si ^ e¡iste uo entomo ó r€ducido dc P cuyos pu¡tos no perte¡r€centodos ¿ S. UD punto P que peleDece a S x llama puto lronle¡a de 5 si todo entomo ó ¡educido dc P cotrtiqnepuDtos que perteDec€!a S y puntos quc oo pertenecena S. Si dos puntos cualesquieradc un conjunto S se puedenunir por una poligonal de un nrlmero finito de segmentoscuyospunto$ p€¡tenec€ntodos a S, sedice que S es\rn conjurto conexo..R¿g¡Urr es un conjunto con€xoconsiste¡te en puntos intedores o en puntos intcriores y puntos fronten. Regiónceta¿a es la que conticne todoEsus pu¡tos front€ra. Regiónabierta es Ia que solo consta de puntos interiores. En las Figs. Gl(a), (ó) y (c) s€ v€n ejemplosde regiones.La rcctaagular dc la Fig. 6-l(a), incluida l a fro n te ra o c o n to m o ,re p re s€otael corj untodepuntos¿S x5_b,cS l = 4queesunage¡er alizaciónobvia del irtervalo cerradoa g x! áen una dime¡sión.El conjutrtoc < x < b,c < y
Fls.6-l

LIMTTES Sea/(x, y) definidaen un enror¡o ó reducidode (¡0, /o) [esdecir,que/(x, y) puedeno esta¡defin! da en (xo,¡o)]. Se dice que I es el límite de f(x, y\ al tenderr a xo y y a yo [o bienal ter¡der(¡, /) a (ro, ¡o)1, lo quc se escribe lim !(x, yl = / [o bien lim Itt, yi : il si á iodo nrtmero pcsiüvo e -

r.l-^

G .r l - tb.

ht-

- '

c¡"P. 6l

DERIVADAS PARCIALES

103

! puedehacerco¡rcsponder un númeropositivoó [quedepende de € I (¡0,.J¡o) cn general]tal que Jlx, y) - ll < e siempreque 0 < lx - xol < ó y 0 < l_y-.l,ol < ó. Puedecmplearse el entomocircula¡reducido0 < (x - xq)z+ (y - yd2 < ó2en vezdel entorE r€cta¡gularreducido. EJeúpfo: sca/(,,y) = {l', Iu

r yy+2[obien (x.yt-1.2)].ltx.yl

como¡s::t \l:'llallll qu) = \ r t z ) sc accrcamás y más a 3lll(21 : 6 y es de suponetquc lim /(¡, t) = 6. P¿¡r¿dqnost¡a¡ ?9rc\ay

quc hacer v€r qua s€ verifica ¡a arterio¡ definici¿n ¿e liriiie con ¡ = 6. Tal demosrraciónpuede haccrsepor un método scmejante¿l del Probleme 4. Nórcsc qu. lim /(¡, t) + f(l , 2\ @rquc f(l , 2'l 0. El limirc serí¿6 cn cfccto aun cuando /(¡,/) no estuüeradefinidacn (1,2). Asi, pucs, la €xistenciad€l limitc d€ /(¡,)) cuando (x,y)- (:o,yo) no dep€ndcen absolutode la cxistcnciad. valor d€ /(¡, ),) en (¡o,/o). Obérvese que para que exista . .lim f(x, y\ debe te¡er el mismo valo¡ i¡dep€ndientemente (¡'r)_(¡.'tbl .

d.la maoerade tender(x, ¡) a (xo,yo).Y asi,pues,en casode quedosmanerasdistintasdc tenderhacia Lro,yo) den valoresdistintos,el límite no puedeexistir (Problema7)- Esto implica,como eo el cásode ñ¡¡ciones de uoa v¡riable, que si un limite exisle es único. El concepto de limites unilateralgs para fuociones de una variable s€ genemliza fácilmente a funcionesde más de una variabl€. Fj"qlo l:

,ljg1

rs-'oy'¡) = *2,

te-r lylxl - -xl2 ,L1n-

El€nplo2: litn tg-' (/x) no existe,comosc w cla¡amentc por el h€chode quedos¡nane¡as d€ tender a (0. l) dan rcsultadosdisti¡toe. En general,los teoremassobrelírnites,conceptosde infrnitud,etc.,para funcionesde una variable ll,áeina 24't se aplican igualmente con modificacionesapropiadas a funciones de dos o más variables.

IJN'IIES

REITERAIX)S

ft Los límites reiterados liÍf. { tim l(o,y) I

y

ft

limJ lim /(¡,y) l,[que rambiéns€ denoran ,-,. t. ')

lim lim /(r, y) y lim lim /(¡, /) respcctivameate] no son necesadamente iguales,Si bi€n tienen t-ro queserigualcspara que exista lim /(¡, ),), su igualdadno gara¡tizala existenciade esteúltimo límite.

,-,.

i:i3

Efenpfo: si n'.vt= fif,, r".s"ly(Jj$ ffi)

= r'anr = , I I:T(IIX;#) =

hq (- l) = - l. Asíqueloslímitesrciterados yt por tanto,no cxisrelim/(¡, /). no sonigu¿les

CONTINUIDAD Sea/(¡, f) definidaen un entomo ó de (ro, yo) [esto es,/(x, y) debeesta¡ dcfinida también ¿¡ (x6,ys)]. Se dice que /(.r, ¡) es continua en (16,¡¡) si para todo número positivo é e¡iste un número positivo.ó [que,dependede c y de (xo,¡6) en general] tal qve lÍ(x, y, - f6o, yoll < é siemprequc lt - rol . ó v ly - yol < ¿. Nótesequ€ para que /(x, y) seacontinuaen (xo,y¡j ian de satiifaceise t¡es condiciones.

104

lcAP. ó

DERIVADAS PARCIALES

l.

fim

f(x, yl = t,

2. /(xo' ¡o) debe existir,

(to,/o)

o sea, que el limite existepara (¡,/)' es d€cir, /(x, /) esrá deñnida e¡ (¡o, /o)

3. I = f(xo, yo\ Lo quc spuede €scribiren la forma lim Í(t,y)

si i(,.y)= Er.npro: {i-/ i:',ii:ii'.i,

=

es

l(lim r, lim ?). = 6 * ,,.,1i¡¡,,,,/(',v)

l(1,2). LucSo

que/(x,!) = 6 pnr^lr.,yl /(¡, /) no escontinuacn (1,2).Si sedefin la funcióúd. mancra (1,2),cntonclsla funcióncs continua€n (1,2). Si una función¡o escontinuaen un punto (¡o, ,ro)sedicequeesd¡scontinua eD(xo, yd, ques€llama e¡tonccs pprro de disconthuidad-Si, como en el ejernplo anterior, cs posible definir la función en cl punto de discotrtiDuidadde manera quc tenga allí un valor que haga la uueva función continua, s€ dice q\e la discontinuidades eoitablee\ la prirnera función. Una función se dice conti¡ua eñ úna rcgión R del plano xy si es continua en todo punto de 9t. Muchosde los teor€massobreco¡tinuidad para funcionesde una variablesc puedcngcneralizar cotr modificaciones adccuadasa funciones de dos o más variables. CONTINUIDAD UMFOR,ME En la definiciónde continuidadde /(x, t,) en (¡0, /o), d dcpendede € y tambifu de (xo,yo) en general. Si cn una ¡egión R se puedcencontrarun ó qu€ solo dependcdc € y no dcl punto panicular (xo, ¡o) en { [es decir, que el mismo ó sirve para lodo punto de qt], entoocesf(x, y\ x dice ndormementeconthuoer q. Como para funcioDesde una variable,se puededemost¡a¡que una funcióncontinua €n una región ccrraday acotadaes uniformem€ntecontinua €n la región.

DEN¡VADAS PAN,CIALES Las derivadaso¡dinariasde una funciónde variasvariablescon respectoa cadauna de las variaconslantes,se llaman debles indcpcndi€ntes, mantcniendotodas las demásvariablesindep€ndicntes rivadasparcialesde la funcióncon r€spectoa cadavariable.Las derivadasparcialesdc/(¡, /) con res-

pecto a ¡ y l sedenotan 0".#

["

f,, Í,(q,ú,t*|,)t #1" ,*,^,,ur,#1.1,**.*"-

mente;las últimasnotacionesseutilizancuandosequiercindicarlas variablesque sedejanconstantcs. Por deñnición,

# = :iy"re.ttffi,

# = liy"L@!t#a

si estelimite existe.Lasd€rivadasen el punto (xo,y¡) seindicancon frecuenciapo. +l

(r)

= t,t".. UO $1,," ,,,,

= | llro,lJo]- resf,ectivamente. Ejc¡npfo: Si lq,v) = 2f +}ru,, es l, = ¿tf/¿r= 6r¡+3yt / , ( 1, 2) = 6( 1 f +3 ( 2 f = 1 8 , 1 ¡ ( r , 2 ) = r j ( 1 ) ( 2 ) t 2 . -

y

l" - dll¿v = 6'a.

As¡.

Si una función./ tiene derivadasparcialescontinuasAflAx,AflAyen una región,entonces/ dcbe ser continuaen la región.Perola sola existe[ciade estasderivadasparcialesno es garantiade la continuidad dc / (veaseProblcms 9).

c^P. ól

DERIVADAS PARCIALES

105

DETIVADAS PANCIALES DE ORDEN SUPERIOR Si /(¡, t) tienedcrivadasparcialeser cadapunto (x, y) de una región,entonces dfl|x y ófl\y son ¡ su vez funcionesde ¡ y / que puedcntcnertambiéndcrivadasparcia-ies; estass€gundas derivadasse dctrotan

a (af\_aT _, a/ af\ et = ú\ra )= aF r*' a!\il! )= #=

a /ó/\ = er = ¡ /¡r\ ¡-' ;;\ú f"' ú\í;)= ) ¡Éú

ezr = fú#

(2)

S1.f,rl l* son.cootiouas, entonces /,, _=f,- y cl orden de dcrivaciónpuedeser cualquiera;no siendo ¡s¡, las ocnvadaspu€denno s€r iguales (problemas13 y 43). El.Ddo! Si /(¡, /) : 2rr + 3l (véa* cl .jemptoprcccdc¡r.),cmonccs ¿, = t¡,, fD = 6x,L, = 6y :r¡. En t¡l caso/*(1,2) t2,1,,0,2) = 6, f.,(t,Zl = fue,2l = 12. ". De igual maoerase define! dcrivadasde o¡de¡ superior. nor cjemllo, ¡S deJfuna vcz respccto de / y dos vcces rcspecto de ¡.

: Jrr* es la derivada

DITERENCIAI,ES Scan A¡ = dx y Ay = d/ indem€ntos dados a ¡ y J¡, r€sp€ctivamentc.Entonces,

^z

= f(t+ar,!+^al - Í@,a) =

(r)

^f

*..llaña ínüemento de z = f(x, y\. Si /(¡, /) tiene primeras dcrivadas parcialescontinuas en una ¡€_ g¡On,en¡ooc€s, .

^z

df = Af ;;^x +ú^y

d z+ \^, +.2ay = ttu

dz-

+fittv + <,ttt+ edy =

^f

(ll

dondc cr y e, tiendcn a cero con A-r y A¡ (problema 14). La crpresión , 6? =

Az . liar

+

A2lld.a

o

at = ffat + fiau

(5)

* llama difercncial toral o simplemeo,tc dderencialóe z o f, o bienpate p ncipal de Lz o Nótcseque L2 + dz en gcneral. Pero si A¡ = d¡ y Ay = dy son (p€queño$r, dz-cs u¡a buena ^f. Az (véascProbfema l5). ¿t y d/ s€ llaman diferercbles de x y r,, ¡espcctivamente,y do "prári.""iOn-Ja son rcccsaria_ mente Fquclos, Si/ts tal qu€ &) s€ pucdc expr€saren la fo¡ma (l), donde €r y c2 tiendcn a ccÍo con y . -o se dice ^/{ es dilerenciable en (¡, /). La me¡a existenciade Jf, y , no as€gurapor sí misma / ^¡ lá {¡-, -qye diferenéiabif idad; en ca¡¡bio, la continuidad de f, y t si (si bicn esraco tición eil¡eámcnre más rcstricliva dc lo n€c€sario).Si/, y, son continuascn uná región g(, sc dicc que/es coa-r iwanente dilerencioble en fl.

TDO¡EMAS SOBRE DITDREI\¡CIALES En Io quc sigue se suponc que todas las fünciones ticnen prime¡as derivadasparciarescontinuas cn una ¡egión R, es decir, que las fu¡cio¡es son continuamenle difcrenciabtesen {. l. Si z = Í(xL, x2, . . ., ¡¡), e¡tooccs

¿¡ = ffa,,+ fiar"+ ...+ {a,"

(6)

sean¡¡, ¡2, . . ., r; variablesindependientes o dependi€ntes de oras variables(p¡obtema20). Esta es una generalización dcl rcsülrado(J). En (ó) suelcuti¡izarsez en vez de f

[cAP. ó

DERIVADAS PARCIALES

106

enloncesd/ - 0 Nótes€queen estecasoxt ' xt' c' unaconstante, .,r,): Si/(.xr, rr, ¡o pued€nser todas variablesindependientes.

' ' 'r'

Pd¡ + g dl esla diferencialdeIlx' y\ 3. La expresiónP(¡, /)dx + O(¡, /) d/ o' másb¡evemente, .eP ao t" _ dice . . entoncesqu€ Pd¡ + Qdyesúñ diferencialexacta' si. y sofo si, 'ú = K Pd¡ + Qdy + Rdz La expresiónP(x,y,zldx + QG,y,z'tdy + R\x'y.zldz o breve-mente^

def(x, y, z) si, y solosi' esla diferenciat

t# =

X'tf

:

#

t# =

#

se diceentonces

qne Pdx + Qdy + Rdz es una diferencial exacta'

de los Teoremas3 y 4 s€ hacenmejor por los métodosde capítulosposterioLas demostraciones res (véaseCapítulo 10, Problemas13 y 30).

DIFENENCIACTON DE FUNCIONES COMPUESTAS ¡ = g(r,sl y = h(r, s), de modo que z es función de ¡ y r' Entonces' Seaz = 16,i "e¡

,#= v*'# . #,#, x = #,'#.v*'#

En g e n e rasfi u -- F(xt...,x^\ entonces,

Au ó¡r

au AÍr ¿h Ar*

.,., a, = l " (t,,...'r c\ '

x, = f' (r,,...,r),

con

¿u Arn

6u ae2 At2 ar*

(n

k= 7,2,...,p

( 8)

Si en pa¡ticularx ¡, X2,. . . , x" dependende una sola variableJ, s€ tiene Au ilh

du

Au drz ,

taa; 'd;,ll

úa

-

au da" dx" da

¡eglasde cadena,comoselcsdice,sooútilespara t¡ansformarderivadasde un conjunEstosresultados, to de variablesa otro. Derivadasde orden superiorse obtie¡e por aplicaciónreiteradade las r€glasde cadena'

TEOREMA DE EI'LEN SOBREFUNCIONESHOMOGENEAS degradop si paratodoslosvaloresdel paráUna funciónF(xr,x2, ...,.x,) sellamahomogénea p se tienela ide¡tidad metro). y una cienaconstante F(xe' ¡.r2,.. .,r4" )

=

r' F(r¡!2, -..,r" )

(10)

d€ g¡ado4, ys que Ei.oolo: l'(¡, ),) = x' + Xcyz- 5r' €s homogenca + zru'- óv') = r'¡'(',¡/l ^'l't de dicc que si F(tr, ¡2, . ., r') es homoSéoea EI teo.emade Euler sob¡efuncioneshomogéneas grado p entonces(véaseProblema25) I(L,ry) = (I')'+ 2(¡,'XIr)'- 5(\ur' =

¿F

óF

'' a¡

"

|tz

+ x"fr = 'py

c|'. ól

DE¡IVADAS PARCIALES

107

I,ÑCIONES

IMPI,TCITAS En gencr¿l,una ccuacióDcomo la F(x, y, zl : 0 dcfine una dc las variables, por cjcmp¡o z, como hión dc las otras dos vafiablcs ¡ v v. sc dicc enroncesquez cs iiñ;'d;il; na¿"-iiptt"¡n'a, tirttu de,tafttciótt. eytí9no f, coí'z = I6,.yl ¿" t l,io¿o-qí. {¿ yi¡1x,y¡1= O. I¡ difcrenciación de las funciones imptciias no ofrece diñcu¡tad's¿;prc que se tcngs en cucnta @ claridtd cuálcs son variables dependicnlesy cuáles ¡n¿eeenJierrIes.'

¡ACI)¡IANOS si.F(a u) y G(r, r) son difers¡ciabres en uoa rcg¡ó,. se nam¡ ¿ remirrorte jrrcobiorp o sirnprcmcnaitcobtuü, .doFyG'sFctode¡yuctdcte¡minintcfun"¡*a¡¿.*guo¿"or¿"ndcñ;¡d;;;--

4f,c) @-

_

AF

AF

d

ao-

F.

ññ

f,

n

G, G.

d6 A¡áloga¡nc¡te, el deteminantc de terccr orden

dlJ',G,m

@16

?.

=

F"

F.

G, C" C. E. E, E.

rcllamajacobianode4cy¡rconrcsp€ctoa4uyro.Segeneraliza€lconccptoEiodiñcu¡tad.

IltnIVADAS PAXC¡ALESICON JACIOEIANOS l'os jacobanoaeona medudoútirespara obre¡crd€¡ivada.s parciares dc funcioncsimprlciras,Asf, por q¡nplo, dad¡c las ccü8cion6simul¡álrcas F(a,g,ü,o, = 0, G(r,y,u,ts)= 0 t puedc,cn geD€ral,coosidc¡ar{ y r como funcioncsdc r y En fal casose tÉnc (p¡obl€na 3l) ¡. a(F,C)

ar

@fr

ót

üt

qE,q'

er

a(f, c) o(g,o) ¿o a@,Gl' d t-

¡GF'

4r.,d'

a(¡,c)

ai.,¡l - ¿t¡"cl'

4ñt

d(F,cl

A!

a

-5(r.,D d@,el T(r¿,r)='

Estosconceptosse gen€ralizanfácilmcnte.Asl, si se considcranlas ecu¡ciones simultáDeas F(t4o,ú,r,!, = 0,

c(a,qú,r,g, = O, fl(to,ú,r,ú = O sc puede,por ejemplo,considcrarr., u y tt, como funciongsde y x ), eDc_r¡yo caso,

¿l¡,e,El Aú At

alP,C,El

@i;úÍ

iú

a@ ,G ,n'

d=-

@,oñ

@nfr

4F,G,N a$,o,el

con rrsulaadoc parecidoc porá l¡t o¡nls d€rivad¿s p¡fsiatB (*asc p¡oblcms j3).

t08

[cAP. ó

DERIVADAS PARCIALES

TEOREMAS SOBRE JACOBIANOS En Io que sigu€se suponeque todas las funcionesson continuamentediferenciables. L

Unacondiciónnecesaria y sunciente pa¡aquelasecuaciones F(1,u,x,.y,:): S,@(u,v,x, y, z) :0 deñnanfuncionesy y o (porejemplo),esqu"

no ,"u idént¡camente nulo en una regiónQ. ffi Resultadosparecidosse verificanpara ñ ecuacio¡esen r variables,con m < n.

2. Si xy¡son

funciones de ¡ly r, siendoay u funciones de ¡yJ, a(x,V\ = ¿(¡,B)

d(r,y) ¿(u,o) a@,q a0,s)

ento[ces(Problema45)

(e)

queesun ejempfode rnz reglade cadenaparajacobianos.Tambiénsepuedegeneralizar(Probl€masll4 y 116,por ejemplo). 3. Si u = f(x, y\ y u = C(¡, u¡a condició¡ necesariay suñcientepara que existauna relación -y), funcionalde la forma {(a, r,) : 0 entre ¡.¡y u es que p nulo, Resulta(1lx,y) ". idénticamente yariables. parecidos para dos se tiene ¡ funcionesde ¡¡ En el Capítulo 7 se estudianmás en detallelos jacobianoscon int€rpletaciones vectoriales.

TRANSF1ORMACIONFS El conjunto de ecuaciones

f t = F(u,!l \ a = G(u,ol

(10)

deñne en gencral ]uÍ" trunsfomaciórr o reprcsentación(y mcjor aplicación) que estableceuna correspondenciae¡tre los puotosdc los pla¡os xy y au. Si a cadapunto del plano t], corresponde un, y solo un, punto del plano x/, y recíp¡ocamente, s€dice que hay uoa aplicacióno transformaciónbiunivoca. Esto severiñcasi ¡ y G son continuamente diferenciable conjacobianodistinto de ceroen ura región. En esecaso(que serálo supuestosi no se dice otra cosa),sedice qu€ las ccuaciones(10) definenuna transformación o aplicación contiiwmente diferenciable, Por la transformación(r0), una región9( cerradadel plano .r), se aplica,en geneBl,en una ¡egión cerrada ft' del plano ¡¡o.Entonc&s,si Á,1,- y denotan, ¡espectivame¡¡te,las áreasde estas¡egiones,se puededemostra¡que ^,,1,,

't-* = lffi*il

(11',)

dondelim denotael limitc cuandoA,{,, (o 4,4,,) tiendea cero.Eljacobiano del segundomiembrode (1/) es €l llamadoJbcobianode la trunsfomacíón(10), Si se resuelve(10)para tener¡ y u en función de x y ¡ se obiienela transformaciónu: f(x, fl, A** ü : g(¡, y) qu€ es la transÍorñaciónrecíproc4coúespondientea la (r0). Los jacobial * *'1 ' olx, yl 'V dlu,D) de cstastransforrnaciooes son inve¡sosuno del otro (Problema45). Luegosi uno de los jacobianoses distinto de cero en ur¡a regió¡, también lo es el otro. Los conccptosante¡ioresse puedeng€neralizara transformacion€s en tres o más dime¡siones. S€ t.atará de estostemascon más d€tenimientoen el Capítulo7, empleandola sencillanotacióne in. terpretación v€ctorial.

c^P. 6l

DERIVADAS PARCIALES

COORDENADAS CURVILINEAS Si (x, y) son las coordenadas cart€sianas de un pu¡¡todel plano -rjr',se puedeconside¡artambién qu€ (!, ,) son también coordenadasdcl mismo punto, puescono€idas(¡r, ü) sepuedendeterminar (_r,t) or¡D¡líne¿J del punto. lor (10). Las coo¡denadas(a,o) se llaman cootdenadas po¡ar€s (p,ó) deuo puntoco¡tesponden EJeDplo: Lascoordenadas al casot/ = p, 0 = ó. Encstecasolas ecuaciones d€ transformación (t0) so¡ .t = p cos ó, ,, : p senó. Pa¡a coordenadascurvilíneasen espacioscoÍ más dimensiones, véaseCapítulo ?.

TEOREMAS DEL VA[,()R MEDIO l.

Prime¡ t€orco¡ del v¡lor D€dio. Si /(¡, /) es continua en una región cerrada y si las primerasderivadasparcialesexistenen la rcgiónabierta(o sea,excluidoslos puntosdel contorno),setiene Í(eo+h,uo+k) - f@o,uol =

kÍ.(a¡+eb,uo+eb) + k fÁeo+|h,uo+|lc')

0<e<1

(rs)

que s€ escribe a vecescon h = L,x = x - xs y k : Ly = y - yo2. Teorem¡ de Trylor. Si todas las résimas d€rivadasparcialesde /(x, y) son continuaser una ¡egión cerrada y si las (r, + I )'ésimasderivadasparcialesexisten en la región ¿bierta, s€ tiene /

,

.\

1/

¡\'

= f(xo,uo) + (¿# + rft + kíí) f@o,uo') + ... * f(io+h,ao+k) )rO",u,\ fi(n# '

+ n, . *0# + tcf,)to",at

(rr)

donde ,R", resto despuésde ,, té¡minos,es

o<'<1 * = 6+tnftfi**ft|.'tt'"*,,h,vo+okt

(1+)

habiéndoseutilizado la notació¡ ooeracional

Q*.

=

r¡)o^,ao)

¡¡,1,o,u0, + kfr@o,uol

=l h';::; + zhk:+ k2f= lf(ro,uo) (nfi**f,lta,,*t dxda w ' /' \ d t' /

t

etcétera,dcsa¡rolla¡¡ Ot (U*

az

h2f

+ ,r#)

-(ao,yo)

á2

¡r\

+ zhkÍ,y(ú,ao) + k2f

(15) "(eo,uo)

d" maneraformal por el teor€madel binomio.

= y - yq. Obsérves€que (r2) es un l,a (ri) se es€ribea vec¿scon l¡ = A¡ :,r - xo Y k : casoesp€cial de (/3) con z:0. ^y Si lim R, : 0 para todo (.r,y) de una ¡egión se puedeutilizar esteresultadopara obtenerun dcsarroiid?e /(r, ¡) e¡ s€ri€de potenciasde x - xoy y - /o convcrgenteen dicha región, que sellama rcgión da conueryencia.Ests seriees la s¿¡¡sde Taylor en2 variables,fácilmentc generalizablea 3 o más variables.

ll0

DERIVADAS PAR,CIALES

[cAP. ó

Problem¡s resuelúos FUNCIONES Y GNAFOS

r,. si t(r,y) = d-2q+3y',

hallar (o) n-z,slt Ql l:,?,)t

k+ O. (¿) t(-2,3) = (-2 F -2 ( -2X 3)+ 8(8)r= -8+ 12+ n

o, rQ,i)=(i)-{ix;).{;) n, ,pulT@

1

¿

= al 1.12

'r'f

= f,{,.-utt+*l+ s(y+rrrl - t"-2'r+s/l}

g'r'\ i @'- 2't - 2L,+ srl + 6k! + 3E - ¿ + 2.r = = -2, + 6! + sh. f,ez*" + etw+ ttél 2. Da¡ el dominiode definición de las sigui€ntes funcio¡escon valoresrealese indicargráñcamente cstedominio. (ú) l(",v, = ln {(16- r' - s'l)(e2+ a2- 4ll =

L¡ función cs definida y ¡e¡l par¡ todo punlo (¿'},) l¡l quc ( 16- x'z- , ] l ( x '1+ f 2 - 4 l > 0 , o s e a ,q u e 4 <x 2 +y 2 <1 6 quc cs cl dominio d€ deñnició¡ pedido. Estc conjunto consislccn todos lo! pur¡tosinrc¡ior¿r al círculo de radio 4 con ccntro cn el orig.n y exte¡iorcs circulo dc radio 2 dcl mismo ccnt¡o, como s€ ve en la ñgüra. La ¡€gión ^l corrcspondicnte.que ¿psr€ccso¡¡bac¿de an la Fig. 62, 6 laa ¡egióL abkru.

Flr.s,

(bl f(¡,ú

= t6;@;.t-ú

La función cstá deñnida y es rcal pa.a tooo punto (x, /) ¡at quc 2¡ + 3/ S ó, que es el dominio dc defin! ción pedido. L¡ región corr€spondientc(no acotada) del plano ry se vc somb¡eadaan l¡ Figür¡ 13.

3. Dibujary nombrarla superficie del espacio de 3 dimensionescuyaccuación es: (a) 2a + 4V+8? = 12. Trazá sobrccl plano ¡, (z = 0), l¡ recta ¡ + 2y 6, z 0. Traz¿ lobfc cl plar¡o /z (x = O), la r€cta 4/ + 3z = 12, x = O. Traza sobre cl plano rz (y = 0), ta ¡ccta 2¡ + 32 = 12,y = O, Se les rcprcscnta pot AB, BC y ,{C an la Figü¡a 64. l¡ superficiccs un plano que corta los ejesr, ,, y z en los puntos ,|(6, 0. O).,(0, 3, 0), C(0.O.4). Las longirudesO-,{= t, Op : I, OC- 4 son las htertecciones y z rcspcctivaÍ¡cntc. ¡,

cAP. 6l

DERIVADAS PARCTALES

lll

oi* #- $ = r Tr¿¿s sobrc cl plano .x¡ (z

- 0), la clipse

T¡aza sobrE cl plano ,,2 (-y = 0), la hiÉrbol¡

b.

l , t=0,

L_!

Traza sobrr .l plano xz (y = 0), la hipérbol¡ T¡¡za sobre un plano z = p paralclo al plano ¡/, la clipr€

=|

aF;¡¡a-FFi¡m

¡t''+

Al aumenta¡ l¿l a psrtir de cero, la sccción tr¿nsve¡s,alellptica aume[ta da t¡malo. La superficic cs un hipe¡boloide¿e ura tbja (FiA. ó'l,

LIMITES Y CONTINT'IDAJ) 4. Demostr¿r que lim (x'z + 2y\ = St' 2

Método I, por ls definición dc ümit . Hay que mostrar quc dado un . > O, .xist un 6 > 0 tal que I.r, + 2¡ _ 5l < c para 0 < l¡ _ l l < ó,

0
Il<ó y 0< b-21 <ó. entonccs I -ó<¡<

t+6 y 2- ó<J,<2 +6, e¡clu'.lodo

Así, pues,I -26 + 62 <x2 < | +2ó + ó2 y 4 -26 <2y <4 + 2r. Su¡na¡do, 5 -4 6 + ó1 < x 2 + 2y < 5 + , 1¿ + ¿, ,

_ 4 6 + 6 2 <x , +2 y _

o sca,

5 <¿ ó + 6 2

Co¡ó Sl.se lic nequc - 5ó< x 2+ 2¡ , - 5< s r . es t oe s . l ¡ r . t 2 y S l <s r s i e m o r e o u e o
Método 2, por los tcordnas sobrc límÍcs. Ii¡Í k! + 2y)

5,

=

lim r' + lim2y

=

l+{

= 6

Demost¡ar que /(-y, t') = x2 + 2y €s conlinua en (1, 2). Por el Problem¡ 4, lirn /(.r, ¡) = 5. Ad.náq /(1, 2) = t, + 2e) - S. Lueeo lirn /(.y, r') /(1, 2) y la función es conrinuaen (1,2). D" otr"'ir1n.." .. puedahacervcr como e¡ €l primer método d€l problerh¿4, que dado un c > 0 se pucdc .h alla .. r un ó > 0 t al quc Vlx ,r ) - f ( 1, 2\ l < r s i l"r _ l l <¡ , t _ 2 1 <¿ .

6. Averiguarsi t(r,r) =

+2a, (t,u)* (r,2) (x,v\-- (r,2) 10,

(a) ti€nelímitccuando

I y y

-

2, (ó) es continus e¡ (1, 2).

2

lcAP. ó

PARCIALES DERTVADAS

(a) Por el P¡oblcm¡ 4, rcsulta quc lílJ¡!lx, yl = 5, pucs cl l¡rtíre no ticne n¡d¡ quc ver con el aalor de ll ' 2l (á) Como lin¡ /(x,),)= 5 y /(1, 2) : 0, es, pf¡cs,fim /(¡, /) + f(1,2\

t''u'l * (0'0) cn (0,0). (,,s) = (0,0)

de f(r,ul = lb*i¡ 7. Estudia¡l¿ continuidad [0

Scan¡ + 0 y, J 0 dc tal modo quc / = ¿r¡ (¡rcta del pl¿no ¡rl

l:S;T;

pot lo qu. la función .s discontinua

Eútoncas,a lo latgo de cst¡ ¡ect¡,

.. xr - mtxt = .. ,¡(1 -,rr) = lS;+*.'.lE,'-(iñT

l-mr

=

r+-t

c.o-o a mitlll u r,ro"i¿ndcpe¡d.dc la msncr¡d. iendcra (0,o) (€sro6, dc l. Fúdic¡rtetn dc la rrcta)' l¿ funcióo¡ro pücdcs.r continu¡ cn (0,0). Oüo ¡¿údo: f _.¡ I = ¡i m4 = 1 f{ } c o m o.-. l i m.l ¡¡.{,'-, + !' ) ,-. t' l'-o ¡o cxiitc. Lucgo /(x,/)

v' l i m{ l i m#! f rJ [.-o ''

= -1

nosonigualcs, li¡r! t(r,t).

',o

úo puedc acr c¡niiou. cn (0,0).

DERIVADAS PARCIALES &

si /(¿ r) = 2x2 - xy + y2, hallar (o) 0Il0x y (bl aflay et (¡o, /o) directamentea partii de la definición.

=

$

1!3tf#=-!!t

= lin! (,r,.+ 2ñ- yol =

1xo- t,

,u, 91,."", = ¡rta.,r.l = ¡¡' f(¡¡,vo+*L-/(¡o,v')

=

t ñ - t . + z b r r . r E '-::- = i:i k

Ifi! (-'o+2Yo+&)

=

-sr2Yo

como .f,istcn lo¡ limitcs pora todo punto (xp, ¡o), tr pucdc 6cribir¿(¡, t, = f, - ax - y, f,(r, rl = It = + 2y, qw sot¡ ¡ su vq¿ fuocioDcsdc ¡ y /, NótlFr qtvlo.rnahneñte¿(¡0, /o) sa obtienc dcf(r, /) dc¡ivendo oon rcspccto¡ ¡, mantcniendo, const¡lltc y hacicndolucgo¡: ¡o, ), /o. Análogamrt sc obtic'úct(xo, /o) dcriv¡ndo/c¡d rEspocto¡', ú¡ anicndo ¡ co8ta¡lc. Ea¡cFocadimicnto, si bian arpaditivo eo la práctic¡, no da sicrnprr rr3ult¡dos corEctos (vé¡sc Problcme 9), y solo cs l.SitiEo 6i l¡s dc.iv¿da¡ parci¡l€s son coútinu¿s. -r

CAP ó]

DERIVADAS PAR C IA LE S

e' sea/(o,s) =

¡t3

Demostrar que(a),(0,0) y f,(0,0)cxisten am{;u/@'+u"l ,9;í1"-,nll9

bas, pero que (b) f(x, y) es discontinuaen 10.0).

(¿)/.(o,o)= l:I'}@#

= li$* = o t ( o , o ) = l *4 ¿ );l 9 ,!)=l s*=o

(ú) Seax+ 0 y.y-

0 por la rectay:

w del plano,r),.Entonces,¡im ¡1r,¡ = ln _!L

_ =

,iO con lo que el limite depcndede la.rhanerade tenderlas vari"UtJii ponto (0,0) y, por tanro,no exisr€. Lüegof(x, y) no es continuaen lo.0l. que ar cont¡afiode ro que ocurfecon funcionesde una obsérvese vari¿bre,Ia existcncia de raspriúcras derivadasparcialesen un punto no implica la continuidad; d;;" orrr..

Observese asimismo quesi (,,3)*(0,0), L =m,

L=

m,y

f,to.o,,l,lo.0) no

se pueden calcu¡af con soro hacer ¡ = 0 y = o. véase ftota ar finar r del p¡oblema 5(ó), capitulo 4.

r0. si ó(r,y) = x\r + e,'1,halar (o) +., (ü) +,, (c) +"", (d) +"", (e) +_, (f,) +",. C)

i.

=

;;

=

:(¡'i./

=

;- lr,v ra,,\

| c'a1t =

-e ^ ó" = \bj

;u

,. (c) 0,, =

a 'ó á / ¿ó\ i# = e\#)

( d t o ,, = '#

-

ztv. ett"zxa

= =

t n o " , - f fi

=

-

r' + ent'.zry =

B¿,u + a'e,!' r'+

2ry d',

!;o,,u+u,"-') = cru+v'te,e'.v,t= 6ru+yaea

-# G'+zxuc,v\ o+z,v . f , p y * a o f , e , v t

=

k ) o- = ; ;

=

r¿,u - ('..v,

=

*(#)

+ e4¡, '2,

=

=

4r,U2etu2 + zre'yr

f,o,',+u,u-,t

= sr'+ y,.er,'.2,y+ ea..zy

3x' + zrul ert' + zye.e'

*(#)

=

*k'+zrve'",)

= s..,+ zEv.ea.u,r e,,,.2n

= 3E + 2ture.!' + 2ue¡e.

obsérvese que = d€ri. parciales Ó,, fE enestecaso.lo clal s€debea queexisteny soncontinuas¡asscgundas vadas entodo(r, .¡) deunaregión{. Siestonoesasis€puedeteneró,, + ñobhma 43, ór, (vease por ejemplo). ll.

Mostrarqrre.a6,y,z)= (*'+ y'+ rivadas parciales a2U , a2u

d2tl

rF - @'r i7'

z2)-rl2satisface la ecuación diferencial de Laplaceen de-

= u.

Sesupone que (r,!,,2) * (0,0,0). Enlonces = -l(¡¡+ tJ'+ z't-u.. h = -,(r' + u'+ z,l-'t, ; e.tl

;;

=

arI-'@¡+ t' +.'l-',1 = (-"r[-tl't + u' +¿la]'. zE)+ 1,+u,+¿!r-.,,,(_L,

[email protected]#T,-8##= ffi

n4

lcAP. 6

DERIVADAS PARCIALES

a,u

Su m a n d o .

1 2 . Si z = ¡r

N,U AUt

¿IIJ 4.1

tg -' Y-,h a l l ar

r ¿/' /\ j r+ l ' J l rf -la:_n\t/

, Ay

d' z _ dr dy

af ¿¡ \ or\du/

=

cn (1,1).

¿rdy =

'¡ '- ' xl -u'

¿/__¡' \ ¿¡ \¡z + y¡l

_

1 r

f ;' + 7

( r : +y , f 3 / )

- _ ( r ¡ ) r 2 ') =? . q - t . o

-

I

en (l' 1)'

El rcsultado se puedecscribir.r,t(1, l)= l. lv¿¡a: En estecálculoseutilizael sc¡z¡, continuaen (1, I ) (vease obs€rvación al finaldel Problema9). 13. Si/(¡,),) cstá definidaen una región,R,y si 1," y L demostrar que f, = fy en ese punto.

existeny son continuasen un punto de9R,

Sea(¡o,fo) el punto dc R. Considéres€ G De ñ n a sc { t)

=

¡(ro+ h,uo1'k) =

ó F ,u \

l l ¡+h,ül

-

l \t,v)

13) C = é(to,y..t k) - ó(¡",y")

Luego

/(.ro+¡, yo) + /(¡¡,ro)

/(ro, ¡/0.1k) -

(3) ,r(¡,r)

lll

= f|,u+k)

-

l (x,v)

C = ,r(r.+ h,vo\ - *k,,u",

Aplicandocl teoremadcl valor mediopara funcionesde uÍa variabl€(v€aseÉgine ól) a (J) y ll) setiene ( 5) G k o, lr n,u n + r , É ) = ¡ r {/ . f ¡ " +r ¡ , y . +¿ , k ) 16) C = h, r , , lt o+c . h , u o t = h l l , l . t o . ro , i t , u , +k t

. L ( . r oy,o +¿ ¡ Á 1 ) 0
Aplic¿ndo otra vezcl mismoteorcma a (J) y (ó) s€ti€nc (7 ) G = hkfÉ \ro+ c,r¡,ro+ r,¡r) 0< rr< i ,0< c,< l l E) G = hkl ,,(ro+ tth,uo+ o.kl 0< r¡< 1,0< r.< 1 De (7) y (8) resulra (9 ) l y\ro+ al h,ao+ctkt = Í,,(,,o+ e,h,a" + 0& ) Haciendo¿+0yk-0cn(9) setien€. puesto que/,, yf, sehansupuesto continuas en (ro.),o), h,@uud = l_lro,url problema comoseañrmaba, Paraun ejemploen queestono severi6ca, véase 43.

DITERDNCIALES 14. Sea/(¡. r') con primerasderivadasparcialescontinuasen una región { trar que f(a + M , V + l y) - Í(r,rJ\ = donde €r y €2 tiendena cero con y ^x ^,r. Aplicandoel teorema Ll

f,Lr

del ptano r.-t,.Demos-

+ fyru * tra!ü a e,r!/

del va¡or medio para funcionesde una variable(pagina6l)s€ tiene

(Il ^l

= =

( / ( ¡ + a ¡ , y +a ? / ) - / ( ¡ , r +. r 1 / ) ) + {/ ( ¡ , r 1 r y ) - / ( r , y ) i a¡ / . ( .ú +¿ ¡ J x , r '+^ u ) . t L ¡ J1 , 0 , l t + c , J ! 4 0
l l5

DGIIVADAS PARCTALE,S

cAP. 6l

Comopoahipótcsis L y,

lon contrnuas, result¿que f,6 + 0tA',y + Ayl: f,(x, y't+ eb f,G,y + 02Ly)-- tlx,y) +.,

donde cr +0,

é t + 0 co n A¡ + 0

y AJ,+ 0 .

Asl, pu€s,A/=r

¡ + fAy + ¿Ax + crAl comoseroquiere. Defnicndo& - dx, Ay = dy, * rif;rÉ. = Í, ¿x + f, dt + q dx + .2 dy. ^Í .lf - f,dx + f,.ty * ll^Íta diftencial d. f (o z, o pne príncipald. A (o Lz). = x2y - 3y,hsllur (a) Az, (á)dz. (c) CalcülarLz y dz si x : 4, y = 3,&( = -0,01, f5. Siz:/(¡,/) Ay: 0,02. (/) ¿Cómo se podria calcular/(5,12, 6,85) sin hacerlo dire€tamente? Solucltu ¡ = lal ^. = =

l(E+Ár,r+^vl- f(4,!l {(¿+ar)r(r+ar) - 3(!+ar)) - ltdy- 3tl 2'v + lrr-A)Lv + l^'r'y + 2r6rLy + (Lxl.LI ^,

ta cum¡ (.r) 6 b pate prhcipl

(ó)

úc & y 6 la difereícial dc z, o 3.a, ¿. Asf, pu€s,

dz =Zxy6x + (.x'_ 3)A),- 2x, d, + (f - 3tdy O|||o Détodo:

d, =

;dx

+

ñdy

= zty *

';

+ lx' - 3l dy

(c) 62 = flt + Lx,r+

-0.01 3 + 0,021- ll4,3, ^yl-f(x,tl=/(4 : {(1,99f(3,02)- 3(3,02D- {(4F(3) - 3(3)} = 6,s137e2 dz = 2ty ¿r + (¿ - 3l dt = 2(4X3X-0,01 ) + (4, - 3X0,02)- 0,02

Nótcséquecn cstcaaso&y¿sonapro¡imadaneÍtc ¡tüalca,loqucsc debea quc A.r : dxt 6f: son suñcicntcmentcpcqueños.

¿t

(dl Hayqu .ha llar / ( ¡ + Lx , y + Ly ls i¡ + A¡ = 5, 12y , + ^} : 6 , t 5 . E s t o p u . d e h a c e r s . t o n a o d o y ,r = 5. A¡ = O,12,y = 7, Lt = -0,15. Como son pcqr¡eño6,sc t¿'ne quc /(¡ + A¡, _v+ A,r) = dz, cs d€cir. a z + y'z. f(x, yl + Lz es ¡protiñadamcote i83.tl a flx, ^¡ fl + ^,r Ahora bicn, z = f(rt y, = f(5,71 : (5F(7) - 3(7) = 154 dz = 2x! d¡ + (x'z- 3l dy = 2(5X7X0,12) + (5'¿- 3X-0,15) = 5,1. Así que el valor pedido cs l54 + 5,1 = 159,1apro¡im¡dam€nte. El valor qüe sc obrieo€ cakul¿ndo di¡ecü¡menices I 59,01864.

tó.

(¿) Sea U = x2¿t'- Hallar dU. (ó) Mostrar que (3x2y - 2yz\ttx + (-t¡ - 4.r), + 6/2)dt se puede escribir como diferencial exacta de una función {(r, y) y halfar ésta. ftr) Mótrrdo¡:

ff = ,*'(-Y) * u*', ryr,- "."(I) atl ¿tt :;d¿.

dU

l.ucgo

-

+ -¿; du

=

lzzcí. - vei:'r¿r

r r!t:.du

Método 2: dÚ

= =

+ ett' d(r't = x'c'k ¿(ul'\ + 2xe'h ur + 2rc,,,1t, = t:o,e,t.- yt:"¡,tdx + .c,t. dv "*U \¡'/ ",",.("q r'¿kr)

(¿) Móaodol: qu! (3¡'y - 2!'l d, + (t'-Ary+6t)¿! Suponieñdo

Lucso

(D a# = s,'u - ztt,,

=

. = tr$

¿óiut

aO lzl ¿V = x '- 1 ¡ y *6 s '

+

¿ódjrdv,

I Ió

[CAP. ó

DERIVADAS PARCIALES En (,1), integrando con respcclo a ¡ y nürnteniendo J, constante, se tienc q:x'y-2xy'z+FQtl donde F(r) es la (constento de intcgración. Sustituyendo en (2) se tieoe x3 - 4x¡'+

r"Cr') : 13 -

4xy + 6y2, de donde

P0,)=

6¡'?, es decir, F(!l = 2y3 + c

Luego la función pedidaes ó = xty - 2ry2 + 2r3 + r, siendoc una constantearbitmria. que por el Teorcma3, É8ina 106,la existcncia esindudable,pues de una funciónsemejantc Obsérvese si idénticañente. 6y2. antonceslPlav=3f -4t=aQlAx si P-3¡2.v -2yt y Q:xt-4xy+ AP/Ay+ AQlAx, no eristiria €sta furción y la expresión dada no seria una difercncial ex¡cta. Método 2: =

l}rtu - 2!'t d. + (a'-4'a+6u1)da

=

- Qv'di+ 4.y clu)+ 6a'du lSxlvdr + ''tlul d.lx'u) - .llz¡,y')-+ d(zus) = d(r'! -2,a'+2v'l d('1v-2ra'+2a'+ c)

Asi que la [unción buscadaes x]¡ - 2xy2 + 2tt + c. Este m¿todode agrupacrór¡dcperda dc la habilidad que s€ tcr¡ga para reconocercombinacionesque sean diferencialescxactasy es menosdirccto que el Método L Naturalmente, ¿Dlesde intcntar aplicar ninSún método hay que averiSuarsi la exprcsióndada es dife¡encial exactamedi¿ntcel T€orema 3, págine 106.Véaseúltimo Énafo del Método I . DIFERENCIACTON l?.

DE FUNCIONES

COMPUESTAS

Scan z = f(x, yl y x : ó(tl, y = ry'(,) con /, ó, ry' difcrcnci¿bles por hipótesis. Demostrar que

d.z

¿l

az dV = az dx atll - TuE

Por los rcsu¡tados del Problems14. seiiene jaz* az¡l' < I z = . . L2 = - .

A¡,

axl

atT" l a, ar ' avrl - ''rr - rn l puesparaAt-,0 s€tienelr-0, .|y-0,.,-0, ,''r,^+'#,*'H A¡

,'ll" Af

l E. S i z = e ' v ' , & = tc o s t, d,

¿zd,

y= ts€nú,

dzda

--

dz d,

d2 dy

arat - avü

cal c].tl ¿t d¿l dte¡ t--¡12.

-cosú + sen¿) + ar-ü -{!'¿¡!¿)(-ú s€n¿+ cos¿) + (24r¿4rx¿ * A¿r: = G't4)\-n/21+ (oxl) = -r!/8. EnL=n/z, x=o,s="tz. Lt)ceo4:l _=

,

I

OEo Détodo: Sustitúyase x y / para obtener z = ¿'í¡ztú't

y derives€ lue8o.

que y U= probemos 19. St z=f(r,a\ con r=Q@,o\ 'l'(u,vl, azalJ Az azar at ax ... az = dzar (o) (¿) '¿?,lrr+ a, ao ' ñ ou' dl, Au ay ¿¿' Por el Problema 14. supuestasdifcrenciables/. Ó. t¿. se tiene

ar Ay *#, ^**. , **'*}= '#'#*AlJ Au ,; = ¡ r ,# - Jr"{#^#

(¿) El rcsultado se dcmuestracomo en (¿) remplazando A¡¡ por A0 y hacicrüo Áo r 0 a,

aJ

20. Demostrar que dz : ? dx + J dv, aunque¡ y y sean v¿riablesdependicntes. ' tlx rlv ' supóngasc que t y y d"p"nd"n

\1) dt

=

d" tres variabl€s ¿, ü, ¡¿, por cjemplo. Entooccs,

x"d1¿+ r:,do + r-du

12, da =

u.dL + a, d1' + v-dw

crP. ól

n7

DERIVADAS PARCIALES

Asi que z, d:r + z"du = =

lz,r.+.'u,ldu + (2.""+ z'U¡du + (2,r" + zyu.\tlw z,& + ..du + z-du = dz

por obviasgcneralizaciones dcl Problemá19.

2t.

Si

r =pcoso,

? = xx-xu+Us,

hallar (a) dTldp, P) AflA+.

tr=psené,

ql = if +r lp ttt op

= (s,,.r)(cosc) + (s!,¡-,)(scn 1TP o) dlt ntt

itT

aT dr

aT ¿,

=

A

f

fr*

=

u rt

(3 ,¡.-yX -ps€nr)+ (3y' -5X pcosó)

Lo quc tambiénpuedehacersepor sus¡itucióndirectada ¡ y / en a E = Bt2+2s, U = 4r-284, z = 2t2-3st, hallar @, aAl|r,

U=zsenAh

con

,.

aU

aU ¿ ,

dud!

aua|

'-'

dr

A, Ar

du Ar

Az At

22. Si

p) aulas.

=

* {(,-";X-"")r*r . {(,*")$}tor (*"3)ro"r + 9"o"!

-U + . "o"L

(ü)==

* 4r s en4

d ua' , ¿Ud! , aI l az ¿r ds - dadt - Ea. (t

\

r

* (*" a)-."r

\l

c) "* ,/ (i).", -"c [\ -ry. - 9& "o"! - 6,,.nI "o.!

.ll ,

,/\

[\

)l -4) lrzr + .ll , f' l.,

23.si ,=pcosó,!=pgenó,mostrarque (#).

= (#).

(#)

"t(#J

Emplcando la notación por subíndiccspara deriv¡das parciales, Vo = Yo =

V. r n+

v ' u,

V' r o+ V, v a

= =

(r)

Y 'c o s É + Y 's 'n c y '( - / ' s € n é )+ y '( p c o s é )

(21

Dividiendoambosmi.mb.os de (2) por p se tiene Ivo

=

(r)

- V. s cn É + t ', c o s o

Entonc€s,por (,1)y (J) sc tiene =

v; + lv¡ " p '-

( v ¡ c o¡ é + y , s c nÉ) ' + ( - v , s € n ó + T y c o s o ) : =

v:+

2,f, Most¡a¡ qrre z : f{x2yl con / diferenciable satisfacea x(A4Ax) = 2y(A4Ay\. Scz z'y = ¡¡. Luego z = /(1¡). Asi que

a:=Y Y =flur-:.'u, A,

¿z -Enronccs rfr

¿u itr

t1z = fltt')'zt'y = l'lu\'zr'u, ^2!r;t

Az dy

¿z A1r ¿u aU y

es ,a-:

_ zull -dz

vi

I

_

..

8

D E R IV A D A S P A R C IA LE S

[cAP. 6

I Otro mótodo Sc licnc

dz = l'|,'y\ d.(r.yl = l'l'turg,v d, + rr ttlt.

También

, d2

=

e,

= zxr I'k'Yl,

Entonc€s,

¿;

dz. dr - ( lt+- fl .

Aady -

Effñinando /(.rr/t s€ricnc ,'#

A.

= t'¡'1,tn¡

¡;

= ,rti,

25. Si para todo valor del parámetroI y cierta constantep, F(Lx, ),y\ = ¡,'¡(,r, y) idénticamente, supuesta¡ diferenciable,demostrarque x(aFftxl + y@Flayl = pF. Sca¡,¡ = r¡, ¡'} = u. Entonces, f(*

u) =

¡r ¡1"''¡

La derivada con Fcspcctoa ¡. del primer miembro d€ (r) es ¿F dI

¿F dt. , áFar, r ¿ dr ¿ r t¿ r

_ =

¿f, , aP-. ¿tt' + ¡ru

L¡ dcriv¿da cor aasp€ctoa I del sc8undo micmbro de (r) €s plr- tf. Luego

"fi

+ ,t-^L= p)!'-¡ ¡'|

(2) de modo quc u : x! u : l¡, se lÉnc xldFlAxl + yQFftyl pF. H¡cicndo I - 1 cn -

26. Si F(r, y) = xay2len- | yfx, mostrar que x(?Fl?.xl+ y(dFQyl = 6F. Como(¡1t¡, D) - @t)'(l¡f sen-r l"yfl,x : *t-t ylx = l6f(¡, /I setÉnc el rcsultadoa patir dcf Probfema25 oodp = 6. Dcsdeluegose puede ''6,lf mostlgrtambiénpor deriv¡ción,dircctamcntc.

I

a1

Dcmostrarque y: Jr(.r+ at) + g(x - 4r) satisfacela ecuaciónALy/At2: a2(A2y/dx2),d,onde dos vecespor lo mcnosy a es una constanle. / y g se suponendiferenciables Sea¡ =.r + rrr,¿'=.r _ rrr de ¡nodoque f =/(ü) + gk\. LtegDsi f'\ul = 4f/.1u, g,(b)= dgl¿u, a Y = a Y tu .0Y = ¿Y ¿u. aY dr = + ¿ Y a 1 r= at,(ut - ¿slt't, t'@t + s'(t', n i"¿, a, l; ;r¿,:+-na" Derivar¡do otr¡ v€z y utiliz¡ndo l^ l¡ot¡riiófr l"lul

at'#

= #

= d2flA.2, g"(ol = d2gldD2,* tierr.

= ú*t# t#t+ = *1",'(u,- "c'a}ft,t+*{o/,(¿)-ar,(ü))(-o) = o,t"lül + s, c"(,,

@ ,# = * = * # .# H

= fi(t'trl + c'@tl+ fiU'|ül + c'rrll = ¡"11'l + s"l1',

De dond. por (t)

L

y l2r; ¿,Yl¿t' = L'Q'Yl¿r'r.

DERTVADAS PARCIALES

cAP. 6l

y=¡+2r,

2t. Si,t:2r-sy

averiguar ffi

L\ego A4Ax = 2/5, asldx: aU at

a'u = ñi;

ó /au\ au\f; )

en función de lasderivadas conresp€cto a ¡ yr.

= l2x+ y)/5, s= l2y- x)/5. = ll5. óslót = 215. Por tattto, -U5, A4dl

2r - s, y-,

I y r de ¡= Dcsp€jando

I l9

d Ud ¡ Ar d t

=

*rrr,

aU at üdt

2dU 6A ''

l au 5¿t

d lzdu I au\af , a lzau lau\¿, a'\5 a' - 6¿")a *¿¡\5¿' - 6f)¿"

1 ¿'u \/1\ 1 ¿'U\/2\ /2 ¿'U = /2 d,u - Ed,a')\f/ - \Er,r'- 6 ¿fi\E/ \BF

1/-a'u .. d,u__,a'u\ z ,6v;7-t ó#6; - * )

=

que U tienesagunda¡dcnvsdasparciálcscontinuas. suponicndo FUNCIONES ¡MPL¡CITAS Y JACOBIANOS 2 9 . S i U= x 3y , ha l l a rd U /. s ; (l ) x 5 * y = 1 ,(2 l x z

+ yt:t2.

(r) y (2) deñr¡crr l.as €cuacioncs ¡ y y cor¡o luncion€s(impllcitas)dc t. Derivandocnton@scon rasf'ccto a I sc lienc

(t,

ídklddtl

+ útldt

(t, zekbldtl + S?¡(ttuna, = 2,

= |

Dc (J) y (r) sc obticnc para dxldt ! dyldt,

4. = l;,r'r'l = 1 6s'r-zt dt tl -2 r '

u= l' ; : : r l .tt

16,. r I 12, st¡ |

f 6 r. I | l 2ú 8u' l

l0u1t - 2,

@4

L".Eo # = ü*#*!f"H = o,'a(#r%).t,r(ffi). 30, Si F(¡, f, z) : 0 define z como función impllcita de r y ), en una región 9( del plano x¡, demostrar que (a) Ay'dx : -FJF. y (b\ dzldy : -4/F. co¡ F, * 0. que: estlnciónde.r y ). Puesto Lu€go d¡

=

¿F. ;tt

d,

=

fia"

áf , a¡' + d! + -;;¿" l¡

Como ¡ y / son indapc¡die¡¡tasse ticnc aF Az = . . ¿F { r } i- * : -

=

+

fia*

laP . aF d^ . ¿")"" \-l;'E

/¿F ¿F dr\. * -r, lj '\¡t )dt

=

t

aF az = u -oz - dy de donde rcsullan lor valorcs busc¿dos.Si s. quierc pu€d€ncscribiBa dircctamentclas igüald¡d€s (r) y (2). 3!.

(,-. r r : - faF

0

oy

Si F(¡, r, t¡, u) = O y G(x, y, u, u\ = 0, halla¡ (a) óu/Ax, (bl du/Ay, kl AD/dx, @\ Av/1y. La¡ do3 acuacioncsdcfir¡.¡ ctl gcocral las ri¡blcs dcFndi:rt6 ¡, y o como funciooas (impllcilas) da las variablcs indeFndicntes ¡ y /. Con la ¡¡ot¡ció¡ por sub¡¡dic€! sc licnc U, dF = l2l dG =

F,dr * F'dy * I'. d¡¿* F" dü = 0 e,d, + G,d, + C"¿u + C,d|, = 0

Asimismo, pucsto quc ¡ y 0 son funcioncs dc ¡ y ¡ (t)

d¿ =

b d, + nr d!

(¡)

dr

=

1',1t, + \tty.

120

[cAP. 6

DERIVADAS PARCIALES

Sustituyendo(J) y (4) ¿n (r) y (?), (5) d.F (al dG

(F, + F. ¿, + F"L\ d, + (r, + ¡" 1', + F.!') da (G,+ G.t¿, + G,t.)d" + (G' + G.14+ G"tt'lriv

= =

Como x y ¡ son indcpendientes,los coeficientcsda d¡ y d/ en (5) y (ó) son nulos. LucSo se ti€n€ ,r .' ,,

f ¡ ' . u' ¡ P 'P , = = lc , u, ¡ 6" 1 1 ,

-F. -G.

,^, *'

f F , '¡ , + F , r , ' =

-F

io'u, + G"u¡ = -G,

Resolviendolos sisteñas(7) y (8),

a(¡"c)

l-F. r. I | -c' G,I -ff,I lc. c . l .. \c) u'

=

Au di

-f, |

¿(¡',c)

I F" ¡, I

¿(r,c)

lF.¡'l lc" G. l

á(¡,c)

lF.

_ lo" -c, l _ _ a6;l

_ ¿(r,1)l

¿(r,G) a\u,rl

F l | -F t-G , G, I

7;,1,I I c. c, | a(r,c) I F. -¡', I _ lc. _c, | _ _-rt¿,l

l ¿ r , =-

l F .F " l l d " G" l

¿(ü,r)

de F po,¿ l-{4) * el iacobiono funcional El dcterminanre I' | ,¿"noruoobi"n po, 94o '-'- --- |I {' ¿(¿¿,') ' o. G. | -''---' \t''r/ y O con resp€clo a a y u sesuponel0 parci¿les podriandars€rcglasmnemotécnicas buscad¡spor los lasderivadas paraescribi¡inmediaram€nte jacobianos (v€setambiénProblcma 33). yy u-2u2:x - 2y, hallat b\ AulAx,(b) óoltx' (cl dul?v,(d) 6aldv. 32. Si ¡2 - u:3x* de I y /. Enü y |) comofunciofies a ¡, considerando dadasconrespccto lasecuaciof¡es Méiodol: Defívens€ tonccs,

n Desp€jando,

(r)

= s

z u ! -P

# - ^ # ='

1- 121) ar au t; = t-ñ;, ¿" -

Derivando rc$pcalo a y se lie¡e

ot 2"fi-fi = t uerpcj¿ndo.

Au au

-

-2- 41t 1- 8r-,

AD = ay

(1)# - * # =- '

-4tt - | t- 8,,-,

Se tien€, dcsdc luego. supuestoqüe I - Et¡u+ 0 dadasson F - ur't Méiodo 2: Las ecüaciones P¡obl.ma3l A,t

_c({.a dlr,r)

- ¡ + 2t - 0. Luegopor €l

- 3¡ - }, = 0, G = u -2ü'

lr ' ¡ " 1

l- r - t l

l - 1 - 4 1 )| _ _ lc . c , t = - P . F . -r I lr. I I r -1ul lc . c ' l

-

1- 12L' l -8¿t

parciales que 1 - 8u¿'=0. Análogamente s€obliencnlas otrasdcrivadas siempre 3d. Si F(u,o,LD,r,y\ = O, G(u,u,to,r,lt)=0, ,. á ? ri ,,, a ¡t ,, aw l (ol ror \") arl,", arl,' ,1,,

H(tt,tt,w, t, y) = 0, hallar

crr_ ól

DERIVADASPARCTALES

t2l

De 3 €cuacionesan 5 va¡iablct ra puadc (sl maDo3tcóric¡mcntc) dctcrmin¡r 3 va¡iabla¡ cn función de l¡s otras 2. Asl qüc 3 dr las v¡riablcs roD dcpcndicntd y 2 sor indcfrcndi.r¡tca.si s. quicrc avcriSu.¡ ¿r/¿/, sc sabria que Des una variab¡cdepcdicnt! y / un¡ ind.pcndicntc, pcro no re ¡ab¡l¡ cuál c¡ l¡ ora -vcri¡bli ín
¡. ?¡, + .F. ,' + F. r.,, + ¡', = 0 (r) C" ¿¿,+ C, o, + C. rr,, + C, = O (tl E,rr' + H.o, + H.u, + H, = 0

Resolviendo el sistcE¡, sa ticDc p¡ra ü,

l ¡. & ¡ , 1 lc. c, c. I

"'=

lH. E, E. l u l , = -fr. r. Fn = '

d!l

c. c, I lc. t H. H, H - l

I¡s ccu¡cioncs (,f), (2) y (J) sc pud.!

á(f, c, L) AQ,,U,@,

a@,c,8\ ¿1r,,a,$,

t¡rÍbiétr obt trcr po¡ dif.r.nci.lca corDo cn cl probLrnr 31.

El Détodo dc losjacobi¡ooú oriaüto r¡uy bicn por¡ cac¡ibú loc rcault¡do6dc inmadi¡to. coño !c r,! a¡¡ astc protrler¡a y en d 3r. Así, oh6érvr.. quc ¡l celqrtar $l t. u rcouao cs cr opu6to dcr cocicr¡& d. do6jacob¡oy no6' cl trumcr¡dor, qr¡ccotrti.tr l¡ v¡risblc ild.pcodi!út /, .l dctromin dor quc conticúc |¡ va¡i¡bb d.Füdint o cn la mis¡n¿ püició¡ Élativ¡. Mcdi¡¡ta cstc cquq¡¡, tc ticnc cntoúcc.

¿(¡',c,¡l) alJ'r''/l (ó) gl = - @f. d(f'e,m

a@,e,m

¿(r.,r, 1,) c)#1, =-d@,e,8)

a@,y,t,

lr.si d-rz-y

d(úrt,a1

= o,demosrrarque = -éi:# #ú

I)ifc'!úciando con ¡csFcto a ¡, msntcr¡ihdo / constaútc y rccordando quc z cs la vari¡blc dapaüd¿nta que dcpc¡de dc l¡c irdcFndicotca x y /, sGüc¡a

v

= o

3r#-"* -.

u,#=#-

Difereíciando con n-stlacto a /, mantenieDdo¡ @¡stañtc,

a¿!-z!

- I

= o

v

@t #= E¡ +

Diferenciando(2) con rcsp.cto¡ y utiliz¡ndo la (t). ¿'. _ | - 8.lrll8..(..a2 -t .\ ¿"¿u- (s,r=;F\*ie - t) = ---Gt=F-

r\l

= - 32'+x aii--át

El r€sültrdose pu.dc obtcnc.tambiéndifo¡enci¡ndo(r) coo ¡.rpocto¡ / y cmplcandota f2). 36, Sean¡ = f (x, yl y ¡ = g(¡, y) donde/ y g sor continuaro€ntc dif€renciables en cicrta ¡egióngR. Demosrrar que una condición necesariay süfcle¡¡te para quc eústa una rclación funcionál cntre rry r delaf o¡ m ad( í,!)= O e s l a a n u l a c i ó n d e l j a c obi ano,.uo" r,eu.ffi -Oi dénti camcnte.

t22

DERIVADASPARCIALES I¡ Gdó.

H¡y quc demGtr¡t quc ii .xi3t la Glación funciqnsl ó(r¡, t) A t u -D l 0. Par¡ cllo nótcla quc rlulo, -:::-:.: olx, rl -

é Erlr

j¡cobi¡no 6 iténti(rmata ¿7 = =

1.t,¡a + ,.da -- ,.(t lt + ü{-.d', + [email protected] + a.di = o (.,t,+ o.tt)tb * (1.*¡ + *rJdr

= 0

(r) ,.r, + 6r,

Lu.go

(t)

Aü

+ ).at

=

o

P.ro ó. y ó, no pürd.r lcr idénticarnent ¡ulo6, pucr crlonccs no habrí¡ GlacióÍ

l. hipótcsis. Lucgodc (r) y (2)f.surra *"

;; l= #i

lt

= 0 idénricsmcntc.

= o idhrirrr¡cnrc, H¡y qücdcmcrr¡r q¡¡. si cl jrcobhne .-1!a9! gtx,yt ü|! rd¡cióo fu¡cioú.I cúl¡. r y o, cs dccir, úk,ol O. r¡ .ffi

.. ú..aa

s. süporc prim¡o qu. ¡¡ = 0 y r,, = 0. E¡ G.tr c¡!o, cl j¡cobia¡o cs lt¿otic.r¡c¡tc nulo y a¡¡t! ar, dc Í¡odo qrr !c titúG la Élació¡ ñ¡trciot¡l ürirl r¡ = cr, Supó¡943. ahora qu. no ron ¿tnbas¡¡, = 0 y Í, 0i !aa, por c¡¡¡¡plo, ¡q + 0. EntoncÉs, .l T.or.ú¡ I , pógiD¡ loE, .. pucd. dcsFjar ¡ c¡ la ccu¡cióu ¡ - ,,1a /) para obt nG¡¡ = !c d€ducequc

(11 ú = t{F(ú,y!,!l

l .,i.

Ql !

- 'lF(r',,ü,

rl

I> dordc, rrapacüv¡oa¡t!, (t) 0)

&¡ = ¡.d¡ + t'ttt = a{F.th.+F.4r+q.lr do = o.dz + o.¿r = ¿.(F.dr* F¡dr) + tr.l,

.iii

= &F.d¡ + (¡,f'+ = + (o.f, + ",f.dr

Dc (rI ¡.,¡. 1' .tf -ll :li

(t)

| y u,Fr ur-O o (5'lF,= -t Jtr. Co¡¡lo qoe (r) !c conrirrrc Go ¡to = t.F.ttt'..r bt.l-al*.,* ¡ttl itv = ¡t.F,dt * (g'.ff)r"

rcro,oorrirotc& ffi

=

lf.

;l

= *,o' - :a,'a.= 0 it¿otic¡¡¡cntc,

vic¡tc c¡ du = o¿ ¿. Erto lig¡ific¡ cs.oci¡l|¡.otc qu! coo Elp.cto a l2L dolAy= 0,lo qt , úo cadcpc.di!úi! d. ¡ doo qr¡c d.p.¡dc sol¡únfc d! $ cr dcir, $E ¿ 6 fulc¡óD d! ¡, $¡c d.cü qr¡c cf,i!& l¡ ¡drióo fu¡cioal ó(¿ ¡) = 0,

3ó

(¿)Si¿= flLrt

t - tg-rx+ te-¡r,ballar ffi.

(ó) ¿Hay relación funcional entre u y u? Si la hay, hallarla. | 1+ r'

ge4 &) 3l = l{r-rr)' " a@,i = l: lt¡ t'l I r I r+d

(r)

l + tr

I (t-.'v)'l = o

1 | t+r,. I

si rrll.

Prfo po¡ d hlcor 35, cooo d jmbi¡do 6 idá¡ti¡ErúG ¡ulo cr¡ u¡¡ ¡!Sión, drbc = 0. E to ¡c ñ¡rcidal cúU! ¡ y r. Sc tn quc &ta cs tg¡, ¡, crlo G.,ó(¡, !) - ¡ - rg, Éc1¡mc¡t! rc$lvitddo pü¡ dcQejar r, por.j.ú!'lo, c¡ um d.l¡s éo¡cior¡6.y lr¡c¡o otr¡. d. ¿ ¡g-¡ r l tt-r, se d.ducc tg-r ¡ t8-r ./ y, po¡ t¡¡to, -, ^1, tg u - rg (tg-¡y) tg, - t

_ f;l¡ffi ¡ - rs(r,_ rg-..),)

=

ffi

Quc s¡¡ti¡uido cn ¡ = k + yV(l - -v) y rimplilc¡¡do d¡ ¡ = e r.

c¡P. ól f i.

DER¡VADAS PARCIALES

(a) Si tí:u -o+tc,

y = u2

- t¡2- w2 y z:

123

ur + ¡. calcularel j¡cobiano gt,l.tl olu'D'wl '"

(á) explicar el significado de la no anufaciónde estejacobiano.

1 -l 1l 2u -2i' -21/)| = au' 1 0l

bt !!".!'4. =

üou:+2u+C|/'o+2u

(á) I¿s ecuaciones dadassepuedenresorver simurtáneamentc paraobtener¡¡,o, o eo funciónde& ¡ .¿enuna regjón9t si el jacobianono esnulo en gt.

IRANSTORMACION-ES, COORDENADAS CURVILINEAS 3 Una,regióngt_det plano-r) estálimftada.por: + y:6, x y = 0. (a) Determinar - y:2y la región9('del plano nu €n que se apliia 9( por la transfórmacion x=x+i), l:u_r. ,¡¡ r. -t

lá) calcular

ffi

1. ) cofnpo.ur el resultado de (¿) con la relación entre las áreas de {

y g(,.

(a) La regiónfR sombreadaen l¿ Fig- G6(r, es un t¡iángllo formadopor l¡s rectas¡+y_ 6, x _,=2 y J' = 0 que aparecene¡ li¡¡eas de puntos, de trazos y de tr¡zo grueso rcspecuvamente.

(d) pla¡o rt|

(ó) pl¡no ¡r¡) Fia.6¡

Por la tmnsfonhació¡ dada, la reoa + l: 6 s€ translorma en (¡ + D) + (r.r_ o¡ _ 6, s5¡q es, - : 6 o u = 3, que es una recra (la de -y 2u puntos)en el plano ¡¡¡rae h'nigurá Gila¡. s€convierteen (r , Análog nente,¡ -]:2 - q - o) = 2, o sea,u: l, qüe es de trazos).de lpla no¡ ¡ r . D€lanis m ¿ñ¿ner ¿,1r) 1= 0s e v u e l v e ¡ r - r =0 , o " " " , r ] u , q u e e suna l a ¡ e¡€cta c t a d(ta e l¡azog ru€ ltoe ne lplano¡ r L, . As iquelar egiónbus c a d r c s t i ¡ i m i t a d a p o r i =2 , 'r ''=l y ü =D y s e d i b u j a sombreadacn la Figu¡a ñ(¿1.

(¿) !j1'4

!;v+o fio+o>

= da ¿y 0L

¿1t

fto-'t Sp-o¡

l-1

(c) El.áreade la regióntriangular €s 4, en tanto qt¡c la de la t regióntriangul¡r es 2. Luego entre ambasc! 4/2 = 2, que concuerdacon el valor dcl jacobiaio en (á).-comot. jacou¡ano la rel¡cjón ! cs constante en esa€c¿so,las áreasd€ cualesquieraregion€sgt del plano .r1,5s¡ el doble de las áreasde tas rcgiones correspondientes transformadas t. del plano l,ü.

t24

DERIVADASPARCTALES

[cAP. 6

3!1. Una-regióng( del pano ¡/ está delimitad¿pt x2 + y, : a2,x, + y2 : b2, x:0 y f :0, con 0 < ¿ < D. (¿) Dercrmina¡ la rcgión t, en la cual se transforma por la transfóníaciOn ft .y = p c o s ó , y = p s É ro (ó) E studi arl o que ocurresi a=0, Q, con p> 0,0< d< 2n.

(c)catcutar ffi

,0,catcutar ffi.

Flc. &t

(¿) tjr€gijrR,ltoñbrc¡ta.DlaFiS-6t(¿tcsrádclimir.¡dspor¡=0(dcpuDtos),y-O(d.putrro$yrayaBL r

+ y.

(de trazos), xz + !, : F (dc tr¡¿o grueso). - a. Por l¡ t¡ansfom¿da dada, x2 + y2 = o" y x2 + !2 = ó¡ s€ conücrten en p2 = a2 y pz : 3r , p- ay p= á¡ es p€c t iv a m . n t e . A s i m i s m o , ¡ =0 , ¿ S l =á s . v ü e l v . O =; l 2 , a S p =b : r =0 , aéx = b * t r ans f or mcan ó =0 , a 4 p S b .

62, s

La rlgió¡ buscsdat' sc w soDbreadacn la Figura 67(ó). Oüo.r€nodo: Po¡ scr / la distanci¡ dcsdect o¡igen O dcl plano ¡/ y cl ángulo medido pafir a det cjc ó pocitivo dc l.s ¡, .s claro que la rcgión que se busca a"aa poi á g p Z L O = ó g n7Z,con o ie "saj indica cn la Figur¡ 6-7(¿).

(bl Si ¿ = O, l¡ r€ión R s€conürr¡e c¡ un cu¿draútcdc un¡ región ci.cul.r dc r¿dio (d.liñihda ó por 3 lado¡) y

t'.si8uc si.ndo u¡ ¡ccrárigüto.Le r¡zón para csto cs qire el punto r d sc ¿plica c¡ p = O, - O,i: 0 - üna indcta¡m¡nsd¡ y la tr¡¡sfomación no cs biunívoca e¡ e3tc punto, q;; s ú¿úa Wto sirgular,

(ó) g,4

o \e ,9 t

la. cosé) á {e co"c) dÉ-(e = |d I ¡

| ú(e

=

se n ó)

(p s€nr) ü

p(co6't + scntt)

=

p

(d) Por el Problcma45(ó) se ti.¡!c, hacicndo¡:

d94d9,4 = 1

p,

asiquc,con (¿),

= 99¿¿ o\r,v,

1

quc rambién sc pucde obtenc¡ po, dariya.ión dircct¡. Nótesequa por losjacobianosdc catar¡ansfo¡macióncs claro cl por qué p _ o (cstocs, ¡ = 0, ), = 0) cs punto singular.

TEOREMASDEL VAIOR MEDIO, TEONEMA DE TAYIOR ¿0. D€most¡arel primer teoremad€l valor mediopara funciones de dos vanables. Sca F(r) = /(.h + h , yo + ktl. por el tcoremadel valor medio paÉ funciones de ur¡a vsriab¡e, ¡ '( l ) - ¡ ( 0 ) =

F '( r )

0
Ul

cAP. ól

r25

DERIVADAS PARCIA LE S

Si "r =.\o + ht. y = yo + ftr. entorces Fltl = -f(x. !1. de esle modo por el Problema17. F'ltl = l,ktxldt) + t,lduldljl = hl,+kl, F,trl = h Í,1,o + oh,vo+ ck) + hlr@.+th,yo+eht i donde 0 < 0 < L Asi {./} s€ conviedeen (e) ¡(t'+ h , a¡ + k l - llx o, v o) = hl. lr r + c h, u o +o k l + k h @ 6 +e h , u ¡ +c k , donde 0 < 0 < I como se buscaba. tienela vc aja dc sermássimétriObúrvcseque (2).quecs an¡llogaa (1) del Probleña14donde/, = ^¡-. ca {y tambiénmás útil). ya que solo cntra ¡rn solo nrimero0, {I.

Demoslrar el teorema de Taylor para funciones de dos variables. S€aF(rl : /{¡o + /'¿,lo + *r) comoen el Problema40. Por el teoremade Taylor pará funcionesde una vari¡ble.

¡(¿) = ¡(1)

¡(0) + =

¡'(0)

r,(o) ¿+ {:pg + ... + F'lJo)¿'+ ffir-,

+¡,(o)+ff+... *#*ffi

0.r.,

(r)

o
(r)

40. del ProblemLr

Ftot =

= (r#* h¡,('.,u,t+khtr,,uot

*f,)n^,ua

utilizando la notación oper¡cional. Arálogamcnte

r-o=ftr'o=fiw.+r,r,t =

h'l* + 2hkl, + k'l,r

= ^(*#.*H).rG+#.*H)

delque E"lot =

h.t,,(,.,yot + 2hkta",o,yr,+ k, h,lro,s"t = (n** o. \

¡9)'lf"",rO ov./

ya que las s€gundasderivadas parciales de j[ se suponen continuas. De igual mar¡erase püedeveriñcar(por inducciónñatemática)que para lodo na¡uralr, r,'ro t'

=

/ á á\ " ( h: : + k : ) ll! ", aot , d¡ ov,,/

¡(¡+¡{r)

\

/ e ¡\' = (¡; + ¿ ; ) t @ o +o h , v . +. k l \

o¡

ot/

quesebusca. con 0 < d < l. S¡¡stituyendo en (2) setien€cl resultado 42. Desarrollar-r2.¡'+ 31,- 2 en potenciasde -r - I y ¡+2. Aplicando el teorema de Taylorcon f, = r-¡o, k = U-U., dondero=1, t'.=-2. Luego l l ,,u , = , ' v + 8u- 2, f,= 2 F v , l r = t' + 3 , ,-= 2 v , l " =2e, l " = 0' Í* .= 0, l -,= 2, l -' = 0,l -,= 0 sonnulas.Así. pucs. Toda.iasderivadas superiorcs / ( 1, - 2) = - r 0, l ,l r,-z t= -4 , Í,1 r,-? )= a ,Í-(1 ,-21= -4, 1,,(r,-2t= 2, h,\r,-2t = 0 l-,1r,-21 = 0, Í40,-2) = 2' l4'$'-21 = 0' l-'lr'-2) = 0 Por el teorema de Taylor. l (x , ul =

+ * (r ,' ^.1r,-zt + zhkl .,l 1,-2)+ k, fy,l r,-z)l llr , - 2 )+ h l ,l 1 ,-2 )+ k l ,tr,-z , + *{¡!t.,(1,-2) + ,h,kf,,"lr,-z] + f,,,(1,-21+ k' 1,,¡(r,,2)l + Rt 'hk' dondeRr es.r ,"oo, lu. en estecasoes nülo. los valores de lasderivadas Sustituyendo ob¡enidas en Io quepreceda, s€ticne x ' v + 3u - 2

=

-r0 - a (¡-l ) + 4 l u+ 2 1 - 2 l z-1)' + 2(r-r)l u+ 21 + (r-1)r(!+ 2)

comosepuedeverificar direclamente algebraicos. en estecasopor procesos

DERIVADASPARCIALEII

Pf,O¡T,EMAS VAIIOS

r

/*-.d\

('''))É(o'o)

¡nrscaf(',y)- l'tvfr)

(r,g)= (0,0) l0 cal€ular (¿)t(0,0), (ü)l,(0,0), (¿)/*(0,0), (d) l,r(0,0), (r) t,(0,0), (t) tt¡(0,0). = lgi = o (o¡ h@gt = ¡1¡1A0i@ (ü) /lo, o) = r¡- flo'¡) Ío'o) = ¡i* = . t S¡(r.Jt + (0,0), t.@,al = Í,1',r, EDtone.

=

*{-(#4)}= "(ffi)-,(H$)

= .i'{",G*".J -(#). {S#)

(c) l-(o, o) =

.U¿IL9;¿CI'll =.'is* = o

(d) 1,,(0,0) =

¡s¿sé-¡@=¡:$g=o

(.) r'(0,0)= ¡¡-l'(0'[): t'(o'o)= ¡!$+ = -t = ¡gti = t a h,e,ot = ¡y¡¿Gg;ig.q problcm¡13. Otcé¡vcsc qrr ][,, * _/-cn(0,0).Vease Y* *# Mostrarqueen la transfo¡m¿ción .r : p cosó,y= p *n { la ecuación

= o.

conYicrt€cn #.itnJ.in# Tcncm03

u t # = ##. Y, #

Dcrivundo ¡

-

at # = {"#. '! "H

p oos C, ), = p se¡ ó respccto¡ ¡', tcnia¡do cn cuent¡ qr,c p y O b¡ funcioncsdc r y

1 = - r * n e tf*"*r *,

o = p **3 3 + *n o if

R.solv¡cndo cta sistcrn¿.

!e. = d,

*9'

Aó ¿tp

senó

AnáloSoncr¡tc, deriv¡ndo rqlpacto s ,r., 0

=

¡^ An + c o s d ¿ <, - plc n +; ¿

r = 'tyoy oco¡oll + *n.3

RcolYic¡do el sistcma,

Ity= * ",

!É=*o ¡rü

p

EÍto¡ccs por (r) y (21 ._, (¿, ''

dv :¿t

= O

--

lrn ó ay ¿v coso:- - - p -di ¿p

= sen6lZ.r-coot{Y tol lIoy oF Pog

cAP. 6l

DERIVADAS PARCIALES

De dondc dzv

d

t27

ulcr\a 1¿1\ = _¿f¿v\L * aa\¿',/ar ap\ar/dr \¿r,/

= *(*'g-ryn!#.*(*'g-Y'i)I+

= (*"r#. ry# _rvfl")r"*,r seno a'V\/ seno\ * (-*"r#+"ooffi - T'# - ;;7 /Y;) que sercducea

* = **r#

Análogamcnlc

ff = *.tff

u*#.*r#- ¿."nÉlgerffi+ +:+ - ip# -

. "--+*-r#. *#.'. ##

s u m a n d o (7 )y(d )se h a l a .p u e s.que = # -# #- lt+* ¡.5. (q) Si s= f(u,!)

y y=g(u,ü,con u=ó(r,s)

y

[email protected]) afu,u) a@,")aFí'

(b) Demostrarque , ,

|

dr¡'')

| y, r.|

".

= "1,#

(r)

"

z = g(r,s)r,d"most.ar gue

ffi

a(t,ul A@,o'l= ak.u\ I- ya que + O, e interpretar geométricamente. 6@i) Mñ fi¡

a(¡. )

( ¡ t : - = l l =l l

\7)

",|

| ,.ú+

t,tt,

z.tt, + t.tt. I

| !.ú,+y.r,

y.t,+u.o, I

aplicando probrema un teorema sobremultipricación (v¿ase dc dcterminantes !15).sc h¿ supuesto aqul naturalmcnte la existenciade las derivadasparcialesque enlrancn los cálculos. t¿) Hacer¡= \'.r: r'enetresuhdodek¡'.Enronces. {p

9!!!,f) = ?f"'vJ = t. ¿k,

d\lt,v)a\r,u)

u) Las ecuaciones x = f(u. t)),y = g@,ü) dcfinenuna tra¡sforñaciónentre puntos(_r,r) del plano,r/ y puntos(¡/.0) del plano u¡j.La transformación r€ciprocav¡encdada por l,¡= ó(¡, ),), u = ú(¡,,,). El rcsultadoobtenidoes que los jacobianosdc cstas¡ra¡sfonnacioncs son inversosu¡o del otro-

¡|6. Mostrar que F(.r)',: - 2.y) = 0 satisface bajo co¡diciones adecuadas la ecuación x(ózl?x) _ yqzl¿yl = 2,r. ¿Cuáles son estas condiciones? Sca x=¡y,u =z-2r .

LuegoF( 11, r j) = O y

(1)

= F.(xdv + sd,rl + F.(d, - zdtt = O dF = F.dl¿ + F,h Tomando! comovariabledependiente y ,r y / como variablesindependientes. sericncdz = z,dx + ,dy. -. Susriluycndo enloncesen {¡) s€ tiene (yF" + F.2. - Zl d, + lrr- + F".,\dU

=

O

L|¡ego por scr ¡ y J, indepeÍdientes,

(21 vF.+ F.z. - 2 = 0

(t)

,F" + F"z, = 0

128

DERIVADAS PARCTALES

[cAP. 6

Despcja¡do 4 en (J) y sustituyendoen (2) seobtier¡e€l resultadopedido xz, - yzr = 2, despuésde diüdir por 4 (qüe se supone distinta de c€ro). El resullado se¡á ci€rtamenteválido si s€ suponeque ¡(r, l,) es mntinuamente diferenci¿bley que 4 + 0.

Problem¡s propü€stos FIJNCIONES Y GRAFOS

47. si t(',!, =z!fi,

navt tat/(1,-3), (ó) Í(2+h'8L- l9'a] , k\ l@+a,i!).

1l , . , ,,. Jo¡. --' (4, -¿, (o, 6(gf + 6) , 8. Si s(x,y,z\= x'-yz*'xt, Sol. (@)-1, (bl t' - * - 2 -

,, 2r+ 2v+ t1t \c) T-l-¡ halla¡(al s(r,-2,2r, (bl s(e+l,r-r,t, lc\ s(6v,s',e+y). vz' I z' + Sitt+ 3u, lc')t\'- t"- rttr + 8r'1t.

lD. Dar cl domi¡io d€ defioición en que las futrcioñessiguie¡tes esián definidasy son ¡ealese indica¡ g¡áficamentc €ste domi¡io.

(d,t@,u,= +=,

@')f@,ú= In('+e), (c)X",n¡= *"-'(4-r-").

sot.(a,,'+t * !, tbJa+y > o, at t lZfaf,l= $.

5t.

(¿) ¿Cuál cs el domido dc dcfir¡ició¡ para cl cual tlx,t,zl (r) I¡dicar este doúiüio grÁfcamcntÉ. < 1 y n +u +. Sol. lel r + v + . = L, , ' + u '+,

= = 1,

tt#está

y esrcat' deñnida

,'+u'+¿ > 1,

Dbujar y noúb¡& la suFrficie del espaciotridimensionalrepresentadapor cadauna de lasccuacion€ssiguient6:

lor 3.+22 = 12, lbl 4t = r' + yt,

(dl x'+ 4 = u" (a r,' + y' + .¿ = L8, A ¿ - 4y'- 4U = 36,

@) r'+ u' = 2Y, (h) z = r+r, @ v' = az, l n j ,' + u' + a' -4r+ 6t+ 2t-2

= O.

So/. (a) plano, (ó) pa¡aboloid. de revolución, (c) paraboloide hipcrbólico, (¿) cono circular recto, (¿) esferr (/) hiperboloidedc dos hojas, G) cili¡dro circular rccto, (i) plano, (i) cilindro p¿rabólico, (J) esfera,c€n!.i en (2, -3, -l) y radio4. 52. Construir un grafo de la rcgión liñitada pt

x2 + y2 : a2 y x2 + z2 : a2, co¡ ¿ constante.

53. Describir gráñcamente€l conjünto de puntos (x,/,2) tales que: ( ol r ' * a¿* z '

t

¿.

= 1, x ' + a. = z 't l b ) e '+y ' < z < r +! ,

lAs anmt de nioelóe !¡a función z = /(¡, /) son cürvas del plano x/ definidas por f(r, y) : c, si€ndo c r¡r¡ cotrstante.Sirvenp8¡a representarg¡áfcamentela función. Análog¿mente ,las supeúiciesdeníDelde w = f\x, , . . son las suparficiesdefinidas en un sistemade coordenadasrcctangu¡arcspor f(x, y, zl = ¿, siendo c una cocitante. Describi. y representarlas curvas de nivel y las superficiesdc üivcl para cada una de lás funcionesqi! siguen:(a)/(¡, ),) = ln (x, + !2 - ll, {bl f(x, y) = 4xy, (c)l$,y) = tE- | y/(r + r),ld)f(x,yl = x,t' + ,}. (e)f(x, y, z) : x'z + 4y2+ ló22, A *i (x + z)/(L - y).

cáP. 6l

t29

DERIVADAS PARCIALES

I,I}IITES Y CONTINUIDAI) lll

Dcmostrarque (¿) lim

f.

Si lit¡r/(r,),)-Ayl1ñglx,f) -,, \al lim Ulx, yl + slx, r)\ = A + n,

t

¿En qué condicio¡resas cl limite del cacicntcde dos funcioncsigual al cocicntedc suslimitcs? Demosirerlo.

3.

Ca¡cular los limites siguicntcs,caso dc existir:

(3x - 2yl = 14 y (¿)

(x/ - 3¡ + 4) = 0 utitiz¿ndo ta dcfinición.

dondelirn denotalbrlitecw o (x,yl:14,y] lb|| lif¡, Ulx, y, g(x, yl\ = AB.

¡a¡ ¡¡¡¡ {;31{ '.-t4 +t-zl l

(c) lim ci sen Z

( c ) ti m .- r l 'tr ,

(ü)ritnF-+.

. -'.1 ¡ senr¡'+¡l (d, Iq ,+t¡-

(i)]ll[ffi

Sr¿ (¿) 1, (ó) no c¡iste, lc, 8lr, g,.

r,.,1ff.,,

- ¡r

dcmosrra¡ qt¡c:

"';:i:'/;t4l

liñ

(^)r,;:i

-

,

^

'hn

scn-r (¡y - g) rB-' (3', - 6)

@t 0, (r) 0, (, no cx¡ste.(r) 0, (ñ) l/3

Dar una deñnición de límit. para fu¡cioocs dc (¿) 3, (ó) n varúbles. ¿Y¡D-1r

.0, ¿Existelim ;::j-j--;J ¿x-)y + ¿z

cuando (¡,/,2)+

(0,0.0)? Justificarle respu.sta.

ó1. Investiga¡ la continuidad de cada una de las funcioncs siguientesen los puntos indicados:

(al x'+ y';(xt,yttt.(ó) (0,0). (c)(¡f +r¡) s"n;rt7.i ¡;+Tt;

(r,/)t (0,0),0si (r,?) = (0,0);(o,o),

Sol. (a) continur, (r) discontinua,(c) continu¿ ó2. Valiéndosc de la deñnición, demostrar quc /(¡, )) = ¡/ + 6.x cs continu¡ en (¿) (1, 2), (á) (r¡, ¡o). 63. Dcmostrar quc l¡ función dcl Problcm¿ 62 cs unifonnemcntc coDtinua an la ¡€ión cuadrsda defi¡¡ida por 0:í¡5 1,0 SrS l.

DERWADAS PARCIAITS A.

v, por l¡s rcsi IG,y¡" =x . b.llat (aldÍPxy ' @l afqy cn (2, -l) por la d€futicióny comprobarla rEspucsta ' 'x+v gl¡¡ dc difcrcncdción. Sot, (a, -2, (b, -4.

65.si ,(u,,)= {f'-'"trt"*'t S:3;íl:3;3i, harar (c)/.(0,0), (ó)r(0,0}. sot (d) r, (üi o

66. Inv.stita¡

lim ¡¡.r¡-l o ,ol

/,(x,),) !'a¡a hs funcion€sdel problem¿ prec.dentey explic¡r lbr qué cste llr¡ilc (si e¡istc)

es o no igüal ¡ t(0, 0). 6?. Si l(r,/) = \t- vl *n18" +21t), Calcularlal Í.

lbl h, kl l*, l¿, l-, (6, 1.. gl 1,, en 0, 31.

so¿ (o)i(, + V-s),(ü)t(z,-sv¡), (6)l("y'5 - 2), (d)ikVE + s), k) *(z'Vt+ 1), (/)+(z"y'¡+r)

68. (a) Der¡rostrar por dcriv¡ción dircct¡ qu. z = ty tg {ylx, setisfaccla €cu¡ción x(azlAxl + y(AzQyl = 2z si (x,r) + (0,0). (á) Discütir la pa¡tc (a) lrara otros puntos (¡./) suponi.ndoz = 0 cn (0,0)óL

Vcriñcar guc lo : .1r,,para las funciones(a', (2x - yy(x + yJ,(b', x t8 ¡/ y (c) cosh (/ + cos ¡), indicando los posibLs puntos cxcepcionalesy astudiando t¿les puntos.

m,

Mostrar que z-ln

{(.x - af +ly-br'zl

satisfaccó'¡2ló¡'¡+ó'zldyt = 0 e¡ccpto cn (¿,á).

Í-

I !t

r30

[cAP. ó

D E R IV A D A S P A R C IA LE S

I

* +

71. Mostrarquez = x coslvlt) + tg (t/r) sal¡st¡c€rr2-+ 2xaza + t'2,, = 0 cxceptoen e¡ punto parael que

/---¿,\' ' l,. 7 2 . M o s tra'r¡uscru = l ' " \r+ v -z ,/ ,_ ,_ a w, --aü, \o)rar+yau+rE

_ á l¿ = _

,., .,r¿tu L z' !o-_0'* 'r zrv (o) t' -,á'r¿, ;;r r- lt' af r "ratu l;ll a¿

o, ^

á'r, |tu,.n '¡ zr.l;l; + zyz

au¿z

_ =

o^

Indicarlos posiblcspunroscxcepciona¡cs.

DIFERENCIALES ?3. Si: = r r - , r r + 3J r , c alc ular lolLty ( b ) d z c o i r : 5 . y =4 , y dz si x: y d: son aproximadamente iguales.(c) Hallar ^.: -123 Soi. (¿) -11,658,(ó) -12.3, (ú) L: = -66, d!: ?4. Calcularaproximadamenre medianrediferenciales J{ttF Soi. 2,01 75. hallardF y ru'tn(ulrl.

(a) F(t,u, = r'u - 1rf +8at,

dC si

A - r : - 0 , 2 , A 1 = 0 , 1 .E x p l i c ápr o r q t ¡ é 5, y = 4, Lt = -2, Ly = l. ^t

+ r(rJ)'-.

lbl Glr,x,z\ = 8ru'¿ -3rtu2,

lal F(r,ttl =

Sol. (a')lsrta - 4!') dr + (r'- A"y + 24yt,tly dt + (24rU'2'-3.t'yldz {bt gy'¿ - 6ryzldx + (16ruz''r'zJ + (cl lu' t¡ fulr')- u'\ d' + lzrv l^lukJ du 'a\ que(¿)4utll = Udv + vdU,(b't{U/n= ll dU - U dVyV,,{cl dll¡ U) = ldUVU,ldtd(tg-t V) Dcmosrrar = ldv)lll + l/'z\,sicndoU y Z funciones difer.nciables de doso másv¿riables. y, dadocl caso.hallarla función. 17- Averiguar si lasexpresiones cxactas defunciones siguientcs sono nodiferenciales (a) lzr:v'+ 3y cosgrld, + lzr'a +se¡g"')tfu lb) (6EU - yt) dr + \2'et - ,'l da

lcl 12'- Svldr + lrzu'- s,tdv + srz'¿. Sol. la) t'u'+ /sen8r + ¿, (ó) noexacta.lc) ,z'+ 4u'- 3úu+ c DIFERENCIACION DE FTJNCIONESCOMPU¡STAS 7 t . ( o) Si U( ¡ , y , z ) = 2r ' - Uz + ! 2. , r =z *n t , z =3 ¿ - . , h a l l a r d u l d t c n t - 0 . ! =t '- t +1 , (¿) S¡ ¡t(¡,r) scn(3r-l), ,'+2r = 2t', d-y' = t'+'t, hallatdHldt. ,,. / st't'ar lzt + gtr - 6lr + 6¡.¿+ 18\ cos\tt - u) ')ot td) z\ t¿r ) \-T;;;Z-79. S¡ ¡'{¡, r) = l2E+u)llu-zrJ, \d l A' F ld u t, \cta ' F l' ka !, 80.

Si ¿/:

t = 2t¿-31), u = ü+21', l:.¿llarla) ¿F/a{, g') ¿F/¿I, lcl a'Fldu', Sol. (a) 7, (ó) -1a, (c) 11, ld, rr2, (el -as

con ||=2,u-1.

¡2 F(r/r) mosrrar que en cierras restricciones ad.cuádas sobre F, xQulex) + r(AU/¿',) = 2U.

81 . Si r = n co sd -

r s€ n q

y

? = ¿sena+

ocosd, donde a es una conl i ¡antc.rnostr¿rqüe

lavlar\'+ lavlaul' = (avlaú'+ lavl¿ttll t2.

Mos¡rdr que si , = pcos.t, Aü o,

t3.

Ar ou

u = cgtrn.t, las ecuaciones Au j At) Au _ lüt Ao _ S eC onv¡erl en en du a p . . . ; a ó '6 - - ; ¿ o -

lau

Valiéndosc del Problcma82 mostrarq¡¡epor la transformación = p cos {. ¡ : p s€nó, ta ecuación ¿rr¿ d'¿ ¿' l ¿ü I á'¿ = -lÍ + ar' = l'^ seconvrerlc ao; * r i;t o ; d;

c^P. 6l

t3r

DERIVADAS PARCIALES

rUNCIO¡¡ES ¡MPL¡CITAS Y JACOEIANOS ta

Si F(¡,/) = 0, d.mostúr quc dldx - -F,lF,.

lt

H¡lfar (al dyl¿x y (bl dzyldx' si x! + ¡3 - 3¡,= Sol. (u) (t - r')lv2 - r), (b) -2xylt¡'' - xll

L

Si ¡¿' + c = f , 2yu-.r,t

n.

Siu=Jk,yl,r; -g(¡,)) sondifere¡ciablcs. dcmostrar ctar¡men6quévanucfr,1 . * 3;{= l. Expl¡car riabless€ consideranindependientcs cn cadadcrivadaparc¡al.

tL

= 0, que si/(¡ ¡, ¡, ¡) - o, s(.!,/, r) = 0, demostr¿r qu¿var¡¡btes . sonindepcn3 * '. H ¿1] "*pl¡"rn¿o dienrcs.¿Quéhot¡ción deberiausdrsepar¿indica¡cuálesv¡nablessc consideraniodependicnt€s?

= 4.r. h¿¡tar tut

0.

¿-! ó-: (, ox a,v

r '¡ - 3 ¡ Í 2 u t +4 ^ J{¡r. {r.¿l-t-, -:-' ox-uu' + ¿l

2 x u 2+J v t (á)-r=: tx.ut + !

quc = -!"4-3!"!FFl!tE D. si F(¡.r) = 0. most¡ar # ¿lF,cl . ^. ^, Calcular si f(¡,o)itñ

¡.

Sif =¡+ tL

3uz- ut. Glu,ul -2uoz +t!.

3y'-2., G - 2ly z , y

S¿1. 24u't + lóur'-3rr

H - 22, - x y , c al c u l s{!r 9 { d(r. /,:)

cn (t,-1,0).

Sal. t0

Si¡=scn -rx+scn- t ¡ y u= r . r / l- l+ t J l- : ] , ¿v er iguar s iha y r e ¡ a c i ó n f u n c i o m l e n r r c l ¡ y ¡ y . s i cs el caso, hall¡rla. Si F = ¡I + .)z + zx. G - F + f + 22, y H : x + y + z. averiguar si hay relación fi¡nciotal rcsumiendo Sol. H'z - G - 2F = 0 F, C, y H, y, si es cl caso, hallarh.

(a)si r =fl2,r..u).¡ = s(a.r,,ro).y z = htu,D,ut, quc;|f,#H#i dcmostrar #íl*nrl*

.

= r siempr€ que

0.(ó) Dar una ¡nterp¡eración del resultadode (r¡) por rransfo¡maciones.

si [email protected],.1 = 0

y

g(t,u,t\ = o, ¡nosl¡ar quc d"= ¿U

a$,cl

dz

a$,st

y da¡ las condicioDes bajo las cualescs válidoel rest¡ttado.

aV,ol ¿{r,vl

9ó. si.y + r¡ = u,j + 22= u,z + x2 l, hatlarta)fr, totS, f"f -.'.11; quetasecuaciones ruronrcndo definen x, t y z comofu¡¡ciones do! v€cesdife¡enciables de I¿.u v ¡:.

s/. (,)r+i"r, @Etti#,

@r",',¡W

97. Enunciefy demostrarun teoreñaparccidoal del Problcña 35 parae¡ casoen que t, = fft, f, z), D = Bbi,r, zl, u) - hIr, f, ,1. TNANSNOXMAC|ONES, C(X)RDENADAS ClJRVILINEAS 9E D¡da Ia rr¡nsfomacióo¡ = 2u + ü,y

- u- 3r. lrJ)Dibujar la región9t'del planoür,cn la cual setr¡nsforma t¿ regiónR det plano¡,limiiada por ¡ = 0, ¡ = I,y =0, y = l. (ó) Catcuhr (c) Compararet rcsutffi. tado de (ó) con la relación cnrre las árcas de 9( y ft' SoL tbl -7

99. (a) Demostrarque por una trunlo¡,ñaciónlincalx = aru + o2tt,! - hru + bzt'@ú2 -¿2ór + 0), l¿s rect¿s y los circulosdel plano ¡, sc transforotar, respcclivame¡¡tc. cn rcctasy circulosdcl plano !r'. (á) Cakular el jacobiano ., de la transform¡ción y discutir cl significado de ", 0. -

t32 r00.

D E R IV A D A S P A R C IA LE S

[cAP. ó

Dadasx = cos r coshr,,)' : s€na senhu: (¿) Mos¡rarque en generallascurvascoorde¡adasu = ay | - b dcl plaoo ,¿' se tñnsforman cn hiÉrbolás y circutosdet plano r-.¡, rcsp€clivamenre. (á) Calcular l]fl/)J. r¿{ü' u)l (c) Calcul¿r l-¿!r9)1. t
l0t.

Dadaf at . ans f or m ac ió A x =2 u +3 u - t t . , ¡ - u - 2 t +x . , : =2 u - 2 t +r . . k ¿ ) D i b u j a rI a r e g i ó nt,d cl espacior¡r¡¡€n que setransforma¡a región9t delespacio-y)':limiradapor.\ = 0,.r = 8.) : O,I = 4,. = 0, ?lr

.

-\ : = 6. (¿)Calcular# (() Compararel resulradode (ó) con la relaciónentre¡osvolúmenes de R y tt,. c\u, r\,tol So¿. (¿) I

t|n.

Dadalat r ans f or m ac ión d c c o o r d e n a d a s c s f é r i c a s x =. r s € n 0 c o s ó , ) =¡ s e n 0 s e n d . : - ¡ c o s 0 co n r =0 . 0= 05t ¡ , 0= d< 2z . Des c r i b i r l a s s ü p € r f i c i e s c o o r d e n a d a s ( a J r =a , l b ) O =h y l c l ó =c , s i e n d o ¿ ,ó .. consaantes. So¿ (a) esfcr¿s,(ó) conos,(a) planos.

t03. (¿) Comprob¿rquc para la transformaciónde coordcoadasesfé.icasdel Prob¡ema102."¡: L]-l

¿¡' 0' Ó)

sen 0. (á) Discutir el caso ", = o.

= ,,

TEOREMAS IIEL VAIOR MEDIO

q ur e h y y 1 0 4 . D e m o s l ra lct.

=

con r> 0,r> 0.

0< ¿< 1,

Dcsarrollar Í.r, r,) = sen .yjl en potenciasde -r - I y.r, - {a, hasta incluir térmioos de segundogr¿do.

so,, 1 - t''(r- r)'* +?(r- lxy-+.) - ¡(v-1")' l(b.

Desarrollar.t(x.),) = )l/.rr en potenciasde x - I y}. + I, hastaincluir términosde segundogradoy escribir et resto. So/ . 1- 3( ¡ - 1) - 2( u+1 ) + 6 ( r - l ) '+

6 ( ¡ - l ) ( y +1 )

t

+ ( y +l ) t

1 0 l l -r(¡/+ 1 )l ' + 1211 -¿(/+ 1)l [1 + r(¡-r)]

+ 3[r+ r(r-1)]'

[1 + r(r - l)]'

con

0
107, Dcmostnr el prim€r teoremadcl valor medio para funcioncsde 3 variables. l0B. Gcneralizary demostrarel teoremade Taylor para funcionesde 3 variables. PROBLEI}IAS VAR¡OS

y,o = 0,dcmosrr¿r f0e.si F(p, =-t que (d)irrl,#1" = - ,#1,,*, ,#1,#l,t#1" Estosrcsultadosson útilesen termo¿¡námic.t, dondeP, Z, f corresponden a presión.volumeny te¡nperatura de un sistem¡ fisico. ¡10. Mostrarque¡'(r/y,zly) =0 lfl.

Mostrarque Fl'.+y-z,t'+vr)

2. Si t = ¡(lt,Irl y

sarisl¡cer(drl¿a)+ ulazlaut= .. = O satisfacer(az/A!,- y1zlóx, =

= q"" ,r = ,(u, o),denrostrar ¿+ - 1#

.o"

a(' J = ¿ ( z' ,Yl r)'

lt3. si z = l (u ,D ), != s l ú ,rJ, z= hfu,I)) y

que F(r,!,zl = o, dernostrar d(¡,¡/), a(.,' ) , !.!\A ;" = u ¿(,,,")* -- ¿ñ;i oll * t(,,,,):" lr4. si r = O\x,u,ta), quc v =,t@,D,ul y u= llr,e), r = s(r,sl,rr = ft(r,¡), dcmosrr¡r 'g!s) d(o"r¡) + at'ul ¿.!!¿) gl4 = !g!¿) d('¡',) + d ( ¡ .s, d{x, r) d(',3)

A O,u) al r,.)

I

¿(u,It') ¿(r, t)

a^P. 6l

133

DERIVADAS PARCIALES

u5. {¿rDemostra, c*l : ut I | .l:t s tc

- ll:i\tpára raresra :l:\i l..on lo qu.sedemuesrra I c e+ os c t r a n I

Il nt

obtenerel productode dos determinantes de segundoordende que sehablóen el Problema45. {á} Generalizar el resultadode (a) a detcrminantes de orden 3, 4, ... S i,t,¡yzso nfu ncion es deu, uy ¿' . s iendo¡ r , ¡ y uf unc io n e s d c r , r y ¡ . d c m o s t r a r q u e

a@,a,,') _ ¿(',s,t)

!J!:L:-\.al ,1,,ui

¿(¡',r,,?¡,) ¿(',s,ú)

lt7. Si ¿, y D, sonfosoperadores A/Axy A/Ay.resrf,ctivañente, mostrarquc s¡existela seriedc Taylor pa¡af(x + h. )'+ k), s€ puedeescribiran la forña Ílx+h,u+kl

=

Dada sla s ecua cio neFy s ' ¡ r , . . . , ¡ . , / r , . . . , _¡ ") = 0 para F./, cionesadecuadas

c_.,_, f(t,u\ c on j=

1 , 2 . . . . , r . D e m o s t r aqr u e d e n t r od e c o n d i -

Au,

(a)Si F(¡,r,1eshomosén.a que,, de srado2. dcmosrrar lt

* z-

ffi

* ,'#

= ,r.

(r) Ilustrar medianteel caso particularF(¡.)') = x'z ln 0'A). Nótes€que el r€sultadose pueáeescribiren forma de op€rador,ñediante," = ?/0x y D" = A/A),como Derivcnseambosñiembrosda (/), Problema25,dos vecescon resp€c. lx D, + y Drl2F: 2¡. [Sugerencia: to a l.l Cencralizár el r€sultadodcl Problcma I l9 como situe. Si F(¡r, ¡2, . . . , ¡.) es homogéoeadc grado p, entor¡ces para todo númeronatural ¡, si D4= 3/?x¡, (rtD , t + r ' D, , + . . . t2l.

+ r "r , ") ' F

=

p ( p- 1 ) . . ( p - r + l ) F

(a) Sea nn y),d ete rm inádas apa¡ t ir der y 0por ) r - f i= ( ¡ .+¡ u ) ¡ . D e m o s t r a r q u e p o r e s t a t r a o s f o r m a c i ó n la ecuación á? ¿'ó 4g * uj! s€ ransforma.o n ' ^ (ó) ¿Es cierto el resultadode (d) si ¡ + i) = F(u +,'r)? Demostrar.

Capítulo7 Vectores

,t

VECTORES Y ESCAI.,/\RES

Hay cantidadesen fisica que se ca¡acteriza¡r tanto por 6u magnilud como por sü dirección, tales como el desplazamiento, la velocidad,la fuerza y la aceleración.Para describir tales cantidad€sseint¡oduceel conc€ptode rectol, que es un s€gmento de recta dirigido PZ desdeun punto P llamado o gen hasta un punto C llamado extemo. S€denotan los vectorescon letras ¡regritaso letras con üoa flecha encima. Así, PO s€ de¡ota por A o ?4, como en ¡a Fig. 7-1. La magnitud o longitud del vecnr. ?.1 tor se denota enroncespor lFdl, pO, lt'l ü1. " Hay otras ca¡tidadeslisicasque se caracterizar¡ solamentepor la magnitud,talescomo la masa, longitud y temperatura.T¿lescantidadesse suelenllamar esc¿l¿¡eJpara distinguirlas de las vectorialcs, pero ha de tenerseen cuenta que apale de l¡s unidades(mctros, grados, etc.), no so¡ más que números rcales. Se las puede, pues, denota¡ por letras corrientes como siempre. ALGEBRA VECTOnIAL Las op€racionesde adición, sust¡acción y multiplicación ordina¡ias s€ pucdcn gc¡eralizar al álgeb¡a vectorial m€diante deñnicjones adecuadas.Las sigüientesdefnicioncs son fundamenlales. l.

Dos vectorcs A y B son ¡gra¡¿r si tienen igual magni tud y dirección.Asl, A = B en la Figura 7-1.

2. El vector que tiene dirección opuesia a la del vector A, pero de igüal magnitudque A, s€ denota por -A lFisu¡a ?-2].

t n3. ?-t

3, La sumao resuhdnre de los vcctoresA y B dc la Fig. ?-3(a)es un v€ctorC construidohacieodo coincidir el origen d€ B con el extremode A y ur¡i€ndoluego el origen de A con el extremo d e B [v é a s e F i g .7 -3 (b ),LasumaC seescri beC :A + B ,E stadefi ni ci óncsequi val en t ea regla del paralelogramo para la adición vecto¡ial, como s€ ve en la Figura t-3(c).

.4.

(ü) Flr.t"r t34

L

VECTORES

cAP. 7l

135

a sumasde más de dos vectores.Por ejemplo,FiguSon inmediataslas generalizaciones ra 74, dondes€ve cómo se obtienela sumao ¡€sultanteE dc los vectoresA, B, C y D.

t \' \

/=-..-.=s.___-...

l" I

I

I't8. ?.{ La dilerencia de los vectoresA y B repres€ntadapor A - B es el vcctor C, que sumado al B da el A. En fonna equivaleÍte se puede definir A - B como A + (-B), Si A = B, entonces A - B se define como el aectornulo o c¿¡o y se r€prese¡ta por el símbolo 0. Este \¡cctor tiene magnitud cero, pero su direcciónrto está dcñnida. La multiplicaciónde un vectorA por un escala¡z da un vectorrnA cuyamagnitudes lrnl veces la del A y cuya direcciónes.lamismao la opüestade A, segr¡nqüe ,i seapositivoo negativo, Si r¿ : 0, mA : 0, el vector nulo.

LEYES DEL ALGEBRAVECTOIIAL Si A, B y C son vectoresy m y ¡¡ escalar€s,entonc€s l. A+B=B+A conmutativa de la adición 2. A+(B+C)=(A+B)+c I'ey asociativa de la adición 3. m(nA\= (mnlA= n(mA) L€y asociativa de la multiplicación 4. (rn + n'tA= mA + nA Ie y distribütiva 5. m(L+ B):mA +,nB Ley distributiva

w

qüe en estasley€ssolo sedefinela multiplicacióndo uD vecto¡po¡ ürlo o másescalares. Obsérvese En las piginas 136 y 137 se definen productos dc vcctores entre sí.

VBCTORESI UNITANOS Son vectoresquc tienen longitud unidad. Si A es un vector cualquiera de lo¡rgitud ,4 > 0, entonces A/l es un vector unitario, que s€ denota por r, y que ticne la misma direccióu que A. Entodces A=At.

VBCTOIES TJNITAN¡OS ORTOGONALF^S Los v€ctoresunitarios ortogonales ¡, J y k soo vecto¡esunitarios quetienenla direcciónde los ejes.r, ¡ y z de un sistemade coordenadasrectangularesrespectivamentelvéas€ Fig. 7-5]. Se emplean sistemasde coordenadasrectangulaf€sdextrorsos,o a derechas,si no s€ advierte ot¡a cosa. Tales sistemasse llamar¡ asl porque un sacaco¡chos de rosca a derechaal gi¡ar 90" de Ox a Oy avanz¿¡riacn la dirección positiva z. En general, tres vectores A, B y C dcl

l3ó

vEc¡oREs

mismo origcn y Bo coplanarioq forman un r¿t¡en¿ de¡trcrso o a dcrechassi un sacaco¡chosd€ rosca a dercch¿al girar de A hacia B un óngulo me¡or que 180'avanz¡ en la di¡ec¿ión C [Figura 7-6].

F¡3.?a

?ta.|r, ?ra-?4

COMPOIIENTES DE UN VBCTOR Todo vector A en 3 dimensioness€ pucd€ ¡cpr€sentarcon su origen en el origen O dcl sist€made coordenadas[Fig. 7-7]. Sean(AL, A2, Ar]| las coordenadasrcct¿ngularesdel extreno dcl vector A d€,origcn O. Los vectoresA¡, Ai y Aahe llamat aectorescomponentes rectangulateso simplemctrtcvectorcs componcntesde A €n l¿s di¡ccciones.x, y y z respectivamatb. Aú A2y A3 *, &cÁ componentes rectwulates o simpleE€¡t€ comporaites de A eD las di¡cccio¡€s .r, y y z respoctivamcntc.La guma o ¡6ulta¡tc de ,l!i lS y 41 6 el v€cto¡ A, cotr lo que sc puede escribir A

=

A¡i + Arj 4 .4rk

(r)

La magnitudde A es

¿ = t¡l = \RT4i4

@)

En panicular,el oecto¡localo ¡adio vectotr dc O al punto (¡, /, z) seescribe r y ticnemagnitud

=

ai+ai+zl

(t )

7 = l¡l = !F¡747.

PNODUCTO ESCAI/IR El producto escalarde dos vectorcsA y B, que sc denota A . B, s€ define como el p¡oducto de las magnitudcs de A y B por el coscno dcl ángulo que forman, cs decir, A .B = áB cosr,

0= dS ,

Obsérvcscque A.B es u¡ escalar y no un vectorSc vefi6can las siguicntes leyes:

L A'B = B.A Ley conmutativadel productocscalar x a'(B+C) = A.B + A'C L,eydistributiva 3. m(A.B) = (mA).B = A.(mB) = (A'B)rr, conm escalar. {. i'i = j.j = k.k = 1, i.j = j .k = k.i = 0

cAP.7l

VECTORES

5 . S i A = A , i+ Á , i + A¡k

B = 8ri+8rj+B¡k,

y

= ArBr.* A2B, + AjBs = A'z = A?+A3+ A1 B' = Bi+ Bi+-Bi -

A'B A.A B.B 6. Si A.B=0

y A

81

y B no sonvectores rulos.A y B sonpe¡frendiculares.

PR,ODUCTO VECTORIAL El produdo vectorialdeA y Bes un vectorC = A x B cuyamagÍitud sedcfinepor el producto - lasmagnitudes y d€ de A Bporel s€nodel ánguloqueforman.La dirección detvectoiC=ÁxBes perpcndicularal plano de A y B y tal que A, B y C forma¡ un sistemadextrorso:

AxB

=

ABs€nru,

0=d=,

(5)

si e n d o ounv ec t o¡ uni ta ri o q u e i n d i c a l a d i re c c i ó ¡d el A xB .si A = B osi A esparal el oaB ,seng= 0 y s€ dcfine eDtonccsA x B = 0. Se verifrcanlas leyessiguienles:

t. AxB = -BXA Ax(B+C) = AxB + AxC 3. nN( A x B ) = ( " rA )x B = Ax (? ¿ B) 4, i x i= jx j= k x k = 0 , ix j=k, t

Si A = A r i + . 4 rj + .A3 k y

(El productovectorialno esconmutativo) Ley distributiva = (A x B )z¿, rn escalar jxk=i, kx B = B rl + Bz j + B rk,

AxB

ijk At Az A3 Bt B¿ B,¡

=

6, lA x Bl = áreadel paralelogramo de ladosA y B. 7. Si AxB = 0 y A y B no sonvectores nulos.A y Bson paralelos.

PRODUCTOS TRIPLES Combinandola multiplicaciónescalary vectorialde tresvectorcsA, B y C sepuedentene¡productos de la fofma (A.E)C, A.(B x C) y A x (B x C). S€ v€riñcanlas leyessiguienres: f. (A. Brc + A(B'C) eo genc¡al 2 . A ' ( B x C) = B .(C x A )= C .(A x B )= v o l u mendelparal cl cpi pedo de a¡i sras A , B yC o bie¡ el opuestode estevolumen,segúnqu€ A, B y C formcn o no un sistemadextrorso.Si A = Ai + Ar) + A.k, B = ,ri + B; + B.y y C = C,t + C,j + Crt, entonces

A.(Bxc) 3. Ax(BxC) 4. Ax(Bxc) (axB)xc

=

AI BI

A¿ At Bz B:t Cz Cs

(6)

* (AxB) xC (El producto vecrorial noesasoc¡aüvo, = (A.c)B - (A.B)C = (a.c)B_ (B.c)a

Ef productoA.(B x C) s€suelell4ma¡ttipleprcducto y sepuedesimbolizar escalar por [ABC]. El productoA x (B x C) es el llamadotripleprcductotectorial.

r38

VECTORES

l c A P.7

En A ' (B x C )s e o mi te n a vecesl osparéntesi syseescri beA ' B xC .P e¡oeoA x(B xC )l os (véaseProblema29).Obsérvese que A' (B x C) : (A x B)'C, lo cual se paréntesis son necesarios expresadiciendoque en un triple productoescalarse puedenintercambiarpunto y cruz sin alterarel resultado(véaseProblema26).

ANALISIS VECTORIAL DESDE UN PUNTO DE VISTA AXIOMATTCO De lo anteriormentevisto resultaque un vector r : ¡i + / + 2l estád€terminadocuando se (¡,.y, z) respectode un sistemade coordenadas. Al adoptarun tratamienconocensus3 componentes to axiomáticoes, pues, natural procedercomo sigue: Def¡lcióo. Vector tridimensionales una !e¡r4 ordenadade orlmerosreales(Ab 42, A3). Partiendode esto se puededcñnir la igualdad,la adición y la suskacciónvectoriales,etc. Asi, con A: (Ab Ar, A) y B : (rr, 12,83) se definen A : B s i , y s o l os i , A t = B ¡ A z: B ¿, A t = B z A + B = lAt + 81, A2 + 82, A! + Brl A- B = (A r - B b A2 - 82, A 3 - 83) 0 : (0 ,0 ,0 ) mA : m(Ar,Ar, A3): (mA¡ mA2,mA3) A.B = A rR r + A 2 B2+ A 3B . ?. Longirudo magnitud¿e ¡ = l¡l = V'A'A : ,/qi *il*

l. 2. 3. 4. 5. 6.

Ai

D e é s ta s s e p u e d e n o b te n erotraspropi edadesvectori al es,tal escomoA + B :B + A ,A +( B+C) = (A + B) + C, A'(B + C) = A' B + A'C, etc. Definiendolos vectoresuDitanos i = (1,0,0), j = (0,1,0), k = (0,0,1)

(7)

se puedemostraf entoncesque A

=

.4,i + A ¿j + A ¡k

(8)

De igual manerase puededefinir¡ ¡ f,: (,4183- A3Bz,A3Bt- Afi!A¿2 - A2Bt\. Una vez desar¡olladoestetratamientoaxiomático,Ios resultadosse puedeninterpretargeométrica o fisicamente.Por ejemplo,se puede most¡ar que A'B : AB cos0, lA x Bl : ,{,8 sen0, etc. pero es fácil genelalizarla idea En lo anterior se han consideradovectoresen tres dimensiones, de vector a mayor númerode dimensiones. se definecomo Por ejemplo,w oectorcuat diñens¡b¿¿¡ vna cuatemaordenqda\Aú A2, A3, Aa\.

fY

* É & t¡ d!

no FTJNCIONESVECTORIALES Si a cadavalor de un escalaruse asociaun vectorA. sediceque A es !14 funciónde ¡l denotada por A(r). En tres dimensionesse puedeescribir A(u) = A t(u\i + A2(uli + A3fuY,, Segeneralizafácilmenteel conceptode fuoción.Así, si a cadapunto (¡, /, z) cor¡esponde un vector A. A es uria funciónde (x.¡, z), que se indicaA(r, y, z) : At6, y, z)i + A^x, y, z)i + A3$, y, zB. Sueledecirseque una funciónvectorialA(x , y, z) define\trrcampoDectorial ya qüe asociaun vector a cadapunto de una región.Análogamente, $(x, y, z) deñrc un campoescalar,puesasociaun escalar a cada punto de una región.

{-.

5l ¡¡lr ¡o

cs l¡

cAP. 7l

VECTORES

I^NfiIES,

CONTINUIDAD Y DENWADAS DE FUNCIONES VECTORIALES

Los limites, la continuidad y deriv¿ciónde funcioocsyeciorialessiguen¡cglas simi¡aresa las de las ñ¡nciones esc¿la¡esya vistas, como se ve por los c¡unciados sigui€otes: L

Se dice que la función v€ctorial A(ul(s contiatmc1 so si dado un nrlmero positivo €, €x.isteun n¡¡meroposiüvo ó ral quc [A(¡) - A(uo)l < € sicmprr qus l, - ,ol < ó. Eito equivale a dccir qüe lim A(¡¡) : A(t¡o).

U. f" ¿"1"¿"

de A(¡¡) se define como dA ñ

=

.. Aft¿+ a?r)- Al?¿) u m-

&-O

AIt

si €ste imitc eristc. Si A(r) = ¿' 1r¡¡ * rz(z)i *.4r(tr)&; ilat. ilL d.At dA¡. = r' r + -ñ r ñ ¿! at

entonces,

De manera pnrecida se puedan deñnir derivadas sup€riores tales como *A'?./., 3. Si

A(E,U,2, = At(r,V,.li+

Az(r,!,2\i + A'(t,g,z)h,

cdp,,

cntonccs,

a r = fia x+f;au+ $a" es la dilercnc¡al & A. 4. Las derivadas de productos siguen rcglas scmejantesI rstas para funciones esc¡larcs. pero cuando €ntran productos vcctoriales hay quc cuida¡ del orden, Algunos etmplos son:

ot ho¡t = ofr* ffi*

( ü #) ( a .B=) a .# *#. a t"t Stexnl =

+a$xn

^"#

INTENPRETACION GEOMETRICA DE I"A IIER¡VADA VBCTOR¡AL Si r es el vector que va dcl origen O de un sistema de coo¡denadasal punto (x, J¡,zI al dar las compoÍentcs de la funciótr vectorial ('¡) quedan densidas ¡, y y z como funciones de s. Al va¡iar ¿, el cxtrcmo de r describeuna d¡¡ua en el espacio(Fig. 7-8) d€ ccuaciones paramét¡icasx= x(u\, y = y(al, z= z(u\. Si cl parámct¡o ¡ cs el árco ¡ medido desdeun cierto pünto ñjo de Ia curva, entonces d t-^ (e)

E ='t

es un vector unitario en la dirrcción de la tangent€a la cu¡va y s€ flama r'¿ctort@tgenreunitaño. Si |l ei el tiempo ,, th

a="

(10)

esla oelocidadc/r,nqueel ext¡e¡Dode I describela curva.

'

n&?{

[cAP. 7

VECTORES

140 Se tienc v

$r = ,r

dt t"l¡ =dr ds =&=

de donde la magnitud de v es . : ó/dl.

(tl)

Asimismo. d!¡ .It.

(12)

fsla acelerucióncotr que el extremo de I describela curva. Estos conceptostienen aplicacionesimpory et geometría dderc cialtanles en rrec¿i¿r'ca GRADIENTE, DWERGENCIA Y ROTOR Sca el vector opc¡8dor V (¡¿ól¿) de6nido po¡

(rr)

v = t #+ i$+ x f i

Entonces,si ó(x, y, zl y A(¡,.),,z) tienen primerasderivadasparcialescontinuascn una región (con' dición que cn muchoscasoses más restrictivade lo necesario)se puededefinir: l.

G ü.[úe Sc dcñne el grudie e de ó por

= vo = (r$+if,+r.i)o= tff+;¿fr+uff sradó /

,\

'

.

¡*

i

'

ut\

= óó. . aó. ¿ó,

' ; r+ úesr+que i; \si f(x, ¡, z) : c cs la ccuacióo de una superñcic, U¡a interpretación inte¡es¿nte Vd es u¡a normal a esta supeúcie (Problema36). 2. D¡vcrg€ocir. La dioergenciade A se define por =

divA

V' A

/ ¡ e\ ^ + tt+ kaz). (\¡ó,:OA z* l A s - lAt Az dr - AV

=

(ári + .A rj + Á rk)

Gr )

3. Rolor. El roror de A s€ dcñne po¡ ro t A

=

VxA

=

[a

*',

li la

j k d a

lAt

A2 A,

la

¿

(u{,i+ ázi + 4¡k)

* u*)

(161

-

la , A a " =

ld

a

ilaY az - jl a' d, lAt A2 laz A'

la lÁ '

d

+ kl ót dU Az

=(*,-9'.'(*-af,.-(*-+)Nótese que en el desarrollo del determinante, los operadores?lAx, 010y, AlAz &bcí precrder a A r 4 2 . Ar.

c^P . 7l

VECTORES

t4l

MNMULAS EN QUE ENTRA V Si se süponeque existenlas de¡ivadas parciales de A, B, U y 4 entonces = f. V(U+y) o srad(U+V) = gradn * gradV VU + Vy q = v.a + v,B 2. v,(A+B) div(A+B) = diva + divB = VXA+VXB 3. Vx(A+B) rot (A+B) = rot A+ rot B o 4. V ' (UA) = (vU).a + U(V.a) s. V x (UA) = (VU) xA + U(V xA) = B.(VXA) -A.(VXB) 6. V.(AxB) = (B.v)a - B(v.A) - (A'v)B + a(V'B) 7. vx(AxB) = (B.V)A + (A.V)B + Bx(VXA) + ax(VXB) 8. V(a'B) e. V.(VU) .

= y

V,U = y*.yn.# v,

=

****$d!J'

dt'

se ttama taptatirtno der.) dz'

se amaoperador lapta.uno.

V x (VU) = 0. El rotor del gradientedc U es nulo. Il. V ' (V x A) = 0. La divergenciadel roior de A es nula. = V (V.A ) - V,A 1 2. V X ( V X A ) t0.

INTERPRETACION VECTORIAL DE I,OS JACOBIANOS. COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALFS Las ecuacion€sde t.ansfo¡mación r = f(ut,uz, ), U = g(ubu2,u3), z= h(ubuz,u.r\

(1f)

[dondese supone_quc f g, l¡ son continuas,tienenderivadasparcialcscontinuasy tienencadauna recíprocauniforme] cstableceuna correspondencia biunívocaentre puntos de dos sistemascartesianos xyz y u42ux, En notación vectorial la transformación(-¡Z)se puedeescribir

r

=

=

ri+yi+?k

f(u¡uz,us)i* !(ü,uz,u)i I h(uta,uslk

(f8)

Un punto P en la Fig. 7-9 puededefinirseno solo por coordenadas ca¡tesian¿J(¡, y, z), sino también por coordenadas(¿r, ¡/2,,3). Sediceque (2., a., a3)son las c¿o¡d¿nadascuruilíneasdel plr.to. Si z, y l, sonconstantes, entoncesal va¡iat ¡Jl,rdescribe una curva que g€rá.laca¡oacoordenada lr. Análogametrlesedeñnerilas curvascoordenadasu2 y u3 pot p. Por l.l8) se ticne dt=

¿r,dr.dr . ñ;q ut+añt u2+ llx dul

(1e) Ft8. ?-9

El vcctor a¡/¿¡¡res tangentea la cu¡va coordenadau, en p. si e! esun vectorunitario en p en esadirección-se puedc escri-birh/óu¡ = hpr, con h, = l4r¡^url y fu16u,= h2e2y Al04 = l¡¡€¡ cori ,t2 = loflduzl y h, = ldrl¿url respectivamente. Así, (/9) s€ puedeescribir dt

=

htdt

er *

/rt, /r2, /r. son los llanados factotes de escalo.

hztlutez t

h"ilu"e"

(n,

t42

lcAP. ?

VECTORES

Si er, e2, er soo pcrpendicularcseDtre si e¡t todo punto P, las coordenadascu¡vilíneas sc dicen ¿¡ngonules. En tal caso el elemento de arco d.r viene dado por

d.s! =

d.t.dt

=

h|ttul + h'i dul + h! du!

(211

y correspondeal cuad¡adode la lo[gitud de la diagonaldcl paralelcpípedo anterior. Asimismo,en el caso de coordenadas ortogonalesel volumendel paralelepípedo es =

dV

l(h\du'et)'(hzd.uzezlx (hsd.use)| =

tu,turtu3d,u¡dttaihtt

(22)

que se puede escribir ár | ' I ab'u'z\ dv = ldr ár au"laur autaut = lla'eu,x la',";;6

l¿Iu,¿Iao¿tu"

|

@sl

siendoA$, y, z\10(ur,u2,u!l el jacob¡anode la transformación. y sc explicageométricamente Es claro que si el jacobianose anula no existeel paralelepípedo el signiñcadode la anulacióndel jacobianocomo se vio en el Capítulo 6. GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTOR Y LAPLACIANO EN C(X)RDENADAS CTJRVILINEAS ORTOGONALES Si O es uf¡a funciónescalary A: Are, + Aze2+ Are, es uf¡a función vectorialde las coordenadascurvilíneasoriogonalesur,u2,u3 se tienen los resultadossiguie¡¡tes:

r. vé = sradé= i#3 * !k#- + *"#. + *@,h,A"l 2. v'A = rrivA= *^l#, (h¿hat + ft {n"n,o¡ lt^et

3. VXA

=

ror A

I

= t6ñ

hzez hsea

ó¿¡ Aut An" au" h,A, h¿Az haAs

= #^lh(+'#).*,(+X) 4. v,e - Lapracianoo a-/¿,¿,ao\l' att" a""\-ñ )l Estasse reducena las expresiones corrientesen coorde¡adascartesianas si secambian(ub u2, u]', por (x, y, z) €n cuyo caso €1, G2! 03 se vuelveni, ¡ y k y rr : h2 : h, - l. COORDENADAS CURVILINEAS ESPECIAIIS l. Coo¡de¡¡d¡s cilldrlcrs (p, g, z\. Fign 7-lO. Ecuaciones de transfotmació4a r = p c o s { , y: psen$, z:

z

c o n p = 0 , O S ó < 2 t, -@ < z < co. Factores de escala:hr: l, h2: p, fir: I Elede to .le arco: ds2= dp2 + pz dó2 + d.2 ¿(x,y, zl Ja(OOUtrO.,, -,- ¡--- = p otp , Q , : t Elemento de aolumen: dV = pdpd$dz

c^F. 7l

VECTORES

t43

Iaplaciano:

)* 1{9* ' {4 = t g*, ! ' 9* ! t ! * FU v,It = !p gl,g . ap\. ap/ ai, P2aQ,2 az' a", ; aP - vi& Nótes€ que se puedenobtener resultadoscorrespondi€ntes para coo¡denadaspolares en el pla¡o con solo omitir la dependencia de z. En tal ciso, por ejemplo,dr, = ap; ¡ i;jl;, y el elemenrode volumen se vuelveelementode &q, dA = i¿iaO. 2. Coo¡de¡¡üs erférlcrs (r, 0, {). Figura 7-ll. Ecuacionesde uansformación: x : r send cos {, / = ¡ s€n0 s€nd, z = ¡ cos0 c o¡ r¡ ¿ 0, 0< 0< x ,0 !S< 2 tt. _. Facroresde escala:h, = l, h2: r, 11:= ¡34¡¡g Elemento de arco: dsz = dtz + 12 d02+ rz sen2g d$2 ,/v

s

-r

J ac obiano: ii; ii = ¡' l s e n 0 o\f. v, Q)

Elemento de aolumen: dV : 12 sen0 dr d0 de r

¡/

.¡ ¡ \

Flg.7.ll 1

."\

"/ r-aptacio'oi v,u = i,S(r, #)-r F*i*(seneffi)+

Son posiblesotros tipos de sistemasde coordenadas.

"¿ur#

Problem¡s ¡eseltoc ALGEBRA VBCTORIAL l.

Mostrar que la adición de vecto¡eses cor¡mutativa,esto es, quc A + B = B + A. Véase Figura 7-12. o P+ P q = O Q o A +B = C , ) on+nQ = oQ o B +A = C . En ronc es A + B = B + A. P

"'8 F1¡.7J1

quc la adiciónde vectores Demost¡ar esasociativa, estoes,que.A + (B + C) = (A + B) + C. Véas€Figura?-13. pe+eR= pn= (B+c) op+pe=oq=(A+B) y Pu e s tque o

OP + PR = OR = D , o s e a . A +l B + C ) = D OQ+ Qn = O R = D ,o s € ¿ (. A + B ) + C = D seri e n c A + ( B + C) = (A+ t) + C . Po.generaliz¡ció¡t dc rosresu¡tados delosprobremas I y 2. scvequccr ordendeadrción decualquier nú-

¡t¡cro dc i€clofcs €s indifcrcntc.

t44

[cAP. 7

YECTORES

3. Un automóvilrecorre3 km en di¡ecciónnorte,lu€go5 km haciael nordestecomo seve en la Figuy determinarel desplazamiento ra 7-14. Rep¡eseritargráficamenteestosdcsplazamientos resultante (a) g¡áncamente,(ó) analiticamente. El vectorOP o A representa el desplazamiento dc 3 km hac¡a 9| none. El vector PQ o B rcpres€ritael desplazamientodc 5 km hacia e¡ nordeste. El vector OQ o C reprcs€ntae¡ d€splazamientorcsultante o sumade los vectoresA y B, es decir,que C = A + B. Estaes la rcgla del t iltgulo Wta.la adición dc vectores. El vector resultar¡teOQ tambión sc p¡¡edeobtener construyendo ¡a diagonal dcl par¿lelogramoOPQR que tiene por lados los vccloÉsOP = A y OR (igüalal vcctorPQ o B). Estaes la regla del paraleio¿ramopara la adición de vectores. De,enniMción gúfica d¿ Lt r¿r¡r¡dn¡¿. Llév€s. la unidad I kfn sob¡ee¡ vccto.OQ paracncontrarla mag¡itud7,4km (aprorirn¡damcí1e). El ángr.tloEOQ = 61,5" con un transportador. Asi quc el vect6 OQ ticne magnitud 7,4 km y diracción61,5' norlc-este.

' /4

O

tb) Detemirración aÚlitica de la ¡esuhante. En cl triángulo

n¡. ?-r¡

OPQ, deüof^ndo po¡ A, 8, C las mag¡itudes de A, B, C, se ticne por el ¡€orcma dcl coseno C'z= A2 + 82 - 2AB@s LOPQ = 1' + 52 - 2(3X5)cos135"= '! C : 7,43 (aprorir¡ad¿mcntc). Por ef teorema del*no

s *ep-

*n toee = 4E!9!9:

L*Eo

*":opo

"lÍ3t'

J 4 + rs J t = s s , 2 r

= 0,r",

y

Loep= t6.3s,

EI vectorOQ tiene magnitud7,43 km y dirccción(45' + 16'35'): ól'35' note-€ste. 4.

D€mostrar que si e y b no son colinealcs, ¡s + ),b :0 implica x: ¡ : 6. Supóngase¡ + 0. Entolrces,r¡ + /b = 0 implica -x¡ = -)ü o ¡ (/¡)b, es decir, que ¡ y b debenser - parale¡os¡ una mismalecta (colineales ) en contra de lc supu€sto.Asi quex : O;e¡tonc€s,/b = 0, de dondcy = 0.

a

Si ¡1¡ + /rb : x2r + y2b, dondc a y b no sof¡ colinealcs, xt : xz y ft : f¿, r¡¡ + /¡b = ¡2a + /2b se puedeexpresaf ¡ r . + / ¡ b - ( r r ¡ +) , r b ) =0

(x, --xr!+ Or -/r)b:0 = xr, y, = yr. Asi, pu€s,po¡ ef Problcma4, ¡r - r: - 0. y, - y, - 0 o x, S€ pued. S.oeralizar (vc¡s€ ProbleDa 49). 6.

o

Demostra! que las diagonales de un pa¡alelogramo se cortan en su punto meolo. que s€corSea.,IBCDel paralelogramo dadocon diagonales tan en P, Figura 7-15. ComoBD + ¡ : b, BD = b - ¡. LucgoBP= ¡0 - ¡). Como AC = ¡ + b, Ap =),(¡ + b). Pc ToAB: AP+ PB= AP_BP , esto.s,¡ = t(¡ + b) - x(b - ¡) = (_¡+ /h + 0 - ¡)ü. Como ¡ y b no son colinealcssc tien. por el Problcma 5 que x + y = | y y - ¡ = 0, €slo es,qüe ¡ = ) = i y Pcs cl punto ñedio de ambasdiagonales.

ll¡. t.ll

CAP, 7]

YECTORES

145

7. Demostrar que la recta que u¡e los puntos mediosde dos lados de un triángulo esparalela al lerc€r lado y tiene la mitad de su longitud. Figur¿ 7-16,AC + CB AB o b + ¡ = c. SeaDE : d la recta que une los puntos medios de los ledos lC y C8. Entonces, d = DC + CE =,b + h = iO + ¡) : *c Así que d es paralela a c y tiene la mitad de su longitud.

A

Flr. ?-t6

8. Demost¡a¡ que la magnitud I del vector A: A,i+ A; + A3k es A : J¡r, + Ar, + 4. Figura 7-17. Por el teoremade Pitigoras, nr f = o g ¡,+ ¡g F ¡z sicndoDF la magnituddel vectorOp, etc. Análogamenre. AOf = tOnf , Wf . (OP),: (OR),+ (Re), + (epl2 o Entonces, A, = A? + Atr+,{3, esdeci!,A = J A¡\iV,.

It

?-1,

9. Determinarel vector de origer¡p(xr, yr, zr) y exl¡emo Q@r,yr, zr) y hallar su magnitud,Figura 7-1g. EI vectorloc¿lde P esr' = rli + V¡j + z¡k. focalde C es h = ,,i+u2i+ z*. r,+PQ = r, o = (r,i + y,i + ztkl- (r,i+ 3,¡ + z,k) P Q = r,-r¡

('' - r¡)i + lu' - u,\i + \2,- z¡k.

Magn¡rudde I¡8

= vlx,- a\'t + (y'- u\t,+ (2,- z\\r. Que es Ia distancia eitre p y e. PRODUCTO

Ftt t.lt

ESCAI.AR

10. Demostrar que la proyección de A sobre B es igual a A.b, siendo b un vecto¡ unita¡io en Ia dirección de B. Pas¿¡planos perpendicul¿¡esa B en G y ¡¡ por el origen y extremo de A, rcspectivamente,Fig. 7-19. Entonces, Proyección de A sobreB = Cn = gF =,{ cos d: A.b ll.

D emostra r A. (B + C) = A, B + A. C. Se¡ ¡ un vector unitario e¡ la dirección de A; eDtonces, Proyecciónde (B + C) sobreA = proyecció¡ de B sobreA + proyecciónde C sob¡eA (B+C).a B. a + C. a -

Multiplic¿ndopor ,{, ( B + C) . Á a = B .A. + C .A ^ ( a+ c ) ' A = B' a + c ' A Y Entonce!por la ley coDmutativa del productoescálar, A . ( B + c ) = A.B + a .c y se vermc¿l¡ ley distributiva.

n8.7.t0

r46

[cAP. 7

VECTORES

¡ que(A+B).(C+D) = A.C + A'D + B.C + B.D. l¿ Demostrar Porel Problcma ll, tA + B).(C+ D)= a' lc + D)+ B' (c + D)- A' C + a' D + B' C + B' D. Las leyesordinariasdel álSebravalen para produclosascalar€s.

13, Calcul¿r = lil lil co!0o = (1X1X1)= I (o) i't (ó) i.k = lil lkl coseoo = {l)(1X0)= 0 = lkllil coseoo = (lXrX0) = 0 (c) t.i = 0-3+ 0 = -8 = 2 r. ¡-3j .¡+ J' k (d ) J .(2 i -3 j + l ) (e ) (2 i -j )' (3 i + r) = 2 t' (3i + k) - i ' (8i + L) = 6i ' i + 2i ' k - 3r' i - j ' k = 6+ 0-0-0

= 6

y B = B ri + & j + 8¡k, demosrarque A ' R = A ¡& * A zB t* 1 4 S i A = ,,L ri * ,4 :j * A rh AsB$ A .a = (r,i + ¡' j + Á' k )' {a,i + B ,l + a' k) = i¡t ' (8rt+ Bri + A'k) + A'i'(A¡i+B'j+a'L) + ¡'k ' (ati + B'i + B!k) = A.B ti .i + á 'A rt.¡ * 4¡8' t.l ¡ * A ' B ti ' i + A ' B ' t' i + A .B ri ' k + Á ¡A¡t' i + i {' ,8.t' i 4 Á ¡B ¡k' k = A¡8, + A¡B¡+ A8s escal¡rcs. i ' I = | . i = k , I = 1 y todos¡osotrosproducrcs

que A = r/T-.A= r/4+4TnI. t5. si A = Ari+Azj*A¡k, mostrar A.A = (AXá) coroo = ,Ar. LuegoA=l-A.L Tam bién, A. A = ( ¿{ ¡ t +4 '¡ +, 4 'L ) ' ( , {¡ i +Á t ¡ +á 'k )

= (/t,X.t + (/t'X,{, + (Át(A!) = Ai+ Ai+ Ai Dor.l P@blema 14.hacicndo B = A. = ,,/¡,¡ = r/4+4+7i Lucgo Á

A¡. csta magnrrud deA. A.A scsuc¡.c$cribir

PNODUCTO VBCNON¡AL 16. DcmostrarA x B= -B x A.

(ó)

(") Fis. t"2l

Ax B- c t ien€m agnit ud , l r s e n 0 y d i r c c c i ó n t á l q u e A , B y C f o r m a r ¡ u ¡ r s k t e 6 ¡ d e x t r o r s o l F i gu _ e 7-2tlol). B x A= D liene magnitud8,4 san0ydir€ccióntal que B, A y D fo¡man un sislcmadc(rorso lFigora 1-ztlhl'). EnloncesD tiene igual magnitud quc C. pcro cs opu€$o cn dirccción, o sea, quc C: -D o A x B = - Bx A. lá ley conmutativ¿ no se veriñca en cl producto rlctorial,

c¡P. 7l

VECTI)RES

141

17. Demostrar qüe A x (B + C): A x B +A x C para el en que A es frcrpendicular a B y tam-caso bién a -CComo A cs perpendicular¡ B, A x B ¿8 un vactor Frpendicular al plano de A y B y de mag¡itud ,i, ¡en 90" = ,{t o magnitudde,{8. Erto equivslc¡ rÍr¡ltiplicarcl vactor E f,or ,{ y gir¿r 90',el vector r€sultantchast¡ la Do_ siciótr quc sc vc cr¡ l¡ Figura 7-22. Análog¡mcnte, A x C cs el vector que se obticnc rnultiplic¡ndo C por ,{ y giraÍdo ct veclor quc rcsulta9Oo hasta l¡ Dosición quc se m¡¡cstta. Dc la ñisma maners, A x (B + C) es cl vecto¡ oue sc obricncmuhipl¡candoI + C por,l y gi.ar¡doel vector $¡c a€su¡ta90" hastala posición quc s€muestr¿_ Coño A x (B + C) es la diagonaldel paralelogramo dc la do 3A x ByA x C, s e t ie¡ €A x ( B+ C, - A x B +AxC.

l&

Fls.t-22

D emo stra r q ue A x ( B+ C) = Ax xC B+ A cn el caso general en que A, B y C no son coplaoares. Figu¡a 7-23. DeaaompórFse B cn do6 vecto¡rs oomponentas, ur¡o pe.pendicul¡¡ a A y otro p¡ralelo r y dcnótcsclcs por 8r y B[ ¡€spcctiv¿mante.Entoncescs^B Br + El. Si 0 cs el ángulo quc foman A y B. cntooces,r = I sen0, Luegola r¡ügnitudde A x Br es,r, s€n0, la m¡s¡¡¡aque la d. A x B. También la di..cción de A x B, cs la mism¿quc lsdc A x B. Lucgo A x Br x - A B. Asimismo, dcscomponiendoC en dos vectores Ct y FrS.?-23 Cl, par¡lclo y lErpcodicular rcsp€ctivameÍtc a A, as A xCr-AxC. Tambiér, como B + C = Er + B[ + Cr + Cr = (Br + C!]+ (Ar * C¡) se dcduccque Ax ( 81 + Cr ) = A

x ( B +C )

Aho¡¡ bien, B, y C, son vecto¡esperpcndicularcaa A y entonccs, por el Prob¡erha 17. ( Br + C1) = Ax Br + A x C l ( B+ C) = Ax B+A x d y severificala ley distributiva.Multiplic¡ndopor -1. usandoel problemaló, serienc(B + C) x A: B x A + C x A obsénase qur €s importa¡tc el ondende los factoresen los produclos vccto.i¿les.Las lcycs usuales del álgebra solo son válid¡s si s€ n¡¡¡ticne cl orden ¿rdecuado.

1 9 .Si A = A r l*A ¡ j+ r { s k AxD

y

B = Br i r- B:j + BB k ,demostrar que A xB

=

i ir At Az Ae Bt Bz Bt

= ( / { r i+ á !j + á ¡L ' x (A¡i + r' i + a ' L ) = ár ix (Bri l B rj 4 B ' k ' ) + A,t x (A!t+ a ,l + B ,k) + /,k x (a,t+ A ,l + B rk) = A r B t i x ¡ + ,{ ¡A ,i x i + A ,B,tx k + A , & i xi + A ,B .txi + /tB ,i xt + ¡rt¡k X t + ,4 !¡' k x , + ¡' BrL x k

irk = lA,B.- A,B,rt + (A,b- hB,ri + lA,&-A.Btlk

=

& 8. 8.

148

[cAP. ?

VECTORES

al. Si A = 3¡- j +2k

v

ii 3- 1 23

k 2

Axt

=

h¿l l arA xB .

B= 2i + 3j -k,

t ,

-t ,

I _ '12 ,l -1 | 'l,l 3 -1 I | -5i+?i+rrk

* n l, -3t I 12

|

queel áreade u¡ paralelog¡amo 21. Demostmr de ladosA yBeslAxBl. = ,¡ l8l Area del paratelogramo

= lAlsend lBl :lAxBl'

Nótesequeel áreadeltriángulocon¡adosA y B

t - i lA Bl.

22. Halla¡ el áreadel triángulode vérricesP(2,3,5), Q9,2, -Il, R(3,6,41. PQ = ( 4-2)t+ (z-B )i + (-1 -5)k = 2i -j -ok PR = (3-z)i + (6-3)i + (a-5)k = i + 3j -k A re ¡d e lrri á n g u l o= + l PA xP nl = I i (2i - j -6k) x (i + 3j -k)l iik 2-l-6 r8-l

|

=

+ l tei _4i + ?kl

-

tl

=

lvrlef + (-4f + (7)' =

IV426

PRODUCTOS TN,IPLES 23. Mostrarque A'(B x C) es igual en valor absolutoal volumendel paralelepipedo de a ¡i s ta s A,B y C . S€ar un vcctornormalunitarioal paralelogramo/, queticnela dirección de B x C, y sea}i laál!u.adelextrcmo deA sobrcel paralelogramo 1.

Fb. r.25

= (altura,Xáreadel paralelogramo Volumcodel páralelepipedo 4 = {A, nXlB x Cl) = a . {l B x C J n } = A . ( B X c ) Si A, B y C no forman un sistcmadextrorso,A. n < 0 y cl volumcnes = | A. (B x C) I.

24.Si A = Ari*AzitAl,k,

B = 8¡i+Bzj+B¡k, a.(BxC)

A.(B x c )

=

A.

=

Ar Bt Ct

c = cri+cri+cak

que mosrrar

Az As Bz Bs Qz Ca

i j¡ hB 'B '

ac, c ' lAti + l{ ,j +Á , k )

= At ( Br 6-

. [(arc - a!cri + lB'c,- B,c',ti+ lB,c,- B,C,')kI

B s C ) + A , ( B 'C , - B , C " I r A , \ B , C ? - B l c )

=

B, B, B,

ct c, c.

Grt ?l tl

VECTORES

t49

Hallar el volume¡ de un pa¡alelepipedode aristas A = 3i - j, B = j+2k, c = i + 5j + 4k. Scgin los ProbleD¡323 y 24, volumcndel paralclcpipcdo= =

I

3-1

l a.(B xc)l

=

0

| 012 164

l-201 =

20.

Demost¡ar que A . (B x C) = (A x B). C, o s€a, que s€ pueden inte¡cambiar punto Po. cl Prob¡cm¿ 24: A.(BxC)

=

A, A, A,l t":, "": "":l'

(axE)'c = c'(AxB) =

ct

c.

AI BI

B, B,

Sicndo i8u¿lcs los dos dct€miriantes, se tiena el ¡esultado Dcdido.

n.

Sea¡ rr : ¡ri + /J + zrk, 12 = x2i + y; + z2L Y ¡¡ : x¡i + hi + z.U los yccto¡es locales de los puntos Plx| yb z), Pr(x", y", z) y P3(4, y¡ 4)- Hallar una ecuación del plano que pasa por PL, P2 y P3. Figxa 7-26Sc supoDequc Pr, P¡ y pr no astráne¡ liúea r!c. ta, cs dcci¡, quc delermin¡ú un plano. Se¡ r : ¡t + /¡ + zl cl vector local de un Dunto P(x, !, z, dcl plano. Considér€nseIos vectorcs P¡P, r. - ¡r,PrP" 13- rl y PrP: r - rr qüc cstáD cn cl p¡ano. Entoncas, o

P'P.P¡P ¡ XP¡ P! = (!-r¡). (&-¡') x ( r ' - ¡ ' )

O =

¡ts. ?-16

0

lo quc c¡ coordcn¡das cancsiatas cs

f(r - rtt + (u - úi + lz - z,)kl, Ilz" -3-¡i + (v, - x'\j + (z'- ztkl x [(r! - rti {. ht'- ytl + (2"- ,r)k] = 0 o. segúncl Problcma24.

,- r r 2 - zl l- Ut F ,- u t Ur - Ur 2 ,- a l zt- tcr ? lt- Yt zt- 2 r

2& Halla¡ ura ecuacióndel plano que pasapor los puntosPr(3, l, -2), p2l_1,2,41, p3(2, _ l, l). Los vcctorcslocalesdc Pr, P2,P3y dc un puntop(¡, /, z) cuálquicradel planoson,rcspectivament€, r ' = 3i+ ¡-2 t,

rr= -i + 2 ¡+ { k ,

r¡= Z i - j + t,

r=

' i + vi + .k PPr - r - ¡r, PzPr 12- rr, P2Pr= 13- ar,estántodosencl planobuscado y la ecuaciór¡ _.E¡tonccs f,€didacs, pues,(r- rr) . (r, - rt X (rl - r,) = 0, csdecir. { ( ' - s )t+ (r-l )i + (z + 2 )k ). (-4 i + i + 6¡} x {-t-2i + B k} = 0 ( ( r - 3 )t + (/-l )i + (z + 2 )k ). (1 5 i+ 6 j + ek) = o 15 (t- 3 ) + 6 (y- 1 )+ 9 (z+ 2 ) = 0 o 6r+ 2u+ 9. = rr Oüo ó¡ódo:

Po! cl Problcma27, l¡ ccü¡ciónquc se pidc cs ,-3 -t-3 2- 3

y -l 2 -t -1 -l

2+2 1+2 1+2

=

0

o

3 c t 2 U +3 .

= ll

[cAP.7

vEcToREs

150 i -i i ,

29. si A=

tj r 110 2 -3 I

=

( c ) Ax B

= i -¡-6k.,

hal l ar (a) (A xB ) xC ,

Lucgo(A xB )xc =

r ti r-1 -6 0{-3

(b) A x (B xC ).

= 23i + 3j + 4k.

tjk

ti L 2 -8 | 0 { -3

(ó) ¡xc =

c = 4j -3h,

B = 2 ¡-3 j+ t,

= 6i+6i+8lc

Lr¡c8o Ax(BxC)

=

t 101=

8l-8r+r"

668

Scsi8u.qu.. en Sencral,(AXD)xC

# Ax(BxC).

DEnIVADAS

(o)S, ful l#f fO ffi, O lffil * hatlar 30.si r = (f*2ü)i-3e-'r¡+2scn5¿1, = y posible ú 0 da¡ un significadofisico. {.) # = $e+z4r * $t-a"-"u+ $tz*no4t = (srr+sl¡+&-!.t+tocororl E¡ a=0, .hht¿ = 2¡ + 6, + rot

(ü) Dc (a), l¿/¿rl = V6?'i6FTiidF = ú{0 = 2y'36en r=0. (o)#

= Í(g)

= $t t s r+ z li+ 6 . -' . J + r0 c o ! 6 rt ) = 8 c r-r2 . -, , r-r} ! in 6 r¡ = -12t.

En C=0, t tltt{ (d) Dc

(ct

ld'r/d¿'l = 12 cn ¿=0.

Si t rapresantscl tiampo, ést¿! son, respecüvar¡ent€,la velocid¡d, m¡gritud de le velocid¡d, actlor¡ciór y o¡gr¡irud dc l¡ acetcr¿cióncr, psftk-t¡la que scmuevea lo larto dc la q¡rvs alabc¡da ¡ = ,¡ + 2t, - 0 dc un¡ y - - 3¿' 2t , a= 2l4, i5t .

= a.g;- *#.",

que 31. Dcmostrar f;(a.B)

A y B sonfunciones difer€nciables don
OC ¡.

Mé .d or:

# (a .B)

=

(a+ aa)' (B l l B ) - A ' B al i m. .. A ..l B + 3A ' B + ¡A ' A B Lü

A¡-O

= rs.(^'i?* lf;'n+ *'*) M Aodo2:

Sea ¡ =

di(A'B)

At t +A , i *A ¡ k ,

=

B = B r l +A ¡ l +B ¡ k .

= a'f + ff'r Enlonccs.

frlA'h+ A,D'+ 4.8.,

= (^,# +a,ft+ * * * y") ^"F^.)(9", 9n - ¡ .4.lL + 4c¡a!.¡ tL si +(r,g,.J= t'!. eA

-

li(oAl

y a = g,"ni+ az2i-czk, hallar ffiWnl

(.tvzl(3..r1+!..i=

szkl = g'l1/'zl+sY?l-éazL

;l3r'utzi + r'v'z'i - r'v.\l

= 8t'/ri+sxVz'i-zr'yzk

enel punto(1,-2, -1).

cAP 7l á¡a

=

l;ir(6^l

(9r'Y'i+ 3"v'2'i - 2r'uzk) = 6"1tt + gt'u*i - zr'zlf

;l

S i c = 1, y = - 2, 2= -1 ,

10, Si

l 5l

VECTORES

e s rorcc o n v i c rre c n -l 2 i -1 2 j * 2k.

A = i.*nai+z2cosui-

r1r2k, hatlar dA.

Malodo l: ¿A = .. zr s€frvl- v'k, i;

dt, =

(zrs.¡yi lzt*nu

M&odo 2: dA = =

- :¡seny, - zruk,

¡A = 22 cosyi a:

* É¿u + ia' ú"" ov

ldr o,

= =

¿A = rrcolri av:

- !T, ds + (¡'costi - tsenüJ - 2t*).tt + e2co.rird. ¿, + x'cosv dAri + lzz.ory ttz - ¿ 9¡ny dv\, - @¡¿t + 2ty dylk

d(rrs.ny)i + d(z'co!r)i - d('yr)k (2rsenr d, + z'co.r drrl + (2t co.! dz -

é*¡vúll

-

(f dt + 2r! ttv\t

CNADIENTq DTYERGENTEY ROTOR f,4 Si O=e\d y A= cti- V2i+ 2r?k, haltar(o) V0, (ó) V.A, (c) VXA, (d) div (éA), (e) ror (óA).

(o)v , = ( $, * $ i * $ * ) , = f t t + f i i + $r = Sr "' u ,.r í+ h @ Éu *@+) ¿ b = zxaz.l + r''z'i + ar.u.'k

(ü) v'A .\ \"r

= (*, * + $r.).tc:r-r'i+2,'rr.t ¿i = = z-2 u {oa *f,ett**<ú'ot

o"^

= (u"at-* * *l'",zi-tt'i+2,,ú, #, ijk al¿" ,lav

alAt

á \ = /e \¿y-(2¡!) = 2r'l + l, - a'ari 't-v'r)í (d) div (rA)

=

V.(Éa)

=

/e

.r

\

/a

v ' ("'1ft'l - ,'y'.'i

+ 2x'a'2*,

= lentt + fie*u,,t + {e",v'.\ =

(e)

rot (rA)

=

8r'a2. -

vx(ta) AId, ,'ua'

-

llt'r¿

,

\

+ (;('z) - ¡tzt'ut)i + (;(-¡t) -;i@n)k

|x2at.t + Brr1lt.t

=

i xlr'at'i

¿ldy -r2tltzt

ald. zr'Atrt

- e'v'z'i + 2r'!'2'k)

+ 3,rr¡,!)i + |.4r"v¿ - &¿u.z.li -

l2ru'¿ + ¡¡:¡¡la

r52

lcAP. 7

VECTORES

35. DemostrarV . (óA) = ( vó). a + 0( v.A) . v . (ca)

V.(C A ' t + tA ' t + c¡' k) a ;l ó A " t+ l ¡l óA n+ ;@ A t a O, , aó. aó, ,

/¿,{'

4z

\d¡

/a^

\ ¿"= ¡

+

oy ¡-

r: á*

+

\

, y =, É k ) '( L í ld +. r(;; t + ¿ -

út

+1 'j

aA '

d,{ ' \

oy

o2/

+/ t k )

¿-\.. + Ek (Á,r+ Á,j + á,1) ).

(vó).a + {(v. a) 3ó

Demostrar que Vó cs un vector p€rpendiculara la superficie6l./',y,2)= c, dondc c cs ün¡ constante, Sear = ¡l * ,i + zl cl v.ctor local dc un punto P(¡, /, z) sobrela sup.rfcic. Lü.god.: drl + dyl + drl.stá cn .l planotangeDte a la euFrficieP. Pcro

= 0 ,tó= #¿,+fi av + a f , a=" o " ( # t * f r i+ f f x ) . o " r + d y r + d , L ) o sc¿,que VC.dr - 0, d. modo quc Vf es pcrpcndicuhra &, y, po¡ t¡trto, . l¡ suFrfci., 37

Haflar uo vector Dofmal ünitario a la superñcie2.t' ! 4yz - 522 : - l0 cn cl punto P(3, - l, 2). Po. cl Problctr¡ 36, un vcclor oo]m¡l ¡ l¡ suFrñch as 1rl+ 4zi + (4y-102)L = 1

=

A(2*+4y.-62'l

LuegouD r,€crorudte¡io¡odnal ¡ l¡ suFrfcic

",r

r""

co (3,-1,2)

+ai-2lll

=9l*#; (8)r+ (-2{r v(12P+

-

3¡+4-6L.

Otro v€ctor uoitsrio norm¡l a la suF¡ñcic co P as

3& Si

6 = 2r2u - azs, hallar (a) Vó

(¿) or = #t +ffi+$ l (ó) v t + = laplac iano de o =

y

(b) V"ó.

= (t y -z ' t i + 2 " i - 3 , . t =

=

V.Vt

4u - 6r.

+ 3l-srz')

+*a @ , ',

*Wa - ¡

O¡o ¡Étodo: n' ^

á' - 9* { 9* { 9 a.' df 4Y - 6"2

= =

A.'

fte*'u - ,st + fi@x'u-,2'l

=

39. Dernostrar que div rot A = 0. = d i v ro rA = V .(Vx A)

V.

+ Sex\ - rz'l

tj r alde ¿lau ¿I¿2

¿.Á"\. , /4.4' ,,{,\-l /aA' = - f t'a¡, - ¿Á¡. E )r + \ a , - , , 1 t ' \ a " - E / " 1 ".l\uy ¿ ldAt

aA'\ - a' )

d /a.a' ' u\E -

=

a faA, ¿A.\ ," \,? y -E )' fy\E

=

¿'|A| ¿rA' a'Ár d'át a'A, ' a,au - a,a,-' liE - ¿ü, - a,a, a,¿u

¿A'\ ¿y)

a',A¡

=0 suponiendoque A ti€ne s€gundai dcrivad¿sparci¡lcs c!¡tinuas, con lo que cl orden de da¡iv¡ción ca indiF ¡ente,

cP.? l

VECTORES

153

JACIO¡IANOS Y OOORDENADAS CUNVIIINEAS ,O. Hallar dr¡ cn (o) coordenadascilíndricas y (ú) coo¡denadasesféricasy avedgua¡ los factores de escala. (a) MtnodoI I

d, = -p s,ódó:;iff.r'

(bl

dz= dz

+ dy2 + dz? - (- p *n O 4 + casO dpf + (p cosó dó + sn ó dpf + (d212 : (dpl2 + p'\.ióf + ldz)2 = hl@pf + hlldf\z + hlldzlz

Lucgo

!

or':o';\% * Áía,

ds' : dl

h"= I,h2= h.= p,h.= h,= I

h:

son 1o3facrorrsdc esoala.

Mét¡do 2r

El v€cto¡ local c8 r = p cos 0l + p en 0l + z\. Lrr.go

Asi quc

A¡ &- . Ar G- =;_atp + -i akp+ -_ aA oo otD oz = (co! ól + *n glldp + (-p s.¡¡ 0¡ + p cos ótl.to + \.lz = (cos $ dp - p en ó d$)l + {wt ó dp + p cos 0 dfn + ldz ds2= &..h=(cos ódp- p *n ódó)'+ (en ódp+ p cosódóf + (dzl2

= VtpY+ p2@+f+ khl,

¡ = t s . n O c os ó, z-¡cos0 / = ¡ s en 0 s e n ó , Lucgo dx= -¡sc¡0scn ó dO + t c,os0 cas ó ú + en 0 c/o. 0 ¿r d != r * r r ec o60dó+ r c os d s en0 d 0 +*n 0 s ó ú dz = -r *n 0 ú + c¡3 qdr y (dsl'= (ttxl2 + \dy)'+ (dzf (dtl2 + ¿\.fr)t + ¿ *n2 e {düf -

Los factores de escala son h - h, - I, h2 - h, = r, h3 - N, - ¡ s¿¡ g. Halla¡ el glcmento de volumen dIl en coordenadas (a) cillndricas y (¿) esféric€s y r¡azar un dibujo del mismo. El elcmcnto de volumen cn coordcn¿dascurvilircas ortogonalB ¡r, ¡¡2,¡¡! cs

¡ll.

dv

=

hthrh¡dutd*,¿u" =

l---!l¡.¿r:Lldn,dn'du, ür , üt, Id( a r ,

I

(o) EÍ coord.úadascilíndrica., /¡ = p,ü2-Q,ut=z,h:

l,hz = p,r¡3 - I [Problcña ,O(o)].Entonc.s, = = dv lll(pllll.lp & ttz pdpdQdz

Lo cual sa pucda obsarva¡ dirrctamc¡& c! la Figura ?-2?(a).

k)

ELm.nto

dc voluncn .n coorddndas cill¡dricas

Fis.?-t?

(bl Elc¡nc¡to dc volul¡9n cn coordc.ad¡s

[cAP. 7

VECTORES

154

Entonc6, (á) Encoord.nadss esféricas, r, = r,ur- e,ut = ó,h = I,hz = t,l3 = ts.n d [Probl.ma'10(ó)]' = = d0 dÓ dv (ll(tlb *r e, dr ü dÓ f *¡ 0 d¡ Estosc puadcobscrvardirrct¡mentacn la Figura7_27(ó). 42. Expresar cn coordetradascilí¡d¡icas: (a) erad o, (ó) div A, (c) V¿o. s c a ¡,¡r-p ,¡¡2 = 5 ,v " = z ,hr= l ,hr= p,\= l tvé¡scP robl cma4o(¿)]c¡l osr4ul tqdoi l ,2y4 dc le Égin¡ 142.Entotrccs, (a ) a r¡do

=

vo

| ;r.ñ ao iIi o.' i ¿ec, +

=

1¿o + i i .'

=

¿e ¿o 1¿+ 6ct+ = l A c.+ E Gr

doñdear, e2,c¡ soDlor vectoresunitsrioscn las direccionctcr€cicnt6da p, Ó, z rc¡Fctivametrta.

(ü)
".^

=

* S(axor)] irróirj[*(ox'rr,)* ur¿(ruax,) , a¿, a¡.] -r, 1 - d , )

= ¡l9o'¡ I Lop

con A = j,ar + átn +átc¡.

(c)v'o = ,fáirrt*(w#) -.

= ;,i(,H) * i# *

a/rrx,l¿+\l a /trxrt ao\ aó\T- arl - li\ o) t,A ¿'é iF

PROEI.EMASVARIOS tt'\

aonac, =.F

quegrad/(¡) ='-pr, {¡. Demostrar

eris+ r'+ z'y f'(r) = dfldr s€suponcn

tc cs. ¡td J(r)

=

v xl = tnor + Sntt + f,l"r* , ' b r # t+ ,' a t# t+ r vt*v ro r:.+ fatlt+ ¡ ' ¡ ¡ !¡

= to@t+tl+"u = t9,

Oto ralaaao: Eo coordcú¡d¡s cuwillncrs onogoD¡lcs !¡, r¿¡,¿! cs v+

=

lt+

i;;cr

l¿o +;,á*.

*

1¿{

ñA*

(r)

S¡ cn parl¡cular !c u!¡r¡ coordcn¡d¡s asféricas¡c ticnc !¡ - ¡, ¿, 0, ¡¡r = ó. Si c¡ro6 O = /(r) C3funció¡ d. ¡ sol¡m.ot!. los do! úlritloc témi¡o6 dc l¡ dcrcdr. c'r (r) roD oulos. Sc ticoc cútoúct!, ob|crv¡ndo quc . t = ¡ lr y hr = 1,

o^, r = le! ! * t i= r y , .4

(4

(¿) Hallar cl laplaclano dc ó : /(¡). (á) Demostrar qu€ C : l/r es una solucióa dc l¡ ccuaciól dc l,aplaceV¿{ = g.

cAr. 7l

VEC'TORES

r55

(¿) Por Gl Problcma43,

e+ = sl"J = !!) r Por cl Problama 35, auponiendoquc /(r) ticna regundasdarivadaspa¡ciarcscontinuas, sa tic¡¡c

tapla.iano d€r

=

vrt

=

V. (vó) =

o .f ¿t¿,I

t' J = v] /lC!.,. ¡ lllC1e.,¡= I ¿f&L. ¡ ¡ cr l,J- ' + r y( s) t'J = r t,'(¡r; t,(r,,, + 8f:(t, = n4 + ?r\n ( .,. ,1

Oto úa{odo: En coordan¡dss 6féric¿s, !c ticne

v'u = **("#) + F*-*(*",#). .*n# Si U =f¡),

1o3dos últi¡Dos términos dc l¡ dcrcch¿ ron nulos, y

e ' Á =L ¿tA\"t'vt¡ /\'

=

7'1t¡+ i/@

(ó) Por cl .csulr¡do dc la partc (¿) sc ticnc

'o =#o. : 1,= 3 - 3= '

quc rnu6tÉ qüa l/¡ cs u¡¡ solucklndc l¡ ocüacióD dc l¡pl¡oa.

Una paniculs s€mucvc ¡ror la curva alabcadar = r(r), sicndo , el tiempo mcdido I pa¡tir dc cierto ini:ralj Si ú = ld.l.fu,l = dsldt t ta magnirud de la wlocidad dc la panlcuia (.r cs cl arco 1r:npo a |o |a¡go dc ¡a curva mcdido dedÉ la posición iaicial), demostra¡ que la acc¡eración I dc la particula cs

" = fi r * 4 r. siendo T y N vectorcs unit¡rioc tangcn¡c y no¡mal, rcspoctivamcntc,a l¡ curva al¡bcada y

_ f/¿"y . /n\ /¿,yl-'," - _ - l¿',f, P raFl = t\a¡,/ .\aFl *\aF/l La vclei|ld

d. l¡ p¡nlcul¡ vi(hc dsd¡ por r - oT, L¡ ¡c.lcr¡c¡ón .s c¡toncc6

. = # = ft<,n --fir*,# = Íl'*"t# = ftr+off

u.,

SiandoT u¡itdrio, sc tianc T.T = l. Dcrivr¡do coD ¡gspeto ¡ ¡.

r.f ; + S . r = 0 ,

z r . f;= o

o

' .f

=o

dedo¡dr r*ulta qu. y'r/¿r .. pcrFndicürar¡f. Dcnot ndopor N cr vectorunira¡¡o.n ra dir.cción dc drl¿r, que sc ff¡ñ¡ no.rrútp¡lacipl a la c¡¡¡v¡ al¡bcad¡, rc airnc

S =.x

(r)

156

VECTORES

lcAP. 7

doíde x es fa magnitud de dTHr. Coño T - ¿?dr lvéaseccuación (9), f'ágina 139], se ticne df/ds - drtld:r. Luago

-

I l/ ú'\' /üuY = tdr lF l = l\ ¡ ¡ l ' \ F . i * \eF) J

Con p = 17*, €) sc vuclvc dflds =N/p, y asi, por (?), sc ticne

. = fir + 4 x Las componcnt€s¿o/y'ry ut/p en las dircccionesd€ T y de N s€ llama¡ coñponentes tangencialy nonal de fa acal€ración,y esta última s€ suelellamar ¿c¿r€racióa centúpeto.p'! K fp,n,raspectivamente, cl ¡¿d¡bde cüraatura y la curMtüa dc la cu¡va alabcada,

(,

I

(

a

Problem¡s propuestm AI,GEBRA VECTORIAL {6. Dados dos vectors A y B ilustrar geomélricamcnte la igualdad4A + 3(A- A)-

A + 38.

47, un homb¡e recorre 25 km al nordcste, 15 km al €slc y lo k¡tr sl sur. por un¿ esc¿laapropiada dc¡crminar gráñcamcnte(a) a qué distanciay (ó) en qüé dirccciónestáa partir dc su posicióninicial.¿Esposibleaveriguaila respu€staana¡iticamante? So/. 33,ó00 km, I3,2. notc respccto del aste Si A y B son dos vectoresüo Dulosde di..cciones distintas, demostrarque rrA + ,B es un vcctor del plano det e¡ m inadopor Ay B.

4r.

Si A,-B y C son vectoresno coplan¡rios(v€ctores que no estáncn cl mismopla¡o) y ¡rA + )rB + zrc - ¡¡A + y2B + z2C,dernost¡'¿r quc n€ce¡ariamente xr = x'., yr = !1, z, : 22. Sc¿, B-CDun clad¡iláte¡oy P, q, ¡ y S los puntosmediosde ladossucesivos. Derrostrar(a) qüc pgns es un para¡clogr¿¡noy (r) que cl pe¡lmero de PORS es iSual a la suma dc las longitud€sde las diago;ale óc ,IBCD.

51. Demostrat que las ñ€dianas de un lriáígulo s€ cortan en un punto a un tercio de cada hediana. Hallar unv ec t or unit ar ioc r ¡ l a d i r € c c i ó n d € l a r é s u ¡ t a r i r e d c A - 2 i - j +k , B =i +j +2 ¡ , C =3 i _ 2 j +¡ | }. Sot. (61- 2i + 7}l/\16

PRODUCTO EIICAI-'IR 53. Calc ula¡l( A + B) . ( A-

B) l s i A =2 t - 3 J +5 k

y B =3 i +j - 2 k .

So!. 24

!,., Demoslrarcl taoremadel cos€no.[Sugerencia: LlámenscA, B, C los ladosdel rriángülocon C = A - B. Utiliceseeotonces C.C - lA - B).(A - B).'l 55. Hallar ¿ tal quc 2i - 3¡ + 5k y 3i + ¿l - 21 so¡ p€rfrendiculares .

Sot. a= -4/3

56. SiA- 2i+ ¡ + ¡ , 8: i- 2¡ + 2t y C= 3 1 - 4 J +2 t , h a l l a r l a p r o y e c c i ó n d e A +C e n l ¡ d i r € c c i ó n d e B Sol. l1l3

a

a

a

a I t

cAP. 7l

VECTORES

r57

Jl. Los verticesde un triángu¡oson ,{(2,3, l), ,(- l. 1,2), C0, -2.3). Halla¡ (¿) la longrtudde t. m€diana d. , al lado ,{C y (ó) el ángülo agudoque h¿cecsta mcdianacon el lado ,c.

sot. (d tJ-26,(b) cos-t$iI4

I

Demostrar quc las diogonalesde un ¡ombo son pcrpcndicularesantrc sl.

tD. Demostfar que el vecto¡ (,lB + BA)IU + Bl rcprcs€nraIa biseclriz del ár¡gulo de A y B.

nODUCTO c.

VD¡CTOIIAL

S i A=2 i-l+k

y B = t + 2¡ - 3t ,

ha ar l( 2A+ B) x ( A - 2 B ) 1 .

sot. 2\6

ó1. Hallar un vector unitario pcrpendicularal plano de los vcctoresA = 3l -2j sot. !(2i + W\tG

+ 4f y B:l

+¡_

2¡.

a¿ Si A x B = A x C, ¿es B = C nccesariamentc? ff.

Hallarcl áre¿del hiángülode Értices(2, -1, t), (1,-1,2), (-1,2,3).

a{

Hallar l¡ mlnima distanci¡de (3,2, l) al ptano deteíniriadopor (l, l,O), (3,-1, l}, (_1,0,2). Sol. 2

Sot. lJS

PRODUCTOS TRIPI,.ES (¿) C.(AXB), 46. S i A = 2 i+l-3 k, B = t - 2j+ k , C = - i+ i- 4k , h¿l¡ 8 r ( ¿ ) A . ( B X c ) , (Exc), (d) (AxB)x c. (d) 26t-15t-r0k s¿¿ (a) 20, (ü) 20, (c) 8i-19i-L,

(c) Ax

q ue(o ) A.(Bx C) = B. ( Cx A) = C. ( Ax B) aó. Dem ost.ar (ü ) AX ( Bx c ) = B( A' c ) - C( A. B) , fl.

H¡llar la ecuacióndcl plaúo quc p6sapor (2, -t, -21, (-1,2, -3), (4, 1,0). S ol.2 t+y-32 :9

at

H¿ll¿r cl volumcndel tet¡acdrodc vérticcs(2, I, 1), (1, -1,2), (0,1, -l),

o.

Dcmo st.aqu r c (AxXt) . ( Cx D)

+ ( Bx C) . ( Ax D)

+ (CxA).(BxD)

(1, -2,¡). =

Sol j

O.

DEnIVADAS tl).

-' Un¡ partlcula sc muevca lo largo dc la curva r ri , L. Hallar le magnitud (¿) de la - e cos + €-' sa¡ ¡ + a-' v.locidad y (á) dc la aceter¡ció¡.n el ticmpo t, So!. @l #d', lq Jse-

?1. Dñostrar 7L

quc

$t^t"l

=

et

fi

+

ff

t n doodc A y B son funcioncs difcrcrrciablcsdc ¡¡.

H¡llar un vecto¡ tánganteunitario a la cuwa alabea{áx:

s o t.( r + 4+3 r 1fr

t; , - t2, z = ¡! e¡ sl punto doDdcr = l.

fr;\ . { ¡ , . (i . 1 r4 = ' _ ,\ ?3. sir-¡cos@r+bsenúrr,s¡cndo.yb\rccro.""o*,*,*H?,,i-ÁyóidÁ.J,*¡t&&oja*o,.".o*

c)'x # = c(¡xb),(¡)S +."" = o. ?f. SiA= *t.-yt+xzr,B=!i+-yr-¡rztyC=ten.cl punlo (1, -1,2).

?s. si B =

'rr-

x c)l tl+ x'*,uk @fi;(A x B)y(ó)¿tA.(B

Sot. (aJ -41+81, (b't8dx

h"nu, zytzt+ .¿u'ztk, l$

x

Sl

enclnnro {2,r, -z).

so¿ 16y'6

[cAP. t

vÉcToREs

l5E

GTAIXEIYIE DIVERGE¡¡CIA Y ROTOR 7ó S¡ U, y, A, B ticrc¡ dcriv¡das pa.cialcacontinuas, dcmostr¡r qua: lal v(u + vl - vu + 94 (á) v. (A + B) = v. A + v. & (c) v x (A + B) = v x A + v x B. n.

Si .t = xt + tz + zt '! A = lta + lti + :¡¡1, h¡llar (o) A . Vó, (¡r) óV . A y (c) (Vó) x A .o cl punto (3, - l, 2). Sol. (d) 25, (ó) 2, (.) 56¡ - 30j + 471

?& Modtr¡rquc V x (rzr)- 0 con r=xl+)l+

zIy | -l¡|'.

?9

Dcúoatr¡. (¿) V x (UA) = (VU) x A + U(V x A), (¿) I ' (A x B) = B' (9 ¡ A) - A ' (V x B).

ür.

De|nostr¡r quc roi gr¿d U:0.

tl.

Half¡r un vcctor ¡onn¡l unit¡aio a la supcrñcier¡y - Luz+ 2y2zt = t0 cr¡ Gl puoto (2, l, -l), So¿ f (3¡+ 4t- 6v,,rf6l

tL

Si A = lxll

t3.

(¿) DGr¡rost.¡rqüc V x (9 x A) - -V'a cl Problcm¡ t2.

enunci¡ndo c¡odiciooes ¡prof¡i¡d¡s dc U.

- yzl + (¡ + 2zL, hallar rot rot A.

sbr. -ór¡+(6:-i)f

+ V(V. A). (r) vcriñc¡¡ cl rBult¡do dc (¿) si A .s d¡do c.mo .ú

JAOOBIANOS Y OOOTI'ENADAS CT,'NVII¡NEAS

qucl3''gd=l ta Demosrrer

'-- la(!,,üt,{.) |

tl

Erprcs¡r

= lg.i!x-ill. áer " ¡¡.rl' la&'

(¡) gr¡d é, (ü) div A, (c) Vio

.D coordcnadasesféric¿s

s,,r(a)tfe, + ]$|". + ,*kH* ol j$ee,l

+ ;f¡$t*"reo

. o¿-H

con a = Á¡c¡+,¡.G.+i..¡

c,*.*(r#)* ¡+-#G",#).*F**"r# tó. La lransfor¡ració¡ dc coo.da¡rdas rrata¡¡gul¡r€r a cilln&icos FruMticas * deñnc por las ccuac¡oncs

. y - l( ¡ ¿t - r ' ¡ ) , J = ¡ ¡ u, z = 2. ( d) D e m o s t r a r q u c e t s ¡ s t c m ¡ e s o r t o g o n s l . ( á ) H ¡ l l a a d r r y ¡ o s f a c t o r c s d e csa ¡ h. (c) Hal¡a¡ cl jqcobiatro dc l¡ tr¡nsfo¡úaciór¡ y cl clc|¡.nto & volum.n. l"=r S.,/. (¿) ds¡ = (r! + o1r¿¡.r+ (¿'+ o')rt'r * ttz', h = ¡' = y'ir+ '¡-, (c) r¿'+ r,r, (¿r+ ,¡) dr. ¿r dz

n.

Egc¡ibir (¿) V¡ó y (r) div A ct¡ coordc¡ada. cilíndrbas p.rabólicas.

(¿)v,o= s{,r. (ó)divA =

"+"(#.

#) . #

-*,,I{*,*¡-r,r*$tu'*.o-e'ri tt

+ f

Dcmo6lrar quc psr¡l cooadcnad¡sc1¡rvilínca!onogonslcs,

v*= ;**f;**s" .*a lsugcrancia: Cor VID : ¿rar + o2a¡ + ¿¡c¡ apllquescquc ¿tD= VO . ¿ ti¿de quc $e, to m¡smoen ¡mbos sir. rch¡s dc cooKtenad¡s.l

t9. Dár una interpretación wcto¡iat de¡ t€orema dal problem¡ 35, Crpítulo 6.

r59

VECTORES

a^P. 7l ?¡OBLEMAS VARIOS

t0. Si A es una función diferenciablede ¡r y lA(¡/)l= I, demostrarq\\e d|ldu es p€rpcndiculara A. 9I. Demostrárlas fórñulas6,7 y 8 de la páginal4l. n.

polaresy ,{. .8.n son constan¡es. demostrarque U : p^(A cosn0 + , sen¡|ó) veSi p y ó son coordenadas riñca la ecuaciónde Laplace.

9 3 . Si r =

2cosdt3 s€ n¡ 0c os O

ó s e n0 c o s ó ( 4 - 5 r^, ot . - -

' hallar v'zv.

s e n '1 0)

91. Hallar la funció¡ Inás general de (a) la coordenada cilindrica p. (á) la coordenada esférica r, (r)la coordenada esférica 0, que satisface la ecuación de Laplace. Sol. lalA + Blnp, lb JA + B/t. ( clA + Bln ( co se c0 - cot0)con,{ y I consl antescual esqui era.

95. Sean T y N, resp€ctivamente,el wctor tongcnte unitario y el Nclor unilutio notmal principal a una curva del T x N quese ¡lama.á vector binormal

espacio r: r(u)suponiendo r(¡./) diferenciabler Definase un veclorB: unitario a la cufva del espacio, Demostrar que ¿T

;;- -

-.

"N,

da

i-lN

= -,N,

?;

i*

=

'n - "r

Estas son lal llam¿das fórmulas de Frcnet-Senet y son dc importancia fundamental en geoñeÚía dferenc¡al. En estas fórrhulas, r. se llama curvalura, resla lorción; y los inversos de éstas. p = llKy d: l/¡ se llaman rcdio de curwtutu f radio de totsión, respectivamente.

9ó. (a) Demostrar\ue el radio de curvatura en cualquier punto de la curva pl¿n y = f(x), z = 0 conÍ-y) diferenciable, es dado pol

, = l!+J:l (ó) Hallar cl radio de curvaturaen el punlo (n/2,1,0) de la curva y = sen ¡. z : 0.

sot.16zrt n.

Demostrar que la aceleraciónde una particula a lo largo de una curva alabeada v¡ene dada, respectivamente, en (a) coordenadas cilirdricas, (ó) coordenadas esféricas. por

l'i - p6'le, + G:6+ 2ib.6 + te, l i -ú' - ¡ ; ' s en' r ) c , + l r:;+ z i i -ri ' s c n e c o s o )e o + (2 ;;senr+ z¡i i cosc* ¡' ,i se¡o\e, denotando los puntos derivadas con relpecto al liempo y donde ce, ed, e,, e,, ee.ec son vectores unltanos en las direccioncs de las p, Q. z,r,0, $ crecientes. respectivamente-

96. Sean E y H dos vectores que se supone tener derivadas parciales continuas (de segundo'orden por lo menos) con respecto a la posición y cl tiempo. Supóngase además que E y H satisfacen las ecuacrones

v.E = o, v.H=0,

vrE

= -i; T ,

vxH

= 1"*

(r)

Demoslrar que E y H satrsfacen la ecuación

v',t. = ir:.

t2)

[Los vectores E y H se llaman Ltectorcs cahpo e¡¿ctrico y cañlo ñagnét¡co ei la teoria electromagnética. Las ecüaciones(.¡) son u¡ caso especialde las ecuacionesde Maxwell. La ecuación (2)llevó a Maxwell a la conclusión de que la luz era ur fenómeno electromagrético. La constanle c es la velocidad de la luz.]

v)-

Usar las relacion€s d€l Problema 98 para demostrar que

$t¡ta'+r'll

+ ¿v'(Extr) =o

reciangulares 100. SeanAt. Ar, A. las componentes del vectorA en un sistemade coordenadas -rlz con veclores rectanunitariosir. ir, ir (los usuales,i, j, k) y ,{i, ,4;. ,.{i lascomponentes de A en un sistemade coordenadas gulares¡'!'r'del mismoorigenqueel -r'}';,perogiradocon respecto a éstey con vectoresunilariosii. ¡i, ¡i. De(llamadasrelacionesde intutiuncia)'. rnostrarque debenverificarselas relacioness¡guientes = A" t ' "A' + I ' , Ai + h " A ; 7 ¿= 1 . 2 , 3 donde il ' i. = ¡^,.

r60 l0l.

VECTORES

rcAP.7

Si A cs cl vcctor dcl P¡oblcma lm, d€mostra¡que la diveryenciade A, .sto 6, V ' A, as u¡ invaria¡tc (llamado a menüdo ¡núüunte escalarl, o *a, dcmostrar quc

¿Ai

aAi

ar'

du'

aA" A2

aA, , ¿,4r ¿¡, ArAUd2(

Los r€sultadosdc cst€ y del anterior problcma cxpr€sancl supücstoobvio d. quc las cantidsdesñsicasno dabcn dcpcndcrde los sistemasdc coordcnadasen que 5c obscrver. La Scneralizacióndc cstasidcasllcva ¡ la importa¡tc discipli¡a quc se ¡l¡ma atuilis¡slensorhl, básica para l^ teoña de la ¡elalfu¡dad. dcl Problema100. t02. D.mostrarquc (d) A .B. (á)A x B. (c) V x A soninva¡i.¡ltespor ¡a transfo¡mación dañostrar qüc 103. Si ur, ¡¡, r¿.rson coordenadas curvilineasortogonales.

(.)*ii#

= v¿¡.v¿,x vú.

y dar cl sig¡¡ifrc¡do de éstas.)on los ¡0L l0t.

r06.

", jacobi¡noc.

v,,, vú¡)= 1 (,*' # " fl*)tv,..

Dcmostra. con üstemi¿nto axiomático 18 ¡el¡cióD (8), pÁgine 138.

I Un conjunto de r vcctorÉsAr, Ar. . . . , .\ se dice ¡incatm€ntedcF¡¡diantc ai cxiste un conjuoto dc escalarls\ cr,.2, . . . r cr no todos nulos talesque crAr + c2A2+ . . . + ai¡\ = 0 idéntic¡mcnta;si no, el conjuntosa \ = t+J - 2L, A. = ' (d) D€mosI¡arque los vcctorEsA¡ dbe lineabñente hdependi¿nte. - 2l- 3j + 5I, A, 3l - 7, + 12¡ son linealm€ntcdepcndicntcs.(r) Dcñostrar quc cualasquicr¡ cuatro vectorestridimensional6 son lincrlmente dapcúdic¡tcs. (c) Damosararquc üna condición ncccs¡ri¿ y suficientc par¡ que los vcctorB Ar : ¿¡ + ótJ +.r1, A2 = ¿¡¡ + ári + crl, A3 = azl + hi + cll s.¡n linc¿lm.nicindcpcndicntes cs qu€ A¡ . A2 x A! + 0. Dar un¿ interprctación geométric¡ de e!to. Un ¡úmaro complcjo sc pr¡adcdefirir como un par ordcnado (a. ¿) de rúmeros ¡c¿¡cs¿ y ó sujcto¡ s cicrlas rc. glasde opcr¡ciór p¡ra l¡ ¡dición y l¡ multiplic¡ción. (¿) ¿Cuálcsson cs¡s regla¡? (á) ¿Cófno sc pucdenutiliz¿¡ ¡asreglasen (¿) para definir la sustraccióny la diüsión? (c) Explicar por qué los trúrneroscomplcjos s€ pu€dco coosidcrarcomo vlctoEs bid¡mansion¡les.(d) Dcscribir señcja¡zes y difcrcnci¡s a¡trE v¡¡ias-oFr¡cio&s cntrl números coñplejos y entrc vactor€s.

Capítulo 8 Aplicacionesde las derivadasparciales {PIICACIONES A LA GEOMETNIA L Pl¡m tüg€üte ¡ ü!¡ qErfrcle. Sea F(x, y, z) = 0 la ecuación de una superici€ ,Scomo la de la Fig. 8-1. Se supondráquc F es :útinuamcnte diferenciableal menosque se indique :(r¿ cosa. Sea hallar la ecuació¡ de un plano tana!¡te a S en el punto P(xo, yo, z¡). Un vector no¡m¿l ¡ S en esepunto es No = VFlr, dondeel subíndice P hdica que el gadien& se ha de calcülar en el n¡to P(¡0, /0, zo). Si ro y r son los vecto¡es que ya¡r de O a 5x6, y¡, zal y QG, y, z\ respectivameotedel plano, -¡¿ecuación del pl&no es ( r - r o) ' Ñ

= ( r-ro ) ' V F l '

= 0

(r) ¡fts. t.l

¡resto que I - ¡o es perlc[dicular a No. En forma cartesi¿na,

aFl, dFl . óFt . Ailp\x- ao)+ aal,\u- uo)+ El,@ - ?ol = 0

(z)

Si la ecuación d€ la superñcie está dada en coordenadascurvilíleas ortogonales en la forma F(uL,u2,u.) = 0, la ecuació¡dcl planotangentesepuedeobtenermedianteel resultadode la página142 para el gradiente e¡ €stas coordenadas.Véase Problema 4. NorD¡l r mr o¡erúcie Supóngaseque se pidc la ecuaciónde una rect¿ norrnal a la superficieS en P(xo, /0, zq). Si r es el Ector de O en la Fig. 8-1 a cualquierpu¡to (r, /, z) dc la normal No, seve que I - ro es colinealcon \o y así, pues, la ecuación pedida es para los v@tores ¿

(r-ro ) x ñ

=

(r-ro ) x V¡' l p

=

0

(r)

En forma c¿rtesianaes A- Uo

dFl

ór-l,

Y-U o

aFl oul,

ó¡'l

(¿)

EI,

Haciendoestasrazonesigualesa un panimctro (bien seaI o a) y dcspejandox, yy z se tiel¡leal"s ecuocíonesparamétricas de l¿ r€cta normal. Las ecuacionesde la normal se pueden escribir también cuando la ecuación dc ta sup€rñcieestá expresadaen coordenadascurvilíneas ortogonales. l6t

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

162

[cA P .8

3. Recta t¡Dgcnte ¡ ur¡ cü¡v¡. Sea¡ x: f(u), y: g(r), z: r¡(¡r)las ecuacionesparamétricasde una curva C en la Fig. 8-2, siempreque no sediga otra cosa,que suponiéndose, Se trata f, g y h son continuamentediferenciables. de hallar la ecuaciónde la rectatangentea C en el punto P(,Yo, ),0,zo) en que ¡l : ¡o. Si R = /(¡)i + g(u)j + h(u)k, un v@tor tan.IRl

sentca Cen Pes T" = lll . Si r^ v r sonlos vectores _ d¿u" quevande O a P(-ro,r-o.zoly Q6, y, z\ sobreIa ¡ecta tangente,¡espechvamenle, entoncescomo f - ro es colineal a T" sc tiene ( t - t o)

=0

x To =

(5)

O cn forma carte$iana X -qo

V@l

_

U -U o

nF¡

_

2-20

- tt'@l

(6)

La fo¡ma paramétricase obtienehaciendoestasrazonesigualesa ¡¿. Si la curva C está dada como intersecciónde dos superficiesde ecuacionesF(x, y, z) = 6 y ecuaciooesde la recta tange¡te son G(x,y,z¡ = 0, las correspondientes &-uo

tr ,, r . l l c" c.l,

U-Uo

z- ao

lF. F,l lc, c,l,

lF. F"l lc. c,l,

(71

Obsérveseque los dete¡minantes en (7) son jacobianos. Un ¡esultado parecido sc obtiene si las superficies están dadas en coordenadas curvilineas ortogonales. 4.

Pl¡m

m¡Dd

¡ rür¡ crúv¡.

Si se quiere hallar la ecuación del plano normal a la curva C e¡ P(xo, yo, zo\ de la Fig. 8.2 (o sea, el plano perpendicular a la recta tangente a C en este punto) y r es el vecto¡ de O a un punto (¡, /, z) de este plano, se sigue que r - ro es perpe¡dicular a To. Así que la ecuación pedida es

(8)

( r - r o)' r o = ( t- r o) ' #1" = t En forma cartesiana es

f'(uo],(r-ro) + s'(uo)(s-uo\ + h'(uo\(z-2fi = paramétricas si la curvatieneecuaciones x = J\uJ,y = g(ul, z : h(u),y

a

. l[' - a) =0 .l['"E:1,t,-,0 l?,t,l"o-^, "il.tz trl

(e)

(r0)

si la curva está deñnidapor F(x, /, z) : 0, G(x,y, zl = 0. 5. Ervolvc¡tes.

Si {(x, y, c) : 0 esuna familia de curvasde un parámetroen el plano ¡1, puedeexistiruna curva É tangenteen cadapunto a algunacurva de la familia y tal que cadacurva de la familia seatangente a .8. Si ,E existe.su ecuaciónse Duedeencontrarresolviendoel sistema

cAP. 8l

t63

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

+"(r,u,")= o

Ó(r'v'a't = 0'

(rl)

y E se llama en\olúente de la familia. El resultado se puede generalizar a la envolvcnte dc una farnilia de superficies de un parámetro

Q{x,y, z, al, que se puedehallar con = ' b u @' a' z' al 0 Y se puedegeneralizartambién a familias con dos (o m¿is)paránretros. 4'@'a'z'a) = 0'

(12)

DERWADAS DTRECCIONALES SeaF(r, ¡, z) definidaen un punto (x, y, z) de una curva dada C del espacio.SeaF(r + ), + Ly, z + Lz) el valor de la funciónen un punto vecinosobreC y denótesepor As el arco de curva ^.r,entre esospuntos. Entonces. ,,_ AF _ ,._ F l ¡+ ,'lll¡" = ,'lT"

A r' , y * ry,z+ -r?)

¡"

- F(r,U ,z)

(13]

si existe,sellama de¡ioadadireccionalde F €n el punto (¡, /, z) a lo largode la curva C y vienedadapor

dF 7s -

aFtu AA;-

aFdU aFdz auAs - azñ

(1q

En formav€ctorialestose puede€scribir .¡- \ d¡ dF = /ar. . ar.. ¿¡, \ /-r= vr ' .fr kl .l +i +:3 i 1 .+kl -r l i *j+. (fsas da du dz \dr / \qs ,l

9¡ ' ,¡

( r s\

de donde se deducaque la de¡ivadadi¡eccionales la component€de VF en la direcciónde la tangente a C. El valo¡ máximo de la derivadadireccionales, pues, lVFl. Estosmáximosocurre¡ en direccionesnorma¡esa las superñciesF(x, y, zl : c (dondec es una constante) que se llaman superficies equipotencialeso superficiesde nit'el. DER¡YACION BAJO EL SIGNO INTEGRAL

+k\ = t,,,,'t(r,")ds

Sea

(r6)

a,laÉb

donde a, y a, pueden depender del parámetro d. Entonces,

+ = (" {0, + Ía.,d+- Ítu,,"\* Cla

J lt

da

Od

CI.r

117)

para o S d.S á, si /(.r, a) y d/dc son continuasen -yy d en una cierta regióndel plano xa quc incluy e u r=x=u 2, aS d. = by s iu ry ¡J 2 s o ¡c o n ti n u a s y ti e n e n d eri vadasconti nuasparaa= cr5_b. Si ¡¿1y ¡r2 son constantes,los dos úllimos términosde (17) se anulan. La igualdad(l7l o regla de Leibnitzse utiliza a menudopara calcularintegralesdeñnidas(ProbleÍr¡s 15, 29). INTEGRACION BAJO EL STGNO INTEGRAL Si d(d) estádefinidapor (1ó) y /(x, d) escontinuaen .r y d en una regiónque incluye¡rr = -r S ¡r2. a I .r I ó, entoocessi r.r¡y ,2 son constantes, fb

| + t "l¿ " =

cb I r',,

I

r',. [ ¡b

] l (r," )d ¡l d . = | 1l Í@.") d"ldr I lt " " l -" "" t"" ) )

igualdad que expÍesa el cambio de orden de integración o la íntegnrcíón bajo el s¡gno intcgr.tl.

( r s)

ta

APL¡CACIONES DE LAS DERIVADAS PARC¡ALES

lcAP. E

MAXIMOS Y MINIMOS Un punto (¡0, yo) s€llama máximo rclqtivo o mínimo relatíoode f(x, y), rcspectivamente,segúnque f(x6 + h, y¡+ kl! f(xo,y¡) o f(xo + h, /o + &)=/(xo,/o) para h y k tal€squc 0 < l/rl < ó,

pequeño, 0 < l/rl < ó, dondeó cs un númerosufrcientem€nte y) tcriga Una condición6h&¡ia para tcrisaün ün máximo máxir o un minimo relativo es oaraquc ouc /(x, ,.(x.,/)

{--o' Si (¡o, yo) cs u

(re)

fi=o

S }lanado c¡ü¡col quesatisfacel-asecuaciones(,t9) y si A esti deñnido por

(20)

m $ x i m o re lati vosi A > 0y /o) es mlnimo relativo si A > O v

o) o(" #1,,.,,,. #1,.,,",. #l

'o ( " # 1 ,.,,.,'o . )

(xo,r,o) no es máximo ni mlnimo rclativo si A < 0. Si < 0, (xo,lo) se suelellamar puafo ^ de silla. 4.

Si A : 0 nada puede saberse(en tal caso es nec€sarioun cstudio más detenido).

MET1ODO DE T¡S MULTIPI

CADONDS DE I;IGf,ANGE

PARA MAXIMOS Y MINIMOS

Un método para obtencr los valo¡es máximos o mhimos relativos de una función F(x, y, z) zujcta a úÍa condiciónrcst ctioa ó(x,y,zl:0 eó la formación de la función auxiliar

G(r,Y,zl = F(x,s,z)+ \+(x,v'2,

(21)

sujetaa las condiciones aC_" au=o,

¿G_" 0a,0,

aG-^ É=O

(22)

quc soncondicioncs paramáximoo míoimorelativo.El parámet¡o¡,, qu€€sindependiente nccesarias & x,y,z * lllm !\ muhiplicador de Lagiange. El método se puedegeneralizar.Si sc quiere hallar el márimo o el mínimo relativo de una funció¡ f(r¡,x ¿ ,x ¡,...,¡.)s u j e ta a l a s condi ci o¡el restñcti úasór(xl ....,¡J= 0,ó¿(¡r,...,¡J:0,..., se forma la fünciónauxiliar C¡(¡¡ ..., ¡J:0, G(rt,n ,...,x" 1

=

f' +

¡,+ ¡ + ¡2ór + ..' * l ¡ó¡

(z t l

sujcta a las condiciones (nec€sarias)

#='' #--0,...,ffi-o

(2.4)

donde¡"r, ¡,2, . . ., l,¡, quesonindepcndientes de x¡, 12, . . ., ¡, sonlosmultiplicadores dc lagrungeAPI¡CASONES A r.OS EnRqllES La tcorladelosdiferencialcs sdpucdcaplicarparaobtenerloserroÉscnunafuncióude¿ /, z, e!c., cusndosc conoceDlos erro¡cscn x, y, z, etc. VeaseProblema28.

cAP.8l

ló5

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Problem¡s res¡eltos PI./INO TANCENTE Y RECTA NORMAL A UNA SUPERFICIE (¿)del planotangentey (á)de la rectanormala la superñciex2yz + 3y2= l. Encontrarlasecuaciones 2xzz- 8z €n el punto (1.2. - l). (¿) l¿ ccuación dctasuperñcie.s ¡ = x?yz¡ 3y2- 2.u2+ E; : 0. U¡a no¡mala lasupe.fici. cn(1,2, -t)cs No =

vFl,,.!._,,

= =

(z'uz - 221\i + (,'¡ + 6r/)j j lli + r 4 k - 6i+ Y

("y-4rz+8)kl(,.,._¡,

En la Figura 8-t, página ¡61: El vactordc O a un punto (r,/,?) dcl pl¡¡o t¡ngcntc cs r =.t¡ + { +:k. El vcctor de O ¿l punto (1,2, -¡) del plano tangent€ca ro - ¡ + 2¡ - I. Ef vcctor r - ro = (r - l)l + O - 2\ + (¿ + I)l está en el plano ta¡gente y es entonccspc¡pcndic\¡l¡¡ a No. Luego Ia ccuación.buscada€s (¡-¡o )'No = 0 o s ea { ( r - 1) l+ ( y - 2) i+( z +1 ) k }. {- 6 1 +1 r j +1 4 k } = o 6 r - l l v - 1 4 . +2 llf u- z ! + 14( 2+ 1, o -6 ( ' - 1) +

= 0 = O ¿

(r) Se ar=¡¡+r+zL c lv e. t or d. O aunpunt o( - r , / , : ) dela n o m a l N o . E l v c c t o r d e O a l p u n t o ( 1 . 2 . - l ) de la normal cs ro = | + 2l - k. El vectorr - ¡o - (¡ - l)i + (r - 2)t + (z +ill. cs co¡inc¡lcoh No. Lucgo =

(r-t.)XNo

0

o se a

i' i k x-l u- 2 z +L 11 1¿ -6

que as equivalentea las qluaciones

U(¿-1) = -6(r-2),

Lllu- 2, = L1l2+1\,

l a(¡ - 1) = -6(,+ 1)

Estas se puedcn cacribir ¡-l -6

ü- 2 = -ll-

=

z +l t4

t./

que sueleflamarse./o¡macontüua óe la *ttaaión dc la rects Haciendo cstas¡azonesigualcs al paráñelro I se ti.nc z =t ¿ t - t , / t = 76¿, Y = 2+ 11¿, que son fas ecüacionesparamétr¡casde la recta. = l0'l .¿En qué. punto corta la normal del Problema l(á) el plano x * 3y - 2z Sustituycndo por las ecuacioncspara¡nétricasdcl Problem¡ l(á) s€ r¡€ne

1- 6¿+ 3(2+114 - 2(11t-r) = 10 En¡ onc €s r =. 1- 6, = 7 , t = 2 + l l l = -9 ,2 = Mogt¡ar que lá superficie* la familia ¡2 + I :

(2 -

"

[=-1

buscado es{7.-9. -l 5l 1 4Ir-1= -16 yel punto

de - 2yz + r! = 4 es perpendiculara cualquierade las superficies

4a)y1 + az2 en el punto de intersección (1, -1,2).

Escribi.ndo las ecuacioncsde las dos suDerficiesco le fb¡'la F

=

t- z uz + u' - 1=

O.,,

y

c

- zuk,

rio

Entonccs. iF

=

zri + @u'-z.ti

= =

l f ¡ t +¡ \ - \ 2 - 4 d . l y . - a z , zri - 2e - aa\Ui - zazk

Y - - ( w' € \ tóó

[cAP. tr

APLICACTONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES De nro¡lo que las norm¿lcs a las dos superficiesen (1, -1,2)

esLán d¿das Por

N, = 2i- t+2k,¿ ñ, = zi + Como Nr - N¡

U-_AN'-

l2ll2l - 212- 4al - (2X&) = 0. s€sigueque Nl

pcdido. r¡. conlo qu€se t¡coeel resuhado

4ak

N.9;l¡'F.Fndicularcs

p.ra cu¡lquier

esféricasFt, e, ó) = 0, supuesta¡ continuamen-' 4. La ecuaciónde una superñcieesen coordenadas (a) plano tangentea la superfcieen el punto (¡o,0o,óo). te difercnciable. Hallar la ecuacióndel (á) Hallar fa ecuacióndet plano tangent€a la superñcie¡ = 4 cos 0 cn cl punto (212, 'ttl4, 3ttl4). (c) Halla¡ un conjunto de ecuacioncsd€ la r€cta oo¡mal a la superfcie de (á) en el punto qüe s€ I indica. (rr) El gr¡dientcde O €n coordcn¿d¿s es cu ilineasortoSonales

vo = *!9., + !rff,"' + dond€

1¿O

l dr

"=i#,.=**1,.

(veanscÉginas l4l. 142). En c oor denadas es f é r i c anst = t . u , : 0 , u r = 0 . h = l . h 2 - r . l ¡ " - ¡ s e n 0 y r =¡ i +r i + 3l = r s€n 0 cos ó¡ + ¡ sen 0 sen dl + r cos rk. E¡lonccs. lG¡ c' { t.¡

= s c n r c o 3 d i +s c n r s a n ú i + c o l t L = corecoeéi + cosrscnÉj - sentk = -s€ndl + co3Cj

(r)

vr'= #.*|$",*o*-'#. Como cn ¡a Égina 16l, la ecu¿cklnpcdidacs (r -.o)'Vflr

- 0.

Sustituyendo ahora (/) cn (2) s€ tienc

otL =

{#1,*","-"r.

+ Juf,l,""",ocosc. -

¿¡'t I

,,I'Jt

* {#1,*","*"o. +r,fl,*","*no. . #,.'#lJ,

* {#1,"*,. - *#1,*"'"}*

Dc¡olando las cxprcsioncsenl¡c llavcspor,l, 4 C, r€spactiv¡manle,con lo quc V4r - ,{¡ + ¿t + Ca, qua ra puedacscrib¡¡ cn coo¡s€ ve quc la ccuaciónbuscadaes ,{(.r - .ro) + ,(, - }b} + C(z - zl - 0, denad¿sesfé¡icasmcdiantc las tr¿nsformacionasgr¡¿ x, I t z cf¡ c3t¡s coordcr¡¡dag. ló) Se tieneF=

4 cos 0= 0. Lu€goAF/ü= I, tF/00-4 s.n0, AFIN=0. '= 3a14,* riene por ta pa.tc (¿) VFlp .{¡ + 4 + Ct = -¡ + J. Como ro = ZJ1. O. = "¡e. óo Por las .cuacio¡t s de transfo¡m¿cióncl pünto d.do t¡.nc coordcr¡ad$ cañGsia¡?6t-Ji, Jl, Z¡ y

¡ -,o = U + JIN + V - rtú + k - 2fr,. cntonccs L¿ecu¿ción es,püca, b¡¡sc¡da d€lplano -tx+Jil+g-Jrl-O

o¡-r-

2.r/2. Encoorde-

nadas csféricsssc convierla €n r sen 0 sen ó - ¡ san 0 cos ó = U2. Enc oor da¡ adas ca n c s i a n ¡ ¡ ¡ ¡ c c u a c i ó n r - 4 c o s 0 s e c o ¡ v i e r t c G ¡ ¡ ¡ +f +l z - 2 F - 4 y c l d s n o langentcs€puedcdetcrminar a partir d€ aqüi coño er cl Problcm¡ l. En otro6 c$or. en crmb¡o, pucdc quc no se¿lrn fácil obtcncr la ccuaciónq¿rtcsiat¡ay cnto¡cls es m& aancillo ut¡liz¡r cl método dc la poate(¿).

cAP sl

-r( ,, ', r, .) L)

ApLlcAcroNEs DE LAS DERTvADASpARcrALEs

i-

16'l

(c) Las ecuaciones de la normal se puedendar en la forma

+=" P = +

dondeel miembrode la derechasignificaque la rectaestáen el planoz = 2. Asi qu€ la rectabuscadaviene dada por

x+{E -=-

o

t +V

=0 , z =0

lf,rCTA TANGENTE Y PLANO NORMAL A UNA CURYA I

T, Hallgrlasecuaciones (¿)d€la tangehtey (ó)delplanonormala la curva¡ :-r'z =¡l+ cos 3, en el punto en quJ r : tz.

cosr,/ :i3 + sen2l,

(d) El vectordel origcnO (Fi8.8-2, página162)aun punrode la curva CesR = (¡ - cos ¿)¡+ (3 + sen2¡)j + (l + cos 3¡)L. Entonc€sun v€ctor tangent€ g_Q¡n cl punto en quc t = +a es ./

El vcctor dc O al punto en que I = la es r¡ = lrl + 3j + t. El vcctor de O a un punto (¡,/, z) de la recta tangentees t = ¡l + t + zI. Ento nccsr-ro= ( ¡ - i¡ ) i+ ( y - 3I + ( z - l) &c s c olir ic alc o n T o , d e m o d o q u e l a e c u a c i ó n b u s cada es i¡ k (r-rD) X To =

0,

r-y

o sca .

v-s .-r

2- 23 y ¡asccr¡acio¡es pedidasson 3li1 ¿ z=3 t+1 .

= v-=3 = '; I o,cn forma paramétrica¡ = 2t + rr, t = 13 J -z

2t,

(á) Sear : n + ),¡ + z¡ cl vcclor dc O a un punlo (¡, /, z) dcl plano normal. El vec¡or de O al punto cn que ¡=|ne s1 6=¡rl+3 J + k . Elv . c t or . - r o: ( ¡ - lÍ ) l+ 0- 1) t + ( z - l ) k c a t á e n c l p l a n o n o r m a l y,po rtan to,e sp .rpe¡ dic ular aTo. Lu€Solac c uac ió n p é d i d a e s ( t - r o ) 'T o =Q o 2 ( ¡ - l z ) - 2 0 - l ) + l(z - l):0. Halfar las ecuacion€s (¿) de la tangentc y (ó) del plano no¡mal a la curva 3x2y 1 y|z = -2, 2xz - x2y = 3 en cl pünto (1, -1, 1). (¿) Las ecuacion€sd€ las suparñciesquc se coíar¡ cn la curva son F = St t u+ a' z + 2

= O,

G = 2rz-r1u-g

lás noíüales a c¡da supcrñciccn el punto P(1,-l, N' = N, =

VFl. Vc l.

= =

= o

l) son, rcspcctivamcnte,

6r ui + l: , r ' + z v z li + y t k = - 6 i +i +k t / = 4 i - i +2 k lz z - Zx a\ í - ' r i+ 2Ek

V

Asi quc un vector tanggnte a la curva !n P es Ti

=

N, x N!

=

( - 6i+ j+ k )

x ( ai- ¡ + 2 k ) =

3 i +l 6 j +2 k

Luego, como en €l Problema 5(d), la taígente cstá dada por = 0 ( 3 i +r 6 i +2 k ) = 0 ( ( r - l) i + ( y + 1 ) ¡ + ( z - l ) k l x o u+ l z-1 =ii = = l+ g t , 1 6 t l , z = 2 ¿ +L esdecrr. --l, -Z "-l A = _ -= (á) CorÍo en el Problcma 5(r) cl plano norm¡l eslá dado ftor (r-¡o )xT o

(r-r.)'To

= 0

o

( ( r - l) i+

( s + 1) j + ( z - l ) k ) .

= 0 = - 1 1 ''

{3 i +1 6 j +2 k }

= O 3(¿-l) + 161r + 1) + 2( ¿- l) o 3 r +7 6 a +2 2 Los r.sultados c¡¡ (¿) y en (r) sc pucden obtencr también mcdiante las ecu¡cioncs (7) y (r0), rcsp€cti varíctrte, cn la pÁgir¡a 162. e sd ecir.

7.

lcAP. 8

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

168

Demostrar la ecuación (10), p{gina 162. Su!óngasela curvadefiÍida por la intersecciónde dos supcrficicsdc ecu¿cionesF(_\.,, z) = 0' 6(x, )' :) = 0' sidrdo fy C co¡¡tir¡uat¡entedifercnciablcs. Las nornáhs a las supcrfrci6 en cl plinlo P esüir dadas por N¡ = 9f]¡ y N, = vclr. raspactivamc¡¡e, y cntonc€scl vector tangenlea la curva cn P cs To - N¡ x Nt - vFl¡ x VClr' con lo que la ccuacióndcl pla_ no normal será (¡ - ¡o)'To = 0. Como = {(F,i + ¡' i + F.k) x (c.i + dlj + G.k)) L v¡l.xvcl, Tó = .

i

I

kl

r,&¿l= c, c, c, l, ¡a ccuación buscadees, pues, ('-r.).

v Fl'

= 0

¡ , ¿1. f. F, l. * F . F , I . n,o l, ' * o'n'1,' o n'1,"

=, +l|'.?,1.o-"., i;,X:|.,-^. Ii:i:Lru-ro

ENVOLVENTES resolviendo quela €nvolventc de la familiaó(x,y,d\ = 0, 5i existe,puedeobtencrse t. Demostrar elsistemad:0Yd"=0. .r : /(a), ¡ - 8(d) cs cntoncesO(/(a),8(d), a) = 0 idcnSuponiendola envolventeen forma ¡raramétrica tic¿me;E. y entoncesdifererciando con respectoa d [suponicrdo qua Ó,/ y I tien€n derivadascontir¡u¡s] sr trcnc o.fld, + ú,s'(al +t"

=

(I)

0

La pcnd¡e'n¡cde un clemento dc la f¡milia ó(¡, /, d) - 0 en (¡. /) ücn deda pot Q, dx + $, dy = 0, o dv dvldu c'ldl LueSoen todo punto en que ':-drtñ= ,.".4qx = -9... L¡ Dend¡ente dc ra..nvolventeen k. y) es dx@.. TGj se h¡ dc tcner la envolventey una curva de la f¡milia son tángentes,

-*,6, = o,i!'! t'\al

ó,t't"t+ e,r.(c)= o

o

(2')

Comparando (2) con (r) * vc que {. = 0 y resuha lo añ¡¡h¡do.

9. (¿) Halla¡ la envolve¡te de la familia -r s€n d + / cos d = l. (¿) Ilustra¡ geométricameote los resultados. (a) Por cl Problema8, la envolvcntc. c¿sode existir.seobtieoeresolviendoel sistemade ecuaciones ó(¡, /, a) - .y sen¡ + / s€nd | -0 y 0,6.y.r) =.r cos d - r'scn a = 0. A partirde.stas se obtiene¡ = sanc. J' = cos r o bien ¡¿ + ),¡ = ¡, acuacioncs (ó) La familia dada es una familia de rcctas, algunos de cuyos elcmcntosser€nenla Fig.t-3. La cnvolvcnte esel c¡rculo-* + )'z- l.

10.

l¡r. t.t

Halla¡ la envolventc de la famitia de supe¡ficies z :2ax - q2y. Por ¡¡nagcncralización del Problcma8. la envolventebuscada,si cxistc,sc obtiene resolüando cl sistema oc ccuacioncs

l t)

É= z ^ r-a,u-z= 0

y

l z) é" = 2r-2a!

= 0

Sagún(r). d =,yt. y, sustituyendo bu¡cada, en (,/).s€ tieDe.r'z= /2. quecs la e¡volvente

:{P. 8l tl.

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

tó9

Haffar fa cnvolven¿e de la fañilia de superficies de dos parámet¡os = z ax + fly _ dp. l¡ eovolvcnte dc la familia¡1.r.),.:. d, ,) = O,si cx¡ste.sc obticnepor climinacúndc d y, cnt¡alas ecuacionesF 0, F. 0. Fo = 0 (Probtcma43). Como F=

z- ax - BU+ ^p=

p =¡, d=a E n ton ce s.

0,

F"=

-x*B

=0 ,

N t r =_ u +a =O

y * t ie e z = r a.

Df,TWADAS DIRECCIONALES O 11 Haffarla derivada direccional de F: x2y¿ta lo largodc la curvax=e-",y=2sena.+1, z = u - cosu en el puntoP en quc ¡.¡= 0. El punto P que correspondea u = 0 es (1, l, _t). Luego 9F

=

z r ' . t i+ r . z ' i+ Bx ' uz ' k

=

+ eUe¡p,-/

-¿i-j

Un vector langenlea la curva es rl.

d¡¿:

= =

¿

d n{ . - ' i -e - "i+

+ ( 2s enÍ + l) i + ( r ¿- c os ? ¡ ) k } 2c os üi + ( r + s enr ) k

=

- i +2 j +k c n P

y el vcctor tangentcunitario eD estadireccióncs To = -i+zi+k, V6 Luego D€rivadadireccional

(-2i-,+sk).(:!llil!)

=

= *

Como es positiva.f aumentáen esta dirccción_

;'/8'

t3. Demostrarque la máxima variaciónde F, es decir, la máxima derivadadireccional,se verifica eri la direccióndcl vector V¡ y tiene su magni(ud. dF & * lá proyccción d€ VFen la drrección Estaproycccr
ta. (¿) Hallar la derivadadireccionalde Lt:2xty

- 3yzzen p(1,2, -ll cn una di¡ecciónhacia P(3' - l' 5). (á) ¿En qué direccióna parrir de p cs m¿ximata ierrvada'dircccionar?(c) ¿cuál es Ia magnitud de la derivadadi¡.eccionalmáxima?

(c) VU = 6r'ui + (2r1- 6!z)i - gu,k = 12i+ 14j 12k en p. Elve cto rde PaCes

=

( 3- l) ¡

El ve cto ru nira r iode PaQ es

=

T

l(ztfl:5t+l6F

Lueso Dcrivad ad ir c c c ionat en p

=

+ (-r -2)j + [5-(-l)]k = 2i _ 3j { 6k. 2i- 3 i +6 k 2 ¡ 3 i +6 k -

=

u2i+ 14¡ - 12k ) .

/ ¿ ¡ - g i +e k ) \?/7

1 -

-go

o sea.quc U decrcceen eta dirección. (ó) Po. el Probl.r¡a t3. la derivadadire.lional cs máx¡macn la dir€cciónt2i + 14¡_ t2t. (c) Por el Problcña t3. el vator dc la derivada direccional máximá cs lt2i + l4j _ t2kl = ¡96 | 1a = 22. uQaj

t70

APL¡CACIONES DE LAS DERÍVADAS PARC¡ALES

lcAP. 8

DENTVACTON &I,TO EL S¡GNO TNTEGRAL ll Dcmostrar la regla dc Leibnitz ¡nra dcrivar bajo el signo integ¡al sea t(a) = | =

A,

=

.f(2,") dr. Lucgo

r(d + a a ) - c(o) = J.,,.,

^",1(''

"

* o") & +

(" ' " ' ¡¡" ," ¡a"

-

f" ' " ' " ' ^" ," * * l * J,,., tt"'"+eld"

+

tk,a+^at.t

J.,',",,

- f"'"'¡r''"¡a"

*',, = J.,',"-, at) dE* t'"',),-'"' tta," +t", n".". u * - !.",','",' " * o"t* ^., /\rttql

Por ¿l teorema dcl valor rúcd¡o, f,r to,

o"t - tt",d)ld' = a" J.,,., ltt"' "* ).,,., t"t",oa" a¡¡

ltr, s+

J,,", a¡ ,

= ^artt'

l({¡,a+&)[,¿¡(a+a4]_ ¡,(a)l

l(x, a+

= ^altt

a+ aa)[ü,(a+ a¿) - i.|(d)l ^t,,

donde { csüácntrc d y d+ Aa, {r rnt.c ulo) y ut(d.+ Ln, y f2 csráerür u2@)y u2la+ l!'r. Enloncfs.

+ ¡1¡,"+l,¡ff - /{t,,"+4"1f; tr = J,,;,,t,(",t.14

Pasandoal limitc pa'-e * e y cn la suposiciónda quc l¡s furcio¡es tien€ndcri das cor¡tinuas. rr tiana ^d ¡lü' = t"'"'t"t,,"t¿, + l[,¿,(c),al E J,ttd,

-...

,úrl

^ut\a),útE

16. si ó(d) =

dt, haltaró,(¿) con d + o. Í**n:! Porla reglade Leibn¡tz.

Lueso

I"" G=*;¡

(r)

r o +r a,

J.,,",

+ aa

(r)

rd +¡a)

=

GrSF

dercuar

ttt

Í"' E=""",f-

=

2"

s/5'

(o

l 7l

API ICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

cAP. El

INTEGRACTON BAJO EL SIGNO TNTEGRAL lE. Demostrar(/8) págioa ló3, para intcgraciónbajo el sig¡¡ointegral.

=

(r) *, considcr¡rr

'

"

tp,a*ln,

l:"{l'

Por la reqla d€ Leibnil¿

;;

= ot"t = l:'*{I" ra,aol* = t"",,'ta'aa"

Entoncrs.por inlegr¡ción. (r)

=

'rld

J^

c(a) dd + c

Como ú(a )-0p or ( , ¡ ) , s et ienec : 0en( 2) . As ¡ , pu's . a p a f i r d c ( 1 ) y ( 2 ) c o n c =0 s c c n c u c n t ¡ a q u e

f,'!." ^",',")..= Í."{J'.',,'n.",0.\0" Y haciendod = ó resultala igualdad-

=

re. Dcmostrarque J'r(H).' porcr Probrem¿ 62.capirulo5.

( -+-

o,r>r.

"r(*Fr)si

Jo a - co st

= -:-!-,

.> t

',1"'-t lntcS¡ando ef primer miembro rcspocto de d. f,¡tlre a y b,

= J'ur"--""r1", = J"'(,_L;;;)'" t."1.f"" --*]*

Integ¡s¡do el seSundomiembro resp€ctode d entr€ ¿ y ó,

( -"1-

r. { a ' _ r

= ,r,'r"*y';t-rrl" = .rn(o*F I"

\a+ y' c' -r

de donda se siguee¡ resullado.

MAXIMOS Y MINMOS paraque/(¡,l) tengaün extremorelativo(máximoo queunacondiciónuecesaria m. Demostra¡ minimocn (¡o,/o) es que/-(rq, ¡6) : 0, ,6(xo,yo) = 0. Si/(-r6,¡¡) ha descrun valorextremode/I¡, r), debeserun valorcxtrcmot¡nro del(¿ /o) comodef¡o, )). Pero una condición neces¿ri¿par¡ que éstastetgan valoresext¡cmoscn t = xoy y - yo, rtspoctivamcntc,cs quel,(xo, /o) = 0, f,(xo, yo\ 0 (por lo visto para funciones€n una va¡iablc). 21.

Sea /(x, y) continua con derivadas parciales continuas de segundo ordcn al menos en ciena región { que incluya el punto (¡o, yo). Demostrar que una condición sufciente para quc /(xo, /o) sea un máximo relativo es que L = 1,,(xs, ys\fr(xo, yd - Í,(xo, yJ > 0 y l,(xo, y6) < 0. Poi el tcorcmade Taylor (ÉEra I09), coÍ /,(¡o,)o) - 0, r(¡o,.vo) - 0, se tien. ¡lro+h,u.+h\

-

llxo,yol =

!lh'|,,

(r)

+ 2hkf4 + El.)

en qu€ fas segundasderivadasdel segundomiembro sehan c¡k1¡lado en ¡o + 0¡r,ro + 0r(con0 < 0 < l. Cornple{a¡do el cuadrado de la derecha en (/) se encucntr¡ que

ttz.+h,vo+kt- Ítt",u"t= ' '+¡,,Í ¡ *L.*\' I-/ t\

+ (t"t'*- f\k'\ \

,t'

/

(r) )

172

APLTCACIONESDE LAS DERryADAS PANCIALES Pcro, por hipótcsis,.¡isre un cntorno dé (¡o, ro) tal qucÁ < 0 y ls €xprliióo.ltrc - 13,> 0 lor hipót6is. Ali F¡cn s. dcduc. quc N6 fJ,

[cAP. 8 ll¡vcs d.bc acr positiv¡,

feo + h' Yo + kl S f6o, Yo) ps.a , y t ¡üfcic¡tcocntc pcquc'n¡s,lo quc sigDifca qr¡r "/(¡o, ro) 6 un ñárir¡o Elativo. A¡¡álog¡maútc ¡c puadcn dcúos!Íar condicioncs ¡ufcie¡tca pa¡s mloiDo rcl¿tivo,

TL

Halfa¡ los márimos y mínimos ¡elaüvos & llx, yl : f -3=0ps¡!¡-. [ -=3f

Xt,Ir=3f

+ y3 - 3x - l2y + N.

-12:Opd!¡a,t-

12. l,o! pu!1o6cdticos.oapuc', P{1,2),

c(-1,2I ¡0, -2), s(-1, -2). f- - 6x,ln - 6y,Í,¡ = 0. Lucgo En P(l' 2), A > 0 y l- (o trl > o;^=lJ.-!1=36xy. lucto P .s un ñini¡¡o rclaüvo, En Qe\4, A < 0 y g no ca DáxiDo úi rnl¡imo. E¡ ¡(1, -2), A < 0 y X úo cs nÁxiño tri r¡t¡imo. E! S(-1,-21 A>Oyf- (oJrr)<0, codlo qucSca uDD¡l¡imord¡tivo. Arl, pu.!, cl nl¡ino ¡Él¿tivod./(¡,,) co p c! 2, y cl márioo rclativoc! S .3 3t. Losputtos g y _R.o¡ Nrbt .b tllb.

23. Ula c4ja rcctangular sin taps ha de úenerun volumcn dc 32 unidadcsq¡bicas. ¿C\¡á¡eshs¡ dc s€¡ Ls diDcnsio¡cs para quc la superfcic total sea minim¿? Si x, y ! z soú las ¿rista! (Fig. 84), .. tieda (r) Vofuoco dc l. c{j¡ lt = ry1 32 (2) Süpc¡fci. dc l¿ c¡ja - S: ,y +- ztz + 2xz o, por *¡ ¿ 32ltf W¡ Qr, S= r y

as a,

!-7

6.1 = 0

,6 4 ey

6{

cori (t) ,r{=8¿,

E

=

"-#

= o con(¡) 'rr=6{

Divifiqdo l¡s Gsuacioncs (J) y (r) cntE rl sc ticney = ¿ dc modo quc.t' -64 o x=y-4y

p.r¿c=r=., A = s-s,, - sl = (gxq)

z=2.

-t > 0 y so = 14 > o.AsrqucraÍrf.

¡i¡n¡ auFrficic se obticnc con I¡s dimc¡sionca 4 x 4 x 2.

irurrpuc.l¡or¡s

DEr/\cnANGEIARA MAx¡Mosr MrNMos

2¡L Considéresc .Fk, J,,z) sujeta¿ la condició¡ rcst¡ictivaG(r, /, z) = 0. Demostra¡que una con_ dición neccsariapara quc .F(.x, y, z) tcngau¡ cxt¡cmoei qi,. iq _ frC, = O.CoñoC(¡/,_.)=0,scpucd.comidcr¡¡rco¡nofu¡cióodc¡yr,os.¡,2=Jr6),).U¡acodició¡¡cqu9¡t¡ ¡/(¡, /)] trnt¡ u¡ v¡to¡ Gxt¡.úocsquelaedctiveaarpcrciolcscol rcrpocroa r y ¡ *ao Yú.e"o !ul¡s. lo curl de (r) l. +f,:, Cono G(a¡:)

= 0

- Q .G ti.roctr$ti¿¡ (t) G. + G,:, = 0

(21 \ * F.z, = ¡

(l

Ci I G.z' = O

Dc (r)y (, sc tit¡r (J) !,c, - F,G,= o, y dc (2)y (t) 3cücf¡c(d)4c, - 4c, - 0. E¡tooccqpor (5)y (ó) G.ull¡ F¡G, - Ff¡, = 0. Loi ¡¡tc¡iorcs F¡Dltedosson válidossolo si 4 + 0, c, + 0.

c^P. 8l lL

i

+

t73

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

En el problema anterio¡, most¡ar quc la condición enurcisd¿ equivalc a las cordiciones {, = 0, dr = 0, donde ó = F + LG, siendo l" una consta¡te. Si {. = g, ¡ * fG, = 0. Si ór = 0, .¡1,+ lG, = 0. ElirninandoI entr€.!tes .cuacio¡6, sc tie¡. ¡,C, Fp, - o. El Dultiplic¡dorI cael ,mitlplicaúr deLag¡añge. Si s. quidr pucdcconsidcr¡rsc t¡nbiér ó = l]F + c c onÓ ¡ : q Ó , -0 .

2ó. Averiguar la Etuima distanciadel o¡igen a la hipérbolax2 + lxy + 7y2 :225, z:0. Scha dc hall¡¡ cl v¡lor rültrimodc .t' + I (cl cu.dradodc ls dbt¿nciadcl origpns un pur¡tocurlquicr¡ del pla¡o r/) sutrtoea la c¡údición .t' + lxy + 7f - 225. d. t¡g¡ong., s ó = I +8x! +7!2 -nS + L(x, + fl. Scg¡iúcl ñétodo de lor Dultipücsdor€s E¡toDccs. Q. =

2t+

=

E, + 2lr

,, = 8r+ 1¿r+2v

0

0

= 0

o

(r) (r+l)t + 4y = 0 (r) ,1, + (r+4r = 0

Por (r) y (2),sicndo(¡,r) + (0,0),sc ricDe

lr+1 I n

4 l_ ^*rl=

catu ti l- l.Por(r)o rcca de roh¡cióo rcal.

o r = 1 ' -o

o' " "'¿""it'f+8r-9 = o

(21,r-

-2yy sustituFndocnl

+ t.r¡ +1r? = 225da -5,,2 = 225,qüc ca-'

C6o 2t ,. = -9. Por (r) o (2\ | - 2r., quc q¡stitüid¡ cn ¡¡ + t¡/ + b| = 225 da 45* - 225. Lr.8o =4x' =20 y asl rf +f =25.Dc modo qu. l¡ distamia¡nl¡irn¡ buscadacsv6f 5. -5,f

27.

(¿) Hallar los valores mrüimo y rnlnimo de x2 + y2 + I sqietos a las condbioncs f/4 + yt/S + 22/25 = | y z: x + y, (b) Dar u¡a intcrp¡Etación geométrica dcl anterior r€sultado c¡ (¿). (¿) H¡y qüc hall¡¡ tos extrenosdc F

t -o - ¡2 + /2 + I sujctosa las condicionsdr = + +. *y02=t+y-z=0.Enestac¡soscutiliz¿ndostdulüplic¿do¡Esd€Lagrangclr,¡zysaconsidcralafunción

c = r + r,c,+ \c, = ¿ + u ' +,' + ^,( f,+*+ #- r ) + To¡nsDdo las derivsdas parcia¡esdc C con ¡lspocto a ¡,/,2,

c . = z , + ¡ i u*"

= o , G, = zt+!+\

Dcspcjando dc 6trs cci¡acioúc¡ ¿/,2

^,( + v- ,)

c igualándol¿s a ccro, sc lienc

= o,c. = z,¡ zff- x,=

o

(r)

se ticoe

r =iL,

(4

r=

De¡as6gund¡condiciói,Í+y-z=0,srobüa¡epordivbiónporLsupucstodifar€¡tcdccaro0oq¡al astájustificado po¡quc de ot¡o modo ra tendda x = 0, y = 0, z = 0, que no satisfa¡la lá primc¡a co¡rdició¡), 2526= I-;F4 - ZI;TiO - z¡,-+-56- u Mttltipücaado ¡¡lbos micmbros po¡ 2(L + 4xlr + 5Xl¡ + 25) y simpliñcaado da 1?{ + 216r , + ?60 dc dotrdc lr :

-lO o -15117.

= 0

o

( r ¡ +1 0 x 1 7 }. t +? 6 ) = 0

174

lcAP. 8

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

Caro ,: l¡ = -10. y-$r, Dc (z). ¡-lf¡, li = fto/fg o \, = tq¡3¡tl,

z - l),¿. sustituycndoc¡ l¡ primcr¡ co¡dbió¡ x2l4 ¡ f/5 + ?n5= to quc da los dos puntoscíticos

| d^

(z'/-6t1s,s{í|ft ,6\/-6trst,(-2llÑ,4\/l¡ú,-6\tdñ]Elv alor dc , l+ lt + z t qu. c or r É s p o t r d G ¡ c s t o s p u l t o s c r l r i c o s 6 ( m +4 5 +! 2 5 ) / 1 9 =1 0 . caso 2t \= -75¡17. = i7L2.Susl¡tuycndo en la prim€racondició¡ rrl4 + f/5 + 2'125- l, De (.?),'x= $¡,, - -+''r, t de L, - +l40lll71@), quc d¡ tos punlos c¡iticos $ot{&,-s6lt/6&,61{-u6r,{-4ot\/il¡:s16,86t1añ,,-6tl-61s1 Ef valor dc i

+f

qüc coÍlspond. ¡ ésto¡cs (1600+ 1225+ zsll(fi:75/17

+?

Así quc cl valor má¡imo bu¡c¿doGs l0 y.l

v¡lor mlnimo es 75/17.

(á) Co¡¡o .t' + /r + z2 rlp¡lscnlá .¡ cr¡¡dr¿dodc l. dista¡ri¿ de (¡, t, z) al oritÉr (0, 0, 0), cl problc¡¡¡¡ Gquivalc s daaeamin¡¡ t¿s di¡tdncia! n¡xir¡s y Í¡inim! dcl origcn a l¡ ourv¡ dc i¡tarscccióú dcl clipioidc t l4+ ) ?/ 5* 22125= t c o¡ c lp l ¡ n o z =t +t . C o m o e s t ¡ c u r v ¡ e s u n a e l i p s e , s € t i e n c L i ¡ t e r p r e t a ' ción dc quc .¿ñ6j 1ñlifr son lss tongiludcs dc lo¡ semicjosm.yo. y Ír.nor dc este clipse. El quc los vslo¡es m¿ximo y núniúo saa¡ d¡dos por -1,, cl ambocCs:os I y 2 no as mcra coircidcñi¡. En efccto, al ñultiplicsr l¡s ccurcioncr (¡) po¡ t, t y z sucesiv¿me¡te,y su¡nar, s€ obtierc

= o ^u+2z' + S- r .,2 ¡ ¡ ( ,+r - ' ) = 0 + ,t + ¿+ ^,( "t' + f+ $) *

2 ¿ + ++\,+2r ' ++d+ rrrrcci r.,,

sc tic¡G.t' + f + I = -Lr Y ar¡toocas, ¡plicandolas condigioocs, Par¡ ura gcncralizacón dc asrcprotrlcr¡r¡,v¿a¡aProblq¡a ?ó. API¡CACIONES A ENNORES Et Friodo r de un ¡Éndulo simplc dc longitud I csrá dado pr T = 2xJfu. Hallar (a) el crror ¡bsoluto y (r) cl crror r€lativo al c¿lcular lcon, = 2 pies y I = 32 piels2 si los valo¡es vc¡d¡deros cr¡n I = 1,95 pies y e = 32,2 pies/st.

2&

(e\

f

= 2"180-t',

É.rrtonc.s

dr = (*sa\l{u'

dt't+ l2rt'all-rc-'" dt

= ftdt-

'

Ertol en ¿ = a9 = ¿g = +0,2i elror en ¿= At = dl = -opb

^{!a'

Elc r r oac nles Al , q u e c n c s t c c ¡ s o e s a P r o x i m a d ¡ m c n t c i g u a l a d f A s í 'p u c s 'p o r ( ') '

(-o,orl-'ffir*o.rl EffofcnT = ¿¡ = -;i v(2xs2)

= -0'025sl¡pro¡')

= -&

zrfi,f;t =; = t.571s (¡p'oximadamcnte) El valordc r para l=2, o --gt es Í Con lo quc el v¡lor coÍegido de f es t,571 - 0.025- I,546 o 1,55s. 0.02J ¿T -fr/128 = -Llfl = -l')o/o. T= como lí f = h"E-2a + | ln | - t ln g,

(óf Error rcf¡rivoqtTOto réúdo:

+ =rli-ry=;(-#)-l(*u)

=

como antes. Ob6érvrscque (2) se pucde cscribir Etror relalivoen T = * Er¡or ¡elativoen , - * Error rÉl¡tivo Gnt

-0"

c^P. 8l

t75

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

INOBI,DMAS VARIOS /.1

19. C¿lcular

a-1

I i-: Jo tnt

do.

Para c¡lcula. csta integml sc apcla ¡l proccdimianio siguier¡tc.Dcfinssc

= f''i#.'¡

'(')

¿>o

Entonces.por ls ¡egla d€ l¡ibnitz.

ó,(a) =

^"..i{/""- r\ . l¿"

-r! |r ú dd\ r n. r

=

/

r'¡"ln¡ ¿¡ | tnt ---:_

¿o

=

| x" at

J.

= | c +r

l¡lcgra nd oconr es pec ioad, 0( d) = h( d+ l) + c . Pcr o c o m o 0 ( 0 ) =0 , c - 0 y , c n t o r ¡ c l s , d ( d ) = ln {d + l). Así que el valor de la integrales óll) = ln 2. Sc pucdejustificar aquí l¡ ¡plicación dc la rcgla de Leibnitz po¡quc si se dcfinc F(.r, {) = {¡, - t )/ln ¡, 0 < n < I, f(0, d) - 0, F(l,d) = d, cntoncesF(.r,d) es continuacn ¡ y cn d ln¡a 0 5 ¡:! I y todo valor finito d > 0,

l).

Hallar constantesa y ó para las cuales F(a, b)

=

Í"'

{senn - (a* + be\J2ilr

es un mrntmoJ [ás condicionesnecrsari¿sp¡ra un mínimo son ?FFa 0, tF/eb = 0. H¡ciendo astasderivaciones.sc tienc

= -,.f,"

¿F

l'#,*"'

- (cc'*ór))'rrz

rr {s€n, - (or'+ ür}} d"

=

0

.f"*,*",

- (¿,t+ ¿'¡)t'd,= -, Í""

r (sen, - (dr. + ó¡)) dc

=

O

¿F De dondc

! ".f." I' f"

+ bJ6 x' ¿t

=

|

r¡senrda

+ ¡

=

|

rsen."¿r

J.

¡'d.r

5'4-

-¡- * -E- = Dcspcjando ¿ y ó s€ cncuentaaquc

"

=

20

F-;:

320

= _010005, ó = ?_i

-

r,z¿zu¡

Se puedademostrar que para cstos valores. F(a, á) es efcctivamenteun m¡nimo aplicando las condiciones suficicntcsde la página ló4. Sc dicc quc cl pofinomio o.r2 + üx es una orylirndción Nr mínimos da&ados de scn ¡ cn el intervllo ]0. r[. ks ideasque aqui sc toca¡ son d€ g]an importancia cn muchasramasde las metcr¡üitios y susaplicaciones.

176

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARC¡ALES

[cAP. I

hoblein¡s pro¡rcstos PI,ANO TANGEI{TEY RECTANONM.AI A UNA SUPERTTCIE 31. Haffar las ccu¿cionddc (¿) cl plano tanSrotey (ó) l¡ r€ctanorúa¡ a la supcrfcieI + y2 = 42 ¿n

(2,-{.6). &'t. In.,-ly-z = a, Otf 3a

=+

= +,

Si z = /(¡, rr), dcmost¡er que las ccuscioncsdel plano tangc¡lte y de la no¡mal en €l punto P(¡0, /0, ¿o) son, rcspectivamcnte, (ol z - ¿o = Í.\.(r-

Q'' ff=tr==?

y

r'l + ¡,|.tu-ul

33. Datt¡ostr¡r quc cl ¡ngulo agudo I a¡¡t¡! cl cjc z y la nofm¡l s l¡ supe.fcic f(¡, ). z) = 0 co u¡t ¡[nto cu¡lqüiera

cstádadoporw y = Jrt +fii7i4r,1.

3{

[¿ ccuacióndc una suFrñcic cstá dadá en coordenad¡scillndricas por f(p, ó, ¿] = 0, con ¡ continuamer¡tedi fcrcnci¡ble. DerÍostrar que l¿s€cuacioncs(¿) del plano tsnScntey (á) de la normal cn €l punto P(po, ó0, zo)están

por dad¡s!acspectiv¡mcr¡tc, A(t-'.1+ dondc

v +=+=+

B(I-f'ot + c(2- al = o

,. = po cot óo, ,o = po scn to

y

¿ = F rl ,c o s +o- j F6l ' scno' ,

B=

+ ¡'elnsenÉo

|rr¡,-"+",

c = F¡,

36. Mdiantc el P.oblcmr 34, hsll¿¡ ls ccuacióndcl plano tantcntc a la suFrñcic m = pó cn el punto c¡ quc p = 2, ó: *i2. z: l. Par¡ comprobar la respucstahág¡sc cl problcr¡a cn coordcoadas&cta4ula¡as. Sol. 2x - ty + zaz = 0

RF,CTA TANGE¡¡TE Y PIANO NORMA"L A UNA CTJNVA 36. H¡lla¡ I¡s ccuacioocsdc (a) la ¡ects ts¡g€ntc y (¿)el plaoo rormal a la curv¿ ¡latrcada¡ - 6 sa¡ l, / = 4 cos 3¡, z = 2 *n 5t cn cl pu¡to cn qr¡a t = rd4. ..x-c,,/i ^, (¿l So¿ 37

t + ¡ r li

z +J z = :-+:-

(ü) 8r-At

-6.

= 26{2.

L¡s suFrficics x+ ! +z=3y x'- yt +2¿ -2 * corian cn una curva alsbeada.H¿¡lar l¡s ecuacion€s d. (a) Ia -::-: Écia t¡ngrnte, (ó) del plano riofmal ¡ cst¡ curva alabeadaen cl punto (1, I, l).

so¿ (a)=

=

f

=t,

Ql 3,-x-2. = o

ENVOLVENIES¡ 3t

Hsll¡r la eovolvantc de las siguie cs familiasde curvasdcl plano¡y. Constaui¡un grafpen cadac¿so 1¿¡4a.r1- = 1. (bl x*y = +l, r-! = rl

(a l t= o r-o ' , So¡. (o),'={r; 3'

Hallar l¡ cnvolvc¡¡lr dc una familia dc Ect¡s que tiere¡l l¿ prop¡cdadda quc l¡ longítud del sEgmhto quc d€tcrminsn lss intan€ccionescoú los cjas x y / cs ura con8tantc¿. Sol. x2tt + y2tt - a2tt

¡ll.

Hallar l¡ crvolvcntc dc l¡ familia da cl¡rulos que tiend lus cant¡osao l¡ parábols r, : ¡2 y pqsa! por su véfice. [Sug¿r€¡ci¿:Sce (c,ct] un punto dc l¡ p¡rábola.] Sol. ]: + ll -ftlef

at.

H¡ll¿r la c¡volvcntc dc las ¡oam¿16 (llari¡da ewtu¿) 8 la pañ¡bola ¡ = |r' So¿ 8Cy- l)! = 27¡'

y construir m ¿.sfo.

CAP E]

4¿

APLICACIONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

t7'l

Hallaa le envolvcntc de l¡3 familias de suDcrfici€s:

sot. (ot 42 = (r-l)t,

( a\ a( x - ! l- a' z (ó) y' = U +2r..

= L,

2ú.

lb l ( , - d t +y '=

(,,

Dcmostr¡¡ quc la cnvolvcnte de la f¡milia de süperficiesdc dos parámelros¡(x, ),, z, a, ,) = 0, si cxiste. sc obtienc alimi¡randod y /9 cn las ecu¡cionesF = 0. F. = 0, F, 0. -

&

Half¡rfa en vo fvcnt c delas f am il¡ aidedos panim et r o s ( o ) z =e r +f y - a '- p , y ( b l x c o s d +y c o s d + z cos y - ¿, do nd ec os 2¡ + c os 2l+ c os 22= ly ¿es una c o n s t a n t e . Sol. lal 4z = x2 + y2, (b) x7 + y2 + :2 = a'

DERIVADAS DIRECCIONALES ¡ftt (a) Haflar la deriv¡dadi¡cccionaldc U= ztf - ¿ c¡12, -1, l)cn una dirce¡ón h¡c¡a (3, l, -l). (ó)¿Enqué direcció¡ es mAximala dcrivadadircccional'l(.) ¿Cuál cs €l v¡lor de esc máximo? so¿ (¿) Io/3. lbl -2i + 4l - zl., (cl zuG 16. L¿ rcmpemtlrae¡ ur punto (x, )J dcl pl¡rio ¡/ estád¡da por f = lmx/(l + l). (a) H¡llar t¡ dÍiv¡d¡ dircccional en el punto (2, l) én una dirccciónquc forma ángulode 60ocon cl .jc positivodc las.r. (ó) ¿E¡ qu¿ direccióna partir de (2. l) s€rá ñáxima la derivada?(.) ¿Cuál cs cl valor dc estemáximo? Sot. lol l2.u6 - ó; (r) cr¡ uÍa d¡r..cc¡ónque forma ur¡ ¿ngulo d. r - rg- r 2 con el cjc po6irivo dc l¡¡ ¡, o .n la dir€ccióri-l + 21. k) t2\fr 47. DemostÉr quc si F(p, d, :) cs continual¡eota difcret¡ciablc,la dcrivada dircocio¡al mÁximadc F c¡ uo p¡nto

^ I /¿FY

r /aF\¡ /¿F\r V \¿,/ *;r\¿rl *\o, /

cualquieráestÁdada por

DERWACION BAJO EL SIGNO TNTBCRÁL

= {& si c(o)

{"".""¡"'*.n,'r.#..I¿",

s,t.-t*,,*naea, -}"*l-#"*,,

porla regtadeLeibn¡rz. (á)Comprob¿r ,t9, k¡J Si r(") = re-' ¡ul¡a. et resuhado .n l¿l por # I inlegr¿ción dirccta Srrl. (a) 2a tg-¡ a - + ln (di+ f)

= $. Dado r'do= J-, p>-r. Demosrrar o,(tn,)^d, cue.f" J fffi, qu" sr. J.,no,r,o. a" = " *(t * fT), + r"r. t. J'tn rr " "o"') que tnit - z" 52"Demosrrar + ,' = J" "o"" "., {;,t"'fii1. = ,*-e" que i3. Mosrrar J" -=1;,

rnr=r,2,s,....

Discutir elcasoldl=r.

|NTEGNAC¡ON &{JO EL S¡GNO INIECRAT \

-' -t( i¡.. comprobarquc J, tJ, .'-t,o'1*

llt

Particrdo dcl rcsultado

J'"

f" - *n.l

=

¡.(

¡t

\

J, tJ, b'-',\dúldx

ar = 2;r, dc¡nos¡r¿rquc pera clalcsquira co¡rst¡ntca¿ y á,

,.n - (¿ - s€n¡)'l d' .f'" tta "f

=

2Áb'- atl

178

lcAP. E

APL ICA C ION E SD E LA S D E R IV A D A S P A R C IA LE S

56, Mediunte el resultado

demosl rarque

d>l

='"'"(3) J-'(*i+*+),' ',,

(¿) Mediante cl res"f"o"J"'t=*"",

=

1"".*""(H**#)d' (¿tf Mostrar que -['t"""r,n,t

0 É c < 1 mostrar quepar¡ 0=@<1, osü
#

= +{(co.-'¿)' - (co.-¡ó)'¡)

+ lcosx)tu = $.

MAXII{OS Y MINIMOS. MULTTPTICADORES DE IJIGRANGE 5t. Hallar 106máximo6 y ¡rinimos de fl¡. ), :) = .r:y':3 sujetosa las condicioÍ¡es¡ + t + : : 6, ¡ > O, )' > O, : > 0. So¿ v alorm ár i m o= 1 0 8e n r = l , f =2 , t - 3 59. ¿Cuál as el vólumen dcl mtá¡imo paralelepiFdo r€ctánguloquc sc pucda iriscribir en cl clipsoidc .y,/9.+ /,/16 + zz136= t1 Sol. 64.,ñ 60. (¿) H¡lf¡r los valoresmáximoy mínimode .r2 + 12 con la condición3.yt + 4.r/ + 6y2= t4O.(ó) Dar una inIerprct¡ción gcométr¡cade los resultadosanteriores. 5ol máximo = 70. mínimo = 20

6t. Resolver cl Problema 23 mcdiante multiplicadores dc Lagratgp. 62. Demostrarqüc cn un irü¡gülo ,{rC hay un punto P tal quc t¡

+ 7F + Fi¡ cs mi¡imo y que p es la ¡n¡e(-

s€cciónde las medianas. la) Dcmo6rra¡que cl máximo y el minimo & l6.yl: -t' +.ry +¡¡ m el cuadr¿dounidad 0=.yS I, 0 5 / 5 I son I y 0 .cspccrivahente. (ó)¿Pued€obtcncrscelrcsultadod€ (¿)igu¿landoa cerolasderivadaE parcialesdc /(-!, /) con rcspecroa ¡ y /? Explicar. 6.

(¿) H¡ffar los cxtÍemosde ; sobrela superficieL\2 + 312+ zz - l2xy + 4xz = 3s. .Sor. máximo= 5, minimo = -5

65' Demostrar cl método de los multipticadoresdc Lagrante en el c¡so da que s€ quieran hallar los extremosde F(x,,. :) condicionados por 6(¡..I. :) = 0. ¡/(,t.y,:) = 0. 6ó. Demostrarquc la minima distanciadel origen ¡ la curva de iDterseccióndc las supcrficiesx/? = ¿ y = á,r, con "y

¿ > o, á > o, cs tJi@i1yú.

6?. Haflar cl volumendcl clipsoidcll.y2 + 9Ir + l5:, - 4.y) + lO),: - 20xz E0. -

Sot. O4x1trZ¡l

APLICACIONES Y ERRORES 6t.

E¡ diámcrro dc un cilindro circul¿¡ r€cto cs 6,0 I 0,03 cm y su altur¡ esdc 4,0 I 0,02 cm seg¡n las medidastomadas.¿Cuál cs €l máximo (d) error absoluloy {á} error rclativo al calcularcl voluñcn? Sr¿ (¿) 1,70cm!. {ó) l,5i¡

69, Los l¿dosde ur trián8ulosegúnmedidasson 12.0y 15.0p¡esy .l ánguloqu€ formanesde 60'. Si las lo¡8i¡udes sepuedenmedircon uns precisióndel | 1,,y el ángulocon una pracisiónd€l 2:,;, hallar los erroresmáximosabsoluto y relativoal calcular(a) cl ár€a y {á) cl lado opücstodel ¡rián8ulo. so¿ (¿) 2,501pies,,3,21,,4:(á) o.2t? pies.2.08"n PIOBLEI}IAS VAT¡OS 70. Si py Ó soncoordenadas cilindr¡cas. positivasy,| un númeronatural,deDostrarque lassi¡per¿ y ¿ constantes ficiesy's€n¡r0-aytcostl¿-ósonortogonslcs(pcrpendicularesentresilalolargodesuscurvasdcinterscccrón.

¡tt- ¡

c ^P . 8l

APLICACTONES DE LAS DERIVADAS PARCIALES

t79

"' ,":'ilr'=H:;"::;:"¿:r:';i:iTi::i:J"loL,il:,ff.',-"tarasrrper'cic 8,0ó erpunto enque - ,¡ren Sot. (a) ax - G'+ Atla + l4r _ ,,rz

¡
= -",1i,

t¿t 3- =

F#=;+

(o) Demostr¿rquc la mínima dista¡ci¿r d€ punto (a,á, c) al plano , x +8 r +C a +D =O e s

l A(+ B b + Cc+ D l

l \lz;¡;;¡A

I

(ó) Haflarfa minima distar¡cia de (t,2, _l) at plaño2r _ 3r+62_20. Sot. (b) 6 73, El Forenciarz d€bido a u¡¿ carg¿distribuidaes an coordenadas €sféricasb , 0 . 0 ) ,

y

= ¿19!_!

stendop u¡a constante,D€ñostEf que la má¡ima dcrivadadireccioDa¡ es

'n6

en todo punto

p\G;--+-'?;F; ?4 Dcmosrrar q uc ( ' r ' - n Jo Ih¡

r"_

-_ ,-/r,+f\ ',"\r+T/

sr n¡>0, ?>0. ¿puedcgicncrarizarsc cslefesurtado ar

,rr> _1 , n> _1, ! 75.

76.

caso

deraeripse ar,+ bx,+ c!2= El,il.il;1ff"? il ''nro;,;.i" t"o"J:j'1",,. ::,",Iárea

::::::l::l::'t"*:;,;;;"":riT;r:.T;:$":.::,;t,::?;,i"i.:,,i,es2.¡uQ_|

+:2/c2 ?TXT =lT | y.r.' i":tÍ;T,.T'l'f"J * ¡,;i C,l'ri",jilllll" ff1."#fl":;:":HT:L:,ffj:,:; porx,/o,+r,tb2 iSl:;i.::f.,:*.:T:y::terseccion.aennaa +

+

;r=F F.:? c'-dz É:d¡ 7?. Demos(rarqu€ la últ¡.a."u""¡á ¿ei lrcnc sieDpre dos soluciones P¡q¡:qcnle fesqü¡eracons¡antesaa* sotucrones j:::"":":o:-Í" reares reales r!a,"" --_- ,ii, df yy d! d] dj para paracua,lilbj"rl"urliff# ,'""'o L cua_ cualesquGra 1:T:ler..a Tos¡antes v const¡ntes -' "' r€al€sA, B, c llo tod". ;;lo;).' ef s¡gnificado ". ". geométrico. "",* ""i* ;;c;

?r.::,1Deñosrrarque/¡ = Í""@%

=

*,*-,

(ót Averiguar Iim ,|r, Eslo se puedcdenolar por

r.re, ri.4.f'"*T vr. irl"l,"lg:f

f-

"u+¡ff¡¡,¡

. d,

= ¿,,s1"$,'"'*"t

detparaboloidc z=

-,2+ v2 queerá máspróri¡noar punto(3, 4). -ó,

m.

de/(r, )J= (x2- 2.t+ 4v'- 8vf. Hi:t'i:'1fr,1'i1* v mí¡imoi r-eu. (a) Dcmosrrar = ,?Éili _ *" J""--:s ;+i (ó) con t¿) demosrra¡ (tue

_ Br + 5 _ 8In 2 f ",,:_Sgga:_ Jo t2cosr + señlF = _-_# n (a) L,\ Hallar ú^n-- corrdicione. t2. .un"¡*i., *a o

;iii:",;,ryiffi ;:llHT i:"i."; Í3i,".'.1**;l-;;l],:1 : r:-r,.., ["":::'fi':'"1":#;,;:,á,oí*n"i{"i',]l^¡*,#'J,,Hii"#ilT;ulT'E;i +2Ddrr+2Edr+2Ff.,>o lu, Esruomr y¿ r ).) + z2 _ (,.,. 'l. -

A> o ,

AD DR

'l::.:t,:.

>0,

illl*

rclarivosde ur = fE. t. zl.

ADF DBE FE C

¡ ol

Capítulo 9 Integralesmúltiples INTECNAI¡SI TX)D[.ES Sea¡(¡, y) definid¿ en una región cerrada ft del plano ¡/ (Fig.9-l). Subdiüd¡se{ en n subregiones AR¡ de árra A,{¡, Forde k = 1,2,..., r. Sea((",4.) ün puntocualquiera ^qt¡. maDdo ls suma

¡>

(t)

F(¡.,?¡)aA¡

Considérese

nm

(2)

ár(f*,r¡)AÁ¡,

tom¿ndo el límitc de modo que el nr¡mero ¡ de subdivisioncs aumentc indcñnidametrtey que la máxina dimensión lineal de c¿da AR¡ úenda a ce¡o. S¡ cste límitc cxisie se le denota por af

ns.$r

(t)

ll F(r,v\¡lA

.t,t

y s€ ll¿ma integrul doble deF(¡,/) sobre la regiónq. Pucde d€mostrars€qu€ cl llmite existe si ¡(.x, /) es coritinua (o casicotrünua)en 9t. INTBCN,AT¡S REITERADAS Si qt es tal que toda paralela al ejc y encuenua el contor¡¡o de R en dos puntos a Io más (lo quc dc las curvas,lC, y lDB, que limisc verifca en la Fig. 9-l), sc puedenescribir entonccslas ecuacioDes tan 9( como y : /¡l.jr\ y ), = ¿(¡), resp€ctivament€,siendo,(x) y /r(x) uniformes y co¡tinuas eD a ! x ! b. En cste caso s. puedc calcular la doblc integral (3) tomando como rcgio¡cs AA¡ los rcctánguloEque sc forma¡r trazando una fcd de paralelasa los ejcs x y ¡, siendo M¡ las áreascorrespoodientes.Eotonc€s(J) se puedeescribir

ll F(r,y)dxds = q =

f.h

,.tr
| e| r-."=tt<.t /.b

I

|

1l

v ¡ =.

^t¿Gt

Lv y =r ¡ ( ¡ )

F(r,ylrlsdr

(¡)

I

F (r, y \ d y ld a )

donde la integral entre llavcs s€ ha de calcular primero (mantenicndo¡ constantc) para integrar ñnalmcnte con respectoa x eÍÍe a y b, La fó¡mula (4) indica cómo se pucdc calcular una iotegral doble expresándola por do6 ü¡tegrales simples rcirerudos,

180

cr.9l

tEl

INTEGRALES MULT¡PLES

Si R es tal que toda po¡alela al ejc x encuentrasu contorno en dos puntos a lo más (como en Ia Eg.9-l),entonccssepuedenescribirlasecuacionesdelascurvasC,{DyCBDcoñox=grlllyx=grh)1, rrsp€€tivamcnte,y s€ encuentra de manefa parecida

ll F@,u¡aray = "i

=

^.r

/.t\rr,

1 | ¿ ,:.v ¡d

' =c'(|, Í no,r"¡

| 1l , y=c

F(x,üd'tdy

(6)

I

F(r,s\itxlits

[er=s,(¡)

)

S cxistela integraldoble, (4) y (J) dan el mismovalo¡. (véas€,no obstante,€l P¡oblema17.)Al escúlú utra integral doble, pucde utilizars€ cualquicra de las formas (l) o (J), segúncuÁl s€ala más ap¡o¡iada. La una intercambio el otden de inlegración de la otra. En caso dc quc { no es del tipo que !e v€ en la ñgu¡a anterio¡, s€ ¡a puede subdividi¡ en ¡cocral co rcgionesRr,9t¡, ...que s€ande es€tipo, Entoncesla integ¡aldoble sobre{ sc ercuenEa tomando la suma dc las inlegralesdobles sob¡e 9tt, 1", ..,.

NTBCNAI¡S

TUPI.ES

Los resultadosante¡ior€s se generalizanfácilmentc a region$ c€r¡adasen t¡€s dime¡siones. Por cjli¡¡plo, considéres€urla función F(x, y, zl deñ'¡id,aen una región cer¡ada tridimcnsional {. Subdide volume¡ AV¡, k : 1,2, . .., ¡, sca (6¡,4¡, (¡) u¡ punto cual. viliendo la ¡egión en r subregiones quiera en cada subrsgión. Si se fo¡ma cntonces

.rm

*>

f'(t&,r", ¿*)AY.

(0)

dondecl número t' de suMivisiories tiende a infinito, de modo que la máxima dimcnsión linsal de cada obregión ticnda a cero, est€ límite, si existe, s€ denota por

))) q

r@,s,zld.v

(r)

y *llama integal triple de F(.r, y, z) sobre{ , El llmitc cxistesi 'F(¡, /, z) Gncotrtinua (o casico¡tinua) ent . Si se construyeuna red con planos paralclos a los planos x¡ , yz, xz, la rcgjór¡ f qucda subdividida cn subregionesquc so! ahora paralelepípedosrectángulos.En i¿l caso sc puedecxprcsar la intcgral triple sobre R dada por (7) como htegrul rcileroda de lL tofma

f" f""

= vf' If'"' { f""'" r6,y,"¡arlay]a, p¡ f'"''"' F1r,1¡,"¡aedad.z ¡ - .L"=r¡(" J [vr=t¡(r,r, .l

e t=.¿y=trrtrv.=lt(r,yt

(dcbiéndos€calcula¡ primero la i¡tegral intcrior) o como suma dc iDtegfalcss€mejantes.La integración pucde hacersetambién en cualquie¡ otro orden para obtener un resultado equivalente. Soo posibles también generalizacionesa un mayor nrlmero dc dimensiones,

TIANSF1ORMACIONES DE INIIGNALES

MULTIPLFS

Al c¿lcul¿r una integral mrtltipls sobreuna región 9(, escon frecuenciamás cómodo emplearcoordenadasdisüntas a las cartcsianas¡€ctangularts, como, por cjemplo, las coordeoadascurvillneas considcradase¡ los Capítulos6 y 7.

lcAP.e

INTEGRALES MULTIPLES

182

curvilíneasde puntosde un plafio habrá unasecüacioresde tB¡¡sfolnaSi (rr,,) soncoordenadas u) del ció¡ x : f(u, u), y = gfu, t)l que translbrmanlos puntos (x, y) del plano x/ en los puntos (¡.¿, plano ,0. Entoncesla regiónt del plano,ry se ransforma en la región9('del plano ¡¡0.Setiene asi:

= !J'ea,olffila"a, r¡a,y¡arau lJ rt

donde

(e)

G(u,ol = Flf (u,o'),s(u,1')\ Y

dr 3a du d!

a\a'a! =

(¡0)

au du

A(u,1t)

¡11¿

tt7,

es el jacobianode x y / con ¡espectoa ¡¡ y u (Capitulo 6). curvilineas€f¡ tres dimeosioneshabrá unasecuacio¡es si z, u, ro son coordenadas Análogamente, de transformació¡x = f(u, D,u), y : g(u, a, wl, z = h(u,v, w) y se puedeescribir

= jÍ[ c@,',.\l##:#laua,a"o(111 lft 16,,,"¡a,a,o" donde

G(u,tt,wl = F(l(u,o,wl, g(u,1),to\,h(u,o,w\) Ae Au AU Au ¿E A1t

y

Ax Ao Ay Aa Az Aa

Ai Aro aU aw Az Aw

es el jacobianode x, y y z coo rcspectoa u, ú y w, Las fórmulas(9) y (,f.¡) correspondenal cambio de variablesen i¡¡t€gralesdoblesy triples. Se gen€ralizafácilment€a mayor oúmero de dimensio¡es.

Problemas r€$¡eltur INTEGRALES DOBLES f.

(¿) Dibujar la región{

del plano -t¡ limitadapo¡ y = x2, x:2,

(ól Da¡ una inrerprelaciónrrricou

!! Í. (c) Calcular la integral doble €n (ó).

\r'+

v = l.

u2ldrd.a.

t¿ región9t es la sombreadaen la Figure 9-2. (b) Como.x2+ /2 escl cuadradode la distanci¡dc un punto (r, /) al (0,0), sapuedccorNidcrarla integraldo-

b¡e como el momentod¿ inercía respecioal onge[ de la rcgión t (suponiendoqua la dcnsidad sca umr se puedeconsiderartamb¡énla in¡egral doble como la m¿r¿ d€ la rcgión 9t suponicndoque ls dcEdad vaíe con r'?+ ¡t.

cAP 9l

183

INTEGRALES MULTIPLES

Fis.g.l

Fi&g., (c) Méiodo li a

.¿

)

|

La integral doblc sc puade €xprcsar por la inleg¡¡l reilcrada ( ,-r I /* t,+v't¿v¿, = ^. tr'+v'tdvldz = , | ,= r 1f r v!= r

|

/ . z. C, -¡' r ¡ _, \ , ' + 3

_

r\. l)ar

-

.,¡tr'

"'y

+ {lü

ax

1,.,

1006 ---

a / (manteniendo x conslante)da, = I a, = ¡2 corresponde La integ¡acióncon rcspcclo. e üna sumá cncolummvefical(vé¡s€Fig.9-2).LaintcS¡"¿ciónqucsigueconr.spcctoa¡de¡-I¿r:2,coúca. ponde a la adición de todas csas column¡s verticalcs cntre x = I y ¡ - 2. Mérodo 2: I¿ integral doblc se pucde también cxpr€ssr por le intcS¡al rcitcrada

f.,f-,r'**n"*

= Í,-,* * *1:,.=-, = f,-,{f..",td+t,d'}dv =

((1*r¡-*-,-)au J,.,\3

-

3

-

/'

= ro o o 106

E¡l cstecaso la coluhna vclic¡l dc la rcSión 9t en la Fig. 9-2 secambia por una faja horizont¿l como en lá Fig.9-3. Ento¡c€sla intaS¡ecióri con rcspectoá ¡ (manteniendo / const¡nte)dc ¡ =\15 a x - 2ar¡csporidca la surra en cstasfajas horizoútalcs La iÍtegración quc viene en scguidacon r€sFcto ¿ / dcsdc enttay=1y y=4. a la adiciónde talesfajashorizontalcs ,= I hasta/- 4 co¡rcsponde ¿

Hallar cl volumen de la región comrln a los cilind¡os x2 ! y2 = az y x2 + z2 : a2, Volumcn büscedo : 8 vecesel volumen dc la región e¡ la Figura 9¡n

nffi

= tJ.-.J,-. = 8l

,{

zdvda

^'ñ=n | '/l=7

ava"

ln i e-t = 8J.." G'-")d' = ri

Ayuda p¡ra estableceresta itrteg¡al obscrvar que z d/ dr correspoodeal volumcn de una columna como la quc sÉ vc destac¡d¡ cn la ngura. Manteniendo ¡ constanlc c integrando con ¡€specto á / dcsde ), = 0 a y = $:7 .quitrle a sumar los volúmenesdc todas esascolumnas¡rara rrunirlos en una reb6nadaparalcla al plano /2, con lo quc sc ticnc así el volumcn dc csarebanada.Por último, integ¡andocon ¡espcctba ¡ dc ¡ : 0 a ¡ : ¿ se hacr l¡ adición dc los voh¡mcnesde todas las rcbanadassomejantasde la región, con lo que s€ ti€ne así el volumer¡ buscado.

t82

[cAP. 9

INTECRALES MULTIPLES

Si (a, u) rcn coordenadascurvillne{s dc pu¡tos de un plano hab¡á unrs ccuaciooesde transformaei6a ¡ = f(u, ol, y = g(u, ol quc transforman los puntos (x, y) dcl plano ¡/ cn los pultos (¡¿,u) del plano ,u. Entoncesla región<( del plano¡/ se transformaen la rcgión fl'dcl plano ¡u. Setiene asf: ff

F(r,Y\dxdY = )) a donde G(u,a) = Flf@,a),s(u,!')\ Y

a@,vl _ ñÁ-

tl ew,,tlff!,nla"a,

(e)

du Ai l uÑ

au ev &u ¿n

es el jacobiano de x y.y con rcspocto a n y u (Capítulo 6). Aoálogamerrle,si u, u, o son coo¡dcnadascurvilineas en t¡es dimensioneshab¡á unas ecuaciones de tfansformación¡: f(u, o, wl, y = g(u,u,wl, z = h(u, a, wl y se puede escribir

= $! c@,u,w\lWffilaua,a", (111 rp,,,"¡a,a'u" [!f ta , donde G(u,a,ul = Flf(u,o,u:),g(u,u,wJ,h(u,o,w)j y A, di atÑ dw

a@'v,z)

@nñ --

0r

?vaa AL Ao dp ¿z Az Az A1t to Aut

es cl jacobianode x, y y z con r€sp€ctoa u, D y u. Las fó¡mulas(9) y (,1,¡)co¡responden al cambio de va¡iablcsen integralcsdoblesy triples. Se generaliz¿fácilmentc a mayor nrlmero de dimensiones.

hoblem¡s reselúos INTBCNAI.DS IX)ADS l,

(¿) Dibujar la región gt dcl plano .ry limitada po¡ y = x2, x = 2, y = l, (á) Dar una inrerpretaciónflsica a

JJ a (c) Calcu¡arla integral doble €n (ó).

@2+ y2\d, du.

l¿) Lá rcgión t es la somb¡c¡d¡ cn la Figura 9-2. {ó) Como ¡2 + f escl cuadrsdodc la dist¿nciadc un punto (¡,,) .l (0, O),sc pucdcconsidcr¿¡la iDle8r¡t dc lJL cof'¡o d monaúo ale¿ra¡a¡ar!3pccto al origer de la agión { (suponiandoqüGla dc¡sidad sca uoo} Sc pücdc corsidcrar t¿mb¡énl¡ i¡ragaal doble como la ,¡¿¡¿ dc l¡ rcgióo a q¡po¡lic¡do quc l¡ dc8; dad varle con .r¡ + ¡¡.

cAP. 9l

Fi8.9.l

f¡8.9-,

(.)

183

INTEGRALES MULTIPLES

Méüdo t:

La intcgral doble se pucde expresar por la integral .eiterada

/ . . i' 1\. 1006 = ffi = J.=,(" +T-,' - i)d¡ '' constarite) dc / = I ay = xr La int€gracióncon respcctoa/ (manteniendo.x a una suma "oar"a*nda encolumnavefical(veascFiB.9-2).Laintegraciónqüesigueconrc'sfrcctoa¡dc¡-la¡=2,co¡¡esponde a la adiciónde todasesascolumnasverticalesentre ¡: I y r = 2. Mffodo 2: La inrcgral dobL se püede también exprcsar por la integral reitcrada

= = f,=,+* *'1i,.-,ou Í-,t=,o'*no"* t_,{f.,",{",+vta,}av = f (p+zo'-{-,",\¿u '/ ' 3 J,.,\3

= !!!s. 106

Eo estecaso la columra vertic¡l de la región t en la Fig. 9-2 sec¡mbia por u¡la faja horizor¡tal como en la Fig. 9-3. Entonccsla integ¡ación con respectoa x (mant€niendo/ constantc)de ¡ = ufi a x - 2 cor.espondea la su¡ná€n estasfajas horizontales.La integ¡aciónquc ücn€ e¡¡ seSuidacon respectoa / dcsd€ .y=!ha sta ,y:4 co r r es pondealaadic ióndet eles f aj a s h o r i z o n t a l c s e n t r e / =l y ) , =4 . 2.

Halla¡ ef volumcn de la región comrifi a los cilind¡os ¡2 * yt : a' y x2 + z2 = a2, Voluñen buscado = 8 vec€sel volumende la regióncn la Figura9' /'

^'/;t= .dada = ,J.=,J,-" ¡ ^6=V .'/F:7av¿, = ,J._"J,_"

= ef t"'-"'ra"= $ " Ayuda pam cstableccresta integral observar que z d¡ dr correspondeal volu¡ne¡ de una columná coDo la ques eved €stacad ae nlañgur a. M ant eniendo¡ c ons t a n t e e i n t e g r a n d o c o n r e s p e c t o a / d e s d e / =0 a y eqúvale a sumar los volúmenesd€ todas esascolumoaspara rcunirlos en uoa rebanad¿paralela - uE al plano ),2, -7con lo que sr ticne asi el volumen dc esaretrar¡ada.Por último, ir¡tegra¡do con rcspectba ¡ de x = 0 a ¡ = a se hace Ia adición de los volúmcnesde todas las rebanadass€mejant€sde la región, con lo que se tie¡e asi cl vo¡umen buscado.

184

[cAP. e

INTEGRALES MULTIPLES

3. Hallar el volumen de la región limitada por z = t + l J , 2 = 6 , a = O , U = 0, 2= 0 volum€nbuscado= volumcnde la rcgióndela FiSu¡a9-5

=

l.-,Í," ' " -o + a ld y d ,

= f,-,tu-,tr-+dl:=,* = eo = J' .+te 'l'a,

nt 9.5

En cstc c¿so, cl volumd¡ dc ur¡a colüo¡a tlÉc¡ oortro ld qüc !c dcatac¡ cr l¡ igura corrspoodc a {6 (¡ - /)) d) d¡. Los ltni¡.s de inteSrsció¡ sc obticncí ürto¡ccs intcg¡aÍdo sobrc 18¡cgión t dc ls ñgura. Coo ¡ c o¡ s t a¡ Ec int c gm ndoc on¡ e s p e c t o a / d c y =0 a ¡ =ó - r l q u a r a o b t i e D c n d e z - 6 y z =x +) ) s e s u ñ a t r todasl¿! co¡umn¿sdc uoa rÉb¡¡ada par¡Lla al plaoo /r. Por último, iúÉgra¡do co¡ rrspactoa ¡ dr ¡ = 0ax = 6 sc haca I¡ adición dc los vollimcncs dc las reban¡da¡ y ¡sí ¡rs¡lt¡ al volumc¡ burc¡do.

TNANSÚ'ONMACION

DE INTEGNALES

DOBLES

4. Justifica¡ la ecuación (9), pagtoa lE2, para cl cambio de variables cn una integral doble. Eú coorder¡das c¿rtcsiatras, la i¡tcgr¿l dobla dc ¡(¡,r) rob¡c la rcgión { (sombr.sd¿ cn la Fig, 9l) 6 | | Flr,y'tdtd!. Sc pu€dcc¡lcular taúbién .sta i¡tcg¿l JJ a doblc considcraDdouna rcd form¡da por u¡a f¡milia dc curvas coo¡dcn¡das curvilíncas r y u oonstruidassobtt l¡ región lt como s€ vc cn la figura. Sc¡ P un pu¡to da coorder¡adas(¡, r) o (¡¡,,), sicodo x = lf u, Dly / = g( ¡ ¡ , r ) . Er ¡ t o n c rcsl v c c t o ¡ r d c O ¡ P 6 t - xl + )i - f@, o[ + S(r, o)¡. l,o3 vectorcs tr!8.otes ¡ fas cufv¡s coordcr¡¿das¡¡ cl y D : cr, @n cr y c2 constant€¡,son ,r/ro y Ar/¿r resp€ctiv¡¡nar¡te.Luegocl árca de la r.giór Aft cn la Fig. 9-6 üc¡c dada ¿proximada-

,'*t no,lfi xj|la"a". Pcro

rJ ¿r-dr

_

k

aE Ay 0 0u ¿t

!r 9 ¿ o asiqua

lár ¿rl x al' ¡tlau la;

d, Ai¿

árl ñ1.

ñ

¿; l

dvl

W,"

I =

-{94louou

La i¡tlgral doblc cs cl ümitc dc la suea

r,)}lffilau atr >r{/{t,t),c{2, tomada sobrc toda la ¡agión R. Este ¡lñite ¡esulta sar

lf !r,*,r'o,*.rrl##1.. sieDdot' la regióndel plano ¡D en l¡ cual !e trar¡doma lo rcgión 9t por la tmnsfofm.ción ¡ = /(¡ , t)1,y : g(u, ol Ot¡o método párajustificar el cambio dc variablcsaoterior escl quc utiliza lss intcSral€sqrrvillnc¡s y el t orcm¿ dc Grccn e¡ cl pl.no (v€¿seCapitulo 10, Problcma 32).

CAP.9]

L

INTEGRALES MULTIPLES

Si a = *-1t2

y

185

v=2t!1, hallaré\r,al/a(u,o) en términosde r y r.

a(u,,,)= lu.", l- = lz r -z y l = - 4(¡r+v') ",.. áct) - I ,. lz, z" | "; | D€ fa ide¡tid¿d

(ú'+ un)" = (r¿- at)' + (2ry)! seriene (¡¡ + yr)' =

u!.r- 1,'

y

f;r + a'

=

lnlT

Enlonccs.por el P¡oblema45. Capítulo6.

Oúo némdo: DesÉjcnse¡ y, en funciónde¡t y Ú en las ccuacioocs dadasy avcrigiies€ dir€ctámen&al jacobiano, Hallarel momento frolar de inercia de Ia región del plano ,rJ,limitada por.t2 - f2 = I,xt xy = 2, xy : 4 suponiendo la densidad unitaria.

- y2 = 9,

Fig.9-7 plano .r/ lsoñbreada cn la Fig. 9-7(a)] se Por la transformación ,' - y' - ,,2¡l - r, ta rce¡ón 9t del t.ansforma en la región t' del plano ¡¡¡r [sombreadacn ta Fig. 9-7(r)]. Lücgo,

Momcnro dcinercia Dolar ' =

f ( u,*na,¿,

J./

=

tt' t";":"-

'" . ll ,,., vrru

dttdl¿

-: 4{ ¡ ' *

,f.f a'* tllffila"n, =

l'

1 fr

f'

-r a '¿ d , 4 J " =, JI, _ ,

=

E

utilizando los resultadosdal Problema 5. Nótesaq¡¡e los llmiter de int€g¡¡ción pare la regiór tt' se pücdcnconstruir dircctamcntca patir de la acgión R del plano ¡y sin construir efcctivamentela región t'. En es€csso sa d¡p¡es utla r€d como en cl Prob¡ema 4. l¿s coordcnad¿s(¡¡,o) son coordenadascurvilincas,que en estecasoson las llamadascoodeudos h¡peúó-

ff

7. Calcular

JJ

-

\/a|+azdnda,

siendo 9( la región dcl plano ry limitada por x2 + y2 = 4 y

t

x2 + y t = 9. Laprcsenciade.r'l+/¡sugicreelemplaodecoordenedaspo¡ares(p.O,,"onr=pcosó,/-ps€nO(Problcma38,C¿pltulo €nIarcgiónR' [Fig.9-8(ó)]. 6).Po¡cstatransformsción laregión ft [Fig.9-8(a)] s€trensforma

l8ó

[cAP. 9

INTECRALES MULTTPLES

(c)

(ü)

FL.9-8

pu".roque#41 = ,, sr sigucque o \o ,ct

lJ,/;wo"o, = $t"*lWfilaoa = lf o.oanao

= "r;="$1." = f="ii"= Y = f"="!).r"",

Tambien sepucdencscribir cn scguidalos limites de intcgración para 3'obseriando la rcgión 9t, puespa¡¿ Intcgra¡doeñtooces coD Oñjo,p'ta'ti^dep-2ap=3dcntrodclscctordibujadocontrazoscolaFig.9-8(¿). ¡€sp€ctoa Ó desdeó = 0 ¡ Ó 2r¡ s€ ticnen todos los s¿ctoressumados.GeométricaDentep dpdÓ reqe*nt^ el árca ¿,{ como se ve en la Figura 9-8(a).

8. Halla¡ el á¡ea dc la región del plano xy encerrada por la lemniscata p2 = a2 cos 2ó.

""""

La curva está diÍcctamente dada cn coordcnadas polares(p, 0). Dando dilercntcs v¡lorcs a ó y hallando los correspondientosvalo¡esdc p sa obticne al grofo dc Ia Fig. 9-9. El á¡ea busc¡da (haciendouso de la simetrial es

¿l

^"^

^,Jan'ú

I

J6- o.r o- o

pdpdo = =

..$or\6

¿l^r4 *l ¿ o- o.l o¿ ¡

-..-,=",/ñ4

do

a' coszú do z I JO-o

=

tht

d'sen zcl

=

a'

lo- t

INTEGNAI,ES TRIPLES 9. (c) Dibujar la región tridim€Nional R limitada po¡ x + y + z = a (a > 0 1 , ¡ = 0, l ,= 0, ?= 0. (ó) Dar una interpretaciónfisica d€ f?f

J)J

@"+ u"+ 2'')dr dad.

t

(c) Calcula¡la intcgral triple en (ó). (¿) tá rcgiónt (ó) Como ¡: + I

cs |a dc la Fig. 9-10.

Fi&$10

+ I escl ci¡¡dr¡do dc la dista¡ci. dc un punto qralquicra (¡, J¡,z) al (O O 0), sc pucdc e

(¡P. el

187

TNTECRALES MULTIPLES

sid€ra. fa integ¡al triplc como el moñento ¿? in¿¡¿idcon respectoal ori8en de la región t (suponiendola de¡sidadunitaria). Tambiénpuedeconsiderars€ la inlegraltriple como la m¿rr de la rcgión si la densidadvaÍla como x1 +f + 2 2. (c) La i¡tegral triple se puede exp¡esarpor la integral reiterada

. lt + z',dzdsdx

Í."1,.=,' Í..,-'

"

= f-,J,_"'** o,"* ll".'"'ooo" f-"f:="'1"r"-,-,,a + @-r,u'-v'*@-;d\aoo,

-t -"-t;;^'1,='"* f -"*r-ru-f;- ¡t" -au" = Í"'{n"-"r'-,'(a:'\' 1(o:¡f - '#*9#}", a, ¡' , (c- ¡).l , . _ _ = n - J¡""l[,'t"-, ' a l" L ain teg ¡aciónc onr es pec t oaz ( dejaúdo¡ y / co n s t a r t c s ) d e z =0 a z =a - x - l c o r r e s p o n d € ¡ la sum¡ de ¡os rúotr¡entospolar€ode iDe¡cia(o masas)de cada cübo de um column¡ v€rtical. La integ¡aciónsiguienterespectoa/der,=Oay:a-a(riar¡teDicndoahom¡consla¡telcor¡Ésponde¿laadición de todas las column¿svcrticslesconte¡idas er¡ u¡¡ rebenadaparalcl¡ al plano lz. Por último, la integmciónconrespcctoa¡de¡-0a¡-aesl¿adicióndetod¡sla!rebanadaspa¡alelasalplanolz. Si bien la integració¡ anterior s€ ha r€álizado €o cl ordetr z,r, ¡ es posib¡a evide cmeüe cualqüic¡ ouo orden y el resultado final seúa el Disrho.

10, Hallar (a) €l volumetr y (r) el centro de masa de ta región t limitada por el cilindro parabólico z:4 - ly los planos¡= 0 ,/= 0 ,y = 6 ,2 = 0 s u p o n i e n d o l adensi dadconstanteei gual ao. La r€gióDqR s€ ve en la Fig. 9-ll. (d)

volum€n buscado =

lll) - ) - ) -

J J J -' " ' *

=1.,¡"'="J.-""*,"* =l l =

= (ó)

(4 - *') da dE

d,

= f"_, rzr-er')ax sz

Masatolal

-

tr'-z\ul

|

=

/n

,t

I I r,=oJ

^t-¡¡

I

o d¿dy tlx =

32d por ¡a parte(¿),puestoqr¡cr cs const.üte.Lucgo

r=o J.-6

Momento totál rcspeclo al plano t'; Mase total

""0'0,o.- 2 4 o _ 3 J.=,J",,J... Mase totqt

92o

I

[cAP. 9

INTEGRALES MULTIPLES

188

/ =

-

"

=

Momeoto total respecloal plano rz ---M"." tolul

Momento total respecto al Plano x),

M"r"].rl

96o

t' .t

). ^

ozazauax

Masa tolal

_

256dtÉ 32o

I 6

Lascoordenadas del centrode masason.pues,1314,3,8/5). p.evistopor la simetria. obúrvesequeel valordei podrlahaberse

TRANSFORMACION DE INTEGRALES TRIPLES ll.

Justiñcarl¿ ecuación(.¡?),página 182,para el cambio de variablesen un¿ integral triple.

Fis.9.12 Por analogiacoo el Problema4, se construyeuna red de süperficiescoordenadascurvilíneasque subdivi(k la regiónt en subregiones, de las cualesuna tipica es la df( en la Figura 9-12. El vector r del origen O al punto P es ,' = ,:i + ai + zk = f\¡',r, u))i + s(11,1.), ll,)j -t- ¡(ü, ?, r,)k li las ecuaciones de transformaciónson x u,ür),y: g(u, D,ü) y z = hlu,a,ú). Vectorestangentesa las curvascoordenadas ^¡¡,intersecciónde cada dos sup€rfrciescoordenadasse obtienet con Atldu, A¡IAL,,¿rldw. Lüego el volumen de la región dt de la Fig. 9-12 viene dado aproximadamentepor

l#'#' *ql--^* = la,t44la" ^,t* La integral triple de Flx. y, z) sobre la región es el límite de la suma

> r(/(,,,¡,,¡¿),sr,.,¡,,¡¿),J¡(/.¡,.¡f)i |:.r/,,v''l Ir, r? r.,, n't l d(¿r,

I

Este límite resulta ser

*nlffiSla"a,a* a",,,"o,na,,, ![ l, ua,,,.t, dondeR' esla regióndel espacioruu en quesetransformala rcgiónR mediantela transfo¡mación dada. Otro r,étodo parajustifrcarel cambiode variablesanterioren las integ¡alestriples.apelaal teoremad. Stokes(véaseProblema84, Capitulo l0).

c¡P. 9l

l¿

INTEGRALES MULTIPLES a f'a

Expresar ))) t

189

F$,U,2\drd¡rdz en coordenadas (a) cilindricasy (ó) esféricas.

(a) Las ecuaciones de transformación en cilindricas son x:p cos ó. y: p seí Q,z-2. Como en el Problema39, Capitulo6. AQ,y, z)/dlp,ó. zJ : p. Enronces, por el probleman, la intc_ gral triple se conüertc en la J.)J

Gtr.ó,zt e dp,trdz

d on de 9t'e sia r egióndeles pac iop, ó, z c or r es p o n d i e n t e a t a R y d o n d e G ( p , ó , 4 =F ( p c o seó,.zp)e. de transformació¡en coordenadas esféricas son¡ : ¡ send cosó, / : r sen0 sen{, z : {ó) Las ecuaciones r cos d, Pof ef Problema103,Capítülo6, AG,y, z)/o(i,0,01 = r2 s€n0. Luego,por el p¡obleña ll, la inregral triple se vuelve

J.fI

a¿,do¿e n,,.'.,, rlse^

donde 9t' es la región del espacio¡, 0, ó correspondientea la 9t y dond€ ¡/(f, d, ó) = F(¡ sen B cos ó, ¡ sen 0 sen ó, ¡ cos d). 13. Hallar el volumen de la región encima del plano x), limitada por el paraboloide z: el ciliridro x2 + y2 : a2.

x2 + y2 y

El volumense halla de la mar¡eramás sencil¡aen coordenadas cilindricas,en las que lasecuaciones del paraboloidey del cilindro son, resp€ctivamente, z: p2 y p = ¿. De modo que Volumen pedido = 4 vecesvolumen indicadoen la Fig. 9-13.

-

4l

|

-

4l

I

|

o a " a ra 6

p "d o ,ro

Fis.9-lg lai¡te$ació[conrespectoar(manteniendopyóconstantes)dez=0az=p2correspr¡ndealasumación de los prismas¿t/ cn una columnavenicalqueva del planot, hastael paraboloide. La integ¡aciónqueüenee osr:gu ida co nr c s p€c t op( m ant eniendoóc ons t a n t e ) d e p : 0 a p : a " o . r " . *n d " " l a a d i c i ó n d e l o s v o lúmenesde todaslas columnasde la c¡rñas€ñalada en Ia figura.Por tilfño, Ia integracióncon respccto ¿ ó co[esponde a Ia adición de los vohimenesde todas esascuñas. La integración también se puede realiz¿r en otro orden para llega¡ al mismo resultado. Tambiensepuedeestablecerla integral determinandola región 9t' en el espaciop, d, z en que setransforma t por la transformación a coordenadascilindricas.

14. (¿) Hallar el momento de inefcia con respecto al eje z de la región del Problema 13, suponieodo que la densidad es la constante o. (ó) Hallar el ¡adio de giro. (¿) El momento de inercia respectodel eje z es

,.

=

.oiLzctcdó ' J:.'"f,."Í.f oo,.

=+ = *l:.',t],=!, = *1,_"!,-",'+r,

[cAP. e

INTEGRALESMULTIPLES

188

at plano¡z Momenrororafresp€cro t- = ......_.. f"f"," a,¡

-

Momento total respecto al Plano -rl Masa total

*o'o'u. ),.".1",),., M"* t.l"l |

|

]

--

96d s% -

-

266016 _ 8 32o

ozdzrtyttt

Mav" tolal

Lascoordenadas del centrodc masaso¡, pues,(314.3,815). previstopo¡ la simetrl¿. queel valordei pod¡iahaberse Obs€rvese

TNANSF1ORMACION DE INTEGMLES l¡.

TRIPLF.S

Justiñc¡¡ la ecüació¡ (,11),página 182, para el cambio de variables en una integral triple.

¡i8.9.12 Por analogiacon el Prob¡cma4, sc construyeuna red dc supcrficiescoo¡denadascurvilíneasquc suMivi& la rcgión 9t en subrcgiones,dc las cuales una tipica es la en la Figu¡a 9-12. El vcctor ¡ del orige¡ O al punto P es ^R = ri+yi+zk = llu,1',u\i + s(11,1,,r,)¡ -f i(¡¡,l,,n)k " !i hs ccuaciones de transformaciónson ¡ = /1r, r, v=glu,ü,w)y z: hlu,t),w). 'r), VactorEstange¡¡lesa la! cufvas coorderadasinters€cción de cada dos superficiescoordenadasse obtieÉ con A.lAu, hftt, etlów, Ltego el volumen de la región de la F¡g. 9-12 viene dado ¿proxim¿d¿mentep.. ^R r¿! ¿r á!, ú) au Aru lg¡.v.4.1aü ' á, ^ árl " , . ' ^u l¿" t,rr,u, wtl L¿ integral triple de F(¡, ),, z) sobrc l¡ r€gióD es el ¡ímite dc l. suma > Fltht,v,l.ct,e(¡r,r,,r,), i(r, u,nJI l3',?'4 lsr, .ror', ü! | t(,{¡r,1r, Estc limite r€sulta ser ?? ?

¡{!,",, r)}l¿H+*ri¡¿.r,,.r," ¡¿]. JI J n n,,,.*t,,(,¡,,,, |
dondct' esIa regióndel esp¡cioaD¡1 en ques€transformala regió¡ ft medianteIa transformación dada. Otro métodoparajustificarel cañbio de variablesantcriorcn las inteSrales triples.apelaal teoren¡¡ü Stokca(véaseProblema84, Capltulo lO).

crt

9l

lL

Expresar )J) .¡.

189

INTECRALES MULTIPLES ???

(d) cilíndric¿s y (á) esféricas. f@,U,zldtdydz en coorde¡¡adas

(a) [ás ecuaciones de transformaciónen cilindricasson r=p cos O. y= p sen 0, z-2. Como en cl Problema 39, Capitnlo 6, A$, r, zrlA@,Q. z) = p. Entonces,por cl Problema I I, la integral tripl€ se convi€rte en la )))

cto,o,zt o aoa+az

s bA y dondeClp,O,z) = F\p ccJs dondct'cs l¡ rcgióndel €spaciop,0, z c¡rrespondicnte 0, psr'nO,zl. (á) l,as ecuaciones e.ftcoordenadas esféricas soo x - tsen0cosó,r: r sen0 senf, z = de transformación ¡ cos 0. Por el Problema103,Capítulo6, ¿(.x,/, zl/Alr,0, Q) - I sen0. Luego,por el Problcrha11,la integral tnpl€ s€ vuelve ( f ( uo' t , * , J.' J

r*rth

Í.

'tr

d e ¿ 't

dondet' cs la rcgióndel espacior, 0, O correspondientc a Ia tt y dondeHlr,o, Q) = f(¡' send cos 0, r sen 0 sen d, r cos 0). tI

Hallar el volumen de la región encima del plano x¡ limitada por el paraboloide z = f el cili¡dro x2 + yz = a2.

+ y" y

E¡ volu¡¡ren s€ hál¡a de la manera más sencill¿ en coordcnladascilinddcqs, cn las que las ecuacionesdcl paraboloide y del citi¡dro son, r€spectivamcnte,z = p2 y p : a. De modo que Volum€n pedido - 4 vccesvolumen indicado en la Fig. 9-13,

= 4l

I

l'ea'aeao

r f"""f

"e"oao nf " ''11a r = Fi8.9.13 I¡i¡tcg¡¡ciónconrespccto¡z(mantct¡i€ndopyóconstantes)dez=0az-p2concspondcalasuma_ ció¡ dc los prismasdtl en una columna verücal que va del plano ry hastsel paraboloide.L¡ integraciónque üc¡a en seguidacon respectop (ña enicndo Ó constante)de p = 0 a p = a correspo¡¡de¡ la ¿dición de los vo_ lúmeoesde todas las columuasde la cuña scñal¡da eo la figura. Por último, la intsgfació¡ c,onrespccto€ Ó corresponde a la ¡dición dc los volúmen€sd€ todas es¡s cuñas. l,a integr¿ción tar¡biéú sc puedc re¿liza¡ eri otro orden p¿¡a llegar al ftr¡mo resultado. También sepued€establecerla integ¡al determina¡do Ia región ft' en cl espsciop, d, z en que s€transformo 9t por la transformación a coordenadascilindricas. K

(¿) Hallar el momento de inercia con respecto al €je z de la región del P¡oblema 13, suponiendo que la densidad es la aonstante o. (ó) Hallar el radio de giro. (¿) El momento de inercia respecto d€l cje r €s

,. =

^!:_""f"=.1.*nt.oo,I"dcd$

= *l:.',*l!,= + = *!:."!:=,r,,,,

INTEGRALESMULTIPLES

190

[CAP.9

Estc ¡€sultado se puedcc¡prcs¡rr por la masa M d€ la regió4 pucs por el Problerria 13,

/u-vofumenxdensidad = asioue L=+=4'#=?"* ic'" Obúrvese que al plantcsr la integral para /, rc pucdaconsidenr op dz dp d0 c¡,rnola masa dcl clcmento dc volumen, p2 . op dz dp dQ como el ñomento de inercia de esta masa con rcsp€cto al eje z y ) J J e' ' 'e dz dedó como el momentode inercia total con respectoal eje z. Los llmites de i¡lcSraciótr

n

se dct€rminan corno en el Problcma 13, (ó) El radio dc giro es e¡ valor K tal quc Mk-lM¿, cs dccir, Á¿ = 15ato K- aJZpEl significadofisico de K esel siguiente:si toda la masa¡t estuvieracónceútr¡deen una delgadacapa cilind¡ica de r¿dio (, el moñento de inercia de esta c¿paco¡ resp@toal ejc dcl cili¡dro s€rla t,.

15. (¿) Haltar el volumen de la rcgión cncerradapor la esferax2 + y2 + 22 = c2 y el cono 22 s€n2d = (r + },.)cos'a,siendoc una constarre tal qüe 0 = d 5 rr. (ó) A partir del resultado de (al hallar el volumcn de una esfe¡a de radio ¿. En coordcnadasesféricas,l¡ dcuaciónde la esfe¡aes r a y Iá del co¡o cr I : d, lo cual se puedc var - = directamentc o bienap¡icando lasecuaciones de transformáción -¡ ¡sendcosó,.y - ¡sen0senÓ,2: ¡cor0, Por ejemplo, z2 sent a = (r': + ,2) cos' d s€ corüerta, coÍ estas ecuacioncs,€n I coszd scn2c - (l senl 0 cos'! { + I scn2d s€n¡ O) cos2d ¡: cos20 sen2a = ¡¡ sc¡2 d cos2a

esdecir,

dedondetg0= +t8dyesi0=

ao0=t-

d. Bastaconconsiderar Dnade cst¡s,co¡no0:

a, por ejcmplo.

(a) Volumen buscsdo = 4 vacesel volumen indicado en la Fic. 9-14.

=

^I:_',t=,[,

4l

I

r*¡c ¿rrtodo

;sen rl

d, dc

tJ,="J,.se¡ c ¿lo¿6 = {[""-*"1" ao l r =t - .' ó= o = Tit---"4 Laint egr ac iónc o n r e s p c c t o a ¡ ( c o n 0 y {c o n s t a n t e s ) d e r : 0 a r =d c o E e s P o n d € ¿ l a s um a ci ó n d a los volúmenes(delos el€ñentos/l/ indicados)en una columna que va dc ¡ = 0 t í = a. La integraciónqtr sigucconrespectoa0(conóconstante)de0=0a0=r/4correspondcalasumacióndelosvohlmen6 de todas l¿s columnasen la región de forma de cuña. Por {¡ltimo, la intcg¡ación con respectoa ó corrcs. pondea la adiciónde los volúmenesd€ todas las cuñ¡s. {r) Haciendod = rr, el volumende la esferaobtenidoasi es 2ta'.-cosrr -¡-l t

=

4 . s-'a"

CAP,9]

INTECRALES MULTIPLES

I9I

16. (a) Hallar el centro de masa de la región del Problema15. (ó) Con el ¡esultadode (a) hallar el centro de masa de una semicsfe¡a. (a) El c€ntrodc masa(t, i, Z), debidoa la .ifn.rría. ..uí dado por ; ¡ = 0 y al pl^noxy lll z o dV _ Momentototal respccto Masa total IIJo dv Como z

*

-

¡ cos 0 y r es constante, el Dumcrado¡ es

Í,=:"!,="Í.". *s, ",

.,' s€n,,rr,!o,t6 = * e cos c .rcdó Í,"..,1"" "i1,.:^ fnlz

=

"a' |

ao

|

s€nrcosdd¿d,

= "" .t6.r f".+f¿

dc - rsg::e!:-g

4 ts.o El dcnominador.quc seobtienemultiplicando por d el rcsultadodel problema15(¿),csJrúo¿!(l - cosd). -Luego

=

$oir + co""1.

(ó ) Con a = n /2,2= la.

PROBLEMASVAruOS

17.DemQsrra¡que at ¡,'{f,'ffi*}d,

=;, ,r f'{f' ffia,lo, = _}

@)f"'{f"'ffidu},. = Í"'{1"'++#t",¡,. r' (r' t o. \ -;;::i r)dl /l d, | I( r 'o| (/--:,/ ,.'''/ \t-

=

vo

) )

1\1,,_ _ f,/ _ , J" \tI=uI-rr - Y/1,.'"" r'¿, J"1"¡¡¡:

=

=

_r l' = 1 ;-t-il. á

(ó) sc deduccinmediaramentc permutendox y t cn la) conlo quc se oblicne f' { f' :+r,"orlo, = ,= z y luegomuhiplicando \"o t'rvr ambosmrembros por -1. ) _ Este ajeDplo mues[¡ que el cambio dc ordcn de integraciónpuedeno dar siemprc rrsultados iguales. Una condición sufcientc para qr¡e sc puedacambiar el oideo cs lue Ia inta$ai doblc sobre l..agi-On corespondient. exista.En rat *""

aa, donde Et es la rcgión O = x = t, O S / = I no

J^J ffia,

c¡iste dcbido a la disco¡rtinuidaddel iotcgrando cr¡ cl origcn. l¡ integral cs cn realidad una intega¡l doble impropia (vérsc Capltulo l2).

18. D€mostrarque Í""{Í,' sea r(r) =

r'(

=

,*ro"\0, ?'

J. {J,

)

!" @-u)F(u)du.

r,,rru¡d,, rt,) =

..

J"

(¡-,.)F(,{)d¡r.Enronces.

16¡= t'r¡aa*. t'1"¡= f, r..,¡o* Por la reglad€ L.ibnirz, página163.Así, pu€s,/'(¡) y (x) - {¡) - .¡,(.r) ento¡ccs - c, una constante,Como 40) = J(0) - 0, . - 0 y, por r.nto, ,(¡) = .¡(r).

192

lcAP. e

INTEGRALES MULÍPLES

I

El rcsulrado se sucle cacribir cn la foñra lt

/t

I ¡' (¡)d.' ' =

I

¿o

Jn

pu€de ge¡eralizar (Problema l)

o

I (¡-,' )F(x)drr

t

para obtcncr

I t

I I

t

koblem¡¡ propu€stos INTECRALES¡ TX)DI.ES L

ta

19. (a) Traz¡. ¡¡ región ft del plaoo r/ lin¡itsda por I = 2x y y : r. 16¡¡¡"¡"r .l áres d€ R. (.) Hallar el momento polar de incrcia de R suponiendo densidad d constante. So¿ (ó) l; (c),18ol35= 72M135,sic,¡tóoM la r¡¿sa de t. aL

Hallar cl cq|trc de masa de l¡ ¡egión dcl problema pr€cedeate.

21. Dada |^t

^9.-t

l"+úa"av.

|

t = I, i = I

Sot

(¿) Dibuj¡¡ l¡ rcgión y dar urla posibte int rp¡lt¡ció¡ lisic¡ de la irtegral dG

bh. lr) C¡mbar el ordcn de intcg¡ació¡. (.) C¡lcular la inrcg¡al doblc. ft

s o t. (ó )J .

/rt¿

,),_ " 1 " + u )d udr,

I I

(c)24r/60

= z¿.Mosusrque. !._,f,=.*"froro.. f ,.[=**"fi ava, 23. Hallar cf voluñen del tetracdro limitado p¡ Sol. abcl6

x/a + y/b + zlc:

I y los plsr¡or coo¡dcnados.

2i. Hall¡ ¡ c lv olum endc lar c g i ó r ¡ l i m i t s d a g o t z =f +¡ ? , 2 : 0 , x - - a , x =a , t =- a , ! : a . Sol, 8aal3 25. Halla. (¿)cl Eomento de ir¡.rci¡ nspccto dcl cjc z y (¿)cl ccDtrodc masad. l¡ flgió¡ d.l P¡oblcma24 süponicndo l¡ dcr¡sidad6 co¡rstanteSol. (al l¡aóo: #M¿, dondcrl= m¿¡a; (ó) i-i:0, r:it¡

DE INTECRALF,S

TMNSFONMAOON a?

DOBIJS

_

2ó Calcular | | Vr' -r ri'ar as, doDdcR esla región.t' + I < ¿'1. JJ r( Zt Si R cs ls regióndef Problcma e-,t,t,atau26. ar;úat lt t 2t. Apficandola transformación x + y - u, t = ¡¡o,mostr¡r quc

= !...,Í,:-:c-'" ""*

e-l

Sol. lat So/. ,(1- ¿-¡)

I

c^P. 9l

t93

INTECRALES MULTIPLES

t

= Hallarcl áre¿de la regió¡ limitadapor ,x, = 4, -¡r,= 8, ¡yr Sean¡] = ¡r,.|}! : 0.] - 5, xy3 15.lSugerencia: So ¿ 2 ln 3

I

Mostrar qlrc el volumen generadopor revolución dc la ¡egión del primer cu¡dranie limitada por las parábolas y'z- )r, f = Ex, x2 : y,.* = 8/ en torno sl ejex es 2191t/2. [sugerenciatS€an], = ¿.r. ¡, : ;/.]

3l. Hallar cl ¿readc la regióndel primcr cued€ntelimitadapot y = xt,y = 4¡3, ¡ = /!. ¡ = 4/t.

3¿ qo { la regiónlim¡udapo¡x+y= I, r=0, /:0. Seanx - y = u, x + y = Lf [Sugerencia:

Mostrarque

Sot ¡

a, =*"'

[f \¡-v,/ ',i -"(i-4)rr

|NTDGNALES TRIPI,ES S.

xyzclzctyctt {ó) Dar uria interprctación gcométricade la iniegral antcrior. 1a)Cacutar | | _ *| So¿ (a)* " "" '=' " '=",r+!r

34. Hallar (¿) el volumcn y (r) cl ce¡t¡o de m¡sa de la rcdón dcl prime¡ octaDrelimitada por ¡/¿ + ylb + zlc : |, donde ¿,ó,r son positivos. Sol, lal abc/6; (b) , = al4, i = bl4, z = c/4 :l5. Hallar (a) cl momcnto d. inercia y (¿) el radio de giro con rcsFcto ¡l cje z dc la región del Problüna 34.

sot. ta)Mta'+ b\/10, (ó) y'G'+ ó-tn¡ 36. H¡llar la masade la región coÍBpondientc ¡f xyz, Sol. 413 ^ 37

+ )¿ + r'¡ = 4, ¡ ¿ 0,), > 0, z= 0, si la densidades igual

Ha¡la¡ cl volumc¡ de I. r.gión limitada pr z=f

INA¡TS¡I)NMAC¡ON

+¡? y z=2x-

Sol. nl2

DE INTEGNALES TUPI,ES

3t.

Hallar el volumcn de la región limitada pot z = 4 - x2 - y2 y cl pla¡¡o ry.

t

Hsller el ccr¡tro dc ma¡a dc la r€gión dcl Problcrna 38 suponiendoconstantela dc¡¡sidadd. Sol. t=i-0,2 =*

,3.

(¿) calcufsr

))J rR

,/z'+u'+z'a,

So/. En

d/d', siendo lR la Ggión limitada por el plano ?=3

y cl cono

+ y'- (ó) Dar un¡ intcrprctación ñsica d€ la integral cr (¿). lsügcrcncia: Hágasel¡ integ¡ación en Jf " coordenadas cifíndricasen cl orden p. z. {.1 S'of. 21ft141r.- l)/2

al. Mostrarque ef volumcndc la rEgiónl¡mitad¿por cl cono z = JifTl¡

y.l paraboloide:=

x2+f

esr.i6.

42. Hali¿r el momento de i¡crcia de un cilind¡o circu¡ár recto de radio d y eltu¡^ b coí respcctoa su cja si ¡a dcr¡sidadcs p.opolcional ¡ su dist¿ncia al cje.

,Í3. (a)calcular llÍ n

@+##F,siendo

Sol. 1Ma2

porlasesfcras t' la rcsiórlimitada -* +)¡ + z'=a'v x2+v7

+ j - b2, dondc a > b > 0. lb) Dar una interprctación fisic¿ de la integ¡al antenor. Sol. @) aft.b (albt (¿)Ha ffa¡rlvo¡u m c ndelar c giónlim iladapor laes fe r a t - 2 a c o s 0 y e l c o n o d =d , d o n d c 0
t94

[cAP. e

INTEGRALES MULTIPLES

PROBLEMASVA}IOS 6.

Hallar la masade un cilindro circula. ¡ecto dc r¡dio ¿ y altura ó si la densidades proporcional a¡ c¡¡adrado de la distaricia a un punto d€ la circürferencia dc la basr. Sol. tnzh*|ga'z + 2i2), dondc /t = constant€dc proporcionalidad.

o.

Haflar(¿)clvotumeny(ó)elcenlrodcmasadetar€giónlimitadaarribaporlaesferax¡+y2+22-a1yaújo por ef plano z b a¡ a > ú > 0, suponiendoIa densidadcoNtante. sol. lal ! 2a3- 3a2b+ btl; (ó) i=t-0,2=?:la+ b)'lQq + bl

,18. Uria esfcaade radio a tiene un hu€cocilind¡ico de radio ¿ cüyo ejc coincide con uri diámctro de la csfcra. Mostrar que el vofumende la esfe¡aqr¡c ¡estaes t{at

- to' - O'¡"r'1-

6.

Una curva sirnplacerradade un p¡ano se haceSirar en tomo a un ejc del plano que no la corta. Demostrar que el volumengeneradocs igua¡ al área encerradapor la curva multiplicada por ls distarci¿ que recorre el ceritro de masa del A¡ea,(teorena de Pappud,

$.

Aplic¿refProbleria49 parahallarel volumcDgcncradopor revolucióndclcl¡culo¡2 + 0, - á)' - a1,b > a> O en tomo al ejc ¡. Sol- 2ú'o2b Hallar el volümcn dc la región limitada por Ios cilindros hipe¡hilicos )cy= l, x! = 9, xz = 4, xz 36, yz = 25. yz = 49. lSugcrencia: Sean .r] = rr, x: = t. !: = to.J Sol. (A

52. Calcufar.r.r., \,/1 - lrita' + u'tb'+ ,'/c') d,' dü dz, siendo9t lá regióninterioral e¡ipsoióei/a'

+ flb'

+

a z':/¿'1= 1. [Sugerencia: Sean -r = rr, | = bn, z = a¡o. Utilicens€ luego coorderadas esféric¡s.] Sol. lnlabc

53. Si t esfa región r'+ru+u'

que ff = 1, demosrrar

'c'

"-,",--,',a,au

= \t"-tl.

vü

ls ug€r enc ia: Sc ao¡ =l c o s c - r s e n c , / =¡ ¡ s e n d +D c o s d y e l ¡ a s e d d c m o d o q u e s e e l i m i n e e l té r m i n o €legidos.] en¡rencl integrándo. Tómcsclucgo¡¡ = ¿p cosó, 0 - óp sanó cosd y, convedentemente t'

Dc m or r arque t

?'

|

|

J^

F ( 'l ¿ x ^ =, ; j \+

L ';

|

¿o

{c - r ) . - 'F (

\ d ] ¿ p a r a ú , =l , z , A , . . ( v c r p r o b .1 8 ) .

Capítulo10 Integrales curvilíneas, integrales de superficie y teoremasintegrales INTEGRALES CURVILINEAS SeaC una curvadel planox¡r que unelos puntos A(ab btl y B(a2,b.) (Fig.l0-l ).SeanP(x,y) y Q(.t,¡) funcionesuniformesdeñnidasen todo punto de C. SubdividaseC en ¡ parteseligiendo(n - l) puntos d e l a m is ñadadosp o r \x ¡y t), (x z ,y z l ,..., (¡" -,, A.)úr= ,r¡ - xr-r y^/ft : yr - yr-b /"-r). Denótese k : I,2, .. ., /¡,siendo(¿r,ór) = go, y), (ar, br) = (¡", ),,) y tómense puntos((¡,4r)de C situados entre los (&,r,1¡ ,) y (¡*, /.). Fórmesela suma j

1116*,r*¡or* + O(€e, ?r)ag¡.)

(i)

Si existeel límit€ de estasumapara n + co de modo que todos los tiendan a cero, tal limite se llama integral curaílínea ^¡-¡, ^J,r a lo largo de C y se denota

dlt t"eP,v¡a, + Q(x,v)

Fis,l0.l

o

I

Pdr + Qdu

(2 )

en todo punto de C. El valor de la integral El límite existesi P y p son continuas(o casicontinuas) dependeen generalde P, Q, la cutva C y de los limites (ar, ár ) y (¿r, br). De maneracompletamente análogasepuededefinir una integralcurvilíneaa lo largode una curva C en el espaciotridimensionalcomo lt - $

¡¿ .¡¡ - ¡ =

f e ,a ,

+ Azdy.t

A sd.z

siendolr, 12 y 13 funcionesde x, y y z. Se puedendeñnir otros tipos de integralescurvilineasque dependande curvasparticulares,por ejemplo,si denotael arcode curvaCde la ligura'anterior entrelos puntos(-rr.ta) y (¡¡+r,.},¡*II entonces ^J¡

= !,up,y¡a, rimj u14*,0.¡as^

(4)

sellama integralcurvilineade U(x, y) a lo largo de la curva C. Son posiblesgeneralizaciones a tres o más dimensiones.

r95

I!'ó

INTECRALES CURV¡LINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALES

[CAP. IO

NOTACXON VECTORIAL DE LAS INTBCRAI,ES CUTVILINEAS expresaruna integralcurvilíneaen forma vcctorialbien para teneruna A meludo es conveniente ilustración fisica o geométrica,bien por brevedad en la notacióD. Por ejemplo, s€ puede expresa¡la i[tegral curvilinea(3) en la forma ff

+ A z tl y 4 A td.z =

).l ,a x

)c@ ti

=

+ A ,i + A rk)' (d¡i

+ dvi + dzk)

(4

). e , . a r

La i ntegralcurvi l ínca(2) es un casoespe cial c o n A= l ri + A;+ 4 h y th = d x l +.l yi + dzk. de ésta para z = 0. Si a cada punto (x, y, a) se asociauna fuerza F que actúa sobre un objeto (o sea,si se define un canpo de fuerzas), entorces

(6)

f r.a, ¡epresenta fisicamenteel trabajo total cfcctuadoal moverel objcto a lo lalgo de la curva C.

CAI.CTJI,o DE INTDGRAI,ES CURVIIINEAS Si la ecuaciónde una curva C del plano z = 0 vienedadacomo).,= ./(¡), la integralcurvilinea(2) se puedecalcular haciendo¡r = /(x), tly : f'(x) tlx er €l integrando pera obtener la integr¿l deñoida ordinaria

+ Qg'Í(4Jf'@\dt

Í,,',,''o'f""o'

(7)

que se calculacomo siernprc. Ariálogamentc, si c estádada como ¡ = g(r), entoncesdx = s'O)dy y la integralcurvilínease conviert€ eú la

(' Pls(lr),tti du s'Qrldlr 'r Qis(n't,a)

(8)

Si C estádada en forma paramétrica¡ : ó(t), y : ¡y'(r),la integral curvilínea esentoncesigual a la ¡1h

J,.

p{ó(ú),,r(¿)} p(¿) d¿ + e [ó(¿), ó,(f)d¿ ] 9,(r)

(r)

donde rr y ¡2 denotan los valores de ! que correspondena los puntos ,{ y I, resp€cüvameote. En los cálculosse puedenutiliza¡ combinaciones de los métodosanteriorcs, Métodos parecidoss€ usan para calcular integralescurvilíneasa lo l¿rgo de curvas alabeadas.

PROPIEDADES DE LAS INTDCRALES CT,JRVILINEAS Las integrales curvilíneas tienen propiedades análogas a las d€ las integrales ordinarias. Por ejemplo:

r. 2.

l"? /.

I .,rc

P(t,sldx + Q(x,v\du =

/.ro¡.h)

I

r ' r ¿' ,ür )

Pdr + Qd!

=

-l

| P(r,s'tdr t

.Jc

¿ ( .r ,br ,

I Q(t,u)dy

.tc

Pdx I Qda

De modo quc al invertir el c¿mino de integ¡ación se cambia cl signo de la integral cürvilinca.

c.AP. IO]

I N T E G R A L E SC URVIL INEAS, INT EGRAL ESDE SU P E R FIC IEY TE OR E MA S IN TE GR A LE S

't97

t t,.:.,':,' + edy = 1,,,",",,",,,' ,u, + edy+ f"'.'''",' ra, * oaa "* siendo (d3,ó3) olro punto de C. Propiedades parecidas se veriñcan para las integrales curvilíneas en ei espacio-

CURVAS SIMPLES

CERRADAS.

REGIONES

SIMPLE

Y MULTIPLEMENTE

CONEXAS

Curaa símple ce¡rada es una curva cerrada que no se corta a si misma en ningúo punto. Matemál¡camente. una curva del plano está defrnida por las ecuaciones par¿métricas x = ó(t), y : lllt), siendo { y ry' funciones uriiformes y continuas en un intervalo t,5 | = t2. Si d(lr): d(¿r) y últt): I'U2) la curva se dice cerrada.Si ó(¡) : d(¡) y {'lu) : ú(,r) solo si ¡ : u (menosen el caso especialen que ¿¡= tly 1): t2), la curva es cerraday no secorta a si misma,de modo que es una curva simple cerrada. Se supondrá también, si no se dice otra cosa, que S y ry' son casidiferenciablesen tt= t = t2. Si una región plana tiene la propiedad de que toda curva cerrada de la región se puede reducir a un punto sin salir de fa región, se dice que la regrón es s¡mplementeconexo, si no,9üe es múltiplemente cone)ia (véase página 102, Capitulo 6). Af variar el parámetrot de t I a t2,Ia curva plana queda descritaen un cierto sentidoo di¡ección. Para cuftas del pla¡o rl se escogecomo positit)a o hegatlü¿¡esta dirección, según que al recor¡erlas con la cabeza indicando la dirección z positiva la región encerrada por la curva quede a la izquierda o a la derecha respectivamenle.Para una curva simple cerrada del plano x.l,resto equivale a decir que ¡eco¡rer la curva en el sentido contrario a las ¿rgujasdel reloj es recorrerla en sentido positivo y recorrerla en sentido de las agüjas del reloj es recorrerla en sentido negativo.

TEOREMA

DE GREEN EN EL PLANO

Sean P, Q, API?1, ?Qlóx, uniformes y continuas en una región simplementc conexa e contorno es una curva simple cerrada C. Entonces,

f,ea,,"* = [Í( yr_#)^*

cuyo

(10)

utilizandocl sínrbolo$^ para señalarque C es cerraday que se describeen sentidopositivo. EI teoremaes tambiénciertopararegiones Ii itadaspor doso máscurvascerradas (o sea,regiones múlt¡plemente VéaseProblerna10. conexas).

CONDTCIONESPARA QUE UNA INTEGRAL CURVILINEA SEA INDEPENDIENTE DEL CAMINO T€ofemr l. y suficiente para qu" f ea, Una condiciónnecesaria que une dos puntosdadoscualesquiera en una región{

aP = ¿A

+ Qdy seaindependientc del caminoC es que en ft

!Q_ 0r

donde se supone quc eslas derivadasparcialcsson continuas cn {-

(11\

I98

TNTECRALES DE SUPERFICIE Y TEoREMASINTEGRALES[cAP. IO CURVILTNEAS, INTEGRALES

La coftdición (r.¡ ) es también la condición para que P dx + Q dy ea diferencial exacta,es deci¡, para queexistauna funciónd(¡, /) tal que P dx + Q dy = dd. En esecaso,si los puntosextremosdc la curva C son (¡r, /r) y ftr, yrl, el valor de la integralcurvilíneaestádado por /.trt,tt)

I

Pdr + Qd.y =

/.r,t,ur,

dO =

|

ó@,,u2l.- +(rt,ut\

Ge)

En particular,si (,1,1)se veriñcay C es cerradase tienc xr = xz, lt : lz !

= I

f"'n'*Qdv

('')

Para demostracionesy teoremas relacionados,véanseProblemas ll-13. Los rcsultadosdel Teorema I se puedengeneralizara integralescu¡vilíneas en el espacio.Asl se tiene el Teqrür

2.

U¡a condiciónnecesariay suficient€para W,

* Azd,g * Ardz seaindependiente f..lra" dcl camino C quc une dos puntoscualesquiera en uná región{ es que en 9( lAt ór'

aAl ólJ

6As At

AAt A z'

64z Az

lAs W

(14)

suponietrdoque cstasderivadasparcialesseaacontiDuaseo 9(. Estos teo¡emasse pueden erpresa¡ de mane¡a co¡cisa con vectores.Si A : ,{rl + A2l + 4t, la i¡tegraf curvillncase puedeescribir ,la coDdición(.t4) es €qüval€ntea la condición t"l.a, V x A = 0. Si A represe¡taun campo de fuerzasF que actr¡ansob¡eun objeto, el cnu¡ciado del teorema cquivalca dccir queel trabajohechoal moverel objetode un puoto a otro esiodependiente del camino que une los dos puntossi, y solo si, V x A = 0. Un campode fuerzasde estetipo sellama conseñ)oltw. La condición Qa\ lo la condición equivalente V x A = 0] es t¿mbié¡ la condición para que Atdx + A2dy l A3dz lo A.dr] sea diferencial exact¡r,es decir, de que exista una funciót ó(x, y, z\t^lqtre At dx + A2dy + A3dz : 4. En estecaso,si loscxt¡emosdela C\rve C son(rr, /r, zr) ! (xz,fz, z), el valor de la integral cuwilínea está dado por

f,.)").,' "."

=

Í:.":"":":'*

= 6(rz,vz,zz\ - {(a,,u,'z)

Si C es cerada y V x A = 0, se tiene

INTEGNAI.ES DE SUPERFICIE SeaS una superfciebiláte¡acuya proyecciónsobre€l plano ry es { como en la Fig. l0-2 adjunta.SuE5ngase que una ecuación de s seaz = Ik, yl, donde/ es uniforme y continua para todo x y y de Q. Dividiendo { en r subregionesde árba Mo, p :1 ,2 ,..., n y l e v a n ta n duona col umna sobrecada una de estassubregiones hasta que co¡te¡ a S donde deteminan un áre¿ AS' y si @(x,¡, z) esunifome y continuaeD todo punto de S.

¡t!l¡,

url

:T'

IO]

Y TEOREMAS INTEGRALES INTEGRALES CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE

I99

Fórmesela suma

X o(i,,,r,,(,)rs,

(17)

Si existe el límite de esta suma para t'¡ --t co de modo que cada sÉ'do (1e,4r. (r) un punto de ^Se. de supedicie de {(x' ¡' z) sobre S y se la designa Por que es la íategrul ese limite o,-se dicé -!5, -

v':tds JJ +(.r'

(f8)

: lsecyrl A,{, aproximadamente, siendo1, el ánguloque forma la normal a S cort el Como (17) puede escribir se ^S, la suma positivo z, el límite de ¡e

tfn. +@,a,"\lse"t1dzi

(re)

dondelsecTlestádada Por

'.(#).(#

1_ l n ,' k l

(20\

en Q, (.19)puedeesSuponiendoentoncesque z: .f(x, y\ tiene de¡ivadascootinuaso casicontinuas como forma cartesiana . e¡ --:rbi¡se

to,u,"t J! t

,.(#).(r;,,,,

Si la ecuaciónde S está dada en la forma F(x,y'z)=

(21)

0, (2.¡) se puedeescribirtambién

''.4Al,llFJ'- (F.F . .r )) +{''u'aL}:-::- ü--drd1r

@2\

a.

[¿s expresiones(21J o (22) se puedenutilizar para el cá¡culode (18). En lo que precedeseha supuestoque S es tal que toda paralelaal eje z corta,S en solo un punto' St, St, , En casode que S no seade estetipo se puede,por lo general,subdividirS e¡ superfrcies sobreS sedeñnecomo la sumade las integrales que son de esetipo. Entoncesla integralde superfrcie de superñcie sobreSr, Sr, .... Los resultadosenunciadosvalencuandoS seployectasobreuna región{ del plaoo rg'. En algunoscasoses mejor proyectarS sobreel planoyz o el xz. Paratalcscasos(18) sePuedecalcularmodificando en forma apropiada (21'l y (221.

TEOREMA DE LA DWERGENCIA Sea S una superficieccrrada que encierra una ¡egión de volumen ,/. Tómes€ como direcciónpo' JiriD¿la de la normal exte¡io¡a la sup€rfrciey sea¡ a, F, ? los ángulosque estanormal hacecon los si Ab A2 y ,43son continuasy tienenderivadasparcialesconejespositivosx, y y z, r€spectivamente. tinuas en la región, entooces .,

f- . .f/ . fr JJJ

l * * {.' \dx

dy

\

t+\dv d ",/

??

-

@' c o s rrA rc o s p + A , c o s 7 )d s )J s

(28t

que tambiénse puedeescribi¡

CC( /aA' , ¿4, , dÁ3\,,, -

JJJ \a r - u -E )"'

t!s

Asdrity e,aua" i Azd.zd.s.r

(24)

I98

IMTEGI.ALES CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFTCIE Y TEoREMASINTEGRALES[cAP. Io

La condicióo (11) es también la condición para qu¡ep dx + e dy sea diferctcial exacta,es decir. pa¡a que exista una función d(¡, /) tal qrreP dx + Q dy = dó. Eo esecaso, si los puntos cxt¡emosd€ Ia curva C son (¡r, /r) y Qr, y), el valor de la integralcurvilíneaestádado por

Í,.::.":'

,*

+ edy =

¡,.',',,,'"

=

[email protected],\- +(e,,u,\

En particular,si (1,1)se verificay C es ce¡¡adase tiene xr = xz, lt:

{12)

lz !

f", o' * Q¡tv= o

(rr)

Para demostracioncs y teo¡emasrelacionados, véanseproblemasll-13. Los resultadosdel reorema I se puedengeneralizara integralescurvilíneasen el €spacio.Así se tiene el Teo¡cDr 2. Una coodiciónnecesariay suficientepara qu" era, + AzdU +,4rd, f" del cami¡o C que une dos puntoscualesquiera en una regiónft es que en { 64,

itA.

AA3

6A,

6Az

s€ai¡dependie¡te

lAa

u=7,¡ ' ar =E' E= ay

(11)

suponiendoqu€ estasderivadasparcialesseancontinuasen jR. Estos teorcmasse puedenexpresarde mane¡aconcisacon vectores.Si A = ,4rt + A; + Ark, la integ¡al curvililea s€ puedeescribir I e'a. y la condición (ll) es equivale¡tea Ia condición V x A : 0. Si A ¡cpresentauu campo dlfuerzas F que actúan sobrc un objeto, el enunciadodel teorema equivalea decir que el trabajo hecho al mover el objeto de un puoto a otro es indelrendi€ntedel camino quc un€ los dos puntossi, y solo si, V x A : 0. Un campode fuer¿asde est€tipo sellama cozsefvattuo, co¡dición (14) [o la cond_ición eqüivalenteV x A = 0] es tambié! la condiciónpara que . .La Atú( + A2dy-t Asdz lo A.á] sea dife¡cncial exacta, €s deci¡, de que exista uni foo"ióo dd. En estecaso,si losext¡emos ó(x,y,zltalq\eALdx+A2dy+A5dz: del; CurvaCson(rr,),r, zr) ! (xz,lz, z), el valor de la intcgfal curvilíneaestá dado por

Í,.,,"),,'".*

=

* Í,":"":,1'

= i@2,u2,22:) - +(t,,u,,z,\

(15)

Si C es cerraday V x A = 0, se ticne (1d)

TNTEGXAI^ES DE SUPEXFICIE SeaS una superficieb¡láteracuya p¡o_ yec4iónsobreel plano -r1,es g( como en la Fig. 10-2adjunta.Supóngase que una ecuación de S seaz = f(x, y), donde/ es unitorme y continua para todo x y y de \. Dividiendoft en a subregiones de áreaM' p = 1,2, -. ., r¡ y levantando una columna sobre cada una de cstas sübregioneshasta que co¡ten a S donde determinan un área AS' y si {(x, /, z) esuniformey continuaen todo puoto de S.

Ft¡.lll

CAP. IO]

INTEGRALES CURVIIINEAS. INTECRALES DE SUPERF'CIE Y TEOREMAS INTEGRALES

Fó¡mesela suma

s +-,.,, , ._ . :,\ a S ,

,¿

I99

(tt\

E¡do (Éo.r,, (ol un punto de AS,. Si er¡te el linile de esla sumapara n + ó de modo qu€ cada rs, r 0, se dice que eselimire es la íntesrcl de tupetficp de d(r, /, :) sobre s y se la d€signapor

.J.J+lr', ¿tirs +

(f8)

= lsect 4,1! aproxinadameíte.sie¡do l! el ánguloque Ibrma la nornal a s @n el como positivo ^s¡ z, el limile de la suma (.17)se puedeesüibir

a'a tÍ +a,s,¿t*",

(1e)

donde secll esrádada por

*"./1= Fiil

=

'.(#).(#

(20\

supoúiendoenloncesque ; : ¡¡,/) ricned.rivadascontinuaso casiconlinuas en q, (.¡9)puedees úibirse en forna cartesiana coño .

l21J Si la ecuació¡de ,s estádada en la fo¡I)la ¡(I, t, z) : 0, (?/) se pu€dees¡ibir tambiéD

l!,a,u,a{ry$f@o,ou

122)

l¡s erpresionesl2tj o l22J sE puedenutilizar para el cálculo de {18). En lo que precedeseha supxestoqu€ J es 1¿lque tod¿p¡ralela¿l eje z corta S e! solo un purto. Etr c¿sode que S no seade ere tipo se pu€de, po¡ lo general,suHividir 5 en superficies,S1,Sz. . . que son de esetipo. Ento¡@s la integral de superficiesob.e S se define cono la suma de las inregrales de suporficiesobre.t1,Sz. . . .. Los resulladosenu¡ci¡dos v¿len cuando S s€proyecta sobre rna Egión R del pla¡o ¡/. Er algunos casosesmejor proy€ctars sobreel planot: o el rz. Paratalescasos(1d) sepuedecalcularr¡odificandoeú forña aprcp;^da(21) y 1221.

TEOREMA DE L{ DIYERGENCIA S€a ,Suna superficie ceúada que encierra um regiód de volunen ,'. Tómese@no dtección pos¡lira la de la úormal exterior a la superficie y seaúd, P, ) los á¡gulos que est¿ nomal hace con los ejesposirivos x. I y z, respectilamente.Si ,41, ,12 y ,43 son co¡tinu¿s y tieoen derivadasp¿¡cialescoDti¡u¡s en la reeión, enionces (fc

t¿A,

f lll;-

éA,

ó A,\ ... ;', r+l d v

";"\-"'""/ oue tanbiénrc Duede escribir

Í[f (+.'#.'#)o'

f.

tJ r.a ' c"s"' .4:cos! A¡ ¡ osv) ds ( et)

: lJ n'aua"a'dzd') + a'd'da '

\24)

200

y TEoREMAS TNTEGRALES cuRvILrNEAs. TNTEGRALES DE suPERFlcrE INTEGRALESlcap r0

Eo foma veclorial.cor, A : Ai + A; + A3l y n = cos dl + cos r¡ + cos }k, se pueder esc¡ibn esiasecuaciones simD¡omente como

Itt,."o, = lJa "as

\ 25)

Este reorema,llahado ,¿,rena .le lo dh,eryeaciao teotena ,le Gteen en el espa.io, dice que la integral de superficiede la componenie normal de un vector A exicrdida a una supernciece¡rada es igual a la inlegral de l¿ diverge¡cia de A exlendida al lolume¡ que enciera la superñcie.

TEO¡EMA

DE STOXF.S

Sea S una superficie abierta bllá1e.acuyo co¡rorno wa uDa cu¡va cerrada C que no se corta á si misma (curva sirnple cerrad¿). Co¡sid¿reseuna recia noñal á ,Scomo posiliva si está eü un l¿do de la superficie,Sy negativa si erá al otro ¡ado de S. La el€cciónde¡ lado positivo es a¡bi.ra.ia, pero d€b. hace¡* de anteñano. Tómesecomo sentido positivo sobrc C el que d€ja ¡a supernciea la izquierda de u¡ observ¡do. que va re¿o¡riendo el contoúo de S cor su cabezadirigida en el s€ntido de la ¡ormrl posiliva.Ertonces,si ,.lt.lr, ,-13son uDifomes,co¡linuasy lienenprime¡asde.iv¿d¿sparcialescotrtiDxas eD Dna regiótr del espacio a la cuat sea interior S, s tiene

= ÍcA,,tr+A.(t!,+A"t"ij(#

,fJ""-"

*(* i?)""",.¡* #)"*'1,"

l o q u e e rfo m a v e d o ¡i a l c o iA :l ,i + ,4rj + ,43tyn= cos¿i + cosr¡+ cosl k,seexpresaseF

f a. a' = f f r v a¡ . 'as

\27)

Este teorema,llamado de .t/rk¿r, dice. pues,que la iútegral cudili¡e¡ de Ia componentelangencid de un vslor A al.ededo. de una curva simple @rada C es igu¿l a la inegr¿l de superficiede la coF ponent€ normal del rotor de A exrendida a toda supe¡ficie ,Sque Gnga a C por contomo. Obséñ* que si V r A:0 en (?7), se obtieneel resultailo(ló).

Pmbl€masreseltos INTEGTAI¡,S ,.

c a l o l ¡r I

CUIVILINf,AS (r:-l l )d . .

+ (r,+ ¡)d,

a Io l a¡so(¿)de una r€ctade (0. l )a0,2),(¿)d eh

.ecrasde (0, l) ¡ (1, l) y luesode (1, l) a (1.2), (c) de la parábotaj : t y - t2 + 1. (¿ ) ti e c u a c i ó n d e I¿ r€ cl ¿quepasapor(0,l )y(1,2)enel pl ánoi ycsy= | + LE ¡tones, d/ : ¿¡ t l¡ i¡teg¡ál curyiline¿es isuál a

t)!+ ri¿¡ = J'(2I'r 2.0rr = V3 .f'" i"'- t,* r,l r, * 1(¡+

(AP ¡O] INTECRALES CURVILINEAS.INTEORALFSDE SUPERFICIE Y TEOREMASINTEGRALTS lr) A ¡o lárgo de ta rcra de (0. t)a (1, t). _ I )

2I

"*'' ;;:",;,'7:lll::-:"'="T" f'",;.,,;"";

A lo targo de ta rela de {¡, I I a 11.2),r

, ' ,'"'

Luego el vato¡ büscado es =

':

' j: -,0

2/3 + loij = slr

Ie'"r '

"1";"''e'"'*'r*"'

Coño ,¡= 0 e n (O _ t)y ¡= t e ¡ (1 .2 ).t¿ i ntegml onrtj heaesi guata tr ,r t¡.tt . i r . | , , ttz t¿t .l t' ?, .2, ,

É,t!

¡& -&

¿t

t ¿r

"""ur".J e.a. a. (0.0.0) a

¡a¡gode los si8uienres caminosC: (a) x = t , != t1 ,2 = t3 .

fb)

4t

{1, l , l ) a

(0, ,,1)a0,,,,) f:jffff#tT""l? ?"'1,:J%i;'hi Ílto', a ,,1)vde(0, f .^

(¿) sir:

*

=

J ,1 (B:' - 6 r:)i .! ( 2/i 3rz)j+ 11-4¡,:)kj .( t¡ri + ¿aj + .d:kl

=

I" ," r -o * r*

+ t2!+ B r.t¿! + \r-4.trz,)¿t

r ' , = ¡ : ; = 7r ,r os pl' r os ( 0, 0, 0) v ( l , l , r , c o f e s p o o d '¡ ¡ =

J a.a.

oy,=

r r e s p e r i v a h e n lE c .n -

=

¿r + 12{+ 3tt)tr)it¡(r,) ./"" ra,,- eft)(t1)| + jr _ d()(r,(¡l!}¿(r

-

.f'"tru-""1*

+ (4,i+6.1¿¡ + r,t? 72t,).1r _

2

*1 , ] " .'1 ',i '*,i i :.Í'," ;¡'r)¡+{2 r +r /) i+( r - 41) r v.=¡ i+ r ,j+ur - r i+,:j+ ¡ ¡ . J"" n" -

r (d¡.16¡1¿1 + (sr-r::r,!,¿¿=:.?. ["'or,- u,"]dr

r¿r A lo h rs . dc ñer enr o de m ( r a r 0. 0. 0,a , o o , , . r _ 0 . r dc 0 a r. Asiquerái¡Es¡ar de _ ,, ;.i;

""

;;;;"-ü;#;;

."

O.d, -O.dr.o

+ rr- 4(0)(0)(.)l J=, tr,or,-"r"ro+ {2(o)+3(oxr}0 rr: =.1..,r. _,

"""iiJiTt*ffi[,:;inii:,1'.;¿:JlglJ;

"'=

,,¿,=0,¿z=0.hic¡lrasque,

.ouru,,o + i2!+3(oxr))d, + {r-4(ox,xr)!ro J', *,or =

_ , .1,, "rr,,o

z=,. u,,varia ".:i":': de0 a L"i',::ffi r_r"g.l" ::,::fi1,'llq:.11 tn"gor *ü';.;A'"mfi; i11.^i.-11:1,. "n .f

'"

0.2¡:- o,Eienlras que r

{.'' qrx|;,,, + t2O)+3¡0))o + {1-r¡(rl(r)r)0 -, .f.'" ,.,.,-,,,,,,

su n a¡do .1."., =,.,-"

=

t

-

202

¡NIEGR,{LES CURVILINEAS. INTEGRAI-ESDE SU¡ERFICIE Y TEoREMAS INITGRAI,ES

[cAP. I!

(.) La E1¡ que pN por (0.0, o) y (¡, l, t) ésiá dadá .¡ ¡oma paúúélrica po¡ _ t r, ,r _ ,i z = ¡, LEBo ) . ^. dt

-

J, atet,

. n t , t ¿ ¡ f t 2 , . 1 3 , , t ¡ 1 !_ t !

4ftdt

6,6

3 . H a l l a re l tra b a j oh e c h oa t moveruna p¿ri ota una veTenl omoa ta eti pseC det ptano)r siet

o respectivaminre o'nos "

;"í"';';l:' i':l'l,T'H"fi:';:fiff#'J"iTX';*" F = d

l3r-4y+22)i

+ (4x+2!t B,')i + l2rz

4s,+ *)k

Fn. lphno2- 0. F 4 ¡ l - r 4 r | 2 , t 1. 4 ! , r y ú = -rlj + dr, cm ro qk .t tdbajo es =

9r . d.

=

) c t s r - 4s 1 i - , 4 r

4ui\1.,¿,1¿duil

* Lo"*rulno f on-ooroo

Tóhqs coho aeio¡.c

,r;JT

2t,j

íJ,TX-.'*""

p¿rm¿hss
r, (Fis.r0.r¡.E¡rone\ ra,¡r.8frr oF

¡ir.r|¡¡

J* trtn*" 4 - ar*.4;1-4*¡ r)dr + {4(4c') + 2(3*i r)){3co,rd,

-

J- to.- ,o*n, -"¡,1, = (¿sr lsei"rlÍ- = e6"

¡iit* *:rryxF,rjrrffi a::.ff¡ei'"1-j:r.h:t'"J'{.5*.tr. a. catcúzr [.ads a ¡o tarsode ta cuúa c dad¡ po,¡ coño do = \/¿¡77F

= \/t¡Gld¿

= .v/iTitd",

qfi a" t.

3 a x .24.

e ricn.

1.,a"= [" "t;'tt¡ma"= zJ"tr;*,* =fr,*u*1"= ,u. TDOTIMA

D¡ GR¡IN

EN f,L PLANO

52,'D€mosr¡a¡ el reo¡eDade c¡@n en el plaúo si C esura cuFa cemda qüe solo es @rt¿da en dos pu¡ros a lo ,/72 ms por una @ra paratel¿ a uD eje d€ coordenadas. Sa n r- y ,t¡rt /.. y , rrr Ia:aai om de¡¿scuns AEB \ ,¡FB (FiE.t0-4 ¡djDu,. Espeliv@dc. $ ,R es ¡a rcgloo ü@frda

por C s

tierc

{f E** = I"."tJ"l"',.,8*k" = f,"="P(au)1tr{Í:,,,d, .f"'¡ea,v,t - t""e6,t,10. - Í,"

"r,ruo"

=

Fi&r}¡

INTEGRA¡,ESCUNVI¡-¡NEAS,¡NTECTALES DE SUPE¡f|CIE Y TEOREMA, ¡NTEGR ¡,ES

m3

o S'* = tffia"o" Anárosménté,san r ,r¡(,) y r _ ¿(r) t¿srcspetivaseceions
J..,.1Í'".',."f,*l* o,*,,u,0, Í.,o,""",-

A':",,, =

l,'ot'"otoo* ), aq'u)dy = et $oo, =

9adu

[f #^*

= f { @ _ E)* * . s ea, *qo, Comproba. €l teoremade cen

en et plano para

f" e,o- "1a, + @+u\da *"'" queümita raresión enre ,:l"i ! i"'1';1 cuMs p¡@sv = r: yl =r s cona¡ d (0,0J y . .l¿s '1,l). L¿ d,@'óo po\iuk r hdis fl tÁ Fisür¿ r;-j A lo lú8o de /: r,, ta i¡tcsrat curyit¡¡ea €s

l.'.,"t'z"t't ¡')d¡ { ir A ¡o la¡so de ,,¡ = ¡ la itrt¿g¿t cunitinq

rr'r'rd','' -

¡l! r0-5 lzx'+ rL+211¡1,

=

l/d,

B

J'=,t",utr, - *tt otu't+ ry'+{Jdy = !," rnn-rr,*"nr* =

h¿go l¿ itrte8Et cuútinea büMda es _ Z6

-t7/t6

l7l15 = r/y).

f!(# #)** = f{{*o"n-fit*-*¡}*o,

Y quedaconprcbadoel reorma de Gee¡. Genemü7arh demost.acióndet teoreDa de c,eeD oe¡ p¡anoqR sedo en et probt.ma 5 a las cury¿s(. *, cofa.ras por pardterssa ¡o, eies en T- q*T" u¿s d€ (los pü¡ros. úm cu^a erEd¡ C kt quepued¡r¡ om¡^ m¡m¿(de.dDs u -Co¡ldétu pmrG por p,.,reru,o ro. i;a. o.o .. r ,,ió ¿dru.n'a r3¿ndo ra rq,a (¡ú rceióncue¡a ::..j:.111

HlH" :]""$,:,f:l Ti":nl;:: :; s';'*::;,;

tir. rH

ri

I

M4

INTECRAIES

CURVILINEAS,

INTECRALES DE SUPERFIC¡E Y TEOREMAS INTEGRA¡,ES

ICA¿ '

q f rú + ad! ,ísüna.do 16 p.irú$

I

,", f ra, q¿, '

lf ("^,."{,)*.,

lf (a, -+\*",

nienbros de (/)y f2) s riene,omi¡i€ndo.l ¡¡legmndoP¿{ + g d}rer qda q

rl

I

-

l-l+l

rl

|

S¡n¡ndo los egundc hi.mbros de (/, y (?1,omili€ndo el i¡bsnndo, ,t la r.8ió¡ lomad¿ por tas Rr y tRx.

*e",1 ea' o^'

ll('n

@Md

ff .lf = .fÍ

5, pa6 ¡s qu€ toda €üva sertaña rcsi¿ñ lihpt m,!¿ Se ha vnb que et reorña de effadas, Er el Probl€na tO e

nís complisdas püed.ó er n@ias

n{s ¡etas cono h Sr

& Most¡¿¡ q¡e el árc¿ limit¿da por ura oNa simple cernda ésli dada por En e l lo lt@

d € O@q

@n p=

el áEa busda. Asi qü. Á =

9. Hlallarel á¡@ de Ia elipse¡:

ftt a)a,a = 2t[aan ='ze

* S.,av- sa".

¿ cos 0, | : b sen0.

""""= +{'* "", - +t: '

+f"nau s

,,0-¡

{""* ,o. = $(*,', -.ierdo,{

|

lP)a,aurar-*."*u:a-e-,a.

Uú Esió¡ 9R tal @mo la que ¡qüi se coEid€¡a o l¿ dcl Problda penefsient€ a { sepu€d. redücn @¡druaherie ¿ u punlo d,a d.j^r \, Um Esiól qu€ ¡o es sibplde¡tÉ.o.ex e l]Dm ñútuiplúur¿ .,,¿¡¿. cn ¿l p¡aúos !pü.a ¡ Egjor.s sinpleDe¡le conexasmeradas por €üras 6lia €l reorcba a Égid6 núlüpl€merr€ conexasPúa Esion ! sinp¡eM&

=

= *J*¿t"*" * *n'o¿' =

. +J"""*a'

Demoslrar que e¡ 1eorcDade cr€en en el pl¡no se apli, ca también ¿ regiones múltiplemente cone",.as como la t de la Fieura 10-7. La ¡€sión $Dbrcada 9t, que e ve ñ ta ñgura, es nútlipienen¡e conm, pues no to
O]

205

INTEGRALES CURVILÍNEAS. INTECRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS 'NTECRALES

P t"

6

adt

lll" Y

' i: 1 , " ' ,

Iúo lá i¡leg¡al del pnner ñieñbro, apafe el i¡teenndo, es

Lf p.*'t. q".1, t

=l+l

+l+l

=

I"*e. c, * r" **,,lLKrHA,c1est^ cúrv¡DEF;Dy ceserconromode J,. "i ro¡nado por c, y c, (reco'idas¿n seniidópo,it."i *."*, = + , *' .1 , J" J "*..

f ea"+ aa, - Í^f(# g¡*, DEL CAMINO Df, INIEGRACION San P(r. r, y O(r, r) iuncioúescontinuascon primerasderivadasparcialescondnuasen bdo punrode una resión simplemente y sufici€Dconexán. DemostrarqDeum condiciónüecesaria te para que lD Pdr + Qdu : ¿PlAr' = ¿lQl¿r idéntic¿merre eD t.

0 e¡ tomo a cualquiercamino cerr¿doc en t

e. que

Cadicióú sd.ienle. SupóDgas¡Pl¡r = ,q/¡r. Luegopór .l t or.na de G@n.

$,* ' q.

J

l l ("e. - " , P \ra' ,

J,t

\4,

o

oÚ /

siendo tR Ia región que liñita C. Codici¡óo rdsrit. Supó.sas 0 Pdr + Qdrl = oen ro¡no a cualquie¡canino Érado C eq R y qu. ¿Pl¿/ + ,9/¿I.n aleúr punto de Rl sea. po¡ ejeñFlo, ¿Pl¿! AO|AÍ > O .. (xo, ro)Po¡ bipótcsis, ¡Pl¿r, t ¿9l¡; $n onti¡u¡s e¡ tt. de nodo que debe h¿be¡ una EBión r a b cual s i¡rerio¡ (rd,yo)para la clal ¿Pli - ¡Cl¡r > 0. Si r 6 ¿l conlorno d¿ r, .nlonces por e¡ teo¡em de GIfr r at /"o aP\ _ , = Q Pd. + Q ¿! | a;.r,.,v

.t.t \.

"

co¡úa ¡a hipó¡es¡ de que ó p ¿, + Q ¿, = 0 p¡r¡ toda curva srada de R. Asi, pu6, ¿Ql¿t APIAr ao púedese¡ posiliva. De ma¡€¡¡ análosa se püed€denor¡ar que ¿0l¡r ¡Pl¿/ no Duedesr neg¡tiv¿ y que. por 1a¡ró, 1i.n€ quc scr idé.ticancnre fula. o sea, que s time idé¡ticanerle ¿Pl?r = AQI¿\ q q. n

SeanP y 0 definidascoúo en el Problema 11. Demostr¿r que una condición üecesariay $6cient ep arrq ue I

c, . t r FSr y s ea, ndependr enLr del. á m i n o q u e u n e l o 'p u n r o s 4 y r e n t e s q u e

en fR se tens¿idé'ric¡nente APIA|= aQftr. codició¡ $ñcienr€. si ¡PlÜ - ¡0l¡¡, eotó¡crs, por el P¡oblemaI I, = 0 I P¿r + Q . 4, porsupEsióndel {véa* Fig. I0-3).Dc donde.abFviandolas integt¿les incgÉndo PÁ + C/L, s liene

',,.,

=

A

J'" ' ^[,=,,1-^,[ '^'J',=

¿s d¿cn, h iótegrál .s indcp.ndieme

del c¿niho.

2M

INTÉCRALES CURVILINEAS, INTECRALES DE SUPERFIC¡€ Y TEOREMASINTEGRALES [CAP. I' Si la irtesEl 6 ihd.tendiente det cdino, .ntor@s p6s @atequiera @ninos Cr y Cr de R e ti€rc

I - ,í,| ' [ =o ^í.

I" . f

De dondee deduc qu¿¡a inresml.urvill@ €r tornoa @tquier csminoa@do rteR ¿cnutay, po¡ !a¡lo. por el Probrtm lt. qÉ AP/ó, AQ|A.. s€a¡ P y 0 como en el Problem¿11. (¿) Demoskar qüe uüa condició¡ necesariay suficiente para qu€ p d, + g ¿), ea difere¡ci¡¡ ex&ta de una fuücióD ó(¡, r,) es qu€ Aryay = aAlAx. rD , M o rtr& q u e m ra resoJa

pd¿ + ed!

-

=

J^a+

O< sl _ C (.{ ) dobde,. 1y,

son dos puntos cualesquie¡a. (¿) Codlci{.

46¡i.

s t Pdr + Q t I u = d a = ; i d '

+: a r d v ,

diLeno¡l ermra..nronces t/) ¿ól¿r = p. (2)¡ól¿J : O. Denv¿ndodtonÉs (/)y t.¡t @; resD{ro ¿ rr y \. 6pecüv¿@k, ¿pñ! = Ael¿x poaí¿supush @oúruidadde tasderivadas paF

s.gú¡ .¡ Pñblena t2, si AplAy = AA/¿r. ¡ P¿' + Q ¿, esiideFndi€fte d.l <e¡¡o qüe J lne ios dos punto! En p¿rriotar,sn l¿,¿ty lr../) lN dos punrosy detitre ób, 1t ) = I

p & +e d 1 ,

|

Ét +^x,uJ- [email protected]) = =

p* t Aoo J,",, ro" * Soo

J,".,, J,,.,,

eoo * Qou

Como la úlrrmaInksÉt 6 ind.pend,erkdet súúo qu. lne r¡, vt y (¡ I , ,. * puedeetesi ú c¿m'noer fsnenró de da en¡r 6to, punro\ (tés Fjg. t0-9, de modoque ^J. dv . ul en¡on*:,, p-¿ leorna dcl valor ncdio paÉ inLgrat6, et ' I ar . ut - o t ¡ , y t AJ

-

Tonando .¡ ¡ímile pan A.Jo, Aúálosedl

Sed r

ú,. y,). s

pG_a^r,at

o ! d <1

s tie.e ,ó,/¡j = /.

pucde deDor¡a$

qte Aip,

sc deduce. pus. quec a, _ qas . {ól

=

+. f " - " 'r o ,

A¡ J..,I

!a,

= A.

, t#on = or.

(r:.),r. De Ia p¿de t¿).

e@,vl =

J,",,

Pd' + adu

E.torccs, omnisndo el iotegnndo p¿¡ + O¿t, se üeDe

= J,"f "'' f" --Jr""" r"' = - ot" v) ..,¡, .,. - J,..,,

r,

ol ¡" vn -

+@t

ol al

1P IO] INTEGRA!ES CURVILINEAS, INTECRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALES

207

(¿) Deñost¡arque

¡{

¡lercaniúode J,,., 16.u"- ndÍ + (6,,?/ 3u!') ¿¿yes iDdependiente (1,2) a 13.4).(ó) Calcula¡ra intcsral.

''

'"'"1.i'i;i,i*n;

- t2xr- 3r = ¿Qtó' v po¡e,p¡obrda 12ra

f i;.'#:" H':ffii""

como ta rnksrat cdrv,hned¡\ ndeñrdiede^det

"ói,'l'li'j''" rr¿" i;l; üT"';#:"irH :"irr:'ó:i;il:J.'t: '*r" i:.:lii:l1,¿i -amr o. et;i"e .u¿tquic..dñ,no de ,¡.2r a (1.¿J,

J",,Qan-q)¿' + J","\1au surdu= 80+ 156= 236

.ó mo j M é r o d o 2:

,,,1:- "- ,- ,,

i | " ***"

u,f_- ."

:,,,.

"-^-::1-1ll-t:l"r'"rt+Ía).De(2)'ó-txl|,'z-x"+s(¡).p¡nqueenasex'Esiones.reó *" *'...t'r = g(¡)= ¿umconstan,c Lucso , .,'','

- 'i,' * "lliüilii

'-"

iillill"'

obsúeseq*

iJ

- *, .. !,,,,",'a*" - rt * . (6!'! -sr!') rtu = I,,-.,' "*n" = 3""u" = -"u" + "ti:;:i 2,,6 ar haÉr ste circuro e puedeonilü ¡a consta¡re a¡bii.,ia c. véaselhbid.r

probrha 16,

Tmbi¿¡ * bubi€n podido obsewar que

(6'!!-,)¿' + (6r'v sxu\dv t:;::fr:":;:,y)

=,,",::;:"{;,,

de donde es cláro que ó = 3r:r, - 4,r + ..

L '. L ¿ r c ul¿jlr ¡ . r c os , + 2 ry s e n r-r,¿ \.l x + (,2 w n ,_ 2 re -).renl omoal ahi poci cl or de x'z13+ !'zl. a2t3. P = r:), cos¡ + 2xl só r

r1¿, e:

x2 *\ x - 2r¿,

E¡to¡c€s,¿pl¿),: r, cosr + 2r sn : _ 2]¿ en tomoa cualquier tuino c"..,"" "..".,,"i.=r:,?u:'¡;n¡dorqxe'

po¡ el Prcbleña¡r.la intes¡¿l

L\'TEGRALES Df, SIIPERFICIE lC Si ? esel ánplo que fo¡man ta normal en un pü¡to (J' l' t) de una süpc¡ncies v el eje positivo z, dem.sr¡ar que

'se7¡ 1

v\+,,

YF.Ta- E

.e 8 ünque t a ec uac i ó n d e .Ss e d .- n , ,, .-r,,. = ,. Si Ia ecuación " (j,r,:) deSes ¡(r,r,:) = 0, una¡onat a r eó 6 vF=.¡,i + 4j + ¡"k. L¡eeo v F .k = v ¡. i (l c o s 7 o ¿ =

v@E?lE"o" r

de donde

r,-

*/

= vE-

En 6G a$ r¡ eorción cs:

cono sebuscaba /t¡ l):sj

!l9de 2,,F, = 1 y s hala lse- = ' "fiV_z

escribir¡(r.r,z) = z

1t',r) = o, de ¡tonde F, =

2,,

208

,(t1l

INTECRAL¡S CURV¡LINEAS, ¡NTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTECRALES

[CA?. IO

carcurarJJ ur¡.r,¿){s siendo s ta superfici€ de¡paraboroide z = 2 _ (¡, + /) sob.cer prano:r? y U(¡, r,. z) isuat a (a) t, (bj x, + y,, (c) 32.D^r u'a inrerp¡€r.aciónfisic¿ para cada .*. L¿ inteSn¡ p€dida 6 iguat a ff ut ¡ . u. ¡ \ / r + z . +, i d r d l t -D

tt)

dond€9t 6lá p.oyÉción d€ S sb¡e et ,l¿no;v d6d3 O út t + y ' = 2. 2: 0, Cono r, = 4ii z, = -2r $ pü.de esibn (.¡)

+ ax + au,d,d¡r te) .tJ L,k,u,¿\/1, (¿l si {/(¿),,2)= t. (r) qu.da a f\' tL +4 ¿ + ' 4L' d'¿! J) P@ c¡lc!¡a¡ csl¡ jnresratpáses¿ a @ordeD¿das porar.s(/, ó). tui Ia ides¡¿l sr @nvieÍem la

F¡si@dte

= !'" l:_"Í,.'"\ñF.¡,d,d, a*1"-"",= f "$o* podria ¡e!¡es¡ra¡ el á@ d€ ta supe¡ñcieSo l¿ oe

tb) s¡ vt',u,.t = r,+r', (r) queda

de S supu6t! uno ¡e d€midad_

ll @,+ u\,/tTatT¡¡ et

d,ds o eocoordenadas porc

+.",", _,* li."J,.",,,rrt _ !. ], .¡" , !,p.i*¿. q*r"¿* ff:: f"-*¡: "".'':Tfl;' ',f*# ü'#i:"fft'::,fd."'i a do¡de h__i¡resra.ión.@¡rspelo a p e Hliz¡ c@ r¿ sustilüciónJaJF

Q) Si Ult,1!,¿

q\da - 3.,le)

ff_

.at' , av'd,¿, .l) rzvt o ctr coord..ad¡s

.ll s,2. \,, _ u,,t./l--iF :ñ, d,.tt

po¡aB.

J) "t,*"ut'-,'tw,aara6 = !f; sd ,",,"T::"::kfrT;*,#fjfr;'i.1; " *"-'** """dmsid¡d - 3:.obi.npod.ia lE. Hallar el á¡eade I¿ superhcie de un¿semiesfeÉ de ¡¿d¡o ¿ qu€!uedá dotro del ci¡indfoque rieneesre ¡¡dio por Las ecu&ion.sde la @i€st¿¡¿y rt€l citird,o (Fis. \ l^ - ot2t,+

',

- ¿,14to,l + I = ü).

to-rr)

J¿ - F:VI '

Fts,lo-ü

,

-

ñ..

!ü] INTECRALESCURVTLINEAS. ¡NTEGRALES DE SUPERF¡CIE Y TEOREMASINTEGRAIE5 . tuo b usada

ff 2. t ' J t t

tlay dos ñélodos

_

zl

r idr da

_

_ ; ==! : _

z ll

2W

a,au

para^!vat, *re c¿lculo.

Véltrdo l: Utiliado c@¡de¡adas ,ola¡es. Como r, + ,, = d cn oórdenadas potües es ? ¿ cos d, t¿ integral se conüerte er la It,

fúdó

"J,..c-),-" ^

')..")," ffi"ú¿' Méüdo 2j

-

= z^' 1r- *ota4 = L, zv 1""''

La i¡rcsrál es igldt ¿

r

2 |

¡ri;:i |

=

dr

a::_:¿,

,a I

si

,

t'1,=" rd'-'-l%-¡

d,

&J" *"-,{;+-d, Hadúdo r - , rgz d, .sta i¡leg¡al se @nv'erte en

| a,'jt, ,s¡,rJ. _ lJ"^", ,2,"a,}

4d¡J{ a ,E ds*',d'

- z . l o ' s ' t i' -

f"',"*,,-rra,]

2dy/1 _ ttc , _ ,)t:,.j

=

\"_2t,,

Obs¿ñese quelas integ.álesa¡terioressonr,p¡o?¡¿sm reatidády debdan rr¿taseDo¡ proediñifr¡oj de llhrreadecuado, 78,caDnutoS. yiu.U,* Cupir"r.r.:¡. tp¡obtem¿ L

Halle el @nro de masa de la superficiedel probld¡

rorrñe,ra¡=r:o r

IJ zds

¡_ i¡7s

lZ.

It ,l¡;77¡ar'¿,

dv

i¡l;;;¡¡¿

Numendor y
ne¡te.y s lieneer,omes, - +# :r

ca*r".lJ

=

H

a.nds,dondeA: ¡?i, r,t + (x + z)k,s eslaparte délpláno2r + 2r,+ z = 6

que queda eú el prime¡ @i¡nte, y n es u¡ vector norD¿l unitario a ,S. Unanor m a l ¿ J $9 .2 ,. 2 u ,

.6 ) = 2 i

zj, L n = $= ' z i + l j + t' . ¡n ,o n * ,. v 2' + 2 t+ 1 ! a, ñ = r r r ¡ _ rrj + (¡ + :)k J. { " ,-:,-" ) - zxy 2t\+ \r +.) 3 2r-u_.-z z t+ tr+ 6 2 r-2 r, _'

y a"

-

z r u- 2 rz

.-2 x + 6

: I¡ ¡niegd de superñclebusada 6, pn4,

+ I INTEGRALES CURVIIINEAS,

=

. :

r i

af / r - , (-j.-#

INTEORALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTECTALES

r]

=

1,,"l,-,' *"

=

!.-"ar' *u

-

r,,r4\

z'"

)!

'-

[CA}. T

-L' + 2' + 2' dl dt!

z! + 6\¿!d'

= 21t4 'y u,+6úli'dt

21. Al tmtar de integralesde supe¡ficiesolo sehan consjderadoslperficies cor dos ca¡as.Dar un ei¡plo de una superficie qle Do üede dos c¿¡as_

iwry;

que ld puntós ,4 y , coincidan.on los D y C ¡6p¿e

lJiliili;,ill',Iil i:'ilr":":,"J* il,ll"'ÉX:

que al ñó\e r $ore la superficre llegao'rá \r ¿ P con *nudo opuero al que rflh ¿nreldtti Sr r quiu,,.u'u ¿. l" supemcre otmenre,.e ".. "o,o,.ur ,lea¿rl¡ r renerlarod¿coloread; I ra \¡.r'hne, ttanzd¿ büda dP ua"btu, udláte¡a qü¿, pó¡ lanto, sne¡ellanare supe¡dci€ "o ¿/i¿n.a¿le.En dnbio una süp€rñciebitátera es rr¡¿¿-

7 I \ t\

\"

AD

T* i |

-\*f Fia.lo,ls

EL TEOf,EMA DE LA DIYERGENCIA 22. Demost¡ar el leoreM de la div€rgen€ia.

F¡&10.1¡ Se¡ S üm superfrciece@da l¡l qüe u.a pa¡atetaa ün.je d. @odenadas cofa a S en dos punros¿ b Supónsas que l¡s ecüacions de lás rbrciones inferior y sup¿riorS, y S: so¡ z = r(r, r,) y z :r(¡,/)Í livmote, Denó1* la proy*ió de tá süpÚncje sobre et plano ¡r, po( q. Sea entones

f{Í+* - f!Í#*","'=.$1ti.".",#*)** = ll o"<",",al'" ,,

"jfli

'"

*"

'"*"'

",'

r"t ai,,y,Í )t ¿!d¿ JI ro"t",,,

¡tt d' = @ h d& = k 12 dsz,pu6lá noñal ni a s: foma ánsúo.ü

CÁ' TO]

INTEGR¡LES C:IJRVILINEAS.INTEORALESDE SUPERF¡CIEY TEOREMASINTEARALES

21I

Para¡a parleinf.¡ior, S', dr & - -@s tr dsr : -k.úr d,t,, pu6 la nomal ¡r a Sr foña á.C!lo oU

= J.t A,(r.v.t,,dud! .r., ,,r¡.'¡ds¡ n5'

)J a^',v.t,tda¿' -

.f.f ,4.tr.nds

vt

= JJ a"r."" as,* .fl e.",.",os, - ll o"6.u.¡¡u,o, lliR a"o,o,r,toua' .f[ *."a s (4 Análog¡Bdle, por p¡o'@ió¡

lll

+,¡y

=

ll.{,k.nds

d. S lobE los otros plaúos de @rd6adai

at Jl! lav = Jf a,r.' as @ !Íl Vdv = .fl e.:."0s Í$ (# --#. #)*

= fJr-n'i+e'r+'r"tr'"as

tJ., e . ^ d v

,.1A' " r s

El tcoroa sepled€ setr€Eliza. **,rr.. er másd€ dospurtos por paralelas¿ l@ ,"" *" " geneúlizsc'ór. .jé .oordo¡dos. P¡R dmost¡ar 6ta sübdividas la rcsió¡ enc€Eada por s cn subrcCioú6 -;6 cuyassuperñcies cübplan la @odicióndel leorcna.El piocediDimroesáúAosoal ülitizadopar¿el teolw z)l + ¡1],¡ - xzzk €¡tendida ¡ la reComsoba¡ el leor€n¿ de la divers€nci¡ para A = {2¡ gió¡ f init adap o r r = 0 , x :1 , != 0 , != l , z= 0, z= 1.

Prine¡o $ @lcu¡¿ .ff o." rs,'-u. s t

-*-

6cie d€l cnbó de la Fignm 10-15, C¿r¿Dt¡C:

J,,

¡ = i, , = l

Ent ones ,

a . n ¿ s = J, J" rz a r+j -,.*r.i ar a. =

= stz )" J, tz-ztdud,

Ca¡¿ Áa CO: n= - i, ¡ = 0.

Ent onc . s ,

ffn'.* = f' f',-,,.r-'rr"o.

Ídi;

= J, J" z¿ud.= )t2

Fla,lGl¡

212

TNTEGRALE-S cuRvrL¡NEAs. tNTEoRALEsDE supERF¡cIEy TEoREMAS¡NTECR,{TES[c/ Caru ABEF:

¡= i, V =l-

fr n.,r" .,j,1 Catu OoDC: n=

Entoaces

, , i I t , i rir. . i¿ , d ¿ J. J . r, rr Lüeso

i, /=0,

ff o..

;;};

CoruBCDE ¡=k, z=r.

f ( ' ,,,

^

C¿t aAFG O : ¡ -

^nt

., ¡ , "' 0,

k , , = 0,

o

LúeEú

r ,tr .r v

.t] 2

Lueso

ffo.' r s

t:; súm¿ndo A.¡ds . i. I .rJ

!.lJ o'oo, El loffia

q' .

J"' !,' uu ",, r ,!j ,,,i.t^d¡ av l.' t"'

J[^.'^

r/ 3

), J . " 0 , *

f' ( ' p,t- ¡ n:;- ,u' 0,n"

-

{ r0

{

0

pu*roqu.

!.

I,' I"' !,'" "

o

= 1l z'rarautz

d. dilereencia e vcn6€ en esr. m$.

calcular

r.¡ ds, sendos unasuperfic¡e cerada.

J.J

Por el teoreM de diverse.cia.

ll ..""s = (ff o ,a, - ( l( ( : ' , 9¡ ' ' - (t((":.v."1)", JJr

\dt

"ll|,,

du

Bv

donde/cs el voluñen¡odeado por S. c a tc u l a t.)J l z ' z d u d .

l ¡' 1l t ¿xtd¿d.(

e¡!-y| ¿tdri l |

dondesesrods l a sup er f ici

de ¡a resiónsemiesférica limirddapor z = Ji, =,,0 r¿, po. et reo,eñ' de ra ¡ t: vergencialleo¡emade C'ern en el e.pac'o).lr, direcramente. (¿ ) C o ñ o .l rd u -¿ ,5 c o sd, dtdx:dS cos Í,d:.r= dS

r | {/¡.* . -

pued¿ @ s1,¡a i htcsrál er

" ' ¡ , - " ,, ¡ s -

.rzzi+ (;l - zl! + t2$ + r¿:)k y r=cos di+ ^ Lücaó, po. el r.orem¿ de la divc¡gencia, ta irlegEl es

dond.

fff ".^*

"í"

t.t a..ds

cos pj + cos rk, €s et @or

noñ¿

((( u,.¡ u,o, !,{r¿v r.,,r f ifl,-,-,, "1.-,-..\:.e¡p)

donde / es lá rcgión limilada por l. sni*fera

y .¡ ptano l',.

'O]

INTECRAI,ES CURVILINEAS, INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMASINTECRALES 2I3 E¡ coodenadasestéricas. cono m el pmr,Jma 15, Capítüio9, esla int€sÉl cs iguat ¡ 4l

|

|

",

2-a'

* ", "¿,,¡"

(ó) Si sr 6 la süFrdcie conveM de ta Egión s@iesÉnca y s1 es ta base (z = 0), eúton6

$ *'** - J"'"Í:..{r-=*, _["..!.Y -

J! a",-,¡n,o'=

t.:"Í.*

1."\té-7-J.=

z"\/a'

t, - z, ¿zd,

!) ¿zd. |

"J.-^

z!dz¿t

" \ t a " - r '- 2 ,

= .ff L"u*,o¡n"on

.ff *,u,n"= o,

(r'a-¡)dz¿x= o, .J.J

lf e,,*o',t,,-uo- JJ t2,t A o'tdt d ¿ = l ¡=

l"

¡ "!=

'

o

!ri.,i

¿

1 J ,"J-.1Í-7 ," ¿v r=u"-,,d,o,, P

+ 41

|"4=

"J-."!.'",',",/;=t=,,,t|d,

v,ttj ?-¡au¿,

Coño po¡ siner¡ia todas 6tas inle8¡¿lesso. igu¡tes, e¡ Büjtado, utiüzando mordenada potar¿s.es ¡' 12 -!E¿sd" u"1"" -i4 n('' "

J.-"J,

"

-

f " , ' * . , " ¡a a " d , d .

= L!

I

TMREMA DE STOKES ¡ó. Demoslra¡el teoremade Stokes.

il

So S um Ípcrñoe ht que !u proy¿(ron 5obre c- p ran 6 !f J: y u s on r es ion¿s hñúado!Dor . Í r sinpiesceÍad¿s.coho se ,.di"u o tu rd. rcro. _E *p on sa s q ú€ .tse ¿: = / ir . / l ó r _p( r , : r o ¡ _ tr,:), s'endo¡a./¡ unfomes. conrhuasv ditsen Ébl¿s Hav que demolmr que

= -

,tl

i ti

.f., [v. (r,i+¡"J+á"t.ll.hds ; J. a. dr

.¡o¡de C es el co¡tórno de S.

L. nnd¿ nrp, im ? ,ó .l .f o ,r¡,' r..¿ s

Fis. rGfi

t

I

2t4

INTEGRALES CURV¡L¡NEAS, INTECRALES DE SUPERFTCIEY TEOREMAS INTEGRALES i

TCA¿ I

jk

-*¡.

¿,¿ua.

, ; |, " _ )^

rv ^ (. 4 , r, r. n d_s (* , . , _

s iz : / ( ¡ . r ) s laec nac ión. te s , e t l e l o r t o c a t d e ü n p ü r b d e S e s r =¡ ¡ +}, J +? t r - r ¡ +/ j +/ ( ¡ r l

"o*.

ll

,-Íjk

de modo que

-

j r¿/r,. r.. j_: *-

*o-""g".r.asr.

= ".; + ft".* = o " ' u r4

o

po,ranb.Frp€nd,cura, ¿r.

" j= - # " Í

(#"',-f"-)*=(-',4ff"'. -'#"'-)* -(#.#'ú)"** [vx(¡,i )]' nds

Ahonsb¡..t

=

.4,(r,r,') = 1,lx,a,tlx,u\ = e@,'t; ,".¿" l v ¿(¡.i )l .nds =

lln

:1n.Lds

¿y'Eau= =

$ r{ e )e o " t :

a" au *a!'

'o,'t."0"- .fÍ 1-*t

lindo rr ra prorq,óñ $bF e, ;;. t

, ,., ,..,.." .".:" o ,,,." .**, * **. ,," "" ", F ¿z dohde f 6 el conlo¡no d. E. Cono m €da pu¡to (¡, )) d. r el valor d. F es et miso qü. .l ¿

,'

en úda punlo (¡r,2)

de c y cóno ¿¡ es .t misño púá ambasüras, deneqüe ser

g,.F¿, _ 9 A,d, rf JJ v.,/,¡i.n,¡s Asimisno.po¡ proyeeiónsob. ,i, *-.

on*, o.

, A.d,

-.-,**l

fl v"o"ttt'"os= f e,an,

lfn"o"r¡."ns = $ e,a"

JJ ro' or.",s= f".o'

ffix,Iii.i::."J;:,:J3:l:: :Tj*:jr¿.fr:H,?jt::T".? :*:1"1,i*,ülirr_i,i ri:fl ;: jillr;*J:,]:Fi.'tWi::ff Hi;ii"ti.Ía,"Ji*.:n*ri;ii.',:*rl,i.,;',: rioasenrornoa c,. c,,.... q, rurr"¿.r q*.,urru ¡;-;i.;;;;;;;#;;H;'á ",

¡E] INTEGRALESCURVIUNEAS, IÑTECRALES DE SUPERFICIEY TEOREMASINTEGRALES

trTY';'

215

siendo ,s¡¿süFrrci€ derpa¡¿bo',": i,=;,,,, "J"'i.,.,p'?k,

i'j:Hi:jj.fi:

EI contómó C de S es ún circúto de eúrciod¿s ¡, + rr = q , úér f ic a\ I lc óq¡ . I --. 2 y_ de .c ut r r ompar _ ), 2 *r r . : tu 0 5, = 2r Lueso

t

A.d. =

r,¿u + uz'e 93,d¡ rtz*'41-z *n4a, - (2cGt(2x2cos0d¡

-

f

=

= J'irz**r + e-",oar zo" tj k =

A r¿ u k

( z r +r ) i - ( z+ S ) t

¡t ro.rt

V(r¡+ rr-2z) "- - |v=Cr+t:Eil

¡i + rj

k

'!,c_+r+,

lJ r o " o r . " * = l l w " a t." i1 :d= d tl! u o *tn .*" to " o o

=

fl1"(t+"1. '"

+'";u" + sj&du

o bim ñ coordenadasrÉlarcs_

!)-"f

"r, -"rrr,rt

+ p'co"ó+p2/2 + slpdp.to= zor

a"a, = 0entoda cuna cerajT":T: ** ,'"%:T1*':""T,:Tii:;'¿ffifi?:'""' '* $. Cddidú¡ sftieré.

Supó.sase V x A = 0. Erto¡.es, po¡ el leolma d. Srotes,

I A .d " = .l .l (v ar .,4s suprlnsse1fe.ar = o entomoa todocamino@@doc y qü. v x A + 0 endsh punrop. suDG

ITi:;]l:LT.:ff":lj;Tüff

q-P 11:X"'*t'",::"::oa' erioñ qGv
¡e¡r.ir ¡:o.sien¿o¿u¡¡ñ;üü;;:;;.¿T:#,ji,11:Jl'=li#ü""1TT,l1i"1llli,j;.?

f""'*- . f l t o , o t ' " n s= " .fJ' ." a s ' ro que con¡Éd,ceta h'póreqsd€ oue 6 o.o. = .l e n u b h J. ^ " Se sieue, pues,que V x A = O es ldb¡é¡ srinaJ,,

A.dr

s

qkv!

o

a =o

um coúdición úasariá y suncjenlepa¡¿ qüe !¡a integÉl cür_

ind.pc¡d'dE dct ÉDino quc ure ¡os punro\ p, y p:.

216

INTECRALES CURVILINEAS. INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEORALES

ICAP

29. DemostÉr qu€ una co¡dición necesaria y suñcienbpara que V x A = 0 es rat que = q A co¡di¡fi s6ciqte. si a = vó. enronces I x A = v ¡ vó = o po¡ etprobrema80,capítuto7, ¡{aim rrl si v x A = 0, entohctspor ¿t probteft 2s.,

r' J.

= o en romo ¡ cuatqui€rqñino er¡ado y

a.dr

A ' d¡ s i¡dep.idienc del canino que ü¡a dos punos (¿,ó. !) y t¡ _r,:). D¿t¡¡e

ot¿.y,n = E orcs o\ ' r lr .! , , t .

= Í',"',' ^. ¿, .f:.:..,' ^* *, "

'- " f

"

+ a,d! + A1¿.

t,a,

-¿,dy.,

A,a,

Comota úllimainresratesi¡d¿pendienle det canin¡

. mino unsesnen,o de;,"

""i;;;,i;;;;,;;;.;.;."ili|;']ii,"i.^iL,¿ílLüy"'*--*

r(r+ar./., -é(¡.r.¿ ¿,

f f ".'".,, s,J.,,,,

a.t¿t er,.v,.\

o
aplicándo et r.o¡ena dei va¡o¡ medio inles¡at. Toñardo tímnes de ánbos mienbrG pan

Ar r O, se riehe ¿dl¡¡ : ,,tr. Anárogahenlee puededeñostm¡ qü. A,p, = A,. d,/Az: 4. d J t Luc 8o A ¡ , i. , a , j - , r , [ V9' - = J1¡o i . a Y r L ,¿é¡ k

: dz - # ftH$ifñffi,":T.:"fx'r":r1:"TiT": r,:.\",,^;,ii ^2d,+A3 _ +(s,,s,, l,'",'",""e,a,, r"a, , o,* = J'.-,"""'u = ó(r,,s,,',) C¡ltilfi

||..sri..

Si

Derivando cnron$

= aa = u#¿,+*¿u+E¿", ^ d , + A¿ , d*y=+AA, , d z aá= A, o \, Lstf =a" se rjen€, si ¡as deiivadas pa¡c,ar6 so¡ ontinüas.

+=+ .

9 4 r= ! 4 !

q¡e cs juransnre t¿ ondición V x A = 0. Olm né¡odo:

Si A,&

+ A,.tu + A,dz

A = ¡¡i+r r j+ .4r * = de donde coütici& {t

=

'!:="i"

do,

ftt+ afit+ff* = vo

Vx A= VXVÉ=0 , iqrc.

Si v x

= o, por €t prob¡ha 2e. : Vd y ^ ^ A, d, + A,4 ! + A 1 d . Ard¡ = v9.¿r = -

fia,+fii"+,fa"

r¿ ) D el ap a ri e(¿ t

a t" ,o ,4 =

t" ," ,' ,'¡,d, + A ,¿! + A ,dz.

IO] INTEGRALES CURVILINEAS, INTECRALES DE SUPERFICIE Y T€OREMAS TNTEGRALES

2t7

Y sin ¿scribn el in¡ecJa¡¿o,11¿\ + A2¿r + Atdz se rie.e

|

|

ó.¡2.a,.,¡ a' ,..u,.zn

|

f ¿ ) Dem o s tra ¡q u e F = (z r:3 + 6 y !i + \6 x-2tzn+

ex,z, _ rz¡y es un canpo de rueF

4\ c oD * n ¡l i v o . rá r C a tc u ta r F .d r ri endoC cuatqu,er cami node ¡¡. J. Dar u¡a inte¡prehción fisi@ de los resultados. l.)

¡. I, a t2, t. _ t).

¡¿, I n compod. tleu, F e. consauvo $ t" ¡nleeratcunrlnea F.d¡ esindependienr. detcan,nóa Jc qüeunedospünros cualesquieú detnismo.Uóacondición neceen¿ y $ñcienteparaqu¿F seao.*F l a t i v o 6 q u ¿ VxF - 0 .

ijk

Cono ¡ quí

Vx F

¿¿ a"

=

au

a,

=

0,

F es conk¡v{tilo

2.¿+ 6! Ax 2uz 3.t.t - U'

Sesin et P¡ohl.na 30, F.¿t = (2rzt +q)¿x+(6! exacta ¿?djsiendo ó r¿l qüe

(O = = 2¡z'+ 6r

et ufi= e'-ztt" tq # =

De dondee obtiene,fspútivamcnte. t = t" t,+ 6 ¿ v + f' \u ,z ) 4 - 6" u-a\+ q u e , $n .o n p d lib l6 !,r L r .:) . ¡.t,t\ z\- ,1 , l ! qn qú., nor el probtena 10.

Lh.5fl

J,, ,,, ".0.

2r2jdy + l3a2z1 r:)¡r: €s urá dia€E,c,at

hl t,4

a - á.¿-u" ,+ h| ,,u) o.!)¡ _.j encurocsoo!

= .'1 + 6ru- r'¿+ ¿¡lj't,-:l= 15

O l¡mbién * puede obscrar que r.¿r

= =

l2t?!dr + B.'¿d.) + l6|tu + 6"dd l2u,drr + 1t,dz) d\r'¿) + dlÉt|J - d\v1.J d\..2. + 6.! _ v'z + .l -

Como la ihregol es indepadi€nie det qnino¡ s puede etesi¡ @alquicr cañi¡o p3rá catolarta; le nando el lbm¡do po¡ losssme¡losde(r. t, t)a(2. - 1, 1).d. ate al (2, t,l)yluesodeésleat(2.1, _r), resuha t 2¡ 6) dr + | i I \I2-zetd! / I ¡s J '¡ l l z '2 r _ l r d ¿ dorde ¡d primera { obrEnede ta cunihne¿ha.mdo I r. . _ t. t'j _ 0, r'7 O. to srund¿ h acen do. , , . :'nree¡d, - Ld\ O . ¿2. O . r r d r c r c e , r , n r e C rraotm a n d or _ , 2 , ) - - t . d , _ O ; ü i. rl

)

FnÉ¿ ñt uk

F. . / r RpE* nr "et t r "bdjoh{h o a m o . e ru n o b J e l o d . r t . | | | ¿ ¡ 2 . t . _ | J I a to taryó de c Eh ú mDpo de tuezd co¡s¡várivo .l úab¿johechoesindeFndie.tedet camiho que C uh.6iós

VARIOS (a) sj r = /(,, D),) = s(,, D),def'é una tnnsfomacjó¡ que aptic¿u¡¡ .esión R det plá¡o ¡r en úna región t det p¡ano ,r. demos!¡aroue

2I8'

INTECRALES CURVILINEAS.

INTECRALES f)E SUPERFICIE Y TEOREMAS INTEGRALES

fl,,* _ $l*4r8t""",

[CAP. |.

(á) lnlerprerareeonét.icanente ej .esutt¡doa¡ler¡o¡.

ra) 5. a rque .e .upone cLnJ .,np¡. ce,r¿d¿le. e¡ !o, Iomo de ,t, mlonces.sesú¡€l probreña 8,

|f,,,, = + 6, - '''d u

't ¿

' udr

6

Po¡ la k,nsiomacióo dada ta inrese¡ d¿i ssundo menD.o de (./l e convierree¿ tf / au

2r,'\;ír'';í*) '(;:,,"-31*) = LÍ,(,il ,{,r" (,!":,_"3,,)* * l" de,a,nodo quec.sa ranbié¡una "ct"-'u' a. c ". cJpra¡or, (súpüera cnpasi.* ,u"o-u * o**, ,' , esta Eeión t detp¡a¡orr ,leconrorno "o. c,, etsesundo hiebbrode(?l "" iffif'

+$l*G,#-",;) =, o@de{ h¿npu6,oram. de,¿lo, $ l::,#,l," ", ab.o,u,o P-" ases"qrc - p¡¡a ei e\ nó n.sc¡trolono b¿ ""du'a¡ o,oo. 'es¡rr¿do .l.l En g€óeral. se puede dcnór.a.

lvÉaseprobltu

t

83) que

fJ"''^o'o'= ÍÍ'ua,').,(.,.)¡lWBl*^ \h) J J ¿' ¿v t

Íl

t

{!

l#?31d" d, Eprse¡raerárq derar€sión{, raprine.aexp¡€sadá en

denadascartesian¡s, ta egu¡da en coordenadascuryillneas.

33' seaF=

or carcürar vxF. 1a¡c"r*ru. r.a, ¡['

ffi.

cerado cualquieray exptica. los resultados

v^F

I

= I

I ¿

l,

i

"n

romoa u¡

,.l

¿ ¿ | au a;i

0 en.ua,qu,e es,on quee\!rdy¿,0.0,

l;#.iF " I

h

$ r.a , = $ -u a a +,a, ";

'

= psen '

vendo ¡' a) 'oo'dñsda' por"^

".r" -" -

"* '-

_pa n r d é +J p c o s c ,

. l t = p c o . ó d i +d p s . n o

- t #f ; 4= * = "( * "' "1)

CD,lvéa* Fis. to-18(¿)l euc r@fr €t o¡iCe¡.d = Oen,4 y = puesde u¡a luctta comp¡era ó L vorvi.ñdoa ,i. En e..€ casóta in,"_.", : ;; : ",_;," "i*;

-; E

dri¡i

!01

INTECRAf,ES CURVILINEAS. INTECRALES DE SUPER¡ICIE Y TEOREMAS INTEGRALES

219

(ó) Fra. r0-¡8

'="'* Pa¡auna curv¡ cerradaporisp lvéaseFis. lo"t8(¿]lqü.no rodeecr orjÉen, = ó óocnpy ó _ó¡ rcs una vu¿lk cónplera votvichdoá p. En esrecaso

c¡ho F=A+si.v , F:. ."".",",,",,. . ,i;"_:'-;)r.;';:i"":;?:: ;6:Í il. er c ont ¡ adr c . iónon¡ o. det pr obt . n¿ | L p . r o n ó h a J @ r r r a d R : o n p : e r o q t e r _ _ - t 2 _ " ¿ . ,_

la-

un¿Reion qu.\onren., ",r..,.,."".,,].r:.,",;,"":

;:"iH:Í,**,-"*^.n.oda I

J":]

Si div A denotala divergencia.le un campo vecror,¡l A e, un punto p, mos(rarque

lJ A.,r ds ln¡ ^" a."-; porrasupe,hc* a-ry donde erInire \e obr¡ene ,educ,endo a¡. -*rado divA =

:[d;,1'""

'*'."

Por el Éorh¿ d. ta o,"**; q -.-.

ffl',,., JJJ l n^dv

_

J.J a.¡ds

po¡ et teoreb¡det váto¡ nedio inree,al, €l priee¡ nienb¡ós puedcesr¡bir ¿i,

^ .tJ)

dv _

dN Á

^v si¿ndo i¡l;^ ur valorinlemedio61re.1ñáximoy el eínino dediv A e¡ djv A

Tomandoer xnlLr Fra ^,2?

{A .hds

-

i:

^v o de nodo qu€ ¡ slé siemp.e d.¡tro de

¿ñ; ^4

dir A

-

Enronces, ^r,,

ftnde á div A en pj luego

lJ A.n dS lih g AV

Esulr¿doque s pod^¿ bhtr @no punLo pmda de mr l¿ dne¡smct de a v dedFr del n^mo roua B:rróp,€dadeq¡crusóerk*.., *, **,**.. ,'.j:lntr s pdeJcÚiri'¿' 6'0 par' gcne¡0,'7a¡ epro de d^e,senoa a ,'',"'", .. ;;;;;;?;i:i;t'an.'en crñn' a n
{i:ji:;:l'":::,I,'j.'"":i::i,j:Jii:.; :i,ff:.'$[:,JJ':,T:l:T2:::!:::-::i::;;;;;;,J t?:1fi.T,;,":lj;,""ff,.{ :li:fH,:#"f:"ÍT':r,"-:."dj,¡;"¡i¡r;_yi,;,:ffi,;;;:j";: *::i:;í.::iñil; "í,,-*ilp.

ni sunid€ros. div a _ o y se¿". q,. ¡

220

INTEGRALES cuRv¡LtNEAs, TNTEGRALES DE supERFtcrEy TEoREMASTNTEGRALES [cAp |.

Problem¡s propuestos INTEGRALESCURVILINEAS ,^nr*J,,.,,

X

{¡+r)dr+(,

r).r, a ro t¿rso(¿Jd€¡apa.ábola ,¡ _ ¡, (á)deünareta, (.) delosseBn+

0""""*', =2!1 +,+t,r -,1+I f,f iji.l),ili;ill,li,1l:'lo;,y¡',," c^.\t¡

+ 4)d' + (6y+ 3¡ - 6)d, ñ bno at rriá¡gulodel prano devóri.6 (0,o). (3, (r, o). I \2. - u 4, rsorridoer se¡tidoposirivo. Sol. 12

7

in¡eearcuRrrinea derpobrenaanrrio¡ e¡ tomoa un c,rcurode radio4 de cenbo 0,0).

y'zl:r""^

d st | tr'¿- t'1ú +.r,.i. cstcuta, r. d, a to tar8odela luM adet ptano\y dad¿por/ .: r J de el pun'o(t.or at r).7,. ró¡ tnrerpEt¿cioo fieq det ertlaoo ob¡enido Sat b) t74t. a", O si¿nrlo c ta ora derp¡anoe dadopo.¡? +'/r : 25y s erarcocomopa¡áD¿to l"e"+ S/ca*t^,

..ra

pünro(3,4)¡¡ (4 3l poret €oino násñ¡1o. s¿¿ t5 '..siF=(3x-2tJt+(v +2zI ¡?r..c¡rcura¡ a {1,I,t),dodecs !n cañi¡o JcF'dr de(o,o,ol que /K

i"li,}5"i;!lié,;ii,¡,1i'"id';,(íl?:"iffi:í""Ti:i1l:",;iT

sot. (a) xttts, (b) s/3, G) 0, td\ tlt3o si r q et verór l¡nseile ü¡jta¡D á un¡ cwva c (p a¡ o at¿beda)y F 6 ün tupo de rü€¡zasd¡do, de r¡d q ü e e n o ¡d i c i o ¡e s api opi adsJF,¿r= Jr.rausi -aorau-" onopáránerro.rnrerprcr *

6\ I

ca y sconetntu€¡re

este ¡es!h.do,

IEIOT¡JMADE CNEENEN EL PL{NO. INDEPENDENCIADEL CAMINO conp¡oba¡e¡ reomá d" o.*, * a or",o p"c un cuadrar¡, 1[ t,,-.u\ax + tu,-2,x)du si¿ndo tü u 6 i 0 .0 r,(2 .0 11 2 .2,.(0.2,. .su/.v,tormmún__B

jtf

ú^r tas intís¡^hs cuNiü¡@s {,) dcl prob¡eñ5 36 y (¿) de¡ probltu 37, por el tco¡€ma d€ crm. .Cat . r S* C * " e r a d a q u e , m r l ¡ u n ¿ É a r ó ¡ d e ¿ R o , . t . D e m o {. , r q d e y ¿ , . ¿ : . d , ¿ , . ó , .q - * " "m pt e

)lta ..l

$ L,* * *o * ^l o" + tb&+ b,s+ b) du = o, - L,ta

Fn qk ondhóf t \ s r á n u ¡ at a , n r e s r ¿ t L u n i t r neen¿r o r n oa c u a t q l i ed, m , ñ o ( l _, 21ó) , , . Hallar el áG ñei¡ad. por ta hrpqctoide )¿ \ . r, i. l. ,,: Lasec uac Dn epsa r s n é x ¡ c ae: n \ - . ¿ c o r , ¡ . r ¿ F n , ¡ O . ¡ < , 2 ¡ l Ls u8eEnoa:

ittst

/8

,*".,=p*no.d e ñ o { ¡a ¡q u et í ' o n

comp¡o6a¡¿rteoma d¿ crem ei €¡ eta¡o em"

/t.

/

'

/

coñún a los ci.olos ¡'+/ (¿) Demorúr que

=4 y r, +r,

...'

),,^, (¿) Calcularslá irteenl.

tz,y

¡.+gd9+6, s,¡

{ó) 5

t - 16

(/

,*

- 1J,,,.

.,u\ d, +.!2d!,sie¡do

S ¿ ¿ t ¿ r ¿ :_ sot

J n a,B

..",0**,. ce¡.ontoúo de ra ¡E

,t"¿ Vator conú. _ ¡20¡ 4,/)d?

es indep.¡diare del caminode (t,o)aC,

'E¡¡

IO]

INTECRALES CURVILINEAS. INTEGRALES DE SUPERFICIE Y TEOREMAS INTECRALES

1". n¿x ) d¿ + ( r - 2! en. + 3, , ! , ) , t u sat. r2t4

221

F

Qd :::t.I tyDJ a \r12. t).

I

calculú ta inrcg€t cüNitineadel p¡obtenaa¡re¡io¡e¡ tomo a ün pa¡aletog¡ano¿e vértices (0,O),(1,O).(s,2).

a

l¿r Demd trarq k u

, 2i. r , r

2r : , J , { r ¡ r ¡

¿ r o r a r g od e r a p a r á b o r 2 a¡

- z)¿ dede

2 , , }r 'v n ó e , d , r e r c n ( i a. \td - r ¿

r ¿ , D e m o r r d ro u r 'ij,l¿. 1;Í.:":rj:,il"::*',"drr'Iaro'.H"r'a,un¿
so¿ (ó) ú

., t) ¡i + 2¡, + ¿e "- = O - ¿r'(r: + 2_rJ,)+

ñ.TEGRAI,ESDE SUPERFÍ CIE a Z k , c . t út úJ J , ¡ ¡ ,r.¡d s ,\i e rd o s t¿ \d p e ri íe d .rcono.._l ,!/-..,enrÉ ¿._o),_¡l r)tn,.,. pretación ñíc¿ de este Esuttado,

"t¿/. 1¿) 9¡

"' l:T"il i, l,f ; i"l:TTL'á'.'" n"'"'

'

-

É

,ir"

'l l"

j= I =0,,=o ",,.n"0"o.',,) o.r =q¡ - 2,,.=3,(ó)

supe¡hcie del pa'aboroide22= ;? + t? que q!€da ruea dcl c.'.

H:l¡dr d arc, de tJ .LperñcEdet úno,:

'

= v"=t.

Lr- _ urr ,,ñrtad, por.t p¿Ebotoid.¡ _ ¿

s. Harlár eráftad€rasüpe.n i. co.ú"¿r.. dri"drcüJEi-r"laa_1j

/r.

sot. t6a1

de'-.¡o',e d r,'. 0.' - ¡ : ' ;l lfl;l#.:f:ifi:T::::fiil :1j,J.'.: ::" ¿¡dmr' "/;' pú' qu¿há!'endo Erpr'@'¡ * r h-e, reü.u@ de ,J, \e ,,enerd ,uperñc,e ,'J;,:f,T'l:,.TJ*"n.ó. dr. t¿)2n¿l\onrde¡c,. el tinne p¿ú d . tr2l

L

9.

der¿sup€rP;::TJH#T::f.f :1"*"':1;,ff:,i::"fi* ;:';H* " * pun,. ¿ iup€rñc,e 6tp,,ca.i + Jr _:: _ ,¡ con,enrd¿ ":":::.|;.',; en .t cono¿ ls _ V,ir ir, ,:,'i:,,':'

";' E T¡OI!M,! a,

:.:";::',:::sr

r'urhdó obkm' er úd'o de m¿s de ¡¿

z -4 c"t-t,.

" 'uperhc,.d. un h.mtr,c¡o

DE LA Df!'ERGf,NCIA

V¿¡lfimre l roMa de t ¿ div e4€nc iapaÉ A: ( 24 +¿ ) i +r : J - ( t +3 / , k 2, )u - :. b ". n. u. 0. - _ O So/ . V¿ t ó .l o m u n _ 2 ,

rr. cur-r,. ffr. cr

"'

"

)'1))=t) JJ

as. dondcF = (zr-¡)i ¡ = 3v elplanóir ' . , t o/ .

A,¡ds,

do.de A=

o"..nroir,,,,rl",uo,or.

e ¡ t á E s i ó n h m ¡ a d aD o ¡

vf r 3:A ) .S e\ Ir .upc-rlie de lo ¡egón hmÍada poJ ró

(zr+tz)i - \,2+1!)i+ (?,+2,)k y s es ra supe¡6ci¿ de la esfer-

s¿/.ros¡

63, {kfie u¡¡e \¿tú de . r ) ¡ ¿u. t z + r ¿z dr + ¿d¿d?, don, le s 6 l a s u É r f r c i e d c ¡ a ¡ e s i ó ¡ t i n i t a d a p o r e t cilind rctr'+/=g y ios planos : = O y j= 3, f ¿) ut iliz , ñdo € r r e o E ñ a d e t a d i w r s e n c i ! . t ¿ ) d j E t a m e n r ¿

222

TNTEcRAf,Es cuRvtLtNEAs. INTECRAI_ES DE supERF¡cjEy TEoREMASINTEGRALES [cAp ¡

ó¿. r ¿l. Lk r

Ar , dt t dz , 2 d . d , . y ¿ d r d r , . R n o o \ L \ u p e ¡ n c ,dc e t JJ c ú e r o ¡ m ¿ d op o r , - 0.J=( z = O.,r =sl.I - t. : - l, l¿) düedanenle,{¿) por et reo¡emade C¡ee¡ en et €spacio(reo.emade l¡ diF sot. )12 eenc¡a). r v . A , . n d s - o p ¿ B . r ¿ t q u F r\ J p f f n c i eñ ¡ r d d ¿ s

;.

h.

kmo'¡d

67

si ¡ 6 el @to. n:fta¡ lnita¡io exte¡ior ¡ unasüpernoeeúada cüarqürr¿ qü€ ., tinira ¡a ¡esión y, demosrtu c

qkJJ

nds - o¡ i.ndo , ,¿ Trtu,

er.erior a úne .upcrficieer¿d, !L¿tqu¡e,. s.

lJl u*"au= s TF¡REMA DE STOI(ES

*

::'T;Ti,1'l"l',

=

t :j'*¿:f..^

1j

,i";.:.:.,il¡'do-s ,apü&sp€no.de,asup€rñcie 6ri,i¿

=""yJ :'$;-:i j* : !":i:ii":,H ;]:;ií;li-;,:::t.iji :;Tft:..; ;:ljlT*:ii

69. Cóep¡obú el leorena de Stokcspa¡a A = Lr + :)¡ .J¿¿ El válor onún es (¿l _6. fó) _9. l.)

¡8

C¿k ula. v . Ar . ¡ dS.. i c n d o J _J

¿ril(r,tr¿,i

A r {r

j , v 'k ,

e e t c o m :_ s e \ t a . ú p e r h l ra

z

a"r ¡uno,¡. so¡. t2r "noru 'Gdl 71, s , /e \ d n ¿ ,e a ,ó n i m r ¿aa po, Ln¿ruperrr.F erad, s) a

v { 0.." ..,,, " * JJu.,^= n la) Deñornr queF = (2D^+l)¡ + (xtr, 4rj - 4)k esu. c".Oo O. t"*, (¿)Ha¡tdrdt q u er -v ó (l c r¡c u l ¿' F.d,. -*.*",,""o. . cudtqLi\¿mrno er .,,-)a j de ,1. r,) L " .ndo J .tor. (ó) C ;' -

- 4),: + lJ + corstah¡e. (.) ó

SeaC cualquiercañino que üóe un pn¡to de la esfe¡arr + _ftr+ :1 - ,, a ün puntode ta esfer¿r, .,¡:+ ¡': = ó'. M6ttu¡ qu¿ si F = 5¡r. dondér = \t + ri +,r, e***, r. a. = a, _ J ",. en a r.ou..u r F . dr si ¡ do.de lr) se suponecominua. /(,)r, J -'"ur-

''A\e h €J"'nnn' uar

\i e \b r e r ,¿ fln c on @ r¿t qLe f,

v@,o1.

,'. l;1.; :l; .,''i.i' ,,lu.'j *"'1.... lbt @ - - \'p- ,

1

".,n",,"..

+t)¿z=o l,i"'l-ilLT:'iiS'T'"jr rjit 4r,^+16r ^1),t,+ t3,22 PROALEMAS VARIOS 77. Der ónr ¿. queLld. old, . on n *. d i ¿ \ . u ñ c , e n . e p , , a q , " {! " : 1 , t , .

!!, d,

",,,.",",.^.",,a" nnprc cetra'roce¡ un¿resió¡ rt Giendóucontinua v rañbi¿nsusdeivadasp¿rciares de of,re¡dosJ

., q,. {-4q

_ ^

?8. ConD¡obarel reoreh2de c¡cen para u¡a resión núttiplene.reconexacon dos (huecoe,(prcblero rür

rP t0 ] INTECR ALESCURv t Lt NEAS. t NTECRAT. €S D E S U p E R F t C ty¡ T E O R E M A tS\ T E C R A L E S '.

5iP¿\+!d rno es dit e' enc jalex x c r ¿. lEr o/ 1p^+ q¿ ) 4 d r e n c i a l c r ¡ c r a . s i ¿ n d o / r c i e r a f u n c i ó n d e i y r, se,1'e quc /r esun/¿¿r,r r¡¿s¿"n,. t¿r)Dcnor¡a¡quc st F y C sonfunciobcs de r sot,nenle.cnroncs5 rFr.+ C)¿'l + 4r tEn¿un fador inresranre r. qu¿esuna fu¡ción de r sotanenley halar r,. ¿eué deb¿su;o. n¿^e para f y 6? (ót Medianre(.,) h¡ttai solu.ia¡esdc r" ecuacióndii¿remiajr'r,= 2i; jf sol lal | l¿) r = .i \. dónde. es u¡a co¡r¡nre cuarquE¡a - lrútd

l.

H"l¿

¡-

s, /1/l es un¿ füódón con!ñlame.t¿ djfercnciabt¿ de . = v{-

.d

:re " d 0 lJ . uDn

torJbotode:_,.

,t.t / "rñ,s E

ue ror'd q L.

!.

+ r: + j, demosrrarque

.t.,.t ,. , dv

. @n.r s l l v

0 aondeó. . Lnd r L . . . ó 1e . c d ¿ r o pp u n r or L d t o l , e r a - o f l j a , d m e lc ú no¡matunnaio exrerór a una süpcrficie€üad¡ s.

*.n"iuo*.

É

221

n i, ,r r-,o. " Denormr ja rcuaciónlJ). Probt¿ma32, ü¡|z¡¡do el reo¡em!dc creen cn el pta¡o lsusscn.ú: S€¿ta resióne¡r¡da R dcl pta¡o ry dc conro¡- c y *p,:nsu* quJ p_ tu bansfornac,ónr = ltu.r)- ! = s\u.t:) se f¡nsforma¡ en t, y c, dei ptanó ¿¡ ¡espccrivancnreDenorfa¡ pridero qu¿

"'la, . r , d,

llFtr.r\t¡¿¿

-c'

' . . d"

, eü.

Ft,.ú.. tu.so demór!¡, qre. :¿ho et n8no.e.,a

.fr ¿ o a o l ur.inun,o!,,r e,isur,.1. al,, , ,.,,, .11;;,, . "".r,1.no,himo. d. c.eer "pr,d er,eorcn¿

par¿ ransiorñar óraen.fl ,vt,,t, ¡-¿tlf$ltuú. 't

Sr\-/(u .f,!).y=s ( , . r . ! ) . - - = ¡ ( ! . ¿, uJ denneünát ¡ . ¡ s f ó r m a c i ó n q u e a p t i c ¡ u n ¿ ¡ e s i ó n t d e l e s D a c i r': c¡ una reeió¡ n del cspacro!r!. denoslra¡con el t"o*.u ¿" Srot*.,.

o,o,o"- lll na,".tlfffi .ffJ'N,,,,"t ^,^^ dondeC(!, f. r)= ¡U1¡,... !), sl!. r. o). /¡(u,r, ! )1. Erabtee¡.on,iicio¡cs suficientes para la validezde esc rcsulrado.Véas¿Probten! 8:l ¡É

l¿) DemdrBr qr. m senera¡.I¿ ecu¡ciónr = r(,. fr ¡ep¡esen¿a una supericE.(ó) Estudrar scomeúrcam¿nre 1 4,ic1h .Jrio r s"om d' r . xde, ,... . . . . Endo, , y , , . o f . , a n ? . ¡ , Dc.or¡¿rqJt et e..,",, .;...," &' =

-*. ¡,

c.l'.9'

F.:'.q'

Edr ' +

zF¿ud! + c dr,

.

r¡,)Refinéndosc ar Ptublena3s, denror¡árqu€etetencnrode superficie efá dadopo¡ ¿S =,,¡EE-- r, au ^, 'ar D{L,r de , queet . r c ddt L1¿ ¡tu ttes F 'ú d l t E G , ' pc , r . , . r .l.l

¡s"g*-c",.rnr"frxS] =

# " #) (#, *) ''**, '*'*.

r ax B ) . ( c x D) = (a . c ¡B. D ) - (a . D )(8 .c ).

r

j"=".11:$:::.::;:1** Í:3:T::tiH:,;,i"'"J!:ffilJ::'ilfi,!,:;T.ll,...i"',="J;*:

I

n-""." ;t";j

i;,"-

",

,4 obt¿ne¡di! a ¿n (¿)coordenadas.itindricas y (ó)coordcnadas cr¡¡icas. v¿r\e

Capítulo11 Series CONVETGENCIA Y DIVf,RGENC]A DE SERIf,S $" . y con¡ideres€l¿ sucesióüde r¡,M S! = q+u',

S r= t¿ ,,

p¿lc¡ia¡€rde la s€rie "s¡,.s¿,sr, . . _ con S ' = ú+ u' + n' ,

...,

S , = u\+ u' + ...+ uL

Si esla sucesióDes convergente,€sto es, si existe u¡ número S tal que lin & : S, la serie l/l s cohve¡sentey S * tlamasMa de dicha srie. Si no eriste tim S", ta serie-ls aierseare. lCompar¿r el Capitulo 3, p{ísiDa 43). Suel€ ab¡eviarsela *rie {¡)escribiendo ¿¡, y el úúbo¡o !, es et

+.or.,,

.i*!

= j +j +

+ ... . aq¡ s, = sumdelosp¡ime¡d =I u téminos "!

Ea 25,c¡piruro 3).Entú6..*" Ei s d o r: rel="nofollow"> (* 1 ) " -' = 1-I+ 1-1+

.rit (t - *)

;

= 1,rasie ¿scoorrsenl€y ti¿n

. , A qulS , = Oó ¡, seúnqu€, s paro i mpql

¡in S, m qiste y l¿ erie 6 divqsenle.

PROPIEDADXS I1JNDAMENTAIIS DE LAS SERIES 1. Si:¡{ orve.se, lin e" = 0 (véaseP¡ob. 26, Cap. 3). Pero la recip¡oca no es creí¿, o s€a,que si lim ¡r,.= 0, :r, puede s¡ o no coDvergente.S€ deducequ6 si et ¿-ésimo de üüa s.ie tu tiende a ce.o, la s.ie es divergente. 2. L¡ ñultiplicacióü de cad¿ témiro de una seri€ por una const¿dtedislini¡ de c€ro ro la cotrrcrSdcia o div€rgencia. 3. La supresiór (o adición) dc un núm€ro/ü¡lo de témi¡os en uDa s€¡ieno areta su cia o diverSeocia.

SEDfis ESPTCIAI.E¡¡

r. Seri€¡coo¡úic¡.

= si l¡l ¿ r. t¿ sunadelos, p.ime¡o. ,a.i'* I'l < I y diversc ¡i" "(Probletu¡ 25, Capirulo3).

'

224

o s, = r$

225 L

r* r.L r

Lt e. ie D . S 1 =

vergepara 2 5 l. La se.iecon t:

l.

I es la Uamad¿Mie arnónica.

DE CONYERGENCIA Y DIVERGENCIA DE SERIES DE CONSTiNTT;S C'rlterio de co¡rp¡.¡ción p.ra series de términos no .egativos. (d) Conwryen.ia. Sea ," : 0 para rodo ¿ > ¡r' y supóngase que !!L conversc.tntonces, si 0S r" pa.a ¡odo n > 1r',&" tambiénco¡verge.NóreseqDe¡ > N sisniñca/e un .ioto",StéMino .k ¿¿.lante. A nenudo es N = L

Ejdúr¡o:coño ,i

=i

¡' )*!

-**s"

r".ua"

)¡S

-**g"

(b) Diüetseacia. Sea ¡; ¿ 0 para iodo ¡ > /V y supongaseque ¡r. es dive¡genre.Enronces. si ," : .. pa.a todo ¡ > N, >,, rambiénes dive.gente. E i6 p ro : c o mo ,,1 ,.

I

,

> -l

a noe" !,nr,, rdm\,er drve,ee

2. Crilerlo del c@¡mle para wies de térninos no neg¿rjvos. ( ¿ ) S i, " ¿ 0 y u " ¿ 0 y s i In a = ,.{ ¿¿, y !,,, o ambosconversen + 0 o ó, enl onces o amooso¡ve¡gen. {á) Si ,4 = 0 en (¿) y >," converse.¿,, co¡verse. (.) Si I = .o en {¿) y L, d'verge,:,, dive¡se. Ete c¡ite¡iose¡elacioú¿con el de @mpa.acióny €sun sutirulo muy útit del misúo con Iiecuencia. En paficular, tomandor, : l/¿. setieúe,por lo quesesabede la seriep. que tdd¡

l.

Sa lim ¡'!, = /.

i

i

Entonces,

(¡) l¡" conve.s€ si p > I y ,.1 es finito ( ¡ 1) t , , dive rs es i p Sry A+ o (,-1p u e d eser i nñúi ro). t¡o¡o,

r. >t!, z. )

!1

pu6toque -"re's€

;*

¿ n " ,¡"p " " ro ,.

".0," -

_ rL= i. In'

{

,il 3. Cltredo lnt¡gnl p¡r¡ s€riesde téminos no ¡egalivos. si /(¡) es positiva,@útiúua y monóbna decrecienle para r ¿ N y ral qI€ /(,) = u,, ¡ = ?{ , ^/ + l ,¡r' + 2 ,.... = !,, e s c o ú verseüloe di ve.setrre sesúns* J-l i " fA , j'jl J, l(r)d" *" c.*"¡gente o diversente.En particula. * puedorener ¡r' = 1 cono süe-

:

ti li ri l

Ej".p'., .:lt

mnv.rs.prsroque Ja J'*

4. Crlúerio por¡ si6 ¡ltm. positivosy negativos-

=

;*( t

f) " " r " "

Sei¿ ¿h¿na es ¿quell¿ cuyos téminos son aliernativamenre

;

i I

t

i

226 Una se.ieatiernaconverge sisecumple¡tasdoscoúdiciones sisuienres lvéaseproblema lj{ ta) u¡+\l = l¿"1 pa.a ¿ = 1 O) l i mu, - 0 (o ti m,. _0) Ej e m p l o : P¿ r¿ l ¿\ ene

I

l rl .l ,r

, ,

; ". h:i . D€ do¡dela e¡ie corve¡sc.

S r-L-.'

I uesop¿,,

." ,," " "

.,

tJTbr.n ti m a., _ o.

EI e¡ro.lum¿¡jco qDeseconeteal omitir en una seriealtcmaconvergeDre qLrecumplelas (ME c ,o n e tu s ') re m ,n o rquei 8uen a un d¿doe. menorqu. rt t¿tó,absotu,u ," ;," " d" ¡ ' ó rl o \ " ,s_r ; Ejdg¡o:

r

si s coía la srie.n el cuáró Émino en la *¡ie I 6 ñeno¡ qüe j : 0,2.

+ + I _ .1+ j _

. et qm¡ oE-

C:nerctr:á

¡b¡otut¡ y onre¡soc¡{ co¡rr¡cio¡¡1. La serie :3, se drce abs"rutfucap .1 " e \con,ef8(nresrr¡" .onrer8e.pero> r/" di verge.1¿ \e r!" dR ,o¿.1 ¿ l :.:L :,:-::

S rIl 4 l .,o n \ü g eL ,. .o n\erge.E sde,r. queLnaseri eab.ot,ramenre conrergente e\ cor ,^ t!e . a s ep ¡o b te mat7 ). ¡e

Ejm¡'or:

ti.n'"r'

i +i

i ;. +. á cente.ya quera seriede varo*,

'-l*j I ¡

+ .

j* .

... esabsoruranente conlereen,e y. po.a¡to.¿s "b,.,,,., ;

.*

+ ' + * ; .

.

""""..*".

* j r j * I * . . .0..*.o,r, **. r j --..g..*-,

es condicioóatme¡ie conle¡sente.

Cxalqurm.de ¡os , -- para estudia. üite.ios utilizadospara se¡jesde Éminos ¡o negarivosse pued. Irza¡ ta conversencia absolura.

6. cdtedo detcocie¡fe. sea

],jli *

1= "

Entonces ra serje:r"

l¿) converge(absoturame¡lel si ¿ < I (ó) dive.sesi ¿ > t. S i ¿ = l e l c .i l e ri ofal l ¿.

7. Crire¡iode h r¡iz e¿sib¡. se" ti^1 ,,t . /. Inron.e\ t¿ \.,re L,, i i¿) co¡verge(¿bsotutamenle) si ¿ < I (ó) divergesi ¿ > I s i ¿ -l e t q ¡re ri o fal l a. E. Criterio de R.¡be. sea l¡m ¡ll .- ,

\

rr'' tt

) -

/

¿. Enro-ce. L rrie r,,

r ¿r c on\ e gf r ab\ olur a h f n ¡ e ). . / . I (á) diverge o conve¡ge condicionatmeúre si ¿ < L

SERIES

Si ¿= I el c¡iterio falla. Esteüiterio se sueleutilizar cüandotalla el t

c lt eío d e C ¡u s

s i !-l

= t -!.:t

221 cnrelo der coc¡ente.

p pa,a rodo a _ ,., con l c" l <

t¿) converg€(absolutaneDr€) si ¿ > I (ó) djve¡se o conve¡ge condicionatne¡re

enronces ra ^.

si ¿ S L Este cr¡erio se suete nsa¡ cuando fafla el de Raabe.

conve.cen,es s ¿b$,u,amúb il":H'i[1ffiT"] 3JlT"",j:"':i,"i,:;T;*',j";iln,e con {

Y SERIES DE FUNCIONES L}¡IFORME S ea{ a, ix r l .¡ = t, 2 , l . . . . u n as u c e ro nd e n d€fi ni da\ en L¿ ól | á' ur\i ónsed' .e conE 8É r hdc , a¡ r r r o q u e ri e * | | .,,. ¡,, * l , ' l l ' oner " E ¡úme.o /V puedeo no dependerde j at riemr

ü

en,,arunN, o,iq*,,.,;,_ 1,,,,.':;j;;íH',':"*T".,:;,:.1;:*,;..iÍÍ|i: rli;

*,

h

;;;: ki';,;X::;:: ::,:":-:,::",1f.:";ff :"'iiH"i';:[Hf"li.¿# I ',"¡ry" ::"] La se¡iede funciones

¿ r^(¡) =

"L(r)

+ ,:(r) + ¡¡r(r) + ...

(r)

¡ -=1,2,3,, con rs'G)], = s.(x) I,Xii"iil5Tl':.T,11;11 i:"t""::li: :'-'r rrciares ":l se s(r) es la r¿u¿ de la serie. p"r::f::- 0,cáda. der¿.,r \epuede i'i:: ü.1::':"ii;i.s?fl,rÍ.¿r'' -,":"";fi",'f : ür) l?." "'T: L¡mo - s"lr) = rR"(rjes er resrodesoui

ll"Í;fil:.':}i::.',i:i}J; ;:l*lil;5;::i:1J,TJ1¿f'j--.x,"i{:",'::?i,:t;:

Íl ; il

I

228 SER¡ES

."',fft:iTÍ:

tr"1" "tas

denniciones par¡incrui¡o'os iDrervaros disü¡to.d"r. s

" s:^;

,".i:[:t::i::""']il'jfign"'ltf"",,Tf,i;",."itilffHffi"o,Ju,,.deva,o¡e

, fiffi.1".","_-ffi;,:;:ff:1tr .''.T:ff:"::;:m",,,,

CRTIERJOS ESPEqATES PARA CONVEXGI

\a) p"(x)l = M, (ó) :M. converse

n= 1,2,8,...

eDtones:u"(rr s Ddforme y absotur¿menE cL en er inrervaio Ej".¡'., q.oo .á ". "",,.*" , "-.;;Dve's€nte"/€¡seireen[0 2'] püstoq* lq+l :* --*c"

=

i

",:-Tff ;":,xiff ifi:".;:ffi ;:ffir *.::1jry:rj.ry#:*ffi

xf:'¡ri[#s;:dml ;;:ir;],iui# a¡¡p¡ff ii"diE

f.

:ffi " ":''.:sffii:ií:;Í,ilt$tit;fiitJllth"it"tÍllT;nii

C.tte¡io de Dt¡icUer

-'

iiJtrl::

Supó¡gase qüe

e" monóronaie*eciente. eendosus,émioosconsLaD,e\ i:l posided

(á) e¡isre una coBranre p rat que paE ¿ ¡ S = ,

Iuj (r) + ú,(r) + ... + u,\, < p pa¡atodo I r¿> ¡t. EDtoncesta s€.ie

a \u\\x)+ a,u,( x)+...

= 2,.,",a¡

es unifor¡neDenteconvergente en ¿S¡Só.

*"":.1l1A: :_"T "*rDs

uNrFoxMEMENrtr CoNVERGENTTS

*#,"ji"::: Í;"'";.l;::::;ff.'3':"TT"#"f:,1::Tilj: o",". *"* Íi:"¿.g". ","0 :a(})c.¡rerse ünirormenen,€ ;i"l::""1ffi.?"l",r1ltjsi ',-",'""íl:ili_{r;i "1;fu;,

¿*,i;,,tn:.*i***X:*t+n,******l',,*,:

229

Ed pa¡licular, si ¡0 esrá e¡ [4,¿], el teo.ema dice qDe

l T" ¡'',

. > r imr ' ( r ) - :4k")

de ha,r er ¡,ñ,,ed , o"**" , L;

,;"

",."

,, ., punto ¡o es un ert.emo de

[¿. ¿]

7. fl'{(xtj,,=1,2,l. son coDrinuas en [¿, á] y si :,"(¡) conve¡se slr) en [d,¿],enronces unifomeménrebaciala '

{'"r"r* = á Í"""

t4)

Í"'{2,^a¡*= ti Hi,,Íl"iffilji;*"

t5)

rrie uniror¡¡€hedle converge¡le deruncio¡es conrinuas k puede inte.

liíl'J¿i;,l"ij;;;,;:¿i:tfi * lix:J.[T,: :ilI*ff::i'i::;;:"hlk, :,,i;l?r s'(c) = :'1úk)

(6)

.*li*r"¡J

= i .¿..,-, tl)

{."(.,, "=Ií:!i"$n{kxilr**i* #,::.ff"j".ililj:r,i:,"J:fri::' lr{'""r'r" = Í"'¡¡a''o'o' F

es el aDálogodet Teo¡ena 7.

I¡IES

(8)

DE POTENCTAS. Una *¡ie de Ia fo¡¡,a d

I

ffi"í;,i;

r...

\' -.r "" ''

\9)

e ttaña¡4k aepo¡e,.¡i6de¡ Esa menudo conve,ieDle b ;; ,i'l",i,ll'tan'e, abft-

,rl *,.'; "Tffifi:,'."1ffi.:,::fi:;:".::":'::.t ,dcon_ it,,:, | #,,,::rr"* . R{f¡do r|,n,e^áro'rr < Ro . n .', - ; ;;;;,."#;;r;r,;i"il;1",:::jH::ffT,::r::l:

:r;:;l:);t]il¿:"firr.";';;:; qi:i¡lili ¡'.?i i:T::""1:::riii:.:"r"-;;#

:xntm:*.th,;:*x..:"r,,*+;i;,i S:li:f i"*,,*q*lir$+"tirfi **."""'.""s

,.

",j':";o;'

varenp¿¡a u¡a seriede pote¡cias de ra rorm¿ (e),

dondex se camb¡a

I

2.10 ICAP!I

T[ORf,NtAS SOBRE Sf,RIES DE POTENCIAS .-.. .yl1

*":

Teoer.a rt.

o. poLenLr¿\ unrrorhche, ) Ldmbi ¿n ¿b\orurameore 'onverse ^" \i re en rodo,n,ervcio, F ' " " " ,r" d . -" ,* ;;,;;;.

T.ataú

d¿ Ab¿t.

,",.::T1;:[:"'.:::ii],,'.T""::::1',:"'J:l:ff:",;fi:.:*iÍ:;",J: Teo.ema t2.

si

T@tcna d.t lihite

.te Abet.

c"a" es mnvergenteen ¡ = ¡o, qDepuedeserun pu¡ro inre.ior o u¿ exremo del oe conve¡gencia, entoqces ,i

=á[i ,,J =¿,,, rs,{á"4 ',';l'f

:' J:Jil::-' "Y

queescribir ¡' ¡o+o b'enr

+ ¡o_ eD{/0), ses¡inque ¡o sea

de,, eo¡eña rr y del Teorema6 sob¡e Ia conünuidad de ...,""'::,¡;trJ;::T"::'""U:';a'a

OPERACIONESCON SERIES DE MTINCIAS . ,,f,J.1n".,".*

*",'ruen sesupone queródasrassenes deporencias sonconve.se¡tes e¡

, ,,:;1"'.1fi,':::';ff:"¿"T"pueden

suhtr o resd rerm'¡o a témino pa.acadava,orde ¡

D o , ,e n e , d e p o re n c i d sp .o r ei emoto i " a¡¡! -" srnpro ¿ r r ""' .l ar' * puedenmLrri pri @@ .J ;' ;..¡. c" aob" + atb" 1+ 0.,b,_,+ ... + d_bo .esunadoque es válido para rodo x.tel inte.vatocomun de @nve.gencia_ re .e

s i ta e D e d e p o re n c ,a , : o ,,r,,sedrvi depor I de po'en(ias:á.e s'endoóo = .e ,e puedee.c,,bir (omo \* 0. er .. ;"";:,;;":;"J"'.'e rgentepara vatoresde ¡ suficientemeDre E

2l l ló.

:.

-.

su(rtu)endo r .

h6 ¿,. proceso que < \uele ll¡ñsr

,)"ó,r.

* pDeden obrener Io\ coeficrenre.4 en runc,on

¡atcaian ¿e ta s?ae

DE FT]\CIOI\ES E\ SERIES DE POTENCIAS supónsaseque /k) l¡ susderiladqs/'(I), /"{¡), . . ., /,,(r) son continuasen el inrerv¡lo cerra. < ¡ = óy qu€ /' + ' ,(¡)q i s te e n e ri ¡i e rv a l o a bi ero¿< r< r.E ¡ronces,comoyasvi oencaprecedentes {véansepágin¿s61 y 95).

t@ = t(.a)+f,(d)(r-a¡t f f p - o y + . . .a { lp 1 ¡ ; - . ¡ , + n "

112)

i,, el resb. está dada en ün¿ de las formas

re"=ffi(,-")'-, n"

r''lil¿)

l,- a"o-o¡

(r.e) decauchy) {rorma

\1.4)

t(r) =

_a)*¡'li)a_4" *!t!!a_.r n ... + r(a)(, ^a) o desaftol¿ de Taytot

\15) é )A ttatuda Ni. de tá tuncjófl fl¡)_ En casode que ¿ : 0, se la suetella_ eie o daaftouó de Ma.t@t¡¿ de la funciótr /(r). p¿ra p.olt"-u, ,.r.i a"."...rror, ,e"." ¡éb Capitulo 6. ".lo, Se podria c¡eer que si existen rodas las de.ivadasde /(!) en ¡ : a, el desar¡ot¡o(.¡J) sri¿ siemD¡e asi.pxessi bien puedeobf'e*etomalhatetis;;i,"ú: ::j::::.lg::1:'*:,"""ñenre de (¿J), la s€¡i€ rcsxaute puede no converge¡hacja /(il. p"- * ¿" *i. "¡.pr" "?,r" Ias .ondrcionespFirss barolas cr¡alesconlrrge Ia serE hacia se obrienen del me¡o, ¡\, modo proceo'DÉnlosde t¿ teoria de firncionerde rariabte@mpteja. VédseCáprluto ¡7. SERIES DE POTENCTAS IMPORTAMES prácti@ En ¡a s.urilizan frecueDtementelas se¡iessiguiñlesj que convergenhacia ta función in_

= ,-fi*{-fi. - .c u * 'ffi r .. - - <,<2.

e' 4.

-tt,."rt-j l

+. . . , f i, , + .

rn/l+'t = ,-t* * -t* ...t

lr li+l = ,"t*€*l*.. t s - ¡ , = ,-$*€-I*. 7. ( 1+") ,

= 1+?r

-6
r t - , T* . . .

- 1< ¿= 1

* ffi n ..

- 1 <,<,

.r,,#*.

_1=,=1

+ e@ ;)a" + . + p (p 1 ). . : (r. )-n + r) r, +

232 Esra es t6 sdie bn1ónie.

f1l !j p * * núme.onalurato ero, ra *rie rerminay es un potinomio. {ó) Si p > 0, p.ro no entero,ta se.iec I \

u.' s' r - l.o

r,,",l;:;ü;;n"'i'.'":I¡u¡¿nenrerp¿'a :: s I

t¿ ) s t p -= t. l ¿ * nr con\ergepdm .r - .\ / l Parn todo p la seriecoovergecienamentesi _l < r:

t.

TEMAS ESPECL{I,ES l.

F|¡|cio$ d.foid¡¡ por sies son (d fKEmB úrrte, en tár apli(dcionesy suet.n ¡F (o¡ucione(dc erudcione\diferenc,ates. po, q".p¡.l r" i"".¡á,i ¿"i"¡i" ñ

,,-'_',1.,.

""'"'

2 t1' 2 ¿ L -2 ' ' 2 . 4 t z p-z ; t z p .i) É (-ry(n/2)"'h "-a n!(n+pll

(L'

]

s ú a s ru c ' ó Dd r l a (k.¡on d¡f¿rctuútde A ?Íel ,¿r _ rr' , rr, _,?ru .0 v." pot .ro Ju"ctü dc Benctde ardenp. Véansep,obte;¿\ 4ó. ' t0ó-109 ' De ld mi,ma manera.ta tun ion hipc,Ecun¿Íno

Fta,biqr) = r +fi, ++;+Hrrdc * .. e s ü n a s o l u c i ó n d efáe.,4c¡ó,.1i Í?rcnci ardecaussx(t_4r,,+ l c_l d+ b+ t,Ltl r,_ab, EstasfuncionesüenenDúchasimpo.taniespropEdades. 2. Scíe. de tédhc

í":.L,1, ?"í,*.

onplejo6, y en ¿sp€cialse¡jes de poEncias de ru r.*"

**"

j,,r,,d,

pDeden rrata*ed" .""".u u ", "omprejo, ""ar.g" ".Á;." h"",

Esr¿r r¡es depolenc,as convereenparaluI < rR.o,e

";íff1f ::.ill:["i,ff ;ffÍ:ft lj".::;;::ll:,::i: *9i.d:l-;i;::';::xlíJ""*":;il *ry*g"*á¡ ii ili'"".üñffi,,: ::,áT:ii:J:i:á ::_d.'::-!":."' "..?i,r d€€sc ci¡curo,

eiro = ¡,1" *¡# - e, -- para '- - ¡' p,,u*r,i .. , = 0 er.cuoro decon\e,8fnc,¿ sereduce ar inrenarod. coó ,- ,"'l::.::_qj: !11' il,"f.fl'lill.ll1l'"1:-'jir-conro.r¡o depend.endo de,,"r.,

Í:,1ilr"?ji.::J,::;:fi i.:"ih"ysii*:f; r::::*"1"il"#fiHi.:: ¡:"'r# l.

Seri¿6de fucloes de d@ (o mís),¡ri,bles, talescom. ru iu"1,,y1*

puedentr¡r¡

,, *ries una-lariabr€. Enpa¡r;cr¡Llisepuedeestudiar erc¿¡ i::i::.1":T"'j:.^"-! 1" ,, y en l¿s s€riesde porencias ;; ; f";; ""

aú| f u . ¡ ! 'o ü t t

r,

- to¿D!._ ar..t_do.!)

| .-.

l.;:i;[i"..,*ti:l",:ij"rj Ítit"ri:fl": üiiüi:$l"i;",tr:lii:'i'i

:tr:i".:hi:;r"["r1r,",,Íi¡i#d,l#;";',

' I']

{

SER¡ES

Series dobl€.

213

Considéreseel oadro de núme¡os (o fi¡üciones)

": ": ":

S€a S." = > > ¿,{ ¡a suma de los el€mentosde tas pri¡ncns ¡r filas y primdd ¡ cotumDas de ste cuad¡o. Si exist€ un ¡úme¡o S tat qr¡e lim S-" : S s€ dice qu€ la sri€ doble Z > u¿1.úúerse hacia la ü!fu S: ri m. que ¿@¡g?. Lás definiciones y teo¡emaspara s€¡i€sdobl€s son muy pa¡eidos a los d€ tas sries ya

Pñtucto€ lrtuito$ Seap,= (l +¡¡Xt +,,X1+,3)...(t + !,) denotadopor JI (1+?4) do¡de s€ supo¡eqü€ ¡r + - l! /<: l, 2, 3, . . .. Si exist€un númeroP+0 lal q!€ ?, sedicequeelp¡od"¿toi"filtito (1 + + ¿,Xl + !3).. . = fI(1+"¡),obrew,ImP,: "rxl úebre n(l + ¡r) co¡vú8e hacia P; si no es asl, qüe diverse. Si n(t + l4l) converse se dice que et producto iDfi¡iro tr(r + ur) es ahtututamqte con_ !e¡A¿¿¡e.Se pu.de demostre que un prodücro intuito absolutamenr; conv€rgeürcconv€rge siempre y que los facto¡es !¿ pu€den e¡ronc€s rcasnpar sid afecra¡ el reslttado. Los teoremasaerca de los productos infiÍitos puedd a mcnudo (ton¡ndo loganmos) hac€rsed€p€¡rdq de los teorem¡s sobr€ serier. Asi, por ej€nplo, s tiene el T6r!o¡, Una @ndiciór neces¿riay sñciente paE que n(l + ¿¡) converja aholutancnte es que :¡r co¡vedá ¡bsolur¡mñt€. 6. $n¡ttlid¡d.

Sean sr,,t , .S:, . . . las sunas pa¡ciatesde una sene divercenre>¡". Si ta sü, (que se forma roDando tas media\ ¿rihélic¿s de tos cesiónS,, :r--:-= , primeros n términos d. .sr, &, S3, . . .) converse hacia s se dice quc la s¿¡ie ¿+ es wál¿ en wtao de Ces¿rc, o C-\ wable bacia S (véaseprobte¡n¿ 5r). Si ¡a, corvergehaci¿S. el mérodode C€sároda r¡mbiébet resr¡trado S. por esrosedie que ef método de C€s¡ro €s rD mérodo t.sutar de sumabitidad. Sr+S¿ Si el límite de Cesá¡ono existepu€de apti@rs€ta .¡nisma¡ecnicaa ta sucesióí Sl, 9=9,

s , + &+s3

5r et rm¡te c-¡ dc csia süce3rón er¡srey es iguala .t sediceque :a¡ @n-

verS€ hacia .t en el s€ntido de C-2. El p¡G€so se pu€6e coútinüar indefinidañe¡te. S.ri.! drtódcr*

CoNidérÉrs l¿s scri6

s(r) =

a"+ f, + ff + ...* 3 * ... 'a n

son l¿s sumas parciales de esta seri€.

1L= O,1,2..

(te)

(20)

i :

¡

234

SERIES

Si &(r) : /(r) - s,(r) con f¡)

dada es rat quc para ¡ooo ,

= 0

lim r'fi,tr)

1;J;:i:1"Jil:: :.1J1;,,J.; ::ilii.t _,ti}::ili::i i1l.J:Í,"::i,;Í:.,i; enqufro.rem,no.comienzan . c,eer pueae ourenene unaapo:",;:jilTl 'j:T,1.*. ,"."Tjj"t::'T,::;'iliü:;,rll*l,T :Tfii#:lt"?,:n:.:""",ir,r,?;:":,T -

p¡oblem¿s ¡€s|teltos CONI'ERGENCIA Y DIVERCENCIA DE SERI¡]S DE CONSTANTf,S

l. r¿, Demosrrdr que _-l- . I r.ü - J.5

I- _ 5.2

""= e;-;*-+n= iffi

'

I € ?,!zn=jt¡tn,r)

;¡

converce y tórh¿th

.',-*

.s"= !,+ ¡,+ +t. =;(+_rJ_+(+ _;("=-rh) á). = ;(i-á.:-*.;- ."=-l;;i) = como .¡n,s. =:i:á(,_;; *a" u,t"*

0.. S;'i"

= j.

;( _,__-,1

r,*.i"""**g.y*.u."*4.

,"r","aric¿yaquclosremihosde.t, d¡rintd de¡pnne¡oy erúlrinó,se..É.

2. (¿) Demost.ar que ¡ + (jF + (+)s+ .. = _n*,g" y 1a;ha a¡ susuma. ,! 1¡¡ s. = I + (*)¡+(r)!+... + (if

A s ,=

como

s. "liB

- ,tiñ

O t u h¿lodo:Sea¿. r . ¡ .

2{1 - (i),) = 2, h si€ conv.¡eey su süna.s 2. lenetp,obteno).detCrprutoJ:tasúndAentoncerr,t

3. Demor¡ar quera Frie i+? + l+ + + "\

*

=

:g;h

= t-

(* f + (i)¡+ . . . + (if + (? ), i, s . = z lt _ (ir" )

..= Éfi

rr-

a i, * o .

Lueao po¡ el probtena 2ó. capitu¡o 3, ¡á Frie es div.¡g€¡!e.

; ¡ t - l , =¡

235 Mosrnr.qre ta seriede térntno rcsmo a" = v4T Que

r _ v4 esdilr.eeme, au¡qu€ lim = 0. 4

q = 0 * dedüe det probtcma t4(.), C¡p¡rü¡o 3. ilim

Ahon s.

q+,¡+...+q = (la_\/j)+ (lt_f4+... inden¡iddnnrc y ra E.jcd,E,sr. :l:-8: lr,*n*hmuestB sr. p¡obtema qu.

g¡, iÉ L ¿4

vqr

rambh

p¡obtm, 6

+ (v6Ti _ú) = ú+1_y'i.

t¡m !" : O cs (ondrió; ñPc':ari. Frc ao tulúP"te

Par¡ la @n€rsoci¿ d'

OITEB.IO DE COMPÁIACTON Y CTIIERIO DEL COCIENTE L Si 0 S !" S u"., = t,2. J,... y si >,, conre t;"*t:'"'::1.0* t" ta'biéDconverse resdecir. oemosrrar er cri,eriode co'p¿Eción*," ', , ! ' . 7. - r ' r , J + {r , :1":.: ' ' " Kr y €, dnh (omo ¿,,'6¡ 4 qhr . y es , gu ¿ ta r p " , c j . . p r o . y c o n o u . : , 0 . ¡.S r L ¡e3 o S, = r r + a, + . . . + r , S r , + ¡ 1+ , , . + r , S ? . o O= S . S r asi, pues,s,6 u¡a sqión ño,óroro c¡*jenle _ v acotad' v' por t¡¡to lic¡e l¡mit {capltu¡o 3I o s, ¿4 .onusc.

f.

Mediante ei c.iterio d < c o mp € ra c i ódne m o s t.arque tr

¡ + | r ... =

q!€

t:

1= *

,

ú1ó

l +* = ¡+l = * F ¿ r I *.+ = ¡r ¡{ ár ¿: + tsri+...+*

.rere'a. De modo qle (uatqujeraque s

> ¿ -,l

+,t+...

et numcrc d. rémin6,

r+ (* ++)+(* +* +* ++ ) + . . ¿ .

lrz

Cono eleE!¡do mihbrc s pucd. he¡ ¡¿ $i. d¡d¿ div.¡ee

- rt18réminoe-j

1+r+++...

nayor ou€ r-_ aJsq¡¡r nohero pmi¡no romandosufi.iftks émhos,

Por úérodos parcddd ¿l aqur ur¡l¡ado s pü€dc d.oosrmr qrc

.1,icn¿o ¡ u¡¡ coosta¡r¡, diw¡sÉ ¡i .j p é | y conw.s! si ? > I. Ello raobién pwde * rt€ñostrr de ors ña¡.ms [v&s prcbl@a 1](¿)1.

7. Exminar la convergEnciao diversedcia de S

lnz

3,ñ-1.

conorn¡ < ¡ r ¡;\=$,

*,"*

Ento¡6 la s¡i. dad¡ @n!e¡sc,y. q,"

:, , -t 4 = ; = " t

.j + ".""".e..

SeaD¡, y ,, posjrivosmbos. Si lim S = constar - *^-"t"

*',,

.z

;;" ;;

',;; , = llltilfT:.tlll

'r + 0' demornr que¿¡' convqseo 4 ;;;1.-' ':l 'rivose t s puede .¡csj¡u¡ d1ero /v,aro* el<. e*, t.ao, > ¿ Lu.sop¡.a " l!..< 5

Sün¡ndode r+

,o n,. \ q < r,{ !.)u. ,, ¿ < . r a @ (násphime¡te, d€.v+ I a r14,y ha€iendo t@son 3ó). ',

(r)

g

(r)

236

lf]i::i*"j :.r:Tt+:¡:T:*ii:1;,.;f,:#i.;ff-..'rj?ft;:fl "t;it::;J:[:T.;: Es,udi¿r raconversencia 0., a¡ E,n"*ái".

or r ih - - -o- * ¡ ¿iodo: il' : "\ "/4 ; - - ,h, '-

r¿) P¿r¡¿ 8Ende. a ""' "-

*-"'

"!

,i = 1 .t::Xf ,¡¡i "(#*)

k) rj' n"(n;jF3I = Lúgo por .l Teorn¡

*. 3fiT,,j#

r +3 \

,L. m- s o e o 'e l r . o E m ¿ r . p j e r n a2 7 j . t a *n . 6

lll'H

I con ? = 3,/2 ta sie

0 ,porraEBr¿ d. L H¿piEJ u oro

co.vcrs€,

,€¡probhña 6k)da11+ < + : oero concruir ,1, udae rucae á-",

O, >,*"1;¡

" = O po¡ ¡a Ésl¿ de L,Hópit.l u oro ñdodo). Lüegopór et Teo@

(ól Pan ¡ S¡ande,h

(t/,) .s ap¡oxinadmentet/,. rjsto ev¿ a conside¡ar

¡,. ,,."1')

\,/

f..nflr,',, = ¡,_ 1--lz-J

ll:i

= I

de donde* dedue,po¡ et T€orema I con? = l, quet. e¡i. d¡daconlc.se. CRITERIO INTEGRAL ll.

d ,vsl *

," ii, - -r,, - "0,.t,."0,..",, **.'*. , *.. v >,, = i>* = 2), ra si€ dada@"EL """ , = + E .^.. e.. ", ,eorcn¿r, Ésina 225.raeri. ñ¡ve.!¿

lji *('1,!)

, .t*.

(") á#

t,E

r0. Erudia.la conversencia de f,t (¿) Il¡ l¿

_ , /-4.

ot ),fi!r,

Demost.a¡el crile¡io iDteg¡al(véasepágiDa 225). Se¡fru*rn ¡quí bmmdo ,{ _ ¡ Se haen fácrtm.nk hod,ñaoonq !i por já monoroniade l /(r, * tjoe ^/> a+ ¡ = . / ( ¡ +1 ) t = l(n) = x. n =r , z , a , . - . hr€sla.do d. r =, a j =, + t, por ^propiedad x ) I¡ ?, Égina 81,

..,, = !^""nto. =,.

n= r ,z,s,...

I conp=2b

x . + u, + . . . + uy Si /lJ) .s csdctañenre de¡{ie¡te si

=

ilr ) d .

)

s pleden on¡j¡

=

¡ r +e +. . . +r ! - r

(¡)

¡os sisnos de jBüatdad€n (¡1,

lin

. ! r¡ r tk) ¿, dú|ey s is la¡ as , s ev epo¡ r ade s i s ü a l d a d d e l ¡ i z q u i e r d ¿ e o ( / ) q ü + +. . . J, + ,/ €s nono¡ona cBr.nre y rcotad¿ sup€riomente o mayorada por .r, de modo quc ¿," conlersÉ. si lin

J,

t(,) d¿ no es acolado, 6e ve po¡ la desis@tr¡.d de td dereb¿ cn (?) qüe ¿!, direrse.

Qüeda compleb la dehorració¡.

|a

I¡ust¡¿r geométri@ente

l¿ demosración

en

Ooñ¿L.icamenLe r: + ,r + .. + !r es el ¿rs total de los recdnsulos5omb¡eado5 en ta Fr elro r r.l. mteíú \ que, r + I eJár€r tokl de los rect ngutossmb€doe y no E¡ área b¿jo Ia curva r:/(¡) de x = I a ¡= M tiene un valor inrmedio olre l¡s dos á¡¿asa¡lerio¡es, ló que i¡ust¡a et resulrado (.¡) del

¡3. Fsrud,ar la conlersrncia de. ra).i:+,

¡dt rr-l

p = consrante (o)

nP -

É711;r,lifr;

ld.)>ne-n. ,¿, (onlderd¡

|

( J,

:.,

,

si p < 1, lin ¡ll-:1

= €,

si e > r, ;:-

=

!{1

= :::", 1 - p lt

",b

y'',-1 1-p

cóh lo que ta in¡esr¿l y, po¡ ranlo, h sne diverger.

-.1-,

de módo que ta inresrár y, por ranro, ta sie

f,'*=!,"*=^", ",,=,,

Jim

lnM = a,

co¡Éreo.

y la lnlesraty, por con,súenle. ta s

Así. pües, ¡a srie ñ¡ve¡se si r' > I y r¡iverge si p 5 I

t"t )t:!t,;+ J . ' |¡ lJ . ; ; ,

),* J, *"*

= rin +r¡k.+l)ti = - +rn2)= . Jj¡¡rtrr"1¿,*r, =

l m ¡n rtn r),,! = l i n tl n { r¡tú) - ¡¡,r¡2)} =

-

y rasriedive¡se

}t¿\enedi v.¡se

= L¡. _'-11" = Jltl {}¿-,- }¿-r} = }¿-, yra$.Éonw.s..

qLe q ,¿ ler¡e et \rtor de ta ,rrecrat€,r\pondren,e no F et n,,mo ,.n eene¡drl -onverse ,tr. pe¡o t¿ \uma ap¡óun¿d¿de ma *m * prcae ouo*, mmiao o. üqanre aproxrm,oónmed'anrenree¡ate\.\é¿y prcbtmo 70. , ,

Ob$n*

234 t4,

SERIES

Demosrrarque í. 2 i''.

i*í.

D.l P¡oblena ll s sigüequ€

. ls. :] ;rr

Jn .¿;rr ' Jt:-f ,"#i *a*i".!¡;{1 . i. .*.¿rFi

<

d"d.d" ; < .i,;fi

.-:,;i,

**"*0"*0".

F obr¡de. $medo* r"a". .3;11 " ""a,

Í,

< |+f

.

con Io qu. qued¡ ddorlrado et lNttado !Éd¡do.

s¡ ¡¡If'q ^L!TaNAS 15. Dada fa s€¡iealtemt at - d, + a, - 44 + ... con 0 S ¿,+, ¿, y üm a, : 0. S que (¿) l¡ s¿¡ieconie¡se, (r) el error @Delido at co¡ia.t" en te,mino""i,iqui".. no e" qu€ cl valor absolutodel término siguien&. "n (a) k slm de la *rie hasra2¡¿ t¿miros ., s = (q-,.)+ { ¿¡-q)+ ._.+ \d^ = a, - (d,_ ¿t - (q_ Como ¡G vator6

paiot6is

4trc

no sn

,

)

G) _ ... _ (","_, _ dcsativd

","_J

_ d_

se ú..e

,sr E 0, sr=,s¡=sr=&É...=&¡<¿, Pü r¿nro, {s¡,}

6 um sasión

mo¡ótom @ie¡t.

y &otad¡ y t¡fle c¡ro¡c6 ltmite ,r.

Tanb' en. S¡ r r , - S r r , , : / - , . C o m o t r m s . x - . t '

t,m ¿r,,,

. 0(!orh,pokrn, hn a _

ssakque lin s,/*¡ =JrjX s,,+ t¡n ¿,rr1:.r+o:s. De nodo que ls sums p.rciatB de I¿ sie

üendú ar linir¿ .i y l¡ srie conwrge,

(ó) El e¡¡o. @net¡do al @.iar la süma .o 2¡l lefrinos .s { ¿* + ! - ¿* + J

+ ( q ¡ +, - d t " +)

+. . .

=

¿ _ +. _ ( d ú , , _

" , . *J y *, pües, no ncg¡tivo y ncnor o isüal qüe ¿,,+r. p¡im.¡ Émino oñilido. AsnNno, -'¡{rr+

et er¡o¡ oñetido

ronando 2¡r' + I rm,nos es

( ¿¡ { r ,- ¿ : x r ) +. . .

=

quc 6 ¡o poltjvo y ñayo¡ que

ró. (¿)Demosr¡ar que¡as".r"

_...

( q , " *, - ¿ . " *, )

- ( ¿ , " +. - g " +J

_.._

¿,,+:.

1á)Hafl¿rermá¡imoe¡.orqu€seconeie

,! ffi

-***. rmando l¡ .uma por to. primeros8 rérminos y por tosprime¡os9 téminos de ta s€rie.(c) rosréminosde ¡¡ seriesenesi$n paraobLener uo.ror queno excedade o,(ruten vato¡at

'¿ ' r¿ \e n e er \-t ,+ { +l""il

=

¡*.

c"..

*|-i

= f;

.. o ," ,#+,

r uesó o.; r "t _¿"t_r*,, ,=

r c*,," q".,r- r!,

= o, s sisuc po..¡proud

SERIES

239

r¿l U' lr¡nf, Io: resúfddo,det p,obtemairró¡ Lo\ p, mero. 8 r m,nosd,n e¡ronce. I _ . ¿ -:r Á - , . J el e' ¡ ó' c om er ' doe. pon"Ló r n e x c e d . r a sin $ñ o, r ospr im üose 1é¡ m inG _* + + _++¡ É+ * t +*y e t y nato¡ o iaual que ¿, es decn, que el 'e..or nú cxcedede * e. vato. ab;ótulo.

I _ i

e ¡ ¡ o re s n e q a r i v o

(.) Er valor¡bsolutodcleÍor @nctido suspe¡di.rdóta sunac¡ ¡' Lérminosesm.¡orque I t\2M + |. patu o bre ncrdd p¡ or ' r oc óndec dd¿hdde. er . ^eL2v , J | : o . o o t . o e d o n d e M ¿ ; o c . r . D e m o d o q ; . * ¡@sil¡. por Io nenos s00 lé¡ni¡os

q)NVf,RGENCIA f.

ABSOLUTA Y CONYERCENCIA CONDICIONAL Demostrar que una *rie absolutamenie convúrscnrc cs convergente. Dado que t ,,1 conveqe,hay qüe demóstra¡qüe :!, co.v€¡se.

seas¡ - ¿1+z'+,,,+,r ' s¡ + r!

y f'=l¡,1+1,,1+...+¿¡. = (zr+l¿¡)+ (r,+izd)+ .. = 2q + 2n, + ... + 2 x,l

cóno t u, conve¡ecy puero que4¡ + 4l= O,pa¡a,: t,2,l,..., ñónótona c.*ientc !@tada ! qw q¡re. pü tanro, Im (5/ + r{). Y. asimiMo, puesto que exift Iim S!

=

lim r,

lin

lya qE la si€

( S¡ + fr - I¡ )

=

s siCleS, + r, esüna suasión

es absolütañúle convereo& por hiEjl.sis), tim (Sr+?¡)

-

lih

?¡

tieneque existi.l¡nbién y quedadeñor¡ado lo dicho

!.

Estudiarla convergencia de

.".," ',

*rlt SF

.e" \,6

2MrAn-...

Coño cada ré¡ni.o ¿s en vatoi abrctuto ñe¡or o ielat que et ré¡mino coftspondi.nle de Ia serE . . ,, qm conve.se.e sicüeque ta sei€ dadaesabsorul¿neme + conve¡cenrc y que!po¡ ¡an1ñ i¿ + á, + to, es conver8ent¿ por to visro en el probtemat7.

t

Estudia. la conlersencia y converge¡cia absorDta de:

ioi r1.{

lt.- '.

n ztl

,b, i{:l" '

/.,;r-!'

, Í , nt n, P

,,

qm a dNúgenresesúnel p.obleda t3(ó).Luegóta s.rie dada

bs $ + "> no €s ¡ósorüramente converae¡re. Pe¡o ia.=ic = - : n = r. y

tim o. = ljn 'añb'en

2' *

ai++;' 0.

-l-

ruesó4'1=4Prarodo

Luegopor.l Problemat5la sericconverae.

Como la serie co¡ve¡ge, pero óo es absoturañenrcconvergen.e.es enro¡cesünd¡c¡andlnente tunD.L \¿róEs ab$luFs 6 ">

:_.

Por el c¡ne¡ioinrcgrat era s¡ie convÚsco dive¡ses¿eún*.

;ff: 1"",3";

*.,

" -

I

240

SERIES

[cAP. r!

!# =-i.. =___L¿" = r:n(#-#)

si ¡ = in¡, l- -:q- =

-4'

cono

Jyl J, iñ;

ülrfitk

= :

v

Fii=;+-

.lil;#

Ia sr¡. ¿tr.tu
rcr comori' ,, + o,

".. -

= tll]

,. *

su conEg6@ st

y t¡ inre&?¡ cx¡sr.. Lu.Bo t¡ $¡ic @¡E.!¿

prcbkn,rs{¿LqE o, seisu..poret ¿bso¡ül¿r¡¿y q@ p¡@d..

dad¿ no puede *r

@rwrg6le,

pu¡

6no

s¡L

m6trú

F

. t in/ . + 0b¡ r t ¡ @t r m os r É r q *l g 1 l , , l =t , : , ] 4 +o , l . c u a t e p u ¿ r t e h a e r p o ¡ r a & e t ¿ d e L r ¡ t a i u or¡o D¿1odo¿propi¿do [v@* problma 2l(r)].

CTITDRIO DEL COCTENIE 20. Demost¡a¡et c.it€¡io de co¡rrrgenciadet

coodre.

C o ¡s i d é re p ¡¡h e ro ¡¡e.i e!r+ ¿,+ ,,+ ,..cnque€adar.m,rc6trones¡l i vo.H ¿yque d@@ cE si ,¡ñ ¿ < l, dron6 14 conrcrse neand.¡re. ?: Porhiplresis, püed.etc8i6e un enrero¡y ra¡qüep¿rarodo¿ Z N, (r,,/r.) < r.o¡ L < | <1.Lq, u\+,
! n +¡ +¿ ñ r ,

+. , .

<

¡ " ( , +r r +/ +. . . )

y o¡ones l¿ si€

dada co¡wrA. *glln €¡ oileno de cuúp¡cc,on pu6to que O < , < l_ Si la se¡ie li.¡e réhinos de si8nos diter€¡res * @¡

deDoslrucúnan,úio¡y€rprobn ",,,*,n**""- ¡{-i"l'i: f],:J:i;J Aiá¡o8¡m.¡te

üfitr

f, pued.dmo.*, c," rr = ¿ > r r, *ne ¡4 d,vc¡ee. s. l::X l,;::l rrro rio l:, -- ¿ = I .l hreno det@cicn¡e ra¡t. fhq prcb¡em¿ 7t{.ú.

*,":": .etd2,n, r¡, (ó)i{:!):,", (4 I'l']l,l ¿S#. {¿} Aqui es u, = ¡.¿_t. Lu€co ¡::ll?'i= ln,' jl=r:jl - jrl,,,,i?-::--" = tn(#)'"*'= Cono 0 < t, l¿ si.

@ñvers..

¡i1(-#)'tn"-a'!:,.0 = o

241

(¡)

^qui

¿. = !-+:4.

En'one3,

.'el*l=.sl*# c+'l =:::.?; =,

Cono 2 > I,l¡ s¡ic divcrs..Codpan¡ @n.t prob¡@¡ te(.). r.)

Aqui c

=

Eddes.

Éi.

ri. lt.rl

.

. - - i' ñ

¡r{ r "-¡t-t¡t'.' tl.

n', ¡

( rl! ¡¡l

,._(nlrx,r+lr

j _ , : {¡ r - - 2 - nt r , I

'

=

I

y ct c¡te.io del @iente fa¡t¿. Ulitizan
@n-

ortos CnITEXTOS

Aqüi¡o .s ap¡iobl€.l critc¡ioa"r

"*r""r", o.* ll+l= Pe¡outitiando el cnlenó de la .¿iz ,+sim s riñe

z¡,1 o *l,l eeú¡ qne¿ e¡ inpe o par

vñ r=l Vr F|=iaH t il;i - Ft

Eotdcs

e,si.pd si'.spar

= hl (ya quc.rim2fr = 1) ,rin i.l;¡ asi si l¡l < 1 ta Érie mryrsq y si > I ¡¿ srie d¡wrse. Lleso F sne €onw¡s¿en ¡os@ss l¡l (¿l y {¿)y dirc¡ee.¡ c¡ qa

k}.

B. E,rüdiar¡acoDve¡eencr"+ (^t)"* /r:rJ . . .. . /¡. ¿.r...ig,_zr\ _ \3 ,/ \8 .6/ l=:t, \3.6.s/ \_r _:g- i¡ n| / " r criteño derc*ien,efar¿.p*.

y ¡a sene convc¡ge,

H n

I

=

ln(:}]j)'

_ r. peroporerdibo d. Raab..

rü'"/r - ¡:i.'¡1 ,,- "J, - /c" , rYl = 1 ¡ .-\ ".)/ - , : Í '": 1 , \ r ; . 3 / J , >

rtn._ "ú\ - E!l\ *t/

= j:.:^I.h ,L -\r/a1!\'1 i,r /J

_= |

Pe.o haci.¡
+l = (#+)'='-**#i#]i de nodo qu. ¡a e.je dive€e s¿g,i, el crildio d. C¡us

i

t

SERIES

SERIES DE FUNCIONES 25. ¿Paraqué valo.esde r co¡vergen tas seriessiguientes?

r" riS , r¿r i( -|'-'|r', ,-,\.. 1 - t zn- t,:

td' 2:.(.:-l :. ,= ,2_t;j n tl .

,-al " -ar,

,¿ ¡ 4 -¡.r.

s u p o n i endo o \,, ".

_ 0l a \.ri e(on\erse/.e uene

.'sl;ll = :* lar¡i¡--.;+I = lr.h*,)¿,r =g ¡-reorue,e"o*e,¡".¡ltl.,"or**",,!,,..,$_r.csde.n,er=tj,erc¡ire¡iorarra 5., _¡'a.ene.e.on,eic .> ¡," , j.ij si t =

3rae¡ie$convied. .¿c#

Y et ¡.t¿nvlo .¡e .om¿ry¿nc¡aes -l . ontu*'*

n *to t**ac

*.^"* =

i_>,CF

",.".",.,_..

: x < 3. t_a srie diverge fue¡a dc 6re inlervaio.

absoluknftre para r < J < i. pa¡a : ^-

(,) procédae comoenrapan"1"¡ -,

u =\S=$i.

l Ia erie onverse cüL

eno*s.

=:::ltii# Éi=?:l=:*ffi, :*1,#l = ,*

1;;..,i

¡'"

-**"

= l*

r",-¡ff#=¡¡r

d*r,,l

=o

o*.,u,¡hen,e) pa¡a rodo \j ú: o{i¡. e, mervarode .onve¡sencia {absorua.=

""_, ,r, "r",¡11]_a¡l= l:xl'4###l Estelinir¿ es jnfinno si ¡

=

r-¿r. ",in(z+,)

* ¿ Enlonc¿sl¡ srie convergeso¡o para ¡.= ¿

(d)4 =;'iF'¡l,,l''",=o,!..Jfr"11¡ u",."*,

= l+l = 1;1L "r-l_l =,r-lr,+,._rq#+-11 "''::'ll

':'':::"*"

*'a 1r-rl <2 v di!*sepúa

rr> 2

FL' cr,re¡,or¡ti¡ pam r _ tl = 2. cs decir,r - I = 12 o r = :t y _ ¡ L Patu | = I la seriec( q"" a.*g" p,.". quecrrt¡mino,+siño no riendea cefo "i ,\. _, , *." q u ek n b i é n o , v e r s p j c o r q u ee r i é ¡ m i n o¿ +s i m o ", . , , ", l a '. f T , noriende a lE Ar . pues t. a s enec o n r € ¡ s e s o l a m e ¡ rpe¿ ¡ , lr

|
t <2 o _ l
SERIES

243

¿¡araquévaro¡csde ¡ convers.nr"" *.t- (,) j-_L(€)

'"""¡1x|?l- ¡s#+l-?i = lat3l"t,*t,-,.

'{d'=*=(#J" .

.ro .á¡;*_#;_,

Luego ras¡ie@nw¡s€ sif,¿lf | < r,ar"-* ,r l#+l

' ', r

a *i,".t"r"rr.,i

lf{l

= ,.*

Si ¡= I ta sié d¡ErEe. Si r = -2 l¿ seria 6¡w€€.

si , = -1 ra*ne *.i b cu¡r@nyüee. f$ Asi,pu6,¡¡ e¡E @n*ac/É* l-il . ,, ,=-* y ¡ = -2, csdeir paÉ¡ s *. (¿) Erüirdiode¡@ic c rarh, = 1, 6¡ ¡" = É".A pcrcob*úanH:l Glr#*i,

OONVIXKCENCIA UNIFORME zr Hallar et dominio de conve¡sencia de (1 Süh¿ de ¡os p¡imeú ¿ Émi¡6

=

-.f)+¡(l

S,i,)

=

- ¡) + ¡,(l _¡)+.

c-¿) + ,(1-r) +,,(r_c) + 7-r+x-r'+*_.,+..

S i l¡ l < r, l i h S .(¡) = ri m { 1 ,.r - l si l,l > 1, qúle ,¡iñ. ó..(,) ro

si r =1,s.(')=o y si r-

]gis,k) = o .

- r , S. ( ¡ ) = I - / - ¡ ) .

t¡n S.(r) no€r¡sre. ' Lueco l¿ kre @¡versEp¡r¿ | a < t y r . r . o s. pam - | < , < I

M¿rod. 2, po¡ ct @tedo d.t di.nk. l¿ qj e @ nr r s es ¡ ¡ r . s jr f

ry,,-r,

\r ,,..rronec ljn,I.,J = lin tJt. L4so_l¡ *¡e @nkry. sj kl < ,. div€,e€$ kl > l Et crn e 'i o l t l l a s 'r '- r s i Y - l l a *n e c o n r e r g . - -¡ B k ñ. dr * Ec . a¡ ¡ . ,

!i ¡- -¡ raen.di*;. /isi."" t#;;.il*;,*":'i:.J:="ll

244

sFxrrs

2& Erudi¿r h snwr8enci¿ unrtonnede lar r¡ies dr¡ probtema2? rn et inrenato r¿r -j<x
,,,

, ijiil,lil"',',j.'i"rl:"t,', -*sr,r=.,i* s.(¡)=r si-{
.r.(¡) - I _ (l - s(r) ^,{r) a"@tzenk ñ et in6^ -

¡") = )¿

ded. .. Fronod. i t"rq* r¡.r,)r. . p*" ¡Jl': i"fffil?i::,:

' ' **e un&quedera

l 4 ( ¡ ) l= lil:kr < . , r " . r ". ,,ffi " --a" ¡1

prcs a¡ dividn por l¡

lrl tq¡e es

pusro que rl < j)c¿mbia et $nüdo de la d6isu¡ldad. 'eearivo

púori t\t< I,rnr\,<¡n,J,,,,,.,111,,il",i,_ .{ A\i.pue...omo \ es,ndepend*n,. d. !

.la se¡¡eB

un¡fómcmcnk@n,*s"ne .n

"t

,nl.^ato

th) Ende {'o l¡l : i. InFl s r"rt,r, , ,,rn,' - ,t.,., qu.r" **." ,Ll In |¡l ro (i, o n @ 9 fl' .

o

_ i5

kmb,.'unirome@

\ =!

y_1-1T"úi"..lo e"bido con qe €n ve dc j nueffa queta srie esu¡i¡omenenrec "t "n&rio¡. rergenleetr .¡ i¡l.¡v¿lo 0.99 = r = O,99. (d) Los ¡azon¿ni.rros anterioB fa¡lan .¡ ere cab. eus ln € ¡aere ñayor qüe oatqüi.r nl|Ú t¡Tl Fuede p-ñl¡v.o !n m¡s qüe et€e¡r rl $dcienleñenr prcx rmo ¿ r Asj, pEs, no ex6¡. , s d¿due que la *¡i _ 6 unÍ om oenr . c onk r 8 m r ee n _ t . r < ¡ (¿) Coño Ia *¡i¿ no B conlergenle ñ rodo pümo de esreinrrato ¡o puede@n!e¡sÉ¡ u¡ifo@mflte a a 29.

Discurir la conrinu¡dad de la fDnción sum¿ I ; r r l l i D s i l ¡ r d e l P . o b l e m s 2 7 p a r a e t I n r e r yu s, s t.

s¡ os,
j ,=r

J

-

t. pr,o conl i nua er rodó, tos d *

p u ¡ to sd ¿ 0 S¡ < t.

En .l EoblemaJ4 * d.mu."rE qLc , una!e,ie.s urromemsre convergcnre en ui inr.rvatota

.n qú.s,¡" r,*¡¡" *." :i_":1,:1,. erde,bro.s. deduce

.-,i"", ." I i;;;i;; ;;;il üiff*";":T "" - ::'itu'ffi i::;:?:d::l'.:'.::'g¿T"'-*e"*"' ilT."rr.,]*I

Jt). Esrud€' la conve¡g.ncounifome de ¡, _

r'_

, _/'

+ (r+ lT i

i+ ? -rt + ri¡' -

supong¡s r + 0. La srie.s enloncs eoméln LadeE/ónlil ( aor ur o J r .

s r , r=

' r 'r v s ú s u ñ ¿6 t r e d r P r o b l @ 4

= r+,, -{}-

'

SERIES

245

s s¡(.r: o,¡u.go5(o) _ rin q.o)=

::::,:i:::".:l,:i*s,,émiros co'o l,l? st'i: t + stot,st ) 6 djronri¡uáenr = 0

Luego por

o

Problena 3d lu e¡¡ 'l

Y,#::':T:i;:::::,í:i:;:""::",it'J,::T,i":[.J::"]j,",,""-"dsva¡o ;:,]:,H:jTj N..h""." ; ;l;;:;:;;1fi il;; ;',";J:, i.,¡iffí.:n¡mjiq!tr :""-l'ü*;lT:i;1.fi1li .ihthñ¿n!¿

conwt,."b

"

-¿-,,-

,-.

E3to t@bién se pucdc mos¡er die¡anen&

no puede

(vé€seproo¡em¡ s9).

IEIITERIO ¡' DE WEIf,TSTIASS

j:J";:""iffi ' i""?t"Tffii ñ,:11f ,Bj:¿Éí;;,i";l;","* ¡ ;1iif,t##i:.**: E¡ cro

d. l¡ sdic >r,(¡) dcspuésd. , réñinos 6

*:T,, = r,.,,(,) ra'(,)r +a,*{,,., =,,.,,o,, 1',L-,:;,'];,:. -

l"',i.ft.ii"Í::,1

r'

puaro que !,,,.

conqs. cóno.r ""..1i.*l"TTi;.T.TliÍ"..:t.::.,.>, ?,i'.l,""ri,ik í" .r*,u" ;:.:,ilTn * aliü ;lhi:ri:li.l*iii ;il;f#1.,:,T,J; -o*.g"n"¡. J: ihf"T#.1 lrrfl;t;ti,l

'''*H$T::'"'; 3¿

Estr¡dia¡ la conv€.gencia unifo¡me de:

t,rátts=.orjg. r"i {',

l!'q+¿J- ,!. = ,r". cono:¿, one¡,. (/ qe pa¡¡rr" , *, o 'ü¡ah4L)€on€cente -n*,l"rll'

, t"¡8,,¡# = 4 > ¡)' rásri' d uni.omehot (yabe-

{¿l Po¡ d cnlerio de¡ c@ienre,ta eris con!€4e er er,nt Na¡o -¡ s ¡ 5 ¡, o s,

Pah I de6F hknaro, 'odo l#l

*-*.**

=

p,6

I,l 5 ¡.

,¡r := ;-;:.Et¡giodopaE ¡r. S "+ -,,1,. * *c*

:v._"-

,.,Iüf;j*.i -;". ;;"".; ";"i"j'_lly;" ;J-.1,1::t1.*"" ".",". $ p¡.dao¡c¡un

( ¿l l- L 1 .1

d¡úes

-^.".,*o.i**" ). ;;; *. , ., =, _ .,X'^i.*

@d¡ $b;

b onv€¡sfrcia un'om.

-"',,"

y

!r1l convergc.btme

:,";;;;;_*::

por el cnre¡io ,/ t¡ er¡e dad¡ €oorcrgc r¡jfo¡nñnte

.,:rrfar,que I'een :l""xni:iilT'::i"rii.J"li"ñ*,11l:".: ern,eñaro converse ,a,abso¡u,amen. ,il,l,:11:i ¡ . ff[i.jjl]i:i...ilj {¿) ctuo &"rt co¡v.rse. era¡dq €sro6. ial <

"",i"i.i,fiir";="".:; ""¡r,ai

= ov*.*, ,,1p,"li I,i

f:

* o".dehaer k"¡¡l< I erigiooo¡ jo süjcjolcme e

p&a , > a Enb 6,

(r)

26

sERrEs

[cer_ n

Coñolaúlnt uf f i c d ( / r m n v € ¡ e e p ¿ É l r r / '! o . s e d . d ¡ c e m v i r ü d d e l c r i ¡ . n o d . . ó n D o t u i & que E pnm.ra he .r .onEr8e¡re, o *¿. que h he d¿d¡ es absotuhol r . l¡

Etrronces,rnr convers.. pueío qE l¡r < I llol. cono en ¡¿ pane la), tc;¿) < M, E'rt lrl S lrrl, de nodo que por €¡ cnt€ o rl de weic¡6tm$, r,r, 6 ünifom€ñ.nie conwccnc. s. dedM, pues,qüe ü@ *¡je d. poIenciase, unifomcñe¡re @¡re¡a.¡re én bdo irrerab n ¡¿_ a su inredálo d. conw¡súci¡.

TEOXEMASSOxnE CoI,!.I'ERGENCIAUNIFoRME 34. Demostra¡el Teorena6, página228. Hay que nct¡¡

que s(r) es continla €n to, ¿1.

A h o n b i e ns (,) = s .( r)+ ¡,(" ), asi ques(,+ ¡r)

y. porta¡to. -s" (,+ ¡)+ & ,(z+ ¡) ,l12+/¿) Sl,i = S,(¿+/¡) - s,(r) + ¡,(r+¡) - s"(,) {¡¡ d 6 d e r* h ¿ @ g i d o d e D o doqüeJyr+ ¿quedñe¡[¿,ó]Gi ¡:¿,porei ¿D pl o,cstoqi gi na ¡ <¡ :d:

coño qG) esü¡a suro dc un n,¡Dao finiro de tu¡cioresconti¡B' t¡mb¡é! coftiúu¿ Lu€goó& É> 0 e puedena¡l¡r ¡ rat qE 's i s,(,+ ¡)_s,(,)l < ./3 s¡mpÉqu. l /¡l < ó Coño k en€ po¡ nipóteús.s ünitóhebole conwre€nt pucde el€sine¡V d. nodo que

la,(x)) < 43

r

l a " ( , +¡ r ) l

< r/3 !e!

Ento@r po. (/), (2) y (r),

is('+¡1)-s(,) :

s,(,+¡)-s"(,)l+

'>N

l?,(r+r) + ll?"(,) < !

pea l¡l < ,, y qüe¡a dqostmrra ta co¡linuidad.

35. Demosr.ar €t Teo¡ena 7, Etgina 229. si u¡a füncjón* co¡rinüaen [¿, ¿] suinresÉ¡ñjsre. Lueso, cono s(¡), s,(;) y ¡,(,) s¡ .ontjnu:

J" s(') = J" s,(r)¿,+ J^ E,(¡)d, Pa,¡ dmsna¡ .t Leorru bay que mdxs¡ que

lJ,

s,.'dr J, s.r/,d,|

p_üed€ naere arbira¡i¡neúrs peqüenorona¡do ¡ 8u6qúenúre

rt. n*ta,) .Énd.. pero eslo s ded@

,¡neddt-r¿.i.'¡ ..,¿-,'p,'",-,'l'"i.-E olHoi":;i?:::'#:"*'romeder¿*r¡epledchace*

J'"o,r' = ri. J"s.r,ra, '

]llJ'"'o,"

- J"tri- s.r,la,

ls

lll

s ER rE s

Demofrar el Teoreña 8. p{Eio 229. se

r(¡) =

¿'"k)- como. por hipót.sn,estaserieco¡ve¡ceunjfo¡nenenrcen [d, ¿] se ta puedein"> Esrar t¿m'no a rémino Gegin €l Probtema35) y oblener

=

> lr;r4d'

I stqd' =

- S,,tot =

i,"t'l

p üe \ p ó¡ hrp or ñ{ .

> { , . (¡r-, G , l "1,, ",",

hdc i4S, ¡ r . r t ¿ . ¡ - .

De man dó¿m bo.m Énb' o de I

S r r , - s f 'r , e v e m r o n . e s q u e s , . t - s r . , , t o c u a t d e .

s ¡ r , dJ

S eas , ( - 9 = ¡r¿ -" .' , n = 1 ,2 , 3 ,.... 0 S rS (¿) Ave.iguar si lin

=

s"(r)d,

I

1 Iim s"(c)d,.

|

{ó) Explier el .esu¡tadoánrdor_ { a) | s , ' r ,d ¡

,

|

"*

-1 . .-.,

-.d ,

Ii n I s ,r,,r¡ sk) =

.lim

s,(') =

,]j]:

=

l ,r l i ñ l ü-s

= 0,

*"_*

I s{') d' 5. .Cle que-lin I S.'rdr

-

|

¿-1. rn¡one\. 1

-

I

saque ¿=o o¡ 0<,=1.

E¡ronces.

= 0

ljh s.trrdr. e" ¿(t. queno r. pucderoror et trm{ebdjo

(r) La ¡azónp¿o esto6 quesi bientá suesiónS,l¡) @¡ve¡sehaciaO,¡ó Io naceu¡r¡u¿heite. p^ra \er ero. obstueseqüeta ru¡cjóna¿ *. tjeneün máxino sn ¡ : t/vñ; (portasrcslassrienles detc¡lcuto a.oorot¡, qu"*le .r@ ,,,. Luecoal l¿nder ¡ + ó. S,(¡)no puedcbae¡se¿rbirra¡iañe¡te Eque" no püa to.lo \ y así .o p\ede ' ' co¡yels]¿¡ulommqte nrcia 0,

seafr) = >s:l¡.

o"mo,r,",q*J t!4d¡ _ 2¿,¿¡:jr.

s" d"*

= +. Lks. po. €rfit€no M de wé,e6lr¿ss,raF,i. esunifomnenrc co¡verge.r.pára I l+:! todo ¡, .n particüla¡pa¡a 0 S r = ,, y pü¿deintesrárs té!ñino á téñi¡o. Asi q@

= f"(.i+=¡* =.!,J"+",, J""oa* = .¿' #"* = ,(¡*;.¿.

) - ,.¿u"i'

248 SERTESDE FOTENCTAS J9. Demonrar que tanro ta oas

kne de polenc,as S -

_

ra *rie cooespond¡flrede delr

¡¿nr¿!¡, ' lienen et mismo rddio de conver8enc¡a.

Sea¡ > 0 €¡ndio deco¡wrSencia de&r¡, SeaO<: i¡01< E¡tons como4 Prob¡tu 33,s o. ¡o@,v d. nodo que F' ^ '¡ p"o,, k,l. ¡ rv. " Asíqnerosré@inos der¿*ri!3 i_.._,t _ ¡,1¿ o''-' e"n > r* p¡¿¡¿o¡*... q* ¡ ,émiúoscor¡€spoodift,es " de¡a;; ; ;k ; J":'' *' ¿rcrit€riod'¡ ceidr¿ para'-o*.< Luesot'¿r-I l¡l ftol < convers!¿bs.,",",*"J ;; ;:'-' ro rporce'no que6,¿ rr'r d. púo n ,tr. ' ,,, . n r,m ,." ;:punro - ,, ;;-; @n que lo ¡,¿r' 'I úo 6^úse De ñodo qk R s er *a. * ,-,,r -'0 Nóres.q@ ta e¡ie de d€rjBdas-^*o"J,i" pued. o no onv.¡se¡ par¿ ubEs d. ¡ ¡¡ls qu€ = lrl .R.

¿r0.Iusrm.el p¡obrema je median¡e ia

"*

,¿d+.

lr:xl'#l= .'sld-"*--L",,'+cl = ¡::lmf¡rq= S "t"lyJ":[3T:1::T'¡É

La s¡i¿ dc d.¡ivadas 6

]:l < 3.E¡] = t:j,¡s¡ie r¡nbié¡6nwrs€, denodoqu¿er i¡¡cr*b¡

S *'-

€¡'

Por tl Prcbhna 25(¿t€dd nenepo¡ inrerv¿tod¿ ."",

.l u.*ro.&"**, ri*_.r*,.; ;;. il,ffl'..fl Í,.1í.il.,;.,,,.,.,",.*," **

*""ii:i*T,:.:H,J:iÍ..*1":::':ffi,:::i:f¿,:"x"Í:"1"#i:flf...":::g 41. Demost¡ar que en todo inre¡va¡o ¡r¡¿¡¡bl a su intervaro de converge¡cja una serie de poi
; ; i""ili:':,.::ñ'flli[ : l:l,l,n ffi ::;:n,:"IJ::.i ::ili;, se¿ I¿ Érie d. potfrci¿s !¿,¡", aunque lo n¡sDo vate pa¡a ,¿"(] r ¿)¡.

3r.y34y dcs¡ turcióa @nrinüa @d¡,¿nino 4¡"dc r. sri

o-,"""."0,"'^,r rrrr"-",""";;;;;;;;ff:T'::"ffi:,::n*''' ff;:.fint' ;l :,j:n:"::::..:lTs

'lt##{{:rr::fr j,F".i#.#"_*: '*";*":::ni.J";it:rn::,#; ....::üi;¿l';f 'il:i1":i:i:ff: il."$;:ff)il$:,ff:tu-dod"-*.e.,u"or*o.

249

,.. 3H";':T::j:"ü},ii:::;.jj:":ff;r".:;T"'#:,:.t""1i;n:t::i":":,T#::" j upom qm h {rc d' p""""'""

.i

d.r¡ con ev*no de

"L n,c'

;" . L' Hay que den.! ;:::"TH'f;:t "j,: _1."";ff::,.H..1H:"#:::J";;i,Jil** -":::"::":::l:"*lruuón

¡ "( , )

=

¿"2, + ¿"+ , . , r , + d, , ¡ ¿ " +¡ +. , . ,

R . =a ^ +¿ _ . , +o . , , +. . ,

jy,}T:fr tlti"::g¡;;1,31..19 :fj#::i.:;j,

(¡, _ ¡",,)¡" + (E"ir- ¡,rr¿"'¡ + (s"-¡ A",r¡,., +

*."' *

,") + ¡¿"a,(¡"r¡_¡"a,)

,' { ¿ . - ",,,,,", (1 ¿ XE " ,r+ 8" ,¡z+ ¡.,.," + ..

+ ..

)}

l,B,(¡)ls la" +(1-'XlF"l,l+ R_,,.+ n*l.r+...)

Como ta¡ (onvergepor hrpóLees, '. * $su. oue d¿d

pararoaoI J , ¿"'il;

.i.ilt"l'ili.'

(r)

quc& < ¿2 - 0 ru"4'e"gi'* ¡ detarmodo

'"i,-,

re.(,)l=.;+o-,)(i +i " + | x +

=;.;

=,

e)

) 11' ) (r+ r+ r' + c 3 + .. ) - 1 (s i o = ¿< 1) :¡oDo onor c ¡pa . ra¡-1 , l ¡,tz )l = L a ,l < r e a ¡a¿> r. >,v. siendo ¡f i¡dep€ndidr¿ dervarorde]e¡ o = ¡ s r, co¡ roqüesed.he "*¡ ", "1,,,,,"!1t[;;:". S. gen.¡alüa¡ácitnenlea olras F¡ies de pole¡cis DeDostr¿rel reo.eh¿ dei limire de Abet (páeina 230). Coúo ó et prcbl¿ná42, sñnc¡se que ¡a seriede pole¡cns querósrar pü6. que,h

*

.5" *¿, coo"¿¡sepan O5 x S 1.

= *, 'tay ,i* ^i Es¡osededúce de,nned,¿ro detprobieñ¿ 4t. adem u : , i I y dd Prob¡ema l¡. O* .*". *. ,,,, * y ellcnde eio r¿c'tmenre a or¿s *ft. de pokn.i¿! -,

que.ts-', = ,-+tg k) Denostra.

f+

en- 1= r 5 1 . (b) Demosr¡ar que

á

= r -*ti

i.

Por el Problem 25 det Capitulo3. con ¡:

+.,

Int€em¡dode O a ¡ @r -?
."".0" r" sv,e.";rormemente conve.senrc

, _¡r y ¿ = r, se ¡eoe

r ¡ . r /,_ r I

(1)

< t, se rioe

f"'#-= '"'"- ,-f*+-+.

utiliando los prcb¡enasl3 y 15.

-.,"::11i.:ñ:".::f:::Í.t#l;?i',i,1,,,11y¡.'*.;il;".",ir-riT,.il"ili',L

(ól Por el P¡obleDa 43 y Ia Farre l¿) * tiene

.lir ,e,, = ,¡1(,'+*t'-"4. )

.i 11

250 SERJES

_ _ ," .-,

J " -;._ a .

con J de.j m¿h\eracro¡

se¡ene¿, = r + . + S + $ + f + $ + . . ,

-@< z < e .

.," ,.,:" =-:.," _ r-,,+g-g+;i_#*, Lksó l:{

= ,_fi_#_É.#-

g;¡-". * *.'"",a. conwrce uniroñeaen¡e pa¡a oé ; s ¿

" ""::::,*"i:";H;:r,ffifÍ",i¿, u r't" J" -j-d'

,

_-.,.-.

,uL., u{, _á,.n*_

= rrrr.r.r-r_¡+$_...' = II _ 0,16666+ . 0,O33BB

,"")ffii.r*il.:::i:*r**i,,

I

r** ,";#;"

PROBLEMASYARIOS .16. DeDos¡¡arque) = J,(¡) definid¿por (1ó), p¿

* *' * ,,\"'l"ol

::. ,b¡na es be

rarcüacióD diterenciar deB.",d latisrace

ste de./,t rtonkree p¡a "- lodó . ¡pr^rr-^ ,"_k r-". ¿or ii'.:;"üi.'Ji::"]:iry.:n:ir; " n,m¡"á ,. o"_ Ll[.;T;;. o.*,."","" ","0.

-"

_ -

."'

-

+ tlr'"-* ._- ,__\ñ ,¡ { (-1)'t¡ rz¡r¿"'* ,

.z-r,--"__tc5i_

.:,e&#*,"-l3;t= ¿ ' ¡ - "4 .,

'''

€

(-u¿'+ti !

¿,--,,rrer -.eA43;

-

-'=- .sS*#Hi Fr)'(pl}¡eJ 2, _ r)¡,-. .5

2 'a r ¡ t t ¡ +; '

¿ u ' t+ .U ,+ Íx ' _ p \U

."- ,*'-

(" + px

f .i-tztes|rye_u:: á;;;..:"rHH# .'i ¡=#ffi -2=-i" T,lü-'ñt¡ -.i4"-"g;; -.i,-r#ffi=T e

r-rF-r-,+h

rrl

SERTES

251

E¡aminar la convdse¡cia de ra serie de potencias comereja,ir#.

.* .'gffl -.':j'tl6r+*.',$i= ¡y.uoi-ro, =$, ,"*i"-o*.g"*$.

r, * a*i" l'l < 3, y di*se e¿r¿zl > 3. pá6 = 3,¡aen dewroes.*"r.,., lzl * .i ;l$_

m!€ryenre y, po¡ ranro!c

=

w¡sDle eaú lzl= j.

.i $ a" -oao q* u *a" 6 sbsorür.e6r.

A$. p¡ec, la sdi. convüs. d61ro del c¡Mlo lzl _ 3 y o su bo¡de. Süponi€ndoque Ia *¡ie de potmcias de d es látida para n(¡Deros comptcjo3,d€¡nosr¡r que ¿ ,- = cosc+ i s€n,

A¡¿loaeenrq

c..-:

cd ¡ - i *n

D€mor¡ar qüe lt('.|

'.

El Esuttado s naDa id¿|t¡.ta¿ d¿ Eub.

*f * |. ..

.1

\

Haciéndo/{¡) p¡ob¡€m 11, $ hal¡a - l/¡ @ U),

j +]+]* ... +f = r,ar = r + | + | + i+ ...+ fi dc donde Impl¡ando

¡/ por ¡

1=

r+j+]+|+...+!

too = r

e .i qu .r ¡ swsión s. = r+]+J+]+...+t_h,

Pori¡tes¡a.¡óú. ¡a {res¡suardad -J- É1=1 @D

;;;+-'(*J

^""":':T:;'".-i - 1- sr"frl!)<1 \¡ - l

6 a @rapdo¿ro y¡.

- + --l=i-. '_, "e*1)Éo

t

o $a, qüe "t,|¡ - S, S 0, de modo qü. S, €s no¡ó|on¡ {rc@t€. S. s monótom dec@imt. y acoradslene -.-_Cimó

,r..,ti2t' .. , e

.Mtú" ," u.,,. * ***,jfl',.1"f'f :|.]j:.:T ; f* ^aM ^.

Demosimrque€l producroinfinno É(r+r¡),@n ?o r t¿ d ¡€ió r

¡r >0, conr€rs€si

¿u.

*,

'.

* ¡c,,"r "

**".g..

( 1) det p¡ oblm a 28, Capit ut o4, I +, S ¿ p 6 r ¡ r >O , d e D o
¿ =,io+*l

= (r+ ¿¡Xl+ rt ... (1+ ¿.,

Cono u, + z: +....onrcrge,

qu. p_

sisle B r po,k'ro. u¡ tüDl..6¡ r" q*";i *á.ii*,;" j tii,ffj

tadsv queti€¡..

252 I + 5 1 . D e ñ o s ra r q u e l a s eri cI-1+ I -I+ 1 es 1.0.1,0.1,0.. La suenónde sünasparciales

E n ,o trc. s,:r, sr s'

r - o=l

¡

:

conrinuando asis óbriene Ia $esiói l.i.l i,i.j. r" e e / ? " -l l 2 ^ i rmp¿¡A rri m./| s ,e s i ¡r4

es C -

"= '

1sum¿bl chaci a1/2.

3' '

3.

, e¡ la quccl té¡nino¡-ésimo

5 2 . (¿ ) D e mo s b aq¡ u e s i ¡> 0yp> 0,

no = !.'fta" p L ptp t'-

' ".,Jt

lr, ,",'

, -, , -rr¡

, ¿ " ¡-lrl

I,

)

''.

3E

(-1)".'p(p+ 1)...(p+¿) Í," ní:^

t

(¿) Media¡te {a) dcmosrrarque

nn -

I

p .- !!t:.1 ' - ...i - .,,, 'I

f " '.) n , - " ,{ !

o seá, que la ser¡ede la de.echa es un desa.rollo asintótico de la iuúción del priúer miemtr¡. (¿) InreBrandó po¡ panes,sc liene

_ ,,.J,-¿*xt 11"- J'¡ ¿(-" 'J\ eu'"-'jdrjr "-' \ ,' o J. .. ,1 .:t"' ," o, n .*l 1 P.fJ

A¡á ro a a n e nt¡ r ., = * -

.I

E I

(p+ r)¡" ,, ¿emo¡oque

-

!¡ ¡

D

-

{ i,.,ert

j'}'" '

''}. -1*-,: 'o'.1,,'l Entobes, ¡.(¿) = ,{,) - s,(,) = ( 1)+,e(e+1)...(p+,) ar,o* ri* J"*a,.

t¡"(')l = !(r+1)...(p+nt !- ¡f-"a" = ele+\...tp+.) [. #dú = ¡¿l ll l!lr)

.a" 0,..,.0," J"" 'a, = J-"

I

ara

Y sigliendoasi s Uesaal Esulradop€dido. l.

I l

', ;, ,at

r . = ' ,, .,1 Í" ' , ,,' ,,," ..¡ - ,,: - " i: - ¡ ,p ,,.¡ p .

s.¿ s.l', = '¡l

úf a f!

"'"""" '" - J,';^ :: J." t¡ ,"

a!

,. , **

¡ rGO

É

" ''

¡

SERIES

.r.m ¡'Á. ¡\ y s siaueqüc

r¡im

-

253

Lh Pr! 11-f!J,)

.

¡,rR,(r)= l]. Luesoquldademostrado tó dic¡o.

*u'".. *" --.lii] = l,if+i!#i;;l= 6

o

¡njo. if, ",_"pan,odo

y ra ene divefae pa¡¡ todo r scgún et c¡ilério de¡ c@iente.

Problemaspropüestos Y DIVEIGENCIA Df, SE¡IES DE CONSTANTES

(¿) Deñost¡a¡ queraserie #

* *

* ¡.lul + ... =

****,

"->-*.+¡"*5

D.nor¡a¡que la convcrgencia o divers¿ncia de unaserie

*,a ,éminoporIanis-

ba comanreno nura.(,) quiran.ró (o añadie¡do) un ffj:,:'T:iy,":*'*if.::"

si :," y t,, cohve¡ac¡ h¡cia , y a, respe.tilancóte, oehosrar que >{!, + ,,) conrc¡ge haci¿ ,4 + ,. Den ósr¡arqu e t a * e: + lil + ( if + . = ! ( jr d i v e r g e . De scnb lirla fa tac iais eas= I

ys:¡-r1f

l+ t _t + t

I) ( r r )

t+

l t*1 i -i ¡*1 --i .'¡-," i "' r - ór ntdess- r - ( r

¡

:r

DE COMPA¡ACTON Y CXITERTO D¿L COC]ENTE Estudia¡ ¡a co¡!€rcenci! de

r'r:,-;;, ,

(ó) tl):

to) rh. ":>"i,,_iffiu, o.!i|, r"r"á;;5, r¡":i,",ft;ii-

In\Ftia¿r racónvereenc,a a. t.r

"),fifff

.i{*

-so/. l¿) conv., (¿) dLv,

DcnoÚar el cnterio de cóñparaciónpa¡a dive¡sencia Denof¡a¡ medrnte et critcno de conpar&ión que

r"r.! j

?>1 y div€¡se si e=r, p¡ Je1 -**¿" 'i ,j,

o**g., 1"¡,j4

Denorrar tos ¡esuttados(¡) y (¿) del c¡iterio del cocieóE,pasha 22s Exani.ar la coóve¡sencia d.:

r'r.59r. or.i v^* ' r-v¿,k)¿ *#?i, (,,)j, , sn"(l/"). .to/.

(¿) co¡v., (t) di¿,

(') div., (¿) div.

""",",*"

254

sERrEs si &, onwrse, d@orr¡¡ qu. (¿)E aDinaila @nkrscnciá.!

,li*

,o _ o.

.*p,*o to enuncjado 1.1¿co¡tBdice sob.ela sencr lLL ;rl-. Ol." " páai¡¿225d. qn 21/ap únvery¿paa p > t? ó¡r. (¿l div. CTII1ETIO INTEGRTTL

66. Exditu [email protected]€ncia d", (") o,-S"#

o) ,>,;¡}¡,

,>,,'$,

G) .á+,

{d)

3 e-5

s¿¿ (¿)div., (¿)co¡v., (¿)co¡v.,(d)conv.,G) div., (/) div.

67. Denqtn. que ": -J-, 6 & D c n o e r¿ rq u e 3 ..É ,* .:

I y (¿) diversesi ? = i. ?

' Hl-.fi,f -*""*' "._i,#. ?0.

l:l :rj¡Grrú

qlei,u , I f \ r{ v2,

F

_.,f1,,,,

,:lfT *,1,, ernrordew | '/j . ,t> , ,fr

::: Mosú¿rcómo* i¿) ::l:":

i

* loo.",,_ a-a. *r *,o, *i-

;':"J; :1"lT"l"l:1ilfi::';r;xT:.'".f1": *":. " ;.;"lll'iil;iii'r'i srPrF.

pu.den¡..,

.i ,r,,

S

^I¡TErY 7¡. E minar raconwrst¡cia d", (.)

r¿;.it

r" **iiba

¡¡*o'i,

r"l

.¿(_;): , or .É;ff_.

r"r ,iH,

.ror.(¿)coñ¡,(ó)conv., (¿){riv.,(¿)conv., (¿)dn.

"!ff

*-" a"r"*.i".s " Í?'':Tif;"LT?üH"'jJ,'bsorü1o,qr€e@nd'¡prcxituaor"

ffi

de Émi¡@ qü. h& de ronEe ¡aa qü e t€¡gln 3 d{ih¡les

?3.(¿)Deñorrar q¡es =

f +$+$+... = á(+_t."._

r.r ex&r6?

.¡

!?'iü:?:ff;'il;,i:jffi;derss!.domidb.oh¿bniqu.bea¡p¿.¡a¡cü*.,con6driñ2,6 COI\\¿ETIGEI¡C¡AS ABSOLUIA Y CONDICTONAL 7¡. Eianinar ¡a conversocia ¿betü1a o co¡dicion¿l

(d.¿*;

il:'?-3

.s¿/. (¿) áb¡. co¡v.,

7r

Deñouü

que.:9Sg

n,.á#

r"r.!ffi*"r

'4'¿#:s

(ó) cond. córv., .onEse

(o) co

¿bs¡lredé


,.á?+

. conv., (d) div., (¿) ¡b!. co¡v., psr¡ c!¡l€squjera

1,, sbs. corv.

rcj1.s ¡ y ¿.

255

¡

l'

I

"(

. l ¡ _ ,._ ,-^ .r3

d e mo J ' ¿q'u er¿rre,e" B tupddd I - .

l s u S n ¡ n . d : l o me f.e n ,¿ p n m e r ¿ f¡ e Je .clM jl¿ e n ¡ ¡ to ñ.0 u e g o r e r m r l o ¿ , er m r n o .ir td p r r r ' ¡ { r e Ob ".r e .e q u e \ Deno$ar

(IIIDRIO ¡.

j ,¿-

.l {" ,,,

:_ ()_. o | ¿ , ..,.úT.i n,l ot¿ -¡n2..umo+deru.r,del etp¡obhcoó

que los réminos de u¡a s¡ie absóturamenr¿curvúrsúnr se püeden Eag.upar srempresin alrerar la

DEL COCIENTE

Esrudia¡la conre¡eencia de:

, - á;; '" ¿ -:#". ,, .t,f= " .>I ;i ' :,,,.'o"l

{,) conv (absl. (¿) con!., td div. (d)co¡v. (¡bs.J.k) di!. Morra¡ quc el c¡ite¡iodel cocic¡reno sepuedeutiliar p¡ra crab¡ecerta convergenci¿ condicio¡atdc una scrie.

s,/.

I

c or Le' c er

.),;i

, 6'

0.

] i' . .

OTROS C¡TTERIOS al. Erabbc¿¡ la latidez del c¡nedo de ta ¡aiz ,¿sima de ta pásim 226. r¿

cl crilerio de ta raiz,ésina c¡ los p¡obtenas7S(¿l (¿1.(dt y k). ^plica¡ 13. Dedost¡ar que j + (3)1+ (j),+ (l)" + rj).+ (3)" ... -**g. z '5 t{ Fr'.'rl L. n,e , Bc r . f ,de a/ : 2s.3 . *2 : 1 l1t -' r 3 b 3'6'e ¿ : r¿ ' ¡. ii. i5 '

"'t

s", r ,,",. i ¿ ii.,'

15. Si ¿. ¿ y / so¡ núne.os positivosy ó > ¿. demos¡ar ¡rue o i -

coh ve rse si ¿ -¿>¿

at a+ ¡ ) bt b+ , r ; y diÉr s e s i ¿ z = ¿

alu + d l a +2 d l t lh= + ¿ t 6 +2 , t t +

WTES DE F¡:'NCIONES 1ú. HaUa¡el doninio de conversenci¿ dc tas F¡ies:

,", i4 ":,n 5,1

lot -t

,,,
Í'. D¿mos,ra¡ q¡e

t, ,0 , - t

.. € '''?,

r .,,

3 . ,a , ¡ u d o I

r.

id )> ¡' { r ¿ L u,

pa.a_r=,<1. convers¿

"¿ +*"#.

CPNI'ERGENCT,{ TJNIFORME 34. Enpl€a.do ta deti¡ición,invesligar¡a conve¡Cencia untome de I! s¡ie

ir "-1fl + (r - OllB +u,l lsusere¡cia : Desónpo.ci | ^ .t ¿

et térnino ,-ésino

l+,r' Nó €s u¡ilomemcme on!Úge¡r en cuarquE¡ órro i¡tcr!¡lo.

en f¡a \c one. pdr%te. y roj ,rr

al e ta /-.

na ., ñ" pah ¿t,.

en ¡insú¡ imewato que i.ctuya et r = 0i unifomemenrc co¡vers.nle

_l

l5ó 89. Hácer dBraqente

el p.obteoa 30 oblehiendo p¡imero ¡,tx).

90. Inver,ga¡ por cüalquie. nérodo la co¡ve¡ge.cia y convc¡gencn lnúoñe

de tas eriesj

,' É +i ,",1,,.',",,o " ' .> ,/ítuit oN püa'iodo ¡ k)oN pam r: * '' li :ii,li.1'"1 fh l.'1':""i#;l;'"1#ñ'; 9) l.

si aq.1 =

¿*o.,.". ou.

,!,:{31,

(,)¡(r)es continua paGiodor. (¿)

l,jl

¡,k) = o, k) F1¿) = "i

e2.Deno*arqüe I'(:+'t+.S+* e3 DenorÉr qu¿ ar'l

=

slrJl * o.ri"u * r.a. p*ro.

=o

)",

r;"* a"nvadasde todo ordenplr¿ ro{jo ftal r.

"i ffi e¿. Estudia¡ si ta sucesión ¿,t"t =

r *l¡,

9 s . D e m o i i rrq ú . trh f' - d L ¡-G (r+ ¡¡¿i

"=r,2,a,...,

es unifod€ne¡lecónve¡senre.

= , _.

Jo

i SE¡¡AS T'E POT¡NCIAS

eú. (¿)D.noúar quer,(r+, ) = , -; : + 5 _ f rá l D e mo j i ¿qr ú et¡ ¿

I

I

fs rs o e n .i " { p trú .c * ,.-' ,.

e . D e n o *a .l u* e

gi''ü,

,,,,

¡.

.,nrgz, l

l- ;.:f *,.L+ jf * . ., - 1=¡ =1.

. 'a,. ,¡, " J,f J, sbr (¿)0,¿6t,(r) 0,486

*

l_

r

" =,.;f

98. carcut¡' (¿r f

I

+....

L!!:-1,"

tó) pá,oc "' ".on I d(imle. Jusr'bc¿qdo

65'',k) rc r2' o' 3 drinarsqrctos trT: ¿i; 111!N)

l0ll, Cohp¡oba¡ros desaüo¡los 4. 5 y 6 de ta página231. l0l.

Mulriplicandot¿ prie po¡ en i y cos ¡j cohp.obar que 2 sn ¡ cos ::

só 2¡.

t03. Obrener ¡os desa(olos

(¿)reh¡

=

"+!+t+f;+.

o )r¡(¡+ vr+r) =, _i!.i¿r:_ii¿t'* ¡ro

_r<,
-,=.=,

_ l.-,', '-o r= 0 Demorfa¡ quce\i\E )0 -""-, mbror, *;.""* *i",..;;l;;";;"::,:::rmrd.r¿vlo' ",",. pdr¿ 0in8ún ". "; p,.b,.., ,, v¿¿j o. lsLse,tr.d ri. ¿;;j;:l'i''"'qsod

. oquecor¡+

251

(1 ''t" '.{ '+i+i)/

(,,-)T . (,';. ;)";_

EOALEMAS VAR¡OS f.

Demostrarque la e¡ie J¡(r)conv{se (,) p¡m todo r, (ó) absolulay üniromenc¡r¿en cuarqu'ú ,¡rervaro

r.

DTo J'.'q úe G) J'',\r)

,o' : . iJ "' / I

= ar'\.)

J - , r , . t b, d. , , ! J p . r n

fJ,

ú),

- r "- ' t , )

r

qu e el ¡ es ült adó Su po ¡ien do del Pr oblenat 07( ¿)c s vá ü d op a r a ? =0 , l.-2,...,doños!¡a¡que (¿) J 1 (¡) = = r ¿( ¡ ) , ( ' ) J , ( ' ) = ( - u r , ( r ) , .r ' ( , ) , ( d) r r =7 , 2 , 3 , . . . . '(')

D-

Denor¡¡¡ que .*4¡n'

=

3

r,@p.

r

,/,,, desaüolla¡y aptiar.t problemá lsuse¡encú:Esc¡ibnel princr niemb¡o cobo ¿,r,e IO8.] tr

D...,,..

q," :

Ul,

d"¡' = D,¡' pac rodo I en el rnreryaloconún dc cohvcrgcncia lrl < R con R > o. demofra¡ .> ") qu ed ,:4 p a¡a , = 0, 1, 2, . . l¿) Apliar ( ¿) par anor ¡ a r q u e s i e l d e s a ¡ . o l l o d e T a y t o r d e u n a f u n c i ó n e x i : le, el desaÍollo cs rt¡ico.

Il¿

\up on eá .eq Je Im \ 7L, . - ¡ . Denor r ar qr ": , "

lB.

Demorrar queel radio de convcracócia de l¡ seriet¿,¡¡ sepuededete.ninarñcdiamelos timilessieuienre.. .u 'nd o ev{e n. } dd¡ ejdplo. ( , , Lm - ' . , \ b/ , . . . l , ,,, i. -1

:l,if

esaúorúr¿y un rnmene¡ie convefsc¡ree¡ todo pumo
t,rSi

c on\ r 'g r o d i . e B e . e A ¿ nq u e /

lo/

L5

¿

¡

-. r',,.

'-.v,

Il,¡. Usar el P¡obl€ma113 para hall¿rel radio de conv€¡Eencia de la se¡iedel P¡oblema22 lrs.

(¿) Denostrarqrc üm condición¡*esaia y su6ciente para quc la seriet," seaconveryenr¿ es queidado un € > 0 , e xn taün ¡¿> 0 quedepende de É r al quc Sq- , t ? < É s i e m p cq u e p > ¡ ¿ y q > N , c o n S {= r r r ró r Ul r¿a rra r o ¿' , , lenó. . r urqk l, , - (

i

como !e p od ld ap. ic d¡r ¿, p¿r ¿dem oir a' ou" _- _*'. J . :"r' _"'ÉS '¡ l ¡

.,, ,".

de Cauchy,pásina4].1 lsüscrencia:Aplicar el crite¡io de convcrsencra 116. Demor¡ar quela sie hipcrgeonérica(pásina212)(¿)esabsolutanonle cónr€¡se¡rep,¡a lrl < r, (ó) ¡tivtr_ pa¡a r Bmle p¿r¿ xl> t. k) ábsolur¡me.lecoóversente 1si,+ó . < o. (d) etsircJ la {u;ción d,feE¡ciar f(r - rD + {¿ la + b + 1)xlf abt : o. l¡7, SrFtJ.¿.,.r,..la lun. ' ó' hr per s eor er ' . ¿deñn. dap¡ r t ¿ q , . d e t J p ¡ E i n a ) ¡ 2 d e m o , . ¿ , q u e \ r , ¡ r , . , , i. ,l .t - . , . r . '/ '1 . j i . r r lrl ,.,, 'r..t b) \ n ' , . t n' t

ll8. Halrarra sunade la sercsk) =

"

+ #a + a+-

+.

: Mor¡a¡ que .t (¡) : I + r S(r) y ¡esol!Í éra ] [Sugerencia

s,l.

¿iI

f" i

I

258

'

r,¡.s

r..

t ,' \/ '-

i. ¡. s , r'

l r r r , . r ' 2 ; : E lrE 2 '. 1 , .7. 1 , . , 0 -g

\ )

120. Estabiecer el útuno de Dnicblerde la rásina 22 l2l,

. r n '. o ¡ m e n e n rl o e r \ . 't s e n . ee r r ó J ¡ r l r e n a l o q L e n o r . t u \ ¿ O . _ t r . . 2 tr .. "> , "" lsuse¡encia:Aplicd el cnreno de Dnichlei,pásina228,y el P¡obtena94, Capitulo i l

l¿.

Deúóf¡¿¡ ¡os resültados la páAina212 sob¡e¡a seriebinómica. 'le lslge¡encia:Erudiar las lo¡nas de Lagnnge, de Cnuchypara et rcro e¡ el &o.ena de Taytor.]

Det r o. r ' "' r , .

r.do ,. fEro no ab,olr'¿ren.e

r24. Demo..,d qJlzs. si , -

.l

l

'

,',

á. deñóJ'r, qre u

.l'"'

^ , /.3 3

.>

;.l:t

12ó. Demost¡a¡ que la euación ¿ r = ?.

I liene solo uóa úiz real dada por =

l"'

I +

^

'" - "

":(-1)'

¡ 2t . Sea, _r

"r, I B, . '" . , i ', ' M o n n r a u e l o , n u ' c r o . a . l l d m d d o . , ! a ¿ , a ¿ b .. ,@r¡, slisfacen la fóúula de ¡ecurenc,¡ (a + l)" A = 0, donde d se romplaa fomatnente por 4(bpuésde desaÍólla¡,(ó) Mediaóie(¿), o de ¿lsunaotra mnera, d¿redi¡ar tr,.. . , 16 s ot . t b) B\ : t , B, : ¿ , D t =0 . B a +, 4 =o , 8 6 = +

l¿& / d) Dem or r ¿'qle

¿ = 0par ak : 1. 2. 3. . . .

¡r.

"

t).¡órrv

;,t.n;

e i p r o ó r ñ ¿ , '- r

t d p é n e , ¿ ¡ p d t u m o qa q u ea ,- ¡

Deducr los desa¡rollos en sriel

ta. .o,h, rür

' o t¡

=

'

1_t:

1 r

t' 1

B+?:r

..

t't 45

|

\"&

..

t2r-\ \2,t_

,., ,s, =,,,; il ,d .óñ, = i í,rJo,., .'.-'','',u:,f."'' [ Sds er c n, BPaÍ ¿r a, r ' ,t , / s r e . p . ó e m d t 2 3 p d r d , ¿ r . . n b r e . e ¡ | . , . i e n , ¿ . D d , a l ¡ . T D t e r r e : = Pam {d) ú\e!. co\e- , cor . - .6 , 2. '!. rr.

uc m ¡ nr if qúc

.m\ú!, ll, ( 1+ ; l Apr u, r ¿ deñn, c ion na r ¿o e n o r ¿ ,

",. 132. Denostmr que ñ, (1-i,,), dondc O <,, ¡rr.

ñ /t , '

, .

;) ,'.,"

< I, conve¡ae$, y sóto r, ),¡ co.!crg¿.

r J r k ñor r c ¡ que l l . L \ o r f l e e p d m r ¡ ó ) C r l . L L r e Lp r o d r . r ot r ñ r r . e n ', r r o n 2 d e ñ ¿t6 + \r tos y conpara¡ co¡ el valor exacro

134. Denos t r arque la s er ieI +0

t +1 +0

l +t +l ) - 1 +

.esC

I s ü n a b l ¿h a c i ae ¡ o .

135. Dhost¡a! queel nétodo de sunrabilidad dc Ces¡roesresular.lsúCÚ¿ncia: Véasep¡obleña28. Captü¡o]:¡

259 D@os rraqrü er¿s i e | + 2 x + 3 r2 + 4 tt +... + nr-r + ...ónve¡s€ baci ¡tÍ¡

i F páral rl < l .

t"l .á t Of"+ rl 6 sumabre €n.t enridodeAb.t hau,aI c y O) ,>" C! {=q4aa ¿ssumbreenerscmidd deAbertrici¿| 3 Doostn¡ qúel¡ sie dobte3 ,i,r,

*,*!,-.r

-**",

6nw¡g€o d,rcrsesaúnqücp > t o p s r,

(¿l Demorra. que

= i-.a*#-#* .(-1f t@:1).1 + l1).nrJ, i-dr . t,"T* (¿r Me¡,¿nr€ q* r¡,d€muér.s - i - *. # -# * Í.'T*

{¡.

si /(¡) riñe ün d€srolo 6irrótico dadopor j_ ,. ,-,, denosrrarqü. f" ¡ir¡ a, ti"o" .r a",u.olo uri ,Lóuc oi e ¡' -' .

Capitulo 72 Integralesirnpropias DEFINICION DE INTDGRAL IMPROPIA La intecral

d.x se die inpnpia si J" Í@)

¡ o a m b os,esdeci r, \t) a = -ú o h : si unodel osti mi tesde i nregraci ón o l osdossehac€ni nfinit G (2) ¡r)no esacoradaen uno o lnáspunrósde ¿ x S < A.puntq, qi" * la."n ,,i,8"1o;il.,1";d" ft . I¿ (l n re 8 r¡l e ' d e l o .c a .o\| | ' J,2r.e dm¿nmprcüas¡1,pt,qctd /dps" A hda?.p,,p.rcsÉ. livdmenreLcj que pre\enrcndmh"\ cond,c,one. , | | y ,i t t diceninregut,i np,o¡io, ¿, :,:;;;;:-;;. L j .n e l ol :,1 ^ L j me l o2 : Ej?ñDtor, Fhm Dlo¡ ,

J

{ i r¡ d /' ,Y' u "

J"l'- t,,

J.

Is' ,t r,r,o.., J. n,r,..Je ne.,c.

n -era . r p

-¡.'

Je.epr rc, :o.r.

¿,

' , . "' a,

.

- n.,,

,.,

. -.

.jT

].

,

f hr J e ( ¿pr , ulo. c dan. ¡ it e r i u \ d e c o n \ e r g c n ca p b r r n t e 8 r ¿ t e . m p ¡ o p . ¿ .y , e \ e r á q u e l ¿ t e rc c nor ! L\ dc m o\ t r ¿r r one\de l o , t e o r e ñ ¿ . o u e d " n t u g d re \ t , n c n e , t r e . h d d n a t o s r dc o n t o , c r , t6 & " oc conve.ge¡cra y ros leoreñas correspondientespara *ries (véaseCapitulo ll).

INTEGRAL¿S IMPROPIAS Df, PRIMERA ESPECIE Sea /(r) acoladae i¡Lee¡ableen un inrervatoliDito ¿ S r S ¿. Se deine enlonces f)" foJdr = I*:)" naa,

La i¡resral del p.lmer miembrose dice ¿!¡f¿rg¿,¡. o ¿¡i,.rcerr.,segúnque

existao no et tinite det F pe.fcdañenre es análo8aa ra serje i _" ,, : ¡n* I l(,) .t, "" e.pondrota...T¿.pj .Lrl h.deev,e,e S uctee\¡b rMen€¿E

sundo Djembro.obséNcseque s ' " n ro ,r-e J

//rrd ..o

Ér

Atrálogamcnre s deti.e

260

INTEGRALES IMPROPIAS

261

!se diceque la iotegraldel p.inrerbieúb¡o esc;¡1ve¡ge¡reo drlergentekgú¡ que el limite del según_ .to mrembroexistao no.

E&mplo,:.fS = ]r.l,"Y

; ) = 1 a s i+ e j-q ñ Nrs c , b a ,

- ,]l1 (

rjmplo 2: I' cos¿ d¡ = rim l '-", w útrq, ¿. -'--' J " :1 -J ¿ -* " :d¡ s div4cnre J _.6' De parecidamane.asedeñne

.j !-

r* " "

senú).conoeneri mrenóexN c

l_-n¡0, = J'"rota'n J.'tota,

{3)

eú(ro ro un númerorca],y sedice que ta inregrate\ co¡vereenre o divergenre se8únque coDle.jano ¡ o la\ lnr c s r ¿l ed. e l i e Bu n d oñ i .m b ro . c o mo e n ta, deri ntri ones l ) \ e). INTEGRALES IMPROPTASESPECIALESDE PRTVERA ESPECTE f . |r r es r ¡ ts mmé s i e o e ¡p d e ¡c ¡á t ¡ constante conve¡se¡te para ¡> 0, 1 ," " ," a,," ." , s 0. Nóresera aialosía con ra se.ieseomérricade r = e ,de *modo sue :I:.:"1: 2. t¡ integr¡t ¡ de priDera BDecie o constaúley a> 0j convergetrle!i p>t f-yn¡ y orvergenles 2 < l Conpáresecon la se¡ie ,

CRITI]RTOS DE CONYERGENCIA PARA INTEGRALES IMPf,OPIAS DE PRIMI]RA ESPECIE Los c.ilerios que sigue¡se dan paracasosen que un limne de i¡re8¡dcro¡es ú. Hay . cnredossrm e' n r e.c uddo d n ^ ri m ,re d e In re g n r,o ne \ _ ó ,conet c¿mb,ode !¿r,ab¡er , ;i l i .;;;;,;i --

fltiit,HÍiil,,i'j?'i r.

Criúe.io de onp¡.rción trt

para integrates .te inlegrando no n€gativo_

Co e ry .n ,;o . S e ae r.,

p d r¿,odo J ¿ ¿. ).{ponsse - 0 s* J" o,,,ar" on* ,s" .

Enroncessi 0 < /(r) S s(xl para lodo r ¿ a Ljc bplo :c o n o

,.

r

. "

.

J" "

,,t,

dc tambiénconverse. J^ l(,)

,-..." "

J" ,," i , ,arb,énconve,ce.

(b) D¡@tso.ia : Seas(r) > 0 pa.atodo ¡ qe : a y süpongase

cessi f'l

¿ s(r) o*^ ,oa. , Z

¿ r op, o: !,.m o rr

.* .,

.r" J .

J'

o(c) d.' djverge_ Enron_

lambién diverse. " J,- rcld, " , J,4,se,mkgmr/corp- i LJ

ú,see ra mnbi én

262

INTECRALES IMPROPIAS

C.lteiio del coc¡e e pa¡a integrales de inte8¡an
^

t'r!^ J.

i c rl ' d l

) e,¡i 0. y ,, I'l ri,7r,o.0 o rueso -. f'n,,0, c o n \e reen

"

smbA o drw r8manb4.

(á)si 4=0 en(d

"

(¿)si á=6 * tq .

I,- rt|dx

converse. ruego talo, ***n. l"

ruego J"'st ),tx djve.ee. f"'tt lu, or"n".

,",::1T::1." * ;,j;':'ilj"::: ;iÍ::nffiT'j:l"T#:"üf"ffi ::::ilj: j:,,.Ti.fjl ToM¡ (i,

r. Sea iim r, /(¡ = .4. Enronces

J" l@dr

Gi¡ l-

converse si ? > 1 y A esiinlo divers€si ?=r

¡p¡¿,

y á+0

(pu€des€¡¡ori¡iro).

u¡'¡",' f -## , .¡;+E=:. -"*o"^". ",]n Ej"'pr.,' ,ri'úse.e*s ,rin'.t;É-

J ffi-

= 1.

Se puedeD oblene¡ c¡jle.ios parecidos con A(¡) = e *.

3. ctiie¡to rre ¡¡ srte para iDlesrates con integ¡andos no nesarivos. J,- n l o, d¡ve¡se segúr que >ui, con ," = ¡¿) converja o dive¡a. 4. coIre¡E!¡cis

1. rt'' a'

.b$tql¡

-"*.e..

y codicjoMt.

s,J rr"ra,

se drce coadi.ionotaeñte

,**

t

fu¡|,

".**g"

te coúverSent€es conle.g€nre.

f-++,r,$

di,je ab,otutan p .ahvrypnk

",

p..

.oiú.rgehte,

t"" ttt.lla, ***g",

E €opror,

J,-

**",*

.

j

ar alersÉ. entone. 7rr¡d. J' ¡rr¡ -l-

esd@¡.qüeunainles.ar abso¡urarn@_ J"" Xa a, converee.

absorutame¡le co.versúle y, p..,"*..

"."*.g."t.

pu*J"|,*,*r¡o.

J";+, . J. ,,'i, .,.,." r¡*¡"

u.

¡[-er er q*

¿, ..""c¡ee (réaeprcb. ll), F-

"l!sjld" f

-

-¡rc¡8e

prcb. ur (téas¿

;f".:sl-l¿o *..u,cio,.rncúcc.nrc¡lc¡rc. Cualquierade los c¡ireriosurilizados Dár¡ jnq'ando no nesativo *'" id .o'o cnreno d€ *^".8"; 'xÉs'aresde se puedeemp¡.;;;ül

INTECRALES IMPROPIAS

S i / ir t

IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPECTE n o e s a c o ra d aso¡ame¡leen et extremo ¡ = a del inte.valo aSrS¿.

t t(x)dr

263 se define

= ¡:l J."..x,ta"

tl)

ilT'::ÍÍi;:'l',:::Hli,li,i'*''"*.*',"'d,n,esm,de,pnme,m,emb,oesonD"rB4!e: A nát ogam e n jre . n o e l a c o u d a ,o i o e n /rU

et e¡rremor __ádel i nl e^ato ¿ < r - ¿. sedefi nr

J,"nao. - ,ti¡;J"'' n"ta,

(5)

i"',",T:',]: :::','#i';","'#:'| mreñbrode ,(, 'e o,crcon,ersenre o d,le¡sen,e $BUnqueexi.,ao rc $ eor¿d¿ un punro 'oramenre.n inre,,or r. ro derrorerv¿ro b¡";J'ir' ¿: r 1¿. 5edehoe

f"'tato, = .,,!,!, !,'" "noo.* .]!+. J)..,x,.¡0, ii:ff;l"d"r '::il:i":

(d)

p'r'n- .t".b.o de (6)converse o diverge sesúnqueexist¿n o no iosrimitesdelsesun_ *"s denniciones al casoeü quer(x) no seaacorada qTg* en doso nás punros

:AIOR PRINCIPAL DE CAUCHY

lt"j:.'¿j*:!.1::,,:Ttf :$:::f, ilff"Titji:i:,!11 :i;T[:::ii: : i

= J""t(c)d¿ .rim $'"-'not" * J",,noo,| e\ :?:"ü';:'if :j,:il'¡j:i ;::*"*:ni:: va10r,imj¿e ese,,¿,¿,p¿,.¡?¿, +::l ;,*::que".,e

i.TEGRALES '

IMPROPIAS ESPf,CIAI,ES DE SEGUNDA f,SPECfE

J, ,;:^.

" f" @!rF

coherse si p / ¡

y

d,\er8e ri

converse si p
y

orvergesi p=r.

Esrass puedenllarrat ¡nteerutet p.!. ksfuda espe.¿.Nólese que sip S 0las integ¡ates F ya no son GITERIOS

DE CONT,EXCENCIA PARA INT

rt* .r*Y""* r- o-" o *- ","t*alr^s

IMPR'PIASDESEGUNDA f,sp'cr.

*,^i::-"j::i, lÍ"1'l;"¡;. ' -=¡ u"v-"r,.'p,*i.'J',liiJi.llJ.',lil,",l11i,ii,:j"X11.=.;;fl_r.j

2& l.

INTF(;RALES IMPROPIAS

[cAF- C

C.ile.iode co¡rp¡r¡ció¡paraintegr¡les .te inleg.anoo no ¡egaúvo. \.1\ co|ets.útr¿:seas{x):0 cona<.r=ó Enronces si 0 S /(r) S s(, púa ¿ < \: tj*'b,

\

ttrut",

y supónsase ,r* á.

J'ot,r;ar -**!¿ tambiénconverge.

Jblk)d'

pa..r> r. Enbnces como É.É _[ fr e=irJ'V*u.bi¿"o**c".

"."""o. ,-"r.n , -"

, = ,.

Dneryan.¡¿: seas(¡) ¿ 0 con¿ < r <¿,y Npóúcase o. !.' o1r¡a, or",r". tonces si /(*): s(¡) para¿ < ¡ S á. J" /(c)a, u-uten oiue.g.. iil¡

' ui¡

r*" ., :. e.-*,

*..

J'G_3¡g

divúse (int€srar ? .on¿ = 1

a= +. J'o!fua, u.uie" a.*ee. 2. Critelo del cocierte para jnregr¡les de inleg¡amo no ¡esauvo.

(o)si

6l(r)=0 )" l@ax

y s(¡)=0 púa a
(ó) si á=0 enid),

"

(c) si ,{=- ú lar, e

converse. rueso

J"rr"i*

!"" tala.

rüeso f" s@)d.r dive¡ge. !"'rola,

*"*,*. a***.

F .rec rre o \e re ta ci on" conet de.ompdraci on y e. un ur¡¡su\ri l urodet mFmo.E n E . ra r.¡o D a n d os rrr = I (r ¿p { üenepo¡ Ia\ conoci d¿s propi ed¿de, de l a rnregral pi

r@reln¡3. sea,ti? (-y ¿l'l(r):,r.

Entonces,

(i)

dr J" l(c) conrersesi p < I y ,4 es nniro.

(iil

Infiniror. )^ Itrtdr d:'ergqsrp> t t 4 - o tA puederer Si /rl no esacotada solamenle €n el limiresuperior seremplazan estascondiciones por b

T@reo¡4. Sea = _lim {á r)e/G) r. Enronces, (n (t. si p < I y r es nniro. J^ lr,x\ converse (ii,

si/> t y B+o (B puede rcr inñni1o). )" l(t)dr diverse conversc.pue, rin,(,-1)-

"j-pr"', J'É Ejm Dr ot :

f ¿D ti

4: : '\!t'

dn B .ue.

,im ,3

=;.

#'F=,Ir.i= ¡,. 3_ r)\ttv-:1

Vro

:

CI"

¡NTEGRALES IMPROPIAS

'']

I

CoN.r8*i¡3 I

/(¡)dr

¡hdollr¡ y co'¡dleio¡¡I conterse.s'

I

I

ll¡)tu

v

die

tr¡r d¡ conue¡eepe¡o |

265

absotutünente .otu¿¡8cnte si ./(¡) d¡ di"ersc.enrone. |

/(¡) d,

k dice co¿diciüalnente conaersente.

S' I

lllfl dr convcrge. I

ftr¡dr

con\ers<.Es deir. que una inresratabsotur'herrecoi

Ege¡te es cofvergente,

El."l 'l 'o. co mol#l

',c*

|

=9};

l":'"

" f:#

y asi | ld, cor"erse

o n v e rs e (! r, e s . ¡, o r¿ = t r, p : j), e ,Pa ¿,

-"*,s.

r¿bsrubm.nre¡

Cualqüiera de los c.iterios que se aplican a inreg¡alesde inlegrando ¡o re€arjvo s¿ poede utitiar .oro c.iterio de conve¡s€ncia absoluta.

NTDGRT{IES IMPROPIAS DE TERCERA ESPECIE L¿s integales impropias de tercera esp€cicse pueden€xprcsar po¡ las d€ prime¡a y segünda6pe.¡5 y entonces el problema de sü corvergenciá se resüelvemedianr€ lo ya visto.

B¡IEGR¡LES U¡{TFO¡ME

IMPROPIAS DEPENDIENTES DE UN PARAMETRO. CONVERGENCIA

+@= J" n",aa'

(8)

Eea integral es ¿nálogaa una seriede funcio¡es. Para esrudiar ¡ascondicio¡resbajo tas cualess€ ,u€de ¡f.rivar o intes.a¡ d(d)con resp@toa d es convenienteinrroducir el concepto de .o¿úeryenio wilorn en analosiacon l¡ de las series. F¡a ¡Dtegrales Se supo¡drá que Ia intesral (d) converse pan \ < d = a,, o se¡, brcveménte en er intcfv?. _ D.f¡¡ciór. La i¡lesral (8) * dice s¡¡rmemhte .onoersqte e¡ ld,, d,l si para rodo € > 0 existe ur Dúme_ 'rc 1r' que depende de é, pe.o tro de d ral que ó, ni

I

t' ' ..a " 1 .

.

p ¿ r¿ ro doe> N y' ododdetd,.d¡l

Locuarsepu€de enurciar deorrananera q* lot"r - f"ri.,"ta. = lf" n,,¿u,l observando quecorrc(ponde enunaseri€Infin'ra al vato¡absoluro Jer*'. í"io,,, o. r,"*,1,í,.

Lá definrc¡ón snlenory las propiedades de ta convergencia un,tor." qu" ,esrtrun,e roñDtrn aqul Fra integralesimp.opias de p.imer! esp€.ie.Pero ¡osresuttadosson a¡álogos a los que sepuedenfomub¡ para inteSrales impropias de segunda y tercera especies.

266

INTECRALES IMPROPIAS

CTITERIOS ESPECIALES Df, CONVERGENCIA UNIFORME DE TNIEGRALf,S l. Criterio M de We¡eBrr¡s. S, r\h,e un¿ run(ió¡ Mr,, j 0 rdt que (o ) t(¡," )l = Ml x) at= a= a2, r> q

(ó)

t- M(')d¡ @Nqse.

.t-*';f'lf",Oa"

es uniror,¡e y absoruramenre coDversente eD d, < d < dz.

fj.Dpfo:comóll...

i,

;_ ,

,.

J"' ,!,,

Í" t:,_

es unifome y absotu¡anenre co¡ve¡aúrepam ¡odo valo¡ ¡eard, s,etcdrc d. t¿. \eri.\. e, porbte que una ¡nreg¡at¡ea un¡ro¡ñemente .^ rn .CoDo Ie \er,o absolurameDte , vjceler;_ 2. Ciite.io de Dtricbler. Supón8ase que (¿l V/(r) es üDa funcióo pos¡iva monótotra o@rec¡enre que hende l? '

tt''lJ. I'¡4¡1'l

P p d , d , o d o r' ' o ]

". ¿ "..

Í,'¡t,,¿otao, es uniformemeDte convergertepara d¡

S d S d,.

TEORTMAS SOBRE TNTEGRALES UNIFORMEIÍDNIE si ¡r, d) escontinuapar¡

= ,:

", ii." es un punto de".,,

-y = ava, S a S

enbices r,G)=

/(,,a).rc es u¡iformemeúre conl€!

",,ysiJ

J'rr","ta"*

S a S d,, se puó¿ ercribn

CONYERGENTES

end, s ds ¿,.r, o-¡".*"oi,ti,ua

jll,"c(")= J,t,j,"¡t,,¿* = J"lit"n",ro"

Si do es uno de tos extremos,se aplica el IjDire a Ia derechao el timile a ta jzquie.da. To¡e¡¡¡ ?. En I¿scóndiciones det TcoreDaó F pue.leintegrar ó(d) con ¡especro ¿ d de d, a a, ¡Er¡

= I"'lf";o.,",,"]". . f "r " , 0"- Í" tJ .' ,," ." ,,,]*

que co(espondea un cámbio de ord€Dde integmcrón. s{(-'. n) e. con,.*

y tieo" unadmvadapa¡ciatconresp
a d continuapa.a

r: ¿ y a¡ = r= v.rJ"fl a"-**e",,n-^".+ * =;=;,.;;:;.",_.;i'".'='= "=

# J.'H*

Si¿ depe¡dede d esteresultadosemodiñca fácitne¡re

tvease¡eglade Leibnitz,pági¡a t6l!

¡NITGRA¡ I S IVPROPIAS

267

DE INTf,CRALT^S DEFINIDAS fl cálculode inleeraleq deñnrda\impropias* puedereah/arde !arias maner¿s.UDálécnicáúlrl 'sle en Dn párametroen forma ade.u¿daen tá nregrat y tufeo denv¿ro inleSGrcon pá.á¡retro,aplicandolas propiedadesanterioresde la conve.gencia a¡ 'nrro,Jucrr uniforme. DE LAPLACE Sedefinela transfomadade Laplacede una 9

f(31= ¿lF(¡)r =

( JN

e--Flr\dr ú2\

aná¡ogaá una seriede polenciascomo se ve ! ú -reñplaaf e " por I de modo que e-r¡ = ¡.. Nrchas propiedadesde las seriesde polen€ja¡ s¿ E:ier tanbién a las fansformadas de Laplace. Lr brevetabla adjunta de l¡ansfomadas de Laplace é úuy úlil. ¿ es una constantereal, Una aplic¿ción útil de las tr¿nsform¡drs d€ ::place es su empleo para la solución de ecuacioc diferenciales {ve3seP¡oblemas3a,16).

NTEGRALES MULTIPLIS

'n

FÍ;

s> o

;+; r-L

s>o

'{tr.(z)

- Y(0)

c<{Y(,D- . Y(0)- y,(o)

IMPROPIAS

Las deñ¡icionesy .esultadosobtenidospara iñteg¡¿les sncillas impropiasse puedeng.neraliza. ¡ as múltiplesimpropias.

Problemasresueltos ñTEGRALES IMPROPIAS l- Clasificarsegln la especielas integ.alesimpropias:

k) J ,nr-;*r)

@Í""(i%

r¿rf-- ?t-

o)!-.FÍ#¡

@Í""' #Eed,

,t 8ada ¿sl¿.¡¿ (inteerando no acorado en r : 0 y r = r¡ rae¡a d¡¿¡¿ kl l¡mirede inreefdció.es inñnno y el inregrá¡dono es áotado pan tc r = _ r). to es iñpropia lel int.srando no €s acóradoen x - 2j ¡Ero est. punto ",ra¡,",, áet int.:.uuro a. int"g,a_ ción l5r:!1 0). ld) Pri¡Ero ¿s?ec¡?{los limnes de inles¡¡ción son in6nilos y el intecnndo es acoladó). {¿) rv, es inp¡opia lpms.ü¡r !-41:

= f aplic¡¡do la recl¡ de L HóD¡¿t).

26E

tNrEcRAr_FsrMPROPtas

[cAP c

2. MonÉ' c¡imoseiGnsro,ma ra inrrsrat,mp.opi¿ de EBrn¿"*p.""

* r,l ie. f':L, ¿t Vtl2- ¡J

gral inpropiade primeraespecre. prop,¿. {ór Inre8,¿t (¿) co¡srd.&

J

< é < r. porejopro.s.¡2 - ¡ = l. E¡rones h in.esnr É

t#cono

"*iF. Y*. Éi o+, s w qüe.rerüdiod. la ihrce¡a¡ dáda.s equivat.¡re er& L

* u 1,"' " ffi

f'ffi

**". *"* * 0".*"

tb) E^.iendo2

¡ = ¿r e¡ h iniesÉrde (,), s

zJ';fi; *. * i,.e-ro-o.

* rJ ,j;.

-**"

"

r.due, p!6. a @nsidd

loant.ñq* w-qk uñ¿rrlcSÉt imp¡op,¿d€ prñer¿ apfci. p!.& ú¿ñ,forma,ieen unai _- ,Por t Kip¡qmcn¡e r.os que {.'¡p.? * puedeh¿cerr "'111!":ry." s. ve, aí6isno. qu. ue inr.s6l iDproph F úede r;nsro@¿r e; prcpia. pe¡o so¡o ¿ @..r

INTEGTAIJS

TMPROPIAS DE PRIMERA TSPECIE 3. Demorra¡ el c¡iiüio de coñparació¡ (página261)pa¡a inr%.atesimpropiasde p¡imera Cono 0 5/(¡):

j(j) pa¡á¡ ¿ ¿, seti.re, uritiandota propi¿dad 7, AisinaOt,

o = J"Ar)d" = J" et":a,= J- oata" Pcrc, por hi!ól6is, ta ú¡tiña ibteerat cnft.

Ai, purs,

E !"' ¡t¿0,*^..y.¡.,,-. J"¡1,¡a"..*.g" 4. De¡dosr¡¿¡ el criterio del cociente (aJ de ta Wgna 262. pd ni¡,r6is, rm /e _,r > o. Dado,p!6, un . > o .xisr. x ta¡ qe q u e p a .a ¡¿ x s e tj .n e

e-,=!9=t+,

o

l-li4

_ ¿l <. si ¡ =,r

ta-¿s(d =

ot-aJ'oaa, = !'rLao, = ro*¿ Í , " 0 No É picrd. Cbenlidad eligjendo,{ _ € > 0. si

d' co¡vcrec,¡ü.so por ra d6isukr¡d dc ¡¿ deBha €¡ J. r(r) {/), rim , /t,)d¡A^k\ N puc5| l(r) d¡ con,crr.

si

div.rse,tucsopor ra d.nguatdad d.la izqu¡erda en l/), J. cl.)d. .ti ñ , I tdd,

Para los €asos €¡ que,r

y,l - O

-

.r" " .¡u-.1

= @ úe

-J.

/,,rdr dtr.,_!c

probLna ar.

(ono !. ye.n el p¡obtemaar¡e¡ior h¡y.n q.¡cral urr¿¡olable5eneJam4r' *'re\ v p"ra r¡¡es¡ate,,oD¡obú\

lasdfrcr¿.E

c¡. rrl

INTEGRALES IMPROPTAS

r F s , u d li a ¿ c, on ,r.se n ci a d e .," , Í," " f# 4 .

tbt.f" + _L.dr .

,a, v.rodor: p¿E, srandc. er,**-r..,,;.,,;"."..".,,Í'c.."

= #,

3..+*+t

,

*I'5

dercñpaRc¡dn qü 'erió J-",+# *:".

269

l r::

onvc¡se(i¡recrar p.o¡ r': 3),e sjsrepo..¡ c¡i-

coNefse. 1 tanbién

* .studia¡ el irresrando p¡'a r crevádoes obtcner u@ irresrát ap¡op¡¡da p¡ra

' -^|f;,n"'

M¿rodo ¡: . _s.a," 3'- É,-_, ,, _ j,. c"-" n,íi1l I !h!ede. ¡''dr td ñ b ,e n L ñ n \.fg e tr cu n .tcn r .

.,

* t*'ón

*0.30;il'f;

#,

r)

j

r* ¡.p *o

re

roem, r. p¿s¡a2ó2.rai nr.si ¿rrE dds con.

(ó) Mérodol: p¡ra ¡ srand., et inbsrándo es ¡p.oxiñadañdle ¡,/!F:

c-"=2,

f-,n*

od., !o!,_re

de conparació¡sl¡) sena dscarlado€r .acto¡ p€ro desderu.co s 1,

l;;":1.

M ¿ ' ! d"3, r i- ,' (3 ;r

,

tA

= i.1. ."." il""+ d"*8. Í"'#,""",anbiéndiveee.

ffi

# " " i r*e. , *": *i: x, :oi:\u r-!e. ''rJ,) ::.j r : m br end, \ er gc tk r d: :l M&odo 3r como ¡* "(;ffi)

. ! . ' aaa.

= r, r¡ i¡rcg,arped,d¡ ¡iv€¡s.po.ctreo¡emar. pásina 2ór.

::d,;!*i.:É::liiüii:Í;"":1t",,.ff:i$H,"1¿T",jJ:j::á:",i,::,:i"1i"1;'::1,

pa¡ación.Pero tos Mébdos 2 y I no qigen estú.

o..-"*

.'d,r conuerge.

c* J',

lim r:¿ ¡ : 0 (po¡la reslade L,Hópnalo de or,

raintes¡ar dad¡converee. .".*** 7. Estudiarla conve.senciade: t4 Í," Pád. t.l ri.

' *i:-

-.

, **,..:T;',]**il";f"**^'

con ¿ posirivaconsra'b

or.["r ":"rr,.

o. oo¡deporetTeoFn¡ t, pású¿ 262,co¡a = q,p=¡,

,,,J-r:g",,. l.',;,,, La p¡ihera inq¡d

A "on - o'p- 2.

¡ainres.at dadadilerye.

, !,",_;"t*

del egu.do mienb¡o 6 €(

c"..rix,,.(r+!r) =.,,,,.-,"",,,.J:": :,:::"":::::::1,," _,,, ".","._" el Teo¡ema t, página 262, con .1 = O y p = 3/2. A$ qü¿ la i¡resrat dada 6 convergent..

270

INTECRALES IMPROPIAS

E. Estudiar ra conversencia de: @ rn ) s e ¿, -

'íd',

I

, L ¡ m re ,rt s.óN rr.

m

J.

r"*"*

Mé ro dr: o { < ¿ ' ¡ra u > t. que ¡a inleBraldadaconvere€. M¿rodo !:

l,h ,'14\=

r-*

\,

r¡- ,¿ ' -

Pá g n a 2 6 2 i @ n A- 0 y

-.. J','a, -**s" J-{¿, -"*,s.,

p=2.

(á) E{ribase rai¡resrar a"a^['_ffia" ¿
-dr.

0. Lü€sola inteSÉldadaco.yerse.se8ún.l Tú

r-i

/

@ t .{*ryrd..

J,

r+t4du.

*

Haciendo ¡: ],€nrápriñeÉi

!""ffi",.

y. q,.

lr

y'(i,li

)

:

r. rd mr€cmr onv.BÉ

_;) i 1. r. rr,trdr [1f,Jr,.n\crri c -* ]r:,,(; Luegola inreenldadaco.verse.

CONVERGENCIAS AXSIOLUTA Y CONDICIONAL DE TNTEGRALf,S IMPROPTAS DE PRIMIRA FSPECIE e. D€mortrar que

f- ?

/'/rdr r/r¡' dJ conlerge o se.. que una onerse s J. J" absolutamente conve.Sente es conve.gente. se tierc -tk)lÉlk)<

l/(r), o sa.0 5/kr + rk)ls

2lr(r)1.Enrorc6,

o = f."¡ t.t*¡ r " t1 a=, " t.' r o a , s,

* a.a*" q* J'- rt,ita, onve,ec, J'lir"l

* t(,) d, mnlerce. por De donde,

J" uar., oo"".""".*.,* * o* J.' x¿o. .o,*,"" ro. Demosrr¡¡que l-ry* -*-r". lff I

r**o. porerc¡ne¡io de@mpa¡¿c'.. * * *"J-4 l= ] r," "='.

i"",' ld¡ rc$dce. * d(n.

o*" ]rx ''1Yl

I

=,'nlffl

-**o,

rG,¡ dr co qee ab.oturanenr. y. po¡ knro.conwrse*sü¡ d

= o,sesisü€ r@ema 1.Éai¡ 262,@nA=o!r= Po¡er

*" I-l?l* -*** *.,*..J"rya" ".

INTECRA¡ES IMPROPIAS

rr. Demor*. que J"ffa" c ot " 4..-r..

J " ' e :::d ¿ q*

c o ¡' e ¡s e ' | p urn e \'

:{.1",,

J.

271

_**e". *

" on" " ,"

oavae

n. . -

-

¡,

= r) ¡o hal hás que

--

Mérodot: I¡teCEndó po. la¡les

= -yll. i,': f"Y* obienromandorosri'nesena.r.,,,".;,",.",,,,;t-"_,_ ":l ,u,uM__ --

J +'",

*

Y

I,"

t:+*

(j)

y re¡ien<¡o co cüe¡laque l;. lga-^

H- " M - "

= .",r, f-:._¡,a,

coho l¡ hke¡¿t de {ehdo rFmbr¡ dé , ), ^^-.

rr)

;;;:;',*T:T.:liÍ:ji,T;J;i.;.i.ij,il:l-; ".' ".',.: i:.11,7 ",*"'ji"'""'-",*f'+.*

H¿ c r c ndó ,.=, r

= f':{J,- r''..,'. '¿ ', -

= i f ""'x¡:.," " ,,

'. n '. --o,

( |

.

'

,d :í;.." ,;.. ""

= "!,r-rr"J';'ffia, f"j.. - f".y;. _ Í""#+^ _ que e! un¿ ,eñe atrern¡ I c.r. _L ,,

_ -

,;

f"#*,

_i;

r \ e n r
= J",_ü*.i;-

a,* u ;'#txT: :.rtuei,*a.e**or "#;;:*ii f' e \ po'dnlo'" o' o-* *" n.,'i""iil,l"l ;;';;;:"J:,1;J."' 'a ;i::1.:T,fii,'ájff,j":l 12 Demorm. *"J"Tr,

conve¡ge co¡dic,onarmeDb.

Cohó po¡ c¡ pbbteea 1] la inGgal dadaco¡ve Jrsehavque

"'"

*, c""

J"lu:]a,

Dosthrqüenoesabsorura'enre conve*en,e,

ai,..e"

CoDo eo ej probleDa ]I, Mérodo 2, F ¡ie¡e

=

J"ly* ";.{:..' s l*l* on,"",,-*,"{= =,=". 1,i,r","., ", c* P-

"*q

j

f",'+- = a#f"

( ? + r)¡ ?_ d:,.'Br. t¿ .eic aetrcrndó n".0,.

.í"/Yrld,

=,¡" ";:*, f =

,"

'dD d,

i

,,, o^**. _,

d-"¡se , se¡enc er resurladó pcd,do.

,"

,

eJ .¡ierio de conlraración

272

TNTEcRAL¡is rMpRop¡as

[cAP r?

NT'CT]|J,f,S

TMPTOPIAS DE SECTJ.¡{DAESPECIL YAIOf, PRINCPAL rJ. r¿¡ uemostrarcu€ _.:1 @Dversey ró) ha¡lar su va¡or. JI_ t V r+ l El i¡¡cgEndo no .s ¿@Ldo.¡ ¡ = -1. & de,i& €¡ioMs la irtesr¡l Dor

DE CAUCHY

:$'.Í.,..#, = .lnk+:r|,. = .us(.-;"¡ =

lo quc Dü6tra qE Ia i¡tesr¡l conv..ec h&i¡ 6.

¡a

ooe-ioa' si J_,6I!qpai de Cauchy.

"

conlrrsera)en et sentidoco¡riente, (ó)en el s¿¡.idodelvalorp¡._

{¿) Po. d.6nició! ("

,t,

¡, ,,

J ,ñ-r¡

-.1* J

d.

.l:'tJ., #;

.

"ri = .rll.(¡-+) . .trT.(+-+)

y @ño tos l¡hics no exbt ¡, Ia inrce¡¡l úú @rrc¡ge €, e¡ st¡do

g

f' ,:r, ' ' . ftJ , ,¿- r,. ¡¡ int g¡al d¡te d €¡ stido

coriate_

,. f, _-2,, ,_ |

,(J..,,=rf ' - ú 'I

.!f.{á

_ ,r r., i!}

=

3,r

d.l va¡or p¡i@ip¡¡ dc C¡uchy. EI wlo¡ pri¡cipot 6 3/32_

|:t. Iúvestige Ia conve.gEnciade:

o Í""F¡*4¡, btÍ""ryd" h)

e)r't o rvG=;Ir@)| :- dx

att""'"ffi,">r.

'ür'k-z)"''r,+F = .y,i("t*=)""= es'¡¡ c¡ TcoFh¿ 3(ü pÁsi¡a 264.

(¿)

.ün

t . !9!3

= t.

, ,n,"*-, ¡ft."". ,"*o, "--.

Asi quc tá intesr¿t dilerse sesú¡ el Teorcna :ltri) de ta Ojginr 164

r(rE*-ríbar¡¿i¡,esrar.¡¡¿fo* _ J',-fu 1,ffi,r cono 'rt-' coño

(" - 1)4 '

7#--

,nn (5-,),".

= : ¡ap'imer'¡ ee¡arconverse ' =

inr8rarconvcree. +, k eeunda

cdn lo qú. ti inr!:Aetddda.órrcree_

'G=#=-

,, ,u1.n-r'S

= 2"¿. y ¡¿i¡resrdt divc¡lr.

i

CAP 12]

INTEGRALES IMPROPIAS

-.

- > :

e

|

J,t_1

oryrsc De modoqLel¿

,"

'n'.tr¿ldrdd

drers"

Luego ll inreEralcor\erCe.

fl

1 6 . Sj u v " s on r eale r. d e mo s trcqr u e |

¡' r{ l

t)' -tdrl ¿)convergesi u > 0}r> 0,si nuF

y (ó) divergee¡ cualquie¡ol¡o caso. táúeameüte, la inleS¡almnvergepücro que .l in¡egddo es conrinuocn ldl Pan n ¿ | y ¡ ¿ 1. sinuháne¡m€nle, 0 < ¡ S l. E$ribiñdo I¿ i.lee¡al como

Í"'''*''u ,*'0, , 1,"*-',' o*'0,

( f)

Si0 0 y r>0 simuliáneamente.

'0

J ) " - '=

¡).-t - I, apl,-

¡)" -' - ó. Con lo que la p¡ine¡¿intcsral.n (.¡)div.rse,s c¡al fu€¡ec! '.¡'_'(1 valo¡ de ,, Fgrtn el Teol@ 3(¡t, Éeim 264, con ! = I y ¿ = 0. Asiñ¡no, la segunta integml divere€ si' l 0 s cual füe¡e el v¿lo¡ de u y F dedüÉ ¿l ¡.süIládo

(¡) Siá50,,Iih

En el Capfulo ll * tala de al8nms propiedadesinportanles de esta irlcgúI, lláúad¿ ¡'¡¿s.¿l ¿¿¡¿ o f"n íón beta.

17. Demoitra¡ con r

INTECNALES

. ",.

f" J^ t

r.

I '."

d/ cor\rpe

.ondnon¿tmenre.

lr, la ¡nksral 5e conqer. en Ia f'""Y¿y

IMPROPIAS

DE TERCf,RA

IE . S i ñe\re al, d emo s r Ér que |

¡"

t.

I * ¿"¿u."

"r 'e,Jhddo

p€
ESPECIE d¡ r ar c on v e t g es i ¿ . 0 y ( ó ) d i v e t g es , ¿ <0 .

Esribas¿ la ihtegúl d I¿ fotm

! " ' o' " . ** 1 ," * ' " ' *

u)

(¿) Si r = 1, ¡a p;meú inregml.h (.¡) co¡ler8e porqueel inlesla¡do es corn.uo en 05j51. Si 0 < < t, la pnnera integnl ¿n (.¡) cs imp¡opi¡ de s¿$oda esFcie cn ¡ = 0. Como " lin ¡t-"r'_'¿-¡= ljlanr &gr ¿lñnv e4eeglnelTc oEn a 3 ( ¡ ) , p á g i n ¡ 2 a l . c o ¡ ? : l - , y ¿ - 0 . De ñodo qne h pnm.¡a rrle8ml converye p¿r¿ , > 0. Si ¿ > O,Ia sesud¿ integ.¡rñ {l) esinpropi¡ de p¡ine¡a esptrie.Cono lim .¿ f-'¿--

= 0 (por

la rcsla de L'Hópit¡l u otro nétodo cu¡lquic¡a), estaintqral onverse *sún el T@ÉM l(,), páana 2ó2. Asi, pues. ¡¡ seeurda inESml lanüiñ corverse pan , > 0, y. por ta.tó. la integ.ál dad¡ co.vergt

¡

274

INTEGRALES IMPROPIAS

(ál si , ,< 0. l¡ pnner¿ incs¿t de U) dñüse puestoque r , f, \ 4. _0. t d ¡ t s r r d d , n r e ¿ A d . , / , " J n r c , B e p u ,xm,

.¿ ¡ = € lT€o¡€na 3(¡¡, página26.{l

;'";" 1'1" ;"1'";".;"1":j'":T: ,i l; ;tl' ::;:::r:' ii;fi:'::'il . ¡ e r . ¿ n , ed ' 1 " r 'a . d e ¡ , a n , . p l ¡ D i e o ¿ d eI n , e crJ inksr,t. lamadd / u ¿.6

" ' ' ou, a "- - j, l

CON}'ERGENCIA UNIFORME DE INTEGRAI-f,S IMPROPIAS

re. r¿)calcurá. ot"t=

J-*-*a"

-" "ro.

quer¿..nres,ar en ,dr converge un,rormemenre hácidI par¿d \ x, _ 0. li: {., P:T**, E(prc¿¡por q"¿ t¿ in.rgr¿t no.onrerce ulrtorrmenreh¿craI piru c _ 0. , r"r ,r.r = = ;-J'-",0. ",j.=" = ;*1 ¿_d¡= I sir>0. ",ti_"

An que la inregratco¡vereeh¡cia I paú tódo ü > O (¿) Mórodo t, por ¡a defúición

tl ioresralco¡ve¡seuniformcdenr¿ há.,a I en d > cr > o si pqr¿Lodo € > 0cr¡re un,vdep€ndr+

redeɡEronode, .,r *. ll-J,

l, - . f"o

o¿a.dt =

" ¿r)

r-Í-e..)t

."^" on r-..T o it úes ¡ ob! . ñt ¡ t r e s ú t r ¿ ¡ o

. r.,,.¡ ,.J..,,

\

= ¿-- = ¿ q. <

"

pa¡¿, > 1ro1 =_. ",

.

Mérodo2j uliriza¡doel crnerio ü de wdeaftss como th C. k-- _ o pda,: ü, > 0. e puedeelesi¡ _l . l,¿ *n""*.._r.g* _1r"-, de. . : . op. , r . er r t olom " n d o v , . , _ . , . ¡ o r . e , , a n , r o q , e f " 1 í _ _ . e . \ e d e d r . e o L e b É

,

: : . i|j' ,

. ' L|i|o. nen q '. r c n ! *g e n e 1;" _ 0. et nuDero/v en pfiner " '. - ' -. ^ eI ""," " h i¡de,inidañenre.

demodoquer¡ E '"-' ". *.¡. .* ,"n",...:; :'i;iHl::";:.:"J1i*en,' 20. sió(¿) = J" l(a,")d¡ es u¡ifomemeúte co¡ve¡gente parad, S d S a¿,demorra¡quearJ esrcinlervato. s*

aL"¡=

J"tr,,"ra, + 4(a,,), (,ñ ¡(,¿,")= .[," t,a*. rila.'s r(a+¡) - f te,"+]t),tr+Rta,.+r) | o' -ool = J. lÍlzd+h)-^!'oll&+Rtu,a+h)E(u,e) n,,.n,".."to* lóG+¡)-é{,)t = , f t tA,, * o, ,,",a d¡+ st,,a+ñ)l+ a(¡.,o) "" Como tr Inr*i¿l A un

I noepc nd,e. r de , , "

tomcm

", . , . , ; ; - . c ono/ 1! ü) es c onr i¡ ua., "

"

^. l R t ú , d +h ) o,r"

ri

.

" <4

E ( ¡ r '¿ ) l < t 3

n"u",,,l

! . "n ,.* ,,," .,;;.;" ' " .:;:," ' " ' -'

, ,l

c{P. l2l

INTEGRA¡-ES IMPROP¡AS

q*

275

uewndo (2) y (Jia (¡), e ve qüe lC(d + ¡) - d(d) |< É para lr¡l < r. con lo qüe d(d)es continus Nóteseq¡e €n €srad€n6t.ació

d:

;;; ;;;;;:;; ; :";il.*;#"i"i;'j;'jlt"ff:'*"*", "Norese " ;,. l¡sb'étr ta rnatogi, de ej¿
D. tun¿ra pa¡eida e pueden den6t¡¿¡ olras p¡opiedade, aJi,¿s.a",

tas *,F\ ,"iü".*r"

"

Defodo

-**g*r*

It. {¿t Moqrrar que ltm f-.e--¿" (¿)

". @*. "'jT, J"

= ",jT,

c"

f'l et re.Ltrado de ,Jl r. (.rjT, "?_. JdI. rórLxptica. \ ./ r = 1 poretp¡obrenja 1e(o).

=

**1* l- f"t¡X'.

\

,

f'oo.

= o. y seheneer.esurr¡do p.di,ro.

o oc¡ =

*-" a. as unifonenen& co.k.senrc para d : o {vqs p¡obtema te), no hay f"o sgu¡id¡d de que didj Fa cootinüa p¡ra d ¿ 0. Asi qE puede no sr ieu¿l a ó(o) C{d) .lin

tL

(a)

o.n*"-

q."

", .ost, d.r :7j7

;f'"

(b)

na.an > o I cu"rqüie¡ varo¡¡€¿tde,.

@nveree uniiümev absorüt¿mente para¿ < d < ó, sien-

.tiT?T'.T"¡,|f"tfl,A1a)

l¿) Po¡ la fómül¡ de in¡esnció. j4, Éeiú

)':! Í"".*..","0,

=

84, se lGn€

14

-*

(' $:f;rj:!:rc]"

=

(á) Eslo e dedüe im€di¿$neote por el c¡ile¡io ,'r' de \¡/ e 'e 6 '¡ a s "; q k para *c 6 r ¡ I n o '¿ n d o --' Ie 'n l e s r a r e s ' * "* ";["t =' . * * o.

CALCT]LODE INTEGRALESDEI'INTDAS A. uemosrrar que

J0

rnsen/d/ _ -;¡nz.

La itrte8ra¡ dada corv€r8c lprcbtna

a2(r]. con , = r,¿

r =.f"'i"*",a" =

].

! " " "r ^ - .sa = u !.",,n - " " d "

zr = f",rn,.n" - rn rD "o",¡a,

f -" , .", ./i t . r, . ,

J.

)",

- f""''r"*"2'a, - t,"''r""o, = J"''"r.*,2.a. it^z a, = 1""''r"*"2" =

= +U"'i."",,", *J"u*",a" L,*".] = ¡ rh¿cj cndo,= , 4 (¡+ J )

c on ló quel.¡)s e c ó n v i c rc c f 2 r = r -t1 " 2

¿

o r = -+ t^2.

1r)

276

¡N¡EGRALES IMPROP¡AS

24 uemosrr¡r que | rt

[c^P e

¡lnsen¡d¡ = -Ir"e 2--

Sea r = z - I. Enlo¡es, ap¡ica¡do ¡o! re$l¡ad6 dej p.obtcme elerior,

r = j",r,*""a" =

-

2s. (a) Démostrar quec(()=

l"'J+

tb)

Mosrar q'e ó(")= +.

(d)

Demos¡ra¡que f"@#-

t' e- an*,-u,= . f " r " - " r r T* " ' a " _ 1"" t"*,,"d" "1""

esunirormen¡cn.e conve¡s€nte pa.a( > 1.

(.) car*ra. J tr+rr_. c'*"ed.= t+i;W; - Jo"'¿

(¿) se dcdüc de¡crjt(io de wciesrras, puato q6 _]_

5 _l_

o*u

"

¿ I

y

|

=_correE

2\G

G) Pd

O),

'-!a f

1l

= -+.

Deriundo anbos mienbrosrcspeto de ¿, se liene

Í"'*( i * ) * = f" '# ¿= t" rsültado quejüíúca el reorna

'¿ ' to,*cl;=i;J¡¡

s, pásiia 266. ,a qk

(,*F

J-

esunjfómenenre onlersúte

t.z

.-"'=' ",ff"i:::::,';;"#:l;::'::::::::::.f " f-afr¡ -***

H'ra r_,,.f-6ji_ = clx-tc;) c.#);-_.,_

lo que s jusrúa coho .¡ la part. (¿). con d_ r+, es

i*T'";;;'^"'"

26.

, : ,* q ¡ainresrar setmn;roma c¡ ¡"

Demostra.que J'5;#*

=i^##

Por el Probtetu 22 y et Teor€ma 7, págira 266, se ti6e

i["'i*.,

¿,

co¡o,ó>0.

-,

r. q* * u"g.a *

INTECRALES IMPROP¡AS

277

- ** ^¡""= 1..{f." 1." "{Í)... ""

Por .¡ P.obl€Da 22 y et TeoEro 7, página 266, se li.¡c

I.'{f.".-*- *¡* = [""$"'.-*..".]""

o b,en

l- "-,,\!Jr¿,

=

('

""

rntes¡a¡do olr¿ @ co¡ Épecto ¡ ¡ de O ¿ ¡ se d.nr

i¡o'

te_' !

t"'"*' :;"*o, = !"' n ,i* = " ,,_,i_ á¡.i¿+¡r po¡ inber&ión por part€s. EI rcsuh¿do pedido se obric¡e na.¡cndo | = 1

2& Demosrrar que f'l-l*r¿, c...

=:

-_+-r, @nkrse lv¿¡* prcbkJ-t na?(r)1,ssisüeporelc¡irea.a"w"t"^r.,e*J-,",!:r9:3¿,""¡orom*o$srv¿igñr., flfr]5

".t

;::r';trj9:::'T#"de

.rj*l -.*t- r:"",a, '.

.

.",":l-Lg!:p,,o":0..,0

Demor.a.que t"'\:*

d parád ¿ 0 (Teortfu6. pá8i¡a266).Hacie¡do¿rroúcas d _ 0+. ü1!

= =

J "l ;:os r . . ,= ln { o , =

Í,"y*

*-;'.'*',)

=;

;

¡nr.g¿¡do por p¿fes.

' ' .To 'r . - (-l ,'),,--"¿1" l. ToDa¡do ¡ioilc p¿ra .

-

r.f'* r'' ¿ .

O+ y ,¡/ a ó 6ulla

. ,---3o"1_

' #" * !"Y*

qü.

-'* .f"

1."+",= i I

274

¡NTECRATTS IMPROPTAS

Y¡. Demorrar que I

t d 'r =- .

= \- r-,/

=

r/""-¿ 4\

2¡

"\

/

(, )r-3k+)r(.-L)+3(¿¡)t¿

3¿" 4\

| -\

2i

.)1

")r - (.

(rt-

1^

3

7

J-ri- _ =

4.1.

r

*

PROBLEMAS VARIOS rf.

DemosLr¿r que

e-rdr = \/;/2. Jt Por cl Problema6, ¡a i¡tegra¡ conve¡s€.Sá

h -l ." d r_

\{ ,,

l .rd v

r,ñ/r

¡.

el valorde l. iotes¡al.Enton6,

!; = ( f" "d , Í f " " rd , \ " ,/

= J" J" "-"'-"'a'o' =

a' ¿u ')'J ' ""

c ie¡ dot v elt ur dr ¡ doo, t C¿ d e t a d ov l v a d sre, ! u n 12-l). Coño el intesraodo es posnivo. seli€n

!Í " ar

Fig.l¿1

*,^0,"" = t"" = .ff .,".u,a"an

NÍf

siendoq I y a: Ias ¡esion€sde¡ priner cuadnnl€ tinitadd por lós ci¡cn!ósde rádiosn1 y a"6

ca

E¡ coordenadas poláres(1) da

J,".'." l.:"'.,** = t:'= !-'"!"é"*"** ic- "' ")

Á

= ¡ :, = io- s- w1

|

Y 1oña¡docr lrmitepa¡aM- ú en (r) s rÉre ln r1: r' = n/4 . r = {f12.

32. calcurar l"- "-, *"*0,. t""

n,

=

f

"

, eosc, ¿¿. ¡ntesrardopo¡ p¿des y rohando r,n¡tesadelad¿heote.

H = Í " - - * ' ' "" " ' ," , - + ¿ - "sn d- r + ; " f,-"," ^ " *a , = - it

La denvación bajoersisnoi.lecrallá jüri6@€t Teoreña8. Ési",Ne,y s".h.f,"," "t uhi¡ormeme¡re conwrgentepa¡a todo d (pues,por el cnbio de Weie6t¡as, r¿-,

j-*-,a, --*e.l

r sn G&*

d |=

-:

n

INTECRALES IMPROPIAS

279

Por el Problena l1 y e. vista de latonr.sencia n¡ilome y Ia consiguienteco¡ri¡uidad dé ¡a intesral d¿da (p*sto qw l¿ /cosdrl5 ¿ "¿ e ," d' conv¿rse, có¡ toque e apliq cl c¡ne¡iode weieNl¡as) se¡ie, J" (0) = ¡e - l'4 .¡G) lJ¡.

= jr-" Deseera¡,io # 3.

l" '

Dem o { tu rq. u e t¡t

(¿) scri¿ic lG) = z

= ,Énathrd)=Jt¿¿F. r1or " ""nai"io' f ("

-

Jtr

.f,-

¿¡ -

" -,-" "

u" *-'tr

,/; 2

(ó) cal cul ar

t"'

,r.ta,.

k denv&ión 6 válida. pnesel intesr¿ndo p.rnan*e ácorado at render ¡ + 0+ y para , süncidt.e- 1, q, , \ r - a/ , \

=

¿ - , 'e - d ^ ' O - c / , : )

=

¿De-J

d .mod oque/ r lir or \ . ' gr unit om em enc p¿ r ¿ d >0 p o r e t c n , e r i o d e w e i e , , r ^ i r q " " J ",r,

21 .

t'o,

""d¡-"..1^-,,

o

','

como F v€ bacie¡do d/j en Ia segundain&snt. Asj qne ¡(d) : ¿, üm constante.pe. deteminar ¿, ', busada y utiliÉs el Problena 31 pam oblerer ¿ hásased i 0+ en la inleeral - va¡p.

ot e* 6, Lw e o

tí,

=

.f"' " - --'d' J -"

t,' ¿a\o';1)¿,=

.[-.

{ " " ." " " t,," =

H acre¡do d= r.

* " --.

(d)<{€"'}= - |,

"'"J,- " Í" -

=;ri;,"t0. s>o; (b)<{cos¿¡)

=;:l#==

¿ "os4¿,

si e>d ¡o¡ elProblem¿22

-'j-

Ot¡o Délúdo, eñple¡ndo nún€ros €omFlejos. sesúnra prdc (¿),

= "{,-)

J;.

cáñbiesc¿ po, di Enron.¡s.

Igua¡andopaJtesreal6 ¿ inaeindús: {{cosa¡) = El nétodo r¡r"/

= \C

. r,' ." ' )d, = { ns-'

(" " -" a, - ..,^ f""' ..

" r-t -

J"

t",¿;\d,

{{*.d) -+-, ame¡ior F pue¡e jusrifi€r por hélodos d€t Capitulo

2

280

lNrEcRA

35. Demorrarque(4) t1r,1,,¡ = balocondrcrones ""r","n "d;;i",'ñ*i;;."' {¿)

IcaP c "o"'^t v(o)' tb) 1{v'\r)} = s'?"cfr(¡)} - rv(g) - r.Íl

Po¡ dcfinic'ói.


slponiendo r ¡¿r{ruc jil: {ó) sq u(¿) = y'(').

,-_¡tr¡l

= o.

Lkgo sesún(¿), <{u,f,)} : .{{U(¿D _ u(o). con ,o quc ,1tv\¡,1 _ y,,or = ,l s< ty{ ,r) _ yl o, _ y10, _ r,< tyrr)) _,y{ Or_y1o) ,,

4 { y .t,ü

36. Reso¡verta ecüación diferencialy,,lr) + y\x, = x, rel = O, y,l[) = 2. lá r¡&sad¡Eda de Lap¡acedeañbos probTónñ ni@brcs dc ta @aqiór di&¡@iál

dada.Enron6, pú .i

1\Y"(') + y(xt) = 1I¿\, 1{v,,(¿t\+
<{1(r)}

áptjcando ts @ndicions c¡q6,

= #++)= i."h <{r.")

."

por dc$ohpGic¡ór e, f,aeio¡€s Daiat6.

(omo

¡{r¡

i

r ",_j¡.

¿i*n,1. r deduR cue ,r,*¡l

,

_ at,**"¿.

Lueso p o r(4 . { l y U J i = ?l r+ *+" " r q, r. rn d€dood¿e p!.dedcdücnquer(}) = ..;. i. püi .jiip.{r ¡ + q ¡ que6 _ -r,¡"" si {lFr rr] =

/lrr,/r,te lana rraÉformdá po¡clp¡ob,.m¿ -{-'{rrn 7r., ,,,,",11,,,,"1-r!,'íí,|ll:;*" ^. '.**"b./(.,

vt"' = ,,J 1

r I l, l ^ );,,,_,. ",1"1i.

E¡ la Ta6ta d€ i¡ p:ie,¡¿ 2;? * p,"ai

lé. tan,t maa*

.,_*, ",1",i_J

inv€tras de Laprac.

problemasprcpüestos ¡N¡EG¡TAIES TMPROPLAS DE PRIMENA ESPECE r{ddrr, t¡ r,,nvcrsencE

J/,

ot!,'tia"

,l::h

o¡ f- -:!=

etJ"-tffy*

k)r'-g .',¿

aJ."##

(¿) conv., (r) div., (.) co¡v., (d) conv.i {.) .on,.,

'J"it++-F

att,"!1! o:f-'$"'

(, div., (r) cone, (¡) diy"

c.l @ny.

a

I2I

INTECRALES IMPROPIAS

que r Dmoslra¡ Í_"rr*r"

=

I Esrüdiar r¿onw,se&i¿ deb) Í,"

.'0,

7fu

2AI

"¡.

",.1",d,, ft) f, "-,r^
so¿ (¿)onv., (¿)conv.,(¿)di!. Estudiarr¡ @nve4¿nc¡a i¡dicando,do¡de É¿ posibre,i el alsorulao condicio.al: al

e¡ l'_"-"¿*,¿.a", k)

cona.rco¡ran,esposi,,las: k) Í""#+d"t

t"" ffia",

@)Í""ffiü,

s,¿ k) ¿b3.donv.,(ó) ¿bs.conv.,(,).ó¡d..onv., {d) div., (.) ¿b3.co¡v.

J-ffid-

DeDostr¡¡ los cnreriosd€l @cient€i¿) y (c) de ta página2ó2. I¡IIG¡¡I,ES

IMPROPIAS DE SEGUNDA ESPEC¡E

!4. Est¡dia¡ la @nv€rsenci¿d.:

i:: ot J(D -(¡+ 1)V1-rr

r¿rJ!f

ot!"'ryo,

u¡ f' _L

wtt"'+-':*" o"

a" o 1"""t""",

L"t!"'lffi*.

.t¿¿ (¿) co¡v., (r) div., (¿) div., (¿) 6¡v., 4*,

ts )

V3 - ¡ ¡ -4¿,

o)J"#

).1j :dd"

or.,

(r) conv., (, con¿, (r) div., (¡) div., (i @¡v., (t) @ny.

d^.rge en el hudo

u:uat.peroque co\e,ge e¡ et {n,do d.t wlor pnn.ipal

de C¿uc¡y. (¿) IIa¡lá¡ cl %tor pn cipat de C¡ucny de lá inr€gst en (¿) y dar uha i.t rp.€tació¡ geoñélri€. sol. (¿) l¡ a Estudiár ¡¿ onvergencia ind¡6do

sj ¿s ¿bsolula o @ndicio@I, dordc ea poíbte:

toJ *"(i)a,,o,J j-"(|)*, roJ',r"*(i)a, s¿/. (d) sb!. .onv., o) .o¡d. conv., k) div. ¡a DemorrJr quc l"''1¡,',."1 ''*,)-" J. \' '. -,"..r\r, I{TTCRAI¡,S {

¡MPROPTAS T'E IERCEIA

l' nJd 'drl¿ !ón \e,sen c ia d.

szuE i

T4SP¡C¡E

1"¡ f - - , r , . a, ,

6)

s¿/ {o) 6nv., (ü) div., (¿) .o¡v. ..

Fqud, dr la. onv e, s e ndc,,, ,., sú¿

(¿) con!.,

u

f' .:_ ,

Denosrar qu.

a.

Eslltli¿r la corvds€¡.ia irdicando, .üardo s J, ;;d ¡,

. 't u

,/;Í;t, + t,

. !^t f'

J"

---i""dr

onv{s.

> o. ,of--/l!_," v.P n1(¿¡J

,i 0 < t¿ < , y div.rse ci r¿t¿ ¡. Dosibt¿,si 6 ¿bsoluta o condiciora¡: s u/ ( d, . o¡ d . c o h v . . {ó r s b * c o n v .

",J"

-;*.

. ''d r

r, V;(3 2snr)

(á) conv. si a > 2, div. si o < ¿ S 2.

¡..

t¿)

(-

282

INTECRALÉS IMPROPIAS

CONVERG¡NCTÁ UNIFORTUE DD INTEGITAIF

TMPROP¡AS

s0. l¿) D.normraueó¡"1= f'rsryr-

. -.¡tomeñenre !;nve¡gen,epdá todo d ".,,, r ó) Denojr r qr e o¡ , t e \ l o n u n ú ap d r a r o d od . r, r Hd dr trmobr. S¿/. ,..¡2 --J"

'*r,''

"

que¡in 52. Her.t s3. Si ¡¡)

r ( ' , q) d/ .

.on

t r ''. d r

¡k,dd. * rin .k,")d'. J{ J. P¡obreM 51 s¡ ¡(j,d)=lr¿ -

(¿) Exptica¡et resüttadoen (¿).

es acotaday conti¡ua pa.a _ó < ¡ < ó y

i

v,,.u

r ''f

d. ndr , ¡ r qG r . h r r r , , - ¡ r , , 54

ar¡.-¡.,,,Moí,arqueó,d,no.,únrnu¿en,_0,o:

.Yf'rrrd¡. !¡ | lx ¡lt

DenostBr (¿) et Tcore@ Z y fr) et Teor€oa 8 de ta pas,na 266.

55. D.ooslrá. et .dlcrio ,r1 de Wei¿6t¡a$ para la co¡!¿reenc¡a ündom. de i¡res¡a¡es 56. Dmosrrar que f nt.t a, .o",.*. t""f- 0 " , F ( , , d , . o n , . , s u n i r o m e ñ e n l tp a ¡ ¡ n > O. ¡" r.

umorEr c)

J"

:

que G) o{,) = ' dr

J"

¿

-sry

d¡ @nv€¡s.üniromenenrep¿ra d o, (¿) = d(d} _;

_ !s-,..

rcomp¿F* con .o. pmbknA rr2a,

;

5& Erunciar la defrnición .re converSenciau.ifom¿ de ,nleemt.s ¡Dpropias de seSu¡da espei€. s9. Enunciar y d@6t¡¡r un teoEna correspondienle al T€oroa 8. pási¡a 26ó, s¡ ¿ * ru¡ción dif@naabte & r C,{LCT'IÍ'

DE TNTDGNALFS DEF¡NIDAS veriñca¡ los Esuttadossiguie¡tes.Jusliñ@. €h eda

*.

Í "- . ' = *

h( 6 / ú j ,

-

casotodm t6 pass.

a , b >o

= re, (ó / , )- t E , t a / , ),L , o , r> n

".f-#r,

.. 1""*-i:a* - ;Í_{.). ,>o ó].J-' -+ryr"=., ^. .f"'"##* = 5"..,,.,20 65, .¡. Demo{,J,q,c

/","(wr"*,;,,

, ¡ r v ¿héndo.de e r r r . dem o n r , , ale

;r(::.1) f"a""-

a"ó",.

,."

,-/ r\

[lo' resuh.dosde ró]ye¡p,obr.md o0 sn q\o(speEle\d. r.""-,))rl*,^,. { F( 0l- F( . |) I h( ; ) , qU. Bwhd ¡ @ n l | g e ¡ a \ E $ ( i a | o n s 5 Ó b E F ] o^a"

*'a" l"- "

=

*Eh,

">

o.

Demónftr quepáa r' = r. 2_l. . ..

t '*" .*a=,.i " .r..+# _

f"

Fhr,-

F,b^¿-

_

:¡P ¡']

INTECRALESIMPROPIAS

{ r. s' d >0 .,

.0 . d rm v lr "r que 'J. f-"

.

D.norrar que

t

Denrorrar quc

,- -

". ", ¿,

{, b

= +.

Í-¡F+*

(ó) 4{cósh o,),

s,,t td \m,s>o (¿) ¿¡.

">i.

probremá:r8.1 lsusúocri Apriquescr

(¿) {(sci,rzr.

r"r u ,(j),

",..

rr') si -c{¡(2)}= /('), d.nosrrarquc<{¿* ¡(,)) =l(._¿I

s,i 01

".

-,fi =/(r),

(¿) si {{¡(it

deñostrd que {{¡"

sd (6)

¡(r)} = (_r)il.)(r),

(,++,

da¡do ¡€srri€jon€s adhadas ps¡a ¡(¡)_

,ro

Daostrar qü¿{

' [(') + sG)} = { -' |¡G, + { - , {sfs)},aürciando cüarequiera Eslri6ion6 óeq¡ijas. Rsolve¡. nedj¿nretraBtom¡da, de Laptace,tassiguienles tuadon6 difeMci¡¡B $jeras a I¡s condicioúcs (ú l Y " ( , ) + 3Y l! ) + 2 y (.) = o i r¡(o )= 3 ,y 1 0 )= 0 \b ) Y " ( r ' -) y ' 1. ) = r i y (o )= 2 , y 1 o )= _ g k) v " ( , ) + 2Y ' ( x ) + 2 r(,) = ,ri y (o )-0 , y ,(0 )= 0 s¿1 ( ¿ ) v ( r ) = 6. . B e -" , l b )y ttt= 4 -2 ¿ .-l ¡,,t,

r

(ó) catcurar

"'.

(¿) calc!¡ar{{'cos'}. E

,"G;.

Q ' t"/")::, e ' @/6td" =;(:)

I""

calc'lar (a) <{Vy';},

1.

283

D.horrar

G) r(¡) = I _. ,Gen¿+ cor¡)

;;;;;;.;/;;',;Í";^:'"x:ilflT:'lliT,ir#::;tr,:Ti,ij:.:r:Áí'.'i üi:"T,¿:::; que {{¡(i)}

.rrte si ¡(r) s casicontiru¿

284

INTECRA¿ES IMPROPIAS ¡ r ' r r ) s { . ) = {1 6 'r 'r , d h o r ¡ a ¡ q u e / r ! , 3 , ! , . {, r r r , , ,

s@ =

$endo

Í," Ftu)e@ ')dx

se ttañ cúDotu.ióh de F y e, y se esc¡ibe¡¡c. f."

,Jus,\rib¿\e r,,,s, s ,

82. r,,r H¿l¿r t "-,J ic

t x )¡1 , , " " _ " , ¡¡¡^ " . .

l

¡., ñ- $ t r r

"I r¿1 Rcsorver la ecu¿crón inreEAt yl.t r "/

ú.

( d) * l, c n¡ - r c o ¡ r ) ,

lbt yt!) =

f ú), =

! +

yt,t _ 4¡¡,. r/.0, .y.(oJ- o. J"

y<,,,*nt,_u¡¿,,

J'

J

r(,1a,

"s

[sus.: aphc¿¡¡tprobtcma!r]

f . R t'tt'''¿

sean/li).su¡ y s lrt connnu¿s cn bdo,n.eryal. ui.. qu" ,,{,; =

",,,.,,,

!:" ¡"1 " " , " ' .:,::,,," " ,.,,.:.,.., ., f

t't'/6

" l tt

s ó v supóqaseqües'(}l s o. su¡jnse i-,

aco.u
*'="

,., Dem.rrarcüerca"to. =, f"-

r;;;;:-",* (¿J Dehosir¿r querai¡res.at0., ."*unoo ,,1,i., rad¿¡p'iDero'B conv'rsee Er ¡'suJEb ci qüee' ¡asco¡dicion*dad¡s..r."r,,, ?:"],'1"'l. ), J" fl.),(c) d, co.wt} y eset ltabado ctitetio intqt de Ab¿t " "ol

lsu8€eciaj paÉ k), consi,l¿re" A, * *" *hplazarlf, por ¡,1,) . i¡resÉndopo¡ p€c "r1- J'ir,r Pár¿lá),deDuéslreeprim.¡o qu€si lÁ(¡)l < ¡1 (un¡ ''n'oo'o' /'''r"r 't'l * I= Hbtd) - s(.,* v ¡ueeoháaa* tenderá i 6., -..**i &i Apri* cr Probldá B3pa6 deeor¡a¡

rs. 1,)o"ooqu" J-,-,,

a, =

qDeat

!""

tlzn.

y

(¡)

J

s,,¿",

!>r,

..D!.¡". I

!"" "** a" = j f

t,-* r_ur"." ,u y 68(¿), capir!¡o r3l.er*.

f"' J""*"a'tn't*o, !?]f¡'

o- o"t o .o"0. derp¡obrema 3r ¡o r pude udizarparac¡rcürar ra inreerar húrtiprea ¡...

-y-

Capítulo13 Funciones gamma y beta IUNCION GAMMA La función ealnma,que se dendtafl¿), se detiD€por rtn\ =

f" ¡" ' e-' dx

(r)

{oe *_onre,geore, p¿r¿¿ > 0 rvé¿\eprobtemat8. uDa rormlt¿de ¡eur,enc¡¡pa¡atd funcrón Cap UIo t2). Eammses

r(¿+ 1) = rr(r4

t2)

'üi]il;';i'3'iJ::'T1,:1,,:::'.'-f a$ pár a ¡ rooo' > > u$5eco¡o{ 0siseco¡o€enrosv6enrosvn"''"'"' i':l*r":decarcurarpa¡atodo, É , < 2 r0 e n c u a ¡q u i e r lon8lIDd"unid¿d¡ ¿' a {\é.se rsbta mas adelanrer. tu par¡cular. parucular,sI ¿ es DaÍurat, " ' ;;;" ;;;" -' - ' narx,¿t

¡i¿+ r) = ¿l :zó¡

por la cuat flh) s\ele |amd:se fw.íó, Ej.n|¡¡6: r(2) = 1! = 1, r(6) = 6t = r2o,

n=1,2,3,...

(r)

factoriat.

i 6 t=t= r z'

se puede demost.ar (problema 4) que

¡(+)= /;

(4J

La relaciónrerurenre (?te, una ecuacion ¡le dite¡ nee por sol ki ón {/¡. tomando(/) ¡ uenn, c ¡ oD de I r¿ rD a ,a , , ." " ,," ," ----^,._:i .l as,que "

¡modeÍnició¡ der(¡)pa*, , o,* p."¿"e".üri"".ü"rffiffi#"T1J.:T: j"l[:li: gj i r1r'1= !!1111 l€se P¡oblema?, por eJempro. Este proceso se llañ? ptobnga.ióh

a@títica_

T.{ALA DE YALORES Y GRA¡O DE LA FUNCION GAMMA

r(¡)

r.00

1,0000

I,t 0 1.20 t,30

0,9182

1,60 1 , 70 1 , 80

r.90 2,00

0,8871 0,8862 0.3935 0,9036 0,9114 0,96t3

¡la.ttl

285

¡ ¡

lc*

FUNCIONES GAMMA Y BETA

FORMULA ASINTOTICA PARA f(r) 5i ¿ es elevadosaltan a Ia vista lar diñcult¡des de cálculo de f(r). La fórnüla siguientedc r(n + rl

=

\/ú11n" e-" eüac+D

I

0< d< 1

puesen los más de los casosprácticos el último facror, que para r grande s aproxiña nucbo . L puede omilir. Si ¿ es ertero, puede escribnÉ nt - { % nn,e , donde - sienifica (es aproximad¡údte igu¿l ¡ pam ¡ 8rande,. Est¡ es l¿ llamada fórnu¡a de tuc¡ón Ia.toial d¿ Stnlins o Iómula asiúótica para nl

AI,GUNAS RELACIONES EN QUE ENTRA LA FUNCION GAMMA

r' (¡)r1 1 -r) =

I

0 < ¡< 1 E¡¡parlicr¡la¡si ¡ = j. r(i) = v4. 2L '¡(¡)r(¿++) = \/;rlza) Esta e\ la llamad¡/o¡u¡l¿ dc duph¿.¡ónde Ia funoón gamm¿. o\ / 1\ / ,_' \

, r ¡ ) r f F ) .t- ;J

= ft4^ ¡ r z,t4 "¿ r r ñ ¡ )

.f ' = ;' )

(9 ) c s u n @ s oe s p e i a ld € (/ 0) con n:2.

"J ',,, "' lr 1l''#r" |

"\

-fl

I

que esun¡ represenlación de la funcióDeammacomoprodücloinfiÍito. L¿ consrántet, es la de E¡l¿l (véak Problema49, Capitulo ll).

"k*tl

= l'.:l i,;rrx,#i¡,

= r,oL,t' rimr(,,*)

siendo [(¡, &) t^ ttarn d^ fuación n de Ga6.

r@+t) = \/ri r' e.{r.u}, rrr*.a- rr#

r

}

que se Uamase¡iearirrdrü¿ de Sr¡r/¡rs para la función gamña. l¿ serieentre xavesesuna se¡ie lica (vé¿seProblema 20). =

=

J "- " ¡l nrd¡

7

si endoi taco,¡' r¿nt.¿¿E uto.

,!3=-".(+-r..(; ':). '(;--+=). " 1 t¡

IUNCION BETA denoirda por B(m,r) se de6n€por 81,¡,r)

=

|

¡.

1(1 ¡)' 1d,

es cónvergente para a > 0, , > 0. Véasep.oblem¿ 16. Capiluto 12.

FUNCIONES GAMMA Y BETA

Las funcioúesbcra y ganma se relacionanúedia¡te la isualdad

B(D, = IIILIII '4

Q/)

Muchasintegralessepuedencalcularvalié¡dosede l¿sfuncionesbetao

= ,""" 1drl,= 1B(,,,,) ##H

J" *' ;lido para h > 0 y'

eanma. Sotrúrileslos dos

(r8)

> 0 lproblemaseal y 1j)l y

= r1p)f(1- ¡) = .J,,r'*. d,

l 1!)

AIIEGRALES DE DIRICHLI]T si ¡/ csra regiónce.adaderprimer@rantetiñiradapo. ra superncie lt)"" 1g\"_ \" \,/ = t r ar planoscoor.tenados, enlo¡ces, r rodas las constanres sonposlrivas, i ) ¿"¿"". f(:) ¡() r (:) .fJJ ," 'r" '. 'r1 r'1 td ¿ " r ) , ,¡ . it¿_' 1

\20)

I ¿ s i- egr ¿ l$ d e s l e ri n a e tt¿ n a nu r.ú J ¿ a /p D rr./¡/r' J/ seeñp.eand menLoopa,¿ caLut¿r In.r eg¡ ar er m ! lt pt es(v e a s e t p ro b l e ó ¿2 t)

Probl€mssr€süeltos T.UNCION GAMMA L Dc m os r r ar(:¿ ) r.(,¿ +t) = rr.(4 , r> 0 ;

(¿)r(¿+1)=

.r" "¿

.d'

(¿ ) r(?¿+ 1) = nt, n= 7,2,2,....

- J¡i J" ¡"" ,o,

,., I = J:i | ( {t,'rt-"') 1;' .t" " )(,r )d"} = r'.{-r,," n ,f" ," ,,-, o ,l1 = , r. (, , s ¡2 > 0 r ¿r r /1r -

?,d, = t:.J J

"" {.dr

J lji, ,

.",

H¿ s r s¿c = 1 ,2 ,3_, .. c ñ rl n + 1 ) = ,r(,) _ E nronc.\. r(2 )= 1 ¡0 )= 1 , rl 3 ) = 2 f(2 )= 2 . | = 2\, r.(4)= 3¡(3)= 3,2r= 31 T

¡ r J.,.

r ' "-

l' :

r:

i,c..1 ? ,o p o .r ,\¡

288

FUNCIONES GAMMA Y BETA

2. Calcula¡:

r,r ,*s = jfi =

-

t.-2

""

=# =*i#= i "',,+,e afi#

= a¡.4,,,rurr,,i*ffif,oo - 315

G)

",H$=+#a= + 3. Calcular las integraies.

<"t l"-.".'a" = r(4)- 3r = 6 Ol t"- ¿."*.

con 2r = v. ta , eeRrseconv,ercen

L'l i:

J"li) "! - ;'t^n"'"

¡

4 Dcnorrar que r(+) = V;. = 'Q

¡,c.r,rr vucrle

Í,'" z

. r du

J.

) = V,

, (";

r,. ¡ ápiruror.:. ¿pr(rndocrprohtema

5. Calclla¡ las integ¡¿¡es. al

on. cóó f É r. r¿inrccrar s v!.rve

.f," a-,

)" !¿',{..tr,-tsd" = +)" {*"-,d" = *¡r*r = y (r)

J! 3s'/¿

f- "'^(---t "'

I U"' r ,

-

J0¡,'¡r&

s.¿

t nJ

*convictucn J"""i^

se¿,41n5tr¡ / ..,nr,.rue ¿,nq

J. " -"'.r.

= - j- Jf'' , .,. .¿ , = ,- L 2\/a t.3 2 v {l n 3 ,. Luegor e-.

=

-f"'"'-"

s,

'"'

¿

I,r

0,

n

. ¡

!:a y 't n 3

o.ur€.

tdtr,eeÉ

= r\t/2) = \G

ó. calcular

r- e-*' dr co¡ n. n. a consrantes posirivas, Jo con ¿/ - r.lá intes¡ol * lue¡ve

f ' r l ¡ \ ' ' } , - ' o . l /c\' ' l '', . ¿) t \o ,

t- r ' /'"'

,".".J"

''

"

-

7. calcura. (¿)r(-tl21, (U)t( 5/z). Ap¡i@¡do I¿ senenli&ió. a vatoÉs neeativosd.tinida por,1.(',

= ¡el-l].

,":-','\-.t)

FUNC¡ONES GAMMA Y B€TA

289

t( !4 = \1f) = 2G. t\,8/2)= !e]@ = Lúclo ri s/2i

&

Dem o. r lalqu e I

1t-:!:)

ff

L"¡ ^ot;*"a"

- ff,

!\l-.

r rl n /, rr.¡

.-

, j ;,

n n¿tutaty n

.-t.

-"

Hacieturor = ¿,, ta inleerals. convierrefl la ( 1,r u"l--,',¿!. 1" iht€e¡al e l.ansfo¡na ch

'41¡"-',*'q= .*,*4f"*"'t '-'¡f Conpi¡ese ú¡

9.

si (u +1)s=ü,eraúkima

= ##.¡r'r"+rr =

(-l )'n!

el Prob¡ena50, Capitulo8, páginat77.

Una paficula es abaida hacia Dn punlo njo O coú ü¡a fue¡za inveremenle DroDo¡cional a su dNra nJi¿in !¿n ' lnea a p¿¡ t , r de O Sr t d paf li. u t d \ e d e j a l i b r e d e \ d e e r e o o s o .h i a , e t r , e m p o en qüe llesa ¿ O. E¡€ lrimpo r : 0s upó¡ s aelapa¡ r ic ulas obEele j e r e r r - ¿ >O y s a o e l o n s e n . E n l ó ¡ e s , p o r l a dzr

k

(r)

srcndo á Ia ñae de la particulc y ¿ > 0 uha consra¡te de p¡oporcionali¡lad s€a 1-

d'

| ! ,ercd¡d de la Ddrnta. Enrón€. {r ^

2

d d' dr' dt -

y vr seconvFd€m

,

_^tn¡1.

(r)

-,

despud dc ibtegia¡. Como D = 0 ú r = ¿, se ri.ne ¿ : k ln a. Luego

4 =^r',

,=* =-*\ ¡4

(r)

tomándosee¡ signo nesativo porqüe ¡ deú* a¡ aunenla¡ ¡. Asi s encuotra que ¿l tienDo ¡ que la panicula iólierte Darair de ¡ = ¿ a i = 0 estádado Dor

r Ha cmd o In ¿A =

"

f^

.'

v;, I '- J"

dt ,/C.U

\11

o bi€n¡ - ¿e' ,

, = " ^ { # Í" " " * ,'=, ". r/ #n+, = "rB RJNCTONBETA fo. Demor¡¡¡que (al B(n,n) (¿) Con la kansfomació¡ r=

B(n,n), (ó) B(m,?¿)= z

I

t""'"

*"^

'e "o"^

, e a/,.

|sliené

= . r ' \ ¿ ,= J ' u - ,r ' ,. ' " , - Í"' " ' ,o u ) ^ ' ' ¿=u Rti,ñ ) " , -, " , ' .f j " ' ' ( t -

(ó) Con la ran¡fomación x = Fnr , se tiene

a a ,a =

!"',^

ro ¿)"-r¿¿ = .f" " r* " o -' r" * " o ' ' 1 2 e ¡, c o s , d ,

= , t""'i,,"" '' """"" o'

t

290

FUNCIONES CAMMA Y BETA

u. Demorrarque s1*,"¡= f;ft$

*,"> o.

=¡¡, e üene r(n) = Haciendoz

J"'

.^,

1(¿)= zJ-r''"-'ar. Anárós¡neme.

",

d, =,

!,",,^, "

* a.

sr-*".

=,(.1"',^, ,r^t"t"t o. " "."4 " ""1(,Í"" = T Ó¡ .fu m a n d o I p o ta e .. / - p.ó"

"r^,,r"t

=

p,

.Yú a't!')drdu 'e

*

'1i"'!"

- p rn d

" Ji"" J,""e!.a.,',

¿-e,cos:-.1 o\enh! c r,pdo

= ,(J *" '. ",.)(I.i-*'0""'. ,od4 " , = ¡ódl ,

=

" 1-

* ,a

c sna

J' ' " -* "

=

r(¿+ n)B (a,n)

r . ( h +r ) B ( f t , 2 )

po¡ los resull¿dosd€l Probleña 10. De aqüi * oblien€ et iesultado büscado. El rázo¡aoimlo anrerio¡ seplede na@¡ eás isu¡osó ülitizando u prcces de timile cono en el pr.riF na 31, Capitulo 12.

t2. Calcul¿!las sigr¡ientes integ¡ales I

-, a¡

f ro

r¡

3:

230

(on , = 2,. ra,n,eer¿r seluehe

. ¿l'" . 4!:vz r a ' ,/2 l _-,.' '

tt\

{ ¡,s.¿, r 5r r(9)

,r" ,

d, -

a ¡zf ,0 1 .

J " t' l d -u ' d t

""t

" , ' a,

a.obe, ,

a\/i r\3tr' 1t2\ f1712)

4V 2s3,t,

,,i .,,n" g,,

" .o" .,"

a " .r" d " a _n4 d¿ = ¿.815/2,3/2\

13. Mcrrurcre

-f""

sn

Esto s dedue innediatammrede los problems t0 y rl

t4. .ar.uta, ror | la) Sea2ñ- 1- 6, 2, -

,"n"0¿0, r¿r l l - 0 , o s e a ,h =

*. .ecossada.t.t 12, ,:

EnroncesIa integ¡arbuscadatiere er uro.

J.

cos,ddd.

t / 2 , c ó n e t p ¡ o b t c n a1 3 . r(?á,i10/a

= !¡.

= 61la

C¡P

FuNcIoNEs oAMMA Y BETA

'4

291

(D) H¡cicndo 2n _ I _ I = s, Ia i¡tesral p€dida d€n. po¡ mlo. r-(5/2)fÍ9) = - 4, 2¡ (.)

zr,1liri

La iúresrát dad¿ = 2

y rncieúdo 2u

--!315

ús,e da.

J^

I =0,2¡

r =4@ erp¡obl€ña t], et va¡ores ,nt/W

lffi; rs. Demosrrar !""'" n*eae = !,"'" *uuou = t"J positivo pa¡(¿) o * un enteroposirivo impa¡. ai# " Seg úne l Prób len¿t r . c o¡ 2¿ . t . - /

¿n

|

=

+.

si p esun ente¡o

{e r r c n e

- 0,

= rt*(P+1)lr(+) zrIlfd.+ 2))

("" **' * "'

(a) Si p = 2¡ I¡ integÉl .s ¡cual a

(b) Si/ = 2r + I,Ia imég¡ales

ry##=,.-#!ri-ñ=Fi+i#r e,

".t,

**,J""

**, a, =

f"

-", ", -*

"

* h^.ieri¿o e =,t2 - ó.

t6. carcürar (o)J""''**eae, p¡ f""'"* "u"*",ar, kt J"""n"eao. (¿) Po¡€r Probrda 15,ra ¡ es¡¡resiclar ¡

#41{ i

=

$ ¡"o.pá** _" a r-oo.

= !""'"*"""*J""*",aa-*,,o¿ Í-'"","* = &-¿*

r+1,¡.

=!

TaDbién * pucde apli@ el Détodo det probtema t4ló).

(¿)L¿i¡teerardarr¿6isuar, of"" *",a, ñ

D"d"

J 1+d"

= -l, o r

J " u- ' t t - n¡ -*

= (#,+{,

mostm.qw ¡(p)r(1-¡,)= 1?' =

_

sü;

64.

siendo 0
ra ,n i e 8 ru f rc o E rPen B (p ,t-r)

-

r(p ) r(1-r)

y É sul ra l o di cho.

rE. carcura,f iv-. J n r + 4. s.a ,.

x. Enrone ta ¡nrea,¿t r,Bñrotu

b¡eh a 1 7 @-n , ' Tañbié¡ *

-- j puede obtene¡ et resullado ón

ñ I f4 J"

r, = rg 0.

I

292

FUNCIONIS

te. Mostrar queI rffi:;ar ,¡

CAMMA

Y BETA

= 11. 9\/z

H¿ciendo rr = 8),, o sca" ¡ = 2)r,r, l¡ inegrat 6

J"2tt', Ve.L '\.4¿"'d!

:J" ¿',,1

,,'d¿

lB{3,1,

. 3:lill' = ln ¡ ,.,¡ ¡' , , = I!.¿ l r2l,' I a .en,,3 ¡OIMIJI-A m.

ro' ,vE

DE STIRLING

Demost.a¡qüe pa¡a

,t : 15-,t " srande,

"r"+rr

"

, aproxii¡¡adameor€.

.a, = J"o, 'a" = f"" "*

l-s fünción,ln ¡ - ¡ ticné un náxino Etatiyo psa ¡ - ¡, cono F ve fácitnc¡t._ Esto susicÉ ta srE lucDn a =, +]r con ¡a cnal f1) F conli¿rt. o a

f ( a- r )

c

=

J , ¿ '" . , - , d !

""J...,".-.,,,,.

,r,

t,

= t' .- " J " e'he!h''dv Hbk

;tr

el momenro. el da'AB

::ffi i*j"]1T#il

6

n8uro.o

Lor p¿sos s,gú,enks. .n tos cuates se prcFde

dc mmera

h

.sx,c. ñédüde p's*s debnre¿dtuuad* p€'¡o'sdemdi.o;6 ?

Ed (2) utiliesc et rcsullado

n¡.n co¡ ¡ : r¡.

Entones, haciñdo I _ lru

rt"+rt =

t'.,r'.

-, e trene

"^r, J",;*b,,tsr-

du =

Pa¡a, elev¿do.üna ¿próIimrciónbüúa es t(n + r)

"."^aJ

_"-""',,,*

=

.^

i&

dx = v6;i " .-. {5 ^" €-fi Í" .a-éA i¡lees¡te kr qE a pani¡ de (¿)sepuedeob¡enerrañbiér el rcsulrado dela U3) Ésin¿ 28ó.VéasprF btemEs

INTDGMLES

DE DIRICHLET

2 f. (-¿ l c u l a ¡ /

l l l ¡"

)u8.. z, tdt¿ad¿

siendo t/ la regióniel p¡mer ocrantelimr@sa por la esfe¡a¡tr + .r, + ?, = I y los planos coor_ Se a n ,' = r, ? ' = ¿ , z ¡= ¿ . E nronccs. r

,i " t.. =

,

d' d¿-!u z\/n2\G z\ u

1 ú s , ,,.., - dJú du \1 " ,, dondeE esk rcgióndetespacio !ú¿ tinitadaporerpB i , ).l J

Lu roü r, e n l¡ F iB. ll2 .

I , lo . p ta n o \ !, , ru y ,¡ A' , p u cs

como\e\e

F¡& 13-¡

I FUNCIONES OAMMA Y BETA

-

'

=

to'''n'\

A J,."J,." J- a .' = J...

J...

u q'"D st

291 'u^' '-dun"¿u

(2)

'tI-v-trtadtda

,,,_" ...,^]* i,J."_".,1J..,'"", |

t.::".

,¡t-' ¡r-

,

-

ü -u r,d u

1 rlq/2)rltl2+n 4y rltg + rt/2 + tl

?t-.

,f'

r

{r-rr,.

=

r(!/z)r(tt¿ + t) Q - nYa'¡" rLG+ l )/2 + 1l

u-,LL_tt,at

t,' "''"'"-'t' ",'*""n,

=;iffi##

t(dz) rl(p + ryz + r)

pu.qoque (r/2)r1'/2) = r(7/2+ r). lá inte3at ¿qui c¡lculada cs un es se plede c¿t.!!¡r de Da¡eú ,-eianle.

(r)

= ¡+ffi+Bffi

¿sD€ial (¡e I¿ intcg¡al de Dnich¡'r (,ú)' pósi@ ¡?

E¡ aso Sene.l

22. Hallü la masa de la región limitada por 11 + .),u+ z, : ¿? si Ia densidad es o = x,y,z2. ri me

blsdda :

B

,!,",

¿" ¿v ¿., .¡e,¿¡ r/ la resió¡ det prjner @¿a e liñ¡r¡da !b¡ l¿ 6f€¡a ¡'? + y' + I = ¿, y tos puios coo¡¿oa¿os.

",

JJJ

J,:ir f'ffi.t'J'**'r2')

p¿gim 2s7, sh ¿ = . : a p = q = |: 2 v d = p = |: 3 . c o . ro q ü ¿

"'9i+iHH+##6 = #

PROBI-EMAS VANIOS

* *"::.-:,{"ff:;.ii# =

l!"'r't-*ay

f9r.,"r,

Por er Probr€ma17, 6a p = V4, rtt/4)r(3/4) = 4r'e -.

u,

DerrosrraI la lóñata

n""i",a.r =

.te tupticac¡ón

J""*n",a,,

. q* s llq.

"r

Bulra.lo büedo.

2" trlp)r(p + tl = \/;\2p).

.r = 1"""*".2"a"

Enrones, ¡ = {B(p+t,+) =

__

294

FUNC¡ONES GAMMA Y AETA

Hac i. ndo2r = ¿s halla

=

r Pero

t

+Í"e¡",ud.

= t J,"'"*,,,"a" = z-f,"'" "*, " *o " a"

=

=,

*". c*"y, a, 1,"'' 1z

_

zb,B(p+tr,p+rl =

¡(p++)rG zpflp)

M o"r Í , r oñ .

aQ

|

Jo

v,,i

zert2q)

_ lrlr/4)|,

I

+ se¡,d

t=l -!:=l

!

* B (1 ,+ )= ff= q 9 1

cómoen el P¡oblemá21.

!

e*.t=l'"!:=('" \1""r c/2= *;e t2 I H &F n d o\ 2 \.n 0 2 - en d er ¡a,l ri n' m¡eeBecb r * co^¡.,1. y' z f" 4-" l o J" v1- +Én'ó quee Í€neel resulr¡do. -

l I

2 6 . D e m o i ro rq u e

f" c o s -¡d¡

se,Ére-a = $J'. L " ,,.".*

-

t

' o' P < I z-, I t.t cos-\P'/z)

,"--a". r,*" = ,kÍ""Í."_,?.^r cs¡ du¿r = *iJ,"' *"- t

h¿biendN In\.rudo et ordende,nre&¡cion y aptiedo.t Plobtma ,. úlimá inkgat se trme por et probtemat7,

Í,"#"^ = ii""#*

= ,n;i$n

I

(r!

t t

Capituto t2.

= r-ka

€r

susúuyendo(?l en (.¡) s tjene€l Ésuttadobusc¡do.

a

a

a a

27. catcula.

*"c a,. J"c-, -".r.,".c.r* ] J -H" ,

_

l(, " . r" " _ , ^ )

= t \ . G / 2 p op , cro r br.ñ¿2á

Era ir&gFl y t¡ cotrespondientcpad et seno lvéa& p¡¡bl.@ 6S(¿[ s ltafta. ¡trr¿gr¿l?r¿¿ rPr€¿

a

caP.lrl

FUNCIONES GAMMA Y BETA

295

Problem¡s propüestos ÍUNCTONGAMMA e

("hur¿, kl . , {ó, IM!9¿2). ---114 2 r(4)r(3) r(9/2) J¿¿ (¿)90, (¿)16á05,(c) *¡¡¡

,,, r ,I t2, |,r/2) r\514.

L

*d, ca*u, ot !"'"'u'a,, @J" ' " "d,, @!" .'" ,r*;g*,(,¡J a,. 6 !"' ,e " .^, G\J, y""'r dy. -" sú¡.(¿)* ¡(*),ot{!, r"rljp

:i,

M**,q,"J-?;&= r8,",,

:9,

Demorúrquer¡r)J'(")"*

c"r",r- 1"¡J'¡.,r.a'. p¡

so¡(ú)%,(¿)#, @ 4

"'"

!.' 6r,"yo,,G)[" ltíu-)a,.

sol (o)¿¿,(r) -91123,(¿)+r(*)

carcurá¡{o)r(-?/2), (ü)r(-v3).

5r. (!) (16\r"y1oó, o) I r{2/3)

]5

Deno l r a r q u e

!a

Deñosrar que si u esentero positilo ,

l i m r ( r)

Denostr¿. que r'(1)

-

@

co n

n

0 ,1 ,2 ,a ,...

= r(-,'r+¿)

=

"-#l%#-

.J. .-" ln r d, 6 ün nrihero .esarivó (6 islar a hnte de Eulet, coño ñ el Prcblena 49. Capilülo ¡,).

l, co¡ t =0 , 5 1 1 2 1 5 . . . 1 ^ ú N -

IUNCION BETA r.

carcurar(¿)B(3,5, lbl BlBl2,2),l.l BlIl3,2/1,.

i.

Aw neJ . ¡ ( d, J " r |L- rtd r.

tü

J"

\/i l -;i ;

s¿r. (a) 1/106,(b) ¿/15, \.) 2"1\E

d t.

so|. (a) r/60, lb) rt2, l.l3r

¡. c¡.uru,rol f',",.-,t-a,, ¡r

o) r'fg. J6'- ¿

sot (úJ r2r, tbJ r

D e m or r o¡ aue I - 4L= f¡]l l )l

r, 174",1ü 4. carcuhr(¿) **r*¡,0,,(¡)J, .o".0¿,. J" G. carcura¡(¿) sn', dr, (ú)J" J" {

D .mo r r ¡ r qu.

J.

cos¡rsn¡,dr.

(h) tutg (¿) 16/1ó, o) 3/106

I tc o d c = a ttz .

G. Demoqr¿rqüe ut f','!'=

=

"_, o f r + y.

3V3

2rE'

296

FUNCIONES GAMMA Y BETA

4ó. Dem 6, ' ¿'quc f ^ {7. Deñorf¡f qúc |

^- ¿'

,0,

-

.2' 3 y '3 o ¡ r ¿ 'r

d o n d e d , o >0 .

= +

;*d,

[Sug.: De.ivar con Esp(io a ó e¡ el P¡oblma 46.] .l& Aplicarel mélododel Problda 31, Capilulo12,parajusdncarel procediñierrourilizdo en cl Probttu r: INTEGR{I-ES DE DIR¡CHLFT .¡9. H¿llá' l¿ ra.¿ de ld recrondel pl.no ¡/ hmrkda por r I y _¿ sol ' so. sarrarra nasa de r¿ rsión limnadapor e¡ elipsoidJ4 +

;

-

:

:

a .uo'¿dó d. l¡ d^tanua a, lenko

'*l^ ,' , ¿: "a. 51, Ha¡lar el volünñ de ¡a regó¡ linilada pó. ¡tr'r +),r/r +z"r= l. 52. Hallar el cftl¡o de masa dc la región del prine¡ dl¡rle So¿ i= i= : - 2V128 s3. Mórrar

0. y. O y la den.i
l.r-

proporcionat@ 0."''""0 '."d ' '' ', .:r t - cotutanrede DoDorc'onr*. Sot,4n135

fmitadá po¡ ¡ilr + rr¡ + 16

que e¡ volun n d. la resión liniláda pat )! + f

+ ¿' - ¿,

L

siódo ¿ > 0, 6tá d¿do F

3;fu¡3/¡r d' s4

Mostrar qü¿ el ent¡o de Ms

d€ lá ngió¡ del priner octa¡re liúilada por ¡¡ + l- + I

= a6, siendoñ > I

PROBLEMAS VARIOS 55. Dem or r arque

J . @- 4) ' ( b - 't " d . c Hága* , ¿ = ( ü, @ ) ? / . ] [ s ú8. :

5ó c¿l.LL' r¿) Í' ==+=: r' ¡ V rr rr /3- rl 57. Morrar

{\1t,3).Y = 10/6)

5& Den6t,úqüB(ñ,r)=

=

( ó - d ) '+d ¡ B ( p +1 ¡ q +1 )

rolr,f' ¡r

'¡' - r¡ a'.

d o n d e? >

1,q>

5¿¡ r') ". {ü,?-lM-a'r' 3\/"

GW ,,/a '

iJ"'t;#;d"

c.¡ m,,>0.

H á s a s e=, ,/(1 + ,), 1 L s u c .:

sr. si 0 < p < r a".*"* 0." ,"" o' = i*"7. J"" ó0.Deñorrarque = f'## F##'' ".,.,,,,.".ra.Fsposnivas. = (/+ 1)r/(,+ r),1 lsug.:Háeas¿

6¡. D..**,q".J""ü#;iH;;ffi

Bg.9 oi ñ,n>0.

[Sus.:Hágas ] = e¡: l) en et problema60 y et¡ae ¡ adeüadam.hrc.l

ó2. Dcnórr¡r quc

f'*

= "t*;*i*...

1y

¡ >c

FUNCIONESGAMM

Y BEIA

297

Ddtrodtu qüe pan r = 2,3, ¿,. . .

*;***t...s(';1)'

=+

[S!s@cia: UK n.ñbrc3 po¡ ¡-

h fom¡ t¿doriada ¡. , 1 {¡. (¡ - d,-r), diüd¡@ mbos - dJ(¡ - dr) r y o¡sirrd.* u¡li,. *-,-,.1t". ", Ddrcrrü qN n*". prcb¡ma 61. a" = -,/2r¡z apric¿ndocr 1,"" lsus.reeis: Tóne¡F log¡rid¡os dct rcsu¡t¡do d.l probl cn¡ ó3 v esrlbase el lioite Ó cmo nrt.gr¡l Para derini4a.J ' 6 lsus.Eúci¿: ElÉks al cuadúdo.r priDd m,tubro, uutie* et probt@ ó1y ts d¡ción (SL p¿sjm 2S6.I

o".o,o- q." J'r' "1'¡,, = 4 r,1r¿. Trtntue

lsüBercncia:

tog¿nhos rtet r.sü¡tadode¡ prc

l,;;;":?::,1*"'" r,,o"-*'..*"j'1;3*

-'

{¿) Discüli¡16 caesr' = 0yr, = I_

c. c"r"or".1"¡J'*o,'ú, 6 . Df r os ' üqu.

J " ,' i ;' :,

i. Mor¡arqüe Í."*+* a sq r'k) = pucde no s

.f.#figfi,

et t'"c.s¿d".

s,/. (,)+\A-q(ú);Gi;6

d 4 = -,,.@ p n @ tp .o < p< t.

= -4P ümgñerariación derafunción Besr (¡ó),pégi@ ¿2, aresocnqüe,

.¡terc posit¡vo. tld¡oslrd

qü¿ ,¡,(r) erisf¿@ ta m¿ción I,r,,, + ¡r, + {l

_ /1,

= O_

¡.(.)rdc ^ f,'**H lJ;i.'*-'i.;i;if;X[:;"i,'í],i':1;'; rJa"e*'^(b)L,¿\.: "ññcos '¡

Si ¿ > 0, ¿ > O y ¡l¿. > ¿¡. denostnr qus

l l ._ é .6 .4 ,d l d y = -4.

1

!4@-Ú Obtenei t/Jr d. ¡a r,¿sin{ 2¡6 d€l Ésu¡bdo (r) det p¡obleha 20. a'1',o { Liu8É1ftis: Ds¡óll* ft sÚi. depoL.trB y cámbÉs.¡ tjnn. úfñor deramr€sEtpor _ 6.1 ObtcDtr .¡ mültado (.¡J) de l¿ págim 2S6,

Capítulo 14 Seriesde Fourier FUNCIONES

PX.RIODICAS

i ó d i . a d ep ? i ¿ ¿ o T s i p a a t o d o x , A j I h = , , - , s ed_¡ eqk ú¿f um ión/ $t t . ie n e p c ¡ i b ¿ o T o q u e e s p .¡l¡r. renoo / un¿ con,ranle posil¡va. Ft mjnih.r rato¡ de r > 0; am^ p*a¿r.a¡i" o'r,^pt* E eor¡o 1: rá funció_n sn r liene pe¡iodos2,,4¡,ót._... p¡€s1oq@ s¡ f¡ + 2¡), sn (; &¡. se. (' + 6n), .. . son todosisühs a h r. perc 2,.s el ¿iim p",i"a",. í^, i i**)" Ej.¡lp¡o 2: EI p€¡iodo de h a o de cos tu s,enoo r ú núoero narü¡at, es 2rl,. EiúDro 3. EI p€riodo de ts , es ,. f,ldplo 4: U@ onr¡nre tien€ .uatqlier 1üE¡u p6úvo @Do p€nodo. Eh las Fisn¡¡s 14t(¿). (¿) y (c) s. ven olros ejmplos dc tu¡ciones perió¿ics.

r.¡

(ü)

pr

rt rrl SERIES DE FOIJ'RIf,R Se ¡ /l rr d e fn i d as e t i n l e N al oI ¿.¿f v fuéj esre,Dreruaro por /l I + 2¿) = /rjr' er..¡ ru¡jngase que/,j, ,ienepe;;"d:; n ¿;;,; ):;';.:e 'oünet o de¡a auo de Fout¡p¡de r) sed€to ¡ F

i- l ' ''\i l ,.-" ' Í do¡de los .oe¡ici.ntes de Foúiet

ülr

a, y b, so¡

a" - il 1 .b " . I

a*"3')

n a c o s , ld ,

1 rL L) _,Í@,en.td¡

n 0,r ,2....

Si /(r) tiene periodo 2¿, los co€ficjenbs ¿, y 4 se pueden determinar, asi¡niMo. po.

, "" . lr J . , ", na* "\ , a,

)

|

- "'

," _;J. '

- ,+21

rr.r*"i*a,

ndo . ur núme.oreal cuatqui¿m.En el casoespecial¿ = 298

¿. (J) p convjerreen (?).

¡

a

I l

CAP

SER,Es Dh ¡OURIER

'4]

Para dete¡ñi¡ar ¿o o a.

iJ

.

(.¡) se rriliza (?) o (J) con ¡=0.

299 po¡ ejempr().de

l¡ t d r . o b e é rv e sqeú e e r re rmi n o@ n s ranre $ i /r es,pu, J oo =

,trJ" ,nna" .s* a et rnoúedio de f(t) en e¡ periodo. Si ¿ =,¡, la se.ie(./) y los coeficientes (2) y (J) sonesp€tialmente sencillos. La funcióúen erc casu -

CONDICIONES Df, DIRICHLET {1) /(¡) estád€finiday es unifome excepioposibtsnenteen uú ¡¡rne¡o finiio de punrosde (2) /(Í) es perjódicafue¡a de l-¿,¿[

l_¿, ¿[.

con p€.iodo 2¿_

13) lG) y I'lr) son casicoDtinuas en I ¿, ¿[. Enroncesla se¡ie (1) con c@ficientes(?) o (J) corve¡8ehacia (¿) si x es ü¡ punto de continuidad "t(r) o) + /1} _ 0J lár hác,a"/fx + s, ¡ es punro de d¡ronrinuidad. 2 /(¡ + 0)y/(x - 0) sonlos limiresa la derechay a ra izquierdade/(¡) eú x y .ep¡esrtan lim /(¡ + É) problemas18-23. r lqX* /k - 4, respectivamente. Pa¡a demosrración,veanse Las,@ndicioms 0). e) y (3) inpuestas a /(¡) son r¡rc¡idr¿s, pero no neesarias, y 6 ta D.áctrc.¿ s cumprenpo.lo seneral.No secon@ebrodaviacoñd,cio¡esne;s¿riasy suficien,.,í"," r"1",*._ senciade lar serie,de Fouriery e. inrereqnreque ts conrinu,dadde¡ rr;rs ;o,";';;,I;;;;;';;_ g!¡ar l¡ convergercia d€ ura se¡ie de Fourier

FUNCIONES IMPARIS _.---U¡a

fwión

Y PARES

/G) se dice inpar si f(

Una funció¡ l(r) se dice por si l .-

x) : -li¡). x):

fcl.

Asi. rtr. ¡5 _ 3r3 + 2¡. rc¡ ¡. ts 3r son fun-

Asi 14,2¡ó _4¡,

+ 5,cos,, ¿.+ ?-¡ son rún_

Las fi¡ncionesrcp¡esenradas gnificamenteen las Figs. l4-t(¿)y l4-1(¿)son iDpá. y paf, resp€c_ tivamente,p€ro la de la Fig. l4-l(.) ro es par ü ,mpar. l¿ srne de Fourier para un¿ funcüjnimpar $to puedenap¿reer rémho( en *noi en Ia sene , roüner pan oe -En una tuncrónpar jolo puedehaberrémrño\ en co\enory probabtemenre una conrdrnc que se considera.á@l¡o témi¡o en cos.no)_

SfPÚ'S DE IOÜIIER EN SENOS O EN COSENOS Cuandose deseareneru¡a seDede senoso de cosenos.t¿ tuncióna que coresponde cs¿i oor ro eeneraldefinidaen el i¡teralo 10,¿[ (mitaddel inrervaro] _ ¿, ¿[, razon o¡ t i;"]; ü;"-;""

300 la *.ie ü óe tudio ittaaaro) v, siendoademásimpar o pari queoa c¡a¡ahdre deririda e¡ ra or.a mirad del inteúalo, I ¿,0[. En esecasose tiene

¿¡-0.

b,, =

a"

tvt*.'f

i)"

2rLJa fr¡) c$:lIDf,NTIDAD DE PAtSf,yAL

patuuna. ü. ¿, .ato,M\ Q)

d¿ paÁ utu :ü4 ¡1.,ota.oseaos

Es Ia

LÍl.,ta¡"* = ! * f,¡"2*a¡

(5t

eo ¡a que ror ¿, ) 4 lon roscoehc¡entes de Fourie¡para/r¡r. que sesupoDesar*fscenrar condioÉ de Di¡rchlel

DER¡YACION E INTEGRACION DE SERIES DE FOURIER Se pleden jüsritic¿r m€dianre¡os reoremasde las páginas 228 y 229 que valeú para toda s¡i€ a general.Pero hay que hace¡ nolar que esosreord suncientesv no son n@sa¡i¡!r teor€ma sisuiente es esp€.iarmen* ru ,L","?,'jlÍl"t'nes ** l¿ *rie d. Fou¡ie¡ de /1¡) se puede integ¡a¡ témino a término de a a ¡, y la rcrie que .!s¡b c o D v e rguen i fo r¡n e D é nhl a ec i a I esrén€n €l intervalo.

l t¡td¡ si emnrequeJtr¡* ac¿sconr¡nuaen _¿l xS

¿y¿r,

NOTACION COMPLEJA PARA SETTES DE TOURIER M€dia¡te las iderridadg de Eule¡ ¿'' = cosd + i seDr,

co' ¡=v,ai

¿-,. = cos, _ isen d

t

(véas P.oblema48. Cap. lr, página 251), ¡a s€¡ie d€ Fou¡ier = ^a) ^

-

,LJ

cr

.)-c"eu*a

tl

"l@e-n*Ld'

L¡ isuald¡d (7) suponeque tas condicionesde Diúcfler secumpten y ademásque /(r) es di_

enr. si /(r) esdisconri'ua en¡, el p¡imermiemb¡ode 121."r," a6 PROBLEMAS DE CONTORNO de contorno burca¡ dereÍniDars que cumprancÉr1ascondiciones -..^ ^Los-prob¡€¡r¡6 pre$rirast¡amada m¿i re pucden,".or,., po, *"!, ," ';,;;;ñ;;r13'íííí'

"".6¡u" oo.

l("+ 0)

!k:!

en dedvadaspdrt¡ ¿' ao'¡¿¡¿¿ Ar8¡¡nosde Lares Fü.

l0l FUNCIONES ORMGONALES

,íil5iT.;T?';.i,1 l.f ;* :j""1,i"í,jiJ,,¿í;"; :,,J"j::ilili,i"Ti'1 r,,"i"$f:::;:'J1"i't":"¿i$::,:i:1".'i:11:3..11"ii::x*l;,1##: j;;i:í"JiH, ;;;;:,*; \.sto es, ün úectot de iaf¡nit$

il;í;

¡t¡hers¡on s) en oú

1[T"::::,",i1n5:ff"::li [1,1ii::f:i:::;;,j::

Í"'

A\r)B(r)d.x =

0

(e)

,, jt rT:H#:tff*¿T##i{'::"r';:.T^,il{Krili:ffi11'i:*iti:i;ii",T":;i. ir; Í.',oo,r'o' - ,

110)

Por lo ¿nrerior€sclaroque sepuedeconsjder¿r un conjuntodefunciones{d¡ft)), e _ 1,2.j,..

t"'r-atr,alo' = o m*n m=\,2,8,... !,' o^t>"0,=,

{¡¡) 112)

Y,enro¡es.@daelemñto del co¡junto es ofogonal a todosios demásy esrá¿sin¡mo normlizado. un @nJünlo senejante de funciones s. |amaú con¡ltfto oúaaortut.' Las ecu¿ciones(.i.ll y (1?) k pueden ¡esunir escribieodo ?o

)- ú'"1')4'Q) d¡

=

6-"

donde¿.", la llamada/¿/r¿.t Krorecket,se d¿f,necomo0 si n + sy como! siú:

(r3) n.

*.1..^' .n I dimensiones se puedeexpresarpo. un co¡jünro de vectoresu ra¡ios ,,-1'l ::1".,: ma I = ,,¡ r .r' r .,[. se puedecon"iderarr¡nbrér Ia polbi¡idad de e\. p re ra ¡u n¿ , lnc r on / hj p o r u n ,o n ru n rod e i u n c ro n erflonoj r ñátf., o.ea.

= i ," " +^(,) ^,¡

a= t= b

\1r)

Talessries, qñ gúúal;an las de Fourte¡,son de gran inierésy utjtidade¡ la teo¡iay en las aplica_

302

[cAP l¿

SERIES DE FOURIER

Problem¡s ¡eqeltos SERJESDE TOUruER l. Hacerel grafo d€ ld funciores tat^r)-

l: i-ú

P*,odo= lo

:-'::

Í\'j

I

¡k. ra-t Cono el Friodo d l0,l¡ parte del sralo e¡ 5 < x < 5 (indica
r¿)r{') = I!éi' tu

oÉ"i"

p*ro¿o= z,

Fit

¡

Ref€dñ ¿ la Fig 14.3. Nóles que/{r) .!ú d.ñnidá pan lodo } y qü. * @¡tiúü¿ d rodo É

[0 (c) t(r) = {1 l0

0=,<2 2=,<4 4=r<6

Pefiodó= 6

¡i!.ra-a R.&rie a la FiB. 14-4.Nótee que/(r) stá de6nüa pa¡a rodo ¡ y que 6 dieontinüa n ¡ jt . 14 : t 8. 110. 114, . ..

2 . D e mo srra r !1 ," " **

J .^Y* J,.*Y*

=

Í"."""Y0,

= o LLLL.

sik=1.2.2,....

I SERIESD€ FOUR¡FR

i. Demor¡a.(o) J_."*tf"*ry*

303

= Í_"*rf""ry*

ot Jl"*"r1t*"ryn, =o oonden y ¿ p¡edentomarbdos los valores 1,2.3.

... cos''r coss:i{cos (A- sr+cos tA+ B)}.h.4 e¡ r=i{cós (, ''' :"',',l'T;li""" -r)Luesosi ¿ + ¿, por e¡prcbttu 2,

"..\ñ+p2j¿, = o """(-+l)¡gla, = o

( ,"."+!\d, I-,-.+-"ry* - ,f L L / 'rr\ ^r

= if , (

J _..i l -qy d¡ ObséNese qle si,

=, = O esrasirlegraies $,

*"u;)*

=

k; 1*i) I

"

isu¡s a 2¿ y q rcspe.tivúente.

" i:;;:;;' li:j"" ;,":""'.:,;..;:'= " t,Í:,-,Tt* = _ t,-ry-4:*

(r) se riene sn , @s 3 = j{sen (,{ - 3) + sen

"

^.

(¿rv (') so¡vá¡idos au¡quc losrimires deintcsm.ión¿,¿

.t:flY:i:;:;,*"#f

{. si rase¡ieá *,i

(, """ ?

* r.

"" ?)

".,*""

m os ¡ r a.que pa. a n = 1 .2 ,3 ,...

* canbier

*".-"-ente ¡¿cia/(¡)enj-¿, ¿t,

a t ^ =! f . n o * " ffa ,,o ¡r"=

! J'.no"",ffa.a ¡ " =t.

tr) = A+ n*

"* f

" É ( * _" T .r *T )

.eg,,"a" a" a , a. ,ui'énoo* 0",,,nb,".o:r.,. ,,"n" "

J ,^") -"7! d. = AÍ ,.*"!f *

(r)

. 2!.f"*'r-"rya.+ t.J", *"r yz"tY a ,\

=

^

qL

=

\2)

si h ,¿ O

i f ,n o *,tyrb

sim=r .2,8..

I

Í

__ . J

104 (¿) Mu¡tipliendot) por ser?.

¡nr"eo,¿o¿" _¿ a ¿ ¡til¡ado el probtcma 3, s rioe

f-,no*"ry* = t !-.",2y". =

A sj q u e . (.)

I .i{-I.*ry*+*. uÍ.*,ry*.T"+

b-L

o ^ = lf_1"r *"ffd.,

sim =r .2,8.... .

La idt.CEcióú dc (.¡l d. _¿ ¡ ¿, ap¡icando ct p¡obrm

f-.tr',* =

2, da

e = fi!:,rcta

"o" "

H&ie.do z = O co .t rcs¡ll¡do de t¡ pa.¡e (¿) É e@uenl.¿ que

* = if'.naa-

y tesoa-a.

Lc &tcriores Bultados t¿mbi¿n sd É¡ido. (ebia

f.gft i#gü$$#mi#,r{ fr:},ffi

s. (¿) H¡llar

¡os coencientesde Fou.ier p¡ra la füDciótr

iro =

i3

-31ílf

=0, = 5pa.a que ,aserie deF.u.ie¡ o¡'

;:ii'ii*ítr{i}=it.'ii::f'i'lTl"; El 8.afo d€ /(¡)

per,odo=,o

s v€ en ta Fisum 145. I@l

f.,¡&r¡., k)

Pdiorlo = 2¿ = lOy¿=

= iJ ^

5.Tónee et interhlo ¿ a ¿ + 2a"o.oO._r,r,"o,aOu".

r r , r -"tF¿ , = 1 f'

= ;1J,,0*3d,, !.'"*t;t*|

=;(-¡* ")1,=o

s i ¡ = 0 ,c = _ = * J ' * ya ,=

s i¿ * o

iJ"'*

3f,"_+,,

_ _5. E¡¡6q

ca? t4l 305

t = t,t.""' l"t *"ff a,

= i t" ,ta * " y * = *{f".,""g*.l"'ot".\z*j - *f'*g*

=;c**Tx=

3{1 - 6r r?)

t¡ cotrespondienrcseriede Fourie¡ es

+ + :G.-"++¿.* "¡::)

i

L/

"

30 - cqat s.lgs

{¿) cono/(})

Ét¡¡ace ¡as.ondi.iones d€ Diricbt¿i e p¡€d' deon que ¡¡ eie @nwr8' h&iál(t) en lodo pun_ lo de conr¡hüid¿dy a t(¡ + 0) I l(t - o) en ¡r I n r o \ d e d i \ ú n L ú u i d , d .E n x _ _ j . O r r . q r c s o n p u n ¡ o s , ¿ oe o6co¡rhurd¡d.ra erie c@wree hacj¿ + o)/2 = r.] 3,¿,coño sew a c¡ s¡aro.si F defne/(r) DucvsDñe/.ono sc!e,

¡: _5 . 5< ¡ . o IlJ) penodñ= r0 , :o 0< ,<5 a =s ¡¿ ene conk¡ae dbn6 hacia/{¡) pan _s S, = 5. I | I I |

2t 2 0 tt2 3 3/ 2

.. 3fi pX"r ,r =n,o<¡<2'enserie.reFoü¡ie rs i(¿ )e t p e n o d o e s 2 r, (ó )e t p e ¡io d o ¡o s e (¿) El gnfo de /(r) coo p.riodo 2, se ve en Ia rlgura t4{.

a¡r.l¡-a P¿tlod o= 2L= 2,

^

= il

y

¿= ",

Et iBic ¡ d ro =o s e l , . r e

r@co.+!d, L

L (' , _ " , , a , ".k

-

= !{r,,)f:$sr_ rr,,f \ , \-_!e!r¿ ; . / ll" "t \ , ./ --'\ n' / ' '"/:q-\1.s,n=0. & = !f'"¡¿,

D. =

LJ,

3

l^ *n;d,

= :{,"(;f) L u esr(¿) o ='=

= !d

' J , , , * r* ¿ ,

oo(-y). S * "i (".* --* * . ,

r,r(wr, ;1¡"=:&

l0ó Esto es !álido paia lJ < r < 2tr. E¡ r = 0 y r = 2r la e¡ie .onve,se hacia 2¡r. (¡) Si ¿l pe¡iodono erá esp*ificado.¡a *¡ie de Foürie¡ro estádeteni.ada u.iv@m.¡re .¡ eEneú¡.

7. ( on lo\ resul,¡do, ¡ierp,obrema ó demor¡¿r que E¡ j = 0 la se¡ie deFoünqda r-ur"., r

i, _ ).

" -a,* " f

l, +,j

_

_

;

1.

SeBú¡las condiciones dc Dnichlel la F¡ie convereeen r = o hacia lto + 4r1) _ 2r1

r,". 'J:- .>.,1" *, , .,*"

j, "¿ ;

IUNCIONES IMPARES Y PARES. SERIES DE FOURIER EN SENOS O EN COSENOS 8. Clasincarlas funcionessiguieútes e¡ clanro a la pa.,da.r:

,", ,,-, -

t 2

o< ¡< 3

re[odo 6 _ 3 . ¡.0 F n l a f,g 1 4 . .e re que/¡ ,r , _,r^ de módo oueta.rñ.rone.,npc!.

(¿)

2

0 < ¡< " tc G¡ P (ri odo=2o ] ' < ¡< 2. Eola F&. l4-8 sc ve que¡a tu¡ción¡o es par ni ,npar

Fig, it_3

k) .¡tr) = ¡(10 ¡), 0
307 9.

Mostrar que una fu¡ción

p¡. no pu€d€ tener rér¡njDos en s€no en su desarrollo de Fourie..

No h¿y 1émi¡6 en sro sj 4 = 0, ¿ r, 2, 1,... Pam ier 6to €s¿¡ibase -

b" - LJ ,r,n*r"t tu 1|ú

Si e hae l¡ traGfomión

'

i¡..n,*";.*

= -!

t J ,^n ""'T d, ;,J" n,,*"'i' ,t,

{')

€r l¡ prime¡a inlegrat del ssündó ni€nb.o d. l/) s obtiene

iJ" n ,,*(-';r)- = it""r,,*"7," ,2) = i!.' n^^"7"",_ _i!",r,,,"^"y a,

do¡de s iá ápli@do qüe pao u¡a furció¡ parl(-lj = Í¡) y en .! t¡hino páso que !, l¡ vai¡bte muda .le ¡.teerrció¡, f€ puedc canhia !ú¡ @alqüierá otra, @no !. Asi, de (l), emptoa¡do f2), s de@

-il"' r*,*t;,a, _ 1"t"'r,,t*.f*

n. / M¿rodo2:

fi¡) sJp¡jnea\e

?

_ o

¿(*-"T''r*";!

= ?-á Q . * T - , . . . " ? ) E n'on*/(-r, , si /irls

par..fi f) = /1\r. De dondc

?*.i G-"3.,"."3)= ?. "i (.*"áu*Y

- o, osa.r(,)= t.2^*7

y no hay Éni¡o! .n sno. De lffiúá erejan€ s püedeñolrr¿r que üm fu@i@ inp¡r no tim téúino! ñ €oso tant ) d su d€sollo de Foü.id,

r0. si

,' ' cos*, ot , qúe r¿rd" = ? (" I\¡t <\ Dar,mosrrar L.tn L

^yr q' (a)

=

lf'lr:)$Tl¡d¡ - "' L

Háciendo, = "J -r,

,

! l"^4c@!!rdr

-'

-

Jr'. LJ

= I. f"¡-,)

'r t 4 c o z

-"/=':*),, \!

puespordcd¡iciónde aünciónpór.n ,)=/{,).

^

if

_/

L

(o rémino có.s,

(ó) b" = 0.

o¿

-

+ I l"' na*'ff a" ! l'nq*'Y:.o"

Luceo

no"-ryia" -| l'n..*.t1'a'= z ( '

r¿l E$o seoblienepor.l Matodo det P.obtem¡a. ' rr.

DesaÜolla¡ /(x)

= rcn r. 0 < ,r < u, e¡ !€ri€ de Fourier de cosenos.

U¡a súie de Foürier que mlo te¡8a cose¡osdiste solammE para füncio¡es paB_ Por tanto. hay qle p.olonsar l¿ deñnició¡ d. /fr) d. no
I

L

308

Fta.ll.10 Por€¡ ProbtchatO.4 = (] y

.. = ?f'x ? ",* ""L-' t=n, = - ("*^-^. L Jd ).r'rrc"tudr

=

* J' u** * '", + *¡ (r zr))dr

= *-+grt-*,':-+.r] P ^'¿n=l,

=:*]:

^=?Í," * " * , " *

P!r¿n-'.

^ = i 1 ,"*," "

Luelo

= ^,

=

= i"- "r | ,

=i

:-

=:- l # * .H * i :* *

)

12. Desa¡¡ollarJ.(r) = r. 0 < ¡ < 2, e¡ serie(¿] de senos.(ó) de cosnos.

^ I:i##:':"Itr"¿^;,:,;

F"*:::;:',:'l'j:1'

4qucseveeú Fis ,4'11Es,a es,a,¡¿e'¡a

¡i& ¡¿-ll As que. / r = 0y -\

o. = lJ"'ila""ffa"= 2f"",*T* Lueso

= {,(#*+)= ",(#-"-*.}f r") = "¿#-"**"? = j (" "-;*+. r á *?- )

! t3,

309 (b)

;,":ryt

,l,",H::lR:

4 qrce vc€nráFis.r42.E3ra 6 rs¿¡¿lo,s@¡i,¡ j¡ tuújn ps'd. pdiodo

* = ?f"'".*"f* i !""ao*"ry

- ,(,'=*ry}|" {,(*.*ry) ,1/at"*,. - tt

/ '

si n*o

s; = f'"a" = z. "=o, ^ Lucgo

r(,) = 1 +

=,_

_ ,t

"i. $r.**

j (" *f f\

z

-.g

- "t,_.3+r , _t"*u::*..) 5' --2 J

. s e ¡l e ¡v s ¡á q ü e ra ru rc i @ d ¡d a l ( x):¿o< ;< 2qued¿k@ /@ ,r¿r€p¡cE nr¡daD o¡l asdos *ri6 difüqks .a \a) r ñ lbl IDENTIDAD Df, PARSEVAL 13. Supo¡i€ndo queh s¡ie de Foxri€. de /(r) convers€unifome¡neDr€h¡cia /(x) en I _ ¿, ¿[, de¡nos_ trar Ia identid¿d dé Pareva¡

! ll"'¡a¡"0'=

dI

t+

>(4 + b:)

suponieDdoque la integra¡ *iste.

s, /(¡,

? . .?(.

. ,, *"-j),.*"..". -"Y

mno ¡ rémino de -¿ a ¿ {cosa lesitiña, p!6la

nü¡,ipr@ndo porÍ r) e ,n¡ce,¿ndo ú-

s.rie 6 u¡ifomd€,r.

@nErg61e) s obliene

= f !'_.aa**.S,{^l"rr,r"*E**,"¡'"xa*,ry*}. t".vatt,o" r t'l + z.! t"i+o) hábiéúdo* ülilizado los Nlrados

!!,n "*ry"" = r."". !'.na*,ffa" = 'u.. !'.tL.t* = "^ otenrdor a p¡'|n

(¡)

dc tos ñeñcientesd. Founer. El Esultado.Fdido sededucedividie¡do aEbos Dieñbros de (r) por ¿. tá idórlid.d de paevál 6 válida con htros ÉsIn@¡oNs qüe la aquí iDpü¿sr¿s,

t10 t4,

{¿) Escribi.l¿ id€nridadde pesevalqueco¡responde ¡ ta srie de Fourierdel probtena l2(ó! (ó) Determina. a parir de (¿)ra suma,rde la wi" .***. . |+$+o1+ (a) AqniL = 2, aa= 2, a,:3,-, t"* ," tt,, u, r": u + Erlonces la identidad de parev¿t

e conviere

ro

= g + iSr"**-rr !f-,uor"o"= i!,,* . f = z+$(.1+]+,i. =9. ),.* f +g+or+... o) s = i+rr+*+ = (,.!*$*$*.).(;.i_;,_ )

= (i*i*"1* +,1'(+++.'+.' ) )

= #* * q , a . a o " as"= u { 15. Demost¡arque para rodo ente¡oposirivoM,

f *irerr:r = !f".ua¡"a, :::lÍ:f

se¡ Pamstl:

deFox¡iercor€spondients a /(r) v suponiendo que/(¡) es€F

J,'l li.T[l*'tes

= ?. "á(*-"T "*"ry) 1,2,3, . . . ésl¡ es I¿ su6ióú de sMas paEi¡les de la s.ie de ',a,

ir,

Foüri€. dc /(¡).

J_, $t") - s"(.)t,dr z o puero quc el inregnndo no €s neg¿tivo. Desr¡o¡t¡ftto

ésre,

, l ' , r a s" e to -' J," :u ,r - = ",o]lültioüoodo

-Oo. -i..bros

de (1) por 2l¡)

e i¡lesn¡¿o ¿c

¿ ¡ ¿, or¡r¡ao¿o l* *uliloo*

= "t""n'ts"r.to",r{t'* 5",nur}

Asinis@o, .levando l¡) al cuadndo e i¡leEmnrlo de

¿ a ¿. ¿hpt€rdo et probtda 3, se rjen€

.f"," ;o ,* = ,{ ** "Sr .;*u :r }

e busaba iT#:á'Jiiji* flj"l'l';;j.¡;,j,ru,,,J,jn"',::::1ado q@ t' * ,i r,,r ,,r = ! !,'. ut"r.a" il, *';,:1.':'J":,s,;ffjiiÍJ;T,,il.:j1i,.1..",1va''p¡ob¡ema

si

F,

l,'r;'litrullk. ru.:#*.r,i"."ri::r;.;i,Í;:l.lliffi ",.lilii;:l{#H tsros rBultrdos5ererdionahco¡ t¿ Áe¿ de Dtentu¿

*i:r#i,#t*ft :if"s;;tr# *-f,*rffir¡;-;..5ff "h"iff

111 DERIYACION E INTEGRÁCION DE SERIES DE FOURTER ló. ( ¿ ) Ha tl a ¡u n a s e ri e d e F o u n e ¡p a r¿/(,)= r,,0< x< 2,i ntegE údol ap¡i edel p¡obrel nat2(¿r. (ó) valene de (¿) para c¿torar ra se.te i r¿, Po¡ et Prabtema tz{,),

Lq_.

11) Inlegnndo aDb6 mimb¡q


, = c_5(:*f,_+*,"+.+"*+_ (,) )

a.' u .c - ' ! ( - r , , - , 1 , ;":,'11:i#rí*J."a

'''

n"*

j,

)

rót€seqú P) repr€senra Ia erie de Fourid eh @qos parar cr

/" = T = !|" r u¡ * = i f'"* = I ..,*r/*,n,.'.,... ;, :,.". 1::rl 3

17. Mostmr que no es vílid¿ ta de¡jvacjóntémino a términode la seriedel p¡oblemar2(a). r¿ deri%ción É@i¡oa !qñi* a z(*! _.*! _ +*? )

Cobo el !émino ,_ésimo rte .ra seri. no rieftl€ a 0, t¿ *rie .o es @úwrgñle pa¡¿ ¡insÍn ¡_

CONYERGENCTA Itf, SEnIES DE FOURIER tE Demosrrarrar I !cosr I cos2t | ... r cos¡1¿

,0,It¿ df"*!tq+i, z*nlt

sen(¡t' ilt 2 sen+¿

1. r f,*lqj_úui,,/_1 ,r t Z,en| t " , -r'

z.

(a) se tiae m ,r eh ;¡ =;{sd l, + +), *o (,_;)/i Haciendo Ia sünade, = I a n:r, s ni ¡{ @ s ¡ + c d 2 ¡ + .+ c s ¡r' 4 = Genr,_ shi , + (s¡r, _ en}4

+' - ea(M -'') =n",.'.*,]-*irii'M Djvidi€ndo por M 1¡ y sünando * d€¡e .r Buua
(ó) I¡tée¡*

didosv¿ que16 inrccráres de

ú.;;fu'"n1',*"htq

conroqw * d€@ Iosresrtart*pe-

-",

u. r..*otinu¡. ,_

q* rlm a¡ = 0 si /F) €scasicon_ J" ftr) ennxdÍ = 1y2J-, tt l "**,

Fno F_ded(e^de im€dúro det probj@ Esta ig!¡ldad süetel¿@rue red¿ha d¿ RiM.

t5. pu6 n ¡d F d e ; +, ¿

(¿t + ü) és coúwrg¿¡re,

312

SERIESDE FOURIER

2r0. Demo\rrdrque I¡m I

l{rl *n {,ry | l,rd.¡

Í' ,^.) *n\M+ tt. ¿¿

=

= 0

si t(¡) er ca\iconrinua.

¡"t *"a, a, !_-rr, *' 1, *"*' a" + !"¡n"t cos

Entoncesüriliundo.l ¡esültadodcl Probleña 19, @¡ /(¡) Enpluda porÍ'J s¿nil y/(¡l.os v¿menle,que s¡ casicon¡iñus, si lo 6 /(¡) É dene la dmostnció¡. Tañbié¡ se habria podido d€most¿r 6to @n liniles de i.tcs@ió¡ ¿ y ¿ .n @ de Is -r 21.

Suponiendo que ¿ = r, es decir, que la s€rie de Fourier de /(¡)

1¡ rse.ci y r.

ticne p€riodo 2L = 2n, de.É

= t;t_, nr*offiffo, "i t 5a"*"",+ó.sen',) Aplica¡do las lómul¡s {¡€ los ccnciertec d€ Fou¡ier or

¿ = r $ tje¡e

¿.c*'f, + ü.sen z, = () Í' . (il_r, " ^", ""."",1 """-

= :fl^,(**-.* +*"-*",)d,

","" ""¡ -"*

_ = 1;J" 1at"*,r" ,t o.

t = *Í_.n* sa,l, = ? + r""ce¡¿+ ¡.*¡"¿ "5

= * !_,¡i",^t 15,!",aa.*a.aa, = '. (' n-{i ' i "*^,-o}*

= lJ'r*r--u{fi" a, po¡ .l Probl.na 18. gaciñdo , - r:

sr { ' ,

r * tjoe

]J.

.únrM + ¡tr

.//,

4:#,} ,- sd¡

Cono el int€s¡ando lie¡e periodo 2¡ F pü.d. sürnüir el i¡tcNato r ¡ - ¡ por cudqui¿r oED ; t oalo de lonsitud 2¡. mño et ¡, u. Asi * obriene e¡ Gutlado p€dido_',

s"{-)- l¿qiSqJq-0r\ - r r'l¡r '¡¡-¡¡'-nr\ 7 "J- "\ff) *n \M + t) td t

.*J'(l{!-1gg:n)*"r"*n.

sa,r- j/ n,+,rffifl a,+ 1J"ro+ari!fr|ar Multip¡úandolas inkgr¿lcsdc¡ problematst¡)lDr /ix _ o)y/lr

ret%@

= il"a"-oifiga,

Rstando (2)de (/t s obti€n .¡ Buludo,.dido.

+ 0) espediv¿rcire

+ rJ"rr,+orrp."*,' a, I

313

SERIES DE FOUR¡ER

3. si lr)

y /'{¡) soncaiconüDüasen l-2,¡[,

demos.'arqu€

;'¡:s"(,) = 4t%-l{l:9 Ld tu tuú n r/r¿r r n¡ r

l0r 6 c eonlinua en 0.

r s ¡ p u . s r oq u e ¡ r , e c c a i c o n u ¡ u .

Ad".ás,ü-¿1113I:AslE = ,ün t(¿+,) : lk + 0). , .fo; -

ü- tr+,):f"+o)

pü6, por biÉt$h, / (r) es casi@rrinua de nodo que existeta d€rimda á ¡a d€r.cna de /(I) ñ todo,.

jg! s.(¡) = @%l::-lr PROBLEMASDE CONTORNO 24. Halla¡ uD¿soluciónU{,, r) d.l problena de con¡orno dU

.A,U

t> 0,0
u l |.tt= o , u \z,t)=0

¿> 0 O < r< 2

Un mélodo .Itre e €mpl€ e¡ le pitctie es supors la ex¡t€rcja de nm sotnciór de la ecuaci& ft ddiva_ das parciarq que tiene la rotus pa¡riota. v(r,4 - r(¡) r(tr sierdo r(r) y r(r) fü¡ciones {¡e r y r, respsrivm@te, que s lrata¡ de deremina¡. Por eslarázó¡, elhétodo suetelrmase m¿rodode s¿p.ruciónd. M abt¿s. Sustitu,€¡do en la eoació¡ dife¡enc¡l,

t1) itxf\ = 3 "/txr)

,t' x "; - 3r ffi

o

€scribien
(?) e Püede esibn

conó

=

3 r¡;

(r)

td d

CoDoü nñ ien bro d€ pendes lode¡ y elot ¡ os lode¿y c ono l y ¡ s o n v a n ¡ b L s i n d € p € n d i e ¡ r e s , e s c l a r o qle cada úienbro ha d€ sr co¡stante. En el P¡o61eb¡47 É ve quesi . = 0 .o pnedeqtsti¡ sotüciónque@npla las @ndicionesdeconlomo d¡da. sxpóneas, pü8, que . es üna cóBranle rcaativa que e *ribi.á -¡.?. E¡lo¡es lor (jl s obtie¡er dos {üadon6 difemci¡les orditrias

It curts solncionessI'

sr.r

o.

:i

r I,x _ o

rcsperivanente, r

C, ¿- lr \ , X = 14¡ c o s r , + A , s n x r Um soluciór la da €l prodüclo de ,r y T que se pucde erjbi¡

u(',¿) = siúdolytco nstan r¡s.

o-o1(a '*r'

+ ¿ *nr')

(4)

3t4 Se trala r¡orá de deteminar,4 y , de ñodo que (ó) cuDpta las @ndicjorcs d. 6n!o,no dad¡s. paF * tisrae¡ Ia co¡diciór tlo. ¡r 0 debe t nerse de nodo qü€ {ó) * welve ü("

a¿ *1 se¡¡'

=

Pam cuñp¡n la condicjón U(2,, - 0 s ha de tenú a¿_d¡¡En2r - u Cono , - 0 anula idoricaneDte la stución (81 s ¿via tal €toión s n 2 l = 0 , o s e ¿ . 2 1 =r ¡ ,

y s. loma er qnbio

ó

@ n u = 0 , 1 t, 1 2 ,. Sustihyeodo ch (t) se liñe qué una so¡ució¡ que stistace ¡as.tos prinens coúdicions de cohrom q Ab'

do¡d. s ba Mpl¿zdo

B-'hhq! en !!'! gn , po¡ a!. indi@ndoqrc s¿puedenusa¡co.sta¡tes difemiB psra vatoes .tisri¡tos (Lr

Sj* tEl¿ ahon d. cunpft lá rtlrin¿ co.dición de conroño V(r,0) _ ¡,0 < , < 2, * ve qüe iprr* 6 on (tr). Pero e¡ üsta de quc n ¿r de solucio¡esde ta ro@a (./.¡)ra-tie. *. *ru"io.* 1¡o. !r I"r"Jo[ .ipio de tuperposi.ión),* Itega a I¡ posibte sotüción

v6 ,¿= ) e ^ ¡ _ + ".*,r y por rá @ndiciónu(',o):",

o .,

/ Pere.sro €quiv¡lc a1probtcna de dsrot¡¡¡

. r, ;;

at ba@r ,

->,8.{n"Ji

c+

que (/.?)e onvierte en - o

o<¡<2

gr

t¿ tu@ióú /(r) = ¡ !áF O < r < 2.n se¡iede e¡os. l¡ t¿ ción e da.n et Prcbtema r2(¿), d€ la que 6ülta que ,. 1@s m,
ur".o=

*rf -!,C*3-"-)"**.

9ú. esunt tutu.i¿nIonot pam omprobar qu. tra)si esü@ stu€ió¡ hay que m6tú¡ qü¿etisf@ !a @_ m o€¡rm6 p¿¡.,¿jB y rú cmdiciones de contomo_ La prucba c@sisle€n jBtifrca¡ t¡ deriEciór t¿dF. ' témi& y er.r eDF¡eode pr@ss de rñne dc $ries y se püea. *ri-. poi _er.ao, oa c"otrui.ii. Et prcbleña d..o.1oño aqui consider¿doliene una i;lerpret*¡¿, ¡" ,*¡" ¿" l" tl,i"*J¿n ¿¿ * ",i sobÉel eje \.nke \ - Oy t - ¿ si t¿\lperññe detdmbre 6uá ast¡da de m{do quqet stor no pued¡_ niepú. Uk. ¡re! la kmpeÉtur. en un punlor d. L hriua.d.t rjeDpo, r" L"*_" ¡ _ x/,, E r M¡or c\pp.t ra y p ., t^ dnidod det mFndl @ndu.tor, e trdm ¿;éA us cono'oonesd€ onbño U¡0,¡) _ 0 y U(¿.,, _ 0 indsn qu€ ¡asrenper¿tu¡s de ds e¡hn6 de hG ruB s nannnú á ere uDdadespar¿¡odo Impo ¡ > 0.4 E¡ro que uu,0rrndie L remp€mllE idE clarq¡¡ú puro r de h v¡rila. E¡ er€ problm la tonsnud d. ta variüa 6 ¿ = 2 u¡jd¡d.s; l" ¿i"d"il;

FUNCTONIS

ORTOGONAIES

25. (¿) Most.ar que el conjunro d€ funciones I,

*T."*+, ""T,"*+,*?,*Y, orlosona¡en el imena¡o l-¿, 4.

315

g',"?T?':i',l};r:fli:.*""i:irl1l'l ra queei conjunro *.__,r

""

;'r

¿.ii.

*."*"dd¡entes a,conju¡to de(¿)de '"a'€.

(¿) Esro e dedüce inDediatamcnle de tos ¡esuhadosd. tos probtemas 2 y 3. (r) Por el ftobtema 3,

1¡*T* ='. !,"-.'í:*

f*'f'*t h* "*'t*"f' ,i¡*+'. . PROBLf,MAS YARIOS 2 6 . Hallar una s e ¡i ed e F o u ¡i e rp a ¡a /(r) = c o sa ¡, _25

xS z,donded+ 0. 1r. t2,:t3... Tooando coDo pe.iodo2¡ de ñanen qúe 2L = 2a. L _ t, cooo Ia fü¡ción €s pa¡, 4 = 0 y

^

= l!"'tt"t-"*n" = ?J"."*""""""""" =

@¡.¡

¿,

=

=

:!-!:

i/"

r"*i"-

"r" * cosG+,),)d,

?-:!L-

+ Ssjlg

<

-"-

= -;*(:-.5*" 27.

Demos*arque ."', =

+ f,.""*2"-

'_os**

+)

"(-",nX,_ÉrX,_ó)

sea ¡ = r o l¿ srje d¿ Fourier obbnida en et p¡obteDa

. EútohB,

= +*(: * ot:¡ + 74¡ * o5 * .) .co i." rúIeRot

¡€!!¡l¡do

que epEebla

-

¡

,

ü. deero¡to

=

a,j,, - ?-,

-2.

d. ¡¡ @Bn8.n|e

d

,

",+ -

fraeion

s pe.iaLs.

tt)

3 t6

tcaP. r. mEmbrode r¡, convers.unirorm.mtuk Y oj we¡sk¡*. r¿ *¡ie dersesundo Fa " s ,dl?'"1:."1. o r: k l < I v e lD i ñ ermi embro d. r/rti ende¿erocond, o.,oro f Le¿phcanoo taÉ B l adet : $, prlar. Je prd.n,

pd6. rnreerdr úbo.

J"(- "- ),. .,,/r

C¡Dbiardo ¡ por tr

de ,/, enú.0

) r pdrd óbreñel

I"'"*,'. ' J"'",'o".n.

r"i 'ggg) l'

.

niembr6

i'\

,"_ \¿

r!

'( '

;)

se d€nc

sn"

=

/-'

-"lrf

-a\/' r,/t

¡r

\ (r_),r

qv es Dn yadycto inlin¡to toto r€¿ ¡, yálido pe¿ todo ¡, @r¡o pueqe aeño$.a6ej es ün resültado de iúi¡, q pu€s dpr* ¡ e¡ fo¡na racbriada anátoganen& a cono s tacto.ia u¡ poli.onio,

D e m6 ró ,q re

;

=

sea j = 12 en ta €cnación (2)
2 " -

(, \'

,,.. F'

r, . ! F"'

r. e)

/ r. q , , . . q , 1 . r\ \ z . r)\ , a . a ) t j. 6 )

Tonando los inve6os de dbos njenbros e obrteneel re$l1ado peli.to, qu. es el U¿mdo ?¡¿.tu r¿ 4

rú

I

--rt-

.t¿d6 de las funciones paB e impares eando wn aphcables.

(.)r.) = l-; ::;:i

p",,.,j,,1 o ,

= 4 .,0<¡< 10,

\c)

"j

a-srd

rr ",,

- á :;:: P.,' .d .s

n..r.a"o

o) , --!" : . t r - T lr ¿ - " T

r.r m 19i !,",,* 3,,

ll

rü = Il" -!l'il ^¿

Pc nodot 0

^ .)

s.r. 1"¡f

'ra

=

¿ l.-:+ ' .*:1.- c"f,ir*';:l

,;

Pra cada pafe det problena 29, decn dónde er;n hs disonlinuidades de/(;l conve¡secada serieen cras disontinüidades.

y cüál es el vator haciá el oar

.\ó1 . (d )

o ( ü) no hr y d^c on¡ nu r d ¡ d e s '=o ,!2,!\ _. . i {.) ¡ = 0 ,* 10, + 20, . . . i 20 ( d) ¡ = r 3, i9, 11 6 , . , , . 3

l¡.

D e,Jro rrJr tr¡r = i2_¡ lr - 6

a< ! - a 4¿r s

c"^. r ",c ¡ c d( l- u r 'e 'l D . n r o ó

, -, li 1""'; .l-"=, -"';.- ]

32, (¿) Desarona¡ /(¡) = cos r, 0 < r < r e¡ senc de Fnós de Fou¡je¡. {ól ¿cóoo deb€defrnie/(}l m ¡ y - 0 r: r pa¡¡ qüe ta s¡ie @nve¡a ha.ial(j)para O S; .3 ¿ I rn 2, r -, F) rár r(0) = /tn) = 0 "" 4;r_ I "¿, 3L

(¿)Desarot¡a¡en*¡ie de Fourier/1r) = cos;. o <

del '"J""'",]#l:do esf ' v o) soeaar coner¡esurrado

e-ur*". r:, *pri*,a. L,-;";;:,;;;;;il

que m et Próblemar2

o.'< 4

¡o. o.,,-,u,. ¡r,, = .ÍI

a

ls - r

/

sr. (¿) +.: r-!$n?r¡+ De mor¡r¡q trc0 =¡=

." ,,,

' r ' "\ 1i' J

3

c,r_!:(

/, 6

/o .,, \r '

3 r \n J ; \ l- +

r .e n 3 r 3-*

m sr r "

+

.AL j¡ 3

{ n J. 5-*

+

\ ,

\ )

36. Medianteel probtena anteriórnorrar que

,-- , + L Í,¡

c

,.. €r-j)"' "Í;r

,'

, r+$- $-| +,1+fr-

S,?

€ ( 1r", = 3, "-, a', 1r '

=

3l \ñ

3t8 DERTVAC¡ON E I]\'TECRÁCION DE SDRTIS DE T.'OUR,EI Morrar qus para ¿ < r < ¡,

33. (,)

, = ,(" i = _ + r.tp _ iál rnreg¡andoel ftsültado de (z) F riene pará

k)

)

, : r ! n,

, = g_,(+_$p.=+_ ) Intesr¡ndo et resutrado d" i¿l * u"n" pu,u _n:, s o,

r(,-¡,(,+r) = 39. (¿l Mostra¡ que p¿¡¡ -,

"(y

up.{#_

)

< j < tr,

1*,"* r(fr,-. -u|*"s, + _**

(á) Uitiar l¿) pa¡a mosh¡ que p6ra -,

_

= ::,.

)

,,¿,, = 1_*"*"_,(S?_+*.:+_ )

.10. De¡ivando el .esutrado dct prob¡ena 35(ól d.mcrrdr que pan o :: r S ¡,

" = ;-:(ry-'*.=ts* )

IDFJNTIDA¡I DE PA¡SEVAT ¡¡.

Con €l P¡obtcoa35 y ¡a idenlidadde pa$ela¡ ñosr.ar qüe

k).á;i = # ,¡2. Morr¡raue ¡!*lr*

¡H Mo!¡rr quc

¡.i-¡

= s::Q. [sus.: Apticar erp,obrúal.]

Fh+...

€. Mor,a¡que r,r,5 ¿;!¡

=# o)._>.+

= fii, or "! ¡¡;¡

. ,-.."1-¡ * ¡-+-.-

*

= ¡_¿ = l3;jg

PROELEMASDE CONTORNO ls. t.t n*"t*, = z f; S d e ^0 < r< 4 ,r> 0 .

co¡ tascoodicioncs u(0, 4 = 0, .(a. d : 0, u(j, o) = 3 e. ú _ 2 s¡ jn, ¿r_

(órl D"' *'.,""'u' -".Pi'ib1:"1:::ii:'i::il;':i"9.";1'*"'

a6 n*"r*'$

=

ff

-" e InGrp¡ela¡ ffrcane¡te.

r$ condicions u(0,t = o, u(6,¿ = o,

r,/ urr.r) = jzf'

-",-¿q1. nt"*3 -,.,

47. Mosrar que si cá¡ja hieob¡o de ra la sulció¡ ecuación (r), /r

;,"ü;1i',,HHIffH,::

1!r . Ésim -- uhaomlanle¿sn . : 0,úohayso¡ücnj¡ ^¡_^" 13, es qE

ll9 ¿ 8.:r"::-c_u :1!:l* l9 eder úeiludf s ! ár enpr adañm ñok e d r e r o s p u n r o s ¡ =o y ¡ : r d e r e F r c o o s u s e Á .yt,. renos ¡jos en esósDuntos.puera en vibÉció¡ trsnseba Je poa 4ptlud, et despl¿am"." , r ¡"1 . "," e l un o rnlo r el inialr e / e, D ds doód ' ' I " t a . r _ t ? n n ó nt.) . m u p o r ¡ , d " d de lonC'rud - ", , t r - ^ " , {¿) Hallar @ $iución de sla eu,ción (llanáda ¿&¡¿, i1¿ld ¿¡¿) con ¿, = 4 que slstasa lás co.dE,ones

y¡1^ .0. rr. or. o-rrn , , u.or.en4, lir¡ 0r _0p¿ra0t,. .Ir0.1l :9 ,¡' Inr^'¡rr¡c, I'nkmen'. l¿. condrcione.

s,¿ ¡e.

de n ,¿r J t, .otucón. (¿) n*,0 = 0.t eo ¡ cos 2¡ + 0,Ol sen-oñ,ó,no 4, cos 8¡

f¿) Resolvcr el p¡obt€na de co¡rómo

= s

-..

".i.0.

r", ,(0, 4 = o, y(2, 4 = o, y(I, o) "*a.r"nes -" 0,05r{2- r), y¡(x,0) = O, donde(] < r < 2, ¡ > O. (¡l Inte¡p¡erarfisicaoente. S

$

s¿¡ (dtvtr,o = 5"i a5",e;Ucos3(2,-4 5,. R6dkr er piobrema de odono 1! = +, u\,r) = r, a\",r.) = 3, vl",o) = z. : : HáEasc ¿,1r, ¡) lsüge¡encia ,) + ¡(¡) y erias f(r) de nodo queF ínpli6quen la euacióhdire¡encial y l¿sco.dicioncs de contoño'/l¡, paray{¡.4.1

s¡ u ( ,,ü= r+]+

j {","#",* ,* "."

D¡¡ u¡a inrerp¡et¡ció¡ ffsica a¡ p¡ob¡ena 50. Rc.or.' e l Pro bl r m a40. . n t a. úndt r r one,de úor oho p a r ¿ y r r . 0 ¡ \ y , r r , | ) r i n , e r u m b i a d a . e s d a i r . L o n r'.0) - 0. y¡r¡. 0, 0, 05\ ' ¡ - . r . J a¿, un¡ . n. er p r e . a . o¡n, . ¿ 12{ s¡ v,., ' er . _ 2 1 . ¿, 2 r : * "Cooprobar que et Ptobtem de conlomo 24 iiene. efecdvme¡re. ta solución Ul\ PROEI,EMAS VA¡IOS L

Si -'<¿<,

I

¿* 0, 11, : 2, . . . ,

Zs

denos r r ¿, qu É

=

s." 1 , ."

_ -

?11-& + , ,r -

3, -,

5 5 . S i , < ¿ < r , d. n o n raqr u e

k)

;."*-!#= #í, - ##. *T#

(ó)

;# i# = *-ffi+rer3

=,(.i x 1.#)0.#) s6.De m o lra 'q úe,"'""

s7.Dcñs,mrq* *" = (,_+x,-Éix,_#) Lsue.rcosr = (sen2rr12senrl

s8.Moifa'qne r.r f, = ;¡f;4444; O) "V, = .¡(4. 4' 4. 4. 12. 72,

16 . 1 6

)

páeina 3t4.

320 59.

SEfuEs DE FOURIER { ¿lDeñós r r ¡quc r s ic + 0, a1, a 2 , . , . , L

I

-

L"

o¿ 1'ot2t4t- 3¡

__L_

2"_,

( ¿) Dem os r nr qü€ s i0 < c < r ,

I i,=¿' -

l ' " 't+l- '! " a ,

J'

= : - #F* f 7- ls * (¿J Por (a), (ó) y et Prcb¡ena 17, C¡pi¡no 13, coñplét e ra denostr&jór de quc r ( ¿ )¡ ( 1 - ¿ )

=

-L,

o
k) uritizáret probt@ ,2ó.pan t¡) *nbu Ia ,nresra¡ dada@mó sum,
,+",-,"+ . . . . 1

fr=r Sea r u¡ Elor

ddimensionat cüatqujüa, Mosr¡¿r qü.

(.) (.,t),+(..J),= {r)"

(ó)(r. D'+ (r.j),+ (¡.k¡ = ¡

y discrlta¡e 6n r€speto a la
d,ño\i

r . 2. 1, . .

c . or o n o m a l e n t,...,. -. , , t . i á _.."*r", q*.1,

¿' = Disurir 6t

de pa(evat.

rlra

!

* * ".o.,,rt,¿, -i

J" fl') o'@dr

Érutbdo cñ Rtaaón @o las srec d€ Founer.

)

Capítulo15 Integralesde Fourier L"{ INTf,GRAL DE EOURIER Supóne¡¡se las condiciones sigüientes para /(¡)l l.

t(¡) satisfacelas co¡diciones de Dnichlet (pásina 299) en rodo iot€rvato ñniro l,¿,

2.

coúve¡ge,es deü, /(¡) es absolütam€nte i¡tesrable d I J _-ll{!)ld.x El teórcna de lo intesrcl de Foúiet esrablecee¡lonc€s quo

:

li't

J'ror.t*""'

¿[.

co, @t.

+ B(d)se'd,)d4

(r)

t¿t"r = ] f" ¡Pt"***

iI B r.)

=

,-;:

\2)

;J _/ l¡)* n o ¡d ¡

(./) es válido si x es un punto de continuidad de /{i). Si x €s punro de dis.ontiNidad hay que cambnr 't :1\' -t como en el casode las se.iesde Fou.ie¡.Nóreseque las condicionesa¡_ Jt\l pot t'' teriores son sulicietrres,pero ¡o necesarias, La s€mejanzade {./) y (2) coú los resullados correspondientespara las Éries do Fourier es bi!tr pateúre- El ssundo miemb¡o de (1) É suel€ llamar ¿¿r4'¡¿ o de f(x) ea íntesat de Fóutiet. IORMAS EQUIVALENTf,S Df,L TEOREMA DE LA INTf,GTAL DE FOU¡IER El teore¡na de la integral de Fou¡ie. se puede €sribi. también er l¡s forus

flrJ = : Í: f(.)

"

í."=

- ^u)

cos - u) ¡tu dd ^tx

= *Í ." -.a"f"_no"-"a" =

(r) l/')

1r'f" ;J "J

"dud'a -f@)eki donde se ha de ente¡derque si /(') no es conrinuaen ¡. el sesundomiembros renplaz¿ por l--)' (x+0)+/(r-0) Eros resultadosse puede¡snndifrca¡un tanto si /1¡) os iunciónimpar o p¡.. y se riene

rot = lt.'"*",u" J""no*"""o"

sir(r)espar

(r)

fi rt

\i /(¡)e!mp¿,

(6)

:

I

rn " rd .

I

ttv\cn" ¿d" 321

322

IN ECRALES DE FOURIER

TRANSFORMADAS DE FOURIER De (l) s dedu€ que si

rr.) = + f" 4,¡o^a, rct = j;Í .rat" *a" ,

i-a fDrció¡ ¡{d) $ xama tunslamada rtz Fauiet de

y se sueleescribi.F \") = J lflr)}.

La fünció!/(i) esra ¡antormda ¡kúüsa.le Fo*,t, a"l(r) r1nf y ."

=' i$1,1¡' "...ru. n.1 r en(7rv eú(8)sehai lohado¡qui isu¿r6!

N,ra: Las constanres queprecedenat simo i

1r'6, p".. ¡r." p,"i"" J;";r'r,"::::i:J'*ra1

r¡esno n¡rlas siempreque sü prodúcto sea l/2tr t¡

ta ttamadafatha sih¿tñca. si l1r) es p¡., ra eu¿ción (J) da

t; .F.(,) = 1;J" cos^u dü I ^d) 1 t; I / (¡ = V : J ' -" F h )c o s o rd ¿ y se d'ce que ¡"(d) y /(r) so¡ ja. ttunfo.na¡tos si /(¡) es impar, ta ecuación (ó) da

F,(") =

1 f(ü

y se d,@ que 4(¿) y /(¡)

=

ttd4foüa.lat

de Fout¡er e, bseh¿s !¡a d. oúa.

c.1;J,

ftü),.,ddu

t;

d¿ \+)^ "- F"(a)sen0¡ de Foat¡ü

{¡¡!,

eh se¡¿r una de orra.

IDENTIDAI'ES DE PA]ISEYAL PARA LAS INTEGRALI]S DE TOURIER si 4(dl y c"(d) son traisfor¡n¿das de Fourie. en se¡osde /{,) y s(x), respectivamente, e¡rüE

= J, ¿,G)c,(")d" )" r?loata, Análosamenre, si 4tr) y c.(d) son bánsfo.madas de ¡ou.ief e¡ coseDos de /(x) y s(r). entonc-

aJ" r6e.61a" = J"-tanalo,

:!rr

En el casoespecialei que /(¡) = s(rl, (t t ) y (t 2 ) se convie.ten,¡especlivamenre. en

f"'e"an"o"= ["'aoro,

Lql

Jo {¡'.("rl:d. = J" t^¡ttd, ras rel¿clones anrertore\son)asd¿atúudestr ! ," ,d rrd n s ro ,m d ¡rd s esn e rJ ted.e f oune, A j ../-f.i¡r'" 'rl| 'L¡4 l ou' ' ' n''"uo e' t" ' R eiiJcore' d¿.r¡G¡, q rr¿n' ' mada'p¿reci de I oL¡e¡ d..i r s' .' p ,.¿ " j "" " r,,., ' " .p " " ' ,," ." n ' i ... " ,"

caP.rt

INTECRALES DE FOURIER

l--"a,"a*"= J_-roaao,

.re,m* ,ue ser¿ta dera compreja coDjusada obte¡idácanbiando¡ por

i|.[ffi"j¡_

Tf,OREMA DE CONYOLUCION Si a(d) y c(d) sont¡ansfor.aadas de Founerde /(r) y s(r). resperiva¡nenie, entonces

J'-r6¡c1"¡u""a,= J""tt*t ot,_,¡0,

Si se deñre el ptudrcr¿ .te .ónDotución. de¡oraooJ . s, de las funciones / y I como

t1s)

r"

rs

I .) - uta" y2 "r ( u\ot

e¡lonces(.¡ó) puedeescribi¡se cono

e7)

Ítf* sj = it.t) Ítst

;"T:i.::".::jT:"i:T1t::,i::iil,h,:.:.:":.,.ifjz:zin;:;:n:::::::),* problemas¡esueltos

INITGRAL r.

DE FOURIER Y TRANSFORMADAS DE FOURIER f¿) Hajlar ra ¡ransform¿da de Fourier de l(¡) _ [1 b].o

(¿) Represenrar y su /(r) r.ansfornada de ,."r.. (¿l L¡ bansaotu¡da
''"¡

=

-=

y 2' ¿. |

d" = ^")*

= !fr:r_rr\

b v2"\ Pan d = o se obt:EneF(dl =

f1,", ; : :

es

/

--

f' ..t \ ? o - d u -lr; t

-E*".. \,;-;

\E; i"l "

¿,0

Jrh a.

I-os e6fos de /(j) y ¡(dl pan a _ 3 e veDen tas Figs. lrlyt5_2,espetivanmr

¡i& l5l Fi& l6-t

324

¡NTEGRALES DE FOURIER

2. (a) Vaiiéndosedel resutradodet probtena r calcular f" J"

\b ) ucducrr r¡ \¿lor Lle |^ " :r-

dd.

Po¡ el leoremade la intcgraldc Fou.ie¡.si :

rJ."J"

t

¡Fdo

Enlo¡es, po. €l p¡obtem¡ I, 1

f'

:,;

,

lr ."",^ \/ -=''¿

'tz t0

El prine¡ Diemb¡o de (1) e! isuat a

, ,rilj1tt"""'o'

lf "*"';*-. u"

4'. l¡ >o

iJ""-gr-""

t **"oa i.tes¡ar de(r)esimpar v, po¡ra¡to,rainrearar cscero. Enron.es, pó¡rr¡

I--*+*' (ó) Si r = 0 , ¿ = I có et resuhado de (¿l s licóe

'[+' ="

J"Y ,"=;

pues er r¡leara¡do es p¡¡.

3. S' /(r) es funció¡ par mosrar que:

kr 11"¡= \P ( to¡-',,d". ¡'r.) '

|

f ' , , r " ,,,

(ü)r(¡)= \f3J-¡G)c,"*d".

=

ft Í.--n-"",,,,,* j;!"-na*,-,*,

tr.

iú¿s¡a, de,s¿sundo niém6¡o 'il':l :.11 #:*n:: :: x1,'"lJg,:ü.i'" t'e"' ^'r "ucra*sunda ¡!

,r, =

tb)

Ii.:j

¿i. 3 ;*iix:"fii*qú

tn^tooo

*."¡*"

oo,

4. Resorver la ecuación ;."c.r

*" f

k.l"- nr-"".*, - 1p.f'tr,,t-"^,u, ¡G)s fürción pai En,óóes. nediame ünadehor¡ació¡ ¿üros

* !álido pa.a tüncionesinpa¡esy s te puedcobte¡e¡ renptaz¡¡do co5o

'¡1,t J

-. ".

a,

Jr-rt

0::d=l

¡,(") lvEELt d o="=t J-l r -**.o = .G) I róncse . I ¿ >r

' r u e s o¡ o r .

t; rct = ..EJ,""1"¡"""""," .1,1; i' ¿ -"- ¿" = ? f ' , , ,,- " - ," = 2 ( 1 c o s r )

P r ñ b¡

r CAP. I5]

INTEGRALES DE FOURTER

s. ut izar.l p¡obrema 4 pr.a.*"-

*" f

'Tl"a"

=

325 i

t'

Cono se obtuvo e¡ el P.obl€na 4,

2 Toma¡doel ljmile parad

f

r-:" { .o " " .d , ¡.

Jt l0

'

o-aar ot

0+ se encuenuaque

-

c os ¡ ,

f-l

.1" Pero .i¿ inre c nl {

-

"'""=2

puedee"c nb, , |

'-#

q u e e 'u . 'e 'J ,

¿'

I

con lo qüe se liene ol €slltado p€dido.

6.

Mo rrrar qu e

..

|

-

¡ = 0.

-¿

- da Sea/(rl - e 'm el lmEma de la jó1ee¡¡lde Foüner.

t\') = '9; t,' *"* d, !""no"*^ a"

= .-' :['*"*^ 1""""".',"n" Peropor e¡ probleña22, capitulo12.s tie.e

t"'"""**""

=

,*r-!.

enro*..,

= í.. iI""tr#*=". . J,'**#" IDENTIDAD DE PARSEVAL 7. Verificar la identidad de Parsev¿tpara las integrales de Fourie. en l¿s t¡ansforu
J"-'n ro, = t';4lyo" doñ. c t , -

-

t,to )

.:

,

,,"

{ :y ,

Ero eqúiv¡le !

= I - ?t - - * J""
= z

llaciendo d¿ ¡ y aplica¡do ei P¡oblena 5 seve qüe €sto úllino es @r¡eto. Et m¿todo lmbú¡ -

aplie¡lsr¿ ¡¿tlar f

'!+

se puede

d', d"-ra.*e.

I

I

326

tNTEcRALEs DE FouRrER

.,

tc¡r r

DEMOSITACION

DEL TEOREMA DE LA TNTEGRAL DE FOIJ,RTER Dar u¡a demort.ación heu¡isti.a del Gorña de la iúreg¡at de Fou;;r utitiz¡ndo una form d. limire de la Frie de Foü.iq.

E

^, t a."a" ',=| J 'i r";* "y d .

y

Enlores. por surnución (vée ftob¡@

t,¡, lt,) ¿ r

ó,

o

("-"?. '*T ) h ,=it,no".ry,". j,

= !+

L J,^

21, Cápituto t4),

L ¿ f ,¡ "_ " !;tu _ ^ d ,

".

dir tunlerge. et pDmd rmrnodetle$ndo

t nlo q@ la p¡rre ¡€sta,r¿ pá¡@

rendr

ñiflbrode

rr

r.?)rjeod.a m!¡

a

,,- .L < f",,".,

,1.:h. ¿ ,¿ J _,,r'-s?,x-''dr EsL ¡tldno paso ¡o €s riguros y por e Umndo ^d:

r/¿, (J) s puede esibn

_ ^.) =

¡G) Perccl llnjte (?) €s isüa¡a

x') = J^ F\,)d" qE es la tó¡m¡la inresr¿t de Fouri€¡

-.

ofi,"d:"''*"t'

f,

I¿ d¿nostr@ó¡ es heü¡jstj€.

Ji, ,-),o".1"o.r

) f-"tr"t-"*"- "tn" = |.f"' o. J-.na-.a"- a a"

para 6Iableer un Bultqdo posibre.p@ H risurM

't."" '.la@te

.

J.

¿,

nay qE qD

J _tptq.c\u-adr

y eshdia. ¡¡ conyúgocia. Esle nérodo F onsider¿ o ¡os tstobLnas 912.

e. Demotuarque: (") l,yXJ'=4d, = t,

ot ¡y1f".ryo,

=;

(ó)sea¿¿=,,.,,*J"*?-a,- ::tf'ryr, = I""y* = 2 '_*e. por elP¡oblem¿?9.Capfuto 12. (á)s ea "o= ,. .* * ;4

1,..;",, = )y-Í""'y",

_,

10. EI teoreúa de Riemanndic€ que si r(¡) es casicondnu¡en l¿,¡[,

tim ¡.1,)sn(,,d¡ = 0 J" con u¡ ¡esülradoparecido para et cos€ro (v&$ p¡obte¡na 3l). Utniza¡ elro p¡m desl'Ú

INT¡GRALES DE FOURIER

327

at lygJ'ra+,¡rt:ttu - ite +o) ir,r;'¡4f,¡1,+asle h = ;1, o) donde /(¡) y /,(r) * suponeúcasiconünuas en 10,¿t y l_¿,01. ¡especrivamente. probleñ¿ {¿) Apticando¿l 9(¿)seve{tueünadenostn ión detÉñltado quee da.qüivale a demor¿¡ qü.

lgiJ" tit' + a - ¡o u onier a' = ¡ Lo qn€ se dodue inmedi¡t¿nmte{te¡ 1eortu de tuenann, pB ¡(") = "¡1,+,): l("+0) e¡ 10, ¿[ ,a que ensle y /(r] es casicoñriiua. 4,) ,lib (¿) La denos!Éción de cro es aD oga a ta de ra p.fe f¿) haci.hdo uso det p¡obtema 9{¿), conti¡u

ll.

si ,r,rsau da e

ta condic r dn¿dic ¡ oDat ". *

1, ,

J-tt'*a=tto,

c o o v e r g e .d e m o s r r á ¡q u €

,.,d¡

(a,I im r¡ .u r"l j ,¿¿ . J" i t"-ot, rtt ¡y 1f "

s €s!

,,:tfta,

_

-n.,

[nr

ot.

- t""n"*¿"t-0, + J," rt,+.¡xts:¿,

f"- tt' + o¡':t:t o' = Í""

''

* o'*-

o' + !," tL'+ oPt:t ¿'

t" cu+.t -_t1'+ o¡lutt:do

= j"'s"*,1-¡q,*o¡¡ri{a, + J"n"+artr a,

t,

['n +o¡uy¿,

D e&ta nd ól¿si¡te s ales en( J ) por ¿/ 1, 1, e¡ r . es pat im n e . L j s r i o e / : 4 +, ¡ ¿ +4 @ n l o q ü e

11 = l¡, + ,,i + l¡,1

Ahora bien. Asimismo. , c...

J-tir"¡a,

0)

v"t = l""ll.* q rt:tla" = !!,"va+,1a, ,r = tr(,r.o)t Jf'=*r"l .

J"=oa,

@nveryer c¡noósepudc lomar¿ ro suñcie¡ltunre 3Éúdc

ñ;n:iii#:líüffi?*ilx."l;:i]{i;tdl:,ir,ff ::TBp'r(?)e'lio' t2. Demosra¡ la fórmutaiút€gralde Fourier si l(¡) satisfacelas condiciorcs eDu¡ciadasen la pá_ sma r2t

328

Je¿' se

ó ew, po¡el Prcbtm rr, queta i¡regr¿tdar¡¿onve¡se hacia l(,+0)

l l("_O) lal dj

PROEI,EMAS YARIOS

13. Resolver '# = #

*n" a rascondicioües u(0,¿)=0, u(r,o) =

es acorada pa¡a i > 0, ¡ > 0.

{t

o " :l,o o u

.I fi:###ii.*,i: }:¿ili,ttr i:.Lt :::{ii*üi:ü:ir"iH"lru#;i:Ti:i1,ff

d.,one\.derc¡romo no p*.ben v¿rorc,d.¡em.nadc pam dc modoqu. hay que,1dre, eue iod;; v¿ro'esdeLsn pdibtes.poranatoEr¿ @d ¡quetDrobten¿ ^. todo ¡os ulo* posib¡B de ¡" ro F @r.sponde a u@ inlegreión * *" **, u*" o HiiJaoso¡re "

f" r,, , .',*n r, an

r,,,.,, -

gt

dond€ a(l) ¿slá indererminada.po¡ tá egundá cotrdjció!,

l" -r,,*^,,a.= ll ..:ti = n",

de dond€ ¡€su¡ta t¿ fó@da in¡esnt de Fd¡ie.

so r= iJ "r r ¿* "* ¿,= : Í , ' * * *

-

2(1

cosr)

de no'io que, al benos fo¡natnenle, ¡a sorüción esli rláda po.

u(,,4 = ¿J-(! jr!r)"-.*"^,0" t4,

Mostrar qre e-¡rl2 es sD p.opi¿ rra¡sformadade ¡ourier. como ¿ "/: €s pár. sn ttusromcda d¿ Foünér vienedadapor ve, Haciendor = !ár

I"' "-.* ".""" y uril¿andoet probleú¡ 32, capftu¡o 12, ¡a intesrals co¡viefe e¡

*.

= h+""" = l ;1 " ' .'*"<"t zaa" ""'. que denüestrael resühadop.
lrt¡t ltlt siendostrt y ¡(,) iunc,ones dáda.

,

f" u,u,"r"- u¡a*

*H:ttfl :g Jg\ff ;,$,',f#*..tk#i:n:',.#ri$*.:::::i;it:*|i.,i:\t YG\

-

cG) t - \/ü ntd,

caP, lll

INTEGRALESDE FOURIaR

*,=''f¡g-l=*¡:-H^"".*

sFtuado

que cúra ta ¡¡&gnl,

hobl€n¡s

ptrlrlestof

INTEO¡AL DE FOU&IR Y Tf,ANSI¡t)¡I\,frU,AS Df, ¡OUNIR ró. f¿) Err¡arr¡ rn¡sfma& dc Foün r d€ 1¿ = !r/2, l,)=,

(¿)o",cniúa.r r'nc d.6r¡,.*r"-"* *_ jjr. .t¿¿{d)+ 1!::. (ó,-L '¡2'

"'

?'i*,,n o *,_.

\f2;

17. (¿) tr¡rai¡. rs¡rom
l(,) =

rarc"r",,r*, f-l'"*'; i"^. a \ , . "n' ) - - - 2'",-. s,¿ (d),1!(e:e!-s;s!3),

lr;"

/l;i

o) *

/ _\ _ rr-. q. ,,,-, _ lt 0 8 ,< r_ naxe (¿) -. r¡ r.¡$fo@¡da ¡,e Foúid { so. ró, ra ¡ I l0 rB¡sroúad¡ dc Fouoc¡c! .¡e¡o d. ¡¡| ¡r¡g @ qds .¡$ cl d. Bdfo /(¡, y @ a F¡.sro@d¡.

s,¿c)1;(=-), 19. k) H.lltu ta rturomld¿ O) M*itu qucf-,t44¡

(ü){:+.
i.--,

., r: 0. " n>o.p¡iq¡do.r

@r¡do o (¿).

o ocüs¡.d.ttco@ dci¡ ¡úelr¡rd. Fou¡i.rporqu¿ cr@rr¡doc¡ (ó)ro 6 d_ ,1i1"fiXf'_-5d" *". sot. t¿).tE¡nta¡|| + ¿)l 4.

D-F}tr

r(,

6 ¡¿ aució¡

iúegBl

Í" v(') *n'r a' y.:@Eprcta t¡ ¡oteión pd ,ustirwió. diFr¡. .9¿ r r(¡) = 12+ 2 6s ¡ _ 4 * 2ry¡r

IDE\¡T¡D¡¡' ¡tE ¡A¡SDYAI, 4

qku¡ar r¿) ot apnando J" r'fr h ,d.rr¡dád d. pa*ur. J. i:#; lsurlqc¡: us ls r¡.Brofr¿¡rar d. Fouriáó e¡oy @srod..-,, ¡> o.l so¡. (a)r/4,lbln/4

329

330 ¿.

¡.

TNTEGRALES Dri IouRrER u,iliz¡¡ er p¡obr*a 13 paú m6tmr que bt

Mc ttu c re

PROBLh{AS

J [-k & s " ;s n ' )" d,

-

t"

ru-f-{3a,-i'

(!_:!ta)'d"

¡r" .

VARTOS

24 r r ' ) Res or v e¡ u p , o =0 , ! ! - 2f f , (rl Dar u¡a interpreración ñsica.

sotu\,,r)= 3J' * n*.r*. $=#

u ( . , 0 ) - e " , ! >o ,

u ( ¡ , ¿ ) e s d c o r ¿ d a p l r a , >0 , ¿ >o - .

i;;",,- "

,,a.ro, r= 0 , u (¡.o ) =

" = : : i,

lí

s¡tv(.,1) = 3f (+--"i,-';.-:*^,,^ {¿) Mosúr

que ¡a s¡üción del p.obtúa

Ú s püede eenbn

uk.¡ _ _ 2 -1 " , (¡) D.oosr¡tu diÉr¡nole

.'¡ _ , = (' _uo, " o , " l 1 J .' ,.'¡

quelá rüncióóen {¿)srisfacea

2z veriocarer reo.ha de @nvorüció. !¡¡a rár fuocionesrd 2& Dem6tn¡ la euació¡ (r), página321,a p¡rtjr de ¡a *uadfi D. Dcn6tru

u (¿ , 4e s , c o ra d ¡p¿¿>ra0 ,¿ > 0 .

=

f;

r". $j I " -"ai"i.*,

= ,(,1 =

{¿

r¡€lp¡obr@ !

]]j: I

(J), Ésiia 321.

(rd), pd¡in¿ j23.

si ¡G) = [sü&:

f,ol-"rw*,o" ,

cr.r = {

f* e1,¡a- a,,

Ft")eb) = *J'"1'-*-.. Háe¡s a6on ¡a tmtuformación ! + D : r.l

^!)s(aldedo

30. (¿l si ¡ld) y c{d) so. las t¡aósio¡@das de Fo!.ier de /(i) y s(r), rsp€úivabdlc,

Í "rrr"a * = !"-n aao.

doode et lezo indica la cobptgtá conjug¡da. (¿l A padü dc f¿) obtc¡er tos resuhados (|)11r.

ra|tna 322. 3r. Dcnoítu cl reo¡enade Riemaon(!éaseprobtema l0).

demor¡tu qE

Capítulo16 Integraleseüpticas LA INTECRAL ELIPIICA

INCOMPLETA DIj pR¡MElA

f,SpECtE se defre por

1 t = r ( k ' + t= f"'#ffi

o < k< r

(r)

ffxiÍi:yjt&:í!*.t; ñ::2i.="#, r#i:;::X:";^*. La in,eg¡a, s ::#;: p.r&k¡. ,"J'? # Jtii'tri,"',",ir:ff#i,f,:,"T simp,e. i":,fi:.trffiiJ:."iil"

I/r INTEGXAL EL|PTICA INCOMPIJIA

*'iÍ;

DE SEGUNDA E¡¡PDCIE se d€fine úr

n6,a¡ = J,',1¡-a;¡¡.to

:Tfl'Jflft,íí,!"i,T';,tr;

:f,I::'^

o
\2)

ctipha dcsaeuda espccic

:,u:llilxil"{lr;;,;;,"#r":iff:;:t:,:::;,i:"r::*"::.;::!,H:::::,tufl:ft LA INTEGRAL ErIPT¡CA TNCOMPIJTA DE TERCERAESpECn se def¡€ Do¡

n1n,",6¡ = !,'

0<¿
1 1 + rs e n ,3 )y t_ ¡' qn),

(r)

r^rnbiéi llar¡ada foúd

q*

.te Les.¡.be .te ta inkzrut 6Pp(p Aqú estr r¡nacons,dn,e ¡¡ur¿ya que.$ - o. u;*' Í!!,li! ¡ all.T.19 = " ¡ihEtut etbti\.a,ohptetn t¡ lnresmr* ¡rama ^*u'i.¡"¡¿ p:p..ie. dc

-.t

ercpn

^i/

FORMAS DE JACOBI Df, LAS F¡TECRAI¡S ELIPAICAS Si la rransformación , : seD0 se ;nt¡oduce€ an@¡ores se obriener ¡as sisu,e¡r€s intesrares ?'i"#? " ".:

r",ir..¡= f-4

t***e

"o v(r _ ,¿)(1_ft?r1

¿ " (i .¡)

= 1,"

.11-k o, d,

de ras intesates elipticas

t4) (5)

331

_t

332

lcAP.lr

¡NTECRALES ELIPTICAS

, t k .n .4: J" ( r + n r , ) y { r - r lr - r " r ) llat@d^sfoñds de Jacobi.le l¿s iateg¡aleselipti@sde prime.a,segu¡day terceraespecies! respecl¡, vañente.Si ¡ = I soni¡tegrales elípticas coúpleras. INTBGI¡IIÍI Rf,DUCIBL¡S A T¡PO ELIPTICO Si ¡(x; /) $ una fudciónracionalalgebr¿ica de ¡ y t, o sea,queesel cocienrede dospolinoDi!

a. ! n1.,o¡

lr'

se puede calcule por l¡s funciones elementalesusu¡les (algebmi@s,t igoúomélricas, rrigonomét¡ly to r e c | p ro .¡se x p o n e D c r¿ r e a ri tmrca) { )r= V ¿r.bov(. si rndo¿.á.. cod. Jax. + ó¡,

si y = 1GF + t': +

*

y = J*,

+ b¿ l;;r¡

d' + conranksdadas (z)* F\.

"" de" primeÉ, segunitao te¡ceraespecie"o, e¡ casosespeciates,po¡ frEd€ cBlcularpor i¡teeüles eüpticas sr I = JP(¡), siendo P(r) un polinomio de s¡ado superiorál cuarro {Z) se plede inreeE ñefi^rte fu¡ciones hiperclípI i.6. IUNCIONTS f,L¡PTIC¡S

DE JACOBI

El limite sup€rior ¡ en l¿ forro de J&obi de la i¡tegr¡l elipfca de prime.a especieserel&io¡a cft elliñite superiord en la foma de r¡s€ndre por ¡ = s¿nd. Corno ó : am r, s sisueque¡ = sn (aú¡¡ Lo que lleva a d€finir las ru¡ciones elificas

¡ \,f-

\f

l

EF

=

s¡ (¿n u)

l&

=

cos(arn¿)

lt

= vf -arstFa

UA (1ú

que tieífl

muchas propiedad€s importatries análogas a las de las funcion€s trigonométricas ¡r los problemas. Es támbiétr posible defr¡ir Íün.iotus elípticas rc.iptoctt pot ejemplo, si ! = sú ¡. €ntotrc .r ¿ = sr_'r. Nótese que , dep€¡dede f. Para hacer resalt& esla dependencia se escribea E ¿ = sn '(¡.L) o bied ¿ = sn I (x), mod k. TRANSIORMACION

DE LANDEN

M€diarto la tra¡sfomación

raó =ll^m da t¡arslom.ión

donde k,=#

o

/r*né =sen(2e,-o)

d¿ bnden, s. puede demorra¡ quc

('dó2p, ¿o vL_ k, en, ó v.,i=1fiil'9' (véasProblema 6¡). S€puedeescribir

rp,a¡ = ,firp,,6,¡

Ftt¡ .ó, .

\¡k,^.\,...

nendn

"= #

d0 (' r" t/t- x;'t

_ -

-t .. -- * -.FVik

h te

/_ *\ (¡ r ;)

'

y , =iiró"

" - i * ,,r " = * ,

, , u,

media¡reel cuatse puedec¿tcular nt -Resülr¿do ,udsorameD,e

""" "-, ","";, ;; ffi;:i

u5)

posjbre ¡os*rbaran,e exa.ti_ ¿ f",;1,jil[i""Ta.es

Problemasre$eltos INTf,GRAI"f,S EIJPIICAS l.

D€m os t r ar que s i 0 < k <

t,

do ("' Jo V'ii-- t,-s-? Pofet reorena detbinoñio.

K\k)

=

(1.' ¡)-'z

-

= ;{'.(})".(;j)-.(;,?+)*. }

1+ l-Uz)( a) + ( l/2+y\Fn,

_ r+|,+fit * ffil* .,..'::;:"

debidoa I¿conve¡sma ün,,ómcde ra sie,

t"iÍ

";J;':Ts.

l"-ñ+ñ; ürilizando el probt.n¡

z. ca"":^,

J,"'" -!t

S e ¿c o \ I = . u . : ,

d¿

+ er/z)l_B!2)(_6/2) ..,, + .._

=

s puedci¡,egrÁ.iérhino a ," -

= I:."{,.}c*"",+ jj*,**o *};}t'"**, * }0, )

= ;{'. (;)'". (;:'.J; .1;i";;"., t5, Capttu¡o 13.

1

con 3 deimalesexp¡esa¡dop¡irnero ta inresralcotro integmteliptica.

!'¡"" v

En r o n le s. - scn J,!/r =

2c us t r * nr r z

vr.;-,

_

pc os ¡ *n , , r -

ffiiffi;

o.r ." a .f" ''$

= ,f"'_-!L "" vG*! -J, r',-

= repo,!,,t2¡ .

= ,Í""¿+-, *Extr,¡

-

aI'".,,___^-+=__ _ v1

Írn¡z

Co¡ ¡ = v4 e¡ et resuhádo de¡ p¡obteo! I r xcne ct vator 16¿ para ta inlesr¿l. I

caP. 16l

¡NTEGRAI-ES ¡¡IPTICAS

ó. Demos&e qüe

315

J v6=gos,- es .€ducib¡ea inreg¡aleseiipric¿s.

2 .'.c* r=z_

1"* ' , p

* a, ¡ pj=3

- 2 @ s 2 , f 2 y 1 ai n ¡ e s B td a d as p ü ¿ d € . s . i b n

f tr-#;ñ = hf i#ññ

,"._J,,"';:-"___*_'= ju;ff -,","^iJt#*;"*."","-

&

Ar€.igua¡ ta longitud del arco oe arv¿ / = se¡¡, 0 < ¡<

Lonsitudderar@ = !"".ltaaa;fa"

=

r

!""rn*]Ñ"o"

= z!,"",1.+an;a

= z!,",'a:aa; a" = z¡z ¡r=7*¡; o" = 2,,.,/'(\r+) !"",,

H¡ffa¡ l¿ lonsitud dcr a¡co de etip* ¡ = ¿senó, y:

bc}só, a> b > 0.

Loncirüd rr€¡árco = a J""" ,A+ + Wr- = n/",, uti *5;¡6;5

*

= n!,"" ¡a=6 :4;v¡ * = a" 1"""ur- a;a-,a Er E$rrado $ pkde enbú

r"p.",".J'-,--S tffi s€ & eo d:

Í"'

," Er;.;p;.

;';\;:':

Porintesrales elipticas

rs ¿. Asi, ¿ c6 ódó _ w1 ,da y

'

f'#=,* ¿,.rúsú

f' --iq-, d, -.t" ¡¡; .7¡"--

f' J. /¡-q

*t

"o V* : - ( k ' + 1) r n 'r

¿ coP¡@diodo

r ,,/

¿¡on @Doo errrobro

s, *a IrTi

*o ¡ = ¿ *o r. ¡¡rones,.rEll

q ¡ ¿¡ =

- o _ _ 1 J" ;¡.:=fu =# " t# )

vorviqdo sobretos pasc e obsfra q@ el ,mrc supenq r en.ra utum ¡nr.gmr e rel¡€iom.on e¡ ¡itu,.

!upe'o'ó en ¡di¡ksr¿rq,sinarpor, = _

(ff]'*",.$)

336 ll.

INTEGRALES ELIPTICAS

C¡lcd¡r

po¡ intcgralcs ellpti.¿s:

(¿ ) | _ g . Jo _ ,' X0

_¡)

/( 4

H ¿ocndo\- 2enú.l ai nrcsr¡l * convÉ rre.n

_ + f" __jL_

(- _=4:

= lrets.,rzt

".V9 - { g n ' d o r ' !vl -Íenl ,

(ú) f 4. ro V(r + ¡'Xr +z¡")

Haciendo x - ¡s0 1. In¡.sr¡r*conr.ne.n

(''' eo o' J" ,h + ts:Ta,/t.t+zE .

f'"

¡-' J' vid', + , s',

-

d,

= L (,,,_____L 12 J"

,/-\ - , e "*'

Con , = r¿ - d..st¿ últimainr.8r¿l.s

,rzt- r
| -+-. ¿. t@_rt\,_2J@_3)

sa V;-3rr

o ¡-

A i i q u . l a i n ¡ e s ¡ .*| . o n \i e t¡ c e n

3 +v '.

a6 -J, y'(",_r,(,¡+D

Hacic.do ¡ - 1g¿. .ra irtesral e $clte

,Jfr ¡-r =V2=e. = ! -,,f" ' =JJ. . - V 2 - s m " '' + nr, =

= rtl " '

\/, \F(lñ,rts:) - Ft'/úr,"t4l)

Á¿""¿. ¡t¡,6 u poü¡odio de r.Ér s¡¡do s e¡os ¡ar*. s pu.de rr.É rf VP'L\ toúr d ircg¡l clipti.¿ por cl nétodo qputo. P¡ocdimimtc ridilarcs sd aplic¡blo 3i a¡8¡¡¡oseG m cdplcjd t¿$. Prcblm l2). e¡ gacnl,

r:. Carcur*J y'(".ru(,¡'+E S.a ¡ - s 0 y l¡ i.l.gnl * co¡ticr..n (-' .te r.n F' u . ¿, r. V i -3@ " r. V { k rr - I)(h rr, S)

=:(*=zJ.

13. Most.arcóno s. c.roubJ

=

vr_*sn,,

J4 - 3^' c

;F\,,13t2,f/2¡

=

iK(,,t3tE

crípricas. i¡rcsrar€s

C#ñÁpor

rQásetr t/üftuntn b@t l*nr*., po!ü ¡ ¡ 0, l, 6. aF.cti!¡¡m¿. -

J,

r -?!!!".oi.E

¿,á,¿,ddc nodoqu. r - 1,2,3cl,É

ciaP. t6l

¡NTECR^LES ELTPTICAS

F,l.otb!"' | =

2, 2

= Ll:,

a-, óe¿@de ¿ = u, b :4 . = 4 6¡ ro qrc r _ l_i.l.

3-

uriütudo 6rs rÉtr¡foDació¡. h jn¡.srar .l¿d¿ e @¡ú.ñ. * ,, f +_ . " v4' -1rl r-3' E r t @ . r , = 1 . * o b ri d erf .= = !!: v oétododcl ErcbLñ' ¡2 e pu'dclpliÉr' 'l - v1,'-r¡,'+oi u. *"*, a""a. d uñ pori¡onio oe @ano&!do @úer6 M¡¿s, pucd. J;fi;, $ ransro.. ".(¡) M n i¡r.sE¡ ctt't¡É po¡ et !¡érodo quck ¡¡diE. H¡v

d6tu @pr.j;(vé;r,rob'*i.l; ;i;;riihi',ffi-;l'ñ":'jffi;,H'#.#rffijr. r{ caro¡rar Jr

P'r intes¿l€s ellptic¡s

iiffi

Áqú .t polirújo

úd@do

dl* de crcs E¡tes. ( b,ffi,, sep,b.cd. de,¿ ñe* "s*;;;ü ;:l :,:Í".:HHJf.^",H .,

-

jffH:jL*

¡=Jffi

E¡úae d d. dodo qu. td É.ñj¡c @sr,.¡rB dc cad¡ úitrdjo q¡ ¡u= r { dr 7 o d ' 1. Enro¡as, -

'gu¡16.6

dq.

¡e¡ qrc d) - 2c l

,= r4

" vltl+gltt' r3u Ls) Háee / = p4 @¡ , @lslanücpoliriE. E¡ro¡@¡,

/="f-r":

Y6"r'+ si@"ii-!i-di

Eligiñdo p de Dodo qú et @frccnr¿ d. ¡y' s o , = r, E ü6.

rctui.m. .. @d¡ Fi¡mio. do .r. ,: = 9

d"

=(

I

i!ü¡l ¡d Ér¡iú

J Vru¡+lñr+;1r

I -

,/, r f ==J:

!(t' + 1)\f+ 3,

ruürkón r - te , @ño d ¿l Prcbl@ 1¡(¿).

rs. r"p-o. J

@=r;r6d,F=ññ

Si e hae ¡ :/

+ dooo

comoinles¡ar errprica.

en.l probr.h¡ l¿. s ¡t.

i"";,1;f ,;T,#;T lryli;{,my#*Xiülilli li;f"li.""i.i,"i*f#i:; f¿v

J ,tG L ettt¡ Lsi qüe 6 ¡qrucible.

fo¡m ¡oma¡ ldiodo

/ = v4 e a

318

INTECRAIES ETIPIICAS

ró. c¿rarar J[ (3ú'+ \)v4J1, )(x, +q' Con , = s

¡r. ta iórcgr¿ls ransfó¡na en la

Í;"

(4

-

r.

(3 + coetr)

.3

c d s ', f i : 3

l

cG,, -

(3 + cG'r) y'iF¡;ñ;

- 9f'"-r - - -4_i1.""=4_= l\.nt, -l*"",.Ñ

-r'o vr

'.t" IF\\E/z, _12), t \(,/itp, r/a,,/zt

=

donde la egu¡da inlesñt es la inleg¡al etiptia conp¡el¡ oe e¡e.a espe.ie.

Aprsndoranisñarransfotuación derftobrena,r. r, .",."r * / .o *jffiu

= 3Jm*ffi . *J(3"'+ ruego prdeja* como en to. prootema, t¿ y to

1)v(;

.

-tE;+lj

Oao nélodo: Con j - I = lr, ta ihtesral s herr

- J|

-_ _ js_

\/,1. ,tt) ._ú;l:i;) ¡ ta quee puedeaptiar e¡ d¿lódo p,obttu de¡ rr(¿).

¡UNCIOMS f!.

ELIPTICAS

rre m o n rd l i ¿ r i

rs n ,r .

¡ o ¡ d e h l( ' o n ' \

,

¿^ ,. " .'' "" " " v' '

I "o yt

t'r fr""a = (o) pu., 4g = de

*a 1.n,¡= r Vi:

¡rsn¡ ó

= ;;

(cos 4)

=

d ,,.. tu¡ aütcn¿) {r *n¡,

= -",# *. vr="*'; = ",,u,, * noa4=

-sr\,/1

;;=V r-k¡\eni ú=dng'

& \e.¡o =

ü4d¡&

¡¡|t

,ri

CAP. ¡6]

TNTECRALTJSELIPTICAS

re.Dem o s r a ¡ = - * , " " fro""t

339

,.

fru.a = = | a - r.*,,r - $ r - *" *,a t¡;

2{ . Dem o s h tr(o )s n ( & )= -s n ¿ ,

, , r s c¿ ü

('

o,

= 'G""ráG" 'a

,;;;.2sn¿c¡¿dn,

(ó ) c n (_¿) = cn?¿,(¿) dn(_¿)= dn?r¡(d)r¡.' -?.)= _tnu.

" ¿, t/i: ]"Ji¡,0, "" ._rJ.

.

FF*f

E ¡ r ones ,s b r _h (-d)= _sn ó _ C, c n, = en Haciendo ¡hora 0 = _¡y' en ra seeund¿inree¡¿r ¿3

!n z. = _

Asi. prci. sn r' ,r

r - -sn (ó) co no c n¿ = v / i= - ¡ ' i, , d(

_-_jt_ Vt -Á\ú-

f. J"

= _"

¡ ) = V i - s . ( _ - z j =\ , 4 =; _ =c n r .

(c) coño d¡ ¿ = \,4--e, sn"¿-",4 dn(-¿) = vf=F;;rFii

(¿)rn(-¡) =;:i# = _#;= _t,"

= v/i -/'.jn,,_

= d¡¡.

2r. Mostmrque x "t - J""" \a,)sn(u+2K) =,snu, tb t c ¡tu a 2 K , -

G) c@sidé& lr""

cn ,, i .) dn (¿ r 2X l _ dn ¡r, Id,tn lu + 2K)=

f"#-

rá prinffi int sn¡ der ecudo midbro = n @.bdod= Lueao y

(ó)

22

ot f"" _ " r" E--ñ

=

t r r ú. t a es unda, nr es r ¿dte ¡ m i . n o m , e m 6 , oe l u . t v e L = u+2K --'o añ u ) 2Kt Vl - &' r n, ; s n/ . u+ z h = $¡ ( é+ , ) = _shé _ _sn¿ c n( , + 2& = c G ( r + ?) = có6c = -c¡¡ J|"

dn(¿+ s¡O = v5=i.iirGf¡Fj (d)

' I"'"#ñ

= \A_F;¡,

* ,,, z x ,= _e{1j :u =,,, m L ,izÁ) 9 . qx

'zr'

f. __L ! y , . / r ,¡ e n , ú aJ r

¿ = di ,

Denoslfa¡ qüe sD¿ v cn a tieúú p€riodos 4K, eú laúro qu€ dn ! y tn, tienen periodos 2r. Rmpt&ando , por ! + 2Í o el pro6tena 21, .n (¡+ ¡¡o : -3 n (r.+ 24 = _( sna) = sn¿ c ¡(,+ 4 t4 = -.n (u +2¡o = -( cn¿) = c.¿ co. lo que tá dñGrnció¡ queda€@p¡et¿.

340

INÍEGRALES

EIIPTICAS

Por el Poblma 2lt.) s v. qu. dn ! h ! u.m periodo2f. s. püedcd.m6rúrquc la tunc'oñ6.tjpüc¡s ú.m 016 p.r'odd. ques¡ conplejos.po, ejmpro, s!¡ ' lice los p€riodos4X y 2,r, 6 ! ri€ne pdiodG 4ry 2r + 2rr. d¡ I tjene pe.iod6 2ry ar<,, ;.;o

k' Po¡ Bto las fünc¡on6

elipli@

*

("" 4:.

ro

¿i@¡ Íuci@s

23. Demoshar que t.r fi-

k'= {r:E

\/r - k4 en' t

dab¡enüt¿ lerió.ti.as.

'1",t¡ =

\ni-4í=É4

= sn r(',t) = r(¿.sen',). td¡ ¿f.' r v0_!,xr _kD,) -9* k)

s ees c r ibná$- r lc ¡ Edes ¡ 1 ( ¡ , ¡ ) s b r e r t e i d i é n d o s t a d c p e ñ d c ¡ c i a r € c p a l o {¡ e t m ó d u l o ¿ . p o r d Poblda ¡8. si j = sn a dro¡ces =

di

=

¿¡ G n{ )

Lueso

+

cnadnr

=

v1-

= 3,",-',,

'¡

vl - ¡:' ¡' = vo

¿1(l _* !¡!)

=l

}4j{')(1_¡i;¡ { ó ) Io t€ 8 n n < to .t 6 ü ta d o

f' V(1 r'!

(¿) de 0¡¡Fti dc,

d

d)tl _ r¿r)

-.-:+^.

ñór*

_ J"

la eD¿ja.a

PROBLf,MAS

'n''r - F(&ér

con et r$ltado

*-,,

/*,,

'

ta

pcl oqüe,:sn

ó @n d=m!,

F{*sñ-'¡)

p¡¡¿ furciones t¡i8onoñÉrricas (que @rcsponde ¿ ¡ _ qE

funoonB et'pre"

de tas ú,8ónoñfl,i6. "on seneÉ¡¿acioncs

VARIOS

--t^.11'(l). ll. D.mosrrar que rtu\ n, ¿2, - z \ 2 rQ ) Po¡ l¿. propiedadesd. l¡ función B¡Dma.

f"+: = t'",,^"",,

I'(*)r(+) _ 2r(*)

P.rc, lbr ¿¡ Problena 2, esrai"r"¿nt e" isuut a u6. 4f,y2.

"¡z),

16r(¿) 2 r(l)

@n io que s dene el rcsutiado p.iti|."

Drlerminare¡ p€nodo r de un péndulorrmptede Io¡_ Un péndulolimpte @n\b'e m um macaz lu.Dmdda de un hr l. r ¡ eidoO Pde m ¿qdes p( c ia b t c y dt.o n s i r ú d / r r , sr o - t , . r el l,rio c8iásusFndidode un pDnloñro O ta quacron drre reeial d.l hovimiénto de la me á .s

.

-.|tt

¡r*""¡o l¿quac ión. .

*=

". l: ^

,F = i *",

{! = !2 = ¿J 4! = ^dJ d0dt "da -

- 1 *" , .

Inr.aando

Fia.16-r

INTEGRALES ELIPTICAS

341

S i. lÉ ndulo to h a ü n d ¡s u to O = d o > 0 e n e ti h sra¡te¡:(]ysetesüe¡ra,esroesp= tr.r¿r= l Jj i 0_ú0. enlones. = -(s/) cos,o. Seriereasi ¿0,t,

- \/rc ,/ú;.

.úe"

= ,.0a : 0 lroqueor6ponde a uncuartodep€riodo. o ¡/4). r'rl¡r esneBaliva, por ro qüc ento¡e clilaseel signo - -::l{19:l:Id:.d ' . LüeEo T

a=

"

dd

I

-\l a

r ,{

-'

= oE f" -::-, vo

= r \i:

l v ¿a

v.ós,

----,

\,"

v.o q 4 - co sr¡

-f t r,,

cos r¡

).

r,6ñreq

r:

IL_ * n' c t 2

\ ¡ , "r ' er / 2

Hacieodo m dP - c¡ ,0/2 en !, esta integrut e convierc en

¡ Si k :

O, 7'-

2r!t

i,

{1;

v .t|

que es et rÉriodo ap¡oxinado

2 ó . D enor lr arqr ¡ e s n { x Iu r' '

*

__j1_. &r .e n .r

/,

p¿n os

+q,.2

anon6

s n r' c n D d n ' cn' snudn¿ I _ 7 .y ,¡,Mru

-

sa ! + , - d una cosra¡te. Enlonces,dDldr- -1. D.{i¡as U: dU du

p.quen¿s.

dV d¡

¡, u - c ^r dn, .

sú !, ,/ = sn u. Se deduceque

dvdu Z";;

tv

"¡Jdnu

oenobhdo por pünt6 ¡a denución ún Éspeto a !. Llego U' k'L)\ y - 0 A\O Derilando y sinpliñcando, * encuenl¡a que ,rt

ü - - z k , u' -

I t ¿, u

-t, = tr

tt,

v")lr

kV\

ii .. zkv\ _ n

kz)v

Multip¡ica¡do l/) por ¡/' f.?) po¡ U y rsl¿ndo sc ti¿ur

üv

Uí = 2k,Uvl¡"- v"l

(r)

s¿ pued€ conp¡obar que (véas¿p.obteñ¿ 53)

\1 k,u,v\lv, a,) úv

(1 k"u'v")ll'- a)

utr'

úv + ul,

Dividi..do las ecuaciones (J) y (J) e tiene

U V -U V UV UV Perc Üv

vi

=

*lúv

un) y

zk"uv\úv + L¡h = fto -eu"v'¡,

4!u-::!!) úv - ai,

¿\\ , t¿fr'v')

\4)

342

IMEGRALtrSELIPIICAS

!n,

'oreg.",an

¿u úY

¿ú

-

s x cn l

d h _ r l - . c n{ $ ,

dn!

, + , : acsuna eüe so,ució. r¡ dos soruio

;,'ffi'Ji#:hr,#;"":1'iTt'1,"'"'"'ffi#:*"

s{T=+*+#;!ll

= ¡,*,)

Hacichdo, = o e ve cüe/{c) _ sn ¿ Aí /(, + ,) - sn (! + ,), @n ¡o que s fiene et res,nradóp.dido.

Prcblem{s propu€stos ¡NIECRA¿FS EI,IPTICAS 2Z

(¿) Medianle el teorema del bi¡oñio debosl¡á.que sj lrJ < i,

;-(#-(;+)+-(#FJ+.

1/il=¡ (¿) si l¿l < r, d¿Dormrqls

z1t,"rzy=

1"""t/i - a_:"a"

= ;{'- (})',' -(ii)f _(#+J'f _ 4,

tr)sEto,r. x.rtDl r¿) ';y'¿'il:,*{.ü {tr¿,,:l;,{.1:i.r/2),

i

a, M !É¡ que (¿) ¿lr, ó) = h d. pl ¡0, d) : ¡n (ñ o + rs ó) = ld q @/4+ ót2l l¡). + .,? - r. [sü8e'cj¿j róne,e ras@a€io¡€s l1'T:lf;T*'1o ''*-, !Erú¿r.i6 ] : 3en.. 3¡.

c"¡."r". E"".","' ''

*(*

J* G#:_J'7¡sr'

po¡i¡rec'¡Berip,ic¿s. eninresÉ¡s etipliq.

donde ó=sen''

v**,q^ f"'g -" V t+ 2 s e ¡, =

\2 "@

_",\4)

v2 \,'J2/

IMIEORALES

:.r.c"r*r",/t'

,-.lrr/

-!. vrn. /,.r _/.

,5. qabura, J,

ELIPTICAS

*,. l:{"(.,11 ,

$_.

i)J

3Z Exprcqr por inteErates etipricasj

@ L'

a:t,'{s.-ga.

"ffi

",.f.# s¿¿(¿)+r(*I (ó)

+r(1),(é)vt¡(rar,

c"r*r", 1,r J', ffi'o )

*

Morrarque

Í"

-o

1 6 ) r r '+ 2 6 )

-f-q" r/i-:tG_

sot. ta)Fl\E/2, ts \Eh, ' $) *rfr",r, rq

rr,f S V l ¡ '+

dxr _ 6=_--

-:;r:i¡;;:",;;:,,:;,

r,+1)r,+odl¡tl¡

i"'Y ,) l:l:"'i" "l ¡-+rl\úc. ¡r+r'+1 = 1¡'+¡tl)l{: ¡+rr.l ffi#ffi

r{'6F,t."(4,;} FUNCTO¡\'IS ELIPTICAS 42. Mor¡ar que (¿)

so = o, (r) cno = 1, 1.1dnr .o.D.nonrar que,", ; ;; ;- ;'i,;;":l'.;l:"1?1' =.', ... =. "",, ¡l¿, Deñonr¿r qúe

donde ¿, = vT=_,

'¡s Denorrarqu¿ (")s,¿ =

;ji+,

.6 -n,rr-{"),/*G",",,,,r,r"i,.i. ¡4

(¿l k¡:¿-sn!2)dr¿¡

o; !F

= :ue.. 'r+*'?" - -;-'

( ¿ ) - 3 É,d n ,zsn "cn ¿

tt. uat^,1.¡ {6.n,¡, (¿)d+*"h ,(¿sn"). 4|. con¡roba¡los¡csurrados at o.

Mo r¡ar que

Í"'""", ",

=

H]:J;H:::ffii'.,

J'

_

"

a" =

s¿ r,) H,

; _"_,(d,,) + ",

o) ltll f ¿,, r", .r; = r^(-i|fi)+.

i t" -,L r,^ ^ ,y .

o;-,"o*,= *#, r",a.r"o4=-!_ 0""0. o,

344

¡NTEGtrALE5 EuPTICA5

5r. D.noluúqcr'-:4L biÉ

t¡-r

= ," ,,. '

'¿l

{¡, ¿) ¡bFiadM¿¡G

52. Deñ6r6 qE

= ¡.rk' ¡g r r)

@úo rn-r ¡, sbMte¡dié¡d@

=;-(#,+)

,6Trn

J

[cAP. ló.\

¿' = y'i:-¡¿1 swL cFi-

dond'

ct hódu¡o &.

PtoaLEMAa V¡¡¡OS 5-r D.h6ka¡que

J. s",,,d,

=

í

.2,/ae(t.;1 \vz '/

, ,/rF(.t-,;\. \\/2 .,/

5¡¡. Sc er.lt¡ ú É¡dulo d. to¡gitud 2 pics h uD posicióo o qu. fom. ú Á,U!to de ó0. @¡ la v.riet. m¡ú p€nqlo de @lació¡ suporqdo ta chr&ió¡ d. lá snvdad = s _ l2 pi.s/sg¡. .s¿¿ 1.686 s¡urdd t5.

M6ttu

qE .¡ cu¡lquicr nondro

¡ .t á¡eülo 0 del pé¡d¡to d.l probl.Ú

¡

Deb.

6ií dado por

e^elz = *¡ oJzán$G¡i, si.¡do , cl tidpo

B.dido a peú

d.t inr.

. .ú qüe al hilo 6rÁ v..ric¡t.

lsu&: s¡, + @, = \/5*ne+a]!).) t.

ObrcM .t d@m¡lo

tr + ¡t S + tr + r¡¿,+¿.t4 - {r + 136&r + 136t! + ¿.)# + ... 5&

Vdi¡q

lá g:Wió¡

(r) d!¡ prcbte@ 26.

{¿) o(¿+,)

=

gll

{ ü ) d n r¡+ rr

-

d nr d ¡ !' - f: s_n s9 mr úu

ó0. a:"r.\tú (') Fif2/2,"tt),

sot. la) 1,t4u, (l\ o.w4

lbl ¡(0,j,,/4), urirüatrdol¡ rñ¡ról¡@ión d. k¡d.¡.

Vdin€r e¡ Bültado (u), pág¡¡¡ 332,nedidlc la tmBfomtuióo de ládd. D€ñosrrüquc ri ¿. =

iii-.l,

.üD

/r, = r. vdi6w @roúG t/J,. pÁgim3ll. I

Capítulo17 Funcio¡es de variable compleja ¡'UNCIONES

,.,*T."#i1"}Til',:"J:jy*:T"ff#'f,:;Tli.,::,::^i:::.*,:,:.,"*ondeu¡oo¡násE. io r yasehar¡atado der". ú;";ñ;;ffiffi;:; ::-:":.1::::!,::

y:,tt",o.pt"a ,. ,.='j,). u ac^pi,u.

*y"'Tí"::!y#;,;;

Una funciónes h¡l¿.u¿ si a cadavator de 2.ñr. \Ponde ruro solo qro uno qe d€ u: D: en oro orro casola rurción e.sm'hloñ¿. rtfitotm¿.Lb pé^?t^tvse pue¿eescri¡u = ,. función Eú eeaenl ¡l:"ÉPqqe ^¡¿- -.^-tt.- . :r = ¿(r.ll+ ¡ú(¡,r). siendo¡ y r funcior¡es ue x yl,. rcales E i6 o ¡ :

, -,/--t.. i ,t, r_ r, -,2 ,\) ,t x,_t,.,t" .,)-_2,,. , _, L.r!\ {n tastjam¿da\ p¿¡,¿¡-r pou" i,""g,*,," Á" , l. ,.,;*,,;.;;. " Si no seorceolla cosasesuponeque /(2tes rrn¡formeLnd r,nción nulrirormese puede ,ar como un conJunb dc fuDc¡one(uniforñes consideLII\dTFS Y CONTINUIDAD

ada%riab,e compreja compE ¡a$n son¿nál o' ¿\ a aquéllás aná,osas i:il:$1Tx"i"1".¿'ffii'^Tli"'i.'::*:':-:1*fles¡e par aunar ¿ n a b ¡e ' ¿¡raD re * r.' ¡.i ;r,t J ,J [n ur al. n .,r,,-,{ e ttñ ttp t.a "t|"e ñ d q z ¿ zor.dadocuátqurer€;0,

,. -'. ; "-''"^-T^á-^:9-.Tr !": ¡¡,r-.r. . 0,."ii. _

r/(")i,i¿:ii':':i::,#:;j/9 ::r?:1?í;ti*;il."i::l*:1,: ;j::tx ,t,,=,ijÍ,"" DERIVA])AS si /(2) €s uDito¡D€ eDcie¡r¿ rcsón dd pt^ao z, ta deiúadade /(:), que sedñola /,(,), sedefi,e por

t.m lk+ az)- f(rl

!mpre que el timireextslaindependieDremenre de Ia m coDo a,J 0. u.r¡frlmrrer/rex¡rreóar¿ - lanera sielljfnne (./) existepara ,,_,.^ ^..,_.li si.rrimi"."ire pars roooz de unáresont.. n4.e ", ",

,zz =+Úzo,.ltzt * doea\atit |tzt*drcean¿t¡,i.h.", "*,"

di.Ea@ii!,.o n'i¡"¿"*i,"i.-"ü:i,,,",i,,""i"i"liÍ"T*'rl,.X;llí::'":HÍÍ:Íí1 " ",i3..f*0,.""*"u.,

Se defi¡en füncioDeseleneDbtes de una va.i¿ . por generari¿ación narumlde las func¡onescorrespond'eDres de *,or^ *r. exF¡endeqrorro5 e1 r"ie para funcione*ea' res./ty,. sepüedeusa,com"-,d"n"il; ;;;;;"/": "."T1'TmPreja

snescomp¡eja( r,

"

u"

-rJ","i"

."

"i

iiii,'"ii"1,' '"'o*"0'

Ejeq lol.Se de6úet - t + z

4 t-a'

"o'

? Lacon'lersrnci¿ de 'arej

* o-t,tt

' '. EDlonces sepuededenornr qu¿¿ _ ¿.+,, = ¿,lcos.r, + ¡$n/). cono lan

345

i

_t

346

FUNC¡ONES DE VAR¡ABLE COMPLUA

= l, sesisuequ¿¿i: ¿o+1tn, Ejcoplo2; s¿de6¡€¿¡@no ¿ü" au¡ con¿ y ¿ conplejos. Cono¿'?¡r¡ e deñ¡el. : = l.(pea) = ln p + ¡(d + zrr). Asi, pues.l¡ z 6 un¡ fu¡ción ñu¡liforme.La distintasfüncion6üniformesde ques onpoóe esl4funciónmultiaooe sedien f¿ras oE Las rcglaspam dériva¡ fu¡ciones de variable.oñplej¡ son en un lodo análogasa las de las f¡¡cione sd e v .ñ a b l e sre a l e sA. s : ,:.r. - r.¡ dz

_ cosr. el ,c. | dz ¡enz'

ECUACIONES DE CAUCIIY-RIEMANN Una co¡dición ¡eces¿¡ia para que b = l@ = ulx, y) + i'(x, y) sea a¡aürica €n uúa resión R 6 que , y ú s¿risf¿g¿nlzs e%ciones de Cau.hy-RieúM Au A, t uA !A U ¿¡

A¿

Ar

(2)

(véa!É&oblem. 7) Si ld den\ada\ pdrcrales en r2, sor conündas.¡ t. las ecuacio¡e5 ron condicio_ pa¡a que /(z) s¡ amliü@ en 3. rB suficienles Si l a s s e g u n d a s d e ri v a d a s d i ryrconrespectoary),exi sl enysoncodüD D ¿qseencuenr.ader i-

a'zu *u

i 7* i F :

^

&1r a,o

(r)

De modo que las partes real e imaginaria satisfacenla ecuacióode Laplace e¡ dos dimensiones.Ia ft¡nciones que satisfacenla ecuación de Laplace se llañan amü¡c6. INTEGRALES .

Si/kl eráiennida,.esunrformcy rc¡rinua m un¿Esión rt, sedefi¡ela ¡¡resr¿ldefz) a Io la¡so en n desdeel punto 7, ál punto rr. con zt = tt ¡!t. /, = (2 + i!2 -

* ao"nuart= t.n¿o" = Ji,'","','t*

fta

I

i

utu

rd u + il

rd x + u d !

defi¡ición nediante la cual la integral de ura función de va¡iable comp¡eja s puede ha€r dep€nda dc iútegmles curyilineas de luúciones reales,ya conside¡adA en et CaDitulo 10. Ot¡a defi¡ició; b@, da en el üDile de una sum, comoparafuncioÍesde variabte(eat,FmbiénseDuedeformularv rcsnh equi\alenrea la anreño.. L¿s rcglas pa.a iDtegr¿cióncompl€ja son similares ¿ las de Ias integralesreales.Un ¡esltádo in_ ff

lJ.h^dzl -

J. /,¿)d¡l -

M)"ds = ML

(r)

si€ddo¡, uDmyorante de l,rk)l sobrcc, q.o es llz) S M, y ¿ r¡ loDsirudd€l cmino c. TEORXMA DE CAUCHY sea crn¿ o¡va simple@¡¡ada.Si /(!) * an¿¡irica en la E8ión eoe¡rad¡ por cy sob¡eC, s€tic úronces et teotúa de Cauchv

Í.n"¡0"=$"n0"=o dord€ la se8undainte8¡al indica que C es una curva simple cenada.

(4

FUNC¡ONI]S DE VARIABLE COMPLEJA

347

ErprcsddoJc orl. manera.rjr equi\alest en roeo oe qG r" f?r/2 rieneun valot¡ndcpe,' J , .r¡cntedat runha de:t¡ :). Ta¡e\rnregmre, se Du

;';;;l;"1;t;,'.:":;'t;ü.?:ff"":i;1,,1*l[:'*,íñ,]":T*,jJi:, ::;;".,:,lf¿;: #i Ejdplo:

Cono /(2i = 22 6 ¡¡¿tirica eo todo oun¡o. s renc par¿ cualqujer cu¡v¡ sinp¡e erad¡

C

Sz,a. = o ¡;,' "* = ll,. - t1+*- e¡),= 2¡+ 4 ¡ORMULAS INTDGRALIS DE CAUCIIY

',,"r:./:í:fi,1*"J?:jiinte'ior

deracu*¡ simpre csrad¿c v sob.ec mismay si¿ esunpünro

tr"t= fif,fla"

.*"T11,1:" er snridoposjrircrconLru tasaeurar derEroj). Asro'smo. ra ,+{D,

{6) !

derivadade y',I ú ¿-= ¿ $t2 (rádapor

r.at = fi9,65,* Estasso¡ jasllañ¿das/¿rnulasúreatuhstu c¿

\7)

rif,TTrt"s:í ifrí#i',rr'# ;i:lí#:d*¡r{'"'-."x1';{:}li:::.:"J:iil: ro¿",,*t"¡ü¿u. á..JJ;ñ;";i1lb:il:'*:",ff"",i'l,"lH51""1lilj,iiilLTfflH;,iili -_

SERIE DE TAYLOR Se¿fzt anatiricaen et i,rerior d. un c¡¡culo

pam punro zderd,c,l;:-;d;"il;;:#¿?lT"',1llT?;"#ii,"l"** ¿= a Enronces 'odo f(,) = r|!p-,1" * + t,(a¡k_ú) * #a_"¡" * (8) ^q)

-PUNTOS S|NGUT,|RES de um función/(zl esun vá .¡unro sinSutar

fiT."l":],'J: Í,i:: i;ñ":T,1,?;"':,*.H: ;r¿:n :iti;;i,;i,f;;il;#lü: H':i Elo¡lor

si .aG)=

{: +,

z = 3 es ue ¡nsu¡a¡idadaistádade /lz).

FOI,oS

s¡ lt,)

donded(?)esa¡alficaen rodopuntode unaresión,iÍcluso lieneun¿singur¡¡idad /(4 a¡r¿da on¿ _ 4 ques€rrama ¡.T,",',:.? si ¡ = 1.Tij]:,""""j::T ef porosedicewri í_pi". s:¡ ffi,

A"t"o,

"-='i""

," poto.!obte, et .

348

FUNcroNFsDF vaRTABLE coMplEra

,,

¡.^". ,,

Ejenplo¡: l(:) =

u-. a*..sutariddes: un potod. o¡dcnz o pqio¿o¡re 1,i"¡,1,*u en:_¡. y u¡ polo de ordenI o potosihpteen : _ L Ejmpló 2: /12)= 1-1 = !: L .E nedo ooto\!mpe. (n.. .)r 2,;_= 1, Una funcióDpuedeteüe.otros ljposde sinsularjdades ¿demásdetos polos.po¡ ejen plo,lG) = tie¡e ú¡ püntamúhipteer = 0 (véasep.obrema "tr 37). La fu¡ció¡ Í:) = tsll lene una smsuleidad ' en : = 0. Pero ** * 6nito, se dice que una snsulari.radsemejanlees !f Y .,raól¿. SERTEDE LAURENT Sr ri e n eú n p o o d e n rd en¿ en : = a. D r ^z) y l re n eu n ¿ 5 e ri ed e !¿ )to r e n ro ao ¿ _ ¿ tar que

c¡.uoc¿ea¡ o¿te¡on;".:,r;,:;;;.";fii;i'#jI;:::iii":;i":i::-:l;.T:1.i" + ..+ =

r¿ d ).+ a fH

r.ao + ¿,{ ¿-¿) + atl z

q, I..

l sl

Lúudnt p¿lat\). La parrc ¿o + ¿,{: a) + a,(z - ¿)1+ . . se lla¡E :::i,::11..!:ry: '-' qre par¡e dnahita. en tarto ' er ,esto,quecon\j\¡een rosi"**, o-"r". pámiá, a" , _ ) r^,i_')Z,. /,¿!rp¿l. Más sc¡e¡athenle.t. rre,i-o (¿ a)^ es u¡a *rie de Laurente! que " los rérminoscor t u c o n rrru l e nl d p a " tep n n c rp a¡| n¿¡unci onque yn r, ¿¡dt rc¿ Lnareerón I,m adapo¡ do..i rcro-\c o n (tn trc o sd ec e ¡rro : = a s r emp¡e (re\arol are.unaseri edrLaurenrJeereLrporvéa seouede p ro D re me¿2 J . S e p u e d edne n n f,v d rc \I p o . d e l nert¿nd¿de. de u¡¿ tLn(i on/, I d p¿ rr de ,L ,eD ede La ,m, rDü^ . e j mp ro .c ra n d ol ¿ p á rL cn n nci pdtde un¿ ri e de I áuren,u" * * n" .," ¿. .:1f ,._,",,,-' "i. a i ! u. m,enrra(que ¿ son rodosnuro\ ;" ¡r.o, : -^i_",l." "-: "^,".,

,apirlrprircpa,üe;e inho,,;.,;;.*.:;;fiJlL'i:,ililliii,i^í.:;1,'.l#il",.o",j,:.;:;,j q i ú D ro : L a ru n !,ó n , = r+ 1+ 2| _,1_+

r i e n eu n ¿ \ n g u t ¿ n d ¿ de r n l , a l c n : = ( ]

RESIDUOS Los

coeÍcrenres de t9l k obrienend. ta ma ,d..ne de r¿y,o ," r :',ir:il; il:.,:T::11:.:l:l':ix..:,,,ff:"j. ¡,r/¿,¿dc /1-renct ::l;tr -,,..p""",.",i poto¡.a.e.oeimpo,rinciacon.o","ri".s.t.p*0"r,-rr"i-";;i,;i;;i"*

'' = r's#rfi

r,-art\.))

e4

d¡ndeTsael üden del poto.parapolossimples et célculodet residuoesparicDlamentesncillo. Fs at

=

ti n a

a)l Q)

TEORI;MA DEL RESIDUO S i /i :re s á ml i ra e n u n a l tc ¡ó nR * ceproenunpol odeorden¿en?= ¿ysi C escual q¡¡e¡d,Ñ ^_ den ec o* * "a

i:Te;::r¿d¿ c

",

i" r . * . , i- ' ' . " "

' " , " ' - ; ' ; , r ; , ; B ; ; ; ; l; i; i; i#

FUNCIONES DE VARIAALE CoMPLEJA

(ve*

349

f"#ú = {3",J;:l

(12)

P¡oblemal3), se sigueque

f rr"ta"= "",o-,

(13)

cr¡ra¡io queencierc li'l,ii;11,'lf-.'i',XiJ'''n tomoa uncamino erporosimpre de/rz)es2¡¡veccs M ds gener ¿ r me ¡re . s e e n ee t s re u re n e ,em p o "tanLe

T"orer¡L S,/,t

oepo,o! ¿ó .

esamtJtrcadenrroy en er conror

den,ro deft .;" ;,;;;."3.:1 ,;.:l:1:",1#fi";""1"1"Jiil::: "* f"n¿L"

= zai(at + t )-t + c \+...)

(14)

',1lüff g'fr*##*T#jtJ'"-1fr .,i .i""'¿:t""'ii::'"1Í:,$J:;,:::: :::"":::i:ff CALCULO DE I\']'EGR,{LES

DEFINIDAS

;r'#vq.";li"r :,;,lll''i1i:""1,'ff',:rir::;; i:::fi:+::i*.{l?r*':#*'il]::.#r{. t

J,'r1,¡a,,

..(¡) fünción par.

co¡sjdéresef¡,(z)d¿atoraigode u

É:[mt; ;".'il;";*ff .,;:": iJlI::',,""*;'.;" z. -.

J"""

eb,-,.,"ouüao,c es unarunción rac¡onat de sen0y

Haciendoz=¿ú.e,""a=,;i,,_,a=

,,"TJT::,";":;lll"nr" " -[i<'r

{;"""";;}",.

zll

cosp.

t az= ie,ae,o sea, d0 = dztiz.

uddad ".f' r1,1a, ..,aoc e,ci¡curo dece¡rro eDero.iseD ¡(¡) iunción ¡a.¡ona,

Aqu!1econsidera Jfnp¡"-_ar.onca-, blem¿14.

queenel l,po L véar pro-

en que ent r án c ont or r os pár r c u , a ¡ e \ . ! e d n 5 e p r o b t e h d s r ) ,

t8

150

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

Problemasrcsreltos II'NC'IONT,S, LIMITEg l,

CONTTNUIDAI' Detemina¡ el conjunlo que reprMt¡n

\

{ . ) z 3 l+ z + 3 1= 1 0 .

(aJl,-2)=3, (b) , 2=lz+ a ,

( ¿) M é¡ odor ¡ lz - 21= x + i, - 2 : ) , - z +¡ y l - . t 4 i lo cor 6¡10 er (2,0) y ¡adio l.

z¡" + l

: 3 o l J - 2 ) 1+ l : e , u n c i m -

M¿¡odo2: ¿ - 2ls la disl¿nciaenre los ¡rrmercsconpl¿jN z -: + i y 2 + 0i. Si €sr¿dist ¡cia esimFt 3, e¡ €onjünto * n¡ circulo de ¡adio 3 de cenro 2 + 0, ó (2,0).

(¿) M.do 1: l¡+¡)-21=

l¡+r+41

o J¡; -¡f

+7 = t\;¡¡i;T.

EGv¡ndo ar €Bdr¿do,

Matorro2: EI conjunro€stal qüeIs disl¡ncid de.¡ punrodcl m¡mo a {2.0)y ( 4,0) str isüales.D€ ñodo quee¡ coójunto6 l¿ Dedülriz del scnetrro quc uúe 12,0)a (-4 0), o ; - -l-

(.) Máodor: Er corjunto 6 d¡rropú JG -,f¡V + Jt¿ +-3f i7 =ro o /-(r 3)¡+l-= l0-J-c+rF+7:Hdsdoa¡cúdúdoysinpli66do,25+3'=sv/i-y+3f +l-.Elev¡¡doal = ¡, q@ 6 wa etip&des¡je nayo.5 y sGje ñoora í; Maiodo l: El conjunto est¡l q@ l¡ sl@ de ¡¿sd¡¡ancias de un pu¡1o d.l nismo a {3. 0l y ( 3, 0) s 10 El €orjünlo ¿s.pue!, ¡na elips de fd6 6 (-3.0) y 0,0) y cúyo eje @yor ti€ne longi[d r0.

cDdndoy sinpliñendoot¡swz* tÉne; +

2.

Determinar la ¡egión del plano z ¡ep¡esentada po¡

lal lzl< 1. I¡te.ior de u €inló

de radio L FBün l?-t(¿).

Ib)t<1.+2i =2. lz + 2il csla dist¡rciadc z a -2¡, de nodó qu. z + 24 = r.s ür ciEülo dc radio r de ce¡tro€¡ ¡, os a, en{ 0, - 2) j y z + 2il= 2 e s ! r c l r . u l od e . ¡ d i o 2 . o ú @ 1 r c € ¡ - 2 t E ú t o l @ , | < 2 +2 i l =7 epreúta la Esióú e'rer¡o. a lz + 2i1 = l, Éqo inteüü . o toüe z +2i : 2. yéae Figt6 l1-r(b). l¿) nla = atqz = r/2. Nól* qúeegz = C, cónz : p/. ti egión 6la inñrir¡ d€¡iñit¡
Fis.lt-l (¿)

Fig,r?-r(ó)

Fi&rt-t (c)

3. Expresarcada fu¡ción en la fo¡ma ¿(j,r,) + ¡u(¡,),), con u y , reales: (ai ,¡,

(b) 1/(1 z), lc) eú, (d) tnz. = z1 = 1¡+ür = ¡" + 3a'(ir) + 3r(irl¡+ (ir)r = ¡r + 3ir¡¡/ 3r?r - ir¡ lt\ b = r¡ - 3r!¡ + i(3r!, ,) Luclo

r(¡,!)

= r'

3.!',,

n@,!) = 3t'11- !",

FUNCIONES DE VARTABLE COMPLEJA

151

11

tqu=.L

1 - ¿ _ iu

"t/.li = r:# ¿!¿¡!

1

-

,+i v

u", ,\..ü = o_#+{.

= er.(cos3! + i scn3r)

y

= ¿!'cos3r,

¡

r

= e& sen3/

Obsrvs quetn: esum runciór

muttifom qürfmúrt,prod;22 E,e1,rp,rt;ilil;#:,LTi"l#,:,f#:lü:'."#j:*"J$'1;:,?:i; it^ma tM

4.

Demoslrar

ptjr¿iryt

de tn ,_

(¿) sn G + t) = k¡¡cosh.'¡ + ¡cosrsenhr cos (¡ + i) : cos r cosh I - r sen ¡ senh .r.

{r)

Aplican dola s r et ac ions1' - c os , . ",

z + is e¡ : , ¿ , . =c o s :

isen: setiedc

. : 1]

'

2

lrro n-e .. fn /

2,

2.

¿r { c os ,- is e n ¡ ) } 2, ! { ¿- , ( @s '+ is n, ) snr c os b?/ + ¡ c os ¡ s nh, Anátoaanentc. .os: =

=

=

r"..r(q9 *

::) 'r*,r(e

cos(¡ + is) n- ,

J ic . r + ¿

/¿

=

¿"

'""'\ r

jG ak o s , +i s e n z )

"'\- ,

,

cos¡coshg -

i 9¡,

snh,

DERIYADAS. ECUACIONES DE CAUCHY.RIIMANN s. Demosta¡ q," j:.

.i""ao ? er conjüsadooe z, no exisree¡ todo pün!o.

Po¡deñniúón = &# *t(u) :ll" ^:.--

s esterieite*¡te inde¡€ndienrcnente dela mane¡a cono

Ar + ¡^, tie.da a @ro. Entonms.

=

lñ ¿ ii:;

r,+ a r

ra /

(¡

s¡¡r: o,ir..r.,r.* ,ljl"# = L si

^,

= o,erri;F N Jl"#

i rt

"rt"

J-i;t

= ,.

, -eF -¿ J.d , p. d o '.j'Jh i + ¿ pr c,,d a !.o n e .¿ ,tr m .r e m u e r ,d lq r e e \.oependóüe¿ndre,J!oh.& ..o"ño,j o qü dó cn o le : ,¡ c, r ,4 ¿ ,i, r¡, ,úJo pr ro

I

352

FUNCIONASDE VARIAALE COM¡IE'A

6, (a\

=

"Y*|'o,

ii

ii=t

:*."**",",

sieúpE quc : + r, i¡
t-¿ *r+¿ "'

- tr *¿*o ¿

* bdo phto exeptoer z

l."Tffia:'":i,'r

zxu (1+r(-1) = o---ii:"t-..* =

i

ii:t

- r, enque¡o en6t€r¡ de¡ivad¡;sto s. ¡aruncióD ¡o

7. Demos¡rar que una condición necesa¡ia pañ gte u = f(,J = u(x, !) + ,r(x, /) sea aDaüticá cD trna rcgjóDes que las ecuacio¡es de C¡uchy_Ri.ma"" du -' -" = aú 6u = rase cumPlan€n * regó¡. ór a!r' d!, cono l(.) = t@+it!) = n(!, + í,(,,!), ¡/) etiene = fl ' + ^ a + i (1 t+ ^u)l = {@ + ^.,1/+ ^ü + í!(,+ ^r,1¡+ ^.1) Lü .s o ^ ' + A2 ) lll" -'---

¿1¿

=

riñ! tr(¡+Á¡ ,+a/i

- "b'9i*q&.g1¡¿L'k

qD

+.{ree.rL=:rr.zri= # n ,#

" ^" "t),la#@

¡q { , Si tE d. disrir ta ddivad4 6tos dos üñir6 deb.n &. l8uar6, .sto 6

íav

¿, ¿t

* * ,* = i,#.,;= ,#*# tr.nodoquc¡¿detenfe *=,#

,

";=

#.

-""H:":Trff:#;.*ij"Jffi"g:ffñ.t#tr:::1*i#J,,,*:,:K$:.,,/ff

' ¡:gq¡"*'ltl,i'g'¿l T"i:', ;l;"j.";T.T';:ilh.:HüT':::,¿j,iiy" t''

ff"T1;T,*'

o*""'os detcminados d. es¡6iám¡ria!,(¡ )) = %, ur:,r)

cño du= !,¿x + u,d! = o, !

= -\.

AsiDjqo, pu6ro quc dr : ,, ¿. * +¿, _ O, = -:. *

-,0

qu€e co.1a¡o d

caP. l7l

FUNCIONES DE VARIAALE COMPLEA

153

Ca¡@l¡da .. {¡o, ro) ásLs ¡€p¡esdl¡r, ¡.sp€crivdcnr., la Fndi4t6 de Is d6 cur% 6.1 punto dé i a'!@ión. Por lú eüaciones de Caehy-R¡d¡n¡, !¡ = ,,, !, = -,,, s ri.ne que el prod¡cro de l¡¡ p.ndi616 a .l punb (¡0,r0) s

*)=

I\ t \ l

¡,,/ '",/ \

,

d€ ñodo quedos .lmenros cüa¡¿squ¡d¡de t¡s r6petiEs fmili6 son orrogonatesy si las dos fmilia en ofogonat6. (bJ si Jlzl = /, 4 u = Í - f, = 2Jr. ras gÉfs d. nri6 elenhlG dc r:" - /: : C,, 24r - Cr e v€¡ 6 lá FigüÉ 1?-2.

E Dae¡ od i n á m i c a y m€ c á ri c a d e ffu i d o s,l asfu¡ci onesdyúqf(,)= ó+ 1tr..oni @ arr]l ri .a, * llafmsnpotacial .le belocida.ly lúción de coftia¡¿, rcspedtvamente.Si C = ¡r + q¡ _ rr + f¡, (¿)

h¡rrar¡y'y lb) tutt''t IQl.

(¿) Por la! ewion6

de c¿uchy-pjm¡ún

Ít M¡rodo l:

Aó Ar At t ; =d , , a , =- , , L u . 8 o

Y = 2r+4

\,

*

= z u -¿

I¡rrgñddo (t,. ú = L\t - 4t . F\\,.

I¡r.eú¡rto (r), V - 2xr - 2r + ctr) Esl¿s-sor idént¡qs si ¡(¡)=

-2r+¿,

cj):4r+c.on

ú= 2r y + 4 !-U + c .

c €@st nF @¡ satqu¡fr_ At, pu.s.

(r), ú = 2¡) + 4r,+ ¡(¡). LeCo at sritun €¡ e), 2y + F bl = ly _ 2 o F,\,) = - 2 --_Intet@no y F(x) = -2x + c. De dú\4e .l' = 2xr + 4, - 2t + c. ló) Pór fal, tln = 6+i$ - ., + 1c - y2+ 2y + il2a + 1u- 2. + ct = (z ' -y ¡ + z i tt) + a @+ íul- zíl t+ i s)+ i a = ¿+ L-2i z+ c\ donde.r cs ¡m co¡sla¡I¿iDagiúia pur¿. e re r o b s e ro¡do t r o b h b i ¿ ns p u e d h cu.: ,, = ;.

!¿i .:-

r-i

dc modoC uer -

EI qulrado e obticne€rron€ pq susriiuc¡ótr; lc 1¿diú6 etr r s .lininar.

NüEGXAI¡S, TEORET{,{ DE CAUCI{Y, IONMULAS INTEGRALES

l t' -t' + 2i .u)@ t+ i du)

l,-u\d¿

2'u!r! *

it''.,'.,'z.ua,+ a',"ta"

z,+ ' l

154

FUNC¡ONES DE VARIABLE COMPLE'A

", *:i"j*:11,.11,;"-1,:ffispo¡den rt¿t

J.,ltr"

a I = I y r = 2i ¡especrivanenle. cobroqüerhsinr¿cúres cuR!

2()lt\2tnr, +

tJ, t2lttlt"t dr + t¿.-tJ\2t)dt)

(¿) El egñe.ro de (t, t) á (2,4) csrásob.eta ¡edo de c.ua.S. encüenka aí

+ 1+ i

De

,!

j "

2¡(3r- 2)rdrr i.t.,lra3, 2)d¡ + f,. (3r ,).j3¿r) =

a 2. r i lde( l, l) a ( 2 , 1 ) 1 , , =1 , ¿ r . 0

2+ i

I'

Ld e ( 2 , I ta ( 2 , . r ) J ,r

0,,

, , l" ' n

Sum ando. ( 4+ 3ü I ( t0

9i)

g

-

-E

\ .:

J , *r i e n e

I',"'

l.', "'-

t 2+ 4i

u'

:+

o.-r,,*

J',,t ( d) Dc

, =

,

-

I ,,

2,¿.r-0

y s er i e n e

, ro , , ,

30 e'

-6i.

Por los nÉlodosdel Capitutotl) se ve que las integrates onirjn¿¡s so¡ indepe¡die¡les del cann( . an que 60 erpka que s oblengabtos ñisos laroEs en (¿), (¡) y k) .¡ to que pr@de. En ld casola inGcnl e prcde €tcula¡ dneclamenle, ono pa¡a las va¡iablesreates,;n; sisuej

'. , 'j'-:

J ,..,,, i l , rr.

T .

{a) Demostrarel l€o¡emade Cauchy: Si /(z) es analilicasobreuna cu¡va snnpleceffadaC r.' en su inlerio¡. *ro*", f ¡1,¡a, = o. rrr r-n € ra c c o n d ' c i o D ed...." .t ,' ,

q" "

J,.,

r,.,d: e. i ndependrenre drt .¿m,nodep sp-

Pore¡ teorema de Creen(Captürol()),

!',, ", sichdot

ll

' : .i;::.\,.,..6 ' " , , '

l :' . ,. ,

JJ\'

ta rcsión Ginpteme¡teconeM)delimradapor..

Pksto qk /(, s üahica, = , jJ = z), y. por r¡nro, las inrearar.santeria_ :,! ,!r ,i4 e-rr"., : on nulr . . Cnr on. e, . r , a, o . . " p , n i . n o o q . e ¡ ¡ . r t ) p o r . ó l i s r e r \ . r é . o . , , t Á , l a \p ¿ . . , . . { (¿) Considémsedos añms cualesquiÚa ent¡elos purtos pl y ¿ (véas Fic. t7l). por el ¡eorem ¡ie Cauchy,

x't a' = o

.l Lúe3ñ

)

t ( , t d,

. *^.J la a, -.

+

|

|zt¡l?

=

f rc,u, -

o

I no,"

e- o_e¡ _L, inr gr dl¿t oL' Aode.p , 4 p, - r n r n o . r , 1 r e g . a¿ t o t a r 8 o d e p , r p , c r n . n o 2 r y p o . r r , , nr es nr e. I nr epeú' elr ed- c ¿ n , r o q É u n e p , y p r . ú- r . ¡ o. o e t p r o b t h á t 0 . p r i o q r ¡ / , : . . r e . a n " t . r , c ¿

FUNCTONES DE VARIABLE

rL

COMPLE'A

355

Si flz) es analític¿ $br€ ei conromo y eD e, ¡n@no¡

eúas oerad^c,

i;"ii#f*"!o¡edos

;'.:"i.f

= f,.n,ta" S",taa" u ,' * . r" 4 .c ^ n e u y á ee ,c o n era ^. . - . f " 1. I _" uno de c/. po¡ .r ¿corenJ\rr unedn de cahhy i;H":: íi,

.J p n ,=o

I¡k lt-a

p¡ero que/(:) €s an¡lítjq en l¡ Esión sómb¡ea¿a y taoDrn en e¡ contotno.E¡rones. f

.J

tr¿r¿ J t,"",-

Pú. ted" = -f rc*. J

J,,4, -;,

- 1,,,,d,

0

(r)

J taa" - - J n ; t a " = I r . la ,

f.,to* = 5,,^au, Obséd*

qüe /,)

no rien€ qüe s¡ analtrica ¿,ro

de r¿ cuFa C:

t3. (¿) Demosmrou¿ [ l21i \ | ' J, t,-!L ot, s,eidoc unacuuajmprece¡,¿r o ., , .. ].r,0 cl:.:'¡"'.'- un¡ reg,ót€n cuyo inreriorqueoa: , :"", u\ua¡$ et vato, de ta jnlegrat ',' n ¡ .0. _1. _2.- _ l, . (", u: :::":',:" _*rj" '"gio . dehi¡o : : ¿ (Fie r7 5).

k - o "* ¡n,r,r's.; ;i;;;",;:";,1;

;:. f.^RA'onen.en¿d¿po, cJ ( ,¿ ,. e r,en..po, et É,otr"., ,:.

f---¡'={-+

-

Par¿ c¡,alar e\ra útlina In,eg¡a,nóre.eque ,ob¡e

i.¡;.i'",i,*.'

-

Í"' .:)':

'

i Í.' '

¿¿'É¿3@ t¿ ñ

¡ta. t?-5

,"

' ,- ;;

si,= I set,ene , = r,,. f"'" u,

i¡le¡iór ''' ll'?"h"Tl: ,1;;;:::t:$Í::;l.Í;,1;%;l;, ; ,i";:tXlTff:.* pü¡,. a r¿ carcuh

f, *L" **

{d ) Co ño z=l {¿) cono z=3

c €s (¿)er circulol2t = r. (ó) el circulo lz +

e6nler ior a

¡ : a.

lz _ t , r a i¡ &sr ¿ ¡€ s ¡ s ü a ra e r o p . o b t e D a l r ) es intenq a lz+ ¡ =a, h int€éEres suat a 2¡¡ (p¡obtemalr).

356

FUNC,ONES DE V R t a B ¡| c o v P L E J A (, r,.. _ '':1."i""#,TI;,:.rreundcu,v¿ s imp re c e rá d a c )e n s u jn , r¡io r. ). , . , , " . " " , . : : : , ta

trc) = L í:^4 (e¡ntrdó{e aJ ¡-oó¡em" 12

2r; J,

-od J c lc hSurade,problcnd Jl \e Lehe

9, " :" . t-*'"

-'=,,ÍJ::JJ# t^.if,"'rr.+,",,*

6 ..,.

''"'^' * 'u'*'/'"¡r" -

,I.),::o" *

= -,")¿a i !,",t(")da= 2"i ")

coo lo quc sé ricnc c¡ .esutadopedido.

Ió. .d,Lur., ,,

d;,ovr,

* "¿'e.ra.pqo 6ho/k) $.iarir€a, s o¡,

,.. e , f .r J ., ,..r,

siendo a etcrrcu,o

ldr como : = ü=-

1t,t

,{

.r.;

J

p o ,e ,p ro b e h .,< . n re \.

.ó I . 1, 0\

... .

g ,,

t,

dr _ .

" " ".

: .

l7- c- -" .t -- -- ,-, t-- .( 5 z ' -3 2 + c J E . t,_ - .,: j e n d o C und cun¿ ,i mptr ,e,raddque roJe" por ta rómu¡a imeg¡atde Caucny. ¡,"(",

Métoito I si r=2

v

lr _) = 5: i- r : r

9,

M¿ro do2: ( ¡ - , -

-

.

r" +,

1- , . r , .

JDr

''

a : . L

#.í"/_o,,_,"

es /,,0) =

, = #.1"q-;,-r,. A 5:'

l.

quc!¿ d.nr¡, de ' c, L2- | Flg ' Lues o ó j! : l/ . ^

= ,.,",

!.í=¡,. I LeSo

l , ' - ,...

'9.=, '1.n5-

¡ó- rL

:

5(2,¡ + ?(o) i {(o)

B.

FUNC¡ONES DE VARJAALE COMPLEJA

35/

SERIES Y SINGUI.AIIDADES 18, ¿Pa¡aqué valoresde z cor¡verge cada se.ie?

*, ¡

r *. * _ ,.... ",

c¡irJ;:

,.

^,,n.

r *s.

.,*ii:l = .-:lia-,,,__=l = B

rr crrlerrodercocie¡re, ra erie co¡verc€ si l;l<2 y divúcesi i:i>2

¿ {¡e d- r¿b'|F "b{rLb",É;-r.l' i;,1

u i"'-lll*' conkrge

si kl_2

iana€r

lm,occ\i ,:, -2.pk.¡oq(

"¿ -

_"*""

. inff:,":;;ffi:" (¿)

< ( r f-'r.-¡

- _, , r " = l ,j

,

'

i:

labsorutanenr) paralzl< 2. 6to s. e¡ rodopuoro dercncuro lzl_ 2 se,,ere

ir

Srl: , = l enr onc e! ¡ _ I = r ¿, ¡! L . rrnu ,-!no no ue¡de a cero '"i" '" "on"i"'t. "n .i "'-, qüedive8e puero queer rér , "on - -. La serc. pues,convereedenkó det crcuro lz ¡ = l. ¡Eró no en et conrorno 19. Si>o,,2"

es absoturamenteconversente para

lzl S.r, mosr.ar que es uniforrnenente conve¡genre para eslos valo.es de ,. *** v denor¡acjo¡espü¿ senesde réftinos conp¡cjos *."i:,::iff:::"' so¡ a¡¿¡os¡sa aq!ér¡s

En 6re ca$ s rÉre l¿,z"i= k,l¡" = ¡r',. cooo po¡ hi¡jr€sis, ,r. conv¿¡ge. s sisuessú¡ erc¡terio .i

20. Siru¡. en el plano finiro z rodaslas sjngutaridades, si tas¡ubiere. (')

,f,ñ.

(ó) rc-¡'ffi#l-T-t

: =

rle cadafuncióny nomb.arla!.

1 esun potodeoidenr. -

: = 4 esun poróde o¡den2

iporodob¡e): : = ¡ y : = r _2i$nporos

de ó.denI lpotostjnptet.

TJ

c oño ...2 ", . o. ¿: - L 7- t z . t-l L¡ aüncióntienedos polós si-'n,,

.,¿. t p úe de* rbf

¡,u",uo. ='

2: jrt'

, * , "-,'!t

¡tlla n '

2)¿l

n' * t * ,t

¡jUNcIoNE.sDE VARIABLECoMPLEJA

358 td)

.

-;"-

¡

0 pJ'er i'

rr ¿ .inauialid.rd P.'o .oño lin bG'

-

suhndad evilabl€. Oro Eórod.:

i{'-( 6 sihsnlari¡iad eritable.

que la parte pri¡cipal tiehc uh ¡úmerc itnnito Ce témi6

Esta es una Frie dc Laür..tfl Entoo6,

z = l $ ¿n

=*-i. , )} "-i-#'' no nul6.

!¡nqdarida¿ ¿s."cial,

Era función.á(e dc si¡e¡laridads ñ.itas. Sir mb¡ryo, hacie¡do z = 1/¡ e obdoe ¿'!, qc li4e üna si¡sDlaridad esencialer a : 0, Se deduc¿,pu.s. q!. z = ó es una sirCllárüad .sncial d. ¿, En g€ne¡¿I,pm a6ku¿r la nalur¡l* de üna posiblesine!¡ditrad de ,¡k) €¡ z : ó, s he z * ¡/ú y lüceo s. !mi@ .l conpondi.nlo d¿ la ruela fünción par. ! = 0,

21, Si ¡z) es ¿ralltici en todo punto inte¡io¡ de ur circulo de r¡dio n y ceútro ¿, y si ¿ + , es u¡ punio cualquiera interior a C, demosl¡a¡ el ¡eorcma.le Tatlorl

f;' ,!*, ' $ r r O ' . (P¡obl¿na

l ( a + , ¡ r- h a ). n r o , Por l¿ lóñnla

int.gFl dc Cauchy

15) F licne

(r)

tt" ' ,l = :6tt' td' ' 2,i J.:_d_h

____L = =

r___ \z

a) t l - h4 . - a ) l

I - { ' ¡!af - c{ ' k-ri+' - ¿_Át

-rfr,-Á.r--L-

al

Sust¡lüyendo(2) en (1) y utilizo.do las fómul¡s inlesnles d. Caüchy s li€¡€

n t¡,

= !-6t'ud'

- !.6

= t\a)+ h t'\a)+ S|ot +

-"

, ,-l tiñe. pu$to que 2rÉ cs l¿ lo¡gin¡d de C,

Con ¡

* fir.t"r *..

= !'#{,É=i9#;=6

Ahora bl.n. s' -eia \obml-,

¡n,

h' r h:ldz ' 2'i Y''¿-d,''' r r'

!','d,.

I

,

)

t

¿

R.dr modoque por r.). Ésira l¡ló, *

t h l 'l 'M , 2 - ¡

D. l&l' 0. ErIon6, n, + 0 y se tiene€l auha,lo p€d¡dó. Si/ k ) 6analit ic aenun¿qióna¡ n ¡ a r r =l z - ¿ l S ¡ , . $ p u o l . e p n c n l i a ¡ l ¿ F r i e d e T ¿ y l o r s r ú erü de Lau¡€nt (Prob¡ema92). En cierios caios, cono * e pó¡ el Probleñá 22, l¿ s.rie d¿ láur€nt s puéd. obreE¡ uliliza¡do sri6 d¿ Taylor orcidls.

J59

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEIA

22. Hallar seriesde Laurcnt en lorno a Ia singularid¿d qu€ se indica pea cada una de las fünciones sigui€ntes.Nómb@ la siúgúlaridad en cada caso y dése la ¡egióú de convergenciapara c¿da Sea z

"' ( z - 1) r

y

LueAoz =1 +¿

1= ¿.

z

1

"t, "'1'-'-'''sr

21

¿(:-i) 31

I J

-rt

¿ ( :- 1 ) ' 4l

z = | es un pola de or¿¿h 2. o pola doble. La sn converg€ p¿rá todo lalor d¿ ; + l.

=

I | zt/- - z!;r¡i7-

¡

\

6i¡-

7

-

-

111 2l2 1121 6t .'

z = o es ta^ sinaulai¿a¿ esücial. l¿ serie cónvergc p{a lodo valor de z + 0. (¿) M;

z=..

es

c on2- "= ¿. _

!!!¿

sn (¿+ ¡)

= -; r\l¿

_

= -1+#-#+ . =

. -'-

d

xt

t+t

. tz- t)1 B!

\

/

(z

r)\ s!

, -

z = r es on sitsularidrd etndbte. La e¡ie conlereÉ para lodo valo¡ de z.

\d) rz+r;\,+q' 'z= r'

Se¿ z + 1= -, 3- Lr ) ( ¿+

( z ' t x ¿ f 2) =

-f,+z

=

-)-

ü. En r o n l c s . =

1-16 2 L + 2 L '-

¿ +''- a . +2 ¡ - . . ) zta +

+ 2

2\z+ r) + 2tz + \)a -

z = -r es nr polo d¿ ot¿¿n t, o pola sinple. La erie @nverBepaú valoÉs de , tahs qüe 0 < l: + ll < L k)

2k+2 f-i Cdo /, ::

:= o_2 0. Por €l toena

= ,¡+rt 1 3:

3 16

del binomio,

= or{r + t r(,:) . .'}ir(;)'+ 3 16-

6^ 32-

z = 0 es ú poto ¿¿ o ld t. o poh sinple, La Fde co¡Er8e para 0 < lzl < 2.

(-3x;lx-o(;)'+

}

3ó0

FUNCIONES DE VARIABLE

Caso2, . = -2. 11

Sea ;+ 2 = r,

.'(r'.(t'..1

E¡loúcós.

= (/.-r)r- = =t¡ r ;¡ ,

t-^ r

1111 2r ' 4v '

=

3¿

11 = -rd+ú - a€rA es 0n polo rL odq 3. - -2 La s r ie c o¡ v er s É Ps ¡ a 0< 1, +2

g2^

16

lcAP. 17

COMPIE¡A

_*{'.;-'(9'

dE+6 - S - $r.+a

t

<2

RESTDUOS Y EL TEOTEMA DEL R,f,|liII)UO 2¡.

Si /(z) €s analitica eÍ todo punto interior a una cürva simple ce¡.ads C.xcepto €n z,= ¿ y sobr. la cu¡va ñisa, ú z = ¿ 6 urr polo de ode¡ ¡ tal qu€

+ n 0 ro , l¿

r"

(z i,^ * 1il¡',

l(z) -

o ) - d ' (¿ -d ) r"

cotr ¿-. + 0, demosl¡ar que (a ) 0 /(¿ )d z = 2 = td I (¿ rd '

=

' ,,;= -,{ (z l i m-- , l r - ¡): o z-

o) f(rl .

{¿) Por inbgráción,s 1G¡c,hple¡rdo el P¡obLña 13,

6¡un,

6-:....,

Cono slmotc

el émi¡o

por (z

(ó) Muhiplieldo

-

'

6:.

¿,

q t a & -a r-

6 r" -" u ,

en que .ntm ¿ r ¡o e cliniña, s dice que

"

t¿r

r s el ¡et¡?le d./(2) o d

¿)¡ * doe b sne de Tay¡or

l, - d) ' ¡ ( , )

-

¡-

+ ¡ - . 1 '( : - ¿ )

+

,+

¿ - '( z - ! ) " "

Tomando (n - l}+siúa
(i¡ r)r¿-, = ri. Ftt"

+ e tl.n

o"it¿l

con lo qü¿Bdta ¡o ali@do. 24. Detemin¿r los residuos de cada furción en 1o3polos que se iDdican.

@ A #+t):

i= z,i,-r

Eslos po¡q son sinples, E¡rotres,

= '.o ,{a¿-r",J á

o o{n=5if¡¿=¡} = a- rrr,r '-

= .'¡-,o.'{¿-ffie--J

?:J-ii=i

7-2i

1o I +2 i

FUNCIONES DE VARIABLE C'OMPLE'A I o) aG¡tF:

. = 0, -2.

z=0

Re sid u oe r := O

R 6 d u oe n :

es

_2 es

es un poto sinpte. : = _2 es un po¡o dé onjen 3. E¡roncesj 1 3

lih z. _ L t_ o 4 z _2)z

¡,_ ,n ¡ { -f, ,,_ ,," . -_L t ,--z ^ r, I -, ,,r" ¿r,l

i,$(l)=¡."i(i)=-*

3 * pueden obkne, p¿,rnde ¿ de tos ;".;:.: )"":.^::,-1I:.*l k coefrcienres en ras series de ráurcot¡esp.c,r",, de t/z y l/lz + 2) 'mbih i;e"* íñi,i"ir"¡ z=3,

G-sft

un pot. de o¡deo2 o po¡odóbh E,¡oncrs:

Erridüos'

z = 5",

25

_ =

, Jrjt; k1

=

¿e + Brcr

_ l::l ,.,, ,"r

h poto d. ordenI. Enrorcesr

Fr rclduo es

[[i';j"'"

rim-Í i_" rt. 1,, '. .,,. '' E=,,1 -'i

*r'aa"

. _!lY I rr.

tim ,, - 6.r .*$:

u *t"

*",7(Jrs'" ') ' (.'*

-l;)'''

oe L'¡rbpirar,quc,@no s demuer¡a,cs apricábre a rünciohes de v¡rjab*

Si/l¿)eranatíricasobreun¿cürvasjDD¡ece& ade c v en su inte¡io' erceptoen un Dúme¡o de Polos c, demos¡m. que d.

9"llr)

=

znr {sumade ¡esiduosdefz)en ¡osporos¿, ¿, c, etc.l

Referi¡se a ta Figura 17-6.

:"fl.¿:"11 :;:i,fr #"*. ".,::#.'r.xrF $ na" = $ n"to,+ $" x"ta, * ... PaÉ el poto,.

r a t = 6 ! ¡ + . . + , * , s+ o + " ,,,- ,, l- lt" d€ nodo que. cono o er p¡obt.@,.f",^¿d.

Aná¡oc¡nenre, pa.aet poroó, /k) = demodoque

= z"_ia ,.

S

* ..*

f;

+ b, + b,\2, b) + ...

= f"1at o" "- u ,

Sisü'endo .¡ ta nisma to¡ma * ve qüe $ x , t o.

=

, , 4"- , * r t + . . . )

=

z ¡ i ( s u ñ ad e ¡ o sE s i d u o ,

-L

lcAP. r7

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA

362

c dad^po.ta)l, = 3t2,th)l,l = 10.

2ó. carcurár f.€:#tú'""". := j

Re sid u o e ¡ e l Do lo r in o k

Residuo en el póló doble ; -

df ''l -'d .1 '' "''

r¿'l1)

c\

l i ú 1(: .-

l

'¿

,¡¿-3,¡J

I es

d

" -r..

I

3r J

' l' ,- ' . r ¡

(,) Cono 1= r/2 encictrasólo el polo ? l. -

=

' " ' (i ) rd l n ,e e ,a rq u e * ¡ equi cÉ=es (ó) Como l: = 10 dcierm ambospolos z = I y z =

I

+

j

3,

I

l

CALCULO DE INTEGRALES DEFINIDAS n.

S t l ttT tl '

:. D ¿ É¡

R p " .d o n d eÁ > I \ V .on conv

la n l e :.d e m o \I,¿a, u e l i m I l (¡,d ¿

0 :i endor el

arcosernicircular de ¡ádioX que seve en la Figura 1?-7. (t). Fágin¡346, Por el resultado M,u I t' , d , I t' ¿ ta ¿ ;. ' F L "r ya que la loneituddel arco ¿ : rR. Lueco

;* ]J "i r* l

=.

v ¿ s i ) ' yf " M d , = r r v7

28. Mo:rrarq-epaa ¿-R¿8. Í.tl'4'". s, ¿-R"'.

"¡

,=i,,l

;:,

,

ea, n > 2, por ejemplo)de h.dó gúe M

ri lr"

fr-l

*-",i

,-o,'¡

= 4. - 2, k

obsé¡veseque se ha utilizadola desisüald¡d:1 + tr = z,

29.

r:¿. ,Áe \unl*n,emenk sr¿nde 'o "1 z) con ,t = R+¿ú y a - L

c¡,,r* f- j{=. c m . id¿H9, . _jt . iendoaellonlom o ( n ¿ d o d e l P r o b l e ñ ¿ 7 7 . q r c o 1 . ! " e r e l *s m c r o d e a R y del eñicitculo r. r*orido

R

e¡ el senddo positivo (conlra.io a las agujasdel Éloj).

Como tra+ I - 0 cuando:: ¿ir4.¿!r4, ¿tr¿¡ ¿ai', éslossoo polos siúplesde l/(z'+ te los polos e"'r¿y ¿r"/¡ quedande¡l¡o d. C. Enton6, ltilizardo Iá ECla de L Hópilal,

I). solam€ú-

CAP. 17]

FUNCTONESDE VARIABLE COMPLDA

Ren d u¿on .¡,,

_

¡,.

f(, _ ., , ,, ¿,l J

= .:y.*+. - i.*" Residloene¡r,¡

=

,,- 1o o"*,. . Ll . + rl ,-¡¿^ |

=

Iih

=

-!

1'

-'r

.9 .-l '' = ," ,t' " '

l,- ' l

"12 2

l^jh- l,*- = + r e*Totundo

,i'ites de aúbs [email protected]


ra/"# .*

- rf""fh

J-r.-

'

o v áprú¡do ros reslrrados der prob¡@a 28, se

= Í:_ji =

7,. 50.

Errcsidüo en2=' es I'll * t" - n" *-¡e--iá-*t, E¡¡esidüo enz=-i+ies

T#,¿-

l

=

-#? r _,) ,_rlT,,(z+ {,,T1rc1+ r(,+ r+ir_=

f,@4\#tr+6

J::::1';:il:f

"\/t 2

c de,prcb.na 27sooz = ¡ déo¡den 'ne¡¡arrosderto de'j@n'1omo

, , :'j :1 :T"H*-

'"

(s)

rainrsrarbu$ada vare"\/t

30. Mo\,¡dr que f' . ,,:"!" ¿.tr-rttt'r..z¡1z) "

Entoo*

=

'"'{e!

r?*-#}

= *

€ v obs¡vando que¡aEsundaintesrar tiftde a e¡o, esúnerprcb¡ma27,

rf. c¿rcurarf"'= qu r ' o ¡ + 3 .e n r' s ea z = ¿ o. Lue s o

t# ,

J , ud?" ,= 9, ; É f (.

u)

d.= tr,l e = i ,de de ñndo 9!e

dt

.donde c esercímrou.idadd"

".",..,

",

..,r",, ..:"i'.1*

_ f..,i Ío .,r_. ,r-,.

lcAF. r7

FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEIA

364

lon lo\ poio5 impl..

Lo' polo. de :--j--

_, -loi*V ioo-J;; '------ 10ir 3 i 6 = -3í, -i/3.

_

Solo el

¡¡rrt.8

t3 qüedádenro de

ReJduóeñ tn'oN6.

I'm

r--¡r

'/3

: ){ =-=-^ " \ . . 2

|:

¡/\J:'-

\

'

O :-:-=;:--

¡-

'u,¡-rl

2.iI : | \4r /

,o:-,u'

4i.!

por Ia rcch d. L Hópital

.r v¡.o, buqdo

:.

a' ei t+e

f''

d3,

,"

= $ r.

ar

-

zr+z-1

l¿ + '''vz

a,

. t¡ + 2-t\ i.

" "\ , I = - i9. ¡ f f i* slendoC el conlomo del Prob¡ma ll.

El integrando trcne un polo de oden 3 en : * 0 y un polo simple z j denro de C. -

r. ,endJóel ¡_0.\ Er'..iduó en¿: I ..

l: r l$¿+;.ri...78;_ rr._r:ij = ; I I 4r - t- 1 . .z,J ,,j1tr.- l, ¡",- ,". ;;.

rn,on.e" i,f .*,1;,i,,,* - -;,,'"{? !$

t2

p*^ z : i¿d, siendor > 0 y M coDsla¡te, tt, si 114 5 que demostrar ff

]y"Í'"-'¡t4¿" = o siendof 6t a¡co semicirculardel conbrno del Problema27 y n una consra¡reposiriva.

ao J,r^'noo, = !"" *:" rwatiaa" lf"' "-:"

¡R.'',R." dal :

;n," ae !"' o-:" tLne'n

= l" l"-"-'--"'"rro*,ttl " J" ¿---, tr(¡c,)¡,ra

u{-J"-**,"= 4( - "

FUNC¡ONES DE VARIABLE COMPLE A

. n,llfi"o'""

*"

'

=

',

oarao s o s

165

7r, capiruro.r). Lkso taúkim inreúalesoe¡o¡ '/2 fProbcma

#[""'r^*"¿i = #u

,_,

Albn de ¡¡r€, ¿s ' udendeae¡ o. pues ¿v ¿s or po s r f v o s v s e t , . n e e r B ü r r ¿ d o q u e s p e d i a d e n o s t ¡ a ¡

14 M o \,r ¿,q ue J ""#+d,

=

;e.. ú\0 .

(ü,.oer{

¿ con i ei conromode. p.obt.ña t7. J, ¿;_ I El intesmndoliene po¡ossimp¡eseo , = a¡l pero so¡o,: ¡ quedad.nr¡o dc c' RA,d dó e¡:.iA

¡ ' . d. - , , -

: _l , . _, r: ¿_nl

-.:

2i.

{.i;".=*,( ;) =* -

f.i - " ,, Í, # , " = ""^ I.ffi*-,J^ F #** !" # * =..^ 'Í"'"::í* - f,.:.,0. " ".::TX1il'":1lKi":"1 Mo fr¿r q Le ,

Jo = : d,

.,,

ó v apricando e¡p.obreña 3r pammosrmr queraintecmr e¡ ,omóar tiñde

=

; E¡ m€'odo det probtema14 leva a consde¡a¡

;"il'i;1' l#.: :'3""::1,"T;:: :1,:;: "11í

.t mleeretón y omo no se puedeInteAn, e0 una rnsuh¡d¿d. r módifc el cónrornnme ando el e. mmo en ::0 , com ós e w en t a Fr g.t 7- 9 quc ddn. c a AEDEFGHJA Conó r - 0 es extúio¡ a C, se li€¡e

Fia 1?-9

Remp¡azando r po. -r e¡ ta prioera inieg¡aty coobinando coó ta rcc¡¿ iniegral,seha a q¡e

* Íto" .f t* = , I.'""1"-"* '

It"

Í'i*

3ó6

FTJNCIONES DE VARIA¡LE

CoMPLE'A

lcAP.17

s e¡ . ' 0y x - ó. Po¡ elPr c blem a1 3 , I a s e u . d a i n t c s r , l d ¿ t a . t e É h a t i e n d ¿ ¿ e r o . L a p r i m e ¡ a i n t e s¡ál del sesündo nitubro ridde a

,:.f',;;*""- L,¡¡f-',,- '' pü6 r pu.de tonw et ¡imir bajo ei si8¡o i¡Esmr.

n uJ,"r;z*

= ,i

osea. l,-t::*

= ;

PROBLEMAS YARIOS Jó. Se¿u r: rlna rÉhfom¿ción det ptanoz $tano r),r eú et ptdo ú (plaooúr. Con$dérek un . Inangü¡odel ptaoor de vénices/f2. ¡). a(4, I r. cr4. lt, tat Mo\t.at quel^ iha|eñ o ¡pprcvan rü¡ de esrelriárgulo es un r.iángulo cunilineo det pia¡o ¡". (¿) Hdh; los á¡gulos de estet.ián gulo curvillneo y compar¡rlos con los del hiárguio ongiDal. (¿) Comoo:;, s dáe ¡ = S - ,1,, = 2,r @ñoff'uion* dcrÉ¡sfolmcióñ.Asiqüe€¡punto,l(2,tl del pldo ry F rÉ6foña o et pürto,t (lj 4) detptam !, (v&* ngo- ua¡,it"] e"i-t-o, Io. poot* ¿ y C s kansfomanen los j, y C,, Esp€clivm.ntc.Lc ÉslMt6 AC,BC,as ¿etúrwtrto ÁRCe t.¿úsfoman, ÉspetiEndt¿, ¿n 16 ÉsMlós paab6tic6AC,B,C,A,B, det rriáDsuio cudi¡itrs /?c'de euacio¡escomoe ¿nolarcn ts Fisur¿sl?JO(¿)y (ó).

!,1

l.i!. rua (¿)

Flt lt-10 (ü)

(¿) ta pe¡dj¿n& de la r¡neñle ! ¡¡ cuna ,'

= ¡(1+¿) en(3,4) 6

r, p.rdinle de r¿ r¡nserl¿ a la cud, ¿! = 2'+r Lueco el ¿¡snlo 0.nrÉ

las dos cuos

B"- ilnt &- l' , ¡ r , ¡ ,

^,

ñ f3,4).s

= *1.., = ?1,,,= 2' e

=

X1,,.,

=

= "

"

ñ ,t, 6t¡ d¡do por 3-¡ -

t

\

e--ta

eule,jemo',* *,* ,, y ac .q ,.4. y qúe et á0guróde ,,r.¡l ! o* n r*i a¡ r. r,or @NiBlEnk. ta rasutc d.t rrisn8u.ooRit." ^.alal1e'T.ntc on,g,ul* to, ¿i -ó( ¡nangü¡o dddo.rn B.¡erat.\: " - lzr I h¿ rmn\tomalióh tu que /(,,.r anatí,i€, -*"poo¿"o* et áuuto de.rG cury¡sdel o|mo z. qú * m'!n ' en : . ?0.¡ene ,eut masní¡ y ,!",,¿" r.*.**r 0,. J¿"g,1" nrcman b\ Inágens de 16 dos cui\6. lienpÉ que /1/oj _ 0. | \l! propi.drd es tu llrno¿u pi* con¡om¿de rc! runuone\,n¿tnicd,) por era ruon Ia k¡¡s|ofmcón u Jrzr* ,uetetj¿¡Ú ,;e. mah o reüewtución co^J¿me.

FUNCIONTS DE VARIABLE COMPLEJA

37. S€a.la-lrarsformación det pla¡o

"

367

e¡ el pta¡o_o defi¡ida pú e = 16. UD punto se mrcve en

qk'u;doh;. ;;i; ; .üi:";""::'ü'.',,i,] i:','#l:;';:i:i?#,;, "*" r'' ! MGrrai *-",.

ü *a. p"l."e,-d"';;.;iñi""fi["i,1:,"':t;'i.li,il ffif;.9, ,",:i";:',

",""..

dee"r'" Lú",ae*ició. ifi::#";.**- "Í;Y"1 ;l;l;tT f;j i¿i*ed;de

¡ia. l?"rr (r)

u=¿4=¿'¡- -,.demdocü¿e, pünto "-*rhH::1i.TilFl;':."'l,il,llálT'";,11'=' ,;'lH1H:1,"5ft: oz o 4n. z-, vu-,1'¡ --pa'-,. de .":"#ii ;;"i:i'tr.:$ ii'"

j:,,;,1i,,1,....,1".; j*:;iÍ*":ru;:ti**::trii iñf ;"=.;t,f i]:Ír, r*=.,ó.,-;.;: 0..",.,",.",," *..,i-i,",i#;;;;;'#;;;':;i SesiBu€de lo ant.riorquee no .s uro funciohunifc

;Tffh';lTl:TTT;i'#".:i: :illT::1"?',i"':':Jl'i:"'#,ffii'if,iÍ^;3i,?,ii*p""¡'***q,"¡i'r'-¿**i.*" 3&

v*",,q* f-jl¿,

o
cóFidfetr d¿ como ¿ -. o e. un puoro mút, 1' ¿ riple .cliü sp ¿E Celc @ bnodr t ¡ l, g r 7- t 2. enqu er r y 6 H corncrden con et cF r. p.o e h¿m \er s.par¿dúff,. EI irresmndo tifte ct polo , = _l i.terior ¡ e. El Esidüó er z = -t - en es liñ k + r , i_ En,o n(e s.

ó¿: : ú

=

2", . ,

,

"

o bien. oniriendo et ;orgm¡do,

J *J

n J *.t

li'*H$;::iil;rÉ:"psrá

= 2 1 i ¿ '-i

r¿jnlesEr a ror¡reodc6¡r. pu6 eralcunenro de, se¿uncrt¡ en2f

366

icAP. 17

FUNCIONES DE VARIABLP COM:PLE'A

Ss r ' 0y ¡ - o. Po¡ elP¡ oblená33. ¡ a F s ü f t ¡ ¡ i n t e e r ¡ l d € l a d ¿ E b a t i e n d e ¡ c r o . L a p n ñ ¿ r á i n l e _ s¡al del ssundo mienb¡o ú6de a

ti - l ' " '" ."" ¿c

- ,^ t" "' " o"

pü.s s puedc tonú el limile bajo el sb¡ó incgnl.

Í"'"|:* = i PROBLEMAS YARIOS 3ó. Sea ú = z1 una tmnsformación del plano z (pl¿no ¡),) en el plano o blano @). Co¡¡sidéreseu¡ triángulodel pfaúoz de vórticesA(2,l), B(4,l), C(4,3). la) Mosrrat qte la iwsen o rcptesento¿ó¿ de est€trü¡gulo es un tiángulo ()wili¡eo del plano ¿!. (r) Halla. los áÍeulos de estelriángulo curvill¡eo y compara¡los con los del r¡iángulo o¡igin¿I. (¿) Conoo - r:, etiene!:.f - ,¡, , : 2rr @ño@ueo¡¿sd. tm¡sloñaciór.Asiqueelpunto,l(2,1) del pla¡o ¡r setúnsfom .n el purio ,!'(3,4) del plano,r (!ée 6guraadjnrita).Asiñisno, los puntos , y C selr¿¡sfolmn 6 16 ,' y C', resp..livam¿rle.Los esmcntos,4C.¡C,,,1¡ del t.iánello ,rrc se tn$aom¡n, ftsp€clivrn@te,er ¡os sg¡n€dtG paabóL@EA'c',Rc',A'B del triáneuloanilineo ,r'¿'C'de @u&io¡es coúo e ¿¡otqnm ld FiC!6 l7l0lo) y (¿).

,¿' L¿p.ndd,. deraransente a racú.v','

4{r I r) en/3.4)e,

Lr p€dden, e de r a m ñg. nr ea r a c u f r a ¡ ! Lu€so cl ángulo , fllE t¡e -

2 '- r

-, - Í11,.,

di3.4,6

=

:1,,.

.

i

*- *1 , . . =, - t

las dos cüflas .¿ ,,f está dado por 6:h, - !n¡ ! r, +

=, j - L r +( r ) ( ¡ )

-

r.

)

q.4 '

Análosanerr¿ plede demor¡asc que el áne¡¡loot¡e ,r'C y BC' es ¡/4, , que el ánsülo de.{ A' y t'C' es ¡r4. Por.onsiEui€nle, ¡os ¿ngu¡osdel lriársulo cuÍilinco sn isüalcs a los cor¡espo¡dieniesdel rriángu¡o da.lo. En s.ne¿I, si u = /(zJ 6 u¡a t¡anslomación 6 que /(z) cs analitj@, el ánsulo de dos .¡o¡s del Dlanoz, qne e co¡tan cn z zo, ti.he ig@l nagúnud y slido (o.ie¡l¿ción) qne.l Ánsrlo qü€ fotun las imáscnésde las dos cn¡v6, sieñp¡e qle /(:o) + O. Eslá prcpiedad d tá llaha
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEIA

3?. Seala transfo¡mación del plano z e¡ el Dlan

g ;*,"**.':'ff 'tr ;*:i"%'* ]*rnTj:i?i:i:Y..'r,"Í,,":"1,,'rri""# i,"*a. p,i,. *g*¿""#,.;i,'ñ.:,,i#,,ffT.l ;Jlr::t i.iil:* fffiJ:",::-*

ah p$ición depárida L*i't!'J:J#;t;""T,Y"1 ;:;lJ"Jli,'jmponde

-.,Y";:1

n:"*" *" conprehsen er práaoz,8:4t,2 :"vorlciones que et punlo nodo --,:._:1il:: há res¡€sadopo. D¡ine.a vu. 'n¡sen

_ t y u = ¿dl?_ /¡r

T=-ji,ffi 4fr#j;r,j'd,x Hl#*iki'*ri;rti¡iii:'.rli **** *. /i')': ;;;" :il1':;1tj'#,iJ:ff l';;"tr f ;y'í;::in'i#H:^*" "-,

38. -M6ri¿, q(

f- t'

J, r:,d.

,

,.ü",

o. p. r.

t f.rd d4 e.9 , . om o 2. . 0 r . un pun r on r l ¿d, . ,'p h.e li¡¿{p ¿rá( el. ont om ódrt a } , g t 7- t 2, enque4 8 y C ¡ l r. pe,o e ha+n \er rp¿r¿dden,e El imesmndotifte et poto , = _l intcrior c. a E¡ Esiduó eD : = -t - e'i es

r m r .+rlj!.i+,.'t'

= 2.' '' '' "

o bien. oñiriendo el integmndo,

í+!,l+ J f" ::,',

+

(* B¿ ,P ' ¡R ¿ ¡d a

li,#d;es::;:i::x1l;,É1'¡

l ' \,¿, )" -' J"t -*""'

t" t,¿r\,-,r" o¿" J --ñ

2!' ." P ' n

parar¿inlee¡ar a rorarcode c/'. pues era¡sDre¡ro de; seaunenta en2,

rr.-a-" t f" fia"

= 2.ic,,-n ,

L"#* = ##:; = Fi*;=;

=

p¡oblem¡s proIÜestos ¡uNcroN¿s,¡,n nrs, coNT¡NuD¡¡,

* gllli -" ,r,,

r.' r¡r- 5.tbti r 2t.2r,. r,.h, fi,T:lT':"'¿'|'2, J, i, -,: . r,= ó.

lí; :-lfif li'

2rr- ú

rrr---25. @,roi-2.',r mdioj

',,n _ r"r n","a.tip.,6a" ,i]i,i=,i:?;jlli. ,

DdeniD.¡

ra r&ó¡

det pao

z repreFD¿ad¿!Dr:

aryzr r('|': -,',z- 3,- ro ; Hi.::"kr.oÉ ;;.:"lJ ¡ det cietó h _ ,r lll ffif i: 1""zu'*;;:"iil;';;i,'.'o'r i ; .:ej.r v,áEa¡ --r .r 1T,".."."

fudción.n ¡s fo(@ zk.r,, + r,r¡..)r.r.ndo , },

'e,'¿::'=':.':':,; :),:'l': Íl;11l-"i ttt"=

reor6.

' =t.-uiI-'-="!!;rn *";,''":" -"''' ' """"1i"-"'" (d , ¡ = , * ¡n { o + ,),+ s ¡} , , = ,e

{2. Denorh¡

*

que k) lih

zj = l,

k= 0,!!,!2,... r+ " _L+ zt" n,

(ó) Íz) = ,, s andrla

e¡ z = zo di@tuenr€

d€ ¡a dd,nición.

,¡sr¡ies\.n , @ú,.a,.-. :',"-:';"1,'i'I"-'i ' "'"!ú4 qE,.rds ;¡i ,., i¡*¡pl' ueDeE¡rart6 r6utrad4 ¿. ,,,,l¿,

"1"

**..n

DEXIVADAS,ECUAC¡ONES DE CAUCHY.ruEMANN . f a. { ¿ J $, = r,u _ .- _ | ,.,", __ d,.,, d,Ei¡nenle ;

¿

,. " -

de ¡¡ d.6oKióD

';,-i'li ):'l:,T'ii¿.'1. * "n¿u¡o ¡,r '11

tll

PUNCIONFI DE VARIAILE COMPLEJA

169

Dad ala fü¡cióñ ¿- z ¡ , ( ¿) r I ¡ Uár f unc ion6s les ! y ú t a t 6 q l e . =¿ +i , , ( ¿ ) M . s t ú r q u e t a s f t u a c i o n e s de c¿üchy-Rim¡¡¡ e Eriñ€n e. lodo punto d¿l pla¡o frnlo :. (¿) D.mor@ qüe ¡ y Dson aurcioés amóni. s. (d) cat@tat ¿a/¿2. sot. lo) u = r'-6i!z + f. ú= 4a3y - 4xr1 (¿) 423 Denoslrar qüe /(zJ : z lz no es analiri€ 6 ri¡$tn Deñor¡ar que /12)-

2

púnto.

.s aDrlit.¿ en roda reeiótrque no rnLluy, el punro ¿ = 2,

2

44, Si ¡¿ part iba8i¡aria de uúa función ¡¡¿liti€a ss ,11 - ,), oete¡mi.ü (¿) Ia pare reat, (¿) Ia fDnc¡ó¡, - x' - 2r + . . ( b) 2iz - 21 + ¿, donne c 6 r a l ''' 49. Conúun u¡a fu¡ción aóálilie /lz) cuy¿ pa¡t€ Eal ¿ ¡(rcosrr + fú |. la )

y p¡¡a €¡ ',sen/)

Denostrar que ¡o hay lüncion€s an¿riü6 de ps¡1e inasina.ia I

51. H^t t üf l, l t ^t q \. fC )= 4 2

3 y l (1 + i ):-l i

- 2),.

S at.Í1,)-221

32+ 3-4i

INT¡G¡ALES, TEOTEMA DE CAIJC'IIY,!'ORMULASTNTTGIAI,ESDE CAUCTÍY 52. czt atat J, -,,\22+ 3)d,: ¿ lo la¡godel cani¡o ¡ : 2t + r, , = 4tz | 2 0= | =1. f¿) (á) a lo largo del segñenbde ! 2¡ a 3 + ¡. (c) a Io la¡gode los seementos de 1-2¡ a I + i y de aqúiá I + ¡S¿1.17+ 19¡en todos¡os@ss rz )d ¿ .re ¡d oa e rs e mri m toq p pno,de ¡l = | cohdo m snrdo posri vo.

5 3. c ar o, r r f r t - "

5 4. Calol, r

9 rr

o \ z l -2 .tb t 5 . n e n d oa e l c í¡c u l ú

4-7.

ss . c ' ¡ . ! |a 6

s,l . r¿)0. ró)ql r2

d .. s m d oc L ¡ c u s d ' ado o¿w r,.e\ -r ¡.-t '¿r - - + = ,,, cleulo lz + rl = 3r (.) el ciEülo z : v4. sot. (a) 8r?1 (b) 2ii ¿ " , ,¡' 6 " ' ,' ,d . J . G _1)

5 ó. c ' lnlú { , r { : :::: sat_ (a) 5t.

* ..,

" * .uP a.unpre

r. l + ,,.l

¡. l á)el

kl2ri/3

erada queencE r€:

I

2ai (b) nietl

Deñ6tÉ¡ I5 aó¡mnlasinregr¿l€sde C¿uchy. [SüCeÉncia: Apliqü* ¡¿ d€ñnición de d€riv¿da y lueso I¿ indüeión maremálica.]

SER¡¡S Y SINGULA¡IDAI'TS 58, ¿Pa¡a qué v¿lor.s de ? conversEcada sene?

,", 3 lii?ll '-,.¿ rr .t ¿ (¿)to doz D€úcrre

&,

,a, 3 r1=_!r -' :, ( ¿) , - i

qw l¡ $.ie

.:

Denord que k sie i z+il
,-, i \.1 , )' /: ' r2:12)t, ,.' -¿

" tr. <1 -+'3;l

1. ) , = - 1r i 6 (¿)absolurabñr. @nwreeire, f¿) ünifomemerle co¡vere€ntep¿r¡ lzl s 1. @nve'E ¡nfommenre denrrod. oatquiú dbto

de rado Á rat que

370

FUNCIONES DE VARIABLECOMPLEJA

Situa¡e. el plano6nito : todaslas siósul¡idades,si las hay. de cadaaurcióny óombmrlas: ,, S¿¿ {") : = i, polo de orden 4 (ó) :: I, polo simplei;= -2, polo dobte ( . 1 Poloss inples : = lit

, " , *j , .

"".1

¡.3

.¡r

.os¿

(¿1) z = (], singüla¡idad esencial (¿) :: ¡/1, sjnsularidadevtabte (/l : - 1r,. polosdóbles

Ha l¿' ..ner de I au'enren a ta \in8r,¿no¿dque{ ind,€ paE cadaun¿dr ta. fun!,one!jpienre! nor 'omo b' ¿ndoen úd¿ ! d{ la qngllandad. t. d . d r t d r e S i ó ro e . o n v e r e e n c d, ¿e c c d d . e r e t 6t t a_ú. : ¿= 0

s,r ¡,r - -L ¡b)

- z "

I r, .c ) ¡ i= ] T

! * ¡:-¡ 2t -

(.)

(. _l¡i.

gl: ,| k:rt

4l-

-

6,--

.

p o l o . i ñ p l e ,p d r ¿t o d o , , ¿ rnsrla dsd ernc'¿l pd,d,odo

ri" - o'',t - u,'; 7 I th-1) I f r or . - r r á -"2¡u-

RESIDUOS Y IEONf,MA

._ r

s)r

;

poodobe0

¿

I

0

4

DEL Rf,SIDUO

63. Deteminar los reiduos de cad¡ aunción en sus polos: ¿ 3 .zr)J , (di ¿iT6, , . r . r ; E,, (,,;rl. sol. ldJ z = 2, 1/ 1, z = - 2. , r / 4 \ h) z = ot a125, z = - 6t Blz s 1,1)2=i :0, ó4. Halla. el ¡esiduod€ ¿:rtgz d et púto sinple: ;fftj,

-

z-

jrl2.

ii 0

Sot. -.14¿

siendo. Jna .ún¿ !ñpte er¿d¿ que encrem ¡odo\ toqpoto\.

6ó. Si C es uno cuna sinp¡e ccreda qüe encie¡a a : = r¡, !,or¡a¡ que 0.

dz

-. p(:) y q(:) son 67. si Ílz) polinmios ral6 qle el g¡ado de p(r) es al n€n6 inae¡ior en dos at - P¡Z)/AC). dorde d. qrzt d¡mo!¡cr qre I /¡ad, 0, ,.endorodó! to. poto! de /(,/.n.e ores¿ a. CAT¡T¡O

DE INÍDGRAIES

DEFINIDAS

lnte8ra¡doa lo la¡Code u¡ cobromocomp¡oba¡tas in.sEr¿rcs:

''f....e.#;q t¿. 1""

-!L

=¡

= 2!

= " J."'d.=rd N.l"- fi^ud'

".f'".rr*,;;'

l"yE 9

= -!L 2tE

rI 311

FUNCIONES DE VARIABIE COMPLEJA

= f$,

^.!,'" ¡= t r##+ d

n = o , t , 2 , t ,..., o < "< r

z J- 1,* *.-rs = $ffi. ",ot !:::

er. t"'ffia,

83.

Í"'+""-

t

3

82

d¡ J" r';iiF

e

Jo *E;

Í"'#+¡* J.'** =

¿r

Zi;;F;Zi.

lsu8elfria:.óñcidére

(^,0), f¡,r). ( ¡,r).

I "o;\-.t¿. Ento.€s háe¡scn-ó.1

dondec.. un RLnculo de \e .

PROELEMAS VAXIOS 81. siz=p ¿o yf(z):ul!,d) + ¡ ulp, ól, s c ndopy dc @r dñada s p o l á e s , d € n o s ú ¿ . q ü e l a s ( u ¡ c i o . 6 d e Cauchy-Ri€m¡nn son

y=

!1 = til ap

p¿ó

!t!

pao

ap

33. si D : /(z) @¡ /(z) ú¡¡itica, deñn€una lr¿.sfo¡mrciótr del plaro : e. el plano o, con z = ¡ + ¡, y o : , + ¡,, denostÉr que el j&obisno de l¿ t¡ansaoñació¡ es

tq"

ffi =

89. s€a a(r, ),) qne se tiansfoma e¡ c(,, u) por Ia traúsfom&ió¡ .n lodu\ ro\ punrosen que /'(:)É0.

+ --:

:+

.- 0.

90, Msúa ¡ qñ,por ü rfmrtr ma.ún bth¿pat, = foñan en cimlos d.l pláño ¿ 9r.

D : /(z). Moslrd q¡e si

oa 'l:!,aona. - O. + O,los ci¡cutosdet plano: et¡ane

Si /(r) es anallüca sobre y denlro d¿l circülo z - ¿l :

d€morr¿r la dd¡rz¿ lda¿ de Ctuch), ^,

l ''k)l : +g dondc l¡z)l: 9!,

¡t sobre¿l c¡Éulo. tsuse¡encia:Uliliza¡ ¡as rómúas iúteg¡al6 de cáuchy.l

SeanCr y C: ci¡cülos oñcÉntd@s de cnirc ¿ y ¡adios ¡r y ü, ¡€sr.ctiv¿m¿nte,coó ¡r < /,. Si ¿ + ¿ esun punro de la re8ió¡ á¡ular de¡initada po. Cr y C¿ y /(z) €s á¡¿rilica ¿n esta Égión, demorra¡ el ¡e,M r!¿ rnutal

/(¿+r) = > G¡" ""

= .'1 6 r!ri4!_ df' ztt Jc \,

si.ndo C cüalqüier atr¿ cer¿da de lá EBióh aoulár que enciera a Cr.

Bmba,e/,.+/¡,= +$ rsueerenc,¿

- !'i-':,

1t

nad'

I

oc oosmnerrs drertrres I

t I

372

FUNCIONES D€ VARIABI-E

COMPLE¡A

t¡a¡lá¡ u dee¡¡ouoeü seriede r2üM1 Daml¿ runción ,(,) = ET¡r--ri y dive¡j¿e¡ cualqüiérotro pünto.

Es.rb*e [suc.. rrrDrifa = ;i

[c{P. ¡7

qü. oN.!¿ e¿r¿1 < lzl < 2

* *u = u*-rl-;¡. ,-f,¿ ]

s,i ...-i+i- i+i -! + r - l¡+f ,- + . . . ! 94 seaj-r'¡(¿)d¿

= t(s) do¡de /(r) es um ru¡c¡ón 6cro.ar dad¡ oyo ¡uberador 6 d€ sado infe.jor at
denoninado¡. Si C esuna @w¿ siñple e.¡ada que mc¡era rodos los potosde /fr), sopuededmosrra que r1t¡

=

{rf

e¡a¡a,

=

su@ de rosEsiduosde ¿f,)en

Enpléeseere r6üttado pan na¡r¿¡¡(, si /(r) 6 (¿) __j_, comptuéb¿rse los res!¡tados€n c¿d¿aso.

f"::fE,li".'1'1,::':ilTfffif#:"#"':iÍiLff s , ¿ (¿ )@ sr, (ó )i ¿ -,s 2 ¡,

\c J l + | k " + i ¿,,

o) ;'T+fT,

süsporos

G),ul+, (ai;+jr- y

Fk)6tatan'toma¿aúM6adzr'pta@de

(d)j Gú ¡

rrcs4

INDICE A l¿ dercha, contiñüid¿d, 25

canpo, eléclrico, Btor,

I59

co. intes¡al o¡vifn€a, 204 de !¡ paralelog@o,t37, 148 Ab.l. c¡itcfio i¡|gral de, 284

Ca¡dinal, d€ orlinüo, 4 AM, e¡enoto de, 142,143.l5l

A¡nónicas. auncion s. 3,16 Casidiaee¡ciábilidad,57 en coordenad* cilindn6

y esCaehy, criterio de €onsrg.ncia

nomal y lánSencial(coñpo¡en A@l¿das, funciones,20-21 srcsio¡es, 42, 4?-49 Acumuleión,puntode. 6. 102 (,¿d¿ t¿r¿¡Ir Linnes, pu¡tot
Baseoatural de los lo8¡¡itnos. 3 BesL d6igla¡dadde. ll0, 120 mación difeE¡cial de. 212, 250 l¡ncion s, 212,250.25?,297 Deta,funció¡, 2?1,286,237.239-292 relació! con la fumión canB4 247, 29O Bilineal, l.ánsfodación, l?l l,¿6e i¿á¿¡¿¡ TÉrsfo¡mació¡ f¡aeic

Bi¡óñi€, e¡i¿, ¡r. ¡2 Bi¡ónicos. c@licienres,13 Binonio, teoÉna del, 18 Bolaño-W¿i.nlras. d¿nost¡a€ió¡ t€oremdde, 5, ll, 12,42,43,50, t02 Bonrei l@ltm del válor medio de. 82 Briss. sisleM de losarilnG de, 3

loma del ¡.sto er el t orcna de Taylor de. ó1,95.23r fómülas int€s¡a¡* de, 34?, 35135ó lercma 8€¡eÉlüado del valor valor prircipal de, 263, 2?2 Caú€hy-Ri€o¡rtr. ¿cua.io¡es de, 3¡ló,351-353 s folm pol¿r, 3?1 derivación de las, 352 Cenuipeta, aeld¡ció¡, 156 C€@do a, conjunlo,5, lt, ¡2, 102 cesáro, sumabilidad en senridod., 213,2s2 Cilindri€s. mrde¡adas, 142,153,

Cadena,¡egla d¿, 59, 106 páÉ jacobi¿nos, I03 Cálculo int sral, Lo¡da

funda-

el€mcntode ¿rco €r. 142, r53 eleñdb d. vollnetr €4 142, t53

Calor, m¿ción de la rransmisión so¡lció¡ d€, por sries de Fourier, 313, ll4 slüció. d.. por intc3¡al6 de

i¡t¿8¡ales múltiples o, 189 lap¡aciano.n, 142. 154 Circulo de co¡8gociá, 232 Cla*, ¡ (,.,6¿ ¡¿r¿,¿r Co¡jurtot Clausu¡á, l€y o pfopiedad de, 1

314 Cociúle, cnteno del, paro integra-

Cominu¡nen¡c difere.ciables,fun,

corta
paraeies, ,5, 215,23ó Cólección, I (Pde /¿,¿r'J, Con,

Continuidad,20,40,103.104,lll, ll2 , 3 4 5 , 3 5 0 , 3 5 t a la deEcha y á la izquie¡da, 25 a úozoso casicorlinuidad.26 de funcion¿sde va¡iabl. cohpleja, 3 4 5 , 3 5 0 , 1 5 ¡ de auncioóesv€torial¿s, I39 de nreg¡ales,89,266 de una sei€ de funciones,223, 229,246

Cr€ientes, lüncio¡es, 21, 2ó 6t¡ictmente, 21¡26

ComparacióD,c¡ile¡io de, pa.a inregrales, 261.264,268 pa¡aseries, 225.235,236 Complejos. núne¡os,6,12, tl

suce$on6, monoronasy 6trcta C¡iterio del c@iente,226, :40, 241 denostmció¡ del, 240 Cüadrátie, slucióh de lá ecüa

cóno paEs order¿dos de n¡j,

Ioñ¿ polarde los,6, 7, 13 fundanenlos diomários de

operaciones co¡. 6j 12,13 parcs Éal e iñagina¡ia delos, 6 Complencntano, módüló, 343 Componenre,nomat de la acete€, tange.ciali de la rcldación, 15ó Conpo¡e¡les, de u. v@ror, 136 Conpüer¿s, füncioc, 25 de¡ivación de,59, 106,1,óJt9 conduclividadrémia, 314 co.qo a, cónjunro,102 C¡nfome, representacióno ra¡s,

r¿orrus sobrcj25,26 y difeEnciabilidad, 57, ó3, 64, t 05 , 3 C¡nrinuo,@di¡¿l del,4 Contorno, co¡dicion€s d¿, 100 Conwrgencia,absolul¿,dc integ¡a\es,262,265,210.21r de *rj6, 221, 233. 239, 240 leormas sob.€, 22?! 23q óndicional, de inr4¡¿1€s, 262. 265,210.t1 úit€no de Cauchy,43.J0 de freio.es corli¡Das, 52, 5l de int€smles de Fou.ier (,¿¿r¿ Fou¡ie., leoma de la i¡t4ml ) deinieg.¿16inpropid {,¿¿r¿Inde F¡i6 deco¡staóles, 234,235 de s¡ies de Fourie¡. 299, 3l l -l I l

de dosdimensiones. tot de uóadim€ósióo,4 dchsose¡ todaspares. 2 cóunenbles(¡¿¿r¿Enune¡able.

Convolución, teoEM de de t6ns, fomads d. Folriú, 232 de transloúadasde hplace, 244 Coodenadas, caresiatus r*t¡.Aücilindricd, 142, 153,154

Corcspond¿ncia, 2. 10,20,4t, tot, Cor¡ienle,ru¡ciónde,153

vecloB y, 141,142 inle8r¿les,195-198,200 202 indepe¡denciadel cmiho, l9?, r93.205,207,215 notació¡ vecloriál, 197 p¡opied¡d.s, 196, 197 rcl¿ción co¡ ¡as funciona de vaiab¡e conpleja, 14ó De MoivÉ, leorcna de, 7. 13 DúiD¿I, ¡€p¡€smlación,de un ¡r1-

con-

esftncas.143.l5l, 154

de lr sumavetorial, t35. t4l derp¡oducroescalar,136 C¡mcnalivo, cdpo. 198

.otor, dlvcrgencia sEdiñte y laplacianoel, 142 lrósrodadorcs x 123, 124,

Deimales, penódicos, I D.leiertes, fürciones, 21, 26 esdcraDal.,21,26

(,¿¿r¿r¿n¿l¿, T¡a¡sfohacionet co¡lug¿dos, cobplejos. 6 tr¡irome (E¿s¿ Uniloúq

sinple cemd4 102, 197, 204 cxnaluú, Fdio de. 15ó.r59 Cuúiü¡€as. cmrd¿na<¡ls,109 esp€ciálesi142, 143 inLeúls ñúltipl¿s @, 181, 182,211.2r8 ja€obianos t, 141,142

suenon€s ñonoroms y est.El¡ Dedekind, coraduÉs, 4, 15 De¡so o todas parl¿s,2 Dependienre,van¿bb, 20, tot Derivación, b¿jo el sis¡o inreEnl, 163,.110,26 de en6 d€ Foün€¡, 300, ll 1 Deiv¡das, 57 79, l0rl33 ¿ la de.sha y á lá i¿quierda,57, 64,65 co¡li¡u.idady. 57,ó3,64,r05,I l3 de funcionesde wiable coúpleja,345,351-353

ll

375 Deriladas, de lünciores 138-340 de fürciones €sp€ci¿l€s, 68 de funcionesveto¡iáles, 139,150, t51 de orded sup.rio¡, 60, 105 de seriesde funcio.s, 229, 247 deñniciónde las.57, 104 i.terp¡elación gráñcade Ia, 58 parciales (rl¿r? Parciales. der! ¡egls d€ cad€m de ¡s, 59, 106 reCl6 de cálculode, 59. 66 68 Desarol¡o de fünciones, en *nes de Foü.ier (D¿dc Fon¡ier, se e¡ eúe de polehcias, 2ll Desarollos (,fd¿ seriet Desisnaidad,de Bemoulli, 14

Dieond¡uid¿des, ¿ütables.34, 104 del p.oduclocscala¡,136 dcl prodüclovsto¡. 13? de integralesinpropias, 260-265 er coordemdas cilindricas, 154 en coordchadas curyilinqs, 142 teo¡emade la, 199.200,210-213 Diverge.les, intesfales.260-265

de númercscoñplEos, 7, 12 Doblenc¡te penódicas. lu¡cio¡es.

del l¡lple producloesalar. ll7 jaobia.o (u¿¿r¿ Jacobianos)

Ecuaciones, al8chraicas, 5, 2I de ditern.ia, 56,285 dire¡erciales(,¿¿s¿¡¿r¡i¿, Difei¡l¿e¡ales,321,128,129

Dire.enciablidad, 57, 105 a tiozos o @$conti.üa, 5? y coniiouid¿d,57,105 Difé¡encial, *@ción, de BesFl, 232,250

Eleclromag¡élica. teoria, 159 Elcmonloneut¡o,con nsF€.roa la a
solución de una, por tr¿nsformadasde Laplaco,267.280

lonsilud del arcó de, 135 Elipticas.fü¡ciones,312,318-340

Difcenci¿les,53, 59, ó5. 66, l(]5, r 14 t16 aproximación po¡. 65j 66, tt5 de auó.iones dc üna vaiablc. 5 ds lunciones de v¡.i¡s va.iabtes, 1 05 de fü¡ciones vetonáks, 139 e xa cta s. ¡0 6,ll5 , 116.r 93 ¡nlerp¡etació¡géonél¡ica,59

deiv¿dasd€ ld, ll8 l.l0 tómulas de adición de las, l.1l , 142,344

Dile¡encüs.eu¿.io¡es de, 56,235 Dirmroral6, derivadas, ló1, 1ó9 Diricnlet, co.diciones de, 299 crleno de, pa¡ainteg¡ales,266 253 l[ra senes.228, i¡tegúlesde, 287,292,293 Dúigidos,segñentos, 134 Disonlinuidades,25, i04

Eólolve.tes,162,168,t69 E¡üncábilidad,4, 10,tt de los núnerós álcebraicósj 12 de los núneros¡acionales, l0. tl E¡umerable, conjünto,4, 10,11 nedida de ü¡, 31,87 Equipotencialcs,clrvas y sup€rti, E¡ror ni.imo cüad¡átio,3t0 EroEs, al c¡lcul¡¡ süñ¿sde e¡ies arlernas, 226,238,239 aplicáciones a lós, l@, 174 Por ni0bos cuadndos.ll0

Donióio, de conversencia, 228 de una función,20, 101

dcnostúci ón de la ir¡acio¡ alidad Deternlnanle, del producto v€to-

Enqje de intervalos, 43,.50 Enl€¡os. positivosy ¡eeativos. I

l¡¡plep¡oducto,tl7, lt8 Escalonada,lunción, 28 Esféricas,oorde¡adas, t4l, 153, ereñentode aro e¡. 141 153 elemehtode volüne¡ en. t43i t 5 3 ,1 5 4 ihteg.ales ñúhipl6 en. 189 lapladanoe., l4l, 158 Euler,constanre de, 251.286,295 fómnlas o idenlidades, 7, 25t leo¡ena sobre tunciones hoDo, Elilable,discontinuidad. 14, 104 sinsularidad, 3.|¡. 158 Exaclas, difeEnciales, 106,l¡5, rt6 (r¿¿re¡¿uór1¿,Dite¡enciatet Explicitas, fünciones, 10? Expo¡encial, función. 22

p.¡'odosde las,339,340 comdeb e inconplera.lll pnme¡¿especie, ll1 ll8 ']e de segu¡daespecie, l3l-338 deleEe¡aespecie. 331,ll2, 333 fo¡masde Jacobide las. lll, 332 lofrasde tf,gendEdelas,331 nódulo cobFlcme¡tario delas,

E{lr€mo.de un !e.ror, r34

t¡amfofr¿ción de Land€n dc las,ll2, ll3

Facto¡ial, fun.ióo (r'¿¿s¿Funcion€s

de una succsión,42,41, 49

de sueroftsj 42,43, 49

376

INDICE

Fibo¡acci, slesión, 53, 55 Fluid6, nsán¡a de ¡os, 353 Foma polar de lós nr¡n.ros mn-

Fu¡ciores, mientes! 21, 26 d¿ Bes*|, 232, 250, 251, 291 de fürción (,¿¿J¿ Compus|ai

Fomas cuadráti@s, l?9 Fónul¿ de
de variable complejá, 34s-372

solncióo de FrobleÍas de €on,

denvada de, 345,15l-353 eleñerl¿les. 345, 1,16 in1€sml6 de. 146, 152,356 int€gú16 cl*il¡neas y, 3,16

condiciones de Dirichlet FEra o¡Esñda de, 299 onv¿rgmcia rlc las, 299, 3u3 13 derivació¡ e inleg.aciór de, 3 0o , lt l ef coenos o eDFn6i 29. 300. 306-309 id€ idád de Paey¿l de Ie. 3@, 309, 310 ootac'ón onplEa de las, 300 solüció¡ de p.ob¡emasd. cortom o For , 300, l1l, 314 l€olma de la i¡tegral de, 126 d.nostiaciór del, 326-328 denostración neuristica del. 326 l¡a¡sfomadas de, 322-325 roná simétricad. las, 322 idmtidad€s
Ca!.hy-Rienatrn, ecu&ior¿s de, y (,¿¿s¿cauchy.Rie, n¿¡¡. *@c'orcs) condnuidadde, 345,351-3s3

fnitesdeIas, 345.150,351 pafe inasina¡ja d. ld, 345, 352,353 pdle r€alde las,345,352,353 polos de las, 34?. 348 pünlos singula6 rle las, 34? e.i6 d€, 34?, 357-360 teorena d.l 6iduo ¿e las (,¿¿s Residuo,leoMa del) iB¡sfom¡d6 de lápl@ y. t72 de va¡ia variabl6,101,r10. 11l doblden¡e periódicas,340 €llptiG Eipr@s, 132 rransfolmdá d¿ Fourier, 322 (,¿6e ¡@ri¿r Foun€r, lnns tnnsfomadd d¿ Laplace,280, 312 (n¿@ tMb¡¿r Ltplace,

FErel-Se¡el, rómulas. 159 FEs¡el, i¡tegÉ16 d€, 294

explLitas e inp¡iciLs, l0? 8¡nná (,1¿r¿cmña, fhción)

Frullani. irt¿Bnl de, 282

nip€r36eé1¡ids, 232. 257 .

Ftr¡cio@I. deleminante. 107; 120 lrézre tMbi¿n l^@b\ano,

Iimites de (P¿¡? L¡ñit6 rle fün-

Fu¡cioncs, 20-40, l0l, 107, 345

náf,inos y niniúos de (Dl¿r¿ Máximc y ninibos) ñültifomes

(,¿a¿ Multifome,

Futuion6, Edpro*

(e¡as Reci-

sücesionesiy eries de, 22'7!228. 232, 242, 243

rr¡@ndent4 er@úta¡es, 22, 23 unifomes, 20, 101.345 BtoEs

(D¿6e v*torial€s, tu¡-

Fündrdenbción axioDática, d€ los númer6 co6plejos, 6 de los ¡úDeros É¿les, l del arálisis wtoriáI, ll8 Fundan ntal. lmrm4 del álsebra, 2l del cilcúo iriesml, 82, 88, 89

Catlrm, fu¡ci@, 2?5, 28s-297 róñula de düplica.ión de ¡a, 286,293,294 aóñüla de ÉcurE¡ciá d¿ la, x5,241 fómül¡s asintóti* pan la. 286 lómulas de StirlinS y s¡ies asi órias pa¡a la, 286,292 p¡oductoi¡ñnito pa¡¡ laj 236 p¡olon8a.ió¡ ¡r¡¡itia
b€la (,¿d¿ Bel¡, fünción) cmpuesls

(o¿¿r¿Conpü6tas.

@tinuidad de 186¿ Continu!

ofoSomles,301,314,3¡5 H'p€rbó1i6, @orde¡ad6, 185 Hipe¡boloid€ d€ üna noja, I I I Hipediplicas. auncion6, 332

I ND I C E 317 Hip€rsemé¡ñcr. func,ó¡ o r¡le qipe¡süperñcic,

tO1

_,ára enerad¿ por Is ?20 HoDoAénea,tunciúnes j leorenade

lglaldad, de búmúos coDplejós. 6 Im8tn o tnnsfomadóq lO8, 366 1ña8roe1a, pa.lej d€ fünciones d. va¡abteconpteja,345,352_ de u¡ numerocomDtero. ¡ u¡ida d,7 ¡Dp¡fts, füncio¡es, 299, jOG3o9 hpÍcitas, tu¡ciones. tO7 yJacobi¡nos,119123 rnprop'a, ,nreSEts 85, 9ó. 99. 260-234 @Dleryúcia unifo@e de. 265. 2Á6,214.275 conv€B€rcias absotuta v con ¿icioa,l de. 262, 264, 2.10. 211 cn&m de conpdación Dara. 26r,264.268 cntenodet cocrenleDam_262 264,268 c.ite.io ¡' de Weierr6 Dda. 264.274t79 de p¡inoa espaie, 260-262_ 268-271) oe se8!úá cspeie, 260, 263_ 265,261,272.273 de r€¡cúa especi€,2an. 2ó5. 2J3.2 74 dcpend'entcs de un p¿r¿m€rro_ ?65 iódel¡ida¡, i¡res¡ates, s2 l&¡¿,¿ ¡trdepe.denci¿dc¡ qñinó, t9?. 193 205-201.215 Iódependiente, vanable,2q tot rnd€tmrmd4, toñas, lt, 62,7l L Hópita¡, Belas de (u¡¿r¿L,H¡_ toÉh¿ de Tay¡or y, 62, 72 74 " rnouccron Dárenátia. 7, t4 inñnilas dinensiones.v*to.es con.

hnnitó, intervalo.iot pr oduc t o, 233 . 2 5 l , 2 j s pa¡aI¡ fuóció¡ sahn4 2s6 par¡ *o r, l¡5. ltó ihnección, punlo dc. 79 hleg¡ación, apliclciones de la. 86_ e].N tvae hnbpn t¡rc$zt¿\) , D¿tolerrSno Inrecr¿t.t6l. 164. d¿ fu¡cioncs especiates. 3j, 84 de se¡esde Fou¡ic¡.31I inlercanbiodetorde¡, l8l ñáodos .s¡Eciales,84, 85, s9-92 por f¡aeiones parciales,84,9t. 95 Integ¡al,crirerio.225,2j6-238 hte8¡ales, 80loi), 223, 260, 291, 321_344.346, '80 347, r49. 3s3-3s6, 3@-36A e¿Ne tMc¿]cuto d.,26J,ZJs 2.t8,1a9362co¡ve¡Cñcia u¡ifomc de. 265 266, 274, 215 curúllMs le'¿,€ Cu¡viti¡ea,in-

de tundorcs de va¡iable conDteJa,34ó,35t. 356 de funcio¡6 es!€ciales,83, 8.t de se¡esde fü¡cio¡es. 229. 246
I¡leg¡a¡es, rcite¡¡das,180,t8t tcó¡eha det ralo¡ medro etu 31,82 r m n l o m ¿ c i d n d c8, r ,8 9 9 2 .t 8 l r83lsl Imell*tó¡ de conjunlos, I I rn¡e4*oon$ con rosejeq 1t0 Int€nalo.de inreSúció¡.80 htervaios. abie.to. 4 dc conve¡gencia,6l I¡van¿ncia,retaciones de, lj9, t6(] rnva¡'ame, esa¡a¡. 160 rnvesiónde senes.23t ¡nEso en ¡aeulripticació¡,2 r¡&@ates, a¡seb.aes, t¡nciones! dé !4

denosrracióú. 8

aproxin&ióo de tos,8 dennicjón,| (¡¿6e tmbién D.d€kind, conadu¡at . rzq¡sdai continuidada ta,2, denvadaá ¡¡. 57,64,65

lacobi. forb6 de ¡¡s integmhs etipl r c a sd e , 3 3 t . 3 1 2 níúulas d. adición,341.142,3.i4 runoo¡s eltpli6. ll2 , D o D r ¿ n o s1, 0 7 .| 1 9 - 1 2 1t .4 t , 1 4 2 , c,,ordenad6.u^ lne6 y_ l4t t4) de r¡a8roeacioDs, t08, 142 oenvad¿s parcia¡es ñedianlq t07 rü.clon dc mnabte oñpleja y! funcbnesinplicils y, 119-123 núhiptesy, tsl 'oreg¡ates me¡pretacúnrctorjal, t4l fts¡asde cade¡a.lO8

K¡oneci{er, síhbotode. 3Ot I-ssrange, hútripticadoEs, 16.1, ¡72 rsto de,enla seriedeTayló¡.6l . 95,23t l¡nden. r¡¿Nfo¡nációó de, i:]2

3?8 Laplace.aplilzción a tas ecu¿ciones diaercnci¡les.267, 230 suación dc. ll3 if¿¿r. ¡¿nóri,, Lapl¿ciano. ope.¡do, relació¡ con tu¡cioncs de vaiabte conptejá.172 reo¡4a de convotución.284 tra¡lórmdas, 267.279,280,234,

312

hplaciano. en cdorle¡adascilin_ e¡ coo¡úenadas corvitincas.i,12 en coorde¡adas esféricas.t43 op.rádot, 111lt¿ap ¡ahbi¿nLa Lalret, *¡i¿ de, 3.18,359,360 Lese¡dre,formasde ta jnleg¡alos t¡ibnitz. ¡ótuula de la derivzda ,-ésimáde un producto,79 ¡egl¡de, pa¡adeivar bajoetsje ¡o inregrat,163.I70.26ó

Lisa,fu.ción (¡,¿dr¿ casidúeEnciá Loga¡ ir m o s , 3¡ 0, , l 5 l basc¡reun sisreñade, 3 coúd r¡ncion¿s nultifomes. 15t Longirud.dc un vector,ll4 M ac l¡ u¡ i n€. r i e d e .6 1 , 2 l t Magn¿rico, v*ro¡ camlJo,159 Magónud¡jeu¡ vffro¡, t34 Máximoy miniñq. 2t. 6t. 6:t, 74. mérod.de ios nurtipti€doresde L¿grarge,161.1J2-1 14 t¿oremadeTayloryj 74,75, 171, t 12 Maxwcll,eu¡cionesde. t59

Mayo¡a¡tes,mi¡órantes.5, l¡, t2 p¿rav*rores. ll5, !4:l L',Hópiial.reelade.62.?t-?4 dcnostmcionesde ta. 7t, 72 Linites. de fun.iones,20 40. t02, l0 l, IIt, ll2, 345,350.l5t a la deEha y¿ ta izquierda,23 d¿ variablcconptcja,34s,150. 35 t

Métódodeasrupació¡pá.adifcreó

Múltiples,jacobianos e, t3r tnnslomacio¡esde. l3 t. I82 dc númerosconplclós,7, t2

n-enña.crnd¡o de ta, 226 en ¡otor,grad$ntey dive¡gencia. fómulas e. quee¡re, 14t

j Nepcriano, sisteñi delogarirmos. Newlor, nérodode, 79 Normal,a !¡a süpe¡6cie, 140,152, t6t. 165-167 c.uaciones Érama¡icas.¡61 a unacuNaalabéada, t55, t59 Nomaliados, vsto¡esy funciones. 30t

Nunéricos,nétodos(¡.¿¿.r?¡m¿¡?, ADroxinaoiones) pao ailcllo de DreArálesdefi¡idas,81,92,93

Míninos cuadrados. aproxiúácioenünerabilidad de los. 12 conplelos (,üzs? Complejos, nú,

dcoorración de los teo¡enas

'le

li¡n.ionesvectoriales. t:t9

de suerones.4t, .44,45. ,7

tco¡en¿ de Botzano-W¿ieF frass (¡r,¿r¿BolzanoWéier ffa$.

rco¡enx

del

Líneade ramificación, 167 Lincal,dependéncia.deveclfles, t60 lrdúciona¡ia. transformación. ti6 (¿.¿¿s¿ r@ói{t T.ansfornacio Lineales. translomadones.lll f¡acdonarj¡stf ¿ai¿ Tr¡nslnF mac'o¡es, i.acciónariasti-

Móduló,compleñhla¡io,3.1:l dc eliptic¡s,331 de 'nlegralcs un núne¡o comptejo.6 Moebius,bandade.2l0

trrac'onal6 (¡ú¿.v lractonates,

ope¡aciones con,2,6-8, l?. 13 Monólonas,fu¡c,ones.2l

r{'ona¡es (,/¿re R¿cionales. ¡ú,

leorcúdfundam¿¡tal sobfe,42 Mulrifome,función(ú¿,reFuncio-

¡ealcs (!.é¿r¿Reálcr, núDerot

Multiforñeñente có¡ex¿sj reao, Multiformcs, lun.ioncs,20.2t. lOt, rog¡nt0oscono,351 Múhiples,inicsrales.t30-194 on@orden¿d¿scilindricas, t89 e¡ coorde¡¿das cu¡v,lineae,18. t 32, 2¡ 7 , 2 1 3 en coo¡denadas esaó¡icas, 199

Ond¿.*uacionesde la, ll9 Ope¡aciones,con núñeros conple j o s , 6 . 1 2 ,t 3 con números¡ealdj 2, 7. 3 con s¡es de pore¡c1as, 230.231

379 R¿cionales. enún¿rabilidad de los, 1 0 ,1 t Radio,de conve¡genc,¡. 229.232 d€ cuBalurá,¡5ó, 159

Orientablc, su¡¿rficic,210 Origc¡.de ún shremade coordenaOrogo.ales. cóó¡dendd¡scurvilincas(¡l¿scCu¡vilíneas. coorde-

d¿6.idóspor una sericdc Lau Posiiiva.dclinida.fúma cuadrári

l¡n.io¡cs, l0l. ll4, ll5 Oro¡om¿les. fu¡ciones.l0l

Pappus,tcom¡ de. ¡94 Parabólicas, coorde¡ad¡scilíndiParalelcpipedorolume. del, 137, Patalelog¡amo, ár€adel, l3?, 148 rcgl¡ del, 13, 134,l,t4 Param¿ticas.(uaciones. de la .or-

nérodódeNewro¡parahalla¡.

Potencial. de rel@1dad. l5l Polencias,cohvc¡genc,a u¡ifo¡¡e. 210 deerolló de fuociones c¡. 2ll opencionescon, 210.2:11 radio dc conve.gencia,229 scriesde.61, 229,248-250 reoremade Abel sbrc, 2:r0

nolacrones d¿ las.104 ordo
dc núme¡osconplejos.7, 13 ¡1enúncros¡eales,3,I0 R2na p¡incipal.de un loga.ilmo, Ramasd. u¡a tu¡ción,21

[]51

ParLe.de funcioncs de lanable de un nrlnerocoúplejo.3 Realcs,¡úñe.os. | (Léos¿tahbi¿n desisualdades e.re (,¿ds¿De$

Próbleñasde contorno.e ,nrcgrá de ubacuN¿ alabead¡,139 Pa¡ciales, denv¡dss.101-103 aplicaciones,ló1179 cálolo dc las, l12 l14 de ordcnsupedo¡,10J

Raices, de ecr¿ciones, 2l

en la l¡a¡mÁión de¡ calor.lll. lt 4, : 123 en las cue¡d¿svibrantes.rl9 método de eparación de va¡iablespara resolrcr,3ll y s¡ies de Foüri€r.lll,314.328

fundane¡losaxiomáticosdell no enümer¡bilidad. ll op€¡acio¡es con.2. 7, 8 Paresy ternasorde.ádosd.. 6 138 ¡epn*¡lación decinal, I rePÉsentación geon¿t¡ica, 2 R*ip¡ocas,.o¡tinuidcd de,26

derivada,-ésinn dc un. 79 esálar. 136,137.145.14ó ley connutarivadel, 136 Iey distributivadel. ll6 Prolong¡ción analilicadel¿ función Proysción de un velor, 195 Punlo,de@müladón. 5, 102tü¿s¿ ¡¿áá¡?¡ Unitcs, puntot dc ramilicacióó, 28.148.ló7

Rehngular. ento¡¡o, 102 rcglade intesració.,35 Rstansnl¿res.coodenadasq¡tevccrofes c¡npo¡emes.I 16 Reducido.mtórno. t. 102

Péndllo,periododel. 140,341 Pe¡iodo de üna fu¡ció¡, 298 de anncioneselipticas, 339,1,10

linile (L¡ds Limites.pu¡tot núllip¡c o de raniñcación,28. 148,3ó7 sinsula¡ {¡'¿aP Sinsulares, pu¡

Rel¡tividad,teoriad.la. 160 Repres¡tació¡, 108(,¿¿s. ¡¿u¡¡?r

Engentea ü.a süperñcie1,@s¿ P¡enitud, de u anju¡lo

o¡tonoF

múltiplencntecone¡a,102 simpl¿ñenleconeu, 102.197.20! Regular,sunabilidad.213.258 Reileradas, i¡tegÉles.180.l8l

Rabe, drcnode, 226,227,24r RaJionales,de algébraicás,fu¡ciocálculodeinre8ralespo¡. 349,3ó2166

r

380

INDICE

Residüos, dmosrr&ióa del l@Et ot€na, 348, 349. 360-362 R.su¡Enrede E toG. ¡14, ¡44 R¡emann,i¡regrabtee¡ se¡ri
142

S.hwa¡¿ dsjsna¡dad d., para iú_ pará úúDe¡os E¡t€s! 9, t6 s€ptuacióúde mriabt€s, e peble_ M de ontor¡o. 3t3 crit€¡io pa¡a inregraj4, 262 de Fo¡¡io, (,¿6, Foüiq, sde f!¡cio.B de vdiable conbtejt. 351-360 <¡et¡urcn¡, l4B, 359,t6O,l7r d. Mactaun¡,61,2ll de polenciasl,16¿ pore¡cis, sd. Tay¡oi (,¿¿r¿Tayto., sen€del dob¡q 233

P,225 suas p€t¡at6 de üna, 4j, 224

atrú@, 225, 226, 23a, h9 c¡terio de cowc€€¡ci¿ Das_ 223,226 error ñ cáto¡os coú, . ¡8. 239 conqgc@ia abso¡ura rt€. 226. 213,239.t44 convúg€¡oa ondicion¿l! 2¿6 conw.gtuia ünjfome 22?, 22s (!¿¿s¿¡@ó¡, unifome, coh_ crlldio deonpa@ió¡, 225.¡5. 236 4reno {rc cau$. 227, 241 dit.rio de I¿ raiz .ésin¿, 226 cnr.rio .te kaab.,226, 22.1,24t cnte¡io [email protected]é, 225.226.24!. 241 dile.io ill¿sral, E!5, 216, 218 cnteno ¡r', de \veid!tra$. 228. 245.24

Se¡ies, c¡ile|ios de co¡re¡ee¡cia 225-221 de Í\rcioneq U7 , 22s, 232. 242.

suDábilidád.Egutar,233.258 SüDA parcia¡a de súies, 41, 224

u1

de tétuinos conptejos, 232 turcioües deonid¿spo¡,?32 odes¡rott6anLónco\, 2ll. 214. 252,251.259 pan td fuhción saoma. 2s6. 292 ¡e¡8tup¡c'ól de tos Éminos de sMas P¡rcial*, 43, 224 Simplec@d¡, cürvs. tO2, t97, 204 smptemflF co¡é{o, ¡ePión.lo2. t97, 2M SiDp6@, r.e¡a de, 8j, 92. 9l Sirsu¡aÉ, püntos, aislados,l4i d€n¡idos por eri6 d. l¡uh1. €socqles.348,358 evitabtB, 34¡, 358 o eúsutaddad$,I24,260.347. Singlldidad esenci¿I,148, 358 sisteE¡, bina¡io fk'¿r¿ Biüio. s¡de coo.dqadas ddtroe. t35. l3rí Sole¡oidátes. enpos velo.iates. 219 S1i.ü8, fóúül¡ asint&ie v erie d.,286.292 Slot6, dúGtndóD det, 213,214 leoem de,200 213-2t7 Su€¡ó¡. de Frbonae. 5t. 5i ¡cotada8, no¡ólD¡as, 42, 47 49 onvúBqcia unifome d€, 227 clv4ent s y div€.8€nres,41,

inteenlesd€. ¡98, t99,207-2tO nomd a una {,f¿re Nomd a um plano tangent€á uDa(&¡d? TanSulErposrcio¡. p¡¡crpio dé. 3t4 de ¡úmeñs cónplcjos, t2

Ta¡&rl., a uú cun¿, j8,162, t67, 163 a ü¡a cün¡ @¡denada, l4t en coordoadascuNilheas, 166. pla¡o, 161,165t67 Taylor, erie de, d. funcionesd€ va ¡iabte .onpteja, 34? ñ vá.i¡s veiab¡es, tO9 en ha vdsb¡e,61,231 (*j¿r¿ tMbién V^tót ñdio, ¡eor._ ma de Taytor del) uúicidad de la, 25? @rma oe. aproxiE&io¡es nedel va¡o¡nedio, 6t, 109.124. 125 dmoú&ión del, 70, 125,158 en la jnlegreión aproinada. 35.93 foúas i¡det€mibadas y, 62. para funcionesde va¡ias varia6les, 109, 124, 125 pan lünciones de üm uiiaB t o e ¡ , 6 1 , 9 5 i2 3 t

tiñí6, 4t, 221 k¿ak hnbi¿, LiDnes de sücsio¡6)

Teorch¡ det varo. nedio. 26 Téúi€, coDducdvidad.314 Téúino, de ¡m se¡ie,224 Temas ordenad¡s de núneros M,

Sunabilidad,233,252,258

To1ár, diaerrci¡I,

tO5 l"é6¿ tM-

T¡abajo, @no inr.s¡at cupiün€a. t96

T¡ahslo¡ma.ión*,t08, 123,124 bili.ea¡eso i!a..ionariasline¡ies. 31 6,t7 t de rnteg¡atesj 81,89-92,lUl. t82. t38 -19 1

Jnron de conjuniosj Unn¡rio, lector raneemc.t39 Unnarios.de i¡ñ tasdine¡srones. 301 oroeona¡es,tl5. t36 v ec r oies135, , l16,30l

Tnscendentes,etcne.tales, de vamble conp¡eja.145,34ó

Tn¿¡, sobreun pta.o, llt T¡ieo¡ónélricas, dc.ivadas de las,

de núneros comple.jos.6 ñedio, denósl¡acrón det,ó8 p!¡a de¡iradas.ó1.63 71. tl)9. 124. t25 pa¡aintegrales. 8t, 82.38.94 @o¡enagenerahadodet. 61, 69 p¡incipal,de funciones, 21, , de lunc'oneshipe¡bóhcas rsi

de irtegrales(u¿¿r¿Cluchy, va-

T¡iples,integrales. t81, 136-t88 t¡a¡s¡omrció¡ de. t32, tsg l9t Unifome. convergeocia,227. 228, 243-245 crf¿rio ¡' de Weieblr¡ss pa¡a (,¿¿r? Wei€ist¡ass,crite, ciierio paraintesiales, 2ó6 c¡jtenospa¡asenes,23 de¡ntee¡ates, 265,266! 274.2?5 dere.iesde poto¡cias,230

Lntra¡ros.t:15.Bó..301 Vsro.ial.álgebra.tt,t.lt5. I4:] 1,15 anális¡ t.¿dJ¿Vsro¡esl

vdronales.iu¡crones_ t3B rmnes_con¡nuidady deivadas

de fu¡cionesl.igonohét cás

jnte8rales de tás.81,84 T¡ipleproductoesc¡lar,ll?, 138

núne¡osco6pteloscono. t8 ¡esül¡anre o süña d._ 11,1.l¡4

Jacobianos de, 103,142 y coordenadas curv ineas. t2l, t24,141 Tra¡sfo¡na¡jas (r¿¿r¿ Lapt!ce,

rongirüdo nagnifud.t34

Vibranre.ruación detacuerda. ilg dcl pa¡alelepip¿do. 87, I48, 149 eleDe¡tode.142.t.11.l5l. t54

cambiode. en ta dÚiveió¡, 59. t0ó cahbrode. en la i¡teg¡actón. 33, 39- 92, l8l. l3 2 complcja,145(!vs¿ ¡¿dó¡¿,Füncionesdc va¡iabteconpleja) ¡iependi€¡tee indepEndiente,20. t 0t liñites dc inrearació.,83, l6j, t 70. 266 álgebndc. 134,t35, t43r45

Leo¡eeaspa¡a rnrg.ates, 266 Eorénasparase¡ies.228.:29, u6.247

coo¡denadas curvili¡tus y. t42 de inn¡f asdinensiones. :l()l f¡.danenlos axiomáticos de 138

t¡óción,20, lot,145

pó¡. lacoda¡osúterp¡erados

Wa l l É ,p ¡ o d u . bd e , 3 t 6 weie^úas. c¡irerio¡/ de.para i¡ teqrttes. 226.774279 parase¡ies. 228,24J,24ó