Calculo Superior

CALCULO SUPERIOR

GUSBETH TOLEDO ALONSO [Dirección de la compañía]

Independencia Lineal Definición Dado un conjunto finito de vectores

, se dice que estos vectores

son linealmente independientes si existen números

, tales que:

Donde la única posibilidad que se cumpla esta ecuación es que dichos escalares sean todos nulos. En caso contrario, se dice que son linealmente dependientes. Nótese que el símbolo a la derecha del signo igual no es cero, sino que simboliza al vector nulo

. El

conjunto de vectores nulos forma la matriz nula. Si tales números no existen, entonces los vectores son linealmente independientes. La definición anterior también puede extenderse a un conjunto infinito de vectores, concretamente un conjunto cualquiera de vectores es linealmente dependiente si contiene un conjunto finito que sea linealmente dependiente. Utilizando conceptos de espacios vectoriales podemos redefinir la independencia lineal así: Un conjunto de vectores

de un espacio vectorial es linealmente independiente si

Esta idea es importante porque los conjuntos de vectores que son linealmente independientes, generan un espacio vectorial y forman una base para dicho espacio. Entre las propiedades de los vectores linealmente dependientes e independientes encontramos: 1. Un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solamente si alguno de los vectores es combinación lineal de los demás. 2. Si un conjunto de vectores es linealmente independiente cualquier subconjunto suyo también lo es. Obviamente, si tenemos un conjunto de vectores tales que ninguno de ellos es combinación de los demás, escogiendo solamente unos cuantos, no podrán ser combinación de los otros. 3. Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, también lo es todo conjunto que lo contenga. 4. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si y sólo si son paralelos.

5. Un conjunto de vectores son linealmente dependientes si los componentes entre ellos son proporcionales, bien sea directa o inversamente proporcional. Ya que un conjunto de vectores es linealmente dependiente si y solo si tiene algún vector que es combinación lineal de los demás, si metemos este conjunto de vectores en otro más grande, seguimos teniendo el vector que es combinación lineal de otros, por tanto, el conjunto más grande será linealmente dependiente. Significado Geométrico Geométricamente, dos vectores son independientes si no tienen la misma dirección. Esta definición supone que el vector nulo tiene todas las direcciones, en otras palabras este debe generar un área. Tres vectores son independientes si y solo si no están contenidos en el mismo plano vectorial, o sea si ninguno de ellos es una combinación lineal de los otros dos (en cuyo caso estaría en el plano generado por estos vectores) en otras palabras este debe generar un volumen. El espacio generado por un sistema de vectores es el conjunto de todas las combinaciones lineales de estos vectores. Es un espacio vectorial. El espacio generado por un vector no nulo es la recta vectorial dirigida por este vector. El espacio generado por dos vectores independientes es el plano que los contiene. Resulta fácil comprobar que el espacio generado por un sistema de vectores es el menor (por la inclusión) espacio vectorial que los contiene a todos. Se le denomina vect A, donde A es el sistema de vectores. Si n vectores son independientes, el espacio generado es de dimensión n (dimensión en el sentido usual: 0 para un punto, 1 para una recta, 2 para un plano...). Ejemplo En el espacio tridimensional usual:



u y j son dependientes por tener la misma dirección.



u y v son independientes y definen el plano P.



u, v y w son dependientes por estar los tres contenidos en el mismo plano.



u, v y k son independientes por serlo u y v entre sí y no ser k una combinación lineal de ellos o, lo que es lo mismo, por no pertenecer al plano P. Los tres vectores definen el espacio tridimensional.



Los vectores o (vector nulo, cuyas componentes son iguales a cero) y k son dependientes ya que o = 0 ·k

Ejemplo del uso de la fórmula f: ¿Son los tres vectores siguientes independientes?

Buscamos tres valores x, y y z que satisfagan la ecuación:

Lo que equivale al sistema de ecuaciones siguiente:

Dado que la única solución es la trivial (x = y = z = 0), los tres vectores son independientes.

Método alternativo usando determinantes Un

método

alternativo

usa

el

hecho

que n vectores

en Rn son

linealmente

independientes si y solo si el determinante de la matriz formada por estos vectores como columnas es distinto de cero. Dados los vectores:

La matriz formada por éstos es:

El determinante de esta matriz es:

Ya que el determinante es no nulo, los vectores (1, 1) y (−3, 2) son linealmente independientes.

Ejemplo 2 Sea V = Rn y consideremos los siguientes elementos en V:

Entonces e1, e2,..., en son linealmente independientes. Estos vectores constituyen la base canónica en R. Demostración Supongamos que a1, a2,..., an son elementos de R tales que:

Sustituyendo e1, e2,..., en resulta:

Multiplicando:

Sumando coordenadas:

Por lo que se obtiene: Así que:

Además: Pero 0 es un vector, entonces:

Por lo que ai = 0 para todo i en {1,..., n}. Entonces los vectores

son linealmente independientes

Ejemplo 3 Sea V el espacio vectorial de todas las funciones a variable real. Entonces las funciones et y e2t en V son linealmente independientes. Demostración Supongamos que a y b son dos números reales tales que: aet + be2t = 0 Para todos los valores de t. Necesitamos demostrar que a = 0 y b = 0. Para hacer esto dividimos por et (que es un número real diferente de cero, sea cual sea t) y restando obtenemos: bet = −a En otras palabras, la función bet debe ser independiente de t, lo cual ocurre únicamente cuando b = 0. Por lo tanto, a es cero. http://es.wikipedia.org/wiki/Dependencia_e_independencia_lineal

Combinación lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

Esta combinación lineal es única.

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores

libres del

plano

=

(u1,

u2 )

y

dependientes si sus componentes son proporcionales.

=

(v1,

v2 )

son linealmente

Ejemplo Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores , combinación lineal de

y y

.

Escribir

como

, siendo k el valor calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a1 = a2 = ··· = an = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplo Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

= (2, 3, 1),

= (1, 0, 1),

= (0, 3, −1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

Base

Tres

vectores

,

y

con distinta

dirección forman

una base,

porque

cualquier vector del espacio se puede poner como combinación lineal de ellos.

Las coordenadas del vector respecto a la base son:

Base ortogonal

Una base es ortogonal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí. Base ortonormal

Una base es ortonormal si los vectores de la base son perpendiculares entre sí, y además tienen módulo 1.

Esta base formada por los vectores

,

y

se denomina base canónica.

Ejemplo ¿Para qué valores de a los vectores

,

y

forman una base?

Para a ≠ 1, los vectores forman una base.

http://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.html

http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/chema/documentos/Algebra %20Lineal/Algebra_lineal_7.pdf

Determinantes

Determinante de orden uno |a

11

| = a

11

Determinante de orden dos

= a

11

a

22

− a

12

a

21

Determinante de orden tres

= a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 − − a

13

a22 a31 − a12 a21 a

33

− a 11 a 23 a 32 .

Regla de Sarrus Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo − están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Menor complementario Se llama menor complementario de un elemento a i j al valor del determinante de orden n−1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j. Adjunto Se llama adjunto del elemento a i j al menor complementario anteponiendo: 

El signo es +

si i+j es par.



El signo es −

si i+j es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una línea por sus adjuntos correspondientes:

Determinante de orden superior a tres Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ón −1 . Seguiremos los siguientes pasos: 1 Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos). 2 En caso negativo: 1 Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ón −1 (operando con alguna línea paralela ). 2 Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deber íamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos. 3 Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros. 4 Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

Propiedades de los determinantes 1 |A t |= |A| 2 |A|=0

Si:

Posee dos líneas iguales Todos los elementos de una línea son nulos. Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras. 3 Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.. 4 Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo. 5 Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía. 6 Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una. 7 Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes. 8. |A·B| =|A|· |B|

Matriz inversa

Rango de una matriz El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. http:// www.vitutor.com/algebra/determinantes/res.html

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. Los determinantes tienen las siguientes propiedades que son útiles para simplificar su evaluación. En los párrafos siguientes consideramos que A es una matriz cuadrada. Propiedad 1. Si una matriz A tiene un renglón (o una columna) de ceros, el determinante de A es cero.

Ejemplo 1.

Sea Desarrollando por cofactores del primer renglón se tiene

Propiedad 2.

El determinante de una matriz A es igual al determinante de la transpuesta de A. Esto es

Ejemplo 2.

Sea

La transpuesta de A es

Propiedad 3. Si se intercambian dos renglones (o dos columnas) de una matriz A entonces el determinante cambia de signo. Ejemplo 3.

Sea

con

Intercambiando los renglones 1 y 2 la matriz queda

con Note que los determinantes se calcularon expandiendo por cofactores de la primera columna. Propiedad 4. Si una matriz A tiene dos renglones (o dos columnas) iguales entonces det A = 0.

Ejemplo 4.

Sea

entonces

Propiedad 5. Cuando un solo renglón (o columna) de una matriz A se multiplica por un escalar r el determinante de la matriz resultante es r veces el determinante de A, r det A.

Ejemplo 5.

Sea

cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,

Multiplicando el tercer renglón de A por el escalar r = 3 se tiene la matriz B siguiente

cuyo determinante, desarrollado por cofactores de la primera columna de B es

Propiedad 6. Si un renglón de la matriz A se multiplica por un escalar r y se suma a otro renglón de A, entonces el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de A, det A. Lo mismo se cumple para las columnas de A.

Ejemplo 6.

Sea

cuyo determinante se calculó en el ejemplo 2,

Multiplicando la segunda columna de A por el escalar 2 y sumándola a la columna 3 se obtiene la matriz B siguiente

Expandiendo por cofactores de la primera columna se tiene

Propiedad 7. Si A y B son matrices de los determinantes de A y de B.

, el determinante del producto AB es igual al producto de

Esto es

Ejemplo 7.

Sean con

El producto Y su determinante es

y y

Entonces

.

Propiedad 8. El determinante de la matriz identidad I es igual a 1 (uno) Ejemplo 8.

I=

det I = (1)(1) – (0)(0) = 1

Propiedad 9. El determinante de una matriz singular, es decir, que no tiene inversa, es igual a 0 (cero) Ejemplo 9. J=

|J| = (1)(-12) – (-3)(4) = -12 +12 = 0

Se puede fácilmente comprobar que la matriz J no tiene inversa. Uso de las propiedades para calcular determinantes de alto orden. Al utilizar las operaciones elementales sobre renglones, se puede reducir un determinante a una forma mas fácil de evaluar. Si se reduce a una forma triangular superior o inferior, el determinante es el producto de los elementos de la diagonal principal. Al hacerlo hay que tomar en cuenta las propiedades 3, 5 y 6, como en el siguiente ejemplo. Ejemplo 10. Calcular el determinante de la matriz A de

Simplificamos el cálculo del determinante de A reduciendo por renglones

Entonces, la permutación P14 cambia el signo de det A , las operaciones y no cambian el valor del determinante. De esta forma

Se podría seguir reduciendo a la forma triangular, pero observando que hay varios ceros en el tercer renglón resulta fácil desarrollar por cofactores, primero de la primera columna, y después del tercer renglón:

http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/III%20Dets/propiedadesdets.htm

Sistema de Coordenadas Cilindricas Las coordenadas cilíndricas son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. El sistema de coordenadas cilíndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetría de tipo cilíndrico o azimutal. Se trata de una versión en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometría analítica plana. Un punto 

en coordenadas cilíndricas se representa por (ρ,φ, ), donde:

ρ: Coordenada radial, definida como la distancia del punto

al eje , o bien la

longitud de la proyección del radiovector sobre el plano 

φ: Coordenada azimutal, definida como el ángulo que forma con el eje proyección del radiovector sobre el plano



la

.

: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano

.

Los rangos de variación de las tres coordenadas son

La coordenada azimutal φ se hace variar en ocasiones desde -π a +π. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de ρ llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ahí, ρ vuelve a aumentar, pero φ aumenta o disminuye en π radianes.

Relación con las coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas y ejes cartesianos relacionados.

Teniendo en cuenta la definición del ángulo φ, obtenemos las siguientes relaciones entre las coordenadas cilíndricas y las cartesianas:

Líneas y superficies coordenadas Las líneas coordenadas son aquéllas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilíndricas, éstas son: 

Líneas coordenadas ρ: Semirrectas horizontales partiendo del eje



Líneas coordenadas φ: Circunferencias horizontales.



Líneas coordenadas

: Rectas verticales.

.

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son: 

Superficies ρ=cte.: Cilindros rectos verticales.



Superficies φ=cte.: Semiplanos verticales.



Superficies =cte.: Planos horizontales.

Las líneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, éste es un sistema ortogonal. Base coordenada A partir del sistema de coordenadas cilíndricas se puede definir una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las líneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

e inversamente

En el cálculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilíndricas se obtiene que la expresión del vector de posición en estas coordenadas es

Nótese que no aparece un término

. La dependencia en esta coordenada

está oculta en los vectores de la base. Efectivamente:

Diferenciales de línea, superficie y volumen Diferencial de línea Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilíndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie La expresión general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilíneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada,

el

resultado es

y expresiones análogas para las otras dos superficies coordenadas. En el caso particular de las coordenadas cilíndricas, los diferenciales de superficie son

ρ=cte: φ=cte: z=cte: Diferencial de volumen El volumen de un elemento en coordenadas curvilíneas equivale al producto del jacobiano de la transformación, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilíndricas da

Operadores diferenciales en coordenadas cilíndricas El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilíndricas. Éstas son: Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cil%C3%ADndricas

Coordenadas Cilíndricas El sistema de coordenadas cilíndricas utiliza como base el sistema de coordenadas polares en 2D proyectado hacia el espacio usando la coordenada z del sistema de coordenadas cartesianas. En este sistema, las coordenadas x e y son reemplazadas por un vector dirigido a la proyección del punto sobre el planoXY cuya magnitud es igual a la distancia del punto al eje z , la cual es la primera coordenada del sistema. El ángulo de dirección de dicho vector medido con respecto al semieje x positivo constituye la segunda coordenada del sistema y la tercera coordenada coincide con la coordenada z del sistema cartesiano. En la Figura 6 , pueden observarse las tres coordenadas asociadas a un punto en el sistema cilíndrico de coordenadas.

Figura 6. Sistema de Coordenadas cilíndricas En este sistema de coordenadas al igual que en el sistema cartesiano, existen tres vectores directores que permiten indicar la dirección de un vector. La Figura 7 , ilustra los tres vectores directores del sistema.

Figura 7. Vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas.

Un vector en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Donde

es la proyección radial del vector con respecto al eje z sobre el plano XY ,

es la componente angular medida con respecto al semieje x positivo y componente cartesiana del mismo nombre.

coincide con la

Al igual que en el sistema cartesiano, los productos vectoriales de los vectores directores del sistema de coordenadas cilíndricas siguen una regla de rotación, la cual se ilustra en la Ecuación 11 .

Ecuación11 Rotación en los productos vectoriales del sistema de coordenadas cilíndricas.

El vector posición de cualquier punto en coordenadas cilíndricas queda definido por:

Los vectores

del sistema de coordenadas cilíndricas, cambian de dirección de

acuerdo con la coordenada ; a diferencia de los vectores del sistema cartesiano que son constantes e independientes de las coordenadas. Esta característica que se ilustra en el Ejemplo 7 , debe ser tomada en cuenta para la derivación o integración directa cuando se involucra la coordenada

.

Para estos casos, resulta muy conveniente usar las identidades de los vectores unitarios que permiten convertir un vector de un sistema de coordenadas a otros. En la Ecuación 12 se muestra la matriz de transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas y en la Ecuación 13 la matriz de transformación inversa. Estas matrices fueron obtenidas por el método de suma de proyecciones de un sistema de coordenadas sobre otro, por lo que los productos escalares entre vectores de diferentes sistemas de coordenadas pueden obtenerse de forma directa por el cruce de filas y columnas de la matriz directa o inversa.

Ecuación 12 Transformación de coordenadas cilíndricas a cartesianas.

Ecuación 13 Transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas.

http://portales.puj.edu.co/objetosdeaprendizaje/Online/OA04/Sistemas%20de %20coordenadas.htm

Coordenadas Cilindricas Definición

Las coordenadas cilíndricas constituyen una generalización de las coordenadas polares del plano, a base de extenderlas al espacio paralelamente a una recta (el eje ), perpendicular al plano , como sigue:   

La coordenada radial, , es la distancia (en valor absoluto) del punto al eje . La coordenada acimutal, , es el ángulo que la proyección del vector de posición sobre el plano forma con el eje . La coordenada vertical, , es la distancia (con signo) al plano .

Los rangos de variación de estas coordenadas son:

El ángulo

también puede variar en el intervalo [0,2π).

ρ es siempre una cantidad positiva

A diferencia de las distancias en cartesianas, que tienen un signo indicando a qué lado del plano se encuentran, la coordenada radial cilíndrica es siempre positiva. Si nos encontramos en un punto y, sin cambiar ni , vamos reduciendo ρ lo que hacemos es acercarnos al eje en línea recta. ¿Qué ocurre cuando atravesamos el eje? Que a partir de ahí vuelve a aumentar, pero cambia a oa .

Discos duros

La ubicación de los datos en los discos duros mediante el sistema CHS se realiza indicando tres cantidades: el cilindro (C), la cabeza (H) y el sector (S). Para ver qué tiene que ver esto con las coordenadas cilíndricas conviene describir cómo son los discos duros. Un disco duro en realidad es una pila de discos (por ejemplo, 4 discos) separados una distancia fija y grabados por sus dos caras. A cada lado de cada disco hay una cabeza lectora/escritora identificado por el número H, que equivale a la coordenada cilíndrica . La distancia al eje de cada disco la da el número C, ya que un cilindro lo constituyen los puntos a la misma distancia del eje, en los distintos discos. Por tanto, C equivale a la coordenada radial . Por último, dados la cabeza y el cilindro, la posición a lo largo de una circunferencia (lo que se denomina una pista) se indica mediante el sector S, que corresponde a la coordenada cilíndrica .

Grúas

Uno de los ejemplos más sencillos de uso de las coordenadas cilíndricas lo proporcionan las grúas. Para controlar la posición de la carga, es preciso indicar el ángulo de giro de la flecha (el brazo de la grúa), dado por , la altura a la que se sube la carga ( ), y cuanto hay que desplazarla a lo largo de la flecha ( ). http://laplace.us.es/wiki/index.php/Coordenadas_cil%C3%ADndricas._Definici%C3%B3n