Semana 5 Basico Cepreuni

Centro de Estudios Preuniversitarios –Ciclo Básico CEPRE - UNI Los Profesores

SEMANA 5 ECUACION BICUADRADA-INECUACION DE SEGUNDO GRADO INECUACIONES RACIONALES 04/08/2020

Cepreuni 2020-2

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ECUACION BICUADRADA •   Definición.-Una ecuación bicuadrada presenta la forma general: (∗) donde a, b y c son números reales y x es la incógnita. CONJUNTO SOLUCIÓN Al reemplazar , en la ecuación (∗), se obtiene , cuyas raíces son

2

 

Luego , x2 =  

2

− 𝑏 ± √ 𝑏 − 4 𝑎𝑐 2𝑎

√ √

 

√

 

2

Es decir : 𝑥1 = − 𝑏+ √ 𝑏 − 4 𝑎𝑐 =𝜶  

 

2

−𝑏 ± √ 𝑏 − 4 𝑎𝑐 Entonces x=± 2𝑎

−𝑏+ √𝑏 − 4 𝑎𝑐 𝑥2 =− =− 𝜶 2𝑎

2𝑎 2

−𝑏 − √𝑏 − 4 𝑎𝑐 𝑥3 = =𝜷 2𝑎

√

2

 

  En donde se tiene que en toda ecuaci ó n bicuadrada su conjunto soluci ó n es de la forma :

𝐶  . 𝑆 .={∝;−∝ ; 𝜷 ;− 𝜷 }

3

x 4  ( p  4) x 2  16  0

 𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊 ó 𝒏 , Indique el conjunto

(  𝑚 +1 ) 𝑥 4 +

(

 

soluci ó n de la ecuaci ó n bicuadrada :

𝑚 3 2 2 − 1 𝑥 − ( 12 𝑚 +1 ) 𝑥 +𝑚 =0 3

)

Resolución: Por ser bicuadrada se tiene que

  reemplazando tenemos : 4 x 4 − 37 x2 +9=0  4

2

2

-1

2

2

  entonces : ( 4 𝑥 − 1 ) ( 𝑥 − 9 )=0 → 4 𝑥 − 1= 0∨ 𝑥 − 9=0

 

2

luego , 𝑥 =

∴

 

1 1 2 ∨ 𝑥 = 9 → 𝑥=± ∨ 𝑥 =± 3 4 2

1 1   C . S .={ ; − ;3 ; −3 } 2 2

4

PROPIEDADES DE LAS RAICES  Si

α y β son dos raíces no simétricas ) de la ecuación bicuadrada

𝒄 𝟐¿𝜶 ¿ .𝜷 = 𝒂

𝒃 𝟏 ¿ 𝜶 ¿ + 𝜷 =− 𝒂  

𝟐

 

𝟐

𝟐

𝟐

𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó 𝒏,Si el producto deraí ces dela ecuaci ónbicuadrada :

 

 2n

2











 2 x 4  4n2  9 x 2  3 n2  2  0

Resolución:

 

2

2

α .β =

3(𝑛2 +2) 2

2 𝑛 +2

es igual a 2. Determine la mayor de sus raíces.

= 2→ 3 𝑛2 +6=4 𝑛 2+ 4 → 𝑛2=2

  reemplazando : 6 𝑥 4 − 17 𝑥 2+12=0 → ( 3 𝑥 2 − 2 )( 2 𝑥 2 − 3 )= 0    

2 3 2 3 2 3 𝑥 −2=0 ∨2 𝑥 −3=0 → 𝑥 = ∨ 𝑥 = → 𝑥=± ∨ 𝑥=± 3 2 3 2   3 √6   ∴ mayor raí z : 𝑥= 2 = 2 2

2

2

√

√

√

5

RECONSTRUCCION DE LA ECUACION Una ecuación bicuadrada en variable x, donde dos de sus raíces α y β son no simétricas, es :

𝒙 𝟒 − ( 𝜶 𝟐+ 𝜷 𝟐 ) 𝒙𝟐 +𝜶 𝟐 . 𝜷 𝟐=𝟎

 

 

 

Resolución: 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐   reemplazando en 𝒙 − ( 𝜶 + 𝜷 ) 𝒙 +𝜶 . 𝜷 =𝟎  

𝑥

4

2 2 2 2 2 ( ) − 5 + √ 3 𝑥 +5 . √ 3 =0   4

𝑥 − 28 𝑥2 +75=0 6

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO   𝑫𝒆𝒇𝒊𝒏𝒊𝒄𝒊 ó𝒏

Una inecuación cuadrática, es aquella que tiene una de las siguientes formas:   •• • •  

donde a, b y c son números reales ( ) y x ∈ R es la incógnita.

 La

resolución de la inecuación cuadrática dependerá del coeficiente principal “a” y del discriminante ∆ = de la ecuación cuadrática   𝑪𝑨𝑺𝑶 𝑰  Si

∆ > 0, la ecuación cuadrática tiene raíces reales , entonces  

luego, si a > 0, al resolver:

  𝑥 2+𝑏𝑥 +𝑐 <0 se tiene que el C . S .=¿ 𝑟 ; 𝑟 > ¿ 𝑎 1 2   𝑥 2+𝑏𝑥 +𝑐 ≤0 se tiene que el C . S .=[𝑟 ; 𝑟 ] 𝑎 1 2   𝑥 2+𝑏𝑥 +𝑐 >0 se tiene que el C . S .=¿ − ∞ ; 𝑟 >∪ <𝑟 ; ∞ >¿ 𝑎 1 2

𝑎 𝑥 2+𝑏𝑥 +𝑐 ≥ 0 se tiene que el C . S .=¿ − ∞ ; 𝑟 1 ¿ ∪ ¿

 

7

  𝑪𝑨𝑺𝑶 𝑰𝑰  Si

∆ = 0, la ecuación cuadrática tiene raíces reales , entonces:  

luego, si a > 0, al resolver:  

•

 

•

 

•

 

•

𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊 ó n ,resolver lainecuaci ó n : x2 +36>12 x

 

Resolución: se tiene que   2

2

x −12 x+36> 0 → ( 𝑥 − 6 ) >0  

8

  𝑻𝑬𝑶𝑹𝑬𝑴𝑨 𝑫𝑬𝑳𝑻𝑹𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑶  Al completar

cuadrados en eltrinomio cuadr á tico se obtiene la equivalencia: 𝒃 𝟐 −△ 𝒂 𝒙 +𝒃𝒙 +𝒄= 𝒂( 𝒙 + )+ 𝟐𝒂 𝟒𝒂  

𝟐

 

:  

•

  𝑪𝑶𝑹𝑶𝑳𝑨𝑹𝑰𝑶  

•

9

  𝐂𝐀𝐒𝐎 𝐈𝐈𝐈   𝑆𝑖 △<0 ∧ a>0 , por elteorema del trinomio positivo

∀ 𝐱 𝛜 ℝ , 𝐚 𝐱 𝟐+ 𝐛𝐱+𝐜 >𝟎

 

luego, al resolver :  

•

 

•

 

•

 

•

𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊 ó n ,resolver lainecuaci ó n : x2 − x+1>0

 

 

 

Resolución: se tiene que ,

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INECUACIONES DE GRADO SUPERIOR

𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢 ó 𝐧

 

Una inecuación polinomial o inecuación de grado superior de incógnita x, es aquella que tiene una de las siguientes formas: p(x) > 0 ∨

p(x) ≥ 0 ∨

p(x) < 0 ∨

p(x) ≤ 0

Donde p(x) es un polinomio de la forma: 2

𝑛

 p ( x ) =𝑎 0 + 𝑎1 𝑥 +𝑎 2 𝑥 + …+𝑎𝑛 𝑥 ,los coeficientes a0 ; a 1 ; … , a n ∈ ℝ ( 𝑎 𝑛 ≠ 0 ) ∧ 𝑛 ≥ 3

𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊 ó n ,resolver lainecuaci ó n : x3 >9 x

 

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  𝐓𝐄𝐎𝐑𝐄𝐌𝐀 𝐈  [ 𝑞 ( 𝑥 ) ]

2𝑛

. h ( 𝑥 ) > 0 ( ¿ 0 ) ⟺ 𝑞 ( 𝑥 ) ≠ 0 ∧ h ( 𝑥 ) >0 (¿ 0)

  𝐓𝐄𝐎𝐑𝐄𝐌𝐀 𝐈𝐈  𝑞(

[

𝑥 )]

2𝑛

. h ( 𝑥 ) ≥ 0 ( ≤ 0 ) ⟺ 𝑞 ( 𝑥 )=0 ∨ h ( 𝑥 ) ≥ 0 (≤ 0)

  𝐓𝐄𝐎𝐑𝐄𝐌𝐀 𝐈𝐈𝐈   𝑞 ( 𝑥 ) 2 𝑛+1 . h ( 𝑥 ) >0 ( ¿ 0 ;≥ 0 ; ≤ 0 )

⟺ 𝑞 ( 𝑥 ) . h ( 𝑥 ) >0(¿ 0 ; ≥ 0; ≤ 0)

𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó n,resolver lainecuació n:

(  𝑥 − 2 ) 14 ( 𝑥+ 3 )35 (𝑥 +1)2020 ( 𝑥 − 4)2019 ≥ 0

[

 

]

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 2;3

A)

 𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟐𝟎𝟏𝟓 − 𝐈𝐈

Halle el conjunto solución de la siguiente inecuación







2

6

x2  x  6 x 2  x  6  x  1  x  4   0

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𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟐𝟎𝟏𝟔 − 𝐈

 

Indique el conjunto solución de la inecuación:

 x  2  x2  18   3x  x  2   0

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INECUACIONES RACIONALES

𝐃𝐞𝐟𝐢𝐧𝐢𝐜𝐢 ó 𝐧

 

Una inecuación racional de incógnita x, es aquella que tiene una de las siguientes formas:  

∨

∨

∨

donde p(x) y q(x) son de la forma siguiente: 2 𝑛 𝑎   0+ 𝑎1 𝑥 +𝑎 2 𝑥 + …+𝑎𝑛 𝑥

  adem á s q ( x ) ≠0

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  𝐓𝐄𝐎𝐑𝐄𝐌𝐀 𝐈  𝑝 ( 𝑥)

𝑞 ( 𝑥)

> 0 ⟺ 𝑝 ( 𝑥 ) . 𝑞 (𝑥 )> 0  ( 𝑥+ 4)( 𝑥 −7)

𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó n,resolver lainecuació n:

 

( 𝑥 − 2)( 𝑥 +9)

>0

:

    𝐓𝐄𝐎𝐑𝐄𝐌𝐀 𝐈𝐈  

}

𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒄𝒊ó n,resolver lainecuació n:

 

 

 ( x+5)( x − 11)

( x −3)( x − 8)

≥0

:

16

𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟐𝟎𝟏𝟔 − 𝐈

 

Si S es el conjunto solución de la inecuación

x4 x  x  7 x 1

entonces el número de elementos enteros positivos de S es:

17

𝐄𝐣𝐞𝐫𝐜𝐢𝐜𝐢𝐨 𝟐𝟎𝟏𝟒 − 𝐈𝐈

 

Determine la suma de los valores enteros de x que satisfacen la inecuación

 x  2  x  4  2 x  1 x  3    2

0

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