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Fachbereich Bauingenieurwesen und Geodäsie Institut und Versuchsanstalt für Geotechnik Prof. Dr.-Ing. Rolf Katzenbach Petersenstraße 13 64287 Darmstadt Tel. +49 6151 16 2149 Fax +49 6151 16 6683 E-Mail: [email protected] www.geotechnik.tu-darmstadt.de

Umdruck zur Vorlesung Anwendung der FEM in der Geotechnik Bearbeitung: Prof. Dr.-Ing. Rolf Katzenbach Dr.-Ing. Gregor Bachmann Dipl.-Ing. Frithjof Clauß Dr.-Ing. Christian Gutberlet Dipl.-Ing. Jörg Gutwald Dipl.-Ing. Steffen Leppla Dipl.-Ing. Hendrik Ramm Dipl.-Ing. Thomas Waberseck Dr.-Ing. Stefan Wachter

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Inhaltsverzeichnis

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1

Grundlagen der Kontinuumsmechanik 1.1 Mehrphasensystem Boden 1.2 Vorzeichenkonventionen in der Kontinuumsmechanik 1.3 Spannungszustand 1.4 Koordinatentransformation 1.5 Spannungszustand in einem ausgedehnten Erdkörper 1.6 Hauptachsensystem und Invarianten 1.7 Deviator und Kugeltensor 1.8 Hauptspannungsraum und Deviatorebene 1.9 Verzerrungszustand 1.9.1 Verzerrungszustand für den ebenen Fall 1.9.2 Verzerrungszustand für den räumlichen Fall 1.10 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen - Stoffgesetze

2

Elastizität 2.1 Lineare Elastizität – HOOKEsches Gesetz 2.2 Spezialfall Isotropie 2.3 Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie 2.3.1 Gleichgewichtsbedingungen 2.3.2 Kompatibilitätsbedingungen 2.3.3 Stoffgesetzgleichungen

2-1 2-1 2-2 2-4 2-4 2-5 2-5

3

Elemente 3.1 Ansatzfunktionen 3.2 Netztypen 3.2.1 Plane strain (Ebener Verzerrungszustand) 3.2.2 Axisymmetrischer Verzerrungszustand 3.2.3 Plan stress (Ebener Spannungszustand) 3.2.4 3D 3.3 Elementtypen 3.3.1 Kontinuums Elemente 3.3.2 Schalen-/Platten-Elemente 3.3.3 Infinite Elemente 3.3.4 MPC (Multi Point Constraints) 3.4 Nomenklatur der Elementtypen in ABAQUS 3.4.1 2D-Elemente 3.4.2 3D-Elemente 3.4.3 Shell-Elemente 3.5 Integrationspunkte

3-1 3-2 3-4 3-5 3-5 3-6 3-6 3-7 3-10 3-10 3-10 3-10 3-11 3-12 3-13 3-14 3-15

4

Anfangs- und Randbedingungen 4.1 Randbedingungen für den Verschiebungszustand

4-1 4-1

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1-1 1-1 1-1 1-2 1-4 1-5 1-7 1-8 1-9 1-13 1-13 1-14 1-16

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4.2 4.3 4.4

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Randbedingungen für den Spannungszustand Infinite-Elemente Auswahl der Berechnungsausschnittes

4-2 4-4 4-5

5

Elasto-plastische Materialmodelle 5.1 Grundlagen der Plastizitätstheorie 5.1.1 Grundbegriffe 5.1.2 Festigkeitshypothese im Hauptspannungsraum 5.1.3 Fließbedingungen und Fließregeln im Hauptspannungsraum 5.1.4 Verfestigung 5.2 Mohr Coulomb Modell in ABAQUS 5.3 Drucker Prager Modell in ABAQUS 5.4 Cam Clay Modell in ABAQUS 5.5 Cap Modell in ABAQUS

5-1 5-1 5-1 5-2 5-7 5-8 5-14 5-15 5-16 5-18

6

Parameteridentifikation I 6.1 Bestimmung elastischer Parameter 6.2 Bestimmung linear elastischer – ideal plastischer Parameter 6.3 Rahmenscherversuch 6.4 Triaxialversuch 6.5 Verfestigendes Materialverhalten (linear elastic, hardening plastic) 6.5.1 Drucker-Prager 6.6 Entfestigendes Materialverhalten (linear elastic softening plastic) 6.7 Modellierung von Laborversuchen mit der FEM 6.7.1 Ödometerversuch 6.7.2 Triaxialversuch 6.7.3 Einaxialversuch 6.7.4 Rahmenscherversuch

6-1 6-1 6-4 6-6 6-7 6-8 6-10 6-19 6-20 6-20 6-20 6-22 6-22

7

Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Pfähle) 7.1 Benutzeroberfläche 7.2 Anwendungsbeispiel 7.3 Beispiel zur Modellierung von Kontaktflächen

7-1 7-1 7-3 7-22

8

Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Pfähle) 8.1 Das Tragverhalten von Pfählen 8.2 Das Tragverhalten von Einzelpfählen 8.3 Strukturmodell 8.4 Erstellen des FE-Netzes 8.5 Simulationsablauf 8.5.1 Knotensätze und Elemente 8.5.2 Randbedingungen 8.6 Pfahl-Boden Interaktion 8.6.1 Idealer Kontakt 8.6.2 Kontaktfläche 8.7 Bodenparameter 8.8 Auswertung von Last-Setzungslinien für den Einzelpfahl

8-1 8-1 8-3 8-4 8-5 8-5 8-6 8-8 8-8 8-8 8-9 8-10 8-11

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9

Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Verbauwände) 9.1 Allgemeines 9.2 Wahl des Berechnungsausschnitts und Festlegung der Randbedingungen 9.3 Modellierung des Baugrunds 9.4 Modellierung der Verbauwand 9.4.1 Spundwände 9.4.2 Bohrpfahlwände 9.4.3 Schlitzwände 9.4.4 Trägerverbau 9.5 Modellierung der Stützmittel 9.5.1 Steifen 9.5.2 Verpressanker 9.6 Modellierung des Baufortschritts 9.7 Auswertung und Darstellung der Berechnungsergebnisse

9-1 9-1 9-2 9-5 9-6 9-6 9-6 9-7 9-7 9-9 9-9 9-9 9-10 9-11

10

Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Erdbauwerke) 10.1 Einleitung 10.2 Modellierung der lagenweise Aufschüttung in der FEM 10.2.1 Small Strain und Non Linear Geometry 10.2.2 Beispiel einer lagenweise Aufschüttung 10.3 Initiale Spannungszustände

10-1 10-1 10-3 10-3 10-4 10-8

11

Konvergenzprobleme 11.1 Einleitung 11.2 Nichtlineare Probleme 11.3 Gleichgewicht 11.4 Steps, Inkremente, Iterationen, Versuche 11.5 Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme 11.5.1 Newton-Paphson 11.5.2 Quasi-Newton 11.6 Konvergenzkriterien in ABAQUS 11.6.1 Größe des Residuums 11.6.2 Größe der Verschiebungskorrektur c□ 11.7 Kontrollmöglichkeiten in ABAQUS 11.7.1 Message-File 11.7.2 Status-File 11.7.3 *PRINT und *MONITOR 11.8 Einflussmöglichkeiten auf das Konvergenzverhalten 11.8.1 Zeitschrittsteuerung 11.8.2 Extrapolation der Lösung 11.8.3 Unsymmetrischer Gleichungslöser 11.8.4 Veränderung der Konvergenzgrenzen

12

Anhang 12.1 *NODE,NSET=NAME 12.2 *NCOPY 12.3 *NGEN

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11-1 11-1 11-1 11-1 11-5 11-6 11-6 11-8 11-8 11-9 11-9 11-9 11-10 11-10 11-11 11-12 11-12 11-13 11-14 11-14 12-1 12-1 12-1 12-1

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12.4 *NFILL 12.5 *NSET 12.6 *ELEMENT 12.7 *ELCOPY 12.8 *ELGEN 12.9 *ELSET 12.10 *MPC 12.11 *SOLID SECTION 12.12 *SHELL SECTION 12.13 *MATERIAL 12.14 Aufbringung von Lasten (*CLOAD/*DLOAD) 12.15 Knoten/Knotensatz in seiner aktuellen Position festhalten 12.16 Festhalten eines Knoten/Knotensatz ändern 12.17 Festhaltung (alle) löschen 12.18 Verschiebung vorgeben

12-1 12-2 12-2 12-2 12-2 12-3 12-3 12-4 12-4 12-4 12-5 12-5 12-6 12-6 12-6

13

Literatur

13-1

14

Stand der Bearbeitung

14-1

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1

Seite 1-1

Grundlagen der Kontinuumsmechanik

Ausgehend von beobachteten Phänomenen und experimentellen Ergebnissen an makroskopischen Objekten ist es Aufgabe der Kontinuumsmechanik, möglichst strukturgleiche mathematische Modelle für das mechanische Verhalten eines deformierbaren Körpers zu erstellen. Die wesentliche Idealisierung erfolgt durch die Einführung des Kontinuums als Menge materieller Punkte mit identischen Eigenschaften.

1.1

Mehrphasensystem Boden

Boden und Fels sind Mehrphasenmedien, deren Verformungsund Festigkeitseigenschaften allgemein mit dem Konzept der Mischungstheorie beschrieben werden. Vernachlässigt man die Wechselwirkung der einzelnen Phasen untereinander, kann der Boden vereinfachend mit einem Einphasenmodell abgebildet werden (vgl. Bild 1-1).

Realität

Abstraktion gemäß Mischungstheorie

Luft (gasförmige Phase)

Abstraktion als Einphasenmodell

homogenes Medium

Wasser (flüssige Phase) Korngerüst (feste Phase)

Bild 1-1: Mehrphasenmedium Boden

1.2

Vorzeichenkonventionen in der Kontinuumsmechanik

In der Kontinuumsmechanik werden Zugspannungen mit positivem Vorzeichen und Druckspannungen mit negativem Vorzeichen gekennzeichnet. Analog hierzu erhalten Längungen positive und Stauchungen negative Vorzeichen. In der Geotechnik werden üblicherweise Druckspannungen und Stauchungen mit einem positiven Vorzeichen gekennzeichnet. Das Programmsystem Abaqus verwendet auch bei geotechnischen Problemstellungen für Druckspannungen negative Vorzeichen.

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1.3

Seite 1-2

Spannungszustand

Der Spannungszustand an einem Punkt im Kontinuum wird durch den CAUCHYschen Spannungstensor ij beschrieben. Der Spannungstensor ist durch die Spannungsvektoren in drei beliebigen, aufeinander senkrecht stehenden Schnitten festgelegt. Werden diese Schnitte senkrecht zu den Achsen eines kartesischen x,y,z-Koordinatensystems gelegt und die Spannungsvektoren in ihre kartesischen Komponenten zerlegt, dann entsteht der in Bild 1-2 dargestellte Spannungszustand.

Bild 1-2: Kartesische Komponenten des Spannungstensors

Die Matrixdarstellung des Spannungstensors für das gewählte Koordinatensystem lautet:

 xx  xy  xz        yx  yy  yz    zx  zy  zz   

(1-1a)

In Indexnotation werden die kartesischen Koordinaten an Stelle von x, y, z mit x1, x2, x3 gekennzeichnet und der Spannungstensor nimmt die folgende Form an:  11  12  13     ij    21  22  23   31  32  33 

(1-1b)

Hierbei werden Normalspannungen durch gleiche Indizes und Schubspannungen durch ungleiche Indizes gekennzeichnet. Aus Gleichgewichtsgründen (Momentengleichgewicht) ergibt sich die Gleichheit paarweise zugeordneter Schubspannungen (Boltzmann-Axiom): ij = ji. Der CAUCHYsche Spannungstensor ist also symmetrisch.

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Seite 1-3

Summationskonvention: Wenn in einem Term der gleiche Index doppelt vorkommt, ist zu summieren. Der Index durchläuft dabei der Reihe nach die Werte 1,2,3. So ist z.B.: 3

 ii    ii   11   22   33

(1-2a)

i 1

3

 ji  n j    ji  n j   1i  n1   2i  n2   3i  n3

(1-2b)

j 1

In Zusammenhang mit der Indexnotation wird häufig das Kronecker-Symbol δij verwendet. Es gilt:

1 für i = j ij   0 für i  j

(1-3)

Somit ergibt sich z.B.

 ii  11   22   33  3 und  ij  n j  ni

(1-4)

Ist der Spannungstensor σij bekannt, so kann der Spannungsvektor ti in einem beliebigen Schnitt i, welcher durch den Normaleneinheitsvektor ni festgelegt ist, durch die Betrachtung eines infinitesimalen Tetraeders angegeben werden (Bild 1-3).

Bild 1-3: Spannungszustand an einem infinitesimalen Tetraeder

Der Spannungsvektor t ergibt sich aus Gleichgewichtsüberlegungen nach der sogenannten CAUCHYschen Formel zu:

ti   ij  n j

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(1-5)

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Seite 1-4

Die Zerlegung von t in seine Komponenten normal (Normalspannung ) und tangential (Schubspannung ) zur Fläche i führt zu

  tn

und

  t 2  2 .

1.4

(1-6a) (1-6b)

Koordinatentransformation

Ausgehend davon, dass die Spannungskomponenten σij bezüglich des Koordinatensystems x1, x2, x3 bekannt sind, lassen sich die Spannungskomponenten σ`kl bezüglich des gedrehten Koordinatensystems x’1, x’2, x’3 (Bild 1-4) ermitteln. Die Richtungen der neuen Achsen werden durch die Einheitsvektoren  a11   a21   a31  e1   a12  , e2   a22  , e3   a32   a13   a23   a33 

(1-7)

festgelegt, wobei die Transformationskoeffizienten akl der Richtungskosinus zwischen den entsprechenden Achsen z.B. a12= cos(x`1,x2) ist.

Bild 1-4: Ursprüngliches und gedrehtes Koordinatensystem

In Bild 1-4 ist ein Tetraeder dargestellt, dessen geneigte Fläche senkrecht zu x’1 steht. Ihr Normalenvektor fällt mit e’1 zusammen: nk  a1 k . Damit erhält man nach der CAUCHYschen Formel die Komponenten des Spannungsvektors bezüglich des x1, x2, x3Systems zu: tl   kl  nk   kl  a1k

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Seite 1-5

Die Komponenten des Spannungsvektors tl bezüglich des gedrehten Koordinatensystems lauten dann:

 11  t  e1  t1  a11  t2  a12  t3  a13  tl  a1l   kl  a1k  a1l  12  t  e2  t1  a21  t2  a22  t3  a23  tl  a2l   kl  a1k  a2l  13  t  e3  t1  a31  t2  a32  t3  a33  tl  a3l   kl  a1k  a3l Analog hierzu ergeben sich die Spannungen für die Schnittflächen senkrecht zur x’2- bzw. zur x’3- Achse und man erhält die folgende Transformationsbeziehung:

 ij   kl  aik  a jl

1.5

(1-8)

Spannungszustand in einem ausgedehnten Erdkörper

Es wird ein Element in einem ebenen Schnitt eines ausgedehnten Erdkörpers mit waagerechter Oberfläche in der Tiefe z betrachtet (s. Bild 1-5).

Bild 1-5a: Spannungszustand in einem ausgedehnten Erdkörper

Schubspannungen treten an dem betrachteten Element nicht auf: τ = 0 Die Spannungen σv und σh sind zugleich die Hauptspannungen und lassen sich wie folgt bestimmen:

 v    z,  h  K 0    z Somit ergibt sich:  3   x   h   K 0    z und  1   z   v   z

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Seite 1-6

Bild 1-5b: Gedrehtes Element am Verbauwandfuß

Mit  ij   kl  aik  a jl (Gl. 1-8) und aik=cos(x`i, xk) lassen sich die Spannungen an einem Element in dem unter φ Koordinatentransformation ermitteln:

geneigten

Schnitt

folgendermaßen

durch

    11  a 1  a '1   13  a 1  a 3   31  a 3  a 1   33  a 3  a 3   0

0

1 1   11  cos 2    33  cos 2  90       11   33     11   33   cos 2   2 2 2  sin 

    11  a1  a 1   13  a1  a 3   31  a 3  a 1   33  a 3  a 3   0

0

1 1   11  cos 2  90      33  cos 2     11   33     11   33   cos 2   2 2 2 sin 

    11  a 1  a1   13  a 1  a '3   31  a 3  a '1   33  a 3  a 3   0

0

1   11  cos   cos  90      33  cos  90     cos      11   33   sin 2       2  sin 

sin 

Gegeben sei: φ = 10°;  = 20 kN/m³; z = 4 m und K0 = 0,5. Dann erhält man: σ11 = σx = -0,5 · 20 kN/m³ · 4 m = -40 kN/m² = -e0 σ33 = σz = -20 kN/m³ · 4m = -80 kN/m² σξξ = -41,21 kN/m² σηη = -78,79 kN/m² σξη = -20,52 kN/m² 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik

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1.6

Seite 1-7

Hauptachsensystem und Invarianten

Der Spannungstensor kann in Bezug auf beliebig viele Achsensysteme angegeben werden. Es existiert ein spezielles Koordinatensystem, das als Hauptachsensystem bezeichnet wird. In den zugehörigen Schnitten sind die Vektoren t und n kollinear, d.h. es wirken nur Normalspannungen, die in diesem Fall Hauptspannungen genannt werden; Schubspannungen treten in diesen Schnitten nicht auf. Kennzeichnet der Normalenvektor ni eine Hauptachsenrichtung, so lässt sich der Spannungsvektor durch ti=σni ausdrücken, wobei σ die entsprechende Hauptspannung ist. Nach der CAUCHYschen Formel gilt allgemein ti=σij·nj. Durch Gleichsetzen erhält man:

 ij  n j    ni

bzw.  ij  n j    ni  0

Mit ni=δij*nj führt dies zu folgendem linearen Gleichungssystem:



ij

    ij  n j  0

(1-9)

Dieses Gleichungssystem hat für n nur dann eine nichttriviale Lösung, wenn seine Koeffizientendeterminante verschwindet, also det ( ij     ij )  0 . Daraus ergibt sich die charakteristische kubische Gleichung des CAUCHYschen Spannungstensors:

 3  I1   2  I 2    I 3  0

(1-10)

Sie hat die Koeffizienten: I1   ii   11   22   33

(1-11a)

1 2 I 2    ij   ij   ii   jj     11   22   22   33   33   11    122   23   312 2

(1-11b)

 11  12  13 I 3  det  ij    21  22  23  31  32  33

(1-11c)

  11   22   33  2 12   23   13   11   232   22   132   33   122 Diese sind, ebenso wie die Lösungen von Gl. 1-10, unabhängig von der Wahl des Koordinatensystems und werden deshalb als Invarianten des Spannungstensors bezeichnet. Die grundsätzlich existierenden drei Lösungen 1, 2 und 3 von Gl. 1-10 werden als Hauptspannungen bezeichnet. Hierbei bezeichnet 1 die größte, 2 die mittlere und 3 die kleinste Hauptspannung.

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Seite 1-8

Rein mathematisch betrachtet, erhält man die Hauptspannungen als Eigenwerte λi des CAUCHYschen Spannungstensors σij und die Gleichung (1-9) lässt sich folgendermaßen formulieren:  11    12  13 det  ij     ij    21  22    23  0  31  32  33   Die drei Lösungen für λ entsprechen den Hauptspannungen σ1, σ2, σ3 wobei gilt: σ1>σ2>σ3. Der Spannungstensor im Hauptachsensystem ist nur auf der Hauptdiagonalen besetzt:  1 0 0     0  2 0   0 0  3 

(1-12)

Die aus Gl. 1-9 folgenden Eigenvektoren n1, n2 und n3 sind die korrespondierenden Richtungen der 3 Hauptspannungen. Die Invarianten des Spannungstensors lauten als Funktionen der Hauptspannungen:

1.7

I1  1   2  3

(1-13a)

I 2    1   2   2  3  3  1 

(1-13b)

I3  1   2  3

(1-13c)

Deviator und Kugeltensor

Für die Formulierung von Stoffgleichungen ist die Zerlegung des Spannungstensors sinnvoll. Führt man die mittlere Spannung  m   11   22   33  / 3   kk 3 ein, so kann man den Spannungstensor folgendermaßen in einen sphärischen Anteil (Kugeltensor) und in einen deviatorischen Anteil (Deviator) aufspalten:

 ij 

 kk

  ij  sij  3  deviatorischer sphärischer   

(1-14a)

Spannungstensor

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Seite 1-9

In Matrixschreibweise ergibt sich: 0  11   m 12  11 12 13   m 0       21 22  23    0 m 0     21  22  m  31 32 33   0 32 0  m   31 0   s11 s12 s13  m 0   0 m 0   s 21 s 22 s 23   0 0  m  s31 s32 s33 

13   23  33  m 

(1-14b)

Der erste Summand in Gl. 1-14a bzw. 1-14b ist der Kugeltensor (auch: sphärischer Anteil) des Spannungstensors. Er beinhaltet den hydrostatischen, also in allen Richtungen in gleicher Größe vorhandenen Spannungsanteil. Der zweite Summand beinhaltet die Abweichung des Spannungstensors vom hydrostatischen Anteil und wird deshalb als Spannungsdeviator bezeichnet. Der Spannungsdeviator besitzt dasselbe Hauptachsensystem wie der gesamte Spannungstensor. Die Invarianten des Spannungstensors lauten: J1 = sii = s11 + s 22 + s33 = (σ11 - σ m ) + (σ 22 - σ m ) + (σ 33 - σ m ) = 0

(1-15a)

1 1 2 2 2 2 2 + σ 223 + σ 31  sij  sij =   σ11 - σ 22  +  σ 22 - σ33  +  σ 33 - σ11   + σ12   2 6 (1-15b) 1  2 2 2  =   σ1 - σ 2  +  σ 2 - σ 3  +  σ3 - σ1   6 

J2 =

J3 =

1.8

1  sij  s jk  s ki =  σ1 - σ m  σ 2 - σ m  σ3 - σ m  3

(1-15c)

Hauptspannungsraum und Deviatorebene

Da die Richtung der Hauptspannungen bei isotropem Materialverhalten keinen Einfluss auf die Beanspruchung des Materials hat, ist diese durch die Größe der drei Hauptspannungen eindeutig und vollständig beschrieben. Aus diesem Grund werden Spannungszustände unabhängig von der Richtung der Spannungen in einem Koordinatensystem dargestellt, in dem die drei Hauptspannungen das Achsensystem bilden. Es wird als Hauptspannungsraum oder auch Haigh-Westergaard stress space bezeichnet (s. Bild 1-6).

1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik

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Deviatorebene

1

1 + 2 + 3 = konstant T (1, 2, 3)

 s Hydrostatische Achse

t h

H (p, p, p)

1 = 2 = 3

e1  3  cos 1    3 



3

2

Bild 1-6: Darstellung des Spannungszustandes im Hauptspannungsraum

Jeder Spannungszustand kann im Hauptspannungsraum als Spannungspunkt T mit dem zugehörigen Ortsvektor t dargestellt werden. Die hydrostatische Achse schließt mit den 3 Koordinatenachsen jeweils gleiche Winkel ein und ist der geometrische Ort für alle hydrostatischen Spannungszustände (1 = 2 = 3) im Hauptspannungsraum. Ebenen normal zur hydrostatischen Achse werden als Deviatorebenen bezeichnet. Die Deviatorebene durch den Ursprung heißt auch -Ebene. Wie in Bild 1-6 zu sehen, kann t in den hydrostatischen Anteil h auf der hydrostatischen Achse und in den deviatorischen Anteil s in der Deviatorebene durch T additiv zerlegt werden (vgl. Gl. 1-14a und 1-14b). Die Beträge von h und s ergeben sich zu

h

3 3   1   2   3    I1 3 3

  s  s12 + s 22 + s32  2  J 2

(1-15) (1-16)

Die Projektion des Spannungspunktes sowie der Hauptachsen in die -Ebene ist in Bild 1-7 dargestellt.

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Bild 1-7: Projektion der Hauptachsen und des Spannungsvektors in die -Ebene

Der deviatorische Anteil des Spannungszustandes kann durch Angabe des Betrages  von s und durch den Winkel , den der Spannungsvektor t mit der 1’-Achse einschließt, eindeutig beschrieben werden. Der Winkel  wird als Lode-Winkel bezeichnet. Seine Größe ergibt sich zu cos(3) 

3 3 J3 2 J 32 2

(1-17)

Jeder Spannungszustand kann durch die Größen ,  und  dargestellt werden. Sie stellen geometrisch die Zylinderkoordinaten eines Spannungspunktes im Hauptspannungsraum dar. Die Gleichungen 1-16 und 1-17 machen deutlich, dass der Spannungstensor durch Angabe des hydrostatischen Anteils, ausgedrückt durch die 1. Invariante I1 und durch Angabe der 2. und 3. Invarianten J2 und J3 seines Deviators eindeutig beschrieben werden kann. In den drei Schnitten senkrecht zu den Richtungen der Hauptspannungen ist der Spannungszustand schubspannungsfrei. Im Hauptspannungsraum wird als Maß für die Größe der Materialbeanspruchung die Schubbeanspruchung eines Materials im Vergleich zur vorhandenen Normalspannung herangezogen. Hierzu wird der Spannungszustand in einer der acht Oktaederebenen, welche mit allen drei Hauptachsen den gleichen Winkel einschließen, betrachtet (Bild 1-8).

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Bild 1-8: Spannungszustand in der Oktaederebene

In der üblicherweise betrachteten Oktaederebene im 1. Quadranten des Hauptachsensystems ergeben sich die Normalspannung oct und die Schubspannung oct nach der CAUCHYschen Formel gem. Gl. 1-6 zu:

1 3

1 3

 oct    1   2   3    m   I1 1 3

 oct    1   2  2   2   3  2   3   1  2 

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(1-18a) 2  J2 3

(1-18b)

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1.9

Seite 1-13

Verzerrungszustand

1.9.1 Verzerrungszustand für den ebenen Fall

Es wird ein Rechteck in der Ebene betrachtet (s. Bild 1-9):

Bild 1-9: Unverzerrtes (gestrichelt dargestelltes) und verzerrtes Rechteckelement in der Ebene

Es wird davon ausgegangen, dass keine Starrkörperverschiebungen und -drehungen auftreten, was insbesondere bedeutet, dass der Eckpunkt A des Rechtecks im Ursprung verbleibt. Die Verschiebungen der übrigen 3 Eckpunkte werden mit ux (x-Richtung) und uz (z-Richtung) bezeichnet. Für die Verzerrungen ergibt sich unter Beachtung von Bild 1-9: u x dx u  x  x  x dx x u z dx u  x 1   z x dx

 xz 

 2  1 2

u z dz u  z  z  z dz z u x dz u  z 2   x dz z

u  1  u   x z x  2  z

(1-19a)

(1-19b)

(1-19c)

Die Verzerrungen x und z werden Dehnungen, die Verzerrung 2xz Gleitung (Winkeländerung) genannt. 1 Grundlagen der Kontinuumsmechanik

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1.9.2 Verzerrungszustand für den räumlichen Fall

In allgemeiner Form lautet der infinitesimale Verzerrungstensor:

 ij   ui , j  u j ,i  1 2

(1-20a)

Hierbei kennzeichnet der Index j hinter einem Komma die Ableitung nach xj (siehe Gleichung 1-20a). u x1

dx1 u x1 x1  11  x1 dx1

u x2

dx2 u x2 x2   22  x2 dx2

u x3

dx3 u x3 x3   33  x3 dx3

1  u x1 u x2    2  x2 x1  u  1  u  23   x2  x3  2  x3 x2 

12  

1  u x3 u x1    2  x1 x3 

 31  

(1-20b)

Seine Matrixdarstellung lautet:  11 12  i j   21  22  31  32

13    x   23    12  yx  33   12  zx

 xy y 1 2  zy

1 2

 xz   1 2  yz   z  1 2

(1-21)

Der Verzerrungstensor ist wie der Spannungstensor symmetrisch (ij = ji). Wie für den Spannungstensor, so existiert auch für den Verzerrungstensor ein Hauptachsensystem, in dem die Gleitungen verschwinden und nur die Hauptdehnungen auftreten (s. Bild 1-10).

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Bild 1-10: Dehnungen eines Quaderelementes im Hauptachsensystem

Die Volumenänderung dV des Quaders bezogen auf das Ausgangsvolumen dV ergibt sich bei kleinen Verformungen zu:

 vol 

dV  1   2   3   kk . dV

(1-22)

Sie wird als Volumendehnung bezeichnet und ist identisch mit der 1. Invariante I1 des Dehnungstensors. Der Dehnungstensor kann wie der Spannungstensor in einen sphärischen und einen deviatorischen Anteil additiv zerlegt werden:  11 12 13   m     21  22  23    0  31  32  33   0  m 0 0   e11   0  m 0   e21  0 0  m   e31

0

m 0 e12 e22 e32

0  11   m 0     21  m    31 e13  e23  e33 

12  22   m  32

13   23   33   m 

(1-23)

Hierbei wird m = kk/3 = vol/3 als mittlere Dehnung bezeichnet. Allgemein lautet Gl. 1-23 in Tensorschreibweise:

 ij 

 kk 3

  ij  eij

(1-24)

Der erste Anteil in Gl. 1-23 bzw. 1-24 beschreibt eine reine Volumendehnung, der zweite, deviatorische Anteil eij beschreibt die Verzerrung bei konstantem Volumen, die sogenannte Gestaltsänderung. Dies soll für den ebenen Fall durch Bild 1-11 verdeutlicht werden.

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Seite 1-16

Bild 1-11: Volumenänderung und Gestaltsänderung im ebenen Fall

1.10 Zusammenhang zwischen Spannungen und Verformungen – Stoffgesetze

Das mechanische Verhalten eines Materials wird durch ein Stoffgesetz beschrieben. Durch dieses werden die Spannungen mit den Verzerrungen verknüpft. Das Stoffgesetz kann nur mit Hilfe von Experimenten gewonnen werden. Verhält sich dabei ein Material in allen Punkten gleich, so nennt man es homogen, anderenfalls inhomogen. Sind die Materialeigenschaften von der Richtung unabhängig, so bezeichnet man das Material als isotrop. Bei anisotropen Materialien sind die Eigenschaften abhängig von der Richtung (z.B. Holz). Man unterscheidet zwischen verschiedenen Stoffgesetzen. So gibt es z.B. elastisches, plastisches und viskoses Materialverhalten, sowie Kombinationen davon. Z.B. verhält sich Stahl bis zu einer gewissen Belastung linear elastisch; wird eine Spannung βs (Fließ- oder Streckgrenze genannt) überschritten, so findet eine plastische Verformung statt (siehe Bild 1-12).

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 

s

 Bild 1-12: Spannungsverformungsverhalten von Stahl

Elastisches und plastisches Materialverhalten sind im Gegensatz zu viskosem Materialverhalten zeitunabhängig. Während elastisches Materialverhalten reversible Verformungen nach sich zieht, sind die Verformungen bei plastischem oder viskosen Materialverhalten irreversibel. In der Bodenmechanik kommen verschiedene Stoffgesetze zur Anwendung. Aufgrund des komplexen Werkstoffverhaltens von Boden und Fels wird dieser bei den jeweiligen Stoffgesetzen in unterschiedlicher Art und Weise idealisiert.

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2

Seite 2-1

Elastizität

Man spricht von elastischem Materialverhalten, wenn einer Dehnung  eindeutig eine Spannung σ zugeordnet ist.       . Hierbei ist die Spannung σ unabhängig von der Deformationsgeschichte und von der Zeit. Im dreiachsigen Fall erhält man:

 ij   ij   kl  2.1

Lineare Elastizität – HOOKEsches Gesetz

Häufig besteht ein linearer Zusammenhang zwischen den Spannungen und den Verzerrungen, der sich durch das HOOKEsche Gesetz

  E 

(2-1)

beschreiben lässt. Hierbei steht E für den Elastizitätsmodul. Im räumlichen Fall gilt:

 ij  Eijkl   kl

(2-2)

Beispielsweise gilt:

 11  E1111  11  E1112  12  E1113  13  E1121   21  E1122   22  E1123   23  E1131   31  E1132   32  E1133   33 Somit erhält man zunächst 81 unabhängige Komponenten des Elastizitätstensors. Wegen der Symmetrie von σij und kl dürfen auch bei Eijkl die Indizes i,j bzw. k,l vertauscht werden: Eijkl = Ejikl = Eijlk = Ejilk. Damit verbleiben für den allgemeinen Fall noch 36 unabhängige Komponenten.  11   a11    a  22   21  33   a31    12   a41  23   a51     31   a61

a12 a22

a13 a23

a14 a24

a15 a25

a32

a33

a34

a35

a42

a43

a44

a45

a52 a62

a53 a63

a54 a64

a55 a65

a16   11  a26    22  a36    33    a46   212  a56   2 23    a66   2 31 

(2-3)

Es kann gezeigt werden, dass auch dieser Tensor symmetrisch ist und somit verbleiben für den allgemeinen Fall der Anisotropie noch 21 unabhängige Elastizitätskonstanten: 2 Elastizität

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 11   a11     22    33      12    23       31  

2.2

a12 a22

a13 a23

a14 a24

a15 a25

a33

a34

a35

a44

a45 a55

Seite 2-2

a16   11  a26    22  a36    33    a46   212  a56   2 23    a66   2 31 

(2-4)

Spezialfall Isotropie

Im Fall, dass die Materialeigenschaften in alle Richtungen gleich sind, spricht man von einem isotropen Material. In diesem Fall beinhaltet der Elastizitätstensor nur noch zwei unabhängige Komponenten und die Gl. 2-4 nimmt die folgende Form an:

 11   a11     22    33      12    23       31  

a12 a11

a12 a12 a11

0 0 0  a11  a12  2

0 0 0 0  a11  a12  2

0 0 0 0 0

 a11  a12 

  11       22     33      212    2 23    2   2 31 

(2-5)

Ersetzt man a12 und (a11 - a12)/2 durch die Laméschen Konstanten λ und μ erhält man die folgende Gleichung:  11    2      22    33      12    23       31  

   2

 

0

0

0

0

  2

0

0



0



0   11  0    22  0    33    0   212  0   2 23       2 31 

(2-6)

Der Elastizitätstensor lässt sich auch folgendermaßen schreiben:

Eijkl     ij   kl     ik   jl   il   jk 

(2-7)

und das Elastizitätsgesetz nimmt die folgende Form an: 2 Elastizität

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Seite 2-3

 ij     kk   ij  2     ij

(2-8)

Unter Verwendung der Achsenbezeichnungen x, y und z und der Notation σx, τxy, x, ߛxy/2 an Stelle von σ11, σ12, σ11, σ12 etc. erhält man:

 x     x   y   z   2     x

 xy     xy

 y     x   y   z   2     y

 yz     yz

 z     x   y   z   2     z

 zx     zx

(2-9)

Man erkennt nun, dass µ gleich dem Schubmodul G ist. Weiterhin erhält man die Querkontraktionszahl (Poisson-Zahl) υ zu υ = λ/2(λ + μ) und den Elastizitätsmodul E zu E = μ(3λ + 2μ)/(λ + μ). Für die Verzerrungen ergibt sich somit die folgende Formulierung:

 ij 

1     ij    kk   ij E E

(2-10)

Die verschiedenen Elastizitätskonstanten sind nicht unabhängig voneinander. Es gilt: E

  3    2    

2 E K      3 3  1  2  



 2      

G

E 2  1  

 E

(2-11)

1    1  2  

Aus der Bedingung, dass die Materialkonstanten E, G und der Kompressionsmodul K positiv sein müssen, folgt für die Querkontraktionszahl  :  1    0,5 . In der Bodenmechanik sind negative Querkontraktionszahlen nicht sinnvoll. Das Elastizitätsgesetz lässt sich auch getrennt für die Volumenänderung (durch den Kugeltensor) und für die Gestaltsänderung (durch den Spannungsdeviator) formulieren. Aus  ij     kk   ij  2     ij lässt sich die Spannungssumme bilden (Es gilt: σii = σ11 + σ22 + σ33, ii = 11 + 22 + 33):

 ii  3     kk  2     ii   kk   3    2      kk

2 Elastizität

  kk 

 kk 3   2  

(2-12)

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Seite 2-4

Mit σkk/3 = σm und kk = v ergibt sich unter Verwendung des Kompressionsmoduls K die folgende Beziehung zwischen der mittleren Spannung und der Volumendehnung:

 m  K v

(2-13)

Aus der Deviatorspannung erhält man die Deviatorverzerrung

 kk

2     ij     kk   ij  2     ij          kk   ij 3 3     2  2     kk   ij  eij       kk   ij  2    eij  3  3

sij   ij 

(2-14)

σm beschreibt also eine reine Volumenänderung, während sij eine reine Gestaltsänderung beschreibt.

2.3

Grundgleichungen der linearen Elastizitätstheorie

Im räumlichen Fall gibt es 15 unbekannte Größen: 6 Spannungen, 6 Verzerrungen, 3 Verschiebungen. Es werden also auch 15 Gleichungen benötigt. Zur Verfügung stehen 3 Gleichgewichtsbedingungen, 6 Kompatibilitätsbedingungen und 6 Stoffgesetzgleichungen.

2.3.1

Gleichgewichtsbedingungen

An jedem Punkt im Inneren eines Körpers muss die Summe der äußeren Kräfte verschwinden, damit der Körper im Gleichgewicht ist. Betrachtet man ein aus dem Körper geschnittenes Teilvolumen V mit der Oberfläche A, das mit einer Volumenkraft fi und einer Oberflächenbelastung ti (Spannungsvektor) belastet ist, so folgt

 t dA   f dV  0 i

A

i

(2-15)

V

Kennzeichnet man mit dem Index j hinter einem Komma die Ableitung nach xj, so folgt hieraus:

 ji , j  f i  0

(2-16)

Die Gleichgewichtsbedingungen gelten für jeden Punkt im Inneren des Körpers. An der Oberfläche eines Körpers ist häufig die äußere Belastung durch eine gegebene Flächenlast ti* vorgeschrieben. Dort muss die Randbedingung ti=ti* erfüllt sein und man erhält hier als Gleichgewichtsbedingung:

 ji  n j  ti* 2 Elastizität

(2-17)

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2.3.2

Seite 2-5

Kompatibilitätsbedingungen

Sind die drei Komponenten des Verschiebungsfeldes bekannt, so lassen sich daraus die 6 Verzerrungen durch Differenzieren bestimmen. Sind umgekehrt die Verzerrungen gegeben, so stehen 6 Gleichungen für 3 Unbekannte zur Verfügung. Sollen die Verschiebungen eindeutig sein, können demnach die Verzerrungen nicht voneinander unabhängig sein. Überlappungen oder Fehlstehlen im Material sind nicht zulässig. Es gelten die folgenden Kompatibilitätsbedingungen:

11,22   22,11  2  12,12

 

23,1

 13,2  12,3 ,1  11,23

 22,33   33,22  2 23,23 (2-18)

 

31,2

  21,3   23,1 ,2   22,31

 33,11  11,33  2   31,31

  2.3.3

12,3

  32,1   31,2 ,3   33,12

Stoffgesetzgleichungen

Die Stoffgesetzgleichungen lauten in allgemeiner Schreibweise:  ij   E   ij

2 Elastizität

(2-19)

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3

Seite 3-1

Elemente

Für die Finite Elemente Methode wird das Kontinuum in diskrete Teile - die Elemente unterteilt. An diesen Elementen werden die Gleichgewichtsbedingungen der Kräfte (Spannungen) und der Verschiebungen angetragen und gelöst. Im Bild 3-1 sind die Spannungen, die auf ein Element wirken, angetragen.

Bild 3-1: Spannungen an einen Element

Die Spannungen an einem Element lassen sich durch den Spannungstensor beschreiben (vgl. Kapitel 1.3)

 x  xy  xz       yx  y  yz   zx  zy  z    An jedem Element müssen die Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Kapitel 2.3.1). erfüllt sein. Da die Elemente ein Kontinuum abbilden sollen, müssen alle Elemente dicht nebeneinander liegen und dürfen sich nicht überlappen oder Spalten haben. Das führt zu den Verschiebungsbedingungen der Elemente, auch Kompatibilitätsbedingung genannt (vgl. Kapitel 2.3.2). Hierzu werden an den Ecken der Elemente jeweils Knoten eingeführt (später werden ggf. noch weitere Knoten eingeführt). Die Knoten erhalten die Verschiebungen u, v, w in x-, y- und z-Richtung. Als unbekannte Größen liegen nun sechs Spannungsgrößen (σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz), sechs Verzerrungsgrößen (x, y, z, ߛxy, ߛxz, ߛyz) und drei Verschiebungsgrößen (u, v, w) vor, also 15 unbekannte Größen. Demgegenüber liegen drei Gleichgewichtsbedingungen, sechs

3 Elemente

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Kompatibilitätsbedingungen und 6 Stoffgesetzgleichungen vor, also 15 Gleichungen. Das Stoffgesetz verbindet die Spannungen mit den Verzerrungen (vgl. Kapitel 2.3.3). 3.1

Ansatzfunktionen

Ein Element ist durch Einführung eines Verschiebungsansatzes vollständig definiert. Die Ansatzfunktionen beschreiben, wie die Verschiebung entlang einer Kante eines Elementes verläuft. Die Ansatzfunktionen müssen zulässig sein, d.h. sie müssen die geometrischen Randbedingungen erfüllen und bis zu einem gewissen Grade differenzierbar sein. Beispiele für Ansatzfunktionen sind in Bild 3-2 dargestellt. Üblich und in ABAQUS verwendet sind nur die Ansätze mit linearem und quadratischem Verschiebungsansatz.

Bild 3-2: Ansatzfunktion für die Verschiebungen

Die Ansatzfunktion in einem Rechteckelement im Bild 3-3a verläuft linear, die im Bild 3-3b verläuft bilinear.

Bild 3-3: Linearer- und Bilinearer-Verschiebungsansatz

Parameter des bilinearen Verschiebungsansatzes sind die Funktionswerte in den vier Elementeckpunkten. Die Parameter werden auch als Freiheitsgrade bezeichnet, die Punkte, auf deren Funktionswerte sich der Ansatz abstützt werden als Elementknoten bezeichnet. Die zu einem Parameter gehörende Ansatzfunktion nimmt in den jeweiligen Elementeckpunkten den Wert 1, in allen anderen Eckpunkten den Wert 0 an. Derartige Ansatzfunktionen werden auch als Formfunktionen bezeichnet. Beim Rechteckelement können die zwei3 Elemente

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dimensionalen Formfunktionen l1 bis l4, die in einem lokalen, kartesischen Koordinatensystem formuliert werden, sehr leicht durch Produktbildung aus den eindimensionalen Funktionen g1 und g2 entwickelt werden (Bild 3-4).

Bild 3-4: Formfunktionen l1 bis l4 bei einem Rechteckelement. a) Abmessungen, Elementknotennummerierung, lokales Koordinatensystem; b) eindimensionale Funktionen g1 und g2; c) Ansatzfunktionen l1 bis l4

Elemente mit quadratischen Ansatzfunktionen ergeben in der Regel eine höhere Genauigkeit als Elemente mit linearen Ansatzfunktionen, wenn es sich um Probleme handelt die keine großen Verformungen erzeugen und bei denen Kontaktprobleme keine Rolle spielen. Sie sind insbesondere in der Lage Spannungskonzentrationen besser abzubilden. Zu beachten ist auch, dass Dreieckselemente mit linearer Ansatzfunktion eine höhere Steifigkeit als Rechteckelementen mit linearen Ansatzfunktionen besitzen. Das ist darauf 3 Elemente

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zurückzuführen, dass für Rechteckelemente mehr Ansatzfunktionen benötigt werden und sie daher einen „höherwertigeren“ Ansatz besitzen. Dementsprechend werden sich Elemente mit quadratischen Ansatzfunktionen noch weicher verhalten. In Problemen, bei denen Kontaktflächen eine wichtige Rolle spielen (z.B. Berechnung eines Triaxialversuchs mit Abbildung des Kontaktes zwischen Kopf-/Fußplatte und Probe oder Kontaktmodellierung zwischen einer Verbauwand und dem Boden) sollten Elemente mit linearen Ansatzfunktionen verwendet werden, da hierbei die Kontaktkräfte konsistent mit der zu definierenden Kontaktnormalen sind (das scheint ein Problem der Kontaktformulierung in ABAQUS zu sein und ist evt. nicht allgemein gültig).

3.2

Netztypen

Um die o.e. Konzepte und Formeln auf geotechnische Fragestellungen anwenden zu können müssen meist einige Annahmen und Vereinfachungen getroffen werden. So muss das Materialverhalten so beschrieben werden, dass es in die mathematische Form der Formeln 2-3 bzw. 2-19 passt. Außerdem ist es notwendig, die Geometrie und die Randbedingungen des Problems zu vereinfachen und abbildbar zu machen. Im Bild 3-5 sind ausgehend vom dreidimensionalen Kontinuum einige Modellbildungen für spezielle Probleme gezeigt.

Bild 3-5: Modellbildung

3 Elemente

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3.2.1

Seite 3-5

Plane strain (Ebener Verzerrungszustand)

Zweidimensionales Problem als Sonderfall des dreidimensionalen Kontinuums bei dem die Verzerrungen aus einer Ebene heraus gleich null sind (z = 0, xz = 0, yz = 0). Ein ebener Verzerrungszustand liegt vor, wenn die aufgebrachten Kraftoder Verschiebungsrandbedingungen rechtwinklig und unabhängig zu einer der drei Koordinatenrichtungen sind. Daraus ergibt sich, dass alle Querschnitte in den beiden anderen Koordinatenrichtungen gleich bleiben. Geotechnische Aufgabenstellungen, die mit diesem Berechnungstyp gelöst werden können sind z.B. Baugruben, Verbauwände, Dämme, Verkehrswege (siehe Bild 3-6).

Bild 3-6: Beispiele für Plain strain

3.2.2

Axialsymmetrischer Verzerrungszustand

Sonderfall des ebenen Verzerrungszustand, der in Zylinderkoordinaten dargestellt wird (r = radiale Richtung, z = vertikale Richtung,  = Umfangsrichtung). Aufgrund der Symmetrie gibt es keine Verschiebung in Umfangsrichtung  (w = 0) und die Verschiebungen in r- und z-Richtung sind unabhängig von . Daraus ergibt sich für die Verzerrungen: u r v z   z   0

r  

(3-1)

v u  r z   z  0

 rz    r

Mit diesem Berechnungstyp können in der Geotechnik z.B. Kreisfundamente, Einzelpfähle (Pfahlprobebelastungen) berechnet werden. Der axialsymmetrische Verzerrungszustand eignet sich auch um einige Laborversuche abzubilden, wie z.B. Ödometerversuch, Triaxialversuch, Durchlässigkeitsversuch. 3 Elemente

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Bild 3-7: Beispiele für Axialsymmetrie

3.2.3

Plane stress (Ebener Spannungszustand)

Zweidimensionales Problem als Sonderfall des dreidimensionalen Kontinuums bei dem die Spannungen (Normal- und Schubspannungen) aus einer Ebene heraus gleich null sind (z = 0, xz = 0, yz = 0). Klassisches Beispiel für diesen Berechnungstyp ist die Berechnung einer Scheibe. In der Geotechnik tritt dieser Fall eher selten auf. 3.2.4

3D

Probleme, die eine dreidimensionale Formulierung erfordern und nicht so vereinfacht werden können, dass sie in einen der o.g. Fälle passen.

3 Elemente

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3.3

Seite 3-7

Elementtypen

Bild 3-8: Elementtypen

Zur Darstellung eines Kontinuums durch Finite Elemente muss die reale Geometrie meist vereinfacht werden, um dann durch ein Finite Element Netz dargestellt werden zu können. Für zweidimensionale Probleme werden meist Dreiecks- oder Viereckselemente verwendet. Die Geometrie der Elemente wird durch Knoten(punkte) definiert. Für Elemente mit geraden Seiten liegen diese Knoten in den Eckpunkten. Für Elemente mit gekrümmten Seiten werden zusätzliche Knoten i.d.R. in der Mitte der Elementseiten eingeführt (Bild 3-9). Die Elemente werden durch die Knoten, die dann zu mehreren Elementen gehören, miteinander verbunden.

3 Elemente

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Seite 3-8

Bild 3-9: Beispiele für 2D-Kontinuumselemente

Damit die Elemente numerisch einfach handhabbar sind, sollten die Knoten und Elemente systematisch nummeriert werden. Ein häufig gebrauchtes Schema ist die Knoten und Elemente Reihenweise von links nach rechts zu nummerieren. Die Knoten eines Elementes werden meist entgegen dem Uhrzeigersinn angegeben, z.B. für Element zwei aus Bild 3-10 ist die Knotennummerierung 2, 3, 7, 6.

Bild 3-10: Knoten- und Elementnummerierung

Bei der Erstellung eines Finite Element Netzes sollten folgende Punkte berücksichtigt werden:    

3 Elemente

die reale Geometrie sollte möglichst genau abgebildet werden. gekrümmte Ränder oder Schichtübergänge lassen sich am besten mit Elementen höherer Ordnung abbilden. das Netz sollte Unstetigkeiten im Untergrund (Schichtwechsel, Bauwerke) und am Rand (begrenzte Lasten, Bauwerke) abbilden. Einzellasten sollten immer auf einen Knoten wirken. die Anzahl und Größe der Elemente hängt u.a. vom verwendeten Stoffgesetz ab. Für linear elastische Berechnungen können relativ wenige große Elemente gewählt werden, während für nichtlineare Stoffgesetze kleinere Elemente vorteilhaft sind.

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Ebenso sind Unstetigkeitsstellen und Lasteintragungspunkte besondere Aufmerksamkeit zu widmen. Möglichst gleichmäßige Netze und Elemente lassen sich am schnellsten berechnen. lange schmale Elemente sollten vermieden werden, ein Seitenverhältnis von 1:5 sollte nicht überschritten werden. Dreiecks- und Quaderelemente haben unterschiedliche Steifigkeiten (siehe Kap. 3.1) Elemente höherer Ordnung benötigen eine längere Rechenzeit.

   

Bild 3-11: Netzeinteilungen

3 Elemente

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Mit dreieckigen Elemente und Tetraederelementen können fast alle Geometrien näherungsweise abgebildet werden. Recht viele der automatischen Netzgenerierer verwenden Dreieckselemente. Bei Problemen, die überwiegend rechte Winkel aufweisen bieten Netze mit Rechtecken oder Quadern eine ebenso hohe Genauigkeit bei kleinerer Elementzahl, sie sind daher zu bevorzugen. Rechteck- und Quader-Elemente haben zumindest in ABAQUS eine bessere Konvergenzrate.

3.3.1

Kontinuums Elemente

Die Kontinuumselemente (SOLID) in ABAQUS können sowohl für lineare Berechnungen, als auch für nichtlineare Berechnungen inkl. Kontaktprobleme, Plastizität und groß Deformationen verwendet werden. Sie sind daher der in der Geotechnik am meisten verwendete Elementtyp.

3.3.2

Schalen-/Plattenelemente

Schalenelemente können verwendet werden, um geotechnische Elemente abzubilden, die überwiegend auf Druck und Zug in der Schalenebene beansprucht werden und keine oder nur geringe Biegemomente aufweisen. Man kann z.B. schlaffe Gründungskörper damit abbilden. Plattenelemente können auch Biegemomente aufnehmen und können daher zur Abbildung von starren Gründungskörpern oder auch Verbauwänden verwendet werden. Beide Elementtypen werden in ABAQUS durch Shell-Elemente abgebildet. Sie werden häufig bei Kontaktproblemen verwendet, wenn eine belastete dünne Platte Kräfte auf das Kontinuum übertragen soll.

3.3.3

Infinite Elemente

Infinite Elemente werden insbesondere an den Rändern von Netzen verwendet. Sinn und Zweck dieser Elemente wird im Kapitel Randbedingungen erläutert.

3.3.4

MPC (Multi Point Constraints)

Die MPC’s sind im eigentlichen keine eigenen Elemente, sondern dienen zum Verbinden von Elementen und Knoten. So können mittels einer MPC lineare und quadratische Elemente direkt aneinander liegen und der „freie“ Knoten des quadratischen Elements wird mittels MPC an die benachbarten Knoten „angebunden“. Das selbe kann man bei Netzverfeinerungen anwenden. Es gibt in ABQUS zwei verschiedene gebräuchliche Typen für MPC’s. Zum einen für die Anbindung von Knoten an lineare Elemente zum anderen an quadratische Elemente. Beide Typen sind in Bild 3-12 dargestellt.

3 Elemente

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Seite 3-11

Bild 3-12: linearer und quadratischer Typ von MPC

3.4

Nomenklatur der Elementtypen in ABAQUS

Bild 3-13: Nomenklatur der Elementtypen in ABAQUS

3 Elemente

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3.4.1

Seite 3-12

2D-Elemente

Bild 3-14: 2D-Kontinuumselemente

2D-Elemente gibt es als Plane strain und als Plane stress Elemente. Die Bezeichnung der Elementtypen ist: CPE3 CPE4 CPE6 CPE8 CPS3 CPS4 CPS6 CPS8 CAX3 CAX4 CAX6 CAX8

Plane strain, 3-Knoten Dreieckselement, linearer Ansatz Plane strain, 4-Knoten Viereckselement, linearer Ansatz Plane strain, 6-Knoten Dreieckselement, quadratischer Ansatz Plane strain, 8-Knoten Viereckelement, quadratischer Ansatz Plane stress, 3-Knoten Dreieckselement, linearer Ansatz Plane stress, 4-Knoten Viereckselement, linearer Ansatz Plane stress, 6-Knoten Dreieckselement, quadratischer Ansatz Plane stress, 8-Knoten Viereckelement, quadratischer Ansatz axisymmetrisch, 3-Knoten Dreieckselement, linearer Ansatz axisymmetrisch, 4-Knoten Viereckselement, linearer Ansatz axisymmetrisch, 6-Knoten Dreieckselement, quadratischer Ansatz axisymmetrisch, 8-Knoten Viereckelement, quadratischer Ansatz

Die Knotennummerierung ist aus der Abbildung zu erkennen. Die Face-Bezeichnung (=Oberflächen) ist wichtig für das Aufbringen von Lasten und für Kontaktprobleme. Da Streckenlasten z.B. entsprechend der Face-Bezeichnung auf eine Oberfläche aufgebracht werden.

3 Elemente

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3.4.2

Seite 3-13

3D-Elemente

Bild 3-15: 3D-Kontinuumselemente

Die Bezeichnung der Elementtypen ist: C3D4 C3D6 C3D8 C3D10 C3D15 C3D20

3 Elemente

4-Knoten Tetraeder, linearer Verformungsansatz 6-Knoten Prisma, linearer Verformungsansatz 8-Knoten Quader, linearer Verformungsansatz 10-Knoten Tetraeder, quadratischer Verformungsansatz 15-Knoten Prisma, quadratischer Verformungsansatz 20-Knoten Quader, quadratischer Verformungsansatz

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Seite 3-14

Die Definition der Oberflächen ist aus der folgenden Abbildung ersichtlich.

Bild 3-16: Oberflächendefinition der 3D-Elemente

3.4.3

Shell-Elemente

Bild 3-17: Shell-Elemente für 2D (oben) und 3D (unten) mit Darstellung der Normalen

3 Elemente

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Seite 3-15

Die Bezeichnung der gebräuchlichsten Elementtypen ist: S3 S3R S4 S4R S8 S9R5 reduzierter SAX1 SAX2

3.5

3-Knoten Shell-Element 3-Knoten Shell-Element mit nur einem Integrationspunkt 4-Knoten Shell-Element 4-Knoten Shell-Element mit nur einem Integrationspunkt 8-Knoten Shell-Element mit quadratischem Verschiebungsansatz 9-Knoten Shell-Element mit quadratischem Verschiebungsansatz, Anzahl an Integrationspunkten und fünf Freiheitsgraden je Knoten (Verschiebungen und Verdrehungen) 2-Knoten Shell-Element für axisymmetrische Koordinatensysteme 3-Knoten Shell-Element für axisymmetrische Koordinatensysteme, quadratischer Verschiebungsansatz

Integrationspunkte

Um die Steifigkeitsmatrix und den Verformungsvektor zu bestimmen muss eine Integration durchgeführt werden. Diese Integration kann nur in Sonderfällen direkt gelöst werden, normalerweise bedarf es einer numerischen Näherungslösung. Für die Integration wird üblicherweise ein besonderes Schema verwendet. Die einfachste Näherung, um das in 1

Bild 3-18a dargestellte Integral

 f ( x)dx

zu lösen ist den Bereich in x-Richtung in eine

1

Anzahl gleicher Schritte der Größe a aufzuspalten und unter Annahme trapezförmiger Einzelflächen der Größe a  f ( xi )  f ( xi 1 )  / 2 zu berechnen.

Bild 3-18: a) Integrationsschema Trapezregel;

3 Elemente

b) Gauß-Integration

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Um eine bessere Genauigkeit zu erzielen wird meistens ein Integrationsschema mit einer gewichteten Summe ungleich großer Schritte an bestimmten Integrationspunkten gewählt. Als Beispiel sei das gleiche Integral wie in Bild 3-17a gewählt, allerdings nun mit drei Integrationspunkten (Bild 3-18b). Das gewichtete Integral lautet nun: 1



1

3

f ( x)dx   Wi f ( xi )  W1 f ( x1 )  W2 f ( x2 )  W3 f ( x3 )

(3-2)

i 1

mit Wi als Gewichte und f(xi) als Funktionswerte am Integrationspunkt xi=1,2,3. Der Wert des Gewichtes Wi und der Ort des Integrationspunktes xi hängt vom verwendeten Integrationsschema ab. Die Anzahl der Integrationspunkte hängt von der Ordnung des Integrationsschemas ab. Je höher die Ordnung ist, desto genauer ist die Integration, allerdings steigt damit auch die Rechenintensität. Das am häufigsten verwendete Integrationsschema ist die Gauß-Integration. Die zugehörigen Integrationspunkte werden meistens als Gauß-Punkte bezeichnet. Die Lage der Gaußpunkte ist in Bild 3-19 für viereckige Elemente dargestellt. Das linke Element mit neun Integrationspunkten wird bezeichnet als vollständige (full) Integration, das rechte Element als reduzierte (reduced) Integration. Für Elemente mit linearen Verschiebungsansatz werden die Gauß-Punkte bei vollständiger Integration wie im rechtem Element bestimmt, bei reduzierter Integration gibt es nur noch einen Integrationspunkt, der in der Mitte des Elementes liegt.

Bild 3-19: Integrationspunkte

Außerdem ist es wichtig, die Lage der Integrationspunkte zu kennen, da Spannungen eines Elementes an den Integrationspunkten angegeben werden, während Verschiebungen und Verdrehungen an den Knoten angetragen werden.

3 Elemente

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4

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Anfangs- und Randbedingungen

Bei der Untersuchung von geotechnischen Problemstellungen mit Hilfe der Finiten Element Methode ist es i.d.R. erforderlich, einen begrenzten Ausschnitt zu betrachten, um Rechenzeit und Speicherkapazität des Computers zu optimieren. An den Grenzen dieses Berechnungsausschnittes müssen Anfangs- und Randbedingungen für den Spannungs- und den Verschiebungszustand festgelegt werden.

Bild 4-1: Anfangs- und Randbedingungen

Eine typische Anfangsbedingung für den Spannungszustand ist der linear mit der Tiefe zunehmende Primärspannungszustand, infolge des Überlagerungsgewichtes des Bodens. Eine typische Randbedingung für den Verschiebungszustand ist eine Festhaltung in Normalenrichtung am Rand eines FE-Netzes (Bild 4-2).

Bild 4-2: Berechnungsausschnitt · Primärspannungszustand

4.1

Randbedingungen für den Verschiebungszustand

Die Randbedingungen für den Verschiebungszustand lassen sich mit Hilfe des in ABAQUS verwendeten globalen Koordinatensystems beschreiben. An Schalen-, bzw. Shell-Elementen kann es zusätzlich erforderlich sein, die Verdrehung zu blockieren, so dass es für solche Elemente zusätzlich die Freiheitsgrade (engl.: Degree of freedom = 4 Anfangs- und Randbedingungen

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DOF) 4,5,6 zur Verfügung stehen. Der Freiheitsgrad 4 ist die Drehung um die 1-Achse, 5 die Drehung um die 2-Achse und 6 die Drehung um die 3-Achse. Freiheitsgrade:

1,2,3 4,5,6 7,8, etc.

Verschiebungsfreiheitsgrade Verdrehungsfreiheitsgrade Temperatur, Porenwasserdruck, etc.

Bild 4-3: Verschiebungs- und Verdrehungsfreiheitsgrade im globalen Koordinatensystem von ABAQUS

Für besondere Aufgabenstellung stehen Finite Elemente zur Verfügung, die weitere Freiheitsgrade an oder zwischen den Knoten zur Verfügung stellen; beispielweise sei hier an Simulationen von Energiepfählen (DOF = Temperatur) oder von Konsolidationsvorgängen (DOF = Porenwasserdruck) gedacht.

4.2

Randbedingungen für den Spannungszustand

Der Primärspannungszustand entsteht aufgrund des Überlagerungsgewichtes des Bodens und wird bei der Simulation mit Hilfe der Finiten Elemente Methode i.d.R. als verformungsfreier Ausgangszustand betrachtet. Zur Berechnung des verformungsfreien Primärspannungszustandes ist in ABAQUS eine Routine vorhanden. Hierzu müssen an der Oberkante und der Unterkante des Schichtenpaketes die vertikalen Spannungen und der Erdruhedruckbeiwert ko angegeben werden. Die vertikalen Spannungen werden hierbei wie folgt ermittelt: σ Primär (z) = γ×z Im Einschichtsystem sind folgende Angaben erforderlich: * INITIAL CONDITIONS, TYPE=STRESS, GEOSTATIC Elementsatz, σ(z1),z1,σ(z2),z2,ko

Beispiel: Bodenwichte

:

4 Anfangs- und Randbedingungen

 = 20 kN/m³ 29.10.2012

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Schichtdicke Ruhedruckbeiwert

: :

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z =5m k0 = 0,5

* INITIAL CONDITIONS,TYPE=STRESS, GEOSTATIC SOIL,0.,0.,100.,5.,0.5 Im Step 1 wird der Primärspannungszustand infolge Gravitation berechnet: * STEP * GEOSTATIC * DLOAD SOIL,GRAV,10.,0.,0.,1. * END STEP Die berechneten Knotenkräfte werden den vorgegebenen Knotenkräften aus der Initial Condition Formulierung gegenüber gestellt. Sind die Spannungen an allen Knoten des Schichtenpakets identisch, d.h. äußere (Gravitation) und innere (vorgegebener Primärspannungszustand) Kräfte im Gleichgewicht, entstehen in diesem Berechnungsschritt k(l)eine ( 10-17) Vorformungen. Für einen mehrschichtigen Baugrundaufbau müssen jeweils am Schichtübergang die Spannungswerte angegeben werden. Neben dem Primärspannungszustand können weitere Eingangsgrößen am Beginn der numerischen Simulation festgelegt werden, wie z.B.: · die Porenzahl · der Porenwasserdruck · die Sättigung

: INITIAL CONDITIONS, TYPE=RATIO : INITIAL CONDITIONS, TYPE=PORE PRESSURE : INITIAL CONDITIONS, TYPE=SATURATION

4 Anfangs- und Randbedingungen

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4.3

Seite 4-4

Infinite-Elemente

Infinite Elemente ersetzen Regionen im FE-Netz, in denen kleine Verschiebungsbeträge erwartet werden bzw. Regionen in weiter Entfernung (far field) von der betrachteten Stelle. Sie haben ein linear Verformungsverhalten, wobei die Verformungen mit Hilfe eines Verschiebungsansatzes interpoliert werden. Es werden lediglich Verformungen in Richtung der Infiniten-Elemente ermittelt. Die Angabe einer Steifigkeit für die InfinitenElemente ist nicht erforderlich, da Verschiebungen aus den letzten Knoten des FinitenElement-Netzes interpoliert werden.

Bild 4-4: Anordnung von Infinite Elementen im FE-Netz

4 Anfangs- und Randbedingungen

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Seite 4-5

Infinite Elemente stehen in der ABAQUS Elementbibliothek für 2D- und 3D-Probleme zur Verfügung; hierbei muss präzise auf die im Handbuch (Bild 5) vorgegebene Reihenfolge bei der Knoteneingabe geachtet werden. 2D Infinite Elemente

3D Infinite Elemente

Bild 4-5: 2D- und 3D Infinite Elemente

4.4

Auswahl der Berechnungsausschnittes

Wenn keine Erfahrungen vorliegen, sollte der Einfluss der Größe des FE-Netzes vorher durch Variation der Randbedingungen untersucht werden. Hierzu sind Empfehlungen des Arbeitskreises „Numerik in der Geotechnik“ der DGGT für geotechnische Randwertprobleme vorhanden. Für den Berechnungsausschnitt sollten ohne einer vorherige Variationsuntersuchung folgende Abmessungen des Berechnungsausschnittes eingehalten werden:

4 Anfangs- und Randbedingungen

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· Flachgründung: X > 2 – 3  Plattenlänge Y > 1,5 – 2  Plattenlänge

· Pfahlgründung, KPP: X > 1  1,5  max. Pfahllänge Y > 1,5 – 2  max. Pfahllänge

· Tunnelquerschnitt: X > 2  3  Tunneldurchmesser Y > 4  5  Tunneltiefenlage

· Baugrube: X > 2  3  Baugrubentiefe Y > 2 – 3  Verbauwandlänge

4 Anfangs- und Randbedingungen

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5

Elasto-plastische Materialmodelle

5.1

Grundlagen der Plastizitätstheorie

5.1.1

Seite 5-1

Grundbegriffe

Es ist typisch für Böden, für Stahl und Beton, dass große Formänderungen nach Entlastung sich nicht ganz zurückbilden. Dieses Verhalten heißt „elasto-plastisch”. Betrachtet man den Spannungs-Dehnungspfad in einem materiellen Punkt, so zeigt sich anfänglich ein elastischer (reversibeler) Pfad bis an bzw. ab einer Grenze (Fließbedingung, yield criteria) die Verformung in der Weise zunimmt, dass nach einer Entlastung die hierbei entstandene irreversible plastische Dehnung verbleibt. Die Verformung kann somit in elastische und plastische Verformungsanteile zerlegt werden. Die plastischen Dehnungen können im Rahmen der Plastizitätstheorie durch eine Fließregel (flow rule) beschrieben werden. Das plastische Verhalten wird in 3 Fälle unterschieden: Idealplastisch :

Bei Erreichen der Fließbedingung kann das Material keine zusätzliche Spannung aufnehmen. Nach elastischer Ent- und Wiederbelastung hat sich die Fließbedingung nicht verändert.

Verfestigung (Hardening):

Nach Erreichen der Fließbedingung kann das Material zusätzliche Spannung ertragen. Nach einer elastischen Entlastung ist die Fließbedingung erst nach vollständiger Wiederbelastung wieder erreicht. Die Fließbedingung weitet sich also auf.

Entfestigung (Softening):

Bei Erreichen der Fließbedingung kann das Material keine zusätzliche Spannung aufnehmen, sondern die aufnehmbare Spannung reduziert sich. Nach elastischer Ent- und Wiederbelastung verbleibt die reduzierte Fließbedingung.

5 Elasto-plastische Materialmodelle

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Seite 5-2

Bild 5-1: Elastoplastische Spannungs-Dehnungspfade

Den Beginn der Plastizitätstheorie in der Bodenmechanik markieren ideal plastische Grenzzustände in Verbindung mit Festigkeitshypothesen. Eine Festigkeitshypothese markiert die Grenze des zulässigen Spannungszustandes des Materials. Diese Grenze ist gleichzeitig eine Fließbedingung (ideal plastischer Fall).

5.1.2

Festigkeitshypothesen im Hauptspannungsraum

Wir betrachten den Boden als materielles Kontinuum. Seine Beanspruchung ist im Allgemeinen eine Funktion des Ortes. Die Beanspruchung in einem Punkt des Baugrundes ist gegeben durch den örtlichen Spannungszustand. Die Spannungszustände, die ein materielles Teilchen ertragen kann, bilden einen zusammenhängenden Bereich. Dieser ist aber nicht eindimensional wie bei einem Stab oder Seil, sondern – entsprechend den 6 Komponenten des Spannungszustandes – sechsdimensional. Wenn das betrachtete Material homogen und isotrop ist und unter Beanspruchung so bleibt, spielt die Orientierung der Hauptspannungsrichtungen gegenüber dem Material keine Rolle. Der erträgliche Bereich lässt sich dann erschöpfend im Raum der 3 Hauptspannungen darstellen und muss sogar 3 Symmetrie Ebenen aufweisen. Wegen dieser Symmetrie werden folgende Ebenen und zugehörige invariante Größen im Hauptspannungsraum bedeutungsvoll: Triaxialebene (triaxial plane):

2 3

q – p Ebene (meridional plane):

Ebene mit den Achsen p  

1   2  3 3



I1 3

(equivalent pressure stress) und



1 ( 1   2 ) 2  ( 2   3 ) 2  ( 3   1 ) 2 2 (Mises equivalent stress) q  3 J2 

5 Elasto-plastische Materialmodelle



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Deviatorebene (deviatoric plane):  1   2   3  konst. Raumdiagonale (hydrostatic axis):  1   2   3 .

Bild 5-2: Wichtige Betrachtungsebenen im Hauptspannungsraum

Für die experimentelle Erkundung des Bereiches der erträglichen Spannungszustände benötigt man viele gleiche, homogene Proben des betreffenden Bodens und Prüfgeräte, die eine homogene Beanspruchung der Proben bewirken. Die letzte Forderung wird weitgehend vom Triaxialgerät, aber z. B. nicht vom Rahmenschergerät erfüllt.

Hypothese von VON-MISES Nach der Hypothese von VON-MISES wird die Festigkeit überwunden, wenn die gespeicherte Gestaltsänderungsenergie einen bestimmten Grenzwert erreicht. Diese für Stahl passende Hypothese bildet im Hauptspannungsraum einen Zylinder, dessen Achse die Raumdiagonale ist. Der Zylinder erfüllt die Forderung nach drei Symmetrieebenen. Sie werden sichtbar im Schnitt des Spannungsraumes mit der Deviatorebene.

5 Elasto-plastische Materialmodelle

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Seite 5-4

Bild 5-3: Festigkeitshypothese nach VON-MISES

Hypothese von MOHR und COULOMB Für Böden sind andere Festigkeitshypothesen zutreffender. Die Festigkeitshypothese von MOHR und COULOMB ist in der Geotechnik Grundlage auch heutiger numerischer Berechnungsverfahren. In der ursprünglichen Formulierung ist der Spannungszustand in einem Punkt dadurch beschränkt, dass in keinem Schnitt das von COULOMB in die Bodenmechanik übernommene Reibungsgesetz verletzt werden darf. Aus der Darstellung nach Mohr (Bild 5-4) ist der erträgliche Spannungsbereich mittels der größten und kleinsten Hauptspannungen am Spannungskreis der die Bruchgeraden tangiert ersichtlich. Die mittlere Hauptspannung σ2 spielt also nach dieser Hypothese keine Rolle für den Verlust der Festigkeit. Sie hat mit anderen Worten keinen Einfluss darauf, ob ein Spannungszustand ein Grenzspannungszustand ist oder nicht.

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Bild 5-4: Darstellung eines Spannungszustandes an der Festigkeitsgrenze nach Mohr

Im Hauptspannungsraum sind die Achsenbezeichnungen unabhängig von einer Reihenfolge der Hauptspannungen nach der Größe. Bei der Verallgemeinerung im Hauptspannungsraum benutzen wir wieder die in der Numerik übliche Vorzeichenkonvention. Durch Einsetzen der jeweiligen Hauptspannung σ1, σ2, σ3 für die kleinste (-σIII) bzw. größte Hauptspannung (-σI) in die Grenzbedingung für den zulässigen Spannungsbereich (-σIII)– (-σIII) = [ (-σI) + (-σIII) ] sin φ

mit σIII  σII  σI

5-1

erhält man eine Flächenschar. Die innerste Einhüllende dieser Flächenschar ist die verallgemeinerte Festigkeitsgrenze (failure surface) nach MOHR – COULOMB, da sie den innen liegenden zulässigen Spannungsbereich begrenzt. Sie hat wie in der Deviatorebene (Bild 5-5) zu sehen 3 Symmetrieebenen. Um Messergebnisse, die den Einfluss der mittleren Hauptspannung nachweisen, besser nachzubilden, wird die Festigkeitshypothese durch verschiedenste Ansätze modifiziert (Bild 5-6).

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Seite 5-6

Bild 5-5: Fließhypothese nach MOHR-COLOUMB in der Deviatorebene

Bild 5-6: Fließhypothese nach MOHR-COLOUMB, DRUCKER-PRAGER und LADE

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5.1.3

Seite 5-7

Fließbedingungen und Fließregeln im Hauptspannungsraum

Die Fließbedingung stellt sich wie o.g. Festigkeitsbedingung im Allgemeinen Fall als sechsdimensionale Hyperfläche im Spannungsraum (Fließfläche, Yield surface), die rein elastischen Spannungszustände umschließt, dar. Bei ideal plastischem Material sind Spannungszustände, die außerhalb der Fließfläche liegen, nicht möglich, die Fließfläche stellt somit gleichzeitig eine Grenzbedingung des Materials dar. Als zweite Hypothese zur Beschreibung des plastischen Materialverhaltens neben der Fließbedingung wird eine Fließregel benötigt, die eine Beziehung zwischen den Spannungstensor und dem Tensor der Dehnungsinkremente herstellt. Der Dehnungsinkrementtensor ist eine objektive Größe und eine Funktion von anderen objektiven Größen (Spannungstensor, Materialparametern). Er kann bei einem homogenen und isotropen Material nur koaxial zum Spannungstensor, dem Spannungsinkrementtensor oder einer objektiven Kombination sein. Experimente bestätigen, dass der elastische Anteil des Dehnungsinkrementtensors immer koaxial zum Spannungsinkrementtensor und der plastische Anteil koaxial zum Spannungstensor ist. Diese wichtige Tatsache der Plastizitätstheorie erlaubt es, den Hauptspannungsraum und den Hauptdehnungsinkrementraum zur Darstellung der Fließregel zu überlagern. Plastische Dehnungsinkremente werden als Vektoren eingezeichnet, um sie beliebig platzieren zu können. Entscheidend ist dabei nur die Richtung und Länge. Die o.g. Verknüpfung (Fließregel) des plastischen Dehnungsinkrements und Spannungszustandes erfolgt durch die Einführung einer weiteren Fläche (Potentialfläche) eines plastischen Potentials (flow potential), wobei der Vektor des plastischen Dehnungsinkrementes immer normal zu dieser Fläche des plastischen Potentials (Normalitätsbedingung) steht. Gekoppelt mit einer skalaren Größe liefert der Gradient des Potentials im Hauptspannungsraum an der Stelle des betrachteten Spannungspunktes auf der Fließfläche das plastische Dehnungsinkrement.

 ij  

G  ij

Bild 5-7: Plastisches Potential und plastisches Dehnungsinkrement

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Seite 5-8

In der klassischen Plastizitätstheorie wird die Fließfläche gleichzeitig als plastisches Potential verwendet. In diesem Fall wird von einer assoziierten Fließregel im Gegensatz zur nicht assoziierten Fließregel, bei der das plastische Potential von der Fließfläche verschieden ist.

Bild 5-8: Plastische Dehnungsinkremente in der Triaxialebene und in der Deviatorebene

5.1.4

Verfestigung

Bei plastisch verfestigendem Materialverhalten sind Spannungszustände außerhalb der aktuellen Fließfläche möglich. Die Fließfläche ändert dabei im Allgemeinen ihre Größe, Lage und Form, so dass der Spannungspunkt immer auf einer Fließfläche bleibt. Dazu ist eine Verfestigungsbeziehung erforderlich, die die Größe der plastischen Dehnungsinkremente in Abhängigkeit der Spannungsinkremente, dem Spannungstensor und internen plastischen Variablen festlegt. Wird die Fließfläche während der Verfestigung geometrisch ähnlich transformiert, ohne dass sich ihre Lage ändert, dann spricht man von einer isotropen Verfestigung (isotropic hardening), verschiebt sich die Fließfläche bei gleich bleibender Größe und Form im Spannungsraum, dann handelt es sich um eine kinematische Verfestigung (kinematic hardening). Die Verfestigungsbeziehung ist in der Regel in Abhängigkeit vom Tensor der plastischen Dehnungen formuliert (Dehnungsverfestigung) und bedeutet, dass die Fließfläche vom zurückliegenden Verformungspfad abhängt. Häufig werden in der Verfestigungsbeziehung nur spezielle Komponenten des plastischen Dehnungstensors verwendet, wie z.B die plastische Volumendehnung bei den „Cam Clay “ Modellen (volumetrische Verfestigung). Ein Sonderfall liegt bei der Arbeitsverfestigung vor, bei der die Verfestigung nur von der totalen plastischen Arbeit und nicht vom Spannungs- oder Verformungspfad abhängt. Für eine stabile Verfestigung hat Drucker ein Kriterium postuliert, das fordert, dass die plastische Arbeit aus Spannungs- und plastischen Dehnungsinkrementen positiv ist (Stabilität im Kleinen) und dass die Arbeit, die zwischen dem aktuellen und einem Spannungszustand innerhalb der Fließfläche geleistet wird, nicht negativ ist (Stabilität im Großen). Aus den beiden Kriterien kann die Normalitätsbedingung und die Konvexität der 5 Elasto-plastische Materialmodelle

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Fließfläche abgeleitet werden. Bei den in der Bodenmechanik verwendeten Materialgesetzen werden die Druckerpostulate nicht immer erfüllt z. B. für entfestigendes Materialverhalten.

Bild 5-9: Postulate nach DRUCKER

Volumetrisches elasto-plastisches Verhalten Neben der Eigenschaft mit zunehmender allseitiger Spannungskomponente immer größere deviatorische Spannungsanteile aufnehmen zu können, weist Boden eine weitere wichtige charakteristische Eigenschaft auf. Der Boden ändert sein Volumen unter Beanspruchung elasto-plastisch. In Bild 5-10 ist die Reduzierung des spezifischen Volumens ( = 1+e) durch Erhöhung der vertikalen Spannung, die logarithmisch skaliert ist, bei der eindimensionalen Kompression dargestellt.

Bild 5-10: Eindimensionale Kompression von Ton

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Bei einer Entlastung verbleibt der plastische Anteil der Volumenreduzierung. Im Triaxialversuch wird bei Erhöhung der allseitigen Spannung p ebenfalls diese logarithmische Abhängigkeit festgestellt. Bild 5-11 zeigt den idealisierten Zusammenhang als Erstverdichtungslinie (normal consolidation line) und der elastischen Schwellkurve (swelling line).

Bild 5-11: Erstverdichtungslinie und Schwellkurve

Die Erstverdichtungslinie stellt eine Grenzbedingung (boundary condition) dar, weil sie die möglichen Volumenzustände mit zugehörigen Spannungszuständen begrenzt. So wie die Festigkeitshypothese tritt bei Erreichen der Erstverdichtungslinie im Punkt B des Bildes 5-11 eine Fließbedingung ein. Der Boden erträgt die weitere Lasterhöhung bis Punkt C (Verfestigung) und die plastische Volumenänderung ist nach Entlastung auf die Ausgangsspannung im Punkt E abzulesen. Beim undrainierten Abscheren einer gesättigten Probe aus der Erstverdichtung im Triaxialversuch (CU-Versuch) ist die Volumenänderung verhindert, so dass Porenwasserüberdrücke und der effektive Spannungspfad wie in Bild 5-12 entstehen. Der Pfad in der Ebene mit dem spezifischen Volumen ist darunter dargestellt.

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Bild 5-12: Spannungspfade und Volumenänderung des CU-Versuchs

Mehrere solcher Versuche (auch drainierte, CD-Versuche) ergeben die in Bild 5-13 aufgetragenen Versagenspunkte, die auf der sogenannten„critical state line“ (CSL) liegen.

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Seite 5-12

Bild 5-13: Versagenspunkte auf der Critical state line

Der Zusammenhang ist in einem Raum, der durch die Achsen p und q sowie dem spezifischen Volumen aufgespannt wird, durch drei Punkte anschaulich abgebildet (Bild 5-14).

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Seite 5-13

Bild 5-14: Normal consolidation line und Critical state line im “p-q- Raum”

Bild 5-15a zeigt die undrainierten, volumenkonstanten Pfade; Bild 5-15b die drainierten Pfade. Alle Pfade ausgehend von der Erstverdichtungslinie bis zur „critical state line“ liegen auf einer Ebene, die nach ROSCOE als Roscoe-surface bezeichnet wird und die Spannungszustände mit den dazugehörigen Volumenzuständen begrenzt.

Bild 5-15: a) Pfad der CU-Versuche

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b) Pfad der CD-Versuche

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Diese Fläche findet sich in vielen elasto-plastischen Modellen als Kappe (cap) wieder. Die Verallgemeinerung im Hauptspannungsraum entsteht durch Rotation um die Raumdiagonale. Die Fläche liegt somit mit der Spitze auf der Raumdiagonalen und endet an der durch eine Festigkeitshypothese gebildeten critical state line. Die zu einem spezifischen Volumen gehörende Kappe begrenzt den Spannungszustand und ist eine Fließfläche, die sich aufweitet indem entsprechende plastische Volumenänderungen eintreten. Elastische Spannungspfade, also innerhalb der Fließflächen bewirken nur elastische Volumenänderungen. In Bild 5-16 und 5-16b sind Pfade, die erst elastisch und dann entlang der Roscoe-surface verlaufen dargestellt.

Bild 5-16: Elastische Pfade im “p-q- Raum”

Die Fließregel ist neben der oben definierten Verfestigungsgesetzmäßigkeit erst durch Einführung der assoziierten Fließregel auf der Kappe vollständig definiert. Dies entspricht Messungen auf der Raumdiagonalen. Auf der Erstverdichtungslinie können aus Symmetriegründen nur volumetrische plastische Verformungen eintreten und im Critical State gilt definitionsgemäß volumenkonstantes Fließen.

5.2

Mohr Coulomb Modell in ABAQUS

Das Mohr Coloumb Modell in ABAQUS entspricht im Grundsatz der Festigkeitshypothese nach MOHR-COULOMB. Das Materialverhalten wird durch die Option: *MOHR COULOMB definiert und bietet die Möglichkeit einer Verfestigung durch *MOHR COULOMB HARDENING Es ist keine Kappe definierbar.

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5.3

Seite 5-15

Drucker Prager Modell in ABAQUS

Das Drucker-Prager Modell in ABAQUS wird als extended Drucker-Prager Modell bezeichnet, da die Möglichkeit der Anpassung der Fließbedingung in der Deviatorebene abweichend von der Kreisform durch den Parameter K besteht. In ABAQUS wird daher eine neue Spannungsgröße t definiert, die in der Deviatorebene entlang der angepassten Fließfläche konstant und somit statt q mit p zusammen die Ebene aufspannt in der die Fließflächen eindeutig definiert werden können.

Bild 5-18: Anpassung der Fließfläche in der Deviatorebene durch den Parameter K und Definition der Spannungsgröße t

Für ebene Verformungsberechnungen wird K=1 empfohlen und die Anpassung der Scherparameter aufgrund der Randbedingung keiner elasto-plastischer Verformungen. Bild 5-19 zeigt das der Bereich der ebenen Dehnung zwischen dem Kompressions und Extensionsbereich liegt.

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Seite 5-16

Bild 5-19: Bereich der ebenen Dehnung

Die Materialdefinition erfolgt mit *DRUCKER PRAGER und bietet die Möglichkeit einer Verfestigung durch * DRUCKER PRAGER HARDENING Es ist keine Kappe definierbar.

5.4

Cam Clay Modell in ABAQUS

HVORSLEV hatte durch seine direkten Scherversuche als erster erkannt, dass die Scherfestigkeit eines bindigen Bodens nicht nur eine Funktion der in der Scherfläche wirkenden wirksamen Normalspannung ist, sondern auch der Porenziffer e. Ende der fünfziger Jahre wurde in Cambridge, das „Critical State Concept und das elasto-plastische „Cam Clay “ Modell für normal und leicht überkonsolidierte bindige Böden („ wet clays “) entwickelt. Das ursprüngliche Cam Clay Modell überschätzt die Größe der plastischen Dehnungsinkremente für Spannungszustände, die in der Nähe des Isotropen Spannungszustandes liegen, und liefert zu grosse Ko-Werte für normalkonsolidierte Böden. Dies liegt an der Form der Fließfläche im unterkritischen Bereich mit der Spitze an der p-Achse. Durch eine Modifikation des Ansatzes kommt BURLAND zu einer elliptischen Fließfläche des sogenannten „Modified Cam Clay‟ Modells“, das auch in ABAQUS verwendet wird (Bild 5-20) unter der Bezeichnung „Clay Plasticity Model“.

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Seite 5-17

Bild 5-20: Fließfläche des „Clay Plasticity Models“ in ABAQUS

Im sogenanten unterkritischen Bereich (wet side) kann der Fließellipsoid (Roscoue surface bzw. Kappe) durch den Parameter  verändert werden. Im überkritischen Bereich (dry side) geht das Fließellipsoid durch den Spannungsnullpunkt. Die Anpassung der Fließfläche in der Deviatorebene erfolgt wie in Bild 5-18 durch den Parameter K. Die volumetrische Verfestigung wie in 5.1.4.1 beschrieben erfolgt wie in Bild 5-21 zu sehen durch die Parameter  (plastic slope) für die Erstverdichtung (normal consolidation),  (elastic slope) für die Schwellkurve und die Porenziffer e1 bei ln p = 0.

Bild 5-21: Definition der Erstverdichtung und Schwellkurven

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Seite 5-18

Die Materialdefinition erfolgt mit *CLAY PLASTICITY und *CLAY HARDENING

5.5

Cap Modell in ABAQUS

Zur Beschreibung des Materialverhaltens von Sand haben sich elasto-plastische Modelle wie das Cap Modell in ABAQUS mit einer konischen Fließfläche zur Erfassung der dilatant plastischen Verformungsanteile und einer Kappe für die kontraktant plastischen Verformung durchgesetzt. Mit dem Parameter K wird wie in Bild 5-18 die Fließfläche in der Deviatorebene so festlegt, dass diese die Mohr-Coulombsche Bruchbedingung im Kompressions- und im Extensionsbereich erfüllt wird. Bild 5-22 zeigt die Fließflächen und Versagensfläche in der p-t Ebene

Bild 5-22: Fließflächen und Versagensfläche des Cap Modells

Das dazugehörige Potential ist in Bild 5-23 zu sehen.

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Bild 5-23: Plastisches Potential

Das Potential für den Konus wird durch Ellipsen gebildet. Die Fließregel ist hier nicht assoziiert, während auf der Kappe assoziertes Fließen gilt. Es ist zu sehen das bei weiter entfernter Kappe die dilatante (volumenvergrößernde) Komponente des plastischen Dehnungsinkrements zunimmt. Wegen der Kopplung der Kappe mit dem plastischen Volumen bewirken dilatante Dehnungsinkremente auf dem Konus eine Zurückziehung der Kappe bis letzendlich der Spannungspunkt im critical state mit volumenkonstantem Fließen verharrt. Die Beziehung der Kappenposition und des plastischen Volumens (ähnlich der Erstverdichtungslinie) erfolgt durch die Definition der Kurve in Bild 5-24

Bild 5-24: Beziehung der Kappenposition und dem plastischen Volumen

Das Modell wird definiert durch: *CAP PLASTICITY und *CAP HARDENING 5 Elasto-plastische Materialmodelle

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6

Seite 6-1

Parameteridentifikation

In diesem Kapitel wird die Bestimmung von Materialparametern aus Laborversuchen für einige Stoffgesetze beschrieben. 6.1

Bestimmung elastischer Parameter

Um ein linear-elastisches Verhalten zu beschreiben werden die Parameter Elastizitätsmodul (E) und Querdehnzahl/Poissonzahl (/υ) benötigt. Der Elastizitätsmodul ist mit dem Schubmodul (G) über folgende Gleichung verbunden.

E

2G(  1) 

(6-1)

Der Elastizitätsmodul (E) kann direkt aus dem Triaxialversuch oder dem Ödometerversuch bestimmt werden oder aus einer Probebelastung in situ berechnet werden. Beim Kompressionsversuch mit behinderter Seitendehnung (Ödometerversuch) wird der Steifemodul bei behinderter Seitendehnung (Es) bestimmt, dieser kann gemäß Gl. 6-2a in den Steifemodul bei unbehinderter Seitendehnung = Elastizitätsmodul (E) umgerechnet werden. Mit einer Probebelastung in situ, also z.B. einem Plattendruckversuch, lässt sich der Steifemodul des Baugrundes (Es’) bestimmen. Der Steifemodul des Baugrunds hängt mit dem Elastizitätsmodul gemäß Gl. 6-2b zusammen: Es  E

1  1    2 2

(6-2a)

ES'  E

1 1  2

(6-2b)

Tabelle 6-1: Parameter des linear elastischen Modells Linear elastisches Materialverhalten ABAQUS Keyword

Parameter

*DENSITY *INITIAL CONDITION *ELASTIC *ELASTIC *POROUS ELASTIC *INITIAL CONDITION

γ (Wichte des Bodens) K0 (Erdruhedruckbeiwert) E (Elastizitätsmodul) υ (Poissonzahl) pZug (Zugfestigkeit) e0 (Anfangsporenzahl)

Einheit (Vorschlag) [kN/m³] [-] [kN/m²] [-] [kN/m²] [-]

Bestimmung Feldvers. triax. Komp. triax. Komp. triax. Komp. triax. Ext. Feldvers.

triax. Komp. - triaxialer Kompressionsversuch triax. Ext. - triaxialer Extensionsversuch Feldvers. - Feldversuche nach DIN-Normen

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Seite 6-2

Im Labor lässt sich der Elastizitätsmodul mit dem einaxialen Druckversuch und dem Triaxialversuch bestimmen. Die Druck-Setzungslinie des einaxialen Druckversuchs liefert den Elastizitätsmodul des Bodens. Man benutzt hierfür die Sehne zwischen dem Nullpunkt und der Hälfte bzw. dem Drittel der Bruchlast (Bild 6-1). Die besseren Ergebnisse erhält man aus dem Triaxialversuch; dabei sollte ein der Natur entsprechender Seitendruck (σ3) verwendet werden. Eindeutiger lässt sich der Elastizitätsmodul aus dem Triaxialversuch mit eingelegten Ent- und Wiederbelastungsschleifen entnehmen. In diesem Fall gibt die Neigung der Sehne durch die Hysterese die Größe des Elastizitätsmoduls an (Bild 6-2). q /

Bild 6-1: Bestimmung des E-Moduls aus dem Einaxialversuch oder dem Triaxialversuch

Bild 6-2: Bestimmung des E-Moduls aus einer Ent-/Wiederbelastungsschleife im Triaxialversuch

Die Poissonzahl (υ) liegt zwischen den Werten 0,5 (raumbeständiges Material) und 0 (querdehnungsfreies Material). Zur Bestimmung der Poissonzahl sind zwei Methoden gebräuchlich: 1. Bestimmung mit dem triaxialen Ruhedruckversuch, der auch zur Bestimmung des Ruhedruckbeiwerts für den Erddruck (K0) durchgeführt wird. Da der Ruhedruckbeiwert sich auf das Verhältnis der wirksamen Spannungen bezieht, müssen etwa auftretende Porenwasserdrücke gemessen und berücksichtigt werden: 6 Parameteridentifikation

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K0  mit: σ3 ’ σ1 ’

3' 1'

bzw.

3' 1'

Seite 6-3

(6-3)

- wirksamer Seitendruck - wirksamer lotrechter Druck

Zur Kontrolle der radialen Verformung, die während des ganzen Versuchs gleich Null bleiben muss, werden die radialen Verformungen mit geeigneten Messmethoden, wie z.B. Messbändern erfasst. Während der Erhöhung des lotrechten Drucks muss auch die radiale Spannung fortlaufend so gesteigert werden, dass die Probe in radialer Richtung verformungsfrei bleibt. Bei nicht bindigen Böden, welche unter Vakuum eingebaut werden müssen und damit von Versuchsbeginn an einer Spannung unterliegen, wird der Ruhedruckbeiwert aus der Zunahme Δσ der beiden Hauptspannungen bestimmt. Aus dem Ruhedruckbeiwert kann dann die Poissonzahl abgeleitet werden:



K0 1  K0

(6-4)

2. Methode zur Bestimmung der Poissonzahl: Die Poissonzahl kann auch im konventionellen triaxialen Druckversuch bestimmt werden. Wenn in einem Triaxialversuch die Vertikal-/Längsdehnung und die Radial-/Querdehnung gemessen wurde ergibt sich die Poissonzahl aus dem Quotienten aus Vertikaldehnung zu Radialdehnung zu: 

längs quer

1      1  v  2  1 

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(6-5)

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Seite 6-4

Bild 6-3: Bestimmung der Poissonzahl aus dem Triaxialversuch

Für das elastische Stoffmodell sind folgende Keywords in ABAQUS zu verwenden: *ELASTIC E., . *DENSITY .

6.2

Bestimmung linear elastisch - ideal plastischer Parameter

Bild 6-4 zeigt einen einaxial belasteten Körper eines linear elastisch – ideal plastischen Materials, welches mit einer vertikalen Verschiebung belastet wird und die dazugehörige Spannungs-Verformungskurve. Im ersten Bereich (A-B) verhält sich die Probe linear elastisch und alle aufgebrachten Verformungen sind reversibel. Dieser Bereich kann mit dem Elastizitätsmodul (Young’s modulus) beschrieben werden. Im Punkt B (Dehnung gB) erreicht die Spannung die Fließgrenze (σY) und das Materialverhalten wird ideal-plastisch. Wenn nun vom Punkt C aus wieder entlastet wird, folgt das Material dem Pfad C-D und verhält sich in diesem Bereich linear elastisch.

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Seite 6-5

Bild 6-4: Linear elastisch - ideal plastisches Materialverhalten

Zur Beschreibung eines linear elastisch – ideal plastischen Materials werden der Elastizitätsmodul, die Poissonzahl und die Fließgrenze benötigt. Zu den Stoffgesetzen dieses Materialverhaltens gehören u.a. Mohr-Coulomb und von Mises. Zur Bestimmung der Fließgrenze werden üblicherweise die Scherparameter φ’ und c’ bzw. φu und cu benötigt. Die Scherparameter können aus dem Rahmenscherversuch (Kap. 6.3) oder dem Triaxialversuch (Kap. 6.4) gewonnen werden. Tabelle 6-2: Parameter des Mohr-Coulomb Modell Mohr-Coulomb ABAQUS Keyword

Parameter

*DENSITY *INITIAL CONDITION *ELASTIC *ELASTIC *POROUS ELASTIC *INITIAL CONDITION *MOHR COULOMB *MOHR COULOMB HARD. *MOHR COULOMB HARD. *MOHR COULOMB HARD. *MOHR COULOMB

γ (Wichte des Bodens) K0 (Erdruhedruckbeiwert) E (Elastizitätsmodul) υ (Poissonzahl) pZug (Zugfestigkeit) e0 (Anfangsporenzahl)  (Reibungswinkel) c (Kohäsion) σc (Fließspannung) g1pl (plast. Dehnung) ψ (Dilatanzwinkel)

triax. Komp. triax. Ext. Einachs. Feldvers.

Einheit (Vorschlag) [kN/m³] [-] [kN/m²] [-] [kN/m²] [-] [°] [kN/m²] [kN/m²] [-] [°]

Bestimmung Feldvers. triax. Komp. triax. Komp. triax. Komp. triax. Ext. Feldvers. triax. Komp. triax. Komp. Einachs. Einachs. triax. Komp.

- triaxialer Kompressionsversuch - triaxialer Extensionsversuch - einaxialer Kompressionsversuch - Feldversuche nach DIN-Normen

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Für das Mohr-Coulomb Modell sind folgende Keywords in ABAQUS zu verwenden: *MOHR COULOMB ., . *MOHR COULOMB HARDENING c., 0. c1.,pl1. c2.,pl2. ... Das Keyword *MOHR COULOMB steht immer in Verbindung mit *MOHR COULOMB HARDENING. Unter *MOHR COULOMB wird der Reibungswinkel und für Berechnungen in 2D oder 3D ggfs. der Dilatanzwinkel eingegeben. Die Bestimmung des Dilatanzwinkels wird im Kap. 6.5.1.1 erläutert. Unter *MOHR COULOMB HARDENING können Wertepaare für eine Verfestigungsfunktion eingegeben werden. Wenn man ideal plastisches Verhalten erreichen möchte, wird nur in der ersten Zeile die Kohäsion und eine 0 für die plastische Dehnung eingegeben, die folgenden Zeilen entfallen dann.

6.3

Rahmenscherversuch

Zur Bestimmung der Scherparameter aus dem Rahmenscherversuch müssen mindestens drei Scherversuche bei gleichen Einbaubedingungen aber unterschiedlicher vertikaler Auflast durchgeführt werden. Jeder Scherversuch wird zunächst als ScherspannungsVerschiebungsdiagramm aufgetragen (Bild 6-5).

Bild 6-5: Scherspannungs-Verschiebungs-Diagramm mit kennzeichnenden Punkten

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Man unterscheidet im Scherdiagramm die folgenden kennzeichnenden Punkte:   

die „Bruchgrenze B“, die den Scherwiderstand angibt; die „Gleitgrenze G“, die den Reibungswiderstand oder Restscherwiderstand angibt; die „Proportionalitätsgrenze P“.

Die letztere ist durch den geradlinigen Teil des aufsteigenden Astes gegeben, doch nur in seltenen Fällen eindeutig erkennbar. Die Gleitgrenze ergibt sich durch Erreichen des waagerechten Astes. Eine ausgesprochene Bruchgrenze ist nur vorhanden, wenn die Scherlinie ein Maximum besitzt. Oft ist dies nicht der Fall. Als Bruchgrenze wird dann entweder die Asymptote der Verschiebungslinie oder die Scherspannung bei einer bestimmten Scherverschiebung angesehen. Aus den drei Scherspannungs-Verschiebungsdiagrammen der Scherversuche bei unterschiedlichen vertikalen Belastungen können die verschiedenen Bruch/Restscherfestigkeitswerte der Normal- und Schubspannung abgelesen werden. Diese werden in ein eigenes Diagramm eingetragen, in dem die Bruchgerade bestimmt werden kann. Daraus lassen sich der Reibungswinkel und die Kohäsion ablesen (Bild 6-6). Die Verteilung der Normal- und Scherspannungen auf der Scherfläche ist sehr ungleichmäßig. Daher ist die Auswertung des Versuches mit systematischen Fehlern behaftet, die sich nicht vermeiden lassen.

Bild 6-6: Ermittlung der Schergeraden mit den Parametern ’ und c’

6.4

Triaxialversuch

Um die Ungenauigkeiten, die sich aus dem direkten Scherversuch ergeben, zu vermeiden, bietet es sich an, die Schergerade mit Hilfe des Triaxialversuchs zu ermitteln. Der Triaxialversuch wird ebenso wie der direkte Scherversuch bei mindestens drei verschiedenen Spannungen durchgeführt, die beim Triaxialversuch durch unterschiedliche Zelldrücke aufgebracht werden. Aus der Auftragung der lotrechten Spannungen über den lotrechten Dehnungen können die Bruchfestigkeit und die Restscherfestigkeit abgelesen werden. Die daraus ableitbaren Spannungen sind als größte Hauptspannungen anzusehen, als kleinste Hauptspannungen kann der jeweils wirkende Zelldruck angesehen werden. Mit diesen Werten können die Mohr’schen Kreise und die Schergerade als Tangente an die Mohr’schen Kreise konstruiert werden (Bild 6-7). 6 Parameteridentifikation

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Bild 6-7: Mohr’sche Kreise und Schergerade mit den Parametern ’ und c’

Alternativ ist es auch möglich, die im Triaxialversuch gefahrenen Spannungspfade in ein Diagramm einzutragen und daraus die Scherparameter abzuleiten (Bild 6-8).

Bild 6-8: Spannungspfade im Triaxialversuch (aus DIN 18137)

6.5

Verfestigendes Materialverhalten (linear elastic, hardening plastic)

Bild 6-9 zeigt ein Materialverhalten, das ähnlich dem linear elastisch – ideal plastischen Materialverhalten ist, jedoch im plastischen Bereich noch ein Anwachsen der Spannungen mit zunehmender Dehnung ermöglicht. Im Bereich A-B herrscht weiterhin linear elastisches Materialverhalten, ebenso wie bei allen Ent-/Wiederbelastungsschleifen (C-D). Am Punkt B ist die anfängliche Fließspannung (σYB) erreicht. Ab diesem Punkt verfestigt das Material bei zusätzlichen Dehnungen und kann daher zusätzliche Spannungen aufnehmen. Das bedeutet auch, dass die aktuelle Fließgrenze (σYC) eine Funktion der Belastungsgeschichte ist. Die Spannungs-Dehnungskurve wird asymptotisch einem 6 Parameteridentifikation

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Seite 6-9

Endwert der Fließspannung zustreben. Ein solches Materialverhalten wird „linear elastic hardening plastic“ genannt. Beispielhaft für ein solches Materialverhalten steht z.B. das erweiterte Drucker-Prager-Stoffgesetz.

Bild 6-9: Linear elastisches plastisch verfestigendes Materialverhalten

Ein linear elastisch - plastisch verfestigendes Materialverhalten bildet das im Ödometerversuch beobachtete Verhalten gut ab. Hierzu soll zunächst das Bild 6-9 so aufgetragen werden, dass die Spannungsachse die horizontale Achse ist und im logarithmischen Maßstab aufgetragen wird und an der vertikalen Achse die Dehnungen angetragen werden. Daraus ergibt sich Bild 6-10a. Im Bild 6-10b ist eine Versuchskurve eines Ödometerversuchs dargestellt. Auf der vertikalen Achse ist die Porenzahl aufgetragen, die zu der vertikalen Dehnung aus Bild 6-10a für den Ödometerversuch proportional ist.

Bild 6-10: Vergleich zwischen Stoffgesetz und Ödometerversuch

Das im Ödometerversuch beobachtete hysteretische Verhalten in der Ent- und Wiederbelastungsschleife kann durch das Stoffgesetz nicht wiedergegeben werden. Hierzu sind Stoffgesetze mit kinematischer Verfestigung notwendig. Allerdings wird in der Geotechnik häufig die Vereinfachung des hysteretischen Verhaltens in einzelnen Zyklen durch eine ausgleichende Sekante verwendet.

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6.5.1

Seite 6-10

Drucker-Prager

In der Gruppe der vom Drucker-Prager-Stoffgesetz abgeleiteten Formulierungen stellt ABAQUS zwei Version zur Verfügung, das extended Drucker-Prager Model und das modified Drucker-Prager Model.

Extended Drucker-Prager

Das extended Drucker-Prager Modell wird für Materialien mit Reibung und Kohäsion verwendet, deren Fließgrenze spannungsabhängig ist. In der in ABAQUS implementierten Version stehen drei verschiedene Ansätze für die Fließfläche zur Verfügung, über die die Verfestigung definiert wird (Bild 6-11). Im Weiteren wird nur auf den linearen Ansatz eingegangen, da nur dieser Ansatz eine Berücksichtigung des unterschiedlichen Extensions- und Kompressionsverhaltens von Böden ermöglicht. Dieses Verhalten wird durch den Faktor K beschrieben, der durch den Quotienten der Deviatorspannung des triaxialen Kompressionsversuchs und des triaxialen Extensionsversuchs bestimmt wird. Die Fließfläche kann bei dem extended Drucker-Prager Model sowohl eine Bruchfläche als auch eine Anfangsfließfläche darstellen. Bei Erreichen der Bruchfläche tritt ideal plastisches Materialverhalten ein. Erreicht ein Spannungszustand jedoch die Anfangsfließfläche hat dies eine Verfestigung des Materials zur Folge. In ABAQUS wird das Verfestigungsgesetz in tabellarischer Form angegeben, wobei jeweils der einaxialen Fließspannung σc der zugehörige Wert der axialen Dehnung g1pl zugeordnet wird.

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Seite 6-11

Bild 6-11: Ansätze für Fließflächen beim extended Drucker-Prager Model

6 Parameteridentifikation

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Seite 6-12

Die folgenden Parameter werden für das extended Drucker-Prager-Modell benötigt: Tabelle 6-3: Modellparameter des extended Drucker-Prager Modell Extended Drucker-Prager ABAQUS Keyword

Parameter

*DENSITY *INITIAL CONDITION *ELASTIC *ELASTIC *POROUS ELASTIC *INITIAL CONDITION *DRUCKER PRAGER *DRUCKER PRAGER HARD. *DRUCKER PRAGER HARD. *DRUCKER PRAGER HARD. *DRUCKER PRAGER

γ (Wichte des Bodens) K0 (Erdruhedruckbeiwert) E (Elastizitätsmodul) υ (Poissonzahl) pZug (Zugfestigkeit) e0 (Anfangsporenzahl) β (Konuswinkel) d (Konusachsabschnitt) σc (Fließspannung) g1pl (plast. Dehnung) K (Konusformfaktor)

Einheit (Vorschlag) [kN/m³] [-] [kN/m²] [-] [kN/m²] [-] [°] [kN/m²] [kN/m²] [-] [-]

*DRUCKER PRAGER

ψ (Dilatanzwinkel)

[°]

triax. Komp. triax. Ext. Einachs. Feldvers.

Bestimmung Feldvers. triax. Komp. triax. Komp. triax. Komp. triax. Ext. Feldvers. triax. Komp. triax. Komp. Einachs. Einachs. triax. Komp. + triax. Ext. triax. Komp.

- triaxialer Kompressionsversuch - triaxialer Extensionsversuch - einaxialer Kompressionsversuch - Feldversuche nach DIN-Normen

Der Konuswinkel β und der Konusachsabschnitt d können aus den Scherparametern φ und c ermittelt werden. Dabei gilt für den Konusachsabschnitt:  1  d  1  tan    c  3  mit σc

(6-6)

Einaxiale Fließspannung

Für den Konuswinkel β gilt, wenn der Reibungswinkel φ im Triaxialversuch ermittelt wurde:   arctan

6  sin  3  sin 

und d  2  c 

cos   1   1   tan   1  sin   3 

(6-7)

Alternativ können Konuswinkel und Konusachsabschnitt auch aus plane strain Versuchen bestimmt werden. Dann muss allerdings unterschieden werden, ob es sich um assoziiertes Fließen (ψ = ) handelt oder um nicht assoziiertes Fließen (ψ ≠ ). Für assoziiertes Fließen gilt:

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3 sin  1 1  sin ² 3

tan  

und

d  c

3 cos  1 1  sin ² 3

Seite 6-13

(6-8)

und für nicht assoziiertes Fließen gilt:

tan   3 sin 

und d  3 cos   c

(6-9)

Der Konusformfaktor K liegt im Wertebereich 0,778 ≤ K ≤ 1,0 und kann aus den Bruchgeraden für Kompression und Extension bestimmt werden. Die Bruchgeraden können jeweils durch eine Serie von mindestens drei Triaxialversuchen bestimmt werden (Bild 6-12).

K

qt qc

(6-10)

Der Dilatanzwinkel legt die Richtung der plastischen Dehnungsinkremente fest. Der Dilatanzwinkel wird durch den Quotienten von plastischer Volumendehnung und plastischer Scherdehnung im Triaxialversuch bestimmt zu: tan  

mit: gv gs g1 g3

 plv 1pl  2  3pl  spl 2   pl   pl  1 3 3

(6-11)

- Volumendehnungsinkrement - Scherdehnungsinkrement - Dehnung in axialer Richtung - Dehnung in radialer Richtung

Die plastischen Anteile der Dehnungen lassen sich aus einem triaxialen Kompressionsversuch mit Ent-/Wiederbelastungsschleifen ermitteln. Für assoziiertes Fließen wird ψ =  gesetzt. Der Dilatanzwinkel (ψ) kann aus einem triaxialen Kompressionsversuch bestimmt werden. Hierzu wird die Volumendehnung der Probe über der Vertikaldehnung aufgetragen. Die Steigung der Kurve ergibt den Dilatanzwinkel. Das Verfestigungsgesetz wird durch die Beziehung zwischen den Kompressionsfließspannungen in axialer Richtung σ1C und den dazugehörigen plastischen Dehnungen in axialer Richtung g1pl festgelegt. Diese Werte werden aus triaxialen Kompressionsversuchen mit Entlastungsschleifen gewonnen. Wenn keine vollkommenen Entlastungsschleifen gefahren wurden, kann ersatzweise eine Sekante durch die Hysterese gelegt werden, so dass auf der Abszisse die plastische Dehnung abgelesen werden kann (Bild 6-12). Jeder Höchstspannung σc1 vor einer Entlastung wird die verbleibende Dehnung (also die plastische Dehnung) g1pl bei vollständiger Entlastung zugeordnet. 6 Parameteridentifikation

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Seite 6-14

Bild 6-12: Bestimmung des Verfestigungsgesetzes

Für jede Hysterese kann ein Wertepaar (ci, ipl) abgelesen werden, das in tabellarischer Form in ABAQUS eingegeben wird. Für das extended Drucker-Prager Modell sind folgende Keywords in ABAQUS zu verwenden: *DRUCKER PRAGER ., K.,. *DRUCKER PRAGER HARDENING d., 0. c1.,1pl. c2.,2pl. ...

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Seite 6-15

Dem Keyword *DRUCKER PRAGER folgt als Datenzeile die Angabe des Reibungswinkels β, des Formfaktors K und des Dilatanzwinkels ψ. Dem Keyword *DRUCKER PRAGER HARDENING folgen Wertepaare der Fließspannung und der plastische Dehnung, wobei in der ersten Datenzeile die plastische Dehnung gleich 0. sein muss und die zugehörige Fließspannung gleich dem Konusachsabschnitt d ist.

Modified Drucker-Prager

Das modified Drucker-Prager Modell besteht im Wesentlichen aus zwei Hauptteilen, dem Konus und der Kappe. Die gegenüber dem extended Drucker-Prager Modell hinzugefügte Kappe trägt der Tatsache Rechnung, dass eine Steigerung der hydrostatischen Spannung nicht nur elastische Verformungen hervorruft, sondern auch plastische Volumenänderungen auftreten. Ein weiterer Bereich, die Übergangsfläche, schafft einen stetigen und stetig differenzierbaren Übergang zwischen Konus und Kappe (Bild 6-13 und 6-14). Spannungspfade, die innerhalb der Fließflächen verlaufen, ergeben linear elastische Verformungen. Berührt ein Spannungspunkt den Konus, reagiert das Stoffgesetz im Gegensatz zum extended Drucker-Prager nicht verfestigend, sondern ideal-plastisch. Berührt ein Spannungspfad hingegen die Kappe, wird diese verschoben und es kommt zu einer Verfestigung. Fließen auf der Kappe verursacht eine Volumenverkleinerung (Kontraktanz), damit geht eine Verschiebung der Kappe in Richtung hydrostatischer Achse (Raumdiagonale im Hauptspannungsraum) einher, woraus eine Verfestigung resultiert. Das Verfestigungsgesetz steuert das plastische Verhalten der Kappe, es wird durch den Zusammenhang zwischen hydrostatischer Spannung und zugehöriger plastischer Volumendehnung beschrieben und kann aus einem hydrostatischen Triaxialversuch mit Entlastungsschleifen bestimmt werden. Für die numerische Berechnung in ABAQUS wird dieser Zusammenhang als bereichsweise linearer Polygonzug angegeben. Die Anfangsposition der Kappe, über die das Erst- und Wiederbelastungsverhalten gesteuert wird, ist aufgrund der Vorbelastung, die der Boden erfahren hat, festzulegen. Bei normalkonsolidierten Böden ist sie gleich der Überlagerungsspannung.

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Seite 6-16

Bild 6-13: Fließfläche im Hauptspannungsraum

Bild 6-14: Fließfläche in der p-t Ebene

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Seite 6-17

Die folgenden Parameter werden für das modified Drucker-Prager-Modell benötigt: Tabelle 6-4: Modellparameter des modified Drucker-Prager Modells Modified Drucker-Prager Einheit (Vorschlag) [kN/m³] [-] [kN/m²] [-] [kN/m²] [-] [°] [kN/m²] [-] [kN/m²] [-]

ABAQUS Keyword

Parameter

*DENSITY *INITIAL CONDITION *ELASTIC *ELASTIC *POROUS ELASTIC *INITIAL CONDITION *CAP PLASTICITY *CAP PLASTICITY *CAP HARDENING *CAP HARDENING *CAP PLASTICITY

γ (Wichte des Bodens) K0 (Erdruhedruckbeiwert) E (Elastizitätsmodul) υ (Poissonzahl) pZug (Zugfestigkeit) e0 (Anfangsporenzahl) β (Konuswinkel) d (Konusachsabschnitt) gvpl (plast. Vol.-Dehnung) pb (hydrostatische Spannung) K (Konusformfaktor)

*CAP PLASTICITY *CAP PLASTICITY

[-] R (Kappenformfaktor) α (Konus-Kappen- [-] Übergangsfaktor)

triax. Komp. triax. Ext. hydr. Triax. Einachs. Feldvers.

Bestimmung Feldvers. triax. Komp. triax. Komp. triax. Komp. triax. Ext. Feldvers. triax. Komp. triax. Komp. hydr. Triax. hydr. Triax. triax. Komp. + triax. Ext. 0≤R≤1 0 ≤ α ≤ 0,05

- triaxialer Kompressionsversuch - triaxialer Extensionsversuch - hydrostatischer triaxialer Kompressionsversuch - einaxialer Kompressionsversuch - Feldversuche nach DIN-Normen

Der Konuswinkel β, der Konusachsabschnitt d und der Konusformfaktor K können aus den Scherparametern φ’ und c’ wie beim extended Drucker-Prager Modell ermittelt werde. Durch das Verfestigungsgesetz wird die Beziehung zwischen plastischer Volumendehnung (gvpl) und hydrostatischer Spannung (pb) beschrieben. Dieser Zusammenhang lässt sich aus hydrostatischen Triaxialversuchen mit vollkommenen Entlastungsschleifen bestimmen (Bild 6-15). Jeder Höchstspannung pb1-5 vor einer Entlastung wird die verbleibende Dehnung (also die plastische Dehnung) gv1-5pl vor erneuter Wiederbelastung zugeordnet.

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Seite 6-18

Bild 6-15: Auswertung einer hydrostatischen Versuchsserie an Sand

Die Wertepaare werden in tabellarischer Form in ABAQUS eingegeben. Die Parameter R und α, die die Form der Kappe und die Größe der Übergangsfläche festlegen, sind nur sehr schwer aus Laborversuchen direkt zu bestimmen. In der Regel werden sie durch Nachrechnungen von Triaxialversuchen bestimmt. Für das modified Drucker-Prager Modell sind folgende Keywords in ABAQUS zu verwenden: *CAP PLASTICITY d., ., R., volpl|0.,.,K. *CAP HARDENING pb1.,v1pl. pb2.,v2pl. … Dem Keyword *CAP PLASTICITY folgt eine Datenzeile mit den Angaben: Konusachsabschnitt d, Konuswinkel β, Kappenformfaktor R, Anfangsposition der Kappe εvpl, Konus-Kappen-Übergangsfaktor α, Konusformfaktor K. Dem Keyword *CAP HARDENING folgen je Datenzeile Wertepaare mit dem hydrostatischen Druck an der Position der Kappe (pb) und der zugehörigen plastischen Volumenverformung (vpl).

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6.6

Seite 6-19

Entfestigendes Materialverhalten (linear elastic softening plastic)

Eine dritte Klasse von plastischen Materialverhalten ist das entfestigende Materialverhalten, bei dem die Fließspannung bei zunehmender Belastung abnimmt und nicht zunimmt (Bild 6-16). Zu Beginn und während Ent- und Wiederbelastungsvorgängen reagiert das Materialgesetz, wie bei den vorhergehenden Stoffgesetzen, linear elastisch. Solche Stoffgesetze werden auch „linear elastic softening material“ genannt.

Bild 6-16: Linear elastisches plastisch entfestigendes Materialverhalten

Solche Stoffgesetze werden in der Geotechnik eher selten angewendet. Ein Beispiel für eine Anwendung soll anhand des Scherversuchs dargestellt werden. Im Bild 6-17b ist das typische Verhalten eines dicht gelagerten Sandes im Scherversuch dargestellt. Dieses nach der Bruchspannung deutlich entfestigende Verhalten kann recht gut mit einem strain softening Modell wiedergegeben werden. Interessant ist eine solche Modellierung insbesondere dann, wenn die Kenntnis und Modellierung der Restscherfestigkeit von Interesse sind. Es ist allerdings anzumerken, dass es sich bei Berechnungen, die mit der Restscherfestigkeit durchgeführt werden sollen, um Modellierungen mit relativ großen Verformungen handelt. Die Bestimmung großer Verformungen führt aber häufig in der Methode der Finiten Elemente zu erheblichen numerischen Schwierigkeiten.

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a) Entfestigendes Stoffgesetz

Seite 6-20

b) Scherversuch

Bild 6-17: Vergleich von Stoffgesetz und Versuchsergebnis

In ABAQUS können entfestigende Stoffgesetze im Prinzip mit den auf Drucker-Prager basierenden Modellen abgebildet werden. Es muss dabei eine Entfestigungsfunktion bestimmt werden. Dies geschieht analog den oben beschriebenen Methoden zur Bestimmung einer Verfestigungsfunktion. Die Wertepaare werden analog unter dem Keyword *DRUCKER PRAGER HARDENING angegeben.

6.7

6.7.1

Modellierung von Laborversuchen mit der FEM

Ödometerversuch

Bei dem Ödometerversuch handelt es sich um einen Versuch, der durch einen starren Rand, eine starre Bodenplatte und einer vertikal verschieblichen Kopfplatte begrenzt wird. Die Probe ist zylinderförmig und wird deshalb am besten in einem rotationssymmetrischen Koordinatensystem abgebildet. Der eingebaute Boden kann sich nur gleichmäßig, also homogen verformen und kann auch keine Scherflächen ausbilden. Es handelt sich um einen Elementversuch. Die Messwerte (Belastung und vertikale Verformung) werden außerhalb der Probe abgegriffen. Dieser Versuch kann aufgrund der Randbedingungen mit einem Element, das unten und seitlich gehalten wird abgebildet werden. Oben wird das Element durch eine Spannungs- oder Verschiebungsrandbedingung belastet. Die Spannungen und Dehnungen im Element entsprechen den im Versuch gewonnenen Messwerten. Das Eigengewicht und die Erdbeschleunigung brauchen i.d.R. nicht berücksichtigt werden, da ihr Beitrag zu den Spannungen in der Probe nur gering ist.

6.7.2

Triaxialversuch

Die Triaxialprobe wir durch die Fußplatte vertikal gehalten. In horizontaler Richtung wird eine Spannung auf die Probe aufgegeben und die Kopfplatte wird vertikal belastet. Die Probe ist zylinderförmig und wird deshalb am besten in einem rotationssymmetrischen Koordinatensystem abgebildet. 6 Parameteridentifikation

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Seite 6-21

Die Messwerte werden bei der Versuchsdurchführung häufig als integrale Messwerte außerhalb der Probe ermittelt. So werden beim konventionellen Triaxversuch die Belastung durch eine außerhalb der Zelle angebrachte Kraftmessdose, die Vertikalverschiebung anhand der Druckstempelverschiebung und die Volumenänderung durch die Messung des ein- und ausströmenden Zellwassers ermittelt. Da bei einer solchen Versuchsanordnung davon ausgegangen werden muss, das die ermittelten Werte überall in der Probe gleich groß sind, wird der Triaxialversuch oft als Elementversuch bezeichnet und auch so abgebildet, also mit einem Element mit unverschieblichen unteren Rand, Kraftrandbedingung an den seitlichen Rändern und Belastung auf den oberen Rand. Genauer ist es, den Triaxialversuch durch drei unterschiedliche Teile abzubilden: der Kopfplatte, dem Probekörper und der Fußplatte. Die Fußplatte wird als unverschieblich angenommen, auf die Kopfplatte wird die vertikale Last oder Verschiebung aufgebracht und auf den äußeren Rand des Probekörper wirkt der Zelldruck als Spannungsrandbedingung. Zwischen diesen Teilen sollte eine Kontaktfläche mit einem Reibungsansatz definiert werden. Jedes dieser Teile muss durch eine ausreichende Anzahl von Elementen abgebildet werden. Ob das Eigengewicht der Probe und die Erdbeschleunigung angesetzt werden müssen, hängt von den Randbedingungen insbesondere von der Größe der Probe und dem Zelldruck ab. Während bei einem Probekörper von 7 cm Höhe und einem Zelldruck (kleinste Hauptspannung) von 500 kN/m² die Änderung der aus Eigengewicht resultierenden Spannung im Verhältnis zur kleinsten Hauptspannung vernachlässigbar klein ist, so spielt sie doch bei einem Probekörper von 20 cm Höhe und einem Zelldruck von 50 kN/m² eine nicht zu vernachlässigende Rolle. Unter Annahme einer Wichte von 20 kN/m³ wirkt auf die Unterkante der Probe eine um 4 kN/m² (20%) höhere vertikale Spannung gegenüber der Oberkante alleine aus Eigengewicht der Probe. Der Zelldruck – wenn die Zelle mit Wasser gefüllt ist – steigt über die Probenhöhe um 2 kN/m² (20%) an. In einem solchen Fall würde die Vernachlässigung des Eigengewichts also einen Fehler von 20% im initialen Spannungszustand bedeuten. Meist kann mit einer FEM-Simulation der Belastungsvorgang nur bis kurz vor den Bruch (Scherflächenbildung) abgebildet werden. In der Scherfläche entstehen große plastische Inkremente und große Verschiebungen, die i.d.R. zu Konvergenzproblemen führen. Eine Möglichkeit weiter zu rechnen besteht darin, dass im Bereich der Scherfläche das Netz feiner diskretisiert wird. Da der Ort der Entstehung einer Scherfläche aber nicht vorher zu sagen ist, würde hier nur eine adaptive Netzverfeinerung weiterhelfen, die in ABAQUS nicht zur Verfügung steht. Solange die Probe sich homogen verhält, ist die Modellierung als rotationssymmetrischer Körper eine sinnvolle Vereinfachung. Sobald sich eine Scherfläche ausbildet, geht allerdings die Symmetrie verloren, so dass der Versuch dann als 3D-Modell abgebildet werden muss.

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6.7.3

Seite 6-22

Einaxialversuch

Der Einaxiale Druckversuch ist im Prinzip wie der triaxiale Druckversuch zu modellieren, allerdings wird keine oder nur eine geringe horizontale Stützung auf den seitlichen Rand aufgebracht. Beim Einaxialversuch werden die Einschränkungen der Modellierbarkeit deutlicher als beim Triaxialversuch. Der Einaxialversuch wird im Labor meist kraftgesteuert durchgeführt, dabei kommt es dann beim Erhöhen der Laststufen plötzlich zum Versagen der Probe, es bildet sich eine Scherfläche aus. Die beim Versagen der Probe entstehenden großen Verformungen lassen sich mit der FEM kaum abbilden, das heißt, dass die Berechnung nur bis kurz vor dem Bruch durchgeführt werden kann. 6.7.4

Rahmenscherversuch

Der Rahmenscherversuch kann als plane strain Modell abgebildet werden. Da sich eine erzwungene Scherfläche zwischen dem oberen und unteren Rahmen des Schergerätes ausbildet, gelten für die Modellierbarkeit die schon beim Triaxialversuch und Einaxialversuch genannten Einschränkungen, allerdings mit dem Vorteil, dass man den Ort, an dem sich die Scherfläche ausbildet, kennt. Mit einer entsprechenden Netzeinteilung in dem Bereich der Scherfläche lässt sich der Scherversuch bis nahe an den Bruch heran modellieren. Im FEM-Modell werden der untere Rand und die beiden unteren Hälften der Seitenränder als unverschieblich modelliert, die oberen Hälften der Seitenränder werden als Randbedingung verdrehungsfrei gehalten und in horizontaler Richtung parallel verschoben, der obere Rand der Probe wird mit einer Spannungsrandbedingung entsprechend der Auflast versehen.

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7

Einführung in das Finite-Element-Programm ABAQUS

7.1

Benutzeroberfläche

Seite 7-1

Die Benutzeroberfläche des Finite-Element-Programms ABAQUS ist in Bild 7-1 dargestellt:

Bild 7-1: Benutzeroberfläche

Die wesentlichen Bereiche der Benutzeroberfläche sind: Title bar:

Auf der Titelleiste wird die aktuelle Version und der Verzeichnispfad der geöffneten Datei.

Menue bar: In der Menüleiste können die verschiedenen Modellierungs- und Auswertungsoptionen ausgewählt werden.

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Seite 7-2

Toolbar:

In der Werkzeugleiste sind die wichtigsten Funktionen für die Darstellung und Ansicht enthalten.

Context bar:

In der Kontextzeile kann innerhalb eines Projektes zwischen Modul, Parts und Model gewählt werden.

Toolbox Area:

Über die Werkzeugleiste erhält man Zugriff auf einzelne Werkzeuge. Hält man den linken Mausknopf gedrückt, zeigt sich eine Auswahl der einzelnen Werkzeugfunktionen.

Model Tree/Results Tree: Innerhalb dieser Baumstruktur lässt sich zwischen den einzelnen Komponenten und Einstellungsmöglichkeiten wechseln. Viewport:

Im Arbeitsfenster wird das Modell grafisch dargestellt.

Message Area:

In diesem Fenster werden Statusinformationen und Warnungen ausgegeben. Ältere Informationen werden gespeichert und könne später erneut angesehen werden. Während der Berechnung eines Jobs, werden dort aktuelle Nachrichten über den Fortgang des Jobs ausgegeben.

Folgende Eingabe-, Berechnungs- und Auswertungsschritte („Module“) sind zu bearbeiten: Module PART PROPERTY ASSEMBLY STEP INTERACTION LOAD MESH JOB VISUALIZATION

Erklärung Erstellung der Geometrie des Körpers. Eingabe der Materialeigenschaften und Zuweisung zu Regionen der Parts; ggf. Angabe von Querschnitten. Zusammenfügen der Parts zu einem Modell. Festlegung von Reihenfolge und Art der Belastungsstufen. Festlegung mechanischer und thermischer Wechselwirkungen Festlegung von Randbedingungen und Lastfällen. Generierung des FE-Netzes Eingabe, Auslösen und überwachen einer Berechnung. Ausgabe und Darstellung von Berechnungsergebnissen.

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7.2

Seite 7-3

Anwendungsbeispiel

Im Folgenden wird der Umgang mit den einzelnen Modulen anhand eines Beispiels erklärt (siehe Bild 7-2): -

Erstellung eines unendlich ausgedehnten Streifenfundamentes in 2D Auswertung der Sohlspannungsverteilung und Darstellung einer Last-SetzungsLinie des Fundamentes.

Bild 7-2: Modellskizze

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Seite 7-4

Materialparameter: Elastizitätsmodul Wichte Poissonzahl Konuswinkel Konusachsabschnitt Übergangsfaktor Konus-Kappe Formfaktor Konus Formfaktor Kappe Initiale Kappenposition

Ton:

5000 MN/m² 19 kN/m³ 0,25 37,67 kN/m² 42,42 kN/m² 0,1 0,795 0,01 0,001

Verfestigungsfunktion:

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Belastung [kN/m²] 10 50 100 500 1000 2000 3000 4000 4500

Dehnung [%] 0,0 0,04 0,06 0,30 0,39 0,48 0,51 0,58 0,60

Fundament (Beton): Elastizitätsmodul Wichte Poissonzahl Auflast q:

30000 MN/m² 25 kN/m³ 0,25 500 kN/m in Längsrichtung (auf den Querschnitt gleichmäßig verteilt)

Als erstes wird der Boden erstellt. Hierzu wird mit Hilfe des „Part Managers“ ein Bodenkörper mit den Maßen von 20,0 m x 25,0 m erstellt. Um den Bereich des Fundamentes einzuzeichnen, wählt man in der Menüleiste unter Tools „Partition“ aus. Nun öffnet sich ein Fenster mit dem Namen „Create Partition“, darin wählt man Face und Sketch aus. Nun kann man den Fundamentbereich mit Maßen von 4,0 m x 1,0 m erstellen (siehe Bild 7-3).

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Seite 7-5

Bild 7-3: Partitionierter Bodenkörper

Anschließend wird im Modul Assembly über „Instance Part“ eine neue Instanz erstellt, diese ist independent, d.h. die Instanz ist unabhängig von den einzelnen Parts im PartModul. Anschließend werden im Part-Modul unter „Set Manager“ folgende Sets definiert: Fundament, Aushub und Boden (siehe Bild 7-4).

Bild 7-4: Strukturbaum

Im Mesh-Modul wird ein quadratisches Netz mit einer Elementlänge und -breite von jeweils 1,0 m generiert.

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Seite 7-6

Unter „Assign Mesh Controls“ soll das Netz quadratisch strukturiert vernetzt werden. Dazu werden das gesamte Netz markiert und unter „Element Shape“ den Punkt Quad und Structured gewählt (siehe Bild 7-5).

Bild 7-5: Modellkörper (grün ausgefüllt): Quadratische Elemente möglich

Unter „Assign Element Type“ wird den einzelnen Elementen noch ein Elementtyp zugewiesen. Hierzu wird nach markieren des gesamten Modells unter Family Plane Strain ausgewählt. Reduced Integration ist in diesem Fall auszuschalten (siehe Bild 7-6).

Bild 7-6: Dialogbox „Element Type“

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Seite 7-7

Mit Mesh Part wird nun ein Netz erzeugt und dargestellt (siehe Bild 7-7).

Bild 7-7: Erstelltes FE-Netz

Mit „Create Mesh Part“ wird ein zweiter Part mit dem Namen Part-1-mesh-1 erzeugt. In diesem neuen Part werden drei neue Sets erzeugt. Den Sets Boden, Aushub und Fundament werden die jeweiligen Elemente zugeordnet (siehe Bild 7-8).

Bild 7-8: Dialog Box „Create Set“

Anschließend wird der „Part-1-mesh-1“ kopiert und jeweils in „Fundament_mesh“ und „Boden_mesh“ umbenannt (siehe Bild 7-9).

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27.06.2013

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Bild 7-9: Strukturbaum für erzeugten, neuen Modellkörper

Nun werden die nicht benötigten Sets und Elemente gelöscht. Im „Fundament_mesh“ erfolgt das Löschen der Sets, indem man die nicht benötigten Elemente ein-/ ausblendet. Das Ausblenden von einzelnen Elementen erfolgt über den „Display Group Manager“ mit dem Befehl Pick from viewport. Es werden die Elemente des Fundaments markiert und der mit Remove ausgeblendet (siehe Bild 7-10). Die verbleibenden Elemente können gelöscht werden.

Bild 7-10: Dialogbox „Create Display Group“

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Bild 7-11: Fundament ausgeblendet

Das Löschen der Elemente erfolgt über den Befehl „Edit Mesh“ und der Auswahl Element und Delete. Hierzu werden alle verbliebenen Elemente markiert. Nun werden mit Hilfe des „Display Group Manager“ die vorher ausgeblendeten Elemente wieder eingeblendet (siehe Bild 7-12).

Bild 7-12: Einblenden aller Elemente

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Bild 7-13: Verbleibende Elemente des Fundamentes

Im Assembly-Modul werden nun die alte Instance gelöscht und zwei neue Instancen erstellt. Diese werden in „Fundament“ und „Boden“ umbenannt. Die zwei Instancen „Fundament“ und „Boden“ müssen nun zu einer Instance verbunden werden. Hierzu wird unter „Merge/Cut Instance“ das gesamte Modell markiert (siehe Bild 7-14). Es entsteht so ein neuer Part, der in „System_mesh“ umbenannt wird. Die alten Instancen werden gelöscht.

Bild 7-14: Dialogbox „Merge/Cut Instances“

Im Anschluss werden nun im Property-Modul die Eigenschaften des Tones und des Betons spezifiziert und dem jeweiligen Elementen zugewiesen. Dies geschieht mit dem „Material Manager“ (siehe Bild 7-15).

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Bild 7-15: Dialogbox „Edit Material“

Für den Ton werden unter Cap plasticity und unter Cap Hardening die weiteren Parameter eingegeben (siehe Bild 7-16).

Bild 7-16: Parametereingabe für den Ton

Mit dem „Section Manager“ wird den Materialien „Ton“ und Beton“ jeweils eine Region zugewiesen (siehe Bild 7-17). Es werden eine Region „Fundament“ und eine Region „Boden“ erstellt, die vom Typ Solid, Homogeneous sind und dem jeweiligen Material zugeordnet werden.

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Bild 7-17: Zuordnung von Regionen und Materialien

Mit dem „Assign Section Manager“ werden dem Fundament und dem Boden die zugehörigen Elemente zugeordnet. Die Elemente werden markiert und einer Section zugordnet (siehe Bild 7-18). Hier erleichtert sich die Zuordnung der Materialien ebenfalls durch ein- und ausblenden der einzelnen Elemente.

Bild 7-18: Dialogbox „Edit Section Assignment“

Im weiteren Schritt werden im Step-Modul mit dem „Step Manager“ die einzelnen Belastungsschritte aufgetragen. Der erste Step gibt den Primärspannungszustand an, dieser ist Geostatic.

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Der Step „EinbauFundament“ und „BelastungFundament“ ist Static/General. NlGeom muss in allen drei Steps auf ON gestellt sein (siehe Bild 7-19).

Bild 7-19: Definition der Belastungsschritte

Der Aushub des Bodens und das Einbringen des Fundamentes muss mit Hilfe des Keyword-Editors simuliert werden.  

Screenshot: Primärspannungszustand: *Model Change, Remove System_mesh-1.Fundament

EinbauFundament: *Model Change, Remove System_mesh-1.Aushub *Model Change, Add System_mesh-1.Fundament

Der Initiale Spannungszustand wird im Keyword-Editor folgendermaßen eingegeben: *Initial Conditions, Type=Stress, geostatic System_mesh-1.Boden,0,25,-475,0,0.5 Screenshot: 7 Einführung in das Finite-Element-Programm Abaqus

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Die Zahlen bedeuten: 0 = Vertikalspannung an Oberkante Modell 25 = Oberkante Modell -475 = Vertikalspannung an Unterkante Modell 0 = Unterkante Modell 0,5 = Seitendruckverhältnis im Erdruhezustand

Seite 7-14

0

0

475

σ [kN/m²]

25

z [m]

Bei 2-dimensionalen Simulationen ist die vertikale Spannung in y-Richtung definiert. Bei 3-dimensionalen Simulationen ist die vertikale Spannung in z-Richtung definiert. Ggf. ist das Modell bei 3-dimensionalen Simulationen entsprechend zu drehen. Alternativ kann die Eingabe im Load Manager über das Predefined Field (geostatic stress) erfolgen (siehe Bild 7-20).

Bild 7-20: Dialogbox „Edit Predefined Field“

Im Load-Modul werden nun die kinematischen und dynamischen Randbedingungen definiert. Im Load Manager wird die Gravitation im Primärzustand definiert. Component 2 ist die Richtung der Schwerkraft und wird mit -10 angegeben (siehe Bild 7-21).

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Bild 7-21: Dialogbox „Create Load“ und „Edit Load“

Für die Belastung des Fundamentes werden mehrere Einzellasten auf das Fundament aufgetragen. Dies geschieht durch Markierung des oberen Randes des Fundaments.

Bild 7-22: Definition Belastung des Fundaments

Mit dem „Boundary Condition Manager“ werden die Randbedingungen für das Modell definiert (siehe Bild 7-23). Der untere Rand wird in die Richtung U2 und der Linke und Rechte Rand in die Richtung U1 gehalten. x-Achse = 1 y-Achse = 2

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Seite 7-16

Bild 7-23: Definition der Randbedingungen

Das fertige Modell zeigt Bild 7-23:

Bild 7-24: Fertiges Modell

Am Ende wird im Job-Modul mit Hilfe des „Job Managers“ ein neuer Berechnungsauftrag erstellt (siehe Bild 7-25).

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Seite 7-17

Bild 7-25: Dialogbox „Edit Job“

Im „Job-Monitor“ kann der Verlauf der Berechnung nachvollzogen werden (siehe Bild 7-26).

Bild 7-26: Berechnungsverlauf im Job-Monitor

Im Modul Visualization können die Ergebnisse graphisch dargestellt werden. Unter Report Field Output kann zwischen verschiedenen Ergebnisdarstellungen gewechselt werden. Bild 7-27 zeigt die Verteilung der Vertikalspannung S22 im Primärspannungszustand.

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Bild7-27: Darstellung Primärspannungszustand

Bild 7-28: Fundament ohne (links) und mit Belastung (rechts)

Über die Menue bar kann unter „Tools“ die Dialog-Box „Query“ aufgerufen werden. Über das Visualization Modul „Query“ Probe values lassen sich nach Definition des gewünschten Berechnungssteps, der Ergebnisvariablen und eventueller Zusatzinformationen Ergebnisgrößen an den Knoten- bzw. Integrationspunkten des Modells anzeigen, indem mit dem Mauszeiger der jeweilige Knoten bzw. das jeweilige Element ausgewählt wird (siehe Bild 7-29).

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Bild 7-29: Dialogbox „Probe Values“

Um sich die Sohlspannungsverteilung bei Belastung unterhalb des Fundamentes anzeigen zu lassen, wird mit Hilfe von „Create Display Group“ nur der Boden eingeblendet, bzw. die Fundamentplatte ausgeblendet (siehe Bild 7-30).

Bild 7-30: Fundament ausgeblendet

Mit Hilfe des „PATH-Managers“ wird nun, wie in Bild 7-31 zu sehen, ein neuer Auswertungspfad durch das Modell gelegt. Es werden die entsprechenden Knoten markiert.

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Bild 7-31: Dialogbox „Edit Node List Part“

Mit dem „X-Y-Manager“ wird der vorher erstellte Pfad aufgerufen und ausgewertet (siehe Bild 7-32).

Bild 7-32: Dialogbox „Create XY Data“ und „XY Data from Path“

Über drücken des Buttons Plot erscheint nun ein Diagramm in dem die Ergebnisgrößen dargestellt werden (siehe Bild 7-33).

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Bild 7-33: Plot Sohlpannungsverteilung

Um eine Last-Setzungslinie des Fundaments zu erstellen wird über „Create Display Group“ der Boden ausgeblendet. Mit dem „X-Y-Data-Manager“ wird unter „Source“ ODB field output ausgewählt und die Verschiebung in vertikaler Richtung ausgewählt (siehe Bild 7-34).

Bild 7-34: Dialogbox „XY Data from ODB Field Output“

Unter „Element/Nodes“ wird der Mittelpunkt unter dem Fundament ausgewählt. In Steps/Frames werden, wie in Bild 7-35, alle Steps aktiviert.

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Bild 7-35: Dialogbox „Active Steps/Frames“

Bild 7-36: Plot der Setzungen

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7.3

Seite 7-23

Beispiel zur Modellierung von Kontaktflächen

Eine Möglichkeit das Kontaktverhalten zu simulieren, ist die Definition von Kontaktflächen. Hierbei wird in ABAQUS das sogenannte Master-Slave Konzept verwendet (siehe Bild 7-37).

Bild 7-37: Master-Slave Konzept

Diese Simulation wird am Beispiel, das in Bild 7-37 dargestellt ist, erklärt:

Bild 7-38: Systemskizze

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Materialparameter: Ton:

Elastizitätsmodul Wichte Poissonzahl

Fundament (Beton): Elastizitätsmodul Wichte Poissonzahl

5000 MN/m² 19 kN/m³ 0,25 30000 MN/m² 25 kN/m³ 0,25

Als erstes werden zwei Parts „Boden“ und „Fundament“ erstellt (siehe Bild 7-39).

Bild 7-39: Dialogbox „Part Manager“

Im Property-Modul werden nun wie im Beispiel zuvor die Eigenschaften des Tones und des Betons festgelegt. Anschließend wird im Modul Assembly über „Instance Part“ eine neue Instanz erstellt, diese ist dependend.

Bild 7-40: Modellkörper

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Die richtige Anordnung von Boden und Fundament ist im Bild 7-41 zu sehen und erfolgt ebenfalls im Assembly-Modul mit „Translate Instance“. Hierbei wird das zu verschiebende Part ausgewählt und die Stelle markiert, an dem das Part verschoben werden soll. Alternativ können auch die Koordinaten angegeben werden.

Bild 7-41: Fundament und Boden angeordnet

Im Modul Interaction werden die Kontaktbedingungen zwischen Boden und Fundament definiert. Hilfreich ist es hierbei, wenn das Fundament oder der Boden ausgeblendet wird. Unter „Constraint Manager“ wird „Tie“ ausgewählt und danach die Master-Surface ausgewählt. Die Master-Surface ist am starren unteren Rand des Fundaments angebracht (siehe Bild 7-42).

Bild 7-42: Markierung der Master-Surface

Für die Slave-Surface werden der Boden wieder eingeblendet und das Fundament ausgeblendet. Alle Knoten des angrenzenden weicheren Bodens die mit der Fläche in Kontakt treten können, werden als Slave-Knoten bezeichnet und in einem entsprechenden Knotensatz zusammengefasst (siehe Bild 7-43). Fundamentelemente und die angrenzenden Bodenelemente haben daher eigene Knoten.

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Seite 7-26

Bild 7-43: Markierung der Slave-Surface

Bild 7-44: Master-Slave-Surface

Im Step Modul wird mit dem „Step Manager“ der Belastungsschritt der Fundamentherstellung erzeugt. Dieser ist Static/General. NlGeom muss auf ON gestellt sein. Die Randbedingungen werden analog zum ersten Beispiel definiert, man sollte nur beachten, dass das System nun nicht mehr achsensymmetrisch ist. Es muss daher noch eine Randbedingung für den linken Rand definiert werden. Im Mesh Modul wird ein Netz erzeugt. Der Boden ist in ein gröberes Netz unterteilt als das Fundament.

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8

Seite 8-1

Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Pfähle)

Als ein erstes Anwendungsbeispiel soll im Folgenden die numerische Simulation des Tragverhaltens eines Bohrpfahles vorgestellt werden. Pfähle dienen u.a als Gründungselemente, um Bauwerkslasten in tieferliegende tragfähige Baugrundschichten zu übertragen. Prinzipiell muss zwischen unterschiedlichen Pfahlmaterialien (Holz, Stahl, Stahlbeton und Spannbeton) und Herstellungsprozessen unterschieden werden. In Bezug auf die Herstellung erfolgt eine Einteilung der Pfähle in Bohrpfähle mit Bodenentnahme und Verdrängungspfähle ohne Bodenentnahme (Zilch et al.). Der Herstellungsprozess kann in die drei Verfahrensschritte Bohren, Bewehren und Betonieren aufgeteilt werden. Zur speziellen Simulation von Schneckenbohrpfählen (screwed piles) oder Verdrängungspfählen (displacement piles) sowie komplexere Pfahlgründungen und Kombinierten PfahlPlattengründungen (KPP) sei auf die entsprechenden Bild 8-1: Herstellung eines Arbeiten des Institutes für Geotechnik der TUD verwiesen Schneckenbohrpfahles (Hanisch et al. 2002), (el-Massallamy 1996), (Holzhäuser 1998), (Reul 2000), (5th Framework). Das im Rahmen dieser Vorlesung vorgestellte Strukturmodell für einen einzelnen Bohrpfahl basiert auf der Annahme eines homogenen und isotropen Bodens und eines geometrisch allseitig gleich ausgebildeten Pfahles. Zum Einsatz kommt ein axialsymmetrisches Finite Element Netz. 8.1

Das Tragverhalten von Pfählen

Bei allen Pfahltypen kann zwischen der inneren und der äußeren Tragfähigkeit unterschieden werden. Für den Nachweis der inneren Tragfähigkeit wird geprüft, ob ein Pfahl die einwirkenden Belastungen in allen Bauzuständen schadensfrei in den Baugrund übertragen kann. Für den Nachweis der äußeren Tragfähigkeit ist zu überprüfen, ob die Festigkeits- und Verformungseigenschaften des Bodens ausreichen, um die Pfahllasten ohne unzulässig hohe Setzungen in den Baugrund einzuleiten. Der Lastabtrag erfolgt dabei bei Pfählen über den Pfahlschaft (Mantelreibung) und den Pfahlfuß (Spitzenwiderstand). Je nach Pfahltyp, Abmessung und Eigenschaften des umgebenden Bodens kann der Anteil der Mantelreibung bzw. des Spitzenwiderstandes überwiegen. Um dem unterschiedlichen Tragverhalten der Pfähle Rechnung zu tragen, kann eine Klassifizierung in Reibungspfähle und Spitzendruckpfähle erfolgen (Bild 8-3a). Als Mantelreibung werden die Schubspannungen zwischen der Mantelfläche des Pfahles und des umgebenden Bodens bezeichnet. Der Spitzenwiderstand wird über die Sohlspannung unter dem Pfahlfuß definiert. Die Art der Lastabtragung kann wie in Bild 82 beispielhaft dargestellt anhand der Last-Setzungslinie wiedergegeben werden.

8 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Pfähle)

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Seite 8-2

Mantelreibungspfähle können bei vergleichbar kleinen Setzungen Lasten bis zum Erreichen des Bruchwertes der Mantelreibung aufnehmen. Nach Überschreiten des Bruchwertes treten große Verformungen nahezu ohne weitere Laststeigerung auf. Im Gegensatz dazu reagiert ein Spitzendruckpfahl bei Belastung sofort mit Setzungen. Die Form der Last-Setzungslinie ist neben der Art der Lastabtragung von den Bodeneigenschaften, den Grundwasserverhältnissen, der Pfahlgeometrie und der Einbindung in tragfähige Schichten abhängig.

Bild 8-2: Einzelpfahl und typische Last-Setzungslinie (Quelle DIN 4014)

Wie in Bild 8-3c dargestellt treten z.B. bei locker gelagerten nichtbindigen Böden erheblich größere Setzungen auf als in entsprechenden Böden mit höherer

Lagerungsdichte. Bild 8-3: Pfahltragfähigkeiten in Abhängigkeit von Pfahltyp und Bodenverhältnissen (Rollberg 1976)

Der Unterschied zwischen Bohrpfählen mit Bodenentnahme und Verdrängungspfählen ist in Form von Last-Setzungslinien in Bild 8-3b dargestellt. Weitere Erläuterungen und Tragfähigkeitsvergleiche zwischen Bohrpfählen und Verdrängungspfählen können (Bruns 1998) entnommen werden.

8 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Pfähle)

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8.2

Seite 8-3

Das Tragverhaltens von Einzelpfählen

Als Beispiel soll ein numerisches Modell für einen Einzelpfahl in ABAQUS entwickelt werden. In Bild 8-4b ist die Form zweier typischer Probepfähle nach dem Freilegen dargestellt. In Bild 8-4a sind beispielhaft die Last-Setzungslinien aus einem der Pfahltests aufgetragen.

Bild 8-4a: Last-Setzungslinie aus einem Pfahltest in locker bis mitteldicht gelagerten Sanden

Bild 8-4b: Schneckenbohrpfal

Die dargestellten Pfähle wurden in einem mit Sand gefüllten Versuchskasten hergestellt. Im Folgenden werden die einzelnen Teilschritte, die für die Erstellung eines entsprechenden numerischen Modells erforderlich sind, für einen Einzelpfahl vorgestellt. Ergänzend werden zu den in vorherigen Kapiteln behandelten Befehlsstrukturen neue Befehle und die Umsetzung in den Programmcode von ABAQUS dargestellt.

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8.3

Seite 8-4

Strukturmodell

Das Strukturmodell setzt sich aus dem diskretisierten Modell für den Boden und den Einzelpfahl zusammen. Neben dem eigentlichen geometrischen Modell des Einzelpfahles müssen neben der räumlichen Ausdehnung geeignete Parameter für die stoffliche Modellierung gefunden werden. Ein weiterer Baustein ist die präzise Erfassung des Pfahlherstellungsprozesses. Erfahrungsgemäß hat eine realitätsnahe Simulation der Pfahlherstellung einen erheblichen Einfluss auf das Spannungs-Dehnungsverhalten des Bodens und damit auf die Pfahltragfähigkeit. Bei dem im Rahmen der Vorlesung/Übung behandelten Beispiel wird der Pfahlherstellungsprozess nur stark vereinfacht abgebildet. In Bild 8-5 sind die einzelnen Teilkomponenten eines numerischen Modells dargestellt.

Bild 8-5: Numerische Simulation und Prognose des Tragverhaltens eines Einzelpfahles

Bevor das numerische Modell zur Prognose eingesetzt werden kann, sollte eine Kalibrierung und Verifizierung an Ergebnissen aus Testpfählen erfolgen. Basierend auf diesen Ergebnissen kann eine Modifizierung bestimmter Teilaspekte des numerischen Modells notwendig werden.

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8.4

Seite 8-5

Erstellen des FE-Netzes

Im hier behandelten 2D axialsymmetrischen Modell wird der Pfahl zur Hälfte abgebildet und um seine Symmetrieachse rotiert. Die räumlichen Abmessungen des FE-Netzes werden oftmals in Abhängigkeit des Pfahldurchmessers (d) angegeben. Prinzipiell hängen die Abmessungen des FE-Netzes jedoch von den Bodeneigenschaften, der Bodenschichtung und dem simulierten Pfahltyp ab. Das FE-Netz ist in der Größe ausreichend dimensioniert, wenn die Spannungsänderungen im Randbereich des Modells nur noch zu vernachlässigbar kleinen Reaktionen in Form von Verformungen führen.

Bild 8-6: Axialsymmetrisches FE-Netz für einen Einzelpfahl und um 220° rotiertes Netz

8.5

Simulationsablauf

Die Simulation eines Einzelpfahles kann sich bedingt durch den Herstellungsprozess sehr kompliziert gestalten und in viele Einzelschritte aufgliedern. Zur Einführung sollen hier nur folgende Simulationsschritte beschrieben werden: Step 1 : Step 2 :

Primärspannungszustand Entfernen der Bodenelemente im Pfahlbereich und Einbau der Pfahlelemente

Step 3 bis n:

Pfahlbelastung über mehrere Steps

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8.5.1

Seite 8-6

Knotensätze und Elemente

Bild 8-7: Modellkörper

Der Netzaufbau kann auf unterschiedliche Art und Weise vorgenommen werden. Für den hier vorgestellten Einzelpfahl wird eine Knotenreihe auf der Symmetrieachse des axialsymmetrischen Netzes vorgegeben (siehe Bild 8-7 und Bild 8-8). Hierbei ist zu beachten, dass in dem Modell nur der halbe Pfahl zu sehen ist. Es wird nicht der Durchmesser, sondern der Radius modelliert.

Bild 8-8: Dialogbox „Create Part“

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Seite 8-7

Um das Modell genauer berechnen zu können, werden im Mesh-Modul die einzelnen Elemente unterschiedlich groß dimensioniert. Um den Bereich des Pfahls sind die einzelnen Elemente klein und werden in Richtung des Modellrandes immer größer (siehe Bild 8-10). Hierzu wird unter „Seed Edges“ die horizontale Achse markiert. Nun wählt man unter „Bias“ Single aus und gibt unter Sizing Control die gewünschte Mindest- und Maximalbreite der Elemente ein.

Bild 8-9: Dialogbox „Local Seeds“

Unter Flip Bias kann die Richtung eingestellt werden, ob die Elemente von rechts nach links oder von oben nach unten größer oder kleiner werden. Der rote Pfeil zeigt dabei immer in die Richtung, in welche die Elemente kleiner werden.

Bild 8-10: Flip Bias

Im Primärspannungszustand (STEP 1) sind zunächst nur Bodenelemente in dem FE-Netz vorhanden. Hierzu muss zuerst wie in Kapitel 7 schon beschrieben, mit Hilfe des Keyword-Editors der Pfahl ausgeblendet werden. In STEP 2 ( EinbauPfahl) werden die Bodenelemente im Pfahlbereich durch Betonelemente (Pfahl) ausgetauscht.

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8.5.2

Seite 8-8

Randbedingungen

Für das in Bild 8-7 dargestellte Modell sind 2 Randbedingungen (Boundary Conditions) einzuführen:  

NSET RECHTS: Freiheitsgrad in x-Richtung NSET UNTEN: Freiheitsgrad in y-Richtung (siehe Bild 8-11)

Die Randbedingung an der linken Seite entfällt, da das Modell achsialsymmetrisch ist.

Bild 8-11: Dialogbox „ Edit Boundary Condition“

8.6

Pfahl-Boden Interaktion

Dem Übergangsbereich zwischen Pfahl und Boden kommt bei der numerischen Simulation eine zentrale Bedeutung zu. Dieser Bereich kann durch unterschiedliche Stoffansätze oder durch den Einbau verschiedener Kontaktbeziehungen und durch spezielle InterfaceElemente im FE-Netz berücksichtigt werden. In ABAQUS kann die Simulation des Tragverhaltens zwischen Pfahl und Boden unter anderem durch „idealen Kontakt“ und durch den Einbau von Kontaktflächen erfolgen.

8.6.1

Idealer Kontakt

Bei der Modellierung mit idealem Kontakt wird angenommen, dass das Überschreiten der Scherfestigkeit des Bodens in einer dünnen Bodenschicht am Pfahlmantel erfolgt - nicht in der direkten Kontaktfläche Pfahl-Boden. Die Materialeigenschaften der Elemente im Übergangsbereich (Mantelelemente) entsprechen denen der Bodenelemente im 8 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Pfähle)

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Seite 8-9

umgebenden Erdreich. Die Abmessungen der Mantelelemente in Relation zu den Abmessungen des Pfahles spielen bei den meisten Bodenarten eine wesentliche Rolle. Basierend auf der Nachrechnung verschiedener Gründungsstrukturen kann eine Breite des Mantelelementes von d = 0,2r (r: Radius des Pfahls) für verrohrt und unverrohrt hergestellte Bohrpfähle angesetzt werden (siehe Bild 8-12). Pfahlrandelemente und angrenzende Bodenelemente haben die gleichen Knoten. Es existieren keine duplizierten Knoten im Netz. Der Elementsatz für den Pfahl wird zu Beginn der Simulation im ersten STEP entfernt und nach Aushub des Bodens in das bestehende Netz wieder eingesetzt. Zur gleichen Zeit werden bedingt durch den Aushub die entsprechenden Bodenelemente aus dem Netz entfernt.

Bild 8-12: Modellierung Pfahl

Eine weitere Möglichkeit, die Pfahl-Boden Interaktion zu berücksichtigen, ist der Einbau von sogenannten Übergangselementen. Diese Möglichkeit entspricht prinzipiell dem idealen Kontakt. Allerdings kann die Übergangsschicht von dem umgebenden Boden abweichende stoffliche Eigenschaften haben, z.B. modifizierte K0-, ‘- oder E-Werte oder auf anderen Stoffgesetzen basieren.

8.6.2

Kontaktfläche

Die Interaktion zwischen Boden und Pfahl erfolgt auf Basis eines Reibungsgesetzes. Durch das Reibungsgesetz wird mit Hilfe des Reibungskoeffizienten der Anteil der übertragbaren Scherkraft in Abhängigkeit von der auf die Kontaktfläche normal wirkenden Kraft definiert. ABAQUS ermöglicht die Verwendung von drei verschiedenen in Bild 8-13 dargestellten Reibungsansätzen.

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Seite 8-10

Bild 8-13: Reibungsansätze in ABAQUS

Die Reibungsansätze lassen sich wie folgt beschreiben: a) linearer Ansatz: Durch die Wahl eines konstanten Reibungskoeffizienten steigt mit zunehmender Normalkraft auf der Kontaktfläche auch die übertragbare Scherkraft. b) bilinearer Ansatz: Wahl eines Reibungskoeffizienten und einer maximal übertragbaren Scherkraft. Wird die maximale Scherkraft erreicht, rutscht der Slave Knoten auf der Masterfläche. Es wird jedoch weiterhin die maximale Schubkraft übertragen. c) exponentieller Ansatz (ab ABAQUS 6.2): Wahl eines „Peak“Reibungskoeffizienten und eines „Residual“-Reibungskoeffizienten sowie eines Abminderungskoeffizienten (dc) für den Übergangsbereich. Nach überschreiten der Anfangsscherfestigkeit (definiert durch den Peak-Wert) reduziert sich der Reibungskoeffizienten auf einen Restwert. Der Übergang wird durch den Abminderungskoeffizienten gesteuert.

Bei der Anwendung von Kontaktflächen sollte darauf geachtet werden, dass keine SlaveKnoten hinter die Masterfläche rutschen können. Konvergenzprobleme sind ein erstes Anzeichen dafür. Bei der Knotengenerierung muss darauf geachtet werden, dass im Kontaktbereich zwei Knoten mit gleichen Koordinaten aber unterschiedlichen Nummern generiert werden. Ein Knoten gehört als Elementknoten des Pfahles der Master-Fläche an, der zweite ist Bestandteil der Slave-Knoten und ist Teil eines Bodenelementes.

8.7

Bodenparameter

Die Bodenparameter werden in der Regel durch Laborversuche und in-situ Versuche bestimmt. Die Schichtung des Bodens mit sich verändernden Bodenparametern muss auch im FE-Modell berücksichtigt werden. Beispielhaft werden für ein einfaches Beispiel in der zugehörigen Übung entsprechende Bodenparameter und Parameter für den Ortbetonpfahl angegeben. Durch Variation der einzelnen Parameter und Unterteilung des Baugrundes in verschiedene Bodenschichten kann die Abhängigkeit von Bodenverhältnissen auf die Pfahltragfähigkeit beispielhaft nachvollzogen werden. 8 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Pfähle)

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8.8

Seite 8-11

Auswertung von Last-Setzungslinien für den Einzelpfahl

Die Auswertung in Form von LastSetzungslinien kann mit Hilfe des X/Y Data-Managers aufgerufen und ausgeführt werden. Zur Erstellung der Last-Setzungslinien müssen die Spannungen an Integrationspunkten im obersten und untersten Pfahlelement ausgelesen werden. Die Spannungen werden anschließend gemittelt und mit der jeweiligen Pfahlfläche multipliziert. Als Ergebnis erhält man die durch die vertikale Verschiebung induzierte Normalkraft am Pfahlkopf und die durch Spitzendruck in den Boden eingebrachte Pfahlfußkraft. Der Differenzbetrag ist die Pfahlmantelkraft. Die drei Kräfte werden über die vertikale Knotenverschiebung des obersten Pfahlknotens aufgetragen.

Bild 11: Erstellen der Last-Setzungslinie

Bild 8-14: Erstellen der Last-Setzungslinie

8 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Pfähle)

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9 9.1

Seite 9-1

Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Verbauwände) Allgemeines

Das vorliegende Kapitel entstand in großen Teilen auf der Grundlage des Abschnittes 3 der Empfehlungen des Arbeitskreises 1.6 „Numerik in der Geotechnik“ der Deutschen Gesellschaft für Geotechnik (DGGT) (Meißner 2002). Das Bestreben der Bauherren, Grundstücke optimal zu nutzen, führt in Verbindung mit der Entwicklung des modernen Spezialtiefbaus zu immer tieferen Baugruben. Diese Baugruben entstehen zum Teil im Innenstadtbereich in unmittelbarer Nähe von bestehenden Bauwerken und werden nach dem heutigen Stand der Technik so gesichert, dass die in der Umgebung befindlichen Bauwerke infolge des Baugrubenaushubs nicht beschädigt werden. Die Bemessung der aus Wand-, Stütz- und gegebenenfalls Sohlelementen bestehenden Baugrubensicherung erfolgt heute noch überwiegend mit einfachen Rechenmodellen, in die der Boden zum Beispiel in Form des aktiven und passiven Erddrucks eingeht. Die Lastansätze und Nachweisstrategien orientieren sich dabei vorwiegend an den „Empfehlungen des Arbeitskreises Baugruben (EAB) der DGGT“. Dabei wird der Boden im Grenzzustand betrachtet. Verschiebungen zum Beispiel an der Geländeoberfläche oder an benachbarten baulichen Anlagen werden, wenn überhaupt, überschlägig abgeschätzt. Der bisher üblichen Bemessung von Baugrubensicherungen liegt die Erfahrung zugrunde, dass bei Einhaltung der einschlägigen Bemessungs- und Konstruktionsregeln, zum Beispiel Erddruckansätze, verformungsarmer Verbau, in der Regel Verschiebungen auftreten, die für benachbarte Bauwerke verträglich sind. Diese vereinfachende Betrachtungsweise hat sich jedoch nur für Baugruben mit einfachem bis mittlerem Schwierigkeitsgrad bewährt. Zur Sicherung von Baugruben im innerstädtischen Bereich werden in der Regel steife Verbaukonstruktionen wie Schlitz- oder Bohrpfahlwände eingesetzt. Weiträumige Bodenverschiebungen infolge des Baugrubenaushubs bleiben bei diesen Wandarten gering, können aber nicht vollständig verhindert werden. Bei sensibler Randbebauung wird ein rechnerischer Nachweis der Gebrauchstauglichkeit notwendig. In der Regel wird dieser Nachweis mit Hilfe der Beobachtungsmethode nach DIN 1054 (2003) erbracht, d.h. in der Planungsphase wird eine rechnerische Verformungsprognose erarbeitet und während der Bauausführung werden die Baugrube und die Bauwerke in der Umgebung der Baugrube durch geotechnische und geodätische Messungen überwacht. Ein Ablaufschema für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit auf der Grundlage der Beobachtungsmethode ist in Bild 9-1 dargestellt.

9 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Verbauwände)

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Seite 9-2

Bild 9-1: Ablaufschema für den Nachweis der Gebrauchstauglichkeit (Mayer 2000)

Ein geeignetes Werkzeug zur Durchführung des rechnerischen Nachweises der Gebrauchstauglichkeit ist die Methode der Finiten Elemente (FEM), da, verglichen mit herkömmlichen Berechnungsverfahren, eine wirklichkeitsnahe Abschätzung der zu erwartenden Verformungen mit diesem Verfahren möglich ist. So können bei komplexen Strukturen, die mit klassischen Ansätzen nicht mehr erfassbar sind, beispielsweise die Größe und die Verteilung des Erddrucks berechnet werden. Diese Einwirkungen können dann anschließend mit Stabwerksmodellen zur Bemessung des Baugrubenverbaus herangezogen werden. Die Bemessungsschnittgrößen können auch alternativ mit der FEM ermittelt werden. In der Praxis hat sich diese Vorgehensweise beim derzeitigen Stand der Technik jedoch noch nicht durchgesetzt und ist häufig auf herausragende, schwierige Fragestellungen beschränkt.

9.2

Wahl des Berechnungsausschnitts und Festlegung der Randbedingungen

Baugrubensicherungen sind in der Regel lotrechte flächige Tragwerke, bei denen in Stützwandlängsrichtung aufgrund gleichförmiger Geometrie und nahezu gleichmäßiger äußerer Einwirkung keine nennenswerten Verformungsunterschiede auftreten. Aufgrund dieser Randbedingungen kann für die rechnerischen Untersuchungen in vielen Fällen vereinfachend ein ebener Verformungszustand angenommen und die Berechnung näherungsweise an einem zweidimensionalen Berechnungsausschnitt durchgeführt werden. Ausnahmen stellen beispielsweise Baugrubenecken oder Bereiche mit örtlich konzentrierten Bauwerkslasten dar, für die gesonderte Betrachtungen notwendig werden. In Bild 9-2 ist exemplarisch ein 3D-Modell einer Baugrubenecke dargestellt. Die mit Hilfe dieses Netzes ermittelten Erddrücke sind in Bild 9-3 den mit Hilfe einer 2D-Simulation ermittelten Erddrücken gegenübergestellt. Das Bild verdeutlicht, dass im Bereich von Baugrubenecken mit Hilfe einer 2D-Simulation keine zutreffenden Ergebnisse für den Erdruck ermittelt werden können. Zu Beginn der numerischen Untersuchungen muss daher 9 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Verbauwände)

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Seite 9-3

stets geprüft werden, ob für die vorliegende Fragestellung die vereinfachende Annahme eines zweidimensionalen Systems zulässig ist, oder ob räumliche Betrachtungen notwendig sind. Im Rahmen dieser Vorlesung werden ausschließlich zweidimensionale (ebene) Probleme behandelt.

2

1

3

Bild 9-2: Dreidimensionales FE-Netz zur Simulation einer Baugrubenherstellung (Ittershagen 1999)

Entfernung von der Symmetrieachse [m] 0

2

4

8

10

12

z= -5m z= -9m z = - 13 m z = - 17 m z = - 20 m

14

16

18

20

7000 6500

3D-Simulation

6000 5500

Erdruhedruck E [kN/m] o

5000 4500

Erddruck [kN/m]

Aushubtiefe Aushubtiefe Aushubtiefe Aushubtiefe Aushubtiefe

6

2D-Simulation plain strain

Aushub –20 m 4000

3500

Mitte A

Aktiver Erddruck E = 3048 kN/m a

Ecke

Bild 9-3: Berechnungsergebnisse einer 3D- bzw. einer 2D-Simulation

Der Berechnungsausschnitt für eine numerische Simulation sollte so gewählt werden, dass die auf den Primärzustand folgenden Rechenschritte an den Netzrändern keine

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nennenswerten Änderungen der Spannungen beziehungsweise Verformungen bewirken. Dies ist in der Regel dann der Fall, wenn die Abstände vom seitlichen und unteren Rand a mindestens dem Zwei- bis Dreifachen der Baugrubentiefe h bzw. der Baugrubenbreite b entsprechen. Der größere Wert ist jeweils maßgebend (siehe Bild 9-4). Der seitliche Randabstand ist bei ausgesteiften Baugruben auf die Verbauwand und bei verankerten Systemen auf das erdseitige Ende der Krafteintragungslänge der Anker zu beziehen. Der Einfluss der Größe des Berechnungsausschnittes auf die Berechnungsergebnisse kann durch den Einbau von infiniten Elementen am Netzrand stark reduziert werden.

Bild 9-4: Größe des Berechnungsausschnittes [Meißner 2002]

Baugruben in geneigtem Gelände oder eine zu berücksichtigende Grundwasserströmung können erheblich größere Berechnungsausschnitte erfordern. Gleiches gilt auch für Fälle mit besonderen geotechnischen und bautechnischen Gegebenheiten. So können Abweichungen von den empfohlenen Randabständen erforderlich werden, wenn die Steifigkeit einer vorhandenen Nachbarbebauung für die Ermittlung der aushubbedingten Verformungen wesentlich ist und das vorhandene Gebäude vergleichsweise große Abmessungen aufweist (siehe Bild 9-5). Der Berechnungsausschnitt muss in der Regel vertieft werden, wenn in dem zu untersuchenden System Pfahlgründungen oder Auftriebssicherungen mit Pfählen oder Ankern zu berücksichtigen sind. Besteht bezüglich des Baugrundaufbaus und der Einwirkungen eine Symmetrie zur Baugrubenachse, ist es ausreichend, lediglich eine Hälfte des Berechnungsausschnitts zu diskretisieren. Die gleiche Vereinfachung kann bei breiten Baugruben mit ungleichmäßigen seitlichen Einwirkungen eingeführt werden, wenn eine gegenseitige Beeinflussung der Baugrubenwände ausgeschlossen werden kann. Benachbarte bauliche Einrichtungen sind unter Berücksichtigung deren Steifigkeit in das FE-Modell einzubeziehen. Auf eine Nachbildung von Konstruktionen mit geringer Steifigkeit kann dabei in der Regel verzichtet werden. Der Berechnungsausschnitt endet in diesem Fall in Höhe der Gründungssohle beziehungsweise in Geländehöhe, und die Bauwerkslast wird durch äquivalente Knotenkräfte simuliert. 9 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Verbauwände)

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Seite 9-5

Bild 9-5: FE-Netz Baugrube mit Nachbarbebauung

9.3

Modellierung des Baugrunds

Bei der Diskretisierung von Baugruben müssen neben signifikanten Schichtgrenzen des Baugrunds die temporären Aushubgrenzen abgebildet werden, d.h. in den jeweiligen Tiefen sind Elementränder anzuordnen. Bereiche mit hohen Spannungsgradienten, in denen die Diskretisierung verfeinert werden muss, treten bei Baugruben vor allem im erdseitigen Nahbereich der Wand und unterhalb der Baugrubensohle am Fußauflager des Verbaus auf. Zur Modellierung des Baugrundes bei ebenen Problemen sollten Elemente mit 8 Knoten und quadratischer Ansatzfunktion für die Verschiebungen (CPE8) verwendet werden. Für die Simulation von Baugruben ist ein geeignetes elasto-plastisches Stoffgesetz zu verwenden. Gemäß (Meißner 2002) sollten unterschiedliche Bodensteifigkeiten bei Erst-, Ent- und Wiederbelastung berücksichtigt werden. Die Grundwassersituation wirkt sich sowohl auf das Verformungsverhalten des Baugrundes als auch auf die horizontalen Einwirkungen auf den Verbau aus. Die Vorgehensweise zur Simulation von Grundwasserabsenkungsvorgängen und den damit verbundenen Strömungsvorgängen wird im Rahmen dieser Vorlesung nicht behandelt. Findet eine Grundwasserabsenkung nur innerhalb der Baugrube statt (Einbindung der Baugrubenumschließung in eine dichte Bodenschicht beziehungsweise Herstellung einer künstlichen Dichtsohle) und der Grundwasserspiegel außerhalb der Baugrube bleibt weitgehend unverändert, so entstehen im Boden, abgesehen von der abdichtenden Sohle keine nennenswerten hydraulischen Gradienten. In diesem Fall können die Verformungen durch Berücksichtigung sich ergebender Änderungen von Bodenwichten ermittelt werden.

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Seite 9-6

Zusätzlich ist der Differenzwasserdruck auf die Baugrubenumschließung als Last anzusetzen.

9.4

Modellierung der Verbauwand

Der Verbau hat einen entscheidenden Einfluss auf die Verformungen und ist im Berechnungsmodell zutreffend nachzubilden. Der Schubverbund zwischen Baugrund und Verbau ist dabei wirklichkeitsnah zu berücksichtigen. Die hierfür erforderlichen Diskretisierungen sind systemspezifisch zu wählen. Zur stofflichen Modellierung der verschiedenen Verbauwandtypen ist ein linear-elastisches Stoffgesetz ausreichend.

9.4.1

Spundwände

Spundwände sollten im ebenen Fall mit Balkenelementen diskretisiert werden, denen eine den Spundbohlen entsprechende, idealisierte Biege- und Normalsteifigkeit zugewiesen wird. Im Übergang von der Spundwand zum Baugrund sollten schmale Übergangselemente eingeschaltet werden. Vorteilhaft ist der Einsatz von Kontaktflächen, mit denen das Verhalten durch definierte Stoffgesetze unter Berücksichtigung von Schlupf und Restscherfestigkeit beschrieben werden kann.

9.4.2

Bohrpfahlwände

Für die Simulation der Pfähle sollten Flächenelemente verwendet werden. Die Elemente sollten dabei einen quadratischen oder höherwertigen Verformungsansatz aufweisen (CPE8). Die kreisförmigen Pfähle können in der Berechnung vereinfachend durch Rechteckquerschnitte mit äquivalenter Dehn- und Biegesteifigkeit ersetzt werden. Wenn bei Bohrpfählen von einem vollständigen Scherverbund zwischen Tragwerk und Boden ausgegangen werden kann, ist die Modellierung einer definierten Wandreibung mit Hilfe von Übergangs- beziehungsweise Kontaktelementen in der Regel nicht erforderlich. Falls in Einzelfällen jedoch durch technische Maßnahmen, zum Beispiel Einsatz eines Hüllrohrs, die Mantelreibung am Pfahlschaft reduziert wird, sind in den relevanten Bereichen Kontaktflächen einzufügen, denen entsprechende mechanische Eigenschaften zuzuordnen sind. Im Programmsystem ABAQUS kann es in Einzelfällen bei der Verwendung von Kontaktflächen in Kombination mit Elementen mit quadratischer Ansatzfunktion zu Konvergenzproblemen kommen. Bei aufgelösten Bohrpfahlwänden stellt sich im Boden ein räumliches Traggewölbe ein. In Abhängigkeit vom Abstand der Einzelpfähle der Wand entspannt sich der Baugrund zwischen den Pfählen, wobei in die Baugrube gerichtete Verformungen auftreten. Dieses Verhalten kann bei der globalen Untersuchung von Verbauwänden in der Regel vernachlässigt werden, sofern der Wandbereich zwischen den Pfählen ausreichend standsicher ist. Aufgelöste Bohrpfahlwände können daher im allgemeinen vereinfachend wie durchgehende Wände behandelt werden. Bei der Festlegung der Verbausteifigkeit im Modell ist der Pfahlabstand zu berücksichtigen.

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9.4.3

Seite 9-7

Schlitzwände

Bei der Herstellung von Schlitzwänden wird eine Schlitzwandlamelle ausgehoben, die zunächst von einer Suspension gestützt wird. Um diese Lamelle bildet sich ein räumliches Traggewölbe, das sich am Baugrund und an benachbarten bereits erhärteten Lamellen abstützt (Bild 9-6). Die fertiggestellte Schlitzwand bildet hingegen ein linienförmiges Tragwerk, bei dem keine räumlichen Effekte dieser Art mehr auftreten.

Bild 9-6: Hauptspannungstrajektorien nach Aushub einer Einzellamelle

Schlitzwände werden im allgemeinen für den Endzustand untersucht, in dem ein Linienbauwerk mit quasi-ebenem Verformungszustand besteht. Die FE-Berechnungen können mit dieser Voraussetzung dann wie für Bohrpfahlwände durchgeführt werden. Die Verwendung von Kontaktelementen in der Grenzfläche zwischen Boden und Wand ist dabei jedoch zu empfehlen, da infolge der Filterkuchenbildung bei der Wandherstellung die Kontaktscherfestigkeit herabgesetzt wird. Eine detaillierte räumliche Simulation der o.g. räumlichen Bauzustände erfolgt üblicherweise nicht. Es ist aber zu beachten, dass im Bauzustand infolge der großen Nachgiebigkeit der Suspension in den Schlitzen größere Verformungen auftreten können, die gegebenenfalls zu Schäden an benachbarten Gebäuden führen können (siehe (Meyer 2002)). 9.4.4

Trägerverbau

Das Tragverhalten eines Trägerverbaus wird entscheidend vom räumlichen Erdwiderstand vor den Trägerfüßen bestimmt. Zur Prognose auftretender Verschiebungen beziehungsweise Setzungen an der Geländeoberkante werden jedoch üblicherweise vereinfachend Berechnungen an einem ebenen System unter Vernachlässigung der Verschiebungsanteile aus der Durchbiegung der Ausfachung zwischen den Trägern durchgeführt. Die folgenden Erläuterungen zur Simulation des Trägerverbaus beschränken sich auf diese ebenen Berechnungen. Es sei jedoch darauf hingewiesen, dass die Ergebnisse der ebenen Berechnung umso mehr von der Realität (3D-Problem) abweichen, je größer die Trägerabstände sind. 9 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Verbauwände)

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Bei einer ebenen Simulation eines Trägerverbaus sollte das System aus Trägern und Ausfachung durch einen ebenen Ersatzbalken mit Rechteckprofil und einer Breite b von 1 m abgebildet werden (siehe Bild 9-7). Die Dehn- und Biegesteifigkeit dieses Balkenelementes (EErsatzAErsatz bzw. EErsatzIErsatz) sollte dabei äquivalent der Dehn- und Biegesteifigkeit des Trägers (EStASt bzw. EStISt) unter Berücksichtigung des Trägerabstandes a sein. Daraus folgt:

ESt  I St b  h3  EErsatz  I Ersatz  EErsatz  a 12

(9-1)

ESt  ASt  EErsatz  AErsatz  EErsatz  b  h a

(9-2)

aus (9-2)

h

ESt  ASt a  EErsatz

ESt  ASt  12  a 2  I St 2

in (9-1)

EErsatz

3

Bild 9-7: Ersatzbalken Trägerverbau

9.5

9.5.1

Modellierung der Stützmittel

Steifen

Steifen werden durch Stabelemente oder Federelemente simuliert. Unter Berücksichtigung der Steifenabstände ist den Stab- bzw. Federelementen eine äquivalente Dehnsteifigkeit zuzuordnen. Ein starres Auflager ist nur dann sinnvoll und zulässig, wenn die Abstützung sehr steif ist, zum Beispiel Betonsteifen mit großen Querschnitten und geringer Länge, und 9 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Verbauwände)

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somit elastische Verformungen vernachlässigt werden können gegenüberliegenden Verbauwände symmetrische Zustände bestehen.

9.5.2

Seite 9-9

und

für

die

Verpressanker

Verpressanker bestehen aus einem freien Stahlzugglied (freie Ankerlänge) und einem Verpresskörper. Die Diskretisierung der freien Ankerlänge erfolgt durch ein Stabelement, das den Ankerkopf und den Verpresskörperkopf miteinander verbindet. Für das Stabelement ist unter Berücksichtigung des Ankerabstandes die äquivalente Dehnsteifigkeit zu bestimmen. Entsprechend ergibt sich die Vorspannkraft des Ankers aus der Division durch den Ankerabstand, die somit in eine Linienlast umgerechnet wird. Wenn eine Verschiebung des Verpresskörpers ausgeschlossen ist, kann das oben beschriebene Modell auf ein einzelnes Stabelement reduziert werden. Das Stabelement wird dann am Ankerkopf und an einem festen Auflager im Bereich des Verpressköpers angebunden ( Bild 9-8, Variante 1). Das Element wirkt als Feder, die Interaktion des Verpresskörpers mit dem Boden wird auf diese Weise nicht berücksichtigt. Die Vorspannung des Ankers kann durch eine Kraft am Ankerkopf berücksichtigt werden. Der Ankerstab wird im darauf folgenden Step strain free (verformungsfrei) eingebaut. Umfangreiche Arbeiten zum Tragverhalten einer verankerten Verbauwand u.a. von Weber (1996) zeigen jedoch, dass das Tragverhalten von Anker und Verbauwand von der Ankerspannung und dem Grad der Verspannung zwischen Verpresskörper und Verbauwand abhängt. Eine einfache Möglichkeit, diese Interaktion im Modell näherungsweise zu berücksichtigen zeigt Bild 8-9, Variante 2. Das Stabelement ist am Ankerkopf mit der Verbauwand verbunden in der Mitte des Verpresskörpers mit einem Bodenknoten. Der dadurch verursachte Krafteintrag an nur einem Punkt führt zu sehr hohen Spannungsgradienten und somit häufig zu Konvergenzproblemen; diese können vermindert werden, wenn in der Umgebung dieses Knotens linear-elastische Elemente eingefügt werden. Eine gleichmäßige Krafteinleitung im Bereich des Verpresskörpers kann erreicht werden, wenn im Bereich des Verpresskörpers das Netz verfeinert und der Verpresskörper mit linear-elastischen Elementen modelliert wird. Der Verpresskörper ist dabei in Abhängigkeit vom Ankerabstand mit äquivalenter Dehnsteifigkeit abzubilden. Innerhalb des Verpresskörpers wird das Stahlzugglied mit mehreren Stabelementen abgebildet, deren Knoten mit den mittleren Knoten der Elemente des Verpresskörpers identisch sind. Eine Simulation des Schubverbundes zwischen Verpresskörper und Boden kann durch den Einbau von Kontaktflächen erreicht werden. Mayer (2000) und Weber (1996) weisen jedoch darauf hin, dass bei ausreichend feiner Vernetzung im Verpresskörperbereich keine signifikante Verbesserung der Berechnungsergebnisse durch den Einsatz von Kontaktelementen erzielt wird. Bei den Varianten 2 und 3 wird die Vorspannkraft durch ein entgegengesetzt orientiertes Kräftepaar am Ankerkopf und am Verpresskörperkopf simuliert. Das Stabelement ist im darauf folgenden Step strain free einzubauen. 9 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Verbauwände)

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Seite 9-10

Elastische Elemente

Stabelement für freie Ankerlänge und Verpresskörper

Variante 1

Stabelement für freie Ankerlänge und Verpresskörper

Variante 2

Freie Ankerlänge als Stabelement

Verpresskörper (evtl. mit Kontaktflächen)

Variante 3

Bild 9-8: Varianten zur Modellierung eines Verpressankers

9.6

Modellierung des Baufortschritts

Aufgrund der Abhängigkeit des Materialverhaltens der Bodenelemente vom Spannungszustand und der Belastungsgeschichte müssen im Zuge des Bauablaufs auftretende charakteristische Spannungszustände in ihrer zeitlichen Reihenfolge möglichst wirklichkeitsnah abgebildet werden. Alle wesentlichen Bauzustände werden deshalb im Sinne einer Step-by-Step Analyse in der Simulation nachgebildet. Nachfolgend sind einige häufig auftretende Bauzustände für eine 1-fach gestützte Baugrube aufgelistet: Step 1: Step 2: Step 3: Step 4: Step 5: Step 6: Step 7:

Primärspannungszustand Errichtung Nachbarbebauung Einbau Verbauwand Aushub bis Anker/Steifenlage 1 Aufbringen Vorspannkraft Lage 1 Einbau Anker/Steifenlage 1 Endaushub

In Abhängigkeit von der jeweiligen Problemstellung können verschiedene weitere Steps erforderlich werden.

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9.7

Seite 9-11

Auswertung und Darstellung der Berechnungsergebnisse

Die Auswertung und Darstellung der Berechnungsergebnisse erfolgt problemspezifisch, die nachfolgende Aufzählung ist als Vorschlag zu verstehen und enthält jene Größen, die in der Regel von Interesse sind. -

Horizontalverschiebung der Verbauwand Vertikalverschiebung der Geländeoberfläche Hebung der Baugrubensohle Verschiebung von benachbarten Bauwerken Horizontalspannung an der Verbauwand (aktiver und passiver Erddruck) Lage plastischer Zonen Schnittkräfte Verbauwand und Stützmittel

Die Darstellung der Spannungen und Verschiebungen an der Verbauwand sollte eine Systemskizze der Baugrube enthalten, da auf diese Weise eine Bewertung und Plausibilitätsprüfung erleichtert wird. In Bild 9-9 sind exemplarisch die Verschiebungen einer 3-fach gestützten Verbauwand und der unterhalb des Wandfußes liegenden Bodenknoten dargestellt. Im Sinne der Beobachtungsmethode sollten die rechnerischen Verformungen der ersten Bauzustände nach Baubeginn mit Messwerten verglichen werden. Bestehen signifikante Abweichungen, sind getroffene Annahmen oder Bodenparameter innerhalb der Grenzen möglicher Streubreiten so zu modifizieren, dass eine ausreichende Übereinstimmung erzielt wird.

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Seite 9-12

Die Berechnungsergebnisse sind stets auf Plausibilität zu prüfen. Unter anderem sind folgende Punkte zu überprüfen: - Sind die Verschiebungen im Initialspannungszustand annähernd Null? - Entsprechen die Vertikalspannungen im Initialspannungszustand den Überlagerungsspannungen? - Liegen die berechneten Verformungen im Bereich der Erfahrungswerte? - Ist das Verschiebungsbild plausibel? - Sind die Schnittgrößen der Stützmittel und Wände geringer als die zulässigen Werte? - Haben plastifizierte Zonen einen ausreichenden Abstand zu seitlichen und unteren Netzrändern?

Bild 9-9: Horizontalverschiebung einer 3-fach gestützten Baugrubenwand

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Seite 10-1

10 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Erdbauwerke) 10.1 Einleitung Unter dem Begriff Erdbau wird der Bereich des Ingenieurwesens verstanden, bei dem das zu erstellende Bauwerk im Wesentlichen durch den Einsatz des Bodens als Werkstoff entsteht. Erdbauwerke bestehen folglich aus dem Werkstoff Boden. Typische Erdbauwerke sind beispielsweise: -

Dämme im Verkehrswegebau, Staudämme, Deiche, Deponien, Halden.

Bei dem Entwurf von Erdbauwerken sind stets zwei ingenieurtechnische Fragestellungen relevant: Wie groß sind die Beanspruchungen im Baukörper und welchen Verformungen sind der Baugrund und der Baukörper unterworfen. Häufig sind beide Fragestellungen miteinander verknüpft, insbesondere dann, wenn der Baukörper aus Abschnitten unterschiedlicher Steifigkeit besteht. So ergibt sich zum Beispiel beim Bau von zonierten Staudämmen häufig die Problematik der unterschiedlichen Steifigkeit des Dichtungskerns und des Stützkörpers, was zu einer Gewölbewirkung im Dichtungskern führt und unter Umständen Risse im Dammkörper verursachen kann. In Bild 10-1 ist die AabachTalsperre in Grundriss und Schnitt dargestellt. Sie wurde als zonierter Steinschüttdamm hergestellt und besitzt einen Dichtungskern mit vorgezogener Schürze, der wasser- und luftseitig durch Stützkörper gehalten wird. Durch die Talsperre führt der Hochwasserentlastungsstollen .

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Seite 10-2

A

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2

7 4

3

5

2

6

6

1:1,7

3

1:1,72

III

IV

VI

V

VII

1:1,3

II 1:1,3

I

1:1,7

1

+ 348.70

+ 349.50

5 1:1,9

1:1,9

+ 348.70

1:1,9

4 + 306.90

1:1,9

Grundriss A

1

0

20 40 60 80 100 m

+348.70 +345.70

1:

1:

1.3

1:

1.9

IIa

Ia

Ib

Ia

1.7

IIa

IIb

+320.30

1:

+317.30

1.9

Ia

+312.30

IIb

Ib

1

2

Ia

verwitterter Schluffstein

Ib

Hanglehm und stark verwitterter Schluffstein

IIa

Kalkstein

IIb

verlehmter Kalkstein

4

3

1

Schnitt A - A 0

10

20

30

40

50 m

Bild 10-1: Aabach-Talsperre in Grundriss und Schnitt

Mit Hilfe der FEM kann in einer Spannungs-Verformungsanalyse die Interaktion der unterschiedlich steifen Materialien (Beton, Dichtungskern, Stützkörper) und die daraus resultierenden Belastungen realitätsnah erfasst werden. Dämme werden in der Regel durch lagenweises Aufbringen des Bodens mit anschließender Verdichtung hergestellt. Der Boden erreicht dadurch die notwendige Steifigkeit und Festigkeit. Für Simulationen mit der FEM muss daher das lagenweise Aufschütten aufgrund des in der Regel nichtlinearen Materialverhaltens und der damit verbundenen Abhängigkeit der Verformungen von der Spannungsgeschichte nachvollzogen werden.

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10.2 Modellierung der lagenweise Aufschüttung in der FEM Die Dicke der im Zuge der Dammherstellung aufgebrachten Lagen ist abhängig von den geotechnischen Eigenschaften des Bodens, insbesondere von seiner Verdichtbarkeit, und liegt in der Größenordnung von 10 cm bis rd. 1 m. Während der Bauzeit kommt es im Baukörper (Deichen, Dämmen etc.) zu Eigensetzungen der zuletzt aufgebrachten Lagen infolge Eigengewicht und zu Setzungen der darunter liegenden Schichten durch das Überlagerungsgewicht. Unter Setzungen wird in diesem Zusammenhang die vertikale Verschiebung des Bodens im Baukörper verstanden. Die Sollhöhe des Bauwerks wird beim Bau dadurch erreicht, dass jede einzelne Lage wieder auf Sollhöhe aufgeschüttet wird. Um das lagenweise Aufbringen des Bodens in einer FE-Berechnung zu simulieren, werden bei der Generierung der Knoten und Elemente die Grenzen der Lagen berücksichtigt. Durch eine Step-by-Step-Analyse kann dann mit Hilfe des stufenweisen Netzumbaus (*MODEL CHANGE, ADD) das lagenweise Aufbringen simuliert werden. Dabei muss folgendes beachtet werden: Der Einbau der Elemente in das Netz, also das Aufbringen der Lagen, kann in ABAQUS auf zwei verschiedene Arten erfolgen: -

*MODEL CHANGE, ADD=STRAIN FREE *MODEL CHANGE, ADD=WITH STRAIN

Mit der Option “Strain Free” werden die Elemente in der verformten Konfiguration reaktiviert, die zum Zeitpunkt der Reaktivierung vorliegt. Das Element erfährt dabei keine Dehnungen und somit keine Spannungen bzw. Knotenkräfte. Allerdings ist das Volumen gegenüber der ursprünglichen Modellierung verändert (vgl. Abb. 10-3). Durch die Multiplikation mit der Dichte wird auch die Masse des reaktivierten Elementes verändert. Bei einer Reaktivierung der Elemente mit der Option „With Strain“ erfahren die Elemente durch die Verzerrung der Konfiguration bei der Reaktivierung gegenüber der ursprünglichen Konfiguration eine Dehnung, die Spannungen bzw. Knotenkräfte hervorruft. Wenn durch die verformte Konfiguration des Elementes das Volumen gegenüber der Ausgangskonfiguration verändert ist, ist dies zugleich mit Volumendehnungen verbunden. Die Masse des Elementes ändert sich daher nicht.

10.2.1 Small Strain und Non Linear Geometry Einen wesentlichen Einfluss auf die Art der Reaktivierung hat die Art der Berücksichtigung der Verformungen. Sie kann nach der Theorie der kleinen Verformungen („Small Strain“) oder nach der Theorie der großen Verformungen („Non Linear Geometry“) erfolgen. Dazu zunächst eine kurze Erläuterung des Unterschieds: Die Grundgleichung der FEM lautet:

u  F K

(10-1)

 : Steifigkeitsmatrix, mit K 10 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Erdbau)

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u : Vektor der Knotenverschiebungen, F : Vektor der Knotenkräfte

Die Steifigkeitsmatrix wird aus den Elementsteifigkeitsmatrizen ke gebildet, die sich  und der Matrix des Stoffgesetzes D  wiederum aus der Ableitung der Ansatzfunktionen B zusammensetzt:  T DB   d (vol ) k e   B

(10-2)

V

 mit Bei der Berechnung nach der Theorie der kleinen Verformungen wird die Matrix B den Knotenkoordinaten der Ausgangskonfiguration gebildet und ist daher unabhängig von der Verformung des Elementes. Wird die Gleichung mit der Theorie der großen  Verformungen gelöst, wird die jeweils aktuelle Konfiguration für die Berechnung von B zugrunde gelegt, so dass die Matrix von den Verformungen abhängt. Small Strain:

Non Linear Geometry:

  f (u ) B   f (u ) B

Das Ergebnis ist unterschiedlich und für große Verformungen bei der Berechnung nach der Theorie der kleinen Verformungen entsteht ein systemimmanenter Fehler.

10.2.2 Beispiel einer lagenweise Aufschüttung

Der Einfluss der Modellierung wird in nachfolgendem Beispiel erläutert: Gegeben sei ein Netz bestehend aus 4 Elementen, das aus einer unteren (Lage 1) und einer oberen Lage (Lage 2) besteht (vgl. Bild 10-1). Im ersten Step wird die obere Lage deaktiviert und die untere Lage durch das Eigengewicht belastet. In Step 2 wird auf die durch das Eigengewicht verformte Lage 1 die obere Lage aufgebracht und ebenfalls durch das Eigengewicht belastet (siehe Bild 10-3).

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Seite 10-5

Systemskizze

7

8

9

5

6

Lage 2

4 Lage 1

1

2

3

Bild 10-1: Systemskizze

Step 1: Lage 2 wird inaktiviert (Model change, remove) Lage 1 unter Eigengewicht

L age 2 ( in a k t iv )

4 Lage 1

Step 2: Lage 2 wird reaktiviert (Model change, add) Lage 1+2 unter Eigengewicht 7

Lage 2

4 Lage 1

Bild 10-2: Belastung in Steps

Es werden vier Varianten der Belastung vorgestellt, die sich hinsichtlich der Methode der Reaktivierung der Elemente („Strain Free“ und „With Strain“) und hinsichtlich der Berechnung der Dehnungen (Theorie der kleinen Verformungen „Small Strain“ und Theorie der großen Verformungen „Non Linear Geometry“) unterscheiden. 10 Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Erdbau)

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Variante A1 A2 B1 B2

Model Change Option Strain Free Strain Free With Strain With Strain

Seite 10-6

Berechnung der Dehnungen Small Strain Non Linear Geometry1) Small Strain Non Linear Geometry1)

Tabelle 10-1: Varianten der Berechnungen 1)

Wird durch die Angabe der Option nlgeom in der Step-Anweisung aktiviert In Bild 10-3 ist der Zustand des Netzes zu Beginn des Steps 2 dargestellt, nachdem die Lage 2 der Elemente reaktiviert wurde. Es sind die Varianten A1 und B1 dargestellt. Bild 10-3a zeigt die Konfiguration bei der Reaktivierung „Strain Free“. Die Elemente der Lage 2 werden der verformten Konfiguration angepasst, die unteren Knoten sind verformt, die oberen Knoten sind in ihrer ursprünglichen Lage. Die damit einhergehende Volumenvergrößerung ist dehnungsfrei. Bei Berechnungen nach der Theorie der großen Verformungen (Non Linear Geometry) führt dies daher zu einer größeren Masse der eingebauten Lage. Wird die Berechnung nach der Theorie der kleinen Verformungen (Small Strain) durchgeführt, legt das Programm die Annahme zugrunde, dass die Verformungen so klein sind, dass keine Volumenvergrößerung und somit keine Zuname der Masse stattfindet. Die Oberkante der neu hinzugefügten Lage entspricht bei beiden Berechnungen der Ausgangskonfiguration. Reaktivierung mit Option “Strain Free”

h

h’

h
Lage 2

Lage 1

Originalkonfiguration Konfiguration bei Reaktivierung

Bild 10-3a: Reaktivierung „Strain Free“

In Bild 10-3b ist die Konfiguration zu Beginn von Step 2 nach der Reaktivierung mit der Option „With Strain“ dargestellt. Durch die Bedingung, das die mit der aktuellen Konfiguration einhergehenden Dehnungen zu Spannungen führen, entzieht sich das Element der Verformung, indem die oberen Knoten sich in gleicher Weise verformen, wie die unteren, die ja zugleich die Oberkante der unteren Lage 1 bilden. Die Höhe h’ des Elementes in der aktuellen Konfiguration ist daher gleich der Höhe h des Elementes in der

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Ausgangskonfiguration. Die Oberkante der neu aufgebrachten Lage entspricht nicht der ursprünglich vorgesehenen. Reaktivierung mit Option “With Strain”

Lage 2

h h’

h = h’

Lage 1

Originalkonfiguration Konfiguration bei Reaktivierung

Bild 10-3b: Reaktivierung „With Strain“

Da üblicherweise die Dicke der einzelnen Lagen bei Erdbauwerken klein ist gegenüber der Gesamthöhe des Bauwerks, muss eine große Anzahl von Lagen aufgebracht werden. Der mit der Option „With Strain“ gemachte Fehler bei der aufgebrachten Lagenhöhe summiert sich daher bei großen Erdbauwerken wie z.B. Dämmen bis in Meter-Größenordnung. Tabelle 10-2 gibt einen Überblick über die vertikale Verschiebung des Knotens 7 auf der Oberseite der Lage 2 nach Beendigung des Steps 2, d.h. auch das Eigengewicht der Lage 2 ist jetzt aufgebracht.

Add=Strain Free Add=With Strain

Small Strain 0,75 1,00

Non Linear Geometry 0,74 0,94

Tabelle 10-2: Vertikale Verschiebung u (normiert) des oberen Randes der oberen Lage (Knoten 7)

In Bild 10-4 ist die vertikale Verschiebung des Knotens 7 auf der Oberkante der oberen Lage 1 aller vier Varianten über die Step-Time, also den Berechnungsfortschritt, dargestellt. Für die Varianten A1 und A2 ist zu erkennen, dass die Verschiebungen im Step 2 (Step Time 1...2) beginnend von 0 zunehmen. Die Varianten B1 und B2 zeigen zu Beginn des Steps 2 einen Sprung in der Vertikalverschiebung, der aus der Anpassung der oberen Knoten an die aktuelle Konfiguration resultiert. Der Unterschied in der Steigung der Geraden im Step 2 wird durch die, bei den Varianten A größere Masse bedingt.

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Bild 10-4: Vertikale Verschiebung des Knotens 7 über die Step-Time

10.3 Initiale Spannungszustände

Aufgrund des nichtlinearen, spannungsabhängigen Materialverhaltens von Boden, ist die Definition eines initialen Spannungszustands im Baugrund als Anfangsbedingung für Standsicherheits- und Verformungsbetrachtungen unerlässlich (vgl. auch Kap. 4). Dies spielt bei Erdbauwerken insbesondere bei der Modellierung von Geländeeinschnitten eine große Rolle. Bei horizontaler Baugrundschichtung und horizontaler Geländeoberfläche hängt der initiale Spannungszustand nur von der vertikalen Koordinate (2 im ebenen Fall, 3 in 3-DBerechnungen) ab. In diesen Fällen kann er durch den Befehl im Keyword-Editor *INITIAL CONDITIONS, TYPE=STRESS, GEOSTATIC ELEMENTSATZ, s22(z1), z1, s22(z2), z2, k0

gefolgt von einer Datenzeile, die mit der Angabe des Elementsatzes beginnt und sich anschließend alternierend aus einer Angabe zur Spannung und der zugehörigen vertikalen Koordinate in dieser Tiefe zusammensetzt, angegeben werden. Die Datenzeile wird durch die Angabe des Seitendruckverhältnisses im Ruhezustand k0 abgeschlossen und lautet z.B.: SOIL, 0., 100., 900., 50., 1900., 0., 0.7

Das zugehörige System ist 100 m hoch, der Koordinatenursprung liegt auf der Unterseite des Modells. Die Geländeoberfläche ist daher auf 100 m, dort ist die Spannung 0. Bis in 50 m Tiefe befindet sich eine Schicht mit einer Wichte von =18 kN/m³, so dass die Vertikalspannung in der Tiefe von 50 m 900 kN/m² beträgt. Bis zum unteren Modellrand in 100 m Tiefe beträgt die Wichte des Bodens  = 20 kN/m³. Die Vertikalspannung am unteren Modellrand bei der Koordinate 0 m ist daher 1900 kN/m². Das Seitendruckverhältnis im Ruhezustand k0 beträgt 0,7.

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Für unregelmäßige Geometrien oder geneigte Geländeoberflächen kann diese einfache Methode nicht angewendet werden, da in diesem Fall der initiale Spannungszustand nicht nur von der vertikalen Koordinate abhängt sondern ein räumlich verteilter Spannungszustand vorliegt. In diesen Fällen muss der initiale Spannungszustand in einer gesonderten Berechnung ermittelt werden und die Spannungen dann elementweise in die eigentliche Berechnung eingelesen werden. Es existieren zwei Möglichkeiten diesen Spannungszustand zu erzeugen: 

Option INPUT bei dem Befehl INITIAL CONDITIONS

Zunächst berechnet man in einer vorlaufenden Berechnung den Eigenspannungszustands des Systems und extrahiert aus dem .dat-file die tabellarische Angabe mit den Spannungen der Elemente in ein neues Text-file. Die Spannungen werden im .dat-file in folgendem Format angegeben: ELEMENT

PT

1000

1

FOOT- S11 NOTE 2145.

S22

S33

S12

MISES

4289.

2145.

2.5063E02

2145.

Der Text-file muss anschließend in der Syntax angepasst werden, da ABAQUS folgendes Format voraussetzt (in ebenen Berechnungen): Elementnummer, S11, S22, S33, S12

Bei dreidimensionalen Berechnungen werden zusätzlich noch die Schubspannung S13 und S23 gefordert. Zur Umwandlung des Text-Files kann man z.B. das Tabellenkalkulationsprogramm Excel oder andere geeignete Editoren zur Hilfe nehmen. Es ist darauf zu achten, dass mit der INPUT-Option nur eine Spannung je Element angegeben werden kann und die Spannungen ggf. im Element gemittelt werden müssen. Bei ebenen Fällen kann man in der vorlaufenden Berechnung auf die CPE4R-Elemente zurückgreifen, die ohnehin nur einen Integrationspunkt besitzen. Das Einlesen der Spannungen erfolgt dann im Input-file der eigentlichen Berechnung wie folgt: *INITAL CONDITIONS, TYPE=STRESS, INPUT=

wobei durch den Namen des files ersetzt werden muss, in welchem die Spannungen hinterlegt sind (das file muss im gleichen Verzeichnis liegen!).

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11 Konvergenzprobleme 11.1 Einleitung In der Finiten-Element-Methode werden die äußeren Kräfte mit den inneren Kräften für das Modell ins Gleichgewicht gebracht. Bei nichtlinearen Problemen ist meist kein exaktes Gleichgewicht möglich und es muss eine Toleranz für die Lösung angegeben werden. Eine Lösung heißt konvergent, wenn die berechneten Größen innerhalb der vorher definierten Toleranz liegen, wenn also z.B. der Unterschied zwischen inneren und äußeren Kräften gering genug ist. Dieses Kapitel beschäftigt sich mit den Grundlagen, die zum Verständnis der Vorgänge notwendig sind, die zum Erreichen einer konvergenten Lösung in der Finiten-ElementMethode führen. Darüber hinaus werden die Einflussmöglichkeiten auf das Konvergenzverhalten von Berechnungen aufgezeigt, die im Programm ABAQUS zur Verfügung stehen und die sich direkt aus den Grundlagen ergeben.

11.2 Nichtlineare Probleme Jedes reale Problem ist nichtlinear. Häufig lässt sich das Verhalten von Strukturen jedoch als näherungsweise linear beschreiben und die gewünschte Lösung mit ausreichender Genauigkeit ermitteln. In allen anderen Fällen muss das Problem nichtlinear betrachtet werden. Die Ursachen für nichtlineares Verhalten lassen sich in drei Kategorien aufteilen: -

Nichtlineare Geometrie wegen großer Verformungen (geometrische Nichtlinearität) Nichtlineares Materialverhalten (physikalische Nichtlinearität) Kontaktprobleme mit diskontinuierlichem Verhalten der Struktur

In typischen Fragestellungen der Geotechnik liegt meist ein nichtlineares Materialverhalten vor, kombiniert häufig mit Kontaktproblemen. In einigen Fällen muss auch nach der Theorie der großen Verformungen gerechnet werden (vgl. Kapitel 10).

11.3 Gleichgewicht Die Finite-Element-Methode stellt das Gleichgewicht zwischen inneren und äußeren Kräften auf. In Bild 11-1 ist der Zusammenhang dargestellt: Äußere Kräfte P wirken auf die Struktur und rufen im Finite-Element-Modell in den Knoten innere Kräfte I hervor.

11 Konvergenzprobleme

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P

Seite 11-2

Ia

P Id

I

Ib Ic

(a) externe Lasten in einer Simulation

(b) innere Kräfte wirken an einem Knoten

Gleichgewicht: P-I=0 Bild 11-1: Gleichgewicht zwischen inneren und äußeren Kräften

In der Grundgleichung der FEM Ku  F

(11-1)

stehen die äußeren Kräfte im Kraftvektor F auf der rechten Seite. Die inneren Kräfte an jedem Knoten ergeben sich aus der Steifigkeitsmatrix K, in der die Elementsteifigkeiten jedes Elementes eingehen, und der Knotenverschiebung u. Die innere Knotenkraft I des im Bild 11-1 dargestellten Knotens ergeben sich aus den inneren Kräften der vier angrenzenden Elemente Ia, Ib, Ic und Id. Bei linearen Problemen ist die Steifigkeitsmatrix konstant und die Gleichgewichtsbedingung ist exakt erfüllt. Nichtlineare Probleme bedingen jedoch eine Abhängigkeit der Steifigkeitsmatrix K von anderen Größen, die sich im Zuge der Lösung ändern, z.B. der Verschiebung u oder von der Spannung . Trägt man die Last P über der Verschiebung u in einem Diagramm auf, so wird der Unterschied deutlich (Bild 11-2). Last

lineare Probleme K=const.

P

nichtlineare Probleme K=K(....)

u

Verschiebung

Bild 11-2: Last-Verschiebungs-Diagramm für lineare und nichtlineare Probleme

11 Konvergenzprobleme

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Seite 11-3

Bei nichtlinearen Problemen ändert sich die Steigung des Zusammenhangs zwischen Last und Verschiebung, die durch die Steifigkeitsmatrix beschrieben wird, mit steigender Last. Daher können die inneren Kräfte I, die von der Steifigkeitsmatrix abhängen, nur inkrementell berechnet werden und das Gleichgewicht kann nur näherungsweise bestimmt werden. Die Grundgleichung der FEM wird dann inkrementell für das Inkrement i beschrieben: K i u i  F i

(11-2)

Die Gesamtlösung ergibt sich aus der Summe der Inkremente. Um einen Lastfall bei nichtlinearen Problemen zu berechnen, muss also die Gesamtlast in Inkremente unterteilt werden. Die einfachste Möglichkeit der Lastaufteilung, die in ABAQUS standardmäßig bei den Berechnungsprozeduren Static und Geostatic angewendet wird, ist ein linearer Zusammenhang zwischen der Gesamtlast und der Step-Time (Bild 11-3). Die Größe des Lastinkrementes P ist direkt proportional zur relativen Step-Zeit (relative StepTime). Üblicherweise beträgt die „Dauer“ eines Steps in ABAQUS eine Zeiteinheit. Wird also ein Inkrement mit der „Dauer“ von z.B. 0.14 versucht zu berechnen, so beträgt das Lastinkrement P für das Inkrement 14% der Gesamtlast. Last

0

t

1

Relative Step-Time

Bild 11-3: Inkrementierung der Last in einem Berechnungsschritt (Ramp-Funktion)

Die Größe des Inkrements, das berechnet wird, hängt von mehreren Faktoren ab. Wird das Inkrement zu groß gewählt, ist u.U. keine konvergente Lösung zu erzielen. Bei kleinen Inkrementgrößen ist der anderen Seite der Berechnungsaufwand sehr viel höher. Der Wahl der richtigen Inkrementgröße kommt daher für eine effiziente Berechnung eine bedeutende Rolle zu.

11 Konvergenzprobleme

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Seite 11-4

Last a Ra p

Ia

K0

u0

ua

Verschiebung

Bild 11-4: Inkrementelle Lösung und Residuum

In Bild 11-4 ist dargestellt, wie prinzipiell bei nichtlinearen Problemen eine Lösung gefunden werden kann. Das System hat zu Beginn des Lastinkrements die Verschiebung u0. Zugehörig zu dieser Verschiebung ist die Anfangssteifigkeitsmatrix K0. In diesem Inkrement wird die Last p aufgebracht, die dazu führt dass sich das System nach Lösen der Gleichung 11-2 im Punkt a mit der Verschiebung ua befindet. Die äußeren Kräfte in diesem Fall sind P. Die innere Kraft, die zur Verschiebung ua gehört, ist durch die zur Verformung ua auf der nichtlinearen Last-Verschiebungs-Funktion gehörende Kraft Ia gegeben. Durch die Nichtlinearität der Last-Verschiebungsfunktion besteht in jedem Fall ein Unterschied zwischen P und Ia, also den äußeren und inneren Kräften. Die Differenz zwischen beiden wird als Residuum (R) bezeichnet: R=P–I

(11-3)

Damit ein Gleichgewichtszustand herrscht, muss das Residuum verschwinden. Bei nichtlinearen Problemen wird dies nicht erreicht. Stattdessen wird ein Toleranzbereich für die Größe des Residuums definiert, für den der gefundene Gleichgewichtszustand als akzeptabel im Rahmen der Genauigkeit definiert wird: P – I = R  Toleranz

(11-4)

Wird bei einer Gleichgewichtsiteration die Toleranz nicht eingehalten, werden weitere Iterationen durchgeführt, bis die Toleranz eingehalten ist. In diesem Fall hat die Lösung konvergiert. Kann für das in diesem Inkrement vorgesehene Lastinkrement p keine Lösung erzielt werden, muss das Lastinkrement verkleinert werden und es werden erneut Gleichgewichtsiterationen durchgeführt. Für die Lösung der Gleichung existieren verschiedene Lösungsverfahren, von denen in den Kapiteln 11.5.1 und 11.5.2 zwei vorgestellt werden.

11 Konvergenzprobleme

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Seite 11-5

11.4 Steps, Inkremente, Iterationen, Versuche Die Berechnung eines nichtlinearen Strukturproblems mit der FEM erfordert die Aufteilung der Berechnung in verschiedene Untereinheiten, die nachfolgend in einer Art Glossar erläutert werden: -

Step

Berechnungsschritt; beschreibt eine Lastkonfiguration, die berechnet werden soll. Jeder Step besitzt eine Zeitdauer t, die bei zeitinvarianten Problemen wie z.B. elastoplastischen Last-Verformungsanalysen lediglich als Hilfsgröße für die weitere Unterteilung in kleinere Berechnungseinheiten dient.

-

Inkrement Ein Inkrement ist eine Untereinheit eines Steps. Bei linearen Problemen kann die Lösung für den gesamten Step in einem Berechnungsschritt, also in einem Inkrement, erreicht werden. Nichtlineare Probleme erfordern die Zerlegung des Steps in Inkremente. Für jedes Inkrement muss ein Gleichgewichtszustand erreicht werden. Ein Inkrement hat die Zeitdauer t. Es muss gelten: t = t (die Summe der Dauer aller Inkremente eines Steps ist gleich der Gesamtdauer des Steps). In ABAQUS kann die höchste zulässige Zahl der Inkremente je Step angegeben werden.

-

Iteration

-

Versuche Kann ein Inkrement eines Steps nicht mit der zu Beginn angegeben Größe berechnet werden, da kein Gleichgewicht innerhalb der angegebenen Toleranzgrenzen erzielt werden kann, kann das Inkrement verkleinert werden und in einem neuen Versuch mit verkleinertem Lastinkrement erneut versucht werden. In ABAQUS ist die Anzahl der Versuche je Inkrement auf einen Standardwert voreingestellt, kann jedoch vom Benutzer verändert werden.

Eine Iteration ist eine Untereinheit eines Inkrementes. Um einen Gleichgewichtszustand innerhalb der vorgegebenen Toleranz zu erreichen, muss bei nichtlinearen Problemen in der Regel iteriert werden. Es existieren zwei Arten von Iterationen, die Gleichgewichtsiteration (Equilibrium Iteration) und die Iteration infolge einer Veränderung der Kontaktbedingungen (Severe Discontinuity Iteration). In ABAQUS ist die Anzahl der Iterationen je Inkrement bzw. je Versuch auf einen Standardwert voreingestellt, kann jedoch vom Benutzer verändert werden.

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Seite 11-6

11.5 Lösungsverfahren nichtlinearer Probleme Lösungsverfahren für nichtlineare Probleme müssen folgende Anforderungen erfüllen: Robustheit schnelle Konvergenz geringer Rechenaufwand Aus der großen Menge der Lösungsansätze werden hier beispielhaft zwei Ansätze vorgestellt, die sehr weite Verbreitung gefunden haben und auch in ABAQUS verwendet werden.

11.5.1 Newton-Raphson Bei dem Lösungsansatz von Newton-Raphson wird die Steifigkeitsmatrix nach jeder Iteration als Tangentensteifigkeit neu bestimmt. Der Iterationsvorgang in einem Inkrement kann sehr anschaulich nachvollzogen werden (Bild 11-5):

Ka

Last a Ra P

Ia

K0

ca u0

ua

Verschiebung

Bild 11-5: Berechnung des ersten Inkrements · Newton-Raphson

Zu Beginn des Inkrementes hat die Struktur die Verschiebung u0 und die zugehörige Anfangssteifigkeitsmatrix K0. Mit dem durch die Inkrementgröße vorgegebenen P ergibt sich nach Lösen der Gleichung ca = K0-1 F

(11-5)

die neue Verschiebung ua in Punkt a. Das Verschiebungsinkrement zwischen u0 und ua wird als Korrektur (Displacement Correction) ca bezeichnet. Man geht bei der Berechnung davon aus, dass sich die Steifigkeit innerhalb des berechneten Schrittes nicht sehr stark ändert, so dass der Unterschied zwischen der nichtlinearen, „wahren“ LastVerschiebungsfunktion und der linearen Näherung nicht sehr groß wird.

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Seite 11-7

Für die neue Konfiguration wird die Steifigkeitsmatrix Ka als Tangente und die LastVerschiebungsfunktion berechnet. Mit dieser aktualisierten Steifigkeitsmatrix werden dann die inneren Kräfte Ia berechnet Ia = Ka ua

(11-6)

Aus der Differenz der äußeren Kräfte P und der inneren Kräfte Ia erhält man das Residuum für die erste Iteration Ra = P - Ia. Es wird nun überprüft, ob das Residuum innerhalb der Toleranzgrenzen liegt. Dazu wird i.d.R. eine normierte Größe herangezogen. In ABAQUS dient dazu die Größe „time average force“ q~  für Last-Verschiebungs-Probleme. Diese Vergleichsgröße wird durch die Mittelung aller Knotenkräfte über das gesamte Modell und über die gesamte Berechnungszeit ermittelt (vgl. Kap. 11.6). Ist das Residuum klein genug, wird die Lösung als konvergent bezeichnet und das Inkrement ist beendet. Wenn das Residuum zu groß ist, wird eine weitere Gleichgewichtsiteration durchgeführt.

P

P Ia

a

1. Iteration

2. Iteration

K0

Ka Last

u0

ua

b

a Rb

Ib Ia K0 cb ua

ub

Verschiebung

Bild 11-6: Berechnung der zweiten und jeder weiteren Iteration · Newton-Raphson-Verfahren

Dazu wird das nächste Verschiebungsinkrement cb mit der aktualisierten Steifigkeitsmatrix Ka und dem Residuum aus der vorhergehenden Iteration errechnet: cb = Ka-1 Ra

(11-7)

Die „fehlende“ Kraft (das Residuum) aus der vorhergehenden Iteration wird mit der aktuellen Steifigkeit auf die Struktur aufgebracht. Es ergibt sich die neue Konfiguration in Punkt b mit der aktuellen Verschiebung cb. Erneut wird die Steifigkeitsmatrix aktualisiert und die inneren Kräfte Ib berechnet. Das Residuum Rb in b ergibt sich dann aus 11 Konvergenzprobleme

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Rb = P - Ib

Seite 11-8

(11-8)

Die Beurteilung der Konvergenz erfolgt dann auf Basis der Größe des Residuums und der Größe der Verschiebungskorrektur ci der i-ten Iteration im Verhältnis zur Gesamtverschiebung u des Inkrements. Das Lösungsverfahren nach Newton-Raphson ist robust und konvergiert schnell. Allerdings ist der Rechenaufwand bedingt durch das Aktualisieren der Steifigkeitsmatrix K in jeder Gleichgewichtsiteration relativ hoch. In einigen Fällen kann es daher sinnvoll sein, den Quasi-Newton-Gleichungslöser zu verwenden.

11.5.2 Quasi-Newton Der Quasi-Newton-Gleichungslöser unterscheidet sich vom Lösungsverfahren nach Newton-Raphson dadurch, dass die Steifigkeitsmatrix K nicht für jede Gleichgewichtsiteration neu berechnet wird, sondern über die Berechnung des Inkrements konstant bleibt. Dies bedingt eine u.U. größere Zahl von Iterationen für die Berechnung des Inkrements. Dem steht der geringere Aufwand für die Berechnung eines Inkrements gegenüber, da die Steifigkeitsmatrix nicht angepasst wird.

11.6 Konvergenzkriterien in ABAQUS Die Konvergenz einer Lösung wird in ABAQUS in der Regel durch zwei Kriterien überprüft. 1. Überprüfen der Größe des Residuums 2. Überprüfen der Größe der Verschiebungskorrektur

11 Konvergenzprobleme

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Seite 11-9

11.6.1 Größe des Residuums Das Konvergenzkriterium für die Größe des Residuums lautet:  Rmax  Rn  ~ q

 Rmax q~ 

mit



Rn

(11-9) größtes Residuum im FE-Modell in der Iteration „time average force“ – über die Zeit und das Modell gemittelte Kraft Toleranzgröße, Standardwert ist 5·10-3

Die Berechnung der „time average force“ erfolgt aus der „average force“ q  , die aus der Summe der an allen Knoten angreifenden inneren und äußeren Kräfte, dividiert durch die Summe der Anzahl der Freiheitsgrade und der äußeren Kräfte gebildet wird. Die „average force“ q  wird für jedes Inkrement berechnet, die „time average force“ ergibt sich dann als arithmetisches Mittel der „average force“ über die Inkremente:

q~  

q i

i

(11-10)

Im Message-File (.msg-File) werden die „average force“, die „time average force“ und das maximale Residuum (largest residual force“) ausgegeben.  Größe der Verschiebungskorrektur c  Die größte Verschiebungskorrektur cmax darf nicht größer sein als ein gewisses Fraktil des  maximalen Verschiebungsinkrements u max des Inkrements. Der Standardwert des zulässigen Fraktils liegt bei 1%.

Im Message-File (.msg-File) werden die Größe der Maximalen Verschiebungsinkrements (largest increment of displacement) und die Größe der maximalen Verschiebungskorrektur (largest correction to displacement) ausgegeben.

11.7 Kontrollmöglichkeiten in ABAQUS Für die Kontrolle des Konvergenzverhaltens gibt ABAQUS dem Benutzer Informationen in das Message-File (Endung .msg) und das Status-File (Endung .sta).

11 Konvergenzprobleme

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Seite 11-10

11.7.1 Message-File Im Message-File werden standardmäßig Informationen zu jeder Gleichgewichtsiteration in jedem Inkrement jedes Steps ausgegeben. Es werden sowohl die Informationen zu den Verschiebungen als auch zu den Residuen angeben (vgl. Bild 11-7). Zu den jeweiligen maximalen Größen der Verschiebung bzw. des Residuums ist jeweils die Knotennummer mit angegeben, bei der die Größe auftritt.

EQUILIBRIUM ITERATION AVERAGE LARGEST LARGEST LARGEST

q

1

FORCE 314. TIME AVG. FORCE RESIDUAL FORCE 1.220E-03 AT NODE 1000030 INCREMENT OF DISP. -2.208E-02 AT NODE 2000091 CORRECTION TO DISP 3.016E-03 AT NODE 2000113 THE FORCE EQUILIBRIUM EQUATIONS HAVE CONVERGED  Rmax

u max

314. DOF 2 DOF 2 DOF 2

q~ 

a cmax

Bild 11-7: Auszug aus dem Message-File

In Bild 11-7 ist zusätzlich an der letzten Zeile zu erkennen, dass die gefundene Lösung innerhalb der vorgegebenen Toleranzen liegt („The Force Equilibrium Equations have converged“). Anderenfalls würde als nächstes eine Information über die nächste Iteration folgen. Der Message-File wird bei jeder Iteration aktualisiert.

11.7.2 Status-File Im Status-File werden die Informationen über den Fortschritt der Berechnung kurz zusammengefasst. Er wird am Ende jedes Inkrements aktualisiert und enthält Angaben über die Anzahl der Iterationen (INC) und ggf. Versuche (Attempts ATT) die für jedes Inkrement benötigt wurden. Dabei wird nach Iterationen, die durch Änderungen der Kontaktbedingungen entstehen (SEVERE DISCONUITY ITERS) und Gleichgewichtsiterationen (EQUIL ITERS) unterschieden. Es wird die Dauer des Inkrements (INC OF TIME), die bereits gerechnete Zeit im Step (STEP TIME) und die gesamte berechnete Zeit (TOTAL TIME) angegeben. Zur Angabe des Monitor-Knotens vgl. Kap. 11.7.3.

11 Konvergenzprobleme

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SUMMARY OF JOB INFORMATION: MONITOR NODE: 185449 DOF: 1 STEP INC ATT SEVERE EQUIL TOTAL TOTAL STEP OF DOF IF DISCON ITERS ITERS TIME/ TIME/LPF MONITOR RIKS ITERS FREQ 1 1 1 3 1 4 5.00e-06 5.000e-06 -0.0667 1 2 3 1 1 2 5.31e-06 3.125e-07 -0.0667 1 3 1 1 2 3 5.78e-06 4.688e-07 -0.0667 1 4 1 0 1 1 6.48e-06 7.031e-07 -0.0667 1 5 1 1 1 2 7.54e-06 1.055e-06 -0.0667 1 6 1 0 1 1 9.12e-06 1.582e-06 -0.0667 1 7 1 0 1 1 1.15e-05 2.373e-06 -0.0667 1 8 1 0 1 1 1.51e-05 3.560e-06 -0.0667

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INC TIME/LPF 5.00e-06 5.31e-06 5.78e-06 6.48e-06 7.54e-06 9.12e-06 1.15e-05 1.51e-05

Bild 11-8: Auszug aus dem Status-File

11.7.3 *PRINT und *MONITOR Zusätzliche Informationen kann man durch die Angabe der Befehle *PRINT und *MONITOR im Eingabe-File erhalten. Der *PRINT-Befehl steuert die Ausgabe der Informationen in den Message-File. Bei Konvergenzproblemen ist es sehr wichtig, ausreichend Informationen über das Verhalten der Struktur zu haben, daher sollte dieser Befehl unbedingt verwendet werden. Durch die Angabe verschiedener Optionen kann man wesentlich mehr Informationen über die Lösung der Gleichungen bzw. über das Konvergenzverhalten erhalten. Die wesentlichen Optionen sind: *PRINT, SOLVE=YES *PRINT, RESIDUALS=YES *PRINT, PLASTICITY=YES *PRINT, CONTACT=YES

Gibt detailliertere Informationen zum Lösen der Gleichung aus Gibt die Informationen zu Residuen und Verschiebungskorrekturen aus (ist der Standard-Wert) Gibt detailliertere Informationen zur Lösung mit Plastizität aus Gibt detailliertere Informationen über die Kontakbedingungen aus

Über die Option Frequency kann die Häufigkeit der Ausgabe in den Message-File gesteuert werden. 11 Konvergenzprobleme

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Mit *Monitor kann die Entwicklung des Wertes eines Freiheitsgrads eines Knotens im Status-File mitgeschrieben werden. So kann man z.B. die Setzung eines wichtigen Punktes direkt mitprotokollieren. Der Befehl lautet: *MONITOR, NODE=...., DOF=....

11.8 Einflussmöglichkeiten auf das Konvergenzverhalten Die Standardeinstellungen von ABAQUS sind so gewählt, dass der Berechnungsalgorithmus möglichst robust funktioniert und in den meisten Fällen Konvergenz erreicht wird. Ein Eingriff des Benutzers ist daher in der Regel nicht notwendig. Gleichwohl existieren einige Möglichkeiten, das Konvergenzverhalten durch den Benutzer zu beeinflussen, von denen nachfolgend einige vorgestellt werden. Es sei jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass Eingriffe auf das Konvergenzverhalten u.U. zu ungewollten Veränderungen des Ergebnisses und insbesondere der Genauigkeit des Ergebnisses führen können.

11.8.1 Zeitschrittsteuerung Die Zeitschrittsteuerung in ABAQUS ist wesentlich für das Konvergenzverhalten. Bei nichtlinearen Berechnungen muss die Lösung inkrementell berechnet werden und die Größe des Inkrementes ist entscheidend für das Erzielen einer konvergenten Lösung. Wegen der Rechenzeit sind große Inkremente gewünscht, die aber häufig nicht zu konvergenten Lösungen führen und dann in einem zweiten Versuch mit kleiner Größe nachgerechnet werden müssen. ABAQUS bietet eine automatische Zeitinkrementierung, die in Abhängigkeit des Konvergenzverhaltens die Inkrementgröße anpasst. Der Benutzer kann jedoch bei dem Prozedur-Aufruf in der STEP-Anweisung (z.B. STATIC) einige Parameter beeinflussen. Zunächst ist es jedoch wichtig, dass im Step ausreichend Inkremente zugelassen werden, da ABAQUS standardmäßig nur 10 Inkremente je Step zulässt und bei Erreichen des 11. Inkrements eine Fehlermeldung ausgibt (too many increments) und die Berechnung abbricht. Die zulässige Inkrement-Anzahl wird direkt hinter die STEP-Anweisung geschrieben.

Die Anweisung lautet beispielsweise: *STEP, INC=1000 11 Konvergenzprobleme

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*STATIC 1.E-3, 1., 1.E-8, 1.E-2 ..... Der erste Wert, der in der Datenzeile nach dem Prozeduraufruf STATIC steht, gibt die Größe des Startinkrementes an. Standardmäßig versucht ABAQUS zunächst den gesamten Step in einem Inkrement zu rechnen, was bei nichtlinearen Problemen in der Regel nicht klappt. Dies führt ohne weitere Angabe dazu, dass ABAQUS nach 12 Gleichgewichtsiterationen einen neuen Versuch startet und die Inkrementgröße um den Faktor 4 verkleinert. Falls ABAQUS auch im zweiten Versuch kein Gleichgewicht findet, muss ein dritter Versuch gestartet werden usw. Nach 6 Versuchen bricht ABAQUS mit einer Fehlermeldung ab (too many attempts). Die Zeit, die ABAQUS für diese Berechnung benötigt kann durch die Angabe eines sinnvollen Startinkrements gespart werden. Die zweite Angabe in der Datenzeile gibt die gesamte Dauer des Steps an. Sie ist standardmäßig 1., kann jedoch beliebig verändert werden, wenn eine zeitinvariante Berechnung durchgeführt wird. Die dritte Angabe gibt den minimale zulässige Größe des Inkrements an, in diesem Fall 1.E-8. Standardmäßig nimmt ABAQUS an, dass die Inkrementgröße nicht kleiner werden darf als 1/1000 der Dauer des Inkrements. Wenn dies nicht ausreicht, bricht ABAQUS die Berechnung mit einer Fehlermeldung ab (time increment needed is less than specified). Die vierte Angabe gibt eine zulässige obere Grenze für die Dauer des Inkrementes an.

11.8.2 Extrapolation der Lösung Standardmäßig extrapoliert ABAQUS die Lösung des vorangegangen Inkrements um die Lösung für das folgende Inkrement zu erhalten. Bei einigen Problemen führt dies zu einer langsameren Konvergenz. Durch die Eingabe von *STEP, EXTRAPOLATION=NO MONOTONIC=NO)

(bei

Versionsnummern

kleiner

als

5.8:

wird die Extrapolation ausgeschaltet.

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11.8.3 Unsymmetrischer Gleichungslöser Einige Materialroutinen (z.B. Mohr-Coulomb mit nicht-assozierter Fließregel) erzeugen eine unsymmetrische Materialmatrix D. Wird die Gleichung dann mit dem standardGleichungslöser gelöst, ist das Konvergenzverhalten unter Umständen sehr langsam. In diesem Fall kann bei der Step-Anweisung folgende Option angegeben werden: *STEP, UNSYMM=YES Es wird dann der unsymmetrische Gleichungslöser verwendet.

11.8.4 Veränderung der Konvergenzgrenzen Es besteht in ABAQUS die Möglichkeit die Konvergenzgrenzen, also die Toleranzen, zu verändern. Dies ist jedoch mit äußerster Vorsicht durchzuführen und ist die Ultima Ratio bei Konvergenzproblemen. Der Befehl *CONTROLS beinhaltet eine Vielzahl von Optionen um das Konvergenzverhalten zu beeinflussen, insbesondere die automatische Zeitschrittsteuerung und die Konvergenzgrenzen. Um die Toleranzen für das Residuum und die Verschiebung zu verändern gibt man den Befehl wie folgt ein: *CONTROLS, PARAMETER=FIELD, FIELD=DISPLACEMENT TOLERANZ DES RESIDUUMS, TOLERANZ DER VERSCHIEBUNG z.B. *CONTROLS, PARAMETER=FIELD, FIELD=DISPLACEMENT 0.02, 0.03 Hier würde die Toleranzgrenze der Residuen auf 2% und die Toleranz des Verschiebungskriteriums auf 3% gesetzt.

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12 Anhang 12.1 *NODE,N NSET=NAM ME ODE,NSET= =NAME *NO KN, x., y., z. Knotten der Knootennummer KN wird an der Stellle x, y, z generiert. g D Der Knoten wird w der Knottensatz NA AME hinzu ugefügt. D Der Knoten nsatzname NAME daarf höchsteens acht Buchhstaben langg sein. Es können k mehhrere Zeilen (KN, x., y., z.) direkt aufeinander folgen. Der P Parameter NSET=NAM N ME ist optioonal.

12.2 *NCOPY Y *NCOPY, CHA ANGE NUM MBER=xxx,, OLD SET= =NAME, NEW N SET=N NEU, SHIF FT x., y.., z. a., b.., c., d., e., f., f g. z verschob ben kopierrt und erh hält den Der Knotensatz NAME wird um x., y., z. obei jede K Knotennumm mer um den Wert xxx eerhöht wird. Bei der Knottensatznameen NEU, wo Kopiieroption füür die drittte Zeile 0. , 0., 0., 0., 0., 0. haandelt es ssich um ein ne reine Trannslation. Um m eine Rotation R duurchzuführen n wird eine Rotatioonsachse mit m dem Anfaangspunkt a., a b., c. (in x-, y-, z-Kooordinaten)) und dem Endpunkt E d.., e., f. (in x-, x y-, zKoorrdinaten) definiert, d um m die einee Rotation um g-Graad durchgeeführt wird d. Durch CHA ANGE NUM MBER kan nn man seehr leicht versehentlicch doppeltte Knotenn nummern erzeuugen.

12.3 *NGEN *NG GEN, NSET= =NAME KN1, KN2, a werden Knooten in gleicchmäßigen a-er Schrittten zwischeen den Knooten KN1 und u KN2 Es w erzeuugt. Diese werden w dem m Knotensatzz NAME hiinzugefügt.

12.4 *NFILL *NFIILL, NSET=ALL SET1, SET2, a, b Es w werden Knottenreihen zw wischen denn Knotensäätzen SET1 und SET2 aaufgefüllt, wobei w a1 Knnotenreihen eingefügt werden. w Diee Knotennu ummern werrden von Reeihe zu Reiihe um b erhöhht und dem Knotensatzz ALL hinzuugefügt.

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12.5 *NSET *NSET,NSET=NAME NODE1,NODE2,... Hiermit werden die Knoten NODE1, NODE2 dem Knotensatz NAME hinzugefügt. *NSET,NSET=NAME,GENERATE NODE1,NODE2,INC Hiermit werden alle Knoten zwischen NODE1 und NODE2 im Knotennummernabstand INC dem Knotensatz NAME hinzugefügt.

12.6 *ELEMENT *ELEMENT, TYPE=TYP, ELSET=NAME EN, a, b, c, d, … Es wird ein Element des Elementtyps TYP mit der Elementnummer EN erzeugt. Die Zahlen a, b, c,... stellen die Knotennummern dar. Die genaue Folge der Knotennummerneingabe hängt vom Elementtyp ab (siehe dort). Das Element wird dem Elementsatz NAME hinzugefügt. Der Elementsatzname darf aus höchstens acht Buchstaben bestehen.

12.7 *ELCOPY *ELCOPY, OLD SET=NAME, NEW SET=NEU, ELEMENT SHIFT=x, SHIFT NODES=y Es werden alle Elemente des Elementsatzes NAME kopiert und dem Elementsatz Neu zugeordnet, wobei die Elementnummern um die x erhöht werden. Es werden dabei die Knoten verwendet, die eine um y höhere Nummer aufweisen, als die die für den Elementsatz NAME verwendet wurden.

12.8 *ELGEN *ELGEN, ELSET=NAME ME, a, b, c, d, e, f, g, h, i Es werden Elemente nach dem Beispiel des Musterelements mit der Nummer ME erzeugt und dem Elementsatz NAME hinzugefügt, wobei: a

= Anzahl der Elemente in der ersten Reihe einschließlich des Musterelements b = Erhöhung der Knotennummer von Element zu Element in der ersten Reihe 12 Anhang

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c d e f g h i

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= Erhöhung der Elementnummer von Element zu Element in der ersten Reihe = Anzahl der Elementreihen einschließlich der ersten Reihe = Erhöhung der Knotennummern von Elementreihe zu Elementreihe = Erhöhung der Elementnummern von Elementreihe zu Elementreihe = Anzahl der Elementlagen einschließlich der ersten Lage = Erhöhung der Knotennummer von Elementlage zu Elementlage = Erhöhung der Elementnummer von Elementlage zu Elementlage

12.9 *ELSET *ELSET,ELSET=NAME EL1,EL2,... Hiermit werden die Elemente EL1, EL2 dem Elementsatz NAME hinzugefügt. *ELSET,ELSET=NAME,GENERATE EL1,EL2,INC Hiermit werden alle Elemente zwischen EL1 und EL2 im Elementnummernabstand INC dem Elementsatz NAME hinzugefügt.

12.10 *MPC *MPC TYPE, NODE1, NODE2, NODE3,… Es wird ein Multi Point Constraint des Typs TYPE mit den Knoten NODE1, NODE2, NODE3,… definiert. Der Typ der MPC ist aus der nachfolgenden Tabelle zu bestimmen. MPC Typ LINEAR QUADRATIC

BILINEAR

C BIQUAD

12 Anhang

Beschreibung Standardmethode zur Netzverfeinerung von linearen Elementen. Die Knoten werden in der Reihenfolge p, a, b (siehe Bild 3-12a) angegeben. Standardmethode zur Netzverfeinerung von quadratischen Elementen. Die Knoten werden in der Reihenfolge p, a, b, c (siehe Bild 3-12b) angegeben, wobei p entweder p1 oder p2 ist. Standardmethode zur Netzverfeinerung von linearen, dreidimensionalen Kontinuumselementen. Die Knoten werden in der Reihenfolge p, a, b, c, d (siehe Bild 3-20a) angegeben Standardmethode zur Netzverfeinerung von quadratischen, dreidimensionalen Kontinuumselementen. Die Knoten werden in der Reihenfolge p, a, b, c, d, e, f, g, h (siehe Bild 3-20b) angegeben

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Bild 112-1: linearerr und quadra atischer Typ vvon MPC’s fü ür 3D-Kontin nuumselemennte

12.111 *SOLID D SECTION N *SOL LID SECTIION,ELSET T=NAME,M MATERIAL L=BODEN Mit ddiesem Beffehl werden n Kontinuum mselementeen Materialeeigenschafteen zugewiesen. Die Mateerialeigenscchaften selb ber werdenn mit den zu *MATE ERIAL gehhörenden Befehlen B angegeben. Hier H werd den den Elementen n des Elementsatz E zes NAM ME die M B BODEN zug geordnet. Mateerialeigenscchaften des Materials

L SECTION 12.122 *SHELL *SHE ELL SECTIION, ELSE ET=NAME, MATERIA AL=MAT2 a., b B werd den Shelleelementen eine Dicke und Maaterialeigen nschaften Mit diesem Befehl D Materiaaleigenschaaften selber werden mit den zu *MAT TERIAL zugewiesen. Die gehöörenden Beffehlen angeegeben. Hieer werden den d Elementen des Eleementsatzess NAME die D Dicke a., diee Anzahl vo on b Integraationspunktten über diee Dicke dess Shellelements und die M Materialeigeenschaften des Materiials MAT2 zugeordneet. Die Vorreinstellung g für die Anzaahl der Integgrationspun nkte b ist fünnf.

12.133 *MATE ERIAL Dem m Material BODEN B weiist man wie folgt Param meter zu: *MA ATERIAL,N NAME=BODEN *ELA ASTIC E, p *DEN NSITY g word *MAT TERIAL weerden dem Material BODEN B diee in den fo olgenden Mit dem Keyw V Zeileen definierteen Materialleigenschaftten zugewieesen. Beispiielsweise ellastisches Verhalten mit ddem E-Moddel E und der d Poissonzzahl (Querd dehnzahl) p. p Dem Matterial wird mit dem

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Keyword *DENSITY eine Dichte der Größe g zugewiesen. Achtung! Wenn man Längen in [m] und Kräfte in [kN/m²] eingibt muss die Dichte in [t/m³] eingegeben werden.

12.14 Aufbringen von Lasten (*CLOAD/*DLOAD) mit den Befehlen *CLOAD und *DLOAD können Einzel- und Streckenlasten aufgebracht werden. Hierbei werden mit dem Keyword *CLOAD Einzellasten auf Knoten aufgebracht und mit *DLAOD Streckenlasten auf Elemente. *CLOAD, OP=TYPE NODE, DOF, MAG Mit *CLOAD wird eine Last der Größe MAG auf den Knoten NODE (oder auf alle Knoten des Knotensatzes NODE) in Richtung DOF (Degree of freedom) aufgebracht. Die Richtung DOF richtet sich nach dem verwendeten Koordinatensystem und ist in der Regel (kartesische Koordinaten) 1 = x-Richtung, 2 = y-Richtung und 3 = z-Richtung. Mit der Option OP=TYPE kann angegeben werden ob, die Last zusätzlich zu den schon vorhandenen Lasten aufgebracht werden soll (OP=MOD) oder ob alle im Modell vorhandenen Lasten gelöscht werden sollen und die angegebenen Lasten als neue Lasten aufgebracht werden sollen (OP=NEW). *DLOAD, OP=TYPE EL,LTYPE,MAG Mit *DLOAD wird eine Belastung der Größe MAG auf das Element EL (oder auf alle Elemente des Elementsatzes EL) aufgebracht. Mit LTYPE wird der Belastungstyp angegeben, der vom Elementtyp abhängt. Bei fast allen Elementen gibt es die Möglichkeit eine Strecken-/Flächenlast auf eine der Oberflächen (face) des Elements aufzubringen. Hierzu wird LTYPE zu Pn gesetzt, wobei n die Oberflächennummer angibt. Mit der Option OP=TYPE kann angegeben werden ob, die Belastung zusätzlich zu den schon vorhandenen Belastungen aufgebracht werden soll (OP=MOD) oder ob alle im Modell vorhandenen Belastungen gelöscht werden sollen und die angegebenen Belastungen als neue Belastungen aufgebracht werden sollen (OP=NEW).

12.15 Knoten/Knotensatz in seiner aktuellen Position festhalten Um einen Knoten/Knotensatz in seiner aktuellen Position festzuhalten: * BOUNDARY, OP=FIXED Knoten oder Knotensatz, erster Freiheitsgrad, letzter Freiheitsgrad

12 Anhang

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Beispiel:

1,2- und 3-Richtung: 1- und 3-Richtung:

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* BOUNDARY, OP=FIXED Rand_x,1,3 * BOUNDARY, OP=FIXED Rand_x,1 Rand_x,3

12.16 Festhaltung eines Knoten/Knotensatz ändern Um eine vorgegebene Randbedingung an einem Knoten/Kontensatz zu verändern: * BOUNDARY, OP=MOD (default) Knoten oder Knotensatz, 1.DOF, 2.DOF

12.17 Festhaltung (alle) löschen Um alle vorgegebene Randbedingung zu löschen: * BOUNDARY, OP=NEW Knoten oder Knotensatz, 1.DOF, 2.DOF

12.18 Verschiebungen vorgeben Um einen Knoten/Knotensatz zu Verschieben : * BOUNDARY Knoten oder Knotensatz, 1.DOF, 2.DOF,Verschiebungsbetrag Beispiel:

12 Anhang

Verschiebung um 0,5 m

* BOUNDARY, OP=MOD Rand_x,1,1,0.5

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Literatur

Robbins, A. (2000): Unix in a Nutshell, deutsche Ausgabe, O’Reilly, 2. Aufl. Alex, W. (2002): Einführung in UNIX, Skript der Universität Karlsruhe, http://www.ciw.uni-karlsruhe.de/skriptum/ Gross, D.; Hauger, W.; Wriggers, P.(2011): Technische Mechanik 4 – Hydromechanik, Elemente der Höheren Mechanik, Numerische Methoden

13 Literatur

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Stand der Bearbeitung Grundlagen der Kontinuumsmechanik Elastizität Elemente Anfangs- und Randbedingungen Elasto-plastische Materialmodelle Parameteridentifikation Einführung in Abaqus Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Pfähle) Modellierung geotechnischer Konstruktionselemente (Verbauwände) Modellierung geotechnischer Konstrutionselemente (Erdbauwerke) Konvergenzprobleme Anhang Literatur Stand der Bearbeitung

14 Stand der Bearbeitung

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