Solucion Puntos 4, 6 Y 10

SOLUCIÓN EJERCICIOS Primera parte Punto 4. Halle el área S de la superficie de revolución que se forma al girar la gráfica de 𝑦 = √𝑥 sobre el intervalo cerrado [1, 4] alrededor del eje x. Tener en cuenta que: El área lateral (excluyendo los extremos) del sólido resultante es: 𝑏

𝑆 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 + (𝑓´(𝑥))2 𝑑𝑥 𝑎

Solución: Tenemos que: 𝑓(𝑥) = √𝑥 𝑓´(𝑥) =

1 2√𝑥

El área será: 𝑏

4

𝑆 = 2𝜋 ∫ 𝑓(𝑥)√1 +

= 2𝜋 ∫ (√𝑥)√1 + (

(𝑓´(𝑥))2 𝑑𝑥

𝑎

1

Primero calculamos la integral indefinida de: ∫(√𝑥)√1 + ( 1

1 2√𝑥

2

) 𝑑𝑥 =

2

1 ( ) = 4𝑥 2√𝑥 ∫ √𝑥√1 +

1 𝑑𝑥 4𝑥

√𝑥√1 +

1 4𝑥

Simplificamos la expresión dentro de la raíz: 1+

1 4𝑥 + 1 = 4𝑥 4𝑥

1 2√𝑥

2

) 𝑑𝑥

4𝑥 + 1 √4𝑥 + 1 √ = 4𝑥 √4𝑥 √4𝑥 + 1 √4√𝑥

=

√4𝑥 + 1 2 √𝑥

Ahora simplificamos con la expresión de la raíz sobrante lo cual queda: √𝑥

√4𝑥 + 1 √4𝑥 + 1 = 2 2√𝑥

Ahora tenemos la siguiente integral: ∫

√4𝑥 + 1 𝑑𝑥 2

Sacamos la constante: 1 ∫ √4𝑥 + 1𝑑𝑥 2 Aplicamos la sustitución para la integral y procedemos a resolver:

1 √𝑢 1 1 ∫ 𝑑𝑢 = ∗ ∫ √𝑢 𝑑𝑢 2 4 2 4 1

1 1 1 1 1 𝑢2+1 ∗ ∫ 𝑢2 𝑑𝑢 = ∗ ∗ 2 4 2 4 1+1 2 1

3

1 1 (4𝑥 + 1)2+1 1 1 (4𝑥 + 1)2 ∗ ∗ = ∗ ∗ 1 3 2 4 2 4 2+1 2 3

3

1 1 2 ∗ (4𝑥 + 1)2 2 ∗ (4𝑥 + 1)2 ∗ ∗ = 2 4 3 2∗3∗4 3

3 (4𝑥 + 1)2 1 (4𝑥 + 1)2 = 12 12

Agregamos la constante de la integral y tenemos: 3 1 (4𝑥 + 1)2 + 𝐶 12

Ahora calculamos los límites de la integral.

4

1

2

∫ (√𝑥)√1 + ( ) 𝑑𝑥 2 √𝑥 1 3 1 5√5 lim ( (4𝑥 + 1)2 ) = 𝑥→1+ 12 12

lim (

𝑥→4−

3 1 17√17 (4𝑥 + 1)2 ) = 12 12

17√17 5√5 17√17 − 5√5 − = 12 12 12 2𝜋

17√17 − 5√5 17√17𝜋 − 5√5𝜋 = 12 6

Podemos decir que el área es: 𝑺=

𝟏𝟕√𝟏𝟕𝝅 − 𝟓√𝟓𝝅 = 𝟑𝟎, 𝟖𝟒 𝟔

Segunda parte Punto 6. 𝑦 = 𝑥2 𝑦 = √8𝑥 alrededor del eje y=4 Elabore la gráfica y considere el volumen en unidades cúbicas. Encuentre el volumen del sólido que se genera al girar la región plana R:{

Solución: Trazamos la gráfica de las curvas halladas e identificamos la región.

El volumeno de la diferencial esta dado por:

𝑑𝑉 = 𝜋[𝑟2 2 − 𝑟1 2 ]𝑑𝑥

Para este caso: 𝑟2 = 4 − 𝑥 2 𝑟1 = 4 − √8𝑥 Al calcular el volumen tenemos: 2

2

𝑉 = 𝜋 ∫ [(4 − 𝑥 2 )2 − (4 − √8𝑥) ] 𝑑𝑥 0 2

= 𝜋 ∫ [(16 − 8𝑥 2 + 4𝑥) − (16 − 8√8𝑥 + 8𝑥)] 𝑑𝑥 0 2

= 𝜋 ∫ [(𝑥 4 − 8𝑥 2 − 8𝑥 + 8√8𝑥

1⁄ 2

)] 𝑑𝑥

0

= 𝜋 [(

𝑥5 𝑥3 𝑥 2 32√2 3⁄ −8 −8 + 𝑥 2 )] 5 3 2 3

Ahora calculamos los limites de la integral. 2

2

𝜋 ∫ [(4 − 𝑥 2 )2 − (4 − √8𝑥) ] 𝑑𝑥 0

lim 𝜋 [( 𝑥→0

05 03 02 32√2 3⁄ −8 −8 + 0 2 )] = 0 5 3 2 3

25 23 22 32√2 3⁄ 32 64 128 −8 −8 + 2 2 )] = 𝜋 ( − − 16 + ) 5 3 2 3 5 3 3

lim 𝜋 [( 𝑥→2

𝑽=

𝟐𝟎𝟔 𝝅𝒖𝟑 𝟏𝟓

Tercera parte Punto 10. En un laboratorio de física se hace una prueba con un resorte cuyo coeficiente de elasticidad es de 𝒌 = 𝟓. 𝟐 𝑵𝒎 y de longitud inicial de 1,4 metros. a. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte hasta una longitud de 1,8 metros? 𝒌 = 𝟓. 𝟐 𝑵𝒎 x=1.4m 𝐹 = −𝑘∆𝑥

𝐹 = −𝑘(1.8 − 1.4) 𝐹 = −5.2(0.4)𝑁 = −2.08 N/m 𝑇 = 𝐹 ∗ 𝐷 = −2.08 ∗ 0.4 = 0.832 𝐽 𝑻 = 𝟎. 𝟖𝟑𝟐 𝑱 b. ¿Cuánto trabajo se necesita para estirar el resorte desde una longitud de 2,0 metros hasta otra de 2,4 metros? Se debe calcular en primer lugar la longitud desde el punto inicial de 1.4 hasta 2 y luego calcular lo solicitado de 2 a 2.4 metros, de esto tenemos que: 𝐹 = −𝑘(2 − 1.4) 𝐹 = −5.2(0.6)𝑁 = −3.12 N/m 𝑇 = 𝐹 ∗ 𝐷 = −3.12 ∗ 0.6 = 1.872 𝐽 𝑻 = 𝟏. 𝟖𝟕𝟐 𝑱 𝐹 = −𝑘(2.4 − 2) 𝐹 = −5.2(0.4)𝑁 = −2.08 N/m 𝑇 = 𝐹 ∗ 𝐷 = −2.08 ∗ 0.4 = 0.832 𝐽 𝑻 = 𝟎. 𝟖𝟑𝟐 𝑱 Al tener estos dos trabajos Podemos sumarlos y decir que:

𝑻 = 𝟎. 𝟖𝟑𝟐 𝑱 + 𝟏. 𝟖𝟕𝟐𝑱 𝑻 = 𝟐. 𝟕𝟎𝟒 𝑱

http://docentes.uto.edu.bo/alvargaso/wp-content/uploads/9aplicacionesintegral.pdf